3.) 4ta a La 8va Semana de Desarrollo - Prof. Vanessa Villarreal
Ing_Economica 4ta Semana
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LIZ YVONNE PONTE G.
INGENIERIA ECONOMICA
Mdulo: Unidad: Semana: 1 4 4
-
INGENIERIA ECONOMICA
-
MATEMATICAS FINANCIERAS:
ANUALIDADES
-
Mi esposa compr una
lavadora automtica de
7.5 kilos y empezaremos
a pagarla hasta dentro
de un mes.
Te felicito!, nosotros nos
cambiaremos de casa y por suerte
no nos pidieron 3 meses de
anticipo, sino solamente el mes
anticipado.
ANUALIDAD
ANTICIPADA
ANUALIDAD
VENCIDA
-
ANUALIDAD VENCIDA
ANUALIDAD ANTICIPADA
-
Suerte que en SAGA
estaba la ropa en
descuento y empezar a
pagar hasta dentro de 6
meses. El Departamento. De lnea
blanca estaba en
descuento, pero los pagos
empiezan al mes.
ANUALIDAD
DIFERIDA
ANUALIDAD
INMEDIATA
-
ANUALIDAD INMEDIATA
ANUALIDAD DIFERIDA
-
FRMULA DEL VALOR FUTURO
122 11...11 nn iRiRiRiRRF
i
iRF
n11
Punto de acumulacin
-
FRMULA DEL VALOR PRESENTE
i
iRP
n11
Punto de clculo
-
Anualidades constantes
Es un flujo de efectivo constante que se paga o se cobra cada cierto perodo.
Las cantidades deben ser iguales y el intervalo de tiempo entre ellas siempre es el mismo.
Los intereses se acumulan una vez cada perodo.
-
0 1 2 3 n-1 n
F1 F1 F1 F1 F1
Ao:
Flujos
Actualizados: F1
(1+i)
F1
(1+i)2
F1
(1+i)3
F1
(1+i)n-1
F1
(1+i)n
Anualidades constantes
-
Las anualidades pueden clasificarse en:
Anualidades ordinarias. Cuando:
m La primera anualidad est un perodo despus que el presente, o;
m La ltima anualidad est junto con el futuro.
Anualidades anticipadas. Cuando:
m La primera anualidad est junto con el presente, o;
m La ltima anualidad est un perodo antes que el futuro.
Anualidades constantes
-
Anualidades ordinarias
P = A * ( 1 + i )n - 1
( 1 + i )n * i
P = A ( P/A, i%, n )
P = valor presente
A = anualidad
i = tasa de inters para un solo perodo
n = nmero de perodos
-
F = A* ( 1 + i )n - 1
i
F = A ( F/A, i%, n )
F = valor futuro
A = anualidad
i = tasa de inters para un solo perodo
n = nmero de perodos
Anualidades ordinarias
-
A = P * ( 1 + i )n * i
( 1 + i )n - 1
A = P ( A/P, i%, n )
A = F * i
( 1 + i )n - 1
A = F ( A/F, i%, n )
-
Anualidades anticipadas
P = A * ( 1 + i )n 1 *(1+i)
( 1 + i )n * i
P = A ( P/A, i%, n - 1 )
F = A * [ ( 1 + i ) n - 1 ] * ( 1 + i )
i
F = A ( F/A, i%, n - 1 )
-
A = P /(1+i) * ( 1 + i )n * i
( 1 + i )n - 1
A = P ( A/P, i%, n - 1 )
A = F * i
[ ( 1 + i )n - 1 ] * ( 1 + i )
A = F ( A/F, i%, n - 1 )
-
Casos:
1. Un ingeniero vende su patente a una empresa y se le ofrece la opcin de un monto de
US$ 12,500 en una sola exhibicin (es decir, inmediatamente) el da de hoy (t = 0) o,
alternativamente, un pago de US$2,000 por ao por los prximos 10 aos, empezando
el prximo ao (t = 1).
Como el ingeniero est pagando un 12% de inters anual por ao por concepto de
hipoteca sobre su casa, decide usar esta misma tasa para evaluar las alternativas. Si
usted fuera este ingeniero, cul de las dos alternativas escogera?
-
Casos:
Juan, cumpliendo 40 aos y pensando en su jubilacin, planea ahorrar la suma de $ 1,500 por ao sobre un perodo de 25 aos. En promedio el espera ganar 12% de inters anual
c/anualmente, sobre todos los fondos invertidos. Cunto tendra Juan al final de 25 aos?
Respuesta: $200,000 (ignorando fracciones).
Pensando un poco ms all, Juan como demgrafo sabe que si llega a cumplir 65 aos, tendra
una esperanza de vida de ms o menos 16 aos. Asimismo, estima que necesita un ingreso de
unos $25,000 anuales para vivir cmodamente con su esposa. La lgica financiera dicta que a
esa edad ya no se debe tomar mucho riesgo con los fondos, y el piensa poner el ahorro estimado
arriba en una cuenta de ahorros que le dara a lo mucho 9% de inters anual c/anual. Si Juan
retira cada ao $25,000, cunto tiempo -es decir- cuntos aos durarn sus fondos? Respuesta:
14 aos (ignorando fracciones).
Como su fondo de retiro NO cubre su expectativa de vida a los 65 aos, Cunto debera ahorrar entonces cada ao hasta cumplir los 65 aos para que le diera los $25,000 cada ao por 16
aos? Respuesta: $1,558.60.
-
EJEMPLOS:
SODIMAK, solicita el prstamo XYZ. Si tienes ms de 3 aos como socio y has cumplido con tus compromisos econmicos con la
Cooperativa, puedes ser acreedor de un prstamo de hasta
$100,000.00 para remodelar tu casa a una tasa de inters del 1.75%
mensual sobre saldos insolutos, con un plazo de hasta 36 meses.
Si quieres pagar este prstamo en 36 pagos iguales incluyendo intereses y amortizacin del prstamo, cunto pagaras
mensualmente?
Respuesta: $ 3,767.51
Despus de 15 pagos (o meses) recibes la noticia que has ganado un premio en la lotera y decides de re-embolsar el resto en una sola
exhibicin a la fecha del pago nmero 16, cunto habra que pagar
entonces?
Respuesta: $ 66,884.10
-
Cul es el valor actual de 6 pagos iguales de $1,500 a una tasa
del 40%, (a) si los pagos se hacen al final de cada ao; (b) si
los pagos se hacen al inicio de cada ao?
(a) P = $1,500 * ( P/A, 40%, 6 ) = $3,251.96
(b) P = $1,500 * ( P/A, 40%, 6 - 1 ) = $4,552.75
n = 6 aos
i = 40% anual
P
A n = 6 aos
i = 40% anual
P
A
-
Se va a comprar un auto nuevo cuyo valor total es de $240,000. Se pagar un enganche de $40,000 y el resto a 24
mensualidades a una tasa del 8% mensual sobre saldos
insolutos. Cul ser el monto de las mensualidades si se pagan
al final de cada mes?
A = $200,000 * ( A/P, 8%, 24 ) = $18,995.59
-
Que cantidad constante tendr que depositar en un banco al
36% anual si quiere obtener $450,000 al final del sptimo ao,
haciendo los depsitos al inicio de cada ao?
A = $450,000 * ( A/F, 36%, 7 - 1 ) = $15,662.19
-
Se ha tomado la convencin de expresar la tasa de
inters en una tasa anual nominal y al aplicarla debe de
especificarse la fraccin del perodo anual en la que se
capitaliza.
F = P ( 1 + j /m )n * m
j = tasa de inters nominal anual m = nmero de perodos en un ao
n = nmero de aos
-
Obtenga el monto a recibir al final de un ao para $1,000,000 a
una tasa de inters del 48% anual si se capitaliza: (a) anual; (b)
trimestral.
(a) F = $1,000,000 * ( 1 + 0.48 ) 1 = $1,480,000
(b) F = $1,000,000 * ( 1 + 0.48/4 ) 4 = $1,573,519
-
Calcule el valor de $80,000 despus de dos aos y seis meses
colocados a una tasa del 42% con capitalizacin trimestral.
n * m = 2.5 aos * 4 trimestres por ao = 10 trimestres
F = $80,000 * ( 1 + 0.42/4 ) 10 = $217,126.47
i = 42% anual
F
$80,000
n = 2.5 aos
m = 4 trimestres
-
En cuanto tiempo se triplica una inversin colocada al 40% con
capitalizaciones trimestrales?
n = ln ( F / P ) = ln ( 3 ) = 11.53 trimestres
ln ( 1 + i ) ln ( 1 + 0.4/4 )
-
Una inversin ofrece una tasa del 40% con capitalizacin
mensual y otra ofrece el 45% con capitalizacin trimestral.
Cul prefiere usted? (analice un ao).
(a) F = $1 * ( 1 + 0.4/12 )12 = $1.4821
(b) F = $1 * ( 1 + 0.45/4 )4 = $1.5318
La mejor opcin es la tasa del 45% con capitalizacin trimestral.
-
Tpicos
Tasa efectiva
11
m
ne
m
rr
Tasas equivalentes, si
1111 21
b
n
a
n
b
r
a
r
-
Tpicos
Perpetuidad
r
AP
Perpetuidad creciente a tasa g
gr
AP
-
Tpicos
Gradiente aritmtico
Equivalente uniforme de anualidad que se da durante n
periodos, que crece G unidades monetarias cada periodo,
empezando de cero en t=1
11
11n
rrGA
-
Tpicos
Gradiente geomtrico
n
r
g
gr
AP
1
111
-
Tpicos
Demostracin de la frmula de anualidades
Sea
nrA
r
A
r
AP
1112
rx
1
1
121 nxxxAxP
-
Tpicos
Dado que
nn xxxxx 111 12
x
xAxP
n
1
1
r
r
r
rA
r
r
rAP
nn
1
11
1
11
1
1
1
11
1
11
1
1
-
Tpicos
Resulta
nrr
AP
1
11
-
Tpicos
Perpetuidad. Partimos de:
nrr
AP
1
11
Si n , el segundo trmino dentro de parntesis cuadrados desaparece
-
Tpicos
Anualidad desde perpetuidades
nrrA
r
AP
1
1
nrr
AP
1
11
-
38
Ejemplo anualidad:
Suponga usted comprar una casa que vale hoy $20.000.000 y
solicita al banco un crdito por el total del valor a 15 aos plazo
(180 meses). La tasa de inters es de 0,5% mensual.
Cul deber ser el valor del dividendo mensual ?
Anualidades ...continuacin...
r
rFVA
n
)1(1*1Si: Entonces: nr
rVAF
)1(1*1
As: 771.168)005,1(1
005,0*000.000.20
1801
F
-
39
Anualidades
Perpetuidad
Considrese un flujo (F1) (anualidad) por montos iguales que se paga a perpetuidad.
Perpetuidad corresponde a un periodo de tiempo lo suficientemente grande para considerar los flujos finales como poco relevantes dado que al descontarlos al ao 0 son insignificantes.
El Valor actual de esa anualidad se define como:
r
FVA 1
...continuacin...
-
40
Ejemplo perpetuidad:
Suponga usted es de esos afortunados que decide jubilar a los
50 aos y recibir una renta vitalicia de $50.000 mensuales
hasta que muera. La tasa de inters relevante es de 1%
mensual y la empresa que le dar la renta supone una larga vida para usted (suponen podra llegar a los 90, o tal vez 95 o porqu no 100 aos).
Cul es el valor actual del fondo que la empresa debe tener
para poder cubrir dicha obligacin?
Anualidades ...continuacin
000.000.501,0
000.50VA
En rigor, usando la frmula de
valor actual de una anualidad (no
perpetua) se tendra:
Si vive 90 aos: VA=$ 4.957.858
Si vive 95 aos: VA=$ 4.976.803
Si vive 100 aos: VA=$ 4.987.231
Todos muy cercanos a $5 millones
-
Ejemplo: El seor Juan hace depsitos de $100 al final de cada mes
durante un ao en una cuenta de inversiones que paga el 13%
capitalizable mensualmente. Cul ser el monto acumulado al
trmino del ao?
15.1274
12
13.
112
13.1
100
12
F
Click o [Enter] para ver el resultado.
-
Ejemplo: Un seor hace depsitos de $ 100 al final de cada mes
durante un ao en una cuenta a plazo fijo que paga el 13%
capitalizable mensualmente. Cul ser el monto acumulado al
trmino del ao, pero sin incluir el ltimo depsito (12vo. pago)?
15.117412
13.1
12
13.
112
13.1
100
11
F
Click o [Enter] para ver el resultado.
-
15.1174100
12
13.
112
13.1
100
12
F
Otra forma de resolver el problema es
la siguiente:
Se hace la suposicin de que son 12 pagos, por lo que se calcula el
valor acumulado de los 12 pagos. A la cantidad obtenida se le resta el
pago nmero 12.
-
Ejemplo: Don Luis desea que su hijo pueda disponer de cierta
cantidad de dinero dentro de dos aos y para ello va a efectuar
depsitos de $150 al final de cada mes en una cuenta de inversiones
que paga el 2% mensual. Si efecta depsitos solamente durante el
primer ao, cul ser el monto acumulado a los dos aos?.
47.255102.1
02.
102.1150
1212
F
Click o [Enter] para ver el resultado.
-
Ejemplo: Se deposita al final de cada tres meses y durante 2
aos la cantidad de $350 con una tasa de inters del 13% con
capitalizacin trimestral en el prime ao, y durante el segundo
ao la tasa cambia al 13.5%, cul ser el monto de las
inversin al final del plazo?
4
135.
14
135.1
3504
135.1
4
13.
14
13.1
350
4
4
4
FF = 3,150.91
Click o [Enter] para ver el resultado.
-
Ejemplo: La fbrica Hilos Tren est en apuros financieros con sus proveedores, por lo que decide realizar un prstamo a la
institucin financiera XYZ y conviene con el gerente del banco en
saldar la deuda mediante pagos de $1,500 al final de cada mes
durante un ao. Si el banco carga una tasa de inters del 18%
con capitalizacin mensual, cunto prest la fbrica?
Click o [Enter] para ver el resultado.
26.16361
12
18.
12
18.11
1500
12
P
-
66.667,16450,1
12
095.
12
095.11
450,1
11
P
Ejemplo: Una pareja de recin casados desea rentar una casa con pago
mensual de $1,450. Pero como tienen algo de dinero ahorrado y no desean
tener cada mes el pendiente de la renta, entonces convienen con el dueo
en pagar por adelantado los 12 meses del ao. Si se aplica un inters del
9.5% capitalizable mensualmente, cul es el valor de los 12 pagos
actuales?
-
Ejemplo: Qu cantidad hay que depositar hoy para poder efectuar
retiros trimestrales de $500 a partir de los 9 meses de la inversin, el
nmero de retiros ser de 6 y la tasa de inversin es del 12%
capitalizable trimestralmente?
11.553,2
4
12.1
4
12.
4
12.11
500
2
6
P
Click o [Enter] para ver el resultado.
-
Resuelva el caso propuesto en clase.
CONCLUSIONES Y/O ACTIVIDADES DE
INVESTIGACIN SUGERIDAS
-
GRACIAS