Ingenieria Economica. Texto

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS INSTITUTO DE INVESTIGACIONES DE LA FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS TEXTO: “INGENIERIA ECONOMICA” LOYO PEPE ZAPATA VILLAR

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ingenieria economica

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS

INSTITUTO DE INVESTIGACIONES DE LA FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS

TEXTO: “INGENIERIA ECONOMICA”

LOYO PEPE ZAPATA VILLAR

INDICE

Page 2: Ingenieria Economica. Texto

INDICE…………………………………………………….…………………….……..1

INTRODUCCION……………………………………….………………………..……2

CAPITULO I

La Ingeniería Económica. Generalidades.………………………………………….3

CAPITULO II

El Valor del Dinero a Través del Tiempo. Equivalencias ..…………………….…8

CAPITULO III

Factores con Pagos Uniformes Equivalentes...…………………………………..26

CAPITULO IV

La Tasa de Interés……..…………………………………………………………….54

CAPITULO V

Los Índices de Rentabilidad..……………………………………….………………85

CAPITULO VI

El costo Anual Uniforme Equivalente. ..………………………….………….…...127

CAPITULO VII

La Depreciación. ……….

…………………………………………………………………….…………133

CAPITULO VIII

La Inflación y la Fórmula Polinómica .…………………………………………....138

INTRODUCCION

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Investigar, recopilar, revisar la bibliografía, para escribir un texto es realmente

fascinante. Enseñar a los estudiantes a pensar como ingenieros economistas

también es fascinante. El estudiante llega a tener una comprensión cabal del

entorno económico, mediante las lecturas adecuadas. Por ello se hizo

imprescindible escribir un texto de ingeniería economica, al alcance de la

comprensión del estudiante universitario. En los años que me desempeño en el

ejercicio docente de la cátedra de Economía e ingeniería económica, se ha ido

gestando este proyecto. En el mercado bibliográfico circulan textos de

ingeniera económica, dirigidos a la formación general universitaria, es

necesario también textos dirigidos a la formación específica de la ingeniería.

El ingeniero se desenvuelve en un marco y en un espacio, cuyas actividades

están dirigidas al mercado; por lo cual debe tomar decisiones en la esfera

económica financiera, y cuyas decisiones deben tener resultados óptimos.

La ingeniería es la rama, desde donde el ser humano combinando ingenio,

creatividad, invención con la ciencia, realizará su actividad técnica; pero esta

actividad deberá ser eficiente y óptima. Para alcanzar este objetivo, el ingeniero

deberá estar armado por los poderosos conocimientos de la ingeniería

económica.

Tomando en cuenta estos razonamientos, y basándome en los años de

experiencia como docente del curso, el presente texto, modestamente, trata de

cubrir la falencia de textos de ejercicios dirigidos a la formación de ingenieros.

CAPITULO 1

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1.1. La Ingeniería Económica

Es la aplicación y manejo de técnicas matemáticas, que simplifican las

alternativas económicas, en la toma de decisiones.

Se aplican en el análisis, comparación y evaluación económica de alternativas relativas a

proyectos de ingeniería. Comprende la evaluación sistemática de las ventajas y

desventajas, de la ingresos y egresos, de los costos y beneficios de los proyectos de

inversión.

La ingeniería económica implica la evaluación sistemática de los resultados económicos de

las soluciones a problemas de ingeniería. Para que sean aceptables en lo económico (es

decir, viables), las soluciones de los problemas deben arrojar un balance positivo de los

beneficios a largo plazo, en relación con los costos a largo plazo….1

La Ingeniería Económica, es la parte de las ciencias económicas, que

utilizando el instrumental matemático, brinda las herramientas y técnicas para

aplicarlos en el proceso productivo, específicamente en las alternativas de la

inversión, así como en el análisis de riesgo e incertidumbre, lo que permite

asignar los recursos escasos a los fines alternativos, en forma eficiente.

1.2. Flujo de Caja

El flujo de caja es la ilustración gráfica de los costos e ingresos en el tiempo, de

un proyecto.

El flujo de caja consiste en un esquema que presenta sistemáticamente los

egresos e ingresos registrados periodo por periodo.

1 Ingeniería económica de DeGarmo. William G. Sullivan. PEARSON EDUCACIÓN, México, 2009

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Los datos del flujo se obtienen de los diferentes estudios, como estudio de

mercado, técnico, administrativo, ambiental y financiero, entre otros.

El flujo de caja es la simplificación de los estudios realizados, en la formulación

del proyecto de inversión. (Para la evaluación ex - ante) o como parte de la

etapa de ejecución (para la evaluación ex-post).

En esta herramienta, llamada diagrama de flujo de efectivo, el tiempo o periodo

de análisis del problema se representa como una línea horizontal; el el inicio se

considera en el extremo izquierdo y el final en el extremo derecho de la línea.

El dinero se representa con flechas hacia arriba y hacia abajo Una flecha hacia

arriba siempre va a representar ganancia, ahorro, beneficio, ingreso, etc., en

tanto que una flecha hacia abajo siempre va a representar inversión, gasto,

desembolso, pérdida, costo, etc. Es importante mencionar que en cualquier

transacción económica siempre hay dos partes, un comprador y un vendedor,

un prestador y un prestatario, etc., y que los diagramas de flujo de efectivo de

ambos participantes son como imágenes de espejo2.

En el gráfico 1.1 se presenta el diagrama de flujo de una unidad productiva. La

flecha hacia abajo en el punto de tiempo cero indica que se ha realizado una

venta y que sus inventarios presentan una baja de S/1000. A cambio de eso, el

vendedor recibirá cuatro pagos en igual número de periodos, por el mismo

monto. La notación de la letra A representa los pagos por periodo. (Esto

notación se hace en razón de que los norteamericanos utilizaron esta letra,

para denotar un pago anual (del inglés annuity), Pero para nuestro caso, la

2 Baca Urbina, G. FUNDAMENTOS DE INGENIERA ECONOMICA. McGrawHill, 2010

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duración del periodo puede ser diario, mensual, semestral o anual. Lo

importante es que denota un pago uniforme a lo largo de n periodos.

El diagrama de flujo para el comprador del diagrama 1.1 es una imagen espejo,

de este gráfico.

CAPITULO 22.1. El valor del dinero a través del tiempo

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El dinero cambia de valor en el tiempo. Este fenómeno es visible en la realidad. Para

el cambio del valor del dinero en el tiempo, existen dos factores que actúan en este

cambio. La existencia de la tasa de interés y la inflación. Otro factor que cabe indicar,

es el riesgo en que se incurre al prestar o invertir, ya que no se tiene la certeza

absoluta de recuperar el dinero prestado o invertido.

La tasa de interés hace que el valor del dinero en el tiempo aumenta, mientras que la

inflación disminuye el poder de compra del dinero.

La fórmula que sintetiza lo anterior es:

VDT=i−π

Dónde VDT es el valor del dinero en el tiempo, ( i ) es la tasa de interés y ( π )es la tasa

de inflación.

En ausencia de inflación, la manifestación del valor del dinero en el tiempo se

denomina interés. El interés es una medida del incremento, entre la suma original

solicitada en préstamo o invertida y la cantidad que se adeuda o la cantidad

acumulada. El factor riesgo se expresa en el factor tasa de interés.

Lo anterior conduce a la siguiente afirmación: “El dinero crea dinero”

Si se invierte dinero hoy, mañana tendremos más dinero. Esta acumulación de dinero

se denomina: “valor del dinero en el tiempo”

Al realizar una inversión, el objetivo es generar una ganancia mayor a la tasa de

inflación de ese periodo. La diferencia entre la rentabilidad obtenida y la tasa de

inflación, constituye la renta generada por el dinero invertido.

Una característica del dinero es la capacidad de generar más dinero, lo que significa

generar valor.

Ejemplo. El precio de un producto hoy, es de P1=1,000 y la inflación proyectada para

dentro de un año es de 5%. Esto significa que el precio del mismo producto, para

dentro de un año será de S/1,050. Pero si la tasa de interés es de 6 % en el mismo

periodo, entonces el precio del producto, en el término de un año será:

P2=1,000+1,000 (0.06−0.05 )=1,010

2.2. EquivalenciaEl valor del dinero en el tiempo, la tasa de interés y la tasa de inflación, utilizadas

simultáneamente, generan el concepto de equivalencia.

Equivalencia significa que sumas diferentes de dinero a términos diferentes de tiempo,

pueden ser iguales en valor económico.

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Ejemplo: si la tasa de interés es del 10% anual, S/100 de hoy equivalen a S/110 dentro

de un año; y S/100 equivalen a S/90.9 de hace un año. La equivalencia puede

establecerse calculando la tasa de interés.

S /110S /100

=1.10 ó 10 % anual

S /100S /90 .9

=1.10 ó 10% anual

Tambien se puede decir: Luego de un periodo, el valor actual de S/100, es S/110, al

10% por periodo; o también, S/ 100 es el valor futuro de S/90.9 al 10% transcurrido un

periodo.

El concepto de equivalencia, es importante en la ingeniería económica y financiera. Se

utiliza para comparar montos de dienro en diferentes puntos del tiempo. Se utiliza este

modelo para simplificar aspectos de la realidad. Dos montos de dinero son

equivalentes (no iguales), cuando es indiferente percibir un monto de dinero hoy (VA -

valor actual) o recibir otra diferente en una fecha futura (VF - valor futuro) de mayor

cantidad. Si comparamos dos montos de capital en distintos puntos del tiempo,

calculamos la equivalencia de los mismos en un punto del tiempo (un mismo

momento), para lo cual, se utilizan las fórmulas de las matemáticas financieras.

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CAPITULO 33.1. El InterésEl dinero, como cualquier activo tiene un valor. Por lo tanto, como cualquier activo,

tiene un costo de oportunidad. Es decir genera rentabilidad a quien lo utiliza. Al ser

entregado para su uso, se debe cobrar un alquiler. Si entregamos un automóvil para

su uso, cobramos una suma por periodo, por concepto de alquiler o arrendamiento. De

igual manera si entregamos dinero para su uso, cobramos un alquiler del dinero, ese

alquiler se denomina interés.

El interés financieramente es la retribución que se paga al capital inicial del

inversionista, de tal manera que se compense la pérdida de valor del dinero, en el

periodo transcurrido, se cubra el riesgo y se pague el alquiler del dinero.

Como la manifestación del valor del dinero en el tiempo se denomina interés; el interés

es una medida del incremento, entre la suma original solicitada en préstamo o

invertida y la cantidad que se adeuda o la cantidad acumulada.

Si se ha invertido dinero en el pasado, a algún periodo, el interés es:

INTERES=CANTIDA DTOTAL ACUMULADA−INVERSION ORIGINAL

Si se ha pedido dinero prestado en el pasado, el:

INTERES=CANTIDAD PRESENTE DE LA DEUDA−PRESTAMOORIGINAL

La inversión o préstamo original se denomina principal o valor presente o capital ( P ).

La cantidad acumulada de la deuda se denomina monto futuro ( F ).

El interés ( I ) se expresa mediante la siguiente fórmula:

I=F−P

El Interés, es la renta del capital, expresada en unidades monetarias, con la que se remunera a su propietario por el sacrificio de abstenerse de su uso o consumo inmediato y por el riesgo asumido. Si la renta se expresa en relación al capital, se denomina tasa o tipo de interés (precio que se paga por el uso del dinero, durante un determinado periodo de tiempo).

3.2. La Tasa de InterésLa tasa de interés se deduce de la siguiente manera:

IP

=F−PP

i= IP

=F−PP

Expresado en tanto por ciento:

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i=[ FP

−1]× 100

El periodo de tiempo utilizado para expresar el interés, como tasa de interés se

denomina “periodo de interés”

La tasa de interés se define como la relación entre el interés obtenido en un período y

el capital inicialmente invertido. Esta relación se expresa en términos porcentuales.

Ejemplo. El señor Ramirez invierte hoy S/100,000 y al término de un año recibe

S/120,000 la tasa de interés fue: i=120,000−100,000100,000

=0.20 (20 % )

3.3. Interés SimpleEl interés simple se calcula utilizando solamente el principal o valor presente,

ignorando cualquier interés que se haya acumulado en los periodos de interés

anteriores.

NOTA: La tasa de interés (i) y el número de periodos deben estar expresados en

unidades consistentes.

Tasa de interés PeriodosTasa de interés anual anual

Tasa de interés semestral semestral

Tasa de interés trimestral trimestral

Tasa de interés mensual mensual

Tasa de interés semanal semanal

La fórmula del interés es:

I=Pin

Dónde: I es el interés, P es el valor presente o capital, ( i ) es la tasa de interés, (n ) es

el número de periodos que permanece invertido el capital.

La fórmula del valor futuro es:

F−P=Pin

F=P+Pin

F=P (1+¿ )

Dónde F es el valor futuro.

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En el gráfico el interés simple, tiene la forma de progresión aritmética, cuya razón es

( Pi ).

Una operación financiera es concertada a interés simple, cuando el interés generado

en un periodo se calcula como una fracción o porcentaje (tasa de interés) siempre del

mismo capital inicial, independientemente del número de periodos en que permanezca

prestado o depositado.

3.3.1. Ejercicios ResueltosEjercicio 3.3.1.1. Un empresario obtuvo de una entidad financiera, un avance en cuenta corriente de

S/850,000 por treinta días. Al final del periodo su administrador le comunica que debe

depositar en su cuenta corriente la suma de S/879,750 para cancelar tal operación de

crédito. Calcular el costo mensual del sobregiro.

SoluciónCapital recibido: P = 850,00

Capital devuelto: F = 879,750

Interés pagado: I = 29,750

Tasa de interés porcentual i = 29,750/850,000 = 0.035 (3.5%)

Ejercicio 3.3.1.2.

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Un capital estuvo depositado al régimen de interés simple durante seis meses. La tasa

de interés inicialmente pactada fue del 4% mensual. Sin embargo a los tres meses, se

pactó una nueva tasa de 2% mensual. Si el capital retirado a los seis meses fue de S/

1,770 ¿Cuál fue el capital inicial?

Solución

1,770

0.04P 0.04P 0.04P 0.02P 0.02P 0.02P 0 1 2 3 4 5 6

P

Capital inicial = P

Interés total = 3(0.04)P + 3(0.02)P = 0.18P

F = P + I

1770 = P + 0.18P = 1.18P

P = 1,500

Ejercicio 3.3.1.3.Se realizan tres depósitos de S/ 500, S/400 y S/300, hoy día, dentro de 4 y 7 meses

respectivamente, al régimen de interés simple. A partir del quinto mes la tasa cambia

de 2% mensual a 1% mensual, calcular el monto final al final de los 10 meses.

Solución

F=?

2% 1%

4 5 7 10

300

400

500

F1=500 (1+0,02×5+0.01× 5 ) →F1=500 (1.15 )

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F2=400 (1+0,02 ×1+0.01 ×5 ) →F2=400 (1.07 )

F3=300 (1+0,01× 3 )→ F3=300 (1.03 )

F=500 (1.15 )+400 (1.07 )+300 (1.03 )=1,312

Ejercicio 3.3.1.4.

Un prestamista facilita S/2000 al 10% de interés mensual, pero cobrando el interés por

adelantado. Calcular el costo efectivo del préstamo.

Solución

2000

0 1

200

2000Principal = 2000

Intereses = 0.1(2000) = 200

Capital recibido = 2000 – 200 = 1800

Capital devuelto = 2000

Tasa efectiva = (200/1800) = 0.1111 ( 11.11%)

Ejercicio 3.3.1.5.

Determinar en un préstamo con pago de intereses por adelantado, la relación que

existe entre la tasa pactada y la tasa efectiva.

SoluciónConsideramos un valor presente o principal (P) y una tasa adelantada (ia)

P

0 1

P - Pia

PCapital neto recibido = P−Pia

Page 14: Ingenieria Economica. Texto

Capital devuelto = P

Tasa efectiva = ief = iv

Dado que la tasa efectiva mide la variación proporcional del capital por unidad

de tiempo; es decir, el cociente del interés entre el capital inicial:

iv=P−( P−P . ia)

P−P . ia= P . ia

P−P . ia

Simplificando P en el numerador y denominador:

ief =iv= ia1−ia

Ejercicio 3.3.1.6.Hallar el costo del siguiente préstamo:

Principal: S/25,000

Retención: 25% (Ganará una tasa de 1% mensual)

T. de interés: 3% mensual

Comisión: 5% flat

Modalidad: Pago de intereses por adelantado

SoluciónEl flujo de caja es:

25000 6250(1.01)=6,312.5 0 1 6250

750

1250 25,000

Capital neto recibido = 25,000 – 6,250 -750 – 1,250 = 16,750

Capital neto devuelto = 25,000 – 6,312.5 = 18,687.5

Interés efectivo = 18,687.5 – 16,750 = 1,937.5

Tasa efectiva mensual = 1937.5/16,750 = 0.115671 (11.56%)

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Ejercicio 3.3.1.7.

Un inversionista recibió un pagaré por valor de S/120.000 a un interés del 8% el

15 de julio con vencimiento a 150 días. El 20 de octubre del mismo año le

vende a otro inversionista que desea ganar el 10%. ¿Cuánto recibe por el

pagaré el primer inversionista?

Solución

F=120,000[1+( 0.08360 )(150)]=124,000

P20 octu=124,000

1+( 0.1360 ) (53 )

=122,200.93

El primer inversionista recibe S/122,200.93 el 20 de octubre.

Ejercicio 3.3.1.7.

Una persona debe cancelar S/14.000 a 3 meses, con el 8% de interés. Si el

pagará tiene como cláusula de penalidad que, en caso de mora, se cobre el

10% por el tiempo que exceda al plazo fijado ¿qué cantidad paga el deudor, 70

días después del vencimiento?

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F1=14,000[1+( 0.0812 )(3)]=14,280

F2=14,280[1+( 0.1360 ) (70 )]=14,557.67

El deudor paga S/14,557.67, setenta días después del vencimiento.

Ejercicio 3.3.1.8.

Una persona descuenta el 15 de mayo un pagaré de S/ 20,000 con vencimiento

para el 13 de agosto y recibe S/19.559,90. ¿A qué tasa de descuento racional

o matemático se le descontó el pagaré?

Solución:

F=20,000

P=19,559.90

n=3meses=90días

i=?

Page 17: Ingenieria Economica. Texto

F=P ¿

20,000=19,559.9[1+( i360 ) (90 )]

Despejamos i :

i=0.09 ≈ 9 %

3.3. El Interés Compuesto

El interés compuesto, se calcula mediante la acumulación de intereses

devengados por un capital inicial, o valor presente ( P ), a una tasa de interés (i ),

durante (n) periodos, en el que los intereses que se obtienen al final de cada

período de inversión, se capitalizan, adicionándose al capital inicial.

El concepto de interés compuesto, se comprenderá mejor, explicándolo con el

siguiente diagrama de flujo:

F

F1 F2 F3

Dónde:

F Es el valor futuro o monto futuro.

P

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P Es el valor presente o capital inicial.

n Es el número de periodos.

i Es la tasa de interés por periodo.

La cantidad acumulada o monto futuro, del primer periodo es:

F1=P (1+i )

La cantidad acumulada o monto futuro, del segundo periodo es:

F2=F1+iF1

F2=P (1+i )+iP (1+i )

F2=P (1+i )2

La cantidad acumulada después del tercer periodo es:

F3=F2+iF2

F3=P (1+i )2+iP (1+i )2

F3=P (1+i )3

Por inducción matemática, el monto futuro para el periodo n es:

Fn=P (1+i )n(3.1)

Factor de Capitalización con pago único.

Page 19: Ingenieria Economica. Texto

Este factor permite calcular el valor futuro ( Fn ), a partir del valor presente ( P ).

De la ecuación (3.1), se deduce:

[P→ Fi ,n ]=(1+i )n

Factor de Actualización con pago único.

El factor de actualización permite calcular el valor presente ( P ), a partir del valor

futuro ( F ). De la ecuación (3.1), se deduce:

[F →Pi ,n ]= 1

(1+ i)n

El interés acumulado con el interés compuesto

Permite calcular el interés acumulado durante todos los periodos, bajo el

régimen del interés compuesto.

I=F−P

I=P (1+ i )n−P

I=P [ P (1+i )n−1 ]

Page 20: Ingenieria Economica. Texto

Fórmulas:

Monto Capital Inicial Tasa de interés

Tiempo

F=P (1+ i)n P= F(1+i )n i= n√ F

P−1 n= log F−log P

log (1+i )Dónde:F Es el valor futuro.P Es el valor presento o inversión o capital inicial.i Es la tasa de interés.n Son los periodos de capitalización.

Cálculo del interés: I=F−P

3.3.1. Ejercicios Resueltos

Ejercicio 3.3.1.1.

Calcular el monto que es necesario colocar en una cuenta, que paga el 15%,

con capitalización trimestral, para disponer 20.000 um al cabo de 10 años.

SOLUCIÓN

i=0.15 i = 0,15 efectiva trimestral

n=10años

F=20,000 um

P=?

Primer Método:

Calculamos el interés efectivo anual:

ie=(1+ jm )

m

−1

ie=(1+ 0.154 )

4

−1=0.15865

Reemplazamos los valores en la fórmula:

Page 21: Ingenieria Economica. Texto

P= 1(1+i )n

F= 1(1+0.15865 )10 (20,000 )=4,586.75um

Segundo Método:

Considerando la tasa de interés de 15% capitalizable trimestralmente:

P= 1

(1+ jm )

nm F= 1

(1+ 0.154 )

10 ( 40) (20,000 )=4,586.75 um

P=4,586.75 um

Ejercicio 3.3.1.2.

¿Cuántos meses madurara una póliza, de 2.000 um, que paga el 3% anual,

para que se convierta en 7.500 um?

Solución

n=?

P=2000

i=0.03

F=7,500 um

Reemplazando los valores en la fórmula:

7,500=2,000 (1+0.03 )n

ln 7,5002,000

=n× ln1.03

n=44.71 años

Respuesta: 44,71 años * 12 meses = 536,52 meses Respuesta.

Ejercicio 3.3.1.3.

Page 22: Ingenieria Economica. Texto

Hallar el valor futuro de 100 um, depositado durante 10 años, si la tasa de

interés es de:

a) 5% efectivo anual

F=100 (1+0.05 )10=162.89

b) 5% capitalizable mensualmente

F=100(1+ 0.0512 )

10 (12 )

=164.7

c) 5% capitalizable trimestralmente

F=100(1+ 0.054

0.05)10 ( 4)

=164.36

d) 5% capitalizable semestralmente

F=100(1+ 0.052

0.05)10 (2 )

=164.86

Ejercicio 3.3.1.4.

Hallar el valor futuro de 20.000 um, depositados al 8%, capitalizable

anualmente, durante 10 años 4 meses.

Solución

F=20,000

i=8% anual

n=10 años y 4 meses = 10.33333 años

Reemplazando en la fórmula:

F=P (1+ i)n

F=20,000 (1+0.08 )10.333=44,300.52

Ejercicio 3.3.1.5.

Page 23: Ingenieria Economica. Texto

¿Qué tasa capitalizable semestralmente es equivalente al 8%, capitalizable

trimestralmente?

Solución

(1+ 0.084 )

4

−1=(1+ j2 )

2

−1

J=0.0808 (8.08 %)

Ejercicio 3.3.1.6.

¿En cuántos años un depósito de 6.000 um., se convertirá a 10,000 um, si

depositamos en una cuenta de ahorros que paga el 8% semestral?

Solución

P=6,000

F=10,000

i=8 % semestral

n=?

Reemplazando en la fórmula:

F=P (1+ i)n

10,000=6,000 (1+0.08 )n

10,0006,000

=(1+0.08 )n

ln (1.6666 )=n ln (1.08 )

n=0.510825220.07696104

=6.6374 años

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Ejercicio 3.3.1.7.

En cuanto tiempo se duplicará un capital, si la tasa de interés es de 6%

mensual.

Solución

F=2 P

i=6% mensual

n=?

Remplazando en la fórmula:

F=P (1+ i)n

2 P=P (1+0.06 )n

2= (1+i )n

Aplicando logaritmos:

ln (2 )=n ln (1.06 )

n=0.693147180.05826891

=11.89566 años (11mese y 27días )

Ejercicio 3.3.1.8.

Se deposita hoy 100,000 um en una cuenta de ahorro. La entidad financiera

devolverá dentro de dos años 230,000 um. ¿Cuánto es la tasa de interés

efectiva mensual, que paga la entidad financiera?

Solución

P=100,000

F=130,000

n=2años=24meses

Page 25: Ingenieria Economica. Texto

ie men=?

Reemplazando en la fórmula:

F=P (1+ i)n

230,000=100,000 (1+i )24

230,000100,000

¿ (1+i )24

2.3=(1+ i)24

i=0.0353137 (3.53 % )

Ejercicio 3.3.1.9.

¿Qué es más conveniente: invertir en una sociedad maderera que garantiza

duplicar el capital invertido cada 10 años, o depositar en una cuenta de ahorros

que ofrece el 6% capitalizable trimestralmente?

Solución

Primero: La Sociedad maderera.

F=2P

2= (1+i )10

i=0.07177 (7.17 %)Sociedad Maderera

La tasa de interés efectiva anual que paga la maderera es 7.17% y el capital se

duplica en 10 años.

Segundo:

Calculamos la tasa efectiva anual, capitalizable trimestralmente.

ie=(1+ 0.064 )

4

−1=0.06136 (6.13 % )

Page 26: Ingenieria Economica. Texto

La tasa de interés efectiva anual que paga la cuenta de ahorros es 6.13%

2= (1+0.06136 )n

ln (2 )=n ln (1.06136 )

n= 0.693147180.059551104

=11.6395 años

El capital se duplica en 11.6395 años, si se invierte en la cuenta corriente.

Por lo tanto, es más conveniente invertir en la sociedad maderera.

Ejercicio 3.3.1.10.

Una inversionista desea comprar hoy un pagaré de 120.000 um, con

vencimiento a 3 años, a un precio que le produzca el 8% efectivo anual;

calcular el precio que paga por el pagare.

Solución:

F=120,000

n=3años

i=8 % anual

P=?

Reemplazando en la fórmula:

P= F(1+i )n

P= 120,000(1+0.08 )3

=95,259.87 um.

El precio que paga inversionista por el pagaré es de 95,259.87 um

3.4. Tasa de interés Nominal y Efectivo

Page 27: Ingenieria Economica. Texto

Las tasas de interés se clasifican en:

Tasa de interés{Nominalesy

Efectivas

Las tasas de interés se dan generalmente en periodos anuales.

3.4.1. Tasa de interés nominal ( i )

Es la tasa de interés convencional que publican los bancos comerciales, para

sus operaciones pasivas y activas, en base a la tasa de interés de referencia,

que fija el Banco Central de Reserva del Perú. La tasa de interés nominal se

puede dividir entre un número de periodos.

La tasa de interés activa, es la tasa de interés que cobran las entidades

financieras, a sus clientes, por los préstamos y créditos, denominados

operaciones activas, que otorga.

La tasa de interés pasiva, es la tasa que pagan las entidades financieras a los

ahorristas y depositantes, denominados operaciones pasivas, que depositan

en sus cuentas.

3.4.2. Tasa de interés efectiva (ie )

Es la tasa de interés realmente pagado y vencido. Es la relación entre la tasa

nominal y el número de periodos capitalizables. La tasa de interés activa no se

puede dividir, ni multiplicar.

Para el cálculo del interés efectivo se presentan los siguientes casos:

I . Periodode Pago ( PP )=Periodo deCapitalización(PC )

Page 28: Ingenieria Economica. Texto

II . Periodo de Pago (PP )>Periodo deCapitalización(PC )

III .Periodo de Pago ( PP )<Periodo deCapitalización(PC)

Transformación de una tasa de interés nominal a una tasa de interés efectivo

Primer caso:

Periodo dePago ( PP )=Periodo deCapitalización(PC)

Fórmula : i=ie

Ejemplo: Si una entidad establece una tasa de interés del 12% anual,

capitalizable anualmente, tenemos:

i=12%anual →ie=12% anualefectivo

Segundo Caso: Periodo dePago ( PP )>Periodode Capitalización(PC )

Dado la fórmula del interés:

ie=IP

= F−PP

Asimismo, la fórmula del monto futuro:

F=P(1+ jm )

m

Dónde: jm es la tasa de interés efectiva, para periodos menores a un año, o la

tasa de interés proporcional.

Page 29: Ingenieria Economica. Texto

m es el número de capitalizaciones por año.

Reemplazando, se tiene:

ie=P (1+ j

m )m

−P

P

Luego, la fórmula de la tasa de interés efectiva, es:

ie=(1+ jm )

m

−1

Despejando jm

, obtenemos la fórmula de la tasa de interés efectiva para

periodos menores a un año, dado la tasa de interés efectiva anual:

jm=( 1+ ie)

1m−1

Ejemplo: Una entidad financiera establece tasa de interés nominal del 12%

anual, con periodos de capitalización trimestral.

i=12 %anual ,m=4 trimestres PP>PC

ie=(1+ 0.124 )

4

−1 →i=0.12550881 (12.55 % )

Ejemplo

Page 30: Ingenieria Economica. Texto

Una entidad financiera establece la tasa de interés nominal del 12% anual.

Calcular la tasa de interés efectiva, si los periodos de capitalización son: anual,

semestral, trimestral, mensual, semanal, diario.

Solución:

Si Si :m=1→ie=(1+ 0.121 )

1

−1=0.12

Si :m=2→ie=(1+ 0.122 )

2

−1=0.123600

Si :m=4→ie=(1+ 0.124 )

4

−1=0.12550881

Si :m=12→ie=(1+ 0.1212 )

12

−1=0.126825

Si :m=52→ie=(1+ 0.1252 )

52

−1=0.127340

Si :m=360→ie=(1+ 0.12360 )

360

−1=0.127474

Periodos decapitalización m Tasa de interésefectivo anualAnual 1 0.120000 (12.00%)Semestral 2 0.123600 (12.36%)Trimestral 4 0.125508 (12.55%)Mensual 12 0.126825 (12.68%)Semanal 52 0.127340 (12.73%)Diario 360 0.127474 (12.74%)

Nota: Convencionalmente 1 año: 52 semanas: 360 días

Tercer Caso:

Periodo dePago ( PP )<Periodode Capitalización(PC )

Page 31: Ingenieria Economica. Texto

Fórmula : ie=im

Si una entidad financiera establece una tasa de 12% anual, con capitalización

semestral y periodos de pago trimestrales.

Tasa de interés semetral : isem=0.12

2=0.06 (6 % )

Tasa de interésefectivo trimestral : ietrim=0.062

=0.03 (3 % )

Este caso, no es usual en la práctica.

3.4.3. Ejercicios Resueltos

Ejercicio 3.4.3.1.

Calcular el monto futuro, generado durante 6 meses, por un depósito de

850,000 unidades monetarias sujeto a una tasa de 20% capitalizable

mensualmente.

Solución

P = 850,000

i = 20%

n = 6 meses

m = 12

Page 32: Ingenieria Economica. Texto

Como se hace mención a un periodo de capitalización, se asume que la tasa

de interés es nominal, asimismo como no se menciona el periodo de la tasa de

interés se asume que es anual. Por lo tanto el primer paso es calcular la tasa

proporcional para el periodo de capitalización, que de por si es una tasa

efectiva.

iefec .=0 . 212

=

0.01666 mensual

Luego calculamos el monto futuro, expresando el tiempo en meses, para hacer

compatible, con el periodo de la tasa de interés.

F=850 ,000(1+0 . 01666666)6=938 ,621 .3238

Ejercicio 3.4.3.2.

Calcular el monto fututo generado durante 4 años, por un depósito de 420,000

unidades monetarias sujeto a una tasa de 18% capitalizable semestralmente.

Solución

P = 420,000

i = 18%

N = 4 años

m = 2

Page 33: Ingenieria Economica. Texto

Como se hace mención a un periodo de capitalización, se asume que la tasa

de interés es nominal, asimismo como no se menciona el periodo de la tasa de

interés se asume que es anual. Por lo tanto el primer paso es calcular la tasa

efectiva anual, ya que el capital se capitaliza cada semestre.

iefec .=(1+ 0 .182 )

2−1=0 .1881 anual

Luego calculamos el monto futuro, expresando el tiempo en años, para hacer

compatible, con el periodo de la tasa de interés.

F=420 ,000(1+0 .1881)4=836 ,876 .3095

Ejercicio 3.4.3.3.

Calcular con los datos del ejercicio anterior, el tiempo mínimo en el cuál el

depósito inicial por lo menos se duplica.

Solución

La fórmula es la siguiente:

F=P(1+i)n

Si : F=2 P⇒2P=P (1+i )n

Reemplazando los valores:

Page 34: Ingenieria Economica. Texto

2(420 ,000 )=420 ,000 (1+0 . 1881 )n

2= (1 .1881 )n

Utilizando logaritmos:

Log(2 )=nLog(1 .1881 )

n=Log(2)

Log (1 .1881)0 .30102999560 .07485299588

=4 . 0216158

Ejercicio 3.4.3.4.

Una entidad financiera ofrece devolver por cada depósito de 300 unidades

monetarias, un monto futuro de 500 unidades monetarias dentro de un año.

Calcular la tasa efectiva mensual que está pagando la entidad financiera.

Solución

Como en la fórmula del monto futuro, la variable tiempo lo expresamos en

meses, entonces la tasa de interés que se calcula será mensual.

F=P (1+ i)n

Despejando:

FP

=(1+i )n⇒(FP )

1n =(1+i )

Page 35: Ingenieria Economica. Texto

i=(FP )

1n−1 ⇒ i=(500

300 )1

12 −1=0 .04348(4 .348 % ) mensual

Ejercicio 3.4.3.5.

Con los datos del ejercicio anterior, calcular la tasa efectiva trimestral que paga

la entidad financiera.

Solución

Como en la fórmula del monto futuro, la variable tiempo lo expresamos en

trimestres, entonces la tasa de interés que se calcula será trimestral.

F=P (1+ i)n

Despejando:

FP

=(1+i )n⇒(FP )

1n =(1+i )

i=(FP )

1n−1 ⇒ i=(500

300 )14−1=0. 136219(13 .6219 % ) trimestral

Ejercicio 3.4.3.6.

Un capital de 400,000 unidades monetarias se deposita en una entidad

financiera por tres meses, durante los cuales se pagará las tasas de 8%, 5%, y

Page 36: Ingenieria Economica. Texto

3.5% mensual respectivamente. Calcular el monto futuro a retirar luego de tres

meses, así como la tasa efectiva trimestral recibida.

SOLUCION

NOTA. Para calcular el monto futuro, debemos utilizar los factores de

capitalización vigentes para cada periodo.

P = 400,000

F3: Monto luego de tres meses

F3=400 ,000 (1+0. 08 ) (1+0 .05 ) (1+0.035 )=469 , 476

La tasa efectiva debe medir el incremento proporcional del dinero en los tres

meses.

iefec=(469 , 476−400 ,000 )400 ,000

=0 .17369(17 .369 % )

Trimestral.

Ejercicio 3.4.3.7.

Un capital colocado invertido hoy, ganará una tasa del 60% anual capitalizable

bimestralmente. Luego de 1.5 años se retira la tercera parte de los intereses

ganados hasta entonces, y a partir de ese momento la tasa de interés se

capitaliza mensualmente. Calcular el monto futuro a retirar 2 años después,

sabiendo que el primer retiro fue de 100 unidades monetarias.

Page 37: Ingenieria Economica. Texto

Solución

F = ¿

-----------------i = 0.1 bimestral ---------- -------------i = 0.05 mensual ----

0 1.5 años 3.5 años

P = ¿

Intereses obtenidos en 1.5 años:

Interés (1.5 años) = Valor futuro – Valor presente

I=F−PI=P (1+ i )n−P3 (100 )=P (1+0 . 1 )9−P

P=300(1 .1 )9−1

⇒ P=220.92

El capital acumulado en 1.5 años es:

Capital (1.5 años) = Capital inicial + [Intereses (1.5 años) – 100]

Capital (1.5 años) = 220.92 + (300-100)

Capital (1.5 años) = 420.92

Nueva tasa de interés: i = 0.05 mensual

F3años=420. 92 (1.05 )24=1 ,357 .51

Page 38: Ingenieria Economica. Texto

CAPITULO 4

4.1. Factores con pagos uniformes equivalentes

El valor presente de una serie de pagos uniformes equivalentes, se puede

determinar considerando cada valor (A) como un valor futuro (F) en el factor-

valor presente pago-único y luego sumando los valores (A) presentes. La

fórmula general es:

P=[ A(1+i )1

+A

(1+i )2+

A(1+ i )3

+…+A

(1+i )n−1 +A

(1+i )n ]

Factor izando:

P=A [ 1(1+i )1

+1

(1+i )2+

1(1+i )3

+…+1

(1+i )n−1 +1

(1+i )n ](4.1)

La ecuación (1) se simplifica multiplicando ambos lados por 1/(1+i):

Page 39: Ingenieria Economica. Texto

P(1+ i)

=A [ 1(1+i )2

+1

(1+i )3+

1(1+i ) 4 +…+

1(1+i )n

+1

(1+i )n+1 ](4.2)

Restando la ecuación (4.1) de la ecuación (4.2)

P(1+ i)

−P=A [ −1(1+i )1

+1

(1+i )n+1 ]

Operando y reordenando tenemos:

(−Pi1+ i )=A[ 1

(1+ i)n+1 +1

(1+i ) ]

Simplificando ambos lados de la ecuación, se tiene:

−Pi=A [ (1+ i )(1+i )n+1 −

(1+i )(1+i ) ]

−Pi=A [ 1(1+i )n

−1]

−Pi=A [ 1−(1+i )n

(1+i )n ]

P=A [ (1+i )n−1i (1+i )n ](4.3)

4.1.1. Factor para pasar de series uniformes a valor presente.

Page 40: Ingenieria Economica. Texto

Este factor permite actualizar (VA), una serie de pagos uniformes equivalentes

(A).

La ecuación (3) es la fórmula del factor de actualización, de la serie de pagos

uniformes equivalentes:

P=A [ (1+i )n−1i (1+i )n ](4.3)

4.1.2. Factor de recuperación del capital.

Este factor permite transformar un valor presente (VA) a una serie de pagos

uniformes equivalentes. Despejando (A) de la ecuación (4.3) tenemos:

A=P[ i (1+i )n

i (1+i )n−1 ](4.4)

4.1.3. Factor para pasar de series uniformes a valor futuro

Este factor transforma los pagos uniformes equivalentes (A) a un valor futuro

(F).

Considerando las ecuaciones, de capitalización con pago único y la ecuación

(4.3):

F=P (1+ i)n

P=A [ (1+i )n−1i (1+i )n ](4.3)

Remplazando:

F=A[ (1+ i )n−1i (1+i )n ] (1+i )n

Page 41: Ingenieria Economica. Texto

F=A[ (1+ i )n−1i ](4.5)

4.1.4. Factor del fondo de amortización

Este factor permite transformar un valor futuro (F), a pagos uniformes

equivalentes (A). Despejando A de la ecuación (4.5):

A=F[ i(1+ i )n−1 ](4.6)

4.2. Ejercicios Resueltos

Ejercicio 4.2.1.

La Empresa “ EQUS” tiene que realizar pagos semestrales durante cinco años,

por una cantidad uniforme de 12,500 um cada uno. La tasa de interés pactada

es de 5% mensual. ¿Cuánto es la deuda de la empresa?

Solución

A=12,500

imen=5%

m=6

Page 42: Ingenieria Economica. Texto

n=5años

Calculamos la tasa efectiva semestral.

La tasa de interés mensual es de 0.05

La tasa de interés nominal semestral es (0.05 ×6=0.3 )

Calculamos la tasa de interés efectiva semestral:

ie sem=(1+0.36 )

6

−1=0.34

O también: ie sem=(1+0.051 )

6

−1=0.34

Reemplazando en la fórmula del factor para pasar de pagos uniformes

equivalentes a valor presente:

P=[ (1+0.34 )5−10.34 (1+0.34 )5 ]=34,795 um

Ejercicio 4.2.2.

La empresa “FOQUS” compra un bien de capital por 32,000 um. La empresa

acuerda con la Casa distribuidora, que el precio puede ser cancelado mediante

cuotas mensuales, durante tres años. La tasa pactada es de 5.25% mensual.

¿A cuánto asciende cada pago mensual?

Solución

P=32,000

A=?mensual

Page 43: Ingenieria Economica. Texto

n=3años=36meses

i=5.25 mensual

A=32,000[ 0.0525 (1+0.0525 )36−1(1+0.0525 )36 ]=2,027.61um

Ejercicio 4.2.3.

La empresa “SAC” deposita sus utilidades retenidas anuales, por un monto de

1,000 um, durante 12 años, en una entidad financiera que paga 4.5 % anual,

capitalizable trimestralmente. ¿Cuánto será el monto acumulado al término de

los 12 años?

Solución

A=1,000

i=4.5 %anual

m=4

n=12años

F=?

Calculamos la tasa efectiva anual.

i=(1+ 0.0454 )

4

−1=0.045765

Page 44: Ingenieria Economica. Texto

Reemplazando los valores en el factor para pasar de pagos uniformes

equivalentes a valor futuro.

F=1,000[ (1+0.045765 )12−10.045765 ]=um

Ejercicio 4.2.4.

La empresa “EQUS” tiene una deuda que asciende a la suma de 150,000 um,

que debe honrar en el transcurso de 15 años. Para cancelar la deuda la

empresa realiza depósitos semestrales, en una entidad financiera que paga un

interés de 25% anual, capitalizable semestralmente. ¿A cuánto asciende el

depósito semestral?

Solución

F=150,000

n=15años

i=25 % anual

m=2

isem=0.25

2=0.125

A=? semestral

Reemplazamos los datos en el factor para pasar de valor futuro a pagos

uniformes equivalentes:

Page 45: Ingenieria Economica. Texto

A=150,000[ 0.125(1+0.125 )30−1 ]=564.02334329um semestral

Ejercicio 4.2.5.

El proyecto “Alpha” se financia con un préstamo no reajustable de 700 um, al

15% de interés anual al rebatir y se amortiza en 5 cuotas mensuales, con igual

servicio de deuda.

Calcular, el cuadro del servicio de la deuda.

Solución;

P=700

i=15 %

n=5

A=FAK=?

FAK=A[ i (1+i )n

(1+i )n−1 ]

FAK=700,000[ 0.15 (1+0.15 )5

(1+0.15 )5−1 ]=209,000

Cuadro del Servicio de la Deuda

Periodo

Préstamo

Interés

Amortización

ServicioDeuda

Saldo

0 700,000 700,0001 700,000 105,000 104,000 209,000 596,000

Page 46: Ingenieria Economica. Texto

2 596,000 89,000 120,000 209,000 476,0003 476,000 71,000 138,000 209,000 338,0004 338,000 51,000 158,000 209,000 180,0005 180,000 29,000 180,000 209,000

Ejercicio 4.2.5.

El proyecto “Alpha” proyecta fabricar fibra óptica OMJ. Para seleccionar el

tamaño del proyecto tiene tres alternativas, cuyos datos se muestran en la

tabla.

Rubros A B CInversión 110,000 140,000 160,000Producción por año (Metros) 20,000 24,000 30,000Costo anual de producción 33,000 34,000 38,000Vida útil (años) 4 4 4

El precio de mercado del metro de fibra óptica es de 4 unidades monetarias. El

valor residual de los equipos disminuye 6% de su valor inicial con cada año de

uso. La TMAR de “Alpha” es de 7% anual. Determine la mejor alternativa de

tamaño.

Solución.

Calculamos el valor residual al final de los 5 años de las tres alternativas en la

tabla.

Alternativa A Alternativa B Alternativa CAño Depreciació

nanual

Valorresidual

Depreciación

anual

Valorresidual

Depreciación

anual

Valorresidual

0 110,000

140,000

160,000

Page 47: Ingenieria Economica. Texto

1 6,600 103,400

8,400 131,600

9,600 150,400

2 6,204 97,196 7,896 123,704

9,024 141,376

3 5,832 91,364 7,422 116,282

8,483 132,893

4 5,482 85,882 6,977 109,305

7,974 124,919

Ordenamos las inversiones y los beneficios.

Calculamos el Valor

Presente Neto de cada

alternativa, para descartar las alternativas que no son rentables.

VPA=−110,000+47,000[ (1+0.07 )4−10.07 (1+0.07 )4 ]+85,882[ 1

(1+0.07 )4 ]=114,717.89

VPB=−140,000+62,000[ (1+0.07 )4−10.07 (1+0.07 )4 ]+109,305 [ 1

(1+0.07 )4 ]=153,395.35

VPC=−160,000+82,000[ (1+0.07 )4−10.07 (1+0.07 )4 ]+124,919[ 1

(1+0.07 )4 ]=213,051.4

Las tres alternativas son rentables, pues el VPN de las tres alternativas es

mayor a cero. El problema para el proyecto es resolver la siguiente

interrogante: ¿es conveniente desde la perspectiva económica, incrementar la

inversión de 110,000 unidades monetarias a 140,000 unidades monetarias, o

aún incrementarlo hasta 160,000 unidades monetarias?

Alternativas

Inversión

Beneficio anual

(años 1 - 5)

Valorresidu

alA 110,00

047,000 85,88

2B 140,00

062,000 109,3

05C 160,00

082,000 124,9

19

Page 48: Ingenieria Economica. Texto

Para resolver este problema, comparamos las alternativas. Analizamos si el

incremento de la inversión, corresponde a un incremento de las ganancias.

Utilizamos la técnica del análisis incremental.

Comparamos en primer lugar la alternativa A con la alternativa B, ambos

rentables, ya que sus VPN son positivos.

Utilizamos la siguiente fórmula de análisis incremental:

∆ VPBA=−( I B−I A )+(BB−BA ) [ (1+i )n−1i (1+i )n ]+(VSB−VSA )[ 1

(1+i )n ]

∆ VPBA=−(140,000−110,000 )+(62,000−47,000 )[ (1+0.07 )4−10.07 (1+0.07 )4 ]+ (109,305−85,882 )[ 1

(1+0.07 )4 ]=38,677.29

∆ VPCB=−(160,000−140,000 )+(82,000−62,000 )[ (1+0.07 )4−10.07 (1+0.07 )4 ]+(124,919−109,305 ) [ 1

(1+0.07 )4 ]=59,656.06

Con estos resultados se elige a la alternativa C. Ya que con el análisis

incremental, ante un incremento de la inversión de A a B, es decir se

incrementa la inversión de 110,000 a 140,000 unidades monetarias, las

ganancias se incrementan en 38,677.29 unidades monetarias. Asimismo cuando

la inversión se incrementa de 140,000 a 160,000 unidades monetarias, las

ganancias se incrementan en 59,656.06 unidades monetarias.

Ejercicio 4.2.6.

Page 49: Ingenieria Economica. Texto

El proyecto “Betha” de producción de complementos electrónicos ha concluido

el estudio de mercado, cuyo resultado de la proyección de la demanda se

presenta en el cuadro.

Periodo 1 2 3 4 5Demanda (miles)

2,000

2,100

2,205

2,315

2,431

El Proyecto tiene dos alternativas de tamaño A y B. La inversión para el tamaño

A asciende a 80,000 unidades monetarias y la inversión para el tamaño B

asciende a 90,000 unidades monetarias. Los costos de acuerdo al volumen de

producción se muestran en el cuadro.

Producción

Costo fijo Costo Variable

A B A B2,000 - 2,2502,251 – 2,500

50,00055,000

60,00065,000

1012

86

La TMAR es del proyecto es de 10%. Calcular el tamaño óptimo.

Solución.

Para seleccionar el tamaño más conveniente se utiliza el Valor presente de los

costos (VPC)

Alternativa A

Periodo

Demanda

Costos Fijos

Costovariableunitario

CostoVariabletotal

Flujoneto

012345

2,0002,1002,2052,3152,431

50,00050,00050,00

1010101212

20,00021,00022,05027,78029,172

80,00070,00071,000

Page 50: Ingenieria Economica. Texto

055,00055,000

72,05082,78084,172

VPC A=80,000+ 70,000(1.1 )1

+ 71,000(1.1 )2

+ 72,050(1.1 )3

+ 82,780(1.1 )4

+ 84,172(1.1 )5

=365,250.279

Alternativa B

VPCB=90,000+ 76,000(1.1 )1

+ 76,800(1.1 )2

+77,640(1.1 )3

+ 78,890(1.1 )4

+ 79,586(1.1 )5

=384,193.55

De acuerdo a los resultados del Valor presente de los costos, la alternativa A

es la mejor alternativa de tamaño, para el proyecto “Betha” ya que presentan

menor valor presente de sus costos.

CAPITULO 5

5.1. Los Índices de Rentabilidad

Periodo

Demanda

Costos Fijos

Costovariableunitario

CostoVariabletotal

Flujoneto

012345

2,0002,1002,2052,3152,431

60,00060,00060,00065,00065,000

88866

16,00016,80017,64013,89014,586

90,00076,00076,80077,64078,89079,586

Page 51: Ingenieria Economica. Texto

Para evaluar un proyecto de inversión se utiliza los índices de rentabilidad,

cuyos indicadores son, el Valor Actual Neto (VAN), la Tasa Interna de Retorno

(TIR), la Relación Beneficio – Costo R( BC ), entre otros.

Estos indicadores miden las ventajas y desventajas, de realizar el proyecto. Es

decir hacen posible medir la rentabilidad de un proyecto, a partir del flujo de

caja proyectado.

Cada indicador presenta ventajas y desventajas, por lo que se hace necesario

utilizar tres o más de estos. antes de tomar una decisión.

5.1.1. El Valor actual neto (VAN )

Concepto. Es la suma algebraica de los valores actualizados de los ingresos,

costos e inversión, generados por el proyecto, a una tasa de descuento

pertinente.

El VAN se define, como el método para evaluar la rentabilidad de un proyecto

de inversión, que consiste en comparar el valor actual de todos los flujos de

entrada de efectivo, con el valor actual de todos los flujos de salida de efectivo.

Fórmula:

VAN=∑

B t−Ct−I t

(1+i )t

Dónde Bt : son los ingresos o beneficios en el periodo ( t ) , generados por el

proyecto.

C t : son costos en el periodo ( t ) , generados por el proyecto.

Page 52: Ingenieria Economica. Texto

I t : es la inversión en el periodo ( t ) , del proyecto.

COK=i : es el costo de oportunidad del capital, o tasa de descuento promedio.

Los factores o elementos que determinan el valor del VAN son:

VAN=f ( B ,C , I , i , t )

Gráfico.

VAN

Bt Beneficios

t

C t Costos

I t

Resultados y criterios de inversión.

Se presentan las siguientes alternativas.

VAN>0 Si el VAN es mayor a cero, significa que existen ganancias; entonces

es recomendable realizar la inversión. El proyecto se acepta.

VAN=0 Si el VAN es igual a cero, no existen ni pérdidas ni ganancias; es

indiferente ejecutar el proyecto.

Page 53: Ingenieria Economica. Texto

VAN<0 Si el VAN es menor que cero, existen pérdidas, por lo que el proyecto

es rechazado.

En el caso que existan varios proyectos alternativos con VAN>0 , entonces

se recomienda invertir, en aquel proyecto que presente un mayor VAN.

5.1.2. La Tasa interna de retorno (TIR )

Definición. Es la tasa de rendimiento compuesto promedio que se obtiene del

capital invertido. Se define también como una tasa de actualización que hace

nulo, al valor actual neto. (VAN=0)

Fórmula. No existe fórmula, sino una condición:

VAN=0

La representación gráfica del TIR.

UNIDADES

MONETARIAS

TIR

COK 2

COK1

VAN

Resultados y criterios de inversión. Se presentan las siguientes alternativas

para la toma de decisiones.

TIR>COK Si la TIR es mayor que el costo de oportunidad de capital, significa

que el rendimiento del capital invertido en el proyecto es superior al mínimo

Page 54: Ingenieria Economica. Texto

aceptable para la ejecución del proyecto. Es decir, es conveniente realizar el

proyecto.

TIR=COK Si la TIR es igual al costo de oportunidad del capital, significa que

el rendimiento del capital invertido en el proyecto, es igual al interés que

recibirá el capital, al invertir el capital en la mejor alternativa. Para los

accionistas del proyecto es indiferente invertir en el proyecto o en la otra

alternativa.

TIR<COK Si la TIR es menor al costo de oportunidad del capital, significa que

el rendimiento de la inversión en el proyecto es menor al rendimiento en la

mejor alternativa. Por ello el proyecto se rechaza.

5.1.3. La Relación beneficio-costo R (B /C )

Definición. Es la relación entre los beneficios y costos actualizados de un

proyecto, dado una tasa de interés o costo de oportunidad del capital. Es el

cociente entre los ingresos y egresos actualizados, incluyendo la inversión.

Fórmula:

R (B /C )=∑

B t

(1+i )t

∑C t+ I t

(1+i )t

Dónde Bt : son los ingresos o beneficios en el periodo ( t ) , generados por el

proyecto.

Page 55: Ingenieria Economica. Texto

C t : son costos en el periodo (t ) , generados por el proyecto.

I t : es la inversión en el periodo ( t ) , del proyecto.

COK=i : es el costo de oportunidad del capital, o tasa de descuento

promedio.

Otra fórmula, simplificada, es:

R (B /C )=1+ VANI t

(1+i)t

Resultados y criterios de inversión.

El criterio general, para tomar decisiones con este indicador, está basado en

que su valor gire en torno a la unidad. Entonces:

R (B /C )>1 Si la relación beneficio-costo es mayor que uno, indica que el valor

actual de los flujos de ingresos, son mayores al valor actual de los flujos de

egresos. Esto indica que el proyecto obtiene un beneficio adicional sobre la

mejor alternativa. La condición, donde la relación beneficio-costo es mayor que

uno, es equivalente a un VAN mayor que cero, y a una TIR mayor que el costo

del capital. Por tanto el proyecto es rentable.

R (B /C )=1 Si la relación beneficio-costo es igual a uno, significa que el valor

actual de los flujos de ingresos, son iguales al valor actual de los flujos de

Page 56: Ingenieria Economica. Texto

egresos. Esto indica que el proyecto brinda la misma rentabilidad que la mejor

alternativa de inversión; por lo que es indiferente realizarlo. 1/ CBR

Si la relación beneficio-costo es menor que uno, significa que el valor actual de

los flujos de ingresos, son menores al valor actual de los flujos de egresos.

Este hecho indica que el proyecto se debe rechazar, porque la rentabilidad que

ofrece la mejor alternativa de inversión es mayor que la rentabilidad del

proyecto. El proyecto no es rentable.

5.1.4. Periodos de recuperación del capital ( PRI )

Concepto. El cálculo del periodo de recuperación del capital, muestra el

número de periodos necesarios, para que el proyecto recupere el capital

invertido. Si existen varios proyectos en cartera, se elegirá el proyecto con

menor periodo de recuperación del capital.

El PRI no mide directa ni indirectamente la rentabilidad. Es un indicador que

mide el riesgo de la inversión con relación al tiempo de su retorno.

Fórmula.

Se calcula utilizando la siguiente formula, para el caso de flujos homogéneos:

PRI=I t

VANn

Dónde: I t Es la inversión, en el tiempo.

Page 57: Ingenieria Economica. Texto

VAN Es el valor actual neton Es el horizonte del proyecto

Otra forma de calcular el PRI es restar a la inversión, los flujos actualizados,

hasta que se logre tener un saldo igual a cero, es decir, hasta que se recupere

toda la inversión o el flujo neto del año cero

5.1.5. Relación entre los índices de rentabilidad

Para la toma de decisiones con respecto al proyecto, existen tres casos que

determinan la aceptación o el rechazo de la ejecución del proyecto.

1 . VAN>0⇒TIR>COK ⇒R (B/C )>1⇒PRI <n

2 . VAN=0⇒TIR=COK ⇒R ( B/C )=1⇒ PRI=n

3 . VAN <0⇒TIR<COK⇒ R (B /C )<1⇒ PRI<n

La relación uno, indica que el proyecto es rentable.

La relación dos, indica que realizar el proyecto es indiferente.

La relación tres, indica que el proyecto no es rentable.

5.2. Ejercicios Resueltos.

5.2.1. Los datos del proyecto “Beta” son los siguientes:

i) Horizonte del proyecto: 4 años.

ii) El FNE para los años 1, 2, 3, 4 son de 800 um para cada año.

iii) La inversión se realiza en el periodo cero.

iv) El proyecto se financia con un préstamo bancario de 1,500 unidades

monetarias, al 20% anual al rebatir, pagaderos en cuatro años.

v) La depreciación es lineal.

Page 58: Ingenieria Economica. Texto

vi) La ganancia impositiva es de 10, 20, 30, 40 um respectivamente.

Calcular:

a) El VANF

b) EL TIRF

c) La R(B/C)

d) Determinar mediante la relación de los índices de rentabilidad, si el

proyecto “Beta” es rentable.

Periodo

Préstamo Interés

Amortización Servicio deLa deuda

Saldo

0 1,5001 1,500 300 279 579 1,2212 1,221 244 335 579 8863 886 177 402 579 4844 484 95 484 579

RUBRO 0 1 2 3 4INGRESOSCOSTOS OPERATIVOSIMPUESTOSINVERSIONFNE (1,500) 800.0

0800.00 800.0

0800.00

PRESTAMO 1500SERVICIO DEUDAINTERESESAMORTIZACIONES

579 579 579 579

GANANCIA IMPOSITIVA

10 20 30 40

FNF 0 231 241 251 261

A=1,500[ 0.2 (1+0.2 )4

(1+0.2 )4−1 ]=579

Page 59: Ingenieria Economica. Texto

VANF=−0+ 231(1.2 )1

+ 241(1.2 )2

+ 251(1.2 )3

+ 261(1.4 )4

=630.97

R (B /C )=1+ 630.971,500

=1.42

CAPITULO 6

6.1. El costo Anual Uniforme Equivalente

El Costo Anual uniforme Equivalente es método que consiste en convertir todos

los ingresos y egresos, en una serie uniforme de pagos. Si el CAUE es positivo,

Page 60: Ingenieria Economica. Texto

los ingresos son mayores que los egresos y por lo tanto, el proyecto puede

ejecutarse; si el CAUE es negativo, los ingresos son menores que los egresos

y en consecuencia el proyecto debe ser rechazado.

El CAUE describe los flujos de caja, porque en la mayoría de las veces, la serie

uniforme desarrollada representa costos.

El CAUE se utiliza para describir el resultado de un flujo de caja uniforme, la

mejor alternativa seleccionada debe ser la seleccionada por valor presente o

por cualquier otro método de evaluación.

6.1.1. Período De Estudio Para Alternativas Con Vidas Útiles

Diferentes

La ventaja del CAUE sobre otros métodos, es que no requiere que la

comparación se lleve a cabo sobre el mínimo común múltiplo de años, cuando

las alternativas tienen diferentes vidas útiles. Es decir, el CAUE de una

alternativa debe calcularse para un ciclo de vida solamente. Porque, como su

nombre lo indica, el CAUE es un costo anual equivalente para toda la vida del

proyecto. Si el proyecto continuara durante más de un ciclo, el costo anual

equivalente para el próximo ciclo y subsiguiente, será exactamente igual que

para el primero, suponiendo que todos los flujos de caja fueran los mismos

para cada ciclo.

6.2. Ejercicios Resueltos

Ejercicio 6.2.1.

Page 61: Ingenieria Economica. Texto

El diagrama de flujo de caja muestra la representación de dos ciclos de vida de

un activo que tiene un costo inicial de $20.000, un costo anual de operación de

$8.000 y 3 años de vida útil.

El CAUE para un ciclo de vida (por ejemplo, 3 años)

CAUE = 20.OOO(A/P, 22%, 3) + 8.000 = $17.793

CAUE=P [ i (1+i )n

(1+i )n−1 ]+CAO

CAUE=20,000[ 0.22 (1+0.22 )3

(1+0.22 )3−1 ]+8,000=17,793.16

Obsérvese que el CAUE para la primera vida es exactamente igual su valor,

que cuando se consideran dos ciclos de vida. El mismo valor de CAUE será

obtenido entonces para tres, cuatro o cualquier otro número de ciclos de vidas

evaluados.

Ejercicio 6.2.2.

Se tienen dos alternativas de tamaño del proyecto. La primera alternativa tiene

características de semiautomática, con una inversión inicial de 2,000 unidades

monetarias. Los costos de mano de obra ascienden a 3,000 unidades

monetarias el primer año; se espera que se incrementen en 15% por año. Los

costos de mantenimiento son de 1,500 unidades monetarias al año. El equipo

tiene un valor residual de 500 unidades monetarias al final del periodo de vida

útil de 5 años.

La segunda alternativa, tiene características de proceso automático, con una

inversión inicial de 7,000 unidades monetarias. Los costos de mano de obra

Page 62: Ingenieria Economica. Texto

ascienden a 1,000 unidades monetarias el primer año; se espera también que

se incrementen en 15% por año. Los costos de mantenimiento son de 3,000

unidades monetarias al año. El equipo tiene un valor residual de 1,500

unidades monetarias al final del periodo de vida útil de 5 años. La tasa de

interés (TMAR) es de 8% anual. Seleccione la mejor alternativa de tamaño

desde el punto de vista económico.

Solución

Desarrollamos el diagrama de flujo de ambas alternativas:

El proceso semiautomático (I)

Diagrama de flujo de la alternativa semiautomática (I)Conceptos 0 1 2 3 4 5

Inversión 2,000Costo de mano de obra

3,000 3,450 3,967.5 4,562.6 5,247

Costo de mantenimiento

1,500 1,500 1,500 1,500 1,500

Flujo anual 2,000 4,500 4,950 5,467.5 6,062.6 6,747

El flujo anual de costos se expresa como una cantidad equivalente. Para ello

calculamos el valor presente. (Utilizar la convención de signos. Para egresos se

consideran signos positivos)

Vpsa=+2000+ 4,500(1.08 )1

+ 4,950(1.08 )2

+5,467.5(1.08 )3

+ 6,062.6(1.08 )4 + 6,747−500

(1.08 )5=23,458.56

Luego calculamos el Costo anual uniforme equivalente:

CAUEsa=23,458.56 ( A /P ,8 % ,5 )=5,875.35

Representamos este resultado anualmente:

Page 63: Ingenieria Economica. Texto

Año 0 1 2 3 4 5CAUE sa

5,875.35

5,875.35

5,875.35

5,875.35

5,875.35

Los costos se expresan de dos formas: Como el valor presente de los costos, y

como una serie de costos a lo largo de la vida útil, es decir 5 años.

El proceso automático (II)

Diagrama de flujo de la alternativa automática (II)Conceptos 0 1 2 3 4 5

Inversión 7,000Costo de mano de obra

1,000 1,150 1,322.5 1,520.9 1,749

Costo de mantenimiento

3,000 3,000 3,000 3,000 3,000

Flujo anual 7,000 4,000 4,150 4,322.5 4,520.9 4,749

Igualmente el flujo anual de costos se expresa como una cantidad equivalente.

Para ello calculamos el valor presente. (Utilizar la convención de signos. Para

egresos, se consideran signos positivos)

Vpsa=+7000+ 4,000(1.08 )1

+ 4,150(1.08 )2

+ 4,322.5(1.08 )3

+ 4,520.9(1.08 )4

+ 4,749−1,500(1.08 )5

=23,227.2

Calculamos el Costo anual uniforme equivalente:

CAUEsa=23,227.2 ( A/P ,8% ,5 )=5,817.4

Representando este resultado anualmente se tiene:

Año

0 1 2 3 4 5

CAUE a

5,817.4

5,817.4

5,817.4

5,817.4

5,817.4

Page 64: Ingenieria Economica. Texto

Los costos se expresan de dos formas: Como el valor presente de los costos, y

como una serie de costos a lo largo de la vida útil, 5 años.

El resultado indica que la mejor alternativa es el tamaño (II), porque significan

menores costos anuales. La alternativa de tamaño (I) semi automatizada, tiene

un costo anual de 5,875.35 unidades monetarias; mientras que la alternativa de

tamaño (II) automatizada, tiene un costo anual de 5,817.4 unidades

monetarias.

Ejercicio 6.2.3.

Se presentan dos alternativas de tamaño para un proyecto de producción de

bienes. La información con que se cuenta, se presenta en el siguiente cuadro:

Tamaño I

Tamaño II

Inversión InicialCostos de mano de obraCostos de mantenimientoVida útilValor residual

1,5003,1001,6005300

6,3009002,80051,100

Los costos de mano de obra, de ambas alternativas, se refieren al primer año;

además que estos se incrementen en 10% respecto del costo incurrido en el

año previo. La tasa de interés o costo de oportunidad del capital es del 10%

Page 65: Ingenieria Economica. Texto

anual. Calcular y seleccionar la mejor alternativa para el proyecto. Utilice el

método del CAUE.

Solución.

Tamaño I. Diagrama de flujo.

300

0 1 2 3 4 5

1,500 3,100 3,410 3,751 4,126 4,538.71

+1,600 +1,600 +1,600 +1,600 +1,600

4,700 5,010 5,351 5,726 6,138.71

Calculamos el valor presente de los flujos de costos:

VPI=1 ,500+ 4 ,700(1. 1 )1

+5 ,010(1 .1 )2

+5 ,371(1. 1 )3

+ 5 ,726(1. 1 )4

+6 ,138 .71−300(1 .1 )5

=21 ,469 .89

CAUE I=21 ,469. 89 [ A / P ,10%,5 ]=5 ,663 . 7

Tamaño II. Diagrama de flujo.

Page 66: Ingenieria Economica. Texto

1,100

0 1 2 3 4 5

6,300 900 990 1,089 1,197.9 1,317.69

+2,800 +2,800 +2,800 +2,800 +2,800

3,700 3,790 3,889 3,997.9 4,117.69

Calculamos el valor presente de los flujos de costos:

VPII=6 ,300+ 3 ,700(1 .1 )1

+ 3 ,790(1 .1 )2

+ 3 ,889(1 .1 )3

+ 3 ,997. 9(1. 1 )4

+ 4 ,117. 69−1,100(1.1 )5

=20 ,322.1

CAUE II=20 ,322.1 [ A /P ,10 %,5 ]=5 ,360 .91

Se selecciona la alternativa que presenta el menor CAUE, es decir la

alternativa de tamaño II.

Ejercicio 6.2.3.

Se tienen dos alternativas de tamaño para un proyecto de inversión. La primera

alternativa cotizada por la empresa “A” es semiautomática, cuya inversión

inicial es de 10,000,000 unidades monetarias. Los costos de mano de obra

ascienden a 2,000,000 unidades monetarias al final del primer año, se calcula

que se incrementen en 10% anual, respecto al costo obtenido el año anterior.

Los costos de mantenimiento son de 1,500,000 unidades monetarias al año. El

Page 67: Ingenieria Economica. Texto

equipo tendrá un valor de mercado de 2,000,000 unidades monetarias al final

de su vida útil de 5 años.

La segunda alternativa es automatizado, cotizado por la empresa “B”

representa una inversión inicial de 25,000,000, los costos de mano de obra son

de 500,000 unidades monetarias al final del primer año y tendrán también

incrementos anuales del 10% sobre el valor del año anterior. Los costos de

mantenimiento son de 400,000 unidades monetarias al año. El equipo tendrá

un valor de mercado de 5,000,000 unidades monetarias al final de su vida útil

de 5 años. Con una tasa de interés del 12% anual, seleccionar la mejor

alternativa, para el proyecto.

Solución:

Primera alternativa: A

0 1 2 3 4 5

10,000,000 2,000,000 2,200,000 2,420,000 2,662,000 2,928,200

1,500,000 1,500,000 1,500,000 1,500,500 1,500,000

3,500,000 3,700,000 3,920,000 4,162,000 4,428,200

Las cantidades resultantes del diagrama se expresan como una cantidad

equivalente (valor presente)

VPA=10 ,000 ,000+ 3 ,500 ,000(1 . 12)1

+ 3 ,700 ,000(1 .12 )2

+3 ,920 ,000(1 .12 )3

+ 4 ,162 ,000(1. 12)4

+ 4 ,428 ,200(1. 12)5

=21,642 ,001. 75

Utilizando el CAUE:

Page 68: Ingenieria Economica. Texto

CAUEA=21 ,642 ,001.75[ 0 .12(1 .12 )5

(1. 12)5−1 ]=6 ,003 ,701. 9

Expresamos el resultado en un diagrama, se tienen:

0 1 2 3 4 5

6,003,701.9 6,003,701.9 6,003,701.9 6,003,701.9 6,003,701.9

El diagrama original se transforma en un diagrama con pagos uniformes

equivalentes. Es decir los costos se presentaron de dos formas: Como el valor

presente de los costos y como una serie uniforme de costos a lo largo del

horizonte del proyecto: 5 años.

Segunda alternativa: B

0 1 2 3 4 5

25,000,000 500,000 550,000 605,000 665,500 732,050

400,000 400,000 400,000 400,000 400,000

900,000 950,00 1,005,000 1,065,500 1,132,050

Las cantidades resultantes del diagrama se expresan como una cantidad

equivalente (valor presente)

VPB=25 ,000 , 000+900 ,000(1. 12)1

+950 ,000(1 .12 )2

+ 1,005 ,000(1 .12 )3

+1 ,065 , 500(1 .12)4

+ 1 ,132 ,050(1 .12 )5

=28 ,595 ,744 . 792

Utilizando el CAUE:

CAUEB=28 ,595 ,744 . 792[0 .12(1. 12)5

(1 .12)5−1 ]=7 ,932 ,737 .897

Expresamos el resultado en un diagrama, se tienen:

Page 69: Ingenieria Economica. Texto

0 1 2 3 4 5

7,932,737.8 7,932,737.8 7,932,737.8 7,932,737.8 7,932,737.8

El diagrama original se transforma en un diagrama con pagos uniformes

equivalentes. Es decir los costos se presentaron de dos formas: Como el valor

presente de los costos y como una serie uniforme de costos a lo largo del

horizonte del proyecto: 5 años.

Se selecciona la alternativa con menor costo anual, es decir la alternativa “A”.

Ejercicio 6.2.4.

El proyecto “Beta” dedicado a la logística de carga y descarga, está

considerando la posibilidad de modernizar su planta y utilizar bandas

transportadoras. Esta modernización significará un ahorro de mano de obra

equivalente a 150,000 unidades monetarias anuales. La implementación de

bandas transportadoras significa una inversión de 435,000 unidades

monetarias, y además, ocasionarán costos de mantenimiento por 38,000

unidades monetarias anuales. Si la tasa de interés es de 15% y el periodo de

análisis es de 8 años y un valor residual de cero, determinar la conveniencia

económica de la instalación.

Solución:

Ahorro = 150,000

Inversión = 435,000

Costo de mantenimiento = 38,000

Page 70: Ingenieria Economica. Texto

I = 15%

VS = 0

En este ejercicio el método del BAUE es un herramienta útil.

Diagrama de flujo:

150 150 150 150 150 150 150 150

0 1 2 3 4 5 6 7 8

435,000 38 38 38 38 38 38 38 38

BAUE=−435 ,000[ i (1+i )n

(1+i)n−1 ]+150 ,000−38 ,000

BAUE=−435 ,000[0 .15 (1+0. 15 )8

(1+0 . 15)8−1 ]+150 ,000−38 ,000=15 ,060 .2

El BAUE es 15,060.2, es decir es conveniente para el proyecto modernizar su

planta, pues logrará un beneficio adicional de 15,060.2 unidades monetarias.

Page 71: Ingenieria Economica. Texto

CAPITULO 7

7.1. La Depreciación.

La depreciación es la reducción en el valor contable de un activo. Los modelos

de depreciación utilizan reglas, tasas y fórmulas aprobadas por el gobierno

para representar el valor actual en los libros de la empresa.

7.2. Requisitos para la depreciación.

Para que un activo pueda depreciarse, tiene que cumplir los siguientes

requisitos:

a) Debe ser un activo fijo, que sirva de apoyo en el proceso productivo de la

empresa.

b) Ser un activo que se desgasta, se descompone, se deteriore o se vuelva

obsoleto por los avances tecnológicos.

c) La vida útil del activo debe ser cuantificable económicamente..

d) El activo debe ser tangible.

7.3. Causas de la depreciación

Las causas de la depreciación son: El uso del activo en el proceso productivo

de la empresa. El avance de la tecnología que hace obsoleto a la tecnología

anterior. El clima o tiempo que deteriora los activos de la empresa.

7.4. Conceptos utilizados en el proceso de depreciación.

Page 72: Ingenieria Economica. Texto

Costo o precio inicial ( P ) . También llamado base no ajustada, es el costo

instalado del activo que incluye el precio de compra, las comisiones de entrega

e instalación y otros costos directos depreciables en los cuales se incurre a fin

de preparar el activo para su uso. El término base no ajustada, o simplemente

base, y el símbolo B se utilizan cuando el activo es nuevo.

Valor en libros (VL ): Representa la inversión restante, no depreciada en los

libros después de que el monto total de cargos de depreciación a la fecha han

sido restados de la base.

Periodo de recuperación(n ): Es la vida depreciable del activo en años, Este

valor puede ser diferente de la vida productiva estimada debido a que las leyes

regulan los periodos de recuperación y depreciación.

Valor de mercado: Es precio estimado, si un activo fuera vendido en el

mercado abierto. Debido a la estructura de las leyes de depreciación, el valor

en libros y el valor de mercado pueden ser sustancialmente diferentes.

Tasa de depreciación: También llamada tasa de recuperación, es la fracción

del costo inicial que se elimina por depreciación cada año. Esta tasa puede ser

la misma cada año, denominándose entonces tasa en línea recta, o puede ser

diferente para cada año del periodo de recuperación.

Page 73: Ingenieria Economica. Texto

Valor residual o Valor de salvamento (VS ): Es el valor estimado de

intercambio o de mercado al final de la vida útil del activo. El valor de

salvamento, VS, expresado como una cantidad en dólares estimada o como un

porcentaje del costo inicial, puede ser positivo, cero ó negativo debido a los

costos de desmantelamiento y de exclusión.

Propiedad personal: Está constituida por las posesiones tangibles de una

corporación, productoras de ingresos, utilizadas para hacer negocios. Se

incluye la mayor parte de la propiedad industrial manufacturera y de servicio:

vehículos, equipo de manufactura, mecanismos de manejo de materiales,

computadores, muebles de oficina, equipo de proceso de refinación y mucho

más.

Propiedad real: Incluye la finca raíz y las mejoras a ésta y tipos similares de

propiedad, por ejemplo: edificios de oficinas, estructuras de manufactura,

bodegas, apartamentos. La tierra en sí se considera como propiedad real, pero

no es depreciable.

7.5. Métodos de la depreciación.

7.5.1. Método de la línea recta.

Este método reparte uniformemente la depreciación durante la vida útil del

activo. Se utiliza la siguiente fórmula para calcular la depreciación anual:

Da=P−VS

n

Page 74: Ingenieria Economica. Texto

Dónde:

Da : Es la depreciación anual.

La depreciación acumulada será la sumatoria de la depreciación anual,

conforme transcurre el tiempo. La fórmula de la depreciación acumulada hasta

el año m es:

Dm=m Da=m(P−VSn )

Asimismo el valor en libros, es la diferencia entre el costo inicial y la

depreciación acumulada hasta el año m:

VLm=P−Dm=P−m( P−VSn )

Ejemplo:

El precio de un activo es de 30,000,000 unidades monetarias; su vida útil es de

cinco años y su valor residual es cero. Calcular la depreciación anual, la

depreciación acumulada y su valor en libros para cada uno de los cinco años

de vida útil.

Solución

Para calcular la depreciación anual, aplicamos la fórmula:

Da=30,000,000−0

5=6,000,000

Año Depreciacion

Anual

DepreciaciónAcumulada

Valor enLibros

Page 75: Ingenieria Economica. Texto

0 30,000,0001 6,000,000 6,000,000 24,000,0002 6,000,000 12,000,000 18,000,0003 6,000,000 18,000,000 12,000,0004 6,000,000 24,000,000 6,000,0005 6,000,000 30,000,000

7.5.2. Método de la suma de dígitos.

Este método tiene la característica, de que gran parte del valor del activo, se

amortiza en el primer tercio de su vida útil.

Para el cálculo de la depreciación anual, se aplica el siguiente procedimiento.

a) Se suman los años de vida útil.

b) Se ordenan los años de vida útil de mayor a menor y se enumeran.

c) La depreciación anual se expresa como una fracción de la depreciación

total. El denominador de la fracción es la sumatoria de todos los

periodos, y el numerador es el número asignado a cada año. La fórmula

es:

Da= i∑ i

( P−VS )

Dónde i=1 ,2 ,…n es el año

Ejemplo:

El valor de un activo es de 5,000,000 unidades monetarias; su valor residual es

de 1,000,000 al termino de cinco años. Calcular la depreciación anual, la

depreciación acumulada y el valor en libros para cada uno de los cinco años.

Solución

Page 76: Ingenieria Economica. Texto

a) Sumamos los años de vida útil: 1+2+3+4+5=15

b) Ordenamos los años de vida útil de mayor a menor: 54 32 1

c) Calculamos la depreciación total: 5,000,000−1,000,000=4,000,000

Año

Operación DepreciaciónAnual

1 515

(4,000,000 ) 1,333,333.334

2 415

(4,000,000 ) 1,066,666.667

3 315

(4,000,000 ) 800,000.000

4 215

(4,000,000 ) 533,333.334

5 115

(4,000,000 ) 266,666.667

Año

Depreciaciónanual

Depreciaciónacumulada

Valor enLibros

0 0 0 5,000,000.0001 1,333,333.334 1,333,333.334 3,666,666. 6672 1,066,666.667 2,400,000.000 2,600,000.0003 800,000.000 3,200,000.000 1,800,000.0004 533,333.334 3,733,333.335 1,266,666.6675 266,666.667 4,000,000.000 1,000,000.000

Como se observa en el cuadro, por este método se deprecian los activos en

mayores montos en los primeros años de vida, mientras que los montos de

depreciación en los últimos años son menores.

7.5.3. Método de las unidades producidas.

Por sus características, para muchos activos su vida útil está relacionado con

su capacidad de producción, lo que se expresa en horas de trabajo, unidades

Page 77: Ingenieria Economica. Texto

producidas, etc. Este método consiste en calcular el monto de depreciación de

acuerdo al volumen de producción alcanzada.

Se utiliza la siguiente fórmula:

Depreciación porunidad= DepreciacióntotalTotal deunidades producidas

Ejemplo:

La empresa “Alpha” adquiere un activo cuyo precio es de 1,000,000 unidades

monetarias; la capacidad de producción del equipo es de 500,000 unidades, al

final de los cuales su valor quedará totalmente depreciado (Valor residual será

de cero). La producción por cada año de su vida útil será:

Año Producción1 80,0002 100,0003 150,0004 50,0005 120,000

Solución

Calculamos la depreciación por unidad producida:

Depreciación porunidad Depreciación totalTotaldeunidades producidas

=1,000,000500,000

=2

La depreciación para cada uno de los años es:

Año

Operación DepreciaciónPara cada año

1 80,000 ×2=¿ 160,0002 100,000 ×2= 200,0003 150,000 ×2=¿ 300,000

Page 78: Ingenieria Economica. Texto

4 50,000 ×2=¿ 100,0005 120,000 ×2=¿ 240,000

Año Unidadesproducidas

DepreciaciónPor año

Depreciaciónacumulada

Valor enlibros

0 0 0 0 1,000,0001 80,000 160,000 160,000 840,0002 100,000 200,000 360,000 640,0003 150,000 300,000 660,000 340,0004 50,000 100,000 760,000 240,0005 120,000 240,000 1,000,000 0

7.5.3. Método de las unidades producidas.

7.5.3. Método de las unidades producidas.

Tambien por sus características, para muchos activos su vida útil está

relacionado con el número de horas que la maquinaria estuvo en operación.

Este método consiste en calcular el monto de depreciación de acuerdo al

tiempo de operación de la maquinaria.

Se utiliza la siguiente fórmula:

Depreciación por horadeoperación= Depreciación totalTotal dehoras deoperación

Ejemplo:

La empresa “Betha” adquiere una maquinaria cuyo precio es de 500,000

unidades monetarias, cuyo valor residual es de 100,000 unidades monetarias,

con una vida útil probable de 40,000 horas de operación. La operación por

hora, para cada año se muestra en la siguiente tabla:

Page 79: Ingenieria Economica. Texto

Año

Número de horasde operación

1 15,0002 10,0003 8,0004 7,000

Solución

Calculamos la depreciación total:

Depreciación total=Precio−Valor residual

Depreciación total=500,000−100,000=400,000

Luego calculamos la depreciación por unidad:

Depreciación por horadeoperación= Depreciación totalTotal horasde operación

Depreciación por horadeoperación= 400,00040,000

=10

Año Horas deoperación

DepreciaciónPor año

Depreciaciónacumulada

Valor en libros

0 500,0001 15,000 150,000 150,0002 10,000 100,000 250,0003 8,000 80,000 330,0004 7,000 70,000 400,000

Page 80: Ingenieria Economica. Texto

CAPITULO 8

La Inflación y la Fórmula Polinómica

8.1. CONCEPTO

La Formula Polinómica, es una expresión matemática. Cuya estructura

contiene la sumatoria de varios monomios aplicados a su vez, a cada uno de

los componentes de la estructura de costos de un proyecto, especialmente de

construcción. El método, consiste en calcular los coeficientes de incidencias de

Materiales, Equipos, Mano de obra, Administración, Financiamiento (si lo hay),

Utilidad e Imprevistos, para ser multiplicados por su correspondiente Índice de

Precios propio, resultante de la ponderación de cada uno de estos, dentro de la

composición de la Oferta Original del Contratista.

8.2. APLICACIÓN

La fórmula Polinómica que se ajusta a los conceptos y componentes, del costo

de las actividades contratadas y ejecutadas en un proyecto de construcción, se

define como:

P=aMN 1

MN 0+b

MI1

MI0+c

EQ1

EQ0+d

CB1

CB0+e

MO1

MO0

En donde:

P: Factor de ajuste de precios para actualizar cada Avalúo (El

avalúo de Obra es la facturación mensual, por trabajos de

construcción realizados)

a: Coeficiente de peso de los Materiales Nacionales

b: Coeficiente de peso de los Materiales Importados (No

aplica)

Page 81: Ingenieria Economica. Texto

c: Coeficiente de peso del Equipo y Maquinaria (No aplica)

d : Coeficiente de peso del Combustible

e: Coeficiente de peso de la Mano de Obra.

MN1 : Índice de los materiales nacionales correspondiente al

ajuste

MI 1: Índice de los Materiales Importados correspondiente al

ajuste.

EQ1: Índice de Equipo y Maquinaria correspondiente al ajuste

CB1: Índice del Combustible

MO1: Índice de la Mano de Obra

MN 0: Índice de los Materiales Nacionales a la fecha de la

Licitación.

MI 0: Índice de los Materiales Importados a la fecha de la

Licitación.

EQ0: Índice del Equipo y maquinaria a la fecha de la Licitación

CB0: Índice del Combustible a la fecha de la licitación.

MO0: Índice de la Mano de Obra a la fecha de la Licitación.

8.3. DETERMINACION DE LOS FACTORES DE PONDERACION DE CADA COMPONENTE DEL COSTO.

Se determina primero el coeficiente de cada componente del costo mediante la

revisión de cada concepto de obra contratado y su desglose en los diferentes

sub-componentes, verificando los factores que resultan de la composición del

precio unitario.

Page 82: Ingenieria Economica. Texto

Ejemplo:

El valor del factor ponderado del componente materiales nacionales es: 0.4820

El valor del factor ponderado del componente materiales importados es: 0.0

El valor del factor ponderado del componente maquinaria y equipo es: 0.258

El valor del factor ponderado del componente combustibles es: 0.1535

El valor del factor ponderado del componente mano de obra es: 0.1063

A partir de la facturación de cada uno de los materiales adquiridos en un

periodo determinado (Avalúo), se calcula la diferencia (incremento de precios) y

se aplica a la cantidad real ejecutada en ese mismo periodo.

De igual manera se procede con el rubro o ítem combustible y en el caso de la

Mano de Obra, se establece el incremento en ese periodo.

A continuación, se determina la participación real de cada componente en un

periodo determinado, mediante la cantidad incorporada al proyecto, el

diferencial entre el Valor Contractual original y el Valor Final para después

determinar el costo inicial Vs. el costo final para cada elemento. De tal manera

que la aplicación de los índices y factores correspondientes, como a

continuación se detalla en la fórmula:

P= (0.4820 ) (1.025 )(1.00 )

+ (0.2581 ) (1.000 )(1.000 )

+ (0.1535 ) (1.0914 )(1.000 )

+(0.1063) (1.000 )(1.000 )

En consecuencia:

P=0.49+0.2581+0.1676+0.1063

De donde:

Page 83: Ingenieria Economica. Texto

P=1.026

El monto financiero real ejecutado mediante el Avalúo mensual por cada

concepto de obra, se multiplica por el factor de incremento, determinándose

finalmente el incremento por cada concepto de obra y consecuentemente,

mediante la sumatoria de todos ellos, el incremento en el periodo por obra

ejecutada.