Introducción alicaciones de la derivada
-
Upload
noelbologna -
Category
Education
-
view
124 -
download
0
Transcript of Introducción alicaciones de la derivada
![Page 1: Introducción alicaciones de la derivada](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032620/55cbd90abb61eb077d8b46ac/html5/thumbnails/1.jpg)
Derivada de una función
“Aplicaciones de la derivada ”
![Page 2: Introducción alicaciones de la derivada](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032620/55cbd90abb61eb077d8b46ac/html5/thumbnails/2.jpg)
Destinatarios
• Alumnos de 5º año del nivel secundario de la Escuela de Enseñanza Técnica
![Page 3: Introducción alicaciones de la derivada](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032620/55cbd90abb61eb077d8b46ac/html5/thumbnails/3.jpg)
Objetivos
Que el alumno logre:
• Resolver problemas de optimización mediante la aplicación de la derivada.
• Utilizar la planilla de cálculo Excel para determinar valores máximos y mínimos de la función que nos permite representar la situación problemática planteada.
• Graficar una función mediante la aplicación de herramientas estudiadas en análisis matemático
![Page 4: Introducción alicaciones de la derivada](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032620/55cbd90abb61eb077d8b46ac/html5/thumbnails/4.jpg)
Contenidos Previos
Extremos locales o relativos
f(c.) es un mínimo local (o relativo) de f si existe un intervalo I, que contenga a c, tal que f(c)≤f(x) x I
f(c) es un máximo local (o relativo) de f si existe un intervalo I, que contenga a c, tal que f(c)≥f(x) x I
![Page 5: Introducción alicaciones de la derivada](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032620/55cbd90abb61eb077d8b46ac/html5/thumbnails/5.jpg)
Ejemplo
yf(c1)
f(c2)
0 1 c1 c2 x
( ) ( )I1 I2
![Page 6: Introducción alicaciones de la derivada](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032620/55cbd90abb61eb077d8b46ac/html5/thumbnails/6.jpg)
Observaciones:
Un extremo local no tiene porque ser absoluto.
f(c1) es un máximo
local, no absoluto.
f(c2) es un mínimo local, no absoluto
0 c1 c2 x
y
f(c1)
f(c2)
f(x)
![Page 7: Introducción alicaciones de la derivada](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032620/55cbd90abb61eb077d8b46ac/html5/thumbnails/7.jpg)
Si f está definida en [a;b], los extremos locales no pueden ser ni f(a) ni f(b).
0 a b x[ ]
y
f(b)
f(a)
f(x)
f(a) mínimo absoluto, no relativo, ya que no existe un intervalo abierto I que contenga a a, tal que f(a) f(x) x I
f(b) máximo absoluto, no relativo, ya que no existe un
intervalo abierto I que contenga a b, tal que f(b) f(x) x I
![Page 8: Introducción alicaciones de la derivada](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032620/55cbd90abb61eb077d8b46ac/html5/thumbnails/8.jpg)
Todo extremo absoluto que una función presenta en un punto “interior” de su dominio es también extremo local.
0 a c d b x
y
f(c)
f(d)
f(x)
f(c) es máximo absoluto y relativo.
f(d) es mínimo absoluto y relativo.
[a c d b]
![Page 9: Introducción alicaciones de la derivada](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032620/55cbd90abb61eb077d8b46ac/html5/thumbnails/9.jpg)
Extremos absolutos
Los extremos absolutos se producen en puntos donde hay extremos locales o en los extremos del intervalo de definición.
a b x
0 c
m= f(c)
M= f(b)
y
f(x)
![Page 10: Introducción alicaciones de la derivada](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032620/55cbd90abb61eb077d8b46ac/html5/thumbnails/10.jpg)
Extremos locales y derivada
a e f0
yf ’(a) = 0
f ’(e) = 0
no f ’(f)
f(x)
![Page 11: Introducción alicaciones de la derivada](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032620/55cbd90abb61eb077d8b46ac/html5/thumbnails/11.jpg)
Teorema del Extremo Interior
Si f tiene un extremo local en
x=c f´(c)= 0 ó no existe f´(c)
Observación:
El proposición recíproca no es válida.
![Page 12: Introducción alicaciones de la derivada](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032620/55cbd90abb61eb077d8b46ac/html5/thumbnails/12.jpg)
y
0 c x 0 c x
y
f ’(c) = 0 o f ’(c) f(c) es extremo
![Page 13: Introducción alicaciones de la derivada](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032620/55cbd90abb61eb077d8b46ac/html5/thumbnails/13.jpg)
Número crítico
Si f está definida en c, se dice que c es un número crítico si f´(c)= 0 ó no existe f´(c).
(Es decir un número crítico, es un posible extremo relativo)
Observación: Con esta definición el teorema anterior se puede expresar:
“Si f tiene un extremo relativo en x=c, entonces c es un número crítico de f ”
![Page 14: Introducción alicaciones de la derivada](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032620/55cbd90abb61eb077d8b46ac/html5/thumbnails/14.jpg)
Crecimiento
Si f es una función continua en [a;b] y derivable en (a;b), entonces:
a) f’(x) > 0 x en (a;b) f es creciente en [a;b] b) f’(x) < 0 x en (a;b) f es decreciente en [a;b] c) f’(x) = 0 x en (a;b) f es constante en [a;b]
x
y
![Page 15: Introducción alicaciones de la derivada](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032620/55cbd90abb61eb077d8b46ac/html5/thumbnails/15.jpg)
Determinación de los extremos relativos
Hemos visto que el signo de la derivada primera de una función determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la misma.
Esta información nos permite detectar los valores de la variable donde se producen los extremos locales de la función.
![Page 16: Introducción alicaciones de la derivada](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032620/55cbd90abb61eb077d8b46ac/html5/thumbnails/16.jpg)
Ejemplos
y y
0 c1 x 0 c2 x
f(x) g(x)
creciente decreciente decreciente creciente
máximo local en c1 mínimo local en c2
![Page 17: Introducción alicaciones de la derivada](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032620/55cbd90abb61eb077d8b46ac/html5/thumbnails/17.jpg)
Y y y
0 c1 x 0 c2 x
h(x) t(x)
creciente decreciente decreciente creciente
máximo local en c1 mínimo local en c2
![Page 18: Introducción alicaciones de la derivada](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032620/55cbd90abb61eb077d8b46ac/html5/thumbnails/18.jpg)
Teorema Criterio de la derivada primera para la
determinación de extremos locales
Consideremos una función f continua en [a;b] y derivable en (a;b) excepto quizás en c (a;b).
a) Si f´(x) > 0 en (a;c) y f´(x) < 0 en (c;b) entonces f
tiene un máximo local en c.
b) Si f´(x) < 0 en (a;c) y f´(x) > 0 en (c;b) entonces f
tiene un mínimo local en c.
![Page 19: Introducción alicaciones de la derivada](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032620/55cbd90abb61eb077d8b46ac/html5/thumbnails/19.jpg)
Procedimiento práctico para la determinación de extremos locales
Obtener los puntos críticos de f.
Aplicar el criterio de la derivada primera para la determinación de los extremos locales.
![Page 20: Introducción alicaciones de la derivada](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032620/55cbd90abb61eb077d8b46ac/html5/thumbnails/20.jpg)
Ejemplos
2x
12x2x
11
xx
1
Analizaremos el crecimiento de las siguientes funciones y determinaremos si existen extremos locales.
1) f(x) =
• Dominio
Dom(f) = R – {0}
• Números críticos
f ’(x) =
0
![Page 21: Introducción alicaciones de la derivada](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032620/55cbd90abb61eb077d8b46ac/html5/thumbnails/21.jpg)
f ’(x) = 0 x = 1 x = -1
números críticos• Crecimiento
f ’(x) = , el denominador es siempre positivo
por lo tanto el signo de la derivada primera lo determina el numerador, luego:
f ’(x)>0 x2-1 > 0 x>1 x<-1
f ’(x)<0 x2-1 < 0 -1<x<1 y x 0
2
2
x
x
1
0 Dom(f)
1x2
-1 0 1
![Page 22: Introducción alicaciones de la derivada](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032620/55cbd90abb61eb077d8b46ac/html5/thumbnails/22.jpg)
f’(x)>0 -1 f’(x)<0 1 f’(x)>0
f crece f decrece f crece
en x = -1 hay un máximo local y ML= f(-1)=-2
en x =1 hay un mínimo local y mL= f(1)=2
![Page 23: Introducción alicaciones de la derivada](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032620/55cbd90abb61eb077d8b46ac/html5/thumbnails/23.jpg)
-1 0 1 x
Dom(f) = R – {0} Bosquejo de la función
-2
2
f crece f decrece
f decrece f crece
![Page 24: Introducción alicaciones de la derivada](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032620/55cbd90abb61eb077d8b46ac/html5/thumbnails/24.jpg)
2) f(x) = 3x4-8x3+6x2
• Dominio
Dom(f) = R
• Números críticos
f’(x) = 12x3-24x2+12x
f’(x) = 0 12x3-24x2+12x = 0 12x(x2-2x+1) = 0
12x(x-1)2 = 0 x = 0 x = 1
números críticos
![Page 25: Introducción alicaciones de la derivada](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032620/55cbd90abb61eb077d8b46ac/html5/thumbnails/25.jpg)
• Crecimiento
f ’(x) > 0 12x(x-1)2 > 0 x > 0 y x 1f ’(x) < 0 12x(x-1)2 < 0 x < 0
f ’(x)<0 0 f ’(x)>0 1 f ’(x)>0
f decrece f crece f crece
en x = 0 hay un mínimo local y mL= f(0)=0
en x =1 no hay extremo local
![Page 26: Introducción alicaciones de la derivada](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032620/55cbd90abb61eb077d8b46ac/html5/thumbnails/26.jpg)
y
0 1 x
Dom(f) = R Bosquejo de la función
f decrece
f crece
f crece
![Page 27: Introducción alicaciones de la derivada](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032620/55cbd90abb61eb077d8b46ac/html5/thumbnails/27.jpg)
Estrategia para hallar extremos absolutos de una función continua en un intervalo [a;b]
Hallamos los números críticos c (a;b).Calculamos el valor de la función en esos
números y en los extremos del intervalo.El mayor de esos valores es el máximo y
el menor el mínimo absoluto.
![Page 28: Introducción alicaciones de la derivada](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032620/55cbd90abb61eb077d8b46ac/html5/thumbnails/28.jpg)
Ejemplos
Sea f(x) = 2x4 - 3x3 en [-1;1], hallemos los extremos absolutos:
f ’(x) = 8x3-9x2
• f ’(x) = 0 x2(8x-9) = 0 [ x= 0 x= 9/8 ]
• f ’(x) está definida x
Luego, el único número crítico en (-1;1) es x = 0
![Page 29: Introducción alicaciones de la derivada](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032620/55cbd90abb61eb077d8b46ac/html5/thumbnails/29.jpg)
Evaluamos a la función en las abscisas del único punto crítico obtenido y en las de los extremos del intervalo:
f(-1)= 5
f(0) = 0
f(1) = -1
Finalmente concluimos…
máximo absoluto es M= f(-1)= 5 mínimo absoluto es m= f(1)= -1
![Page 30: Introducción alicaciones de la derivada](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032620/55cbd90abb61eb077d8b46ac/html5/thumbnails/30.jpg)
Veamos otro ejemplo…
Sea f(x) = 3(x-8)2/3 en [7;9], hallemos los extremos
absolutos.
f ’(x) = 2(x-8) -1/3 =
f ’(x) 0 x en (7;9) f ’(x) no está definida para x=8
Luego, el único número crítico en (7;9) es x = 8
3 8x
2
![Page 31: Introducción alicaciones de la derivada](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032620/55cbd90abb61eb077d8b46ac/html5/thumbnails/31.jpg)
f(7) = 3f(8) = 0f(9) = 3
Finalmente concluimos……
máximo absoluto es M= f(7)= f(9) = 3mínimo absoluto es m= f(8)= 0
Evaluamos a la función en las abscisas del único punto crítico obtenido y en las de los extremos del intervalo:
![Page 32: Introducción alicaciones de la derivada](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022032620/55cbd90abb61eb077d8b46ac/html5/thumbnails/32.jpg)
Integrando conocimientos