INSTITUTO NACIONAL DE ECOLOGÍA

DIRECCIÓN GENERAL DE INVESTIGACIÓN SOBRE LA CONTAMINACIÓN

URBANA REGIONAL Y GLOBAL

DIRECCIÓN DE INVESTIGACIÓN SOBRE LA CALIDAD DE AIRE

Ma. Guadalupe Tzintzun Cervantestzintzun@ine.gob.mx

IMECA

Fre

cuen

cia

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

-50 0 50 100 150 200 250 300

TALLER DE “CALIDAD DEL AIRE Y RED DE

MONITOREO AMBIENTAL”

Identificación e implementación de técnicas estadísticas para el análisis de la información de

calidad del aire y estimación de pronósticos

Bógota-Colombia

Métodos Estadísticos para el Análisis de Datos de

Calidad del Aire

Existe más de una técnica estadística para un determinado análisis de la información de Calidad del Aire y en cada técnica se hacen suposiciones que pueden o no ser apropiadas para las circunstancias especificas del problema a resolver.

Análisis exploratorio de los datos

Análisis gráfico de los datos

Características de los datos a través del uso de estadísticas descriptivas

El análisis exploratorio de los datos permite aparte de visualizar la estructuras, comportamientos y relaciones de las variables bajo estudio, verificar su calidad, cantidad y consistencia.

Análisis gráfico de los datos

Una excelente gráfica estadística es aquella que comunica ideas complejas con claridad, precisión y eficiencia. Al

desplegar una gráfica se quiere lo siguiente:

Mostrar los datos

Evitar distorsionar lo que los datos dicen

Presentar un conjunto de datos en un pequeño espacio

Hacer coherente un conjunto de datos grande

Los datos revelen niveles de detalle a simple vista

HistogramaEl histograma es el más común, para dibujarlo se parte de una tabla de frecuencias o distribución de frecuencias en la cual se organizan y distribuyen los posibles valores de una variable.

Frecuencia por hora de los máximos diarios de ozono que exceden 0.11, 0.15 , 0.2, 0.25 y 0.3 ppm

en la ZMVM , 1996-2000

Hora> 0.11 ppm

> 0.15 ppm

> 0.2 ppm> 0.25 ppm

> 0.3 ppm

11 2 0 0 0 012 25 12 1 0 013 124 76 28 4 014 335 280 140 34 215 383 325 172 40 616 264 227 120 21 117 121 103 56 19 118 14 12 8 0 019 1 1 0 0 0

Total 1269 1036 525 118 10

Histograma de los máximos diarios de ozono que exceden 0.11 ppm en la ZMVM

1996-2000

0

50

100

150

200

250

300

350

400

Fre

cu

en

cia

de

Má

xim

os

dia

rio

s >

0.1

1 p

pm

11 12 13 14 15 16 17 18 19

Hora

Gráficas en el tiempoCon este tipo de gráficas es posible visualizar el comportamiento (o patrón) del fenómeno de interés a lo largo del tiempo para determinar algún tipo de tendencia: cíclica, periodica, etc. Comportamiento de las PM10 del 1 al 5 de enero de

1998 en la ZMVM

0

50

100

150

200

250

300

350

µg

/m³

01/01/98 02/01/98 03/01/98 04/01/98 05/01/98

Gráficas de dos escalasSon otro tipo de gráficas en el tiempo, cuya característica principal es visualizar dos variables con diferentes unidades de medición, lo cual permite determinar posibles relaciones en el tiempo entre ellas.

0.000

0.040

0.080

0.120

0.160

0.200

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Hora

Co

nce

ntr

aci

on

es

(pp

m)

0

5

10

15

20

25

Gra

do

s C

en

tíg

rad

os

(°C

)

Ozono Temperatura

Comportamiento del Ozono y la Temperatura el 1 de enero de 1998 en la ZMVM

Gráficas de dispersiónEste tipo de gráficas son utiles para visualizar posibles asociaciones entre dos variables. Es necesario contar con información bivariada. Existen diferentes tipos de asociación, entre los principales se encuentran: asociación lineal directa, lineal inversa, curvilínea directa y curvilínea inversa. Asociación lineal.Este tipo de asociación gráficamente se representa por medio de una línea recta.Asociación curvilínea.Este tipo de asociación gráficamente se representa por medio de una línea curva.Asociación directa.A medida que una de las variables incrementa sus valores, la otra variable también.Asociación inversa.A medida que una de las variables incrementa sus valores, la otra variable decrementa los suyos.

Gráfica de dispersión de contaminantes criterio y variables meteorologicas del 1 de

enero de 1998 en la ZMVM

SO2

PM10

O3

NO2

TMP

RH

DV

CO

Gráficas de Caja

Comparación anual de la máximos diarios de Ozono en las principales ciudades de la República MexicanaZMVM

ZMG

Juárez

Mexicali

ZMM

Tijuana

ZMVT365365362365363365365N =

300

250

200

150

100

50

0

IME

CA

Comparación del máximo diario de Ozono en 1998 de las principales ciudades de la República Méxicana

Con este tipo de gráficas es posible determinar visualmente un resumén de los datos ya que proporciona el rango, el rango intercuantilico, la mediana y las estadísticas de orden de la variable de interés.

Mapas de datos

Con los mapas se despliega un conjunto de datos muy grande

en el espacio, la impresión visual de los datos se conjunta con

los límites geográficos de la zona a la que pertenecen.

Distribución Espacial de Ozono en la ZMVM el día 20 de

Mayo de 1998 hora a hora

Menor concentración de Ozono

01:00 hrs.

-20 -10 0 10 20

-20

-10

010

20

TLA

XAL

TACTACLAGLAG

MERMERCECE

NO NE

CUACUAPED

UIZUIZ

CESCESTAXTAX

SESOSO

TAHTPN

PLA

HAN

BJU

CHA

SAG

EACAZC

02:00 hrs.

-20 -10 0 10 20

-20

-10

010

20

TLA

XAL

TACTACLAGLAG

MERMERCECE

NO NE

CUACUAPED

UIZUIZ

CESCESTAXTAX

SESOSO

TAHTPN

PLA

HAN

BJU

CHA

SAG

EACAZC

03:00 hrs.

-20 -10 0 10 20

-20

-10

010

20

TLA

XAL

TACTACLAGLAG

MERMERCECE

NO NE

CUACUAPED

UIZUIZ

CESCESTAXTAX

SESOSO

TAHTPN

PLA

HAN

BJU

CHA

SAG

EACAZC

04:00 hrs.

-20 -10 0 10 20

-20

-10

010

20

TLA

XAL

TACTACLAGLAG

MERMERCECE

NO NE

CUACUAPED

UIZUIZ

CESCESTAXTAX

SESOSO

TAHTPN

PLA

HAN

BJU

CHA

SAG

EACAZC

05:00 hrs.

-20 -10 0 10 20

-20

-10

010

20

TLA

XAL

TACTACLAGLAG

MERMERCECE

NO NE

CUACUAPED

UIZUIZ

CESCESTAXTAX

SESOSO

TAHTPN

PLA

HAN

BJU

CHA

SAG

EACAZC

06:00 hrs.

-20 -10 0 10 20

-20

-10

010

20

TLA

XAL

TACTACLAGLAG

MERMERCECE

NO NE

CUACUAPED

UIZUIZ

CESCESTAXTAX

SESOSO

TAHTPN

PLA

HAN

BJU

CHA

SAG

EACAZC

07:00 hrs.

-20 -10 0 10 20

-20

-10

010

20

TLA

XAL

TACTACLAGLAG

MERMERCECE

NO NE

CUACUAPED

UIZUIZ

CESCESTAXTAX

SESOSO

TAHTPN

PLA

HAN

BJU

CHA

SAG

EACAZC

08:00 hrs.

-20 -10 0 10 20

-20

-10

010

20

TLA

XAL

TACTACLAGLAG

MERMERCECE

NO NE

CUACUAPED

UIZUIZ

CESCESTAXTAX

SESOSO

TAHTPN

PLA

HAN

BJU

CHA

SAG

EACAZC

09:00 hrs.

-20 -10 0 10 20

-20

-10

010

20

TLA

XAL

TACTACLAGLAG

MERMERCECE

NO NE

CUACUAPED

UIZUIZ

CESCESTAXTAX

SESOSO

TAHTPN

PLA

HAN

BJU

CHA

SAG

EACAZC

10:00 hrs.

-20 -10 0 10 20

-20

-10

010

20

TLA

XAL

TACTACLAGLAG

MERMERCECE

NO NE

CUACUAPED

UIZUIZ

CESCESTAXTAX

SESOSO

TAHTPN

PLA

HAN

BJU

CHA

SAG

EACAZC

11:00 hrs.

-20 -10 0 10 20

-20

-10

010

20

TLA

XAL

TACTACLAGLAG

MERMERCECE

NO NE

CUACUAPED

UIZUIZ

CESCESTAXTAX

SESOSO

TAHTPN

PLA

HAN

BJU

CHA

SAG

EACAZC

12:00 hrs.

-20 -10 0 10 20

-20

-10

010

20

TLA

XAL

TACTACLAGLAG

MERMERCECE

NO NE

CUACUAPED

UIZUIZ

CESCESTAXTAX

SESOSO

TAHTPN

PLA

HAN

BJU

CHA

SAG

EACAZC

13:00 hrs.

-20 -10 0 10 20

-20

-10

010

20

TLA

XAL

TACTACLAGLAG

MERMERCECE

NO NE

CUACUAPED

UIZUIZ

CESCESTAXTAX

SESOSO

TAHTPN

PLA

HAN

BJU

CHA

SAG

EACAZC

14:00 hrs.

-20 -10 0 10 20

-20

-10

010

20

TLA

XAL

TACTACLAGLAG

MERMERCECE

NO NE

CUACUAPED

UIZUIZ

CESCESTAXTAX

SESOSO

TAHTPN

PLA

HAN

BJU

CHA

SAG

EACAZC

15:00 hrs.

-20 -10 0 10 20

-20

-10

010

20

TLA

XAL

TACTACLAGLAG

MERMERCECE

NO NE

CUACUAPED

UIZUIZ

CESCESTAXTAX

SESOSO

TAHTPN

PLA

HAN

BJU

CHA

SAG

EACAZC

16:00 hrs.

-20 -10 0 10 20

-20

-10

010

20

TLA

XAL

TACTACLAGLAG

MERMERCECE

NO NE

CUACUAPED

UIZUIZ

CESCESTAXTAX

SESOSO

TAHTPN

PLA

HAN

BJU

CHA

SAG

EACAZC

17:00 hrs.

-20 -10 0 10 20

-20

-10

010

20

TLA

XAL

TACTACLAGLAG

MERMERCECE

NO NE

CUACUAPED

UIZUIZ

CESCESTAXTAX

SESOSO

TAHTPN

PLA

HAN

BJU

CHA

SAG

EACAZC

18:00 hrs.

-20 -10 0 10 20

-20

-10

010

20

TLA

XAL

TACTACLAGLAG

MERMERCECE

NO NE

CUACUAPED

UIZUIZ

CESCESTAXTAX

SESOSO

TAHTPN

PLA

HAN

BJU

CHA

SAG

EACAZC

19:00 hrs.

-20 -10 0 10 20

-20

-10

010

20

TLA

XAL

TACTACLAGLAG

MERMERCECE

NO NE

CUACUAPED

UIZUIZ

CESCESTAXTAX

SESOSO

TAHTPN

PLA

HAN

BJU

CHA

SAG

EACAZC

20:00 hrs.

-20 -10 0 10 20

-20

-10

010

20

TLA

XAL

TACTACLAGLAG

MERMERCECE

NO NE

CUACUAPED

UIZUIZ

CESCESTAXTAX

SESOSO

TAHTPN

PLA

HAN

BJU

CHA

SAG

EACAZC

21:00 hrs.

-20 -10 0 10 20

-20

-10

010

20

TLA

XAL

TACTACLAGLAG

MERMERCECE

NO NE

CUACUAPED

UIZUIZ

CESCESTAXTAX

SESOSO

TAHTPN

PLA

HAN

BJU

CHA

SAG

EACAZC

22:00 hrs.

-20 -10 0 10 20

-20

-10

010

20

TLA

XAL

TACTACLAGLAG

MERMERCECE

NO NE

CUACUAPED

UIZUIZ

CESCESTAXTAX

SESOSO

TAHTPN

PLA

HAN

BJU

CHA

SAG

EACAZC

23:00 hrs.

-20 -10 0 10 20

-20

-10

010

20

TLA

XAL

TACTACLAGLAG

MERMERCECE

NO NE

CUACUAPED

UIZUIZ

CESCESTAXTAX

SESOSO

TAHTPN

PLA

HAN

BJU

CHA

SAG

EACAZC

24:00 hrs.

-20 -10 0 10 20

-20

-10

010

20

TLA

XAL

TACTACLAGLAG

MERMERCECE

NO NE

CUACUAPED

UIZUIZ

CESCESTAXTAX

SESOSO

TAHTPN

PLA

HAN

BJU

CHA

SAG

EACAZC

Estadísticas DescriptivasEn algunas investigaciones se obtienen numerosos datos que deben reducirse para lograr una interpretación adecuada. En estas situaciones la estadística descriptiva es utilizada como un valioso instrumento de análisis para describir y analizar las características de las observaciones y sobre las relaciones que existen con las características de otros conjuntos con los que se compare.

Las estadísticas descriptivas más comunes caen basicamente dentro de tres grupos:

Medidas de tendencia central o localización

Medidas de dispersión

Medidas de la forma de la distribución

Medidas de tendencia central o localización

Con estas medidas podemos ubicar en qué valor se centran las observaciones y las más usuales son:

media aritmética (promedio)

mediana

Moda

cuartiles, deciles, percentiles (cuantiles)

media geométrica

media armónica

Medidas de dispersión

Esta medida indica que tanto se alejan los datos de una medida central especifica, la más común es la media y las más usuales son:

Rango

Rango intercuantilico

Varianza

Desviación estándar

Coeficiente de correlación

Medidas de la forma de la distribución

Para estudiar la forma de la distribución de una variable se necesita disponer de un número de observaciones lo suficientemente grande como para poder deducir la regularidad o forma general del comportamiento de los valores observados. El histograma permite describir la forma de la distribución. De la visualización de este gráfico puede deducirse si los valores observados están o no muy concentrados en pocos valores de la variable, si la concentración se produce en el centro del recorrido de la variable o en uno de los extremos. Dos de estas medidas son:

sesgo

curtósis

Estadísticas descriptivas de las concentraciones (ppm) máximas diarias de ozono de cinco estaciones de

monitoreo* en la ZMVM

1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 20000.188 0.156 0.194 0.224 0.191 0.176 0.183 0.178 0.169 0.161 0.157 0.154 0.150

0.187 0.153 0.193 0.221 0.191 0.178 0.183 0.186 0.173 0.166 0.160 0.162 0.154

0.063 0.050 0.062 0.063 0.064 0.059 0.050 0.058 0.055 0.052 0.054 0.057 0.045

0.042 0.040 0.033 0.051 0.035 0.039 0.058 0.021 0.027 0.036 0.026 0.020 0.034

0.405 0.346 0.403 0.404 0.402 0.370 0.312 0.349 0.323 0.309 0.295 0.311 0.282

0.393 0.309 0.346 0.373 0.395 0.341 0.297 0.311 0.280 0.296 0.285 0.282 0.276

10 0.105 0.095 0.118 0.149 0.104 0.099 0.116 0.098 0.091 0.088 0.086 0.067 0.09

20 0.135 0.120 0.144 0.177 0.138 0.126 0.144 0.132 0.125 0.122 0.113 0.105 0.115

30 0.160 0.133 0.161 0.191 0.161 0.150 0.158 0.157 0.146 0.140 0.130 0.130 0.13

40 0.177 0.144 0.178 0.208 0.178 0.164 0.169 0.170 0.159 0.150 0.147 0.147 0.142

50 0.187 0.153 0.193 0.221 0.191 0.178 0.183 0.186 0.173 0.166 0.160 0.162 0.154

60 0.203 0.162 0.207 0.239 0.207 0.190 0.195 0.197 0.186 0.176 0.172 0.175 0.16270 0.215 0.178 0.221 0.254 0.221 0.206 0.211 0.209 0.200 0.189 0.183 0.188 0.17480 0.242 0.195 0.244 0.279 0.238 0.222 0.226 0.225 0.218 0.204 0.200 0.201 0.18890 0.259 0.217 0.273 0.306 0.268 0.249 0.248 0.246 0.234 0.227 0.230 0.222 0.20795 0.287 0.233 0.301 0.330 0.286 0.269 0.275 0.264 0.254 0.242 0.247 0.234 0.21898 0.333 0.270 0.318 0.349 0.346 0.317 0.282 0.290 0.276 0.262 0.264 0.253 0.237

360 363 364 351 365 365 365 365 366 365 365 365 366

2º Máximo

Percentil

Desviación estándar

Mínimo

Máximo

Año

Total de días con datos

Promedio

Mediana

*Máximo diario de Tlalnepantla (TLA), Xalostoc (XAL), Merced (MER), Pedregal (PED) y Cerro de la Estrella

Tendencia histórica de los máximos diarios de ozono de cinco estaciones de

monitoreo* en la ZMVM

*Máximo diario de Tlalnepantla (TLA), Xalostoc (XAL), Merced (MER), Pedregal (PED) y Cerro de la Estrella

0.000

0.100

0.200

0.300

0.400

0.500

1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

Con

cent

raci

ones

(pp

m)

mínimo promedio2ºmáximo máximo

Funciones de distribución(Modelos de Probabilidad)

IMECA

Fre

cuen

cia

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

-50 0 50 100 150 200 250 300

El análisis gráfico y las estadísticas descriptivas muestran

diferentes comportamientos en la forma de la distribución de la

variable. Estas formas pueden lleva a asociaciones

preliminares de la distribución de la variable con algunos

modelos matemáticos, de los que se conocen propiedades

que permiten realizar un análisis más científico del

comportamiento de variable. A este tipo de modelos se les

conoce como funciones de distribución.

Funciones de distribución (Modelos de Probabilidad)

Las funciones de distribución se clasifican en discretas y

continuas, esta clasificación depende de que la variable sea

discreta o continua. Es discreta cuando sólo pueden tomar

algunos valores en un intervalo y no es posible que llegue a

tomar algún valor entre dos números y continua cuando puede

tomar cualquier valor dentro de un intervalo. Por lo que para

asociarle una función de distribución a una variable se debe

considerar el rango de valores que esta puede tomar.

Funciones de distribución discretas

Si x es una variable discreta que puede tomar distintos valores

la función denotada por fx (x) y definida como

j

jjx x xsi 0

n,....1,2,....,j para x xsi xxP(x)f

es llamada la función de densidad de x donde es la

probabilidad de que x tome el valor de . De la función de

densidad discreta de x se puede obtener la función de

distribución de x, como se muestra a continuación

jxxP

jx

xx

jxxj

)(xf(x)F

Funciones de distribución discretas

Una función de densidad discreta satisface los siguientes tres puntos:

a) b) c)

1,2,.....j para 0(x)fx

1,2,...j ,x xpara 0(x)f jx

1(x)fx Donde la suma es sobre todos los valores deLa variable x.

Funciones de distribución discretas

El valor esperado o media ( =E (x)), se define como

jjxjx xvalores los todos para )(xfxE(x)μ

La varianza, la cual es una medida de dispersión con respecto al valor esperado, se define como:

jjx2

xj2x xvalores los todos para )(xf)µ(xVar(x)σ

La desviación estándar, al igual que la varianza mide que tanto se alejan los valores de la variable de la media y se define como :

ijx2

xjx xde valores los todos para )(xf)µ(xσ

Distribución Bernoulli

Considérese un experimento donde el resultado sólo puede tener dos opciones "éxito" o "fracaso", esto es, la variable x puede tomar los valores

X= 1, si se tiene éxitoX = 0, si no se tiene éxito

Ahora bien, sea el experimento es modelado con la función de distribución Bernoulli, cuya expresión matemática esta dada por:

qp10xP y p 1xP

0,1 xpara p)(1-pp)(x;f(x)f x-1xxx

El valor esperado y la varianza para la distribución Bernoulli están dadas por µ = p y 2 = p(1-p)

Distribución Binomial

Cuando el experimento anterior se realiza n veces de manera

independiente, los valores de la variable pueden ser 0,1,2,.....,

n éxitos, esto es hay x resultados con éxito y n-x resultados en

los que no se tiene éxito, y se modela con la función de

distribución Binomial, cuya expresión matemática para la

densidad esta dada por,

n0,1,2,..., xpara p)(1-px

np)n,(x;f(x)f xn-x

xx

Su media y varianza están dadas por µ = np y 2 = np(1-p)

Distribución Poisson

En ciertas aplicaciones en las cuales se modela con la

distribución binomial con frecuencia, el valor de p es pequeño

y el de n grande (mayor que 50).

En estos casos la distribución binomial puede aproximarse con

la función de distribución Poisson cuya expresión matemática

esta dada por:

0>λ

0,1,2,...= xx!

λ)λexp(λ)f(x;f(x)

x

µ = y 2 =

Una aplicación de las distribuciones discretas anteriores a un problema de

Calidad del AireEl número de excedencias a la norma de un determinado contaminante digamos NO2, puede ser tratado como un

proceso Bernoulli, ya que cada valor máximo diario se compara con el valor de la norma para ver si este se rebasa o no, y por tanto se puede aplicar la distribución Binomial.

Para poder aplicar este modelo se supone que las excedencias de NO2 son eventos independientes, dado que al

considerarse los valores máximos diarios, se rompe la relación entre ellos, los 365 días del año pueden suponerse 365 eventos independientes Bernoulli.

Una aplicación de las distribuciones discretas anteriores a un problema de

Calidad del AirePara eventos históricos se sabe que el número de excedencias al año de NO2 es aproximadamente de 3, esto

es, en promedio el número de días que se excede la norma de NO2 es 3. Esto es, el número de excedencias al año se

modela con una distribución Binomial con n =365 y p =3/365, ya que por inferencia estadística es bien conocido que p se

estima con

Al aproximar utilizando la distribución Poisson considerando p pequeño y n grande se tiene que 3 y el modelo queda dado por

0,1,2,...= xx!

3)3exp(3)λ(x;f(x)f

x

xx

n

xp

n

1ii

ˆ

Una aplicación de las distribuciones discretas anteriores a un problema de

Calidad del AireUna vez que se tiene el modelo es válido preguntarnos por la probabilidad de 4 excedencias en el año. Lo anterior es muy fácil de calcular se puede hacer el calculo directo o bien recurrir a tablas.Utilizando notación matemática, la pregunta se traduce a

0.168 4!

3)3exp(3)λf(3;f(3)4xP

4

Esto es, la probabilidad de que haya 4 excedencias de NO2 en

un año es de 0.168. Si nos preguntamos por a lo más 4 excedencias, la probabilidad esta dada por

Una aplicación de las distribuciones discretas anteriores a un problema de

Calidad del Aire

0.815 x!

3)3exp(3)λf(x;F(4)4xP

4

0x

x4

0x

Funciones de distribución continuas

La función de densidad continua fx(x) se representa con una

curva continua tal que el área incluida bajo la curva es 1 esto

es

1(x)f(x)f xx

área =1

Funciones de distribución continuas La densidad fx(x) se obtiene para calcular áreas entre dos

valores.

Si fx(x) es la función de densidad de una variable continua, se

obtiene la función de distribución Fx(x) para un valor de la

variable x como: du(u)f(x)FxxPx

xx

De manera similar

du(u)fdu(u)f1(x)F1xxPx

x

x

xx

Para un rango particular de la variable x, digamos bxa

du(u)f(a)F-(b)FbxaPb

axxx

Funciones de distribución continuas

En el caso de una variable continua el valor esperado y la

varianza de x están dados por:

dx(x)f)μ(x)μ(xEVar(x)σ2x

dx(x)xfE(x)μ

-x

2x

2x

-xx

Distribución Uniforme Continua

Supongamos que x es una variable aleatoria continua que

toma los valores en el intervalo [a,b], donde ambos a y b son

finitos. Si la dese dice que x esta distribuida uniformemente en

el intervalo [a,b] . Si la densidad de x esta dada por

bxa a-b

1b)a,(x;f(x)f xx

se dice que x esta distribuida uniformemente en el intervalo

[a,b]

El valor esperado y la desviación estándar para una variable

que sigue una distribución uniforme están dados por

12a)(b

σ y 2

baμ

22

x

Simulación Monte Carlo

La distribución Uniforme es útil para generar variables

aleatorias continuas con una distribución especifica.

Supongase que X se distribuye bajo una función de

probabilidad conocida. Sabemos que , esto es

U = F(x) sigue una distribución Uniforme [0,1], por lo que la

transformación inversa de F(x), tendrá la

distribución deseada.

1F(x)0

(x)Fx 1

Si la expresión no se puede resolver

analíticamente, es posible obtener algoritmos en la

computadora que la aproxime

(x)Fx 1

Distribución Normal El modelo de distribución normal es el resultado de la suma de

muchas otras variables aleatorias continuas no relacionadas.

Considérese un modelo idealizado en el cual X1, X2, ..., Xn son

variables aleatorias independientes con una distribución

común con media o = 0 y varianza 2 = 1. Utilizando el

Teorema de Limite Central, la variable

nX...XX

Z n21

Z tiende a distribuirse como una normal en el límite cuando n

es grande. La distribución normal estandarizada tiene la

siguiente expresión matemática:

Distribución Normal

Esta función de densidad es simétrica con respecto del cero y

tiene forma acampanada. Su función de distribución

acumulativa esta dada por:

z

2z

exp2π1

(z)f2

z

a 2

z dz2z

exp2π1

(a)F

Esta integral no puede ser evaluada analíticamente, pero

existen tablas para su evaluación.

Distribución Normal

La expresión de la distribución normal no estandarizada alrededor de la media esta dada por la siguiente expresión matemática

μ 0;σ ;x

2σ

μxexp

2π

1(x)f

2

2

2x

Var(x)σ E(x),μ 2xx

Para diferentes valores del valor esperado y la desviación estándar, la curva de distribución normal asume formas distintas, pero siempre del mismo tipo de campana. Variando sólo la media, la curva se desplaza, conservando la misma forma a la derecha ó a la izquierda. Si se varia la desviación estándar la curva se baja aplastándose o se alza haciéndose angosta si se aumenta o disminuye respectivamente.

Distribución Normal

fx(x)fx(x)

Distribución Normal

fx(x)=0.5

=2

=1

fx(x)=0.5

=2

=1

Distribución Lognormal

Una distribución lognormal resulta del producto de muchas variables independientes multiplicadas juntas, es muy utilizada en el análisis de problemas ambientales con el objeto de representar datos positivos de magnitudes pequeñas. Hay tres formas comunes de parametrizar una variable lognormal:

a) promedio aritmético del logaritmo de variables descritas por una distribución normal.b) promedio geométrico de variables no transformadas.c) promedio aritmético de variables no transformadas.

Sus expresiones matemáticas están dadas por:

Lognormal de dos parámetros

μ 0;σ ;x0

2σ

μlog(x)exp

2πx

1)σμ,(x;f(x)f 2

2

2

2xx

Lognormal de tres parámetros

τ μ 0;σ τ;x

2σ

μτ)log(xexp

2ππτ)(x

1τ),σμ,(x;f(x)f 2

2

2

2xx

Distribución Weibull

Una distribución weibull es muy utilizada en el análisis de supervivencia y fallos en el tiempo. Sus expresiones matemáticas están dadas por:

Weibull con dos parámetros

0β 0,α

;x0 αxexpαβxβ)α,(x;f(x)f β1βxx

Weibull con tres parámetros

0α 0,β γ, x;γ

β

γxexp

βγx

βα

γ)β,α,(x;f(x)fα1α

xx

Distribución GammaUna distribución gamma es muy utilizada en los análisis de medio ambiente para caracterizar concentraciones de contaminantes, procesos meteorológicos y en la caracterización de la precipitación. Sus expresiones matemáticas están dadas por:

0α 0,β

;x0 βx-exp x(βαΓ

ββ)α,(x;f(x)f 1α

xx

Gamma con dos parámetros

Gamma con tres parámetros

0α para xexpxαΓ0

1α

0α 0,β γ, x;γ

β

γxexp

βγx

βΓ(α)1

γ)β,α,(x;f(x)f1α

xx

Otras técnicas estadísticas aplicadas en el análisis de datos ambientales

Estadística BayesianaPruebas de hipótesis parametricas y no parametricasSeries de tiempoBondad de ajuste

Técnicas Multivariadas

sprincipale sComponente

clusters de Análisis

enciacorrespond de Análisis

Bibliografía

Wayne R. Ott. Environmental Statistics and data Analisis. Lewis, 1995Edward A. McBean & Frank A. Rovers. Statistical Procedures for Analysis of Environmental Monitoring Data & Risk Assessment. Prentice Hall PTR, 1998A.T. Walden & P. Guttorp. Statistics in the Environmental & Earth Sciences. 1992Richard O. Gilbert. Statistical Methods for Environmental Pollution Monitoring. Van Nostrand Reinhold, 1987Mary Lou Thompson, Joel Reynolds, Lawrence H. Cox, Peter Guttorp, Paul D. Sampsin. A review of statistical methods for the meteorological adjusment of tropospheric ozone. Technical Report Series