KRATKI TUTORIAL IZ INTEGRALA

Daklem, integrale moemo rjeavati na tri osnovna naina (barem sam ih ja tako sebi podijelio jo u

srednjoj :D).

Prvi je SUPSTITUCIJA. Kad koristimo supstituciju? Nju koristimo kada (sroit u sada jednu lijepu

reenicu) deriviranjem jednog dijela integrala moemo dobiti drugi. Evo, ako vam to zvui zbunjujue,

pokaimo to na jednostavnom primjeru:

sin cos Uzmemo recimo kao supstituciju sin = . to dobijemo deriviranjem ovoga? Dobijemo sljedee:

cos = Znai, uspjeli smo dobiti drugi dio naeg integrala

I jednostavno crveni dio koji u sebi ima oznake x zamijenimo s onim dijelom koji u sebi ima oznake sa

t.

= 2 + S obzirom da je na integral neodreen, to jest nema granice, moramo vratiti nae x-eve s poetka:

sin 2 + U ovom zadatku se mogla koristiti i supstitucija cos = a deriviranjem ovo izraza dobili smo

sin = sin = Konano rjeenje bi bilo

= 2 + = cos 2 +

Ova rjeenja su u biti ista (primijetite da se kosinus moe prikazati kao sinus s pomakom od ).

Upravo e ova konstanta C pridonijeti tome, to jest, kada bismo ubacili neke granice, vidjeli bismo da

su rjeenja ista. Okej, da ne avrljam bezveze idemo dalje.

Ovdje u navesti isto nekoliko primjera koji se rjeavaju najosnovnijom supstitucijom.

Pr. 1.

ln = ln = = = =

4 + = ln 4 +

Pr. 2.

+ 1 = + 1 =

2 = = 2 = 2 = 12

32+ = 13 + 1 +

Pr. 3.

th = sh ch = " ch = sh = # =

= ln|| + = ln|ch | +

Supstitucija e se takoer koristit ako imamo neki polinom koji je teko raspisati ili bi njegovo

raspisivanje dugo trajalo, npr. 2 + 1%. U tom sluaju zamjenjujemo izraz koji je u zagradi. Takoer, ako imamo neki izraz pod korijenom. Mi npr. ne znamo automatski izraunati integral od 3 1, ali bismo od znali jer je to obina potencija, &'. Evo jo nekoliko izraza za koje je dobro znati koja se supstitucija koristi:

1.

( Ovakve integrale rjeavamo ili supstitucijom = ( sin ili = ( cos . Zato? Time postiemo sljedee:

= ( sin = ( cos ( ( sin ( cos = ( (1 sin cos = ( cos cos =

= ( cos = ( 1 + cos 22 a ovo dalje znate rijeiti

2.

( + Ovakve integrale rjeavamo ili supstitucijom = ( sh . Zato? Time postiemo sljedee:

= ( sh = ( ch

( + ( sh ( ch = ( (1 + sh ch = ( ch ch = = ( ch = ( 1 + ch 22

Sline zamjene moete raditi u takovim zadacima, a sve se to moe izvesti iz osnovnih formula

sin + cos = 1 ch sh = 1

Eto, to bi recimo bilo to to se tie supstitucije.

Nadalje, kad zadatak ne moemo rijeiti supstitucijom, obino pribjegavamo PARCIJALNOJ

INTEGRACIJI. Formula za parcijalnu integraciju glasi:

*+ = *+ +* Pogledajmo naprimjer sljedei integral:

sin Ako pokuamo primijeniti supstituciju vidjet emo sljedee:

1) supstitucija x = t. Ovime dobijemo samo dx = dt. Nismo dobili sinx dx to znai da nam je

supstitucija FAIL.

2) supstitucija sinx = t. Ovime dobijemo samo cosx dx = dt. Nismo dobili x dx to znai da su pokuaji

supstitucije kod ovog integrala DOUBLE FAIL.

Pokuajmo sada rijeiti ovaj integral parcijalnom integracijom. Najprije pogledamo koji dio moemo

integrirati. Uoavamo da bismo mogli integrirati i i sin . Znai da bilo koji od dva dijela moemo upotrijebiti kao +. Meutim, pogledajmo to bi se desilo kada bismo integrirali . Poveali bi stupanj polinom i dobili bismo

,' , to naravno ne elimo.

Znai da odabiremo sljedee:

* = + = sin * = + = cos *+ +* = cos + cos = cos + sin +

Evo sada opet nekoliko primjera parcijalne integracije:

Pr. 1.

-, = " * = + = -,* = + = -, # = -, -, = -, -, +

Pr. 2.

ln = * = ln + = * = + =

2 = ln 2

2 =

ln 2 12 =

= ln 2

4 +

Primijetite da tu nismo izabrali * = , bez obzira to e nam se stupanj polinoma poveavati. Odabrali smo * = ln jer ne znamo njegov integral. Pr. 3.

. = -/, cos = " * = -/, + = cos * = -/, + = sin # = -/, sin + -/, sin = = " * = -/, + = sin * = -/, + = cos # = -/, sin -/, cos -/, cos =

= -/, sin -/, cos .

. = -/, sin -/, cos . 2. = -/, sin -/, cos

. = -/, sin -/, cos 2 +

I konano, PARCIJALNI RAZLOMCI. Kad emo se sluiti tom metodom? Pa kad imamo je li, neki

razlomak :D, to jest u nazvniku imamo umnoak, to jest, faktorizirani polinom, ili polinom koji

moemo faktorizirati.

Evo nekoliko primjera:

Pr. 1.

+ = + 1

Moramo izraz 0

,',10 razbiti na jednostavnije dijelove: 1 + 1 = 2 + 3 + + 1

Kada u nazivniku imamo polinom prvog stupnja, kao na primjer + 1, u brojnik ide samo konstanta. Kada u nazivniku imamo polinom drugog stupnja, kao na primjer + + 1, u brojnik ide polinom prvog stupnja, opeg oblika 2 + 3. Da u nazivniku imamo polinom treeg stupnja, kao na primjer 2 + 4, u brojnik ide polinom drugog stupnja, opeg oblika 2 + 3 + i tako dalje... Na izraz pomnoimo sa + 1 pa dobijemo:

1 = 2 + 3 + 1 + 1 = 2 + 2 + 3 + 3 + 1 = 2 + + 2 + 3 + 3

Na desnoj strani imamo a na lijevoj ne, to znai da je 2 + = 0. Isto tako slijede i druge dvije jednadbe, pa dobijemo sustav:

2 + = 0 2 + 3 = 0

3 = 1 A time je i 2 = 1 i = 1. Pa na integral prelazi u:

+ = + 1 + + 1 = + + + 1 = = ln|| 1 + ln| + 1| + = ln 6 + 1 6 1 +

Pr. 2.

1 = 1 + 1

1 1 + 1 = 2 1 + 3 + 1 1 = 2 + 2 + 3 3 = 2 + 3 + 2 3

2 + 3 = 0 2 3 = 1

2 = 12 3 = 12

1 = 12 1 12 + 1 = 12 ln| 1| 12 ln| + 1| + = 12 ln 6 1 + 16 +