INTERPOLASI -...
Transcript of INTERPOLASI -...
Para rekayasawan dan ahli ilmu alam sering bekerja dengan sejumlah data diskrit (yang umumnya disajikan dalam bentuk tabel). Data didalam tabel mungkin diperoleh dari hasil pengamatan dilapangan, hasil pengukuran dilaboratorium, atau tabel yang diambil dari buku-buku acuan.
INTERPOLASI
Contoh :
Sebuah pengukuran fisika untuk menentukan hubungan antara tegangan yang diberikan kepada baja tahan karat dan waktu yang diperlukan hingga baja tsb patah.
x = Tegangan yang diterapkan, kg/mm2
y = waktu patah , jam
x 5 10 15 20 25 30 35
y 40 30 25 40 18 20 22
3
Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik diantara 2 titik yang nilai fungsi pada ke-2 titik tersebut sudah diketahui
dpl. : cara menentukan harga fungsi f dititik x* ε [x0,xn] dengan menggunakan informasi dari seluruh atau sebagian titik-titik yang diketahui ( x0, x1, …., xn)
x x0 x1 x2 ……. xn
f(x) f(x0) f(x1) f(x2) ……. f(xn)
5
Teknik Umum yang digunakan :
(i) Membentuk polinomial berderajat ≤ n yg mempunyai harga fungsi di titik-
titik yang diketahui Polinomial
Interpolasi
(ii) Masukkan titik yang ingin dicari harga fungsinya ke dalam polinomial interpolasi
10
INTERPOLASI LINIER (1)
Misalkan ada m bilangan : x1, x2, …., xm dan bilangan lain yang berkaitan : y1, y2 , …., ym
maka masalahnya : berapa harga y* pada
x* ε [xk,xk+1] ?y
x
yk+1
xk+1
yk
xk
y*
x*
?
11
Ambil ruas garis yang menghubungkan titik (xk,yk) dan (xk+1,yk+1)
Diperoleh persamaan garisnya :
)(*
* 1
1
kk
kk
k
k yyxx
xxyy
)(*
* 1
1
kk
kk
k
k yyxx
xxyy
kk
kk
k
k
xx
yy
xx
yy
1
1
*
*
INTERPOLASI LINIER (2)
12
Jadi persamaan garisnya adalah :
)(*
* 1
1
kk
kk
k
k yyxx
xxyy
y
x
yk+1
xk+1
yk
xk
y*
x*
?
INTERPOLASI LINIER (3)
13
Diketahui data sebagai berikut :
Tentukan harga y pada x = 6,5 !
Jawab : x = 6,5 terletak antara x=6 & x=7
)( 1
1
kk
kk
k
k yyxx
xxyy
5,42)3649()67(
)65,6(36
y
Contoh – 1 : (1)
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
y 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 49
Hasilnya
14
Alternatif 2 :
x = 6,5 terletak antara x=1 & x=7
)( 1
1
kk
kk
k
k yyxx
xxyy
45)48()6(
)5,5(1)149(
)17(
)15,6(1
y
Hasilnya
Contoh – 1 : (2)
15
Bandingkan hasil kedua jawaban tersebut !!
Mana yang mendekati jawaban yang
sesungguhnya ..??
Karena hub. x & y adalah y = x2 maka untuk harga x = 6,5 didapat y = (6,5)2 = 42,25
=> Kesalahan mutlak (E) : |42,5 – 42,25| = 0,25
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
y 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 49
Contoh – 1 : (3)
16
Kesalahan mutlak (E), untuk :
y = 42,5 |42,5 – 42,25| = 0,25 = 25 %
Sedangkan untuk
y = 45 |45 – 42,25| = 3,25 = 325 %
Contoh – 1 : (4)
17
Contoh-2 :Diketahui tabel akar bilangan sbb :
Tentukan akar dari 2,155
(2,155)1/2 = 1,46629 + (0,005/0,010) (1,46969 – 1,46629)
= 1,46629 + 0,00170
(2,155)1/2 = 1,46799
Kesalahan mutlaknya |1,4679918 -1,46799| = 0,0000018
Tentukan akar dari 2,153 dan Kesalahan mutlaknya !
N …. 2,14 2,15 2,16 ….
N1/2 …. 1,46287 1,46629 1,46969 ….
Contoh 3:
Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti adalah fungsi kecepatan. Data percobaan berikut ini menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak yang dibutuhkan untuk menghentikan kendaraan.
Perkirakan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kenderaan yang melaju dengan kecepatan 45 mil/jam.
20
INTERPOLASI KUADRAT
Banyak kasus, penggunaan interpolasi linier tidak memuaskan karena fungsi yang diinterpolasi berbeda cukup besar dari fungsi linier
Untuk itu digunakan polinomial lain yg berderajat dua (interpolasi kuadrat) atau lebih mendekati fungsinya
Caranya :- Pilih 3 titik & buat polinomial berderajat dua melalui
ke - 3 titik tsb., shg dpt dicari harga fgs. pada x = x*- Pemilihan ke-3 ttk tsb., dapat :- xk-1 < xk < xk+1 atau- xk-1 < x* < xk < xk+1
21
Persamaan umum Polinomial kuadrat :
P(x) = a0 + a1 x + a2 x2 …..(*)
3 titik (xk-1,yk-1), (xk,yk) & (xk+1,yk+1) dilalui fgs. P(x) berarti:
yk-1 = a0 + a1 xk-1 + a2 xk-12
yk = a0 + a1 xk + a2 xk2 …………………………. (**)
yk+1 = a0 + a1 xk+1+ a2 xk+12
=> Akan diperoleh dari 3 pers. yaitu a0, a1 dan a2 kemudian subst. ke (*) & diperoleh pers. kuadrat, shg dapat dicari nilai fgs. untuk x = x* yaitu P(x*) = a0 + a1 x* + a2 x*2
=> Sistim pers. non homogen (**) memp. solusi dan solusinya unik (tunggal)
Contoh :
Diberikan titik ln(8) = 2.0794, ln(9) = 2.1972, ln(9.5) = 2.2513. Tentukan nilai ln(9.2) dengan interpolasi kuadrat
Sistem Pers Linier yang terbentuk. 64 a + 8 b + c = 2.0794
81 a + 9 b + c = 2.1972
90.25 a + 9.5 b + c = 2.2513
Penyelesaian a= -0.0064 b = 0.2266
c = 0.6762
Sehingga p2(9.2) = 2.2192
23
INTERPOLASI LAGRANGE
Interpolasi Lagrange adalah salah satu formula untuk interpolasi berselang tidak sama selain formula interpolasi Newton umum & metoda Aitken. Walaupun demikian
dapat digunakan pula untuk interpolasi berselang sama.
Misalkan fgs. y(x) kontinu & diferensiabel sampai turunan (n+1) dalam interval buka (a,b). Diberikan (n+1) titik (x0,y0), (x1,y1), …, (xn,yn) dengan nilai x tidak perlu berjarak sama dengan yang lainnya, dan akan dicari suatu polinom berderajat n. Untuk pemakaian praktis, formula interpolasi Lagrange dapat dinyatakan sbb. :
24
Formula Interpolasi Lagrange
Jika y(x) : nilai yang diinterpolasi; x : nilai yg berkorespondensi dg y(x)
x0, x1, …., xn : nilai x dan y0, y1, …., yn : nilai y
0
02010
21
))...()((
))...()(()( y
xxxxxx
xxxxxxxy
n
n
1
12101
20
))...()((
))...()((y
xxxxxx
xxxxxx
n
n
n
nnnn
n
yxxxxxx
xxxxxx
))...()((
))...()((
.
.
110
110
25
Contoh 1:
Nilai yg. berkorespondensi dengan y = 10log x adalah :
Carilah 10log 301 ?
Untuk menghitung y(x) = 10log 301 dimana x = 301, maka nilai diatas menjadi
X 300 304 305 307
10log x 2,4771 2,4829 2,4843 2,4871
x0 = 300 x1 = 304 x2 = 305 x3 = 307
y0 = 2,4771 y1 = 2,4829 y2 = 2,4843 y3 = 2,4871
26
Dengan menggunakan interpolasi lagrange
4771,2
)307300)(305300)(304300(
)307301)(305301)(304301()(xy
4829,2
)307304)(305304)(300304(
)307301)(305301)(300301(
4843,2
)307305)(304305)(300305(
)307301)(304301)(300301(
4871,2)305307)(304307)(301307(
)305301)(304301)(300301(
7106,04717,49658,42739,1 4786,2)( xy
Polinom Newton
Polinom Lagrange kurang disukai dalam praktek karena : Jumlah komputasi yang dibutuhkan untuk satu kali
interpolasi adalah besar. Interpolasi untuk nilai x yang lain memerlukan jumlah komputasi yang sama karena tidak ada bagian komputasi sebelumnya yang dapat digunakan.
Bila jumlah titik data meningkat atau menurun, hasil komputasi sebelumnya tidak dapat digunakan. Karena tidak ada hubungannya antara pn-1(x) dan pn(x) pada polinom Lagrange
Polinom yang dibentuk sebelumnya dapat digunakan untuk membentuk polinom derajat yang lebih tinggi.
Polinom Newton
Persamaan Polinom Linier
Bentuk pers ini dapat ditulis :
Yang dalam hal ini (1)
Dan (2)
Pers ini mrpk bentuk selish terbagi (divided-difference)
)()(
)()( 0
01
01
01 xxxx
yyyxp
)()( 0101 xxaaxp )( 000 xfya
)(
)()(
)(
)(
01
01
01
01
1xx
xfxf
xx
yya
],[ 011 xxfa
Polinom Newton
Polinom kuadratik
Atau
Dari pers ini menunjukkan bahwa p2(x) dapat dibentuk dari pers sebelumnya p1(x). Nilai a2 dapat ditemukan dengan mengganti x=x2 untuk mendapatkan (3)
Nilai a0 dan a1 pada pers 1 dan 2 dimasukkan pada pers 3
))(()()( 1020102 xxxxaxxaaxp
))(()()( 10212 xxxxaxpxp
))((
)()(
1202
02102
2xxxx
xxaaxfa
12
01
01
02
02
2
)()()()(
xx
xx
xfxf
xx
xfxf
a
Polinom Newton
Dengan melakukan utak-atik aljabar, pers ini lebih disukai
02
0112
02
01
01
12
02
2
],[],[
)()()()(
xx
xxfxxf
xx
xx
xfxf
xx
xfxf
a
Polinom Newton
Jadi tahapan pembentukan polinom Newton :
)()()( 0101 xxaxpxp
)()( 0101 xxaaxp
))(()()( 1020102 xxxxaxxaaxp
))(()()( 10212 xxxxaxpxp
))()(()()( 210323 xxxxxxaxpxp
))()(())(()()( 21031020103 xxxxxxaxxxxaxxaaxp
Polinom Newton
Nilai konstanta a0, a1, a2,…, an, merupakan nilai selisih terbagi , dg nilai
Yang dalam hal ini ],,...,,[
],,[
],[
)(
011
0122
011
00
xxxxfa
xxxfa
xxfa
xfa
nnn
0
012111
011
),,...,,[],...,,[],,...,,[
],[],[],,[
)()(],[
xx
xxxxfxxxfxxxxf
xx
xxfxxfxxxf
xx
xfxfxxf
n
nnnn
nn
ki
kjji
kji
ji
ji
ji
33
Karena a0, a1,a2, …an, merupakan nilai selisih terbagi, maka polinom Newton dinamakan polinom interpolasi selisih terbagi Newton. Nilai selisih terbagi dapat dihitung dengan menggunakan tabel yng disebut tabel selisih terbagi.
Polinom Newton
Dengan demikian polinom Newton dapat ditulis dalam hub rekursif sebagai :
Rekurens
basis
Atau dalam bentuk polinom yang lengkap sbb :
],,...,,[))...()(()()( 0111101 xxxxfxxxxxxxpxp nnnnn
)()( 00 xfxp
],,...,,[))...()((
],,[))((],[)()()(
011110
012100100
xxxxfxxxxxx
xxxfxxxxxxfxxxfxp
nnn
n
Contoh Soal :
Bentuklah polinom Newton derajat satu, dua, tiga dan empat yang menghampiri f(x)=cos(x) dalam range[0.0, 4] dan jarak antar titik adalah 1.0. Lalu taksirlah f(x) dengan x=2.5 dengan Polinom Newton derajat 3.
xi yi ST-1 ST-2 ST-3 ST-4
0.0 1 -0.4597 -0.2484 0.1466 -0.0147
1.0 0.5403 -0.9564 0.1913 0.0880
2.0 -0.4161 -0.5739 0.4551
3.0 -0.99 0.3363
4.0 -0.6536
Contoh Soal :
Contoh cara menghitung nilai selisih terbagi pada tabel :
2484.002
4597.09564.0
)(
],[],[],,[
9564.012
5403.04161.0
)(
)()(],[
4597.001
15403.0
)(
)()(],[
02
0112
012
12
1212
01
01
01
xx
xxfxxfxxxf
xx
xfxfxxf
xx
xfxfxxf
Contoh Soal :
Maka polinom Newton derajat 1,2 dan 3 dengan x0 = 0 sebagai titik pertama :
Nilai sejati f(2.5) adalah F(2.5) = cos(2.5)=-0.8011
)0.3)(0.2)(0.1)(0.0(0147.0)0.2)(0.1)(0.0(1466.0
)0.1)(0.0(2484.0)0.0(4597.00.1)()cos(
)0.2)(0.1)(0.0(1466.0
)0.1)(0.0(2484.0)0.0(4597.00.1)()cos(
)0.1)(0.0(2484.0)0.0(4597.00.1)()cos(
)0.0(4597.00.1)()cos(
4
3
2
1
xxxxxxx
xxxxpx
xxx
xxxxpx
xxxxpx
xxpx