Integração Numérica – Regras de Newton-Cotes · Integração Numérica – Regras de...
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração Numérica – Regras de Newton-Cotes
primitivaro polinómio
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b
n h
a a
I f f x d x p x d x I f
= ≈ =
Aproximar a função integranda por um polinómio interpolador, utilizando para nós deinterpolação os extremos do intervalo e nós igualmente espaçados no interior do intervalo
n=0 (interpolação grau zero) – regras do rectângulo à esquerda, à direita e do ponto médio
( )( ) ( )hI f b a f a= − ⋅
a b
f(x)
Ih(f)
a b
f(x)
Ih(f)
( )( ) ( )hI f b a f b= − ⋅ ( ) ( )2h
a bI f b a f + = − ⋅
a b
f(x)
Ih(f)
(a+b)/2
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração Numérica – Regras de Newton-Cotesn=1 (interpolação linear) – regra do trapézio
[ ]( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2h
f a f b b aI f b a f a f b+ − = − ⋅ = ⋅ +
a b
f(x)
Ih(f)
(a+b)/2
p(x)
a b
f(x)
Ih(f)
p(x)
n=2 (interpolação quadrática) – regra de Simpson
( ) 4 (( ) / 2) ( )( ) ( )6
( ) 4 ( )6 2
hf a f a b f bI f b a
b a a bf a f f b
+ ⋅ + + = − ⋅ − + = ⋅ + ⋅ +
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração Numérica – Dedução da regra de Simpsonn=2 (interpolação quadrática) – Formula de Lagrange
0 2 0 11 22 0 1 2
0 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1
2 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )h hh h h h
x x x x x x x xx x x xp x y y yx x x x x x x x x x x x
−− −
− ⋅ − − ⋅ −− ⋅ −= + +− ⋅ − − ⋅ − − ⋅ −
x0IIa
x2IIb
f(x)
Ih(f)
x1
p(x)
h h
0 2 0 11 22 0 1 22 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )2 2
b b b b
h
a a a a
x x x x x x x xx x x xI f p x dx y dx y dx y dxh h h
− ⋅ − − ⋅ −− ⋅ −= = + +−
0 2 0 11 22 0 1 22 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 2
x x x x x x x xx x x xp x y y yh h h
− ⋅ − − ⋅ −− ⋅ −= + +−
0 2 0 11 22 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2
? ? ?b b b
a a a
x x x x x x x xx x x x dx dx dxh h h
− ⋅ − − ⋅ −− ⋅ − = = =−
= ⋅ + ⋅ + ⋅2 0 0 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )p x y L x y L x y L x
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Integração Numérica – Dedução da regra de SimpsonIntroduzindo a variável auxiliar z = x – x1 (z é a distância a x1)
x0IIa
x2IIb
x1
h h
3 2 321 2
2 2 2 2 2
3 32 2 20 2
2 2 2 2 2
0 12
( ) ( ) ( ) 1 1 1 2( ) ( )
2 2 2 2 3 2 2 3 3
( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 4 4( ) ( )
3 3 3
( ) ( )2
b h h h
ha h h
b h h h
ha h h
x x x x z z h z z h h hdx dz z zh dzh h h h h
x x x x z h z h z h hdx dz z h dz zhh h h h h
x x x x dxh
+
−− −
+
−− −
− ⋅ − ⋅ −= = − = × − = × =
− ⋅ − + ⋅ −= = − = − × − = × =− − −
− ⋅ − =
3 2 3
22 2 2 2
( ) 1 1 1 2( ) ( )
2 2 2 3 2 2 3 3
b h h h
ha h h
z h z z z h h hdz z zh dzh h h h
+
−− −
+ ⋅ = + = × + = × =
0 1 01 1
2 1 2
x x z x x z hz x x x z x
x x z x x z h− = + − = +
= − = + − = + − = −
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Integração Numérica – Dedução da regra de SimpsonPelo que
x0IIa
x2IIb
f(x)
Ih(f)
x1
p(x)
h h
= = =
− ⋅ − − ⋅ −− ⋅ −= = + +−
0 2 0 11 22 0 1 22 2 2
/3 4 /3 /3
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
2 2
b b b b
h
a a a a
h h h
x x x x x x x xx x x xI f p x dx y dx y dx y dxh h h
2 0 1 24
( ) ( )3 3 3
b
h
a
h h hI f p x dx y y y= = + +
0 1 24 ( )
( )6 6 6
( ) ( ) 4 ( )6 2
h
h
b a b a b aI f y y y
b a a bI f f a f f b
− × − −= + +
− + ⇔ = × + × +
Finalmente, atendendo a que h=(b – a)/2, resulta
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Integração Numérica – Regras de Newton-Cotes
0 1
0 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ , ,..., , ] ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ , ,..., , ] ( ) ( )
n n n nb b b b b
n h n n n
a a a a a
f x p x E x f x p x f x x x x W x
f x d x p x d x E f x d x p x d x f x x x x W x d x
≈ → = − = ⋅
≈ → = − = ⋅
Para calcularmos o erro associado a cada regra de Newton-Cotes podemos integrar o erro daaproximação efectuada
Em face do valor deste integral é possível deduzir uma expressão específica para cada umadas regras
Trapézio:
Ponto médio:
Simpson:
31''( ) ( )
24hE f b aξ= ⋅ ⋅ −
31''( ) ( )
12hE f b aξ= − ⋅ ⋅ −
51''''( ) ( )
2880hE f b aξ= − ⋅ ⋅ −
ξ ∈[ , ]a b
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Tabela com algumas regras de Newton-Cotes
Ponto médio ( )= − × +( ) ( ) ( ) / 2hI f b a f a b 3 (2)1( ) ( )
24hE b a f ξ= ⋅ − ⋅
Trapézio
Simpson
3/8 (de Simpson)
Boole
3 (2)1( ) ( )
12hE b a f ξ= − ⋅ − ⋅
5 (4)1( ) ( )
2880hE b a f ξ= − ⋅ − ⋅
7 (6)1( ) ( )
1935360hE b a f ξ= − ⋅ − ⋅
−= + × =, ( )i i ib aa a i f f a
na0 a1 a2 an•••
a bn+1 pontos
[ ] ( )− × + ×= −= +0 1( ) ( )2
( )2h
b aI f fb a f a b ff
( )−= × + +0 1 2( ) 46h
b aI f f f f
5 (4)1( ) ( )
6480hE b a f ξ= − ⋅ − ⋅( )−= × + + +0 1 2 3( ) 3 38h
b aI f f f f f
( )−= × + + + +0 1 2 3 4( ) 7 32 12 32 790h
b aI f f f f f f
21( ) '( )
2hE b a f ξ= ± ⋅ − ⋅Rectânguloà esquerda, à direita = − × = − ×( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( )h hI f b a f a I f b a f b
Nota: Algumas formulas de ordem superior exibem pesos negativos, facto considerado indesejável
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Regra do trapézio corrigidaO polinómio interpolador pode interpolar também derivada(s) da função. O caso mais usualé considerar uma interpolação de Hermite utilizando para nós os extremos do intervalo [a,b]
Aproximando a função a integrar por um polinómio de Hermite, com informação da funçãoe da primeira derivada, considerando para nós de interpolação os pontos extremos dointervalo resulta,
5 (4)1( ) ( )
720hE b a f ξ= ⋅ − ⋅
A formula possui dois termos: um termo que tem os valores dafunção, e que é idêntico à regra do trapézio, e um termo que têm osvalores das derivadas. O termo das derivadas pode ser entendidocomo uma correcção ao termo que têm os valores da função. Poressa razão a regra designa-se por regra do trapézio corrigida
Regra do Trapézio corrigida (polinómio interpolador de grau 3)
a b
f(x)
Ih(f)
p(x)[ ] [ ]2
( ) ( ) (( )
( ) ( )12
)2
' 'hb aI f f a b a f a ff b b−+ ⋅ −−= ⋅ +
A expressão do erro correspondente é,
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Regras de Integração
Mudança de variável para o intervalo [–h, +h]: ( )ξ
ξ ξ ξ+
−
= = ⋅ II( ) ( ) ( ) ( )
dxd
b h
a h
I f f x dx f x J d
Transformação linear:
ξ ξξ
− + −= + = =( ) ,2 2 2
b a b a dx b ax Jh h d ha b x-h +h ξ
Se o Jacobiano for constante: ( )ξ ξ+
−
−= = ( ) ( ) ( )2
b h
a h
b aI f f x dx f x dh
Se f(x) for um polinómio de grau ≤ n, i.e., f(x) = pn(x),então f(x(ξ )) também é um polinómio de grau ≤ n(na variável ξ ), i.e., f(x(ξ )) = pn(ξ )
( )ξ ξ+
−
−= = ( ) ( )2
b h
n n
a h
b aI f p x dx p dh
Exemplo: ( ) ( )ξ ξ ξ ξ ξ+ +
− −
− −= = + = + + 5 1 1
22 2
1 1 1
5 1 5 1( ) 2 3 4 12 9
2 2I f x dx d d
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Regras de Integração com pontos dispostos simetricamente
Num intervalo simétrico (em relação à origem) se a função for impar (anti-simétrica):
Se a função for impar e se a regra de integração tiver pontos dispostos simetricamente emrelação à origem e se os pesos dos pontos dispostos simetricamente forem iguais:
( )ξ ξ+
−
= =( ) 0
h
h
I f f d
ξ ξ ξ ξ= − + − + +1 1 2 2 2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )hI f A f A f A f A f
[ ] [ ]ξ ξ ξ ξ= × − + + × − +1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )A f f A f f
= × + × =1 20 0 0A A
Ou seja, se a função for impar e se a regra tiver pesos iguais para os pontos dispostossimetricamente, então o valor obtido pela regra é igual ao valor exacto
-h
-ξ1 ξ2
h
ξ1
0
-ξ2
-h
h0
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Integração Numérica – Grau de uma regraUma regra diz-se de grau n se integrar sem erro todos os polinómios de grau ≤n e existirpelo menos um polinómio de grau n+1 que não é integrado exactamente.
ξ= − ⋅ − ⋅31( ) ''( )
12hE b a f
Exemplos:
Da análise (da ordem da derivada) da expressão doerro, constata-se que funções de grau 1 (logo comsegunda derivada nula) são integradas sem erro e quefunções de grau 2 (logo com segunda derivada nãonula) são integradas com erro, logo a regra do trapéziotem grau 1
a b
f(x)
Ih(f)
p(x)
Regra do Trapézio (polinómio interpolador de grau 1)
Atendendo ao grau do polinómio interpolador, a regraintegra (pelo menos) funções lineares.
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Integração Numérica – Grau de uma regra
Regra do ponto médio (polinómio interpolador de grau 0)
Contudo, da análise (da ordem da derivada) daexpressão do erro, constata-se que funções de grau 1(logo com segunda derivada nula) são integradas semerro e que funções de grau 2 (logo com segundaderivada não nula) são integradas com erro, logo aregra do ponto médio tem grau 1
Exemplos (cont.):
ξ= ⋅ − ⋅3 (2)1( ) ( )
24hE b a f a b
f(x)
Ih(f)
(a+b)/2
a b
f(x)
Ih(f)
(a+b)/2
Atendendo ao grau do polinómio interpolador, a regraintegra (pelo menos) funções constantes.
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração Numérica – Grau de uma regra
Regra de Simpson (polinómio interpolador de grau 2)
Contudo, da análise (da ordem da derivada) daexpressão do erro, constata-se que funções de grau 3(logo com quarta derivada nula) são integradas semerro e que funções de grau 4 (logo com quartaderivada não nula) são integradas com erro, logo aregra do ponto médio tem grau 3
Exemplos (cont.):
ξ= − ⋅ − ⋅5 (4)1( ) ( )
2880hE b a fa b
f(x)
Ih(f)
(a+b)/2
p(x)Atendendo ao grau do polinómio interpolador, a regraintegra (pelo menos) funções quadráticas.
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Dedução alternativa da regra de Simpson
1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) (0) ( ) ( )
h
h
h
I f f x d x A f h A f A f h I f
+
−
= ≈ ⋅ − + ⋅ + ⋅ =
Nota: Devido à linearidade do operador integral, se a regra integrarsem erro os monómios 1, x, x2, ..., xn, então integra sem erro todosos polinómios de grau ≤ n
Exercício: a) Deduzir o valor dos pesos Ai de modo à regra seguinte ter o maior grau possível.
Resolução:
Temos 3 incógnitas (A1, A2, A3)
→ necessitamos de 3 equações
2 20 1 2 0 1 2( ) ... 1 ...n n
n n np x dx a a x a x a x dx a dx a x dx a x dx a x dx= + + + + = + + + +
b) Indicar o grau da regra e a expressão do erro.
1 2 3
( ) ( ) ( )
( ) ( ) (0) ( )
h
h
h
I f f x d x
I f A f h A f A f h
+
−
=
= ⋅ − + ⋅ + ⋅
–h h
f(x)
Ih(f)
0
p(x)
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Dedução alternativa da regra de Simpson
( ) 1f x = →
1 2 3 1 2 3
( ) ( ) ( ) 1 ( ) 2
( ) ( ) (0) ( )
h h
h
h
h h
h
I f f x d x d x x h
I f A f h A f A f h A A A
+ +
+
−
− −
= = = = = ⋅ − + ⋅ + ⋅ = + +
1 2 3 2A A A h + + =
( )f x x= →
2
1 2 3
1 2 3
( ) ( ) ( ) ( ) 02
( ) ( ) (0) ( )( ) 0
h h h
hh h
h
xI f f x d x x d x
I f A f h A f A f hA h A A h
+ + +
−− −
= = = == ⋅ − + ⋅ + ⋅
= ⋅ − + ⋅ + ⋅
1 3 1 30A h A h A A − ⋅ + ⋅ = =
2( )f x x= →
32 3
1 2 32 2 2
1 2 3
2( ) ( ) ( ) ( )3 3
( ) ( ) (0) ( )
( ) 0
h h h
hh h
h
xI f f x d x x d x h
I f A f h A f A f h
A h A A h
+ + +
−− −
= = = == ⋅ − + ⋅ + ⋅= ⋅ − + ⋅ + ⋅
2 2 3
1 3 1 32 23 3
A h A h h A A h ⋅ + ⋅ = + =
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Dedução alternativa da regra de SimpsonResulta o sistema de 3 equações lineares (a 3 incógnitas)
1 2 3
1 3
1 3
2
23
A A A h
A A
A A h
+ + =
=
+ =
Solução 1 3
2
26
246
hA A
hA
= = = ×
Ou seja,
3( )f x x= →
( ) ( ) ( )
43
3 3
( ) ( ) ( ) ( ) 04
2( ) 4 06
2 4 0 06
h h h
hh h
h
xI f f x d x x d x
hI f f h f f h
h h h
+ + +
−− −
= = = =
= × − + × +
= × − + × + =
Grau da regra de Simpson
Pelo modo como foi construída, a regra tem (pelo menos) grau 2. Terá grau 3?
( ) ( ) ( )
1 2 3( ) ( ) (0) (
2(
)
) 4 06
h
hhI f f h f
I f A f h A f A f h
f h
= ⋅ − +
= − + × +
⋅ + ⋅
( ) 0 ( )hI f I f = = , pelo que tem grau 3
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Dedução alternativa da regra de Simpson
4( )f x x= →
( ) ( ) ( )
5 54
54 4
2( ) ( ) ( ) ( )5 5
2( ) 4 06
2 44 06 6
h h h
hh h
h
x hI f f x d x x d x
hI f f h f f h
h hh h
+ + +
−− −
= = = =
= − + × +
= + × + =
5 52 4( ) ( )5 6 hh hI f I f = =≠
Terá grau 4?
pelo que não tem grau 4, ouseja a regra de Simpson temgrau 3
Qual a expressão do erro?
A aplicação da regra a um polinómio de grau 3 não origina erro, mas a um polinómio degrau 4 já origina. Então a expressão do erro será do tipo, E = C . f(4)(ξ)
Qual o valor de C?
Se f(x)=x4, então f(4)=24, pelo que E = 24C.5 5
52 4 4Por outro lado, ( ) ( )5 6 15hh hE I f I f h= − = − = −
5 54 1Então, 24 (2 )15 2880
C h C h= − = − 5 (4)1resultando, (2 ) ( )2880
E h f ξ= −
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Tabela com algumas regras de Newton-Cotes
Ponto médio ( )= − × +( ) ( ) ( ) / 2hI f b a f a b 3 (2)1( ) ( )
24hE b a f ξ= ⋅ − ⋅
Trapézio
Simpson
3/8 (de Simpson)
Boole
3 (2)1( ) ( )
12hE b a f ξ= − ⋅ − ⋅
5 (4)1( ) ( )
2880hE b a f ξ= − ⋅ − ⋅
7 (6)1( ) ( )
1935360hE b a f ξ= − ⋅ − ⋅
−= + × =, ( )i i ib aa a i f f a
na0 a1 a2 an•••
a bn+1 pontos
[ ] ( )− × + ×= −= +0 1( ) ( )2
( )2h
b aI f fb a f a b ff
( )−= × + +0 1 2( ) 46h
b aI f f f f
5 (4)1( ) ( )
6480hE b a f ξ= − ⋅ − ⋅( )−= × + + +0 1 2 3( ) 3 38h
b aI f f f f f
( )−= × + + + +0 1 2 3 4( ) 7 32 12 32 790h
b aI f f f f f f
21( ) '( )
2hE b a f ξ= ± ⋅ − ⋅Rectânguloà esquerda, à direita = − × = − ×( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( )h hI f b a f a I f b a f b
Nota: Algumas formulas de ordem superior exibem pesos negativos, facto considerado indesejável
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração Numérica – Regras de Gauss
nós deinterpola ão
1ç
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b N
n i i h
ia a
I f f x d x p x d x A f x I f↑
=
= ≈ = ⋅ = Em Newton-Cotes os nós de interpolação estão definidos “à partida” (nós equidistantes), oque limita o grau de exactidão da regra de integração
Regras de integração
Regras de integração de Gauss - Nas regras de Gauss a posição dos nós de interpolação éescolhida “do melhor modo possível”
Dispomos de 2N parâmetros (os valores dos pesos Ai e a localização dos pontos xi)
Os pesos e a localização são parâmetros
a definir
1
( ) ( )i
i
N
h i i
i Ax
I f A f x=
= ⋅
→ a regra terá grau 2N – 1
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Regra de Gauss com 2 pontos
1
1 1 2 2
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )hI f f x d x A f x A f x I f
+
−
= ≈ ⋅ + ⋅ =
Nota: Devido à linearidade do operador integral, se a regra integrar sem erro os monómios1, x, x2, ..., xn, então integra sem erro todos os polinómios de grau ≤ n
Exercício: a) Deduzir o valor dos pesos Ai e a localização das abcissas xi de modo à regraseguinte ter o maior grau possível.
Resolução:
Temos 4 incógnitas (A1, A2, x1, x2)
→ necessitamos de 4 equações
2 20 1 2 0 1 2( ) ... 1 ...n n
n n np x dx a a x a x a x dx a dx a x dx a x dx a x dx= + + + + = + + + +
b) Indicar o grau da regra.
1
1
1 1 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )h
I f f x d x
I f A f x A f x
+
−
=
= ⋅ + ⋅
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Regra de Gauss com 2 pontos
( ) 1f x = →
1 1
1
1
1 1
1 1 2 2 1 2
( ) ( ) ( ) 1 ( ) 2
( ) ( ) ( )h
I f f x d x d x x
I f A f x A f x A A
+ +
+
−
− −
= = = = = ⋅ + ⋅ = +
1 2 2A A + =
( )f x x= →
1 1 12
11 1
1 1 2 2 1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) 02
( ) ( ) ( )h
xI f f x d x x d x
I f A f x A f x A x A x
+ + +
−− −
= = = = = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅
1 1 2 2 0A x A x ⋅ + ⋅ =
2( )f x x= →
1 1 132
11 1
2 21 1 2 2 1 1 2 2
2( ) ( ) ( ) ( )
3 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( )h
xI f f x d x x d x
I f A f x A f x A x A x
+ + +
−− −
= = = = = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅
2 21 1 2 2
2( ) ( )
3A x A x ⋅ + ⋅ =
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Regra de Gauss com 2 pontos
3( )f x x= →
1 1 143
11 1
3 31 1 2 2 1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) 04
( ) ( ) ( ) ( ) ( )h
xI f f x d x x d x
I f A f x A f x A x A x
+ + +
−− −
= = = = = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅
3 31 1 2 2( ) ( ) 0A x A x ⋅ + ⋅ =
Resulta o sistema de 4 equações não lineares (a 4 incógnitas)
1 2
1 1 2 2
2 21 1 2 2
3 31 1 2 2
2
0
2( ) ( )
3
( ) ( ) 0
A A
A x A x
A x A x
A x A x
+ =
⋅ + ⋅ =
⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =
Solução 1 2
1 2
1
13
A A
x x
= =
− = =
Ou seja, = × − + × += ⋅ + ⋅
1 1 2 2( ) ( ) ( )1 1
( ) 1 13 3hh I fI f A f x A ff x f
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Regra de Gauss com 2 pontos
4( )f x x= →
1 1 154
11 1
4 4
2( ) ( ) ( ) ( )
5 5
1 1 1 1 1 1 2( ) 1 1
9 9 93 3 3 3h
xI f f x d x x d x
I f f f
+ + +
−− −
= = = =
= × − + × = − + = + =
2 2( ) ( )
5 9 hI f I f = =≠
Grau da regra de Gauss com 2 pontos
Pelo modo como foi construída, a regra tem (pelo menos) grau 3.
Terá grau 4?
pelo que não tem grau 4, ou seja a regrade Gauss com 2 pontos tem grau 3
→ as regras de Gauss com N pontos tem grau 2N – 1
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Comparação da regra do trapézio com regra de GaussTrapézio (2 pontos)
[ ]( ) ( ) ( )2h
b aI f f a f b−= ⋅ +
a b
f(x)
Ih(f)
a b
f(x)
Ih(f)
x1 x2
Gauss com 2 pontos1 1 2 2( ) ( ) ( )hI f A f x A f x= ⋅ + ⋅
Para [ , ] [ 1, 1]
1 1( ) 1 1
3 3h
a b
I f f f
= − +
= × − + × +
Grau 1
Grau 3
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Regras de Gauss-Legendre
Para Gauss-Legendre os pesos Ai e a localização dos pontos xi encontra-se tabelado para ointervalo [a,b]=[–1,+1].
1
( ) ( ) ( ) ( )
b N
i i h
ia
I f f x dx A f x I f=
= ≈ ⋅ =
( )I
1 1
11 1
(
I
)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dx
b N
i i h
a
F
di
I f f x dx f x J d F d A F I f
ξ
ξ
ξ ξ ξ ξ ξ ξ+ +
=− −
= = ⋅ = ≈ ⋅ =
Para utilizarmos a informação das tabelas é necessário efectuar uma mudança de variávelpara o intervalo [–1,+1],
Mudança de variável para o intervalo [–1,+1]
1 1( ) ,
2 2 2dx b ax a b Jd
ξ ξξξ
− + −= × + × = =a b x-1 +1 ξ
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Regras de Gauss-Legendre no intervalo [-1,+1]
Nº de pontos, N
1
( ) ( )N
h i i
i
I f A F ξ=
= ⋅
O erro associado às formulas de Gauss-Legendre (com N pontos) é,
Abcissas ξi Pesos Ai
1 0 2
2 1 3± 1
3 ±
0
3 / 58 95 9
η η+= × − × = ∈+ ×
42 1 (2 )
3
( !)( ) ( ) , , [ , ]
(2 1) ((2 )!)N N
h N NNE C b a f C a b
N N
4(3 2 6 / 5) / 7
(3 2 6 / 5) / 7
± −
± +
(18 30) 36
(18 30) 36
+
−
ξ ξ+
−
= 1
1
( ) ( )I f F d
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Regras de Gauss – regra de Gauss-LobattoAs regras de Gauss são uma família de regras, à qual a regra de Gauss-Legendre pertence.
↑=
= ≈ ⋅ =escolher a melhor
localização poss v l1
í e
( ) ( ) ( ) ( )
b N
i i h
ia
I f f x dx A f x I f
Existem outras regras de Gauss, pertencentes a esta família
Gauss-Legendre
Gauss-Legendre-Lobatto – regra de Gauss-Legendre que inclui os nós extremos do intervalo
↑=
⋅= ≈ × =+ ⋅ +escolher a melhor
loca1
lização possível
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
b N
i i h
ia
I f f x dx A f x IA a B f b ff
Os coeficientes A, B, Ai e a posição dos pontos xi são parâmetros a determinar
Nota: Para 2 pontos a regra de Gauss-Lobatto é idêntica à regra do trapézio e para 3 pontosé idêntica à regra de Simpson
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
[ ] [ ]ξ ξ+
−
⋅ − + + ⋅ − + += ≈ + =1
1
10 ( 1) ( 1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )) hI f f x d x IA A f ff ff
Exercício: a) Deduzir o valor dos pesos A0 e A1 e a localização da abcissa ξ de modo à regraseguinte ter o maior grau possível.
Resolução:Temos 3 incógnitas (A0, A1, ξ )
→ necessitamos de 3 equações
b) Indicar o grau da regra.
[ ] [ ]ξ ξ
+
−
=
= ⋅ − + + ⋅ − +
1
1
0 1
( ) ( ) ( )
( ) ( 1) (1) ( ) ( )h
I f f x d x
I f A f f A f f
( ) 1f x = →[ ] [ ]ξ ξ
+ +
+
−
− −
= = = == ⋅ − + + ⋅ − + == ⋅ + + ⋅ + = +
1 1
1
1
1 1
0 1
0 1 0 1
( ) ( ) ( ) 1 ( ) 2
( ) ( 1) (1) ( ) ( )
(1 1) (1 1) 2 2h
I f f x d x d x x
I f A f f A f f
A A A A
1 2 1A A + =
Regra de Gauss-Lobatto com 4 pontos
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
2( )f x x= →
( )f x x= →
[ ] [ ]
1 1 12
11 1
0 1
0 1
( ) ( ) ( ) ( ) 02
( ) ( 1) (1) ( ) ( )
( 1 1) ( ) 0h
xI f f x d x x d x
I f A f f A f f
A A
ξ ξξ ξ
+ + +
−− −
= = = == ⋅ − + + ⋅ − + == ⋅ − + + ⋅ − + =
0 0 =
[ ] [ ]
1 1 132
11 1
0 1
2 2 20 1 0 1
2( ) ( ) ( ) ( )
3 3
( ) ( 1) (1) ( ) ( )
(1 1) (( ) ) 2 2h
xI f f x d x x d x
I f A f f A f f
A A A A
ξ ξ
ξ ξ ξ
+ + +
−− −
= = = == ⋅ − + + ⋅ − + == ⋅ + + ⋅ − + = + ⋅
2
1 213
A A ξ + ⋅ =
3( )f x x= →
[ ] [ ]
1 1 143
11 1
0 1
3 30 1
( ) ( ) ( ) ( ) 04
( ) ( 1) (1) ( ) ( )
( 1 1) ( ) 0h
xI f f x d x x d x
I f A f f A f f
A A
ξ ξ
ξ ξ
+ + +
−− −
= = = == ⋅ − + + ⋅ − + == ⋅ − + + ⋅ − + =
0 0 =
Regra de Gauss-Lobatto com 4 pontos
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
4( )f x x= →
[ ] [ ]
1 1 154
11 1
0 1
4 4 40 1 0 1
2( ) ( ) ( ) ( )
5 5
( ) ( 1) (1) ( ) ( )
(1 1) (( ) ) 2 2h
xI f f x d x x d x
I f A f f A f f
A A A A
ξ ξ
ξ ξ ξ
+ + +
−− −
= = = == ⋅ − + + ⋅ − + == ⋅ + + ⋅ − + = + ⋅
4
1 215
A A ξ + ⋅ =
Regra de Gauss-Lobatto com 4 pontos
Resulta o sistema de 3 equações não lineares (a 3 incógnitas)
0 1
20 1
40 1
1
13
15
A A
A A
A A
ξ
ξ
+ =
+ ⋅ = + ⋅ =
Solução
0
1
16
56
15
A
A
ξ
= = = ±
Ou seja,
[ ] [ ] [ ]0 1( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( 1)1 5 1 1
5 56 6hI f A f f A f f f f f fξ ξ = ⋅ − + + + ⋅ − + + = ⋅ − + + + ⋅ + −
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
5( )f x x= →
[ ]
1 1 165
11 1
5/2 5/2
1 5 1 15 56 6
( ) ( ) ( ) ( ) 06
( ) ( 1) ( 1)
1 5 1 1( 1 1) ( ) 0 0 0
6 6 5 5
h
xI f f x d x x d x
I f f f f f
+ + +
−− −
= = = =
= × − + + + × + =
= × − + + × − + =
−
+ =
0 0, ou seja, ( ) ( )hI f I f = =
Grau da regra de Gauss-Lobatto com 4 pontos
Pelo modo como foi construída, a regra tem (pelo menos) grau 4.
Terá grau 5?
pelo que a regra de Gauss-Lobattocom 4 pontos tem grau 5
Regra de Gauss-Lobatto com 4 pontos
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
6( )f x x= →
[ ]
1 1 176
11 1
6/2 6/2 3
1 5 1 15 5
2( ) ( ) ( ) ( )
7 7
( ) ( ) ( 1) ( 1)
1 5 1 1 1 5 2 1 1 26(1 1) ( ) 2
6 6 5 5 6 6 5 3 7
6
7
6
5 5
h h
xI f f x d x x d x
I f I f f f f f
+ + +
−− −
= = = =
= = × − + + + × + =
= × + + × + = × + × = + =
−
2 26( ) ( )
7 75 hI f I f = =≠
Terá grau 6?
pelo que não tem grau 6, ou seja a regra deGauss-Lobatto com 4 pontos tem grau 5
→ as regras de Gauss-Lobatto com N pontos tem grau 2N – 3
Regra de Gauss-Lobatto com 4 pontos
O erro associado às formulas de Gauss-Lobatto (com N pontos) é,3 4
2 1 (2 2)3
( 1) (( 2)!)( ) ( ) , , [ , ]
(2 1) ((2 2)!)N N
h N NN N NE C b a f C a b
N Nη η− − − ⋅ − ⋅ −= × − × = ∈
− × −
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Regras compostasUm modo de reduzir o erro cometido no cálculo aproximado do integral é subdividir ointervalo [a,b] em N subintervalos e aplicar as regras “básicas” anteriormente estudadas.
Em termos genéricos a regra do trapézio compostapode ser apresentado como
Ex: Regra do trapézio composta com 3 subintervalos iguais (N=3)
[ ] [ ] [ ]≈ ⋅ + + ⋅ + + ⋅ +1 1 20 32( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2h h hf a f f f f fa a aa a
−
=
= + +
1
1
1
1 1( )( ) )( ()2 2
N
i
h f a f bf aI f h
f(x)
a0IIa
a1 a2 a3IIb
h=(b – a)/Nh=
=
= = + + 31 2
0 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a ba ab
a a a a a
I f f x dx f x dx f x dx f x dx
= + = + +
1 2( ) ( )1 1( ) (
2( ))
2 hf ah If bf a a ff
= + + +
0 3II II
1 21 1( ) ( ) ( ) ( )2 2
a b
af f aah f a f
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Regras compostasPara determinarmos o erro cometido podemos somar a contribuição do erro cometido emcada um dos subintervalos.
Resumindo, o erro da regra do rectângulo composta é
ξ ξ ξ= + + = − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅0 1 1 2 2 3
3 3 3[ , ] [ , ] [ , ] [ , ] 1 0 1 2 1 2 3 2 3
1 1 1( ) ''( ) ( ) ''( ) ( ) ''( )
12 12 12a b a a a a a aE E E E a a f a a f a a f
ξ ξ−= − ⋅ ⋅ ∈2( ) ''( ) , [ , ]12h
b aE f h a b
f(x)
a0IIa
a1 a2 a3IIb
h = − − = ⋅
( ) /h b a Nb a N h
ξ ξ ξ= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅3 3 31 2 3
1 1 1''( ) ''( ) ''( )
12 12 12h f h f h f
ξ=
=
= − ⋅ ⋅3
3
1
1''( )
12
N
i
i
h f
ξ−= − ⋅ ⋅2( )''( )
12b a h f
ξ= − ⋅ ⋅ ⋅31''( )
12h N f
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Tabela com algumas regras compostas
Ponto médio composta −
=
= × + 1
1
( ) ( 2)N
h i
i
I f h f a h ξ−= ⋅ ⋅ 2''( )24h
b aE f h
Trapézio composta
Simpson composta
Trapéziocorrigidacomposta
ξ−= − ⋅ ⋅ 2''( )12h
b aE f h
ξ−= − ⋅ ⋅(4) 4( )2880hb aE f h
−= = + ×, ib ah a a i h
Na0 a1 a2 an•••
a bN intervalos
−
=
= × + +
1
1
1 1( ) ( ) ( ) ( )
2 2
N
h i
i
I f h f a f a f b
−
−
= =
= × + + × + × +
1
1
1 1
( ) ( ) ( ) 2 ( ) 4 ( 2)6
N N
h i i
i i
hI f f a f b f a f a h
ξ−= ± ⋅ ⋅'( )2h
b aE f hRectângulo
à esquerda, à direita composta
−
= =
= × = × 1
1 1
( ) ( ) , ( ) ( )N N
h i h i
i i
I f h f a I f h f a
[ ]−
=
= × + + + −
1 2
1
1 1( ) ( ) ( ) ( ) '( ) '( )
2 2 12
N
h i
i
hI f h f a f a f b f a f b ξ−= ⋅ ⋅(4) 4( )720hb aE f h
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração com splines – integração com splines cúbicos• Um modo de obter regras de integração semelhante às compostas é utilizando splines.
• A utilização de splines de grau zero conduz às regras do rectângulo compostas, enquantoa integração com spline de grau 1 conduz à regra do trapézio composta.
• A utilização de splines de grau superior conduz a regras diferentes das regras compostasanteriormente estudadas.
Integração com splines cúbicos
No troço i o spline cúbico é dado por
11
( ) ( ) ( ) ( ) ( )i
i
xb b N
i
ia a x
I f f x dx S x dx S x dx I S
−=
= ≈ = =
3 31
1
2 21
1 1
( ) ( )( )
6 6
6 6
i ii i i
i i
i i i ii i i i
i i
x x x xS x M Mh h
h x x h x xy M y Mh h
−−
−− −
− −= + +
− −+ − + −
S1(x)
x0IIa
x1 x2 x3IIb
hi = xi – xi-1hi
S3(x)S2(x)
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração com splines – integração com splines cúbicosPrimitivando
1 1
3 3 2 21 1
1 1 1( ) ( )
( )6 6 6 6
i i
i i
x x
i i i i i ii i i i i i i
i i i ix x
x x x x h x x h x xS x dx M M y M y M dxh h h h
− −
− −− − −
− − − −= + + − + −
1
4 4 2 2 2 21 1
1 1 1( ) ( ) ( ) ( )
24 24 6 2 6 2
i
i
x
i i i i i ii i i i i i
i i i i x
x x x x h x x h x xM M y M y Mh h h h
−
− −− − −
− − − −= + − + −
− −
3 3 2 2
1 1 124 24 6 2 6 2i i i i i i
i i i i i ih h h h h hM M y M y M− − −
= + + − + −
( ) ( )3
1 12 24i i
i i i ih hy y M M− −= + +−
Somando a contribuição de todos os troços resulta
( ) ( )3
1 1
1
( ) ( )2 24
b N
i ii i i i
ia
h hI S S x dx y y M M− −
=
= = + +
−
Nota: a expressão tem umaparte idêntica à regra dotrapézio composta mais umtermo correctivo com base nos“momentos” (2as derivadas)
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Integração adaptativa
Há 2 variantes da integração adaptativa:
• não iterativa – o número de vezes que se efectuam subdivisões é de apenas uma
• iterativa – o número de vezes que se efectuam subdivisões não é definida à partida (é resultado da verificação do critério do erro)
• Considerar uma subdivisão inicial do intervalo [a,b]
• Distribuir a tolerância disponível pelos troços
• Tendo em conta a expressão teórica do erro,estimar para cada troço a correspondente derivada
• Estimar o erro cometido em cada troço
• No caso do erro exceder a tolerância atribuída aesse troço, então subdividir devidamente o troço
ξ ξ= ⋅ ⋅ ≈( ) )( ) (( ) ( ),pk k ki i i if DfE C h
O método tenderá a colocar mais subintervalos onde a correspondente derivada for maior
aIIa0 a1 a2
bIIa3
ε1 ε2 ε3
ε ii
hb a
ε ε=−
≈ ⋅ ⋅( )ki
piE DC h
Integração adaptativa – método que procura que o resultado obtido tenha um erro inferior auma tolerância ε especificada pelo utilizador
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Integração adaptativa não iterativaExemplo: Utilizando a regra do trapézio composta
Para o troço [ai-1, ai] de dimensão hi
31 ''( )12h i iE f hξ= − ⋅ ⋅
Na integração adaptativa não iterativa, geralmente, aderivada é aproximada por uma diferença finita apropriada
( )1 1
2
( ) 2 ( 2) ( )''( )2
i i ii i
i
f a f a h f af Dh
ξ − −− ⋅ + +≈ =I I
A estimativa de erro para o troço i é obtida através de
3112i i iE D h= − ⋅ ⋅I I
f(x)
a0IIa
a1 a2 a3IIb
ai-1 ai-1+h/2 ai
hi
[ ]1
1
( ) ( ) ( )2
N
ih i i
i
hI f f a f a−
=
= +
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Integração adaptativa não iterativaSe a estimativa de erro |Ei| for superior à tolerância εi que está disponível para esse troço,então esse troço é subdividido em mi subintervalos de modo ao erro nesse troço passar aser inferior à tolerância disponível.
Erro para o troço i após a subdivisão em mi subintervalos
3112i i i iE m D h = × − ⋅ ⋅
I I ai-1 ai
hi
mi subintervalos
i i ih h m=ih
31
12i
i i ii
hE m Dm
= × − ⋅ ⋅
I I 32
1 112
i
i i ii
E
E D hm
= × − ⋅ ⋅
I I2
1i i
i
E Em
= ×
Pretendemos que, após a subdivisão do troço i, o erro nesse troço seja inferior à tolerânciadisponível para esse troço,
2
1i i i i
i
E Em
ε ε< × < 2 ii
i
Em
ε >
Recuperando a expressão do erro para o intervalo i resulta 3112i i i im D h ε> ⋅ ⋅I I
expressão onde se admitiu que aderivada em cada subintervalo éaproximada por Di’’
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Integração adaptativa não iterativaA expressão anterior pode ser reescrita em termos da tolerância “total” ε
ε ε
εεε
= ⋅ ⋅− − > = ⋅ ⋅> ⋅ ⋅ −
3
2
3
112
12112
ii
i i
i i ii
i i i i
hD hb a b am D hh
m D h b a
I I
I I
I Iε
− > ⋅ ×
12i i ib am D hI I
1DI I
m1 subintervalos
2DI I
m2 subintervalos
3DI I
m3 subintervalos
a0 a1 a2 a3
aIIa0 a1 a2
bIIa3troço 1 troço 2 troço 3Subdivisão inicial
Subdivisão final
calcular I1 calcular I2 calcular I3
Ih=I1+I2+I3
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Integração adaptativa iterativaComparativamente ao método não iterativo, o algoritmo iterativo descrito em seguidapossui as seguintes diferenças:
• se a estimativa do erro for superior à tolerânciapermitida a esse troço, então o troço é divididoao meio
• o número de vezes que se efectuam subdivisõesnão é definido à partida (é resultado daverificação do critério do erro)
• a estimativa de erro é actualizada para os novostroços
• a estimativa do erro não recorre a diferençasfinitas – em cada troço o erro é estimadorecorrendo a 2 aproximações do integral paraesse troço
ai bitroço em avaliação
subdivisão em 2 troços
2 1( )iE I Iα≈ ⋅ −
2 1( )E I Iα≈ ⋅ −
subdivisão em 2 troços
troço em avaliação
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração adaptativa iterativaExemplo: Calcular I(f) utilizando a regra do trapézioadaptativa iterativa com um tolerância ε = 10–2
Regra do trapézio – dedução da estimativa do erro
3
1 1 2
( ) 1''( )12 1
b aE f ξ−= − ⋅ ⋅
3
2 2 2
( ) 1''( )12 2
b aE f ξ−= − ⋅ ⋅
1
3
1 1'' ''( )
( ) '' 112
D f
b aE I I Dξ≈
− = − ≈ − ⋅ ⋅
32
2
( ) 1''( ) ''( )
12 12h hb ahN
b a b aE f h E fN
ξ ξ−=
− −= − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅a b
N subintervalos
a b
1 subintervalo
a bc
2 subintervalos
2
3
2 2'' ''( )
( ) 1''12 4
D f
b aE I I Dξ≈
− = − ≈ − ⋅ ⋅
3
2 1( ) 1
(*) (**) '' 112 4
b aI I D− − − ≈ − ⋅ ⋅ −
2 13''
( ) 1112 4
I IDb a
− ≈
− − ⋅ −
Para 1 subintervalo, N=1
Para 2 subintervalos, N=2
Subtraindo as 2 expressões
(*)
(**)
1
0
exp(5 )( ) ( ) , ( )
90xI f f x dx f x= =
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração adaptativa iterativa
11 1( ) ( )2 2i iI h f a f b = +
Substituindo a aproximação da derivada na expressão do erro para 2 troços
ai bi
1 subintervalo
h
ai bi
2 subintervalos
h/2
ci
h/2
21 1( ) ( ) ( )
2 2 2i i ihI f a f c f b = + +
3
3
2 13
2 12
3
2
( ) 3( )
( )121
112 43 4
( ) 1 4
''
22
1''
4
D
D
I Ib a
I IE
b aE
b ab a
− ≈ −− ⋅ − ≈ ⋅ ⋅ ⋅− ≈ − ⋅ ⋅
−−−−
( )2 2 113
E I I ≈ ⋅ −
Resumindo, para um troço de dimensão h, o valor da regrado trapézio com 1 e com 2 subintervalos é
( )2 2 113
E I I≈ ⋅ −e o erro (para 2 subintervalos) pode ser estimado por
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração adaptativa iterativa
Opção: divisão inicial em 2 troços ii
hb a
ε ε=−
0IIa
1IIb
tolerância ε = 1x10–2
h=1
1/20 tolerância εi = 5x10–3
h=1/2
11/2 tolerância εi = 5x10–3
h=1/2
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração adaptativa iterativaTroço [0, 1/2] , h=1/2 , tolerância εi = 5x10–3
1
0
exp(5 )( ) ( ) , ( )
90xI f f x dx f x= =
0 1/2
1 subintervalo
0 1/21/4
2 subintervalos
11 1 1(0) (1 2) 0.0366182 2 2
I f f = + =
21 1 1(0) (1 4) (1 2) 0.0280044 2 2
I f f f = + + =
( ) 32 2 1 2
10.002871 3 10
3E I I E −= ⋅ − = − ×Estimativa de erro
3 32 3 10 5 10 iE ε− −= × < × = OK
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração adaptativa iterativaTroço [1/2, 1] , h=1/2 , tolerância εi = 5x10–3
1
0
exp(5 )( ) ( ) , ( )
90xI f f x dx f x= =
1/2 1
1 subintervalo
1/2 13/4
2 subintervalos
11 1 1(1 2) (1) 0.4460992 2 2
I f f = + =
21 1 1
(1 2) (3 4) (1) 0.3411644 2 2
I f f f = + + =
( ) 32 2 1 2
10.034978 35 10
3E I I E −= ⋅ − = − ×Estimativa de erro
ε− −= × > × =
3 32 35 10 5 10 iE
dividir o troço [1 2 , 1] em dois troços
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração adaptativa iterativa
0IIa
1IIb
tolerância ε = 1x10–2
h=1
13/4 εi = 2.5x10–3
h=1/4
3/41/2 εi = 2.5x10–3
h=1/4
1/20 tolerância εi = 5x10–3
h=1/2
erro |E2|= 3x10–311/2 tolerância εi = 5x10–3
h=1/2
erro |E2|= 35x10–3
ii
hb a
ε ε=−
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Integração adaptativa iterativaTroço [1/2, 3/4] , h=1/4 , tolerância εi = 2.5x10–3
1/2 3/4
1 subintervalo
1/2 3/45/8
2 subintervalos
11 1 1
(1 2) (3 4) 0.0759774 2 2
I f f = + =
21 1 1
(1 2) (5 8) (3 4) 0.0696008 2 2
I f f f = + + =
( ) 32 2 1 2
10.002126 2.1 10
3E I I E −= ⋅ − = − ×Estimativa de erro
3 32 2.1 10 2.5 10 iE ε− −= × < × = OK
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração adaptativa iterativaTroço [3/4, 1] , h=1/4 , tolerância εi = 2.5x10–3
3/4 1
1 subintervalo
3/4 17/8
2 subintervalos
11 1 1
(3 4) (1) 0.2651864 2 2
I f f = + =
21 1 1
(3 4) (7 8) (1) 0.2429268 2 2
I f f f = + + =
( ) 32 2 1 2
10.007420 7.4 10
3E I I E −= ⋅ − = − ×Estimativa de erro
ε− −= × > × =
3 32 7.4 10 2.5 10 iE
dividir o troço [3 4 , 1] em dois troços
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração adaptativa iterativa
0 1tolerância ε = 1x10–2
1/20 εi = 5x10–3
|E2|= 3x10–311/2 εi = 5x10–3
|E2|= 35x10–3
3/41/2 εi = 2.5x10–3
h=1/4
|E2|= 2.3x10–313/4 εi = 2.5x10–3
h=1/4
|E2|= 7.4x10–3
17/8 εi = 1.25x10–3
h=1/8
7/83/4 εi = 1.25x10–3
h=1/8
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração adaptativa iterativaTroço [3/4, 7/8] , h=1/8 , tolerância εi = 1.25x10–3
3/4 7/8
1 subintervalo
3/4 7/813/16
2 subintervalos
11 1 1
(3 4) (7 8) 0.0846958 2 2
I f f = + =
21 1 1
(3 4) (13 16) (7 8) 0.08270816 2 2
I f f f = + + =
( ) 32 2 1 2
10.000662 0.7 10
3E I I E −= ⋅ − = − = ×Estimativa de erro
3 32 0.7 10 1.25 10 iE ε− −= × < × = OK
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração adaptativa iterativaTroço [7/8, 1] , h=1/8 , tolerância εi = 1.25x10–3
7/8 1
1 subintervalo
7/8 115/16
2 subintervalos
11 1 1
(7 8) (1) 0.1582318 2 2
I f f = + =
21 1 1
(7 8) (15 16) (1) 0.15451916 2 2
I f f f = + + =
( ) 32 2 1 2
10.001237 1.24 10
3E I I E −= ⋅ − = − ×Estimativa de erro
3 32 1.24 10 1.25 10 iE ε− −= × < × = OK
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração adaptativa iterativa
0 1tolerância ε = 1x10–2
1/20 εi = 5x10–3
|E2|= 3x10–311/2 εi = 5x10–3
|E2|= 35x10–3
3/41/2 εi = 2.5x10–3
|E2|= 2.3x10–313/4 εi = 2.5x10–3
|E2|= 7.4x10–3
17/8 εi = 1.25x10–37/83/4 εi = 1.25x10–3
|E2|= 0.7x10–3 |E2|= 1.24x10–3
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração adaptativa iterativa
0 1I[0, 1]= ?
1/20I[0, 1/2]= 0.028004
11/2
3/41/2
I[1/2, 3/4]= 0.069600 13/4
17/8
I[7/8, 1]= 0.154519
7/83/4
I[3/4, 7/8]= 0.082708
Valor obtido para o integral
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração adaptativa iterativa
→ = 0.334832hI
0 1/2 13/4 7/8
Valor exacto ( )1
5 15 5
0
0
e 1 1( ) e e 1 0.327585
90 5 90 450
xxI f dx= = = − =
×Erro efectivo
[0, 1] [0, 1 2] [1 2, 3 4] [3 4, 7 8] [7 8, 1]
0.028004 0.069600 0.082708 0.154519 0.334832
I I I I I= + + + =
= + + + =
efectivo exacto 0.327585 0.334832 0.007247aproximadoE I I= − = − = −
2 2efectivo 0.7 10 1 10 (tolerância)E ε− −× < × =
Valor obtido para o integral
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Método de Romberg
[ ]1 2
1
(4) 4
1 1( ) ( ) ( ) ( ) '( ) '( )2 2 12
( )720
N
h i
ih h
h h
hI f h f a f a f b f a f bI I E
b aE I I f hξ
−
=
= × + + + − → = +− = − = ⋅ ⋅
Para a regra do trapézio corrigida composta
[ ]2 4
1,0
( )
1 2(4) 4
1
1 1( ) ( ) ( ) '( ) '( ) ( )2 2 12 720
h
C h hT
N
h h i
i
h b aI I E h f a f a f b f a f b f hξ−
=
− = + = ⋅ + + + − + ⋅ ⋅
O
2 2Se ( ) é possível demonstrar quenf x C +∈
regrado
trap
2 4 6 2 2 2,0 1
éz
2
i
3
o
( )n nh nI T C h C h C h C h h +
↑
= + + + + + +… O
regrado
tr
2 4,0
apézio
1ou seja, ( )hI T C h h↑
= + +O
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Método de Romberg0Considere-se uma sequência = e aplique-se a regra do trapézio
2k k
hh
06
22
, 14 ( ) (*)kk k kkh I T C h C h h+→ += + O
2 46
1 1,0 1 2 ( )2 2 2
k k kk k k
h h hh I T C C h+ + = → = + + +
O
Eliminando o termo h2 do erro da aproximação
4 622
21,0 1
1 ( )4
**1 (4
)k kk k C hI T C h h+ = + ++ O
1,0 ,4 6
204 (**) (*)4
4 1 1 )4 (k k k kI I T h hT C+ + − +
−
− = − O
,1
1,0 4 6,2
0 1 ( )4
44 1
k
kk k
k
T
T TC h hI + −
− =
−+
O
1,0 ,0,1
4,
4 1k k
k
T TT + −
=−
Ou seja, a aproximação do integral com erro de ordem h4 é
4 62,1
1 ( )4 kk kI T C h h− += O
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Método de Romberg
2 46
2 1,0 1 2 ( )4 4 4
k k kk k k
h h hh I T C C h+ + = → = + + +
O
Eliminando o termo h2 do erro da aproximação
4 622
21,0 1
1 ( )4
(*14
)k kk k C hT C h hI + + = ++ O
2,0 1,04 6
23 2
14 (**) (* 1) 44 4
4 ( )k k k kI h hI CT T+ + + − +
− =− − O
1,1
2,0 63
1 42
,044
1 ( )41
k
kk
kk
T
T TI C h h
+
+ + − +−
=−
O
De modo análogo ao anterior, considerando agora hk+1 e hk+2
2 46
1 1,0 1 2 ( )2 2 2
k k kk k k
h h hh I T C C h+ + = → = + + +
O
22,0 12
4 624
1 ( )1 **4
(4
)k kk k C hI T C h h+ = + ++ O
Ou seja, a aproximação do integral com erro de ordem h4 é
2,0 1,01,1
4,
4 1k k
k
T TT + +
+
−=
−1,14 6
23
1 ( )4k k kC hI T h+ −= +O
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Método de Romberg
Eliminando o termo h4 do erro da aproximação
2 2 61,1 ,
2144 (**) ) (4 )(* kk kI I T T h+ − =− +− O
,2
22,0 1, 602
44 1
( )
kT
k kk
T ThI + +−
=−
+
O
Combinando as expressões de Tk,1 e de Tk+1,1, com o intuito de eliminar o termo h4,
Ou seja, a aproximação do integral com erro de ordem h6 é
21,1 ,1
,2 2
4,
4 1k k
k
T TT + −
=−,2
6( )k kI T h+= O
164
1, 23
14
( *)( *)k k kI T C h h+= +− O
164
, 2 ((14
) *)k k kI T C h h+= − O
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Método de Romberg
O procedimento efectuado pode ser generalizado, de modo a eliminar-se os sucessivostermos de h2m, conseguindo-se assim aproximações com erro de ordem h2m+2.
1, 1 , 1,
4,
4 1
mk m k m
k m m
T TT + − −−
=−,
2 2( )mkk mI T h ++= O
A formula de recorrência para Tk,m surge por vezes escrita na forma
1, 1 , 1, 1, 1 4 1
k m k mk m k m m
T TT T + − −
+ −
−= +
−
O método de Romberg é normalmente aplicado com a regra do trapézio, mas também podeser aplicado com outras regras tais como a regra do ponto médio ou de Simpson (esteúltimo caso requereria uma redefinição da formula de recorrência)
A formula de recorrência poderia ter sido deduzida através da formula de Aitken-Neville(tal como se efectuou para o método de Richardson)
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Método de RombergFormula de recorrência
1, 1 , 1,
44 1
mk m k m
k m m
T TT + − −−
=−
Tabela
0,2
1
0 0,0
1 1,0
2 2,0
3 3,0
0,3
,2
0,1
1,1
2,1
TT
h T
h T
h T
h
T
T
T
T
T
Erro de ordem h2
Regra dos trapézios
Erro deordem h4
Erro deordem h6
Erro deordem h8
Formula de recorrência
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Método de Romberg
Ex: Aplicar método de Romberg (utilizando a regra do trapézio) ao cálculo do integral2
1
0
xI e dx−=
Regra dos trapézios
Opção: iniciar processo com 2 subintervalos Nota: resolução em precisão simples
1
0 0
1
,01 1 1, , ( ) ( ) ( )
2 2 2 2k
N
k ik
i
hh h T h f a f a f b−
=
= = = × + +
0 0,01 1 1 1 10, 2, , (0) (1) 0.73137002 2 2 2 2
k N h T f f f = = = = × + + =
1 1,01 1 1 1 1 3 11, 4, , (0) (1) 0.74298384 4 2 4 2 4 2
k N h T f f f f f = = = = × + + + + =
2,0212, 8, , 0.74586538
k N h T= = = = =…
3 3,013, 16, , 0.7465842
16k N h T= = = = =…
0 11/2
0 11/2 3/41/4
0 11/2 3/41/4
0 11/2 3/41/4
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Método de Romberg
Formula de recorrência 1, 1 , 1,
44 1
mk m k m
k m m
T TT + − −−
=−
Tabela
Para m=1
11,0 ,0
,1 1
44 1k k
k
T TT + −
=−
1,0 0,00,1
4 4 0.7429838 0.7313700 0.74685514 1 4 1T T
T× − × −= = =
− −
2,0 1,01,1
4 4 0.7458653 0.7429838 0.74682584 1 4 1T T
T× − × −= = =
− −
3,0 2,02,1
40.7468238
4 1T T
T× −
= = =−
0,1
1,1
0 0,0
1 1,0
2 2,0
3 3,
2
0
,1
0.7468551
0.7
1 2 0.7313700
1 4 0.7429838
1 8 0.7
468258
0.7468238458653
1 16 0.7465842
h T
h T
h T
h
T
T
T
T
== =
= =
=
=
==
=
=
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Método de Romberg
Formula de recorrência 1, 1 , 1,
44 1
mk m k m
k m m
T TT + − −−
=−
Tabela
Para m=2
21,1 ,1
,2 2
44 1k k
k
T TT + −
=−
1,1 0,10,2
16 16 0.7468258 0.7468551 0.746823816 1 16 1T T
T× − × −= = =
− −
2,1 1,11,2
16 16 0.7468238 0.7468258 0.746823716 1 16 1T T
T× − × −= = =
− −
0,10 0,0
1 1,0
2 2,0
3 3,0
0
1,1
,2
1,2
2,1
0.7468551
0.7
1 2 0.7313 0.7468238
0.74
700
1 4 0.7429838
1 8 0.7458653
1 16 0.7465842
468258
0.7468
6
238
8237
h T
h T
h T
T
T
T
h
T
T
T
= =
= =
= =
= =
=
=
=
=
=
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Método de Romberg
Formula de recorrência 1, 1 , 1,
44 1
mk m k m
k m m
T TT + − −−
=−
Tabela
Para m=3
31,1 ,1
,3 3
44 1k k
k
T TT + −
=−
1,2 0,20,3
64 64 0.7468237 0.7468238 0.746823764 1 64 1T T
T× − × −= = =
− −
0 0,0
1 1,0
2 2,0
3 3
0,1
1,1
0,2 0,3
1,
0
2
1
,
2,
1 2 0.7313700
1 4 0.74
0.7468551
0.746825
0.7468238
0.74682378
0.746823
29838
1 8 0.7458653
1 16 0.746584
0.746 7
8
23
2
8T
T
h T
h T
h T
h T
T
T
T
T
= =
= =
= =
=
=
=
=
=
=
=
=