Desenvolvimento de lipossomas deformáveis para administração ...
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil –...
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Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Aula 02
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Cap. I: Conceitos Preliminares
I.1. O que é a Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
I.2. Elementos Básicos
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
I.2.2. Esforços nas Estruturas
I.2.3. Características Mecânicas dos Materiais
I.3. Problemas e Métodos
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Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Seções Planas Usuais
Seções Maciças Seção Retangular b x h
b
hSeções sem vazios
cujas dimensões são da mesma
ordem de grandeza. Seção Circular dd
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Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Seções Planas Usuais
Seções Maciças Seções Compostas por Retângulos
Seções sem vazios cujas dimensões são da mesma
ordem de grandeza.
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Seções Planas Usuais
Seções Vazadas Seção Retangular Vazada b x h / b’ x h’
Seções com vazios cujas dimensões são da mesma
ordem de grandeza. Seção Circular Vazada de / di
b
hb’
h’
de
di
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Seções Planas Usuais
Seções Vazadas Seções Compostas por Retângulos
Seções com vazios cujas dimensões são da mesma
ordem de grandeza.
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Seções Planas Usuais
Perfis Abertos
Seções formadas por chapas finas
cuja linha média é uma linha aberta.
Perfis I ou H
As espessuras das chapas são muito inferiores às demais dimensões da seção.
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Seções Planas Usuais
Perfis Abertos
Seções formadas por chapas finas
cuja linha média é uma linha aberta.
Perfis U ou C
simples enrijecido
As espessuras das chapas são muito inferiores às demais dimensões da seção.
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Seções Planas Usuais
Perfis Abertos
Seções formadas por chapas finas
cuja linha média é uma linha aberta.
Perfis L ou Cantoneira
de abas iguais L a x a x t
de abas desiguais L a x b x ta
a
a
bt: espessura
As espessuras das chapas são muito inferiores às demais dimensões da seção.
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Seções Planas Usuais
Perfis Fechados
Seções formadas por chapas finas
cuja linha média é uma linha fechada.
Tubo Retangular
Tubo Redondo ou Circular
As espessuras das chapas são muito inferiores às demais dimensões da seção.
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Área de Superfície
Área [cm2]: medida da superfície
x yA
dydxdAA .
x
y
x dx
dyy
dydxdA .
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Momentos de Superfície
x
y
x dx
dyy
dydxdA .
Seja uma força f distribuída na superfície da seção plana, variando linearmente com as distâncias dos pontos de aplicação aos eixos de referência da seção:
2 cmkNykxkf yx
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Momentos de Superfície
x
y
x dx
dyy
dydxdA .
A força resultante na área elementar dA vale:
Os momentos da força dF em relação aos eixos x e y são:
kNdAykxkdF yx
cmkNdAykxkydM yxx .
cmkNdAykxkxdM yxy .
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Momentos de Superfície
x
y
x dx
dyy
dydxdA .
A força resultante na superfície vale:
A yxA
dAykxkdFF
A Ayx dAykdAxkF ..
ou
xyyx SkSkF
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Momentos de Superfície
x
y
x dx
dyy
dydxdA .
Os momentos de primeira ordem ou Momentos Estáticos [cm3] da superfície são:
x yAx dydxydAyS ...
x yAy dydxxdAxS ...
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Momentos de Superfície
x
y
x dx
dyy
dydxdA .
Os momentos resultantes em relação ao eixos de referência da seção são:
A yxx dAykxkyM
.. 2
AyAxx dAykdAyxkM
xyxyxx IkIkM
e
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Momentos de Superfície
x
y
x dx
dyy
dydxdA .
A yxy dAykxkxM
..2
AyAxy dAyxkdAxkM
xyyyxy IkIkM
Os momentos resultantes em relação ao eixos de referência da seção são:
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Momentos de Superfície
x
y
x dx
dyy
dydxdA .
Os momentos de segunda ordem ou Momentos de Inércia [cm4] da superfície são:
x yAx dydxydAyI .22
x yAy dydxxdAxI .22
x yAxy dydxyxdAyxI .....
Momentos Axiais de Inércia:
Produto de Inércia:
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Momentos de Superfície
Seja uma força f distribuída na superfície da seção plana, variando linearmente com a distância à origem dos eixos de referência:
2 cmkNkf p
A força resultante na área elementar dA vale:
kNdAkdF p .x
y
x dx
dyy
dydxdA .
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Momentos de Superfície
O momento elementar da força dF em relação à origem dos eixos x e y é: cmkNdAkdFdM pp . . 2
O momento resultante é:
App dAkM 2
x
y
x dx
dyy
dydxdA .
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Momentos de Superfície
O Momento Polar de Inércia [cm4] da superfície é:
x yAp dydxdAI .22
x
y
x dx
dyy
dydxdA .
22
Ap dAyxI
222 yx
yxp III
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Momentos de Superfície
Seja uma superfície de área A e momento de inércia Ix
x
y
x dx
dyy
dydxdA .
x
y
xr
A
y
Seja outra superfície de mesmaárea A e mesmo momento de inércia
Ix, porém ‘concentrada’ a uma distância rx do
eixo x
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Momentos de Superfície
Seja uma superfície de área A e momento de inércia Ix
x
y
x dx
dyy
dydxdA .
x
y
xr
A
y
ArdArdAyI xAxAx222
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Momentos de Superfície
x
y
x dx
dyy
dydxdA .
ArdArdAyI xAxAx222
A
Ir x
x é o raio de giração da seção em relação ao eixo x
Seja uma superfície de área A e momento de inércia Ix
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Momentos de Superfície
Analogamente,
A
Ir y
y é o raio de giração da seção em relação ao eixo y e
A
Ir p
o é o raio de giração polar da seção
222yxo rrr
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Translação e Rotação de Eixos
Translação:
x1
y1
x1 dx
dyy1
dydxdA .
x2
y2
y2
x2
yo
xo A oAx dAyydAyS 122
oyyy 12
oxxx 12
AoAx dAydAyS 12
AySS oxx 12
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Translação e Rotação de Eixos
Translação:
x1
y1
x1 dx
dyy1
dydxdA .
x2
y2
y2
x2
yo
xo
oyyy 12
oxxx 12
AySS oxx 12
AxSS oyy 12
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Translação e Rotação de Eixos
Translação:
x1
y1
x1 dx
dyy1
dydxdA .
x2
y2
y2
x2
yo
xo A oAx dAyydAyI 2
1222
oyyy 12
oxxx 12
AoAoAx dAydAyydAyI 2
121 2
2
AySyII oxoxx2
1122
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Translação e Rotação de Eixos
Translação:
x1
y1
x1 dx
dyy1
dydxdA .
x2
y2
y2
x2
yo
xo
oyyy 12
oxxx 12
AyxSySxII ooyoxoyxyx 111122
AySyII oxoxx2
1122
AxSxII oyoyy2
1122
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Translação e Rotação de Eixos
Translação:
x1
y1
x1 dx
dyy1
dydxdA .
x2
y2
y2
x2
yo
xo
oyyy 12
oxxx 12
AyxSxSyII ooyoxopp22
11122
222 yxp III 111 yxp III
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Translação e Rotação de Eixos
Centróide ou ‘Centro de Gravidade’ da Seção Plana (CG):
x1
y1
x1 dx
dyy1
dydxdA .
x2
y2
y2
x2
yo
xo
022 yx SSSeja
012
AySS oxx
A
Syy x
CGo1
A
Sxx y
CGo1
(x2,y2): eixos centraisCG (xCG)
(yCG)
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Translação e Rotação de Eixos
Centróide ou ‘Centro de Gravidade’ da Seção Plana (CG):
Sejam xCG e yCG os eixos centrais. As coordenadas do CG são:
x
y
x dx
dyy
dydxdA .
xCG
yCG
CGx
CGyCG
A
Sy x
CG A
Sx y
CG
Notação alternativa:
A
Sy x
A
Sx y
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Translação e Rotação de Eixos
AyIICGxx
2
AySyII CGxCGxxCG
22
AyS CGx AyII CGxxCG
2
x
y
x dx
dyy
dydxdA .
xCG
yCG
CGx
CGyCG
AySyII oxoxx2
1122
Centróide ou ‘Centro de Gravidade’ da Seção Plana (CG):
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Translação e Rotação de Eixos
AyII CGxx CG
2
AxII CGyy CG
2
AyxII CGCGxyxy CGx
y
x dx
dyy
dydxdA .
xCG
yCG
CGx
CGyCG
Centróide ou ‘Centro de Gravidade’ da Seção Plana (CG):