Intervalos de Confianza para la Media de la

Población

“Si oigo algo lo olvido.Si lo veo lo entiendo.

Si lo hago lo aprendo”. Confucio (551-478 A.C)

CASO A: Desviación Standard CONOCIDA

Tamaño de muestra pequeño o grande

CASO B: Desviación Stándar DESCONOCIDA

tamaño de muestra pequeña

CASO C: Desviación Stándar DESCONOCIDA

tamaño de muestra grande

PARA UNA SOLA MUESTRA

CASO A: PARA CONOCIDA MUESTRA GRANDE O PEQUEÑA

Si no se conoce la media poblacional de una cierta variable que se desea estudiar, se selecciona una muestra y se obtiene un intervalo (L1,L2) de forma que exista una probabilidad alta (1-α)% de que la media poblacional esté en ese intervalo.

El nivel de confianza del intervalo (1- α)% lo fija el experimentador, se suele trabajar con 95% y a veces con 99% o el 90%; es decir, con probabilidad 0.05, 0.01 o 0.10

  

nZXsIC

2´

Donde, es un valor de una distribución normal estándar2Z

2/2/ z

nxz

nx

-z/2

/2/2

1-

z/20

1,0N

1

1/

2/2/

2/2/

zn

xzn

xP

zn

xzP

2 21

EJEMPLO

Un fabricante de papel para impresoras tiene un proceso de producción que opera en forma continua durante todo el turno de producción. Se espera que el papel tenga una longitud promedio de 11 plg. Y se sabe que la desviación estándar es de 0.02 de pulg.

De manera periódica, se seleccionan muestras para determinar si la longitud promedio de la hoja todavía es 11plg. O si algo va mal en el proceso de producción y cambio. Si ocurre esto, se necesita una acción correctiva.

Suponga que se elige una muestra aleatoria de 100 hojas y que la longitud promedio es 10.998 plg.

Establezca una estimación de un intervalo de 95% de confianza de la longitud promedio del papel.

Solución: Usando la ecuación anterior, usando la tabla se tiene: con Z=1.96 para 95% de confianza.

100/02.0)96.1(98.10´____

n

ZsIC X

00392.0998.10

GRAFICA

0.025 0.025

De la misma manera que no se conoce la media poblacional , en general, la desviación estándar real de la población tampoco se conoce. Por lo tanto, es necesario obtener un intervalo de confianza estimado de usando solo los estadísticos muestrales: y S

Si la variable aleatoria X, tiene una distribución normal, entonces el estadístico a utilizar es la distribución t cuando la MUESTRA ES PEQUEÑA:

CASO B: PARA DESCONOCIDA,

TAMAÑO DE MUESTRA PEQUEÑO

X

ns

xt

/

Como el valor de es incierto, los valores de t, observados tienen mayor variación que Z. Sin embargo si aumenta el numero de grados de libertad, la distribución t, se acerca poco a poco a la distribución normal hasta que las dos son casi idénticas.

La formula para el intervalo de confianza :

n

stxsIC

n 1,2´

1

1/

2/2/

2/2/

tn

sxt

n

sxP

tns

xtP

2/2/ tn

sxt

n

sx

EJEMPLO # 2

El gerente de mercadotecnia de una compañía que suministra combustible para calefacción de viviendas desea estimar el uso promedio anual (en galones) de las casas de una sola familia en un área geográfica especifica. Se toma una muestra aleatoria de 35 viviendas; el uso anual en ellas se resume en la tabla :

1150.25 1352.67 983.45 1365.110 942.710 1577.770 330.000872.37 1126.57 1184.17 1046.350 1110.500 1050.860 851.600

1459.56 1252.01 373.91 1047.400 1064.460 1018.230 996.600941.96 767.37 1598.57 1598.660 1343.290 1617.730 1300.760

1013.27 1402.59 1069.32 1108.940 1326.190 1074.860 975.860

Cantidad anual de conbustible para calefacción consumo(en galones) en una muestra de 35 viviendas en una familia

Establezca una estimación para el intervalo de confianza de 95% de la cantidad promedio poblacional de combustible consumido al año.

Solución:Para estos, datos la tabla que sigue, muestra que el promedio es 1122.75 galones y que la desviación estándar muestral es 2953.72 galones.

Para obtener el intervalo de confianza de 1021.17 a 1224.33 primero se determina el valor critico de la tabla t para un área de 0.025 es cada cola con 34 grados de libertad. De la tabla se tiene t(34) = 2.03222

Intervalo de confianza de consumo promedio de combustible para calefacción

Sample Standard Deviation 295.723282Sample Mean 1122.74971Sample Size 35Confidence Level 95%Estándar Error of the Mean 49.9863506Degree of Freedom 34t values 2.03224317Interval Half Width 101.58442Interval Lower Limit 1021.17Interval Upper Limit 1224.33

Solucion: n

stXsIC n 1

___

´

58.101223,1

33.224,117.021,1

35/72.2953)0322.2(223,1

Se concluye con una confianza de 95% que la cantidad promedio de combustible para calefacción consumida al año está entre 1021.17 y 1224.33 galones

El intervalo de confianza de 95% establece que se tiene una seguridad de 95% de que en la muestra seleccionada la media poblacional u se localiza dentro del intervalo.

Esta confianza de 95% significa que se seleccionaran todas las muestra posibles de tamaño 35 (algo que no se haría), 95% de los intervalos desarrollado incluirían la media de la población verdadera.

La validez de este estimador depende de la suposición de normalidad de los datos de uso de combustible para calefacción.

CASO C: PARA la desviación estándar DESCONOCIDA

tamaño de muestra grande

n

SZxsIC

2´

n

SZx

n

SZx

22

Se puede determinar el tamaño necesario de una muestra para obtener una amplitud del intervalo de confianza determinada.

2

2/

zn

Semiamplitud delintervalo

Ejemplo: n = 100

1.96 1.96 025.0025.0 zyz

20x 5 Confianza = 0.95 = 0.05

02.1996.1100

5202/

z

nx

98.2096.1100

5202/

z

nx

)98.20;02.19(

Buscamos en las tablas N(0,1) los valores de z que dejan 0.05 / 2 = 0.025 de probabilidad por abajo y 0.05 / 2 = 0.025 de probabilidad por arriba:

Observe cómo a medida que el tamaño muestral aumenta, la amplitud del intervalo disminuye. (Evidentemente, esto es general, no sólo para la media.)

Ejemplo Suponga que el nivel de confianza 1 - = 0.95:

Caso 1. Media muestral =10, varianza poblacional = 4, tamaño muestral =12.

Caso 2. Media muestral =10, varianza poblacional = 4, tamaño muestral = 20.

2 210 ( 1.96) 10 1.96 9.12 10.88 0.95

20 20P P

2 210 ( 1.96) 10 1.96 8.87 11.13 0.95

12 12P P

Suponga ahora que 1 - = 0.99. En tal caso, se tiene más seguridad de que el parámetro de interés se halle en los límites del intervalo. El problema es que incrementar la confianza aumenta la amplitud del intervalo.

Caso 1. Media muestral = 10, varianza poblacional = 4, tamaño muestral = 12. Intervalo al 95%

Caso 2. Media muestral = 10, varianza poblacional =4, tamaño muestral = 12. Intervalo al 99%

2 210 ( 2.57) 10 2.57 8.52 11.48 0.99

12 12P P

2 210 ( 1.96) 10 1.96 8.87 11.13 0.95

12 12P P