Integrale di Riemann (cont.) Venticinquesima lezione...
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Analisi Matematica 1Venticinquesima lezione
Integrale di Riemann (cont.)
prof. Claudio Saccon
Dipartimento di Matematica Applicata, Via F. Buonarroti 1/Cemail: [email protected]
web: http://www2.ing.unipi.it/ d6081/index.htmlRicevimento: ogni lunedı, dalle 9.00 alle 12.00
5 marzo 2010
Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Venticinquesima lezione[1cm]Integrale di Riemann (cont.)5 marzo 2010 1 / 20
Proprieta dell’integrale
Teorema (linearita)Siano f e g due funzioni integrabili su [a,b] e siano c,d due numeri reali.Allora cf +dg e integrabile su [a,b] e∫ b
a(cf +dg)(x)dx = c
∫ b
af (x)dx+d
∫ b
ag(x)dx
Teorema (additivita rispetto all’intervallo)Sia f una funzione integrabile su [a,b] e sia r un numero con a≤ r ≤ a.Allora f e integrabile su [a,r] e su [r,b] e si ha:∫ b
af (x)dx =
∫ r
af (x)dx+
∫ b
rf (x)dx. (add)
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Proprieta dell’integraleConvenzione Se b < a conveniamo di porre∫ b
af (x)dx :=−
∫ a
bf (x)dx.
Allora la formula (add) vale indipendentemente dall’ordine di a,b ed r.
Teorema (Monotonia)Se f e integrabile su [a,b] e se f ≥ 0 allora∫ b
af (x)dx≥ 0
DIM
Notiamo che da quanto sopra si deduce che, se f ,g sono integrabili:
f ≥ g⇒∫ b
af (x)dx≥
∫ b
ag(x)dx
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Proprieta dell’integrale
Teorema (Prodotto)Se f e g sono integrabili su [a,b] allora il prodotto fg e integrabile su [a,b].
Teorema (Composizione con una lipschitziana)Se f e integrabile su [a,b] e se G : R→ R e lipschitziana, cioe se perun’opportuna costante L
|G(y1)−G(y2)| ≤ L|y1− y2| ∀y1,y2 ∈ R,
allora G◦ f e integrabile su [a,b].
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Conseguenza Dato che G(y) = |y|, y+ e y− sono lipschiziane si deduce
f integrabile su [a,b]⇒ |f |, f +, f− integrabili su [a,b]
Inoltre ±∫ b
af (x)dx =±
∫ b
af (x)+ dx∓
∫ b
af (x)− dx≤∫ b
af (x)+ dx+
∫ b
af (x)− dx =
∫ b
a|f (x)|dx.
Ne segue che se f e integrabile su [a,b] si ha:∣∣∣∣∫ b
af (x)dx
∣∣∣∣≤ ∫ b
a|f (x)|dx .
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Classi di funzioni integrabili
Teorema (integrabilita delle monotone)Se f : [a,b]→ R e monotona, allora f e integrabile. DIM
Teorema (integrabilita delle continue)Se f : [a,b]→ R e continua, allora f e integrabile.
DIM. nel caso lipschitziano
Esercizio (funzione non integrabile)La funzione di Dirichlet f : R→ R definita da
f (x) :=
{0 se x e razionale,1 se x e irrazionale,
non e integrabile su nessun intervallo [a,b]. Infatti per qualunque n si hasn = 0 e Sn = b−a e quindi Sn− sn non tende a zero.
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Teorema (della media)Se f e integrabile su [a,b] allora vale
inf[a,b]
f ≤ 1b−a
∫ b
af (x)dx≤ sup
[a,b]f .
Ricordiamo che il numero1
b−a
∫ b
af (x)dx
si chiama media integrale di f in [a,b].Se inoltre f e continua (e quindi l’integrabilita e automatica) allora esiste unpunto intermedio ξ in [a,b] in cui “f assume la sua media”, cioe:
f (ξ ) =1
b−a
∫ b
af (x)dx
DIM
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AntiderivataDefinizione (primitive)Sia f : [a,b]→ R una funzione. Diremo che un’altra funzione F : [a,b]→ R euna primitiva di f (o e un’antiderivata di f ) se F e derivabile in [a,b] e vale
F′(x) = f (x) ∀x ∈ [a,b].
TeoremaSupponiamo che f : [a,b]→ R abbia una primitiva F. Allora l’insieme di tuttele primitive di f e individuato dalla formula:
F1 primitiva di f ⇔ F1 = F + c, c ∈ R.
DIM
Notazione E uso indicare con il simbolo∫f (x)dx
(integrale indefinito di f ) l’insieme di tutte le primitive di f .Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Venticinquesima lezione[1cm]Integrale di Riemann (cont.)5 marzo 2010 16 / 20
Dunque se sappiamo che F′ = f (conosciamo una primitiva), si ha:∫f (x)dx = {F + c : c ∈ R}
(se f e definita su un intervallo !!). Per esempio:∫2xdx =
{x2 + c : c ∈ R
}.
Teorema (Teorema fondamentale del calcolo integrale)Supponiamo che f : [a,b]→ R sia continua e che F : [a,b]→ R sia unaprimitiva di f (cioe che F′ = f ). Allora∫ b
af (x)dx = F(b)−F(a)
(=: [F]ba = [F(x)]x=b
x=a
)DIM
Notiamo che per ora NON SAPPIAMO quali funzioni ammettano primitiva –vedremo poi che tutte le funzioni continue lo fanno.Sappiamo pero che, se troviamo esplicitamente una primitiva, allora siamo ingrado di calcolare esplicitamente l’integrale “definito”.
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EsercizioSe α ≥ 0 la funzione x 7→ xα e continua e si ha (basta la verifica):∫
xα dx ={
xα+1
α +1+ c : c ∈ R
}da cui ∫ 1
0xα dx =
1α +1
.
E MOLTO PIU SEMPLICE COSI che ricavarlo dalla definizione di integrale.
Conviene allora fabbricarci una tabella di primitive.
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Primitive notevoliFunzione Primitive Funzione Primitive
xα (α 6=−1)xα+1
α +1+ c ex ex + c
1x
ln(|x|)+ c1
cos2(x)tan(x)+ c
sin(x) −cos(x)+ c sinh(x) cosh(x)+ ccos(x) sin(x)+ c cosh(x) sinh(x)+ c
1√1− x2
arcsin(x)+ c1√
1+ x2arcsinh(x)+ c
11+ x2 arctan(x)+ c
1√x2−1
arccosh(x)+ c
Andrebbe notato che la costante c “dipende dall’intervallo”.
Ricordiamo anche che
sinh(x) :=ex− e−x
2, cosh(x) :=
ex + e−x
2.
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