Integrala definita
-
Upload
sergiu-corlat -
Category
Education
-
view
5.986 -
download
18
description
Transcript of Integrala definita
![Page 1: Integrala definita](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061116/54663adaaf79595d038b49af/html5/thumbnails/1.jpg)
Calculul Integralei definite
Metoda DreptunghiurilorMetoda Trapezelor
![Page 2: Integrala definita](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061116/54663adaaf79595d038b49af/html5/thumbnails/2.jpg)
Integrala definită. Interpretarea geometrică
Fie dată funcţia f(x) continuă pe segmentul [a,b]. Integrala definită
( )b
a
f x dxeste aria trapezului curbiliniu, determinat de axa 0X, dreptele x = a şi x = b, şi graficul funcţiei f(x) pe segmentul [a,b]
© Sergiu Corlat, 2004
![Page 3: Integrala definita](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061116/54663adaaf79595d038b49af/html5/thumbnails/3.jpg)
Metoda dreptunghiurilor
Determinarea ariei unei figuri curbilinii este destul de dificilă, de aceea se utilizează procedura de aproximare a figurii iniţiale prin un set de figuri geometrice, ariile cărora se determină după formule standard.
© Sergiu Corlat, 2004
![Page 4: Integrala definita](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061116/54663adaaf79595d038b49af/html5/thumbnails/4.jpg)
© Sergiu Corlat, 2004
![Page 5: Integrala definita](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061116/54663adaaf79595d038b49af/html5/thumbnails/5.jpg)
11
0
1
0
;
, 0,..., .
( )
2
(2 1)2
i
b
a
ni i
i
n
i
b ah
nx a ih i n
f x dx
x xh f
hh f a i
Varianta dreptunghiurilor de mijloc
![Page 6: Integrala definita](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061116/54663adaaf79595d038b49af/html5/thumbnails/6.jpg)
1
0
1
0
;
, 0,..., .
( )
i
b
a
n
ii
n
i
b ah
nx a ih i n
f x dx
h f x
h f a ih
Varianta dreptunghiurilor de stânga
![Page 7: Integrala definita](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061116/54663adaaf79595d038b49af/html5/thumbnails/7.jpg)
Varianta dreptunghiurilor de dreapta
1
1
;
, 0,..., .
( )
i
b
a
n
ii
n
i
b ah
nx a ih i n
f x dx
h f x
h f a ih
![Page 8: Integrala definita](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061116/54663adaaf79595d038b49af/html5/thumbnails/8.jpg)
Algoritmul general (număr fix de divizări)
1. Se introduc limitele de integrare a,b şi numărul de divizări n.
2. Se calculează pasul de deplasare h
3. Pornind de la a se calculează mijlocul fiecărui segment elementar zi f(zi), şi ariile
dreptunghiurilor elementare.
4. Se sumează ariile elementare.
© Sergiu Corlat, 2004
![Page 9: Integrala definita](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061116/54663adaaf79595d038b49af/html5/thumbnails/9.jpg)
Estimarea erorii y
f(x)g(x)= f((xi,+ xi+1)/2)
0 xi xi+1 …
f(x) se aproximează prin g(x).
1
( ) ( )
2i i
f x g x
x xM x
Eroarea la integrare pe un segment elementar este integrala erorii de aproximare:
1 1
1
2
1
[ ]
( )2
sup ( )
i i
i i
i i
x x
i i
x x
x x
x xf x dx g x dx M
M f x
© Sergiu Corlat, 2004
![Page 10: Integrala definita](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061116/54663adaaf79595d038b49af/html5/thumbnails/10.jpg)
Algoritmul general (pentru o eroare fixată)
1 1
1
2
1
[ ]( ) , sup ( )
2
i i
i ii i
x x
i i
x xx x
x xf x dx g x dx M M f x
Eroarea de calcul al integralei pe un segment elementar nu depăşeşte
Prin urmare eroarea de calcul al integralei pe [a,b] nu depăşeşte sume erorilor pe segmentele elementare
2
[ , ]( ) ( ) , sup ( )
2 4
b
a ba
h hf x dx S nM b a M M f x
Pentru o eroare fixată numărul de divizări se calculează apriori:
22 ( )
( ) ( ) 4 1;4 4
h b a Mb a M b a M n n
© Sergiu Corlat, 2004
![Page 11: Integrala definita](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061116/54663adaaf79595d038b49af/html5/thumbnails/11.jpg)
Exemplu program:var a,b,h,S :real; j,k,i,n :integer; function f(x:real):real; begin f:=5-(x*x-sin(5*x)); end;begin for j:=1 to 3 do begin a:=-2; b:=2; n:=0; for k:=1 to 10 do begin n:=n+10; S:=0; h:=(b-a)/n; for i:=0 to n-1 do case j of 1: s:=s+h*f(a+i*h); 2: s:=s+h*f(a+i*h+h); 3: s:=s+h*f(a+i*h+h/2); end; writeln('n=',n:3,' I=',s:0:6); end; end;end.
![Page 12: Integrala definita](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061116/54663adaaf79595d038b49af/html5/thumbnails/12.jpg)
Rezultate:
Dreptunghiuri stanga:
n= 10 I=14.777608
n= 20 I=14.748804
n= 30 I=14.727351
n= 40 I=14.714402
n= 50 I=14.705922
n= 60 I=14.699972
n= 70 I=14.695577
n= 80 I=14.692201
n= 90 I=14.689529
n=100 I=14.687361
Dreptunghiuri dreapta:
n= 10 I=14.342392
n= 20 I=14.531196
n= 30 I=14.582279
n= 40 I=14.605598
n= 50 I=14.618878
n= 60 I=14.627436
n= 70 I=14.633403
n= 80 I=14.637799
n= 90 I=14.641171
n=100 I=14.643839
Dreptunghiuri mijloc:
n= 10 I=14.720000
n= 20 I=14.680000
n= 30 I=14.672593
n= 40 I=14.670000
n= 50 I=14.668800
n= 60 I=14.668148
n= 70 I=14.667755
n= 80 I=14.667500
n= 90 I=14.667325
n=100 I=14.667278
![Page 13: Integrala definita](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061116/54663adaaf79595d038b49af/html5/thumbnails/13.jpg)
Metoda trapezelor
Aproximarea ariei unui trapez curbiliniu este mult mai eficientă în cazul cînd pe fiecare din segmentele elementare este aproximată prin un trapez, şi nu prin dreptunghi.
Pe segmentul elementar [xi, xi+1] trapezul este determinat de extremităţile segmentului pe axa 0X (xi,0) (xi+1 0) şi de valoarea funcţiei f(x) în extremităţi: (xi,f(xi)) (xi+1 ,f(xi+1))
© Sergiu Corlat, 2004
![Page 14: Integrala definita](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061116/54663adaaf79595d038b49af/html5/thumbnails/14.jpg)
Aparatul matematic
;
,
0,..., .i
b ah
nx a ih
i n
1 11 1
0 0
( ) ( ) ( ) ( )( )
2 2
b n ni i i i
i ia
f x f x f x f xf x dx h h
![Page 15: Integrala definita](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061116/54663adaaf79595d038b49af/html5/thumbnails/15.jpg)
Estimarea eroriiFie f(x) - de două ori derivabilă pe intervalul [a,b].
Pe un interval elementar [xi, xi+1] g(x) aproximează funcţia f(x) şi coincide cu ea în extremităţi. Eroarea aproximării este determinată de formula:
1
1
[ ]( ) ( ) sup ( )
2 i i
i i
x x
x x x xf x g x M M f x
© Sergiu Corlat, 2004
![Page 16: Integrala definita](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061116/54663adaaf79595d038b49af/html5/thumbnails/16.jpg)
Eroarea la integrarea pe segmentul elementar este integrala erorii de aproximare:
1 1 1
1
1
31
[ ]
( )2
( ) sup ( )12
i i i
i i i
i i
x x xi i
x x x
i ix x
x x x xf x dx g x dx M dx
Mx x M f x
Eroarea la integrarea pe segmentul [a,b] este suma erorilor de integrare pe segmentele elementare:
23
[ , ]
( )( ) sup ( )
12 12
b
a ba
M b a Mhf x dx S n h M f x
© Sergiu Corlat, 2004
![Page 17: Integrala definita](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061116/54663adaaf79595d038b49af/html5/thumbnails/17.jpg)
Algoritmul general (număr fix de divizări)
1. Se introduc limitele de integrare a,b şi numărul de divizări n.
2. Se calculează pasul de deplasare h
3. Pornind de la a se calculează valoarea funcţiei în
extremităţile fiecărui segment elementar şi ariile trapezelor elementare.
4. Se sumează ariile calculate.© Sergiu Corlat, 2004
![Page 18: Integrala definita](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061116/54663adaaf79595d038b49af/html5/thumbnails/18.jpg)
Exemplu programvar a,b,h,S :real; j,k,i,n :integer;
function f(x:real):real; begin f:=5-(x*x-sin(5*x)); end;begina:=-2; b:=2; n:=0; for k:=1 to 10 do begin n:=n+10; s:=0; h:=(b-a)/n; for i:=0 to n-1 do s:=s+h*(f(a+i*h)+f(a+(i+1)*h))/2; writeln('n=',n:3,' I=',s:0:6); end;end.
© Sergiu Corlat, 2004
![Page 19: Integrala definita](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061116/54663adaaf79595d038b49af/html5/thumbnails/19.jpg)
Rezultate:
Trapeze
n=100 I=14.665600n=200 I=14.666400n=300 I=14.666548n=400 I=14.666600n=500 I=14.666624n=600 I=14.666637n=700 I=14.666645n=800 I=14.666650n=900 I=14.666653n=1000 I=14.666656
Dreptunghiuri de stanga:n=100 I=14.687361n=200 I=14.677280n=300 I=14.673802n=400 I=14.672040n=500 I=14.670976n=600 I=14.670264n=700 I=14.669754n=800 I=14.669370n=900 I=14.669071n=1000 I=14.668832
Dreptunghiuri de dreapta:
n=100 I=14.643839n=200 I=14.655520n=300 I=14.659295n=400 I=14.661160n=500 I=14.662272n=600 I=14.663010n=700 I=14.663536n=800 I=14.663930n=900 I=14.664236n=1000 I=14.664480