Introduç˜ao `a probabilidade e estat´ıstica I
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Introducao a probabilidade e estatıstica I
Nocoes de Conjuntos e Contagem
Prof. Alexandre G PatriotaSala: 298A
Email: [email protected]: www.ime.usp.br/∼patriota
Topicos estudados
I Tipos de variaveis (qualitativas, quantitativas);
I Medidas resumo para dados qualitativos (tabelas defrequencias e graficos de barras) ;
I Medidas resumo para dados quantitativos (media, mediana,quantis, variancia, assimetria, histograma) ;
I Analise bivariada para dados qualitativos e quantitativos(estatıstica χ2, graficos de dispersao, regressao, correlacao)
A seguir estudaremos:
I Notacao preeliminar, nocoes de conjuntos e contagem
I Probabilidade
Nocoes de conjuntos
Informalmente, um conjunto e uma lista de elementos quepossuem alguma caracterıstica em comum.
Por exemplo,
1. A = 1, 2, 3, 4, 5;
2. B = x ∈ N; x e par;
3. C = x ∈ N; x e ımpar.
Os elementos dos conjuntos nao precisam ser necessariamentenumeros reais.
Notacao
Utilizaremos Ω para representar o conjunto universal em umadeterminada situacao. Ou seja, o conjunto que contem todos oselementos de interesse.
A ⊆ B significa que todos os elementos de A tambem saoelementos de B. Diremos que A e um subconjunto de B.
Todos os subconjuntos de Ω podem ser escritos da seguinte forma
A = x ∈ Ω; x tem a propriedade π
Em probabilidade diremos que Ω e o espaco amostral (o conjuntoque contem todos os possıveis resultados de um experimento).Exemplo, na jogada de uma moeda temos Ω = cara, coroa. Umsubconjunto de Ω e dito ser um evento.
Notacao
Sejam A e B dois subconjuntos quaisquer de Ω, A,B ⊂ Ω.
I x ∈ A significa “x e um elemento de A”;
I #A denotara o numero de elementos de A;
I x 6∈ A significa “x NAO e um elemento de A”;
I Ac = x ∈ Ω; x 6∈ A e o conjunto de elementos que naoestao em A, mas estao no conjunto universal Ω. Diremos: Ac
e o complementar de A.
I ∅ representa o conjunto que nao tem elementos, ∅ = .
Notacao
I A ∪ B = x ∈ Ω; x ∈ A ou x ∈ B e o conjunto de elementosque estao em A ou em B.
I A ∩ B = x ∈ Ω; x ∈ A e x ∈ B e o conjunto de elementosque estao em A e em B simultaneamente.
I A ∩ Bc = x ∈ Ω; x ∈ A e x 6∈ B e o conjunto de elementosque estao em A e nao estao em B. Tambem conhecido comoconjunto diferenca: A ∩ Bc = A− B.
I A diferenca simetrica entre A e B e definida porA4 B = (A− B) ∪ (B − A)
PropriedadesSeja A,B ⊆ Ω, entao
I A ∩ Ac = ∅,
I Se C ⊆ Ac , entao A ∩ C = ∅,
I Se C ⊆ A, entao A ∩ C = C e A ∪ C = A,
I A ∪ Ac = Ω,
I A ∩∅ = ∅,
I A ∪∅ = A,
I (A ∩ B) ∩ (B − A) = ∅I (A ∩ B) ∩ (A− B) = ∅I (A− B) ∩ (B − A) = ∅.
I (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc
I (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
Ver o diagrama de Venn. Mostre essas proproedades utilizando asobservacoes do proximo slide.
Observacoes
I Para mostrar que A ⊆ B, deve-se mostrar que
x ∈ A⇒ x ∈ B,
ou seja, se um elemento x pertence ao conjunto A, entao estemesmo elemento deve pertencer ao conjunto B.
I Para mostrar que A = B, deve-se mostrar que A ⊆ B e B ⊆ A
I Para mostrar que A ∩ B = ∅ basta mostrar que A ⊆ Bc ouque B ⊆ Ac .
Notacao
Considere os n seguintes conjuntos A1,A2,A3, . . . ,An.
A uniao e interseccao destes conjuntos serao representadas,respectivamente, por
n⋃i=1
Ai = A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An
en⋂
i=1
Ai = A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An
Conjuntos disjuntos
Diremos que A e B sao disjuntos se A ∩ B = ∅.
De forma geral, diremos que A1,A2, . . . ,An sao disjuntosdois-a-dois se Ai ∩ Aj = ∅ para todo i 6= j .
Particao: diremos que A1,A2, . . . ,An formam uma particao de Ase forem disjuntos dois-a-dois e
n⋃i=1
Ai = A.
Tambem diremos que A foi particionado por A1,A2, . . . ,An.
(sera utilizado no principio aditivo da contagem)
Produto cartesiano
O produto cartesiano entre dois conjuntos A e B e definido por
A× B = (a, b); a ∈ A, b ∈ B
Por exemplo, se A = 1, 2, 3, 4, 5 e B = 0, 2, entao o produtocartesiano e
A×B = (1, 0), (1, 2), (2, 0), (2, 2), (3, 0), (3, 2), (4, 0), (4, 2), (5, 0), (5, 2)
De maneira geral, o produto cartesiano de n conjuntosA1,A2, . . . ,An e definido por
A1×A2×. . .×An = (a1, a2, . . . , an); a1 ∈ A1, a2 ∈ A2, . . . , an ∈ An
(sera utilizado no principio multiplicativo da contagem)
Plano cartesiano
O plano cartesiano e formado pelo conjunto
R2 = R× R = (x , y); x ∈ R, y ∈ R.
Contagem
Nas proximas exposicoes estaremos interessados em calcular #A (onumero de elementos do conjunto A), sendo:
A = x ∈ Ω; x tem a propriedade π.
Sabendo o numero de elementos do conjunto A nos auxiliara acalcular a probabilidade de ocorrencia de um evento. Aprobabilidade de um evento e inicialmente definida por
P(A) =#A
#Ω,
ou seja, saber tecnicas de contagem e fundamental para calcularprobabilidades de eventos.
Tecnicas de contagem
Basicamente as tecnicas de contagem se baseiam em doisprincıpios:
I Princıpio aditivo
I Princıpio multiplicativo
Porem o princıpio multiplicativo pode ser obtido a partir doprincıpio additivo.
Princıpio aditivo
Se A e B sao disjuntos tais que A tem p elementos e B tem qelementos.
O princıpio aditivo nos diz que o numero de elementos de A ∪ B ep + q, ou seja,
#(A ∪ B) = #A + #B = p + q.
De maneira geral, se A1,A2, . . . ,An sao disjuntos dois-a-dois taisque #Ai = pi para todo i = 1, . . . , n, entao o princıpio da adicaodiz que
#
( n⋃i=1
Ai
)=
n∑i=1
pi .
Exemplo
Sejam A = 1, 2, 3, B = 7, 10, 15 e C = 2, 3, 4, 5, 8, entao
A ∪ B = 1, 2, 3, 7, 10, 15, A ∪ C = 1, 2, 3, 4, 5, 8
B ∪ C = 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 15
Como A e B sao disjuntos podemos aplicar o princıpio aditivo:#A = 3 e #B = 3, entao #(A ∪ B) = 6.
Como B e C sao disjuntos podemos aplicar o princıpio aditivo:#B = 3 e #C = 5, entao #(B ∪ C ) = 8.
Note que o princıpio aditivo nao pode ser aplicado paracalcular #(A ∪ C ) e #(A ∪ B ∪ C ). Veremos adiante uma formade contornar este problema.
Princıpio da inclusao-Exclusao
Sejam A ⊂ Ω e B ⊂ Ω dois conjuntos quaisquer, entao
#(A ∪ B) = #(A) + #(B)−#(A ∩ B)
Prove utilizando o princıpio aditivo e propriedades de particoes.
Princıpio multiplicativoSejam A = a1, . . . , ap e B = b1, . . . , bq, observe que
#(A× B) = pq,
pois para cada elemento de A temos associados q elementos doconjunto B.
De maneira similar, para cada elemento de B temos associados pelementos de A, portanto
#(B × A) = qp,
De maneira geral, se #Ai = pi para i = 1, . . . , n, entao
#(A1 × . . .× An) =n∏
i=1
pi
Relacao entre os princıpios
Note que e possıvel provar a igualdade #(A× B) = pq utilizandoo princıpio aditivo.
Podemos escrever o produto carteriano de A e B como a uniao deconjuntos disjuntos (ver o grafico)
A× B =
p⋃i=1
(ai × B),
Observe que (a1 × B), (a2 × B), . . ., (an × B) saoconjuntos disjuntos (ver o grafico). Agora podemos utilizar oprincıpio aditivo:
#(A× B) =
p∑i=1
#(ai × B) =
p∑i=1
q = pq
ExemploNuma sala ha 10 homens e 15 mulheres. De quantas formaspodemos formar um casal Homem-Mulher?
R: 10 vezes 15 = 150. A justificativa esta abaixo:
Seja o conjunto dos homens H = h1, . . . , h10 e o conjuto dasmulheres M = m1,m2, . . . ,m15, o conjunto que descreve todosos casais possıveis e o produto cartesiano
H ×M =10⋃i=1
hi ×M
ou seja, hi ×M = (hi ,m1), (hi ,m2), . . . , (hi ,m15) e oconjunto de casais formado pelo homem hi com todas as mulheres.Note que
#(hi ×M) = 15
logo#(H ×M) = 10 · 15 = 150
Exercıcios
Se eu moro na cidade A e gostaria de chegar a cidade E , porempara chegar em E temos que passar necessariamente por B, C e Dnessa ordem.
De A para B existem p1 caminhos possıveis, de B a C existem p2caminhos possıveis, de C a D existem p3 caminhos possıveis, de Da E existem p4 caminhos.
Quantos caminhos existem de A a E? justifique utilizando osprincipios basicos.
Exercıcios
1. Quantos subconjuntos possui um conjunto que tem pelementos?
2. De quantos modos podemos arrumar 8 torres iguais em umtabuleiro de xadrez 8 por 8 de modo que nao haja duas torresna mesma linha nem na mesma coluna?
Justifique a resposta utilizando os principios basicos.
Permutacao
Dados n objetos distintos, de quantas formas podemosordena-los? n!
Cada ordenacao destes n objetos e chamada de “permutacaosimples”.
Exemplos:
1. Quantos sao os anagramas da palavra RAQUEL? 6!
2. Que comecam e terminam com vogais: 3x2x4!;
3. Que tenham as letras UEL juntas nessa ordem? 4!;
4. Que tenham as letras UEL juntas em qualquer ordem? 3!x4!
Permutacoes de elementos nem todos distintos
Quantos anagramas possui a palavra “ALA”? 3!/2!
Quantos anagramas possui a palavra “ESTATISTICA”?11!/(3!2!2!2!)
De forma geral se temos n objetos dos quais α1 sao iguais a a1, α2
sao iguais a a2, e assim por diantes ate αk sao iguais a ak , entao onumero de permutacoes sera(
n
α1, α2, . . . , αk
)=
n!
α1!α2! . . . αk !
Combinacoes simples
De quantos modos podemos escolher p objetos distintos entre nobjetos distintos dados?
Ou, se forma equivalente: quantos subconjuntos de p elementospodemos podemos fazer com o conjunto a1, a2, . . . , an, p ≤ n.
Note que a ordem dos elementos dentro do conjunto nao importa,ou seja a1, a2 e o mesmo conjunto que a2, a1.
Exemplo: Seja o conjunto a1, a2, a3, a4, quantos subconjuntos dedois elementos podemos fazer?
Combinacoes simples
De forma geral:
Do conjunto a1, a2, . . . , an podemos fazern(n − 1)(n − 2) . . . (n − p + 1) anagramas.
Precisamos dividir agora por p! para retirar as permutacoes dasletras.
Cn,p =
(n
p
)=
n(n − 1)(n − 2) . . . (n − p + 1)
p!=
n!
p!(n − p)!