Induksi-Mat-Teo.-Binomial.pptx
-
Upload
hamdani-tock -
Category
Documents
-
view
220 -
download
0
Transcript of Induksi-Mat-Teo.-Binomial.pptx
-
7/25/2019 Induksi-Mat-Teo.-Binomial.pptx
1/20
MATHEMATICS INDUCTIONAND
BINOM THEOREM
By : IRA KURNIAWATI, S.Si, M.Pd
-
7/25/2019 Induksi-Mat-Teo.-Binomial.pptx
2/20
Standar kompetensi
Memahami dan dapatmembuktikan teorema/rumusdengan cara induksi matematika
Menerapkan teorema binomialpada penjabaran bentukperpangkatan(a+b)n
-
7/25/2019 Induksi-Mat-Teo.-Binomial.pptx
3/20
MATHEMATIS I!"#TI$!
Salah satu metode pembuktian%ang absah dalam matematika&
'an%ak digunakan untuk
membuktikan kebenaranteoremateorema %ang berlakuuntuk semua bilangan bulat atau
lebih khusus untuk setiapbilangan asli&
-
7/25/2019 Induksi-Mat-Teo.-Binomial.pptx
4/20
Induksi
Matematikamerupakan teknik pembuktian %angsangat penting
dipergunakan secara luas untukmembuktikan pern%ataan %ang berkaitandengan ob%ek diskrit&(kompleksitasalgoritma teorema mengenai gra*identitas dan ketidaksamaan %ang
melibatkan bilangan bulat dsb)&
tidak dapat digunakan untukmenemukan rumus atau teorema tetapi
han%a untuk melakukan pembuktian&
-
7/25/2019 Induksi-Mat-Teo.-Binomial.pptx
5/20
InduksiMatematikaTeknik untuk membuktikan proposisi dalam
bentuk n (n) dengan semestapembicaraan adalah himpunan bilanganbulat positi*&Suatu bukti dengan menggunakan induksi
matematika bah,a -(n) benar untuksetiap n bilangan bulat positi* - terdiri dari tiga langkah.
1.Langkah basis.Tunjukkan bah,a () benar&
2.Langkah induktif:"iasumsikan bah,a (k) benar makadapat ditunjukkan bah,a (k + ) benaruntuk setiap k&(k) untuk suatu k tertentu disebut hipotesa
induksi&
-
7/25/2019 Induksi-Mat-Teo.-Binomial.pptx
6/20
0angkahlangkah pembuktian denganinduksi matematik adalah sebagai berikut.
Misalkan p(n) adalah suatuproporsi / pern%ataan %ang akandibuktikan kebenarann%a untuk
setiap bilangan asli&0angkah () . ditunjukkan bah,a
p() benar&
0angkah (1) . diasumsikan bah,ap(k) benar untuk suatu bilangan aslik dan ditunjukkan bah,a p(k+)benar&
-
7/25/2019 Induksi-Mat-Teo.-Binomial.pptx
7/20
Apabila langkah () dan langkah(1) telah dilakukan dengan benarmaka dapat disimpulkan bah,a
p(n) benar untuk setiap bilanganasli n&
0angkah () sering disebut basis
(dasar) untuk induksisedangkan langkah (1) disebut
langkah indukti*&
-
7/25/2019 Induksi-Mat-Teo.-Binomial.pptx
8/20
ontoh
"engan menggunakan induksimatematika buktikan bah,a+1+2+3+n4 n(n+1) untuk
setiap bilangan asli n
'ukti .
Misalkan p(n) men%atakan+1+2+3+n4 n(n+1)
2
1
2
1
-
7/25/2019 Induksi-Mat-Teo.-Binomial.pptx
9/20
(i) p() adalah 4 & & (1) %aitu 4
(ii)jelas benar(iii)"iasumsikan bah,a p(k) benar untuk
suatu bilangan asli k %aitu
+1+2+3 +k4 k(k+1) benar
Selanjutn%a harus ditunjukkan bah,a
p(k+) benar %aitu .+1+2+3 +k+ (k+) 4 (k+)(k+1)
2
1
2
1
2
1
-
7/25/2019 Induksi-Mat-Teo.-Binomial.pptx
10/20
Hal ini ditunjukkan sebagai berikut .
+1+2+3 +k+ (k+) 4 (+1+2+3+k) +(k+)
4 k(k+)+(k+)
4 (k+) ( k+)
4 (k+) (k+1)
5adi +1+2+3 +k+ (k+) 4 (k+) (k+1)
berarti p(k+) benar&
Sehingga p(n) benar untuk setiap bilanganasli n
2
1
2
1
2
1
2
1
-
7/25/2019 Induksi-Mat-Teo.-Binomial.pptx
11/20
ontoh 1 .
Tunjukkan bah,a n 6 1nuntuk setiap bilanganbulat positi* n&
Solusi:
Misalkan (n). proposisi -n
6 1n&7
&0angkah basis.
() benar karena 6 1
4
-
7/25/2019 Induksi-Mat-Teo.-Binomial.pptx
12/20
1&0angkah indukti*.Asumsikan bah,a (k) benar untuksemua k bil bulat positi* %aitu
k 6 1k&8ita perlu menunjukkan bah,a (k +) benar %aitu
k + 6 1k+
8ita mulai dari k 6 1k
k + 6 1k+ 1k+ 1k 4 1k+5adi jika k 6 1kmaka k + 6 1k+
(k+) benar2&8onklusi.
5adi n 6 1nbenar untuk setiap nbilangan bulat positi*&
Akhir dari bukti&
-
7/25/2019 Induksi-Mat-Teo.-Binomial.pptx
13/20
'asis induksi tidak mesti diambiln4 tetapi diambil sesuaidengan permasalahan %ang
dihadapi atau pern%ataan %angingin dibuktikan&
-
7/25/2019 Induksi-Mat-Teo.-Binomial.pptx
14/20
Misalkan akan dibuktikan bah,ap(n) berlaku untuk setiapbilangan asli n 9 t& Maka langkah
langkah pembuktiannn%a denganinduksi matematik sebagaiberikut&
0angkah () . ditunjukkanbah,a p(t) benar
0angkah (1) . diasumsikan
bah,a p(k) benar untuk suatu
-
7/25/2019 Induksi-Mat-Teo.-Binomial.pptx
15/20
Teorema 'inomial
8ombinasi r objek %ang diambildari n objek diimbalkan dengan(nr) atau dan dirumuskan
sebagai.
r
n
)!(!
!
knr
n
r
n
=
-
7/25/2019 Induksi-Mat-Teo.-Binomial.pptx
16/20
ontoh
Misalkan terdapat : objek %aituabcd dan e& apabila dari :
objek tersebut diambil 2 objekmaka ban%akn%a carapengambilan 2 objek tersebut
adalah ( )cara
r
n10
)1.2.3)(1.2(
1.2.3.4.5
!3!2
!5===
-
7/25/2019 Induksi-Mat-Teo.-Binomial.pptx
17/20
Si*atsi*at 8oe;sien 'inomial
( ) ( )
n
n
n
nnnn
jadi
n
nnnni
2...210
...210
11
=
++
+
+
++
+
+
=+
)(
!)!(
!
)!(!
!)(
simetriksifatkn
n
k
njadi
kkn
n
kn
ndan
knk
n
k
nii
=
=
=
-
7/25/2019 Induksi-Mat-Teo.-Binomial.pptx
18/20
+
=
>
111
,)(
kn
kn
kn
makakndanaslibilanganbilangankdannJikaiii
=
>>
mk
mn
m
n
m
k
k
n
makamkndanaslibilanganbilangankdanmnJikaiv ,,,)(
=
1
1
,)(
k
nn
k
nk
maka
kndenganaslibilanganbilangankdannJikav
-
7/25/2019 Induksi-Mat-Teo.-Binomial.pptx
19/20
( )
+++
=
+++
++
++
++=
++
++
++
1
1...
2
2
1
1
0
1
1...21
r
rk
r
rkkkk
k
n
k
n
k
k
k
k
k
kvi
=
++
+
+
n
n
n
nnnnvii
2...
210)(
2222
'#8TI SE'A
-
7/25/2019 Induksi-Mat-Teo.-Binomial.pptx
20/20
THANK YOU