Ingeniería Económica

Ingeniería Económica

Universidad Simón BolívarDepartamento de Ciencias Económicas y Administrativas

Coordinación de Carrera de Ingeniería de ProducciónIngeniería Económica

Prof. César Ríos

Sartenejas2009

2) Factores: ¿Cómo el tiempo y el interés afectan al dinero?


Ingeniería EconómicaProf. César Ríos

Sartenejas2009

Tema 2.1 : De los objetivos


Deducir y usar los factores de la ingeniería económica para explicar el valor del dinero en el tiempo, y relativos con:

Factores de pago único (F/P y P/F)Serie uniforme de factor de valor presente y recuperación de capital (P/A y A/P) Factor de fondo de amortización y serie uniforme del factor de capitalización compuesta (A/F y F/A) Interpolación en tablas de interés Factores de gradiente aritmético (P/G y A/G) Factores de serie de gradiente geométrico Determinación de una tasa de interés desconocida Determinación del número de años desconocidos

2.1 Factores de pago único (F/P y P/F)



Sartenejas2009


)1(1

1

iPF

PiPF

22

22

112

)1(

)1()1()1(

iPF

iiiPiiPiPF

iFFF

33

23

2223

)1(

)1()1(

)1(

iPF

iiPF

iFiFFF

El factor clave en I.E. es el que determina la cantidad de dinero F que se acumula después de n años (o períodos), a partir de un valor único presente P con interés compuesto una vez por año (o por período)

Año 1Año 2

Año 3

Tema 2.1 : Factores de pago único F/P y P/F: Notación y ecuaciones


niPF )1(

…luego:

Año n …donde (1+i)n se conoce como “ factor de cantidad compuesta de pago único (FCCPU), o factor F/D ”

ni

FP)1(

1Año n

…donde [1/(1+i)n] se conoce como “ factor de valor presente de pago único (FVPPU), o factor P/F ”




Notación NombreEncontrar/dado

Ecuación en notación

estándar

Ecuación con formula de

factor

Funciones Excel

(F/P,i,n)

Cantidad compuesta pago único

F/P F=P (F/P,i,n) F=P(1+i)n FV(i%,n,P)

(P/I,i,n)

Valor presente

pago únicoP/F P=F (P/F,i,n) P=F[1/(1+i)n] PV(i%,n,P)

En resumen:

Nota: Leer ejemplos en Sección 2.1 del texto Blank & Tarquin

Tema 2.1 : Para el uso de las tablas


Las notaciones estándar para estos dos factores son:

1. (P/F, i%, n)

2. (F/P, i%, n)

Nota: Ver Tablas del 1 al 19 en el anexo del texto Blank & Tarquin

Ejemplo:

Si i% = 5% y n = 10 años, ¿Cuál será el factor (P/F, i%, n)?

Solución:

El factor (P/F, 5%, 10), de la tabla 10, sugiere que (P/F, 5%, 10) = 0,6139

Con este factor encontraremos el valor presente equivalente a 5% anual, para cualquier cantidad F que ocurra de manera uniforme desde el año 1 hasta el 10

2.2 Factores de pago único (P/A y A/P)



Sartenejas2009

Tema 2.2 : Valor presente y de recuperación de capital en series uniformes


A = Dada

El valor presente, P, equivalente a una serie uniforme de flujo de efectivo al final del período, A, se representa en el esquema siguiente:

1 2 3 n-2 n-1 n

0

i = Dada



A = Dada

Casos de diagrama de flujo de efectivo:

a) P de una serie uniforme

b) A para un valor presente

1 2 3 n-2 n-1

0

i = Dada

A = ?

1 2 3 n-2 n-1

0

i = Dada

P = ?

P = Dada

n

n



nn iA

iA

iA

iAP

)1(

1

)1(

1

)1(

1

)1(

1121

A = Dada

El valor presente, P, equivalente a una serie uniforme de flujo de efectivo al final del período, A, se representa en el esquema siguiente:

1 2 3 n-2 n-1 n

Aplicando el “ factor de valor presente de pago único (FVPPU), en cada período, derivamos el factor P/A”

0

i = Dada



… al multiplicar ambos miembros de la ecuación por (1+i)n , “factor de cantidad compuesta de pago único”

nn iiiiAP

)1(

1

)1(

1

)1(

1

)1(

1121

nn iiiii

A

i

P

)1(

1

)1(

1

)1(

1

)1(

1

)1()1( 121

… reagrupando, nos queda:

132 )1(

1

)1(

1

)1(

1

)1(

1

)1( nn iiiiA

i

P

A fin de hallar una expresión general, precedemos a construir una progresión geométrica. Recordemos…

Tema 1: Recordemos la progresión geométrica


Caso 5: Se llama progresión geométrica a toda sucesión de términos en la cual la razón o cociente entre un término cualquiera y el anterior a éste es constante. Esta definición equivale a decir que una sucesión de términos constituye una progresión geométrica, si cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija

Ejemplo: Dado un primer término a y una razón r, la progresión geométrica correspondiente para los primeros n primeros términos estará dada por:

12 ,...,,, nararara

12 ... narararaS

1

11

1

rna

rr

ra

S

n




132 )1(

1

)1(

1

)1(

1

)1(

1

)1( nn iiiiA

i

P

nn iiiiAP

)1(

1

)1(

1

)1(

1

)1(

1121

)1(

1

)1(

1

)1( 1 iiAP

i

in

n

n

ii

iAP

)1(

1)1(

)1(

)11(

)1( i

iPP

i

P

1)1(

)1(n

n

i

iiAP… y análogamente,

Tema 2.2 : Factores de pago único P/A y A/P: Notación y ecuaciones


Notación

NombreEncontrar/dado


estándar

Ecuación con formula

de factor

Funciones Excel

(P/A,i,n) Series uniformes de valor presente

P/A P=A(P/A,i,n) PV(i%,n,A)

(A/P,i,n) Recuperación de capital

A/P A=P(A/P,i,n) PMT(i%,n,P)

En resumen: Los factores y su uso para encontrar P y A se resumen a continuación


n

n

ii

iAP

)1(

1)1(

1)1(

)1(n

n

i

iiAP

Tema 2.2 : Para el uso de las tablas


Las notaciones estándar para estos dos factores son:

1. (P/A, i%, n)

2. (A/P, i%, n)

Nota: Ver Tablas del 1 al 19 en el anexo del texto Blank & Tarquin

Ejemplo:

Si i% = 15% y n = 25 años, ¿Cuál será el factor (P/A, i%, n)?

Solución:

El factor (P/A, 15%, 25), de la tabla 19, sugiere que (P/A, 15%, 25) = 6.4641

Con este factor encontraremos el valor presente equivalente a 15% anual, para cualquier cantidad A que ocurra de manera uniforme desde el año 1 hasta el 25

2.3 Derivación del factor de fondo de amortización y elfactor de cantidad compuesta serie uniforme (A/F y F/A)



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Tema 2.3: Factor de fondo de amortización y el factor de cantidad compuesta


A = Desconocida

Dado el valor futuro, F, se desea buscar la equivalencia relativa a una serie uniforme de flujo de efectivo al final de cada período, A, y representada en el esquema siguiente:

1 2 3 n-2 n-1 n0

i = Dada F = Dado



A = ?

Casos de diagrama de flujo de efectivo:

a) Determinar A dado F

b) Determinar F dado A

1 2 3 n-2 n-10

i = Dada

A = Dada

1 2 3 n-2 n-1

i = Dada

F = Dada

n

n

F = ?

0



1)1(

)1(

)1(

1n

n

n i

ii

iFA

A = Desconocida

Dado el valor futuro, F, se desea buscar la equivalencia relativa a una serie uniforme de flujo de efectivo al final de cada período, A, y representada en el esquema siguiente:

1 2 3 n-2 n-1 n

Aplicando el “ factor de fondo de amortización, (FFA), en cada período, o factor A/F”, calculamos la serie uniforme A, que se inicia al final del período 1 y continúa a lo largo del período del valor futuro F.

0

i = Dada F = Dado

… y análogamente,

1)1( ni

iFA



i

iF

n 1)1(

A = Dada

Asimismo, dado la anualidad, A, si se desea buscar la equivalencia relativa al valor futuro, F, y representada en el esquema siguiente:

1 2 3 n-2 n-1 n

Aplicando el “ factor de cantidad compuesta para serie uniforme (FCCSU), en cada período, o factor F/A”, donde la serie uniforme A se inicia al final del período 1 y continúa a lo largo del período hasta F.

0

i = Dada F = ?


Notación

NombreEncontrar/dado


estándar

Ecuación con formula

de factor

Funciones Excel

(F/A,i,n) Cantidad compuesta

serie uniforme

F/A F=A(F/A,i,n) VF(i%,n,A,P)

(A/F,i,n) Fondo de amortización

A/F A=F(A/F,i,n) PAGO(i%,n,P,F)

En resumen:


i

iAP

n 1)1(

1)1( ni

iAP




Los factores de series uniformes se determinan simbólicamente mediante el uso de una forma de factor abreviada. Así,

i

i

ii

iiniAF

n

n

nn 1)1(

)1(

1)1()1(),,/(

iniPAniFA ),,/(),,/(

)/)(/()/( APPFAF

…luego, dado que

…entonces, Demostrarl

o

2.4 Interpolación en tablas de interés



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Tema 2.4: Interpolación de tablas de interés


Cuando es necesario localizar el valor de un factor i o n que no se encuentra en las tablas de interés, el valor deseado puede obtenerse en una de dos formas: 1. Utilizando las formulas derivadas anteriormente o 2. Interpolando linealmente entre los valores tabulados.

db

ac

d

c

b

a

Arreglo para la interpolación lineal

Tabulado

Deseado

Tabulado

a

b d

Valor 1

X

Valor 2

c

Nota: Realizar ejercicios prácticos del texto de Blank y Tarquin

2.5 Factores de gradiente aritmético (P/G y A/G)



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Tema 2.5: Factores gradiente aritmético (P/G y A/G)


Un gradiente aritmético es una serie de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en una cantidad constante. Es decir, el flujo de efectivo (ingresos o egresos) formulación: Diagrama de una serie gradiente aritmético con una cantidad base A, y un gradiente de G.

Las formulas desarrolladas anteriormente para una serie A tienen cantidades al final del período de igual valor. En el caso de un gradiente G, el flujo de efectivo de cada final de año es diferente, de manera que se hace necesario derivar las formulas asociadas según sea el caso.

Criterio: Suponemos que el flujo de efectivo al final del año 1 no forma parte de la serie del gradiente. Esto es conveniente porque en las aplicaciones reales la cantidad base en general es mayor o menor que el aumento o la disminución del gradiente.



G=cambio aritmético constante en la magnitud de los ingresos o desembolsos de un período al siguiente

A = Dado

1 2 3 n-2 n-1 n0

i = Dada F = ?

Formulación: Diagrama de una serie gradiente aritmético con una cantidad base A, y un gradiente de G.

G = Gradiente

).( BaseCant



132 )1(

1

)1(

1

)1(

1

)1(

1nn iiii

GP

nn iiiiGiP

)1(

1

)1(

1

)1(

1

)1(

1)1(

1211

nn i

nG

iiGiP

)1()1(

1

)1(

11

nn

n

i

n

ii

i

i

GP

)1()1(

1)1(

)())1(1( iPiP

nn

n

i

n

ii

i

iniGP

)1()1(

1)1(1),,/(… luego,




nn

n

i

n

ii

i

i

GP

)1()1(

1)1(

nn

n

i

n

ii

i

iniGP

)1()1(

1)1(1),,/(… luego,

n

n

ii

ininiGP

)1(

1)1(),,/(

2

Así, el factor de valor presente de gradiente aritmético, o factor P/G, se expresa como:


),,/( niGPGP

De igual modo, si expresamos el valor presente como una relación de ingeniería económica, será:


Diagrama de conversión de un gradiente aritmético a un valor presente:

G

1 2 3 n-2 n-1 n0

2G

(n-3)G

(n-2)G(n-1)G

i = Dada

n

n

ii

ininiGP

)1(

1)1(),,/(

2

1 2 3 n-2 n-1 n0

P = ?


Clave: El gradiente comienza en el año 2 y P está ubicado en el año 0


La serie anual uniforme equivalente (A) de un gradiente aritmético G se

calcula multiplicando el valor presente de la ecuación

por la expresión del factor . Veamos:


),,/( niGPGP ),,/( niPA

),,/)(,,/( niPAniGPGA

),,/( niGAGA

… recordemos

nn

n

i

n

ii

i

i

GniGPGP

)1()1(

1)1(),,/(


Así, tenemos que

Asimismo,

1)1(

)1(

)1()1(

1)1(n

n

nn

n

i

ii

i

n

ii

i

i

GA

… luego, al sustituir en

y despejando, nos queda que


nn

n

i

n

ii

i

i

GPniGPGP

)1()1(

1)1(),,/(

),,/)(,,/( niPAniGPGA

1)1(

)1(),,/(

n

n

i

iiAPniPA

1)1(

1ni

n

iGA


Diagrama de conversión de un gradiente aritmético a un valor presente:

G

1 2 3 n-2 n-1 n0

2G

(n-3)G

(n-2)G(n-1)G

i = Dada


Nota: Revisar tabla de los factores 1 a 29 en el texto de Blank y Tarquin

1)1(

1ni

n

iGA

A = ?

1 2 3 n-2 n-1 n0

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