Introduccion a Las Ecuaciones Diferenciales ERES-Ccesa007
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ECUACIONES DIFERENCIALES
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ECUACIONES DIFERENCIALES
ENRIQUE RAFAEL ESPINOSA SANCHEZ
RED TERCER MILENIO
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AVISO LEGAL
Derechos Reservados 2012, por RED TERCER MILENIO S.C.
Viveros de Asís 96, Col. Viveros de la Loma, Tlalnepantla, C.P. 54080, Estado de México.
Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, sin la autorización por escrito del titular de
los derechos.
Datos para catalogación bibliográfica
Enrique Rafael Espinosa Sánchez
Ecuaciones diferenciales
ISBN 978-607-733-115-5
Primera edición: 2012
DIRECTORIO
Bárbara Jean Mair Rowberry Directora General
Rafael Campos Hernández Director Académico Corporativo
Jesús Andrés Carranza CastellanosDirector Corporativo de Administración
Héctor Raúl Gutiérrez Zamora Ferreira Director Corporativo de Finanzas
Ximena Montes Edgar Directora Corporativo de Expansión y Proyectos
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INDICE
Introducción
Mapa conceptual
UNIDAD 1. Ecuaciones diferenciales
OBJETIVO 9
TEMARIO 9
MAPA CONCEPTUAL 10
INTRODUCCIÓN 11
1.1 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL 12
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 14
1.2 ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 14
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 16
1.3 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL 15
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 19
AUTOEVALUACION 20
RESPUESTAS AUTOEVALUACION 22
UNIDAD 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
OBJETIVO 27
TEMARIO 27
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MAPA CONCEPTUAL 28
INTRODUCCION 29
2.1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES 30
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 32
2.2 ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES HOMOGÉNEOS33
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 35
2.3 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS 35
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 38
2.4 USO DEL FACTOR INTEGRANTE 38
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 42
2.5 ECUACIÓN DE BERNOULLI 42
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 43
2.6 APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMERORDEN 43
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 46
AUTOEVALUACION 47
RESPUESTAS AUTOEVALUACION 48
UNIDAD 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
OBJETIVO 54
TEMARIO 54
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MAPA CONCEPTUAL 55
INTRODUCCION 56
3.1 ECUACIONES HOMOGÉNEAS Y NO HOMOGÉNEAS 57
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 58
3.2 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL A PARTIR DE UNASOLUCIÓN CONOCIDA 58
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 60
3.3 EL WRONSKIANO 60
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 61
3.4 VARIACIÓN DE PARÁMETROS 61
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 62
3.5 ECUACIÓN DE CAUCHY EULER 63
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 64
3.6 SERIES DE POTENCIA 65
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 67
AUTOEVALUACION 68
RESPUESTAS AUTOEVALUACION 69
UNIDAD 4. TRANSFORMADAS DE LAPLACE
OBJETIVO 72
TEMARIO 72
MAPA CONCEPTUAL 73
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INTRODUCCION 74
4.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 75
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 76
4.2 TRANSFORMADA DIRECTA E INVERSA DE LAPLACE 77
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 80
4.3 SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES CON LASTRANSFORMADAS DE LAPLACE 80
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 82
AUTOEVALUACION 83
RESPUESTAS AUTOEVALUACION 84
Bibliografía 86
Glosario 87
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INTRODUCCION
La presente, es una guía teórico-didáctica de la materia de EcuacionesDiferenciales que pretende orientar al estudiante en bases y conceptosgenerales.
Sin embargo, el estudiante habrá de realizar diversas investigacionesbibliográficas, ejercicios y prácticas extra clase para poder complementar elaprendizaje de la materia.
El estudio de las Ecuaciones Diferenciales se enfoca en modelarsituaciones de la vida cotidiana de forma matemática.
Previo a este curso de Ecuaciones Diferenciales el estudiante tendrá que
dominar las áreas del cálculo diferencial e integral, mismas que le facilitaran eldesarrollo de la aplicación de los métodos de solución de las ecuaciones.
El presente libro didáctico está compuesto de cuatro unidades queabarcan los conceptos necesarios para que el estudiante maneje lasEcuaciones Diferenciales y dar un sentido conceptual que sea aplicable a sucarrera profesional.
El curso parte desde cero en el estudio de las ecuaciones diferenciales,
en la primera unidad se aborda la definición de ecuación diferencial para nocrear ambigüedades en la construcción del conocimiento del estudiante, seretoma los momentos históricos del desarrollo de las ecuaciones diferencialesdesde Arquímedes hasta Newton.
Las siguientes dos unidades de forma general realizan un estudio de lasecuaciones diferenciales desde la solución de ecuaciones de primer ordenhasta la solución de ecuaciones de orden superior, tomando en cuenta diversosmétodos de solución.
La cuarta unidad trata de las Transformadas de Laplace, requiere que losconocimientos adquiridos en las tres unidades anteriores hayan logradoconstruir un cimiento cognitivo que brinde las herramientas indispensables paraestudiar y comprender este tema, por complicado que parezca nos llevara a laesencia de la representación de una función en su forma algebraica.
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Los temas curriculares de esta materia pretenden que al finalizar el cursoel estudiante sepa aplicar los conocimientos adquiridos a la carrera profesionalque estudia.
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MAPA CONCEPTUAL
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UNIDAD 1
ECUACIONES DIFERENCIALES
OBJETIVOExplicar la definición, el origen y solución de las ecuaciones diferenciales
TEMARIO1.1 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL1.2 ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES1.3 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
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MAPA CONCEPTUAL
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INTRODUCCIÓN
En esta unidad se describe la definición de una ecuación diferencial, su origen yla solución, para comprender los problemas matemáticos en los cuales se venimplicadas las ecuaciones diferenciales.
Las ecuaciones diferenciales tienen una relación con fenómenos físicos,químicos, eléctricos, etcétera, los cuales han requerido una explicación deforma matemática.
El alumno aprenderá que las ecuaciones diferenciales se clasificansegún su tipo, orden y linealidad, conceptos esenciales que le ayudarán aplantear problemas con diferente grado de dificultad.
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1.1 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas de unafunción desconocida de una o más variables.
En cálculo se aprende que la derivada dxdy / (se lee derivada de y con
respecto a x) de la función )( x y es otra función de x , por ejemplo:2 xe y
la derivada de esta función es
2
2 x xedxdy
en ecuaciones diferenciales, al remplazar2 x
e por y se obtiene la ecuacióndiferencial
xydxdy
2
La integración y la derivación están estrechamente ligadas, la integraciónde una función se puede calcular una vez que se conoce su antiderivada, lasecuaciones diferenciales toman un sentido de matemáticas más puras, ya queahora dada la función
xydxdy
2
hay que encontrar su derivada, cuestionando si hay algún método para obtenerla función desconocida )( x y .
Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden ylinealidad.
Clasificación según su tipo: si la función desconocida depende sólo deuna variable, es decir, que las derivadas sean derivadas ordinarias, la ecuaciónse llama ecuación diferencial ordinaria. Por ejemplo:
y xdxdy
2 o y x y 2´ 0622
ydxdy
dx
yd
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Normalmente escribimos )( x f y y llamamos a x la variable
independiente, y a y la variable dependientes de x . Para sintetizar la
denotación de y en x en una función )( x f y , simplemente podemos escribir
)( x y y sus derivadas sucesivas por )(),...,(''),(' x y x y x y n
, o tambiénúnicamente n y y y ,...,'',' .
En otro caso, si la función desconocida depende de más de una variable,es decir, que las derivadas sean derivadas parciales, la ecuación se llamaecuación diferencial parcial. Por ejemplo:
V y
V
x
V 2
2
2
2
2
V es la función desconocida de las dos variables independientes x y y es unaecuación diferencial parcial. Se escribe ),( y x F V para hacer más claro que x
y y son las variables independientes y V es la variable dependiente, de
manera más sencilla para marcar que se trata de una ecuación diferencialparcial, denotamos el valor de V en x y y por ),( y xV .
Clasificación según su orden: el orden de una educación diferencial yasea ordinaria o parcial, es el orden de la derivada más alta que aparece en la
ecuación. Por ejemplo: y x y 2´
El orden de esta ecuación diferencial es de primer orden ya que sólotiene una derivada de y con respecto a x.
062
2
ydxdy
dx yd
El orden de esta ecuación diferencial es de segundo orden, de y con
respecto a x .V
y
V
x
V 2
2
2
2
2
Esta ecuación diferencial es parcial, note que ambas derivadas son desegundo orden, por tanto, la ecuación diferencial es una ecuación diferencial desegundo orden.
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Clasificación según su linealidad: una ecuación diferencial es linealcuando puede ser escrita de la forma
)()(')(..)()()()( 11
10 x F y xa y xa y xa y xa nnnn
donde )( x F y los coeficientes
)(,),..,(),(,1
xa xa xa son funciones dadas de x y)(, xa no es idéntica a cero.
Por ejemplo:04)( xdydx x y 0´2´´ y y y
Cuando una ecuación diferencial no puede ser escrita de la formaanterior, se dice que es una ecuación no-lineal. Por ejemplo:
xe y y y 2´)1( 0244
2
2
ydx
yd sen
dx yd
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Indicar si las siguientes ecuaciones diferenciales son lineales o no lineales
1. 212´ x y yy
2. (1-x)y´´-4xy´+5y=cosx
3. 0)(2 dx xe xy ydy x x
4.22
2
r k
dt r d
5. 0)1( 2 xdydx y
1.2 ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES La Mecánica es la más antigua de las ciencias físicas, los escritos más vetustosa cerca de esta materia se deben a Arquímedes (287-212 a.C.), referentes al
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principio de la palanca y del empuje. Galileo estudió problemas dinámicos sobrela caída de los cuerpos. Copérnico formuló el sistema heliocéntrico para darpaso a la Mecánica celeste.
La integración antecedió a la diferenciación por dos mil años, Arquímedes representó procesos de sumas integrales, pero hasta el siglo XVIIFermat pudo encontrar las tangentes y puntos críticos por métodos equivalentesa la evaluación de cocientes incrementales. Fermat descubrió la inversa deestos procesos y dio la explicación de la antiderivación en la determinaciónlímite de sumas.
El calculus apareció impreso, por primera vez, en una memoria de seispáginas de Leibniz, que contenía una definición de la diferencial con simples
reglas para su cálculo en sumas, productos, cocientes, potencias y raíces.El problema de la integración de las ecuaciones diferenciales se
presentaba como del problema inverso del análisis infinitesimal.Leibniz fue el primero en usar el término aequatio differentialis en 1676
para denotar una relación entre las diferenciales dx y dy y dos variables x y
y . Las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias surgen prácticamente con la
aparición del Calculus, en una polémica entre Newton y Leibniz, cuando Newton
publica que “dada una ecuación con cantidades fluentes, determinar lasfluxiones y viceversa”. Newton dio la primera clasificación de las Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias de primer orden.Tanto Newton como Leibniz estudiaron problemas con una visión
geométrica-euclidiana, debido a la época el concepto de función era muy vago yestaba ligada únicamente a la curva geométrica. Pero ambos sentaron lasbases del cálculo moderno.
En el siglo XVII James y JohanBernoulli introducen los términos deintegrar una educación diferencial y el proceso de separación de variables deuna ecuación diferencial.
Euler se encargó de establecer la primera teoría de las ecuacionesdiferenciales ordinarias, la expresión dxdy / significa para Euler un cociente
entre diferenciales y no lo que actualmente expresa.
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Liapunov y Poincaré aportaron métodos y conceptos fundamentales delas ecuaciones diferenciales lineales y no lineales.
Galileo fue el pionero en estudiar el comportamiento del movimiento delpéndulo.
Todos aquellos matemáticos que tratado de modelar problemas defísicos, químicos, electrónicos, etc., han contribuido al desarrollo histórico de lasecuaciones diferenciales, a pesar de que en la recopilación de los estudios ytratados para conocer el origen de las ecuaciones diferenciales se discriminalas aportaciones de algunos matemáticos.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Realizar una investigación documental sobre el origen de las EcuacionesDiferenciales con la bibliografía señalada, para que el alumno tenga mayoresreferencias de las aportaciones de algunos matemáticos que se pudieron haberomitido en este trabajo.
1.3 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL Una solución de una ecuación diferencial es cualquier función que satisface laecuación, esto es, la reduce a una identidad.
Cuando una función , definida en algún intervalo I , se sustituye en una
ecuación diferencial y transforma esa ecuación en una identidad, se dice que esuna solución de la ecuación en el intervalo. Una solución de una ecuacióndiferencial ordinaria como la ecuación
0)´,...,,,( )( n y y y x F
es una función con al menos n derivadas y
0))(),...,´(),(,( )( x x x x F n
para todo xen I .
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Se dice que )( x y satisface la ecuación diferencial. El intervalo
I puede ser intervalo abierto, (a, b), cerrado, [a,b], infinito ),( a , etcétera.
Ejemplo 1. Sea la función x xe y una solución de la ecuación lineal
0'2'' y y y en el intervalo ),( .
Solución: sustituyendo x x e xe y ´
y x x e xe y 2´´
obtenemos
0)(2)2(´2´´ x x x x x xee xee xe y y y Ejemplo 2. La ecuación
015222
xdt dx
dt xd
Sean las funciones t e x 5 y t e x 3 soluciones de la ecuación ya que alsustituir dan por resultado:
015)5(225 555 t t t eee
015)3(29 333 t t t eee Ejemplo 3. La función definida por:
y seneV x 23
es una solución de la ecuación
V y
V
x
V 2
2
2
2
2
debido a que sustituyendo encontramos la identidad:
y sene y sene y sene x x x 2)24(229 333
La solución de ecuaciones diferenciales se divide en solucionesexplícitas e implícitas. Las soluciones explícitas son aquellas en la variabledependiente se expresa tan solo en términos de la variable independiente yconstantes. Las soluciones implícitas son aquellas en las que la ecuación
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diferencial depende de dos variables y al menos una función satisface laeducación dentro de un intervalo.
Solución implícita: Sea la ecuación diferencial
y x
dxdy
su solución implícita es la función
0422 y x
dentro del intervalo 22 x , derivado la función obtenemos
022 dxdy
y x
despejando
dxdy
se obtiene la ecuación diferencial.El nombre de solución general de ecuaciones diferenciales se aplica
únicamente para ecuaciones diferenciales lineales ya que existen ecuacionesno lineales que son difíciles de resolver bajo los parámetros en los que seencuentra la familia de soluciones que contienen todas las soluciones posiblesde la ecuación.
Un sistema de ecuaciones diferenciales es el conjunto de dos o másecuaciones donde aparecen las derivadas de dos o más funcionesdesconocidas de una variable independiente.
El problema de valor inicial es aquel que busca determinar una solución auna ecuación diferencial que está sujeta a condiciones de la funcióndesconocida y sus derivadas específicas en un valor de la variableindependiente, estas condiciones se conocen como condiciones iniciales.
El problema de valor de frontera busca determinar la solución de laecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función desconocidaespecificadas en dos o más valores de la variable independiente. A estascondiciones se les denomina condiciones de frontera.
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ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Verificar si la función indicada es una solución de la ecuación diferencial dada.
1. 2
;0´2 x
e y y y
2. x x x ee ye ydxdy 233 10;2
3.2
2 1;02 x
y xydxdy x
4. 0,ln;11´ x x x y y x
y
5. x x ecec y y y y 4231;012´´´
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AUTOEVALUACIÓN
Indique si la ecuación es lineal o no lineal, así como el orden de cada ecuación.
1. 0)(2 dx xe xy ydy x x
2.22
2
r
k
dt
r d
3. x y xy y x cos5´4´´)1(
4. 212' x y yy
5.2
2
2
1
dx
yd dxdy
Comprobar si la función inicial dada es una solución de la ecuación diferencial.
6. x x xee y ydxdy
dx yd 222
2
;044
7. senhx x y y y cosh;´´
-
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8. 0,;02 12122
x xcc ydxdy
dx yd
x
9. 212 ln;0´)(´´ cc x y y y
10. xc y y y 5cos;025´´ 1
-
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RESPUESTAS AUTOEVALUACIÓN
Indique si la ecuación es lineal o no lineal, así como el orden de cada ecuación.
1. 0)(2 dx xe xy ydy x x
Respuesta:
0)(2 dx xe xy ydy x x
x xe y xdxdy
x )1(2
la ecuación es una ecuación diferencial lineal ordinaria de primer orden.
2. 222
r k
dt r d
Respuesta:
0222
22
2
r
k
dt
r d
r
k
dt
r d
la ecuación es una ecuación diferencial no lineal ordinaria de segundo orden.
3. x y xy y x cos5´4´´)1(
Respuesta: x y xy y x cos5´4´´)1(
la ecuación es una ecuación diferencial lineal ordinaria de segundo orden.
4. 212' x y yy
Respuesta:212' x y yy
la ecuación es una ecuación diferencial no lineal ordinaria de primer orden.
5.2
2
2
1
dx
yd dxdy
-
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Respuesta:2
2
2
1
dx
yd dxdy
012
2
2
dxdy
dx yd
la ecuación es una ecuación diferencial no lineal ordinaria de segundo orden.
Comprobar si la función inicial dada es una solución de la ecuación diferencial.
6. x x xee y ydx
dy
dx
yd 222
2
;044
Respuesta: Tomando la función que evaluará a la ecuación diferencialpara realizar la primera y segunda derivada dicha función teniendo que
x x xee y 22
calculando la primera derivada
x x x xeeedxdy 222 22
es igual a
x x xeedxdy 22 23
calculando la segunda derivada
x x x xeeedxdy 222 426
es igual a
x x xeedxdy 22 48
sustituyendo la función inicial, la primera y segunda derivada en la ecuacióndiferencial que se desea comprobar, se obtiene
0)(4)23(448 222222 x x x x x x xee xee xee
04481248 222222 x x x x x x xee xee xee
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0881212 2222 x x x x xe xeee
7. senhx x y y y cosh;´´
Respuesta: La función a evaluar hay que pasarla a la forma querepresente que es una ecuación diferencial, realizado el procedimiento seobtiene:
0´´´´ y y y y
dónde0´´ y y
es ahora nuestra ecuación diferencial inicial y senhx x y cosh
la función que evalúa la ecuación diferencial inicial, al realizar la primera ysegunda derivada se obtiene
senhx x y cosh´
senhx x y cosh´´
sustituyendo la función que evalúa la ecuación diferencial y la segunda derivadaen la ecuación diferencial inicial se concluye que
0)(coshcosh senhx x senhx x
8. 0,;02 12122
x xcc ydxdy
dx yd
x
Respuesta: siendo la ecuación diferencial
022
2
dxdy
dx
yd x
que se desea comprobar con la función1
21 xcc y se requiere la primera y segunda derivada de dicha función, primera derivadaigual a
22 xcdx
dy
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segunda derivada
322
2
2 xcdx
yd
sustituyendo ambas derivas en la ecuación diferencial se tiene:
0)(2)2( 223
2 xc xc x
por lo tanto
022 222
2 xc xc
9. 212 ln;0´)(´´ cc x y y y
Respuesta: siendo la ecuación diferencial
0´)(´´ 2
y y que se desea comprobar con la función
21ln cc x y
se requiere la primera y segunda derivada de dicha función, primera derivadaigual a
1
1´
c x y
segunda derivada
21 )(
1´´
c x y
sustituyendo ambas derivadas de la función que evalúa en la ecuacióndiferencial, se obtiene:
01
)(
12
12
1
c xc x
concluyendo
0)(
1
)(
12
12
1 c xc x
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10. xc y y y 5cos;025´´ 1
Respuesta: siendo la ecuación diferencial025´´ y y
que se desea comprobar con la función
xc y 5cos1
se requiere la segunda derivada de dicha función
x senc y 55´ 1
como primera derivada y como segunda derivada
xc y 5cos25´´ 1 sustituyendo ambas derivadas de la función que evalúa en la ecuación
diferencial, se obtiene:05cos255cos25 11 xc xc
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MAPA CONCEPTUAL
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INTRODUCCIÓN
En esta unidad se abordan las ecuaciones diferenciales de primer orden,pasando por los conceptos básicos de éstas para llegar a la aplicación de lasecuaciones diferenciales en problemas reales.
La solución general de una ecuación diferencial de variables separablesdebe tener la forma de una función igualada a cero, concepto que el alumnodebe aprender, ya que existen diversos casos en las ecuaciones diferencialesque no se pueden resolver directamente por no ser de variables separables ypara resolver; el alumno tendrá que aprender métodos para separar lasvariables de la ecuación.
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2.1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES El matemático y físico Leonhard Paul Euler 1 en el siglo XVIII se encargo desistematizar estudios anteriores de ecuaciones diferenciales, dando origen a laprimera teoría de ecuaciones ordinarias donde aparecen las ecuaciones deprimer orden, y respectiva clasificación de ecuaciones de variables separables,homogéneas, lineales y exactas, así como también las de orden superior.
Las ecuaciones diferenciales las encontramos por todas partes, enfenómenos naturales, químicos, físicos y electrónicos la mayoría de estosfenómenos necesitan de un modelo matemático para comprender sucomportamiento, expresados en una ecuación diferencial; la informática noqueda exenta de tratar de modelar procesos computacionales como la
transmisión de datos a través de un cable de red o la impresión de documentos,todo ello con el fin de mejorar los componentes del hardware actual.
La ecuación diferencial de primer orden
),( y x F dxdy
considere a
dxdy
como cociente de diferenciales, puede expresarse también como0),(),( dy y x N dx y x M
para dar paso a la siguiente expresióndy y x N dx y x M ),(),(
Ejemplo:
x y y x
dxdy
523
puede ser escrita como0)25()3( dy y xdx y x
donde y x N y x M 25,3
1 http://www.eulersociety.org/
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La solución general de una ecuación diferencial de variables separablesse puede representar de la forma siguiente:
0)()( dy y g dx x f
donde un término de la ecuación involucra sólo a la variable x y el otro a lavariable y , la solución de la ecuación puede ser por integración, dando lasolución general
cdy y g dx x f )()(
donde c es el equivalente a la constante de integración. Para regresar a laecuación inicial se aplica la diferencial en ambos lados de la ecuación y asíeliminar a la constante c , siendo de la siguiente manera:
cdy y g d dx x f d )()(
igual a0)()( dy y g dx x f
El método de variables separables consiste en separar en dos términosla ecuación diferencial para poder encontrar la solución que satisfaga dichaecuación.
Sea la ecuación diferencial de variables separables0)1( ydxdy x
tenemos ydxdy x )1(
)1( xdx
ydy
integrando
)1( xdx
ydy
11lnln c x y 11ln c xe y
11ln 1 cc x ee y 11 ce x y
-
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32
)1(1 xe y c 1),1(1
1,11
x x x
x x x
si la constante c se puede escribir como1c
e tenemos que)1( xc y
La solución general de
y x
dxdy
212
pasando la ecuación a función
0)2()1( 2 dy ydx x
donde se requiere integrar ambas partes
cdy ydx x )2()1( 2
obtenemos
c y y
x x
223
23
ahora bien, requerimos determinar una solución particular cuando y=4 y x=-3 ,sustituyendo en la solución general obtenemos que
12)4(22
4)3(33
23
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Resuelva la ecuación diferencial por variables separables.
1. x sendxdy
5
2. 2)1( xdxdy
-
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33
3. 03 dyedx x
4. 02 dy xdx
5. xdxdy
e x 2
6. x
ydxdy 1
7. x
y x
dx
dy
1
22
2.2 ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES HOMOGÉNEOS Existen ecuaciones diferenciales cuyas variables no son separables, para poderresolver esas ecuaciones tienen que trasformarse en una con variablesseparables. Una ecuación que casi siempre puede transformarse a variablesseparables es
x y
f dxdy
llamada ecuación diferencial homogénea por la forma en que se escribe yaquellas que se puedan escribir de igual manera se les denominará así. Paracambiar tal ecuación a una ecuación separable, usamos las transformación de
v x y
o tambiénvx y
lo que se realiza es un cambio de la variable dependiente de y por v conservando la variable independiente x , teniendo entonces
dxdv
xvdxdy
-
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34
para que
x y
f dxdy
se transforme en
)(v f dxdv
xv
de tal manera que
vv f dv
xdx
)(
obtenemos la ecuación donde las variables se encuentran separadas.Ejemplo: Sea la ecuación
y x y x
dxdy
el lado derecho es una función x y , por tanto es una ecuación homogénea,
haciendo vx y , se tiene
vv
dxdv
xv11
v
vv
dx
dv x
1
221
221)1(
vvdvv
xdx
aplicando las reglas de lo logaritmos
12 )21ln(
21
ln cvv x
o
222 )]21(ln[ cvv x
de tal manera que
cvv x )21( 22
reemplazando v por x y se obtiene
c y xy x 22 2
-
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35
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Realizar una investigación documental respecto al tema de ecuacionesdiferenciales con coeficientes homogéneos con la bibliografía señalada paratener mayores bases de conocimiento y solucionar problemas en que lasecuaciones diferenciales no sean separables las variables.
2.3 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es aquella denominadaecuación diferencial ordinaria de primer orden la cual contiene dos funciones
denominadas y las cuales trabajan respecto a dos variable y , que alaplicar las derivadas parciales de las funciones y son iguales, se puedeseguir aplicando la segunda, tercer y derivada, las funciones mantendrán elconcepto de linealidad, es decir, sin cambios. En informática la aplicación de lasecuaciones diferenciales exactas tiene gran importancia, por ejemplo, supongaque se desea saber la fuerza de propagación y distorsión de una señalinalámbrica en la transmisión de datos con una microonda del rango de los
2Ghz a los 40Ghz, al representarlo como una ecuación diferencial latransmisión y distorsión es igual dentro de este rango.
Una ecuación diferencial),(),( y x N y x M
es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la
diferencial de alguna función),( y x f
Una ecuación diferencial de primer orden de la forma0),(),( dy y x N dx y x M
es una ecuación diferencial exacta, sidy y x N dx y x M ),(),(
es una diferencial exacta.
-
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36
Si son continuas),( y x M
y),( y x N ,
con derivadas parciales continúas en una región rectangular R , definida por losintervalos
b xa ,d yc
para las variables y y x , la condición única y necesaria para que
dy y x N dx y x M ),(),(
sea una diferencial exacta es que
x N
y M .
Ejemplo 1: La ecuación
02332 dy y xdx y x
es exacta, por que
dy y xdx y x y xd 23323331
aplicando la regla de que el lado izquierdo tiene que ser una diferencia exactady y x N dx y x M ),(),(
tenemos que32),( y x y x M
y23),( y x y x N
aplicando la diferencial se tiene que
223 y xdy M
que es igual a
223 y xdx N
-
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37
Ejemplo 2: La ecuación
0)1(2 2 dy x xydx
se resuelve igualando primero xy y x M 2),(
y
1),( 2 x y x N
realizando las diferenciales respecto a y y x tenemos
x y
M 2
y
x x N
2
por lo tanto
x N
y M
con esto se comprueba que la ecuación es exacta y por el criterio paradeterminar si la ecuación diferencial es exacta entonces existe una función
),( y x f tal que
xy x f 2
y
12 x y f
al integrar la primer ecuación de las dos anteriores se obtiene que
)(),( 2 y g y x y x f
determinando la derivada parcial con respecto a y
)´(2 y g x y f
igualando con ),( y x N se tiene
1)´( 22 x y g x
despejando )´( y g obtenemos
-
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38
1)´( 22 x x y g
1)´( y g
y y y g )(
la solución es entoncesc y x f ),(
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Determinar si las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas.1. 0)73()12( dy ydx x
2. 0)6()2( dy y xdx y x
3. 0)84()45( 3 dy y xdx y x
4. 0)cos(cos)(
dy y y x xdx ysenx seny
5. 0)42()32( 22 dy yxdx x y
2.4 USO DEL FACTOR INTEGRANTE El factor integrante es aquel que al multiplicar las derivadas parciales de unaecuación diferencial no exacta la convierten en una ecuación diferencial exacta,para que con esto esa ecuación diferencial no exacta se pueda resolver por elmétodo de ecuaciones diferenciales exactas.
Si la ecuación0 Ndy Mdx
no cumple con la condición de que
-
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39
X N
y M
entonces no es una ecuación exacta, para poder hacerla exacta se requieremultiplicarla por un factor integrante apropiado , de tal manera que la
ecuación que se obtenga sea de la forma0 Ndy Mdx
será exacta, debido a que
)()( N x
M y
Hay diferentes métodos para obtener factores integrantes pero el máscomún es el de separación de variables.
Ejemplo. Sea
y xY
xy xdxdy
2
23 , si 3)1( y .
Solución:
0)()3( 22 dy y x ydx xy x
se obtiene M y N quedando de la siguiente manera23 xy x M y y x y N 2
aplicando la diferencial obtenemos que
xy y
M 2 y xy
x N
2
la ecuación no es exacta. Tanto M y N pueden ser factorizadas comoproducto de una fundón con respecto a y y x , esto es
0)1()3( 22 dy x ydx y x
un factor integrante es
)1)(3(1
22 x y
que al multiplicarlo por lo que se obtuvo por factorizar a M y N resulta lafunción
-
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40
031 22
dy y
ydx
x x
que es separable y exacta. Integrando dicha función obtenida tenemos
c y x
)3ln(2
1
)1ln(2
1 22
ó )3()1( 22
y A x
puesto que 3 y cuando 1 x , encontramos61
A .
Por lo tanto, la solución es
)3(61
)1( 22 y x
o
36 22 x y
El método de inspección considera que 0 Ndy Mdx no es separable o
exacta y es necesario multiplicar la ecuación por el factor integrante para
volver la ecuación exacta, que dando de la forma:
)()( N x
M y
Considerando dos casos en particular, cuando es una función sólo de
x que dando la ecuación como
)(1
x f x N
y M
N
entonces dx x f
e )(
es un factor integrante y cuando es una función sólo de y tomando la función
como
)(1 y g y
M x N
M
entonces dy y g
e )(
es un factor integrante.
-
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41
Ejemplo: resolver0)33( dy y x ydx
primero hay que comprobar si es una ecuación diferencial exacta obteniendo M y N de lo que resulta que
y M
y y x N 33
aplicando la diferencial
1 y
M
y
3 x N
la ecuación no es exacta. Ahora
y x3331
no es una función sólo de x . Pero
Y Y 213
es una función sólo de y. por lo tanto
2lnln2)2( 2
yeee y ydy y
es un factor integrante. Así, multiplicando la ecuación dada por2 y
la solución que se obtiene esc
y y xy
4
433
-
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42
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Realizar una investigación documental para reforzar la aplicación del factorintegrante en ecuaciones diferenciales con la bibliografía señalada, comoresultado de esa investigación, el alumno tendrá que entregar un diagrama deflujo donde represente el algoritmo para poder resolver ecuaciones diferencialesno exactas a través del uso del factor integrante.
2.5 ECUACIÓN DE BERNOULLI
La ecuación de Bernoulli representa el principio de la conservación de la
energía mecánica, el nombre de tal ecuación es en honor a Daniel Bernoulli,quien plasmó sus estudios en el libro Hidrodynamica , donde trata de lamecánica de fluidos; así, la ecuación de Bernoulli es aquella en la cual laecuación diferencial en que n es cualquier número real. Cuando 0n y 1n laecuación
n y x f y x P dxdy
)()(
es lineal. Cuando 0n y 1n , la sustituciónn
y 1
reduce cualquier ecuaciónde la forma de la ecuación de Bernoulli a una ecuación lineal.
Ejemplo: Resolver 22 y x ydxdy
x .
Solución: Ordenar la ecuación a la forma de Bernoulli quedando:
21 xy y xdx
dy
dividiéndola entre x. A continuación sustituimos, con 2n ,1u y
y
dxdu
udxdy 2
en la ecuación a resolver sustituyendo tenemos
-
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43
xu xdx
du 1
el factor integrante para esta ecuación en el intervalo ),0( , es
1lnln 1
xeee x x x
dx
integrando
1][ 1u xdxd
donde se obtiene
c xu x 1 despejando u
cx xu 2
como 1u y , sustituyendo u , la solución de la ecuación es
cx x y 2
1
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Realizar una investigación documental sobre la ecuación de Bernoulli y cómo seaplica en fenómenos como la sustentación de un avión, la determinación de laaltura en la instalación de una bomba de agua, la extracción del calor por eldisipador del procesador interno de una computadora.
2.6 APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
El problema de valor inicial con la ecuación diferencial kxdt dx , 00 )( xt x en
donde k es una constante de proporcionalidad, se emplea en modelos dedistintos fenómenos como físicos, químicos, electrónicos, etcétera dondeinterviene el crecimiento o decrecimiento.
-
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Ejemplo 1: Un cultivo tiene una cantidad inicial 0 N de bacterias. Cuando
1t , la cantidad medida de bacterias es 023
N . Si la razón de reproducción es
proporcional a la cantidad de bacterias presentes, calcular el tiempo necesariopara triplicar la cantidad inicial de bacterias.
Solución: Utilizando la ecuación diferencial del valor inicial, sustituyendolas variables iniciales del problema se obtiene
kN dt dN
sujeta de acuerdo a 00 )( xt x será igual a 0)0( N N . Donde la condición queda
0
2
3)1( N N
para hallar la constante de proporcionalidad k . Al escribir la ecuación
kN dt dN
de manera lineal para que sea separable obtenemos
0kN dt dN
que al aplicar el método de inspección se observa que el factor integrante eskt e , se debe multiplicar la ecuación por este factor, quedando de la forma
0 N edt d kt
al integrar, se llega a la solución general
c N e kt despejando N por los requerimientos que se plantearon al inicio del problema,
la ecuación se puede escribir comokt cet N )(
Cuando 0t , cce N 00 , por consiguiente kt e N t N 0)(
-
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45
El caso cuando 1t , k e N N 0023 , o bien
23k e para obtener
4055.023
ln k , Así t e N t N 4055.00)( .
Para establecer el momento en que se triplica la cantidad de bacterias,hay que despejar t de t oo e N N 4055.03 ; por consiguiente 3ln4055.0 t , así
ht 71.24055.0
3ln
Ejemplo 2: Un acumulador de 12 volts se conecta a un circuito en serie LR , con
una inductancia de henry21 y una resistencia de 10 ohms. Determine la corriente
i, si la corriente inicial es cero. Usando la ecuación diferencial que describe lacorriente
)(t E Ridt di
L
se tiene que
121021
idt di
sujeta a 0)0( i . Debemos multiplicar la ecuación diferencia por 2, para que el
factor integrante seat
e20
, que sustituyéndolo en la ecuación quedaría como
t t eiedt d 2020 24
al integrar cada lado y despejar i se obtiene
t cei 2056
si 0)0( i , entonces c56
0 , o bien56
c , la respuesta es
t et i 2056
56)(
a partir de la ecuación
dx x f eece yp yc y dx x P dx x P dx x P
)()()()(
se puede formular una solución general de
-
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t L Rt L R ecdt t E e L
t L Ret i )/()/( )(
)/()(
Cuando 0)( E t E es una constante, la ecuación anterior queda como
t L R
ce R
E t i
)/(0
)(
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Realizar una investigación documental sobre planteamientos de problemascotidianos, los cuales requieran su representación en modelos de ecuaciones
diferenciales de primer orden. Los problemas cotidianos pueden ir desde losrelacionados con la salud, por ejemplo, la forma en que se propago el virus dela influenza H1N1 en nuestro país; también, el alumno puede considerarproblemas ecológicos como el derrame de petróleo en el Golfo de México delaño 2010, problemas en los cuales ya se tienen cifras oficiales pero no unmodelo matemático que ayude a determinar tales cifras.
-
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AUTOEVALUACIÓN
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por variables separables.
1. xdxdy
e x
2
2. x
ydxdy 1
3. x
y xdxdy
1
22
4. y x y x eedxdy
ye 2
Determine si las siguientes ecuaciones son exactas5. 0)73()12( dy ydx x
6. 0)6()2( dy y xdx y x
7. 03343cos12 32
x ysen x x
ydxdy
x x
y
-
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RESPUESTAS AUTOEVALUACIÓN
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por variables separables.
1. xdxdy
e x
2
Respuesta: Es necesario separar las variables, tomando la ecuacióninicial
xdxdy
e x 2
despejando
dx xedy x 2
ahora hay que aplicar la integral en ambos miembros de la ecuacióndx xedy x 2
integrando se obtiene
c xe xe y x x 22
2. x
ydxdy 1
Respuesta: Al separar las variables, tomando la ecuación inicial
x y
dxdy 1
se obtiene
dx x
dy y
11
1
aplicando la integral en ambos miembros
dx x
dy y
11
1
integrando
c x y lnln1ln
es igual a
cx y ln1ln
-
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obteniendocx y 1
por lo tanto1cx y
3. x
y xdxdy
1
22
Respuesta: Se requiere despejar la ecuación diferencial para que tengala forma en la cual permite separar las variables, se obtiene:
x y x
dxdy
1
22
dy ydx x
x 22
1
dx x
xdy y 2
2 1
aplicando la integral en ambos miembros de la función
dx x
xdy y 2
2 1
dx x xdy y )( 122
integrando la ecuación1
13 ln31
c x x y
por lo tanto
113 ln33 c x x y
4. y x y x eedxdy
ye 2
Respuesta: De la ecuación y x y x ee
dxdy
ye 2
realizando los despejes
)1( 2 x y x eedxdy
ye
-
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dxeedy ye x x y )1( 2
separando las variables
dxeedy ye x x y )( 3
aplicando la integral en ambos miembrosdxeedy ye x x y )( 3
integrando
ceee ye x x y y 331
por lo tanto
cee yee x x y y 331
Determine si las siguientes ecuaciones son exactas
5. 0)73()12( dy ydx x
Respuesta: Sea la ecuación inicial0)73()12( dy ydx x
que se compone de12),( x y x M
y73),( y y x N
con
0)12(
y x
y M
y
0)73( x
y x N
esto es igual a tener
x N
y M
-
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51
debido a esto, la ecuación inicial es exacta. Por lo que existe una función),( y x f
para la que
12 x x f
y
73 y y f
con esto se puede Integrar la primera educación respecto a x, se obtiene
)(),( 2 y g x x y x f
entonces
)´( y g y f
al igualar con73),( y y x N
se obtiene73)´( y y g
donde
y y y g 723)( 2
que al sustituir en
)(),( 2 y g x x y x f
se tiene
y y x x y x f 723
),( 22
por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial inicial es:
c y y x x 723 22
6. 0)6()2( dy y xdx y x
Respuesta: De la ecuación diferencial inicial
-
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0)6()2( dy y xdx y x
se tiene y x y x M 2),(
y)6(),( y x y x N
quedando como y x y x N 6),(
con
1)2(
y y x
y M
y
1)6(
x y x
x N
esto es igual a tener
x N
y M
con esto se concluye que la ecuación no es exacta.
7. 03343cos12 32 x ysen x x y
dxdy x
x y
Respuesta: De la ecuación diferencial inicial
03343cos1
2 32
x ysen x x
ydxdy
x x
y
al despejar el segundo termino para reorganizarlo se tiene
03cos1
2334 32
dy x x
ydx x ysen x x
y
para esta ecuación se tiene
x ysen x x
y y x M 334),( 3
2
y
x x
y y x N 3cos1
2),(
-
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con
x sen x y
x ysen x x
y
y M
331
334
2
32
y
x sen x x
x x
y
x N
331
3cos1
2
2
esto es igual a tener
x N
y M
con esto se concluye que la ecuación no es exacta.
-
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UNIDAD 3
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
OBJETIVOResolver ecuaciones diferenciales de orden superior mediante de diversosmétodos.
TEMARIO
3.1 ECUACIONES HOMOGÉNEAS Y NO HOMOGÉNEAS3.2 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL A PARTIR DE UNA SOLUCIÓN CONOCIDA3.3 EL WRONSKIANO3.4 VARIACIÓN DE PARÁMETROS3.5 ECUACIÓN DE CAUCHY EULER3.6 SERIES DE POTENCIA
-
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MAPA CONCEPTUAL
-
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INTRODUCCIÓN
En esta unidad el alumno conocerá ecuaciones diferenciales denominadas deorden superior, distinguiendo de las ecuaciones homogéneas y no homogéneaspara aplicarlas en problemas de modelamiento.
Las ecuaciones homogéneas son aquellas ecuaciones que secategorizan de forma lineal y las no homogéneas aquellas que no cumplen eserequisito de ser lineal en un intervalo determinado, ambos planteamientos llevana que en esta unidad se demuestren diversos métodos para poder llegar a unasolución de esas ecuaciones diferenciales, mismos que los alumnos tendránque aprender.
-
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57
3.1 ECUACIONES HOMOGÉNEAS Y NO HOMOGÉNEAS
Una ecuación lineal de orden n de la forma
0)()(...)()( 0111
1 y xa
dxdy
xadx
yd xa
dx yd
xa nn
nn
n
n
Se llama homogénea, mientras que una ecuación
)()()(...)()( 0111
1 x g y xadxdy
xadx
yd xa
dx yd
xa nn
nn
n
n
donde )( x g no es idénticamente cero, se llama no homogénea.
Toda función p y libre de parámetros arbitrarios que satisface la ecuación
)()()(...)()( 0111
1 x g y xadxdy
xadx
yd xa
dx yd
xa nn
nn
n
n
se llama solución particular de la ecuación no homogénea.Por ejemplo:
0532 y y y
es una ecuación diferencial de segundo orden, lineal y homogénea, mientrasque
xe y y y x 1063
es una ecuación diferencial de tercer orden lineal y no homogénea.
Seank y y y ,...,, 21
soluciones de la ecuación diferencial homogénea de orden n , ecuación
0)()(...)()( 0111
1 y xa
dxdy
xadx
yd xa
dx yd
xa nn
nn
n
n
donde x esta en un intervalo I . La combinación lineal
)(...)()( 2211 x yc x yc x ycY k k
en donde lasic , k i ,...,2,1
son constantes arbitrarias, también es una solución cuando x está en elintervalo.
-
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58
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Determinar si la función dada es homogénea o no homogénea.
1. x y xy x /2 43
2. )34( y x y x
3.442 y x y
x
4. y x
x2cos
5. y x
x sen
3.2 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL A PARTIR DE UNA SOLUCIÓN CONOCIDA
Sea el caso 2k , donde L sea el operador diferencial, )(1 x y y )(2 x y
soluciones de la ecuación homogénea 0)( y L , definiendo
)()( 2211 x yc x yc y
aplicando la linealidad de L , resulta
)()()}()({)( 22112211 y Lc y Lc x yc x yc L y L
)()()(2211
y Lc y Lc y L
00)( 21 cc y L
0)( y L
Las funciones 21 x y y x x y ln22 son soluciones de la ecuación lineal
homogénea
-
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59
0423 y y x y x
para xen el intervalo ),0( , la combinación lineal es
x xc xc y ln222
1
es una solución de la ecuación en el intervalo.Sea L el operador diferencial, )( xY y )( x y p soluciones particulares de
la ecuación no homogénea )()( x g y L . Definiendo )()()( x y xY xu p , por la
linealidad de L se debe cumplir
0)()()(())(()}()({)( x g x g x y L x L L x y xY Lu L p p
se demuestra que )( xu es una solución de la ecuación homogénea 0)( y L
Utilizando la sustitución para la función
x y p 21
1211
es una solución particular de la ecuación no homogénea
x ydx
dy
dx
yd
dx
yd 36116
2
2
3
3
Para llegar a la solución general de la ecuación anterior, hay que resolverla ecuación homogénea asociada
061162
2
3
3 y
dxdy
dx yd
dx yd
la cual tiene como solución x x x
c ececec y 3
32
21
en el intervalo ),( ; por lo tanto la solución general de la ecuación inicial en
el intervalo es
pc y y y
xececec y x x x1211
12113
32
21
-
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60
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Realizar una investigación documental en la que, como ejemplos, tengansoluciones de ecuaciones diferenciales a partir de una solución conocida paraque el alumno reafirme los conocimientos obtenidos en clases.
3.3 EL WRONSKIANO
El wronskiano en matemáticas denomina así a una función en honor a elmatemático y filósofo Józef Maria Hoene-Wronski, aplicable al estudio de lasecuaciones diferenciales ordinarias. Wronski en 1812 dice que cada ecuacióntiene una solución algebraica.
Suponga que cada una de las funciones)(),...,(),( 21 x f x f x f n
posee1n
derivadas al menos.El determinante
)1()1(2
)1(1
21
21
21
...
'''
...
),...,,(
nn
nn
n
n
n
f f f
f f f
f f f
f f f W
en donde las primas representan las derivadas, es el wronskiano de lasfunciones.
Sean n soluciones n y y y ,...,, 21 de la ecuación
0)()(...)()( 0111
1 y xa
dx
dy xa
dx
yd xa
dx
yd xa n
n
nn
n
n
lineal, homogénea y de orden n , en un intervalo I , si y solo si
0,...,,( 21 n y y yW
para toda x en el intervalo.
-
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61
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Realizar una investigación documental del uso del método del Wronskiano en lasolución de ecuaciones diferenciales y poder calcular el determínatecorrespondiente.
3.4 V ARIACIÓN DE PARÁMETROS La solución particular de una ecuación de diferencial lineal de primer orden
)()( x f y x P dxdy
en un intervalo, se aplica a ecuaciones lineales de orden superior. Para adaptar
el método de variación de parámetros a una ecuación diferencial de segundoorden
)()()()( 012 x g y xa y xa y xa
es necesario manejar la ecuación diferencial de la forma reducida)()( x f y xQY W Y
Para hallar una solución particular de la ecuación )()( x f y x P dxdy para
la ecuación )()()()( 012 x g y xa y xa y xa , se debe buscar una solución de laforma:
)()()()( 2211 x y xu x y xu y p
para que 1 y y 2 y formen un conjunto de soluciones en I .
Aplicando dos veces la regla del producto para diferenciar p y obtenemos
22221111 u y yuu y yu y p
22222221111111 ; yuu yu y yu yuu yu y yu y p
sustituyendo las ecuaciones obtenidas en )()()()( 012 x g y xa y xa y xa y
agrupando los términos:
22221111)()( Qy y P yuQy y P yu y xQ y x P y p p p
2211221122221111 u yu yu yu y P yuu y yuu y
-
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62
221122112211 u yu yu yu y P u ydxd
u ydxd
)(221122112211 x f u yu yu yu y P u yu ydxd
Es necesario determinar dos funciones desconocidas 1u y 2u , estasfunciones satisfacen a 02211 u yu y , reduciendo la ecuación
)(221122112211 x f u yu yu yu y P u yu ydxd
a
)(2211 x f u yu y
se Obtienen las dos ecuaciones que se necesitaban. Aplicando la regla de
Cramer y la solución del sistema02211 u yu y
)(2211 x f u yu y
se puede expresar en términos de los determinantes
W W
u 11 y W W
u 22
en donde
)(0,
)(0,
1
12
2
21
21
21
x f y yW
y x f yW
y y y yW
Las funciones 1u y 2u se determinan integrando los resultados
W W
u 11 y W W
u 22
donde el determinante W es el wronskiano de 1 y y 2 y , que por la independencia
linean entre 1 y y 2 y en I , que 0))(),(( 21 x y x yW para toda xen el intervalo.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por variación de parámetros.
-
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63
1. x y y sec´´
2. senx y y ´´
3. x
e y y
x2
4´´
4. x sene y y y 2´3´´
5. xe y y y x ln´2´´
3.5 ECUACIÓN DEC AUCHYEULER Augustin Louis Cauchy y Leonhard Paul Euler trataron de buscar un factor deintegración que transforma ecuaciones diferenciales que no son lineales aecuaciones diferenciales exactas para poder llegar a su solución.
Toda ecuación diferencial lineal de la forma
)(... 0111
11 x g yadx
dy xa
dx yd
xadx
yd xa n
nn
nn
nn
n
donde los coeficientes 01 ,...,, aaa nn son constantes, tienen los nombres de
ecuación de Cauchy-Euler ó Euler-Cauchy.La característica observable de este tipo de ecuación es que el grado
0.....1, nnk
de los coeficientes nominales k x coincide con el orden k de la diferenciaciónk k dx yd / .
Solución de la formam x y
donde m esta por determinar. La primera y segunda derivadas son,respectivamente
-
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64
1 mmxdxdy
y
2
2
2
)1( m xmmdx
yd
en consecuencia
mmm cxmxbx xmmaxcydxdy
bxdx
yd ax 1222
22 )1(
mm bmx xmam )1(
))1(( cbmmam xm
así,m x y
es una solución de la ecuación diferencial siempre m que sea una solución dela ecuación auxiliar
0)1( cbmmam
ó
0)(2 cmabam
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Realizar una investigación documental del empleo de la ecuación de CauchyEuler en la solución de ecuaciones diferenciales, para reforzar losconocimientos obtenidos en clase; el alumno debe proponer un análisis delalgoritmo para solucionar ecuaciones diferenciales a través de la ecuación de
Cauchy-Euler.
-
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65
3.6 SERIES DE POTENCIA Determinar la solución de
02 xydxdy
como una serie de potencias en x . Suponiendo que la solución de la ecuaciónexiste y tiene la forma
0n
nn xc y
aplicando una derivación a la educación da como resultado
1
1
0
1
n
nn
n
nn xnc xncdx
dy
tomando de referencia la ecuación a determinar y la que se derivo obtenemos
0
1
1
1 22n
nn
n
nn xc xnc xydx
dy
Para sumar las dos series es necesario que ambos índices de lassumatorias comiencen con el mismo número y las potencias comiencen igual.
Entonces es necesario identificar que en la primera serie 1nk y en lasegunda serie 1 nk , la anterior ecuación el lado derecho se transforma en
1 11 11 2)1( k k
k k
k k xc xck c
Después de sumar término a término las series, se sigue que
0]2)1[(2 11
11 k k
k
k k xc xck c xydx
dy
para que esta ecuación sea idéntica a 0 , los coeficientes de la potencias igualesde xdeben ser cero; es decir,
01 c
y,...3,2,1,02)1( 11 k k ck ck
siendo esta última ecuación una relación de recurrencia o relación recursiva que
determina las k c . Dado que
01k
-
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66
para todos los valores indicados dek
se puede expresar la siguiente ecuación
1
2 11
k
cc
k k
por interacción, esta fórmula genera los siguientes resultados:
002 22
,1 ccck
032
,2 13 cck
0024 !21
21
42
,3 cccck
052
,4 35 cck
0046 !31
!231
62
,5 cccck
072
,6 57 cck
0068 !41
!341
82
,7 cccck
y así sucesivamente para que de la ecuación
0n
nn xc y
se obtenga que
'''665
54
43
32
2100
xc xc xc xc xc xcc xc yn
nn
'''0!3
10
!21
00 604
02
00 xc xc xcc
...!3
1!2
11 6420 x x xc
0
2
0 !n
n
n x
c
-
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67
esta es la solución general ya que la interacción ha dejado a 0c totalmente
indeterminado.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Realizar una investigación documental para reforzar los conocimientosobtenidos en clase donde aplique el uso de las series de potencia en la soluciónde ecuaciones diferenciales, como resultado de dicha investigación el alumnoserá capaz de analizar ecuaciones diferenciales y aplicar la interacción querequiere la solución de educaciones a través de este método sobre todo paracomprender si la ecuación diferencial en estudio será convergente o divergentepara el intervalo en que se estudie.
-
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68
AUTOEVALUACIÓN
Determinar si la función dada es homogénea o no homogénea.
1. x y xy x /2 43
2. )34( y x y x
3.442 y x y
x
4. y x
x2
cos
5. y x
x sen
-
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RESPUESTAS AUTOEVALUACION
Determinar si la función dada es homogénea o no homogénea.
1. x y xy x /2 43
Respuesta: Sea
x y xy x y x f /2),( 43
xtytytxtxtytx f /)())((2)(),( 423
tx yt yt txtytx /)(2 442233
x yt xyt xt /2 432333
)/2(),( 4233 x y xy xt tytx f
por lo tanto
x y xy x y x f y x f t tytx f /2),(:),(),( 4233
resultando ser una función homogénea de tercer grado.
2. )34( y x y x
Respuesta:
)34(),( y x y x y x f
)34())(3)(4(),( 21
y xt y xt tytxtytxtytx f
)34(),( 23
y xt y xt tytx f
por lo tanto
)34(),(:),(),( 23
y xt y x y x f y x f t tytx f
función homogénea de grado2
3
3.442 y x y
x
Respuesta:
-
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442),(
y x y
x y x f
442 )()()(),(
tytxty
txtytx f
444422),(
yt xt yt
txtytx f
)(),(
44422 y xt yt
txtytx f
)(),(
44222 y xt yt
txtytx f
))((),( 4422 y x yt
txtytx f
))((),(
442 y x yt
xtytx f
))((),(
442
1
y x y
xt tytx f
por lo tanto
442
1
),(:),(),( y x y
x y x f y x f t tytx f
es una función homogénea de grado -1
4. y x
x2cos
Respuesta:
y x
x
y x f
2
cos),(
tytxtx
tytx f 2)(
cos),(
)(cos),(
22
y xt xt
tytx f
-
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y x xt
tytx f 2
cos),(
entonces
y x x
t y x xt 22
coscos
por lo tanto
y x x
y x f 2
cos),(
función no homogénea.
5. y x
x sen
Respuesta:
y x x
sen y x f ),(
entonces
tytxtx
sentytx f ),(
)(),( y xt tx sentytx f
y x x
sentytx f ),(
y x x
sentytx f 1),(
y x x
sent tytx f 0),(
por lo tanto),(),( 0 y x f t y x f
función homogénea de grado 0.
-
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UNIDAD 4
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
OBJETIVO Aplicar la transformada de Laplace a ecuaciones diferenciales
TEMARIO4.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE4.2 TRANSFORMADA DIRECTA E INVERSA DE LAPLACE4.3 SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES CON LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE
-
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-
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74
INTRODUCCIÓN
En esta unidad se aborda la transformada de Laplace, el cual es un método quetiene la finalidad de convertir una ecuación diferencial para su solución a formaalgebraica.
La transformada de Laplace sirve para verificar la validez de unaecuación diferencial en un intervalo dado, hay el caso en que las ecuacionesdiferenciales dadas en problemas no existen y mediante este método, ya sea ensu forma directa o inversa, se comprueba si la ecuación existe.
-
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4.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Sea
0),( t t F
dada. La transformada de Laplace de)(t F
se define como
0)()}({)( dt t F et F s f st L
donde s es un parámetro real. El símbolo L se llama operador de latransformada de Laplace.
La integral impropia de la ecuación anterior se define como
M st M
dt t F elím0
)(
y la transformada de Laplace se dice que existe o no de acuerdo a si el límiteexiste o no. Si
M st
M dt t F elím
0)(
existe decimos que la integral converge.Ejemplo 1. Encontrar }1{L , solución:
0 0)1()}1{b st
b
st dt elímdt eL
se
lím se
lím st
b
b
o
st
b
1|
s1
)}1{ L
si 0 s ya que el exponente sb es negativo, 0 sbe cuando b . Cuando
0 s se dice que integral es divergente.
Ejemplo2. Encontrar }{ at eL , solución:
0 0)()(}{
M t a s
M
at st at dt elímdt eeeL
a se
líma s
elím
M a s
M
M
o
t a s s
M
11)(
)()(
|
-
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76
a se at
1}{L
La transformada de Laplace existe si a s pero no existe si a s .En general para las funciones donde a s , existirá también para a s ,
aunque hay funciones cuyas transformadas de Laplace no existen para ningúnvalor de s , por ejemplo la integral de
dt ee t st x 2
0
no converge para ningún valor de s , la transformada de Laplace de2t e no
existe.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Aplique la transformada de Laplace para determinar )}({ t f L para los casos
cuando )(t f este condicionada por los valores.
1.
11
10,1)(
r t
t t f
2.
11
10,)(
r t
t t t f
3. t t sent
t f 0
0,)(
4.20
20,4)(
t
t t f
-
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77
5.
l r t
t t t f
0
20,12)(
4.2 TRANSFORMADA DIRECTA E INVERSA DE LAPLACE La transformada directa de Laplace es aquella cuando una función
)(t f
se transforma en otra función)( s F
a través de la integral
dt t f e st
)(0
representada de forma general por)()}({ s f t f L
Algunas transformadas de Laplace de funciones básicas son:
a) s1
}1{ L
b) ,...3,2,1,!}{ 1 n sn
t nnL
c) a s
e at 1
}{L
d) 22)}{ k s
k senkt L
e) 22)}{cos k s s
kt L
f)22)}{ k s
k senhkt L
g) 22)}{cosh k s
skt L
-
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78
La transformada inversa de Laplace, se ocupa en invertir el proceso, esdecir, dada
)( s F
hallar la función)(t f
que corresponde a esa transformación.Se considera que
)(t f
es la transformada inversa de Laplace de)( s F
expresada como
)}({)( 1 s f t f L
Algunas transformadas inversas de Laplace de funciones básicas son
a) s1
1 1-L
b) ,...3,2,1,!
1 n
sn
t nn 1-L
c)a s
e at 11-L
d)22 k s
k senkt
1-L
e)22cos k s
skt 1-L
f)22 k s
k senhkt
1-L
g) 22cosh k s s
kt 1-
L
1-L es una transformación lineal. La transformada de Laplace es unatransformación lineal si y son constantes, esto es
)()()()( sG s F g s F 1-1-1- LLL
-
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donde F y G son las transformadas de las funciones f y g.La transformada inversa de Laplace de una función F(s) puede no ser
única. Es posible que
)}({)}({ 21 t f t f LL
y
21 f f ,
pero si 1 f y 2 f son continuas en el intervalo ),0[ , entonces 21 f f en dicho
intervaloEjemplo 1: Evalúe
5
1 s
1-L ,
para dar solución hay que coincidir la ecuación a la forma
1
!n
n
sn
t 1-L ,
donde se determina que 4n , para después multiplicar y dividir la ecuación por
!4 , resolviendo la ecuación de la siguiente manera.
t s s 24
1!4!4
1155
1-1- LL
t s 24
115 1-L
Ejemplo 2: Evalúe
641
2 s1-L
Solución: como 642k , utilizando
22 k sk
senkt 1-L
se divide la expresión y se multiplica por 8, quedando resulta de la siguienteforma:
648
81
641
22 s s1-1- LL
-
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80
t sen s
881
64
12
1-L
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Realizar una investigación documental respecto a la transformada directa einversa de Laplace para reforzar los conocimientos obtenidos de clase y podersolucionar ecuaciones diferenciales a través de este método. _Debido a que laTransformada de Laplace se define en términos de una integral impropia quepuede ser divergente, el estudiante tiene que conocer a través de esta
investigación las condiciones necesarias para la existencia de la transformadade Laplace, las condiciones que puede investigar son la de la transformada deLa place en funciones continuas a trozos, en funciones de orden exponencial,funciones acotadas, además, debe investigar el teorema de la existencia de latransformada de Laplace y su linealidad.
4.3 SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES CON LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE Con condiciones iniciales, la transformada de Laplace reduce un sistema deecuaciones diferenciales a un conjunto de ecuaciones algebraicas simultáneaspara las funciones transformadas.Ejemplo: Resolver
2
2
t y x
t y y x
sujetas a 0)0(,1)0( y x .
Solución: Si )}({)( t x s X L y )}({)( t y sY L , entonces después de
transformar cada ecuación se obtiene:
2
1)()0()()]0()([2
s sY y s sY x s sX
-
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81
3
2)0()()0()(
s y s sY x s sX
es decir
2
12)()1()(2
s sY s s sX
3
21)()(
s s sY s sX
Al multiplicar por 2 la segunda ecuación y restar se obtiene
32
41)()1(
s s sY s
es decir
)1(
4)( 3 s s
s sY
que al desarrollarlo en fracciones parciales da
15455
)(32 s s s s
sY
aplicando transformadas inversas la ecuación se transforma en
11
5!2
51
51
5)( 32 s s s sr y
1-1-1-1- LLLL
t et t r y 5255)( 2 De acuerdo a la ecuación
3
21)()(
s s sY s sX
4
21)()(
s s sY s X
en consecuencia
4
!3!3
21)}({)( s s sY t x
1-1-1-
LLL
t et t t t x 531
254)( 32
se concluye que la solución del sistema
-
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82
2
2
t y x
t y y x
es
t
et t t t x
531
254)( 32
t et t t y 5255)( 2
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Realizar una investigación documental donde se utilicen soluciones de
ecuaciones diferenciales utilizando la transformada de Laplace, con dichainvestigación el alumno deberá presentar el algoritmo en forma de diagrama deflujo donde se especifica los pasos ordenados para hallar la solución de lossistemas de ecuaciones.
-
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AUTOEVALUACIÓN
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales aplicando la transformada de
Laplace para determinar )}({ t f L
.
1. ot t f ,1)(
2. }{ at eL
3. kt senht f )(
4. kt t f cos)(
5. t sent f 2)(
-
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RESPUESTAS AUTOEVALUACIÓN
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales aplicando la Transformada de
Laplace para determinar )}({ t f L
.
1. ot t f ,1)(
Respuesta:
dt e st
0
}1{L
0,1
}1{ s s
L
2. }{ at eL
Respuesta:
0 0)()(}{
M t a s
M
at st at dt elímdt eeeL
a se
líma s
elím
M a s
M
M
o
t a s s
M
11)(
)()(
|
a se at 1}{L
3. kt senht f )(
Respuesta
22 k sk
senkt 1-L
4. kt t f cos)(
Respuesta:
22cos k s s
kt 1-L
-
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5. t sent f 2)(
Respuesta:
dt et sen
st
0
}2{L
tdt e s s
t senet sen
st st
2cos22
}2{00
L
0,2cos2
}2{0
stdt e s
t sen st
L
-
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BIBLIOGRAFIA
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Rainville, Earl D., Ecuaciones diferenciales elementales , México, Pearson,2000.
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Simmons, George, Ecuaciones diferenciales teoría y práctica , México,McGrawHill, 2007.
Spiegel, Murray R.,Ecuaciones diferenciales , México, Prentice Hall, 2000.
Zill, Dennis G., Ecuaciones diferenciales con aplicaciones , México,Iberoamérica, 2001.
-
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GLOSARIO
ÁLGEBRA : Parte de las matemáticas que se dedica en sus aspectos máselementales a resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones.
ARITMÉTICA : Parte de la matemática que se ocupa del estudio elemental delos números, de las relaciones entre ellos y de las técnicas de realización deoperaciones básicas como la suma, resta, multiplicación, división, potenciación,radicación y logaritmos.
BASE : Se llama base de una potencia al factor que se repite tantas veces comolo indica el exponente.
COEFICIENTE : Es el número que va situado a la izquierda de una letra o literal.Si el coeficiente es la unidad, se omite.
CONSTANTE : Valor de tipo permanente
DERIVADA : La derivada de una función es la representación de un valor sobrela pendiente de la recta tangente que cambia su valor.
ECUACIÓN : Igualdad entre dos expresiones algebraicas.
EXPONENTE : Un exponente es un número que indica cuántas veces debeusarse la base como factor.
FACTORIZACIÓN : Es la transformación de una expresión algebraica racionalentera en el producto de sus factores racionales y enteros primos entre sí.
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FUNCIÓN : Usada en matemáticas para modelar situaciones de la dependenciade una variable sobre otra.
IGUALDAD : Expresión que se obtiene de igualar dos cantidades que tienen elmismo valor.
INTEGRACIÓN : Es la suma de infinitos sumados, infinitamente pequeños.
INTERVALO : Conjunto de números reales comprendidos entre otros dosnúmeros reales.
LIMITE : Tendencia de una sucesión o función al acercase a un valor.
LOGARITMO : Se llama logaritmo en base a del número x al exponente b al quehay que elevar la base para obtener dicho número.
NÚMERO DECIMAL : Es la expresión lineal de una fracción ordinaria o decimalque se obtiene al dividir el numerador entre el denominador.
NÚMERO NATURAL : Denota una cantidad entera y positiva de una especie. Elconjunto de los naturales se denomina N, excluye al cero y se expresa: N= {1,2, 3, 4, ...}
NÚMERO RACIONAL : Comprende las cantidades numéricas expresables enforma de fracción. El conjunto de los números racionales se denota por Q eincluye a los números enteros y naturales.
NÚMEROS PRIMOS : Son aquellos números que solo son divisibles por símismos y por la unidad, es decir estos números solamente presentan dosdivisores. También son llamados "números primos absolutos" (1, 2, 3, 5, 7, 11,13, 17, 19, 23, 29, 31, etc.).
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POTENCIA : Representación de un producto de factores iguales entre sí.
RELACION : Conjunto de pares ordenados.
SISTEMA DE ECUACIONES : Conjunto de ecuaciones que presentansoluciones comunes.
TRANSFORMACIONES : Cambios de escala con el propósito de conseguirlinealidad, normalidad en los datos
VALOR ABSOLUTO: Siendo x un número real cualquiera, se llama valor
absoluto de x y se representa por | x | al número real que verifica las siguientescondiciones: | x |=x; sí y solo sí x>0 ó x=0; | x |=-x; sí y solo sí x
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Lambda Mi
Ni Xi
Ómicron Pi Ro
Sigma Tau Ípsilon
Fi
Ji
Psi
Omega