Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22....
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Institut für Erziehungswissenschaft
Mathematics meets SnowsportsSchruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008
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Übersicht
• Funktionen, Extremstellen, Wendepunkte
• Steigung
• Parabeln und Kurven
• Kräftewirkung
• Geschwindigkeit
• Impressum
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Mathematics meets Mathematics meets SnowsportsSnowsports
Funktionen, Extremstellen, Funktionen, Extremstellen, WendepunkteWendepunkte
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GliederungGliederung
Lineare FunktionLineare Funktion Quadratische FunktionQuadratische Funktion Funktion n-ten GradesFunktion n-ten Grades RechenbeispielRechenbeispiel BetragsfunktionBetragsfunktion
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Lineare FunktionLineare Funktion
Konstante Steigung, Proportionalität Konstante Steigung, Proportionalität der Funktionswerteder Funktionswerte
f(x)=-1/2x+3
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Quadratische FunktionQuadratische Funktion
Parabelförmig Parabelförmig
f(x)=-1/3*x^2+2*x+1
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Funktion n-ten GradesFunktion n-ten Grades
Wendepunkte, ExtrempunkteWendepunkte, Extrempunkte
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RechenbeispielRechenbeispiel
f(x)= x³+2x²-4x+6f(x)= x³+2x²-4x+6 f´(x)= 3x²+4x-4f´(x)= 3x²+4x-4 f´´(x)=12x+4f´´(x)=12x+4
Extremstellen:Extremstellen:
f´(x)=0f´(x)=0 1.Fall: x=-21.Fall: x=-2
2.Fall: x= 0,662.Fall: x= 0,66
Wendepunkte:Wendepunkte:
f´´(x)=0f´´(x)=0 x=-0,33 x=-0,33
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BetragsfunktionBetragsfunktion
Funktion aus mehreren EinzelfunktionenFunktion aus mehreren Einzelfunktionen
f(x)=-|x+1|
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Vielen Dank Für Ihre Aufmerksamkeit Vielen Dank Für Ihre Aufmerksamkeit
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SteigungSteigung
Mathematics meets SnowsportsMathematics meets Snowsports
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Inhalt
I. Die StraßeI. Umrechnung von % in GradII. Mathematische Herleitung
II. Der BergI. Mathematische HerleitungII. Wann rutscht man vom Berg?
III. Die SeilbahnI. Mathematische HerleitungII. Momentane Steigung (Ableitung)
IV. Die BuckelpisteI. Mathematische Herleitung
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Die Straße
• Umrechnung von % in Grad:
• α=arctan(33%)• α=18,26°
• arctan (tan-1) = Umkehrfunktion von tan = Gegenkathete dividiert durch Ankathete
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Mathematische Herleitung
• Die Steigung einer Straße entspricht der Steigung der Strecke b (in diesem Beispiel) eines rechtwinkligen Dreiecks
α
ab
c
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Der Berg
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Mathematische Herleitung
f(x)=mx+b m=Δy/Δx
f(x)
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Wann rutscht man vom Berg?
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Wann rutscht man vom Berg?
• Aufgabe:
Ein Bergsteiger trägt Schuhe mit Gummisohle und steigt auf einen mit Schnee bedeckten Berg. Ab welcher Steigung des Berges rutscht er vom Berg, wenn er keine weitere Ausrüstung besitzt?
(fR=0,3 Reibungszahl von Gummi auf Schnee)
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Wann rutscht man vom Berg?
FH>FR (Ansatz)
FH=FG·sin(α)
FN=FG·cos(α)
FR=FN·fR
FG=m·g
g≈9,81m/s²
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Wann rutscht man vom Berg?
• Lösung:
FH>FR
m·g·sin(α) > m·g·cos(α)·fR
sin(α)/cos(α) > fR
tan(α) > fR
α > arctan(0,3)
α > 16,7° = 30%
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Die Seilbahn
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Mathematische Herleitung
f(x)=ax²+bx+c
Ø Steigung
f‘(x)=2ax+b
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Die Buckelpiste
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Mathematische Herleitung
f(x)=sin(x)
f‘(x)=cos(x)
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Fazit
• Mathematik stellt die Grundlage für viele technische Errungenschaften dar, welche nicht nur in heutigen Trendsportarten zum Tragen kommen.
• Die allgegenwärtige Mathematik erscheint uns jedoch nicht von bemerkenswerter Bedeutung.
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Ende
Vielen Dank für Vielen Dank für Ihre Ihre
AufmerksamkeitAufmerksamkeit
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Parabeln & Kurven
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Inhaltsangabe
Kurven Ebene Kurven Raumkurven
Trigonometrische Funktionen Sinus Kosinus Tangens
Parabeln
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Kurven
Ebene Kurven Raumkurven
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Ebene Kurven Ebene Kurven:
eindimensionales Objekt besitzt im allgemeinen eine Krümmung kann sich nur in eine Richtung bewegen kann durch eine Gleichung in Koordinaten beschrieben
werden man kann sie ohne abzusetzen durchlaufen Beispiele für ebene Kurven:
Gerade Kreis Parabel
haben nur Krümmungen
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Raumkurve
haben Krümmungen und Windungen sind dreidimensional
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Trigonometrische Funktionen
Sinus Kosinus Tangens
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Sinuskurve
eHypothenus
teGegenkathe)sin(
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Kosinuskurve
eHypothenus
Ankathete)cos(
-Komplementärwinkel von Sinus
-Steht im 90° Winkel zu Sinus
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Tangenskurve
Ankathete
teGegenkathe)tan(
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Parabel
Ist ein Kegelschnitt, der entsteht wenn man den Kegel mit einer Ebene schneidet
Beispiel für eine Parabel: Quadratische Funktionen
Kann als Punktmenge in einem kartesischen Koordinatensystem beschrieben werden
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Ende
Wir bedanken uns für
Ihre Aufmerksamkeit
Orhan Karatas, Sebastian Bothe, Marc Keggenhoff
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Mathematics meet Mathematics meet SnowsportsSnowsports
KräftewirkungKräftewirkung
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InhaltsverzeichnisInhaltsverzeichnis
Zentrifugal- & ZentripetalkraftZentrifugal- & Zentripetalkraft
GewichtskraftGewichtskraft
HangabtriebskraftHangabtriebskraft
Potentielle EnergiePotentielle Energie
1.1.DefinitioDefinitionn
2.2.BeispielBeispiel
3.3.FormelnFormeln
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Zentrifugal- und ZentripetalkraftZentrifugal- und Zentripetalkraft DefinitionDefinition
Zentrifugalkraft (Fliehkraft)Zentrifugalkraft (Fliehkraft) Tritt in Drehbewegungen aufTritt in Drehbewegungen auf Wirkt nach außenWirkt nach außen
Zentripetalkraft Zentripetalkraft Wirkt nach innenWirkt nach innen Hält das Objekt in der KreisbahnHält das Objekt in der Kreisbahn
|Zentripetalkraft|=|Zentrifugalkraft| |Zentripetalkraft|=|Zentrifugalkraft|
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Zentrifugal- und ZentripetalkraftZentrifugal- und ZentripetalkraftBeispielBeispiel
rM
FZP
FZ
F
![Page 42: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d7049795902118c2847/html5/thumbnails/42.jpg)
Zentrifugal- und ZentripetalkraftZentrifugal- und ZentripetalkraftFormelnFormeln
FFZ Z = (m * v²)/ r= (m * v²)/ r
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GewichtskraftGewichtskraft DefinitionDefinition
Wirkt in Richtung des ErdkernsWirkt in Richtung des Erdkerns Ist dafür verantwortlich, dass Ist dafür verantwortlich, dass
Objekte auf der Erde bleiben und Objekte auf der Erde bleiben und nicht wegfliegennicht wegfliegen
Die Durchschnittliche Die Durchschnittliche Schwerebeschleunigung g beträgt Schwerebeschleunigung g beträgt 9,81m/s²9,81m/s²
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44
GewichtskraftGewichtskraftBeispielBeispiel
G
FAuftrieb
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Gewichtskraft Gewichtskraft FormelnFormeln
FFGG = m * g = m * g
g = 9,81 m/s²
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HangabtriebskraftHangabtriebskraft DefinitionDefinition
Eine Komponente der Gewichtskraft Eine Komponente der Gewichtskraft (Hangabtriebskraft + Normalkraft = (Hangabtriebskraft + Normalkraft = Gewichtskraft)Gewichtskraft)
Ist auf einer schiefen Ebene Ist auf einer schiefen Ebene hangabwärts gerichtethangabwärts gerichtet
![Page 47: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d7049795902118c2847/html5/thumbnails/47.jpg)
HangabtriebskraftHangabtriebskraftBeispielBeispiel
Hangabtriebskraft FH
Gewichtskraft FG
Normalkraft FN
![Page 48: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d7049795902118c2847/html5/thumbnails/48.jpg)
Hangabtriebskraft Hangabtriebskraft FormelnFormeln
FFHH = F = FGG * sin( * sin(αα))
FFNN = F = FGG * cos( * cos(αα))
FG = m * g
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Potenzielle EnergiePotenzielle Energie DefinitionDefinition
Energie, die ein Objekt durch seine Energie, die ein Objekt durch seine Position oder Lage in z.B. einem Position oder Lage in z.B. einem Gravitationsfeld erhält.Gravitationsfeld erhält.
Bezugspunkt: ErdoberflächeBezugspunkt: Erdoberfläche
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50
Potenzielle EnergiePotenzielle EnergieBeispielBeispiel
Höhendifferenz
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Potenzielle EnergiePotenzielle EnergieFormelnFormeln
V = m * g * hV = m * g * h
V = Potenzielle Energie
![Page 52: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d7049795902118c2847/html5/thumbnails/52.jpg)
Powered byPowered by
![Page 53: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d7049795902118c2847/html5/thumbnails/53.jpg)
Geschwindigkeit
M. Nocke, A. Rasseck, B. Westerkofort, T. Wunderlich
![Page 54: Institut für Erziehungswissenschaft Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d7049795902118c2847/html5/thumbnails/54.jpg)
Formelzeichen:
[] = Geschwindigkeit
[s] = Strecke
[t] = Zeit
t
sv
Formel:
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Inhaltsangabe
• Momentangeschwindigkeit
• Durchschnittsgeschwindigkeit
• Beschleunigung
• Lawinen
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t
sv
lim0t
Momentangeschwindigkeit
Beschreibung: Die Momentangeschwindigkeit beschreibt den Grenzwert der mittleren Geschwindigkeit für t gegen 0.
Momentangeschwindigkeit
Formelzeichen
[v] = Geschwindigkeit
[s] = Weg
[t] = Zeit
t
sv
lim0t
Formel:
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Durchschnittsgeschwindigkeit
Formelzeichen:
[v] = Geschwindigkeit
[s] = Weg
[t] = Zeit
Beschreibung: Die Durchschnittsgeschwindigkeit beschreibt die Mittelgeschwindigkeit aus allen auf einer Strecke gemessenen Geschwindigkeiten.
21
21
tt
ssv
Formel:
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Beschreibung: Bei der Beschleunigung in einer Bewegung verändert sich vom Punkt v1 auf v2. Diese Änderung geschieht in der Zeit zwischen t1 und t2.
Formelzeichen:[a] = Beschleunigung[v] = Geschwindigkeit[t] = Zeit
)(
)(
12
12
tt
vva
Beschleunigung
Beschleunigung
Formel:
t
sa
Formelzeichen:
[a] = Beschleunigung
[s] = Weg
[t] = Zeit
Beschreibung: Wenn wir vom Stillstand des Objektes ausgehen, ist die Zeit t=0.
So müssen wir den zurückgelegten Wegdurch die benötigte Zeit berechnen.
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Lawinen
Auslaufzone
- Hangneigung von ca. 30 – 50°
- Punktförmiger Anriss->Lockerschneelawine
-Linienförmiger Anriss->Schneebrettlawine
Ausgangspunkt
Bewegungsgebiet
-Flächige o. in Runsen konzentriert
- Stillstandzone- Unter 20° - Länge d. Auslauf- zone hängt von d. Lawine ab
Faktoren f. Lawinen allg. :
- Neuschnee- Viel Schneefall in kurzer Zeit- Hangneigung- Bodenbedeckung- Hanglage
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Lawinenarten
Schneebrettlawine
Lockerschneelawine
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Ende
Danke für Ihre Aufmerksamkeit
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Institut für Erziehungswissenschaft
Impressum
Die Projektwoche „Mathematics meets Snowsports“ wurde entwickelt von Verena Scharmacher ([email protected]) und Daniel Gersmeier ([email protected]).
Die wissenschaftliche Begleitung dieses Projekts erfolgt durch Prof. Dr. F. Stuber von der Fachhochschule Münster und Dr. C. Keller von der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster.