Introduction à lautomatisation -ELE3202- Cours #5: Conception de contrôleur: lieu des racines &...

Introduction à l’automatisation

-ELE3202-

Cours #5: Conception de contrôleur: lieu des racines & critère de stabilité de Routh

Enseignant: Jean-Philippe Roberge

Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Cours # 5

Retour sur le cours #4

Conception de contrôleur:

Lieux des racines

Critère de stabilité de Routh (1ère partie):

Démonstration générale sur les polynômes d’ordre n

Exemple avec des polynômes d’ordre 3 et 4 (au tableau)

2 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Un système de deuxième ordre sous forme normalisée

(Laplace):

Se traduit, dans le domaine temporel par la réponse indicielle:

Le comportement de la réponse d’un système de deuxième

ordre est donc directement lié à ses paramètres (ζ, ω)

2

2

11 sin 1

1nt

ny t e t

Rappel du cours #4 (I)

3

2

2 22n

n

G ss s


si nte

Rappel du cours #4 (II)

La performance d’un système peut s’exprimer selon certains critères de performance:

Stabilité (les pôles sont-ils tous à partie réelle négative?) Dépassement P (en %), en anglais (« overshoot ») Le temps de dépassement Tp Le temps de réponse Ts à 2%, à 5% La constante d’erreur de position vis-à-vis l’échelon (kp) La constante d’erreur de vitesse vis-à-vis la rampe (kv) La constante d’erreur d’accélération vis-à-vis la parabole

(ka) La bande passante BW (en anglais « bandwidth ») Le gain à la fréquence de résonnance Mm


Rappel du cours #4 (III)

Temps de dépassement Tp:

En dérivant l’expression de y(t):

5

212

2

2

sin 1 01

sin 1 0

1

ntnn

n

n

d y te t u t

dt

t

t

21n

Tp


Rappel du cours #4 (IV)

Le dépassement P

Il s’agit simplement d’évaluer y(Tp):

Par conséquent:

6

21

DépassementÉchelon

1y Tp e

21 100%P e


Rappel du cours #4 (V)

Le temps de réponse Ts:

Encore une fois, en observant la réponse temporelle d’un

système de 2ième ordre:

On s’intéresse au moment lors duquel l’amplitude du

sinus sera environ égale à 0.02 (pour la réponse à 2%) ou

0.05 (pour la réponse à 5%).

7

2

2

Amplitude du sinus

11 sin 1

1n t

ny t e t


Rappel du cours #4 (VI)

L’amplitude du sinus peut être approximée par :

Donc:

Temps de réponse à 2%:

Temps de réponse à 5%:

8

2

2

Amplitude du sinus

11 sin 1

1n t

ny t e t

2

1 Pour des valeurs de 1

1n nt te e

42%

40.0183 s

n

e T

35%

30.0498 s

n

e T


Rappel du cours #4 (VII)

Exemple d’application de ces formules pour un système

quelconque de deuxième ordre:

Théoriquement, en appliquant les formules que nous

venons de démontrer:

9

2

2 2 2

100 10 100 10 0.5

2 10 100 2 10n

nn n

G ss s s s

212%2

40.3628sec 100% 16.3033% 0.8sec

1s

nn

Tp P e T


Rappel du cours #4 (VIII)

En utilisant les outils tf() et ltiview de MATLAB:

10

212%2

40.3628sec 100% 16.3033% 0.8sec

1s

nn

Tp P e T


Rappel du cours #4 (IX)Type du système et réponse en

R.P. Soit un système représenté par le digramme fonctionnel

général suivant:

Si on s’intéresse à la performance de ce système en tant

que suiveur (suivi de consigne), on s’intéresse donc à la

fonction de transfert entre l’erreur et l’entrée:

11

1 2

1 2 1 2

1 1 1 1

1 1 1

G s

E s Y s G s G sE s R s Y s

R s R s G s G s G s G s G s


Rappel du cours #4 (X)Type du système et réponse en

R.P. 1) Si nous injectons un échelon unitaire à l’entrée de ce système,

alors:

2) Si nous injectons une rampe unitaire à l’entrée de ce système,

alors:

3)Dans la même veine, en appliquant une entrée parabole:

12

0 0

1 1 1 1lim lim où est la constante d'erreur de position

1 1 1 ps s

p

e t s KG s s G s K

1 20 0lim limp s s

K G s G s G s

20 0 0

1 1 1 1 1lim lim lim = où est la constante d'erreur de vitesse

1 vs s sv

e t s KG s s s sG s sG s K

1 20 0lim limv s s

K sG s sG s G s

3 2 2 20 0 0

1 1 1 1 1lim lim lim = où est la constante d'erreur d'accélération

1 as s s

a

e t s KG s s s s G s s G s K

2 21 20 0

lim lima s sK s G s s G s G s


Rappel du cours #4 (XI)Type du système et réponse en

R.P. Nous avions alors introduit la notion de « type du système »,

qui correspond en fait au nombre de pôle(s) nul(s) de

G(s)=G1(s)G2(s). La notion de type est utile puisqu’elle

permet entre autre de connaître immédiatement l’erreur en

R.P. d’un système face à une entrée connue:


Soit:

Avec:

Alors, l’erreur en régime permanent:

Rappel du cours #4 (XII)Type du système et réponse en R.P. –

Exemple 1


1

2

4 (Gain "proportionnel")

1

1 2 10

G s

G ss s s

0

Où:

limps

K G s

Donc l’erreur en régime permanent se calcule directement à

partir de la constante d’erreur de position (entrée échelon):

Donc;

Dans Simulink:

Rappel du cours #4 (XIII)Type du système et réponse en R.P. –

Exemple 1


1

02

4 (Gain "proportionnel")4 4

lim 0.211 2 10 20

1 2 10p

s

G s

G s K G sG s s s s

s s s

1 1Erreur en R.P.: 0.8333

1 1 0.2pK

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

X: 10Y: 0.1667

Considérons le même système avec, cette fois-ci, une

entrée de type rampe. Alors:

Rappel du cours #4 (XIV)Type du système et réponse en R.P. –

Exemple 1


1

02

4 (Gain "proportionnel")4

lim 011 2 10

1 2 10v

s

G s

G s K sG sG s s s s

s s s

1 1Erreur en R.P.:

0vK

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Bleu: RéférenceVert: Sortie du système

Considérons le même système avec, cette fois-ci, une

entrée de type parabolique. Alors:

Rappel du cours #4 (XV)Type du système et réponse en R.P. –

Exemple 1


1

2

02

4 (Gain "proportionnel")4

lim 011 2 10

1 2 10a

s

G s

G s K s G sG s s s s

s s s

1 1Erreur en R.P.:

0aK

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

10

20

30

40

50

60


Remplaçons maintenant le contrôleur par un intégrateur afin

d’augmenter le type de G(s):

Rappel du cours #4 (XVI)Type du système et réponse en R.P. –

Exemple 2


1

02

1 (intégrateur)1

lim1 1 2 101 2 10

ps

G s sG s K G s

s s s sG ss s s

1 1Erreur en R.P.: 0

1 pK

0 50 100 1500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Avec le même contrôleur (intégrateur), essayons une entrée

rampe unitaire:

Rappel du cours #4 (XVII)Type du système et réponse en R.P. –

Exemple 2


1

02

1 (intégrateur)1 1

lim 0.051 1 2 10 201 2 10

vs

G s sG s K sG s

s s s sG ss s s


0.05vK

0 50 100 1500

50

100

150



parabole:

Rappel du cours #4 (XVIII)Type du système et réponse en R.P. –

Exemple 2


1

2

02

1 (intégrateur)1

lim 01 1 2 101 2 10

as

G s sG s K s G s

s s s sG ss s s

1 1Erreur en R.P.:

0aK

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-2

0

2

4

6

8

10

12

14x 10

4


0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

Erreur en fonction du temps

Considérons un nouveau système et remplaçons encore le

contrôleur par cette fois-ci un double intégrateur afin

d’augmenter (encore) le type de G(s):

Rappel du cours #4 (XIX)Type du système et réponse en R.P. –

Exemple 3


21

2 02

1 (intégrateur)1 0.5

lim1 0.5 1 2 101 2 10

ps

G ss s s

G s K G ss s s s s sG ss s s


1 pK

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8


Avec le même contrôleur (double intégrateur), essayons une

entrée rampe unitaire:

Rappel du cours #4 (XX)Type du système et réponse en R.P. –

Exemple 3


21

2 02

1 (intégrateur)1 0.5

lim1 0.5 1 2 101 2 10

vs

G ss s s

G s K sG ss s s s s sG ss s s


vK

0 50 100 150-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160



parabole:

Rappel du cours #4 (XXI)Type du système et réponse en R.P. –

Exemple 3


21

22 0

2

1 (intégrateur)1 0.5 0.5

lim 0.02501 0.5 1 2 10 201 2 10

as

G ss s s

G s K s G ss s s s s sG ss s s


0.0250aK

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

10

20

30

40

50

60

70

Erreur en fonction du temps

Soit maintenant un système affecté d’une perturbation non-

négligeable. On s’intéresse à la performance du système

(ici, l’erreur en régime permanent) en tant que régulateur

(rejet des perturbations). Donc, on cherche la fonction de

transfert entre l’erreur (sortie) et la perturbation (entrée):

Conception de boucles de commande (XX)

24

2 1 2 1 2 2

2

1 2

On s'intéresse à la fonction de transfert , donc on pose R 0. Alors:

( ) 1

1

E ss

P s

E s P s G s E s G s G s E s G s G s P s G s

E s G s

P s G s G s


Ainsi, pour une perturbation quelconque qui s’exprime telle

que:

L’erreur en régime permanent, en utilisant le théorème de la

valeur finale, sera:

Donc, simplement par observation de cette dernière

expression, l’erreur en régime permanent sera:

Conception de boucles de commande (XX)

25

1 où 0

jP s j

s

2

22 2 1. .

0 0 01 21 2 1 2 1 2

1 2

1 1 1lim lim lim

1 1R P j j js s s

N sD sG s N D

e t s s sN s N sG s G s s s D D N N s

D s D s

1

1

1

Nulle ssi 1

Finie ssi 1

Divergente si 1

j Type G

j Type G

j Type G


Cours #5

Conception de contrôleur (I)

27

À la lumière de l’analyse que nous venons de faire sur la relation

entre le type de G(s) et l’erreur en régime permanent d’un

système suiveur ou régulateur, il est évident que pour améliorer

la réponse d’un système en régime permanent, il suffit

simplement d’inclure des intégrateurs dans G1(s) afin

d’augmenter le type du système, ou d’inclure des gains K afin

d’augmenter le plus possible la constante d’erreur Kp, Kv ou Ka.


Conception de contrôleur (II)

28

Ce qui est moins évident est la manière d’améliorer la performance

en régime transitoire du système suiveur. L’analyse du système

normalisé du deuxième ordre fournit cependant des indications sur

les positions des pôles qui donnent lieu au comportement désiré.

Dans cette section, nous allons étudier la manière dont les pôles se

déplacent en fonction de la structure et des paramètres du

contrôleur. Ceci nous permettra de déplacer les pôles du système

en boucle fermée de façon à obtenir la réponse désirée en régime

transitoire.Jean-Philippe Roberge - Février

2011

Conception de contrôleur (III)Lieux des racines

29

Le fait d’introduire un contrôleur dans la boucle de

commande nous donne des degrés de liberté au niveau du

comportement du système en boucle fermée. Les différents

gains associés au contrôleur permettent de changer la

position des pôles du système en boucle fermée et donc,

aussi de modifier le comportement du système en régime

transitoire. Par exemple, considérons encore le système

général suivant:


Conception de contrôleur (IV)Lieux des racines

30

Comme nous l’avons déjà démontré, la fonction de transfert

d’un tel système s’écrit tel que:

Considérons maintenant un contrôleur de type proportionnel

donc la fonction de transfert s’écrit:

Alors, la fonction de transfert du système se ré-écrit:

Les pôles du polynôme caractéristique seront situés tel que:

Donc: La position des pôles du système en boucle fermée est affectée par le paramètre K choisi par le concepteur!


1 2

1 21

Y s G s G s

R s G s G s

1 où K est le gain proportionnel: paramètre déterminé par le concepteurG s K

2

21

Y s KG s

R s KG s

21 0KG s

Conception de contrôleur (V)Lieux des racines

31

Puisque les pôles du système en boucle fermée dépendent

de K, il serait utile de pouvoir visualiser sur un graphique le

déplacement des pôles du système en fonction de K: ce

graphique se nomme le lieu des racines.


Conception de contrôleur (VI)Lieux des racines – Exemple tiré de [2]

32

Par exemple, voici la caméra ACS-2000-P1A CameraMan de la

compagnie « Parker Vision »:

Cette dernière suit le mouvement d’un individu vêtu

d’émetteurs infrarouges. L’enregistrement vidéo est donc guidé

par le rayonnement infrarouge.Jean-Philippe Roberge - Février

2011

Conception de contrôleur (VII)Lieux des racines – Exemple [2]

33

Le diagramme fonctionnel de ce système s’écrit comme suit:


2

10

K

s s 1K

Coordonnées de l’individu

Coordonnées de l’individu données par

la caméra

Amplificateur

2 10

K

s s K

Coordonnées de l’individu Coordonnées

de l’individu données par

la caméra

En

fermant la

boucle

Où K=K1K2

1 où G

1 10

KG ss

KG s s s

Conception de contrôleur (VIII)Lieux des racines – Exemple [2]

34

La fonction de transfert est donc:

Lieux des racines dans Matlab:


2 10

Y s K

R s s s K

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2-6

-4

-2

0

2

4

6Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

K=0 K=0K=25

Remarque: On voit donc qu’il est possible, dans ce cas-ci, d’obtenir un système soit sous-amorti, soit en amortissement critique ou soit sur-amorti: il suffit simplement de bien choisir le gain K!

Autre remarque: K=0 donne un système marginalement stable, ce qui est indésirable en pratique!

Conception de contrôleur (IX)Lieux des racines

35

À ce point, nous réalisons qu’une représentation graphique

du lieux des racines d’un système est très utile pour bien

concevoir un contrôleur / boucle de commande. Attardons-

nous maintenant à présenter une méthode qui permet de

tracer à la main le lieu des racines, et ce, même pour des

systèmes complexes. Supposons que G(s) s’écrit comme

suit:

Les zi sont les zéros de la fonction de transfert, tandis que

les pi sont les pôles.Jean-Philippe Roberge - Février

2011

1

1

m

iin

ii

s zG s n m

s p

Conception de contrôleur (X)Lieux des racines

36

Rappelons-nous que la fonction de transfert d’un système en

boucle fermée avec un contrôleur de type proportionnel est:

Et donc que les pôles du système sont les valeurs de s telles que:

Par contre, puisque « s » est complexe, cette dernière équation

représente en fait deux équations.

On pourrait penser à poser:

Cependant, de manière générale, on utilise plutôt les notions

d’amplitude et d’angle.


1

Y s KG s

R s KG s

1 0 Où est un paramètre déterminé par le concepteur (contrôleur)KG s K

Re 1 0 et Im 1 0KG s KG s

Conception de contrôleur (XI)Lieux des racines

37

i) La relation d’amplitude:

ii) La relation d’angle:

Ce système de deux équations étant équivalent à l’équation originale, un point s se trouve sur le lieu des racines si et seulement s’il répond à ces deux équations.


1

1

11

m

iin

ii

s zKG s G s

Ks p

180 360 où =1,2,3,...G s k k

Conception de contrôleur (XII)Lieux des racines - Remarques

38

Étant donné un point qui appartient au lieu des racines, la relation d’amplitude donne la valeur du gain K qui donne lieu à ce pôle.

On pourrait construire le lieu des racines à partir de ces relations par tâtonnements ; cependant, il existe un ensemble de règles, dites les règles d’Evans, qui simplifient beaucoup la construction manuelle du lieu.

On pourrait aussi construire le lieu des racines en utilisant la commande MATLAB rlocus (tel que démontré précédemment), mais les règles d’Evans permettent d’obtenir une bonne compréhension de la forme du lieu, compréhension qui est essentielle au choix de la structure du contrôleur!


Conception de contrôleur (XIII)Règles d’Evans

39

1) Nombre de branches: Le lieu des racines comprend un nombre de trajectoires qui est égal au nombre de pôles du système en boucle ouverte G(s).

2) Symétrie du lieu: Le lieu des racines est symétrique par rapport à l’axe des réels.

3) Points de départ : Pour K = 0, les n branches commencent dans les pôles du système en boucle ouverte de G(s).

4) Points d’arrivée : Lorsque K→∞, m des n branches se terminent dans les zéros de G(s).


Conception de contrôleur (XIV)Règles d’Evans

40

5) Centre de gravité des asymptotes : Lorsque K→∞, les n − m autres branches tendent vers l’infini, en s’approchant d’asymptotes sous forme de lignes droites avec le point d’intersection:

Ce point d’intersection est dit le centre de gravité des asymptotes. Les angles des asymptotes sont donnés par


1 1

n m

i ii i

p zs

n m

180 où h=1,3,5,...

h

n m

Conception de contrôleur (XV)Règles d’Evans

41

6) Branches du lieu appartenant à l’axe réel : Un point s0 sur l’axe des réels appartient au lieu des racines si et seulement si la somme du nombre de zéros et du nombre de pôles qui se trouvent à la droite de s0 est un nombre impair.


Conception de contrôleur (XVI)Règles d’Evans

42

7. Points de séparation ou points d’entrée : Les points pour lesquels des branches du lieu des racines s’intersectent sont donnés par les zéros de:

Comme G(s) est de la forme :

Alors, cela équivaut à écrire que:


' 0

dG sG s

ds

N sG s

D s

2

' '' 0 ' ' 0

N s N s D s D s N sdG s N s D s D s N s

ds D s D s

Conception de contrôleur (XVII)Règles d’Evans

43

8. Angles de départ ou d’arrivée : À K = 0, les branches quittent les pôles avec un angle qui permet de respecter la relation d’angle. Pour le calculer, il suffit de choisir un point près du pôle et de calculer la contribution des tous les angles sauf celle du pôle près du point. On calculera l’angle de départ afin de respecter la relation d’angle. Ainsi:


Angle de départ d'un pôle = 180

- Angles des vecteurs entre les pôles et le pôle en question

Angles des vecteurs entre les zéros et le pôle en question

L'angle d'arrivée à un zéro 180

Angles des vec

teurs entre les zéros et le zéro en question

Angles des vecteurs entre les pôles et le zéro en question

Conception de contrôleur (XVIII)Règles d’Evans

44

9. Croisement de l’axe des imaginaires : Si cela est pertinent, le gain et le point au croisement de l’axe des imaginaires peuvent être trouvée en utilisant s = jω dans l’équation caractéristique ou en utilisant le critère de Routh (que nous verrons plus tard).


Conception de contrôleur (XIX)Règles d’Evans – Exemple I


Conception de contrôleur (XX)Règles d’Evans – Exemple I


-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Conception de contrôleur (XXI)Règles d’Evans – Exemple II


Conception de contrôleur (XXI)Règles d’Evans – Exemple II


-15 -10 -5 0 5 10 15-15

-10

-5

0

5

10

15Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Conception de contrôleur (XXII)Règles d’Evans – Exemple III

La photo et l’exemple proviennent de [2] et de [5] .

Voici le bras articulé ISAC (Intelligent Soft Arm Control) qui vise à aider les gens à capacité réduite. Le bras utilise une

technologie nommée « rubbertuator » qui, en gros, est un actuateur pneumatique composé de tubes en caoutchouc qui se contractent sous pression et qui s’allongent lorsque la pression est relachée.


49

Conception de contrôleur (XXIII)Règles d’Evans – Exemple III


50

Le diagramme fonctionnel représentant le contrôle de la position de la cuillère est représenté ci-dessous:

Vous êtes en présence d’un système d’ordre 5, vous voulez choisir un gain du contrôleur (K) qui placera les pôles du système selon ce que vous souhaitez. Vous tracez donc le lieux des racines en utilisant les règles d’Evans.

1 6

10 15

K s s

s s s

2

10

2 5s s

RubbertuatorContrôleur Position actuelle de la cuillère

Y(s)R(s)

Position désirée de la cuillère

Conception de contrôleur (XXIV)Règles d’Evans – Exemple III


51

En utilisant Matlab:

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Conception de contrôleur (XXV)Critère de Routh-Hurwitz (1ère partie)


Lors des cours précédents, nous avons insisté sur le fait que pour qu’un système quelconque soit stable, les pôles de la fonction de transfert de ce dernier doit tous êtres à partie réelle négative (i.e.: demi-plan gauche du plan complexe).

Dans certains cas, par exemple pour des fonctions de transfert d’ordre élevé, il peut être difficile de déterminer les pôles de la fonction de transfert d’un système.

Pour les systèmes d’ordre un et deux, les pôles de la fonction de transfert seront à partie réelle négative si tous les coefficients du polynôme caractéristique sont tous du même signe: très simple!

Conception de contrôleur (XXVI)Critère de Routh-Hurwitz (1ère partie)


Pour des système d’ordre trois et plus, il est toujours nécessaire que les coefficients soient positifs, mais cela n’est pas suffisant.

Le critère de Routh permet de vérifier la stabilité d’un polynôme sans en calculer les racines!

En effet, considérons le polynôme caractéristique d’un systèeme quelconque :

1 20 1 2 1...n n n

n nP s a s a s a s a s a

Conception de contrôleur (XXVII)Critère de Routh-Hurwitz (1ère partie)


Conception de contrôleur (XXVIII)Critère de Routh-Hurwitz (1ère partie)


Conception de contrôleur (XXIX)Critère de Routh-Hurwitz (1ère partie)


Conception de contrôleur (XXX)Critère de Routh-Hurwitz (1ère partie)


Conception de contrôleur (XXXI)Critère de Routh-Hurwitz (1ère

partie)Exemple

Reprenons l’exemple du bras articulé ISAC:

En boucle fermée en prenant K=1:


58

1 6

10 15

K s s

s s s

2

10

2 5s s

RubbertuatorContrôleur Position actuelle de la cuillère

Y(s)R(s)

Position désirée de la cuillère

2

2

2

5 4 3 2

1 6 1010 15 2 5 10 1 6

1 6 10 10 15 2 5 10 1 61

10 15 2 5

10 1 6

27 205 435 795 60

s s

Y s s s s s s s s

s sR s s s s s s s ss s s s s

s s

s s s s s

Conception de contrôleur (XXXII)Critère de Routh-Hurwitz (1ère

partie)Exemple

La table de Routh-Hurwitz est donnée ci-dessous:

Conclusion: Avec un gain K=1, le système est stable puisqu’il n’y a aucun changement(s) de signe dans la première colonne de la table de Routh-Hurwitz.


59

Conception de contrôleur (XXXIII)Critère de Routh-Hurwitz (1ère

partie)Exemple

Maintenant, en boucle fermée en prenant K=1500:

La table de Routh-Hurwitz:


60

2

2

2

5 4 3 2

1 6 1010 15 2 5 1 6

1 6 10 10 15 2 5 1 61

10 15 2 5

15000 1 6

27 205 15425 105725 90000

15000

15000

s s

Y s s s s s s s s

s sR s s s s s s s ss s s s s

s s

s s s s s

Conception de contrôleur (XXXIV)Critère de Routh-Hurwitz (1ère

partie)Exemple

La table de Routh-Hurwitz contient deux changements de signes, donc 2 pôles sont situés dans le demi-plan droit du plan complexe et cause l’instabilité du système. En effet, les pôles sont:


61Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

X: 6.216Y: 20.53

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 0.5 1 1.5 2 2.5-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10

6

Références

62

[1]Modern Control Systems – Richard C. Dorf & Robert H. Bishop

[2]Control Systems Engineering – Norman S. Nise

[3]Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle

[4]Linear System Theory – Wilson J. Rugh

[5] Kara, A., Kawamura, K., Bagchi, S., and El-Gamal, M. Reflex Cibtrik if a Robotic Aid System to Assist the Physically Disabled. IEEE Control System, June 1992, pp71-77.


Introduction à lautomatisation -ELE3202- Cours #5: Conception de contrôleur: lieu des racines &...

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