INTEGER PROGRAMMING - · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin...
-
Upload
nguyenduong -
Category
Documents
-
view
402 -
download
14
Transcript of INTEGER PROGRAMMING - · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin...
![Page 1: INTEGER PROGRAMMING - · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050702/5a7569927f8b9a9c548c7d59/html5/thumbnails/1.jpg)
1
INTEGER PROGRAMMING
Rudi Susanto, M.Si
![Page 2: INTEGER PROGRAMMING - · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050702/5a7569927f8b9a9c548c7d59/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Pendahuluan
• Pemecahan dgn Linier Programing menghasilkan nilaivariabel yg biasanya berupa pecahan, padahalbanyak masalah memerlukan hasil yg bulat.
• Misal lokasi fasilitas, Pilihan Investasi, Production planning dll.
• Misal hasil optimal X1 = 6,67, X2 = 15,73. Kalaudibulatkan dgn 7 dan 16 apakah tidak melanggarkendala/ sumberdaya yg ada?
• Maka diperlukan hasil optimalnya angka utuh(integer), dan kendala tetap diikuti.
![Page 3: INTEGER PROGRAMMING - · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050702/5a7569927f8b9a9c548c7d59/html5/thumbnails/3.jpg)
Integer Programming
• Definisi :
–Suatu model matematis dari Integer Programming adalah Program linier dengan penambahan batasan bahwabeberapa atau semua variabel harusbernilai integer.
.
![Page 4: INTEGER PROGRAMMING - · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050702/5a7569927f8b9a9c548c7d59/html5/thumbnails/4.jpg)
Kapan Model Integer Diperlukan ?
• Produk atau bahan baku tidak dapat dibagi.
• Batasan Logikal : \if A then B"; \A or B"
• Biaya tetap.
• Merupakan bentuk kombinasi (sequencing, allocation)
• Dalam keputusan membeli, investasi, sewaatau lainnya.
![Page 5: INTEGER PROGRAMMING - · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050702/5a7569927f8b9a9c548c7d59/html5/thumbnails/5.jpg)
Tipe Dari Integer Programming
1. Pure IP - Semua variable adalahintegers.
2. Mixed IP - Beberapa variable adalahintegers.
3. 0-1 IP – Semua variable harus samadengan 0 atau 1.
![Page 6: INTEGER PROGRAMMING - · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050702/5a7569927f8b9a9c548c7d59/html5/thumbnails/6.jpg)
LP optimal Vs IP optimal
– IP optimal tidak lebih baik dari pada LP optimal, kenapa ?
IP OptimalLP Optimal
1
5
3
2
4
0 1 2 3
![Page 7: INTEGER PROGRAMMING - · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050702/5a7569927f8b9a9c548c7d59/html5/thumbnails/7.jpg)
Penyelesaian Integer Programming
• Branch and Bound – Cara yang effektif untuk mendapatkan solusi
integer.
– Tahap demi tahap dengan menggambarkancabang pada solusi yang akan didapatkan nilaiintegernya.
• Grafik,
• Komputer
![Page 8: INTEGER PROGRAMMING - · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050702/5a7569927f8b9a9c548c7d59/html5/thumbnails/8.jpg)
Contoh Tipe Integer Programming
Max z = 3x1 + 2x2
st
2x1 + x2 <= 4 (1)
x1 + 3x2 <= 5 (2)
x1, x2 >= 0 & Integer (3)
![Page 9: INTEGER PROGRAMMING - · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050702/5a7569927f8b9a9c548c7d59/html5/thumbnails/9.jpg)
Solusi Grafis
Pure IP : ditambah batasan X1, X2 integer
Mixed IP : ditambah batasan X1 atau X2 integer
0-1 IP : ditambah batasan X1, X2 = 0 atau 1
X1
X2
![Page 10: INTEGER PROGRAMMING - · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050702/5a7569927f8b9a9c548c7d59/html5/thumbnails/10.jpg)
Solusi Grafis
Pure IP– Penambahan batasan x1, x2 integer
– Daerah feasible (0,0), (0,1), (1,0), (1,1), (2,0)
Mixed IP– Penambahan batasan x2 integer
– Daerah feasible x2 = 0 and x1 <= 2;
x2 = 1 and x1 <= 3/2
0-1 IP– Penambahan batasan x1, x2 = 0 atau 1
– Daerah feasible (0,0), (0,1), (1,0), (1,1)
![Page 11: INTEGER PROGRAMMING - · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050702/5a7569927f8b9a9c548c7d59/html5/thumbnails/11.jpg)
Cara Menyelesaikan Permasalahan Integer Programming
• Max z = 4x1 + 5x2
• s.t. 2x1 + x2 ≤ 5 (1)
2x1 + 3x2 ≤ 5 (2)
x1 ≥ 0 (3)
x2 ≥ 0 (4)
x1 dan x2 = integer
![Page 12: INTEGER PROGRAMMING - · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050702/5a7569927f8b9a9c548c7d59/html5/thumbnails/12.jpg)
Cara Menyelesaikan Permasalahan Integer Programming
X1
X2
![Page 13: INTEGER PROGRAMMING - · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050702/5a7569927f8b9a9c548c7d59/html5/thumbnails/13.jpg)
Cara Menyelesaikan Permasalahan Integer Programming
Nilai optimal dari LP adalah (2.5,0) dengan z =10
– Dibulatkan keatas : (3,0) menjadi infeasible.
– Dibulatkan kebawah : (2,0) nilai z =8.
Apakah nilai tersebut optimal untuk IP?
Bila dibutuhkan nilai x1 and x2 adalah integer.
– Daerah feasibel menjadi: (0,0), (0,1), (1,0),(1,1), (2,0)
– Nilai optimal IP adalah (1,1) dengan z =9.
![Page 14: INTEGER PROGRAMMING - · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050702/5a7569927f8b9a9c548c7d59/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Contoh 1: Formulasi masalah sbb:
• Fungsi tujuan: Maksimum Z = 2X1 + 5X2
• Kendala-kendala:
(1) 3X1 + 6X2 < 16
(2) X1, X2 > 0
Kalau diselesaikan dgn metoda grafik sbb:
![Page 15: INTEGER PROGRAMMING - · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050702/5a7569927f8b9a9c548c7d59/html5/thumbnails/15.jpg)
15
• X2
• B (0, 2,67) Z = 13,33
• A(5,33, 0) Z = 10,67
• X1
![Page 16: INTEGER PROGRAMMING - · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050702/5a7569927f8b9a9c548c7d59/html5/thumbnails/16.jpg)
16
• Dgn LP di titik B, memiliki nilai variabelpecahan (noninteger)
• Untuk membuat integer harus ditambahkendala X2 = 2
• Jangan dijadikan 3 sebab akan melanggarkendala
• X1 juga harus integer, diberi kendala X1 = 1
• Hasil integer-nya sbb:
Hasil optimal:
![Page 17: INTEGER PROGRAMMING - · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050702/5a7569927f8b9a9c548c7d59/html5/thumbnails/17.jpg)
17
Grafik untuk integer programming
• X2
• B (0, 2,67) Z = 13,33
•
• 2 C
• A(5,33, 0)
• 0 1 X1
![Page 18: INTEGER PROGRAMMING - · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050702/5a7569927f8b9a9c548c7d59/html5/thumbnails/18.jpg)
18
Hasil optimal integer programming:
• Untuk membuat nilai X2 integer, maka harus dijadikan 2, kalau 3 melanggar kendala
• X1 juga dapat menjadi 1, lihat gambar!
• Maka hasil optimal di titik C:
X1 = 1, X2 = 2, Z = 12
![Page 19: INTEGER PROGRAMMING - · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050702/5a7569927f8b9a9c548c7d59/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Latihan Soal!
• F Tujuan: Maks. Z = 7X1 + 6X2
• Kendala-kendala:
(1) 2X1 + 3X2 < 12
(2) 6X1 + 5X2 < 30
(3) X1, X2 > 0
![Page 20: INTEGER PROGRAMMING - · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050702/5a7569927f8b9a9c548c7d59/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Grafik:
X2 6
4
(3,75, 0,5) Z = 35,25
(5, 0) Z = 35
6
X1
![Page 21: INTEGER PROGRAMMING - · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050702/5a7569927f8b9a9c548c7d59/html5/thumbnails/21.jpg)
21
Alternatif titik:
X1 X2 Z
0 4 24
1 3 25
2 2 26
3 2 33
4 1 34
5 0 35
Optimal
![Page 22: INTEGER PROGRAMMING - · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050702/5a7569927f8b9a9c548c7d59/html5/thumbnails/22.jpg)
Latihan
Max z = 5 x1 + 4 x2
• St x1 + x2 <= 5
10 x1 + 6 x2 <= 45
x1, x2 >= 0
x1, x2 adalah integer
![Page 23: INTEGER PROGRAMMING - · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050702/5a7569927f8b9a9c548c7d59/html5/thumbnails/23.jpg)
Solusi
![Page 24: INTEGER PROGRAMMING - · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050702/5a7569927f8b9a9c548c7d59/html5/thumbnails/24.jpg)
Contoh Model Total Integer
• Pemilik Toko Jual Beli mesin merencanakan untuk mengadakan perluasandengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkankeuntungan sebesar $100 per hari dan tiap mesin bubut akan menaikkankeuntungan sebesar $150 per hari. Banyaknya mesin yang dapat dibelidibatasi dengan biaya mesin dan tersedianya ruang dalam toko. Harga belimesin dan luas tempat sbb :
Mesin Luas Tempat (ft2) Harga Beli ($)
PencetakBubut
1530
8.0004.000
![Page 25: INTEGER PROGRAMMING - · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050702/5a7569927f8b9a9c548c7d59/html5/thumbnails/25.jpg)
Contoh Model Total Integer
• Anggaran pembelian mesin sebesar $40.000 sedangkan tempatyang tersedia seluas 200 feet persegi. Pemilik ingin mengetahuibeberapa banyak tiap jenis mesin dapat dibeli untukmemaksimalkan kenaikan keuntungan per hari.
• Maksimalkan Z = 100 x1 + 150 x2
Batasan8.000 x1 + 4.000 x2 ≤ 40.00015 x1 + 30 x2 ≤ 200 ft2
x1 , x2 ≥ 0di manax1 = jumlah mesin pencetakx2 = jumlah mesin bubut
![Page 26: INTEGER PROGRAMMING - · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050702/5a7569927f8b9a9c548c7d59/html5/thumbnails/26.jpg)
![Page 27: INTEGER PROGRAMMING - · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050702/5a7569927f8b9a9c548c7d59/html5/thumbnails/27.jpg)
Contoh Model Integer 0-1
• Suatu dewan kota harus memutuskan fasilitas rekreasi yang perlu didirikandi kota tersebut. Empat fasilitas rekreasi yang telah diusulkan-sebuahkolam renang, sebuah lapangan tenis, sebuah lapangan atletik, dansebuah gelanggang olahraga. Dewan berkeinginan mendirikan fasilitas-fasilitas yang dapat memaksimalkan penggunaan harian yang diharapkanoleh penduduk setempat dengan biaya dan lahan yang terbatas. Penggunaan harian sbb:
Fasilitas RekreasiPenggunaan yang
Diharapkan (orang/hari)Biaya ($)
Lahan yang Diperlukan(acre)
Kolam renang 300 35.000 4
Lapangan tenis 90 10.000 2
Lapangan atletik 400 25.000 7
Gelanggang olah raga 150 90.000 3
![Page 28: INTEGER PROGRAMMING - · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050702/5a7569927f8b9a9c548c7d59/html5/thumbnails/28.jpg)
Contoh Model Integer 0-1
• Kota menyediakan anggaran sebesar $120.000 dan lahan seluas 12 acre. Karena lahan untukkolam renang dan lapangan tenis berada di daerah yang sama maka hanya akan didirikansatu dari dua fasilitas rekreasi ini.
![Page 29: INTEGER PROGRAMMING - · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050702/5a7569927f8b9a9c548c7d59/html5/thumbnails/29.jpg)
Formulasi matematiknya?
![Page 30: INTEGER PROGRAMMING - · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050702/5a7569927f8b9a9c548c7d59/html5/thumbnails/30.jpg)
![Page 31: INTEGER PROGRAMMING - · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050702/5a7569927f8b9a9c548c7d59/html5/thumbnails/31.jpg)
Contoh Model Integer Campuran
• Seorang pengusaha memiliki kelebihan uang $250.000 danakandi investasikan pada 3 alternatif, yaitu : kondominium, tanah, danobligasi. Dia ingin menginvestasikan uangnyadengan tujuanpengembalian terbesar diperoleh pada akhirtahun.Data jenis investasi:
![Page 32: INTEGER PROGRAMMING - · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050702/5a7569927f8b9a9c548c7d59/html5/thumbnails/32.jpg)
Formulasi matematiknya?
![Page 33: INTEGER PROGRAMMING - · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050702/5a7569927f8b9a9c548c7d59/html5/thumbnails/33.jpg)
Terima Kasih