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7 Funciones
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Las funciones no tienen una forma única de expresión, y sin embargo, de todas ellas podemos extraer propiedades.
ACTIVIDAD
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G. W. Leibniz
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Enlace a la biografía de
Leibniz
Trabajando por separado y con métodos distintos, Newton antes y
sin dar publicidad a sus resultados, y Leibniz unos años
después, pero publicándolos antes, van a crear la herramienta
más potente y universal de la historia de las Matemáticas y de
todas las ciencias: el Cálculo.
El calculo
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Esquema de contenidos
Funciones
Coordenadas cartesianas
Concepto de función
Estudio de una función
Continuidad
Puntos de corte
Crecimiento y decrecimiento
Simetrías
Periodicidad
Representación gráfica
Tablas
Dominio y recorrido
Funciones definidas a trozos
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Coordenadas cartesianas
Las coordenadas de un punto P en el plano vienen determinadas por un par ordenado de
números, x e y, llamados coordenadas cartesianas del punto, y se escribe:
P (x , y)
SIGUIENTE
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Concepto de función
Una función es una relación entre dos variables numéricas, x e y, de manera que a cada valor de x le corresponde un único valor de y.
SIGUIENTE
Una función puede cortar varias veces al eje X, pero solo puede cortar una vez al eje Y
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Concepto de función. Función real de variable real.
Una función es una relación entre dos variables numéricas, x e y, de manera que a cada valor de x le corresponde un único valor de y.
No es función
Sí es función
SIGUIENTE
Una función real, f, de variable real, es una relación que asocia a cada número real, x, un único número real y =f(x). Se puede expresar de esta forma:
f : D⊂ℝ ℝ
x y=f x
Una función puede cortar varias veces al eje X, pero solo puede cortar una vez al eje Y
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Concepto de función
Una función es una relación entre dos variables numéricas, x e y, de manera que a cada valor de x le corresponde un único valor de y.
La variable x es la variable independiente, y es un valor prefijado.
Y la variable y es la variable dependiente, y su valor depende del valor de x.
No es función
Sí es función
SIGUIENTE
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Concepto de función
SIGUIENTE
A B C
D
SI es función SI es función
SI es función
NO es función
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Función expresada mediante tabla de valores, gráfica, fórmula o enunciado
Representar gráficamente los siguientes datos que relacionan las horas transcurridas desde la apertura de una exposición con el número de personas que asisten.
Horas desde la apertura
Nº
pe
rso
na
s
x 1 2 3 4 5 6 7 8
y 100 150 50 150 250 100 200 50
SIGUIENTE
Gráfica (x,f(x)) Fórmula o expresión analítica
f x =x2−4
EnunciadoAltura de una piedra, en función del tiempo, que cae desde una altura inicial de 20 metros
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Dominio y recorrido
Se llama dominio de una función f(x) es el conjunto de los valores para los que está definida la función (variable independien- te, x).
Se representa por Dom f(x)
El recorrido o la imagen de una función f(x) es el conjunto de valores que toma la función (variable dependiente, y).
Se representa por Im f(x)
SIGUIENTE
D⊂ℝ
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Dominio y recorrido
Dom f x =−∞ ,0 ] ∪ [ 2,5 ] ∪ [6,∞
I m f x = [0,∞ ∪ {−1 } SIGUIENTE
Se llama dominio de una función f(x) es el conjunto de los valores para los que está definida la función (variable independien- te, x).
Se representa por Dom f(x)
D⊂ℝ
El recorrido o la imagen de una función f(x) es el conjunto de valores que toma la función (variable dependiente, y).
Se representa por Im f(x)
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Cómo determinamos el Dominio de una función
SIGUIENTE
• Las funciones polinómicas están definidas para todos los números reales.
• Las funciones racionales son funciones del tipo donde P(x) y Q(x) son polinomios (con x en el denominador). No están definidas cuando el denominador se anula
• Las funciones radicales de índice par solo están definidas para radicandos mayores o iguales que cero
Hallamos los valores que anulan el numerador y el denominador, x=-4 y x=2, y situamos estos valores sobre la recta real que queda, de este modo, dividida en tres intervalos. Evaluamos el signo de la fracción en cada intervalo, y nos quedamos con aquellos que verifican la inecuación, comprobando si incluyen los extremos:
Funciónlineal f ( x )=2x+1→Dom f =ℝFunción cuadrática f (x )=x2−2x+1→Dom f =ℝFunción polinómica de grado superior : f (x)=x5−2x3+x+1→Dom f =ℝ
f (x )=√ x+4→ x+4≥0→Dom f ={x∈ℝ∣x≥−4}=[−4,+∞ )
f (x )=x
x−3→Dom f =ℝ−{3}
f (x )=P(x )Q ( x)
f ( x )=x
x2−1→Dom f =ℝ−{1,−1}
f ( x)=√ x+4x−2
→x+4x−2
≥0
Dom f ( x)=(−∞ ,−4 ]∪( 2,+∞ ]
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Cómo determinamos el Dominio de una función
SIGUIENTE
• Las funciones logarítmicas solo están definidas para números reales positivos.
• Las funciones trigonométricas de seno y coseno siempre está definidas en R
• La función tangente no está definida cuando el coseno es cero
• La funciones exponenciales son de la forma Su dominio es el conjunto de los números reales R.
f x =log x−1 x−10Dom f={x∈ℝ∣x1}=[1,∞ )
f x =tg x Dom f={x∈ℝ∣cos x≠0}=ℝ−{
2k ,k∈ℤ}
f x =cos xDom f=ℝ
y= f (x)=a x , a>0
f (x )=2x→Dom f=ℝ f (x )=( 12 )
x
→Dom f =ℝ
f (x )=tg (2x )→Dom f ={x∈ℝ∣cos(2x)≠0}=ℝ−{π4+k π
2k∈ℤ}
f (x )=cos 2x→Dom f =ℝ
ya que cos 2x=0 en 2x=π2+k π k∈ℤ→ x=π
4+k π
2k∈ℤ
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Funciones definidas a trozos
En ocasiones, no podemos dar la expresión algebraica de la función de forma global, pero sus valores responden a distintas expresiones dependiendo del intervalo en el que estamos.
SIGUIENTE
Cuando definimos una función con expresiones parciales y se especifica el dominio de cada una de ellas, estamos definiendo una función a trozos.
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Funciones definidas a trozos
En ocasiones, no podemos dar la expresión algebraica de la función de forma global, pero sus valores responden a distintas expresiones dependiendo del intervalo en el que estamos.
Cuando definimos una función con expresiones parciales y se especifica el dominio de cada una de ellas, estamos definiendo una función a trozos.
La función definida es:
SIGUIENTE
y= {2 −∞x≤−2−2x −2x4−x25 4≤x∞
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Propiedades de funciones
Continuidad
Puntos de corte
Crecimiento y decrecimiento
Simetrías
Periodicidad
SIGUIENTE
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Función continua
Una función es continua si su gráfica se puede dibujar de un solo trazo.
Es discontinua si su gráfica no se puede dibujar de un solo trazo.
Los puntos donde se corta el trazo de la función se llaman puntos de discontinuidad de la función.
SIGUIENTE
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Función continua
Una función es continua si su gráfica se puede dibujar de un solo trazo.
Es discontinua si su gráfica no se puede dibujar de un solo trazo.
Los puntos donde se corta el trazo de la función se llaman puntos de discontinuidad de la función.
discontinua
continua
continua
discontinua
SIGUIENTE
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Puntos de corte
Los puntos de corte con los ejes coordenados de una función son los puntos de intersección de su gráfica con los ejes coordenados.
P.C: Eje X, hacemos y = 0
Son de la forma (a, 0).
Se hallan calculando los valores
de la variable x, cuando la variable
y toma el valor 0.
P.C: Eje Y,hacemos x = 0
Son de la forma (0, b).
Se hallan calculando los valores de la variable y cuando la variable x toma el valor 0.
SIGUIENTE
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Puntos de corte
(0, 2) corte con eje Y
(-3, 0) corte con eje X
SIGUIENTE
Los puntos de corte con los ejes coordenados de una función son los puntos de intersección de su gráfica con los ejes coordenados.
P.C: Eje X, hacemos y = 0
Son de la forma (a, 0).
Se hallan calculando los valores
de la variable x, cuando la variable
y toma el valor 0.
P.C: Eje Y,hacemos x = 0
Son de la forma (0, b).
Se hallan calculando los valores de la variable y cuando la variable x toma el valor 0.
x y
0
0
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Crecimiento y decrecimiento en un intervalo
Una función es creciente en un intervalo (a,b) si al aumentar el valor de x, también aumenta el valor de y.
SIGUIENTE
f : si∀ x1, x2∈a , b: x1x2 f x1f x2
f : si∀ x1, x2∈a , b : x1x2 f x1f x2
Una función es decreciente en un intervalo (a,b) si al aumentar el valor de x, disminuye el valor de y.
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Crecimiento y decrecimiento en un intervalo (a,b)
Decreciente en (-∞, -5)
Decreciente
en (4, + ∞)
Creciente en (-5, 4)
SIGUIENTE
Una función es creciente en un intervalo (a,b) si al aumentar el valor de x, también aumenta el valor de y.
Una función es decreciente en un intervalo (a,b) si al aumentar el valor de x, disminuye el valor de y.
f : si∀ x1, x2∈a , b: x1x2 f x1f x2
f : si∀ x1, x2∈a , b : x1x2 f x1f x2
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Crecimiento y decrecimiento en un punto de abcisa x=xo
Decreciente en x=7
Decreciente en x=5
Creciente x=0
SIGUIENTE
Una función es creciente en un punto si existe un intervalo centrado en xo, (xo-h,xo+h) para el que la función es creciente
Una función es decreciente en un punto si existe un intervalo centrado en xo, (xo-h,xo+h) para el que la función es creciente
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Ejemplos de crecimiento y decrecimiento.
SIGUIENTE
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Ejemplos de crecimiento y decrecimiento.
SIGUIENTE
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Concavidad y convexidad en un punto.
SIGUIENTE
Una función es concava en un punto si la recta tangente a la gráfica de f en ese punto está por debajo de la gráfica
Una función es convexa en un punto si la recta tangente a la gráfica de f en ese punto está por encima de la gráfica
Si la recta tangente en un punto atraviesa la gráfica de la función, decimos que la función tiene un punto de inflexión. Un punto de inflexión es, por tanto, un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un tipo de concavidad a otro.
Cóncava
Convexa
Convexa
Cóncava
P.Inflexión
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Máximos y mínimos relativos
Mínimo en x = -5 Máximo en x = 4
En los puntos donde la gráfica pasa de ser creciente a decreciente se dice que la función alcanza un máximo relativo.
Una función f presenta un máximo relativo en un punto xo si existe un intervalo centrado en xo, (xo-h,xo+h) tal que para cualquier punto x del intervalo se
cumple que f(x)<f(xo)
En los puntos donde la gráfica pasa de ser decreciente a creciente se dice que la función alcanza un mínimo.
Una función f presenta un mínimo relativo en un punto xo si existe un intervalo centrado en xo, (xo-h,xo+h tal que para cualquier punto x del intervalo
se cumple que f(x)>f(xo)
SIGUIENTE
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Máximos y mínimos absolutos
Máximo absoluto en x = -8 Mínimo absoluto
en x = 7,2
Una función f presenta un máximo absoluto en un punto xo si para cualquier
valor de x del dominio de la función se cumple que: f(x)<f(xo)
Una función f presenta un mínimo absoluto en un punto xo si para
cualquier valor del dominio de la función se cumple que: f(x)>f(xo)
SIGUIENTE
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Ejemplos máximos y mínimos relativos y absolutos
SIGUIENTE
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Ejemplos máximos y mínimos relativos y absolutos
SIGUIENTE
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Simetrías
Simetría respecto del eje de ordenadas (eje Y)
o simetría PAR
Una función es simétrica respecto del eje de ordenadas si para cualquier punto x del dominio se
cumple que:
f −x =f x ∀ x∈Dom f
Simetría respecto del origen de coordenadas
o simetría IMPAR
Una función es simétrica respecto del origen de coordenadas si para cualquier punto x del dominio se
cumple que:
f −x =−f x ∀ x∈Dom fSIGUIENTE
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Simetrías: ejemplos con fórmulas y gráficas
f x =x2−4
f x =x35x
)()( par xfxfSimetría −=
)()( impar xfxfSimetría −−=
SIGUIENTE
f x=x2−4
f −x =−x 2−4=x2−4
f x =x35x
f −x = [−x35 −x ]= [−x3−5x ]=−[x35x ]=−f x
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Periodicidad
Una función f es periódica si su gráfica, o las imágenes de los valores de x, se repiten cada cierto intervalo. A la longitud del intervalo, T (T>0), se le llama periodo. Es decir, se cumple que:
PeriodoT=2
Conocido el valor de la función en un intervalo de amplitud T, se puede construir el resto de la gráfica trasladándola a la derecha e izquierda por todo el dominio.
SIGUIENTE
f x=f xT =f x2T=...=f xkT ,∀ k∈ℤ
y=f x =x−[x ] , parte decimal
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Estudia la función de la gráfica.
SIGUIENTE
Dominio:
Recorrido:
Continuidad:
Puntos de cortes con los ejes:
Crecimiento y decrecimiento:
Concavidad y convexidad:
Máx. y mín. absolutos y relativos:
Simetrías:Periodicidad:
Y
X
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Estudia la función de la gráfica.
SIGUIENTE
Dominio:
Recorrido:
Continuidad:
Puntos de cortes con los ejes:
Crecimiento y decrecimiento:
Concavidad y convexidad:
Máx. y mín. absolutos y relativos:
Simetrías:Periodicidad:
Dom f=[−4,∞ )
Im f=[−∞ ,0 ]
No es continua
(-2,0) y (0,-9)
No es simétrica
No es periódica
f =(−4,−2 )∪(0,∞ )
f =(−2,0 )
La función es convexa (cóncava hacia abajo)
Max. Abs. en x=-2. No tiene extremos relativos.
Y
X
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Estudia la función de la gráfica.
SIGUIENTE
Dominio:
Recorrido:
Continuidad:
Puntos de cortes con los ejes:
Crecimiento y decrecimiento:
Concavidad y convexidad:
Máx. y mín. absolutos y relativos:
Simetrías:Periodicidad:
X
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Estudia la función de la gráfica.
SIGUIENTE
Dominio:
Recorrido:
Continuidad:
Puntos de cortes con los ejes:
Crecimiento y decrecimiento:
Concavidad y convexidad:
Máx. y mín. absolutos y relativos:
Simetrías:Periodicidad:
Dom f=ℝ−{2,−2 }
Im f=ℝ
No es continua en 2 y -2
(0,0)
Impar f(-x)=-f(x)
No es periódica
f =−∞ ,−3.5∪3.5,∞
Max. Relativo en x=-3.5, mínimo relativo en x=3.5. No tiene extremos absolutos.
X
f∪=−2,0∪2,∞
f∩=−∞ ,−2∪0,2
f =−3.5,−2∪−2,2∪2,3.5
P. Inflexión en x=0
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Estudia la función de la gráfica.
SIGUIENTE
Dominio:
Recorrido:
Continuidad:
Puntos de cortes con los ejes:
Crecimiento y decrecimiento:
Concavidad y convexidad:
Máx. y mín. absolutos y relativos:
Simetrías:Periodicidad:
X
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Estudia la función de la gráfica.
SIGUIENTE
Dominio:
Recorrido:
Continuidad:
Puntos de cortes con los ejes:
Crecimiento y decrecimiento:
Concavidad y convexidad:
Máx. y mín. absolutos y relativos:
Simetrías:Periodicidad:
Dom f=[−8,−4 ]∪[−3,∞ )
Im f=[−1,4 ]
No es continua
(0,-1) (-4,0) (-3,0) (-1,0)
No es simétrica
No es periódica
f =−3,−1∪0,2
f =−8,−4∪−1,0
Mín. Relativo en x=0Mín abs en x= 0 y Máx. Abs. en x=-8
X
f∪=−2,−1∪0,2f∩=−3,−2
Es constante en 2,∞
P. Inflexión en x=-2
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Transformaciones de funciones I
y=f x kLa gráfica se obtiene trasladando f(x) verticalmente k unidades hacia arriba, si k>0, y k unidades hacia abajo, si k<0
y=f xk La gráfica se obtiene trasladando f(x) horizontalmente k unidades hacia la izquierda, si k>0, y k unidades hacia la derecha, si k<0
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Transformaciones de funciones II
y=−f x La gráfica es la gráfica simétrica de y=f(x) respecto al eje X.
y=f −x La gráfica es la gráfica simétrica de y=f(x) respecto del eje Y.
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Ejemplo: Transformaciones de funciones
y=1
x12 y=
1x−2
−4y=−1
x3y=−1
x2
Relacionamos las expresiones de las siguientes funciones con su representación gráfica.
1 unidad izquierda
2 unidades arriba
2 unidades arriba2 unidades derecha
4 unidades abajo
3 unidades izquierda
Todas son transformadas de la función y=f x =1x
ó y=−1x
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Operaciones con funciones Dadas dos funciones f y g:
●Suma de funciones: (f+g)(x)
●Producto: (f·g)(x)
●Cociente: ( fg ) ( x )
El dominio de las funciones f+g y f·g es el conjunto de valores que pertenecen a Dom f y Dom g: Dom fg=Dom f∩Dom g
El dominio de las función es el conjunto de valores que pertenecen a Dom f y Dom g y, además, no anulan el denominador g(x).
Dom fg =Dom f∩Dom g−{x∈ℝ/ g x=0 }
fg x
Dom logx
x−3 =Dom log x ∩Dom x−3 − {x∈ℝ/ x−3=0 }=0,∞∩[3,∞ )−{ x=3}=3,∞
Ejemplo:
Dom( x · log x)=Dom( x)∩Dom (log x )=(−∞ ,+∞)∩( 0,+∞ )=(0,+∞)
Dom( x+√ x−1)=Dom (x )∩Dom (√ x−1)=(−∞ ,+∞)∩[ 1,+∞ )=[1,+∞ )
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Composición de funciones
Dadas dos funciones, f y g, se llama función compuesta de f con g a la función (g o f) que cumple que:
El dominio de la función g o f es el conjunto de valores que cumplen que:● x está en el dominio de f● f(x) está en el dominio de g
x f x
g° f x =g [ f x]
g [ f (x)]f g
g ° f
x f x =x21 g [ f x ]= x2
1f x =x2
1 g x = x
x g° f x = x21
Se lee f compuesta con g de x
g° f x
La composición de funciones no es commutativa: g° f≠ f ° g
f ° g x =f [g x ]=x1
Es el resulta- do de actuar sucesivamen-te sobre x, primero f y después g
g [ f x ]
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Ejemplo de composición de funciones
x f ( x)=x2g [ f (x)]=
1
x 2+1
f (x )= x2 gx =1
x1
x (g ∘ f )(x )=1
x2+1
Se lee f compuesta con g de x
g° f x
La composición de funciones no es commutativa: g ∘ f ≠ f ∘ g
x g x =1
x1 f [g (x)]=1
( x+1)2
g ( x)= 1x+1
f ( x)=x2
x ( f ∘ g )(x )=1
(x+1)2
Dadas y calculaf ( x)=x2 g x =1
x1g° f x y f ° g x
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Función inversa
La función inversa de una función f es otra, f -1 tal que para para cualquier valor x de su dominio se cumple que:
Se cumple que:
x f x =b f−1[b ]=x
f f−1
f−1° f
x f x =bf
f−1bf−1b=x
f−1° f=f ° f−1
=Id
A IdId se le denomina función Identidad y se define como Id x =x
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Gráfica de la Función inversa. Procedimiento para su cálculo.
Las gráficas de una función y de su inversa son simétrica respecto a la recta y = x (bisectriz del primer y tercer cuadrante)
f−1° f=f ° f−1
=Id Id x =x
¿Cómo calculamos la función inversa de una función? : 1.º) Expresamos la función en la forma y=f(x) e intercambiamos x por “y” en ambos miembros. 2.º) Despejamos “y” en la ecuación resultante.
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Cálculo de función inversa de una función f−1° f=f ° f−1=Id Id x =x
y= f x=7xx
1.º x⇔ y x=7 yy
2.º y · x=7 y y · x− y=7 y x−1=7
y=f−1 x =7x−1
y= f x=2x
1.º x⇔ y x=2y
2.º log2 x=log22y log2 x= y
y= log 2x
En GEOGEBRA ln(x) o log(x) es el logaritmo neperiano, y lg(x) es el logaritmo decimal o de base diez.
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Estudio de una función I
Dominio:
Recorrido:
Puntos de corte:
P(0,0) 0 x
P(-5,0) -5 x: X
==Eje
P(0,0) 0 y: Y =Eje
Continuidad:
Crecimiento y decrecimiento:
Máximos y mínimos:
Simetría
Periodicidad.
) (0, ,-3)(- creciente
(-3,0)
∞+∪∞edecrecient
,0)0( en mínimo
(-3,3) en áximom
Dom f x =−∞ ,∞ℝtodos los números reales
Im f x =−∞ ,∞ℝtodos los números reales
la función es continua.
No
No
Máximos y mínimos absolutos: No
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Estudio de una función II
Dominio:
Recorrido:
Puntos de corte:
Continuidad:
Crecimiento y decrecimiento:
Máximos y mínimos:
Simetría.Periodicidad
Im f x =−∞ ,12 ]
La función NO es continuaEn el intervalo (-4,-2) no está definida
Dom f x =ℝ−−4 ,−2
P.C. eje X : x=−4 ; x=−2 ; x=2 ; x=10P.C. eje Y : y=−4
f en −∞ ,−4∪0,4f en −2,0∪4,∞
Máximo relativo en x=4Mínimo relativo en x=0Máximo absoluto en x=4
NoNo
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INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones
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Actividad: La función lineal y la función afín
En la sección chilena de la Editorial Santillana, se propone una actividad en la que se podrá realizar la gráfica de la función f (x)= ax + b y g (x)= mx + n para distintos valores de la variable x y los parámetros m, n, a y b.
Para conocerlo, sigue este enlace.
Dirección:
http://www.santillana.cl/mat2/unidad3b.htm