Integrales de Fresnel

Se sabe que las integrales de Fresnel:

I1 =

∫ +∞

0cosx2 dx, I2 =

∫ +∞

0cosx2 dx

son convergentes. Calcular su valor.

Indicacion: Usar la integral de Euler, es decir

∫ +∞

0e−x

2dx =

√π

2.

Resolucion. Consideremos la funcion f(z) = eiz2

y el contorno γ ≡ OABOde la figura

y

xR

B

O

Aπ4

Tenemos ∫γeiz

2dz =

∫ R

0eix

2dx+

∫AB

eiz2dz +

∫BO

eiz2dz (1)

Se verifica∫γ e

iz2 dz = 0 pues la funcion f(z) es holomorfa en C. Veamos que

lımR→+∞∫AB e

iz2 dz = 0. Haciendo el cambio w = z2, obtenemos dz = dw2√w

y el arco AB se transforma en el DE

y

xR2

D

w

E

Por tanto,

∫AB

eiz2dz =

∫DE

eiw

2√wdz. Por otra parte y para |z| = R :

1

∣∣∣∣ 1

2√w

∣∣∣∣ =1

2(R2)1/2=

1/2

(R2)1/2=

1/2

(R2)k(k = 1/2 > 0)

Por un conocido lema de acotacion:

lımR2→+∞

∫DE

eiz2

2√wdw = lım

R→+∞

∫AB

eiz2dz = 0

Hallemos ahora∫BO e

iz2 dz. Los puntos del segmento BO son de la forma

z = ρeπi/4 con ρ ∈ [0, R], en consecuencia:∫BO

eiz2dz =

∫ 0

Reiρ

2eπi/2eπi/4 dρ = −√

2

2(1 + i)

∫ R

0e−ρ

2dρ

Tomando lımites en la igualdad (1) y usando que∫ +∞0 e−ρ

2dρ =

√π/2 :

0 =

∫ +∞

0cosx2 dx+ i

∫ +∞

0sinx2 dx−

√2

2(1 + i) ·

√π

2

Igualando partes real e imaginaria:∫ +∞

0cosx2 dx =

∫ +∞

0sinx2 dx =

√2π

4

2