（選 択）問 題番 号１ ２ ３ ４ ５

選択した番

号の　内を

ぬりつぶし

てください。

（Ｎｏ.１）

⑴ 整数 k（k＝０，１，２，…）に対して，ℓk≠０のとき，ak＋１，ak＋２，…，ak＋ℓkはAの要素でないが，１≦m≦ℓkを満たすBの要素mはB（ℓk）個存在し，ak＋mはA＋Bの要素である。　　また，nがAに属さないとき，aA（n）＋１，aA（n）＋２，…，n＝aA（n）＋（n－aA（n））は Aの要素でないが，１≦m≦n－aA（n）を満たす Bの要素mは B（n－aA（n））個存在し，aA（n）＋mは A＋B の要素である。よって

　（A＋B）（n）≧A（n）＋　 B（ℓk）＋B（n－aA（n））

　　この不等式は，ℓk＝０のとき，nが Aに属するときも成り立つ。　　ここで，シュニレルマン密度の定義より，任意の正の整数 Nに対して

　　　σ（B）≦

　　　B（N）≧σ（B）N　であることから

　（A＋B）（n）≧A（n）＋σ（B）　 ℓk＋σ（B）（n－aA（n））

　　 ＝A（n）＋σ（B）n－aA（n）＋　 ℓk

⑵ aA（n）－　 ℓk＝A（n）

より　（A＋B）（n）≧A（n）＋σ（B）｛n－A（n）｝＝A（n）－A（n）σ（B）＋σ（B）n

　　また，シュニレルマン密度の定義より　　　A（n）≧σ（A）n　であることから

　（A＋B）（n）≧σ（A）n－σ（A）σ（B）n＋σ（B）n

　　　　　　　 　≧σ（A）＋σ（B）－σ（A）σ（B）

　　これはすべての正の整数 nに対して成り立つ。よって

　　　inf　　　　 　＝σ（A＋B）≧σ（A）＋σ（B）－σ（A）σ（B）

k＝0

A（n）－1

k＝0

A（n）－1

k＝0

A（n）－1

k＝0

A（n）－1

B（N）N

（A＋B）（n）n

（A＋B）（n）nn≧1

（選 択）問 題番 号

１ ２ ３ ４ ５

選択した番

号の　内を

ぬりつぶし

てください。

（Ｎｏ.２）実用数学技能検定

⑴ J 1＝ dxについて，x 2＝ tとおくと，xdx＝　dtより

　　　J 1＝　 　 ＝　 Arcsin t ＝

　　また

　　　J 3＝　 　　　　dx＝ －　 １－x 4 ＝

（答）J 1＝ 　，J 3＝ 　

⑵ Jn＝ dx＝　 xn－3・ dx

＝ －　　 １－x 4 ＋　　 　 xn－4 １－x 4dx

＝ 　　 　　　　　　 dx＝　　 （Jn－4－Jn）

　　　　　　Jn＝　　　Jn－4

　　よって，Jn＝　　　Jn－4 が成り立つ。

⑶ すべての nに対して Jn＞Jn＋1 が成り立つことから

　　　　　　＝　　 ＞…＞　　 ＞１

であり，lim　　　＝１であるから，はさみうちの原理より，lim　　 ＝１　…①

である。　　また

　 ＝　　 ×　 ＝…＝　　 ×　　 ×…×　　　　　　　　　 ×

　 ＝　　 ×　 ＝…＝　　 ×　　　 ×…×　　　　　　　　　 ×

　であり，辺々をかけると

　　 ＝２・　　　　・ 　 ・　　 　…②

　　lim　　　　＝１であり，①より，lim　　 ＝lim　　 ＝１であるから，②で

　n→∞として

　　　J 0J 2＝２J 1J 3＝

（答）　

x

１－x 4dt

１－ t 2

1

0

x 3

１－x 41

0

xn

１－x 4

xn－4（１－x 4）１－x 4

x 3

１－x 41

0

1

01

0

1

0

１２

１２

１２

１２

π４

１２

１２

π４

1

0

1

0

1

0

n－３２

n－３２

n－１２

n－３２

n－３n－１

n＋３n＋１

n＋３n＋１

1

0

n－３２

xn－3

２

JnJn＋4

JnJn＋1

J 4nJ 4n＋1

J 4nJ 4n＋1

JnJn＋1

J 0J 2J 1J 3

３・２１・４

３・２１・４

７・６５・８

n→∞

J 4nJ 4n＋1n→∞ n→∞ n→∞

J 0J 1

J 4J 5

（４n－１）（４n－２）（４n－３）・４n

J 4n＋2J 4n＋3

J 4n＋2J 4n＋3

J 4n＋2J 4n＋3

５・４３・６

５・４３・６

９・８７・１０

４n＋１４n＋２

４n＋１４n＋２

n→∞

J 2J 3

J 6J 7

（４n＋１）・４n（４n－１）（４n＋２）

π４

π４

（選 択）問 題番 号

１ ２ ３ ４ ５

選択した番

号の　内を

ぬりつぶし

てください。

（Ｎｏ.３）実用数学技能検定

　１辺の長さがℓの立方体ＡＢＣＤ-ＥＦＧＨの重心Ｏを原点とし，直線ＡＧを z 軸と

する xyz空間を考える。ここで，ＯＡ＝　 ℓより，Ａの z 座標を　 ℓとする。立方

体の対称性より，０≦z≦　 ℓにおける回転体の体積を考えればよい。

△ＢＤＥの重心をＯ’とすると，直線ＡＯ’と平面ＢＤＥが垂直であることとＯＯ’＝　 ℓ

より，平面ＢＤＥの方程式は z＝　 ℓである。また，Ｏ’が直線ＡＯ上に存在すること

とＯ’Ｂ＝Ｏ’Ｄ＝Ｏ’Ｅ＝　 ℓより，　 ℓ≦z≦　 ℓにおける回転体は円錐であり，そ

の体積は

　 ℓ π×　 ℓ×　＝　　 πℓ3

である。

　Ｅの座標を 　 ℓ，０，　 ℓ とすると，Ｂ，Ｆの座標はそれぞれ

－　 ℓ，　 ℓ，　 ℓ ， 　 ℓ，　 ℓ，－　 ℓ となる。このことから，直線

ＢＦは x＝－ ２z，y＝　 ℓと表される。よって，点Ｐ（０，０，t） ０≦ t≦　 ℓ

と直線ＢＦとの距離は ２t 2＋　であるから，回転体を平面 z＝tで切ったときの切り口

は，半径 ２t 2＋　の円となる。ゆえに，０≦z≦　 ℓにおける回転体の体積は

　　π　　　２t 2＋　 dt＝π 　t 3＋　 t

　＝π 　・　　ℓ3＋　　ℓ3

　＝　　　πℓ3

　以上より，回転体の体積は

２ 　　　πℓ3＋　　　πℓ3 ＝　　πℓ3

であるから，もとの立方体の体積の　　π倍である。

（答）　　π倍

３２

３２

３６

３６３６

３２

６３

６３

３３

３２

2

６３

３６

３６

６６

２２

３６

６６

２２

２２

３６

３６

３３３３

３３

１３

２３２３

ℓ2

２

ℓ2

２ℓ2

２

２ ３２７

３７２

３１２

５ ３５４

２ ３２７

５ ３５４

ℓ2

２　　ℓ

0

36

0

ℓ36

（選 択）問 題番 号１ ２ ３ ４ ５

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てください。

（Ｎｏ.４）実用数学技能検定

　　H0：小学生の学年と通っている習い事の数は無関係を帰無仮説とする。条件より，習い事の数が０，１，２以上である人数の割合がそれぞれ３２％，４８％，２０％であることから，この調査における人数の期待値は次のようになる。

　ここで，検定統計量は近似的に自由度（３－１）×（２－１）＝２のχ2 分布に従う。実現値を求めると

　　T＝　　　　　　 ＋　　　　　　 ＋

＋　　　　　　　 ＋　　　　　　 ＋

　＝７.６４０６２５　χ2 分布表における自由度２の上側５パーセント点は５.９９１５で，これは上で求めたTの値より小さい。ゆえに，Tは棄却域に入るため，H0 は棄却される。　よって，この調査結果において「小学生の学年と通っている習い事の数のあいだに関係がある」といえる。

（答）関係がある

０種類

１種類

２種類以上

合計

高学年

９６

１４４

６０

３００

合計

１６０

２４０

１００

５００

低学年

６４

９６

４０

２００

（６７－６４）2

６４（９３－９６）2

９６（１３５－１４４）2

１４４（２８－４０）2

４０（７２－６０）2

６０

（１０５－９６）2

９６

（選 択）問 題番 号１ ２ ３ ４ ５

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号の　内を

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てください。

（Ｎｏ.５）実用数学技能検定

　碁石の山にある黒，白の碁石の個数がそれぞれ x，yである局面を，整数の組を用いて（x，y）と表す。　ここで，（※）を満たす（x，y）が良形であることを，（Ａ），（Ｂ）どちらも満たすことで示せばよい。　以下（x，y）に対し，ルールに従って次の①，②，③のいずれか１つを選んで碁石を取った後の局面を（u，v）とする。① 黒の碁石を s 個（１≦s≦x）取る② 白の碁石を t 個（１≦ t≦y）取る③ 黒と白の碁石をそれぞれ１個取る（x，y）が（※）を満たすとき　　x＋y＝３k，x－y＝ℓとおける（kは０以上の整数，ℓは－１，０，１のいずれか）。このとき，①の方法で碁石を取ると

u＋v＝３k－s，u－v＝ℓ－sとなる。ここで，u＋v が３の倍数になるには，s も３の倍数であることが必要であるが，このとき

u－v≦１－３＝－２より，｜u－v｜≦１を満たさない。よって，（u，v）は（※）を満たさない。同様に，②の方法で碁石を取ったときも，（u，v）は（※）を満たさない。また，③の方法で碁石を取ったとき，u＋v＝３k－２より u＋v は３の倍数でない。よって，（u，v）は（※）を満たさない。　以上より，（Ａ）を満たす。　（x，y）が（※）を満たさないとき，x≧yを仮定して　　x＝３q 1＋r 1，y＝３q 2＋r 2とおく（q 1，q 2 は０以上の整数，r 1，r 2は０，１，２のいずれか）。ここで　　x＋y＝３（q 1＋q 2）＋（r 1＋r 2）　　x－y＝３（q 1－q 2）＋（r 1－r 2）であるから，（x，y）が（※）を満たすことは

・q 1＝q 2・r 1＝r 2＝０または r 1＝２，r 2＝１

を同時に満たすことと同値である。　次に r 2 について場合分けをする。（ⅰ）　r 2＝０のとき，①の方法において　　s＝x－y とすれば

u＝x－（x－y）＝y＝３q 2v＝y＝３q 2

となり，u＋v＝６q 2，u－v＝０であるから，（u，v）は（※）を満たす。

（ⅱ）　r 2＝１のとき　　　q 1＞q 2 ならば，①の方法により　　s＝x－y－１とすれば

u＝x－（x－y－１）＝y＋１＝３q 2＋２

　v＝３q 2＋１となり，u＋v＝６q 2＋３，u－v＝１であるから，（u，v）は（※）を満たす。　q 1＝q 2ならば，r 1＝r 2＝１である。③の方法よりu＝x－１＝３q 1v＝y－１＝３q 2＝３q 1

となり，u＋v＝６q 1，u－v＝０であるから，（u，v）は（※）を満たす。

（ⅲ）　r 2＝２のとき，①の方法により　　s＝x－y＋１とすれば

u＝x－（x－y＋１）＝３q 2＋１v＝３q 2＋２

となり，u＋v＝６q 2＋３，u－v＝－１であるから，（u，v）は（※）を満たす。

　（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）より，（Ｂ）を満たす。x＜y のときも同様の議論により，（Ｂ）を満たすことがいえる。　よって，（※）を満たす（x，y）は良形である。

●問題６，７は必須問題です。

問題６（必須）

（Ｎｏ.６）

⑴ v 1，v 2，…，vmの張る空間を Xmとすると，Xmの要素でないVの要素 vm＋1 が存在する。ここで，零ベクトル０を用いて　　　c 1v 1＋c 2v 2＋…＋cmvm＋cm＋1vm＋1＝０　（c 1，c 2，…，cm＋1 は実数）　とすると　　　c 1v 1＋c 2v 2＋…＋cmvm＝－cm＋1vm＋1　　vm＋1 は Xmの要素でないので，cm＋1＝０であり，v 1，v 2，…，vmは１次独立であるから　　c 1＝c 2＝…＝cm＝０　である。よって，v 1，v 2，…，vm，vm＋1 は１次独立となる。　　v 1，v 2，…，vm＋1 の張る空間を Xm＋1 とすると，m＋１＝n のとき，Xm＋1＝Vである。　m＋１≠n のとき，Xm＋1 の要素でない Vの要素 vm＋2 が存在し，v 1，v 2，…，vm＋2 は１次独立となる。　このような操作を続けることによって，Vの基底 v 1，…，vm，vm＋1，…，v nが得られる。

⑵ v i・v＝v i・ 　 c kv k ＝　 c k（v i・v k）

v 1，v 2，…，v nは V の正規直交基底であるから，v i・v k＝０（k≠ i），　v i・v k＝１（k＝ i）を満たす。　　よって，v i・v＝c i

⑶ v 1，v 2，…，vmを X の正規直交基底とすると，⑴より，Vの基底 v 1，…，vm，wm＋1，…，w nが得られ，これを正規直交化することにより Vの正規直交基底 v 1，…，vm，vm＋1，…，v nが得られる。よって，Vの要素 v は　　　v＝c 1v 1＋c 2v 2＋…＋cnv n　で表される。⑵より，c i＝v i・v（１≦ i≦n）であることから，v が X

⊥に属するとき，c j＝０（１≦ j≦m）である。よって，X

⊥の要素 v は　　v＝cm＋1vm＋1＋…＋cnv nで表されることから，X⊥は vm＋1，…，v nの張る空間である。　X は v 1，…，vmの張る空間であるから，Vは X と X

⊥の直和である。

k＝1

n

k＝1

n

問題７ （必須）

（Ｎｏ.７）

u＝u（t），v＝v（t）とおくと，与えられた２つの微分方程式はそれぞれ

　 ＝－ωv－u　…①，　 ＝ωu－v－g　…②

となる。①より，v＝－　・　 －　　…③

　また，③の両辺を tで微分すると，　 ＝－　・　　－　・　 　…④

③，④を②に代入すると

　　－　・　　－　・　 ＝ωu＋　・　 ＋　－g

となり，これを整理することで u に関する２階線形微分方程式

　　　　＋２・　 ＋（ω2＋１）u＝gω　…（＊）

が得られる。

右辺が定数であることから，方程式（＊）の解の１つとして，定数 u＝　　　 が得

られる。　また，特性方程式λ2＋２λ＋（ω2＋１）＝０の解はλ＝－１±ωi（ iは虚数単位）であるから，方程式（＊）の一般解は

　　u（t）＝e－t（C 1 cosωt＋C 2 sinωt）＋　　　 　（C 1，C 2 は任意定数）

である（eは自然対数の底）。

　u（０）＝１より，C 1＝１－　　　 である。また

　 （t）＝－　（C 1 cosωt＋C 2 sinωt）＋　（C 2 cosωt－C 1 sinωt）

であり，①に t＝０を代入すると

　 （０）＝－ω－１

を満たすことから

　　－C 1＋ωC 2＝－ω－１

　　C 2＝－１－ 　　　

　よって

　　u（t）＝e－t １－　　　 cosωt－e－t １＋ 　　　 sinωt＋ 　　　

　求めた u（t）を③に代入して

v（t）＝e－t １－　　　 sinωt＋e－t １＋ 　　　 cosωt－ 　　　

（答）u（t）＝e－t １－　　　 cosωt－e－t １＋ 　　　 sinωt＋ 　　　

v（t）＝e－t １－　　　 sinωt＋e－t １＋ 　　　 cosωt－ 　　　

dudt

dudt

dvdt

dvdt

d2u

dt 2

１ω

dudt

１ω

１ω

d2u

dt 2dudt

d2u

dt 2dudt

１ω

dudt

１ω

uω

１ω

uω

gωω2＋１

gωω2＋１

gωω2＋１

gω2＋１

gωω2＋１

gωω2＋１

gω2＋１

dudt

dudt

１e t

ωe t

gω2＋１

gω2＋１

gωω2＋１

gωω2＋１

gωω2＋１

gω2＋１g

ω2＋１g

ω2＋１gωω2＋１