Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale
description
Transcript of Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale
![Page 1: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/1.jpg)
1
ecuatii
MULTIPLE CHOICE
1. --
Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2
Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
a. c.
b. d.
2. --
Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2
Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
a. c.
b. d.
![Page 2: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/2.jpg)
2
3. --
Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2
Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
a. c.
b. d.
4. --
Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2
Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
a. c.
b. d.
5. --
Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2
Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
a. c.
b. d.
![Page 3: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/3.jpg)
3
6. --
Se da ecuatia diferentiala
Sa se identifice intre ecuatiile cu derivatele partiale de mai jos acea ecuatie care admite ecuatia de mai sus ca ecuatie a caracteristicilor:
a.
b.
c.
d.
7. --
Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 pe un
domeniu este
. Atunci daca pe D ecuatia de mai sus este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. nu putem decide tipul ecuatiei
![Page 4: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/4.jpg)
4
8. --
Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 pe un
domeniu este
. Atunci daca pe D ecuatia de mai sus este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. nu putem decide tipul ecuatiei
9. --
Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 pe un
domeniu este
. Atunci daca pe D ecuatia de mai sus este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. criteriul nu decide tipul ecuatiei
10. --
Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu . Ecuatia
caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
sinx⋅ y' 2 − 2cosx⋅ y'− sinx= 0
. Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus
![Page 5: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/5.jpg)
5
11. --
Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe . Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
. Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus
12. --
Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii
y' 2 − cosx ⋅ y'+ 3 = 0
Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus
13. --
Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii
y' 2 − 2cosx ⋅ y'+ 4 = 0
Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus
![Page 6: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/6.jpg)
6
14. --
Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu cu ecuatie
a caracteristicilor asociata
. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca , cu
functii reale si distincte in fiecare punct .
Atunci pe D ecuatia de mai sus este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus
15. --
Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu . Ecuatia
caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca cu functie reala in
fiecare punct .
Atunci pe D ecuatia de mai sus este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus
![Page 7: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/7.jpg)
7
16. --
Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu . Ecuatia
caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca , cu
functii complex conjugate asa ca in fiecare punct , nu
este reala.
Atunci pe D ecuatia de mai sus este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus
17. --
Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii
. cu .
Sa se identifice mai jos schimbarea de variabile potrivita pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei cu derivate partiale
a. c.
b. d.
![Page 8: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/8.jpg)
8
18. --
Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii
. cu .
Sa se identifice mai jos schimbarea de variabile potrivita pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei cu derivate partiale
a. c.
b. d.
19. --
Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii
. cu .
Sa se identifice mai jos schimbarea de variabile potrivita pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei cu derivate partiale.
a. c.
b. d.
![Page 9: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/9.jpg)
9
20. --
Forma canonica a unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 de tip hiperbolic este
a.
b.
c.
d.
21. --
Forma canonica a unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 de tip parabolic este
a.
b.
c.
d.
![Page 10: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/10.jpg)
10
22. --
Forma canonica a unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 de tip eliptic este
a.
b.
c.
d.
23. --
Forma canonica a unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti de tip hiperbolic. este
a.
![Page 11: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/11.jpg)
11
25. --
Forma canonica a unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti de tip eliptic. este
a. c.
b. d.
26. --
Forma canonica a ecuatiei
este
a. c.
b. d.
![Page 12: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/12.jpg)
12
27. --
Forma canonica a ecuatiei
este
a. c.
b. d.
28. --
Forma canonica a ecuatiei
este
a. c.
b. d.
![Page 13: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/13.jpg)
13
29. --
Forma canonica a ecuatiei
este
a. c.
b. d.
30. --
Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este
Atunci ecuatia este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus
31. --
Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este
Atunci ecuatia este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus
![Page 14: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/14.jpg)
14
32. --
Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este
Atunci ecuatia este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus
![Page 15: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/15.jpg)
15
33. --
Forma canonica a unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti . este
De aici rezulta ca
a.
unde f este functie de clasa .
b.
unde f,g sunt functii de clasa .
c.
unde f este functie de clasa .
d.
unde f,g sunt functii de clasa .
e. Niciuna din variantele de mai sus
![Page 16: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/16.jpg)
16
34. --
Ecuatia
unde c>0 este o constanta , reprezinta
a. ecuatia propagarii caldurii
b. problema Dirichlet pentru disc
c. ecuatia coardei vibrante in absenta fortelor perturbatoare
d. ecuatia neomogena a coardei vibrante
e. Niciuna din variantele de mai sus
35. --
Ecuatia
reprezinta o forma particulara a
a. ecuatiei propagarii caldurii
b. problemei Dirichlet pentru disc
c. ecuatiei coardei vibrante in absenta fortelor perturbatoare
d. ecuatiei neomemogene a coardei vibrante
e. Niciuna din variantele de mai sus
![Page 17: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/17.jpg)
17
36. --
Se considera ecuatia
pentru si .
O conditie de tipul pentru orice reprezinta
a. O conditie la limita c. Niciuna din variantele de mai sus
b. O conditie initiala
37. --
Se considera ecuatia
pentru si .
O conditie de tipul , pentru reprezinta
a. O conditie la limita c. Niciuna din variantele de mai sus
b. O conditie initiala
38. --
Forma canonica a ecuatiei coardei vibrante fara forte perturbatoare este
a. c.
b. d.
![Page 18: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/18.jpg)
18
39. --
Pentru ecuatia coardei vibrante fara forte perturbatoare conditiile
sunt
a. conditii initiale c. conditii necesare
b. conditii la limita d. niciuna din variantele de mai sus
40. --
Consideram ecuatia coardei vibrante fara forte perturbatoare cu conditiile initiale
si conditiile la limita
si incercam sa o rezolvam cu metoda separarii variabilelor. La primul pas cautam o solutie particulara a ecuatiei initiale de forma
a. c.
b. d.
![Page 19: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/19.jpg)
19
41. --
Consideram urmatoarea ecuatie
(8)
a>0. Aceasta este
a. ecuatia omogena a coardei vibrantec. ecuatia propagarii caldurii
b. ecuatia neomogena a coardei vibranted. ecuatia lui Laplace
42. --
Consideram urmatoarea ecuatie
(9)
a>0. Aceasta este o ecuatie de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus.
![Page 20: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/20.jpg)
20
43. --
Consideram ecuatia propagarii caldurii
cu conditia initiala
si conditiile pe frontiera
si incercam sa o rezolvam cu metoda separarii variabilelor. La primul pas cautam o solutie particulara a ecuatiei initiale de forma
a. c.
b. d.
44. --
Consideram urmatoarea ecuatie
(11)
Aceasta este
a. ecuatia omogena a coardei vibrantec. ecuatia caldurii
b. ecuatia neomogena a coardei vibranted. ecuatia lui Laplace
![Page 21: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/21.jpg)
21
45. --
Consideram urmatoarea ecuatie
(12)
Aceasta este o ecuatie de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. nicuna din variantele de mai sus
46. --
Pentru rezolvarea problemei Dirichlet pentru disc
a. se trece la coordonate polare dupa care se aplica metoda separarii variabilelor
b. se aplica metoda separarii variabilelor dupa care se trece la coordonate polare
c. se reduce problema Dirichlet la forma canonica utilizandu-se metoda caracteristicilor
d. niciuna din variantele de mai sus
47.
1. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabila :
a. ξ=y+x; η =2x c. ξ=y+x; η =x
b. ξ=y-x; η =2x d. ξ=y+x; η =2xy
![Page 22: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/22.jpg)
22
TRUE/FALSE
1. --
Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti are forma
unde a,b,c sunt niste numere reale constante.
2. Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2
Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
![Page 23: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/23.jpg)
1
Ecuatii cu derivate partiale
MULTIPLE CHOICE
1. Să se rezolve problema Cauchy pentru ecuaŃia:
2 2
2 20
u u
t x
∂ ∂− =∂ ∂
cu condiŃiile ini Ńiale:
20 0, 0t t
uu x
t= =∂= =∂
a. ( ) 2 2,u x t t x= +b. ( ) 2 2,u x t t x= −
c. ( ) ( ) ( ) ( )1, ,
2u x t x t x tϕ ϕ ϕ= − + + ⋅ - funcŃie arbitrară.
d. ( ) ( ) ( ) ( )1, ,
2u x t x t x tϕ ϕ ϕ= − − + ⋅ - funcŃie arbitrară.
2. DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei:
2 2
2 2
0 0
4 0
0, t t
u u
t xu
u xt= =
∂ ∂− = ∂ ∂ ∂ = = ∂
a. ( ) ( ) ( ) ( )1, 2 2 ,
4u x t x t x tϕ ϕ ϕ= − + + ⋅ - funcŃie arbitrară.
b. ( ),u x t xt=
c. ( ) ( )2 2,u x t x tϕ= + , ( )ϕ ⋅ - funcŃie arbitrară.
d. ( ) 2 2,u x t t x= +
3. DeterminaŃi forma unei coarde la momentul 2
ta
π= dacă mişcarea ei este definită de ecuaŃia:
2 22
2 2
u ua
t x
∂ ∂−∂ ∂
şi de condiŃiile ini Ńiale 0 0sin , 1t t
uu x
t= =∂= =∂
.
a. ( ), sin cosu x t ax t t= +b. ( ), sin cosu x t x t t= +
c. ( ),2
u x ta
π=
d. ( ) 1, sin cos
2u x t x at
a=
![Page 24: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/24.jpg)
2
4. DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei:
2 2
2 2
0 0
0
, t t
u u
t xu
u x xt= =
∂ ∂− = ∂ ∂ ∂ = = − ∂
a. ( ) ( ), 1u x t t x= −b. ( ) ( ), 1u x t x t= −c. ( ),u x t tx=d. ( ) ( ), 1u x t x t= −
5. DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei:
2 22
2 2
0 0
0
0, cost t
u ua
t xu
u xt= =
∂ ∂− = ∂ ∂ ∂ = = ∂
a. ( ) 1, cos sinu x t x at
a=
b. ( ) 1, sin cosu x t x at
a=
c. ( ) 1, sin cosu x t x x
a=
d. ( ) 1, cos sinu x t at x
a=
6. Să se găsească forma unei coarde la momentul t π= dacă mişcarea sa este definită de ecuaŃia:
2 2
2 2
0 0
0
sin , cost t
u u
t xu
u x xt= =
∂ ∂− = ∂ ∂ ∂ = = ∂
a. cosu x=b. sinu x= −c. cosu x= −d. sinu x=
![Page 25: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/25.jpg)
3
7. Să se aducă la forma canonică indicând transformările de variabile:2 2 2
2 22 3 2 6 0.
u u u u u
x x y y x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
a.2 1
0 , , 32
u ux y x yξ η
ξ η ξ∂ ∂+ = = + = −
∂ ∂ ∂
b.2 1
0 , , 32
u ux y x yξ η
ξ η ξ∂ ∂− = = + = −
∂ ∂ ∂
c.2 1
0 , , 32
u ux y x yξ η
ξ η ξ∂ ∂+ = = − = +
∂ ∂ ∂
d.2 1
0 , , 32
u ux y x yξ η
ξ η ξ∂ ∂− = = + = +
∂ ∂ ∂
8. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
2 2 2
2 24 5 2 0
u u u u u
x x y y x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
a.2 2
2 20 , 2 ,
u u ux y xξ η
ξ η η∂ ∂ ∂+ + = = + = −∂ ∂ ∂
b.2 2
2 20 , 2 ,
u u ux y xξ η
ξ η η∂ ∂ ∂+ + = = − =∂ ∂ ∂
c.2 2
2 20 , 2 ,
u u ux y xξ η
ξ η η∂ ∂ ∂− + = = − =∂ ∂ ∂
d.2 2
2 20 , 2 ,
u u ux y xξ η
ξ η η∂ ∂ ∂+ − = = − =∂ ∂ ∂
9. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
2 2 2
2 22 0.
u u u u ucu
x x y y x yα β∂ ∂ ∂ ∂ ∂− + + + + =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
a. ( )2
2 0 , ,
u u ucu x y yα β β ξ η
η ξ η∂ ∂ ∂− + + + = = − =∂ ∂ ∂
b. ( )2
2 0 , ,
u u ucu x y yα β β ξ η
η ξ η∂ ∂ ∂+ − − + = = + =∂ ∂ ∂
c. ( )2
2 0 , ,
u u ucu x y yα β β ξ η
η ξ η∂ ∂ ∂+ + + + = = + =∂ ∂ ∂
d. ( )2
2 0 , ,
u u ucu x y yα β β ξ η
η ξ η∂ ∂ ∂+ + + + = = + =∂ ∂ ∂
![Page 26: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/26.jpg)
4
10. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate
( )2 2 2
22 2
2cos 3 sin 0u u u u
x x yx x y y y
∂ ∂ ∂ ∂− − + − =∂ ∂ ∂ ∂ ∂
a.2
0 , 2 sin , 2 -sin -16
u u ux x y x x y
η ξ ξ ηξ η ξ η
∂ − ∂ ∂+ − = = + + = ∂ ∂ ∂ ∂
b.2
0 , 2 sin , 2 -sin -16
u u ux x y x x y
η ξ ξ ηξ η ξ η
∂ − ∂ ∂+ + = = + + = ∂ ∂ ∂ ∂
c.2
0 , 2 sin , 2 -sin -16
u u ux x y x x y
η ξ ξ ηξ η ξ η
∂ − ∂ ∂+ − = = − + = ∂ ∂ ∂ ∂
d.2
0 , 2 sin , 2 -sin -32
u u ux x y x x y
η ξ ξ ηξ η ξ η
∂ − ∂ ∂+ − = = + + = ∂ ∂ ∂ ∂
11. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate2 2 2
2 22 2
2 2 0.u u u u
y xy x yx x y y y
∂ ∂ ∂ ∂+ + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂
a.2 2
2 2 22 2
1 1 0 , ,
2
u u u ux y xξ η
ξ η ξ η ξ η η∂ ∂ ∂ ∂+ + ⋅ + ⋅ = = − =∂ ∂ − ∂ ∂
b.2 2
2 2 22 2
1 1 0 , ,
2
u u u ux y xξ η
ξ η ξ η ξ η η∂ ∂ ∂ ∂− + ⋅ + ⋅ = = − =∂ ∂ − ∂ ∂
c.2 2
2 2 22 2
1 1 0 , ,
2
u u u ux y xξ η
ξ η ξ η ξ η η∂ ∂ ∂ ∂+ − ⋅ + ⋅ = = + =∂ ∂ − ∂ ∂
d.2 2
2 2 22 2
1 1 0 , ,
u u u ux y xξ η
ξ η ξ η ξ η η∂ ∂ ∂ ∂+ + ⋅ + ⋅ = = + =∂ ∂ + ∂ ∂
12. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:2 2 2
2 2 32 2
2 0.u u u u
tg x y tgx y tg xx x y y x
∂ ∂ ∂ ∂− + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂
a.2
20 , sin ,
u uy x y
ξ ξ ηη η ξ
∂ ∂− ⋅ = = =∂ ∂
b.2
2 2
20 , sin ,
u uy x y
ξ ξ ηη η ξ
∂ ∂− ⋅ = = =∂ ∂
c.2
20 , sin ,
u uy x y
ξ ξ ηη η ξ
∂ ∂+ ⋅ = = = −∂ ∂
d.2
20 , sin ,
u uy x y
ξ ξ ηη η ξ
∂ ∂+ ⋅ = = = −∂ ∂
![Page 27: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/27.jpg)
5
13. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
2 2 2
22 2
12sin cos cos sin 2 0.
2
u u u u ux x x x
x x y y x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
a.2 1
cos 0 , cos , cos2 2
u ux y x x y x
ξ η ξ ηξ η η∂ + ∂− = = − + = − −
∂ ∂ ∂
b.2 1
cos 0 , cos , cos2 2
u ux y x x y x
ξ η ξ ηξ η η∂ + ∂− = = − + = − −
∂ ∂ ∂
c.2 1
cos 0 , cos , cos2 2
u ux y x x y x
ξ η ξ ηξ η η∂ + ∂+ = = + + = − −
∂ ∂ ∂
d.2 1
cos 0 , cos , cos2 2
u ux y x x y x
ξ η ξ ηξ η η∂ − ∂+ = = + + = − −
∂ ∂ ∂
14. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:2 2 2
2 2 42 2
2 3 2 4 16 0.u u u u u
x xy y x y x ux x y y x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − − + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
a.2 1 1
0 , , 4 2
u u u xu x y
yξ η
ξ η η ξ ξ η∂ ∂ ∂+ ⋅ − + = = − =
∂ ∂ ∂ ∂
b.2 1 1
0 , , 4 2
u u u xu x y
yξ η
ξ η η ξ ξ η∂ ∂ ∂+ ⋅ − + = = + =
∂ ∂ ∂ ∂
c.2 1 1
0 , , 4
u u u xu xy
yξ η
ξ η η ξ ξ η∂ ∂ ∂− ⋅ + + = = =
∂ ∂ ∂ ∂
d.2 31 1
0 , , 4
u u u xu xy
yξ η
ξ η η ξ ξ η∂ ∂ ∂+ ⋅ − + = = =
∂ ∂ ∂ ∂
15. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
( ) ( )2 2
2 22 2
1 1 0.u u u u
x y x yx y x y
∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + =∂ ∂ ∂ ∂
a. ( ) ( )2 22 2
2 20 , ln 1 , ln 1
u ux x y yξ η
ξ η∂ ∂+ = = + + = + +∂ ∂
b. ( ) ( )2 22 2
2 20 , ln 1 , ln 1
u ux x y yξ η
ξ η∂ ∂− = = + + = + +∂ ∂
c. ( ) ( )2 22 2
2 20 , ln 1 , ln 3 1 9
u ux x y yξ η
ξ η∂ ∂+ = = + + = + +∂ ∂
d. ( ) ( )2 22 2
2 20 , ln 2 1 4 , ln 1
u ux x y yξ η
ξ η∂ ∂− = = + + = + +∂ ∂
![Page 28: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/28.jpg)
6
16. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:2 2 2
2 22 2
sin 2 sin 0.u u u
x y x yx x y y
∂ ∂ ∂− + =∂ ∂ ∂ ∂
a.2
2 2 2
20 , ln ,
2
u u xy y
ξ ξ ηη ξ η ξ
∂ ∂− ⋅ = = =∂ + ∂
b.2
2 2 2
20 , ,
2
u u xytg y
ξ ξ ηη ξ η ξ
∂ ∂− ⋅ = = =∂ + ∂
c.2
2 2 2
20 , ,
u u xtg y
y
ξ ξ ηη ξ η ξ
∂ ∂+ ⋅ = = =∂ + ∂
d.2
2 2 2
20 , ,
2
u u yxtg y
ξ ξ ηη ξ η ξ
∂ ∂− ⋅ = = = −∂ + ∂
17. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:2 2 2
2 22 2
2 2 0.u u u u
cth x y cthx y yx x y x y
∂ ∂ ∂ ∂− + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂
a.2
2 2
10 , ,
1
u u uy chx shxξ η ξ η
η η ξ η ∂ ∂ ∂+ − = = = ∂ − ∂ ∂
b.2
2 2
10 , ,
1
u u uy shx chxξ η ξ η
η η ξ η ∂ ∂ ∂+ − = = = ∂ + ∂ ∂
c.2
2 2
10 , ,
1
u u uy chx shxξ η ξ η
η η ξ η ∂ ∂ ∂+ + = = = ∂ + ∂ ∂
d.2
2 2
10 , ,
1
u u uy chx yshxη ξ ξ η
η η ξ η ∂ ∂ ∂− + = = = ∂ + ∂ ∂
![Page 29: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/29.jpg)
7
18. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi apoi să se aducă la forma canonică, precizând transformarea făcută:
2 2
2 20.
u uy
x y
∂ ∂+ =∂ ∂
a. ecuaŃia este de tip eliptic dacă 0y> ,iar, forma canonică este:
( )32 22
2 2
1 20 , , 0
3 3
u u ux y yξ η
ξ η η η∂ ∂ ∂+ + = = = >∂ ∂ ∂
b. ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă 0y> , iar forma canonică este:
( )32 22
2 2
1 20 , , 0
3 3
u u ux y yξ η
ξ η η η∂ ∂ ∂− + = = = >∂ ∂ ∂
c. ecuaŃia este de tip hiperbolic pentru 0y< , iar forma canonică este:
( )( )
( )
32
2
32
21 30 , 0
26
3
x yu u u
y
x y
ξ
ξ η η ξ ξ η η
= − − ∂ ∂ ∂ + + = < ∂ ∂ − ∂ ∂ = + −
d. ecuaŃia este de tip eliptic pentru 0y< , iar forma canonică este:
( )( )
( )
32
2 2
2 2 32
21 30 , 0
26
3
x yu u u u
y
x y
ξ
ξ η η ξ ξ η η
= − − ∂ ∂ ∂ ∂ + + = < ∂ ∂ − ∂ ∂ = + −
19. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi apoi să se aducă la forma canonică, precizând transformarea făcută:
2 2
2 20 , unde constant
u u uy
x y yα α∂ ∂ ∂+ + = =
∂ ∂ ∂a. ecuaŃia este de tip eliptic dacă 0y< , iar forma canonică este:
( )2 2
2 2
2 10 , , 2 , 0
u u ux y y
α ξ ηξ η η η
∂ ∂ − ∂+ + = = = − <∂ ∂ ∂
b. ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă 0y< , iar forma canonică este:
( )2
122 0 , 02
x yu u uy
x y
α ξξ η ξ η ξ η η
− = − − ∂ ∂ ∂ − − = < ∂ ∂ − ∂ ∂ = + −c. ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă 0y< , iar forma canonică este:
( )2 2
2 2
2 10 , , 2 , 0
u u ux y y
α ξ ηξ η η η
∂ ∂ − ∂− + = = = − <∂ ∂ ∂
d. ecuaŃia este de tip eliptic dacă 0y> , iar forma canonică este:
( )2 2
2 2
122 0 , 02
x yu u u uy
x y
α ξξ η ξ η ξ η η
− = − − ∂ ∂ ∂ ∂ + − − = < ∂ ∂ − ∂ ∂ = + −
![Page 30: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/30.jpg)
8
20. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi y, apoi să se aducă la forma canonică, precizând transformarea făcută:
2 2
2 2 0
u uy x
x y
∂ ∂+ =∂ ∂
a. ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă 0 , 0, x y< < iar, forma canonică este:
( )
( )
3322 2
2 2 3322
1 10 ,
3
x yu u u
x y
ξη ξ
ξ η η ξ ξ ηη
= − − ∂ ∂ ∂ + − = ∂ ∂ − ∂ ∂ = − +
b. ecuaŃia este de tip eliptic dacă 0 , 0, x y< < iar forma canonică este:
( )
( )
32 2 2
2 2 3
2
1 10 ,
3 3
xu u u u
y
ξξ η ξ ξ η η η
= −∂ ∂ ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ = −c. ecuaŃia este de tip eliptic dacă 0 , 0, x y> > iar, forma canonică este:
( )
( )
32 2 2
2 2 3
2
1 10 ,
3 3
xu u u u
y
ξξ η ξ ξ η η η
= −∂ ∂ ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ = −d. ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă 0 , 0, x y> > iar, forma canonică este:
( )
( )
3322 2
2 2 3322
1 10 ,
3
x yu u u
x y
ξη ξ
ξ η η ξ ξ ηη
= − − ∂ ∂ ∂ + − = ∂ ∂ − ∂ ∂ = − +
![Page 31: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/31.jpg)
9
21. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi y, apoi să se aducă la forma canonică, precizând transformarea făcută:
2 2
2 20
u ux y
x y
∂ ∂+ =∂ ∂
a. ecuaŃia este de tip eliptic pe interiorul cercului 2 2 1x y+ = , iar, forma canonică este:
2 22 2
2 2
10 , ,
1 1
x yu u y
x xξ η
ξ η+ −∂ ∂+ = = =
∂ ∂ − −b. ecuaŃia este de tip hiperbolic pe exteriorul cercului 2 2 1x y+ = , iar forma canonică
este:2 22 2
2 2
10 , ,
1 1
x yu u y
x xξ η
ξ η+ −∂ ∂− = = =
∂ ∂ − −c. ecuaŃia este de tip hiperbolic pe interiorul cercului 2 2 1x y+ = , iar forma canonică
este:2 22 2
2 2
10 , ,
1 1
x yu u y
x xξ η
ξ η− −∂ ∂− = = =
∂ ∂ − −d. ecuaŃia este de tip eliptic pe exteriorul cercului 2 2 1x y+ = , iar forma canonică
este:2 22 2
2 2
10 , ,
1 1
x yu u y
x xξ η
ξ η− −∂ ∂+ = = =
∂ ∂ − −
22. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi y, apoi să se aducă la forma canonică, precizând transformarea făcută:
( ) ( )2 2 2
2 22 2
1 2 1 2 2 0u u u u u
x xy y x yx x y y x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − − + − − =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
a. pentru 2 21 0 x y− + > ecuaŃia este de tip hiperbolic, iar, forma canonică este:2 22 2
2 2
10 , ,
1 1
x yu u y
x xξ η
ξ η− +∂ ∂− = = =
∂ ∂ + +b. pentru 2 21 0 x y− + < ecuaŃia este de tip hiperbolic, iar, forma canonică este:
2 22 2
2 2
10 , ,
1 1
x yu u y
x xξ η
ξ η− −∂ ∂− = = =
∂ ∂ + +c. pentru 2 21 0 x y− + > ecuaŃia este de tip eliptic, iar, forma canonică este:
2 22 2
2 2
10 , ,
1 1
x yu u y
x xξ η
ξ η− +∂ ∂+ = = =
∂ ∂ + +d. pentru 2 21 0 x y− + < ecuaŃia este de tip eliptic, iar, forma canonică este:
2 22 2
2 2
10 , ,
1 1
x yu u y
x xξ η
ξ η− −∂ ∂+ = = =
∂ ∂ + +
![Page 32: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/32.jpg)
10
23. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:2 2 2
22 2
2sin cos cos 0u u u u
x x xx x y y y
∂ ∂ ∂ ∂− − − =∂ ∂ ∂ ∂ ∂a. ( ) ( ) ( ), cos cosu x y x y x x y xϕ ψ= + + + − −b. ( ) ( ) ( ), cos cosu x y x y x x y xϕ ψ= + − + − +c. ( ) ( ) ( ), sin sinu x y x y x x y xϕ ψ= + − + − +d. ( ) ( ) ( ), sin sinu x y x y x x y xϕ ψ= − − + − +
24. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
a. ( )2 2
2 2
10 , 0, 0 .
2
u u u ux y x y
x y x y
∂ ∂ ∂ ∂− + − = > > ∂ ∂ ∂ ∂
b. ( ) ( ) ( ), 0, 0u x y x y x y x yϕ ψ= − − − + − + − < <
c. ( ) ( ) ( ), , 0u x y x y x y x yϕ ψ= − + + >
d. ( ) ( ) ( ), 0, 0u x y x y x y x yϕ ψ= − − + − + < >
25. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:2 2
2 22 2
2 0u u u
x y yx y y
∂ ∂ ∂− − =∂ ∂ ∂
a. ( ) ( )2
2, ,
x xu x y x y
y yϕ ψ
= +
b. ( ) ( ),x y
u x y x y xyy xϕ ψ = ⋅ +
c. ( ) ( ), ,x y
u x y x yy x
ϕ ψ = +
d. ( ) ( ), ,x y
u x y x yy xϕ ψ = +
26. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:2 2 2
2 22 2
2 0u u u u u
x xy y x yx x y y x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂− + + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
a. ( ) ( ) ( ), lnu x y x y y x yϕ ψ= ⋅ + ⋅b. ( ) ( ) ( ), , lnu x y x y y x yϕ ψ= + ⋅
c. ( ) ( ), lnx
u x y x y yy
ϕ ψ = ⋅ +
d. ( ) ( ) ( ), , lny
u x y x y x yx
ϕ ψ= + ⋅
![Page 33: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/33.jpg)
11
27. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:2
2 22
u ux x
x x y
∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂
a. ( )( )
,
xx y
yu x y
x
ϕ ψ ⋅ + =
b. ( ) ( ) ( ),
x y x yu x y
x
ϕ ψ− + +=
c. ( ) ( ) ( ),
x y x yu x y
y
ϕ ψ− + +=
d. ( )( )
,
xx y
yu x y
y
ϕ ψ ⋅ + =
28. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
( )2
0u u u
x yx y x y
∂ ∂ ∂− − + =∂ ∂ ∂ ∂
a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2, , unde şi Y y sunt funcŃii arbitrare
X x Y yu x y X x
x y=
+
b. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , unde şi Y y sunt funcŃii arbitrareX x Y y
u x y X xx y
⋅=
⋅
c. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , unde şi Y y sunt funcŃii arbitrareX x Y y
u x y X xx y
−=
−
d. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , unde şi Y y sunt funcŃii arbitrareX x Y y
u x y X xx y
+=
+
29. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:2
0u u u
y x xyux y x y
∂ ∂ ∂+ + + =∂ ∂ ∂ ∂
a. ( ) ( )2 2
2,x y x
u x y e yy
ϕ ψ+−
= +
b. ( ) ( ) ( )2 2
2,x y
u x y e x y x yϕ ψ+
= + + −
c. ( ) ( ) ( )2 2
2,x y
u x y e x y x yϕ ψ+−
= + + −
d. ( ) ( ) ( )2 2
2,x y
u x y e x yϕ ψ+−
= +
![Page 34: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/34.jpg)
12
30. Utizând schimbarea de variabile independente :
, , y z
z yx x
ξ η ζ= = = −
să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:2 2 2 2 2 2
2 2 22 2 2
2 2 2 0u u u u u u
x xy y yz z zxx x y y y z z z x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
a. ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , unde , şi ,y z y z
u x y z z yx x x x
ϕ ψ ϕ ψ = − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
b. ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , unde , şi ,y z y z
u x y z z yx x x x
ϕ ψ ϕ ψ = + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
c. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , unde , şi ,y z y z
u x y z z y x yx x x x
ϕ ψ ϕ ψ = − + − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
d. ( ) ( ) ( ), , , , , unde , şi ,y z y z
u x y z xyx x x x
ϕ ψ ϕ ψ = + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
31. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
( )2 2 2 2
211 12 22 11 22 122 2 2
2 u u u u
a a a a a at x x y y
∂ ∂ ∂ ∂= + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂
a. ( ) ( ) ( )12 22 12 22, , , , u x y t x a t y a t x a t y a tϕ ψ= + + + − −
unde şi sunt funcŃii arbitrare.ϕ ψb. ( ) ( ) ( )11 22 11 22, , , , u x y t x a t y a t x a t y a tϕ ψ= + + + − −
unde şi sunt funcŃii arbitrare.ϕ ψc. ( ) ( ) ( )22 12 22 12, , , , u x y t x a t y a t x a t y a tϕ ψ= + + + − −
unde şi sunt funcŃii arbitrare.ϕ ψd. ( ) ( ) ( )11 22 11 22, , , , u x y t x a t y a t x a t y a tϕ ψ= + − + − −
unde şi sunt funcŃii arbitrare.ϕ ψ
![Page 35: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/35.jpg)
13
32. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:4 4 4
4 2 2 42 0
u u u
x x y y
∂ ∂ ∂− + =∂ ∂ ∂ ∂a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4,u x y yf x xf y f x y f x y= + + − + + ,
( ) ( )unde 1,4 sunt funcŃii arbitrarekf k⋅ =
b. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4,u x y xf x yf y f x y f x y= + + − + + ,
( ) ( )unde 1,4 sunt funcŃii arbitrarekf k⋅ =
c. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4,u x y x y f x y x y f x y f x y f x y= − + + + − + − + +
( ) ( )unde 1,4 sunt funcŃii arbitrarekf k⋅ =
d. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4,u x y xf x yf y x y f x y x y f x y= + + + − + − +
( ) ( )unde 1,4 sunt funcŃii arbitrarekf k⋅ =
33. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:2 2 2
22 2 0
0
2 3 0 , 3 , 0y
y
u u u uu x
x x y y y==
∂ ∂ ∂ ∂+ − = = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂
a. ( ) 2 2, 3u x y x y= −b. ( ) 2 2, 3u x y x y= −c. ( ) 2 2, 3u x y x y= +d. ( ) 2 2, 3u x y x y= +
![Page 36: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/36.jpg)
14
34. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:
( ) ( ) ( ) ( )2 2
2 20 12 2 0
0
1 1 0 , u , y
y
u u u u ux y x y x x
x y x y yϕ ϕ
==
∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − + + − = = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂
a. ( )2 2 2
0 0 1
1 1 1 1 1 1,
2 2 2 2 2
zu x y dz
z z
β
α
α βϕ ϕ ϕα β
− − −= −
∫
( )( ) 22 2
2
1unde, 1 1 ,
1
x xx x y y
y yα β + += + + + + =
+ +
b. ( )2 2 2
0 0 1
1 1 1 1 1 1,
2 2 2 2 2
zu x y dz
z z
β
α
α βϕ ϕ ϕα β
+ + −= −
∫
( )( ) 22 2
2
1unde, 1 1 ,
1
x xx x y y
y yα β + += + + + + =
+ +
c. ( )2 2 2
0 0 1
1 1 1 1 1 1,
2 2 2 2 2
zu x y dz
z z
β
α
α βϕ ϕ ϕα β
− − −= −
∫
( )( ) 22 2
2
1unde, 1 1 ,
1
x xx x y y
y yα β − += − + + + =
+ +
d. ( )2 2 2
0 0 1
1 1 1 1 1 1,
2 2 2 2 2
zu x y dz
z z
β
α
α βϕ ϕ ϕα β
+ + −= −
∫
( )( ) 22 2
2
1unde, 1 1 ,
1
x xx x y y
y yα β − += − + + + =
+ +
35. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:
( ) ( )2 2 2
20 12 2 sin
sin
2cos sin sin 0 , u , y x
y x
u u u u ux x x x x
x x y y y yϕ ϕ
==
∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − − = = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
a. ( ) ( ) ( ) ( )sin
0 0 1
sin
1 1, sin sin
2 2
x x y
x x y
u x y x x y x x y z dzϕ ϕ ϕ+ +
− −
= + + + − − + ∫
b. ( ) ( ) ( ) ( )sin
0 0 1
sin
1 1, sin sin
2 2
x x y
x x y
u x y x x y x x y z dzϕ ϕ ϕ− +
+ −
= − + + + − + ∫
c. ( ) ( ) ( ) ( )cos
0 0 1
cos
1 1, cos cos
2 2
x x y
x x y
u x y x x y x x y z dzϕ ϕ ϕ− +
+ −
= − + + + − + ∫
d. ( ) ( ) ( ) ( )cos
0 0 1
cos
1 1, cos cos
2 2
x x y
x x y
u x y x x y x x y z dzϕ ϕ ϕ+ +
+ −
= + + + + − + ∫
![Page 37: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/37.jpg)
15
36. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:
( ) ( )2 2 2
2 2 00
4 5 0, u , y
y
u u u u u uf x F x
x x y y x y y==
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − + − = = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
a. ( ) ( ) ( ) ( )5 5
6 6 65,
6
y yx x
x y z z
x y x y
u x y f x y e e f z dz e F z dz
− −−
− −
′= − + −
∫ ∫
b. ( ) ( ) ( ) ( )5 5
6 6 65,
6
y yx x
x y z z
x y x y
u x y f x y e e f z dz e F z dz
+ ++−
− −
′= + + −
∫ ∫
c. ( ) ( ) ( ) ( )5 5
6 6 65,
6
y yx x
x y z z
x y x y
u x y f x y e e f z dz e F z dz
− −+−
+ +
′= + + −
∫ ∫
d. ( ) ( ) ( ) ( )5 5
6 6 65,
6
y yx x
x y z z
x y x y
u x y f x y e e f z dz e F z dz
− −+ − −
+ +
′= + + −
∫ ∫
37. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:
( ) ( )2 2 2
2 20 12 2 1
1
2 3 0 , , y
y
u u u ux xy y u x x
x x y y yϕ ϕ
==
∂ ∂ ∂ ∂− − = = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂
a. ( ) ( ) ( ) ( )4 4
7 7
4 40 0 0 1
3 1 3 3,
4 4 16 4
x x
y y
x y x y
xu x y x y y y x x y x dx x y x x dx
yϕ ϕ ϕ ϕ
− − = + + −
∫ ∫
b. ( ) ( )
![Page 38: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/38.jpg)
1
grele_ecuatii
MULTIPLE CHOICE
1. --
Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii
. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca , . Se
integreaza aceste ecuatii si se gaseste . Daca ecuatia cu derivate partiale este de tip hiperbolic pe D atunci schimbarea de variabile pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei este
a.
b. Avem si schimbarea de variabile potrivita este
c. Avem ca functiile si sunt complex conjugate si schimbarea
de variabile potrivita este
d. niciuna din variantele de mai sus
![Page 39: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/39.jpg)
2
2. --
Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii
. cu .
Sa se identifice mai jos schimbarea de variabile potrivita pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei cu derivate partiale
a. c.
b. d.
3. --
Pentru a reduce la forma canonica o ecuatie cu derivate partiale se utilizeaza schimbarea de
variabile . Notam Atunci este adevarat ca
a. c.
b. d.
![Page 40: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/40.jpg)
3
4. --
Pentru a reduce la forma canonica o ecuatie cu derivate partiale se utilizeaza schimbarea de
variabile . Notam Atunci este adevarat ca
a. c.
b. d.
5. --
Pentru a reduce la forma canonica o ecuatie cu derivate partiale se utilizeaza schimbarea de
variabile . Notam Atunci
contine (cu + sau - in fata) termenul
a. c.
b. d.
![Page 41: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/41.jpg)
4
6. --
Pentru a reduce la forma canonica o ecuatie cu derivate partiale se utilizeaza schimbarea de
variabile . Notam Atunci
contine (cu + sau - in fata) termenul
a. c.
b. d.
7. --
Forma canonica a ecuatiei
este
a.
![Page 42: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/42.jpg)
5
8. --
Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este
De aici rezulta ca
a.
unde f este o functie ce admite primitive cel putin local.
b.
unde f,g sunt functii ce admit primitive cel putin local.
c.
unde f,g sunt functii ce admit primitive cel putin local.
d.
unde f este functie ce admite primitive cel putin local.
![Page 43: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/43.jpg)
6
9. --
Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este
De aici rezulta ca
a.
unde f este functie de clasa .
b.
unde f este functie de clasa .
c.
unde f este functie de clasa .
d.
unde f,g sunt functii de clasa .
![Page 44: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/44.jpg)
7
10. --
Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este
De aici rezulta ca
a.
unde f este o functie ce admite primitive cel putin local.
b.
unde f este functie ce admite primitive cel putin local.
c.
unde f,g sunt functii ce admit primitive cel putin local.
d.
unde f este functie ce admite primitive cel putin local.
![Page 45: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/45.jpg)
8
11. --
Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este
De aici rezulta ca
a.
unde f este functie de clasa .
b.
unde f,g sunt functii de clasa .
c.
unde f este functie de clasa .
d.
unde f,g sunt functii de clasa .
![Page 46: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/46.jpg)
![Page 47: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/47.jpg)
10
14. --
Pentru rezolvarea ecuatiei coardei vibrante fara forte perturbatoare, cu constanta c=1 se aduce ecuatia la forma canonica si apoi se rezolva ecuatia care rezulta. Se obtine
a.
unde f este functie de clasa .
b.
unde f,g sunt functii de clasa .
c.
unde f,g sunt functii de clasa .
d.
unde f,g sunt functii de clasa .
e. Niciuna din variantele de mai sus
![Page 48: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/48.jpg)
11
15. --
Se aplica metoda separarii variabilelor ecuatiei cu derivate partiale
(1)
Se cauta o solutie de forma
. Rezulta atunci ca
X,T satisfac ecuatia
a. c.
b. d.
![Page 49: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/49.jpg)
12
16. --
Consideram urmatoarea ecuatie
(10)
cu conditia initiala
si conditiile pe frontiera
si incercam sa o rezolvam cu metoda separarii variabilelor. La primul pas cautam o solutie particulara a ecuatiei initiale de forma
. Rezulta atunci ca exista un numar constant k asa ca X,T satisfac ecuatia
a. c.
b. d.
![Page 50: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/50.jpg)
1
Ecuatii
TRUE/FALSE
1. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie :
Folosim schimbarea de variabila ξ =3y-x ; η =x+y.
2. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabila ξ=y-x; η =2x.
3. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabila ξ=2x-y; η =3x.
4. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabile ξ=x+2y; η =2x-y.
5. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabile ξ=2x-y; η =3x.
![Page 51: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/51.jpg)
2
6. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabile ξ=x+y; η =x.
7. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabile ξ=2x-3y; η=3x-y.
8. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabile ξ=x+3y; η =x.
9. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabile ξ=2x-3y; η =x-y.
10. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabile ξ=2x-3y; η =x-y.
![Page 52: Intrebari cu raspunsuri la Ecuatii cu Derivate Partiale](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050706/5571f2ad49795947648ce2ea/html5/thumbnails/52.jpg)
3
11. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabile ξ=-x+y; η =-x+2y.