INTRODUCCION A LA FISICA · INTRODUCCION A LA FISICA Luis Rodríguez Valencia1 Departamento de...

INTRODUCCION A LA FISICA

Luis Rodríguez Valencia1

Departamento de FísicaUniversidad de Santiago de Chile

27 de marzo de 2003

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Contenidos

1. Espacio tiempo 11.1. Conceptos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Unidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Teorías en física. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4. Sistemas de referencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5. Escalas de tiempos y longitudes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6. Descripción del movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6.1. Movimiento unidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . 71.6.2. Desplazamientos en el espacio. . . . . . . . . . . . . . . 10

1.7. Vectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7.1. Notación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7.2. Multiplicación de un vector. por un escalar. . . . . . . 121.7.3. Vectores unitarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.7.4. Vectores unitarios cartesianos. . . . . . . . . . . . . . . 131.7.5. Componentes cartesianas de un vector. . . . . . . . . . 131.7.6. Vector nulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7.7. Algunas propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7.8. Resta de vectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7.9. Producto escalar de vectores. . . . . . . . . . . . . . . 141.7.10. Otras propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8. Velocidad y aceleración. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8.1. Vector posición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8.2. Vector velocidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8.3. Vector aceleración. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.8.4. Velocidades absolutas y relativas. . . . . . . . . . . . . 16

1.9. Trayectoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.10. Transformación de Galileo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

IV CONTENIDOS

1.11. La velocidad de la luz en el vacío. . . . . . . . . . . . . . . . . 181.11.1. Concepto de simultaneidad. . . . . . . . . . . . . . . . 191.11.2. Un modelo de reloj. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.11.3. La transformación de Lorentz. . . . . . . . . . . . . . . 231.11.4. Cantidad de movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.11.5. El efecto Doppler para la luz. . . . . . . . . . . . . . . 261.11.6. El efecto Doppler para otras señales. . . . . . . . . . . 27

1.12. Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2. Desarrollo del método científico. 332.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2. Modelos del Cosmos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.1. Modelo de Ptolomeo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.2. Modelo de Copérnico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2.3. Mejores modelos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2.4. Johannes Kepler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2.5. Las leyes de Kepler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2.6. Sir Isaac Newton. La unificación de la Física y la As-

tronomía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3. La difusión de método científico. . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3.1. La edad clásica de la Ciencia. . . . . . . . . . . . . . . 442.4. El método científico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.5. Los cambios actuales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.5.1. Hitos en la historia de la Física Moderna . . . . . . . . 46

3. Gravitación. 513.1. Desarrollo de la teoría gravitacional. . . . . . . . . . . . . . . 51

3.1.1. Ley inversa al cuadrado de la distancia. . . . . . . . . . 543.1.2. Velocidad de escape. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.1.3. Peso y masa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.1.4. Interacción entre los cuerpos celestiales. . . . . . . . . . 563.1.5. Teoría potencial. (Usted puede omitir esto) . . . . . . . 573.1.6. Medidas absolutas de la gravedad. . . . . . . . . . . . . 593.1.7. Medidas relativas de la gravedad. . . . . . . . . . . . . 603.1.8. La Teoría gravitacional y otros aspectos de la Física. . 603.1.9. Teorías del campo de gravitación. . . . . . . . . . . . . 613.1.10. Los campos gravitacionales y la teoría general de rela-

tividad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

CONTENIDOS V

3.1.11. Los caminos de partículas y luz. . . . . . . . . . . . . . 643.1.12. Estudio experimental de la gravitación. . . . . . . . . . 643.1.13. Datos actuales de las órbitas planetarias. . . . . . . . . 66

4. Caída libre y movimiento de proyectiles. 694.1. Aceleración. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.2. Componentes cartesianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.2.1. Condiciones iniciales particulares. . . . . . . . . . . . . 714.2.2. Ecuación de la trayectoria. . . . . . . . . . . . . . . . . 724.2.3. Parábola de seguridad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.2.4. Alcance máximo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5. La evolución de las estrellas. 795.0.5. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.0.6. Las cuatro fuerzas fundamentales. . . . . . . . . . . . . 795.0.7. Equilibrio de un gas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.0.8. Sólidos y líquidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.0.9. La fuerza gravitacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.0.10. Estados extremos de la materia. . . . . . . . . . . . . . 81

5.1. Formación de una estrella. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.1.1. Agonía de una estrella. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6. El Universo y su evolución. 956.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.2. La expansión del Universo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.3. Propiedades generales del espacio tiempo. . . . . . . . . . . . 98

6.3.1. Diagramas espacio tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . 986.4. Horizonte observable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.4.1. El efecto Doppler cósmico. . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.4.2. Radiación de fondo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.5. El modelo estándar del Big Bang. . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.6. Partículas elementales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.7. Los grandes periodos del Universo. . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.7.1. Cosmología cuántica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.7.2. La era hadrónica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.7.3. La era leptónica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.7.4. La era radiativa y la núcleo síntesis. . . . . . . . . . . . 1076.7.5. La era estelar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

VI CONTENIDOS

7. Matemáticas. 1097.1. Algunas funciones importantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7.1.1. La función exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.1.2. El logaritmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107.1.3. El número e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.2. Sumatorias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.2.1. Sumatorias notables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7.3. Gráficos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.3.1. Correlación lineal : y = Ax+B (la línea recta). . . . . 1157.3.2. Decaimiento con b < 0 (o crecimiento si b > 0) expo-

nencial : y = yoebx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

7.3.3. Modelo potencia y = AxB. . . . . . . . . . . . . . . . 1177.3.4. Modelo con dos exponenciales: y = Aebx + Cedx. . . . . 119

7.4. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.5. Derivadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.6. Diferenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.7. Integrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.7.1. El área bajo una curva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247.7.2. La integral definida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.7.3. Relación con la derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277.7.4. Resultado final. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.7.5. La integral indefinida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.8. Elementos de cálculo numérico. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297.8.1. Método de Newton para el cálculo de una raíz. . . . . . 1297.8.2. Método iterativo para determinar una raíz de f(x) = x. 1317.8.3. Método de la secante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.8.4. Derivada numérica con dos puntos. . . . . . . . . . . . 1337.8.5. Derivada con más puntos. . . . . . . . . . . . . . . . . 1337.8.6. Un ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

7.9. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

8. Elementos de probabilidades 1398.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

8.2. Tómelo con calma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1408.3. Cosas concretas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

8.3.1. Lanzar un dado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418.3.2. Lanzar un dardo a un blanco. . . . . . . . . . . . . . . 141

CONTENIDOS VII

8.3.3. Lanzar dos dados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418.4. Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

8.4.1. Población o Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1428.4.2. Eventos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1428.4.3. Eventos compuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1428.4.4. Probabilidad, caso discreto . . . . . . . . . . . . . . . . 142

8.5. Sacar cuentas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1468.5.1. Concepto básico de multiplicación. . . . . . . . . . . . 1478.5.2. Permutaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1478.5.3. Combinaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

8.6. Variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1498.6.1. Distribución binomial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

8.6.2. Caso continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1518.6.3. Valor esperado, varianza y desviación estándar . . . . 1568.6.4. Funciones de variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . 1588.6.5. Función distribución del promedio . . . . . . . . . . . . 1598.6.6. Muestras pequeñas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1648.6.7. Más sobre funciones distribución (fd) . . . . . . . . . . 165

8.7. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

9. Estadística de datos 1739.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1739.2. Estadígrafos muestrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1749.3. Distribuciones de frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1759.4. Método de mínimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

9.4.1. Variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1789.4.2. Coeficiente de correlación lineal de Pearson . . . . . . . 1809.4.3. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

10.Modelos lineales. 18510.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18510.2. Modelo lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

10.2.1. Estimación del parámetro σ. . . . . . . . . . . . . . . . 18910.2.2. Intervalos de confianza para α y β. . . . . . . . . . . . 18910.2.3. Valores particulares de tp. . . . . . . . . . . . . . . . . 190

VIII CONTENIDOS

11.Método experimental 19311.1. Medición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

11.2. Valor verdadero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19411.3. Estandarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19611.4. Valores de algunas constantes fundamentales . . . . . . . . . . 19811.5. Las unidades básicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19811.6. Introducción a errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

11.6.1. Límites de las mediciones. . . . . . . . . . . . . . . . . 19911.7. Errores aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

11.7.1. Error de una medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20211.7.2. Estimación de σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

11.8. Sobre algunas características de los aparatos de medición. . . . 20411.9. Propagación de errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

11.9.1. Función distribución de la suma . . . . . . . . . . . . . 206

11.9.2. Funciones distribución de dos variables . . . . . . . . . 20711.10.Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

11.10.1.Ejemplos de simulación numérica . . . . . . . . . . . . 214

12.Métodos numéricos 21512.1. Generación de números random . . . . . . . . . . . . . . . . . 21512.2. Generación de N(0, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21512.3. Distribución del promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21612.4. Distribución t Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21612.5. Integración numérica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

12.5.1. Método del punto medio: . . . . . . . . . . . . . . . . . 21612.5.2. Método del Trapecio: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21712.5.3. Cotas de error: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21712.5.4. Método de Simpson: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21712.5.5. Cota de error para método de Simpson: . . . . . . . . . 217

12.6. Aproximaciones lineales y cuadráticas. . . . . . . . . . . . . . 21712.6.1. Diferencial: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21712.6.2. Aproximación lineal: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21812.6.3. Aproximación cuadrática: . . . . . . . . . . . . . . . . 218

12.7. Ajuste de curvas por polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . 21912.8. Método de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

12.8.1. Método de Newton-Raphson. . . . . . . . . . . . . . . 221

CONTENIDOS IX

12.9. Serie de Taylor y Maclaurin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22212.9.1. Serie importantes de Maclaurin. . . . . . . . . . . . . . 224

12.10.Ecuaciones diferenciales ordinarias. . . . . . . . . . . . . . . . 22412.10.1.Método de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22412.10.2.Método de Runge-Kutta. . . . . . . . . . . . . . . . . . 22512.10.3.Métodos predictor corrector. . . . . . . . . . . . . . . . 22512.10.4.Método de Milne: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22512.10.5.Método de Adams. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22512.10.6.Ecuaciones de orden mayor. . . . . . . . . . . . . . . . 226

12.11.Derivación numérica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

13.Apéndice 22713.1. A) La distribución exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . 22713.2. B) El proceso de Poisson. Detalles. . . . . . . . . . . . . . . . 22813.3. C) Algunos detalles matemáticos. . . . . . . . . . . . . . . . . 23013.4. D) La distribución binomial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

13.4.1. El valor esperado de m. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23313.4.2. La varianza de m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23313.4.3. Límite para n grande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23413.4.4. Caminata al azar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

X CONTENIDOS

Índice de figuras

1.1. Movimiento unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. Aquiles y la tortuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3. Desplazamiento equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4. Suma de vectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5. Multiplicación por escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6. Resta de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7. Movimiento relativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.8. Simultaneidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.9. Reloj espejos paralelos a v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.10. Reloj espejos perpendiculares a v . . . . . . . . . . . . . . . . 221.11. Colisión elástica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.12. Efecto Doppler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.13. Doppler señales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1. Modelo de Ptolomeo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2. Tycho Brahe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3. Movimiento aparente de Marte. . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.4. Johanes Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.5. Isaac Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1. parábola de disparo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.2. Parábola de seguridad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.3. Alcance máximo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.1. El núcleo atómico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.2. Atomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.3. Molécula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.4. presión ejercida por un gas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

XII ÍNDICE DE FIGURAS

5.5. Orbitales solapándose. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.6. Plasma de Fermi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.7. Principio de exclusión de Pauli. . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.8. Interacción débil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.9. Sobre un millón de toneladas por cc. . . . . . . . . . . . . . . 855.10. Mar de neutrones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.11. Evolución de las estrellas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.12. Estrella neutrónica o pulsar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.13. Supernova 1987A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.14. Sistema binario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.1. Líneas de Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.2. Conos de luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.3. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.1. Correlación lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.2. Decaimiento exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.3. Modelo potencia, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.4. En papel log-log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.5. Dos exponenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.6. Tangente y derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.7. Area bajo la curva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.8. Elemento de área. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277.9. Método de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1307.10. Iterar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.11. Método de la secante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.12. Tabla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.13. Con errores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.14. Ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367.15. Logística. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

8.1. Conferencia de Solvay de 1927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1408.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1448.3. Distribución binomial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1498.4. Aleatorios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1538.5. Distribución de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1558.6. Area menor que z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1618.7. Area entre −1 y 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

ÍNDICE DE FIGURAS XIII

9.1. histograma de frecuencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1779.2. Variaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

11.1. medida con un pie de metro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

XIV ÍNDICE DE FIGURAS

Capítulo 1

Espacio tiempo

1.1. Conceptos.

Los conceptos de espacio y tiempo son centrales en todas las teorías dela Física. Aunque no se haya explicado aún de que se trata una teoría de laFísica, adelantemos que ellas tratan con cantidades físicas.Existen conceptos físicos, algunos primarios y otros derivados de los an-

teriores, los cuales, aunque sean definidos en forma vaga, dan origen a lascantidades Físicas cuando se establece un método para asignarle un valornumérico al concepto. Este proceso, llamado definición operacional de unacantidad física, elimina las ambigüedades presentes en la definición del con-cepto, pues al seguir ese procedimiento, todos estaremos de acuerdo en elvalor numérico de la cantidad física. Como explicaremos más adelante ello esrelativo a la unidad de medida de la respectiva cantidad física.Claramente este es el caso respecto a los conceptos de espacio y tiem-

po. Tenemos nociones intuitivas, difícilmente expresables sin ser circulares(basadas en ellas mismas) y difícilmente coincidentes.El tiempo tiene que ver con aspectos tales como: el fenómeno A ocurre

antes o después que el fenómeno B, o quizás simultáneamente. O bien queun proceso duró más o menos que otro. La cantidad física tiempo se defineoperacionalmente estableciendo valores numéricos ya sea relacionados con laocurrencia de los sucesos, o con la duración de un proceso. Tal procedimientodebe involucrar un método experimental bien definido.Similarmente ocurre lo mismo con el concepto de espacio. Tenemos clara

2 Espacio tiempo

intuición del significado de estar cerca o lejos. De la proximidad o la lejanía.Del mismo modo la cantidad física básica, relacionada con el concepto deespacio, la distancia, debe ser definida operacionalmente, terminándose allílas ambigüedades que pudieran existir.De esto trata el capítulo sobre métodos experimentales. Sin embargo que-

remos decir algo más aquí. Si tal proceso no es posible (la definición opera-cional), no es posible tratar en física con ese concepto.

Nota 1.1 Si usted ha leído algo sobre mecánica cuántica. esta nota puedeser de su interés. La concepción de la existencia de un valor verdadero (exac-to) puede ser discutida por quienes mal interpretan la mecánica cuántica(juicio del autor). La asignación de un número debe ser posible, al menosen principio, exacta. Es decir no se aceptan cantidades físicas definidas conincerteza. Esto parece contradictorio con la existencia de errores en los pro-cesos de medición o bien con incertezas predichas por la mecánica cuántica.No es así. Creemos en la existencia de lo que se denomina “valor verdadero”tanto en las cantidades físicas del mundo microscópico como en las del mundomacroscópico. Otro problema es determinar ese valor. La teoría de erroresclásica trata justamente de eso, y precisamente bajo la hipótesis de que existeun valor verdadero. Por otro lado, las incerteza intrínsecas de la mecánicacuántica no tienen que ver con el proceso de medición (el cual puede y enla teoría es exacto) sino que tiene que ver con la perdida de la capacidad depredicción de los resultados que ocurren en el futuro. La pérdida del determi-nismo. Así, podemos no saber que resultado de la energía va a resultar si lamedimos, pero podemos medirla en forma exacta. Si no fuera así la preguntaes ¿qué diablos es la energía?

En Física clásica por hipótesis el tiempo transcurre de la misma formapara todos los observadores, independientemente de su estado de movimiento,es decir el tiempo es una cantidad física absoluta. Sin embargo es necesariodecir, que tal concepción ha cambiado. Desde la aceptación de la teoría de larelatividad, el tiempo es una cantidad física relativa al estado de movimientodel observador. O sea si para un observador el lapso de tiempo que transcurreentre dos eventos que ocurren en un determinado sistema de referencia es undeterminado valor, ese valor es diferente para otros observadores. De hechoel observador que está en el sistema de referencia donde ocurren los eventos,es quien determina el menor valor para el intervalo de tiempo.

1.2 Unidades. 3

1.2. Unidades.

La cantidades físicas reciben valores numéricos relativos a la unidad deella. Así, la unidad de tiempo, el segundo en el sistema internacional deunidades (SI) se define como

Definicion 1.2.1 Un segundo es el tiempo que requiere un átomo de Cesio133 para realizar 9.192.631.770 vibraciones, correspondientes a la transiciónentre dos niveles hiperfinos de su estado fundamental.

La unidad de tiempo ha experimentado diversos cambios durante la his-toria de la física, pero siempre se ha utilizado algún sistema que efectúa algúnmovimiento periódico, o sea que (hipotéticamente) se repite cada cierto lapsoigual de tiempo.Similarmente se utiliza el metro como unidad de medida de longitudes,

cuya definición actual es

Definicion 1.2.2 El metro se define como la distancia recorrida por la luzen el vacío en un intervalo de tiempo de 1/299,792,458 segundos.

1.3. Teorías en física.

Aún cuando este es un tema complejo, aventuramos una respuesta a laspreguntas ¿qué es una teoría física?, o ¿qué es una ley física? en una formaadecuada a un curso introductorio a la física. La física se preocupa de losfenómenos naturales, reconociendo los conceptos pertinentes y derivando deellos cantidades físicas adecuadas, las cuales son representadas por ciertossímbolos. Las leyes físicas constituyen relaciones matemáticas entre algunosde esos símbolos, las cuales pueden ser deducidas matemáticamente de otrasleyes físicas, o bien ser postuladas por cualquier razón. Sin embargo, ellastienen que satisfacer un requisito básico: las leyes físicas son válidas si exis-te comprobación experimental, directa o indirecta, de ellas. A veces ocurreque una ley física falla en ciertas situaciones ya sea experimentales o en laocurrencia de ciertos fenómenos. Aquí, pueden ocurrir diversas cosas. Porejemplo (a) se restringe el uso de ellas excluyendo a las situaciones dondefalla o (b) se modifica de modo de dar cuenta adecuada de los nuevos fenó-menos. Algunas veces, la falla conduce a la elaboración de una nueva teoría,de donde se pueda deducir la ley correcta.

4 Espacio tiempo

Por otro lado, cuando tenemos unas pocas leyes, a veces denominadasprincipios, de los cuales se pueda deducir, por métodos puramente matemá-ticos todo un conjunto de leyes que abarquen la totalidad de los fenómenosde un cierto ámbito, se dice entonces que tenemos una teoría física. Un ejem-plo es la teoría clásica de la mecánica, donde de tres leyes o principios (deNewton), se pueden deducir todas las leyes que regulan el comportamientomecánico de los cuerpos. Sin embargo como se estableció durante este siglo(siglo 20), las deducciones de esa teoría son incorrectas al menos en dos ám-bitos, cuando las velocidades involucradas son cercanas a la velocidad de laluz o cuando las dimensiones de los cuerpos están en la escala del mundo ató-mico. Aquí se han seguido los dos caminos. Se han elaborado teorías nuevasque dan cuenta correctamente de los fenómenos nuevos (Mecánica relativista,Mecánica cuántica.), pero también se sigue utilizando la mecánica clásica enel ámbito donde ella conduce a resultados correctos.Es necesario además decir que dentro de una teoría caben ciertas hipó-

tesis que realmente no tienen el rango de leyes deducibles de los principiosbásicos, y cuya validez descansa en las comprobaciones experimentales de lasdeducciones que siguen de su uso. Por ejemplo la llamada ley de gravitaciónuniversal de Newton, donde se establece que los cuerpos se atraen en formaproporcional al producto de sus masas y en forma inversa al cuadrado de ladistancia.Por último, en una teoría tienen cabida símbolos que no representan can-

tidades físicas, pero que tiene por último la finalidad de hacer prediccionesrelativas a cantidades físicas. Es el caso de la mecánica cuántica. donde seutiliza el concepto de “función de onda”, o “estado del sistema”, que no cons-tituyen cantidades físicas. Puede también ese ser el caso en la teoría de laspartículas elementales donde se usan algunos conceptos que quizás no seanobservables, pero son útiles en la construcción de la teoría.

1.4. Sistemas de referencia.

Para la construcción de muchas teorías, sobre todo en aquellas que requie-ran del concepto de posición, se requiere especificar un sistema de referenciarespecto al cual la posición queda definida. En algunas teorías, el tiempoes también relativo, siendo necesario en esos casos sistemas de referenciade espacio y tiempo. Ciertas teorías requieren de sistema privilegiados dereferencia. La mecánica clásica es formulada en “sistemas inerciales de re-

1.5 Escalas de tiempos y longitudes. 5

ferencia”. Para Newton, el sistema natural de referencia lo constituyen lasestrellas.

En la formulación de la teoría clásica de la mecánica, se supone la existen-cia de al menos un sistema privilegiado de referencia, un Sistema inercial dereferencia. Por definición, un sistema inercial de referencia es aquel (hipoté-tico) sistema relativo al cual una partícula libre tiene velocidad constante o enparticular nula (velocidad se define luego). Como consecuencia de la trans-formación de Galileo, ver más adelante, todo sistema que se traslade convelocidad constante respecto a uno inercial de referencia, es también sistemainercial de referencia. La existencia de uno por lo menos, sería materia de va-lidación experimental, con las obvias dificultades que ello presenta. Se aceptaque al menos aproximadamente, el marco de las estrellas fijas, lo es. Esta esuna materia hoy en día de acuerdo internacional. En efecto en Agosto de 1997,la Unión Astronómica Internacional (IAU) decidió que a partir del primero deEnero de 1998, el IAU sistema de referencia celestial sea el sistema (ICRS), enreemplazo del sistema FK5. Hay abundantes referencias en laWEB, por ejem-plo en http://hpiers.obspm.fr/webiers/general/syframes/icrsf/ICRS.html.

Otro punto, final en esta discusión es relativo a la geometría. Aun cuandono hay discusión en qué matemática usar en la formulación de una teoríafísica, hay diversas geometrías, todas formuladas axiomáticamente y en con-secuencia posibles de utilizar. ¿Qué geometría es adecuada para la descripciónfísica del espacio? En física clásica la geometría Euclidiana ha probado seradecuada. Sin embargo, y este es un tema complejo, en la formulación de larelatividad general, otras geometrías son adecuadas. (como ejemplo de unadiferencia que se produce al usar diversas geometrías es: rectas paralelas pue-den o no cortarse en uno o más puntos. O bien la suma de los ángulos de untriángulo puede ser o no 180o)

1.5. Escalas de tiempos y longitudes.

TABLA Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo en segun-dos.

6 Espacio tiempo

Edad del universo 5× 1017Edad de la Tierra 1, 3× 1017Un año 3, 2× 107Un día 8, 6× 104Tiempo entre latidos normales del corazón 8× 10−1Periodo de las ondas sonoras audibles 1× 10−3Periodo de las ondas de radio típicas 1× 10−6Periodo de vibración de un átomo en un sólido 1× 10−13Periodo de las ondas de luz visible 2× 10−15Duración de una colisión nuclear 1× 10−22Tiempo en el que la luz cruza un protón 3, 3× 10−24

TABLA Valores aproximados de algunas longitudes en metros.

Distancia de la Tierra al quasar más conocido 1,4× 1026Distancia de la Tierra a las galaxias más remotas conocidas 4× 1025Distancia de la Tierra a la galaxia grande, más cercana (M 31) 2× 1022Distancia del Sol a la estrella más cercana (Próxima Centauri) 4× 1016Un año luz 9,46× 1015Radio medio de la órbita de la Tierra 1,5× 1011Distancia media de la Tierra a la Luna 3,8× 108Distancia del ecuador al Polo Norte 1× 107Radio medio de la Tierra 6,4× 106Altitud típica de los satélites artificiales alrededor de la Tierra 2× 105Tamaño típico de las partículas de polvo más pequeñas 1× 10−4Tamaño de las células de la mayoría de los seres vivientes 1× 10−5Diámetro de un átomo de hidrógeno 1× 10−10Diámetro de un núcleo atómico 1× 10−14

1.6. Descripción del movimiento.

El hombre ha estado consciente del movimiento, el paso de un cuerpo deun lugar a otro en un determinado lapso de tiempo desde que tiene uso derazón. Sin embargo la descripción del movimiento aunque hoy parece simple,

1.6 Descripción del movimiento. 7

x

tO

∆x∆t

Figura 1.1: Movimiento unidimensional

asombró al hombre por siglos. De hecho no fue hasta el trabajo de Gali-leo (Galileo Galilei, italiano, 1564-1642) que el hombre empezó a describiradecuadamente el movimiento de los cuerpos. Para ilustrar el estado de lascosas en los tiempos remotos, basta recordar la célebre paradoja de Zenode Aquiles y la tortuga. De acuerdo a Zeno, Aquiles nunca podría alcanzaruna tortuga porque para hacerlo primero tendría que alcanzar el punto dedonde la tortuga partió. Sin embargo al alcanzarlo, la tortuga se habría mo-vido alguna cantidad, estando de nuevo las cosas igual que al empezar. Esteproceso debería ser entonces repetido un número infinito de veces de modoque Aquiles nunca alcanzaría la tortuga.Para la descripción del movimiento, Galileo debió asignar números para

medir los conceptos de posición y tiempo, cuestión no fácil aquellos tiempos,por la ausencia de instrumentos adecuados para ello.

1.6.1. Movimiento unidimensional.

Para el movimiento de un cuerpo en una línea recta, la posición del cuerpopuede ser indicada por una variable numérica x llamada su posición respecto aalgún origen en esa recta. Esa variable indica la distancia del cuerpo al origenexpresada en alguna unidad de medida, hoy en día esa unidad es el metro.Se dice que el cuerpo se mueve si dicha variable, denominada coordenadade posición, varía con el transcurso de tiempo. Considere por ejemplo queun cuerpo se mueve de modo que su coordenada de posición x varía con eltiempo de acuerdo al gráfico siguiente (fig.1.1)La curva de forma parabólica nos indica donde está el cuerpo sobre el eje

X en cada tiempo, en particular nos dice que el cuerpo estuvo en el origen

8 Espacio tiempo

O cuando el tiempo es cero.

Velocidad media.

La razón

v =∆x

∆t

se define como la velocidad media en el intervalo de tiempo ∆t. Tal razónsería constante independiente del intervalo de tiempo si la curva que describeel movimiento fuera una recta, es decir si x variara linealmente con el tiempo.

Ejemplo 1.6.1 Suponga que un cuerpo se mueve de modo que

x = 2t+ t2,

calcule la velocidad media en el intervalo de tiempo entre t y t+∆t.

Solución.

∆x = x(t+∆t)− x(t) = 2(t+∆t) + (t+∆t)2 − 2t− t2

= 2∆t+ 2t∆t+ (∆t)2

luego

v =∆x

∆t= 2 + 2t+∆t,

que se observa depende del tiempo t y del intervalo de tiempo ∆t.

N

Velocidad instantánea.

La velocidad instantánea se define por el límite (la derivada)

v = lım∆t→0

∆x

∆t=

dx

dt.

Con respecto a la gráfica x(t) la velocidad instantánea es la pendiente o seala tangente del ángulo de inclinación que hace la tangente a la curva, con eleje del tiempo.

1.6 Descripción del movimiento. 9

x

tO

A

T

a

b

ca'b'

Figura 1.2: Aquiles y la tortuga

Movimientos con velocidad constante.

La velocidad v permanece constante lo cual quiere decir que la posicióndel cuerpo varía linealmente con el tiempo de la forma

x(t) = x(0) + vt,

siendo x(0) la posición del cuerpo en t = 0. Mediante este tipo de gráficos esfácil comprender una solución geométrica a la paradoja de Zeno. Supongamosque la tortuga (T) y Aquiles (A) se mueven con velocidad constante, demanera que sus gráficas (fig.1.2) serán las rectas indicadas por (A) y (T)respectivamente. Como por hipótesis Aquiles tiene mayor velocidad que latortuga, entonces su línea recta tiene mayor pendiente. Además se ilustrael hecho que la tortuga parte en t = 0 y Aquiles más tarde en (a). Comose explicó, cuando Aquiles alcance al punto (a0), la tortuga se ha movido a(b0) y se tiene una situación análoga a la de la partida. Sin embargo, y elgráfico lo muestra con claridad, todos esos procesos (un número infinito deellos) toman un tiempo finito, pues cuando las dos rectas se cruzan, Aquilesha alcanzado a la tortuga. Como puede comprenderse, la descripción delmovimiento mediante variables de posición y tiempo que varían en formacontinua se hace absolutamente necesario. La solución de la paradoja deZeno así como de muchas otras tienen que ver con el continuo de valores deuna variable. Así por ejemplo un intervalo de tiempo de un segundo puedeser dividido en un conjunto infinito de intervalos, pero a pesar de tenerse unnúmero infinito, la suma de todos esos tiempos es justamente un segundo.

10 Espacio tiempo

Como ejemplo

1 =1

2+1

4+1

8+1

16+ · · ·

1.6.2. Desplazamientos en el espacio.

Las ideas anteriores se generalizan a los movimientos en el espacio. Si seutiliza un sistema cartesiano de referencia, la posición de un punto respectoa ese sistema de referencia se define por el conjunto de sus coordenadascartesianas (x, y, z).

Definicion 1.6.1 Se dice que un punto se mueve respecto a un sistema dereferencia, si sus coordenadas varían con el tiempo.

Definicion 1.6.2 Un desplazamiento se define como cualquier cambio deposición de un punto en el espacio

Este concepto básico de desplazamiento es en principio más elementalque el concepto de movimiento de un punto, puesto que no tiene relación contiempos. Si un punto pasa de una posición A a otra posición B, de dice queel punto se ha desplazado de A a B. De su definición de desprende que undesplazamiento tiene tres características

Su magnitud, que se define como la distancia entre el punto inicial y elpunto final.

Su dirección, correspondiente a la dirección de la recta AB. (rectasparalelas tienen la misma dirección)

Su sentido, de A hacia B. Así el sentido del desplazamiento de B haciaA es contrario al desplazamiento de A hacia B.

Además, desplazamientos sucesivos se combinan (o se suman) de acuerdoa la regla del triángulo, indicada en la figura siguiente, donde el desplaza-miento A −→ B seguido del desplazamiento B −→ C es equivalente a undesplazamiento A −→ C.Eso queda absolutamente claro de la figura (1.3) que define la regla de

combinación triangular de desplazamientos. Esta regla se generaliza en lasección siguiente para dar origen al concepto de vector.

1.7 Vectores. 11

A

B

C

Figura 1.3: Desplazamiento equivalente

1.7. Vectores.

Los vectores son objetos que tienen las características de los desplaza-mientos, es decir que tienen magnitud, dirección, sentido, y tales que la com-binación (llamada suma vectorial) de dos de ellos, se obtiene de acuerdo ala regla del triángulo indicada en la figura anterior. Obviamente un ejemplode vectores son los desplazamientos. Otro ejemplo de vectores en Física, loconstituyen las fuerzas que se aplican a los cuerpos. Ellas poseen las trescaracterísticas básicas, magnitud dirección y sentido. La cuestión de que silas fuerzas se combinan de acuerdo a la regla de suma vectorial, puede yes establecida experimentalmente. Es decir debe establecerse que aplicar dosfuerzas dadas sobre un cuerpo es físicamente equivalente a aplicar una fuer-za, llamada fuerza resultante que tiene la magnitud, dirección y sentido dadapor la regla de adición vectorial.Debemos señalar que no es suficiente que un objeto tenga magnitud, di-

rección, sentido para ser considerado un vector. Deben necesariamente com-binarse como tales. Las rotaciones de los cuerpos, en torno a la dirección deun eje, en un sentido u otro, y de cierta magnitud (el ángulo), no son vectoresporque no se combinan como los desplazamientos.

1.7.1. Notación.

Los vectores, cualquiera sea su naturaleza, los denotaremos con letrascon flechas: a, B, f y la combinación o suma vectorial de ellos con el símbolousual de suma +, es decir

c = a+ b,

12 Espacio tiempo

ab

a+b

Figura 1.4: Suma de vectores.

indica la suma, o combinación, o resultante de los dos vectores a y b. Na-turalmente solo podremos sumar vectores del mismo tipo: desplazamientos,fuerzas, otros (fig.??).La magnitud de un vector. a la denotaremos por

|a| .

1.7.2. Multiplicación de un vector. por un escalar.

Si a es un vector y λ es un escalar (número real) definimos

λa

como el vector paralelo al vector a, de magnitud |λ| veces la magnitud de a,y del mismo sentido del vector a si λ > 0 y de sentido contrario si λ < 0.(fig.1.5)

1.7.3. Vectores unitarios.

Al vector paralelo y del mismo sentido que el vector a, pero de magnitudunidad lo denotaremos por

a.

Entonces obviamente tenemos la siguiente importante relación

a = |a| a.

1.7 Vectores. 13

a

λa

aa = aa

Figura 1.5: Multiplicación por escalar

1.7.4. Vectores unitarios cartesianos.

Los vectores de magnitud unidad, paralelos y en el sentido positivo de losejes cartesianos, los denotaremos por

ı, , k

1.7.5. Componentes cartesianas de un vector.

Todo vector A (en tres dimensiones), puede ser escrito como

A = Axı+Ay +Az k,

donde Ax, Ay, Az se denominan componentes cartesianas del vector.

1.7.6. Vector nulo.

Un vector de magnitud cero, se denomina vector nulo y lo indicaremospor 0, y a veces simplemente por 0.

14 Espacio tiempo

1.7.7. Algunas propiedades.

Pueden establecerse algunas propiedades básicas

a+ b = b+ a,

(a+ b) + c = a+ (b+ c),

(−1)a+ a = 0,

a+ 0 = a,

λ0 = 0.

Al vector (−1)a lo denotaremos simplemente −a.

1.7.8. Resta de vectores.

Se define al vector diferencia

a− b = a+ (−1)b.

ab

a+b

- ba -b

Figura 1.6: Resta de vectores

1.7.9. Producto escalar de vectores.

Dados dos vectores a, y b, se define el producto escalar de ellos al númeroreal

a · b = |a|¯b¯cosα,

siendo α el ángulo que forman las direcciones de ellos.

1.8 Velocidad y aceleración. 15

1.7.10. Otras propiedades.

Puede establecerse que

|a| =qa2x + a2y + a2z,

a · b = axbx + ayby + azbz,

a± b = (ax ± bx)ı+ (ay ± by)+ (az ± bz)k.

1.8. Velocidad y aceleración.

1.8.1. Vector posición.

Si la posición de un punto en tiempo t es el punto P, se define el vectorposición del punto al vector desde el origen al punto P, es decir

r(t) =−→OP = xı+ y+ zk.

1.8.2. Vector velocidad.

El vector v(t), velocidad del punto en tiempo t se define por

v(t) = lım∆t→0

r(t+∆t)− r(t)

∆t=

dr(t)

dt

=dx

dtı+

dy

dt+

dz

dtk.

Es decir el vector velocidad es un vector cuyas componentes cartesianas son

vx =dx

dt,

vy =dy

dt,

vz =dz

dt.

16 Espacio tiempo

1.8.3. Vector aceleración.

El vector a(t), aceleración del punto en tiempo t se define por

a(t) = lım∆t→0

v(t+∆t)− v(t)

∆t=

dv(t)

dt,

=dvxdt

ı+dvydt

+dvzdt

k.

Es decir el vector aceleración es un vector cuyas componentes cartesianas son

ax =dvxdt

,

ay =dvydt

,

az =dvzdt

.

1.8.4. Velocidades absolutas y relativas.

El estado de movimiento o reposo es un concepto relativo. En la descrip-ción del movimiento cualquier sistema de referencia puede ser considerado enreposo. Si elegimos arbitrariamente un sistema de referencia S0 como estandoen reposo, entonces se acostumbra a llamar las velocidades y aceleracionesrespecto a ese sistema como velocidades y aceleraciones absolutas. Si existeotro sistema S que se mueva respecto al primero, las velocidades y aceleracio-nes respecto al segundo sistema se suelen llamar velocidades y aceleracionesrelativas. En un tratamiento simplificado, supongamos que el segundo sistemade referencia S se traslada sin rotaciones respecto al primero como se indicaen la figura (1.7), entonces, en física clásica, vale la llamada transformaciónde Galileo

r =−→OA+ r0,

y en consecuencia, si se deriva respecto al tiempo se obtiene

vabs = vA + vrel,

es decir, la velocidad absoluta se obtiene agregando a la velocidad relativa,la velocidad del sistema móvil. Como se explica más adelante, esta transfor-mación no es válida para velocidades cercanas a la velocidad de la luz.

1.9 Trayectoria. 17

r

r '

SS0

O

A

Figura 1.7: Movimiento relativo.

1.9. Trayectoria.

Se define la trayectoria del punto, como el lugar geométrico de las posi-ciones ocupadas por el punto para todo tiempo. La llamada ecuación para-métrica de la trayectoria (con parámetro tiempo) es

x = x(t),

y = y(t),

z = z(t).

Ejemplo 1.9.1 Por ejemplo

x = A cosωt,

y = B sinωt,

z = pt, .

con A, B, ω, y p constantes, representa un trayectoria llamada hélice.

En dos dimensiones, la ecuación cartesiana de la trayectoria es

y = y(x).

Ejemplo 1.9.2 Por ejemplo

y = x− 5x2,

representa un trayectoria parabólica.

18 Espacio tiempo

En tres dimensiones, la ecuación cartesiana de la trayectoria puede serescrita en términos del parámetro z (por ejemplo)

x = x(z),

y = y(z).

Ejemplo 1.9.3 Como ejemplo la ecuación de una hélice puede ser igual-mente escrita como

x = A cosω

pz,

y = B sinω

pz.

1.10. Transformación de Galileo.

La transformación de Galileo que relaciona velocidades relativas entresistemas que se trasladan uno respecto al otro con velocidad constante v,por simplicidad a lo largo del eje OX, supone que el tiempo es universal yestablece que

x0 = x− vt,

o bien en términos de velocidades

u0 = u− v.

1.11. La velocidad de la luz en el vacío.

Como se ha señalado, la velocidad de la luz en el vacío ha sido establecidacon extraordinaria precisión, y se acepta hoy en día que ella es exactamentede magnitud

c = 299,792,458 (m/s),

dejando las incertezas experimentales a la definición del metro. Sorprenden-temente, se descubrió que este valor es independiente de la velocidad delobservador, o de la fuente emisora luminosa, en flagrante contradicción conla transformación de Galileo. Esto trajo dramáticas consecuencias para lafísica, en particular para los conceptos de simultaneidad y de tiempo.

1.11 La velocidad de la luz en el vacío. 19

1.11.1. Concepto de simultaneidad.

El hecho notable señalado en la sección anterior, en manos de Albert Eins-tein, conduce de manera natural a una revisión del concepto de simultaneidady del tiempo. Aunque este tema pertenece a la llamada teoría de la relativi-dad, se presentan aquí algunos conceptos que no requieren de matemáticasmuy complejas y que son muy interesantes. Si suceden dos eventos o sucesosen un mismo punto del espacio, es simple idear métodos físicos para decidircual ocurrió primero, o cual ocurre después, o si ocurren simultáneamente,sin ser necesario usar relojes. Por ejemplo, si se encienden dos ampolletas Ay B, tome una foto cuando se encienda la primera. Bueno, la foto registrarácuál está encendida y por lo tanto ella se encendió primero. Sin embargo,cuando los sucesos ocurren en diferentes puntos del espacio la cosa no es tansimple, pues habrá que considerar la velocidad con que la información nosllega. Si la velocidad de la luz dependiera del estado de movimiento de lafuente luminosa, ello complicaría aun más las cosas. Afortunadamente (¿ono?) la velocidad de la luz es independiente del sistema de referencia o delmovimiento de la fuente emisora. Imagine que se quiere definir cuando dossucesos A y B que ocurren en diferentes lugares son simultáneos o si o no loson. Para ello coloque observadores en esos lugares y que emitan una señalluminosa al otro cuando ocurra el evento. Un tercer observador se coloca enel punto medio C.

Definicion 1.11.1 Si las dos señales luminosas llegan simultáneamente alobservador C en el punto medio (un hecho absoluto), entonces se dice quelos eventos A y B ocurrieron simultáneamente.

Esta definición, muy natural e intuitiva, sin embargo tiene consecuenciassorprendentes, en particular conduce a que el concepto de simultaneidad esun concepto relativo (No absoluto). En efecto, considere el experimento si-guiente. Una barra, sistema S0, se mueve respecto a un sistema de referenciaS con velocidad v a lo largo de la barra. Se encienden dos ampolletas simul-táneamente respecto a S0 en sus extremos, en consecuencia las dos señalesluminosas llegan simultáneamente al punto medio. Veamos sin embargo queobserva S. La figura (1.8) ilustra lo observado por S consecuente con el he-cho que el coincide en que las señales llegan simultáneamente al punto medio.Para él, la señal proveniente de A ha viajado más distancia que la que partióde B, por lo tanto debe haber salido antes. De la figura, si llamamos L allargo de la barra en movimiento, podemos sacar algo más. En efecto se tiene

20 Espacio tiempo

A Bt1

t2

t3

Figura 1.8: Simultaneidad

que

c(t3 − t1) =L

2+ v(t3 − t1),

c(t3 − t2) =L

2− v(t3 − t2),

de donde se obtiene

t2 − t1 =Lv

c2 − v2.

Esta expresión indica cuantitativamente del hecho que el evento A ocurrióen t1 antes que el evento B que ocurrió en t2. Aunque será demostrado másadelante L depende de la velocidad de la forma

L = L0

r1− v2

c2,

por lo que el resultado puede escribirse

t2 − t1 =v/c2q1− v2

c2

L0.

Ejemplo 1.11.1 Una aplicación de lo anterior es la siguiente. Imagine quetodo el eje O0X0móvil, es un largo tubo fluorescente que se enciende enteroen t0 = 0, cuando los orígenes coinciden. ¿Cómo se ve el encendido desde elsistema respecto al cual el tubo se mueve?


Solución. De acuerdo al análisis anterior el punto que coincide con x = 0se enciende en t = 0. El punto que está en una posición x se encenderá enun tiempo

t =xv

c2 − v2.

de modo que se “ve” una señal viajando a la derecha con velocidad

u =x

t=

c2 − v2

v,

mayor que c a menos que¡12

√5− 1

2

¢c < v < c.

N

1.11.2. Un modelo de reloj.

Un modelo simple de reloj, un sistema que tiene una vibración periódica,consiste en dos espejos paralelos separados una distancia d0 entre los cualesestá rebotando una señal luminosa. Para el dueño del reloj, la duración deun tick, ir de un espejo al otro y volver demora un tiempo

τ =2d0c.

Sin embargo, si ese mismo reloj es observado en movimiento, la luz, propa-gándose con la misma velocidad debe recorrer una distancia más larga, comose ilustra en la figura siguienteDe la figura (1.9), mediante el teorema de

vt

ct do

Figura 1.9: Reloj espejos paralelos a v

Pitágoras se tienec2t2 = d20 + v2t2,

22 Espacio tiempo

x=ct

t

d

2

x=vt

t1

x

t

Figura 1.10: Reloj espejos perpendiculares a v

de modo que el tiempo, en ir y regresar, el periodo del reloj será

T = 2t =2d0√c2 − v2

=2d0/cq1− v2

c2

.

Si el reloj se mueve con los espejos perpendiculares a la velocidad, figura(1.10)un análisis conduce a un resultado similar, pero que requiere una hipó-tesis adicional. La figura ilustra la ocurrencia de los eventos, salida, rebote yregreso del haz luminoso.Para calcular el tiempo de ida, t1, tenemos que

ct1 = d+ vt1,

y para el de regreso t2 − t1 tenemos que

c(t2 − t1) = d− v(t2 − t1),

de donde

t1 =d

c− v,

t2 − t1 =d

c+ v,


y por lo tanto, el tiempo total se obtiene sumando

T = t2 =2dc

c2 − v2=2d/c

1− v2

c2

.

Luego, el reloj tiene el mismo periodo para ambos movimientos si

2d0/cq1− v2

c2

=2d/c

1− v2

c2

,

lo que requiere que

d = d0

r1− v2

c2,

o sea las longitudes paralelas al movimiento deben contraerse. Esto es efec-tivamente así, como veremos más adelante.

1.11.3. La transformación de Lorentz.

Permitiendo entonces que el tiempo es relativo al sistema de coordenadas,la transformación que reemplaza a la de Galileo, cuando el movimiento delos sistemas es a lo largo del eje x, compatible con que la rapidez de la luzes absoluta, es la llamada transformación de Lorentz

x0 = γ(x− vt),

y0 = y,

z0 = z,

t0 = γ(t− vx

c2),

siendoγ =

1q1− v2

c2

.

La transformación inversa puede mostrarse es

x = γ(x0 + vt0),y = y0,

z = z0,

t = γ(t0 +vx0

c2),

24 Espacio tiempo

De allí puede deducirse la correspondiente transformación de componentesde velocidades relativas u y u0, que resultan ser

u0x =ux − v

1− vuxc2

,

u0y =uy

q1− v2

c2

1− vuxc2

,

u0z =uz

q1− v2

c2

1− vuxc2

.

Si además sumamos los cuadrados tenemos que

(u0x)2 + (u0y)

2 + (u0z)2 = c2

c2u2x + c2u2y + c2u2z − 2c2vux + c2v2 − u2yv2 − u2zv

2

(c2 − vux)2 ,

y si u2x + u2y + u2z = c2 entonces

(u0x)2 + (u0y)

2 + (u0z)2 = c2

c4 − 2c2vux + u2xv2

(c2 − vux)2 = c2,

comprobando el hecho que la rapidez de la luz es invariable. No como sueledecirse más ligeramente que la velocidad de la luz es invariante. De hecho, lavelocidad de la luz cambia de dirección de sistema en sistema.

1.11.4. Cantidad de movimiento.

Si un cuerpo de masa m tiene velocidad u respecto al sistema S, la can-tidad de movimiento respecto a ese sistema la definimos por

p = m(u)u,

siendo m(u) la masa de la partícula, la cual supondremos podría ser unafunción de la rapidez de la partícula. Mediante algunos argumentos podemosobtener la dependencia de m en la rapidez. Supongamos una colisión entredos esferas elásticas iguales, de modo que en dos sistemas de referencia lacolisión sea observada como en las dos figuras siguientes (1.11). Allí se ilustrala colisión observada en un sistema de referencia donde un partícula tiene


W

V

U

V

V

γU

W/γ

Figura 1.11: Colisión elástica.

rapidez W y la otra velocidad en dos componentes u y v. Si esa colisión esobservada desde un sistema qque se propaga hacia la derecha con velocidadde magnitud v, la ytansformación de Lorentz de velocidades permite calcularlas componentes de velocidades relativas a este sistema que resultan ser γU,V y W

γ.

El sistema enmovimiento tiene precisamente velocidad v y γ = 1/q1− v2

c2.

En la parte derecha de la figura están indicadas las respectivas velocidadesrelativas obtenidas utilizando la mencionada transformación de Lorentz develocidades. Aceptaremos que en una colisión se conserva la cantidad demovimiento vista de todos los sistemas de referencia. Por simetría, la com-ponente x de la cantidad de movimiento es evidentemente conservada desdeambos puntos de vista. Conservación de cantidad de movimiento en la direc-ción perpendicular al movimiento en ambos sistemas impone los siguientesrequisitos

m(√u2 + v2)u = m(W )W,

m(γu)γu = m

sv2 +

µW

γ

¶2W

γ.

De aquí se desprende queW

γ= u

y entonces la primera se reduce a

m(√u2 + v2)u = γum(γu)

26 Espacio tiempo

A B

t1 t2

x1 x2

Figura 1.12: Efecto Doppler.

o biénm(√u2 + v2) = γm(γu)

y tomando u = 0 se tiene

m(v) =1q1− v2

c2

m(0). (1.1)

Ejercicio 1.11.1 Demuestre que la expresión (1.1) satisface (??), es decirque

1q1− u2+v2

c2

=1q1− v2

c2

1s1− 1

c2

µu2

1− v2

c2

¶ .

1.11.5. El efecto Doppler para la luz.

Considere que desde un sistema móvil se lanzan pulsos luminosos hacia elorigen del sistema fijo, separados en tiempo T 0 , desde el origen del sistemamóvil, como se indica en la figura (1.12), eventos A y BDe ese modo se tiene x01 = x02 = 0, t

02 − t01 = T 0, y mediante la transfor-

mación inversa de Lorentz se obtiene

x1 = γvt01,t1 = γt01,

y

x2 = γvt02,

t2 = γt02,


A B

t1 t2

x1 x2

Figura 1.13: Doppler señales.

entonces los tiempos de llegada, tomando en cuenta lo que deben recorrer lospulsos son

T1 = t1 +x1c= γt01 +

γvt01c= γt01(1 +

v

c),

T2 = t2 +x2c= γt02 +

γvt02c= γt02(1 +

v

c),

es decir los pulsos llegan al origen separados un tiempo

T = T2 − T1 = γT 0(1 +v

c) =

(1 + vc)q

1− v2

c2

T 0,

o bien

T = T2 − T1 = γT 0(1 +v

c) =

p(1 + v

c)p

1− vc

T 0.

Si analizamos las frecuencias a la cual los pulsos se emiten y se reciben(f = 1/T ) tenemos

f =

p(1− v

c)p

1 + vc

f 0

1.11.6. El efecto Doppler para otras señales.

Si la velocidad de propagación de los pulsos es menor que c, con mínimasmodificaciones respecto a la sección anterior obtenemosIgualmente se tiene x01 = x02 = 0, t

02 − t01 = T 0, y mediante la transforma-

ción inversa de Lorentz se obtiene lo mismo anterior. Entonces los tiempos de

28 Espacio tiempo

llegada, tomando en cuenta lo que deben recorrer los pulsos con una velocidadu

T1 = t1 +x1u= γt01 +

γvt01u

= γt01(1 +v

u),

T2 = t2 +x2u= γt02 +

γvt02u

= γt02(1 +v

u),

es decir los pulsos llegan al origen separados un tiempo

T = T2 − T1 = γT 0(1 +v

u) =

(1 + vu)q

1− v2

c2

T 0.

Pero, en magnitud

u =u0 − v

1− vu0c2

,

v

u=

v(1− vu0c2)

u0 − v,

Entonces reemplazando y considerando las frecuencias a la cual los pulsos seemiten y se reciben (f = 1/T ) tenemos

f =

q1− v2

c2

u0 − v2u0c2

(u0 − v)f 0,

o bienf =

1q1− v2

c2

(1− v

u0)f 0

siendo u0 > v, para el caso en que la fuente se aleja del observador. Ademásu0 es la velocidad con que la señal sale de la fuente, respecto a ella.

1.12. Problemas.

Ejercicio 1.12.1 Una partícula se deja caer desde lo alto de una torre demodo que su altura y varía con el tiempo t de la forma

y = 50− 5t2.Determine la trayectoria que es observada desde un automóvil que se alejapor el eje horizontal x con rapidez de 20 m/s.

1.12 Problemas. 29

Ejercicio 1.12.2 Si la posición de un móvil sobre un eje x varía de la forma

x = 2t− t3,

determine la velocidad media en el intervalo de tiempo entre t y t+∆t.

Ejercicio 1.12.3 Respecto al ejercicio anterior, determine la velocidad ins-tantánea en tiempo t tomando el límite ∆t→ 0.

Ejercicio 1.12.4 Una partícula se mueve de modo que su posición en elplano xy está determinada de acuerdo a

x = 2 + t

y = 3− t2.

Encuentre un sistema de referencia donde la partícula sea observada movién-dose en línea recta.

Ejercicio 1.12.5 Dos partículas se mueven con velocidades constantes da-das por

v1 = 2ı+ 3+ 5k,

v2 = ı+ 2+ 3k.

Determine el ángulo que forman esas velocidades entre sí.

Ejercicio 1.12.6 Un cohete se aleja radialmente de la Tierra con velocidadconstante de 1000 m/s en el plano ecuatorial. Considerando que la Tierrarota en torno de su eje dando una vuelta completa por día, determine laforma de la trayectoria observada por los habitantes de la Tierra.

Ejercicio 1.12.7 Si una tortuga parte 100 m adelante de Aquiles y avanzaa razón de 0,1 m/s, en cuanto tiempo Aquiles alcanza la tortuga si corre a10 m/s.

Ejercicio 1.12.8 Considere un triángulo rectángulo de catetos de longitu-des iniciales 3 m y 5 m. Si el cateto más corto crece a razón de 0,5 m/s,manteniéndose la forma del triángulo, determine la razón a la cual crece lahipotenusa.

30 Espacio tiempo

Ejercicio 1.12.9 Considere una esfera de radio inicial R = 1 m. Si elradio crece a razón constante de 1 m/s, determine la razón a la cual crece elvolumen por unidad de tiempo.

Ejercicio 1.12.10 Un cohete abandona la Tierra a una rapidez de 0,8csiendo c la velocidad de la luz. ¿Cuánto toma al segundero del reloj a bordoen dar una vuelta completa, determinado por observadores en la Tierra?

Ejercicio 1.12.11 Una partícula elemental tiene un tiempo de vida mediade 10−7 s cuando está en reposo. ¿Cuanto puede viajar a una velocidad de0,99c desde que fue creada?

Ejercicio 1.12.12 Explique porqué el punto luminoso en la pantalla de untelevisor puede verse moviéndose más rápido que la luz.

Ejercicio 1.12.13 Un hombre en la Luna, observa a dos naves que se acer-can a él desde direcciones opuestas, cada una con una rapidez de 0,8c y 0,9crespectivamente. ¿Cuál es la velocidad relativa de una nave respecto a la otra?

Ejercicio 1.12.14 Demuestre que si u y u0 indican velocidades relativas asistemas que se trasladan respecto al eje x entonces

u · u0 =u2x − uxv + u2y

q1− v2

c2+ u2z

q1− v2

c2

1− vuxc2

Ejercicio 1.12.15 Demuestre que

(u0x)2 + (u0y)

2 + (u0z)2 = c2

(c2 − v2)(u2x + u2y + u2z)− 2c2vux + c2v2 + u2xv2

(c2 − vux)2 ,


r1− (u

0)2

c2=

q¡1− u2

c2

¢q¡1− v2

c2

¢¡1− vux

c2

¢ ,

es decir la cantidadq¡1− u2

c2

¢transforma de la misma manera que uy.

1.12 Problemas. 31

Ejercicio 1.12.17 Considere la velocidad de la luz, en dirección especifica-da por los ángulos θ y φ de modo que

uy = c sin θ cosφ,

uz = c sin θ sinφ

ux = c cos θ

Demuestre entonces que el ángulo λ que hace c con c0 está dado por

cos(λ) =c · c0c2

= 1−sin2 θ(1−

q1− v2

c2)

1− v cos θc

independiente del ángulo que la velocidad de la luz hace con el eje y o z.(Este es un cálculo algebraico, pero realmente nadie observa ese ángulo, puescorresponden a velocidades en diferentes sistemas)

Ejercicio 1.12.18 Determine la velocidad con que se aleja una estrella siuna determinada línea espectral está corrida un 10% en frecuencia respectoa su valor en reposo.

Ejercicio 1.12.19 Sobre la transformación de Lorentz. Es posible deducirla transformación de Lorentz si se hacen algunas suposiciones muy simples.Primero que la relación entre coordenadas y tiempos en dos sistemas es lineal,es decir

x0 = αx+ βt,

t0 = γx+ δt.

Segundo haga referencia al movimiento de los orígenes. Es decir si x0 = 0,entonces x = vt. Si x = 0, entonces x0 = −vt0. Tercero si un objeto se muevecon la velocidad de la luz en un sistema, entonces se mueve con la velocidadde la luz en el otro, es decir si x = ct, entonces x0 = ct0. Por último, latransformación inversa debe tener la misma forma, excepto por el signo dela velocidad relativa entre los dos sistemas.

32 Espacio tiempo

Capítulo 2

Desarrollo del métodocientífico.

2.1. Introducción.

Aristóteles pensaba que las substancias que constituían la Tierra erandiferentes de las substancias existentes en los Cielos. El también creía que ladinámica, la rama de la Física que describe los movimientos, estaba deter-minada esencialmente por la naturaleza de la substancia que se movía. Así,limitándonos a lo esencial, Aristóteles tenía la creencia de que una piedra caíahacia el suelo porque eran substancias similares. En términos de sus cuatroelementos básicos, la piedra era esencialmente “tierra”. De la misma formael humo se elevaba porque era principalmente “aire” (y algo de “fuego”) ypor lo tanto el humo deseaba estar cerca del “aire ”y lejos de la “tierra”y del“agua”. Por similares argumentos él pensaba que los cielos estaban formadospor la más perfecta de las substancias, la quinta esencia, la cual poseía por sunaturaleza la tendencia de efectuar un movimiento perfecto, es decir circular.El también pensaba que los objetos en la Tierra se movían mientras fueranempujados, de modo que ellos se detenían apenas se eliminaban las fuerzasaplicadas. Uno de los problemas que tuvo Aristóteles fue explicar porqué unaflecha lanzada mediante un arco, continuaba volando aún después de que lacuerda terminaba su contacto con la flecha. Algunas explicaciones fueron es-bozadas, por ejemplo que la flecha en su vuelo producía un vacío detrás. Elaire se precipitaba en ese vacío empujando además a la flecha.

34 Desarrollo del método científico.

Esto es un esbozo de lo que eran las creencias antes del desarrollo delmétodo científico.Una de las cuestiones que origina el desarrollo de la ciencia y del método

científico es la explicación del movimiento de los objetos que se ven en elCielo. Hoy día, producto de una enorme cantidad de observaciones, las cosasparecen estar claras. Sin embargo antes la información disponible era muyescasa. Excepto quizás por estimaciones sobre la Luna y el Sol, los hombresde antes no tenían idea de las distancias y de los tamaños de los objetoscelestiales. No debería causar extrañeza entonces que los Griegos apoyaronla idea, con mucho sentido común, de que la tierra debería estar estacionaria(en reposo), y en base a esa hipótesis había que diseñar un método parapredecir las posiciones de los astros. La versión final de este modelo fuediseñada por Ptolomeo de Alejandría, modelo que es conocido en nuestrostiempos como el modelo de Ptolomeo.

2.2. Modelos del Cosmos.

2.2.1. Modelo de Ptolomeo.

Este era un intrincado modelo, donde la Tierra permanecía en reposo ensu centro, mientras los otros objetos del Cielo se movían en torno a la Tierra,en círculos o combinaciones de movimientos circulares, la única curva perfectapara los griegos y por lo tanto la única posible. Todo esto estaba encerradopor una gigantesca esfera de cristal sobre la cual están las estrellas fijas,esfera que daría una vuelta completa por día. Así por ejemplo, un planetadescribía un pequeño círculo en torno a un punto que a su vez describía uncírculo mayor en torno a la Tierra, ver figura (2.1)Así se podía explicar satisfactoriamente para los datos disponibles en ese

tiempo, como los planetas tenían velocidades variables incluso invirtiendo sumovimiento. Entonces era posible hacer cálculos hacia el futuro o hacia elpasado, coincidiendo con las observaciones acumuladas durante cientos deaños. Este modelo tuvo vigencia durante alrededor de 1400 años, un granperiodo de tiempo comparado con la rapidez de los cambios actuales. Estono debe considerarse una aceptación ciega de una hipótesis. Ella descansabaen las comprobaciones experimentales de sus predicciones. De hecho fue ne-cesario un refinamiento de las técnicas de observación para detectar fallas enel modelo de Ptolomeo. En este aspecto fue fundamental el trabajo obser-

2.2 Modelos del Cosmos. 35

Figura 2.1: Modelo de Ptolomeo.

Figura 2.2: Tycho Brahe

vacional realizado por Tycho Brahe, astrónomo danés (Dic. 14, 1546,— Oct.24, 1601), cuyo trabajo en el desarrollo de instrumentos astronómicos y enlas determinaciones de las posiciones de los astros fue crucial.Tycho Brahe fue el más grande de los observadores en astronomía antes

de la invención del telescopio. Bajo el auspicio del rey de Dinamarca él cons-truyó y operó el observatorio de Uraniborg, que constaba de innumerablesinstrumentos de su propio diseño. En particular, Brahe compiló extensosdatos sobre la órbita de Marte, que más tarde probaría ser crucial para laformulación de las leyes correctas del movimiento de los planetas por partede Kepler.Las críticas al modelo de Ptolomeo las inició Copérnico, quien basándose

directamente en trabajos de Tycho Brahe puso de manifiesto las discrepanciasdel modelo con la observación, discrepancias no muy grandes pero que debían


Sol

Tierra Marte

posición aparente deMarte en el fondo delas estrellas

Figura 2.3: Movimiento aparente de Marte.

ser justificadas.

2.2.2. Modelo de Copérnico.

Debido a las diferencias observadas, cabían dos posibilidades, hacerle co-rrecciones a las órbitas del modelo de Ptolomeo haciéndolas más intrincadas,o adoptar otro modelo. Copérnico propuso que la Tierra, y los planetas semovían en órbitas circulares en torno al Sol, explicando así muchos de loshechos observados con más simplicidad. Por ejemplo el aparente movimientodel Sol entre las estrellas se explica debido al movimiento de la Tierra. Elmovimiento aparente de los planetas, en particular el movimiento retrógrado,se explica con simplicidad como lo ilustra la figura (2.3).

Por ejemplo se observa como el planeta Marte se ve avanzar o a vecesretroceder en el fondo de las estrellas fijas. Sin embargo Copérnico encontróque las posiciones predichas con su modelo para los astros no eran significa-tivamente mejores que las predichas por el modelo de Ptolomeo.

2.2.3. Mejores modelos.

Aquí nos encontramos frente a dos hipótesis que daban cuenta más o me-nos igual de los hechos observados. Las creencias imperantes en aquellos días,sobre todo ideas religiosas, favorecían la hipótesis de una tierra en reposo,ocupando el lugar central en el Universo. Además la Mecánica Clásica no es-taba lo suficientemente desarrollada como para contestar muchas preguntas.Entonces ocurrió que las mediciones por si solas no permitieron dilucidar

entre los dos modelos, de Copérnico y de Ptolomeo. Tycho insistía en una


Tierra inmóvil. Copérnico persuadió a Tycho para colocar el centro de revo-lución de todos los otros planetas en el Sol. Para ello tenía que abandonar lasesferas cristalinas Aristotélicas puesto que chocarían entre si. Tycho tambiéncuestionó la doctrina Aristotélica de perfección celestial, cuando, en los años1570, un cometa y una nueva estrella aparecieron. Tycho mostró que ambosestaban sobre la esfera de la Luna. Quizás las críticas más serias fueron lashechas por Galileo, después de su invención del telescopioEn una rápida sucesión de acontecimientos, Galileo anunció que había

montañas en la Luna, satélites que rodean Júpiter, y manchas en el Sol.Es más, que la Vía Láctea está compuesta de innumerables estrellas cuyaexistencia nadie había sospechado hasta que Galileo las observó. Aquí lacrítica golpeaba las raíces mismas del sistema Aristotélico del mundo.Al mismo tiempo que Galileo investigaba los cielos con su telescopio, en

Alemania Johannes Kepler estaba investigándolo con su mente.Las observaciones muy precisas de Tycho le permitieron a Kepler des-

cubrir que Marte y los otros planetas, no se movían en círculos sino quedescribiendo elipses, con el Sol en uno de sus focos. El cosmos de Keplerera anti-Aristotélico, y quizás por ello él escribió sus descubrimientos en pro-sa latina casi indescifrable en una serie de trabajos que no tuvieron muchacirculación.

2.2.4. Johannes Kepler.

El siguiente paso en la historia de la astronomía fue debido a la intuiciónteórica de Johannes Kepler (1571-1630), un astrónomo Alemán quien fuea Praga como asistente de Brahe. Kepler y Brahe no se llevaban bien. Alparecer Brahe pensaba que Kepler podría eclipsarlo de ser el más grande delos astrónomos de esos días, por lo cual sólo le permitió a Kepler examinarparte de su enorme caudal de datos observacionales. El le propuso a Keplerla tarea de entender la órbita de Marte que parecía muy complicada, con laesperanza de que gastara su tiempo en eso, permitiéndole a él trabajar ensu teoría del sistema Solar. Como una ironía, fueron los datos de la órbitade Marte los que le permitieron a Kepler formular las leyes correctas delmovimiento de los planetas, sobrepasando lejos los logros de Brahe.En retrospectiva la razón de que la órbita de Marte pareciera tan compli-

cada fue que Copérnico colocaba el Sol en el centro del sistema solar, pueshabía errado en su creencia de que las órbitas de los planetas eran círculos.Kepler pudo finalmente concluir que las órbitas de los planetas no eran los


Figura 2.4: Johanes Kepler

círculos exigidos por Aristóteles, sino círculos aplanados, que los geómetrasllaman elipses. Sin embargo las órbitas son apenas elípticas, y para los da-tos disponibles en ese tiempo, era precisamente la órbita de Marte quienmostraba ser más elíptica.

2.2.5. Las leyes de Kepler.

Los descubrimientos de Kepler pueden resumirse en tres hechos, conocidoshoy en día como las tres leyes de Kepler:

Cada planeta se mueve en una órbita elíptica en torno del Sol, el cualocupa uno de sus focos.

La línea que conecta el Sol con cada planeta, barre áreas iguales enintervalos iguales de tiempo.

Los cuadrados de los tiempos requeridos por cada planeta para daruna vuelta completa en torno al Sol, son proporcionales al cubo de sudistancia promedio al Sol.

Lo que Galileo y Kepler no podían dar, aunque lo intentaron, eran res-puestas a las preguntas Aristotélicas como las siguientes: ¿ Si la Tierra giraen torno de su eje, entonces por qué no salen volando los objetos? ¿Y quéhace que los objetos dejados caer de lo alto de las torres no se desvíen ha-cia el oeste dado que la tierra gira debajo de ellos? ¿Y cómo es posible quela Tierra, en espacio vacío, viaje en torno del Sol—ya sea en círculos o en


elipses—sin algo que la empuje? Las mejores respuestas vinieron de parte deGalileo, quién analizó los problemas de la rotación de la Tierra y su revolu-ción mediante análisis lógico. Los cuerpos no salen volando la Tierra porquela tierra no gira demasiado rápido, así los cuerpos, tienen una tendencia pe-queña a salir volando. Los cuerpos dejados caer desde las torres, caen a labase de ellas porque ellos (antes de ser soltados) comparten con la torre larotación de la Tierra. Asimismo Galileo dedujo lo que acontece cuando otromovimiento se agrega. Así Galileo dedujo que una pelota dejada caer de lacima de un mástil de una nave en movimiento caería directamente a la basedel mástil. Si la pelota fuera permitida a seguir sin roce en vuelo horizontal,continuaría moviéndose para siempre. De hecho Galileo concluyó que los pla-netas, una vez puestos en movimiento circular, continuarían así para siempre.Por consiguiente, las órbitas circulares de Copérnico existen. Galileo nuncaaceptó las elipses de Kepler; hacerlo habría significado abandonar su soluciónal problema de Copérnico.Kepler comprendió que había un problema real con el movimiento plane-

tario. Él buscó resolverlo mediante la existencia de alguna fuerza que parecíaser cósmica en naturaleza, en su creencia el magnetismo.La Tierra había sido descrita como un gigantesco imán por William Gil-

bert en 1600. Kepler se aferró a ese hecho. Una fuerza magnética, dijo Kepler,emanó del Sol y empujó los planetas alrededor en sus órbitas, pero él nuncapudo cuantificar esto idea bastante vaga y poco satisfactoria.A finales del primer cuarto del siglo 17 el pensamiento Aristotélico sobre

el cosmos estaba rápidamente teniendo fin, pero no aparecía ningún sistemasatisfactorio para ocupar su lugar. Como resultado existía escepticismo: “Lanueva filosofía pone todo en duda”. Era esta situación la que favoreció eldesarrollo de las ideas de René Descartes.La materia y movimiento fueron tomados por Descartes para explicar

todos los procesos naturales por medio de los modelos mecánicos, aunque éladvirtió que ese tales modelos probablemente no eran la naturaleza misma.Ellos proporcionan meramente “las historias probables”, cuestión qué parecíamejor que ninguna explicación en absoluto.Armado con materia y movimiento, Descartes atacó los problemas del sis-

tema de Copérnico. Cuerpos una vez en movimiento, Descartes argumentó,permanecen en movimiento en una línea recta a menos que y hasta que ellosse desvíen de esta línea por el impacto de otro cuerpo. Todo cambio de unmovimiento es el resultado de cosas que impactan. La pelota soltada desdelo alto de un mástil, cae al pie del mástil porque, a menos que sea golpeado


Figura 2.5: Isaac Newton

por otro cuerpo, continúa moviéndose con la nave. Los planetas se muevenalrededor del Sol porque ellos son desviados por una materia sutil que llenatodo el espacio (¿qué será?). Podían así construirse modelos similares paraconsiderar todos los fenómenos; el sistema Aristotélico podría ser reempla-zado por el Cartesiano. Existía sin embargo un problema mayor, y eso bastópara derrumbar al Cartesianismo en esos tiempos. La materia Cartesiana ymovimiento no tenían ningún propósito. Ni la filosofía de Descartes parecíanecesitar la participación activa de una deidad. El cosmos Cartesiano, comolo dijo Voltaire después, era como un reloj que al cual le habían dado cuerdaen la creación y que continuaba haciendo tictac por siempre.

2.2.6. Sir Isaac Newton. La unificación de la Física yla Astronomía.

El 17 siglo era un tiempo de intenso sentimiento religioso, y en ningunaparte era ese sentimiento más intenso que en Gran Bretaña. Allí un hom-bre joven devoto, Isaac Newton, finalmente sienta las bases de la MecánicaClásica.Newton era a la vez un experimentalista y un genio matemático, una com-

binación que le permitió defender el sistema de Copérnico mediante “unasnuevas mecánicas”. Su método era simplemente: “de los fenómenos de los mo-vimientos investigar las fuerzas naturales, y entonces de estas fuerzas deducirotros fenómenos del movimiento”. El genio de Newton lo guió en la elecciónde fenómenos a ser investigado, y su creación de una herramienta matemática


fundamental—el cálculo (simultáneamente inventado por Gottfried Leibniz).El resultado fué su gigantesca obra, Philosophiae Naturalis Principia Mathe-matica (Principios Matemáticos de Filosofía Natural, normalmente llamadosPrincipia simplemente que aparecieron en 1687.

Aquí se asentaban unas nuevas físicas que aplicaron igualmente bien alos cuerpos terrestres y a los celestiales. Copérnico, Kepler, y Galileo erantodos justificados por el análisis de Newton de las fuerzas. Descartes fuéabsolutamente derrotado.

Así con sus tres leyes (de Newton) de movimiento y su principio de gra-vitación universal le bastó a Newton para explicar el nuevo cosmos. Newtoncreyó sin embargo que eso era con la ayuda de Dios. La Gravedad, es ac-ción divina directa, como lo son todo las fuerzas. El espacio absoluto, paraNewton, era esencial, porque el espacio era el “el sensorium de Dios”, y lamorada divina la cual, necesariamente, debe ser el último sistema de coorde-nadas. (Estas ideas muestran con claridad que Newton formuló sus leyes dela Mecánica en un sistema privilegiado de referencia, sistemas que hoy en díase conocen como “Sistemas inerciales de Referencia”.) Finalmente, el análisisde Newton de las perturbaciones mutuas de los planetas causado por suscampos gravitacionales individuales lo hicieron predecir el derrumbamientonatural del sistema solar, a menos que Dios actuara para corregir las cosas.

La gran síntesis de Newton.

Kepler propuso sus tres leyes del movimiento de los planetas basándose enlas regularidades que encontró en los datos de Brahe. Estas leyes se suponíaaplicaban sólo al movimiento de los planetas, no teniendo relación alguna conotros movimientos en el Universo. Además eran completamente empíricas,ellas daban buenos resultados, pero nadie sabía la razón de porqué ellasfuncionaban.

Newton cambió todo eso. Primero él demostró que los movimientos detodos los cuerpos podían ser descritos mediante tres leyes. Luego demostróque las tres leyes de Kepler no eran más que casos especiales de sus leyes sila fuerza es de un tipo especial, la que hoy llamamos fuerza gravitacional.


2.3. La difusión de método científico.

La publicación del Principia marca la culminación del movimiento inicia-do por Copérnico y, como tal, siempre ha perdurado como el símbolo de larevolución científica.Existían, sin embargo, críticas similares en otros ámbitos del conocimiento

natural. En el mismo año que Newton publicaba su gran volumen, aparecíaun libro igualmente importante en anatomía. Andreas Vesalius “Del fabricade corporis de humani ” (“En el Tejido del Cuerpo Humano”, llamó el Delfabrica), aparece un examen crítico de la anatomía de Galeno en la queVesalius utilizó sus propios estudios para corregir muchos de los errores deGaleno.Vesalius, como Newton, puso énfasis en los fenómenos observados, es de-

cir, la descripción exacta de hechos naturales. Esto culminó con el descubri-miento de la circulación de la sangre por William Harvey cuyo trabajo fuépublicado como “Exercitatio Anatomica De Motu el et de Cordis Sanguinisen Animalibus” (Un Ejercicio Anatómico Acerca del Movimiento del Corazóny Sangre en Animales ) .Éste era el como el Principia en fisiología donde se estableció la anatomía

y la fisiología como ciencias con derecho propio. Harvey mostró que esosfenómenos orgánicos podrían estudiarse experimentalmente y que algunosprocesos orgánicos podían reducirse a sistemas mecánicos. El corazón y elsistema vascular podrían ser considerados como una bomba y un sistema decañerías y que podían entenderse sin el recurso a espíritus o otras fuerzas nosusceptibles al análisis.En otras ciencias el esfuerzo por sistematizar no tuvo tanto éxito. En

química, por ejemplo, el trabajo de los alquimistas modernos medievales ha-bían conducido a nuevas substancias importantes y procesos, como los ácidosminerales y destilación, pero presentaron sus teorías en un lenguaje místicocasi incomprensible. Robert Boyle en Inglaterra intentó disipar la maleza in-telectual insistiendo en las descripciones claras, en la reproducibilidad de losexperimentos, y concepciones mecánicas de los procesos químicos. La quími-ca, sin embargo, no estaba todavía madura para la revolución.Nuevos instrumentos como el microscopio y el telescopio multiplicaron

los mundos con los que el hombre tenía que ver. Los viajes por el Mundodevolvieron un diluvio de nuevos especímenes botánicos y zoológicos queagobiaron esquemas clasificadores antiguos. Lo mejor que podía hacerse eradescribir estas cosas nuevas con precisión y esperar que algún día alguien

2.3 La difusión de método científico. 43

pudiera ajustarlas de una manera coherente.El diluvio creciente de información puso tensiones pesadas en las institu-

ciones viejas y tradicionales. La información tuvo que ser extendida ampliay rápidamente. Ni el genio aislado de Newton pudo comprender un mundoen el que la nueva información estaba produciéndose más rápidamente de loque cualquier persona podía asimilar. Los filósofos naturales tenían que estarseguro de sus datos, y con ese fue requirieron la confirmación independientey crítica de sus descubrimientos. Se crearon nuevos medios para lograr estosfines. Las sociedades científicas empiezan en Italia en los primeros años delsiglo 17 y culminan en las dos grandes sociedades científicas nacionales quemarcan el cenit de la revolución científica: la Sociedad Real de Londres parala Promoción de Conocimiento Natural, creado por carta constitucional realen 1662, y las Académie des Ciencias de París, formadas en 1666.En estas sociedades y otras como ellas por el mundo, los filósofos natura-

les podrían discutir, y podrían criticar nuevos descubrimientos y las teoríasantiguas. Para mantener una base firme en estas discusiones, las sociedadesempezaron a publicar trabajos científicos (papers). Las Transacciones Filo-sóficas de la Sociedad Real que empezaron como una aventura privada desu secretaria fueron el primer periódico científico profesional. Fue copiadopronto por el Mémoires de la academia francesa que ganó igual importan-cia y prestigio. La antigua práctica de ocultar los nuevos descubrimientos enjerga común, el idioma oscuro, o incluso los anagramas gradualmente dieronlugar al ideal de comprensión universal. Se inventaron nuevos cánones parainformar y para que los experimentos y descubrimientos pudieran ser repro-ducidos por otros. Esto requirió nueva precisión en el idioma o lenguaje paracompartir métodos experimentales u observacionales. El fracaso de otros parareproducir resultados lanzaba serias dudas en los informes originales. Así secrearon las herramientas para un ataque frontal a los secretos de naturaleza.Incluso con la revolución científica comenzando, mucho permanecía por

ser hecho. De nuevo, fué Newton quien mostró la manera. El Principia basta-ba para el mundo de macroscópico. Las tres leyes de Newton de movimientoy el principio de gravitación universal eran todo lo necesario para analizar lasrelaciones mecánicas de cuerpos ordinarios, y el cálculo como la herramientasmatemática esencial. Para el mundo microscópico, Newton proporcionó dosmétodos.Primero, donde las leyes simples de acción ya habían sido determinadas

de la observación, como la relación de volumen y presión de un gas (la ley deBoyle, pv = k), Newton supuso fuerzas entre partículas que le permitieron


derivar esa ley.Él usó estas fuerzas entonces para predecir otros fenómenos, en este caso

la velocidad del sonido en el aire la cual podía medirse y contrastarse con lapredicción.Segundo, el método de Newton hizo posible el descubrimiento de que las

leyes de acción del mundo macroscópico. podrían considerarse como el efec-to de fuerzas microscópicas. Aquí el trabajo terminal de Newton no está enel Principia sino en su obra maestra de físicas experimentales, el Opticks,publicado en 1704 en los que él mostró cómo examinar un asunto experimen-talmente y descubrir las leyes del fenómeno.Newton mostró como el uso juicioso de una hipótesis puede llevar más allá

la investigación experimental hasta que una teoría coherente fuese lograda. ElOpticks fué el modelo en los siglos 18 y comienzos del 19 para la investigacióndel calor, la electricidad, el magnetismo, y los fenómenos químicos.

2.3.1. La edad clásica de la Ciencia.

Como consecuencia de que el Principia precedió al Opticks, la mecánicatuvo más desarrollo que otras ciencias en el siglo 18, que en este proceso setransformó de una rama de la física en una rama de la matemáticas.Se redujeron muchos problemas de la física en problemas matemáticos,

que mostraron su ductibilidad de ser resueltos por métodos analíticos cadavez más sofisticados. El matemático suizo Leonhard Euler fué uno de losobreros más fecundos y prolíficos en matemática y en la física matemáti-ca. Su desarrollo del cálculo de variaciones, una herramienta muy poderosa,le permitió tratar problemas muy complejos. En Francia, Jean Le de RondAlembert y Joseph-Louis Lagrange tuvieron éxito en reducir los problemasde la mecánica a un sistema axiomático que requiere sólo manipulación ma-temática.La base de la Mecánica de Newton era su congruencia con la realidad

física. Al principio del 18 siglo ella se expuso a muchas pruebas rigurosas.El toque final al edificio de Newton fué proporcionado por Pierre-Simon,marqués de Laplace cuyo “Traité hábil del céleste del mécanique” (1798-1827; las Mecánicas Celestiales) sistematizó todo lo que se había hecho enmecánicas celestiales bajo la inspiración de Newton.Laplace fué más allá de Newton, en sus creencias, mostrando que las

perturbaciones de las órbitas planetarias causadas por las interacciones degravitación planetaria son de hecho periódicas y que el sistema solar es, por

2.4 El método científico. 45

consiguiente, estable, no requiriendo ninguna intervención divina para evitarsu colapso. Esta afirmación puede sin embargo ser discutida hoy en día dondecon el desarrollo de la teoría de los sistemas dinámicos donde se han abiertonuevas dudas en el asunto de la estabilidad del sistema Solar.

2.4. El método científico.

En términos modernos, el método científico puede resumirse en un procesode que consta de los siguientes pasos o etapas

1 Observe aspectos del Universo que sean de su interés como investigador.

2 Invente alguna descripción tentativa de los hechos observados, cuestiónllamada una hipótesis, que sea consistente con todo lo que usted haobservado.

3 Utilice la hipótesis para efectuar predicciones de fenómenos en el ámbitode los fenómenos descritos.

4 Contraste esas predicciones mediante nuevos experimentos o mediantenuevas observaciones, y redefina su hipótesis a la luz de los nuevosresultados.

5 Repita los pasos 3 y 4 hasta que no existan discrepancias entre su teoríao hipótesis y los experimentos u observaciones.

Cuando se logre consistencia entre la hipótesis y los resultados, la hipóte-sis adquiere el rango de teoría científica la cual provee un conjunto coherentede proposiciones que explican una cierta clase de fenómeno. Una teoría esentonces un artefacto mediante el cual se explican observaciones y se puedenhacer predicciones.Una gran ventaja del método científico está en la ausencia de prejuicios.

Un investigador no tiene necesariamente que creer a otros. Los experimentospueden ser repetidos y así determinar si los resultados son verdaderos o falsos,independientemente de creencias religiosas o de prejuicios existentes. Unateoría científica es adoptada o descartada sin consideración al prestigio delproponente o a su poder de persuasión.Al estudiar el cosmos, no es posible realizar experimentos directamente,

toda la información se obtiene mediante la observación.


Una crítica frecuente que se hace a los científicos y en consecuencia al mé-todo científico es que muchas cosas que se creían imposibles en el pasado sonhoy en día realidades. Esta crítica está basada en una mala interpretación delmétodo científico. Cuando una hipótesis pasa el test de su comprobación ex-perimental, entonces ella se adopta como la teoría que explica correctamentelos fenómenos observados. Sin embargo, cuando se explora un nuevo rangode fenómenos se utiliza la teoría existente pero se tiene siempre en mente quela teoría puede fallar al intentar explicar nuevos fenómenos. En estos casos,nuevas hipótesis son hechas hasta que emerge una nueva teoría.

2.5. Los cambios actuales.

Hoy día, los cambios y nuevos descubrimientos suceden a un ritmo im-presionante, tópicos que corresponden a temas de estudio de actualidad seestudian normalmente en cursos de postgrado en Física, pero de todos modosse muestran algunos de los hitos más relevantes ocurridos recientemente enla Física.

2.5.1. Hitos en la historia de la Física Moderna

1887 Albert Michelson y Edward Morley, usando un interferómetro,fallan en detectar el Eter.

1896 Henri Becquerel descubre la radioactividad natural.

1900 Max Planck introduce la teoría cuántica para explicar la radiacióntermal.

1905 Albert Einstein publica su famoso artículo sobre la teoría de larelatividad.

1905 Albert Einstein introduce el concepto de fotón para explicar elefecto fotoeléctrico.

1911 Heike Kamerlingh-Onnes descubre la superconductividad.

1911 Ernest Rutherford propone el núcleo atómico, basado en experi-mentos de Hans Geiger y Ernest Marsden.

1913 Neils Bohr introduce la teoría de la estructura atómica.

2.5 Los cambios actuales. 47

1913 William H. Bragg and William L. Bragg (Padre e Hijo) estudianla difracción de rayos X por cristales.

1914 James Franck and Gustav Hertz muestran evidencia de energíascuantizadas en los átomos.

1914 Henry J. Moseley encuentran relación entre frecuencias de rayosX y número atómico.

1915 Albert Einstein propone la teoría general de la relatividad.

1916 Robert Millikan ejecuta cuidadosas medidas del efecto fotoeléctri-co y confirma la teoría de los fotones de Einstein.

1919 Sir Arthur Eddington y otro astrónomo Británico miden efectosgravitacionales sobre la deflección de luz de las estrellas confirmandolas predicciones de la teoría general de la relatividad de Einstein.

1921 Otto Stern y Walter Gerlach demuestran la cuantización espacialy muestran la necesidad de introducir el momento magnético intrínsecodel electrón.

1923 Arthur Compton demuestran cambios en la longitud de onda delos rayos X en el scattering por electrones.

1924 Prince Louis de Broglie postula la conducta ondulatoria de laspartículas.

1925 Wolfgang Pauli propone el principio de exclusión.

1925 Samuel Goudsmita y George Uhlenbeck introducen el concepto demomento angular intrínseco.

1926 Max Born establece la interpretación estadística de la función deonda de Schrödinger.

1927 Werner Heisenberg introduce el principio de incerteza.

1927 Clinton Davisson t Lester Germer demuestran la conducta ondu-latoria de los electrones; George P. Thomson independientemente hacelo mismo.


1928 Paul A.M. Dirac propone la teoría relativística cuántica.

1929 Edwin Hubble reporta evidencia de la expansión del Universo.

1931 Carl Anderson descubre la antipartícula del electrón, el positrón.

1931 Wolfgang Pauli sugiere la existencia de una partícula neutra, elneutrino, emitido en el decaimiento beta.

1932 James Chadwick descubre el neutrón.

1932 John Cockroft y Ernest walton producen la primera reacción nu-clear usando un acelerador de alto voltaje.

1934 Irène y Frédéric Joliot-Curie descubren radioactividad inducidaartificialmente.

1935 Hideki Yukawa propone la existencia de los mesones.

1938 Otto Hahn, Fritz Strassmann, Lise Meitner y Otto Frisch descu-bren la fisión nuclear.

1940 Edwin McMillan, Glenn Seaborg y colegas producen los primeroselementos sintéticos transuránicos.

1942 Enrico Fermi y colegas construyen el primer reactor de fisión nu-clear.

1945 Explosión de la primera bomba atómica de fisión en el desierto deNuevo México.

1946 George Gamow proponen el big-bang cosmológico.

1948 John Bardeen, Walter Brattain y William Shockley muestran pri-mer transistor.

1952 Explosión de la primera bomba de fusión nuclear en el atolónEniwetok.

1956 Frederick Reines y Clyde Cowan presentan evidencia experimentalsobre la existencia del neutrino.

2.5 Los cambios actuales. 49

1956 Lee Tsung-dao y Yang Chen-ying sugieren pérdida de simetría deparidad en el decaimiento beta.

1958 Rudolf L. Mössbauer demuestra emisión sin retroceso de rayosgama.

1960 Theodore Maiman construye el primer láser de ruby; Ali Javanconstruye el primer láser de helio-neón.

1964 Allan R. Sandage descubre el primer quasar.

1964 Murray Gell-Mann y George Zweig independientemente introdu-cen el modelo de tres quarqs de las partículas elementales.

1965 Arno Penzias y Robert Wilson descubren la radiación de fondo demicro ondas.

1967 Jocelyn Bell y Anthony Hewish descubren el primer pulsar.

1967 Steven Weinberg y Abdus Salam proponen independientementeuna teoría unificada incluyendo las interacciones débiles y electromag-néticas.

1974 Burton Richter y Samuel Ting y colaboradores descubren inde-pendientemente evidencia de un cuarto quarq, llamado charm.

1974 Joseph Taylor y Russel Hulse descubren el primer pulsar binario.

1977 Leon Lederman y colegas descubren una nueva partícula que esevidencia de un quinto quarq, llamado bottom.

1981 Gerd Binnig y Heinrich Rohrer inventan el microscopio de efectotúnel.

1983 Carlo Rubbia y colaboradores en el CERN descubren las partícu-las W−,W+ y Z0.1986 J. Georg Bednorz y Karl Alex Müller producen el primer super-conductor de alta temperatura.

1994 Investigators en el Fermilab descubren evidencia de un sextoquarq, llamado top.

.

Capítulo 3

Gravitación.

3.1. Desarrollo de la teoría gravitacional.

Hasta los hallazgos de Newton, no se comprendió que el movimiento delos cuerpos celestiales y la caída libre de objetos en la Tierra eran deter-minados por la misma fuerza. Los filósofos griegos clásicos, por ejemplo, nocreían que los cuerpos celestiales podían ser afectados de algún modo, puestoque ellos parecían perpetuamente seguir trayectorias sin caerse del cielo. Poresa misma razón, Aristóteles pensaba que cada cuerpo celeste sigue un ca-mino “natural” en su movimiento. Asimismo creía que los objetos materialesterrenales poseen una tendencia natural a acercarse al centro de la Tierra.Las ideas Aristotélicas prevalecieron durante siglos: un cuerpo que se mue-

ve a velocidad constante requiere de una fuerza continua que actuando sobreel, y esa fuerza debe ser aplicada por contacto en lugar de la interacción adistancia. Ese punto de vista impidió la comprensión de los principios delmovimiento y evitaron el desarrollo de ideas sobre la gravitación universal.Sin embargo durante el siglo 16 y comienzos del siglo 17, varias contribucio-nes científicas al problema del movimiento terrenal y celestial permitieron eldesarrollo de la teoría gravitacional. de Newton y de la Mecánica Clásica.El astrónomo alemán Johannes Kepler, durante el siglo 17, aceptó la

perspectiva de Copérnico de que los planetas orbitan en torno del Sol en vezde en torno de la Tierra.Utilizando las mediciones muy refinadas de los movimientos de los plane-

tas realizadas por el astrónomo dinamarqués Tycho Brahe durante el siglo 16,

52 Gravitación.

Kepler pudo describir las órbitas de los planetas mediante simples relacionesgeométricas y aritméticas. Estas relaciones son conocidas hoy como las tresleyes de Kepler del movimiento de los planetas y pueden resumirse por:

Tres leyes de Kepler

1 Los planetas describen órbitas elípticas en la cual el Sol el cual ocupauno de sus focos.

2 La línea que une un planeta al Sol barre áreas iguales en tiempos igua-les.

3 El cuadrado del periodo de revolución de un planeta es proporcional alcubo de su distancia media al Sol. Una expresión moderna de esta leyes

T 2 =4π2

GMR3,

siendo G la constante de gravitación Universal, M la masa del Sol, yR la distancia media al Sol.

Durante este mismo periodo de tiempo, el astrónomo y físico italianoGalileo hizo otros importantes avances al entender como “natural” un mo-vimiento acelerado simple para los objetos terrenales.Él comprendió que los cuerpos que no son influenciados por medio de fuer-

zas, continúan moviendo indefinidamente, y que al contrario del pensamientoAristotélico, se necesitan fuerzas para cambiar su estado de movimiento. Es-tudiando cómo los objetos caen hacia la Tierra en el experimento conocidocomo de caída libre, Galileo descubrió que este movimiento es un movimien-to con aceleración constante, esto es la velocidad se incrementa lo mismoen iguales lapsos de tiempo. Él pudo demostrar que la distancia que recorreun cuerpo al caer, varía como el cuadrado del tiempo. Además fue capaz deestablecer que la aceleración debido a la gravedad cerca de la superficie dela Tierra es aproximadamente 9.8 metros por segundo por segundo. Esto esque la velocidad se incrementa en 9.8 m/s en cada segundo.Por otro lado, Newton descubrió una sorprendente relación entre el movi-

miento de la Luna (¿influenciada por la Tierra?) y el movimiento de cualquiercuerpo que cae sobre la Tierra. Primero que nada, mediante métodos pura-mente matemáticos y geométricos, el descubrió que un cuerpo que recorre

3.1 Desarrollo de la teoría gravitacional. 53

una órbita circular de radio R en un tiempo ( período) T , está aceleradohacia el centro de la circunferencia con una magnitud igual a:

a =4π2

T 2R.

Newton supuso la presencia de una fuerza atractiva entre todos los cuer-pos materiales, una fuerza que no requiere contacto directo y actúa a distan-cia. Haciendo uso de la ley de inercia es decir que los cuerpos no sometidos afuerzas siguen con velocidad constante en una línea recta, Newton concluyóque una fuerza ejercida por la Tierra sobre la Luna es necesaria para que sumovimiento sea circular en torno a la Tierra. Él comprendió que esta fuerzadebería ser, considerando las proporciones, igual que la fuerza con la que laTierra atrae a objetos sobre su superficie.

Newton analizó el movimiento de la Luna de la que tiene un periodo deT = 27,3 días (casi un mes) y una órbita de radio aproximadamente iguala RL = 384, 000 kilómetros (aproximadamente 60 radios de la Tierra RT ).Él encontró que la aceleración de la Luna en su órbita es (dirigida hacia laTierra) de magnitud

a =4π2RL

T 2=

4π23,84× 108(27,3× 24× 3600)2 = 0,0027

m

s2,

que sorprendentemente resulta igual a (RT/RL)2 = (1/60)2 de la ace-

leración de un objeto cayendo cerca de la superficie de la Tierra. CuandoNewton descubrió que la aceleración de la Luna en su órbita es 1/3600 vecesmás pequeña que la aceleración en la superficie de la Tierra, él tuvo la genialidea de relacionar el número 3600 al cuadrado del radio de la Tierra. ComoNewton supuso que las dos aceleraciones son consecuencia de una interaccióncomún, entonces pudo deducir que la fuerza gravitatoria entre dos cuerposdisminuye como el inverso del cuadrado de la distancia entre los cuerpos. Así,si la distancia entre los cuerpos se dobla, se reduce la fuerza en ellos en cua-tro veces. Un resultado que requiere suponer que la masa de la Tierra actúagravitacionalmente en sus alrededores como que si su masa se concentraraen el centro del planeta.

54 Gravitación.

3.1.1. Ley inversa al cuadrado de la distancia.

Es también posible deducir la ley inversa al cuadrado de la distancia, deacuerdo a la tercera ley de Kepler. En efecto si en la expresión

a =4π2R

T 2,

se reemplaza el periodo de acuerdo a la tercera ley de Kepler

T 2 = kR3

se obtiene

a =4π2R

kR3=4π2

kR2.

Newton también dedujo que las fuerzas gravitacionales entre los cuerposdeberían depender de las masas de los cuerpos. Dado que un cuerpo de masaM que experimenta una fuerza F acelera a razón F/M , una fuerza proporcio-nal a M sería consistente con la observaciones de Galileo de que los cuerposaceleran bajo la gravedad terrestre con la misma magnitud. Así y en formaresumida la teoría gravitacional de Newton establece que

F12 = Gm1m2

(r12)2,

donde F12 es la magnitud de la fuerza gravitatoria que actúa entre las loscuerpos de masas m1 y m2 separadas una distancia r12. “La fuerza igualael producto de estas masas y de G, una constante universal, dividida por elcuadrado de la distancia”. Su teoría gravitatoria permitió explicar las leyesde Kepler y estableció la ciencia cuantitativa moderna de la gravitación.La constante de gravitación universal tiene en el sistema SI el valor

G = 6,67259× 10−11m3 kg−1 s−2,y la fuerza gravitacional actúa en la dirección de la línea que une los doscuerpos.Una expresión más simple, permite calcular la aceleración en la superficie

en Tierra, la llamada aceleración de gravedad. Sea MT la masa de la tierray RT su radio, la aceleración descendente de un cuerpo en la superficie es

g =GMT

R2T.


De aquí puede deducirse una expresión aproximada para la aceleración degravedad a una altura h sobre la superficie terrestre.

g(h) =GMT

(RT + h)2(3.1)

= GMT

R2T+

µ−2GMT

R3T

¶h

= g(0)− 2g(0)RT

h.

3.1.2. Velocidad de escape.

Un objeto lanzado hacia arriba desde la superficie de un planeta, despre-ciando el efecto del roce con la atmósfera, no regresa de caída si la velocidadexcede el valor denominado velocidad de escape que puede ser determinadomediante

ve =

r2GM

R,

siendo M la masa del planeta, R su radio y G la constante de gravitación.

3.1.3. Peso y masa.

El peso W del cuerpo es definido por la fuerza igual y opuesta necesariopara prevenir la aceleración descendente del cuerpo. El mismo cuerpo puestoen la superficie de la Luna tiene la misma masa, pero, como la Luna tieneuna masa de aproximadamente 1/81 veces el de la Tierra y un radio deaproximadamente 0,27 el de la Tierra, el cuerpo en la superficie lunar tieneun peso de sólo 1/6 su peso de Tierra.Newton pudo mostrar que las tres leyes de Kepler, se desprenden matemá-

ticamente del uso de sus propias leyes de movimiento y de la de gravitación.En todas las observaciones del movimiento de un cuerpo celestial, sólo elproducto de G y la masa M aparece. Newton estimó la magnitud de G su-poniendo la densidad de masa de promedio de la Tierra como 5,5 veces la deagua y luego calculando la masa de la Tierra MT . Así calculó G mediante

G =gR2TMT

56 Gravitación.

obteniendo un valor cercano a 6,6726× 10−11.Usando las observaciones del movimiento de las lunas de Júpiter descu-

biertas por Galileo, Newton determinó que Júpiter es 318 veces más masivoque la Tierra pero tiene sólo 1/4 de su densidad y un radio 11 veces másgrande que la Tierra.

3.1.4. Interacción entre los cuerpos celestiales.

Cuando dos cuerpos celestiales de masa comparable se atraen gravitacio-nalmente, ambos orbitan con respecto al centro de masa de los dos cuerpos.Ese punto queda entre los cuerpos en la línea que los une en una posición talque las distancias a cada cuerpo multiplicadas por la masa de cada cuerposon iguales. En fórmulas

R1 =M2

M1 +M2R,

R1 =M2

M1 +M2R,

M1R1 = M2R2.

Así, la Tierra y el Sol están orbitando en torno a su centro común de masa.Este movimiento de la Tierra tiene dos consecuencias notables. Primero, laposición del Sol vista contra el fondo de las estrellas muy distantes varía cadames por aproximadamente 12 segundos de arco además del movimiento anualdel Sol. Segundo, la velocidad de la línea de visión desde la Tierra a un naveespacial en movimiento libre varía cada mes a en 2.04 metros por segundosegún datos muy exactos obtenidos por medio de técnicas modernas. Conleves modificaciones las leyes de Kepler son válidas para los sistemas de doscuerpos de masas establecido estando el foco de las órbitas elípticas en laposición del centro de masa de los dos cuerpos, y resultando para la terceraley de Kepler

R3 =G(M1 +M2)

4π2T 2

Esta fórmula puede usarse para determinar las masas separadas de es-trellas binarias. La fórmula anterior determina la suma de las masas y siR1 y R2 son las distancias de las estrellas individuales del centro de masa,la proporción de las distancias debe equilibrar la proporción inversa de lasmasas, y la suma de las distancias es la distancia total R. Estas relaciones


son suficientes para determinar las masas individuales. Las observaciones delmovimiento orbital de las estrellas dobles, del movimiento dinámico de es-trellas que mueven colectivamente dentro de sus galaxias, y del movimientode las galaxias, verifican que la ley de Newton de gravitación es válida, conun alto grado de exactitud a lo largo y ancho del universo visible.Newton también explicó las mareas del océano, fenómenos que envolvieron

en misterio a los pensadores durante siglos, que son una simple consecuenciade la ley universal de gravitación. Ellas son causados específicamente por eltirón gravitatorio de la Luna y, en menor grado, del Sol sobre las aguas.Ya era conocido en tiempos de Newton que la Luna no tiene una órbita

Kepleriana simple. Otras observaciones más exactas sobre los planetas tam-bién mostraron diferencias con las leyes de Kepler. El movimiento de la Lunaes particularmente complejo. Además, la atracción gravitatoria de los plane-tas explica casi todos los rasgos de sus movimientos. Las excepciones son noobstante importantes. Urano, el séptimo planeta del Sol, manifestó impor-tantes variaciones en su movimiento que no podían ser explicado a través deperturbaciones de Saturno, Júpiter, y de los otros planetas. Dos astrónomosdel siglo 19, John Couch Adams de Bretaña y Urbain-Jean-Joseph Le Verrierde Francia, supusieron independientemente la presencia de un octavo planetainadvertido que podría producir las diferencias observadas. Ellos calcularonsu posición dentro de una precisión de un grado de donde se descubrió Nep-tuno más tarde en 1846.Las medidas hechas por mucho tiempo del movimiento del planeta más

cercano al Sol, Mercurio, llevaron a los astrónomos a concluir que el eje ma-yor de su órbita elíptica precesa en el espacio a una proporción 43 segundosde arco por siglo, más rápido que lo que podría considerarse debido a per-turbaciones de los otros planetas. En este caso, sin embargo, ningún otrocuerpo podría encontrarse que podría producir esta diferencia. Al parecer unamodificación muy leve de la ley de Newton de la gravitación parecía ser nece-saria. La teoría de Einstein de la relatividad general, predice correctamentela precesión de la de la órbita de Mercurio.

3.1.5. Teoría potencial. (Usted puede omitir esto)

Para cuerpos irregulares o con distribuciones de masa no homogéneas,la formulación original de la ley de Gravitación es poco adecuada, aunqueen principio ella puede ser utilizada para encontrar el campo gravitatorioresultante.

58 Gravitación.

El progreso principal en teoría gravitatoria clásica después de Newton finla introducción de una teoría potencial que es una representación matemáticade los campos gravitatorios.Esto permite la investigación teórica de las variaciones gravitatorias en

espacio y de las anomalías debido a las irregularidades y deformaciones de laforma de la Tierra.La teoría potencial tiene la siguiente elegante formulación. En cualquier

punto del espacio r existe un potencial gravitacional, cuyo valor correspondeuna función escalar φ(r) llamada potencial gravitacional, de la cual se obtieneel campo gravitacional g(r) mediante una generalización del concepto dederivada

g(r) = −µı∂

∂x+

∂

∂y+ k

∂

∂z

¶φ(r)

donde ı, , y k representan los vectores unitarios básicos de un sistema decoordenadas Cartesiano tridimensional. El potencial φ(r) y por consiguienteg son determinados por una ecuación descubierta por el matemático francésSiméon-Denis Poisson:µ

∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

¶φ(r) = 4πGρ(r).

La importancia de esta formulación es que la ecuación de Poisson puederesolverse bajo condiciones bastante generales que no son el caso con la ecua-ción de Newton. Cuando la densidad de masa ρ(r) no es cero, la solución seexpresa como un integral definida

φ(r) = G

Zρ(r0)dV 0

|r − r0| .

Cuando ρ(r) = 0, en particular, fuera de la Tierra, la ecuación de Poissonse reduce a la ecuación más simple de Laplace. Las coordenadas apropiadaspara una región vecina a la Tierra casi esférica son coordenadas polares esfé-ricas: r, la distancia al centro de la Tierra, la latitud medidas desde el poloNorte y la longitud medida desde el meridiano de Greenwich. Las solucionesson serie de potencias de funciones trigonométricas de la latitud y longitud,conocidas como armónicos esférico donde los primeros términos son:

φ(r) =GMT

RT(1− J2

µRT

r

¶23 cos2 θ − 1

2− J3

µRT

r

¶35 cos3 θ − cos θ

2),


siendo constantes J2 y J3 determinables la distribución de masa detalla-da de la Tierra, y de acuerdo a observaciones de las perturbaciones en lasórbitas de la Luna, se ha encontrado para la Tierra J2 = 1, 082,7 × 10−6 yJ3 = −2,4 × 10−6. Gran parte de la variación del potencial con respecto auna tierra esférica es causada por una protuberancia ecuatorial, y hay unaumento correspondiente en el valor de la gravedad en la superficie de laTierra del Ecuador a los polos. Newton fue el primero en formular una teoríade la protuberancia ecuatorial. Muchos más términos se han estimado de lasobservaciones de las órbitas de satélites artificiales cerca de Tierra.

Nota 3.1 Es absolutamente posible que usted encuentre que aquí hay dema-siadas matemáticas, cierto. De todos modos por si usted quiere profundizaraquí han aparecido dos objetos, llamados “operadores” que son de frecuenteocurrencia en Física. Se trata de

∇ = ı∂

∂x+

∂

∂y+ k

∂

∂zoperador Nabla,

∇2 = ∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2operador Laplaciano,

de modo que en términos de estos, dos de las ecuaciones anteriores se escribencomo

g(r) = −∇φ(r),∇2φ(r) = 4πGρ(r).

3.1.6. Medidas absolutas de la gravedad.

Hay dos maneras básicas de determinación de la gravedad: cronometrandoel caída libre de un objeto y cronometrando el periodo del movimiento de unpéndulo bajo la gravedad , el cual para oscilaciones pequeñas está dado por

T = 2π

sL

g.

En 1817 el físico inglés Henry Kater construye y fin el primero en usar unpéndulo reversible para hacer medidas absolutas de g.(Péndulo de Kater)El péndulo reversible se usó para las medidas absolutas de gravedad desde

los tiempos de Kater hasta los años cincuenta. Los instrumentos electrónicos

60 Gravitación.

les han permitido a los investigadores medir con mucha precisión el tiempode caída libre. También es posible hacer medidas sumamente exactas queusan interferencia láser. Por consiguiente, las medidas directas de caída librehan reemplazado el péndulo para las medidas absolutas de gravedad. Hoy díalos lasers sirven como fuentes luminosas para los interferómetros. El objetoque cae refleja un haz de luz láser. Se han usado versiones transportables detal aparato para medir diferencias de gravedad en toda Tierra. La exactitudalcanzable en estas medidas es aproximadamente una parte en 108.

3.1.7. Medidas relativas de la gravedad.

Desde los tiempos de Newton, las mediciones de diferencias de gravedad,estrictamente hablando, las proporciones de valores de gravedad, fueron he-chas cronometrando el mismo péndulo en lugares diferentes. Durante los añostreinta, sin embargo, los gravímetros estáticos reemplazaron a los péndulospara las medidas locales de variaciones pequeñas de la gravedad. Hoy díalos experimentos de caída libre han dejado el péndulo obsoleto para estospropósitos.Los gravímetros estáticos equilibran la fuerza de peso (mg) de gravedad en

una masa por medio de una fuerza elástica, usando dispositivos electrónicospara lograr alta sensibilidad.Otro gravímetro de desarrollo reciente desarrollo es el gravímetro de su-

perconductor, un instrumento en que la posición de una esfera magnética-mente levitada proporciona una medida de g.Los gravímetros modernos pueden tener sensibilidades mejores que 0.005

miligal, las desviación usuales en estudios de exploración geofísica están enel orden de 0,01− 0,02 miligal. (1gal = 10−2 m/s2; 1 miligal = 10−5 m/s2)Se obtienen diferencias en gravedad medidas con estos gravímetros en

unidades bastante arbitrarias, por ejemplo en divisiones en un día graduado.Posteriormente es necesario calibrar el instrumento utilizando el instrumentoen varios puntos donde g sea conocido.

3.1.8. La Teoría gravitacional y otros aspectos de laFísica.

La teoría de Newton de la gravedad está basada en la existencia de unafuerza que aparece entre todos los pares de cuerpos, actuando a distancia.


Cuando una de las dos masas se mueve, se supone que la fuerza que actúaen otras masas, se ajusta instantáneamente a la nueva situación con la masaoriginal cambiada de sitio. Esto entra en conflicto con la teoría de la rela-tividad especial, donde ninguna información o señal física puede viajar másrápidamente que la velocidad de luz.La teoría de la relatividad junto a la teoría del campo de fenómenos eléc-

tricos y magnéticos, han tenido tal éxito, que se han construido teorías gravi-tatorias más modernas, como teorías de campo consistentes con los principiosde la relatividad especial. En una teoría de campo, la fuerza gravitatoria en-tre los cuerpos es formada por un proceso del dos etapas: El cuerpo produceun campo gravitatorio que penetra todo el espacio que lo rodea. Un segundocuerpo en ese espacio es actuado por el campo y experimenta una fuerza.

3.1.9. Teorías del campo de gravitación.

La posibilidad que la gravitación pudiera unirse con las otras fuerzas denaturaleza en una teoría unificada de fuerzas aumentó el interés en teorías delcampo gravitatorias durante los años setenta y los años ochenta. El primermodelo unificado de campos, y hasta ahora el único exitoso, es de los físicosAbdus Salam de Pakistán y Steven Weinberg y Sheldon L. Glashow de losEstados Unidos que propusieron que las fuerzas electromagnéticas y la fuerzadébil (responsable del decaimiento beta), son manifestaciones diferentes dela misma interacción básica. (El decaimiento beta es un proceso donde unneutrón decae en un protón más un electrón y un neutrino)Los Físicos están ahora buscando activamente otras posibles combina-

ciones unificadas de fuerzas. Debido entre otros aspectos a que la fuerzagravitatoria es sumamente débil comparada con todas las otras, y porqueaparenta ser independiente de todas las otras propiedades físicas excepto lamasa, la unificación de gravitación con las otras fuerzas no se ha logrado.Un ejemplo de una teoría de campo es la relatividad general de Einstein

según la cual la aceleración debido a gravedad es una consecuencia comple-tamente geométrica de las propiedades de espacio-tiempo en el lugar dondese encuentra la masa.Las teorías de Einstein de campo de gravedad predicen correcciones es-

pecíficas a la forma Newtoniana de la gravitación, en dos formas básicas:(1) cuando la materia está en movimiento, aparecen campos gravitatorios.adicionales, análogo a la aparición de campos magnéticos cuando las cargaseléctricas se mueven. (2) Las teorías clásicas de campo son lineales, en el

62 Gravitación.

sentido que dos o más campos eléctricos o magnéticos se superponen poruna simple suma vectorial para dar los campos totales, no siendo así en elcaso de la teoría de Einstein de la gravitación. Algunas de las consecuenciasde los términos de la corrección respecto a la teoría de Newton son prue-bas concretas e importantes de la teoría de Einstein. Debe señalarse queestas predicciones de nuevos efectos gravitatorios. y de su comprobación ex-perimental, requieren de mucho cuidado pues debido al trabajo pionero deEinstein en gravedad, esos campos gravitacionales afectan los instrumentosbásicos de medición, en particular a los relojes. Algunos de estos efectos selistan debajo:1. La proporción en que el ritmo de los relojes es reducida por proximidad

de cuerpos masivos; es decir, los relojes cerca del Sol correrán más lentocomparado con relojes idénticos más lejos del Sol.2. En la presencia de campos gravitatorios. la estructura espacial de obje-

tos físicos no es más describible por una geometría Euclidiana; por ejemplo,para formar un triángulo, la suma de los ángulos subtendidos no igualará 180gradosUn tipo más general de geometría, geometría de Riemann, parece nece-

sario para describir la estructura espacial de la materia en la presencia decampos gravitatorios. Los rayos luminosos no viajan en líneas rectas, siendodesviados por los campos gravitatorios. En este sentido es posible decir quelos diversos rayos luminosos que salen de un punto, dibujan la geometría local,en torno al punto. Ellos corresponden a las geodésicas del espacio-tiempo.

3.1.10. Los campos gravitacionales y la teoría generalde relatividad.

En la teoría general de la relatividad de Einstein, se formulan las conse-cuencias físicas de los campos gravitatorios. resumidamente de la siguientemanera. El espacio-tiempo es un continuo de cuatro dimensiones no Euclidia-no. La curvatura de este espacio-tiempo es determinada por la distribuciónde masa de la materia. Las partículas y los rayos de luz viajan a lo lar-go de geodésicas, caminos extremales en este mundo geométrico de cuatrodimensiones.Hay dos consecuencias principales de este punto de vista geométrico de

la gravitación: (1) las aceleraciones de cuerpos sólo dependen de sus masas yno en su constitución química o nuclear, y (2) el camino de un cuerpo o de


luz en la vecindad de un cuerpo masivo (el Sol, por ejemplo) es levementediferente del predicho por la teoría de Newton. El primero es el principiodébil de equivalencia.El propio Newton realizó experimentos con péndulos que demostraron el

principio dentro de una parte en 1,000 para una variedad de materiales. Alprincipio del 20 siglo, el físico húngaro Roland, von del Barón Eötvös, mostróque materiales diferentes aceleran en el campo de la Tierra con la mismaproporción dentro de una parte en 109. Los más recientes experimentos hanmostrado la igualdad de aceleraciones en el campo del Sol a dentro de unaparte en 1011. La teoría de Newton está en acuerdo con estos resultadosdebido al postulado que la fuerza gravitatoria es proporcional a la masa deun cuerpo.

La masa inercial y gravitacional.

La masa inercial es un parámetro que da cuenta de la resistencia inerciala los cambios de velocidad de un cuerpo al responder a todos los tipos defuerza. Por otro lado, la masa gravitacional es determinada por la intensidadde la fuerza gravitatoria experimentada por el cuerpo cuando está en uncampo gravitatorio. Por consiguiente, el experimento de Eötvös muestra quela razón entre la masa gravitatoria y la inercial es la misma para todas lassubstancias, aun cuando conceptualmente de trata de cosas muy diferentes,por lo menos así se pensaba hasta que llegó Einstein..La teoría especial de la relatividad de Einstein, considera la masa inercial

como una manifestación de todas las formas de energía en un cuerpo segúnsu relación fundamental

E = mc2,

donde E que la energía total de un cuerpo, m la masa inercial del cuerpo, yc la velocidad de luz. Tratando entonces con la gravitación, como un fenóme-no de campo, el principio débil de equivalencia indica que todas las formasde energía del tipo no gravitacional deben acoplar idénticamente o deben ac-tuar recíprocamente con el campo gravitatorio, porque los diversos materialesen la naturaleza poseen cantidades diferentes de energías nuclear, eléctrica,magnética, y cinética, y sin embargo todas ellas aceleran en proporcionesidénticas.El Sol tiene un parte importante de energía gravitatoria interior, y las

repeticiones de los experimentos de Eötvös durante los años setenta con elSol en lugar de la Tierra revela que los cuerpos aceleran a las proporciones

64 Gravitación.

idénticas en el campo del Sol así como en el de la Tierra. Las medidas hechascon láser, sumamente exactas, de la distancia de la Luna de la Tierra hanhecho posible una prueba extensa del principio débil de equivalencia. Lasconstituciones químicas de la Tierra y la Luna no son las mismas, y si eso tu-viera algún efecto, ellos deberían podrían acelerar en proporciones diferentesbajo la atracción del Sol. Ningún efecto se ha descubierto.Otros experimentos han dado confirmación de las predicciones de Einstein

a una exactitud de uno por ciento.

3.1.11. Los caminos de partículas y luz.

La idea que la luz debe ser desviada pasando al pasar cerca de un cuer-po material había sido sugerida por el astrónomo británico y geólogo JohnMichell durante el siglo 18.Sin embargo, la teoría de relatividad general de Einstein predijo una des-

viación dos veces más grande. Una confirmación del resultado de Einsteinsurgió al efectuar mediciones directas sobre la dirección de una estrella cercadel Sol durante el eclipse solar de 1919, durante la expedición llevada a cabopor el astrónomo británico Sir Arthur Stanley Eddington. Las determinacio-nes ópticas del cambio de dirección de la posición observada de una estrellaestán sujetas a muchos errores sistemáticos, y lejos, la mejor confirmaciónde la teoría de la relatividad general de Einstein se ha obtenido de las medi-das de un efecto estrechamente relacionado—a saber, el aumento del tiempotomado por la luz a lo largo de un camino cerca de un cuerpo material. Cro-nometrando el tiempo de viaje de ida y vuelta de un pulso de radar entre laTierra y otros planetas internos que pasan detrás del Sol, los experimentoshan confirmado con incertezas del orden de un 4 por ciento la predicción deun retraso de tiempo adicional.La precesión de la órbita de Mercurio de 43 segundos de arco segundo por

siglo era conocido antes del desarrollo de la teoría de relatividad general. Conmedidas hechas con radar de las distancias a los planetas, se han estimadoprecesiones anómalas similares para Venus y la Tierra , en plena concordanciacon la relatividad general.

3.1.12. Estudio experimental de la gravitación.

La esencia de la teoría de Newton de gravitación es que la fuerza en-tre dos cuerpos es proporcional al producto de sus masas y al inverso del


cuadrado de su separación y que esa fuerza no depende de nada más. Conuna modificación geométrica pequeña, lo mismo es en general verdad en lateoría de la relatividad general. El propio Newton probó sus afirmacionesmediante experimentos y observaciones. Él hizo mediante el péndulo experi-mentos para confirmar el principio de equivalencia y verificó la ley cuadradainversa como una aplicación a los periodo y diámetros de las órbitas de lossatélites de Júpiter y Saturno. Durante la última parte del siglo 19 siglo mu-chos experimentos mostraron que la fuerza de gravedad es independiente dela temperatura, de los campos electromagnéticos, y de otros factores. Unaparte de la actividad científica durante los años setenta consistió en un es-fuerzo teórico para relacionar la fuerza de gravitación con otras fuerzas de lanaturaleza. Se realizaron nuevos experimentos sobre el principio de la equi-valencia. Se hicieron pruebas experimentales de la ley inversa al cuadrado dela distancia en el laboratorio. Ha existido también un interés permanente enla determinación de la constante de gravitación G, que ocupa una posiciónbastante anómala entre las otras constantes de la física. En primer lugar, lamasa M , de cualquier objeto celestial no puede determinarse independiente-mente de la atracción gravitatoria que ejerce. Así, es la combinación GM , yno el valor separado de M , la única propiedad significativa de una estrella,planeta, o galaxia. Segundo, según la relatividad general y el principio deequivalencia, G no depende de propiedades materiales pues es en cierto sen-tido un factor geométrico. La determinación de la constante de gravitaciónno parece tan esencial como la medida de otras cantidades físicas como lacarga del electrón o la constante de Planck. También está mucho menos biendeterminada experimentalmente que cualquiera de las otras constantes de lafísica.Los experimentos en gravitación son de hecho muy difíciles, comparados

con los experimentos en la ley inversa al cuadrado de la distancia en elec-trostática. La ley electrostática., que es también inversa al cuadrado de ladistancia, se ha establecido dentro de una parte en 1016 usando el hecho queel campo dentro de un conductor cerrado es cero cuando la ley cuadrada in-versa es verdadera. Así, midiendo cualquier campo residual con dispositivoselectrónicos muy sensibles, podrían detectarse desviaciones muy pequeñasa esa ley. Las fuerzas gravitatorias tienen que ser medidas por medios me-cánicos, a menudo el equilibrio de un péndulo de torsión y, aunque se hanmejorado las sensibilidades de los dispositivos mecánicos, ellos todavía sonmucho menos sensibles que los equipo electrónicos. Por último, las perturba-ciones extrañas al experimento son relativamente grandes porque las fuerzas

66 Gravitación.

gravitatorias son muy pequeñas Así, la ley inversa al cuadrado de la distanciase establece en laboratorios con una exactitud no mejor que una parte en 104.

3.1.13. Datos actuales de las órbitas planetarias.

Hoy se conocen bastante bien las características de los planetas y de susórbitas, para lo cual se presenta la tabla siguiente

Mercurio Venus T ierra Marte

D istancia al Sol (Sem i eje mayor Km) 57,909,175 108,208,930 149,597,890 227,936,640

Volumen (T ierra = 1) 0.054 0.88 1.0 0.149

Masa×10−27 g 0.33022 4.8690 5.9742 0.64191

Densidad g cm−3 5.43 5.24 5.515 3.94

G ravedad en la sup erficie cm s−2 370 887 980 371

Velo cidad de escap e en el Ecuador 4.25 km/s 10.36 km/s 11.18 km/s 5.02 km/s

Perio do de rotac ión (sideral, d ías) 58.6462 243.0187* 0.99726968 1.02595675

Perio do orbita l (Años terrestres) 0.24084445 0.61518257 0.99997862 1.88071105

Velo cidad orb ital prom edio km s−1 47.8725 35.0214 29.7859 24.1309

Excentric idad de la órb ita 0.20563069 0.00677323 0.01671022 0.09341233

Inclinación órbita con la eclíptica (o) 7.00487 3.39471 0.00005 1.85061

Inclinación Ecuador con la órbita (o) 0.0 177.3 23.45 25.19

T . m edia en la sup erficie só lida K 440 730 288-293 183-268

T ..atmosférica al n ivel de P = 1 bar, K — — 288 —

Constituyentes principales atmósfera — CO2, N2 N2, O2 CO2, N2, A r

Radio m ed io ecuatoria l (Km) 2,439.7 6,051.8 6,378.14 3,397

1 AU = 149,597,870.66km


Júpiter Saturno Urano Neptuno Plutón

778,412,020 1,426,725,400 2,870,972,200 km 4,498, 252, 900 5,906,376,200

1316 755 52 44 0.005

1,898.7 568.51 86.849 102.44 0.013

1.33 0.70 1.30 1.76 1.1

2312 896 869 1100 81

59.54 km/s 35.49 km/s 21.29 km/s 23.71 km/s 1.27 km/s

0.41354 0.44401 0.71833 * 0.67125 6.38718*

11.85652502 29.42351935 83.74740682 163.7232045 248.0208

13.0697 9.6724 6.8352 5.4778 4.7490

0.04839266 0.5415060 0.04716771 0.00858587 0.24880766

1.30530 2.48446 0.76986 1.76917 17.14175

3.12 26.73 97.86 29.58 119.61

— — — — 57.8

165 134 76 73 —

H2,He He,H2,CH4 H2,He, CH4 H2, He —

71,492 60,268 25,559 24,764 1,195

* retrógrado.

Ejercicio 3.1.1 Un cuerpo describe una órbita circular de radio R = 100m en torno a un punto fijo con rapidez constante dando una vuelta completapor segundo. Determine la magnitud de la aceleración del cuerpo.

Ejercicio 3.1.2 Si el cuerpo del ejercicio anterior, repentinamente siguieraen línea recta, determine la rapidez de crecimiento de la distancia al puntofijo en m/s.

Ejercicio 3.1.3 Las masas de la Tierra y de la Luna son aproximadamenteMT = 5,98 × 1024 kg y ML = 7,36 × 1022 Kg siendo la distancia promedioentre ellos 3,84× 108 m. Determine la fuerza ejercida por la Tierra sobre laLuna y la ejercida por la Luna sobre la Tierra.

Ejercicio 3.1.4 De los datos del ejercicio anterior, determine el tiempoempleado por la Luna en dar una vuelta completa en torno a la Tierra, endías.

Ejercicio 3.1.5 Determine aproximadamente la fuerza que hace la Lunasobre una persona de la Tierra de masa 80 Kg.

68 Gravitación.

Ejercicio 3.1.6 Si el radio de la Luna es 1,74 × 106 m determine cuantopesa un Kg de oro en la Luna.

Ejercicio 3.1.7 De acuerdo a los radios orbitales, evalúe los periodos orbi-tales usando la tercera ley de Kepler, comparando con los datos tabulados.

Ejercicio 3.1.8 Determine a qué distancia entre la Tierra y la Luna, uncuerpo no es atraído hacia ninguno de los dos cuerpos.

Ejercicio 3.1.9 Un péndulo de longitud L = 2 m efectúa oscilaciones en lasuperficie terrestre. Determine el número de oscilaciones que efectúa en cadasegundo.

Ejercicio 3.1.10 Utilizando las leyes de Kepler, discuta la existencia delplaneta X, hipotético planeta igual a la Tierra, en su misma órbita elípticaen torno al Sol, pero que permanece siempre oculto detrás del Sol y por esono ha sido observado.

Ejercicio 3.1.11 Si la distancia promedio de la Tierra al Sol es aproxima-damente 1,496× 1011m determine aproximadamente la masa del Sol.

Ejercicio 3.1.12 Verifique con los datos de la tabla, el cumplimiento de latercera Ley de Kepler.

Ejercicio 3.1.13 De acuerdo a las masas de los planetas, evalúe las ve-locidades de escape desde sus superficies, comparando sus valores con lostabulados.

Ejercicio 3.1.14 De acuerdo a las masas de los planetas y sus radios, eva-lúe la aceleración de gravedad en sus superficies, comparando sus valores conlos tabulados.

Ejercicio 3.1.15 Estudie si existe alguna ley que de cuenta de las distan-cias de los planetas al Sol. (Por razones históricas, considere unidades dondela distancia Tierra Sol sea 10). Si existe alguna discontinuidad en su ley,aventure alguna hipótesis.

Capítulo 4

Caída libre y movimiento deproyectiles.

4.1. Aceleración.

De acuerdo a lo establecido por Galileo, los cuerpos en la vecindad de laTierra, están acelerados hacia el centro de la Tierra independientemente desu masa con una magnitud aproximadamente g = 9,8 m/s2. Esto es cuando elefecto de la resistencia con el aire puede despreciarse. Si se utiliza un sistemacartesiano de referencia con el eje OY vertical hacia arriba, lo anterior puedeescribirse vectorialmente como

a = −g, (4.1)

De acuerdo al significado de la aceleración se tiene que

d2

dt2r = −g, (4.2)

que puede ser escrita en términos de la velocidad v

d

dtv = −g. (4.3)

De aquí, mediante el proceso conocido como integración podemos obtenerque Z v(t)

v(0)

dv = −Z t

0

gdt, (4.4)

70 Caída libre y movimiento de proyectiles.

de dondev(t)− v(0) = −gt, (4.5)

de modo que tenemos

v(t) =dr

dt= v(0)− gt. (4.6)

Expresión que da cuenta de las variaciones de la velocidad con el tiempo,en términos de la velocidad inicial v(0), del tiempo transcurrido t, y de laaceleración de gravedad. Si la última expresión se integra nuevamente puedeobtenerse Z r(t)

r(0)

dr =

Z t

0

(v(0)− gt)dt (4.7)

por lo tanto

r(t)− r(0) = v(0)t− 12gt2, (4.8)

y finalmente

r(t) = r(0) + v(0)t− 12gt2. (4.9)

4.2. Componentes cartesianas.

Recordando quer(t) = xı+ y, (4.10)

y quev = vxı+ vy , (4.11)

las expresiones 4.6, 4.9 en componentes conducen a

vx(t) = vx(0),

vy(t) = vy(0)− gt,

x(t) = x(0) + vx(0)t,

y(t) = y(0) + vy(0)t− 12gt2.

Expresiones que dan las componentes cartesianas de la velocidad y posiciónen términos de las condiciones iniciales y del tiempo transcurrido.

4.2 Componentes cartesianas. 71

4.2.1. Condiciones iniciales particulares.

Caída libre. Objeto que se suelta desde una altura h, en reposo:

vx(t) = 0,

vy(t) = −gt,x(t) = 0,

y(t) = h− 12gt2.

La altura decrece en forma proporcional al cuadrado del tiempo. Ade-más el tiempo total de caída, desde la altura h se obtiene haciendoy(t) = 0 obteniendo

t =

s2h

g.

Por ejemplo si h = 10 m se tiene aproximadamente t = 1,41 s. Es-te tiempo no podía determinarse con tal precisión en los tiempos deGalileo. De hecho Galileo estudió el movimiento de cuerpos en caídapero sobre un plano inclinado, para incrementar los tiempos de caída ypoderlos determinar con la precisión suficiente para los medios disponi-bles en aquellos tiempos. Usted podría quizás establecer que si el planoinclinado es liso y su ángulo de inclinación es α, el tiempo empleadopor el cuerpo para descender una altura h está dado por

t =

s2h

g sinα.

Lanzamiento vertical hacia arriba con rapidez inicial v0 :

vx(t) = 0,

vy(t) = v0 − gt,

x(t) = 0,

y(t) = v0t− 12gt2.

Lanzamiento desde una altura h, con rapidez inicial v0 formando un


ángulo α con la horizontal

vx(t) = v0 cosα,

vy(t) = v0 sinα− gt,

x(t) = v0(cosα)t,

y(t) = h+ v0(sinα)t− 12gt2.

4.2.2. Ecuación de la trayectoria.

Para el último caso, podemos obtener la ecuación de la trayectoria, eli-minando el tiempo entre x(t) e y(y), obteniendo

y = h+ x tanα− gx2

2v20 cos2 α

, (4.12)

un parábola de segundo grado conocida como la parábola de tiro.

Ejercicio 4.2.1 Si un proyectil es lanzado desde el origen con rapidez ini-cial v0 formando un ángulo α con la horizontal, demuestre que la alturamáxima H, y el alcance horizontal D, punto de caída sobre el eje OX estándados por

D = 2v20gsinα cosα =

v20gsin 2α,

H =v202gsin2 α.

Ejercicio 4.2.2 Para el caso anterior, demuestre que el máximo alcance Dse logra cuando α = π/4.

4.2.3. Parábola de seguridad.

Si un proyectil es lanzado desde el origen con rapidez inicial v0 formandoun ángulo α con la horizontal, analicemos que puntos del plano OXY sonalcanzables para una rapidez inicial v0 dada. La ecuación de la parábola quesigue el disparo puede escribirse como

y = x tanα− gx2

2v20 cos2 α

= x tanα− gx2

2v20(1 + tan2 α); (4.13)


t

Figura 4.1: parábola de disparo.

de donde podemos despejar tanα, resultando

gx2

2v20tan2 α− x tanα+ y +

gx2

2v20= 0, (4.14)

tanα =v20 ±

p(v40 − 2gyv20 − g2x2)

gx, (4.15)

es decir, en general hay dos ángulos de disparo para alcanzar un punto decoordenadas (x, y). Sin embargo si la cantidad subradical es negativa, dichopunto no es alcanzable. La frontera entre la región alcanzable y la no alcan-zable, la constituyen los puntos (x, y) para los cuales la cantidad subradicales cero, es decir los puntos tales que

v40 − 2gyv20 − g2x2 = 0 (4.16)

o bien

y =v202g− gx2

2v20. (4.17)

Esta es la ecuación de una parábola simétrica respeto al eje OY , conocidacomo parábola de seguridad. Los puntos sobre la parábola de seguridad sonalcanzables justo para un ángulo, de (4.15) ese ángulo está dado por

tanα =v20gx

. (4.18)


x

Figura 4.2: Parábola de seguridad.

4.2.4. Alcance máximo.

Si un proyectil es lanzado desde el origen con rapidez inicial v0 formandoun ángulo α con la horizontal, podemos preguntarnos ¿cuál es el máximoalcance sobre un plano inclinado en un ángulo β respecto a la horizontal yque pasa por el origen y en qué ángulo de disparo se logra ese máximo? Unarespuesta simple se deduce al encontrar la intersección entre la parábola deseguridad y la recta y = x tanβ, es decir resolver

y =v202g− gx2

2v20,

y = x tanβ,

obteniendo

x = (− tanβ + secβ) v20

g,

y = tanβ (− tanβ + secβ) v20

g

de modo que el alcance máximo sobre el plano inclinado es

D =px2 + y2 = x secβ = secβ (− tanβ + secβ) v

20

g. (4.19)


x

Figura 4.3: Alcance máximo.

Para obtener el ángulo α tenemos que

tanα =v20gx=

1

(− tanβ + secβ) =cosβ

− sinβ + 1 =s1− sin2 β(1− sinβ)2

=

s1 + sinβ

1− sinβ = tan90 + β

2

o sea

α =90 + β

2. (4.20)

Note que si β = 0 se obtiene como era esperado α = 45o. La figura (??)siguiente ilustra lo que ocurre para v0 = 10, β = 30o

Nota 4.1 Si se usara la transformación de Galileo, bastaría saber la solucióndel problema de la caída libre vertical, para obtener el movimiento de unproyectil con cualquier condición inicial de velocidad. En efecto, respecto alsistema S0 en que las condiciones iniciales de posición son (0, h) y velocidadcero, la solución del problema es

x0 = 0,

y0 = h− 12gt2.

Para obtener la solución general, considere otro sistema S que se mueverespecto a S0 con velocidad

v = −v0(cosα)ı− v0(sinα),


y tal que los orígenes coinciden en t = 0. La transformación de Galileoestablece que

r 0 = r + vt,

o bien, despejando las componentes x, y

x = v0(cosα)t,

y = h+ v0(sinα)t− 12gt2.

Ejercicio 4.2.3 Un cazador que no sabe física, es decir que los proyectilescaen con la aceleración de gravedad, apunta en consecuencia directamente aun mono que está sobre una árbol. El mono que tampoco sabe física, se dejacaer justo cuando el cazador dispara. ¿Qué acontece?

Ejercicio 4.2.4 Un explorador se encuentra con un pozo de alguna pro-fundidad desconocida. Para averiguar la profundidad deja caer una piedra ytoma nota del tiempo t = 4 s entre que soltó la piedra y que escuchó el sonidode impacto de la piedra contra el fondo. Considerando que el sonido viaja convelocidad constante de 340 m/s determine la profundidad del pozo.

Ejercicio 4.2.5 Un barco pirata se aproxima a un fuerte que está sobre unacantilado de 100 m de altura. El barco y el fuerte tienen cañones iguales quedisparan proyectiles con rapidez de salida de 200 m/s. Determine la distanciahorizontal a la cual el fuerte queda al alcance del cañón del barco y a la cualel barco queda al alcance del fuerte.

Ejercicio 4.2.6 Un atleta que dispara la bala, que tiene una altura de 1,80m alcanza una distancia horizontal de 20 m. Suponiendo que la bala parte deesa altura y que fue lanzada en el ángulo óptimo, determine ese ángulo. (Noes 45o)

Ejercicio 4.2.7 Desde una altura de 100 m se deja caer una piedra. Unsegundo más tarde se lanza otra piedra desde el suelo hacia arriba con rapidezde 10 m/s. Determine la altura a la cual se cruzan.

Ejercicio 4.2.8 Una pelota se deja caer desde una altura de 100 m. En cadarebote en el suelo, la pelota pierde la mitad de su rapidez. (es decir rebotacon la mitad de la velocidad con que llegó al suelo) Determine el tiempo quetarda la pelota en quedar en reposo en el suelo.


Ejercicio 4.2.9 Respecto al problema anterior, determine el total de espa-cio recorrido por la pelota hasta detenerse.

Ejercicio 4.2.10 Un cañón dispara proyectiles con rapidez de 100m/s. De-termine el ángulo de disparo adecuado para dar en un blanco situado a 100de altura y a una distancia horizontal de 1000 m del cañón, en el mínimotiempo.

Nota 4.2 Hay dos factores que en realidad hacen que la aceleración de gra-vedad no sea constante. Uno de ellos es la altura. Si la altura es h sobre lasuperficie terrestre y R es el radio terrestre, la aceleración de gravedad varíacon la altura de la forma aproximada (ver 3.1)

g(h) = g(0)

µ1− 2 h

R

¶.

variación despreciable para altura mucho menores que el radio terrestre. Ensegundo lugar, la rotación terrestre hace que la aceleración de gravedad seaalgo menor en el Ecuador que en los Polos, diferencia no muy grande porquela Tierra no gira muy rápido. De hecho si la rotación fuera muy rápida, losobjetos tienen una tendencia a salir de la Tierra (a seguir en línea recta).

Capítulo 5

La evolución de las estrellas.

5.0.5. Introducción.

La materia del Universo está localizada hoy en día principalmente en lasestrellas, las cuales están agrupadas en cientos de miles de millones, formandoorganizaciones llamados galaxias. A su vez las galaxias aparecen agruparse encúmulos y supercúmulos, superestructcturas entre las cuales hay una enormecantidad de espacio prácticamente vacío. De ese modo la densidad promediodel Universo es muy baja, digamos del orden de un átomo por metro cúbico.Algo parecido sucede al interior de un átomo. La masa está localizada prácti-camente toda en su núcleo, cuyas dimensiones son una pequeñísima fraccióndel tamaño del átomo. En el núcleo atómico se encuentran densidades cerca-nas a los 300,000,000 de toneladas por centímetro cúbico.

5.0.6. Las cuatro fuerzas fundamentales.

Las cuatro fuerzas o interacciones fundamentales de la naturaleza, elec-tromagnética, débil, fuerte y gravitacional., influyen en el comportamientode la materia según las densidades involucradas. Así, la interacción elec-tromagnética predomina desde bajas densidades a densidades del orden de10 toneladas por centímetro cúbico. Aquí se manifiesta la interacción débil,que provoca enormes cambios en la estructura de la Materia, causando porejemplo la transformación de protones en neutrones, mediante la absorciónde electrones o a la inversa. A densidades superiores a 100,000 toneladas

80 La evolución de las estrellas.

por centímetro cúbico, el comportamiento de la materia es gobernado por lafuerza fuerte. Por último, la fuerza gravitacional. provee el mecanismo parallevar la materia a esas enormes densidades, no estando claro en que otraforma ella influye en el comportamiento de la materia.La materia como la conocemos en la Tierra, corresponde a las condiciones

de presión y temperatura existentes en nuestro planeta, por lejos diferentesson las condiciones de la mayor parte de la materia presente en el Univer-so. En la Tierra hay átomos neutros, separados enormes distancias entre sí,dependiendo de si se trata de gases, líquidos o sólidos, las tres tradicionalesformas de la materia en nuestro planeta. Los avances en el conocimiento delas interacciones básicas de la materia en sus diversas formas, ha sido posiblegracias a la observación de lo que ocurre en las estrellas y en los objetosestelares en sus etapas finales de existencia, a la creación en laboratorios dealta energía de condiciones extremas de temperaturas y densidades, y a laformulación de modelos teóricos, que a su vez permiten idear nuevos experi-mentos en la tierra, u observar detalles finos de los objetos estelares para sucomprobación. El Universo nos proporciona un gigantesco laboratorio cuyaobservación detallada nos ayuda a comprenderlo, con la ocurrencia de eventosimposibles de lograr en nuestro planeta.

5.0.7. Equilibrio de un gas.

Un gas, un conjunto de átomos o moléculas que se mueven más o menoslibremente hasta que choquen entre sí o con las paredes del recipiente que loscontiene, alcanza un estado de equilibrio. La rapidez del movimiento de laspartículas es una medida de la llamada temperatura del gas, las colisiones porunidad de tiempo contra las paredes son una medida de la llamada presióndel gas. En general, si el volumen se disminuye, aumentan las colisiones de laspartículas entre sí y con la pared, lo que significa aumento de temperaturay presión, aún cuando podría mantenerse la temperatura constante o aúnbajarse. Eso requiere sin embargo sacar energía del sistema a través de lasparedes que lo confinan. Para un gas ideal, existe la llamada ecuación deestado que establece los posibles estados de equilibrio del gas, la cual es unarelación entre la temperatura T , la presión P , el volumen V en la forma

pV = nRT.

Para otras formas de la materia, la ecuación de estado, toma formas máscomplicadas, ver apéndice.

81

R es la llamada constante de los gases (R = 8,314510 Jmol−1K−1), y n esel número de moles de gas encerrado en el volumen. Un mol de substancia esigual a una cantidad de masa igual al peso atómico o molecular según se tratede átomos o moléculas, expresado en gramos. Otra forma de confinamientode un gas que no requiere de paredes, la provee la fuerza gravitacional. queprueba ser muy efectiva, cuando la cantidad de materia es relativamentegrande. Es el caso de nuestra atmósfera, de los gases del planeta Júpiter, yotros planetas exteriores. No así es el caso de la Luna, donde la gravedad fueinsuficiente para mantener confinada algún tipo de atmósfera.

5.0.8. Sólidos y líquidos.

En los líquidos y sólidos, las densidades son mucho mayores. Ademásde la agitación térmica, aparecen fuerzas de origen eléctrico que impiden suacercamiento, y exigen presiones mucho mayores para lograr disminucionesapreciables de su volumen. El estado sólido, el de mayor densidad de lamateria común de nuestro planeta, requiere de la Física cuántica. para sudescripción. En el libro de Física de Serway, hay un interesante ensayo sobrela física de las altas presiones, y en que medida se ha podido avanzar en lograrpresiones altas sobre los sólidos, por medios mecánicos. Es claro que pormétodos mecánicos existen límites insuperables al considerar que los sólidostienen durezas limitadas, a saber el diamante es el más duro, en consecuenciala mejor prensa deberá tener diamante como agente de compresión.

5.0.9. La fuerza gravitacional.

Para explicar estos conceptos, es suficiente recurrir a la forma Newtonianade la teoría de la gravitación. Dos masas se atraen con una fuerza proporcionala sus masas e inversamente al cuadrado de su distancia. Es en consecuenciauna fuerza de alcance ilimitado y acumulativa, en cuanto crece sin límite alacumular más masa. Su expresión matemática es

F = Gm1m2

d2.

5.0.10. Estados extremos de la materia.

Formas de la materia.


La materia normal, como la conocemos usualmente está formada porátomos o molécula. Uno de los constituyentes del átomo es el núcleo atómico,ver figura (5.1) donde se muestran sus componentes básicos

Figura 5.1: El núcleo atómico.

En las figuras (5.2) y (5.3)

Figura 5.2: Atomo

se muestra esquemáticamente la forma normal de la materia en la Tierra.La presión a densidades bajas es causada por las colisiones de las partículascon las paredes, como se esquematiza en la figura (5.4).Para densidades superiores a 50 gramos por centímetro cúbico, figura

(5.5), los orbitales comienzan a solaparse. Ello causa finalmente la pérdidade los electrones de los átomos.A partir de densidades del orden de 500 gramos por centímetro cúbico,

se tiene un plasma de Fermi, fluido de electrones donde nadan los núcleosdesnudos de sus electrones, ver figura (5.6).La figura (5.7) ilustra la presión debida a un mar de electrones libres, de

acuerdo al principio de exclusión de Pauli.

83

Figura 5.3: Molécula

Figura 5.4: presión ejercida por un gas.

Figura 5.5: Orbitales solapándose.


Figura 5.6: Plasma de Fermi.

Figura 5.7: Principio de exclusión de Pauli.

85

Figura 5.8: Interacción débil.

Figura 5.9: Sobre un millón de toneladas por cc.

A partir de densidades del orden de 100 toneladas por centímetro cúbico,los electrones rápidos penetran en el núcleo, interactuando con los protonesmediante la interacción débil, figura (5.8)

El exceso de neutrones en los núcleos causa la expulsión de ellos, expulsióncausada por el principio de exclusión de Pauli. No hay estados disponible paraellos dentro del núcleo, por lo cual deben abandonarlo.

La figura (5.9) representa a los neutrones libres que forman un fluido deFermi, donde nadan electrones y núcleos enriquecidos con neutrones

En la figura (5.10), los núcleos se han disuelto, y se muestra esquemáti-camente la materia de neutrones, fluido de Fermi consistente en un mar deneutrones libres, con algunos protones y electrones en igual proporción, quesoporta la presión hasta densidades sobre unos 100 millones de toneladas porcentímetro cúbico.


Figura 5.10: Mar de neutrones.

Proceso de compresión.

Imaginemos entonces que pudiéramos comprimir materia sin límites, dehecho la gravedad, si hay masa suficiente, puede hacerlo. El conocimientoactual nos permite responder hasta un cierto límite de los sucesos que ocurrenen este proceso.Cuando la densidad alcanza valores entre 30 y 50 gramos por centímetro

cúbico, el volumen se ha reducido hasta el punto que en los orbitales atómicosempiezan a tocarse, o sobreponerse.Aparecen entonces fuerzas de repulsión de origen cuántico, consecuencias

del principio de exclusión de Pauli., descubierto por él en el año 1925. Ellohace necesario aumentar más la presión para tratar de aumentar la densi-dad. Este principio de exclusión prohibe a los fermiones, protones, neutronesy electrones ocupar el mismo estado físico. En este proceso de acercamiento,entonces los electrones escapan de los átomos. A medida que este procesosigue, al alcanzar una densidad del orden de 500 gramos por centímetro cú-bico, los electrones se han separados de los átomos, y la materia adquiere unaforma como de una sopa de electrones donde se mueven los núcleos desnudos.A partir de ese punto, la presión requerida para el equilibrio, depende casiexclusivamente de la temperatura, o sea de la agitación, de esos electroneslibres. Este estado de materia se conoce como un fluido o gas de Fermi de-generado. Este tipo de materia puede soportar, sin colapsar, densidades dehasta un orden de entre 1 a 10 toneladas por centímetro cúbico. En este esta-do, los núcleos no desempeñan un papel significativo, salvo el de neutralizarla carga eléctrica de la materia. Cuando la densidad supera los 100 toneladaspor centímetro cúbico, la enorme velocidad de los electrones, en el ámbito

5.1 Formación de una estrella. 87

relativista, es tan grande que los electrones pueden al chocar contra los nú-cleos, penetrar en ellos combinándose con los protones de ellos, formandoneutrones.La responsable de esta transformación es la llamada interacción débil.

Aquí comienza a jugar de nuevo un rol el principio de exclusión; los nuevosneutrones que se crean en los núcleos no tienen estados físicos distintos dis-ponibles y en consecuencia se ven obligados a abandonar el núcleo. Ahora lapresión en aumento es equilibrada por un sistema de neutrones libres, cadavez en mayor número, hasta que finalmente todos los electrones se han com-binado con protones, terminándose en esta etapa con un fluidos de neutronesdegenerados. Aquí se llega a las últimas cuestiones conocidas por la físicaactual. Como se cree, los hadrones, familia de partículas elementales a lascuales pertenecen los neutrones y protones, están constituidas por quarqs,que están confinadas en una especie de saco que define la frontera del ha-drón. A presiones superiores, al alcanzar densidades más o menos cinco vecesla densidad nuclear, aproximadamente entre 1000 y 1500 millones de tone-ladas por centímetro cúbico, esos sacos, se cree, deberían romperse de modoque los quarqs serían liberados, formando una especie de sopa de quarqs, elsupuesto estado final de la materia ultra comprimida.

5.1. Formación de una estrella.

De acuerdo a la teoría del big bang, que será descrita en otro capítulo,después de las primeras etapas, en el Universo existía una gran cantidad deHidrógeno, nubes de hidrógeno, las cuales por razones no totalmente com-prendidas pero donde la gravitación es la fuerza preponderante, formaronregiones de mayor concentración de hidrógeno, de forma cuasi esférica, o elip-soidal si hay rotación neta del gas de hidrógeno. Estas configuraciones, si demasa suficiente reciben el nombre de proto estrellas. Normalmente se forma-ron grupos de estas regiones, interactuando colectivamente por la gravitaciónentre ellas. La evolución de estas configuraciones cuasi esféricas depende dela masa de ellas, existiendo diversas posibilidades. La gravitación tiende aaumentar la densidad. Si la cantidad de masa es del orden de la masa dela tierra, el proceso de compresión, al aumentar la temperatura, causará laperdida de la mayor parte del gas debido a que la fuerza gravitacional. esinsuficiente para retener el gas. Si la masa inicial mayor que la de la Tierrapero menor que un décimo de la masa solar, la gravedad retiene los gases,


Figura 5.11: Evolución de las estrellas

dando origen a las estrellas llamadas enanas marrones y también es el casode los planetas Júpiter y Saturno. En este sentido Júpiter tuvo insuficientemasa para convertirse en una estrella.

Cuando la masa inicial es superior al diez por ciento de la masa solar, elsol incluido entonces, entra en juego un mecanismo que determina la mayorparte de la vida de una estrella. La gravedad causa un aumento de la den-sidad y temperatura en el núcleo de la estrella, alcanzando los niveles quepermiten entrar en juego a la interacción fuerte, donde los núcleos de Hidró-geno comienzan a fusionarse formando Helio. La enorme cantidad de energíaliberada equilibra entonces la presión causada por la gravedad, permitiendo ala estrella brillar y vivir una enorme cantidad de tiempo en equilibrio. En esteproceso, la enorme cantidad de energía producida en el corazón de la estrellasale a su superficie y de allí al espacio en forma principalmente de radiaciónelectromagnética. Se alcanzan en el núcleo temperaturas del orden de unos15 millones de grados si la estrella es del tipo de nuestro Sol, y mayores enestrellas más masivas. Alcanzado este estado de equilibrio las estrellas vivenentre decenas y miles de millones de años. Como explicaremos, el destinofinal de una estrella, depende de su masa inicial, como se esquematiza en lafigura (5.11)


5.1.1. Agonía de una estrella.

Enana blanca.

Para una estrella con una masa comparable a la Solar, al agotarse elHidrógeno, la gravitación causará un aumento en la densidad y temperatu-ra del núcleo, logrando las condiciones para reacciones nucleares superiores,formando en diversas etapas, algunos millones de años, núcleos de Carbono,Oxígeno, hasta llegar a la formación del Fierro, con un crecimiento de la es-trella hasta una conocida como gigante roja. La reacción nuclear que crea elFierro, no produce energía, sino que absorbe energía. La estrella pierde su en-voltura, casi la mitad de su masa, formando una nebulosa planetaria, y luegocomienza a comprimirse lentamente, hasta alcanzar las densidades de un gascomprimido de electrones degenerados que es capaz de detener la compresióngravitacional. Su tamaño se ha reducido hasta un diámetro del orden de unos10,000 kilómetros, comparable a la tierra, y su masa es del orden de la mitadde la del Sol. El núcleo de esta estrella está constituido principalmente deCarbono y Oxígeno, pero quien balancea la presión es el gas degenerado deelectrones de Fermi. Esta estrella en su estado final, aún muy caliente, seconoce como una enana blanca, llamada así porque es muy blanca. A partirde allí seguirá enfriándose perdiendo luminosidad hasta apagarse. Cálculosdebidos al astrofísico Chandrasekhar, dan un límite a la masa final de unaenana blanca capaz de soportar la gravedad. Ese valor límite es de alrededorde 1,4 veces la masa Solar. Las consecuencias del cálculo de Chandrasekharfueron perturbadoras. ¿Qué ocurriría a las estrellas de mayor masa una vezagotado su combustible nuclear?

Estrella neutrónica.

En consecuencia el destino de una estrella de mayor masa debe ser otro.Las estrellas más masivas tienen algunas veces un final más catastrófico. Enalgunos casos, las estrellas pierden mucha masa durante su vida, en forma deviento estelar por ejemplo, evitando así sobrepasar el límite de Chandrasek-har. Pero estrellas de mucho mayor masa pasan al formarse hierro, a lo quese denomina una super gigante roja. Su núcleo, compuesto principalmentede hierro, Níquel y otros elementos, en forma muy comprimida, penetradapor el plasma de electrones degenerados que soporta el colapso gravitacio-nal, además debe soportar el peso de las capas exteriores de la estrella. Elhierro es el último paso de los procesos nucleares en una estrella. Debido a la


enorme presión y al agotamiento de la energía de las reacciones nucleares, elnúcleo de la estrella colapsa hasta, como explicamos, formando un núcleo depuros neutrones, con un radio del orden de 10 kilómetros. En este procesolos núcleos son desarmados formando una sopa de neutrones. Esto se conocecomo una estrella de neutrones o pulsar. Hay que decir que normalmente unneutrón es sólo estable dentro de un núcleo, y cuando está libre decae en unprotón un electrón y un neutrino. Aquí, debido a la enorme densidad, nueva-mente el principio de exclusión de Pauli, prohibe el decaimiento del neutrón.Cálculos teóricos establecen también un límite a la masa que una estrella deneutrones puede soportar sin colapsar en alrededor de algo menos que tresmasas solares. Durante los años 30, las estrellas de neutrones no se habíanconcebido, y los cálculos de Chandrasekhar fueron duramente cuestionadospor el famoso teórico Arthur Eddington. Esto provocó el abandono de Chan-drasekhar de la academia británica quien se fue a la Universidad de Chicago.El tiempo probó que Eddington estaba errado.

Figura 5.12: Estrella neutrónica o pulsar.

Supernova.

Sin embargo, si la masa de la estrella es muy grande, compresión ha sidotan rápida que la enorme cantidad de materia de las capas exteriores sequeda rezagada y comienza a acelerar hacia el núcleo, desplomándose sobre


el a enormes velocidades. El violento choque contra el durísimo núcleo, haceque la materia rebote, enviando al espacio una enorme cantidad de energía ymateria, que ha seguido en este proceso toda la serie de reacciones de fusiónnucleares posibles, formando los elementos más pesados hasta el Uranio. Estaexplosión, conocida como una Supernova, puede destruir todo el astro, dejarcomo resto una estrella neutrónica o bien eventualmente un agujero negro.

Figura 5.13: Supernova 1987A

Una de las características de las estrellas neutrónicas, consecuencia de laconservación del momentum angular, es que al haber disminuido tanto detamaño, debe girar muy rápidamente sobre su eje, decenas o centenas deveces por segundo, arrastrando a su vez un campo magnético muy intenso,como esquematizado en la figura (5.12). Ello causa el envío al espacio deenormes pulsos de energía electromagnética, que si son recibidos en la Tierra,son recibidos de acuerdo a la frecuencia de rotación de la estrella. De aquíla denominación de pulsares a las estrellas neutrónicas. La existencia de lasestrellas neutrónicas permaneció una conjetura hasta 1968, cuando JocelynBell, encontró mediante la utilización de un radio telescopio, encontraron unafuente de ondas de radio en forma de pulsos que se recibían cada 1.3 segundos.


Figura 5.14: Sistema binario.

tal rapidez sólo pudo ser explicada por una estrella de neutrones girando muyrápidamente en torno a su eje. Hoy hay buena evidencia para suponer que ennuestra galaxia, la vía láctea, existen alrededor de 100 millones de estrellasneutrónicas.

Nova.

Las Novas ocurren en sistemas de estrellas binarias cercanas, donde unade las estrellas es una enana blanca, y la otra es como el Sol. Por el meca-nismo de acreción de masa, la enana blanca quita hidrógeno a su vecina, elcual se acumula en su superficie causando un progresivo aumento de la pre-sión. El hidrógeno acumulado puede permanecer pasivo a veces por miles deaños, hasta que, al alcanzarse un valor crítico de presión, inicia entonces unaexplosión termonuclear en su base, conocida como una Nova, mucho menosenergética que una supernova y que no destruye a la estrella. En la figura(5.14) se muestra un donde una enana blanca captura materia de su estrellacompañera

Agujero negro.

De acuerdo a la teoría de la gravitación, para que un cuerpo puedaescapar de la atracción gravitacional. y no regresar, la velocidad que debe


tener el cuerpo, llamada velocidad de escape, debe tener el valor

v =

r2GM

R,

siendo G la constante de gravitación universal, M la masa del astro, y R suradio. Si la masa es muy grande, eventualmente la velocidad escape alcanzaun límite, la velocidad de la luz. Eso define el llamado radio de Schwartzchild

RS =2GM

c2

De acuerdo a los valores para la masa de Sol y de la Tierra M¯ = 1,99×1030 Kg y MT = 5,977× 1024 Kg se pueden calcular

RS¯ =26,67259× 10−11 × 1,99× 1030

(3× 108)2 = 5897. 6 m,

RST =26,67259× 10−11 × 5,977× 1024

(3× 108)2 = 1. 771 4× 10−2 m,

de modo que si la tierra se comprimiera a ese tamaño, menos de doscentímetros, la velocidad de escape sería la velocidad de la luz. La densidadde la Tierra sería

ρ =MT

43πR3ST

= 2. 567 1× 1020 Ton

cm3.

Una estrella neutrónica, al igual que la enana blanca, tiene un límite parala masa que puede tener. Se ha calculado que esa masa es del orden de 1,95de la masa solar. Si por algún motivo, la estrella neutrónica adquiere másmasa que esa, ya sea en el proceso de la supernova, o por captura de materia(acreción) del espacio o de estrellas vecinas, se llega a un punto en que noexiste mecanismo conocido que permita equilibrar la presión gravitacional., laestrella colapsa sin límite, el radio se hace inferior al radio de Schwartzchild,y nada, incluido la luz puede escapar de ella. Se ha creado un agujero negro,invisible desde el exterior excepto por el enorme campo gravitacional queproduce.

Capítulo 6

El Universo y su evolución.

6.1. Introducción

El estudio y observación del Universo, con mayúscula, involucra todo loque puede analizarse con el método científico. Queremos describir lo quelas actuales teorías y datos observacionales nos informan sobre la estructuraactual del Universo y sus posibles formas de evolución. A gran escala lafuerza predominante es la fuerza gravitacional, pero como se ha explicado,a otros niveles de densidad de la materia, juegan un papel importante otrasfuerzas. De las cuatro interacciones que se suponen son las básicas, a modo decomparación, utilizando un factor de acoplamiento adimensional, ellas estánen los ordenes relativos de magnitud que se indican en la tabla siguiente

Fuerte αS = 15 (strong)Electromagnética α = 7,3× 10−3Débil αW = 3,1× 10−12 (weak)Gravitacional αG = 5,9× 10−39.

Como veremos, ellas han jugado un rol determinante en diversas etapas delmodelo aceptado hoy en día de la evolución del Universo.Diversas preguntas se pueden formular sobre el Universo, antiguamente

en el plano de la filosofía, hoy día tratables con métodos de la Ciencia. ¿Es elUniverso finito o infinito? ¿Tuvo o no un comienzo? ¿Es el Universo siempreigual (Estático) o evoluciona con el tiempo (Dinámico)?, y muchas más.El problema de un Universo estático o dinámico fue planteado apenas for-

mulada la teoría de la Gravitación de Newton. En efecto, si todos los cuerpos

96 El Universo y su evolución.

se atraen gravitacionalmente, deberían finalmente colapsar. Sería extraño queun Universo finito en tamaño, donde los cuerpos se atraen gravitacionalmentefuera estático. Por otro lado, si el Universo fuera isotrópico, en todas par-tes igual a larga escala, la fuerza gravitacional que ejercería una mitad delUniverso sobre un cuerpo sería infinita.Desde el desarrollo de la teoría general de la relatividad, cuestión que

no puede detallarse aquí, se buscaron soluciones cosmológicas (aplicables alUniverso entero), haciendo ciertas suposiciones. Es decir modelos que cum-plen con el llamado principio cosmológico, que establece precisamente que: agrandes escalas el Universo es igual en todas partes, y en todas direcciones,es decir es homogéneo e isotrópico. (no hay lugares ni direcciones preferidas)Evidentemente esto no es cierto para pequeñas escalas, como lo muestrandiversas y distintas estructuras que se observan en el Universo.

Conjetura 1 Principio cosmológico : el Universo es homogéneo e isotrópi-co a escalas grandes.

Tal solución de las ecuaciones de Einstein la lograron primero AlexanderFriedmann en Rusia en 1923, el abate George Lemaitre en Bélgica en 1927 yposteriormente en forma independiente, los físicos norteamericanos HowardP. Robertson y A.G. Walker, conduciendo al llamado modelo de Friedmann-Robertson-Walker de espacio tiempo.

6.2. La expansión del Universo.

Del análisis del modelo de Friedmann-Robertson-Walker, se puede dedu-cir matemáticamente, y fue hecho dos años antes de su comprobación expe-rimental, que el Universo debería estar en expansión o más precisamente queel espacio está en expansión. Debe ser destacado que el mismo Einstein ha-bía deducido de sus ecuaciones, modelos de Universo que ya sea colapsabano crecían, cuestión que el descartó modificando sus ecuaciones mediante laintroducción de una cierta constante, llamada constante cosmológica y tieneel rol de introducir fuerzas ficticias en el modelo, cancelando la gravedad adistancias grandes, obteniendo lo que el creía tenía que ser: Universos está-ticos. Dos cosas pueden decirse: primero el mismo Einstein reconoció queesta fue la mayor chambonada de su vida, y segundo que actualmente se hanencontrado nuevas razones para considerar constantes cosmológicas. Vea porejemplo, Scientific American, de Enero de 1999. (Revolution in Cosmology)

6.2 La expansión del Universo. 97

La expansión del Universo fue descubierta por el astrónomo norteame-ricano Edwin Hubble en los años 1926 a 1929. Se sabía en las dos décadasanteriores que muchas de las galaxias visibles aparentemente se alejaban delSol. La velocidad de una galaxia como la de una estrella, acercándose o aleján-dose de nosotros se determina mediante el efecto Doppler de la luz (realmenteaquí aplica un tipo especial de efecto Doppler cósmico). Las frecuencias delas líneas de emisión de los elementos presentes en el astro aparecen corridashacia el rojo, en el caso que las galaxias se alejen, respecto de los mismoselementos en la Tierra. De allí se puede calcular la velocidad aparente derecesión de las Galaxias. La contribución mayor de Hubble consiste en haberdeterminado las distancias a esas galaxias, por medio de la observación deciertas estrellas variables, encontrando una correlación muy simple: a ma-yor distancia corresponde una mayor velocidad aparente de alejamiento orecesión. De modo que si v representa la velocidad de una Galaxia y d sudistancia, entonces

v = H0d.

La constante H0, llamada constante de Hubble se conoce en forma apro-ximada

H0 = 70 kms−1Mpc−1.

No hay evidencia experimental suficiente para asegurar que tal constante nodepende del tiempo, siendo una cuestión abierta si el ritmo de expansiónse mantendrá, aumentará o permanecerá constante. La unidad de distanciaMpc, llamada “Mega parsec” es un millón de parsec, el cual es la distanciaque la luz recorre en 3,6 años.Es más, Hubble interpretó su correlación como una evidencia directa de la

expansión homogénea del espacio. Para visualizarlo, imagine que las galaxiasen línea recta son puntos marcados en un elástico que se estira. Las velocida-des relativas aparentes de un punto respecto a otro evidentemente crecen enproporción directa con su distancia. Doble distancia, doble velocidad. Estaexpansión del espacio podría imaginarse, aunque este es un modelo nada más,como si las galaxias fueran las pasas de un queque, el cual se expande. Así,las pasas se alejan todas, unas de otros, sin que realmente haya movimientorelativo de las pasas respecto del queque ni tampoco un centro de expansión.En otras palabras, es el espacio el que se expande y lo hace igual en todaspartes, principio cosmológico, luego el Universo entero se expande. Por esohemos remarcado el hecho que las velocidades de recesión son aparentes. Deacuerdo al principio cosmológico, la cuestión debe ser igual en todas partes y


en todas direcciones, por lo cual la simetría del espacio tridimensional debeser la simetría esférica, lo cual no significa que la forma del universo sea es-férica. Por otro lado el principio de homogeneidad del espacio, implica que elUniverso no podría tener un borde, puesto que los puntos de los bordes seríandistintos a los demás. Eso tampoco significa que el Universo sea infinito

6.3. Propiedades generales del espacio tiem-po.

Por la utilización del principio cosmológico y la idea de la expansión delespacio, podemos deducir ciertas propiedades, considerando lo que se observadesde galaxias típicas, que siguen el proceso de expansión y no están afectas aperturbaciones de las distancias entre sí que sean efecto de atracciones localesgravitacionales. Estos observadores, que llamaremos observadores fundamen-tales, en su línea de Universo se alejan entre sí y ven el Universo de la mismaforma. Para todos ellos, como no hay velocidades relativas, podemos supo-ner que el tiempo transcurre de la misma manera, tiempo que llamaremostiempo cósmico. Es claro que transcurrido un tiempo t en nuestra galaxia,el hoy para nosotros, no podemos conocer el hoy de otras galaxias, dada lavelocidad que tomaría a la luz en llegar a nosotros.Así cada observador recibe luz recibe rayos de luz de otras galaxias que

se propagan en sus conos de luz del pasado.Las galaxias lejanas las observamos como eran mucho tiempo atrás, y

sus velocidades de recesión que hoy día observamos eran las que ellas teníanmucho tiempo atrás, considerando el tiempo que la luz de ellas demora enllegarnos. Por otro lado, si el tiempo de vida de nuestro Universo es finito,o sea si el fue creado en algún instante, sólo nos puede llegar información depuntos hasta cierta distancia, en efecto, la velocidad de la luz por el tiempode vida del Universo.

6.3.1. Diagramas espacio tiempo.

Como se ha establecido, en ausencia de materia, el universo es plano, laluz se propaga en línea recta, y el ordenamiento de los eventos que ocurren esconveniente representarlos en un diagrama, espacio tiempo, donde se puedenmostrar sólo dos de las coordenada espaciales, digamos x, y, y preferible-mente una de ellas solamente. Así un objeto fijo en el origen, tiene como

6.3 Propiedades generales del espacio tiempo. 99

x

y

t

x

y

t

x

y

t

x

y

t

cono de luzlínea de Universode partícula móvil.

línea de Universode partícula fija.

línea de Universode rayo luminoso

Figura 6.1: Líneas de Universo

representación en el diagrama espacio tiempo, una línea, llamada línea deuniverso, que es todo el eje del tiempo t. Un punto que se mueve en el eje ycon la velocidad de la luz tiene por representación, o línea de universo, unarecta de pendiente t/y = 1/c. Tomaremos para las representaciones c = 1,de modo que la luz tendrá en estos diagramas líneas de Universo en 45o res-pecto al eje del tiempo. Otra partícula que naturalmente puede tener unasolo una velocidad menor que c, tendrá una línea de universo, más cercanaal eje del tiempo. Objetos extendidos sean representados consecuentementerepresentando las líneas de Universo de todos sus puntos. Por ejemplo, siun pulso luminoso es emitido en el origen y se mueve en el plano xy, unacircunferencia que se expande en ese plano, tendrá sus líneas de Universocontenidas en un cono. Este cono, se denomina cono de luz. El cono de luztiene importancia en la clasificación de los eventos que puedan ocurrir en esesistema de referencia, y como veremos en la descripción de la geometría delespacio tiempo.

De aquí en adelante, no mostraremos más el sistema de coordenadas, sinoque solamente el cono de luz, estando implícito el hecho que su eje de simetríarepresenta el tiempo propio a ese sistema. Así para cada evento, dibujare-mos su cono de luz propio, del evento que ocurre en su vértice. Considereentonces las figura siguientes para explicar su contenido y que responde a lapregunta: ¿se pueden ordenar los eventos en el tiempo independientementedel observador?

Primero si observamos eventos sobre nuestra línea propia de Universo, esdecir eventos que ocurren en un mismo punto, la única relación que existe


AA A

BB B

(b)(a) (c)

línea de Universo de A

Figura 6.2: Conos de luz

entre esos eventos es una separación temporal. Es decir, podemos ordenarlos eventos por su orden de ocurrencia. ¿Es este orden absoluto o sólo válidonosotros ? La respuesta es que este orden es absoluto, válido para todoslos observadores, aunque tengan otras líneas de Universo, si es que sonobservable. La razón es que la ocurrencia de ellos puede usarse para gatillarla ocurrencia de eventos que dejen una huella física, por ejemplo si paranosotros ocurre A antes que B, podemos escribir la palabra AB, bueno nohay dudas que todos los observadores verán escrita la palabra AB.No es tan simple la cosa si un eventoA ocurre en nuestra línea de Universo

( en el origen) y otro evento B ocurre fuera (en el eje x), como se indica enla figura siguiente. Sin conocer la línea de Universo del evento B (por allípasan muchas líneas de Universo, que corresponden a diversas velocidadesque puede tener el sistema donde ocurrió B). Como se indica en la figura,sin perder generalidad podemos distinguir tres casos, B está dentro del conode luz del futuro de A, está sobre el, o fuera, casos que llamaremos a,b y c.

a En este caso, cuando B está dentro del cono de luz del futuro de A, esposible conectar A, con B con una línea de Universo de otro observadorque viaja con velocidad menor que la de la luz (línea que une A conB), por lo tanto los eventos están sobre una misma línea de Universoy como explicamos entonces la ordenación temporal es absoluta. Paratodos los observadores B ocurre después que B. Es en este caso enque puede haber relación de causa y efecto entre dos eventos. B, puedeser causado por A. Se dice además que entre estos eventos hay unaseparación se denomina intervalo tipo tiempo.

b En este caso cuando B está sobre el cono de luz del futuro de A, es

6.4 Horizonte observable. 101

A

B

líneas de Universo (1) (2)(3)

Figura 6.3: Intervalos

posible conectar A, con B sólo con una línea de Universo de una señalluminosa (línea que une A con B). Se dice en este caso que los eventosestán separados por un intervalo tipo luz.

c En este caso, cuando B está fuera del cono de luz del futuro de A, no esposible conectar A, con B con una línea de Universo de otro observadorque viaja con velocidad menor o igual que la de la luz. Por lo tantoA no puede influenciar B de ninguna forma. Se dice además que entreestos eventos hay una separación se denomina intervalo tipo espacio. Larazón, que se explica en la figura siguiente, es que en este caso hay unobservador para el cual los eventos están separados sólo espacialmente(1), es decir son simultáneos. En efecto considere la líneas de Universo(1),(2), y (3). Para (1) son simultáneos, para (2) A ocurre antes queB, para (3) A ocurre después que B.

6.4. Horizonte observable.

Suponiendo que el Universo fue creado T tiempo atrás, nos puede estarllegando luz a lo más de una distancia R = cT , la que puede haber recorridola luz desde el instante de su creación. Esa distancia máxima visible se de-nomina horizonte de partículas o visible. Los objetos que estén más lejanossimplemente no los podemos observar todavía. Ese horizonte visible creceprecisamente con la velocidad de la luz, y decrece hacia el pasado con lamisma velocidad. O sea en el pasado, la parte visible del Universo era muchomenor, y llegando a cero en el instante inicial.El tiempo de vida del Universo podría evaluarse si la velocidad de recesión

de las galaxias se supone que ha sido siempre la misma, pues tendríamos por


la ley de Hubblev = H0d,

y si las distancias iniciales fueron cero, debemos tener d = vT entonces

v = H0vT,

de donde se deduce que

T =1

H0≈ 1500 millones de años.

De acuerdo al cálculo, la velocidad aparente de recesión de los objetos enel borde observable del Universo es la velocidad de la luz. De ello y de loque ocurra más allá, no debemos preocuparnos. La velocidad de recesión esaparente, y los objetos más allá del borde aunque pueden tener una velocidadaparente mayor que la velocidad de la luz, no podemos observarlos aún. Estoscálculos ha supuesto que la velocidad de expansión ha permanecido constantea lo largo de la vida del Universo. La cuestión si ello es así, si está acelerandoo desacelerando, sólo puede dilucidarse experimentalmente. Lo normal deesperar debido a la atracción gravitacional de todos los objetos del Universo,sería una desaceleración progresiva, pero no necesariamente revirtiendo laexpansión. Ese es también un problema abierto hoy en día y su respuesta pasapor estimar la masa total del Universo. La primera pregunta, al parecer tieneuna respuesta inesperada y sorpresiva. Recientes observaciones indicaríanque la expansión estaría acelerando, cuestión que sólo podría explicarse porla presencia de una fuerza cosmológica repulsiva, lo cual ha llevado de nuevoa considerar la presencia de la constante cosmológica en las ecuaciones deEinstein.

6.4.1. El efecto Doppler cósmico.

Una consecuencia de la expansión del espacio es que la longitud de onda dela luz crece en la misma proporción y por lo tanto su frecuencia disminuye.Como la energía de la luz (de los fotones) depende exclusivamente de sufrecuencia, a medida que el Universo se expande, la luz va perdiendo energía,pasando progresivamente a medida que el tiempo transcurre hacia el rojo,infrarrojo, micro ondas, y consecuentemente enfriándose.

6.5 El modelo estándar del Big Bang. 103

6.4.2. Radiación de fondo.

De acuerdo a la teoría estándar del Big bang, en los primeros instantes,debido a las enormes temperaturas existentes en el Universo, la luz no podíapropagarse debido a que la materia no estaba eléctricamente neutralizada.En el momento en que la materia se neutralizó mediante la formación deátomos neutros, denominada época de recombinación, se creó luz en todaspartes, estimándose su temperatura de creación en alrededor de 3.000 oK. En1956, dos ingenieros del Laboratorio Bell en los Estados Unidos, detectaronen sus radio telescopios un ruido que se recibía de todas partes del espacio, lallamada radiación de fondo, con una temperatura determinada en alrededorde 2.73 oK. Realizando cálculos mediante el efecto Doppler, se estimó queesa luz fue creada en una edad cósmica de alrededor de 200.000 años (apartir del cero). Esta es una de las mejores evidencias experimentales de lateoría del Big Bang. Esta época de recombinación, que ocurre alrededor deun tiempo de 200.000 años separa una fase opaca del Universo de la etapaactual, transparente. Es necesario destacar que la radiación de fondo fuepredicha por los años 40 por George Gamov.

6.5. El modelo estándar del Big Bang.

En la época actual de la expansión, las galaxias se alejan unas de otras,sin que ocurran mayores choques, la mayor parte de la radiación luminosapresente es de baja temperatura y densidad. La materia es hoy día lo do-minante en el Universo. Pero en el pasado, las densidades y temperaturasque pueden extrapolarse son muchísimo mayores y cobran importancia otrasformas de la materia. Para describir la evolución del Universo en sus prime-ros momentos, se requiere conocer el comportamiento de la materia a nivelesextremos de temperatura y presión. El Universo al parecer nació como una“bola de fuego”de altísima densidad y temperatura y en una expansión muyrápida. Esto es ilustrativo solamente, no debe pensarse en una especie deexplosión en un espacio pre existente. Si ello fuera así, la radiación de fondoestaría viajando junto con el límite del Universo, y no llegando desde todoslos lugares, y a todos los lugares. Lo que se crea en el instante inicial, es todo,espacio, tiempo y materia. La radiación de fondo que nos está llegando hoy,proviene de puntos del espacio que hoy están muy lejos, aproximadamentecT , siendo T la edad del Universo, pero que al comienzo estaban muy juntos,


y antes no existían. De acuerdo al principio cosmológico esto es válido paratodos los puntos del espacio, el cual por lo tanto no puede tener, ni haber te-nido una frontera. El conocimiento más detallado se logra entonces medianteel conocimiento que se tiene sobre la partículas elementales.

6.6. Partículas elementales.

En los primeros momentos, la materia estaba disociada en sus componentemás íntimos, las llamadas partículas elementales. En la tierra, ellas se creanprecisamente reconstruyendo las condiciones existentes en el Universo en losprimeros tiempo, en experimentos que se realizan en los llamados laboratoriosde alta energía.

En la actualidad se cree que la materia, está constituida por dos grandesfamilias de partículas: los hadrones y los leptones, además de los fotones. Loshadrones son partículas compuestas, constituidas por quarqs, de los cualeshay seis tipos. En los hadrones se pueden distinguir dos familias, los barionesy los mesones. Los mesones son más livianos y son todos inestables. A su vezlos bariones conforman dos clases: los nucleones, constituyentes del núcleo delos átomos (protones y neutrones) y los hiperones, más pesados e inestables.

La clase de los leptones. que no participan en las interacciones de lafuerza fuerte, contiene sólo seis partículas conocidas: tres leptones. con cargaeléctrica y tres neutrinos sin carga, que por lo cual no participan en lasinteracciones electromagnéticas. Las siguientes tablas muestran las diferentesfamilias de partículas

6.6 Partículas elementales. 105

Quarqs y antiquarqs.

Nombre masa carga spin num bariónicou (up) 5 2/3 1/2 1/3anti u -2/3 1/2 -1/3d (down) 10 -1/3 1/2 1/3anti d 1/3 1/2 -1/3s (strange) 250 -1/3 1/2 1/3anti s 1/3 1/2 -1/3c (charmed) 1500 2/3 1/2 1/3anti c -2/3 1/2 -1/3b (bottom) 4800 -1/3 1/2 1/3anti b 1/3 1/2 -1/3t (top) 30.000? 1/2 1/3anti t 1/2 -1/3

Hadrones-nucleones.

Nombre masa carga spin num. bariónico vida mediap (protón) 938.21 1 1/2 1 >1033 añosanti p -1 -1n (neutrón) 939.50 0 1/2 1 925 santi n -1resonancia N,∆,Λ,Ξ,Σ,Ω >p,n muy inestables

Mesones.

Nombre masa carga spin num. bariónico vida mediapión π− 139.58 -1 0 0 2.6×10−8 spión π+ 139.58 1 0 0 2.6×10−8 spión π0 134.97 0 0 0 0.83×10−16 smesones muy inestables.


Leptones.

Nombre masa carga spin num. leptónico vida mediae− electrón 0.511 -1 1/2 ∞e+ positrón 0.511 1 1/2µ muón 106 -1 1/2 2× 10−6 santi µ 106 1 1/2τ tau 1780 0 1/2 2× 10−13 santi τ 1780 0 1/2νe neutrino e < 6× 10−5 0 1/2 ∞?anti νe 0 1/2 ∞?νµ neutrino µ < 0,65 0 1/2 ∞?anti νµ 0 1/2 ∞?ντ neutrino τ < 250 0 1/2 ∞?anti ντ 0 1/2 ∞?

La masa está expresada en Mev/c2.

Partículas portadoras.

No entraremos en más detalles, pero es necesario decir que las cuatro inte-racciones básicas señaladas al principio, se explica según la mecánica cuánti-ca, mediante el intercambio de partículas virtuales portadoras o intermedias.Así la interacción electromagnética se manifiesta mediante intercambio defotones. La interacción fuerte se manifiesta mediante el intercambio de gluo-nes, la débil por el intercambio de bosones intermedios (W+, W+, Z0) y lagravitacional se especula que mediante un gravitón.

6.7. Los grandes periodos del Universo.

6.7.1. Cosmología cuántica.

Desde t = 0 , el inicio, hasta t = 10−43s, las condiciones físicas de tem-peratura y presión son tan extremas, que no hay teoría aún que de cuentade ese periodo. Antes de t = 10−43 s, el horizonte observable corresponde adimensiones menores que al de una partícula.

6.7 Los grandes periodos del Universo. 107

6.7.2. La era hadrónica.

Este comprende el periodo comprendido entre t = 10−43s y t = 10−4s,donde por la expansión, la temperatura cae desde T = 1032 a 1012 oK, y ladensidad cae desde 1094 a 1014 g/cm3. El Universo está formado por una sopa,muy caliente de quarqs, antiquarqs, leptones. y sus antipartículas y fotones,en equilibrio con densidades similares. Cerca del fin de esta era, se produceun proceso esencial, la acción de las fuerzas gluónicas entre los quarqs losunen o confinan, formando los nucleones que existen hoy en día : protones yneutrones. Esto ocurre alrededor de t = 10−6 s.

6.7.3. La era leptónica.

La época que se extiende desde t = 10−4 s hasta unos 10 s donde latemperatura desciende desde unos 1012 oK hasta unos 1010 oK. Durante ellasobreviven los nucleones escapados de la era hadrónica, junto a leptones, prin-cipalmente electrones y neutrinos. Hay en este periodo abundantes fotonesque forman un mar de radiación bastante homogéneo.

6.7.4. La era radiativa y la núcleo síntesis.

Esta época es dominada por la radiación, los fotones y durante ella se for-man los elementos químicos primordiales. Se extiende desde unos 10 s hastaaproximadamente 200,000 años de la vida del Universo. La temperatura bajadesde unos 1010 oK hasta unos 3000 oK. La materia es una mezcla de nu-cleones y electrones que nadan en un mar de fotones. Entre uno y quinceminutos, cuando las temperaturas están en el orden entre 109 y 2× 107 oK,se producen los primeros núcleos de átomos de elementos ligeros, Hidrógeno,Deuterio, Tritio y Helio. En un proceso competitivo entre la fuerza fuerteque los forman, y los choques con los fotones que los desarman, cada vezse forman más núcleos. Se supone que al fin de este proceso casi el 75% esHidrógeno y un 25% es Helio. (El resto de los elementos químicos se for-marán mucho después en las estrellas y en las supernovas). La era radiativatermina cuando los fotones cesan de interactuar con la materia. Esto ocurrecuando la temperatura baja a unos 3000 oK y los electrones se colocan ensus orbitales atómicos, formando átomos neutros. Este proceso de recombi-nación o desacoplamiento, marca el fin de la era radiativa. Así, el Universose hace transparente a la luz, y esta radiación original es la que aún puede


ser observada, mucho más fría, como la radiación de fondo.

6.7.5. La era estelar.

Es la época posterior a la edad de 200,000 años, hasta hoy. La temperaturadel Universo ha bajado lentamente desde unos 3000 oKhasta unos 2,73 oKquees la temperatura actual de la radiación de fondo. Los mecanismos detalladosque hacen que el Hidrógenos se acumule en ciertas regiones del espacio paradar lugar a la formación de estrellas, no se conocen, pero sin duda estángobernados por la fuerza gravitacional.

Hadrónica 10−43 − 10−4 s quarqs, antiquarqs, leptones y susantipartículas y fotones

Leptónica 10−4 − 10s nucleones, leptones, principalmenteelectrones y neutrinos.

Radiativa 10 s− 2× 105 años nucleones, electrones, fotonesEstelar 2× 105−hoy galaxias, estrellas.

Capítulo 7

Matemáticas.

Aunque sería deseable que en un curso introductorio a la física no seusara matemáticas, ello es difícil pues las matemáticas son la herramientamediante la cual se formulan las leyes en física. Aunque trataremos de nousar matemáticas complicadas, ciertos elementos como la derivada e integral,son imprescindibles, asimismo la graficación y el cálculo numérico, por suaplicación a los métodos experimentales. Aquí trataremos diversos tópicos,cada cual con diversas aplicaciones, y sin rigor matemático.

7.1. Algunas funciones importantes.

7.1.1. La función exponencial.

La función exponencial

y = bx,

donde b es la base, tiene un importante papel en Física. La base más impor-tante es el número e que se define más adelante y se tienen las dos importantespropiedades

bxby = bx+y,

b0 = 1.

110 Matemáticas.

7.1.2. El logaritmo.

Siy = bx

entoncesx = logb y,

que se lee logaritmo de y en base b. Todas las propiedades de esta funciónse deducen de las propiedades de la función exponencial bx. Por ejemplo de

1 = b0 con b > 0

se tiene quelogb 1 = 0.

Similarmente deb = b1

se deduce quelogb b = 1.

También si

u = bx,

v = by,

entoncesuv = bx+y,

luegox+ y = logb uv

o sealogb uv = logb u+ logb v.

En particular para bases, 10 y e = 2. 718 3.. (el número e), se habla delogarítmos vulgares y naturales que se denotan con log(x) y ln(x) Entre otras

7.1 Algunas funciones importantes. 111

propiedades se tiene:

log(AB) = logA+ logB,

logAx = x logA,

log 10 = 1,

ln(e) = 1,

log(10n) = n,

logb a loga b = 1,

ln(10) = 2,303 . . .

log(e) = 0,4343 . . .

Ejercicio 7.1.1 Demuestre a partir de la definición del logaritmo que

logb a loga b = 1.

Ejercicio 7.1.2 Demuestre a partir de la definición de logaritmo que

logb ac = c logb a.

7.1.3. El número e.

El número e = 2. 718 281 828 46.., la base de los logaritmos naturales dedefine como un límite, el cual es

e = lımn→∞

µ1 +

1

n

¶n

.

La existencia de este límite, puede ser establecida estudiando la secuencia

an =

µ1 +

1

n

¶n

cuyos primeros valores sona1 =

¡1 + 1

1

¢1= 2,0

a2 =¡1 + 1

2

¢2= 2. 25

a3 =¡1 + 1

3

¢3= 2. 370 370 370 37

a4 =¡1 + 1

4

¢4= 2. 441 406 25

a5 =¡1 + 1

5

¢5= 2. 488 32

112 Matemáticas.

que muestra cierta tendencia, pero de lenta evolución. Ahora del teoremadel binomio

µ1 +

1

n

¶n

= 1 +n

1!

1

n+

n(n− 1)2!

1

n2+

n(n− 1)(n− 2)3!

1

n3+ · · · ,

se deduce µ1 +

1

n

¶n

= 1 +1

1!+(1− 1

n)

2!+(1− 1

n)(1− 2

n)

3!+ · · · ,

y tomando el límite puede obtenerse

e = 1 +1

1!+1

2!+1

3!+ · · ·

la famosa expansión en serie del número e, que converge más o menos rápi-damente como se muestra a continuación1 + 1

1!= 2,0

1 + 11!+ 1

2!= 2. 5

1 + 11!+ 1

2!+ 1

3!= 2. 666 666 666 67

1 + 11!+ 1

2!+ 1

3!+ 1

4!= 2. 708 333 333 33

1 + 11!+ 1

2!+ 1

3!+ 1

4!+ 1

5!= 2. 716 666 666 67

1 + 11!+ 1

2!+ 1

3!+ 1

4!+ 1

5!+ 1

6!= 2. 718 055 555 56

1 + 11!+ 1

2!+ 1

3!+ 1

4!+ 1

5!+ 1

6!+ 1

7!= 2. 718 253 968 25.

Como una curiosidad se presentan algunas de las fórmulas donde apareceel número e, de la vasta diversidad de ellas

e = 3− 1

4− 25− 3

6− 47−···

.

Z e

1

dx

x= 1.

eπ√−1 = −1.

ex√−1 = cosx+

√−1 sinx.n! =

√2πnnne−n(1 +

1

12n+ · · · ).

¿Podrá usted probar alguna de ellas?

7.2 Sumatorias. 113

7.2. Sumatorias.

La suma de n términos a1, a2, · · · an será representada por

a1 + a2 + a3 + · · ·+ an =nXi=1

ai.

7.2.1. Sumatorias notables.

Se deja como ejercicio probar que

nXi=1

ri =rn+1 − r

r − 1nXi=1

i =1

2n (n+ 1)

nXi=1

i2 =1

6n (n+ 1) (2n+ 1)

nXi=1

i3 =1

4n2 (n+ 1)2

7.3. Gráficos.

Por su importancia se trata este tema, de las diversas formas de ilustrargráficamente el comportamiento de una función de una variable y = f(x).Este símbolo indica que a cada valor de la variable independiente x existe unvalor numérico (real o complejo) de la función, denotado por y = f(x).Ejemplosy = Ax+B función lineal, A y B son constantes.y = AeBx función exponencial, A y B son constantes.y = A+B lnx función logarítmica, A y B son constantes.y = Ax2 +Bx+ C función polinomial de grado 2y = A sinx función sinusoidal.y = Ae−cx cosx función cosenoidal amortiguada.y = AxB función potencia.

114 Matemáticas.

Aunque existen diversas herramientas para analizar la conducta de unafunción, tal vez lo más ilustrativo consiste en hacer un gráfico de ella. Paraello, las diversas constantes que puedan aparecer deben tener valores numé-ricos, generando gráficos para un valor, o familias de gráficos para diversosvalores de ellas. Existen además diversas posibilidades para los ejes del di-bujo, la escala de ellos puede ser uniforme, igual o distinta en cada eje. Laescala puede ser logarítmica en los dos ejes (gráficos log-log) o en uno deellos, (gráficos semi-log). En ingeniería incluso se usan gráficos con escalasque varían de acuerdo a alguna determinada función, si ello resulta conve-niente. Hay diversos factores que inciden en la decisión de qué tipo de escalautilizar, algunos de los cuales explicaremos. Una de las escalas no uniformesmás utilizada es la escala logarítmica. La escala logarítmica se construye deacuerdo a los valores de los logarítmos, siendo suficiente considerar la tablade los valores de los logarítmos entre 1 y 10:

1 02 0,30103 0,47714 0,60215 0,69906 0,77827 0,84518 0,90319 0,954210 1,0000

En la figura siguiente se ilustra en papel log− log con dos periodos deescala logarítmica en el eje x y uno en el eje y.

7.3 Gráficos. 115

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 901001

10

un p

erio

do e

n el

eje

y

dos periodos en el eje X

papel log-log

papel log-log.

La propiedad log(10n) = n hace que sea necesario conocer la escala lo-garítmica en un periodo solamente, pues en los otros hay un desfase de unnúmero entero de unidades. Así por ejemplo log(200) = log 2+2, log(0,002) =log 2− 3, etcétera.

7.3.1. Correlación lineal : y = Ax+B (la línea recta).

Si datos (x, y) provenientes de un experimento se ajustan a ese modelo,con constantes desconocidas, entonces su gráfico con escalas uniformes enambos ejes es el más apropiado, pues en ese caso resulta una línea recta,como se indica en la figura.De la figura se deduce que el intercepto B = 14 yla pendiente obtenida de los puntos de coordenadas (0, 14) y (8,−12) será

A =14 + 12

0− 8 = −3. 25,

de modo que el modelo ajustado será

y = −3,25x+ 14

116 Matemáticas.

0 2 4 6 8-15

-10

-5

0

5

10

15

Correlación lineal

Y

X

Figura 7.1: Correlación lineal.

7.3.2. Decaimiento con b < 0 (o crecimiento si b > 0)exponencial : y = yoe

bx .

Si los datos (x, y) provenientes de un experimento se ajustan a este mo-delo, entonces ln y = lnA+Bx, de modo que en un gráfico semi-log los datoscaerán sobre una línea recta. Realizado el gráfico, el de la figura, entoncesdel gráfico se deducen los valores de las constantes y0 y b. En efecto,del valoryA = 5 correspondiente a x = 0, se deduce que y0 = 5. Además se observaque xC = 3,9, yC = 0,002, xB = 0,8, yB = 1 y dado que

yCyB= eb(xC−xB),

se deduce que

b =ln(yC

yB)

xC − xB,

b =ln(0,002)

3,9− 0,8 = −2. 00de modo que el modelo ajustado a los datos será

y = 5e−2x.

7.3 Gráficos. 117

0 1 2 3 4 50,001

0,010

0,100

1,000

C

BA Decaimiento exponencial

Y

X

Figura 7.2: Decaimiento exponencial.

Mediante el método de los mínimos cuadrados, se encuentra la mejor rectacuando los puntos experimentales no caen exactamente sobre una línea recta.

7.3.3. Modelo potencia y = AxB.

En este caso si tomamos logaritmos se obtiene

log y = logA+B log x,

de modo que si los datos se ajustan a este modelo, la relación entre loslogaritmos es lineal. El gráfico más adecuado a esta situación si el propósitoes determinar las constantes del modelo, debe hacerse en un papel con escalaslogarítmicas en ambos ejes, como se compara en los gráficos siguen. Primeroen escalas uniformes segundo en papel log-log:Como para x = 1, y = 5 y para x = 4, y = 10 resultará

A = 5,

B =log y2 − log y1log x2 − log x1 =

log 10− log 5log 4− log 1 = 0,5

de modo que el modelo ajustado es

y = 5x0,5

118 Matemáticas.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10

20

Modelo potencia

Y

X

Figura 7.3: Modelo potencia,

1 101

10

Modelo potencia

Y

X

Figura 7.4: En papel log-log

7.3 Gráficos. 119

0 2 4 6 8 10 12 1410

100

1000

A)-B)B) y=AeBx

A) y=AeBx+CDx

Ajuste de dos exponenciales

Y

X

Figura 7.5: Dos exponenciales.

7.3.4. Modelo con dos exponenciales: y = Aebx + Cedx.

En un gráfico semi− log, los datos están graficados en la curva (A). Paravalores grandes de x, si los parámetros B y D son diferentes, a la largapredomina uno de los exponenciales, lo cual se hace evidente en el gráficoporque la curva tiende a ser línea recta. (la línea (B)) dibujada tangente alos datos. Si se restan los datos (A) con los de la recta (B), se tiene una línearecta que representa a la otra exponencial.

De la figura hemos obtenido los siguientes valores numéricos aproximados:

x yA yB yA − yB0 300 112 1874 95 73 2212 31 31

de los cuales se deducen A = 112, y

B =log 73− log 112(4− 0) log e = −0. 107

120 Matemáticas.

y de los datos para la diferencia C = 187 y

D =log 22− log 187(4− 0) log e = −0. 54,

resultando entonces para el modelo de dos exponenciales

y = 112e−0,107x + 187e−0,54x.

7.4. Ejercicios.

Ejercicio 7.4.1 La tabla siguiente corresponden a las concentraciones dealcohol en la sangre, en función del tiempo a partir de su ingestión

t (min) conc. (mgDL−1)90 134120 120150 106180 93210 78240 65270 50

Grafique los datos y establezca un modelo del proceso metabólico delalcohol.

Ejercicio 7.4.2 Grafique las funciones

y = 10e−0,1x,y = 5x0,6,

y = 10e−0,1x + 20e−0,8x

en papel con escalas uniformes y en papel con escalas más adecuadas.

Ejercicio 7.4.3 Los datos siguientes corresponden a un experimento ficti-cio donde se determinaron dos variables t, y.

7.5 Derivadas. 121

t y0 4.851 2.9432 1.7853 1.0834 0.8575 0.3986 0.241

Determine un modelo para estos datos, y = y(t). Suponga ahora quey representa la cantidad de una substancia radioactiva que se descompone,determine el tiempo que en hay la mitad de la cantidad inicial.

Ejercicio 7.4.4 Si usted deposita una cantidad inicial M de dinero el cualgana mensualmente un interés α (tanto por uno) se pide realizar un gráficosemi logarítmico del monto de dinero acumulado en función del número demeses para M = 100, α = 0,1.

Ejercicio 7.4.5 El número e, la base de los logarítmos naturales se definecomo

e = lımN−→∞

(1 +1

N)N = 2,7182818 . . .

Calcule entonces el límite

lımN−→∞

(1 +x

N)N

7.5. Derivadas.

Si se considera una función de una variable y = f(x) su gráfico con escalasuniformes es una curva, genéricamente como la que se ilustra en la figura.En ella se indican dos puntos cercanos (1) y (2), se ha dibujado la tangentea la curva en el punto (1) y la cuerda del punto (1) al punto (2).Una medida de la tasa de crecimiento promedio de la función en el inter-

valo (x1, x2), puede ser definida por la razón

y2 − y1x2 − x1

.

Si nos imaginamos que los dos puntos están muy cerca, y en caso límite x2se acerca a x1 hasta confundirse con el, podemos observar que

122 Matemáticas.

0 2 4 6 8 10 12 140

10

20

30

40

50

60

70

función y=f(x)

tangente en (1)

y2-y1

x2-x1

2

1

Derivada

Y

X

Figura 7.6: Tangente y derivada.

la cuerda 1-2, se aproxima y se confunde con la tangente a la curva.La hipotenusa del triángulo indicado en la figura se confunde con latangente a la curva.

El triángulo rectángulo señalado se hace de lados cada vez menores,cero en el caso límite.

Es claro que la razón y2−y1x2−x1 es la tangente del ángulo que hace la cuerda

con el eje x, cualquiera que sea el tamaño de los catetos del triángulo.(Note que aquí tan θ=sin θ/ cos θ)

Se deduce entonces que el límite cuando x1 tiende a x2, lo que se escribecomo

lımx2−→x1

y2 − y1x2 − x1

existe y es igual a la tan(θ) del ángulo que forma la tangente a la curvaen el punto (1) con el eje x. Tal límite se llama la derivada de la función enel punto x1 y se denota por

f 0(x1) = lımx2−→x1

y2 − y1x2 − x1

= lımx2−→x1

f(x2)− f(x1)

x2 − x1.

7.6 Diferenciales. 123

7.6. Diferenciales.

El diferencial de una función, correspondiente a un cambio ∆x de suvariable independiente se define por

df(x) = f 0(x)∆x.

Como además la derivada de y = f(x) = x respecto a x es evidentementef 0(x) = 1, se trata de una recta inclinada en 45o, entonces

dx = ∆x,

y en consecuencia, la derivada de una función es igual al cuociente de losdiferenciales de la función y de la variable independiente x, o sea

f 0(x) =df(x)

dx.

Como se observa en la figura siguiente el diferencial de la función, nos indicala variación de la función desde un punto inicial hasta la recta tangente ala curva, cantidad que no es necesariamente pequeña. En todo caso, estopermite tratar a las derivadas como cuociente de diferenciales.El proceso límite implícito en la definición de derivada, se ha hecho para

las funciones más importantes, tabulando esos resultados. Esas tablas, juntoa unas pocas reglas, permiten calcular la derivada de prácticamente cualquierfunción. Un fragmento de tabla es

f(x) f 0(x)xa axa−1

ln(x) 1x

ex ex

ag(x) + bh(x) ag0(x) + bh0(x)f(g(x)) f 0(g(x))g0(x)sinx cosxcosx − sinxf(x)g(x) f 0(x)g(x) + f(x)g0(x)f(x)g(x)

f 0(x)g(x)−f(x)g0(x)g2(x)

a 0tanx sec2 xcotx − csc2 x

124 Matemáticas.

Ejercicio 7.6.1 Demuestre a partir de la definición de derivada que

d cosx

dx= − sinx,

d sinx

dx= cosx;

dex

dx= ex;

dxa

dx= axa−1,

d lnx

dx=

1

x.

Ejercicio 7.6.2 Considere la función y = xe−x. Realice su gráfico. Comousted podrá observar, hay un valor máximo de la función. Si se consideraque un máximo o mínimo está caracterizado por ser la recta tangente enesos puntos horizontal, es decir con ángulo de inclinación cero y por lo tantoderivada nula, determine la ubicación del máximo y su valor.

Ejercicio 7.6.3 Considere una función (desconocida) de la cual se sabeque su tasa de crecimiento instantánea, la derivada respecto al tiempo, esproporcional a la función, es decir

dy

dt= ky.

Si usted redefine la escala del tiempo mediante τ = kt puede obtener unarelación más simple. Por inspección de la tabla de derivadas, determine lasfunciones y(t) que satisfacen la relación anterior. (si usted lo hace, ha tenidoéxito en resolver una ecuación diferencial, es decir ha integrado sin saberlo)

Ejercicio 7.6.4 Mediante el uso de la tabla (y algo más) determine la de-rivada de y = ax.

7.7. Integrales.

7.7.1. El área bajo una curva.

Si se tiene una función y = f(x), planteamos el problema de determinar elárea entre la curva representativa de la función y el ejeX, entre los valores x1

7.7 Integrales. 125

x

f(x)

x21

1 2 3N

Figura 7.7: Area bajo la curva.

y x2. Una aproximación a la solución de este problema consiste en aproximarel área por una suma de rectángulos como se indica en la figura.Si el intervalo de x1 a x2 lo llenamos con N rectángulos que lleguen hasta

la curva, entonces los anchos de los rectángulos serán

d =x2 − x1

N,

las abcisas de sus vértices inferiores izquierdos serán

xi = x1 + (i− 1)d, i = 1, 2, . . . , N

o

xi = x1 + (i− 1)x2 − x1N

, i = 1, 2, . . . , N

entonces el área A será aproximadamente

A ≈NXi=1

f(xi)x2 − x1

N.

Como puede observarse, el error que se comete debido a que los rectángulostienen un déficit o exceso de área respecto a la curva, se hará cero si tomamosel límite haciendo que los anchos de los rectángulos tiendan a cero. Eso se

126 Matemáticas.

logra tomando el límite N →∞, es decir

A = lımN→∞

NXi=1

f(xi)x2 − x1

N

= lımN→∞

NXi=1

f(x1 + (i− 1)x2 − x1N

)x2 − x1

N,

7.7.2. La integral definida.

El último límite se denomina la integral definida de la función entre x1 yx2 y se representa por

A =

Z x2

x1

f(x)dx.

Como veremos el cálculo de este límite puede hacerse pues está relacionadocon el concepto de derivada.

Ejemplo 7.7.1 Calcule el área bajo la curva y = x2 entre x1 = 0 y x2 = x.

Solución. Debemos en este caso evaluar

A = lımN→∞

NXi=1

f(xi)x2 − x1

N= lım

N→∞

NXi=1

(x1 + (i− 1)x2 − x1N

)2x2 − x1

N,

= lımN→∞

NXi=1

(i− 1)2 x2

N2

x

N= lım

N→∞x3

N3

NXi=1

(i− 1)2,

= lımN→∞

x3

N3

N−1Xi=1

i2.

PeroPn

i=1 i2 = 1

6n (n+ 1) (2n+ 1) de modo que

A = lımN→∞

x3

N3

1

6(N − 1)N (2N − 1) ,

= lımN→∞

x31

6(1− 1

N)

µ2− 1

N

¶,

=1

3x3.

7.7 Integrales. 127

f(x)

xa x+∆x

Figura 7.8: Elemento de área.

Resulta entonces que hemos logrado calcular una integral, es decirZ x

0

x2dx =1

3x3.

N

7.7.3. Relación con la derivada.

Considere la integral

A(x) =

Z x

a

f(x)dx.

Esto es el área bajo la curva entre a y x. Esta puede ser considerada unafunción de x y por lo tanto la podemos derivar respecto a x. Si usamos ladefinición de derivada entonces

dA(x)

dx= lım

∆x→0(A(x+∆x)−A(x))

∆x.

El numerador es una diferencia de áreas y si ∆x es pequeño, esa área será ladel rectángulo f(x)∆x, ver figurade modo que

dA(x)

dx= lım

∆x→0(A(x+∆x)−A(x))

∆x

= lım∆x→0

f(x)∆x

∆x= f(x).

128 Matemáticas.

Este notable resultado muestra que

d

dx

Z x

a

f(x)dx = f(x),

o sea que la integración es la operación inversa de la derivada. O sea queel cálculo de una integral se hace buscando que función tiene por derivadaf(x). Como las derivadas de las constantes son cero, esta búsqueda quedaindeterminada en una constante aditiva, por ejemploZ x

a

x3dx =x4

4+ C

siendo C una constante. Esa constante puede evaluarse considerando queZ a

a

x3dx = 0,

de modo que resulta

C = −a4

4.

Finalmente Z x

a

x3dx =x4

4− a4

4.

7.7.4. Resultado final.

Todo lo dicho se puede resumir en que la integral definida tiene la pro-piedad Z x

a

f 0(x)dx = f(x)− f(a).

7.7.5. La integral indefinida.

La operación inversa de la derivada se denomina integral indefinida, esdecir Z

f 0(x)dx = f(x)

7.8 Elementos de cálculo numérico. 129

Ejercicio 7.7.1 Compruebe queZxndx =

xn+1

n+ 1si n 6= −1Z

dx

x= lnxZ

sinxdx = − cosxZcosxdx = sinx.

7.8. Elementos de cálculo numérico.

La física trata con ecuaciones (relaciones entre cantidades físicas) que sise resuelven, constituyen la solución de un determinado problema. Esto es enteoría, pues hay muchas ecuaciones que no pueden resolverse en forma ana-lítica. Basta recordar el caso de las ecuaciones algebraicas, que son solublesanalíticamente hasta el caso de grado cuatro. En física es célebre el problemade los tres cuerpos, que tampoco admite en general solución analítica. Sinembargo, la solución numérica es siempre factible, con determinado grado deprecisión y alcance. De algunos de estos métodos trata esta sección.

7.8.1. Método de Newton para el cálculo de una raíz.

Considere la ecuación f(x) = 0. La búsqueda analítica de las raíces, losvalores de x para los cuales la función se anula, es en general imposible. Lasexcepciones son por ejemplo, ecuaciones algebraicas hasta cuarto grado. Ocasos como sinx = 0, cuyas Doppler se encuentran por simple inspecciónx = nπ con n entero. Considere la figura:La raíz buscada es x. Uno puedeestimar un valor inicial x1, trazar la recta tangente a la curva en el punto x1,su intersección con el eje se produce en x2 que está más cercano (en general)a la raíz que el punto inicial. O sea x2 es una mejor aproximación a la raízbuscada. Luego repita el proceso partiendo del punto x2. De la definición dederivada se tiene que

f 0(x1) =0− f(x1)

x2 − x1,(la tangente del ángulo)

130 Matemáticas.

0 2 4 6-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

f(x1 )

x x2x1

Método de Newton

Y

X

Figura 7.9: Método de Newton.

entonces

x2 = x1 − f(x1)

f 0(x1).

Cuestión que debe ser repetida obteniendo aproximaciones sucesivas a la raíz,hasta la precisión deseada.

Ejemplo 7.8.1 Determine una raíz de cosx = x.

Solución. Dado que f(x) = cosx− x, entonces f 0(x) = − sinx− 1 y lafórmula se reduce a

x2 = x1 +cosx1 − x1sinx1 + 1

.

Si partimos de una adivinanza inicial (radianes) x1 = 1, entonces sucesivosvalores dan

x2 = . 750 363 87,

x3 = . 739 112 89,

x4 = . 739 085 13,

x5 = . 739 085 13.

Con 8 decimales en unos pocos cálculos.


0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

x3=f(x2)

f(x2)

x2=f(x1)

f(x1)

x1

y=x

x

y

y=cos(x)

Figura 7.10: Iterar.

N

7.8.2. Método iterativo para determinar una raíz def(x) = x.

Este método tiene éxito en algunos casos como explicaremos. Considere elgráfico de la función y = f(x) y el gráfico de la función y = x. El punto dondese cortan determina la raíz. El método consiste en partir de una adivinanzainicial x1, y calcular sucesivos valores x2 = f(x1), x3 = f(x2), . . .. En el casode la figura para cosx = x, se observa que esos valores se aproximan cada vezmás a la intersección. Sea un valor inicial x1 = 1, cos 1 = 0. 540 3,entonces:

cos 0. 540 3 = 0. 857 6,

cos 0. 857 6 = 0. 654 3,

valores que oscilan, pero que a la larga se aproximan al mismo valor0.739 09, aunque mucho más lentamente que en el método de Newton. Laconvergencia dependerá del ángulo en que se intersectan la curva y = f(x) ey = x. Si ese ángulo es mayor de π/2 no hay convergencia.

132 Matemáticas.

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0-2

-1

0

1

2

(2)

(1)

aproximación

raiz

X2

X1

X

Y

Figura 7.11: Método de la secante.

7.8.3. Método de la secante.

La idea de este método es muy simple. Si se conocen do puntos talesque en ellos las función f(x) tiene diferente signo, por ejemplo f(x1) < 0 yf(x2) > 0, entonces (para funciones continuas) en algún punto intermedio lafunción debe anularse. La recta que va desde el punto (1) al punto (2) corta eleje xmás cerca de la raíz buscada, como se ilustra en la figura siguiente:Comola recta pasa por los puntos (1) y (2) su ecuación es (verifíquelo)

y = f(x1) +f(x2)− f(x1)

x2 − x1(x− x1)

y el punto donde ella corta el eje x (la aproximación) satisface

f(x1) +f(x2)− f(x1)

x2 − x1(x− x1) = 0,

de donde

x = x1 − f(x1)x2 − x1

f(x2)− f(x1)

x =x1f(x2)− x2f(x1)

f(x2)− f(x1).


Este proceso debe ser repetido hasta alcanzar la precisión deseada, eligiendoentre nuevos valores iniciales, (x1, x) o (x, x2) según en cual pareja hay cambiode signo de la función.

7.8.4. Derivada numérica con dos puntos.

Para cálculos numéricos, con precisión limitada, no es necesario tomar ellímite en la definición de derivada, sino basta tomar un valor pequeño delincremento ∆x = h. Así entonces podemos aproximar

dy

dx= f 0(x) =

f(x+ h)− f(x)

h,

con h pequeño. El valor de h depende de la exactitud deseada. Por ejemplosea h = 0,00001, y calculemos la derivada de

y = f(x) = xe−x lnx

en el punto x = 2. Resultará

f 0(2) =f(2 + h)− f(2)

h= 0,0 415 3,

que usted puede comprobar es correcto en todos sus decimales. Debemos decirque existen métodos mejores pero involucran conocer o evaluar la función enmás de dos puntos, por lo cual para cálculos aproximados es más simple usarlo indicado.

7.8.5. Derivada con más puntos.

Las siguientes fórmulas (Handbook of Mathematical functions de Abra-mowitz) indican la forma de obtener la derivada con tres o cuatro puntoscorrespondientes a abscisas igualmente espaciadas en una cantidad pequeñah.

Tres puntos, p = −1, 0, 1.

f 0(x0 + ph) =1

h

½(p− 1

2)f−1 − 2pf0 + (p+ 1

2)f1

¾.

134 Matemáticas.

Cuatro puntos, p = −1, 0, 1, 2

f 0(x0 + ph) =1

h− 3p

3 − 6p+ 26

f−1 +3p2 − 4p− 1

2f0 − 3p

2 − 2p− 22

f1

+3p2 − 16

f2.

7.8.6. Un ejemplo.

Las fórmulas anteriores tienen especial aplicación por ejemplo cuandose determinan experimentalmente los desplazamientos de una partícula enfunción del tiempo y se desea calcular la velocidad y la aceleración. En loslaboratorios de física es común estudiar el movimiento de una partícula o uncuerpo, determinando los tiempos en que ella pasó por determinadas posi-ciones. La tabla siguiente indica los tiempos t en que una partícula pasó porlas posiciones x (igualmente espaciadas) y se han determinado las velocida-des y aceleraciones usando dos métodos (dos y tres puntos), utilizando unaplanilla de cálculo, Excel por ejemplo, para que usted compare. Los datostienen probablemente errores, lo cual tiene un enorme efecto en el cálculo delas derivadas, velocidades y aceleraciones. En este ejemplo los datos han sidogenerados por una función conocida, en el ejemplo x = v0t +

12at2, pero a

los tiempos determinados se les ha introducido un error al azar de magnitudmáxima error%, para simular el efecto de los errores experimentales. (Paraefectos de comparación, la velocidad debería resultar lineal v0+ at). Veamosque ocurre.Para este ejemplo se ha elegido h = dx = 0, 015, v0 = 10, a = −10, error

en t 0, 1% y se gráfica la derivada hecha con tres puntos, y a continuaciónse ha repetido el cálculo y graficado la velocidad para un error 0%.y a continuación para 0% de error introducido en t.Como usted podrá apreciar, los errores influyen notablemente en el cálcu-

lo de la derivada, lo cual queda de manifiesto muy claramente al usar porejemplo datos provenientes de la captura de tiempos de interrupción hechosmediante la llamada polea inteligente (que por supuesto no es inteligente).Eso lo verá usted en el curso de Física experimental I cuando haga expe-rimentos de este tipo y le pida al programa un gráfico de la velocidad enfunción del tiempo.Dejamos al lector aventurar una respuesta a cómo solucionar este proble-

ma.


dos puntos tres puntosdx x t t con error dx/dt dx/dt

0,015 0,0000 0,00000 0,00000 9,9955 10,01230,0150 0,00150 0,00150 9,9622 9,9789

error en t % 0,0300 0,00300 0,00301 9,9562 9,94570,1 0,0450 0,00451 0,00451 9,9714 9,9997

0,0600 0,00602 0,00602 9,9153 9,9433v0 0,0750 0,00753 0,00753 9,8964 9,887510 0,0900 0,00904 0,00905 9,9395 9,9836a 0,1050 0,01056 0,01055 9,8523 9,8957

-10 0,1200 0,01207 0,01208 9,8393 9,80930,1350 0,01359 0,01360 9,9302 9,92730,1500 0,01511 0,01511 9,9359 9,93300,1650 0,01664 0,01662 9,7191 9,93880,1800 0,01816 0,01817

Figura 7.12: Tabla.

-0,002 0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018

9,80

9,85

9,90

9,95

10,00

error 0,1% en t

dx/dt

dx/d

t

t

Figura 7.13: Con errores.

136 Matemáticas.

-0,002 0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018

9,80

9,85

9,90

9,95

10,00

error 0,0% en t

dx/dt

dx/d

t

t

Figura 7.14: Ejemplo.

7.9. Ejercicios.

Ejercicio 7.9.1 Determine numéricamente una (o dos) raíz de las ecuacio-nes algebraicas

x3 − x+ 1 = 0, ( R: x = −1. 324 718),x5 − x+ 1 = 0, ( R. x = −1. 167 304),x6 + x− 1 = 0, (R. x = −1. 134 724 1, x = 0. 778 089 6)

Ejercicio 7.9.2 Determine numéricamente una (o dos) raíz de las ecuacio-nes trascendentales

x = e−x (R: x = 0. 567 143 29),

x = e−2x, (R: x = 0. 426 302 75),

cosx = 2x, R: x = 0. 450 183 61 .

Ejercicio 7.9.3 (Investigación) Considere la regla de iteración

xn+1 = µxn(1− xn).

7.9 Ejercicios. 137

Con 2, 5 < µ < 4, partiendo de un valor cualquiera x1 y un determinadoµ genere valores sucesivos x1, x2, . . .hasta que ellos comiencen a repetirse.Esquemática en un gráfico esos valores obtenidos en función de µ para valoresde µ en el intervalo señalado. Si usted tiene éxito, ha obtenido el diagrama debifurcaciones de la función logística, que ha sido tema de mucha investigaciónque se muestra en la figura siguiente.

Figura 7.15: Logística.

Ejercicio 7.9.4 (Investigación) Respecto a la situación del problema ante-rior, si se hacen cálculos muy cuidadosos, pueden obtenerse los valores delparámetro µ para el cual ocurren las bifurcaciones. Si llamamos a estos va-lores µ1, µ2, µ3, µ4 . . . , estudie la tendencia que tienen las razones

µn+1 − µnµn − µn−1

Ejercicio 7.9.5 Demuestre que la sumatoria

NXn=1

1

n

diverge si N →∞.

138 Matemáticas.


NXn=1

1

n− ln(N + 1)

converge a un número si N →∞ y estime ese valor numérico. Ese númeroes la famosa constante γ de Euler.

Capítulo 8

Elementos de probabilidades

8.1. Introducción

Es una experiencia cotidiana que si un experimento se realiza un núme-ro de veces bajo las “mismas controlables” condiciones, los resultados sonen general diferentes, aun cuando las diferencias pueden ser pequeñas. Cadaexperimento se realiza tratando de mantener las mismas condiciones. En elmundo macroscópico en realidad no estamos en condiciones de controlar to-das las variables que afectan al fenómeno por lo tanto uno puede pensar quelos diversos resultados se deben precisamente a la falta de control de algunasde las variables que influyen en los resultados. Por ejemplo el ruido de losdispositivos electrónicos, fluctuaciones incontrolables de una fuente de volta-je, variaciones imperceptibles de la temperatura, etcétera. Sin embargo, conel desarrollo de la Mecánica Cuántica (¿qué será eso?), se ha aceptado queesto es un aspecto intrínseco de nuestro Universo, es decir que aún cuandolas condiciones se mantengan absolutamente iguales, pueden haber diversosresultados de un mismo experimento, no adjudicables a variables no controla-das o no conocidas. Estos hechos fueron motivo de mucha controversia en losinicios del desarrollo de la Mecánica Cuántica, siendo célebre la Conferenciade Solvay en Bruselas en 1927, ver foto, donde Albert Einstein se enfrentó alresto del Mundo de los físicos, tratando de salvar el determinismo clásico, deacuerdo al cual, bajo mismas condiciones, se repiten los mismos resultados yque cualquier discrepancia debería ser debida a causas no consideradas. Sin

140 Elementos de probabilidades

Figura 8.1: Conferencia de Solvay de 1927

embargo Einstein finalmente aceptó que los hechos indicaban fuera de duda,la validez de este nuevo tipo de incertidumbre en el determinismo clásico.

8.2. Tómelo con calma.

En este capítulo, hay demasiada matemática que usted probablemente noconoce aún, pero la conocerá. De modo que no se preocupe demasiado por lasdemostraciones y trate de quedarse de alguna manera con el concepto, pues enla evaluación de este curso no se exigirán estas cuestiones. De todas manerasse presentan algunos detalles matemáticos complicados con la esperanza queestos apuntes le sirvan más en el futuro.

8.3. Cosas concretas.

Para que esta discusión no le parezca demasiado abstracta, ejemplos sim-ples concretos se encuentran en los juegos de azar, por lo cual analizaremosalgunos, antes de introducir definiciones formales más abstractas.

8.3 Cosas concretas. 141

8.3.1. Lanzar un dado.

Como usted debe saber al lanzar un dado hay seis resultados posibles,que salga cualquiera de los números del 1 al 6. Si usted idea un método parapredecir el resultado que va a ocurrir, debería felicitarlo. Repita este experi-mento, digamos 100 veces y anote los resultados que se obtienen. Una manerade resumir la información obtenida es contando cuantas veces salió cada re-sultado, y mejor calcular la fracción del total en que ocurrió cada resultado.Estos resultados “experimentales” difícilmente coincidirán con los de otrarealización de 100 lanzamientos. Aquí no queda más remedio y especular quepara un número muy grande de lanzamientos todos los resultados deberíanocurrir en la misma proporción. Esta conjetura podrá ser sostenida hasta queexistan serias discrepancias con ella. (En tal caso lo que uno podría pensares que el dado está cargado).

8.3.2. Lanzar un dardo a un blanco.

Estrictamente hablando, aquí no se trata realmente de un juego de azar,pero ocurre algo parecido. Los distintos resultados, puntos de caída del dardose distribuirán en forma continua cerca del blanco, pero de una forma queno somos capaces de predecir. (La excepción se daría si existiera un lanzadorperfecto)

8.3.3. Lanzar dos dados.

A diferencia del lanzamiento de uno, el conjunto de resultados posibles esahora mayor, en efecto ellos son 36 resultados distintos posibles. Sin embargouno puede estar interesado no en los resultados distintos, sino por ejemplo enlos resultados que sumen siete. Ahora los que suman siete son (1, 6), (2, 5),(3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1), o sea 6 casos de un total de 36. Seguramente ustedapostaría a que el resultado siguiente no va a sumar 7. Usted seguramenteconcordará en que las chances son 6 de 36, o bien 6

36= 0. 166 7, número muy

pequeño que lo desalentará en la apuesta.

Estas ideas se formalizan estructurando la teoría de las probabilidades.


8.4. Probabilidad

8.4.1. Población o Universo

El conjunto continuo o discreto de todos los distintos resultados xi deun experimento la denominaremos la población o el Universo asociado aldeterminado experimento (Usualmente llamado espacio muestral, pero noqueremos confundir con muestras o grupos de datos, por ello usaremos laterminología explicada). Este conjunto puede ser finito para el caso de re-sultados discretos, pero necesariamente infinito cuando los resultados son uncontinuo de valores. En este libro preferiremos el empleo del término resulta-do del experimento, por tratarse de un libro sobre Física, aun cuando puedey eventualmente se ocupará el término más amplio de Evento, a lo que ocurretras la realización de algún experimento, de cualquier tipo.

8.4.2. Eventos simples

Los elementos del Universo o Población se denominan eventos simples.(por ejemplo los resultados del lanzamiento de un dado)

8.4.3. Eventos compuestos

Cualquier subconjunto del Universo o Población se denomina un even-to compuesto. Por ejemplo, ver figura, los subconjuntos A, B, A∪B, A∩B,etcétera. (por ejemplo los casos en que la suma de los dos dados es 7)

8.4.4. Probabilidad, caso discreto

Eventos simples

Aunque es posible hacer un tratamiento axiomático del concepto de pro-babilidad, seguiremos un proceso más cercano a la experimentación. Supon-gamos que el Universo es de tamaño finito M . Si al repetir un experimentoN veces el evento o resultado xi ocurre ni veces, la frecuencia relativa deocurrencia de dicho resultado se define como

fi =niN,

y si tal expresión tiene un límite cuando N → ∞, entonces definimos laprobabilidad.

8.4 Probabilidad 143

Definicion 8.4.1 Definimos la probabilidad del evento simple xi por

Pi = lımN→∞

niN.

De la definición se desprende que

MXi=1

Pi = 1.

Este tipo de definición de probabilidad es a veces llamada “a posteriori” o“empírica”, a diferencia de otra definición que está basada en algún tipode razonamiento. Por ejemplo si no se encuentran causas para suponer queun determinado evento debería ocurrir con distinta frecuencia que otro, unopodría suponer en consecuencia que todas las probabilidades son iguales y porlo tanto

Pi =1

M.

Este tipo de definición es a veces denominada “probabilidad a priori”. Debe-mos remarcar que las teorías de la física que utilicen el concepto de proba-bilidad, utilizan probabilidades a priori, estando su definición comprometidasegún sean la comprobación experimental de las predicciones de la respectivateoría.

Eventos compuestos

Recordemos que los elementos de conjunto Universo corresponden a losdistintos posibles resultados de un experimento. Estos son los que hemosllamados eventos simples. Las probabilidades de estos eventos las hemos lla-mado Pi y tienen la evidente propiedad

MXi=1

Pi = 1.

Cualquier subconjunto A del Universo es denominado un evento com-puesto. Su probabilidad se define por

PA =Xxi∈A

Pi.


C

BA

A B

Figura 8.2:

Evento unión A ∪B y evento intersección A ∩BLa unión o intersección de dos subconjuntos del universo, es también un

subconjunto del universo o sea es un evento compuesto. Sus probabilidadespueden relacionarse de acuerdo a

PA∪B = PA + PB − PA∩B,

pues, de acuerdo a la figura (??), si los subconjuntos A y B tienen intersec-ción vacía, al sumar las probabilidades de A y de B obtenemos correctamentela probabilidad de la unión.Sin embargo si la intersección no es vacía, al realizar lo anterior estamos

contando dos veces los elementos de la intersección. Restando en ese casolos elementos de la intersección una vez, se obtiene el resultado correcto. Aveces, la probabilidad de la unión puede leerse como : “la probabilidad de queel simple esté en A o en B” y similarmente para el caso de la intersección,“la probabilidad de que el simple esté en A y en B”

Eventos independientes, probabilidad condicional

Queremos definir dos conceptos que juegan un rol muy importante enteoría de probabilidades. El concepto de probabilidad condicional toma encuenta el efecto (si lo hay) de que el saber que ocurrió un determinado eventoA, afecta o no la probabilidad del siguiente evento B.

Definicion 8.4.2 Definimos la probabilidad condicional P (B | A) como laprobabilidad de que ocurra el evento B si sabemos que el evento A ocurrió.

8.4 Probabilidad 145

Definicion 8.4.3 Dos eventos A y B se denominan independientes, si laocurrencia de uno no afecta la probabilidad del otro, es decir si P (B | A) =P (B) y P (A | B) = P (A).

La forma en que la ocurrencia de un evento puede afectar la ocurrenciade otro, puede deberse a diversas causas, dependiendo del experimento deque se trate.

Ejemplo 8.4.1 Por ejemplo se tiene un conjunto de bolitas numeradas del1 al 5 en una caja. El experimento puede ser sacar una bolita al azar, mirarel resultado y reponerla en la caja o no reponerla en la caja. Analice estasituación.

Solución. Para el primer caso obviamente el primer evento no afecta alsiguiente. O sea si el experimento es con reposición, los eventos son indepen-dientes y todos tienen probabilidad P = 1

5. De modo que por ejemplo

P (1 | 1) = 1

5, P (2 | 1) = 1

5, · · · , P (5 | 1) = 1

5.

Si el experimento es sin reposición, claramente la ocurrencia de una eventoafecta los siguientes, de modo que tendremos por ejemplo

P (1 | 1) = 0, P (2 | 1) = 1

4, · · · , P (3 | 1) = 1

4.

¿Como podemos establecer alguna regla? Claramente tenemos un problemade hacer bien las cuentas. Para eventos simples hay simplemente dos posi-bilidades. Para el experimento sin reposición P (A ∩ B) puede ser cero o nodependiendo de que no hayan o hayan eventos simples comunes en A y enB. Obviamente el Universo para el experimento en cuestión es

N

con reposición

1, 1 1,2 1, 3 1, 4 1, 52, 1 2,2 2, 3 2, 4 2, 53, 1 3,2 3, 3 3, 4 3, 54, 1 4,2 4, 3 4, 4 4, 55, 1 5,2 5, 3 5, 4 5, 5

P (1 ∩ 2) = 1

25

P (1 | 2) = 15

P (2) = 15

notando que P (1 | 2) = P (1∩2)P (2)


sin reposición

− 1,2 1, 3 1, 4 1, 52, 1 − 2, 3 2, 4 2, 53, 1 3,2 − 3, 4 3, 54, 1 4,2 4, 3− − 4, 55, 1 5,2 5, 3 5, 4 −

P (1 ∩ 2) = 1

20

P (1 | 2) = 14

P (2) = 15

notando que P (1 | 2) = P (1∩2)P (2)

Debe remarcarse la diferencia entre P (1 ∩ 2) que es la probabilidad dela ocurrencia del 1 seguido por el 2 respecto al total de resultados posibles,mientras que P (1 | 2) está restringido al universo remarcado, donde elprimer evento fue un 2.Aunque no será demostrado nada aquí, los resultados del ejemplo pueden

ser enunciados como una relación entre estas probabilidades de la siguienteforma, que realmente constituye la definición de probabilidad condicional:

Definicion 8.4.4

P (B | A) = P (A ∩B)P (B)

Como una consecuencia de la definición de eventos independientes, sigueotro teorema:

I Teorema 8.1Si dos eventos A y B son independientes, entonces

P (A ∩B) = P (A)P (B).

8.5. Sacar cuentas.

Para el cálculo de probabilidades normalmente deben sacarse cuentas deltotal de eventos o resultados, y de los casos favorables. Para ello son deutilidad los siguientes conceptos.

8.5 Sacar cuentas. 147

8.5.1. Concepto básico de multiplicación.

Si un procedimiento A puede hacerse de nA maneras diferentes y si pro-cedimiento B puede hacerse de nB maneras diferentes, para cada forma enque se hizo el primero, entonces el procedimiento A seguido por el B puedehacerse de nA × nB maneras diferentes.

Ejemplo 8.5.1 Si se elige un comité sorteando un hombre de un grupo deseis y una mujer de un grupo de tres, el comité puede formarse de 6×3 = 18maneras diferentes.

8.5.2. Permutaciones.

Si se tiene un grupo de n objetos diferentes, el número de distintos ordenesen que puede formarse el grupo de n objetos es el número de permutaciones

P (n) = 1× 2× 3× · · · × n = n!

El símbolo n! (llamado ene-factorial), admite una famosa aproximación paran grande, llamada aproximación de Stirling

n! ≈√2πnnne−n

Ejemplo 8.5.2 Por ejemplo con los números 1, 2, 3 hay 6 diferentes ordenes,a saber (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1). En efecto 3! = 6.

8.5.3. Combinaciones.

Si se tiene un grupo de n objetos diferentes y se extrae de el un grupode m ≤ n objetos, sin importar el orden, el número de formas de hacerlo esllamado el número de combinaciones y está dado porµ

n

m

¶=

n!

m!(n−m)!.

Este número es también llamado coeficiente binomial dada su relación conel teorema del binomio el cual establece que, el binomio elevado a n tiene eldesarrollo:

(a+ b)n =

µn

0

¶an+

µn

1

¶an−1b+

µn

2

¶an−2b2+ · · ·+

µn

n− 1¶abn−1+

µn

n

¶bn


Ejemplo 8.5.3 Por ejemplo, de un grupo de 10 personas, el número de for-mas en que se puede constituir un comité de 4 personas es

µ10

4

¶=10!

6!4!=7× 8× 9× 101× 2× 3× 4 = 210.

Ejemplo 8.5.4 Se lanza N veces una moneda al aire. Si la ocurrencia de ca-ras o sellos es igualmente probable, determine la probabilidad de que ocurrann sellos.

Solución. El número de casos favorables de que ocurran n sellos es

µn

m

¶.

Por otro lado, el total de casos está dado por (0 ó 1 ó 2 n sellos)

m=nXm=0

µn

m

¶,

ahora bien, esta suma se puede deducir del teorema del binomio para el casoen que a = 1, b = 1 obteniéndose

m=nXm=0

µn

m

¶= 2n,

por lo tanto la probabilidad buscada es

P =1

2n

µn

m

¶.

Para tener una idea del comportamiento de esta probabilidad, realice ungráfico para n = 10 con los valores de la

8.6 Variables aleatorias 149

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

prob

abili

dad

numero m

distribución binomial con p=q=0,5n=10

Figura 8.3: Distribución binomial.

tabla

m P0 1

210

¡100

¢= 9. 766× 10−4

1 1210

¡101

¢= 9. 766× 10−3

2 1210

¡102

¢= 4. 395× 10−2

3 1210

¡103

¢= . 117 2

4 1210

¡104

¢= . 205 1

5 1210

¡105

¢= . 246 1

6 1210

¡106

¢= . 205 1

7 1210

¡107

¢= . 117 2

8 1210

¡108

¢= 4. 395× 10−2

9 1210

¡109

¢= 9. 766× 10−3

10 1210

¡1010

¢= 9. 766× 10−4

N

cuyo gráfico se muestra a continuación

8.6. Variables aleatorias

Nos limitaremos a analizar experimentos donde los resultados son valoresnumérico xi, por ahora discretos, con una probabilidad conocida Pi. Podemos


decir por definición que el resultado del experimento es una variable aleatoriax con distribución de probabilidad P (x) definida por

P (x) = Pi si x = xi

P (x) = 0 en otro caso.

Ejemplos de variables aleatorias discretas pueden ser

Ejemplo 8.6.1 x el número de caras que pueden ocurrir al lanzar n vecesuna moneda. De acuerdo a lo explicado

P (x) =1

2n

µn

m

¶si x = m(≤ n)


Ejemplo 8.6.2 x el resultado obtenido al arrojar un dado. Aquí

P (x) =1

6si x ∈ (1, 2, 3, 4, 5, 6)


8.6.1. Distribución binomial.

Si un experimento tiene dos resultados posibles A y B, con probabilidadp y q = 1− p cada uno, y el experimento se repite n veces, la probabilidadde que ocurran m resultados A, en cualquier orden es la famosa distribuciónbinomial.

P (m) =

µn

m

¶pmqn−m,

muchas de sus propiedades serán dadas en el apéndice (B).Por sus aplicaciones a la teoría de los errores preferiremos profundizar en

los casos en que la variable aleatoria es continua.


8.6.2. Caso continuo

Cuando los posibles resultados experimentales son un continuo de valores,el universos obviamente es de tamaño infinito. Por ello deben hacerse algu-nas modificaciones formales, pero no de fondo, a lo explicado para el casodiscreto. Así por ejemplo es posible definir (a priori o a posteriori) la pro-babilidad de que el resultado este dentro de algún subconjunto del universo,preferiblemente en un elemento infinitésimo del universo. Para un caso unidi-mensional., el universo puede ser un intervalo de los números reales entre x1y x2. Obviamente la definición de probabilidad debe ser tal que haya certezade que resulte algún valor del Universo, es decir

P ([x1, x2]) = 1, (8.1)

donde la notación expresa la probabilidad de que el resultado del experimentosea alguno de los valores posibles x ∈ [x1, x2]. Para un intervalo diferencialdx en torno de x, la probabilidad correspondiente será definida mediante

P ([x, x+ dx]) = f(x)dx,

siendo f(x) la llamada función de distribución de la variable aleatoria x.Aquí, por algún medio será preciso postular o determinar f(x).

Funciones de distribución de variable aleatoria

Aquí profundizaremos algo de lo recién explicado. Sea x una variablealeatoria resultado de algún experimento con resultados en un continuo, elintervalo [x1, x2] . La probabilidad de que la variable esté en un entorno dxdel valor x, se define por

P ([x, x+ dx]) = f(x)dx,

siendo f(x) la función distribución de la variable aleatoria x. Por la propiedad8.1, las funciones distribución están normalizadas, es decirZ x2

x1

f(x)dx = 1.


Algunos ejemplos

Ejemplo 8.6.3 Distribución uniforme. La función distribución uniforme,corresponde a elegir un número real al azar dentro de un intervalo y estádada por

f(x) =

0 si x < α1

β − αsi α < x < β

0 si x > β

donde α < β son dos números reales

α β

Ejemplo 8.6.4 Un generador simple de números (seudo) aleatorios. Consi-dere la secuencia generada de acuerdo a

xn+1 = 4xn(1− xn),

donde dado un número (semilla) x1 entre 0 y 1, se generan todos los siguien-tes en el mismo intervalo. Construya numéricamente la función distribuciónde tal secuencia de números. Para ello, divida el intervalo (0, 1) en un nú-mero de partes, por ejemplo 100, y cada vez que el número resulte en unintervalo i (1 ≤ i ≤ 100) agregue 1 a un contador ni inicialmente en cero.Grafique enseguida las razones ni/N , siendo N el número total de cuentas.La siguiente gráfica se obtuvo para un número de 100 intervalos y 20.000generados. Un generador simple de números (seudo) aleatorios. Considere lasecuencia generada de acuerdo a

xn+1 = 4xn(1− xn),


20 40 60 80 1000,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

n/N

intervalo

Distribución logísticaintervalos = 100generados = 20.000

Figura 8.4: Aleatorios.

donde dado un número (semilla) x1 entre 0 y 1, se generan todos los siguien-tes en el mismo intervalo. Construya numéricamente la función distribuciónde tal secuencia de números. Para ello, divida el intervalo (0, 1) en un númerode partes, por ejemplo 100, y cada vez que el número resulte en un intervalo i(1 ≤ i ≤ 100) agregue 1 a un contador ni inicialmente en cero. Grafique en-seguida las razones ni/N , siendo N el número total de cuentas. La siguientegráfica se obtuvo para un número de 100 intervalos y 20.000 generados.Estagráfica muestra claramente que la distribución no es uniforme.

Ejemplo 8.6.5 La función distribución normal, dependiente de dos paráme-tros µ (el valor esperado) y σ ( la desviación estándar) es definida mediante

f (x;µ, σ) =1

σ√2π

e−(x−µ)22σ2 ,

que ha veces se abrevia N(µ, σ).

Ejemplo 8.6.6 La función distribución normal estándar, es un caso par-ticular donde µ = 0 y σ = 1, es decir

f(x) =1√2π

e−x2

2


o abreviadoN(0, 1), cuyo gráfico característico - llamado “campana de Gauss”se ilustra en la figura siguiente:

1√2πe−

x2

2

0

0.1

0.2

0.3

-4 -2 2 4x

Campana de Gauss.

Ejemplo 8.6.7 Si la rapidez de fallas de algún dispositivo es constante a lolargo del tiempo, entonces los tiempos de fallas tienen una distribución deprobabilidad exponencial con valor esperado µ

f(t;µ) =1

µe−t/µ para u ≥ 0

donde e es la base de los logarítmos naturales. La desviación estándar parala distribución exponencial es σ = µ. (ver gráfico)

0

0.020.040.060.080.10.120.140.160.180.2

5 10 15 20 25u

µ = 5, ExponencialLa deducción de tal función distribución se muestra para quien se interese enel apéndice (A).


Figura 8.5: Distribución de Poisson.

Ejemplo 8.6.8 El proceso de Poisson. La distribución de Poisson juega unpapel importante para un gran número de fenómenos observables. Considere-mos una fuente radioactiva que emite partículas α y definamos una variablealeatoria X(t1, t2) como el número de partícula emitidas durante un intervalode tiempo [t1, t2] . Denotaremos tal función de distribución por

Pn(t1, t2) = P [X(t1, t2) = n] .

(que se lee como “la probabilidad de que en el intervalo de tiempo entre t1 yt2 el número de partículas emitidas sea n”). En el apéndice de (B) se indicanlos detalles matemáticos que conducen a

Pn(t) =1

n!(λt)ne−λt

o

P (n, t) =1

n!(λt)ne−λt

que graficaremos para λ = 0,5 , n = 0, 1, 2, 3.

Las definiciones de valor esperado, varianza y desviación estándar se dana continuación.


8.6.3. Valor esperado, varianza y desviación estándar

Si x es una variable aleatoria continua en el rango [x1, x2] con funcióndistribución de probabilidad f(x), se definen

Definicion 8.6.1 El valor esperado de x, E(x) también denotado por µ, sedefine por

E(x) = µ =

Z x2

x1

xf(x)dx.

Definicion 8.6.2 La varianza de x, V ar(x) también denotada por σ2 sedefine por

V ar(x) = σ2 =

Z x2

x1

(x− µ)2f(x)dx.

Definicion 8.6.3 La desviación estándar de x se define como σ =pV ar(x).

Puede verificarse fácilmente que para la función distribución normal, efec-tivamente se cumple que

µ =1

σ√2π

Z ∞

−∞ze−

(z−µ)22σ2 dz,

y que

σ2 =1

σ√2π

Z ∞

−∞z2e−

(z−µ)22σ2 dz.

Para la distribución uniforme puede calcularse

µ =1

β − α

Z β

α

xdx =1

2(α+ β),

y

σ2 =1

β − α

Z β

α

x2dx =1

3(β2 + αβ + α2).

Distribuciones de probabilidad acumuladas

Para el caso de variables aleatorias continuas, la probabilidad de un valorexacto es evidentemente cero, pues hay infinitos casos posibles. Se utilizanen cambio acumulaciones de probabilidad, por ejemplo


Caso 1 La distribución de probabilidad normal acumulada

F (x;µ, σ) =1

σ√2π

Z x

−∞e−

(z−µ)22σ2 dz

que indica la probabilidad de que la variable aleatoria z con distribución nor-mal N(µ, σ) tenga valores menores o iguales a x.

Caso 2 La distribución de probabilidad normal acumulada

F (x;µ, σ) =1

σ√2π

Z x

−xe−

(z−µ)22σ2 dz

que indica la probabilidad de que la variable aleatoria z con distribución nor-mal N(µ, σ) tenga valores entre − x y x.

Algunas propiedades

Si x es una variable aleatoria con función distribución de probabilidadf(x), y si a, b y c son constantes, los siguientes desarrollos serán de utilidad

E(ax+ b) =

Z x2

x1

(ax+ b)f(x)dx = aE(x) + b.

V ar(cx) =

Z x2

x1

(cx−E(cx))2f(x)dx

=

Z x2

x1

(cx− cµ))2f(x)dx = c2V ar(x).

Similarmente, si x es una variable aleatoria con función distribución deprobabilidad f(x), y si a, b son constantes, la función de distribución g(z) dez = ax+ b, puede calcularse de

g(z)dz = f(x)dx,

de modo que

g(z) =1

af(

z − b

a). (8.2)

Algún cuidado adicional se requiere si z no es una función monótona dex, como se explica al final de este capítulo.


8.6.4. Funciones de variables aleatorias

Un problema de mucho interés es el de determinar la función distribuciónde una combinación de variables aleatorias, cuando se conocen las distribu-ciones de cada variable y si ellas son independientes en el sentido explicadoanteriormente. Esto tiene muchas aplicaciones como veremos. Por ejemplo silas variables xi (i = 1, 2, · · ·N) son independientes con distribución uniformeen el intervalo

£−µ2, µ2

¤, ¿cual es la distribución de la variable aleatoria

x =1√N

NXi=1

xi

en el límite para N muy grande? Este es un caso de mucho interés y enel apéndice (C) se explican algunos desarrollos matemáticos para quien seinterese, pero nos interesa principalmente el resultado final. Como allí sedemuestra, la función distribución resulta ser la distribución normal

f(x) =1√2πσ

e−x2

2σ2 ,

o sea, tenemos un teorema que es lo que importa:

I Teorema 8.2Si las variables xi son aleatorias e independientes con distribución uniformecon valor esperado µ = 0 y desviación estándar σ, entonces la variablealeatoria

x =1√N

NXi=1

xi

tiene, para N −→∞ distribución normal

f(x) =1√2πσ

e−x2

2σ2 .

De acuerdo a las propiedades 8.2, si las variables aleatorias xi tuvieranvalor esperado µ 6= 0, entonces las variables aleatorias zi = xi−µ tiene valoresperado 0, de modo que la variable z tiene la distribución anterior.


8.6.5. Función distribución del promedio

Por su importancia, considere ahora variables xi aleatorias e independien-tes con distribución uniforme con valor esperado µ, desviación estándar σ,entonces la variable aleatoria (el promedio)

x =1

N

Xxi

tiene una distribución que nos proponemos calcular, en el límite de N muygrande. Para ello considere

x =1√N

1√N

X(xi − µ) + µ =

1√Nx+ µ

donde ahora x tiene la distribución normal con valor esperado cero. Por laspropiedades señalada

F (x)dx = f(x)dx =√Nf(√N(x− µ)dx

o sea

F (x) =

√N√2πσ

e−N(x−µ)2

2σ2 ,

que puede ser escrita como

F (x) =1√2πσx

e− (x−µ)2

2σ2x ,

donde σx = σ√Ny que puede ser escrito entonces como un importante teore-

ma:

I Teorema 8.3Si las variables xi son aleatorias e independientes cada una con distribuciónuniforme con valor esperado µ, desviación estándar σ, entonces la variablealeatoria (el promedio)

x =1

N

Xxi (8.3)

en el límite de N grandes, tiene distribución normal N(µ, σx)

F (x) =1√2πσx

e− (x−µ)2

2σ2x


con valor esperado E(x) = µ, y desviación estándar

σx =σ√N.

Como veremos, este teorema es fundamental para el tratamiento de erro-res cuando se supone que ello son aleatorios. Por las propiedades explicadas,para utilizar la distribución normal estándar N(0, 1),es preferible utilizar lavariable estandarizada Z que se define a continuación, pues ella tiene desvia-ción estándar unidad y valor esperado cero.

Z =x− µ

σ/√N,

pues podemos usar la correspondiente tabla de valores centrales o inferioresa un valor

z F (z) = 1√2π

R z−∞ e−t

2/2 dt. F (z) = 1√2π

R z−z e

−t2/2 dt.1 0. 841 34 0. 682 692 0. 977 25 0. 954 53 0. 998 65 0. 997 34 0. 999 97 0. 999 94

los valores numéricos, áreas bajo la curva de Gauss, son las probabilidadesde que la variable estandarizada tenga valores menores que z, o entre −z yz respectivamente. De acuerdo a la figura la probabilidad de que la variablez tenga valores entre −∞ y 1 es 0,8413. En este otro caso la probabilidad deque la variable z tenga valores entre −1 y 1 es 0,6826.

Ejemplo 8.6.9 Se han hecho 100 lecturas xi de una variable aleatoria condistribución uniforme, resultados de un experimento, y ha resultado un valorpromedio x = 12,8, siendo la desviación estándar de cada resultado el valorσ = 0,5. Estime las probabilidades de que el valor esperado del promedio estéen determinados rangos en torno al valor x = 12,8.

Solución. Primero que nada algunas aclaraciones. El promedio de los100 valores es lo que se denomina el promedio muestral. Lo que se deseaes el valor esperado del promedio considerado como una variable aleatoria,es decir µ. Dicho valor es naturalmente imposible de conocer con exactitud,pues el Universo para este experimento es de tamaño infinito. Además, se


Figura 8.6: Area menor que z.

Figura 8.7: Area entre −1 y 1.


ha proporcionado como información la desviación estándar de cada medida,valor que tampoco podríamos en la práctica conocer por las mismas razones.Más adelante, en el capítulo sobre estadística, explicaremos como se puedeestimar algún valor para σ examinando muestras finitas, como es el casoaquí. Aclarado esto, la solución basada en que la variable Z tiene distribu-ción normal estándar (aproximadamente para muestras grandes), se tiene porejemplo que la probabilidad de que Z esté en el intervalo [−1, 1] es 0,68269,es decir con esa probabilidad podemos asegurar que

−1 < x− µ

σ/√N

< 1,

o bienx− σ/

√N < µ < x+ σ/

√N,

o numéricamente12,8− 0,05 < µ < 12,8 + 0,05

resultado que suele escribirse como

µ = 12,8± 0,05

con una probabilidad de un 68,3%. También se utiliza el término de intervalode confianza del 68,3% al intervalo [12. 75, 12. 85]. Debe observarse que haydos factores que compiten. Si se desea aumentar el nivel de confianza (laprobabilidad), ello causa un ensanchamiento del intervalo de confianza. Ellopuede ser compensado aumentando el número N de medidas, pues ello tiendea disminuir el ancho del intervalo de confianza como 1/

√N .

N

Una parte de los resultados anteriores, El resultado de que la desviaciónestándar del promedio es σ/

√N, puede ser obtenido directamente, usando

propiedades del valor esperado. En efecto si

x =1

N

Xxi,

entonces

E(x) =1

N

XE(xi) =

1

N

Xµ = µ,


y

σ2x = E(

·1

N

Xxi − µ

¸2),

aquí hay que cuidar sobre la independencia de las variables, pues al desarrollar·1

N

Xxi − µ

¸2,

resulta1

N2

XXxixj − 2µ

N2

Xxi + µ2,

donde debemos separar la suma doble en los términos cuadráticos pues invo-lucran variables dependientes, de los otros de la siguiente forma

1

N2(Xi

x2i +Xi6=j

xixj)− 2µN

Xi

xi + µ2,

por lo tanto

σ2x =1

N2(X

E(x2i ) +Xi6=j

E(xi)E(xj))− 2µN

XE(xi) + µ2,

que se reduce a

1

N2(NE(x2) + (N2 −N)µ2)− 2µ2 + µ2,

o bien finalmente a

σ2x =1

N

¡E(x2)− µ2

¢=

σ2

N.

Más en general, puede demostrarse el teorema más fuerte, llamado teore-ma del límite central, que colocamos aquí sin demostración.

I Teorema 8.4 (Central del límite)Sean xi una sucesión de variables aleatorias independientes con funciones dis-tribuciones arbitrarias con valores finitos para sus valores esperados E(xi) =µi y varianzas V ar(xi) = σ2i , entonces la variable

Zn =

Pni=1(xi − µi)pPn

i=1 σ2i

,

tiene distribución normal N(0, 1) en el límite n −→∞.


8.6.6. Muestras pequeñas

Recuerde que si N es grande, la variable Z indicada,

Z =x− µ

σ/√N,

tiene distribución N(0, 1). Sin embargo dado que la desviación estándar dela distribución es desconocida, se suele estimarla mediante σ = sn−1, es decirusando la desviación estándar insesgada de la muestra, siendo

s2n−1 =1

n− 1nXi=1

(xi − x)2.

Sin embargo, el estadígrafo

t =x− µ

sn−1/√n,

considerado como una variable aleatoria debe tener una función distribucióndistinta a la normal, pues ahora no más se puede considerar a sn−1 una cons-tante, sino que es también una variable aleatoria. Fue el estadístico inglésW.S.Gosset quién descubrió la función distribución de la variable t, denomi-nada distribución hk(t) denominada distribución t de Student con k gradosde libertad. (Su trabajo fue publicado con el seudónimo de “Student”)

hk(t) =Γ(k+1

2)

Γ(k2)√πk(1 +

t2

k)−(k+1)/2, −∞ < t <∞.

El término grados de libertad, corresponde al número de variables aleato-rias independientes presentes en el estadígrafo considerado. Para el caso desn−1 están involucradas las n variables aleatorias xi − x, pero ellas no sontodas independientes, pues hay una relación entre ellasX

(xi − x) = 0,

de modo que para ese caso hay n − 1 grados de libertad, por lo tanto ladistribución de

t =x− µ

sn−1/√n,


es

hn−1(t) =Γ(n

2)

Γ(n−12)pπ(n− 1)(1 +

t2

n− 1)−n/2,−∞ < t <∞. (8.4)

De aquí puede obtenerse como límite para n −→∞

lımn−→∞

hn−1(t) =1√2π

e−t2

2 ,

la distribución N(0, 1). Su gráfico para n = 5, 10, 15, y su límite se indica acontinuación

0

0.1

0.2

0.3

-4 -2 2 4t

Distribución T-Student.

8.6.7. Más sobre funciones distribución (fd)

Este tema requiere también de mucha matemáticas, por lo tanto ustedpuede omitirlo.

Unidimensional.

Cuando una variable x aleatoria continua tiene una fd conocida, interesadeterminar la fd de funciones de x. Por ejemplo si la variable x tiene distri-bución uniforme, cuales son las funciones distribución de x2, de

√x, etcétera.

Para esto se presenta un teorema.

I Teorema 8.5Sea x una variable aleatoria continua con fd f(x), donde por supuesto debeser f(x) no negativa. Suponga además que y = h(x) es una función estric-tamente monótona (creciente o decreciente) y derivable, entonces la fd de la


variable y está dada por

g(y) = f(x)

¯dx

dy

¯= f(h−1(y))

¯1

h0(h−1(y))

¯.

Aquí h0 denota la derivada de h y h−1 denota la función inversa de h que porlas condiciones consideradas, existe.

Demostración. Esto sigue de g(y) |dy| = f(x) |dx|, debiéndose expresarx en función de y mediante x = h−1(y). La función inversa existe por cuantola función h(x) es monótona.

N

Si la función h(x) es continua, derivable, pero no monótona ( su derivadase anula en el rango), entonces debemos tener más cuidado. Por ejemplosuponga una variable x con distribución uniforme en el intervalo [−1, 1] la fdde y = x2 (no monótona) debe evaluarse de otra forma, así podemos escribir

g(y) |dy| =Xy=x2

f(x) |dx| ,

pues ahora hay dos valores de x correspondientes a un dado y. Ellos sonx = ±√y. Así resulta

g(y) |dy| = f(+√y) |d√y|+ f(−√y) |d√y| ,

o bien

g(y) = (f(+√y) + f(−√y)) 1

2√y,

pero f(x) = 12en [−1, 1], por lo cual resulta

g(y) =1

2√y, para 0 < y < 1

g(y) = 0 caso contrario.


Bidimensional

Cuando se tienen dos variables aleatorias continuas x, y con fd conocidas,f(x), y g(y), supuestas independientes, la fd de una función z = F (x, y), h(z)puede evaluarse como sigue

h(z) |dz| =Zz=F (x,y)

f(x)g(y) |dxdy| , (8.5)

o sea la integral es sobre el área entre las dos curvas F (x, y) = z, y F (x, y) =z + dz. Como veremos en un ejemplo práctico, deberemos reemplazar lasvariable (x, y) por otro conjunto (z, v) con v convenientemente elegida. En elcapítulo sobre errores, se verán otras aplicaciones de esta relación.

Generación de una distribución normal a partir de variables uni-formes.

Ejemplo 8.6.10 Ejemplo, sean x, y continuas con distribución uniforme enel intervalo [0, 1] . Determine la fd de la variable z =

√−2 lnx cos 2πy.Solución. Usaremos otra variable auxiliar v =

√−2 lnx sin 2πy paratransformar la integral a variables z y v. De aquí puede obtenerse

−2 lnx = z2 + v2, x = e−12(z2+v2),

tan 2πy =v

z, y =

1

2πarctan

v

z,

y el jacobiano de la transformación implica

|dxdy| = |dzdv|¯

∂x∂z

∂x∂v

∂y∂z

∂y∂v

¯=1

2πe−

12z2−1

2v2 |dzdv| ,

resulta entonces

h(z) =

Z ∞

−∞f(e−

12(z2+v2))g(

1

2πarctan

v

z)1

2πe−

12z2− 1

2v2dv,

pero f = g = 1 de modo que finalmente se obtiene

h(z) =1√2π

e−12z2

(Adaptado de Numerical Recipes in Pascal)


N

Nota 8.1 Esto tiene una evidente importancia para efectos de cálculos nu-méricos. En la mayor parte de los programas de computación (C, Pascal,Basic, etcétera) están desarrolladas rutinas para generar variables con dis-tribución uniforme en algún rango predeterrminado. Utilizando el resultadoanterior podemos entonces generar una variable z con distribución normalestándar.

Nota 8.2 Puede parecer perverso (Numerical Recipes in Pascal, The Artof Scientific Computing) que la máquina más precisa y determinista ideadapor el ser humano, el computador, pueda producir números al azar. Todoprograma ideado debería producir un resultado completamente determinadoo predecible, por lo tanto no al azar. Sin embargo estos seudo generadores denúmeros al azar, donde los números que salen, finalmente cierran un ciclo,generalmente muy largo, tienen muchas de las propiedades de los verdaderosnúmeros al azar, vea Knuth, Donald E. 1973, Sorting and Searching, vol. 3of the Art of Computer Programming. (Addison - Wesley)

Nota 8.3 ¿Qué es un verdadero número al azar? Aquí hay mucho de filoso-fía, pero según se acepta hoy día, los fenómenos físicos son intrínsecamenteprobabilisticos, de modo que ellos pueden servir de base para generar verda-deros números al azar.

8.7. Ejercicios.

Ejercicio 8.7.1 Se lanzan tres monedas. Determine la probabilidad de ob-tener

a) tres caras.

b) 2 caras y un sello.

c) 3 sellos.

c) al menos 2 caras.

Ejercicio 8.7.2 En un lanzamiento de dos dados, determine la probabilidadde

8.7 Ejercicios. 169

a) sumen 7.

b) obtener dos números iguales.

c) dos números iguales o que sumen 8.

Ejercicio 8.7.3 En una caminata al azar, dando pasos hacia la izquierdao hacia la derecha con la misma probabilidad, si los pasos son de un metro,determine la probabilidad de que en 10 pasos, el avance sea de 8 metros haciala derecha.

Ejercicio 8.7.4 Respecto a la situación del ejercicio anterior, determine laposición más probable después de 10 pasos.

Ejercicio 8.7.5 Una bolsa contiene 6 bolitas azules, 4 bolitas rojas y 2 bo-litas verdes. Determine la probabilidad de al extraer sin reemplazo

a) tres de tres sean azules.

b) de cuatro, ninguna sea roja.

c) de tres, todas sean verdes.

Ejercicio 8.7.6 En un estudio para determinar la agudeza visual de unapersona se le presentan cuatro matices de diferente brillantes. Determine laprobabilidad de que ellos sean ordenados correctamente por casualidad.

Ejercicio 8.7.7 En una prueba de alternativas, cada pregunta tiene 5 al-ternativas, siendo sólo una de ellas correcta. Cuál es la probabilidad de queen 10 preguntas contestadas al azar, todas las respuestas sean correctas.

Ejercicio 8.7.8 Respecto a la pregunta anterior, si el estudiante tiene 5respuestas buenas y 5 respuestas malas, cual debería ser su calificación en laescala de notas del 1 al 7.

Ejercicio 8.7.9 Si las variables aleatorias xi son independientes con valoresperado µ y desviación estandar σ, pruebe que

E(< x >) = µ


Ejercicio 8.7.10 Si las variables aleatorias xi son independientes con valoresperado µi y desviación estandar σi, pruebe que la variable aleatoria

z =X

aixi

tiene valor esperadoE(z) =

Xaiµi

y varianzaσ2z =

Xa2iσ

2i

Ejercicio 8.7.11 Si las variables aleatorias xi son independientes con valoresperado µ y desviación estandar σ, pruebe que la variable aleatoria < x >tiene desviación estándar (caso particular de lo anterior)

σ<x> =σ√n

Solución.

E( < x >2) =1

n2E(X

xiX

xj) =

=1

n2E(X

x2i +Xi6=j

xixj)

=1

nE(x2i ) +

1

n2

Xi6=j

E(xixj)

=1

nE(x2) +

1

n2(n2 − n)µ2,

peroE(x2)− µ2 = σ2,

por lo tanto

E( < z >2) =1

n(µ2 + σ2) +

1

n2(n2 − n)µ2

=σ2

n+ µ2,

ademásE(< x >) = E(

1

n

Xxi) = µ

8.7 Ejercicios. 171

entonces

σ2<x> =σ2

n+ µ2 − µ2 =

σ2

n.

N

Ejercicio 8.7.12 Si las variables aleatorias undependientes x, y tienen dis-tribución de probabilidad uniforme en e intervalo [0, 10] detemine la funcióndistribución de

a) z = x+ y.

b) w = xy.

c) u = x2.

Capítulo 9

Estadística de datos

9.1. Introducción

Aquí nos preocuparemos de describir datos, provenientes o no de algúnexperimento. Tendremos entonces un conjunto finito de datos, para el casoque nos interesa números reales, xi con i = 1, 2, · · · , n. Este conjunto esllamado una muestra en el caso de que dichos datos sean un subconjunto ob-tenido por algún proceso selectivo de algún conjunto más grande, usualmentela población o Universo de algún proceso de medición, conjunto normalmentede tamaño infinito, o bien simplemente los “datos” si ellos no provienen deun conjunto más grande. Sin embargo dicha conexión existente o no entremuestra y población, no es necesaria aquí. Se tiene simplemente una muestray por lo tanto toda la información relativa a la muestra está contenida enla muestra misma. De hecho no hay más información que ese conjunto fini-to. Sin embargo en muchos casos las muestras son grandes o muy grandes yello requiere de técnicas para resumir la información, o hacer la informaciónmás evidente sin necesidad de recorrer y examinar todos los valores. Para eseefecto se ha desarrollado lo que se denomina “la estadística descriptiva”, queintenta describir las propiedades de las muestras mediante unos pocos pará-metros, denominados “estadígrafos de la muestra”. Podemos anticipar queestos estadígrafos tendrán en algunos casos otra utilidad más allá de descri-bir la muestra. Ello jugarán, junto a elementos de teoría de probabilidad, unrol importante en el hacer predicciones estadísticas con alguna determinadaprobabilidad de acierto.

174 Estadística de datos

9.2. Estadígrafos muestrales

En este libro, el tema central son resultados reales de algún experimento,por ello consideraremos muestras de números reales, siendo que en rigor bas-taría considerar números racionales por las incertezas propias de los procesosde medición. Haremos entonces algunas definiciones.

Definicion 9.2.1 El promedio muestral que se denota como x o < x > sedefine mediante

x =< x >=1

n

nXi=1

xi. (9.1)

Definicion 9.2.2 La varianza muestral que se denota como s2n se definemediante

s2n =1

n

nXi=1

(xi − x)2. (9.2)

Definicion 9.2.3 La desviación estándar de la muestra se define mediante

sn =

vuut1

n

nXi=1

(xi − x)2

Definicion 9.2.4 La varianza muestral (insesgada) s2n−1 se define mediante

s2n−1 =1

n− 1nXi=1

(xi − x)2. (9.3)

La diferencia entre ambas es pequeña si n es grande, pero como se explica másadelante, sn−1 es un mejor estimador de la desviación estandar poblacional.

Definicion 9.2.5 La varianza muestral s2n de la muestra se define como

s2n =1

n

nXi=1

(xi − x)2

9.3 Distribuciones de frecuencia 175

La diferencia entre sn y sn−1 es mínima si n es grande, pero hay detodos modos una diferencia conceptual que será explicada más adelante. Unapropiedad útil que sigue de la definición (9.2) mediante el desarrollo siguiente

s2n =1

n

nXi=1

(x2i − 2xi < x > + < x >2),

o sea

s2n =< x2 > −2 < x >2 + < x >2,

o finalmente

s2n =< x2 > − < x >2 .

El significado del promedio es conocido por todos. La desviación estándar,de acuerdo a (9.2), significa la raíz del promedios de las diferencias cuadráti-cas con el promedio. Se parece, pero no es igual al promedio de las distanciasal promedio. Claramente es imposible tratar de describir una muestra de nelementos, con apenas un par de valores, pero algo es algo. Muchas veces losdetalles no son necesarios. En esa descripción ayuda algo más, examinar ladistribución de frecuencias de la muestra, y su respectivo gráfico.

9.3. Distribuciones de frecuencia

Si se tiene una enorme muestra, mejor que examinar ese enorme listadode valores, no se pierde demasiada información si los datos se agrupan enintervalos o clases de igual ancho, indicando junto al respectivo intervalo, elnúmero de datos que tienen valor dentro de el, cuestión llamada la frecuenciade la respectiva clase fi. Como valor representativo de la clase xi se suele usarel promedio de los límites de clases, es decir el valor central de la clase, aunqueese valor podría no existir en la muestra. Por ejemplo, una tabla de frecuenciatendría un aspecto como el siguiente.


clase xi fi5− 10 7,5 510− 15 12,5 1015− 20 17,5 4020− 25 22,5 3525− 30 27,5 2030− 35 32,5 3

n = 113

Si esta es la información disponible, de aquí se pueden calcular apro-

ximadamente los estadígrafos muestrales con algunas modificaciones en lasfórmulas. Así

< x >=1

n

Xclases

fixi,

s2n−1 =1

n− 1Xclases

fi(xi− < x >)2,

además de representar la “distribución” de datos de un sinnúmero de formasposibles. Por ejemplo diagrama de barras, línea poligonal, diagrama de torta,ajuste polinomial, etcétera. El más utilizado es un diagrama de barras, comose ilustra en la figura siguiente, para el ejemplo dado.

f(x) =

5 if 5 < x < 1010 if 10 < x < 1540 if 15 < x < 2035 if 20 < x < 2520 if 25 < x < 303 if 30 < x < 35

Estas curvas, son a veces denominadas distribuciones experimentales deprobabilidad, pero ese concepto no será usado aquí.

9.4. Método de mínimos cuadrados

Supongamos que se tenga una muestra de tamaño n, de pares de valores(xi, yi). Un diagrama de dichos puntos en un gráfico X − Y , puede mostrar(o no) alguna tendencia a agrupación cerca de alguna curva continua. Su-pongamos que es aparente que los puntos se aproximan a cierta recta. Un

9.4 Método de mínimos cuadrados 177

5

10

15

20

25

30

35

40

5 10 15 20 25 30 35x

Figura 9.1: histograma de frecuencias.

problema que resuelve también la estadística descriptiva es el encontrar laecuación de la recta tal que la suma de los cuadrados de las diferencias eny que se producen es mínima. Esto está relacionado pero no es una técnicade regresión lineal. Aquí no estamos hablando de modelos ni nada parecido.Así concretamente el problema es :

Se tienen n datos (xi, yi). (puntos en un plano)

Se busca una recta, es decir una función lineal y(x) = a+ bx

Bajo la condición que SSE =P(y(xi)− yi)

2 sea un mínimo.

Utilizando la expresión lineal supuesta para y(x) debemos minimizar conrespecto a a y b, la expresión

SSE =X(a+ bxi − yi)

2 .

Si se desarrolla el cuadrado se tiene

SSE = b2X

x2i + 2abX

xi − 2bX

xiyi − 2aX

yi +X

y2i + a2.

Es decir se tiene una función cuadrática en las variables a y b. Mediante téc-nicas del cálculo, detalles que usted puede omitir si tiene fe, resulta entoncesque los coeficientes a y b deben ser tales que

∂

∂a

X(a+ bxi − yi)

2 =X

2(a+ bxi − yi)xi = 0,


∂

∂b

X(a+ bxi − yi)

2 =X

2(a+ bxi − yi) = 0.

Estas ecuaciones pueden ser escritas en términos de promedios, de lasiguiente forma

b < x2 > +b < x > − < yx >= 0,

b < x > +a− < y >= 0,

de donde podemos despejar

b =< yx > − < x >< y >

< x2 > − < x >2,

por lo tanto

y(x) =< y > +< yx > − < x >< y >

< x2 > − < x >2(x− < x >). (9.4)

Como explicamos podemos llamar

sx =√< x2 > − < x >2,

sy =p< y2 > − < y2 >,

a las desviaciones estándar muestrales (estadígrafos de la muestra) de x,y respectivamente. Para escribir el resultado (9.4) en otras formas, conside-remos lo que sigue.

9.4.1. Variaciones

Medidas de las desviaciones de los datos yi respecto a su promedio, de losdatos yi respecto a la recta y de la recta respecto al promedio (ver figura 9.2),se denominan variación total, variación no explicada y variación explicada.En forma más precisa se definen (con diversas notaciones)

Variación total Syy = SST.

SST = Syy =X(yi− < y >)2.


Total No explicada Explicada

<y><y><y>

Figura 9.2: Variaciones.

Variación no explicada SSE.

SSE =X(yi − y(xi))

2,

que fue la cantidad minimizada y

Variación explicada SSR

SSR =X(y(xi)− < y >)2.

I Teorema 9.1Entre las variaciones definidas se tiene queX

(yi− < y >)2 =X(yi − y(xi))

2 +X(y(xi)− < y >)2,

oSST = SSR+ SSE.

Demostración. Desarrollando los cuadrados se tiene que


SST =X(yi− < y >)2 = n(< y2 > − < y >2),

además podemos desarrollar


2

=X(yi− < y > −a(xi− < x >))2

=X(yi− < y >)2 + na2(< x2 > − < x >2)−

2an( < xy > − < x >< y >),

pero

a = (< yx > − < x >< y >)/(< x2 > − < x >2)

por lo que se puede escribir

SSE =X(yi− < y >)2 − na2(< x2 > − < x >2),

por otro lado desarrollemos

SSR =X(y(xi)− < y >)2 = na2(< x2 > − < x >2),

que prueban el teorema.

N

9.4.2. Coeficiente de correlación lineal de Pearson

Se define el coeficiente de correlación lineal de Pearson r, al coeficiente

r = ±rvariación explicadavariación total

,

Debe notarse que r = ±1, si las desviaciones de los datos respecto al promedio(la variación total) son exclusivamente la desviación de los valores de la rectarespecto al promedio, es decir todos los puntos caen sobre la recta. La elección


del signo se hace de acuerdo al signo del coeficiente a, es decir el signo de lapendiente. Si reemplazamos en la definición se obtiene

r = ±s

b2(< x2 > − < x >2)

(< y2 > − < y >2),

o bienr = b

sxsy,

que puede finalmente escribirse

r =< yx > − < x >< y >

sxsy,

El significado del coeficiente de correlación lineal r, es entonces ±1, cuan-do la variación no explicada es cero, es decir cuando la cantidad minimizadaes cero, que corresponde a un ajuste perfecto. El signo de r corresponde alsigno de la pendiente de la recta de mínimos cuadrados pues

b = rsysx.

También se dice que el ajuste es completamente imperfecto si r = 0, casoque suele describirse diciendo que no hay correlación lineal..Finalmente nos quedamos con esta última versión de la ecuación de la

recta ajustada por mínimos cuadrados a los datos:

y(x) =< y > +rsysx(x− < x >).

Definicion 9.4.1 Aunque esta materia no tiene que ver con errores en lasmediciones (vea capítulo siguiente), se define el error estándar del ajuste,como

sest =

rP(yi − y(xi))2

n=√SSE,

el cual es evidentemente cero si el ajuste es perfecto.

Alternativamente podemos usar alguna expresión deducida más arriba

SSE =X(yi− < y >)2 − na2(< x2 > − < x >2) =

= n(< y2 > − < y >2)− na2(< x2 > − < x >2)

= ns2y − nr2(sysx)2s2x = ns2y(1− r2)


por lo cual

sest =√SSE = sy

√1− r2.

Note además que este error también se reduce a cero si sy = 0, puesto queen este caso todos los datos yi son iguales.

9.4.3. Resumen

Finalmente, al margen de las demostraciones, interesan los resultados,que pueden escribirse como:

estadígrafos de una muestra xi, i : 1, . . . , n.

promedio muestral

< x >= x =1

n

Xxi,

desviaciones estándar muestrales

sn =

r1

n

X(xi− < x >)2

=√< x2 > − < x >2,

sn−1 =

r1

n− 1X(xi− < x >)2

=

rn

n− 1√< x2 > − < x >2,

varianzas muestrales

s2n =1

n

X(xi− < x >)2

= < x2 > − < x >2,

s2n−1 =1

n− 1X(xi− < x >)2

=n

n− 1(< x2 > − < x >2).


Para n grande, las diferencias entre los estadígrafos de dispersión de la mues-tra sn y sn−1 son mínimas. (O entre s2n y s

2n−1) Sin embargo hay una diferencia

conceptual entre ellos. Si se trata de establecer la dispersión de los datos res-pecto al promedio, cualquiera de ellos la define de una manera. Sin embargo,y esto será establecido más adelante, si se trata de estimar los valores de la va-rianza (σ2) del Universo del cual la muestra proviene, es un mejor estimadors2n−1.

Recta de ajuste de mínimos cuadrados

Forma 1:

y(x) =< y > +rsysx(x− < x >).

Forma 2:

y(x) = a+ bx.

Coeficiente de correlación lineal de Pearson

r ==< yx > − < x >< y >

sxsy.

Desviaciones estándar

sx =√< x2 > − < x >2,

sy =p< y2 > − < y >2.

Variación total

SST =X(yi− < y >)2 = ns2y.


Variación no explicada


2 = ns2y(1− r2).

Variación explicada

SSR =X(y(xi)− < y >)2 = nr2s2y

Error estándar del ajuste

sest =

rP(yi − y(xi))2

n= sy√1− r2.

Pendiente

b = rsysx=

nP

xiyi −P

xiP

yinP

x2i − (P

xi)2

=< xy > − < x >< y >

< x2 > − < x >2

=< xy > − < x >< y >

s2x.

Intercepto

a = < y > −rsysx=

Px2iP

yi −P

xiP

xiyinP

x2i − (P

xi)2

=< x2 >< y > − < x >< xy >

< x2 > − < x >2

=< x2 >< y > − < x >< xy >

s2x.

Tópicos más avanzados se encuentran en el capítulo siguiente sobre mo-delos. Allí se explican, pero eso requiere de más matemáticas, las formas detratar los errores de los modelos lineales.

Capítulo 10

Modelos lineales.

10.1. Introducción.

En el capítulo anterior se explicó el llamado ajuste lineal de mínimoscuadrados. En física, en la mayor parte de los casos, se tiene en mente unmodelo el cual debe ser contrastado con los datos obtenidos. En este punto,generalmente la cuestión es: ¿hay evidencia experimental para rechazar elmodelo? Si la respuesta es no, ello no significa que se haya elegido el mejormodelo o que el modelo corresponda a la realidad. Pueden haber muchosmodelos distintos relativos al mismo fenómeno que no puedan ser rechazadospor la evidencia experimental. En este punto probablemente deba elegirse deacuerdo a otro tipo de criterios. Por ejemplo: el más simple, el más elegante,el que tenga menos parámetros, el que esté de acuerdo con alguna teoríamas amplia, etcétera. Desde nuestro personal punto de vista, la física expe-rimental no demuestra cuestiones, sino que más bien no descarta hipótesisa menos que los datos así lo indiquen. Por ejemplo, no puede demostrarseexperimentalmente que la ley de interacción entre dos cargas puntuales esinversa al cuadrado de la distancia, sino más bien debe decirse que no seha encontrado evidencia experimental para rechazar ese modelo. De hecholas teorías - que son en cierta medida modelos - justamente son descartadascuando se encuentra evidencia experimental contraria.En física existe una permanente búsqueda de las posibles relaciones entre

propiedades físicas, algunas veces derivadas de alguna teoría, otras veces porexperimentación pura. En el primer caso, evidencia experimental en contrario

186 Modelos lineales.

causa un quiebre de la teoría, mientras que en el segundo caso, si se encuen-tra que una relación no es objetable, se trata afanosamente de justificarlateóricamente, lo cual a su vez produce avances en las teoría. El avance delos métodos experimentales encuentra caminos para producir avances en lasteorías, así también a la inversa.En el capítulo anterior se indicaron las técnicas para hacer un ajuste de

mínimos cuadrados a un conjunto de datos. Es una pregunta frecuente delcómo estimar los errores del ajuste, los errores de la pendiente y del intercep-to. Es más, muchos programas computacionales simplemente los calculan.Sin embargo hay cuestiones conceptuales que es conveniente aclarar antes

de entrar a ese tema el cual requiere de matemáticas algo avanzadas pero queserá presentado de todos modos por completitud.Si los datos fueran por ejemplo el consumo per cápita (yi) de algún pro-

ducto a través del tiempo (xi), y los datos son los correctos, no hay nadamás que hacer y el ajuste de mínimos cuadrados, resulte de la calidad quesea, es todo lo que se puede hacer. Podríamos a lo sumo hacer una predicciónsobre el consumo per cápita del año siguiente, pero no hay forma de estimarsu error aun cuando el ajuste de los años anteriores sea perfecto. Esto es unejemplo pero hay muchísimas situaciones del mismo tipo.Hay otro tipo de situaciones y eso hay que aclararlo a priori antes de

intentar aplicar las técnicas que se explicarán.

10.2. Modelo lineal.

Es posible aventurar la hipótesis, basada en algún tipo de argumentos, deque existe una relación lineal entre dos variables (x, y). Por ejemplo basándoseen la teoría electromagnética, se puede hacer la hipótesis de que la corrienteen un dispositivo es una función lineal del voltaje aplicado. Es decir se puedeconjeturar que

y = α+ βx.

Los coeficientes α y β se denominan los parámetros del modelo y se deseatener alguna estimación de ellos, y ojalá establecer intervalos donde ellosdeberían encontrarse con alguna probabilidad especificada. Si se efectúanmediciones para un número de valores “exactos”de x se obtendrá un conjuntode valores medidos y los cuales por la naturaleza de los procesos de medición,tendrán errores. Es decir existirá alguna distribución de los valores y medidos.

10.2 Modelo lineal. 187

En otras palabras el conjunto (yi) constituye una muestra aleatoria, y loscoeficientes del ajuste de mínimos cuadrados

y = a+ bx,

es decir la

Pendiente

b =< xy > − < x >< y >

s2x,

y el

Intercepto

a =< x2 >< y > − < x >< xy >

s2x.

pasan a ser variables aleatorias puesto que los yi lo son. Naturalmente, esahora importante dilucidar cuestiones acerca del cuánto se acercan los valorescalculados de a y b a los valores verdaderos o sea los parámetros del modelo.Del modelo

y = α+ βx

de deduce que el valor esperado de yi es

E(yi) = α+ βE(xi) = α+ βxi.

Además es fácil establecer que

E( < y >) =1

n

XE(yi) = α+ β < x >,

E( < xy >) =1

n

XxiE(yi) =

1

n

Xxi(α+ βxi)

= α < x > +β < x2 > .

Entonces podemos calcular

E(b) =E(< xy >)− < x > E(< y >)

s2x

=α < x > +β < x2 > − < x > (α+ β < x >)

s2x= β.


Similarmente

E(a) =< x2 > E(< y >)− < x > E(< xy >)

s2x

=< x2 > (α+ β < x >)− < x > (α < x > +β < x2 >)

s2x= α.

Es decir hemos demostrado que:

I Teorema 10.1a y b son estimadores insesgados de los parámetros α y β.

El cálculo de la varianza de a y b es más complicado. La tarea se simplificaalgo si calculamos primero en general para una función lineal en los yi de laforma

c =Xi

diyi

Aceptaremos para los diversos xi las variables aleatorias yi, yj son inde-pendientes y tienen la misma varianza σ.Entonces

σ2c =Xi

d2iσ2(y2i ) = σ2

Xi

d2i .

Luego de

b =1

n

P(xi− < x >)yi

s2x,

podemos calcular

σ2b =1

n2

Pi(xi− < x >)2σ2

s4x=1

n

σ2

s2x.

Similarmente de

a =1

n

P(< x2 > − < x > xi)yi

s2x,

sigue que

σ2a =σ2

n2

P(< x2 > − < x > xi)

2

s4x.

Usted podría probar que esto se puede escribir

σ2a =σ2

n

< x2 >

s2x


10.2.1. Estimación del parámetro σ.

Para que las fórmulas anteriores tengan alguna utilidad, debemos sercapaces de estimar σ. Se enuncia sin demostración el siguiente teorema.

I Teorema 10.2Un estimador insesgado de σ2 es

s2 =SSE

n− 2 .

Note que si el ajuste es perfecto SSE = 0. Además de acuerdo al capítuloanterior

sest =√SSE = sy

√1− r2,

de modo que podemos estimar σ mediante

σ ≈ s =sy√1− r2√n− 2

10.2.2. Intervalos de confianza para α y β.

Aquí, nuevamente es necesario hacer algunas suposiciones. Podemos esti-mar α, β mediante los coeficientes a y b, pero debemos cuantificar algo sobrela validez de la estimación. El problema pasa por saber la distribución deprobabilidad que tienen las variables aleatorias a(y) y b(y). A su vez estodepende de la distribución de probabilidad que tiene la variable aleatoria y.Supondremos que la variable aleatoria yi es normal con valor esperado

µ = α+ βxi y desviación estandar σ.Usted podría hacer otras suposiciones, pero es en este caso donde hay

varios teoremas que enunciamos sin demostración:

I Teorema 10.3Un intervalo de confianza del (1− p)100% para el parámetro β es

β = b± stp/2sx√n

donde tp/2 es un valor de la distribución t con n− 2 grados de libertad.


I Teorema 10.4Un intervalo de confianza del (1− p)100% para el parámetro α es

α = a± stp/2pP

x2insx


I Teorema 10.5Intervalo de predicción. Un intervalo de confianza del (1 − p)100% para elvalor esperado de una medición y0 correspondiente al valor x0 es

y0 = y(x0)± stp/2

s1 +

1

n+(x0− < x >)2

sx√n


En estos teoremas la notación

y = y0 ± ,

significa

y0 − < y < y0 + ,

y

s =sy√1− r2√n− 2 .

10.2.3. Valores particulares de tp.

Para calcular los intervalos de confianza señalados se requieren los valorescríticos tp/2 para los cuales el número de grados de libertad es gl = n − 2.Por ejemplo si n = 20 y se desea un intervalo de confianza del 95% entoncesgl = 18, p/2 = 0,05/2 = 0,025, tp/2 = 2,101.


gl.\p 0.10 0.05 0.025 0.01 0.0051 3.078 6.314 12.706 31.821 63.6572 1.886 2.920 4.303 6.965 9.9253 1.638 2.353 3.182 4.541 5.8414 1.533 2.132 2.776 3.747 4.6045 1.476 2.015 2.571 3.365 4.0326 1.440 1.943 2.447 3.143 3.7077 1.415 1.895 2.365 2.998 3.4998 1.397 1.860 2.306 2.896 3.3559 1.383 1.833 2.262 2.821 3.25010 1.372 1.812 2.228 2.764 3.16911 1.363 1.796 2.201 2.718 3.10612 1.356 1.782 2.179 2.681 3.05513 1.350 1.771 2.160 2.650 3.01214 1.345 1.761 2.145 2.624 2.97715 1.341 1.753 2.131 2.602 2.94716 1.337 1.746 2.120 2.583 2.92117 1.333 1.740 2.110 2.567 2.89818 1.330 1.734 2.101 2.552 2.87819 1.328 1.729 2.093 2.539 2.86120 1.325 1.725 2.086 2.528 2.84521 1.323 1.721 2.080 2.518 2.83122 1.321 1.717 2.074 2.508 2.81923 1.319 1.714 2.069 2.500 2.80724 1.318 1.711 2.064 2.492 2.79725 1.316 1.708 2.060 2.485 2.78726 1.315 1.706 2.056 2.479 2.77927 1.314 1.703 2.052 2.473 2.77128 1.313 1.701 2.048 2.467 2.76329 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756inf. 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576

Capítulo 11

Método experimental

11.1. Medición

El tema de las mediciones en Física es uno de los aspectos centrales deeste libro. También intentaremos clarificar algunos conceptos relativos a lateoría de errores (en las mediciones) y al tratamiento estadístico de datos,temas sobre los cuales hay variadas interpretaciones. En esta introducción setratarán en forma un tanto vaga conceptos que serán explicados con mayorprecisión más adelante, por ejemplo los términos de error, valor verdadero,incerteza, acuciosidad, precisión, modelos, etcétera.Cualquier medición involucra primero que nada la definición de la propie-

dad física a ser medida y en segundo lugar involucra una comparación (poralgún método) con una propiedad física conocida del mismo tipo, la unidadde medida. El proceso termina arrojando un número para la propiedad físicasiendo medida, más alguna estimación del error cometido. El error se definecomo la diferencia entre el valor medido y el valor verdadero, hipotético valorque posee la cantidad física.El proceso de medición siempre involucra algún intercambio de energía

entre el observador o el instrumento, con el objeto siendo medido. En muchoscasos eso produce un efecto despreciable sobre la determinación realizada, pe-ro en otros casos produce un efecto no despreciable que limita la acuciosidaddel valor logrado, sobre todo a nivel del mundo microscópico.

194 Método experimental

11.2. Valor verdadero

Los errores en las mediciones están bien definidos, aunque sean descono-cidos, cuando el valor verdadero de la propiedad física siendo medida existe.Este punto no está absolutamente claro, pero se cree que hay ciertas canti-dades físicas que tienen valor verdadero. Por ejemplo la carga del electrón odel protón. La masa en reposo del electrón. La velocidad de la luz. Ademásexisten constantes en las leyes de la física, las cuales tienen presumiblemen-te un valor verdadero, por ejemplo la constante de gravitación universal, laconstante de Planck, etcétera. Por otro lado, la corriente que circula por undispositivo puede tener fluctuaciones intrínsecas de causas desconocidas, queindeterminan el concepto de valor verdadero, y por lo tanto el concepto deerror en su medición. La aplicación de teorías de errores o tratamiento es-tadístico de datos que se explica más adelante, requiere tener claridad sobreestos aspectos. Considere por ejemplo el siguiente caso.

Caso 3 Es una práctica usual de algún curso de laboratorio de primer nivel,entregarle a un alumno una “esfera” metálica, un instrumento para medirlongitudes, por ejemplo un pie de metro, y se solicita el diámetro de la “es-fera” con su error.

Discusión. Este simple caso tiene muchos de los aspectos que nos pro-ponemos clarificar en este libro, por lo cual se analiza desde un punto devista crítico. Claramente, por la existencia de otro tipo de errores, erroresde fabricación, no existen esferas perfectas. Por otro lado esferas imperfectassimplemente no son esferas. ¿Qué hacer? Para exagerar la situación y queesto queda algo más claro, supongamos que en realidad se tiene un elipsoide.Si el pie de metro se coloca varias veces para medir un “diámetro” en la

misma posición relativa respecto al objeto, la distancia d entre los paralelasa los puntos de contacto (ver figura 11.1) debe tener un valor verdadero(suponiendo que no haya causas que la hagan variable), y los resultadosexperimentales del proceso de medición probablemente sean parecidos perodistintos. De esto tratará la teoría de errores, tratando de aproximarse al valorverdadero de esa distancia. Para ello jugarán un papel importante aspectosde la estadística matemática.Si ese proceso se repite, para varias posiciones relativas del instrumento

respecto al objeto, se tendrán diversos valores, ahora no necesariamente pa-recidos, cada uno con una estimación de su error. ¿Qué se puede decir sobre

11.2 Valor verdadero 195

d

Figura 11.1: medida con un pie de metro

el objeto siendo medido?. Para dilucidar este aspecto de la situación es vi-tal el uso del llamado tratamiento estadístico de datos y ajustes a modelos.Aunque no lo describiremos aquí con detalle el ajuste a modelos hecho contécnicas estadísticas arrojará incertezas de algún tipo (no errores) sobre lasconstantes del modelo aún si los datos estuvieran libres de errores. A ello, alas incertezas, mediante técnicas conocidas como de “propagación de errores”se agregan los errores producto de los errores en los datos (si los hay).Finalmente, la respuesta puede ser muy variada, dependiendo de la apli-

cación práctica que se desee hacer con los resultados. Por ejemplo

El objeto se parece a una esfera de cierto diámetro con desviaciónestándar afecta de cierto error en el diámetro de cierto valor. Noteque rigurosamente hablando aquí se produce una mezcla de errorespropiamente tales, con otras incertezas producto de que el objeto no seajusta exactamente al modelo.

El objeto se ajusta mejor a un elipsoide con desviaciones estándar enlos semiejes de cierto valor. (para el caso analizado, estas desviacionesestándar deberían ser menores que para el otro caso). Aplican asimismolas mismas otras consideraciones del primer caso.

Por último, uno debería quedarse con el modelo que mejor se “aproxime”o “ajuste” a los datos, siendo necesario también analizar lo que ocurre si loserrores realizados en las mediciones superan las incertezas predichas por el


modelo. Lo lógico en este caso será decir que no hay evidencias experimentalesen contra del modelo elegido. Más adelante, por su importancia, se analizaráuna técnica llamada regresión lineal múltiple, con las respectivas técnicaspara establecer su validez, que es una de las tantas técnicas para seleccionarmejores modelos.Este resumen se ha hecho a modo de introducción para justificar lo que

viene. Deberemos aprender a tratar errores, a ajustar modelos mediante mé-todos estadísticos y finalmente discriminar la mejor respuesta posible.

11.3. Estandarización

Los primeros estándares de medición aparecieron en las culturas medite-rráneas y estaban basadas en partes del cuerpo humano, o en lo que algúnanimal podía tirar, o en el volumen de algún depósito. La unidad egipcia“cubit” se acepta que fué la unidad de longitud lineal más extendida en elmundo antiguo a partir de año 3000 BC, y consistía en la longitud entreel codo del brazo hasta la punta de los dedos extendidos. Bueno, las cosashan avanzado progresivamente y hoy día de acuerdo a una convención in-ternacional realizada en París en 1960 acordaron el sistema internacional deunidades (SI) basado en siete unidades básicas.Las letras SI representan al “Système International d’Unités”. Este es

el sistema internacionalmente acordado para la mayor parte de los trabajoscientíficos y tecnológicos en la mayoría de los países. Las Unidades SI son detres tipos base, suplementarias, y derivadas. Hay siete unidades base corres-pondientes a las siete cantidades físicas dimensionalmente independientes,como se muestra en la tabla siguiente

Unidades SI baseCantidad física Nombre Símbololongitud metro mmasa kilogramo kgtiempo segundo scorriente eléctrica Ampère Atemperatura termodinámica Kelvin Kcantidad de substancia mol molintensidad luminosa candela cd

11.3 Estandarización 197

Unidades SI suplementariasCantidad física Nombre Símboloángulo plano radián radángulo sólido estereorradián sr

Unidades SI derivadasCantidad física Nombre Símbolofrecuencia Hertz Hzenergía Joule Jfuerza Newton Npotencia Watt Wpresión Pascal Pacarga eléctrica Coulomb Cdiferencia de potencial eléctrico Volt Vresistencia eléctrica Ohm Ωconductancia eléctrica Siemens Scapacidad eléctrica Farad Fflujo magnético Weber Wbinductancia Henry Hdensidad de flujo magnético 11.3 Tesla Tflujo luminoso Lumen lmiluminación Lux lx

*También conocida como inducción magnéticaUnidades SI se usan con catorce prefijos para formar múltiplos decimales

y submúltiplos de las unidades.

Prefijos usados con unidades SINombre de Nombre de

Factor Prefijo Símbolo Factor Prefijo Símbolo10 deca- da 10−1 deci- d102 hecto- h 10−2 centi- c103 kilo- k 10−3 mili- m106 mega- M 10−6 micro- µ109 giga- G 10−9 nano- n1012 tera- T 10−12 pico- p1015 peta- P 10−15 femto- f1018 exa- E 10−18 atto- a


11.4. Valores de algunas constantes fundamen-tales

De acuerdo a la recomendación de 1986, CODATA recomienda los si-guientes valores de algunas constantes fundamentales

Cantidad Símb. Valor Unidad ppm

veloc. de la luz en vacío c 299792458 ms−1 0permitiv. el. del vacío µ0 4π × 10−7 NA−2 0permitiv mag. del vacío ε0 8.854187817.. 10−12 Fm−1 0const. de gravitación G 6.67259(85) 10−11m3 kg−1 s−2 128const. de Planck h 1.05457266(63) 10−34 J s 0.60carga electrón e 1.60217733(49) 10−19C 0.30masa electrón me 9.1093897(54) 10−31 kg 0.59const. de Avogadro NA 6.0221367(36) 1023mol−1 0.59

Los dígitos entre paréntesis corresponden a la incerteza estándar en ladesviación de los últimos dígitos del valor dado. CODATA fué establecido en1996 como un comité interdisciplinario del Consejo Internacional de unionescientíficas (International Council of Scientific Unions). Tabla adaptada dela Referencia NIST sobre Constantes, Unidades e Incertezas. La incertezarelativa está expresada en partes por millón (ppm).

11.5. Las unidades básicas.

las definiciones de las unidades básicas, de espacio tiempo y masa, hanexperimentado cambios con el propósito de adecuarse a los avances en losmétodos experimentales, no existiendo razón alguna para suponer que lasactuales definiciones son las definitivas. La excepción consiste en la unidadde masa, el kilogramo, establecida en 1887. Hoy (1999), las definiciones acep-tadas son las siguientes.

Definicion 11.5.1 El kilogramo se define como la masa de un cilindro fabri-cado con una aleación de platino e Iridio que se conserva en la InternationalBureau of Weights and Measures, en Sevres Francia.

11.6 Introducción a errores 199

Este patrón (primario) no se ha cambiado debido a la extraordinariaestabilidad de esa aleación. Un duplicado (patrón secundario) se conserva enel National Bureau of Standards en Gaitherburg.

Definicion 11.5.2 Un segundo es el tiempo que requiere un átomo de Cesio133 para realizar 9.192.631.770 vibraciones, correspondientes a la transiciónentre dos niveles hiperfinos de su estado fundamental.

Esta definición tiene la ventaja respecto a la definición del kilogramo, deno requerir de patrones específicos guardados en algún lugar, para su reali-zación. La pregunta que se puede formular es ¿Cuando sería necesario haceruna redefinición de esta unidad? Una respuesta posible es: Cuando las técni-cas experimentales permitan medir tiempos menores que el de una oscilaciónde las mencionadas. De este punto de vista, el tiempo está bien definido hoyen día hasta ese límite. No hay razón para suponer un límite definitivo y si lohubiera, entonces el tiempo sería una propiedad física discreta (no continua).

Definicion 11.5.3 El metro se define como la distancia recorrida por la luzen el vacío en un intervalo de tiempo de 1/299,792,458 segundos.

Esta definición está basada en la extraordinaria precisión con que actual-mente se puede medir la velocidad de la luz, la cual se acepta hoy en díaque es exactamente 299,792,458 m/s. Si usted está preocupado porque elintervalo de tiempo involucrado es demasiado pequeño, no se preocupe puesse está bastante lejos de lo alcanzable, en ese lapso de tiempo el átomo deCesio 133 ha realizado 9,192,631,770/299,792,458 = 30. 663 vibraciones.

11.6. Introducción a errores

11.6.1. Límites de las mediciones.

La física no es una ciencia exacta por la imposibilidad concreta de de-terminar exactamente los valores de las cantidades físicas. Muchos son losfactores que inciden en la calidad de la determinación de una cantidad física.Por ejemplo

Errores de apreciación. Cuando se utilizan instrumentos de medida, laúltima cifra que podría determinarse se estima como una fracción de


la división más pequeña. Por razones de muy diversa índole, si un ob-servador repite estas mediciones, apreciará cada vez diversas fraccionesde la escala más pequeña. Estas constituyen errores de apreciación quesupondremos variarán de manera aleatoria o casual. Los valores de-terminados en cada medición quedan entonces determinados hasta esaúltima cifra, correspondiente a la fracción estimada de la división máspequeña, estando incierta la cifra siguiente. Por ejemplo si se utilizauna regla graduada en mm para determinar una longitud, los valoresobtenidos podrían ser

10,2 ó 10,2± 0,05 mm10,1 ó 10,1± 0,05 mm10,1 ó 10,1± 0,05 mm10,3 ó 10,3± 0,05 mm10,2 ó 10,2± 0,05 mm10,1 ó 10,1± 0,05 mm10,2 ó 10,2± 0,05 mm10,3 ó 10,3± 0,05 mm

donde en la primera columna se indican solamente las cifras signifi-cativas y en la segunda se hace explícita la incerteza que se produceproducto del desconocimiento de la cifra que sigue. Para todo el procesoque se explicará más adelante, se utilizarán los valores como los dadosen la primera columna, pero para efectuar las operaciones matemáti-cas, como ser la determinación del promedio y otras, se utilizarán lasreglas para operaciones con números con cifras significativas conocidas,es decir se determinará el promedio con tres cifras significativas y deacuerdo a lo que se explica más adelante, el resultado de la longitud sepuede escribir con un 68% de seguridad como

l = 10,2± 0,02

Errores aleatorios o casuales. Además de los errores de apreciación,características similares tienen los errores que son causados por cau-sas o fluctuaciones de causas desconocidas de las condiciones en cadamedida. Por ejemplo fluctuaciones de la tensión de alimentación de al-gún instrumento. Fluctuaciones de la presión atmosférica, temperaturaambiente, etcétera.

11.7 Errores aleatorios 201

Errores causados por falta de definición. Aunque el proceso de mediciónfuera perfecto, pueden producirse fluctuaciones de los valores medidospor falta de definición de la cantidad física siendo medida. Por ejemplosi se miden los diámetros de un objeto esférico, pueden producirse fluc-tuaciones de los resultados obtenidos simplemente porque el objeto noes exactamente esférico. O bien, al medir una supuesta corriente cons-tante, se obtienen diversos valores porque la corriente no era realmenteconstante. Este tipo de errores no son susceptibles de tratamiento es-tadístico, por los cual lo único que cabe es analizar la situación casoa caso. Puede ser gráfico distinguir este tipo de errores con erroresaleatorios del proceso de medición.

Errores sistemáticos. Estos errores pueden ser causados por defectosde los aparatos de medición y pueden ser detectados mediante la uti-lización de otros aparatos o bien realizando ajustes o calibraciones delos aparatos que se utilizan. Para ello es necesario disponer de patronesde calibración.

11.7. Errores aleatorios

Como se explicó existen errores en las mediciones de diversos tipos, perolos únicos susceptibles de un tratamiento estadístico son los errores aleatorios,con los cuales algo se puede hacer con las herramientas que hemos conside-rado. Supongamos entonces que hemos diseñado un experimento donde semiden propiedades físicas A, B, etcétera, con hipotéticos valores verdaderosexistentes que llamaremos a, b, etcétera. Por hipótesis, cuando sólo hay erro-res al azar, los resultados de las medidas tienen una cierta distribución deprobabilidad, es decir podemos decir, que estamos sacando al azar, elementosdel universo de posibles valores de variables aleatorias que llamaremos xA,xB, etcétera. Estas variables aleatorias que supondremos son estadísticamen-te independientes con valor esperado µA, µB, · · · , y varianzas σ2A, σ2B, · · · . Lahipótesis usual, no demostrable, es que los valores verdaderos son los valoresesperados de las respectivas variables aleatorias, es decir

a = µA, b = µB, · · · .

Es necesario remarcar que nada se puede a priori decir del tipo de distri-bución que se tiene en cada proceso de medición. Ella puede ser uniforme,


Gaussiana, o de cualquier tipo. La hipótesis es que ella existe y su valoresperado corresponde al valor verdadero de la cantidad física siendo medida.

11.7.1. Error de una medida

Por ahora, concentrándonos en la medición de una cantidad física A. Elerror (absoluto) de una medida xi se define como

i = xi − µ,

valor imposible de determinar, pues no podemos conocer µ, el valor ver-dadero o esperado de la distribución. Sin embargo, hay formas de estimarlo,cuestión que nos proponemos explicar. Para ello podemos utilizar el teoremacentral del límite que fué explicado en el capítulo de probabilidades. Supon-gamos que hemos hecho un número n de medidas, arrojando valores xi. Comose explicó en el capítulo referido, si < x > indica el promedio, entonces lavariable aleatoria

z =< x > −µσ/√n

,

tiene distribución normal estándar N(0, 1), si n es grande. La variable alea-toria (promedio) < x > está dada por

x = < x > =1

n

Xxi,

de manera que podemos precisar el intervalo central donde debe estar z sidamos su probabilidad, que ahora llamaremos nivel de confianza o seguridad.De las tablas de la distribución normal podemos deducir el valor numérico zαcorrespondiente a un determinado valor central de probabilidad α (cercanoa 1), resultando entonces que

−zα <x− µ

σ/√n< zα,

con un 100× α% de probabilidad, o despejando

x− zασ√n< µ < x+ zα

σ√n, con nivel α

o sea el desconocido valor verdadero µ, está en un entorno pequeño del pro-medio muestral si n es grande. Valores usuales, correspondientes valores dezα, 1,2, 3 se utilizan, de acuerdo a la tabla

11.7 Errores aleatorios 203

zα α1 0. 682 692 0. 954 53 0. 997 3

Sin embargo, σ no es conocido. De esto nos preocupamos en la secciónque sigue.

11.7.2. Estimación de σ

Por definición, la varianza σ2 es el valor esperado de la (x− µ)2, es decir

V ar(x) = σ2 =

Z x2

x1

(x− µ)2f(x)dx,

que puede desarrollarse así

σ2 =

Z x2

x1

(x2 − 2µx+ µ2)f(x)dx = E(x2)− µ2

similarmente desarrollemos

s2n−1 =1

n− 1nXi=1

(xi− < x >)2 =n

n− 1(< x2 > − < x >2),

y calculemos los valores esperados

E( < x >2) =1

n2E(XX

xixj) =1

n2E(X

x2i +XX

i 6=jxixj)

=1

n2(nE(x2) +

XXi6=j

µ2) =1

n2(n(σ2 + µ2) + (n2 − n)µ2),

E(< x >2) =σ2 + µ2n

n.

similarmente resulta

E(< x2 >) = E(1

n

Xx2i ) = σ2 + µ2,


por lo tanto, al reemplazar

E(s2n−1) =n

n− 1(E(< x2 >)−E(< x >2)) = σ2.

Esta es la razón por la cual se llamó a s2n−1 un estimador insesgado dela varianza de la distribución de probabilidad, pues su valor esperado coin-cide con la varianza de la función distribución. Usaremos entonces como unestimador para σ a la desviación estándar muestral sn−1, de modo que

x− zαsn−1√n

< µ < x+ zαsn−1√n, con nivel α,

cuestión que suele escribirse más livianamente como

µ = x± zαsn−1√n, con nivel de significación α,

de modo que podemos también estimar el rango donde está el error absolutode una medida xi con el mismo nivel de confianza α, mediante

i = xi − µ = xi − x± zαsn−1√n.

Lo que importa finalmente, es que nos hemos aproximado al valor verdadero,obteniendo para las diversas variables siendo medidas, intervalos donde po-demos asegurar con determinada probabilidad que su valor verdadero está.O sea, para cada propiedad medida, tenemos finalmente sus valores con suserrores

µA = < xA > ± A,

µB = < xB > ± B,

etcétera

11.8. Sobre algunas características de los apa-ratos de medición.

En el análisis de las mediciones se utilizan frecuentemente los términosde precisión y exactitud, que a veces son considerados en el lenguaje diariocomo la misma cosa. Sin embargo son cuestiones muy diferentes.

11.9 Propagación de errores 205

Exactitud. La exactitud es una medida de la ausencia de errores sistemá-ticos. Esto es considerando que los errores aleatorios pueden ser eli-minados por el proceso estadístico que se describe más adelante. Enotras palabras un aparato de medición es más exacto mientras más seacerque el valor promedio de las lecturas al valor verdadero.

Precisión. La precisión de un aparato es una medida de lo pequeño que sonlos errores aleatorios, es decir un aparato muy preciso arrojará casi losmismos valores en cada medición en ausencia de errores personales ode otro tipo.

Como puede comprenderse, exactitud requiere de precisión pero precisiónno garantiza exactitud.También es importante conocer los conceptos de resolución y sensibilidad

de un instrumento.

Resolución. La resolución esta relacionada con el número de cifras signi-ficativas con que el instrumento muestra los resultados. Por ejemplosi un instrumento medidor de velocidades indica una velocidad v =1,18745 m s−1 podemos decir que este instrumento resuelve 0,00001m s−1. Este instrumento tiene mayor resolución que otro que indicarav = 1,18 m s−1.

Sensibilidad. La sensibilidad es el cambio incremental más pequeño quepuede detectar el instrumento. A primera vista se confunde con el con-cepto de resolución pero hay diferencias. De hecho, aparatos de me-dición electrónicos pueden aumentar su sensibilidad (por ejemplo am-plificando la señal siendo medida) pero ello puede causar problemasde estabilidad en la lectura, debiéndose en consecuencia mantener laresolución fija para tener lecturas estables.

11.9. Propagación de errores

La pregunta que uno puede hacerse ahora es, si se conocen los errores depropiedades física medidas A, B, cuales son los errores de expresiones talescomo A + B, AB, A2 + B, f(A,B), etcétera. La respuesta pasa tambiénpor una análisis probabilístico, debemos poder decir algo de las funcionesde distribución de las combinaciones de variables, suponiendo que ellas son


estadísticamente independientes. Esto requiere de matemáticas más o menoscompleja por lo cual las demostraciones de dejan en el apéndice para el quese interese.

11.9.1. Función distribución de la suma

Por ejemplo, sean fA y fB las funciones de distribución de A y B. Lafunción distribución de la suma será

f(x)dx =

Z ZR

fA(xA)fB(xB)dxAdxB,

en la región R donde xA + xB = x, o bien

f(x) =

ZfA(xA)fB(x− xA)dxA,

así, es valor esperado de la suma será

µ =

Z ZxfA(xA)fB(x− xA)dxAdx

si cambiamos variable x− xA = xB

µ =

Z Z(xA + xB)fA(xA)fB(xB)dxAdxB

=

Z(xAfA(xA)dxA + xBfB(xB)dxB)

dando como resultado

µ = µA + µB.

Veamos ahora que pasa con las varianzas


σ2 =

Z Z(x− µA − µB)

2fA(xA)fB(x− xA)dxA

=

Z Z(xA − µA + xB − µB)

2fA(xA)fB(xB)dxAdxB

=

Z Z((xA − µA)

2 + 2(xA − µA)(xB − µB) +

(xB − µB)2)fA(xA)fB(xB)dxAdxB

= σ2A + σ2B,

es decir, las varianzas se suman

σ2 = σ2A + σ2B.

11.9.2. Funciones distribución de dos variables

Como se estudió en el capítulo de probabilidades (8.5) si la variable alea-toria z depende funcionalmente de dos variables aleatorias x, y con fd, f(x)y g(y) respectivamente, siendo z = F (x, y), la función distribución de z será


f(x)g(y) |dxdy| ,

donde la integral es sobre el área entre las dos curvas F (x, y) = z, y F (x, y) =z + dz. Por ejemplo

Producto de dos variables

Aquí z = xy, de donde resulta

h(z) |dz| =Zz=xy

f(x)g(y) |dxdy| ,

podemos pasar a variables a nuevas variables

x = x,

z = xy,


para lo cual necesitamos el Jacobiano

det

µ ∂x∂x

∂x∂y

∂z∂x

∂z∂y

¶= det

µ1 0y x

¶= x,

siendo entonces

dxdy =dxdz

x,

por lo tanto

h(z) =

Zf(x)g(

z

x)dx

x,

es la función distribución del producto.Nos interesa ahora calcular µz y σ

2z. Lo primero resultará

µz =

Zzf(x)g(y)dxdy

=

Zxf(x)dx

Zyg(y)dy

= µxµy.

Lo segundo es algo más complicado

σ2z =

Z Z(z − µz)

2f(x)g(y)dxdy

=

Z Zz2f(x)g(y)dxdy − µ2z

=

Zx2f(x)dx

Zy2g(y)dy − µ2z

= E(x2)E(y2)− µ2z,

pero E(x2) = σ2x + µ2x, E(y2) = σ2y + µ2y, µz = µxµy, luego si se reemplaza

resultaσ2z = µ2yσ

2x + µ2xσ

2y + σ2xσ

2y.

Es necesario destacar que al menos en dos referencia ([?]), pag.48 y ([?]) pag.185, se establece o se deduce incorrectamente que para este caso se tiene

σ2z = µ2yσ2x + µ2xσ

2y.

Sin embargo, para estar seguros, en el programa que se acompaña, secomparan ambas expresiones para variables aleatorias x, y generadas randomuniforme. Usted podrá juzgar.


Cuociente de dos variables

Aquí z = x/y, de donde resulta

h(z) |dz| =Zz=x/y

f(x)g(y) |dxdy| ,

podemos pasar a variables a nuevas variables

x = x,

z = x/y,


det

µ ∂x∂x

∂x∂y

∂z∂x

∂z∂y

¶= det

µ1 01y− x

y2

¶= − x

y2,

siendo entonces

dxdy =y2dxdz

x=

xdxdz

z2,

por lo tanto

h(z) =

Zf(x)g(

x

z)xdx

z2,

es la función distribución del cuociente.Nos interesa ahora calcular µz y σ

2z. Ambas cosas son ahora obvias, pues

el cuociente es además un producto, z = x(1/y) resultando

µz = µxµ1/y.

Si la notación es algo confusa, podemos escribir para el caso en que lasvariables aleatorias x, y son independientes

E(x

y) = E(x)E(

1

y).

Lo segundo, el cálculo de la varianza, es

σ2z = σ2xσ21/y + µ21/yσ

2x + µ2xσ

21/y.


Caso general de dos variables (Usted puede omitir esta sección)

Aquí z = F (x, y), de donde resulta


f(x)g(y) |dxdy| ,

podemos pasar a nuevas variables

x = x,

z = F (x, y),


det

µ ∂x∂x

∂x∂y

∂z∂x

∂z∂y

¶= det

µ1 0∂F∂x

∂F∂y

¶=

¯∂F

∂y

¯,

siendo entonces

dxdy =dxdz¯∂F∂y

¯ ,por lo tanto

h(z) =

Zf(x)g(y)

dx¯∂F∂y

¯ ,siendo necesario despejar y(z, x) de z = F (x, y).

h(z) =

Zf(x)g(y(z, x))

dx

|Fy(x, y(z, x))| ,

es la función distribución de z = F (x, y).Nos interesa ahora calcular µz y σ

2z. Lo primero resultará

µz =

Z ZF (x, y)f(x)g(y)dxdy.

y lo segundo

σ2z =

Z Z(F (x, y)− µz)

2f(x)g(y)dxdy (11.1)

=

Z ZF 2(x, y)f(x)g(y)dxdy − µ2z


Aproximación para σ2z

Si se expande F (x, y) en serie de Taylor en torno a los valores esperadosµx y µy se tiene

F (x, y) = F (µx, µy) + (x− µx)Fx + (y − µy)Fy +

1

2((x− µx)

2Fxx + (y − µy)2Fyy + 2(x− µx)(y − µy)Fxy) + · · ·

de donde resultará

µz = F (µx, µy) +1

2(σ2xFxx(µx, µy) + σ2yFyy(µx, µy)) + · · · (11.2)

similarmente calculemos F 2(x, y), pero no consideraremos términos linealesen (x− µx) ni en (y − µy) pues darán cero al integrar, así resulta

F 2(x, y) = F 2(µx, µy) + (x− µx)2F 2

x + (y − µy)2F 2

y +

(x− µx)2(y − µy)

2F 2xy · · · ,

por lo tanto

Z ZF 2(x, y)f(x)g(y)dxdy = F 2(µx, µy) + σ2xF

2x + σ2yF

2y + σ2xσ

2yF

2xy · · · ,(11.3)

luego resultará

σ2z = σ2x(F2x − FFxx) + σ2y(F

2y − FFyy) + σ2xσ

2yF

2xy,

donde F y todas sus derivadas son evaluadas en el punto (µx, µy).Como ejemplos

si F es lineal F = ax+ by resulta σ2z = a2σ2x + b2σ2y.

si F = xy resulta σ2z = µ2yσ2x + µ2xσ

2y + σ2xσ

2y

si F = G(x)H(y)


σ2z = σ2xH2(G02 −GG00) + σ2yG

2(H 02 −HH 0) + σ2xσ2yG

02H 02

σ2zz2= σ2x

(G02 −GG00)G2

+ σ2y(H 02 −HH 0)

H2+ σ2xσ

2y(G0H 0

GH)2

σ2zz2= −σ2x

∂

∂x

µG0

G

¶− σ2y

∂

∂y

µH 0

H

¶+ σ2xσ

2y(G0H 0

GH)2

11.10. Resumen

Al margen de las demostraciones, los resultados que interesa destacar sonlos siguientes:

Si la variable aleatoria x corresponde a diversas medidas de una canti-dad física con errores al azar solamente, entonces esa variable tendríaalguna determinada función de distribución de probabilidad, imposiblede determinar teóricamente, más que haciendo un sinnúmero de medi-ciones y haciendo algún histograma experimental. El valor verdaderoserá el valor esperado µ de esa desconocida distribución de valores. Elerror absoluto de cada medida será simplemente

i = xi − µ,

El error estándar en una lectura cualquiera puede ser definido como ladesviación estándar de esa distribución σ

σ = lımn→∞

r1

n

X(xi − µ)2,

valor imposible de determinar exactamente.

Sin embargo, la variable aleatoria “promedio” tiene una función dis-tribución teórica para n grande, la distribución Gaussiana. De allí sededujo que si la variable aleatoria x corresponde a diversas medidasde una cantidad física con errores al azar solamente, entonces el valorverdadero µ de la cantidad física siendo medida está en el intervalo

x− zαsn−1√n

< µ < x+ zαsn−1√n, con nivel de significación α,

siendo

11.10 Resumen 213

el promedio

x = < x > =1

n

Xxi,

la desviación estándar

sn−1 =

vuut 1

n− 1nXi=1

(xi − x)2,

algunos valores de zαzα α1 0. 682 692 0. 954 53 0. 997 3

.

De modo que al utilizar el promedio como estimador del valor verda-dero, el error se puede escribir como

±zαsn−1√n.

Propagación de errores estándar. Si dos cantidades físicas A y B conerrores aleatorios tienen valores verdaderos y errores estándar conoci-dos, es decir se conocen sus valores esperados µA, µB y sus varianzasσ2A, σ

2B. Estas variables aleatorias las supondremos estadísticamente in-

dependientes. Entonces los valores verdaderos y los errores estándar dealgunas funciones f(A,B), la suma, el producto y el cuociente, son lossiguientes.

La suma

µA+B = µA + µB,

σA+B =qσ2A + σ2B.

El producto

µAB = µAµB,

σAB =qµ2Aσ

2B + µ2Bσ

2A + σ2Aσ

2B.


El cuociente

µA/B = µAµ1/B,

σA/B =qµ21/Bσ

2A + µ2Aσ

21/B + σ2Aσ

21/B.

11.10.1. Ejemplos de simulación numérica

En el programa de ejemplo que se acompaña, usted puede definir unafunción de dos variables, f(x, y) y generar un histograma de su función dis-tribución cuando las variables x, y tienen distribución uniforme de valoresperado y desviación estándar definible por el usuario.

Capítulo 12

Métodos numéricos

12.1. Generación de números random

Puede generar números random enteros o reales xi con distribución uni-forme en un rango seleccionable [a, b], en un determinado número, y haceralgunas pruebas para comprobación de su calidad

teorico simulacionµ = 1

2(a+ b), < x >= 1

n

Pxi

σ2 = 13(a2 + ab+ b2). s2n−1 =

1n−1

P(xi− < x >)2

12.2. Generación de N(0, 1)

Como se explicó en el capítulo de probabilidades, si x, y son variablesaleatorias alrededor con distribución uniforme en el intervalo [0, 1] , entonceslas variables z =

√−2 lnx cos 2πy, y v = √−2 lnx sin 2πy tienen distribuciónN(0, 1)

1√2π

e−12z2

Esto está realizado en el programa, para visualizar como el histograma seaproxima al de la distribución normal.

216 Métodos numéricos

12.3. Distribución del promedio

Si las variables xi tienen distribución continua uniforme en el intervalo[a, b] entonces la variable aleatoria

z =µ− < x >

σ/√n

,

debe tener distribución normal N(0, 1) siendo

µ = 12(a+ b),

σ2 = 13(a2 + ab+ b2),

cuestión que es examinada en el programa, para diversos n contrastando elhistograma obtenido con el esperado.

12.4. Distribución t Student

Se examina la convergencia de la variable aleatoria

t =x− µ

sn−1/√n,

con µ = 12(a + b), en términos del tamaño de la muestra a la distribución t

de Student con n− 1 grados de libertad

hn−1(t) =Γ(n

2)

Γ(n−12)pπ(n− 1)(1 +

t2

n− 1)−n/2, −∞ < t <∞.

12.5. Integración numérica.

12.5.1. Método del punto medio:

Z b

a

f(x) dx ≈Mn = ∆x[f(x1) + f(x2) + · · ·+ f(xn)]

donde

∆x =b− a

ny

xi =12(xi−1 + xi)

es el punto medio de [xi−1, xi].

12.6 Aproximaciones lineales y cuadráticas. 217

12.5.2. Método del Trapecio:

bZa

f(x) dx ≈ Tn =∆x

2[f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + · · ·+ 2f(xn−1) + f(xn)]

donde∆x = (b− a)/n y xi = a+ i∆x

12.5.3. Cotas de error:

Suponga que |f 00(x)| ≤ K para a ≤ x ≤ b. Si ET y EM denotan los erroreslos métodos del trapecio y del punto medio entonces

|ET | ≤ K(b− a)3

12n2y |EM | ≤ K(b− a)3

24n2

12.5.4. Método de Simpson:

Z b

a

f(x) dx ≈ Sn =∆x

3[f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + · · ·+ 2f(xn−2)+4f(xn−1) + f(xn)]

donde n es par y ∆x = (b− a)/n.

12.5.5. Cota de error para método de Simpson:

Suponga que¯f (4)(x)

¯ ≤ K para a ≤ x ≤ b. Si ES es el error en el métodode Simpson, entonces

|ES| ≤ K(b− a)5

180n4

12.6. Aproximaciones lineales y cuadráticas.

12.6.1. Diferencial:

Definicion 12.6.1 Sea y = f(x), donde f es una función diferenciable.Entonces la diferencial dx es una variable independiente; esto es, dx puede ser


dada de cualquier valor. La diferencial dy es entonces definida en términosde dx por

dy = f 0(x) dx

Los diferenciales dx y dy son ambos variables, pero dx es independiente,mientras que dy es dependiente– depende de los valores de x y dx. Si dx esdado, entonces dy está determinado.

Si dx 6= 0, obtenemosdy

dx= f 0 (x). Esto es la derivada es la razón o

cuociente de dos diferenciales

12.6.2. Aproximación lineal:

Definicion 12.6.2 La aproximación lineal de f(x) cerca de a es

f(x) ≈ f(a) + f 0(a)(x− a)

12.6.3. Aproximación cuadrática:

Definicion 12.6.3 La aproximación cuadrática de f(x) cerca de a es

f(x) ≈ f(a) + f 0(a)(x− a) +f 00(a)2(x− a)2

Ejemplo 12.6.1 Sea

f (x) =3x2 + 5

2x− 4y a = 3. La aproximación lineal de f (x) cerca de 3 es

f(a) + f 0(a)(x− a) = 37− 7x.

y la aproximación cuadráticas es

f(a) + f 0(a)(x− a) +f 00(a)2(x− a)2 =

227

2− 58x+ 17

2x2.

.

Las funciones y = (3x2+5)/(2x−4), y = 37−7x, y = 227/2−58x+17x2/2están representadas en los gráficos

12.7 Ajuste de curvas por polinomios. 219

-100

-50

0

50

100

150

200

y

-10 10 20 30x

-20

0

20

40

60

80

y

1 2 3 4 5x

-10

0

10

20

30

40

y

2 2.5 3 3.5 4 4.5x

12

13

14

15

16

17

18

19

20

y

2.8 2.9 3 3.1 3.2x

12.7. Ajuste de curvas por polinomios.

Un gráfico de puntos podría mostrar evidencia de la existencia de unarelación polinomial. Para polinomios de grados dos y tres eso significa la


existencia de ecuaciones de la forma

y = A+Bx+ Cx2, o

y = A+Bx+ Cx2 +Dx3

Lo datos siguientes establecen claramente una relación no lineal. El mé-todo de los mínimos cuadrados puede usarse para ajustar un polinomio

0

2

4

6

8

-3 -2 -1 1 2 3

(−3, 7), (−2, 4), (−1, 2), (0, 0), (1, 1,5), (2, 5), (3, 10)El gráfico siguiente muestra el ajuste mediante una parábola (polinomio de

grado 2, en verde) y un polinomio de grado tres (curva roja).

0

2

4

6

8

10

y

-3 -2 -1 1 2 3x

Para grado 2, resuelva el sistema de ecuaciones lineales para A,B,C:

An + BX

X + CX

X2 =X

Y

AX

X +BX

X2 + CX

X3 =X

XY

AX

X2 +BX

X3 + CX

X4 =X

X2Y

12.8 Método de Newton. 221

Para grado 3, resuelva el sistema de ecuaciones lineales para A,B,C,D:

An + BX

X + CX

X2 +DX

X3 =X

Y

AX

X +BX

X2 + CX

X3 +DX

X4 =X

XY

AX

X2 +BX

X3 + CX

X4 +DX

X5 =X

X2Y

AX

X3 +BX

X4 + CX

X5 +DX

X6 =X

X3Y

12.8. Método de Newton.

Muchos problemas en ciencia e ingeniería conducen a un problema dedeterminar las raíces de una ecuación de la forma f(x) = 0 donde f es unafunción diferenciable. Para una ecuación cuadrática ax2+ bx+ c = 0 es bienconocido que

x =

(− b+

√b2−4ac2a

,− 2c

b+√b2−4ac .

.

Para ecuaciones de tercer y cuarto orden hay también fórmulas, peroque son complicadas. Si f es un polinomio de grado 5 o superior no existetal fórmula. Asimismo no hay fórmulas que nos permitan encontrar raícesexactas de ecuaciones trascendentales como cosx = x. Métodos que permitanencontrar aproximaciones para las raíces de ecuaciones se han desarrollado.Uno de tales métodos se denomina método de Newton-Raphson.

12.8.1. Método de Newton-Raphson.

El método de Newton se basa en la observación de que la línea tangentees una buena aproximación local a una función. Sea (x0, f(x0)) un punto dela curva. La línea tangente en ese punto será

y − f(x0) = f 0(x0)(x− x0).

Esta línea cruza el eje-x donde y = 0. El valor de x será

x = x0 − f(x0)

f 0(x0).


En general, dada una aproximación xn a una raíz de la función f(x), la líneatangente cruza el eje x donde

xn+1 = xn − f(xn)

f 0(xn).

Dado x0, el método de Newton produce una lista x1, x2, . . ., xn de aproxi-maciones al cero de f .En los gráficos que siguen, f(x) = x − x3, x0 = 0,44, x1 ≈ −0,41, x2 ≈

0,27, y x3 ≈ −0,048.

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

x− x3

12.9. Serie de Taylor y Maclaurin.

Si f tiene una representación en serie en torno de a, o sea si

f (x) =∞Xn=0

cn (x− a)n |x− a| < R

entonces los coeficientes son

cn =f (n) (a)

n!

Substituyendo cn en la serie para f , se tiene la serie de Taylor:

f (x) =∞Xn=0

f (n) (a)

n!(x− a)n = f (a)+

f 0 (a)1!

(x− a)+f 00 (a)2!

(x− a)2+f 000 (a)3!

(x− a)3+...

12.9 Serie de Taylor y Maclaurin. 223

En el caso especial donde a = 0, se tiene la serie de Maclaurin:

f (x) =∞Xn=0

f (n) (0)

n!xn = f (0) +

f 0 (0)1!

x+f 00 (0)2!

x2 +f 000 (0)3!

x3 + ...

Funciones que pueden ser representadas por series de potencia en tornoa a son llamadas analíticas en a. Funciones analíticas son infinitamente dife-renciables en a; eso es que tiene derivadas de todo orden en a. Sin embargo,no todas las funciones infinitamente diferenciable son analíticas.Las sumas parciales de Taylor son

Tn (x) =nXi=0

f (i) (a)

i!(x− a)i = f (a)+

f 0 (a)1!

(x− a)+f 00 (a)2!

(x− a)2+...+f (n) (a)

n!(x− a)n

Tn es un polinomio de grado n llamado el polinomio de Taylor de grado n def en a.

I Teorema 12.1Si f (x) = Tn (x) +Rn (x), y

lımn→∞

Rn (x) = 0

para |x− a| < R, entonces f es igual a su serie de Taylor series en el intervalo|x− a| < R; esto es , f es analítica en a.

I Teorema 12.2 (Fórmula de Taylor)Si f tiene n+1 derivadas en el intervalo I que contiene el número a, entoncespara x en I hay un número z estrictamente entre x y a tal que el resto puedeser expresado como

Rn (x) =f (n+1) (z)

(n+ 1)!(x− a)n+1

Para el caso especial n = 0, se tiene que

f (b) = f (a) + f 0 (c) (b− a)

este es el Teorema del valor medio.


12.9.1. Serie importantes de Maclaurin.

Serie de Maclaurin Intervalo de Convergencia11−x =

∞Pn=0

xn = 1 + x+ x2 + x3 + ... (−1, 1)

ex =∞Pn=0

xn

n!= 1 + x

1!+ x2

2!+ x3

3!+ ... (−∞,∞)

sinx =∞Pn=0

(−1)n x2n+1

(2n+1)!= x− x3

3!+ x5

5!− x7

7!+ ... (−∞,∞)

cosx =∞Pn=0

(−1)n x2n

(2n)!= 1− x2

2!+ x4

4!− x6

6!+ ... (−∞,∞)

tan−1 x =∞Pn=0

(−1)n x2n+1

2n+1= x− x3

3+ x5

5− x7

7+ ... [−1, 1]

12.10. Ecuaciones diferenciales ordinarias.

El problema clásico de la ecuación diferencial ordinaria de primer ordenes encontrar una función y(x) que satisfaga

dy

dx= f(x, y),

dado el valor inicial de la función y(x0) = y0. Una variedad de métodosaproximados se han desarrollado, entre los cuales describiremos algunos.

12.10.1. Método de Euler.

Se reemplaza la derivada por

dy(x)

dx=

y(x+ h)− y(x)

h,

siendo h algún número pequeño. Así la ecuación diferencial se transforma enuna ecuación de diferencias

y(x+ h) = y(x) + hf(x, y).

Si llamamosxk+1 = xk + h,

tenemos quey(xk+1) = y(xk) + hf(xk, yk).

12.10 Ecuaciones diferenciales ordinarias. 225

12.10.2. Método de Runge-Kutta.

Si h es un número pequeño y se definen

k1 = hf(x, y),

k2 = hf(x+ h/2, y + k1/2),

k3 = hf(x+ h/2, y + k2/2),

k4 = hf(x+ h, y + k3),

entoncesy(x+ h) = y(x) + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)/6.

12.10.3. Métodos predictor corrector.

Los métodos predictor corrector hacen uso de una fórmula para una pri-mera aproximación de yk+1, seguida de una fórmula correctora que hace me-joramientos sucesivos. Así por ejemplo una primera aproximación es

y0k+1 = yk + hy0k,

que puede ser mejorada con

y1k+1 = yk +1

2(y0k+1 + y0k)

= yk +1

2(f(xk+1, y

0k+1) + f(xk, yk)).

12.10.4. Método de Milne:

Este método requiere cuatro valores previos y la pareja predictora correc-tora es

yk+1 = yk−3 + (4h/3)(2y0k−2 − y0k−1 + 2y0k),

yk+1 = yk−1 + (h/3)(y0k+1 + 4y0k + y0k−1).

12.10.5. Método de Adams.

yk+1 = yk−3 + (h/24)(55y0k − 59y0k−1 + 37y0k−2 − 9y0k−3),yk+1 = yk−1 + (h/24)(9y0k+1 + 19y

0k − 5y0k−1 + y0k−2),

que al igual que el método de Milne requiere de cuatro valores previos.


12.10.6. Ecuaciones de orden mayor.

La ecuación lineald2y

dx2= f(x, y,

dy

dx),

se reduce a un sistema de ecuaciones de primer orden. Para ello defina p =dy/dx y entonces

dy

dx= p,

dp

dx= f(x, y, p),

es un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, que es resueltosimilarmente adaptando los métodos anteriores.

12.11. Derivación numérica.

Si tenemos una función conocida para valores discretos igualmente es-paciados de las abcisas xi con xi+1 − xi = h, entonces existen algoritmosque permiten estimar la derivada de distinto orden, utilizando determina-do número de puntos.Las siguientes fórmulas (Handbook of Mathematicalfunctions de Abramowitz) indican la forma de obtener la derivada con treso cuatro puntos correspondientes a abscisas igualmente espaciadas en unacantidad pequeña h.

Dos puntos. Tenemos las tres posibilidades

f 0(x) =

(f(x+ h)− f(x))/h,(f(x)− f(x− h))/h,

(f(x+ h)− f(x− h))/2h.

Tres puntos, p = −1, 0, 1.

f 0(x0 + ph) =1

h

µ(p− 1

2)f−1 − 2pf0 + (p+ 1

2)f1

¶.

Cuatro puntos, p = −1, 0, 1, 2

f 0(x0 + ph) =1

h(−3p

3 − 6p+ 26

f−1 +3p2 − 4p− 1

2f0 − 3p

2 − 2p− 22

f1

+3p2 − 16

f2).

Capítulo 13

Apéndice

13.1. A) La distribución exponencial.

El análisis, que requiere conocimientos de matemáticas algo elevados yque conduce a la distribución exponencial es el siguiente. Si la probabilidadde que un dispositivo falle en entre tiempo t y tiempo t+ dt, por hipótesises

f(t)dt

será igual al producto de que no haya fallado en el intervalo t : 0 −→ t, yfalle a continuación, es decir

f(t)dt =

µ1−

Z t

0

f(τ))dτ

¶dt

µ,

de aquídf(t)

dt= −f(t)

µ,

e integrando

f(t) = ce−tµ ,

normalización (certeza que falle alguna vez) requiere que

1 =

Z ∞

0

ce−tµdt = µc,

228 Apéndice

de donde finalmentef(t) =

1

µe−

tµ ,

13.2. B) El proceso de Poisson. Detalles.

Consideremos una fuente radioactiva que emite partículas α y definamosuna variable aleatoriaX(t1, t2) como el número de partícula emitidas duranteun intervalo de tiempo [t1, t2] . Como se explicó, denotaremos tal función dedistribución por

Pn(t1, t2) = P [X(t1, t2) = n] .

Nos proponemos deducir la distribución de probabilidad para la varia-ble aleatoria recién definida haciendo algunas hipótesis. (Este es un ejemplodonde la naturaleza intrínsecamente probabilista de la naturaleza se pone demanifiesto). Las suposiciones que haremos son las siguientes

Caso 4 Las variables X(t1, t2) y X(t3, t4) son independientes si losintervalos de tiempo tienen intersección vacía.

La función distribución de X(t1, t2) depende sólo de t2− t1. (caso con-trario tendríamos que preocuparnos de cuando fue creada tal substanciaradioactiva, para empezar a contar el tiempo). Por lo tanto llamaremossimplemente t al intervalo de tiempo

Si el intervalo de tiempo es pequeño, supondremos que la función dedistribución para que haya una emisión es proporcional al intervalo detiempo. Es decir

P1(dt) = P [X(dt) = 1] = λdt.

Supondremos también que si el intervalo de tiempo es infinitésimo, laprobabilidad de tener más de una emisión es despreciable, es decir

Pk(dt) = P [X(dt) = k] = 0 si k > 1.

También, la probabilidad de que no haya ninguna emisión en dt detiempo será

P0(dt) = 1− λdt,

de modo que conocemos P0 para tiempos pequeños.

13.2 B) El proceso de Poisson. Detalles. 229

De acuerdo a lo anterior, la probabilidad de tener n+ 1 emisiones en untiempo t+dt, es el producto de tener n emisiones en un tiempo t, multiplicadapor la probabilidad de tener una emisión en el intervalo dt, (o bien, por ello+) la probabilidad de tener n+ 1 emisiones en tiempo t y ninguna en dt, esdecir

Pn+1(t+ dt) = Pn(t)λdt+ Pn+1(t)(1− λdt),

se ha obtenido una ecuación funcional para determinar Pn(t). Sin embargola probabilidad de no tener una emisión en tiempo t+ dt es simplemente laprobabilidad de no emisión en tiempo t multiplicada por la probabilidad deno emisión en tiempo dt, es decir

P0(t+ dt) = P0(t)(1− λdt),

que puede ser resuelta pues se obtiene

dP0(t)

dt= −λP0(t),

o bien, mediante una integración

P0(t) = P0(0)e−λt.

Considere ahora que

Pn+1(t+ dt) = Pn+1(t) + P 0n+1(t)dt,

resultando

P 0n+1(t) = λPn(t)− λPn+1(t),

sea Pn(t) = gn(t)e−λt, con g0(t) = P0(0), resulta

g0n+1 = λgn(t),

puede integrarse recursivamente obteniendo

g1(t) = λP0(0)t,

y

g2(t) =1

2!λ2P0(0)t

2,

230 Apéndice

y finalmente

Pn(t) =1

n!λnP0(0)t

ne−λt,

normalización exige que

n=∞Xn=0

Pn(t) = 1,

resultando P0(0) = 1, y finalmente

Pn(t) =1

n!(λt)ne−λt,

13.3. C) Algunos detalles matemáticos.

Aquí se explican los detalles para el caso en que las variables xi (i =1, 2, · · ·N) son independientes con distribución uniforme en el intervalo £−µ

2, µ2

¤,

y se desea obtener la distribución de la variable aleatoria

x =1√N

NXi=1

xi

en el límite para N muy grande. (Estos detalles requieren de sólidos conoci-mientos de matemáticas que si usted desea puede omitir)Haciendo uso de la independencia de las variables, podemos entonces

escribir la expresión

f(x)dx =

Z· · ·Z

P (x1)dx1µ

P (x2)dx2µ

· · · P (xN)dxNµ

donde la integral múltiple es sobre la región donde

dx =1√N

NXi=1

dxi

y

P (x) =

0 si x < −12µ

1 si −12µ < x < 1

2µ

0 si x > 12µ

13.3 C) Algunos detalles matemáticos. 231

la integral puede ser reducida a todo el espacio usando la delta de Dirac unade cuyas representaciones que usaremos es

δ(x) =1

2π

Z ∞

−∞eikxdk,

de modo que

f(x)dx =

Z 12µ

− 12µ

· · ·Z 1

2µ

−12µ

P (x1)dx1µ

P (x2)dx2µ

· · · P (xN)dxNµ

δ(x− 1√N

NXi=1

xi)dx,

pero

f(x)dx =1

2π

Z ∞

−∞eikxdk

Z 12µ

− 12µ

· · ·Z 1

2µ

−12µ

P (x1)dx1µ

P (x2)dx2µ

· · ·

P (xN)dxNµ

e− i√

N

PNj=1 xjdx,

que puede ser escrita como

f(x) =1

2π

Z ∞

−∞eikxdk

Ã1

µ

Z 12µ

− 12µ

dze−ik 1√

Nz

!N

,

pero

1

µ

Z 12µ

− 12µ

e−ik 1√

Nzdz =

2√N

µksin

µk

2√N,

luego

f(x) =1

2π

Z ∞

−∞eikxdk

Ã2√N

µksin

µk

2√N

!N

para evaluar el límite cuando N −→∞, usemos la expansiónsin z = z − 1

6z3, de modo que resulta

232 Apéndice

f(x) =1

2π

Z ∞

−∞eikxdk

µ1− 1

24

µ2k2

N

¶N

,

o bien

1

2π

Z ∞

−∞eikx−

µ2k2

24 dk,

que es evaluada mediante tablas

1

2√πe− 6x2

µ2

√24

µ

pero

V ar(x) = σ2 =1

µ

Z 12µ

− 12µ

x2dx =1

12µ2,

por lo cual

f(x) =1√2πσ

e−x2

2σ2 ,

13.4. D) La distribución binomial.

Si se repite varias veces el experimento donde hay dos resultados posiblesA con probabilidad p yB con probabilidad q = 1−p, entonces la probabilidadde que en n experimentos ocurran m resultados A, en cualquier orden, es lallamada distribución binomial

P =

µn

m

¶pmn−m =

n!

m!(n−m)!pmqn−m. (13.1)

Podemos verificar que está correctamente normalizada pues

nXm=0

µn

m

¶pmqn−m = (p+ q)n = 1.

13.4 D) La distribución binomial. 233

13.4.1. El valor esperado de m.

Su definición es

E(m) =nX

m=0

m

µn

m

¶pmqn−m,

que puede ser evaluado mediante un truco. En efecto

E(m) = pnX

m=0

m

µn

m

¶pm−1qn−m = p

∂

∂p

nXm=0

µn

m

¶pmqn−m

= p∂

∂p(p+ q)n = np(p+ q)n−1 = np,

finalmenteE(m) = np.

13.4.2. La varianza de m.

Debemos calcular

E(m2) =nX

m=0

m2

µn

m

¶pmqn−m,

sumatoria más dificil de calcular. Similarmente a lo hecho anteriormente

E(m2) = pnX

m=0

m2

µn

m

¶pm−1qn−m

= p∂

∂p

nXm=0

m

µn

m

¶pmqn−m

= p∂

∂pp

nXm=0

m

µn

m

¶pm−1qn−m

= p∂

∂pp∂

∂p

nXm=0

µn

m

¶pmqn−m

= p∂

∂pp∂

∂p(p+ q)n

= np∂

∂pp(p+ q)n−1

= np((p+ q)n−1 + (n− 1)p(p+ q)n−2),

234 Apéndice

perop+ q = 1,

luegoE(m2) = np(1 + (n− 1)p).

Entonces

σ2m = E(m2)− (E(m))2= np(1 + (n− 1)p)− n2p2

= np(1− p) = npq,

= E(m)(1− p)

Para p = q = 12se tiene que

E(m) =1

2n,

σ2m =1

4n.

13.4.3. Límite para n grande

Considere (13.1) y tomemos su logaritmo

y(m) = lnP = lnn!− lnm!− ln(n−m)! +m ln p+ (n−m) ln q,

y usemos la aproximación de Stirling para números grandes

lnn! = n lnn− n,

entonces

y(m) = n lnn−m lnm− (n−m) ln(n−m) +m ln p+ (n−m) ln q.

Para expandir en torno al máximo derivemos respecto a m

y0(m) = − lnm+ ln (n−m) + ln p− ln q,y00(m) = − n

m (n−m).


El máximo ocurre cuando y0(m0) = 0 o sea m0 = np = µm. La expansiónbuscada será

y(m) = y(m0)− 12

n

m0 (n−m0)(m−m0)

2,

= y(m0)− 12

1

npq(m−m0)

2,

= y(m0)− 12

1

σ2m(m− µm)

2,

de modo que finalmente

P (m) = Ce−12

1

σ2m(m−µm)2,

P (m) = Ce−12

1npq

(m−np)2,

es decir, una distribución Gaussiana.

13.4.4. Caminata al azar

Como un ejemplo, analizaremos la caminata al azar, donde un puntopuede moverse a la derecha o hacia la izquierda con probabilidad p a laderecha y q hacia la izquierda, con longitud de pasos pequeña d, y deseamosencontrar la función distribución de probabilidad de su posición x, cuandolos pasos son de longitud d y han ocurrido N pasos en totalPara m pasos a la derecha y por lo tanto N −m pasos a la izquierda, la

posición x estará dada por

x = m− (N −m) d = 2m−N d,y la probabilidad de este valor de x estará dado por la distribución binomial

P =

µN

m

¶pmqN−m =

N !

m!(N −m)!pmqN−m.

Expresemos esto en términos de la variable x. Tenemos que

m =N

2+

x

2d,

N −m =N

2− x

2d.

236 Apéndice

En particular si los pasos a la derecha y a la izquierda ocurren con la mismaprobabilidad entonces

p = q =1

2,

y tendremos

PN(x) =N !

(N2+ x

2d)!(N

2− x

2d)!(1

2)N .

A medida que la longitud de los pasos tiende a cero, y el número de pasostiende a infinito, la variable x tiende a ser una variable continua. En formamás precisa buscaremos el límite cuando N → ∞, tendiendo d → 0 en laforma

d =σ√N.

Luego la probabilidad de que la variable x tenga valores entre x = 2m−N dy x = 2m+ 2−N d, es decir en el intervalo

dx = 2d =2σ√N

en torno de x será

f(x)dx = f(x)2σ√N=

N !

(N2+ x

2d)!(N

2− x

2d)!(1

2)N

de donde (el álgebra es algo tediosa)

f(x) =

√N

2σ

N !

(N2+ x

2d)!(N

2− x

2d)!(1

2)N

=

√N

2σ

N !

(N2+ x

2σ

√N)!(N

2− x

2σ

√N)!

(1

2)N

=

√N

2σ

N !

(N2(1 + x

σ√N)!(N

2(1− x

σ√N)!(1

2)N

cuestión sobre la que tomaremos el límite cuandoN →∞. Para ello usaremosla llamada aproximación de Stirling

n!→√2πnnne−n


podemos aproximar

(N

2(1 + ))! =

r2π

N

2(1 + )(

N

2(1 + ))

N2(1+ )e−

N2(1+ )

(N

2(1− ))! =

r2π

N

2(1− )(

N

2(1− ))

N2(1− )e−

N2(1− )

y entonces

(N

2(1 + ))!(

N

2(1− ))! = πN

√1− 2(

N

2)N(1− 2)

N2(1 + )

N2( )

(1− )N2 ( )

e−N

N ! =√2πNNNe−N

resultando

f(x) = =

√N

2σ

√2πNNN(1− )

N2 ( )

πN√1− 2(N

2)N(1− 2)

N2 (1 + )

N2( )(1

2)N

=1

2σ

√2π(1− x

σ√N)N2 (

xσ√N)

π√1− 2(1− x2

σ2N)N2 (1 + x

σ√N)N2( xσ√N)

=1

σ√2π

(1− xσ√N)x√N

2σ

(1− x2

σ2N)N2 (1 + x

σ√N)x√N

2σ

=1

σ√2π

(e−xσ )

x2σ

e−x2

2σ2 (exσ )

x2σ

=1

σ√2π

e−x2

2σ2 .

Donde hemos usado(1 +

x

N)N → ex.

Sorprendentemente, hemos encontrado que se trata de la distribución normal.

f(x) =1√2πσ

e−x2

2σ2 .

con valor esperado cero y desviación estándar σ. Para efectos de hacer cálcu-los numéricos

σ = d√N

con N grande debemos hacer pasos pequeños d = σ/√Ncon σ arbitrario.

INTRODUCCION A LA FISICA · INTRODUCCION A LA FISICA Luis Rodríguez Valencia1 Departamento de...

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