Introduction 1.Cinématique: études de trajectoires 2.Dynamique Les lois de Newton Des forces aux...
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Introduction
1. Cinématique: études de trajectoires
2. Dynamique
Les lois de Newton
Des forces aux trajectoires
3. Cinématique : bases locales et
systèmes de coordonnées
4. Dynamique : Lois de conservation
Travail, forces conservatives, énergie
Application : l’oscillateur harmonique
Mécanique du point
Chapitre 2 : Les lois de Newton – Forces et trajectoires
const.)(0 0vtvF
2.1.1 Principe d’inertie (1ère loi de Newton)
En l’absence de forces extérieures, un point matériel est animé d’un mouvement rectiligne uniforme
Si le point est immobile à t = 0, il le restera.
0)(
dt
tvd
Si la vitesse est constante, l’accélération est nulle :
Isaac Newton (1642 - 1727)
Conséquence du Principe d’inertie
En l’absence de forces extérieures, l’accélération d’un point matériel est nulle
)()( tmtF
2.1.2 Principe fondamental de la dynamique (2ème loi de Newton)
Si un point matériel est soumis à une force extérieure, son mouvement est accéléré de sorte que
L’unité dans le système international : 1 Newton = 1 kg m s-2
m1 m2
m3
m4m
...21 FFF
Les forces exercées par les masses mi sur m sont additives
La résultante est la somme vectorielle.
Ceci s’applique à toutes les forces, quelle que soit leur nature(élastique, électromagnétique, de gravitation, …)
F
m=
Analyse dimensionnelle [F]=MLT-2
(C’est la 1ère loi de Newton, ou principe d’inertie.)
L’origine de cette loi est l’invariance par translation dans l’espace.
Le PFD en fonction de la quantité de mouvement
Fvdt
dmvm
dt
dp
dt
d
2.1.2. Conservation de la quantité de mouvement
const0)( 0pprF
En l’absence de forces, la quantité de mouvement est conservée
vmp
ex
a
P
f
p
ey
VO
ze
zemgm
gmm pi
02
21)( zgttz
Exemple : Trajectoire dans un champ de pesanteur
Un point matériel m est soumis à la force où 9,81 ms-2
axaV
xgxz
aV
xtatVtx
tancos
)(
coscos)(
2
021
00
gttz )(gtz )( )0( tVz0)( tx )0()( tVtx x
tp =2
tf =
• Nous pouvons écrire l’équation de la trajectoire
en éliminant le temps dans les équations horaires.
On obtient alors l’équation d’une parabole
aV sin0
aVtx cos)( 0
portée=
flèche
atVtx
atVgttz
cos)(
sin)(
0
02
21
Analyse dimensionnelle
• La flèche correspond au sommet de la trajectoire quand
la vitesse ascensionnelle est nulle ( (t)=0):on en déduit
• La portée correspond à z²(tp)=0 : on en déduit
• On remarque que tp=2tf ( la trajectoire est symétrique par rapport au sommet) et que la portée est maximale pour une vitesse initiale donnée lorsque a=45°.
Constante universelle de gravitation G = 6.67 x 10-11 N m2 kg-2
2.5.2 Loi de l’attraction universelle (Newton 1667)
rer
mGmrF
2
21)(
Tout point matériel m1 exerce sur tout autre point m2 la force d’attraction
2.5.3 Champ de gravitation terrestre
L’attraction d’un corps de masse m par la masse centrale M peut s’écrire
où on a défini le champ de gravitation
)(2
rgmer
GmMF r
rr ehR
GMe
r
GMrg
22 )(
)(
R
(comme si toute la masse M était concentrée à l’origine : théorème de Gauss)
22
m/s81,9R
GMg
La valeur au niveau du sol du champ de gravitation terrestre est (h=0, R rayon de la terre=6371 km, M=6. kg)
le poids devient alors =m.
2.1.3 Principe de l’action et de la réaction (3ème loi de Newton)
Si un point matériel m1 exerce sur le point m2 la force ,
alors réciproquement, m2 exerce sur m1 la force inverse
telle que
)( 21 rF
)( 12 rF
)()( 2112 rFrF
Constante universelle de gravitation G = 6.67 x 10-11 N m2 kg-2
Loi de l’attraction universelle (Newton 1667)
rer
mGmrF
2
21)(
m1 m2
)( 21 rF
)( 12 rF
rerr
Tout point matériel m1 exerce sur tout autre point m2 la force d’attraction
Soit R’ animé d’une vitesse constante V par rapport à R.
Un point M immobile dans R’ se déplace dans R selon
tVMOOM
'
R=R’M t=0
tV
R
R’
OM
t>0
La vitesse du point M est différente dans R et R’,
RRVvv /''
étant constant, l’accélération est la même,
'
V
Et les lois de la Physique seront les mêmes : R et R’ sont des référentiels galiléens (lois de Newton)
2.2 Invariance Galiléenne
L’étude d’un mouvement nécessite un point de repère ou « référentiel » R.
Selon le référentiel choisi, le même mouvement peut prendre une forme différente
+𝑂𝑂 ′
2.5 Forces usuelles en Mécanique- Forces Fondamentales
Eqer
qqrF r
22
0
2121 4
)(
Force de Coulomb : une charge q1 exerce sur tout autre charge q2 la force (attractive ou répulsive)
Force de LorentzR
Autres forces agissant à distance
)( BvEqF
Réaction du support
zemgP
Un corps de masse m exerce sur le support le poids
2.5.4. Forces de réaction
Le support oppose une force de réaction de signe opposé
PR
Donc la somme des forces agissant sur le corps s’annule, et il n’y a pas d’accélération.
0 PRm
R
P
zemg
Mouvement contraint
sinmgtP
patin glissant sur une pente.
Le support oppose une force de réaction
nmgR
cosLa composante parallèle accélère le patin :
φR
n
t
tmgPRm sin
mComposante du poids perpendiculaire à la surface
P
On intègre la composante tangentielle
sin2
1)(sin)(sin 2gttygttygy
y
Composante parallèle
cosmgnP
nmgRtmgPRm
)cos(sin
tg
sin
Mouvement dans un gaz ou un liquide
2.5.5 Forces de frottement fluide
vF
Chocs avec les molécules de l’air
v
Les chocs étant plus violents en direction du mouvement,l’air freine en permanence le mouvement et exerce une force sur la particule
En régime stationnaire l’accélération est nulle
PFm
Le corps atteint alors sa vitesse limiteze
mgv
Chute libre
0 zemgvPF
Cas Dynamique
zemgP
Un corps de masse m exerce sur le support le poids
Le support oppose une force de réaction de signe opposé
PN
Si l’on tire le corps avec une force ,le frottement va s’opposer au mouvement … N
P
CN
T Coefficient de frottement cinétique tan α=μc
F
T
R
αet
2.5.6 Forces de frottement solide
Cas statique
sinmgtP
Les frottement sur le support peuvent opposer une force de réaction qui compense le poids …
cos. mgnRN
φN
n
t
T
Composante du poids perpendiculaire à la surface
P
…tant que
x
Composante parallèle
cosmgnP
2.5.6 Forces de frottement solide
sN
T
PR
sinmgtRT
Coefficient de frottement statique
Si tan φ>μs Mise en mouvement
Réaction du support
zemgP
Un corps de masse m exerce sur le support le poids
Le support oppose une force de réaction de signe opposé
PN
Si l’on tire le corps avec une force ,le frottement va s’opposer à la mise en mouvement …
0 RPF
N
P
…tant que sN
T Coefficient de frottement statique
Si >μs N= μsmg Mise en mouvement
F
T
R
𝑇=−𝐹 et
• Loi de Hooke
force de rappel due à un ressort
) où est la position d’équilibre (stable)
• Forces de Van der Waals
Courte portée = force de contact
Longue portée =force électromagnétique attractive mais de courte portée
FAMFM A )(Le moment par rapport à A d’une force exercée sur un point M est donnée par
2.5 Théorème du moment cinétique
2.5.1 Moment d’une force
)(MpAMA
Soit M un point matériel de masse m et vitesse )(Mv
Le moment cinétique par rapport à un point A est donné par
Remarque : ces moments dépendent du point de référence
pAAAAAMMA AA
''' '
2.5.2 Moment cinétique
= m
Notion de couple : Si la résultante des forces appliquées est nulle, le moment total des forces devient indépendant du point A. On appelle couple ce moment total
A’ = A + A
M
A
)(Mv
A’
M
'A
)(Mv
Calculons la dérivée temporelle
Frvvmdt
pdrp
dt
rdpr
dt
d
dt
d
)(
Frdt
d
2.5.3 Théorème du moment cinétique
PFD !
0 vv
Avec on trouve Frdt
d
Une force centrale avec son centre à l’origine est définie par
rerFrF
)()(
Pour un corps soumis à une force centrale, le moment cinétique est conservé.
(Symétrie de rotation)
Dans ce cas la dérivée du moment cinétique est nulle,
const)()( 0 rerFrF
et on obtient une loi de conservation importante :
0 rerFdt
d