Ingenieria Economica. Texto
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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS INSTITUTO DE INVESTIGACIONES DE LA FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS TEXTO: “INGENIERIA ECONOMICA” LOYO PEPE ZAPATA VILLAR
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ingenieria economica
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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
INSTITUTO DE INVESTIGACIONES DE LA FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
TEXTO: “INGENIERIA ECONOMICA”
LOYO PEPE ZAPATA VILLAR
INDICE
INDICE…………………………………………………….…………………….……..1
INTRODUCCION……………………………………….………………………..……2
CAPITULO I
La Ingeniería Económica. Generalidades.………………………………………….3
CAPITULO II
El Valor del Dinero a Través del Tiempo. Equivalencias ..…………………….…8
CAPITULO III
Factores con Pagos Uniformes Equivalentes...…………………………………..26
CAPITULO IV
La Tasa de Interés……..…………………………………………………………….54
CAPITULO V
Los Índices de Rentabilidad..……………………………………….………………85
CAPITULO VI
El costo Anual Uniforme Equivalente. ..………………………….………….…...127
CAPITULO VII
La Depreciación. ……….
…………………………………………………………………….…………133
CAPITULO VIII
La Inflación y la Fórmula Polinómica .…………………………………………....138
INTRODUCCION
Investigar, recopilar, revisar la bibliografía, para escribir un texto es realmente
fascinante. Enseñar a los estudiantes a pensar como ingenieros economistas
también es fascinante. El estudiante llega a tener una comprensión cabal del
entorno económico, mediante las lecturas adecuadas. Por ello se hizo
imprescindible escribir un texto de ingeniería economica, al alcance de la
comprensión del estudiante universitario. En los años que me desempeño en el
ejercicio docente de la cátedra de Economía e ingeniería económica, se ha ido
gestando este proyecto. En el mercado bibliográfico circulan textos de
ingeniera económica, dirigidos a la formación general universitaria, es
necesario también textos dirigidos a la formación específica de la ingeniería.
El ingeniero se desenvuelve en un marco y en un espacio, cuyas actividades
están dirigidas al mercado; por lo cual debe tomar decisiones en la esfera
económica financiera, y cuyas decisiones deben tener resultados óptimos.
La ingeniería es la rama, desde donde el ser humano combinando ingenio,
creatividad, invención con la ciencia, realizará su actividad técnica; pero esta
actividad deberá ser eficiente y óptima. Para alcanzar este objetivo, el ingeniero
deberá estar armado por los poderosos conocimientos de la ingeniería
económica.
Tomando en cuenta estos razonamientos, y basándome en los años de
experiencia como docente del curso, el presente texto, modestamente, trata de
cubrir la falencia de textos de ejercicios dirigidos a la formación de ingenieros.
CAPITULO 1
1.1. La Ingeniería Económica
Es la aplicación y manejo de técnicas matemáticas, que simplifican las
alternativas económicas, en la toma de decisiones.
Se aplican en el análisis, comparación y evaluación económica de alternativas relativas a
proyectos de ingeniería. Comprende la evaluación sistemática de las ventajas y
desventajas, de la ingresos y egresos, de los costos y beneficios de los proyectos de
inversión.
La ingeniería económica implica la evaluación sistemática de los resultados económicos de
las soluciones a problemas de ingeniería. Para que sean aceptables en lo económico (es
decir, viables), las soluciones de los problemas deben arrojar un balance positivo de los
beneficios a largo plazo, en relación con los costos a largo plazo….1
La Ingeniería Económica, es la parte de las ciencias económicas, que
utilizando el instrumental matemático, brinda las herramientas y técnicas para
aplicarlos en el proceso productivo, específicamente en las alternativas de la
inversión, así como en el análisis de riesgo e incertidumbre, lo que permite
asignar los recursos escasos a los fines alternativos, en forma eficiente.
1.2. Flujo de Caja
El flujo de caja es la ilustración gráfica de los costos e ingresos en el tiempo, de
un proyecto.
El flujo de caja consiste en un esquema que presenta sistemáticamente los
egresos e ingresos registrados periodo por periodo.
1 Ingeniería económica de DeGarmo. William G. Sullivan. PEARSON EDUCACIÓN, México, 2009
Los datos del flujo se obtienen de los diferentes estudios, como estudio de
mercado, técnico, administrativo, ambiental y financiero, entre otros.
El flujo de caja es la simplificación de los estudios realizados, en la formulación
del proyecto de inversión. (Para la evaluación ex - ante) o como parte de la
etapa de ejecución (para la evaluación ex-post).
En esta herramienta, llamada diagrama de flujo de efectivo, el tiempo o periodo
de análisis del problema se representa como una línea horizontal; el el inicio se
considera en el extremo izquierdo y el final en el extremo derecho de la línea.
El dinero se representa con flechas hacia arriba y hacia abajo Una flecha hacia
arriba siempre va a representar ganancia, ahorro, beneficio, ingreso, etc., en
tanto que una flecha hacia abajo siempre va a representar inversión, gasto,
desembolso, pérdida, costo, etc. Es importante mencionar que en cualquier
transacción económica siempre hay dos partes, un comprador y un vendedor,
un prestador y un prestatario, etc., y que los diagramas de flujo de efectivo de
ambos participantes son como imágenes de espejo2.
En el gráfico 1.1 se presenta el diagrama de flujo de una unidad productiva. La
flecha hacia abajo en el punto de tiempo cero indica que se ha realizado una
venta y que sus inventarios presentan una baja de S/1000. A cambio de eso, el
vendedor recibirá cuatro pagos en igual número de periodos, por el mismo
monto. La notación de la letra A representa los pagos por periodo. (Esto
notación se hace en razón de que los norteamericanos utilizaron esta letra,
para denotar un pago anual (del inglés annuity), Pero para nuestro caso, la
2 Baca Urbina, G. FUNDAMENTOS DE INGENIERA ECONOMICA. McGrawHill, 2010
duración del periodo puede ser diario, mensual, semestral o anual. Lo
importante es que denota un pago uniforme a lo largo de n periodos.
El diagrama de flujo para el comprador del diagrama 1.1 es una imagen espejo,
de este gráfico.
CAPITULO 22.1. El valor del dinero a través del tiempo
El dinero cambia de valor en el tiempo. Este fenómeno es visible en la realidad. Para
el cambio del valor del dinero en el tiempo, existen dos factores que actúan en este
cambio. La existencia de la tasa de interés y la inflación. Otro factor que cabe indicar,
es el riesgo en que se incurre al prestar o invertir, ya que no se tiene la certeza
absoluta de recuperar el dinero prestado o invertido.
La tasa de interés hace que el valor del dinero en el tiempo aumenta, mientras que la
inflación disminuye el poder de compra del dinero.
La fórmula que sintetiza lo anterior es:
VDT=i−π
Dónde VDT es el valor del dinero en el tiempo, ( i ) es la tasa de interés y ( π )es la tasa
de inflación.
En ausencia de inflación, la manifestación del valor del dinero en el tiempo se
denomina interés. El interés es una medida del incremento, entre la suma original
solicitada en préstamo o invertida y la cantidad que se adeuda o la cantidad
acumulada. El factor riesgo se expresa en el factor tasa de interés.
Lo anterior conduce a la siguiente afirmación: “El dinero crea dinero”
Si se invierte dinero hoy, mañana tendremos más dinero. Esta acumulación de dinero
se denomina: “valor del dinero en el tiempo”
Al realizar una inversión, el objetivo es generar una ganancia mayor a la tasa de
inflación de ese periodo. La diferencia entre la rentabilidad obtenida y la tasa de
inflación, constituye la renta generada por el dinero invertido.
Una característica del dinero es la capacidad de generar más dinero, lo que significa
generar valor.
Ejemplo. El precio de un producto hoy, es de P1=1,000 y la inflación proyectada para
dentro de un año es de 5%. Esto significa que el precio del mismo producto, para
dentro de un año será de S/1,050. Pero si la tasa de interés es de 6 % en el mismo
periodo, entonces el precio del producto, en el término de un año será:
P2=1,000+1,000 (0.06−0.05 )=1,010
2.2. EquivalenciaEl valor del dinero en el tiempo, la tasa de interés y la tasa de inflación, utilizadas
simultáneamente, generan el concepto de equivalencia.
Equivalencia significa que sumas diferentes de dinero a términos diferentes de tiempo,
pueden ser iguales en valor económico.
Ejemplo: si la tasa de interés es del 10% anual, S/100 de hoy equivalen a S/110 dentro
de un año; y S/100 equivalen a S/90.9 de hace un año. La equivalencia puede
establecerse calculando la tasa de interés.
S /110S /100
=1.10 ó 10 % anual
S /100S /90 .9
=1.10 ó 10% anual
Tambien se puede decir: Luego de un periodo, el valor actual de S/100, es S/110, al
10% por periodo; o también, S/ 100 es el valor futuro de S/90.9 al 10% transcurrido un
periodo.
El concepto de equivalencia, es importante en la ingeniería económica y financiera. Se
utiliza para comparar montos de dienro en diferentes puntos del tiempo. Se utiliza este
modelo para simplificar aspectos de la realidad. Dos montos de dinero son
equivalentes (no iguales), cuando es indiferente percibir un monto de dinero hoy (VA -
valor actual) o recibir otra diferente en una fecha futura (VF - valor futuro) de mayor
cantidad. Si comparamos dos montos de capital en distintos puntos del tiempo,
calculamos la equivalencia de los mismos en un punto del tiempo (un mismo
momento), para lo cual, se utilizan las fórmulas de las matemáticas financieras.
CAPITULO 33.1. El InterésEl dinero, como cualquier activo tiene un valor. Por lo tanto, como cualquier activo,
tiene un costo de oportunidad. Es decir genera rentabilidad a quien lo utiliza. Al ser
entregado para su uso, se debe cobrar un alquiler. Si entregamos un automóvil para
su uso, cobramos una suma por periodo, por concepto de alquiler o arrendamiento. De
igual manera si entregamos dinero para su uso, cobramos un alquiler del dinero, ese
alquiler se denomina interés.
El interés financieramente es la retribución que se paga al capital inicial del
inversionista, de tal manera que se compense la pérdida de valor del dinero, en el
periodo transcurrido, se cubra el riesgo y se pague el alquiler del dinero.
Como la manifestación del valor del dinero en el tiempo se denomina interés; el interés
es una medida del incremento, entre la suma original solicitada en préstamo o
invertida y la cantidad que se adeuda o la cantidad acumulada.
Si se ha invertido dinero en el pasado, a algún periodo, el interés es:
INTERES=CANTIDA DTOTAL ACUMULADA−INVERSION ORIGINAL
Si se ha pedido dinero prestado en el pasado, el:
INTERES=CANTIDAD PRESENTE DE LA DEUDA−PRESTAMOORIGINAL
La inversión o préstamo original se denomina principal o valor presente o capital ( P ).
La cantidad acumulada de la deuda se denomina monto futuro ( F ).
El interés ( I ) se expresa mediante la siguiente fórmula:
I=F−P
El Interés, es la renta del capital, expresada en unidades monetarias, con la que se remunera a su propietario por el sacrificio de abstenerse de su uso o consumo inmediato y por el riesgo asumido. Si la renta se expresa en relación al capital, se denomina tasa o tipo de interés (precio que se paga por el uso del dinero, durante un determinado periodo de tiempo).
3.2. La Tasa de InterésLa tasa de interés se deduce de la siguiente manera:
IP
=F−PP
i= IP
=F−PP
Expresado en tanto por ciento:
i=[ FP
−1]× 100
El periodo de tiempo utilizado para expresar el interés, como tasa de interés se
denomina “periodo de interés”
La tasa de interés se define como la relación entre el interés obtenido en un período y
el capital inicialmente invertido. Esta relación se expresa en términos porcentuales.
Ejemplo. El señor Ramirez invierte hoy S/100,000 y al término de un año recibe
S/120,000 la tasa de interés fue: i=120,000−100,000100,000
=0.20 (20 % )
3.3. Interés SimpleEl interés simple se calcula utilizando solamente el principal o valor presente,
ignorando cualquier interés que se haya acumulado en los periodos de interés
anteriores.
NOTA: La tasa de interés (i) y el número de periodos deben estar expresados en
unidades consistentes.
Tasa de interés PeriodosTasa de interés anual anual
Tasa de interés semestral semestral
Tasa de interés trimestral trimestral
Tasa de interés mensual mensual
Tasa de interés semanal semanal
La fórmula del interés es:
I=Pin
Dónde: I es el interés, P es el valor presente o capital, ( i ) es la tasa de interés, (n ) es
el número de periodos que permanece invertido el capital.
La fórmula del valor futuro es:
F−P=Pin
F=P+Pin
F=P (1+¿ )
Dónde F es el valor futuro.
En el gráfico el interés simple, tiene la forma de progresión aritmética, cuya razón es
( Pi ).
Una operación financiera es concertada a interés simple, cuando el interés generado
en un periodo se calcula como una fracción o porcentaje (tasa de interés) siempre del
mismo capital inicial, independientemente del número de periodos en que permanezca
prestado o depositado.
3.3.1. Ejercicios ResueltosEjercicio 3.3.1.1. Un empresario obtuvo de una entidad financiera, un avance en cuenta corriente de
S/850,000 por treinta días. Al final del periodo su administrador le comunica que debe
depositar en su cuenta corriente la suma de S/879,750 para cancelar tal operación de
crédito. Calcular el costo mensual del sobregiro.
SoluciónCapital recibido: P = 850,00
Capital devuelto: F = 879,750
Interés pagado: I = 29,750
Tasa de interés porcentual i = 29,750/850,000 = 0.035 (3.5%)
Ejercicio 3.3.1.2.
Un capital estuvo depositado al régimen de interés simple durante seis meses. La tasa
de interés inicialmente pactada fue del 4% mensual. Sin embargo a los tres meses, se
pactó una nueva tasa de 2% mensual. Si el capital retirado a los seis meses fue de S/
1,770 ¿Cuál fue el capital inicial?
Solución
1,770
0.04P 0.04P 0.04P 0.02P 0.02P 0.02P 0 1 2 3 4 5 6
P
Capital inicial = P
Interés total = 3(0.04)P + 3(0.02)P = 0.18P
F = P + I
1770 = P + 0.18P = 1.18P
P = 1,500
Ejercicio 3.3.1.3.Se realizan tres depósitos de S/ 500, S/400 y S/300, hoy día, dentro de 4 y 7 meses
respectivamente, al régimen de interés simple. A partir del quinto mes la tasa cambia
de 2% mensual a 1% mensual, calcular el monto final al final de los 10 meses.
Solución
F=?
2% 1%
4 5 7 10
300
400
500
F1=500 (1+0,02×5+0.01× 5 ) →F1=500 (1.15 )
F2=400 (1+0,02 ×1+0.01 ×5 ) →F2=400 (1.07 )
F3=300 (1+0,01× 3 )→ F3=300 (1.03 )
F=500 (1.15 )+400 (1.07 )+300 (1.03 )=1,312
Ejercicio 3.3.1.4.
Un prestamista facilita S/2000 al 10% de interés mensual, pero cobrando el interés por
adelantado. Calcular el costo efectivo del préstamo.
Solución
2000
0 1
200
2000Principal = 2000
Intereses = 0.1(2000) = 200
Capital recibido = 2000 – 200 = 1800
Capital devuelto = 2000
Tasa efectiva = (200/1800) = 0.1111 ( 11.11%)
Ejercicio 3.3.1.5.
Determinar en un préstamo con pago de intereses por adelantado, la relación que
existe entre la tasa pactada y la tasa efectiva.
SoluciónConsideramos un valor presente o principal (P) y una tasa adelantada (ia)
P
0 1
P - Pia
PCapital neto recibido = P−Pia
Capital devuelto = P
Tasa efectiva = ief = iv
Dado que la tasa efectiva mide la variación proporcional del capital por unidad
de tiempo; es decir, el cociente del interés entre el capital inicial:
iv=P−( P−P . ia)
P−P . ia= P . ia
P−P . ia
Simplificando P en el numerador y denominador:
ief =iv= ia1−ia
Ejercicio 3.3.1.6.Hallar el costo del siguiente préstamo:
Principal: S/25,000
Retención: 25% (Ganará una tasa de 1% mensual)
T. de interés: 3% mensual
Comisión: 5% flat
Modalidad: Pago de intereses por adelantado
SoluciónEl flujo de caja es:
25000 6250(1.01)=6,312.5 0 1 6250
750
1250 25,000
Capital neto recibido = 25,000 – 6,250 -750 – 1,250 = 16,750
Capital neto devuelto = 25,000 – 6,312.5 = 18,687.5
Interés efectivo = 18,687.5 – 16,750 = 1,937.5
Tasa efectiva mensual = 1937.5/16,750 = 0.115671 (11.56%)
Ejercicio 3.3.1.7.
Un inversionista recibió un pagaré por valor de S/120.000 a un interés del 8% el
15 de julio con vencimiento a 150 días. El 20 de octubre del mismo año le
vende a otro inversionista que desea ganar el 10%. ¿Cuánto recibe por el
pagaré el primer inversionista?
Solución
F=120,000[1+( 0.08360 )(150)]=124,000
P20 octu=124,000
1+( 0.1360 ) (53 )
=122,200.93
El primer inversionista recibe S/122,200.93 el 20 de octubre.
Ejercicio 3.3.1.7.
Una persona debe cancelar S/14.000 a 3 meses, con el 8% de interés. Si el
pagará tiene como cláusula de penalidad que, en caso de mora, se cobre el
10% por el tiempo que exceda al plazo fijado ¿qué cantidad paga el deudor, 70
días después del vencimiento?
F1=14,000[1+( 0.0812 )(3)]=14,280
F2=14,280[1+( 0.1360 ) (70 )]=14,557.67
El deudor paga S/14,557.67, setenta días después del vencimiento.
Ejercicio 3.3.1.8.
Una persona descuenta el 15 de mayo un pagaré de S/ 20,000 con vencimiento
para el 13 de agosto y recibe S/19.559,90. ¿A qué tasa de descuento racional
o matemático se le descontó el pagaré?
Solución:
F=20,000
P=19,559.90
n=3meses=90días
i=?
F=P ¿
20,000=19,559.9[1+( i360 ) (90 )]
Despejamos i :
i=0.09 ≈ 9 %
3.3. El Interés Compuesto
El interés compuesto, se calcula mediante la acumulación de intereses
devengados por un capital inicial, o valor presente ( P ), a una tasa de interés (i ),
durante (n) periodos, en el que los intereses que se obtienen al final de cada
período de inversión, se capitalizan, adicionándose al capital inicial.
El concepto de interés compuesto, se comprenderá mejor, explicándolo con el
siguiente diagrama de flujo:
F
F1 F2 F3
Dónde:
F Es el valor futuro o monto futuro.
P
P Es el valor presente o capital inicial.
n Es el número de periodos.
i Es la tasa de interés por periodo.
La cantidad acumulada o monto futuro, del primer periodo es:
F1=P (1+i )
La cantidad acumulada o monto futuro, del segundo periodo es:
F2=F1+iF1
F2=P (1+i )+iP (1+i )
F2=P (1+i )2
La cantidad acumulada después del tercer periodo es:
F3=F2+iF2
F3=P (1+i )2+iP (1+i )2
F3=P (1+i )3
Por inducción matemática, el monto futuro para el periodo n es:
Fn=P (1+i )n(3.1)
Factor de Capitalización con pago único.
Este factor permite calcular el valor futuro ( Fn ), a partir del valor presente ( P ).
De la ecuación (3.1), se deduce:
[P→ Fi ,n ]=(1+i )n
Factor de Actualización con pago único.
El factor de actualización permite calcular el valor presente ( P ), a partir del valor
futuro ( F ). De la ecuación (3.1), se deduce:
[F →Pi ,n ]= 1
(1+ i)n
El interés acumulado con el interés compuesto
Permite calcular el interés acumulado durante todos los periodos, bajo el
régimen del interés compuesto.
I=F−P
I=P (1+ i )n−P
I=P [ P (1+i )n−1 ]
Fórmulas:
Monto Capital Inicial Tasa de interés
Tiempo
F=P (1+ i)n P= F(1+i )n i= n√ F
P−1 n= log F−log P
log (1+i )Dónde:F Es el valor futuro.P Es el valor presento o inversión o capital inicial.i Es la tasa de interés.n Son los periodos de capitalización.
Cálculo del interés: I=F−P
3.3.1. Ejercicios Resueltos
Ejercicio 3.3.1.1.
Calcular el monto que es necesario colocar en una cuenta, que paga el 15%,
con capitalización trimestral, para disponer 20.000 um al cabo de 10 años.
SOLUCIÓN
i=0.15 i = 0,15 efectiva trimestral
n=10años
F=20,000 um
P=?
Primer Método:
Calculamos el interés efectivo anual:
ie=(1+ jm )
m
−1
ie=(1+ 0.154 )
4
−1=0.15865
Reemplazamos los valores en la fórmula:
P= 1(1+i )n
F= 1(1+0.15865 )10 (20,000 )=4,586.75um
Segundo Método:
Considerando la tasa de interés de 15% capitalizable trimestralmente:
P= 1
(1+ jm )
nm F= 1
(1+ 0.154 )
10 ( 40) (20,000 )=4,586.75 um
P=4,586.75 um
Ejercicio 3.3.1.2.
¿Cuántos meses madurara una póliza, de 2.000 um, que paga el 3% anual,
para que se convierta en 7.500 um?
Solución
n=?
P=2000
i=0.03
F=7,500 um
Reemplazando los valores en la fórmula:
7,500=2,000 (1+0.03 )n
ln 7,5002,000
=n× ln1.03
n=44.71 años
Respuesta: 44,71 años * 12 meses = 536,52 meses Respuesta.
Ejercicio 3.3.1.3.
Hallar el valor futuro de 100 um, depositado durante 10 años, si la tasa de
interés es de:
a) 5% efectivo anual
F=100 (1+0.05 )10=162.89
b) 5% capitalizable mensualmente
F=100(1+ 0.0512 )
10 (12 )
=164.7
c) 5% capitalizable trimestralmente
F=100(1+ 0.054
0.05)10 ( 4)
=164.36
d) 5% capitalizable semestralmente
F=100(1+ 0.052
0.05)10 (2 )
=164.86
Ejercicio 3.3.1.4.
Hallar el valor futuro de 20.000 um, depositados al 8%, capitalizable
anualmente, durante 10 años 4 meses.
Solución
F=20,000
i=8% anual
n=10 años y 4 meses = 10.33333 años
Reemplazando en la fórmula:
F=P (1+ i)n
F=20,000 (1+0.08 )10.333=44,300.52
Ejercicio 3.3.1.5.
¿Qué tasa capitalizable semestralmente es equivalente al 8%, capitalizable
trimestralmente?
Solución
(1+ 0.084 )
4
−1=(1+ j2 )
2
−1
J=0.0808 (8.08 %)
Ejercicio 3.3.1.6.
¿En cuántos años un depósito de 6.000 um., se convertirá a 10,000 um, si
depositamos en una cuenta de ahorros que paga el 8% semestral?
Solución
P=6,000
F=10,000
i=8 % semestral
n=?
Reemplazando en la fórmula:
F=P (1+ i)n
10,000=6,000 (1+0.08 )n
10,0006,000
=(1+0.08 )n
ln (1.6666 )=n ln (1.08 )
n=0.510825220.07696104
=6.6374 años
Ejercicio 3.3.1.7.
En cuanto tiempo se duplicará un capital, si la tasa de interés es de 6%
mensual.
Solución
F=2 P
i=6% mensual
n=?
Remplazando en la fórmula:
F=P (1+ i)n
2 P=P (1+0.06 )n
2= (1+i )n
Aplicando logaritmos:
ln (2 )=n ln (1.06 )
n=0.693147180.05826891
=11.89566 años (11mese y 27días )
Ejercicio 3.3.1.8.
Se deposita hoy 100,000 um en una cuenta de ahorro. La entidad financiera
devolverá dentro de dos años 230,000 um. ¿Cuánto es la tasa de interés
efectiva mensual, que paga la entidad financiera?
Solución
P=100,000
F=130,000
n=2años=24meses
ie men=?
Reemplazando en la fórmula:
F=P (1+ i)n
230,000=100,000 (1+i )24
230,000100,000
¿ (1+i )24
2.3=(1+ i)24
i=0.0353137 (3.53 % )
Ejercicio 3.3.1.9.
¿Qué es más conveniente: invertir en una sociedad maderera que garantiza
duplicar el capital invertido cada 10 años, o depositar en una cuenta de ahorros
que ofrece el 6% capitalizable trimestralmente?
Solución
Primero: La Sociedad maderera.
F=2P
2= (1+i )10
i=0.07177 (7.17 %)Sociedad Maderera
La tasa de interés efectiva anual que paga la maderera es 7.17% y el capital se
duplica en 10 años.
Segundo:
Calculamos la tasa efectiva anual, capitalizable trimestralmente.
ie=(1+ 0.064 )
4
−1=0.06136 (6.13 % )
La tasa de interés efectiva anual que paga la cuenta de ahorros es 6.13%
2= (1+0.06136 )n
ln (2 )=n ln (1.06136 )
n= 0.693147180.059551104
=11.6395 años
El capital se duplica en 11.6395 años, si se invierte en la cuenta corriente.
Por lo tanto, es más conveniente invertir en la sociedad maderera.
Ejercicio 3.3.1.10.
Una inversionista desea comprar hoy un pagaré de 120.000 um, con
vencimiento a 3 años, a un precio que le produzca el 8% efectivo anual;
calcular el precio que paga por el pagare.
Solución:
F=120,000
n=3años
i=8 % anual
P=?
Reemplazando en la fórmula:
P= F(1+i )n
P= 120,000(1+0.08 )3
=95,259.87 um.
El precio que paga inversionista por el pagaré es de 95,259.87 um
3.4. Tasa de interés Nominal y Efectivo
Las tasas de interés se clasifican en:
Tasa de interés{Nominalesy
Efectivas
Las tasas de interés se dan generalmente en periodos anuales.
3.4.1. Tasa de interés nominal ( i )
Es la tasa de interés convencional que publican los bancos comerciales, para
sus operaciones pasivas y activas, en base a la tasa de interés de referencia,
que fija el Banco Central de Reserva del Perú. La tasa de interés nominal se
puede dividir entre un número de periodos.
La tasa de interés activa, es la tasa de interés que cobran las entidades
financieras, a sus clientes, por los préstamos y créditos, denominados
operaciones activas, que otorga.
La tasa de interés pasiva, es la tasa que pagan las entidades financieras a los
ahorristas y depositantes, denominados operaciones pasivas, que depositan
en sus cuentas.
3.4.2. Tasa de interés efectiva (ie )
Es la tasa de interés realmente pagado y vencido. Es la relación entre la tasa
nominal y el número de periodos capitalizables. La tasa de interés activa no se
puede dividir, ni multiplicar.
Para el cálculo del interés efectivo se presentan los siguientes casos:
I . Periodode Pago ( PP )=Periodo deCapitalización(PC )
II . Periodo de Pago (PP )>Periodo deCapitalización(PC )
III .Periodo de Pago ( PP )<Periodo deCapitalización(PC)
Transformación de una tasa de interés nominal a una tasa de interés efectivo
Primer caso:
Periodo dePago ( PP )=Periodo deCapitalización(PC)
Fórmula : i=ie
Ejemplo: Si una entidad establece una tasa de interés del 12% anual,
capitalizable anualmente, tenemos:
i=12%anual →ie=12% anualefectivo
Segundo Caso: Periodo dePago ( PP )>Periodode Capitalización(PC )
Dado la fórmula del interés:
ie=IP
= F−PP
Asimismo, la fórmula del monto futuro:
F=P(1+ jm )
m
Dónde: jm es la tasa de interés efectiva, para periodos menores a un año, o la
tasa de interés proporcional.
m es el número de capitalizaciones por año.
Reemplazando, se tiene:
ie=P (1+ j
m )m
−P
P
Luego, la fórmula de la tasa de interés efectiva, es:
ie=(1+ jm )
m
−1
Despejando jm
, obtenemos la fórmula de la tasa de interés efectiva para
periodos menores a un año, dado la tasa de interés efectiva anual:
jm=( 1+ ie)
1m−1
Ejemplo: Una entidad financiera establece tasa de interés nominal del 12%
anual, con periodos de capitalización trimestral.
i=12 %anual ,m=4 trimestres PP>PC
ie=(1+ 0.124 )
4
−1 →i=0.12550881 (12.55 % )
Ejemplo
Una entidad financiera establece la tasa de interés nominal del 12% anual.
Calcular la tasa de interés efectiva, si los periodos de capitalización son: anual,
semestral, trimestral, mensual, semanal, diario.
Solución:
Si Si :m=1→ie=(1+ 0.121 )
1
−1=0.12
Si :m=2→ie=(1+ 0.122 )
2
−1=0.123600
Si :m=4→ie=(1+ 0.124 )
4
−1=0.12550881
Si :m=12→ie=(1+ 0.1212 )
12
−1=0.126825
Si :m=52→ie=(1+ 0.1252 )
52
−1=0.127340
Si :m=360→ie=(1+ 0.12360 )
360
−1=0.127474
Periodos decapitalización m Tasa de interésefectivo anualAnual 1 0.120000 (12.00%)Semestral 2 0.123600 (12.36%)Trimestral 4 0.125508 (12.55%)Mensual 12 0.126825 (12.68%)Semanal 52 0.127340 (12.73%)Diario 360 0.127474 (12.74%)
Nota: Convencionalmente 1 año: 52 semanas: 360 días
Tercer Caso:
Periodo dePago ( PP )<Periodode Capitalización(PC )
Fórmula : ie=im
Si una entidad financiera establece una tasa de 12% anual, con capitalización
semestral y periodos de pago trimestrales.
Tasa de interés semetral : isem=0.12
2=0.06 (6 % )
Tasa de interésefectivo trimestral : ietrim=0.062
=0.03 (3 % )
Este caso, no es usual en la práctica.
3.4.3. Ejercicios Resueltos
Ejercicio 3.4.3.1.
Calcular el monto futuro, generado durante 6 meses, por un depósito de
850,000 unidades monetarias sujeto a una tasa de 20% capitalizable
mensualmente.
Solución
P = 850,000
i = 20%
n = 6 meses
m = 12
Como se hace mención a un periodo de capitalización, se asume que la tasa
de interés es nominal, asimismo como no se menciona el periodo de la tasa de
interés se asume que es anual. Por lo tanto el primer paso es calcular la tasa
proporcional para el periodo de capitalización, que de por si es una tasa
efectiva.
iefec .=0 . 212
=
0.01666 mensual
Luego calculamos el monto futuro, expresando el tiempo en meses, para hacer
compatible, con el periodo de la tasa de interés.
F=850 ,000(1+0 . 01666666)6=938 ,621 .3238
Ejercicio 3.4.3.2.
Calcular el monto fututo generado durante 4 años, por un depósito de 420,000
unidades monetarias sujeto a una tasa de 18% capitalizable semestralmente.
Solución
P = 420,000
i = 18%
N = 4 años
m = 2
Como se hace mención a un periodo de capitalización, se asume que la tasa
de interés es nominal, asimismo como no se menciona el periodo de la tasa de
interés se asume que es anual. Por lo tanto el primer paso es calcular la tasa
efectiva anual, ya que el capital se capitaliza cada semestre.
iefec .=(1+ 0 .182 )
2−1=0 .1881 anual
Luego calculamos el monto futuro, expresando el tiempo en años, para hacer
compatible, con el periodo de la tasa de interés.
F=420 ,000(1+0 .1881)4=836 ,876 .3095
Ejercicio 3.4.3.3.
Calcular con los datos del ejercicio anterior, el tiempo mínimo en el cuál el
depósito inicial por lo menos se duplica.
Solución
La fórmula es la siguiente:
F=P(1+i)n
Si : F=2 P⇒2P=P (1+i )n
Reemplazando los valores:
2(420 ,000 )=420 ,000 (1+0 . 1881 )n
2= (1 .1881 )n
Utilizando logaritmos:
Log(2 )=nLog(1 .1881 )
n=Log(2)
Log (1 .1881)0 .30102999560 .07485299588
=4 . 0216158
Ejercicio 3.4.3.4.
Una entidad financiera ofrece devolver por cada depósito de 300 unidades
monetarias, un monto futuro de 500 unidades monetarias dentro de un año.
Calcular la tasa efectiva mensual que está pagando la entidad financiera.
Solución
Como en la fórmula del monto futuro, la variable tiempo lo expresamos en
meses, entonces la tasa de interés que se calcula será mensual.
F=P (1+ i)n
Despejando:
FP
=(1+i )n⇒(FP )
1n =(1+i )
i=(FP )
1n−1 ⇒ i=(500
300 )1
12 −1=0 .04348(4 .348 % ) mensual
Ejercicio 3.4.3.5.
Con los datos del ejercicio anterior, calcular la tasa efectiva trimestral que paga
la entidad financiera.
Solución
Como en la fórmula del monto futuro, la variable tiempo lo expresamos en
trimestres, entonces la tasa de interés que se calcula será trimestral.
F=P (1+ i)n
Despejando:
FP
=(1+i )n⇒(FP )
1n =(1+i )
i=(FP )
1n−1 ⇒ i=(500
300 )14−1=0. 136219(13 .6219 % ) trimestral
Ejercicio 3.4.3.6.
Un capital de 400,000 unidades monetarias se deposita en una entidad
financiera por tres meses, durante los cuales se pagará las tasas de 8%, 5%, y
3.5% mensual respectivamente. Calcular el monto futuro a retirar luego de tres
meses, así como la tasa efectiva trimestral recibida.
SOLUCION
NOTA. Para calcular el monto futuro, debemos utilizar los factores de
capitalización vigentes para cada periodo.
P = 400,000
F3: Monto luego de tres meses
F3=400 ,000 (1+0. 08 ) (1+0 .05 ) (1+0.035 )=469 , 476
La tasa efectiva debe medir el incremento proporcional del dinero en los tres
meses.
iefec=(469 , 476−400 ,000 )400 ,000
=0 .17369(17 .369 % )
Trimestral.
Ejercicio 3.4.3.7.
Un capital colocado invertido hoy, ganará una tasa del 60% anual capitalizable
bimestralmente. Luego de 1.5 años se retira la tercera parte de los intereses
ganados hasta entonces, y a partir de ese momento la tasa de interés se
capitaliza mensualmente. Calcular el monto futuro a retirar 2 años después,
sabiendo que el primer retiro fue de 100 unidades monetarias.
Solución
F = ¿
-----------------i = 0.1 bimestral ---------- -------------i = 0.05 mensual ----
0 1.5 años 3.5 años
P = ¿
Intereses obtenidos en 1.5 años:
Interés (1.5 años) = Valor futuro – Valor presente
I=F−PI=P (1+ i )n−P3 (100 )=P (1+0 . 1 )9−P
P=300(1 .1 )9−1
⇒ P=220.92
El capital acumulado en 1.5 años es:
Capital (1.5 años) = Capital inicial + [Intereses (1.5 años) – 100]
Capital (1.5 años) = 220.92 + (300-100)
Capital (1.5 años) = 420.92
Nueva tasa de interés: i = 0.05 mensual
F3años=420. 92 (1.05 )24=1 ,357 .51
CAPITULO 4
4.1. Factores con pagos uniformes equivalentes
El valor presente de una serie de pagos uniformes equivalentes, se puede
determinar considerando cada valor (A) como un valor futuro (F) en el factor-
valor presente pago-único y luego sumando los valores (A) presentes. La
fórmula general es:
P=[ A(1+i )1
+A
(1+i )2+
A(1+ i )3
+…+A
(1+i )n−1 +A
(1+i )n ]
Factor izando:
P=A [ 1(1+i )1
+1
(1+i )2+
1(1+i )3
+…+1
(1+i )n−1 +1
(1+i )n ](4.1)
La ecuación (1) se simplifica multiplicando ambos lados por 1/(1+i):
P(1+ i)
=A [ 1(1+i )2
+1
(1+i )3+
1(1+i ) 4 +…+
1(1+i )n
+1
(1+i )n+1 ](4.2)
Restando la ecuación (4.1) de la ecuación (4.2)
P(1+ i)
−P=A [ −1(1+i )1
+1
(1+i )n+1 ]
Operando y reordenando tenemos:
(−Pi1+ i )=A[ 1
(1+ i)n+1 +1
(1+i ) ]
Simplificando ambos lados de la ecuación, se tiene:
−Pi=A [ (1+ i )(1+i )n+1 −
(1+i )(1+i ) ]
−Pi=A [ 1(1+i )n
−1]
−Pi=A [ 1−(1+i )n
(1+i )n ]
P=A [ (1+i )n−1i (1+i )n ](4.3)
4.1.1. Factor para pasar de series uniformes a valor presente.
Este factor permite actualizar (VA), una serie de pagos uniformes equivalentes
(A).
La ecuación (3) es la fórmula del factor de actualización, de la serie de pagos
uniformes equivalentes:
P=A [ (1+i )n−1i (1+i )n ](4.3)
4.1.2. Factor de recuperación del capital.
Este factor permite transformar un valor presente (VA) a una serie de pagos
uniformes equivalentes. Despejando (A) de la ecuación (4.3) tenemos:
A=P[ i (1+i )n
i (1+i )n−1 ](4.4)
4.1.3. Factor para pasar de series uniformes a valor futuro
Este factor transforma los pagos uniformes equivalentes (A) a un valor futuro
(F).
Considerando las ecuaciones, de capitalización con pago único y la ecuación
(4.3):
F=P (1+ i)n
P=A [ (1+i )n−1i (1+i )n ](4.3)
Remplazando:
F=A[ (1+ i )n−1i (1+i )n ] (1+i )n
F=A[ (1+ i )n−1i ](4.5)
4.1.4. Factor del fondo de amortización
Este factor permite transformar un valor futuro (F), a pagos uniformes
equivalentes (A). Despejando A de la ecuación (4.5):
A=F[ i(1+ i )n−1 ](4.6)
4.2. Ejercicios Resueltos
Ejercicio 4.2.1.
La Empresa “ EQUS” tiene que realizar pagos semestrales durante cinco años,
por una cantidad uniforme de 12,500 um cada uno. La tasa de interés pactada
es de 5% mensual. ¿Cuánto es la deuda de la empresa?
Solución
A=12,500
imen=5%
m=6
n=5años
Calculamos la tasa efectiva semestral.
La tasa de interés mensual es de 0.05
La tasa de interés nominal semestral es (0.05 ×6=0.3 )
Calculamos la tasa de interés efectiva semestral:
ie sem=(1+0.36 )
6
−1=0.34
O también: ie sem=(1+0.051 )
6
−1=0.34
Reemplazando en la fórmula del factor para pasar de pagos uniformes
equivalentes a valor presente:
P=[ (1+0.34 )5−10.34 (1+0.34 )5 ]=34,795 um
Ejercicio 4.2.2.
La empresa “FOQUS” compra un bien de capital por 32,000 um. La empresa
acuerda con la Casa distribuidora, que el precio puede ser cancelado mediante
cuotas mensuales, durante tres años. La tasa pactada es de 5.25% mensual.
¿A cuánto asciende cada pago mensual?
Solución
P=32,000
A=?mensual
n=3años=36meses
i=5.25 mensual
A=32,000[ 0.0525 (1+0.0525 )36−1(1+0.0525 )36 ]=2,027.61um
Ejercicio 4.2.3.
La empresa “SAC” deposita sus utilidades retenidas anuales, por un monto de
1,000 um, durante 12 años, en una entidad financiera que paga 4.5 % anual,
capitalizable trimestralmente. ¿Cuánto será el monto acumulado al término de
los 12 años?
Solución
A=1,000
i=4.5 %anual
m=4
n=12años
F=?
Calculamos la tasa efectiva anual.
i=(1+ 0.0454 )
4
−1=0.045765
Reemplazando los valores en el factor para pasar de pagos uniformes
equivalentes a valor futuro.
F=1,000[ (1+0.045765 )12−10.045765 ]=um
Ejercicio 4.2.4.
La empresa “EQUS” tiene una deuda que asciende a la suma de 150,000 um,
que debe honrar en el transcurso de 15 años. Para cancelar la deuda la
empresa realiza depósitos semestrales, en una entidad financiera que paga un
interés de 25% anual, capitalizable semestralmente. ¿A cuánto asciende el
depósito semestral?
Solución
F=150,000
n=15años
i=25 % anual
m=2
isem=0.25
2=0.125
A=? semestral
Reemplazamos los datos en el factor para pasar de valor futuro a pagos
uniformes equivalentes:
A=150,000[ 0.125(1+0.125 )30−1 ]=564.02334329um semestral
Ejercicio 4.2.5.
El proyecto “Alpha” se financia con un préstamo no reajustable de 700 um, al
15% de interés anual al rebatir y se amortiza en 5 cuotas mensuales, con igual
servicio de deuda.
Calcular, el cuadro del servicio de la deuda.
Solución;
P=700
i=15 %
n=5
A=FAK=?
FAK=A[ i (1+i )n
(1+i )n−1 ]
FAK=700,000[ 0.15 (1+0.15 )5
(1+0.15 )5−1 ]=209,000
Cuadro del Servicio de la Deuda
Periodo
Préstamo
Interés
Amortización
ServicioDeuda
Saldo
0 700,000 700,0001 700,000 105,000 104,000 209,000 596,000
2 596,000 89,000 120,000 209,000 476,0003 476,000 71,000 138,000 209,000 338,0004 338,000 51,000 158,000 209,000 180,0005 180,000 29,000 180,000 209,000
Ejercicio 4.2.5.
El proyecto “Alpha” proyecta fabricar fibra óptica OMJ. Para seleccionar el
tamaño del proyecto tiene tres alternativas, cuyos datos se muestran en la
tabla.
Rubros A B CInversión 110,000 140,000 160,000Producción por año (Metros) 20,000 24,000 30,000Costo anual de producción 33,000 34,000 38,000Vida útil (años) 4 4 4
El precio de mercado del metro de fibra óptica es de 4 unidades monetarias. El
valor residual de los equipos disminuye 6% de su valor inicial con cada año de
uso. La TMAR de “Alpha” es de 7% anual. Determine la mejor alternativa de
tamaño.
Solución.
Calculamos el valor residual al final de los 5 años de las tres alternativas en la
tabla.
Alternativa A Alternativa B Alternativa CAño Depreciació
nanual
Valorresidual
Depreciación
anual
Valorresidual
Depreciación
anual
Valorresidual
0 110,000
140,000
160,000
1 6,600 103,400
8,400 131,600
9,600 150,400
2 6,204 97,196 7,896 123,704
9,024 141,376
3 5,832 91,364 7,422 116,282
8,483 132,893
4 5,482 85,882 6,977 109,305
7,974 124,919
Ordenamos las inversiones y los beneficios.
Calculamos el Valor
Presente Neto de cada
alternativa, para descartar las alternativas que no son rentables.
VPA=−110,000+47,000[ (1+0.07 )4−10.07 (1+0.07 )4 ]+85,882[ 1
(1+0.07 )4 ]=114,717.89
VPB=−140,000+62,000[ (1+0.07 )4−10.07 (1+0.07 )4 ]+109,305 [ 1
(1+0.07 )4 ]=153,395.35
VPC=−160,000+82,000[ (1+0.07 )4−10.07 (1+0.07 )4 ]+124,919[ 1
(1+0.07 )4 ]=213,051.4
Las tres alternativas son rentables, pues el VPN de las tres alternativas es
mayor a cero. El problema para el proyecto es resolver la siguiente
interrogante: ¿es conveniente desde la perspectiva económica, incrementar la
inversión de 110,000 unidades monetarias a 140,000 unidades monetarias, o
aún incrementarlo hasta 160,000 unidades monetarias?
Alternativas
Inversión
Beneficio anual
(años 1 - 5)
Valorresidu
alA 110,00
047,000 85,88
2B 140,00
062,000 109,3
05C 160,00
082,000 124,9
19
Para resolver este problema, comparamos las alternativas. Analizamos si el
incremento de la inversión, corresponde a un incremento de las ganancias.
Utilizamos la técnica del análisis incremental.
Comparamos en primer lugar la alternativa A con la alternativa B, ambos
rentables, ya que sus VPN son positivos.
Utilizamos la siguiente fórmula de análisis incremental:
∆ VPBA=−( I B−I A )+(BB−BA ) [ (1+i )n−1i (1+i )n ]+(VSB−VSA )[ 1
(1+i )n ]
∆ VPBA=−(140,000−110,000 )+(62,000−47,000 )[ (1+0.07 )4−10.07 (1+0.07 )4 ]+ (109,305−85,882 )[ 1
(1+0.07 )4 ]=38,677.29
∆ VPCB=−(160,000−140,000 )+(82,000−62,000 )[ (1+0.07 )4−10.07 (1+0.07 )4 ]+(124,919−109,305 ) [ 1
(1+0.07 )4 ]=59,656.06
Con estos resultados se elige a la alternativa C. Ya que con el análisis
incremental, ante un incremento de la inversión de A a B, es decir se
incrementa la inversión de 110,000 a 140,000 unidades monetarias, las
ganancias se incrementan en 38,677.29 unidades monetarias. Asimismo cuando
la inversión se incrementa de 140,000 a 160,000 unidades monetarias, las
ganancias se incrementan en 59,656.06 unidades monetarias.
Ejercicio 4.2.6.
El proyecto “Betha” de producción de complementos electrónicos ha concluido
el estudio de mercado, cuyo resultado de la proyección de la demanda se
presenta en el cuadro.
Periodo 1 2 3 4 5Demanda (miles)
2,000
2,100
2,205
2,315
2,431
El Proyecto tiene dos alternativas de tamaño A y B. La inversión para el tamaño
A asciende a 80,000 unidades monetarias y la inversión para el tamaño B
asciende a 90,000 unidades monetarias. Los costos de acuerdo al volumen de
producción se muestran en el cuadro.
Producción
Costo fijo Costo Variable
A B A B2,000 - 2,2502,251 – 2,500
50,00055,000
60,00065,000
1012
86
La TMAR es del proyecto es de 10%. Calcular el tamaño óptimo.
Solución.
Para seleccionar el tamaño más conveniente se utiliza el Valor presente de los
costos (VPC)
Alternativa A
Periodo
Demanda
Costos Fijos
Costovariableunitario
CostoVariabletotal
Flujoneto
012345
2,0002,1002,2052,3152,431
50,00050,00050,00
1010101212
20,00021,00022,05027,78029,172
80,00070,00071,000
055,00055,000
72,05082,78084,172
VPC A=80,000+ 70,000(1.1 )1
+ 71,000(1.1 )2
+ 72,050(1.1 )3
+ 82,780(1.1 )4
+ 84,172(1.1 )5
=365,250.279
Alternativa B
VPCB=90,000+ 76,000(1.1 )1
+ 76,800(1.1 )2
+77,640(1.1 )3
+ 78,890(1.1 )4
+ 79,586(1.1 )5
=384,193.55
De acuerdo a los resultados del Valor presente de los costos, la alternativa A
es la mejor alternativa de tamaño, para el proyecto “Betha” ya que presentan
menor valor presente de sus costos.
CAPITULO 5
5.1. Los Índices de Rentabilidad
Periodo
Demanda
Costos Fijos
Costovariableunitario
CostoVariabletotal
Flujoneto
012345
2,0002,1002,2052,3152,431
60,00060,00060,00065,00065,000
88866
16,00016,80017,64013,89014,586
90,00076,00076,80077,64078,89079,586
Para evaluar un proyecto de inversión se utiliza los índices de rentabilidad,
cuyos indicadores son, el Valor Actual Neto (VAN), la Tasa Interna de Retorno
(TIR), la Relación Beneficio – Costo R( BC ), entre otros.
Estos indicadores miden las ventajas y desventajas, de realizar el proyecto. Es
decir hacen posible medir la rentabilidad de un proyecto, a partir del flujo de
caja proyectado.
Cada indicador presenta ventajas y desventajas, por lo que se hace necesario
utilizar tres o más de estos. antes de tomar una decisión.
5.1.1. El Valor actual neto (VAN )
Concepto. Es la suma algebraica de los valores actualizados de los ingresos,
costos e inversión, generados por el proyecto, a una tasa de descuento
pertinente.
El VAN se define, como el método para evaluar la rentabilidad de un proyecto
de inversión, que consiste en comparar el valor actual de todos los flujos de
entrada de efectivo, con el valor actual de todos los flujos de salida de efectivo.
Fórmula:
VAN=∑
B t−Ct−I t
(1+i )t
Dónde Bt : son los ingresos o beneficios en el periodo ( t ) , generados por el
proyecto.
C t : son costos en el periodo ( t ) , generados por el proyecto.
I t : es la inversión en el periodo ( t ) , del proyecto.
COK=i : es el costo de oportunidad del capital, o tasa de descuento promedio.
Los factores o elementos que determinan el valor del VAN son:
VAN=f ( B ,C , I , i , t )
Gráfico.
VAN
Bt Beneficios
t
C t Costos
I t
Resultados y criterios de inversión.
Se presentan las siguientes alternativas.
VAN>0 Si el VAN es mayor a cero, significa que existen ganancias; entonces
es recomendable realizar la inversión. El proyecto se acepta.
VAN=0 Si el VAN es igual a cero, no existen ni pérdidas ni ganancias; es
indiferente ejecutar el proyecto.
VAN<0 Si el VAN es menor que cero, existen pérdidas, por lo que el proyecto
es rechazado.
En el caso que existan varios proyectos alternativos con VAN>0 , entonces
se recomienda invertir, en aquel proyecto que presente un mayor VAN.
5.1.2. La Tasa interna de retorno (TIR )
Definición. Es la tasa de rendimiento compuesto promedio que se obtiene del
capital invertido. Se define también como una tasa de actualización que hace
nulo, al valor actual neto. (VAN=0)
Fórmula. No existe fórmula, sino una condición:
VAN=0
La representación gráfica del TIR.
UNIDADES
MONETARIAS
TIR
COK 2
COK1
VAN
Resultados y criterios de inversión. Se presentan las siguientes alternativas
para la toma de decisiones.
TIR>COK Si la TIR es mayor que el costo de oportunidad de capital, significa
que el rendimiento del capital invertido en el proyecto es superior al mínimo
aceptable para la ejecución del proyecto. Es decir, es conveniente realizar el
proyecto.
TIR=COK Si la TIR es igual al costo de oportunidad del capital, significa que
el rendimiento del capital invertido en el proyecto, es igual al interés que
recibirá el capital, al invertir el capital en la mejor alternativa. Para los
accionistas del proyecto es indiferente invertir en el proyecto o en la otra
alternativa.
TIR<COK Si la TIR es menor al costo de oportunidad del capital, significa que
el rendimiento de la inversión en el proyecto es menor al rendimiento en la
mejor alternativa. Por ello el proyecto se rechaza.
5.1.3. La Relación beneficio-costo R (B /C )
Definición. Es la relación entre los beneficios y costos actualizados de un
proyecto, dado una tasa de interés o costo de oportunidad del capital. Es el
cociente entre los ingresos y egresos actualizados, incluyendo la inversión.
Fórmula:
R (B /C )=∑
B t
(1+i )t
∑C t+ I t
(1+i )t
Dónde Bt : son los ingresos o beneficios en el periodo ( t ) , generados por el
proyecto.
C t : son costos en el periodo (t ) , generados por el proyecto.
I t : es la inversión en el periodo ( t ) , del proyecto.
COK=i : es el costo de oportunidad del capital, o tasa de descuento
promedio.
Otra fórmula, simplificada, es:
R (B /C )=1+ VANI t
(1+i)t
Resultados y criterios de inversión.
El criterio general, para tomar decisiones con este indicador, está basado en
que su valor gire en torno a la unidad. Entonces:
R (B /C )>1 Si la relación beneficio-costo es mayor que uno, indica que el valor
actual de los flujos de ingresos, son mayores al valor actual de los flujos de
egresos. Esto indica que el proyecto obtiene un beneficio adicional sobre la
mejor alternativa. La condición, donde la relación beneficio-costo es mayor que
uno, es equivalente a un VAN mayor que cero, y a una TIR mayor que el costo
del capital. Por tanto el proyecto es rentable.
R (B /C )=1 Si la relación beneficio-costo es igual a uno, significa que el valor
actual de los flujos de ingresos, son iguales al valor actual de los flujos de
egresos. Esto indica que el proyecto brinda la misma rentabilidad que la mejor
alternativa de inversión; por lo que es indiferente realizarlo. 1/ CBR
Si la relación beneficio-costo es menor que uno, significa que el valor actual de
los flujos de ingresos, son menores al valor actual de los flujos de egresos.
Este hecho indica que el proyecto se debe rechazar, porque la rentabilidad que
ofrece la mejor alternativa de inversión es mayor que la rentabilidad del
proyecto. El proyecto no es rentable.
5.1.4. Periodos de recuperación del capital ( PRI )
Concepto. El cálculo del periodo de recuperación del capital, muestra el
número de periodos necesarios, para que el proyecto recupere el capital
invertido. Si existen varios proyectos en cartera, se elegirá el proyecto con
menor periodo de recuperación del capital.
El PRI no mide directa ni indirectamente la rentabilidad. Es un indicador que
mide el riesgo de la inversión con relación al tiempo de su retorno.
Fórmula.
Se calcula utilizando la siguiente formula, para el caso de flujos homogéneos:
PRI=I t
VANn
Dónde: I t Es la inversión, en el tiempo.
VAN Es el valor actual neton Es el horizonte del proyecto
Otra forma de calcular el PRI es restar a la inversión, los flujos actualizados,
hasta que se logre tener un saldo igual a cero, es decir, hasta que se recupere
toda la inversión o el flujo neto del año cero
5.1.5. Relación entre los índices de rentabilidad
Para la toma de decisiones con respecto al proyecto, existen tres casos que
determinan la aceptación o el rechazo de la ejecución del proyecto.
1 . VAN>0⇒TIR>COK ⇒R (B/C )>1⇒PRI <n
2 . VAN=0⇒TIR=COK ⇒R ( B/C )=1⇒ PRI=n
3 . VAN <0⇒TIR<COK⇒ R (B /C )<1⇒ PRI<n
La relación uno, indica que el proyecto es rentable.
La relación dos, indica que realizar el proyecto es indiferente.
La relación tres, indica que el proyecto no es rentable.
5.2. Ejercicios Resueltos.
5.2.1. Los datos del proyecto “Beta” son los siguientes:
i) Horizonte del proyecto: 4 años.
ii) El FNE para los años 1, 2, 3, 4 son de 800 um para cada año.
iii) La inversión se realiza en el periodo cero.
iv) El proyecto se financia con un préstamo bancario de 1,500 unidades
monetarias, al 20% anual al rebatir, pagaderos en cuatro años.
v) La depreciación es lineal.
vi) La ganancia impositiva es de 10, 20, 30, 40 um respectivamente.
Calcular:
a) El VANF
b) EL TIRF
c) La R(B/C)
d) Determinar mediante la relación de los índices de rentabilidad, si el
proyecto “Beta” es rentable.
Periodo
Préstamo Interés
Amortización Servicio deLa deuda
Saldo
0 1,5001 1,500 300 279 579 1,2212 1,221 244 335 579 8863 886 177 402 579 4844 484 95 484 579
RUBRO 0 1 2 3 4INGRESOSCOSTOS OPERATIVOSIMPUESTOSINVERSIONFNE (1,500) 800.0
0800.00 800.0
0800.00
PRESTAMO 1500SERVICIO DEUDAINTERESESAMORTIZACIONES
579 579 579 579
GANANCIA IMPOSITIVA
10 20 30 40
FNF 0 231 241 251 261
A=1,500[ 0.2 (1+0.2 )4
(1+0.2 )4−1 ]=579
VANF=−0+ 231(1.2 )1
+ 241(1.2 )2
+ 251(1.2 )3
+ 261(1.4 )4
=630.97
R (B /C )=1+ 630.971,500
=1.42
CAPITULO 6
6.1. El costo Anual Uniforme Equivalente
El Costo Anual uniforme Equivalente es método que consiste en convertir todos
los ingresos y egresos, en una serie uniforme de pagos. Si el CAUE es positivo,
los ingresos son mayores que los egresos y por lo tanto, el proyecto puede
ejecutarse; si el CAUE es negativo, los ingresos son menores que los egresos
y en consecuencia el proyecto debe ser rechazado.
El CAUE describe los flujos de caja, porque en la mayoría de las veces, la serie
uniforme desarrollada representa costos.
El CAUE se utiliza para describir el resultado de un flujo de caja uniforme, la
mejor alternativa seleccionada debe ser la seleccionada por valor presente o
por cualquier otro método de evaluación.
6.1.1. Período De Estudio Para Alternativas Con Vidas Útiles
Diferentes
La ventaja del CAUE sobre otros métodos, es que no requiere que la
comparación se lleve a cabo sobre el mínimo común múltiplo de años, cuando
las alternativas tienen diferentes vidas útiles. Es decir, el CAUE de una
alternativa debe calcularse para un ciclo de vida solamente. Porque, como su
nombre lo indica, el CAUE es un costo anual equivalente para toda la vida del
proyecto. Si el proyecto continuara durante más de un ciclo, el costo anual
equivalente para el próximo ciclo y subsiguiente, será exactamente igual que
para el primero, suponiendo que todos los flujos de caja fueran los mismos
para cada ciclo.
6.2. Ejercicios Resueltos
Ejercicio 6.2.1.
El diagrama de flujo de caja muestra la representación de dos ciclos de vida de
un activo que tiene un costo inicial de $20.000, un costo anual de operación de
$8.000 y 3 años de vida útil.
El CAUE para un ciclo de vida (por ejemplo, 3 años)
CAUE = 20.OOO(A/P, 22%, 3) + 8.000 = $17.793
CAUE=P [ i (1+i )n
(1+i )n−1 ]+CAO
CAUE=20,000[ 0.22 (1+0.22 )3
(1+0.22 )3−1 ]+8,000=17,793.16
Obsérvese que el CAUE para la primera vida es exactamente igual su valor,
que cuando se consideran dos ciclos de vida. El mismo valor de CAUE será
obtenido entonces para tres, cuatro o cualquier otro número de ciclos de vidas
evaluados.
Ejercicio 6.2.2.
Se tienen dos alternativas de tamaño del proyecto. La primera alternativa tiene
características de semiautomática, con una inversión inicial de 2,000 unidades
monetarias. Los costos de mano de obra ascienden a 3,000 unidades
monetarias el primer año; se espera que se incrementen en 15% por año. Los
costos de mantenimiento son de 1,500 unidades monetarias al año. El equipo
tiene un valor residual de 500 unidades monetarias al final del periodo de vida
útil de 5 años.
La segunda alternativa, tiene características de proceso automático, con una
inversión inicial de 7,000 unidades monetarias. Los costos de mano de obra
ascienden a 1,000 unidades monetarias el primer año; se espera también que
se incrementen en 15% por año. Los costos de mantenimiento son de 3,000
unidades monetarias al año. El equipo tiene un valor residual de 1,500
unidades monetarias al final del periodo de vida útil de 5 años. La tasa de
interés (TMAR) es de 8% anual. Seleccione la mejor alternativa de tamaño
desde el punto de vista económico.
Solución
Desarrollamos el diagrama de flujo de ambas alternativas:
El proceso semiautomático (I)
Diagrama de flujo de la alternativa semiautomática (I)Conceptos 0 1 2 3 4 5
Inversión 2,000Costo de mano de obra
3,000 3,450 3,967.5 4,562.6 5,247
Costo de mantenimiento
1,500 1,500 1,500 1,500 1,500
Flujo anual 2,000 4,500 4,950 5,467.5 6,062.6 6,747
El flujo anual de costos se expresa como una cantidad equivalente. Para ello
calculamos el valor presente. (Utilizar la convención de signos. Para egresos se
consideran signos positivos)
Vpsa=+2000+ 4,500(1.08 )1
+ 4,950(1.08 )2
+5,467.5(1.08 )3
+ 6,062.6(1.08 )4 + 6,747−500
(1.08 )5=23,458.56
Luego calculamos el Costo anual uniforme equivalente:
CAUEsa=23,458.56 ( A /P ,8 % ,5 )=5,875.35
Representamos este resultado anualmente:
Año 0 1 2 3 4 5CAUE sa
5,875.35
5,875.35
5,875.35
5,875.35
5,875.35
Los costos se expresan de dos formas: Como el valor presente de los costos, y
como una serie de costos a lo largo de la vida útil, es decir 5 años.
El proceso automático (II)
Diagrama de flujo de la alternativa automática (II)Conceptos 0 1 2 3 4 5
Inversión 7,000Costo de mano de obra
1,000 1,150 1,322.5 1,520.9 1,749
Costo de mantenimiento
3,000 3,000 3,000 3,000 3,000
Flujo anual 7,000 4,000 4,150 4,322.5 4,520.9 4,749
Igualmente el flujo anual de costos se expresa como una cantidad equivalente.
Para ello calculamos el valor presente. (Utilizar la convención de signos. Para
egresos, se consideran signos positivos)
Vpsa=+7000+ 4,000(1.08 )1
+ 4,150(1.08 )2
+ 4,322.5(1.08 )3
+ 4,520.9(1.08 )4
+ 4,749−1,500(1.08 )5
=23,227.2
Calculamos el Costo anual uniforme equivalente:
CAUEsa=23,227.2 ( A/P ,8% ,5 )=5,817.4
Representando este resultado anualmente se tiene:
Año
0 1 2 3 4 5
CAUE a
5,817.4
5,817.4
5,817.4
5,817.4
5,817.4
Los costos se expresan de dos formas: Como el valor presente de los costos, y
como una serie de costos a lo largo de la vida útil, 5 años.
El resultado indica que la mejor alternativa es el tamaño (II), porque significan
menores costos anuales. La alternativa de tamaño (I) semi automatizada, tiene
un costo anual de 5,875.35 unidades monetarias; mientras que la alternativa de
tamaño (II) automatizada, tiene un costo anual de 5,817.4 unidades
monetarias.
Ejercicio 6.2.3.
Se presentan dos alternativas de tamaño para un proyecto de producción de
bienes. La información con que se cuenta, se presenta en el siguiente cuadro:
Tamaño I
Tamaño II
Inversión InicialCostos de mano de obraCostos de mantenimientoVida útilValor residual
1,5003,1001,6005300
6,3009002,80051,100
Los costos de mano de obra, de ambas alternativas, se refieren al primer año;
además que estos se incrementen en 10% respecto del costo incurrido en el
año previo. La tasa de interés o costo de oportunidad del capital es del 10%
anual. Calcular y seleccionar la mejor alternativa para el proyecto. Utilice el
método del CAUE.
Solución.
Tamaño I. Diagrama de flujo.
300
0 1 2 3 4 5
1,500 3,100 3,410 3,751 4,126 4,538.71
+1,600 +1,600 +1,600 +1,600 +1,600
4,700 5,010 5,351 5,726 6,138.71
Calculamos el valor presente de los flujos de costos:
VPI=1 ,500+ 4 ,700(1. 1 )1
+5 ,010(1 .1 )2
+5 ,371(1. 1 )3
+ 5 ,726(1. 1 )4
+6 ,138 .71−300(1 .1 )5
=21 ,469 .89
CAUE I=21 ,469. 89 [ A / P ,10%,5 ]=5 ,663 . 7
Tamaño II. Diagrama de flujo.
1,100
0 1 2 3 4 5
6,300 900 990 1,089 1,197.9 1,317.69
+2,800 +2,800 +2,800 +2,800 +2,800
3,700 3,790 3,889 3,997.9 4,117.69
Calculamos el valor presente de los flujos de costos:
VPII=6 ,300+ 3 ,700(1 .1 )1
+ 3 ,790(1 .1 )2
+ 3 ,889(1 .1 )3
+ 3 ,997. 9(1. 1 )4
+ 4 ,117. 69−1,100(1.1 )5
=20 ,322.1
CAUE II=20 ,322.1 [ A /P ,10 %,5 ]=5 ,360 .91
Se selecciona la alternativa que presenta el menor CAUE, es decir la
alternativa de tamaño II.
Ejercicio 6.2.3.
Se tienen dos alternativas de tamaño para un proyecto de inversión. La primera
alternativa cotizada por la empresa “A” es semiautomática, cuya inversión
inicial es de 10,000,000 unidades monetarias. Los costos de mano de obra
ascienden a 2,000,000 unidades monetarias al final del primer año, se calcula
que se incrementen en 10% anual, respecto al costo obtenido el año anterior.
Los costos de mantenimiento son de 1,500,000 unidades monetarias al año. El
equipo tendrá un valor de mercado de 2,000,000 unidades monetarias al final
de su vida útil de 5 años.
La segunda alternativa es automatizado, cotizado por la empresa “B”
representa una inversión inicial de 25,000,000, los costos de mano de obra son
de 500,000 unidades monetarias al final del primer año y tendrán también
incrementos anuales del 10% sobre el valor del año anterior. Los costos de
mantenimiento son de 400,000 unidades monetarias al año. El equipo tendrá
un valor de mercado de 5,000,000 unidades monetarias al final de su vida útil
de 5 años. Con una tasa de interés del 12% anual, seleccionar la mejor
alternativa, para el proyecto.
Solución:
Primera alternativa: A
0 1 2 3 4 5
10,000,000 2,000,000 2,200,000 2,420,000 2,662,000 2,928,200
1,500,000 1,500,000 1,500,000 1,500,500 1,500,000
3,500,000 3,700,000 3,920,000 4,162,000 4,428,200
Las cantidades resultantes del diagrama se expresan como una cantidad
equivalente (valor presente)
VPA=10 ,000 ,000+ 3 ,500 ,000(1 . 12)1
+ 3 ,700 ,000(1 .12 )2
+3 ,920 ,000(1 .12 )3
+ 4 ,162 ,000(1. 12)4
+ 4 ,428 ,200(1. 12)5
=21,642 ,001. 75
Utilizando el CAUE:
CAUEA=21 ,642 ,001.75[ 0 .12(1 .12 )5
(1. 12)5−1 ]=6 ,003 ,701. 9
Expresamos el resultado en un diagrama, se tienen:
0 1 2 3 4 5
6,003,701.9 6,003,701.9 6,003,701.9 6,003,701.9 6,003,701.9
El diagrama original se transforma en un diagrama con pagos uniformes
equivalentes. Es decir los costos se presentaron de dos formas: Como el valor
presente de los costos y como una serie uniforme de costos a lo largo del
horizonte del proyecto: 5 años.
Segunda alternativa: B
0 1 2 3 4 5
25,000,000 500,000 550,000 605,000 665,500 732,050
400,000 400,000 400,000 400,000 400,000
900,000 950,00 1,005,000 1,065,500 1,132,050
Las cantidades resultantes del diagrama se expresan como una cantidad
equivalente (valor presente)
VPB=25 ,000 , 000+900 ,000(1. 12)1
+950 ,000(1 .12 )2
+ 1,005 ,000(1 .12 )3
+1 ,065 , 500(1 .12)4
+ 1 ,132 ,050(1 .12 )5
=28 ,595 ,744 . 792
Utilizando el CAUE:
CAUEB=28 ,595 ,744 . 792[0 .12(1. 12)5
(1 .12)5−1 ]=7 ,932 ,737 .897
Expresamos el resultado en un diagrama, se tienen:
0 1 2 3 4 5
7,932,737.8 7,932,737.8 7,932,737.8 7,932,737.8 7,932,737.8
El diagrama original se transforma en un diagrama con pagos uniformes
equivalentes. Es decir los costos se presentaron de dos formas: Como el valor
presente de los costos y como una serie uniforme de costos a lo largo del
horizonte del proyecto: 5 años.
Se selecciona la alternativa con menor costo anual, es decir la alternativa “A”.
Ejercicio 6.2.4.
El proyecto “Beta” dedicado a la logística de carga y descarga, está
considerando la posibilidad de modernizar su planta y utilizar bandas
transportadoras. Esta modernización significará un ahorro de mano de obra
equivalente a 150,000 unidades monetarias anuales. La implementación de
bandas transportadoras significa una inversión de 435,000 unidades
monetarias, y además, ocasionarán costos de mantenimiento por 38,000
unidades monetarias anuales. Si la tasa de interés es de 15% y el periodo de
análisis es de 8 años y un valor residual de cero, determinar la conveniencia
económica de la instalación.
Solución:
Ahorro = 150,000
Inversión = 435,000
Costo de mantenimiento = 38,000
I = 15%
VS = 0
En este ejercicio el método del BAUE es un herramienta útil.
Diagrama de flujo:
150 150 150 150 150 150 150 150
0 1 2 3 4 5 6 7 8
435,000 38 38 38 38 38 38 38 38
BAUE=−435 ,000[ i (1+i )n
(1+i)n−1 ]+150 ,000−38 ,000
BAUE=−435 ,000[0 .15 (1+0. 15 )8
(1+0 . 15)8−1 ]+150 ,000−38 ,000=15 ,060 .2
El BAUE es 15,060.2, es decir es conveniente para el proyecto modernizar su
planta, pues logrará un beneficio adicional de 15,060.2 unidades monetarias.
CAPITULO 7
7.1. La Depreciación.
La depreciación es la reducción en el valor contable de un activo. Los modelos
de depreciación utilizan reglas, tasas y fórmulas aprobadas por el gobierno
para representar el valor actual en los libros de la empresa.
7.2. Requisitos para la depreciación.
Para que un activo pueda depreciarse, tiene que cumplir los siguientes
requisitos:
a) Debe ser un activo fijo, que sirva de apoyo en el proceso productivo de la
empresa.
b) Ser un activo que se desgasta, se descompone, se deteriore o se vuelva
obsoleto por los avances tecnológicos.
c) La vida útil del activo debe ser cuantificable económicamente..
d) El activo debe ser tangible.
7.3. Causas de la depreciación
Las causas de la depreciación son: El uso del activo en el proceso productivo
de la empresa. El avance de la tecnología que hace obsoleto a la tecnología
anterior. El clima o tiempo que deteriora los activos de la empresa.
7.4. Conceptos utilizados en el proceso de depreciación.
Costo o precio inicial ( P ) . También llamado base no ajustada, es el costo
instalado del activo que incluye el precio de compra, las comisiones de entrega
e instalación y otros costos directos depreciables en los cuales se incurre a fin
de preparar el activo para su uso. El término base no ajustada, o simplemente
base, y el símbolo B se utilizan cuando el activo es nuevo.
Valor en libros (VL ): Representa la inversión restante, no depreciada en los
libros después de que el monto total de cargos de depreciación a la fecha han
sido restados de la base.
Periodo de recuperación(n ): Es la vida depreciable del activo en años, Este
valor puede ser diferente de la vida productiva estimada debido a que las leyes
regulan los periodos de recuperación y depreciación.
Valor de mercado: Es precio estimado, si un activo fuera vendido en el
mercado abierto. Debido a la estructura de las leyes de depreciación, el valor
en libros y el valor de mercado pueden ser sustancialmente diferentes.
Tasa de depreciación: También llamada tasa de recuperación, es la fracción
del costo inicial que se elimina por depreciación cada año. Esta tasa puede ser
la misma cada año, denominándose entonces tasa en línea recta, o puede ser
diferente para cada año del periodo de recuperación.
Valor residual o Valor de salvamento (VS ): Es el valor estimado de
intercambio o de mercado al final de la vida útil del activo. El valor de
salvamento, VS, expresado como una cantidad en dólares estimada o como un
porcentaje del costo inicial, puede ser positivo, cero ó negativo debido a los
costos de desmantelamiento y de exclusión.
Propiedad personal: Está constituida por las posesiones tangibles de una
corporación, productoras de ingresos, utilizadas para hacer negocios. Se
incluye la mayor parte de la propiedad industrial manufacturera y de servicio:
vehículos, equipo de manufactura, mecanismos de manejo de materiales,
computadores, muebles de oficina, equipo de proceso de refinación y mucho
más.
Propiedad real: Incluye la finca raíz y las mejoras a ésta y tipos similares de
propiedad, por ejemplo: edificios de oficinas, estructuras de manufactura,
bodegas, apartamentos. La tierra en sí se considera como propiedad real, pero
no es depreciable.
7.5. Métodos de la depreciación.
7.5.1. Método de la línea recta.
Este método reparte uniformemente la depreciación durante la vida útil del
activo. Se utiliza la siguiente fórmula para calcular la depreciación anual:
Da=P−VS
n
Dónde:
Da : Es la depreciación anual.
La depreciación acumulada será la sumatoria de la depreciación anual,
conforme transcurre el tiempo. La fórmula de la depreciación acumulada hasta
el año m es:
Dm=m Da=m(P−VSn )
Asimismo el valor en libros, es la diferencia entre el costo inicial y la
depreciación acumulada hasta el año m:
VLm=P−Dm=P−m( P−VSn )
Ejemplo:
El precio de un activo es de 30,000,000 unidades monetarias; su vida útil es de
cinco años y su valor residual es cero. Calcular la depreciación anual, la
depreciación acumulada y su valor en libros para cada uno de los cinco años
de vida útil.
Solución
Para calcular la depreciación anual, aplicamos la fórmula:
Da=30,000,000−0
5=6,000,000
Año Depreciacion
Anual
DepreciaciónAcumulada
Valor enLibros
0 30,000,0001 6,000,000 6,000,000 24,000,0002 6,000,000 12,000,000 18,000,0003 6,000,000 18,000,000 12,000,0004 6,000,000 24,000,000 6,000,0005 6,000,000 30,000,000
7.5.2. Método de la suma de dígitos.
Este método tiene la característica, de que gran parte del valor del activo, se
amortiza en el primer tercio de su vida útil.
Para el cálculo de la depreciación anual, se aplica el siguiente procedimiento.
a) Se suman los años de vida útil.
b) Se ordenan los años de vida útil de mayor a menor y se enumeran.
c) La depreciación anual se expresa como una fracción de la depreciación
total. El denominador de la fracción es la sumatoria de todos los
periodos, y el numerador es el número asignado a cada año. La fórmula
es:
Da= i∑ i
( P−VS )
Dónde i=1 ,2 ,…n es el año
Ejemplo:
El valor de un activo es de 5,000,000 unidades monetarias; su valor residual es
de 1,000,000 al termino de cinco años. Calcular la depreciación anual, la
depreciación acumulada y el valor en libros para cada uno de los cinco años.
Solución
a) Sumamos los años de vida útil: 1+2+3+4+5=15
b) Ordenamos los años de vida útil de mayor a menor: 54 32 1
c) Calculamos la depreciación total: 5,000,000−1,000,000=4,000,000
Año
Operación DepreciaciónAnual
1 515
(4,000,000 ) 1,333,333.334
2 415
(4,000,000 ) 1,066,666.667
3 315
(4,000,000 ) 800,000.000
4 215
(4,000,000 ) 533,333.334
5 115
(4,000,000 ) 266,666.667
Año
Depreciaciónanual
Depreciaciónacumulada
Valor enLibros
0 0 0 5,000,000.0001 1,333,333.334 1,333,333.334 3,666,666. 6672 1,066,666.667 2,400,000.000 2,600,000.0003 800,000.000 3,200,000.000 1,800,000.0004 533,333.334 3,733,333.335 1,266,666.6675 266,666.667 4,000,000.000 1,000,000.000
Como se observa en el cuadro, por este método se deprecian los activos en
mayores montos en los primeros años de vida, mientras que los montos de
depreciación en los últimos años son menores.
7.5.3. Método de las unidades producidas.
Por sus características, para muchos activos su vida útil está relacionado con
su capacidad de producción, lo que se expresa en horas de trabajo, unidades
producidas, etc. Este método consiste en calcular el monto de depreciación de
acuerdo al volumen de producción alcanzada.
Se utiliza la siguiente fórmula:
Depreciación porunidad= DepreciacióntotalTotal deunidades producidas
Ejemplo:
La empresa “Alpha” adquiere un activo cuyo precio es de 1,000,000 unidades
monetarias; la capacidad de producción del equipo es de 500,000 unidades, al
final de los cuales su valor quedará totalmente depreciado (Valor residual será
de cero). La producción por cada año de su vida útil será:
Año Producción1 80,0002 100,0003 150,0004 50,0005 120,000
Solución
Calculamos la depreciación por unidad producida:
Depreciación porunidad Depreciación totalTotaldeunidades producidas
=1,000,000500,000
=2
La depreciación para cada uno de los años es:
Año
Operación DepreciaciónPara cada año
1 80,000 ×2=¿ 160,0002 100,000 ×2= 200,0003 150,000 ×2=¿ 300,000
4 50,000 ×2=¿ 100,0005 120,000 ×2=¿ 240,000
Año Unidadesproducidas
DepreciaciónPor año
Depreciaciónacumulada
Valor enlibros
0 0 0 0 1,000,0001 80,000 160,000 160,000 840,0002 100,000 200,000 360,000 640,0003 150,000 300,000 660,000 340,0004 50,000 100,000 760,000 240,0005 120,000 240,000 1,000,000 0
7.5.3. Método de las unidades producidas.
7.5.3. Método de las unidades producidas.
Tambien por sus características, para muchos activos su vida útil está
relacionado con el número de horas que la maquinaria estuvo en operación.
Este método consiste en calcular el monto de depreciación de acuerdo al
tiempo de operación de la maquinaria.
Se utiliza la siguiente fórmula:
Depreciación por horadeoperación= Depreciación totalTotal dehoras deoperación
Ejemplo:
La empresa “Betha” adquiere una maquinaria cuyo precio es de 500,000
unidades monetarias, cuyo valor residual es de 100,000 unidades monetarias,
con una vida útil probable de 40,000 horas de operación. La operación por
hora, para cada año se muestra en la siguiente tabla:
Año
Número de horasde operación
1 15,0002 10,0003 8,0004 7,000
Solución
Calculamos la depreciación total:
Depreciación total=Precio−Valor residual
Depreciación total=500,000−100,000=400,000
Luego calculamos la depreciación por unidad:
Depreciación por horadeoperación= Depreciación totalTotal horasde operación
Depreciación por horadeoperación= 400,00040,000
=10
Año Horas deoperación
DepreciaciónPor año
Depreciaciónacumulada
Valor en libros
0 500,0001 15,000 150,000 150,0002 10,000 100,000 250,0003 8,000 80,000 330,0004 7,000 70,000 400,000
CAPITULO 8
La Inflación y la Fórmula Polinómica
8.1. CONCEPTO
La Formula Polinómica, es una expresión matemática. Cuya estructura
contiene la sumatoria de varios monomios aplicados a su vez, a cada uno de
los componentes de la estructura de costos de un proyecto, especialmente de
construcción. El método, consiste en calcular los coeficientes de incidencias de
Materiales, Equipos, Mano de obra, Administración, Financiamiento (si lo hay),
Utilidad e Imprevistos, para ser multiplicados por su correspondiente Índice de
Precios propio, resultante de la ponderación de cada uno de estos, dentro de la
composición de la Oferta Original del Contratista.
8.2. APLICACIÓN
La fórmula Polinómica que se ajusta a los conceptos y componentes, del costo
de las actividades contratadas y ejecutadas en un proyecto de construcción, se
define como:
P=aMN 1
MN 0+b
MI1
MI0+c
EQ1
EQ0+d
CB1
CB0+e
MO1
MO0
En donde:
P: Factor de ajuste de precios para actualizar cada Avalúo (El
avalúo de Obra es la facturación mensual, por trabajos de
construcción realizados)
a: Coeficiente de peso de los Materiales Nacionales
b: Coeficiente de peso de los Materiales Importados (No
aplica)
c: Coeficiente de peso del Equipo y Maquinaria (No aplica)
d : Coeficiente de peso del Combustible
e: Coeficiente de peso de la Mano de Obra.
MN1 : Índice de los materiales nacionales correspondiente al
ajuste
MI 1: Índice de los Materiales Importados correspondiente al
ajuste.
EQ1: Índice de Equipo y Maquinaria correspondiente al ajuste
CB1: Índice del Combustible
MO1: Índice de la Mano de Obra
MN 0: Índice de los Materiales Nacionales a la fecha de la
Licitación.
MI 0: Índice de los Materiales Importados a la fecha de la
Licitación.
EQ0: Índice del Equipo y maquinaria a la fecha de la Licitación
CB0: Índice del Combustible a la fecha de la licitación.
MO0: Índice de la Mano de Obra a la fecha de la Licitación.
8.3. DETERMINACION DE LOS FACTORES DE PONDERACION DE CADA COMPONENTE DEL COSTO.
Se determina primero el coeficiente de cada componente del costo mediante la
revisión de cada concepto de obra contratado y su desglose en los diferentes
sub-componentes, verificando los factores que resultan de la composición del
precio unitario.
Ejemplo:
El valor del factor ponderado del componente materiales nacionales es: 0.4820
El valor del factor ponderado del componente materiales importados es: 0.0
El valor del factor ponderado del componente maquinaria y equipo es: 0.258
El valor del factor ponderado del componente combustibles es: 0.1535
El valor del factor ponderado del componente mano de obra es: 0.1063
A partir de la facturación de cada uno de los materiales adquiridos en un
periodo determinado (Avalúo), se calcula la diferencia (incremento de precios) y
se aplica a la cantidad real ejecutada en ese mismo periodo.
De igual manera se procede con el rubro o ítem combustible y en el caso de la
Mano de Obra, se establece el incremento en ese periodo.
A continuación, se determina la participación real de cada componente en un
periodo determinado, mediante la cantidad incorporada al proyecto, el
diferencial entre el Valor Contractual original y el Valor Final para después
determinar el costo inicial Vs. el costo final para cada elemento. De tal manera
que la aplicación de los índices y factores correspondientes, como a
continuación se detalla en la fórmula:
P= (0.4820 ) (1.025 )(1.00 )
+ (0.2581 ) (1.000 )(1.000 )
+ (0.1535 ) (1.0914 )(1.000 )
+(0.1063) (1.000 )(1.000 )
En consecuencia:
P=0.49+0.2581+0.1676+0.1063
De donde:
P=1.026
El monto financiero real ejecutado mediante el Avalúo mensual por cada
concepto de obra, se multiplica por el factor de incremento, determinándose
finalmente el incremento por cada concepto de obra y consecuentemente,
mediante la sumatoria de todos ellos, el incremento en el periodo por obra
ejecutada.
