PROGRAMA DERIVADA POR DEFINICION Y REGLADEL TRAPECIO COMPUESTO

Ivan Rene Alvarez Forero, Danyela Alejandra LuengasUniversidad Distrital Francisco Jos de Caldas, Facultad de Ciencias y Educacin

Grupo de Fsica computacional

ResumenEste documento muesta el proceso del programa de derivada y integral deuna funcion evaluada, los programas se llevan a cabo mediante root, lo quese hace es explicar los programas y como compilarlos.

Palabras clave: Integral, Derivada, Programa, ROOT.

ndice

INTRODUCCIN 1

METODOS DE DERIVADA Y INTEGRAL 1Derivada Por Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Regla Del Trapecio Compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

PROGRAMACION EN ROOT 2Codigo del Programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Explicacion del Codigo y Compilacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

ndice de figuras

ndice de tablas

INTRODUCCIN

Este programa se quiere mostrar un metodo de derivada y integral de una funcionevaluadas, y a su ves ver la programacion de los metodos en ROOT, y asi mismo la funciony como se hicieron y como se compila el programa en la terminal.

METODOS DE DERIVADA Y INTEGRAL

Derivada Por Definicion

Derivada de una funcin

INTEGRAL Y DERIVADA 2

Considerando la funcin f definida en el intervalo abierto I y un punto a fijo en I, setiene que la derivada de la funcin f en el punto a se define como sigue:

f(a) = lmh0

f(h + a) f(h a)h

(1)

si este lmite existe, de lo contrario, f, la derivada, no est definida. Esta ltima expresincoincide con la velocidad instantnea del movimiento continuo uniforme acelerado encinemtica.

Aunque podran calcularse todas las derivadas empleando la definicin de derivadacomo un lmite, existen reglas bien establecidas, conocidas como teoremas para el clculode derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de muchas funciones de acuerdo a suforma sin tener que calcular forzosamente el lmite. Tales reglas son consecuencia directade la definicin de derivada y de reglas previas, como puede apreciarse en todo buen textode clculo infinitesimal.

Tambin puede definirse alternativamente la derivada de una funcin en cualquierpunto de su dominio de la siguiente manera:

f(a) = lmxa

f(x) f(a)x a (2)

La cual representa un acercamiento de la pendiente de la secante a la pendiente dela tangente ya sea por la derecha o por la izquierda segn el signo de a . El aspecto de estelmite est relacionado ms con la velocidad instantnea del movimiento uniformementeacelerado que con la pendiente de la recta tangente a una curva.

No obstante su aparente diferencia, el clculo de la derivada por definicin concualquiera de los lmites anteriormente expresados, proporciona siempre el mismo resultado.

Regla Del Trapecio Compuesto

La regla del trapecio compuesta o regla de los trapecios es una forma de aproximaruna integral definida utilizando n trapecios. En la formulacin de este mtodo se suponeque f es continua y positiva en el intervalo [a,b]. De tal modo la integral definida: b

af(x)dx (3)

representa el rea de la regin delimitada por la grfica de f y el eje x, desde x=a hastax=b. Primero se divide el intervalo [a,b] en n subintervalos, cada uno de ancho

x = a bn

(4)

Despus de realizar todo el proceso matemtico se llega a la siguiente frmula: baf(x)dx h2 [f(a) + 2f(a + h) + ... + f(b)] (5)

Dondeh = b a

n(6)

INTEGRAL Y DERIVADA 3

y n es el nmero de divisiones. La expresin anterior tambin se puede escribir como:

baf(x)dx b a

n(f(a) + f(b)2 +

n1k=1

f(a + kb an

)) (7)

PROGRAMACION EN ROOT

Codigo del Programa

# include # include # include

using namespace std;

const double xMin = 0.0;const double xMax = 2.0;const int N = 100;const double x0 = 0.5;

double fun(double x) {return x*x;}

double defPaso(double max, double min, int n) {double Dx;Dx = (max - min)/(double)n;return Dx;}

double deriv(double x01, double h1)double dfdx;dfdx = fun(x01 + h1) - fun(x01 - h1);dfdx = dfdx/(2.0*h1);return dfdx;

void trapecio() {double h = defPaso(xMax, xMin, N);double x = xMin;double xn=xMax;double fx, fx1 ,dfdx, fxf, Sum;

fx1=fun(xMin)/2.0;

INTEGRAL Y DERIVADA 4

fxf=fun(xn);fxf=fxf/2.0;

for (int i = 0; i