Instituto Tecnológico de Saltillo Álgebra Lineal M.C. Ignacio Dávila Ríos
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Instituto Tecnológico de Saltillo
Álgebra Lineal
M.C. Ignacio Dávila Ríos
Periodo Enero - Junio 2013
Temario:
Unidad I. Los Números Complejos.
Unidad II. Matrices y Determinantes.
Unidad III. Sistemas de Ecuaciones Lineales.
Unidad IV. Espacios Vectoriales.
Unidad V. Transformaciones Lineales.
Ing. Ignacio Dávila Ríos
Unidad I. Números Complejos.
Competencias a desarrollar:
Manejar los números complejos y las diferentes formas de representarlos, así como las operaciones entre ellos para tener una base de conocimiento a utilizar en ecuaciones diferenciales y en diferentes aplicaciones de ingeniería.
Ing. Ignacio Dávila Ríos
Unidad I. Números Complejos.
1.1 ¿Cuáles son los números complejos?
En Cálculo Diferencial e integral se hizo uso de una gama de números, llamados Números Reales, que son:
Los Números Racionales y los Irracionales y los Racionales a su vez se dividen en Naturales y Enteros.
Ing. Ignacio Dávila Ríos
Los Números Complejos.
Para Álgebra Lineal se hará uso además de estos números los también llamados Números Complejos, o también conocidos como Números Imaginarios.
¿Cuáles son los Números Complejos o de donde provienen?
Ing. Ignacio Dávila Ríos
Considere el problema de encontrar las raíces de los polinomios
𝑎𝑥 2+𝑏𝑥+𝑐=0
Para encontrar las raíces, se utiliza la fórmula cuadrática y se obtiene
𝑥1,2=−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
Ing. Ignacio Dávila Ríos
En esta ecuación se puede dar uno de tres posibles casos
Caso 1. Si existen dos raíces reales.
𝑥1,2=−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑎𝑥 2+𝑏𝑥+𝑐=0
Ing. Ignacio Dávila Ríos
En esta ecuación se puede dar uno de tres posibles casos
Caso 1. Si existen dos raíces reales.
𝑥1,2=−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎𝑏2−4𝑎𝑐
𝑎𝑥 2+𝑏𝑥+𝑐=0
Ing. Ignacio Dávila Ríos
Ejemplo 1: Encuentre la o las raíces del siguiente polinomio, si es que las hay.
𝑥2+5 𝑥+6=0
𝑎=𝑏=𝑐=¿
Ing. Ignacio Dávila Ríos
Ejemplo 1: Encuentre la o las raíces del siguiente polinomio, si es que las hay.
𝑥2+5 𝑥+6=0
𝑎=𝑏=𝑐=¿
𝑥1,2=−5±√¿¿ ¿𝑥1,2=
−5±√25−242
𝑥1,2=−5±√12
Ing. Ignacio Dávila Ríos
Ejemplo 1: Encuentre la o las raíces del siguiente polinomio, si es que las hay.
𝑥2+5 𝑥+6=0
𝑎=𝑏=𝑐=¿
𝑥1,2=−5±12
𝑥1=−5+12
𝑥2=−5−12
𝑥1=−52
+12𝑥2=
−52−12
𝑥1=−2 3
Ing. Ignacio Dávila Ríos
En esta ecuación se puede dar uno de tres posibles casos
Caso 2. Si se obtiene una sola raíz (de multiplicidad 2a)
𝑥1,2=−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑎𝑥 2+𝑏𝑥+𝑐=0
Ing. Ignacio Dávila Ríos
En esta ecuación se puede dar uno de tres posibles casos
Caso 2. Si se obtiene una sola raíz (de multiplicidad 2a)
𝑥1,2=−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎𝑏2−4𝑎𝑐
𝑎𝑥 2+𝑏𝑥+𝑐=0
Ing. Ignacio Dávila Ríos
En esta ecuación se puede dar uno de tres posibles casos
Caso 3. Para manejar el caso que se introduce la unidad imaginaria. Esto porque no existen las raíces negativas.
𝑥1,2=−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑎𝑥 2+𝑏𝑥+𝑐=0
Ing. Ignacio Dávila Ríos
En esta ecuación se puede dar uno de tres posibles casos
Caso 3. Para manejar el caso que se introduce la unidad imaginaria. Esto porque no existen las raíces negativas.
𝑥1,2=−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎𝑏2−4𝑎𝑐
𝑎𝑥 2+𝑏𝑥+𝑐=0
Ing. Ignacio Dávila Ríos
Ejemplo 2: Encuentre la o las raíces del siguiente polinomio, si es que las hay.
𝑥2+2𝑥+5=0
𝑎=𝑏=𝑐=¿
Ing. Ignacio Dávila Ríos
Ejemplo 2: Encuentre la o las raíces del siguiente polinomio, si es que las hay.
𝑥1,2=−2±√−16
2
𝑥2+2𝑥+5=0
𝑎=𝑏=𝑐=¿
5
Ing. Ignacio Dávila Ríos
El problema se presenta cuando el radicando se hace negativo o su valor es menor que cero.
Unidad imaginaria. Que esta dada por la siguiente expresión:
𝑥1,2=−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎𝑏2−4𝑎𝑐
𝒊=√−𝟏Y proviene del hecho de que:
𝒊𝟐=−𝟏
Ing. Ignacio Dávila Ríos
Entonces si y para valores de se tiene que:
√𝑏2−4𝑎𝑐=¿
Y las dos raíces de la fórmula cuadrática para valores de serían:
𝑥1=−𝑏2
+ √4 𝑎𝑐−𝑏22
𝑖 𝑥2=−𝑏2− √4𝑎𝑐−𝑏2
2𝑖
√(4 𝑎𝑐−𝑏2)(−1)=¿√ (4𝑎𝑐−𝑏2 ) ∙ 𝑖2=¿√(4 𝑎𝑐−𝑏2)∙ 𝑖
Ing. Ignacio Dávila Ríos
Regresando al ejemplo 2 donde y que en este caso el resultado es podemos expresarlo como sigue:
𝑥1=−2+4 𝑖2
√−16=√(16)(−1)=√16√−1=4 𝑖
𝑥2=−2−4 𝑖2
𝑥1=−1+2 𝑖 𝑥2=−1−2 𝑖
Ing. Ignacio Dávila Ríos
Un número complejo es una expresión de la forma:
𝑧=𝛼+ 𝑖 𝛽
Donde son números reales.
A se le denomina la parte real de z, (Re z).
A se le denomina parte imaginaria de z, (Im z).
En ocasiones a esta representación se le denomina forma cartesiana o rectangular del número complejo.
Ing. Ignacio Dávila Ríos
Regresando al ejemplo 2 tenemos dos raíces complejas, que son:
𝑥1=¿ 𝑥2=¿−1+2𝑖 −1−2 𝑖
Números Complejos
Ing. Ignacio Dávila Ríos
𝑧=𝛼+ 𝑖 𝛽
Si el valor de entonces es decir un número real.
Por tanto podemos decir que el conjunto de los números reales es un subconjunto de los números complejos
Ing. Ignacio Dávila Ríos
Ejemplo 3. Sean y
Calcular:
a) , b) c)
Los números complejos se pueden sumar y multiplicar usando las reglas normales del álgebra.
Ing. Ignacio Dávila Ríos
Ejemplo 3(a). Sean y
Calcular:
a)
𝑧+𝑤=¿(2+3 𝑖 )+ (5−4 𝑖 )=¿(2+5 )+(3 𝑖−4 𝑖 )=¿7−𝑖
Ing. Ignacio Dávila Ríos
Ejemplo 3(b). Sean y
Calcular:
b)
3𝑤−5 𝑧=¿(15−12 𝑖 )− (10+15 𝑖 )
(15−10 )+(−12 𝑖−15 𝑖 )=¿5−27 𝑖
3𝑤=3 (5−4 𝑖 )=15−12 𝑖5 𝑧=5 (2+3 𝑖 )=10+15 𝑖
Ing. Ignacio Dávila Ríos
Ejemplo 3(c). Sean y
Calcular:
c)
10−8 𝑖+15 𝑖−12 𝑖2=¿
𝑧 ·𝑤= (2+3 𝑖 ) ·(5−4 𝑖)=¿(2 ) (5 )+(2 ) (−4 𝑖 )+ (3 𝑖 ) (5 )+(3 𝑖 ) (−4 𝑖 )=¿
10+7 𝑖+(−12) (−1 )=¿22+7 𝑖
Ing. Ignacio Dávila Ríos
Instituto Tecnológico de Saltillo
Realizado por: M.C. Ignacio Dávila Ríos
Enero 2013