INTRODUCCIÓN A LAS MÁQUINAS HIDRAULICAS Tema 7: Introducción a las Máquinas ... · 2020. 6....

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas

1 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL

Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología

TEMA 7

INTRODUCCIÓN A LAS MÁQUINAS

HIDRAULICAS

HIDRAULICA APLICADACódigo 325

3º Curso, INGENIERÍA INDUSTRIAL

Curso 2004/05

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



1.1.- Introducción a las Bombas Centrífugas

1.2.- Clasificación de las máquinas de fluidos

1.2.1.- Introducción: generalidades

1.2.2.- Algunos tipos de bombas

1.2.3.- Clasificación de las turbobómbas hidráulicas

1.3.- Teorema Fundamental de las Turbomáquinas o Teorema de Euler

1.4.- Altura teórica aportada por una bomba

1.5.- Derivación alternativa de la ecuación fundamental de las turbomáquinas

ANEXOS

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



1.1.- Introducción a las Bombas Centrífugas

Este es el esquema típico de un bomba centrífuga.

Entrada Caudal

Salida Caudal

Brida de Aspiración

Brida de Impulsión

El sistema de funcionamiento es bastante sencillo. El caudal entra a la bomba a través de la brida de aspiración. Pasa a través del rodete, dispositivo con aspas que se mueve sobre su eje gracias al motor al que está acoplado. El rodete le comunica energía centrífuga al fluido, siendo expulsado hacia la voluta, especie de caracol que recoge el caudal que sale del rodete, el cual lo conduce hacia la brida de impulsión, salida de la bomba.

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



Entrada Caudal Eje

Salida Caudal Esquema de una bomba centrífuga

monobloc típica.

Motor: Eléctrico o Diessel

Rodete

Motor: Eléctrico o Diessel

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



Veamos que hace la bomba de forma breve: El fluido entra por la brida de impulsión, y sale por la de aspiración. Si aplicamos Bernoulli:

impimpimp

bombaaspaspasp z

gVp

Hzg

Vp++=+++

.2.2

22

γγ

Dasp

Dimp

Qentrada

Qsalida

∆z[ ]aspimpaspimpaspimp

bomba zzg

Vg

VppH −+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

.2.2

22

γγ

La diferencia de cotas entre la entrada y la salida es muy pequeña, y casi la podemos despreciar

0≈

Obviamente el caudal a la entrada es el mismo que a la salida, y si los diámetros de aspiración e impulsión son parecidos, las velocidades del fluido en esos puntos también lo serán, por lo que la diferencia la podríamos despreciar en un primer momento.

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

gV

gVpp

H aspimpaspimpbomba .2.2

22

γγ

0≈bomba

aspimp Hpp

+=γγ

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



O lo que es lo mismo, toda la energía de bombeo, o energía que entrega la bomba al fluido, éste lo invierte, o la almacena, en forma de presión a la salida de la bomba.

bombaaspimp H

pp+=

γγ

Por tanto, las bombas lo que hacen es aumentar la energía en forma de presión del fluido. Consumen Energía de la red, energía eléctrica normalmente, y entregan energía al fluido, el cual la almacena en forma de presión.

Energía consumida de la red

Perdidas en el motorEléctrico

Perdidas Mecánicas( en el eje )

Perdidas Hidráulicas( Rozamiento, turbulencias, Choques, etc.. )

Energía Hidráulica Útil Entregada al Fluido

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



¿ Cuál es la potencia necesaria para elevar el líquido de la tubería ?

( ) HQHAVPAVFVP imphimpimppotencia ........ γγ ====

Por tanto, la potencia útil que posee el fluido a la salida de la bomba será: HQPutil ..γ=

La potencia eléctrica que toma de la red será ( si el motor es trifásico ): ϕcos...3 IUPelectrica =

Así, el rendimiento de la bomba, será la relación entre la potencia útil que le entregamos al fluido y la potencia eléctrica que tomamos de la red, y que pagamos:

electricaútil

PP

=η

ηγ HQPelectrica

..=Es decir, la potencia consumida por la bomba será:

Donde el rendimiento será un parámetro de la bomba que el fabricante nos dará en forma de curva, en función del caudal que trasiega.

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



De forma preliminar vamos a intentar entender el comportamiento de la bomba. Supongamos que no existen ningún tipo de pérdidas en la bomba. Así toda la energía que extraemos de la red se la comunicamos a la bomba. Esto es debido a que el motor eléctrico mantiene las rpm constantes, por tanto, la energía disponible para el fluido se mantiene de alguna manera constante. Si pasa poco líquido, la energía que le daremos al fluido por unida de volumen será mayor que si pasa mucho fluido por la bomba. Por tanto, es de esperar que el comportamiento de la bomba sea de una forma parecida a esta:

Si por la bomba pasa Q1, la bomba le da energía al fluido el cual la almacena en forma de presión, correspondiéndole una altura H1, si pasa más caudal, Q2, la misma energía se reparte entre más y por tanto, a cada unidad de caudal le corresponde menos energía, por lo que la energía almacena es menor, y por tanto sale de la bomba con menos presión ( altura ), H2.

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



La bomba no sabe cuanto caudal ha de trasegar, quien marca el caudal es la instalación sobre la que va montada la bomba. Supongamos que tenemos la instalación de la figura

Curva Resistiva de la Instalación, HA

La bomba si la colocamos es la instalación anterior, tendrá su punto de funcionamiento en H0,Q0. Que como vemos depende de la fricción, la válvula y la cota.

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



Matemáticamente esto se expresa como:

Curva Motriz2.. QCQBAHbomba ++=

Curva Resistiva de la instalación.22 .. QrQrZH valvulafricciónA ++∆=

Así, si queremos un caudal en concreto, lo que hemos de hacer es variar la curva resistiva, y para eso está la válvula que en función de su grado de abertura introducirá una resistencia u otra. Así, si por ejemplo cerramos la válvula aumentando la resistencia hidráulica de la misma, el sistema reducirá el caudal, Q1, y aumentando la altura, H1, que proporciona la bomba.

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



Partes principales de las Bombas Centrífugas

ImpulsiónDifusor

Impulsión

Aspiración

Aspiración

RodeteCámara Espiral o Caracol o Voluta

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



Rodete

Voluta o Caracol

Linea de flujo

Punto de entrada al rodeteBOMBA CENTRÍFUGA SIN DIFUSOR

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



EL aumento de energía se refleja a la salida del rodete como un aumento del momento cinético. SI queremos comunicar mucha energía al fluido, y por tanto una mayor presión, la velocidad absoluta a la salida del rodete será muy grande. Al pasar este fluido con alta velocidad por la voluta, se producirán muchas perdidas de energía por fricción ya que estas dependen de la velocidad al cuadrado. Para evitarlo, se coloca entre el rodete y la voluta unos álabes fijos que reducen la velocidad de salida aumentando la presión ( transforma energía cinética en potencial, no se pierde ), con lo que se reduce las perdidas posteriores en el paso por el caracol.

DIFUSOR

RODETE

CARACOL

CARCASAIMPULSIÓN

ASPIRACIÓN

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



1.2.- Clasificación de las máquinas de fluidos

1.2.1.- Introducción: generalidadesLas bombas son máquinas de fluidos, es decir, dispositivos que transforman energía:

• TURBINAS : Máquinas de fluidos absorben energía del fluido que trasiegan.

• BOMBAS : Máquinas de fluidos que comunican energía al fluido que trasiegan.

La primera gran clasificación de las máquinas de fluidos es atendiendo a su principio de funcionamiento:

• MÁQUINAS DE DESPLAZAMIENTO POSITIVO: Máquinas en las que el fluido es trasegado de forma discreta, es decir, el fluido se encierra en un volumen, desde la aspiración hasta la descarga, aplicándole una serie de trasformaciones trasformación.

• TURBOMÁQUINAS: Máquinas en las que el intercambio de energía es debido a la variación del momento cinético al pasar por la máquina. El intercambio se hace de forma continuo.

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



Otra gran división en la clasificación de las máquinas de fluidos será atendiendo al tipo de fluido que trasiegan, y sobre todo, a variación de la densidad del fluido en el interior de la máquina. Así podemos distinguir:

• Máquinas Hidráulicas: El fluido no experimenta cambios en su densidad en su paso por la máquina.

Bombas, ventiladores, turbinas hidráulicas

• Máquinas Térmicas: El fluido experimenta cambios en su densidad en su paso por la máquina

Turbinas de vapor y gas, turbocompresores

Así, nosotros dedicaremos la mayor parte de nuestro tiempo a las TURBOBÓMBAS HIDRÁULICAS, algo de tiempo a las BOMBAS HIDRÁULICAS DE DESPLAZAMIENTO POSITIVO, y sólo se comentará el funcionamiento y principales aplicaciones de las TURBINAS HIDRÁULICAS. Lo relativo a las TURBINAS TÉRMICAS queda fuera del ámbito de esta asignatura.

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



• Descripción general de una Bomba

1. Parte eléctrica: Motor y conexiones.

Motor de inducción o de jaula de ardilla, de potencia superior a la solicitud más desfavorable.

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



2.- Parte mecánica: Eje y rodamientos y sellos.– Muy simplificada al tratarse de un equipo compacto.– Eje y rodamientos sometidos a menos esfuerzos.

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



• Sellos: es vital en una bomba sumergible.• El más apropiado es la junta mecánica.

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



2.- Parte mecánica: Cámara de aceite para la lubricación y refrigeración de la junta mecánica.

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



Las juntas mecánicas pueden ser de distintos materiales según su aplicación:• Carburo de Tungsteno con base de cobalto (WCCo) ó VIDEA. Para ph un por encima de 6 y hasta 13 y temperatura máxima 90ºC. Consiste en pequeñas partículas cementadas en conjunto con un material ligante como base. En este caso el material ligante es el Cobalto (Co). Es duro, rígido y conduce bien el calor. Tiene buenas propiedades mecánicas en cuanto al deslizamiento y buena resistencia mecánica. Tiene también una capacidad muy buena para hacerse un repulido asimismo, por lo que resulta excelente de cara al mantenimiento.

• Carburo de Tungsteno (WCCR) Para un ph por encima de 3 y hasta 14. El carburo de tungsteno lleva como material ligante o base una aleación de cromo, níquel, molibdeno y otros metales. Este tipo de videa es resistente a la corrosión y resulta ideal frente a altas conductividades y alto contenido en cloruros (agua de mar).

• Carburo de Silicio (RSiC). Existen tres tipos de carburo de Silicio. El obtenido por transformación, el obtenido por síntesis, y el obtenido por adhesión y reacción. Es un material muy duro y con buenas propiedades para el deslizamiento, así como buena conductividad térmica, buena rigidez, y excelente resistencia a phs muy bajos y frente al ataque de cloruros. Cuando el líquido lleva partículas abrasivas, se suele utilizar el carburo de silicio por ser más resistente al desgaste que la videa. Sus limitaciones radican en su fragilidad, requiriendo especial cuidado en su manipulación y montaje. Los sellos de carburo de Silicio obtenidos por adhesión y reacción, tienen escasa resistencia en medios alcalinos.

• Oxido de aluminio, Al2O3 (cerámica). Es un material cerámico obtenido por síntesis.Tiene buena dureza y, por lo tanto, buena resistencia al desgaste. Al ser químicamente inerte, presenta buena resistencia a la corrosión. Se utiliza en casos de velocidades bajas o presiones reducidas, por su baja capacidad de deslizamiento. De todas formas, su resistencia al desgaste y a la filtración hacen de él un material a considerar en ciertas aplicaciones.

• Grafito (CSb). La estructura es porosa y se le puede añadir una impregnación metálica de antimonio (Sb). Su resistencia a la corrosión es relativamente buena y sus propiedades para el deslizamiento son excelentes, pero es un material débil mecánicamente y no es suficientemente duro para usarlo en sellados exteriores frente al medio. Es también muy frágil y debe tratarse con cuidado. Solo o en combinación con la cerámica se suele usar en juntas para aceite. Tanto el grafito como la cerámica tienen el límite de temperatura en 70ºC.

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



3.- Parte Hidráulica: Voluta, impulsor y anillos de desgaste.

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



Existen muchas formas de clasificarlo

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



A parte de esta existen un gran número de clasificaciones alternativas. En la literatura anglosajona es muy común este tipo de clasificación, en la que se llaman bombas dinámicas o cinemáticas a las turbobombas, y se llaman bombas centrífugas al conjunto de bombas radiales, centrífugas y helicocentrífugas

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



1.2.3.- Clasificación de las turbobómbas hidráulicas

Existe una gran cantidad de clasificaciones para las bombas hidráulicas. La más popular es la que las clasifica en función de la dirección del fluido en el rodete:

Radial o Centrífugo Helicocentrífugo o Mixo

• RADIAL o CENTRÍFUGA:

Toda partícula de fluido recorre una trayectoria situada en un plano normal al eje de giro.

• AXIAL:

Las partículas recorren trayectorias situadas en superficies cilíndricas coaxiales al eje de giro

• HELICOCENTRÍFUGAS:

Las partículas recorren trayectorias situadas sobre superficies cónicas o de revolución no desarrollables

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



Centrifuga

RadialAxial

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



Radial

Axial

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



• Según la disposición:

CAMARA SECA

SUMERGIBLES

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



• Cámara Seca:

• VERTICAL

• HORIZONTAL

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



• Sumergibles

1.- De pozo profundo. 2.- De Voluta. 3.- De hélice.

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



• Sumergibles: De pozo

1.- De eje largo. 2.- De motor sumergible

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



• Sumergibles: Con Voluta

1.- De motor exterior. 2.- De motor sumergible:

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



• Sumergibles: de Hélice

1.- De motor exterior.

2.- De motor sumergible:

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



• Según el tipo de eje:

• MONOBLOC: Cuando el eje es único para el motor y la bomba

• DE EJE LIBRE: Cuando la bomba y el motor tiene su propio eje, y se unen mediante algún mecanismo para que la bomba sea arrastrada por el motor.

Eje Libre

Acoplamiento entre ejes

Monobloc

Eje Común

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



• Según el Número de rodetes:

• MONOCELULAR ( monostage ): Cuando sólo tiene un rodete

• MULTICELULAR ( multistage ): Cuando tiene una serie de rodetes acoplados.

Múltiples

rodetes

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



Múltiples rodetes

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



• Según la configuración del conjunto álabes-discos externos que constituyen el rodete ( impeller ) :

• Abierto

• Semi-abierto

• Cerrado

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



• Según la configuración del conjunto álabes-discos externos que constituyen el rodete ( impeller ) :

MONOCANALBICANAL

VORTEX ABIERTO

CORTADOR TIPO TORNILLO

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



1.3.- Teorema Fundamental de las Turbomáquinas o Teorema de Euler

Podemos partir de la aplicación de la ecuación de conservación del momento angular para unos ejes fijos ( ver anexo A para su deducción )

( ) ( ) ( )∫∫∫ ×+∀×=+∀×+×∀∀ vcvc A

otrosC

erficie AdVVrdVrdtdTdgrFr ρρρ

.sup ..

( ) ( ) ( )∫ ×+∫ ×=∫ ×=ΣΣ 12

AdVVrAdVVrAdVVrMvcA

ext ρρρ

Entendiendo el volumen de control como todo al rotedete, y simplificando, suponiendo la ausencia de rozamiento con los álabes y estado estacionario, obtendremos:

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



• El único par exterior al V.C. Será el par motor, Mmotor , necesario para mover el rodete con una velocidad angular ω.

• Podemos suponer que la velocidad del flujo tanto a la entrada como a la salida del rodete es uniforme, es decir, no depende del punto del área en el que nos situemos.

Con estas dos suposiciones la ecuación anterior queda como:

( ) ( ) ∫×+∫×=ΣΣ 2

21

1ˆ. AdVVrAdVVrkMmotor ρρ

Teniendo en cuenta los triángulos de velocidades:

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



Entrada:( ) ( ) ( )∫=∫=∫=∫

ΣΣΣΣ 1111cos.1.cos.ˆ.ˆ. dAVdAnVdAnVAdV θρθρρρ

rm QvVdAVAdV ....cos..cos.. 11111

ρρθρθρρ −=Σ−=Σ−=∫−=∫ΣΣ

Salida:( ) ( ) ( )∫=∫=∫=∫

ΣΣΣΣ 2222cos.1.cos.ˆ.ˆ. dAVdAnVdAnVAdV θρθρρρ

rm QvVdAVAdV ....cos..cos.. 12222

ρρθρθρρ =Σ=Σ=∫=∫ΣΣ

( ) ( ) ( ) ( )[ ]1221 ..)..().(ˆ. VrVrQQVrQVrkM rrrmotor ×−×=×+−×= ρρρ

Así, la ecuación anterior queda como:

Aplicando la definición de producto vectorial de dos vectores:

( )( ) u

u

vrVrVrVrVr

vrVrVrVrVr

22222222

11111111

.cos..sin..sin..

.cos..sin..sin..

====×

====×

αθθ

αθθ

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



Sustituyendo en la ecuación queda:

[ ]uurmotor vrvrQkM 1122 ....ˆ. −= ρ TEOREMA DE EULER BÁSICO DE LAS TURBOMÁQUINAS

La suposiciones que se han considerado son:

• No existen pérdidas hidráulicas en el rodete

• El rodete tiene un número infinito de álabes. O lo que es lo mismo todas las trayectorias de las partículas en el interior del rodete están perfectamente guiadas y son idénticas

• El régimen es permanente

• El flujo es incompresible

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



Vamos ahora a analizar un poco la expresión del teorema de Euler:

[ ]uurmotor vrvrQkM 1122 ....ˆ. −= ρ

Si nos fijamos en la velocidad del flujo, V, vemos que ésta se puede descomponer en dos , una componente radial, vm, la cual es obvio que no producirá ningún tipo de par, ya que su línea de acción pasa por el centro de giro, y una componente vu , tangencial, la cual será la responsable del par producido.

Se puede entender que el momento será proporcional a la distancia de aplicación, por tanto, queda claro que el momento creado sobre el fluido será proporcional a r.vu.

El motor de la bomba ha de proporcionar un par al fluido proporcional a r2.v2u, pero si el fluido a la entrada ya posee un par proporcional a r1.v1u, el motor sólo tendrá que proporcionarle el resto, es decir la resta de ambas cantidades.

Qr es el caudal que circula por el rodete, es decir el caudal que trasiega la bomba

[ ]uu vrvr 1122 .. −

[ ]

[ ] mNvrQ

ms

mkgmsm

skg

smm

sm

mkgvrQ

ur

ur

....

..........

22

2

3

322

=

==⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

ρ

ρ

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



1.4.- Altura teórica aportada por una bomba

Del teorema de Euler, podemos extraer la potencia teórica de que la bomba ha de proporcionar:

[ ] [ ] [ ]uuruuruurmotormotor vuvuQvrvrQvrvrQMP 112211221122 ................ −=−=−== ρωωρωρω

La potencia comunicada al fluido en su paso por el rodete será:

¿ Cuál es la potencia necesaria para elevar el líquido de la tubería ?

HQHAvPPAvFvP h

........

γγ ====

∞∞ = ,, .. tt HQP γ

[ ] ∞=−= ,1122 ...... truurmotor HQvuvuQP γρSustituyendo:

[ ]g

vuvuH uut

1122,

.. −=∞

ALTURA TEÓRICA PRODUCIDA POR UNA BOMBA DE INFINITOS ÁLABES

Como la mayoría de bombas están pensadas para que el flujo entre de forma radial al rodete, es decir con α = 90º , o lo que es lo mismo v1u = 0, la altura teórica para esta bombas será:

gvuH u

t22

,.

=∞

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



Es evidente que los parámetros que caracterizan una bomba son ALTURA y CAUDAL, por lo que sería adecuado intentar encontrar una relación entre ambos parámetros.

22

11 Σ

=Σ

= rm

rm

QvQvEl caudal es quien determina la componente radial vm de la velocidad V:

Mientras que la velocidad angular del rodete es quien marca la velocidad tangencial u y por tanto la velocidad de arrastre.vu

60...

60.2..

60.2. 2

222DNrNrurNru ππωπω ===→==

222 cos. αvv u =

Si nos fijamos en la figura, el ángulo geométrico más físico es β2, ya que viene marcado por la curvatura de los álabes, y es fijo, por lo que es mejor trabajar con este ángulo que con α2 el cual varía en función del caudal y la velocidad.

2222

222 cot. β

βgvu

tgvuv m

mu −=−=

w2

Sustituyendo en la ecuación de la altura:

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



( ) ( )

rr

t

mmut

QggDNND

gQ

ggDNDN

gH

ggvu

gu

ggvuu

gvuH

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Σ

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Σ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−=−

==

∞

∞

2

2222

2

2

222

2,

22222222222

,

1cot60

...60..1cot

60..

60...1

cot..cot...

βππβππ

ββ

rt QBNAH .. 2, −=∞

Para una velocidad de rotación dada N0, podemos determinar en función del ángulo de salida de las paletas lo siguiente:

rrt QBguQ

ggDN

guH .1cot

60.. 2

2

2

2222

, −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Σ

−=∞βπ

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

grados

cota

n

βtg1

β

N0 Régimen de Giro Nominal

Si β < 90º -> ctg β >0 -> B>0-> PENDIENTE NEGATIVA

si Qr aumenta, Ht Disminuye

Si β > 90º -> ctg β <0 -> B<0-> PENDIENTE POSITIVA

si Qr aumenta, Ht Aumenta

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



Veamos que ocurre con la potencia teórica comunicada al fluido por la bomba. La podemos calcular como:

( )rrtrt QBNAQHQP .... 2,, −== ∞∞ γγ

Como se puede observar, sólo las bombas con los álabes con ángulo b2 <90º son viables, ya que en el resto sería necesario motores de potencia infinita.

β 2>90

º β 2=90

º

β2 < 90º

( )

BNAQ

QBNAQP

r

rrt2

max

2,

.

...0

=

−==∞ γ

( )

22.

0.2..

max2

max

2,,

,r

Pr

rr

tt

QBNAQ

QBNAQP

MÁXIMAP

t==

=−=∂∂

→

∞

∞∞ γ

El caudal máximo que proporciona la bomba será:

El caudal que de la potencia máxima será:

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



1.5.- Derivación alternativa de la ecuación fundamental de las turbomáquinas

Supongamos que el rodete está parado, y que por tanto el fluido entra y sale de él con una velocidad w1 y w2 respectivamente. Aplicando el teorema de Bernoulli:

gwp

gwp

22

222

211 +=+

γγ

Donde p es la presión a la entrada y salida del rodete.

SI el rodete se pone en marcha y gira con velocidad angular constante ω, lo que hará será añadir al fluido una energía extra, E, derivada por la fuerza centrífuga en su camino desde 1 a 2.

gwpE

gwp

22

222

211 +=++

γγ

La fuerza centrífuga se puede determinar como: rmF mc .. 2, ω=

Así, el trabajo que realizará la fuerza centrífuga sobre una partícula que va de 1 a 2 estará determinado por:

2.

2.....

21

22

21

2222

.2

1

uumrrmdrrmWr

rCentr

−=

−=∫= ωω

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



Para una el fluido que circula entre dos álabes cuando el rodete esta quieto, según Bernoulli tenemos que:

2

222

1

211

2222221

21111

2222221

21111

.2.2

..

.....21..

..

.....21..

.....21.......

21..

zg

wgpz

gw

gp

Qg

QgzQwwAp

Qg

QgzQwwAp

QgzQwwApQgzQwwAp

r

rr

r

rr

rrrr

++=++

++=

++

++=++

ρρ

ρ

ρρ

ρ

ρρ

ρρρρ

Para una el fluido que circula entre dos álabes cuando el rodete esta girando con velocidad constante ω, según Bernoulli tendremos que:

2

222

21

22

1

211

222222

21

22

121111

222222

21

22

121111

.2.2.2

..

.....21..

..

..2

.....21..

.....21....

2.....

21..

zg

wgp

guuz

gw

gp

Qg

QgzQwwAp

Qg

QuuQgzQwwAp

QgzQwwApQuuQgzQwwAp

r

rr

r

rrr

rrrrr

++=−

+++

++=

−+++

++=−

+++

ρρ

ρ

ρρ

ρ

ρρρ

ρρρρρ

ρgpp

guu

gww 12

21

22

22

21

.2.2−

=−

+−Como usualmente z2=z1

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



ρgpp

guu

gww 12

21

22

22

21

.2.2−

=−

+−

γγ2

22

221

21

21

.2.2p

guwp

guw

+−

=+−

..2

121

21 ctep

guw

=+−

γECUACIÓN DE BERNOULLI GENERALIZADA

En el caso en en que existan pérdidas por fricción o por choques en el paso del fluido a través del rodete tendremos:

122

22

221

21

21

.2.2hp

guwp

guw

++−

=+−

γγ Perdidas por fricción y choques en el rodete ( en m.c.a )

Ahora, teniendo en cuenta el triangulo de velocidades tendremos que:

( ) ( )

( )

α

α

ααα

ααα

αα

cos...2

cos...2

cos...2sincos.

sin.cos...2cos.

sin.cos.

222

222

22222

222222

222

vuvuw

vuvuw

vuvuw

vvuvuw

vvuw

−=−

−+=

−++=

+−+=

+−=

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



En el caso de perdidas despreciables en el interior del rodete ( h12 = 0 ):

γα

γα 2222

221111

21

.2cos...2

.2cos...2 p

gvuvp

gvuv

+−

=+−

uvv 2cos. =α

gvup

gv

gvup

gv

pg

vuvpg

vuv

uu

uu

2222

21112

1

2222

21112

1

..2

..2

.2..2

.2..2

−+=−+

+−

=+−

γγ

γγ

Según Bernoulli, este sumatorio es la energía por unidad de peso que el fluido posee a la entrada del rodete

La energía por unidad de peso que el fluido posee a la salida del rodete

gvu

gvup

gvp

gv uu 11221

212

22 ..

.2.2−=+−+

γγ

gvuvuBB uu 1122

12.. −

=−g

vuvuH uut

1122,

.. −=∞

∞=− ,12 tHBB

Energía ganada por el fluido a su paso por el rodete

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



En el caso en que se consideren perdidas podemos determinar

gvuvuBBH uu

t1122

12,.. −

=−=∞

Si existe fricción en el rodete:

erot hBBH det12, −−=∞

Si queremos tener en cuenta tanto los efectos de fricción con el efecto producido por un número finito de álabes, englobándolo todo en perdidas en el rodete:

∑−−= rzt hBBH 12,

Si se quiere tener en cuenta la existencia de perdidas en la boca de entrada del rodete antes de la sección 1 y las perdidas producidas después de la sección 2, tanto en el caracol como en difusor, la altura útil creada por la bomba será:

∑−∑−∑−−=−= cdrASPIRACIÓNIMPULSIONu hhhBBBBH 12

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



kzjyixr .ˆ.ˆ. ++=

De la geometría obtenemos:

y definiendo:

dtkdz

dtjdy

dtidxv

dtkdz

dtjdy

dtidxk

dtdzj

dtdyi

dtdx

dtrd

p .ˆ

.ˆ

..ˆ

.ˆ

..ˆ.ˆ. +++=+++++=

rRX +=

dtrdV

dtrd

dtRd

dtXdV ref +=+==

Ahora podemos definir la velocidad de la partícula referida al sistema fijo como:

Donde es la velocidad del origen de coordenadas del marco móvil.

refV

A.1.- Relación entre las velocidades de una partículas tomadas respecto a un sistema de coordenadas fijo y móvil

ANEXOS

Donde es la velocidad de la partícula respecto del marco móvil

De la expresión anterior, que relaciona la velocidad de la partícula en los dos marcos de coordenadas, sólo que por averiguar una expresión para:

pvdtkdz

dtjdy

dtidxvV

dtXdV pref .

ˆ.

ˆ. ++++==

dtkd

dtjd

dtid ,

ˆ,

ˆ

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



Cálculo de la derivada del vector unitario :

Giro respecto al eje z con una velocidad angular wz :i

( ) ( ) jt

jt

tittidtid

zttadebido z

ˆˆ).1(limˆˆ

limˆ

00ωθ

ω=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆−+∆

=→∆→∆

Giro respecto al eje y con una velocidad angular wy :

( ) ( ) kt

kt

tittidtid

yttadebido y

ˆ)ˆ.().1(limˆˆ

limˆ

00ωθ

ω−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∆

−∆=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∆−+∆

=→∆→∆

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



Giro respecto al eje x con una velocidad angular wx : No tiene ningún efecto sobre el eje x. Por lo que al combinarlos:

kjdtid

yz ˆ.ˆ.ˆ

ωω −=

Para los otros ejes: jidtkdik

dtjd

xyzx ˆ.ˆ.ˆˆ.ˆ.

ˆωωωω −=−=

( ) ( ) ( )kxyjzxiyzdtkdz

dtjdy

dtidx yxxzzy ˆ...ˆ...ˆ....

ˆ.

ˆ. ωωωωωω −+−+−=++

( ) ( ) ( )kxyjzxiyzzyx

kjir yxxzzykyx ˆ...ˆ...ˆ...

ˆˆˆωωωωωωωωωω −+−+−==×

rdtkdz

dtjdy

dtidx ×=++ ω.

ˆ.

ˆ.

Por tanto, resumiendo tenemos que: rvVV pref ×++= ω

Nota:

Velocidad de la partícula p respecto C.Móviles

Velocidad del origen del sistema de C.Móviles respecto a C . Fijas

Velocidad angular del sistema C. Móviles

Vector Posición de la partícula P respecto C. Móviles

Velocidad de la partícula p respecto C.Fija

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



A.2.- Ecuación del momento para un volumen de control con aceleración arbitraria

Si la cantidad de momento de un sistema respecto a unos ejes coordenados fijos o con velocidad constante:

P

∫=∫=∫∫ ==→=syssyssyssys MMMM sys

dmadmdtVddmV

dtd

dtPdFdmVP ....

rvVV pref ×++= ωComo:

( )rdtd

dtvd

adtVd p

ref ×++= ω

ppp

p vadtvd

rvdtrd

×+=→×+= ωω

( ) ( )

( ) rvrrdtd

rvrdtrdr

dtdr

dtd

p

p

××+×+×=×

×+×+×=×+×=×

ωωωωω

ωωωωωω

rrvaaa ppref ×+××+×++= ωωωω.2

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



rrvaaa ppref ×+××+×++= ωωωω.2(1) (2) (3) (4) (5) (6)

(1) Aceleración rectilínea absoluta de una partícula relativa al marco de referencia fijo

(2) Aceleración rectilínea absoluta del sistema de coordenadas relativa al marco de referencia fijo

(3) Aceleración rectilínea rectilínea de una partícula relativa al marco de referencia en movimiento

(4) Aceleración de Corilolis debida al movimiento de una partícula dentro del marco en movimiento

(5) Aceleración centrípeta debida a la rotación del marco en movimiento

(6) Aceleración tangencial debida a la aceleración angular dentro del marco en movimiento

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



Sustituyendo esta aceleración en la expresión de la segunda ley:

[ ]

[ ] [ ]sysM

pM

p

Mp

Mprefsys

Mpprefsys

dtpddmv

dtddm

dtvd

dmadmrrvaF

dmrrvaaF

syssyssyssys

sys

=∫=∫=∫=∫ ×+××+×+−

∫ ×+××+×++=

.....2

..2

ωωωω

ωωωω

Donde es la cantidad de movimiento relativo al marco de coordenadas en movimientop

[ ]sysM

prefsys dtpddmrrvaF

sys

=∫ ×+××+×+− ..2 ωωωω

Ahora, aplicando el Teorema de Arrastre de Reynolds:

( ) Advvdvtdt

pd

C CSppp

sys∫ ∫+∀

∂∂

=∀. ..

.... ρρ

Se obtiene, con una pequeña modificación que:

[ ] ( ) Advvdvt

drrvaFC CS

pppC

prefsys ∫ ∫+∀∂∂

=∀∫ ×+××+×+−∀∀ . ...

.......2 ρρρωωωω

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



A.3.- La Ecuación de Cantidad de Movimiento Angular: V.C. Fijo

El momento Angular de un sistema homogéneo se define como:

Para un sistema genérico lo definiremos como:

El principio del Momento Angular para un sistema será:

Donde es el momento de torsión total sobre el sistema ejercido por lo alrededores

Normalmente las fuerzas de volumen son la gravedad, por lo que podemos escribir:

VrH ×=

∀×=×= ∫∫∀

dVrdmVrHCMsys

....

ρ

syssys dt

HdT =

sysT

otrosvolumenerficiesyssys TFrFrFrT +×+×=×= sup

( ) otrosC

erficiesyssys TdgrFrFrT +∀×+×=×= ∫∀.

sup ..ρ

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



∫∫ +∀=∀ vcvc A

sis AdVddtd

dtdN ρηρη

sismVr ×

=η

Aplicando el Teorema de Arrastre de Reynolds para el cálculo de la variación del momento angular:

Ahora, introduciendo estas expresiones en la anterior:

( ) ( )∫∫ ×+∀×=∀ vcvc A

sis AdVVrdVrdtd

dtHd ρρ

( ) ( ) ( )∫∫∫ ×+∀×=+∀×+×∀∀ vcvc A

otrosC

erficie AdVVrdVrdtdTdgrFr ρρρ

.sup ..

Se trata de un V.C fijo, y por tanto todas las velocidades y vectores se determinan respecto al sistema fijo

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



A.4.- La Ecuación de Cantidad de Movimiento Angular: V.C. Rotatorio

Se va a desarrollar una formulación para un V.C que gira con el móvil, es decir, para un sistema de referencia no inercial.

Para un sistema:

Si el origen de coordenadas del sistema móvil coincide

con el del sistema fijo:

( ) ( ) ∀×+=×+= ∫∫∀

dVrRdmVrRHCMsys

....

ρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×==→∀×=→= ∫∫

∀dmVr

dtd

dtHdTdVrHR

sysMsyssys

C..0

.ρ

Como la masa de un sistema es fija, podemos introducir la diferencial dentro de la integral:

( ) dmdtVdrV

dtrddmVr

dtddmVr

dtdT

syssyssys MMMsys ∫∫∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×+×=×=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×=

( ) dmardmdtVdrT

dtrd

dtrdV

dtrd

dtrdV

dtrdVV

syssys MMsysRref ∫∫ ×=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛×=→=×=×→=⎯⎯→⎯+=

=00

Utilizando la deducción del apartado anterior:

El producto vectorial de un vector por si mismo siempre vale 0

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



( )dmrrvarTsysM

ppsys ∫ ×+××+×+×= ωωωω.2

Recordando la expresión de la aceleración deducida con anterioridad:rrvaaa ppref ×+××+×++= ωωωω.2

0, ya que coinciden ambos orígenes de coordenadas

( ) ( ) dmdtvd

rdmardmrrvrTsyssyssys M

p

Mp

Mpsys ∫∫∫ ×=×=×+××+××− ωωωω.2

sysMp

M

p

dthddmvr

dtddm

dtvd

rsyssys

=×=× ∫∫Que es la variación del momento angular referido únicamente al sistema no inercial ( móvil )

( ) otrosC

erficiesys TdgrFrT +∀×+×= ∫∀.

sup ..ρComo:

Y utilizando el teorema de arrastre de Reynolds:

( ) ( )∫∫ ×+∀×=∀ vcvc A

pppsis Advvrdvr

dtd

dthd ρρ `

Tem

a 7:

Intro

ducc

ión

a las

Máq

uina

s Hid

rául

icas



Sustituyendo:

( ) ( )dthddmrrvrTdgrFr sis

Mpotros

Cerficie

sys

=×+××+××−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+∀×+× ∫∫

∀ωωωωρ .2..

.sup

Obtenemos que:

( ) ( )

( ) ( )∫∫

∫∫

×+∀×=

∀×+××+××−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+∀×+×

∀

∀∀

vcvc Appp

Cpotros

Cerficie

Advvrdvrdtd

drrvrTdgrFr

ρρ

ρωωωωρ

`

.2....

sup

Se trata de un V.C que gira en torno de un eje fijo,un sistema no inercial ( móvil y con aceleración ) y que coincide con el origen de coordenadas del sistema inercial ( fijo ), y por tanto todas las velocidades y vectores se determinan respecto al volumen de control, es decir, sistema móvil.

INTRODUCCIÓN A LAS MÁQUINAS HIDRAULICAS Tema 7: Introducción a las Máquinas ... · 2020. 6....

Documents

Transcript of INTRODUCCIÓN A LAS MÁQUINAS HIDRAULICAS Tema 7: Introducción a las Máquinas ... · 2020. 6....