Integracion de Funciones Trigonometric As

Universidad Peruana Los Andes

“Año del Centenario de Machu Picchu para el Mundo”

UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES

Facultad de IngenieríaCarrera de Ingeniería Industrial

TEMA : INTEGRACION POR PARTES

CURSO : ANALISIS MATEMATICO II

DOCENTE : Ing. GOMEZ MORALES, GUSTAVO

ALUMNA : ELIZABETH CURILLA AMACIFUEN

CICLO : II

TURNO : MAÑANA

LIMA - PERU 2011

Análisis Matemático II Página 1


INTEGRACION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Si se tuviera que hallar la función primitiva, de una potencia entera y

positiva de un seno o de un coseno tales como:

(a) I = f senm x dx

(b) I = f cosm x dx

Se calculan expresiones como éstas transformándolas potencias de

senos y cosenos como una suma de senos y cosenos de los múltiplos del

arco x.

Para estos casos debemos de recordar las fórmulas trigonométricas

siguientes:

cos2 A = - 1+cos2 A

2 (1)

sen2 A = 12 -

12 cos A (2)

Multiplicando ambos miembros.de la expresión (1), por cos A se tiene:

cos3 A = cos A2 +

14 cos 3A +

14 cos A

cos3 A = 34 cos A +

14 cos 3ª

En la misma forma hallaremos cos4 A, cos5 A, cos6 A….. cosm A

Multiplicando ambos miembros de la expresión (2), por sen A se tiene:



sen3 A = sen A2 -

12 cos 2A sen A

De donde: sen3 A = sen A - cos2 A sen A

Así podemos hallar: sen4 A, sen5 A, sen6 A….. senm A

Después de analizar el procedimiento anterior, podemos escribir:

1º. Si m es par, se debe emplear las formulas (2) y (1)

2º.si m es impar, se debe emplearse el integrando en la forma siguiente

I = ∫ (senm−1 x ). sen x dx

I = ∫ (cosm−1 x ). cos x dx

Como las expresiones senm−1 x y cosm−1 x son potencias pares del seno y

coseno de x, podemos escribir:

senm−1 x = (sen2 x ¿m−12 = (1 - cos2 x ¿

m−12

cosm−1 x = (Cos2 x¿m−12 = (1 - sen2 x ¿

m−12

Entonces las expresiones (3) y (4) se transformaran en:

I = ∫ (1 - Cos2 x¿m−12 sen x dx

I = ∫ (1 - sen2 x ¿m−12 cos x dx

Desarrollando las potencias indicadas obtenemos integrales

inmediatos.

Ejemplo 1º

Calcular la integral I = ∫ sen5 x dx'

De acuerdo a lo expuesto anteriormente:



I = ∫ (sen2x)2 sen x dx

I = ∫ (1 - cos2 x)2 sen x dx

I = ∫ (1 - 2 cos2 x + cos4 x) sen x dx

I = ∫ sen x dx - 2 ∫ cos2 x sen x dx +

+ ∫ cos4 x sen x dx

I = - cos x + 23 co s3 x - co s

5 x5

+ C.

Ejemplo 2º

Calcular la integral: I = ∫ sen4 x dx

Sabemos que: sen2 x = 12 -

12 cos 2x. Luego:

I = ∫ ( 12 -

12 cos 2x ¿2 dx

I = 14 ∫ ( 1 – 2 cos 2x + cos2 x ) dx

I = 14 ∫ dx -

12 ∫ cos 2x dx +

14 ∫ (

12 +

cos4 x2 ) dx

I = x4 –

sen2 x4 +

x8 +

132 sen 4x + C

Simplificando se obtiene:

I = 3x8 –

sen2 x4 +

sen 4 x32 + C

En el caso que la integral general presente la forma:

I = ∫ senm A senm, a cosn A dA



Siendo m y n exponentes enteros positivos

Distinguimos dos casos:

1°.- Cuando uno de los dos exponentes es impar o cuando ambos son

impares el cálculo es particularmente-simple, pues, si se tiene por

ejemplo:

I = ∫ senm A cos2 p+1 A dA

Esta integral puede escribirse en la forma:

I = ∫ senm A cos2 pA dA sen A =

I = ∫ senm A (cos2 AP d senA) =

I = ∫ senm Á (1 - sen2 A)P d sen -A.

Donde podemos hacer sen A = u

I = ∫ um

( 1 - u ) 2 d u

Efectuando esta integración se reemplaza u = sen A encontrándose la

función primitiva pedida.

2°.- Si ninguno de los exponentes m y n es impar, habrá que sustituir senm

A y cosn A por sus expresiones, ya sea en función de senos y cosenos de

los múltiplos de A, ya sea en funciones exponenciales imaginarias.



PROBLEMAS RESUELTOS

1. Calcular la integral:

I = ∫ cos2 2x.sen3 2x (1 - cos2 2x)dx

I = ∫ cos2 2x.sen 2x dx - ∫ cos4 2x.sen 2x dx

I = - co s32x6

+ co s52x10

+ C

Solución:

I = 130 (3 cos5 2x - 5 cos3 2x) + C


I = ∫ sen2/3 3x.cos5 3x dx

Resolución: La expresión podemos escribirla:

I = ∫ sen2/3 3x (1-sen2 3x)2 cos 3x dx

I = ∫ sen2/3(l+sen4 3x-2 sen2 3x) cos 3x dx

I = ∫ sen2/3 3x (cos 3x) dx +

+ ∫ sen14/3 3x cos 3x dx-2 ∫ sen8/ 3 3x cos 3x dx

I = 15 sen5/3 3x +

117

- sen17/3 3x - 2

11 — sen11/3 3x + C

Solución:

I = 15 sen5 /3 3x ⌈

57se n43 x+1−10

11sen23 x ⌉ + C




I = ∫ sen3 3x dx

Resolución.- Tenemos:

I = ∫ (1 - cos2 x2

) s e n x2

d x

I = ∫ sen x2 dx - ∫ cos2 x

2 + 23

co s3 x2

+ c


I = ∫ co s34 xse n34 x

dx

Resolución.- Tenemos:

I = ∫ sen−3/2 4x. co s3 4x dx

I = ∫ sen−3/2 4x (1 - sen2 4x). cos 4x .dx

I = ∫ sen−3/24x. cos 4x dx –

- ∫ sen1 /2 4x. cos 4x dx

I = -1/2 sen−1/2 4x – 1/6 sen3 /2 4x + c

Solución:

I = 3+se n24 x

6√sen 4 x + C


Resolución.- Sabemos que:

Cos 2x = 2 cos2 x – 1; luego

I = ∫ ¿(2co s2 x+1)

cos x dx = 2 ∫ cos dx - ∫ sec x dx



Solución:

I = 2 sen x – log (sec x + tag x ) + c


I = ∫ sen x. sen 2x dx

Resolución.-

I = 2 ∫ sen2 x.cos x dx

I = 2/3 sen3 x + c


I = ∫ (tag ax + cotag ax ¿2dx

Resolución.- Efectuando operaciones indicadas:

I = ∫ (tag2 ax + cotag2 ax + 2) dx

I = ∫ sec2 ax dx + ∫ cosec2 ax dx

I = 1a tag ax -

1a cotag ax + c

Solución:

I = 1a(tag ax – cotag ax) + C


I = ∫ (sec 2x + tag 2x ¿2. dx

Resolución: Efectuando operaciones indicadas:

I = ∫ (sec2 2x + tag2 2x + 2 tag 2x.sec 2x) dx

I = 2 ∫ sec2 2x dx - ∫ dx + 2 ∫ tag 2x sec 2x dx



I = tag 2x – x + sec 2x + C



Solución:

I = tag 2x + sec 2x – x + C


I = ∫ cose c33 x−cota g33 x

cosec 3 x−cotag 3 x . dx

Resolución.-

I = ∫ ¿¿

I = ∫ cose c2 3x dx + ∫ cosec 3x cotag 3x dx + ∫ cotag2 3x dx

I = 2 ∫ cose c2 3x dx + ∫ cosec 3x.cotag 3x dx - ∫ dx

Solución:

I = -2/3 cotag 3x -1/3 cosec 3x – x + c


I = ∫ (tag2 ½ x – cotag2 ½ x) dx

Resolución:

I = ∫ (sec2 ½ x – 1 – cosec2 ½ x + 1) dx

I = ∫ sec2 x2 dx - ∫ cose c2

x2 dx

Solución:

I = 2 tag ½ x+ 2 cotag ½ x + c


I = ∫ cos5 (2x – 1 ) dx



Resolución.-

I = ∫ [1−se n2(2x−1)]2. Cos (2x -1) dx

I = ∫ [1+sen4 (2x−1 )−2 se n2(2x−1)] cos (2x-1) dx

I = ∫ cos (2x-1) dx + ∫ sen4 (2x-1) cos (2x-1) dx-2 ∫ sen2 (2x-1)

cos (2x-1) dx

Solución:

I = ½ sen (2x-1) + 1/10 sen5 (2x-1) – 1/3 sen3 (2x-1) + C


I = ∫ (sen 1/3 x + cos 1/3 x)3 dx

I = sen3 1/3 xdx + 3 ∫ sen2 1/3 x cos 1/3 xdx + ∫ cos2 1/3 x.sen

1/3 x dx + ∫ cos 1/3 x dx

I = ∫ (1 – cos2 1/3 x) sen 1/3 x d x + 3 ∫ sen2 1/3 x.cos 1/3 x dx +

3 ∫ cos2 1/3 sen 1/3 dx +∫ (1 – sen2 1/3 x) cos 1/3 x dx

I = ∫ sen 1/3 x dx + 2 ∫ cos2 1/3 x sen 1/3 x sen 1/3 x dx

+ ∫ cos 1/3 dx + 2 ∫ sen2 1/3 cos 1/3 x dx

I = 3 cos 1/3 x – 2 cos3 1/3 x + 3 sen 1/3 x + 2 sen3 1/3 x + C

Solución:

I = 3 (sen x3−cos x3 )+2(sen3 x3−cos3 x3 ) + C


I = ∫ tag3 x3 dx



Resolución:

I = ∫ (sec2 1/3 x – 1) tag 1/3 x dx

I = ∫ tag 1/3 x sec2 1/3 x dx - ∫ tag 1/3 x dx

Solución:

I = 3/2 tag2 1/3 x + 3 log cos 1/3 x + C


I = ∫ sec4 (3x + 2) dx

Resolución:

I = ∫ sec2 (3x + 2) sec2 (3x + 2) dx

I = ∫ [1 + tag2 (3x + 2)] . sec2 (3x + 2) dx

I = ∫ sec2 (3x + 2) dx + ∫ tag2 (3x + 2) . sec2 (3x + 2) dx

Solución:

I = 13 tag (3x + 2) +

19 tag3 (3x + 2) + C


I = ∫ tag 32 x . sec2

32 x dx =

29 .tag2

32 x + C

Solución:

I = 29 tag2

32 x + C


I = ∫ sec4 2x . √ tag2 x dx



Resolución:

I = ∫ (1 + tag2 2x) sec2 2x √ tag2 x dx

I = ∫ √ tag2 x sec2 2x dx + ∫ tag5/2 2x sec2 2x dx

I = 13 tag3/2 2x +

17 tag7/2 2x + C

Solución:

I = 13 tag3/2 2x +

17 tag7/2 2x + C


I = ∫ cosec6 x4 dx

Resolución:

Sabemos que:

cosec2 x4 = 1 + cotag2

x4 ; luego:

I = ∫ (1+ cotag2 x4 ¿2. cosec2

x4 dx

I = ∫ cosec2 x4 dx – 2 ∫ cotag2

x4 cosec2

x4 .dx + ∫ cotag4

x4 . cosec2

x4 dx

I = - 4 cotag x4 -

83 cotag3

x4 -

45cotag5

x4 + C

Solución:

I = -4 cotag x4 (1+

23 cotag2

x4 +

15 cotag4

x4 ) + C


I = ∫ cotag5 (x + 2) dx



Resolución:

I = ∫ cotag3 (x + 2). Cotag2 (x + 2) dx

I = ∫ cotag3 (x + 2) [cosec2 (x + 2) - 1] dx

I = ∫ cotag3 (x + 2).cosec2 (x + 2) dx - ∫ cotag3 (x + 2) dx

I = ∫ cotag3 (x + 2) . cosec2 (x + 2) dx - ∫ cotag (x + 2) . cosec2 (x + 2)

dx + ∫ cotag (x + 2) dx

Solución:

I = Log.sen (x + 2) + 12 cotag2 (x + 2) -

14 cotag4 (x + 2) + C


I = ∫ cotag2 2x3 . cosec4

2x3 dx

Resolución:

I = ∫ cotag2 2x3 (1 + cotag2

2x3 ) . cosec2

2x3 . dx

I = ∫ cotag2 2x3 cosec2

2x3 dx + ∫ cotag4

2x3 . cosec2

2x3 dx

Solución:

I = - 110 cotag3

2x3 (5 + 3 cotag2

2x3 ) + C


I = ∫ tag4 ax dx

Resolución:

I = ∫ (sec2 ax – 1) tag2 ax dx



I = ∫ sec2 ax tag2 ax.dx - ∫ tag2 ax dx

I = 13a tag3 ax - ∫ sec2 ax dx + ∫ dx

Solución:

I = 13a tag3 ax -

1a tag ax + x + C


I = ∫ cota g3ax

cosec ax dx

Resolución.- Sabemos que

cotag2ax = cosec2 ax – 1 ; luego:

I = ∫ (cose c2ax−1 )cotagax

cosec ax dx

I = ∫ cosec ax. cotag ax dx - ∫ cos ax dx

Solución:

I = - 1a (cosec ax + sen ax ) + c


I = ∫ tag3 x3 . sec

x3 dx

Resolución:

I = ∫ (sec2 x3 - 1) tag

x3 sec1/3

x3 dx

I = ∫ sec7/3 x3 tag

x3 dx - ∫ tag

x3 sec1/3

x3 dx



Solución:

I = 97 √ sec x3 (sec2

x3 - 7) + C


I = ∫ sen2 (3x+1) dx

Resolución.- Sabemos que

sen2 (3x+1) = 1−cos (3 x+1)

2 ; luego

I = ∫ 1−cos2(3x+1)

2 dx

I = 12 ∫ dx -

12 ∫ 2(3x + 1) dx

Solución:

I = X2 -

112 sen (6x + 2) + C


I = ∫ cos2 (2 – 3x) dx

Resolución: Se sabe que:

cos2 (2 – 3x) = 1+cos(4−6 x)

2

I = ∫ cos (4−6 x )+1

2 . dx

I = 12 ∫ cos (4 – 6x) dx +

12 ∫ dx

Solución:

I = x2− 112 . sen (4 – 6x) + C




I = ∫ (sen 2x – cos 2x)2 dx

Resolución:

I = ∫ (sen2 2x + cos2 2x – 2 cos 2x . sen 2x) dx

I = ∫ dx – 2 ∫ sen 2x . cos 2x dx

I = x + 14 cos 4x + C


I = ∫ sen2 3x.cos2 3x dx

Resolución.-

I = ∫ ( 1−cos 6 x2 )(1+cos6 x2 ) dx

I = 14 ∫ dx –

18 ∫ dx –

18 ∫ cos 12x dx

Solución:

I = x8 -

196 sen 12x


I = ∫ cos4 x2 dx

Resolución.-

Se sabe que: cos2 A = 1+cos2 A

2



I = ∫ ¿ dx

I = 14 ∫ (1 + cos2

2x2 2 cos

2x2 ) dx +

12 ∫ cos x dx

I = 14 ∫ dx

18 ∫ dx +

18 ∫ cos 2x dx + ½ ∫ cos x dx

Solución:

I = 3x8 +

sen2 x16 +

sen x2 + C


I = ∫ sen4 x . cos2 x dx

Resolución:

I = ∫ ( 1−cos 2x2 )( 1+cos2 x2 )dx

I = 18 ∫ (1 + cos2 2x – 2 cos 2x) (1 + cos 2x) dx

I = 18 ∫ (1 + cos3 2x – cos2 2x) dx

I = 18 ∫ dx -

18 ∫ cos 2x dx -

18 ∫ ( 1+cos 4 x2 )dx +

18 ∫ (1 – sen2 2x) cos 2x

dx

I = ∫ dx16 - ∫

cos4 x16 - ∫

cos2 x .dx8 + ∫

cos2 xdx8

−18 ∫ sen2 2x . cos 2x dx

Solución:

I = 1/16 x – 1/64 sen 4x – 1/48 sen3 2x + C




I = ∫ √co s2 x+1 sen 2x . dx

Resolución.- vemos que:

- sen 2x es la derivada de (cos2 x + 1 )

Luego:

I = ∫ √cos2 x+1 . sen 2x dx = - 23√ (cos2 x+1 )3 + C

Solución:

I = – 2/3 √ (co s2 x+1 )3 + C


I = ∫ ( sen 2xsen x− cos2xcos x )dx

Resolución:

I = ∫ 2 sen x .cos x

sen x dx - ∫ cos2 x

cos x dx + ∫ cos

2 xcos x

dx

I = 2 ∫ cos x dx - ∫ cos x dx + ∫ sec x dx - ∫ cos x dx

I = 2 ∫ cos x dx – 2 ∫ cos x dx + ∫ sec dx

Solución:

I = Log (sec x + tag x) + C


I = ∫ cos2x

cos x+sen xdx

Resolución: Multiplicando y dividiendo por la conjugada del

denominador tenemos:



I = ∫ cos2 x ¿¿¿ dx

I = ∫ cos2 x ¿¿¿ dx

I = ∫ (cos x – sen x) dx

I = ∫ cos x dx - ∫ sec x dx

Solución:

I = sen x + cos x+ C


I = ∫ sen ax . cos bx dx

Resolución:

Transformando en suma: A+B2 = ax;

A−B2 = bx

De donde: A = x (a + b); B = x (a – b). Luego:

I = 12 ∫ 2 sen ax . cos bx dx

I = 12 ∫ (sen (a + b)x + sen (a – b)x) dx

I = 12 ∫ sen (a + b) x dx +

12 ∫ sen (a – b) x dx

Solución:

I = - 12 [ cos (a+b ) x

a+bcos (a−b ) xa−b ] + C




I = ∫ sen ax . sen bx . dx

Resolución:

A + B = 2ax; A – B = 2bx

De donde: A = (a + b) x; B = (a – b) x. Luego:

I = -12 ∫ - 2 sen ax . sen bx . dx

I = - 12 ∫ [cos (a + b) x – cos (a – b) x] dx

I = - 12 ∫ cos (a + b) x dx +

12 ∫ cos (a – b) x dx

I = - 12 [ sen (a+b ) x

(a+b)+ 12sen (a−b ) x

(a−b) ] + C

Solución:

I = 12 [ sen (a+b ) x

a+b−sen (a−b ) xa−b ] + C


I = ∫ sen (2x + 3) . cos (2x – 3) dx

Resolución:

Sea: A + B = 2 (2x + 3); A – B = 2 (2x – 3)

De donde: A = 4x; B = 6

I = 12 ∫ 2 sen (2x + 3) . cos (2x – 3) dx

I = 12 ∫ (sen 4x + sen 6) dx

I = 12 ∫ sen 4x dx +

12 sen 6 dx



Solución:

I = - cos4 x8

+ 12 x . sen 6 + C


I = ∫ sen x.sen2x. sen 3x.dx

(Examen de aplazados sección “D”, 1959)

Resolución.- sea:

A + B = 6x ; A – B = 4x

De donde: A = 5x ; B = x

I = - 12 ∫ (cos 5x – cos x ) sen x dx

I = - 14 ∫ 2 cos 5x.sen x dx +

12 ∫ cos x. sen x dx

I = - 14 ∫ (sen 6x – sen 4x) dx +

12 sen ∫ cos x.sen x dx

I = - 14 ∫ sen 6x dx +

14 ∫ sen x dx +

12 ∫ cos x .sen x dx

Solución:

I = cos6 x24 –

cos4 x16 –

cos2 x8 + c


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