INFORME FINAL DEL PROYECTO DE INVESTIGACION · PDF fileuso de mathcad, polymath y matlab en un...

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOVICE- RECTORADO DE INVESTIGACION

INSTITUTO DE INVESTIGACION DE LA FACULTAD DEINGENIERIA QUIMICA

INFORME FINAL DEL PROYECTO DE INVESTIGACIONTITULADO

TEXTO " METODOS NUMERICOS UTILIZANDO POLYMATH, MATHCAD Y

MATLAB APLICADOS A INGENIERIA QUIMICA”

PRESENTADO POR

ING. JUAN MEDINA COLLANA

(Del 1 de Marzo del 2010 al 29 de Febrero 2012

Resol. N° 1312-2010 R)

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ÍNDICE

I. RESUMEN 4II. INTRODUCCIÓN 5III. MARCO TEÓRICO 8IV. MATERIALES Y MÉTODOS 8V. RESULTADOS 9VI. DISCUSIÓN 9VII. REFERENCIALES 10

1. ECUACIONES NO LINEALES 111.1 Método de Newton-Raphson 111.2 Método de la secante 141.3 Método de la bisección 161.4 Método de la regla falsa 191.5 Método de iteración del punto fijo 221.6 Problemas de aplicación a la Ingeniería Química 241.7 Aplicaciones en Ingeniería Química 32

2. SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES 362.1 Método de newton Raphson 36

2.1.1Aplicación 372.2 Problemas 40

3. INTERPOLACIÓN 443.1 Polinomios de interpolación de newton 45

3.1.1 Interpolación lineal 463.1.2 Interpolación cuadrática 473.1.3 Diferencias finitas divididas 47

3.2 Polinomios de interpolación de Lagrange 483.3 Problemas 50

4. REGRESIÓN 534.1 Regresión lineal 534.2 Regresión polinomial 544.3 Regresión lineal múltiple 554.4 Problemas 57

5. DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA 685.1 Diferenciación mediante método Newton 675.2 Diferenciación de Lagrange: datos discretos 67

3

5.3 Problemas 69

6. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 766.1 Método del trapezoide 766.2 Regla de Simpson 77

6.2.1 regla de Simpson 1/3 786.2.2Simphson 3/8 80

6.3 Problemas 81

7. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 857.1 Métodos de Jacobi 857.2 Métodode Gauss – Seidel 877.3 Problemas 88

8. ECUACIONES DIFERENCIALES NUMÉRICAS 918.1 Método de Euler 928.2 Método de Euler modificado 948.3 Métodos de Runge-Kutta (rk) 968.4 Método de diferencias finitas 1008.5 Sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden 1018.6 Problemas 103

9. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (EDP) 1109.1 Problemas 110

10. APLICACIONES DE INGENIERÍA QUÍMICA EN

POLYMATH- MATHCAD Y MATLAB 11210.1 Problemas con polymath 11210.2 Problemas con mathcad 12110.3 Problemas con matlab 131

SILABO 147

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I. RESUMEN

La presente Investigación tuvo como propósito la elaboración de un texto

universitario titulado “TEXTO: " METODOS NUMERICOS UTILIZANDO

POLYMATH, MATHCAD Y MATLAB APLICADOS A INGENIERIA

QUIMICA”

Se trata de un texto básico que se expone brevemente los fundamentos

teóricos, ilustraciones con problemas resueltos y propuestos de

ingeniería química como, equilibrio químico, ecuaciones de estado,

transferencia de calor, cinética química y al final se plantea problemas

resueltos haciendo uso de software de polymath, mathcad y matlab..

Asi mismo en cada capitulo se prantea problemas propuestosaplicados a la ingeniería química .

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II. INTRODUCCIÓN.

El tema de investigación, está referida a la elaboración de un texto

Universitario, cuyo propósito es apoyar en la labor de formación de los

alumnos, en el curso de métodos numéricos aplicada a ingeniería

.Quimica en la universidad Nacional del Callao facultad de Ingeniería

Química.

Durante mi experiencia en la docencia, en el intento de encontrar textos

necesarios para el dictado del curso de métodos numéricos , se ha

podido constatar que existe poca bibliografía en nuestro medio haciendo

uso de mathcad, polymath y matlab en un solo texto, mediante ste

trabajo se ha desarrrollado problemas aplicados a la ingeniería química

haciendo uso de una técnica numérica, al mismo timpo se ha resuelto

problemas con el software mathcad, polymath y mathcad, que se vienen

usando con mayor intesnsidad en los últimos años a nivel de ingeniería.

En este trabajo se ha resaltado el capitulo de ecuaciones no lineales y

ecuaciones diferenciales puesto que gran parte de los modelos de

ingenieira química se encuentran en esta area.

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2.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE INVESTIGACION

A. DESCRIPCIÓN Y ANÁLISIS DEL TEMAEl presente trabajo de investigación es una propuesta para la

elaboración de un texto Universitario titulado:

TEXTO: “METODOS NUMERICOS UTILIZANDO POLYMATH,MATHCAD Y MATLAB APLICADOS A LA INGENIERIA QUIMICA.”

Dirigido a estudiantes de pre – grado de Ingeniería Química y

otras especialidades afines, que presente de una manera didáctica los

principios fundamentales y el uso adecuado de los software de polymath,

mathcad y matlab, lo que permitirá cumplir con los propósitos de una

adecuada enseñanza y formación profesional.

El texto contendrá una base de teoría apropiada y práctica que van

a permitir desarrollar criterios y habilidades, que resultara muy valioso

para los propósitos de este texto.

B. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

¿Como elaborar un TEXTO: “METODOS NUMERICOSUTILIZANDO POLYMATH, MATHCAD Y MATLAB APLICADOS A LAINGENIERIA QUIMICA.”, que oriente adecuadamente a los estudiantes

de Ingeniería Química?

2.2 OBJETIVO Y ALCANCE DE LA INVESTIGACION

2.2.1 OBJETIVO GENERALDesarrollar un TEXTO: “METODOS NUMERICOS UTILIZANDOPOLYMATH, MATHCAD Y MATLAB APLICADOS A LA INGENIERIAQUIMICA.”

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2.2.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS

1. Recopilar Información básica y actualizada, necesaria para iniciar

el desarrollo del texto.

2. Analizar y procesar la información para iniciar el desarrollo del

texto.

3. Desarrollar los capítulos del texto referido a los fundamentos

teóricos.

4. Desarrollar los capítulos del texto referido a las aplicaciones

prácticas aplicada la ingeniería química

5. Desarrollar los capítulos del texto referido a las aplicaciones

prácticas aplicada la ingeniería química haciendo uso del uso

polymath , mathcad y matlab

2.3. ALCANCE DE LA INVESTIGACIONEl presente trabajo de investigación de acuerdo a la naturaleza del

problema se puede manifestar que es una investigación básica y

Aplicada, dado los modelos planteados para la solución numérica

proviene de fenómenos químicos, cuya solución analítica sería

demasiada compleja.

El aporte del trabajo de investigación estará orientado al sector

académico conformado por los profesores, estudiantes y egresados de

la Facultad de ingeniería química de la Universidad Nacional del Callao y

otras Universidades del país. Por otro lado, este texto también podría ser

utilizado por estudiantes de especialidades afines tales como ingeniería

de Alimentos, ingeniería ambiental e ingeniería Industrial.

2.4. IMPORTANCIA Y JUSTIFICACION DE LA INVESTIGACION

2.4.1 IMPORTANCIAAl desarrollar el texto propuesto se facilitará el proceso de

enseñanza – aprendizaje en la formación profesional del estudiante

universitario a nivel de pre-grado y pueda facilitar los cálculos

laboriosos de ingeniería haciendo uso de software.

2.4.2 JUSTIFICACION

8

La contribución del presente trabajo estará orientada a la preparación y

el entrenamiento de los alumnos de ingeniería química en el curso de

Métodos numéricos, adquiriendo fundamentos teóricos y la parte

práctica que consiste en efectuar cálculos de balances de materia,

energía, termodinámica, reacciones química, transferencia de calor

entre otros.

III. MARCO TEÓRICOEn la presente investigación se ha incorporado la teoría resumida y

simplificada para nueve capítulos del presente texto.

Así por ejemplo, en el capítulo I se hace referencia a los diferentes

métodos de solución de ecuaciones no lineales con sus respectivos

ejemplos y problemas.

En el capítulo III , se hace referencia de las técnicas de

interpolación , resaltando el método de diferencias por newton .

Asimismo en el capítulo VIII de ecuaciones diferenciales , se hace

referencia de los diferentes ordenes de solución de Runge Kutta y con

sus respectivos ejemplos.

En el capítulo X se presenta problemas resueltos con polymath ,

mathcad y Matlab.

IV. MATERIALES Y MÉTODOSMateriales:

Materiales De oficina

Material bibliográfico

Software Polymath

Software Mathcad

Software Matlab

Material de cómputo e impresión

MétodosLa elaboración del texto, propósito de la investigación le demandó

al suscrito, ordenar la información disponible y complicada en función del

Syllabus propuesto del curso de métodos numéricos .

9

La estructuración del texto responde a la experiencia docente en la

Facultad de Ingeniería Química de la Universidad Nacional del Callao.

Para la elaboración del texto, se tuvo cuidado en recurrir a la

síntesis de los aspectos teóricos, selección de los problemas de

ingeneiria química, elaboración de los programas en matnab, asi como

revisión de tutoriales de mathcad.

En cuando al planteamiento de problemas, se quiere plasmar la

experiencia con el dictado del curso, que me ha permitido revisar una

extensa bibliografía sobre la materia, así como volcar en el texto los

resultados de mi ejercicio profesional en el campo de Ingeniería Química

para satisfacer el propósito de la investigación.

V. RESULTADOSEl resultado de la presente investigación es la elaboración de un

texto universitario titulado: TEXTO: “METODOS NUMERICOSUTILIZANDO POLYMATH, MATHCAD Y MATLAB APLICADOS A LAINGENIERIA QUIMICA.”, , el cual se adjunta al presente. El texto

contiene 9 capítulos. La teoría desarrollada en el texto, responde a los

aspectos básicos de métodos numericos. Los problemas resueltos en el

texto, tienen el propósito de dar las pautas de la aplicación de la teoría

desarrollada.

Se ha logrado un texto base para el curso de métodos numéricos

necesario en la formación universitaria del estudiante de Ingeniería

Química.

VI. DISCUSIÓNEl texto universitario titulado ““METODOS NUMERICOS UTILIZANDOPOLYMATH, MATHCAD Y MATLAB APLICADOS A LA INGENIERIAQUIMICA.”, aplicados a la Ingeniería Química, que es el resultado de la

investigación a que se refiere el presente informe, se caracteriza por

presentar la metodología de calculo de los modelos . Los problemas

resueltos y planteados han sido seleccionados con la intención de

10

brindar una mayor claridad a los alumnos y puedan entender los

fundamentos teóricos tratados.

Los textos de METODOS NUMERICOS contienen demasiada

información, muchas veces muy detallado, sin conexión directa con

aplicación inmediata.

Por eso, el presente texto va a tratar de desenvolver el contenido

de tal manera que cada capítulo describa en forma precisa y concreta la

teoría y los problemas de aplicación. Sin embargo, y por ende no

sustituye el uso de la bibliografía de la especialidad, a la que deberá

referirse necesariamente quienes pretendan profundizar en conocimientos

de temas específicos.

VII. REFERENCIALES

Existen textos que se ocupan de los métodos numéricos en general

entre los cuales tenemos

1. A. Constantinides and N. Mosotoufi, Numerical Methods for Chemical

Engineers with MATLAB Applications Prentice Hall , Upper Saddle River,

1999.

2. Burden, R. Y Faires J. Análisis Numérico. Edit. Iberoamericana, México,

1985.

3. Carnahan, B. Luther, A. Wilkes Cálculo Numérico, Aplicaciones Editorial

Rueda, Madrid, 1979

4. Carrasco Venegas Luis . Métodos Numéricos aplicados a la ingeniera

5. Nieves, A., Domínguez, F. Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

Química Edit. CECSA, México 1985.

6. Nakamura, S. Métodos Numéricos aplicados con software. Edit.

Prentice – Hall Hispano Americano, S.A. México, 1992.

7. S.C. Chapra y R. P. Canale,. Métodos Numéricos para Ingenieros.

McGraw Hill, México,1999

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1.ECUACIONES NO LINEALESLos métodos numéricos de resolución de ecuaciones no lineales suelen ser

métodos iterativos que producen una sucesión de valores aproximados de la

solución, que se espera, que converja a la raíz de la ecuación. Estos

métodos van calculando las sucesivas aproximaciones en base a los

anteriores, a partir de una o varias aproximaciones iníciales.. Para saber que

método debemos aplicar, hay que tener en cuenta la capacidad de separar

raíces cercanas, confiabilidad en el alcance de soluciones evitando errores

numéricos graves y orden de convergencia. Uno de los problemas que

con mayor frecuencia aparece en la ciencia y en la ingeniería es hallar

las raíces de una ecuación no lineal de la forma f(x) = 0. Estudiaremos

Métodos Iterativos para determinar aproximaciones a raíces reales simples

de la ecuación no lineal f(x) = 0.

1.1 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSONEste método, es uno de los más usados, a diferencia de los otros métodos,

el método de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa

su fórmula en un proceso iterativo.

Supongamos que tenemos la aproximación ixa la raíz rx de ( )f x ,

Figura Nº 1: Demostración método de newton

12

Trazamos la recta tangente a la curva en el punto , ( )i ix f x ; ésta cruza al

eje x en un punto 1ix que será nuestra siguiente aproximación a la raíz rx .

Para calcular el punto 1ix , calculamos primero la ecuación de la recta

tangente. Sabemos que tiene pendiente

im f x

Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:

i i iy f x f x x x

Hacemos 0y :

i i if x f x x x

Y despejamos x :

ii

i

f xx x

x x

Que es la fórmula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente

aproximación:

1

ii i

i

f xx x

f x

, si 0if x

Note que el método de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde

nos asegure que encontraremos la raíz, y de hecho no tenemos ninguna

garantía de que nos aproximaremos a dicha raíz. Desde luego, existen

ejemplos donde este método no converge a la raíz, en cuyo caso se dice

que el método diverge. Sin embargo, en los casos donde si converge a la

raíz lo hace con una rapidez impresionante, por lo cual es uno de los

métodos preferidos por excelencia.

También observe que en el caso de que 0if x , el método no se puede

aplicar. De hecho, vemos geométricamente que esto significa que la recta

tangente es horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ningún punto, a

menos que coincida con éste, en cuyo caso ix mismo es una raíz de ( )!if x

EjemploUsar el método de Newton-Raphson, para aproximar la raíz de

( ) lnxf x e x , comenzando con 0 1x y hasta que 1%a .

13

Solución

En este caso, tenemos que

1( ) xf x e

x

De aquí tenemos que:

Iniciamos con y obtenemos:

En este caso, el error aproximado es,

Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se

pidió.

Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

Tabla Nº1

Aproximación de la raíz y porcentaje de error

Aprox. a la raíz Error aprox.

1

1.268941421 21.19%

1.309108403 3.06%

1.309799389 0.052%

De lo cual concluimos que la aproximación obtenida es:

10 x

13

Solución


1( ) xf x e

x





pidió.


Tabla Nº1



1

1.268941421 21.19%

1.309108403 3.06%

1.309799389 0.052%


13

Solución


1( ) xf x e

x





pidió.


Tabla Nº1



1

1.268941421 21.19%

1.309108403 3.06%

1.309799389 0.052%


14

1.2 MÉTODO DE LA SECANTE

Uno de los objetivos de este método es eliminar el problema de la derivada

de la función, ya que existen funciones que describen fenómenos físicos y

químicos, cuya derivada es muy compleja

El método de la secante es muy similar al de Newton con la diferencia

principal que en este método de la secante no requiere de la derivada.

Este método funciona por medio de dos puntos sobre el eje x, es decir un

intervalo (xi-1,xi), los cuales se evalúan en la función para sacar los puntos

correspondientes en el eje de la y, los puntos a obtener son f(xi-1) y f(xi), por

lo que las coordenadas de los puntos que interceptan a la función son (xi-

1,f(xi-1)) y el (xi ,f(xi)).

Se debe considerar que los puntos xi-1 y xi deben de contener a la raíz, por lo

que el punto xi-1 debe estar a la izquierda y el punto xi a la derecha de la

raíz.

Estos dos puntos que interceptan a la función, se unen por medio de una

recta, la cual al cruzar el eje de la x, genera el siguiente punto de

acercamiento xi+1 , el cual quedara ubicado entre el intervalo propuesto,

como se muestra en la Figura.

El método de la secante parte de dos puntos (y no sólo uno como el método

de Newton) y estima la tangente (es decir, la pendiente de la recta) por una

aproximación de acuerdo con la expresión:

Este método se basa en la fórmula de Newton-Raphson, pero evita el cálculo

de la derivada usando la siguiente aproximación:

1

1

i ii

i i

f x f xf x

x x

(Recuérdese la solución numérica al problema del cuerpo en caída libre).

Sustituyendo en la fórmula de Newton-Raphson, obtenemos:

1

1

1

i ii i i

i ii

i i

f x f xx x x

f x f xf x

x x

15

Ejemplo

Usar el método de la secante para aproximar la raíz de 2xf x e x ,

comenzando con 0 0x , 0 1x y hasta que 1%a .

Solución

Tenemos que 0 1f x y 1 0, 632120558f x , que sustituimos en la fórmula

de la secante para calcular la aproximación 2x :

Con un error aproximado de:

Como todavía no se logra el objetivo, continuamos con el proceso.


Tabla Nº2


Aprox. a la raíz Error

aprox.

0

1 100%

0.612699837 63.2%

0.653442133 6.23%

0.652917265 0.08%

De lo cual concluimos que la aproximación a la raíz es:

4 0,652917265x

15

Ejemplo



Solución






Tabla Nº2



aprox.

0

1 100%

0.612699837 63.2%

0.653442133 6.23%

0.652917265 0.08%


4 0,652917265x

15

Ejemplo



Solución






Tabla Nº2



aprox.

0

1 100%

0.612699837 63.2%

0.653442133 6.23%

0.652917265 0.08%


4 0,652917265x

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1.3 MÉTODO DE LA BISECCIÓN

Este método es basado en el teorema de Bolzano, que establece que si una

función continua cambia de signo en el intervalo (a,b), es decir, f(a)f(b)<0,

entonces, existe al menos una raíz α, α(a,b).

El método de bisección se basa en el siguiente teorema de Cálculo:

El método de bisección sigue los siguientes pasos:

Sea f x continua,

i) Encontrar valores iniciales ,a bx x tales que af x y bf x tienen

signos opuestos, es decir,

0a bf x f x

ii) La primera aproximación a la raíz se toma igual al punto medio

entre ya bx x :

2a b

r

x xx

iii) Evaluar rf x . Forzosamente debemos caer en uno de los

siguientes casos:

0a rf x f x

En este caso, tenemos que af x y rf x tienen signos

opuestos, y por lo tanto la raíz se encuentra en el intervalo ,a bx x

0a rf x f x

En este caso, tenemos que af x y rf x tienen el mismo

signo, y de aquí que rf x y bf x tienen signos opuestos. Por

lo tanto, la raíz se encuentra en el intervalo ,r bx x .

0a rf x f x

En este caso se tiene que 0rf x y por lo tanto ya localizamos

la raíz.

El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:

17

a s

es decir,

100%actual previas

actual

x x

x

Ejemplo

Aproximar la raíz de lnxf x e x hasta que 1%a .

Solución

Sabemos por lo visto en el ejemplo 1 de la sección anterior, que la única raíz

de f x se localiza en el intervalo 1,1,5 . Así que este intervalo es

nuestro punto de partida; sin embargo, para poder aplicar el método de

bisección debemos checar que 1f y 1,5f tengan signos opuestos.

En efecto, tenemos que

1 11 ln1f e e

mientras que

1.51,5 ln(1,5) 0,18233 0f e

Cabe mencionar que la función f x sí es continua en el intervalo 1,1,5 .

Asípues, tenemos todos los requisitos satisfechos para poder aplicar el

método de bisección. Comenzamos:

i) Calculamos el punto medio (que es de hecho nuestra primera

aproximación a la raíz):

1

1 1,51, 25

2rx

ii) Evaluamos 1,251, 25 ln(1, 25) 0, 0636 0f e

iii) Para identificar mejor en que nuevo intervalo se encuentra la raíz,

hacemos la siguiente tabla:

Por lo tanto, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo 1.25,1.5 .

18

En este punto, vemos que todavía no podemos calcular ningún error

aproximado, puesto que solamente tenemos la primera aproximación. Así,

repetimos el proceso con el nuevo intervalo 1.25,1.5 .

Calculamos el punto medio (que es nuestra segunda aproximación a la raíz):

2

1, 25 1,51,375

2rx

Aquí podemos calcular el primer error aproximado, puesto que contamos ya

con la aproximación actual y la aproximación previa:

Puesto que no se ha logrado el objetivo, continuamos con el proceso.

Evaluamos 1,3751,375 ln(1,375) 0,06561 0f e , y hacemos la tabla:

Así, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo 1.25,1.375 .

Calculamos el punto medio,

Y calculamos el nuevo error aproximado:

Resumimos los resultados que se obtienen en la siguiente tabla:

Tabla Nº3

Aproximación de la raíz y porcentaje de errorAprox. a la raíz Error aprox.

1.25

1.375 9.09%

1.3125 4.76%

1.28125 2.43%

1.296875 1.20%

1.3046875 0.59%

18





2

1, 25 1,51,375

2rx









Tabla Nº3


1.25

1.375 9.09%

1.3125 4.76%

1.28125 2.43%

1.296875 1.20%

1.3046875 0.59%

18





2

1, 25 1,51,375

2rx









Tabla Nº3


1.25

1.375 9.09%

1.3125 4.76%

1.28125 2.43%

1.296875 1.20%

1.3046875 0.59%

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1.4 MÉTODO DE LA REGLA FALSA

Como mencionamos anteriormente, sería bueno considerar si la raíz de una

ecuación está localizada más cerca de alguno de los extremos del intervalo.

Consideremos nuevamente una gráfica Como la anterior,

Figura Nº2: Demostración de el método regla falsa

Donde hemos agregado la línea recta que une los puntos extremos de la

gráfica en el intervalo ,a b .

Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo, tomamos

el punto donde cruza al ejexesta recta, nos aproximaremos mucho más

rápido a la raíz; ésta es en sí, la idea central del método de la regla falsa y

ésta es realmente la única diferencia con el método de bisección, puesto que

en todo lo demás los dos métodos son prácticamente idénticos.

Supongamos que tenemos una función ( )f x que es continua en el intervalo

,a bx x y además, ( )af x y ( )bf x tienen signos opuestos.

Calculemos la ecuación de la línea recta que une los puntos

, , ,a a b bx f x x f x . Sabemos que la pendiente de esta recta está dada

por:

Por lo tanto la ecuación de la recta es:

19

















por:


19

















por:


20

Para obtener el cruce con el ejex, hacemosy = 0:

Multiplicando por b ax x nos da:

Finalmente, de aquí despejamos :

Este punto es el que toma el papel de xr en lugar del punto medio del

método de bisección.

Así pues, el método de la regla falsa sigue los siguientes pasos:

Sea f x continua,

i) Encontrar valores iníciales ax , bx tales que af x y bf x tienen


0a bf x f x

ii) La primera aproximación a la raíz se toma igual a:

a b ar a

b a

f x x xx x

f x f x


siguientes casos:

0a rf x f x

En este caso, tenemos que af x y rf x tienen signos opuestos, y por lo

tanto la raíz se encuentra en el intervalo ,a rx x .

0a rf x f x

En este caso, tenemos que af x y rf x tienen el mismo signo, y de aquí

que rf x y bf x tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raíz se encuentra

en el intervalo ,r bx x .

0a rf x f x

En este caso se tiene que 0rf x y por lo tanto ya localizamos la raíz.

20







Sea f x continua,



0a bf x f x


a b ar a

b a

f x x xx x

f x f x


siguientes casos:

0a rf x f x



0a rf x f x




0a rf x f x


x

20







Sea f x continua,



0a bf x f x


a b ar a

b a

f x x xx x

f x f x


siguientes casos:

0a rf x f x



0a rf x f x




0a rf x f x


21


a s

Ejemplo

Usar el método de la regla falsa para aproximar la raíz de lnxf x e x ,

comenzando en el intervalo 1,2 y hasta que 1%ae .

Solución

Este es el mismo ejemplo 1 del método de la bisección. Así pues, ya

sabemos que f x es continua en el intervalo dado y que toma signos

opuestos en los extremos de dicho intervalo. Por lo tanto podemos aplicar el

método de la regla falsa.

Calculamos la primera aproximación:

Puesto que solamente tenemos una aproximación, debemos seguir con el

proceso.

Así pues, evaluamos

Y hacemos nuestra tabla de signos:

De donde vemos que la raíz se encuentra en el intervalo .

Con este nuevo intervalo, calculamos la nueva aproximación:

En este momento, podemos calcular el primer error aproximado:

Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso.

Evaluamos 2 1,321130513 0,011654346 0rf x f , y hacemos la tabla

de signos:

21


a s

Ejemplo



Solución







proceso.








de signos:

397410482.1,1

21


a s

Ejemplo



Solución







proceso.








de signos:

397410482.1,1

22

De donde vemos que la raíz se encuentra en el intervalo 1,1.321130513 , con

el cual, podemos calcular la nueva aproximación:

Y el error aproximado:

Como se ha cumplido el objetivo, concluimos que la aproximación buscada

es:

3 1, 311269556rx

Observe la rapidez con la cual converge el método de la regla falsa a la raíz,

a diferencia de la lentitud del método de la bisección.

1.5 MÉTODO DE ITERACIÓN DEL PUNTO FIJOEste método se aplica para resolver ecuaciones de la forma

( )x g x

Si la ecuación es ( ) 0f x , entonces puede despejarse x ó bien sumar x

en ambos lados de la ecuación para ponerla en la forma adecuada.

EjemploUsar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de

, comenzando con y hasta que .

SoluciónSi despejamos la xdel término lineal, vemos que la ecuación equivale a

de donde,

22





es:

3 1, 311269556rx




( )x g x






de donde,

22





es:

3 1, 311269556rx




( )x g x






de donde,

23

En este caso, tenemos que .

( ) 1g x , para 1,1x lo que es suficiente para deducir que el método sí

converge a la raíz buscada.

Aplicando la fórmula iterativa, tenemos:

1 0( ) 0, 2x g x

Con un error aproximado del 100%.

Aplicando nuevamente la fórmula iterativa, tenemos:

2 1( ) 0,1557461506x g x

Con un error aproximado igual al 28.41%.

En este ejemplo, el método solo necesita de 5 iteraciones para reducir el

error menor al 1%. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

Tabla Nº4Aproximación de la raíz y porcentaje de error


0

-0.2 100%

-0.1557461506 28.41%

-0.1663039075 6.34%

-0.163826372 1.51%

-0.164410064 0.35%

De donde vemos que la aproximación buscada es:

5 0,164410064x

Use el método de punto fijo para resolver 2( ) 2 3f x x x en el

intervalode : x=-1 y x=3

2( ) 2 3f x x x

2 3x x 2( ) 3g x x

23





1 0( ) 0, 2x g x



2 1( ) 0,1557461506x g x






0

-0.2 100%

-0.1557461506 28.41%

-0.1663039075 6.34%

-0.163826372 1.51%

-0.164410064 0.35%


5 0,164410064x



2( ) 2 3f x x x

2 3x x 2( ) 3g x x

23





1 0( ) 0, 2x g x



2 1( ) 0,1557461506x g x






0

-0.2 100%

-0.1557461506 28.41%

-0.1663039075 6.34%

-0.163826372 1.51%

-0.164410064 0.35%


5 0,164410064x



2( ) 2 3f x x x

2 3x x 2( ) 3g x x

24

3

2x

x

3

( )2

g xx

2 3

2

xx

2 3( )

2

xg x

2 3x x x 2( ) 3g x x x

1.6 PROBLEMAS DE APLICACIÓN A LA INGENIERÍA QUÍMICA

1. A un reactor ingresa una mezcla de gases de 8% de dióxido de azufre y el

12% de oxigeno y 80% de nitrógeno, y se desarrolla la siguiente

reacción.

2( ) 2( ) 3( )

1

2g g gSO O SO

Calcular la composición en el equilibrio a presión constante de 2 atm y la

constante de equilibrio KP es de 160.atm1/2

Solución :

Asumiendo 100 moles de mezcla

SO2 = 8 moles

O2 = 12 moles

SO3 = 0

N2 = 80 moles

Moles enl equilibrio

SO2 = 8 - x

O2 = 12 - 0,5x

SO3= x

Moles totales = 100 - 0,5x

Luego hallamos el Kp

2 2

3

31/ 2

1/ 2 1/ 22 2

( ) ( )100 0.5

( ) 8 12 0.5( ) ( ) ( ) ( )100 0.5 100 0.5

SO

SO O

nSO xPtP nt xKp

nSO nOP x P x xPt Pt Ptnt nt x x

Para Kp=160 y Pt=2atm

La ecuación queda de la siguiente manera:

25

0.5

0.5

(100 0.5 )( ) 160

(8 )(12 0.5 ) 2

x xf x

x x

Utilizando el método de la bisección y tomando como referencia los

valores de : X1=7,87 y X2=7,88

Siguiendo el proceso iterativo se tiene los siguientes valores:

Tabla Nº5

Aproximación de la raízX1 F(x1) X2 F(x2) x F x

7.87 12.604 1.88 -0.3001 7.875 6.2314

7.875 6.2314 7.88 --0.3001 7.8775 3.0323

7.8775 3.0323 7.88 -0.3001 7.87875 1.3833

7.87875 1.3833 7.88 -0.3001 7.879375 0.5460

Entonces X=7.878375 moles

La composición en el equilibrio seria

Moles SO2 = 0.120625

Moles O2 = 8.0606125

Moles SO3 = 7.879375

2. La ecuación de estado Redlich- Kwong es :

( ). ( )

ap V b RT

T V V b

Donde a = 17,19344 y b = 0,0221141 para el oxigeno molecular si T

= 373 K y P= 30 atm

Calcular el volumen molar por el método de la secante

Solución:

Utilizando como referencia la ecuación del gas ideal para obtener el

primer valor

26

0,082 3731.0195

30

RTV

P

Tomando dos valores

Xi-1 = 1 ; f(Xi-1 ) = -0,3977

Xi =1,5 ; f(Xi) = 14,3268

Remplazando en la ecuación

14,3268(1,5 1)( 1) 1,5

14,3268 ( 0,3977)

( 1) 1,0135

( 1) 305520 3

X i

X i

f Xi E

Haciendo ahora :

X(i-1)=1,5 y X(i)=1,0135

Remplazando3

3

3,5520 10 (1,0135 1,5)( 1) 1,0135 1,0136

3,5520 10 14,3268X i

( 1) 1,0136X i

4

( 1) 1.0136

1.0136 1.01351 10

X i V L

E

3. Determinar volumen molar del oxigeno mediante la ecuación del VAN

DER WAALS

2

aP V b RT

V

P = 100 Atm.,

T = 700 K para un gas que tiene a = 1,36 b = 0,0318

2 2

3 2 2

3 2 2

3 2 2

3 2

2

0

100 3,18 57, 4 1.36 0,043248

100 60,58 1,36 0,043248

' 300 121,16 1,36

PV a V b V RT

PV aV PV b ab V RT

PV PV b V RT ab aV

f V V V V V

f V V V V

f V V V

27

Método de Newton Raspón de Primer Orden

1 0

1

1

'

0,1222480,58

32,0072

0,5838

f vv v

f v

v

v

Tabla Nº6

Aproximación de la raíz y error

Vi f(V) f'(V) Vi+1 E

0.5740 -0.3100 30.6560 0.5841 0.0101

0.5841 0.0115 32.9470 0.5837 3.5 x 10-4

0.5837 1.4 x 10-5 32.8670 0.5837 4.2 x 10-7

0.5837 2.0 x 10-11 32.8670 0.5837 6.0 x 10-13

0.5837 -1.0 x 10-13 32.8670 0.5837 3.0 x 10-15

El volumen seria: V=0.5837mol/L

4. Un gas se encuentra a una presión absoluta de 13.76 bar y una

temperatura de 333 K. Encontrar el volumen molar ocupa el gas

empleando la ecuación de estado de Redlich-Kwong.

1 / 2 ( )

RT aP

V b T V V b

Para este compuesto las constantes son:

P = 13.76 atm

T = 333ºk

a = 1.5614 x 108 (cm6 bar/(g mol)2 k1/2)

b = 44.897 (cm3/ g mol)

R = 83.4 (cm3 bar /g mol k)

SoluciónDespejando la ecuación Nº 1

Tenemos:

28

3 2 21/2 1/2

0A ab

PV RTV V Pb RTbT T

Reemplazando:

3 2( ) 13, 76 27685, 62 7300696, 52 384831290, 3F v v v v Aplicando el método de Bisección

Tomamos:

1 2

1 2

370 ; 365

;

x x

f x f x

v f (v)

370 –

365 +

v f (v)

370 –

367.5 +

v f (v)

370 –

368.75 +

v f (v)

369.375 –

368.75 +

22.11674093

5.3672

365370

vf

v

844.313174.2

75.3682

5.367370

vf

v

225.2381900

375.3692

75.368370

vf

v

79984.33146

06025.3692

75.368375.369

vf

v

29

v f (v)

369.0625 –

368.75 +

v f (v)

369.0625 –

368.90625 +

v f (v)

369.0625 –

368.984375 +

v f (v)

369.0625 –

368.0234375 +

v f (v)

369.0625 –

369.0429688 +

v f (v)

369.0625 –

152.1140318

90625.3682

75.3680625.369

vf

v

689.553661

984375.3682

90625.3680625.369

vf

v

4453.260276

0234375.3692

984375.3680625.369

vf

v

1971.113569

0429688.3692

0234375.3690625.369

vf

v

38605.40212

0527344.3692

0429688.3690625.369

vf

v

08997.3533

0576172.3692

0527344.3690625.369

vf

v

30

369.0527344 +

v f (v)

369.0625 –

369.0576172 +

v f (v)

369.0600586 –

369.0576172 +

3

32 1

369, 0588379

2, 4414 10

v cm gmol

E v v

5. El factor de fricción (f) para el flujo turbulento en una tubería está dado

por la correlación de Colebrook:

1 2,540,86 ln

3, 4 Re

D

f f

Donde

Re = es el número de Reynolds (adimensional)

, es la aspereza o rugosidad de la tubería (unidad de longitud)

D, es el diámetro de la tubería (unidad de longitud)

Obtener el factor de fricción para un fluido con un Reynolds de 3E4

que fluye en una tubería con un diámetro de 0,1 m y una rugosidad de

0,0025m.

SoluciónDespejamos la ecuación (1)

1

0,86Re Re 1

2, 51 2, 51 3, 7fR f e

D f

1

0,8611952,19124 80, 75814889 1fR f f e f

78073.14806

0600586.3692

0576172.3690625.369

vf

v

82683.5636

0600586.3692

0576172.3690600586.369

vf

v

31

Utilizando el Método de Bisección

Valores iniciales:

0 0

1 1

0, 05 ( )

0,1 ( )

f F f

f F f

f F (f)

0.05 –

0.10 +

f F (f)

0.05 –

0.075 +

f F (f)

0.05 –

0.0625 +

f F (f)

0.05 –

0.05625 +

f F (f)

0.053125 –

0.05625 +

f F (f)

0.0546875 –

0.05625 +

f F (f)

0.546875 –

0.05546875 +

0.05 0.10.075

2

23.76508585

f

F f

0.05 0.0750.0625

2

7.347809254

f

F f

0.0625 0.050.05625

2

0.8973609056

f

F f

0.05 0.056250.053125

2

1.866717794

f

F f

0.05625 0.0531250.0546875

2

0.5236505211

f

F f

0.05625 0.05468750.05546875

2

0.1771493539

f

F f

0.05546875 0.05468750.055078125

2

0.1756818303

f

F f

32

El factor de fricción es:

0,055078125 0,0546875;0,05546875f en e

Error:

42 1 7,8125 10Error E x x

1.7 APLICACIONES EN INGENIERÍA QUÍMICA

1. En un Proyecto de Ingeniería Química se requiere que se determine

exactamente el volumen molar y factor de comprensibilidad del

amoniaco a una presión de 120 atm y 500 °K mediante la siguiente

ecuación:

2( )

aP V b RT

V

2 227

64 C

R Ta

P

8C

C

RTb

P

Datos:

TC = 405,5 °K PC = 111,3 atm. R = 0,82

2. La concentración c de una bacteria contaminante en un lago decrece

según la expresión:

c(t) = 80e-2t + 20e-0.5t

Siendo t el tiempo en hs. Determinar qué tiempo se necesita para que

el nº de bacterias sea 7. Utilizar un valor inicial t0 =0. (Newton

Raphson)

3. Para el diseño hidrodinámico de un proceso aparece la ecuación

0, 242log( . )R CF

CF

Donde R es numero de Reynolds evaluar el valor de CF para ( R=

106 y R=103)

33

4. Calculo de la presión de vapor

Una de las propiedades de una sustancia pura que más comúnmente

se utiliza en cálculos de Termodinámicas es la presión de vapor o

presión de saturación. Esta se define como la presión a la cual existen

en equilibrio una fase liquida y una fase vapor. Si la presión de vapor

iguala a la presión atmosférica, el líquido entrara en ebullición. Solo

depende de la temperatura. Existen diversas ecuaciones para

calcular. Una de las precisas es la ecuación de Frost-Kalkwarf-

Ln Pvap = A – B/T + ClnT + DPvap/T2

Donde:

A, B, C, D: Constantes empíricas que dependen de cada sustancia.

Calculemos la Pvap del etilbenceno a una temperatura de 347,25 ºK.

Los valores de las constante son: A=58,1, B=6792,54, C=-5,802,

D=5,75. Las unidades de T son ºK y las de Pvap mmHg.

5. En Química aparece una ecuación de la forma 3

32

)1(

1

y

yyyz

.

¿Cuánto vale y si z=0.6789?.

6. Para determinar la constante de nacimientos de una población dada, se

necesita calcular el valor de la constante , (0.1,0.9) de la siguiente

ecuación: )1(10435.0

1010564.16

66

ee , para esto utilice el

método de Newton-Raphson hasta que el error sea del orden del 0.01%

(0.10249)

7. La constante de disociación del agua pura es función de la temperatura

como se muestra a continuación.

Log(Kw) =4470,99

T

+ 6,0875 - 0,01706T

T en K y Kw en M2

34

Calcular La temperatura en °C cuando el pH del agua condensada es

de de 6,2

8. La temperatura media logarítmica de un intercambiador de calor a

contracorriente esta dado por:

3 2 4 1

3 2ln

4 1

T T T TLMTD

T T

T T

Figura Nº 3: Interrcambiadores de calor

Se sabe que este sistema la temperatura media logarítmica debe ser

de 52ªC( LMTD) . El fluido caliente se alimenta al sistema a 100ªC y

sale a 40ªC, mientras que el fluido frió se alimenta a 8ªC ¿A qué

temperatura sale del intercambiador el fluido frió?

9. A un reactor ingresa una mezcla de gases de 8% de dióxido de azufre, y

12 % de oxigeno y la diferencia de nitrógeno, y se desarrolla la siguiente

reacción.

SO2 +1

2O2 SO3

Calcular la composición en equilibrio a presión constante de 2 atm. Y

la constante de equilibrio (Kp) es de 160.

10. La ecuación de estado R-K

TbVV

a

bV

RTP

)(

c

c

P

TRa

2/52

42747.0

35

c

c

P

RTb 8664.0

P = Presión en atm

V = volumen molar en L/g-mol

T = temperature en K

R = gas constant (R = 0.08206 (atm·liter/g-mol·K))

Tc = critical temperature in K

Pc = critical pressure in atm

The compressibility factor is given by:

RT

PVz (4)

Calcule el factor de comprensibilidad y el volumen molar a 50 atm t

500 ºC.11. En un reactor químico ingresaron cierta cantidad de moles con cierta cantidad

de impureza como se indica en la tabla de registro a una Temperatura de400ºC:

Tabla Nº7

Composicion de alimentación al reactor

SUSTANCIA MOLES QUEINGRESARON

Nitrógeno 1663,12 Kmol/hHidrogeno 4990,03 Kmol/hAmoniaco 986,45 Kmol/h

Dióxido de carbono 0,076 Kmol/h

Metano 334,16 Kmol/h

a partir de la ecuación de Larson que proporciona el valor de la constante deequilibrio de la reacción.

4 7 22074,8( ) 2,113 2, 49 ( ) 1, 256 10 1,85 10Log Kp Log T T T

T

Donde T en ªC y Kp en bares

Calcular la composición a 300 ºC y 160 bares

36

2. SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

Un sistema de ecuaciones no lineales que se expresa como un sistema no

lineal igualando a cero de la forma F(x) =0Este sistema puede presentar

múltiples soluciones matemáticamente posibles y su solución numérica debe

proporcionar la solución físicamente correcta, uno de los métodos es el de

newton Raphson estándar

2.1 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

Este procedimiento corresponde, analíticamente, a extender el uso

de la derivada, ahora para calcular la intersección entre dos

funciones no lineales.

Al igual que para una sola ecuación, el cálculo se basa en la

expansión de la serie de Taylor de primer orden, ahora de múltiples

variables, para considerar la contribución de más de una variable

independiente en la determinación de la raíz.

Para dos variables, la serie de Taylor de primer orden se escribe,

para cada ecuación no lineal:

i i i ii i 1 i i 1 i


u u u uu x x y y 0

x x y yv v v v

v x x y y 0x x y y

Pero ui+1 = vi+1 = 0 :



u u u uu x x y y 0

x x y yv v v v

v x x y y 0x x y y

Que reescribiendo en el orden conveniente:

Y cuya solución es:

i i i ii 1 i 1 i i i

i i i ii 1 i 1 i i i

u u u ux y u x y

x y x yv v v v

x y v x yx y x y

37

i ii i

i 1 i

v uu v

y yx xJ

i ii i

i 1 i

u vv u

x xy yJ

Donde J es el determinante jacobiano del sistema

i i

i i

u vx xJu vy y

2.1.1 APLICACIÓN

1. Se tiene un sistema de 3 reactores continuos tipo tanque en donde se

lleva a cabo la reacción A P operando isotérmicamente

manteniendo los volúmenes constantes. Calcular la concentración de

A en régimen permanente en cada reactor si la reacción es de

segundo orden

Figura Nº4: Sistema de reactores en serie

FA0 = 10L/min., FR = 5L/min. CA0 = 1mol/l.

V1 = 100L, V2 = 50L, V3 = 50L, K = 0,1

RESOLUCIÓN:

A partir de la siguiente ecuación tenemos:

ACUMULACIÓN = ENTRADA-SALIDA-REACCIONA0= ENTRADA-SALIDA-REACCIONA

Las concentraciones en cada reactor son las siguientes:

Primer reactor: CA1

Segundo reactor: CA2

Tercer reactor: CA3

FA0 FRR1 R2R2

38

ECUACIÓN del primer reactor:

5

0

2015

1015510,,

1

1

11

12

133211

dz

df

dy

df

CAdx

df

ACCACACACACAF

ECUACIÓN del segundo reactor:

22 1 2 3 1 1, , 15 10F CA CA CA CA C A

0

1015

15

2

22

2

dz

df

CAdy

dfdx

df

ECUACIÓN del tercer reactor:

33

3

3

32

323213

1015

15

0

51515,

CAdz

df

dy

dfdx

df

ACCACACACACAF

APLICANDO EL METODO DE NEWTON RAPHSON ESTANDARTENDREMOS:

1 1 1

1 2 31 1 2 3

2 2 22 1 2 3

1 2 33 1 2 3

3 3 3

1 2 3

, ,

( , , )

, , ( , , )

( , , )

, ,

df df df

dCA dCA dCAh f CA CA CA

df df dfi f CA CA CA

dCA dCA dCAj f CA CA CA

df df df

dCA dCA dCA

39

Reemplazaremos las derivadas y las funciones en la ecuación matricial

anterior:

32

32

22

21

12

13

3

2

1

51515

51515

1015510

1015150

0101515

502015

ACCACA

ACCACA

CACACA

j

i

h

CA

CA

CA

A partir de estas ecuaciones tenemos:

jCACA

iCACA

hCACA

KK

KK

KK

31

3

21

2

11

1

Para k=0

jCACA

iCACA

hCACA

13

13

02

12

01

11

PRIMERA ITERACIÓN

1.0,3.0,7.0,, 03

02

01 CACACA

Reemplazamos en la matriz:

29 0 5 4,9

15 18 0 5,55

0 15 16 2,95

h

i

j

3945.0

2242.0

1.0

j

i

h

Reemplazamos estos valores en las ecuaciones anteriores

40

4945.03945.01.0

5242.02242.03.03.0

6.01.07.07.0

13

13

02

12

01

11

jCACA

iiCACA

hhCACA

Luego de cinco iteraciones tendremos

Tabla Nº8

Aproximación de la raíz en cada reactor

CA1 CA2 CA3

0.7 0.3 0.1

0.599 0.5242 0.4945

0.5848 0.5012 0.4382

0.5848 0.5009 0.4372

0.5845 0.5009 0.4372

Finalmente las concentraciones en cada reactor serian:

Primer reactor: CA1=0.5845mol/L

Segundo reactor: CA2=0.5009mol/L

Tercer reactor: CA3=0.4372mol/L

2.2 PROBLEMAS

1. La reacción irreversible en fase liquida se lleva a cabo en tres reactores

en serie como se muestra en la figura. El volumen de cada reactor es de

200L y la constante de la velocidad de reacción es de 0,5 l/mol-g min.

A B R

Calcular la concentración a l salida de cada reactor asumiendo un

comportamiento estable.

41

2. A alta temperatura y baja presión H2S y SO2 experimentan las

siguientes reacciones

H2S( g) H2(g) + 1

2S2 (g) Kp1 =0,45atm1/2

H2S( g) + SO2 (g) 2H2O(v) + 3

2S2(g) Kp2 =28,5 atm1/2

La mezcla inicial contiene 45% de H2S( g) 25% de SO2 (g) y gas

inerte nitrógeno con una presión total de 1,2 atm. Calcular las fracciones

molares en equilibrio de todos los componentes

3. Una reacción tiene lugar en una serie de cuatro reactores

continuamente agitados Como se muestra en la Figura. La reacción es

irreversible y de primer orden

BA

Las constantes de velocidad ki y los volúmenes Vi tienen los siguientes

valores en cada reactor

Tabla Nº9

Volumen de cada reactor y su constante de velocidadReactor Vi(L) ki

1 1000 0.1

2 1500 0.2

3 100 0.4

4 500 0.3

R2 R3R1

Q = 6L/min.

CA= 2 mol-g/l

Q = 6L/min.

CA= 2 mol-g/l

42

Se supone:

c0= 2mol/l

El sistema está en estado estacionario.

Figura Nº5: Sistema de reactores en serie

4. Las siguientes reacciones se lleva a cabo en un reactor a 1000°C ypresión de 1 atm.

3 8 2 23 3 7C H H O CO H

3 8 2 2 26 3 10C H H O CO H

A 1000 °C KP1 = 0,13x1012 y KP2 = 0,33X1012

Calcular los moles en equilibrio de cada sustancia para unaalimentación de 1 mol de gas propano y 10 moles de vapor de agua.

5. En una reacción química BA desde un balance de masa y energía seobtuvieron en las siguientes funciones

120X -75K(1-X) =0-X(873-T) + 11(T-300) =0

K = 0,12 exp( 12581 ( T-298/298T)Donde x es la conversión, y T temperatura del sistema, y K constante develocidad en base a esta información determine la conversión, temperaturay la constate de velocidad.

6. Para un sistema binario Liquido – Liquido el modelo de Wilson permiteevaluar el coeficiente de actividad mediante la siguiente ecuación.

Ln( )()()1212

21

2121

12221211 xAx

A

xAx

AxxAxLn

43

Ln( )()()1212

21

2121

12112122 xAx

A

xAx

AxxAxLn

Donde: x 1 , x 2 fracciones molares

1 , 2 coeficientes de actividad

A12 , A21 Parámetros para cada sistema

Evalué los parámetros para el sistema metanol agua

cuando x 1 = 0,2 x 2 = 0,8 1 = 1,2 ; 2 = 1,6

7. La siguiente ecuación muestra el efecto de las variables x e y sobre el costototal para una operación particular:

CT = 2,33x + xy

11900

+ 1,86y + 10

Determine los valores de x e y que den el costo total mínimo

8. En el sistema mostrado se lleva a cabo una reacción irreversible isotérmicade orden 1,8 respecto al reactante con los datos que a continuación seindica, calcular la concentración del reactante en los reactores 1 y 2.

A B

Figura Nº6: Reactores en serie.

F=25 L/min, CA0 = 1mol/L FR =100 L/min K = 0,2 V1 =80L

V2 = 20L.

FA0

R1 R2

FR

F

44

3. INTERPOLACIÓN

Introducción

Se denomina interpolación a la construcción de nuevos puntos partiendo del

conocimiento de un conjunto discreto de puntos.

En ingeniería y otras ciencias es frecuente disponer de un cierto número de

puntos obtenidos por muestreo o experimento y pretender construir una

función que los ajuste.

Otro problema estrechamente ligado con el de la interpolación es la

aproximación de una función complicada por una más simple. Si tenemos

una función cuyo cálculo resulta costoso, podemos partir de un cierto

número de sus valores e interpolar dichos datos construyendo una función

más simple. En general, por supuesto, no obtendremos los mismos valores

evaluando la función obtenida que si evaluásemos la función original, si bien

dependiendo de las características del problema y del método de

interpolación usado la ganancia en eficiencia puede compensar el error

cometido.

En la grafica se observa diferentes puntos ,

Figura Nº7: Puntos de variables x,y.

44

3. INTERPOLACIÓN

Introducción














cometido.



44

3. INTERPOLACIÓN

Introducción














cometido.



45

3.1. POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE NEWTONUno de estas formas de interpolación se denomina Polinomios de

Interpolación de Newton, que trabaja directamente en la tabla obtenida

mediante el proceso de Diferencias Divididas;

3.1.1 Interpolación LinealLa forma más simple de interpolar es la de conectar dos puntos con una

línea recta. Este método, llamado interpolación lineal, se muestra en la

figura

Figura Nº8: Interpolación lineal

Usando triángulos semejantes, se tiene:

0 1 0

0 1 0

1( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f x

x x x x

que se puede reordenar como :

1 00 0

0

( ) ( )1( ) ( ) ( )

f x f xf x f x x x

x x

La cual es una fórmula de interpolación lineal. La notación f 1(X) indica

que se trata de un polinomio de interpolación de primer orden. Nótese que

además de representar la pendiente de la linera que conecta los dos

puntos, el termino

46

1 0

1 0

( ) ( )f x f x

x x

Es una aproximación de diferencias divididas finitas a la primera derivada.

En general, entre más pequeño sea el intervalo entre dos puntos, más

exacta será la aproximación.

3.1.2 Interpolación CuadráticaUna estrategia que mejora la aproximación es la introducir cierta curvatura

en la línea que conecta a los puntos. Si se dispone de tres datos, lo

anterior se puede llevar a cabo con un polinomio de segundo orden

(llamado también polinomio cuadrático o parábola). Una manera

conveniente para este caso es:

2 0 1 0 1 0 2 0 1( ) ( ) ( )( )f x b b x x b x x b x x x x

Nótese que aunque la ecuación parezca diferente de la ecuación general

de un polinomio:

20 1 2 ... n

nf x a a x a x a x

Las dos ecuaciones son equivalentes. Se puede usar un procedimiento

simple para determinar los valores de los coeficientes. Para bo , se usa la

ecuación con X=X0 y se obtiene.

0 0( )b f x

Sustituyendo la ecuación y evaluando en X=X1 se obtiene

1 01

1 0

( ) ( )f x f xb

x x

Y por ultimo las ecuaciones se sustituyen en la ecuación y se evalúa

está en X=X2 y se obtiene

1 02 1

2 1 1 02

2 0

( ) ( )( ) ( ) f x f xf x f x

x x x xb

x x

Nótese que, al igual que en el caso de interpolación lineal, b1 aun

representa la pendiente de la línea que une los puntos X0 y X1. Por lo

tanto, los primeros dos términos de la ecuación son equivalentes a la

47

interpolación de X0 a X1. El ultimo termino b2(X-X0) (X-X1), introduce la

curvatura de segundo orden de la formula.

Tabla de diferencias divididas

---------------------------------------------------------------------------------------------

diferencia dividida diferencia dividida

primer orden segundo orden

x f x

----------------------------------------------------------------------------------------------

0 0

1 00 1

1 0

1 2 0 11 1 0 1 2

2 0

2 11 2

2 1

2

[ , ]

, , [ , , ]

[ , ]

x f x

f x f xf x x

x x

f x x f x xx f x f x x x

x x

f x f xf x x

x x

x

2f x

------------------------------------------------------------------------------------------------

3.1.3 Diferencias Finitas Divididas

Sea F una función de valor real definida sobre 1, , .....k k k nx x x no

necesariamente equidistante. Se define:

11

1

( ) ( ), Primer gradok k

k kk k

F x F xF x x

x x

1 21 2

2

( , ) ( ), , 2 gradok k k

k k kk k

F x x F xF x x x

x x

1 11

( , ,....... ) ( ), ,......., gradok k k n k n

k k k nn k n

F x x x F xF x x x n

x x

Ejemplo

1 2 0 10 1 2

2 0

f x , x f x , xf x ,x ,

x xx

48

En la práctica, los cálculos se disponen en una tabla de diferencias

divididas, colocando en la primera columna los valores de la función o

diferencias divididas de orden 0, en la segunda columna las diferencias

divididas de primer orden, en la tercera columna las de orden 2, y así

sucesivamente.

Usando cuatro puntos 0 0( , ),x y 1 1( , ),x y 2 2( , ),x y y 3 3( , ),x y

3 0 1 0 0 2 1 0 0 1

3 2 1 0 0 1 2

( ) [ ] [ , ]( ) [ , , ]( )( )

[ , , , ]( )( )( )

f x f x f x x x x f x x x x x x x

f x x x x x x x x x x

3.2. POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE

Presentamos ahora una forma alternativa del polinomio de interpolación P(x)

asociado con una tabla de datos (xi , yi) con 0≤ i ≤ n. Es importante entender

que existe uno y solo un polinomio de interpolación de grado ≤ n asociado

con los datos (suponiendo, claro está, que las n+1 abscisas xi son distintas).

Sin embargo, existe ciertamente la posibilidad de expresar este polinomio de

maneras distintas y de llegar a él a través de distintos algoritmos.

El problema al utilizar Polinomio de Newton para aproximar es que se debe

tener la derivada y muchas veces este lado no se tiene; una forma de evitar

esto es trabajar con una interpolación de Lagrange, que es una

reformulación del Polinomio de Newton que evita las diferencias divididas y

se representa como:

00 xfx

0b

11 xfx

22 xfx

33 xfx

1b

2b

3b 01,xxf

12 , xxf

23,xxf

012 ,, xxxf

123 ,, xxxf

0123 ,,, xxxxf

49

0( )

nj

ij

ji i

x xL x

x i x

;0

( ) ( ) ( )n

n i i ni

F x L x F x R

Para obtener el polinomio de grado uno (lineal) reemplazamos n=1

1

10

0 0 1 1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

i ii

F x L x F x

L x F x L x F x

11

00 0 1

( )n

j

j i ji j

x x x xL x

x x x x

01

1 0

( )x x

L xx x

011 0 1

0 1 1 0

( ) ( ) ( )x xx x

F x f x f xx x x x

Ahora calcularemos el polinomio de interpolación de grado dos (Cuadrático),

haciendo n=2:

)()()()()()(

)()()(

221100

2

02

xFxLxFxLxFxL

xFxLxFi

ii

)()()()( 212

1

02

01

21

2

01

00

20

2

10

12 xf

xx

xx

xx

xxxf

xx

xx

xx

xxxf

xx

xx

xx

xxxF

La aproximación del polinomio cúbico es:

3 0 31 2 23 0 1

0 1 0 2 0 3 1 0 1 2 1 3

0 3 01 1 22 3

2 0 2 1 2 3 3 0 3 1 3 2

( ) ( ) ( )

( ) ( )

x x x x x xx x x x x xF x f x f x

x x x x x x x x x x x x

x x x x x xx x x x x xf x f x


)()()()()()()()(

)()()(

33221100

3

03

xFxLxFxLxFxLxFxL

xFxLxFi

ii

50

Ejemplo

Con un polinomio de interpolación de Lagrange de primero, segundo y tercer

grado evalué 1,5 ; basándose en los datos dados a continuación:

x 1 2 3 4

F(x) 1 1,4142 1,732 2

Solución:

Primero hallamos el polinomio lineal:

2071065.1)5.1(585787.0414213.0)414213,1(12

1)1(

21

2)( 11

Fxxx

xF

Ahora hallamos el polinomio cuadrático:

219153825.1)5.1()732050.1(23

2

13

1)414213.1(

32

3

12

1)1(

31

3

21

2)( 22

Fxxxxxx

xF

Finalmente el polinomio cúbico es:

3

2 3 4 1 3 4 1 2 4( ) (1) (1.414213) (1.732050)

1 2 1 3 1 4 2 1 2 3 2 4 3 1 3 2 3 41 2 3

(2)4 1 4 2 4 3

x x x x x x x x xF x

x x x

222059341)(3 ,xF

3.3 PROBLEMAS

1. A 400ºC y con concentraciones: mol/L10,0NOCO 2 se

obtuvieron los siguientes datos para la reacción dada:

2 2 NO CO NOg g g gCO

Tiempo (s) 0 10 20 30

LmolCO 0,1 0,067 0,05 0,04

Cuál es la concentración del monóxido de carbono para el tiempo

de 25 s

51

Usando un polinomio de segundo grado mediante el método de

LaGrange ¿cuáles son las constantes ( a0 , a1 ; a2 ; ) f(x) = a0

+ a1x + a2x2 .

2. En una prueba experimental de una sedimentación discontinua se a

determinado los siguientes datos:

Determine el polinomio interpolante de grado 3

3. Con una función f las diferencias divididas progresivas están dadas por

x0=0,

0

f[x0]

f[x0,x1]

x1=0,

04f[x1] f[x0,x1,x2]=

7

50

f[x1,x2]=10

x2=0,

7

f[x2]=

6

Determine los datos que faltan en la tabla.

4. Dados los nodos (0, -5), (1, -3), (2, 1), (3, 13), averiguar el polinomio

interpolador mediante:

La resolución de un sistema de ecuaciones.

El método de Lagrange.

El método de las diferencias divididas de Newton.

(Solución: 532)( 23 xxxxP )

t ( s) Zi ( m )

0 0,35

300 0,21

600 0,129

900 0,094

1200 0,083

52

5. En un proceso de desalinización usando un equipo de osmosis inversa se

ha registrado los siguientes datos

)(barp 5 10 15 20 25

Flujo( mL/h 103 202 287 386 501

¿Cuál es el polinomio usando todos los puntos mediante el método de

Newton?

6. Cuál es el flujo para una caída de presión de 23 bar usando un polinomio

de grado 3

r (cm) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 47 50

V(m/s) 50 49,5 49 48 46,5 45 43 40,5 37,5 34 25 0

Determine el polinomio de grado 3 para r= 30 y r= 45cm

7. La tabla siguiente enumera la población de los Estados Unidos a partir de

1940 a 1990.

años 1940 1950 1960 1970 1980 1990

Poblacion

(ien millares)

132,165 151,326 179,323 203,302 226,542 249,633

Encuentre el polinomio de Lagrange del grado 4 , y utilice este polinomio

para estimar la población en los años 1965

8. Aproximar )05.0(f , mediante el polinomio interpolación de Newton usando

la tabla siguiente

x 0 0.2 0.4 0.6 0.8

)(xf 2.00001 2.13456 2.56789 2.67845 2.78954

53

4. REGRESIÓN

Las técnicas de regresión permiten hacer predicciones sobre los valores de

cierta variable Y (dependiente), a partir de los de otra X (independiente),

entre las que intuimos que existe una relación.

4.1. REGRESIÓN LINEAL

Consiste en ajustar a una línea recta un conjunto de parejas de datos

observados: (X1, Y1), (X2, Y2),………, (Xn, Yn) y para ello utilizaremos el

método de mínimos cuadrados.

La expresión matemática de la función lineal es g(x)=a0 + a1x donde a0 y a1

son constantes a determinar.

La desviación de la recta con respecto a cada dato se define como:

di = yi – g(xi) y como g(xi) = a0 + a1 xi

Entonces di = yi – a0 – a1xi donde i = 1,2………,n siendo n número de

datos.

El cuadrado total de las desviaciones para obtener un buen ajuste está dado

por:

2 2

0 11 1

n n

i i ii i

D d y a a x

cuando este valor es mínimo.

Para determinar los valores de las constantes a0 y a1 y hacer mínimo a D,

se deriva la ecuación anterior con relación a cada uno de los coeficientes

(derivados parciales) y se igualan a cero

Considerando que 0 01

n

i

a na

, entonces las anteriores ecuaciones se pueden

expresar

Como un conjunto de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas:

0 1

20 1 i

i i

i i i

na a x y

a x a x x y

Al expresar estas 2 ecuaciones en forma matricial, tenemos:

54

02

1i

i i

i i i

n x ya

x x x ya

Que se resuelven por los métodos conocidos ( gauss-seidel)

4.2. REGRESIÓN POLINOMIALEl método de mínimos cuadrados puede extenderse para ajustar un

polinomio de cualquier valor a los datos de una medición.

g(x) = a0 + a1x + a2x2 + amxm di=yi – g(xi)

Desviación de la curva con respecto a cada Polinomio.La suma de los cuadrados de la desviación así:

D = (yi – a0 – a1 xi – a2xi2 + ……… amxi

m)2

Siguiendo el mismo procedimiento hecho para la regresión lineal, tenemos:

derivados parciales con respecto a los coeficientes al polinomio.

Al igualar estas ecuaciones a cero y reordenando, se tiene el siguiente

conjunto de ecuaciones.

a0n + a1xi + a2xi2 + ……………+amxi

m = yi

a0xi + aixi2 + a2x2

3 + …………+ amxim+1 = xiyi

a0xi2 + a1xi3 + a2xi

4 +…………+ amxim+2 = xi

2 yi

D a

2 (y a a x a x ..........a x )

D a

2 x ( y a a x a x .......a x )

D a

2 x ( y a a x a x .......a x )

D a

2 x ( y a a x a x .......a x )

0i 0 1 i 2 i

2m i

m

1i i 0 1 i 2

2m 2

m

2i2

i 0 1 i 2 i2

m im

mim

i 0 1 i 2 i2

m im

55

a0xim + a1xi

m+1 + a2xim+2 +……+ amxi

2m = ximyi

(Todos los van desde i =1 hasta n)

el anterior sistema lo podemos expresar así:

02 1

122 3 2

2 1

1 2 21

mii i

mii i i

mi i i

mm m m mm ii i i i

a yn x x

a x yx x x

a x yx x x

a x yx x x x

El sistema de ecuaciones se resuelve por los métodos vistos para resolver

sistema de ecuación.

Ojo: si el polinomio es de grado m => necesitamos m + 1 ecuaciones

lineales con m+1 incógnitas.

4.3. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLEUna extensión útil en la regresión lineal es el caso en que y es una función

lineal de dos o más variables. Por ejemplo, y pudiera ser una funciónlineal

de x1 y x2, de la forma:

y = a0 + a1x1 + a2x2

Tal ecuación es útil particularmente cuando se ajustan datos experimentales

en donde la variable que está analizando, a menudo es función de otras dos

variables. En este caso bidimensional, la “línea” de regresión viene a ser un

“plano”.

Como con los casos anteriores, los “mejores” valores de los coeficientes se

determinan agrupando la suma de los cuadrados de los residuos:

2

0 1 1 2 2

n

ii j

D y a a x a x

y derivando con respecto a cada uno de los coeficientes:

10 1 1 2 2

0

2 i

Dy a a x a x

a

11 0 1 1 2 2

0

2 i

Dx y a a x a x

a

(1)

56

12 0 1 1 2 2

2

2 i

Dx y a a x a x

a

Los coeficientes que generan la suma mínima de los cuadrados de los

residuos se obtienen igualando cada una de las derivadas parciales a cero y

expresando la ecuación (1) como un conjunto de ecuaciones lineales

simultáneas, de la forma:

nao + ∑ x1 a1 + ∑ x2 a2 = ∑ y1

∑ x1ao + ∑ x12 a1 + ∑ x1 x2 a2 = ∑ x1 y1

∑ x2ao + ∑ x1 x2 a1 + ∑ x22 a2 = ∑ x2 y1

o como una matriz:

1 2 0 12

1 1 1 2 1 1 12

2 1 2 2 3 2 1

n x x a y

x x x x a x y

x x x x a x y

57

4.4 PROBLEMAS

1. Una ecuación para la variación de viscosidad del líquido con la temperatura

es:

T

b

ea

Donde a, b son constantes empíricas y T, temperatura en K.

T (ºC) 20 30 40 50

μ (N.s/m2) 1x10-3 8,08x10-3 6,53x10-3 5,33x10-3

Estime la viscosidad a 25 y 35ºC utilizando la ecuación empírica

Solución:

Sacando “ln” a ambos lados de la ecuación:

T

1

b

1alnln

Obtenemos una recta, de la forma: y c mx

Cálculo de m: 1m

b

2 5 42

1 14 ln ln

4 -0,093797 0,0129978 -28,89962

4 4,422915 10 1,68943 101 14

T Tm

T T

369,1989m

4-105,0267bb

1m

Cálculo de c: alnc

T (K) μ (N.s/m2) 1/T ln μ

293,15 1x10-3 3,411x10-3 -6,907

303,15 8,08x10-3 3,298x10-3 -7,12

313,15 6,53x10-3 3,193x10-3 -7,333

323,15 5,33x10-3 3,094x10-3 -7,536

58

31 -7,22491 1989,369 3, 24945 10c y a x

-13,689c

610134,1a689,13-alnc

Por lo tanto el modelo es:

T

4100267,5

6e10134,1

De la ecuación, calculamos μ para 25 y 35 ºC:

T = 25ºC = 298,15 K

2415,298

4100267,5

6K5,298 N.s/m10966,8e10134,1

T = 35ºC = 308,15 K

2415,308

4100267,5

6K15,308 N.s/m1022,7e10134,1

2. Se desea determinar la energía de activación del proceso de degradación

de un contaminante a un producto inocuo en fase líquida. En el estudio de la

T

1369,1989689,13-ln

59

cinética de la reacción a diferentes temperaturas se obtuvieron los siguientes

datos:

k (L/mol.s) 4,04x10-5 7,72x10-5 1,29x10-5 2,50x10-5

T (ºC) 0 7 15 25

Determine la energía de activación

Solución:

De la ecuación de Arrhenius, determinamos el modelo:

RT

aE

eAk

Sacando “ln” a ambos lados de la ecuación:

T

1

RT

EAlnkln a

T (K) k 1/T ln k

273,15 4,04x10-5 3,66x10-3 -10,116

280,15 7,72x10-5 3,569x10-3 -9,469

288,15 1,29x10-5 3,47x10-3 -8,955

298,15 2,50x10-5 3,354x10-3 -8,294

Obtenemos una recta, de la forma: 0 1y a a x

Cálculo de a1: 1aE

aR

1 2 5 42

1 14 ln k ln k

4 -0,1297 0,01405 -36,8355

4 4,9437 10 1,9754 101 14

T Ta

T T

1838,5850-a1

1

J - 5850,1838 K 8,314

mol.KaE a R

mol

J10638,48E 3

a

Cálculo de a0: 0 ln Aa

30 1 -9,208875 -5850,1838 3,513734 10a y a x

60

0 11, 3471a

0 ln A 11, 3471 A 84720, 26a


RT

310638,48-

e26,84720k

3. Se cuenta con los siguientes datos de temperatura de ebullición de la

acetona a diferentes presiones:

P (atm) 1 2 5 10 20 30 40

T (ºC) 56,5 78,6 113,0 144,5 181,0 205,0 214,5

Si se grafican estos valores se observa que la temperatura no tiene un

comportamiento lineal con respecto a la presión, por lo que se propone

el modelo:BT AP

Determine las constantes A y B

Solución:

Sacamos el “ln” a ambos lados de la ecuación y obtenemos:

T

11838,58503471,11kln

61

PlnBAlnTln

P (atm) T (ºC) ln P ln T1 56,5 0 4,0342

2 78,6 0,6931 4,36435 113 1,6094 4,727310 144,5 2,3025 4,973220 181 2,9957 5,1984

30 205 3,4011 5,32340 214,5 3,6888 5,3683

Obtenemos una recta, de la forma: 0 1y a a x

Cálculo de a1: 1a B

1 22

7 ln T ln P ln T ln P 7 75,565 14,6909 33,989

7 41,8263 215,82487 ln P ln Pa

1 0, 362a

0,362B

Cálculo de a0: 0 ln Aa

0 1 4,8555 0,362 2,0987a y a x

0 - 4,095a

0 ln A - 4, 095 A 60,039a

Pln362,0095,4Tln

62


362,0P039,60T

4. Experimentos de la cinética enzimática fueron llevados a cabo en el

laboratorio y se registraron los siguientes datos:

reactantes (s)(g/L)1 2 3 4 5

rxv (r)(g/L-h)1 4 5 6 6

Determine las constantes a y b, si la expresión se ajusta al siguiente modelo:

sb

sar

Solución:

Invertimos la ecuación y obtenemos:

s

1

a

b

a

1

r

1

(s) rxv (r) 1/r 1/s

1 1 1 1

2 4 1/4 1/2

3 5 1/5 1/3

4 6 1/6 1/4

5 6 1/6 1/5

Obtenemos una recta, de la forma: mxky

Cálculo de m: bm

a

2 22

1 1 1 1 19 137 1075 5

15 60 60

1371 1 5 1, 463611111560

r s r sm

s s

074,1m

Cálculo de k: 1k

a

63

107 137 1,074

300 300k y mx

- 0,134k

459,7-a134,0-a

1k

Reemplazamos en “m”:

-8,015-7,4591,074b1,074a

bm


s8,015-

s7,459-r

PROBLEMAS1. La densidad del aire es función de la altitud como se muestra en los

siguientes datos.

Altitud( Km) 0,32 0,64 1,28 1,6

Densidad( Km/m3) 1,15 1,10 1,05 0,95

s

1074,10,134-

r

1

64

Se propone un modelo de regresión : 21

k hk e

Determine la densidad a 1,5 Km

2. En una celda electrolítica se ha determinado la densidad de corriente

enfunción de la caída de la tensión como se muestra a continuación.

Voltaje(V) 0,03 0,07 0,11 0,21 0,51 0,85

I(mA/cm2) 4 8 12 16 20 24

¿Cuál es la densidad de corriente a 0,25 V usando un polinomio de

tercer grado?

¿Cuáles son las constantes ( a0 , a1 ; a2 ; a3 )

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3

3. Los siguientes conjuntos de mediciones de temperatura tomados de

la cabeza de cilindros de un motor nuevo que está probando con

miras a usarse en un auto de carrera.

TABLA 10Tiempo vs temperatura

Tiempo (s) Temperatura( ºF)

0 72,5

0,5 78,1

1 86,4

1,5 92,3

2 110,6

2,5 111,5

3 109,3

3,5 110,2

5 110,5

4,5 109,9

5 110,2

Calcule valores de temperatura en los siguientes intervalos usando

un polinomio de grado 2 para 4,48

65

4. Se desea determinar la energía de activación del proceso de

degradación de un contaminante a un producto inocuo en fase líquida.

En el estudio de la cinética de la reacción a diferentes temperaturas

se obtuvieron los resultados que se muestran a continuación:

k (L/mol.s) 4,04x10-5 7,72x10-5 1,29x10-4 2,5x10-4

T (ºC) 0 7 15 25

Determinar:

La energía de activación.

5. La ecuación de Arrenihus :

.

EA

R TK Ae

En la siguiente tabla se muestra la constante de velocidad en función

de la temperatura.

Temperatura ( K) K(1/s)

273 7,78x10-7

298 3,46x10-5

318 4,98x10-4

328 1,5x10-3

338 4,87x10-3

DondeK : constante de velocidad de reacción

EA: energía de activación

R: constante universal de los gases R= 8,314J/ mol.K

A: factor de frecuencia

Determinar la constante de velocidad a 300 K

E a =1.03021 10 5 joule mole 1

A= 4.00467 10 13 s 1

66

6. Un estudio en mecánica de fluidos indica que el flujo de un fluido a

través de una tubería está relacionada con el diámetro de la tubería

y la pendiente como se muestra en la siguiente tabla.

Experimento Diámetro en pies Pendiente, Flujo( pie3/s)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

1

2

3

1

2

3

0,001

0,001

0,001

0,01

0,01

0,01

0,05

0,05

0,05

1,4

8,3

24,2

4,7

28,9

84

11.1

69

200

Use una regresión lineal múltiple para analizar estos datos, la

ecuación de potencia a evaluar es

Q = a0Da1Sa2

Donde

Q= Flujo volumétrico

S: Pendiente

D: diámetro de la tubería

Después que se a encontrado el modelo, determine el flujo en una

tubería de 2,5 pies y una pendiente de 0,025

7. La densidad del aire es función de la altitud como se muestra en los

siguientes datos.

Altitud( Km) 0,32 0,64 1,28 1,6

Densidad( Km/m3) 1,15 1,10 1,05 0,95

Se propone un modelo de regresión : 21

k hk e

Determine la densidad a 1,5 Km

67

8. Experimentos de la cinética enzimática fueron llevados a cabo en el

laboratorio y se registraron los siguientes datos

concentración del reactante (s) (g/L) Velocidad de reacción (r) g/L-h

1

2

3

4

5

1

4

5

6

6

Determine la constante a y b

Si la expresión de la velocidad se ajusta al siguiente modelo

*a sr

b s

9. Se cuenta con los siguientes datos de temperaturas de ebullición de la

acetona a

Diferentes presiones:

P(atm) T(ºC)

1 56,5

2 78,6

5 113,0

10 144,5

20 181,0

30 205,0

40 214,5

Si se grafican estos valores se observa que la temperatura no tiene un

comportamiento

Lineal con respecto a la presión, por lo que se propone el modelo:

BT AP …..(1)

Determinar los valores de las constantes A y B

68

5. DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA

Diferenciación numérica es una técnica de análisis numérico para producir

una estimación del derivado de la función matemática o función usando

valores de la función. Dos métodos son los más usuales a la hora de

resolver tal problema:

Derivar un polinomio de interpolación construido mediante alguno de los

métodos estudiados

Calcular directamente la derivada utilizando para ello aproximaciones de

la función mediante los polinomios de Taylor. Las formulas obtenidas de

esta manera reciben el nombre de formulas.

La diferenciación numérica puede calcularse usando la definición de derivada

0 00 0

' limh

f x h f xf x

h

Tomando una h pequeña. Si h > 0 se llama fórmula de diferencia progresiva,Fórmulas de diferencias divididas hacia adelanteSea los puntos

x Xi Xi+1 Xi+2 XI+3 …….

f f (Xi) f (Xi+1) f (Xi+2 ) f (XI+3 ) …….

5.1.DIFERENCIACIÓN MEDIANTE MÉTODO NEWTONPrimera derivada

1' i ii

f x f xf x

h

, 2 14 3'

2i i i

i

f x f x f xf x

h

Segunda derivada

2 1

2

2'' i i i

i

f x f x f xf x

h

3 2 1

2

4 5 2'' i i i i

i

f x f x f x f xf x

h

5.2. DIFERENCIACIÓN DE LAGRANGE: datos discretos

Construimos el polinomio de Lagrange

69

1 1 2 2 3 3

2 3 1 3 1 21 2 3

1 2 1 3 2 1 2 3 3 2 3 1

L x L x y L x y L x y

x x x x x x x x x x x xy y y


Diferenciando la función

2 31

1 2 1 3

1 3 1 22 3

2 1 2 3 3 2 3 1

2

2 2

x x xf x L x y

x x x x

x x x x x xy y

x x x x x x x x

Asumiendo espacio constante

2 3 1 3 1 21 2 32 2 2

2 2 2

2 2

x x x x x x x x xf x y y y

x x x

2 3 1 3 1 21 2 32 2 2

2 2 2

2 2


x x x

1 2 3 1 1 3 1 2 31 1 21 1 2 32 2 2

2 2 3 42

22 2

x x x x x x y y yx x xf x y y y

xx x x

2 2 3 2 1 3 3 12 1 22 1 2 32 2 2

2 2 2

22 2

x x x x x x y yx x xf x y y y

xx x x

3 2 3 3 1 3 3 1 2 1 2 33 1 2 32 2 2

2 2 2 4 3

22 2

x x x x x x x x x y y yf x y y y

xx x x

2 3 1 3 1 21 2 32 2 2

2 2 2

2 2


x x x

1 2 31 2 32 2 2 2

21 2 1 y y yf x y y y

x x x x

segunda derivada

5.3 PROBLEMAS

1. El flujo de calor en la interfaz suelo-aire puede calcularse con ley

0

0z

dTq z k C

dz

70

Z (m) 0 1,25 1,75T (º C) 13,5 12 10

Donde q = flujo de calor, k = coeficiente de difusividad térmica (3.5x10-7),

= la densidad del suelo (1800Kg/m3), C = calor específico del suelo (840).

2 0 1.25 3.75 2 0 0 3.75 2 0 0 1.25' 0 13.5 12 10 1,333

0 1.25 0 3.75 1.25 0 1.25 3.75 3.75 0 3.75 1.25f

q = -3.5x10-7 . 1800 (-1,333). =70.56

2. A 400ºC y con concentraciones: 2 0,10 mol/LCO NO se obtuvieron

los siguientes datos para la reacción dada:

NOCONOCO gg2g2g

Tiempo (s) 0 10 20 30

LmolCO 0,1 0,067 0,05 0,04

Determinar el orden de la reacción dada

Determinar la constante de velocidad

Calcular la velocidad instantánea de la reacción en el instante t = 10 s

Solución:

De la ecuación: - nAA A

dCv k C

dt

Tenemos: ln - ln lnAA

dCx n C

dt

ecuación lineal

Diferenciación numérica con 4 puntos:

10h

x0 x1 x2 x3

Tiempo (s) 0 10 20 30

LmolCO 0,1 0,067 0,05 0,04

y0 y1 y2 y3

71

Para x0: A0 1 2 3

dC 111 18 9 2

dt 6y y y y

h

3A 104,404,0205,09067,0181,011106

1

dt

dC

Para x1: A0 1 2 3

dC 12 3 6

dt 6y y y y

h

3A 1035,204,005,06067,031,02106

1

dt

dC

Para x2: A0 1 2 3

dC 1- 6 3 2

dt 6y y y y

h

3A 102,104,0205,03067,061,0-106

1

dt

dC

Para x3: A0 1 2 3

dC 12 9 18 11

dt 6y y y y

h

4A 105,904,01105,018067,091,02106

1

dt

dC

Llenamos la tabla y procedemos a graficar:

TABLA 11CALCULO DIFERENCIACIÓN

Tiempo

(s) L

molCOdt

dC- A

dtdC

-ln A ACln

0 0,1 4,4 x 10-3 -5,426 -2,302

10 0,067 2,35 x 10-3 -6,053 -2,703

20 0,05 1,2 x 10-3 -6,725 -2,995

30 0,04 9,5 x 10-4 -6,959 -3,218

72

Del ajuste lineal tenemos que la ecuación es: 1,7 1,41y x

Donde:

Orden de reacción es: 1,7 2n pendiente

Constante de velocidad es: ln -1,41 K 0,244K

Para t=10 s:10t s

nAv k C

32 10095,1067,0244,0v

PROBLEMAS1. La primera ley de difusión de Fick establece que el flujo másico

Flujo másico = dcF D

dx

Donde flujo másico es cantidad de masa que pasa a través de una

unidad de area por unidad de tiempo ( g/ cm2/s.

D= coeficiente de difusión ( cm2/s). C: concentración X: distancia en cm.

Un ing. químico mide la concentración de un contaminante en los

sedimentos depositados en un lago obteniéndose los siguientes datos.

X (cm) 0 1 2

c. 10-6 g/cm3 0,1 0,4 0,9

73

Use la mejor técnica de derivación numérica para estimar en x =1,5 y

calcule el flujo másico del contaminante cuando D= 2x10-6cm2/s, para

un lago de 3x106m2 de sedimentos ¿cuánto contaminante podría ser

transportada hacia el lago en un año?

2. Para la descomposición del pentaóxido de dinitrógeno a 45ºC se

obtuvieron los siguientes datos:

2 5 2 22 ( ) ( ) 4 ( )N O g O g NO g

Tiempo(s) 0 200 400 600 800

2 5

molN O

L

2,5 2,22 1,96 1,73 1,53

determina de qué orden será la reacción

3. A 440ºC con y con concentraciones |CO| = |NO2| = 0,10 mol/L se

obtuvieron los siguientes datos para la reacción dada:

2 2( ) ( ) ( ) ( )CO g NO g CO g NO g

Tiempo(s) 0 10 20 30 40 100 1000

molCO

L

0,1 0,067 0,05 0,04 0,033 0,017 0,002

a) Determina el orden de la reacción dada

b) Determine la constante de velocidad

c) Calcula la velocidad instantánea de la reacción en el instante t= 10 s.

4. Se ha estudiado la descomposición térmica de arsenamina sobre vidrio,

2 AsH3(g) 2 As(s) + 3H2(g)

La presión total del sistema varia con el tiempo, a 350C, según se

indica a continuación:

t/h 0 4.33 16.00 25.50 37.66 44.75

Pt/cmHg 39.2 40.30 43.65 45.35 48.05 48.80

a) Determine el orden de reacción con respecto a la arsenamina.

b) Calcule la constante de velocidad.

74

5. Para poder estudiar el comportamiento físico químico de una solución de

bromo en presencia de luz solar, se coloca una pequeña cantidad de

solución de bromo en un matraz y se expone al sol, obteniéndose los

siguientes resultados:

Tiempo( min.) 10 20 30 40 50 60

Ppm Br2 a 25ºC 2,45 1,74 1,23 0,88 0,62 0,44

En base a esta información calcular la constante de velocidad en las

unidades adecuadas y orden de la reacción.

6. En el estudio experimental de la velocidad de reacción para la reacción

2 NO (g) + 2 H2(g) → N2(g) + 2 H2O (g)

se han obtenido los siguientes datos a 298 K:

[NO] mol/L [H2] mol/L Velocidad mol/l s0,02 0,15 1,2 x 10-8

0,02 0,45 3,6 x 10-8

0,03 0,50 9,0 x 10-8

0,06 0,50 36,0 x 10-8

Calcular:

a) La ecuación de velocidad para esta reacción.

b) El orden de reacción

c) La constante de velocidad

7. Determinar el orden de reacción para la descomposición en fase

gaseosa del peróxido de di-tert-butilo

(CH3)3COOC(CH3) C2H6 + 2CH3COCH3

La reacción se lleva a cabo en el laboratorio en un reactor isotérmico

batch

La presión total de reacción a lo largo de reacción evoluciona según la

siguiente tabla

75

tiempo(min) Presión total (MmHg)0.0 7.52.5 10.55.0 12.5

10.0 15.815.0 17.920.0 19.4

8. Determinar el orden de reacción:

CH3-Cl(g) + H2O(g) CH3-OH(g) + HCl(g) usando los datos de la tabla.

3 2[CH -Cl] [H O]n mv k

9. La transferencia de calor está dada por la siguiente ecuación

dy

dTkAq

donde k = conductividad térmica

Kms

J

A = área 2m T = temperatura K

y = distancia m

Kms

J025.0

k

2m3A

La temperatura en función de distancia

500107622001493 23 yyyT

La transferencia de calor para y= 1,2m

Experiencia [CH3-Cl] (mol/l) [H2O] (mol/l) v (mol·l–1·s–1)

1 0,25 0,25 2,83

2 0,50 0,25 5,67

3 0,25 0,5 11,35

76

6. INTEGRACIÓN NUMÉRICAEn esta lección comenzamos el estudio de métodos numéricos para el

cálculo numérico de integrales de la forma.

b

a

f f x dx

Un método común para aproximar I(f) es reemplazando f(x) con un polinomio

de interpolación. Este procedimiento se conoce como las reglas de

Cuadratura de Newton. Examinamos los primeros dos casos de este método

donde se usan polinomios de interpolación lineales y cuadráticos.

6.1 Método del trapezoide:

Sea p1(x) el polinomio lineal que interpola a f(x) en x=a y x=b

x0 x1x

f(x)

L(x)

Figura Nº9: Integración método de trapecio usando dos puntos

Usando la fórmula para el área de un trapezoide o integrando p1(x)

directamente se obtiene que

0 1( ) ( ) ( )2

b

a

hf x dx f x f x

( ) ( ) ( )2

b

a

hf x dx f a f b

GeneralizandoGeneralizando el método de trapecio

77

x 0 x 1x

f(x)

x 2h h x 3h h x 4

nab

h

Figura Nº10: Integración método de trapecio usando n puntos

1 2 n

0 1 n 1

b x x x

a x x x

0 1 1 2 n 1 n

0 1 i 1

b

0 1 i 1a

f(x)dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx

h h hf(x ) f(x ) f(x ) f(x ) f(x ) f(x )

2 2 2

f(x ) 2f(x ) 2f(x ) 2 ( ) ( )2

f(x)dx f(x ) 2f(x ) 2f(x ) 2 ( ) ( )2

n n

n n

hf x f x

hf x f x

Evaluar la integral :4 2

0

xxe dx método de trapecio

4 2 8

0

4 0(0) (4) 2(0 4 ) 23847.66

2xI xe dx f f e

6.2 REGLA DE SIMPSONAdemás de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez más

finos, otra manera de obtener una estimación más exacta de una integral,

es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos. Por

ejemplo, si hay un punto medio extra entre f(a) y f(b), entonces los tres

puntos se pueden conectar con un polinomio de tercer orden.

A las fórmulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se

les llaman Reglas de Simpson.

78

6.2.1 REGLA DE SIMPSON 1/3La Regla de Simpson de 1/3 proporciona una aproximación más precisa,

ya que consiste en conectar grupos sucesivos de tres puntos sobre la

curva mediante parábolas de segundo grado, y sumar las áreas bajo las

parábolas para obtener el área aproximada bajo la curva. Por ejemplo, el

área contenida en dos fajas, bajo la curva f(X) en la Figura. 2, se aproxima

mediante el área sombreada bajo una parábola que pasa por los tres

puntos:

x0 x1x

f(x)

x2h h

L(x)

Figura Nº11: Integración método de Simpson usando tres puntos

2

0 0 1 1 2 20

0 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 4 ( ) ( )3

b

i iai

f x dx c f x c f x c f x c f x

hf x f x f x

Generalizando

79

x0 x2x

f(x)

x4h h xn-2h xn

nab

h

…...

hx3x1 xn-1

Figura Nº12: Integración método de Simpson usando n puntos

2 4 n

0 2 n 2

b x x x

a x x x

0 1 2 2 3 4

n 2 n 1 n

0 1 2 3 4

2i-1 2 2i 1

2

f(x)dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx

h hf(x ) 4f(x ) f(x ) f(x ) 4f(x ) f(x )

3 3h

f(x ) 4f(x ) f(x )3

f(x ) 4f(x ) 2f(x ) 4f(x ) 2f(x )3

4f(x ) 2 ( ) 4f(x )

2 ( ) 4 (i

n

h

f x

f x f x

1) ( )n nf x

Evaluar la integral4 2

0

xxe dx

4 2

0

4 8

(0) 4 (2) (4)3

20 4(2 ) 4 8240.411

3

x hI xe dx f f f

e e

Simpson’s 3/8 Approximate by a cubic polynomial

La derivación de la Regla de los Tres Octavos de Simpson es similar a la

regla de un tercio, excepto que se determina el área bajo una parábola de

tercer grado que conecta 4 puntos sobre una curva dada. La forma

general de la parábola de tercer grado es:

80

x0 x1x

f(x)

x2h h

L(x)

x3h

Figura Nº13: Integración método de Simpson usando cuatro puntos

3

0 0 1 1 2 2 3 30

0 1 2 3

( ) ( ) c f(x ) c f(x ) c f(x ) c f(x )

3( ) 3 ( ) 3 ( ) ( )

8

b

i iai

f x dx c f x

hf x f x f x f x

b-ah

3

6.2.2 SIMPHSON 3/8

4 2

0

3 4 8(0) 3 ( ) 3 ( ) (4)

8 3 3

3(4/3)0 3(19.18922) 3(552.33933) 11923.832 6819.209

85216.926 6819.209

30.71%5216.926

x hI xe dx f f f f

81

6.3 PROBLEMAS

1. Los datos que aparecen en la tabla siguiente corresponden a una

velocidad transversal de salida en una tubería ¿cuál es el flujo

volumétrico en m3/s?

r (cm) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 47 50

V(m/s) 50 49,5 49 48 46,5 45 43 40,5 37,5 34 25 0

2 *Q V rdr

2. La cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1000gr

de H2O desde –1000C hasta 2000C se puede evaluar de la siguiente

forma:

dTTCpmHT

T2

1

7 2 42.64 10 1.56 10 0.132Cp T T

Determinar empleando la técnica del trapecio y la regla de

Simpson

3. La masa que entra o sale de un reactor perfectamente agitado en

un periodo especifico se puede determinar mediante:2

.t

tiM Q cdt

Donde t1 y t2 son el tiempo inicial y final respectivamente Q es el flujo

volumétrico y c es la concentración.

82

T(,min ) C,mg/m3

0 10

5 22

10 35

15 47

20 55

25 58

30 52

35 40

40 37

45 32

50 34

4. Los datos que se muestra a continuación corresponde a la reacción

de tipo. A B en un reactor tubular

X (-1/rA)

0 0.0053

0.1 0.0052

0.2 0.005

0.3 0.0045

0.4 0.0033

0.5 0.0025

0.7 0.0018

0.8 0.00125

0.85 0.001

La ecuación de diseño para este tipo de reactor es de:

0

10

xV FA dx

rA

V:volumen(m3)FA0: flujo de alimentación A ,X: conversión el flujo

molar de alimentación es de 2 mol/ min. el 80 % es de A y la

diferencia de inertes

Determine el volumen del reactor para una conversión de 90% de A

83

5. Se tiene los siguientes puntos con h constante

x X0 X1 X2 X3 X4

y Y0 Y1 Y2 Y3 Y4

Demostrar una fórmula de integración

6. La reacción de saponificación de acetato de etilo en medio alcalino se

conduce en fase homogénea de acuerdo con la siguiente ecuación.

CH3COOCH2CH3 + NaOH CH3COONa + CH3CH2OH

Donde la velocidad de reacción es de

AA B

dCra kC C

dt

,

581792,028*10 * Tk e

Constante de velocidad

de reacción el tiempo de reacción para un reactor discontinuo es

calculado mediante la siguiente reacción.

0

1

( )

CA

CA

t dCAra

Donde : CA = CA0(1-XA) ; CB = CB0 – CA0XA

Si la concentración inicial de A y B es de 0,8 mol-g/ L ¿ Cual es el

tiempo para alcanzar una conversión de 95%? A 500K

7. La cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 000 g

de H2O desde 100C hasta 900C se puede evaluar de la siguiente

forma:

2

1

T

TH m Cp T dT

Donde:7 2 42.64 10 1.56 10 0.132Cp T T

Determinar empleando la técnica del trapecio y la regla de

Simpson

8. Resolver la siguiente integración.

84

9. En un reactor tubular continuo se realiza la eliminación de un

contaminante en fase gas mediante la reacción: A + B R + S, a

200ºC y 7 atm. Para ello, se alimenta una corriente con A y B en

relación equimolar, en las mismas condiciones de presión y

temperatura, con un caudal de 500 L/min. Si se quiere alcanzar una

conversión del 85%, ¿qué volumen de reactor es necesario?

Datos: (rA) = 10.CA.CB [mol/L.min]

10. Una reacción A R, de ecuación cinética r (mol/L.h) = 1,5 CA (a

50ºC), se lleva a cabo en un reactor discontinuo, de forma isoterma,

siendo la temperatura de trabajo constante e igual a 50ºC. La mezcla

reaccionante tiene una concentración inicial de 10 mol/L en A ¿Cuál

es el tiempo de reacción necesario para alcanzar una XA de 0,90?

85

7. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

INTRODUCCIÓN

La solución de sistemas de ecuaciones lineales es un tema de gran utilidad en

diversas ramas del conocimiento como la economía, la biología, física,

ingenierías, etc. La resolución de sistemas de cualquier número de ecuaciones

(10, 50, 100, 500, etc.) es una realidad hoy en día, gracias a los computadores,

lo cual proporciona solución directa.

Un gran número de problemas prácticos de ingeniería se reduce a resolver un

sistema de ecuaciones.

Un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas, tiene la forma:

a11x1 + a12x2 + ….. + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ….. + a2nxn = b2

am1x1 + am2x2+ …. + amnxn = bm

Con notación matricial se escribe así:

mmmnmm

n

n

b

b

b

x

x

x

.....a aa

......a aa

..... a aa

2

1

2

1

21

22221

11211

A X = B

Donde A es la matriz de coeficientes del sistema

X es el vector incógnita

B es el vector de términos independientes.

7.1 METODOS DE JACOBI(Método de desplazamiento simultáneos)

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1

a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2

a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3

86

cona11, a22 y a33 distintos de cero.

Se despeja x1de la primera ecuación, de la segunda y de la tercera con lo

que se obtiene. = − − += − − += − − +

que en notación matricial queda

=⎣⎢⎢⎢⎢⎡ 0 − −− 0 −− − 0 ⎦⎥⎥

⎥⎥⎤ +⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤

= +=⎣⎢⎢⎢⎢⎡ 0 − −− 0 −− − 0 ⎦⎥⎥

⎥⎥⎤ =⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤

Una vez que se tiene la forma en notación matricial, se propone un vector

inicial ( ) que puede ser ( ) = 0, o algún otro que sea aproximado al vector

solución .

Para iterar existe dos variantes.

Si ( ) =es el vector aproximación a la solución después de iteraciones, entonces se

tiene para la siguiente aproximación.

87

( ) = =⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡ 1 ( − − )1 ( − − )1 ( − − )⎦⎥⎥

⎥⎥⎥⎤

7.2 METODO DE GAUSS - SEIDEL (método de desplazamientos sucesivos)

En este método los valores que se van calculando en la ( + 1) −ésima

iteración se emplean para calcular los valores faltantes de esa misma iteración;

es decir, con ( ) se calcula ( ) de acuerdo con:

= ⎣⎢⎢⎢⎢⎡ ( − − )1 ( − − )1 ( − − )⎦⎥⎥⎥

⎥⎤

88

7.3 PROBLEMAS

1) Determine los valores de x1 , x2 y x3 usando el método de gaus seidel

17257

52

61172

321

321

321

xxx

xxx

xxx

2) Se tiene la siguiente torre de separación realizar los balances y calcular

los flujos masicos de cada corriente.

Figura Nº14:Diagrama de una columna de absorción

3) Un proceso de 5 etapas en equilibrio para una extracción liquido o

absorción gaseosa puede ser modelado mediante un sistema de

ecuaciones lineales de acuerdo como se muestra a continuación.

1 2 0(1 )rr X rrX F

1 1(1 ) 0i i iX rr X rrX para i = 2,3, ………..(n-1)

FXrrX nn )1(1

Para : rr = 0,9 ; F0 = 0,05 y F = 0,5

Resolver el sistema de ecuaciones lineales

43,1% de HCl

56,9% aire

H2O

Masa = 2640Kg/h

63,8% H2O

36,2% de HCl

0,2% de HCl

99.8% aire

89

4) Para el sgt.sistema de separación, se conoce el flujo masico(Kg/hr) y las

fracciones de masa de cada sustancia de entrada de la columna de

separacion1 (F0) y la salida de la columna 2(F3 ,F1Y F4)¿ Cual es el valor

de F2

W 1 = 0.2W 2 = 0.6W 3 =0.2

W 1 = 0.2W 2 = 0.6W 3 =0.2

W 1 = 0.2W 2 = 0.6W 3 =0.2

W 1 = 0.2W 2 = 0.6W 3 =0.2

F 0

F 1

F 2

F 3

F 4

5) Resolver la siguiente sistema de ecuación

1 2

1 2 3

2 3 4

3 4 5

4 5

4 1

8 1 3

3 2 4 3

2 ,1

2 6 3, 4

x x

x x x

x x x

x x x

x x

6) La resistencia de un termistor varia con la temperatura

33

2210 lnln)ln(

1RaRaRaa

T

T es la temperatura en Kelvin, R es resistencia en ohms, y 0 1 2 3, , ,a a a a son

constantes

R T

ohm C

1101.0

911.3

636.0

451.1

25.113

30.131

40.120

50.128

Determine las constantes

90

7) En la figura se muestra la disposición de 5 tanques donde se lleva a cabo

una mezcla de corrientes de entrada y salida. En base a la información

determine concentración en cada en estado estacionario

Figura Nº15: Sistema de reactores

8m3/min.20mg/m3

1m3/min.8m3/min.

C1 C2C4

C5

1m3/min.

2m3/min.

3m3/min.

3m3/min.

2m3/min.

1m3/min.

C3

C1

5m3/min.

10mg/m3

11m3/min.

91

8. ECUACIONES DIFERENCIALES NUMÉRICAS

INTRODUCCIÓNCon mucha frecuencia aparecen problemas en ingeniería, física, química,

ecología meteorología, sociología, etc., que exigen el manejo de ecuaciones

diferenciales, muchas de las cuales no se pueden resolver pos los métodos

convencionales, teniéndose que recurrir a métodos numéricos aproximados.

Se llama ecuación diferencial aquella ecuación que contiene una variable

dependiente y sus derivadas con respecto a una o más variables

independientes. Se dividen en dos grandes grupos: Ordinarias, si contienen

una sola variable independiente y Parciales, cuando contienen varias

variables independientes.

Estudiaremos únicamente las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO).

Estas se clasifican y estudian según el orden de la mayor derivada que

aparece en la respectiva ecuación diferencial.

Ejemplo: dy

kydt

es de 1er orden

k2

2

d ym y

dtes de 2º orden

3

3

d y dy5 6y 0

dxdxes de 3er orden

Los problemas que encierran el uso de ecuaciones diferenciales ordinarias,

constarán de:

Una ecuación diferencial ordinaria:

1dyy f(x, y)

dx

Las condiciones iniciales.

El intervalo para la variable independiente x, para el cual debe determinarse

la función y, si existe.

92

8.1. MÉTODO DE EULERConsiste en dividir el intervalo de X0 a Xn en n subintervalos de ancho h.

n ox - xh

nobteniéndose un conjunto discreto de (n + 1) punto: x0, x1, x2 ……

xn en el intervalo [x0 , xn] generándose la sucesión de aproximaciones

siguientes:

y1 = y0 + hf (x0 , y0)

y2 = y1 + hf (x1 , y1)

y3 = y2 + hf (x2 , y2)

.

yn+1 = yn + hf(xn , yn)

con i = 0 hasta n

siendo f(xi , yi) la ecuación diferencial evaluada en xi y yi.

yi+1 = yi + hf(xi, yi)

Ejemplo 1: Utilice el método de Euler para integrar numéricamente la

ecuación:

y’=f(x,y) = -2x3 + 12x2 – 20x + 8.5 de x=1.0 hasta x=3.0 considerando 4

intervalos y el valor inicial en x=1 es y=3

x0 = 1 f(x0 , y0) = f(1 , 3)

3 1h 0.5

4

yi+1 = yi + hf(xi , yi)

i xi yi F(xi , yi) yi+1=yi+hf(xi ,yi)

0

1

2

3

4

1

1.5

2.0

2.5

3.0

3

2.25

1.625

1.875

3.000

-1.5

-1.25

0.50

2.25

2.5

2.25

1.625

1.875

3.000

4.25

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

x0 x1 x2 x3 x4x4

93

Ejemplo 2. Dada la ecuación diferencial dy

f(x, y) = x - ydx

, resuelva por el

método de Euler para el intervalo [0, 1] considerando 5 intervalos y siendo

y(0)=2

Y(1)=?

1 0h = 0.2

5

yi+1 = yi + hf(xi , yi)

i xi yi F(xi , yi) yi+1=yi+hf(xi ,yi)

0

1

2

3

4

5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

2

1.6

1.32

1.136

1.0288

0.9834

-2

-1.4

-0.92

-0.536

-0.2288

-0.01696

1.6

1.32

1.136

1.0288

0.98304

0.986432

El valor exacto es 1.10364 0100% 10

R

1.10364 .986432E .93%

1.10364

APLICACIÓNUn balón de acero de 1200 K es enfriado con corriente de aire a

temperatura ambiente de 300K. Asumiendo la transferencia de calor en

forma de radiación es mediante la ecuación diferencial .

Determine la temperatura para t= 480s usando el método de euler

12 4 82, 2067 10 81 10dT

Tdt

12 4 8, 2, 2067 10 81 10f t T T

1 0 0 0,T T f t T h

1 ,i i i iT T f t T h

1200 0,1200 240f

12 4 81200 2.2067 10 1200 81 10 240

0 0.2 0.4 0.6 0.8 00.800.80

x0 x1 x2 x3 x4 x5

KTTdt

dT12000,1081102067,2 8412

94

1200 4.5579 240

1 106.09T K

0 240

1 0 240t t t h

1 240 106,09T T K

2 1 1 1,f t h

106.09 240,106.09 240f

12 4 8106.09 2.2067 10 106.09 81 10 240

106.09 0.017595 240

110.32K

2 1t t t h

240 240 480

2 480 110.32K

8.2. MÉTODO DE EULER MODIFICADO

Una fuente fundamental de error en el método de Euler es que la derivada al

principio del intervalo se supone que se aplica a través del intervalo entero y

para obtener una exactitud razonable se utiliza un intervalo muy pequeño a

cambio de un error de redondeo mayor.

El método de Euler modificado trata de evitar este problema utilizando un

valor promedio de la derivada tomada en los dos extremos del intervalo en

lugar de la derivada tomada en un solo extremo.

El método de Euler modificado consta de dos pasos básicos:

1. Se parte de (x0,y0) y se utiliza el método de Euler a fin de calcular el

valor de y correspondiente a x1. Este valor de y se denotará como 1y

ya que solo es un valor transitorio para y1. Esta parte del proceso se

conoce como paso predictor.

95

2. El segundo paso se llama corrector, pues trata de corregir la

predicción. En el nuevo punto obtenido 1 1,x y se evalúa la derivada de

1 1,f x y usando la ecuación ordinaria que se está resolviendo. Se

obtiene la media aritmética de esta derivada y la derivada en el punto

inicial (x0,y0).

0 0 1 1

1f(x , y ) f(x , y ) derivada promedio

2

se usa la derivada promedio para calcular un nuevo valor de yi con la

ecuación de Euler yn+1 = yi + hf(xi, yi) que deberá ser más exacto que

1y .

1 0 0 0 1 1

h y y f(x , y ) (f(x , y ))

2

que se tomará como valor definitivo de y1.

hx x

nn 0

Este procedimiento se repite hasta llegar a yn.

El esquema iterativo para este método quedaría en general así:

Usando el paso de predicción resulta:

y i 1 i i iy hf(x ,y )

Se calcula la derivada i 1 i 1f ( x , y )

Se establece la derivada promedio (llamémosla B)

B12

f(x , y ) f(x , y )i i i 1 i 1

Se sustituye f(xi,yi) con este valor promedio en la ecuación de iteración

de Euler y se obtiene i 1 i i i i 1 i 1

hy y f(x , y ) f(x , y )

2

o simplificado: yi+1= yi+ hB

Ejemplo 1: Resuelva f(x,y) = x - y en el intervalo [0,1]

Con y(0)=2 y(1)=? y Con 5 intervalos.

x0=0 y0=2

xn=1 yn=? n=5h

x x

n1 0

5 h = 0 .2n 0

96

En forma iterativa, hagamos la siguiente tabla:

de i=0 hasta n=5

Recuerde que: xi+1=xi+h f(xi,yi) = xi - yi

y y hf(x ,y )i 1 i i i )y,f(x)y,f(x21

B 1i1iii

i xi Yi f(xi,yi) y i 1Xi+1 f(x ,y )i 1 i 1

B Yi+1=yi+h

b

0

1

2

3

4

5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

2

1.66

1.4172

1.254104

1.156365

1.112222

-2

-1.46

-1.0172

-0.654104

-0.356365

1.6

1.368

1.21376

1.12328

1.085092

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-1.4

-0.968

-0.61378

-0.32328

-0.08509

-1.7

-1.214

-0.81548

-0.488694

-0.2207286

1.66

1.4172

1.254104

1.156365

1.112220

Para i=5 y5=y(1)=1.112222

El valor exacto es 1.10364

R

R

1.10364 1.112222 E 100%

1.10364

E 0.78%

8.3. MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA (RK)Los métodos de Runge-Kutta tienen la exactitud del esquema de la serie de

Taylor sin necesidad de cálculo de derivadas superiores y consisten en

obtener un resultado que se obtendría al utilizar un número finito de términos

en una serie de Taylor de la forma:

!4

4),('''

!3

3),("

!2

2),('),(1

hiyixfhiyixfhiyixfhiyixfiyiy

+..........

con una aproximación en la cual se calcula yi+1 de la fórmula:

1 0 1 1 1( ( , ) ( , ) ...

.... ( , )i i i i i i

p i p i p

Y y h f x y f x h y b h

f x h y b h

(2)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x0 x1 x2 x3 x4 x5

97

donde los , , b se determinan de modo que si expandiera

( , )i j i jf x h y b h con ijp en series de Taylor alrededor de (xi, yi), se

observaría que los coeficientes de h, h2 , h3 , etc. Coincidirían con los

coeficientes correspondientes de la ecuación (1).

Después de efectuar los cálculos convenientes a la ecuación (2) para

establecer los valores de , , b , tenemos las siguientes expresiones de

Runge-Kutta (RK):

1. Método RK de segundo orden:

yi+1 = yi +2

h [k1 +k2]

donde: k1=f(xi, yi)

k2=f(xi+h, yi+hk1)

2. Método RK de tercer orden:

yi+1 = yi +6

h [k1 +4k2 +k3]

donde: k1=f(xi, yi)

k2=f(xi+2

h , yi+2

h k1)

k3= f(xi+h, yi -hk1+2hk2)

3. MétodoRK de cuarto orden:

yi+1 = yi +6

h [k1 +2k2 +2k3 +k4]

donde: k1=f(xi, yi)

k2=f(xi+2

h , yi+2

h k1)

k3=f(xi+2

h , yi+2

h k2)

k4=f(xi+h, yi+hk3)

otra forma de expresar

98

)22(6

1

),(

)2

,2

(

)2

,2

(

),(

43211

34

23

12

1

kkkkyy

kyhxhfk

ky

hxhfk

ky

hxhfk

yxhfk

nn

nn

nn

nn

nn

El método más utilizado es el de cuarto orden ya que coincide con los

primeros cinco términos de la serie de Taylor lo cual significa gran

exactitud sin cálculo de derivadas aunque haya que evaluar la función

f(x,y) cuatro veces en cada subintervalo.

Ejemplo:

Aplíquese el método de Runge-Kutta de cuarto orden para f(x,y)=x-y donde

x=0 hasta x=1 con 5 intervalos y siendo para x=0, y=2.

Ejemplo:1. Aplíquese el método de Runge-Kutta de cuarto orden para f(x,y)= x – y

desde x=0 hasta x=1 Con 5 intervalos siendo para x=0 y=2.

Solución:

(x0, y0)= (0, 2) 1 00, 2

5h

para x=1 y=?

x0=0 x1=0.2 x2=0.4 x3=0.6 x4=0.8 x5=1.0

Aplicamos: yi+1 = yi +6

h [k1 +2k2 +2k3 +k4]

Se calculan los valores de k1, k2, k3, k4 en cada iteración y se halla yi+1

i xi Yi K1 K2 K3 K4 Yi+1

0 0 2 -2 -1.7 -1.73 -1.454 1.6562

1 0.2 1.6562 -1.4562 -121058 -1.235142 -1.009172 1.410973

2 0.4 1.410973 -1.010973 -0.809876 -0.829985 -0.644976 1.246451

3 0.6 1.246451 -0.746451 -0.471806 -0.49927 -0.346797 1.148004

4 0.8 1.148004 -0.348004 -0.213204 -0.226684 -0.10268 1.103656

5 1.0 1.103656

99

para x=1.0, y=1.103656

Que al comparar con el valor exacto que es 1.10364, tenemos:

1100% 0.001

R

1.10364 .103656E %

1.10364

2. Resolver

21( , ) 1

2i i i iF X Y X Y aplicando el método de Runge-Kutta.

SoluciónDe la condición inicial del problema se tiene que X = 0, y Y = 1;

además, h = 0.1. Sustituyendo estos valores en se obtiene:

Llevando estos valores a (16) y el resultante a (12) se obtiene que para X =

0.1 la solución del problema es

Los valores de las kipara este punto obtenido de la solución, son:

luego

Continuando de la misma forma se obtiene la solución que se muestra en la

siguiente tabla:

99

para x=1.0, y=1.103656


1100% 0.001

R

1.10364 .103656E %

1.10364

2. Resolver

21( , ) 1







luego


siguiente tabla:

99

para x=1.0, y=1.103656


1100% 0.001

R

1.10364 .103656E %

1.10364

2. Resolver

21( , ) 1







luego


siguiente tabla:

100

X Y k1 k2 k3 k4

0.0 1.0000 0.5000 0.5516 0.5544 0.6127

0.1 1.0554 0.6126 0.6782 0.6823 0.7575

0.2 1.1236 0.7575 0.8431 0.8494 0.9494

0.3 1.2085 0.9492 1.0647 1.0745 1.2121

0.4 1.3158 1.2119 1.3735 1.3896 1.5872

0.5 1.4545 1.5868 1.8234 1.8517 2.1509

8.4. MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS

Las diferencias divididas finitas se sustituyen por las derivadas en la

ecuación original. Así una ecuación diferencial se transforma en un conjunto

de ecuaciones algebraicas lineales simultaneas.

Primera derivada: 1i iy ydy

dx x

Segunda derivada:2

1 12 2

2i i iy y yd y

dx x

Resolver la ecuación mediante diferencias finitas2

6 72

2 10 7.5 10 (75 )d y

y xdx

21 1

2 2

2

( )i i iy y yd y

dx x

6 71 12

22 10 7.5 10 (75 )

( )i i i

i i i

y y yy x x

x

25x ,

0x a 75x con 25x .

0x 25x 50x

1i 2i 3i 4i

75x

1i i 1i

101

00 x

2525001 xxx

50252512 xxx

75255023 xxx

0x 01 y

)75(105.7102)25(

222

72

62

123 xxyyyy

)2575)(25(105.70016.0003202.00016.0 7321 yyy

4321 10375.90016.0003202.00016.0 yyy

)75(105.7102)25(

233

73

62

234 xxyyyy

)5075)(50(105.70016.0003202.00016.0 7332 yyy

4332 10375.90016.0003202.00016.0 yyy

75x

4 0y

0

10375.9

10375.9

0

1000

0016.0003202.00016.00

00016.0003202.00016.0

0001

4

4

4

3

2

1

y

y

y

y

0

5852.0

5852.0

0

4

3

2

1

y

y

y

y

8.5. SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Ya sea que estemos afrontando un problema de ingeniería cuya solución

implique la resolución de una ecuación diferencial de orden n, o uno que

implique la resolución de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias

de primer orden, nos enfrentaremos a la necesidad de resolver un sistema

que podremos expresar como sigue:

102

11 1 2 n

22 1 2 n

nn 1 2 n

dyf x , y , y ,............, y

dxdy

f x , y , y ,............, ydx

.

.

dyf x , y , y ,............, y

dx

Por supuesto, la solución de tal sistema requiere de que se conozcan las n

condiciones iniciales en el valor inicial del intervalo correspondiente a x.

Todos los métodos vistos anteriormente para simples ecuaciones pueden

extenderse a la resolución de sistemas como el anterior. El procedimiento

para resolver un sistema de ecuaciones simplemente involucra aplicar las

técnicas conocidas para cada ecuación en cada paso, antes de proceder con

el siguiente. Esto quedará claramente ilustrado con el siguiente ejemplo

donde hemos aplicado el método de Euler.

Ejemplo 1:Resolución de un sistema de EDOs mediante el método de Euler.

Resolver el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias:

11

22 1

dy- 0,5 y

dxdy

4 - 0,3 y - 0,1 ydx

Resolveremos el sistema en el intervalo entre x = 0 y x = 2, con condiciones

iniciales en x = 0, y1 = 4 , y2 = 6. Utilizaremos un paso h = 0.5.

Se implementa el método de Euler para cada variable mediante la ya

conocida expresión:

i 1 i i iy y f ( x , y ) h

Primero calculamos las pendientes:

11

22

dyf ( 0 , 4, 6) - 0.5 4 - 2

dxdy

f ( 0 , 4, 6) 4 - 0.3 6 - 0.1 4 1.8dx

Y luego los valores de la función para el primer paso:

103

1 1 1

2 2 2

y 0.5 y 0 f ( 0 , 4 , 6) h 4 -2 0.5 3

y 0.5 y 0 f ( 0 , 4 , 6) h 6 1.8 0.5 6,9

Para un segundo paso volvemos a calcular las pendientes:

11

22

dyf ( 0.5 , 3, 6.9) - 0.5 3 - 1.5

dxdy

f ( 0.5 , 3, 6.9) 4 - 0.3 6.9 - 0.1 3 1.63dx

Y luego los valores de la función para el segundo paso:

1 1 1

2 2 2

y 1.0 y 0.5 f ( 0.5 , 3, 6.9) h 3 -1.5 0.5 2.25

y 1.0 y 0.5 f ( 0.5 , 3, 6.9) h 6.9 1.63 0.5 7.715

Y así continúa el cálculo hasta el final. Los resultados se resumen en la

siguiente tabla:

x y1 y2

0.0 4.000000 6.000000

0.5 3.000000 6.900000

1.0 2.250000 7.715000

1.5 1.687500 8.445250

2.0 1.265625 9.094870

8.6 PROBLEMAS

1. Dada la ecuación diferencial f(x,y)=yx2-y con x=0 a x=2 siendo y(0)=1 y

n=4 intervalos resuelva por el método sencillo de Euler

2. Dada y’=f(x,y) = 2x3 –3x2 entre x=0 y x=1 siendo f(0)=1 y con n=2, evalúe

utilizando

a)el método sencillo de Euler.

3. Dada y’=f(x,y)= -2x3 + 12x2 –20x + 8.5 resuelva utilizando el método RK de

cuarto orden desde x=1 hasta x=3 considerando 4 intervalos y siendo

y(1)=3.

4. Utilice el método de Euler Modificado para resolver:

a) dy/dx=2x3 –2xy con y(0)=0 y(2.5)=? h=0.5

104

b) y’=2x2 –3y2 con y(1)=0.5 y(2)=? h=0.2

5. Resolver mediante el método euler

100000( )x xdyy e e

dx

(0) 0y , use the implicit Euler method to obtain the solution from 0x to 0,3

using the step-size of 0.1

6. Un tanque de 600 galones de capacidad contiene inicialmente 200 galones

de salmuera con 25 lb. de sal. Salmuera con 2 lb. por galón entra al tanque a

un flujo de 13 galones/ s. La salmuera mezclada en el tanque fluye hacia

fuera a un flujo volumétrico de 8 galones/ s. ¿Cuál es la cantidad de sal y la

concentración cuando el tanque se Encuentra lleno? Utilizar el método de

runge kutta de segundo orden.

7. Las plantas de desalinización se usan para purificar el agua de mar , para

que pueda beberse . El agua de mar contiene disuelto 8 g de sal /kg. Y es

bombeada hacia un tanque de mezcla a razón de 0,5 kg./ min. Debido a

una falla en el diseño del equipo, el agua se evapora del tanque a razón de

0,5kg/min. .La solución salina sale del tanque a razón de 10 kg/min.

Supóngase que el balance de la disolución es agua pura.

Si el tanque se llena inicialmente con 1 000 kg. de solución a la entrada.

¿ determine la concentración a la salida del tanque en función del

tiempo hasta que el tanque quede vació.?

8. Las siguientes ecuaciones definen las concentraciones de tres reactores

20 2AA C B

dCC C C

dt

20 2BA C B

dCC C C

dt

20 2 0,2CA C B C

dCC C C C

dt

Si las condiciones iniciales son CA = 500, CB = 0 y Cc = 500 halle las

Concentraciones para los tiempos que van desde 0 a 30s usando un h = 3

9. La descarga de un fluido por gravedad por un orificio por el fon deo del

tanque puede ser modelado mediante el siguiente sistema d e ecuaciones

diferenciales.

105

200205,00010,0 vydt

dv

)100

11(0624,0

vdt

dy

donde v es la velocidad del fluido, y nivel del liquido las condiciones

iniciales son de v0 = 2,5 ; y0 = 20 cual son los valores de v, y para t = 5

con h igual 0,5

10. Par un circuito eléctrico los resistores no obedecen la ley de Ohm, y el

circuito dinámico se describe por la relación siguiente

3

( ) 0di i i

l Rdt I I

i = corriente eléctrica ; I = corriente de referencia igual 1; R resistencia

eléctrica 2 ; Resolver la ecuación diferencial si i(0) = 0,6 A para t =

30s con h = 3s

11. Determine usado técnicas numéricas la ecuación diferencial ordinaria

de segundo orden2

23 10 0

d x dxx

dtdt

La condición inicial para la ecuación para t = 0 x =1

Determine los valores de x entre 1,2 usando h = 0,1

12. Un tanque de 2 000 L contiene, en el inicio 400L de agua pura .

Comenzando en t = 0 una solución acusa que contiene 1 g/ L de cloruro de

potasio fluye hacia el tanque a razón de 8L/s y al mismo tiempo, comienza a

fluir una corriente de salida a razón de 4L/s .El contenido del tanque esta

mezclado perfectamente y la densidad de la corriente de alimentación y

salida puede considerarse constante. Calcule la concentración de cloruro

de potasio en el tanque en el momento en que este rebosa.

13. Un Reactor CSTR como se muestra en la figura, la concentración de

alimentación (CA0) of 0,5 mole/m3. Determine la concentración al cabo de

0,5h

106

1

2

0

3 3 1 31 2

(1 )

( ) ( )( )

2,0 1,0 / 1,0 1,0 /

AA

A

AA A A

k Cr

k C

dCV F C C V r

dt

V m F m h k h k m mole

14. Se tiene un intercambiador de calor de tubos concéntricos en

contracorriente y sin cambio de fase .Las ecuaciones que describen el

intercambiador de calor en ciertas condiciones de operación son:

BSS

BSB

TTxdx

dT

TTxdx

dT

04.0

03.0

CONDICIONES

CT

CT

S

B

0

0

100)0(

20)0(

¿?)3(

¿?)3(

S

B

T

T

Evalué la temperatura para x= 3 m

15. Resolver la siguiente ecuación mediante diferencias finitas2

2 2

10, (5) 0,08731, (8) 0.0030769

d u d u uu u

rdr dr r

107

16. El siguiente diagrama ( Figura.18) muestra tres tanques continuos con

agitación conectados en serie Se ha disuelto1500g de Na2SO4 en el

primer tanque, llenando los otros tanques con solvente puro, e

iniciando después un flujo de 40L/ a través del sistema. Calcular el

tiempo para alcanzar una concentración de 0,01g/l en el tanque tres.

Fig Nº16: Sistema de tanques de mezclado.

17. Determine el valor de y(1) resolviendo

,015,005,0 tytyty ,00 y 10 y

utilizando el método de Runge-Kutta de segundo orden, con h = 0,5

18. El circuito que se muestra en la figura E9.5 tiene una autoinductancia

de L = 50H, una resistencia de R = 20 ohms y una fuente de voltaje de

V = 10 volts. Si el interruptor se cierra en el instante t = 0, la corriente

I(t) satisface la ecuación:

00, IEtRItIdt

dL

Determine el valor de la corriente para 0 < t 10 segundos, mediante el

método de Runge-Kutta de segundo orden, con h = 0.1.

E R

L

SW i

Figura 19: Circuito electrico

108

19. El agua que sale del tanque entra a otro de 20 galones, en cual

también se vierte agua pura a razón de 3 galones/minuto y se mezcla

bien. La concentración de sal en el segundo tanque satisface

100,20

2

20

32122 yytyty

donde y1(t) es la concentración de sal del tanque de 50 galones del

problema anterior. Utilice el método de Runge–Kutta de segundo orden

para determinar cuando alcanza su máximo la concentración de sal en

el tanque de 20 galones. Suponga que el segundo tanque tiene agua

pura en el instante t = 0.

20. Un tanque de 50 galones de agua contiene sal con una concentración

de 10 onzas/galón. Con el fin de diluir el contenido de sal, se suministra

agua pura a razón de 2 galones/minuto. Si el depósito tiene una mezcla

uniforme y la misma cantidad de agua que entra sale del depósito cada

minuto, la concentración de sal satisface

100,50

2111 yyty

donde y1(t) es la concentración de sal en onzas/galón y t es el tiempo

en minutos. Utilice el método de Runge–Kutta de segundo orden con h

= 1 minuto para determinar cuánto tiempo debe transcurrir para que la

concentración de la sal sea 1/10 de su valor inicial.

b) El agua que sale del tanque entra a otro de 20 galones, en cual

tambien se vierte agua pura a razon de 3 galones/minuto y se mezcla

bien. La concentracion de sal en el segundo tanque satisface

100,20

2

20

32122 yytyty

donde y1(t) es la concentración de sal del tanque de 50 galones del

problema anterior. Utilice el método de Runge–Kutta de segundo

orden para determinar cuando alcanza su máximo la concentración de

sal en el tanque de 20 galones. Suponga que el segundo tanque tiene

agua pura en el instante t = 0.

109

21. Resolver el sistema de EDOs mediante el método de Runge – Kutta

clásico de cuarto orden.

11

22 1

dy- 0.5

dx

dy4 - 0.3 y - 0.1 y

dx

y

Resolveremos el sistema en el intervalo entre x = 0 y x = 2, con condiciones

iniciales en x = 0, y1 = 4 , y2 = 6. Utilizaremos un paso h = 0.5.

110

9. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (EDP)

INTRODUCCIÓNUna EDP es una ecuación que tiene como incógnita a una función de dos o

más variables y que involucra a una o más de sus derivadas parciales. El

orden de una EDP es el de la derivada con mayor orden en la ecuación. La

linealidad de las ecuaciones se establece como sigue: Si los coeficientes

dependen sólo de las variables independientes entonces a la ecuación se

le denomina lineal. Si además dependen de la propia función o de alguna

de sus derivadas parciales entonces la ecuación es no lineal.

EJEMPLO Ecuación diferencial parcial de transferencia de calor unidimensional

en estado no estacionario.2

2

T T

t x

T: Temperatura en K , t es el tiempo en s,

es la difusivilidad térmica en m2/s

Ecuación de transferencia de calor en estado estacionariobidimensional

2 2

2 2

T T

x y

T es la temperatura en K , x,y ejes coordenados

9.1 PROBLEMAS

1. resuelva la ecuación diferencial parcial de transferencia de calor en dos

dimensiones.

2 2

2 20

T T

X Y

0 X2 , 0 Y2 , 5,0 YX

T( 0, Y) = 100 , T( X ,0 ) = 60 , T( 2,Y) = 100 , T(X, 2) = 60

2. Resuelva la siguiente ecuación diferencial de transferencia de calor dadapor

111

2 2

2 20

T T

X Y

T = 40 . 0 y 1 , x = 0

T = 120 0 y 1 x =4

T = 40 0 X 4 y = 0

T= 50 0 X 4 y = 1

Utilizando 25,0y y 1x

112

10. APLICACIONES DE INGENIERÍA QUÍMICA EN POLYMATH-MATHCAD Y MATLAB

10.1 PROBLEMAS CON POLYMATH

1. Determine el volumen Molar del gas dióxido de carbono mediante laecuación de VAN DER WAALS .

RT*

aP V b

V V

a= 3,592 b= 0,04267 R = 0,082

PARA T= 300K , P =100 ATM

f(v) = (P + a/(V2))*(V-b) –R*T = 0

POLYMATH Results

NLE Solution

Variable Value f(x) Ini Guess

V 0.0793969 -1.776E-13 0.2505

a 3.592

b 0.04267

T 300

R 0.082

P 100

2. En la batería de reactores de mezcla completa que se muestra en el diagrama, selleva a cabo una reacción isotermica de Segundo orden a volumen constante si elflujo volumétrico a cada reactor es constante de 25 l/min. calcular la concentraciónde salida de cada reactor

113

Figura Nº17: Bateria reactores

Balance de materia en cada reactor:Reactor N°1: q*CA0 –q*CA1 –K*CA1

2*V1 =0

Reactor N°2 q*CA1-q*CA2 –K*CA22*V2 =0

Reactor N°3 q*CA2-q*CA3 –K*CA32*V3 =0

F(CA1) = q*(CA0 –CA1) –K*CA12*V1 =0

F(CA2) = q*(CA1-q*CA2) –K*CA22*V2 =

F(CA3) = q*(CA2-q*CA3) –K*CA32*V3 =0

Variable Value f(x) s

CA1 0.6031317 -7.105E-15 2

CA2 0.2869484 -1.332E-14 1

CA3 0.1725794 -2.944E-13 0.8

V 1200

K 0.08

CA0 2

Q 25

3. En un reactor químico se obtiene glucosa a partir de la hidrólisis de

almidón. La ecuación diferencial que gobierna el proceso para la

concentración del almidón es .

V*Dca/dt = q*CA0 - q*CA + rara = -k*CA

2V

CA0: Concentración de la alimentación a la entrada = 6,3 mol/m3

114

CA: Concentración del almidon a la salida

V : volumen del reactor = 500m3

Q : caudal volumetrico 100 m3/h

ra : velocidad de transformación de almidon en glucosa

K= 0.02 m3/h*mol .

Calcular la composición de salida para t = 20h

ODE Report (RKF45)Differential equations as entered by the user

[1] d(CA)/d(t) = q*CA0 /V - q *CA/V -K*CA2

Explicit equations as entered by the user

[1] q = 100

[2] V = 500

[3] CA0 = 6.3

[4] K = 0.02

Independent variable

variable name : t

initial value : 0

final value : 20

Variableinitial valueminimal valuemaximal valuefinal valuet 0 0 20 20

CA 6.3 4.38179 6.3 4.38179

q 100 100 100 100

V 500 500 500 500

CA0 6.3 6.3 6.3 6.3

K 0.02 0.02 0.02 0.02

4. La concentración saturada de oxigeno disuelto en agua como función de

temperatura y de la concentración de cloro se lista en la siguiente tabla.

*Determine la ecuación que correlacione C=f(T) de grado 2 y 3

Evaluar la concentración para T = 20°C

115

Temperatura Cloro( 10 000mg/l)

5

10

15

20

25

30

11,6

10.3

9,1

8,2

7,4

6,8

REGRESION LINEALModel: C = a0 + a1*T + a2*T2

Variable Value 95% confidencea0 13.11 0.1595539

a1 -0.3195 0.0208769

a2 0.0036429 5.839E-04

REGRESION POLINOMICAtModel: C = a0 + a1*T + a2*T2 + a3*T3

Variable Value 95% confidence

a0 13.133333 0.5263102

a1 -0.3253704 0.1199362

a2 0.0040317 0.0076758

a3 -7.407E-06 1.451E-04

5. La siguiente secuencia de reacciones se llevan a cabo en estado no

estacionario según la reacción:

Determinar la ecuación de cada componente de la reacción así como losproductos en función al tiempo. Construya la tabla tiempo vs concentraciónen un paso de 1 a 1 hasta 10 minutos, asuma que las concentracionesiniciales son A (0)=1 mol/L, B (0)=1 mol/L, C (0)=1 mol/L.

Datos:

116

K1=0.5 min-1

K2=1.0 min-1

Solución: formando las ecuaciones diferenciales en función de la reacción.

11 1

Ck C

t

21 1 2 2

Ck C k C

t

22 2

Ck C

t

FIGURA 18: Datos de ingreso en Polymath

FIGURA 19: Gráfica concentración vs tiempo

116

K1=0.5 min-1

K2=1.0 min-1


11 1

Ck C

t

21 1 2 2

Ck C k C

t

22 2

Ck C

t



116

K1=0.5 min-1

K2=1.0 min-1


11 1

Ck C

t

21 1 2 2

Ck C k C

t

22 2

Ck C

t



117

6. Resolver el siguiente sistema:

1 2

yk x k y

t

1

xk x

t

2

zk y

t

Con valores iníciales x (0)=1, y (0)=0, z(0)=0 con t=0 a t=3 y k1=1, k2=2

Solución:

FIGURA 20: Ingreso de Datos en Polymath

117


1 2

yk x k y

t

1

xk x

t

2

zk y

t


Solución:


117


1 2

yk x k y

t

1

xk x

t

2

zk y

t


Solución:


118

FIGURA 21: Resultados con el Software Polymath

FIGURA 22: Grafica de resultados de la Ecuación diferencial.

118



118



119

7. Resolver las siguientes ecuaciones:

11 30,12 0,02 1

dCC C

dt

21 20,15 0,15

dCC C

dt

32 30,025 0, 225 4

dCC C

dt

43 4 50,1 0,1375 0,025

dCC C C

dt

51 2 50,01 0,01 0,04

dCC C C

dt

Con C1 (0)=1, C2 (0)=1, C3 (0)=1, C4 (0)=1 y C5 (0)=1 de t=0 a t=1

Solución:


119


11 30,12 0,02 1

dCC C

dt

21 20,15 0,15

dCC C

dt

32 30,025 0, 225 4

dCC C

dt

43 4 50,1 0,1375 0,025

dCC C C

dt

51 2 50,01 0,01 0,04

dCC C C

dt

Con C1 (0)=1, C2 (0)=1, C3 (0)=1, C4 (0)=1 y C5 (0)=1 de t=0 a t=1

Solución:


119


11 30,12 0,02 1

dCC C

dt

21 20,15 0,15

dCC C

dt

32 30,025 0, 225 4

dCC C

dt

43 4 50,1 0,1375 0,025

dCC C C

dt

51 2 50,01 0,01 0,04

dCC C C

dt

Con C1 (0)=1, C2 (0)=1, C3 (0)=1, C4 (0)=1 y C5 (0)=1 de t=0 a t=1

Solución:


120

FIGURA 24: Resultados Polymath

FIGURA 25: Grafico Polymath

120



120



121

10.2 PROBLEMAS CON MATHCAD

1. Para flujo turbulento para todas las tuberías, el Instituto de Hidráulica

de Estados Unidos y la mayoría de ingenieros consideran la ecuación

de Colebrook como la más aceptable para calcular f. La ecuación es:

1 0,2510,86ln

0,36 Re

e

df f

Donde:

Re : l número de Reynolds (adimensional)

e : aspereza o rugosidad de la tubería (unidad de longitud)

d :, diámetro de la tubería (unidad de longitud)

Obtener el factor de fricción para un fluido con un Reynolds de 3E4 que

fluye en una tubería con un diámetro de 0,1 m y una rugosidad de

2,x10-3 m.

Solución con mathcadIngresando datos:

E = 0,002D = 0,1

Re = 3104

f = 0,001Given

1 0,2510,86ln

0,36 Re

E

Df f

Calculo de la fricción

F = Find (f)f = 0,055

de la figura efectuar un balance de masa y determine los flujos

122

Figura Nº26: Sistema de columna de separación

0.07x1 +0.18x2 + 0.15x3 +0.24x4 = 10.5

0.04x1 + 0.24x2 + 0.1x3 +0.65x4 =17.5

0.54x1 + 0.42x2 + 0.54x3 + 0.10x4 = 28

0.35x1 + 0.16x2 + 0.21x3 + 0.01x4 = 14

A

0.07

0.04

0.54

0.35

0.18

0.24

0.42

0.160

0.15

0.1

0.54

0.21

0.24

0.65

0.1

0.01

123

2. La ecuación de Antonie para el cálculo de la presión de vapor (P*) de

un compuesto esta dado por:

Donde:

P*: presión de vapor (mmHg)

T, temperatura (ºC)

Las constantes para el benceno y el hexano son:

Compuesto A B C

benceno 6.89745 1260.350 220.237

Hexano 6.87773 1171.530 224.366

Determinar la temperatura de ebullición de la mezcla a 1 y a 5 atm.

Solución

sean las fracciones molares

xa = 0,5xb = 0,5

constantes para el benceno

constantes para el hexano

para una presión de 1atm en mmHg

B

10.5

17.5

28

14

solucion

26.25

17.5

8.75

17.5

log P*( ) AB

C T

A1 6.89745

B1 1206.350

C1 220.237

A2 6.87773

B2 1171.530

C2 224.366

124

asumiendo una temperatura inicial de 30ºC

3. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones no lineales con mathcad

k1x2

y2

1 x( ) 1 x y( )

k2y x y( )

x y( ) 1 x y( )

Solución

Pt 760

T 30

Given

Pt Xa 10

A1B1

C1 T

Xb 10

A2B2

C2 T

T Find T( )

T 73.975

Especifique las constantes de equilibrio

k1 0.6 k2 0.2

x 0.8 y 0.5Tome dos valores iniciales

Given

k1x

2y

2

1 x( ) 1 x y( )

k2y x y( )

x y( ) 1 x y( )

vec Find x y( )

vec0.652

0.198

125

4. Mediante la ecuacion de Vand Der Waals calcular el volumen molar a P

= 60 atm y T = 500K.

.

Pa

V2

V b( ) R Tecuacion deVan der Waals

Definiendo las constantes

R 0.082

Para el amoniaco Tc 405 Pc 111.3

Constante a y b

a27

64

R2

Tc2

Pc

bR Tc

8 Pc

Especificando las constantes

R 0.082 Para el amoniaco Tc 405 Pc 111.3

Constante a y ba

27

64

R2

Tc2

Pc

bR Tc

8 Pc

Evaluando las constantes a y b a b

Especifique la presion y temperatura T 500 P 60

Asumiendo un valor inicial( comportamiento ideal)

VR T

P

V

Dado

Pa

V2

V b( ) R T

calculo del volumen Molar

V Find V( )

V

126

5. Encontrar el volumen molar que ocupa el gas empleando la ecuación

de Redlinh

Kwong

( )

RT aP

V b V V b T

2 5 / 2

0, 42747 C

C

R Ta

P

0,08664 c

c

RTb

P

P en Atm V en L/mplg T en K 0,082Atm L

Rmol gK

Pc: presión critica de amoniaco 111,3 atm.

TC: temperatura critica de amoniaco 405K

ECUACION DE ESTADO DE R-K

Ingresando las contantes: R 0.082 Pc 111.3 Tc 405

Ingresando los datos: P 60 T 500

Calculo de a yb:

b 0.08664R Tc

Pc

a 0.42747

R2

Tc

5

2

Pc

a b

Asumiendo comportamiento ideal VR T

P

V

Dado

PR T

V b( )

a

V V b( ) T

V Find V( ) V

127

6. A un sistema de separación FLASH ( Fig. 21) ingresa 100 moles/h de

una mezcla

Figura Nº27:Sistema de separación de componentes

Alimentación al Flash( Mol/h)

Zi: Fraccion molar de los componentes de la mezcla i = 1,2,3, …NC

V: Caudal de salida del vapor ( mol/h)

yi : Fraccion molar de los componentes en la fase vapor

L: Caudal De salida de la fase liquida ( mol/h)

xi: Fraccion molar de los componentes en la fase liquida

Balance de materia global: F = V + L

Balance de componentes : Zi*F = xi*L + yi*V

Equilibrio Liquido vapor : yi = Ki *xi

Fraccion vaporizada :

Remplazando en las anteriores ecuaciones Se obtiene las siguientesexpresiones

( 1) 1

zix

Ki

1

2

3

Alimentacion

F

VAPOR(V)

Liquido(L)

yi

xizi

V

F

128

*

( 1) 1

Ki ziyi

Ki

1

( 1)0

( 1) 1

Ni

i

Zi Ki

Ki

Teniendo en cuenta los datos de la siguiente tabla Calcular la fracciónvaporizada así como los flujos en cada corriente con sus respectivascomposiciones

COMPONENTES FRACCION MOLAR K

C1

C2

C3

C4

C5

0.05

0.15

0.25

0.2

0.35

16.25

5.25

1.99

0.75

0.29

Ingresando los datos:F 100 k1 16.25 k2 5.25

k3 1.99 k4 0.75 k5 0.29

z1 0.05 z2 0.15

z3 0.25 z4 0.2 z5 0.35

Asumiendo un valor: 0.5

Dado

z1 k1 1( )

k1 1( ) 1

z2 k2 1( )

k2 1( ) 1

z3 k3 1( )

k3 1( ) 1

z4 k4 1( )

k4 1( ) 1

z5 k5 1( )

k5 1( ) 1 0

Find ( )

129

7. Encontrar el volumen molar que ocupa el gas empleando la ecuación

de estado de Redlinh-Kwong.

A una presión de 14 bar y una temperatura de 333K

( )

RT aP

V b V V b T

8. La temperatura media logarítmica de un intercambiador de calor a

contracorriente esta dado por:

1 2 2 1

1 2

2 1

ln

T t T tLMDT

T t

T t

Ingresando los datos: b 44.897 a 1.56414108

R 83.14

T 333 P 14

f V( )a b

P Tb

2 b R T

P

a

P T

VR T

PV

2 V

3

Se observa un plinomio de grado 3

Ingrese los coeficientes en una matriz de 4*1

V

a b

P T

b2 b R T

P

a

P T

R T

P

1

S polyroots V( )

S

71.299

229.996

1.676 103

130

Para este sistema la temperatura media logarítmica debe ser de 50°C yel fluido caliente se alimenta a 100°C y sale a 60 °C, mientras que elfluido frió se alimenta a 15°C

¿A qué temperatura sale del intercambiador el fluido frió?

9. El factor de fricción para diferentes números de Reynolds empleando

la ecuación de Colebrook

1 2,510,86ln

3,7 Ref d f

Obtener el factor de friccion para Re de 10 000 , e = 0,002cm y diámetrode 2cm

Ingrese los datos :

T1 15 T3 100 T4 60 LMTD 50

Asumiendo un valor inicial: T2 50

Dado

LMTDT3 T2( ) T4 T1( )

lnT3 T2

T4 T1

T2 Find T2( )

T2

CALCULO DEL FACTOR DE FRICCION

Ingresando datos: Re 10000 e 0.002 d 2

Asumiendo para f : f 0.001

Dado

1

f0.86 ln

e

3.7 d

2.51

Re f

f Find f( )

f

131

10.3. PROBLEMAS CON MATLAB

1. A un reactor ingresa una mezcla de gases de 8% de dióxido de azufre y el

12% de oxigeno y la diferencia de nitrógeno, y se desarrolla la siguiente

reacción.

Calcular la composición en el equilibrio a presión constante de 2 atm y la

constante de equilibrio KP es de 160.

Algorritmo de Solucion en Matlab:

clear all, close all, clc

disp('H2SO4');

SO2=input('Ingrese moles de SO2: ');

O2=input('Ingrese moles de O2: ');

SO3=input('Ingrese moles de SO3: ');

N2=input('Ingrese moles de N2: ');

P=input('Ingrese Presion Total (atm): ');

KP=input('Ingrese Constante de Equilibrio: ');

syms x;

disp('Moles en Equilibrio: ');

ESO2=SO2-x;

EO2=O2-0.5*x;

ESO3=SO3+x;

disp(ESO2);

disp(EO2);

disp(ESO3);

ET=ESO2+EO2+ESO3+N2;

f=KP-((ESO3/ET)*P)/((ESO2/ET)*((EO2/ET)^0.5)*P^1.5);

322 21

SOOSO

132

xai=input('Ingrese Limite Inferior: ');

xbi=input('Ingrese Limite Superior: ');

tol=input('Ingrese Tolerancia: ');

f=inline(f);

i=1;

ea(1)=100;

if f(xai)*f(xbi) < 0

xa(1)=xai;

xb(1)=xbi;

f1=f(xai);

xr(1)=(xa(1)+xb(1))/2;

fprintf('Iter. x1 f1 x2 Error aprox \n');

fprintf('%2d \t %11.7f \t %11.7f \t %11.7f \n',i,xa(i),f1(i),xr(i));

while abs(ea(i)) >= tol,

if f(xa(i))*f(xr(i))< 0

xa(i+1)=xa(i);

xb(i+1)=xr(i);

end

if f(xa(i))*f(xr(i))> 0

xa(i+1)=xr(i);

xb(i+1)=xb(i);

end

xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))/2;

ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))/(xr(i+1))*100);

fprintf('%2d \t %11.7f \t %11.7f \t %11.7f \t %7.3f \n',...

i+1,xa(i+1),xr(i+1),xb(i+1),ea(i+1));

i=i+1;

133

end

else

fprintf('No existe una raíz en este intervalo');

end

Resultados:

TABLA 12Resultados en Matlab

2. Se sabe que la temperatura media logarítmica de un intercambiador de

calor contracorriente está dada por:

ent sald sald entrcal frio cal frio

AQ ent saldcal frio

sald entrcal frio

T - T - T -TΔT = LMTD =

T - Tln

T -T

133

end

else


end

Resultados:





AQ ent saldcal frio

sald entrcal frio


T - Tln

T -T

133

end

else


end

Resultados:





AQ ent saldcal frio

sald entrcal frio


T - Tln

T -T

134

Se tiene el siguiente intercambiador:

Se sabe que en este sistema la temperatura media logarítmica debe ser

de 50ºC. El fluido caliente se alimenta al sistema a 100ºC, mientras que el

fluido frío se alimenta a 15ºC,. ¿a que temperatura sale del intercambiador

de fluido frío?

Algoritmo de Solución en Matlab:


disp ('Temperatura en un Intercambiador de Calor')

xo=input('Temperatura Inicial =');

n=input ('Numero de Iteraciones=');

salida=ones(n,3); % matiz de salida de datos

for i=1:n

x1=xo-[(45*exp((55-xo)/50)+xo-100)]/[1+(-45/50)*(exp((55-xo)/50))];

vsal=[xo;x1];

ea=[[abs((x1-xo)/x1)]]; % error

xo=x1;

salida(i,1)=i;

salida(i,2)=x1;

salida(i,3)=ea;

end

disp('Iter. T(i) Error');

disp(num2str(salida));

Resultados:

INTERCAMBIADORDE CALOR

entrfrioT = 15ºC

= 60ºCsaldcalT

saldfrioT

entcalT = 100ºC

= t

135

TABLA 13Resultados Temperatura en Matlab


temperatura de 333 K. Encontrar el volumen molar ocupa el gas empleando

la ecuación de estado de Redlich-Kwong.


P = 13.76 atm

T = 333ºk

a = 1.5614 x 108 (cm6 bar/(g mol)2 k1/2)

b = 44.897 (cm3/ g mol)




disp('Ecuacion de Redlich-kwong 2');

a=input('Ingrese a: ');

b=input('Ingrese b: ');

T=input('Ingrese T(K): ');

P=input('Ingrese P(bar): ');

R=input('Ingrese R(cm^3.bar/K.mol): ');

syms x

135






P = 13.76 atm

T = 333ºk

a = 1.5614 x 108 (cm6 bar/(g mol)2 k1/2)

b = 44.897 (cm3/ g mol)










syms x

1/2

RT aP = -

V - b T V V + b

135






P = 13.76 atm

T = 333ºk

a = 1.5614 x 108 (cm6 bar/(g mol)2 k1/2)

b = 44.897 (cm3/ g mol)










syms x

136

f=R*T/(x-b)-a/((sqrt(T))*x*(x+b))-P;

x0=(R*T)/(P);

disp('Primer punto inicial: ');

disp(x0);

xai=x0;

xbi=input('Ingrese Limite Superior: ');


f=inline(f);

i=1;

ea(1)=100;


xa(1)=xai;

xb(1)=xbi;

f1=f(xai);

xr(1)=(xa(1)+xb(1))/2;

fprintf('Iter. V1 F1 V2 Error aprox \n');




xa(i+1)=xa(i);

xb(i+1)=xr(i);

end


xa(i+1)=xr(i);

xb(i+1)=xb(i);

end

xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))/2;

137



i+1,xa(i+1),xr(i+1),xb(i+1),ea(i+1));

i=i+1;

end

else


end

Resultados:

TABLA 14Resultados volumen en Matlab

137



i+1,xa(i+1),xr(i+1),xb(i+1),ea(i+1));

i=i+1;

end

else


end

Resultados:


137



i+1,xa(i+1),xr(i+1),xb(i+1),ea(i+1));

i=i+1;

end

else


end

Resultados:


138

4. El factor de fricción (f) para el flujo turbulento en una tubería está dado porla correlación de Colebrook:

Donde

Re = es el número de Reynolds (adimensional)

, es la aspereza o rugosidad de la tubería (unidad de longitud)

D, es el diámetro de la tubería (unidad de longitud)

Obtener el factor de fricción para un fluido con un Reynolds de 3E4que fluye en una tubería con un diámetro de 0.1 m y una rugosidadde 0.0025m.



disp('Friccion en un Flujo Turbulento');

Re=input('Ingrese el Numero de Reynolds: ');

e=input('Ingrese la Rugosidad: ');

D=input('Ingrese el Diametro de Tuberia: ');

syms x;

f=-sqrt(1/x)-0.86*log((e/D)/3.4+2.54/(Re*sqrt(x)));

xai=input('Ingrese Limite Inferior del Intervalo: ');

xbi=input('Ingrese Limite Superior del Intervalo: ');


f=inline(f);

i=1;

ea(1)=100;


xa(1)=xai;

xb(1)=xbi;

1

ε/D 2.54

= - 0.86 ln +f 3.4 Re f

139

f1=f(xai);

xr(1)=(xa(1)+xb(1))/2;

fprintf('Iter. f1 F1 f2 Error aprox \n');




xa(i+1)=xa(i);

xb(i+1)=xr(i);

end


xa(i+1)=xr(i);

xb(i+1)=xb(i);

end

xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))/2;



i+1,xa(i+1),xr(i+1),xb(i+1),ea(i+1));

i=i+1;

end

else


end

Resultados:


140

5. Determinar volumen molar del oxigeno mediante la ecuación del VAN DER

WAALS

RTbvv

aP

2

p = 100 Atm.,




disp ('Ecuacion de Van der Walls')


P=input('Ingrese P(atm): ');

R=input('Ingrese R(L.atm/K.mol): ');

140


WAALS

RTbvv

aP

2

p = 100 Atm.,








140


WAALS

RTbvv

aP

2

p = 100 Atm.,








141

disp('Volumen Inicial: ');

xo=R*T/P;

disp(xo);

n=input ('Numero de Iteraciones=');

salida=ones(n,3); % matiz de salida de datos

for i=1:n

x1=xo-(100*xo^3-60.58*xo^2+1.36*xo-0.043248)/(300*xo^2-121.16*xo+1.36);

vsal=[xo;x1];

ea=[[abs((x1-xo)/x1)]]; % error

xo=x1;

salida(i,1)=i;

salida(i,2)=x1;

salida(i,3)=ea;

end

disp('Iter. V(i) Error');

disp(num2str(salida));

Resultados:


142

6. La siguiente secuencia de reacciones se llevan a cabo en estado noestacionario según la reacción:

1 2k kA B C

Determinar la ecuación de cada componente de la reacción así como losproductos en función al tiempo. Construya la tabla tiempo vs concentraciónen un paso de 1 a 1 hasta 10 minutos, asuma que las concentracionesiníciales son A (0)=1 mol/L, B (0)=1 mol/L, C (0)=1 mol/L.

Datos: K1=0,5 min-1 K2=1,0 min-1

Solución: formando las ecuaciones diferenciales en función de lareacción.

11 1

Ck C

t

21 1 2 2

Ck C k C

t

22 2

Ck C

t

Metafile:

function[f]=rxnserie(t,C);

142


1 2k kA B C




11 1

Ck C

t

21 1 2 2

Ck C k C

t

22 2

Ck C

t

Metafile:


142


1 2k kA B C




11 1

Ck C

t

21 1 2 2

Ck C k C

t

22 2

Ck C

t

Metafile:


143

%constantes

K(1)=0.5;

K(2)=1;

f(1)=-K(1)*C(1);

f(2)=K(1)*C(1)- K(2)*C(2);

f(3)=K(2)*C(2);

f=f';

file:

tr=[0:1:10];C0=[1,0,1];

[t,C]=ode45('rxnserie',tr,C0);

[t,C]

TABLA 17Resustado de concentracion en Matlab

144

plot(t,C);

xlabel('tiempo (min)');

ylabel('concentración (mol/L)');

FIGURA 28Resultados volumen en Matlab

144

plot(t,C);




144

plot(t,C);




145

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACUTLAD DE INGENIERIA QUIMICA

ESCUELA PROFESIONAL DE ING. QUIMICA

SILABO

I. DATOS GENERALES1.1 Asignatura : Métodos Numéricos

1.2 Código de la Asignatura : IG-301

1.3 Semestre Académico : 2010-A

1.4 Ciclo : V

1.5 Créditos : 04

1.6 Horas de teoría : 06

1.7 Horas de práctica : 06

1.8 Duración : 16 semanas

1.9 Pre-requisito : IG 102, FM 202

1.10 Profesor de Teoría : Ing. Juan Medina Collana

II. SUMILLA2.1 Naturaleza de la Asignatura

El curso de Métodos Numéricos es un curso teórico, práctico de carácter

obligatorio que sirve como base para las asignaturas de ingeniería, debido a

que permite realizar cálculos complejos como resultado del modelamiento de

fenómenos físicos y químicos.

2.2 Síntesis del ContenidoEcuaciones algebraicas no lineales. Sistema de Ecuaciones algebraicas no

lineales. Interpolación Polinómica. Diferenciación. Integración. Ecuaciones

Diferenciales Ordinarias. Sistema de ecuaciones Diferenciales Ordinarias.

Sistema de Ecuaciones algebraicas lineales. Ecuaciones Diferenciales

parciales. Análisis de regresión lineal, no lineal y multivariable.

146

III. OBJETIVOS3.1 Objetivo General

Al término del curso, el alumno será capaz de resolver modelos matemáticos

complejos que resulten del modelamiento de los fenómenos físicos y

químicos, aplicando técnicas numéricas.

3.2 Objetivos Específicos Realizar el estudio comparativo entre los métodos analíticos y

métodos numéricos.

Adquirir destreza en el dominio de las técnicas de solución

numérica.

Aplicar las técnicas numéricas para resolver problemas diversos de

Ingeniería Química que resultan del modelameinto de fenómenos

físicos y químicos.

IV. PROGRAMA DE CONTENIDOS

PRIMERA SEMANAEcuaciones algebraicas no lineales. Método de la bisección. Método de

Newton Raspón de primer y segundo orden. Aplicaciones a la Ing. Química.

Método de la secante. Método del punto fijo. Método de falsa posición.

Métodos cuasi Newton. Métodos de la convergencia. Aplicaciones a la

Ingeniería Química.

SEGUNDA SEMANASistema de ecuaciones no lineales. Método del punto fijo. Método de

Newton Raspón estándar. Método de Newton Raspón modificado. Métodos

cuasi Newton. Aplicaciones a la Ingeniería Química.

TERCERA SEMANAInterpolación polinómica. Ecuaciones en diferencias progresivas, regresiva

y central de Newton. Aplicaciones a la Ingeniería Química.

147

Generación de polinomios mediante las diferencias progresiva,

regresiva y central de Gauss. Interpolación con estaciones no

equidistantes.

CUARTA SEMANAAnálisis de Regresión Lineal y no lineal. Mínimos cuadrados.

Regresión multivariable. Aplicaciones a la Ingeniería Química

QUINTA SEMANADiferenciación numérica. Aproximación por diferencias. Diferenciación de

los polinomios de Newton. Aplicaciones a la Ingeniería Química.

SEXTA SEMANAIntegración numérica. Regla del Trapecio. Reglas de Simpson 1/3 y 3/8 y

SEPTIMA SEMANAIntegración por cuadratura Integración múltiple. Aplicaciones a la Ingeniería

Química.

OCTAVA SEMANAEXAMEN PARCIAL

NOVENA SEMANAEcuaciones Diferenciales Ordinarias. Método de Euler. Método de Euler-

Gauss. Método de Taylor.

DECIMA SEMANAMétodo de Runge-Kutta. Aplicaciones a la Ingeniería Química.

Métodos Predictor-Corrector. Métodos de paso variable. Aplicaciones a la


148

DECIMA PRIMERA SEMANASistema de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Ecuaciones Diferenciales

de Orden Superior: métodos de Ruge Kutta y matricial, explícita en la

variable dependiente. Aplicaciones a la Ingeniería Química.

DECIMA SEGUNDA SEMANASistema de ecuaciones algebraicas lineales. Métodos de Jacobi y Gauss-

Seidal. Matrices y vectores. Sistemas especiales. Aplicaciones a la


DECIMA TERCERA SEMANAEcuaciones Diferenciales Parciales. Ecuaciones en Diferenciales.

Métodos explícito e implícito. Aplicaciones a la Ingeniería Química.

Aplicaciones a la Ingeniería Química.

DECIMA CUARTA SEMANAPractica calificada

EXAMEN FINAL

EXAMEN SUSTITUTORIO

V. PROCEDIMIENTO DIDÁCTICO

Las clases teóricas se desarrollan en forma expositiva, y al mismo

tiempo resolviendo ejercicios base. Con estos conocimientos se

resolverán ejercicios de mayor complejidad con participación de los

estudiantes.

El profesor de práctica se encargará de la resolución de problemas

aplicados a la Ingeniería Química con la finalidad de que los estudiantes se

familiaricen con los tópicos que se estudian en Ingeniería Química.

VI. EQUIPOS Y MATERIALESPara el desarrollo adecuado del curso, se requiere lo siguiente:

Calculadora científica.

Computadora con un software de programación de alto nivel.

Tiza blanca y de color.

149

VII. SISTEMA DE EVALUACIÓNEl promedio final, se obtendrá del siguiente modo:

Peso

Examen Parcial 1.0

Examen Final 1.0

Promedio de Prácticas Calificadas 1.0

113

PPEFEPPF

Al final se tomará un Examen de Recuperación que sustituirá a la nota

mas baja del Examen Parcial o Final. El examen de recuperación se

tomará en base al total del avance del curso.

150

VIII. BIBLIOGRAFÍA

1. Carnahan, B. Luther, A. Wilkes Cálculo Numérico, Aplicaciones

Editorial Rueda, Madrid, 1979.

2. Burden, R. Y Faires J. Análisis Numérico.

Edit. Iberoamericana, México, 1985.

3. Nieves, A., Domínguez, F. Métodos Numéricos Aplicados a la


Edit. CECSA, México 1985.

4. Valderrama, R. Métodos Numéricos.

Edit. Trillas, UNAM, México, 1985.

5. Nakamura, S. Métodos Numéricos aplicados con

software.

Edit. Prentice – Hall Hispano

Americano, S.A. México, 1992.

6. Gerald, C. Análisis Numérico

Edit. Alfa – Omega, México, 1991.

7. Maron, M. y López R. Análisis Numérico. Un enfoque

práctico.

Edit. CECSA, México, 1998.

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