Integral Definida

CAPITULO VI

INTEGRAL DEFINIDA

6.1 La integral definida

Los dos conceptos fundamentales del clculo se desa-

rrollan a partir de ideas geomtricas relacionadas con

las curvas. La derivada nos lleva de la construccin de

tangentes a una curva; el tema de este captulo, la

integral definida, nos viene del clculo del rea de una

regin limitada por una curva. La integral, como la

derivada, encuentra muchas aplicaciones lejanas a sus

orgenes geomtricos.

Examinemos la funcin f(x) definida sobre el segmento

[a; b]. La figura AabB acotada por el segmento del eje

de abscisas, por los segmentos de las rectas verticales

x = a y x = b y por el grfico de la funcin dada se

llama trapecio curvilneo.

Definicin

Un trapecio curvilneo es el conjunto de los puntos de

un plano cuyas coordenadas x, y que satisfacen las

condiciones: a x b, 0 y f(x).

Vamos a partir el segmento [a; b] por los puntos

i

b ax a i

n

, i = 0, 1, 2, , n

en n segmentos de longitud igual [a; x1], [x1; x2], [x2;

x3], , [xn-1; b]. En cada uno de estos segmentos [xi-1; xi], vamos a escoger de un modo arbitrario un punto y

lo designamos por i; i [xi-1; xi]. Entonces la suma

1 1 2 2

1

( ) ( ) ... ( ) ( )n

n n i i

i

f x f x f x f x

donde xi = xi = xi-1, se llama suma integral de la fun-cin f(x). Es evidente que esta suma no depende de

cmo est partido el segmento [a; b] y de cmo estn

escogidos los puntos i.

Definicin

Si el lmite 1

lim ( )n

i in

i

f x

existe y no depende de la

opcin de los puntos i, esta funcin f(x) se llama inte-grable sobre el segmento [a; b] y el lmite se denomina

integral definida de la funcin f(x) sobre el segmento

[a; b] y se designa por ( )b

af x dx . Conforme a la defi-

nicin 1

( ) lim ( )n

b

i ia ni

f x dx f x

.

El lmite 1

lim ( )n

i in

i

f x

se denomina, habitualmente,

integral de Riemann y la funcin, para la cual el lmite

mencionado existe, se denomina integral segn Rie-

mann. Si la funcin f(x) es continua en [a; b], para ella

siempre existe el lmite 1

lim ( )n

i in

i

f x

.

Suele decirse tambin que una funcin continua en el

segmento [a; b] es integrable en l segn Cauchy.

Una funcin f(x), continua en el segmento [a; b], es

uniformemente continua en este segmento.

Sea la funcin f(x) continua en el segmento [a; b]. En-

tonces, para cualquier nmero positivo se puede indi-

car un > 0 tal que en todo segmento parcial [c; d] perteneciente al segmento [a; b], cuya longitud d c es

menor de , la oscilacin w de la funcin f(x) es menor

de .

INTEGRAL DEFINIDA

JOE GARCIA ARCOS

444

La funcin f(x) continua en el segmento [a; b] es inte-

grable en este segmento.

Se dice que el punto x est cubierto por un intervalo si

este punto pertenece a dicho intervalo.

Si la funcin f(x) est definida y acotada en el segmen-

to [a; b] y si para cualquier nmero positivo se puede indicar un nmero finito de intervalos que cubren

todos los puntos de discontinuidad de esta funcin y

cuya suma total de longitudes es menor de , entonces f(x) es integrable en el segmento [a; b].

La funcin f(x), acotada en el segmento [a; b] y que

tiene slo un nmero finito de puntos de discontinui-

dad, es integrable en este segmento. En particular, una

funcin continua a trozos en el segmento dado es inte-

grable en este segmento.

Es obvio que si la funcin f(x) es integrable en el seg-

mento [a; b] y la funcin g(x) se diferencia de la fun-

cin f(x) slo en un nmero finito de puntos, entonces

la funcin g(x) es tambin integrable en el segmento

[a; b] con tal que

( ) ( )b b

a af x dx g x dx .

6.1.1 Propiedades de la integral definida

A continuacin daremos las propiedades de la integral

definida:

1) Consideramos que

( ) 0a

bf x dx .

2) Consideramos que para a < b

( ) ( )a b

b af x dx f x dx .

3) Sean las funciones f(x) y g(x) integrables en el

segmento [a; b]. Entonces, las funciones f(x) + g(x),

f(x) g(x) y f(x)g(x) lo son tambin en este segmento con tal que

( ( ) ( )) ( ) ( )b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx .

4) Si la funcin f(x) es integrable en el segmento

[a; b], entonces la funcin kf(x) es integrable en este

segmento, con tal que

( ) ( )b b

a akf x dx k f x dx .

5) Sea la funcin f(x) integrable en el segmento [a; b].

Entonces, esta funcin es integrable en cualquier seg-

mento [c; d] comprendido en el segmento [a; b].

6) Sea la funcin f(x) integrable en los segmentos

[a; b] y [c; d]. Entonces, esta funcin es integrable en

el segmento [a; b] con tal que

( ) ( ) ( )b c b

a a cf x dx f x dx f x dx .

Si el punto c se halla fuera del segmento [a; b] , enton-

ces el segmento [a; b] es parte del segmento [a; c] o de

[c; b], y por eso, en virtud de la propiedad 5, la fun-

cin f(x) es integrable en [a; b]. Consideremos el caso

de a < b < c. Entonces,

( ) ( ) ( )b c c

a b af x dx f x dx f x dx .

A continuacin obtendremos algunas estimaciones para

las integrales definidas cuyas funciones subintegrales

verifican unas u otras condiciones.

1) Sea que la funcin f(x), integrable en el segmento

[a; b], es no negativa en este segmento. Entonces,

( ) 0b

af x dx .

2) Si la funcin f(x) es continua, no negativa y no es

idnticamente igual a cero en el segmento [a; b], enton-

ces,

( ) 0b

af x dx c .

3) Si las funciones f(x) y g(x) son integrables en el

segmento [a; b] y f(x) g(x) sobre todo el segmento, entonces,

INTEGRAL DEFINIDA

JOE GARCIA ARCOS

445

( ) ( )b b

a af x dx g x dx .

4) Sean las funciones f(x) y g(x) integrables en el

segmento [a; b] y sea g(x) 0. Entonces, si M y m son

cotas exactas de f(x) en el segmento [a; b], entonces,

( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a am g x dx f x g x dx M g x dx

6.2 Teoremas del valor medio para integrales

Teorema

Sea la funcin f(x) integrable en el segmento [a; b] y

sean m y M cotas exactas de f(x) en el segmento [a; b].

Entonces, existe un nmero que satisface las de-

sigualdades m M y tal que

( ) ( )b

af x dx b a .

La frmula del valor medio es vlida no solamente

para las integrales en las cuales el lmite inferior de

integracin es menor que el superior, sino tambin

para las integrales en las cuales el lmite inferior es

mayor que el superior.

En efecto, supongamos que la funcin f(x) satisface

todas las condiciones enunciadas. Entonces

( ) ( ) ( ) ( )a b

b af x dx f x dx b a a b .

Teorema

Sean las funciones f(x) y g(x) integrables en el segmen-

to [a; b], y sean m y M cotas exactas de f(x) en el seg-

mento [a; b]. Sea, adems, que la funcin g(x) 0

g(x) 0 en todo el segmento [a; b]. Entonces, existe un

nmero que satisface las desigualdades m M y tal que

( ) ( ) ( )b b

a af x g x dx g x dx .

En particular, si f(x) es continua en el segmento [a; b],

entonces en este segmento existe un nmero tal que

( ) ( ) ( ) ( )b b

a af x g x dx f g x dx .

Teorema

Si en el segmento [a; b] la funcin g(x) es montona y

f(x) es integrable, entonces en este segmento existe un

punto tal que

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b

a af x g x dx g a f x dx g b f x dx

.

Ejemplo

Los registros indican que, t horas despus de la media-

noche, la temperatura en el aeropuerto local era f(t) = -

0.3t2 + 4t + 10 C. Cul fue la temperatura media en

el aeropuerto entre las 09:00 y el medioda?

Solucin El objetivo es hallar el valor medio de f(t) en el interva-

lo 9 t 12. A partir de la frmula de la integral

12 2

9

1( 0.3 4 10)

12 9T t t dt

123 2

9

1 12 10

3 10t t t

1 864 729288 120 162 90 18,7

3 5 10

Por tanto la temperatura media es de 18,7 C.

Ejemplo

Despus de t meses en el trabajo, un empleado postal

puede clasificar correo a la razn de 0.5( ) 700 400 tQ t e cartas por hora. Cul es la razn

media a la que el empleado clasifica el correo durante

los 3 primeros meses en el trabajo?

Solucin

El objetivo es hallar el valor medio de Q(t) en el inter-

valo 0 t 3. A partir de la frmula de la integral

3 0.5

0

1(700 400 )

3 0

tQ e dt

3

0.5

0

1700 800

3

tt e

3

021

2100 800 0 800 492.83

e e

Por tanto la razn media es de 492.8 cartas por hora.

Ejemplo

La cantidad de bacterias presentes en cierto cultivo

despus de t minutos de un experimento era 0.05( ) 2000 tQ t e . Cul fue la cantidad media de bacte-

rias presentes durante los primeros 5 minutos del expe-

rimento?

Solucin

El objetivo es hallar el valor medio de Q(t) en el inter-

valo 0 t 3. A partir de la frmula de la integral

55 0.05 0.05

0 0

1 12000 40000

5 0 5

t tQ e dt e

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446

1

041

40000 40000 2272,25

e e

Por tanto la razn media es de 2272,2.

6.3 Teoremas fundamentales del clculo

Teorema

Sea la funcin f(x) integrable en cualquier segmento

que se contiene en el intervalo (a; b), y sea c un punto

fijado de este intervalo. Entonces, cualquiera que sea

el nmero x del intervalo (a; b), la funcin f(x) es inte-

grable en el segmento [c; x]. Por eso, en el intervalo (a;

b) est definida la funcin

( ) ( )x

cF x f t dt ,

que se denomina integral con lmite superior variable.

Teorema

Toda funcin f(x), continua en el intervalo (a; b), tiene

primitiva en este intervalo. Una de las primitivas es la

funcin

( ) ( )x

cF x f t dt

donde c es cualquier punto fijado del intervalo (a; b).

Poniendo en la ltima frmula primeramente x = a y,

despus, x = b y empleando la propiedad 1 de las

integrales definidas, hallamos

F(a) = K, ( ) ( )b

aF b f x dx K .

De estas igualdades se desprende la relacin

( ) ( ) ( )b

af x dx F b F a

llamada frmula principal del clculo integral.

A veces, la frmula ( ) ( ) ( )b

af x dx F b F a se escribe

de otra forma. A saber, la diferencia F(b) - F(a) se

denota por el smbolo ( )b

aF x . Entonces,

( ) ( )b b

aaf x dx F x .

6.4 Cambio de variable para la integral definida

Para calcular las integrales definidas, al igual que las

indefinidas, se emplea ampliamente el mtodo de

cambio de la variable de integracin.

Sea que se cumplen las siguientes condiciones:

a) La funcin f(x) es continua en el segmento [a; b];

b) El segmento [a; b] es conjunto de valores de una

funcin x = g(t) definida en el segmento c t d y que tiene derivada continua en este segmento:

c) g(c) = a, g(d) = b.

En estas condiciones es vlida la frmula

( ) ( ( )) ( )b d

a cf x dx f g t g t dt .

La frmula anterior muestra que si est calculada la

integral en el miembro izquierdo de esta frmula, est

calculada tambin la integral en el miembro derecho, y

viceversa.

Dicha frmula se denomina frmula del cambio de

variable para la integral definida.

Ejemplo Calcular las integrales:

a) 1

401

xdx

x ; b)

1

2

21

xe dx

x ; c)

1

0

xx ee dx .

Solucin

a) Hacemos que

1

2 201 ( )

xdx

x

hacemos que u = x2, entonces du = 2xdx. Reemplaza-

mos en la integral y obtenemos 1

1

200

1 1 1 11 0

2 2 2 2 81

duArcTanu ArcTan ArcTan

u

.

b) Haciendo

1

xu e , entonces

1

2

xe dxdu

x

1 21 1 1 1

2 2 2 2 1 2121 1

1

xx

e dxdu u e e e e e

x .

c) Haciendo xu e , entonces xdu e dx

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447

11 1 1

0 0 0 0

x xx e e x u ue dx e e dx e du e

1 01

0

xe e e ee e e e e .

6.5 Frmula de integracin por partes

Sea que las funciones u(x) y v(x) tienen derivadas

continuas en el segmento [a; b]. Entonces tiene lugar

la siguiente frmula de integracin por partes para las

integrales definidas:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b bb

aa au x v x dx u x v x v x u x dx .

Ya que v(x)dx = dv y u(x)dx = du, entonces esta

frmula se escribe tambin de otro modo: b bb

aa au dv uv vdu .

No es difcil cerciorarse de que estas frmulas son

vlidas. En efecto, la funcin u(x)v(x) es primitiva de

la funcin u(x)v(x) + v(x)u(x). Por eso:

[ ( ) ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( )]b b

aau x v x v x u x dx u x v x .

De aqu, empleando la propiedad 3 de las integrales

definidas, obtenemos las frmulas anteriores.

Ejemplo Calcular las integrales:

a) 3 3 2

11x x dx ; b)

2

1ln

eCos xdx

.

SOLUCION

a) Integrando por partes, tenemos

u = x2 du = 2xdx;

2 1dv x x dx

3

2 21

( 1)3

v x

33 3

3 3 2 2 2 22 21

1

1 11 ( 1) ( 1) 2

3 3x x dx x x x xdx

33 5

2 2 22 2

1

1 2( 1) ( 1)

3 15x x x

33

2 22

1

1( 1) (3 2)

15x x

3 32 2 2 22 2

1 1(3 1) (3 3 2) (1 1) (3 1 2)

15 15

464 2

15 .

b) Integrando por partes 2 veces, tenemos

u = Coslnx lnSen xdx

dux

;

dv = dx v = x

22

11

lnln ln

ee xSen xdx

Cos xdx xCos xx

2

1ln ln

exCos x Sen xdx

.

u = Senlnx lnCos xdx

dux

;

dv = dx v = x

22

1 1ln ln ln

eeCos xdx xCos x Sen xdx

2

1ln ln ln

exCos x xSen x Cos xdx

2 2

112 ln ln ln

e eCos xdx xCos x xSen x

22

11

ln ( ln ln )2

ee x

Cos xdx Cos x Sen x

2 22 2

1ln ( ln ln )

2

e eCos xdx Cos e Sen e

21 1 1

( ln1 ln1)2 2 2

Cos Sen e

.

INTEGRAL DEFINIDA

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448

6.6 Trmino residual de la frmula de Taylor

Apliquemos la frmula

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b bb

aa au x v x dx u x v x v x u x dx

para deducir la frmula de Taylor de la funcin f(x)

con trmino residual en forma integral. Sea que la

funcin f(x) tiene en un -entorno del punto a derivada continua de (n + 1)-simo orden y sea x cualquier

punto dado del -entorno. Cerciormonos de que el nmero

( 1)1

1( ) ( )( )

!

x n nn a

R x f t x t dtn

.

es trmino residual de la frmula de Taylor para la

funcin f(x) con centro de desarrollo en el punto a. De

este modo, la frmula anterior representa el trmino

residual de la frmula de Taylor para la funcin f(x) en

forma integral.

Para demostrarlo, observemos que

( ) ( ) ( )x

af x f a f t dt .

Apliquemos la frmula de integracin por partes a la

integral ( )x

af t dt , poniendo

u(t) = f (t) y v(t) = -(x t) ya que x es fijado, vdt = dt. Tenemos

( ) ( )( ) ( )( )x xx

aa af t dt f t x t f t x t dt

Poniendo la expresin hallada para ( )x

af t dt en la

frmula anteriormente aducida de f(x), obtenemos

( ) ( ) ( )( ) ( )( )x

af x f a f a x a f t x t dt .

A la integral ( )( )x

af t x t dt puede aplicarse tambin

la frmula de integracin por partes, poniendo

u(t) = f (t) y 21

( ) ( )2

v t x t ya que x es fijado,

vdt = (x t)dt. Despus de hacer transformaciones no complicadas, hallamos

2 ( ) ( )( ) ( )2!

x

a

f af t x t dt x a

21 ( )( )2!

x

af t x t dt

y por eso

2( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1! 2!

f a f af x f a x a x a

21 ( )( )2!

x

af t x t dt .

Luego hacemos la integracin por partes hasta que

obtengamos la frmula ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ... ( )1! !

nnf a f af x f a x a x a

n

( 1)1 ( )( )!

x n n

af t x t dt

n

.

Esta frmula muestra que Rn+1(x) es realmente trmino

residual de la frmula de Taylor para la funcin f(x)

con centro de desarrollo en el punto a. Empleando la

forma integral ( 1)

1

1( ) ( )( )

!

x n nn a

R x f t x t dtn

del

trmino residual de la frmula de Taylor en forma de

Lagrange. Utilizando precisamente la forma generali-

zada de la frmula del valor medio obtenemos ( 1)

( 1)1

1 ( )( ) ( )( ) ( )

! !

nx xn n n

n a a

fR x f t x t dt x t dt

n n

( 1) 1 ( 1)

1( )( ) ( ) ( )( 1)! ( 1)!

xn n n

n

a

f x t fx a

n n

.

La expresin obtenida es el trmino residual en forma

de Lagrange.

6.6.1 Tarea

1) Identifique cada lmite como la integral definida de una funcin continua apropiada sobre un intervalo:

a) 1

1 1lim

1

n

ni

in

n

;

b)

1

1 1lim

11

n

ni

b

bni

n

;

c) 1

1lim

inn

ni

en ;

d)

4

51

1lim

n

ni

in ;

e) 1

lim

binn

ni

be

n

;

f)

( )

1

lim

b a inn

ni

b ae

n

;

g)

21

lim( )

n

ni

n

n i ;

h)

2

31

lim( )

n

ni

n

n i .

INTEGRAL DEFINIDA

JOE GARCIA ARCOS

449

2) Calcular las integrales:

a) 1 2 2

30 4

1 1

1

x xdx

x

;

b)

3 23

41

2 1x xdx

x

;

c)

20

(1 )Senx dx

Cos x

;

d) 5

3 (1 )

dx

x x ;

e) 2

2

4

( )Cosx Senx dx

Senx

;

f)

10

31 (1 2 )

dx

x x x ;

g) 3

342 (1 )

dx

x x ;

h)

27

0 3 31

x dx

x ;

i)

5

2

1 1

1 1

x xdx

x x

;

j) 16

0 9

dx

x x ;

k)

1

2 20 ( 1)

xdx

x ;

l)

21

0

( )x x

x x

a b dx

a b

;

m) 4 2

4

2

( 1)

1

x x dx

x

;

n)

22

22

( 5 6)

4

x x dx

x

;

o)

3

0 2 3(1 )

dx

x ;

p) 2 55 2

05x x dx ;

q)

10

5 1 1

dx

x x ;

r)

3

242 (1 )

dx

x x ;

s) 20

Tanx dx

Cos x

;

t) 3

10

40

( 1)

4 1

x dx

x x

;

u)

23

20

(3 2 3 )

2 3

x dx

x

;

v) ( )Tanx Cotx dx

Senx

;

w)

0

(1 )Senx dx

x Cosx

;

x)

5

1 1 1

dx

x x .


a) 0 42

SenxCosxdx

Sen x

;

b)

35

1

1 ln x dx

x

;

c)

2

( )Senx Cosx dx

Senx Cosx

;

d)

3

42 2

4

dx

Sen xCos x

;

e) 2

1

01

x

x

e dx

e ;

f)

20 1

dx

Cos x

;

g)

1

01x

dx

e ;

h)

22

2

4 2

Cos xdx

Cos x

;

i) 10

1 21

dx

x x ;

j)

3

41 2 24 1

dx

x x ;

k)

2

xdx

Sen x

;

l) 1 2

1ln( 1 )x x dx

;

m)

1

21 2

4

ArcSenxdx

x ;

n)

2

x

Sen xdx

e

;

o) 5

0 2( 1) 1

dx

x x ;

p)

1 421 4

21

x dx

x ;

q) 3

3

31

(1 )x dx

x x

;

r)

3

43 4 2

4(1 )

dx

x ;

s)

210

21

(1 )

(1 )

x dx

x x

;

t)

23

21

1x dx

x

;

u) 3

1 2( 1) 2

dx

x x x ;

v)

3

42

4

xCosxdx

Sen x

;

w) 2

1

1 21

x dx

x

;

x)

23 6 82

dx

x x .


a) 0

Senx Cosx dx

;

b) 0

1

2Cosx dx

;

c)

ln(1 2)

0 24

Coshxdx

Senh x

;

d)

2

60

Sen xdx

Cosx

;

e) ln3

0xCoshxdx ;

f)

210

2 2 2

x dx

x ;

g)

23

23

2

1

x Sen xdx

x ;

h)

2

05Cos xCosxdx

;

i) 330

2Cos xSen xdx

;

j) 1

1xArcTanxdx

;

k) 2ln 2

ln 2 1xdx

e ;

l)

2

21

dx

x x ;

INTEGRAL DEFINIDA

JOE GARCIA ARCOS

450

m) 20

xe Cosxdx

;

n) 40

( )

1

x Senx dx

Cosx

;

o) 2

4

4

Sen xdx

Cosx

;

p)

3

1

2 3

9 4

x x

x x

dx

;

q) 0

12 5x x dx

;

r)

ln 2 2

0Tanh xdx ;

s)

1

2 20 (1 )

xdx

x ;

t)

1

0 21 x

dx

e ;

u) 10

0 1

dx

x ;

v)

1 3 2

11x x dx

;

w)

3

2 21

dx

Senh xCosh x ;

x)

1

11 xdx

e .


a) 5 30

dx

Sen xCos x

;

b) 2

(ln )e

eCos x dx

;

c) 3

21

ArcTanxdx

x ;

d)

15

32

32

dx

Tanx

;

e) 42 4

8

dx

Sen xCos x

;

f) 41

Senxdx

Senx

;

g) 42

4

xdx

Cos x

;

h)

21 3

dx

Cos x

;

i) 1

0 3 31

dx

x ;

j)

3

5 3

Sen xdx

Cos x ;

k) 4

1

dx

Tanhx

;

l)

3 54

3

4

Cos xdx

Sen x

;

m) 11 2 22

dx

Senh xCosh x ;

n)

2

21 2x xdx

e e ;

o)

21 25

dx

SenhxCosh x ;

p)

20 2 3

dx

Cos x

;

q)

3

8

82

dx

SenxSen x

;

r) 8

2

(1 )

1

Tanx dx

Tanx

;

s) 24 4

2

2Cos xdx

Cos x Sen x

;

t) 22

4(1 )

dx

Tanx Sen x

;

u) 0

2ln 20 2x xdx

e e ;

v)

ln3

ln31 xe dx

;

w)

2

6

Cos xdx

Sen x ;

x)

2 20

dx

Senh x Cosh x

.

6) Demostrar que para todo x real

2 2

0

2( ) ( )

3

xt t dt x x x .

7) Una funcin f(x) es continua para cualquier x y

satisface la ecuacin

2

0

1 1( ) 2 2

2 2

xf t dt x xSen x Cos x .

Para todo x. Calcular 4

f

y 4

f

.

8) Encontrar una funcin f(x) y un valor de la cons-

tante c, para toda x real, tal que

1( )

2

x

cf t dt Cosx .

9) Existe una funcin f(x) definida y continua para

todo nmero real x que satisface una ecuacin de la

forma 16 18

1 2

0( ) ( )

8 9

x

x

x xf t dt t f t dt c

donde c es una constante. Encontrar una frmula ex-

plcita para f(x) y hallar el valor de la constante c.

10) Encontrar una funcin f(x) y un valor de la cons-

tante c, para toda x real, tal que

21( )2

x

ct f t dt Senx xCosx x .

11) Una funcin f(x) est definida para todo x real por

la frmula

20

(1 )( ) 3

2

x Sent dtf x

t

Sin intentar el clculo de esta integral, hallar un poli-

nomio cuadrtico p(x) = a + bx + cx2 tal que p(0) = f(0),

p(0) = f (0) y p(0) = f (0).

12) Determinar un par de nmeros a y b para los cua-

les

1

2 20

( ) 3

2( 3 2)

ax b dx

x x

.

13) Sea 40

( ) nf n Tan xdx

donde n 1. Demostrar

que:

a) ( 1) ( )f n f n ;

INTEGRAL DEFINIDA

JOE GARCIA ARCOS

451

b) 1

( ) ( 2)1

f n f nn

, si n > 2;

c) 1 1

2 ( )1 1

f nn n

, si n > 2.

14) Designar por k el valor de la integral

20 ( 2)

Cosxdx

x

y calcular la siguiente integral en funcin de k

20 1

SenxCosxdx

x

.

15) Sea 1

0 1

xe dxA

x

. Expresar los valores de las si-

guientes integrales, por medio de la integral A:

a) 1 1

xa

a

e dx

x a

; b)

2

1

20 1

xxe dx

x ; c)

1

20 ( 1)

xe dx

x ;

d) 1

0log(1 )xe x dx .

16) Demostrar que:

a) 2 3

3

03! 1

2! 3!

x t x xx xt e dt e x e

;

b) 0

( 1)x t x xt e dt e x e ;

c)

22

02! 1

2!

x t x xxt e dt e x e

.

17) Verificar que el teorema del valor medio es vlido

para la funcin f(x) = x2, en el intervalo [0; 1].

18) Calcular la integral definida de la funcin

1, 0 1( )

4 2 , 1 2

xf x

x x

.

19) Un objeto se mueve de manera que su velocidad

despus de t minutos es 5 + 2t + 3t2 metros por minuto.

Qu distancia recorrer el objeto durante el segundo

minuto?

20) Un estudio indica que dentro de x meses la pobla-

cin de cierta ciudad aumentar a la razn de 5 + 3x2/3

personas por mes. Cunto crecer la poblacin en los

prximos 8 meses?

21) Se estima que la demanda de petrleo crece expo-

nencialmente a una razn del 20% anual. Si en la actua-

lidad la demanda de petrleo es 60000 millones de

barriles por ao, cunto petrleo se consumir durante

los prximos 10 aos?

Integral Definida

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