Introduction à la théorie des jeux
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Introduction à la théorie des jeux
David BounieThomas Houy
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Introduction
• Nous avons étudié la firme concurrentielle et le monopole.• Il existe des structures de marché intermédiaires : l’oligopole.• Une forme particulière de l’oligopole est le duopole : deux firmes.
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Choisir une stratégie
• 2 firmes produisent un bien identique.• 4 variables sont à considérer.• Le prix de chaque entreprise.• L’output de chaque entreprise.• Plusieurs cas peuvent être analysés.
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Les jeux séquentiels
• La firme connaît les choix effectués par l’autre entreprise.• La 1ere firme est le leader. • La 2ème firme est le suiveur.• Les interactions stratégiques entre 1 et 2
constituent un jeu séquentiel.• Les variables stratégiques peuvent être les prix ou les output.
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Les jeux simultanés
• La firme ne connaît pas les choix effectués par l’autre entreprise.• La firme doit prévoir les décisions de l’autre lorsqu’elle fixe le prix ou le niveau d’output à produire.• Les interactions stratégiques entre 1 et 2
constituent un jeu simultané.
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Elle permet de modéliser le comportement stratégique des agents qui comprennent que leur comportement dépend de leur action mais également de l’action des autres agents.
Le rôle de la théorie des jeux
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• L’étude des oligopoles • L’étude des cartels• …
• Jeux militaires• Biologie• Ethologie• …
Quelques applications
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• Un jeu se compose de :
– Un ensemble de joueurs.
– Un ensemble de stratégies pour chaque joueur.
– Des gains associés à chaque stratégie des joueurs.
Qu’est ce qu’un jeu ?
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Exemple très simple de jeu entre 2 agents
(sous forme normale)
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Jeu à 2 joueurs avec 2 stratégies possibles
• Les joueurs s’appellent A et B.• Le joueur A a deux stratégies : “up” ou
“down”.• Le joueur B a deux stratégies : “Left” ou
“Right”.• La matrice des gains est représentée comme
suit :
Exemple
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Joueur B
Joueur A
Les gains du joueur A sont (ici, )
L R
U
D
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Théorie des jeux
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Joueur B
Joueur A
Les gains du joueur B sont ( , ici)
L R
U
D
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Théorie des jeux
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Exemple : Si A joue Up et B joue Right alors A gagne 1 et B gagne 8
Joueur B
Joueur A
L R
U
D
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Théorie des jeux
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Joueur B
Joueur A
Une situation de jeu est une paire (ex : (U,R) ) où le premier élément est la stratégie choisie par le joueur A et le deuxième élément est la stratégie choisiepar le joueur B
L R
U
D
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Théorie des jeux
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Quel est le résultat de ce jeu ?
Joueur B
Joueur A
L R
U
D
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Théorie des jeux
![Page 16: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/16.jpg)
Joueur B
Joueur A(U,R) est-ilun résultatpossible ?
L R
U
D
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Théorie des jeux
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Joueur B
Joueur A
Si B joue Right alors la meilleure réponse de A est Down. Ainsi les gains de A passeront de 1 à 2. Donc (U,R) n’est pas possible.
L R
U
D
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
(U,R) est-ilun résultatpossible ?
Théorie des jeux
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Joueur B
Joueur A(D,R) est-ilun résultatpossible ?
L R
U
D
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Théorie des jeux
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Joueur B
Joueur A
Si B joue Right alors la meilleure réponse de A est Down.
L R
U
D
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
(D,R) est-ilun résultatpossible ?
Théorie des jeux
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Joueur B
Joueur A
Si B joue Right alors la meilleure réponse de A est Down.Si A joue Down alors la meilleure réponse de B est Right. Donc, (D,R) est possible.
L R
U
D
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
(D,R) est-ilun résultatpossible ?
Théorie des jeux
![Page 21: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/21.jpg)
Joueur B
Joueur A(D,L) est-ilun résultatpossible ?
L R
U
D
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Théorie des jeux
![Page 22: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/22.jpg)
Joueur B
Joueur A
Si A joue Down, la meilleure réponse de B est R, donc (D,L) n’est pas possible.
L R
U
D
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
(D,L) est-ilun résultatpossible ?
Théorie des jeux
![Page 23: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/23.jpg)
Joueur B
Joueur A(U,L) est-ilun résultatpossible ?
L R
U
D
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Théorie des jeux
![Page 24: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/24.jpg)
Joueur B
Joueur A
Si A joue Up, la meilleure réponse de B est Left.Si B joue Left, la meilleure réponse de A est Up. Donc (U,L) est possible.
L R
U
D
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
(U,L) est-ilun résultatpossible ?
Théorie des jeux
![Page 25: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/25.jpg)
Un jeu en forme normale est décrit comme suit:1. Un ensemble de N joueurs, I ≡ {1,2,…,N}2. Chaque joueur i, i I, a un ensemble d’actions Ai
qui est l’ensemble de toutes les actions possibles pour i. Soit ai Ai, une action particulière de Ai. On appelle ai un résultat du jeu.
3. Chaque joueur a une fonction de payoff, Πi qui assigne un nombre réel Πi(a), à chaque action du joueur i.
Théorie des jeux: notation
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Définition d’unéquilibre du jeu
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• Une situation du jeu où chaque stratégie est la meilleure réponse à l’autre est un équilibre de Nash.
• Dans notre exemple, il y a deux équilibres de Nash : (U,L) et (D,R).
Équilibre de Nash
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Joueur B
Joueur A
(U,L) et (D,R) sont deux “équilibres de Nash” pour ce jeu
L R
U
D
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Théorie des jeux
![Page 29: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/29.jpg)
joueur B
joueur A
(U,L) et (D,R) sont des équilibres de Nash pour ce jeu. Mais, lequel va apparaître ? Nous remarquons que (U,L) est préféré à (D,R) par les deux joueurs. Pour autant est-ce que (U,L) va apparaître ?
L R
U
D
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Théorie des jeux
![Page 30: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/30.jpg)
• Pour savoir si les situations préférés (eu égard au critère de Pareto) sortiront du jeu, traitons l’exemple très connu du dilemme du prisonnier…
Le dilemme du prisonnier
![Page 31: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/31.jpg)
• Deux bandits se font arrêter par la police.• Les policiers n’ont pas assez de preuves
pour les inculper.• Les policiers interrogent les bandits
séparément.• Les bandits peuvent :
– soit garder le silence (S) – soit se confesser (C), i.e. ils avouent.
Le dilemme du prisonnier
![Page 32: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/32.jpg)
Quel est le résultat de ce jeu ?
Clyde
Bonnie(-5,-5) (-30,-1)
(-1,-30) (-10,-10)
S
C
S C
Théorie des jeux
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Si Bonnie joue le Silence alors la meilleure réponse de Clyde est la Confession.
Clyde
Bonnie(-5,-5) (-30,-1)
(-1,-30) (-10,-10)
S
C
S C
Théorie des jeux
![Page 34: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/34.jpg)
Si Bonnie joue le Silence alors la meilleure réponse de Clyde est la Confession.
Clyde
Bonnie(-5,-5) (-30,-1)
(-1,-30) (-10,-10)
S
C
S C
Si Bonnie joue la Confession alors la meilleure réponse de Clyde est la Confession
Théorie des jeux
![Page 35: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/35.jpg)
Donc, quelle que soit la strat. de Bonnie,Clyde doit toujours se Confesser.Se Confesser est la stratégie dominantepour Clyde.
Clyde
Bonnie(-5,-5) (-30,-1)
(-1,-30) (-10,-10)
S
C
S C
Théorie des jeux
![Page 36: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/36.jpg)
• Déf.: on appelle une stratégie dominante une stratégie dont le payoff est supérieur à toute autre action et ce que quelle que soit la stratégie des autres joueurs.
• Formellement:• • On enlève l’action a de i de Ai; on note les actions des
autres • Jouer maximise le profit de i ; donc :• , , ,i i i i i i
i ia a a a pour tout a A
La stratégie dominante
i ia A
ia
ia
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Donc, le seul équilibre de Nash pour ce jeu est (C,C), même si (S,S) donne à Bonnie et Clyde de meilleurs gains. L’équilibre de Nash est inefficace…
Clyde
Bonnie(-5,-5) (-30,-1)
(-1,-30) (-10,-10)
S
C
S C
Théorie des jeux
![Page 38: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/38.jpg)
Quel est le résultat de ce jeu ?
B
A(6,6) (1,10)
(10,1) (-20,-20)
Coopère
Trahit
Coopère Trahit
Le jeu de la poule mouillée
![Page 39: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/39.jpg)
Jeu séquentiel(sous forme extensive)
![Page 40: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/40.jpg)
• Dans nos deux exemples, les joueurs jouaient simultanément.
• Il existe des jeux où les joueurs jouent l’un après l’autre : jeux séquentiels.
• Le joueur qui joue en premier est le leader, celui qui joue en deuxième est le follower.
Jeux séquentiels
![Page 41: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/41.jpg)
• Parfois, un jeu a plusieurs équilibres de Nash et il est difficile de savoir lequel va sortir du jeu…
• En revanche, quand un jeu est séquentiel, il est possible de dire quel équilibre de Nash va sortir du jeu.
Exemple
![Page 42: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/42.jpg)
joueur B
joueur A
(U,L) et (D,R) sont deux équilibres de Nash quand le jeu est simultané. Et, il est impossible de savoir quel équilibre va arriver.
L R
U
D
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Théorie des jeux
![Page 43: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/43.jpg)
joueur B
joueur A
Supposons maintenant que le jeu est séquentiel : A est le leader et B le follower.Nous pouvons réécrire ce jeu sous sa formeextensive…
L R
U
D
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Théorie des jeux
![Page 44: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/44.jpg)
U D
L LR R
(3,9) (1,8) (0,0) (2,1)
A
B BA jour en premierB jour en second
Théorie des jeux
![Page 45: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/45.jpg)
U D
L LR R
(3,9) (1,8) (0,0) (2,1)
A
B B
(U,L) est un équilibre de Nash(D,R) est un équilibre de NashQuel est celui qui va sortir du jeu?
Théorie des jeux
![Page 46: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/46.jpg)
U D
L LR R
(3,9) (1,8) (0,0) (2,1)
A
B B
Si A joue U alors B joue L; A gagne 3.Si A joue D alors B joue R; A gagne 2.Donc (U,L) est l’équilibre de Nash qui sortira
Théorie des jeux
![Page 47: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/47.jpg)
Fonctions de meilleures réponses
![Page 48: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/48.jpg)
• Soit un jeu 2×2; i.e., un jeu avec deux joueurs A et B, qui ont chacun deux actions possibles
• A peut choisir entre deux actions : aA1 et aA
2
• B peut choisir entre deux actions aB1 et aB
2
• Il y a 4 paires d’actions possibles :
(aA1, aB
1), (aA1, aB
2), (aA2, aB
1), (aA2, aB
2)
• Chaque paire d’actions donnera des gains différents aux joueurs
Fonctions de meilleures réponses
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• Supposons que les gains des joueurs A et B quand ils choisissent respectivement les actions aA
1 et aB1 sont :
UA(aA
1, aB1) = 6 et UB(aA
1, aB1) = 4
• De manière similaire, supposons que :
UA(aA1, aB
2) = 3 et UB(aA1, aB
2) = 5
UA(aA2, aB
1) = 4 et UB(aA2, aB
1) = 3
UA(aA2, aB
2) = 5 et UB(aA2, aB
2) = 7
Fonctions de meilleures réponses
![Page 50: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/50.jpg)
• UA(aA1, aB
1) = 6 et UB(aA1, aB
1) = 4
UA(aA1, aB
2) = 3 et UB(aA1, aB
2) = 5
UA(aA2, aB
1) = 4 et UB(aA2, aB
1) = 3
UA(aA2, aB
2) = 5 et UB(aA2, aB
2) = 7
Fonctions de meilleures réponses
![Page 51: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/51.jpg)
• UA(aA1, aB
1) = 6 et UB(aA1, aB
1) = 4
UA(aA1, aB
2) = 3 et UB(aA1, aB
2) = 5
UA(aA2, aB
1) = 4 et UB(aA2, aB
1) = 3
UA(aA2, aB
2) = 5 et UB(aA2, aB
2) = 7
• Si B choisit l’action aB1, quelle est la meilleure
réponse de A ?
Fonctions de meilleures réponses
![Page 52: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/52.jpg)
• UA(aA1, aB
1) = 6 et UB(aA1, aB
1) = 4
UA(aA1, aB
2) = 3 et UB(aA1, aB
2) = 5
UA(aA2, aB
1) = 4 et UB(aA2, aB
1) = 3
UA(aA2, aB
2) = 5 et UB(aA2, aB
2) = 7
• Si B choisit l’action aB1, la meilleure
réponse de A est aA1 (car 6 > 4)
Fonctions de meilleures réponses
![Page 53: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/53.jpg)
• UA(aA1, aB
1) = 6 et UB(aA1, aB
1) = 4
UA(aA1, aB
2) = 3 et UB(aA1, aB
2) = 5
UA(aA2, aB
1) = 4 et UB(aA2, aB
1) = 3
UA(aA2, aB
2) = 5 et UB(aA2, aB
2) = 7
• Si B choisit l’action aB1, la meilleure
réponse de A est aA1 (car 6 > 4)
• Si B choisit l’action aB2, quelle est la
meilleure réponse de A ?
Fonctions de meilleures réponses
![Page 54: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/54.jpg)
• UA(aA1, aB
1) = 6 et UB(aA1, aB
1) = 4
UA(aA1, aB
2) = 3 et UB(aA1, aB
2) = 5
UA(aA2, aB
1) = 4 et UB(aA2, aB
1) = 3
UA(aA2, aB
2) = 5 et UB(aA2, aB
2) = 7
• Si B choisit l’action aB1, la meilleure
réponse de A est aA1 (car 6 > 4)
• Si B choisit l’action aB2, la meilleure
réponse de A est aA2 (car 5 > 3)
Fonctions de meilleures réponses
![Page 55: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/55.jpg)
• Si B choisit aB1 alors A choisit aA
1
• Si B choisit aB2 alors A choisit aA
2
• La “courbe” de meilleure réponse de A est donc :
Meilleures
réponses de A aA
1
aA2
aB2aB
1 Actions de B
+
+
Fonctions de meilleures réponses
![Page 56: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/56.jpg)
• UA(aA1, aB
1) = 6 et UB(aA1, aB
1) = 4
UA(aA1, aB
2) = 3 et UB(aA1, aB
2) = 5
UA(aA2, aB
1) = 4 et UB(aA2, aB
1) = 3
UA(aA2, aB
2) = 5 et UB(aA2, aB
2) = 7
Fonctions de meilleures réponses
![Page 57: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/57.jpg)
• UA(aA1, aB
1) = 6 et UB(aA1, aB
1) = 4UA(aA
1, aB2) = 3 et UB(aA
1, aB2) = 5
UA(aA2, aB
1) = 4 et UB(aA2, aB
1) = 3
UA(aA2, aB
2) = 5 et UB(aA2, aB
2) = 7
• Si A choisit l’action aA1, quelle est la
meilleure réponse de B ?
Fonctions de meilleures réponses
![Page 58: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/58.jpg)
• UA(aA1, aB
1) = 6 et UB(aA1, aB
1) = 4UA(aA
1, aB2) = 3 et UB(aA
1, aB2) = 5
UA(aA2, aB
1) = 4 et UB(aA2, aB
1) = 3
UA(aA2, aB
2) = 5 et UB(aA2, aB
2) = 7
• Si A choisit l’action aA1, la meilleure
réponse de B est aB2 (car 5 > 4)
Fonctions de meilleures réponses
![Page 59: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/59.jpg)
• UA(aA1, aB
1) = 6 et UB(aA1, aB
1) = 4
UA(aA1, aB
2) = 3 et UB(aA1, aB
2) = 5
UA(aA2, aB
1) = 4 et UB(aA2, aB
1) = 3UA(aA
2, aB2) = 5 et UB(aA
2, aB2) = 7
• Si A choisit l’action aA1, la meilleure
réponse de B est aB2 (car 5 > 4)
• Si A choisit l’action aA2, quelle est la
meilleure réponse de B ?
Fonctions de meilleures réponses
![Page 60: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/60.jpg)
• UA(aA1, aB
1) = 6 et UB(aA1, aB
1) = 4
UA(aA1, aB
2) = 3 et UB(aA1, aB
2) = 5
UA(aA2, aB
1) = 4 et UB(aA2, aB
1) = 3UA(aA
2, aB2) = 5 et UB(aA
2, aB2) = 7
• Si A choisit l’action aA1, la meilleure
réponse de B est aB2 (car 5 > 4)
• Si A choisit l’action aA2, la meilleure
réponse de B est aB2 (car 7 > 3)
Fonctions de meilleures réponses
![Page 61: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/61.jpg)
• Si A choisit aA1 alors B choisit aB
2
• Si A choisit aA2 alors B choisit aB
2
• La courbe de meilleure réponse de B est donc :
Actions de A aA
1
aA2
aB2aB
1Meilleures réponses de B
Fonctions de meilleures réponses
![Page 62: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/62.jpg)
aA1
aA2
aB2aB
1
Notons que aB2 est une
action strictementdominante pour B
Fonctions de meilleures réponses
• Si A choisit aA1 alors B choisit aB
2
• Si A choisit aA2 alors B choisit aB
2
• La courbe de meilleure réponse de B est donc :
Actions de A
Meilleures réponses de B
![Page 63: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/63.jpg)
Réponse de A
aA1
aA2
aB2aB
1
aA1
aA2
aB2aB
1
+
+
Choix de A
Choix de B Réponse de B
Comment peut-on utiliser les courbes de meilleuresréponses pour localiser les équilibres de Nash du jeu ?
B A
Meilleures réponses & Équilibre de Nash
![Page 64: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/64.jpg)
aA1
aA2
aB2aB
1
aA1
aA2
aB2aB
1
+
+
B A
Meilleures réponses & Équilibre de Nash
Réponse de A
Choix de A
Choix de B Réponse de B
Comment peut-on utiliser les courbes de meilleuresréponses pour localiser les équilibres de Nash du jeu ?=> Superposez les courbes…
![Page 65: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/65.jpg)
Réponse de A
aA1
aA2
aB2aB
1
+
+
Réponse de B
Existe-t-il un équilibre de Nash ?
Meilleures réponses & Équilibre de Nash
Comment peut-on utiliser les courbes de meilleuresréponses pour localiser les équilibres de Nash du jeu ?=> Superposez les courbes…
![Page 66: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/66.jpg)
aA1
aA2
aB2aB
1
+
+ Oui, (aA2, aB
2). Pourquoi ?
Meilleures réponses & Équilibre de Nash
Réponse de A
Réponse de B
Existe-t-il un équilibre de Nash ?
Comment peut-on utiliser les courbes de meilleuresréponses pour localiser les équilibres de Nash du jeu ?=> Superposez les courbes…
![Page 67: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/67.jpg)
aA1
aA2
aB2aB
1
+
+
Meilleures réponses & Équilibre de Nash
Oui, (aA2, aB
2). Pourquoi ?aA
2 est une meilleure réponse à aB2
aB2 est une meilleure réponse à aA
2
Réponse de A
Réponse de B
Existe-t-il un équilibre de Nash ?
Comment peut-on utiliser les courbes de meilleuresréponses pour localiser les équilibres de Nash du jeu ?=> Superposez les courbes…
![Page 68: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/68.jpg)
6,4 3,5
5,74,3
aA1
aA2
aB1 aB
2
Joueur B
Joueur A
aA2 est la seule meilleure réponse à aB
2 aB
2 est la seule meilleure réponse à aA2
Voici la forme stratégique du jeu
Meilleures réponses & Équilibre de Nash
![Page 69: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/69.jpg)
6,4 3,5
5,74,3
aA1
aA2
aB1 aB
2
Joueur B
Joueur A
aA2 est la seule meilleure réponse à aB
2 aB
2 est la seule meilleure réponse à aA2
Existe-t-il un 2eme Equilibre de Nash ?
Meilleures réponses & Équilibre de Nash
![Page 70: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/70.jpg)
6,4 3,5
5,74,3
aA1
aA2
aB1 aB
2
Joueur B
Joueur A
Existe-t-il un 2eme
équilibre de Nash ? Non, car aB
2 est uneaction strictement dominante pour B
aA2 est la seule meilleure réponse à aB
2 aB
2 est la seule meilleure réponse à aA2
Meilleures réponses & Équilibre de Nash
![Page 71: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/71.jpg)
Une applicationLa fixation simultanée des
quantités
Le modèle de Cournot
![Page 72: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/72.jpg)
• Les firmes se concurrencent en choisissant leurs niveaux d’output simultanément.
• Le mathématicien français Cournot a étudié le premier ce type d’interaction (1838).
• Si la firme 1 produit y1 unités et la firme 2 produit y2 unités alors la quantité totale offerte sur le marché est y1 + y2.
• Le prix de marché sera alors p(y1+ y2).• Les fonctions de coût sont c1(y1) et c2(y2).
Concurrence en quantité
![Page 73: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/73.jpg)
• Supposons que la firme 1 prenne le niveau d’output y2 produit par la firme 2 comme donné.
• La fonction de profit de la firme 1 est alors :
• Etant donné y2, quel niveau d’output y1 maximise le profit de la firme 1 ?
1 1 2 1 2 1 1 1( ; ) ( ) ( ).y y p y y y c y
Concurrence en quantité
![Page 74: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/74.jpg)
• Supposons que la fonction de demande inverse du marché est :
et que les fonctions de coût des firmes sont :
p y yT T( ) 60
c y y1 1 12( ) c y y y2 2 2 2
215( ) . et
Un exemple
![Page 75: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/75.jpg)
( ; ) ( ) .y y y y y y1 2 1 2 1 1260
Etant donné y2, la fonction de profit de 1 est
Un exemple
![Page 76: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/76.jpg)
( ; ) ( ) .y y y y y y1 2 1 2 1 1260
Etant donné y2, la fonction de profit de 1 est
Etant donné y2, le niveau d’output quimaximise le profit de la firme 1 est
y
y y y1
1 2 160 2 2 0 .
Un exemple
![Page 77: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/77.jpg)
( ; ) ( ) .y y y y y y1 2 1 2 1 1260
Etant donné y2, la fonction de profit de 1 est
Etant donné y2, le niveau d’output quimaximise le profit de la firme 1 est
y
y y y1
1 2 160 2 2 0 .
i.e. la meilleure réponse de 1 à y2 esty R y y1 1 2 215 1
4 ( ) .
Un exemple
![Page 78: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/78.jpg)
y2
y1
60
15
“Courbe de réaction” de la firme 1
y R y y1 1 2 215 14
( ) .
Un exemple
![Page 79: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/79.jpg)
( ; ) ( ) .y y y y y y y2 1 1 2 2 2 2260 15
Idem, étant donné y1, la f.d. profit de 2 est
Un exemple
![Page 80: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/80.jpg)
( ; ) ( ) .y y y y y y y2 1 1 2 2 2 2260 15
Idem, étant donné y1, la f.d. profit de 2 est
Etant donné y1, le niveau d’output quimaximise le profit de la firme 2 est
y
y y y2
1 2 260 2 15 2 0 .
Un exemple
![Page 81: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/81.jpg)
( ; ) ( ) .y y y y y y y2 1 1 2 2 2 2260 15
Idem, étant donné y1, la f.d. profit de 2 est
Etant donné y1, le niveau d’output quimaximise le profit de la firme 2 est
y
y y y2
1 2 260 2 15 2 0 .
i.e. la meilleure réponse de 2 à y1 esty R y y2 2 1
1454
( ) .
Un exemple
![Page 82: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/82.jpg)
y2
y1
“Courbe de réaction” de la firme 2y R y y2 2 1
1454
( ) .
45/4
45
Un exemple
![Page 83: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/83.jpg)
• Un équilibre émerge lorsque le niveau d’output produit par chaque firme est tel qu’aucune des firmes n’a intérêt à dévier.
• Une paire de niveaux d’output (y1*,y2*) est une équilibre dit de Cournot-Nash si
y R y2 2 1* *( ).y R y1 1 2
* *( ) et
Un exemple
![Page 84: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/84.jpg)
y R y y1 1 2 215 14
* * *( ) y R y y2 2 1
1454
* **
( ) . et
Un exemple
![Page 85: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/85.jpg)
y R y y1 1 2 215 14
* * *( ) y R y y2 2 1
1454
* **
( ) . et
Nous substituons y2*
y y1
115 14454
**
Un exemple
![Page 86: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/86.jpg)
y R y y1 1 2 215 14
* * *( ) y R y y2 2 1
1454
* **
( ) . et
Nous substituons y2*
y y y11
115 14454
13**
*
Un exemple
![Page 87: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/87.jpg)
y R y y1 1 2 215 14
* * *( ) y R y y2 2 1
1454
* **
( ) . et
Nous substituons y2*
y y y11
115 14454
13**
*
D’où y245 134
8* .
Un exemple
![Page 88: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/88.jpg)
y R y y1 1 2 215 14
* * *( ) y R y y2 2 1
1454
* **
( ) . et
Nous substituons y2*
y y y11
115 14454
13**
*
D’où y245 134
8* .
L’équilibre de Cournot-Nash est( , ) ( , ).* *y y1 2 13 8
Un exemple
![Page 89: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/89.jpg)
y2
y1
La “courbe de réaction” de la firme 2 60
15
La “courbe de réaction” de la firme 1y R y y1 1 2 215 1
4 ( ) .
y R y y2 2 1
1454
( ) .
45/4
45
Un exemple
![Page 90: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/90.jpg)
y2
y1
La “courbe de réaction” de la firme 2
45
60
La “courbe de réaction” de la firme 1y R y y1 1 2 215 1
4 ( ) .
8
13
Equilibre de Cournot-Nash
y y1 2 13 8* *, , .
y R y y2 2 1
1454
( ) .
Un exemple
![Page 91: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/91.jpg)
1 1 2 1 2 1 1 1( ; ) ( ) ( )y y p y y y c y
11
1 2 11 21
1 1 0y
p y y y p y yy
c y ( ) ( ) ( ) .
Globalement, étant donné le niveau d’output y2 choisi par la firme 2, la f.d. profit de 1 est
et la valeur de y1 qui max le profit est
La solution, y1 = R1(y2), est la réaction de Cournot-Nash de la firme 1 à y2.
Concurrence en quantité
![Page 92: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/92.jpg)
2 2 1 1 2 2 2 2( ; ) ( ) ( )y y p y y y c y
22
1 2 21 22
2 2 0y
p y y y p y yy
c y ( ) ( ) ( ) .
De même, étant donné le niveau d’output y1 de la firme 1, la fonction de profit de 2 est :
Et la valeur de y2 qui max le profit est
La solution, y2 = R2(y1), est la réaction de Cournot-Nash de la firme 2 à y1.
Concurrence en quantité
![Page 93: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/93.jpg)
y2
y1
“Courbe de réaction” de 2“Courbe de réaction” de 1 y R y1 1 2 ( ).
Equilibre de Cournot-Nashy1* = R1(y2*) et y2* = R2(y1*)y2*
y R y2 2 1 ( ).
y1*
Concurrence en quantité
![Page 94: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/94.jpg)
Jeu en Stratégies Mixtes
![Page 95: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/95.jpg)
joueur B
joueur A
Reprenons notre exemple initial. Nous avonsvu que (U,L) and (D,R) sont deux équilibres de Nash.
L R
U
D
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Stratégies pures
![Page 96: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/96.jpg)
joueur B
joueur A
Le joueur A a le choix entre U ou D, mais pasune combinaison des deux. On parle dans ce cas de stratégies pures…
L R
U
D
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Stratégies pures
![Page 97: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/97.jpg)
joueur B
joueur A
De même, L and R sont les stratégies pures de B.
L R
U
D
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Stratégies pures
![Page 98: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/98.jpg)
joueur B
joueur A
Par conséquent, (U,L) et (D,R) sont les équilibres de Nash en stratégies pures.
L R
U
D
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Stratégies pures
![Page 99: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/99.jpg)
joueur B
joueur A
Considérons un nouveau jeu... Existe-t-il un équilibre de Nash en stratégie pure ?
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U
D
L R
Stratégies pures
![Page 100: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/100.jpg)
joueur B
joueur A
(U,L) est-il un équilibre de Nash ? Non !
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U
D
L R
Stratégies pures
![Page 101: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/101.jpg)
joueur B
Joueur A
(U,L) est-il un équilibre de Nash ? Non !(U,R) est-il un équilibre de Nash ? Non !
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U
D
L R
Stratégies pures
![Page 102: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/102.jpg)
joueur B
joueur A
(U,L) est-il un équilibre de Nash ? Non !(U,R) est-il un équilibre de Nash ? Non ! (D,L) est-il un équilibre de Nash ? Non !
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U
D
L R
Stratégies pures
![Page 103: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/103.jpg)
joueur B
joueur A
(U,L) est-il un équilibre de Nash ? Non !(U,R) est-il un équilibre de Nash ? Non !(D,L) est-il un équilibre de Nash ? Non !(D,R) est-il un équilibre de Nash ? Non !
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U
D
L R
Stratégies pures
![Page 104: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/104.jpg)
joueur B
Joueur A
Donc le jeu n’a pas d’équilibre de Nash. En revanche, ce jeu peut avoir des équilibres de Nash en stratégies mixtes.
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U
D
L R
Stratégies pures
![Page 105: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/105.jpg)
• Au lieu de choisir de manière exclusive entre Up ou Down, le joueur A peut attribuer à chaque stratégie des probabilités (U,1-U)… c’est à dire que le joueur A jouera Up avec la prob. U et Down avec la prob. 1-U.
• Le joueur A fait un mix de stratégies pures.• La distribution de probabilité (U,1-U) est la
stratégie mixte du joueur A.
Stratégies mixtes
![Page 106: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/106.jpg)
• De même, le joueur B peut choisir une distribution de probabilité : (L,1-L)… c’est à dire que le joueur B jouera Left avec la prob. L et Right avec la prob. 1-L.
Stratégies mixtes
![Page 107: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/107.jpg)
joueur A(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U,U
D,1-U
L,L R,1-L
joueur B
Stratégies mixtes
![Page 108: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/108.jpg)
joueur A
Si B joue Left son espérance de gain sera :2 5 1 U U ( )
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U,U
D,1-U
L,L R,1-L
joueur B
Stratégies mixtes
![Page 109: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/109.jpg)
joueur A
Si B joue Left son espérance de gains sera :
Si B joue Right son espérance de gains sera: 2 5 1 U U ( ).
4 2 1 U U ( ).
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U,U
D,1-U
L,L R,1-L
joueur B
Stratégies mixtes
![Page 110: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/110.jpg)
Joueur A
2 5 1 4 2 1 U U U U ( ) ( )Si alorsB jouera seulement Left. Mais il n’y a pas d’équilibre de Nash dans lequel B joue toujours Left.
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U,U
D,1-U
L,L R,1-L
joueur B
Stratégies mixtes
![Page 111: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/111.jpg)
joueur A
2 5 1 4 2 1 U U U U ( ) ( )Si alorsB jouera seulement Right. Mais, il n’existe pas d’équilibre de Nash où B jouera toujoursRight.
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U,U
D,1-U
L,L R,1-L
joueur B
Stratégies mixtes
![Page 112: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/112.jpg)
Joueur A
Donc, pour qu’il existe un équilibre de Nash, B doit être indifférent entre jouer Leftou Right; i.e. :
2 5 1 4 2 13 5
U U U U
U
( ) ( )
/ .
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U,
D,
L,L R,1-L
53
52
Joueur B
Stratégies mixtes
![Page 113: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/113.jpg)
joueur A
Si A joue Up son espérance de gains sera :.)1(01 LLL
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
L,L R,1-L
U,
D,53
52
joueur B
Stratégies mixtes
![Page 114: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/114.jpg)
joueur A
Si A joue Up son espérance de gain sera :
).1(3)1(30 LLL
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
L,L R,1-L
U,
D,53
52
.)1(01 LLL
joueur B
Si A joue Down, son espérance de gain sera :
Stratégies mixtes
![Page 115: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/115.jpg)
Joueur A
L L 3 1( )si Alors A jouera toujours Up.Mais il n’existe pas d’équilibre de Nash ou AJouera toujours Up.
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
L,L R,1-L
U,
D,53
52
joueur B
Stratégies mixtes
![Page 116: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/116.jpg)
joueur A
IfDown. Mais il n’existe pas d’équilibre de Nash ou A jouera toujours Down.
L L 3 1( ) Alors A jouera toujours
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
L,L R,1-L
U,
D,53
52
joueur B
Stratégies mixtes
![Page 117: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/117.jpg)
joueur A
Donc, pour qu’il existe un équilibre de NashA doit être indifférent entre jouer Up ou Down : L L 3 1( )
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
L,L R,1-L
U,
D,53
52
joueur B
Stratégies mixtes
![Page 118: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/118.jpg)
joueur A
Donc, pour qu’il existe un équilibre de Nash, A doit être indifférent entre Up et Down :i.e. L L L 3 1 3 4( ) / .
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
L,L R,1-L
U,
D,53
52
joueur B
Stratégies mixtes
![Page 119: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/119.jpg)
joueur A
Donc, pour qu’il existe un équilibre de Nash, A doit être indifférent entre Up et Down :i.e. L L L 3 1 3 4( ) / .
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
L, R,
U,
D,53
52
43
41
Joueur B
Stratégies mixtes
![Page 120: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/120.jpg)
joueur B
joueur A
Donc, le seul équilibre de Nash du jeu existe si A a une stratégie mixte (3/5, 2/5) et B a une stratégie mixte (3/4, 1/4).
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U,
D,53
52
L, R,43
41
Stratégies mixtes
![Page 121: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/121.jpg)
joueur B
joueur A
Les gains seront (1,2) avec la proba : 35
34
920
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U,
D,
L, R,43
41
53
52
9/20
Stratégies mixtes
![Page 122: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/122.jpg)
joueur B
Joueur A
Les gains seront (0,4) avec la proba :3514
320
(0,4)
(0,5) (3,2)
U,
D,
L, R,43
41
53
52
(1,2)9/20 3/20
Stratégies mixtes
![Page 123: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/123.jpg)
joueur B
joueur A
Les gains seront (0,5) avec proba :25
34
620
(0,4)
(0,5)U,
D,
L, R,43
41
53
52
(1,2)9/20 3/20
6/20 (3,2)
Stratégies mixtes
![Page 124: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/124.jpg)
joueur B
joueur A
Les gains seront (3,2) avec la proba :2514
220
(0,4)U,
D,
L, R,43
41
53
52
(1,2)9/20 3/20(0,5) (3,2)6/20 2/20
Stratégies mixtes
![Page 125: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/125.jpg)
joueur B
joueur A
Les gains espérés de A pour l’équilibre de Nash sont :
1 920
0 320
0 620
3 220
34
.
(0,4)U,
D,
L, R,43
41
53
52
(1,2)9/20 3/20(0,5) (3,2)6/20 2/20
Stratégies mixtes
![Page 126: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/126.jpg)
joueur B
joueur A
2 920
4 320
5 620
2 220
165
.
(0,4)U,
D,
L, R,43
41
53
52
(1,2)9/20 3/20(0,5) (3,2)6/20 2/20
Les gains espérés de B pour l’équilibre de Nash sont :
Stratégies mixtes
![Page 127: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/127.jpg)
• Un jeu avec un nombre fini de joueurs ayant chacun un nombre fini de stratégies a au moins un équilibre de Nash (en stratégie pure ou mixte)
Combien existe-t-il d’équilibres de Nash ?
![Page 128: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/128.jpg)
La rationalité en question
![Page 129: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/129.jpg)
• Deux individus doivent se partager un gain (x).
• Le 1er fait une offre de partage au 2ème. • Le 1er (1-x) ; le 2ème (x).• Le 2ème accepte ou refuse. • Si le 2ème refuse, personne ne gagne.
Le jeu de l’ultimatum
![Page 130: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/130.jpg)
• Chaque étudiant doit se munir d’un bout de papier et doit écrire un nombre entre [0 et 100].
• Le vainqueur du jeu: l’étudiant ayant écrit le nombre le plus proche de la moitié de la moyenne de tous les nombres choisis.
• Le vainqueur du jeu gagne une tablette de chocolat.
• En cas d’égalité, partage des gains.• Le jeu est répété plusieurs fois.
Le jeu du concours de beauté
![Page 131: Introduction à la théorie des jeux](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/568164aa550346895dd6abd6/html5/thumbnails/131.jpg)
• Un seul équilibre de Nash.• Méthode de la dominance itérée.• Les capacités cognitives sont limitées.• Le résultat théorique est très peu observé…• A part pour des étudiants doués en
mathématiques…
Le jeu du concours de beauté