Introducción a la Lógica Difusa y al Enfoque Língüístico Difuso Charlas Sinbad 2.
-
Upload
anselmo-calderon -
Category
Documents
-
view
107 -
download
1
Transcript of Introducción a la Lógica Difusa y al Enfoque Língüístico Difuso Charlas Sinbad 2.
Introducción a la Lógica Difusa y al Enfoque Língüístico Difuso
Charlas Sinbad2
SUMARIO
Conceptos Básicos: Incertidumbre, Precisión y …
Lógica Difusa y Conjuntos Difusos
Enfoque Lingüístico Difuso y Computación con Palabras
Comentarios Finales
Conceptos Básicos
• Información Imperfecta– Imprecisión en sistemas Humanos
• Imperfección del conocimiento percibido
– Sistemas de Información– Fuentes de incertidumbre
• Probabilísticas• Difusas• Errores• Imprecisión conceptual (lenguaje)
Conceptos Básicos1. Incertidumbre
– ISO 3534-1: una estimación unida al resultado de un ensayo que caracteriza el intervalo de valores dentro de los cuales se afirma que está el valor verdadero.
– Relacionada con la información imperfecta. Imprecisión– Distintas fuentes.
2. Probabilidad. – Casi todos los aspectos relacionados con la incertidumbre– Mide mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto
de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio.– Es una propiedad física de los objetos, determina la posibilidad de que
cierto evento ocurra. Se calcula y verifica por experimentación.
3. Vaguedad– Constituye una forma de incertidumbre distinta a la probabilidad su
carácter está relacionado con límites sin precisión clara.– Es una característica del lenguaje de comunicación humano.
Incertidumbre
¿Cuándo entrará en erupción un volcán?¿Aprobaré el examen?Si tiro la moneda, ¿sale cara o sello?¿La respuesta a la pregunta es V o F?
A medida que se dispone de más información la incertidumbre se puede reducir.
La ausencia de incertidumbre es tener información total.
Se trabaja con niveles de creencias.
IncertidumbreRango de valores [0,1]
¿Cuándo va a entrar en erupción un volcán?Silencio sísmico
¿Aprobaré el examen?¿Estudiaste?, ¿le dedicaste tiempo?, ¿hiciste tus trabajos?
Si tiro la moneda, ¿saldrá cara o sello?¿la moneda está sesgada?
¿Cuál es la respuesta para una pregunta con V o F?Si sabes, responde. Si no sabes, cualquiera es buena
respuesta.
ProbabilidadRango de valores [0,1]Ejemplos:• P (X = cara) = 0.5
P(X=x)
X
• P (X = VERDE) = 1/7
Vaguedad
• La vaguedad está relacionada con el grado con el cual los eventos ocurren sin importar la probabilidad de su ocurrencia.
• Por ejemplo, el grado de belleza de una persona es un evento vago per sé, sin importar que sea un elemento aleatorio.
• Relacionado con Fuzziness
• Característico del Lenguaje Humano
Vagueness (fuzziness) vs. Probability
• La incertidumbre probabilística se disipa con el incremento del número de ocurrencias y la vaguedad no.
• La vaguedad describe eventos ambiguos, la probabilidad describe los eventos que ocurren.
• Si un evento ocurre es aleatorio. El grado con el cual ocurre puede interpretarse como difuso.
Vagueness (fuzziness) vs. ProbabilityIncertidumbre
Redes Bayesianas
Aleatoriedad de eventos definidos de
manera precisa
Conjuntos Difusos
Subjetividad en la calificación de
eventos no aleatorios
LÓGICA DIFUSAY
CONJUNTOS DIFUSOS
Lógica Difusa y Conjuntos DifusosLofti Zadeh, 1965
Fue diseñada para representar y razonar sobre conocimiento expresado de forma lingüística o verbal
Conocimientos “vagos”,”imprecisos”, “difusos”, “borrosos”
Lógica Difusa y Conjuntos Difusos• La lógica difusa es una extensión de la lógica
convencional (Booleana) para manejar el concepto de verdad parcial.
• La verdad parcial se presenta cuando los valores de verdad se encuentran entre “absolutamente cierto” y “absolutamente falso”
F
V
F
V
Lógica booleana Lógica difusa
Lógica Difusa y Conjuntos Difusos
EJEMPLO: Es peligroso llegar a estar demasiado cerca de un león
Lógica Difusa y Conjuntos DifusosTrasladamos la pregunta mediante la elección de un umbral T en lógica clásica:
SI (distancia < T) ENTONCES peligroEsto se puede representar mediante la teoría clásica de conjuntos
Lógica Difusa y Conjuntos DifusosConsideremos una pequeña distancia, y su variación: ¿Hay peligro estando a la distancia T - ξ?
Lógica Difusa y Conjuntos DifusosFunciones de pertenencia continuas Conjuntos Difusos
Lógica Difusa y Conjuntos Difusos• Problemas Básicos subyacentes:
– Conceptos SIN definición clara: Muchos conceptos que manejamos los humanos a menudo, no tienen una definición clara: ¿Qué es una persona alta? ¿A partir de qué edad una persona deja de ser joven?
– La lógica clásica o bivaluada es demasiado restrictiva: Una afirmación puede no ser ni VERDAD (true) ni FALSA (false).
• “Ella es guapa”: ¿Es guapa, muy guapa o un poco mejor que regular?
Lógica Difusa y Conjuntos DifusosDe Conjuntos clásicos a Conjuntos Difusos
X: Universo de discursoA: Un conjunto definido en ese universo de discurso
Formas de definir el conjunto A:
• Enumerando elementos• Especificando una propiedad• Definiendo la función característica
1,0: XS
Lógica Difusa y Conjuntos Difusos• Ejemplo: Conjunto clásico de números reales en el
intervalo [0,10] comprendidos entre 5 y 8
A = [5,8], X = [0,10]
108,0
85,1
50,0
)(1
x
x
x
xA
Lógica Difusa y Conjuntos DifusosFunción característica Conjunto nítido
Función de pertenencia Conjunto difuso
Para cada elemento x, es el grado de pertenencia al conjunto difuso A
1,0: XS
1,0: XA
)(xA
Lógica Difusa y Conjuntos Difusos• Ejemplo: Conjunto de gente joven
B = {gente joven} B = [0,20]
10030,0
3020,10
30200,1
)(
x
xx
x
xB
3015 20 25 5035 40 45
10035,0
3520,10
35200,1
)(
x
xx
x
xB
Lógica Difusa y Conjuntos Difusos
Un conjunto difuso se pueden definir como:• Una función continua.
• Una enumeración de pares definidos sobre elementos discretos del conjunto
• donde – no representa una suma, sino una colección de todos los pares.– A(x)/x no representa ningún cociente, sino un par
(posibilidad/elemento)
Ux
A xxA /)(
Ux
A xxA /)(
Sea el conjunto difuso joven
3015 20 25 5035 40 45
A = {1/10, 1/15, 1/20, 0.75/25, 0.25/30, 0/35 }
A = {(1,10), (1,15), (1,20), (0.75,25), (0.25,30), (0.35,0) }
edad0
1
grado de pertencia
Lógica Difusa y Conjuntos Difusos
Lógica Difusa y Conjuntos Difusos
a b c
cx
cxbbc
xc
bxaab
axax
cbaxf
,0
,
,
,0
),,;(
Tipos de funciones de pertenencia
• Funciones triangulares
Lógica Difusa y Conjuntos Difusos• Funciones trapezoidales
a b c
dx
dxccd
xdcxb
bxaab
axax
cbaxf
,0
,
,1
,
,0
),,;(
d
Lógica Difusa y Conjuntos Difusos• Funciones gaussianas
• Otras: campana, S, Z, etc.
• Funciones descritas mediante polígonos– Generalizan cualquier otro tipo de representación– Nivel de aproximación ajustable
CONCEPTOS BASICOSDE
CONJUNTOS DIFUSOS
Conceptos Básicos de Conjuntos Difusos
Conceptos Básicos de Conjuntos Difusos• El soporte de un conjunto difuso A en el universo de discurso U
es un conjunto nítido que contiene todos los elementos de U que tenga valores de pertenencia ≠ 0 en A.
Soporte(A) = {x є U / μA(x) > 0}
•Si el soporte de un conjunto difuso es vacío, este es llamado conjunto difuso vacío (empty fuzzy set).
•Si el conjunto soporte está representado por un solo punto en U, este se denomina singleton difuso (fuzzy singleton).
1
soportex
μA(x)
Conceptos Básicos de Conjuntos Difusos• El conjunto x, donde μA(x) alcanza el valor de 1 se denomina
núcleo (core).
1
núcleox
μA(x)
• La altura de un conjunto difuso es el mayor valor de pertenencia logrado por algún punto.
• En un conjunto difuso normal la altura es 1.• normal: μA(x) = 1
altura
μA(x)
x
Conceptos Básicos de Conjuntos Difusos• Dado un conjunto difuso A definido en X y un número [0; 1] un conjunto -
cut (alfa corte) es un conjunto nítido que contiene todos los elementos en U que tengan valores de pertenencia en A mayores o iguales que α, definido por:
A = { x є U / μA(x) }
A + = { x є U / μA(x) } strong - cut
• Operaciones Estándar• Complemento A(x)
A(x) = 1 - A(x)•Unión: t-conormas
( AB ) x = max[ A(x), B(x)]
•Intersección: t-normas( AB ) x = min[ A(x), B(x)]
Conceptos Básicos de Conjuntos Difusos• Un conjunto difuso es convexo si y sólo si su α-cut Aα es un
conjunto convexo para algún α en el intervalo (0, 1]• Un conjunto A es convexo si para algún λ en [0, 1]:
μA(λx1 + (1 – λ)x2) ≥ min(μA(x1), μA(x2))• Alternativamente, A es convexo si todos los α-cuts son convexos
1
0.8
Normas y Co-normas Triangulares• Establecen modelos genéricos para las operaciones
de unión y intersección, las cuales deben cumplir ciertas propiedades básicas (conmutativa, asociativa, monotonicidad y condiciones frontera).
Definiciones:• Norma Triangular, t-norma:
Operación binaria t: [0,1]2 [0,1]
• Conforma Triangular, t-conorma o s-norma:Operación binaria s: [0,1]2 [0,1]
T-Norma
:[0,1] [0,1] [0,1]T
• Simetría
• Asociativa
• Monotonicidad
• Condición Frontera
( , ) ( , )T x y T y x
( ( , ), ) ( , ( , ))T T x y z T x T y z
1 2 1 2 1 1 2 2, ( , ) ( , )x x y y T x y T x y
( ,1)T x x
∩
S-Norma o T-Conorma
• Simetría
• Asociativa
• Monotonicidad
• Condición Frontera
:[0,1] [0,1] [0,1]S
( , ) ( , )S x y S y x
( ( , ), ) ( , ( , ))S S x y z S x S y z
1 2 1 2 1 1 2 2, ( , ) ( , )x x y y S x y S x y
( ,0)S x x
U
Ejemplos de: T-Norma y S-Norma
• Mínimo/Máximo:
• Lukasiewicz:
• Probabilística:
( , ) min( , )T a b a b a b ( , ) max( , )S a b a b a b
( , ) max( 1,0) ( , )T a b a b LAND a b ( , ) min( ,1) ( , )S a b a b LOR a b
( , ) ( , )T a b ab PAND a b ( , ) ( , )S a b a b ab POR a b
Características• Para cada t-norma existe una s-norma dual o conjugada (y
viceversa) :
x S y = 1 – (1 – x) T (1 – y) (usamos la negación original)x T y = 1 – (1 – x) S (1 – y)
Esas son las Leyes de De Morgan de la teoría de conjuntos difusos, que en conjuntos nítidos se aplican a la unión y a la intersección:
Enfoque Lingüístico Difuso yComputación con Palabras
COMPUTING WITH WORDS
• Zadeh in
• Computing with Words– Methodology for reasoning and decision-making with
information described in natural language
• Capability to converse, communicate, reason and make decisions in an environment of imprecision
• Capability to perform physical and mental tasks without any measurement
J.M. Mendel, L.A. Zadeh, E. Trillas, R.R. Yager, J. Lawry, H. Hagras, and S. Guadarrama. What computing with words means to me. IEEE Computational Intelligence Magazine, 5(1):20–26, 2010.
Enfoque Lingüístico Difuso y CWW
COMPUTING WITH WORDS
• Fuzzy Linguistic Approach
The concept of Linguistic variable was widely described in:
Lotfi A. Zadeh. The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning, Part I: Inf. Sci. 8, 199-249, 1975; Part II: Inf. Sci. 8, 301-357, 1975; Part III: Inf. Sci. 9, 43-80, 1975.
Linguistic variables differ from numerical variables in that their values are not numbers but are words or phrases in a natural or artificial language (Zadeh, 1975).
A linguistic variable is a 5-tuple <L, T(L), U, S, M> in which
L is the name of the variable, T(L) is a finite term set of labels or words, S is the syntactic rule which generates the terms in T(L), U is a universe of discourse, and M is a semantic rule which associates with each linguistic label X its meaning, where M(X) denotes a fuzzy subset of U.
Enfoque Lingüístico Difuso y CWW
VariableLinguistic variable
Fuzzy constraints
Very low Low Medium Hight Very hight
Linguistic terms
Semantic rule
The successful use of linguistic variables is highly dependent on the determination of a valid membership function.
This is crucial question that always appears in CW.
COMPUTING WITH WORDSEnfoque Lingüístico Difuso y CWW
COMPUTING WITH WORDS
• Computing with Words
• Results quantifiable in natural language
Initial computing scheme with fuzzy linguistic terms in DM:
R.M. Tong and P.P. Bonissone. A linguistic approach to decision making with fuzzy sets. IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, SMC-10(11):716–723, 1980
Enfoque Lingüístico Difuso y CWW
COMPUTING WITH WORDS
• Computing with Words
– Translation and Retranslation processes• Machine and Human beings Interpretability
Other computing schemes with fuzzy linguistic terms in DM:• K.S. Schmucker. Fuzzy Sets, Natural Language Computations, and Risk Analysis. Computer
Science Press, Rockville, MD, 1984• R.R. Yager. Computing with words and information/intelligent systems 2:applications, chapter
Approximate reasoning as a basis for computing with words, pages 50–77. Physica Verlag, 1999• R.R. Yager. On the retranslation process in Zadeh’s paradigm of computing with words. IEEE
Transactions on Systems, Man, and Cybernetics Part B: Cybernetics, 34:1184–1195, 2004.
Enfoque Lingüístico Difuso y CWW
COMPUTING WITH WORDS
• Mendel in
• Implementation of previous formulation– (1) Establish a vocabulary of words that is application dependent– (2) Collect data from a group of subjects about all of the words in the vocabulary– (3) Map data into a fuzzy set model– (4) Establish the CW engine (aggregation, reasoning, etc.) will be used– (5) Implement the specific CW engine– (6) Map the fuzzy set output into a linguistic results (recommendations)
J.M. Mendel, L.A. Zadeh, E. Trillas, R.R. Yager, J. Lawry, H. Hagras, and S. Guadarrama. What computing with words means to me. IEEE Computational Intelligence Magazine, 5(1):20–26, 2010.
Enfoque Lingüístico Difuso y CWW
COMPUTING WITH WORDS
• Guidelines must be passed or else the work should not be called Computing with Words
– G1: A word must lead to a membership function rather than a
membership function leading to a word.
– G2: Numbers alone may not activate the CW engine
– G3: The output from a CW must be at least a word and not just a number
Enfoque Lingüístico Difuso y CWW
Linguistic Computing Models
Linguistic Computing Models
CLASSICAL COMPUTATIONAL MODELS FOR LINGUISTIC AGGREGATION
– Semantic model
It works on the fuzzy numbers associated to the semantics, and uses the extension principle for aggregation.
– Symbolic model
It works on the indexes of the linguistic labels.
Very low Low Medium High Very high
Order
Enfoque Lingüístico Difuso y CWW
Linguistic Computing Models
•SEMANTIC MODEL–Linguistic aggregation approach based on the Principle of
Extension (fuzzy arithmetic):
–The result is a fuzzy number that usually has not associated a linguistic label on the initial label set S.
–We must use an approximation function app1(·) for associating a label set.
–Another possibility is to use fuzzy ranking procedures for ordering the alternatives.
Enfoque Lingüístico Difuso y CWW
Linguistic Computing Models
The approximation process (label red to L or M) deals with a loss of information.
EXAMPLE: SEMANTIC MODEL
Degani, R., Bortolan, G.The problem of linguistic approximation in clinical decision making Int. J. Approx. Reas. 2 (1988) 143-162.
(0.33,0.41,0.53)
Enfoque Lingüístico Difuso y CWW
Linguistic Computing Models
• SYMBOLIC MODEL– The symbolic aggregation computes on the label indexes
– The result is a real value on the granularity interval (that usually is not an integer)
– For assigning a label (an integer value) we also need an approximation process, app2(·)
Enfoque Lingüístico Difuso y CWW
Linguistic Computing Models
• SYMBOLIC MODEL– Linguistic symbolic computational model based on
ordinal scales and max-min operators
– Linguistic symbolic computational model based on convex combination
R.R. Yager. A new methodology for ordinal multiple aspect decisions based on fuzzy sets Decision Sciences 12 (1981) 589-600.
Delgado, M., Verdegay, J.L., Vila, M.A., On aggregation operations of linguistic labels International Journal of Intelligent Systems 8:3 (1993) 351-370.
38
Enfoque Lingüístico Difuso y CWW
Linguistic Computing Models
MSS
SSSSC
HVLLMC
round
3}75,2{
412,3 },,{
},,,{
The approximation process (round(2.75) = 3) also leads us to a loss of information.
EXAMPLE: SYMBOLIC MODEL BASED ON CONVEX COMBINATIONS
Enfoque Lingüístico Difuso y CWW
• Linguistic Symbolic Approach
– Advantages• Easy computation• Results Interpretability
– Drawback• Loss of information
– Computing with Words• Lack of accuracy
– Challenges• To improve accuracy• To increase Operational laws
Linguistic Computing ModelsEnfoque Lingüístico Difuso y CWW
• New Linguistic Symbolic Approaches
– Linguistic 2-tuple Model [Herrera & Martínez 00]
Linguistic Computing Models
F. Herrera and L. Martínez. A 2-tuple Fuzzy Linguistic Representation Model for Computing with Words. IEEE Transactions on Fuzzy Systems 8:6 (2000) 746-752.
Enfoque Lingüístico Difuso y CWW
Linguistic Computing Models
SYMBOLIC MODEL2-tuple fuzzy linguistic representation. A new symbolic approach
Why to propose it? There exist limitations in the loss of information caused by the need to express the results in the initial expression domain that is discrete via an approximate process.
This loss of information implies a lack of precision in the final results from the fusion of linguistic information.
We present tools for overcoming this limitation.
F. Herrera and L. Martínez.A 2-tuple Fuzzy Linguistic Representation Model for Computing with Words. IEEE Transactions on Fuzzy Systems 8:6 (2000) 746-752.
Enfoque Lingüístico Difuso y CWW
Linguistic Computing Models
• 2-tuple fuzzy linguistic representation. – It is a linguistic model based on a pair of information and
uses indexes based aggregation operators
– It is based on the concept of “symbolic translation”
Sss iii ),,( )5.0,5.0[i
Enfoque Lingüístico Difuso y CWW
Linguistic Computing Models
• 2-tuple fuzzy linguistic computational model.
– From numerical value to 2-tuple
– From 2-tuple to numerical value
)5.0,.5.0(,0: Sg
)5,0,5.0[
)(),,()(
i
roundiswiths i
i
gS ,05.0,5,0:1
isi ),(1
Enfoque Lingüístico Difuso y CWW
Linguistic Computing Models
• 2-tuple fuzzy linguistic computational model.
– Negation Operator
– ComparisonLet and be two 2-tuples
If k < l then is less than
If k = l then: If then and are equal If then is less than If then is greater than
– Aggregation operators
)),((),( 1 ii sgsNeg
),( 1ks ),( 2ls
),( 1ks ),( 2ls
21
),( 1ks),( 2ls
21
),( 1ks
),( 1ks
),( 2ls),( 2ls
21
Enfoque Lingüístico Difuso y CWW
FUTURE WORK AND CHALLENGES
• Computing with words
– Increase the operational laws
• Symbolic point of view
– Increase the vocabulary to elicitate linguistic preferences
• Not natural language processing
– Joint CW with other methodologies for reasoning
Comentarios Finales