121/09/2005

Profesor ResponsableProfesor ResponsableEdward Johns NeumannEdward Johns Neumann

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Universidad Tcnica Federico Santa MaraUniversidad Tcnica Federico Santa MaraDepartamento de Industrias

GESTIN DECALIDAD TOTAL

21/09/2005

Inspeccin para la Calidad

Captulo 5

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Planes de Muestreo para Inspeccin

Muestreo de Aceptacin :Es el proceso de evaluacin de una porcin de los productos de un lote con el propsito de aceptar o rechazar el lote completo.

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Principalmente la economa (se inspecciona parte del lote).

Ventajas

Administrar un grupo menor de personas.

$$ $

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Existe un dao menor para el producto.

+ Ventajas

Se minimiza el problema de la monotona y los errores de inspeccin inducidos por la inspeccin manual de 100%.

El conocimiento que se adquiere es un insumo til al plan global de calidad.

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Alternativas de Inspeccin

1.- Ninguna Inspeccin : En el caso de haberse efectuado inspecciones anteriores sobre el mismo lote; o en el caso de tener costos de no conformidad bajos, (por ejemplo una partida de clavos).

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2.- Muestras Pequeas : En casos en los que el proceso es inherentemente uniforme y cuando se puede preservar el orden de la produccin. Ejemplo :

Estampado de puertas (se inspecciona la primera y la ltima)

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3.- Muestras grandes : En ausencia de un conocimiento previo, la informacin sobre la calidad del lote debe derivarse nicamente a partir del muestreo, lo que significa un muestreo aleatorio y por lo mismo muestras relativamente grandes.

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4.- Inspeccin del 100% : Se usa cuando los resultados del muestreo indican que el nivel actual de defectos es demasiado alto para que el producto se enve a los usuarios; o el costo de rechazo posterior (ej. garantas) es alto, por ejemplo en la produccin de marcapasos.

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La Curva Caracterstica de Operacin (CO)

Es una grfica del porcentaje de unidades defectuosas (p) en un lote contra la probabilidad (Pa) de que el plan de muestreo (n,c) acepte el lote.

Pa

p

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La curva CO se puede desarrollar determinando la probabilidad de aceptacin, para varios valores de calidad del lote al recibir p (% de unidades defectuosas)

Nota

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Es la probabilidad de que el nmero de unidades defectuosas en una muestra de tamao n, sea igual o menor que el nmero de aceptacin (c) para el plan de muestreo.

Probabilidad de Aceptacin (Pa) :

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Para determinar la probabilidad de aceptacin, se pueden utilizar las distribuciones Binomial yPoisson. Cuando se cumplen las condiciones, es preferible la distribucin Poisson debido a la facilidad de los clculos.

Comentario.

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Curva OC

Prob

abili

dad

de A

cept

aci

n (

P a)

Porcentaje Defectuoso ( p )

( n , c )

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Curva CO para distinto nmero de aceptacin (c) :

Pa

p

A

B

C

Plan de muestreoA : ( n , c1 )B : ( n , c2 )C : ( n , c3 )

c1 < c2 < c3

21/09/2005Curva CO para distinto tamao de muestra ( n ) :

Pa

p

Pa

p

Curva OCIdeal

n1

n2 1

n1 > n2

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Riesgos de Muestreo

Riesgo del Productor Se pueden rechazarlotes buenos

Riesgo de Consumidor Se pueden aceptar lotes malos

La inspeccin no garantiza que se encuentrentodos los productos malos en un lote

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Pa

p

Riesgo del Productor

Riesgo del Consumidor

}

}

10

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Si bien el tamao del lote N tiene poco efecto sobre la Pa del lote, se buscan CO mas precisas para lotes grandes para reducir el riesgo de error en cantidades costosas de productos.

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Indices de Calidad para Planes de Muestreo de Aceptacin

Nivel de calidad aceptable (NCA) o AQL :

Pocentaje defectuoso tolerado del lote (PDTL) o LTPD :

Mximo porcentaje no conformante cuya probabilidad de aceptacin es del 95 %.

Calidad no satisfactoria.Porcentaje de defectuosos cuya probabilidad de aceptacin es de 10 %

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Pa

p

0,95

0,10

AQL LTPD

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Distribucin Poisson :

donde n : nmero de pruebasp : probabilidad de ocurrencia (% defectuosos)r : nmero de ocurrencias

Condiciones para usar Poisson(aprox. De binomial) : n > 15 y N(poblacin) > 10 n , p < 0.1

( )P = n p r!r - n p e

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Probabilidad de Aceptacin (Pa acumulada):

c : nmero de aceptacin o cantidad mxima de individuos defectuosos presentes en una muestra que permiten que el lote sea aceptado.Tabla C de apndice Juran & Gryna

donde :

Pa = r = 0

r = c (np) r e-np

r!

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Ejemplo (Utilizando Poisson) :

Un fabricante de pistones para motocicletas comenzar a vender diariamente 1200 unidades para un nuevo cliente. Este ltimo determina condiciones contractuales para la inspeccin del lote diario, especificando que tomar muestras de 100 unidades y que slo aceptar los pedidos con 4 o menos defectos.

El fabricante menciona en el contrato, que histricamente ha obtenido un porcentaje defectivo del 2 %. Determinar la probabilidad de aceptacin del lote por parte del cliente

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1. Determinar las variables : n = 100c = 4p = 0.02

2. Recurrir a la Tabla de Distribucin Poisson (acumulada)cn p

2.0

c = 4

947 Pa = 94.7 %

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Distribucin Binomial :

donde n : nmero de pruebasr : nmero de ocurrenciasp : probabilidad de ocurrenciaq : 1-p

P =n!

r! (n -r)!pr qn-r

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Un proveedor cuya calidad ha sido de alrededor del 5% de unidades defectuosas entrega un lote de 100 unidades. Se selecciona una muestra aleatoria de 6 unidades del lote. Determinar la probabilidad de r defectos en la muestra.

Respuesta:

Ejemplo (Binomial):

P(r defectos en 6) = [6!/r! (6-r)!] (0.05)r (0.95)6-r

Nota para 0!=1Apndice II Quality Handbook

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Un proveedor entrega 15.000 piezas cada 2 semanas con una proporcin de defectuosos histrica de 10%. La empresa escoge un muestreo de: n1=15 y c1=2 ; n2=70 y c2=4.

Ejemplo (Muestreo Doble):

a) Calcule la Probabilidad Acumuladab) Se aade un nivel ms con n3=100 y c3=5

Calcule la Prob. de aprobar el lote habiendo encontrado 5 piezas defectuosas

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rbol de Probabilidades

MI

4

3

1

2

0

1

0

0

MII

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Probabilidad Acumulada

De esta forma se tiene que para el muestreo primero se trabaja con Binomial (n=15)y para el segundo con Poisson, obteniendo las siguientes probabilidades:

a) Pa=Prob Acumulada, Bi=Binomial, Poi= Poisson

PaBi(c=2)=81,594%+PBi(c=3)*PaPoi(c=1)=12,851%*0,730%=0,094%+Pbi(c=4)*PaPoi(c=0)=4,284%*0,091%=0,004%=Pa(total)=81,69%

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Probabilidad Acumulada dado un C definido

MI

4

3

1

2

0

5

2

1

0

0

0

MII

1

0

0

0

MIII

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Probabilidad Acumulada dado C=5

b) PBi(c=3)*PPoi1(c=2)*PPoi2(c=0)=1,30*10-7

+PBi(c=4)*PPoi1(c=1)*PPoi2(c=0)=1,24*10-8

+PBi(c=5)*PPoi1(c=0)*PPoi2(c=0)=4,33*10-10

= Pa(c=5)Total= 0,0000143% = 1,43*10-7=0%

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Evaluacin Econmica de las Alternativas de Inspeccin

N : nmero de artculos en el loten : nmero de artculos en la muestrap : porcentaje de artculos defectuosos en el loteA : costo de los daos en que se incurre si un artculo

defectuoso pasa la inspeccin. I : costo directo de inspeccin por artculoPa : probabilidad de que un lote sea aceptado por el plan

de muestreo.

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N

n

Pa

p I

A

$Eval

uaci

n E

con

mic

a de l

as

Alte

rnat

ivas

de I

nspe

cci

n

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Los costos de inspeccin se muestran en la siguiente tabla :

Alternativa Costo TotalNo inspeccionar N p AMuestrear n I + (N - n) p A Pa + (N - n) (1 - Pa) IInspeccin del 100% N I

Costos de Inspeccin

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Criterio para Determinar la Alternativa de Inspeccin

Para un tamao de muestra pequeo comparado con el tamao del lote, se tiene que el punto de equilibrio, pb, es :

pIAb

=

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Ejemplo

u Inspeccin de un dispositivo cuesta $0.5 por unidad. Se incurre en costo por dao de $10 si se instala un dispositivo defectuoso en el producto.

Pb = 0,50/10 = 5% (0.05)

Por ende si se espera un p mayor que 5% inspeccin 100% sino muestra o sin inspeccin

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Si p < pbel costo total sermenor sin inspeccin.

lo mejor es hacer unainspeccin 100%.Si p > pb

se debe hacer una comparacin econmica de no inspeccionar, muestrear o hacer la inspeccin 100%.

Si pb se aproxima a p

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Determinacin del Plan de Muestreo ( n , c )

Cm = n I + (N-n) p A Pa + (N-n) (1-Pa) I

n I : costo de inspeccin

(N-n) p A Pa : costo de rechazo posterior

(N-n) (1-Pa) I : costo de oportunidad de no realizarla inspeccin

Costo de muestreo :

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si n = N (100% inspeccin) :Pa = 0 entonces Cm = N I

Para determinar el plan de muestreo (n,c) dados I, A, N y p, se construye una matriz de costo para las distintas combinaciones (n,c).

Dados I, A, y p, se obtienen para distinto tamao de muestra los siguientes resultados:

si n = 0 (sin inspeccin) :Pa = 1 entonces Cm = N p A

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21/09/2005Matriz de Costo para Distintos Planes de Muestreo:

c c = 0 c = 1 c =2 c = 3 c = 4 ...... c = k n

0

12 Cm 2,2

3

4

:j Cm j,k

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Minimizacin de los Costos de Inspeccin

ATI : Inspeccin Promedio Total

ATI = n Pa + N (1 - Pa)ATI = n + (N - n) (1 - Pa)ATI = { CT - (N - n) p A (1 - Pa) } / I

AFI : Fraccin inspeccionada promedio

AFI = ATI / NAFI = { Pa n/N + (1 - Pa)

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Ejemplo.

Usted recibe lotes de un producto con 2000 unidades cada uno, conteniendo un porcentaje defectuoso del 1,5%. De los tres planes de muestreo siguientes, determine cul de ellos es ms conveniente en trminos econmicos, si slo se consideran costos directos.

Plan de muestreo

Plan 1

802

Plan 2

1203

Plan 3

1735

Parmetros

Tamao de muestraNmero de aceptacin

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Desarrollo.

N = 2000 AFI = (1 - Pa) + Pa (n / N)p = 1,5 %

Plan n c Pa N AFI1 80 2 87,9 2000 0,1562 120 3 89,1 2000 0,1623 173 5 95,1 2000 0,131

Luego es ms conveniente el plan 3, pues minimiza los costos directos de inspeccin ( Min {AFI} )

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Caractersticas de un Buen Plan de Aceptacinu Debe reflejar las necesidades del cliente y del

productoru Deben conocerse en forma cuantitativa los riesgos

del muestreou El plan debe minimizar el costo total de inspeccinu El plan debe usar otra informacin tal como la

habilidad del proceso, datos del proveedor (*), etc.u El plan debe construirse de manera flexible de tal

modo que refleje las variaciones de tamao del loteu El plan debe ser sencillo de aplicar y administrar

(*) Ver diapositiva siguiente.

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Indices para el Proveedor

u (*) Seguir los datos del productor con algn ndice.

Ej : Indice = Q1+ Q2 + Q3Qt

Donde Q1 : Rechazos a la llegada del loteQ2 : Rechazos en la linea de produccinQ3 : Aceptacin con reparosQt : Nmero total de entregas (en lotes)

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Indices para el Proveedor

u Son una valiosa informacin para el proveedor.u Fortalecen la relacin cliente - proveedor.uAseguran la calidad a largo plazo.u Son consecuentes con una poltica global de calidad.u Inducen una sana competencia entre proveedores en

materia de calidad.

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ANSI/ASQ Z1.4 (1981)u Sistema de muestreo por atributosu http://www.asq.org/u Permite definir planes (n,c) mediante tablas-Cap19.u Basado en la normas MIL105EuDebe conocerseNivel de Calidad Aceptable (26 valores)Tamao del LoteTipo de muestreo (simple, doble, etc.)Nivel de Inspeccin I,II y III (nivel II normal)

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Dodge Roming (1959)Proteccin contra baja calidadu Tablas que enfatizan PDTL o LCSP (simple y doble)u PDTL (porcentaje defectivo de tolerancia en el lote).u LCSP (Lmite de calidad de salida promedio)u LCSP aseguran que en calidad promedio muchos

lotes no excedern LCSPu Planes DR minimizan el ATI (ITP)u Todos los lotes rechazadas terminan en insp 100% y

hay sustitucin

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Dodge Roming (1959)Proteccin contra baja calidadu Tabla 19.5 Muestreo simpleu Todos los planes tiene riesgo 0.10 de aceptar lotes

con 5%.u Si el proceso en promedio 2.01-2.50%

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Normas ISO 9000

Captulohttp://www.

iso.org/ 6

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Gestin de Calidad TotalUSM