Integral Autores: Sílvia Maria Medeiros Caporale João Paulo Rezende Karine Angélica de Deus...
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IntegralAutores:
Sílvia Maria Medeiros CaporaleJoão Paulo Rezende
Karine Angélica de DeusColaboradores:
José Antônio Araújo Andrade Marielle Aparecida Silva
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Uma ideia intuitiva do conceito de integral pode surgir de um procedimento simples, porém
engenhoso, desenvolvido por Arquimedes na Grécia Antiga.
O cálculo de áreas de figuras planas pode ser trivial, quando se trata de uma figura
conhecida como um quadrado, por exemplo.
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O problema é que em diversas situações temos que calcular áreas de superfícies totalmente irregulares como essa que vocês vêem.
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?É possível fazer isso?
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Arquimedes resolveu esse problema, aproximando a área da figura irregular à soma de áreas de figuras
conhecidas.
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No nosso exemplo, utilizaremos o quadrado. Sobrepondo diversos quadrados sobre a figura dada, podemos dizer que
sua área se aproxima da soma das áreas de todos os quadrados inscritos na figura.
Mas parece que nossa
aproximação não é das melhores.
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Porém, se reduzirmos o tamanho dos quadrados, podemos
perceber que a aproximação fica
um pouco, melhor.
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Procedendo assim,
sucessivamente, pode-se obter
uma aproximação tão precisa quanto
se queira.
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Procedendo assim,
sucessivamente, pode-se obter
uma aproximação tão precisa quanto
se queira.
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Veremos adiante, o quanto esse procedimento pode nos ser útil para compreendermos a idéia
intuitiva de Integral definida. Mas antes, vejamos um exemplo que norteará nossas discussões.
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Singapore Flyer, 165 metros de altura.
Diversas situações cotidianas podem ser descritas através de uma relação ou modelo matemático.
O ato de encontrar esse modelo, que pode ser uma equação ou uma função, se chama modelagem.
Imagine um carro, ao longo de uma estrada, se movendo com uma velocidade constante.
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Sabendo que a velocidade é a taxa de variação da distância com relação ao tempo,
t
SVV m
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Sabendo que a velocidade é a taxa de variação da distância com relação ao tempo,
podemos encontrar modelos, que descrevem a distância percorrida, analisando o comportamento da velocidade.
t
SVV m
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Sabendo que a velocidade é a taxa de variação da distância com relação ao tempo,
podemos encontrar modelos, que descrevem a distancia percorrida, analisando o comportamento da velocidade.
t
SVV m
Isolando o ∆S, teremos:
tVS .
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Suponha que esse carro esteja a uma velocidade constante de e viaja, com a mesma
velocidade, por .
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Suponha que esse carro esteja a uma velocidade constante de e viaja, com a mesma
velocidade, por .
Nesse caso, qual seria a distância percorrida por este carro?
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Suponha que esse carro esteja a uma velocidade constante de e viaja, com a mesma
velocidade, por .
Nesse caso, qual seria a distância percorrida por este carro?
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Suponha que esse carro esteja a uma velocidade constante de e viaja, com a mesma
velocidade, por .
Nesse caso, qual seria a distância percorrida por este carro?
Tempo (s) 1 2 3 4
Velocidade (m/s) 20 20 20 20
Logo, a distância percorrida por esse carro:
tVS .
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Vejamos o gráfico dessa situação...
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Observe que a distância percorrida é exatamente
a área da figura sob o gráfico, logo:
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???
?E quando a velocidade
não for constante?
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É interessante analisarmos essa situação pois, normalmente os carros tem velocidades que variam de acordo com o tempo.
Voltemos ao nosso exemplo: Imagine que depois dos quatro
segundos, nosso carro aumente a cada instante de tempo sua
velocidade em
Tempo(s)
1 2 3 4 5 6 7 8
Velocidade(m/s)
20 20 20 20 24 28 32 36
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Tempo (s)
1 2 3 4 5 6 7 8
Velocidade(m/s)
20 20 20 20 24 28 32 36
Assim, a velocidade entre4 e 8 segundos será dado pela
expressão:
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Vejamos o gráfico dessa situação...
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Observe que a distância percorrida é exatamente
a área da figura sob o gráfico, logo:
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???
? E se carro frear?
O quê irá acontecer?
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Como calcular a distância percorrida,
ou seja, como determinara área sob o gráfico?
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Área de um polígono inscrito.
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Isto nos sugere fazer tender a largura dos retângulos a zero e assumir a área sobre o gráfico
como um valor limite da soma das área .
Vejamos:
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Seja o número de subintervalos que dividimos
,ou seja , para nosso caso.
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Dessa forma, a largura dos retângulos é dado por:
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Podemos aumentar cada vez mais a quantidade de
subintervalos (n)
e assim, teremos que a área será o limite das
aproximações daárea
quando os subintervalos (n) crescem sem parar.
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Logo, a área sob a curva é dada por:
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Integral definida
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Resolver a Integral definida acima é encontrar uma função F(x) cuja derivada resulta na f(x), e substituir em F(x), x = b
e x = a.
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Voltemos a situação-problema do carro:
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Sabe-se que o espaço percorrido é dado pela área sob a curva é essa por sua vez é calculada por:
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