Integral Rn
-
Upload
lamro-triwandes-simatupang -
Category
Documents
-
view
537 -
download
19
Transcript of Integral Rn
B A B 6 Integral di Rn
BAB 6
6.1 Integral Lipat Dua
6.2 Luas dan Volume
6.3 Integral Lipat Dua pada Koordinat Polar
6.4 Aplikasi Integral Lipat Dua
6.5 Integral Lipat Tiga
6.6 Integral pada Koordinat Tabung dan Bola
6.7 Perubahan Peubah pada Integral Lipat
6 Integral di Rn
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 2
Tujuan Instruksional Khusus Mahasiswa mampu:
1. Menjelaskan definisi funsi integral sebuah
fungsi atas persegi panjang.
2. Menggunakan integral berulang untuk meng-
evaluasi integral lipat pada daerah planar, dan
menghitung volume.
3. Membangun dan mengevaluasi integral lipat
pada koordinat polar.
4. Membangun dan mengevaluasi integral untuk
menghitung luas permukaan.
5. Membangun dan mengevaluasi integral lipat
tiga pada koordinat Cartesius.
6. Menggunakan integral lipat dua dan tiga
untuk menghitung momen, pusat massa, dan
momen inersia.
7. Menggunakan koordinat bola, mengubah dari
koordinat Cartesius ke silinder atau bola dan
sebaliknya.
8. Membangun dan mengevaluasi integral lipat
tiga pada koordinat silinder dan bola.
9. Mengubah urutan peubah pada integral lipat.
10. Memvisualisasi daerah irisan fungsi dua
peubah dan mengevaluasi integral tersebut
dengan bantuan TIK.
Pendahuluan
Turunan dan integral adalah salah satu bagian terpenting dari kalkulus. Di dalam bab sebelumnya telah
kita pelajari turunan dari fungsi n variabel. Pada bab ini kita akan mempelajari integral di ruang
berdimensi dua dan ruang berdimensi tiga.
Materi pada subbab 6.1 adalah penurunan integral Riemann untuk fungsi dua variabel, sifat-sifat
integral lipat dua, dan perhitungan integral lipat dua dengan menggunakan teknik integral berulang.
Subbab 6.2 berisikan aplikasi integral lipat dua pada perhitungan luas dan volume benda. Sedangkan
pada subbab 6.3 dijelaskan perhitungan integral lipat dengan menggunakan koordinat polar dan pada
subbab 6.4 diberikan beberapa contoh aplikasi integral lipat dua.
Definisi integral lipat tiga, perhitungan integral lipat tiga dengan integral berulang, dan aplikasi integral
lipat tiga dijelaskan pada subbab 6.5. Subbab 6.6 menjelaskan perhitungan integral lipat dengan
melakukan transformasi koordinat Cartesius menjadi koordinat tabung atau koordinat bola terlebih
dahulu. Sedangkan subbab 6.7 menjelaskan transformasi koordinat ke bentuk yang lebih umum.
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 3
Integral Lipat Dua, Sifat-sifat Integral Lipat Dua, Integral Lipat Dua sebagai Integral Berulang, Integral Lipat Dua atas Daerah
Bukan Persegi Panjang
Integral Lipat Dua
Pada bagian ini dijelaskan definisi integral lipat dua, perhitungan integral
lipat dua dengan integral berulang dan integral lipat dua pada daerah
yang bukan persegi panjang.
Integral Lipat Dua
Definisi Integral Lipat Dua
Pada dasarnya, penurunan bentuk integral Riemann pada fungsi dua dan
tiga variabel memiliki proses yang serupa dengan integral Riemann pada
fungsi satu variabel. Kalian dapat melihat kembali uraian mengenai
integral Riemann untuk fungsi satu variabel pada buku ajar Matematika
Dasar A1 atau pada buku Calculus karangan Edwin J. Purcell edisi 9,
subbab 4.2.
Misalkan adalah fungsi yang didefinisikan pada persegi panjang R
yang diberikan oleh
Bentuklah partisi dari R dengan garis-garis yang paralel dengan
sumbu- dan sumbu- seperti pada Gambar 1. Garis-garis ini membagi R
menjadi beberapa persegi panjang, misalkan n persegi panjang. Masing-
masing persegi panjang kita sebut sebagai , dengan
luas adalah Pilihlah titik di setiap dan bentuk
jumlah Riemann
(1)
yang berkaitan dengan jumlah volume n kotak (Gambar 2 dan 3). Sebagai
ukuran persegi panjang dari partisi , definisikan sebagai
maksimum panjang dari diagonal persegi panjang-persegi panjang .
Dengan membuat partisi yang semakin kecil sedemikian sehingga
semakin kecil meyebabkan kita memperoleh konsep yang diinginkan.
6.1
Gambar 1
Gambar 2
Gambar 3
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 4
DEFINISI 6.1 Integral Lipat Dua Misalkan adalah fungsi dua variabel yang didefinisikan pada persegi panjang tertutup R. Integral lipat dua dari fungsi atas persegi panjang R adalah
dengan syarat limitnya ada.
Notasi
Jika , interpretasi adalah volume benda padat
di bawah permukaan seperti pada Gambar 4.
Sifat-sifat Integral Lipat Dua
Seperti pada integral fungsi satu variabel, integral lipat dua dari fungsi
kontinu memiliki sifat-sifat aljabar yang berguna bagi perhitungan dan
aplikasi.
Gambar 4
R1 R2
R
Gambar 5
SIFAT Integral Lipat Dua 1. Integral lipat dua bersifat linier, yaitu:
a. Perkalian dengan konstanta
b. Penjumlahan dan pengurangan
2. Integral lipat dua memenuhi sifat perbandingan, yaitu
a. Jika di R maka .
b. Jika di R maka
3. Integral lipat dua memenuhi sifat aditif di persegi panjang R yang merupakan gabungan dua persegi panjang tak beririsan R1 dan R2 (Gambar 5), yaitu:
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 5
Integral Berulang
Untuk menghitung integral lipat dengan menggunakan definisi bukanlah
hal yang mudah. Ada cara yang lebih mudah untuk menghitung integral
lipat, yaitu dengan dua integral satu variabel secara berulang. Misalkan
di R dan
(2)
kita interpretasikan sebagai volume benda padat di bawah permukaan
(Gambar 6). Irislah benda padat tersebut menjadi lembaran-
lembaran bidang yang sejajar dengan bidang- seperti pada Gambar 7.
Daerah dari permukaan lembaran bergantung pada , sehingga luas
lembaran ini dapat ditulis dengan . Volume hampiran lembaran ini
(Gambar 8) adalah
dan volumenya
(3)
Luas lembaran, , dapat dihitung dengan integral satu variabel biasa,
Substitusikan fungsi ke persamaan (3) sehingga diperoleh
Ekspresi ini disebut sebagai integral berulang.
Apabila kita samakan dengan persamaan (2), diperoleh
Jika kita mengiris benda padat tersebut menjadi lembaran-lembaran yang
sejajar dengan bidang- terlebih dahulu, maka diperoleh integral
berulang dengan urutan yang berbeda, yaitu
Bagaimana kalau negatif?
Gambar 6
Gambar 7
Gambar 8
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 6
Apabila memiliki bagian yang bernilai negatif di R maka
menyatakan volume berkalian dari volume benda padat
antara bidang dengan persegi panjang R pada bidang-xy
(Gambar 9). Volume benda sebenarnya adalah
Contoh 1
Hitunglah
dimana R adalah daerah yang dibatasi oleh .
Penyelesaian
Kita akan menghitung integral lipat dengan integral berulang
Mula-mula hitung bagian di dalam dengan memperlakukan sebagai
konstanta.
Perhatikan bahwa pada ruas kanan baris pertama kita tuliskan batas
dan . Sehingga jelas bahwa adalah variabel yang sedang kita
integralkan.
Untuk menyelesaikannya, kita perlu mengintegralkan terhadap . Hal ini
mudah, karena perhitungan yang dilakukan sudah merupakan integral
satu variabel yang telah dikenal.
Gambar 9
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 7
Bagaimana hasilnya apabila kita mengubah urutan integral dengan
mengintegralkan terhadap terlebih dahulu baru kemudian terhadap ?
Coba kalian lakukan sendiri.
Contoh 2
Hitunglah
dimana R adalah daerah yang dibatasi oleh .
Penyelesaian
Seperti pada Contoh 1, untuk menghitung atas daerah
kita dapat menggunakan integral
berulang seperti . Mula-mula kita hitung bagian di
dalam kurung dengan memperlakukan sebagai konstanta. Kemudian
dilanjutkan dengan mengintegralkannya terhadap . Maka,
Penyelesaiannya adalah
wwiitthh((ssttuuddeenntt))::
vvaalluuee((DDoouubblleeiinntt((yy^̂22**ssiinn((xx)),,xx==00....PPii,,yy==00....11))));;
Coba kalian ulangi pekerjaan diatas dengan mengubah urutan integralnya.
Integralkan terhadap terlebih dahulu baru kemudian terhadap .
Contoh 3
Hitunglah
dimana R adalah daerah yang dibatasi oleh .
Urutan dan adalah penting, karena ini
menunjukkan integral mana dahulu yang akan
dikerjakan.Pengintegralan pertama melibatkan
simbol integral terdekat dengan fungsi disebelah kiri dan simbol atau
pertama di sebelah kanan fungsi.
Ingat !
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 8
Penyelesaian
Misalnya kita pandang daerah R sebagai daerah sederhana- , maka hasil
integralnya adalah
Coba kalian ulangi pekerjaan diatas dengan mengubah urutan integralnya.
Integralkan terhadap terlebih dahulu baru kemudian terhadap .
Integral Lipat Dua pada Daerah
Bukan Persegi Panjang
Sejauh ini kita telah membahas integral lipat dua di daerah R yang
berbentuk persegi panjang. Apa yang kita lakukan bila batas berupa
kurva, misalkan, seperti pada Gambar 10? Untuk masalah seperti ini kita
cukup memperhatikan daerah yang sederhana- dan daerah yang
sederhana- .
Suatu bidang datar S dikatakan sederhana- apabila dapat dinyatakan
sebagai
seperti terlihat pada Gambar 10. Perhatikan bahwa garis pada daerah
sederhana- yang sejajar dengan sumbu- memotong daerah S pada
sebuah interval (atau titik atau tidak memotong S sama sekali).
Suatu bidang datar S dikatakan sederhana- apabila dapat dinyatakan
sebagai
seperti terlihat pada Gambar 11. Sekali lagi perhatikan bahwa garis pada
daerah sederhana- yang sejajar dengan sumbu- memotong daerah S
pada sebuah interval (atau titik atau tidak memotong S sama sekali).
Gambar 12 adalah salah satu contoh bidang datar yang tidak sederhana-
maupun sederhana- .
Gambar 10
Gambar 11
Gambar 12
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 9
TEOREMA 6.1 Perhitungan Integral Lipat Dua Misalkan fungsi kontinu di S. Jika S adalah daerah yang sederhana- , maka
. Jika S adalah daerah yang sederhana- , maka
dengan syarat limitnya ada.
Berikut ini adalah teorema yang digunakan untuk menghitung integral
lipat dua dengan integral berulang atas daerah yang sederhana- atau
sederhana- .
C
Contoh 4 Misalkan D adalah segitiga yang didefinisikan oleh dan
Gunakan fungsi yang sama dengan Contoh 1, ,
kemudian hitunglah apabila D adalah segitiga.
Penyelesaian
Perhatikan bahwa batas bergantung pada . Untuk suatu nilai
tertentu, bergerak dari 0 sampai dengan seperti gambar garis
vertikal dari ke pada Gambar 13.
Segitiga D dapat dilihat sebagai daerah yang sederhana- maupun
sederhana- . Pada contoh ini, pandang D sebagai daerah yang
sederhana- . Maka batas-batas integrasinya adalah dan
. Dengan demikian integral lipat dua atas D adalah
Gambar 13
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 10
Kerjakanlah kembali soal pada Contoh 4 namun kali ini pandang D sebagai
daerah sederhana- . Apa yang harus Anda ubah?
Contoh 5
Hitunglah dengan D adalah daerah yang dibatasi oleh
parabola dan garis lurus .
Penyelesaian
Perhatikan Gambar 14.
with(plots):
implicitplot({x=y^2,x+2*y=3},x=-1..11,y=-4..4);
Daerah D adalah seperti di Gambar 14. Pandang daerah ini sebagai
daerah yang sederhana- . Maka batas-batas integrasinya adalah
dan . Dengan demikian integral lipat dua
atas D adalah
with(student):
value(Doubleint(3*x^2+6*y,x=y^2..3-2*y,y=-3..1));
Kerjakanlah kembali soal pada Contoh 5 namun kali ini pandang D sebagai
daerah sederhana- . Apa yang harus Anda ubah?
2x y
2 3x y
Gambar 14
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 11
Mencari batas integrasi
Bagian tersulit dari perhitungan integral lipat dua adalah menentukan
batas integrasi. Berikut ini adalah langkah-langkah untuk menentukan
batas-batas integrasi.
Luas dan Volume dengan Integral Lipat Dua
6.2
Luas Daerah Terbatas di Bidang, Volume Benda di Bawah Permukaan, Volume Benda Antara Dua Permukaan
Menentukan Batas Integrasi Langkah-langkah untuk Menentukan Batas Integrasi A. Untuk mengevaluasi
atas daerah R , mula-mula integralkan terhadap dan kemudian terhadap . Lakukanlah langkah-langkah berikut: Langkah 1: Sketsa. Sketsakan daerah integrasi dan namakan batas-batasnya (Gambar 15). Langkah 2: Batas- dari integrasi. Bayangkan suatu garis vertikal L memotong daerah R dari bawah ke atas. Tandai nilai- pada saat L memasuki R dan saat L keluar dari R. Ini adalah batas- dari integrasi yang biasanya merupakan fungsi dari (Gambar 16). Langkah 3: Batas- dari integrasi. Pilih batas- yang memuat seluruh garis horizontal yang melalui R. Integralnya adalah (Gambar 17).
B. Untuk mengevaluasi integral lipat yang sama sebagai
integral berulang dengan urutan integrasi berubah, gunakan garis vertikal untuk menggantikan garias horizontal. Integralnya adalah (Gambar 18).
Gambar 15
Gambar 16
Gambar 17
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 12
21
3y x
5y x
Pada bagian ini dijelaskan bagaimana menggunakan integral lipat dua
untuk menghitung luas daerah terbatas di bidang dan volume benda di
bawah permukaan atau antara dua buah permukaan.
Luas Daerah Terbatas di Bidang
Jika dalam integral lipat dua atas daerah R, maka persamaan
(1) menjadi
Apabila dan menuju 0, maka hampir menutupi seluruh daerah
R, sehingga kita definisikan luas dari R seperti pada Gambar 1.
Contoh 1
Tentukan luas daerah R yang dibatasi oleh garis dan
(Gambar 2).
Penyelesaian
Berdasarkan Definisi 6.2, luas daerah R adalah
Luas
Kita dapat menggunakan konsep integral berulang dengan daerah
sederhana- atau dalam menentukan luasnya. Mula-mula kita gambar
daerah R , seperti Gambar 2.
with(plots):
implicitplot({y=5*x,y=(1/3)*x^2},x=-10..18,y=-7..100);
Pandang daerah ini sebagai daerah sederhana- . Garis dan
parabola berpotongan di titik (0,0) dan (15,75). Maka daerah R
memiliki batas-batas integrasi dan . Sehingga
luas daerah R adalah
Gambar 2
DEFINISI 6.2 Luas Daerah Terbatas Luas dari daerah R yang tutup, terbatas adalah
Luas
Gambar 1
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 13
with(student):
value(Doubleint(1,y=1/3*x^2..5*x,x=0..15));
Ulangi pekerjaan di atas dengan daerah R yang dibatasi oleh
dan . Berapakah luas daerah R?
Volume Benda di Bawah Permukaan
Pada Subbab 6.1 telah disinggung bahwa jika , maka
memiliki interpretasi volume di bawah permukaan
. Pada awalnya, mencari volume benda inilah yang menjadi
motivasi dari perhitungan integral lipat dua. Namun demikian, terlepas
dari motivasi perhitungan volume, integral lipat dua sebagai limit dari
jumlah Riemann tidaklah bergantung pada pemahaman mengenai
volume. Oleh sebab itu kita dapat menggunakan integral lipat dua untuk
mendefinisikan volume. Perhatikan Gambar 3.
DEFINISI 6.3 Volume di Bawah Permukaan
Misalkan fungsi kontinu dan non negatif pada daerah terbatas R. Maka volume benda padat V di bawah permukaan dan di atas bidang R didefinisikan sebagai
apabila integralnya ada.
R
f(x,y)=1
z
x
y
Gambar 3
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 14
Gambar 5
Perhitungan Volume Benda di Bawah Permukaan
Perhitungan volume benda padat untuk kasus seperti Definisi 6.3 telah
dipelajari pada Subbab 6.1.2, yaitu pada bagian integral berulang. Oleh
sebab itu, kita hanya akan memberikan contoh untuk mengulangnya.
Contoh 2 (perhitungan volume dengan daerah yang sederhana- )
Tentukan volume benda padat yang berada di atas bidang- , di bawah
bidang dan dibatasi oleh silinder seperti pada
Gambar 4.
with(plots):
implicitplot3d({z=2*y,x^2+y^2=9},x=-6..6,y=-5..5,z=0..8);
Penyelesaian
Untuk menentukan volume benda padat tersebut kita dapat
menggunakan konsep integral berulang,
Atau
Mula-mula kita Gambar dulu daerah alas R. Dari Gambar 4 dapat kita lihat
bahwa daerah alas R seperti pada Gambar 5 berikut
with(plots):
implicitplot({(x^2)+(y^2)=9},x=0..4,y=-4..4);
Gambar 6
Gambar 4
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 15
dibatasi oleh garis dan setengah lingkaran . Daerah ini
ekivalen dengan dua kali daerah kuadran pertama seperempat lingkaran
yang ditunjukkan Gambar 6. Akibatnya volume benda padat yang
memiliki daerah alas setengah lingkaran ekivalen dengan dua kali volume
benda padat yang memiliki daerah alas seperempat lingkaran. Misalkan
daerah pada Gambar 5 kita pandang sebagai daerah sederhana- . Titik
potong antara garis (sumbu- ), garis (sumbu- ), dan
seperempat lingkaran di kuadran pertama adalah dan
. Maka batas-batas integrasinya adalah
dan
. Sehingga volume benda adalah
with(student):
2*value(Doubleint(2*y,y=0..sqrt(9-x^2),x=0..3));
Coba ulangi pekerjaan di atas jika benda padat berada di atas bidang- ,
dibawah bidang dan dibatasi oleh silinder . Berapakah
volume benda padat tersebut?
Volume Benda diantara Dua Permukaan
Sejauh ini kita telah membahas bagaimana menghitung volume benda
padat antara permukaan dan bidang datar R. Bagaimana jika
kita ingin menghitung volume benda diatas daerah R tetapi terletak di
bawah permukaan dan di atas permukaan ,
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 16
23x y
23 4x y
dimana seperti pada Gambar 7? Volume benda yang terletak di
antara dua permukaan seperti pada Gambar 7 dapat dihitung dengan
mengurangkan volume benda padat di bawah permukaan
dengan volume benda padat di bawah permukaan ,, sehingga
diperoleh
Ini tentu saja bukan sesuatu hal yang asing bagi kita, karena kita pernah
mempelajari luas daerah di antara kurva untuk integral fungsi satu
variabel pada Matematika Dasar A1. Hal yang serupa juga terjadi pada
masalah volume antara dua buah permukaan. Perlu diperhatikan bahwa
rumus volume di atas juga berlaku apabila , atau dan sekaligus
memiliki nilai negatif di sebagian R ataupun seluruh R.
Contoh 3
Tentukan volume benda padat yang berada di antara bidang dan
juga dibatasi oleh permukaan dan (Gambar 7).
Penyelesaian
Seperti pada Contoh 2, kita menggunakan konsep integral berulang untuk
menentukan volume benda padat tersebut. Akan tetapi pada contoh ini
benda padat berada di antara dua permukaan, yaitu bidang di
bagian atas dan bidang di bagian bawah. Mula-mula kita gambar
dulu daerah alas R. Dari Gambar 7 dapat kita lihat bahwa daerah alas R
adalah seperti Gambar 8. Misalnya kita pandang daerah tersebut sebagai
daerah sederhana- . Titik potong parabola dan parabola
adalah dan . Maka batas-batas integrasinya
adalah
dan
Sehingga volume benda padat yang berada di antara dua permukaan
tersebut adalah
Gambar 7
Gambar 8
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 17
Contoh 4
Tentukan volume benda padat yang dibatasi oleh paraboloida
, dibatasi di atas oleh paraboloida dan
dibatasi juga oleh bidang-bidang seperti
pada Gambar 9.
with(plots):
implicitplot3d({z=6-(x^2)-(y^2),z=(x^2)+(y^2)+10,x=-
2,x=2,y=-2,y=2},
x=-2..2,y=-2..2,z=-4..20);
Penyelesaian
Sama juga seperti pada Contoh 4, kita gunakan konsep integral berulang
untuk menghitung volume benda padat yang berada diantara dua
permukaan.
Seperti biasa, mula-mula kita gambar dulu daerah alas R. Dari Gambar 9
dapat kita lihat bahwa daerah alas R adalah seperti Gambar 10.
with(plots):
implicitplot({x=-2,x=2,y=-2,y=2},x=-2.2..2.2,y=-2.2..2.2);
Misalkan kita pandang daerah tersebut sebagai daerah seder-hana-y. Titik
potong garis-garis adalah
. Maka batas-batas integrasinya adalah
dan . Sehingga volume benda padat tersebut
adalah
Gambar 9
Gambar 10
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 18
with(student):
value(Doubleint(x^2+y^2+10-(6-x^2-y^2),y=-2..2,x=-2..2));
Coba ulangi pekerjaan di atas jika benda padat yang terletak di antara
permukaan dan permukaan juga
dibatasi oleh bidang-bidang seperti pada
Gambar 11. Berapakah volume benda padat tersebut?
Integral Lipat Dua pada Koordinat Polar
Beberapa daerah R, seperti lingkaran dan kardioda (Gambar 1) lebih
mudah apabila dinyatakan dengan menggunakan koordinat polar
6.3
Integral Lipat Dua pada Koordinat Polar, Integral Berulang pada Koordinat Polar, Integral Berulang untuk Daerah Sembarang
Gambar 11
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 19
daripada koordinat Cartesius. Pada subbab ini kita akan mempelajari
perhitungan integral lipat dengan menggunakan koordinat polar.
Integral Lipat Dua pada Koordinat Polar
Perhatikan daerah integral R seperti pada Gambar 2.
Daerah R seperti itu disebut sebagai daerah persegi polar. Untuk bentuk-
bentuk R seperti ini, perhitungan integral lebih mudah dilakukan dengan
menggunakan koordinat polar. Oleh sebab itu kita perlu melakukan
transformasi koordinat Cartesius ke koordinat polar. Persegi polar R
adalah daerah yang ditentukan oleh ketaksamaan
(4) dan
Misalkan kita akan menghitung volume benda padat di bawah permukaan
(5)
dimana R adalah daerah persegi polar seperti pada (4) dan fungsi
kontinu yang non negatif. Permukaan kita tuliskan kembali
dalam koordinat polar menjadi
Serupa dengan langkah perhitungan volume pada Subbab 6.1, bagilah R
menjadi persegi-persegi polar R1, R2, …, Rn. Misalkan sisi-sisi dari setiap
persegi polar Rk adalah dan . Luas daerah A(Rk) adalah
dengan adalah rata-rata jari-jari Rk, lihat Gambar 3.
Maka, volume benda adalah
Jika kita ambil limit norm partisinya menuju nol maka diperoleh volume
benda padat
(6)
Samakan persamaan (5) dengan persamaan (6) maka didapat persamaan
untuk mencari volume dalam koordinat polar
Gambar 1
Gambar 2
Gambar 3
Gambar 4
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 20
Integral Berulang pada Koordinat Polar
Rumus volume benda padat yang diperoleh di atas akan dihitung dengan
integral berulang seperti pada subbab 6.1 namun kali ini dengan
menggunakan koordinat polar.
Contoh 1
Tentukan volume benda padat di atas daerah
(lihat Gambar 5) dan di bawah
permukaan seperti Gambar 4.
with(plots):
implicitplot3d(z^2+x^2+y^2=25,x=0..5,y=0..5.5,z=0..5);
implicitplot({x^2+y^2=4,x^2+y^2=25},x=0..5,y=0..5);
Penyelesaian
Untuk menghitung volume benda padat tersebut kita gunakan konsep
integral berulang untuk koordinat polar yakni
Karena , maka
Gambar 5
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 21
with(student):
value(Doubleint(sqrt(25-r^2)*r,r=2..5,theta=0..Pi/2));
Integral Berulang untuk Daerah Sembarang
Pada subbab 6.1 telah dijelaskan bagaimana cara mencari batas-batas
integrasi pada daerah sembarang dengan terlebih dahulu memandang
daerah R sebagai daerah sederhana- atau sederhana- .
Untuk daerah sembarang R dengan koordinat polar kita dapat melakukan
hal yang serupa dengan daerah sembarang pada koordinat Cartesius,
hanya kali ini daerah R dipandang sebagai daerah sederhana-r dahulu,
kemudian daerah sederhana-θ. Perhatikan contoh berikut.
Contoh 2
Tentukan volume benda padat yang berada diantara paraboloida
paraboloida dan paraboloida seperti
Gambar 6 di samping.
with(plots):
implicitplot3d({z=25-x^2-y^2,z=-25+x^2+y^2},x=-5..5,y=-
5..5,z=-25..25);
Penyelesaian
Sama halnya seperti menentukan volume pada koordinat Kartesius, pada
koordinat polar pun hal pertama yang kita lakukan adalah menggambar
proyeksi benda padat tersebut pada bidang- untuk menentukan batas-
batas integrasinya.
Maka kita dapatkan daerah alas R seperti Gambar 7.
Karena r bergerak dari ke dan θ bergerak dari ke
, maka volumenya adalah
Gambar 6
Gambar 7
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 22
with(student):
value(Doubleint(sqrt(50-2*r^2)*r,r=0..5, theta=0..2*Pi));
Coba kalian ulangi pekerjaan diatas jika benda padat berada diantara
permukaan dan permukaan seperti
pada Gambar 8.
Gambar 8
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 23
Mencari batas integrasi
Cara menentukan batas integrasi koordinat polar adalah serupa dengan
koordinat Kartesius.
Contoh 3
Tentukan batas-batas integrasi untuk menentukan volume benda padat
yang berada diantara bola dan silinder
seperti Gambar 12 berikut.
Penyelesaian
Untuk menentukan batas-batas integrasinya, mula-mula kita Gambar dulu
proyeksi benda padat tersebut pada bidang- yakni daerah alas R seperti
Gambar 13.
Karena dan maka untuk lingkaran kecil
diperoleh
Karena maka
Gambar 12
Gambar 9
Gambar 10
Mencari Batas Integrasi Koordinat Polar Menentukan batas integrasi pada koordinat polar. Untuk
menghitung integral atas daerah R dalam
koordinat polar, pertama integralkan terhadap r kemudian
terhadap . Langkah-langkah untuk menentukan batas-batas
integrasi adalah sebagai berikut: 1. Gambar. Gambarkan R dan berilah batas-batas kurva.
(Gambar 9) 2. Batas-r dari integrasi. Gambarkan garis L dari titik awal
memotong R pada arah jari-jari r yang membesar. Tandai jari-jari dimana L memasuki R dan keluar R (perhatikan
Gambar). Ini biasanya bergantung pada sudut yang
dibuat antara garis L dan sumbu- positif. (Gambar 10)
3. Batas- dari integrasi. Cari nilai terkecil dan terbesar
yang membatasi R. Ini adalah batas- dari integrasi.
(Gambar 11) Maka integralnya adalah
Gambar 11
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 24
Jadi, bergerak dari jari-jari lingkaran kecil ke jari-jari lingkaran besar
yakni dari ke seperti yang ditunjukkan pada Gambar
13. Sedangkan bergerak dari ke . Sehingga batas-batas
integrasi untuk menentukan volume adalah dan
atau
Tentukan batas-batas integrasi untuk menentukan volume benda padat
yang berada diantara bola dan silinder
seperti Gambar 14 berikut.
Luas daerah dalam koordinat polar
Jika adalah fungsi kostan bernilai 1, maka integral F atas R adalah
luas daerah R yaitu,
Contoh 4
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh loop seperti
Gambar 15.
with(plots):
polarplot(3*cos(2*theta),theta=0..2*Pi);
Penyelesaian
Untuk menentukan luas daerah R seperti yang ditunjukkan pada Gambar
15, kita gunakan konsep yang sama seperti mencari volume benda padat
hanya saja fungsi bernilai konstan yakni 1.
Gambar 13
Gambar 14
Gambar 15
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 25
3cos 5r
Sehingga luas daerah R adalah
with(student):
value(Doubleint(r,r=0..3*cos(2*theta),theta=0..2*Pi));
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh loop seperti
Gambar 16.
Aplikasi Integral Lipat
Sejauh ini aplikasi integral lipat dua yang telah dibahas adalah mencari
luas daerah dan volume benda padat. Pada bagian ini kita akan
mempelajari aplikasi lain dari integral lipat dua, yaitu menghitung massa,
pusat massa , momen inersia dan luas permukaan.
Massa Benda
Perhitungan massa telah dipelajari di aplikasi integral fungsi satu variabel
namun dengan kondisi khusus yaitu kepadatan lamina yang konstan.
Disini akan dipelajari untuk kondisi yang lebih umum yaitu kepadatan
yang berubah-ubah.
6.4
Massa Benda, Pusat Massa, Momen Inersia, Luas Permukaan
Gambar 16
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 26
Misalkan suatu lamina sebesar daerah S di bidang- dan kepadatannya
(massa per satuan luas) di adalah . Maka massa lamina
tersebut adalah
Contoh 1
Sebuah lamina dengan dibatasi oleh kurva dan kurva
seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1. Tentukan massa lamina
tersebut.
Penyelesaian
Untuk menghitung massa lamina tersebut kita gunakan konsep integral
berulang dengan formula
Misalnya kita pandang lamina tersebut sebagai daerah sederhana- . Mula-
mula kita tentukan dulu batas-batas integrasinya. Kurva dan
berpotongan di titik dan . Maka batas-batas integrasinya
adalah dan . Sehingga massa lamina tersebut
adalah
Pusat Massa Misalkan kerapatan lamina yang melingkupi daerah S adalah .
Maka, koordinat dari pusat massa didefinisikan sebagai
Gambar 1
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 27
dan
Contoh 2
Tentukan pusat massa dari lamina yang bentuknya seperti ditunjukkan
pada Contoh 1.
Penyelesaian
Untuk menentukan pusat massa , kita gunakan rumus
dan
.
Pada Contoh 1 telah diperoleh bahwa massa lamina adalah . Mula-
mula kita cari dulu momen dan momen sebagai berikut
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 28
Maka, pusat massa lamina adalah
dan
atau
Momen Inersia
Misalkan S adalah lamina dan L garis lurus yang mungkin terletak atau
tidak terletak di bidang- . Maka momen inersia dari S terhadap sumbu
L adalah
dimana yang menyatakan jarak tegak lurus ke L dari titik
.
Pada kasus khusus dimana L adalah sumbu- , maka
Dalam kasus ini momen inersia disebut sebagai momen inersia polar
dari S dan ditulis menjadi . Dengan demikian momen inersia polar
didefinisikan sebagai
Ini memberikan
dimana
dan
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 29
Dalam hal ini adalah momen inersia terhadap sumbu- dan adalah
momen inersia terhadap sumbu- .
Contoh 3
Tentukan momen inersia terhadap sumbu- , sumbu- dan sumbu-
sebuah lamina yang ditunjukkan pada Gambar 1.
Penyelesaian
Untuk menentukan momen inersia, kita gunakan rumus
dan
Maka momen inersia lamina tersebut terhadap sumbu- , sumbu- , dan
sumbu- adalah
Tentukan massa, pusat massa, dan momen inersia terhadap sumbu- dan
sebuah lamina yang ditunjukkan pada Gambar 2 dengan kerapatan
. Lamina dibatasi oleh kurva dan (kuadran
pertama).
Gambar 2
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 30
Luas Permukaan
Salah satu penggunaan integral lipat dua adalah untuk menghitung luas
permukaan yang didefinisikan oleh atas daerah tertentu.
Misalkan D adalah permukaan yang akan dicari luasnya. D didefinisikan
pada daerah tutup terbatas S di bidang- seperti pada Gambar 3.
Misalkan pula mempunyai turunan parsial dan yang kontinu. Maka
luas daerah D adalah
Contoh 4
Untuk menentukan luas permukaan kerucut , kita gunakan
rumus
dengan dan . Sehingga luas permukaan kerucut
tersebut adalah
Gambar 3
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 31
Integral Lipat Tiga
Konsep-konsep yang telah dipelajari pada integral fungsi satu variabel
dan integral lipat dua dapat diperluas ke integral lipat tiga.
Integral Lipat Tiga pada Koordinat Kartesius
Misalkan adalah fungsi yang didefinisikan pada kotak K di ruang-
seperti pada Gambar 1. Fungsi sendiri tidak lagi dapat divisualisasikan
karena terletak di ruang berdimensi empat.
Bentuklah partisi terhadap kotak K dengan masing-masing sisi sejajar
dengan sumbu koordinat. Partisi-partisi ini, sebut Ki, berbentuk kotak.
Langkah selanjutnya adalah serupa dengan yang dilakukan pada integral
lipat dua. Misalkan titik di kotak Ki dan adalah
volume kotak Ki. Jika adalah norm partisi dan
ada, maka integral lipat tiga didefinisikan sebagai
Seperti yang telah dinyatakan di atas bahwa konsep pada integral lipat
dua juga berlaku pada integral lipat tiga, maka sifat kelinieran, sifat aditif
terhadap himpunan yang beririsan hanya di batasnya, dan sifat
perbandingan juga berlaku pada integral lipat tiga.
Integral lipat tiga sebagai integral berulang
Perhitungan integral lipat tiga juga dihitung dengan integral berulang
seperti pada integral lipat dua.
Integral Lipat Tiga pada Koordinat Kartesius, Integral Lipat Tiga pada Daerah Sembarang, Massa dan Pusat Massa, Momen
6.5
Gambar 1
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 32
Contoh 1
dan K adalah kotak yang berisi titik-titik
yang memenuhi . Hitunglah
.
Penyelesaian
Misalkan kita hitung
dengan urutan - - , maka nilai
dengan
adalah
with(student):
value(Tripleint(2*x*y+x*z,x=1..5,y=2..3,z=0..4));
Contoh 2
Dengan benda padat K seperti pada Contoh 1 yaitu
,
hitunglah kembali dengan urutan mengintegralkan -
- .
Penyelesaian
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 33
Perhatikan Contoh 1 dan Contoh 2. Bandingkan hasil keduanya. Kemudian
coba kalian hitung kembali dimana
dan dengan mengubah urutan integralnya yakni -
- dan - - . Bagaimana hasilnya?
Integral Lipat Tiga pada Daerah Sembarang
Misalkan D daerah tutup terbatas di ruang. Misalkan pula D adalah
daerah sederhana- , yaitu setiap garis yang sejajar dengan sumbu-z
memotong daerah D pada suatu interval. Sehingga D dapat dinyatakan
sebagai
dimana S adalah proyeksi D pada bidang- . Maka
dapat ditulis sebagai maupun tergantung dari
urutan integrasi yang dipilih pada S. Jika S adalah daerah sederhana-
yang dinyatakan sebagai
maka
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 34
Jika S adalah daerah sederhana- , maka urutan integrasinya berubah.
Perhatikan bahwa untuk integral lipat tiga terdapat enam kemungkinan
urutan integrasi.
Contoh 3
Hitunglah dengan dan D adalah benda
padat yang dibatasi oleh bidang dan bidang
seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2 di samping.
Penyelesaian
Misalnya kita pandang benda padat D sebagai daerah sederhana- .
Perhatikan garis vertikal merah yang sejajar sumbu- pada Gambar 2.
Ujung-ujung garis vertikal merah merupakan batas-batas integrasi
terhadap . Jadi kita mengintegralkan terhadap sepanjang dan
.
Selanjutnya, misalkan kita integralkan terhadap . Perhatikan garis
horizontal biru yang sejajar dengan sumbu- pada Gambar 2. Ujung-ujung
garis horizontal biru merupakan batas-batas integrasi terhadap . Jadi
kita mengintegralkan terhadap sepanjang dan . Garis
horizontal biru bergerak sepanjang sumbu- dari sampai . Jadi
batas-batas integrasi terhadap adalah dan . Maka
adalah
Gambar 2
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 35
Contoh 4
Hitunglah dengan dan D adalah benda
padat yang dibatasi oleh bidang dan
bidang seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3 berikut.
Penyelesaian
Misalnya kita pandang benda padat D sebagai daerah sederhana- .
Perhatikan garis vertikal merah yang sejajar sumbu- pada Gambar 3.
Ujung-ujung garis vertikal merah merupakan batas-batas integrasi
terhadap . Jadi kita mengintegralkan terhadap sepanjang dan
atau .
Selanjutnya, misalkan kita integralkan terhadap . Perhatikan garis
horizontal biru yang sejajar sumbu- pada Gambar 3. Ujung-ujung garis
horizontal biru merupakan batas-batas integrasi terhadap . Jadi kita
mengintegralkan terhadap sepanjang dan . Garis
horizontal biru bergerak sepanjang sumbu- dari titik ujung ke titik
ujung lainnya yang merupakan perpotongan bidang dan
bidang dengan bidang yaitu di sampai
. Jadi batas-batas integrasi terhadap adalah dan
. Maka adalah
Gambar 3
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 36
with(student):
value(Tripleint(x+y,y=0..2-x,z=x^2..3-x^2,x=-0.5
*sqrt(6).. 0.5*sqrt(6)));
Coba kalian ulangi pekerjaan pada Contoh 3 dan Contoh 4 dengan
mengubah urutan integralnya yaitu - - dan - - . Bagaimana
batas-batas integrasinya? Bandingkan volume yang dihasilkan dengan
Contoh 3 dan Contoh 4.
Massa dan Pusat Massa
Konsep massa dan pusat massa yang telah dipelajari pada bidang dapat
dengan mudah diperluas ke benda padat. Misalkan D adalah benda padat
dengan kepadatan (massa per satuan volume) . Rumus integral
untuk menghitung massa ( ), momen ( ) terhadap bidang- dan
koordinat dari pusat massa adalah
Untuk mencari dan dapat menggunakan rumus yang serupa.
Contoh 5
Misalkan D adalah benda padat yang dibatasi oleh
seperti yang ditunjukkan Gambar 3 dengan kepadatan
. Tentukan massa , momen terhadap bidang- , dan
koordinat sebagai pusat massa.
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 37
Penyelesaian
Misalkan kita pandang benda padat D sebagai daerah sederhana- .
Perhatikan garis vertikal merah yang sejajar dengan sumbu- pada
Gambar 4. Ujung-ujung garis vertikal merah merupakan batas-batas
integrasi terhadap . Jadi kita mengintegralkan terhadap sepanjang
dan .
Selanjutnya, misalkan kita integralkan terhadap . Perhatikan garis
horizontal biru yang sejajar dengan sumbu- pada Gambar 4. Ujung-ujung
garis horizontal biru merupakan batas-batas integrasi terhadap . Jadi
kita mengintegralkan terhadap sepanjang dan atau
(kuadran 1). Garis horizontal biru bergerak sepanjang sumbu-
dari titik ujung ke titik ujung lainnya perpotongan bidang dan
bidang yaitu sepanjang sampai . Jadi batas-batas
integrasi terhadap adalah dan . Maka diperoleh, Massa
benda padat adalah
Gambar 4
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 38
Momen terhadap bidang- adalah
Koordinat dari pusat massa adalah
Coba kalian ulangi pekerjaan di atas untuk menentukan momen terhadap
bidang- dan bidang- juga untuk menentukan koordinat
dan dari pusat massa.
6.6 Integral pada Koordinat Tabung dan Koordinat Bola
Apabila benda padat D memiliki simetri terhadap sumbu maka
perhitungan integral lipat tiga lebih mudah dilakukan dengan koordinat
tabung. Sedangkan bila D memiliki simetri terhadap titik, maka
6.6
Koordinat Tabung, Koordinat Bola
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 39
perhitungan integral lipat tiga lebih mudah dilakukan dengan koordinat
bola. Pada subbab ini akan dijelaskan perhitungan integral lipat tiga
dengan menggunakan koordinat tabung atau koordinat bola.
Koordinat Tabung
Misalkan daerah D adalah daerah yang sederhana- yang dapat
dinyatakan sebagai
Dimana S adalah proyeksi D pada bidang- . Ingat kembali bahwa integral
lipat tiga untuk daerah D seperti ini adalah
.
Jika daerah S di bidang- adalah daerah yang lebih mudah dinyatakan
sebagi koordinat polar (Gambar 1), maka koor-dinat Cartesius
ditransformasikan menjadi koordinat tabung yang dihubungkan
melalui persamaan
Akibatnya, fungsi ditransformasikan menjadi
dan
Misalkan D adalah benda padat yang sederhana- dan S, proyeksi D pada
bidang- , adalah daerah yang sederhana- seperti pada Gambar 2. Jika
kontinu di D maka
Hal yang perlu diingat di sini adalah bahwa elemen volume dalam
koordinat Cartesius berubah menjadi
dimana adalah elemen luas pada koordinat polar.
Integrasi dengan koordinat polar sangat berguna untuk menghitung
volume benda putar.
x
y
z
P(r,θ,z)
θ
r z
Koordinat tabung
Gambar 1
Gambar 2
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 40
Contoh 1
Tentukan volume daerah yang dibatasi di bagian atas oleh , , di
bagian bawah oleh setengah bola , dan diselimuti oleh
silinder seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.
Penyelesaian
Untuk menentukan volume benda padat D menggunakan koordinat
tabung, mula-mula kita tentukan batas-batas integrasi terhadap .
Perhatikan garis vertikal merah yang sejajar dengan sumbu- pada
Gambar 3. Ujung-ujung garis vertikal merah merupakan batas-batas
integrasi terhadap . Jadi kita mengintegralkan terhadap z sepanjang
Atau
Selanjutnya kita tentukan batas-batas integrasi untuk . Perhatikan garis
warna kuning pada Gambar 3. Jari-jari bergerak dari ke
dengan besar sudut perputaran . Maka diperoleh
Gambar 3
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 41
with(student):
value(Tripleint(r,z=sqrt(9-r^2)..5,r=0..3,
theta=0..2*Pi));
Contoh 2
Sebuah benda padat seperti ditunjukkan pada Gambar 4 yang dibatasi di
atas oleh kerucut , dibatasi di bawah oleh , dan
diselimuti silinder memiliki kepadatan massa
. Tentukan massa benda padat tersebut.
Penyelesaian
Untuk menentukan massa benda padat D, kita menggunakan perhitungan
dengan koordinat tabung. Mula-mula kita tentukan batas-batas integrasi
terhadap . Perhatikan garis vertikal merah yang sejajar dengan sumbu-
pada Gambar 4. Ujung-ujung garis vertikal merah merupakan batas-batas
integrasi terhadap . Jadi kita mengintegralkan terhadap sepanjang
dan atau .
Selanjutnya kita tentukan batas-batas integrasi untuk . Perhatikan garis
warna kuning pada Gambar 4. Jari-jari bergerak dari ke
dengan besar sudut perputaran . Maka diperoleh
Gambar 4
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 42
Coba kalian ulangi pekerjaan pada Contoh 1 yakni menentukan volume
benda padat D dengan menggunakan benda padat D pada Contoh 2.
Coba kalian ulangi pekerjaan pada Contoh 2 yakni menentukan massa
benda padat D dengan menggunakan benda padat D pada Contoh 1 bila
kepadatan massanya .
Koordinat Bola
Jika daerah integrasi D simetri terhadap titik maka koordinat bola akan
lebih mudah untuk digunakan. Hubungan antara koordinat Kartesius
dengan koordinat bola diberikan sebagai:
Dengan mengubah integral berulang menjadi ,
kita peroleh integral lipat tiga dalam koordinat bola
Contoh 3
Tentukan volume benda padat D yang dibatasi oleh setengah bola
, setengah bola , bidang dan
bidang seperti yang ditunjukkan pada Gambar 5 berikut.
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 43
Penyelesaian
Untuk menentukan volume benda padat D dengan menggunakan
perhitungan koordinat bola, mula-mula kita tentukan batas-batas
integrasi terhadap . Perhatikan garis merah pada Gambar 5. Ujung-ujung
garis vertikal merah merupakan batas-batas integrasi terhadap .
Dari persamaan setengah bola diperoleh
Dari persamaan setengah bola diperoleh
Jadi kita mengintegralkan terhadap sepanjang dan .
Selanjutnya kita tentukan batas-batas integrasi untuk dan . Perhatikan
garis warna kuning pada Gambar 5. bergerak dari ke .
Sedangkan bergerak dari ke . Perhatikan garis warna
hijau pada Gambar 3. Maka diperoleh
Gambar 5
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 44
with(student):
value(Tripleint((rho^2)*sin(phi),rho=2..4,theta=0..Pi,phi=
0..Pi/2));
Contoh 4
Misalkan D adalah benda padat yang dibatasi oleh setengah bola
, silinder dan bidang seperti yang
ditunjukkan pada Gambar 6. Tentukan massa benda padat tersebut bila
kepadatan massanya atau
Penyelesaian
Untuk menentukan massa benda padat D dengan menggunakan
perhitungan dengan koordinat bola, mula-mula kita tentukan batas-batas
integrasi terhadap jari-jari . Perhatikan garis merah pada Gambar 6.
Ujung-ujung garis vertikal merah merupakan batas-batas integrasi
terhadap .
Dari persamaan silinder diperoleh
Gambar 6
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 45
Dari persamaan setengah bola diperoleh
Jadi kita mengintegralkan terhadap sepanjang dan .
Selanjutnya kita tentukan batas-batas integrasi untuk dan . Perhatikan
garis warna kuning pada Gambar 6. bergerak dari ke .
Sedangkan bergerak dari ke . Perhatikan garis warna hijau
pada Gambar 6. Maka diperoleh massa benda padat adalah
Coba kalian ulangi pekerjaan pada Contoh 4 yaitu menentukan massa
benda padat dengan menggunakan benda padat pada Contoh 3 bila
kepadatan massanya adalah .
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 46
Perubahan Peubah pada Integral Lipat
Pada Subbab 6.2 dan 6.6 kita telah melakukan transformasi koordinat
untuk melakukan integral lipat. Perubahan ini merupakan kasus khusus
saja, yaitu
koordinat Cartesius ke koordinat polar
koordinat Cartesius ke koordinat tabung
koordinat Cartesius ke koordinat bola
Pada bagian ini akan dipelajari transformasi koordinat yang lebih umum.
Transformasi dari Bidang- ke Bidang-
Misalkan kita akan menghitung
Perubahan variabel untuk integral lipat dua ini ditentukan oleh fungsi
kontinu terturunkan T dari bidang- ke bidang- , yaitu T
mengasosiasikan titik dengan melalui
dimana
dan .
Fungsi T adalah fungsi bernilai vektor dengan inputnya berupa vektor
juga, sehingga fungsi ini disebut transformasi dari ke . Titik
merupakan peta dari melalui transformasi T.
Jika tidak terdapat dua buah titik di bidang- yang memiliki peta yang
sama di bidang- maka T dikatakan trasformasi satu-satu. Dalam kasus
seperti ini, kita dapat menyatakan dan dalam dan , yaitu
dan
yang merupakan transformasi invers dari bidang- ke bidang- .
Transformasi dari Bidang- ke Bidang- , Perubahan Variabel pada Integral Lipat Dua, Perubahan Variabel pada Integral Lipat
Tiga
6.7
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 47
Perubahan Variabel pada Integral Lipat Dua
Hal-hal yang diperlukan untuk mengubah variabel pada integral lipat dua
adalah:
1. Fungsi terintegrasi
2. Diferensial
3. Daerah integrasi.
Perubahan integrasi ini dinyatakan pada teorema berikut
Contoh 1
Misalkan dan .
Tentukan dalam fungsi .
Penyelesaian
Kita akan menggunakan rumus :
untuk mendapatkan transformasi integral dalam fungsi sebagai
berikut
Mula-mula kita tentukan dulu nilai Jacobian seperti berikut
TEOREMA 6.2 Perubahan Variabel untuk Integral Lipat Dua Misalkan T adalah transformasi satu-satu dari ke yang memetakan daerah terbatas D di bidang- pada daerah terbatas R di bidang- . Jika T adalah , maka
dimana adalah determinan Jacobi yang bernilai
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 48
Maka
Bentuk di atas adalah bentuk yang sudah sering kita jumpai, yakni bentuk
integral dalam koordinat polar.
Misalkan dan Coba kalian tentukan bentuk
dalam fungsi .
Perubahan Variabel pada Integral Lipat Tiga
Teorema perubahan variabel untuk interal lipat dua dapat diperluas
untuk integral lipat tiga, bahkan untuk dimensi yang lebih tinggi. Misalkan
T adalah transformasi satu-satu dari ke yang memetakan daerah
terbatas D di bidang- ke daerah terbatas R di bidang- . Misalkan
pula
maka
dimana adalah determinan
Contoh 2
Misalkan , dan . Tentukan bentuk
dalam fungsi .
B A B 6 Integral di Rn
M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 49
Penyelesaian
Kita akan menggunakan rumus
untuk mendapatkan transformasi integral dalam fungsi sebagai
berikut
Mula-mula kita tentukan dulu nilai jacobian seperti berikut
Maka
Bentuk di atas adalah bentuk integral dalam koordinat silinder.
Coba kalian ulangi langkah transformasi di atas bila ,
, dan . Tentukan bentuk integralnya dalam
fungsi .