x y

z

z=exp(–x^2–0.5y^2)

CAS er en fællesbetegnelse formatematikprogrammer, somforuden numeriske beregningerogså kan regne med symbolerog formler. Det betyder:�omputer �lgebra �ystems.De mest kendte systemer afdenne slags er: Derive, Mathcad,Maple og Mathematica. På hhxer det tilladt at bruge sådannesystemer ved eksamen.

APPENDIX AINTRODUKTION TIL DERIVE®

MatC_Derive_1korr.p65 6/15/06, 3:49 PM287

288 APPENDIX Derive

APPENDIX A

INTRODUKTION TIL DERIVE®

SkærmbilledetDerive er et matematikprogram, som er velegnet til løsning af en række forskelligematematikopgaver. Programmets styrker ligger specielt inden for graftegning ogsymbolsk regning (regning med bogstaver).

Startbilledet i Derive 6.1 ses på nedenstående figur.

Øverst ses titellinien, der viser navnet på den fil, der arbejdes med. Derefter kommeren menulinie, hvor samtlige kommandoer i Derive kan findes. Under menulinienfindes værktøjslinien, hvor genvejstaster til de mest brugte kommandoer som åbn,gem og udskriv findes.

Så kommer det store hvide område, som kaldes algebravinduet. Her kommer resul-taterne af alle indtastninger. Det er dog ikke muligt at skrive eller rette direkte iområdet som ved Word.

Neden under algebravinduet er der en statuslinie, indtastningslinien samt det græskealfabet og en samling matematiske symboler.

MatC_Derive_1korr.p65 6/15/06, 3:49 PM288

289APPENDIX Derive

Indtastning af udtryk og funktionerDer findes mange forskellige måder til at indtaste udtryk og funktioner i Derive.Den letteste måde er ved at anvende den viste indtastningslinie nederst på skærmen.

Hvis man fx ønsker at indtaste brøken 24 , gøres dette ved at skrive følgende i

indtastningslinien.

Når der trykkes på ENTER vil brøken komme frem i algebravinduet.

Dette svarer til, at der med musen blev trykket på den første knap i indtastnings-linien. Ønsker man, at Derive skal forsøge at gøre udtrykket simplere, så kan dertrykkes på knap nummer to i stedet for. Dette giver følgende resultat:

Den sidste vigtige knap i indtastningslinien er approksimeringsknappen .Ved tryk på denne knap udregner Derive udtrykket og giver facittet i decimaltal.

MatC_Derive_1korr.p65 6/15/06, 3:49 PM289

290 APPENDIX Derive

Ved indtastning af regneudtryk i Derive skal man bruge en særlig notation for for-skellige operationer mv.:· Plus (addition) og minus (subtraktion) angives med de normale tegn + og – på

tastaturet, fx: udregning af –2+7–10 indtastes på formen –2 + 7 – 10 =· Gange (multiplikation) mellem to tal angives med …*…, fx: udregning af 12·5

sker ved indtastning af 12 * 5 =

· Division angives med …/…, fx: udregning af 9

144 sker ved indtastning af 144 / 9 =

· Står der et sammensat udtryk i tæller og/eller nævner, skal der bruges parenteser

(…) / (…), fx: udregning af 38

52

��

sker ved indtastning af (2 + 5) / (8 – 3) =

· Decimalkomma angives som punktum, fx: 1,25 · 8 udregnes ved indtastning af1.25 * 8 =

· Potenser angives med …^…, fx: udregning af 1,255 sker ved indtastning af1.25 ^ 5 =

· Kvadratrødder indtastes lettest ved at hente kvadratrodstegnet fra de matemati-ske symboler nederst til højre i skærmbilledet.

Brøken 3 22x 7x 3x

x

� �

ønskes indtastet og reduceret mest muligt. Først indtastes

funktionen i indtastningslinien i Derive, hvor der specielt lægges mærke til brugen afparenteserne

MatC_Derive_1korr.p65 6/15/06, 3:49 PM290

291APPENDIX Derive

Herefter trykkes først på ENTER, som gør det samme som tryk på den først knap.Som det sidste trykkes på Simplify-knappen, som er knap nummer to .Dette giver følgende resultater.

Når man ønsker at indtaste funktioner i Derive, skal der benyttes en lidt specieltegnsætning. I stedet for at skrive

f (x) 2x 3� � skrives f (x) : 2x 3� �

Det normale lighedstegn er altså udskiftet med et :=. Dette gøres for at gøre det let-tere for Derive at skelne mellem hvornår der skrives en forskrift for en funktion oghvornår der opstilles en ligning.

MatC_Derive_1korr.p65 6/15/06, 3:49 PM291

292 APPENDIX Derive

Der kan også indtastes flere funktioner ad gangen.

Indtastning af tekst i algebravinduetI Derive er det muligt at indtaste forklarendetekster. Desværre er det ikke muligt at indta-ste umiddelbart i selve algebravinduet. Manskal først fortælle Derive, at der ønskes nogettekst. Dette gøres ved at vælge Insert, TextObject…

Der kommer nu en ramme frem, hvori der kan indtastes tekst.

Placeringen af teksten kan somme tider drille lidt. Det er selvfølgelig muligt at flytte tek-sten og formlerne rundt efter, at de er indtastet. Ved tekster skal musen placeres indemidt i teksten, mens man ved udtryk først skal markere det udtryk, der skal flyttes.

MatC_Derive_1korr.p65 6/15/06, 3:49 PM292

293APPENDIX Derive

Redigering af udtryk og funktionerDet kan selvfølgelig ske, at der sker en fejlindtastning. Det er ikke muligt at rette di-rekte i algebravinduet, men ved at højre-klikke på udtrykkene i algrabravinduet fårman mulighed for redigering af deres indhold.

Er det et udtryk, der redigeres sker selve redigeringen i indtastningslinien. Når maner færdig med at rette i udtrykket afsluttes med ENTER.

Hvis det derimod er en funktion, der redigeres, så kommer der et selvstændigt vin-due frem, hvor man kan foretage de nødvendige rettelser og afslutte med tryk påOK.

MatC_Derive_1korr.p65 6/15/06, 3:49 PM293

294 APPENDIX Derive

Løsning af ligningerDerive kan med fordel benyttes til at assistere løsningen af ligninger. Start med atindtaste den oprindelige ligning som et udtryk.

Nu skal ligningen løses. Først lægges 1 til på begge sider. Dette gøres ved at skrivenummeret ude til venstre for ligningen og derefter skrive plus 1. For at få Derive tilat udregne trykkes på CTRL-ENTER.

Som det ses har Derive nu lagt 1 til på begge sider af lighedstegnet. Nu skal der træk-kes 1x fra på begge sider. Dette gøres igen ved at skrive nummeret på ligningen –som jo nu er #3 – og derefter skrive –1x.

MatC_Derive_1korr.p65 6/15/06, 3:49 PM294

295APPENDIX Derive

Nu mangler vi bare at få 2-tallet foran x’et fjernet. Dette gøres ved at dividere med 2på begge sider.

Værdien af x er nu fundet. Løsningen på ligningen er derfor x = 2.

Hvis det er en lidt kompliceret lig-ning, kan det hjælpe lidt at benytteSimplify-kommandoen i Derive.

Herefter kan ligningen løses somtidligere.

MatC_Derive_1korr.p65 6/15/06, 3:49 PM295

296 APPENDIX Derive

Ønsker man blot at kontrollere et facitkan ligninger løses med en enkelt kom-mando, nemlig Solve, Expression.

Man skal nu vælge hvordan løsningen skal vises. Variablen, der skal findes, vælges ilisten længst mod venstre. Eftersom der kun indgår x i ligningen, er det automatiskmarkeret her.

Ønskes decimaltal som løsning vælges punktet Numerically i Solution method.Ellers vælges Algebraically.

Under SolutionDomain vælges altidReal.

Når der trykkes påSolve, så finder Deriveløsningen på lignin-gen.

MatC_Derive_1korr.p65 6/15/06, 3:49 PM296

297APPENDIX Derive

Tegning af graferGrafer tegnes let i Derive. En af fordele ved benyttelse af Derive til tegning afgraferne er muligheden for udskrivning. Når grafen ser tilfredsstillende ud, kan derved et enkelt klik med musen udskrives til en printer.Først skal funktionen eller udtrykket indtastes. Derive kan tegne såvel funktionersom udtryk. Dette gøres som beskrevet tidligere ved benyttelse af indtastningslinien.

Funktionen er nu indtastet i Derive. Grafen for denne funktion kan tegnes ved førstat sørge for, at funktionen er fremhævet med blåt. Dernæst trykkes på 2D-PlotWindow knappen .

Der kommer nu et koordinatsystem frem på skærmen, men uden den valgte funk-tion. Derive skal først bedes om at tegne funktionen ved tryk på F4 eller Insert, Plot.

MatC_Derive_1korr.p65 6/15/06, 3:49 PM297

298 APPENDIX Derive

Som standard viser Derive koordinatsystemet fra -4 til 4 på begge akser. Det er langtfra altid, at denne indstilling er tilfredsstillende. Der er flere muligheder for at ændrepå hvilket udsnit, der vises. Den nok hurtigste og letteste er vha. knapperne iværktøjslinien.

Det vil ikke her blive forklaret, hvordan disse knapper virker. Prøv selv at eksperi-mentere med knapperne for at blive fortrolig med deres virkning på grafen. Det kansomme tider være en krævende opgave at få et godt plot frem af en funktion.

Ønskes der forklarende tekster til grafen, kan sådanne indsættes ved hjælp af Insert,Annotation…

Teksten kommer dér, hvor det lille kryds er placeret – eller ved de koordinater, derindtastes nederst i vinduet.

Tegninger lavet i 2D-plot vinduet gemmes ikke af Derive. Ønskes tegningen bevarettil en evt. aflevering, kan der inde fra 2D-plot vinduet trykkes på File, Embed. Dettebevirker, at grafen indsættes i algebravinduet og derved ikke forsvinder, når filengemmes og hentes frem igen.

MatC_Derive_1korr.p65 6/15/06, 3:49 PM298

299APPENDIX Derive

Der kan skiftes tilbage til algebravinduet ved at benytte knappen længst til højre i2D-plot vinduet .

Når grafen inddrages i algebravinduet har det yderligere den fordel, at funktions-forskriften eller udtrykket, som grafen er tegnet efter, kan ses sammen med tegnin-gen. Hvis grafen skal redigeres, så kan dette gøres ved at dobbeltklikke på grafen.Herved kommer man tilbage til 2D-Plot vinduet. Når tegningen er færdigredigeret,skal man blot huske at vælge kommandoen File, Update.

Det er ligeledes muligt at tegne flere grafer i samme koordinatsystem. Enten kan alleforskrifterne skrives og markeres på én gang i algebravinduet, eller også kan forskrif-terne skrives og tegnes en ad gangen. Den sidste metode kræver dog en del skiftenfrem og tilbage mellem algebravinduet og 2D-Plot vinduet.

MatC_Derive_1korr.p65 6/15/06, 3:49 PM299