Intervalos e Inecuaciones

INTERVALOS, DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO

INTERVALOS

Los Intervalos son una herramienta matemtica que se utiliza para delimitar un conjunto determinado de nmeros reales. Por ejemplo el intervalo [-5,3] describe el conjunto de nmeros reales que se encuentran entre -5 y 3.

{-5, -4,99 ,, -4,9 ,, 2,9 , 2,99 , 3}

TIPOS DE INTERVALOS

1. Intervalo abierto: este tipo de intervalo como es abierto por ambos lados no se incluye a y b en el conjunto de nmeros que delimita. , Notacin de intervalo

/ Notacin de conjunto Grfica del intervalo

Ejemplo: 3,7 Notacin de intervalo

/ 3 7 Notacin de conjunto. En este caso, el conjunto que se delimita no incluye los nmeros -3 y 7 porque se trata de un intervalo abierto por ambos lados

Grfica del intervalo

2. Intervalo Cerrado: este tipo de intervalo como es cerrado por ambos lados incluye a y b en el conjunto de nmeros que delimita. , Notacin de intervalo


Ejemplo: 4,8 Notacin de intervalo

/ 4 8 Notacin de conjunto. En este caso, el conjunto que se delimita incluye los nmeros -4 y 8 porque se trata de un intervalo cerrado por ambos lados


3. Intervalo Abierto por la derecha: este tipo de intervalo como es cerrado por el lado izquierdo incluye a y como es abierto por el lado derecho no incluye b en el conjunto que delimita. , Notacin de intervalo


Ejemplo 3,6 Notacin de intervalo

/ 3 6 Notacin de conjunto. En este caso, el conjunto que se delimita incluye el nmero 3 por ser cerrado por la izquierda pero no incluye el nmero 6 por ser abierto por la derecha.


4. Intervalo abierto por la izquierda: este tipo de intervalo como es abierto por el lado izquierdo no incluye a y como es cerrado por el lado derecho incluye b en el conjunto que delimita. , Notacin de intervalo


Ejemplo 1,12 Notacin de intervalo

/ 1 12 Notacin de conjunto En este caso, el conjunto que se delimita no incluye el nmero -1 por ser abierto por la izquierda pero incluye el nmero 12 por ser cerrado por la derecha.


5. Intervalo cerrado por la izquierda hacia + : este tipo de intervalo como es cerrado por el lado izquierdo incluye a y es abierto por el lado derecho hacia infinito positivo.

, Notacin de intervalo


Ejemplo 5, Notacin de intervalo

/ 5 Notacin de conjunto En este caso, el conjunto que se delimita incluye el nmero -5 por ser cerrado por la izquierda hasta infinito positivo.


6. Intervalo abierto por la izquierda hacia + : este tipo de intervalo como es abierto por el lado izquierdo no incluye a y es abierto por el lado derecho hacia infinito positivo.



Ejemplo 9, Notacin de intervalo

/ 9 Notacin de conjunto En este caso, el conjunto que se delimita no incluye el nmero 9 por ser abierto por la izquierda hasta infinito positivo.


7. Intervalo cerrado por la derecha hacia - : este tipo de intervalo es abierto por el lado izquierdo hacia infinito negativo y como es cerrado por el lado derecho incluye b.



Ejemplo , 2 Notacin de intervalo

/ 2 Notacin de conjunto En este caso, el conjunto que se delimita incluye el nmero -2 por ser cerrado por la derecha hasta infinito negativo.


8. Intervalo abierto por la derecha hacia - : este tipo de intervalo es abierto por el lado izquierdo hacia infinito negativo y como es abieto por el lado derecho no incluye b.



Ejemplo Notacin de intervalo

Notacin de conjuntoEn este caso, el conjunto que se delimita no incluye el nmero 20 por ser abierto por la derecha hasta infinito negativo.


DESIGUALDADES

Una desigualdad es una desigualdad. Los signos de desigualdad son:

no es igual < menor que > mayor que

menor o igual que mayor o igual que

Ejemplos de desigualdades:

a) b) c)

Notacin de intervalo

Notacin de conjunto En este caso, el conjunto que se delimita no incluye el nmero 20 por ser abierto por la derecha hasta infinito negativo.

Una desigualdad es una expresin matemtica que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son:

Ejemplos de desigualdades:

c) d) e)

En este caso, el conjunto que se delimita no incluye el nmero 20 por ser abierto

matemtica que contiene un signo de

Una desigualdad que tiene variable se llama inecuacin.

INECUACIONES

Una inecuacin es una desigualdad en la que hay una o ms cantidades desconocidas (incgnitas) y que slo se verifica (o demuestra) para determinados valores de las incgnitas. Las inecuaciones tambin se conocen como desigualdades de condicin.

Ejemplos de inecuaciones

a) 6 20 5 3 16 b) ! 20

" 2 c) #

! 13

$

" 6

d) %!

" 4

Para resolver una inecuacin deben encontrarse los valores de las incgnitas que satisfagan la inecuacin.

Ejemplo 1: hallar el intervalo solucin de la inecuacin 2 5 2 5

5 2 Organizar trminos, variables en la izquierda y nmeros a la derecha

3 Intervalo solucin en forma de conjunto Por lo tanto el intervalo solucin es 3,

Ejemplo 2: hallar el intervalo solucin de la inecuacin 4 5 11 4 5 11

4 11 5 Organizar trminos, variables en la izquierda y nmeros a la derecha.

3 16 Reduccin de trminos semejantes en ambos lados y despejar x, como el 3 est multiplicando pasa a dividir.

#$

! Intervalo solucin en forma de conjunto

Por lo tanto el intervalo solucin es , #$!

Ejemplo 3: Caso especial variable con signo negativo. Hallar el intervalo solucin de 8 4 5 12.

8 4 5 12

8 5 12 4 Organizar trminos, variables en la izquierda y nmeros a la derecha.

13 8 Reduccin de trminos semejantes en ambos lados

1 13 8 1 Como el trmino de la variable es negativo -13x multiplicamos en ambos lados por (-1) y le damos la vuelta a la desigualdad . 13 8 Despejar x, como el 13 est multiplicando pasa a dividir

%

#! Intervalo solucin en forma de conjunto

Por lo tanto el intervalo solucin es %#!,

Ejemplo 4: Caso especial variable con signo negativo.

Hallar el intervalo solucin de '" 1

(

'

" 1

(

( 1

'

" Organizar trminos, variables en la izquierda y nmeros a la derecha.

(

#

" Reduccin de trminos semejantes en ambos lados

2 #

") 7 Despejar x, como el 7 est dividiendo pasa a multiplicar

#

")

(

Como el dos est multiplicando pasa a dividir

1 (

#* 1 Como el trmino de la variable es negativo -x

multiplicamos en ambos lados por (-1) y le damos la vuelta a la desigualdad .

(

#* Intervalo solucin en forma de conjunto

Por lo tanto el intervalo solucin es , (#*

Ejemplo 5: hallar el intervalo solucin de !

#

!

#

'

!

#

!

#

'

!

!

#

#

' Organizar trminos, variables en la izquierda y nmeros a la derecha.

+,-',

$

- -'

% Operaciones con fracciones en ambos lados de la inecuacin

",

$

-$

% Reduccin de trminos semejantes en ambos lados

",

$

-!

' Simplificando la fraccin

5 -!

') 6 Despejar x, como el 6 est dividiendo pasa a multiplicar

5 ) 4 3 ) 6 Como el 4 est dividiendo pasa a multiplicar

20 18 Como el 20 est multiplicando pasa a dividir

#%

* Simplificando la fraccin

+

#* Intervalo solucin en forma de conjunto

Por lo tanto el intervalo solucin es +#*,

VALOR ABSOLUTO

Definicin:

Si a es un nmero real, el valor absoluto de a que se expresa como || se define como:

|| / 01 0

|| / 01 0

PROPIEDADES

A continuacin se describen algunas propiedades de valor absoluto que se utilizan para resolver ecuaciones e inecuaciones de las formas:

Ecuaciones de la forma | 2 | / Inecuaciones de la forma | 2 |

1. Propiedad || / ||

Ejemplo 1: |7| / |7| /7 Ejemplo 2: |25| / |25| / 25 Ejemplo 3: |125| / |125| / 125

Esta propiedad la utilizamos para resolver ecuaciones de la forma | 2 | / siendo 0.

Ejemplo 1: hallar los valores de x si |2 7| / 5 Aplicando la primera propiedad planteamos que |2 7| / |5| / |5|. Esto significa que:

2 7 / 5 o 2 7 / 5

Resolviendo la primera ecuacin con +5

2 7 / 5

2 / 5 7

2 / 12

/ 6

Resolviendo la segunda ecuacin con -5

2 7 / 5

2 / 5 7

2 / 2

/ 1

Por lo tanto la solucin es: / 6 o / 1

Ejemplo 2: hallar los valores de x si |3 5| / 4 Aplicando la primera propiedad planteamos que |3 5| / |4| / |4|. Esto significa que:

3 5 / 4 o 3 5 / 4

Resolviendo la primera ecuacin con +4

3 5 / 4

3 / 4 5

3 / 1

/ #

!

Resolviendo la segunda ecuacin con -4

3 5 / 4

3 / 4 5

3 / 9

/ +

!

/ 3

Por lo tanto la solucin es / #! o / 3

2. Propiedad | 2 | 3 0 s y solo s

Como 0 3 || , entonces

Ejemplo1: resolver la inecuacin | 3| 2 | 3| 2

2 3 2 Aplicando: como 0 3 || , entonces .

En este caso, como 2 0 3 || 2 , entonces 2 2

2 3 2 3 Despejar x, el -3 pasa a sumar a ambos lados aplicando

1 5 Intervalo solucin en forma de conjunto

Por lo tanto el intervalo solucin es: 1,5

Ejemplo 2: resolver la inecuacin |2 7| 9 |2 7| 9

9 2 7 9 Aplicando: como 0 3 || , entonces .

En este caso, como 9 0 3 || 9 , entonces 9 9

9 7 2 9 7 Despejar x, el +7 pasa a restar a ambos lados aplicando

16 2 2 Despejar x, el 2 pasa a dividir a ambos lados

#$

Simplificar fracciones en ambos lados cuando sea posible

8 1 Intervalo solucin en forma de conjunto

Por lo tanto el intervalo solucin es: 8,1

3. Propiedad | 2 | 3 0 s y solo s 4

Ejemplo 1: resolver la inecuacin |3 7| 8 Aplicando 4 se obtiene:

3 7 8 4 3 7 8

Solucin de primera inecuacin

3 7 8

3 8 7

3 15 Despejar x, pasamos el 3 a dividir

#"

!

5 Primera solucin

Solucin de la segunda inecuacin

3 7 8

3 8 7


#

! Segunda solucin

Por lo tanto la solucin completa es: 5, 5 , #!

Ejemplo 2: resolver la inecuacin |2 1| 2 Aplicando 4 se obtiene:

2 1 2 4 2 1 2

Solucin de primera inecuacin

2 1 2

2 2 1


#

Primera solucin

Solucin de la segunda inecuacin

2 1 2

2 2 1


!

Segunda solucin

Por lo tanto la solucin completa es: # , 5 ,

!

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