Interes Compuesto en Finanzas empresariales
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Interés Simple 2
Matemática Financiera
Objetivos de aprendizaje
• Definir el Interés Compuesto
• Calcular VA, VF, I, i y n a interés compuesto a tasa constante y tasa variable.
• Plantear ecuaciones de valor equivalente a interés compuesto.
• Resolver ecuaciones de valor equivalente a interés compuesto.
Interés Compuesto 3
Interés Compuesto
niVAVF )1(
)1(...)1()1()1( iiiiVAVF
1)1( iVA 2)1( iVA 3)1( iVA )1()1( iiVA )1()1( 2 iiVA )1()1( 1 iiVA n
iVAVA iiVAiVA )1()1( iiVAiVA 22 )1()1( iiVAiVA nn 11 )1()1( iVA iiVA )1( iiVA 2)1( iiVA n 1)1(
(1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) 1 2 3 4 ......… n-1 n VA
i por periodo
niVAVF )1(
VAVFI VAiVAI n )1( 1)1( niVAItambién:
Interés Compuesto 4
Interés Compuesto Tasas de Interés
• Tasa Nominal Junto con el período de capitalización al cual está asociado constituyen sólo una forma indirecta de informar una tasa efectiva.
• Tasa Efectiva Mide el verdadero crecimiento proporcional del dinero en el tiempo, con ésta se halla la tasa (o el factor) de capitalización para cada período.
Interés Compuesto 5
Transformación Equivalente de Tasa Nominal a Tasa EfectivaSe multiplica o divide
Tasa Nominal Tasa Efectiva
En este caso, se transforma la tasa nominal en forma proporcional al periodo de capitalización, siendo la tasa resultante efectiva.
• 30% TNA capitalizable mensualmenteief mensual = 0.30/12 = (0.30/12) x 1 = (0.30/360) x 30 = 0.025 = 2.5% TEM
• 18% TNA capitalizable trimestralmenteief trim = 0.18/4 = (0.18/12) x 3 = (0.18/360) x 90 = 0.045 = 4.5% TET
• 54% TNA capitalizable semestralmenteief semestral = 0.54/2 = (0.54/12) x 6 = (0.54/360) x 180 = 0.27 = 27% TES
• 7.5% TNT capitalizable bimestralmenteief bim = 0.075/1.5 = (0.075/3) x 2 = (0.075/90) x 60 = 0.05 = 5% TEB
• 6% TNM capitalizable diariamenteief diaria = 0.06/30 = (0.06/30) x 1 = 0.002 = 0,2% TED
• 13.5% TNS capitalizable bimensualmenteief bim = 0.135/3 = (0.135/6) x 2 = (0.135/180) x 60 = 0.045 = 4.5% TEB
• 1.25% TNM capitalizable trimestralmenteief trim = 0.0125x3 = (0.0125/1)x3 = (0.0125/30)x90 = 0.0375 = 3.75% TET
• 2% TNT capitalizable semestralmenteief trim = 0.02x2 = (0.02/90)x180 = 0.04 = 4% TES
• 5% TNB capitalizable cada 77 Díasief mensual = (0.05/60)x77 = 0.0642 = 6.42% TE77Días
Interés Compuesto 6
Transformación Equivalentede Tasa Efectiva a Tasa Efectiva
Operación
exponencial• Tasa Efectiva 1 Tasa Efectiva 2
Hallar la Tasa Efectiva 2, debe ser entendido como el proceso de trasformar equivalentemente el factor de capitalización de la Tasa Efectiva 1.
Interés Compuesto 7
Expresión general:
Tasa Efectiva2 = (1 + Tasa Efectiva1) n2/n1 - 1
Donde:
n1 = período de la Tasa Efectiva 1
n2 = período de la Tasa Efectiva 2
Transformación Equivalentede Tasa Efectiva a Tasa Efectiva
Interés Compuesto 8
Ejemplos: Tasas efectivas equivalentes a otra tasa efectiva
• 18% TEA ief mens = (1,18) (1/12) -1 = (1,18) (30/360) -1 = 1,3888% TEM
ief trim = (1,18) (3/12) -1 = (1,18) (90/360) -1 = 4,2247% TETief bim = (1,18) (2/12) -1 = (1,18) (60/360) -1 = 2,7970% TEBief diaria = (1,18) (1/360) -1 = 0,0460% TED
• 7.5% TET ief bim = (1,075) (2/3) -1 = (1.075) (60/90) -1 = 4.9395% TEB ief anual = (1,075) (12/3) -1 = (1,075) (360/90) -1 = 33,5469% TEA ief mens = (1,075) (1/3) -1 = (1,075) (30/90) -1 = 2,434% TEM ief diaria = (1,075) (1/90) -1 = 0,0804% TED
• 4.25% TE127Díasief bim = (1.0425) (60/127) -1 = 1.9858% TEB
ief anual = (1,0425) (360/127) -1 = 12.5225% TEA ief mens = (1,0425) (30/127) -1 = 0.9880% TEM ief diaria = (1,0425) (1/127) -1 = 0,0328% TED
• 5% TEB ief 19Días = (1.05) (19/60) -1 = 1.557% TE19Días
Interés Compuesto 10
Valor Futuro en el Interés Compuesto con Tasa Constante
IVAVF
1)1( niVAVAVF
niVAVF )1(
)1(...)1()1()1( iiiiVAVF
niVAVF )1(
o también:
n factores
Interés Compuesto 11
Valor Actual en el Interés Compuesto con Tasa Constante
IVAVF
IVFVA 1)1( niVAVFVA
ni
VFVA
)1(
)1(...)1()1()1( iiii
VFVA
ni
VFVA
)1(
o también:
n factores
Interés Compuesto 12
Interés con Valor Futuro y Tasa Constante
IVAVF VAVFI
ni
VFVFI
)1(
ni
VFVFI
)1(1
Por lo tanto, reemplazando y despejando convenientemente:
Interés Compuesto 13
Interés con Valor Actual Constante y Tasa Constante
1
1
n
VA
VFi
IVAVF VAVFI
Por lo tanto, reemplazando y despejando convenientemente:
VAiVAI n )1( 1)1( niVAI
Tasa de Interés (i) y el Tiempo (n)
)1( iLog
VA
VFLog
n
Interés Compuesto 14
Tasa Efectiva (ie)
niVAVF )1(
(1+i) (1+i) (1+i) (1+i)
1 2 3 ……… n VA ie
%100
VA
VAVFi
%100)1(
VA
VAiVAi
n
e %1001)1( n
e ii
Por lo tanto, reemplazando y despejando convenientemente:
por periodo
Interés Compuesto 15
Interés Devengado entre Periodos con Tasa Constante
(1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i)
0 k-1 k ………………… z n VA i por período
11 )1(
kk iVAVF z
z iVAVF )1(
1 kzkz VFVFI 1)1()1( kz
kz iVAiVAI
Interés Compuesto 16
Valor Futuro y Valor Actual con Tasa Variable
VF (1+i1) ….. (1+i1) (1+i2) ….. (1+i2) (1+i3) ….. (1+i3) ….. (1+ik) ….. (1+ik)
0 VA …...
1i 2i 3i ki
1n 2n 3n kn
Interés Compuesto 17
Valor Futuro y Valor Actual con Tasa Variable
• Valor Futuro de un Valor Actual Constante con Tasa Variable
• Valor Actual de un Valor Futuro con Tasa Variable
knk
nnn iiiiVAVF )1(.....)1()1()1( 321321
knk
nnn iiii
VFVA
)1(.....)1()1()1( 321321
Interés Compuesto 18
Valor Futuro y Valor Actual con Tasa Variable
• Interés con Valor Actual Constante y Tasa Variable
• Interés con Valor Futuro y Tasa Variable
IVAVF
VAVFI
VAiiiiVAI knk
nnn )1(.....)1()1()1( 321321
1)1(.....)1()1()1( 321321 kn
knnn iiiiVAI
knk
nnn iiiiVFI
)1(.....)1()1()1(
11
321321
knk
nnn iiii
VFVFI
)1(.....)1()1()1( 321321
Interés Compuesto 19
Valor Futuro (o Valor Actual) con Valor Actual (o Valor Futuro) Variable y Tasa Variable
• Cuando en el horizonte temporal de la operación financiera se presentan varios VA (o VF) y se tienen variaciones en la tasa de interés en distintos momentos en el tiempo; el importe por intereses y el valor futuro (o VA) se obtiene efectuando los cálculos de VF (o VA) por tramos según como se presenten las variaciones, aplicando las relaciones antes expuestas.
• También puede hallarse el VF (o VA) calculando el VF (o VA) de los ingresos y restándole el VF (o VA) de los egresos, a las correspondientes tasas de interés.
Interés Devengado entre Periodos con Tasa Variable• Para determinar el interés devengado de un VA entre el periodo k-ésimo y
el periodo z-ésimo incluidos del horizonte temporal se debe restar el VFz del VFk-1 calculados a sus correspondientes tasa de interés.
Interés Compuesto 20
Ecuaciones de Valor Equivalente a Interés Compuesto • En el interés compuesto un flujo de ingresos y un flujo de
egresos ubicados en diferentes periodos de un horizonte temporal son equivalentes, si a una fecha determinada o fecha focal, sus respectivos valores actualizados, capitalizados, o uno actualizado y otro capitalizado, etc.; aplicando en todos los casos la misma tasa de interés, son iguales.
• VA(Ingresos) = VA(Egresos)• VF(Ingresos) = VF(Egresos)
• Propiedades– Si un flujo de ingresos y un flujo de egresos son
equivalentes en una determinada fecha focal o de evaluación, también lo serán en cualquier otra fecha focal.
– Si un flujo de ingresos y un flujo de egresos no son equivalentes en una determinada fecha focal o de evaluación, tampoco lo serán en cualquier otra fecha focal.
Interés Compuesto 21
Mapa Conceptual Interés Compuesto
Interés Compuesto
Valor Futuro Interés Valor Actual n, i
Valor Actual•Constante•Variable
Valor Futuro•Constante•Variable
iNom, Cap ie•Constante•Variable
niVF
VA)1(
niVAVF )1( kn
knnn iiiiVAVF )1(...)1()1()1( 321
321
1)1( niVAI
IVAVF
VAVFI
IVFVA
)1( iLogVAVF
Logn
1)1(...)1()1()1( 321321 kn
knnn iiiiVAI
knk
nnn iiiiVA
VA)1(...)1()1()1( 321
321
1
1
n
VA
VFi
Interés Compuesto 22
Bibliografía
• Aliaga Valdez, Carlos. Matemáticas Financieras: Un enfoque practico. Prentice Hall – Pearson Educación. 1ª Edición, Colombia. 2002: Capítulo 3.
• Aliaga Valdez, Carlos. Manual de Matemática Financiera: Texto, Problemas y Casos. Universidad del Pacifico. 1ª Edición, Lima. 1994: Capítulo III.
• Valera Moreno, Rafael. Matemática Financiera: conceptos, problemas y aplicaciones. Universidad de Piura. 2da Edición, Piura. 2001: Capítulo II.
• Vento Ortiz, Alfredo. Finanzas Aplicadas. Universidad del Pacifico. 6ta Edición, Lima. 2004: Capítulo II.