Integra˘c~ao Num ericaluciac/cn/192-integracao.pdf · 2019-11-26 · F ormulas de Newton-Cotes F...
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Formulas de Newton-CotesFormulas de Gauss-Legendre
Integracao Numerica
Lucia Catabriga e Andrea Maria Pedrosa Valli
Departamento de InformaticaUniversidade Federal do Espırito Santo - UFES, Vitoria, ES, Brasil
1-22
Formulas de Newton-CotesFormulas de Gauss-Legendre
Integracao Numerica
1 Formulas de Newton-Cotes
Regra dos TrapeziosRegra 1/3 de Simpson
2 Formulas de Gauss-Legendre
2-22
Formulas de Newton-CotesFormulas de Gauss-Legendre
Regra dos TrapeziosRegra 1/3 de Simpson
Formulas de Newton-Cotes:
f (x) = pm(x) + Em(x)
onde pm(x) = polinomio interpolador de grau mEm(x) = erro na interpolacao
⇒∫ b
af (x)dx =
∫ b
apm(x)dx +
∫ b
aEm(x)dx
Formulas:1 A regra dos Trapezios (m = 1)2 A regra 1/3 de Simpson (m = 2)
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Formulas de Newton-CotesFormulas de Gauss-Legendre
Regra dos TrapeziosRegra 1/3 de Simpson
A regra dos Trapezios usando um subintervalo em [a, b]:∫ b
af (x)dx ≈
∫ b
ap1(x)dx = f (a)+f (b)
2 (b − a)
A regra dos Trapezios usando mais de um subintervalo em [a, b]:
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Formulas de Newton-CotesFormulas de Gauss-Legendre
Regra dos TrapeziosRegra 1/3 de Simpson
A regra dos Trapezios usando n subintervalos em [a, b]:∫ b
a
f (x)dx =n−1∑i=0
∫ xi+1
xi
f (x) dx =n−1∑i=0
∫ xi+1
xi
( p1(x) + E1(x) ) dx
5-22
Formulas de Newton-CotesFormulas de Gauss-Legendre
Regra dos TrapeziosRegra 1/3 de Simpson
∫ xi+1
xi
p1(x) dx =
∫ xi+1
xi
(f (xi )
x − xi+1
xi − xi+1+ f (xi+1)
x − xixi+1 − xi
)dx
=f (xi ) + f (xi+1)
2(xi+1 − xi )
∫ xi+1
xi
E1(x) dx =
∫ xi+1
xi
f ′′(ξx)
2!(x − xi )(x − xi+1) dx
(pelo TVI)1 =f ′′(ξi )
2
[−(xi+1 − xi )
3
6
]= − f ′′(ξi )
12(xi+1 − xi )
3, ξi ∈ (xi , xi+1)
⇒∫ xi+1
xi
f (x) dx =f (xi ) + f (xi+1)
2(xi+1 − xi )
− f ′′(ξi )
12(xi+1 − xi )
3, ξi ∈ (xi , xi+1)
1Se f ′′ e continua, ∃ ξi ∈ (xi , xi+1) tal que6-22
Formulas de Newton-CotesFormulas de Gauss-Legendre
Regra dos TrapeziosRegra 1/3 de Simpson
Vamos assumir que xi+1 − xi = h, i = 0, 1, · · · , n − 1. Entao,∫ b
a
f (x)dx =n−1∑i=0
∫ xi+1
xi
f (x) dx
≈n−1∑i=0
f (xi ) + f (xi+1)
2(xi+1 − xi ) =
h
2
n−1∑i=0
(f (xi ) + f (xi+1))
=h
2[f (x0) + f (x1) + f (x1) + f (x2) + · · ·+ f (xn−1) + f (xn)]
=h
2[ f (x0) + 2 ( f (x1) + f (x2) + · · ·+ f (xn−1) ) + f (xn) ]
⇒∫ b
a
f (x)dx ≈ A0f (x0) + A1f (x1) + · · ·+ Anf (xn)
onde
A0 = An =h
2, A1 = A2 = · · · = An−1 = h
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Formulas de Newton-CotesFormulas de Gauss-Legendre
Regra dos TrapeziosRegra 1/3 de Simpson
∫ b
a
E1(x)dx =n−1∑i=0
− f ′′(ξi )
12(xi+1 − xi )
3
= −h3
12
n−1∑i=0
f ′′(ξi ), ξi ∈ (xi , xi+1)
(TVI) = −h3
12f ′′(ξ)
n−1∑i=0
1, ξ ∈ (a, b)
= −nh3
12f ′′(ξ)
= −h2
12(b − a) f ′′(ξ)
Teorema do Valor Intermediario (TVI): f ′′(x) e uma funcao contınua em[a, b] e min ≤ c ≤ max ⇒ ∃ pelo menos um ξ ∈ [a, b] tal que f ′′(ξ) = c .
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Regra dos TrapeziosRegra 1/3 de Simpson
A regra dos Trapezios:
⇒∫ b
a
f (x)dx = A0f (x0) + A1f (x1) + · · ·+ Anf (xn)− nh3
12f ′′(ξ)
onde
A0 = An =h
2, A1 = A2 = · · · = An−1 = h
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Formulas de Newton-CotesFormulas de Gauss-Legendre
Regra dos TrapeziosRegra 1/3 de Simpson
Limitante para o erro na regra dos Trapezios:
|ET | ≤nh3
12M2, onde M2 = max
x∈[a,b]|f ′′(x)|
Observacao: a regra dos Trapezios integra sem erros polinomios degrau menor ou igual a 1. Ex: f (x) = x em [0, 1]∫ 1
0x dx =
x2
2|10 =
1
2
Basta usar apenas um subintervalo em [0, 1], x0 = 0, x1 = 1 ⇒h = 1: ∫ 1
0x dx =
1
2f (0) +
1
2f (1) =
1
2
Exemplo: calcule uma aproximacao para integral abaixo usando 4 e8 subintervalos, calcule o erro exato e estime o erro cometido.∫ 2
1ex dx = e2 − e1 = 4.670774
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Formulas de Newton-CotesFormulas de Gauss-Legendre
Regra dos TrapeziosRegra 1/3 de Simpson
A regra 1/3 de Simpson usando dois subintervalo em [a, b]:∫ b
a
f (x)dx =
∫ b
a
( p2(x) + E2(x) )dx
∫ b
a
f (x)dx ≈∫ x2
x0
( f (x0)(x − x1)(x − x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)+ f (x1)
(x − x0)(x − x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)+
f (x2)(x − x0)(x − x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)) dx
=h
3( f (x0) + 4f (x1) + f (x2) )
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Formulas de Newton-CotesFormulas de Gauss-Legendre
Regra dos TrapeziosRegra 1/3 de Simpson
∫ x2
x0
E2(x) dx =
∫ x2
x0
f ′′′(ξx)
3!(x − x0)(x − x1)(x − x2) dx = 0
Considere o proximo termo na serie de Taylor para calcular o erro:
⇒∫ x2
x0
f (4)(ξx)
4!(x − x0)(x − x1)2(x − x2) dx
(TVI ) = −h5
90f (4)(ξ), ξ ∈ (x0, x2)
Somando os erros e assumindo um numero par de divisoes (n par) em[a, b], temos:
⇒ ES =
n/2∑k=1
−h5
90f (4)(ξk), ξk ∈ (x2k−2, x2k)
(TVI ) = −h5
90f (4)(ξ)
n/2∑k=1
1, ξ ∈ (a, b)
= −nh5
180f (4)(ξ) = − h4
180(b − a) f (4)(ξ)
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Formulas de Newton-CotesFormulas de Gauss-Legendre
Regra dos TrapeziosRegra 1/3 de Simpson
Vamos assumir que xi+1 − xi = h, i = 0, 1, · · · , n − 1. Entao,
∫ b
af (x)dx =
n/2∑k=1
∫ x2k
x2k−2
f (x) dx
≈n/2∑k=1
h
3( f (x2k−2) + 4f (x2k−1) + f (x2k) )
=h
3( f (x0) + 4f (x1) + f (x2) + f (x2) + 4f (x3) + f (x4) +
+ · · ·+ f (xn−2) + 4f (xn−1) + f (xn) )
=h
3( f (x0) + f (xn) +
+ 4 [ f (x1) + f (x3) + · · ·+ f (xn−1) ] +
+ 2 [ f (x2) + f (x4) + · · ·+ f (xn−2) ] )
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Formulas de Newton-CotesFormulas de Gauss-Legendre
Regra dos TrapeziosRegra 1/3 de Simpson
A regra 1/3 de Simpson
⇒∫ b
a
f (x)dx = A0f (x0) + A1f (x1) + · · ·+ Anf (xn)− nh5
180f (4)(ξ)
onde
A0 = An = h/3
A1 = A3 = · · · = An−1 = 4h/3
A2 = A4 = · · · = An−2 = 2h/3
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Formulas de Newton-CotesFormulas de Gauss-Legendre
Regra dos TrapeziosRegra 1/3 de Simpson
Limitante para o erro na regra 1/3 de Simpson:
|ES | ≤nh5
180M4, onde M4 = max
x∈[a,b]|f (4)(x)|
Observacao: a regra 1/3 de Simpson integra sem erros polinomios de graumenor ou igual a 3. Ex: f (x) = x3 em [0, 1]∫ 1
0
x3 dx =x4
4|10 =
1
4
=1/2
3(f (0) + 4f (0.5) + f (1)), (h = 1/2)
=1
6(4(
1
2)3 + 1) =
1
6(
1
2+ 1) =
1
4
Exemplo: calcule uma aproximacao para integral abaixo usando 4 e 8subintervalos, calcule o erro exato e estime o erro cometido.∫ 2
1
ex dx = e2 − e1 = 4.670774
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Formulas de Newton-CotesFormulas de Gauss-Legendre
Bibliografia Basica
Ideia do metodo de Quadratura Gaussiana: Vamos considerar inicialmenteintegrais definidas no intervalo padrao t ∈ [−1, 1]: determinart1, t2, · · · , tn,A1,A2, · · · ,An de forma que a integral seja exata parapolinomios de grau ≤ 2n − 1.∫ 1
−1
g(t)dt ≈ A1g(t1) + A2g(t2) + · · ·+ Ang(tn)
Exemplo: n = 2 (2 pontos de integracao). Formula exata para polinomiosde grau menores ou iguais a 2n − 1 = 3:∫ 1
−1
g(t)dt ≈ A1g(t1) + A2g(t2)
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Bibliografia Basica
2 =
∫ 1
−1
1dt = A1 + A2
0 =
∫ 1
−1
tdt = A1t1 + A2t2
2
3=
∫ 1
−1
t2dt = A1(t1)2 + A2(t2)2
0 =
∫ 1
−1
t3dt = A1(t1)3 + A2(t2)3
Sistema de equacoes nao-linear com 4 equacoes e 4 incognitas. Resolvendo:
t2/t1 = ±√
3/3 (pontos da quadratura)
A1 = A2 = 1 (pesos da quadratura)
Exemplo: calcular uma aproximacao para a integral abaixo usandoquadratura Guaussiana com 2 pontos.∫ 1
−1
ex dx = e1 − e−1 = 2.350402
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Bibliografia Basica
Tabela de pontos e pesos da quadratura Gaussiana
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Formulas de Newton-CotesFormulas de Gauss-Legendre
Bibliografia Basica
Mudanca de variavel de x ∈ [a, b] e t ∈ [−1, 1]:
x − a+b2
t − 0=
b − a
2⇒ x =
a + b
2+
b − a
2t ⇒ dx =
b − a
2dt
⇒∫ b
a
f (x)dx =b − a
2
∫ 1
−1
g(t)dt, g(t) = f (a + b
2+
b − a
2t)
≈ b − a
2(A1g(t1) + A2g(t2) + · · ·+ Ang(tn) )
Exemplo: calcular uma aproximacao para a integral abaixo usandoquadratura Gaussiana com dois pontos.∫ 2
1
ex dx = e2 − e1 = 4.670774
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Formulas de Newton-CotesFormulas de Gauss-Legendre
Bibliografia Basica
Limitante Superior do Erro cometido na QuadraturaGaussiana
‖EQG‖ ≤(b − a)2n+1(n!)4
((2n)!)3(2n + 1)M2n
M2n = maxa≤x≤b‖f (2n)(x)‖
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Formulas de Newton-CotesFormulas de Gauss-Legendre
Bibliografia Basica
Exercıcios Sugeridos - Referencia [1]
5.1 (a), (b) e (d)
5.2
5.3
5.6
5.7
5.11
5.12
5.36
5.39
5.40
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Bibliografia Basica
Bibliografia Basica[1] Algoritmos Numericos, Frederico F. Campos, Filho - 2a Ed.,
Rio de Janeiro, LTC, 2007.[2] Metodos Numericos para Engenharia, Steven C. Chapa e
Raymond P. Canale, Ed. McGraw-Hill, 5a Ed., 2008.[3] Calculo Numerico - Aspectos Teoricos e Computacionais,
Marcia A. G. Ruggiero e Vera Lucia da Rocha Lopes, Ed. PearsonEducation, 2a Ed., 1996.
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