Repblica bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular Para la defensa Universidad nacional experimental politcnica de la fuerza armada. 03-ICV-D01

PROBABILIDAD

Profesora: Bachilleres:Ing. Roelymar Carrero Angi Correa C.I 24.627.673 Mara Espinoza C.I 24.518.084 Harold Paredes C.I 24.632.517

San Fernando -Edo Apure Distribucin de variables aleatorias y discretas

Una distribucin de probabilidades para una variable aleatoria discreta es un listado mutuamente excluyente de todos los resultados numricos posibles para esa variable aleatoria tal que una probabilidad especfica de ocurrencia se asocia con cada resultado. El valor esperado de una variable aleatoria discreta es un promedio ponderado de todos los posibles resultados, donde las ponderaciones son las probabilidades asociadas con cada uno de los resultados.

Dnde: Xi = i-simo resultado de X, la variable discreta de inters.P(Xi) = probabilidad de ocurrencia del i-simo resultado de XLa varianza de una variable aleatoria discreta (s2) se define como el promedio ponderado de los cuadros de las diferencias entre cada resultado posible y su media (los pesos son las probabilidades de los resultados posibles).

Dnde: Xi = i-simo resultado de X, la variable discreta de inters.P(Xi) = probabilidad de ocurrencia del i-simo resultado de X Variable aleatoria discreta, que produce como resultado un nmero finito de valores predeterminados, por lo que su recorrido es finito.Se dice que una Variable aleatoria Discreta o Discontinua X, tiene un conjunto definido de valores posibles x1,x2,x3,..xn con probabilidades respectivas p1,p2,p3,..pn., Es decir que slo puede tomar ciertos valores dentro de un campo de variacin dado. Como X ha de tomar uno de los valores de este conjunto, entonces p1 + p2 ++ pn=1.En general, una variable aleatoria discreta X representa los resultados de un espacio muestral en forma tal que por P(X = x) se entender la probabilidad de que X tome el valor de x. De esta forma, al considerar los valores de una variable aleatoria es posible desarrollar una funcin matemtica que asigne una probabilidad a cada realizacin x de la variable aleatoria X. Esta funcin recibe el nombre de funcin de la probabilidad.En la distribucin de variables discretas podemos encontrar estos tipos de distribuciones: Distribucin binomialLa distribucin binomial es tpica de las variables que proceden de un experimento que cumple las siguientes condiciones:Una distribucin se denomina binomial cuando se cumplen las condiciones siguientes: El experimento aleatorio de base se repite n veces, y todos los resultados obtenidos son mutuamente independientes. En cada prueba se tiene una misma probabilidad de xito (suceso A), expresada por p. Asimismo, existe en cada prueba una misma probabilidad de fracaso (suceso ), que es igual a q = 1 - p. El objetivo de la distribucin binomial es conocer la probabilidad de que se produzca un cierto nmero de xitos. La variable aleatoria X, que indica el nmero de veces que aparece el suceso A (xito), es discreta, y su recorrido es el conjunto {0, 1, 2, 3, ..., n}. La distribucin binomial se expresa como B (n, p), siendo n el nmero de veces que se repite el experimento y p la probabilidad de que se produzca un xito. Ejemplo de experimento aleatorio descrito por una distribucin binomial: al tirar un dado cuatro veces, cuntas veces saldr el nmero 6? Este suceso es el xito del experimento

La funcin de probabilidad de la variable binomial se representa como b(x,n,p) siendo n el nmero de pruebas y p la probabilidad del xito. n y p son los parmetros de la distribucin.

La manera ms fcil de calcular de valor de nmeros combinatorios, como los incluidos en la expresin anterior, es utilizando el tringulo de Tartaglia

La media y la varianza de la variable binomial se calculan como:Media = = n pVarianza = 2 = n p q Grficamente el aspecto de la distribucin depende de que sea o no simtrica Por ejemplo, el caso en que n = 4:

Esperanza matemtica y varianza de la distribucin binomialla esperanza matemtica de la variable aleatoria X viene dada por la expresin siguiente:

Anlogamente, la varianza de la variable aleatoria X, al ser sta de tipo discreto, se calcula como:

Distribucin de Poisson Una variable de tipo Poisson cuenta xitos (es decir, objetos de un tipo determinado) que ocurren en una regin del espacio o del tiempo.El experimento que la genera debe cumplir las siguientes condiciones:1. El nmero de xitos que ocurren en cada regin del tiempo o del espacio es independiente de lo que ocurra en cualquier otro tiempo o espacio disjunto del anterior.2. La probabilidad de un xito en un tiempo o espacio pequeo es proporcional al tamao de este y no depende de lo que ocurra fuera de l.3. La probabilidad de encontrar uno o ms xitos en una regin del tiempo o del espacio tiende a cero a medida que se reducen las dimensiones de la regin en estudio. Como consecuencia de estas condiciones, las variables Poisson tpicas son variables en las que se cuentan sucesos raros. La funcin de probabilidad de una variable Poisson es:

El parmetro de la distribucin es que es igual a la media y a la varianza de la variable.

Esta caracterstica puede servirnos para identificar a una variable Poisson en casos en que se presenten serias dificultades para verificar los postulados de definicin.La distribucin de Poisson se puede considerar como el lmite al que tiende la distribucin binomial cuando n tiende a y p tiende a 0, siendo np constante (y menor que 7); en esta situacin sera difcil calcular probabilidades en una variable binomial y, por tanto, se utiliza una aproximacin a travs de una variable Poisson con media l = n p.La varianza de la variable aproximada es ligeramente superior a la de la variable binomial.

Las variables Poisson cumplen la propiedad de que la suma de variables Poisson independientes es otra Poisson con media igual a la suma las medias. El aspecto de la distribucin depende muchsimo de la magnitud de la media. Como ejemplo, mostramos tres casos con = 0,5 (arriba a la izquierda), = 1,5 (arriba a la derecha) y = 5 (abajo) Obsrvese que la asimetra de la distribucin disminuye al crecer y que, en paralelo, la grfica empieza a tener un aspecto acampanado.

Esperanza matemtica y varianza de PoissonPropiedades del modelo de Poisson1) Esperanza: E(X) = . 2) Varianza: V(X) = . En esta distribucin la esperanza y la varianza coinciden. Distribucin GeomtricaLa distribucin Geomtrica tambin est relacionada con una secuencia de ensayos de Bernoulli, excepto que el nmero de ensayos no es fijo. En consecuencia, la distribucin geomtrica hereda las caractersticas de la distribucin binomial, a excepcin del concepto del cual se quiere calcular la probabilidad. En este caso la variable aleatoria de inters, denotada mediante X, se define como el nmero de ensayos requeridos para lograr el primer xito. Es obvio que para obtener el primer xito se debe realizar el experimento cuando menos una vez, por lo que los valores que puede tomar la variable aleatoria X son 1, 2, 3, ... , n, esto es, no puede tomar el valor cero. En este caso se cumple que (X = x) si y slo si los primeros (x 1) ensayos son fracasos (q) y el x-simo ensayo es xito (p), por lo que:P(X = x) = La distribucin geomtrica es cualquiera de las dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes: la distribucin de probabilidad del nmero X del ensayo de Bernoulli necesaria para obtener un xito, contenido en el conjunto { 1, 2, 3,...} o la distribucin de probabilidad del nmero Y=X1 de fallos antes del primer xito, contenido en el conjunto { 0, 1, 2, 3,... }.Cul de stas es la que uno llama "la" distribucin geomtrica, es una cuestin de convencin y conveniencia.Si la probabilidad de xito en cada ensayo es p, entonces la probabilidad de que x ensayos sean necesarios para obtener un xito es

para x = 1, 2, 3,.... Equivalentemente, la probabilidad de que haya x fallos antes del primer xito es

para x = 0, 1, 2, 3,....En ambos casos, la secuencia de probabilidades es una progresin geomtrica.La esperanza matemtica y la varianza de la distribucin geomtrica:La esperanza matemtica de una variable aleatoria X distribuida geomtricamente es:

y dado que Y = X-1,

En ambos casos, la varianza es

Como su anloga continua, la distribucin exponencial, la distribucin geomtrica carece de memoria. Esto significa que si intentamos repetir el experimento hasta el primer xito, entonces, dado que el primer xito todava no ha ocurrido, la distribucin de probabilidad condicional del nmero de ensayos adicionales no depende de cuantos fallos se hayan observado. El dado o la moneda que uno lanza no tienen "memoria" de estos fallos. La distribucin geomtrica es de hecho la nica distribucin discreta sin memoria.

Distribucin hipergeomtricaLa distribucin hipergeomtrica es una distribucin discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo. Supngase que se tiene una poblacin de N elementos de los cuales, d pertenecen a la categora A y N-d a la B. La distribucin hipergeomtrica mide la probabilidad de obtener x () elementos de la categora A en una muestra sin reemplazo de n elementos de la poblacin original. Una variable tiene distribucin hipergeomtrica si procede de un experimento que cumple las siguientes condiciones:1) Se toma una muestra de tamao n, sin reemplazamiento, de un conjunto finito de N objetos.2) K de los N objetos se pueden clasificar como xitos y N - K como fracasos. X cuenta el nmero de xitos obtenidos en la muestra. El espacio muestral es el conjunto de los nmeros enteros de 0 a n, de 0 a K si K < n.En este caso, la probabilidad del xito en pruebas sucesivas no es constante pues depende del resultado de las pruebas anteriores. Por tanto, las pruebas no son independientes entre s.La funcin de probabilidad de la variable hipergeomtrica es:

Los parmetros de la distribucin son n, N y K.Los valores de la media y la varianza se calculan segn las ecuaciones: Si n es pequeo, con relacin a N (n