Ingenj¶rsmetodik IT & ME 2011 F¶rel¤sning 11
Transcript of Ingenj¶rsmetodik IT & ME 2011 F¶rel¤sning 11
1
Ingenjörsmetodik IT & ME 2011 Föreläsning 11 • Sammansatt fel (Gauss regel) • Felanalys och noggrannhetsanalys • Mätvärden och mätfel • Medelvärde, standardavvikelse och
standardosäkerher (statistik)
2
Läsanvisningar till böckerna
• MATLAB delar av kap 3 (3.4 & 3.5) • Grimvall Kap 11.2
3
Mål enligt böckerna
• Grimvall • ”att kunna beskriva vilka begrepp som
används inom mätdatabehandling” • ”att förstå hur dessa begrepp relaterar till
givna mätvärden” • ”kunna utföra statistiska beräkningar
mha formelsamling” • MATLAB • ”use statistical functions, generate
uniform and Gaussian random sequences”
4
Frågor från förra gången
• ?
5
Förra (F10) föreläsningens mål
Ni ska nu kunna: ’perform linear and cubic spline interpolation’ ’calculate the best-fit straight line and polynomial to a set of data points’ ’use the basic fitting tool’ Kunna analysera enkla ’potensfunktioner’ med hjälp av linjär anpassning Förstå matematiken bakom detta På samma sätt kunna analysera exponentialfunktionen, relevant för en av labuppgifterna!
6
Statistik som tekniskt hjälpmedel • Ingenjörer tittat på fördelningar och
avvikelser inte ’torra’ tabeller!
8
Kopplingen till gymnasiematten
• Dagens föreläsning – ’Gauss formel’ för sammanlagda mätosäkerheter använder partiella derivator för att studera inverkan av olika variablers osäkerhet på slutresultatet
• EXEMPEL – om både hastigheten och körsträckan är okända är det svårt att beräkna tiden att nå målet!
9
Exempel Gauss formel
• Formeln beskriver: ett litet fel i funktionen F p.g.a osäkerhet i de uppmätta värdena x och y
• Osäkerheten betecknas • Det värde vi sätter in är oftast det
’uppskattade’ mätfelet standardosäkerheten u som fås genom statistisk behandling av ’många’ uppmätta värden
22F Fx yx y
F∆ = + ∂ ∂ ∆ ∆ ∂ ∂
yx ∆∆ ,
( ) ( ) ( )22
00
∂∂
+
∂∂
===
yuyfxu
xffu
yyxxc
10
Exempel Gauss formel
• I vårt exempel är F restiden t, • x vägsträckan s och • y bilens hastighet v • Dvs:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
, ,
, ,1 ,
t s v t s vs v
s v
t s v t s v ss v v
ss vt tv
v
t∂ ∂
∆ ∆ ∂ ∂
= ⇒ =
∆ =
∂ ∂
+
−= =
∂ ∂
11
Exempel Gauss formel • Vi kanske kör med 70 km/h med en
osäkerhet på 20 km/h • Sträckan kanske är 30 km med en osäkerhet
på 5km • Fråga: bör vi gå över till grundenheter i SI-
systemet för kommande beräkning?
70 /20 /
305
v km hv km h
s kms km
=∆ ==
∆ =
12
Exempel Gauss formel 2 2
2
2 2
2
1
1 305 20
0.15 8min 37
00 70
ss vv
h
tv
s
− ∆ ∆ =
− × × =
∆ = +
+
= =
Minsta värde 16.7 min ’Medelvärde’ 25.7 min Största värde 42 min
min425035min,7.16
9025min,7.2560
7030, ===×=
vst
13
Alternativ metod
min1.62381.07.252381.0
ut lös 2381.0305
705
=×=×=∆
∆=+=∆
+∆
=∆
tt
tss
vv
tt
• Lägg ihop de relativa osäkerheterna
14
Exempel Gauss formel • Finns två formler som är användbara om man är
’osäker’ på partiella derivator, funkar nästan alltid!
• För en summa av potenser
• För en produkt av potenser ( ) ( )21 1
1 1 2 2
2
1
2
2
2
2
1
a bF
FF
Aax x Bbx x
x xax
bx
− −∆ ∆
∆ ∆
∆ = +
∆ +
=
Definition av relativt fel, enhetslöst men procent % ger ett lätthanterligt svar
15
Exempel Gauss formel
• Vilken av formlerna fungerar på det exemplet vi just visade?
• SVAR: produkt av potenser
( )
2
2
222
22
22
11
11
∆
+
∆=
∆
+
∆×=∆⇒
⇒
∆+
∆=
=
∆
×−+
∆×=
∆
⇒×== −
vvs
vs
vvt
sstt
vv
ss
vv
ss
tt
vsvst
16
Hur kan Gauss formel användas • För en ingenjör gäller att kraven på
’produkten’ måste uppfyllas • Detta ska göras på ett sätt som är
pålitligt och inte för komplicerat
17
Hur kan Gauss formel användas
• Tag en radiomottagarkrets i en mobiltelefon som exempel
• I 3G gäller det att ställa in rätt frekvens, med hjälp av en induktans (spole) och en kapacitans (kondensator)
• http://www.umtsworld.com/umts/faq.htm • Värdet på L och C bestäms av kretsens
layout och varierar något LC
fπ2
1= 1920-1980 and 2110-2170 MHz Frequency Division Duplex (FDD, W-CDMA, channel
spacing is 5 MHz and raster is 200 kHz.
18
Hur kan Gauss formel användas
VCC
• Layout och kretsschema
Spolar
Kondensatorer
19
Hur kan Gauss formel användas
• Givna värden för frekvensen
• Detta kan uttryckas som 8% variation och är inte tillräckligt bra eftersom kanal-separationen ska vara bara 5 MHz!
MHz 6171GHz 17160083501005472
eller 0835.00.102
01.06.02
01.0
21
21
Hz10054721060100102
1ger
pF 1.00.10nH 1.06.0
9
22
22
9
912
....
CC
LL
fΔf
...π
f
CL
==××
=
×−+
×−=
=
∆−+
∆−=
×=×××
=
±=±=
−−
20
Mätvärden och mätfel • Vad mäter vi? • Fysikaliska storheter: Strömmar,
spänningar, temperaturer • Mer komplicerade storheter som
överföringshastighet, bit error rate • En ingenjör vill oftast testa sin
konstruktion, fungerar enligt kraven eller inte? Se radiokretsexemplet ovan!
• I produktion vill man undersöka kvaliteten
21
Mätvärden och mätfel • Nu går vi in på hur man behandlar resultaten
från ’många’ mätningar med statistik
1. Grunden är att man använder medelvärden för att uppskatta ett så kallat sant värde
2. Standardavvikelsen talar om hur mätvärdet varierar
3. Standardosäkerheten talar om hur medelvärdet varierar
22
Mätvärden och mätfel • Tre möjliga typer av mätfel
1. Grova fel, felavläsning 2. Systematiska fel, ex.vis något med
mätutrustningen som varierar med temperatur
3. Slumpmässiga fel, kortvariga variationer
23
Mätvärden och mätfel • Skillnaden mellan ’precision’ och
’noggrannhet’ illustrerar konceptet med medelvärde och sant värde
24
Mätvärden och mätfel Medelvärde (aritmetiskt)
Sant värde µ
Standardavvikelse s σ Variansen σ2
Standardosäkerhet u För n st mätningar
sn
x
25
Mätvärden och mätfel • Grunden är att man använder medelvärden
för att uppskatta ett så kallat sant värde µ • Man säger att är en skattning av µ x
26
Mätvärden och mätfel • Standardavvikelsen talar om hur
mätvärdet varierar • Jämförelsen görs med medelvärdet eller
det sanna värdet µ • Vi ser från formeln att det spelat stor roll
hur många (antalet n) mätningar vi gjort
( )
( )
1
22
2
1
1
11
n
i
i
n
xn
s x x
x
n
σ
σ= −−
=
= −∑
∑
27
Mätvärden och mätfel • Om vi vill veta hur medelvärdet varierar
kan vi också använda standardavvikelsen • Vi definierar ett nytt samband som kallas
standardosäkerheten • Även här spelar antalet n mätningar roll
där s beräknas på samma sätt som tidigareu sn
=
28
Normalfördelningen
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-2 -1 0 1 2 3
Gaussfördelningen
f(x)
x
Figur 4.2
µ=0.5
σ=0.5
σ=0.25
• Visar förväntad spridning för två värden på standardavvikelsen
• Kan uttryckas med ’välkänd’ formel, kallas normalfördelning
( )
( )2
2
2
21 σ
µ
πσ
−−
=x
exf
29
Normalfördelningen
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Gaussfördelningen
-2 -1 0 1 2 3
f(x)
x
Figur 4.3
µ-σ µ+σ
µ-2σ µ+2σµ-3σ µ+3σ
µ
• Man kan dela in området (arean) under kurvan och ange ’procenttal’ för deras respektive sannolikhet
30
Normalfördelningen • Sannolikheten att hitta µ i intervallet
(ett sigma) är:
( ) ( ) ( ) 682.012, =−==−+ ∫∫+
∞−
+
−
σµσµ
σµ
σµσµ dxxfdxxfP (4.8)
Detta kan jämföras med sannolikheten att hitta ett sant värde i intervallet
( ) ( )σµσµ 22 +<<− x (två sigma) som är:
( ) ( ) ( ) 954.0122,222
2
=−==−+ ∫∫+
∞−
+
−
σµσµ
σµ
σµσµ dxxfdxxfP
zσ percentage within CI
1σ 68.2689492%
1.645σ 90% 1.960σ 95%
2σ 95.4499736%
2.576σ 99%
3σ 99.7300204%
3.2906σ 99.9%
4σ 99.993666%
5σ 99.9999426697%
6σ 99.9999998027%
7σ 99.999 999 999 7440%
http://en.wikipedia.org/wiki/Standard_deviation
31
Exempel på mätvärdesbehandling • Exempel
Vid vägning av ett antal personer erhölls följande resultat:
Massa (kg) 58-62 62-66 66-70 70-74 74-78 78-82 82-86 86-90
Antal 8 22 45 60 66 41 17 7
32
Exempel på mätvärdesbehandling
0
10
20
30
40
50
60
70
60 64 68 72 76 80 84 88
Ant
al p
erso
ner
Massa (kg)
33
Exempel på mätvärdesbehandling • Standardavvikelsen s kan beräknas enligt:
• Svar blir: medelvärdet=73.7 kg, standardavvikelsen=6.3 kg.
( )
( )kg3.6265
2906.1041811
8
1
2
1
2
==−
=−
−=
∑∑==
n
vk
n
xks j
jj
m
jjj ξ
34
Exempel på mätvärdebehandling
Histogram
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
10 20 30 40 50 60 70 80 90Bin
Frequ
ency
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0,035
0,04
0,045
0,05
•Verkligt material – gamla tentaresultat, följer inte gaussfördelning helt och hållet •Flera resultat ligger utanför ’1σ’ intervallet
Medel: 33,1 Standardavvikelse: 25,3
35
Sammanfattning • Grimvall • ”att kunna beskriva vilka begrepp som
används inom mätdatabehandling” • ”att förstå hur dessa begrepp relaterar till
givna mätvärden” • ”kunna utföra statistiska beräkningar mha
formelsamling” • MATLAB • ”use statistical functions, generate
uniform and Gaussian random sequences”
36
Nästa föreläsning
• Fortsättning på mätvärdesbehandling • Använder MATLAB för att titta på
begreppet fördelning • Exemplifierar MATLAB funktioner
mha statistikens formler • Använder symbolisk matematik i
MATLAB för att hantera sammansatt fel