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CAMPO ELÉCTRICO Y POTENCIALINTERACCIONES ELECTROSTÁTICAS (CARGAS EN REPOSO)

Carga eléctrica: propiedad intrínseca de la materia que se manifiesta a través de fuerzas de atracción o repulsión

Ley de Coulomb: expresa la fuerza electrostática entre dos cargas

Campo eléctrico: fuerza ejercida sobre la unidad de carga

Diferencia de potencial entre dos puntos: trabajo para mover la unidad de carga entre ellos

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CARGA ELÉCTRICA

Existen dos tipos de carga: la carga positiva y la carga negativa. Los átomos están formados por un núcleo donde se concentra la carga positiva (protones) y una corteza donde reside la carga negativa (electrones). La materia ordinaria es neutra: el número de cargas positivas coincide con el de cargas negativas, pero la existencia de las cargas puede ponerse de manifiesto con algunos experimentos sencillos (aparición de cargas por frotamiento, electroscopio…).La unidad de carga en el sistema internacional es el Culombio (C).La carga eléctrica está cuantizada: se presenta en la naturaleza en múltiplos de la unidad fundamental de carga, la más pequeña carga libre que puede medirse, que corresponde a la carga de un electrón –e o de un protón +e,

La carga eléctrica es una propiedad intrínseca de la materia que se manifiesta a través de fuerzas de atracción o repulsión que determinan las interacciones electromagnéticas (relacionadas con campos eléctricos y magnéticos).

C 10602177.1 19−⋅=e

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LEY DE COULOMBLa fuerza ejercida por una carga puntual sobre otra actúa a lo largo de la línea que las une. Esta fuerza varía inversamente con el cuadrado de la distancia que las separa y es proporcional al producto de las cargas. La fuerza es repulsiva si las cargas son del mismo signo y atractiva en caso contrario.

12212

2112

ur

qqkF rr=

-229 CmN 109 ⋅⋅⋅=k

12rr

12ur 12Fr

12rr

12ur

12Fr

1q 2q

1q 2q

Observación: cuando signo(q1) = signo(q2) ⇒ y 1212 Furr tienen el mismo sentido

Sistemas de cargasSe aplica el principio de superposición:La fuerza sobre cada carga es la suma (vectorial) de las fuerzas ejercidas sobre ella por el resto de las cargas.

2q

1q

3q

12Fr

32Fr

23Fr

13Fr

12ur

13ur

21ur 23ur

32ur

31ur

12212

2112

ur

qqkF rr=

23223

3123

ur

qqkF rr=

13213

3113

ur

qqkF rr=

21221

2121

ur

qqkF rr=

31231

2131

ur

qqkF rr=

32232

3132

ur

qqkF rr=

21Fr

31Fr

Sumando los términos de esta columna se obtiene

la fuerza sobre la carga 2

Sumando los términos de esta columna se obtiene

la fuerza sobre la carga 1

Sumando los términos de esta columna se obtiene

la fuerza sobre la carga 3

4

CAMPO ELÉCTRICO

12212

2112

ur

qqkF rr=Ley de Coulomb

12rr

12ur 12Fr

1q 2q12Er12rr

12ur

1qPunto fuente

2qPunto campo12

2

12

1

2

1212 u

rqk

qFE rr

r==

Fuerza por unidad de

carga (N/C)12Er

El campo creado por una carga puntual es radial e

inversamente proporcional al cuadrado de la distancia

Las líneas de campo se llaman también líneas de fuerza porque su tangente muestra la dirección de la fuerza ejercida sobre una pequeña carga positiva de prueba.

La densidad de líneas en cualquier punto (número de líneas por unidad de área perpendicular a las líneas) es proporcional a la magnitud del campo en dicho punto.

Si una carga positiva muy pequeña (carga de prueba) se abandona libremente en un campo eléctrico, seguiría una trayectoria denominada línea de campo. La dirección tangente a esta línea en cada punto es la del campo eléctrico, ya que es la dirección de la fuerza ejercida sobre la carga de prueba.

r

r2

r3

( )rE( ) ( ) 4/2 rErE =

( ) ( ) 9/3 rErE =

Cálculo del campo eléctrico debido a un grupo de cargas puntuales en posiciones fijas

Principio de superposición

X

Y

1q

2q

3qm1

m1

Cargas X (m) Y (m) Culombios1 1 1 -1,25E-052 -1 0 5,00E-063 0 -1 5,00E-06

Ejemplo: sistema de cargas de la figura. Cálculo del campo en origen coordenadas.

N/C 1020.1 5⋅=E

º45

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LÍNEAS DE CAMPO

Dos cargas de igual magnitud, una positiva y otra negativa (dipolo eléctrico). Líneas de campo. El campo eléctrico en cualquier punto es tangente a la línea de campo correspondiente.

Dos cargas positivas de igual magnitud. Líneas de campo. El campo eléctrico en cualquier punto es tangente a la línea de campo correspondiente.

Las líneas de campo o bien nacen en las cargas positivas y mueren en las cargas negativas, o bien nacen en las cargas positivas y van al infinito, o bien vienen del infinito y mueren en las cargas negativas.

Cargas positivas: fuentes de campoCargas negativas: sumideros de campo

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++

+

+

+

++++

++

+

+

+

* Campo eléctrico en la vecindad de la superficie de un conductor en equilibrioConductor cargado con una carga total Q. Su forma es arbitraria.

1. ¿Dónde se encuentra la carga?Respuesta: la carga está en la superficie y solo en la superficie, pues esta es la forma de minimizar la repulsión electrostática.

2. ¿Cómo está repartida la carga?++++

+

+

+

dSdq

=σ

Carga total = Q

Carga interior = 0

Respuesta: La carga está repartida en forma desigual, de un modo que depende de las características de curvatura de la superficie en cada punto. Esto implica que en cada punto la densidad superficial de carga será en general distinta.

3. ¿Qué dirección tiene el campo eléctrico creado por esta carga en la inmediata vecindad de la superficie del conductor?

Respuesta: La dirección del campo eléctrico en todo punto de la superficie es siempre perpendicular a ella, independientemente de la forma que tenga el conductor. Explicación: como el conductor está en equilibrio (es decir, las cargas situadas en la superficie no se desplazan), el campo eléctrico en la superficie no puede tener ninguna componente paralela a la misma, pues en este caso las cargas se desplazarían arrastradas por dicha componente del campo, en contra de la hipótesis de conductor en equilibrio.

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?? Er

* Campo eléctrico en la vecindad de la superficie de un conductor en equilibrioConductor cargado con una carga total Q. Su forma es arbitraria.

++

+

+

+

++++

++

+

+

+

Carga interior = 0

++++

+

+

+

dSdq

=σ

Carga total = Q

Respuesta: La dirección del campo eléctrico en todo punto de la superficie es siempre perpendicular a ella, independientemente de la forma que tenga el conductor.

3. ¿Qué dirección tiene el campo eléctrico creado por esta carga en la inmediata vecindad de la superficie del conductor?

Explicación: como el conductor está en equilibrio (es decir, las cargas situadas en la superficie no se desplazan), el campo eléctrico en la superficie no puede tener ninguna componente paralela a la misma, pues en este caso las cargas se desplazarían arrastradas por dicha componente del campo, en contra de la hipótesis de conductor en equilibrio.

++

+

+

+

++++

++

+

+

+

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r

Er

Q

ArBr

B

A

POTENCIAL ELÉCTRICOCalculemos el trabajo necesario para trasladar a lo largo de un camino arbitrario una pequeña carga q entre dos puntos A y B situados en el seno del campo eléctrico creado por la carga puntual Q.

BEr

AEr

rur

θ

ldrdr

ldrdr

rur

Er

θ

drr +

r

ldEqdWrr

⋅= ldEq

dW rr⋅=

Trabajo cuando la carga q se desplaza dl

Trabajo por unidad de carga asociado al desplazamiento dl

dldr

=θcos

dldr ⋅= θcos

ldurQk r

rr⋅= 2 θcos12 ⋅⋅⋅= dl

rQk

drrQk

qdW

⋅= 2

ldur

rr⋅

ldEq

dW rr⋅=

rurQkE rr

2=

El trabajo elemental por unidad de carga sólo depende de la carga que crea el campo (Q) y de la variación en la posición dr, pero no del valor de la carga que se mueve en el seno del campo (q) ni de la trayectoria dl. Definimos la variación elemental de potencial eléctrico dV asociada con dr como:

∫ ⋅−=

B

A

r

r

BA drrQkV 2

drrQkdV

qdW

⋅−==− 2

Diferencia de potencial entre B y A

ABBA VVV −=

El signo se explica después

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

AB rrQk 11

9

POTENCIAL ELÉCTRICO / 2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⋅−= ∫ AB

r

r

BA rrQkdr

rQkV

B

A

11 2

ABBA VVV −=

Diferencia de potencial entre B y A

Q

ArBr

B

A

AEr

BEr

Nótese que cuando la distancia rB > rA, el término 011 <⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

AB rr

En consecuencia, la diferencia de potencial ABBA VVV −=es negativa cuando Q > 0 y positiva en caso contrario.

Esto significa que el potencial decrece a medida que nos alejamos de una carga positiva y crece según nos alejamos de una carga negativa: la razón de que se haya definido anteriormente la variación elemental de potencial con el signo negativo es precisamente para que esto sea así.

drrQk

qdWdV ⋅−=−= 2

Referencia para potencial cero. Si adoptamos el convenio de que el potencial en un determinado punto A sea igual a cero, entonces podemos definir el potencial en cualquier otro punto B con arreglo a esa referencia.

Criterio: cuando rA →∞ entonces VA = 0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=

ABABBA rr

QkVVV 11 B

B rQkV =⇒

0 =⇒∞→ AA Vr

Cerca de las cargas positivas el potencial es alto (rB pequeño, VB positivo de gran valor absoluto); cerca de las cargas negativas el potencial es bajo (rB pequeño, VB negativo de valor absoluto grande)

Unidades para el potencial eléctrico

voltio1C 1J 1

CargaTrabajo

==

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POTENCIAL ELÉCTRICO / 3

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⋅−= ∫ AB

r

r

BA rrQkdr

rQkV

B

A

11 2

Q

ArBr

B

A

AEr

BEr

trayectoria 1

trayectoria 3

El trabajo por unidad de carga para trasladar cualquier carga entre dos puntos cualesquiera A y B de un campo eléctrico estático no depende de los detalles de la trayectoria seguida, sólo es función de los puntos inicial y final. Por eso, la diferencia de potencial entre dos puntos de un campo eléctrico estático sólo es función de los puntos considerados: no depende de la trayectoria que los une.

trayectoria 2

Los campos vectoriales que tienen esta propiedad se llaman campos conservativos: el campo eléctrico estático es un campo conservativo.

La diferencia de potencial entre los puntos B y A es una propiedad intrínseca del campo

....221

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

traytraytray qW

qW

qW

BAAB VVV =−=

11

POTENCIAL ELÉCTRICO / 4

SUPERFICIES y LÍNEAS EQUIPOTENCIALESUna superficie equipotencial está formada por el conjunto de todos los puntos que tienen el mismo valor de potencial en el seno de un campo eléctrico.

Una línea equipotencial es la intersección de una superficie equipotencial con un plano. Obviamente, todos los puntos de una línea equipotencial también tienen el mismo potencial, ya que pertenecen a una misma superficie equipotencial.

Ejemplo: las líneas equipotenciales de cargas puntuales aisladas son circunferencias concéntricas alrededor de dichas cargas, ya que el potencial a una distancia r de una carga puntual aislada es: r

QkV =

B

A

Cuestión: ¿Cuál es el trabajo si una carga de prueba se desplaza desde el punto Ahasta el punto B?

12

POTENCIAL ELÉCTRICO / 4bis

SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES DE UNA CARGA PUNTUAL POSITIVA

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POTENCIAL ELÉCTRICO. EJEMPLOConsidere el dipolo eléctrico de la figura, donde Q = 1 nC. La distancia entre las cargas es de 2 mm. 1. Determinar el potencial en los puntos A, B, C, D (constante de Coulomb k = 9⋅109 N⋅m2/C2).2. Calcular el trabajo realizado por el campo eléctrico cuando una carga de +10-3 nC se mueve de A hasta B.

Q−

Q

PPPPP rr

QkrQk

rQkVVV ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=+=

++++−+

11

A

BC

D

1. Para cualquiera de los puntos se verifica:

C/mN 910109 299 ⋅=⋅⋅= −Qkdonde P = A, B, C o D y

Las distancias se miden en mm sobre la escala

V 351813

111

1 10

922223 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

+= −AV

V 131822

120

1 10

922223 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

+= −BV

V 152921

123

1 10

922223 −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

+= −CV

V 497510

112

1 10

922223 −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

+= −DV

mm 1

1 m

m

2. Trabajo asociado al desplazamiento de una carga de 10-3 nC.

( ) ( ) J 102.235181318 1010 1010 99393 −−−−− ⋅−=−⋅=−⋅= AB VVW

Interpretación: la carga positiva de +10-3 nC se mueve desde un punto donde el potencial es mayor (A) hasta otro de potencial menor (B): el signo negativo del trabajo resultante indica que es el propio campo eléctrico el que suministra el trabajo necesario, independientemente del camino que siga la carga.

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EL CAMPO ELÉCTRICO COMO GRADIENTE DE POTENCIAL.

En un campo escalar a cada punto del espacio se le asigna un valor de la propiedad escalar que se considera.El gradiente de un campo escalar es un vector, definido en cada punto del mismo, que indica en quédirección varía más rápidamente la propiedad escalar. La dirección de este vector es siempre perpendicular a las líneas equipotenciales, y su sentido es el del crecimiento del valor escalar.

Campo eléctrico: es igual al gradiente de potencial cambiado de signo (ya que el campo eléctrico está dirigido desde las cargas positivas hacia las negativas). VgradE −=

r

V 400V 003

V 002

V 005

10 cm VgradE −=

r

rurVE rr

∂∂

−=

rurVE rr

∆∆

−=

(V/m) 2000m 1.0

V 400V 200 rr uuE rrr=

−−=

rur