Introducción a La Metrología Mediante Speckle - Clase1
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FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 1Introduccin a la metrologa mediante speckleOrgenes y descripcin conceptual del speckle.Modelo de suma aleatoria de fasoresEstadstica de primer orden de la intensidad
Laboratorio de Ingeniera ptica
Clase 11FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 21. Orgenes y descripcin conceptual del speckle
Laboratorio de Ingeniera ptica
1.1 Qu es el speckle?La interferencia debida a la superposicin de todos las ondas que llegan al plano de observacin con fases aleatorias debido a la rugosidad de la superficie reflectora (o transmisora, en un medio transparente)[1,2][1] Ridgen and Gordon, The granularity of scattered optical maser light. Proc. IRE, 50, 2367 (1962)[2] Oliver, B. M. Sparkling spots and random diffraction. Proc. IEEE, 51, 220 (1963)2FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 31. Orgenes y descripcin conceptual del speckle
Laboratorio de Ingeniera ptica
1.2 Cmo se forma? Propagacin Libre Speckle objetivolPlano de observacin
3FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 41. Orgenes y descripcin conceptual del speckle
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1.3 Cmo se forma? Speckle imagenSpeckle subjetivol
4FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 52. Modelo de suma aleatoria de fasores
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2.1 Tratamiento fasorial onda plana
Sin tener en cuenta la polarizacin y suponiendo propagacin en el eje z:
5FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 62. Modelo de suma aleatoria de fasores
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Para describir una situacin ms general que una onda plana, la distribucin del campo elctrico en un plano (x,y) dado, tendremos:
6FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 72. Modelo de suma aleatoria de fasores
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Haremos en lo que sigue las siguientes suposiciones:Las amplitudes y fases an y fn son independientes de am y fm siempre que n m.Para cada n, an y fn son independientes una de otra.Las fases fn estn distribuidas uniformemente entre (-p,p).El fasor asociado al speckle (sea de propagacin libre o por formacin de imagen) estar dado por la suma de muchos fasores. 2.2 Suma aleatoria de N fasores 7FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 82. Modelo de suma aleatoria de fasores
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Valores esperados:
8FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 92. Modelo de suma aleatoria de fasores
Laboratorio de Ingeniera ptica
Varianzas:
Slo son distintos de cero los trminos con n = m, por lo tanto
9FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 102. Modelo de suma aleatoria de fasores
Laboratorio de Ingeniera ptica
Por ltimo, la correlacin entre las partes real e imaginaria
La funcin densidad de probabilidad conjunta queda entonces igual al producto de las funciones de cada variable aleatoria.
Donde s 2 es la varianza, indistintamente, de la parte real o imaginaria de Aa A se la llama variable compleja circular gaussiana 10FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 112. Modelo de suma aleatoria de fasores
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La densidad de probabilidad conjunta de A y F se obtiene haciendo un cambio de variables
Lo que da
11FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 122. Modelo de suma aleatoria de fasores
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Que puede ser integrado para obtener la distribucin en funcin de A y F solamente.
De donde concluimos que la longitud y la fase del fasor resultante son variables aleatorias estadsticamente independientes12FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 132. Modelo de suma aleatoria de fasores
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13FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 142. Modelo de suma aleatoria de fasores
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2.3 Suma aleatoria de N fasores + un fasor constante conocido(rugosidad < long. de onda)
La funcin densidad de probabilidad conjunta quedar
14FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 152. Modelo de suma aleatoria de fasores
Laboratorio de Ingeniera ptica
15FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 162. Modelo de suma aleatoria de fasores
Laboratorio de Ingeniera ptica
Que de nuevo puede ser escrita en funcin de A y F
Y ser integrado para obtener
16FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 172. Modelo de suma aleatoria de fasores
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17FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 182. Modelo de suma aleatoria de fasores
Laboratorio de Ingeniera ptica
18FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 193. Estadstica de primer ordende la intensidad
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Estadstica de Primer Orden = Estadstica en un instante y un punto
Para un campo linealmente polarizado tendremos (no escribimos las constantes de proporcionalidad por simplicidad)
Haciendo entonces el cambio de variable de la densidad de probabilidad19
FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 203. Estadstica de primer ordende la intensidad
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Reemplazando entonces en la expresin de la dens. de prob. de A
3.1 Nmero grande de fasores aleatoriosSpeckle completamente desarrollado20FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 213. Estadstica de primer ordende la intensidad
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Los momentos de la distribucin se obtienen integrando directamente y de all obtener la varianza y la desviacin estndar de la intensidad.
Definimos ac el contraste C del speckle, de manera intuitiva
21FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 223. Estadstica de primer ordende la intensidad
Laboratorio de Ingeniera ptica
Para uso futuro calculamos ac la funcin caracterstica (transformada de Fourier) de la distribucin de intensidad
3.2 Suma aleatoria de N fasores + un fasor constante conocido(rugosidad < long. de onda)
22FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 233. Estadstica de primer ordende la intensidad
Laboratorio de Ingeniera ptica
Haciendo como antes el cambio de variable se obtiene
Donde se debe tener en cuenta que representa la intensidad promedio de la parte aleatoria. Se us tambin la notacin.IB0 es la funcin de Bessel modificada de orden cero.
23FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 243. Estadstica de primer ordende la intensidad
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24FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 253. Estadstica de primer ordende la intensidad
Laboratorio de Ingeniera ptica
Los momentos, como antes, para este tipo de speckle quedan
De donde obtenemos la desviacin estndar de la intensidad
Y el contraste
25FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 263. Estadstica de primer ordende la intensidad
Laboratorio de Ingeniera ptica
26FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 273. Estadstica de primer ordende la intensidad
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27FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 283. Estadstica de primer ordende la intensidad
Laboratorio de Ingeniera ptica
3.3 Suma de N patrones de speckle independientesLa suma (en amplitud) de patrones de speckle no reduce el contraste (de hecho slo equivale a tener un nmero mayor de fasores)Un teorema fundamental de la teora de la probabilidad establece que la funcin densidad de probabilidad (pdf) de una suma de variables indepepndientes es la convolucin de las pdf de cada variable. Por lo tanto la funcin caracterstica de la suma ser igual al producto de las funciones caractersticas de cada variable. 28FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 293. Estadstica de primer ordende la intensidad
Laboratorio de Ingeniera ptica
Si todos los valores medios de los distintos spekcles coinciden, entonces la inversin de Fourier de la expresin anterior daDonde es la intensidad media total.
El contraste para este caso se puede calcular analticamente y da
29FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 303. Estadstica de primer ordende la intensidad
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30FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 31Resumen
Laboratorio de Ingeniera ptica
Speckle = Suma de fasores aleatoriosSpeckle Completamente DesarrolladoSpeckle ParcialmenteDesarrollado , circular gaussiana
, uniforme
, exponencial negativa
Contraste: 1 , uniforme delta (misma fase)
, exponencial negativa delta (misma I)
Contraste: 1 0 circ. gaussiana, circ. gaussiana.
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