INFORME PREVIO 10

UNMSM FIEE INF Prv. LAB. CIR ELEC - N 10 / 2014 CIRC. ELCTRICOS I

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INFORME DE LABORATORIO N10 INFORME PREVIO

C U E S T I O N A R I O P R E V I O

1. Explicar qu es un circuito elctrico de 1 orden y 2 orden.

La razn del nombre radica en que las ecuaciones integro-diferenciales de equilibrio del circuito se

pueden reducir a ecuaciones diferenciales de primer o de segundo orden respectivamente.

Para el anlisis del tema veremos por separado cada tipo de circuito en su configuracin ms elemental.

Estudiando la respuesta para excitacin por energa almacenada, o comportamiento libre, para seal

impulsiva, seal escaln y, como caso ms general, la excitacin por la seal senoidal.

a) Circuito elctrico de 1 orden: Denominaremos circuitos de primer orden a aquellos que, adems de posibles resistencias y/o

generadores, contienen elementos reactivos de un solo tipo; es decir un nmero cualquiera de

capacitores pero ninguna inductancia, o un nmero cualquiera de inductores pero ninguna

capacidad.

Circuitos con un solo tipo de elementos almacenadores de energa, que se describen por

ecuaciones diferenciales de primer orden. Exigen conocer la energa inicial o el valor inicial de

la variable, y la respuesta en el estado final, o de rgimen, si hay una excitacin del tipo

permanente sobre el circuito.

b) Circuito elctrico de 2 orden: Denominaremos, por lo contrario, circuitos de segundo orden a aquellos que contengan ambos

tipos de elementos, es decir que contengan por lo menos un capacitor y una inductancia.

Circuitos con los dos tipos de elementos almacenadores de energa, que se describen por ecuaciones diferenciales de segundo orden.

La solucin no es tan simple como en el caso anterior pero su forma es la misma. Una

componente transitoria, llamada complementaria u homognea, y otra permanente, estacionaria o

integral particular.

En estos casos requerimos dos constantes arbitrarias para evaluar las dos formas de

almacenamiento de energa. Y para poder determinarlas exige conocer la energa inicial o el

valor inicial de la variable, y la primera derivada de la variable en .

2. Definir los siguientes conceptos: funcin escaln, respuesta natural, respuesta forzada, carga y

descarga del condensador y constante .

a) Funcin escaln: En ingeniera es comn encontrar funciones que corresponden a estados de s o no, o bien activo

o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que acta sobre un sistema mecnico o una tensin


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elctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse despus de cierto tiempo. Para tratar

de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una funcin especial

llamada funcin escaln unitario.

La funcin escaln de Heaviside, tambin llamada funcin escaln unitario, debe su nombre

al matemtico ingls Oliver Heaviside. Es una funcin discontinua cuyo valor es 0 para

cualquier argumento negativo, y 1 para cualquier argumento positivo:

Tiene aplicaciones en ingeniera de control y procesamiento de seales, representando una seal

que se enciende en un tiempo especfico, y se queda encendida indefinidamente.

Definicin alternativa:

La funcin escaln unitario o funcin de Heaviside se define como:

La funcin de Heaviside se defini sobre el intervalo , pues esto es suficiente para la

transformada de Laplace. En un sentido ms general para .

Ejemplo:

Trazar la grfica de la funcin .

La funcin est dada por:

Y su grfica se muestra:

b) Respuesta natural: Corresponde a la respuesta del circuito cuando no hay fuentes de entrada, pero el circuito tiene

energa almacenada en las capacitancias o inductancias, por lo cual las condiciones de voltajes y

corrientes en las mismas pueden ser distintas de cero. Corresponde a la solucin de la ecuacin

diferencial homognea (sin entrada).

El objetivo es obtener la respuesta de un circuito resistor capacitor (RC) o resistor inductor (RL) libre de fuentes. La respuesta sin fuentes depender nicamente de la energa inicial

almacenada en el elemento de almacenamiento de energa. Puesto que la respuesta solo depende

de la naturaleza del circuito RC y RL y no de fuentes externas, se le llama respuesta natural.


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c) Respuesta forzada: Corresponde a la respuesta del circuito cuando hay condiciones iniciales nulas (voltajes y

corrientes en inductancias y capacitancias iguales a cero). La respuesta depende entonces

exclusivamente de las fuentes y la forma particular que tengan dichas fuentes. Corresponde a la

solucin la ecuacin diferencial para la seal de entrada con condiciones iniciales en cero.

En una seccin de la solucin a la ecuacin diferencial, describimos la respuesta forzada a un

funcin constante y asumimos que la respuesta tambin sera constante, ahora consideraremos

circuitos en los cuales, la ecuacin diferencial que define el circuito no es igual a cero, y vamos a

considerar hasta ahora que es igual a una constante y entonces obtendremos la respuesta forzada

completa de los circuitos de primer orden.

d) Carga y descarga del condensador: Los circuitos RC son circuitos que estn compuestos por una resistencia y un condensador.

Se caracteriza por que la corriente puede variar con el tiempo. Cuando el tiempo es igual a cero,

el condensador est descargado, en el momento que empieza a correr el tiempo, el condensador

comienza a cargarse ya que hay una corriente en el circuito. Debido al espacio entre las placas

del condensador, en el circuito no circula corriente, es por eso que se utiliza una resistencia.

Al conectar un condensador en un circuito, la corriente empieza a circular por el mismo. A la

vez, el condensador va acumulando carga entre sus placas. Cuando el condensador se encuentra

totalmente cargado, deja de circular corriente por el circuito.

Si se quita la fuente y se coloca el condensador y la resistencia en paralelo, la carga empieza a

fluir de una de las placas del condensador a la otra a travs de la resistencia, hasta que la carga es

nula en las dos placas. En este caso, la corriente circular en sentido contrario al que circulaba

mientras el condensador se estaba cargando.

Carga Descarga

Donde:

: Es la tensin en el condensador.

: Es la tensin o diferencia de potencial elctrico inicial ( ) entre las placas del condensador.

: Es la tensin o diferencia de potencial elctrico final (a rgimen estacionario )

entre las placas del condensador.

: La intensidad de corriente que circula por el circuito.

: Es la capacitancia del condensador en faradios multiplicada por la resistencia del circuito en Ohmios, llamada constante de tiempo.

Cuando el condensador se carga completamente, la corriente en el circuito es igual a cero.

La segunda regla de Kirchhoff dice:


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Donde es la diferencia de potencial en el condensador.

En un tiempo igual a cero, la corriente ser:

Cuando el condensador no se ha cargado. Cuando el condensador se ha cargado completamente,

la corriente es cero y la carga ser igual a:

Carga de un condensador

Ya se conoce que las variables dependiendo del tiempo sern y . Y la corriente se sustituye

por (variacin de la carga dependiendo de la variacin del tiempo):

Esta es una ecuacin diferencial. Se pueden:

Separar variable:

Al integrar se tiene:

Despejando q:

El voltaje ser:


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Descarga de un condensador

Debido a que la diferencia de potencial en el condensador es , la razn de cambio de

carga en el condensador determinar la corriente en el circuito, por lo tanto, la ecuacin que

resulte de la relacin entre el cambio de la cantidad de carga dependiendo del cambio en el

tiempo y la corriente en el circuito, estar dada remplazando en la ecuacin de diferencia de potencial en el condensador:

Donde es la carga mxima

La corriente en funcin del tiempo entonces, resultar al derivar esta ecuacin respecto al

tiempo:

Se puede concluir entonces, que la corriente y la carga decaen de forma exponencial.

e) Constante :

Para circuitos RC

El tiempo de carga del circuito es proporcional a la magnitud de la resistencia elctrica y la

capacidad del condensador. El producto de la resistencia por la capacidad se llama constante

de tiempo del circuito y tiene un papel muy importante en el desempeo de este. .

Tericamente este proceso es infinitamente largo, hasta que . En la prctica se

considera que el tiempo de carga se mide cuando el condensador se encuentra aproximadamente en la tensin a cargar (ms del 99% de sta), es decir, aproximadamente 5

veces su constante de tiempo.

La constante de tiempo marca el tiempo en el que la curva tangente en el inicio de la carga

marca en interseccin con la lnea de mxima tensin la constante de tiempo . Este tiempo sera

el tiempo en el que el condensador alcanzara su tensin mxima si es que la corriente entrante

fuera constante. En la realidad, la corriente con una fuente de tensin constante tendr un

carcter exponencial, igual que la tensin en el condensador.

Para circuitos RL

La constante de tiempo caracteriza la duracin del rgimen transitorio. As, la corriente permanente del circuito se establece a 1% despus de una duracin de .

Cuando la corriente se convierte en permanente, la ecuacin se simplifica en:


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Rgimen de Funcionamiento

La duracin del rgimen transitorio depende, en cada circuito, de los valores de la resistencia, R,

la capacidad, del condensador y de la autoinductancia, de la bobina. El valor de esta

duracin se suele tomar como , donde es la denominada constante de tiempo, siendo su valor en cada circuito:

Si est en ohmios, en faradios y en henrios, estar en segundos.

3. Explicar en forma detallada lo siguiente: filtro pasa bajo, filtro pasa alto, filtro pasa banda y

aplicaciones de los filtros.

a) Filtro pasa bajo: Un filtro paso bajo corresponde a un filtro electrnico caracterizado por permitir el paso de las

frecuencias ms bajas y atenuar las frecuencias ms altas. El filtro requiere de dos terminales de

entrada y dos de salida, de una caja negra, tambin denominada cuadripolo o bipuerto, as todas

las frecuencias se pueden presentar a la entrada, pero a la salida solo estarn presentes las que

permita pasar el filtro.

De la teora se obtiene que los filtros estn caracterizados por sus funciones de transferencia, as

cualquier configuracin de elementos activos o pasivos que consigan cierta funcin de

transferencia sern considerados un filtro de cierto tipo.

En particular la funcin de transferencia de un filtro pasa bajo de primer orden corresponde a:

Donde la constante es slo una ponderacin correspondiente a la ganancia del filtro, y la real importancia reside en la forma de la funcin de transferencia:

La cual determina el comportamiento del filtro. En la funcin de transferencia anterior

corresponde a la frecuencia de corte propia del filtro, aquel valor de frecuencia para el cual la

amplitud de la seal de entrada se atena 3 dB.

De forma anloga al caso de primer orden, los filtros de pasa bajo de mayor orden tambin se

caracterizan por su funcin de transferencia, por ejemplo la funcin de transferencia de un filtro

paso bajo de segundo orden corresponde a:


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Donde:

: es la frecuencia natural del filtro.

: es el factor de amortiguamiento de este.

b) Filtro pasa alto: Un filtro paso alto (HPF) es un tipo de filtro electrnico en cuya respuesta en frecuencia se

atenan las componentes de baja frecuencia pero no las de alta frecuencia, stas incluso pueden

amplificarse en los filtros activos. La alta o baja frecuencia es un trmino relativo que depender

del diseo y de la aplicacin.

Implementacin

El filtro paso alto es un circuito RC en serie en el cual la

salida es la cada de tensin en la resistencia.

Si se estudia este circuito con componentes ideales para

frecuencias muy bajas -continua por ejemplo- se tiene que

el condensador se comporta como un circuito abierto, por

lo que no dejar pasar la corriente a la resistencia, y su

diferencia de tensin ser cero.

Para una frecuencia muy alta, idealmente infinita, el condensador se comportar como un

circuito cerrado, es decir, como si no estuviera, por lo que la cada de tensin de la resistencia

ser la misma tensin de entrada, lo que significa que dejara pasar toda la seal. Por otra parte,

el desfase entre la seal de entrada y la de salida si que vara, como puede verse en la imagen.

El producto de resistencia por condensador ( ) es la constante de tiempo, cuyo recproco es la frecuencia de corte, es decir, donde el mdulo de la respuesta en frecuencia baja 3dB respecto

a la zona pasante:

Donde:

: es la frecuencia de corte en hercios

: es la resistencia de la aplicacin en ohmios

: es la capacidad en faradios.

El desfase depende de la frecuencia f de la seal y sera:

c) Filtro pasa banda: Un filtro paso banda es un tipo de filtro electrnico que deja pasar un determinado rango de

frecuencias de una seal y atena el paso del resto.

Implementacin

Un circuito simple de este tipo de filtros es un circuito RLC (resistor, bobina y condensador) en

el que se deja pasar la frecuencia de resonancia, que sera la frecuencia central (fc) y las


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componentes frecuenciales prximas a sta, en el diagrama hasta f1 y f2. No obstante, bastara

con una simple red resonante LC.

Respuesta frecuencial de un filtro paso banda.

Otra forma de construir un filtro paso banda puede ser usar

un filtro paso bajo en serie con un filtro paso alto entre los

que hay un rango de frecuencias que ambos dejan pasar.

Para ello, es importante tener en cuenta que la frecuencia

de corte del paso bajo sea mayor que la del paso alto, a fin

de que la respuesta global sea paso banda (esto es, que

haya solapamiento entre ambas respuestas en frecuencia).

Un filtro ideal sera el que tiene unas bandas pasante y de corte totalmente planas y unas zonas

de transicin entre ambas nulas, pero en la prctica esto nunca se consigue, siendo normalmente

ms parecido al ideal cuando mayor sea el orden del filtro, para medir cuanto de "bueno" es un

filtro se puede emplear el denominado factor Q. En filtros de rdenes altos suele aparecer un

rizado en las zonas de transicin conocido como efecto Gibbs.

Un filtro paso banda ms avanzado sera los de frecuencia mvil, en los que se pueden variar

algunos parmetros frecuenciales, un ejemplo es el circuito anterior RLC en el que se sustituye el

condensador por un diodo varicap o varactor, que acta como condensador variable y, por lo

tanto, puede variar su frecuencia central.

Realmente resulta complicado construir un filtro paso banda ideal (y, en general, filtros de

respuesta ideal) en el mundo analgico, esto es, a base de componentes pasivos como

inductancias, condensadores o resistores, y activos como operacionales o simples transistores.

Sin embargo, si nos trasladamos al procesado digital de seales, resulta sorprendente ver cmo

podemos construir respuestas en frecuencia prcticamente ideales, ya que en procesado digital de

seal manejamos realmente vectores con valores numricos (que son seales discretas en el

tiempo), en lugar de seales continuas en el tiempo.

Todo ello, no obstante, tiene una limitacin importante: cuanto mayor precisin se requiera,

mayor frecuencia de muestreo necesitaremos, y ello directamente implica un consumo de RAM

y CPU superiores. Por ello, al menos con la tecnologa de la que hoy da disponemos, resultara

inviable implementar filtros digitales ideales para radiofrecuencia, aunque en procesado de audio

digital s es posible, dado que el rango de frecuencias que ocupa no supera los 20 kHz.

d) Aplicaciones de los filtros: Una posible aplicacin de este del filtro pasa alto sera la de hacer que las altas frecuencias de

una seal de audio fuesen a un altavoz para sonidos agudos mientras que un filtro paso bajo hara

lo propio con los graves.

Otra aplicacin sera la de eliminar los ruidos que provienen de la red elctrica (50 o 60Hz) en

un circuito cuyas seales fueran ms altas.

Los filtros pasa banda tienen aplicacin en ecualizadores de audio, haciendo que unas

frecuencias se amplifiquen ms que otras.

Otra aplicacin es la de eliminar ruidos que aparecen junto a una seal, siempre que la

frecuencia de sta sea fija o conocida.


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Fuera de la electrnica y del procesado de seal, un ejemplo puede ser dentro del campo de las

ciencias atmosfricas, donde son usados para manejar los datos dentro de un rango de 3 a 10

das.

4. Analizar en forma terica, las curvas de carga y descarga del condensador.

a) Carga del condensador (Respuesta de estado cero o forzada):

El circuito de la figura muestra un condensador y una resistencia hmica conectados en serie con

un generador de seales. Suponiendo que la corriente I circula en la direccin indicada, la

aplicacin de la segunda ley de Kirchhoff establece que:

Ecuacin en la cual . La solucin de esta ecuacin diferencial es:

Teniendo en cuenta que , se puede calcular la cada de potencial en la resistencia y

en el condensador utilizando la ecuacin :

Cuya grfica ser:

b) Descarga del condensador (Respuesta de entrada cero o natural):


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De la figura anterior:

Que describe el comportamiento de la carga del condensador en el tiempo. Puesto que la

corriente en el circuito es , es fcil obtener a partir de la ecuacin el comportamiento

de en funcin del tiempo:

Teniendo en cuenta que , se puede calcular la cada de potencial en la resistencia y en

el condensador utilizando la ecuacin :

Cuya grfica es:

B I B L I O G R A F A

1. ALEXANDER Charles K., SADIKU Matthew N. O. Fundamentos de circuitos elctricos. 5 edicin. Editorial The McGraw-Hill. Mxico D.F..

Mxico. 2013

2. DORF Richard C., SVOBODA James A. Circuitos elctricos. 5 edicin. Editorial Alfaomega. Mxico D.F.. Mxico. 2003

3. PURCELL Edward M.


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Electricidad y Magnetismo. Editorial Reverte. Madrid. Espaa. 2001

4. NILSSON James W, RIEDEL Susan A. Fundamentos de circuitos elctricos. Editorial The McGraw-Hill. Mxico. 2006

5. MORALES O., LPEZ F. Circuitos elctricos I. Lima. Per. 2013

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