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DETERMINACIÓN DE INVARIANTES EN ESQUEMAS DE ACCIÓN DE LAS OPERACIONES ARITMÉTICAS:

UN DISEÑO PARA LA EDUCACIÓN (Primera Parte)

Aprobado para ser presentado en el congreso de la Jean Piaget Society, 8-10 junio/2017. San Francisco, CA.

Amparo Lotero-Botero [email protected]

Edgar Andrade-Londoño [email protected]

Luis Alejandro Andrade-Lotero [email protected]

Introducción

Sabemos que antes de los sistemas formales para operativizar con símbolos, las operaciones

aritméticas fueron acciones en las que se desplazaban con las manos cantidades de objetos tangibles

sobre superficies. En esas superficies se delimitaba la acción como un inicio, una transformación y un

resultado, con el fin de hacer cuentas.

La representación escrita de las cantidades de objetos tangibles, por un lado, y, de otro, la expresión

de las formas del hacer cada vez más sintéticas y comprensivas, terminaron por simbolizar las

cantidades y las formas del hacer. Dicho proceso se esquematiza en la figura 1.

Figura 1. Del hacer fáctico a la simbolización.

DETERMINACIÓN DE INVARIANTES EN ESQUEMAS DE ACCIÓN DE LAS OPERACIONES ARITMÉTICAS

2

Nuestra pregunta es:

Figura 2. La pregunta de investigación.

Aquí postularemos y describiremos tres invariantes en los esquemas de la acción de hacer cuentas1,

básicamente como resultado de tres vías de examen.

La primera, ha sido una búsqueda histórica que nos ha permitido elaborar escenarios de lo que

debieron ser las exigencias del mundo de vida cultural que condujeron a fundar las acciones de los

seres humanos para construir números y calcular con ellos, de maneras cada vez más amplias y

exactas.

La segunda vía ha sido un ejercicio de experiencias personales continuadas en escenarios fáctico-

empíricos de hacer cuentas con cantidades tangibles, tras la finalidad de diseñar maneras

experienciales de aprendizaje que puedan ayudar a niñas y niños a conferir sentido a las operaciones

aritméticas, más allá (o antes) de las formalizaciones simbólicas.

La tercera, ha sido referir las anteriores experiencias a una teoría epistemológica que ha sustentado

sus construcciones teóricas en el pilar de las acciones experienciales de los individuos como fuente

del conocimiento. Estamos hablando de lo expuesto por Jean Piaget y sus colaboradores de la Escuela

de Ginebra. Si bien el acervo de documentación de esta teoría acerca de experiencias con niños en

escenarios del número y transformaciones de la cantidad es amplio y rico, por nuestra parte hemos

1 Ver Lotero-Botero, A; Andrade-Londoño, E & Andrade-Lotero, L.A. 2016. De comprender las operaciones

aritméticas como acciones a la solución de problemas. Presentado en el taller: From basic cognition to mathematical practice. Sevilla, España, 19-21 Septiembre. https://www.researchgate.net/publication/312121445_From_Understanding_Arithmetic_Operations_as_Actions_to_Word-problem_Solving).


3

emprendido una descripción de la acción aritmética que hasta hoy es inédita en el marco de esta

teoría. Hay que destacar que, pese a tratarse de una descripción nueva en el contexto piagetiano,

motiva gran atención el hecho de que las ideas acerca de los procesos de asimilación y acomodación

desarrolladas en la teoría, hayan brindado un valioso soporte en nuestras vías de análisis.

Si bien nos situamos en un escenario empírico de acciones fácticas, no obstante, desde el mismo

inicio se encuentra que estas acciones humanas son representacionales por excelencia.

Figura 3. Grabado del s. XVI, alegórico de Madame Arithmetica, en el centro.

Nótese la tabla para hacer cuentas encima de la mesa.

En general, asumimos el sentido de cualquier acción cuando una forma determinada de proceder

alcanza exitosamente la finalidad propuesta. Entonces, esta forma de acción se generaliza, se

configura un esquema de esa acción en un proceso que podría ser descrito como se muestra en la

figura 4.

Figura 4. La acción reiterada con sentido configura el esquema de acción.


4

Bajo este planteamiento, miraremos primero en las acciones de lo que hemos llamado el hacedor de

cuentas de la historia y luego en las acciones del que llamaremos hacedor de cuentas aprendiz,

asumiendo las ideas de asimilación y acomodación de esquemas de acciones. Enfatizamos en el

hecho de que es un sujeto humano el que ejecuta la acción, pues se trata de describir cómo en las

acciones que este sujeto ejecuta es que se van configurando las invariantes sobre las que luego se

fundarán las formalizaciones y simbolizaciones.

Examinaremos cómo a partir del esquema de acción que se estableció en el hacer primigenio para

hacer el número natural, se fueron asimilando y acomodando esquemas cada vez más amplios que

contienen las mismas maneras de proceder de esquemas precedentes.

Este proceso podemos resumirlo así:

Figura 5. Conceptualizaciones desde la epistemología genética

2.

Si esto es así, habrá que examinarlo para el caso específico de las acciones aritméticas. Tengamos

presente que las acciones fácticas aritméticas son disposiciones de cantidades de cosas tangibles, con

la finalidad de “sacar la cuenta”. Lo que será repetible y generalizable de estas acciones se hallará en

la experimentación misma de estas acciones.

2 Piaget elaboró los conceptos de asimilación y acomodación en varios de sus escritos. Aquí referimos su trabajo

póstumo, en colaboración con el físico y lógico argentino Rolando García: Piaget, J. & García, R. 1987/1993. Hacia una lógica de significaciones. Barcelona: Editorial Gedisa.


5

Los hacedores de cuentas en la Historia3

3 Nuestro sujeto, el hacedor de cuentas en la historia, quien efectúa las acciones que terminarán por

configurarse como esquemas de acciones, lo ubicamos en el mundo de vida mercantil. Las acciones humanas de intercambio de productos debieron realizarse desde épocas remotas. Sin embargo, el mundo de vida que asumiremos para el análisis, se sitúa en un período de tiempo aproximado entre el siglo VI a. n. e. y el siglo IX del calendario cristiano. El límite inferior de este período corresponde a un resurgimiento de civilizaciones que se habían asentado y prosperado a orillas de los grandes ríos (Nilo, Tigris y Éufrates, Amarillo, Indo) y que hacia el 1.200 a. n. e. fueron impactadas por cambios climáticos y ambientales, que aún no han sido bien determinados históricamente. A esas civilizaciones corresponden los textos escritos sobre superficies de arcilla, madera, papiro o corteza de árbol, en los que se narran maneras de proceder para hacer cuentas o medir, en descripciones que nos hacen suponer acciones esquematizadas en procesos milenarios (Tablillas sumerias, papiros egipcios, manuscrito Bakshali). El declive ambiental que afectó a estas antiguas civilizaciones marca un punto de inflexión en el discurrir de esas construcciones de conocimiento para contar y medir. Solo hasta el siglo VI antes del calendario cristiano se registra un resurgir en un mundo de vida de intercambios culturales, aupados por intercambios mercantiles, precisamente entre los pueblos de aquellas civilizaciones otrora florecientes. Es en este mundo de vida de frecuentes intercambios, al que se ha llamado la ruta de la seda, en donde pudo haberse sucedido una reiteración de acciones experienciales que terminarían en conocimientos aritméticos. El límite superior de la periodización que hemos asumido, siglo IX, tiene que ver con la creciente generalización y popularización de la lectura y escritura cuando la invención del papel sale de China hacia otros lugares de la ruta de la seda. Hasta entonces, la escritura había estado en manos de unos pocos escribas que consignaban sus textos sobre superficies que eran costosas y escasas. Es durante ese siglo IX, con el ascenso del Islam, que comienzan a traducirse y difundirse conocimientos que habían estado confinados en China e India, y para el caso que nos interesa, principalmente el del sistema numérico decimal posicional. En el transcurso de este período, catorce siglos, las maneras de proceder para sacar cuenta en los intercambios de mercado pudo estar a cargo de los mercaderes en buena medida, pero sabemos que también intervinieron contadores que hacían cuentas fácticamente, y escribas especializados. Se conocen registros sobre maneras de proceder de los mercaderes acudiendo a los dedos de las manos, empleando potencias de 10 o de 12 (ver, por ejemplo, Sigler, L.E. 2003. Fibonacci’s Liber Abaci. New York: Springer. Cap. 1, pag. 20; y, serie televisiva NHK. 1983. Ruta de la Seda por Mar. Episodio 6. La ruta de la pimienta). Este tipo de proceder de los mercaderes pudo deberse a que debían realizar largas y penosas travesías, a través de desiertos y montañas escarpadas, con pesadas cargas a lomo de camello, por lo que era poco probable que cargaran con tableros o ábacos cuando un gramo de pimienta podía costar más que un gramo de oro. Pero, sin lugar a dudas, debieron presentarse con frecuencia necesidades de cuentas mayores, algunas con residuos de potencias de diez, que requerirían una intervención más especializada. Para esto estarían los hacedores de cuentas en las madrazas del Islam o en los populosos mercados y aduanas de los oasis a lo largo de la ruta. Hoy se dispone de algunas imágenes de estos hacedores de cuentas, procediendo sobre superficies, ya sea con cantidades de materiales tangibles (fichas) o con ábacos. Las maneras de proceder generalizadas de estos hacedores de cuentas, esto es, esquemas de acción configurados en estas prácticas, serían “recogidas” por otros que las consignarían por escrito, como es el caso de Al-Juarismi en el siglo IX y, tardíamente en Europa, por Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci, hacia el siglo XIII, ambos ya con procedimientos algorítmicos narrados, empleando el sistema decimal posicional. El texto de Fibonacci nos revela la existencia de los hacedores de cuentas cuando dice: “{…} como mi padre era un

funcionario público, lejos de nuestra patria, en la aduana de Bugía (Argel) establecida por mercaderes pisanos, quienes frecuentemente se reunían allí, el me trajo con él en mi juventud y quiso que yo estudiara matemáticas … una maravillosa instrucción en el arte de las nueve cifras hindúes … y aprendí de ellos, de quien quiera que fuera versado en ese arte, del

cercano Egipto, Siria, Grecia, Sicilia y Provenza”. (Sigler, Op. Cit. Pag. 15) Otra revelación sobre la existencia de un hacedor de cuentas es que Fibonacci en su forma de redactar, además de la manera impersonal latina, utiliza la tercera persona del singular, así por ejemplo: “{…} él escribirá el número en una tabla y él pondrá la figura del número


6

El hacedor de cuentas actúa en el sentido de la secuencia natural de cualquier acción de

transformación con un antes y un después. A este sentido secuencial de la transformación de una

cantidad, lo llamaremos estructura básica de la acción aritmética. Esta estructuración básica de la

acción aritmética puede resumirse como se presenta en la figura 6.

Figura 6. Estructura básica de la acción de hacer cuentas.

Dicha transformación sólo puede operarse de dos maneras:

Agregar una cantidad a otra, o,

Quitar una cantidad de otra.

En este hacer fáctico, los hacedores de cuentas siempre tendrían tres cantidades sobre la tabla: La

inicial, la de transformación y la que resulta. Una de estas cantidades siempre será la cantidad todo y

las otras dos serán cantidades-partes.

Alguien podría decir que en una operación pueden agregarse o quitarse varias partes, de una sola vez.

Sí, en ciertas formalizaciones algorítmicas simbólicas. En la acción fáctica esto sólo podrá realizarse

por la cual él desea dividir…”. (Sigler, Ibid. Pag. 52). Fibonacci alude aquí al hacedor de cuentas que escribía en un tablero de tiza las figuras de sus cuentas. Somos conscientes de lo impreciso y difuso que puede situarse y describirse a este personaje que sin duda tuvo su existencia histórica y quien apenas comienza a ser reconocido. En los últimos años, sin embargo, ha comenzado a reescribirse la historia tradicional de las matemáticas, y cada vez más en la historia nueva aflora el mundo de los mercaderes. (Ver, por ejemplo: Hadden, R.W. 1994. On the Shoulders of Merchants. Albany: State of New York University Press; también el sitio web MacTutor History of Mathematics Archive). Quizá los fundamentos de las matemáticas, como un conocimiento hoy altamente simbolizado (y mitificado), podrían encontrarse en los orígenes mundanos de las acciones de estos hacedores de cuentas.


7

por iteración de esta estructura básica del sentido de la acción, como se ilustra en la figura 7. Nótese

que una expresión como a x b= c, es una formalización que sintetiza la acción iterativa, que oculta la

acción fáctica natural.

Figura 7. Secuencia en la acción fáctica por iteración de la estructura básica.

Invariantes de los esquemas de acción del Hacedor de Cuentas en la Historia

La cercanía inicial de la acción que el hacedor ejecuta en la tabla con el mundo de vida nos sitúa en el

campo del número natural4. Para hacer más sencilla nuestra descripción emplearemos cantidades

que no superan los dos cientos. Evitaremos en lo posible el empleo de terminología matemática

establecida formalmente, pues nuestra narración se sitúa antes de…

En el contexto de la acción fáctica del hacedor de cuentas, en un escenario empírico de una tabla con

cantidades tangibles, y ya abstraída una estructura básica del sentido de la acción, describiremos

hipotéticamente cuatro invariantes en las maneras de proceder del hacedor de cuentas. Estas

maneras invariantes configurarían los esquemas de acción. Este proceso podría resumirse como se

muestra en la figura 8.

4 Es el campo del surgimiento de la acción humana de organizar y contar unidades-cosas del mundo de vida.

Nosotros asumimos este concepto como la mediación representacional inmediata de estas unidades cosas del mundo organizadas en sucesión. Por supuesto que se trata de algo que no está en la naturaleza, es una elaboración humana. El concepto de número natural ha sido problematizado de muchas maneras, como anotara Piaget (Cfr. Piaget, J. & García, R. 1983. Introducción. Psicogénesis e Historia de las ciencias. México: Siglo XXI editores. p.12).


8

Figura 8. De la acción fáctica a las invariantes.

Las acciones del hacedor de cuentas se configurarán como invariantes en dos maneras de proceder:

Organizar las cantidades y contarlas. En la ejecución, por lo general, estas se suceden de manera

simultánea.

Figura 9. Las cuatro invariantes en los esquemas de acción aritmética.


9

Descripción de las invariantes en esquemas de acción

Primera Invariante: Organizar las cantidades

La organización de las cantidades en las acciones aritméticas comprenderá dos maneras de proceder:

establecer correspondencias uno-a-uno y establecer correspondencias uno-a-varios.5

Correspondencias uno-a-uno

Este es el escenario primigenio, el de formación del número natural. 6 Pensamos que la acción de

inventario secuencial uno a uno (antes del número) pudo haberse dado en comunidades de pastores

que pasaban re-vista a la completud del rebaño, por características eminentemente cualitativas

(tamaño, color del pelaje, etc.).7 Quizá en algunos casos se identificara a cada individuo con un

nombre propio.8 En este último caso, habría repaso en secuencia uno-a-uno para verificar “a la vista”,

en correspondencia con el nombre, la completud del rebaño.

Esta manera de proceder para verificar cualitativamente la completud de la cantidad sólo será posible

en un escenario empírico in situ. Sin embargo, pronto debieron presentarse necesidades de

comunicar ex situ una cantidad de cosas del mundo, y, además, hacer registros de memoria de ciertas

cantidades. La solución aquí, lo que en este escenario hacen nuestros ancestrales contadores es

fundacional de lo que vendrá en adelante. Acuden a una mediación representacional con colecciones

de tangibles, tales como guijarros, conchas o marcas sobre superficies.

5 Piaget examinó en varios de sus escritos las acciones de establecer correspondencias y las catalogó como uno

de los mecanismos cognoscitivos fundamentales (ver, por ejemplo, Piaget, J. & García, R. 1983. Introducción. Psicogénesis e Historia de las ciencias. México: Siglo XXI editores.) 6 Nos remitimos a un registro tan remoto como el Hueso de Ishango, datado en veinte mil años de antigüedad,

para imaginar este escenario que quizá sea tan ancestral como la misma especie humana. Para nuestro propósito, nos ubicaremos en las primigenias actividades de pastoreo. 7 En la exitosa serie televisiva de los años ochenta acerca de la Ruta de la Seda, sus realizadores encontraron

que varias comunidades nómadas, en una región aislada de las montañas desérticas de Irán, reunían sus rebaños de ovejas y luego podían separar las pertenecientes a cada comunidad, teniendo en cuenta las cualidades de cada individuo. (Cfr. NHK & CCTV. 1979. The Silk Road. Serie televisiva, 30 episodios). 8 Un hecho registrado por la antropóloga estadounidense Margaret Mead. 1928/1973. Coming of age in Samoa.

New York: Harper & Collins).


10

Figura 10. Representación de las cosas del mundo de vida.

Antes del nombre y símbolo de número debió ser una de tales colecciones de tangibles que se ponían

en el lugar de cualquier otra sucesión de cosas del mundo de vida. Pero, la condición para representar

la cantidad igual es que la colección de tangibles correspondía en sucesión uno-a-uno con la

colección de cosas del mundo de vida.9

La mediación con colecciones de objetos tangibles podrá expresar la cantidad de cualquier colección

de cosas del mundo en cualquier tiempo y lugar.10

Una cantidad de tangibles debió cumplir su papel mediador representacional bajo la forma de

colección de objetos almacenados, quizá en pequeños sacos de cuero de animal. Un receptor ex situ

de este mensaje lo comprendería a condición de hacer corresponder uno-a-uno cada tangible con

cada uno de los integrantes de una colección de cosas del mundo, imaginada en serie y ubicada en un

lugar distinto al de este receptor. Así, el emisario habría comunicado su mensaje de una determinada

cantidad, por ejemplo, cuántas ovejas hay en un sitio en donde el receptor de este mensaje no está.

9 En este punto, hemos tomado en cuenta lo expresado por Jean Piaget acerca de las acciones de agrupamiento

en torno a características comunes en una colección. 10

Esta mediación representacional está en la idea de objeto conceptual, postulada también por Piaget.


11

Figura 11. Comunicando una cantidad con tangibles.

En este caso, el código de la comunicación será el ordenamiento en sucesión y la correspondencia

uno-a-uno de la mediación representacional, pues hasta ese momento no habrá otra manera para

contar. No podemos saber cuánto tiempo habría tomado la práctica continuada de este hacer fáctico.

Lo que podemos asumir es que este hacer terminaría por volverse generalizado, consuetudinario,

esto es, un esquema de acción. Ya con este hacer esquematizado, los ancestrales contadores

asimilarían sobre este esquema de ordenamiento de unidades-cosas-tangibles en sucesión, una

nueva situación.

La nueva manera fue ponerle nombre a cada lugar y momento del hacer fáctico, esto es, ordenar en

sucesión.11 Esto se realizaría asimilando en el esquema precedente y acomodando sobre este

esquema, así:

11

Este poner nombre a cada cantidad resultante del momento de agregar uno más… debió suceder antes de la escritura, por lo que cada nombre sería expresado en forma verbal.


12

Figura 12. Designando cantidades con palabras del lenguaje natural.

Y sobre esta nueva acomodación en el esquema precedente de sucesión ordenada, se configuraría la

correspondencia uno-a-uno de cada nombre. Cabe esperar que, posteriormente, sobre este mismo

esquema, terminara acomodándose el nuevo ordenamiento de signos en el lugar de la sucesión de

cada nombre, en correspondencia uno-a-uno.12

Figura 13. Hacia los sistemas numéricos simbólicos.

12

Los grafos o figuras que se pusieron en el lugar del nombre de cada cantidad de la sucesión, llevan a presuponer escritura sobre alguna superficie. Se ha afirmado que algunos alfabetos, como el fenicio, procederían de la escritura de hacer cuentas.


13

Cada nombre de cantidad y cada símbolo, en cualquier cultura, se corresponde uno-a-uno con un

momento de la acción de disponer y agregar en sucesión ordenada. De aquí en adelante se

enumerará, se contará en una sucesión espacio temporal, disponiendo una unidad primero, otra

unidad luego, otra…. Hacer el número podrá adelantarse, en adelante, con colecciones de cualquier

clase de tangibles, en una sucesión representacional de unidades-cosas del mundo de cualquier clase.

Pero, además, en una sucesión de nombres y de signos en correspondencia con cada momento de la

acción de agregar.

Con esta acción de ordenar y contar en sucesión, los ancestrales hacedores de cuentas configuraron el

hacer primordial, con secuencias ordenadas y correspondencias uno-a-uno, primero, con mediaciones

representacionales de unidades-cosas del mundo a unidades-cosas tangibles, segundo, con nombre

de cada cantidad acumulada en el hacer sucesivo y, tercero, con signos que se ponen en el lugar del

nombre de cada cantidad. El resultado de cada agregación ordenada de estas unidades-cosas del

mundo lo llamaremos aquí cantidad-número, con el fin de seguir adelante en la descripción de

invariantes.

Tengamos en cuenta algo que va a cobrar gran importancia en este análisis. Si bien cada momento y

lugar de acumulación de unidades podía mediarse representacionalmente con un nombre y un

símbolo, no obstante, la acción fáctica de hacer cuentas seguiría siendo necesario ejecutarla sobre la

tabla del hacedor de cuentas, con cantidades tangibles, durante mucho tiempo13, hasta la

generalización del empleo del sistema de numeración decimal. Es así que sobre la serie ordenada de

unidades-de cosas- tangibles, dispuestas empíricamente sobre la tabla del hacedor, pudo haberse

acomodado una nueva manera de proceder.

Esta vez se trataría de agregar una cantidad-número a otra cantidad-número, con la finalidad de

obtener una cantidad mayor, y viceversa, estos, es, de una cantidad mayor quitar una cantidad

menor con la finalidad de encontrar la cantidad-resto.

Las necesidades de agregar o quitar una cantidad de otra debieron abordarse con acciones en las que

el hacedor de cuentas asimilaba en el esquema precedente, esto es, el esquema de contar las

unidades uno-a-uno en sucesión. Lo nuevo aquí, lo que habrá que acomodar con este propósito

ampliado como necesidad de una nueva manera de proceder, será acomodar las nuevas cantidades,

números, sobre la organización precedente en la tabla del hacedor.

En el contexto de la acción con propósito de transformación, las cantidades-número pasan a

considerarse como cantidades-partes y cantidad-todo. Cabe esperar que, en algún momento, este

ordenamiento empírico sobre la tabla del hacedor de cuentas hubiera conducido a superponer por

convergencia, la serie cantidad-todo con las series cantidades-partes (Ver figura 14).

13

Se ha señalado que lo que al final se escribía sobre alguna superficie, era la cantidad-resultado. Cfr. Hemenway, P. 2008. El Código Secreto. Colonia: Taschen Benedikt.


14

Figura 14. Manera de proceder para la intencionalidad de encontrar cantidad-todo.

Ya efectuada la disposición de añadir una cantidad–parte a otra cantidad-parte, se visualiza y se

establece la cantidad–todo contando uno-a-uno, algo “aprendido” ya en el esquema precedente14.

Cuando el hacedor necesitaba encontrar la cantidad-diferencia, debió proceder sobre la superficie

de la tabla superponiendo, por correspondencia uno-a-uno (abajo o encima de la cantidad-todo

ubicada como referencia) lo correspondiente a la cantidad-parte que el hacedor debía quitar. Para

encontrar la cantidad-diferencia, o cantidad-resto, el procedía por comparación respecto de la

cantidad-todo ubicada como referencia. Llenaba el vacío de congruencia agregando tangibles y

contando uno-a-uno hasta completar la cantidad-todo ubicada como referencia (Ver figura 15). 15

14

En cierta ocasión, una madre que llegó a nuestro centro tutorial para confiarnos la enseñanza de su hijo de ocho años, se lamentaba de que el niño intentara sumar y resta “contando a continuación” punticos que dibujaba en el papel, en lugar de hacerlo “de número a número” (a partir de símbolos, así como muchos recordaremos que lo hacían experimentados tenderos antes de las calculadoras de bajo costo). Y es que esta es la manera que los niños tienden a adoptar para “sumar” y “restar” luego de que han aprendido a contar, para lo que acuden a los dedos de la mano, claro, si no se les presiona para que de entrada cuenten de “símbolo a símbolo”. 15

Esta manera de proceder por convergencia, superponiendo y comparando una cantidad-todo con una cantidad-parte debió obedecer a la necesidad de encontrar cantidades-parte por compensaciones hasta igualar la cantidad-todo. Piaget encontró y registró en varios de sus trabajos con niños, esta misma forma de proceder por compensaciones hacia la cantidad-todo, en textos como La Toma de Conciencia. 1976/1985. Madrid: Ediciones Morata y Las Formas Elementales de la Dialéctica. 1996. Barcelona: Editorial Gedisa.


15

Figura 15. Manera de proceder para la intencionalidad de encontrar la cantidad-resto.

No se retira fácticamente de la tabla la cantidad sustraída. Se superpone a la cantidad-todo.

Las cantidades que el hacedor de cuentas ingresa a la tabla provendrán del mundo de vida, son

informaciones del propósito cultural externo a la tabla de trabajo del hacedor, por ejemplo, agregar

seis ovejas a siete y hallar cuántas ovejas resultan en total.

Ya en la tabla este propósito cultural se vuelve intencionalidad de la acción de cálculo del hacedor.

Para éste contarán solamente las cantidades en sí y su manera de proceder para disponerlas

organizadamente sobre la tabla. Realizada la organización y conteo fáctico sobre la tabla, el resultado

debió escribirse sobre alguna superficie, disponiendo la figura-símbolo que representaba una

cantidad-parte al lado de la otra cantidad-parte.16

En esta forma de acción podrían establecerse dos intencionalidades de cálculo posibles en la acción

aritmética definida antes, de acuerdo con la estructura básica de la acción. Veamos aquí estas dos

posibilidades:

Intencionalidad-hallar cantidad-todo (resultado final). El hacedor conoce la cantidad-parte

inicial y la cantidad-parte de transformación.

Intencionalidad-hallar una de las dos cantidades-parte (resultado final). El hacedor conoce la

cantidad-todo y la cantidad-parte de transformación.

En estas disposiciones sobre la tabla, la finalidad de cálculo, esto es, la cantidad-resultado, podrá

verificarse empíricamente por conteo de tangibles y por correspondencia con la cantidad-todo. Las

maneras de proceder para estas intencionalidades pueden obedecer a diversos propósitos del mundo

de vida, pero se establecen como una manera de proceder generalizada en las acciones del hacedor

sobre la tabla.

Esta manera de proceder organizando empíricamente las tres cantidades tangibles, esto es, la

cantidad-todo, y las dos cantidad-parte, debió terminar por configurar un esquema generalizado,

16

Es posible que en esta manera de proceder se encuentre el origen de algunos sistemas numéricos aditivos.


16

pero, además, y esto es notoriamente importante, llevaría al establecimiento de una condición a

tener en cuenta por el hacedor para disponer organizadamente las cantidades de que dispone y para

hallar y verificar la cantidad buscada en la intencionalidad.

Estamos hablando de la relación todo-partes, que en este escenario de la tabla será una proximidad

empírica, espacial, de correspondencia de cantidades en convergencia y congruencia sobre la

superficie de la tabla, como lo hemos presentado en las diferentes imágenes.

Puede ser que los hacedores sólo pudieran explicitar y tematizar esta relación todo-partes luego de

experiencias continuadas de organizaciones de las cantidades. Pero, además, estaría la conciencia de

aquello que se observa como verificación empírica del resultado por conteo comparando con la

cantidad-todo, esto es, la verificación de la conservación de la cantidad-todo. Y es que éstas, la

relación parte-todo y la conservación de la cantidad, que podríamos llamar invariantes conceptuales,

por ahora sólo son correspondencias de proximidades espaciales en la disposición organizada de

cantidades tangibles sobre la superficie de la tabla del hacedor.17

La consolidación de esta organización en correspondencia uno-a-uno debió ser necesaria para lograr

asimilar en esta organización otras cantidades y acomodar un esquema ampliado, que nosotros

describiremos como la segunda forma de organización de las cantidades.

Correspondencias uno-a-varios y varios-a-uno.

En esta nueva organización identificamos dos maneras de proceder:

Particiones dentro de una cantidad-todo, y

Particiones de una cantidad-todo por asignaciones externas.

Pasamos a describir el primer modo.

Primer modo: particiones dentro de una cantidad-todo

Muchas circunstancias procedentes del mundo de vida pudieron conducir a la conveniencia de

organizar una cantidad-todo en cantidades-parte, estas últimas con igual número de unidades-cosas

del mundo, así como a la acción reciproca de descomponer cantidades-todo por sustracción sucesiva

de cantidades-parte iguales. Sin embargo, fue una actividad que comenzó a tener gran incidencia

social y económica, la que debió conducir a una búsqueda reiterada por organizar las cantidades-

cosas del mundo. Nos referimos al intercambio de productos en mercados culturalmente diversos.

17

La conciencia de esta convergencia todo-partes por acciones de comparación y compensación, puede ya encontrarse históricamente en el álgebra escrita, como narración de maneras de proceder invariantes, por Al-Juarismi en el siglo IX. Los procedimientos de restauración y reducción (al-gabr wa'l-muqabala) siempre con referencia a una cantidad-todo. Cfr. Rosen, F. 1831. The algebra of Mohammed Ben Musa. Londres: The Oriental Translation Fund.


17

Pensemos en ejemplos de algunos productos básicos de la antigüedad18, tales como granos de

cereales, vino, tejidos, aceitunas, pimienta, manzanas, huevos de gallina o pato, etc. ¿Cómo organizar

y estandarizar cantidades de tales productos para establecer equivalencias entre unos y otros de

forma que pudieran intercambiarse entre sí?

Esta necesidad de establecer equivalencias para el trueque se abordó acotando las cantidades de los

productos. Para esta fragmentación se tuvieron en cuenta principalmente dos condiciones. La

primera fue “separar” aquellos productos físicamente continuos en partes estables y discretas, a la

manera de las unidades que ya los hacedores “sabían” contar uno-a-uno. Así por ejemplo, el vino se

contaba por cada contenedor como ánforas o toneles, el trigo por cada recipiente que contenía los

granos, la tela tejida por cada vara que se superponía sobre ella. Por otro lado, productos discretos

tales como manzanas, naranjas y otros se organizaron en grupos de tantas unidades.

La segunda condición era que había que establecer una fragmentación o cantidad-parte que sirviera

de comparación, según las cualidades físicas de los productos, de forma que contuviera los líquidos y

los granos, que pesara los sólidos, que separara el largo de la tela, etc. Cada una de estas

fragmentaciones, que servía como una unidad de comparación fue llamada unidad de medida.19

Tengamos presente que esta organización de los productos para el intercambio se adelantaba por

fuera de la tabla del hacedor de cuentas. Eran los productores (agricultores, artesanos) y los

administradores estatales quienes fijaban las estandarizaciones de unidades de comparación

estables, esto es, unidades de medida20. Pero estas cantidades estandarizadas, así como las

equivalencias entre los productos21, llegaban a la tabla del hacedor de cuentas y era este quien

efectuaba la organización de las cantidades ya agrupadas para el trueque y quien, además,

determinaba las cantidades finales de la transacción.22

18

No vamos a tener en cuenta aquí épocas históricas consideradas tradicionalmente, como por ejemplo, las edades de los metales. Estudios históricos de los últimos años han comenzado a considerar el transcurrir desigual de algunas comunidades humanas, ya fuera por circunstancias de aislamientos medioambientales, asentamientos tardíos, entre otros. 19

En la historia de las matemáticas, se ha concedido poca o ninguna importancia a las unidades de medida en el desarrollo inicial de esta forma de conocimiento. 20

Todavía en el siglo XIII, cuando escribe Fibonacci, puede apreciarse una gran diversidad de unidades de medida a lo largo de la ruta de la seda. En su mayoría, eran unidades de medida no decimales. Esto pudo haber conducido a un desarrollo del cálculo aritmético con cantidades fraccionarias, no sólo como partes para la composición de una cantidad total, sino también para la puesta en correspondencia de cantidades proporcionales con diferentes unidades de medida. 21

El establecimiento de equivalencias entre productos para el trueque se define por fuera de la tabla del hacedor de cuentas. La determinación del valor de las mercancías, en las relaciones sociales de producción, fue objeto de examen por la economía política clásica (Adam Smith, Karl Marx). En el libro En Hombros de Mercaderes, su autor, Richard W. Hadden, argumenta que en el intercambio de mercancías diversas que contienen valores equivalentes podría encontrarse el origen de la “magnitud general” que aportó al desarrollo de la “nueva mecánica”. Cfr. Hadden, R.W. 1994. On the Shoulders of Merchants. Op.Cit. Sin embargo, este asunto no será considerado aquí, por ahora. 22

Para los escenarios empíricos que hemos asumido en este escrito, consideramos el trueque entre productos sin equivalencia en monedas, para facilitar la exposición.


18

Ya en la tabla del hacedor, las cantidades se independizan de su vínculo con la concreción de ser

cualquier unidad discreta de cosas del mundo de vida para ser solamente unidades de medida. Ahora

sólo serán “una cantidad de cosas” agrupadas que hay que cuantificar por medio de una acción del

hacedor de cuentas y que, en sí misma, sólo sucede en la tabla.

A continuación examinaremos la manera como pudo ser este suceso en la tabla del hacedor.

Para ilustrar estas fragmentaciones estables, cantidades-comparación o unidades de medida,

acudiremos a la docena, esto es, un grupo de doce unidades discretas (ejemplo, naranjas, manzanas,

huevos, etc.). Esta cantidad doce unidades discretas, en algún momento se estableció como unidad-

comparación o de medida.23. En primera instancia, podríamos imaginar un aglomerado de unidades

concentradas y sin orden, como lo ilustramos en la figura 16, a continuación. Esta manera de

disposición de una cantidad de unidades de cosas del mundo, pudo haber favorecido una concepción

del número como una colección de unidades24.

Figura 16. Imagen del número concebido como una colección de unidades.

Una cantidad docena de unidades discretas cosas del mundo, podría almacenarse quizá en una cesta,

pero en la tabla del hacedor se organizarían las cantidades tangibles que representaban la cantidad

de cosas del mundo. Se dispondrían los tangibles de manera ordenada y secuencial, pues de otra

manera no se habría asimilado en el esquema antecedente de correspondencias uno-a-uno, como se

23

La docena, una unidad de medida ampliamente usada a lo largo de la ruta de la seda y en el Mediterráneo, quizá haya sido determinada por su conveniencia para ser empleada en métodos de cuentas con los dedos de la mano. En la región del Mediterráneo, concordaba con la organización de la moneda (P. ej. Un soldo -moneda italiana antigua- equivalía a 12 denarios). 24

La definición de número como una colección de unidades proviene de la matemática helenística. Una definición más moderna, que puede proceder de la disposición empírica sobre la tabla del hacedor, disponiendo las unidades de tangibles en sucesión lineal para contar, es la que expone Fibonacci: “...un número es una suma de unidades, o una colección de unidades, y por medio de la adición de ellas los números se incrementan por pasos sin fin”. (Sigler, Op. Cit. Cap. 1, pag. 17).


19

ha ilustrado en las figuras 14 y 15. De esta forma, el ordenamiento lineal debió ser importante para

contar en sucesión, pero además, esta disposición favorecería la comparación de las cantidades.

Para comenzar, asumiremos un escenario en el que no se conoce el tamaño de cada cantidad-parte,

un escenario previo a definir una parte-comparación o unidad de medida. Por ahora hemos asumido

ejemplificar con cantidades-todo divisibles (sin residuo)25.

La información que se entrega al hacedor es la siguiente: La cantidad-todo será, por ejemplo, una

cosecha de 36 naranjas. Se desea “repartir” (partir, fraccionar…) esta cantidad-todo en tres

cantidades-parte iguales, este es el propósito cultural que proviene del mundo de vida.

El hacedor de cuentas procede. Su intencionalidad es encontrar cuántas unidades (naranjas) tendrá

cada cantidad-parte igual.26 A esta cantidad-parte igual de discretos la llamaremos cantidad-parte-

grupo.

Figura 17. Manera de proceder para la intencionalidad encontrar la cantidad-parte-grupo.

Lo llamativo en este caso, sería la necesidad de “echar mano” a una cantidad de tangibles que se

pone en el lugar de las cantidades-parte-grupo en correspondencia uno-a-varios con respecto a las

unidades de cada grupo. Esta, que será una cantidad de referencia, estará en correspondencia uno-a-

25

El problema del resto debió presentarse desde los mismos inicios de las actividades humanas de intercambio mercantil y mediciones, tanto con materialidades discretas como continuas. Y fue abordado de varias maneras con cantidades-parte de otras cantidades-parte. El drama pitagórico de los irracionales parece ser un mito más al que nos han acostumbrado. 26

Esta es una sencilla manera de repartición, que quizá en un inicio debió efectuarse por personas del común en el mundo de vida, fuera de la tabla del hacedor de cuentas. Sin embargo, nos sirve para ilustrar esquemas antecedentes de otros esquemas más complejos que sí estarían a cargo de personas especializadas.


20

uno para contar cada parte-grupo. Esta cantidad servirá de referencia o soporte para indicar en

cuántas partes ha de partirse la cantidad-todo. Pero además servirá para marcar la “repartición” uno-

a-uno desde la cantidad-todo hacia cada unidad de referencia.

Finalmente, se contarán uno-a-uno las unidades (naranjas) de cada cantidad-parte-grupo.

Es difícil concebir cómo pudieron adelantarse acciones de partición en los albores de las actividades

humanas de cálculo, que no fuera procediendo secuencialmente por asignación uno-a-uno a cada

cantidad de referencia, como se ilustra en la figura 17.

Ahora, ilustraremos para la intencionalidad de hallar la cantidad-todo de unidades cosas del mundo

por agregación sucesiva de cantidades-parte-grupos (docenas de naranjas).

Las informaciones para el hacedor serían: Reunir doce veces una docena (de naranjas) y encontrar el

total de naranjas.

Veamos cómo pudo haber sucedido la asimilación de esta nueva situación en el esquema

antecedente de organizar en correspondencia uno-a-uno. Sobre la tabla, el hacedor dispone:

Figura 18. La intencionalidad de encontrar la cantidad-todo agregando tantas veces cantidades-parte-grupos.

En esta organización de las cantidades como correspondencias uno-a-varios, las cantidades-parte-

grupo se ponen en el lugar de las unidades, conforme el esquema antecedente de agregar uno-a-uno.

Este esquema antecedente servirá como referencia para contar las veces que se agregan cantidades-

parte-grupo una vez, otra vez, otra…


21

Para la secuencia de conteo, las unidades de cada cantidad-parte-grupo se ubican en

correspondencia varios-a-uno con cada vez que debe agregarse una de estas cantidades-parte-grupo

una vez más. Pensamos que sobre la tabla del hacedor, la secuencia de unos se hizo visible por medio

de tangibles, como cantidad de referencia. De esta forma, la cantidad-veces se correspondería con la

cantidad de partes-grupo. Se contaría la cantidad de partes una vez, otra vez,… en equivalencia hasta

la cantidad de veces que se agregaban estas partes. Para encontrar la cantidad de unidades de la

cantidad-todo, el hacedor contaría las unidades de la primera cantidad-parte-grupo uno-a-uno y a

continuación las de la segunda… hasta la última.

Sólo una práctica continuada habría llevado al hacedor a contar una-a-una cada cantidad-parte-

grupo, en nuestro ejemplo, doce veinticuatro treinta y seis… y la experticia lograda por

iteración de esta acción le permitiría en algún momento decir “doce veces doce igual a…”.

La “visión” de una cantidad-parte-grupo que cabe tantas veces en una cantidad-todo, debió surgir de

la acción de composición por agregación sucesiva, pero además, por comparación con la cantidad-

todo27. Este esquema será análogo al de la acción de medir.

Suponemos que en esta acción iterativa el hacedor asimiló la cantidad de grupos-parte a cantidad-

de-veces que se añaden estos grupos. Se trata de una cantidad de una clase distinta a las naranjas

como cantidad-todo o cantidades-parte-grupo de ese todo. Cada cantidad-parte-grupo es, por lo

tanto, de la misma clase que la cantidad-todo compuesta por estas cantidades-parte, pero es de una

clase diferente a la cantidad de veces que estas se agregan. Esta cantidad de partes o cantidad-veces

será luego formalizada como cantidad transformación, como una acomodación de economía de la

acción sucesiva (iterativa) de efectuar agregaciones de las cantidades-parte-grupo (será el

multiplicador). Este asunto que resulta un poco arrevesado en palabras, es sin embargo importante a

tener en cuenta, sobre todo cuando los niños aprenden la multiplicación.

Sobre una organización empírica de cantidades tangibles, como la que acabamos de describir, el

hacedor podría establecer la otra intencionalidad posible, esto es, encontrar la cantidad-veces si se

informa, desde el mundo de vida, el tamaño de la cantidad-todo (36 naranjas) y de la cantidad-parte-

grupo (una docena de naranjas). Tengamos en cuenta que en este caso, el hacedor ubicaría en

ordenamiento serial una cantidad tangible en el lugar de la cantidad-todo informada. A continuación,

podría proceder de dos maneras. Primero, retiraría de la cantidad-todo una cantidad-parte-grupo

una vez, otra vez, y así sucesivamente hasta agotar la cantidad-todo (Figura 19).

27

Cada una de las cantidades-parte que se multiplica en sucesión es designada por Fibonacci con la palabra factor en su escrito ya referido. Esta cantidad-parte es la que aparece definida en los Elementos de Euclides como: “un número es parte de un número, el menor del mayor, cuando mide al mayor” (múltiplo-submúltiplo). Libro VII, definición 3.


22

Figura 19. Manera de proceder para la intencionalidad encontrar la cantidad-veces.

La otra posibilidad en esta manera de partición sería hallar la cantidad-veces en correspondencia con

las cantidades-parte-grupos, cuyo tamaño fue informado al hacedor. Esta vez, procedería

superponiendo, como proximidad espacial, la cantidad-parte-grupo, del tamaño informado, en

sucesión uno-a-uno, sobre la cantidad-todo. De esta forma, el hacedor podría corroborar

empíricamente, que se conserva la cantidad-todo al repartir (Figura 20).

Figura 20. Comprobación empírica de la conservación de la cantidad-todo.


23

Al final, en ambos casos, el hacedor cuenta uno-a-uno cuántas cantidades-parte-grupo resultaron, o

cuántas veces se agregó, o cuántas veces cabe. En esas disposiciones empíricas, ya sea para unir o

separar cantidades-grupos, siempre debió tenerse presente la cantidad de partes con respecto al

todo como una comparación o, como la “visión” de una cantidad-parte que se desplaza hasta

completar una cantidad todo28.

En algún momento, cuando aumentó la población, así como las masas de productos para el

intercambio, mercaderes y hacedores se vieron compelidos a lidiar con cantidades más grandes, lo

que demandó a los hacedores de cuentas pasar a otra acción ampliada. Era posible ahora asimilar en

el esquema precedente de correspondencia uno-a-varios y de agregar en sucesión unidades-grupo, a

agregar, de esta misma manera, otras unidades-grupos ampliadas. Ahora, en el esquema precedente

se acomodará una organización ampliada, esto es, el agregar unidades de medida que ahora

contendrán a otras unidades de medida. Una unidad ampliada, que contendrá a otras unidades

compuestas, las cantidades-grupo ya expuestas.29

Ahora contar el total de unidades-cosas del mundo contenidas en una unidad compuesta, conducirá

a una manera de organización y conteo más exigente. Podríamos asumir que la práctica continuada

de los hacedores de cuentas con cantidades estandarizadas, habría conducido a un tipo de pericia, y

algo de memoria, para “agregar de-uno-en-uno cantidades-grupo”.30

Veamos la organización partes-todo para hacer una cantidad-todo compuesta por otras cantidades-

todo compuestas31.

28

La acción de agregar sucesivamente una cantidad-parte sobre una cantidad-todo está en la concepción de la acción de medir. La necesidad de rigurosa definición numérica de la cantidad-parte que mide fue ampliamente discutida por Riemann. Veamos un breve extracto de su exposición: “…medir consiste en yuxtaponer las magnitudes

que se trata de comparar; para medir se requiere, por tanto, un medio que permita transportar una magnitud como escala para la otra. Si este no existe, sólo se pueden comparar dos magnitudes cuando una es parte de la otra, e incluso en este caso, sólo

se puede decidir en términos de más o menos, no de cuántas veces”. (Sobre las Hipótesis en que se funda la geometría. En: Hawking, S. 2006. Dios creó los números. Barcelona: Crítica S. L. pag. 752). El medio como escala de comparación será, entonces, una cierta cantidad discreta definida como unidad de medida. 29

En el libro En hombros de mercaderes (Op. Cit.) su autor señala dos concepciones que los matemáticos de la Europa occidental obtuvieron desde el mundo de los mercaderes. La primera, es la idea de cantidades heterogéneas que se pueden comparar en proporción y, la segunda, la de unidades múltiples. Estas ideas, que se habían concebido tan extensa y naturalmente en el mundo de vida de los mercaderes y hacedores de cuentas, permanecían oscuras para quienes se habían formado en el pensamiento escolástico de los textos de los antiguos griegos. Recordemos que en los Elementos de Euclides se postula el requisito de homogeneidad para las comparaciones en proporción. Sobre este asunto volveremos más adelante. En lo que respecta a la idea de unidad múltiple, esta pudo haber sido ensombrecida por una apreciación del número como una colección estática de unidades de la misma clase y una indefinición numérica del concepto de magnitud. 30

Fibonacci se refiere a la elaboración de tablas de multiplicación auxiliares y también a la necesidad de aprenderlas de memoria para adquirir destreza en los cálculos. 31

Doce docenas componen la unidad de medida gruesa, y doce gruesas componen la gran gruesa.


24

Figura 21. Un nuevo tipo de organización y conteo que requiere de unidades múltiples

Si estamos pensando en disposiciones empíricas de tangibles ordenadas en serie, pronto debieron

surgir limitaciones espaciales sobre la tabla del hacedor. La solución para este problema, que sería un

problema real de dificultad de organización espacial y de cálculo, tendría que asimilarse sobre el

esquema antecedente, reorganizando sus elementos (subesquemas) así, figura 22:

Figura 22. Representando unidades múltiples


25

El aumento exponencial de las cantidades a calcular32 planteó otra gran limitación a las disposiciones

espaciales de éstas. Esto podría resolverse, en primera instancia, reemplazando cada cantidad

exponencial con una sola unidad tangible equivalente33. En un principio, las diferentes equivalencias

quizá se distinguieron con colores, tamaños o formas correspondientes para distinguir las diferentes

unidades múltiples.

Esta mediación representacional de una cosa tangible en el lugar de una cantidad múltiplo siguió

siendo un esquema limitado para efectuar cálculos con cantidades cada vez más grandes34. La

solución asimilaría en las fichas redondas (monedas) como equivalentes a cantidades exponenciales,

en serie ordenada, diferenciadas por cada lugar en que se ubica cada una de éstas. Lo definitivo fue la

organización espacial de cada ficha tangible que se ponían en el lugar de cada acumulado exponencial

en el orden sucesivo en que se efectuaban las operaciones (acciones fácticas) de agregados

multiplicativos, como se muestra en la figura 2235. Para el caso de la docena, se organizarían

cantidades-parte-grupo de doce unidades. Sin embargo, hubo preferencia por la organización de las

cantidades-parte-grupo de diez unidades, quizá en analogía a llevar cuentas con los diez dedos de la

mano, una antigua práctica de la India36.

32

El tratamiento geométrico de cantidades exponenciales se considera en el libro VII de los Elementos y en la aritmética de Diofanto. A diferencia de las unidades múltiples de los mercaderes, el empleo de exponenciales en Diofanto y Euclides se orienta a sortear el problema de las cantidades indivisibles precisamente tomándolas como bases exponenciales. Sin embargo, este tratamiento revelaría dificultades, como la no consideración de los residuos en series de potencias. 33

Pudo ser el origen de las monedas. 34

Cálculos con cantidades cuadrados y cubos por fuera de la geometría. Descartes afirmó en su Geometría, catorce siglos después de que Diofanto en su Aritmética había lidiado con estas cantidades, que: “…las

proporciones que forman una secuencia continua deben ser comprendidas en términos de un número de relaciones. Otras veces tratan de expresar estas proporciones en términos de álgebra ordinaria mediante distintas dimensiones y formas. A la primera la llaman raíz; a la segunda, cuadrado; a la tercera, cubo; a la cuarta bicuadradro; etc. Estas expresiones, lo confieso, me han despistado durante tiempo…Todos estos nombres deben ser abandonados, pues son propensos a confundir nuestras

mentes”. Smith, D.E. & Latham, M.L. (trad.) 1954. The Geometry of René Descartes. New York: Dover. 35

Quizá origen de la figura (0) que en el sistema decimal indica ausencia de residuo exponencial antecedente (de derecha a izquierda). 36

La selección de la cantidad doce para establecer la unidad de medida docena, podría obedecer a que en el sistema monetario pisano (Pisa, Italia), que llegó a emplearse ampliamente en el Mediterráneo, incluía el soldo que contenía doce denarios. Sin embargo, la siguiente moneda en valor ascendente, la libra, contenía veinte soldos, lo que habría imposibilitado una organización exponencial con estos valores. Fibonacci, además de emplear factores primos para sus operaciones de composición de números, empleó con frecuencia números no primos como el 12 y el 20, precisamente para realizar equivalencias con este sistema monetario. En cuanto a la cantidad diez, disponemos del testimonio de Fibonacci acerca de su utilización por parte de los antiguos maestros de la India quienes calculaban con los diez dedos de la mano, siguiendo pautas que él describe pormenorizadamente. En su prólogo al Liber Abaci, dice: “Por tanto adoptando estrictamente el método Indio …de tal

manera que este método perfecto sobre todos los demás, esta ciencia sea instruida a todos los deseosos, y a la gente de Italia

sobre todos ellos, quienes hasta ahora se encuentran sin siquiera un mínimo”. (Sigler, Op. Cit. P. 16). Este testimonio de Fibonacci lleva a pensar en las limitaciones que enfrentaban los hacedores de cuenta del Mediterráneo antes del sistema decimal posicional.


26

Segundo modo de correspondencias uno-a-varios y varios-a-uno: Repartición por asignación

Ahora examinaremos el segundo modo de organización uno-a-varios y varios-a-uno, mencionado

arriba. Nos encontramos en escenarios de trueque, del intercambio de dos productos, algunos no

estandarizados como unidad de medida. Acudimos a un ejemplo de intercambio en el que tres ovejas

equivalen a un samovar.37 Aquí las tres intencionalidades posibles para el hacedor serán las mismas

de la organización anterior. Pero, ahora, se presenta sobre la tabla una situación novedosa. El

hacedor tendrá que ubicar en correspondencia dos cantidades de cosas del mundo de clases

diferentes.38

Examinemos primero, como en el caso anterior, la intencionalidad de encontrar la cantidad-parte-

grupo de ovejas que se cambiarían por cada samovar. Suponemos aquí una situación previa al

establecimiento de la equivalencia entre ovejas y samovares. Al hacedor se le informa la cantidad

total de ovejas a cambiar (doce para el ejemplo) y, además se le informa la cantidad de samovares. El

hacedor tendrá que encontrar la cantidad de ovejas que se cambian en este caso por cada samovar

(cuatro para el ejemplo). Entonces, el hacedor situará en primer lugar la cantidad-todo de ovejas a

cambiar, en secuencia ordenada y, en una serie contigua (paralela) ubicara la cantidad-todo de

samovares. Luego, procederá repartiendo uno-a-uno, paso a paso, por asignación una oveja un

samovar hasta “agotar” la cantidad-todo de ovejas. Finalmente contará uno-a-uno cada cantidad-

parte-grupo (ovejas) para establecer cuántas unidades (ovejas) hay en cada cantidad-parte-grupo.

(Figura23).

Figura 23. Procedimiento para establecer la correspondencia Ovejas-Samovares

37

Ejemplo de la vida real. Episodio 11 de la mencionada serie: NHK & CCTV. 1979. The Silk Road. 38

Este ubicar en disposición de correspondencia cantidades de tangibles que representaban cosas del mundo de clases diferentes, era el sentido mismo del intercambio de trueque. De esta forma, una puesta en correspondencia de proporción con cantidades heterogéneas era algo natural en el hacer del mundo de vida mercantil. En el contexto geométrico de los Elementos de Euclides, la puesta en proporción se circunscribe a las cantidades enunciadas como antecedentes y consecuentes (múltiplo y submúltiplo) de cantidades de la misma clase en la acción de medir.


27

Nótese, en la figura 23, que esta organización se ha orientado en el esquema del primer modo. Lo que

cambia aquí, es que en el lugar de sucesión de los unos que cuentan veces y partes, ahora se

acomodan uno-a-uno en sucesión ordenada, las unidades cosas del mundo de aquella clase que está

en cantidad menor. Esto, para asignar a cada una de estas unidades, de uno-en-uno, unidades de la

clase que está en cantidad mayor.

Para la segunda intencionalidad que sería encontrar la cantidad-todo de ovejas, al hacedor se le

informa la equivalencia tres ovejas-un samovar y, además, se le informa el propósito de cambiar

cuatro samovares. Veamos la disposición en la tabla (Figura 24).

Figura 24. Procedimiento para encontrar cuántas ovejas corresponden a 4 samovares

El hacedor situará en orden serial los cuatro samovares y luego dispondrá en correspondencia con

cada uno de estos de a tres ovejas. De esta forma será fácil a continuación contar las unidades de

cada cantidad-parte-grupo, una-a-una para encontrar la cantidad-todo de ovejas, como ya lo “sabrá”

bien por asimilaciones y acomodaciones en esquemas antecedentes. En este caso, el hacedor ha

asimilado en el esquema de agregar cantidades partes-grupo una vez, otra vez… pero, ahora cada

unidad samovar se ha puesto en el lugar de cada unidad vez que se agrega la cantidad-parte-grupo,

como ocurría en el esquema del modo anterior.

La tercera intencionalidad, o sea, hallar la cantidad de samovares por una determinada cantidad-todo

de ovejas. Aquí se informa al hacedor la equivalencia entre ovejas y samovares, y la cantidad-todo de

ovejas a cambiar. Entonces el hacedor dispondrá en primer lugar las cantidades-parte grupo de ovejas

en orden serial, y, a continuación, situará en correspondencia de a un samovar por cada cantidad-

parte grupo de ovejas (Figura 25).


28

Figura 25. Procedimiento para encontrar la cantidad de samovares que equivalen a 12 ovejas

Examinemos en este modo de asignaciones varios-a-uno, la acción del hacedor. Este ha pasado de

organizar y contar uno-a-uno las cantidades-parte grupo dentro de una cantidad-todo, como fue el

primer modo de la acción descrito antes, a poner en correspondencia varios-a-uno dos cantidades-

cosas del mundo de clases diferentes.

La organización empírica con tangibles sobre la tabla, en todos los casos, plantea al hacedor el paso

siguiente39. Debe contar las series de cantidades dispuestas en correspondencia, de acuerdo con la

intencionalidad de lo que esté buscando, esto es, sacar la cuenta de lo que es la intencionalidad de su

propia acción. Por otro lado, el mercader que ha suministrado las informaciones al hacedor, tiene un

propósito situado en los avatares culturales del intercambio de productos.

En esta manera de organización empírica convergen tres maneras “de mirar” las cantidades40.

Veamos:

La primera es la puesta en correspondencia parte a parte de las dos cantidades cosas del mundo de

diferente clase. Las partes de una son cantidades-parte-grupo y las partes de la otra son cantidades-

parte-unidades.

39

Necesidades lógicas de la acción a las que Piaget se refiere como implicaciones entre acciones. Cfr. Piaget, J. 1996. Las formas elementales de la dialéctica. Op. Cit.; Piaget, J. & García, R. 1987/1997. Hacia una lógica de significaciones. Op. Cit. 40

Esta acción de “mirar” puede hacer referencia a aquellas etapas iniciales de los mecanismos constructivos del sujeto, de relación próxima con los objetos del entorno y que Piaget denomina como los observables, para diferenciarlos de la percepción visual de algunas postura empiristas. Unos tales observables han sido examinados con más detenimiento para las ciencias físicas que para los primeros momentos constructivos de las matemáticas.


29

La segunda manera “de mirar” es la correspondencia de las cantidades-parte-unidades de una

cantidad-cosas del mundo con cada una de las cantidades-parte-grupo de la otra cantidad-cosas del

mundo. Hay tantas partes-grupo de una, como cantidades-uno hay de la otra.41Este hacer y “mirar” la

correspondencia dependerá del hacer y “mirar” antecedente.

La tercera manera de “mirar”, conduce al hacedor a la acción multiplicativa. En nuestro examen será

la visualización sobre la tabla de que las partes-unidades de una cantidad de cosas del mundo se

corresponderán uno-a-uno con la cantidad-veces.

Caben cantidades-parte grupo en la otra cantidad-de cosas del mundo puesta en la

correspondencia.

“Mirar” la cantidad de cantidades-parte grupo que componen la cantidad-total (cantidad

compuesta). Recordemos que esta cantidad (multiplicada) ha resultado de la correspondencia

con los unos de la otra cantidad cosas del mundo de diferente clase, con la que se ha puesto

en correspondencia.

Estas dos “miradas” serán posteriores a la acción de organización sobre la tabla, agregar uno-

a-uno en sucesión las cantidades-todo grupos, tantas veces como cantidades parte-uno hay

en la otra cantidad-simple cosas del mundo. Es esta última cantidad la que “guía” el accionar

(multiplicativo) del hacedor. Y es el resultado de este accionar, el que ha posibilitado las otras

dos maneras de “mirar”.

Observemos que en este último modo de accionar del hacedor se compendian sucesivas

asimilaciones y acomodaciones de los antecedentes esquemas de acción sobre la tabla, descritos

antes en el primer modo.

De aquí en adelante, una cantidad-número podrá ser “mirada” como una cantidad-todo-compuesta

resultado de agregar en sucesión cantidades-parte grupos. Pero, esas agregaciones en orden sucesivo

serán guiadas por puestas en correspondencia entre cantidades-cosas del mundo, muchas veces, de

diferente clase entre ellas.

Queremos llamar la atención sobre este aspecto que concierne al sentido de la operación aritmética,

pero que está oculto tras los algoritmos simbólicos de la multiplicación y la división. Veamos en

detalle de qué estamos hablando.

Cuando describimos el primer modo de las correspondencias uno-a-varios y varios–a-uno, señalamos

que esas cantidades-unidades nuevas con las que el hacedor efectúa correspondencias tienen que

ver tanto con la cantidad de partes, como con la cantidad-veces que se agrupan esas partes para

formar una cantidad-todo. Esto es así, si se considera la partición o composición de una cantidad en sí

misma (misma clase)42.

41

Esta manera de correspondencia entre cantidades-parte de cantidades-cosas del mundo de diferente clase (en nuestro ejemplo 3:1) estará en la base de otros relacionamientos proporcionales que debieron gestarse en escenarios de intercambios de mercado en una práctica continuada durante varios siglos. 42

En este caso, la cantidad-unidades responde a la definición establecida de cociente, es decir,”…la cantidad que

expresa cuántas veces está contenido el divisor en el dividendo”.


30

Pero, en el otro modo de poner en correspondencia, que hemos descrito como repartición por

asignación, la cantidad-unidades será una cantidad de una clase diferente a la de partición o

composición, pero que determina dicha partición/composición y por tanto, puede converger tanto

con la cantidad-partes como con la cantidad-veces43 (en nuestro ejemplo, cantidad de samovares).

Esta distinción, que puede parecer trivial desde el punto de vista de la matemática formal, es de gran

importancia cuando se trata de llevar la matemática de nuevo al mundo de lo fáctico, esto es, cuando

se trata de resolver problemas en contextos de vida.

En este escrito no incursionaremos en las posteriores asimilaciones y acomodaciones que debieron

sucederse en este esquema invariante de poner en correspondencia uno-a-varios o varios-a-uno, y

que conducirían a “mirar” las cantidades-parte como fracciones y, además, lidiar con la repartición de

las cantidades-resto cuando las cantidades-parte no convergían con una cantidad-todo. Esto será

motivo de un trabajo posterior.

Los hacedores de cuentas aprendices44

Antes de exponer los escenarios de experimentación que hemos diseñado para la experimentación de

cada hacedor de cuentas aprendiz, debemos responder al interrogante de ¿por qué es posible una

interfaz entre los escenarios históricos y los escenarios de la escolaridad actual?

Si bien las circunstancias históricas de hace cientos y miles de años son diferentes a los entornos de

los niños de hoy y, además, los propósitos culturales son también diversos, hay, sin embargo, algo

que permanece inalterable, invariante tras las formalizaciones simbólicas aritméticas desde aquellos

remotos tiempos hasta nuestros días.

Podemos encontrar vínculos invariantes entre los mundos de vida de antes y de ahora. En uno y otro

caso, las experiencias humanas transcurren en entornos naturales y artificiales, inmersos en las

mismas materialidades, continuas y discretas, que se han proyectado paulatinamente como objetos

matemáticos.

Cada individuo se relaciona de manera propia con esos entornos y sus experiencias tendrán

diferentes propósitos y circunstancias. Pero habrá también un vínculo en la manera de proceder

como seres humanos disponiendo y organizando, fáctica y representacionalmente, esas

materialidades discretas y continuas para cuantificarlas. Similares intencionalidades de cálculo, y las

mismas posibilidades del accionar humano, habrán configurado pautas, dejado huellas, que

43

Es una puesta en comparación de tamaño o proporción, en la que una cantidad hace de referencia para la partición de otra cantidad de clase diferente, por ejemplo, cantidad de unidades de medida, o cantidad-precio. En este caso, cantidad-partes, o cociente, convergerá con cantidad-precio o cantidad-unidades de medida. El mundo de vida de los mercaderes iba más allá de las estrictas definiciones de la geometría clásica. Así, Fibonacci describe el método principal de la proporción (regla de tres), de forma que puede afirmar, por ejemplo, que “… el cociente será 1482 rollos de canela”. Sigler, op. Cit. Pag.181. 44

Con el nombre de hacedor de cuentas aprendiz nos referimos a las niñas y niños que experimentan acciones aritméticas propuestas en nuestro diseño para la educación básica, un conjunto de experiencias que hemos denominado Matemáticas a Color (Ver www.alandra.org para más detalles).


31

buscamos como maneras invariantes de proceder que se han esquematizado y que seguramente

perviven en las formalizaciones de hoy.

Es así que esas invariantes, que hemos determinado en la historia, han orientado el diseño de

escenarios de experimentaciones para niñas y niños. Hemos tenido en cuenta sus entornos habituales

asumiendo, además, que en esquemas configurados en estos entornos cotidianos y familiares podrán

estos hacedores de cuentas contemporáneos asimilar y acomodar los nuevos esquemas con el

número.

En los escenarios de los aprendices, las niñas y niños proceden fácticamente con materiales tangibles,

adaptados por nosotros, pero también realizan representaciones con esquematizaciones análogas a

las organizaciones fácticas, como veremos a continuación45.

Los hacedores de cuentas aprendices organizan cantidades en correspondencias uno-a-uno

Cuando ha habido oportunidad en el aula, los niños han adelantado juegos como, por ejemplo, el de

servir y repartir comestibles entre cierto número de invitados. Las representaciones que efectúan son

organizaciones de sus experiencias reales en entornos cotidianos (Figuras 26 y 27).

Figura 26. Niños de transición en la actividad “el juego de las onces”

45

Ver también Lotero-Botero, A. et al. 2016. De comprender las operaciones aritméticas como acciones a la solución de problemas. Op. Cit.


32

Figura 27. Organizaciones de cantidades en correspondencia que se proponen a los hacedores aprendices

Aquí los niños “aprenden” a contar en sucesión unidades con nombres y símbolos heredados culturalmente. Sin embargo, lo importante será la organización ordenada en serie y puesta en correspondencia uno-a-uno.

La representación en la figura 28, a continuación, se efectúa siguiendo una organización empírica ordenada en serie. Pero, además, este niño encuentra la “cantidad resto” por compensación, agregando en correspondencia uno-a-uno hasta igualar la cantidad-todo.

Figura 28. Organización secuencial de la cantidad para solucionar un problema de vida; niño 7 años


33

Los cubos en la figura 29, son objetos conceptuales de una cantidad de “cualquier cosa”, como lo expresara uno de los niños. Vemos a un niño procediendo por compensaciones uno-a-uno para encontrar la “cantidad que falta”, llenando el vacío por comparación, o cantidad-diferencia, hasta igualar la cantidad-todo.

Figura 29. Comparar el tamaño de los “trenes” por compensaciones uno-a-uno


34

Los hacedores de cuentas aprendices organizan cantidades en correspondencias uno-a-

varios y varios-a-uno

En la representación presentada en la figura 30, los niños reparten cantidades-parte-grupo iguales

en representación de cuadrícula. Es importante expresar la manera como han procedido y lo que ha

resultado. Destacamos, nuevamente, la organización ordenada en secuencia lineal

Figura 30. Repartiendo una cantidad-todo en cantidades-parte-grupo iguales

La imagen en la figura 31, muestra la representación y enunciado que un niño efectúa de una organización empírica que ha construído previamente con la llamada calculadora de cubitos. Los pequeños círculos (fichas redondas en lo empírico) expresan la cantidad-veces, en correspondencia espacial con cada cantidad-parte-grupo. Obsérvese que esta misma disposición de tangibles puede expresarse bajo un enunciado de “reunión” de cantidades-parte-grupos, o también, como de “separación” de una cantidad-todo en cantidades-parte iguales. Las cantidades pueden verificarse como conteo de unidades tangibles. En este caso, el ordenamiento en serie se reemplaza por una organización en “apilamiento”46.

Figura 31. Organización uno-a-varios y varios-a-uno con la calculadora de cubitos

46

Ver Lotero-Botero, A., Andrade-Londoño, E. & Andrade-Lotero, L. A. (2011) La crisis de la multiplicación: Una propuesta para la estructuración conceptual. Voces y Silencios: Revista Latinoamericana de Educación, Vol. 2, No. especial, 38-64.


35

Los niños experimentan con las llamadas cajitas Alandra para componer y descomponer cantidades-todo en cantidades-parte-grupo (figura 32). La manera de proceder “la coordinan” y la enuncian como multiplicación y división. Notemos que se han contado uno-a-uno la cantidad-partes, o, la cantidad-veces.

Figura 32. Se observa el conteo de la cantidad de veces que se agrega la cantidad-parte-grupo

En esta representación (figura 33, abajo) la partición de la cantidad-todo ordenada en serie se efectúa por asignación uno-a-varios teniendo en cuenta una cantidad-referencia (niños, en este caso) siguiendo la disposición espacial ordenada con respecto a la cantidad-todo. Es en la puesta en correspondencia uno-a-varios de cada cantidad-parte en contigüidad espacial con la cantidad-todo, que se “visualiza” la cantidad-resto. Podría establecerse en esta disposición ordenada en serie que la cantidad-resto “sigue haciendo parte” de la cantidad-todo.

Figura 33. Obsérvese en la serie superior la indicación de la cantidad resto, luego de la repartición


36

Podríamos interpretar la representación mostrada en la figura 34, como una asimilación-acomodación, una síntesis del esquema de organización uno-a-varios, con un esquema de organización uno-a-uno. Notemos cómo se organiza y se cuenta la cantidad-todo. Además, cómo se hace la partición en grupos, teniendo en cuenta la cantidad-todo (serie de arriba). Nótese en el ordenamiento de la primera serie, la escritura de un signo 12 “provisional” (indicado con un círculo rojo) que nos conduce a pensar que el niño, en la acción de repartición (representada) está contando para “igualar la cantidad-todo” o no sobrepasarla. En la segunda serie, abajo, la correspondencia se efectúa uno-a-uno, teniendo en cuenta la cantidad antes agrupada.

Figura 34. Síntesis de las invariantes de esquema. Dos maneras de organización en correspondencia


37

A continuación (figura 35) se presentan dos organizaciones en correspondencia uno-a-varios de particiones con asignación. Son dos organizaciones del mismo planteamiento, con disposiciones espaciales diferentes. Nuevamente hacemos notar que lo importante no es lo formal de la disposición, sino la puesta en correspondencia uno-a-varios.

Figura 35. Esta niña ha organizado con solvencia la correspondencia varios-a-uno

mediante dos representaciones diferentes

Hasta aquí hemos presentado imágenes de representaciones de los niños guiadas por nosotros,

empleando esquematizaciones que orientan la disposición de correspondencia espacial de las

cantidades representadas. Las imágenes que vienen a continuación, en cambio, son expresiones

pictóricas de las propias niñas y niños, efectuadas a manera de evaluación, en la que se enfrentan a la

página en blanco.


38

En las siguientes figuras puede apreciarse que niñas y niños combinan sin cortapisas figuras pictóricas

con símbolos numéricos. Para ellos lo importante parece ser la organización de la cantidad mediante

correspondencias uno-a-varios.

Vale anotar que antes de las experiencias con nuestro diseño47, los estudiantes de grado tercero,

autores de las representaciones que aquí presentamos, habían sido instruídos en las tablas y

algoritmos de multiplicación. Sin embargo, frente a la página en blanco, todos, sin excepción, optaron

por resolver los problemas acudiendo a este tipo de representaciones, pese a que se les habían dado

las dos opciones.

Figura 36. Obsérvese que no hay indicación de cómo esta niña logra la cantidad “7”, pero representa

adecuadamente la repartición según las condiciones del problema

En la siguiente figura (Figuras 37a, página siguiente) la niña ha acomodado la situación del problema

en el esquema de organización de las cantidades uno-a-varios y varios-a-uno. Sin embargo, cuando se

trata de encontrar la cantidad-resto con respecto a la cantidad-todo (punto 21) falla. Vale anotar que

los niños de grado tercero, a diferencia de los de grado segundo (experiencia de Medellín de ocho

meses), no tuvieron ocasión de experimentar la puesta en convergencia respecto a la cantidad-todo,

para hallar la cantidad-resto, como fuera ilustrado antes (juego de los trenes, figura 29).

En el siguiente ejemplo (figura37b, página siguiente) vemos una solución adecuada a esta cuestión,

en la que se tiene en cuenta la organización lineal y conteo a continuación de la cantidad-todo parcial

(resultado del punto anterior, 20). Esta niña cuenta a continuación uno-a-uno, hasta completar la

cantidad-todo (50 semillas) y luego re-cuenta la cantidad-diferencia para hallar la cantidad-resto. Se

observa aquí la asimilación en un esquema de compensación para igualar la cantidad-todo, que esta

niña pudo haber adquirido en experiencias de vida anteriores a las experimentaciones con nuestro

diseño.

47

Se trata de resultados obtenidos en una experiencia desarrollada en una comuna popular de la ciudad de Medellín, con la participación de 1,053 niñas y niños de grados transición a tercero y sus respectivos 26 docentes.


39

Figura 37a

Figura 37b

En una próxima publicación, presentaremos lo concerniente a las restantes invariantes en los

esquemas de acción de las operaciones aritméticas.

La no disposición ordenada

dificulta la comparación.

Logro encontrando la

cantidad-resto.


40

Referencias

Hadden, R.W. 1994. On the Shoulders of Merchants. Albany: State of New York University Press.

Hawking, S. 2006. Dios creó los números. Barcelona: Crítica S. L.

Hemenway, P. 2008. El Código Secreto. Colonia: Taschen Benedikt.

Lotero-Botero, A., Andrade-Londoño, E. & Andrade-Lotero, L. A. (2011) La crisis de la multiplicación: Una propuesta para la estructuración conceptual. Voces y Silencios: Revista Latinoamericana de Educación, Vol. 2, No. especial, 38-64.

Lotero-Botero, A; Andrade-Londoño, E & Andrade-Lotero, L.A. 2016. De comprender las operaciones aritméticas como acciones a la solución de problemas. Presentado en el taller: From basic cognition to mathematical practice. Sevilla, 19-21 Septiembre. Versiones en inglés y en español disponibles en: Academia.edu; ResearchGate.edu; Alandra.org.

Mead, M. 1928/1973. Coming of age in Samoa. New York: Harper & Collins.

NHK & CCTV. 1979. The Silk Road. Serie televisiva, 30 episodios.

NHK. 1983. Ruta de la Seda por Mar. Serie Televisiva, 12 episodios.

O’Conor, J. J. & Robertson, E. F. MacTutor History of Mathematics Archive. Sitio web.

Piaget, J. & García, R. 1983. Introducción. Psicogénesis e Historia de las ciencias. México: Siglo XXI editores.

Piaget, J. & García, R. 1987/1993. Hacia una lógica de significaciones. Barcelona: Editorial Gedisa.

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Rosen, F. 1831. The algebra of Mohammed Ben Musa. Londres: The Oriental Translation Fund.

Sigler, L.E. 2003. Fibonacci’s Liber Abaci. New York: Springer.

Smith, D.E. & Latham, M.L. (trad.) 1954.The Geometry of René Descartes. New York: Dover.

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