INDICE - Planetario Pythagoras
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I
INDICE
Meccanica celeste
Misura degli angoli grado radiante ora____________________________ 2
Distanze dei corpi celesti________________________________________ 3
Le dimensioni apparenti di un oggetto______________________________ 3
Sistemi di riferimento astronomici
Sistema altazimutale_________________________________ 4
Sistema orario_______________________________________ 5
Sistema equatoriale___________________________________ 5
Relazioni tra sistemi di riferimento
Latitudine del luogo___________________________________ 6
Stelle circumpolari____________________________________ 6
Culminazione________________________________________ 7
Altezza (culminazione inferioresuperiore)_________________ 7
Latitudine del luogo (culminazione superioreinferiore)_______ 9
Distanza zenitale_____________________________________ 9
Ascensione retta_____________________________________ 10
Misura del tempo ______________________________________________ 11
Giorno tempo siderale________________________________ 11
Giorno tempo solare vero_____________________________ 12
Giornotempo solare medio____________________________ 12
Equazione del tempo__________________________________ 12
Relazione tra tempo solare e tempo siderale_______________ 13
Ora locale e longitudine_______________________________ 14
Tempo Universale___________________________________ 15
II
Moto apparente dei pianeti_____________________________________ 16
Sommario di quanto egrave noto oggi sui pianeti______________ 18
Le leggi del moto dei pianeti
Lrsquoellisse________________________________________________ 19
Le leggi di Keplero
Prima legge___________________________________ 20
Seconda legge_________________________________ 21
Terza legge___________________________________ 22
Legge di gravitazione universale____________________________ 23
Terza legge di Keplero generalizzata________________________ 24
Considerazioni sulle orbite (coniche)________________________ 26
Velocitagrave orbitale_________________________________________ 27
Considerazioni sulle orbite (dinamica)_______________________ 28
Velocitagrave di fuga (raggio di Schwarzschild)____________________ 29
Eclissi
Eclissi di Luna__________________________________________ 30
Eclissi di Sole___________________________________________ 33
Ciclo di Saros___________________________________________ 36
Strumenti ottici
Angolo solido_________________________________________________ 37
Campo dello strumento_________________________________________ 37
Apertura assoluta_____________________________________________ 37
Apertura relativa______________________________________________ 37
Rapporto focale________________________________________________ 38
Potere risolutivo_______________________________________________ 38
III
Ingrandimento________________________________________________ 39
Aberrazione della luce__________________________________________ 39
Rifrazione____________________________________________________ 39
Rifrazione atmosferica__________________________________________ 40
Riassumendo__________________________________________________ 41
Astrofisica
La radiazione elettromagnetica___________________________________ 43
Parametri di unrsquoonda___________________________________________ 44
Equivalenza massa energia______________________________________ 45
Grandezze fotometriche________________________________________ 46
Parametri fisici delle stelle_______________________________________ 48
Corpo nero______________________________________________ 48
Legge dello spostamento di Wien____________________________ 48
Legge di Stefan Boltzmann_________________________________ 49
Flusso e Luminositagrave_______________________________________ 49
Logaritmi
Definizione______________________________________________ 50
Proprietagrave dei logaritmi_____________________________________ 52
Magnitudine delle stelle________________________________________ 54
Cosmologia elementare
Redshift_____________________________________________________ 57
Ottico__________________________________________________ 57
Relativistico_____________________________________________ 58
Gravitazionale___________________________________________ 58
IV
Problemi ed esercizi
Sistemi di riferimento___________________________________________ 59
I moti della Terra e la misura del tempo____________________________ 60
Il cielo visto dalla Terra e dalla Luna______________________________ 61
La gravitagrave____________________________________________________ 63
Terza legge di Keplero__________________________________________ 65
Risoluzione del sistema per il calcolo delle velocitagrave su orbite circolari_______ 66
Esercizio un pianeta cadente_____________________________________ 68
Coordinate celesti e tempo______________________________________ 69
La misura del tempo____________________________________________ 70
Stelle e magnitudini____________________________________________ 72
Cosmologia elementare_________________________________________ 74
Miscellanea __________________________________________________ 75
Sfera e trigonometria sferica
Premessa_____________________________________________________ 84
Elementi della sfera____________________________________________ 84
Triangolo sferico_______________________________________________ 86
Angoli del triangolo sferico______________________________________ 86
Triangolo di posizione astronomico________________________________ 88
Primo Gruppo di Gauss___________________________________ 89
Secondo Gruppo di Gauss__________________________________ 89
Le parti della sfera_____________________________________________ 90
Esercizi______________________________________________________ 91
Bibliografia
Bignamino di astronomia
1
ldquoIn Astronomia ogni argomento va meditato ed approfondito in senso critico va analizzato nei suoi elementi essenziali e collegato a quanto
precede ed a quanto seguerdquo
(prof Leonida Rosino)
Il bignamino di astronomia ha lo scopo di aiutare gli olimpionici alla preparazione alle varie fasi delle Olimpiadi Italiane di Astronomia Costituisce la griglia essenziale per la risoluzione dei problemi Lrsquoabbiamo pensato come una bussola soprattutto per gli studenti che provengono da Istituti dove la fisica non egrave disciplina curriculare nel biennio Seguendo il Syllabus abbiamo suddiviso il ldquobiginordquo in quattro macrotemi
1) Meccanica Celeste (cinematica e dinamica celeste) 2) Strumenti ottici 3) Astrofisica 4) Cosmologia elementare
Ciascun macrotema egrave corredato da sezioni e da esercizi di riferimento
Bignamino di astronomia
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Introduzione
MISURA DEGLI ANGOLI GRADO RADIANTE ORA
Lrsquoampiezza di un arco o del corrispondete angolo al centro si puograve misurare in uno dei seguenti sistemi
bull Il s i s tema sessages imale ha come unitagrave di misura il grado
Il grado
Il grado definito come la 360-esima parte dellangolo giro I suoi sottomultipli sono primi e i secondi
bull 1 grado egrave diviso in 60 primi 1deg= 60 bull 1 primo egrave diviso in 60 secondi 1 = 60 bull Quindi un grado equivale a 3600rsquorsquo
Il s i s tema c ircolare ha come unitagrave di misura il radiante
Radiante Il radiante ( 120646) egrave lampiezza dellangolo al centro di una circonferenza che con i suoi lati
intercetta un arco uguale al raggio
In astronomia egrave necessario molto spesso convertire la misura in gradi di un arco in misura di ora o
viceversa
Lrsquoampiezza di un angolo giro misurato in gradi 360deg in ore egrave 24ℎ 1ℎ = 360
24 = 15deg 1119898= 15rsquo
1119904=15rsquorsquo
Dunque il rapporto tra la misura dellarco e la misura del
raggio egrave un numero reale α che rimane costante α=119871
119877
120572119903119886119889 =120572deg120587
180 120572deg =120572119903119886119889
180deg
120587
Lrsquoampiezza di un radiante egrave
in gradi 120588deg= 57deg 17rsquo 44rsquorsquo~ 57deg3
in primi 120588rsquo~3438rsquo
in secondi 120588rsquorsquo ~206265rsquorsquo
(numero magico)
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DISTANZE DEI CORPI CELESTI
La distanza dei corpi celesti viene determinata attraverso la misura di un angolo detto parallasse
Lrsquoangolo di parallasse egrave lrsquoangolo sotto cui viene visto un oggetto se osservato da due posizioni
diverse
LE DIMENSIONI APPARENTI DI UN OGGETTO
Le dimensioni apparenti di un oggetto dipendono dalla sua distanza In astronomia il diametro
angolare (o dimensione angolare) di un oggetto egrave la misura del suo diametro rispetto alla distanza
dallosservatore Si calcola con la seguente formula
120572 = 2 119886119903119888119905119886119899119892 119863
2119889
(D diametro reale e d distanza dallrsquoosservatore)
Generalmente il diametro apparente dei corpi celesti egrave inferiore ad un grado
Misurato il diametro apparente in secondi drsquoarco si puograve calcolare il diametro reale con la seguente
formula
119863 = 119889120572
206265
Si parla di parallasse geocentrica quando la
distanza tra le due osservazioni egrave uguale al raggio
terrestre mentre di parallasse annua quando la
distanza tra i due osservatori egrave uguale al semiasse
maggiore dellorbita della Terra attorno al Sole
(ovvero lUnitagrave Astronomica) p langolo di parallasse e d la distanza dellosservatore dalloggetto-
La relazione tra la distanza e la parallasse egrave data
dalla semplice formula d = r sen p
Spesso viene usato il parsec come unitagrave di misura delle
distanze stellari Una stella si trova alla distanza di 1
parsec quando la sua parallasse annua egrave di un secondo
darco d =1
119901primeprime
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SISTEMI DI RIFERIMENTO ASTRONOMICI
Gli elementi che definiscono i sistemi di coordinate astronomiche sono
1) Una direzione fondamentale
2) Un piano perpendicolare alla direzione fondamentale
3) Lrsquoorigine
4) Il verso di percorrenza
5) Lrsquounitagrave di misura
Noi qui sintetizziamo tre dei cinque sistemi di riferimento astronomici
il sistema altazimutale il sistema orario il sistema equatoriale
Sistema altazimutale
Nel sistema altazimutale o orizzontale la direzione
fondamentale egrave data dalla verticale il piano
perpendicolare egrave dato dallrsquoorizzonte astronomico la
verticale alla superficie terrestre passante per
losservatore individua lo zenit e il nadir Le
coordinate in questo sistema sono lrsquoAzimut (A) e
Altezza (h)
Lazimut del punto T egrave langolo formato dal piano del
cerchio verticale passante per T e il meridiano
astronomico Si misura in gradi e frazioni di grado
partendo dal punto cardinale sud nel senso delle
lancette dellorologio Esso corrisponde nel disegno
allangolo SOB dove O egrave losservatore e B egrave
lintersezione dellorizzonte con il cerchio verticale
passante per T
Altezza (h) egrave lordinata sferica di un punto sulla sfera
celeste e cioegrave la sua distanza angolare dallorizzonte
misurata lungo il cerchio verticale passante per quel
punto Si esprime in gradi e frazioni di grado con
valore positivo verso lo zenit e negativo verso il nadir
Nel nostro disegno laltezza del punto T corrisponde
allangolo TOB dove O egrave losservatore e B egrave
lintersezione dellorizzonte con il cerchio verticale
passante per T Larco complementare dellaltezza si
chiama distanza zenitale e nel nostro disegno egrave
rappresentata dallangolo ZOT dove Z egrave lo zenit
dellosservatore La distanza zenitale si indica
generalmente con z Nel sistema azimutale entrambe
le coordinate (azimut e altezza) delle stelle variano
sensibilmente con il passare del tempo a causa del
moto di rotazione della Terra
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Sistema orario
Sistema equatoriale
Questo sistema di coordinate astronomiche ha come
direzione e piano fondamentali rispettivamente lasse
del mondo e il piano dellequatore Le coordinate
sferiche di questo sistema sono Angolo orario (H) e
la Declinazione (120575)
Lrsquoangolo orario egrave la distanza angolare tra il cerchio
orario che passa per il punto e il meridiano
astronomico Si misura in ore e frazioni di ora lungo
lequatore celeste partendo dal meridiano
astronomico in senso orario per un osservatore
boreale
La declinazione rappresenta la distanza angolare tra
un punto della sfera celeste e lequatore celeste
misurata lungo il cerchio orario che passa per tale
punto Si misura in gradi e frazioni di grado con segno
positivo verso il polo nord celeste e negativo verso il
polo sud Lrsquoorigine del sistema egrave il punto M detto
mezzocielo In questo sistema nel corso del giorno le stelle variano il loro angolo orario mentre rimane costante la loro declinazione
L0
Questo sistema di coordinate astronomiche ha come direzione e
piano fondamentali rispettivamente lasse del mondo e il piano
dellequatore Le coordinate sferiche di questo sistema sono
Ascensione retta ( ) Declinazione ( )Lorigine egrave il punto gamma
()
Lascensione retta si misura di solito in ore minuti e secondi lungo
lequatore celeste partendo dal punto gamma e con senso di
percorrenza antiorario
Declinazione rappresenta la distanza angolare tra un punto della
sfera celeste e lequatore misurata lungo il cerchio orario che passa
per tale punto Si misura in gradi e frazioni di grado con segno positivo
verso il polo nord celeste e negativo verso il polo sud
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RELAZIONI TRA I SISTEMI DI RIFERIMENTO
Latitudine del luogo
120593 = ℎ119901119900119897119900119873119900119903119889 = 90deg minus 119911119875119900119897119900119873119900119903119889
La latitudine geografica 120593 di una localitagrave sulla superficie della Terra egrave
lrsquoaltezza del polo celeste sul suo orizzonte Orizzonte e Zenit sono
separati da un angolo retto La latitudine geografica del luogo si
ottiene sottraendo da 90deg lrsquoaltezza del polo stesso
Formule inverse
119911119875119900119897119900119873119900119903119889 = 90deg minus 120593
Stelle circumpolari
120575 ge 90deg minus 120593
Vista da un qualsiasi luogo della superficie terrestre (quando
siamo allrsquoEquatore la situazione di complica) una parte della
volta celeste non tramonta mai e rimane sempre al di sopra
dellrsquoorizzonte Tale parte di cielo egrave detta ldquocircumpolarerdquo Essa
contiene le stelle che hanno declinazione 120575 maggiore o uguale
a un valore limite che si ottiene sottraendo da 90deg il valore della
latitudine geografica 120593 del luogo
Se la declinazione egrave compresa tra
minus(90deg minus 120593) lt 120575 lt +(90deg minus 120593)
le stelle sono occidue sorgono e tramontano sullrsquoorizzonte dellrsquoosservatore
Se
120575 lt minus(90deg minus 120593) 120575 lt minus90deg + 120593
Le stelle sono anticircumpolari (cioegrave quelle che non sorgono mai e stanno sempre al di sotto
dellrsquoorizzonte)
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Culminazione
Una stella culmina quando raggiunge la sua massima altezza cioegrave egrave sul meridiano
La declinazione 120575 la distanza zenitale z sono legate in modo semplice alla latitudine 120593
dellrsquoosservatore
Al momento della culminazione superiore (massima altezza della stella sullrsquoorizzonte) si ha
119911 = 120593 ndash 120575
Al momento della culminazione inferiore si ha
119911 = 120593 + 120575 ndash 180deg
Altezza (culminazione superioreinferiore)
Una stella culmina superiormente quando raggiunge la sua massima
altezza vista un determinato luogo (ad una determinata latitudine 120593)
ℎ1 = 90deg plusmn (120593 minus 120575)
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Poicheacute lrsquoaltezza deve esere h le 90deg distinguiamo i due casi
1) Se 120575 lt 120593 h=90deg- 120593 + 120575 (va preso il segno meno)
2) Se 120575 gt 120593 h=90deg+ 120593 - 120575 (va preso il segno piugrave)
Analogamente in culminazione inferiore
ℎ2 = minus90deg + 120593 + 120575
Poicheacute se 120575 lt 120593
ℎ2 = 120575 - ( 90 ndash 120593)
ℎ2 = 120575 - 90 + 120593
ℎ2 = - 90 + 120575 + 120593
Se 120575 gt 120593
ℎ2 = 120575 + ( 120593 - 90 )
ℎ2 = - 90 + 120575 + 120593
La formula per il calcolo della culminazione inferiore egrave sempre la stessa
Formule inverse della h=90deg+ 120593 - 120575
120593 = 90deg minus ℎ + 120575
120575 = 120593 + ℎ minus 90deg
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Latitudine del luogo (culminazione superiore ed inferiore)
120593 =ℎ1 + ℎ2
2
Questa formula egrave valida per tutte le stelle ma la si usa spesso per
conoscere la latitudine di un luogo osservando una stella
circumpolare La latitudine infatti non egrave altro che una ldquomediardquo
tra le due altezze (culminazione superiore ed inferiore)
Formule inverse
ℎ1 = 2120593 minus ℎ2
ℎ2 = 2120593 minus ℎ1
Per una stella circumpolare la minima altezza egrave ℎ119898119894119899= δ + ϕ - 90deg
Distanza zenitale
119911 = 90deg minus ℎ
La distanza zenitale indica quanto dista la stella dallo zenit che si trova
sulla verticale dellrsquoosservatore Per trovarla basta sottrarre a 90deg (la
verticale e lrsquoorizzonte sono separati da un angolo retto) lrsquoaltezza della
stella h
Formule inverse
ℎ = 90deg minus 119911
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Ascensione retta
Tra lrsquoascensione retta 120630il suo angolo orario H ed il tempo siderale relativi ad un dato osservatore
vale la relazione
119879119904 = 120572 + 119867
Nota
Quando il punto 120574 passa al meridiano 119879119904 = 0 (Il tempo siderale egrave definito come lrsquoangolo orario del
punto 120574 ) quando la stella passa al meridiano H= 0 e
119879119904 = 120572
Il tempo siderale coincide con lrsquoascensione retta delle stelle che passano al meridiano
Per conoscere lrsquoascensione retta di una stella 120572 bisogna calcolare
la differenza tra il tempo siderale del luogo 119879119904 di osservazione e
lrsquoangolo orario 119867 della stella stessa
120572 = 119879119904 minus119867
Lrsquoangolo orario si trova dalla 119867 = 119879119904 minus 120572
il punto nord ha H di 12 h e declinazione 90 - latitudine da noi H 0 e declinazione 90+ latitudine altro emisfero
per il punto sud i due predetti valori si invertono per lrsquoangolo orario e quelli della declinazione diventano
opposti
Bignamino di astronomia
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MISURA DEL TEMPO
La misura del tempo viene effettuata dal movimento di rotazione diurna della volta celeste
(rotazione della Terra) e dal movimento annuo del Sole (rivoluzione della Terra attorno al Sole)
La rotazione della Terra attorno al suo asse egrave quasi costante quindi lrsquoangolo di rotazione rispetto ad
un qualsiasi riferimento iniziale consente di misurare il tempo Come riferimento iniziale si prende
lrsquoistante del passaggio del punto al meridiano del luogo La durata del giorno dipende da questo
punto scelto
In Astronomia i punti adottati sono Il punto γ il
centro del disco apparente del Sole (Sole vero) il
Sole medio (un Sole ideale che parte dal punto γ
assieme al Sole vero percorre lrsquoequatore celeste
con velocitagrave angolare costante in modo da
ritornare allrsquoequinozio di primavere assieme al
Sole vero)
Le tre unitagrave di tempo definite da questi punti si
chiamano giorno siderale giorno solare vero
giorno solare medio Il tempo da esse misurato egrave
tempo siderale tempo solare vero tempo solare medio
Nota Non sono tempi diversi ma solo diverse unitagrave di misurare il tempo
Giorno siderale ndash tempo siderale
Si definisce giorno siderale lrsquointervallo di tempo compreso tra
due successivi passaggi del punto γ allo stesso meridiano del
luogo
Si definisce tempo siderale lrsquointervallo di tempo compreso tra il
passaggio al meridiano del punto di primavera ad unrsquoaltra
posizione qualsiasi
119905119904 = H + 120572
(Tempo siderale = angolo orario Sole + ascensione retta Sole
medio)
Bignamino di astronomia
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Giorno solare vero-Tempo solare vero
Il giorno solare vero egrave lrsquointervallo di tempo compreso tra due passaggi superiori o inferiori del centro
del Sole
Il tempo solare vero egrave lrsquointervallo di tempo compreso tra il passaggio inferiore
del Sole ad un altro punto
Al meridiano il 119879119904119900119897119890 119907119890119903119900 = 119867119878119900119897119890 119907119890119903119900 +12ℎ
Giorno solare medio - Tempo solare medio
Il giorno solare medio egrave lrsquointervallo compreso tra due passaggi superiori o inferiori del Sole medio
Il tempo solare medio egrave lrsquointervallo di tempo compreso tra il passaggio inferiore del Sole medio ad
un altro punto
119879119904119900119897119890 119898119890119889119894119900 = 119867119878119900119897119890 119898119890119889119894119900 +12ℎ
Equazione del Tempo
Si definisce equazione del tempo la differenza tra il tempo medio ed il tempo solare vero allo stesso
istante
E= 119879119904119900119897119890 119898119890119889119894119900 - 119879119904119900119897119890 119907119890119903119900
E= 119867119878119900119897119890 119898119890119889119894119900 - 119867119878119900119897119890 119907119890119903119900
E= 120572119878119900119897119890 119898119890119889119894119900 - 120572119878119900119897119890 119907119890119903119900
Il tempo solare medio ad un dato istante egrave dato
dal Tempo solare vero piugrave lrsquoequazione del
tempo
119879119904119900119897119890 119898119890119889119894119900= 119879119904119900119897119890 119907119890119903119900 + E
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Relazione tra tempo solare e tempo siderale
Consideriamo la posizione del sole a 24 ore di distanza
1199051119904=1198671199041 + 1205721198781
1199052119904=1198671199042 + 1205721198782
Calcolando la differenza tra le due espressioni si ha
1199052119904- 1199051119904 = (1198671199042 minus 1198671199041 ) + (1205721198782 -1205721198781)
(1198671199042 minus 1198671199041 ) = 24
Mentre la differenza in ascensione retta (1205721198782 -1205721198781) dagrave lo spostamento angolare diurno del sole
medio sullrsquoequatore che in gradi egrave 24
36525
Pe cui
1199052119904- 1199051119904 = 24h + 24
36525
1199052119904- 1199051119904 = 24 (1+ 1
36525)
1199052119904- 1199051119904 = 24 36625
36525
Un giorno solare medio= 36625
36525 giorni siderali
Un giorno siderale= 36525
36625 giorni solari veri
Il rapporto K = 36625
36525 K=1002738 serve per convertire gli intervalli di tempo solare medio in
intervalli di tempo siderali
∆119879119904= K ∆119879119898
Il rapporto Krsquo = 36525
36625 Krsquo = 0997270 serve per convertire gli intervalli di tempo siderali in intervalli
ti tempo solare medio
∆119879119898= Krsquo ∆119879119904
24 ore di tempo medio corrispondono a 24h 03m 5655s di tempo siderale viceversa un giorno
siderale egrave 23h 56m 04s di tempo solare medio
Se s egrave il tempo siderale ad un certo istante ad un dato meridiano mentre alla mezzanotte
precedente sullo stesso meridiano il tempo siderale era S dalla mezzanotte sono passati (s-S) ore
minuti secondi di tempo siderale che corrispondono a (s-S) Krsquo di tempo solare medio Poicheacute a
mezzanotte il tempo solare medio egrave 0ℎ 119879119898 = (s-S) Krsquo rappresenta il tempo solare medio allrsquoistante
del tempo siderale s
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Se al meridiano di quel luogo alla mezzanotte di una certa data il tempo siderale era S allrsquoistante
di tempo medio solare saragrave
s= S + 119879119898 119870
NOTA
Ersquo sempre necessario conoscere il tempo siderale S alla mezzanotte del meridiano dato Per questo
sono stati costruiti annuari che forniscono il tempo siderale 1198780 alla mezzanotte del meridiano
fondamentale di GW
Il tempo siderale S alla mezzanotte ad una data longitudine 120582 egrave dato da
119878 = 1198780 minus120582 ℎ
24ℎ (3119898 56119904 55)
Ora locale e longitudine
Si definisce tempo locale medio il tempo regolato sul meridiano del luogo
Nella vita quotidiana egrave scomodo utilizzare questo
tempo per cui il primo luglio 1919 sono stati introdotti
i fusi orari In base a questa suddivisione il tempo
medio egrave determinato solo per 24 meridiani geografici
principali separati da 15deg gradi (unrsquoora) I fusi orari sono
numerati da 0 a 23 ed il meridiano passante per GW
costituisce lrsquoorigine (fuso = 0)
Il tempo medio locale egrave dato da
119905119897 = 119905119891 ndashΔ120582
dove Δ120582 = 120582119891 - 120582119874
Nota
1) La differenza tra le ore locali (siderali o solari) di due meridiani misurate allo stesso istante
egrave sempre uguale alle differenze di longitudini
2) Poicheacute i confini dei fusi orari distano circa 7deg5 dal meridiano centrale la differenza 119905119897 - 119905119891
puograve essere leggermente maggiore o minore di plusmn 30119898
Bignamino di astronomia
15
Tempo Universale
Il tempo solare medio del meridiano di GW si chiama Tempo Universale (TU)
Per quanto precedentemente detto il tempo medio locale egrave uguale al tempo universale piugrave la
longitudine del luogo espressa in ore e considerata positiva ad est di GW
119905119897 = TU +120582
Bignamino di astronomia
16
MOTO APPARENTE DEI PIANETI
I pianeti si muovono in vicinanza dellrsquoeclittica ma il loro movimento visto dalla Terra egrave piugrave
complicato di quello del Sole e della Luna Il Sole e la Luna riferendo il loro moto rispetto alle stelle
fisse si muovono di moto diretto cioegrave antiorario per i pianeti si osserva che in generale si muovono
di moto diretto ma ce certi tratti variabili da pianeta a pianeta si muovono di moto retrogrado Il
pianeta dopo avere raggiunto una posizione di stazionarietagrave
inverte il moto Questo egrave molto piugrave evidente per i pianeti
interni Mercurio e Venere che oscillano avanti e indietro
rispetto alla posizione del Sole venendosi a trovare ora da
una parte ora dallrsquoaltra rispetto ad esso Quando il pianeta egrave
in congiunzione superiore egrave invisibile perchegrave nasce e
tramonta con il Sole ma essendo in questo momento piugrave
veloce del Sole dopo qualche tempo puograve essere visto dopo
il tramonto ad occidente (si trova a sinistra del Sole)
Lrsquoelongazione orientale cresce nei giorni seguenti e
contemporaneamente decresce la sua velocitagrave angolare e
quando raggiunge la stessa velocitagrave angolare del Sole per
qualche istante si muove mantenendo la stessa distanza il
pianeta raggiungere la massima elongazione orientale Per venere questo valore egrave circa 46deg per
Mercurio egrave variabile dai 18deg ai 28deg Da questo momento il pianeta comincia il suo avvicinamento al
Sole ritornando con moto retrogrado in congiunzione con esso ma questa volta in congiunzione
inferiore Ritorna invisibile (potrebbe esserci un transito) Continuando nel suo moto retrogrado
appare visibile ad occidente (a destra del Sole) ed egrave visibile prima del sorgere del Sole (elongazione
occidentale) Questo ci dice che i pianeti inferiori non possono mai trovarsi in quadratura o
opposizione
I pianeti esterni invece possono assumere qualsiasi distanza dal Sole da 0deg a 180deg e quindi possono
trovarsi nelle due precedenti configurazioni Raggiunta
lrsquoelongazione massima di 180deg i pianeti si trova dalla parte
opposta a quella del Sole la velocitagrave retrograda egrave massima e
raggiungono anche il massimo della luminositagrave Oggi noi
sappiamo che tutto questo egrave dovuto egrave il risultato della
composizione del moto della Terra e di quello dei pianeti
attorno al Sole semplificando osserviamo un oggetto in
movimento essendo noi stessi in movimento Le velocitagrave dei
pianeti variano piugrave sono vicini al Sole piugrave velocemente si
muovono I due pianeti essendo piugrave vicini al Sole sorpassano
la Terra durante il loro moto mentre egrave la Terra a sorpassare i
pianeti esterni quando sono vicini allrsquoopposizione e quindi
essi sembrano muoversi allindietro
Ed allora se indichiamo con T Il nostro anno siderale con P il periodo sidereo del Pianeta e con S il
periodo siderale (il tempo intercorso tra due congiunzioni o due opposizioni successive) la
composizione delle velocitagrave ci consente di calcolare la velocitagrave relativa del pianeta rispetto alla
Terra
Bignamino di astronomia
17
Per i pianeti interni (la Terra si muove piugrave lentamente)
2120587
119878 = 2120587
119875 - 2120587
119879
120783
119930 = 120783
119927 - 120783
119931
Per i pianeti esterni (la Terra si muove piugrave velocemente)
2120587
119878 = 2120587
119879 - 2120587
119875
120783
119930 = 120783
119931 - 120783
119927
Il movimento di tutti i pianeti attraverso le stelle fisse segue apparentemente la stessa direzione di
quello della Luna (e del Sole) - con una strana variante talvolta il loro moto apparente cambia
temporaneamente verso (moto retrogrado) Questo egrave molto piugrave evidente per Mercurio e Venere
che oscillano avanti e indietro rispetto alla posizione del Sole Durante il moto del Sole attraverso le
stelle - lungo le costellazioni dello zodiaco - questi pianeti
talvolta si muovono nello stesso verso e quindi il loro
movimento si somma a quello del Sole ma altre volte il loro
moto apparente si oppone a quello del Sole facendo sigrave che
sembri che si muovano allindietro (moto retrogrado)Gli
altri tre pianeti visibili ad occhio nudo si possono trovare in
qualunque posizione lungo leclittica - anche a mezzanotte in
posizione direttamente opposta a quella del Sole e quando
questo avviene raggiungono il massimo della luminositagrave
Marte sembra muoversi piugrave rapidamente Giove un po meno
e Saturno egrave il piugrave lento Comunque tutti mostrano questa
enigmatica stranezza vicino al punto in cui il loro percorso
apparente nel cielo egrave esattamente in posizione opposta al Sole
(opposizione) il loro movimento tra le stelle
temporaneamente si inverte Oggi noi comprendiamo molto
bene tutto questo (vedi fig1) I pianeti sono oggetti sferici
come la Terra - Venere Mercurio e Marte sono piugrave piccoli Giove e Saturno molto piugrave grandi Anche
la Terra egrave un pianeta e ne esistono anche altri (troppo deboli per essere visti senza un telescopio)
tutti che orbitano attorno al Sole sul piano o vicino al piano delleclittica La loro velocitagrave tuttavia
varia - piugrave sono vicini al Sole e piugrave rapidamente si muovono (vedi la sezione ldquoterza legge di Keplerordquo)
Quindi quando i tre pianeti esterni sono vicini allopposizione la Terra che orbita piugrave vicina al Sole
li sorpassa e quindi essi sembrano muoversi allindietro Il moto retrogrado dei due pianeti interni
ha una causa simile Essendo piugrave vicini al Sole sono essi che sorpassano la Terra durante il loro moto
Bignamino di astronomia
18
Sommario di quanto egrave noto oggi sui pianeti
Viene qui riportato un breve sommario dei componenti del sistema solare In genere vengono distinte quattro classi di oggetti
1 I pianeti maggiori in ordine di distanza dal Sole - Mercurio Venere Terra Marte Giove Saturno Urano e Nettuno Tutti tranne i due piugrave interni hanno dei satelliti e tutti e quattro i piugrave esterni hanno degli anelli composti da piccoli ciottoli di materia in orbita attorno al pianeta
2 Asteroidi o pianetini in maggioranza - anche se non tutti - posti tra Marte e Giove Il loro diametro arriva fino a 500 Km
3 La fascia di Kuiper di oggetti ghiacciati oltre lorbita di Nettuno di cui il piugrave noto (anche se ora si egrave scoperto che egrave solo il secondo come dimensioni) egrave Plutone scoperto nel 1930 e delle dimensioni della nostra Luna La fascia ha preso il nome dellastronomo belga Gerard Kuiper si estende probabilmente a una distanza doppia di quella di Nettuno e si stima che consista di circa 100000 oggetti (finora ne sono stati identificati circa 1000) molti dei quali con un diametro di soli 100 Km o meno
4 Comete tradizionalmente divise in non ricorrenti (il nome ufficiale egrave comete a lungo periodo) e comete periodiche Le comete non ricorrenti si pensa che provengano dalla nube di Oort un enorme agglomerato quasi sferico di oggetti ghiacciati agli estremi limiti del sistema solare Essi sono debolmente legati al Sole e di tanto in tanto lattrazione gravitazionale di qualche stella lontana probabilmente cambia un poco il moto di alcuni di
essi lanciandoli in direzione del Sole In tal caso diventano visibili come comete quando la luce del Sole fa evaporare una parte della loro superficie generando la chioma e la coda della cometa Le comete periodiche una volta erano considerate come oggetti che avevano iniziato come oggetti non ricorrenti ma poi erano state deviate e catturate dallattrazione gravitazionale dei pianeti piugrave grandi Oggi si ritiene che provengano dalla fascia di Kuiper come classe di oggetti noti come Centauri
Bignamino di astronomia
19
LE LEGGI DEL MOTO DEI PIANETI
Prerequisito Lrsquoellisse
Luogo geometrico dei punti del piano per i quali si
mantiene costante la somma delle distanze da due
punti fissi detti fuochi
Detta in parole piugrave semplici lellisse non egrave altro che
una circonferenza ldquoschiacciata Un elemento
fondamentale che ci permette di capire di quanto
questa viene compressa egrave leccentricitagrave e
Leccentricitagrave egrave definita come il rapporto tra la
semidistanza focale e il semiasse maggiore
119890 =119888
119886
Formule inverse
119888 = 119886119890
119886 =119888
119890
Infatti nellellisse possiamo individuare
bull Semiasse maggiore (a)
bull Semiasse minore (b)
bull Semidistanza focale (c)
Indicheremo quindi con 2a il semiasse maggiore (AB) con 2b il semiasse minore (CD) e con 2c la
distanza focale (F1F2)
ATTENZIONE lrsquoeccentricitagrave dellellisse egrave SEMPRE compresa tra 0 e 1 (0ltelt1) Se
questa fosse uguale a 0 i due fuochi andrebbero a coincidere con lorigine e lellisse
diventerebbe una circonferenza Se fosse uguale a 1 diventerebbe una parabola se
fosse egt1 diventerebbe una iperbole
Dalla figura si nota che la somma delle distanze dai due punti fissi detti fuochi egrave costante ed egrave pari
alla lunghezza dellasse maggiore (2a) Quindi si puograve anche applicare il teorema di Pitagora
1198862 = 1198872 + 1198882
Formule inverse
1198872 = 1198862 minus 1198882
1198882 = 1198862 minus 1198872
Bignamino di astronomia
20
LEGGI DI KEPLERO
PRIMA LEGGE
Enunciato i pianeti descrivono intorno al Sole orbite
ellittiche in cui questo occupa uno dei fuochi
Si puograve quindi notare che la distanza di un pianeta
attorno al Sole non si mantiene costante bensigrave ci
saragrave un punto in cui questo saragrave piugrave vicino al Sole
(perielio) e uno in cui saragrave piugrave lontano (afelio)
Possiamo quindi calcolare le due distanze
119889119886 = 119886(1 + 119890)
119889119901 = 119886(1 minus 119890)
Formule inverse
119886 =119889119886
1 + 119890
119886 =119889119901
1 minus 119890
119890 =119889119886
119886minus 1
119890 = 1 minus119889119901
119886
Inoltre si nota anche che dalla somma delle due distanze otteniamo lasse maggiore dellorbita
2119886 = 119889119886 + 119889119901
E il semiasse egrave quindi dato da
119886 =119889119886 + 119889119901
2
Bignamino di astronomia
21
Formule inverse
119889119886 = 2119886 minus 119889119901
119889119901 = 2119886 minus 119889119886
La distanza focale egrave data dalla differenza delle due distanze
2119888 = 119889119886 minus 119889119901
119888 =119889119886 minus 119889119901
2
Formule inverse
119889119886 = 2119888 + 119889119901
119889119901 = 119889119886 minus 2119888
Quindi leccentricitagrave dellrsquoorbita puograve essere anche scritta come
119890 =119889119886minus119889119901
119889119886+119889119901=
2119888
2119886 =
119888
119886
SECONDA LEGGE
Enunciato il raggio vettore che congiunge il Sole al pianeta spazza aree
uguali in tempi uguali
Dalla seconda legge comprendiamo che la velocitagrave del pianeta intorno
al Sole non egrave costante al perielio viaggeragrave piugrave velocemente che
allafelio Quindi si puograve affermare che le velocitagrave sono inversamente
proporzionali alle distanze
119881119886
119881119901=119889119901
119889119886
Formule inverse
119881119886 =119889119901 119881119901
119889119886
Bignamino di astronomia
22
119881119901 =119881119886 119889119886
119889119901
119889119886 =119881119901 119889119901
119881119886
119889119901 =119881119886 119889119886
119881119901
TERZA LEGGE
Enunciato i cubi dei semiassi maggiori sono
proporzionali ai quadrati dei periodi di
rivoluzione
1198863
1198792= 119896
Dalla terza legge si nota che esiste una relazione tra periodo di rivoluzione e lontananza dal corpo
centrale Sono infatti legati tra loro dal valore di una costante che egrave stata indicata con k
Per i corpi orbitanti intorno ad una massa comune (come ad esempi o per i corpi del Sistema solare)
questa legge puograve essere anche scritta come
1198861199053
1198791199052 =
1198861198983
1198791198982
=1198861199043
1198791199042 = ⋯
PER I CORPI DEL SISTEMA SOLARE se si inserisce in formula il valore del semiasse maggiore in unitagrave
astronomiche (UA) e il periodo di rivoluzione in anni il valore di questa costante egrave uguale a 1 Infatti
ricavandola per la Terra
(1 119880119860)3
(1 119886119899119899119900)2= 1
E se k=1 per la Terra vale per tutti gli altri corpi orbitanti intorno al Sole
Bignamino di astronomia
23
NEWTON E LA GRAVITAZIONE UNIVERSALE
Con le leggi di Keplero siamo ancora in quella parte di fisica che descriviamo come cinematica
descriviamo perfettamente i moti dei pianeti ma non risaliamo alle cause Newton avanzograve lrsquoipotesi
che sia i gravi in caduta libera che i pianeti vengono deviati dalla condizione di moto rettilineo
uniforme dallrsquoesistenza di una forza centrale Nel 1684 Newton ldquopoggiandosi sulle spalle dei
gigantirdquo (Keplero ed il nostro Galilei) dimostrograve che la forza che fa ldquofluttuarerdquo i pianeti attorno al Sole
dipende dallrsquoinverso del quadrato della distanza da esso
Integrando il suo secondo principio della dinamica con la terza legge di Keplero perviene a
119865119892=41205872 119898
1198701199032
Questa forza deve dipendere anche dalla massa M del Sole ed allora
119865119892=41205872 119898119872
1198721198701199032
Dove K egrave la costante della terza legge di Keplero Ponendo la quantitagrave 41205872
119872119870 = G ( notare che contiene
la costante K e la massa del Sole) otteniamo la nota formula
119865119892=119866 119898119872
1199032
Newton dedusse che questa legge egrave valida non solo per i corpi del sistema solare ma in tutto
lrsquoUniverso egrave la Legge di Gravitazione Universale Nel 1798 Cavendish ideograve la bilancia a torsione e
trovograve il valore per la costante G = 667times10⁻sup1sup1 N msup2kgsup2
Bignamino di astronomia
24
Terza legge di Keplero generalizzata
Approssimando lrsquoorbita di un corpo a circolare e considerando trascurabile la massa del corpo
orbitante la condizione di equilibrio per la quale esso orbita egrave data da
119865119888 = 119865119892
119865119900119903119911119886 119888119890119899119905119903119894119891119906119892119886 = 119865119900119903119911119886 119892119903119886119907119894119905119886119911119894119900119899119886119897119890
La forza centrifuga egrave espressa come
119865119888 = 119898 119886119888
E quella gravitazionale (dalla legge di gravitazione universale di Newton) come
119865119892 =119866119872119898
1198862
Sostituendo in formula
119898119886119888 =119866119872119898
1198892
Notiamo che semplificando m otteniamo un modo per esprimere lrsquoaccelerazione
119886119888 =119866119872
1198892
Lrsquoaccelerazione egrave espressa come
119886119888 =1199072
119886=412058721198862
1198792119886=41205872119886
1198792
Sostituendo in formula
41205872119886
1198792=119866119872
1198862
Da cui
1198863
1198792=119866119872
41205872
Formule inverse
119886 = radic119866119872 1198792
41205872
3
119879 = radic412058721198863
119866119872
Bignamino di astronomia
25
119872 =412058721198863
119866 1198792
Nota nel caso in cui la massa del corpo orbitante non fosse trascurabile la terza legge di Keplero
generalizzata diventerebbe
1198893
1198792=119866 (119872 +119898)
41205872
Nel Sistema solare la somma delle due masse si considera uguale alla sola massa del
Sole data la relativa piccola massa dei pianeti
NOTA I corpi lasciati cadere verso il basso quando la resistenza dellrsquoaria egrave trascurabile cadono con la
stessa accelerazione g detta accelerazione di gravitagrave Sulla superficie terrestre lrsquoaccelerazione di
gravitagrave egrave g = 98 ms2 In realtagrave il valore di g cambia da punto a punto percheacute dipende fra lrsquoaltro
dallrsquoaltezza del punto sul livello del mare e dalla sua latitudine Ora che conosciamo la legge di
gravitazione universale possiamo dire che i corpi cadono per effetto della forza di gravitazione che
si esercita tra il corpo e la Terra Allora
119892 =119866119872
1198892
Se il corpo si trova sulla Terra o prossimo alla superficie sostituendo a questa formula i valori relativi
alla massa della Terra e al suo raggio troviamo per lrsquoaccelerazione il valore noto di 98 ms2
Un altro fattore che influisce sul valore di g egrave la rotazione terrestre in quanto ogni corpo su di
essa egrave soggetto ad una forza centripeta per cui
119892rsquo = 119892 minus 1205962 119877119879
ldquoRationem vero harum
Gravitatis proprietatum
ex phaelignomenis nondum
potui deducere amp
hypotheses non fingordquo
ldquoIn veritagrave non sono riuscito a dedurre la causa di
queste proprietagrave della gravitagrave dai fenomeni e non
avanzo ipotesirdquo
Isaac Newton Philosophiae Naturalis Principia
Mathematica liber tertius
Bignamino di astronomia
26
ALCUNE CONSIDERAZIONI SULLE ORBITE
La Legge della Gravitazione Universale ci insegna che la forza drsquoattrazione gravitazionale egrave
inversamente proporzionale al quadrato della distanza delle due masse che si attraggono ovvero
119865 prop1
1198892 a causa di questa caratteristica dellrsquointerazione gravitazionale si puograve dimostrare che le
orbite descritte dai corpi celesti attorno a un oggetto ldquoattrattorerdquo seguono particolari curve le
coniche
Le coniche sono curve che si ottengono dallrsquointersezione di un piano con un cono a due falde Si
ottengono cosigrave circonferenza ellisse iperbole e parabola
Ciograve che distingue lrsquouna dallrsquoaltra queste curve egrave un parametro lrsquoeccentricitagrave
Circonferenza il piano egrave perpendicolare
allrsquoasse (tratteggiato)
Ellisse il piano egrave obliquo
Parabola il piano egrave parallelo a una delle
generatrici (le due rette incidenti in V in
figura)
Iperbole il piano egrave parallelo allrsquoasse del cono
CIRCONFERENZA e=0
ELLISSE 0ltelt1 (piugrave questo valore si avvicina ad 1 piugrave
lrsquoellisse egrave schiacciata)
PARABOLA e=1
IPERBOLE egt1 (quanto piugrave maggiore di uno egrave
questo valore tanto piugrave lrsquoiperbole egrave ldquoapertardquo)
Bignamino di astronomia
27
VELOCITAgrave ORBITALE ORBITA CIRCOLARE
Affincheacute il corpo rimanga in orbita egrave necessario che in ogni punto dellrsquoorbita la forza centripeta sia
uguale alla forza di attrazione gravitazionale
FC = FG
mv2
R=mMG
R2
mv2
R=mMG
R2
v2 =MG
R
119855 = radic119820119814
119825
A questa velocitagrave si dagrave il nome di prima velocitagrave cosmica
VELOCITAgrave SU ORBITE NON CIRCOLARI
Il problema si risolve con lrsquoapplicazione del principio di conservazione dellrsquoenergia meccanica che
altro non egrave che la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale
119922120783 + 119932120783 = 119922120784 + 119932120784
E poicheacute le velocitagrave orbitali variano al variare dalla distanza alla prima equazione egrave necessario
associare la seconda legge di Keplero
Per cui il problema egrave risolto dalla soluzione del sistema
119922120783 + 119932120783 = 119922120784 + 119932120784119959119938 119941119938 = 119959119953119941119953
Nel caso della forza gravitazionale lrsquoenergia potenziale egrave 119880 = minus119898119872119866
119877
Lrsquoenergia cinetica egrave K= 1
21198981199072
Bignamino di astronomia
28
Il sistema diventa
119907119886119889119886 = 1199071199011198891199011
2119898119907119886
2 minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
Le soluzioni sono 119959119938 = radic120784119918119924119941119953
119941119938(119941119953+119941119938) 119959119953 = radic120784119918119924
119941119938
119941119953(119941119953minus119941119938)
Ricordando che 119889119886 = 119886(1 + 119890) 119889119901 = 119886(1 minus 119890) 119938 =119941119938+119941119953
120784 119942 =
119941119938minus119941119953
119941119938+119941119953
le due velocitagrave possono anche essere espresse in funzione del semiasse maggiore e
dellrsquoeccentricitagrave dellrsquoorbita
Quindi
119907119901 = radic119918119924
119938(120783+119942
120783minus119942)
119907119886 = radic119918119924
119938(120783minus119942
120783+119942)
ALCUNE CONSIDERAZIONI DINAMICHE SULLE ORBITE
Allrsquoinizio di questi appunti abbiamo evidenziato come gli oggetti orbitanti seguano delle traiettorie
che sono curve coniche e abbiamo individuato questrsquoultime catalogandole anche a seconda
dellrsquoeccentricitagrave in seguito abbiamo enunciato il principio di conservazione dellrsquoenergia meccanica
119922+119932 = 119940119952119956119957119938119951119957119942
Possiamo procedere nella classificazione delle orbite a seconda del valore assunto da questa
costante (lrsquoenergia meccanica) In particolare
bull Se questa costante egrave negativa allora lrsquooggetto segue unrsquoorbita chiusa (circonferenza
ellisse)
bull Se essa egrave nulla allora il corpo si muove su unrsquoorbita parabolica (a distanza infinita la sua
velocitagrave egrave nulla)
bull Se essa egrave positiva allora la traiettoria egrave iperbolica (e il corpo giunge a distanza infinita con
velocitagrave ndash chiamata ldquovelocitagrave drsquoeccesso iperbolicordquo ndash non nulla)
Bignamino di astronomia
29
VELOCITAgrave DI FUGA ndash RAGGIO DI SCHWARZSCHILD
119959 = radic120784119918119924
119929
A questa velocitagrave si dagrave il nome di seconda velocitagrave cosmica o velocitagrave di fuga
Immaginiamo ora di poter comprimere un corpo celeste di massa M (quindi via via il raggio R
diminuisce) la velocitagrave di fuga di un altro corpo dalla sua superficie aumenteragrave al diminuire del
raggio Quando il raggio raggiungeragrave un valore ldquocriticordquo la velocitagrave di fuga eguaglieragrave quella della
luce e neanche la luce potragrave allontanarsi indefinitamente dal corpo esso egrave diventato un buco nero
Al raggio ldquocriticordquo associato a ogni massa M si dagrave il nome di Raggio di Schwarzschild in onore del
matematico astronomo e astrofisico tedesco Karl Schwarzschild (1873-1916) il raggio si ricava cosigrave
119888 = radic2119866119872
119877119904 rarr 1198882 =
2119866119872
119877119904 rarr 119929119956 =
120784119918119924
119940120784
Dove c egrave la velocitagrave della luce (c=299792458 ms)
Bignamino di astronomia
30
ECLISSI LUNA-SOLE
Eclisse di Luna
Una eclisse di Luna si verifica quando la Terra si interpone tra il nostro satellite ed il Sole cioegrave
quando la Luna entra nel cono drsquoombra della Terra che egrave rivolto dalla parte opposta al Sole e per
tanto lrsquoeclisse piograve avvenire solo quando la Luna egrave in opposizione cioegrave quando egrave piena Poicheacute la
Luna si sposta da ovest verso est essa
entra nel cono drsquoombra della Terra dalla
parte sinistra Se lrsquoorbita della Luna
attorno alla Terra giacesse sullo stesso
piano dellrsquoorbita della Terra attorno al
Sole ad ogni plenilunio avremmo una
eclisse totale di Luna Queste due orbite
sono inclinate di 5deg9rsquo e si incontrano i
due punti che definiscono i nodi Percheacute
si abbia una eclisse Sole e Luna non solo
devono essere allrsquoopposizione ma
devono essere vicinissimi ai nodi In media la distanza angolare del Sole dal nodo deve essere minore
di 9deg9 per unrsquoeclisse parziale e non piugrave di 4deg6 per unrsquoeclisse totale
Calcolo lunghezza cono drsquoombra della Terra
I triangoli VAS e VBT sono simili (vedi figura)
VS VT= AS BT
Ma
VS= VT+ TS
sostituendo si trova che
VT =119879119878∙119861119879
119860119878minus119861119879
Siccome sappiamo che il raggio del Sole egrave circa 10925 raggi terrestri abbiamo
Bignamino di astronomia
31
VT= 119878119879∙119861119879
10925119861119879minus119861119879
VT= 119878119879
10925minus1
La lunghezza del cono drsquoombra si puograve calcolare dividendo la distanza media Terra-Sole per 10925
Si puograve calcolare anche il semidiametro apparente visto dalla Terra dellrsquoombra che la Terra proietta
sul piano dove si trova la Luna
Poicheacute il raggio angolare della Luna egrave di 15rsquo5 percheacute una eclisse di Luna possa avere luogo egrave
necessario che la distanza tra i centri dellrsquoombra terrestre e della Luna sia inferiore a
41rsquo+15rsquo5 = 56rsquo5
Con questo dato si puograve calcolare quanto egrave spostato il centro dellrsquoorbita terrestre dal nodo lunare
Dalla proporzione
119861119879 119877119867 = 119881119879119867119881
119877119867 =119881119867 ∙ 119861119879
119881119879
Dato che
119881119867 = 119881119879 minus 119879119867
119877119867 =119861119879 (119881119879 minus 119879119867)
119881119879=
=119861119879
119881119879(1 minus
119879119867
119881119879) =
Dalla formula precedente
119881119879 =119878119879
10825
Sostituendo
Bignamino di astronomia
32
119877119867 =119861119879 ∙ 10825
119878119879(1 minus 119879119867) =
= 119877119879119864119877119877119860119863119879119878
10825 (1 minus 119863119879119871)
Si trova che questo valore egrave di 10deg6 Quindi unrsquoeclisse lunare si puograve verificare (anche di breve
durata) solo nel caso in cui lrsquoorbita terrestre egrave spostata meno di 10deg6 gradi dal nodo lunare (ad est
o ad ovest)
La Terra si muove lungo lrsquoeclittica di circa 59rsquo al giorno Per percorrere questa distanza impiega 108
giorni e la distanza doppia in 216 giorni poicheacute una rivoluzione sinodica si compie in 295 giorni
Una Luna piena puograve verificarsi ad una distanza superiore ai 10deg6 gradi ad ovest e la successiva Luna
piena ad una distanza superiore ad est e quindi nel corso di questa rivoluzione non si verificheranno
eclissi Si puograve verificare che in un anno non ci siano eclissi o al massimo tre quando la prima cade
poco dopo il primo gennaio la seconda sei mesi dopo (in prossimitagrave di giugno) e la terza a fine
dicembre (dodici mesi sinodici dopo la prima 354 giorni)
Bignamino di astronomia
33
Eclisse di Sole
Uneclissi di Sole si verifica quando la Luna attorno alla sua congiunzione si trova allineata tra la
Terra e il Sole molto vicino ad uno dei nodi o esattamente in esso Bencheacute di dimensioni
estremamente diverse si trovano a distanze tali da mostrare lo stesso diametro apparente Il che
consente alla Luna di coprire il disco del Sole
Percheacute ci sia una eclisse di Sole egrave necessario che
al momento del novilunio il Sole sia distante
dal nodo inferiore in media 15deg5 Questo
valore egrave piugrave alto di quello calcolato per lrsquoeclisse
di Luna e quindi si capisce percheacute le eclissi di
Sole sono piugrave frequenti Il cono drsquoombra
massimo della Luna ha un valore che non
supera i 270km sulla superficie della Terra mentre la lunghezza del cono drsquoombra egrave circa 374000
per cui il vertice di questo cono non sempre raggiunge la Terra in questo caso si hanno eclissi
anulari In localitagrave differenti della Terra lrsquoeclisse di Sole si verifica in tempi diversi Il moto della Luna
attorno alla Terra e la rotazione della Terra attorno al proprio asse fanno sigrave che lrsquoombra lunare si
sposti da ovest verso est formando una striscia drsquoombra lunga un migliaio di km e larga da 200 a 270
km Poicheacute la Luna si sposta da ovest verso est lrsquoeclisse inizia dal bordo ovest del Sole
Condizione percheacute si possa verificare unrsquoeclissi di Sole
Percheacute si verifichi unrsquoeclisse di Sole egrave necessario che nel periodo della Luna nuova questa si trovi in
prossimitagrave di uno dei nodi della sua orbita cioegrave in vicinanza dellrsquoeclittica
Indichiamo con S T L i centri del Sole della Terra della Luna che giacciono tutti su di un piano
perpendicolare al piano dellrsquoeclittica Il verificarsi dellrsquoeclisse dipende dalla latitudine geocentrica
della Luna (nella figura lrsquoangolo LTS (vertice in T) = 120573 )
Dalla figura
Bignamino di astronomia
34
120573 = LTLrsquo+ LrsquoTSrsquo + STSrsquo
Dalla figura si evince che
LTLrsquo egrave il raggio angolare della Luna= 120572119871
STSrsquo egrave il raggio angolare del Sole = 120572119878
120573 = 120572119871 + LrsquoTSrsquo + 120572119878
Lrsquo TSrsquo =
Consideriamo lrsquoangolo TLrsquoO esterno al triangolo TLrsquoSrsquo
TLrsquoO= LrsquoTSrsquo + TSrsquoLrsquo
TLrsquoO= LrsquoTSrsquo + TSrsquoO
LrsquoTSrsquo = TLrsquoO - TSrsquoO
TLrsquoO = 119901119871 = 57prime2primeprime (parallasse orizzontale della Luna)
TSrsquoO= 119901119878 = 8primeprime 8 (parallasse orizzontale del Sole)
120573 = 120572119871 + 120572119878 + 119901119871 - 119901119878
120573 = 15rsquo5 +16rsquo3 +57rsquo2 ndash 8rsquorsquo8
120573 = 88rsquo46
Percheacute si verifichi una eclisse anche di breve durata egrave necessario che la latitudine geocentrica della
Luna sia inferiore a 88rsquorsquo46
La parallasse orizzontale equatoriale della Luna egrave lrsquoangolo sotto il quale dal centro della Luna egrave
visibile il raggio equatoriale della Terra La parallasse orizzontale equatoriale del Sole egrave lrsquoangolo
sotto il quale dal centro del Sole egrave visibile il raggio equatoriale della Terra
Bignamino di astronomia
35
La distanza angolare del centro della Luna rispetto al
nodo (longitudine) si puograve calcolare con la
sinΔ120582 = tan120573
tan 119894
Δ120582 = 16deg5
Il Sole muovendosi alla velocitagrave di 59rsquo al giorno percorre 33deg gradi di eclittica in 34 giorni Essendo
il periodo sinodico di 295 giorni egrave evidente che nel corso di questo periodo si ha una Luna nuova
(ed anche due) Questo assicura che nel corso di un anno si verificano almeno due eclissi di Sole in
vicinanza dei nodi Se la prima si verifica ai primi di gennaio la seconda si ha alla Luna nuova
successiva la terza e la quarta poco meno di sei mesi dopo e la quinta 354 giorni dopo la prima
Bignamino di astronomia
36
Numero totale di eclissi per anno
Il Ciclo di Saros
In base a quanto fin qui detto il numero massimo di eclissi che si possono verificare in un anno egrave 7
bull 2 Luna + 5 Sole
bull 3 Luna + 4 Sole
e viceversa Questa combinazione egrave piuttosto rara lrsquoevento piugrave frequente egrave 2 Luna + 2 Sole Il
numero minimo costituito da due eclissi entrambe di Sole
Fin dallrsquoantichitagrave era noto che le eclissi si succedevano pressocheacute nello stesso ordine in un periodo
di circa 18 anni e 113 giorni La spiegazione egrave alquanto semplice
Le fasi lunari si succedono ogni 2953 giorni (mese sindico) mente il ritorno allo stesso nodo della
Luna avviene ogni 2721 giorni I nodi
hanno un moto di retrogradazione in un
giorno percorre un angolo pari a
3rsquo10rsquorsquo64 e completa il giro in 18anni e
113 giorni Il Sole si sposta di moto
diretto in media di 59rsquo8rsquorsquo33 al giorno
rispetto al nodo Il moto del Sole egrave di
62rsquo19rsquorsquo e quindi lrsquointervallo di tempo fra
due passaggi consecutivi del centro del
Sole per lo stesso nodo egrave di 34662 giorni
(anno draconico) Il saros egrave lrsquointervallo di tempo percheacute questi tre periodi tornino nella stessa
successione La natura si diverte
Succede che
bull 223 lunazioni (223 mesi sinodici) corrispondono a giorni 658519 (223 x 2953)
bull 242 mesi draconici corrispondono a giorni 658502
bull questi giorni corrispondono a 18 anni e circa 11 giorni
Poi succede che se dividiamo questi 658519 per lrsquoanno draconico troviamo circa 19
Questi tre periodi ritornano nella stessa successione dopo circa 6585 giorni che rappresenta il
ciclo di Saros Le condizioni in cui si producono le eclissi non saranno mai le stesse poicheacute essendo
223 mesi sinodici piugrave corti di 004 mesi draconici dopo 18 anni la Luna non si troveragrave esattamente
allo stesso posto rispetto al nodo Il ciclo di Saros contiene 6585 giorni interi piugrave circa 13 di giorni
questo comporta che le zone di visibilitagrave delle eclissi sulla superficie terreste in 18 anni si spostano
di circa 120deg verso Ovest
Bignamino di astronomia
37
ANGOLO SOLIDO
Si definisce angolo solido la porzione di sfera intercettata dalle
semirette che lo individuano
120570 =119860
1198772=41205871198772
1198772= 4120587
120570 = 4120587
Langolo solido totale di una sfera egrave pari a 4π Lunitagrave di misura
egrave sr (steradiante) ed egrave un numero puro
Per avere la misura in gradi quadrati si deve
119898119900119897119905119894119901119897119894119888119886119903119890 4120587 bull (180deg
120587)2
119900 1198891198941199071198941198891198901199031198904120587
1205872
4π sr= 41253deg -gt 1deg=3046 bull 10minus4119904119905119890119903119886119889
STRUMENTI OTTICI
CAMPO DELLO STRUMENTO
Il campo di uno strumento egrave definito dallangolo solido sotto il quale loculare viene visto dal centro
dellobiettivo Il campo corretto dalle aberrazioni ottiche di norma egrave 1
2deg
APERTURA ASSOLUTA
Lapertura assoluta dipende dal diametro D dello strumento La quantitagrave di luce raccolta egrave
proporzionale allarea dellobiettivo cong 1198632
APERTURA RELATIVA
Si definisce apertura relativa il rapporto
119863
119891=119886119901119890119903119905119906119903119886 119886119904119904119900119897119906119905119886 (119889119894119886119898119890119905119903119900)
119891119900119888119886119897119890 119889119890119897119897prime119900119887119894119890119905119905119894119907119900
Bignamino di astronomia
38
RAPPORTO FOCALE
Linverso dellrsquoapertura relativa 119891
119863 definisce il rapporto focale
Lenergia raccolta dallobiettivo egrave distribuita sullarea dellimmagine la cui grandezza sul piano focale
egrave data da
119889 = 119891 bull 119905119886119899120572
Con α=diametro angolare dellrsquooggetto
119889 = 119891120572
Se α egrave espresso in radianti
POTERE RISOLUTIVO
Il potere risolutivo egrave la minima distanza angolare tra due sorgenti di luce che possono essere viste
separate (ldquorisolte in termine tecnico) secondo un criterio detto di Rayleigh
Due sorgenti puntiformi (di uguale luminositagrave) risultano risolte quando la loro distanza angolare
120579 =122 bull 120582
119863=119897119906119899119892ℎ119890119911119911119886 119889prime119900119899119889119886
119889119894119886119898119890119905119903119900
Si ottiene un risultato in radianti
In secondi darco invece
120579 =25 bull 105 bull 120582
119863
Con λ=lunghezza donda della luce=5500Aring (regione di massima sensibilitagrave dellocchio)
Il potere risolutivo dellocchio assumendo la pupilla con un diametro di 3 mm egrave uguale a
120579 =122120582
119863= 122 bull
5500 bull 10minus9119898
3 bull 10minus3119898= 224 bull 10minus4119903119886119889 = 46
Il fattore di conversione da radianti a secondi egrave il NUMERO MAGICO 1 rad = 206265rdquo
Nella determinazione del potere risolutivo interviene lrsquoapertura dello strumento e non
lrsquoingrandimento
Bignamino di astronomia
39
INGRANDIMENTO
Lingrandimento dello strumento egrave dato dal rapporto tra la focale dellobiettivo f e la pupilla
delloculare f
119892 =119891
119891prime
ABERRAZIONE DELLA LUCE
Quando i raggi di una stella arrivano sulla Terra la loro direzione di provenienza
appare leggermente deviata a causa della velocitagrave orbitale del pianeta v I vettori
delle velocitagrave (della luce e del pianeta) si combinano per dare un vettore risultante di
poco inclinato dalla direzione di provenienza dei raggi
119886 = arctan119907
119888
RIFRAZIONE
Il fenomeno della rifrazione ha origine dal cambiamento di
velocitagrave delle onde luminose quando passano da un mezzo
trasparente allrsquoaltro Esiste una proporzione tra le due diverse
velocitagrave e i seni degli angoli 120579119894119899119888119894119889119890119899119911119886 e 120579119903119894119891119903119886119911119894119900119899119890 che i raggi
formano con la linea normale alla superficie nel punto colpito dal
raggio Se consideriamo gli indici di rifrazione 1198991 e 1198992 dei materiali
la proporzione egrave inversa
119904119894119899120579119894119899119888119894119889119890119899119911119886119904119894119899120579119903119894119891119903119886119911119894119900119899119890
=11989921198991=11990711199072
Bignamino di astronomia
40
RIFRAZIONE ATMOSFERICA
Allrsquoentrata nellrsquoatmosfera terrestre i raggi luminosi provenienti da un corpo celeste che si trova a
distanza zenitale z vengono rifratti (deviati verso il basso) di un angolo r Quindi i corpi celesti si
osservano in una posizione leggermente piugrave alta del reale In particolare possiamo vedere oggetti
che si trovano anche sotto lrsquoorizzonte geometrico del luogo (es Il sole al tramonto) La formula
stabilisce che lrsquoangolo di rifrazione egrave proporzionale alla tangente della distanza zenitale
Questa formula vale fino ad angoli 119963 asymp 120789120782deg
Oltre questo valore fino allrsquoorizzonte la rifrazione aumenta fino a raggiungere il valore massimo di
35rsquo
119903 = 582 tan (119911)
Bignamino di astronomia
41
RIASSUMENDOhellip
CENNI TEORICI SUI TELESCOPI
Il telescopio egrave uno strumento che raccoglie la luce o altre radiazioni elettromagnetiche
provenienti da un oggetto lontano la concentra in un punto (detto fuoco) e ne produce
unimmagine ingrandita Possiamo paragonare un telescopio a un ldquogrande occhiordquo che
sopperisce al fatto che la nostra pupilla di dimensioni ridotte riesce a raccogliere un
quantitativo insufficiente di luce emessa da un oggetto lontano Un telescopio egrave
caratterizzato dalle seguenti componenti e grandezze
bull OBIETTIVO egrave la parte del telescopio rivolta verso lrsquooggetto da osservare Il suo
diametro D prende il nome di APERTURA Telescopi con una grande apertura sono
capaci di raccogliere piugrave luce e di fornire unrsquoimmagine a piugrave alta risoluzione
Lrsquoobiettivo fa convergere i raggi luminosi in un punto il fuoco la cui distanza
dallrsquoobiettivo egrave chiamata LUNGHEZZA FOCALE
bull OCULARE la parte del telescopio (nel caso di telescopi ottici) che raccoglie la luce
proveniente dallrsquoobiettivo e che la trasmette poi allrsquoocchio Anche per lrsquooculare egrave
possibile definire una LUNGHEZZA FOCALE
Ingrandimento
Lrsquoingrandimento di un telescopio egrave dato dal rapporto fra la lunghezza focale dellrsquoobiettivo e
la lunghezza focale dellrsquooculare
119894 = 119891119900119887119891119900119888 Rapporto focale
Rapporto esistente tra la lunghezza focale dellrsquoobiettivo e lrsquoapertura stessa del telescopio
119865 =119891119900119887
119863 negli strumenti egrave specificato da una F seguita da un numero (es F4 F45 F6hellip)
Campo visivo
Esso egrave dato dal rapporto fra il campo visivo apparente dellrsquooculare (lrsquoampiezza angolare
dellrsquoimmagine fornita dallrsquooculare soltanto) e il numero di ingrandimenti
119865119900119881 =119865119900119881119900119888119894
Pupilla drsquouscita
Essa egrave il diametro del fascio luminoso che esce dallrsquooculare
119901 =119863
119894
Potere risolutivo
Esso egrave lrsquoangolo minimo che deve separare due oggetti affincheacute lo strumento li possa
distinguere egrave dato dal criterio di Rayleigh
120599(119903119886119889) =122120582
119863 120599deg =
699120582
119863 120582 119897119906119899119892ℎ119890119911119911119886 119889prime119900119899119889119886 119889119890119897119897119886 119897119906119888119890 119900119904119904119890119903119907119886119905119886
Bignamino di astronomia
42
Magnitudine limite
Egrave la magnitudine visuale massima che puograve essere osservata con uno strumento di apertura
D (in cm)
119898119897119894119898 = 68 + 5119897119900119892119863
Ingrandimento minimo utile
egrave lrsquoingrandimento che fornisce una pupilla drsquouscita pari al diametro della pupilla umana (6-7
mm)
119894119898119894119899 = 119863(119898119898)7
Formula di Dawes
Ci consente di trovare lrsquoapertura di un telescopio che gli consenta di distinguere un oggetto
che si vede sotto un angolo α
119863(119898119898) =120
120572
Dimensioni dellrsquoimmagine sul piano focale
Lrsquoimmagine che si forma sul piano focale di un telescopio con lunghezza focale dellrsquoobiettivo
f relativa a un oggetto di dimensione angolare α egrave
119897 = 2119891 tan (1205722)
Bignamino di astronomia
43
ELEMENTI DI ASTROFISICA
Tutte le informazioni che riceviamo dalle stelle ci provengono dalla ldquolucerdquo che emettono1 Egrave solo
attraverso lrsquoanalisi e la ldquodecodificazionerdquo dei messaggi contenuti in questa radiazione
elettromagnetica che egrave la luce che noi possiamo ottenere informazioni sulle proprietagrave fisiche e
chimiche delle stelle e delle galassie
La radiazione elettromagnetica
Una radiazione elettromagnetica egrave dal punto di vista dellrsquoelettromagnetismo classico un fenomeno
ondulatorio dovuto alla contemporanea propagazione di perturbazioni periodiche di un campo
elettrico e di un campo magnetico oscillanti su piani tra di loro ortogonali Le stelle emettono
tipicamente radiazione di ldquocorpo nerordquo e come tale irradiano energia in tutte le lunghezze drsquoonda
secondo una distribuzione che viene chiamata spettro della radiazione elettromagnetica
I parametri che permettono di distinguere tra loro le varie radiazioni elettromagnetiche sono
1) In realtagrave un altro ldquocanalerdquo di trasmissione delle informazioni per la comprensione dei fenomeni celesti si egrave aperto
grazie ai risultati positivi ottenuti dagli interferometri per onde gravitazionali LIGO e VIRGO in particolare gli
interferometri menzionati il 17 agosto 2017 hanno rilevato un segnale di onda gravitazionale (rilevazione
annunciata poi ufficialmente il 16 ottobre dello stesso anno) mentre altri telescopi in orbita e a terra sono riusciti
a individuare per la prima volta la sua controparte elettromagnetica lrsquoevento che ha generato il segnale egrave stato
la collisione di due stelle di neutroni (che ha portato a unrsquoesplosione nota col termine di kilonova ) nella galassia
NGC 4993 esso ha segnato la nascita della cosiddetta ldquoastronomia multi-messaggero per il fatto che egrave stato
possibile confrontare due ldquolinguaggirdquo diversi permettendo cosigrave di ampliare le frontiere della conoscenza di
questi fenomeni ldquoestremirdquo
Bignamino di astronomia
44
Parametri di unrsquoonda
Come tutti i fenomeni ondulatori la radiazione elettromagnetica egrave caratterizzata da questi
parametri
Lunghezza drsquoonda 120640
la lunghezza drsquoonda tra due creste o tra
due ventri Si misura in metri eo con i
suoi sottomultipli
Periodo T
lrsquointervallo di tempo misurato in
secondi in cui avviene unrsquooscillazione
completa ovvero lintervallo di tempo
impiegato dallonda per ritornare nella
medesima posizione (per esempio il
tempo intercorso tra due creste o tra
due ventri successivi
Frequenza 120650 egrave il numero di creste che si susseguono nello stesso posto nellrsquounitagrave di
tempo egrave lrsquoinverso del periodo
120592 =1
119879
Frequenza che si misura in Hertz (Hz) pari ad unrsquooscillazione al secondo
119867119911 = 1119904minus1
Ampiezza A rappresenta la variazione massima dellrsquoonda Lrsquoampiezza di unrsquoonda
periodica egrave lrsquoaltezza di una sua cresta
Intensitagrave di unrsquoonda egrave proporzionale al quadrato dellrsquoampiezza
Potenza ogni onda porta con seacute unrsquoenergia e quindi una potenza Tale potenza decresce
con il quadrato della distanza dalla sorgente
La lunghezza drsquoonda λ e la frequenza ν di una radiazione elettromagnetica sono grandezze legate
tra loro dalla relazione
120582 ∙ 120592 = 119888
(c ndashla velocitagrave della luce- nel vuoto ha un valore di 299 792 458 ms) Questa formula ci dice che le
due grandezze sono inversamente proporzionali
Bignamino di astronomia
45
La radiazione elettromagnetica puograve essere interpretata come un insieme di ldquopacchettirdquo di energia a
cui si dagrave il nome di fotoni grazie a questi ldquopacchetti energeticirdquo la luce puograve interagire con la materia
a livello microscopico per esempio puograve eccitare un elettrone in un atomo cedendo a esso la sua
energia Continuando il paragone possiamo immaginare che piugrave la radiazione egrave intensa piugrave i
pacchetti sono numerosi piugrave la radiazione cresce di frequenza piugrave essi sono ldquocapientirdquo
Questrsquoultima caratteristica egrave descritta dalla Legge di Planck che lega lrsquoenergia del fotone alla sua
frequenza
119864 = ℎ ∙ 120584
(dove h egrave la costante di Planck)
119864 = ℎ119888
120582
EQUIVALENZA MASSA- ENERGIA Tra lrsquoenergia e la massa esiste una fondamentale relazione
scoperta dal fisico Albert Einstein espressa dallrsquoequazione
119864 = 1198981198882
dove c egrave la velocitagrave della luce (pari a 3 middot 108 ms) Lequazione di Einstein implica che energia e massa
sono equivalenti la massa puograve essere trasformata in energia e lenergia puograve essere trasformata in
massa Ciograve comporta il principio di conservazione della massa-energia non vi egrave conservazione della
massa o dellenergia considerate separatamente ma vi egrave conservazione dellinsieme delle due a una
diminuzione della massa pari a m deve corrispondere un aumento dellenergia pari a m middot c2
Poicheacute il prodotto m middot c2 egrave un numero molto grande la trasformazione di una massa anche molto
piccola di materia determina la produzione di una quantitagrave enorme di energia come avviene per
esempio nelle reazioni di fissione e di fusione nucleari (queste ultime avvengono nel nucleo delle
stelle si veda per una maggiore comprensione il problema 2 della sezione Miscellanea)
Bignamino di astronomia
46
Grandezze fotometriche
Flusso luminoso Quantitagrave di energia luminosa emessa da una determinata sorgente nellunitagrave di tempo Lo indichiamo con la lettera Φ Lunitagrave di misura nel SI egrave il lumen (lm) 1 watt = 683 lumen
Illuminamento Rapporto tra il flusso luminoso ricevuto da una superficie e larea della superficie stessa ( E=
120593
119878 )
Lunitagrave di misura nel SI egrave il lux (lx) ovvero il lumen al metro quadrato (lm1198982)
Nota Dalla definizione di illuminamento si ricavano due importanti corollari di natura geometrica che risultano molto utili per comprendere la distribuzione della luce nello spazio
1) Per una sorgente puntiforme la diminuzione del livello di illuminamento su di una superficie varia in relazione al quadrato della distanza dalla fonte raddoppiando la distanza dalla fonte il livello di illuminamento sulla superficie diviene quindi frac14
2) Il livello drsquoilluminamento su di una superficie egrave massimo quando i raggi luminosi giungono perpendicolari ad essa e diminuisce proporzionalmente al loro angolo drsquoincidenza secondo la relazione E = 119864119899 cosi 119864119899egrave 119897
prime illuminamento normale i lrsquoangolo drsquoincidenza tra raggi luminosi e la normale alla superficie
Immagine dal web (fonte VOLTIMUM)
Bignamino di astronomia
47
Intensitagrave luminosa Flusso luminoso emesso allinterno dellangolo solido unitario in una direzione data
119868 = 119864 =120593
120596
ed egrave una grandezza vettoriale Lunitagrave di misura nel SI egrave la candela (cd)
Luminanza La luminanza egrave il rapporto tra lrsquointensitagrave luminosa di una sorgente nella direzione di un osservatore e la superficie emittente apparente cosigrave come viene vista dallrsquoosservatore stesso
119871 = 119868
119878 119888119900119904120572
120572 egrave 119897prime119886119899119892119900119897119900 compreso tra la direzione di osservazione e lrsquoasse perpendicolare alla superficie emittente La luminanza si esprime in cd1198982
Bignamino di astronomia
48
Parametri fisici delle stelle
Le grandezze fondamentali che permettono di caratterizzare le stelle sono
la distanza (d)
lo spettro della radiazione em emessa
la luminositagrave totale o bolometrica (L)
la temperatura superficiale (T)
il raggio (R)
la massa (M)
Le stelle possono essere approssimate a corpi neri in quanto le uniche onde elettromagnetiche che
non vengono assorbite dalla loro superficie sono quelle aventi una lunghezza donda di dimensione
pari o maggiore del diametro della stella stessa Per studiare le proprietagrave dellrsquoemissione continua
delle stelle egrave utile introdurre il concetto di corpo nero
Corpo nero
Il corpo nero egrave un corpo che assorbe tutta la radiazione che gli cade sopra Appare perfettamente nero percheacute assorbe il 100 della radiazione che incide su di esso e non ne riflette nessuna Il corpo nero egrave un oggetto teorico nessun materiale assorbe tutta la radiazione incidente Il corpo nero ha uno spettro di emissione caratteristico che dipende solo da un parametro la temperatura Lo studio della radiazione emessa dal corpo nero ha portato alla formulazione delle seguenti leggi
bull La legge (di spostamento) di Wien la frequenza massima 120584119898119886119909 di uno spettro di corpo nero a temperatura T cresce linearmente con T
120584119898119886119909 prop T il che comporta una proporzionalitagrave inversa fra la temperatura assoluta e la lunghezza drsquoonda
120582119898119886119909 119879 = 119887
b = 29 10minus3 m∙K
Per cui si ha
120582119898119886119909 T = 29 10minus3 m∙K
Bignamino di astronomia
49
bull Legge di Stefan-Boltzmann lenergia erogata per unitagrave di
superficie e per unitagrave di tempo egrave proporzionale alla quarta
potenza della temperatura T
119868 = 1205901198794
Applicazioni in astrofisica
Stefan-Boltzmann per una stella che approssimiamo ad una sfera di raggio R e superficie S= 41205871198772
la legge di Stefan-Boltzmann diventa
L= 41205871198772 120590T4
Poicheacute le stelle non sono dei corpi neri perfetti la temperatura egrave la temperatura efficace quella che
la superficie della stella avrebbe se si comportasse da corpo nero
Flusso e Luminositagrave
120593= 119871
41205871198892
Il flusso di energia egrave dato dal rapporto fra la lrsquoenergia emessa
dalla stella nellrsquounitagrave di tempo e la superficie della sfera di
raggio pari alla distanza d dalla stella Quindi si vede che il flusso
misurato sulla superficie terrestre dipende dalla luminositagrave
della stella e dalla sua distanza
Bignamino di astronomia
50
I LOGARITMI
Il termine logaritmo egrave composto da due parole greche logos = ragione e arithmos = numero
ldquoNumero di ragionirdquo questa definizione appare naturale pensando alla ragione delle progressioni
aritmetiche e geometriche che sono alla base della costruzione di Nepero
La storia di come nasce questo procedimento di
calcolo egrave molto interessante qui ci piace
evidenziare che la motivazione alla base della
scoperta dei logaritmi ed anche il motivo del loro
successo fu la ricerca di efficienti strumenti di
calcolo in grado di alleggerire il pesante fardello
di cui erano gravati gli astronomi del tempo i
quali per poter predire il corso dei pianeti si
dovevano confrontare con grandi difficoltagrave di
calcolo Basta pensare al calcolo dellrsquoorbita del
pianeta Marte del povero Keplero Quando Nepero pubblicograve il suo lavoro sui logaritmi gli
astronomi dissero che aveva regalato loro metagrave della vita I logaritmi rendono infatti possibile
trasformare prodotti in somme quozienti in differenze elevamenti a potenza in prodotti e
calcoli di radici in quozienti le operazioni vengono molto semplificate
Che cosa egrave un logaritmo
Generalmente si risponde che egrave una operazione inversa
Partiamo da una operazione conosciuta lrsquoestrazione di radice quadrata di un numero
radic25 = 5
La radice quadrata di 25 egrave quel numero che elevato a due restituisce 25 cioegrave il numero 5 infatti 52 =
25 Concludiamo dicendo che la radice egrave lrsquooperazione inversa dellrsquoelevamento a potenza
Il concetto di logaritmo egrave abbastanza simile a quello della radice quadrata solo che non ci riporta al
numero di partenza ma al suo esponente
Introduciamo la scrittura
log5 25 = 2
questa la scriviamo
52 =25
Definiamo logaritmo di un numero b (argomento del logaritmo) quel numero a cui bisogna elevare
la base per ottenere il numero b In notazione matematica
log119886 119887 = x
119886119909 = b
Anche il logaritmo egrave lrsquooperazione inversa dellrsquoelevamento a potenza
Bignamino di astronomia
51
log2 8 = x
la domanda egrave ldquoqual egrave lrsquoesponente che devo dare alla base (2) per ottener il numero (8)rdquo
Scriviamo applicando la definizione
2119909 = 8
e siccome
8 = 23
Allora
2119909 = 23
e perciograve
x=3
(se le basi sono uguali lrsquouguaglianza saragrave verificata se saranno uguali anche gli esponenti)
Egrave abbastanza evidente che i logaritmi e le potenze rappresentano due modalitagrave di scrittura diversa ma
rappresentano la stessa cosa
Osservazione importante la base dei logaritmi ed il numero devono essere numeri reali
positivi in piugrave la base deve anche essere diversa da 1
bgt 0
0 lt a lt1
agt 1
Quindi per esempio non esistono log2(minus5) log1 12 119890119888119888
Bignamino di astronomia
52
Proprietagrave dei logaritmi
Il logaritmo del prodotto di 2 o piugrave numeri positivi corrisponde alla somma dei logaritmi dei
singoli fattori
(Nota 119886119909 ∙ 119886119910 = 119886119909+119910)
Il logaritmo del quoziente di 2 numeri positivi egrave eguale alla differenza tra il logaritmo del
dividendo e il logaritmo del divisore
(Nota 119886119909119886119910 = 119886119909minus119910)
Il logaritmo della potenza a esponente reale di un numero positivo egrave uguale al prodotto
dellesponente per il logaritmo del numero
Una estensione di questa ultima proprietagrave egrave
log119886 radic119887119898119899
= log119886 119887119898
119899
(che possiamo scrivere come 119898
119899log119886 119887)
A volte per calcolare un logaritmo puograve risultare utile effettuare un cambiamento di base
Il loga b la cui base egrave a puograve essere scritto utilizzando unrsquoaltra base per esempio il numero c
Ricorda inoltre che
log119886 1 = 0 (119894119899119891119886119905119905119894 1198860 = 1) 119890 log119886119886 = 1 (119894119899119891119886119905119905119894 1198861 = 119886)
Bignamino di astronomia
53
Se la base di un logaritmo egrave il Numero di Nepero (chiamato meno frequentemente anche Numero
di Eulero e indicato con e = 2718281828459hellip) allora il logaritmo prende il nome di logaritmo
naturale e si indica con ln
Quindi se vediamo 1198971198995 niente paura Si tratta di log119890 5
Se la base di un logaritmo egrave 10 il logaritmo prende il nome di logaritmo decimale e la base
generalmente si omette questo tipo di logaritmo egrave il piugrave usato in astrofisica
Quindi se vediamo 1198971199001198927 ciograve vuol dire log10 7
I logaritmi sono utilizzati nella vita di tutti i giorni ad esempio il gommista quando misura la
pressione di una gomma utilizza uno strumento con una scala non lineare ma logaritmica le scale
sulla macchina fotografica sono logaritmiche i nostri organi di senso sono logaritmici Questo ci
permette di percepire un intervallo di informazioni molto piugrave esteso di quello che avremmo se i nostri
sensi fossero lineari Pogson quando capigrave che il nostro occhio percepisce una differenza di una
magnitudine ( per le magnitudini consulta le pagine successive del Bignamino) tra due stelle quando
il rapporto tra le loro luminositagrave egrave uguale a 25 e che questo conserva la classificazione di Ipparco
formulograve la sua formula in funzione del logaritmo del rapporto delle loro luminositagrave
Niente paura
Oggi avete le calcolatrici e non si
devono utilizzare le famigerate tavole
logaritmiche che si utilizzavano un
tempo per calcolare un logaritmo
Bisogna solo stare attenti ad utilizzare
CORRETTAMENTE la calcolatrice
Nepero
Bignamino di astronomia
54
Magnitudine delle stelle
Quando si guarda il cielo si vede subito che le stelle ci appaiono piugrave o meno brillanti (o luminose) ovvero sembrano avere diversa intensitagrave luminosa Gli astronomi descrivono la luminositagrave stellare osservata in termini di magnitudine apparente m Nel II secolo aC Ipparco di Nicea utilizzando lrsquounico strumento a sua disposizione (lrsquoocchio umano) introdusse una classificazione delle stelle in 6 classi di luminositagrave che chiamograve MAGNITUDINI La scala scelta dai Ipparco prevedeva che le stelle piugrave luminose venissero collocate nella prima classe quelle un porsquo meno luminose nella seconda e giugrave giugrave fino a quelle appena visibili a occhio nudo collocate nella sesta classe Con lrsquoosservazione del cielo attraverso gli strumenti si pose il problema di estendere la scala delle grandezze anche alle stelle non visibili ad occhio nudo Un grossissimo contributo venne dallo studio della fisiologia dellrsquoocchio strumento sul quale erano state fatte le prime classificazioni La risposta dellrsquoocchio umano agli stimoli luminosi non egrave di tipo lineare la reazione alla luce de reagisce alla sensazione della luce in modo logaritmico Pogson egrave riuscito a dare una formulazione matematica alla scala delle magnitudini individuata da Ipparco Pogson ipotizzograve che il rapporto fra le intensitagrave luminose di una stella di prima e di sesta grandezza era pari a 100 Se I1 e lrsquointensitagrave luminosa di una stella di magnitudine m1 ed I2 lrsquointensitagrave di una stella di
magnitudine m2 se m1 - m2 = -5 ed il rapporto I1
I2= 100
m1 - m2= K log I1
I2
-5=K2 K= -25
m1 - m2= -25 log I1
I2
Lrsquoequazione di Pogson spiega il percheacute la magnitudine decresce quando lrsquointensitagrave luminosa cresce Quando si parla di intensitagrave luminosa di una stella in realtagrave ci si riferisce al flusso di energia 120593 che
abbiamo visto essere legato alla luminositagrave dalla 120593= 119871
41205871198892
Se nella formula di Pogson m1 - m2= -25 log I1
I2 sostituiamo alle intensitagrave luminose il flusso si
ottiene (a paritagrave di luminositagrave)
m1 - m2= -5 log d2
d1
La magnitudine apparente di una stella dipende dalla distanza
Bignamino di astronomia
55
E se la stella apparentemente piugrave debole fosse in realtagrave piugrave brillante ma piugrave lontana Per rispondere a questa domanda egrave stata introdotta la scala delle magnitudini assolute indipendente dalla distanza Per costruire questa scala egrave stata presa una distanza di riferimento pari a 10pc Quale saragrave la magnitudine di una stella di cui si conosce la distanza e la magnitudine apparente se viene posta alla distanza di 10pc
M- m= -5 log 119889
1119900119901119888
M-m = 5-5logd Questa ultima viene anche indicata come modulo di distanza Questa scala consente di poter confrontare la luminositagrave intrinseca delle stelle M =magnitudine assoluta (stella alla distanza di 10pc) m =magnitudine apparente d = distanza della stella in pc
Se vogliamo calcolare la magnitudine complessiva di due o piugrave sorgenti luminose egrave errato ritenere
di poter sommare le magnitudini Infatti possiamo sommare i flussi ma le magnitudini dipendono
da essi in relazione logaritmica La relazione che ci permette di determinare la cosiddetta
magnitudine integrata (ossia la magnitudine complessiva ldquototalerdquo) di n oggetti di magnitudine
m1m2hellipmn egrave la seguente
119898119894119899119905 = minus25log (10minus041198981 + 10minus041198982 +⋯+ 10minus04119898119899)
Magnitudine apparente di alcuni oggetti celesti da sinistra verso destra
Sole Luna piena Venere Sirio Vega Magnitudine limite dellrsquoocchio
Magnitudine limite di un telescopio magnitudine limite dellrsquoHubble
Bignamino di astronomia
56
Se invece vogliamo calcolare la magnitudine superficiale di un oggetto esteso di superficie angolare
S (misurata in arcmin2 o arcsec2) ossia la magnitudine di un quadratino di superficie di lato uguale
a 1 arcsec2 o 1 arcmin2 allora applichiamo la seguente formula
119898119878119906119901 = 119898119894119899119905 + 25 log(119878)
Se S egrave misurata in arcmin2 la msup egrave espressa in magarcmin2 Se S egrave misurata in arcsec2 msup egrave
espressa in magarcsec2
Bignamino di astronomia
57
Redshift (spostamento verso il rosso)
Su grandi scale le galassie si stanno allontanando con velocitagrave proporzionale alla distanza tutte le
galassie si stanno allontanando tra di loro tra loro Lo stesso spazio-tempo si sta espandendo e sta
portando le galassie con seacute
NOTA Il redshift cosmologico non egrave dovuto allrsquoeffetto Doppler non egrave dovuto ai moti relativi delle
galassie Le cause e le grandezze fisiche coinvolte sono completamente diverse
Il redshift cosmologico egrave lo spostamento relativo in
frequenza di unonda elettromagnetica dovuto
allespansione delluniverso Si spiega ipotizzando che le
lunghezze donda varino allo stesso modo delle distanze per
effetto dellespansione delluniverso La lunghezza donda egrave
proporzionale al fattore di scala delluniverso
La cosmologia moderna nasce con la legge di Hubble
v=Hd
che lega in modo proporzionale la velocitagrave v di allontanamento delle galassie alla loro distanza d (H egrave la costante di Hubble) le galassie piugrave distanti si allontanano piugrave velocemente Questa legge deriva da osservazioni che mostravano che tutte le righe spettrali delle galassie sono spostate verso il rosso (redshift) e che tale effetto egrave proporzionale alla luminositagrave apparente delle galassie legata alla loro distanza Il redshift misura quindi la velocitagrave di allontanamento di una galassia ed egrave definito come segue
119911 =120582119900119887119904 minus 120582119905119890119900119903
120582119905119890119900119903
La legge di Hubble ci dice che la velocitagrave di allontanamento delle galassie egrave proporzionale alla loro
distanza
119907 = 119867119889
H egrave la costante di Hubble il cui valore attualmente stimato egrave attorno a H= 2176 ∙ 10minus18 Hz
(6715 kmMpc s) d egrave la distanza della galassia
Maggiore egrave la distanza della galassia tanto maggiore saragrave il redshift
z=119867119889
119888
Bignamino di astronomia
58
Per z≪ 1 vale lrsquoapprossimazione del redshift come effetto Doppler (zasymp119907
119888 ) e quindi z egrave
direttamente proporzionale alla velocitagrave di allontanamento delle galassie
bull Redshift relativistico
bull Redshift gravitazionale
La relativitagrave generale prevede che la luce che si muove attraverso campi gravitazionali molto
intensi sperimenteragrave uno spostamento verso il rosso o verso il blu
Il redshift gravitazionale (chiamato anche spostamento di Einstein) egrave dovuto dal fatto che un
fotone quando emerge da un campo gravitazione perde energia e quindi presenta uno
spostamento verso il rosso che dipende dallrsquointensitagrave del campo gravitazionale misurata nel
punto in cui si trova il fotone
z= 119866119872
1199031198882
Questa 119904119890 119903 ≫ 119903119904
119903119904 = 2119866119872
1198882
(raggio di Schwarzschild)
(M massa della stella r raggio della stella)
La formula generale egrave
z= 1
radic1minus119903119904 -1
Bignamino di astronomia
59
PROBLEMI ED ESERCIZI
bull SISTEMI DI RIFERIMENTO E COORDINATE ASTRONOMICHE
1 Quando la stella Rigel (δ= -8deg 13rsquo) passa al meridiano di Roma (φ=41deg55rsquo) a quale
altezza si trova
Soluzione Quando la stella Rigel passa al meridiano di Roma essa raggiunge la
posizione di culminazione superiore in corrispondenza del punto cardinale Sud
Dunque la sua altezza sullrsquoorizzonte egrave pari allrsquoaltezza dellrsquoEquatore celeste alla
latitudine di Roma (90deg-φ) sommata alla declinazione dellrsquoastro Dunque
hRigel=90deg-φ+δ=90deg-41deg55rsquo-8deg13rsquo=39deg52rsquo
2 A quale latitudine comincia a essere visibile la stella Canopo (δ=-52deg40rsquo) appena
allrsquoorizzonte
Soluzione Affincheacute la stella Canopo sia appena visibile allrsquoorizzonte per un
osservatore posto alla latitudine φ egrave necessario che lrsquoEquatore celeste abbia
unrsquoaltezza sullrsquoorizzonte pari al valore assoluto della sua declinazione Quindi egrave
necessario che 90deg-φ=|δ| e cioegrave φ=90deg-|δ|=90deg-52deg40rsquo=37deg20rsquo [In realtagrave bisogna tenere conto dellrsquoeffetto della rifrazione atmosferica che ldquoalza le stellerdquo o
equivalentemente ldquoabbassa lrsquoorizzonterdquo di un angolo di 35rsquo Quindi in realtagrave Canopo si puograve
osservare anche a una latitudine leggermente piugrave settentrionale pari a 37deg20rsquo+0deg35rsquo=37deg55rsquo
circa]
3 Quale curva descrive lrsquoombra di uno stilo verticale posto al polo nord il 21 giugno
Qual egrave il rapporto fra la lunghezza l dellrsquoombra e lrsquoaltezza h dello stilo
Soluzione Il 21 giugno il Sole ha declinazione massima pari al valore dellrsquoobliquitagrave
dellrsquoeclittica quindi circa 23deg27rsquo Dal momento che al polo nord lrsquoorizzonte coincide
con lrsquoEquatore celeste e i paralleli celesti si trovano quindi su piani paralleli
allrsquoorizzonte la rotazione diurna non contribuiragrave a far tramontare il Sole che
descriveragrave una circonferenza nel cielo pertanto la curva descritta dallo stilo verticale
egrave una circonferenza Il rapporto lh egrave il reciproco della tangente dellrsquoaltezza del sole
pari a 23deg27rsquo 119897
ℎ=
1
11990511988611989923deg27prime=23
4 (PROBLEMA GARA INTERNAZIONALE 2002) I Cinesi nel 1100 aC avevano trovato
che lrsquoaltezza del Sole a mezzodigrave era 79deg7rsquo nel solstizio estivo e 31deg19rsquo in quello
Bignamino di astronomia
60
invernale A quale latitudine hanno fatto lrsquoosservazione e qual era allora lrsquoobliquitagrave
dellrsquoEclittica
Soluzione La media aritmetica dei valori delle due culminazioni del sole a mezzodigrave al
solstizio estivo ed invernale egrave pari allrsquoaltezza dellrsquoEquatore celeste Quindi
90deg minus 120593 =ℎ119890119904119905119886119905119890 + ℎ119894119899119907119890119903119899119900
2rarr 120593 = 90deg minus
ℎ119890119904119905119886119905119890 + ℎ1198941198991199071198901199031198991199002
= 34deg47prime
Lrsquoobliquitagrave dellrsquoeclittica egrave la differenza fra lrsquoaltezza massima del sole e lrsquoaltezza
dellrsquoEquatore celeste
휀 = ℎ119890119904119905119886119905119890 minus (90deg minus 120593) = 79deg7prime minus 90deg + 34deg47prime = 23deg54prime
[In generale lrsquoobliquitagrave dellrsquoeclittica varia da 21deg55rsquo a 24deg20rsquo con un periodo di circa 40000
anni]
bull I MOTI DELLA TERRA E LA MISURA DEL TEMPO
5 In quale istante di tempo siderale la stella Castore (α=7h 33m 31s δ=+31deg55rsquo35rdquo ) egrave
alla culminazione inferiore
Soluzione Alla culminazione inferiore la stella Castore ha un angolo orario pari a 12h
Il tempo siderale ossia lrsquoangolo orario del punto gamma egrave uguale alla somma di
angolo orario e ascensione retta di una generica stella in questo caso
TS=α+H=7h 33m 31s + 12h= 19h 33m 31s
6 Se in un dato giorno una stella passa al meridiano inferiore alle 21 a quale ora
(allrsquoincirca) vi passeragrave un mese dopo
Soluzione Lrsquoora a cui si riferisce il problema egrave per esempio quella indicata da un
normale orologio quindi egrave un tempo solare medio e non siderale Siccome nel corso
di un mese la stella non cambia la sua posizione rispetto al punto gamma se il
problema avesse chiesto lrsquoora siderale della successiva culminazione inferiore la
risposta sarebbe stata comunque ldquoalle 21rdquo siccome perograve il problema si riferisce a un
tempo solare medio dobbiamo tenere conto della differenza tra giorno solare e
giorno siderale questrsquoultimo egrave piugrave corto del primo di un valore pari a circa 4 minuti
(piugrave esattamente 3min 56s) Siccome un mese contiene mediamente 30 giorni la
stella anticiperagrave la sua culminazione di circa 4min30=120min=2h e quindi culmineragrave
allrsquoincirca alle 19
7 Una cittagrave A egrave posta alla longitudine 43deg12rsquo E di GW (Greenwich) Quando in A lrsquoorologio
segna le 20h35m siderali in unrsquoaltra cittagrave B lrsquoorologio segna le 23h12m siderali Qual
egrave la longitudine di B
Soluzione La differenza dei due tempi siderali che lrsquoorologio segna in A e in B egrave uguale
alla differenza delle longitudini dei due luoghi Quindi
Bignamino di astronomia
61
∆120582 = 120549119879119878 rarr 120582119861 minus 120582119860 = 119879119878119861 minus 119879119878119860 rarr 120582119861 = 119879119878119861 minus 119879119878119860 + 120582119860(119890119904119901119903119890119904119904119886 119894119899 119900119903119890)
= 23ℎ12119898 minus 20ℎ35119898 + 2ℎ53119898 = 5ℎ30119898
= (119905119903119886119904119891119900119903119898119900 119894119899 119892119903119886119889119894) = 82deg30prime
8 Quanto tempo egrave necessario affincheacute il punto gamma passi da un segno zodiacale a un
altro
Soluzione Il punto gamma non egrave fisso nel cielo bensigrave per via di uno dei moti millenari
della Terra il moto di precessione esso si sposta di circa 50rdquo allrsquoanno lungo lrsquoEclittica
Dal momento che i segni zodiacali sono dodici in media ognuno di essi occupa un
settore lungo lrsquoEclittica pari a 36012=30deg=108000rdquo Ne discende che il tempo
necessario affincheacute il punto gamma copra questa distanza angolare risulta pari a
t=(108000rdquo50rdquo)anni=2160 anni circa
9 La Terra impiega circa 23 ore e 56 minuti a compiere una rotazione completa attorno
al proprio asse Con quale velocitagrave tangenziale si muove un punto allrsquoequatore per
effetto del moto di rotazione della Terra Quanto vale lrsquoaccelerazione centripeta che
agisce su questo punto Quale forza centripeta agisce su un corpo di massa 13 kg
allrsquoequatore
Soluzione Il problema incentrato sul moto di rotazione terrestre (il moto dei punti
della Terra attorno allrsquoasse terrestre) egrave un semplice esercizio di cinematica
Conoscendo il periodo e la lunghezza della circonferenza equatoriale (poicheacute egrave noto
che il raggio della Terra ha un valore di 6378 km) egrave possibile determinare la velocitagrave
di rotazione allrsquoequatore il moto egrave circolare uniforme
119907 =2120587119877
119879=2120587120591 ∙ 6378119896119898
2393ℎ= 1674
119896119898
ℎ
Lrsquoaccelerazione centripeta vale
119886 =1199072
119877=(1674 divide 36)2
6378000= 339 ∙ 10minus3
119898
1199042
Per la seconda legge della dinamica la forza centripeta su un corpo di massa m allora
vale
119865 = 119898119886 = 13 ∙ 339 ∙ 10minus3 = 441 ∙ 10minus3119873
bull IL CIELO VISTO DALLA TERRA E LA LUNA
10 Due stelle equatoriali hanno parallassi 0rdquo022 e 0rdquo034 esse hanno AR 12h13m e
13h12m rispettivamente Quantrsquoegrave in parsec la loro reciproca distanza
Soluzione Lrsquoangolo fra la direzione con cui si proietta in cielo la prima stella e la
direzione della seconda stella egrave pari alla differenza delle ascensioni rette le stelle
sono infatti equatoriali cioegrave hanno declinazione nulla ΔAR=13h12m-
Bignamino di astronomia
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12h13m=(trasformando in gradi)=14deg75 La loro distanza dallrsquoosservatore egrave in
parsec pari al reciproco della parallasse
d1=(1P1)=10022=455pc d2=(1P2)=10034=294pc
Il problema chiede in sostanza di calcolare un lato di un triangolo con vertici
nellrsquoosservatore e nelle due stelle (in particolare il lato con estremi nelle due stelle)
noti lrsquoangolo opposto a tale lato e gli altri due lati possiamo quindi usare il Teorema
di Carnot (o teorema del coseno)
119909 = radic11988912 + 1198892
2 minus 211988911198892 cos(∆119860119877) = 186 119901119888
11 Sapendo che il periodo siderale di rotazione del Sole allrsquoEquatore egrave di 25 giorni
trovare il periodo di rivoluzione sinodica cioegrave quello che appare visto dalla Terra
Soluzione Prendiamo un punto sullrsquoEquatore del Sole esso si muove con un periodo
siderale (cioegrave riferito a una stella lontana) pari come indicato dalla traccia a 25
giorni Il problema egrave del tutto analogo al calcolo del tempo sinodico di un pianeta
interno visto dalla Terra noti i periodi di entrambi i corpi 1
119878=
1
119879119904119900119897119890minus
1
119879119905119890119903119903119886rarr 119878 =
119879119905119890119903119903119886119879119904119900119897119890119879119905119890119903119903119886 minus 119879119904119900119897119890
=36525 ∙ 25
36525 minus 25119889 =
913125
34025119889 = 2684119889
12 A quale distanza da uno schermo deve essere posta una sfera di raggio R affincheacute
illuminata dal Sole non generi ombra ma solo penombra (il diametro apparente del
Sole sia 32rsquo)
Soluzione Concettualmente il problema egrave equivalente alla situazione di unrsquoeclisse
lrsquordquoosservatorerdquo egrave lo schermo mentre fra esso e il Sole si frappone un ostacolo Esso
intercettando i raggi solari genera dietro di seacute un cono drsquoombra e molto piugrave ampio
di questo una zona di penombra Il cono si restringe dalla parte opposta del Sole
rispetto alla sfera Se il vertice del cono si trova sullo schermo allora nessun punto
dello schermo si troveragrave in ombra percheacute il cono non interseca lo schermo In questa
configurazione lrsquoangolo sotto cui viene vista la sfera dallo schermo egrave di 32rsquo ovvero
053deg da cui si ha 119877
119889= tan (0532) e cioegrave d=[1 tan(0265)]R=2148 R circa la sfera
devrsquoessere posta a una distanza dallo schermo maggiore di 2148 volte circa il suo
raggio
13 Il 29 marzo 2006 si egrave verificata unrsquoeclisse totale di Sole visibile dallrsquoAfrica
settentrionale e dal Mediterraneo orientale Quale fase aveva la luna il 29 marzo 2007
cioegrave esattamente un anno dopo
Bignamino di astronomia
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Soluzione Le eclissi di Sole si verificano quando la Luna si interpone fra il Sole e la
Terra oscurando una fascia sulla superficie del nostro pianeta con il suo cono
drsquoombra pertanto la Luna rivolge a noi in questrsquooccasione la sua faccia non
illuminata dal Sole e pertanto egrave nuova Conosciamo inoltre il periodo in cui si ripetono
le fasi lunari egrave il mese sinodico la cui durata egrave pari a 295306 giorni Lrsquointervallo
considerato (un anno in cui il 2007 non egrave bisestile) egrave pari a 365 giorni Siccome
365295306=1236 ossia 12 mesi lunari e 11 giorni se ne deduce che lrsquoetagrave della Luna
al 29 marzo 2007 era di 11 giorni quindi essa era in una fase intermedia tra primo
quarto e Luna piena
bull LA GRAVITArsquo
14 Lrsquoalieno Bzzapp ha appena comprato una navicella in grado di creare nuovi pianeti
nel suo girovagare un giorno incappa nel nostro Sistema Solare decide cosigrave di creare
con la sua astronave qualche nuovo pianeta Lrsquoamico Zorzzp gli dagrave prima una regola
dicendogli che questi pianeti devono trovarsi in una fascia compresa fra 2 UA e 7
UA in piugrave il loro periodo di rivoluzione devrsquoessere pari a un numero intero di anni
Qual egrave il numero massimo di pianeti che Bzzapp potragrave creare con la sua navicella
conformemente alla regola di Zorzzp
Soluzione Per la risoluzione del problema egrave necessaria la Terza legge di Keplero
considerando che ci troviamo nel nostro Sistema Solare e che quindi la costante di
proporzionalitagrave fra cubo del semiasse maggiore e quadrato del periodo di rivoluzione
per un generico corpo orbitante attorno al Sole quando esprimiamo il semiasse in
UA e il periodo in anni risulta pari a 1
1198791 = radic11988613 = 283 119910
1198792 = radic11988623 = 1852 119910
Come possiamo vedere i periodi ldquopossibilirdquo sono
34567891011121314151617 e 18 anni Bzzapp potragrave creare ben 16 pianeti
15 Disponendo come dati noti dei soli periodi di rivoluzione dei pianeti si indichi la
lunghezza minima che deve avere un foglio di carta per poter rappresentare in scala
il Sistema Solare fino a Nettuno nellrsquoipotesi di voler rappresentare Mercurio a una
distanza dal Sole di 1 cm
Soluzione Mercurio ha un periodo di rivoluzione pari a 0241 anni mentre Nettuno
16488 anni quindi per la Terza legge di Keplero 119886119872 = radic11987911987223= 0387119880119860 119890 119886119873 =
radic11987911987323= 30069 119880119860
Con una semplice proporzione ricaviamo la lunghezza del foglio di carta
119886119872 119886119873 = 1 119909 rarr 119909 =30069
0387119888119898 asymp 777 119888119898
Bignamino di astronomia
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16 A quale distanza dalla superficie della Terra per unrsquoastronave che viaggia verso la
Luna si annulla la risultante delle forze gravitazionali che agiscono su di essa (il
rapporto massa della Terra massa della Luna egrave pari a 8125)
Soluzione La distanza Terra-Luna egrave pari a d=384400 km Quando lrsquoastronave si trova
fra il nostro pianeta e il suo satellite le due forze di natura gravitazionale che
agiscono su di essa sono la forza di attrazione della Terra e quella della Luna agenti
nella stessa direzione ma aventi verso opposto Chiamando x la distanza che separa
la navicella dal centro della Terra possiamo esprimere in funzione di x la distanza che
separa la navicella dalla Luna essendo essa pari a d-x Eguagliamo le due forze di
attrazione gravitazionale per trovare x 119866119872119879119898
1199092=
119866119872119871119898
(119889 minus 119909)2
Operando le dovute semplificazioni (G e la massa dellrsquoastronave) e dividendo
119909
119889 minus 119909= radic
119872119879
119872119871= radic8125 = 901
119909 =901119889
1001= 090 lowast 384400119896119898 = 346013119896119898
Il problema viene considerato parzialmente corretto se ci si ferma a questo punto
percheacute esso chiede la distanza dalla superficie terrestre mentre x egrave misurata dal
centro della Terra pertanto la soluzione corretta egrave D=x-R=(346013-
6378)km=339635km
17 Osservando la stella Canopo con un telescopio potentissimo lrsquoastronomo Qwzzz ha
scoperto due pianeti orbitanti attorno a essa le cui orbite sono esattamente
perpendicolari alla nostra linea di vista La distanza massima del primo pianeta da
Canopo egrave uguale a 47 volte la sua distanza minima e il suo periodo di rivoluzione egrave
pari a 27 anni Il secondo pianeta avente eccentricitagrave pari a 0324 al periapside egrave 3
volte piugrave lontano rispetto al primo (quando questrsquoultimo si trova nella corrispondente
posizione) Quanto vale lrsquoeccentricitagrave del primo pianeta e il periodo di rivoluzione del
secondo
Soluzione Chiamiamo 1 il primo pianeta e 2 il secondo
11988911988611198891199011
= 47 =1198861(1 + 1198901)
1198861(1 minus 1198901)rarr1 + 11989011 minus 1198901
= 47 rarr 1198901 = 0649
1198891199012
1198891199011=1198862(1 minus 1198902)
1198861(1 minus 1198901)= 3 rarr
11988621198861=(1 minus 1198901)1198891199012
1198891199011(1 minus 1198902)= 3 (
1 minus 0649
1 minus 0324) = 1558
Per la Terza legge di Keplero
11987922 = (
11988621198861)3
11987912 rarr 1198792 = 27 119910radic15583 = 524 119910
Bignamino di astronomia
65
bull TERZA LEGGE DI KEPLERO 1 Calcolare il semiasse maggiore dellrsquoorbita di Giove in kilometri sapendo che il suo periodo
di rivoluzione egrave 119879119866 = 37411 ∙ 106 119904
Soluzione
119879119866(119886119899119899119894) =119879119866(119904119890119888119900119899119889119894)
(119904119890119888119900119899119889119894 119894119899 119906119899 119886119899119899119900)=
37411 ∙ 106 119904
3600 ∙ 24 ∙ 365 ∙119904
119886119899119899119900
= 11863 119886119899119899119894
Impostando la terza legge di Keplero e imponendo che 119870 =1 1198861198991198991199002
1 1198801198603
1198792
1198863= 119870 =gt 119886119866(119880 119860 ) = radic[119879119866(119886119899119899119894)]2
3= radic(11863 119886119899119899119894)2
3= 52 119880 119860 =
= 77792 ∙ 106 119896119898
2 Calcolare il periodo di rivoluzione di Marte in giorni sapendo che il suo semiasse maggiore
misura 119886119872 = 2279 ∙ 109 119898
Soluzione
119886119872(119880 119860 ) =119886119872(119898)
1496 ∙ 109 ∙119898119880 119860
=2279 ∙ 109 119898
1496 ∙ 109 ∙119898119880 119860
= 152 119880 119860
Impostando la terza legge di Keplero e imponendo che 119870 =1 1198861198991198991199002
1 1198801198603
1198792
1198863= 119870 =gt 119879119872(119886119899119899119894) = radic[119886119872(119880 119860 )]3 = radic(152 119880 119860 )3 = 187 119886119899119899119894 = 684 119892119894119900119903119899119894
3 Approssimando lrsquoorbita di Venere a una circonferenza calcolare la velocitagrave media v del
pianeta intorno al Sole sapendo che il suo periodo di rivoluzione egrave 119879119881 = 1941 ∙ 106 119904
Soluzione
119879119881(119886119899119899119894) =119879119881(119904119890119888119900119899119889119894)
(119904119890119888119900119899119889119894 119894119899 119906119899 119886119899119899119900)=
1941 ∙ 106 119904
3600 ∙ 24 ∙ 365 ∙119904
119886119899119899119900
= 061 119886119899119899119894
Impostando la terza legge di Keplero e imponendo che 119870 =1 1198861198991198991199002
1 1198801198603
1198792
1198863= 119870 =gt 119886119881(119880 119860 ) = radic[119879119881(119886119899119899119894)]2
3= radic(061 119886119899119899119894)2
3= 072 119880 119860 = 1076 ∙ 106 119896119898
119907 =2120587119886119881119879119881
=2120587 ∙ 1076 ∙ 106 119896119898
1941 ∙ 106 119904= 3483
119896119898
119904
Bignamino di astronomia
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Risoluzione del sistema per il calcolo delle velocitagrave su orbite non circolari
119907119886119889119886 = 1199071199011198891199011
2119898119907119886
2 minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
1198891198861
2119898119907119886
2 minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
11988911988612119898119907119901
21198891199012
1198891198862
minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886121199071199012119889119901
2
1198891198862
minus1
21199071199012 =
119866119872
119889119886minus119866119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
1198891198861
21199071199012 (1198891199012
1198891198862minus 1) = 119866119872(
1
119889119886minus1
119889119901)
119907119886 =
119907119901119889119901
1198891198861
21199071199012 (1198891199012 minus 119889119886
2
1198891198862
) = 119866119872(119889119901 minus 119889119886
119889119886119889119901)
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886
1199071199012 = 2119866119872 (
119889119901 minus 119889119886
119889119886119889119901)(
1198891198862
1198891199012 minus 119889119886
2)
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119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886
1199071199012 = 2119866119872 (
119889119901 minus 119889119886
119889119886119889119901) [
1198891198862
(119889119901 + 119889119886)(119889119901 minus 119889119886)]
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886
119959119953 = radic120784119918119924119941119938
119941119953(119941119953 + 119941119938)
Sostituendo la formula appena trovata nella prima equazione si ottiene
119959119938 = radic120784119918119924119941119953
119941119938(119941119953 + 119941119938)
Possiamo scrivere le due velocitagrave anche in funzione (cioegrave in dipendenza) del semiasse maggiore e
dellrsquoeccentricitagrave dellrsquoorbita Se chiamiamo il semiasse maggiore dellrsquoorbita ellittica a valgono le
seguenti relazioni
119889119886 = 119886(1 + 119890) 119889119901 = 119886(1 minus 119890)
Quindi
119907119901 = radic2119866119872119886(1 + 119890)
119886(1 minus 119890)[119886(1 minus 119890) + 119886(1 + 119890)]= radic2119866119872
1 + 119890
(1 minus 119890)[119886(1 minus 119890 + 1 + 119890)]
= radic2119866119872
2119886(1 + 119890
1 minus 119890) = radic
119918119924
119938(120783 + 119942
120783 minus 119942)
Sostituendo anche nel caso di 119881119886
119907119886 = radic119918119924
119938(120783 minus 119942
120783 + 119942)
Si ricorda inoltre che
119938 =119941119938 + 119941119953
120784 119942 =
119941119938 minus 119941119953
119941119938 + 119941119953
Bignamino di astronomia
68
ESERCIZIO
Un pianeta sta cadendo sulla sua stella seguendo una traiettoria rettilinea se si conosce
lrsquoaltezza di caduta h si determini il tempo di caduta t
Per risolvere questo problema si potrebbe erroneamente pensare di applicare le leggi del moto
rettilineo uniformemente accelerato (come nel caso di una penna che cade dalla scrivania)
Consideriamo perograve un corpo (di massa m) che si trova a una certa altezza dal suolo la sua forza peso
equivale alla forza di attrazione gravitazionale tra il corpo e il pianeta (di raggio R e massa M) su cui
si trova
119898119892 =119898119872119866
(119877 + ℎ)2 119888119894119900egrave 119892 =
119866119872
(119877 + ℎ)2
Come possiamo vedere lrsquoaccelerazione di gravitagrave g non si mantiene costante al variare dellrsquoaltezza
ma varia noi la assumiamo costante al suolo e pari a circa 981 ms^2 solo percheacute in quel caso Δhasymp0
Quindi non possiamo applicare le leggi del moto rettilineo uniformemente accelerato a questo
problema Come risolverlo allora
Allrsquoinizio di questi appunti abbiamo evidenziato che lrsquoeccentricitagrave di unrsquoellisse indica quanto lrsquoellisse
egrave ldquoschiacciatardquo se dunque lrsquoeccentricitagrave tende a 1 la traiettoria tende a un segmento
Quindi possiamo assumere che il pianeta cada seguendo unrsquoorbita ellittica con eccentricitagrave prossima
a 1 e dunque semiasse maggiore a pari a h2 (vedi figura)
Se conosciamo la massa M della stella possiamo applicare la III legge di Keplero generalizzata
1198792
1198863=41205872
119866119872 rarr 119879 = radic
41205872
1198661198721198863 rarr 119879 = radic
41205872
119866119872(ℎ
2)3
rarr 119879 = radic1205872
2119866119872ℎ3
Naturalmente questo egrave il periodo completo dellrsquoorbita Il periodo di caduta egrave la metagrave
119905 =119879
2
a a
h
Bignamino di astronomia
69
Problemi 1 Coordinate celesti e tempo
Ci troviamo in un luogo di latitudine 120593 = 42deg 30prime15primeprime 119873 e longitudine 120582 = 15deg 28prime18primeprime119864
Osserviamo una stella di ascensione retta 5h 32 min 3 sec e declinazione -00deg 15rsquo 20rdquo che
passa al meridiano alle 2030 del 14012020 A quale altezza culminava Quale era la sua
distanza zenitale In quale data dallo stesso luogo e allo stesso orario si egrave potuto vederla
sorgere ad est
Soluzione
Lrsquoaltezza massima di una stella (quando culmina) egrave data dalla relazione
ℎ = 90deg minus 120593 + 120575
Quindi
ℎ = 90deg minus 42deg30prime15 minus 0deg 15 20= 47deg 14 25
La distanza zenitale egrave invece data da 119911 = 90deg minus 120593 = 90deg minus 47deg 14prime25primeprime = 42deg 45prime35primeprime
Un dato importante per poter rispondere alla terza richiesta egrave sapere che le stelle
ldquoanticipanordquo il loro sorgere di 3 119898119894119899 56 119904119890119888119892119894119900119903119899119900
Quindi per sapere quanti giorni prima la stella sorgeva ad est (m)
119898 =120572
Δ119905=
(5ℎ32min3sec)
3119898119894119899 56sec119892119894119900119903119899119900= 84 119892119894119900119903119899119894
84 giorni prima del 14012020 era il 21102019
2 Coordinate e tempo
Il tempo siderale di un luogo (120593 = 28deg 30prime45primeprime119878 120582 = 90deg 23prime50primeprime119882 ) egrave di 9h 3min 45sec
Quale egrave il tempo siderale di GW
Soluzione Il primo passaggio da fare egrave trasformare la longitudine del luogo da gradi in ore
Quindi
15deg 1ℎ = 90deg 23prime50primeprime 120582
120582 = 90deg 23prime50primeprime ∙1ℎ
15deg = 6ℎ 1min3533119904119890119888
Il tempo siderale del luogo egrave legato a quello di GW dalla seguente relazione
119879119904 = 119879119866119908 + 120582
Quindi 119879119866119908 = 119879119904 minus 120582 = 9ℎ3min 45119904119890119888 minus (minus 6ℎ1min 3533sec ) = 9ℎ3min 45119904119890119888 +
6ℎ1min 3533sec = 15ℎ 5min 20119904119890119888
Bignamino di astronomia
70
PROBLEMI E QUESITI SULLA MISURA DEL TEMPO
Problema 1 In un dato luogo a che ora di tempo siderale culmina il Sole medio in un dato giorno
sapendo che sedici giorni prima esso culminava alle 15h 12m 48s di tempo siderale
Se ci troviamo a Belo Horizonte (longitudine λ=43deg56rsquo16rdquo W) al mezzogiorno vero e lrsquoequazione del
tempo per quel giorno egrave pari a ET=-8m7s che ora segna lrsquoorologio dellrsquoosservatore
Soluzione problema 1 La prima richiesta del problema si risolve tenendo conto che giorno solare
medio e giorno siderale hanno diversa durata infatti il giorno siderale egrave piugrave corto del giorno solare
medio di circa 3m56s Pertanto se in un dato giorno il punto gamma e il Sole medio hanno raggiunto
la culminazione nel medesimo istante il giorno successivo il Sole medio culmineragrave 3m56s dopo il
punto gamma Quindi il Sole accumuleragrave un ritardo pari a 163m56s=1h2m56s che andragrave sommato
allrsquoora siderale data dal problema TS=15h 12m 48s + 1h 2m 56s= 16h 15m 44s
Se a Belo Horizonte egrave mezzogiorno vero vuol dire che sono le 12h di tempo solare vero Lrsquoequazione
del tempo egrave la differenza fra tempo solare medio e tempo solare vero quindi
TSM-TSV=ET TSM=TSV+ET=12h ndash 8m 7s= 11h 51m 53s lrsquoorologio dellrsquoosservatore egrave perograve in
accordo col tempo del meridiano centrale del fuso di Belo Horizonte che ha longitudine 3h W
mentre Belo Horizonte ha longitudine 2h 55m 45s W essa egrave quindi piugrave avanti di 3h-2h 55m 45s=4m
15s lrsquoorologio segneragrave quindi le ore 11h 51m 53s ndash 4m 15s= 11h 47m 38s
Problema 2 A Bergamo (λ= 9deg 40rsquo 12rdquo E) i raggi del Sole in un dato momento si proiettano
esattamente sulla linea della meridiana di Cittagrave Alta In quel dato giorno lrsquoequazione del tempo egrave
+5m 12s se il tempo siderale a mezzanotte di quel giorno a Greenwich risultava pari a 3h 21m 20s
qual egrave il tempo siderale a Greenwich nellrsquoistante del problema
Soluzione problema 2 La longitudine di Bergamo espressa in ore minuti e secondi egrave 38m 41s E Se
il disco luminoso si proietta sulla linea meridiana egrave mezzogiorno vero quindi il tempo solare medio
saragrave pari a TSM= TSV + ET= 12h + 5m 12s= 12h 5m 12s Greenwich si trova 38m 41s a ovest di
Bergamo quindi egrave anche 38m 41s indietro a Greenwich sono quindi le 12h 5m 12s ndash 38m 41s= 11h
26m 31s Sono passate quindi 11h 26m 31s dalla mezzanotte per convertire questo tempo medio
in tempo siderale moltiplichiamo per il fattore di conversione 3662536525
ΔTS (Greenwich)= (3662536525)(114419444 h)= 114732394h = 11h 28m 24s Quindi a
Greenwich sono le 3h 21m 20s + 11h 28m 24s= 14h 49m 44s di tempo siderale
Quesito Si valuti argomentando opportunamente come varia lrsquoEquazione del Tempo nel corso
dellrsquoanno solare se in un piano cartesiano in ascissa indichiamo lrsquoET e in ordinata la declinazione del
Sole che curva si ottiene
Risposta Lrsquoequazione del tempo si annulla quattro volte lrsquoanno a metagrave aprile a metagrave giugno verso
Natale e ai primi di settembre il sole medio e il sole vero culminano contemporaneamente (1) Da
Natale a metagrave aprile il sole medio anticipa il sole vero (2) da metagrave aprile a metagrave giugno il sole vero
anticipa il sole medio da metagrave giugno a inizio settembre come (1) e da inizio settembre a Natale
come (2) Oltre a ldquooscillare in orizzontalerdquo in un anno il sole ldquooscilla in verticalerdquo nel senso che
Bignamino di astronomia
71
assume declinazioni da 23deg27rsquo a -23deg27rsquo La curva che si ottiene egrave quindi una sorta di ldquo8rdquo chiamata
analemma essa egrave anche la curva che egrave formata dalle posizioni in cielo del sole vero registrate a
mezzogiorno medio locale ogni giorno dellrsquoanno
Figura 1 Analemma decET
Figura 2 Analemma visualizzato nel cielo di Atene
Problema 3 Una stella di ascensione retta AR=11h 12m 13s culmina in un dato luogo della Terra alle
ore 13h 04m 02s di tempo medio Considerando che a Greenwich culmina una stella con ascensione
retta 8h 11m 58s dire che orario segna lrsquoorologio dellrsquoosservatore in quel dato luogo della Terra
Soluzione Il tempo siderale in un dato luogo egrave uguale allrsquoascensione retta delle stelle che si trovano
a culminare al meridiano superiore Quindi in questo luogo della Terra il tempo siderale egrave pari a 11h
12m 13s a Greenwich il tempo siderale egrave pari a 8h 11m 58s Notiamo come il luogo dove si trova
lrsquoosservatore ha longitudine est infatti egrave piugrave avanti di Greenwich di circa 3 ore quindi egrave piugrave a Est di
Greenwich La differenza fra lrsquoora siderale dellrsquoosservatore e quella a Greenwich dagrave la longitudine
del luogo (differenza fra longitudine del luogo e longitudine di Greenwich che egrave 0 percheacute il suo
meridiano egrave origine delle longitudini)
λ= TSrsquo-TS(GW)= 11h 12m 13s ndash 8h 11m 58s= 3h 0m 15s E Questo luogo segue il meridiano che ha
longitudine 3h E quindi egrave in anticipo rispetto a esso di appena 15s pertanto il suo orologio segneragrave
le ore 13h 04m 02s ndash 15s= 13h 03m 47s
Bignamino di astronomia
72
bull STELLE E MAGNITUDINI SISTEMI STELLARI ESTESI
1 Pochi giorni fa si egrave registrato un nuovo oggetto che si comporta apparentemente
come una binaria a eclisse Tuttavia il periodo non egrave stabile la magnitudine
dellrsquooggetto egrave in genere pari a 2432 ma ogni 7-11 secondi sale a 2452 per 02-03
secondi Dopo unrsquoaccurata analisi del problema si egrave capito che lrsquooggetto splendente egrave
costituito dagli occhi di un gruppo di gatti assolutamente neri seduti su un piccolo
corpo del sistema solare nero e con gli sguardi rivolti verso il sole Uno dei gatti batte
ogni tanto le palpebre Quanti gatti ci sono
Soluzione Sia N il numero di occhi la cui determinazione egrave richiesta dal problema
Quando il gatto nero del problema chiude gli occhi il numero di occhi che
contribuisce alla magnitudine complessiva scende di due unitagrave (N-2) Se
consideriamo che gli occhi dei gatti sono tutti gli stessi ciascuno di essi ci invia un
flusso pari a F Avendo entrambe le magnitudini corrispondenti alla situazione ldquotutti
gli N occhi apertirdquo (2432) e ldquoN-2 occhi apertirdquo (2452) possiamo scrivere la formula
di Pogson tenendo conto dei flussi complessivi
119898119898119894119899 minus119898119898119886119909 = minus25119897119900119892 [119865 lowast (119873 minus 2)
119865 lowast 119873]
119873 minus 2
119873= 10
119898119898119886119909minus11989811989811989411989925 = 10minus008 = 0832 rarr 119873 =
2
0168asymp 12 119900119888119888ℎ119894 ossia 6 119892119886119905119905119894
2 La galassia di Andromeda ha una magnitudine apparente integrata mv = 440 e appare in cielo come unrsquoellisse i cui semiassi hanno dimensioni angolari di circa 190 arcmin e 60 arcmin Sapendo che la sua distanza egrave di circa 254 milioni di anni luce calcolare la magnitudine assoluta e la magnitudine apparente superficiale media della galassia (Gara Interregionale Categoria Senior 2018)
Soluzione La distanza della galassia di Andromeda in pc egrave 119889(119901119888) =254 10^63262= 77810^3 119901119888 La magnitudine assoluta egrave data dalla relazione 119872119907 = 119898119907 + 5 minus 5 log 119889(119901119888) = -201 Per calcolare la magnitudine apparente superficiale dobbiamo calcolare lrsquoarea apparente della galassia A = π a b = 120587 190 ∙ 60 = 358 ∙ 103 1198861199031198881198981198941198992 cong 129 ∙ 106 119886119903119888119904119890119888^2 La magnitudine apparente superficiale (msup) si ottiene dalla relazione 119898119904119906119901 = 119898119907 +25 log 119860 cong 158119898119886119892119886119903119888119898119894119899^2 cong 247119898119886119892119886119903119888119904119890119888^2 3 Si consideri una stella variabile ldquopulsanterdquo la cui magnitudine assoluta varia
nellrsquointervallo M1= 325 e M2= 226 con una temperatura effettiva che al massimo di luminositagrave egrave T2= 5500 K e al minimo di luminositagrave egrave T1 = 5000 K Calcolare quanto varia il raggio della stella tra il minimo e il massimo di luminositagrave Esprimere il
Bignamino di astronomia
73
risultato come rapporto tra raggio massimo e raggio minimo e come differenza tra i due raggi in km (Gara Interregionale Categoria Senior 2017)
Soluzione La luminositagrave di una stella egrave definita dalla relazione 119871=4 120587 119877^2 120590 119879^4 Per ricavare il rapporto tra i raggi al massimo e minimo di luminositagrave utilizziamo la formula di Pogson 1198722minus 1198721= minus 25log(11987121198711)=minus 25log[4120587(1198772)^2 120590 (1198792)^4][4120587(1198771)^2 120590 (1198791)^4]= -
25log[(11987721198771)^2 (11987921198791)^4] e quindi 0396 = log[(11987721198771)^2 (11987921198791)^4] =119897119900119892 [(11987721198771)^2 1464] da cui 0396=2log(11987721198771)+log1464 ovvero 0115= 119897119900119892 (11987721198771) e infine (119929120784119929120783)=120783120785120782 Per ottenere la differenza in km calcoliamo il raggio della stella al massimo di luminositagrave confrontando i suoi dati con una stella di caratteristiche note il Sole Avremo quindi 1198722minus 119872s=minus 25log[(1198772119877s)^2 (1198792119879s)^4] e quindi 103 = 2 log R2 ndash 2 log Rs + 4 log 09519
da cui si ricava 1198772=2513 ∙ 10^3 119896119898cong361 119877s e 1198771=1933 ∙ 10^3 119896119898cong278 119877s la variazione del raggio in km vale quindi ΔR = 580 ∙ 103 km
4 La supergigante rossa Betelgeuse ha una magnitudine apparente m1=+042 e
una parallasse π1=0005rdquo mentre la supergigante blu Rigel ha una magnitudine
apparente m2=+013 e una parallasse π2=0004rdquo Quale delle due stelle egrave
intrinsecamente piugrave luminosa Qual egrave la piugrave lontana (Gara interregionale Categoria Senior 2015) Soluzione Affincheacute si possa determinare quale delle due stelle sia piugrave luminosa intrinsecamente egrave necessario ricorrere al calcolo delle magnitudini assolute delle due stelle possiamo calcolare la magnitudine assoluta di una stella conoscendo la magnitudine apparente della stessa e la sua parallasse tramite la relazione
119872 = 119898 + 5 + 5119897119900119892120587 119900119907119890 119897119886 119901119886119903119886119897119897119886119904119904119890 egrave 119890119904119901119903119890119904119904119886 119894119899 119886119903119888119900119904119890119888119900119899119889119894 Nel caso nostro
1198721 = 1198981 + 5 + 51198971199001198921205871 = +042 + 5 + 51198971199001198920005 = minus608 (119861119890119905119890119897119892119890119906119904119890)
1198722 = 1198982 + 5 + 51198971199001198921205872 = +013 + 5 + 51198971199001198920004 = minus687 (119877119894119892119890119897)
Essendo la magnitudine assoluta di Rigel minore di quella di Betelgeuse allora Rigel egrave intrinsecamente piugrave luminosa di Betelgeuse Possiamo giagrave da questo risultato comprendere quale stella sia piugrave distante delle due infatti Rigel egrave sia apparentemente sia assolutamente piugrave luminosa di Betelgeuse quindi egrave necessario che essa sia piugrave distante di Betelgeuse affincheacute ciograve si verifichi A riprova di ciograve la parallasse di Rigel egrave minore di quella di Betelgeuse essendo essa piugrave lontana La distanza di Rigel in parsec egrave 1π2=250 pc mentre quella di Betelgeuse egrave 1π1=200 pc
da cui d2gtd1
Bignamino di astronomia
74
bull COSMOLOGIA ELEMENTARE
5 Un team di scienziati osserva una nuova galassia e ne analizza lo spettro la riga H-alfa
dellrsquoidrogeno che ha in laboratorio una lunghezza drsquoonda pari a 656281 Aring ha nello spettro della galassia una lunghezza drsquoonda di 656933 Aring Si determini la distanza della galassia Soluzione per prima cosa calcoliamo il redshift della galassia
119911 =∆120582
120582=120582119900119904119904 minus 120582119897119886119887
120582119897119886119887=656933 minus 656281
656281= 9935 lowast 10minus4
Applichiamo la legge di Hubble-Lemaitre
119888119911 = 1198670119889 rarr 119889 =119888119911
1198670= 299792458
119896119898
119904lowast 9935 lowast
10minus4
719= 414 119872119901119888
6 Osservando lrsquoesplosione di una supernova in una lontana galassia due scienziati notano che la riga H-beta dellrsquoidrogeno osservata nello spettro ha esattamente la stessa lunghezza drsquoonda della riga H-alfa osservata in laboratorio Tuttavia i due scienziati usano valori diversi per la costante di Hubble Usando valori che differiscono di ΔH=H2-H1=14 kmsMpc ottengono valori diversi per la magnitudine assoluta della supernova al massimo M1=-1902 e M2=-1864 Trovare quanto valgono per ciascuno dei due scienziati il redshift e la distanza della galassia (XXIII International Astronomy Olympiad ndash Colombo Sri Lanka Theoretical Round Group β Exercise 1) Soluzione Il redshift misurato dai due scienziati egrave lo stesso per entrambi esso infatti dipende dalle lunghezze drsquoonda osservate che secondo quanto affermato nella traccia sono le stesse per entrambi gli scienziati La lunghezza drsquoonda della riga H-alfa egrave pari a 6563 Aring mentre la lunghezza drsquoonda della riga H-beta egrave pari a 4861 Aring Il redshift per definizione egrave dunque pari a
119911 =120582119867minus119886119897119891119886minus120582119867minus119887119890119905119886
120582119867minus119887119890119905119886= 035
Conoscendo la relazione nota come ldquomodulo di distanzardquo (relazione fra mag Apparente e mag Assoluta) possiamo scrivere
1198721 = 1198981 + 5 minus 51198971199001198921198891 1198722 = 1198982 + 5 minus 51198971199001198921198892
Ma le due magnitudini apparenti dellrsquooggetto debbono necessariamente coincidere dal momento che esse sono dati puramente osservativi (non derivano cioegrave da elaborazioni di dati precedenti) possiamo quindi sottrarre membro a membro le due relazioni precedenti semplificando le due magnitudini apparenti
1198721 minus1198722 = 5119897119900119892 (11988921198891) rarr
11988921198891= 10
1198721minus11987225 = 0839
Possiamo scrivere il seguente sistema
1198892 = 08391198891H2 minus H1 = 14
119888119911
1198672= 0839
119888119911
1198671H2 minus H1 = 14
1198672 = 11911986711198672 minus 1198671 = 14
1198671 =
7368119896119898119904
119872119901119888
1198672 =8768
119896119898119904
119872119901119888
Bignamino di astronomia
75
Da cui finalmente d1=czH1=2997924580357668=13684 Mpc dz=czH2=2997924580538768=11967 Mpc
bull MISCELLANEA
1 Una galassia egrave composta da stelle tutte simili al nostro Sole Essa mostra uno
spostamento verso il rosso della riga Hα (λ=656281 Aring) di ampiezza pari a Δλ= 15 Aring
Essa risulta inclinata rispetto alla perpendicolare alla linea di vista di un angolo di 30deg
e si sa che il suo raggio egrave pari a 37000 anni luce Nel cielo appare come un oggetto di
magnitudine superficiale msup= 2478 magarcsec2
Quanto vale la massa della galassia
Soluzione Ci viene fornita dalla traccia la magnitudine superficiale della galassia vista
dalla Terra essa indica la magnitudine di una ldquoporzionerdquo della galassia di superficie
pari a 1 arcsec2 Di conseguenza la magnitudine complessiva della galassia devrsquoessere
legata alla sua superficie angolare allora dobbiamo conoscere le dimensioni angolari
della galassia abbiamo le dimensioni angolari quindi dobbiamo ricavare la distanza
della galassia
Calcoliamo per prima cosa il redshift z
119911 =∆120582
120582=
15
656281= 229 ∙ 10minus4
Con la legge di Hubble-Lemaitre ricaviamo la distanza
119888119911 = 1198670119889 119889 =119888119911
119867119900=300 ∙ 105 ∙ 229 ∙ 10minus4
719119872119901119888 = 0954 119872119901119888
= 311 ∙ 106119886119899119899119894 119897119906119888119890
Adesso possiamo determinare le dimensioni apparenti della galassia percheacute ne
conosciamo la distanza nel cielo essa ci appare come unrsquoellisse il cui semiasse
maggiore vale
119886 = arctan (119877
119889) = arctan (
37000
311 ∙ 106) = 0682deg = 24538 119886119903119888119904119890119888
Essendo il coseno di 30deg uguale a radic3
2 il semiasse minore varragrave
119887 = arctan(119877radic3
2119889) = arctan (
37000 ∙ 173
2 ∙ 311 ∙ 106) = 0590deg = 21226 119886119903119888119904119890119888
Calcoliamo la superficie di questa ellisse
119878 = 120587119886119887 = 120587 ∙ 24538 ∙ 21226 arcsec2 = 163 ∙ 107 arcsec2
Bignamino di astronomia
76
A questo punto ricaviamo la magnitudine integrata apparente
m=msup-25log(119878) 119898 = 2478 minus 25 log(163 ∙ 107) = 675
Abbiamo la distanza troviamo la magnitudine assoluta
M=m+5-5logd=675+5-5log(0954 106)=-1815
A questo punto troviamo il numero di ldquosolirdquo contenuti nella galassia grazie alla
relazione che ci permette di ricavare la magnitudine integrata di un oggetto (nel caso
sia composto da componenti uguali)
119872 = minus25 log(119873 lowast 10minus04119872119904) 119873 = 10minus04(119872minus119872119878) = 10minus04(minus1815minus483)
= 156 ∙ 109119904119905119890119897119897119890 119888119900119898119890 119894119897 119904119900119897119890
Possiamo finalmente trovare la massa della galassia
119872119892 = 156 ∙ 109 ∙ 199 ∙ 1030119896119892 = 310 ∙ 1039119896119892
2 Una stella di raggio R=705000 km presenta un picco drsquoemissione alla lunghezza
drsquoonda di 542 nm Se essa egrave costituita interamente da idrogeno si determini quanti
atomi di idrogeno hanno reagito in un secondo nel nucleo della stella nella reazione
di fusione termonucleare che produce elio
Soluzione Dobbiamo innanzitutto determinare la luminositagrave della stella che dipende
dal quadrato del raggio e dalla quarta potenza della temperatura disponiamo del
raggio ma dobbiamo ricavare la temperatura notiamo come il problema fornisca la
lunghezza drsquoonda del picco drsquoemissione che egrave inversamente proporzionale alla
temperatura efficace secondo la Legge di Wien
120582 ∙ 119879119890119891119891 = 2898 119898119898 119870 119879119890119891119891 =2898 119898119898 119870
542 ∙10minus6119898119898= 5347 119870
Adesso possiamo determinare la luminositagrave della stella (Legge di Stefan-Boltzmann)
119871 = 41205871198772120590(119879119890119891119891)4= 4120587 (705 ∙ 108)2 567 ∙ 10minus8 (5347)4 119882 = 289 ∙ 1026119882
Questa egrave lrsquoenergia che la stella irradia in un secondo ma da dove deriva Nel nucleo
quattro protoni si fondono per formare un nucleo di elio il nucleo di elio che si forma
perograve non ha la stessa massa dei quattro protoni bensigrave ha una massa lievemente
minore La massa mancante (il difetto di massa) si egrave trasformata in energia secondo
la famosa relazione di Einstein
119864 = 1198981198882
Se E=L m saragrave uguale al difetto di massa complessivo per unitagrave di tempo
119898 =119871
1198882=289 ∙ 1026119882
9 ∙ 10161198982
1199042 = 321 ∙
109119896119892
119904
Essendo la massa di un nucleo di elio-4 pari a 6645 10-27kg mentre la massa del
protone pari a 167310-27kg si ha che la massa di 4 protoni egrave 669210-27kg e quindi
il difetto di massa per ogni reazione egrave Δm= 004710-27 kg Dividendo questo valore
Bignamino di astronomia
77
per quello trovato sopra otteniamo il numero di reazioni che avvengono in un
secondo nel nucleo della stella
119873 =119898
∆119898=
321 ∙ 109
0047 ∙ 10minus27119903119890119886119911 = 683 ∙ 1037119903119890119886119911
A ogni reazione corrispondono quattro atomi di idrogeno quindi per trovare la
soluzione ci basta moltiplicare questo valore per 4
119873119905119900119905 = 4119873 = 273 ∙ 1038119886119905119900119898119894()
3 Che dimensioni dovrebbe avere una sfera metallica perfettamente riflettente per
essere visibile come un astro da Terra ad occhio nudo quando essa si trova in
opposizione al Sole (Questa sfera egrave posta in orbita circolare attorno alla Terra con
un periodo T=2766 ore)
Soluzione Innanzitutto ci serve conoscere il raggio orbitale della sfera perciograve
applichiamo la Terza Legge di Keplero generalizzata
1198792
1198863=41205872
119866119872 119886 = radic
1198661198721198792
41205872
3
= radic667 ∙ 10minus11 ∙ 597 ∙ 1024 ∙ 992 ∙ 107
4(314)23
= 10005119896119898
Sia Fs il flusso solare esso investe la sfera e la quantitagrave di energia intercettata in un
secondo (Lint) egrave direttamente proporzionale alla sezione della sfera
119871119894119899119905 = 119865119904 ∙ 1205871198772
La luce viene interamente riflessa quindi
119871119903119894119891 = 119871119894119899119905 = 119865119904 ∙ 1205871198772
Questa luminositagrave viene riflessa in tutte le direzioni quindi tutti i punti che si trovano
alla medesima distanza dalla sfera riceveranno lo stesso flusso pari a
119865 =119865119904 ∙ 120587119877
2
41205871198892=119865119904 ∙ 119877
2
41198892
In particolare per una localitagrave posta sulla Terra
119865 =119865119904 ∙ 119877
2
4(119886 minus 119877119879)2=
119865119904 ∙ 1198772
4(107 minus 6378 ∙ 106)2= 1906 ∙ 10minus14119865119904 119877
2
Applichiamo la formula di Pogson comparando la sfera col Sole e tenendo presente
che la magnitudine della sfera devrsquoessere uguale a 6 (lrsquooggetto egrave appena visibile ad
occhio nudo)
119898minus119898119904 = minus25 log (119865
119865119904) rarr 6 + 2674 = minus25 log(1906 ∙ 10minus141198772)
1906 ∙ 10minus141198772 = 10minus131 rarr 119877 = radic10minus131
1906 ∙ 10minus14119898 = 204 119898
Pertanto la sfera deve avere un diametro di 408 metri
Bignamino di astronomia
78
[NB Nello svolgimento del problema si egrave usato lo stesso valore del flusso solare per la Terra e per la
sfera in realtagrave ciograve egrave unrsquoapprossimazione percheacute le distanze Terra-Sole e Sole-sfera sono diverse
Essendo perograve il semiasse dellrsquoorbita della sfera trascurabile rispetto al semiasse della Terra allora i due
flussi sono assai simili]
4 Egrave stato osservato un quasar doppio che si trova a grandissima distanza dalla Terra La
particolaritagrave di questo quasar egrave il moto di allontanamento delle due componenti Q1
e Q2 In particolare Q1 si allontana da Q2 spostandosi come riportato in figura dal
punto A al punto B con velocitagrave relativistica ldquovrdquo pari al 75 della velocitagrave della luce
Calcolare lrsquointervallo di tempo Δt impiegato dal componente Q1 a raggiungere il
punto B e il corrispondente intervallo di tempo Δtrsquo misurato dagli astronomi sulla
Terra (che giace sullo stesso piano della figura) Sulla base del risultato ottenuto di
fronte a quale sconvolgente conclusione si sono trovati gli astronomi prima di
riuscire a spiegare correttamente il fenomeno (Dalla Finale Nazionale 2015
Categoria Junior)
Soluzione Il tratto AB egrave lrsquoipotenusa del triangolo rettangolo ABArsquo (vedi figura) quindi
esso vale (Teorema di Pitagora)
119860119861 = radic119860119860prime2 + 119860prime1198612 = radic9 + 16 = 5119886 119897
Esso viene quindi percorso nel tempo ∆119905 =119860119861
119907=
5119886119897
075119888= 667 119886119899119899119894 Notiamo come non ci
sia bisogno di conoscere il valore della velocitagrave della luce percheacute le distanze sono espresse
in anni luce
Adesso analizziamo il fenomeno come viene visto dalla Terra Quando Q1 si trova in A la luce
da esso emessa impiega per giungere in Arsquo un tempo pari a 4119886119897
119888= 4 119886119899119899119894 Nel frattempo
Q1 si sposta e per arrivare in B impiega 667 anni La luce che emette in B non deve piugrave
attraversare una distanza di 4 al quindi i due segnali luminosi arrivano a una ldquodistanzardquo
temporale ∆119905prime = (667 minus 4)119886119899119899119894 = 267 119886119899119899119894
Il risultato sconvolgente egrave che siccome agli astronomi da Terra egrave sembrato che Q1 si
spostasse lungo ArsquoB la sua velocitagrave misurata da Terra risulta pari a
119907 =119860prime119861
267119886119899119899119894=
3119886 119897
267119886119899119899119894= 1125119888
Bignamino di astronomia
79
Apparentemente il quasar si egrave spostato con una velocitagrave superiore a quella della luce Non egrave
infatti raro osservare dei moti superluminali (cioegrave con velocitagrave superiore a quella della luce)
in oggetti che si muovono con velocitagrave relativistiche questa velocitagrave egrave tuttavia sempre
apparente
5 Se una stella presenta un redshift z pari a 555 10-5 quale saragrave il verso e il valore della
sua velocitagrave radiale
Soluzione il redshift egrave positivo quindi la stella si allontana da noi La velocitagrave radiale
della stella egrave data da
119907 = 119888119911 = 3 ∙ 105 ∙ 555 ∙ 105 = 167119896119898
119904
6 La lunghezza drsquoonda λrsquo di una delle righe piugrave evidenti della luce emessa dalle galassie
di una costellazione egrave 1020 volte piugrave grande della corrispondente lunghezza drsquoonda
λ di riferimento Calcolare la velocitagrave con cui lrsquoammasso si sta allontanando dalla Terra
e stimare la sua distanza
Soluzione il redshift egrave119911 =∆120582
120582=
(1020minus1)120582
120582= 0020
Pertanto 119907 = 0020119888 = 6000119896119898
119904 119890 (119897119890119892119892119890 119889119894 119867119906119887119887119897119890 minus 119871119890119898119886119894119905119903119890)
119889 =119907
119867= 6000719=834 Mpc
7 In una galassia tutti gli ammassi globulari hanno un diametro pari a 50 anni luce
Nelle fotografie si misura il diametro angolare di tre di questi ammassi I diametri
risultano pari a 8rsquo9rsquo10rsquo Calcolare la distanza dei tre ammassi
Soluzione le dimensioni reali di un oggetto visto sotto un angolo α alla distanza d
sono date da
119863 = 2119889 tan (120572
2)
Da cui
1198891 =119863
2 tan(12057212)=
50
2 tan(01333
2)=21486 anni luce
1198892 =119863
2 tan (12057222)= 19099 119886119899119899119894 119897119906119888119890
Bignamino di astronomia
80
1198893 =119863
2 tan (12057232)= 17189 119886119899119899119894 119897119906119888119890
8 Se si dispone di un telescopio di 30 cm di diametro e lunghezza focale di 2 m quali
ingrandimenti saranno forniti da tre oculari di focale 25mm 10 mm e 5mm Se gli
oculari hanno un campo apparente di 55deg quale saragrave lrsquoangolo di campo al telescopio
Calcolare pure la pupilla drsquouscita
Soluzione Calcoliamo lrsquoingrandimento
1198681 =119865
119891=2000119898119898
25119898119898= 80119909
1198682 =2000
10= 200119909
1198683 =2000
5= 400119909
Il campo del telescopio saragrave
1198651199001198811 =119865119900119881119900119888119894
=55deg
80= 069deg
1198651199001198812 =55deg
200= 028deg
1198651199001198813 =55deg
400= 014deg
La pupilla drsquouscita
1199011 =300
80= 375119898119898 1199012 =
300
200= 15119898119898 1199013 =
300
400= 075119898119898
9 Calcolare lrsquoapertura minima di un telescopio per poter riconoscere un granulo solare
ampio 700km
Soluzione Lrsquoestensione angolare di questo granulo egrave data da
120572 = 2 arctan (119863
2119889) = 2 arctan (
700
2 ∙ 1496 ∙ 106) = 097
Quindi per la formula di Dawes 119863(119898119898) =120
120572=124cm
10 Per realizzare una fotografia a vasto campo egrave stato necessario un tempo di posa di 13
minuti a f3 con sensibilitagrave 800 ISO Determinare il tempo necessario per ottenere la
stessa foto usando una sensibilitagrave di 1000 ISO ed unrsquoapertura relativa di f45
Trascurare le perdite di sensibilitagrave dovute al difetto di reciprocitagrave delle pellicole
Bignamino di astronomia
81
Soluzione il tempo di posa richiesto si ricava dalla formula
1198792 =11989122 1198781
11989112 1198782
1198791 119879 119905119890119898119901119900 119878 119904119890119899119904119894119887119894119897119894119905agrave 119891 119889119894119886119891119903119886119898119898119886 (119886119901119890119903119905119906119903119886 119903119890119897119886119905119894119907119886)
1198792 =452 800
32 1000 13 = 234 119898119894119899
11 Determinare il tempo di posa massimo per ottenere stelle puntiformi senza
inseguimento siderale con un obiettivo di 50 mm (di focale F) puntato su una zona di
cielo avente declinazione media 45deg Il formato utilizzato egrave il 24x36mm
Soluzione La formula che permette di ottenere stelle puntiformi egrave
119879119898119886119909 =600
119865119888119900119904120575= 17119904119890119888119900119899119889119894
12 Un radiotelescopio ha apertura di 75 m determinare il limite di diffrazione
raggiungibile alla frequenza di osservazione di 410 MHz
Soluzione La lunghezza drsquoonda egrave data da
119888 = 120582120584 120582 =119888
120584= 732 119888119898
Il limite di diffrazione si ricava dalla formula di Rayleigh
120599 =122120582
119863= 122
732
7500= 00119 119903119886119889 = 068deg = 41prime
13 Un radiotelescopio ha un diametro di 25m calcolare il limite di diffrazione alla
lunghezza drsquoonda di osservazione di 21 cm
Soluzione Per la formula di Rayleigh
120599 =122120582
119863= 122
21
2500= 001119903119886119889 = 059deg = 352prime
14 Un telescopio riflettore ha diametro 15 m calcolare il suo potere risolutivo massimo
alla lunghezza drsquoonda dellrsquoidrogeno ionizzato Hα=6563nm
Soluzione Ancora una volta
120599 =122120582
119863= 122 lowast 6563
10minus9
15= 53 10minus7119903119886119889 = 011
Bignamino di astronomia
82
15 Consideriamo due stelle la prima (S1) ha magnitudine apparente m1=11 e si trova a
una distanza L1 dalla Terra la seconda S2 ha luminositagrave intrinseca identica a S1 ma
si trova a una distanza tripla rispetto a S1 Che magnitudine apparente ha la stella S2
Se abbiamo a disposizione uno specchio di diametro D1 con cui si riesce a vedere a
malapena S1 quanto deve essere il diametro del secondo telescopio D2 che permetta
di vedere a malapena la stella S2
Soluzione Siccome la luminositagrave intrinseca egrave la stessa ma la distanza della seconda
stella egrave tripla il flusso della seconda stella egrave uguale a un nono del flusso della prima
Quindi applicando la formula di Pogson
1198981 minus1198982 = minus25 log (11986512) = minus25 log 9 = minus239
1198982 = 11 + 239 = 1339
Infine poicheacute per osservare S2 dobbiamo essere in grado di rivelare il flusso che egrave 9
volte minore e che lrsquoarea di uno specchio aumenta con il quadrato del raggio il raggio
dello specchio D2 devrsquoessere 3 volte piugrave grande di quello di D1
16 Calcolare la magnitudine limite visuale limite raggiungibile con un telescopio di
diametro D=25cm
Soluzione Applicando la formula per trovare la magnitudine limite (con il diametro
espresso in cm) troviamo
119898 = 68 + 5119897119900119892119863 = 68 + 511989711990011989225 = 138
17 Calcolare lrsquoapertura necessaria per poter osservare stelle fino a una magnitudine
limite visuale di +16 con un telescopio
Soluzione Applicando la formula precedente
119898 = 68 + 5119897119900119892119863 119863 = 10119898minus685 = 10184 = 692 119888119898
Bignamino di astronomia
83
18 In un sistema stellare una stella ruota attorno ad unrsquoaltra su unrsquoorbita circolare con
velocitagrave 45 kms il suo periodo di rivoluzione egrave 300 giorni Determinare il raggio
dellorbita e la massa della stella centrale
Soluzione la velocitagrave orbitale egrave data da
119907 =2120587119877
119879 119889119886 119888119906119894 119877 =
119907119879
2120587=45000 ∙ 2592 ∙ 107
62831= 1856 ∙ 1011119898
Dalla Terza legge di Keplero
119872 =412058721198773
1198661198792= 5632 ∙ 1030119896119892
Bignamino di astronomia
84
La SFERA e la TRIGONOMETRIA SFERICA
Premessa
Nella geometria piana i concetti base sono il punto e la retta
Su una sfera i punti sono definiti nel senso usuale Le rette sono definite come cerchi massimi Data una sfera si definisce circonferenza massima ogni circonferenza che si ottiene intersecando la superficie sferica con un piano passante per il centro della sfera Lequatore celeste egrave un circolo massimo mentre i paralleli di declinazione non lo sono Lorizzonte astronomico egrave un circolo massimo mentre non lo sono gli almucantarat o paralleli di altezza
Elementi della sfera
Superficie sferica
Si chiama superficie sferica la figura
generata da una semicirconferenza
in una rotazione completa attorno
al suo diametro Possiamo anche
definirla come luogo geometrico La
superficie sferica egrave il luogo
geometrico dei punti dello spazio
che hanno distanza dal centro pari al
raggio
Sfera
Si chiama sfera la figura generata da un semicerchio di
una rotazione completa attorno al suo diametro
Definita come luogo geometrico egrave il luogo dei punti dello
spazio la cui distanza dal centro egrave minore o uguale al
raggio
Zona sferica
Si chiama zona sferica la parte di
superficie sferica compresa fra due
piani paralleli α e β che intersecano
la sfera Le circonferenze sezioni si
chiamano basi della zona Lrsquoaltezza egrave
la distanza tra i due centri delle
circonferenze sezioni
Bignamino di astronomia
85
Spicchio sferico Lo spicchio sferico egrave il solido delimitato da due piani meridiani passanti per
uno stesso diametro e dalla porzione di superficie sferica (fuso sferico) a
essi corrispondente
Presi due punti distinti su una sfera per essi passa
una ed una sola circonferenza massima
Dati due punti A e B distinti su una sfera esiste una ed una sola circonferenza
massima che li contiene i due punti individuano su questa circonferenza due archi il minore di essi si
chiama distanza sferica rappresenta una geodetica (La geodetica egrave la linea che realizza su una data
superficie il minimo percorso fra due punti assegnati)
Corda
Si chiama corda un segmento i cui estremi appartengono
alla superficie sferica
Si chiama diametro una corda passante per il centro
della superficie sferica e della sfera
Segmento sferico a due basi
Definiamo segmento sferico a due basi la parte di sfera
compresa fra due piani paralleli α e β secanti la sfera
stessa
Calotta Sferica
Definiamo calotta sferica ognuna
delle due parti in cui una superficie
sferica viene divisa da un piano
secante 120572 La calotta egrave la porzione di
superficie sferica ottenuta per
sezione con il piano α
Segmento sferico ad una base
Il segmento sferico ad una base egrave ognuna delle
due parti in cui una sfera viene divisa da un piano
secante α il segmento egrave la porzione di sfera
compresa tra il piano e la calotta
Fuso sferico
La parte di superficie sferica limitata da due
circonferenze massime di sezione dei
semipiani α e β con la superficie sferica
Bignamino di astronomia
86
Nella geometria sferica la circonferenza massima gioca lo stesso ruolo della retta
nella geometria piana
La lunghezza di questo arco egrave proporzionale al raggio della sfera e
allrsquoangolo al centro AOB Se AOB egrave espresso in radianti
AB = OA x AOcircB
Triangolo sferico
Si definisce triangolo sferico la superficie sulla sfera limitata da tre
archi di circolo massimo passanti per tre punti detti vertici tali punti
non devono appartenere allo stesso circolo massimo e gli archi non
devono avere alcun punto dintersezione al di fuori dei vertici
Lati del triangolo sferico
Sono le lunghezze degli archi AB BC CA che limitano la superficie
Tali lati sono minori o uguali a 180
Angoli del triangolo sferico
Sono gli angoli formati dai tre archi di circolo massimo La somma
degli angoli (interni) egrave maggiore di 2 angoli retti e minore di 6 angoli
retti
180deg lt α+β+γ lt 540deg
Pertanto la somma degli angoli egrave 180deg solo quando il triangolo egrave
degenere ovvero quando i vertici del triangolo sono situati sullo
stesso circolo massimo
La differenza fra la somma dei tre angoli di un triangolo sferico e lrsquoangolo piatto si dice eccesso sferico
ε= α+β+γ minus 180deg
Bignamino di astronomia
87
Nel triangolo sferico sussistono relazioni fra le funzioni trigonometriche dei lati e degli angoli tali relazioni
sono date dai teoremi di Eulero (teorema del coseno ( ) per i triangoli sferici e teoremi dei seni( )) da
cui derivano due gruppi fondamentali di relazioni che prendono il nome di primo e secondo gruppo di Gauss
di cui ci occuperemo nella trattazione del triangolo di posizione astronomico Lrsquoapplicazione dei triangoli
sferici assume particolare importanza in astronomia in quanto come abbiamo visto nei sistemi di riferimento
sulla sfera celeste si misurano solo distanze angolari
Per un lato
cos (119886) = cos (119887)cos (119888) + sin (119887)sin (119888)cos (119860)
sin (119886)
sin (119860)=sin (119887)
sin (119861)=sin (119888)
sin (119862)
Oppure
sin(119886) ∶ sin(119860) = sin(119887) sin(119861) = sin(119888) sin(119862)
Bignamino di astronomia
88
Triangolo di posizione astronomico
Vertici del triangolo
Il triangolo astronomico o di posizione ha i vertici nellastro
nello zenit e nel polo celeste nord il terzo vertice potrebbe
essere anche laltro polo ma per convenzione egrave preferibile
usare quello nord in quanto semplifica le regole algebriche
per il calcolo delle lunghezze dei lati
Lati del triangolo
I lati del triangolo hanno lunghezze comprese fra 0 e 180
definite come segue
bull Distanza polare p = 9 - 120575
la distanza che lastro ha dal polo di riferimento (polo celeste nord per convenzione)
Considerando la declinazione 120575 positiva se a Nord e negativa se Sud la distanza polare egrave p lt 90 nel
primo caso e p gt 90 nel secondo
bull Colatitudine c = 9 - 120593
coincide con la colatitudine ossia il complemento della latitudine Si ricorda che lelevazione
dellasse polare egrave esattamente pari alla latitudine del luogo La precedente convenzione per la
declinazione puograve essere adottata anche per la latitudine per cui si ha c lt 90 per latitudini nord e c gt
90 per quelle sud
bull Distanza zenitale z = 90 - h
Coincide con la distanza zenitale z ossia la distanza che lastro ha dallo zenit Tale distanza egrave il
complemento dellaltezza h (z = 90-h) Se lastro egrave nellemisfero visibile si ha h gt 0 e z lt 90 per astri
nellemisfero invisibile si ha h lt 0 e z gt 90
I tre angoli sono
1) Angolo vertice nello Zenith compreso tra meridiano e cerchio verticale la sua ampiezza dovrebbe corrispondere allazimuth ma in questo caso poichegrave lampiezza degli angoli nei triangoli sferici egrave sempre inferiore a 180deg prende nome di Angolo azimutale Z
2) Angolo vertice nel Polo Celeste compreso tra meridiano e cerchio orario la sua ampiezza corrisponderebbe allangolo orario ma in questo caso poicheacute lampiezza degli angoli nei triangoli sferici egrave sempre inferiore a 180deg prende nome di Angolo al Polo P
3) Angolo con vertice nellrsquooggetto A
Bignamino di astronomia
89
Attraverso le seguenti relazioni note come primo e secondo gruppo di Gauss
119904119894119899 ℎ = 119904119894119899 120593 119904119894119899 120575 + 119888119900119904 120593 119888119900119904 120575 119888119900119904 119867
119888119900119904 ℎ 119888119900119904 119860 = 119888119900119904 120593 119904119894119899 120575 + 119904119894119899 120593 119888119900119904 120575 119888119900119904 119867119888119900119904 ℎ 119904119894119899 119860 = 119888119900119904 120575 119904119894119899 119867
Primo Gruppo di Gauss
119878119894119899 120575 = 119878119894119899 120593 119878119894119899 ℎ minus 119862119900119904 120593 119862119900119904 ℎ 119862119900119904 119860119862119900119904120575 119888119900119904119867 = 119904119890119899ℎ 119888119900119904120601 + 119888119900119904ℎ 119904119890119899120601 119888119900119904119860
119862119900119904ℎ 119904119890119899119867 = 119888119900119904ℎ 119904119890119899119860
Secondo gruppo di Gauss
Ersquo possibile risolvere il triangolo astronomico
Notiamo che nel triangolo di posizione sono contemporaneamente presenti per loggetto celeste osservato le sue coordinate altazimutali (azimuth o angolo zenitale e altezza o distanza zenitale) e quelle equatoriali orarie (angolo orario o angolo al polo e declinazione o distanza polare) Queste formule ci consentono il passaggio da coordinate altazimutali ad equatoriali orarie e viceversa
Queste ci consentono il passaggio da un sistema altazimutale ad equatoriale
119904119894119899 120575 = 119904119894119899 120593 119888119900119904 119911 minus 119888119900119904 120593 119904119894119899 119911 119888119900119904 119860
119888119900119904 120575 119888119900119904 119867 = 119888119900119904 120593 119888119900119904 119911 + 119904119894119899 120593 119904119894119899 119911 119888119900119904 119860119888119900119904 120575 119904119894119899 119867 = 119904119894119899 119911 119904119894119899 119860
Bignamino di astronomia
90
Le parti della sfera
Riportiamo in una tabella le caratteristiche delle parti in cui rimane divisa una superficie sferica e una sfera
di raggio R quando vengono sezionate con opportuni piani indicando anche le formule per il calcolo delle
corrispondenti superfici e volumi
FONTE ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Bignamino di astronomia
91
ALCUNE ESERCITAZIONI DI TRIGONOMETRIA SFERICA
1) Calcolo dellrsquoaltezza di un oggetto alla culminazione superiore ed inferiore Giagrave conosciamo le formule che ci permettono di determinare lrsquoaltezza di un astro sullrsquoorizzonte nel caso di culminazione superiore ed inferiore per semplicitagrave le riportiamo qui di seguito
Culminazione superiore la stella culmina a sud dello zenit
la stella culmina a nord dello zenit
ALTEZZA h= 90 - ϕ + δ h= 90 + ϕ - δ
Proviamo attraverso le formule contenute nella parte teorica di trigonometria sferica a verificare queste relazioni Consideriamo la prima equazione del primo gruppo ( Primo Gruppo di Gauss)
sin h = sin φ sin δ + cos φ cosδ cos H
Se la stella culmina vuol dire che essa passa al meridiano (o superiore o inferiore a seconda della culminazione) CULMINAZIONE SUPERIORE Quando la Stella passa al meridiano superiore lrsquoangolo orario H egrave = 0 il cos0deg =1 per cui si ha
sin h = sin φ sin δ + cos φ cosδ
questa equazione si risolve facilmente se si applicano le formule di sottrazione del coseno cos (α - β) = cosαcosβ + senαsenβ
La nostra equazione puograve essere scritta sen h = cos(ϕ - δ) ndashlrsquo α della formula di sottrazione egrave la latitudine e la β la declinazione)- ma il sen h=cos(90 ndashh) ed allora cos (90-h) = cos( ϕ - δ) questa egrave una equazione elementare in coseno che ha per soluzioni
90-h= plusmn (ϕ - δ)
90-h= + ( ϕ - δ) h= 90 - ϕ + δ 90-h= - ( ϕ - δ) h= 90 + ϕ - δ
(Le relazioni sono due percheacute ognuna vale per un emisfero)
CULMINAZIONE INFERIORE Anche qui sappiamo che h= ϕ + δ- 90
sin h = sin φ sin δ + cos φ cosδ cos H
Alla culminazione inferiore lrsquoangolo orario egrave 12ℎ quindi 180deg il cos 180deg = -1
sin h = sin φ sin δ - cos φ cosδ Non possiamo applicare come prima a formula di addizione del coseno e quindi la riscriviamo
sin h= - (- sin φ sin δ + cos φ cosδ )
Bignamino di astronomia
92
ricordando che cos ( α + β) = cosαcosβ ndash senαsenβ ed essendo sinh= cos(90-h) possiamo scrivere cos (90-h) = - cos( ϕ + δ) essendo cosα= - cos(180 ndashα)
cos (90-h) = cos( 180 ndash ϕ - δ)
90-h = 180 ndash ϕ - δ h= ϕ + δ- 90 NB Essendo il coseno di due angoli dello stesso valore assoluto ma di segno opposto uguale come fatto sopra anche la soluzione col segno negativo va presa quindi si ottengono anche qui due formule che come sopra si riferiscono ciascuna a un emisfero
2) Calcolare lrsquoespressione che consente di determinare il sorgere e il tramontare di un astro Successivamente determinare la differenza delle ore di luce ai solstizi a Reggio Calabria ndash Latitudine φ=38deg6rsquo Nord
Per rispondere alla prima domanda dobbiamo determinare lrsquoangolo orario applichiamo il
( ) Primo Gruppo di Gauss
sin h= sin φ sin δ + cos φ cos H cos δ
isoliamo il cosH si trova cosH= 119904119894119899ℎminus119904119894119899120593119904119894119899120575
cos120593 cos120575 e scriviamo ancora cosH =
sinℎ
cos120593 cos120575 -
sin120593 sin120575
cos120593 cos120575 ed ancora cosH =
sin h
cos φ cos δ ndash tanφ tanδ (essendo tanα=senαcosα)
Al momento del sorgere dellrsquoastro h= 0 quindi cosH = - tanφ tanδ (sen0=0) Se egrave nota lrsquoascensione retta possiamo calcolare il tempo siderale 119931119956 = H +120630 con
H=arccos(θsin h
cos φ cos δ ndash tanφ tanδ ) Se conosciamo il valore del tempo siderale in una
determinata ora di un determinato giorno possiamo anche trovare lrsquoistante di tempo che segna il nostro orologio per il sorgere del Sole (per questi calcoli si vedano i problemi precedenti sul tempo) c = H+α Una volta trovata lrsquoespressione dellrsquoangolo orario la seconda domanda si risolve facilmente
tenendo conto che lrsquoangolo orario adesso egrave 119867
2
cos 119867
2 = - tan φ tan δ
Il Sole ai solstizi ha una declinazione δ=+23deg27rsquo (21 giugno solstizio drsquoestate) e δ=-23deg27rsquo (21 dicembre solstizio drsquoinverno)
si trova che cos 119867
2 = -0784 0433 = -034 perciograve H=2arccos(-034)=219deg46rsquo=14 ore 39
minuti (digrave piugrave lungo dellrsquoanno)
mentre il 21 dicembre cos 119867
2 = (-0784) (-0433) = 034 dal quale si ricava che
H=arccos(034)=140deg15rsquo = 9 ore 21 minuti (digrave piugrave corto dellrsquoanno) la differenza di ore egrave ∆H=14h 39m-9h 21m = 5 ore 18 minuti tra inverno ed estate
Bignamino di astronomia
93
3) In un certo giorno in cui egrave in vigore lrsquoora legale in una cittagrave posta alla longitudine di 120582
= 10deg 52rsquo 59rdquo E e latitudine = 44deg 38rsquo 45rdquo N il Sole ha una declinazione = 10deg 59rsquo 04rdquoConsiderando trascurabile la declinazione del Sole durante lrsquoarco della giornata
Calcolare
1 lrsquoaltezza massima raggiunta dal Sole in quella localitagrave e lrsquoora del transito in meridiano 2 lrsquoora in cui in tale giorno il sole sorge e tramonta in quella Cittagrave e lrsquoarco diurno 3 lrsquoazimut del sole nei momenti in cui sorge e tramonta
Il sole raggiunge la massima altezza hC sullrsquoorizzonte (culmina) quando transita per il
meridiano locale dellrsquoosservatore Nel caso specifico avremo hC = 90deg - ( - ) = 90deg -
+ = 90deg - 44deg64583333 + 10deg98444444 = 56deg33861111
Lrsquoaltezza massima del Sole nel momento in cui transita al meridiano egrave hC = 56deg33861111 = 56deg 20rsquo 19rdquo
Indichiamo adesso con 120582 la longitudine espressa in ore e con T la differenza in ore del
meridiano locale rispetto a GMT Nel nostro caso essendo in vigore lrsquoora legale saragrave T = 2h Le 12h locali corrispondono dunque aUT = 12h ndash 120582
per cui lrsquoora locale del transito in meridiano del sole saragrave (scrivendo la longitudine in notazione decimale)
TC = 12h ndash 120582+ T = 12ℎ minus 10deg 8830555556
15deg+ 2ℎ = 2h ndash 0h725537036 + 2h = 13h27446296
il Sole culmina alle ore locali TC = 13h 16m 28s1
I due eventi del sorgere e tramontare si verificano quando il sole interseca lrsquoorizzonte celeste dellrsquoosservatore e quindi la sua altezza h egrave nulla In questo caso egrave possibile determinare i tempi (gli angoli orari HS e HT) e le direzioni (gli azimut AS e AT) delle due posizioni del sole sullrsquoorizzonte e lrsquoarco diurno
T = HT - HS che ci dagrave la durata della permanenza del sole
Applichiamo le formule del primo gruppo di Gauss al triangolo sferico precedentemente definito rispetto al lato ldquozenit ndash solerdquo ed allrsquoangolo al vertice con lo zenit
sin h = sin sin + cos cos cos H (I)
cos h sin A = - cos sin H (II)
cos h cos A = cos sin - sin cos cos H
Bignamino di astronomia
94
Quando il sole sorge eo tramonta si ha h = 0 e quindi sin h = 0 Dalla (I) segue dunque
cos H = - tg tg Dai dati del problema si ha = 44deg 38rsquo 45rdquo N = 44deg64583333
= 10deg 59rsquo 04rdquo1 = 10deg98444444 segue cos H = - tg (44deg64583333) tg (10deg98444444) = - 0191713689
H = arccos (- 0191713689) = 101deg0528101 = plusmn 6h736854006
Lrsquoangolo orario H egrave negativo al sorgere percheacute deve arrivare in meridiano e positivo al tramonto percheacute ha superato il meridiano Saragrave dunque HS = - 6h736854006 HT = 6h736854006
il sole sorgeragrave dunque alle ore TS = TC + HS = 13h27446296 - 6h736854006 = 6h537608954 = 6h 32m 15s4
Lo stesso giorno il sole tramonteragrave alle ore TT = TC + HT = 13h27446296 6h736854006 = 20h01131697 = 20h 00m 40s7
Lrsquointervallo temporale durante il quale il sole resteragrave sopra lrsquoorizzonte saragrave
T = HT - HS = 6h736854006 + 6h736854006 = 13h47370802 = 13h 28m 25s4
Per ricavare lrsquoazimut del sole nei momenti in cui sorge e tramonta utilizziamo la (III) delle
formule di Gauss cos h sin A = - cos sin H
Nel momento in cui il sole sorge e tramonta si ha h = 0 e quindi cos h = 1 per cui si ha rispetto al punto Nord
sin AS = - cos sin HS = - cos (10deg98444444 ) sin (-6h736854006 x 15) = 0963469686
AS = arcsin (0963469686) = 74deg46556891 = 74deg 27rsquo 56rdquo1
sin AT = - cos sin HT = - cos (10deg98444444 ) sin (6h736854006 x 15) = -0963469686
AT = arcsin (-0963469686) = - 74deg46556891 = (360deg - 74deg46556891) = 285deg5344311 = 285deg 32rsquo 4rdquo
DISTANZA TRA DUE STELLE
Regolo ha coordinate H= 27m 4 s e declinazione 11deg 52rsquo 5rdquo Denebola ha coordinate H= 22h 46m 36s e
declinazione 14deg 27rsquo 33rdquo Si determini la loro distanza angolare
Per calcolare la loro distanza consideriamo il triangolo sferico BPA dalla figura si evince che
PB= 90-1205751 PA= 90-1205752 lrsquoangolo al polo P= 1198672 - 1198671
Applichiamo il teorema del coseno o di Eulero
Bignamino di astronomia
95
cosAB= cosPB cosPA + seno senPA cosP
Sostituendo
Cos120572 = cos( 90-1205751)cos(90-1205752 ) + sen(90-1205751)sen(90-1205752)cosP
Cos120572= sen1205751sen1205752 + cos1205751cos 1205752cos (1198672 minus 1198671)
E svolgendo I calcoli
Cos α= sen118681 sen 144592 + cos 118681 cos 144592 cos251167=0904
α=24deg58
Bignamino di astronomia
96
Bibliografia
Vittorio Castellani Astrofisica Stellare ndash Zanichelli Editore
Ferdinando Flora Astronomia Nautica ndash Editore Hoepli
Pietro Giannone Elementi di Astronomia ndash Edizione Pitagora
Angeletti Giannone Esercizi e complementi di astronomia ndash Edizioni Nuova Cultura
Margherita Hack Corso di Astronomia ndash Editore Hoepli
Halliday-Resnick Fondamenti di fisica ndash Zanichelli Editore
Giuliano Romano Introduzione allrsquoastronomia ndash Editore Muzzio
Leonido Rosino Lezioni di Astronomia ndash Edizione Cedam
Francesco Saverio Delli Santi Introduzione allrsquoastronomia ndash Zanichelli Editore
Cino Tacchini Il Cielo ndash UTET Editore
Francesco Zagari Astronomia sferica e teorica ndash Zanichelli Editore
Wikipedia sito web
Vialatteanet sito web
Treccani sito web
Superfici e volumi problemi di massimo e minimo Istituto Italiano Edizioni Atlas
- Copertina Bignamino definitiva
- Bignamino di astronomia
-
- INDICE Bignamino definitivo
- Bignamino
-
II
Moto apparente dei pianeti_____________________________________ 16
Sommario di quanto egrave noto oggi sui pianeti______________ 18
Le leggi del moto dei pianeti
Lrsquoellisse________________________________________________ 19
Le leggi di Keplero
Prima legge___________________________________ 20
Seconda legge_________________________________ 21
Terza legge___________________________________ 22
Legge di gravitazione universale____________________________ 23
Terza legge di Keplero generalizzata________________________ 24
Considerazioni sulle orbite (coniche)________________________ 26
Velocitagrave orbitale_________________________________________ 27
Considerazioni sulle orbite (dinamica)_______________________ 28
Velocitagrave di fuga (raggio di Schwarzschild)____________________ 29
Eclissi
Eclissi di Luna__________________________________________ 30
Eclissi di Sole___________________________________________ 33
Ciclo di Saros___________________________________________ 36
Strumenti ottici
Angolo solido_________________________________________________ 37
Campo dello strumento_________________________________________ 37
Apertura assoluta_____________________________________________ 37
Apertura relativa______________________________________________ 37
Rapporto focale________________________________________________ 38
Potere risolutivo_______________________________________________ 38
III
Ingrandimento________________________________________________ 39
Aberrazione della luce__________________________________________ 39
Rifrazione____________________________________________________ 39
Rifrazione atmosferica__________________________________________ 40
Riassumendo__________________________________________________ 41
Astrofisica
La radiazione elettromagnetica___________________________________ 43
Parametri di unrsquoonda___________________________________________ 44
Equivalenza massa energia______________________________________ 45
Grandezze fotometriche________________________________________ 46
Parametri fisici delle stelle_______________________________________ 48
Corpo nero______________________________________________ 48
Legge dello spostamento di Wien____________________________ 48
Legge di Stefan Boltzmann_________________________________ 49
Flusso e Luminositagrave_______________________________________ 49
Logaritmi
Definizione______________________________________________ 50
Proprietagrave dei logaritmi_____________________________________ 52
Magnitudine delle stelle________________________________________ 54
Cosmologia elementare
Redshift_____________________________________________________ 57
Ottico__________________________________________________ 57
Relativistico_____________________________________________ 58
Gravitazionale___________________________________________ 58
IV
Problemi ed esercizi
Sistemi di riferimento___________________________________________ 59
I moti della Terra e la misura del tempo____________________________ 60
Il cielo visto dalla Terra e dalla Luna______________________________ 61
La gravitagrave____________________________________________________ 63
Terza legge di Keplero__________________________________________ 65
Risoluzione del sistema per il calcolo delle velocitagrave su orbite circolari_______ 66
Esercizio un pianeta cadente_____________________________________ 68
Coordinate celesti e tempo______________________________________ 69
La misura del tempo____________________________________________ 70
Stelle e magnitudini____________________________________________ 72
Cosmologia elementare_________________________________________ 74
Miscellanea __________________________________________________ 75
Sfera e trigonometria sferica
Premessa_____________________________________________________ 84
Elementi della sfera____________________________________________ 84
Triangolo sferico_______________________________________________ 86
Angoli del triangolo sferico______________________________________ 86
Triangolo di posizione astronomico________________________________ 88
Primo Gruppo di Gauss___________________________________ 89
Secondo Gruppo di Gauss__________________________________ 89
Le parti della sfera_____________________________________________ 90
Esercizi______________________________________________________ 91
Bibliografia
Bignamino di astronomia
1
ldquoIn Astronomia ogni argomento va meditato ed approfondito in senso critico va analizzato nei suoi elementi essenziali e collegato a quanto
precede ed a quanto seguerdquo
(prof Leonida Rosino)
Il bignamino di astronomia ha lo scopo di aiutare gli olimpionici alla preparazione alle varie fasi delle Olimpiadi Italiane di Astronomia Costituisce la griglia essenziale per la risoluzione dei problemi Lrsquoabbiamo pensato come una bussola soprattutto per gli studenti che provengono da Istituti dove la fisica non egrave disciplina curriculare nel biennio Seguendo il Syllabus abbiamo suddiviso il ldquobiginordquo in quattro macrotemi
1) Meccanica Celeste (cinematica e dinamica celeste) 2) Strumenti ottici 3) Astrofisica 4) Cosmologia elementare
Ciascun macrotema egrave corredato da sezioni e da esercizi di riferimento
Bignamino di astronomia
2
Introduzione
MISURA DEGLI ANGOLI GRADO RADIANTE ORA
Lrsquoampiezza di un arco o del corrispondete angolo al centro si puograve misurare in uno dei seguenti sistemi
bull Il s i s tema sessages imale ha come unitagrave di misura il grado
Il grado
Il grado definito come la 360-esima parte dellangolo giro I suoi sottomultipli sono primi e i secondi
bull 1 grado egrave diviso in 60 primi 1deg= 60 bull 1 primo egrave diviso in 60 secondi 1 = 60 bull Quindi un grado equivale a 3600rsquorsquo
Il s i s tema c ircolare ha come unitagrave di misura il radiante
Radiante Il radiante ( 120646) egrave lampiezza dellangolo al centro di una circonferenza che con i suoi lati
intercetta un arco uguale al raggio
In astronomia egrave necessario molto spesso convertire la misura in gradi di un arco in misura di ora o
viceversa
Lrsquoampiezza di un angolo giro misurato in gradi 360deg in ore egrave 24ℎ 1ℎ = 360
24 = 15deg 1119898= 15rsquo
1119904=15rsquorsquo
Dunque il rapporto tra la misura dellarco e la misura del
raggio egrave un numero reale α che rimane costante α=119871
119877
120572119903119886119889 =120572deg120587
180 120572deg =120572119903119886119889
180deg
120587
Lrsquoampiezza di un radiante egrave
in gradi 120588deg= 57deg 17rsquo 44rsquorsquo~ 57deg3
in primi 120588rsquo~3438rsquo
in secondi 120588rsquorsquo ~206265rsquorsquo
(numero magico)
Bignamino di astronomia
3
DISTANZE DEI CORPI CELESTI
La distanza dei corpi celesti viene determinata attraverso la misura di un angolo detto parallasse
Lrsquoangolo di parallasse egrave lrsquoangolo sotto cui viene visto un oggetto se osservato da due posizioni
diverse
LE DIMENSIONI APPARENTI DI UN OGGETTO
Le dimensioni apparenti di un oggetto dipendono dalla sua distanza In astronomia il diametro
angolare (o dimensione angolare) di un oggetto egrave la misura del suo diametro rispetto alla distanza
dallosservatore Si calcola con la seguente formula
120572 = 2 119886119903119888119905119886119899119892 119863
2119889
(D diametro reale e d distanza dallrsquoosservatore)
Generalmente il diametro apparente dei corpi celesti egrave inferiore ad un grado
Misurato il diametro apparente in secondi drsquoarco si puograve calcolare il diametro reale con la seguente
formula
119863 = 119889120572
206265
Si parla di parallasse geocentrica quando la
distanza tra le due osservazioni egrave uguale al raggio
terrestre mentre di parallasse annua quando la
distanza tra i due osservatori egrave uguale al semiasse
maggiore dellorbita della Terra attorno al Sole
(ovvero lUnitagrave Astronomica) p langolo di parallasse e d la distanza dellosservatore dalloggetto-
La relazione tra la distanza e la parallasse egrave data
dalla semplice formula d = r sen p
Spesso viene usato il parsec come unitagrave di misura delle
distanze stellari Una stella si trova alla distanza di 1
parsec quando la sua parallasse annua egrave di un secondo
darco d =1
119901primeprime
Bignamino di astronomia
4
SISTEMI DI RIFERIMENTO ASTRONOMICI
Gli elementi che definiscono i sistemi di coordinate astronomiche sono
1) Una direzione fondamentale
2) Un piano perpendicolare alla direzione fondamentale
3) Lrsquoorigine
4) Il verso di percorrenza
5) Lrsquounitagrave di misura
Noi qui sintetizziamo tre dei cinque sistemi di riferimento astronomici
il sistema altazimutale il sistema orario il sistema equatoriale
Sistema altazimutale
Nel sistema altazimutale o orizzontale la direzione
fondamentale egrave data dalla verticale il piano
perpendicolare egrave dato dallrsquoorizzonte astronomico la
verticale alla superficie terrestre passante per
losservatore individua lo zenit e il nadir Le
coordinate in questo sistema sono lrsquoAzimut (A) e
Altezza (h)
Lazimut del punto T egrave langolo formato dal piano del
cerchio verticale passante per T e il meridiano
astronomico Si misura in gradi e frazioni di grado
partendo dal punto cardinale sud nel senso delle
lancette dellorologio Esso corrisponde nel disegno
allangolo SOB dove O egrave losservatore e B egrave
lintersezione dellorizzonte con il cerchio verticale
passante per T
Altezza (h) egrave lordinata sferica di un punto sulla sfera
celeste e cioegrave la sua distanza angolare dallorizzonte
misurata lungo il cerchio verticale passante per quel
punto Si esprime in gradi e frazioni di grado con
valore positivo verso lo zenit e negativo verso il nadir
Nel nostro disegno laltezza del punto T corrisponde
allangolo TOB dove O egrave losservatore e B egrave
lintersezione dellorizzonte con il cerchio verticale
passante per T Larco complementare dellaltezza si
chiama distanza zenitale e nel nostro disegno egrave
rappresentata dallangolo ZOT dove Z egrave lo zenit
dellosservatore La distanza zenitale si indica
generalmente con z Nel sistema azimutale entrambe
le coordinate (azimut e altezza) delle stelle variano
sensibilmente con il passare del tempo a causa del
moto di rotazione della Terra
Bignamino di astronomia
5
Sistema orario
Sistema equatoriale
Questo sistema di coordinate astronomiche ha come
direzione e piano fondamentali rispettivamente lasse
del mondo e il piano dellequatore Le coordinate
sferiche di questo sistema sono Angolo orario (H) e
la Declinazione (120575)
Lrsquoangolo orario egrave la distanza angolare tra il cerchio
orario che passa per il punto e il meridiano
astronomico Si misura in ore e frazioni di ora lungo
lequatore celeste partendo dal meridiano
astronomico in senso orario per un osservatore
boreale
La declinazione rappresenta la distanza angolare tra
un punto della sfera celeste e lequatore celeste
misurata lungo il cerchio orario che passa per tale
punto Si misura in gradi e frazioni di grado con segno
positivo verso il polo nord celeste e negativo verso il
polo sud Lrsquoorigine del sistema egrave il punto M detto
mezzocielo In questo sistema nel corso del giorno le stelle variano il loro angolo orario mentre rimane costante la loro declinazione
L0
Questo sistema di coordinate astronomiche ha come direzione e
piano fondamentali rispettivamente lasse del mondo e il piano
dellequatore Le coordinate sferiche di questo sistema sono
Ascensione retta ( ) Declinazione ( )Lorigine egrave il punto gamma
()
Lascensione retta si misura di solito in ore minuti e secondi lungo
lequatore celeste partendo dal punto gamma e con senso di
percorrenza antiorario
Declinazione rappresenta la distanza angolare tra un punto della
sfera celeste e lequatore misurata lungo il cerchio orario che passa
per tale punto Si misura in gradi e frazioni di grado con segno positivo
verso il polo nord celeste e negativo verso il polo sud
Bignamino di astronomia
6
RELAZIONI TRA I SISTEMI DI RIFERIMENTO
Latitudine del luogo
120593 = ℎ119901119900119897119900119873119900119903119889 = 90deg minus 119911119875119900119897119900119873119900119903119889
La latitudine geografica 120593 di una localitagrave sulla superficie della Terra egrave
lrsquoaltezza del polo celeste sul suo orizzonte Orizzonte e Zenit sono
separati da un angolo retto La latitudine geografica del luogo si
ottiene sottraendo da 90deg lrsquoaltezza del polo stesso
Formule inverse
119911119875119900119897119900119873119900119903119889 = 90deg minus 120593
Stelle circumpolari
120575 ge 90deg minus 120593
Vista da un qualsiasi luogo della superficie terrestre (quando
siamo allrsquoEquatore la situazione di complica) una parte della
volta celeste non tramonta mai e rimane sempre al di sopra
dellrsquoorizzonte Tale parte di cielo egrave detta ldquocircumpolarerdquo Essa
contiene le stelle che hanno declinazione 120575 maggiore o uguale
a un valore limite che si ottiene sottraendo da 90deg il valore della
latitudine geografica 120593 del luogo
Se la declinazione egrave compresa tra
minus(90deg minus 120593) lt 120575 lt +(90deg minus 120593)
le stelle sono occidue sorgono e tramontano sullrsquoorizzonte dellrsquoosservatore
Se
120575 lt minus(90deg minus 120593) 120575 lt minus90deg + 120593
Le stelle sono anticircumpolari (cioegrave quelle che non sorgono mai e stanno sempre al di sotto
dellrsquoorizzonte)
Bignamino di astronomia
7
Culminazione
Una stella culmina quando raggiunge la sua massima altezza cioegrave egrave sul meridiano
La declinazione 120575 la distanza zenitale z sono legate in modo semplice alla latitudine 120593
dellrsquoosservatore
Al momento della culminazione superiore (massima altezza della stella sullrsquoorizzonte) si ha
119911 = 120593 ndash 120575
Al momento della culminazione inferiore si ha
119911 = 120593 + 120575 ndash 180deg
Altezza (culminazione superioreinferiore)
Una stella culmina superiormente quando raggiunge la sua massima
altezza vista un determinato luogo (ad una determinata latitudine 120593)
ℎ1 = 90deg plusmn (120593 minus 120575)
Bignamino di astronomia
8
Poicheacute lrsquoaltezza deve esere h le 90deg distinguiamo i due casi
1) Se 120575 lt 120593 h=90deg- 120593 + 120575 (va preso il segno meno)
2) Se 120575 gt 120593 h=90deg+ 120593 - 120575 (va preso il segno piugrave)
Analogamente in culminazione inferiore
ℎ2 = minus90deg + 120593 + 120575
Poicheacute se 120575 lt 120593
ℎ2 = 120575 - ( 90 ndash 120593)
ℎ2 = 120575 - 90 + 120593
ℎ2 = - 90 + 120575 + 120593
Se 120575 gt 120593
ℎ2 = 120575 + ( 120593 - 90 )
ℎ2 = - 90 + 120575 + 120593
La formula per il calcolo della culminazione inferiore egrave sempre la stessa
Formule inverse della h=90deg+ 120593 - 120575
120593 = 90deg minus ℎ + 120575
120575 = 120593 + ℎ minus 90deg
Bignamino di astronomia
9
Latitudine del luogo (culminazione superiore ed inferiore)
120593 =ℎ1 + ℎ2
2
Questa formula egrave valida per tutte le stelle ma la si usa spesso per
conoscere la latitudine di un luogo osservando una stella
circumpolare La latitudine infatti non egrave altro che una ldquomediardquo
tra le due altezze (culminazione superiore ed inferiore)
Formule inverse
ℎ1 = 2120593 minus ℎ2
ℎ2 = 2120593 minus ℎ1
Per una stella circumpolare la minima altezza egrave ℎ119898119894119899= δ + ϕ - 90deg
Distanza zenitale
119911 = 90deg minus ℎ
La distanza zenitale indica quanto dista la stella dallo zenit che si trova
sulla verticale dellrsquoosservatore Per trovarla basta sottrarre a 90deg (la
verticale e lrsquoorizzonte sono separati da un angolo retto) lrsquoaltezza della
stella h
Formule inverse
ℎ = 90deg minus 119911
Bignamino di astronomia
10
Ascensione retta
Tra lrsquoascensione retta 120630il suo angolo orario H ed il tempo siderale relativi ad un dato osservatore
vale la relazione
119879119904 = 120572 + 119867
Nota
Quando il punto 120574 passa al meridiano 119879119904 = 0 (Il tempo siderale egrave definito come lrsquoangolo orario del
punto 120574 ) quando la stella passa al meridiano H= 0 e
119879119904 = 120572
Il tempo siderale coincide con lrsquoascensione retta delle stelle che passano al meridiano
Per conoscere lrsquoascensione retta di una stella 120572 bisogna calcolare
la differenza tra il tempo siderale del luogo 119879119904 di osservazione e
lrsquoangolo orario 119867 della stella stessa
120572 = 119879119904 minus119867
Lrsquoangolo orario si trova dalla 119867 = 119879119904 minus 120572
il punto nord ha H di 12 h e declinazione 90 - latitudine da noi H 0 e declinazione 90+ latitudine altro emisfero
per il punto sud i due predetti valori si invertono per lrsquoangolo orario e quelli della declinazione diventano
opposti
Bignamino di astronomia
11
MISURA DEL TEMPO
La misura del tempo viene effettuata dal movimento di rotazione diurna della volta celeste
(rotazione della Terra) e dal movimento annuo del Sole (rivoluzione della Terra attorno al Sole)
La rotazione della Terra attorno al suo asse egrave quasi costante quindi lrsquoangolo di rotazione rispetto ad
un qualsiasi riferimento iniziale consente di misurare il tempo Come riferimento iniziale si prende
lrsquoistante del passaggio del punto al meridiano del luogo La durata del giorno dipende da questo
punto scelto
In Astronomia i punti adottati sono Il punto γ il
centro del disco apparente del Sole (Sole vero) il
Sole medio (un Sole ideale che parte dal punto γ
assieme al Sole vero percorre lrsquoequatore celeste
con velocitagrave angolare costante in modo da
ritornare allrsquoequinozio di primavere assieme al
Sole vero)
Le tre unitagrave di tempo definite da questi punti si
chiamano giorno siderale giorno solare vero
giorno solare medio Il tempo da esse misurato egrave
tempo siderale tempo solare vero tempo solare medio
Nota Non sono tempi diversi ma solo diverse unitagrave di misurare il tempo
Giorno siderale ndash tempo siderale
Si definisce giorno siderale lrsquointervallo di tempo compreso tra
due successivi passaggi del punto γ allo stesso meridiano del
luogo
Si definisce tempo siderale lrsquointervallo di tempo compreso tra il
passaggio al meridiano del punto di primavera ad unrsquoaltra
posizione qualsiasi
119905119904 = H + 120572
(Tempo siderale = angolo orario Sole + ascensione retta Sole
medio)
Bignamino di astronomia
12
Giorno solare vero-Tempo solare vero
Il giorno solare vero egrave lrsquointervallo di tempo compreso tra due passaggi superiori o inferiori del centro
del Sole
Il tempo solare vero egrave lrsquointervallo di tempo compreso tra il passaggio inferiore
del Sole ad un altro punto
Al meridiano il 119879119904119900119897119890 119907119890119903119900 = 119867119878119900119897119890 119907119890119903119900 +12ℎ
Giorno solare medio - Tempo solare medio
Il giorno solare medio egrave lrsquointervallo compreso tra due passaggi superiori o inferiori del Sole medio
Il tempo solare medio egrave lrsquointervallo di tempo compreso tra il passaggio inferiore del Sole medio ad
un altro punto
119879119904119900119897119890 119898119890119889119894119900 = 119867119878119900119897119890 119898119890119889119894119900 +12ℎ
Equazione del Tempo
Si definisce equazione del tempo la differenza tra il tempo medio ed il tempo solare vero allo stesso
istante
E= 119879119904119900119897119890 119898119890119889119894119900 - 119879119904119900119897119890 119907119890119903119900
E= 119867119878119900119897119890 119898119890119889119894119900 - 119867119878119900119897119890 119907119890119903119900
E= 120572119878119900119897119890 119898119890119889119894119900 - 120572119878119900119897119890 119907119890119903119900
Il tempo solare medio ad un dato istante egrave dato
dal Tempo solare vero piugrave lrsquoequazione del
tempo
119879119904119900119897119890 119898119890119889119894119900= 119879119904119900119897119890 119907119890119903119900 + E
Bignamino di astronomia
13
Relazione tra tempo solare e tempo siderale
Consideriamo la posizione del sole a 24 ore di distanza
1199051119904=1198671199041 + 1205721198781
1199052119904=1198671199042 + 1205721198782
Calcolando la differenza tra le due espressioni si ha
1199052119904- 1199051119904 = (1198671199042 minus 1198671199041 ) + (1205721198782 -1205721198781)
(1198671199042 minus 1198671199041 ) = 24
Mentre la differenza in ascensione retta (1205721198782 -1205721198781) dagrave lo spostamento angolare diurno del sole
medio sullrsquoequatore che in gradi egrave 24
36525
Pe cui
1199052119904- 1199051119904 = 24h + 24
36525
1199052119904- 1199051119904 = 24 (1+ 1
36525)
1199052119904- 1199051119904 = 24 36625
36525
Un giorno solare medio= 36625
36525 giorni siderali
Un giorno siderale= 36525
36625 giorni solari veri
Il rapporto K = 36625
36525 K=1002738 serve per convertire gli intervalli di tempo solare medio in
intervalli di tempo siderali
∆119879119904= K ∆119879119898
Il rapporto Krsquo = 36525
36625 Krsquo = 0997270 serve per convertire gli intervalli di tempo siderali in intervalli
ti tempo solare medio
∆119879119898= Krsquo ∆119879119904
24 ore di tempo medio corrispondono a 24h 03m 5655s di tempo siderale viceversa un giorno
siderale egrave 23h 56m 04s di tempo solare medio
Se s egrave il tempo siderale ad un certo istante ad un dato meridiano mentre alla mezzanotte
precedente sullo stesso meridiano il tempo siderale era S dalla mezzanotte sono passati (s-S) ore
minuti secondi di tempo siderale che corrispondono a (s-S) Krsquo di tempo solare medio Poicheacute a
mezzanotte il tempo solare medio egrave 0ℎ 119879119898 = (s-S) Krsquo rappresenta il tempo solare medio allrsquoistante
del tempo siderale s
Bignamino di astronomia
14
Se al meridiano di quel luogo alla mezzanotte di una certa data il tempo siderale era S allrsquoistante
di tempo medio solare saragrave
s= S + 119879119898 119870
NOTA
Ersquo sempre necessario conoscere il tempo siderale S alla mezzanotte del meridiano dato Per questo
sono stati costruiti annuari che forniscono il tempo siderale 1198780 alla mezzanotte del meridiano
fondamentale di GW
Il tempo siderale S alla mezzanotte ad una data longitudine 120582 egrave dato da
119878 = 1198780 minus120582 ℎ
24ℎ (3119898 56119904 55)
Ora locale e longitudine
Si definisce tempo locale medio il tempo regolato sul meridiano del luogo
Nella vita quotidiana egrave scomodo utilizzare questo
tempo per cui il primo luglio 1919 sono stati introdotti
i fusi orari In base a questa suddivisione il tempo
medio egrave determinato solo per 24 meridiani geografici
principali separati da 15deg gradi (unrsquoora) I fusi orari sono
numerati da 0 a 23 ed il meridiano passante per GW
costituisce lrsquoorigine (fuso = 0)
Il tempo medio locale egrave dato da
119905119897 = 119905119891 ndashΔ120582
dove Δ120582 = 120582119891 - 120582119874
Nota
1) La differenza tra le ore locali (siderali o solari) di due meridiani misurate allo stesso istante
egrave sempre uguale alle differenze di longitudini
2) Poicheacute i confini dei fusi orari distano circa 7deg5 dal meridiano centrale la differenza 119905119897 - 119905119891
puograve essere leggermente maggiore o minore di plusmn 30119898
Bignamino di astronomia
15
Tempo Universale
Il tempo solare medio del meridiano di GW si chiama Tempo Universale (TU)
Per quanto precedentemente detto il tempo medio locale egrave uguale al tempo universale piugrave la
longitudine del luogo espressa in ore e considerata positiva ad est di GW
119905119897 = TU +120582
Bignamino di astronomia
16
MOTO APPARENTE DEI PIANETI
I pianeti si muovono in vicinanza dellrsquoeclittica ma il loro movimento visto dalla Terra egrave piugrave
complicato di quello del Sole e della Luna Il Sole e la Luna riferendo il loro moto rispetto alle stelle
fisse si muovono di moto diretto cioegrave antiorario per i pianeti si osserva che in generale si muovono
di moto diretto ma ce certi tratti variabili da pianeta a pianeta si muovono di moto retrogrado Il
pianeta dopo avere raggiunto una posizione di stazionarietagrave
inverte il moto Questo egrave molto piugrave evidente per i pianeti
interni Mercurio e Venere che oscillano avanti e indietro
rispetto alla posizione del Sole venendosi a trovare ora da
una parte ora dallrsquoaltra rispetto ad esso Quando il pianeta egrave
in congiunzione superiore egrave invisibile perchegrave nasce e
tramonta con il Sole ma essendo in questo momento piugrave
veloce del Sole dopo qualche tempo puograve essere visto dopo
il tramonto ad occidente (si trova a sinistra del Sole)
Lrsquoelongazione orientale cresce nei giorni seguenti e
contemporaneamente decresce la sua velocitagrave angolare e
quando raggiunge la stessa velocitagrave angolare del Sole per
qualche istante si muove mantenendo la stessa distanza il
pianeta raggiungere la massima elongazione orientale Per venere questo valore egrave circa 46deg per
Mercurio egrave variabile dai 18deg ai 28deg Da questo momento il pianeta comincia il suo avvicinamento al
Sole ritornando con moto retrogrado in congiunzione con esso ma questa volta in congiunzione
inferiore Ritorna invisibile (potrebbe esserci un transito) Continuando nel suo moto retrogrado
appare visibile ad occidente (a destra del Sole) ed egrave visibile prima del sorgere del Sole (elongazione
occidentale) Questo ci dice che i pianeti inferiori non possono mai trovarsi in quadratura o
opposizione
I pianeti esterni invece possono assumere qualsiasi distanza dal Sole da 0deg a 180deg e quindi possono
trovarsi nelle due precedenti configurazioni Raggiunta
lrsquoelongazione massima di 180deg i pianeti si trova dalla parte
opposta a quella del Sole la velocitagrave retrograda egrave massima e
raggiungono anche il massimo della luminositagrave Oggi noi
sappiamo che tutto questo egrave dovuto egrave il risultato della
composizione del moto della Terra e di quello dei pianeti
attorno al Sole semplificando osserviamo un oggetto in
movimento essendo noi stessi in movimento Le velocitagrave dei
pianeti variano piugrave sono vicini al Sole piugrave velocemente si
muovono I due pianeti essendo piugrave vicini al Sole sorpassano
la Terra durante il loro moto mentre egrave la Terra a sorpassare i
pianeti esterni quando sono vicini allrsquoopposizione e quindi
essi sembrano muoversi allindietro
Ed allora se indichiamo con T Il nostro anno siderale con P il periodo sidereo del Pianeta e con S il
periodo siderale (il tempo intercorso tra due congiunzioni o due opposizioni successive) la
composizione delle velocitagrave ci consente di calcolare la velocitagrave relativa del pianeta rispetto alla
Terra
Bignamino di astronomia
17
Per i pianeti interni (la Terra si muove piugrave lentamente)
2120587
119878 = 2120587
119875 - 2120587
119879
120783
119930 = 120783
119927 - 120783
119931
Per i pianeti esterni (la Terra si muove piugrave velocemente)
2120587
119878 = 2120587
119879 - 2120587
119875
120783
119930 = 120783
119931 - 120783
119927
Il movimento di tutti i pianeti attraverso le stelle fisse segue apparentemente la stessa direzione di
quello della Luna (e del Sole) - con una strana variante talvolta il loro moto apparente cambia
temporaneamente verso (moto retrogrado) Questo egrave molto piugrave evidente per Mercurio e Venere
che oscillano avanti e indietro rispetto alla posizione del Sole Durante il moto del Sole attraverso le
stelle - lungo le costellazioni dello zodiaco - questi pianeti
talvolta si muovono nello stesso verso e quindi il loro
movimento si somma a quello del Sole ma altre volte il loro
moto apparente si oppone a quello del Sole facendo sigrave che
sembri che si muovano allindietro (moto retrogrado)Gli
altri tre pianeti visibili ad occhio nudo si possono trovare in
qualunque posizione lungo leclittica - anche a mezzanotte in
posizione direttamente opposta a quella del Sole e quando
questo avviene raggiungono il massimo della luminositagrave
Marte sembra muoversi piugrave rapidamente Giove un po meno
e Saturno egrave il piugrave lento Comunque tutti mostrano questa
enigmatica stranezza vicino al punto in cui il loro percorso
apparente nel cielo egrave esattamente in posizione opposta al Sole
(opposizione) il loro movimento tra le stelle
temporaneamente si inverte Oggi noi comprendiamo molto
bene tutto questo (vedi fig1) I pianeti sono oggetti sferici
come la Terra - Venere Mercurio e Marte sono piugrave piccoli Giove e Saturno molto piugrave grandi Anche
la Terra egrave un pianeta e ne esistono anche altri (troppo deboli per essere visti senza un telescopio)
tutti che orbitano attorno al Sole sul piano o vicino al piano delleclittica La loro velocitagrave tuttavia
varia - piugrave sono vicini al Sole e piugrave rapidamente si muovono (vedi la sezione ldquoterza legge di Keplerordquo)
Quindi quando i tre pianeti esterni sono vicini allopposizione la Terra che orbita piugrave vicina al Sole
li sorpassa e quindi essi sembrano muoversi allindietro Il moto retrogrado dei due pianeti interni
ha una causa simile Essendo piugrave vicini al Sole sono essi che sorpassano la Terra durante il loro moto
Bignamino di astronomia
18
Sommario di quanto egrave noto oggi sui pianeti
Viene qui riportato un breve sommario dei componenti del sistema solare In genere vengono distinte quattro classi di oggetti
1 I pianeti maggiori in ordine di distanza dal Sole - Mercurio Venere Terra Marte Giove Saturno Urano e Nettuno Tutti tranne i due piugrave interni hanno dei satelliti e tutti e quattro i piugrave esterni hanno degli anelli composti da piccoli ciottoli di materia in orbita attorno al pianeta
2 Asteroidi o pianetini in maggioranza - anche se non tutti - posti tra Marte e Giove Il loro diametro arriva fino a 500 Km
3 La fascia di Kuiper di oggetti ghiacciati oltre lorbita di Nettuno di cui il piugrave noto (anche se ora si egrave scoperto che egrave solo il secondo come dimensioni) egrave Plutone scoperto nel 1930 e delle dimensioni della nostra Luna La fascia ha preso il nome dellastronomo belga Gerard Kuiper si estende probabilmente a una distanza doppia di quella di Nettuno e si stima che consista di circa 100000 oggetti (finora ne sono stati identificati circa 1000) molti dei quali con un diametro di soli 100 Km o meno
4 Comete tradizionalmente divise in non ricorrenti (il nome ufficiale egrave comete a lungo periodo) e comete periodiche Le comete non ricorrenti si pensa che provengano dalla nube di Oort un enorme agglomerato quasi sferico di oggetti ghiacciati agli estremi limiti del sistema solare Essi sono debolmente legati al Sole e di tanto in tanto lattrazione gravitazionale di qualche stella lontana probabilmente cambia un poco il moto di alcuni di
essi lanciandoli in direzione del Sole In tal caso diventano visibili come comete quando la luce del Sole fa evaporare una parte della loro superficie generando la chioma e la coda della cometa Le comete periodiche una volta erano considerate come oggetti che avevano iniziato come oggetti non ricorrenti ma poi erano state deviate e catturate dallattrazione gravitazionale dei pianeti piugrave grandi Oggi si ritiene che provengano dalla fascia di Kuiper come classe di oggetti noti come Centauri
Bignamino di astronomia
19
LE LEGGI DEL MOTO DEI PIANETI
Prerequisito Lrsquoellisse
Luogo geometrico dei punti del piano per i quali si
mantiene costante la somma delle distanze da due
punti fissi detti fuochi
Detta in parole piugrave semplici lellisse non egrave altro che
una circonferenza ldquoschiacciata Un elemento
fondamentale che ci permette di capire di quanto
questa viene compressa egrave leccentricitagrave e
Leccentricitagrave egrave definita come il rapporto tra la
semidistanza focale e il semiasse maggiore
119890 =119888
119886
Formule inverse
119888 = 119886119890
119886 =119888
119890
Infatti nellellisse possiamo individuare
bull Semiasse maggiore (a)
bull Semiasse minore (b)
bull Semidistanza focale (c)
Indicheremo quindi con 2a il semiasse maggiore (AB) con 2b il semiasse minore (CD) e con 2c la
distanza focale (F1F2)
ATTENZIONE lrsquoeccentricitagrave dellellisse egrave SEMPRE compresa tra 0 e 1 (0ltelt1) Se
questa fosse uguale a 0 i due fuochi andrebbero a coincidere con lorigine e lellisse
diventerebbe una circonferenza Se fosse uguale a 1 diventerebbe una parabola se
fosse egt1 diventerebbe una iperbole
Dalla figura si nota che la somma delle distanze dai due punti fissi detti fuochi egrave costante ed egrave pari
alla lunghezza dellasse maggiore (2a) Quindi si puograve anche applicare il teorema di Pitagora
1198862 = 1198872 + 1198882
Formule inverse
1198872 = 1198862 minus 1198882
1198882 = 1198862 minus 1198872
Bignamino di astronomia
20
LEGGI DI KEPLERO
PRIMA LEGGE
Enunciato i pianeti descrivono intorno al Sole orbite
ellittiche in cui questo occupa uno dei fuochi
Si puograve quindi notare che la distanza di un pianeta
attorno al Sole non si mantiene costante bensigrave ci
saragrave un punto in cui questo saragrave piugrave vicino al Sole
(perielio) e uno in cui saragrave piugrave lontano (afelio)
Possiamo quindi calcolare le due distanze
119889119886 = 119886(1 + 119890)
119889119901 = 119886(1 minus 119890)
Formule inverse
119886 =119889119886
1 + 119890
119886 =119889119901
1 minus 119890
119890 =119889119886
119886minus 1
119890 = 1 minus119889119901
119886
Inoltre si nota anche che dalla somma delle due distanze otteniamo lasse maggiore dellorbita
2119886 = 119889119886 + 119889119901
E il semiasse egrave quindi dato da
119886 =119889119886 + 119889119901
2
Bignamino di astronomia
21
Formule inverse
119889119886 = 2119886 minus 119889119901
119889119901 = 2119886 minus 119889119886
La distanza focale egrave data dalla differenza delle due distanze
2119888 = 119889119886 minus 119889119901
119888 =119889119886 minus 119889119901
2
Formule inverse
119889119886 = 2119888 + 119889119901
119889119901 = 119889119886 minus 2119888
Quindi leccentricitagrave dellrsquoorbita puograve essere anche scritta come
119890 =119889119886minus119889119901
119889119886+119889119901=
2119888
2119886 =
119888
119886
SECONDA LEGGE
Enunciato il raggio vettore che congiunge il Sole al pianeta spazza aree
uguali in tempi uguali
Dalla seconda legge comprendiamo che la velocitagrave del pianeta intorno
al Sole non egrave costante al perielio viaggeragrave piugrave velocemente che
allafelio Quindi si puograve affermare che le velocitagrave sono inversamente
proporzionali alle distanze
119881119886
119881119901=119889119901
119889119886
Formule inverse
119881119886 =119889119901 119881119901
119889119886
Bignamino di astronomia
22
119881119901 =119881119886 119889119886
119889119901
119889119886 =119881119901 119889119901
119881119886
119889119901 =119881119886 119889119886
119881119901
TERZA LEGGE
Enunciato i cubi dei semiassi maggiori sono
proporzionali ai quadrati dei periodi di
rivoluzione
1198863
1198792= 119896
Dalla terza legge si nota che esiste una relazione tra periodo di rivoluzione e lontananza dal corpo
centrale Sono infatti legati tra loro dal valore di una costante che egrave stata indicata con k
Per i corpi orbitanti intorno ad una massa comune (come ad esempi o per i corpi del Sistema solare)
questa legge puograve essere anche scritta come
1198861199053
1198791199052 =
1198861198983
1198791198982
=1198861199043
1198791199042 = ⋯
PER I CORPI DEL SISTEMA SOLARE se si inserisce in formula il valore del semiasse maggiore in unitagrave
astronomiche (UA) e il periodo di rivoluzione in anni il valore di questa costante egrave uguale a 1 Infatti
ricavandola per la Terra
(1 119880119860)3
(1 119886119899119899119900)2= 1
E se k=1 per la Terra vale per tutti gli altri corpi orbitanti intorno al Sole
Bignamino di astronomia
23
NEWTON E LA GRAVITAZIONE UNIVERSALE
Con le leggi di Keplero siamo ancora in quella parte di fisica che descriviamo come cinematica
descriviamo perfettamente i moti dei pianeti ma non risaliamo alle cause Newton avanzograve lrsquoipotesi
che sia i gravi in caduta libera che i pianeti vengono deviati dalla condizione di moto rettilineo
uniforme dallrsquoesistenza di una forza centrale Nel 1684 Newton ldquopoggiandosi sulle spalle dei
gigantirdquo (Keplero ed il nostro Galilei) dimostrograve che la forza che fa ldquofluttuarerdquo i pianeti attorno al Sole
dipende dallrsquoinverso del quadrato della distanza da esso
Integrando il suo secondo principio della dinamica con la terza legge di Keplero perviene a
119865119892=41205872 119898
1198701199032
Questa forza deve dipendere anche dalla massa M del Sole ed allora
119865119892=41205872 119898119872
1198721198701199032
Dove K egrave la costante della terza legge di Keplero Ponendo la quantitagrave 41205872
119872119870 = G ( notare che contiene
la costante K e la massa del Sole) otteniamo la nota formula
119865119892=119866 119898119872
1199032
Newton dedusse che questa legge egrave valida non solo per i corpi del sistema solare ma in tutto
lrsquoUniverso egrave la Legge di Gravitazione Universale Nel 1798 Cavendish ideograve la bilancia a torsione e
trovograve il valore per la costante G = 667times10⁻sup1sup1 N msup2kgsup2
Bignamino di astronomia
24
Terza legge di Keplero generalizzata
Approssimando lrsquoorbita di un corpo a circolare e considerando trascurabile la massa del corpo
orbitante la condizione di equilibrio per la quale esso orbita egrave data da
119865119888 = 119865119892
119865119900119903119911119886 119888119890119899119905119903119894119891119906119892119886 = 119865119900119903119911119886 119892119903119886119907119894119905119886119911119894119900119899119886119897119890
La forza centrifuga egrave espressa come
119865119888 = 119898 119886119888
E quella gravitazionale (dalla legge di gravitazione universale di Newton) come
119865119892 =119866119872119898
1198862
Sostituendo in formula
119898119886119888 =119866119872119898
1198892
Notiamo che semplificando m otteniamo un modo per esprimere lrsquoaccelerazione
119886119888 =119866119872
1198892
Lrsquoaccelerazione egrave espressa come
119886119888 =1199072
119886=412058721198862
1198792119886=41205872119886
1198792
Sostituendo in formula
41205872119886
1198792=119866119872
1198862
Da cui
1198863
1198792=119866119872
41205872
Formule inverse
119886 = radic119866119872 1198792
41205872
3
119879 = radic412058721198863
119866119872
Bignamino di astronomia
25
119872 =412058721198863
119866 1198792
Nota nel caso in cui la massa del corpo orbitante non fosse trascurabile la terza legge di Keplero
generalizzata diventerebbe
1198893
1198792=119866 (119872 +119898)
41205872
Nel Sistema solare la somma delle due masse si considera uguale alla sola massa del
Sole data la relativa piccola massa dei pianeti
NOTA I corpi lasciati cadere verso il basso quando la resistenza dellrsquoaria egrave trascurabile cadono con la
stessa accelerazione g detta accelerazione di gravitagrave Sulla superficie terrestre lrsquoaccelerazione di
gravitagrave egrave g = 98 ms2 In realtagrave il valore di g cambia da punto a punto percheacute dipende fra lrsquoaltro
dallrsquoaltezza del punto sul livello del mare e dalla sua latitudine Ora che conosciamo la legge di
gravitazione universale possiamo dire che i corpi cadono per effetto della forza di gravitazione che
si esercita tra il corpo e la Terra Allora
119892 =119866119872
1198892
Se il corpo si trova sulla Terra o prossimo alla superficie sostituendo a questa formula i valori relativi
alla massa della Terra e al suo raggio troviamo per lrsquoaccelerazione il valore noto di 98 ms2
Un altro fattore che influisce sul valore di g egrave la rotazione terrestre in quanto ogni corpo su di
essa egrave soggetto ad una forza centripeta per cui
119892rsquo = 119892 minus 1205962 119877119879
ldquoRationem vero harum
Gravitatis proprietatum
ex phaelignomenis nondum
potui deducere amp
hypotheses non fingordquo
ldquoIn veritagrave non sono riuscito a dedurre la causa di
queste proprietagrave della gravitagrave dai fenomeni e non
avanzo ipotesirdquo
Isaac Newton Philosophiae Naturalis Principia
Mathematica liber tertius
Bignamino di astronomia
26
ALCUNE CONSIDERAZIONI SULLE ORBITE
La Legge della Gravitazione Universale ci insegna che la forza drsquoattrazione gravitazionale egrave
inversamente proporzionale al quadrato della distanza delle due masse che si attraggono ovvero
119865 prop1
1198892 a causa di questa caratteristica dellrsquointerazione gravitazionale si puograve dimostrare che le
orbite descritte dai corpi celesti attorno a un oggetto ldquoattrattorerdquo seguono particolari curve le
coniche
Le coniche sono curve che si ottengono dallrsquointersezione di un piano con un cono a due falde Si
ottengono cosigrave circonferenza ellisse iperbole e parabola
Ciograve che distingue lrsquouna dallrsquoaltra queste curve egrave un parametro lrsquoeccentricitagrave
Circonferenza il piano egrave perpendicolare
allrsquoasse (tratteggiato)
Ellisse il piano egrave obliquo
Parabola il piano egrave parallelo a una delle
generatrici (le due rette incidenti in V in
figura)
Iperbole il piano egrave parallelo allrsquoasse del cono
CIRCONFERENZA e=0
ELLISSE 0ltelt1 (piugrave questo valore si avvicina ad 1 piugrave
lrsquoellisse egrave schiacciata)
PARABOLA e=1
IPERBOLE egt1 (quanto piugrave maggiore di uno egrave
questo valore tanto piugrave lrsquoiperbole egrave ldquoapertardquo)
Bignamino di astronomia
27
VELOCITAgrave ORBITALE ORBITA CIRCOLARE
Affincheacute il corpo rimanga in orbita egrave necessario che in ogni punto dellrsquoorbita la forza centripeta sia
uguale alla forza di attrazione gravitazionale
FC = FG
mv2
R=mMG
R2
mv2
R=mMG
R2
v2 =MG
R
119855 = radic119820119814
119825
A questa velocitagrave si dagrave il nome di prima velocitagrave cosmica
VELOCITAgrave SU ORBITE NON CIRCOLARI
Il problema si risolve con lrsquoapplicazione del principio di conservazione dellrsquoenergia meccanica che
altro non egrave che la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale
119922120783 + 119932120783 = 119922120784 + 119932120784
E poicheacute le velocitagrave orbitali variano al variare dalla distanza alla prima equazione egrave necessario
associare la seconda legge di Keplero
Per cui il problema egrave risolto dalla soluzione del sistema
119922120783 + 119932120783 = 119922120784 + 119932120784119959119938 119941119938 = 119959119953119941119953
Nel caso della forza gravitazionale lrsquoenergia potenziale egrave 119880 = minus119898119872119866
119877
Lrsquoenergia cinetica egrave K= 1
21198981199072
Bignamino di astronomia
28
Il sistema diventa
119907119886119889119886 = 1199071199011198891199011
2119898119907119886
2 minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
Le soluzioni sono 119959119938 = radic120784119918119924119941119953
119941119938(119941119953+119941119938) 119959119953 = radic120784119918119924
119941119938
119941119953(119941119953minus119941119938)
Ricordando che 119889119886 = 119886(1 + 119890) 119889119901 = 119886(1 minus 119890) 119938 =119941119938+119941119953
120784 119942 =
119941119938minus119941119953
119941119938+119941119953
le due velocitagrave possono anche essere espresse in funzione del semiasse maggiore e
dellrsquoeccentricitagrave dellrsquoorbita
Quindi
119907119901 = radic119918119924
119938(120783+119942
120783minus119942)
119907119886 = radic119918119924
119938(120783minus119942
120783+119942)
ALCUNE CONSIDERAZIONI DINAMICHE SULLE ORBITE
Allrsquoinizio di questi appunti abbiamo evidenziato come gli oggetti orbitanti seguano delle traiettorie
che sono curve coniche e abbiamo individuato questrsquoultime catalogandole anche a seconda
dellrsquoeccentricitagrave in seguito abbiamo enunciato il principio di conservazione dellrsquoenergia meccanica
119922+119932 = 119940119952119956119957119938119951119957119942
Possiamo procedere nella classificazione delle orbite a seconda del valore assunto da questa
costante (lrsquoenergia meccanica) In particolare
bull Se questa costante egrave negativa allora lrsquooggetto segue unrsquoorbita chiusa (circonferenza
ellisse)
bull Se essa egrave nulla allora il corpo si muove su unrsquoorbita parabolica (a distanza infinita la sua
velocitagrave egrave nulla)
bull Se essa egrave positiva allora la traiettoria egrave iperbolica (e il corpo giunge a distanza infinita con
velocitagrave ndash chiamata ldquovelocitagrave drsquoeccesso iperbolicordquo ndash non nulla)
Bignamino di astronomia
29
VELOCITAgrave DI FUGA ndash RAGGIO DI SCHWARZSCHILD
119959 = radic120784119918119924
119929
A questa velocitagrave si dagrave il nome di seconda velocitagrave cosmica o velocitagrave di fuga
Immaginiamo ora di poter comprimere un corpo celeste di massa M (quindi via via il raggio R
diminuisce) la velocitagrave di fuga di un altro corpo dalla sua superficie aumenteragrave al diminuire del
raggio Quando il raggio raggiungeragrave un valore ldquocriticordquo la velocitagrave di fuga eguaglieragrave quella della
luce e neanche la luce potragrave allontanarsi indefinitamente dal corpo esso egrave diventato un buco nero
Al raggio ldquocriticordquo associato a ogni massa M si dagrave il nome di Raggio di Schwarzschild in onore del
matematico astronomo e astrofisico tedesco Karl Schwarzschild (1873-1916) il raggio si ricava cosigrave
119888 = radic2119866119872
119877119904 rarr 1198882 =
2119866119872
119877119904 rarr 119929119956 =
120784119918119924
119940120784
Dove c egrave la velocitagrave della luce (c=299792458 ms)
Bignamino di astronomia
30
ECLISSI LUNA-SOLE
Eclisse di Luna
Una eclisse di Luna si verifica quando la Terra si interpone tra il nostro satellite ed il Sole cioegrave
quando la Luna entra nel cono drsquoombra della Terra che egrave rivolto dalla parte opposta al Sole e per
tanto lrsquoeclisse piograve avvenire solo quando la Luna egrave in opposizione cioegrave quando egrave piena Poicheacute la
Luna si sposta da ovest verso est essa
entra nel cono drsquoombra della Terra dalla
parte sinistra Se lrsquoorbita della Luna
attorno alla Terra giacesse sullo stesso
piano dellrsquoorbita della Terra attorno al
Sole ad ogni plenilunio avremmo una
eclisse totale di Luna Queste due orbite
sono inclinate di 5deg9rsquo e si incontrano i
due punti che definiscono i nodi Percheacute
si abbia una eclisse Sole e Luna non solo
devono essere allrsquoopposizione ma
devono essere vicinissimi ai nodi In media la distanza angolare del Sole dal nodo deve essere minore
di 9deg9 per unrsquoeclisse parziale e non piugrave di 4deg6 per unrsquoeclisse totale
Calcolo lunghezza cono drsquoombra della Terra
I triangoli VAS e VBT sono simili (vedi figura)
VS VT= AS BT
Ma
VS= VT+ TS
sostituendo si trova che
VT =119879119878∙119861119879
119860119878minus119861119879
Siccome sappiamo che il raggio del Sole egrave circa 10925 raggi terrestri abbiamo
Bignamino di astronomia
31
VT= 119878119879∙119861119879
10925119861119879minus119861119879
VT= 119878119879
10925minus1
La lunghezza del cono drsquoombra si puograve calcolare dividendo la distanza media Terra-Sole per 10925
Si puograve calcolare anche il semidiametro apparente visto dalla Terra dellrsquoombra che la Terra proietta
sul piano dove si trova la Luna
Poicheacute il raggio angolare della Luna egrave di 15rsquo5 percheacute una eclisse di Luna possa avere luogo egrave
necessario che la distanza tra i centri dellrsquoombra terrestre e della Luna sia inferiore a
41rsquo+15rsquo5 = 56rsquo5
Con questo dato si puograve calcolare quanto egrave spostato il centro dellrsquoorbita terrestre dal nodo lunare
Dalla proporzione
119861119879 119877119867 = 119881119879119867119881
119877119867 =119881119867 ∙ 119861119879
119881119879
Dato che
119881119867 = 119881119879 minus 119879119867
119877119867 =119861119879 (119881119879 minus 119879119867)
119881119879=
=119861119879
119881119879(1 minus
119879119867
119881119879) =
Dalla formula precedente
119881119879 =119878119879
10825
Sostituendo
Bignamino di astronomia
32
119877119867 =119861119879 ∙ 10825
119878119879(1 minus 119879119867) =
= 119877119879119864119877119877119860119863119879119878
10825 (1 minus 119863119879119871)
Si trova che questo valore egrave di 10deg6 Quindi unrsquoeclisse lunare si puograve verificare (anche di breve
durata) solo nel caso in cui lrsquoorbita terrestre egrave spostata meno di 10deg6 gradi dal nodo lunare (ad est
o ad ovest)
La Terra si muove lungo lrsquoeclittica di circa 59rsquo al giorno Per percorrere questa distanza impiega 108
giorni e la distanza doppia in 216 giorni poicheacute una rivoluzione sinodica si compie in 295 giorni
Una Luna piena puograve verificarsi ad una distanza superiore ai 10deg6 gradi ad ovest e la successiva Luna
piena ad una distanza superiore ad est e quindi nel corso di questa rivoluzione non si verificheranno
eclissi Si puograve verificare che in un anno non ci siano eclissi o al massimo tre quando la prima cade
poco dopo il primo gennaio la seconda sei mesi dopo (in prossimitagrave di giugno) e la terza a fine
dicembre (dodici mesi sinodici dopo la prima 354 giorni)
Bignamino di astronomia
33
Eclisse di Sole
Uneclissi di Sole si verifica quando la Luna attorno alla sua congiunzione si trova allineata tra la
Terra e il Sole molto vicino ad uno dei nodi o esattamente in esso Bencheacute di dimensioni
estremamente diverse si trovano a distanze tali da mostrare lo stesso diametro apparente Il che
consente alla Luna di coprire il disco del Sole
Percheacute ci sia una eclisse di Sole egrave necessario che
al momento del novilunio il Sole sia distante
dal nodo inferiore in media 15deg5 Questo
valore egrave piugrave alto di quello calcolato per lrsquoeclisse
di Luna e quindi si capisce percheacute le eclissi di
Sole sono piugrave frequenti Il cono drsquoombra
massimo della Luna ha un valore che non
supera i 270km sulla superficie della Terra mentre la lunghezza del cono drsquoombra egrave circa 374000
per cui il vertice di questo cono non sempre raggiunge la Terra in questo caso si hanno eclissi
anulari In localitagrave differenti della Terra lrsquoeclisse di Sole si verifica in tempi diversi Il moto della Luna
attorno alla Terra e la rotazione della Terra attorno al proprio asse fanno sigrave che lrsquoombra lunare si
sposti da ovest verso est formando una striscia drsquoombra lunga un migliaio di km e larga da 200 a 270
km Poicheacute la Luna si sposta da ovest verso est lrsquoeclisse inizia dal bordo ovest del Sole
Condizione percheacute si possa verificare unrsquoeclissi di Sole
Percheacute si verifichi unrsquoeclisse di Sole egrave necessario che nel periodo della Luna nuova questa si trovi in
prossimitagrave di uno dei nodi della sua orbita cioegrave in vicinanza dellrsquoeclittica
Indichiamo con S T L i centri del Sole della Terra della Luna che giacciono tutti su di un piano
perpendicolare al piano dellrsquoeclittica Il verificarsi dellrsquoeclisse dipende dalla latitudine geocentrica
della Luna (nella figura lrsquoangolo LTS (vertice in T) = 120573 )
Dalla figura
Bignamino di astronomia
34
120573 = LTLrsquo+ LrsquoTSrsquo + STSrsquo
Dalla figura si evince che
LTLrsquo egrave il raggio angolare della Luna= 120572119871
STSrsquo egrave il raggio angolare del Sole = 120572119878
120573 = 120572119871 + LrsquoTSrsquo + 120572119878
Lrsquo TSrsquo =
Consideriamo lrsquoangolo TLrsquoO esterno al triangolo TLrsquoSrsquo
TLrsquoO= LrsquoTSrsquo + TSrsquoLrsquo
TLrsquoO= LrsquoTSrsquo + TSrsquoO
LrsquoTSrsquo = TLrsquoO - TSrsquoO
TLrsquoO = 119901119871 = 57prime2primeprime (parallasse orizzontale della Luna)
TSrsquoO= 119901119878 = 8primeprime 8 (parallasse orizzontale del Sole)
120573 = 120572119871 + 120572119878 + 119901119871 - 119901119878
120573 = 15rsquo5 +16rsquo3 +57rsquo2 ndash 8rsquorsquo8
120573 = 88rsquo46
Percheacute si verifichi una eclisse anche di breve durata egrave necessario che la latitudine geocentrica della
Luna sia inferiore a 88rsquorsquo46
La parallasse orizzontale equatoriale della Luna egrave lrsquoangolo sotto il quale dal centro della Luna egrave
visibile il raggio equatoriale della Terra La parallasse orizzontale equatoriale del Sole egrave lrsquoangolo
sotto il quale dal centro del Sole egrave visibile il raggio equatoriale della Terra
Bignamino di astronomia
35
La distanza angolare del centro della Luna rispetto al
nodo (longitudine) si puograve calcolare con la
sinΔ120582 = tan120573
tan 119894
Δ120582 = 16deg5
Il Sole muovendosi alla velocitagrave di 59rsquo al giorno percorre 33deg gradi di eclittica in 34 giorni Essendo
il periodo sinodico di 295 giorni egrave evidente che nel corso di questo periodo si ha una Luna nuova
(ed anche due) Questo assicura che nel corso di un anno si verificano almeno due eclissi di Sole in
vicinanza dei nodi Se la prima si verifica ai primi di gennaio la seconda si ha alla Luna nuova
successiva la terza e la quarta poco meno di sei mesi dopo e la quinta 354 giorni dopo la prima
Bignamino di astronomia
36
Numero totale di eclissi per anno
Il Ciclo di Saros
In base a quanto fin qui detto il numero massimo di eclissi che si possono verificare in un anno egrave 7
bull 2 Luna + 5 Sole
bull 3 Luna + 4 Sole
e viceversa Questa combinazione egrave piuttosto rara lrsquoevento piugrave frequente egrave 2 Luna + 2 Sole Il
numero minimo costituito da due eclissi entrambe di Sole
Fin dallrsquoantichitagrave era noto che le eclissi si succedevano pressocheacute nello stesso ordine in un periodo
di circa 18 anni e 113 giorni La spiegazione egrave alquanto semplice
Le fasi lunari si succedono ogni 2953 giorni (mese sindico) mente il ritorno allo stesso nodo della
Luna avviene ogni 2721 giorni I nodi
hanno un moto di retrogradazione in un
giorno percorre un angolo pari a
3rsquo10rsquorsquo64 e completa il giro in 18anni e
113 giorni Il Sole si sposta di moto
diretto in media di 59rsquo8rsquorsquo33 al giorno
rispetto al nodo Il moto del Sole egrave di
62rsquo19rsquorsquo e quindi lrsquointervallo di tempo fra
due passaggi consecutivi del centro del
Sole per lo stesso nodo egrave di 34662 giorni
(anno draconico) Il saros egrave lrsquointervallo di tempo percheacute questi tre periodi tornino nella stessa
successione La natura si diverte
Succede che
bull 223 lunazioni (223 mesi sinodici) corrispondono a giorni 658519 (223 x 2953)
bull 242 mesi draconici corrispondono a giorni 658502
bull questi giorni corrispondono a 18 anni e circa 11 giorni
Poi succede che se dividiamo questi 658519 per lrsquoanno draconico troviamo circa 19
Questi tre periodi ritornano nella stessa successione dopo circa 6585 giorni che rappresenta il
ciclo di Saros Le condizioni in cui si producono le eclissi non saranno mai le stesse poicheacute essendo
223 mesi sinodici piugrave corti di 004 mesi draconici dopo 18 anni la Luna non si troveragrave esattamente
allo stesso posto rispetto al nodo Il ciclo di Saros contiene 6585 giorni interi piugrave circa 13 di giorni
questo comporta che le zone di visibilitagrave delle eclissi sulla superficie terreste in 18 anni si spostano
di circa 120deg verso Ovest
Bignamino di astronomia
37
ANGOLO SOLIDO
Si definisce angolo solido la porzione di sfera intercettata dalle
semirette che lo individuano
120570 =119860
1198772=41205871198772
1198772= 4120587
120570 = 4120587
Langolo solido totale di una sfera egrave pari a 4π Lunitagrave di misura
egrave sr (steradiante) ed egrave un numero puro
Per avere la misura in gradi quadrati si deve
119898119900119897119905119894119901119897119894119888119886119903119890 4120587 bull (180deg
120587)2
119900 1198891198941199071198941198891198901199031198904120587
1205872
4π sr= 41253deg -gt 1deg=3046 bull 10minus4119904119905119890119903119886119889
STRUMENTI OTTICI
CAMPO DELLO STRUMENTO
Il campo di uno strumento egrave definito dallangolo solido sotto il quale loculare viene visto dal centro
dellobiettivo Il campo corretto dalle aberrazioni ottiche di norma egrave 1
2deg
APERTURA ASSOLUTA
Lapertura assoluta dipende dal diametro D dello strumento La quantitagrave di luce raccolta egrave
proporzionale allarea dellobiettivo cong 1198632
APERTURA RELATIVA
Si definisce apertura relativa il rapporto
119863
119891=119886119901119890119903119905119906119903119886 119886119904119904119900119897119906119905119886 (119889119894119886119898119890119905119903119900)
119891119900119888119886119897119890 119889119890119897119897prime119900119887119894119890119905119905119894119907119900
Bignamino di astronomia
38
RAPPORTO FOCALE
Linverso dellrsquoapertura relativa 119891
119863 definisce il rapporto focale
Lenergia raccolta dallobiettivo egrave distribuita sullarea dellimmagine la cui grandezza sul piano focale
egrave data da
119889 = 119891 bull 119905119886119899120572
Con α=diametro angolare dellrsquooggetto
119889 = 119891120572
Se α egrave espresso in radianti
POTERE RISOLUTIVO
Il potere risolutivo egrave la minima distanza angolare tra due sorgenti di luce che possono essere viste
separate (ldquorisolte in termine tecnico) secondo un criterio detto di Rayleigh
Due sorgenti puntiformi (di uguale luminositagrave) risultano risolte quando la loro distanza angolare
120579 =122 bull 120582
119863=119897119906119899119892ℎ119890119911119911119886 119889prime119900119899119889119886
119889119894119886119898119890119905119903119900
Si ottiene un risultato in radianti
In secondi darco invece
120579 =25 bull 105 bull 120582
119863
Con λ=lunghezza donda della luce=5500Aring (regione di massima sensibilitagrave dellocchio)
Il potere risolutivo dellocchio assumendo la pupilla con un diametro di 3 mm egrave uguale a
120579 =122120582
119863= 122 bull
5500 bull 10minus9119898
3 bull 10minus3119898= 224 bull 10minus4119903119886119889 = 46
Il fattore di conversione da radianti a secondi egrave il NUMERO MAGICO 1 rad = 206265rdquo
Nella determinazione del potere risolutivo interviene lrsquoapertura dello strumento e non
lrsquoingrandimento
Bignamino di astronomia
39
INGRANDIMENTO
Lingrandimento dello strumento egrave dato dal rapporto tra la focale dellobiettivo f e la pupilla
delloculare f
119892 =119891
119891prime
ABERRAZIONE DELLA LUCE
Quando i raggi di una stella arrivano sulla Terra la loro direzione di provenienza
appare leggermente deviata a causa della velocitagrave orbitale del pianeta v I vettori
delle velocitagrave (della luce e del pianeta) si combinano per dare un vettore risultante di
poco inclinato dalla direzione di provenienza dei raggi
119886 = arctan119907
119888
RIFRAZIONE
Il fenomeno della rifrazione ha origine dal cambiamento di
velocitagrave delle onde luminose quando passano da un mezzo
trasparente allrsquoaltro Esiste una proporzione tra le due diverse
velocitagrave e i seni degli angoli 120579119894119899119888119894119889119890119899119911119886 e 120579119903119894119891119903119886119911119894119900119899119890 che i raggi
formano con la linea normale alla superficie nel punto colpito dal
raggio Se consideriamo gli indici di rifrazione 1198991 e 1198992 dei materiali
la proporzione egrave inversa
119904119894119899120579119894119899119888119894119889119890119899119911119886119904119894119899120579119903119894119891119903119886119911119894119900119899119890
=11989921198991=11990711199072
Bignamino di astronomia
40
RIFRAZIONE ATMOSFERICA
Allrsquoentrata nellrsquoatmosfera terrestre i raggi luminosi provenienti da un corpo celeste che si trova a
distanza zenitale z vengono rifratti (deviati verso il basso) di un angolo r Quindi i corpi celesti si
osservano in una posizione leggermente piugrave alta del reale In particolare possiamo vedere oggetti
che si trovano anche sotto lrsquoorizzonte geometrico del luogo (es Il sole al tramonto) La formula
stabilisce che lrsquoangolo di rifrazione egrave proporzionale alla tangente della distanza zenitale
Questa formula vale fino ad angoli 119963 asymp 120789120782deg
Oltre questo valore fino allrsquoorizzonte la rifrazione aumenta fino a raggiungere il valore massimo di
35rsquo
119903 = 582 tan (119911)
Bignamino di astronomia
41
RIASSUMENDOhellip
CENNI TEORICI SUI TELESCOPI
Il telescopio egrave uno strumento che raccoglie la luce o altre radiazioni elettromagnetiche
provenienti da un oggetto lontano la concentra in un punto (detto fuoco) e ne produce
unimmagine ingrandita Possiamo paragonare un telescopio a un ldquogrande occhiordquo che
sopperisce al fatto che la nostra pupilla di dimensioni ridotte riesce a raccogliere un
quantitativo insufficiente di luce emessa da un oggetto lontano Un telescopio egrave
caratterizzato dalle seguenti componenti e grandezze
bull OBIETTIVO egrave la parte del telescopio rivolta verso lrsquooggetto da osservare Il suo
diametro D prende il nome di APERTURA Telescopi con una grande apertura sono
capaci di raccogliere piugrave luce e di fornire unrsquoimmagine a piugrave alta risoluzione
Lrsquoobiettivo fa convergere i raggi luminosi in un punto il fuoco la cui distanza
dallrsquoobiettivo egrave chiamata LUNGHEZZA FOCALE
bull OCULARE la parte del telescopio (nel caso di telescopi ottici) che raccoglie la luce
proveniente dallrsquoobiettivo e che la trasmette poi allrsquoocchio Anche per lrsquooculare egrave
possibile definire una LUNGHEZZA FOCALE
Ingrandimento
Lrsquoingrandimento di un telescopio egrave dato dal rapporto fra la lunghezza focale dellrsquoobiettivo e
la lunghezza focale dellrsquooculare
119894 = 119891119900119887119891119900119888 Rapporto focale
Rapporto esistente tra la lunghezza focale dellrsquoobiettivo e lrsquoapertura stessa del telescopio
119865 =119891119900119887
119863 negli strumenti egrave specificato da una F seguita da un numero (es F4 F45 F6hellip)
Campo visivo
Esso egrave dato dal rapporto fra il campo visivo apparente dellrsquooculare (lrsquoampiezza angolare
dellrsquoimmagine fornita dallrsquooculare soltanto) e il numero di ingrandimenti
119865119900119881 =119865119900119881119900119888119894
Pupilla drsquouscita
Essa egrave il diametro del fascio luminoso che esce dallrsquooculare
119901 =119863
119894
Potere risolutivo
Esso egrave lrsquoangolo minimo che deve separare due oggetti affincheacute lo strumento li possa
distinguere egrave dato dal criterio di Rayleigh
120599(119903119886119889) =122120582
119863 120599deg =
699120582
119863 120582 119897119906119899119892ℎ119890119911119911119886 119889prime119900119899119889119886 119889119890119897119897119886 119897119906119888119890 119900119904119904119890119903119907119886119905119886
Bignamino di astronomia
42
Magnitudine limite
Egrave la magnitudine visuale massima che puograve essere osservata con uno strumento di apertura
D (in cm)
119898119897119894119898 = 68 + 5119897119900119892119863
Ingrandimento minimo utile
egrave lrsquoingrandimento che fornisce una pupilla drsquouscita pari al diametro della pupilla umana (6-7
mm)
119894119898119894119899 = 119863(119898119898)7
Formula di Dawes
Ci consente di trovare lrsquoapertura di un telescopio che gli consenta di distinguere un oggetto
che si vede sotto un angolo α
119863(119898119898) =120
120572
Dimensioni dellrsquoimmagine sul piano focale
Lrsquoimmagine che si forma sul piano focale di un telescopio con lunghezza focale dellrsquoobiettivo
f relativa a un oggetto di dimensione angolare α egrave
119897 = 2119891 tan (1205722)
Bignamino di astronomia
43
ELEMENTI DI ASTROFISICA
Tutte le informazioni che riceviamo dalle stelle ci provengono dalla ldquolucerdquo che emettono1 Egrave solo
attraverso lrsquoanalisi e la ldquodecodificazionerdquo dei messaggi contenuti in questa radiazione
elettromagnetica che egrave la luce che noi possiamo ottenere informazioni sulle proprietagrave fisiche e
chimiche delle stelle e delle galassie
La radiazione elettromagnetica
Una radiazione elettromagnetica egrave dal punto di vista dellrsquoelettromagnetismo classico un fenomeno
ondulatorio dovuto alla contemporanea propagazione di perturbazioni periodiche di un campo
elettrico e di un campo magnetico oscillanti su piani tra di loro ortogonali Le stelle emettono
tipicamente radiazione di ldquocorpo nerordquo e come tale irradiano energia in tutte le lunghezze drsquoonda
secondo una distribuzione che viene chiamata spettro della radiazione elettromagnetica
I parametri che permettono di distinguere tra loro le varie radiazioni elettromagnetiche sono
1) In realtagrave un altro ldquocanalerdquo di trasmissione delle informazioni per la comprensione dei fenomeni celesti si egrave aperto
grazie ai risultati positivi ottenuti dagli interferometri per onde gravitazionali LIGO e VIRGO in particolare gli
interferometri menzionati il 17 agosto 2017 hanno rilevato un segnale di onda gravitazionale (rilevazione
annunciata poi ufficialmente il 16 ottobre dello stesso anno) mentre altri telescopi in orbita e a terra sono riusciti
a individuare per la prima volta la sua controparte elettromagnetica lrsquoevento che ha generato il segnale egrave stato
la collisione di due stelle di neutroni (che ha portato a unrsquoesplosione nota col termine di kilonova ) nella galassia
NGC 4993 esso ha segnato la nascita della cosiddetta ldquoastronomia multi-messaggero per il fatto che egrave stato
possibile confrontare due ldquolinguaggirdquo diversi permettendo cosigrave di ampliare le frontiere della conoscenza di
questi fenomeni ldquoestremirdquo
Bignamino di astronomia
44
Parametri di unrsquoonda
Come tutti i fenomeni ondulatori la radiazione elettromagnetica egrave caratterizzata da questi
parametri
Lunghezza drsquoonda 120640
la lunghezza drsquoonda tra due creste o tra
due ventri Si misura in metri eo con i
suoi sottomultipli
Periodo T
lrsquointervallo di tempo misurato in
secondi in cui avviene unrsquooscillazione
completa ovvero lintervallo di tempo
impiegato dallonda per ritornare nella
medesima posizione (per esempio il
tempo intercorso tra due creste o tra
due ventri successivi
Frequenza 120650 egrave il numero di creste che si susseguono nello stesso posto nellrsquounitagrave di
tempo egrave lrsquoinverso del periodo
120592 =1
119879
Frequenza che si misura in Hertz (Hz) pari ad unrsquooscillazione al secondo
119867119911 = 1119904minus1
Ampiezza A rappresenta la variazione massima dellrsquoonda Lrsquoampiezza di unrsquoonda
periodica egrave lrsquoaltezza di una sua cresta
Intensitagrave di unrsquoonda egrave proporzionale al quadrato dellrsquoampiezza
Potenza ogni onda porta con seacute unrsquoenergia e quindi una potenza Tale potenza decresce
con il quadrato della distanza dalla sorgente
La lunghezza drsquoonda λ e la frequenza ν di una radiazione elettromagnetica sono grandezze legate
tra loro dalla relazione
120582 ∙ 120592 = 119888
(c ndashla velocitagrave della luce- nel vuoto ha un valore di 299 792 458 ms) Questa formula ci dice che le
due grandezze sono inversamente proporzionali
Bignamino di astronomia
45
La radiazione elettromagnetica puograve essere interpretata come un insieme di ldquopacchettirdquo di energia a
cui si dagrave il nome di fotoni grazie a questi ldquopacchetti energeticirdquo la luce puograve interagire con la materia
a livello microscopico per esempio puograve eccitare un elettrone in un atomo cedendo a esso la sua
energia Continuando il paragone possiamo immaginare che piugrave la radiazione egrave intensa piugrave i
pacchetti sono numerosi piugrave la radiazione cresce di frequenza piugrave essi sono ldquocapientirdquo
Questrsquoultima caratteristica egrave descritta dalla Legge di Planck che lega lrsquoenergia del fotone alla sua
frequenza
119864 = ℎ ∙ 120584
(dove h egrave la costante di Planck)
119864 = ℎ119888
120582
EQUIVALENZA MASSA- ENERGIA Tra lrsquoenergia e la massa esiste una fondamentale relazione
scoperta dal fisico Albert Einstein espressa dallrsquoequazione
119864 = 1198981198882
dove c egrave la velocitagrave della luce (pari a 3 middot 108 ms) Lequazione di Einstein implica che energia e massa
sono equivalenti la massa puograve essere trasformata in energia e lenergia puograve essere trasformata in
massa Ciograve comporta il principio di conservazione della massa-energia non vi egrave conservazione della
massa o dellenergia considerate separatamente ma vi egrave conservazione dellinsieme delle due a una
diminuzione della massa pari a m deve corrispondere un aumento dellenergia pari a m middot c2
Poicheacute il prodotto m middot c2 egrave un numero molto grande la trasformazione di una massa anche molto
piccola di materia determina la produzione di una quantitagrave enorme di energia come avviene per
esempio nelle reazioni di fissione e di fusione nucleari (queste ultime avvengono nel nucleo delle
stelle si veda per una maggiore comprensione il problema 2 della sezione Miscellanea)
Bignamino di astronomia
46
Grandezze fotometriche
Flusso luminoso Quantitagrave di energia luminosa emessa da una determinata sorgente nellunitagrave di tempo Lo indichiamo con la lettera Φ Lunitagrave di misura nel SI egrave il lumen (lm) 1 watt = 683 lumen
Illuminamento Rapporto tra il flusso luminoso ricevuto da una superficie e larea della superficie stessa ( E=
120593
119878 )
Lunitagrave di misura nel SI egrave il lux (lx) ovvero il lumen al metro quadrato (lm1198982)
Nota Dalla definizione di illuminamento si ricavano due importanti corollari di natura geometrica che risultano molto utili per comprendere la distribuzione della luce nello spazio
1) Per una sorgente puntiforme la diminuzione del livello di illuminamento su di una superficie varia in relazione al quadrato della distanza dalla fonte raddoppiando la distanza dalla fonte il livello di illuminamento sulla superficie diviene quindi frac14
2) Il livello drsquoilluminamento su di una superficie egrave massimo quando i raggi luminosi giungono perpendicolari ad essa e diminuisce proporzionalmente al loro angolo drsquoincidenza secondo la relazione E = 119864119899 cosi 119864119899egrave 119897
prime illuminamento normale i lrsquoangolo drsquoincidenza tra raggi luminosi e la normale alla superficie
Immagine dal web (fonte VOLTIMUM)
Bignamino di astronomia
47
Intensitagrave luminosa Flusso luminoso emesso allinterno dellangolo solido unitario in una direzione data
119868 = 119864 =120593
120596
ed egrave una grandezza vettoriale Lunitagrave di misura nel SI egrave la candela (cd)
Luminanza La luminanza egrave il rapporto tra lrsquointensitagrave luminosa di una sorgente nella direzione di un osservatore e la superficie emittente apparente cosigrave come viene vista dallrsquoosservatore stesso
119871 = 119868
119878 119888119900119904120572
120572 egrave 119897prime119886119899119892119900119897119900 compreso tra la direzione di osservazione e lrsquoasse perpendicolare alla superficie emittente La luminanza si esprime in cd1198982
Bignamino di astronomia
48
Parametri fisici delle stelle
Le grandezze fondamentali che permettono di caratterizzare le stelle sono
la distanza (d)
lo spettro della radiazione em emessa
la luminositagrave totale o bolometrica (L)
la temperatura superficiale (T)
il raggio (R)
la massa (M)
Le stelle possono essere approssimate a corpi neri in quanto le uniche onde elettromagnetiche che
non vengono assorbite dalla loro superficie sono quelle aventi una lunghezza donda di dimensione
pari o maggiore del diametro della stella stessa Per studiare le proprietagrave dellrsquoemissione continua
delle stelle egrave utile introdurre il concetto di corpo nero
Corpo nero
Il corpo nero egrave un corpo che assorbe tutta la radiazione che gli cade sopra Appare perfettamente nero percheacute assorbe il 100 della radiazione che incide su di esso e non ne riflette nessuna Il corpo nero egrave un oggetto teorico nessun materiale assorbe tutta la radiazione incidente Il corpo nero ha uno spettro di emissione caratteristico che dipende solo da un parametro la temperatura Lo studio della radiazione emessa dal corpo nero ha portato alla formulazione delle seguenti leggi
bull La legge (di spostamento) di Wien la frequenza massima 120584119898119886119909 di uno spettro di corpo nero a temperatura T cresce linearmente con T
120584119898119886119909 prop T il che comporta una proporzionalitagrave inversa fra la temperatura assoluta e la lunghezza drsquoonda
120582119898119886119909 119879 = 119887
b = 29 10minus3 m∙K
Per cui si ha
120582119898119886119909 T = 29 10minus3 m∙K
Bignamino di astronomia
49
bull Legge di Stefan-Boltzmann lenergia erogata per unitagrave di
superficie e per unitagrave di tempo egrave proporzionale alla quarta
potenza della temperatura T
119868 = 1205901198794
Applicazioni in astrofisica
Stefan-Boltzmann per una stella che approssimiamo ad una sfera di raggio R e superficie S= 41205871198772
la legge di Stefan-Boltzmann diventa
L= 41205871198772 120590T4
Poicheacute le stelle non sono dei corpi neri perfetti la temperatura egrave la temperatura efficace quella che
la superficie della stella avrebbe se si comportasse da corpo nero
Flusso e Luminositagrave
120593= 119871
41205871198892
Il flusso di energia egrave dato dal rapporto fra la lrsquoenergia emessa
dalla stella nellrsquounitagrave di tempo e la superficie della sfera di
raggio pari alla distanza d dalla stella Quindi si vede che il flusso
misurato sulla superficie terrestre dipende dalla luminositagrave
della stella e dalla sua distanza
Bignamino di astronomia
50
I LOGARITMI
Il termine logaritmo egrave composto da due parole greche logos = ragione e arithmos = numero
ldquoNumero di ragionirdquo questa definizione appare naturale pensando alla ragione delle progressioni
aritmetiche e geometriche che sono alla base della costruzione di Nepero
La storia di come nasce questo procedimento di
calcolo egrave molto interessante qui ci piace
evidenziare che la motivazione alla base della
scoperta dei logaritmi ed anche il motivo del loro
successo fu la ricerca di efficienti strumenti di
calcolo in grado di alleggerire il pesante fardello
di cui erano gravati gli astronomi del tempo i
quali per poter predire il corso dei pianeti si
dovevano confrontare con grandi difficoltagrave di
calcolo Basta pensare al calcolo dellrsquoorbita del
pianeta Marte del povero Keplero Quando Nepero pubblicograve il suo lavoro sui logaritmi gli
astronomi dissero che aveva regalato loro metagrave della vita I logaritmi rendono infatti possibile
trasformare prodotti in somme quozienti in differenze elevamenti a potenza in prodotti e
calcoli di radici in quozienti le operazioni vengono molto semplificate
Che cosa egrave un logaritmo
Generalmente si risponde che egrave una operazione inversa
Partiamo da una operazione conosciuta lrsquoestrazione di radice quadrata di un numero
radic25 = 5
La radice quadrata di 25 egrave quel numero che elevato a due restituisce 25 cioegrave il numero 5 infatti 52 =
25 Concludiamo dicendo che la radice egrave lrsquooperazione inversa dellrsquoelevamento a potenza
Il concetto di logaritmo egrave abbastanza simile a quello della radice quadrata solo che non ci riporta al
numero di partenza ma al suo esponente
Introduciamo la scrittura
log5 25 = 2
questa la scriviamo
52 =25
Definiamo logaritmo di un numero b (argomento del logaritmo) quel numero a cui bisogna elevare
la base per ottenere il numero b In notazione matematica
log119886 119887 = x
119886119909 = b
Anche il logaritmo egrave lrsquooperazione inversa dellrsquoelevamento a potenza
Bignamino di astronomia
51
log2 8 = x
la domanda egrave ldquoqual egrave lrsquoesponente che devo dare alla base (2) per ottener il numero (8)rdquo
Scriviamo applicando la definizione
2119909 = 8
e siccome
8 = 23
Allora
2119909 = 23
e perciograve
x=3
(se le basi sono uguali lrsquouguaglianza saragrave verificata se saranno uguali anche gli esponenti)
Egrave abbastanza evidente che i logaritmi e le potenze rappresentano due modalitagrave di scrittura diversa ma
rappresentano la stessa cosa
Osservazione importante la base dei logaritmi ed il numero devono essere numeri reali
positivi in piugrave la base deve anche essere diversa da 1
bgt 0
0 lt a lt1
agt 1
Quindi per esempio non esistono log2(minus5) log1 12 119890119888119888
Bignamino di astronomia
52
Proprietagrave dei logaritmi
Il logaritmo del prodotto di 2 o piugrave numeri positivi corrisponde alla somma dei logaritmi dei
singoli fattori
(Nota 119886119909 ∙ 119886119910 = 119886119909+119910)
Il logaritmo del quoziente di 2 numeri positivi egrave eguale alla differenza tra il logaritmo del
dividendo e il logaritmo del divisore
(Nota 119886119909119886119910 = 119886119909minus119910)
Il logaritmo della potenza a esponente reale di un numero positivo egrave uguale al prodotto
dellesponente per il logaritmo del numero
Una estensione di questa ultima proprietagrave egrave
log119886 radic119887119898119899
= log119886 119887119898
119899
(che possiamo scrivere come 119898
119899log119886 119887)
A volte per calcolare un logaritmo puograve risultare utile effettuare un cambiamento di base
Il loga b la cui base egrave a puograve essere scritto utilizzando unrsquoaltra base per esempio il numero c
Ricorda inoltre che
log119886 1 = 0 (119894119899119891119886119905119905119894 1198860 = 1) 119890 log119886119886 = 1 (119894119899119891119886119905119905119894 1198861 = 119886)
Bignamino di astronomia
53
Se la base di un logaritmo egrave il Numero di Nepero (chiamato meno frequentemente anche Numero
di Eulero e indicato con e = 2718281828459hellip) allora il logaritmo prende il nome di logaritmo
naturale e si indica con ln
Quindi se vediamo 1198971198995 niente paura Si tratta di log119890 5
Se la base di un logaritmo egrave 10 il logaritmo prende il nome di logaritmo decimale e la base
generalmente si omette questo tipo di logaritmo egrave il piugrave usato in astrofisica
Quindi se vediamo 1198971199001198927 ciograve vuol dire log10 7
I logaritmi sono utilizzati nella vita di tutti i giorni ad esempio il gommista quando misura la
pressione di una gomma utilizza uno strumento con una scala non lineare ma logaritmica le scale
sulla macchina fotografica sono logaritmiche i nostri organi di senso sono logaritmici Questo ci
permette di percepire un intervallo di informazioni molto piugrave esteso di quello che avremmo se i nostri
sensi fossero lineari Pogson quando capigrave che il nostro occhio percepisce una differenza di una
magnitudine ( per le magnitudini consulta le pagine successive del Bignamino) tra due stelle quando
il rapporto tra le loro luminositagrave egrave uguale a 25 e che questo conserva la classificazione di Ipparco
formulograve la sua formula in funzione del logaritmo del rapporto delle loro luminositagrave
Niente paura
Oggi avete le calcolatrici e non si
devono utilizzare le famigerate tavole
logaritmiche che si utilizzavano un
tempo per calcolare un logaritmo
Bisogna solo stare attenti ad utilizzare
CORRETTAMENTE la calcolatrice
Nepero
Bignamino di astronomia
54
Magnitudine delle stelle
Quando si guarda il cielo si vede subito che le stelle ci appaiono piugrave o meno brillanti (o luminose) ovvero sembrano avere diversa intensitagrave luminosa Gli astronomi descrivono la luminositagrave stellare osservata in termini di magnitudine apparente m Nel II secolo aC Ipparco di Nicea utilizzando lrsquounico strumento a sua disposizione (lrsquoocchio umano) introdusse una classificazione delle stelle in 6 classi di luminositagrave che chiamograve MAGNITUDINI La scala scelta dai Ipparco prevedeva che le stelle piugrave luminose venissero collocate nella prima classe quelle un porsquo meno luminose nella seconda e giugrave giugrave fino a quelle appena visibili a occhio nudo collocate nella sesta classe Con lrsquoosservazione del cielo attraverso gli strumenti si pose il problema di estendere la scala delle grandezze anche alle stelle non visibili ad occhio nudo Un grossissimo contributo venne dallo studio della fisiologia dellrsquoocchio strumento sul quale erano state fatte le prime classificazioni La risposta dellrsquoocchio umano agli stimoli luminosi non egrave di tipo lineare la reazione alla luce de reagisce alla sensazione della luce in modo logaritmico Pogson egrave riuscito a dare una formulazione matematica alla scala delle magnitudini individuata da Ipparco Pogson ipotizzograve che il rapporto fra le intensitagrave luminose di una stella di prima e di sesta grandezza era pari a 100 Se I1 e lrsquointensitagrave luminosa di una stella di magnitudine m1 ed I2 lrsquointensitagrave di una stella di
magnitudine m2 se m1 - m2 = -5 ed il rapporto I1
I2= 100
m1 - m2= K log I1
I2
-5=K2 K= -25
m1 - m2= -25 log I1
I2
Lrsquoequazione di Pogson spiega il percheacute la magnitudine decresce quando lrsquointensitagrave luminosa cresce Quando si parla di intensitagrave luminosa di una stella in realtagrave ci si riferisce al flusso di energia 120593 che
abbiamo visto essere legato alla luminositagrave dalla 120593= 119871
41205871198892
Se nella formula di Pogson m1 - m2= -25 log I1
I2 sostituiamo alle intensitagrave luminose il flusso si
ottiene (a paritagrave di luminositagrave)
m1 - m2= -5 log d2
d1
La magnitudine apparente di una stella dipende dalla distanza
Bignamino di astronomia
55
E se la stella apparentemente piugrave debole fosse in realtagrave piugrave brillante ma piugrave lontana Per rispondere a questa domanda egrave stata introdotta la scala delle magnitudini assolute indipendente dalla distanza Per costruire questa scala egrave stata presa una distanza di riferimento pari a 10pc Quale saragrave la magnitudine di una stella di cui si conosce la distanza e la magnitudine apparente se viene posta alla distanza di 10pc
M- m= -5 log 119889
1119900119901119888
M-m = 5-5logd Questa ultima viene anche indicata come modulo di distanza Questa scala consente di poter confrontare la luminositagrave intrinseca delle stelle M =magnitudine assoluta (stella alla distanza di 10pc) m =magnitudine apparente d = distanza della stella in pc
Se vogliamo calcolare la magnitudine complessiva di due o piugrave sorgenti luminose egrave errato ritenere
di poter sommare le magnitudini Infatti possiamo sommare i flussi ma le magnitudini dipendono
da essi in relazione logaritmica La relazione che ci permette di determinare la cosiddetta
magnitudine integrata (ossia la magnitudine complessiva ldquototalerdquo) di n oggetti di magnitudine
m1m2hellipmn egrave la seguente
119898119894119899119905 = minus25log (10minus041198981 + 10minus041198982 +⋯+ 10minus04119898119899)
Magnitudine apparente di alcuni oggetti celesti da sinistra verso destra
Sole Luna piena Venere Sirio Vega Magnitudine limite dellrsquoocchio
Magnitudine limite di un telescopio magnitudine limite dellrsquoHubble
Bignamino di astronomia
56
Se invece vogliamo calcolare la magnitudine superficiale di un oggetto esteso di superficie angolare
S (misurata in arcmin2 o arcsec2) ossia la magnitudine di un quadratino di superficie di lato uguale
a 1 arcsec2 o 1 arcmin2 allora applichiamo la seguente formula
119898119878119906119901 = 119898119894119899119905 + 25 log(119878)
Se S egrave misurata in arcmin2 la msup egrave espressa in magarcmin2 Se S egrave misurata in arcsec2 msup egrave
espressa in magarcsec2
Bignamino di astronomia
57
Redshift (spostamento verso il rosso)
Su grandi scale le galassie si stanno allontanando con velocitagrave proporzionale alla distanza tutte le
galassie si stanno allontanando tra di loro tra loro Lo stesso spazio-tempo si sta espandendo e sta
portando le galassie con seacute
NOTA Il redshift cosmologico non egrave dovuto allrsquoeffetto Doppler non egrave dovuto ai moti relativi delle
galassie Le cause e le grandezze fisiche coinvolte sono completamente diverse
Il redshift cosmologico egrave lo spostamento relativo in
frequenza di unonda elettromagnetica dovuto
allespansione delluniverso Si spiega ipotizzando che le
lunghezze donda varino allo stesso modo delle distanze per
effetto dellespansione delluniverso La lunghezza donda egrave
proporzionale al fattore di scala delluniverso
La cosmologia moderna nasce con la legge di Hubble
v=Hd
che lega in modo proporzionale la velocitagrave v di allontanamento delle galassie alla loro distanza d (H egrave la costante di Hubble) le galassie piugrave distanti si allontanano piugrave velocemente Questa legge deriva da osservazioni che mostravano che tutte le righe spettrali delle galassie sono spostate verso il rosso (redshift) e che tale effetto egrave proporzionale alla luminositagrave apparente delle galassie legata alla loro distanza Il redshift misura quindi la velocitagrave di allontanamento di una galassia ed egrave definito come segue
119911 =120582119900119887119904 minus 120582119905119890119900119903
120582119905119890119900119903
La legge di Hubble ci dice che la velocitagrave di allontanamento delle galassie egrave proporzionale alla loro
distanza
119907 = 119867119889
H egrave la costante di Hubble il cui valore attualmente stimato egrave attorno a H= 2176 ∙ 10minus18 Hz
(6715 kmMpc s) d egrave la distanza della galassia
Maggiore egrave la distanza della galassia tanto maggiore saragrave il redshift
z=119867119889
119888
Bignamino di astronomia
58
Per z≪ 1 vale lrsquoapprossimazione del redshift come effetto Doppler (zasymp119907
119888 ) e quindi z egrave
direttamente proporzionale alla velocitagrave di allontanamento delle galassie
bull Redshift relativistico
bull Redshift gravitazionale
La relativitagrave generale prevede che la luce che si muove attraverso campi gravitazionali molto
intensi sperimenteragrave uno spostamento verso il rosso o verso il blu
Il redshift gravitazionale (chiamato anche spostamento di Einstein) egrave dovuto dal fatto che un
fotone quando emerge da un campo gravitazione perde energia e quindi presenta uno
spostamento verso il rosso che dipende dallrsquointensitagrave del campo gravitazionale misurata nel
punto in cui si trova il fotone
z= 119866119872
1199031198882
Questa 119904119890 119903 ≫ 119903119904
119903119904 = 2119866119872
1198882
(raggio di Schwarzschild)
(M massa della stella r raggio della stella)
La formula generale egrave
z= 1
radic1minus119903119904 -1
Bignamino di astronomia
59
PROBLEMI ED ESERCIZI
bull SISTEMI DI RIFERIMENTO E COORDINATE ASTRONOMICHE
1 Quando la stella Rigel (δ= -8deg 13rsquo) passa al meridiano di Roma (φ=41deg55rsquo) a quale
altezza si trova
Soluzione Quando la stella Rigel passa al meridiano di Roma essa raggiunge la
posizione di culminazione superiore in corrispondenza del punto cardinale Sud
Dunque la sua altezza sullrsquoorizzonte egrave pari allrsquoaltezza dellrsquoEquatore celeste alla
latitudine di Roma (90deg-φ) sommata alla declinazione dellrsquoastro Dunque
hRigel=90deg-φ+δ=90deg-41deg55rsquo-8deg13rsquo=39deg52rsquo
2 A quale latitudine comincia a essere visibile la stella Canopo (δ=-52deg40rsquo) appena
allrsquoorizzonte
Soluzione Affincheacute la stella Canopo sia appena visibile allrsquoorizzonte per un
osservatore posto alla latitudine φ egrave necessario che lrsquoEquatore celeste abbia
unrsquoaltezza sullrsquoorizzonte pari al valore assoluto della sua declinazione Quindi egrave
necessario che 90deg-φ=|δ| e cioegrave φ=90deg-|δ|=90deg-52deg40rsquo=37deg20rsquo [In realtagrave bisogna tenere conto dellrsquoeffetto della rifrazione atmosferica che ldquoalza le stellerdquo o
equivalentemente ldquoabbassa lrsquoorizzonterdquo di un angolo di 35rsquo Quindi in realtagrave Canopo si puograve
osservare anche a una latitudine leggermente piugrave settentrionale pari a 37deg20rsquo+0deg35rsquo=37deg55rsquo
circa]
3 Quale curva descrive lrsquoombra di uno stilo verticale posto al polo nord il 21 giugno
Qual egrave il rapporto fra la lunghezza l dellrsquoombra e lrsquoaltezza h dello stilo
Soluzione Il 21 giugno il Sole ha declinazione massima pari al valore dellrsquoobliquitagrave
dellrsquoeclittica quindi circa 23deg27rsquo Dal momento che al polo nord lrsquoorizzonte coincide
con lrsquoEquatore celeste e i paralleli celesti si trovano quindi su piani paralleli
allrsquoorizzonte la rotazione diurna non contribuiragrave a far tramontare il Sole che
descriveragrave una circonferenza nel cielo pertanto la curva descritta dallo stilo verticale
egrave una circonferenza Il rapporto lh egrave il reciproco della tangente dellrsquoaltezza del sole
pari a 23deg27rsquo 119897
ℎ=
1
11990511988611989923deg27prime=23
4 (PROBLEMA GARA INTERNAZIONALE 2002) I Cinesi nel 1100 aC avevano trovato
che lrsquoaltezza del Sole a mezzodigrave era 79deg7rsquo nel solstizio estivo e 31deg19rsquo in quello
Bignamino di astronomia
60
invernale A quale latitudine hanno fatto lrsquoosservazione e qual era allora lrsquoobliquitagrave
dellrsquoEclittica
Soluzione La media aritmetica dei valori delle due culminazioni del sole a mezzodigrave al
solstizio estivo ed invernale egrave pari allrsquoaltezza dellrsquoEquatore celeste Quindi
90deg minus 120593 =ℎ119890119904119905119886119905119890 + ℎ119894119899119907119890119903119899119900
2rarr 120593 = 90deg minus
ℎ119890119904119905119886119905119890 + ℎ1198941198991199071198901199031198991199002
= 34deg47prime
Lrsquoobliquitagrave dellrsquoeclittica egrave la differenza fra lrsquoaltezza massima del sole e lrsquoaltezza
dellrsquoEquatore celeste
휀 = ℎ119890119904119905119886119905119890 minus (90deg minus 120593) = 79deg7prime minus 90deg + 34deg47prime = 23deg54prime
[In generale lrsquoobliquitagrave dellrsquoeclittica varia da 21deg55rsquo a 24deg20rsquo con un periodo di circa 40000
anni]
bull I MOTI DELLA TERRA E LA MISURA DEL TEMPO
5 In quale istante di tempo siderale la stella Castore (α=7h 33m 31s δ=+31deg55rsquo35rdquo ) egrave
alla culminazione inferiore
Soluzione Alla culminazione inferiore la stella Castore ha un angolo orario pari a 12h
Il tempo siderale ossia lrsquoangolo orario del punto gamma egrave uguale alla somma di
angolo orario e ascensione retta di una generica stella in questo caso
TS=α+H=7h 33m 31s + 12h= 19h 33m 31s
6 Se in un dato giorno una stella passa al meridiano inferiore alle 21 a quale ora
(allrsquoincirca) vi passeragrave un mese dopo
Soluzione Lrsquoora a cui si riferisce il problema egrave per esempio quella indicata da un
normale orologio quindi egrave un tempo solare medio e non siderale Siccome nel corso
di un mese la stella non cambia la sua posizione rispetto al punto gamma se il
problema avesse chiesto lrsquoora siderale della successiva culminazione inferiore la
risposta sarebbe stata comunque ldquoalle 21rdquo siccome perograve il problema si riferisce a un
tempo solare medio dobbiamo tenere conto della differenza tra giorno solare e
giorno siderale questrsquoultimo egrave piugrave corto del primo di un valore pari a circa 4 minuti
(piugrave esattamente 3min 56s) Siccome un mese contiene mediamente 30 giorni la
stella anticiperagrave la sua culminazione di circa 4min30=120min=2h e quindi culmineragrave
allrsquoincirca alle 19
7 Una cittagrave A egrave posta alla longitudine 43deg12rsquo E di GW (Greenwich) Quando in A lrsquoorologio
segna le 20h35m siderali in unrsquoaltra cittagrave B lrsquoorologio segna le 23h12m siderali Qual
egrave la longitudine di B
Soluzione La differenza dei due tempi siderali che lrsquoorologio segna in A e in B egrave uguale
alla differenza delle longitudini dei due luoghi Quindi
Bignamino di astronomia
61
∆120582 = 120549119879119878 rarr 120582119861 minus 120582119860 = 119879119878119861 minus 119879119878119860 rarr 120582119861 = 119879119878119861 minus 119879119878119860 + 120582119860(119890119904119901119903119890119904119904119886 119894119899 119900119903119890)
= 23ℎ12119898 minus 20ℎ35119898 + 2ℎ53119898 = 5ℎ30119898
= (119905119903119886119904119891119900119903119898119900 119894119899 119892119903119886119889119894) = 82deg30prime
8 Quanto tempo egrave necessario affincheacute il punto gamma passi da un segno zodiacale a un
altro
Soluzione Il punto gamma non egrave fisso nel cielo bensigrave per via di uno dei moti millenari
della Terra il moto di precessione esso si sposta di circa 50rdquo allrsquoanno lungo lrsquoEclittica
Dal momento che i segni zodiacali sono dodici in media ognuno di essi occupa un
settore lungo lrsquoEclittica pari a 36012=30deg=108000rdquo Ne discende che il tempo
necessario affincheacute il punto gamma copra questa distanza angolare risulta pari a
t=(108000rdquo50rdquo)anni=2160 anni circa
9 La Terra impiega circa 23 ore e 56 minuti a compiere una rotazione completa attorno
al proprio asse Con quale velocitagrave tangenziale si muove un punto allrsquoequatore per
effetto del moto di rotazione della Terra Quanto vale lrsquoaccelerazione centripeta che
agisce su questo punto Quale forza centripeta agisce su un corpo di massa 13 kg
allrsquoequatore
Soluzione Il problema incentrato sul moto di rotazione terrestre (il moto dei punti
della Terra attorno allrsquoasse terrestre) egrave un semplice esercizio di cinematica
Conoscendo il periodo e la lunghezza della circonferenza equatoriale (poicheacute egrave noto
che il raggio della Terra ha un valore di 6378 km) egrave possibile determinare la velocitagrave
di rotazione allrsquoequatore il moto egrave circolare uniforme
119907 =2120587119877
119879=2120587120591 ∙ 6378119896119898
2393ℎ= 1674
119896119898
ℎ
Lrsquoaccelerazione centripeta vale
119886 =1199072
119877=(1674 divide 36)2
6378000= 339 ∙ 10minus3
119898
1199042
Per la seconda legge della dinamica la forza centripeta su un corpo di massa m allora
vale
119865 = 119898119886 = 13 ∙ 339 ∙ 10minus3 = 441 ∙ 10minus3119873
bull IL CIELO VISTO DALLA TERRA E LA LUNA
10 Due stelle equatoriali hanno parallassi 0rdquo022 e 0rdquo034 esse hanno AR 12h13m e
13h12m rispettivamente Quantrsquoegrave in parsec la loro reciproca distanza
Soluzione Lrsquoangolo fra la direzione con cui si proietta in cielo la prima stella e la
direzione della seconda stella egrave pari alla differenza delle ascensioni rette le stelle
sono infatti equatoriali cioegrave hanno declinazione nulla ΔAR=13h12m-
Bignamino di astronomia
62
12h13m=(trasformando in gradi)=14deg75 La loro distanza dallrsquoosservatore egrave in
parsec pari al reciproco della parallasse
d1=(1P1)=10022=455pc d2=(1P2)=10034=294pc
Il problema chiede in sostanza di calcolare un lato di un triangolo con vertici
nellrsquoosservatore e nelle due stelle (in particolare il lato con estremi nelle due stelle)
noti lrsquoangolo opposto a tale lato e gli altri due lati possiamo quindi usare il Teorema
di Carnot (o teorema del coseno)
119909 = radic11988912 + 1198892
2 minus 211988911198892 cos(∆119860119877) = 186 119901119888
11 Sapendo che il periodo siderale di rotazione del Sole allrsquoEquatore egrave di 25 giorni
trovare il periodo di rivoluzione sinodica cioegrave quello che appare visto dalla Terra
Soluzione Prendiamo un punto sullrsquoEquatore del Sole esso si muove con un periodo
siderale (cioegrave riferito a una stella lontana) pari come indicato dalla traccia a 25
giorni Il problema egrave del tutto analogo al calcolo del tempo sinodico di un pianeta
interno visto dalla Terra noti i periodi di entrambi i corpi 1
119878=
1
119879119904119900119897119890minus
1
119879119905119890119903119903119886rarr 119878 =
119879119905119890119903119903119886119879119904119900119897119890119879119905119890119903119903119886 minus 119879119904119900119897119890
=36525 ∙ 25
36525 minus 25119889 =
913125
34025119889 = 2684119889
12 A quale distanza da uno schermo deve essere posta una sfera di raggio R affincheacute
illuminata dal Sole non generi ombra ma solo penombra (il diametro apparente del
Sole sia 32rsquo)
Soluzione Concettualmente il problema egrave equivalente alla situazione di unrsquoeclisse
lrsquordquoosservatorerdquo egrave lo schermo mentre fra esso e il Sole si frappone un ostacolo Esso
intercettando i raggi solari genera dietro di seacute un cono drsquoombra e molto piugrave ampio
di questo una zona di penombra Il cono si restringe dalla parte opposta del Sole
rispetto alla sfera Se il vertice del cono si trova sullo schermo allora nessun punto
dello schermo si troveragrave in ombra percheacute il cono non interseca lo schermo In questa
configurazione lrsquoangolo sotto cui viene vista la sfera dallo schermo egrave di 32rsquo ovvero
053deg da cui si ha 119877
119889= tan (0532) e cioegrave d=[1 tan(0265)]R=2148 R circa la sfera
devrsquoessere posta a una distanza dallo schermo maggiore di 2148 volte circa il suo
raggio
13 Il 29 marzo 2006 si egrave verificata unrsquoeclisse totale di Sole visibile dallrsquoAfrica
settentrionale e dal Mediterraneo orientale Quale fase aveva la luna il 29 marzo 2007
cioegrave esattamente un anno dopo
Bignamino di astronomia
63
Soluzione Le eclissi di Sole si verificano quando la Luna si interpone fra il Sole e la
Terra oscurando una fascia sulla superficie del nostro pianeta con il suo cono
drsquoombra pertanto la Luna rivolge a noi in questrsquooccasione la sua faccia non
illuminata dal Sole e pertanto egrave nuova Conosciamo inoltre il periodo in cui si ripetono
le fasi lunari egrave il mese sinodico la cui durata egrave pari a 295306 giorni Lrsquointervallo
considerato (un anno in cui il 2007 non egrave bisestile) egrave pari a 365 giorni Siccome
365295306=1236 ossia 12 mesi lunari e 11 giorni se ne deduce che lrsquoetagrave della Luna
al 29 marzo 2007 era di 11 giorni quindi essa era in una fase intermedia tra primo
quarto e Luna piena
bull LA GRAVITArsquo
14 Lrsquoalieno Bzzapp ha appena comprato una navicella in grado di creare nuovi pianeti
nel suo girovagare un giorno incappa nel nostro Sistema Solare decide cosigrave di creare
con la sua astronave qualche nuovo pianeta Lrsquoamico Zorzzp gli dagrave prima una regola
dicendogli che questi pianeti devono trovarsi in una fascia compresa fra 2 UA e 7
UA in piugrave il loro periodo di rivoluzione devrsquoessere pari a un numero intero di anni
Qual egrave il numero massimo di pianeti che Bzzapp potragrave creare con la sua navicella
conformemente alla regola di Zorzzp
Soluzione Per la risoluzione del problema egrave necessaria la Terza legge di Keplero
considerando che ci troviamo nel nostro Sistema Solare e che quindi la costante di
proporzionalitagrave fra cubo del semiasse maggiore e quadrato del periodo di rivoluzione
per un generico corpo orbitante attorno al Sole quando esprimiamo il semiasse in
UA e il periodo in anni risulta pari a 1
1198791 = radic11988613 = 283 119910
1198792 = radic11988623 = 1852 119910
Come possiamo vedere i periodi ldquopossibilirdquo sono
34567891011121314151617 e 18 anni Bzzapp potragrave creare ben 16 pianeti
15 Disponendo come dati noti dei soli periodi di rivoluzione dei pianeti si indichi la
lunghezza minima che deve avere un foglio di carta per poter rappresentare in scala
il Sistema Solare fino a Nettuno nellrsquoipotesi di voler rappresentare Mercurio a una
distanza dal Sole di 1 cm
Soluzione Mercurio ha un periodo di rivoluzione pari a 0241 anni mentre Nettuno
16488 anni quindi per la Terza legge di Keplero 119886119872 = radic11987911987223= 0387119880119860 119890 119886119873 =
radic11987911987323= 30069 119880119860
Con una semplice proporzione ricaviamo la lunghezza del foglio di carta
119886119872 119886119873 = 1 119909 rarr 119909 =30069
0387119888119898 asymp 777 119888119898
Bignamino di astronomia
64
16 A quale distanza dalla superficie della Terra per unrsquoastronave che viaggia verso la
Luna si annulla la risultante delle forze gravitazionali che agiscono su di essa (il
rapporto massa della Terra massa della Luna egrave pari a 8125)
Soluzione La distanza Terra-Luna egrave pari a d=384400 km Quando lrsquoastronave si trova
fra il nostro pianeta e il suo satellite le due forze di natura gravitazionale che
agiscono su di essa sono la forza di attrazione della Terra e quella della Luna agenti
nella stessa direzione ma aventi verso opposto Chiamando x la distanza che separa
la navicella dal centro della Terra possiamo esprimere in funzione di x la distanza che
separa la navicella dalla Luna essendo essa pari a d-x Eguagliamo le due forze di
attrazione gravitazionale per trovare x 119866119872119879119898
1199092=
119866119872119871119898
(119889 minus 119909)2
Operando le dovute semplificazioni (G e la massa dellrsquoastronave) e dividendo
119909
119889 minus 119909= radic
119872119879
119872119871= radic8125 = 901
119909 =901119889
1001= 090 lowast 384400119896119898 = 346013119896119898
Il problema viene considerato parzialmente corretto se ci si ferma a questo punto
percheacute esso chiede la distanza dalla superficie terrestre mentre x egrave misurata dal
centro della Terra pertanto la soluzione corretta egrave D=x-R=(346013-
6378)km=339635km
17 Osservando la stella Canopo con un telescopio potentissimo lrsquoastronomo Qwzzz ha
scoperto due pianeti orbitanti attorno a essa le cui orbite sono esattamente
perpendicolari alla nostra linea di vista La distanza massima del primo pianeta da
Canopo egrave uguale a 47 volte la sua distanza minima e il suo periodo di rivoluzione egrave
pari a 27 anni Il secondo pianeta avente eccentricitagrave pari a 0324 al periapside egrave 3
volte piugrave lontano rispetto al primo (quando questrsquoultimo si trova nella corrispondente
posizione) Quanto vale lrsquoeccentricitagrave del primo pianeta e il periodo di rivoluzione del
secondo
Soluzione Chiamiamo 1 il primo pianeta e 2 il secondo
11988911988611198891199011
= 47 =1198861(1 + 1198901)
1198861(1 minus 1198901)rarr1 + 11989011 minus 1198901
= 47 rarr 1198901 = 0649
1198891199012
1198891199011=1198862(1 minus 1198902)
1198861(1 minus 1198901)= 3 rarr
11988621198861=(1 minus 1198901)1198891199012
1198891199011(1 minus 1198902)= 3 (
1 minus 0649
1 minus 0324) = 1558
Per la Terza legge di Keplero
11987922 = (
11988621198861)3
11987912 rarr 1198792 = 27 119910radic15583 = 524 119910
Bignamino di astronomia
65
bull TERZA LEGGE DI KEPLERO 1 Calcolare il semiasse maggiore dellrsquoorbita di Giove in kilometri sapendo che il suo periodo
di rivoluzione egrave 119879119866 = 37411 ∙ 106 119904
Soluzione
119879119866(119886119899119899119894) =119879119866(119904119890119888119900119899119889119894)
(119904119890119888119900119899119889119894 119894119899 119906119899 119886119899119899119900)=
37411 ∙ 106 119904
3600 ∙ 24 ∙ 365 ∙119904
119886119899119899119900
= 11863 119886119899119899119894
Impostando la terza legge di Keplero e imponendo che 119870 =1 1198861198991198991199002
1 1198801198603
1198792
1198863= 119870 =gt 119886119866(119880 119860 ) = radic[119879119866(119886119899119899119894)]2
3= radic(11863 119886119899119899119894)2
3= 52 119880 119860 =
= 77792 ∙ 106 119896119898
2 Calcolare il periodo di rivoluzione di Marte in giorni sapendo che il suo semiasse maggiore
misura 119886119872 = 2279 ∙ 109 119898
Soluzione
119886119872(119880 119860 ) =119886119872(119898)
1496 ∙ 109 ∙119898119880 119860
=2279 ∙ 109 119898
1496 ∙ 109 ∙119898119880 119860
= 152 119880 119860
Impostando la terza legge di Keplero e imponendo che 119870 =1 1198861198991198991199002
1 1198801198603
1198792
1198863= 119870 =gt 119879119872(119886119899119899119894) = radic[119886119872(119880 119860 )]3 = radic(152 119880 119860 )3 = 187 119886119899119899119894 = 684 119892119894119900119903119899119894
3 Approssimando lrsquoorbita di Venere a una circonferenza calcolare la velocitagrave media v del
pianeta intorno al Sole sapendo che il suo periodo di rivoluzione egrave 119879119881 = 1941 ∙ 106 119904
Soluzione
119879119881(119886119899119899119894) =119879119881(119904119890119888119900119899119889119894)
(119904119890119888119900119899119889119894 119894119899 119906119899 119886119899119899119900)=
1941 ∙ 106 119904
3600 ∙ 24 ∙ 365 ∙119904
119886119899119899119900
= 061 119886119899119899119894
Impostando la terza legge di Keplero e imponendo che 119870 =1 1198861198991198991199002
1 1198801198603
1198792
1198863= 119870 =gt 119886119881(119880 119860 ) = radic[119879119881(119886119899119899119894)]2
3= radic(061 119886119899119899119894)2
3= 072 119880 119860 = 1076 ∙ 106 119896119898
119907 =2120587119886119881119879119881
=2120587 ∙ 1076 ∙ 106 119896119898
1941 ∙ 106 119904= 3483
119896119898
119904
Bignamino di astronomia
66
Risoluzione del sistema per il calcolo delle velocitagrave su orbite non circolari
119907119886119889119886 = 1199071199011198891199011
2119898119907119886
2 minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
1198891198861
2119898119907119886
2 minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
11988911988612119898119907119901
21198891199012
1198891198862
minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886121199071199012119889119901
2
1198891198862
minus1
21199071199012 =
119866119872
119889119886minus119866119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
1198891198861
21199071199012 (1198891199012
1198891198862minus 1) = 119866119872(
1
119889119886minus1
119889119901)
119907119886 =
119907119901119889119901
1198891198861
21199071199012 (1198891199012 minus 119889119886
2
1198891198862
) = 119866119872(119889119901 minus 119889119886
119889119886119889119901)
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886
1199071199012 = 2119866119872 (
119889119901 minus 119889119886
119889119886119889119901)(
1198891198862
1198891199012 minus 119889119886
2)
Bignamino di astronomia
67
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886
1199071199012 = 2119866119872 (
119889119901 minus 119889119886
119889119886119889119901) [
1198891198862
(119889119901 + 119889119886)(119889119901 minus 119889119886)]
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886
119959119953 = radic120784119918119924119941119938
119941119953(119941119953 + 119941119938)
Sostituendo la formula appena trovata nella prima equazione si ottiene
119959119938 = radic120784119918119924119941119953
119941119938(119941119953 + 119941119938)
Possiamo scrivere le due velocitagrave anche in funzione (cioegrave in dipendenza) del semiasse maggiore e
dellrsquoeccentricitagrave dellrsquoorbita Se chiamiamo il semiasse maggiore dellrsquoorbita ellittica a valgono le
seguenti relazioni
119889119886 = 119886(1 + 119890) 119889119901 = 119886(1 minus 119890)
Quindi
119907119901 = radic2119866119872119886(1 + 119890)
119886(1 minus 119890)[119886(1 minus 119890) + 119886(1 + 119890)]= radic2119866119872
1 + 119890
(1 minus 119890)[119886(1 minus 119890 + 1 + 119890)]
= radic2119866119872
2119886(1 + 119890
1 minus 119890) = radic
119918119924
119938(120783 + 119942
120783 minus 119942)
Sostituendo anche nel caso di 119881119886
119907119886 = radic119918119924
119938(120783 minus 119942
120783 + 119942)
Si ricorda inoltre che
119938 =119941119938 + 119941119953
120784 119942 =
119941119938 minus 119941119953
119941119938 + 119941119953
Bignamino di astronomia
68
ESERCIZIO
Un pianeta sta cadendo sulla sua stella seguendo una traiettoria rettilinea se si conosce
lrsquoaltezza di caduta h si determini il tempo di caduta t
Per risolvere questo problema si potrebbe erroneamente pensare di applicare le leggi del moto
rettilineo uniformemente accelerato (come nel caso di una penna che cade dalla scrivania)
Consideriamo perograve un corpo (di massa m) che si trova a una certa altezza dal suolo la sua forza peso
equivale alla forza di attrazione gravitazionale tra il corpo e il pianeta (di raggio R e massa M) su cui
si trova
119898119892 =119898119872119866
(119877 + ℎ)2 119888119894119900egrave 119892 =
119866119872
(119877 + ℎ)2
Come possiamo vedere lrsquoaccelerazione di gravitagrave g non si mantiene costante al variare dellrsquoaltezza
ma varia noi la assumiamo costante al suolo e pari a circa 981 ms^2 solo percheacute in quel caso Δhasymp0
Quindi non possiamo applicare le leggi del moto rettilineo uniformemente accelerato a questo
problema Come risolverlo allora
Allrsquoinizio di questi appunti abbiamo evidenziato che lrsquoeccentricitagrave di unrsquoellisse indica quanto lrsquoellisse
egrave ldquoschiacciatardquo se dunque lrsquoeccentricitagrave tende a 1 la traiettoria tende a un segmento
Quindi possiamo assumere che il pianeta cada seguendo unrsquoorbita ellittica con eccentricitagrave prossima
a 1 e dunque semiasse maggiore a pari a h2 (vedi figura)
Se conosciamo la massa M della stella possiamo applicare la III legge di Keplero generalizzata
1198792
1198863=41205872
119866119872 rarr 119879 = radic
41205872
1198661198721198863 rarr 119879 = radic
41205872
119866119872(ℎ
2)3
rarr 119879 = radic1205872
2119866119872ℎ3
Naturalmente questo egrave il periodo completo dellrsquoorbita Il periodo di caduta egrave la metagrave
119905 =119879
2
a a
h
Bignamino di astronomia
69
Problemi 1 Coordinate celesti e tempo
Ci troviamo in un luogo di latitudine 120593 = 42deg 30prime15primeprime 119873 e longitudine 120582 = 15deg 28prime18primeprime119864
Osserviamo una stella di ascensione retta 5h 32 min 3 sec e declinazione -00deg 15rsquo 20rdquo che
passa al meridiano alle 2030 del 14012020 A quale altezza culminava Quale era la sua
distanza zenitale In quale data dallo stesso luogo e allo stesso orario si egrave potuto vederla
sorgere ad est
Soluzione
Lrsquoaltezza massima di una stella (quando culmina) egrave data dalla relazione
ℎ = 90deg minus 120593 + 120575
Quindi
ℎ = 90deg minus 42deg30prime15 minus 0deg 15 20= 47deg 14 25
La distanza zenitale egrave invece data da 119911 = 90deg minus 120593 = 90deg minus 47deg 14prime25primeprime = 42deg 45prime35primeprime
Un dato importante per poter rispondere alla terza richiesta egrave sapere che le stelle
ldquoanticipanordquo il loro sorgere di 3 119898119894119899 56 119904119890119888119892119894119900119903119899119900
Quindi per sapere quanti giorni prima la stella sorgeva ad est (m)
119898 =120572
Δ119905=
(5ℎ32min3sec)
3119898119894119899 56sec119892119894119900119903119899119900= 84 119892119894119900119903119899119894
84 giorni prima del 14012020 era il 21102019
2 Coordinate e tempo
Il tempo siderale di un luogo (120593 = 28deg 30prime45primeprime119878 120582 = 90deg 23prime50primeprime119882 ) egrave di 9h 3min 45sec
Quale egrave il tempo siderale di GW
Soluzione Il primo passaggio da fare egrave trasformare la longitudine del luogo da gradi in ore
Quindi
15deg 1ℎ = 90deg 23prime50primeprime 120582
120582 = 90deg 23prime50primeprime ∙1ℎ
15deg = 6ℎ 1min3533119904119890119888
Il tempo siderale del luogo egrave legato a quello di GW dalla seguente relazione
119879119904 = 119879119866119908 + 120582
Quindi 119879119866119908 = 119879119904 minus 120582 = 9ℎ3min 45119904119890119888 minus (minus 6ℎ1min 3533sec ) = 9ℎ3min 45119904119890119888 +
6ℎ1min 3533sec = 15ℎ 5min 20119904119890119888
Bignamino di astronomia
70
PROBLEMI E QUESITI SULLA MISURA DEL TEMPO
Problema 1 In un dato luogo a che ora di tempo siderale culmina il Sole medio in un dato giorno
sapendo che sedici giorni prima esso culminava alle 15h 12m 48s di tempo siderale
Se ci troviamo a Belo Horizonte (longitudine λ=43deg56rsquo16rdquo W) al mezzogiorno vero e lrsquoequazione del
tempo per quel giorno egrave pari a ET=-8m7s che ora segna lrsquoorologio dellrsquoosservatore
Soluzione problema 1 La prima richiesta del problema si risolve tenendo conto che giorno solare
medio e giorno siderale hanno diversa durata infatti il giorno siderale egrave piugrave corto del giorno solare
medio di circa 3m56s Pertanto se in un dato giorno il punto gamma e il Sole medio hanno raggiunto
la culminazione nel medesimo istante il giorno successivo il Sole medio culmineragrave 3m56s dopo il
punto gamma Quindi il Sole accumuleragrave un ritardo pari a 163m56s=1h2m56s che andragrave sommato
allrsquoora siderale data dal problema TS=15h 12m 48s + 1h 2m 56s= 16h 15m 44s
Se a Belo Horizonte egrave mezzogiorno vero vuol dire che sono le 12h di tempo solare vero Lrsquoequazione
del tempo egrave la differenza fra tempo solare medio e tempo solare vero quindi
TSM-TSV=ET TSM=TSV+ET=12h ndash 8m 7s= 11h 51m 53s lrsquoorologio dellrsquoosservatore egrave perograve in
accordo col tempo del meridiano centrale del fuso di Belo Horizonte che ha longitudine 3h W
mentre Belo Horizonte ha longitudine 2h 55m 45s W essa egrave quindi piugrave avanti di 3h-2h 55m 45s=4m
15s lrsquoorologio segneragrave quindi le ore 11h 51m 53s ndash 4m 15s= 11h 47m 38s
Problema 2 A Bergamo (λ= 9deg 40rsquo 12rdquo E) i raggi del Sole in un dato momento si proiettano
esattamente sulla linea della meridiana di Cittagrave Alta In quel dato giorno lrsquoequazione del tempo egrave
+5m 12s se il tempo siderale a mezzanotte di quel giorno a Greenwich risultava pari a 3h 21m 20s
qual egrave il tempo siderale a Greenwich nellrsquoistante del problema
Soluzione problema 2 La longitudine di Bergamo espressa in ore minuti e secondi egrave 38m 41s E Se
il disco luminoso si proietta sulla linea meridiana egrave mezzogiorno vero quindi il tempo solare medio
saragrave pari a TSM= TSV + ET= 12h + 5m 12s= 12h 5m 12s Greenwich si trova 38m 41s a ovest di
Bergamo quindi egrave anche 38m 41s indietro a Greenwich sono quindi le 12h 5m 12s ndash 38m 41s= 11h
26m 31s Sono passate quindi 11h 26m 31s dalla mezzanotte per convertire questo tempo medio
in tempo siderale moltiplichiamo per il fattore di conversione 3662536525
ΔTS (Greenwich)= (3662536525)(114419444 h)= 114732394h = 11h 28m 24s Quindi a
Greenwich sono le 3h 21m 20s + 11h 28m 24s= 14h 49m 44s di tempo siderale
Quesito Si valuti argomentando opportunamente come varia lrsquoEquazione del Tempo nel corso
dellrsquoanno solare se in un piano cartesiano in ascissa indichiamo lrsquoET e in ordinata la declinazione del
Sole che curva si ottiene
Risposta Lrsquoequazione del tempo si annulla quattro volte lrsquoanno a metagrave aprile a metagrave giugno verso
Natale e ai primi di settembre il sole medio e il sole vero culminano contemporaneamente (1) Da
Natale a metagrave aprile il sole medio anticipa il sole vero (2) da metagrave aprile a metagrave giugno il sole vero
anticipa il sole medio da metagrave giugno a inizio settembre come (1) e da inizio settembre a Natale
come (2) Oltre a ldquooscillare in orizzontalerdquo in un anno il sole ldquooscilla in verticalerdquo nel senso che
Bignamino di astronomia
71
assume declinazioni da 23deg27rsquo a -23deg27rsquo La curva che si ottiene egrave quindi una sorta di ldquo8rdquo chiamata
analemma essa egrave anche la curva che egrave formata dalle posizioni in cielo del sole vero registrate a
mezzogiorno medio locale ogni giorno dellrsquoanno
Figura 1 Analemma decET
Figura 2 Analemma visualizzato nel cielo di Atene
Problema 3 Una stella di ascensione retta AR=11h 12m 13s culmina in un dato luogo della Terra alle
ore 13h 04m 02s di tempo medio Considerando che a Greenwich culmina una stella con ascensione
retta 8h 11m 58s dire che orario segna lrsquoorologio dellrsquoosservatore in quel dato luogo della Terra
Soluzione Il tempo siderale in un dato luogo egrave uguale allrsquoascensione retta delle stelle che si trovano
a culminare al meridiano superiore Quindi in questo luogo della Terra il tempo siderale egrave pari a 11h
12m 13s a Greenwich il tempo siderale egrave pari a 8h 11m 58s Notiamo come il luogo dove si trova
lrsquoosservatore ha longitudine est infatti egrave piugrave avanti di Greenwich di circa 3 ore quindi egrave piugrave a Est di
Greenwich La differenza fra lrsquoora siderale dellrsquoosservatore e quella a Greenwich dagrave la longitudine
del luogo (differenza fra longitudine del luogo e longitudine di Greenwich che egrave 0 percheacute il suo
meridiano egrave origine delle longitudini)
λ= TSrsquo-TS(GW)= 11h 12m 13s ndash 8h 11m 58s= 3h 0m 15s E Questo luogo segue il meridiano che ha
longitudine 3h E quindi egrave in anticipo rispetto a esso di appena 15s pertanto il suo orologio segneragrave
le ore 13h 04m 02s ndash 15s= 13h 03m 47s
Bignamino di astronomia
72
bull STELLE E MAGNITUDINI SISTEMI STELLARI ESTESI
1 Pochi giorni fa si egrave registrato un nuovo oggetto che si comporta apparentemente
come una binaria a eclisse Tuttavia il periodo non egrave stabile la magnitudine
dellrsquooggetto egrave in genere pari a 2432 ma ogni 7-11 secondi sale a 2452 per 02-03
secondi Dopo unrsquoaccurata analisi del problema si egrave capito che lrsquooggetto splendente egrave
costituito dagli occhi di un gruppo di gatti assolutamente neri seduti su un piccolo
corpo del sistema solare nero e con gli sguardi rivolti verso il sole Uno dei gatti batte
ogni tanto le palpebre Quanti gatti ci sono
Soluzione Sia N il numero di occhi la cui determinazione egrave richiesta dal problema
Quando il gatto nero del problema chiude gli occhi il numero di occhi che
contribuisce alla magnitudine complessiva scende di due unitagrave (N-2) Se
consideriamo che gli occhi dei gatti sono tutti gli stessi ciascuno di essi ci invia un
flusso pari a F Avendo entrambe le magnitudini corrispondenti alla situazione ldquotutti
gli N occhi apertirdquo (2432) e ldquoN-2 occhi apertirdquo (2452) possiamo scrivere la formula
di Pogson tenendo conto dei flussi complessivi
119898119898119894119899 minus119898119898119886119909 = minus25119897119900119892 [119865 lowast (119873 minus 2)
119865 lowast 119873]
119873 minus 2
119873= 10
119898119898119886119909minus11989811989811989411989925 = 10minus008 = 0832 rarr 119873 =
2
0168asymp 12 119900119888119888ℎ119894 ossia 6 119892119886119905119905119894
2 La galassia di Andromeda ha una magnitudine apparente integrata mv = 440 e appare in cielo come unrsquoellisse i cui semiassi hanno dimensioni angolari di circa 190 arcmin e 60 arcmin Sapendo che la sua distanza egrave di circa 254 milioni di anni luce calcolare la magnitudine assoluta e la magnitudine apparente superficiale media della galassia (Gara Interregionale Categoria Senior 2018)
Soluzione La distanza della galassia di Andromeda in pc egrave 119889(119901119888) =254 10^63262= 77810^3 119901119888 La magnitudine assoluta egrave data dalla relazione 119872119907 = 119898119907 + 5 minus 5 log 119889(119901119888) = -201 Per calcolare la magnitudine apparente superficiale dobbiamo calcolare lrsquoarea apparente della galassia A = π a b = 120587 190 ∙ 60 = 358 ∙ 103 1198861199031198881198981198941198992 cong 129 ∙ 106 119886119903119888119904119890119888^2 La magnitudine apparente superficiale (msup) si ottiene dalla relazione 119898119904119906119901 = 119898119907 +25 log 119860 cong 158119898119886119892119886119903119888119898119894119899^2 cong 247119898119886119892119886119903119888119904119890119888^2 3 Si consideri una stella variabile ldquopulsanterdquo la cui magnitudine assoluta varia
nellrsquointervallo M1= 325 e M2= 226 con una temperatura effettiva che al massimo di luminositagrave egrave T2= 5500 K e al minimo di luminositagrave egrave T1 = 5000 K Calcolare quanto varia il raggio della stella tra il minimo e il massimo di luminositagrave Esprimere il
Bignamino di astronomia
73
risultato come rapporto tra raggio massimo e raggio minimo e come differenza tra i due raggi in km (Gara Interregionale Categoria Senior 2017)
Soluzione La luminositagrave di una stella egrave definita dalla relazione 119871=4 120587 119877^2 120590 119879^4 Per ricavare il rapporto tra i raggi al massimo e minimo di luminositagrave utilizziamo la formula di Pogson 1198722minus 1198721= minus 25log(11987121198711)=minus 25log[4120587(1198772)^2 120590 (1198792)^4][4120587(1198771)^2 120590 (1198791)^4]= -
25log[(11987721198771)^2 (11987921198791)^4] e quindi 0396 = log[(11987721198771)^2 (11987921198791)^4] =119897119900119892 [(11987721198771)^2 1464] da cui 0396=2log(11987721198771)+log1464 ovvero 0115= 119897119900119892 (11987721198771) e infine (119929120784119929120783)=120783120785120782 Per ottenere la differenza in km calcoliamo il raggio della stella al massimo di luminositagrave confrontando i suoi dati con una stella di caratteristiche note il Sole Avremo quindi 1198722minus 119872s=minus 25log[(1198772119877s)^2 (1198792119879s)^4] e quindi 103 = 2 log R2 ndash 2 log Rs + 4 log 09519
da cui si ricava 1198772=2513 ∙ 10^3 119896119898cong361 119877s e 1198771=1933 ∙ 10^3 119896119898cong278 119877s la variazione del raggio in km vale quindi ΔR = 580 ∙ 103 km
4 La supergigante rossa Betelgeuse ha una magnitudine apparente m1=+042 e
una parallasse π1=0005rdquo mentre la supergigante blu Rigel ha una magnitudine
apparente m2=+013 e una parallasse π2=0004rdquo Quale delle due stelle egrave
intrinsecamente piugrave luminosa Qual egrave la piugrave lontana (Gara interregionale Categoria Senior 2015) Soluzione Affincheacute si possa determinare quale delle due stelle sia piugrave luminosa intrinsecamente egrave necessario ricorrere al calcolo delle magnitudini assolute delle due stelle possiamo calcolare la magnitudine assoluta di una stella conoscendo la magnitudine apparente della stessa e la sua parallasse tramite la relazione
119872 = 119898 + 5 + 5119897119900119892120587 119900119907119890 119897119886 119901119886119903119886119897119897119886119904119904119890 egrave 119890119904119901119903119890119904119904119886 119894119899 119886119903119888119900119904119890119888119900119899119889119894 Nel caso nostro
1198721 = 1198981 + 5 + 51198971199001198921205871 = +042 + 5 + 51198971199001198920005 = minus608 (119861119890119905119890119897119892119890119906119904119890)
1198722 = 1198982 + 5 + 51198971199001198921205872 = +013 + 5 + 51198971199001198920004 = minus687 (119877119894119892119890119897)
Essendo la magnitudine assoluta di Rigel minore di quella di Betelgeuse allora Rigel egrave intrinsecamente piugrave luminosa di Betelgeuse Possiamo giagrave da questo risultato comprendere quale stella sia piugrave distante delle due infatti Rigel egrave sia apparentemente sia assolutamente piugrave luminosa di Betelgeuse quindi egrave necessario che essa sia piugrave distante di Betelgeuse affincheacute ciograve si verifichi A riprova di ciograve la parallasse di Rigel egrave minore di quella di Betelgeuse essendo essa piugrave lontana La distanza di Rigel in parsec egrave 1π2=250 pc mentre quella di Betelgeuse egrave 1π1=200 pc
da cui d2gtd1
Bignamino di astronomia
74
bull COSMOLOGIA ELEMENTARE
5 Un team di scienziati osserva una nuova galassia e ne analizza lo spettro la riga H-alfa
dellrsquoidrogeno che ha in laboratorio una lunghezza drsquoonda pari a 656281 Aring ha nello spettro della galassia una lunghezza drsquoonda di 656933 Aring Si determini la distanza della galassia Soluzione per prima cosa calcoliamo il redshift della galassia
119911 =∆120582
120582=120582119900119904119904 minus 120582119897119886119887
120582119897119886119887=656933 minus 656281
656281= 9935 lowast 10minus4
Applichiamo la legge di Hubble-Lemaitre
119888119911 = 1198670119889 rarr 119889 =119888119911
1198670= 299792458
119896119898
119904lowast 9935 lowast
10minus4
719= 414 119872119901119888
6 Osservando lrsquoesplosione di una supernova in una lontana galassia due scienziati notano che la riga H-beta dellrsquoidrogeno osservata nello spettro ha esattamente la stessa lunghezza drsquoonda della riga H-alfa osservata in laboratorio Tuttavia i due scienziati usano valori diversi per la costante di Hubble Usando valori che differiscono di ΔH=H2-H1=14 kmsMpc ottengono valori diversi per la magnitudine assoluta della supernova al massimo M1=-1902 e M2=-1864 Trovare quanto valgono per ciascuno dei due scienziati il redshift e la distanza della galassia (XXIII International Astronomy Olympiad ndash Colombo Sri Lanka Theoretical Round Group β Exercise 1) Soluzione Il redshift misurato dai due scienziati egrave lo stesso per entrambi esso infatti dipende dalle lunghezze drsquoonda osservate che secondo quanto affermato nella traccia sono le stesse per entrambi gli scienziati La lunghezza drsquoonda della riga H-alfa egrave pari a 6563 Aring mentre la lunghezza drsquoonda della riga H-beta egrave pari a 4861 Aring Il redshift per definizione egrave dunque pari a
119911 =120582119867minus119886119897119891119886minus120582119867minus119887119890119905119886
120582119867minus119887119890119905119886= 035
Conoscendo la relazione nota come ldquomodulo di distanzardquo (relazione fra mag Apparente e mag Assoluta) possiamo scrivere
1198721 = 1198981 + 5 minus 51198971199001198921198891 1198722 = 1198982 + 5 minus 51198971199001198921198892
Ma le due magnitudini apparenti dellrsquooggetto debbono necessariamente coincidere dal momento che esse sono dati puramente osservativi (non derivano cioegrave da elaborazioni di dati precedenti) possiamo quindi sottrarre membro a membro le due relazioni precedenti semplificando le due magnitudini apparenti
1198721 minus1198722 = 5119897119900119892 (11988921198891) rarr
11988921198891= 10
1198721minus11987225 = 0839
Possiamo scrivere il seguente sistema
1198892 = 08391198891H2 minus H1 = 14
119888119911
1198672= 0839
119888119911
1198671H2 minus H1 = 14
1198672 = 11911986711198672 minus 1198671 = 14
1198671 =
7368119896119898119904
119872119901119888
1198672 =8768
119896119898119904
119872119901119888
Bignamino di astronomia
75
Da cui finalmente d1=czH1=2997924580357668=13684 Mpc dz=czH2=2997924580538768=11967 Mpc
bull MISCELLANEA
1 Una galassia egrave composta da stelle tutte simili al nostro Sole Essa mostra uno
spostamento verso il rosso della riga Hα (λ=656281 Aring) di ampiezza pari a Δλ= 15 Aring
Essa risulta inclinata rispetto alla perpendicolare alla linea di vista di un angolo di 30deg
e si sa che il suo raggio egrave pari a 37000 anni luce Nel cielo appare come un oggetto di
magnitudine superficiale msup= 2478 magarcsec2
Quanto vale la massa della galassia
Soluzione Ci viene fornita dalla traccia la magnitudine superficiale della galassia vista
dalla Terra essa indica la magnitudine di una ldquoporzionerdquo della galassia di superficie
pari a 1 arcsec2 Di conseguenza la magnitudine complessiva della galassia devrsquoessere
legata alla sua superficie angolare allora dobbiamo conoscere le dimensioni angolari
della galassia abbiamo le dimensioni angolari quindi dobbiamo ricavare la distanza
della galassia
Calcoliamo per prima cosa il redshift z
119911 =∆120582
120582=
15
656281= 229 ∙ 10minus4
Con la legge di Hubble-Lemaitre ricaviamo la distanza
119888119911 = 1198670119889 119889 =119888119911
119867119900=300 ∙ 105 ∙ 229 ∙ 10minus4
719119872119901119888 = 0954 119872119901119888
= 311 ∙ 106119886119899119899119894 119897119906119888119890
Adesso possiamo determinare le dimensioni apparenti della galassia percheacute ne
conosciamo la distanza nel cielo essa ci appare come unrsquoellisse il cui semiasse
maggiore vale
119886 = arctan (119877
119889) = arctan (
37000
311 ∙ 106) = 0682deg = 24538 119886119903119888119904119890119888
Essendo il coseno di 30deg uguale a radic3
2 il semiasse minore varragrave
119887 = arctan(119877radic3
2119889) = arctan (
37000 ∙ 173
2 ∙ 311 ∙ 106) = 0590deg = 21226 119886119903119888119904119890119888
Calcoliamo la superficie di questa ellisse
119878 = 120587119886119887 = 120587 ∙ 24538 ∙ 21226 arcsec2 = 163 ∙ 107 arcsec2
Bignamino di astronomia
76
A questo punto ricaviamo la magnitudine integrata apparente
m=msup-25log(119878) 119898 = 2478 minus 25 log(163 ∙ 107) = 675
Abbiamo la distanza troviamo la magnitudine assoluta
M=m+5-5logd=675+5-5log(0954 106)=-1815
A questo punto troviamo il numero di ldquosolirdquo contenuti nella galassia grazie alla
relazione che ci permette di ricavare la magnitudine integrata di un oggetto (nel caso
sia composto da componenti uguali)
119872 = minus25 log(119873 lowast 10minus04119872119904) 119873 = 10minus04(119872minus119872119878) = 10minus04(minus1815minus483)
= 156 ∙ 109119904119905119890119897119897119890 119888119900119898119890 119894119897 119904119900119897119890
Possiamo finalmente trovare la massa della galassia
119872119892 = 156 ∙ 109 ∙ 199 ∙ 1030119896119892 = 310 ∙ 1039119896119892
2 Una stella di raggio R=705000 km presenta un picco drsquoemissione alla lunghezza
drsquoonda di 542 nm Se essa egrave costituita interamente da idrogeno si determini quanti
atomi di idrogeno hanno reagito in un secondo nel nucleo della stella nella reazione
di fusione termonucleare che produce elio
Soluzione Dobbiamo innanzitutto determinare la luminositagrave della stella che dipende
dal quadrato del raggio e dalla quarta potenza della temperatura disponiamo del
raggio ma dobbiamo ricavare la temperatura notiamo come il problema fornisca la
lunghezza drsquoonda del picco drsquoemissione che egrave inversamente proporzionale alla
temperatura efficace secondo la Legge di Wien
120582 ∙ 119879119890119891119891 = 2898 119898119898 119870 119879119890119891119891 =2898 119898119898 119870
542 ∙10minus6119898119898= 5347 119870
Adesso possiamo determinare la luminositagrave della stella (Legge di Stefan-Boltzmann)
119871 = 41205871198772120590(119879119890119891119891)4= 4120587 (705 ∙ 108)2 567 ∙ 10minus8 (5347)4 119882 = 289 ∙ 1026119882
Questa egrave lrsquoenergia che la stella irradia in un secondo ma da dove deriva Nel nucleo
quattro protoni si fondono per formare un nucleo di elio il nucleo di elio che si forma
perograve non ha la stessa massa dei quattro protoni bensigrave ha una massa lievemente
minore La massa mancante (il difetto di massa) si egrave trasformata in energia secondo
la famosa relazione di Einstein
119864 = 1198981198882
Se E=L m saragrave uguale al difetto di massa complessivo per unitagrave di tempo
119898 =119871
1198882=289 ∙ 1026119882
9 ∙ 10161198982
1199042 = 321 ∙
109119896119892
119904
Essendo la massa di un nucleo di elio-4 pari a 6645 10-27kg mentre la massa del
protone pari a 167310-27kg si ha che la massa di 4 protoni egrave 669210-27kg e quindi
il difetto di massa per ogni reazione egrave Δm= 004710-27 kg Dividendo questo valore
Bignamino di astronomia
77
per quello trovato sopra otteniamo il numero di reazioni che avvengono in un
secondo nel nucleo della stella
119873 =119898
∆119898=
321 ∙ 109
0047 ∙ 10minus27119903119890119886119911 = 683 ∙ 1037119903119890119886119911
A ogni reazione corrispondono quattro atomi di idrogeno quindi per trovare la
soluzione ci basta moltiplicare questo valore per 4
119873119905119900119905 = 4119873 = 273 ∙ 1038119886119905119900119898119894()
3 Che dimensioni dovrebbe avere una sfera metallica perfettamente riflettente per
essere visibile come un astro da Terra ad occhio nudo quando essa si trova in
opposizione al Sole (Questa sfera egrave posta in orbita circolare attorno alla Terra con
un periodo T=2766 ore)
Soluzione Innanzitutto ci serve conoscere il raggio orbitale della sfera perciograve
applichiamo la Terza Legge di Keplero generalizzata
1198792
1198863=41205872
119866119872 119886 = radic
1198661198721198792
41205872
3
= radic667 ∙ 10minus11 ∙ 597 ∙ 1024 ∙ 992 ∙ 107
4(314)23
= 10005119896119898
Sia Fs il flusso solare esso investe la sfera e la quantitagrave di energia intercettata in un
secondo (Lint) egrave direttamente proporzionale alla sezione della sfera
119871119894119899119905 = 119865119904 ∙ 1205871198772
La luce viene interamente riflessa quindi
119871119903119894119891 = 119871119894119899119905 = 119865119904 ∙ 1205871198772
Questa luminositagrave viene riflessa in tutte le direzioni quindi tutti i punti che si trovano
alla medesima distanza dalla sfera riceveranno lo stesso flusso pari a
119865 =119865119904 ∙ 120587119877
2
41205871198892=119865119904 ∙ 119877
2
41198892
In particolare per una localitagrave posta sulla Terra
119865 =119865119904 ∙ 119877
2
4(119886 minus 119877119879)2=
119865119904 ∙ 1198772
4(107 minus 6378 ∙ 106)2= 1906 ∙ 10minus14119865119904 119877
2
Applichiamo la formula di Pogson comparando la sfera col Sole e tenendo presente
che la magnitudine della sfera devrsquoessere uguale a 6 (lrsquooggetto egrave appena visibile ad
occhio nudo)
119898minus119898119904 = minus25 log (119865
119865119904) rarr 6 + 2674 = minus25 log(1906 ∙ 10minus141198772)
1906 ∙ 10minus141198772 = 10minus131 rarr 119877 = radic10minus131
1906 ∙ 10minus14119898 = 204 119898
Pertanto la sfera deve avere un diametro di 408 metri
Bignamino di astronomia
78
[NB Nello svolgimento del problema si egrave usato lo stesso valore del flusso solare per la Terra e per la
sfera in realtagrave ciograve egrave unrsquoapprossimazione percheacute le distanze Terra-Sole e Sole-sfera sono diverse
Essendo perograve il semiasse dellrsquoorbita della sfera trascurabile rispetto al semiasse della Terra allora i due
flussi sono assai simili]
4 Egrave stato osservato un quasar doppio che si trova a grandissima distanza dalla Terra La
particolaritagrave di questo quasar egrave il moto di allontanamento delle due componenti Q1
e Q2 In particolare Q1 si allontana da Q2 spostandosi come riportato in figura dal
punto A al punto B con velocitagrave relativistica ldquovrdquo pari al 75 della velocitagrave della luce
Calcolare lrsquointervallo di tempo Δt impiegato dal componente Q1 a raggiungere il
punto B e il corrispondente intervallo di tempo Δtrsquo misurato dagli astronomi sulla
Terra (che giace sullo stesso piano della figura) Sulla base del risultato ottenuto di
fronte a quale sconvolgente conclusione si sono trovati gli astronomi prima di
riuscire a spiegare correttamente il fenomeno (Dalla Finale Nazionale 2015
Categoria Junior)
Soluzione Il tratto AB egrave lrsquoipotenusa del triangolo rettangolo ABArsquo (vedi figura) quindi
esso vale (Teorema di Pitagora)
119860119861 = radic119860119860prime2 + 119860prime1198612 = radic9 + 16 = 5119886 119897
Esso viene quindi percorso nel tempo ∆119905 =119860119861
119907=
5119886119897
075119888= 667 119886119899119899119894 Notiamo come non ci
sia bisogno di conoscere il valore della velocitagrave della luce percheacute le distanze sono espresse
in anni luce
Adesso analizziamo il fenomeno come viene visto dalla Terra Quando Q1 si trova in A la luce
da esso emessa impiega per giungere in Arsquo un tempo pari a 4119886119897
119888= 4 119886119899119899119894 Nel frattempo
Q1 si sposta e per arrivare in B impiega 667 anni La luce che emette in B non deve piugrave
attraversare una distanza di 4 al quindi i due segnali luminosi arrivano a una ldquodistanzardquo
temporale ∆119905prime = (667 minus 4)119886119899119899119894 = 267 119886119899119899119894
Il risultato sconvolgente egrave che siccome agli astronomi da Terra egrave sembrato che Q1 si
spostasse lungo ArsquoB la sua velocitagrave misurata da Terra risulta pari a
119907 =119860prime119861
267119886119899119899119894=
3119886 119897
267119886119899119899119894= 1125119888
Bignamino di astronomia
79
Apparentemente il quasar si egrave spostato con una velocitagrave superiore a quella della luce Non egrave
infatti raro osservare dei moti superluminali (cioegrave con velocitagrave superiore a quella della luce)
in oggetti che si muovono con velocitagrave relativistiche questa velocitagrave egrave tuttavia sempre
apparente
5 Se una stella presenta un redshift z pari a 555 10-5 quale saragrave il verso e il valore della
sua velocitagrave radiale
Soluzione il redshift egrave positivo quindi la stella si allontana da noi La velocitagrave radiale
della stella egrave data da
119907 = 119888119911 = 3 ∙ 105 ∙ 555 ∙ 105 = 167119896119898
119904
6 La lunghezza drsquoonda λrsquo di una delle righe piugrave evidenti della luce emessa dalle galassie
di una costellazione egrave 1020 volte piugrave grande della corrispondente lunghezza drsquoonda
λ di riferimento Calcolare la velocitagrave con cui lrsquoammasso si sta allontanando dalla Terra
e stimare la sua distanza
Soluzione il redshift egrave119911 =∆120582
120582=
(1020minus1)120582
120582= 0020
Pertanto 119907 = 0020119888 = 6000119896119898
119904 119890 (119897119890119892119892119890 119889119894 119867119906119887119887119897119890 minus 119871119890119898119886119894119905119903119890)
119889 =119907
119867= 6000719=834 Mpc
7 In una galassia tutti gli ammassi globulari hanno un diametro pari a 50 anni luce
Nelle fotografie si misura il diametro angolare di tre di questi ammassi I diametri
risultano pari a 8rsquo9rsquo10rsquo Calcolare la distanza dei tre ammassi
Soluzione le dimensioni reali di un oggetto visto sotto un angolo α alla distanza d
sono date da
119863 = 2119889 tan (120572
2)
Da cui
1198891 =119863
2 tan(12057212)=
50
2 tan(01333
2)=21486 anni luce
1198892 =119863
2 tan (12057222)= 19099 119886119899119899119894 119897119906119888119890
Bignamino di astronomia
80
1198893 =119863
2 tan (12057232)= 17189 119886119899119899119894 119897119906119888119890
8 Se si dispone di un telescopio di 30 cm di diametro e lunghezza focale di 2 m quali
ingrandimenti saranno forniti da tre oculari di focale 25mm 10 mm e 5mm Se gli
oculari hanno un campo apparente di 55deg quale saragrave lrsquoangolo di campo al telescopio
Calcolare pure la pupilla drsquouscita
Soluzione Calcoliamo lrsquoingrandimento
1198681 =119865
119891=2000119898119898
25119898119898= 80119909
1198682 =2000
10= 200119909
1198683 =2000
5= 400119909
Il campo del telescopio saragrave
1198651199001198811 =119865119900119881119900119888119894
=55deg
80= 069deg
1198651199001198812 =55deg
200= 028deg
1198651199001198813 =55deg
400= 014deg
La pupilla drsquouscita
1199011 =300
80= 375119898119898 1199012 =
300
200= 15119898119898 1199013 =
300
400= 075119898119898
9 Calcolare lrsquoapertura minima di un telescopio per poter riconoscere un granulo solare
ampio 700km
Soluzione Lrsquoestensione angolare di questo granulo egrave data da
120572 = 2 arctan (119863
2119889) = 2 arctan (
700
2 ∙ 1496 ∙ 106) = 097
Quindi per la formula di Dawes 119863(119898119898) =120
120572=124cm
10 Per realizzare una fotografia a vasto campo egrave stato necessario un tempo di posa di 13
minuti a f3 con sensibilitagrave 800 ISO Determinare il tempo necessario per ottenere la
stessa foto usando una sensibilitagrave di 1000 ISO ed unrsquoapertura relativa di f45
Trascurare le perdite di sensibilitagrave dovute al difetto di reciprocitagrave delle pellicole
Bignamino di astronomia
81
Soluzione il tempo di posa richiesto si ricava dalla formula
1198792 =11989122 1198781
11989112 1198782
1198791 119879 119905119890119898119901119900 119878 119904119890119899119904119894119887119894119897119894119905agrave 119891 119889119894119886119891119903119886119898119898119886 (119886119901119890119903119905119906119903119886 119903119890119897119886119905119894119907119886)
1198792 =452 800
32 1000 13 = 234 119898119894119899
11 Determinare il tempo di posa massimo per ottenere stelle puntiformi senza
inseguimento siderale con un obiettivo di 50 mm (di focale F) puntato su una zona di
cielo avente declinazione media 45deg Il formato utilizzato egrave il 24x36mm
Soluzione La formula che permette di ottenere stelle puntiformi egrave
119879119898119886119909 =600
119865119888119900119904120575= 17119904119890119888119900119899119889119894
12 Un radiotelescopio ha apertura di 75 m determinare il limite di diffrazione
raggiungibile alla frequenza di osservazione di 410 MHz
Soluzione La lunghezza drsquoonda egrave data da
119888 = 120582120584 120582 =119888
120584= 732 119888119898
Il limite di diffrazione si ricava dalla formula di Rayleigh
120599 =122120582
119863= 122
732
7500= 00119 119903119886119889 = 068deg = 41prime
13 Un radiotelescopio ha un diametro di 25m calcolare il limite di diffrazione alla
lunghezza drsquoonda di osservazione di 21 cm
Soluzione Per la formula di Rayleigh
120599 =122120582
119863= 122
21
2500= 001119903119886119889 = 059deg = 352prime
14 Un telescopio riflettore ha diametro 15 m calcolare il suo potere risolutivo massimo
alla lunghezza drsquoonda dellrsquoidrogeno ionizzato Hα=6563nm
Soluzione Ancora una volta
120599 =122120582
119863= 122 lowast 6563
10minus9
15= 53 10minus7119903119886119889 = 011
Bignamino di astronomia
82
15 Consideriamo due stelle la prima (S1) ha magnitudine apparente m1=11 e si trova a
una distanza L1 dalla Terra la seconda S2 ha luminositagrave intrinseca identica a S1 ma
si trova a una distanza tripla rispetto a S1 Che magnitudine apparente ha la stella S2
Se abbiamo a disposizione uno specchio di diametro D1 con cui si riesce a vedere a
malapena S1 quanto deve essere il diametro del secondo telescopio D2 che permetta
di vedere a malapena la stella S2
Soluzione Siccome la luminositagrave intrinseca egrave la stessa ma la distanza della seconda
stella egrave tripla il flusso della seconda stella egrave uguale a un nono del flusso della prima
Quindi applicando la formula di Pogson
1198981 minus1198982 = minus25 log (11986512) = minus25 log 9 = minus239
1198982 = 11 + 239 = 1339
Infine poicheacute per osservare S2 dobbiamo essere in grado di rivelare il flusso che egrave 9
volte minore e che lrsquoarea di uno specchio aumenta con il quadrato del raggio il raggio
dello specchio D2 devrsquoessere 3 volte piugrave grande di quello di D1
16 Calcolare la magnitudine limite visuale limite raggiungibile con un telescopio di
diametro D=25cm
Soluzione Applicando la formula per trovare la magnitudine limite (con il diametro
espresso in cm) troviamo
119898 = 68 + 5119897119900119892119863 = 68 + 511989711990011989225 = 138
17 Calcolare lrsquoapertura necessaria per poter osservare stelle fino a una magnitudine
limite visuale di +16 con un telescopio
Soluzione Applicando la formula precedente
119898 = 68 + 5119897119900119892119863 119863 = 10119898minus685 = 10184 = 692 119888119898
Bignamino di astronomia
83
18 In un sistema stellare una stella ruota attorno ad unrsquoaltra su unrsquoorbita circolare con
velocitagrave 45 kms il suo periodo di rivoluzione egrave 300 giorni Determinare il raggio
dellorbita e la massa della stella centrale
Soluzione la velocitagrave orbitale egrave data da
119907 =2120587119877
119879 119889119886 119888119906119894 119877 =
119907119879
2120587=45000 ∙ 2592 ∙ 107
62831= 1856 ∙ 1011119898
Dalla Terza legge di Keplero
119872 =412058721198773
1198661198792= 5632 ∙ 1030119896119892
Bignamino di astronomia
84
La SFERA e la TRIGONOMETRIA SFERICA
Premessa
Nella geometria piana i concetti base sono il punto e la retta
Su una sfera i punti sono definiti nel senso usuale Le rette sono definite come cerchi massimi Data una sfera si definisce circonferenza massima ogni circonferenza che si ottiene intersecando la superficie sferica con un piano passante per il centro della sfera Lequatore celeste egrave un circolo massimo mentre i paralleli di declinazione non lo sono Lorizzonte astronomico egrave un circolo massimo mentre non lo sono gli almucantarat o paralleli di altezza
Elementi della sfera
Superficie sferica
Si chiama superficie sferica la figura
generata da una semicirconferenza
in una rotazione completa attorno
al suo diametro Possiamo anche
definirla come luogo geometrico La
superficie sferica egrave il luogo
geometrico dei punti dello spazio
che hanno distanza dal centro pari al
raggio
Sfera
Si chiama sfera la figura generata da un semicerchio di
una rotazione completa attorno al suo diametro
Definita come luogo geometrico egrave il luogo dei punti dello
spazio la cui distanza dal centro egrave minore o uguale al
raggio
Zona sferica
Si chiama zona sferica la parte di
superficie sferica compresa fra due
piani paralleli α e β che intersecano
la sfera Le circonferenze sezioni si
chiamano basi della zona Lrsquoaltezza egrave
la distanza tra i due centri delle
circonferenze sezioni
Bignamino di astronomia
85
Spicchio sferico Lo spicchio sferico egrave il solido delimitato da due piani meridiani passanti per
uno stesso diametro e dalla porzione di superficie sferica (fuso sferico) a
essi corrispondente
Presi due punti distinti su una sfera per essi passa
una ed una sola circonferenza massima
Dati due punti A e B distinti su una sfera esiste una ed una sola circonferenza
massima che li contiene i due punti individuano su questa circonferenza due archi il minore di essi si
chiama distanza sferica rappresenta una geodetica (La geodetica egrave la linea che realizza su una data
superficie il minimo percorso fra due punti assegnati)
Corda
Si chiama corda un segmento i cui estremi appartengono
alla superficie sferica
Si chiama diametro una corda passante per il centro
della superficie sferica e della sfera
Segmento sferico a due basi
Definiamo segmento sferico a due basi la parte di sfera
compresa fra due piani paralleli α e β secanti la sfera
stessa
Calotta Sferica
Definiamo calotta sferica ognuna
delle due parti in cui una superficie
sferica viene divisa da un piano
secante 120572 La calotta egrave la porzione di
superficie sferica ottenuta per
sezione con il piano α
Segmento sferico ad una base
Il segmento sferico ad una base egrave ognuna delle
due parti in cui una sfera viene divisa da un piano
secante α il segmento egrave la porzione di sfera
compresa tra il piano e la calotta
Fuso sferico
La parte di superficie sferica limitata da due
circonferenze massime di sezione dei
semipiani α e β con la superficie sferica
Bignamino di astronomia
86
Nella geometria sferica la circonferenza massima gioca lo stesso ruolo della retta
nella geometria piana
La lunghezza di questo arco egrave proporzionale al raggio della sfera e
allrsquoangolo al centro AOB Se AOB egrave espresso in radianti
AB = OA x AOcircB
Triangolo sferico
Si definisce triangolo sferico la superficie sulla sfera limitata da tre
archi di circolo massimo passanti per tre punti detti vertici tali punti
non devono appartenere allo stesso circolo massimo e gli archi non
devono avere alcun punto dintersezione al di fuori dei vertici
Lati del triangolo sferico
Sono le lunghezze degli archi AB BC CA che limitano la superficie
Tali lati sono minori o uguali a 180
Angoli del triangolo sferico
Sono gli angoli formati dai tre archi di circolo massimo La somma
degli angoli (interni) egrave maggiore di 2 angoli retti e minore di 6 angoli
retti
180deg lt α+β+γ lt 540deg
Pertanto la somma degli angoli egrave 180deg solo quando il triangolo egrave
degenere ovvero quando i vertici del triangolo sono situati sullo
stesso circolo massimo
La differenza fra la somma dei tre angoli di un triangolo sferico e lrsquoangolo piatto si dice eccesso sferico
ε= α+β+γ minus 180deg
Bignamino di astronomia
87
Nel triangolo sferico sussistono relazioni fra le funzioni trigonometriche dei lati e degli angoli tali relazioni
sono date dai teoremi di Eulero (teorema del coseno ( ) per i triangoli sferici e teoremi dei seni( )) da
cui derivano due gruppi fondamentali di relazioni che prendono il nome di primo e secondo gruppo di Gauss
di cui ci occuperemo nella trattazione del triangolo di posizione astronomico Lrsquoapplicazione dei triangoli
sferici assume particolare importanza in astronomia in quanto come abbiamo visto nei sistemi di riferimento
sulla sfera celeste si misurano solo distanze angolari
Per un lato
cos (119886) = cos (119887)cos (119888) + sin (119887)sin (119888)cos (119860)
sin (119886)
sin (119860)=sin (119887)
sin (119861)=sin (119888)
sin (119862)
Oppure
sin(119886) ∶ sin(119860) = sin(119887) sin(119861) = sin(119888) sin(119862)
Bignamino di astronomia
88
Triangolo di posizione astronomico
Vertici del triangolo
Il triangolo astronomico o di posizione ha i vertici nellastro
nello zenit e nel polo celeste nord il terzo vertice potrebbe
essere anche laltro polo ma per convenzione egrave preferibile
usare quello nord in quanto semplifica le regole algebriche
per il calcolo delle lunghezze dei lati
Lati del triangolo
I lati del triangolo hanno lunghezze comprese fra 0 e 180
definite come segue
bull Distanza polare p = 9 - 120575
la distanza che lastro ha dal polo di riferimento (polo celeste nord per convenzione)
Considerando la declinazione 120575 positiva se a Nord e negativa se Sud la distanza polare egrave p lt 90 nel
primo caso e p gt 90 nel secondo
bull Colatitudine c = 9 - 120593
coincide con la colatitudine ossia il complemento della latitudine Si ricorda che lelevazione
dellasse polare egrave esattamente pari alla latitudine del luogo La precedente convenzione per la
declinazione puograve essere adottata anche per la latitudine per cui si ha c lt 90 per latitudini nord e c gt
90 per quelle sud
bull Distanza zenitale z = 90 - h
Coincide con la distanza zenitale z ossia la distanza che lastro ha dallo zenit Tale distanza egrave il
complemento dellaltezza h (z = 90-h) Se lastro egrave nellemisfero visibile si ha h gt 0 e z lt 90 per astri
nellemisfero invisibile si ha h lt 0 e z gt 90
I tre angoli sono
1) Angolo vertice nello Zenith compreso tra meridiano e cerchio verticale la sua ampiezza dovrebbe corrispondere allazimuth ma in questo caso poichegrave lampiezza degli angoli nei triangoli sferici egrave sempre inferiore a 180deg prende nome di Angolo azimutale Z
2) Angolo vertice nel Polo Celeste compreso tra meridiano e cerchio orario la sua ampiezza corrisponderebbe allangolo orario ma in questo caso poicheacute lampiezza degli angoli nei triangoli sferici egrave sempre inferiore a 180deg prende nome di Angolo al Polo P
3) Angolo con vertice nellrsquooggetto A
Bignamino di astronomia
89
Attraverso le seguenti relazioni note come primo e secondo gruppo di Gauss
119904119894119899 ℎ = 119904119894119899 120593 119904119894119899 120575 + 119888119900119904 120593 119888119900119904 120575 119888119900119904 119867
119888119900119904 ℎ 119888119900119904 119860 = 119888119900119904 120593 119904119894119899 120575 + 119904119894119899 120593 119888119900119904 120575 119888119900119904 119867119888119900119904 ℎ 119904119894119899 119860 = 119888119900119904 120575 119904119894119899 119867
Primo Gruppo di Gauss
119878119894119899 120575 = 119878119894119899 120593 119878119894119899 ℎ minus 119862119900119904 120593 119862119900119904 ℎ 119862119900119904 119860119862119900119904120575 119888119900119904119867 = 119904119890119899ℎ 119888119900119904120601 + 119888119900119904ℎ 119904119890119899120601 119888119900119904119860
119862119900119904ℎ 119904119890119899119867 = 119888119900119904ℎ 119904119890119899119860
Secondo gruppo di Gauss
Ersquo possibile risolvere il triangolo astronomico
Notiamo che nel triangolo di posizione sono contemporaneamente presenti per loggetto celeste osservato le sue coordinate altazimutali (azimuth o angolo zenitale e altezza o distanza zenitale) e quelle equatoriali orarie (angolo orario o angolo al polo e declinazione o distanza polare) Queste formule ci consentono il passaggio da coordinate altazimutali ad equatoriali orarie e viceversa
Queste ci consentono il passaggio da un sistema altazimutale ad equatoriale
119904119894119899 120575 = 119904119894119899 120593 119888119900119904 119911 minus 119888119900119904 120593 119904119894119899 119911 119888119900119904 119860
119888119900119904 120575 119888119900119904 119867 = 119888119900119904 120593 119888119900119904 119911 + 119904119894119899 120593 119904119894119899 119911 119888119900119904 119860119888119900119904 120575 119904119894119899 119867 = 119904119894119899 119911 119904119894119899 119860
Bignamino di astronomia
90
Le parti della sfera
Riportiamo in una tabella le caratteristiche delle parti in cui rimane divisa una superficie sferica e una sfera
di raggio R quando vengono sezionate con opportuni piani indicando anche le formule per il calcolo delle
corrispondenti superfici e volumi
FONTE ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Bignamino di astronomia
91
ALCUNE ESERCITAZIONI DI TRIGONOMETRIA SFERICA
1) Calcolo dellrsquoaltezza di un oggetto alla culminazione superiore ed inferiore Giagrave conosciamo le formule che ci permettono di determinare lrsquoaltezza di un astro sullrsquoorizzonte nel caso di culminazione superiore ed inferiore per semplicitagrave le riportiamo qui di seguito
Culminazione superiore la stella culmina a sud dello zenit
la stella culmina a nord dello zenit
ALTEZZA h= 90 - ϕ + δ h= 90 + ϕ - δ
Proviamo attraverso le formule contenute nella parte teorica di trigonometria sferica a verificare queste relazioni Consideriamo la prima equazione del primo gruppo ( Primo Gruppo di Gauss)
sin h = sin φ sin δ + cos φ cosδ cos H
Se la stella culmina vuol dire che essa passa al meridiano (o superiore o inferiore a seconda della culminazione) CULMINAZIONE SUPERIORE Quando la Stella passa al meridiano superiore lrsquoangolo orario H egrave = 0 il cos0deg =1 per cui si ha
sin h = sin φ sin δ + cos φ cosδ
questa equazione si risolve facilmente se si applicano le formule di sottrazione del coseno cos (α - β) = cosαcosβ + senαsenβ
La nostra equazione puograve essere scritta sen h = cos(ϕ - δ) ndashlrsquo α della formula di sottrazione egrave la latitudine e la β la declinazione)- ma il sen h=cos(90 ndashh) ed allora cos (90-h) = cos( ϕ - δ) questa egrave una equazione elementare in coseno che ha per soluzioni
90-h= plusmn (ϕ - δ)
90-h= + ( ϕ - δ) h= 90 - ϕ + δ 90-h= - ( ϕ - δ) h= 90 + ϕ - δ
(Le relazioni sono due percheacute ognuna vale per un emisfero)
CULMINAZIONE INFERIORE Anche qui sappiamo che h= ϕ + δ- 90
sin h = sin φ sin δ + cos φ cosδ cos H
Alla culminazione inferiore lrsquoangolo orario egrave 12ℎ quindi 180deg il cos 180deg = -1
sin h = sin φ sin δ - cos φ cosδ Non possiamo applicare come prima a formula di addizione del coseno e quindi la riscriviamo
sin h= - (- sin φ sin δ + cos φ cosδ )
Bignamino di astronomia
92
ricordando che cos ( α + β) = cosαcosβ ndash senαsenβ ed essendo sinh= cos(90-h) possiamo scrivere cos (90-h) = - cos( ϕ + δ) essendo cosα= - cos(180 ndashα)
cos (90-h) = cos( 180 ndash ϕ - δ)
90-h = 180 ndash ϕ - δ h= ϕ + δ- 90 NB Essendo il coseno di due angoli dello stesso valore assoluto ma di segno opposto uguale come fatto sopra anche la soluzione col segno negativo va presa quindi si ottengono anche qui due formule che come sopra si riferiscono ciascuna a un emisfero
2) Calcolare lrsquoespressione che consente di determinare il sorgere e il tramontare di un astro Successivamente determinare la differenza delle ore di luce ai solstizi a Reggio Calabria ndash Latitudine φ=38deg6rsquo Nord
Per rispondere alla prima domanda dobbiamo determinare lrsquoangolo orario applichiamo il
( ) Primo Gruppo di Gauss
sin h= sin φ sin δ + cos φ cos H cos δ
isoliamo il cosH si trova cosH= 119904119894119899ℎminus119904119894119899120593119904119894119899120575
cos120593 cos120575 e scriviamo ancora cosH =
sinℎ
cos120593 cos120575 -
sin120593 sin120575
cos120593 cos120575 ed ancora cosH =
sin h
cos φ cos δ ndash tanφ tanδ (essendo tanα=senαcosα)
Al momento del sorgere dellrsquoastro h= 0 quindi cosH = - tanφ tanδ (sen0=0) Se egrave nota lrsquoascensione retta possiamo calcolare il tempo siderale 119931119956 = H +120630 con
H=arccos(θsin h
cos φ cos δ ndash tanφ tanδ ) Se conosciamo il valore del tempo siderale in una
determinata ora di un determinato giorno possiamo anche trovare lrsquoistante di tempo che segna il nostro orologio per il sorgere del Sole (per questi calcoli si vedano i problemi precedenti sul tempo) c = H+α Una volta trovata lrsquoespressione dellrsquoangolo orario la seconda domanda si risolve facilmente
tenendo conto che lrsquoangolo orario adesso egrave 119867
2
cos 119867
2 = - tan φ tan δ
Il Sole ai solstizi ha una declinazione δ=+23deg27rsquo (21 giugno solstizio drsquoestate) e δ=-23deg27rsquo (21 dicembre solstizio drsquoinverno)
si trova che cos 119867
2 = -0784 0433 = -034 perciograve H=2arccos(-034)=219deg46rsquo=14 ore 39
minuti (digrave piugrave lungo dellrsquoanno)
mentre il 21 dicembre cos 119867
2 = (-0784) (-0433) = 034 dal quale si ricava che
H=arccos(034)=140deg15rsquo = 9 ore 21 minuti (digrave piugrave corto dellrsquoanno) la differenza di ore egrave ∆H=14h 39m-9h 21m = 5 ore 18 minuti tra inverno ed estate
Bignamino di astronomia
93
3) In un certo giorno in cui egrave in vigore lrsquoora legale in una cittagrave posta alla longitudine di 120582
= 10deg 52rsquo 59rdquo E e latitudine = 44deg 38rsquo 45rdquo N il Sole ha una declinazione = 10deg 59rsquo 04rdquoConsiderando trascurabile la declinazione del Sole durante lrsquoarco della giornata
Calcolare
1 lrsquoaltezza massima raggiunta dal Sole in quella localitagrave e lrsquoora del transito in meridiano 2 lrsquoora in cui in tale giorno il sole sorge e tramonta in quella Cittagrave e lrsquoarco diurno 3 lrsquoazimut del sole nei momenti in cui sorge e tramonta
Il sole raggiunge la massima altezza hC sullrsquoorizzonte (culmina) quando transita per il
meridiano locale dellrsquoosservatore Nel caso specifico avremo hC = 90deg - ( - ) = 90deg -
+ = 90deg - 44deg64583333 + 10deg98444444 = 56deg33861111
Lrsquoaltezza massima del Sole nel momento in cui transita al meridiano egrave hC = 56deg33861111 = 56deg 20rsquo 19rdquo
Indichiamo adesso con 120582 la longitudine espressa in ore e con T la differenza in ore del
meridiano locale rispetto a GMT Nel nostro caso essendo in vigore lrsquoora legale saragrave T = 2h Le 12h locali corrispondono dunque aUT = 12h ndash 120582
per cui lrsquoora locale del transito in meridiano del sole saragrave (scrivendo la longitudine in notazione decimale)
TC = 12h ndash 120582+ T = 12ℎ minus 10deg 8830555556
15deg+ 2ℎ = 2h ndash 0h725537036 + 2h = 13h27446296
il Sole culmina alle ore locali TC = 13h 16m 28s1
I due eventi del sorgere e tramontare si verificano quando il sole interseca lrsquoorizzonte celeste dellrsquoosservatore e quindi la sua altezza h egrave nulla In questo caso egrave possibile determinare i tempi (gli angoli orari HS e HT) e le direzioni (gli azimut AS e AT) delle due posizioni del sole sullrsquoorizzonte e lrsquoarco diurno
T = HT - HS che ci dagrave la durata della permanenza del sole
Applichiamo le formule del primo gruppo di Gauss al triangolo sferico precedentemente definito rispetto al lato ldquozenit ndash solerdquo ed allrsquoangolo al vertice con lo zenit
sin h = sin sin + cos cos cos H (I)
cos h sin A = - cos sin H (II)
cos h cos A = cos sin - sin cos cos H
Bignamino di astronomia
94
Quando il sole sorge eo tramonta si ha h = 0 e quindi sin h = 0 Dalla (I) segue dunque
cos H = - tg tg Dai dati del problema si ha = 44deg 38rsquo 45rdquo N = 44deg64583333
= 10deg 59rsquo 04rdquo1 = 10deg98444444 segue cos H = - tg (44deg64583333) tg (10deg98444444) = - 0191713689
H = arccos (- 0191713689) = 101deg0528101 = plusmn 6h736854006
Lrsquoangolo orario H egrave negativo al sorgere percheacute deve arrivare in meridiano e positivo al tramonto percheacute ha superato il meridiano Saragrave dunque HS = - 6h736854006 HT = 6h736854006
il sole sorgeragrave dunque alle ore TS = TC + HS = 13h27446296 - 6h736854006 = 6h537608954 = 6h 32m 15s4
Lo stesso giorno il sole tramonteragrave alle ore TT = TC + HT = 13h27446296 6h736854006 = 20h01131697 = 20h 00m 40s7
Lrsquointervallo temporale durante il quale il sole resteragrave sopra lrsquoorizzonte saragrave
T = HT - HS = 6h736854006 + 6h736854006 = 13h47370802 = 13h 28m 25s4
Per ricavare lrsquoazimut del sole nei momenti in cui sorge e tramonta utilizziamo la (III) delle
formule di Gauss cos h sin A = - cos sin H
Nel momento in cui il sole sorge e tramonta si ha h = 0 e quindi cos h = 1 per cui si ha rispetto al punto Nord
sin AS = - cos sin HS = - cos (10deg98444444 ) sin (-6h736854006 x 15) = 0963469686
AS = arcsin (0963469686) = 74deg46556891 = 74deg 27rsquo 56rdquo1
sin AT = - cos sin HT = - cos (10deg98444444 ) sin (6h736854006 x 15) = -0963469686
AT = arcsin (-0963469686) = - 74deg46556891 = (360deg - 74deg46556891) = 285deg5344311 = 285deg 32rsquo 4rdquo
DISTANZA TRA DUE STELLE
Regolo ha coordinate H= 27m 4 s e declinazione 11deg 52rsquo 5rdquo Denebola ha coordinate H= 22h 46m 36s e
declinazione 14deg 27rsquo 33rdquo Si determini la loro distanza angolare
Per calcolare la loro distanza consideriamo il triangolo sferico BPA dalla figura si evince che
PB= 90-1205751 PA= 90-1205752 lrsquoangolo al polo P= 1198672 - 1198671
Applichiamo il teorema del coseno o di Eulero
Bignamino di astronomia
95
cosAB= cosPB cosPA + seno senPA cosP
Sostituendo
Cos120572 = cos( 90-1205751)cos(90-1205752 ) + sen(90-1205751)sen(90-1205752)cosP
Cos120572= sen1205751sen1205752 + cos1205751cos 1205752cos (1198672 minus 1198671)
E svolgendo I calcoli
Cos α= sen118681 sen 144592 + cos 118681 cos 144592 cos251167=0904
α=24deg58
Bignamino di astronomia
96
Bibliografia
Vittorio Castellani Astrofisica Stellare ndash Zanichelli Editore
Ferdinando Flora Astronomia Nautica ndash Editore Hoepli
Pietro Giannone Elementi di Astronomia ndash Edizione Pitagora
Angeletti Giannone Esercizi e complementi di astronomia ndash Edizioni Nuova Cultura
Margherita Hack Corso di Astronomia ndash Editore Hoepli
Halliday-Resnick Fondamenti di fisica ndash Zanichelli Editore
Giuliano Romano Introduzione allrsquoastronomia ndash Editore Muzzio
Leonido Rosino Lezioni di Astronomia ndash Edizione Cedam
Francesco Saverio Delli Santi Introduzione allrsquoastronomia ndash Zanichelli Editore
Cino Tacchini Il Cielo ndash UTET Editore
Francesco Zagari Astronomia sferica e teorica ndash Zanichelli Editore
Wikipedia sito web
Vialatteanet sito web
Treccani sito web
Superfici e volumi problemi di massimo e minimo Istituto Italiano Edizioni Atlas
- Copertina Bignamino definitiva
- Bignamino di astronomia
-
- INDICE Bignamino definitivo
- Bignamino
-
III
Ingrandimento________________________________________________ 39
Aberrazione della luce__________________________________________ 39
Rifrazione____________________________________________________ 39
Rifrazione atmosferica__________________________________________ 40
Riassumendo__________________________________________________ 41
Astrofisica
La radiazione elettromagnetica___________________________________ 43
Parametri di unrsquoonda___________________________________________ 44
Equivalenza massa energia______________________________________ 45
Grandezze fotometriche________________________________________ 46
Parametri fisici delle stelle_______________________________________ 48
Corpo nero______________________________________________ 48
Legge dello spostamento di Wien____________________________ 48
Legge di Stefan Boltzmann_________________________________ 49
Flusso e Luminositagrave_______________________________________ 49
Logaritmi
Definizione______________________________________________ 50
Proprietagrave dei logaritmi_____________________________________ 52
Magnitudine delle stelle________________________________________ 54
Cosmologia elementare
Redshift_____________________________________________________ 57
Ottico__________________________________________________ 57
Relativistico_____________________________________________ 58
Gravitazionale___________________________________________ 58
IV
Problemi ed esercizi
Sistemi di riferimento___________________________________________ 59
I moti della Terra e la misura del tempo____________________________ 60
Il cielo visto dalla Terra e dalla Luna______________________________ 61
La gravitagrave____________________________________________________ 63
Terza legge di Keplero__________________________________________ 65
Risoluzione del sistema per il calcolo delle velocitagrave su orbite circolari_______ 66
Esercizio un pianeta cadente_____________________________________ 68
Coordinate celesti e tempo______________________________________ 69
La misura del tempo____________________________________________ 70
Stelle e magnitudini____________________________________________ 72
Cosmologia elementare_________________________________________ 74
Miscellanea __________________________________________________ 75
Sfera e trigonometria sferica
Premessa_____________________________________________________ 84
Elementi della sfera____________________________________________ 84
Triangolo sferico_______________________________________________ 86
Angoli del triangolo sferico______________________________________ 86
Triangolo di posizione astronomico________________________________ 88
Primo Gruppo di Gauss___________________________________ 89
Secondo Gruppo di Gauss__________________________________ 89
Le parti della sfera_____________________________________________ 90
Esercizi______________________________________________________ 91
Bibliografia
Bignamino di astronomia
1
ldquoIn Astronomia ogni argomento va meditato ed approfondito in senso critico va analizzato nei suoi elementi essenziali e collegato a quanto
precede ed a quanto seguerdquo
(prof Leonida Rosino)
Il bignamino di astronomia ha lo scopo di aiutare gli olimpionici alla preparazione alle varie fasi delle Olimpiadi Italiane di Astronomia Costituisce la griglia essenziale per la risoluzione dei problemi Lrsquoabbiamo pensato come una bussola soprattutto per gli studenti che provengono da Istituti dove la fisica non egrave disciplina curriculare nel biennio Seguendo il Syllabus abbiamo suddiviso il ldquobiginordquo in quattro macrotemi
1) Meccanica Celeste (cinematica e dinamica celeste) 2) Strumenti ottici 3) Astrofisica 4) Cosmologia elementare
Ciascun macrotema egrave corredato da sezioni e da esercizi di riferimento
Bignamino di astronomia
2
Introduzione
MISURA DEGLI ANGOLI GRADO RADIANTE ORA
Lrsquoampiezza di un arco o del corrispondete angolo al centro si puograve misurare in uno dei seguenti sistemi
bull Il s i s tema sessages imale ha come unitagrave di misura il grado
Il grado
Il grado definito come la 360-esima parte dellangolo giro I suoi sottomultipli sono primi e i secondi
bull 1 grado egrave diviso in 60 primi 1deg= 60 bull 1 primo egrave diviso in 60 secondi 1 = 60 bull Quindi un grado equivale a 3600rsquorsquo
Il s i s tema c ircolare ha come unitagrave di misura il radiante
Radiante Il radiante ( 120646) egrave lampiezza dellangolo al centro di una circonferenza che con i suoi lati
intercetta un arco uguale al raggio
In astronomia egrave necessario molto spesso convertire la misura in gradi di un arco in misura di ora o
viceversa
Lrsquoampiezza di un angolo giro misurato in gradi 360deg in ore egrave 24ℎ 1ℎ = 360
24 = 15deg 1119898= 15rsquo
1119904=15rsquorsquo
Dunque il rapporto tra la misura dellarco e la misura del
raggio egrave un numero reale α che rimane costante α=119871
119877
120572119903119886119889 =120572deg120587
180 120572deg =120572119903119886119889
180deg
120587
Lrsquoampiezza di un radiante egrave
in gradi 120588deg= 57deg 17rsquo 44rsquorsquo~ 57deg3
in primi 120588rsquo~3438rsquo
in secondi 120588rsquorsquo ~206265rsquorsquo
(numero magico)
Bignamino di astronomia
3
DISTANZE DEI CORPI CELESTI
La distanza dei corpi celesti viene determinata attraverso la misura di un angolo detto parallasse
Lrsquoangolo di parallasse egrave lrsquoangolo sotto cui viene visto un oggetto se osservato da due posizioni
diverse
LE DIMENSIONI APPARENTI DI UN OGGETTO
Le dimensioni apparenti di un oggetto dipendono dalla sua distanza In astronomia il diametro
angolare (o dimensione angolare) di un oggetto egrave la misura del suo diametro rispetto alla distanza
dallosservatore Si calcola con la seguente formula
120572 = 2 119886119903119888119905119886119899119892 119863
2119889
(D diametro reale e d distanza dallrsquoosservatore)
Generalmente il diametro apparente dei corpi celesti egrave inferiore ad un grado
Misurato il diametro apparente in secondi drsquoarco si puograve calcolare il diametro reale con la seguente
formula
119863 = 119889120572
206265
Si parla di parallasse geocentrica quando la
distanza tra le due osservazioni egrave uguale al raggio
terrestre mentre di parallasse annua quando la
distanza tra i due osservatori egrave uguale al semiasse
maggiore dellorbita della Terra attorno al Sole
(ovvero lUnitagrave Astronomica) p langolo di parallasse e d la distanza dellosservatore dalloggetto-
La relazione tra la distanza e la parallasse egrave data
dalla semplice formula d = r sen p
Spesso viene usato il parsec come unitagrave di misura delle
distanze stellari Una stella si trova alla distanza di 1
parsec quando la sua parallasse annua egrave di un secondo
darco d =1
119901primeprime
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SISTEMI DI RIFERIMENTO ASTRONOMICI
Gli elementi che definiscono i sistemi di coordinate astronomiche sono
1) Una direzione fondamentale
2) Un piano perpendicolare alla direzione fondamentale
3) Lrsquoorigine
4) Il verso di percorrenza
5) Lrsquounitagrave di misura
Noi qui sintetizziamo tre dei cinque sistemi di riferimento astronomici
il sistema altazimutale il sistema orario il sistema equatoriale
Sistema altazimutale
Nel sistema altazimutale o orizzontale la direzione
fondamentale egrave data dalla verticale il piano
perpendicolare egrave dato dallrsquoorizzonte astronomico la
verticale alla superficie terrestre passante per
losservatore individua lo zenit e il nadir Le
coordinate in questo sistema sono lrsquoAzimut (A) e
Altezza (h)
Lazimut del punto T egrave langolo formato dal piano del
cerchio verticale passante per T e il meridiano
astronomico Si misura in gradi e frazioni di grado
partendo dal punto cardinale sud nel senso delle
lancette dellorologio Esso corrisponde nel disegno
allangolo SOB dove O egrave losservatore e B egrave
lintersezione dellorizzonte con il cerchio verticale
passante per T
Altezza (h) egrave lordinata sferica di un punto sulla sfera
celeste e cioegrave la sua distanza angolare dallorizzonte
misurata lungo il cerchio verticale passante per quel
punto Si esprime in gradi e frazioni di grado con
valore positivo verso lo zenit e negativo verso il nadir
Nel nostro disegno laltezza del punto T corrisponde
allangolo TOB dove O egrave losservatore e B egrave
lintersezione dellorizzonte con il cerchio verticale
passante per T Larco complementare dellaltezza si
chiama distanza zenitale e nel nostro disegno egrave
rappresentata dallangolo ZOT dove Z egrave lo zenit
dellosservatore La distanza zenitale si indica
generalmente con z Nel sistema azimutale entrambe
le coordinate (azimut e altezza) delle stelle variano
sensibilmente con il passare del tempo a causa del
moto di rotazione della Terra
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Sistema orario
Sistema equatoriale
Questo sistema di coordinate astronomiche ha come
direzione e piano fondamentali rispettivamente lasse
del mondo e il piano dellequatore Le coordinate
sferiche di questo sistema sono Angolo orario (H) e
la Declinazione (120575)
Lrsquoangolo orario egrave la distanza angolare tra il cerchio
orario che passa per il punto e il meridiano
astronomico Si misura in ore e frazioni di ora lungo
lequatore celeste partendo dal meridiano
astronomico in senso orario per un osservatore
boreale
La declinazione rappresenta la distanza angolare tra
un punto della sfera celeste e lequatore celeste
misurata lungo il cerchio orario che passa per tale
punto Si misura in gradi e frazioni di grado con segno
positivo verso il polo nord celeste e negativo verso il
polo sud Lrsquoorigine del sistema egrave il punto M detto
mezzocielo In questo sistema nel corso del giorno le stelle variano il loro angolo orario mentre rimane costante la loro declinazione
L0
Questo sistema di coordinate astronomiche ha come direzione e
piano fondamentali rispettivamente lasse del mondo e il piano
dellequatore Le coordinate sferiche di questo sistema sono
Ascensione retta ( ) Declinazione ( )Lorigine egrave il punto gamma
()
Lascensione retta si misura di solito in ore minuti e secondi lungo
lequatore celeste partendo dal punto gamma e con senso di
percorrenza antiorario
Declinazione rappresenta la distanza angolare tra un punto della
sfera celeste e lequatore misurata lungo il cerchio orario che passa
per tale punto Si misura in gradi e frazioni di grado con segno positivo
verso il polo nord celeste e negativo verso il polo sud
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RELAZIONI TRA I SISTEMI DI RIFERIMENTO
Latitudine del luogo
120593 = ℎ119901119900119897119900119873119900119903119889 = 90deg minus 119911119875119900119897119900119873119900119903119889
La latitudine geografica 120593 di una localitagrave sulla superficie della Terra egrave
lrsquoaltezza del polo celeste sul suo orizzonte Orizzonte e Zenit sono
separati da un angolo retto La latitudine geografica del luogo si
ottiene sottraendo da 90deg lrsquoaltezza del polo stesso
Formule inverse
119911119875119900119897119900119873119900119903119889 = 90deg minus 120593
Stelle circumpolari
120575 ge 90deg minus 120593
Vista da un qualsiasi luogo della superficie terrestre (quando
siamo allrsquoEquatore la situazione di complica) una parte della
volta celeste non tramonta mai e rimane sempre al di sopra
dellrsquoorizzonte Tale parte di cielo egrave detta ldquocircumpolarerdquo Essa
contiene le stelle che hanno declinazione 120575 maggiore o uguale
a un valore limite che si ottiene sottraendo da 90deg il valore della
latitudine geografica 120593 del luogo
Se la declinazione egrave compresa tra
minus(90deg minus 120593) lt 120575 lt +(90deg minus 120593)
le stelle sono occidue sorgono e tramontano sullrsquoorizzonte dellrsquoosservatore
Se
120575 lt minus(90deg minus 120593) 120575 lt minus90deg + 120593
Le stelle sono anticircumpolari (cioegrave quelle che non sorgono mai e stanno sempre al di sotto
dellrsquoorizzonte)
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Culminazione
Una stella culmina quando raggiunge la sua massima altezza cioegrave egrave sul meridiano
La declinazione 120575 la distanza zenitale z sono legate in modo semplice alla latitudine 120593
dellrsquoosservatore
Al momento della culminazione superiore (massima altezza della stella sullrsquoorizzonte) si ha
119911 = 120593 ndash 120575
Al momento della culminazione inferiore si ha
119911 = 120593 + 120575 ndash 180deg
Altezza (culminazione superioreinferiore)
Una stella culmina superiormente quando raggiunge la sua massima
altezza vista un determinato luogo (ad una determinata latitudine 120593)
ℎ1 = 90deg plusmn (120593 minus 120575)
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Poicheacute lrsquoaltezza deve esere h le 90deg distinguiamo i due casi
1) Se 120575 lt 120593 h=90deg- 120593 + 120575 (va preso il segno meno)
2) Se 120575 gt 120593 h=90deg+ 120593 - 120575 (va preso il segno piugrave)
Analogamente in culminazione inferiore
ℎ2 = minus90deg + 120593 + 120575
Poicheacute se 120575 lt 120593
ℎ2 = 120575 - ( 90 ndash 120593)
ℎ2 = 120575 - 90 + 120593
ℎ2 = - 90 + 120575 + 120593
Se 120575 gt 120593
ℎ2 = 120575 + ( 120593 - 90 )
ℎ2 = - 90 + 120575 + 120593
La formula per il calcolo della culminazione inferiore egrave sempre la stessa
Formule inverse della h=90deg+ 120593 - 120575
120593 = 90deg minus ℎ + 120575
120575 = 120593 + ℎ minus 90deg
Bignamino di astronomia
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Latitudine del luogo (culminazione superiore ed inferiore)
120593 =ℎ1 + ℎ2
2
Questa formula egrave valida per tutte le stelle ma la si usa spesso per
conoscere la latitudine di un luogo osservando una stella
circumpolare La latitudine infatti non egrave altro che una ldquomediardquo
tra le due altezze (culminazione superiore ed inferiore)
Formule inverse
ℎ1 = 2120593 minus ℎ2
ℎ2 = 2120593 minus ℎ1
Per una stella circumpolare la minima altezza egrave ℎ119898119894119899= δ + ϕ - 90deg
Distanza zenitale
119911 = 90deg minus ℎ
La distanza zenitale indica quanto dista la stella dallo zenit che si trova
sulla verticale dellrsquoosservatore Per trovarla basta sottrarre a 90deg (la
verticale e lrsquoorizzonte sono separati da un angolo retto) lrsquoaltezza della
stella h
Formule inverse
ℎ = 90deg minus 119911
Bignamino di astronomia
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Ascensione retta
Tra lrsquoascensione retta 120630il suo angolo orario H ed il tempo siderale relativi ad un dato osservatore
vale la relazione
119879119904 = 120572 + 119867
Nota
Quando il punto 120574 passa al meridiano 119879119904 = 0 (Il tempo siderale egrave definito come lrsquoangolo orario del
punto 120574 ) quando la stella passa al meridiano H= 0 e
119879119904 = 120572
Il tempo siderale coincide con lrsquoascensione retta delle stelle che passano al meridiano
Per conoscere lrsquoascensione retta di una stella 120572 bisogna calcolare
la differenza tra il tempo siderale del luogo 119879119904 di osservazione e
lrsquoangolo orario 119867 della stella stessa
120572 = 119879119904 minus119867
Lrsquoangolo orario si trova dalla 119867 = 119879119904 minus 120572
il punto nord ha H di 12 h e declinazione 90 - latitudine da noi H 0 e declinazione 90+ latitudine altro emisfero
per il punto sud i due predetti valori si invertono per lrsquoangolo orario e quelli della declinazione diventano
opposti
Bignamino di astronomia
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MISURA DEL TEMPO
La misura del tempo viene effettuata dal movimento di rotazione diurna della volta celeste
(rotazione della Terra) e dal movimento annuo del Sole (rivoluzione della Terra attorno al Sole)
La rotazione della Terra attorno al suo asse egrave quasi costante quindi lrsquoangolo di rotazione rispetto ad
un qualsiasi riferimento iniziale consente di misurare il tempo Come riferimento iniziale si prende
lrsquoistante del passaggio del punto al meridiano del luogo La durata del giorno dipende da questo
punto scelto
In Astronomia i punti adottati sono Il punto γ il
centro del disco apparente del Sole (Sole vero) il
Sole medio (un Sole ideale che parte dal punto γ
assieme al Sole vero percorre lrsquoequatore celeste
con velocitagrave angolare costante in modo da
ritornare allrsquoequinozio di primavere assieme al
Sole vero)
Le tre unitagrave di tempo definite da questi punti si
chiamano giorno siderale giorno solare vero
giorno solare medio Il tempo da esse misurato egrave
tempo siderale tempo solare vero tempo solare medio
Nota Non sono tempi diversi ma solo diverse unitagrave di misurare il tempo
Giorno siderale ndash tempo siderale
Si definisce giorno siderale lrsquointervallo di tempo compreso tra
due successivi passaggi del punto γ allo stesso meridiano del
luogo
Si definisce tempo siderale lrsquointervallo di tempo compreso tra il
passaggio al meridiano del punto di primavera ad unrsquoaltra
posizione qualsiasi
119905119904 = H + 120572
(Tempo siderale = angolo orario Sole + ascensione retta Sole
medio)
Bignamino di astronomia
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Giorno solare vero-Tempo solare vero
Il giorno solare vero egrave lrsquointervallo di tempo compreso tra due passaggi superiori o inferiori del centro
del Sole
Il tempo solare vero egrave lrsquointervallo di tempo compreso tra il passaggio inferiore
del Sole ad un altro punto
Al meridiano il 119879119904119900119897119890 119907119890119903119900 = 119867119878119900119897119890 119907119890119903119900 +12ℎ
Giorno solare medio - Tempo solare medio
Il giorno solare medio egrave lrsquointervallo compreso tra due passaggi superiori o inferiori del Sole medio
Il tempo solare medio egrave lrsquointervallo di tempo compreso tra il passaggio inferiore del Sole medio ad
un altro punto
119879119904119900119897119890 119898119890119889119894119900 = 119867119878119900119897119890 119898119890119889119894119900 +12ℎ
Equazione del Tempo
Si definisce equazione del tempo la differenza tra il tempo medio ed il tempo solare vero allo stesso
istante
E= 119879119904119900119897119890 119898119890119889119894119900 - 119879119904119900119897119890 119907119890119903119900
E= 119867119878119900119897119890 119898119890119889119894119900 - 119867119878119900119897119890 119907119890119903119900
E= 120572119878119900119897119890 119898119890119889119894119900 - 120572119878119900119897119890 119907119890119903119900
Il tempo solare medio ad un dato istante egrave dato
dal Tempo solare vero piugrave lrsquoequazione del
tempo
119879119904119900119897119890 119898119890119889119894119900= 119879119904119900119897119890 119907119890119903119900 + E
Bignamino di astronomia
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Relazione tra tempo solare e tempo siderale
Consideriamo la posizione del sole a 24 ore di distanza
1199051119904=1198671199041 + 1205721198781
1199052119904=1198671199042 + 1205721198782
Calcolando la differenza tra le due espressioni si ha
1199052119904- 1199051119904 = (1198671199042 minus 1198671199041 ) + (1205721198782 -1205721198781)
(1198671199042 minus 1198671199041 ) = 24
Mentre la differenza in ascensione retta (1205721198782 -1205721198781) dagrave lo spostamento angolare diurno del sole
medio sullrsquoequatore che in gradi egrave 24
36525
Pe cui
1199052119904- 1199051119904 = 24h + 24
36525
1199052119904- 1199051119904 = 24 (1+ 1
36525)
1199052119904- 1199051119904 = 24 36625
36525
Un giorno solare medio= 36625
36525 giorni siderali
Un giorno siderale= 36525
36625 giorni solari veri
Il rapporto K = 36625
36525 K=1002738 serve per convertire gli intervalli di tempo solare medio in
intervalli di tempo siderali
∆119879119904= K ∆119879119898
Il rapporto Krsquo = 36525
36625 Krsquo = 0997270 serve per convertire gli intervalli di tempo siderali in intervalli
ti tempo solare medio
∆119879119898= Krsquo ∆119879119904
24 ore di tempo medio corrispondono a 24h 03m 5655s di tempo siderale viceversa un giorno
siderale egrave 23h 56m 04s di tempo solare medio
Se s egrave il tempo siderale ad un certo istante ad un dato meridiano mentre alla mezzanotte
precedente sullo stesso meridiano il tempo siderale era S dalla mezzanotte sono passati (s-S) ore
minuti secondi di tempo siderale che corrispondono a (s-S) Krsquo di tempo solare medio Poicheacute a
mezzanotte il tempo solare medio egrave 0ℎ 119879119898 = (s-S) Krsquo rappresenta il tempo solare medio allrsquoistante
del tempo siderale s
Bignamino di astronomia
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Se al meridiano di quel luogo alla mezzanotte di una certa data il tempo siderale era S allrsquoistante
di tempo medio solare saragrave
s= S + 119879119898 119870
NOTA
Ersquo sempre necessario conoscere il tempo siderale S alla mezzanotte del meridiano dato Per questo
sono stati costruiti annuari che forniscono il tempo siderale 1198780 alla mezzanotte del meridiano
fondamentale di GW
Il tempo siderale S alla mezzanotte ad una data longitudine 120582 egrave dato da
119878 = 1198780 minus120582 ℎ
24ℎ (3119898 56119904 55)
Ora locale e longitudine
Si definisce tempo locale medio il tempo regolato sul meridiano del luogo
Nella vita quotidiana egrave scomodo utilizzare questo
tempo per cui il primo luglio 1919 sono stati introdotti
i fusi orari In base a questa suddivisione il tempo
medio egrave determinato solo per 24 meridiani geografici
principali separati da 15deg gradi (unrsquoora) I fusi orari sono
numerati da 0 a 23 ed il meridiano passante per GW
costituisce lrsquoorigine (fuso = 0)
Il tempo medio locale egrave dato da
119905119897 = 119905119891 ndashΔ120582
dove Δ120582 = 120582119891 - 120582119874
Nota
1) La differenza tra le ore locali (siderali o solari) di due meridiani misurate allo stesso istante
egrave sempre uguale alle differenze di longitudini
2) Poicheacute i confini dei fusi orari distano circa 7deg5 dal meridiano centrale la differenza 119905119897 - 119905119891
puograve essere leggermente maggiore o minore di plusmn 30119898
Bignamino di astronomia
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Tempo Universale
Il tempo solare medio del meridiano di GW si chiama Tempo Universale (TU)
Per quanto precedentemente detto il tempo medio locale egrave uguale al tempo universale piugrave la
longitudine del luogo espressa in ore e considerata positiva ad est di GW
119905119897 = TU +120582
Bignamino di astronomia
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MOTO APPARENTE DEI PIANETI
I pianeti si muovono in vicinanza dellrsquoeclittica ma il loro movimento visto dalla Terra egrave piugrave
complicato di quello del Sole e della Luna Il Sole e la Luna riferendo il loro moto rispetto alle stelle
fisse si muovono di moto diretto cioegrave antiorario per i pianeti si osserva che in generale si muovono
di moto diretto ma ce certi tratti variabili da pianeta a pianeta si muovono di moto retrogrado Il
pianeta dopo avere raggiunto una posizione di stazionarietagrave
inverte il moto Questo egrave molto piugrave evidente per i pianeti
interni Mercurio e Venere che oscillano avanti e indietro
rispetto alla posizione del Sole venendosi a trovare ora da
una parte ora dallrsquoaltra rispetto ad esso Quando il pianeta egrave
in congiunzione superiore egrave invisibile perchegrave nasce e
tramonta con il Sole ma essendo in questo momento piugrave
veloce del Sole dopo qualche tempo puograve essere visto dopo
il tramonto ad occidente (si trova a sinistra del Sole)
Lrsquoelongazione orientale cresce nei giorni seguenti e
contemporaneamente decresce la sua velocitagrave angolare e
quando raggiunge la stessa velocitagrave angolare del Sole per
qualche istante si muove mantenendo la stessa distanza il
pianeta raggiungere la massima elongazione orientale Per venere questo valore egrave circa 46deg per
Mercurio egrave variabile dai 18deg ai 28deg Da questo momento il pianeta comincia il suo avvicinamento al
Sole ritornando con moto retrogrado in congiunzione con esso ma questa volta in congiunzione
inferiore Ritorna invisibile (potrebbe esserci un transito) Continuando nel suo moto retrogrado
appare visibile ad occidente (a destra del Sole) ed egrave visibile prima del sorgere del Sole (elongazione
occidentale) Questo ci dice che i pianeti inferiori non possono mai trovarsi in quadratura o
opposizione
I pianeti esterni invece possono assumere qualsiasi distanza dal Sole da 0deg a 180deg e quindi possono
trovarsi nelle due precedenti configurazioni Raggiunta
lrsquoelongazione massima di 180deg i pianeti si trova dalla parte
opposta a quella del Sole la velocitagrave retrograda egrave massima e
raggiungono anche il massimo della luminositagrave Oggi noi
sappiamo che tutto questo egrave dovuto egrave il risultato della
composizione del moto della Terra e di quello dei pianeti
attorno al Sole semplificando osserviamo un oggetto in
movimento essendo noi stessi in movimento Le velocitagrave dei
pianeti variano piugrave sono vicini al Sole piugrave velocemente si
muovono I due pianeti essendo piugrave vicini al Sole sorpassano
la Terra durante il loro moto mentre egrave la Terra a sorpassare i
pianeti esterni quando sono vicini allrsquoopposizione e quindi
essi sembrano muoversi allindietro
Ed allora se indichiamo con T Il nostro anno siderale con P il periodo sidereo del Pianeta e con S il
periodo siderale (il tempo intercorso tra due congiunzioni o due opposizioni successive) la
composizione delle velocitagrave ci consente di calcolare la velocitagrave relativa del pianeta rispetto alla
Terra
Bignamino di astronomia
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Per i pianeti interni (la Terra si muove piugrave lentamente)
2120587
119878 = 2120587
119875 - 2120587
119879
120783
119930 = 120783
119927 - 120783
119931
Per i pianeti esterni (la Terra si muove piugrave velocemente)
2120587
119878 = 2120587
119879 - 2120587
119875
120783
119930 = 120783
119931 - 120783
119927
Il movimento di tutti i pianeti attraverso le stelle fisse segue apparentemente la stessa direzione di
quello della Luna (e del Sole) - con una strana variante talvolta il loro moto apparente cambia
temporaneamente verso (moto retrogrado) Questo egrave molto piugrave evidente per Mercurio e Venere
che oscillano avanti e indietro rispetto alla posizione del Sole Durante il moto del Sole attraverso le
stelle - lungo le costellazioni dello zodiaco - questi pianeti
talvolta si muovono nello stesso verso e quindi il loro
movimento si somma a quello del Sole ma altre volte il loro
moto apparente si oppone a quello del Sole facendo sigrave che
sembri che si muovano allindietro (moto retrogrado)Gli
altri tre pianeti visibili ad occhio nudo si possono trovare in
qualunque posizione lungo leclittica - anche a mezzanotte in
posizione direttamente opposta a quella del Sole e quando
questo avviene raggiungono il massimo della luminositagrave
Marte sembra muoversi piugrave rapidamente Giove un po meno
e Saturno egrave il piugrave lento Comunque tutti mostrano questa
enigmatica stranezza vicino al punto in cui il loro percorso
apparente nel cielo egrave esattamente in posizione opposta al Sole
(opposizione) il loro movimento tra le stelle
temporaneamente si inverte Oggi noi comprendiamo molto
bene tutto questo (vedi fig1) I pianeti sono oggetti sferici
come la Terra - Venere Mercurio e Marte sono piugrave piccoli Giove e Saturno molto piugrave grandi Anche
la Terra egrave un pianeta e ne esistono anche altri (troppo deboli per essere visti senza un telescopio)
tutti che orbitano attorno al Sole sul piano o vicino al piano delleclittica La loro velocitagrave tuttavia
varia - piugrave sono vicini al Sole e piugrave rapidamente si muovono (vedi la sezione ldquoterza legge di Keplerordquo)
Quindi quando i tre pianeti esterni sono vicini allopposizione la Terra che orbita piugrave vicina al Sole
li sorpassa e quindi essi sembrano muoversi allindietro Il moto retrogrado dei due pianeti interni
ha una causa simile Essendo piugrave vicini al Sole sono essi che sorpassano la Terra durante il loro moto
Bignamino di astronomia
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Sommario di quanto egrave noto oggi sui pianeti
Viene qui riportato un breve sommario dei componenti del sistema solare In genere vengono distinte quattro classi di oggetti
1 I pianeti maggiori in ordine di distanza dal Sole - Mercurio Venere Terra Marte Giove Saturno Urano e Nettuno Tutti tranne i due piugrave interni hanno dei satelliti e tutti e quattro i piugrave esterni hanno degli anelli composti da piccoli ciottoli di materia in orbita attorno al pianeta
2 Asteroidi o pianetini in maggioranza - anche se non tutti - posti tra Marte e Giove Il loro diametro arriva fino a 500 Km
3 La fascia di Kuiper di oggetti ghiacciati oltre lorbita di Nettuno di cui il piugrave noto (anche se ora si egrave scoperto che egrave solo il secondo come dimensioni) egrave Plutone scoperto nel 1930 e delle dimensioni della nostra Luna La fascia ha preso il nome dellastronomo belga Gerard Kuiper si estende probabilmente a una distanza doppia di quella di Nettuno e si stima che consista di circa 100000 oggetti (finora ne sono stati identificati circa 1000) molti dei quali con un diametro di soli 100 Km o meno
4 Comete tradizionalmente divise in non ricorrenti (il nome ufficiale egrave comete a lungo periodo) e comete periodiche Le comete non ricorrenti si pensa che provengano dalla nube di Oort un enorme agglomerato quasi sferico di oggetti ghiacciati agli estremi limiti del sistema solare Essi sono debolmente legati al Sole e di tanto in tanto lattrazione gravitazionale di qualche stella lontana probabilmente cambia un poco il moto di alcuni di
essi lanciandoli in direzione del Sole In tal caso diventano visibili come comete quando la luce del Sole fa evaporare una parte della loro superficie generando la chioma e la coda della cometa Le comete periodiche una volta erano considerate come oggetti che avevano iniziato come oggetti non ricorrenti ma poi erano state deviate e catturate dallattrazione gravitazionale dei pianeti piugrave grandi Oggi si ritiene che provengano dalla fascia di Kuiper come classe di oggetti noti come Centauri
Bignamino di astronomia
19
LE LEGGI DEL MOTO DEI PIANETI
Prerequisito Lrsquoellisse
Luogo geometrico dei punti del piano per i quali si
mantiene costante la somma delle distanze da due
punti fissi detti fuochi
Detta in parole piugrave semplici lellisse non egrave altro che
una circonferenza ldquoschiacciata Un elemento
fondamentale che ci permette di capire di quanto
questa viene compressa egrave leccentricitagrave e
Leccentricitagrave egrave definita come il rapporto tra la
semidistanza focale e il semiasse maggiore
119890 =119888
119886
Formule inverse
119888 = 119886119890
119886 =119888
119890
Infatti nellellisse possiamo individuare
bull Semiasse maggiore (a)
bull Semiasse minore (b)
bull Semidistanza focale (c)
Indicheremo quindi con 2a il semiasse maggiore (AB) con 2b il semiasse minore (CD) e con 2c la
distanza focale (F1F2)
ATTENZIONE lrsquoeccentricitagrave dellellisse egrave SEMPRE compresa tra 0 e 1 (0ltelt1) Se
questa fosse uguale a 0 i due fuochi andrebbero a coincidere con lorigine e lellisse
diventerebbe una circonferenza Se fosse uguale a 1 diventerebbe una parabola se
fosse egt1 diventerebbe una iperbole
Dalla figura si nota che la somma delle distanze dai due punti fissi detti fuochi egrave costante ed egrave pari
alla lunghezza dellasse maggiore (2a) Quindi si puograve anche applicare il teorema di Pitagora
1198862 = 1198872 + 1198882
Formule inverse
1198872 = 1198862 minus 1198882
1198882 = 1198862 minus 1198872
Bignamino di astronomia
20
LEGGI DI KEPLERO
PRIMA LEGGE
Enunciato i pianeti descrivono intorno al Sole orbite
ellittiche in cui questo occupa uno dei fuochi
Si puograve quindi notare che la distanza di un pianeta
attorno al Sole non si mantiene costante bensigrave ci
saragrave un punto in cui questo saragrave piugrave vicino al Sole
(perielio) e uno in cui saragrave piugrave lontano (afelio)
Possiamo quindi calcolare le due distanze
119889119886 = 119886(1 + 119890)
119889119901 = 119886(1 minus 119890)
Formule inverse
119886 =119889119886
1 + 119890
119886 =119889119901
1 minus 119890
119890 =119889119886
119886minus 1
119890 = 1 minus119889119901
119886
Inoltre si nota anche che dalla somma delle due distanze otteniamo lasse maggiore dellorbita
2119886 = 119889119886 + 119889119901
E il semiasse egrave quindi dato da
119886 =119889119886 + 119889119901
2
Bignamino di astronomia
21
Formule inverse
119889119886 = 2119886 minus 119889119901
119889119901 = 2119886 minus 119889119886
La distanza focale egrave data dalla differenza delle due distanze
2119888 = 119889119886 minus 119889119901
119888 =119889119886 minus 119889119901
2
Formule inverse
119889119886 = 2119888 + 119889119901
119889119901 = 119889119886 minus 2119888
Quindi leccentricitagrave dellrsquoorbita puograve essere anche scritta come
119890 =119889119886minus119889119901
119889119886+119889119901=
2119888
2119886 =
119888
119886
SECONDA LEGGE
Enunciato il raggio vettore che congiunge il Sole al pianeta spazza aree
uguali in tempi uguali
Dalla seconda legge comprendiamo che la velocitagrave del pianeta intorno
al Sole non egrave costante al perielio viaggeragrave piugrave velocemente che
allafelio Quindi si puograve affermare che le velocitagrave sono inversamente
proporzionali alle distanze
119881119886
119881119901=119889119901
119889119886
Formule inverse
119881119886 =119889119901 119881119901
119889119886
Bignamino di astronomia
22
119881119901 =119881119886 119889119886
119889119901
119889119886 =119881119901 119889119901
119881119886
119889119901 =119881119886 119889119886
119881119901
TERZA LEGGE
Enunciato i cubi dei semiassi maggiori sono
proporzionali ai quadrati dei periodi di
rivoluzione
1198863
1198792= 119896
Dalla terza legge si nota che esiste una relazione tra periodo di rivoluzione e lontananza dal corpo
centrale Sono infatti legati tra loro dal valore di una costante che egrave stata indicata con k
Per i corpi orbitanti intorno ad una massa comune (come ad esempi o per i corpi del Sistema solare)
questa legge puograve essere anche scritta come
1198861199053
1198791199052 =
1198861198983
1198791198982
=1198861199043
1198791199042 = ⋯
PER I CORPI DEL SISTEMA SOLARE se si inserisce in formula il valore del semiasse maggiore in unitagrave
astronomiche (UA) e il periodo di rivoluzione in anni il valore di questa costante egrave uguale a 1 Infatti
ricavandola per la Terra
(1 119880119860)3
(1 119886119899119899119900)2= 1
E se k=1 per la Terra vale per tutti gli altri corpi orbitanti intorno al Sole
Bignamino di astronomia
23
NEWTON E LA GRAVITAZIONE UNIVERSALE
Con le leggi di Keplero siamo ancora in quella parte di fisica che descriviamo come cinematica
descriviamo perfettamente i moti dei pianeti ma non risaliamo alle cause Newton avanzograve lrsquoipotesi
che sia i gravi in caduta libera che i pianeti vengono deviati dalla condizione di moto rettilineo
uniforme dallrsquoesistenza di una forza centrale Nel 1684 Newton ldquopoggiandosi sulle spalle dei
gigantirdquo (Keplero ed il nostro Galilei) dimostrograve che la forza che fa ldquofluttuarerdquo i pianeti attorno al Sole
dipende dallrsquoinverso del quadrato della distanza da esso
Integrando il suo secondo principio della dinamica con la terza legge di Keplero perviene a
119865119892=41205872 119898
1198701199032
Questa forza deve dipendere anche dalla massa M del Sole ed allora
119865119892=41205872 119898119872
1198721198701199032
Dove K egrave la costante della terza legge di Keplero Ponendo la quantitagrave 41205872
119872119870 = G ( notare che contiene
la costante K e la massa del Sole) otteniamo la nota formula
119865119892=119866 119898119872
1199032
Newton dedusse che questa legge egrave valida non solo per i corpi del sistema solare ma in tutto
lrsquoUniverso egrave la Legge di Gravitazione Universale Nel 1798 Cavendish ideograve la bilancia a torsione e
trovograve il valore per la costante G = 667times10⁻sup1sup1 N msup2kgsup2
Bignamino di astronomia
24
Terza legge di Keplero generalizzata
Approssimando lrsquoorbita di un corpo a circolare e considerando trascurabile la massa del corpo
orbitante la condizione di equilibrio per la quale esso orbita egrave data da
119865119888 = 119865119892
119865119900119903119911119886 119888119890119899119905119903119894119891119906119892119886 = 119865119900119903119911119886 119892119903119886119907119894119905119886119911119894119900119899119886119897119890
La forza centrifuga egrave espressa come
119865119888 = 119898 119886119888
E quella gravitazionale (dalla legge di gravitazione universale di Newton) come
119865119892 =119866119872119898
1198862
Sostituendo in formula
119898119886119888 =119866119872119898
1198892
Notiamo che semplificando m otteniamo un modo per esprimere lrsquoaccelerazione
119886119888 =119866119872
1198892
Lrsquoaccelerazione egrave espressa come
119886119888 =1199072
119886=412058721198862
1198792119886=41205872119886
1198792
Sostituendo in formula
41205872119886
1198792=119866119872
1198862
Da cui
1198863
1198792=119866119872
41205872
Formule inverse
119886 = radic119866119872 1198792
41205872
3
119879 = radic412058721198863
119866119872
Bignamino di astronomia
25
119872 =412058721198863
119866 1198792
Nota nel caso in cui la massa del corpo orbitante non fosse trascurabile la terza legge di Keplero
generalizzata diventerebbe
1198893
1198792=119866 (119872 +119898)
41205872
Nel Sistema solare la somma delle due masse si considera uguale alla sola massa del
Sole data la relativa piccola massa dei pianeti
NOTA I corpi lasciati cadere verso il basso quando la resistenza dellrsquoaria egrave trascurabile cadono con la
stessa accelerazione g detta accelerazione di gravitagrave Sulla superficie terrestre lrsquoaccelerazione di
gravitagrave egrave g = 98 ms2 In realtagrave il valore di g cambia da punto a punto percheacute dipende fra lrsquoaltro
dallrsquoaltezza del punto sul livello del mare e dalla sua latitudine Ora che conosciamo la legge di
gravitazione universale possiamo dire che i corpi cadono per effetto della forza di gravitazione che
si esercita tra il corpo e la Terra Allora
119892 =119866119872
1198892
Se il corpo si trova sulla Terra o prossimo alla superficie sostituendo a questa formula i valori relativi
alla massa della Terra e al suo raggio troviamo per lrsquoaccelerazione il valore noto di 98 ms2
Un altro fattore che influisce sul valore di g egrave la rotazione terrestre in quanto ogni corpo su di
essa egrave soggetto ad una forza centripeta per cui
119892rsquo = 119892 minus 1205962 119877119879
ldquoRationem vero harum
Gravitatis proprietatum
ex phaelignomenis nondum
potui deducere amp
hypotheses non fingordquo
ldquoIn veritagrave non sono riuscito a dedurre la causa di
queste proprietagrave della gravitagrave dai fenomeni e non
avanzo ipotesirdquo
Isaac Newton Philosophiae Naturalis Principia
Mathematica liber tertius
Bignamino di astronomia
26
ALCUNE CONSIDERAZIONI SULLE ORBITE
La Legge della Gravitazione Universale ci insegna che la forza drsquoattrazione gravitazionale egrave
inversamente proporzionale al quadrato della distanza delle due masse che si attraggono ovvero
119865 prop1
1198892 a causa di questa caratteristica dellrsquointerazione gravitazionale si puograve dimostrare che le
orbite descritte dai corpi celesti attorno a un oggetto ldquoattrattorerdquo seguono particolari curve le
coniche
Le coniche sono curve che si ottengono dallrsquointersezione di un piano con un cono a due falde Si
ottengono cosigrave circonferenza ellisse iperbole e parabola
Ciograve che distingue lrsquouna dallrsquoaltra queste curve egrave un parametro lrsquoeccentricitagrave
Circonferenza il piano egrave perpendicolare
allrsquoasse (tratteggiato)
Ellisse il piano egrave obliquo
Parabola il piano egrave parallelo a una delle
generatrici (le due rette incidenti in V in
figura)
Iperbole il piano egrave parallelo allrsquoasse del cono
CIRCONFERENZA e=0
ELLISSE 0ltelt1 (piugrave questo valore si avvicina ad 1 piugrave
lrsquoellisse egrave schiacciata)
PARABOLA e=1
IPERBOLE egt1 (quanto piugrave maggiore di uno egrave
questo valore tanto piugrave lrsquoiperbole egrave ldquoapertardquo)
Bignamino di astronomia
27
VELOCITAgrave ORBITALE ORBITA CIRCOLARE
Affincheacute il corpo rimanga in orbita egrave necessario che in ogni punto dellrsquoorbita la forza centripeta sia
uguale alla forza di attrazione gravitazionale
FC = FG
mv2
R=mMG
R2
mv2
R=mMG
R2
v2 =MG
R
119855 = radic119820119814
119825
A questa velocitagrave si dagrave il nome di prima velocitagrave cosmica
VELOCITAgrave SU ORBITE NON CIRCOLARI
Il problema si risolve con lrsquoapplicazione del principio di conservazione dellrsquoenergia meccanica che
altro non egrave che la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale
119922120783 + 119932120783 = 119922120784 + 119932120784
E poicheacute le velocitagrave orbitali variano al variare dalla distanza alla prima equazione egrave necessario
associare la seconda legge di Keplero
Per cui il problema egrave risolto dalla soluzione del sistema
119922120783 + 119932120783 = 119922120784 + 119932120784119959119938 119941119938 = 119959119953119941119953
Nel caso della forza gravitazionale lrsquoenergia potenziale egrave 119880 = minus119898119872119866
119877
Lrsquoenergia cinetica egrave K= 1
21198981199072
Bignamino di astronomia
28
Il sistema diventa
119907119886119889119886 = 1199071199011198891199011
2119898119907119886
2 minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
Le soluzioni sono 119959119938 = radic120784119918119924119941119953
119941119938(119941119953+119941119938) 119959119953 = radic120784119918119924
119941119938
119941119953(119941119953minus119941119938)
Ricordando che 119889119886 = 119886(1 + 119890) 119889119901 = 119886(1 minus 119890) 119938 =119941119938+119941119953
120784 119942 =
119941119938minus119941119953
119941119938+119941119953
le due velocitagrave possono anche essere espresse in funzione del semiasse maggiore e
dellrsquoeccentricitagrave dellrsquoorbita
Quindi
119907119901 = radic119918119924
119938(120783+119942
120783minus119942)
119907119886 = radic119918119924
119938(120783minus119942
120783+119942)
ALCUNE CONSIDERAZIONI DINAMICHE SULLE ORBITE
Allrsquoinizio di questi appunti abbiamo evidenziato come gli oggetti orbitanti seguano delle traiettorie
che sono curve coniche e abbiamo individuato questrsquoultime catalogandole anche a seconda
dellrsquoeccentricitagrave in seguito abbiamo enunciato il principio di conservazione dellrsquoenergia meccanica
119922+119932 = 119940119952119956119957119938119951119957119942
Possiamo procedere nella classificazione delle orbite a seconda del valore assunto da questa
costante (lrsquoenergia meccanica) In particolare
bull Se questa costante egrave negativa allora lrsquooggetto segue unrsquoorbita chiusa (circonferenza
ellisse)
bull Se essa egrave nulla allora il corpo si muove su unrsquoorbita parabolica (a distanza infinita la sua
velocitagrave egrave nulla)
bull Se essa egrave positiva allora la traiettoria egrave iperbolica (e il corpo giunge a distanza infinita con
velocitagrave ndash chiamata ldquovelocitagrave drsquoeccesso iperbolicordquo ndash non nulla)
Bignamino di astronomia
29
VELOCITAgrave DI FUGA ndash RAGGIO DI SCHWARZSCHILD
119959 = radic120784119918119924
119929
A questa velocitagrave si dagrave il nome di seconda velocitagrave cosmica o velocitagrave di fuga
Immaginiamo ora di poter comprimere un corpo celeste di massa M (quindi via via il raggio R
diminuisce) la velocitagrave di fuga di un altro corpo dalla sua superficie aumenteragrave al diminuire del
raggio Quando il raggio raggiungeragrave un valore ldquocriticordquo la velocitagrave di fuga eguaglieragrave quella della
luce e neanche la luce potragrave allontanarsi indefinitamente dal corpo esso egrave diventato un buco nero
Al raggio ldquocriticordquo associato a ogni massa M si dagrave il nome di Raggio di Schwarzschild in onore del
matematico astronomo e astrofisico tedesco Karl Schwarzschild (1873-1916) il raggio si ricava cosigrave
119888 = radic2119866119872
119877119904 rarr 1198882 =
2119866119872
119877119904 rarr 119929119956 =
120784119918119924
119940120784
Dove c egrave la velocitagrave della luce (c=299792458 ms)
Bignamino di astronomia
30
ECLISSI LUNA-SOLE
Eclisse di Luna
Una eclisse di Luna si verifica quando la Terra si interpone tra il nostro satellite ed il Sole cioegrave
quando la Luna entra nel cono drsquoombra della Terra che egrave rivolto dalla parte opposta al Sole e per
tanto lrsquoeclisse piograve avvenire solo quando la Luna egrave in opposizione cioegrave quando egrave piena Poicheacute la
Luna si sposta da ovest verso est essa
entra nel cono drsquoombra della Terra dalla
parte sinistra Se lrsquoorbita della Luna
attorno alla Terra giacesse sullo stesso
piano dellrsquoorbita della Terra attorno al
Sole ad ogni plenilunio avremmo una
eclisse totale di Luna Queste due orbite
sono inclinate di 5deg9rsquo e si incontrano i
due punti che definiscono i nodi Percheacute
si abbia una eclisse Sole e Luna non solo
devono essere allrsquoopposizione ma
devono essere vicinissimi ai nodi In media la distanza angolare del Sole dal nodo deve essere minore
di 9deg9 per unrsquoeclisse parziale e non piugrave di 4deg6 per unrsquoeclisse totale
Calcolo lunghezza cono drsquoombra della Terra
I triangoli VAS e VBT sono simili (vedi figura)
VS VT= AS BT
Ma
VS= VT+ TS
sostituendo si trova che
VT =119879119878∙119861119879
119860119878minus119861119879
Siccome sappiamo che il raggio del Sole egrave circa 10925 raggi terrestri abbiamo
Bignamino di astronomia
31
VT= 119878119879∙119861119879
10925119861119879minus119861119879
VT= 119878119879
10925minus1
La lunghezza del cono drsquoombra si puograve calcolare dividendo la distanza media Terra-Sole per 10925
Si puograve calcolare anche il semidiametro apparente visto dalla Terra dellrsquoombra che la Terra proietta
sul piano dove si trova la Luna
Poicheacute il raggio angolare della Luna egrave di 15rsquo5 percheacute una eclisse di Luna possa avere luogo egrave
necessario che la distanza tra i centri dellrsquoombra terrestre e della Luna sia inferiore a
41rsquo+15rsquo5 = 56rsquo5
Con questo dato si puograve calcolare quanto egrave spostato il centro dellrsquoorbita terrestre dal nodo lunare
Dalla proporzione
119861119879 119877119867 = 119881119879119867119881
119877119867 =119881119867 ∙ 119861119879
119881119879
Dato che
119881119867 = 119881119879 minus 119879119867
119877119867 =119861119879 (119881119879 minus 119879119867)
119881119879=
=119861119879
119881119879(1 minus
119879119867
119881119879) =
Dalla formula precedente
119881119879 =119878119879
10825
Sostituendo
Bignamino di astronomia
32
119877119867 =119861119879 ∙ 10825
119878119879(1 minus 119879119867) =
= 119877119879119864119877119877119860119863119879119878
10825 (1 minus 119863119879119871)
Si trova che questo valore egrave di 10deg6 Quindi unrsquoeclisse lunare si puograve verificare (anche di breve
durata) solo nel caso in cui lrsquoorbita terrestre egrave spostata meno di 10deg6 gradi dal nodo lunare (ad est
o ad ovest)
La Terra si muove lungo lrsquoeclittica di circa 59rsquo al giorno Per percorrere questa distanza impiega 108
giorni e la distanza doppia in 216 giorni poicheacute una rivoluzione sinodica si compie in 295 giorni
Una Luna piena puograve verificarsi ad una distanza superiore ai 10deg6 gradi ad ovest e la successiva Luna
piena ad una distanza superiore ad est e quindi nel corso di questa rivoluzione non si verificheranno
eclissi Si puograve verificare che in un anno non ci siano eclissi o al massimo tre quando la prima cade
poco dopo il primo gennaio la seconda sei mesi dopo (in prossimitagrave di giugno) e la terza a fine
dicembre (dodici mesi sinodici dopo la prima 354 giorni)
Bignamino di astronomia
33
Eclisse di Sole
Uneclissi di Sole si verifica quando la Luna attorno alla sua congiunzione si trova allineata tra la
Terra e il Sole molto vicino ad uno dei nodi o esattamente in esso Bencheacute di dimensioni
estremamente diverse si trovano a distanze tali da mostrare lo stesso diametro apparente Il che
consente alla Luna di coprire il disco del Sole
Percheacute ci sia una eclisse di Sole egrave necessario che
al momento del novilunio il Sole sia distante
dal nodo inferiore in media 15deg5 Questo
valore egrave piugrave alto di quello calcolato per lrsquoeclisse
di Luna e quindi si capisce percheacute le eclissi di
Sole sono piugrave frequenti Il cono drsquoombra
massimo della Luna ha un valore che non
supera i 270km sulla superficie della Terra mentre la lunghezza del cono drsquoombra egrave circa 374000
per cui il vertice di questo cono non sempre raggiunge la Terra in questo caso si hanno eclissi
anulari In localitagrave differenti della Terra lrsquoeclisse di Sole si verifica in tempi diversi Il moto della Luna
attorno alla Terra e la rotazione della Terra attorno al proprio asse fanno sigrave che lrsquoombra lunare si
sposti da ovest verso est formando una striscia drsquoombra lunga un migliaio di km e larga da 200 a 270
km Poicheacute la Luna si sposta da ovest verso est lrsquoeclisse inizia dal bordo ovest del Sole
Condizione percheacute si possa verificare unrsquoeclissi di Sole
Percheacute si verifichi unrsquoeclisse di Sole egrave necessario che nel periodo della Luna nuova questa si trovi in
prossimitagrave di uno dei nodi della sua orbita cioegrave in vicinanza dellrsquoeclittica
Indichiamo con S T L i centri del Sole della Terra della Luna che giacciono tutti su di un piano
perpendicolare al piano dellrsquoeclittica Il verificarsi dellrsquoeclisse dipende dalla latitudine geocentrica
della Luna (nella figura lrsquoangolo LTS (vertice in T) = 120573 )
Dalla figura
Bignamino di astronomia
34
120573 = LTLrsquo+ LrsquoTSrsquo + STSrsquo
Dalla figura si evince che
LTLrsquo egrave il raggio angolare della Luna= 120572119871
STSrsquo egrave il raggio angolare del Sole = 120572119878
120573 = 120572119871 + LrsquoTSrsquo + 120572119878
Lrsquo TSrsquo =
Consideriamo lrsquoangolo TLrsquoO esterno al triangolo TLrsquoSrsquo
TLrsquoO= LrsquoTSrsquo + TSrsquoLrsquo
TLrsquoO= LrsquoTSrsquo + TSrsquoO
LrsquoTSrsquo = TLrsquoO - TSrsquoO
TLrsquoO = 119901119871 = 57prime2primeprime (parallasse orizzontale della Luna)
TSrsquoO= 119901119878 = 8primeprime 8 (parallasse orizzontale del Sole)
120573 = 120572119871 + 120572119878 + 119901119871 - 119901119878
120573 = 15rsquo5 +16rsquo3 +57rsquo2 ndash 8rsquorsquo8
120573 = 88rsquo46
Percheacute si verifichi una eclisse anche di breve durata egrave necessario che la latitudine geocentrica della
Luna sia inferiore a 88rsquorsquo46
La parallasse orizzontale equatoriale della Luna egrave lrsquoangolo sotto il quale dal centro della Luna egrave
visibile il raggio equatoriale della Terra La parallasse orizzontale equatoriale del Sole egrave lrsquoangolo
sotto il quale dal centro del Sole egrave visibile il raggio equatoriale della Terra
Bignamino di astronomia
35
La distanza angolare del centro della Luna rispetto al
nodo (longitudine) si puograve calcolare con la
sinΔ120582 = tan120573
tan 119894
Δ120582 = 16deg5
Il Sole muovendosi alla velocitagrave di 59rsquo al giorno percorre 33deg gradi di eclittica in 34 giorni Essendo
il periodo sinodico di 295 giorni egrave evidente che nel corso di questo periodo si ha una Luna nuova
(ed anche due) Questo assicura che nel corso di un anno si verificano almeno due eclissi di Sole in
vicinanza dei nodi Se la prima si verifica ai primi di gennaio la seconda si ha alla Luna nuova
successiva la terza e la quarta poco meno di sei mesi dopo e la quinta 354 giorni dopo la prima
Bignamino di astronomia
36
Numero totale di eclissi per anno
Il Ciclo di Saros
In base a quanto fin qui detto il numero massimo di eclissi che si possono verificare in un anno egrave 7
bull 2 Luna + 5 Sole
bull 3 Luna + 4 Sole
e viceversa Questa combinazione egrave piuttosto rara lrsquoevento piugrave frequente egrave 2 Luna + 2 Sole Il
numero minimo costituito da due eclissi entrambe di Sole
Fin dallrsquoantichitagrave era noto che le eclissi si succedevano pressocheacute nello stesso ordine in un periodo
di circa 18 anni e 113 giorni La spiegazione egrave alquanto semplice
Le fasi lunari si succedono ogni 2953 giorni (mese sindico) mente il ritorno allo stesso nodo della
Luna avviene ogni 2721 giorni I nodi
hanno un moto di retrogradazione in un
giorno percorre un angolo pari a
3rsquo10rsquorsquo64 e completa il giro in 18anni e
113 giorni Il Sole si sposta di moto
diretto in media di 59rsquo8rsquorsquo33 al giorno
rispetto al nodo Il moto del Sole egrave di
62rsquo19rsquorsquo e quindi lrsquointervallo di tempo fra
due passaggi consecutivi del centro del
Sole per lo stesso nodo egrave di 34662 giorni
(anno draconico) Il saros egrave lrsquointervallo di tempo percheacute questi tre periodi tornino nella stessa
successione La natura si diverte
Succede che
bull 223 lunazioni (223 mesi sinodici) corrispondono a giorni 658519 (223 x 2953)
bull 242 mesi draconici corrispondono a giorni 658502
bull questi giorni corrispondono a 18 anni e circa 11 giorni
Poi succede che se dividiamo questi 658519 per lrsquoanno draconico troviamo circa 19
Questi tre periodi ritornano nella stessa successione dopo circa 6585 giorni che rappresenta il
ciclo di Saros Le condizioni in cui si producono le eclissi non saranno mai le stesse poicheacute essendo
223 mesi sinodici piugrave corti di 004 mesi draconici dopo 18 anni la Luna non si troveragrave esattamente
allo stesso posto rispetto al nodo Il ciclo di Saros contiene 6585 giorni interi piugrave circa 13 di giorni
questo comporta che le zone di visibilitagrave delle eclissi sulla superficie terreste in 18 anni si spostano
di circa 120deg verso Ovest
Bignamino di astronomia
37
ANGOLO SOLIDO
Si definisce angolo solido la porzione di sfera intercettata dalle
semirette che lo individuano
120570 =119860
1198772=41205871198772
1198772= 4120587
120570 = 4120587
Langolo solido totale di una sfera egrave pari a 4π Lunitagrave di misura
egrave sr (steradiante) ed egrave un numero puro
Per avere la misura in gradi quadrati si deve
119898119900119897119905119894119901119897119894119888119886119903119890 4120587 bull (180deg
120587)2
119900 1198891198941199071198941198891198901199031198904120587
1205872
4π sr= 41253deg -gt 1deg=3046 bull 10minus4119904119905119890119903119886119889
STRUMENTI OTTICI
CAMPO DELLO STRUMENTO
Il campo di uno strumento egrave definito dallangolo solido sotto il quale loculare viene visto dal centro
dellobiettivo Il campo corretto dalle aberrazioni ottiche di norma egrave 1
2deg
APERTURA ASSOLUTA
Lapertura assoluta dipende dal diametro D dello strumento La quantitagrave di luce raccolta egrave
proporzionale allarea dellobiettivo cong 1198632
APERTURA RELATIVA
Si definisce apertura relativa il rapporto
119863
119891=119886119901119890119903119905119906119903119886 119886119904119904119900119897119906119905119886 (119889119894119886119898119890119905119903119900)
119891119900119888119886119897119890 119889119890119897119897prime119900119887119894119890119905119905119894119907119900
Bignamino di astronomia
38
RAPPORTO FOCALE
Linverso dellrsquoapertura relativa 119891
119863 definisce il rapporto focale
Lenergia raccolta dallobiettivo egrave distribuita sullarea dellimmagine la cui grandezza sul piano focale
egrave data da
119889 = 119891 bull 119905119886119899120572
Con α=diametro angolare dellrsquooggetto
119889 = 119891120572
Se α egrave espresso in radianti
POTERE RISOLUTIVO
Il potere risolutivo egrave la minima distanza angolare tra due sorgenti di luce che possono essere viste
separate (ldquorisolte in termine tecnico) secondo un criterio detto di Rayleigh
Due sorgenti puntiformi (di uguale luminositagrave) risultano risolte quando la loro distanza angolare
120579 =122 bull 120582
119863=119897119906119899119892ℎ119890119911119911119886 119889prime119900119899119889119886
119889119894119886119898119890119905119903119900
Si ottiene un risultato in radianti
In secondi darco invece
120579 =25 bull 105 bull 120582
119863
Con λ=lunghezza donda della luce=5500Aring (regione di massima sensibilitagrave dellocchio)
Il potere risolutivo dellocchio assumendo la pupilla con un diametro di 3 mm egrave uguale a
120579 =122120582
119863= 122 bull
5500 bull 10minus9119898
3 bull 10minus3119898= 224 bull 10minus4119903119886119889 = 46
Il fattore di conversione da radianti a secondi egrave il NUMERO MAGICO 1 rad = 206265rdquo
Nella determinazione del potere risolutivo interviene lrsquoapertura dello strumento e non
lrsquoingrandimento
Bignamino di astronomia
39
INGRANDIMENTO
Lingrandimento dello strumento egrave dato dal rapporto tra la focale dellobiettivo f e la pupilla
delloculare f
119892 =119891
119891prime
ABERRAZIONE DELLA LUCE
Quando i raggi di una stella arrivano sulla Terra la loro direzione di provenienza
appare leggermente deviata a causa della velocitagrave orbitale del pianeta v I vettori
delle velocitagrave (della luce e del pianeta) si combinano per dare un vettore risultante di
poco inclinato dalla direzione di provenienza dei raggi
119886 = arctan119907
119888
RIFRAZIONE
Il fenomeno della rifrazione ha origine dal cambiamento di
velocitagrave delle onde luminose quando passano da un mezzo
trasparente allrsquoaltro Esiste una proporzione tra le due diverse
velocitagrave e i seni degli angoli 120579119894119899119888119894119889119890119899119911119886 e 120579119903119894119891119903119886119911119894119900119899119890 che i raggi
formano con la linea normale alla superficie nel punto colpito dal
raggio Se consideriamo gli indici di rifrazione 1198991 e 1198992 dei materiali
la proporzione egrave inversa
119904119894119899120579119894119899119888119894119889119890119899119911119886119904119894119899120579119903119894119891119903119886119911119894119900119899119890
=11989921198991=11990711199072
Bignamino di astronomia
40
RIFRAZIONE ATMOSFERICA
Allrsquoentrata nellrsquoatmosfera terrestre i raggi luminosi provenienti da un corpo celeste che si trova a
distanza zenitale z vengono rifratti (deviati verso il basso) di un angolo r Quindi i corpi celesti si
osservano in una posizione leggermente piugrave alta del reale In particolare possiamo vedere oggetti
che si trovano anche sotto lrsquoorizzonte geometrico del luogo (es Il sole al tramonto) La formula
stabilisce che lrsquoangolo di rifrazione egrave proporzionale alla tangente della distanza zenitale
Questa formula vale fino ad angoli 119963 asymp 120789120782deg
Oltre questo valore fino allrsquoorizzonte la rifrazione aumenta fino a raggiungere il valore massimo di
35rsquo
119903 = 582 tan (119911)
Bignamino di astronomia
41
RIASSUMENDOhellip
CENNI TEORICI SUI TELESCOPI
Il telescopio egrave uno strumento che raccoglie la luce o altre radiazioni elettromagnetiche
provenienti da un oggetto lontano la concentra in un punto (detto fuoco) e ne produce
unimmagine ingrandita Possiamo paragonare un telescopio a un ldquogrande occhiordquo che
sopperisce al fatto che la nostra pupilla di dimensioni ridotte riesce a raccogliere un
quantitativo insufficiente di luce emessa da un oggetto lontano Un telescopio egrave
caratterizzato dalle seguenti componenti e grandezze
bull OBIETTIVO egrave la parte del telescopio rivolta verso lrsquooggetto da osservare Il suo
diametro D prende il nome di APERTURA Telescopi con una grande apertura sono
capaci di raccogliere piugrave luce e di fornire unrsquoimmagine a piugrave alta risoluzione
Lrsquoobiettivo fa convergere i raggi luminosi in un punto il fuoco la cui distanza
dallrsquoobiettivo egrave chiamata LUNGHEZZA FOCALE
bull OCULARE la parte del telescopio (nel caso di telescopi ottici) che raccoglie la luce
proveniente dallrsquoobiettivo e che la trasmette poi allrsquoocchio Anche per lrsquooculare egrave
possibile definire una LUNGHEZZA FOCALE
Ingrandimento
Lrsquoingrandimento di un telescopio egrave dato dal rapporto fra la lunghezza focale dellrsquoobiettivo e
la lunghezza focale dellrsquooculare
119894 = 119891119900119887119891119900119888 Rapporto focale
Rapporto esistente tra la lunghezza focale dellrsquoobiettivo e lrsquoapertura stessa del telescopio
119865 =119891119900119887
119863 negli strumenti egrave specificato da una F seguita da un numero (es F4 F45 F6hellip)
Campo visivo
Esso egrave dato dal rapporto fra il campo visivo apparente dellrsquooculare (lrsquoampiezza angolare
dellrsquoimmagine fornita dallrsquooculare soltanto) e il numero di ingrandimenti
119865119900119881 =119865119900119881119900119888119894
Pupilla drsquouscita
Essa egrave il diametro del fascio luminoso che esce dallrsquooculare
119901 =119863
119894
Potere risolutivo
Esso egrave lrsquoangolo minimo che deve separare due oggetti affincheacute lo strumento li possa
distinguere egrave dato dal criterio di Rayleigh
120599(119903119886119889) =122120582
119863 120599deg =
699120582
119863 120582 119897119906119899119892ℎ119890119911119911119886 119889prime119900119899119889119886 119889119890119897119897119886 119897119906119888119890 119900119904119904119890119903119907119886119905119886
Bignamino di astronomia
42
Magnitudine limite
Egrave la magnitudine visuale massima che puograve essere osservata con uno strumento di apertura
D (in cm)
119898119897119894119898 = 68 + 5119897119900119892119863
Ingrandimento minimo utile
egrave lrsquoingrandimento che fornisce una pupilla drsquouscita pari al diametro della pupilla umana (6-7
mm)
119894119898119894119899 = 119863(119898119898)7
Formula di Dawes
Ci consente di trovare lrsquoapertura di un telescopio che gli consenta di distinguere un oggetto
che si vede sotto un angolo α
119863(119898119898) =120
120572
Dimensioni dellrsquoimmagine sul piano focale
Lrsquoimmagine che si forma sul piano focale di un telescopio con lunghezza focale dellrsquoobiettivo
f relativa a un oggetto di dimensione angolare α egrave
119897 = 2119891 tan (1205722)
Bignamino di astronomia
43
ELEMENTI DI ASTROFISICA
Tutte le informazioni che riceviamo dalle stelle ci provengono dalla ldquolucerdquo che emettono1 Egrave solo
attraverso lrsquoanalisi e la ldquodecodificazionerdquo dei messaggi contenuti in questa radiazione
elettromagnetica che egrave la luce che noi possiamo ottenere informazioni sulle proprietagrave fisiche e
chimiche delle stelle e delle galassie
La radiazione elettromagnetica
Una radiazione elettromagnetica egrave dal punto di vista dellrsquoelettromagnetismo classico un fenomeno
ondulatorio dovuto alla contemporanea propagazione di perturbazioni periodiche di un campo
elettrico e di un campo magnetico oscillanti su piani tra di loro ortogonali Le stelle emettono
tipicamente radiazione di ldquocorpo nerordquo e come tale irradiano energia in tutte le lunghezze drsquoonda
secondo una distribuzione che viene chiamata spettro della radiazione elettromagnetica
I parametri che permettono di distinguere tra loro le varie radiazioni elettromagnetiche sono
1) In realtagrave un altro ldquocanalerdquo di trasmissione delle informazioni per la comprensione dei fenomeni celesti si egrave aperto
grazie ai risultati positivi ottenuti dagli interferometri per onde gravitazionali LIGO e VIRGO in particolare gli
interferometri menzionati il 17 agosto 2017 hanno rilevato un segnale di onda gravitazionale (rilevazione
annunciata poi ufficialmente il 16 ottobre dello stesso anno) mentre altri telescopi in orbita e a terra sono riusciti
a individuare per la prima volta la sua controparte elettromagnetica lrsquoevento che ha generato il segnale egrave stato
la collisione di due stelle di neutroni (che ha portato a unrsquoesplosione nota col termine di kilonova ) nella galassia
NGC 4993 esso ha segnato la nascita della cosiddetta ldquoastronomia multi-messaggero per il fatto che egrave stato
possibile confrontare due ldquolinguaggirdquo diversi permettendo cosigrave di ampliare le frontiere della conoscenza di
questi fenomeni ldquoestremirdquo
Bignamino di astronomia
44
Parametri di unrsquoonda
Come tutti i fenomeni ondulatori la radiazione elettromagnetica egrave caratterizzata da questi
parametri
Lunghezza drsquoonda 120640
la lunghezza drsquoonda tra due creste o tra
due ventri Si misura in metri eo con i
suoi sottomultipli
Periodo T
lrsquointervallo di tempo misurato in
secondi in cui avviene unrsquooscillazione
completa ovvero lintervallo di tempo
impiegato dallonda per ritornare nella
medesima posizione (per esempio il
tempo intercorso tra due creste o tra
due ventri successivi
Frequenza 120650 egrave il numero di creste che si susseguono nello stesso posto nellrsquounitagrave di
tempo egrave lrsquoinverso del periodo
120592 =1
119879
Frequenza che si misura in Hertz (Hz) pari ad unrsquooscillazione al secondo
119867119911 = 1119904minus1
Ampiezza A rappresenta la variazione massima dellrsquoonda Lrsquoampiezza di unrsquoonda
periodica egrave lrsquoaltezza di una sua cresta
Intensitagrave di unrsquoonda egrave proporzionale al quadrato dellrsquoampiezza
Potenza ogni onda porta con seacute unrsquoenergia e quindi una potenza Tale potenza decresce
con il quadrato della distanza dalla sorgente
La lunghezza drsquoonda λ e la frequenza ν di una radiazione elettromagnetica sono grandezze legate
tra loro dalla relazione
120582 ∙ 120592 = 119888
(c ndashla velocitagrave della luce- nel vuoto ha un valore di 299 792 458 ms) Questa formula ci dice che le
due grandezze sono inversamente proporzionali
Bignamino di astronomia
45
La radiazione elettromagnetica puograve essere interpretata come un insieme di ldquopacchettirdquo di energia a
cui si dagrave il nome di fotoni grazie a questi ldquopacchetti energeticirdquo la luce puograve interagire con la materia
a livello microscopico per esempio puograve eccitare un elettrone in un atomo cedendo a esso la sua
energia Continuando il paragone possiamo immaginare che piugrave la radiazione egrave intensa piugrave i
pacchetti sono numerosi piugrave la radiazione cresce di frequenza piugrave essi sono ldquocapientirdquo
Questrsquoultima caratteristica egrave descritta dalla Legge di Planck che lega lrsquoenergia del fotone alla sua
frequenza
119864 = ℎ ∙ 120584
(dove h egrave la costante di Planck)
119864 = ℎ119888
120582
EQUIVALENZA MASSA- ENERGIA Tra lrsquoenergia e la massa esiste una fondamentale relazione
scoperta dal fisico Albert Einstein espressa dallrsquoequazione
119864 = 1198981198882
dove c egrave la velocitagrave della luce (pari a 3 middot 108 ms) Lequazione di Einstein implica che energia e massa
sono equivalenti la massa puograve essere trasformata in energia e lenergia puograve essere trasformata in
massa Ciograve comporta il principio di conservazione della massa-energia non vi egrave conservazione della
massa o dellenergia considerate separatamente ma vi egrave conservazione dellinsieme delle due a una
diminuzione della massa pari a m deve corrispondere un aumento dellenergia pari a m middot c2
Poicheacute il prodotto m middot c2 egrave un numero molto grande la trasformazione di una massa anche molto
piccola di materia determina la produzione di una quantitagrave enorme di energia come avviene per
esempio nelle reazioni di fissione e di fusione nucleari (queste ultime avvengono nel nucleo delle
stelle si veda per una maggiore comprensione il problema 2 della sezione Miscellanea)
Bignamino di astronomia
46
Grandezze fotometriche
Flusso luminoso Quantitagrave di energia luminosa emessa da una determinata sorgente nellunitagrave di tempo Lo indichiamo con la lettera Φ Lunitagrave di misura nel SI egrave il lumen (lm) 1 watt = 683 lumen
Illuminamento Rapporto tra il flusso luminoso ricevuto da una superficie e larea della superficie stessa ( E=
120593
119878 )
Lunitagrave di misura nel SI egrave il lux (lx) ovvero il lumen al metro quadrato (lm1198982)
Nota Dalla definizione di illuminamento si ricavano due importanti corollari di natura geometrica che risultano molto utili per comprendere la distribuzione della luce nello spazio
1) Per una sorgente puntiforme la diminuzione del livello di illuminamento su di una superficie varia in relazione al quadrato della distanza dalla fonte raddoppiando la distanza dalla fonte il livello di illuminamento sulla superficie diviene quindi frac14
2) Il livello drsquoilluminamento su di una superficie egrave massimo quando i raggi luminosi giungono perpendicolari ad essa e diminuisce proporzionalmente al loro angolo drsquoincidenza secondo la relazione E = 119864119899 cosi 119864119899egrave 119897
prime illuminamento normale i lrsquoangolo drsquoincidenza tra raggi luminosi e la normale alla superficie
Immagine dal web (fonte VOLTIMUM)
Bignamino di astronomia
47
Intensitagrave luminosa Flusso luminoso emesso allinterno dellangolo solido unitario in una direzione data
119868 = 119864 =120593
120596
ed egrave una grandezza vettoriale Lunitagrave di misura nel SI egrave la candela (cd)
Luminanza La luminanza egrave il rapporto tra lrsquointensitagrave luminosa di una sorgente nella direzione di un osservatore e la superficie emittente apparente cosigrave come viene vista dallrsquoosservatore stesso
119871 = 119868
119878 119888119900119904120572
120572 egrave 119897prime119886119899119892119900119897119900 compreso tra la direzione di osservazione e lrsquoasse perpendicolare alla superficie emittente La luminanza si esprime in cd1198982
Bignamino di astronomia
48
Parametri fisici delle stelle
Le grandezze fondamentali che permettono di caratterizzare le stelle sono
la distanza (d)
lo spettro della radiazione em emessa
la luminositagrave totale o bolometrica (L)
la temperatura superficiale (T)
il raggio (R)
la massa (M)
Le stelle possono essere approssimate a corpi neri in quanto le uniche onde elettromagnetiche che
non vengono assorbite dalla loro superficie sono quelle aventi una lunghezza donda di dimensione
pari o maggiore del diametro della stella stessa Per studiare le proprietagrave dellrsquoemissione continua
delle stelle egrave utile introdurre il concetto di corpo nero
Corpo nero
Il corpo nero egrave un corpo che assorbe tutta la radiazione che gli cade sopra Appare perfettamente nero percheacute assorbe il 100 della radiazione che incide su di esso e non ne riflette nessuna Il corpo nero egrave un oggetto teorico nessun materiale assorbe tutta la radiazione incidente Il corpo nero ha uno spettro di emissione caratteristico che dipende solo da un parametro la temperatura Lo studio della radiazione emessa dal corpo nero ha portato alla formulazione delle seguenti leggi
bull La legge (di spostamento) di Wien la frequenza massima 120584119898119886119909 di uno spettro di corpo nero a temperatura T cresce linearmente con T
120584119898119886119909 prop T il che comporta una proporzionalitagrave inversa fra la temperatura assoluta e la lunghezza drsquoonda
120582119898119886119909 119879 = 119887
b = 29 10minus3 m∙K
Per cui si ha
120582119898119886119909 T = 29 10minus3 m∙K
Bignamino di astronomia
49
bull Legge di Stefan-Boltzmann lenergia erogata per unitagrave di
superficie e per unitagrave di tempo egrave proporzionale alla quarta
potenza della temperatura T
119868 = 1205901198794
Applicazioni in astrofisica
Stefan-Boltzmann per una stella che approssimiamo ad una sfera di raggio R e superficie S= 41205871198772
la legge di Stefan-Boltzmann diventa
L= 41205871198772 120590T4
Poicheacute le stelle non sono dei corpi neri perfetti la temperatura egrave la temperatura efficace quella che
la superficie della stella avrebbe se si comportasse da corpo nero
Flusso e Luminositagrave
120593= 119871
41205871198892
Il flusso di energia egrave dato dal rapporto fra la lrsquoenergia emessa
dalla stella nellrsquounitagrave di tempo e la superficie della sfera di
raggio pari alla distanza d dalla stella Quindi si vede che il flusso
misurato sulla superficie terrestre dipende dalla luminositagrave
della stella e dalla sua distanza
Bignamino di astronomia
50
I LOGARITMI
Il termine logaritmo egrave composto da due parole greche logos = ragione e arithmos = numero
ldquoNumero di ragionirdquo questa definizione appare naturale pensando alla ragione delle progressioni
aritmetiche e geometriche che sono alla base della costruzione di Nepero
La storia di come nasce questo procedimento di
calcolo egrave molto interessante qui ci piace
evidenziare che la motivazione alla base della
scoperta dei logaritmi ed anche il motivo del loro
successo fu la ricerca di efficienti strumenti di
calcolo in grado di alleggerire il pesante fardello
di cui erano gravati gli astronomi del tempo i
quali per poter predire il corso dei pianeti si
dovevano confrontare con grandi difficoltagrave di
calcolo Basta pensare al calcolo dellrsquoorbita del
pianeta Marte del povero Keplero Quando Nepero pubblicograve il suo lavoro sui logaritmi gli
astronomi dissero che aveva regalato loro metagrave della vita I logaritmi rendono infatti possibile
trasformare prodotti in somme quozienti in differenze elevamenti a potenza in prodotti e
calcoli di radici in quozienti le operazioni vengono molto semplificate
Che cosa egrave un logaritmo
Generalmente si risponde che egrave una operazione inversa
Partiamo da una operazione conosciuta lrsquoestrazione di radice quadrata di un numero
radic25 = 5
La radice quadrata di 25 egrave quel numero che elevato a due restituisce 25 cioegrave il numero 5 infatti 52 =
25 Concludiamo dicendo che la radice egrave lrsquooperazione inversa dellrsquoelevamento a potenza
Il concetto di logaritmo egrave abbastanza simile a quello della radice quadrata solo che non ci riporta al
numero di partenza ma al suo esponente
Introduciamo la scrittura
log5 25 = 2
questa la scriviamo
52 =25
Definiamo logaritmo di un numero b (argomento del logaritmo) quel numero a cui bisogna elevare
la base per ottenere il numero b In notazione matematica
log119886 119887 = x
119886119909 = b
Anche il logaritmo egrave lrsquooperazione inversa dellrsquoelevamento a potenza
Bignamino di astronomia
51
log2 8 = x
la domanda egrave ldquoqual egrave lrsquoesponente che devo dare alla base (2) per ottener il numero (8)rdquo
Scriviamo applicando la definizione
2119909 = 8
e siccome
8 = 23
Allora
2119909 = 23
e perciograve
x=3
(se le basi sono uguali lrsquouguaglianza saragrave verificata se saranno uguali anche gli esponenti)
Egrave abbastanza evidente che i logaritmi e le potenze rappresentano due modalitagrave di scrittura diversa ma
rappresentano la stessa cosa
Osservazione importante la base dei logaritmi ed il numero devono essere numeri reali
positivi in piugrave la base deve anche essere diversa da 1
bgt 0
0 lt a lt1
agt 1
Quindi per esempio non esistono log2(minus5) log1 12 119890119888119888
Bignamino di astronomia
52
Proprietagrave dei logaritmi
Il logaritmo del prodotto di 2 o piugrave numeri positivi corrisponde alla somma dei logaritmi dei
singoli fattori
(Nota 119886119909 ∙ 119886119910 = 119886119909+119910)
Il logaritmo del quoziente di 2 numeri positivi egrave eguale alla differenza tra il logaritmo del
dividendo e il logaritmo del divisore
(Nota 119886119909119886119910 = 119886119909minus119910)
Il logaritmo della potenza a esponente reale di un numero positivo egrave uguale al prodotto
dellesponente per il logaritmo del numero
Una estensione di questa ultima proprietagrave egrave
log119886 radic119887119898119899
= log119886 119887119898
119899
(che possiamo scrivere come 119898
119899log119886 119887)
A volte per calcolare un logaritmo puograve risultare utile effettuare un cambiamento di base
Il loga b la cui base egrave a puograve essere scritto utilizzando unrsquoaltra base per esempio il numero c
Ricorda inoltre che
log119886 1 = 0 (119894119899119891119886119905119905119894 1198860 = 1) 119890 log119886119886 = 1 (119894119899119891119886119905119905119894 1198861 = 119886)
Bignamino di astronomia
53
Se la base di un logaritmo egrave il Numero di Nepero (chiamato meno frequentemente anche Numero
di Eulero e indicato con e = 2718281828459hellip) allora il logaritmo prende il nome di logaritmo
naturale e si indica con ln
Quindi se vediamo 1198971198995 niente paura Si tratta di log119890 5
Se la base di un logaritmo egrave 10 il logaritmo prende il nome di logaritmo decimale e la base
generalmente si omette questo tipo di logaritmo egrave il piugrave usato in astrofisica
Quindi se vediamo 1198971199001198927 ciograve vuol dire log10 7
I logaritmi sono utilizzati nella vita di tutti i giorni ad esempio il gommista quando misura la
pressione di una gomma utilizza uno strumento con una scala non lineare ma logaritmica le scale
sulla macchina fotografica sono logaritmiche i nostri organi di senso sono logaritmici Questo ci
permette di percepire un intervallo di informazioni molto piugrave esteso di quello che avremmo se i nostri
sensi fossero lineari Pogson quando capigrave che il nostro occhio percepisce una differenza di una
magnitudine ( per le magnitudini consulta le pagine successive del Bignamino) tra due stelle quando
il rapporto tra le loro luminositagrave egrave uguale a 25 e che questo conserva la classificazione di Ipparco
formulograve la sua formula in funzione del logaritmo del rapporto delle loro luminositagrave
Niente paura
Oggi avete le calcolatrici e non si
devono utilizzare le famigerate tavole
logaritmiche che si utilizzavano un
tempo per calcolare un logaritmo
Bisogna solo stare attenti ad utilizzare
CORRETTAMENTE la calcolatrice
Nepero
Bignamino di astronomia
54
Magnitudine delle stelle
Quando si guarda il cielo si vede subito che le stelle ci appaiono piugrave o meno brillanti (o luminose) ovvero sembrano avere diversa intensitagrave luminosa Gli astronomi descrivono la luminositagrave stellare osservata in termini di magnitudine apparente m Nel II secolo aC Ipparco di Nicea utilizzando lrsquounico strumento a sua disposizione (lrsquoocchio umano) introdusse una classificazione delle stelle in 6 classi di luminositagrave che chiamograve MAGNITUDINI La scala scelta dai Ipparco prevedeva che le stelle piugrave luminose venissero collocate nella prima classe quelle un porsquo meno luminose nella seconda e giugrave giugrave fino a quelle appena visibili a occhio nudo collocate nella sesta classe Con lrsquoosservazione del cielo attraverso gli strumenti si pose il problema di estendere la scala delle grandezze anche alle stelle non visibili ad occhio nudo Un grossissimo contributo venne dallo studio della fisiologia dellrsquoocchio strumento sul quale erano state fatte le prime classificazioni La risposta dellrsquoocchio umano agli stimoli luminosi non egrave di tipo lineare la reazione alla luce de reagisce alla sensazione della luce in modo logaritmico Pogson egrave riuscito a dare una formulazione matematica alla scala delle magnitudini individuata da Ipparco Pogson ipotizzograve che il rapporto fra le intensitagrave luminose di una stella di prima e di sesta grandezza era pari a 100 Se I1 e lrsquointensitagrave luminosa di una stella di magnitudine m1 ed I2 lrsquointensitagrave di una stella di
magnitudine m2 se m1 - m2 = -5 ed il rapporto I1
I2= 100
m1 - m2= K log I1
I2
-5=K2 K= -25
m1 - m2= -25 log I1
I2
Lrsquoequazione di Pogson spiega il percheacute la magnitudine decresce quando lrsquointensitagrave luminosa cresce Quando si parla di intensitagrave luminosa di una stella in realtagrave ci si riferisce al flusso di energia 120593 che
abbiamo visto essere legato alla luminositagrave dalla 120593= 119871
41205871198892
Se nella formula di Pogson m1 - m2= -25 log I1
I2 sostituiamo alle intensitagrave luminose il flusso si
ottiene (a paritagrave di luminositagrave)
m1 - m2= -5 log d2
d1
La magnitudine apparente di una stella dipende dalla distanza
Bignamino di astronomia
55
E se la stella apparentemente piugrave debole fosse in realtagrave piugrave brillante ma piugrave lontana Per rispondere a questa domanda egrave stata introdotta la scala delle magnitudini assolute indipendente dalla distanza Per costruire questa scala egrave stata presa una distanza di riferimento pari a 10pc Quale saragrave la magnitudine di una stella di cui si conosce la distanza e la magnitudine apparente se viene posta alla distanza di 10pc
M- m= -5 log 119889
1119900119901119888
M-m = 5-5logd Questa ultima viene anche indicata come modulo di distanza Questa scala consente di poter confrontare la luminositagrave intrinseca delle stelle M =magnitudine assoluta (stella alla distanza di 10pc) m =magnitudine apparente d = distanza della stella in pc
Se vogliamo calcolare la magnitudine complessiva di due o piugrave sorgenti luminose egrave errato ritenere
di poter sommare le magnitudini Infatti possiamo sommare i flussi ma le magnitudini dipendono
da essi in relazione logaritmica La relazione che ci permette di determinare la cosiddetta
magnitudine integrata (ossia la magnitudine complessiva ldquototalerdquo) di n oggetti di magnitudine
m1m2hellipmn egrave la seguente
119898119894119899119905 = minus25log (10minus041198981 + 10minus041198982 +⋯+ 10minus04119898119899)
Magnitudine apparente di alcuni oggetti celesti da sinistra verso destra
Sole Luna piena Venere Sirio Vega Magnitudine limite dellrsquoocchio
Magnitudine limite di un telescopio magnitudine limite dellrsquoHubble
Bignamino di astronomia
56
Se invece vogliamo calcolare la magnitudine superficiale di un oggetto esteso di superficie angolare
S (misurata in arcmin2 o arcsec2) ossia la magnitudine di un quadratino di superficie di lato uguale
a 1 arcsec2 o 1 arcmin2 allora applichiamo la seguente formula
119898119878119906119901 = 119898119894119899119905 + 25 log(119878)
Se S egrave misurata in arcmin2 la msup egrave espressa in magarcmin2 Se S egrave misurata in arcsec2 msup egrave
espressa in magarcsec2
Bignamino di astronomia
57
Redshift (spostamento verso il rosso)
Su grandi scale le galassie si stanno allontanando con velocitagrave proporzionale alla distanza tutte le
galassie si stanno allontanando tra di loro tra loro Lo stesso spazio-tempo si sta espandendo e sta
portando le galassie con seacute
NOTA Il redshift cosmologico non egrave dovuto allrsquoeffetto Doppler non egrave dovuto ai moti relativi delle
galassie Le cause e le grandezze fisiche coinvolte sono completamente diverse
Il redshift cosmologico egrave lo spostamento relativo in
frequenza di unonda elettromagnetica dovuto
allespansione delluniverso Si spiega ipotizzando che le
lunghezze donda varino allo stesso modo delle distanze per
effetto dellespansione delluniverso La lunghezza donda egrave
proporzionale al fattore di scala delluniverso
La cosmologia moderna nasce con la legge di Hubble
v=Hd
che lega in modo proporzionale la velocitagrave v di allontanamento delle galassie alla loro distanza d (H egrave la costante di Hubble) le galassie piugrave distanti si allontanano piugrave velocemente Questa legge deriva da osservazioni che mostravano che tutte le righe spettrali delle galassie sono spostate verso il rosso (redshift) e che tale effetto egrave proporzionale alla luminositagrave apparente delle galassie legata alla loro distanza Il redshift misura quindi la velocitagrave di allontanamento di una galassia ed egrave definito come segue
119911 =120582119900119887119904 minus 120582119905119890119900119903
120582119905119890119900119903
La legge di Hubble ci dice che la velocitagrave di allontanamento delle galassie egrave proporzionale alla loro
distanza
119907 = 119867119889
H egrave la costante di Hubble il cui valore attualmente stimato egrave attorno a H= 2176 ∙ 10minus18 Hz
(6715 kmMpc s) d egrave la distanza della galassia
Maggiore egrave la distanza della galassia tanto maggiore saragrave il redshift
z=119867119889
119888
Bignamino di astronomia
58
Per z≪ 1 vale lrsquoapprossimazione del redshift come effetto Doppler (zasymp119907
119888 ) e quindi z egrave
direttamente proporzionale alla velocitagrave di allontanamento delle galassie
bull Redshift relativistico
bull Redshift gravitazionale
La relativitagrave generale prevede che la luce che si muove attraverso campi gravitazionali molto
intensi sperimenteragrave uno spostamento verso il rosso o verso il blu
Il redshift gravitazionale (chiamato anche spostamento di Einstein) egrave dovuto dal fatto che un
fotone quando emerge da un campo gravitazione perde energia e quindi presenta uno
spostamento verso il rosso che dipende dallrsquointensitagrave del campo gravitazionale misurata nel
punto in cui si trova il fotone
z= 119866119872
1199031198882
Questa 119904119890 119903 ≫ 119903119904
119903119904 = 2119866119872
1198882
(raggio di Schwarzschild)
(M massa della stella r raggio della stella)
La formula generale egrave
z= 1
radic1minus119903119904 -1
Bignamino di astronomia
59
PROBLEMI ED ESERCIZI
bull SISTEMI DI RIFERIMENTO E COORDINATE ASTRONOMICHE
1 Quando la stella Rigel (δ= -8deg 13rsquo) passa al meridiano di Roma (φ=41deg55rsquo) a quale
altezza si trova
Soluzione Quando la stella Rigel passa al meridiano di Roma essa raggiunge la
posizione di culminazione superiore in corrispondenza del punto cardinale Sud
Dunque la sua altezza sullrsquoorizzonte egrave pari allrsquoaltezza dellrsquoEquatore celeste alla
latitudine di Roma (90deg-φ) sommata alla declinazione dellrsquoastro Dunque
hRigel=90deg-φ+δ=90deg-41deg55rsquo-8deg13rsquo=39deg52rsquo
2 A quale latitudine comincia a essere visibile la stella Canopo (δ=-52deg40rsquo) appena
allrsquoorizzonte
Soluzione Affincheacute la stella Canopo sia appena visibile allrsquoorizzonte per un
osservatore posto alla latitudine φ egrave necessario che lrsquoEquatore celeste abbia
unrsquoaltezza sullrsquoorizzonte pari al valore assoluto della sua declinazione Quindi egrave
necessario che 90deg-φ=|δ| e cioegrave φ=90deg-|δ|=90deg-52deg40rsquo=37deg20rsquo [In realtagrave bisogna tenere conto dellrsquoeffetto della rifrazione atmosferica che ldquoalza le stellerdquo o
equivalentemente ldquoabbassa lrsquoorizzonterdquo di un angolo di 35rsquo Quindi in realtagrave Canopo si puograve
osservare anche a una latitudine leggermente piugrave settentrionale pari a 37deg20rsquo+0deg35rsquo=37deg55rsquo
circa]
3 Quale curva descrive lrsquoombra di uno stilo verticale posto al polo nord il 21 giugno
Qual egrave il rapporto fra la lunghezza l dellrsquoombra e lrsquoaltezza h dello stilo
Soluzione Il 21 giugno il Sole ha declinazione massima pari al valore dellrsquoobliquitagrave
dellrsquoeclittica quindi circa 23deg27rsquo Dal momento che al polo nord lrsquoorizzonte coincide
con lrsquoEquatore celeste e i paralleli celesti si trovano quindi su piani paralleli
allrsquoorizzonte la rotazione diurna non contribuiragrave a far tramontare il Sole che
descriveragrave una circonferenza nel cielo pertanto la curva descritta dallo stilo verticale
egrave una circonferenza Il rapporto lh egrave il reciproco della tangente dellrsquoaltezza del sole
pari a 23deg27rsquo 119897
ℎ=
1
11990511988611989923deg27prime=23
4 (PROBLEMA GARA INTERNAZIONALE 2002) I Cinesi nel 1100 aC avevano trovato
che lrsquoaltezza del Sole a mezzodigrave era 79deg7rsquo nel solstizio estivo e 31deg19rsquo in quello
Bignamino di astronomia
60
invernale A quale latitudine hanno fatto lrsquoosservazione e qual era allora lrsquoobliquitagrave
dellrsquoEclittica
Soluzione La media aritmetica dei valori delle due culminazioni del sole a mezzodigrave al
solstizio estivo ed invernale egrave pari allrsquoaltezza dellrsquoEquatore celeste Quindi
90deg minus 120593 =ℎ119890119904119905119886119905119890 + ℎ119894119899119907119890119903119899119900
2rarr 120593 = 90deg minus
ℎ119890119904119905119886119905119890 + ℎ1198941198991199071198901199031198991199002
= 34deg47prime
Lrsquoobliquitagrave dellrsquoeclittica egrave la differenza fra lrsquoaltezza massima del sole e lrsquoaltezza
dellrsquoEquatore celeste
휀 = ℎ119890119904119905119886119905119890 minus (90deg minus 120593) = 79deg7prime minus 90deg + 34deg47prime = 23deg54prime
[In generale lrsquoobliquitagrave dellrsquoeclittica varia da 21deg55rsquo a 24deg20rsquo con un periodo di circa 40000
anni]
bull I MOTI DELLA TERRA E LA MISURA DEL TEMPO
5 In quale istante di tempo siderale la stella Castore (α=7h 33m 31s δ=+31deg55rsquo35rdquo ) egrave
alla culminazione inferiore
Soluzione Alla culminazione inferiore la stella Castore ha un angolo orario pari a 12h
Il tempo siderale ossia lrsquoangolo orario del punto gamma egrave uguale alla somma di
angolo orario e ascensione retta di una generica stella in questo caso
TS=α+H=7h 33m 31s + 12h= 19h 33m 31s
6 Se in un dato giorno una stella passa al meridiano inferiore alle 21 a quale ora
(allrsquoincirca) vi passeragrave un mese dopo
Soluzione Lrsquoora a cui si riferisce il problema egrave per esempio quella indicata da un
normale orologio quindi egrave un tempo solare medio e non siderale Siccome nel corso
di un mese la stella non cambia la sua posizione rispetto al punto gamma se il
problema avesse chiesto lrsquoora siderale della successiva culminazione inferiore la
risposta sarebbe stata comunque ldquoalle 21rdquo siccome perograve il problema si riferisce a un
tempo solare medio dobbiamo tenere conto della differenza tra giorno solare e
giorno siderale questrsquoultimo egrave piugrave corto del primo di un valore pari a circa 4 minuti
(piugrave esattamente 3min 56s) Siccome un mese contiene mediamente 30 giorni la
stella anticiperagrave la sua culminazione di circa 4min30=120min=2h e quindi culmineragrave
allrsquoincirca alle 19
7 Una cittagrave A egrave posta alla longitudine 43deg12rsquo E di GW (Greenwich) Quando in A lrsquoorologio
segna le 20h35m siderali in unrsquoaltra cittagrave B lrsquoorologio segna le 23h12m siderali Qual
egrave la longitudine di B
Soluzione La differenza dei due tempi siderali che lrsquoorologio segna in A e in B egrave uguale
alla differenza delle longitudini dei due luoghi Quindi
Bignamino di astronomia
61
∆120582 = 120549119879119878 rarr 120582119861 minus 120582119860 = 119879119878119861 minus 119879119878119860 rarr 120582119861 = 119879119878119861 minus 119879119878119860 + 120582119860(119890119904119901119903119890119904119904119886 119894119899 119900119903119890)
= 23ℎ12119898 minus 20ℎ35119898 + 2ℎ53119898 = 5ℎ30119898
= (119905119903119886119904119891119900119903119898119900 119894119899 119892119903119886119889119894) = 82deg30prime
8 Quanto tempo egrave necessario affincheacute il punto gamma passi da un segno zodiacale a un
altro
Soluzione Il punto gamma non egrave fisso nel cielo bensigrave per via di uno dei moti millenari
della Terra il moto di precessione esso si sposta di circa 50rdquo allrsquoanno lungo lrsquoEclittica
Dal momento che i segni zodiacali sono dodici in media ognuno di essi occupa un
settore lungo lrsquoEclittica pari a 36012=30deg=108000rdquo Ne discende che il tempo
necessario affincheacute il punto gamma copra questa distanza angolare risulta pari a
t=(108000rdquo50rdquo)anni=2160 anni circa
9 La Terra impiega circa 23 ore e 56 minuti a compiere una rotazione completa attorno
al proprio asse Con quale velocitagrave tangenziale si muove un punto allrsquoequatore per
effetto del moto di rotazione della Terra Quanto vale lrsquoaccelerazione centripeta che
agisce su questo punto Quale forza centripeta agisce su un corpo di massa 13 kg
allrsquoequatore
Soluzione Il problema incentrato sul moto di rotazione terrestre (il moto dei punti
della Terra attorno allrsquoasse terrestre) egrave un semplice esercizio di cinematica
Conoscendo il periodo e la lunghezza della circonferenza equatoriale (poicheacute egrave noto
che il raggio della Terra ha un valore di 6378 km) egrave possibile determinare la velocitagrave
di rotazione allrsquoequatore il moto egrave circolare uniforme
119907 =2120587119877
119879=2120587120591 ∙ 6378119896119898
2393ℎ= 1674
119896119898
ℎ
Lrsquoaccelerazione centripeta vale
119886 =1199072
119877=(1674 divide 36)2
6378000= 339 ∙ 10minus3
119898
1199042
Per la seconda legge della dinamica la forza centripeta su un corpo di massa m allora
vale
119865 = 119898119886 = 13 ∙ 339 ∙ 10minus3 = 441 ∙ 10minus3119873
bull IL CIELO VISTO DALLA TERRA E LA LUNA
10 Due stelle equatoriali hanno parallassi 0rdquo022 e 0rdquo034 esse hanno AR 12h13m e
13h12m rispettivamente Quantrsquoegrave in parsec la loro reciproca distanza
Soluzione Lrsquoangolo fra la direzione con cui si proietta in cielo la prima stella e la
direzione della seconda stella egrave pari alla differenza delle ascensioni rette le stelle
sono infatti equatoriali cioegrave hanno declinazione nulla ΔAR=13h12m-
Bignamino di astronomia
62
12h13m=(trasformando in gradi)=14deg75 La loro distanza dallrsquoosservatore egrave in
parsec pari al reciproco della parallasse
d1=(1P1)=10022=455pc d2=(1P2)=10034=294pc
Il problema chiede in sostanza di calcolare un lato di un triangolo con vertici
nellrsquoosservatore e nelle due stelle (in particolare il lato con estremi nelle due stelle)
noti lrsquoangolo opposto a tale lato e gli altri due lati possiamo quindi usare il Teorema
di Carnot (o teorema del coseno)
119909 = radic11988912 + 1198892
2 minus 211988911198892 cos(∆119860119877) = 186 119901119888
11 Sapendo che il periodo siderale di rotazione del Sole allrsquoEquatore egrave di 25 giorni
trovare il periodo di rivoluzione sinodica cioegrave quello che appare visto dalla Terra
Soluzione Prendiamo un punto sullrsquoEquatore del Sole esso si muove con un periodo
siderale (cioegrave riferito a una stella lontana) pari come indicato dalla traccia a 25
giorni Il problema egrave del tutto analogo al calcolo del tempo sinodico di un pianeta
interno visto dalla Terra noti i periodi di entrambi i corpi 1
119878=
1
119879119904119900119897119890minus
1
119879119905119890119903119903119886rarr 119878 =
119879119905119890119903119903119886119879119904119900119897119890119879119905119890119903119903119886 minus 119879119904119900119897119890
=36525 ∙ 25
36525 minus 25119889 =
913125
34025119889 = 2684119889
12 A quale distanza da uno schermo deve essere posta una sfera di raggio R affincheacute
illuminata dal Sole non generi ombra ma solo penombra (il diametro apparente del
Sole sia 32rsquo)
Soluzione Concettualmente il problema egrave equivalente alla situazione di unrsquoeclisse
lrsquordquoosservatorerdquo egrave lo schermo mentre fra esso e il Sole si frappone un ostacolo Esso
intercettando i raggi solari genera dietro di seacute un cono drsquoombra e molto piugrave ampio
di questo una zona di penombra Il cono si restringe dalla parte opposta del Sole
rispetto alla sfera Se il vertice del cono si trova sullo schermo allora nessun punto
dello schermo si troveragrave in ombra percheacute il cono non interseca lo schermo In questa
configurazione lrsquoangolo sotto cui viene vista la sfera dallo schermo egrave di 32rsquo ovvero
053deg da cui si ha 119877
119889= tan (0532) e cioegrave d=[1 tan(0265)]R=2148 R circa la sfera
devrsquoessere posta a una distanza dallo schermo maggiore di 2148 volte circa il suo
raggio
13 Il 29 marzo 2006 si egrave verificata unrsquoeclisse totale di Sole visibile dallrsquoAfrica
settentrionale e dal Mediterraneo orientale Quale fase aveva la luna il 29 marzo 2007
cioegrave esattamente un anno dopo
Bignamino di astronomia
63
Soluzione Le eclissi di Sole si verificano quando la Luna si interpone fra il Sole e la
Terra oscurando una fascia sulla superficie del nostro pianeta con il suo cono
drsquoombra pertanto la Luna rivolge a noi in questrsquooccasione la sua faccia non
illuminata dal Sole e pertanto egrave nuova Conosciamo inoltre il periodo in cui si ripetono
le fasi lunari egrave il mese sinodico la cui durata egrave pari a 295306 giorni Lrsquointervallo
considerato (un anno in cui il 2007 non egrave bisestile) egrave pari a 365 giorni Siccome
365295306=1236 ossia 12 mesi lunari e 11 giorni se ne deduce che lrsquoetagrave della Luna
al 29 marzo 2007 era di 11 giorni quindi essa era in una fase intermedia tra primo
quarto e Luna piena
bull LA GRAVITArsquo
14 Lrsquoalieno Bzzapp ha appena comprato una navicella in grado di creare nuovi pianeti
nel suo girovagare un giorno incappa nel nostro Sistema Solare decide cosigrave di creare
con la sua astronave qualche nuovo pianeta Lrsquoamico Zorzzp gli dagrave prima una regola
dicendogli che questi pianeti devono trovarsi in una fascia compresa fra 2 UA e 7
UA in piugrave il loro periodo di rivoluzione devrsquoessere pari a un numero intero di anni
Qual egrave il numero massimo di pianeti che Bzzapp potragrave creare con la sua navicella
conformemente alla regola di Zorzzp
Soluzione Per la risoluzione del problema egrave necessaria la Terza legge di Keplero
considerando che ci troviamo nel nostro Sistema Solare e che quindi la costante di
proporzionalitagrave fra cubo del semiasse maggiore e quadrato del periodo di rivoluzione
per un generico corpo orbitante attorno al Sole quando esprimiamo il semiasse in
UA e il periodo in anni risulta pari a 1
1198791 = radic11988613 = 283 119910
1198792 = radic11988623 = 1852 119910
Come possiamo vedere i periodi ldquopossibilirdquo sono
34567891011121314151617 e 18 anni Bzzapp potragrave creare ben 16 pianeti
15 Disponendo come dati noti dei soli periodi di rivoluzione dei pianeti si indichi la
lunghezza minima che deve avere un foglio di carta per poter rappresentare in scala
il Sistema Solare fino a Nettuno nellrsquoipotesi di voler rappresentare Mercurio a una
distanza dal Sole di 1 cm
Soluzione Mercurio ha un periodo di rivoluzione pari a 0241 anni mentre Nettuno
16488 anni quindi per la Terza legge di Keplero 119886119872 = radic11987911987223= 0387119880119860 119890 119886119873 =
radic11987911987323= 30069 119880119860
Con una semplice proporzione ricaviamo la lunghezza del foglio di carta
119886119872 119886119873 = 1 119909 rarr 119909 =30069
0387119888119898 asymp 777 119888119898
Bignamino di astronomia
64
16 A quale distanza dalla superficie della Terra per unrsquoastronave che viaggia verso la
Luna si annulla la risultante delle forze gravitazionali che agiscono su di essa (il
rapporto massa della Terra massa della Luna egrave pari a 8125)
Soluzione La distanza Terra-Luna egrave pari a d=384400 km Quando lrsquoastronave si trova
fra il nostro pianeta e il suo satellite le due forze di natura gravitazionale che
agiscono su di essa sono la forza di attrazione della Terra e quella della Luna agenti
nella stessa direzione ma aventi verso opposto Chiamando x la distanza che separa
la navicella dal centro della Terra possiamo esprimere in funzione di x la distanza che
separa la navicella dalla Luna essendo essa pari a d-x Eguagliamo le due forze di
attrazione gravitazionale per trovare x 119866119872119879119898
1199092=
119866119872119871119898
(119889 minus 119909)2
Operando le dovute semplificazioni (G e la massa dellrsquoastronave) e dividendo
119909
119889 minus 119909= radic
119872119879
119872119871= radic8125 = 901
119909 =901119889
1001= 090 lowast 384400119896119898 = 346013119896119898
Il problema viene considerato parzialmente corretto se ci si ferma a questo punto
percheacute esso chiede la distanza dalla superficie terrestre mentre x egrave misurata dal
centro della Terra pertanto la soluzione corretta egrave D=x-R=(346013-
6378)km=339635km
17 Osservando la stella Canopo con un telescopio potentissimo lrsquoastronomo Qwzzz ha
scoperto due pianeti orbitanti attorno a essa le cui orbite sono esattamente
perpendicolari alla nostra linea di vista La distanza massima del primo pianeta da
Canopo egrave uguale a 47 volte la sua distanza minima e il suo periodo di rivoluzione egrave
pari a 27 anni Il secondo pianeta avente eccentricitagrave pari a 0324 al periapside egrave 3
volte piugrave lontano rispetto al primo (quando questrsquoultimo si trova nella corrispondente
posizione) Quanto vale lrsquoeccentricitagrave del primo pianeta e il periodo di rivoluzione del
secondo
Soluzione Chiamiamo 1 il primo pianeta e 2 il secondo
11988911988611198891199011
= 47 =1198861(1 + 1198901)
1198861(1 minus 1198901)rarr1 + 11989011 minus 1198901
= 47 rarr 1198901 = 0649
1198891199012
1198891199011=1198862(1 minus 1198902)
1198861(1 minus 1198901)= 3 rarr
11988621198861=(1 minus 1198901)1198891199012
1198891199011(1 minus 1198902)= 3 (
1 minus 0649
1 minus 0324) = 1558
Per la Terza legge di Keplero
11987922 = (
11988621198861)3
11987912 rarr 1198792 = 27 119910radic15583 = 524 119910
Bignamino di astronomia
65
bull TERZA LEGGE DI KEPLERO 1 Calcolare il semiasse maggiore dellrsquoorbita di Giove in kilometri sapendo che il suo periodo
di rivoluzione egrave 119879119866 = 37411 ∙ 106 119904
Soluzione
119879119866(119886119899119899119894) =119879119866(119904119890119888119900119899119889119894)
(119904119890119888119900119899119889119894 119894119899 119906119899 119886119899119899119900)=
37411 ∙ 106 119904
3600 ∙ 24 ∙ 365 ∙119904
119886119899119899119900
= 11863 119886119899119899119894
Impostando la terza legge di Keplero e imponendo che 119870 =1 1198861198991198991199002
1 1198801198603
1198792
1198863= 119870 =gt 119886119866(119880 119860 ) = radic[119879119866(119886119899119899119894)]2
3= radic(11863 119886119899119899119894)2
3= 52 119880 119860 =
= 77792 ∙ 106 119896119898
2 Calcolare il periodo di rivoluzione di Marte in giorni sapendo che il suo semiasse maggiore
misura 119886119872 = 2279 ∙ 109 119898
Soluzione
119886119872(119880 119860 ) =119886119872(119898)
1496 ∙ 109 ∙119898119880 119860
=2279 ∙ 109 119898
1496 ∙ 109 ∙119898119880 119860
= 152 119880 119860
Impostando la terza legge di Keplero e imponendo che 119870 =1 1198861198991198991199002
1 1198801198603
1198792
1198863= 119870 =gt 119879119872(119886119899119899119894) = radic[119886119872(119880 119860 )]3 = radic(152 119880 119860 )3 = 187 119886119899119899119894 = 684 119892119894119900119903119899119894
3 Approssimando lrsquoorbita di Venere a una circonferenza calcolare la velocitagrave media v del
pianeta intorno al Sole sapendo che il suo periodo di rivoluzione egrave 119879119881 = 1941 ∙ 106 119904
Soluzione
119879119881(119886119899119899119894) =119879119881(119904119890119888119900119899119889119894)
(119904119890119888119900119899119889119894 119894119899 119906119899 119886119899119899119900)=
1941 ∙ 106 119904
3600 ∙ 24 ∙ 365 ∙119904
119886119899119899119900
= 061 119886119899119899119894
Impostando la terza legge di Keplero e imponendo che 119870 =1 1198861198991198991199002
1 1198801198603
1198792
1198863= 119870 =gt 119886119881(119880 119860 ) = radic[119879119881(119886119899119899119894)]2
3= radic(061 119886119899119899119894)2
3= 072 119880 119860 = 1076 ∙ 106 119896119898
119907 =2120587119886119881119879119881
=2120587 ∙ 1076 ∙ 106 119896119898
1941 ∙ 106 119904= 3483
119896119898
119904
Bignamino di astronomia
66
Risoluzione del sistema per il calcolo delle velocitagrave su orbite non circolari
119907119886119889119886 = 1199071199011198891199011
2119898119907119886
2 minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
1198891198861
2119898119907119886
2 minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
11988911988612119898119907119901
21198891199012
1198891198862
minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886121199071199012119889119901
2
1198891198862
minus1
21199071199012 =
119866119872
119889119886minus119866119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
1198891198861
21199071199012 (1198891199012
1198891198862minus 1) = 119866119872(
1
119889119886minus1
119889119901)
119907119886 =
119907119901119889119901
1198891198861
21199071199012 (1198891199012 minus 119889119886
2
1198891198862
) = 119866119872(119889119901 minus 119889119886
119889119886119889119901)
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886
1199071199012 = 2119866119872 (
119889119901 minus 119889119886
119889119886119889119901)(
1198891198862
1198891199012 minus 119889119886
2)
Bignamino di astronomia
67
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886
1199071199012 = 2119866119872 (
119889119901 minus 119889119886
119889119886119889119901) [
1198891198862
(119889119901 + 119889119886)(119889119901 minus 119889119886)]
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886
119959119953 = radic120784119918119924119941119938
119941119953(119941119953 + 119941119938)
Sostituendo la formula appena trovata nella prima equazione si ottiene
119959119938 = radic120784119918119924119941119953
119941119938(119941119953 + 119941119938)
Possiamo scrivere le due velocitagrave anche in funzione (cioegrave in dipendenza) del semiasse maggiore e
dellrsquoeccentricitagrave dellrsquoorbita Se chiamiamo il semiasse maggiore dellrsquoorbita ellittica a valgono le
seguenti relazioni
119889119886 = 119886(1 + 119890) 119889119901 = 119886(1 minus 119890)
Quindi
119907119901 = radic2119866119872119886(1 + 119890)
119886(1 minus 119890)[119886(1 minus 119890) + 119886(1 + 119890)]= radic2119866119872
1 + 119890
(1 minus 119890)[119886(1 minus 119890 + 1 + 119890)]
= radic2119866119872
2119886(1 + 119890
1 minus 119890) = radic
119918119924
119938(120783 + 119942
120783 minus 119942)
Sostituendo anche nel caso di 119881119886
119907119886 = radic119918119924
119938(120783 minus 119942
120783 + 119942)
Si ricorda inoltre che
119938 =119941119938 + 119941119953
120784 119942 =
119941119938 minus 119941119953
119941119938 + 119941119953
Bignamino di astronomia
68
ESERCIZIO
Un pianeta sta cadendo sulla sua stella seguendo una traiettoria rettilinea se si conosce
lrsquoaltezza di caduta h si determini il tempo di caduta t
Per risolvere questo problema si potrebbe erroneamente pensare di applicare le leggi del moto
rettilineo uniformemente accelerato (come nel caso di una penna che cade dalla scrivania)
Consideriamo perograve un corpo (di massa m) che si trova a una certa altezza dal suolo la sua forza peso
equivale alla forza di attrazione gravitazionale tra il corpo e il pianeta (di raggio R e massa M) su cui
si trova
119898119892 =119898119872119866
(119877 + ℎ)2 119888119894119900egrave 119892 =
119866119872
(119877 + ℎ)2
Come possiamo vedere lrsquoaccelerazione di gravitagrave g non si mantiene costante al variare dellrsquoaltezza
ma varia noi la assumiamo costante al suolo e pari a circa 981 ms^2 solo percheacute in quel caso Δhasymp0
Quindi non possiamo applicare le leggi del moto rettilineo uniformemente accelerato a questo
problema Come risolverlo allora
Allrsquoinizio di questi appunti abbiamo evidenziato che lrsquoeccentricitagrave di unrsquoellisse indica quanto lrsquoellisse
egrave ldquoschiacciatardquo se dunque lrsquoeccentricitagrave tende a 1 la traiettoria tende a un segmento
Quindi possiamo assumere che il pianeta cada seguendo unrsquoorbita ellittica con eccentricitagrave prossima
a 1 e dunque semiasse maggiore a pari a h2 (vedi figura)
Se conosciamo la massa M della stella possiamo applicare la III legge di Keplero generalizzata
1198792
1198863=41205872
119866119872 rarr 119879 = radic
41205872
1198661198721198863 rarr 119879 = radic
41205872
119866119872(ℎ
2)3
rarr 119879 = radic1205872
2119866119872ℎ3
Naturalmente questo egrave il periodo completo dellrsquoorbita Il periodo di caduta egrave la metagrave
119905 =119879
2
a a
h
Bignamino di astronomia
69
Problemi 1 Coordinate celesti e tempo
Ci troviamo in un luogo di latitudine 120593 = 42deg 30prime15primeprime 119873 e longitudine 120582 = 15deg 28prime18primeprime119864
Osserviamo una stella di ascensione retta 5h 32 min 3 sec e declinazione -00deg 15rsquo 20rdquo che
passa al meridiano alle 2030 del 14012020 A quale altezza culminava Quale era la sua
distanza zenitale In quale data dallo stesso luogo e allo stesso orario si egrave potuto vederla
sorgere ad est
Soluzione
Lrsquoaltezza massima di una stella (quando culmina) egrave data dalla relazione
ℎ = 90deg minus 120593 + 120575
Quindi
ℎ = 90deg minus 42deg30prime15 minus 0deg 15 20= 47deg 14 25
La distanza zenitale egrave invece data da 119911 = 90deg minus 120593 = 90deg minus 47deg 14prime25primeprime = 42deg 45prime35primeprime
Un dato importante per poter rispondere alla terza richiesta egrave sapere che le stelle
ldquoanticipanordquo il loro sorgere di 3 119898119894119899 56 119904119890119888119892119894119900119903119899119900
Quindi per sapere quanti giorni prima la stella sorgeva ad est (m)
119898 =120572
Δ119905=
(5ℎ32min3sec)
3119898119894119899 56sec119892119894119900119903119899119900= 84 119892119894119900119903119899119894
84 giorni prima del 14012020 era il 21102019
2 Coordinate e tempo
Il tempo siderale di un luogo (120593 = 28deg 30prime45primeprime119878 120582 = 90deg 23prime50primeprime119882 ) egrave di 9h 3min 45sec
Quale egrave il tempo siderale di GW
Soluzione Il primo passaggio da fare egrave trasformare la longitudine del luogo da gradi in ore
Quindi
15deg 1ℎ = 90deg 23prime50primeprime 120582
120582 = 90deg 23prime50primeprime ∙1ℎ
15deg = 6ℎ 1min3533119904119890119888
Il tempo siderale del luogo egrave legato a quello di GW dalla seguente relazione
119879119904 = 119879119866119908 + 120582
Quindi 119879119866119908 = 119879119904 minus 120582 = 9ℎ3min 45119904119890119888 minus (minus 6ℎ1min 3533sec ) = 9ℎ3min 45119904119890119888 +
6ℎ1min 3533sec = 15ℎ 5min 20119904119890119888
Bignamino di astronomia
70
PROBLEMI E QUESITI SULLA MISURA DEL TEMPO
Problema 1 In un dato luogo a che ora di tempo siderale culmina il Sole medio in un dato giorno
sapendo che sedici giorni prima esso culminava alle 15h 12m 48s di tempo siderale
Se ci troviamo a Belo Horizonte (longitudine λ=43deg56rsquo16rdquo W) al mezzogiorno vero e lrsquoequazione del
tempo per quel giorno egrave pari a ET=-8m7s che ora segna lrsquoorologio dellrsquoosservatore
Soluzione problema 1 La prima richiesta del problema si risolve tenendo conto che giorno solare
medio e giorno siderale hanno diversa durata infatti il giorno siderale egrave piugrave corto del giorno solare
medio di circa 3m56s Pertanto se in un dato giorno il punto gamma e il Sole medio hanno raggiunto
la culminazione nel medesimo istante il giorno successivo il Sole medio culmineragrave 3m56s dopo il
punto gamma Quindi il Sole accumuleragrave un ritardo pari a 163m56s=1h2m56s che andragrave sommato
allrsquoora siderale data dal problema TS=15h 12m 48s + 1h 2m 56s= 16h 15m 44s
Se a Belo Horizonte egrave mezzogiorno vero vuol dire che sono le 12h di tempo solare vero Lrsquoequazione
del tempo egrave la differenza fra tempo solare medio e tempo solare vero quindi
TSM-TSV=ET TSM=TSV+ET=12h ndash 8m 7s= 11h 51m 53s lrsquoorologio dellrsquoosservatore egrave perograve in
accordo col tempo del meridiano centrale del fuso di Belo Horizonte che ha longitudine 3h W
mentre Belo Horizonte ha longitudine 2h 55m 45s W essa egrave quindi piugrave avanti di 3h-2h 55m 45s=4m
15s lrsquoorologio segneragrave quindi le ore 11h 51m 53s ndash 4m 15s= 11h 47m 38s
Problema 2 A Bergamo (λ= 9deg 40rsquo 12rdquo E) i raggi del Sole in un dato momento si proiettano
esattamente sulla linea della meridiana di Cittagrave Alta In quel dato giorno lrsquoequazione del tempo egrave
+5m 12s se il tempo siderale a mezzanotte di quel giorno a Greenwich risultava pari a 3h 21m 20s
qual egrave il tempo siderale a Greenwich nellrsquoistante del problema
Soluzione problema 2 La longitudine di Bergamo espressa in ore minuti e secondi egrave 38m 41s E Se
il disco luminoso si proietta sulla linea meridiana egrave mezzogiorno vero quindi il tempo solare medio
saragrave pari a TSM= TSV + ET= 12h + 5m 12s= 12h 5m 12s Greenwich si trova 38m 41s a ovest di
Bergamo quindi egrave anche 38m 41s indietro a Greenwich sono quindi le 12h 5m 12s ndash 38m 41s= 11h
26m 31s Sono passate quindi 11h 26m 31s dalla mezzanotte per convertire questo tempo medio
in tempo siderale moltiplichiamo per il fattore di conversione 3662536525
ΔTS (Greenwich)= (3662536525)(114419444 h)= 114732394h = 11h 28m 24s Quindi a
Greenwich sono le 3h 21m 20s + 11h 28m 24s= 14h 49m 44s di tempo siderale
Quesito Si valuti argomentando opportunamente come varia lrsquoEquazione del Tempo nel corso
dellrsquoanno solare se in un piano cartesiano in ascissa indichiamo lrsquoET e in ordinata la declinazione del
Sole che curva si ottiene
Risposta Lrsquoequazione del tempo si annulla quattro volte lrsquoanno a metagrave aprile a metagrave giugno verso
Natale e ai primi di settembre il sole medio e il sole vero culminano contemporaneamente (1) Da
Natale a metagrave aprile il sole medio anticipa il sole vero (2) da metagrave aprile a metagrave giugno il sole vero
anticipa il sole medio da metagrave giugno a inizio settembre come (1) e da inizio settembre a Natale
come (2) Oltre a ldquooscillare in orizzontalerdquo in un anno il sole ldquooscilla in verticalerdquo nel senso che
Bignamino di astronomia
71
assume declinazioni da 23deg27rsquo a -23deg27rsquo La curva che si ottiene egrave quindi una sorta di ldquo8rdquo chiamata
analemma essa egrave anche la curva che egrave formata dalle posizioni in cielo del sole vero registrate a
mezzogiorno medio locale ogni giorno dellrsquoanno
Figura 1 Analemma decET
Figura 2 Analemma visualizzato nel cielo di Atene
Problema 3 Una stella di ascensione retta AR=11h 12m 13s culmina in un dato luogo della Terra alle
ore 13h 04m 02s di tempo medio Considerando che a Greenwich culmina una stella con ascensione
retta 8h 11m 58s dire che orario segna lrsquoorologio dellrsquoosservatore in quel dato luogo della Terra
Soluzione Il tempo siderale in un dato luogo egrave uguale allrsquoascensione retta delle stelle che si trovano
a culminare al meridiano superiore Quindi in questo luogo della Terra il tempo siderale egrave pari a 11h
12m 13s a Greenwich il tempo siderale egrave pari a 8h 11m 58s Notiamo come il luogo dove si trova
lrsquoosservatore ha longitudine est infatti egrave piugrave avanti di Greenwich di circa 3 ore quindi egrave piugrave a Est di
Greenwich La differenza fra lrsquoora siderale dellrsquoosservatore e quella a Greenwich dagrave la longitudine
del luogo (differenza fra longitudine del luogo e longitudine di Greenwich che egrave 0 percheacute il suo
meridiano egrave origine delle longitudini)
λ= TSrsquo-TS(GW)= 11h 12m 13s ndash 8h 11m 58s= 3h 0m 15s E Questo luogo segue il meridiano che ha
longitudine 3h E quindi egrave in anticipo rispetto a esso di appena 15s pertanto il suo orologio segneragrave
le ore 13h 04m 02s ndash 15s= 13h 03m 47s
Bignamino di astronomia
72
bull STELLE E MAGNITUDINI SISTEMI STELLARI ESTESI
1 Pochi giorni fa si egrave registrato un nuovo oggetto che si comporta apparentemente
come una binaria a eclisse Tuttavia il periodo non egrave stabile la magnitudine
dellrsquooggetto egrave in genere pari a 2432 ma ogni 7-11 secondi sale a 2452 per 02-03
secondi Dopo unrsquoaccurata analisi del problema si egrave capito che lrsquooggetto splendente egrave
costituito dagli occhi di un gruppo di gatti assolutamente neri seduti su un piccolo
corpo del sistema solare nero e con gli sguardi rivolti verso il sole Uno dei gatti batte
ogni tanto le palpebre Quanti gatti ci sono
Soluzione Sia N il numero di occhi la cui determinazione egrave richiesta dal problema
Quando il gatto nero del problema chiude gli occhi il numero di occhi che
contribuisce alla magnitudine complessiva scende di due unitagrave (N-2) Se
consideriamo che gli occhi dei gatti sono tutti gli stessi ciascuno di essi ci invia un
flusso pari a F Avendo entrambe le magnitudini corrispondenti alla situazione ldquotutti
gli N occhi apertirdquo (2432) e ldquoN-2 occhi apertirdquo (2452) possiamo scrivere la formula
di Pogson tenendo conto dei flussi complessivi
119898119898119894119899 minus119898119898119886119909 = minus25119897119900119892 [119865 lowast (119873 minus 2)
119865 lowast 119873]
119873 minus 2
119873= 10
119898119898119886119909minus11989811989811989411989925 = 10minus008 = 0832 rarr 119873 =
2
0168asymp 12 119900119888119888ℎ119894 ossia 6 119892119886119905119905119894
2 La galassia di Andromeda ha una magnitudine apparente integrata mv = 440 e appare in cielo come unrsquoellisse i cui semiassi hanno dimensioni angolari di circa 190 arcmin e 60 arcmin Sapendo che la sua distanza egrave di circa 254 milioni di anni luce calcolare la magnitudine assoluta e la magnitudine apparente superficiale media della galassia (Gara Interregionale Categoria Senior 2018)
Soluzione La distanza della galassia di Andromeda in pc egrave 119889(119901119888) =254 10^63262= 77810^3 119901119888 La magnitudine assoluta egrave data dalla relazione 119872119907 = 119898119907 + 5 minus 5 log 119889(119901119888) = -201 Per calcolare la magnitudine apparente superficiale dobbiamo calcolare lrsquoarea apparente della galassia A = π a b = 120587 190 ∙ 60 = 358 ∙ 103 1198861199031198881198981198941198992 cong 129 ∙ 106 119886119903119888119904119890119888^2 La magnitudine apparente superficiale (msup) si ottiene dalla relazione 119898119904119906119901 = 119898119907 +25 log 119860 cong 158119898119886119892119886119903119888119898119894119899^2 cong 247119898119886119892119886119903119888119904119890119888^2 3 Si consideri una stella variabile ldquopulsanterdquo la cui magnitudine assoluta varia
nellrsquointervallo M1= 325 e M2= 226 con una temperatura effettiva che al massimo di luminositagrave egrave T2= 5500 K e al minimo di luminositagrave egrave T1 = 5000 K Calcolare quanto varia il raggio della stella tra il minimo e il massimo di luminositagrave Esprimere il
Bignamino di astronomia
73
risultato come rapporto tra raggio massimo e raggio minimo e come differenza tra i due raggi in km (Gara Interregionale Categoria Senior 2017)
Soluzione La luminositagrave di una stella egrave definita dalla relazione 119871=4 120587 119877^2 120590 119879^4 Per ricavare il rapporto tra i raggi al massimo e minimo di luminositagrave utilizziamo la formula di Pogson 1198722minus 1198721= minus 25log(11987121198711)=minus 25log[4120587(1198772)^2 120590 (1198792)^4][4120587(1198771)^2 120590 (1198791)^4]= -
25log[(11987721198771)^2 (11987921198791)^4] e quindi 0396 = log[(11987721198771)^2 (11987921198791)^4] =119897119900119892 [(11987721198771)^2 1464] da cui 0396=2log(11987721198771)+log1464 ovvero 0115= 119897119900119892 (11987721198771) e infine (119929120784119929120783)=120783120785120782 Per ottenere la differenza in km calcoliamo il raggio della stella al massimo di luminositagrave confrontando i suoi dati con una stella di caratteristiche note il Sole Avremo quindi 1198722minus 119872s=minus 25log[(1198772119877s)^2 (1198792119879s)^4] e quindi 103 = 2 log R2 ndash 2 log Rs + 4 log 09519
da cui si ricava 1198772=2513 ∙ 10^3 119896119898cong361 119877s e 1198771=1933 ∙ 10^3 119896119898cong278 119877s la variazione del raggio in km vale quindi ΔR = 580 ∙ 103 km
4 La supergigante rossa Betelgeuse ha una magnitudine apparente m1=+042 e
una parallasse π1=0005rdquo mentre la supergigante blu Rigel ha una magnitudine
apparente m2=+013 e una parallasse π2=0004rdquo Quale delle due stelle egrave
intrinsecamente piugrave luminosa Qual egrave la piugrave lontana (Gara interregionale Categoria Senior 2015) Soluzione Affincheacute si possa determinare quale delle due stelle sia piugrave luminosa intrinsecamente egrave necessario ricorrere al calcolo delle magnitudini assolute delle due stelle possiamo calcolare la magnitudine assoluta di una stella conoscendo la magnitudine apparente della stessa e la sua parallasse tramite la relazione
119872 = 119898 + 5 + 5119897119900119892120587 119900119907119890 119897119886 119901119886119903119886119897119897119886119904119904119890 egrave 119890119904119901119903119890119904119904119886 119894119899 119886119903119888119900119904119890119888119900119899119889119894 Nel caso nostro
1198721 = 1198981 + 5 + 51198971199001198921205871 = +042 + 5 + 51198971199001198920005 = minus608 (119861119890119905119890119897119892119890119906119904119890)
1198722 = 1198982 + 5 + 51198971199001198921205872 = +013 + 5 + 51198971199001198920004 = minus687 (119877119894119892119890119897)
Essendo la magnitudine assoluta di Rigel minore di quella di Betelgeuse allora Rigel egrave intrinsecamente piugrave luminosa di Betelgeuse Possiamo giagrave da questo risultato comprendere quale stella sia piugrave distante delle due infatti Rigel egrave sia apparentemente sia assolutamente piugrave luminosa di Betelgeuse quindi egrave necessario che essa sia piugrave distante di Betelgeuse affincheacute ciograve si verifichi A riprova di ciograve la parallasse di Rigel egrave minore di quella di Betelgeuse essendo essa piugrave lontana La distanza di Rigel in parsec egrave 1π2=250 pc mentre quella di Betelgeuse egrave 1π1=200 pc
da cui d2gtd1
Bignamino di astronomia
74
bull COSMOLOGIA ELEMENTARE
5 Un team di scienziati osserva una nuova galassia e ne analizza lo spettro la riga H-alfa
dellrsquoidrogeno che ha in laboratorio una lunghezza drsquoonda pari a 656281 Aring ha nello spettro della galassia una lunghezza drsquoonda di 656933 Aring Si determini la distanza della galassia Soluzione per prima cosa calcoliamo il redshift della galassia
119911 =∆120582
120582=120582119900119904119904 minus 120582119897119886119887
120582119897119886119887=656933 minus 656281
656281= 9935 lowast 10minus4
Applichiamo la legge di Hubble-Lemaitre
119888119911 = 1198670119889 rarr 119889 =119888119911
1198670= 299792458
119896119898
119904lowast 9935 lowast
10minus4
719= 414 119872119901119888
6 Osservando lrsquoesplosione di una supernova in una lontana galassia due scienziati notano che la riga H-beta dellrsquoidrogeno osservata nello spettro ha esattamente la stessa lunghezza drsquoonda della riga H-alfa osservata in laboratorio Tuttavia i due scienziati usano valori diversi per la costante di Hubble Usando valori che differiscono di ΔH=H2-H1=14 kmsMpc ottengono valori diversi per la magnitudine assoluta della supernova al massimo M1=-1902 e M2=-1864 Trovare quanto valgono per ciascuno dei due scienziati il redshift e la distanza della galassia (XXIII International Astronomy Olympiad ndash Colombo Sri Lanka Theoretical Round Group β Exercise 1) Soluzione Il redshift misurato dai due scienziati egrave lo stesso per entrambi esso infatti dipende dalle lunghezze drsquoonda osservate che secondo quanto affermato nella traccia sono le stesse per entrambi gli scienziati La lunghezza drsquoonda della riga H-alfa egrave pari a 6563 Aring mentre la lunghezza drsquoonda della riga H-beta egrave pari a 4861 Aring Il redshift per definizione egrave dunque pari a
119911 =120582119867minus119886119897119891119886minus120582119867minus119887119890119905119886
120582119867minus119887119890119905119886= 035
Conoscendo la relazione nota come ldquomodulo di distanzardquo (relazione fra mag Apparente e mag Assoluta) possiamo scrivere
1198721 = 1198981 + 5 minus 51198971199001198921198891 1198722 = 1198982 + 5 minus 51198971199001198921198892
Ma le due magnitudini apparenti dellrsquooggetto debbono necessariamente coincidere dal momento che esse sono dati puramente osservativi (non derivano cioegrave da elaborazioni di dati precedenti) possiamo quindi sottrarre membro a membro le due relazioni precedenti semplificando le due magnitudini apparenti
1198721 minus1198722 = 5119897119900119892 (11988921198891) rarr
11988921198891= 10
1198721minus11987225 = 0839
Possiamo scrivere il seguente sistema
1198892 = 08391198891H2 minus H1 = 14
119888119911
1198672= 0839
119888119911
1198671H2 minus H1 = 14
1198672 = 11911986711198672 minus 1198671 = 14
1198671 =
7368119896119898119904
119872119901119888
1198672 =8768
119896119898119904
119872119901119888
Bignamino di astronomia
75
Da cui finalmente d1=czH1=2997924580357668=13684 Mpc dz=czH2=2997924580538768=11967 Mpc
bull MISCELLANEA
1 Una galassia egrave composta da stelle tutte simili al nostro Sole Essa mostra uno
spostamento verso il rosso della riga Hα (λ=656281 Aring) di ampiezza pari a Δλ= 15 Aring
Essa risulta inclinata rispetto alla perpendicolare alla linea di vista di un angolo di 30deg
e si sa che il suo raggio egrave pari a 37000 anni luce Nel cielo appare come un oggetto di
magnitudine superficiale msup= 2478 magarcsec2
Quanto vale la massa della galassia
Soluzione Ci viene fornita dalla traccia la magnitudine superficiale della galassia vista
dalla Terra essa indica la magnitudine di una ldquoporzionerdquo della galassia di superficie
pari a 1 arcsec2 Di conseguenza la magnitudine complessiva della galassia devrsquoessere
legata alla sua superficie angolare allora dobbiamo conoscere le dimensioni angolari
della galassia abbiamo le dimensioni angolari quindi dobbiamo ricavare la distanza
della galassia
Calcoliamo per prima cosa il redshift z
119911 =∆120582
120582=
15
656281= 229 ∙ 10minus4
Con la legge di Hubble-Lemaitre ricaviamo la distanza
119888119911 = 1198670119889 119889 =119888119911
119867119900=300 ∙ 105 ∙ 229 ∙ 10minus4
719119872119901119888 = 0954 119872119901119888
= 311 ∙ 106119886119899119899119894 119897119906119888119890
Adesso possiamo determinare le dimensioni apparenti della galassia percheacute ne
conosciamo la distanza nel cielo essa ci appare come unrsquoellisse il cui semiasse
maggiore vale
119886 = arctan (119877
119889) = arctan (
37000
311 ∙ 106) = 0682deg = 24538 119886119903119888119904119890119888
Essendo il coseno di 30deg uguale a radic3
2 il semiasse minore varragrave
119887 = arctan(119877radic3
2119889) = arctan (
37000 ∙ 173
2 ∙ 311 ∙ 106) = 0590deg = 21226 119886119903119888119904119890119888
Calcoliamo la superficie di questa ellisse
119878 = 120587119886119887 = 120587 ∙ 24538 ∙ 21226 arcsec2 = 163 ∙ 107 arcsec2
Bignamino di astronomia
76
A questo punto ricaviamo la magnitudine integrata apparente
m=msup-25log(119878) 119898 = 2478 minus 25 log(163 ∙ 107) = 675
Abbiamo la distanza troviamo la magnitudine assoluta
M=m+5-5logd=675+5-5log(0954 106)=-1815
A questo punto troviamo il numero di ldquosolirdquo contenuti nella galassia grazie alla
relazione che ci permette di ricavare la magnitudine integrata di un oggetto (nel caso
sia composto da componenti uguali)
119872 = minus25 log(119873 lowast 10minus04119872119904) 119873 = 10minus04(119872minus119872119878) = 10minus04(minus1815minus483)
= 156 ∙ 109119904119905119890119897119897119890 119888119900119898119890 119894119897 119904119900119897119890
Possiamo finalmente trovare la massa della galassia
119872119892 = 156 ∙ 109 ∙ 199 ∙ 1030119896119892 = 310 ∙ 1039119896119892
2 Una stella di raggio R=705000 km presenta un picco drsquoemissione alla lunghezza
drsquoonda di 542 nm Se essa egrave costituita interamente da idrogeno si determini quanti
atomi di idrogeno hanno reagito in un secondo nel nucleo della stella nella reazione
di fusione termonucleare che produce elio
Soluzione Dobbiamo innanzitutto determinare la luminositagrave della stella che dipende
dal quadrato del raggio e dalla quarta potenza della temperatura disponiamo del
raggio ma dobbiamo ricavare la temperatura notiamo come il problema fornisca la
lunghezza drsquoonda del picco drsquoemissione che egrave inversamente proporzionale alla
temperatura efficace secondo la Legge di Wien
120582 ∙ 119879119890119891119891 = 2898 119898119898 119870 119879119890119891119891 =2898 119898119898 119870
542 ∙10minus6119898119898= 5347 119870
Adesso possiamo determinare la luminositagrave della stella (Legge di Stefan-Boltzmann)
119871 = 41205871198772120590(119879119890119891119891)4= 4120587 (705 ∙ 108)2 567 ∙ 10minus8 (5347)4 119882 = 289 ∙ 1026119882
Questa egrave lrsquoenergia che la stella irradia in un secondo ma da dove deriva Nel nucleo
quattro protoni si fondono per formare un nucleo di elio il nucleo di elio che si forma
perograve non ha la stessa massa dei quattro protoni bensigrave ha una massa lievemente
minore La massa mancante (il difetto di massa) si egrave trasformata in energia secondo
la famosa relazione di Einstein
119864 = 1198981198882
Se E=L m saragrave uguale al difetto di massa complessivo per unitagrave di tempo
119898 =119871
1198882=289 ∙ 1026119882
9 ∙ 10161198982
1199042 = 321 ∙
109119896119892
119904
Essendo la massa di un nucleo di elio-4 pari a 6645 10-27kg mentre la massa del
protone pari a 167310-27kg si ha che la massa di 4 protoni egrave 669210-27kg e quindi
il difetto di massa per ogni reazione egrave Δm= 004710-27 kg Dividendo questo valore
Bignamino di astronomia
77
per quello trovato sopra otteniamo il numero di reazioni che avvengono in un
secondo nel nucleo della stella
119873 =119898
∆119898=
321 ∙ 109
0047 ∙ 10minus27119903119890119886119911 = 683 ∙ 1037119903119890119886119911
A ogni reazione corrispondono quattro atomi di idrogeno quindi per trovare la
soluzione ci basta moltiplicare questo valore per 4
119873119905119900119905 = 4119873 = 273 ∙ 1038119886119905119900119898119894()
3 Che dimensioni dovrebbe avere una sfera metallica perfettamente riflettente per
essere visibile come un astro da Terra ad occhio nudo quando essa si trova in
opposizione al Sole (Questa sfera egrave posta in orbita circolare attorno alla Terra con
un periodo T=2766 ore)
Soluzione Innanzitutto ci serve conoscere il raggio orbitale della sfera perciograve
applichiamo la Terza Legge di Keplero generalizzata
1198792
1198863=41205872
119866119872 119886 = radic
1198661198721198792
41205872
3
= radic667 ∙ 10minus11 ∙ 597 ∙ 1024 ∙ 992 ∙ 107
4(314)23
= 10005119896119898
Sia Fs il flusso solare esso investe la sfera e la quantitagrave di energia intercettata in un
secondo (Lint) egrave direttamente proporzionale alla sezione della sfera
119871119894119899119905 = 119865119904 ∙ 1205871198772
La luce viene interamente riflessa quindi
119871119903119894119891 = 119871119894119899119905 = 119865119904 ∙ 1205871198772
Questa luminositagrave viene riflessa in tutte le direzioni quindi tutti i punti che si trovano
alla medesima distanza dalla sfera riceveranno lo stesso flusso pari a
119865 =119865119904 ∙ 120587119877
2
41205871198892=119865119904 ∙ 119877
2
41198892
In particolare per una localitagrave posta sulla Terra
119865 =119865119904 ∙ 119877
2
4(119886 minus 119877119879)2=
119865119904 ∙ 1198772
4(107 minus 6378 ∙ 106)2= 1906 ∙ 10minus14119865119904 119877
2
Applichiamo la formula di Pogson comparando la sfera col Sole e tenendo presente
che la magnitudine della sfera devrsquoessere uguale a 6 (lrsquooggetto egrave appena visibile ad
occhio nudo)
119898minus119898119904 = minus25 log (119865
119865119904) rarr 6 + 2674 = minus25 log(1906 ∙ 10minus141198772)
1906 ∙ 10minus141198772 = 10minus131 rarr 119877 = radic10minus131
1906 ∙ 10minus14119898 = 204 119898
Pertanto la sfera deve avere un diametro di 408 metri
Bignamino di astronomia
78
[NB Nello svolgimento del problema si egrave usato lo stesso valore del flusso solare per la Terra e per la
sfera in realtagrave ciograve egrave unrsquoapprossimazione percheacute le distanze Terra-Sole e Sole-sfera sono diverse
Essendo perograve il semiasse dellrsquoorbita della sfera trascurabile rispetto al semiasse della Terra allora i due
flussi sono assai simili]
4 Egrave stato osservato un quasar doppio che si trova a grandissima distanza dalla Terra La
particolaritagrave di questo quasar egrave il moto di allontanamento delle due componenti Q1
e Q2 In particolare Q1 si allontana da Q2 spostandosi come riportato in figura dal
punto A al punto B con velocitagrave relativistica ldquovrdquo pari al 75 della velocitagrave della luce
Calcolare lrsquointervallo di tempo Δt impiegato dal componente Q1 a raggiungere il
punto B e il corrispondente intervallo di tempo Δtrsquo misurato dagli astronomi sulla
Terra (che giace sullo stesso piano della figura) Sulla base del risultato ottenuto di
fronte a quale sconvolgente conclusione si sono trovati gli astronomi prima di
riuscire a spiegare correttamente il fenomeno (Dalla Finale Nazionale 2015
Categoria Junior)
Soluzione Il tratto AB egrave lrsquoipotenusa del triangolo rettangolo ABArsquo (vedi figura) quindi
esso vale (Teorema di Pitagora)
119860119861 = radic119860119860prime2 + 119860prime1198612 = radic9 + 16 = 5119886 119897
Esso viene quindi percorso nel tempo ∆119905 =119860119861
119907=
5119886119897
075119888= 667 119886119899119899119894 Notiamo come non ci
sia bisogno di conoscere il valore della velocitagrave della luce percheacute le distanze sono espresse
in anni luce
Adesso analizziamo il fenomeno come viene visto dalla Terra Quando Q1 si trova in A la luce
da esso emessa impiega per giungere in Arsquo un tempo pari a 4119886119897
119888= 4 119886119899119899119894 Nel frattempo
Q1 si sposta e per arrivare in B impiega 667 anni La luce che emette in B non deve piugrave
attraversare una distanza di 4 al quindi i due segnali luminosi arrivano a una ldquodistanzardquo
temporale ∆119905prime = (667 minus 4)119886119899119899119894 = 267 119886119899119899119894
Il risultato sconvolgente egrave che siccome agli astronomi da Terra egrave sembrato che Q1 si
spostasse lungo ArsquoB la sua velocitagrave misurata da Terra risulta pari a
119907 =119860prime119861
267119886119899119899119894=
3119886 119897
267119886119899119899119894= 1125119888
Bignamino di astronomia
79
Apparentemente il quasar si egrave spostato con una velocitagrave superiore a quella della luce Non egrave
infatti raro osservare dei moti superluminali (cioegrave con velocitagrave superiore a quella della luce)
in oggetti che si muovono con velocitagrave relativistiche questa velocitagrave egrave tuttavia sempre
apparente
5 Se una stella presenta un redshift z pari a 555 10-5 quale saragrave il verso e il valore della
sua velocitagrave radiale
Soluzione il redshift egrave positivo quindi la stella si allontana da noi La velocitagrave radiale
della stella egrave data da
119907 = 119888119911 = 3 ∙ 105 ∙ 555 ∙ 105 = 167119896119898
119904
6 La lunghezza drsquoonda λrsquo di una delle righe piugrave evidenti della luce emessa dalle galassie
di una costellazione egrave 1020 volte piugrave grande della corrispondente lunghezza drsquoonda
λ di riferimento Calcolare la velocitagrave con cui lrsquoammasso si sta allontanando dalla Terra
e stimare la sua distanza
Soluzione il redshift egrave119911 =∆120582
120582=
(1020minus1)120582
120582= 0020
Pertanto 119907 = 0020119888 = 6000119896119898
119904 119890 (119897119890119892119892119890 119889119894 119867119906119887119887119897119890 minus 119871119890119898119886119894119905119903119890)
119889 =119907
119867= 6000719=834 Mpc
7 In una galassia tutti gli ammassi globulari hanno un diametro pari a 50 anni luce
Nelle fotografie si misura il diametro angolare di tre di questi ammassi I diametri
risultano pari a 8rsquo9rsquo10rsquo Calcolare la distanza dei tre ammassi
Soluzione le dimensioni reali di un oggetto visto sotto un angolo α alla distanza d
sono date da
119863 = 2119889 tan (120572
2)
Da cui
1198891 =119863
2 tan(12057212)=
50
2 tan(01333
2)=21486 anni luce
1198892 =119863
2 tan (12057222)= 19099 119886119899119899119894 119897119906119888119890
Bignamino di astronomia
80
1198893 =119863
2 tan (12057232)= 17189 119886119899119899119894 119897119906119888119890
8 Se si dispone di un telescopio di 30 cm di diametro e lunghezza focale di 2 m quali
ingrandimenti saranno forniti da tre oculari di focale 25mm 10 mm e 5mm Se gli
oculari hanno un campo apparente di 55deg quale saragrave lrsquoangolo di campo al telescopio
Calcolare pure la pupilla drsquouscita
Soluzione Calcoliamo lrsquoingrandimento
1198681 =119865
119891=2000119898119898
25119898119898= 80119909
1198682 =2000
10= 200119909
1198683 =2000
5= 400119909
Il campo del telescopio saragrave
1198651199001198811 =119865119900119881119900119888119894
=55deg
80= 069deg
1198651199001198812 =55deg
200= 028deg
1198651199001198813 =55deg
400= 014deg
La pupilla drsquouscita
1199011 =300
80= 375119898119898 1199012 =
300
200= 15119898119898 1199013 =
300
400= 075119898119898
9 Calcolare lrsquoapertura minima di un telescopio per poter riconoscere un granulo solare
ampio 700km
Soluzione Lrsquoestensione angolare di questo granulo egrave data da
120572 = 2 arctan (119863
2119889) = 2 arctan (
700
2 ∙ 1496 ∙ 106) = 097
Quindi per la formula di Dawes 119863(119898119898) =120
120572=124cm
10 Per realizzare una fotografia a vasto campo egrave stato necessario un tempo di posa di 13
minuti a f3 con sensibilitagrave 800 ISO Determinare il tempo necessario per ottenere la
stessa foto usando una sensibilitagrave di 1000 ISO ed unrsquoapertura relativa di f45
Trascurare le perdite di sensibilitagrave dovute al difetto di reciprocitagrave delle pellicole
Bignamino di astronomia
81
Soluzione il tempo di posa richiesto si ricava dalla formula
1198792 =11989122 1198781
11989112 1198782
1198791 119879 119905119890119898119901119900 119878 119904119890119899119904119894119887119894119897119894119905agrave 119891 119889119894119886119891119903119886119898119898119886 (119886119901119890119903119905119906119903119886 119903119890119897119886119905119894119907119886)
1198792 =452 800
32 1000 13 = 234 119898119894119899
11 Determinare il tempo di posa massimo per ottenere stelle puntiformi senza
inseguimento siderale con un obiettivo di 50 mm (di focale F) puntato su una zona di
cielo avente declinazione media 45deg Il formato utilizzato egrave il 24x36mm
Soluzione La formula che permette di ottenere stelle puntiformi egrave
119879119898119886119909 =600
119865119888119900119904120575= 17119904119890119888119900119899119889119894
12 Un radiotelescopio ha apertura di 75 m determinare il limite di diffrazione
raggiungibile alla frequenza di osservazione di 410 MHz
Soluzione La lunghezza drsquoonda egrave data da
119888 = 120582120584 120582 =119888
120584= 732 119888119898
Il limite di diffrazione si ricava dalla formula di Rayleigh
120599 =122120582
119863= 122
732
7500= 00119 119903119886119889 = 068deg = 41prime
13 Un radiotelescopio ha un diametro di 25m calcolare il limite di diffrazione alla
lunghezza drsquoonda di osservazione di 21 cm
Soluzione Per la formula di Rayleigh
120599 =122120582
119863= 122
21
2500= 001119903119886119889 = 059deg = 352prime
14 Un telescopio riflettore ha diametro 15 m calcolare il suo potere risolutivo massimo
alla lunghezza drsquoonda dellrsquoidrogeno ionizzato Hα=6563nm
Soluzione Ancora una volta
120599 =122120582
119863= 122 lowast 6563
10minus9
15= 53 10minus7119903119886119889 = 011
Bignamino di astronomia
82
15 Consideriamo due stelle la prima (S1) ha magnitudine apparente m1=11 e si trova a
una distanza L1 dalla Terra la seconda S2 ha luminositagrave intrinseca identica a S1 ma
si trova a una distanza tripla rispetto a S1 Che magnitudine apparente ha la stella S2
Se abbiamo a disposizione uno specchio di diametro D1 con cui si riesce a vedere a
malapena S1 quanto deve essere il diametro del secondo telescopio D2 che permetta
di vedere a malapena la stella S2
Soluzione Siccome la luminositagrave intrinseca egrave la stessa ma la distanza della seconda
stella egrave tripla il flusso della seconda stella egrave uguale a un nono del flusso della prima
Quindi applicando la formula di Pogson
1198981 minus1198982 = minus25 log (11986512) = minus25 log 9 = minus239
1198982 = 11 + 239 = 1339
Infine poicheacute per osservare S2 dobbiamo essere in grado di rivelare il flusso che egrave 9
volte minore e che lrsquoarea di uno specchio aumenta con il quadrato del raggio il raggio
dello specchio D2 devrsquoessere 3 volte piugrave grande di quello di D1
16 Calcolare la magnitudine limite visuale limite raggiungibile con un telescopio di
diametro D=25cm
Soluzione Applicando la formula per trovare la magnitudine limite (con il diametro
espresso in cm) troviamo
119898 = 68 + 5119897119900119892119863 = 68 + 511989711990011989225 = 138
17 Calcolare lrsquoapertura necessaria per poter osservare stelle fino a una magnitudine
limite visuale di +16 con un telescopio
Soluzione Applicando la formula precedente
119898 = 68 + 5119897119900119892119863 119863 = 10119898minus685 = 10184 = 692 119888119898
Bignamino di astronomia
83
18 In un sistema stellare una stella ruota attorno ad unrsquoaltra su unrsquoorbita circolare con
velocitagrave 45 kms il suo periodo di rivoluzione egrave 300 giorni Determinare il raggio
dellorbita e la massa della stella centrale
Soluzione la velocitagrave orbitale egrave data da
119907 =2120587119877
119879 119889119886 119888119906119894 119877 =
119907119879
2120587=45000 ∙ 2592 ∙ 107
62831= 1856 ∙ 1011119898
Dalla Terza legge di Keplero
119872 =412058721198773
1198661198792= 5632 ∙ 1030119896119892
Bignamino di astronomia
84
La SFERA e la TRIGONOMETRIA SFERICA
Premessa
Nella geometria piana i concetti base sono il punto e la retta
Su una sfera i punti sono definiti nel senso usuale Le rette sono definite come cerchi massimi Data una sfera si definisce circonferenza massima ogni circonferenza che si ottiene intersecando la superficie sferica con un piano passante per il centro della sfera Lequatore celeste egrave un circolo massimo mentre i paralleli di declinazione non lo sono Lorizzonte astronomico egrave un circolo massimo mentre non lo sono gli almucantarat o paralleli di altezza
Elementi della sfera
Superficie sferica
Si chiama superficie sferica la figura
generata da una semicirconferenza
in una rotazione completa attorno
al suo diametro Possiamo anche
definirla come luogo geometrico La
superficie sferica egrave il luogo
geometrico dei punti dello spazio
che hanno distanza dal centro pari al
raggio
Sfera
Si chiama sfera la figura generata da un semicerchio di
una rotazione completa attorno al suo diametro
Definita come luogo geometrico egrave il luogo dei punti dello
spazio la cui distanza dal centro egrave minore o uguale al
raggio
Zona sferica
Si chiama zona sferica la parte di
superficie sferica compresa fra due
piani paralleli α e β che intersecano
la sfera Le circonferenze sezioni si
chiamano basi della zona Lrsquoaltezza egrave
la distanza tra i due centri delle
circonferenze sezioni
Bignamino di astronomia
85
Spicchio sferico Lo spicchio sferico egrave il solido delimitato da due piani meridiani passanti per
uno stesso diametro e dalla porzione di superficie sferica (fuso sferico) a
essi corrispondente
Presi due punti distinti su una sfera per essi passa
una ed una sola circonferenza massima
Dati due punti A e B distinti su una sfera esiste una ed una sola circonferenza
massima che li contiene i due punti individuano su questa circonferenza due archi il minore di essi si
chiama distanza sferica rappresenta una geodetica (La geodetica egrave la linea che realizza su una data
superficie il minimo percorso fra due punti assegnati)
Corda
Si chiama corda un segmento i cui estremi appartengono
alla superficie sferica
Si chiama diametro una corda passante per il centro
della superficie sferica e della sfera
Segmento sferico a due basi
Definiamo segmento sferico a due basi la parte di sfera
compresa fra due piani paralleli α e β secanti la sfera
stessa
Calotta Sferica
Definiamo calotta sferica ognuna
delle due parti in cui una superficie
sferica viene divisa da un piano
secante 120572 La calotta egrave la porzione di
superficie sferica ottenuta per
sezione con il piano α
Segmento sferico ad una base
Il segmento sferico ad una base egrave ognuna delle
due parti in cui una sfera viene divisa da un piano
secante α il segmento egrave la porzione di sfera
compresa tra il piano e la calotta
Fuso sferico
La parte di superficie sferica limitata da due
circonferenze massime di sezione dei
semipiani α e β con la superficie sferica
Bignamino di astronomia
86
Nella geometria sferica la circonferenza massima gioca lo stesso ruolo della retta
nella geometria piana
La lunghezza di questo arco egrave proporzionale al raggio della sfera e
allrsquoangolo al centro AOB Se AOB egrave espresso in radianti
AB = OA x AOcircB
Triangolo sferico
Si definisce triangolo sferico la superficie sulla sfera limitata da tre
archi di circolo massimo passanti per tre punti detti vertici tali punti
non devono appartenere allo stesso circolo massimo e gli archi non
devono avere alcun punto dintersezione al di fuori dei vertici
Lati del triangolo sferico
Sono le lunghezze degli archi AB BC CA che limitano la superficie
Tali lati sono minori o uguali a 180
Angoli del triangolo sferico
Sono gli angoli formati dai tre archi di circolo massimo La somma
degli angoli (interni) egrave maggiore di 2 angoli retti e minore di 6 angoli
retti
180deg lt α+β+γ lt 540deg
Pertanto la somma degli angoli egrave 180deg solo quando il triangolo egrave
degenere ovvero quando i vertici del triangolo sono situati sullo
stesso circolo massimo
La differenza fra la somma dei tre angoli di un triangolo sferico e lrsquoangolo piatto si dice eccesso sferico
ε= α+β+γ minus 180deg
Bignamino di astronomia
87
Nel triangolo sferico sussistono relazioni fra le funzioni trigonometriche dei lati e degli angoli tali relazioni
sono date dai teoremi di Eulero (teorema del coseno ( ) per i triangoli sferici e teoremi dei seni( )) da
cui derivano due gruppi fondamentali di relazioni che prendono il nome di primo e secondo gruppo di Gauss
di cui ci occuperemo nella trattazione del triangolo di posizione astronomico Lrsquoapplicazione dei triangoli
sferici assume particolare importanza in astronomia in quanto come abbiamo visto nei sistemi di riferimento
sulla sfera celeste si misurano solo distanze angolari
Per un lato
cos (119886) = cos (119887)cos (119888) + sin (119887)sin (119888)cos (119860)
sin (119886)
sin (119860)=sin (119887)
sin (119861)=sin (119888)
sin (119862)
Oppure
sin(119886) ∶ sin(119860) = sin(119887) sin(119861) = sin(119888) sin(119862)
Bignamino di astronomia
88
Triangolo di posizione astronomico
Vertici del triangolo
Il triangolo astronomico o di posizione ha i vertici nellastro
nello zenit e nel polo celeste nord il terzo vertice potrebbe
essere anche laltro polo ma per convenzione egrave preferibile
usare quello nord in quanto semplifica le regole algebriche
per il calcolo delle lunghezze dei lati
Lati del triangolo
I lati del triangolo hanno lunghezze comprese fra 0 e 180
definite come segue
bull Distanza polare p = 9 - 120575
la distanza che lastro ha dal polo di riferimento (polo celeste nord per convenzione)
Considerando la declinazione 120575 positiva se a Nord e negativa se Sud la distanza polare egrave p lt 90 nel
primo caso e p gt 90 nel secondo
bull Colatitudine c = 9 - 120593
coincide con la colatitudine ossia il complemento della latitudine Si ricorda che lelevazione
dellasse polare egrave esattamente pari alla latitudine del luogo La precedente convenzione per la
declinazione puograve essere adottata anche per la latitudine per cui si ha c lt 90 per latitudini nord e c gt
90 per quelle sud
bull Distanza zenitale z = 90 - h
Coincide con la distanza zenitale z ossia la distanza che lastro ha dallo zenit Tale distanza egrave il
complemento dellaltezza h (z = 90-h) Se lastro egrave nellemisfero visibile si ha h gt 0 e z lt 90 per astri
nellemisfero invisibile si ha h lt 0 e z gt 90
I tre angoli sono
1) Angolo vertice nello Zenith compreso tra meridiano e cerchio verticale la sua ampiezza dovrebbe corrispondere allazimuth ma in questo caso poichegrave lampiezza degli angoli nei triangoli sferici egrave sempre inferiore a 180deg prende nome di Angolo azimutale Z
2) Angolo vertice nel Polo Celeste compreso tra meridiano e cerchio orario la sua ampiezza corrisponderebbe allangolo orario ma in questo caso poicheacute lampiezza degli angoli nei triangoli sferici egrave sempre inferiore a 180deg prende nome di Angolo al Polo P
3) Angolo con vertice nellrsquooggetto A
Bignamino di astronomia
89
Attraverso le seguenti relazioni note come primo e secondo gruppo di Gauss
119904119894119899 ℎ = 119904119894119899 120593 119904119894119899 120575 + 119888119900119904 120593 119888119900119904 120575 119888119900119904 119867
119888119900119904 ℎ 119888119900119904 119860 = 119888119900119904 120593 119904119894119899 120575 + 119904119894119899 120593 119888119900119904 120575 119888119900119904 119867119888119900119904 ℎ 119904119894119899 119860 = 119888119900119904 120575 119904119894119899 119867
Primo Gruppo di Gauss
119878119894119899 120575 = 119878119894119899 120593 119878119894119899 ℎ minus 119862119900119904 120593 119862119900119904 ℎ 119862119900119904 119860119862119900119904120575 119888119900119904119867 = 119904119890119899ℎ 119888119900119904120601 + 119888119900119904ℎ 119904119890119899120601 119888119900119904119860
119862119900119904ℎ 119904119890119899119867 = 119888119900119904ℎ 119904119890119899119860
Secondo gruppo di Gauss
Ersquo possibile risolvere il triangolo astronomico
Notiamo che nel triangolo di posizione sono contemporaneamente presenti per loggetto celeste osservato le sue coordinate altazimutali (azimuth o angolo zenitale e altezza o distanza zenitale) e quelle equatoriali orarie (angolo orario o angolo al polo e declinazione o distanza polare) Queste formule ci consentono il passaggio da coordinate altazimutali ad equatoriali orarie e viceversa
Queste ci consentono il passaggio da un sistema altazimutale ad equatoriale
119904119894119899 120575 = 119904119894119899 120593 119888119900119904 119911 minus 119888119900119904 120593 119904119894119899 119911 119888119900119904 119860
119888119900119904 120575 119888119900119904 119867 = 119888119900119904 120593 119888119900119904 119911 + 119904119894119899 120593 119904119894119899 119911 119888119900119904 119860119888119900119904 120575 119904119894119899 119867 = 119904119894119899 119911 119904119894119899 119860
Bignamino di astronomia
90
Le parti della sfera
Riportiamo in una tabella le caratteristiche delle parti in cui rimane divisa una superficie sferica e una sfera
di raggio R quando vengono sezionate con opportuni piani indicando anche le formule per il calcolo delle
corrispondenti superfici e volumi
FONTE ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Bignamino di astronomia
91
ALCUNE ESERCITAZIONI DI TRIGONOMETRIA SFERICA
1) Calcolo dellrsquoaltezza di un oggetto alla culminazione superiore ed inferiore Giagrave conosciamo le formule che ci permettono di determinare lrsquoaltezza di un astro sullrsquoorizzonte nel caso di culminazione superiore ed inferiore per semplicitagrave le riportiamo qui di seguito
Culminazione superiore la stella culmina a sud dello zenit
la stella culmina a nord dello zenit
ALTEZZA h= 90 - ϕ + δ h= 90 + ϕ - δ
Proviamo attraverso le formule contenute nella parte teorica di trigonometria sferica a verificare queste relazioni Consideriamo la prima equazione del primo gruppo ( Primo Gruppo di Gauss)
sin h = sin φ sin δ + cos φ cosδ cos H
Se la stella culmina vuol dire che essa passa al meridiano (o superiore o inferiore a seconda della culminazione) CULMINAZIONE SUPERIORE Quando la Stella passa al meridiano superiore lrsquoangolo orario H egrave = 0 il cos0deg =1 per cui si ha
sin h = sin φ sin δ + cos φ cosδ
questa equazione si risolve facilmente se si applicano le formule di sottrazione del coseno cos (α - β) = cosαcosβ + senαsenβ
La nostra equazione puograve essere scritta sen h = cos(ϕ - δ) ndashlrsquo α della formula di sottrazione egrave la latitudine e la β la declinazione)- ma il sen h=cos(90 ndashh) ed allora cos (90-h) = cos( ϕ - δ) questa egrave una equazione elementare in coseno che ha per soluzioni
90-h= plusmn (ϕ - δ)
90-h= + ( ϕ - δ) h= 90 - ϕ + δ 90-h= - ( ϕ - δ) h= 90 + ϕ - δ
(Le relazioni sono due percheacute ognuna vale per un emisfero)
CULMINAZIONE INFERIORE Anche qui sappiamo che h= ϕ + δ- 90
sin h = sin φ sin δ + cos φ cosδ cos H
Alla culminazione inferiore lrsquoangolo orario egrave 12ℎ quindi 180deg il cos 180deg = -1
sin h = sin φ sin δ - cos φ cosδ Non possiamo applicare come prima a formula di addizione del coseno e quindi la riscriviamo
sin h= - (- sin φ sin δ + cos φ cosδ )
Bignamino di astronomia
92
ricordando che cos ( α + β) = cosαcosβ ndash senαsenβ ed essendo sinh= cos(90-h) possiamo scrivere cos (90-h) = - cos( ϕ + δ) essendo cosα= - cos(180 ndashα)
cos (90-h) = cos( 180 ndash ϕ - δ)
90-h = 180 ndash ϕ - δ h= ϕ + δ- 90 NB Essendo il coseno di due angoli dello stesso valore assoluto ma di segno opposto uguale come fatto sopra anche la soluzione col segno negativo va presa quindi si ottengono anche qui due formule che come sopra si riferiscono ciascuna a un emisfero
2) Calcolare lrsquoespressione che consente di determinare il sorgere e il tramontare di un astro Successivamente determinare la differenza delle ore di luce ai solstizi a Reggio Calabria ndash Latitudine φ=38deg6rsquo Nord
Per rispondere alla prima domanda dobbiamo determinare lrsquoangolo orario applichiamo il
( ) Primo Gruppo di Gauss
sin h= sin φ sin δ + cos φ cos H cos δ
isoliamo il cosH si trova cosH= 119904119894119899ℎminus119904119894119899120593119904119894119899120575
cos120593 cos120575 e scriviamo ancora cosH =
sinℎ
cos120593 cos120575 -
sin120593 sin120575
cos120593 cos120575 ed ancora cosH =
sin h
cos φ cos δ ndash tanφ tanδ (essendo tanα=senαcosα)
Al momento del sorgere dellrsquoastro h= 0 quindi cosH = - tanφ tanδ (sen0=0) Se egrave nota lrsquoascensione retta possiamo calcolare il tempo siderale 119931119956 = H +120630 con
H=arccos(θsin h
cos φ cos δ ndash tanφ tanδ ) Se conosciamo il valore del tempo siderale in una
determinata ora di un determinato giorno possiamo anche trovare lrsquoistante di tempo che segna il nostro orologio per il sorgere del Sole (per questi calcoli si vedano i problemi precedenti sul tempo) c = H+α Una volta trovata lrsquoespressione dellrsquoangolo orario la seconda domanda si risolve facilmente
tenendo conto che lrsquoangolo orario adesso egrave 119867
2
cos 119867
2 = - tan φ tan δ
Il Sole ai solstizi ha una declinazione δ=+23deg27rsquo (21 giugno solstizio drsquoestate) e δ=-23deg27rsquo (21 dicembre solstizio drsquoinverno)
si trova che cos 119867
2 = -0784 0433 = -034 perciograve H=2arccos(-034)=219deg46rsquo=14 ore 39
minuti (digrave piugrave lungo dellrsquoanno)
mentre il 21 dicembre cos 119867
2 = (-0784) (-0433) = 034 dal quale si ricava che
H=arccos(034)=140deg15rsquo = 9 ore 21 minuti (digrave piugrave corto dellrsquoanno) la differenza di ore egrave ∆H=14h 39m-9h 21m = 5 ore 18 minuti tra inverno ed estate
Bignamino di astronomia
93
3) In un certo giorno in cui egrave in vigore lrsquoora legale in una cittagrave posta alla longitudine di 120582
= 10deg 52rsquo 59rdquo E e latitudine = 44deg 38rsquo 45rdquo N il Sole ha una declinazione = 10deg 59rsquo 04rdquoConsiderando trascurabile la declinazione del Sole durante lrsquoarco della giornata
Calcolare
1 lrsquoaltezza massima raggiunta dal Sole in quella localitagrave e lrsquoora del transito in meridiano 2 lrsquoora in cui in tale giorno il sole sorge e tramonta in quella Cittagrave e lrsquoarco diurno 3 lrsquoazimut del sole nei momenti in cui sorge e tramonta
Il sole raggiunge la massima altezza hC sullrsquoorizzonte (culmina) quando transita per il
meridiano locale dellrsquoosservatore Nel caso specifico avremo hC = 90deg - ( - ) = 90deg -
+ = 90deg - 44deg64583333 + 10deg98444444 = 56deg33861111
Lrsquoaltezza massima del Sole nel momento in cui transita al meridiano egrave hC = 56deg33861111 = 56deg 20rsquo 19rdquo
Indichiamo adesso con 120582 la longitudine espressa in ore e con T la differenza in ore del
meridiano locale rispetto a GMT Nel nostro caso essendo in vigore lrsquoora legale saragrave T = 2h Le 12h locali corrispondono dunque aUT = 12h ndash 120582
per cui lrsquoora locale del transito in meridiano del sole saragrave (scrivendo la longitudine in notazione decimale)
TC = 12h ndash 120582+ T = 12ℎ minus 10deg 8830555556
15deg+ 2ℎ = 2h ndash 0h725537036 + 2h = 13h27446296
il Sole culmina alle ore locali TC = 13h 16m 28s1
I due eventi del sorgere e tramontare si verificano quando il sole interseca lrsquoorizzonte celeste dellrsquoosservatore e quindi la sua altezza h egrave nulla In questo caso egrave possibile determinare i tempi (gli angoli orari HS e HT) e le direzioni (gli azimut AS e AT) delle due posizioni del sole sullrsquoorizzonte e lrsquoarco diurno
T = HT - HS che ci dagrave la durata della permanenza del sole
Applichiamo le formule del primo gruppo di Gauss al triangolo sferico precedentemente definito rispetto al lato ldquozenit ndash solerdquo ed allrsquoangolo al vertice con lo zenit
sin h = sin sin + cos cos cos H (I)
cos h sin A = - cos sin H (II)
cos h cos A = cos sin - sin cos cos H
Bignamino di astronomia
94
Quando il sole sorge eo tramonta si ha h = 0 e quindi sin h = 0 Dalla (I) segue dunque
cos H = - tg tg Dai dati del problema si ha = 44deg 38rsquo 45rdquo N = 44deg64583333
= 10deg 59rsquo 04rdquo1 = 10deg98444444 segue cos H = - tg (44deg64583333) tg (10deg98444444) = - 0191713689
H = arccos (- 0191713689) = 101deg0528101 = plusmn 6h736854006
Lrsquoangolo orario H egrave negativo al sorgere percheacute deve arrivare in meridiano e positivo al tramonto percheacute ha superato il meridiano Saragrave dunque HS = - 6h736854006 HT = 6h736854006
il sole sorgeragrave dunque alle ore TS = TC + HS = 13h27446296 - 6h736854006 = 6h537608954 = 6h 32m 15s4
Lo stesso giorno il sole tramonteragrave alle ore TT = TC + HT = 13h27446296 6h736854006 = 20h01131697 = 20h 00m 40s7
Lrsquointervallo temporale durante il quale il sole resteragrave sopra lrsquoorizzonte saragrave
T = HT - HS = 6h736854006 + 6h736854006 = 13h47370802 = 13h 28m 25s4
Per ricavare lrsquoazimut del sole nei momenti in cui sorge e tramonta utilizziamo la (III) delle
formule di Gauss cos h sin A = - cos sin H
Nel momento in cui il sole sorge e tramonta si ha h = 0 e quindi cos h = 1 per cui si ha rispetto al punto Nord
sin AS = - cos sin HS = - cos (10deg98444444 ) sin (-6h736854006 x 15) = 0963469686
AS = arcsin (0963469686) = 74deg46556891 = 74deg 27rsquo 56rdquo1
sin AT = - cos sin HT = - cos (10deg98444444 ) sin (6h736854006 x 15) = -0963469686
AT = arcsin (-0963469686) = - 74deg46556891 = (360deg - 74deg46556891) = 285deg5344311 = 285deg 32rsquo 4rdquo
DISTANZA TRA DUE STELLE
Regolo ha coordinate H= 27m 4 s e declinazione 11deg 52rsquo 5rdquo Denebola ha coordinate H= 22h 46m 36s e
declinazione 14deg 27rsquo 33rdquo Si determini la loro distanza angolare
Per calcolare la loro distanza consideriamo il triangolo sferico BPA dalla figura si evince che
PB= 90-1205751 PA= 90-1205752 lrsquoangolo al polo P= 1198672 - 1198671
Applichiamo il teorema del coseno o di Eulero
Bignamino di astronomia
95
cosAB= cosPB cosPA + seno senPA cosP
Sostituendo
Cos120572 = cos( 90-1205751)cos(90-1205752 ) + sen(90-1205751)sen(90-1205752)cosP
Cos120572= sen1205751sen1205752 + cos1205751cos 1205752cos (1198672 minus 1198671)
E svolgendo I calcoli
Cos α= sen118681 sen 144592 + cos 118681 cos 144592 cos251167=0904
α=24deg58
Bignamino di astronomia
96
Bibliografia
Vittorio Castellani Astrofisica Stellare ndash Zanichelli Editore
Ferdinando Flora Astronomia Nautica ndash Editore Hoepli
Pietro Giannone Elementi di Astronomia ndash Edizione Pitagora
Angeletti Giannone Esercizi e complementi di astronomia ndash Edizioni Nuova Cultura
Margherita Hack Corso di Astronomia ndash Editore Hoepli
Halliday-Resnick Fondamenti di fisica ndash Zanichelli Editore
Giuliano Romano Introduzione allrsquoastronomia ndash Editore Muzzio
Leonido Rosino Lezioni di Astronomia ndash Edizione Cedam
Francesco Saverio Delli Santi Introduzione allrsquoastronomia ndash Zanichelli Editore
Cino Tacchini Il Cielo ndash UTET Editore
Francesco Zagari Astronomia sferica e teorica ndash Zanichelli Editore
Wikipedia sito web
Vialatteanet sito web
Treccani sito web
Superfici e volumi problemi di massimo e minimo Istituto Italiano Edizioni Atlas
- Copertina Bignamino definitiva
- Bignamino di astronomia
-
- INDICE Bignamino definitivo
- Bignamino
-
IV
Problemi ed esercizi
Sistemi di riferimento___________________________________________ 59
I moti della Terra e la misura del tempo____________________________ 60
Il cielo visto dalla Terra e dalla Luna______________________________ 61
La gravitagrave____________________________________________________ 63
Terza legge di Keplero__________________________________________ 65
Risoluzione del sistema per il calcolo delle velocitagrave su orbite circolari_______ 66
Esercizio un pianeta cadente_____________________________________ 68
Coordinate celesti e tempo______________________________________ 69
La misura del tempo____________________________________________ 70
Stelle e magnitudini____________________________________________ 72
Cosmologia elementare_________________________________________ 74
Miscellanea __________________________________________________ 75
Sfera e trigonometria sferica
Premessa_____________________________________________________ 84
Elementi della sfera____________________________________________ 84
Triangolo sferico_______________________________________________ 86
Angoli del triangolo sferico______________________________________ 86
Triangolo di posizione astronomico________________________________ 88
Primo Gruppo di Gauss___________________________________ 89
Secondo Gruppo di Gauss__________________________________ 89
Le parti della sfera_____________________________________________ 90
Esercizi______________________________________________________ 91
Bibliografia
Bignamino di astronomia
1
ldquoIn Astronomia ogni argomento va meditato ed approfondito in senso critico va analizzato nei suoi elementi essenziali e collegato a quanto
precede ed a quanto seguerdquo
(prof Leonida Rosino)
Il bignamino di astronomia ha lo scopo di aiutare gli olimpionici alla preparazione alle varie fasi delle Olimpiadi Italiane di Astronomia Costituisce la griglia essenziale per la risoluzione dei problemi Lrsquoabbiamo pensato come una bussola soprattutto per gli studenti che provengono da Istituti dove la fisica non egrave disciplina curriculare nel biennio Seguendo il Syllabus abbiamo suddiviso il ldquobiginordquo in quattro macrotemi
1) Meccanica Celeste (cinematica e dinamica celeste) 2) Strumenti ottici 3) Astrofisica 4) Cosmologia elementare
Ciascun macrotema egrave corredato da sezioni e da esercizi di riferimento
Bignamino di astronomia
2
Introduzione
MISURA DEGLI ANGOLI GRADO RADIANTE ORA
Lrsquoampiezza di un arco o del corrispondete angolo al centro si puograve misurare in uno dei seguenti sistemi
bull Il s i s tema sessages imale ha come unitagrave di misura il grado
Il grado
Il grado definito come la 360-esima parte dellangolo giro I suoi sottomultipli sono primi e i secondi
bull 1 grado egrave diviso in 60 primi 1deg= 60 bull 1 primo egrave diviso in 60 secondi 1 = 60 bull Quindi un grado equivale a 3600rsquorsquo
Il s i s tema c ircolare ha come unitagrave di misura il radiante
Radiante Il radiante ( 120646) egrave lampiezza dellangolo al centro di una circonferenza che con i suoi lati
intercetta un arco uguale al raggio
In astronomia egrave necessario molto spesso convertire la misura in gradi di un arco in misura di ora o
viceversa
Lrsquoampiezza di un angolo giro misurato in gradi 360deg in ore egrave 24ℎ 1ℎ = 360
24 = 15deg 1119898= 15rsquo
1119904=15rsquorsquo
Dunque il rapporto tra la misura dellarco e la misura del
raggio egrave un numero reale α che rimane costante α=119871
119877
120572119903119886119889 =120572deg120587
180 120572deg =120572119903119886119889
180deg
120587
Lrsquoampiezza di un radiante egrave
in gradi 120588deg= 57deg 17rsquo 44rsquorsquo~ 57deg3
in primi 120588rsquo~3438rsquo
in secondi 120588rsquorsquo ~206265rsquorsquo
(numero magico)
Bignamino di astronomia
3
DISTANZE DEI CORPI CELESTI
La distanza dei corpi celesti viene determinata attraverso la misura di un angolo detto parallasse
Lrsquoangolo di parallasse egrave lrsquoangolo sotto cui viene visto un oggetto se osservato da due posizioni
diverse
LE DIMENSIONI APPARENTI DI UN OGGETTO
Le dimensioni apparenti di un oggetto dipendono dalla sua distanza In astronomia il diametro
angolare (o dimensione angolare) di un oggetto egrave la misura del suo diametro rispetto alla distanza
dallosservatore Si calcola con la seguente formula
120572 = 2 119886119903119888119905119886119899119892 119863
2119889
(D diametro reale e d distanza dallrsquoosservatore)
Generalmente il diametro apparente dei corpi celesti egrave inferiore ad un grado
Misurato il diametro apparente in secondi drsquoarco si puograve calcolare il diametro reale con la seguente
formula
119863 = 119889120572
206265
Si parla di parallasse geocentrica quando la
distanza tra le due osservazioni egrave uguale al raggio
terrestre mentre di parallasse annua quando la
distanza tra i due osservatori egrave uguale al semiasse
maggiore dellorbita della Terra attorno al Sole
(ovvero lUnitagrave Astronomica) p langolo di parallasse e d la distanza dellosservatore dalloggetto-
La relazione tra la distanza e la parallasse egrave data
dalla semplice formula d = r sen p
Spesso viene usato il parsec come unitagrave di misura delle
distanze stellari Una stella si trova alla distanza di 1
parsec quando la sua parallasse annua egrave di un secondo
darco d =1
119901primeprime
Bignamino di astronomia
4
SISTEMI DI RIFERIMENTO ASTRONOMICI
Gli elementi che definiscono i sistemi di coordinate astronomiche sono
1) Una direzione fondamentale
2) Un piano perpendicolare alla direzione fondamentale
3) Lrsquoorigine
4) Il verso di percorrenza
5) Lrsquounitagrave di misura
Noi qui sintetizziamo tre dei cinque sistemi di riferimento astronomici
il sistema altazimutale il sistema orario il sistema equatoriale
Sistema altazimutale
Nel sistema altazimutale o orizzontale la direzione
fondamentale egrave data dalla verticale il piano
perpendicolare egrave dato dallrsquoorizzonte astronomico la
verticale alla superficie terrestre passante per
losservatore individua lo zenit e il nadir Le
coordinate in questo sistema sono lrsquoAzimut (A) e
Altezza (h)
Lazimut del punto T egrave langolo formato dal piano del
cerchio verticale passante per T e il meridiano
astronomico Si misura in gradi e frazioni di grado
partendo dal punto cardinale sud nel senso delle
lancette dellorologio Esso corrisponde nel disegno
allangolo SOB dove O egrave losservatore e B egrave
lintersezione dellorizzonte con il cerchio verticale
passante per T
Altezza (h) egrave lordinata sferica di un punto sulla sfera
celeste e cioegrave la sua distanza angolare dallorizzonte
misurata lungo il cerchio verticale passante per quel
punto Si esprime in gradi e frazioni di grado con
valore positivo verso lo zenit e negativo verso il nadir
Nel nostro disegno laltezza del punto T corrisponde
allangolo TOB dove O egrave losservatore e B egrave
lintersezione dellorizzonte con il cerchio verticale
passante per T Larco complementare dellaltezza si
chiama distanza zenitale e nel nostro disegno egrave
rappresentata dallangolo ZOT dove Z egrave lo zenit
dellosservatore La distanza zenitale si indica
generalmente con z Nel sistema azimutale entrambe
le coordinate (azimut e altezza) delle stelle variano
sensibilmente con il passare del tempo a causa del
moto di rotazione della Terra
Bignamino di astronomia
5
Sistema orario
Sistema equatoriale
Questo sistema di coordinate astronomiche ha come
direzione e piano fondamentali rispettivamente lasse
del mondo e il piano dellequatore Le coordinate
sferiche di questo sistema sono Angolo orario (H) e
la Declinazione (120575)
Lrsquoangolo orario egrave la distanza angolare tra il cerchio
orario che passa per il punto e il meridiano
astronomico Si misura in ore e frazioni di ora lungo
lequatore celeste partendo dal meridiano
astronomico in senso orario per un osservatore
boreale
La declinazione rappresenta la distanza angolare tra
un punto della sfera celeste e lequatore celeste
misurata lungo il cerchio orario che passa per tale
punto Si misura in gradi e frazioni di grado con segno
positivo verso il polo nord celeste e negativo verso il
polo sud Lrsquoorigine del sistema egrave il punto M detto
mezzocielo In questo sistema nel corso del giorno le stelle variano il loro angolo orario mentre rimane costante la loro declinazione
L0
Questo sistema di coordinate astronomiche ha come direzione e
piano fondamentali rispettivamente lasse del mondo e il piano
dellequatore Le coordinate sferiche di questo sistema sono
Ascensione retta ( ) Declinazione ( )Lorigine egrave il punto gamma
()
Lascensione retta si misura di solito in ore minuti e secondi lungo
lequatore celeste partendo dal punto gamma e con senso di
percorrenza antiorario
Declinazione rappresenta la distanza angolare tra un punto della
sfera celeste e lequatore misurata lungo il cerchio orario che passa
per tale punto Si misura in gradi e frazioni di grado con segno positivo
verso il polo nord celeste e negativo verso il polo sud
Bignamino di astronomia
6
RELAZIONI TRA I SISTEMI DI RIFERIMENTO
Latitudine del luogo
120593 = ℎ119901119900119897119900119873119900119903119889 = 90deg minus 119911119875119900119897119900119873119900119903119889
La latitudine geografica 120593 di una localitagrave sulla superficie della Terra egrave
lrsquoaltezza del polo celeste sul suo orizzonte Orizzonte e Zenit sono
separati da un angolo retto La latitudine geografica del luogo si
ottiene sottraendo da 90deg lrsquoaltezza del polo stesso
Formule inverse
119911119875119900119897119900119873119900119903119889 = 90deg minus 120593
Stelle circumpolari
120575 ge 90deg minus 120593
Vista da un qualsiasi luogo della superficie terrestre (quando
siamo allrsquoEquatore la situazione di complica) una parte della
volta celeste non tramonta mai e rimane sempre al di sopra
dellrsquoorizzonte Tale parte di cielo egrave detta ldquocircumpolarerdquo Essa
contiene le stelle che hanno declinazione 120575 maggiore o uguale
a un valore limite che si ottiene sottraendo da 90deg il valore della
latitudine geografica 120593 del luogo
Se la declinazione egrave compresa tra
minus(90deg minus 120593) lt 120575 lt +(90deg minus 120593)
le stelle sono occidue sorgono e tramontano sullrsquoorizzonte dellrsquoosservatore
Se
120575 lt minus(90deg minus 120593) 120575 lt minus90deg + 120593
Le stelle sono anticircumpolari (cioegrave quelle che non sorgono mai e stanno sempre al di sotto
dellrsquoorizzonte)
Bignamino di astronomia
7
Culminazione
Una stella culmina quando raggiunge la sua massima altezza cioegrave egrave sul meridiano
La declinazione 120575 la distanza zenitale z sono legate in modo semplice alla latitudine 120593
dellrsquoosservatore
Al momento della culminazione superiore (massima altezza della stella sullrsquoorizzonte) si ha
119911 = 120593 ndash 120575
Al momento della culminazione inferiore si ha
119911 = 120593 + 120575 ndash 180deg
Altezza (culminazione superioreinferiore)
Una stella culmina superiormente quando raggiunge la sua massima
altezza vista un determinato luogo (ad una determinata latitudine 120593)
ℎ1 = 90deg plusmn (120593 minus 120575)
Bignamino di astronomia
8
Poicheacute lrsquoaltezza deve esere h le 90deg distinguiamo i due casi
1) Se 120575 lt 120593 h=90deg- 120593 + 120575 (va preso il segno meno)
2) Se 120575 gt 120593 h=90deg+ 120593 - 120575 (va preso il segno piugrave)
Analogamente in culminazione inferiore
ℎ2 = minus90deg + 120593 + 120575
Poicheacute se 120575 lt 120593
ℎ2 = 120575 - ( 90 ndash 120593)
ℎ2 = 120575 - 90 + 120593
ℎ2 = - 90 + 120575 + 120593
Se 120575 gt 120593
ℎ2 = 120575 + ( 120593 - 90 )
ℎ2 = - 90 + 120575 + 120593
La formula per il calcolo della culminazione inferiore egrave sempre la stessa
Formule inverse della h=90deg+ 120593 - 120575
120593 = 90deg minus ℎ + 120575
120575 = 120593 + ℎ minus 90deg
Bignamino di astronomia
9
Latitudine del luogo (culminazione superiore ed inferiore)
120593 =ℎ1 + ℎ2
2
Questa formula egrave valida per tutte le stelle ma la si usa spesso per
conoscere la latitudine di un luogo osservando una stella
circumpolare La latitudine infatti non egrave altro che una ldquomediardquo
tra le due altezze (culminazione superiore ed inferiore)
Formule inverse
ℎ1 = 2120593 minus ℎ2
ℎ2 = 2120593 minus ℎ1
Per una stella circumpolare la minima altezza egrave ℎ119898119894119899= δ + ϕ - 90deg
Distanza zenitale
119911 = 90deg minus ℎ
La distanza zenitale indica quanto dista la stella dallo zenit che si trova
sulla verticale dellrsquoosservatore Per trovarla basta sottrarre a 90deg (la
verticale e lrsquoorizzonte sono separati da un angolo retto) lrsquoaltezza della
stella h
Formule inverse
ℎ = 90deg minus 119911
Bignamino di astronomia
10
Ascensione retta
Tra lrsquoascensione retta 120630il suo angolo orario H ed il tempo siderale relativi ad un dato osservatore
vale la relazione
119879119904 = 120572 + 119867
Nota
Quando il punto 120574 passa al meridiano 119879119904 = 0 (Il tempo siderale egrave definito come lrsquoangolo orario del
punto 120574 ) quando la stella passa al meridiano H= 0 e
119879119904 = 120572
Il tempo siderale coincide con lrsquoascensione retta delle stelle che passano al meridiano
Per conoscere lrsquoascensione retta di una stella 120572 bisogna calcolare
la differenza tra il tempo siderale del luogo 119879119904 di osservazione e
lrsquoangolo orario 119867 della stella stessa
120572 = 119879119904 minus119867
Lrsquoangolo orario si trova dalla 119867 = 119879119904 minus 120572
il punto nord ha H di 12 h e declinazione 90 - latitudine da noi H 0 e declinazione 90+ latitudine altro emisfero
per il punto sud i due predetti valori si invertono per lrsquoangolo orario e quelli della declinazione diventano
opposti
Bignamino di astronomia
11
MISURA DEL TEMPO
La misura del tempo viene effettuata dal movimento di rotazione diurna della volta celeste
(rotazione della Terra) e dal movimento annuo del Sole (rivoluzione della Terra attorno al Sole)
La rotazione della Terra attorno al suo asse egrave quasi costante quindi lrsquoangolo di rotazione rispetto ad
un qualsiasi riferimento iniziale consente di misurare il tempo Come riferimento iniziale si prende
lrsquoistante del passaggio del punto al meridiano del luogo La durata del giorno dipende da questo
punto scelto
In Astronomia i punti adottati sono Il punto γ il
centro del disco apparente del Sole (Sole vero) il
Sole medio (un Sole ideale che parte dal punto γ
assieme al Sole vero percorre lrsquoequatore celeste
con velocitagrave angolare costante in modo da
ritornare allrsquoequinozio di primavere assieme al
Sole vero)
Le tre unitagrave di tempo definite da questi punti si
chiamano giorno siderale giorno solare vero
giorno solare medio Il tempo da esse misurato egrave
tempo siderale tempo solare vero tempo solare medio
Nota Non sono tempi diversi ma solo diverse unitagrave di misurare il tempo
Giorno siderale ndash tempo siderale
Si definisce giorno siderale lrsquointervallo di tempo compreso tra
due successivi passaggi del punto γ allo stesso meridiano del
luogo
Si definisce tempo siderale lrsquointervallo di tempo compreso tra il
passaggio al meridiano del punto di primavera ad unrsquoaltra
posizione qualsiasi
119905119904 = H + 120572
(Tempo siderale = angolo orario Sole + ascensione retta Sole
medio)
Bignamino di astronomia
12
Giorno solare vero-Tempo solare vero
Il giorno solare vero egrave lrsquointervallo di tempo compreso tra due passaggi superiori o inferiori del centro
del Sole
Il tempo solare vero egrave lrsquointervallo di tempo compreso tra il passaggio inferiore
del Sole ad un altro punto
Al meridiano il 119879119904119900119897119890 119907119890119903119900 = 119867119878119900119897119890 119907119890119903119900 +12ℎ
Giorno solare medio - Tempo solare medio
Il giorno solare medio egrave lrsquointervallo compreso tra due passaggi superiori o inferiori del Sole medio
Il tempo solare medio egrave lrsquointervallo di tempo compreso tra il passaggio inferiore del Sole medio ad
un altro punto
119879119904119900119897119890 119898119890119889119894119900 = 119867119878119900119897119890 119898119890119889119894119900 +12ℎ
Equazione del Tempo
Si definisce equazione del tempo la differenza tra il tempo medio ed il tempo solare vero allo stesso
istante
E= 119879119904119900119897119890 119898119890119889119894119900 - 119879119904119900119897119890 119907119890119903119900
E= 119867119878119900119897119890 119898119890119889119894119900 - 119867119878119900119897119890 119907119890119903119900
E= 120572119878119900119897119890 119898119890119889119894119900 - 120572119878119900119897119890 119907119890119903119900
Il tempo solare medio ad un dato istante egrave dato
dal Tempo solare vero piugrave lrsquoequazione del
tempo
119879119904119900119897119890 119898119890119889119894119900= 119879119904119900119897119890 119907119890119903119900 + E
Bignamino di astronomia
13
Relazione tra tempo solare e tempo siderale
Consideriamo la posizione del sole a 24 ore di distanza
1199051119904=1198671199041 + 1205721198781
1199052119904=1198671199042 + 1205721198782
Calcolando la differenza tra le due espressioni si ha
1199052119904- 1199051119904 = (1198671199042 minus 1198671199041 ) + (1205721198782 -1205721198781)
(1198671199042 minus 1198671199041 ) = 24
Mentre la differenza in ascensione retta (1205721198782 -1205721198781) dagrave lo spostamento angolare diurno del sole
medio sullrsquoequatore che in gradi egrave 24
36525
Pe cui
1199052119904- 1199051119904 = 24h + 24
36525
1199052119904- 1199051119904 = 24 (1+ 1
36525)
1199052119904- 1199051119904 = 24 36625
36525
Un giorno solare medio= 36625
36525 giorni siderali
Un giorno siderale= 36525
36625 giorni solari veri
Il rapporto K = 36625
36525 K=1002738 serve per convertire gli intervalli di tempo solare medio in
intervalli di tempo siderali
∆119879119904= K ∆119879119898
Il rapporto Krsquo = 36525
36625 Krsquo = 0997270 serve per convertire gli intervalli di tempo siderali in intervalli
ti tempo solare medio
∆119879119898= Krsquo ∆119879119904
24 ore di tempo medio corrispondono a 24h 03m 5655s di tempo siderale viceversa un giorno
siderale egrave 23h 56m 04s di tempo solare medio
Se s egrave il tempo siderale ad un certo istante ad un dato meridiano mentre alla mezzanotte
precedente sullo stesso meridiano il tempo siderale era S dalla mezzanotte sono passati (s-S) ore
minuti secondi di tempo siderale che corrispondono a (s-S) Krsquo di tempo solare medio Poicheacute a
mezzanotte il tempo solare medio egrave 0ℎ 119879119898 = (s-S) Krsquo rappresenta il tempo solare medio allrsquoistante
del tempo siderale s
Bignamino di astronomia
14
Se al meridiano di quel luogo alla mezzanotte di una certa data il tempo siderale era S allrsquoistante
di tempo medio solare saragrave
s= S + 119879119898 119870
NOTA
Ersquo sempre necessario conoscere il tempo siderale S alla mezzanotte del meridiano dato Per questo
sono stati costruiti annuari che forniscono il tempo siderale 1198780 alla mezzanotte del meridiano
fondamentale di GW
Il tempo siderale S alla mezzanotte ad una data longitudine 120582 egrave dato da
119878 = 1198780 minus120582 ℎ
24ℎ (3119898 56119904 55)
Ora locale e longitudine
Si definisce tempo locale medio il tempo regolato sul meridiano del luogo
Nella vita quotidiana egrave scomodo utilizzare questo
tempo per cui il primo luglio 1919 sono stati introdotti
i fusi orari In base a questa suddivisione il tempo
medio egrave determinato solo per 24 meridiani geografici
principali separati da 15deg gradi (unrsquoora) I fusi orari sono
numerati da 0 a 23 ed il meridiano passante per GW
costituisce lrsquoorigine (fuso = 0)
Il tempo medio locale egrave dato da
119905119897 = 119905119891 ndashΔ120582
dove Δ120582 = 120582119891 - 120582119874
Nota
1) La differenza tra le ore locali (siderali o solari) di due meridiani misurate allo stesso istante
egrave sempre uguale alle differenze di longitudini
2) Poicheacute i confini dei fusi orari distano circa 7deg5 dal meridiano centrale la differenza 119905119897 - 119905119891
puograve essere leggermente maggiore o minore di plusmn 30119898
Bignamino di astronomia
15
Tempo Universale
Il tempo solare medio del meridiano di GW si chiama Tempo Universale (TU)
Per quanto precedentemente detto il tempo medio locale egrave uguale al tempo universale piugrave la
longitudine del luogo espressa in ore e considerata positiva ad est di GW
119905119897 = TU +120582
Bignamino di astronomia
16
MOTO APPARENTE DEI PIANETI
I pianeti si muovono in vicinanza dellrsquoeclittica ma il loro movimento visto dalla Terra egrave piugrave
complicato di quello del Sole e della Luna Il Sole e la Luna riferendo il loro moto rispetto alle stelle
fisse si muovono di moto diretto cioegrave antiorario per i pianeti si osserva che in generale si muovono
di moto diretto ma ce certi tratti variabili da pianeta a pianeta si muovono di moto retrogrado Il
pianeta dopo avere raggiunto una posizione di stazionarietagrave
inverte il moto Questo egrave molto piugrave evidente per i pianeti
interni Mercurio e Venere che oscillano avanti e indietro
rispetto alla posizione del Sole venendosi a trovare ora da
una parte ora dallrsquoaltra rispetto ad esso Quando il pianeta egrave
in congiunzione superiore egrave invisibile perchegrave nasce e
tramonta con il Sole ma essendo in questo momento piugrave
veloce del Sole dopo qualche tempo puograve essere visto dopo
il tramonto ad occidente (si trova a sinistra del Sole)
Lrsquoelongazione orientale cresce nei giorni seguenti e
contemporaneamente decresce la sua velocitagrave angolare e
quando raggiunge la stessa velocitagrave angolare del Sole per
qualche istante si muove mantenendo la stessa distanza il
pianeta raggiungere la massima elongazione orientale Per venere questo valore egrave circa 46deg per
Mercurio egrave variabile dai 18deg ai 28deg Da questo momento il pianeta comincia il suo avvicinamento al
Sole ritornando con moto retrogrado in congiunzione con esso ma questa volta in congiunzione
inferiore Ritorna invisibile (potrebbe esserci un transito) Continuando nel suo moto retrogrado
appare visibile ad occidente (a destra del Sole) ed egrave visibile prima del sorgere del Sole (elongazione
occidentale) Questo ci dice che i pianeti inferiori non possono mai trovarsi in quadratura o
opposizione
I pianeti esterni invece possono assumere qualsiasi distanza dal Sole da 0deg a 180deg e quindi possono
trovarsi nelle due precedenti configurazioni Raggiunta
lrsquoelongazione massima di 180deg i pianeti si trova dalla parte
opposta a quella del Sole la velocitagrave retrograda egrave massima e
raggiungono anche il massimo della luminositagrave Oggi noi
sappiamo che tutto questo egrave dovuto egrave il risultato della
composizione del moto della Terra e di quello dei pianeti
attorno al Sole semplificando osserviamo un oggetto in
movimento essendo noi stessi in movimento Le velocitagrave dei
pianeti variano piugrave sono vicini al Sole piugrave velocemente si
muovono I due pianeti essendo piugrave vicini al Sole sorpassano
la Terra durante il loro moto mentre egrave la Terra a sorpassare i
pianeti esterni quando sono vicini allrsquoopposizione e quindi
essi sembrano muoversi allindietro
Ed allora se indichiamo con T Il nostro anno siderale con P il periodo sidereo del Pianeta e con S il
periodo siderale (il tempo intercorso tra due congiunzioni o due opposizioni successive) la
composizione delle velocitagrave ci consente di calcolare la velocitagrave relativa del pianeta rispetto alla
Terra
Bignamino di astronomia
17
Per i pianeti interni (la Terra si muove piugrave lentamente)
2120587
119878 = 2120587
119875 - 2120587
119879
120783
119930 = 120783
119927 - 120783
119931
Per i pianeti esterni (la Terra si muove piugrave velocemente)
2120587
119878 = 2120587
119879 - 2120587
119875
120783
119930 = 120783
119931 - 120783
119927
Il movimento di tutti i pianeti attraverso le stelle fisse segue apparentemente la stessa direzione di
quello della Luna (e del Sole) - con una strana variante talvolta il loro moto apparente cambia
temporaneamente verso (moto retrogrado) Questo egrave molto piugrave evidente per Mercurio e Venere
che oscillano avanti e indietro rispetto alla posizione del Sole Durante il moto del Sole attraverso le
stelle - lungo le costellazioni dello zodiaco - questi pianeti
talvolta si muovono nello stesso verso e quindi il loro
movimento si somma a quello del Sole ma altre volte il loro
moto apparente si oppone a quello del Sole facendo sigrave che
sembri che si muovano allindietro (moto retrogrado)Gli
altri tre pianeti visibili ad occhio nudo si possono trovare in
qualunque posizione lungo leclittica - anche a mezzanotte in
posizione direttamente opposta a quella del Sole e quando
questo avviene raggiungono il massimo della luminositagrave
Marte sembra muoversi piugrave rapidamente Giove un po meno
e Saturno egrave il piugrave lento Comunque tutti mostrano questa
enigmatica stranezza vicino al punto in cui il loro percorso
apparente nel cielo egrave esattamente in posizione opposta al Sole
(opposizione) il loro movimento tra le stelle
temporaneamente si inverte Oggi noi comprendiamo molto
bene tutto questo (vedi fig1) I pianeti sono oggetti sferici
come la Terra - Venere Mercurio e Marte sono piugrave piccoli Giove e Saturno molto piugrave grandi Anche
la Terra egrave un pianeta e ne esistono anche altri (troppo deboli per essere visti senza un telescopio)
tutti che orbitano attorno al Sole sul piano o vicino al piano delleclittica La loro velocitagrave tuttavia
varia - piugrave sono vicini al Sole e piugrave rapidamente si muovono (vedi la sezione ldquoterza legge di Keplerordquo)
Quindi quando i tre pianeti esterni sono vicini allopposizione la Terra che orbita piugrave vicina al Sole
li sorpassa e quindi essi sembrano muoversi allindietro Il moto retrogrado dei due pianeti interni
ha una causa simile Essendo piugrave vicini al Sole sono essi che sorpassano la Terra durante il loro moto
Bignamino di astronomia
18
Sommario di quanto egrave noto oggi sui pianeti
Viene qui riportato un breve sommario dei componenti del sistema solare In genere vengono distinte quattro classi di oggetti
1 I pianeti maggiori in ordine di distanza dal Sole - Mercurio Venere Terra Marte Giove Saturno Urano e Nettuno Tutti tranne i due piugrave interni hanno dei satelliti e tutti e quattro i piugrave esterni hanno degli anelli composti da piccoli ciottoli di materia in orbita attorno al pianeta
2 Asteroidi o pianetini in maggioranza - anche se non tutti - posti tra Marte e Giove Il loro diametro arriva fino a 500 Km
3 La fascia di Kuiper di oggetti ghiacciati oltre lorbita di Nettuno di cui il piugrave noto (anche se ora si egrave scoperto che egrave solo il secondo come dimensioni) egrave Plutone scoperto nel 1930 e delle dimensioni della nostra Luna La fascia ha preso il nome dellastronomo belga Gerard Kuiper si estende probabilmente a una distanza doppia di quella di Nettuno e si stima che consista di circa 100000 oggetti (finora ne sono stati identificati circa 1000) molti dei quali con un diametro di soli 100 Km o meno
4 Comete tradizionalmente divise in non ricorrenti (il nome ufficiale egrave comete a lungo periodo) e comete periodiche Le comete non ricorrenti si pensa che provengano dalla nube di Oort un enorme agglomerato quasi sferico di oggetti ghiacciati agli estremi limiti del sistema solare Essi sono debolmente legati al Sole e di tanto in tanto lattrazione gravitazionale di qualche stella lontana probabilmente cambia un poco il moto di alcuni di
essi lanciandoli in direzione del Sole In tal caso diventano visibili come comete quando la luce del Sole fa evaporare una parte della loro superficie generando la chioma e la coda della cometa Le comete periodiche una volta erano considerate come oggetti che avevano iniziato come oggetti non ricorrenti ma poi erano state deviate e catturate dallattrazione gravitazionale dei pianeti piugrave grandi Oggi si ritiene che provengano dalla fascia di Kuiper come classe di oggetti noti come Centauri
Bignamino di astronomia
19
LE LEGGI DEL MOTO DEI PIANETI
Prerequisito Lrsquoellisse
Luogo geometrico dei punti del piano per i quali si
mantiene costante la somma delle distanze da due
punti fissi detti fuochi
Detta in parole piugrave semplici lellisse non egrave altro che
una circonferenza ldquoschiacciata Un elemento
fondamentale che ci permette di capire di quanto
questa viene compressa egrave leccentricitagrave e
Leccentricitagrave egrave definita come il rapporto tra la
semidistanza focale e il semiasse maggiore
119890 =119888
119886
Formule inverse
119888 = 119886119890
119886 =119888
119890
Infatti nellellisse possiamo individuare
bull Semiasse maggiore (a)
bull Semiasse minore (b)
bull Semidistanza focale (c)
Indicheremo quindi con 2a il semiasse maggiore (AB) con 2b il semiasse minore (CD) e con 2c la
distanza focale (F1F2)
ATTENZIONE lrsquoeccentricitagrave dellellisse egrave SEMPRE compresa tra 0 e 1 (0ltelt1) Se
questa fosse uguale a 0 i due fuochi andrebbero a coincidere con lorigine e lellisse
diventerebbe una circonferenza Se fosse uguale a 1 diventerebbe una parabola se
fosse egt1 diventerebbe una iperbole
Dalla figura si nota che la somma delle distanze dai due punti fissi detti fuochi egrave costante ed egrave pari
alla lunghezza dellasse maggiore (2a) Quindi si puograve anche applicare il teorema di Pitagora
1198862 = 1198872 + 1198882
Formule inverse
1198872 = 1198862 minus 1198882
1198882 = 1198862 minus 1198872
Bignamino di astronomia
20
LEGGI DI KEPLERO
PRIMA LEGGE
Enunciato i pianeti descrivono intorno al Sole orbite
ellittiche in cui questo occupa uno dei fuochi
Si puograve quindi notare che la distanza di un pianeta
attorno al Sole non si mantiene costante bensigrave ci
saragrave un punto in cui questo saragrave piugrave vicino al Sole
(perielio) e uno in cui saragrave piugrave lontano (afelio)
Possiamo quindi calcolare le due distanze
119889119886 = 119886(1 + 119890)
119889119901 = 119886(1 minus 119890)
Formule inverse
119886 =119889119886
1 + 119890
119886 =119889119901
1 minus 119890
119890 =119889119886
119886minus 1
119890 = 1 minus119889119901
119886
Inoltre si nota anche che dalla somma delle due distanze otteniamo lasse maggiore dellorbita
2119886 = 119889119886 + 119889119901
E il semiasse egrave quindi dato da
119886 =119889119886 + 119889119901
2
Bignamino di astronomia
21
Formule inverse
119889119886 = 2119886 minus 119889119901
119889119901 = 2119886 minus 119889119886
La distanza focale egrave data dalla differenza delle due distanze
2119888 = 119889119886 minus 119889119901
119888 =119889119886 minus 119889119901
2
Formule inverse
119889119886 = 2119888 + 119889119901
119889119901 = 119889119886 minus 2119888
Quindi leccentricitagrave dellrsquoorbita puograve essere anche scritta come
119890 =119889119886minus119889119901
119889119886+119889119901=
2119888
2119886 =
119888
119886
SECONDA LEGGE
Enunciato il raggio vettore che congiunge il Sole al pianeta spazza aree
uguali in tempi uguali
Dalla seconda legge comprendiamo che la velocitagrave del pianeta intorno
al Sole non egrave costante al perielio viaggeragrave piugrave velocemente che
allafelio Quindi si puograve affermare che le velocitagrave sono inversamente
proporzionali alle distanze
119881119886
119881119901=119889119901
119889119886
Formule inverse
119881119886 =119889119901 119881119901
119889119886
Bignamino di astronomia
22
119881119901 =119881119886 119889119886
119889119901
119889119886 =119881119901 119889119901
119881119886
119889119901 =119881119886 119889119886
119881119901
TERZA LEGGE
Enunciato i cubi dei semiassi maggiori sono
proporzionali ai quadrati dei periodi di
rivoluzione
1198863
1198792= 119896
Dalla terza legge si nota che esiste una relazione tra periodo di rivoluzione e lontananza dal corpo
centrale Sono infatti legati tra loro dal valore di una costante che egrave stata indicata con k
Per i corpi orbitanti intorno ad una massa comune (come ad esempi o per i corpi del Sistema solare)
questa legge puograve essere anche scritta come
1198861199053
1198791199052 =
1198861198983
1198791198982
=1198861199043
1198791199042 = ⋯
PER I CORPI DEL SISTEMA SOLARE se si inserisce in formula il valore del semiasse maggiore in unitagrave
astronomiche (UA) e il periodo di rivoluzione in anni il valore di questa costante egrave uguale a 1 Infatti
ricavandola per la Terra
(1 119880119860)3
(1 119886119899119899119900)2= 1
E se k=1 per la Terra vale per tutti gli altri corpi orbitanti intorno al Sole
Bignamino di astronomia
23
NEWTON E LA GRAVITAZIONE UNIVERSALE
Con le leggi di Keplero siamo ancora in quella parte di fisica che descriviamo come cinematica
descriviamo perfettamente i moti dei pianeti ma non risaliamo alle cause Newton avanzograve lrsquoipotesi
che sia i gravi in caduta libera che i pianeti vengono deviati dalla condizione di moto rettilineo
uniforme dallrsquoesistenza di una forza centrale Nel 1684 Newton ldquopoggiandosi sulle spalle dei
gigantirdquo (Keplero ed il nostro Galilei) dimostrograve che la forza che fa ldquofluttuarerdquo i pianeti attorno al Sole
dipende dallrsquoinverso del quadrato della distanza da esso
Integrando il suo secondo principio della dinamica con la terza legge di Keplero perviene a
119865119892=41205872 119898
1198701199032
Questa forza deve dipendere anche dalla massa M del Sole ed allora
119865119892=41205872 119898119872
1198721198701199032
Dove K egrave la costante della terza legge di Keplero Ponendo la quantitagrave 41205872
119872119870 = G ( notare che contiene
la costante K e la massa del Sole) otteniamo la nota formula
119865119892=119866 119898119872
1199032
Newton dedusse che questa legge egrave valida non solo per i corpi del sistema solare ma in tutto
lrsquoUniverso egrave la Legge di Gravitazione Universale Nel 1798 Cavendish ideograve la bilancia a torsione e
trovograve il valore per la costante G = 667times10⁻sup1sup1 N msup2kgsup2
Bignamino di astronomia
24
Terza legge di Keplero generalizzata
Approssimando lrsquoorbita di un corpo a circolare e considerando trascurabile la massa del corpo
orbitante la condizione di equilibrio per la quale esso orbita egrave data da
119865119888 = 119865119892
119865119900119903119911119886 119888119890119899119905119903119894119891119906119892119886 = 119865119900119903119911119886 119892119903119886119907119894119905119886119911119894119900119899119886119897119890
La forza centrifuga egrave espressa come
119865119888 = 119898 119886119888
E quella gravitazionale (dalla legge di gravitazione universale di Newton) come
119865119892 =119866119872119898
1198862
Sostituendo in formula
119898119886119888 =119866119872119898
1198892
Notiamo che semplificando m otteniamo un modo per esprimere lrsquoaccelerazione
119886119888 =119866119872
1198892
Lrsquoaccelerazione egrave espressa come
119886119888 =1199072
119886=412058721198862
1198792119886=41205872119886
1198792
Sostituendo in formula
41205872119886
1198792=119866119872
1198862
Da cui
1198863
1198792=119866119872
41205872
Formule inverse
119886 = radic119866119872 1198792
41205872
3
119879 = radic412058721198863
119866119872
Bignamino di astronomia
25
119872 =412058721198863
119866 1198792
Nota nel caso in cui la massa del corpo orbitante non fosse trascurabile la terza legge di Keplero
generalizzata diventerebbe
1198893
1198792=119866 (119872 +119898)
41205872
Nel Sistema solare la somma delle due masse si considera uguale alla sola massa del
Sole data la relativa piccola massa dei pianeti
NOTA I corpi lasciati cadere verso il basso quando la resistenza dellrsquoaria egrave trascurabile cadono con la
stessa accelerazione g detta accelerazione di gravitagrave Sulla superficie terrestre lrsquoaccelerazione di
gravitagrave egrave g = 98 ms2 In realtagrave il valore di g cambia da punto a punto percheacute dipende fra lrsquoaltro
dallrsquoaltezza del punto sul livello del mare e dalla sua latitudine Ora che conosciamo la legge di
gravitazione universale possiamo dire che i corpi cadono per effetto della forza di gravitazione che
si esercita tra il corpo e la Terra Allora
119892 =119866119872
1198892
Se il corpo si trova sulla Terra o prossimo alla superficie sostituendo a questa formula i valori relativi
alla massa della Terra e al suo raggio troviamo per lrsquoaccelerazione il valore noto di 98 ms2
Un altro fattore che influisce sul valore di g egrave la rotazione terrestre in quanto ogni corpo su di
essa egrave soggetto ad una forza centripeta per cui
119892rsquo = 119892 minus 1205962 119877119879
ldquoRationem vero harum
Gravitatis proprietatum
ex phaelignomenis nondum
potui deducere amp
hypotheses non fingordquo
ldquoIn veritagrave non sono riuscito a dedurre la causa di
queste proprietagrave della gravitagrave dai fenomeni e non
avanzo ipotesirdquo
Isaac Newton Philosophiae Naturalis Principia
Mathematica liber tertius
Bignamino di astronomia
26
ALCUNE CONSIDERAZIONI SULLE ORBITE
La Legge della Gravitazione Universale ci insegna che la forza drsquoattrazione gravitazionale egrave
inversamente proporzionale al quadrato della distanza delle due masse che si attraggono ovvero
119865 prop1
1198892 a causa di questa caratteristica dellrsquointerazione gravitazionale si puograve dimostrare che le
orbite descritte dai corpi celesti attorno a un oggetto ldquoattrattorerdquo seguono particolari curve le
coniche
Le coniche sono curve che si ottengono dallrsquointersezione di un piano con un cono a due falde Si
ottengono cosigrave circonferenza ellisse iperbole e parabola
Ciograve che distingue lrsquouna dallrsquoaltra queste curve egrave un parametro lrsquoeccentricitagrave
Circonferenza il piano egrave perpendicolare
allrsquoasse (tratteggiato)
Ellisse il piano egrave obliquo
Parabola il piano egrave parallelo a una delle
generatrici (le due rette incidenti in V in
figura)
Iperbole il piano egrave parallelo allrsquoasse del cono
CIRCONFERENZA e=0
ELLISSE 0ltelt1 (piugrave questo valore si avvicina ad 1 piugrave
lrsquoellisse egrave schiacciata)
PARABOLA e=1
IPERBOLE egt1 (quanto piugrave maggiore di uno egrave
questo valore tanto piugrave lrsquoiperbole egrave ldquoapertardquo)
Bignamino di astronomia
27
VELOCITAgrave ORBITALE ORBITA CIRCOLARE
Affincheacute il corpo rimanga in orbita egrave necessario che in ogni punto dellrsquoorbita la forza centripeta sia
uguale alla forza di attrazione gravitazionale
FC = FG
mv2
R=mMG
R2
mv2
R=mMG
R2
v2 =MG
R
119855 = radic119820119814
119825
A questa velocitagrave si dagrave il nome di prima velocitagrave cosmica
VELOCITAgrave SU ORBITE NON CIRCOLARI
Il problema si risolve con lrsquoapplicazione del principio di conservazione dellrsquoenergia meccanica che
altro non egrave che la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale
119922120783 + 119932120783 = 119922120784 + 119932120784
E poicheacute le velocitagrave orbitali variano al variare dalla distanza alla prima equazione egrave necessario
associare la seconda legge di Keplero
Per cui il problema egrave risolto dalla soluzione del sistema
119922120783 + 119932120783 = 119922120784 + 119932120784119959119938 119941119938 = 119959119953119941119953
Nel caso della forza gravitazionale lrsquoenergia potenziale egrave 119880 = minus119898119872119866
119877
Lrsquoenergia cinetica egrave K= 1
21198981199072
Bignamino di astronomia
28
Il sistema diventa
119907119886119889119886 = 1199071199011198891199011
2119898119907119886
2 minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
Le soluzioni sono 119959119938 = radic120784119918119924119941119953
119941119938(119941119953+119941119938) 119959119953 = radic120784119918119924
119941119938
119941119953(119941119953minus119941119938)
Ricordando che 119889119886 = 119886(1 + 119890) 119889119901 = 119886(1 minus 119890) 119938 =119941119938+119941119953
120784 119942 =
119941119938minus119941119953
119941119938+119941119953
le due velocitagrave possono anche essere espresse in funzione del semiasse maggiore e
dellrsquoeccentricitagrave dellrsquoorbita
Quindi
119907119901 = radic119918119924
119938(120783+119942
120783minus119942)
119907119886 = radic119918119924
119938(120783minus119942
120783+119942)
ALCUNE CONSIDERAZIONI DINAMICHE SULLE ORBITE
Allrsquoinizio di questi appunti abbiamo evidenziato come gli oggetti orbitanti seguano delle traiettorie
che sono curve coniche e abbiamo individuato questrsquoultime catalogandole anche a seconda
dellrsquoeccentricitagrave in seguito abbiamo enunciato il principio di conservazione dellrsquoenergia meccanica
119922+119932 = 119940119952119956119957119938119951119957119942
Possiamo procedere nella classificazione delle orbite a seconda del valore assunto da questa
costante (lrsquoenergia meccanica) In particolare
bull Se questa costante egrave negativa allora lrsquooggetto segue unrsquoorbita chiusa (circonferenza
ellisse)
bull Se essa egrave nulla allora il corpo si muove su unrsquoorbita parabolica (a distanza infinita la sua
velocitagrave egrave nulla)
bull Se essa egrave positiva allora la traiettoria egrave iperbolica (e il corpo giunge a distanza infinita con
velocitagrave ndash chiamata ldquovelocitagrave drsquoeccesso iperbolicordquo ndash non nulla)
Bignamino di astronomia
29
VELOCITAgrave DI FUGA ndash RAGGIO DI SCHWARZSCHILD
119959 = radic120784119918119924
119929
A questa velocitagrave si dagrave il nome di seconda velocitagrave cosmica o velocitagrave di fuga
Immaginiamo ora di poter comprimere un corpo celeste di massa M (quindi via via il raggio R
diminuisce) la velocitagrave di fuga di un altro corpo dalla sua superficie aumenteragrave al diminuire del
raggio Quando il raggio raggiungeragrave un valore ldquocriticordquo la velocitagrave di fuga eguaglieragrave quella della
luce e neanche la luce potragrave allontanarsi indefinitamente dal corpo esso egrave diventato un buco nero
Al raggio ldquocriticordquo associato a ogni massa M si dagrave il nome di Raggio di Schwarzschild in onore del
matematico astronomo e astrofisico tedesco Karl Schwarzschild (1873-1916) il raggio si ricava cosigrave
119888 = radic2119866119872
119877119904 rarr 1198882 =
2119866119872
119877119904 rarr 119929119956 =
120784119918119924
119940120784
Dove c egrave la velocitagrave della luce (c=299792458 ms)
Bignamino di astronomia
30
ECLISSI LUNA-SOLE
Eclisse di Luna
Una eclisse di Luna si verifica quando la Terra si interpone tra il nostro satellite ed il Sole cioegrave
quando la Luna entra nel cono drsquoombra della Terra che egrave rivolto dalla parte opposta al Sole e per
tanto lrsquoeclisse piograve avvenire solo quando la Luna egrave in opposizione cioegrave quando egrave piena Poicheacute la
Luna si sposta da ovest verso est essa
entra nel cono drsquoombra della Terra dalla
parte sinistra Se lrsquoorbita della Luna
attorno alla Terra giacesse sullo stesso
piano dellrsquoorbita della Terra attorno al
Sole ad ogni plenilunio avremmo una
eclisse totale di Luna Queste due orbite
sono inclinate di 5deg9rsquo e si incontrano i
due punti che definiscono i nodi Percheacute
si abbia una eclisse Sole e Luna non solo
devono essere allrsquoopposizione ma
devono essere vicinissimi ai nodi In media la distanza angolare del Sole dal nodo deve essere minore
di 9deg9 per unrsquoeclisse parziale e non piugrave di 4deg6 per unrsquoeclisse totale
Calcolo lunghezza cono drsquoombra della Terra
I triangoli VAS e VBT sono simili (vedi figura)
VS VT= AS BT
Ma
VS= VT+ TS
sostituendo si trova che
VT =119879119878∙119861119879
119860119878minus119861119879
Siccome sappiamo che il raggio del Sole egrave circa 10925 raggi terrestri abbiamo
Bignamino di astronomia
31
VT= 119878119879∙119861119879
10925119861119879minus119861119879
VT= 119878119879
10925minus1
La lunghezza del cono drsquoombra si puograve calcolare dividendo la distanza media Terra-Sole per 10925
Si puograve calcolare anche il semidiametro apparente visto dalla Terra dellrsquoombra che la Terra proietta
sul piano dove si trova la Luna
Poicheacute il raggio angolare della Luna egrave di 15rsquo5 percheacute una eclisse di Luna possa avere luogo egrave
necessario che la distanza tra i centri dellrsquoombra terrestre e della Luna sia inferiore a
41rsquo+15rsquo5 = 56rsquo5
Con questo dato si puograve calcolare quanto egrave spostato il centro dellrsquoorbita terrestre dal nodo lunare
Dalla proporzione
119861119879 119877119867 = 119881119879119867119881
119877119867 =119881119867 ∙ 119861119879
119881119879
Dato che
119881119867 = 119881119879 minus 119879119867
119877119867 =119861119879 (119881119879 minus 119879119867)
119881119879=
=119861119879
119881119879(1 minus
119879119867
119881119879) =
Dalla formula precedente
119881119879 =119878119879
10825
Sostituendo
Bignamino di astronomia
32
119877119867 =119861119879 ∙ 10825
119878119879(1 minus 119879119867) =
= 119877119879119864119877119877119860119863119879119878
10825 (1 minus 119863119879119871)
Si trova che questo valore egrave di 10deg6 Quindi unrsquoeclisse lunare si puograve verificare (anche di breve
durata) solo nel caso in cui lrsquoorbita terrestre egrave spostata meno di 10deg6 gradi dal nodo lunare (ad est
o ad ovest)
La Terra si muove lungo lrsquoeclittica di circa 59rsquo al giorno Per percorrere questa distanza impiega 108
giorni e la distanza doppia in 216 giorni poicheacute una rivoluzione sinodica si compie in 295 giorni
Una Luna piena puograve verificarsi ad una distanza superiore ai 10deg6 gradi ad ovest e la successiva Luna
piena ad una distanza superiore ad est e quindi nel corso di questa rivoluzione non si verificheranno
eclissi Si puograve verificare che in un anno non ci siano eclissi o al massimo tre quando la prima cade
poco dopo il primo gennaio la seconda sei mesi dopo (in prossimitagrave di giugno) e la terza a fine
dicembre (dodici mesi sinodici dopo la prima 354 giorni)
Bignamino di astronomia
33
Eclisse di Sole
Uneclissi di Sole si verifica quando la Luna attorno alla sua congiunzione si trova allineata tra la
Terra e il Sole molto vicino ad uno dei nodi o esattamente in esso Bencheacute di dimensioni
estremamente diverse si trovano a distanze tali da mostrare lo stesso diametro apparente Il che
consente alla Luna di coprire il disco del Sole
Percheacute ci sia una eclisse di Sole egrave necessario che
al momento del novilunio il Sole sia distante
dal nodo inferiore in media 15deg5 Questo
valore egrave piugrave alto di quello calcolato per lrsquoeclisse
di Luna e quindi si capisce percheacute le eclissi di
Sole sono piugrave frequenti Il cono drsquoombra
massimo della Luna ha un valore che non
supera i 270km sulla superficie della Terra mentre la lunghezza del cono drsquoombra egrave circa 374000
per cui il vertice di questo cono non sempre raggiunge la Terra in questo caso si hanno eclissi
anulari In localitagrave differenti della Terra lrsquoeclisse di Sole si verifica in tempi diversi Il moto della Luna
attorno alla Terra e la rotazione della Terra attorno al proprio asse fanno sigrave che lrsquoombra lunare si
sposti da ovest verso est formando una striscia drsquoombra lunga un migliaio di km e larga da 200 a 270
km Poicheacute la Luna si sposta da ovest verso est lrsquoeclisse inizia dal bordo ovest del Sole
Condizione percheacute si possa verificare unrsquoeclissi di Sole
Percheacute si verifichi unrsquoeclisse di Sole egrave necessario che nel periodo della Luna nuova questa si trovi in
prossimitagrave di uno dei nodi della sua orbita cioegrave in vicinanza dellrsquoeclittica
Indichiamo con S T L i centri del Sole della Terra della Luna che giacciono tutti su di un piano
perpendicolare al piano dellrsquoeclittica Il verificarsi dellrsquoeclisse dipende dalla latitudine geocentrica
della Luna (nella figura lrsquoangolo LTS (vertice in T) = 120573 )
Dalla figura
Bignamino di astronomia
34
120573 = LTLrsquo+ LrsquoTSrsquo + STSrsquo
Dalla figura si evince che
LTLrsquo egrave il raggio angolare della Luna= 120572119871
STSrsquo egrave il raggio angolare del Sole = 120572119878
120573 = 120572119871 + LrsquoTSrsquo + 120572119878
Lrsquo TSrsquo =
Consideriamo lrsquoangolo TLrsquoO esterno al triangolo TLrsquoSrsquo
TLrsquoO= LrsquoTSrsquo + TSrsquoLrsquo
TLrsquoO= LrsquoTSrsquo + TSrsquoO
LrsquoTSrsquo = TLrsquoO - TSrsquoO
TLrsquoO = 119901119871 = 57prime2primeprime (parallasse orizzontale della Luna)
TSrsquoO= 119901119878 = 8primeprime 8 (parallasse orizzontale del Sole)
120573 = 120572119871 + 120572119878 + 119901119871 - 119901119878
120573 = 15rsquo5 +16rsquo3 +57rsquo2 ndash 8rsquorsquo8
120573 = 88rsquo46
Percheacute si verifichi una eclisse anche di breve durata egrave necessario che la latitudine geocentrica della
Luna sia inferiore a 88rsquorsquo46
La parallasse orizzontale equatoriale della Luna egrave lrsquoangolo sotto il quale dal centro della Luna egrave
visibile il raggio equatoriale della Terra La parallasse orizzontale equatoriale del Sole egrave lrsquoangolo
sotto il quale dal centro del Sole egrave visibile il raggio equatoriale della Terra
Bignamino di astronomia
35
La distanza angolare del centro della Luna rispetto al
nodo (longitudine) si puograve calcolare con la
sinΔ120582 = tan120573
tan 119894
Δ120582 = 16deg5
Il Sole muovendosi alla velocitagrave di 59rsquo al giorno percorre 33deg gradi di eclittica in 34 giorni Essendo
il periodo sinodico di 295 giorni egrave evidente che nel corso di questo periodo si ha una Luna nuova
(ed anche due) Questo assicura che nel corso di un anno si verificano almeno due eclissi di Sole in
vicinanza dei nodi Se la prima si verifica ai primi di gennaio la seconda si ha alla Luna nuova
successiva la terza e la quarta poco meno di sei mesi dopo e la quinta 354 giorni dopo la prima
Bignamino di astronomia
36
Numero totale di eclissi per anno
Il Ciclo di Saros
In base a quanto fin qui detto il numero massimo di eclissi che si possono verificare in un anno egrave 7
bull 2 Luna + 5 Sole
bull 3 Luna + 4 Sole
e viceversa Questa combinazione egrave piuttosto rara lrsquoevento piugrave frequente egrave 2 Luna + 2 Sole Il
numero minimo costituito da due eclissi entrambe di Sole
Fin dallrsquoantichitagrave era noto che le eclissi si succedevano pressocheacute nello stesso ordine in un periodo
di circa 18 anni e 113 giorni La spiegazione egrave alquanto semplice
Le fasi lunari si succedono ogni 2953 giorni (mese sindico) mente il ritorno allo stesso nodo della
Luna avviene ogni 2721 giorni I nodi
hanno un moto di retrogradazione in un
giorno percorre un angolo pari a
3rsquo10rsquorsquo64 e completa il giro in 18anni e
113 giorni Il Sole si sposta di moto
diretto in media di 59rsquo8rsquorsquo33 al giorno
rispetto al nodo Il moto del Sole egrave di
62rsquo19rsquorsquo e quindi lrsquointervallo di tempo fra
due passaggi consecutivi del centro del
Sole per lo stesso nodo egrave di 34662 giorni
(anno draconico) Il saros egrave lrsquointervallo di tempo percheacute questi tre periodi tornino nella stessa
successione La natura si diverte
Succede che
bull 223 lunazioni (223 mesi sinodici) corrispondono a giorni 658519 (223 x 2953)
bull 242 mesi draconici corrispondono a giorni 658502
bull questi giorni corrispondono a 18 anni e circa 11 giorni
Poi succede che se dividiamo questi 658519 per lrsquoanno draconico troviamo circa 19
Questi tre periodi ritornano nella stessa successione dopo circa 6585 giorni che rappresenta il
ciclo di Saros Le condizioni in cui si producono le eclissi non saranno mai le stesse poicheacute essendo
223 mesi sinodici piugrave corti di 004 mesi draconici dopo 18 anni la Luna non si troveragrave esattamente
allo stesso posto rispetto al nodo Il ciclo di Saros contiene 6585 giorni interi piugrave circa 13 di giorni
questo comporta che le zone di visibilitagrave delle eclissi sulla superficie terreste in 18 anni si spostano
di circa 120deg verso Ovest
Bignamino di astronomia
37
ANGOLO SOLIDO
Si definisce angolo solido la porzione di sfera intercettata dalle
semirette che lo individuano
120570 =119860
1198772=41205871198772
1198772= 4120587
120570 = 4120587
Langolo solido totale di una sfera egrave pari a 4π Lunitagrave di misura
egrave sr (steradiante) ed egrave un numero puro
Per avere la misura in gradi quadrati si deve
119898119900119897119905119894119901119897119894119888119886119903119890 4120587 bull (180deg
120587)2
119900 1198891198941199071198941198891198901199031198904120587
1205872
4π sr= 41253deg -gt 1deg=3046 bull 10minus4119904119905119890119903119886119889
STRUMENTI OTTICI
CAMPO DELLO STRUMENTO
Il campo di uno strumento egrave definito dallangolo solido sotto il quale loculare viene visto dal centro
dellobiettivo Il campo corretto dalle aberrazioni ottiche di norma egrave 1
2deg
APERTURA ASSOLUTA
Lapertura assoluta dipende dal diametro D dello strumento La quantitagrave di luce raccolta egrave
proporzionale allarea dellobiettivo cong 1198632
APERTURA RELATIVA
Si definisce apertura relativa il rapporto
119863
119891=119886119901119890119903119905119906119903119886 119886119904119904119900119897119906119905119886 (119889119894119886119898119890119905119903119900)
119891119900119888119886119897119890 119889119890119897119897prime119900119887119894119890119905119905119894119907119900
Bignamino di astronomia
38
RAPPORTO FOCALE
Linverso dellrsquoapertura relativa 119891
119863 definisce il rapporto focale
Lenergia raccolta dallobiettivo egrave distribuita sullarea dellimmagine la cui grandezza sul piano focale
egrave data da
119889 = 119891 bull 119905119886119899120572
Con α=diametro angolare dellrsquooggetto
119889 = 119891120572
Se α egrave espresso in radianti
POTERE RISOLUTIVO
Il potere risolutivo egrave la minima distanza angolare tra due sorgenti di luce che possono essere viste
separate (ldquorisolte in termine tecnico) secondo un criterio detto di Rayleigh
Due sorgenti puntiformi (di uguale luminositagrave) risultano risolte quando la loro distanza angolare
120579 =122 bull 120582
119863=119897119906119899119892ℎ119890119911119911119886 119889prime119900119899119889119886
119889119894119886119898119890119905119903119900
Si ottiene un risultato in radianti
In secondi darco invece
120579 =25 bull 105 bull 120582
119863
Con λ=lunghezza donda della luce=5500Aring (regione di massima sensibilitagrave dellocchio)
Il potere risolutivo dellocchio assumendo la pupilla con un diametro di 3 mm egrave uguale a
120579 =122120582
119863= 122 bull
5500 bull 10minus9119898
3 bull 10minus3119898= 224 bull 10minus4119903119886119889 = 46
Il fattore di conversione da radianti a secondi egrave il NUMERO MAGICO 1 rad = 206265rdquo
Nella determinazione del potere risolutivo interviene lrsquoapertura dello strumento e non
lrsquoingrandimento
Bignamino di astronomia
39
INGRANDIMENTO
Lingrandimento dello strumento egrave dato dal rapporto tra la focale dellobiettivo f e la pupilla
delloculare f
119892 =119891
119891prime
ABERRAZIONE DELLA LUCE
Quando i raggi di una stella arrivano sulla Terra la loro direzione di provenienza
appare leggermente deviata a causa della velocitagrave orbitale del pianeta v I vettori
delle velocitagrave (della luce e del pianeta) si combinano per dare un vettore risultante di
poco inclinato dalla direzione di provenienza dei raggi
119886 = arctan119907
119888
RIFRAZIONE
Il fenomeno della rifrazione ha origine dal cambiamento di
velocitagrave delle onde luminose quando passano da un mezzo
trasparente allrsquoaltro Esiste una proporzione tra le due diverse
velocitagrave e i seni degli angoli 120579119894119899119888119894119889119890119899119911119886 e 120579119903119894119891119903119886119911119894119900119899119890 che i raggi
formano con la linea normale alla superficie nel punto colpito dal
raggio Se consideriamo gli indici di rifrazione 1198991 e 1198992 dei materiali
la proporzione egrave inversa
119904119894119899120579119894119899119888119894119889119890119899119911119886119904119894119899120579119903119894119891119903119886119911119894119900119899119890
=11989921198991=11990711199072
Bignamino di astronomia
40
RIFRAZIONE ATMOSFERICA
Allrsquoentrata nellrsquoatmosfera terrestre i raggi luminosi provenienti da un corpo celeste che si trova a
distanza zenitale z vengono rifratti (deviati verso il basso) di un angolo r Quindi i corpi celesti si
osservano in una posizione leggermente piugrave alta del reale In particolare possiamo vedere oggetti
che si trovano anche sotto lrsquoorizzonte geometrico del luogo (es Il sole al tramonto) La formula
stabilisce che lrsquoangolo di rifrazione egrave proporzionale alla tangente della distanza zenitale
Questa formula vale fino ad angoli 119963 asymp 120789120782deg
Oltre questo valore fino allrsquoorizzonte la rifrazione aumenta fino a raggiungere il valore massimo di
35rsquo
119903 = 582 tan (119911)
Bignamino di astronomia
41
RIASSUMENDOhellip
CENNI TEORICI SUI TELESCOPI
Il telescopio egrave uno strumento che raccoglie la luce o altre radiazioni elettromagnetiche
provenienti da un oggetto lontano la concentra in un punto (detto fuoco) e ne produce
unimmagine ingrandita Possiamo paragonare un telescopio a un ldquogrande occhiordquo che
sopperisce al fatto che la nostra pupilla di dimensioni ridotte riesce a raccogliere un
quantitativo insufficiente di luce emessa da un oggetto lontano Un telescopio egrave
caratterizzato dalle seguenti componenti e grandezze
bull OBIETTIVO egrave la parte del telescopio rivolta verso lrsquooggetto da osservare Il suo
diametro D prende il nome di APERTURA Telescopi con una grande apertura sono
capaci di raccogliere piugrave luce e di fornire unrsquoimmagine a piugrave alta risoluzione
Lrsquoobiettivo fa convergere i raggi luminosi in un punto il fuoco la cui distanza
dallrsquoobiettivo egrave chiamata LUNGHEZZA FOCALE
bull OCULARE la parte del telescopio (nel caso di telescopi ottici) che raccoglie la luce
proveniente dallrsquoobiettivo e che la trasmette poi allrsquoocchio Anche per lrsquooculare egrave
possibile definire una LUNGHEZZA FOCALE
Ingrandimento
Lrsquoingrandimento di un telescopio egrave dato dal rapporto fra la lunghezza focale dellrsquoobiettivo e
la lunghezza focale dellrsquooculare
119894 = 119891119900119887119891119900119888 Rapporto focale
Rapporto esistente tra la lunghezza focale dellrsquoobiettivo e lrsquoapertura stessa del telescopio
119865 =119891119900119887
119863 negli strumenti egrave specificato da una F seguita da un numero (es F4 F45 F6hellip)
Campo visivo
Esso egrave dato dal rapporto fra il campo visivo apparente dellrsquooculare (lrsquoampiezza angolare
dellrsquoimmagine fornita dallrsquooculare soltanto) e il numero di ingrandimenti
119865119900119881 =119865119900119881119900119888119894
Pupilla drsquouscita
Essa egrave il diametro del fascio luminoso che esce dallrsquooculare
119901 =119863
119894
Potere risolutivo
Esso egrave lrsquoangolo minimo che deve separare due oggetti affincheacute lo strumento li possa
distinguere egrave dato dal criterio di Rayleigh
120599(119903119886119889) =122120582
119863 120599deg =
699120582
119863 120582 119897119906119899119892ℎ119890119911119911119886 119889prime119900119899119889119886 119889119890119897119897119886 119897119906119888119890 119900119904119904119890119903119907119886119905119886
Bignamino di astronomia
42
Magnitudine limite
Egrave la magnitudine visuale massima che puograve essere osservata con uno strumento di apertura
D (in cm)
119898119897119894119898 = 68 + 5119897119900119892119863
Ingrandimento minimo utile
egrave lrsquoingrandimento che fornisce una pupilla drsquouscita pari al diametro della pupilla umana (6-7
mm)
119894119898119894119899 = 119863(119898119898)7
Formula di Dawes
Ci consente di trovare lrsquoapertura di un telescopio che gli consenta di distinguere un oggetto
che si vede sotto un angolo α
119863(119898119898) =120
120572
Dimensioni dellrsquoimmagine sul piano focale
Lrsquoimmagine che si forma sul piano focale di un telescopio con lunghezza focale dellrsquoobiettivo
f relativa a un oggetto di dimensione angolare α egrave
119897 = 2119891 tan (1205722)
Bignamino di astronomia
43
ELEMENTI DI ASTROFISICA
Tutte le informazioni che riceviamo dalle stelle ci provengono dalla ldquolucerdquo che emettono1 Egrave solo
attraverso lrsquoanalisi e la ldquodecodificazionerdquo dei messaggi contenuti in questa radiazione
elettromagnetica che egrave la luce che noi possiamo ottenere informazioni sulle proprietagrave fisiche e
chimiche delle stelle e delle galassie
La radiazione elettromagnetica
Una radiazione elettromagnetica egrave dal punto di vista dellrsquoelettromagnetismo classico un fenomeno
ondulatorio dovuto alla contemporanea propagazione di perturbazioni periodiche di un campo
elettrico e di un campo magnetico oscillanti su piani tra di loro ortogonali Le stelle emettono
tipicamente radiazione di ldquocorpo nerordquo e come tale irradiano energia in tutte le lunghezze drsquoonda
secondo una distribuzione che viene chiamata spettro della radiazione elettromagnetica
I parametri che permettono di distinguere tra loro le varie radiazioni elettromagnetiche sono
1) In realtagrave un altro ldquocanalerdquo di trasmissione delle informazioni per la comprensione dei fenomeni celesti si egrave aperto
grazie ai risultati positivi ottenuti dagli interferometri per onde gravitazionali LIGO e VIRGO in particolare gli
interferometri menzionati il 17 agosto 2017 hanno rilevato un segnale di onda gravitazionale (rilevazione
annunciata poi ufficialmente il 16 ottobre dello stesso anno) mentre altri telescopi in orbita e a terra sono riusciti
a individuare per la prima volta la sua controparte elettromagnetica lrsquoevento che ha generato il segnale egrave stato
la collisione di due stelle di neutroni (che ha portato a unrsquoesplosione nota col termine di kilonova ) nella galassia
NGC 4993 esso ha segnato la nascita della cosiddetta ldquoastronomia multi-messaggero per il fatto che egrave stato
possibile confrontare due ldquolinguaggirdquo diversi permettendo cosigrave di ampliare le frontiere della conoscenza di
questi fenomeni ldquoestremirdquo
Bignamino di astronomia
44
Parametri di unrsquoonda
Come tutti i fenomeni ondulatori la radiazione elettromagnetica egrave caratterizzata da questi
parametri
Lunghezza drsquoonda 120640
la lunghezza drsquoonda tra due creste o tra
due ventri Si misura in metri eo con i
suoi sottomultipli
Periodo T
lrsquointervallo di tempo misurato in
secondi in cui avviene unrsquooscillazione
completa ovvero lintervallo di tempo
impiegato dallonda per ritornare nella
medesima posizione (per esempio il
tempo intercorso tra due creste o tra
due ventri successivi
Frequenza 120650 egrave il numero di creste che si susseguono nello stesso posto nellrsquounitagrave di
tempo egrave lrsquoinverso del periodo
120592 =1
119879
Frequenza che si misura in Hertz (Hz) pari ad unrsquooscillazione al secondo
119867119911 = 1119904minus1
Ampiezza A rappresenta la variazione massima dellrsquoonda Lrsquoampiezza di unrsquoonda
periodica egrave lrsquoaltezza di una sua cresta
Intensitagrave di unrsquoonda egrave proporzionale al quadrato dellrsquoampiezza
Potenza ogni onda porta con seacute unrsquoenergia e quindi una potenza Tale potenza decresce
con il quadrato della distanza dalla sorgente
La lunghezza drsquoonda λ e la frequenza ν di una radiazione elettromagnetica sono grandezze legate
tra loro dalla relazione
120582 ∙ 120592 = 119888
(c ndashla velocitagrave della luce- nel vuoto ha un valore di 299 792 458 ms) Questa formula ci dice che le
due grandezze sono inversamente proporzionali
Bignamino di astronomia
45
La radiazione elettromagnetica puograve essere interpretata come un insieme di ldquopacchettirdquo di energia a
cui si dagrave il nome di fotoni grazie a questi ldquopacchetti energeticirdquo la luce puograve interagire con la materia
a livello microscopico per esempio puograve eccitare un elettrone in un atomo cedendo a esso la sua
energia Continuando il paragone possiamo immaginare che piugrave la radiazione egrave intensa piugrave i
pacchetti sono numerosi piugrave la radiazione cresce di frequenza piugrave essi sono ldquocapientirdquo
Questrsquoultima caratteristica egrave descritta dalla Legge di Planck che lega lrsquoenergia del fotone alla sua
frequenza
119864 = ℎ ∙ 120584
(dove h egrave la costante di Planck)
119864 = ℎ119888
120582
EQUIVALENZA MASSA- ENERGIA Tra lrsquoenergia e la massa esiste una fondamentale relazione
scoperta dal fisico Albert Einstein espressa dallrsquoequazione
119864 = 1198981198882
dove c egrave la velocitagrave della luce (pari a 3 middot 108 ms) Lequazione di Einstein implica che energia e massa
sono equivalenti la massa puograve essere trasformata in energia e lenergia puograve essere trasformata in
massa Ciograve comporta il principio di conservazione della massa-energia non vi egrave conservazione della
massa o dellenergia considerate separatamente ma vi egrave conservazione dellinsieme delle due a una
diminuzione della massa pari a m deve corrispondere un aumento dellenergia pari a m middot c2
Poicheacute il prodotto m middot c2 egrave un numero molto grande la trasformazione di una massa anche molto
piccola di materia determina la produzione di una quantitagrave enorme di energia come avviene per
esempio nelle reazioni di fissione e di fusione nucleari (queste ultime avvengono nel nucleo delle
stelle si veda per una maggiore comprensione il problema 2 della sezione Miscellanea)
Bignamino di astronomia
46
Grandezze fotometriche
Flusso luminoso Quantitagrave di energia luminosa emessa da una determinata sorgente nellunitagrave di tempo Lo indichiamo con la lettera Φ Lunitagrave di misura nel SI egrave il lumen (lm) 1 watt = 683 lumen
Illuminamento Rapporto tra il flusso luminoso ricevuto da una superficie e larea della superficie stessa ( E=
120593
119878 )
Lunitagrave di misura nel SI egrave il lux (lx) ovvero il lumen al metro quadrato (lm1198982)
Nota Dalla definizione di illuminamento si ricavano due importanti corollari di natura geometrica che risultano molto utili per comprendere la distribuzione della luce nello spazio
1) Per una sorgente puntiforme la diminuzione del livello di illuminamento su di una superficie varia in relazione al quadrato della distanza dalla fonte raddoppiando la distanza dalla fonte il livello di illuminamento sulla superficie diviene quindi frac14
2) Il livello drsquoilluminamento su di una superficie egrave massimo quando i raggi luminosi giungono perpendicolari ad essa e diminuisce proporzionalmente al loro angolo drsquoincidenza secondo la relazione E = 119864119899 cosi 119864119899egrave 119897
prime illuminamento normale i lrsquoangolo drsquoincidenza tra raggi luminosi e la normale alla superficie
Immagine dal web (fonte VOLTIMUM)
Bignamino di astronomia
47
Intensitagrave luminosa Flusso luminoso emesso allinterno dellangolo solido unitario in una direzione data
119868 = 119864 =120593
120596
ed egrave una grandezza vettoriale Lunitagrave di misura nel SI egrave la candela (cd)
Luminanza La luminanza egrave il rapporto tra lrsquointensitagrave luminosa di una sorgente nella direzione di un osservatore e la superficie emittente apparente cosigrave come viene vista dallrsquoosservatore stesso
119871 = 119868
119878 119888119900119904120572
120572 egrave 119897prime119886119899119892119900119897119900 compreso tra la direzione di osservazione e lrsquoasse perpendicolare alla superficie emittente La luminanza si esprime in cd1198982
Bignamino di astronomia
48
Parametri fisici delle stelle
Le grandezze fondamentali che permettono di caratterizzare le stelle sono
la distanza (d)
lo spettro della radiazione em emessa
la luminositagrave totale o bolometrica (L)
la temperatura superficiale (T)
il raggio (R)
la massa (M)
Le stelle possono essere approssimate a corpi neri in quanto le uniche onde elettromagnetiche che
non vengono assorbite dalla loro superficie sono quelle aventi una lunghezza donda di dimensione
pari o maggiore del diametro della stella stessa Per studiare le proprietagrave dellrsquoemissione continua
delle stelle egrave utile introdurre il concetto di corpo nero
Corpo nero
Il corpo nero egrave un corpo che assorbe tutta la radiazione che gli cade sopra Appare perfettamente nero percheacute assorbe il 100 della radiazione che incide su di esso e non ne riflette nessuna Il corpo nero egrave un oggetto teorico nessun materiale assorbe tutta la radiazione incidente Il corpo nero ha uno spettro di emissione caratteristico che dipende solo da un parametro la temperatura Lo studio della radiazione emessa dal corpo nero ha portato alla formulazione delle seguenti leggi
bull La legge (di spostamento) di Wien la frequenza massima 120584119898119886119909 di uno spettro di corpo nero a temperatura T cresce linearmente con T
120584119898119886119909 prop T il che comporta una proporzionalitagrave inversa fra la temperatura assoluta e la lunghezza drsquoonda
120582119898119886119909 119879 = 119887
b = 29 10minus3 m∙K
Per cui si ha
120582119898119886119909 T = 29 10minus3 m∙K
Bignamino di astronomia
49
bull Legge di Stefan-Boltzmann lenergia erogata per unitagrave di
superficie e per unitagrave di tempo egrave proporzionale alla quarta
potenza della temperatura T
119868 = 1205901198794
Applicazioni in astrofisica
Stefan-Boltzmann per una stella che approssimiamo ad una sfera di raggio R e superficie S= 41205871198772
la legge di Stefan-Boltzmann diventa
L= 41205871198772 120590T4
Poicheacute le stelle non sono dei corpi neri perfetti la temperatura egrave la temperatura efficace quella che
la superficie della stella avrebbe se si comportasse da corpo nero
Flusso e Luminositagrave
120593= 119871
41205871198892
Il flusso di energia egrave dato dal rapporto fra la lrsquoenergia emessa
dalla stella nellrsquounitagrave di tempo e la superficie della sfera di
raggio pari alla distanza d dalla stella Quindi si vede che il flusso
misurato sulla superficie terrestre dipende dalla luminositagrave
della stella e dalla sua distanza
Bignamino di astronomia
50
I LOGARITMI
Il termine logaritmo egrave composto da due parole greche logos = ragione e arithmos = numero
ldquoNumero di ragionirdquo questa definizione appare naturale pensando alla ragione delle progressioni
aritmetiche e geometriche che sono alla base della costruzione di Nepero
La storia di come nasce questo procedimento di
calcolo egrave molto interessante qui ci piace
evidenziare che la motivazione alla base della
scoperta dei logaritmi ed anche il motivo del loro
successo fu la ricerca di efficienti strumenti di
calcolo in grado di alleggerire il pesante fardello
di cui erano gravati gli astronomi del tempo i
quali per poter predire il corso dei pianeti si
dovevano confrontare con grandi difficoltagrave di
calcolo Basta pensare al calcolo dellrsquoorbita del
pianeta Marte del povero Keplero Quando Nepero pubblicograve il suo lavoro sui logaritmi gli
astronomi dissero che aveva regalato loro metagrave della vita I logaritmi rendono infatti possibile
trasformare prodotti in somme quozienti in differenze elevamenti a potenza in prodotti e
calcoli di radici in quozienti le operazioni vengono molto semplificate
Che cosa egrave un logaritmo
Generalmente si risponde che egrave una operazione inversa
Partiamo da una operazione conosciuta lrsquoestrazione di radice quadrata di un numero
radic25 = 5
La radice quadrata di 25 egrave quel numero che elevato a due restituisce 25 cioegrave il numero 5 infatti 52 =
25 Concludiamo dicendo che la radice egrave lrsquooperazione inversa dellrsquoelevamento a potenza
Il concetto di logaritmo egrave abbastanza simile a quello della radice quadrata solo che non ci riporta al
numero di partenza ma al suo esponente
Introduciamo la scrittura
log5 25 = 2
questa la scriviamo
52 =25
Definiamo logaritmo di un numero b (argomento del logaritmo) quel numero a cui bisogna elevare
la base per ottenere il numero b In notazione matematica
log119886 119887 = x
119886119909 = b
Anche il logaritmo egrave lrsquooperazione inversa dellrsquoelevamento a potenza
Bignamino di astronomia
51
log2 8 = x
la domanda egrave ldquoqual egrave lrsquoesponente che devo dare alla base (2) per ottener il numero (8)rdquo
Scriviamo applicando la definizione
2119909 = 8
e siccome
8 = 23
Allora
2119909 = 23
e perciograve
x=3
(se le basi sono uguali lrsquouguaglianza saragrave verificata se saranno uguali anche gli esponenti)
Egrave abbastanza evidente che i logaritmi e le potenze rappresentano due modalitagrave di scrittura diversa ma
rappresentano la stessa cosa
Osservazione importante la base dei logaritmi ed il numero devono essere numeri reali
positivi in piugrave la base deve anche essere diversa da 1
bgt 0
0 lt a lt1
agt 1
Quindi per esempio non esistono log2(minus5) log1 12 119890119888119888
Bignamino di astronomia
52
Proprietagrave dei logaritmi
Il logaritmo del prodotto di 2 o piugrave numeri positivi corrisponde alla somma dei logaritmi dei
singoli fattori
(Nota 119886119909 ∙ 119886119910 = 119886119909+119910)
Il logaritmo del quoziente di 2 numeri positivi egrave eguale alla differenza tra il logaritmo del
dividendo e il logaritmo del divisore
(Nota 119886119909119886119910 = 119886119909minus119910)
Il logaritmo della potenza a esponente reale di un numero positivo egrave uguale al prodotto
dellesponente per il logaritmo del numero
Una estensione di questa ultima proprietagrave egrave
log119886 radic119887119898119899
= log119886 119887119898
119899
(che possiamo scrivere come 119898
119899log119886 119887)
A volte per calcolare un logaritmo puograve risultare utile effettuare un cambiamento di base
Il loga b la cui base egrave a puograve essere scritto utilizzando unrsquoaltra base per esempio il numero c
Ricorda inoltre che
log119886 1 = 0 (119894119899119891119886119905119905119894 1198860 = 1) 119890 log119886119886 = 1 (119894119899119891119886119905119905119894 1198861 = 119886)
Bignamino di astronomia
53
Se la base di un logaritmo egrave il Numero di Nepero (chiamato meno frequentemente anche Numero
di Eulero e indicato con e = 2718281828459hellip) allora il logaritmo prende il nome di logaritmo
naturale e si indica con ln
Quindi se vediamo 1198971198995 niente paura Si tratta di log119890 5
Se la base di un logaritmo egrave 10 il logaritmo prende il nome di logaritmo decimale e la base
generalmente si omette questo tipo di logaritmo egrave il piugrave usato in astrofisica
Quindi se vediamo 1198971199001198927 ciograve vuol dire log10 7
I logaritmi sono utilizzati nella vita di tutti i giorni ad esempio il gommista quando misura la
pressione di una gomma utilizza uno strumento con una scala non lineare ma logaritmica le scale
sulla macchina fotografica sono logaritmiche i nostri organi di senso sono logaritmici Questo ci
permette di percepire un intervallo di informazioni molto piugrave esteso di quello che avremmo se i nostri
sensi fossero lineari Pogson quando capigrave che il nostro occhio percepisce una differenza di una
magnitudine ( per le magnitudini consulta le pagine successive del Bignamino) tra due stelle quando
il rapporto tra le loro luminositagrave egrave uguale a 25 e che questo conserva la classificazione di Ipparco
formulograve la sua formula in funzione del logaritmo del rapporto delle loro luminositagrave
Niente paura
Oggi avete le calcolatrici e non si
devono utilizzare le famigerate tavole
logaritmiche che si utilizzavano un
tempo per calcolare un logaritmo
Bisogna solo stare attenti ad utilizzare
CORRETTAMENTE la calcolatrice
Nepero
Bignamino di astronomia
54
Magnitudine delle stelle
Quando si guarda il cielo si vede subito che le stelle ci appaiono piugrave o meno brillanti (o luminose) ovvero sembrano avere diversa intensitagrave luminosa Gli astronomi descrivono la luminositagrave stellare osservata in termini di magnitudine apparente m Nel II secolo aC Ipparco di Nicea utilizzando lrsquounico strumento a sua disposizione (lrsquoocchio umano) introdusse una classificazione delle stelle in 6 classi di luminositagrave che chiamograve MAGNITUDINI La scala scelta dai Ipparco prevedeva che le stelle piugrave luminose venissero collocate nella prima classe quelle un porsquo meno luminose nella seconda e giugrave giugrave fino a quelle appena visibili a occhio nudo collocate nella sesta classe Con lrsquoosservazione del cielo attraverso gli strumenti si pose il problema di estendere la scala delle grandezze anche alle stelle non visibili ad occhio nudo Un grossissimo contributo venne dallo studio della fisiologia dellrsquoocchio strumento sul quale erano state fatte le prime classificazioni La risposta dellrsquoocchio umano agli stimoli luminosi non egrave di tipo lineare la reazione alla luce de reagisce alla sensazione della luce in modo logaritmico Pogson egrave riuscito a dare una formulazione matematica alla scala delle magnitudini individuata da Ipparco Pogson ipotizzograve che il rapporto fra le intensitagrave luminose di una stella di prima e di sesta grandezza era pari a 100 Se I1 e lrsquointensitagrave luminosa di una stella di magnitudine m1 ed I2 lrsquointensitagrave di una stella di
magnitudine m2 se m1 - m2 = -5 ed il rapporto I1
I2= 100
m1 - m2= K log I1
I2
-5=K2 K= -25
m1 - m2= -25 log I1
I2
Lrsquoequazione di Pogson spiega il percheacute la magnitudine decresce quando lrsquointensitagrave luminosa cresce Quando si parla di intensitagrave luminosa di una stella in realtagrave ci si riferisce al flusso di energia 120593 che
abbiamo visto essere legato alla luminositagrave dalla 120593= 119871
41205871198892
Se nella formula di Pogson m1 - m2= -25 log I1
I2 sostituiamo alle intensitagrave luminose il flusso si
ottiene (a paritagrave di luminositagrave)
m1 - m2= -5 log d2
d1
La magnitudine apparente di una stella dipende dalla distanza
Bignamino di astronomia
55
E se la stella apparentemente piugrave debole fosse in realtagrave piugrave brillante ma piugrave lontana Per rispondere a questa domanda egrave stata introdotta la scala delle magnitudini assolute indipendente dalla distanza Per costruire questa scala egrave stata presa una distanza di riferimento pari a 10pc Quale saragrave la magnitudine di una stella di cui si conosce la distanza e la magnitudine apparente se viene posta alla distanza di 10pc
M- m= -5 log 119889
1119900119901119888
M-m = 5-5logd Questa ultima viene anche indicata come modulo di distanza Questa scala consente di poter confrontare la luminositagrave intrinseca delle stelle M =magnitudine assoluta (stella alla distanza di 10pc) m =magnitudine apparente d = distanza della stella in pc
Se vogliamo calcolare la magnitudine complessiva di due o piugrave sorgenti luminose egrave errato ritenere
di poter sommare le magnitudini Infatti possiamo sommare i flussi ma le magnitudini dipendono
da essi in relazione logaritmica La relazione che ci permette di determinare la cosiddetta
magnitudine integrata (ossia la magnitudine complessiva ldquototalerdquo) di n oggetti di magnitudine
m1m2hellipmn egrave la seguente
119898119894119899119905 = minus25log (10minus041198981 + 10minus041198982 +⋯+ 10minus04119898119899)
Magnitudine apparente di alcuni oggetti celesti da sinistra verso destra
Sole Luna piena Venere Sirio Vega Magnitudine limite dellrsquoocchio
Magnitudine limite di un telescopio magnitudine limite dellrsquoHubble
Bignamino di astronomia
56
Se invece vogliamo calcolare la magnitudine superficiale di un oggetto esteso di superficie angolare
S (misurata in arcmin2 o arcsec2) ossia la magnitudine di un quadratino di superficie di lato uguale
a 1 arcsec2 o 1 arcmin2 allora applichiamo la seguente formula
119898119878119906119901 = 119898119894119899119905 + 25 log(119878)
Se S egrave misurata in arcmin2 la msup egrave espressa in magarcmin2 Se S egrave misurata in arcsec2 msup egrave
espressa in magarcsec2
Bignamino di astronomia
57
Redshift (spostamento verso il rosso)
Su grandi scale le galassie si stanno allontanando con velocitagrave proporzionale alla distanza tutte le
galassie si stanno allontanando tra di loro tra loro Lo stesso spazio-tempo si sta espandendo e sta
portando le galassie con seacute
NOTA Il redshift cosmologico non egrave dovuto allrsquoeffetto Doppler non egrave dovuto ai moti relativi delle
galassie Le cause e le grandezze fisiche coinvolte sono completamente diverse
Il redshift cosmologico egrave lo spostamento relativo in
frequenza di unonda elettromagnetica dovuto
allespansione delluniverso Si spiega ipotizzando che le
lunghezze donda varino allo stesso modo delle distanze per
effetto dellespansione delluniverso La lunghezza donda egrave
proporzionale al fattore di scala delluniverso
La cosmologia moderna nasce con la legge di Hubble
v=Hd
che lega in modo proporzionale la velocitagrave v di allontanamento delle galassie alla loro distanza d (H egrave la costante di Hubble) le galassie piugrave distanti si allontanano piugrave velocemente Questa legge deriva da osservazioni che mostravano che tutte le righe spettrali delle galassie sono spostate verso il rosso (redshift) e che tale effetto egrave proporzionale alla luminositagrave apparente delle galassie legata alla loro distanza Il redshift misura quindi la velocitagrave di allontanamento di una galassia ed egrave definito come segue
119911 =120582119900119887119904 minus 120582119905119890119900119903
120582119905119890119900119903
La legge di Hubble ci dice che la velocitagrave di allontanamento delle galassie egrave proporzionale alla loro
distanza
119907 = 119867119889
H egrave la costante di Hubble il cui valore attualmente stimato egrave attorno a H= 2176 ∙ 10minus18 Hz
(6715 kmMpc s) d egrave la distanza della galassia
Maggiore egrave la distanza della galassia tanto maggiore saragrave il redshift
z=119867119889
119888
Bignamino di astronomia
58
Per z≪ 1 vale lrsquoapprossimazione del redshift come effetto Doppler (zasymp119907
119888 ) e quindi z egrave
direttamente proporzionale alla velocitagrave di allontanamento delle galassie
bull Redshift relativistico
bull Redshift gravitazionale
La relativitagrave generale prevede che la luce che si muove attraverso campi gravitazionali molto
intensi sperimenteragrave uno spostamento verso il rosso o verso il blu
Il redshift gravitazionale (chiamato anche spostamento di Einstein) egrave dovuto dal fatto che un
fotone quando emerge da un campo gravitazione perde energia e quindi presenta uno
spostamento verso il rosso che dipende dallrsquointensitagrave del campo gravitazionale misurata nel
punto in cui si trova il fotone
z= 119866119872
1199031198882
Questa 119904119890 119903 ≫ 119903119904
119903119904 = 2119866119872
1198882
(raggio di Schwarzschild)
(M massa della stella r raggio della stella)
La formula generale egrave
z= 1
radic1minus119903119904 -1
Bignamino di astronomia
59
PROBLEMI ED ESERCIZI
bull SISTEMI DI RIFERIMENTO E COORDINATE ASTRONOMICHE
1 Quando la stella Rigel (δ= -8deg 13rsquo) passa al meridiano di Roma (φ=41deg55rsquo) a quale
altezza si trova
Soluzione Quando la stella Rigel passa al meridiano di Roma essa raggiunge la
posizione di culminazione superiore in corrispondenza del punto cardinale Sud
Dunque la sua altezza sullrsquoorizzonte egrave pari allrsquoaltezza dellrsquoEquatore celeste alla
latitudine di Roma (90deg-φ) sommata alla declinazione dellrsquoastro Dunque
hRigel=90deg-φ+δ=90deg-41deg55rsquo-8deg13rsquo=39deg52rsquo
2 A quale latitudine comincia a essere visibile la stella Canopo (δ=-52deg40rsquo) appena
allrsquoorizzonte
Soluzione Affincheacute la stella Canopo sia appena visibile allrsquoorizzonte per un
osservatore posto alla latitudine φ egrave necessario che lrsquoEquatore celeste abbia
unrsquoaltezza sullrsquoorizzonte pari al valore assoluto della sua declinazione Quindi egrave
necessario che 90deg-φ=|δ| e cioegrave φ=90deg-|δ|=90deg-52deg40rsquo=37deg20rsquo [In realtagrave bisogna tenere conto dellrsquoeffetto della rifrazione atmosferica che ldquoalza le stellerdquo o
equivalentemente ldquoabbassa lrsquoorizzonterdquo di un angolo di 35rsquo Quindi in realtagrave Canopo si puograve
osservare anche a una latitudine leggermente piugrave settentrionale pari a 37deg20rsquo+0deg35rsquo=37deg55rsquo
circa]
3 Quale curva descrive lrsquoombra di uno stilo verticale posto al polo nord il 21 giugno
Qual egrave il rapporto fra la lunghezza l dellrsquoombra e lrsquoaltezza h dello stilo
Soluzione Il 21 giugno il Sole ha declinazione massima pari al valore dellrsquoobliquitagrave
dellrsquoeclittica quindi circa 23deg27rsquo Dal momento che al polo nord lrsquoorizzonte coincide
con lrsquoEquatore celeste e i paralleli celesti si trovano quindi su piani paralleli
allrsquoorizzonte la rotazione diurna non contribuiragrave a far tramontare il Sole che
descriveragrave una circonferenza nel cielo pertanto la curva descritta dallo stilo verticale
egrave una circonferenza Il rapporto lh egrave il reciproco della tangente dellrsquoaltezza del sole
pari a 23deg27rsquo 119897
ℎ=
1
11990511988611989923deg27prime=23
4 (PROBLEMA GARA INTERNAZIONALE 2002) I Cinesi nel 1100 aC avevano trovato
che lrsquoaltezza del Sole a mezzodigrave era 79deg7rsquo nel solstizio estivo e 31deg19rsquo in quello
Bignamino di astronomia
60
invernale A quale latitudine hanno fatto lrsquoosservazione e qual era allora lrsquoobliquitagrave
dellrsquoEclittica
Soluzione La media aritmetica dei valori delle due culminazioni del sole a mezzodigrave al
solstizio estivo ed invernale egrave pari allrsquoaltezza dellrsquoEquatore celeste Quindi
90deg minus 120593 =ℎ119890119904119905119886119905119890 + ℎ119894119899119907119890119903119899119900
2rarr 120593 = 90deg minus
ℎ119890119904119905119886119905119890 + ℎ1198941198991199071198901199031198991199002
= 34deg47prime
Lrsquoobliquitagrave dellrsquoeclittica egrave la differenza fra lrsquoaltezza massima del sole e lrsquoaltezza
dellrsquoEquatore celeste
휀 = ℎ119890119904119905119886119905119890 minus (90deg minus 120593) = 79deg7prime minus 90deg + 34deg47prime = 23deg54prime
[In generale lrsquoobliquitagrave dellrsquoeclittica varia da 21deg55rsquo a 24deg20rsquo con un periodo di circa 40000
anni]
bull I MOTI DELLA TERRA E LA MISURA DEL TEMPO
5 In quale istante di tempo siderale la stella Castore (α=7h 33m 31s δ=+31deg55rsquo35rdquo ) egrave
alla culminazione inferiore
Soluzione Alla culminazione inferiore la stella Castore ha un angolo orario pari a 12h
Il tempo siderale ossia lrsquoangolo orario del punto gamma egrave uguale alla somma di
angolo orario e ascensione retta di una generica stella in questo caso
TS=α+H=7h 33m 31s + 12h= 19h 33m 31s
6 Se in un dato giorno una stella passa al meridiano inferiore alle 21 a quale ora
(allrsquoincirca) vi passeragrave un mese dopo
Soluzione Lrsquoora a cui si riferisce il problema egrave per esempio quella indicata da un
normale orologio quindi egrave un tempo solare medio e non siderale Siccome nel corso
di un mese la stella non cambia la sua posizione rispetto al punto gamma se il
problema avesse chiesto lrsquoora siderale della successiva culminazione inferiore la
risposta sarebbe stata comunque ldquoalle 21rdquo siccome perograve il problema si riferisce a un
tempo solare medio dobbiamo tenere conto della differenza tra giorno solare e
giorno siderale questrsquoultimo egrave piugrave corto del primo di un valore pari a circa 4 minuti
(piugrave esattamente 3min 56s) Siccome un mese contiene mediamente 30 giorni la
stella anticiperagrave la sua culminazione di circa 4min30=120min=2h e quindi culmineragrave
allrsquoincirca alle 19
7 Una cittagrave A egrave posta alla longitudine 43deg12rsquo E di GW (Greenwich) Quando in A lrsquoorologio
segna le 20h35m siderali in unrsquoaltra cittagrave B lrsquoorologio segna le 23h12m siderali Qual
egrave la longitudine di B
Soluzione La differenza dei due tempi siderali che lrsquoorologio segna in A e in B egrave uguale
alla differenza delle longitudini dei due luoghi Quindi
Bignamino di astronomia
61
∆120582 = 120549119879119878 rarr 120582119861 minus 120582119860 = 119879119878119861 minus 119879119878119860 rarr 120582119861 = 119879119878119861 minus 119879119878119860 + 120582119860(119890119904119901119903119890119904119904119886 119894119899 119900119903119890)
= 23ℎ12119898 minus 20ℎ35119898 + 2ℎ53119898 = 5ℎ30119898
= (119905119903119886119904119891119900119903119898119900 119894119899 119892119903119886119889119894) = 82deg30prime
8 Quanto tempo egrave necessario affincheacute il punto gamma passi da un segno zodiacale a un
altro
Soluzione Il punto gamma non egrave fisso nel cielo bensigrave per via di uno dei moti millenari
della Terra il moto di precessione esso si sposta di circa 50rdquo allrsquoanno lungo lrsquoEclittica
Dal momento che i segni zodiacali sono dodici in media ognuno di essi occupa un
settore lungo lrsquoEclittica pari a 36012=30deg=108000rdquo Ne discende che il tempo
necessario affincheacute il punto gamma copra questa distanza angolare risulta pari a
t=(108000rdquo50rdquo)anni=2160 anni circa
9 La Terra impiega circa 23 ore e 56 minuti a compiere una rotazione completa attorno
al proprio asse Con quale velocitagrave tangenziale si muove un punto allrsquoequatore per
effetto del moto di rotazione della Terra Quanto vale lrsquoaccelerazione centripeta che
agisce su questo punto Quale forza centripeta agisce su un corpo di massa 13 kg
allrsquoequatore
Soluzione Il problema incentrato sul moto di rotazione terrestre (il moto dei punti
della Terra attorno allrsquoasse terrestre) egrave un semplice esercizio di cinematica
Conoscendo il periodo e la lunghezza della circonferenza equatoriale (poicheacute egrave noto
che il raggio della Terra ha un valore di 6378 km) egrave possibile determinare la velocitagrave
di rotazione allrsquoequatore il moto egrave circolare uniforme
119907 =2120587119877
119879=2120587120591 ∙ 6378119896119898
2393ℎ= 1674
119896119898
ℎ
Lrsquoaccelerazione centripeta vale
119886 =1199072
119877=(1674 divide 36)2
6378000= 339 ∙ 10minus3
119898
1199042
Per la seconda legge della dinamica la forza centripeta su un corpo di massa m allora
vale
119865 = 119898119886 = 13 ∙ 339 ∙ 10minus3 = 441 ∙ 10minus3119873
bull IL CIELO VISTO DALLA TERRA E LA LUNA
10 Due stelle equatoriali hanno parallassi 0rdquo022 e 0rdquo034 esse hanno AR 12h13m e
13h12m rispettivamente Quantrsquoegrave in parsec la loro reciproca distanza
Soluzione Lrsquoangolo fra la direzione con cui si proietta in cielo la prima stella e la
direzione della seconda stella egrave pari alla differenza delle ascensioni rette le stelle
sono infatti equatoriali cioegrave hanno declinazione nulla ΔAR=13h12m-
Bignamino di astronomia
62
12h13m=(trasformando in gradi)=14deg75 La loro distanza dallrsquoosservatore egrave in
parsec pari al reciproco della parallasse
d1=(1P1)=10022=455pc d2=(1P2)=10034=294pc
Il problema chiede in sostanza di calcolare un lato di un triangolo con vertici
nellrsquoosservatore e nelle due stelle (in particolare il lato con estremi nelle due stelle)
noti lrsquoangolo opposto a tale lato e gli altri due lati possiamo quindi usare il Teorema
di Carnot (o teorema del coseno)
119909 = radic11988912 + 1198892
2 minus 211988911198892 cos(∆119860119877) = 186 119901119888
11 Sapendo che il periodo siderale di rotazione del Sole allrsquoEquatore egrave di 25 giorni
trovare il periodo di rivoluzione sinodica cioegrave quello che appare visto dalla Terra
Soluzione Prendiamo un punto sullrsquoEquatore del Sole esso si muove con un periodo
siderale (cioegrave riferito a una stella lontana) pari come indicato dalla traccia a 25
giorni Il problema egrave del tutto analogo al calcolo del tempo sinodico di un pianeta
interno visto dalla Terra noti i periodi di entrambi i corpi 1
119878=
1
119879119904119900119897119890minus
1
119879119905119890119903119903119886rarr 119878 =
119879119905119890119903119903119886119879119904119900119897119890119879119905119890119903119903119886 minus 119879119904119900119897119890
=36525 ∙ 25
36525 minus 25119889 =
913125
34025119889 = 2684119889
12 A quale distanza da uno schermo deve essere posta una sfera di raggio R affincheacute
illuminata dal Sole non generi ombra ma solo penombra (il diametro apparente del
Sole sia 32rsquo)
Soluzione Concettualmente il problema egrave equivalente alla situazione di unrsquoeclisse
lrsquordquoosservatorerdquo egrave lo schermo mentre fra esso e il Sole si frappone un ostacolo Esso
intercettando i raggi solari genera dietro di seacute un cono drsquoombra e molto piugrave ampio
di questo una zona di penombra Il cono si restringe dalla parte opposta del Sole
rispetto alla sfera Se il vertice del cono si trova sullo schermo allora nessun punto
dello schermo si troveragrave in ombra percheacute il cono non interseca lo schermo In questa
configurazione lrsquoangolo sotto cui viene vista la sfera dallo schermo egrave di 32rsquo ovvero
053deg da cui si ha 119877
119889= tan (0532) e cioegrave d=[1 tan(0265)]R=2148 R circa la sfera
devrsquoessere posta a una distanza dallo schermo maggiore di 2148 volte circa il suo
raggio
13 Il 29 marzo 2006 si egrave verificata unrsquoeclisse totale di Sole visibile dallrsquoAfrica
settentrionale e dal Mediterraneo orientale Quale fase aveva la luna il 29 marzo 2007
cioegrave esattamente un anno dopo
Bignamino di astronomia
63
Soluzione Le eclissi di Sole si verificano quando la Luna si interpone fra il Sole e la
Terra oscurando una fascia sulla superficie del nostro pianeta con il suo cono
drsquoombra pertanto la Luna rivolge a noi in questrsquooccasione la sua faccia non
illuminata dal Sole e pertanto egrave nuova Conosciamo inoltre il periodo in cui si ripetono
le fasi lunari egrave il mese sinodico la cui durata egrave pari a 295306 giorni Lrsquointervallo
considerato (un anno in cui il 2007 non egrave bisestile) egrave pari a 365 giorni Siccome
365295306=1236 ossia 12 mesi lunari e 11 giorni se ne deduce che lrsquoetagrave della Luna
al 29 marzo 2007 era di 11 giorni quindi essa era in una fase intermedia tra primo
quarto e Luna piena
bull LA GRAVITArsquo
14 Lrsquoalieno Bzzapp ha appena comprato una navicella in grado di creare nuovi pianeti
nel suo girovagare un giorno incappa nel nostro Sistema Solare decide cosigrave di creare
con la sua astronave qualche nuovo pianeta Lrsquoamico Zorzzp gli dagrave prima una regola
dicendogli che questi pianeti devono trovarsi in una fascia compresa fra 2 UA e 7
UA in piugrave il loro periodo di rivoluzione devrsquoessere pari a un numero intero di anni
Qual egrave il numero massimo di pianeti che Bzzapp potragrave creare con la sua navicella
conformemente alla regola di Zorzzp
Soluzione Per la risoluzione del problema egrave necessaria la Terza legge di Keplero
considerando che ci troviamo nel nostro Sistema Solare e che quindi la costante di
proporzionalitagrave fra cubo del semiasse maggiore e quadrato del periodo di rivoluzione
per un generico corpo orbitante attorno al Sole quando esprimiamo il semiasse in
UA e il periodo in anni risulta pari a 1
1198791 = radic11988613 = 283 119910
1198792 = radic11988623 = 1852 119910
Come possiamo vedere i periodi ldquopossibilirdquo sono
34567891011121314151617 e 18 anni Bzzapp potragrave creare ben 16 pianeti
15 Disponendo come dati noti dei soli periodi di rivoluzione dei pianeti si indichi la
lunghezza minima che deve avere un foglio di carta per poter rappresentare in scala
il Sistema Solare fino a Nettuno nellrsquoipotesi di voler rappresentare Mercurio a una
distanza dal Sole di 1 cm
Soluzione Mercurio ha un periodo di rivoluzione pari a 0241 anni mentre Nettuno
16488 anni quindi per la Terza legge di Keplero 119886119872 = radic11987911987223= 0387119880119860 119890 119886119873 =
radic11987911987323= 30069 119880119860
Con una semplice proporzione ricaviamo la lunghezza del foglio di carta
119886119872 119886119873 = 1 119909 rarr 119909 =30069
0387119888119898 asymp 777 119888119898
Bignamino di astronomia
64
16 A quale distanza dalla superficie della Terra per unrsquoastronave che viaggia verso la
Luna si annulla la risultante delle forze gravitazionali che agiscono su di essa (il
rapporto massa della Terra massa della Luna egrave pari a 8125)
Soluzione La distanza Terra-Luna egrave pari a d=384400 km Quando lrsquoastronave si trova
fra il nostro pianeta e il suo satellite le due forze di natura gravitazionale che
agiscono su di essa sono la forza di attrazione della Terra e quella della Luna agenti
nella stessa direzione ma aventi verso opposto Chiamando x la distanza che separa
la navicella dal centro della Terra possiamo esprimere in funzione di x la distanza che
separa la navicella dalla Luna essendo essa pari a d-x Eguagliamo le due forze di
attrazione gravitazionale per trovare x 119866119872119879119898
1199092=
119866119872119871119898
(119889 minus 119909)2
Operando le dovute semplificazioni (G e la massa dellrsquoastronave) e dividendo
119909
119889 minus 119909= radic
119872119879
119872119871= radic8125 = 901
119909 =901119889
1001= 090 lowast 384400119896119898 = 346013119896119898
Il problema viene considerato parzialmente corretto se ci si ferma a questo punto
percheacute esso chiede la distanza dalla superficie terrestre mentre x egrave misurata dal
centro della Terra pertanto la soluzione corretta egrave D=x-R=(346013-
6378)km=339635km
17 Osservando la stella Canopo con un telescopio potentissimo lrsquoastronomo Qwzzz ha
scoperto due pianeti orbitanti attorno a essa le cui orbite sono esattamente
perpendicolari alla nostra linea di vista La distanza massima del primo pianeta da
Canopo egrave uguale a 47 volte la sua distanza minima e il suo periodo di rivoluzione egrave
pari a 27 anni Il secondo pianeta avente eccentricitagrave pari a 0324 al periapside egrave 3
volte piugrave lontano rispetto al primo (quando questrsquoultimo si trova nella corrispondente
posizione) Quanto vale lrsquoeccentricitagrave del primo pianeta e il periodo di rivoluzione del
secondo
Soluzione Chiamiamo 1 il primo pianeta e 2 il secondo
11988911988611198891199011
= 47 =1198861(1 + 1198901)
1198861(1 minus 1198901)rarr1 + 11989011 minus 1198901
= 47 rarr 1198901 = 0649
1198891199012
1198891199011=1198862(1 minus 1198902)
1198861(1 minus 1198901)= 3 rarr
11988621198861=(1 minus 1198901)1198891199012
1198891199011(1 minus 1198902)= 3 (
1 minus 0649
1 minus 0324) = 1558
Per la Terza legge di Keplero
11987922 = (
11988621198861)3
11987912 rarr 1198792 = 27 119910radic15583 = 524 119910
Bignamino di astronomia
65
bull TERZA LEGGE DI KEPLERO 1 Calcolare il semiasse maggiore dellrsquoorbita di Giove in kilometri sapendo che il suo periodo
di rivoluzione egrave 119879119866 = 37411 ∙ 106 119904
Soluzione
119879119866(119886119899119899119894) =119879119866(119904119890119888119900119899119889119894)
(119904119890119888119900119899119889119894 119894119899 119906119899 119886119899119899119900)=
37411 ∙ 106 119904
3600 ∙ 24 ∙ 365 ∙119904
119886119899119899119900
= 11863 119886119899119899119894
Impostando la terza legge di Keplero e imponendo che 119870 =1 1198861198991198991199002
1 1198801198603
1198792
1198863= 119870 =gt 119886119866(119880 119860 ) = radic[119879119866(119886119899119899119894)]2
3= radic(11863 119886119899119899119894)2
3= 52 119880 119860 =
= 77792 ∙ 106 119896119898
2 Calcolare il periodo di rivoluzione di Marte in giorni sapendo che il suo semiasse maggiore
misura 119886119872 = 2279 ∙ 109 119898
Soluzione
119886119872(119880 119860 ) =119886119872(119898)
1496 ∙ 109 ∙119898119880 119860
=2279 ∙ 109 119898
1496 ∙ 109 ∙119898119880 119860
= 152 119880 119860
Impostando la terza legge di Keplero e imponendo che 119870 =1 1198861198991198991199002
1 1198801198603
1198792
1198863= 119870 =gt 119879119872(119886119899119899119894) = radic[119886119872(119880 119860 )]3 = radic(152 119880 119860 )3 = 187 119886119899119899119894 = 684 119892119894119900119903119899119894
3 Approssimando lrsquoorbita di Venere a una circonferenza calcolare la velocitagrave media v del
pianeta intorno al Sole sapendo che il suo periodo di rivoluzione egrave 119879119881 = 1941 ∙ 106 119904
Soluzione
119879119881(119886119899119899119894) =119879119881(119904119890119888119900119899119889119894)
(119904119890119888119900119899119889119894 119894119899 119906119899 119886119899119899119900)=
1941 ∙ 106 119904
3600 ∙ 24 ∙ 365 ∙119904
119886119899119899119900
= 061 119886119899119899119894
Impostando la terza legge di Keplero e imponendo che 119870 =1 1198861198991198991199002
1 1198801198603
1198792
1198863= 119870 =gt 119886119881(119880 119860 ) = radic[119879119881(119886119899119899119894)]2
3= radic(061 119886119899119899119894)2
3= 072 119880 119860 = 1076 ∙ 106 119896119898
119907 =2120587119886119881119879119881
=2120587 ∙ 1076 ∙ 106 119896119898
1941 ∙ 106 119904= 3483
119896119898
119904
Bignamino di astronomia
66
Risoluzione del sistema per il calcolo delle velocitagrave su orbite non circolari
119907119886119889119886 = 1199071199011198891199011
2119898119907119886
2 minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
1198891198861
2119898119907119886
2 minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
11988911988612119898119907119901
21198891199012
1198891198862
minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886121199071199012119889119901
2
1198891198862
minus1
21199071199012 =
119866119872
119889119886minus119866119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
1198891198861
21199071199012 (1198891199012
1198891198862minus 1) = 119866119872(
1
119889119886minus1
119889119901)
119907119886 =
119907119901119889119901
1198891198861
21199071199012 (1198891199012 minus 119889119886
2
1198891198862
) = 119866119872(119889119901 minus 119889119886
119889119886119889119901)
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886
1199071199012 = 2119866119872 (
119889119901 minus 119889119886
119889119886119889119901)(
1198891198862
1198891199012 minus 119889119886
2)
Bignamino di astronomia
67
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886
1199071199012 = 2119866119872 (
119889119901 minus 119889119886
119889119886119889119901) [
1198891198862
(119889119901 + 119889119886)(119889119901 minus 119889119886)]
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886
119959119953 = radic120784119918119924119941119938
119941119953(119941119953 + 119941119938)
Sostituendo la formula appena trovata nella prima equazione si ottiene
119959119938 = radic120784119918119924119941119953
119941119938(119941119953 + 119941119938)
Possiamo scrivere le due velocitagrave anche in funzione (cioegrave in dipendenza) del semiasse maggiore e
dellrsquoeccentricitagrave dellrsquoorbita Se chiamiamo il semiasse maggiore dellrsquoorbita ellittica a valgono le
seguenti relazioni
119889119886 = 119886(1 + 119890) 119889119901 = 119886(1 minus 119890)
Quindi
119907119901 = radic2119866119872119886(1 + 119890)
119886(1 minus 119890)[119886(1 minus 119890) + 119886(1 + 119890)]= radic2119866119872
1 + 119890
(1 minus 119890)[119886(1 minus 119890 + 1 + 119890)]
= radic2119866119872
2119886(1 + 119890
1 minus 119890) = radic
119918119924
119938(120783 + 119942
120783 minus 119942)
Sostituendo anche nel caso di 119881119886
119907119886 = radic119918119924
119938(120783 minus 119942
120783 + 119942)
Si ricorda inoltre che
119938 =119941119938 + 119941119953
120784 119942 =
119941119938 minus 119941119953
119941119938 + 119941119953
Bignamino di astronomia
68
ESERCIZIO
Un pianeta sta cadendo sulla sua stella seguendo una traiettoria rettilinea se si conosce
lrsquoaltezza di caduta h si determini il tempo di caduta t
Per risolvere questo problema si potrebbe erroneamente pensare di applicare le leggi del moto
rettilineo uniformemente accelerato (come nel caso di una penna che cade dalla scrivania)
Consideriamo perograve un corpo (di massa m) che si trova a una certa altezza dal suolo la sua forza peso
equivale alla forza di attrazione gravitazionale tra il corpo e il pianeta (di raggio R e massa M) su cui
si trova
119898119892 =119898119872119866
(119877 + ℎ)2 119888119894119900egrave 119892 =
119866119872
(119877 + ℎ)2
Come possiamo vedere lrsquoaccelerazione di gravitagrave g non si mantiene costante al variare dellrsquoaltezza
ma varia noi la assumiamo costante al suolo e pari a circa 981 ms^2 solo percheacute in quel caso Δhasymp0
Quindi non possiamo applicare le leggi del moto rettilineo uniformemente accelerato a questo
problema Come risolverlo allora
Allrsquoinizio di questi appunti abbiamo evidenziato che lrsquoeccentricitagrave di unrsquoellisse indica quanto lrsquoellisse
egrave ldquoschiacciatardquo se dunque lrsquoeccentricitagrave tende a 1 la traiettoria tende a un segmento
Quindi possiamo assumere che il pianeta cada seguendo unrsquoorbita ellittica con eccentricitagrave prossima
a 1 e dunque semiasse maggiore a pari a h2 (vedi figura)
Se conosciamo la massa M della stella possiamo applicare la III legge di Keplero generalizzata
1198792
1198863=41205872
119866119872 rarr 119879 = radic
41205872
1198661198721198863 rarr 119879 = radic
41205872
119866119872(ℎ
2)3
rarr 119879 = radic1205872
2119866119872ℎ3
Naturalmente questo egrave il periodo completo dellrsquoorbita Il periodo di caduta egrave la metagrave
119905 =119879
2
a a
h
Bignamino di astronomia
69
Problemi 1 Coordinate celesti e tempo
Ci troviamo in un luogo di latitudine 120593 = 42deg 30prime15primeprime 119873 e longitudine 120582 = 15deg 28prime18primeprime119864
Osserviamo una stella di ascensione retta 5h 32 min 3 sec e declinazione -00deg 15rsquo 20rdquo che
passa al meridiano alle 2030 del 14012020 A quale altezza culminava Quale era la sua
distanza zenitale In quale data dallo stesso luogo e allo stesso orario si egrave potuto vederla
sorgere ad est
Soluzione
Lrsquoaltezza massima di una stella (quando culmina) egrave data dalla relazione
ℎ = 90deg minus 120593 + 120575
Quindi
ℎ = 90deg minus 42deg30prime15 minus 0deg 15 20= 47deg 14 25
La distanza zenitale egrave invece data da 119911 = 90deg minus 120593 = 90deg minus 47deg 14prime25primeprime = 42deg 45prime35primeprime
Un dato importante per poter rispondere alla terza richiesta egrave sapere che le stelle
ldquoanticipanordquo il loro sorgere di 3 119898119894119899 56 119904119890119888119892119894119900119903119899119900
Quindi per sapere quanti giorni prima la stella sorgeva ad est (m)
119898 =120572
Δ119905=
(5ℎ32min3sec)
3119898119894119899 56sec119892119894119900119903119899119900= 84 119892119894119900119903119899119894
84 giorni prima del 14012020 era il 21102019
2 Coordinate e tempo
Il tempo siderale di un luogo (120593 = 28deg 30prime45primeprime119878 120582 = 90deg 23prime50primeprime119882 ) egrave di 9h 3min 45sec
Quale egrave il tempo siderale di GW
Soluzione Il primo passaggio da fare egrave trasformare la longitudine del luogo da gradi in ore
Quindi
15deg 1ℎ = 90deg 23prime50primeprime 120582
120582 = 90deg 23prime50primeprime ∙1ℎ
15deg = 6ℎ 1min3533119904119890119888
Il tempo siderale del luogo egrave legato a quello di GW dalla seguente relazione
119879119904 = 119879119866119908 + 120582
Quindi 119879119866119908 = 119879119904 minus 120582 = 9ℎ3min 45119904119890119888 minus (minus 6ℎ1min 3533sec ) = 9ℎ3min 45119904119890119888 +
6ℎ1min 3533sec = 15ℎ 5min 20119904119890119888
Bignamino di astronomia
70
PROBLEMI E QUESITI SULLA MISURA DEL TEMPO
Problema 1 In un dato luogo a che ora di tempo siderale culmina il Sole medio in un dato giorno
sapendo che sedici giorni prima esso culminava alle 15h 12m 48s di tempo siderale
Se ci troviamo a Belo Horizonte (longitudine λ=43deg56rsquo16rdquo W) al mezzogiorno vero e lrsquoequazione del
tempo per quel giorno egrave pari a ET=-8m7s che ora segna lrsquoorologio dellrsquoosservatore
Soluzione problema 1 La prima richiesta del problema si risolve tenendo conto che giorno solare
medio e giorno siderale hanno diversa durata infatti il giorno siderale egrave piugrave corto del giorno solare
medio di circa 3m56s Pertanto se in un dato giorno il punto gamma e il Sole medio hanno raggiunto
la culminazione nel medesimo istante il giorno successivo il Sole medio culmineragrave 3m56s dopo il
punto gamma Quindi il Sole accumuleragrave un ritardo pari a 163m56s=1h2m56s che andragrave sommato
allrsquoora siderale data dal problema TS=15h 12m 48s + 1h 2m 56s= 16h 15m 44s
Se a Belo Horizonte egrave mezzogiorno vero vuol dire che sono le 12h di tempo solare vero Lrsquoequazione
del tempo egrave la differenza fra tempo solare medio e tempo solare vero quindi
TSM-TSV=ET TSM=TSV+ET=12h ndash 8m 7s= 11h 51m 53s lrsquoorologio dellrsquoosservatore egrave perograve in
accordo col tempo del meridiano centrale del fuso di Belo Horizonte che ha longitudine 3h W
mentre Belo Horizonte ha longitudine 2h 55m 45s W essa egrave quindi piugrave avanti di 3h-2h 55m 45s=4m
15s lrsquoorologio segneragrave quindi le ore 11h 51m 53s ndash 4m 15s= 11h 47m 38s
Problema 2 A Bergamo (λ= 9deg 40rsquo 12rdquo E) i raggi del Sole in un dato momento si proiettano
esattamente sulla linea della meridiana di Cittagrave Alta In quel dato giorno lrsquoequazione del tempo egrave
+5m 12s se il tempo siderale a mezzanotte di quel giorno a Greenwich risultava pari a 3h 21m 20s
qual egrave il tempo siderale a Greenwich nellrsquoistante del problema
Soluzione problema 2 La longitudine di Bergamo espressa in ore minuti e secondi egrave 38m 41s E Se
il disco luminoso si proietta sulla linea meridiana egrave mezzogiorno vero quindi il tempo solare medio
saragrave pari a TSM= TSV + ET= 12h + 5m 12s= 12h 5m 12s Greenwich si trova 38m 41s a ovest di
Bergamo quindi egrave anche 38m 41s indietro a Greenwich sono quindi le 12h 5m 12s ndash 38m 41s= 11h
26m 31s Sono passate quindi 11h 26m 31s dalla mezzanotte per convertire questo tempo medio
in tempo siderale moltiplichiamo per il fattore di conversione 3662536525
ΔTS (Greenwich)= (3662536525)(114419444 h)= 114732394h = 11h 28m 24s Quindi a
Greenwich sono le 3h 21m 20s + 11h 28m 24s= 14h 49m 44s di tempo siderale
Quesito Si valuti argomentando opportunamente come varia lrsquoEquazione del Tempo nel corso
dellrsquoanno solare se in un piano cartesiano in ascissa indichiamo lrsquoET e in ordinata la declinazione del
Sole che curva si ottiene
Risposta Lrsquoequazione del tempo si annulla quattro volte lrsquoanno a metagrave aprile a metagrave giugno verso
Natale e ai primi di settembre il sole medio e il sole vero culminano contemporaneamente (1) Da
Natale a metagrave aprile il sole medio anticipa il sole vero (2) da metagrave aprile a metagrave giugno il sole vero
anticipa il sole medio da metagrave giugno a inizio settembre come (1) e da inizio settembre a Natale
come (2) Oltre a ldquooscillare in orizzontalerdquo in un anno il sole ldquooscilla in verticalerdquo nel senso che
Bignamino di astronomia
71
assume declinazioni da 23deg27rsquo a -23deg27rsquo La curva che si ottiene egrave quindi una sorta di ldquo8rdquo chiamata
analemma essa egrave anche la curva che egrave formata dalle posizioni in cielo del sole vero registrate a
mezzogiorno medio locale ogni giorno dellrsquoanno
Figura 1 Analemma decET
Figura 2 Analemma visualizzato nel cielo di Atene
Problema 3 Una stella di ascensione retta AR=11h 12m 13s culmina in un dato luogo della Terra alle
ore 13h 04m 02s di tempo medio Considerando che a Greenwich culmina una stella con ascensione
retta 8h 11m 58s dire che orario segna lrsquoorologio dellrsquoosservatore in quel dato luogo della Terra
Soluzione Il tempo siderale in un dato luogo egrave uguale allrsquoascensione retta delle stelle che si trovano
a culminare al meridiano superiore Quindi in questo luogo della Terra il tempo siderale egrave pari a 11h
12m 13s a Greenwich il tempo siderale egrave pari a 8h 11m 58s Notiamo come il luogo dove si trova
lrsquoosservatore ha longitudine est infatti egrave piugrave avanti di Greenwich di circa 3 ore quindi egrave piugrave a Est di
Greenwich La differenza fra lrsquoora siderale dellrsquoosservatore e quella a Greenwich dagrave la longitudine
del luogo (differenza fra longitudine del luogo e longitudine di Greenwich che egrave 0 percheacute il suo
meridiano egrave origine delle longitudini)
λ= TSrsquo-TS(GW)= 11h 12m 13s ndash 8h 11m 58s= 3h 0m 15s E Questo luogo segue il meridiano che ha
longitudine 3h E quindi egrave in anticipo rispetto a esso di appena 15s pertanto il suo orologio segneragrave
le ore 13h 04m 02s ndash 15s= 13h 03m 47s
Bignamino di astronomia
72
bull STELLE E MAGNITUDINI SISTEMI STELLARI ESTESI
1 Pochi giorni fa si egrave registrato un nuovo oggetto che si comporta apparentemente
come una binaria a eclisse Tuttavia il periodo non egrave stabile la magnitudine
dellrsquooggetto egrave in genere pari a 2432 ma ogni 7-11 secondi sale a 2452 per 02-03
secondi Dopo unrsquoaccurata analisi del problema si egrave capito che lrsquooggetto splendente egrave
costituito dagli occhi di un gruppo di gatti assolutamente neri seduti su un piccolo
corpo del sistema solare nero e con gli sguardi rivolti verso il sole Uno dei gatti batte
ogni tanto le palpebre Quanti gatti ci sono
Soluzione Sia N il numero di occhi la cui determinazione egrave richiesta dal problema
Quando il gatto nero del problema chiude gli occhi il numero di occhi che
contribuisce alla magnitudine complessiva scende di due unitagrave (N-2) Se
consideriamo che gli occhi dei gatti sono tutti gli stessi ciascuno di essi ci invia un
flusso pari a F Avendo entrambe le magnitudini corrispondenti alla situazione ldquotutti
gli N occhi apertirdquo (2432) e ldquoN-2 occhi apertirdquo (2452) possiamo scrivere la formula
di Pogson tenendo conto dei flussi complessivi
119898119898119894119899 minus119898119898119886119909 = minus25119897119900119892 [119865 lowast (119873 minus 2)
119865 lowast 119873]
119873 minus 2
119873= 10
119898119898119886119909minus11989811989811989411989925 = 10minus008 = 0832 rarr 119873 =
2
0168asymp 12 119900119888119888ℎ119894 ossia 6 119892119886119905119905119894
2 La galassia di Andromeda ha una magnitudine apparente integrata mv = 440 e appare in cielo come unrsquoellisse i cui semiassi hanno dimensioni angolari di circa 190 arcmin e 60 arcmin Sapendo che la sua distanza egrave di circa 254 milioni di anni luce calcolare la magnitudine assoluta e la magnitudine apparente superficiale media della galassia (Gara Interregionale Categoria Senior 2018)
Soluzione La distanza della galassia di Andromeda in pc egrave 119889(119901119888) =254 10^63262= 77810^3 119901119888 La magnitudine assoluta egrave data dalla relazione 119872119907 = 119898119907 + 5 minus 5 log 119889(119901119888) = -201 Per calcolare la magnitudine apparente superficiale dobbiamo calcolare lrsquoarea apparente della galassia A = π a b = 120587 190 ∙ 60 = 358 ∙ 103 1198861199031198881198981198941198992 cong 129 ∙ 106 119886119903119888119904119890119888^2 La magnitudine apparente superficiale (msup) si ottiene dalla relazione 119898119904119906119901 = 119898119907 +25 log 119860 cong 158119898119886119892119886119903119888119898119894119899^2 cong 247119898119886119892119886119903119888119904119890119888^2 3 Si consideri una stella variabile ldquopulsanterdquo la cui magnitudine assoluta varia
nellrsquointervallo M1= 325 e M2= 226 con una temperatura effettiva che al massimo di luminositagrave egrave T2= 5500 K e al minimo di luminositagrave egrave T1 = 5000 K Calcolare quanto varia il raggio della stella tra il minimo e il massimo di luminositagrave Esprimere il
Bignamino di astronomia
73
risultato come rapporto tra raggio massimo e raggio minimo e come differenza tra i due raggi in km (Gara Interregionale Categoria Senior 2017)
Soluzione La luminositagrave di una stella egrave definita dalla relazione 119871=4 120587 119877^2 120590 119879^4 Per ricavare il rapporto tra i raggi al massimo e minimo di luminositagrave utilizziamo la formula di Pogson 1198722minus 1198721= minus 25log(11987121198711)=minus 25log[4120587(1198772)^2 120590 (1198792)^4][4120587(1198771)^2 120590 (1198791)^4]= -
25log[(11987721198771)^2 (11987921198791)^4] e quindi 0396 = log[(11987721198771)^2 (11987921198791)^4] =119897119900119892 [(11987721198771)^2 1464] da cui 0396=2log(11987721198771)+log1464 ovvero 0115= 119897119900119892 (11987721198771) e infine (119929120784119929120783)=120783120785120782 Per ottenere la differenza in km calcoliamo il raggio della stella al massimo di luminositagrave confrontando i suoi dati con una stella di caratteristiche note il Sole Avremo quindi 1198722minus 119872s=minus 25log[(1198772119877s)^2 (1198792119879s)^4] e quindi 103 = 2 log R2 ndash 2 log Rs + 4 log 09519
da cui si ricava 1198772=2513 ∙ 10^3 119896119898cong361 119877s e 1198771=1933 ∙ 10^3 119896119898cong278 119877s la variazione del raggio in km vale quindi ΔR = 580 ∙ 103 km
4 La supergigante rossa Betelgeuse ha una magnitudine apparente m1=+042 e
una parallasse π1=0005rdquo mentre la supergigante blu Rigel ha una magnitudine
apparente m2=+013 e una parallasse π2=0004rdquo Quale delle due stelle egrave
intrinsecamente piugrave luminosa Qual egrave la piugrave lontana (Gara interregionale Categoria Senior 2015) Soluzione Affincheacute si possa determinare quale delle due stelle sia piugrave luminosa intrinsecamente egrave necessario ricorrere al calcolo delle magnitudini assolute delle due stelle possiamo calcolare la magnitudine assoluta di una stella conoscendo la magnitudine apparente della stessa e la sua parallasse tramite la relazione
119872 = 119898 + 5 + 5119897119900119892120587 119900119907119890 119897119886 119901119886119903119886119897119897119886119904119904119890 egrave 119890119904119901119903119890119904119904119886 119894119899 119886119903119888119900119904119890119888119900119899119889119894 Nel caso nostro
1198721 = 1198981 + 5 + 51198971199001198921205871 = +042 + 5 + 51198971199001198920005 = minus608 (119861119890119905119890119897119892119890119906119904119890)
1198722 = 1198982 + 5 + 51198971199001198921205872 = +013 + 5 + 51198971199001198920004 = minus687 (119877119894119892119890119897)
Essendo la magnitudine assoluta di Rigel minore di quella di Betelgeuse allora Rigel egrave intrinsecamente piugrave luminosa di Betelgeuse Possiamo giagrave da questo risultato comprendere quale stella sia piugrave distante delle due infatti Rigel egrave sia apparentemente sia assolutamente piugrave luminosa di Betelgeuse quindi egrave necessario che essa sia piugrave distante di Betelgeuse affincheacute ciograve si verifichi A riprova di ciograve la parallasse di Rigel egrave minore di quella di Betelgeuse essendo essa piugrave lontana La distanza di Rigel in parsec egrave 1π2=250 pc mentre quella di Betelgeuse egrave 1π1=200 pc
da cui d2gtd1
Bignamino di astronomia
74
bull COSMOLOGIA ELEMENTARE
5 Un team di scienziati osserva una nuova galassia e ne analizza lo spettro la riga H-alfa
dellrsquoidrogeno che ha in laboratorio una lunghezza drsquoonda pari a 656281 Aring ha nello spettro della galassia una lunghezza drsquoonda di 656933 Aring Si determini la distanza della galassia Soluzione per prima cosa calcoliamo il redshift della galassia
119911 =∆120582
120582=120582119900119904119904 minus 120582119897119886119887
120582119897119886119887=656933 minus 656281
656281= 9935 lowast 10minus4
Applichiamo la legge di Hubble-Lemaitre
119888119911 = 1198670119889 rarr 119889 =119888119911
1198670= 299792458
119896119898
119904lowast 9935 lowast
10minus4
719= 414 119872119901119888
6 Osservando lrsquoesplosione di una supernova in una lontana galassia due scienziati notano che la riga H-beta dellrsquoidrogeno osservata nello spettro ha esattamente la stessa lunghezza drsquoonda della riga H-alfa osservata in laboratorio Tuttavia i due scienziati usano valori diversi per la costante di Hubble Usando valori che differiscono di ΔH=H2-H1=14 kmsMpc ottengono valori diversi per la magnitudine assoluta della supernova al massimo M1=-1902 e M2=-1864 Trovare quanto valgono per ciascuno dei due scienziati il redshift e la distanza della galassia (XXIII International Astronomy Olympiad ndash Colombo Sri Lanka Theoretical Round Group β Exercise 1) Soluzione Il redshift misurato dai due scienziati egrave lo stesso per entrambi esso infatti dipende dalle lunghezze drsquoonda osservate che secondo quanto affermato nella traccia sono le stesse per entrambi gli scienziati La lunghezza drsquoonda della riga H-alfa egrave pari a 6563 Aring mentre la lunghezza drsquoonda della riga H-beta egrave pari a 4861 Aring Il redshift per definizione egrave dunque pari a
119911 =120582119867minus119886119897119891119886minus120582119867minus119887119890119905119886
120582119867minus119887119890119905119886= 035
Conoscendo la relazione nota come ldquomodulo di distanzardquo (relazione fra mag Apparente e mag Assoluta) possiamo scrivere
1198721 = 1198981 + 5 minus 51198971199001198921198891 1198722 = 1198982 + 5 minus 51198971199001198921198892
Ma le due magnitudini apparenti dellrsquooggetto debbono necessariamente coincidere dal momento che esse sono dati puramente osservativi (non derivano cioegrave da elaborazioni di dati precedenti) possiamo quindi sottrarre membro a membro le due relazioni precedenti semplificando le due magnitudini apparenti
1198721 minus1198722 = 5119897119900119892 (11988921198891) rarr
11988921198891= 10
1198721minus11987225 = 0839
Possiamo scrivere il seguente sistema
1198892 = 08391198891H2 minus H1 = 14
119888119911
1198672= 0839
119888119911
1198671H2 minus H1 = 14
1198672 = 11911986711198672 minus 1198671 = 14
1198671 =
7368119896119898119904
119872119901119888
1198672 =8768
119896119898119904
119872119901119888
Bignamino di astronomia
75
Da cui finalmente d1=czH1=2997924580357668=13684 Mpc dz=czH2=2997924580538768=11967 Mpc
bull MISCELLANEA
1 Una galassia egrave composta da stelle tutte simili al nostro Sole Essa mostra uno
spostamento verso il rosso della riga Hα (λ=656281 Aring) di ampiezza pari a Δλ= 15 Aring
Essa risulta inclinata rispetto alla perpendicolare alla linea di vista di un angolo di 30deg
e si sa che il suo raggio egrave pari a 37000 anni luce Nel cielo appare come un oggetto di
magnitudine superficiale msup= 2478 magarcsec2
Quanto vale la massa della galassia
Soluzione Ci viene fornita dalla traccia la magnitudine superficiale della galassia vista
dalla Terra essa indica la magnitudine di una ldquoporzionerdquo della galassia di superficie
pari a 1 arcsec2 Di conseguenza la magnitudine complessiva della galassia devrsquoessere
legata alla sua superficie angolare allora dobbiamo conoscere le dimensioni angolari
della galassia abbiamo le dimensioni angolari quindi dobbiamo ricavare la distanza
della galassia
Calcoliamo per prima cosa il redshift z
119911 =∆120582
120582=
15
656281= 229 ∙ 10minus4
Con la legge di Hubble-Lemaitre ricaviamo la distanza
119888119911 = 1198670119889 119889 =119888119911
119867119900=300 ∙ 105 ∙ 229 ∙ 10minus4
719119872119901119888 = 0954 119872119901119888
= 311 ∙ 106119886119899119899119894 119897119906119888119890
Adesso possiamo determinare le dimensioni apparenti della galassia percheacute ne
conosciamo la distanza nel cielo essa ci appare come unrsquoellisse il cui semiasse
maggiore vale
119886 = arctan (119877
119889) = arctan (
37000
311 ∙ 106) = 0682deg = 24538 119886119903119888119904119890119888
Essendo il coseno di 30deg uguale a radic3
2 il semiasse minore varragrave
119887 = arctan(119877radic3
2119889) = arctan (
37000 ∙ 173
2 ∙ 311 ∙ 106) = 0590deg = 21226 119886119903119888119904119890119888
Calcoliamo la superficie di questa ellisse
119878 = 120587119886119887 = 120587 ∙ 24538 ∙ 21226 arcsec2 = 163 ∙ 107 arcsec2
Bignamino di astronomia
76
A questo punto ricaviamo la magnitudine integrata apparente
m=msup-25log(119878) 119898 = 2478 minus 25 log(163 ∙ 107) = 675
Abbiamo la distanza troviamo la magnitudine assoluta
M=m+5-5logd=675+5-5log(0954 106)=-1815
A questo punto troviamo il numero di ldquosolirdquo contenuti nella galassia grazie alla
relazione che ci permette di ricavare la magnitudine integrata di un oggetto (nel caso
sia composto da componenti uguali)
119872 = minus25 log(119873 lowast 10minus04119872119904) 119873 = 10minus04(119872minus119872119878) = 10minus04(minus1815minus483)
= 156 ∙ 109119904119905119890119897119897119890 119888119900119898119890 119894119897 119904119900119897119890
Possiamo finalmente trovare la massa della galassia
119872119892 = 156 ∙ 109 ∙ 199 ∙ 1030119896119892 = 310 ∙ 1039119896119892
2 Una stella di raggio R=705000 km presenta un picco drsquoemissione alla lunghezza
drsquoonda di 542 nm Se essa egrave costituita interamente da idrogeno si determini quanti
atomi di idrogeno hanno reagito in un secondo nel nucleo della stella nella reazione
di fusione termonucleare che produce elio
Soluzione Dobbiamo innanzitutto determinare la luminositagrave della stella che dipende
dal quadrato del raggio e dalla quarta potenza della temperatura disponiamo del
raggio ma dobbiamo ricavare la temperatura notiamo come il problema fornisca la
lunghezza drsquoonda del picco drsquoemissione che egrave inversamente proporzionale alla
temperatura efficace secondo la Legge di Wien
120582 ∙ 119879119890119891119891 = 2898 119898119898 119870 119879119890119891119891 =2898 119898119898 119870
542 ∙10minus6119898119898= 5347 119870
Adesso possiamo determinare la luminositagrave della stella (Legge di Stefan-Boltzmann)
119871 = 41205871198772120590(119879119890119891119891)4= 4120587 (705 ∙ 108)2 567 ∙ 10minus8 (5347)4 119882 = 289 ∙ 1026119882
Questa egrave lrsquoenergia che la stella irradia in un secondo ma da dove deriva Nel nucleo
quattro protoni si fondono per formare un nucleo di elio il nucleo di elio che si forma
perograve non ha la stessa massa dei quattro protoni bensigrave ha una massa lievemente
minore La massa mancante (il difetto di massa) si egrave trasformata in energia secondo
la famosa relazione di Einstein
119864 = 1198981198882
Se E=L m saragrave uguale al difetto di massa complessivo per unitagrave di tempo
119898 =119871
1198882=289 ∙ 1026119882
9 ∙ 10161198982
1199042 = 321 ∙
109119896119892
119904
Essendo la massa di un nucleo di elio-4 pari a 6645 10-27kg mentre la massa del
protone pari a 167310-27kg si ha che la massa di 4 protoni egrave 669210-27kg e quindi
il difetto di massa per ogni reazione egrave Δm= 004710-27 kg Dividendo questo valore
Bignamino di astronomia
77
per quello trovato sopra otteniamo il numero di reazioni che avvengono in un
secondo nel nucleo della stella
119873 =119898
∆119898=
321 ∙ 109
0047 ∙ 10minus27119903119890119886119911 = 683 ∙ 1037119903119890119886119911
A ogni reazione corrispondono quattro atomi di idrogeno quindi per trovare la
soluzione ci basta moltiplicare questo valore per 4
119873119905119900119905 = 4119873 = 273 ∙ 1038119886119905119900119898119894()
3 Che dimensioni dovrebbe avere una sfera metallica perfettamente riflettente per
essere visibile come un astro da Terra ad occhio nudo quando essa si trova in
opposizione al Sole (Questa sfera egrave posta in orbita circolare attorno alla Terra con
un periodo T=2766 ore)
Soluzione Innanzitutto ci serve conoscere il raggio orbitale della sfera perciograve
applichiamo la Terza Legge di Keplero generalizzata
1198792
1198863=41205872
119866119872 119886 = radic
1198661198721198792
41205872
3
= radic667 ∙ 10minus11 ∙ 597 ∙ 1024 ∙ 992 ∙ 107
4(314)23
= 10005119896119898
Sia Fs il flusso solare esso investe la sfera e la quantitagrave di energia intercettata in un
secondo (Lint) egrave direttamente proporzionale alla sezione della sfera
119871119894119899119905 = 119865119904 ∙ 1205871198772
La luce viene interamente riflessa quindi
119871119903119894119891 = 119871119894119899119905 = 119865119904 ∙ 1205871198772
Questa luminositagrave viene riflessa in tutte le direzioni quindi tutti i punti che si trovano
alla medesima distanza dalla sfera riceveranno lo stesso flusso pari a
119865 =119865119904 ∙ 120587119877
2
41205871198892=119865119904 ∙ 119877
2
41198892
In particolare per una localitagrave posta sulla Terra
119865 =119865119904 ∙ 119877
2
4(119886 minus 119877119879)2=
119865119904 ∙ 1198772
4(107 minus 6378 ∙ 106)2= 1906 ∙ 10minus14119865119904 119877
2
Applichiamo la formula di Pogson comparando la sfera col Sole e tenendo presente
che la magnitudine della sfera devrsquoessere uguale a 6 (lrsquooggetto egrave appena visibile ad
occhio nudo)
119898minus119898119904 = minus25 log (119865
119865119904) rarr 6 + 2674 = minus25 log(1906 ∙ 10minus141198772)
1906 ∙ 10minus141198772 = 10minus131 rarr 119877 = radic10minus131
1906 ∙ 10minus14119898 = 204 119898
Pertanto la sfera deve avere un diametro di 408 metri
Bignamino di astronomia
78
[NB Nello svolgimento del problema si egrave usato lo stesso valore del flusso solare per la Terra e per la
sfera in realtagrave ciograve egrave unrsquoapprossimazione percheacute le distanze Terra-Sole e Sole-sfera sono diverse
Essendo perograve il semiasse dellrsquoorbita della sfera trascurabile rispetto al semiasse della Terra allora i due
flussi sono assai simili]
4 Egrave stato osservato un quasar doppio che si trova a grandissima distanza dalla Terra La
particolaritagrave di questo quasar egrave il moto di allontanamento delle due componenti Q1
e Q2 In particolare Q1 si allontana da Q2 spostandosi come riportato in figura dal
punto A al punto B con velocitagrave relativistica ldquovrdquo pari al 75 della velocitagrave della luce
Calcolare lrsquointervallo di tempo Δt impiegato dal componente Q1 a raggiungere il
punto B e il corrispondente intervallo di tempo Δtrsquo misurato dagli astronomi sulla
Terra (che giace sullo stesso piano della figura) Sulla base del risultato ottenuto di
fronte a quale sconvolgente conclusione si sono trovati gli astronomi prima di
riuscire a spiegare correttamente il fenomeno (Dalla Finale Nazionale 2015
Categoria Junior)
Soluzione Il tratto AB egrave lrsquoipotenusa del triangolo rettangolo ABArsquo (vedi figura) quindi
esso vale (Teorema di Pitagora)
119860119861 = radic119860119860prime2 + 119860prime1198612 = radic9 + 16 = 5119886 119897
Esso viene quindi percorso nel tempo ∆119905 =119860119861
119907=
5119886119897
075119888= 667 119886119899119899119894 Notiamo come non ci
sia bisogno di conoscere il valore della velocitagrave della luce percheacute le distanze sono espresse
in anni luce
Adesso analizziamo il fenomeno come viene visto dalla Terra Quando Q1 si trova in A la luce
da esso emessa impiega per giungere in Arsquo un tempo pari a 4119886119897
119888= 4 119886119899119899119894 Nel frattempo
Q1 si sposta e per arrivare in B impiega 667 anni La luce che emette in B non deve piugrave
attraversare una distanza di 4 al quindi i due segnali luminosi arrivano a una ldquodistanzardquo
temporale ∆119905prime = (667 minus 4)119886119899119899119894 = 267 119886119899119899119894
Il risultato sconvolgente egrave che siccome agli astronomi da Terra egrave sembrato che Q1 si
spostasse lungo ArsquoB la sua velocitagrave misurata da Terra risulta pari a
119907 =119860prime119861
267119886119899119899119894=
3119886 119897
267119886119899119899119894= 1125119888
Bignamino di astronomia
79
Apparentemente il quasar si egrave spostato con una velocitagrave superiore a quella della luce Non egrave
infatti raro osservare dei moti superluminali (cioegrave con velocitagrave superiore a quella della luce)
in oggetti che si muovono con velocitagrave relativistiche questa velocitagrave egrave tuttavia sempre
apparente
5 Se una stella presenta un redshift z pari a 555 10-5 quale saragrave il verso e il valore della
sua velocitagrave radiale
Soluzione il redshift egrave positivo quindi la stella si allontana da noi La velocitagrave radiale
della stella egrave data da
119907 = 119888119911 = 3 ∙ 105 ∙ 555 ∙ 105 = 167119896119898
119904
6 La lunghezza drsquoonda λrsquo di una delle righe piugrave evidenti della luce emessa dalle galassie
di una costellazione egrave 1020 volte piugrave grande della corrispondente lunghezza drsquoonda
λ di riferimento Calcolare la velocitagrave con cui lrsquoammasso si sta allontanando dalla Terra
e stimare la sua distanza
Soluzione il redshift egrave119911 =∆120582
120582=
(1020minus1)120582
120582= 0020
Pertanto 119907 = 0020119888 = 6000119896119898
119904 119890 (119897119890119892119892119890 119889119894 119867119906119887119887119897119890 minus 119871119890119898119886119894119905119903119890)
119889 =119907
119867= 6000719=834 Mpc
7 In una galassia tutti gli ammassi globulari hanno un diametro pari a 50 anni luce
Nelle fotografie si misura il diametro angolare di tre di questi ammassi I diametri
risultano pari a 8rsquo9rsquo10rsquo Calcolare la distanza dei tre ammassi
Soluzione le dimensioni reali di un oggetto visto sotto un angolo α alla distanza d
sono date da
119863 = 2119889 tan (120572
2)
Da cui
1198891 =119863
2 tan(12057212)=
50
2 tan(01333
2)=21486 anni luce
1198892 =119863
2 tan (12057222)= 19099 119886119899119899119894 119897119906119888119890
Bignamino di astronomia
80
1198893 =119863
2 tan (12057232)= 17189 119886119899119899119894 119897119906119888119890
8 Se si dispone di un telescopio di 30 cm di diametro e lunghezza focale di 2 m quali
ingrandimenti saranno forniti da tre oculari di focale 25mm 10 mm e 5mm Se gli
oculari hanno un campo apparente di 55deg quale saragrave lrsquoangolo di campo al telescopio
Calcolare pure la pupilla drsquouscita
Soluzione Calcoliamo lrsquoingrandimento
1198681 =119865
119891=2000119898119898
25119898119898= 80119909
1198682 =2000
10= 200119909
1198683 =2000
5= 400119909
Il campo del telescopio saragrave
1198651199001198811 =119865119900119881119900119888119894
=55deg
80= 069deg
1198651199001198812 =55deg
200= 028deg
1198651199001198813 =55deg
400= 014deg
La pupilla drsquouscita
1199011 =300
80= 375119898119898 1199012 =
300
200= 15119898119898 1199013 =
300
400= 075119898119898
9 Calcolare lrsquoapertura minima di un telescopio per poter riconoscere un granulo solare
ampio 700km
Soluzione Lrsquoestensione angolare di questo granulo egrave data da
120572 = 2 arctan (119863
2119889) = 2 arctan (
700
2 ∙ 1496 ∙ 106) = 097
Quindi per la formula di Dawes 119863(119898119898) =120
120572=124cm
10 Per realizzare una fotografia a vasto campo egrave stato necessario un tempo di posa di 13
minuti a f3 con sensibilitagrave 800 ISO Determinare il tempo necessario per ottenere la
stessa foto usando una sensibilitagrave di 1000 ISO ed unrsquoapertura relativa di f45
Trascurare le perdite di sensibilitagrave dovute al difetto di reciprocitagrave delle pellicole
Bignamino di astronomia
81
Soluzione il tempo di posa richiesto si ricava dalla formula
1198792 =11989122 1198781
11989112 1198782
1198791 119879 119905119890119898119901119900 119878 119904119890119899119904119894119887119894119897119894119905agrave 119891 119889119894119886119891119903119886119898119898119886 (119886119901119890119903119905119906119903119886 119903119890119897119886119905119894119907119886)
1198792 =452 800
32 1000 13 = 234 119898119894119899
11 Determinare il tempo di posa massimo per ottenere stelle puntiformi senza
inseguimento siderale con un obiettivo di 50 mm (di focale F) puntato su una zona di
cielo avente declinazione media 45deg Il formato utilizzato egrave il 24x36mm
Soluzione La formula che permette di ottenere stelle puntiformi egrave
119879119898119886119909 =600
119865119888119900119904120575= 17119904119890119888119900119899119889119894
12 Un radiotelescopio ha apertura di 75 m determinare il limite di diffrazione
raggiungibile alla frequenza di osservazione di 410 MHz
Soluzione La lunghezza drsquoonda egrave data da
119888 = 120582120584 120582 =119888
120584= 732 119888119898
Il limite di diffrazione si ricava dalla formula di Rayleigh
120599 =122120582
119863= 122
732
7500= 00119 119903119886119889 = 068deg = 41prime
13 Un radiotelescopio ha un diametro di 25m calcolare il limite di diffrazione alla
lunghezza drsquoonda di osservazione di 21 cm
Soluzione Per la formula di Rayleigh
120599 =122120582
119863= 122
21
2500= 001119903119886119889 = 059deg = 352prime
14 Un telescopio riflettore ha diametro 15 m calcolare il suo potere risolutivo massimo
alla lunghezza drsquoonda dellrsquoidrogeno ionizzato Hα=6563nm
Soluzione Ancora una volta
120599 =122120582
119863= 122 lowast 6563
10minus9
15= 53 10minus7119903119886119889 = 011
Bignamino di astronomia
82
15 Consideriamo due stelle la prima (S1) ha magnitudine apparente m1=11 e si trova a
una distanza L1 dalla Terra la seconda S2 ha luminositagrave intrinseca identica a S1 ma
si trova a una distanza tripla rispetto a S1 Che magnitudine apparente ha la stella S2
Se abbiamo a disposizione uno specchio di diametro D1 con cui si riesce a vedere a
malapena S1 quanto deve essere il diametro del secondo telescopio D2 che permetta
di vedere a malapena la stella S2
Soluzione Siccome la luminositagrave intrinseca egrave la stessa ma la distanza della seconda
stella egrave tripla il flusso della seconda stella egrave uguale a un nono del flusso della prima
Quindi applicando la formula di Pogson
1198981 minus1198982 = minus25 log (11986512) = minus25 log 9 = minus239
1198982 = 11 + 239 = 1339
Infine poicheacute per osservare S2 dobbiamo essere in grado di rivelare il flusso che egrave 9
volte minore e che lrsquoarea di uno specchio aumenta con il quadrato del raggio il raggio
dello specchio D2 devrsquoessere 3 volte piugrave grande di quello di D1
16 Calcolare la magnitudine limite visuale limite raggiungibile con un telescopio di
diametro D=25cm
Soluzione Applicando la formula per trovare la magnitudine limite (con il diametro
espresso in cm) troviamo
119898 = 68 + 5119897119900119892119863 = 68 + 511989711990011989225 = 138
17 Calcolare lrsquoapertura necessaria per poter osservare stelle fino a una magnitudine
limite visuale di +16 con un telescopio
Soluzione Applicando la formula precedente
119898 = 68 + 5119897119900119892119863 119863 = 10119898minus685 = 10184 = 692 119888119898
Bignamino di astronomia
83
18 In un sistema stellare una stella ruota attorno ad unrsquoaltra su unrsquoorbita circolare con
velocitagrave 45 kms il suo periodo di rivoluzione egrave 300 giorni Determinare il raggio
dellorbita e la massa della stella centrale
Soluzione la velocitagrave orbitale egrave data da
119907 =2120587119877
119879 119889119886 119888119906119894 119877 =
119907119879
2120587=45000 ∙ 2592 ∙ 107
62831= 1856 ∙ 1011119898
Dalla Terza legge di Keplero
119872 =412058721198773
1198661198792= 5632 ∙ 1030119896119892
Bignamino di astronomia
84
La SFERA e la TRIGONOMETRIA SFERICA
Premessa
Nella geometria piana i concetti base sono il punto e la retta
Su una sfera i punti sono definiti nel senso usuale Le rette sono definite come cerchi massimi Data una sfera si definisce circonferenza massima ogni circonferenza che si ottiene intersecando la superficie sferica con un piano passante per il centro della sfera Lequatore celeste egrave un circolo massimo mentre i paralleli di declinazione non lo sono Lorizzonte astronomico egrave un circolo massimo mentre non lo sono gli almucantarat o paralleli di altezza
Elementi della sfera
Superficie sferica
Si chiama superficie sferica la figura
generata da una semicirconferenza
in una rotazione completa attorno
al suo diametro Possiamo anche
definirla come luogo geometrico La
superficie sferica egrave il luogo
geometrico dei punti dello spazio
che hanno distanza dal centro pari al
raggio
Sfera
Si chiama sfera la figura generata da un semicerchio di
una rotazione completa attorno al suo diametro
Definita come luogo geometrico egrave il luogo dei punti dello
spazio la cui distanza dal centro egrave minore o uguale al
raggio
Zona sferica
Si chiama zona sferica la parte di
superficie sferica compresa fra due
piani paralleli α e β che intersecano
la sfera Le circonferenze sezioni si
chiamano basi della zona Lrsquoaltezza egrave
la distanza tra i due centri delle
circonferenze sezioni
Bignamino di astronomia
85
Spicchio sferico Lo spicchio sferico egrave il solido delimitato da due piani meridiani passanti per
uno stesso diametro e dalla porzione di superficie sferica (fuso sferico) a
essi corrispondente
Presi due punti distinti su una sfera per essi passa
una ed una sola circonferenza massima
Dati due punti A e B distinti su una sfera esiste una ed una sola circonferenza
massima che li contiene i due punti individuano su questa circonferenza due archi il minore di essi si
chiama distanza sferica rappresenta una geodetica (La geodetica egrave la linea che realizza su una data
superficie il minimo percorso fra due punti assegnati)
Corda
Si chiama corda un segmento i cui estremi appartengono
alla superficie sferica
Si chiama diametro una corda passante per il centro
della superficie sferica e della sfera
Segmento sferico a due basi
Definiamo segmento sferico a due basi la parte di sfera
compresa fra due piani paralleli α e β secanti la sfera
stessa
Calotta Sferica
Definiamo calotta sferica ognuna
delle due parti in cui una superficie
sferica viene divisa da un piano
secante 120572 La calotta egrave la porzione di
superficie sferica ottenuta per
sezione con il piano α
Segmento sferico ad una base
Il segmento sferico ad una base egrave ognuna delle
due parti in cui una sfera viene divisa da un piano
secante α il segmento egrave la porzione di sfera
compresa tra il piano e la calotta
Fuso sferico
La parte di superficie sferica limitata da due
circonferenze massime di sezione dei
semipiani α e β con la superficie sferica
Bignamino di astronomia
86
Nella geometria sferica la circonferenza massima gioca lo stesso ruolo della retta
nella geometria piana
La lunghezza di questo arco egrave proporzionale al raggio della sfera e
allrsquoangolo al centro AOB Se AOB egrave espresso in radianti
AB = OA x AOcircB
Triangolo sferico
Si definisce triangolo sferico la superficie sulla sfera limitata da tre
archi di circolo massimo passanti per tre punti detti vertici tali punti
non devono appartenere allo stesso circolo massimo e gli archi non
devono avere alcun punto dintersezione al di fuori dei vertici
Lati del triangolo sferico
Sono le lunghezze degli archi AB BC CA che limitano la superficie
Tali lati sono minori o uguali a 180
Angoli del triangolo sferico
Sono gli angoli formati dai tre archi di circolo massimo La somma
degli angoli (interni) egrave maggiore di 2 angoli retti e minore di 6 angoli
retti
180deg lt α+β+γ lt 540deg
Pertanto la somma degli angoli egrave 180deg solo quando il triangolo egrave
degenere ovvero quando i vertici del triangolo sono situati sullo
stesso circolo massimo
La differenza fra la somma dei tre angoli di un triangolo sferico e lrsquoangolo piatto si dice eccesso sferico
ε= α+β+γ minus 180deg
Bignamino di astronomia
87
Nel triangolo sferico sussistono relazioni fra le funzioni trigonometriche dei lati e degli angoli tali relazioni
sono date dai teoremi di Eulero (teorema del coseno ( ) per i triangoli sferici e teoremi dei seni( )) da
cui derivano due gruppi fondamentali di relazioni che prendono il nome di primo e secondo gruppo di Gauss
di cui ci occuperemo nella trattazione del triangolo di posizione astronomico Lrsquoapplicazione dei triangoli
sferici assume particolare importanza in astronomia in quanto come abbiamo visto nei sistemi di riferimento
sulla sfera celeste si misurano solo distanze angolari
Per un lato
cos (119886) = cos (119887)cos (119888) + sin (119887)sin (119888)cos (119860)
sin (119886)
sin (119860)=sin (119887)
sin (119861)=sin (119888)
sin (119862)
Oppure
sin(119886) ∶ sin(119860) = sin(119887) sin(119861) = sin(119888) sin(119862)
Bignamino di astronomia
88
Triangolo di posizione astronomico
Vertici del triangolo
Il triangolo astronomico o di posizione ha i vertici nellastro
nello zenit e nel polo celeste nord il terzo vertice potrebbe
essere anche laltro polo ma per convenzione egrave preferibile
usare quello nord in quanto semplifica le regole algebriche
per il calcolo delle lunghezze dei lati
Lati del triangolo
I lati del triangolo hanno lunghezze comprese fra 0 e 180
definite come segue
bull Distanza polare p = 9 - 120575
la distanza che lastro ha dal polo di riferimento (polo celeste nord per convenzione)
Considerando la declinazione 120575 positiva se a Nord e negativa se Sud la distanza polare egrave p lt 90 nel
primo caso e p gt 90 nel secondo
bull Colatitudine c = 9 - 120593
coincide con la colatitudine ossia il complemento della latitudine Si ricorda che lelevazione
dellasse polare egrave esattamente pari alla latitudine del luogo La precedente convenzione per la
declinazione puograve essere adottata anche per la latitudine per cui si ha c lt 90 per latitudini nord e c gt
90 per quelle sud
bull Distanza zenitale z = 90 - h
Coincide con la distanza zenitale z ossia la distanza che lastro ha dallo zenit Tale distanza egrave il
complemento dellaltezza h (z = 90-h) Se lastro egrave nellemisfero visibile si ha h gt 0 e z lt 90 per astri
nellemisfero invisibile si ha h lt 0 e z gt 90
I tre angoli sono
1) Angolo vertice nello Zenith compreso tra meridiano e cerchio verticale la sua ampiezza dovrebbe corrispondere allazimuth ma in questo caso poichegrave lampiezza degli angoli nei triangoli sferici egrave sempre inferiore a 180deg prende nome di Angolo azimutale Z
2) Angolo vertice nel Polo Celeste compreso tra meridiano e cerchio orario la sua ampiezza corrisponderebbe allangolo orario ma in questo caso poicheacute lampiezza degli angoli nei triangoli sferici egrave sempre inferiore a 180deg prende nome di Angolo al Polo P
3) Angolo con vertice nellrsquooggetto A
Bignamino di astronomia
89
Attraverso le seguenti relazioni note come primo e secondo gruppo di Gauss
119904119894119899 ℎ = 119904119894119899 120593 119904119894119899 120575 + 119888119900119904 120593 119888119900119904 120575 119888119900119904 119867
119888119900119904 ℎ 119888119900119904 119860 = 119888119900119904 120593 119904119894119899 120575 + 119904119894119899 120593 119888119900119904 120575 119888119900119904 119867119888119900119904 ℎ 119904119894119899 119860 = 119888119900119904 120575 119904119894119899 119867
Primo Gruppo di Gauss
119878119894119899 120575 = 119878119894119899 120593 119878119894119899 ℎ minus 119862119900119904 120593 119862119900119904 ℎ 119862119900119904 119860119862119900119904120575 119888119900119904119867 = 119904119890119899ℎ 119888119900119904120601 + 119888119900119904ℎ 119904119890119899120601 119888119900119904119860
119862119900119904ℎ 119904119890119899119867 = 119888119900119904ℎ 119904119890119899119860
Secondo gruppo di Gauss
Ersquo possibile risolvere il triangolo astronomico
Notiamo che nel triangolo di posizione sono contemporaneamente presenti per loggetto celeste osservato le sue coordinate altazimutali (azimuth o angolo zenitale e altezza o distanza zenitale) e quelle equatoriali orarie (angolo orario o angolo al polo e declinazione o distanza polare) Queste formule ci consentono il passaggio da coordinate altazimutali ad equatoriali orarie e viceversa
Queste ci consentono il passaggio da un sistema altazimutale ad equatoriale
119904119894119899 120575 = 119904119894119899 120593 119888119900119904 119911 minus 119888119900119904 120593 119904119894119899 119911 119888119900119904 119860
119888119900119904 120575 119888119900119904 119867 = 119888119900119904 120593 119888119900119904 119911 + 119904119894119899 120593 119904119894119899 119911 119888119900119904 119860119888119900119904 120575 119904119894119899 119867 = 119904119894119899 119911 119904119894119899 119860
Bignamino di astronomia
90
Le parti della sfera
Riportiamo in una tabella le caratteristiche delle parti in cui rimane divisa una superficie sferica e una sfera
di raggio R quando vengono sezionate con opportuni piani indicando anche le formule per il calcolo delle
corrispondenti superfici e volumi
FONTE ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Bignamino di astronomia
91
ALCUNE ESERCITAZIONI DI TRIGONOMETRIA SFERICA
1) Calcolo dellrsquoaltezza di un oggetto alla culminazione superiore ed inferiore Giagrave conosciamo le formule che ci permettono di determinare lrsquoaltezza di un astro sullrsquoorizzonte nel caso di culminazione superiore ed inferiore per semplicitagrave le riportiamo qui di seguito
Culminazione superiore la stella culmina a sud dello zenit
la stella culmina a nord dello zenit
ALTEZZA h= 90 - ϕ + δ h= 90 + ϕ - δ
Proviamo attraverso le formule contenute nella parte teorica di trigonometria sferica a verificare queste relazioni Consideriamo la prima equazione del primo gruppo ( Primo Gruppo di Gauss)
sin h = sin φ sin δ + cos φ cosδ cos H
Se la stella culmina vuol dire che essa passa al meridiano (o superiore o inferiore a seconda della culminazione) CULMINAZIONE SUPERIORE Quando la Stella passa al meridiano superiore lrsquoangolo orario H egrave = 0 il cos0deg =1 per cui si ha
sin h = sin φ sin δ + cos φ cosδ
questa equazione si risolve facilmente se si applicano le formule di sottrazione del coseno cos (α - β) = cosαcosβ + senαsenβ
La nostra equazione puograve essere scritta sen h = cos(ϕ - δ) ndashlrsquo α della formula di sottrazione egrave la latitudine e la β la declinazione)- ma il sen h=cos(90 ndashh) ed allora cos (90-h) = cos( ϕ - δ) questa egrave una equazione elementare in coseno che ha per soluzioni
90-h= plusmn (ϕ - δ)
90-h= + ( ϕ - δ) h= 90 - ϕ + δ 90-h= - ( ϕ - δ) h= 90 + ϕ - δ
(Le relazioni sono due percheacute ognuna vale per un emisfero)
CULMINAZIONE INFERIORE Anche qui sappiamo che h= ϕ + δ- 90
sin h = sin φ sin δ + cos φ cosδ cos H
Alla culminazione inferiore lrsquoangolo orario egrave 12ℎ quindi 180deg il cos 180deg = -1
sin h = sin φ sin δ - cos φ cosδ Non possiamo applicare come prima a formula di addizione del coseno e quindi la riscriviamo
sin h= - (- sin φ sin δ + cos φ cosδ )
Bignamino di astronomia
92
ricordando che cos ( α + β) = cosαcosβ ndash senαsenβ ed essendo sinh= cos(90-h) possiamo scrivere cos (90-h) = - cos( ϕ + δ) essendo cosα= - cos(180 ndashα)
cos (90-h) = cos( 180 ndash ϕ - δ)
90-h = 180 ndash ϕ - δ h= ϕ + δ- 90 NB Essendo il coseno di due angoli dello stesso valore assoluto ma di segno opposto uguale come fatto sopra anche la soluzione col segno negativo va presa quindi si ottengono anche qui due formule che come sopra si riferiscono ciascuna a un emisfero
2) Calcolare lrsquoespressione che consente di determinare il sorgere e il tramontare di un astro Successivamente determinare la differenza delle ore di luce ai solstizi a Reggio Calabria ndash Latitudine φ=38deg6rsquo Nord
Per rispondere alla prima domanda dobbiamo determinare lrsquoangolo orario applichiamo il
( ) Primo Gruppo di Gauss
sin h= sin φ sin δ + cos φ cos H cos δ
isoliamo il cosH si trova cosH= 119904119894119899ℎminus119904119894119899120593119904119894119899120575
cos120593 cos120575 e scriviamo ancora cosH =
sinℎ
cos120593 cos120575 -
sin120593 sin120575
cos120593 cos120575 ed ancora cosH =
sin h
cos φ cos δ ndash tanφ tanδ (essendo tanα=senαcosα)
Al momento del sorgere dellrsquoastro h= 0 quindi cosH = - tanφ tanδ (sen0=0) Se egrave nota lrsquoascensione retta possiamo calcolare il tempo siderale 119931119956 = H +120630 con
H=arccos(θsin h
cos φ cos δ ndash tanφ tanδ ) Se conosciamo il valore del tempo siderale in una
determinata ora di un determinato giorno possiamo anche trovare lrsquoistante di tempo che segna il nostro orologio per il sorgere del Sole (per questi calcoli si vedano i problemi precedenti sul tempo) c = H+α Una volta trovata lrsquoespressione dellrsquoangolo orario la seconda domanda si risolve facilmente
tenendo conto che lrsquoangolo orario adesso egrave 119867
2
cos 119867
2 = - tan φ tan δ
Il Sole ai solstizi ha una declinazione δ=+23deg27rsquo (21 giugno solstizio drsquoestate) e δ=-23deg27rsquo (21 dicembre solstizio drsquoinverno)
si trova che cos 119867
2 = -0784 0433 = -034 perciograve H=2arccos(-034)=219deg46rsquo=14 ore 39
minuti (digrave piugrave lungo dellrsquoanno)
mentre il 21 dicembre cos 119867
2 = (-0784) (-0433) = 034 dal quale si ricava che
H=arccos(034)=140deg15rsquo = 9 ore 21 minuti (digrave piugrave corto dellrsquoanno) la differenza di ore egrave ∆H=14h 39m-9h 21m = 5 ore 18 minuti tra inverno ed estate
Bignamino di astronomia
93
3) In un certo giorno in cui egrave in vigore lrsquoora legale in una cittagrave posta alla longitudine di 120582
= 10deg 52rsquo 59rdquo E e latitudine = 44deg 38rsquo 45rdquo N il Sole ha una declinazione = 10deg 59rsquo 04rdquoConsiderando trascurabile la declinazione del Sole durante lrsquoarco della giornata
Calcolare
1 lrsquoaltezza massima raggiunta dal Sole in quella localitagrave e lrsquoora del transito in meridiano 2 lrsquoora in cui in tale giorno il sole sorge e tramonta in quella Cittagrave e lrsquoarco diurno 3 lrsquoazimut del sole nei momenti in cui sorge e tramonta
Il sole raggiunge la massima altezza hC sullrsquoorizzonte (culmina) quando transita per il
meridiano locale dellrsquoosservatore Nel caso specifico avremo hC = 90deg - ( - ) = 90deg -
+ = 90deg - 44deg64583333 + 10deg98444444 = 56deg33861111
Lrsquoaltezza massima del Sole nel momento in cui transita al meridiano egrave hC = 56deg33861111 = 56deg 20rsquo 19rdquo
Indichiamo adesso con 120582 la longitudine espressa in ore e con T la differenza in ore del
meridiano locale rispetto a GMT Nel nostro caso essendo in vigore lrsquoora legale saragrave T = 2h Le 12h locali corrispondono dunque aUT = 12h ndash 120582
per cui lrsquoora locale del transito in meridiano del sole saragrave (scrivendo la longitudine in notazione decimale)
TC = 12h ndash 120582+ T = 12ℎ minus 10deg 8830555556
15deg+ 2ℎ = 2h ndash 0h725537036 + 2h = 13h27446296
il Sole culmina alle ore locali TC = 13h 16m 28s1
I due eventi del sorgere e tramontare si verificano quando il sole interseca lrsquoorizzonte celeste dellrsquoosservatore e quindi la sua altezza h egrave nulla In questo caso egrave possibile determinare i tempi (gli angoli orari HS e HT) e le direzioni (gli azimut AS e AT) delle due posizioni del sole sullrsquoorizzonte e lrsquoarco diurno
T = HT - HS che ci dagrave la durata della permanenza del sole
Applichiamo le formule del primo gruppo di Gauss al triangolo sferico precedentemente definito rispetto al lato ldquozenit ndash solerdquo ed allrsquoangolo al vertice con lo zenit
sin h = sin sin + cos cos cos H (I)
cos h sin A = - cos sin H (II)
cos h cos A = cos sin - sin cos cos H
Bignamino di astronomia
94
Quando il sole sorge eo tramonta si ha h = 0 e quindi sin h = 0 Dalla (I) segue dunque
cos H = - tg tg Dai dati del problema si ha = 44deg 38rsquo 45rdquo N = 44deg64583333
= 10deg 59rsquo 04rdquo1 = 10deg98444444 segue cos H = - tg (44deg64583333) tg (10deg98444444) = - 0191713689
H = arccos (- 0191713689) = 101deg0528101 = plusmn 6h736854006
Lrsquoangolo orario H egrave negativo al sorgere percheacute deve arrivare in meridiano e positivo al tramonto percheacute ha superato il meridiano Saragrave dunque HS = - 6h736854006 HT = 6h736854006
il sole sorgeragrave dunque alle ore TS = TC + HS = 13h27446296 - 6h736854006 = 6h537608954 = 6h 32m 15s4
Lo stesso giorno il sole tramonteragrave alle ore TT = TC + HT = 13h27446296 6h736854006 = 20h01131697 = 20h 00m 40s7
Lrsquointervallo temporale durante il quale il sole resteragrave sopra lrsquoorizzonte saragrave
T = HT - HS = 6h736854006 + 6h736854006 = 13h47370802 = 13h 28m 25s4
Per ricavare lrsquoazimut del sole nei momenti in cui sorge e tramonta utilizziamo la (III) delle
formule di Gauss cos h sin A = - cos sin H
Nel momento in cui il sole sorge e tramonta si ha h = 0 e quindi cos h = 1 per cui si ha rispetto al punto Nord
sin AS = - cos sin HS = - cos (10deg98444444 ) sin (-6h736854006 x 15) = 0963469686
AS = arcsin (0963469686) = 74deg46556891 = 74deg 27rsquo 56rdquo1
sin AT = - cos sin HT = - cos (10deg98444444 ) sin (6h736854006 x 15) = -0963469686
AT = arcsin (-0963469686) = - 74deg46556891 = (360deg - 74deg46556891) = 285deg5344311 = 285deg 32rsquo 4rdquo
DISTANZA TRA DUE STELLE
Regolo ha coordinate H= 27m 4 s e declinazione 11deg 52rsquo 5rdquo Denebola ha coordinate H= 22h 46m 36s e
declinazione 14deg 27rsquo 33rdquo Si determini la loro distanza angolare
Per calcolare la loro distanza consideriamo il triangolo sferico BPA dalla figura si evince che
PB= 90-1205751 PA= 90-1205752 lrsquoangolo al polo P= 1198672 - 1198671
Applichiamo il teorema del coseno o di Eulero
Bignamino di astronomia
95
cosAB= cosPB cosPA + seno senPA cosP
Sostituendo
Cos120572 = cos( 90-1205751)cos(90-1205752 ) + sen(90-1205751)sen(90-1205752)cosP
Cos120572= sen1205751sen1205752 + cos1205751cos 1205752cos (1198672 minus 1198671)
E svolgendo I calcoli
Cos α= sen118681 sen 144592 + cos 118681 cos 144592 cos251167=0904
α=24deg58
Bignamino di astronomia
96
Bibliografia
Vittorio Castellani Astrofisica Stellare ndash Zanichelli Editore
Ferdinando Flora Astronomia Nautica ndash Editore Hoepli
Pietro Giannone Elementi di Astronomia ndash Edizione Pitagora
Angeletti Giannone Esercizi e complementi di astronomia ndash Edizioni Nuova Cultura
Margherita Hack Corso di Astronomia ndash Editore Hoepli
Halliday-Resnick Fondamenti di fisica ndash Zanichelli Editore
Giuliano Romano Introduzione allrsquoastronomia ndash Editore Muzzio
Leonido Rosino Lezioni di Astronomia ndash Edizione Cedam
Francesco Saverio Delli Santi Introduzione allrsquoastronomia ndash Zanichelli Editore
Cino Tacchini Il Cielo ndash UTET Editore
Francesco Zagari Astronomia sferica e teorica ndash Zanichelli Editore
Wikipedia sito web
Vialatteanet sito web
Treccani sito web
Superfici e volumi problemi di massimo e minimo Istituto Italiano Edizioni Atlas
- Copertina Bignamino definitiva
- Bignamino di astronomia
-
- INDICE Bignamino definitivo
- Bignamino
-
Bignamino di astronomia
1
ldquoIn Astronomia ogni argomento va meditato ed approfondito in senso critico va analizzato nei suoi elementi essenziali e collegato a quanto
precede ed a quanto seguerdquo
(prof Leonida Rosino)
Il bignamino di astronomia ha lo scopo di aiutare gli olimpionici alla preparazione alle varie fasi delle Olimpiadi Italiane di Astronomia Costituisce la griglia essenziale per la risoluzione dei problemi Lrsquoabbiamo pensato come una bussola soprattutto per gli studenti che provengono da Istituti dove la fisica non egrave disciplina curriculare nel biennio Seguendo il Syllabus abbiamo suddiviso il ldquobiginordquo in quattro macrotemi
1) Meccanica Celeste (cinematica e dinamica celeste) 2) Strumenti ottici 3) Astrofisica 4) Cosmologia elementare
Ciascun macrotema egrave corredato da sezioni e da esercizi di riferimento
Bignamino di astronomia
2
Introduzione
MISURA DEGLI ANGOLI GRADO RADIANTE ORA
Lrsquoampiezza di un arco o del corrispondete angolo al centro si puograve misurare in uno dei seguenti sistemi
bull Il s i s tema sessages imale ha come unitagrave di misura il grado
Il grado
Il grado definito come la 360-esima parte dellangolo giro I suoi sottomultipli sono primi e i secondi
bull 1 grado egrave diviso in 60 primi 1deg= 60 bull 1 primo egrave diviso in 60 secondi 1 = 60 bull Quindi un grado equivale a 3600rsquorsquo
Il s i s tema c ircolare ha come unitagrave di misura il radiante
Radiante Il radiante ( 120646) egrave lampiezza dellangolo al centro di una circonferenza che con i suoi lati
intercetta un arco uguale al raggio
In astronomia egrave necessario molto spesso convertire la misura in gradi di un arco in misura di ora o
viceversa
Lrsquoampiezza di un angolo giro misurato in gradi 360deg in ore egrave 24ℎ 1ℎ = 360
24 = 15deg 1119898= 15rsquo
1119904=15rsquorsquo
Dunque il rapporto tra la misura dellarco e la misura del
raggio egrave un numero reale α che rimane costante α=119871
119877
120572119903119886119889 =120572deg120587
180 120572deg =120572119903119886119889
180deg
120587
Lrsquoampiezza di un radiante egrave
in gradi 120588deg= 57deg 17rsquo 44rsquorsquo~ 57deg3
in primi 120588rsquo~3438rsquo
in secondi 120588rsquorsquo ~206265rsquorsquo
(numero magico)
Bignamino di astronomia
3
DISTANZE DEI CORPI CELESTI
La distanza dei corpi celesti viene determinata attraverso la misura di un angolo detto parallasse
Lrsquoangolo di parallasse egrave lrsquoangolo sotto cui viene visto un oggetto se osservato da due posizioni
diverse
LE DIMENSIONI APPARENTI DI UN OGGETTO
Le dimensioni apparenti di un oggetto dipendono dalla sua distanza In astronomia il diametro
angolare (o dimensione angolare) di un oggetto egrave la misura del suo diametro rispetto alla distanza
dallosservatore Si calcola con la seguente formula
120572 = 2 119886119903119888119905119886119899119892 119863
2119889
(D diametro reale e d distanza dallrsquoosservatore)
Generalmente il diametro apparente dei corpi celesti egrave inferiore ad un grado
Misurato il diametro apparente in secondi drsquoarco si puograve calcolare il diametro reale con la seguente
formula
119863 = 119889120572
206265
Si parla di parallasse geocentrica quando la
distanza tra le due osservazioni egrave uguale al raggio
terrestre mentre di parallasse annua quando la
distanza tra i due osservatori egrave uguale al semiasse
maggiore dellorbita della Terra attorno al Sole
(ovvero lUnitagrave Astronomica) p langolo di parallasse e d la distanza dellosservatore dalloggetto-
La relazione tra la distanza e la parallasse egrave data
dalla semplice formula d = r sen p
Spesso viene usato il parsec come unitagrave di misura delle
distanze stellari Una stella si trova alla distanza di 1
parsec quando la sua parallasse annua egrave di un secondo
darco d =1
119901primeprime
Bignamino di astronomia
4
SISTEMI DI RIFERIMENTO ASTRONOMICI
Gli elementi che definiscono i sistemi di coordinate astronomiche sono
1) Una direzione fondamentale
2) Un piano perpendicolare alla direzione fondamentale
3) Lrsquoorigine
4) Il verso di percorrenza
5) Lrsquounitagrave di misura
Noi qui sintetizziamo tre dei cinque sistemi di riferimento astronomici
il sistema altazimutale il sistema orario il sistema equatoriale
Sistema altazimutale
Nel sistema altazimutale o orizzontale la direzione
fondamentale egrave data dalla verticale il piano
perpendicolare egrave dato dallrsquoorizzonte astronomico la
verticale alla superficie terrestre passante per
losservatore individua lo zenit e il nadir Le
coordinate in questo sistema sono lrsquoAzimut (A) e
Altezza (h)
Lazimut del punto T egrave langolo formato dal piano del
cerchio verticale passante per T e il meridiano
astronomico Si misura in gradi e frazioni di grado
partendo dal punto cardinale sud nel senso delle
lancette dellorologio Esso corrisponde nel disegno
allangolo SOB dove O egrave losservatore e B egrave
lintersezione dellorizzonte con il cerchio verticale
passante per T
Altezza (h) egrave lordinata sferica di un punto sulla sfera
celeste e cioegrave la sua distanza angolare dallorizzonte
misurata lungo il cerchio verticale passante per quel
punto Si esprime in gradi e frazioni di grado con
valore positivo verso lo zenit e negativo verso il nadir
Nel nostro disegno laltezza del punto T corrisponde
allangolo TOB dove O egrave losservatore e B egrave
lintersezione dellorizzonte con il cerchio verticale
passante per T Larco complementare dellaltezza si
chiama distanza zenitale e nel nostro disegno egrave
rappresentata dallangolo ZOT dove Z egrave lo zenit
dellosservatore La distanza zenitale si indica
generalmente con z Nel sistema azimutale entrambe
le coordinate (azimut e altezza) delle stelle variano
sensibilmente con il passare del tempo a causa del
moto di rotazione della Terra
Bignamino di astronomia
5
Sistema orario
Sistema equatoriale
Questo sistema di coordinate astronomiche ha come
direzione e piano fondamentali rispettivamente lasse
del mondo e il piano dellequatore Le coordinate
sferiche di questo sistema sono Angolo orario (H) e
la Declinazione (120575)
Lrsquoangolo orario egrave la distanza angolare tra il cerchio
orario che passa per il punto e il meridiano
astronomico Si misura in ore e frazioni di ora lungo
lequatore celeste partendo dal meridiano
astronomico in senso orario per un osservatore
boreale
La declinazione rappresenta la distanza angolare tra
un punto della sfera celeste e lequatore celeste
misurata lungo il cerchio orario che passa per tale
punto Si misura in gradi e frazioni di grado con segno
positivo verso il polo nord celeste e negativo verso il
polo sud Lrsquoorigine del sistema egrave il punto M detto
mezzocielo In questo sistema nel corso del giorno le stelle variano il loro angolo orario mentre rimane costante la loro declinazione
L0
Questo sistema di coordinate astronomiche ha come direzione e
piano fondamentali rispettivamente lasse del mondo e il piano
dellequatore Le coordinate sferiche di questo sistema sono
Ascensione retta ( ) Declinazione ( )Lorigine egrave il punto gamma
()
Lascensione retta si misura di solito in ore minuti e secondi lungo
lequatore celeste partendo dal punto gamma e con senso di
percorrenza antiorario
Declinazione rappresenta la distanza angolare tra un punto della
sfera celeste e lequatore misurata lungo il cerchio orario che passa
per tale punto Si misura in gradi e frazioni di grado con segno positivo
verso il polo nord celeste e negativo verso il polo sud
Bignamino di astronomia
6
RELAZIONI TRA I SISTEMI DI RIFERIMENTO
Latitudine del luogo
120593 = ℎ119901119900119897119900119873119900119903119889 = 90deg minus 119911119875119900119897119900119873119900119903119889
La latitudine geografica 120593 di una localitagrave sulla superficie della Terra egrave
lrsquoaltezza del polo celeste sul suo orizzonte Orizzonte e Zenit sono
separati da un angolo retto La latitudine geografica del luogo si
ottiene sottraendo da 90deg lrsquoaltezza del polo stesso
Formule inverse
119911119875119900119897119900119873119900119903119889 = 90deg minus 120593
Stelle circumpolari
120575 ge 90deg minus 120593
Vista da un qualsiasi luogo della superficie terrestre (quando
siamo allrsquoEquatore la situazione di complica) una parte della
volta celeste non tramonta mai e rimane sempre al di sopra
dellrsquoorizzonte Tale parte di cielo egrave detta ldquocircumpolarerdquo Essa
contiene le stelle che hanno declinazione 120575 maggiore o uguale
a un valore limite che si ottiene sottraendo da 90deg il valore della
latitudine geografica 120593 del luogo
Se la declinazione egrave compresa tra
minus(90deg minus 120593) lt 120575 lt +(90deg minus 120593)
le stelle sono occidue sorgono e tramontano sullrsquoorizzonte dellrsquoosservatore
Se
120575 lt minus(90deg minus 120593) 120575 lt minus90deg + 120593
Le stelle sono anticircumpolari (cioegrave quelle che non sorgono mai e stanno sempre al di sotto
dellrsquoorizzonte)
Bignamino di astronomia
7
Culminazione
Una stella culmina quando raggiunge la sua massima altezza cioegrave egrave sul meridiano
La declinazione 120575 la distanza zenitale z sono legate in modo semplice alla latitudine 120593
dellrsquoosservatore
Al momento della culminazione superiore (massima altezza della stella sullrsquoorizzonte) si ha
119911 = 120593 ndash 120575
Al momento della culminazione inferiore si ha
119911 = 120593 + 120575 ndash 180deg
Altezza (culminazione superioreinferiore)
Una stella culmina superiormente quando raggiunge la sua massima
altezza vista un determinato luogo (ad una determinata latitudine 120593)
ℎ1 = 90deg plusmn (120593 minus 120575)
Bignamino di astronomia
8
Poicheacute lrsquoaltezza deve esere h le 90deg distinguiamo i due casi
1) Se 120575 lt 120593 h=90deg- 120593 + 120575 (va preso il segno meno)
2) Se 120575 gt 120593 h=90deg+ 120593 - 120575 (va preso il segno piugrave)
Analogamente in culminazione inferiore
ℎ2 = minus90deg + 120593 + 120575
Poicheacute se 120575 lt 120593
ℎ2 = 120575 - ( 90 ndash 120593)
ℎ2 = 120575 - 90 + 120593
ℎ2 = - 90 + 120575 + 120593
Se 120575 gt 120593
ℎ2 = 120575 + ( 120593 - 90 )
ℎ2 = - 90 + 120575 + 120593
La formula per il calcolo della culminazione inferiore egrave sempre la stessa
Formule inverse della h=90deg+ 120593 - 120575
120593 = 90deg minus ℎ + 120575
120575 = 120593 + ℎ minus 90deg
Bignamino di astronomia
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Latitudine del luogo (culminazione superiore ed inferiore)
120593 =ℎ1 + ℎ2
2
Questa formula egrave valida per tutte le stelle ma la si usa spesso per
conoscere la latitudine di un luogo osservando una stella
circumpolare La latitudine infatti non egrave altro che una ldquomediardquo
tra le due altezze (culminazione superiore ed inferiore)
Formule inverse
ℎ1 = 2120593 minus ℎ2
ℎ2 = 2120593 minus ℎ1
Per una stella circumpolare la minima altezza egrave ℎ119898119894119899= δ + ϕ - 90deg
Distanza zenitale
119911 = 90deg minus ℎ
La distanza zenitale indica quanto dista la stella dallo zenit che si trova
sulla verticale dellrsquoosservatore Per trovarla basta sottrarre a 90deg (la
verticale e lrsquoorizzonte sono separati da un angolo retto) lrsquoaltezza della
stella h
Formule inverse
ℎ = 90deg minus 119911
Bignamino di astronomia
10
Ascensione retta
Tra lrsquoascensione retta 120630il suo angolo orario H ed il tempo siderale relativi ad un dato osservatore
vale la relazione
119879119904 = 120572 + 119867
Nota
Quando il punto 120574 passa al meridiano 119879119904 = 0 (Il tempo siderale egrave definito come lrsquoangolo orario del
punto 120574 ) quando la stella passa al meridiano H= 0 e
119879119904 = 120572
Il tempo siderale coincide con lrsquoascensione retta delle stelle che passano al meridiano
Per conoscere lrsquoascensione retta di una stella 120572 bisogna calcolare
la differenza tra il tempo siderale del luogo 119879119904 di osservazione e
lrsquoangolo orario 119867 della stella stessa
120572 = 119879119904 minus119867
Lrsquoangolo orario si trova dalla 119867 = 119879119904 minus 120572
il punto nord ha H di 12 h e declinazione 90 - latitudine da noi H 0 e declinazione 90+ latitudine altro emisfero
per il punto sud i due predetti valori si invertono per lrsquoangolo orario e quelli della declinazione diventano
opposti
Bignamino di astronomia
11
MISURA DEL TEMPO
La misura del tempo viene effettuata dal movimento di rotazione diurna della volta celeste
(rotazione della Terra) e dal movimento annuo del Sole (rivoluzione della Terra attorno al Sole)
La rotazione della Terra attorno al suo asse egrave quasi costante quindi lrsquoangolo di rotazione rispetto ad
un qualsiasi riferimento iniziale consente di misurare il tempo Come riferimento iniziale si prende
lrsquoistante del passaggio del punto al meridiano del luogo La durata del giorno dipende da questo
punto scelto
In Astronomia i punti adottati sono Il punto γ il
centro del disco apparente del Sole (Sole vero) il
Sole medio (un Sole ideale che parte dal punto γ
assieme al Sole vero percorre lrsquoequatore celeste
con velocitagrave angolare costante in modo da
ritornare allrsquoequinozio di primavere assieme al
Sole vero)
Le tre unitagrave di tempo definite da questi punti si
chiamano giorno siderale giorno solare vero
giorno solare medio Il tempo da esse misurato egrave
tempo siderale tempo solare vero tempo solare medio
Nota Non sono tempi diversi ma solo diverse unitagrave di misurare il tempo
Giorno siderale ndash tempo siderale
Si definisce giorno siderale lrsquointervallo di tempo compreso tra
due successivi passaggi del punto γ allo stesso meridiano del
luogo
Si definisce tempo siderale lrsquointervallo di tempo compreso tra il
passaggio al meridiano del punto di primavera ad unrsquoaltra
posizione qualsiasi
119905119904 = H + 120572
(Tempo siderale = angolo orario Sole + ascensione retta Sole
medio)
Bignamino di astronomia
12
Giorno solare vero-Tempo solare vero
Il giorno solare vero egrave lrsquointervallo di tempo compreso tra due passaggi superiori o inferiori del centro
del Sole
Il tempo solare vero egrave lrsquointervallo di tempo compreso tra il passaggio inferiore
del Sole ad un altro punto
Al meridiano il 119879119904119900119897119890 119907119890119903119900 = 119867119878119900119897119890 119907119890119903119900 +12ℎ
Giorno solare medio - Tempo solare medio
Il giorno solare medio egrave lrsquointervallo compreso tra due passaggi superiori o inferiori del Sole medio
Il tempo solare medio egrave lrsquointervallo di tempo compreso tra il passaggio inferiore del Sole medio ad
un altro punto
119879119904119900119897119890 119898119890119889119894119900 = 119867119878119900119897119890 119898119890119889119894119900 +12ℎ
Equazione del Tempo
Si definisce equazione del tempo la differenza tra il tempo medio ed il tempo solare vero allo stesso
istante
E= 119879119904119900119897119890 119898119890119889119894119900 - 119879119904119900119897119890 119907119890119903119900
E= 119867119878119900119897119890 119898119890119889119894119900 - 119867119878119900119897119890 119907119890119903119900
E= 120572119878119900119897119890 119898119890119889119894119900 - 120572119878119900119897119890 119907119890119903119900
Il tempo solare medio ad un dato istante egrave dato
dal Tempo solare vero piugrave lrsquoequazione del
tempo
119879119904119900119897119890 119898119890119889119894119900= 119879119904119900119897119890 119907119890119903119900 + E
Bignamino di astronomia
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Relazione tra tempo solare e tempo siderale
Consideriamo la posizione del sole a 24 ore di distanza
1199051119904=1198671199041 + 1205721198781
1199052119904=1198671199042 + 1205721198782
Calcolando la differenza tra le due espressioni si ha
1199052119904- 1199051119904 = (1198671199042 minus 1198671199041 ) + (1205721198782 -1205721198781)
(1198671199042 minus 1198671199041 ) = 24
Mentre la differenza in ascensione retta (1205721198782 -1205721198781) dagrave lo spostamento angolare diurno del sole
medio sullrsquoequatore che in gradi egrave 24
36525
Pe cui
1199052119904- 1199051119904 = 24h + 24
36525
1199052119904- 1199051119904 = 24 (1+ 1
36525)
1199052119904- 1199051119904 = 24 36625
36525
Un giorno solare medio= 36625
36525 giorni siderali
Un giorno siderale= 36525
36625 giorni solari veri
Il rapporto K = 36625
36525 K=1002738 serve per convertire gli intervalli di tempo solare medio in
intervalli di tempo siderali
∆119879119904= K ∆119879119898
Il rapporto Krsquo = 36525
36625 Krsquo = 0997270 serve per convertire gli intervalli di tempo siderali in intervalli
ti tempo solare medio
∆119879119898= Krsquo ∆119879119904
24 ore di tempo medio corrispondono a 24h 03m 5655s di tempo siderale viceversa un giorno
siderale egrave 23h 56m 04s di tempo solare medio
Se s egrave il tempo siderale ad un certo istante ad un dato meridiano mentre alla mezzanotte
precedente sullo stesso meridiano il tempo siderale era S dalla mezzanotte sono passati (s-S) ore
minuti secondi di tempo siderale che corrispondono a (s-S) Krsquo di tempo solare medio Poicheacute a
mezzanotte il tempo solare medio egrave 0ℎ 119879119898 = (s-S) Krsquo rappresenta il tempo solare medio allrsquoistante
del tempo siderale s
Bignamino di astronomia
14
Se al meridiano di quel luogo alla mezzanotte di una certa data il tempo siderale era S allrsquoistante
di tempo medio solare saragrave
s= S + 119879119898 119870
NOTA
Ersquo sempre necessario conoscere il tempo siderale S alla mezzanotte del meridiano dato Per questo
sono stati costruiti annuari che forniscono il tempo siderale 1198780 alla mezzanotte del meridiano
fondamentale di GW
Il tempo siderale S alla mezzanotte ad una data longitudine 120582 egrave dato da
119878 = 1198780 minus120582 ℎ
24ℎ (3119898 56119904 55)
Ora locale e longitudine
Si definisce tempo locale medio il tempo regolato sul meridiano del luogo
Nella vita quotidiana egrave scomodo utilizzare questo
tempo per cui il primo luglio 1919 sono stati introdotti
i fusi orari In base a questa suddivisione il tempo
medio egrave determinato solo per 24 meridiani geografici
principali separati da 15deg gradi (unrsquoora) I fusi orari sono
numerati da 0 a 23 ed il meridiano passante per GW
costituisce lrsquoorigine (fuso = 0)
Il tempo medio locale egrave dato da
119905119897 = 119905119891 ndashΔ120582
dove Δ120582 = 120582119891 - 120582119874
Nota
1) La differenza tra le ore locali (siderali o solari) di due meridiani misurate allo stesso istante
egrave sempre uguale alle differenze di longitudini
2) Poicheacute i confini dei fusi orari distano circa 7deg5 dal meridiano centrale la differenza 119905119897 - 119905119891
puograve essere leggermente maggiore o minore di plusmn 30119898
Bignamino di astronomia
15
Tempo Universale
Il tempo solare medio del meridiano di GW si chiama Tempo Universale (TU)
Per quanto precedentemente detto il tempo medio locale egrave uguale al tempo universale piugrave la
longitudine del luogo espressa in ore e considerata positiva ad est di GW
119905119897 = TU +120582
Bignamino di astronomia
16
MOTO APPARENTE DEI PIANETI
I pianeti si muovono in vicinanza dellrsquoeclittica ma il loro movimento visto dalla Terra egrave piugrave
complicato di quello del Sole e della Luna Il Sole e la Luna riferendo il loro moto rispetto alle stelle
fisse si muovono di moto diretto cioegrave antiorario per i pianeti si osserva che in generale si muovono
di moto diretto ma ce certi tratti variabili da pianeta a pianeta si muovono di moto retrogrado Il
pianeta dopo avere raggiunto una posizione di stazionarietagrave
inverte il moto Questo egrave molto piugrave evidente per i pianeti
interni Mercurio e Venere che oscillano avanti e indietro
rispetto alla posizione del Sole venendosi a trovare ora da
una parte ora dallrsquoaltra rispetto ad esso Quando il pianeta egrave
in congiunzione superiore egrave invisibile perchegrave nasce e
tramonta con il Sole ma essendo in questo momento piugrave
veloce del Sole dopo qualche tempo puograve essere visto dopo
il tramonto ad occidente (si trova a sinistra del Sole)
Lrsquoelongazione orientale cresce nei giorni seguenti e
contemporaneamente decresce la sua velocitagrave angolare e
quando raggiunge la stessa velocitagrave angolare del Sole per
qualche istante si muove mantenendo la stessa distanza il
pianeta raggiungere la massima elongazione orientale Per venere questo valore egrave circa 46deg per
Mercurio egrave variabile dai 18deg ai 28deg Da questo momento il pianeta comincia il suo avvicinamento al
Sole ritornando con moto retrogrado in congiunzione con esso ma questa volta in congiunzione
inferiore Ritorna invisibile (potrebbe esserci un transito) Continuando nel suo moto retrogrado
appare visibile ad occidente (a destra del Sole) ed egrave visibile prima del sorgere del Sole (elongazione
occidentale) Questo ci dice che i pianeti inferiori non possono mai trovarsi in quadratura o
opposizione
I pianeti esterni invece possono assumere qualsiasi distanza dal Sole da 0deg a 180deg e quindi possono
trovarsi nelle due precedenti configurazioni Raggiunta
lrsquoelongazione massima di 180deg i pianeti si trova dalla parte
opposta a quella del Sole la velocitagrave retrograda egrave massima e
raggiungono anche il massimo della luminositagrave Oggi noi
sappiamo che tutto questo egrave dovuto egrave il risultato della
composizione del moto della Terra e di quello dei pianeti
attorno al Sole semplificando osserviamo un oggetto in
movimento essendo noi stessi in movimento Le velocitagrave dei
pianeti variano piugrave sono vicini al Sole piugrave velocemente si
muovono I due pianeti essendo piugrave vicini al Sole sorpassano
la Terra durante il loro moto mentre egrave la Terra a sorpassare i
pianeti esterni quando sono vicini allrsquoopposizione e quindi
essi sembrano muoversi allindietro
Ed allora se indichiamo con T Il nostro anno siderale con P il periodo sidereo del Pianeta e con S il
periodo siderale (il tempo intercorso tra due congiunzioni o due opposizioni successive) la
composizione delle velocitagrave ci consente di calcolare la velocitagrave relativa del pianeta rispetto alla
Terra
Bignamino di astronomia
17
Per i pianeti interni (la Terra si muove piugrave lentamente)
2120587
119878 = 2120587
119875 - 2120587
119879
120783
119930 = 120783
119927 - 120783
119931
Per i pianeti esterni (la Terra si muove piugrave velocemente)
2120587
119878 = 2120587
119879 - 2120587
119875
120783
119930 = 120783
119931 - 120783
119927
Il movimento di tutti i pianeti attraverso le stelle fisse segue apparentemente la stessa direzione di
quello della Luna (e del Sole) - con una strana variante talvolta il loro moto apparente cambia
temporaneamente verso (moto retrogrado) Questo egrave molto piugrave evidente per Mercurio e Venere
che oscillano avanti e indietro rispetto alla posizione del Sole Durante il moto del Sole attraverso le
stelle - lungo le costellazioni dello zodiaco - questi pianeti
talvolta si muovono nello stesso verso e quindi il loro
movimento si somma a quello del Sole ma altre volte il loro
moto apparente si oppone a quello del Sole facendo sigrave che
sembri che si muovano allindietro (moto retrogrado)Gli
altri tre pianeti visibili ad occhio nudo si possono trovare in
qualunque posizione lungo leclittica - anche a mezzanotte in
posizione direttamente opposta a quella del Sole e quando
questo avviene raggiungono il massimo della luminositagrave
Marte sembra muoversi piugrave rapidamente Giove un po meno
e Saturno egrave il piugrave lento Comunque tutti mostrano questa
enigmatica stranezza vicino al punto in cui il loro percorso
apparente nel cielo egrave esattamente in posizione opposta al Sole
(opposizione) il loro movimento tra le stelle
temporaneamente si inverte Oggi noi comprendiamo molto
bene tutto questo (vedi fig1) I pianeti sono oggetti sferici
come la Terra - Venere Mercurio e Marte sono piugrave piccoli Giove e Saturno molto piugrave grandi Anche
la Terra egrave un pianeta e ne esistono anche altri (troppo deboli per essere visti senza un telescopio)
tutti che orbitano attorno al Sole sul piano o vicino al piano delleclittica La loro velocitagrave tuttavia
varia - piugrave sono vicini al Sole e piugrave rapidamente si muovono (vedi la sezione ldquoterza legge di Keplerordquo)
Quindi quando i tre pianeti esterni sono vicini allopposizione la Terra che orbita piugrave vicina al Sole
li sorpassa e quindi essi sembrano muoversi allindietro Il moto retrogrado dei due pianeti interni
ha una causa simile Essendo piugrave vicini al Sole sono essi che sorpassano la Terra durante il loro moto
Bignamino di astronomia
18
Sommario di quanto egrave noto oggi sui pianeti
Viene qui riportato un breve sommario dei componenti del sistema solare In genere vengono distinte quattro classi di oggetti
1 I pianeti maggiori in ordine di distanza dal Sole - Mercurio Venere Terra Marte Giove Saturno Urano e Nettuno Tutti tranne i due piugrave interni hanno dei satelliti e tutti e quattro i piugrave esterni hanno degli anelli composti da piccoli ciottoli di materia in orbita attorno al pianeta
2 Asteroidi o pianetini in maggioranza - anche se non tutti - posti tra Marte e Giove Il loro diametro arriva fino a 500 Km
3 La fascia di Kuiper di oggetti ghiacciati oltre lorbita di Nettuno di cui il piugrave noto (anche se ora si egrave scoperto che egrave solo il secondo come dimensioni) egrave Plutone scoperto nel 1930 e delle dimensioni della nostra Luna La fascia ha preso il nome dellastronomo belga Gerard Kuiper si estende probabilmente a una distanza doppia di quella di Nettuno e si stima che consista di circa 100000 oggetti (finora ne sono stati identificati circa 1000) molti dei quali con un diametro di soli 100 Km o meno
4 Comete tradizionalmente divise in non ricorrenti (il nome ufficiale egrave comete a lungo periodo) e comete periodiche Le comete non ricorrenti si pensa che provengano dalla nube di Oort un enorme agglomerato quasi sferico di oggetti ghiacciati agli estremi limiti del sistema solare Essi sono debolmente legati al Sole e di tanto in tanto lattrazione gravitazionale di qualche stella lontana probabilmente cambia un poco il moto di alcuni di
essi lanciandoli in direzione del Sole In tal caso diventano visibili come comete quando la luce del Sole fa evaporare una parte della loro superficie generando la chioma e la coda della cometa Le comete periodiche una volta erano considerate come oggetti che avevano iniziato come oggetti non ricorrenti ma poi erano state deviate e catturate dallattrazione gravitazionale dei pianeti piugrave grandi Oggi si ritiene che provengano dalla fascia di Kuiper come classe di oggetti noti come Centauri
Bignamino di astronomia
19
LE LEGGI DEL MOTO DEI PIANETI
Prerequisito Lrsquoellisse
Luogo geometrico dei punti del piano per i quali si
mantiene costante la somma delle distanze da due
punti fissi detti fuochi
Detta in parole piugrave semplici lellisse non egrave altro che
una circonferenza ldquoschiacciata Un elemento
fondamentale che ci permette di capire di quanto
questa viene compressa egrave leccentricitagrave e
Leccentricitagrave egrave definita come il rapporto tra la
semidistanza focale e il semiasse maggiore
119890 =119888
119886
Formule inverse
119888 = 119886119890
119886 =119888
119890
Infatti nellellisse possiamo individuare
bull Semiasse maggiore (a)
bull Semiasse minore (b)
bull Semidistanza focale (c)
Indicheremo quindi con 2a il semiasse maggiore (AB) con 2b il semiasse minore (CD) e con 2c la
distanza focale (F1F2)
ATTENZIONE lrsquoeccentricitagrave dellellisse egrave SEMPRE compresa tra 0 e 1 (0ltelt1) Se
questa fosse uguale a 0 i due fuochi andrebbero a coincidere con lorigine e lellisse
diventerebbe una circonferenza Se fosse uguale a 1 diventerebbe una parabola se
fosse egt1 diventerebbe una iperbole
Dalla figura si nota che la somma delle distanze dai due punti fissi detti fuochi egrave costante ed egrave pari
alla lunghezza dellasse maggiore (2a) Quindi si puograve anche applicare il teorema di Pitagora
1198862 = 1198872 + 1198882
Formule inverse
1198872 = 1198862 minus 1198882
1198882 = 1198862 minus 1198872
Bignamino di astronomia
20
LEGGI DI KEPLERO
PRIMA LEGGE
Enunciato i pianeti descrivono intorno al Sole orbite
ellittiche in cui questo occupa uno dei fuochi
Si puograve quindi notare che la distanza di un pianeta
attorno al Sole non si mantiene costante bensigrave ci
saragrave un punto in cui questo saragrave piugrave vicino al Sole
(perielio) e uno in cui saragrave piugrave lontano (afelio)
Possiamo quindi calcolare le due distanze
119889119886 = 119886(1 + 119890)
119889119901 = 119886(1 minus 119890)
Formule inverse
119886 =119889119886
1 + 119890
119886 =119889119901
1 minus 119890
119890 =119889119886
119886minus 1
119890 = 1 minus119889119901
119886
Inoltre si nota anche che dalla somma delle due distanze otteniamo lasse maggiore dellorbita
2119886 = 119889119886 + 119889119901
E il semiasse egrave quindi dato da
119886 =119889119886 + 119889119901
2
Bignamino di astronomia
21
Formule inverse
119889119886 = 2119886 minus 119889119901
119889119901 = 2119886 minus 119889119886
La distanza focale egrave data dalla differenza delle due distanze
2119888 = 119889119886 minus 119889119901
119888 =119889119886 minus 119889119901
2
Formule inverse
119889119886 = 2119888 + 119889119901
119889119901 = 119889119886 minus 2119888
Quindi leccentricitagrave dellrsquoorbita puograve essere anche scritta come
119890 =119889119886minus119889119901
119889119886+119889119901=
2119888
2119886 =
119888
119886
SECONDA LEGGE
Enunciato il raggio vettore che congiunge il Sole al pianeta spazza aree
uguali in tempi uguali
Dalla seconda legge comprendiamo che la velocitagrave del pianeta intorno
al Sole non egrave costante al perielio viaggeragrave piugrave velocemente che
allafelio Quindi si puograve affermare che le velocitagrave sono inversamente
proporzionali alle distanze
119881119886
119881119901=119889119901
119889119886
Formule inverse
119881119886 =119889119901 119881119901
119889119886
Bignamino di astronomia
22
119881119901 =119881119886 119889119886
119889119901
119889119886 =119881119901 119889119901
119881119886
119889119901 =119881119886 119889119886
119881119901
TERZA LEGGE
Enunciato i cubi dei semiassi maggiori sono
proporzionali ai quadrati dei periodi di
rivoluzione
1198863
1198792= 119896
Dalla terza legge si nota che esiste una relazione tra periodo di rivoluzione e lontananza dal corpo
centrale Sono infatti legati tra loro dal valore di una costante che egrave stata indicata con k
Per i corpi orbitanti intorno ad una massa comune (come ad esempi o per i corpi del Sistema solare)
questa legge puograve essere anche scritta come
1198861199053
1198791199052 =
1198861198983
1198791198982
=1198861199043
1198791199042 = ⋯
PER I CORPI DEL SISTEMA SOLARE se si inserisce in formula il valore del semiasse maggiore in unitagrave
astronomiche (UA) e il periodo di rivoluzione in anni il valore di questa costante egrave uguale a 1 Infatti
ricavandola per la Terra
(1 119880119860)3
(1 119886119899119899119900)2= 1
E se k=1 per la Terra vale per tutti gli altri corpi orbitanti intorno al Sole
Bignamino di astronomia
23
NEWTON E LA GRAVITAZIONE UNIVERSALE
Con le leggi di Keplero siamo ancora in quella parte di fisica che descriviamo come cinematica
descriviamo perfettamente i moti dei pianeti ma non risaliamo alle cause Newton avanzograve lrsquoipotesi
che sia i gravi in caduta libera che i pianeti vengono deviati dalla condizione di moto rettilineo
uniforme dallrsquoesistenza di una forza centrale Nel 1684 Newton ldquopoggiandosi sulle spalle dei
gigantirdquo (Keplero ed il nostro Galilei) dimostrograve che la forza che fa ldquofluttuarerdquo i pianeti attorno al Sole
dipende dallrsquoinverso del quadrato della distanza da esso
Integrando il suo secondo principio della dinamica con la terza legge di Keplero perviene a
119865119892=41205872 119898
1198701199032
Questa forza deve dipendere anche dalla massa M del Sole ed allora
119865119892=41205872 119898119872
1198721198701199032
Dove K egrave la costante della terza legge di Keplero Ponendo la quantitagrave 41205872
119872119870 = G ( notare che contiene
la costante K e la massa del Sole) otteniamo la nota formula
119865119892=119866 119898119872
1199032
Newton dedusse che questa legge egrave valida non solo per i corpi del sistema solare ma in tutto
lrsquoUniverso egrave la Legge di Gravitazione Universale Nel 1798 Cavendish ideograve la bilancia a torsione e
trovograve il valore per la costante G = 667times10⁻sup1sup1 N msup2kgsup2
Bignamino di astronomia
24
Terza legge di Keplero generalizzata
Approssimando lrsquoorbita di un corpo a circolare e considerando trascurabile la massa del corpo
orbitante la condizione di equilibrio per la quale esso orbita egrave data da
119865119888 = 119865119892
119865119900119903119911119886 119888119890119899119905119903119894119891119906119892119886 = 119865119900119903119911119886 119892119903119886119907119894119905119886119911119894119900119899119886119897119890
La forza centrifuga egrave espressa come
119865119888 = 119898 119886119888
E quella gravitazionale (dalla legge di gravitazione universale di Newton) come
119865119892 =119866119872119898
1198862
Sostituendo in formula
119898119886119888 =119866119872119898
1198892
Notiamo che semplificando m otteniamo un modo per esprimere lrsquoaccelerazione
119886119888 =119866119872
1198892
Lrsquoaccelerazione egrave espressa come
119886119888 =1199072
119886=412058721198862
1198792119886=41205872119886
1198792
Sostituendo in formula
41205872119886
1198792=119866119872
1198862
Da cui
1198863
1198792=119866119872
41205872
Formule inverse
119886 = radic119866119872 1198792
41205872
3
119879 = radic412058721198863
119866119872
Bignamino di astronomia
25
119872 =412058721198863
119866 1198792
Nota nel caso in cui la massa del corpo orbitante non fosse trascurabile la terza legge di Keplero
generalizzata diventerebbe
1198893
1198792=119866 (119872 +119898)
41205872
Nel Sistema solare la somma delle due masse si considera uguale alla sola massa del
Sole data la relativa piccola massa dei pianeti
NOTA I corpi lasciati cadere verso il basso quando la resistenza dellrsquoaria egrave trascurabile cadono con la
stessa accelerazione g detta accelerazione di gravitagrave Sulla superficie terrestre lrsquoaccelerazione di
gravitagrave egrave g = 98 ms2 In realtagrave il valore di g cambia da punto a punto percheacute dipende fra lrsquoaltro
dallrsquoaltezza del punto sul livello del mare e dalla sua latitudine Ora che conosciamo la legge di
gravitazione universale possiamo dire che i corpi cadono per effetto della forza di gravitazione che
si esercita tra il corpo e la Terra Allora
119892 =119866119872
1198892
Se il corpo si trova sulla Terra o prossimo alla superficie sostituendo a questa formula i valori relativi
alla massa della Terra e al suo raggio troviamo per lrsquoaccelerazione il valore noto di 98 ms2
Un altro fattore che influisce sul valore di g egrave la rotazione terrestre in quanto ogni corpo su di
essa egrave soggetto ad una forza centripeta per cui
119892rsquo = 119892 minus 1205962 119877119879
ldquoRationem vero harum
Gravitatis proprietatum
ex phaelignomenis nondum
potui deducere amp
hypotheses non fingordquo
ldquoIn veritagrave non sono riuscito a dedurre la causa di
queste proprietagrave della gravitagrave dai fenomeni e non
avanzo ipotesirdquo
Isaac Newton Philosophiae Naturalis Principia
Mathematica liber tertius
Bignamino di astronomia
26
ALCUNE CONSIDERAZIONI SULLE ORBITE
La Legge della Gravitazione Universale ci insegna che la forza drsquoattrazione gravitazionale egrave
inversamente proporzionale al quadrato della distanza delle due masse che si attraggono ovvero
119865 prop1
1198892 a causa di questa caratteristica dellrsquointerazione gravitazionale si puograve dimostrare che le
orbite descritte dai corpi celesti attorno a un oggetto ldquoattrattorerdquo seguono particolari curve le
coniche
Le coniche sono curve che si ottengono dallrsquointersezione di un piano con un cono a due falde Si
ottengono cosigrave circonferenza ellisse iperbole e parabola
Ciograve che distingue lrsquouna dallrsquoaltra queste curve egrave un parametro lrsquoeccentricitagrave
Circonferenza il piano egrave perpendicolare
allrsquoasse (tratteggiato)
Ellisse il piano egrave obliquo
Parabola il piano egrave parallelo a una delle
generatrici (le due rette incidenti in V in
figura)
Iperbole il piano egrave parallelo allrsquoasse del cono
CIRCONFERENZA e=0
ELLISSE 0ltelt1 (piugrave questo valore si avvicina ad 1 piugrave
lrsquoellisse egrave schiacciata)
PARABOLA e=1
IPERBOLE egt1 (quanto piugrave maggiore di uno egrave
questo valore tanto piugrave lrsquoiperbole egrave ldquoapertardquo)
Bignamino di astronomia
27
VELOCITAgrave ORBITALE ORBITA CIRCOLARE
Affincheacute il corpo rimanga in orbita egrave necessario che in ogni punto dellrsquoorbita la forza centripeta sia
uguale alla forza di attrazione gravitazionale
FC = FG
mv2
R=mMG
R2
mv2
R=mMG
R2
v2 =MG
R
119855 = radic119820119814
119825
A questa velocitagrave si dagrave il nome di prima velocitagrave cosmica
VELOCITAgrave SU ORBITE NON CIRCOLARI
Il problema si risolve con lrsquoapplicazione del principio di conservazione dellrsquoenergia meccanica che
altro non egrave che la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale
119922120783 + 119932120783 = 119922120784 + 119932120784
E poicheacute le velocitagrave orbitali variano al variare dalla distanza alla prima equazione egrave necessario
associare la seconda legge di Keplero
Per cui il problema egrave risolto dalla soluzione del sistema
119922120783 + 119932120783 = 119922120784 + 119932120784119959119938 119941119938 = 119959119953119941119953
Nel caso della forza gravitazionale lrsquoenergia potenziale egrave 119880 = minus119898119872119866
119877
Lrsquoenergia cinetica egrave K= 1
21198981199072
Bignamino di astronomia
28
Il sistema diventa
119907119886119889119886 = 1199071199011198891199011
2119898119907119886
2 minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
Le soluzioni sono 119959119938 = radic120784119918119924119941119953
119941119938(119941119953+119941119938) 119959119953 = radic120784119918119924
119941119938
119941119953(119941119953minus119941119938)
Ricordando che 119889119886 = 119886(1 + 119890) 119889119901 = 119886(1 minus 119890) 119938 =119941119938+119941119953
120784 119942 =
119941119938minus119941119953
119941119938+119941119953
le due velocitagrave possono anche essere espresse in funzione del semiasse maggiore e
dellrsquoeccentricitagrave dellrsquoorbita
Quindi
119907119901 = radic119918119924
119938(120783+119942
120783minus119942)
119907119886 = radic119918119924
119938(120783minus119942
120783+119942)
ALCUNE CONSIDERAZIONI DINAMICHE SULLE ORBITE
Allrsquoinizio di questi appunti abbiamo evidenziato come gli oggetti orbitanti seguano delle traiettorie
che sono curve coniche e abbiamo individuato questrsquoultime catalogandole anche a seconda
dellrsquoeccentricitagrave in seguito abbiamo enunciato il principio di conservazione dellrsquoenergia meccanica
119922+119932 = 119940119952119956119957119938119951119957119942
Possiamo procedere nella classificazione delle orbite a seconda del valore assunto da questa
costante (lrsquoenergia meccanica) In particolare
bull Se questa costante egrave negativa allora lrsquooggetto segue unrsquoorbita chiusa (circonferenza
ellisse)
bull Se essa egrave nulla allora il corpo si muove su unrsquoorbita parabolica (a distanza infinita la sua
velocitagrave egrave nulla)
bull Se essa egrave positiva allora la traiettoria egrave iperbolica (e il corpo giunge a distanza infinita con
velocitagrave ndash chiamata ldquovelocitagrave drsquoeccesso iperbolicordquo ndash non nulla)
Bignamino di astronomia
29
VELOCITAgrave DI FUGA ndash RAGGIO DI SCHWARZSCHILD
119959 = radic120784119918119924
119929
A questa velocitagrave si dagrave il nome di seconda velocitagrave cosmica o velocitagrave di fuga
Immaginiamo ora di poter comprimere un corpo celeste di massa M (quindi via via il raggio R
diminuisce) la velocitagrave di fuga di un altro corpo dalla sua superficie aumenteragrave al diminuire del
raggio Quando il raggio raggiungeragrave un valore ldquocriticordquo la velocitagrave di fuga eguaglieragrave quella della
luce e neanche la luce potragrave allontanarsi indefinitamente dal corpo esso egrave diventato un buco nero
Al raggio ldquocriticordquo associato a ogni massa M si dagrave il nome di Raggio di Schwarzschild in onore del
matematico astronomo e astrofisico tedesco Karl Schwarzschild (1873-1916) il raggio si ricava cosigrave
119888 = radic2119866119872
119877119904 rarr 1198882 =
2119866119872
119877119904 rarr 119929119956 =
120784119918119924
119940120784
Dove c egrave la velocitagrave della luce (c=299792458 ms)
Bignamino di astronomia
30
ECLISSI LUNA-SOLE
Eclisse di Luna
Una eclisse di Luna si verifica quando la Terra si interpone tra il nostro satellite ed il Sole cioegrave
quando la Luna entra nel cono drsquoombra della Terra che egrave rivolto dalla parte opposta al Sole e per
tanto lrsquoeclisse piograve avvenire solo quando la Luna egrave in opposizione cioegrave quando egrave piena Poicheacute la
Luna si sposta da ovest verso est essa
entra nel cono drsquoombra della Terra dalla
parte sinistra Se lrsquoorbita della Luna
attorno alla Terra giacesse sullo stesso
piano dellrsquoorbita della Terra attorno al
Sole ad ogni plenilunio avremmo una
eclisse totale di Luna Queste due orbite
sono inclinate di 5deg9rsquo e si incontrano i
due punti che definiscono i nodi Percheacute
si abbia una eclisse Sole e Luna non solo
devono essere allrsquoopposizione ma
devono essere vicinissimi ai nodi In media la distanza angolare del Sole dal nodo deve essere minore
di 9deg9 per unrsquoeclisse parziale e non piugrave di 4deg6 per unrsquoeclisse totale
Calcolo lunghezza cono drsquoombra della Terra
I triangoli VAS e VBT sono simili (vedi figura)
VS VT= AS BT
Ma
VS= VT+ TS
sostituendo si trova che
VT =119879119878∙119861119879
119860119878minus119861119879
Siccome sappiamo che il raggio del Sole egrave circa 10925 raggi terrestri abbiamo
Bignamino di astronomia
31
VT= 119878119879∙119861119879
10925119861119879minus119861119879
VT= 119878119879
10925minus1
La lunghezza del cono drsquoombra si puograve calcolare dividendo la distanza media Terra-Sole per 10925
Si puograve calcolare anche il semidiametro apparente visto dalla Terra dellrsquoombra che la Terra proietta
sul piano dove si trova la Luna
Poicheacute il raggio angolare della Luna egrave di 15rsquo5 percheacute una eclisse di Luna possa avere luogo egrave
necessario che la distanza tra i centri dellrsquoombra terrestre e della Luna sia inferiore a
41rsquo+15rsquo5 = 56rsquo5
Con questo dato si puograve calcolare quanto egrave spostato il centro dellrsquoorbita terrestre dal nodo lunare
Dalla proporzione
119861119879 119877119867 = 119881119879119867119881
119877119867 =119881119867 ∙ 119861119879
119881119879
Dato che
119881119867 = 119881119879 minus 119879119867
119877119867 =119861119879 (119881119879 minus 119879119867)
119881119879=
=119861119879
119881119879(1 minus
119879119867
119881119879) =
Dalla formula precedente
119881119879 =119878119879
10825
Sostituendo
Bignamino di astronomia
32
119877119867 =119861119879 ∙ 10825
119878119879(1 minus 119879119867) =
= 119877119879119864119877119877119860119863119879119878
10825 (1 minus 119863119879119871)
Si trova che questo valore egrave di 10deg6 Quindi unrsquoeclisse lunare si puograve verificare (anche di breve
durata) solo nel caso in cui lrsquoorbita terrestre egrave spostata meno di 10deg6 gradi dal nodo lunare (ad est
o ad ovest)
La Terra si muove lungo lrsquoeclittica di circa 59rsquo al giorno Per percorrere questa distanza impiega 108
giorni e la distanza doppia in 216 giorni poicheacute una rivoluzione sinodica si compie in 295 giorni
Una Luna piena puograve verificarsi ad una distanza superiore ai 10deg6 gradi ad ovest e la successiva Luna
piena ad una distanza superiore ad est e quindi nel corso di questa rivoluzione non si verificheranno
eclissi Si puograve verificare che in un anno non ci siano eclissi o al massimo tre quando la prima cade
poco dopo il primo gennaio la seconda sei mesi dopo (in prossimitagrave di giugno) e la terza a fine
dicembre (dodici mesi sinodici dopo la prima 354 giorni)
Bignamino di astronomia
33
Eclisse di Sole
Uneclissi di Sole si verifica quando la Luna attorno alla sua congiunzione si trova allineata tra la
Terra e il Sole molto vicino ad uno dei nodi o esattamente in esso Bencheacute di dimensioni
estremamente diverse si trovano a distanze tali da mostrare lo stesso diametro apparente Il che
consente alla Luna di coprire il disco del Sole
Percheacute ci sia una eclisse di Sole egrave necessario che
al momento del novilunio il Sole sia distante
dal nodo inferiore in media 15deg5 Questo
valore egrave piugrave alto di quello calcolato per lrsquoeclisse
di Luna e quindi si capisce percheacute le eclissi di
Sole sono piugrave frequenti Il cono drsquoombra
massimo della Luna ha un valore che non
supera i 270km sulla superficie della Terra mentre la lunghezza del cono drsquoombra egrave circa 374000
per cui il vertice di questo cono non sempre raggiunge la Terra in questo caso si hanno eclissi
anulari In localitagrave differenti della Terra lrsquoeclisse di Sole si verifica in tempi diversi Il moto della Luna
attorno alla Terra e la rotazione della Terra attorno al proprio asse fanno sigrave che lrsquoombra lunare si
sposti da ovest verso est formando una striscia drsquoombra lunga un migliaio di km e larga da 200 a 270
km Poicheacute la Luna si sposta da ovest verso est lrsquoeclisse inizia dal bordo ovest del Sole
Condizione percheacute si possa verificare unrsquoeclissi di Sole
Percheacute si verifichi unrsquoeclisse di Sole egrave necessario che nel periodo della Luna nuova questa si trovi in
prossimitagrave di uno dei nodi della sua orbita cioegrave in vicinanza dellrsquoeclittica
Indichiamo con S T L i centri del Sole della Terra della Luna che giacciono tutti su di un piano
perpendicolare al piano dellrsquoeclittica Il verificarsi dellrsquoeclisse dipende dalla latitudine geocentrica
della Luna (nella figura lrsquoangolo LTS (vertice in T) = 120573 )
Dalla figura
Bignamino di astronomia
34
120573 = LTLrsquo+ LrsquoTSrsquo + STSrsquo
Dalla figura si evince che
LTLrsquo egrave il raggio angolare della Luna= 120572119871
STSrsquo egrave il raggio angolare del Sole = 120572119878
120573 = 120572119871 + LrsquoTSrsquo + 120572119878
Lrsquo TSrsquo =
Consideriamo lrsquoangolo TLrsquoO esterno al triangolo TLrsquoSrsquo
TLrsquoO= LrsquoTSrsquo + TSrsquoLrsquo
TLrsquoO= LrsquoTSrsquo + TSrsquoO
LrsquoTSrsquo = TLrsquoO - TSrsquoO
TLrsquoO = 119901119871 = 57prime2primeprime (parallasse orizzontale della Luna)
TSrsquoO= 119901119878 = 8primeprime 8 (parallasse orizzontale del Sole)
120573 = 120572119871 + 120572119878 + 119901119871 - 119901119878
120573 = 15rsquo5 +16rsquo3 +57rsquo2 ndash 8rsquorsquo8
120573 = 88rsquo46
Percheacute si verifichi una eclisse anche di breve durata egrave necessario che la latitudine geocentrica della
Luna sia inferiore a 88rsquorsquo46
La parallasse orizzontale equatoriale della Luna egrave lrsquoangolo sotto il quale dal centro della Luna egrave
visibile il raggio equatoriale della Terra La parallasse orizzontale equatoriale del Sole egrave lrsquoangolo
sotto il quale dal centro del Sole egrave visibile il raggio equatoriale della Terra
Bignamino di astronomia
35
La distanza angolare del centro della Luna rispetto al
nodo (longitudine) si puograve calcolare con la
sinΔ120582 = tan120573
tan 119894
Δ120582 = 16deg5
Il Sole muovendosi alla velocitagrave di 59rsquo al giorno percorre 33deg gradi di eclittica in 34 giorni Essendo
il periodo sinodico di 295 giorni egrave evidente che nel corso di questo periodo si ha una Luna nuova
(ed anche due) Questo assicura che nel corso di un anno si verificano almeno due eclissi di Sole in
vicinanza dei nodi Se la prima si verifica ai primi di gennaio la seconda si ha alla Luna nuova
successiva la terza e la quarta poco meno di sei mesi dopo e la quinta 354 giorni dopo la prima
Bignamino di astronomia
36
Numero totale di eclissi per anno
Il Ciclo di Saros
In base a quanto fin qui detto il numero massimo di eclissi che si possono verificare in un anno egrave 7
bull 2 Luna + 5 Sole
bull 3 Luna + 4 Sole
e viceversa Questa combinazione egrave piuttosto rara lrsquoevento piugrave frequente egrave 2 Luna + 2 Sole Il
numero minimo costituito da due eclissi entrambe di Sole
Fin dallrsquoantichitagrave era noto che le eclissi si succedevano pressocheacute nello stesso ordine in un periodo
di circa 18 anni e 113 giorni La spiegazione egrave alquanto semplice
Le fasi lunari si succedono ogni 2953 giorni (mese sindico) mente il ritorno allo stesso nodo della
Luna avviene ogni 2721 giorni I nodi
hanno un moto di retrogradazione in un
giorno percorre un angolo pari a
3rsquo10rsquorsquo64 e completa il giro in 18anni e
113 giorni Il Sole si sposta di moto
diretto in media di 59rsquo8rsquorsquo33 al giorno
rispetto al nodo Il moto del Sole egrave di
62rsquo19rsquorsquo e quindi lrsquointervallo di tempo fra
due passaggi consecutivi del centro del
Sole per lo stesso nodo egrave di 34662 giorni
(anno draconico) Il saros egrave lrsquointervallo di tempo percheacute questi tre periodi tornino nella stessa
successione La natura si diverte
Succede che
bull 223 lunazioni (223 mesi sinodici) corrispondono a giorni 658519 (223 x 2953)
bull 242 mesi draconici corrispondono a giorni 658502
bull questi giorni corrispondono a 18 anni e circa 11 giorni
Poi succede che se dividiamo questi 658519 per lrsquoanno draconico troviamo circa 19
Questi tre periodi ritornano nella stessa successione dopo circa 6585 giorni che rappresenta il
ciclo di Saros Le condizioni in cui si producono le eclissi non saranno mai le stesse poicheacute essendo
223 mesi sinodici piugrave corti di 004 mesi draconici dopo 18 anni la Luna non si troveragrave esattamente
allo stesso posto rispetto al nodo Il ciclo di Saros contiene 6585 giorni interi piugrave circa 13 di giorni
questo comporta che le zone di visibilitagrave delle eclissi sulla superficie terreste in 18 anni si spostano
di circa 120deg verso Ovest
Bignamino di astronomia
37
ANGOLO SOLIDO
Si definisce angolo solido la porzione di sfera intercettata dalle
semirette che lo individuano
120570 =119860
1198772=41205871198772
1198772= 4120587
120570 = 4120587
Langolo solido totale di una sfera egrave pari a 4π Lunitagrave di misura
egrave sr (steradiante) ed egrave un numero puro
Per avere la misura in gradi quadrati si deve
119898119900119897119905119894119901119897119894119888119886119903119890 4120587 bull (180deg
120587)2
119900 1198891198941199071198941198891198901199031198904120587
1205872
4π sr= 41253deg -gt 1deg=3046 bull 10minus4119904119905119890119903119886119889
STRUMENTI OTTICI
CAMPO DELLO STRUMENTO
Il campo di uno strumento egrave definito dallangolo solido sotto il quale loculare viene visto dal centro
dellobiettivo Il campo corretto dalle aberrazioni ottiche di norma egrave 1
2deg
APERTURA ASSOLUTA
Lapertura assoluta dipende dal diametro D dello strumento La quantitagrave di luce raccolta egrave
proporzionale allarea dellobiettivo cong 1198632
APERTURA RELATIVA
Si definisce apertura relativa il rapporto
119863
119891=119886119901119890119903119905119906119903119886 119886119904119904119900119897119906119905119886 (119889119894119886119898119890119905119903119900)
119891119900119888119886119897119890 119889119890119897119897prime119900119887119894119890119905119905119894119907119900
Bignamino di astronomia
38
RAPPORTO FOCALE
Linverso dellrsquoapertura relativa 119891
119863 definisce il rapporto focale
Lenergia raccolta dallobiettivo egrave distribuita sullarea dellimmagine la cui grandezza sul piano focale
egrave data da
119889 = 119891 bull 119905119886119899120572
Con α=diametro angolare dellrsquooggetto
119889 = 119891120572
Se α egrave espresso in radianti
POTERE RISOLUTIVO
Il potere risolutivo egrave la minima distanza angolare tra due sorgenti di luce che possono essere viste
separate (ldquorisolte in termine tecnico) secondo un criterio detto di Rayleigh
Due sorgenti puntiformi (di uguale luminositagrave) risultano risolte quando la loro distanza angolare
120579 =122 bull 120582
119863=119897119906119899119892ℎ119890119911119911119886 119889prime119900119899119889119886
119889119894119886119898119890119905119903119900
Si ottiene un risultato in radianti
In secondi darco invece
120579 =25 bull 105 bull 120582
119863
Con λ=lunghezza donda della luce=5500Aring (regione di massima sensibilitagrave dellocchio)
Il potere risolutivo dellocchio assumendo la pupilla con un diametro di 3 mm egrave uguale a
120579 =122120582
119863= 122 bull
5500 bull 10minus9119898
3 bull 10minus3119898= 224 bull 10minus4119903119886119889 = 46
Il fattore di conversione da radianti a secondi egrave il NUMERO MAGICO 1 rad = 206265rdquo
Nella determinazione del potere risolutivo interviene lrsquoapertura dello strumento e non
lrsquoingrandimento
Bignamino di astronomia
39
INGRANDIMENTO
Lingrandimento dello strumento egrave dato dal rapporto tra la focale dellobiettivo f e la pupilla
delloculare f
119892 =119891
119891prime
ABERRAZIONE DELLA LUCE
Quando i raggi di una stella arrivano sulla Terra la loro direzione di provenienza
appare leggermente deviata a causa della velocitagrave orbitale del pianeta v I vettori
delle velocitagrave (della luce e del pianeta) si combinano per dare un vettore risultante di
poco inclinato dalla direzione di provenienza dei raggi
119886 = arctan119907
119888
RIFRAZIONE
Il fenomeno della rifrazione ha origine dal cambiamento di
velocitagrave delle onde luminose quando passano da un mezzo
trasparente allrsquoaltro Esiste una proporzione tra le due diverse
velocitagrave e i seni degli angoli 120579119894119899119888119894119889119890119899119911119886 e 120579119903119894119891119903119886119911119894119900119899119890 che i raggi
formano con la linea normale alla superficie nel punto colpito dal
raggio Se consideriamo gli indici di rifrazione 1198991 e 1198992 dei materiali
la proporzione egrave inversa
119904119894119899120579119894119899119888119894119889119890119899119911119886119904119894119899120579119903119894119891119903119886119911119894119900119899119890
=11989921198991=11990711199072
Bignamino di astronomia
40
RIFRAZIONE ATMOSFERICA
Allrsquoentrata nellrsquoatmosfera terrestre i raggi luminosi provenienti da un corpo celeste che si trova a
distanza zenitale z vengono rifratti (deviati verso il basso) di un angolo r Quindi i corpi celesti si
osservano in una posizione leggermente piugrave alta del reale In particolare possiamo vedere oggetti
che si trovano anche sotto lrsquoorizzonte geometrico del luogo (es Il sole al tramonto) La formula
stabilisce che lrsquoangolo di rifrazione egrave proporzionale alla tangente della distanza zenitale
Questa formula vale fino ad angoli 119963 asymp 120789120782deg
Oltre questo valore fino allrsquoorizzonte la rifrazione aumenta fino a raggiungere il valore massimo di
35rsquo
119903 = 582 tan (119911)
Bignamino di astronomia
41
RIASSUMENDOhellip
CENNI TEORICI SUI TELESCOPI
Il telescopio egrave uno strumento che raccoglie la luce o altre radiazioni elettromagnetiche
provenienti da un oggetto lontano la concentra in un punto (detto fuoco) e ne produce
unimmagine ingrandita Possiamo paragonare un telescopio a un ldquogrande occhiordquo che
sopperisce al fatto che la nostra pupilla di dimensioni ridotte riesce a raccogliere un
quantitativo insufficiente di luce emessa da un oggetto lontano Un telescopio egrave
caratterizzato dalle seguenti componenti e grandezze
bull OBIETTIVO egrave la parte del telescopio rivolta verso lrsquooggetto da osservare Il suo
diametro D prende il nome di APERTURA Telescopi con una grande apertura sono
capaci di raccogliere piugrave luce e di fornire unrsquoimmagine a piugrave alta risoluzione
Lrsquoobiettivo fa convergere i raggi luminosi in un punto il fuoco la cui distanza
dallrsquoobiettivo egrave chiamata LUNGHEZZA FOCALE
bull OCULARE la parte del telescopio (nel caso di telescopi ottici) che raccoglie la luce
proveniente dallrsquoobiettivo e che la trasmette poi allrsquoocchio Anche per lrsquooculare egrave
possibile definire una LUNGHEZZA FOCALE
Ingrandimento
Lrsquoingrandimento di un telescopio egrave dato dal rapporto fra la lunghezza focale dellrsquoobiettivo e
la lunghezza focale dellrsquooculare
119894 = 119891119900119887119891119900119888 Rapporto focale
Rapporto esistente tra la lunghezza focale dellrsquoobiettivo e lrsquoapertura stessa del telescopio
119865 =119891119900119887
119863 negli strumenti egrave specificato da una F seguita da un numero (es F4 F45 F6hellip)
Campo visivo
Esso egrave dato dal rapporto fra il campo visivo apparente dellrsquooculare (lrsquoampiezza angolare
dellrsquoimmagine fornita dallrsquooculare soltanto) e il numero di ingrandimenti
119865119900119881 =119865119900119881119900119888119894
Pupilla drsquouscita
Essa egrave il diametro del fascio luminoso che esce dallrsquooculare
119901 =119863
119894
Potere risolutivo
Esso egrave lrsquoangolo minimo che deve separare due oggetti affincheacute lo strumento li possa
distinguere egrave dato dal criterio di Rayleigh
120599(119903119886119889) =122120582
119863 120599deg =
699120582
119863 120582 119897119906119899119892ℎ119890119911119911119886 119889prime119900119899119889119886 119889119890119897119897119886 119897119906119888119890 119900119904119904119890119903119907119886119905119886
Bignamino di astronomia
42
Magnitudine limite
Egrave la magnitudine visuale massima che puograve essere osservata con uno strumento di apertura
D (in cm)
119898119897119894119898 = 68 + 5119897119900119892119863
Ingrandimento minimo utile
egrave lrsquoingrandimento che fornisce una pupilla drsquouscita pari al diametro della pupilla umana (6-7
mm)
119894119898119894119899 = 119863(119898119898)7
Formula di Dawes
Ci consente di trovare lrsquoapertura di un telescopio che gli consenta di distinguere un oggetto
che si vede sotto un angolo α
119863(119898119898) =120
120572
Dimensioni dellrsquoimmagine sul piano focale
Lrsquoimmagine che si forma sul piano focale di un telescopio con lunghezza focale dellrsquoobiettivo
f relativa a un oggetto di dimensione angolare α egrave
119897 = 2119891 tan (1205722)
Bignamino di astronomia
43
ELEMENTI DI ASTROFISICA
Tutte le informazioni che riceviamo dalle stelle ci provengono dalla ldquolucerdquo che emettono1 Egrave solo
attraverso lrsquoanalisi e la ldquodecodificazionerdquo dei messaggi contenuti in questa radiazione
elettromagnetica che egrave la luce che noi possiamo ottenere informazioni sulle proprietagrave fisiche e
chimiche delle stelle e delle galassie
La radiazione elettromagnetica
Una radiazione elettromagnetica egrave dal punto di vista dellrsquoelettromagnetismo classico un fenomeno
ondulatorio dovuto alla contemporanea propagazione di perturbazioni periodiche di un campo
elettrico e di un campo magnetico oscillanti su piani tra di loro ortogonali Le stelle emettono
tipicamente radiazione di ldquocorpo nerordquo e come tale irradiano energia in tutte le lunghezze drsquoonda
secondo una distribuzione che viene chiamata spettro della radiazione elettromagnetica
I parametri che permettono di distinguere tra loro le varie radiazioni elettromagnetiche sono
1) In realtagrave un altro ldquocanalerdquo di trasmissione delle informazioni per la comprensione dei fenomeni celesti si egrave aperto
grazie ai risultati positivi ottenuti dagli interferometri per onde gravitazionali LIGO e VIRGO in particolare gli
interferometri menzionati il 17 agosto 2017 hanno rilevato un segnale di onda gravitazionale (rilevazione
annunciata poi ufficialmente il 16 ottobre dello stesso anno) mentre altri telescopi in orbita e a terra sono riusciti
a individuare per la prima volta la sua controparte elettromagnetica lrsquoevento che ha generato il segnale egrave stato
la collisione di due stelle di neutroni (che ha portato a unrsquoesplosione nota col termine di kilonova ) nella galassia
NGC 4993 esso ha segnato la nascita della cosiddetta ldquoastronomia multi-messaggero per il fatto che egrave stato
possibile confrontare due ldquolinguaggirdquo diversi permettendo cosigrave di ampliare le frontiere della conoscenza di
questi fenomeni ldquoestremirdquo
Bignamino di astronomia
44
Parametri di unrsquoonda
Come tutti i fenomeni ondulatori la radiazione elettromagnetica egrave caratterizzata da questi
parametri
Lunghezza drsquoonda 120640
la lunghezza drsquoonda tra due creste o tra
due ventri Si misura in metri eo con i
suoi sottomultipli
Periodo T
lrsquointervallo di tempo misurato in
secondi in cui avviene unrsquooscillazione
completa ovvero lintervallo di tempo
impiegato dallonda per ritornare nella
medesima posizione (per esempio il
tempo intercorso tra due creste o tra
due ventri successivi
Frequenza 120650 egrave il numero di creste che si susseguono nello stesso posto nellrsquounitagrave di
tempo egrave lrsquoinverso del periodo
120592 =1
119879
Frequenza che si misura in Hertz (Hz) pari ad unrsquooscillazione al secondo
119867119911 = 1119904minus1
Ampiezza A rappresenta la variazione massima dellrsquoonda Lrsquoampiezza di unrsquoonda
periodica egrave lrsquoaltezza di una sua cresta
Intensitagrave di unrsquoonda egrave proporzionale al quadrato dellrsquoampiezza
Potenza ogni onda porta con seacute unrsquoenergia e quindi una potenza Tale potenza decresce
con il quadrato della distanza dalla sorgente
La lunghezza drsquoonda λ e la frequenza ν di una radiazione elettromagnetica sono grandezze legate
tra loro dalla relazione
120582 ∙ 120592 = 119888
(c ndashla velocitagrave della luce- nel vuoto ha un valore di 299 792 458 ms) Questa formula ci dice che le
due grandezze sono inversamente proporzionali
Bignamino di astronomia
45
La radiazione elettromagnetica puograve essere interpretata come un insieme di ldquopacchettirdquo di energia a
cui si dagrave il nome di fotoni grazie a questi ldquopacchetti energeticirdquo la luce puograve interagire con la materia
a livello microscopico per esempio puograve eccitare un elettrone in un atomo cedendo a esso la sua
energia Continuando il paragone possiamo immaginare che piugrave la radiazione egrave intensa piugrave i
pacchetti sono numerosi piugrave la radiazione cresce di frequenza piugrave essi sono ldquocapientirdquo
Questrsquoultima caratteristica egrave descritta dalla Legge di Planck che lega lrsquoenergia del fotone alla sua
frequenza
119864 = ℎ ∙ 120584
(dove h egrave la costante di Planck)
119864 = ℎ119888
120582
EQUIVALENZA MASSA- ENERGIA Tra lrsquoenergia e la massa esiste una fondamentale relazione
scoperta dal fisico Albert Einstein espressa dallrsquoequazione
119864 = 1198981198882
dove c egrave la velocitagrave della luce (pari a 3 middot 108 ms) Lequazione di Einstein implica che energia e massa
sono equivalenti la massa puograve essere trasformata in energia e lenergia puograve essere trasformata in
massa Ciograve comporta il principio di conservazione della massa-energia non vi egrave conservazione della
massa o dellenergia considerate separatamente ma vi egrave conservazione dellinsieme delle due a una
diminuzione della massa pari a m deve corrispondere un aumento dellenergia pari a m middot c2
Poicheacute il prodotto m middot c2 egrave un numero molto grande la trasformazione di una massa anche molto
piccola di materia determina la produzione di una quantitagrave enorme di energia come avviene per
esempio nelle reazioni di fissione e di fusione nucleari (queste ultime avvengono nel nucleo delle
stelle si veda per una maggiore comprensione il problema 2 della sezione Miscellanea)
Bignamino di astronomia
46
Grandezze fotometriche
Flusso luminoso Quantitagrave di energia luminosa emessa da una determinata sorgente nellunitagrave di tempo Lo indichiamo con la lettera Φ Lunitagrave di misura nel SI egrave il lumen (lm) 1 watt = 683 lumen
Illuminamento Rapporto tra il flusso luminoso ricevuto da una superficie e larea della superficie stessa ( E=
120593
119878 )
Lunitagrave di misura nel SI egrave il lux (lx) ovvero il lumen al metro quadrato (lm1198982)
Nota Dalla definizione di illuminamento si ricavano due importanti corollari di natura geometrica che risultano molto utili per comprendere la distribuzione della luce nello spazio
1) Per una sorgente puntiforme la diminuzione del livello di illuminamento su di una superficie varia in relazione al quadrato della distanza dalla fonte raddoppiando la distanza dalla fonte il livello di illuminamento sulla superficie diviene quindi frac14
2) Il livello drsquoilluminamento su di una superficie egrave massimo quando i raggi luminosi giungono perpendicolari ad essa e diminuisce proporzionalmente al loro angolo drsquoincidenza secondo la relazione E = 119864119899 cosi 119864119899egrave 119897
prime illuminamento normale i lrsquoangolo drsquoincidenza tra raggi luminosi e la normale alla superficie
Immagine dal web (fonte VOLTIMUM)
Bignamino di astronomia
47
Intensitagrave luminosa Flusso luminoso emesso allinterno dellangolo solido unitario in una direzione data
119868 = 119864 =120593
120596
ed egrave una grandezza vettoriale Lunitagrave di misura nel SI egrave la candela (cd)
Luminanza La luminanza egrave il rapporto tra lrsquointensitagrave luminosa di una sorgente nella direzione di un osservatore e la superficie emittente apparente cosigrave come viene vista dallrsquoosservatore stesso
119871 = 119868
119878 119888119900119904120572
120572 egrave 119897prime119886119899119892119900119897119900 compreso tra la direzione di osservazione e lrsquoasse perpendicolare alla superficie emittente La luminanza si esprime in cd1198982
Bignamino di astronomia
48
Parametri fisici delle stelle
Le grandezze fondamentali che permettono di caratterizzare le stelle sono
la distanza (d)
lo spettro della radiazione em emessa
la luminositagrave totale o bolometrica (L)
la temperatura superficiale (T)
il raggio (R)
la massa (M)
Le stelle possono essere approssimate a corpi neri in quanto le uniche onde elettromagnetiche che
non vengono assorbite dalla loro superficie sono quelle aventi una lunghezza donda di dimensione
pari o maggiore del diametro della stella stessa Per studiare le proprietagrave dellrsquoemissione continua
delle stelle egrave utile introdurre il concetto di corpo nero
Corpo nero
Il corpo nero egrave un corpo che assorbe tutta la radiazione che gli cade sopra Appare perfettamente nero percheacute assorbe il 100 della radiazione che incide su di esso e non ne riflette nessuna Il corpo nero egrave un oggetto teorico nessun materiale assorbe tutta la radiazione incidente Il corpo nero ha uno spettro di emissione caratteristico che dipende solo da un parametro la temperatura Lo studio della radiazione emessa dal corpo nero ha portato alla formulazione delle seguenti leggi
bull La legge (di spostamento) di Wien la frequenza massima 120584119898119886119909 di uno spettro di corpo nero a temperatura T cresce linearmente con T
120584119898119886119909 prop T il che comporta una proporzionalitagrave inversa fra la temperatura assoluta e la lunghezza drsquoonda
120582119898119886119909 119879 = 119887
b = 29 10minus3 m∙K
Per cui si ha
120582119898119886119909 T = 29 10minus3 m∙K
Bignamino di astronomia
49
bull Legge di Stefan-Boltzmann lenergia erogata per unitagrave di
superficie e per unitagrave di tempo egrave proporzionale alla quarta
potenza della temperatura T
119868 = 1205901198794
Applicazioni in astrofisica
Stefan-Boltzmann per una stella che approssimiamo ad una sfera di raggio R e superficie S= 41205871198772
la legge di Stefan-Boltzmann diventa
L= 41205871198772 120590T4
Poicheacute le stelle non sono dei corpi neri perfetti la temperatura egrave la temperatura efficace quella che
la superficie della stella avrebbe se si comportasse da corpo nero
Flusso e Luminositagrave
120593= 119871
41205871198892
Il flusso di energia egrave dato dal rapporto fra la lrsquoenergia emessa
dalla stella nellrsquounitagrave di tempo e la superficie della sfera di
raggio pari alla distanza d dalla stella Quindi si vede che il flusso
misurato sulla superficie terrestre dipende dalla luminositagrave
della stella e dalla sua distanza
Bignamino di astronomia
50
I LOGARITMI
Il termine logaritmo egrave composto da due parole greche logos = ragione e arithmos = numero
ldquoNumero di ragionirdquo questa definizione appare naturale pensando alla ragione delle progressioni
aritmetiche e geometriche che sono alla base della costruzione di Nepero
La storia di come nasce questo procedimento di
calcolo egrave molto interessante qui ci piace
evidenziare che la motivazione alla base della
scoperta dei logaritmi ed anche il motivo del loro
successo fu la ricerca di efficienti strumenti di
calcolo in grado di alleggerire il pesante fardello
di cui erano gravati gli astronomi del tempo i
quali per poter predire il corso dei pianeti si
dovevano confrontare con grandi difficoltagrave di
calcolo Basta pensare al calcolo dellrsquoorbita del
pianeta Marte del povero Keplero Quando Nepero pubblicograve il suo lavoro sui logaritmi gli
astronomi dissero che aveva regalato loro metagrave della vita I logaritmi rendono infatti possibile
trasformare prodotti in somme quozienti in differenze elevamenti a potenza in prodotti e
calcoli di radici in quozienti le operazioni vengono molto semplificate
Che cosa egrave un logaritmo
Generalmente si risponde che egrave una operazione inversa
Partiamo da una operazione conosciuta lrsquoestrazione di radice quadrata di un numero
radic25 = 5
La radice quadrata di 25 egrave quel numero che elevato a due restituisce 25 cioegrave il numero 5 infatti 52 =
25 Concludiamo dicendo che la radice egrave lrsquooperazione inversa dellrsquoelevamento a potenza
Il concetto di logaritmo egrave abbastanza simile a quello della radice quadrata solo che non ci riporta al
numero di partenza ma al suo esponente
Introduciamo la scrittura
log5 25 = 2
questa la scriviamo
52 =25
Definiamo logaritmo di un numero b (argomento del logaritmo) quel numero a cui bisogna elevare
la base per ottenere il numero b In notazione matematica
log119886 119887 = x
119886119909 = b
Anche il logaritmo egrave lrsquooperazione inversa dellrsquoelevamento a potenza
Bignamino di astronomia
51
log2 8 = x
la domanda egrave ldquoqual egrave lrsquoesponente che devo dare alla base (2) per ottener il numero (8)rdquo
Scriviamo applicando la definizione
2119909 = 8
e siccome
8 = 23
Allora
2119909 = 23
e perciograve
x=3
(se le basi sono uguali lrsquouguaglianza saragrave verificata se saranno uguali anche gli esponenti)
Egrave abbastanza evidente che i logaritmi e le potenze rappresentano due modalitagrave di scrittura diversa ma
rappresentano la stessa cosa
Osservazione importante la base dei logaritmi ed il numero devono essere numeri reali
positivi in piugrave la base deve anche essere diversa da 1
bgt 0
0 lt a lt1
agt 1
Quindi per esempio non esistono log2(minus5) log1 12 119890119888119888
Bignamino di astronomia
52
Proprietagrave dei logaritmi
Il logaritmo del prodotto di 2 o piugrave numeri positivi corrisponde alla somma dei logaritmi dei
singoli fattori
(Nota 119886119909 ∙ 119886119910 = 119886119909+119910)
Il logaritmo del quoziente di 2 numeri positivi egrave eguale alla differenza tra il logaritmo del
dividendo e il logaritmo del divisore
(Nota 119886119909119886119910 = 119886119909minus119910)
Il logaritmo della potenza a esponente reale di un numero positivo egrave uguale al prodotto
dellesponente per il logaritmo del numero
Una estensione di questa ultima proprietagrave egrave
log119886 radic119887119898119899
= log119886 119887119898
119899
(che possiamo scrivere come 119898
119899log119886 119887)
A volte per calcolare un logaritmo puograve risultare utile effettuare un cambiamento di base
Il loga b la cui base egrave a puograve essere scritto utilizzando unrsquoaltra base per esempio il numero c
Ricorda inoltre che
log119886 1 = 0 (119894119899119891119886119905119905119894 1198860 = 1) 119890 log119886119886 = 1 (119894119899119891119886119905119905119894 1198861 = 119886)
Bignamino di astronomia
53
Se la base di un logaritmo egrave il Numero di Nepero (chiamato meno frequentemente anche Numero
di Eulero e indicato con e = 2718281828459hellip) allora il logaritmo prende il nome di logaritmo
naturale e si indica con ln
Quindi se vediamo 1198971198995 niente paura Si tratta di log119890 5
Se la base di un logaritmo egrave 10 il logaritmo prende il nome di logaritmo decimale e la base
generalmente si omette questo tipo di logaritmo egrave il piugrave usato in astrofisica
Quindi se vediamo 1198971199001198927 ciograve vuol dire log10 7
I logaritmi sono utilizzati nella vita di tutti i giorni ad esempio il gommista quando misura la
pressione di una gomma utilizza uno strumento con una scala non lineare ma logaritmica le scale
sulla macchina fotografica sono logaritmiche i nostri organi di senso sono logaritmici Questo ci
permette di percepire un intervallo di informazioni molto piugrave esteso di quello che avremmo se i nostri
sensi fossero lineari Pogson quando capigrave che il nostro occhio percepisce una differenza di una
magnitudine ( per le magnitudini consulta le pagine successive del Bignamino) tra due stelle quando
il rapporto tra le loro luminositagrave egrave uguale a 25 e che questo conserva la classificazione di Ipparco
formulograve la sua formula in funzione del logaritmo del rapporto delle loro luminositagrave
Niente paura
Oggi avete le calcolatrici e non si
devono utilizzare le famigerate tavole
logaritmiche che si utilizzavano un
tempo per calcolare un logaritmo
Bisogna solo stare attenti ad utilizzare
CORRETTAMENTE la calcolatrice
Nepero
Bignamino di astronomia
54
Magnitudine delle stelle
Quando si guarda il cielo si vede subito che le stelle ci appaiono piugrave o meno brillanti (o luminose) ovvero sembrano avere diversa intensitagrave luminosa Gli astronomi descrivono la luminositagrave stellare osservata in termini di magnitudine apparente m Nel II secolo aC Ipparco di Nicea utilizzando lrsquounico strumento a sua disposizione (lrsquoocchio umano) introdusse una classificazione delle stelle in 6 classi di luminositagrave che chiamograve MAGNITUDINI La scala scelta dai Ipparco prevedeva che le stelle piugrave luminose venissero collocate nella prima classe quelle un porsquo meno luminose nella seconda e giugrave giugrave fino a quelle appena visibili a occhio nudo collocate nella sesta classe Con lrsquoosservazione del cielo attraverso gli strumenti si pose il problema di estendere la scala delle grandezze anche alle stelle non visibili ad occhio nudo Un grossissimo contributo venne dallo studio della fisiologia dellrsquoocchio strumento sul quale erano state fatte le prime classificazioni La risposta dellrsquoocchio umano agli stimoli luminosi non egrave di tipo lineare la reazione alla luce de reagisce alla sensazione della luce in modo logaritmico Pogson egrave riuscito a dare una formulazione matematica alla scala delle magnitudini individuata da Ipparco Pogson ipotizzograve che il rapporto fra le intensitagrave luminose di una stella di prima e di sesta grandezza era pari a 100 Se I1 e lrsquointensitagrave luminosa di una stella di magnitudine m1 ed I2 lrsquointensitagrave di una stella di
magnitudine m2 se m1 - m2 = -5 ed il rapporto I1
I2= 100
m1 - m2= K log I1
I2
-5=K2 K= -25
m1 - m2= -25 log I1
I2
Lrsquoequazione di Pogson spiega il percheacute la magnitudine decresce quando lrsquointensitagrave luminosa cresce Quando si parla di intensitagrave luminosa di una stella in realtagrave ci si riferisce al flusso di energia 120593 che
abbiamo visto essere legato alla luminositagrave dalla 120593= 119871
41205871198892
Se nella formula di Pogson m1 - m2= -25 log I1
I2 sostituiamo alle intensitagrave luminose il flusso si
ottiene (a paritagrave di luminositagrave)
m1 - m2= -5 log d2
d1
La magnitudine apparente di una stella dipende dalla distanza
Bignamino di astronomia
55
E se la stella apparentemente piugrave debole fosse in realtagrave piugrave brillante ma piugrave lontana Per rispondere a questa domanda egrave stata introdotta la scala delle magnitudini assolute indipendente dalla distanza Per costruire questa scala egrave stata presa una distanza di riferimento pari a 10pc Quale saragrave la magnitudine di una stella di cui si conosce la distanza e la magnitudine apparente se viene posta alla distanza di 10pc
M- m= -5 log 119889
1119900119901119888
M-m = 5-5logd Questa ultima viene anche indicata come modulo di distanza Questa scala consente di poter confrontare la luminositagrave intrinseca delle stelle M =magnitudine assoluta (stella alla distanza di 10pc) m =magnitudine apparente d = distanza della stella in pc
Se vogliamo calcolare la magnitudine complessiva di due o piugrave sorgenti luminose egrave errato ritenere
di poter sommare le magnitudini Infatti possiamo sommare i flussi ma le magnitudini dipendono
da essi in relazione logaritmica La relazione che ci permette di determinare la cosiddetta
magnitudine integrata (ossia la magnitudine complessiva ldquototalerdquo) di n oggetti di magnitudine
m1m2hellipmn egrave la seguente
119898119894119899119905 = minus25log (10minus041198981 + 10minus041198982 +⋯+ 10minus04119898119899)
Magnitudine apparente di alcuni oggetti celesti da sinistra verso destra
Sole Luna piena Venere Sirio Vega Magnitudine limite dellrsquoocchio
Magnitudine limite di un telescopio magnitudine limite dellrsquoHubble
Bignamino di astronomia
56
Se invece vogliamo calcolare la magnitudine superficiale di un oggetto esteso di superficie angolare
S (misurata in arcmin2 o arcsec2) ossia la magnitudine di un quadratino di superficie di lato uguale
a 1 arcsec2 o 1 arcmin2 allora applichiamo la seguente formula
119898119878119906119901 = 119898119894119899119905 + 25 log(119878)
Se S egrave misurata in arcmin2 la msup egrave espressa in magarcmin2 Se S egrave misurata in arcsec2 msup egrave
espressa in magarcsec2
Bignamino di astronomia
57
Redshift (spostamento verso il rosso)
Su grandi scale le galassie si stanno allontanando con velocitagrave proporzionale alla distanza tutte le
galassie si stanno allontanando tra di loro tra loro Lo stesso spazio-tempo si sta espandendo e sta
portando le galassie con seacute
NOTA Il redshift cosmologico non egrave dovuto allrsquoeffetto Doppler non egrave dovuto ai moti relativi delle
galassie Le cause e le grandezze fisiche coinvolte sono completamente diverse
Il redshift cosmologico egrave lo spostamento relativo in
frequenza di unonda elettromagnetica dovuto
allespansione delluniverso Si spiega ipotizzando che le
lunghezze donda varino allo stesso modo delle distanze per
effetto dellespansione delluniverso La lunghezza donda egrave
proporzionale al fattore di scala delluniverso
La cosmologia moderna nasce con la legge di Hubble
v=Hd
che lega in modo proporzionale la velocitagrave v di allontanamento delle galassie alla loro distanza d (H egrave la costante di Hubble) le galassie piugrave distanti si allontanano piugrave velocemente Questa legge deriva da osservazioni che mostravano che tutte le righe spettrali delle galassie sono spostate verso il rosso (redshift) e che tale effetto egrave proporzionale alla luminositagrave apparente delle galassie legata alla loro distanza Il redshift misura quindi la velocitagrave di allontanamento di una galassia ed egrave definito come segue
119911 =120582119900119887119904 minus 120582119905119890119900119903
120582119905119890119900119903
La legge di Hubble ci dice che la velocitagrave di allontanamento delle galassie egrave proporzionale alla loro
distanza
119907 = 119867119889
H egrave la costante di Hubble il cui valore attualmente stimato egrave attorno a H= 2176 ∙ 10minus18 Hz
(6715 kmMpc s) d egrave la distanza della galassia
Maggiore egrave la distanza della galassia tanto maggiore saragrave il redshift
z=119867119889
119888
Bignamino di astronomia
58
Per z≪ 1 vale lrsquoapprossimazione del redshift come effetto Doppler (zasymp119907
119888 ) e quindi z egrave
direttamente proporzionale alla velocitagrave di allontanamento delle galassie
bull Redshift relativistico
bull Redshift gravitazionale
La relativitagrave generale prevede che la luce che si muove attraverso campi gravitazionali molto
intensi sperimenteragrave uno spostamento verso il rosso o verso il blu
Il redshift gravitazionale (chiamato anche spostamento di Einstein) egrave dovuto dal fatto che un
fotone quando emerge da un campo gravitazione perde energia e quindi presenta uno
spostamento verso il rosso che dipende dallrsquointensitagrave del campo gravitazionale misurata nel
punto in cui si trova il fotone
z= 119866119872
1199031198882
Questa 119904119890 119903 ≫ 119903119904
119903119904 = 2119866119872
1198882
(raggio di Schwarzschild)
(M massa della stella r raggio della stella)
La formula generale egrave
z= 1
radic1minus119903119904 -1
Bignamino di astronomia
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PROBLEMI ED ESERCIZI
bull SISTEMI DI RIFERIMENTO E COORDINATE ASTRONOMICHE
1 Quando la stella Rigel (δ= -8deg 13rsquo) passa al meridiano di Roma (φ=41deg55rsquo) a quale
altezza si trova
Soluzione Quando la stella Rigel passa al meridiano di Roma essa raggiunge la
posizione di culminazione superiore in corrispondenza del punto cardinale Sud
Dunque la sua altezza sullrsquoorizzonte egrave pari allrsquoaltezza dellrsquoEquatore celeste alla
latitudine di Roma (90deg-φ) sommata alla declinazione dellrsquoastro Dunque
hRigel=90deg-φ+δ=90deg-41deg55rsquo-8deg13rsquo=39deg52rsquo
2 A quale latitudine comincia a essere visibile la stella Canopo (δ=-52deg40rsquo) appena
allrsquoorizzonte
Soluzione Affincheacute la stella Canopo sia appena visibile allrsquoorizzonte per un
osservatore posto alla latitudine φ egrave necessario che lrsquoEquatore celeste abbia
unrsquoaltezza sullrsquoorizzonte pari al valore assoluto della sua declinazione Quindi egrave
necessario che 90deg-φ=|δ| e cioegrave φ=90deg-|δ|=90deg-52deg40rsquo=37deg20rsquo [In realtagrave bisogna tenere conto dellrsquoeffetto della rifrazione atmosferica che ldquoalza le stellerdquo o
equivalentemente ldquoabbassa lrsquoorizzonterdquo di un angolo di 35rsquo Quindi in realtagrave Canopo si puograve
osservare anche a una latitudine leggermente piugrave settentrionale pari a 37deg20rsquo+0deg35rsquo=37deg55rsquo
circa]
3 Quale curva descrive lrsquoombra di uno stilo verticale posto al polo nord il 21 giugno
Qual egrave il rapporto fra la lunghezza l dellrsquoombra e lrsquoaltezza h dello stilo
Soluzione Il 21 giugno il Sole ha declinazione massima pari al valore dellrsquoobliquitagrave
dellrsquoeclittica quindi circa 23deg27rsquo Dal momento che al polo nord lrsquoorizzonte coincide
con lrsquoEquatore celeste e i paralleli celesti si trovano quindi su piani paralleli
allrsquoorizzonte la rotazione diurna non contribuiragrave a far tramontare il Sole che
descriveragrave una circonferenza nel cielo pertanto la curva descritta dallo stilo verticale
egrave una circonferenza Il rapporto lh egrave il reciproco della tangente dellrsquoaltezza del sole
pari a 23deg27rsquo 119897
ℎ=
1
11990511988611989923deg27prime=23
4 (PROBLEMA GARA INTERNAZIONALE 2002) I Cinesi nel 1100 aC avevano trovato
che lrsquoaltezza del Sole a mezzodigrave era 79deg7rsquo nel solstizio estivo e 31deg19rsquo in quello
Bignamino di astronomia
60
invernale A quale latitudine hanno fatto lrsquoosservazione e qual era allora lrsquoobliquitagrave
dellrsquoEclittica
Soluzione La media aritmetica dei valori delle due culminazioni del sole a mezzodigrave al
solstizio estivo ed invernale egrave pari allrsquoaltezza dellrsquoEquatore celeste Quindi
90deg minus 120593 =ℎ119890119904119905119886119905119890 + ℎ119894119899119907119890119903119899119900
2rarr 120593 = 90deg minus
ℎ119890119904119905119886119905119890 + ℎ1198941198991199071198901199031198991199002
= 34deg47prime
Lrsquoobliquitagrave dellrsquoeclittica egrave la differenza fra lrsquoaltezza massima del sole e lrsquoaltezza
dellrsquoEquatore celeste
휀 = ℎ119890119904119905119886119905119890 minus (90deg minus 120593) = 79deg7prime minus 90deg + 34deg47prime = 23deg54prime
[In generale lrsquoobliquitagrave dellrsquoeclittica varia da 21deg55rsquo a 24deg20rsquo con un periodo di circa 40000
anni]
bull I MOTI DELLA TERRA E LA MISURA DEL TEMPO
5 In quale istante di tempo siderale la stella Castore (α=7h 33m 31s δ=+31deg55rsquo35rdquo ) egrave
alla culminazione inferiore
Soluzione Alla culminazione inferiore la stella Castore ha un angolo orario pari a 12h
Il tempo siderale ossia lrsquoangolo orario del punto gamma egrave uguale alla somma di
angolo orario e ascensione retta di una generica stella in questo caso
TS=α+H=7h 33m 31s + 12h= 19h 33m 31s
6 Se in un dato giorno una stella passa al meridiano inferiore alle 21 a quale ora
(allrsquoincirca) vi passeragrave un mese dopo
Soluzione Lrsquoora a cui si riferisce il problema egrave per esempio quella indicata da un
normale orologio quindi egrave un tempo solare medio e non siderale Siccome nel corso
di un mese la stella non cambia la sua posizione rispetto al punto gamma se il
problema avesse chiesto lrsquoora siderale della successiva culminazione inferiore la
risposta sarebbe stata comunque ldquoalle 21rdquo siccome perograve il problema si riferisce a un
tempo solare medio dobbiamo tenere conto della differenza tra giorno solare e
giorno siderale questrsquoultimo egrave piugrave corto del primo di un valore pari a circa 4 minuti
(piugrave esattamente 3min 56s) Siccome un mese contiene mediamente 30 giorni la
stella anticiperagrave la sua culminazione di circa 4min30=120min=2h e quindi culmineragrave
allrsquoincirca alle 19
7 Una cittagrave A egrave posta alla longitudine 43deg12rsquo E di GW (Greenwich) Quando in A lrsquoorologio
segna le 20h35m siderali in unrsquoaltra cittagrave B lrsquoorologio segna le 23h12m siderali Qual
egrave la longitudine di B
Soluzione La differenza dei due tempi siderali che lrsquoorologio segna in A e in B egrave uguale
alla differenza delle longitudini dei due luoghi Quindi
Bignamino di astronomia
61
∆120582 = 120549119879119878 rarr 120582119861 minus 120582119860 = 119879119878119861 minus 119879119878119860 rarr 120582119861 = 119879119878119861 minus 119879119878119860 + 120582119860(119890119904119901119903119890119904119904119886 119894119899 119900119903119890)
= 23ℎ12119898 minus 20ℎ35119898 + 2ℎ53119898 = 5ℎ30119898
= (119905119903119886119904119891119900119903119898119900 119894119899 119892119903119886119889119894) = 82deg30prime
8 Quanto tempo egrave necessario affincheacute il punto gamma passi da un segno zodiacale a un
altro
Soluzione Il punto gamma non egrave fisso nel cielo bensigrave per via di uno dei moti millenari
della Terra il moto di precessione esso si sposta di circa 50rdquo allrsquoanno lungo lrsquoEclittica
Dal momento che i segni zodiacali sono dodici in media ognuno di essi occupa un
settore lungo lrsquoEclittica pari a 36012=30deg=108000rdquo Ne discende che il tempo
necessario affincheacute il punto gamma copra questa distanza angolare risulta pari a
t=(108000rdquo50rdquo)anni=2160 anni circa
9 La Terra impiega circa 23 ore e 56 minuti a compiere una rotazione completa attorno
al proprio asse Con quale velocitagrave tangenziale si muove un punto allrsquoequatore per
effetto del moto di rotazione della Terra Quanto vale lrsquoaccelerazione centripeta che
agisce su questo punto Quale forza centripeta agisce su un corpo di massa 13 kg
allrsquoequatore
Soluzione Il problema incentrato sul moto di rotazione terrestre (il moto dei punti
della Terra attorno allrsquoasse terrestre) egrave un semplice esercizio di cinematica
Conoscendo il periodo e la lunghezza della circonferenza equatoriale (poicheacute egrave noto
che il raggio della Terra ha un valore di 6378 km) egrave possibile determinare la velocitagrave
di rotazione allrsquoequatore il moto egrave circolare uniforme
119907 =2120587119877
119879=2120587120591 ∙ 6378119896119898
2393ℎ= 1674
119896119898
ℎ
Lrsquoaccelerazione centripeta vale
119886 =1199072
119877=(1674 divide 36)2
6378000= 339 ∙ 10minus3
119898
1199042
Per la seconda legge della dinamica la forza centripeta su un corpo di massa m allora
vale
119865 = 119898119886 = 13 ∙ 339 ∙ 10minus3 = 441 ∙ 10minus3119873
bull IL CIELO VISTO DALLA TERRA E LA LUNA
10 Due stelle equatoriali hanno parallassi 0rdquo022 e 0rdquo034 esse hanno AR 12h13m e
13h12m rispettivamente Quantrsquoegrave in parsec la loro reciproca distanza
Soluzione Lrsquoangolo fra la direzione con cui si proietta in cielo la prima stella e la
direzione della seconda stella egrave pari alla differenza delle ascensioni rette le stelle
sono infatti equatoriali cioegrave hanno declinazione nulla ΔAR=13h12m-
Bignamino di astronomia
62
12h13m=(trasformando in gradi)=14deg75 La loro distanza dallrsquoosservatore egrave in
parsec pari al reciproco della parallasse
d1=(1P1)=10022=455pc d2=(1P2)=10034=294pc
Il problema chiede in sostanza di calcolare un lato di un triangolo con vertici
nellrsquoosservatore e nelle due stelle (in particolare il lato con estremi nelle due stelle)
noti lrsquoangolo opposto a tale lato e gli altri due lati possiamo quindi usare il Teorema
di Carnot (o teorema del coseno)
119909 = radic11988912 + 1198892
2 minus 211988911198892 cos(∆119860119877) = 186 119901119888
11 Sapendo che il periodo siderale di rotazione del Sole allrsquoEquatore egrave di 25 giorni
trovare il periodo di rivoluzione sinodica cioegrave quello che appare visto dalla Terra
Soluzione Prendiamo un punto sullrsquoEquatore del Sole esso si muove con un periodo
siderale (cioegrave riferito a una stella lontana) pari come indicato dalla traccia a 25
giorni Il problema egrave del tutto analogo al calcolo del tempo sinodico di un pianeta
interno visto dalla Terra noti i periodi di entrambi i corpi 1
119878=
1
119879119904119900119897119890minus
1
119879119905119890119903119903119886rarr 119878 =
119879119905119890119903119903119886119879119904119900119897119890119879119905119890119903119903119886 minus 119879119904119900119897119890
=36525 ∙ 25
36525 minus 25119889 =
913125
34025119889 = 2684119889
12 A quale distanza da uno schermo deve essere posta una sfera di raggio R affincheacute
illuminata dal Sole non generi ombra ma solo penombra (il diametro apparente del
Sole sia 32rsquo)
Soluzione Concettualmente il problema egrave equivalente alla situazione di unrsquoeclisse
lrsquordquoosservatorerdquo egrave lo schermo mentre fra esso e il Sole si frappone un ostacolo Esso
intercettando i raggi solari genera dietro di seacute un cono drsquoombra e molto piugrave ampio
di questo una zona di penombra Il cono si restringe dalla parte opposta del Sole
rispetto alla sfera Se il vertice del cono si trova sullo schermo allora nessun punto
dello schermo si troveragrave in ombra percheacute il cono non interseca lo schermo In questa
configurazione lrsquoangolo sotto cui viene vista la sfera dallo schermo egrave di 32rsquo ovvero
053deg da cui si ha 119877
119889= tan (0532) e cioegrave d=[1 tan(0265)]R=2148 R circa la sfera
devrsquoessere posta a una distanza dallo schermo maggiore di 2148 volte circa il suo
raggio
13 Il 29 marzo 2006 si egrave verificata unrsquoeclisse totale di Sole visibile dallrsquoAfrica
settentrionale e dal Mediterraneo orientale Quale fase aveva la luna il 29 marzo 2007
cioegrave esattamente un anno dopo
Bignamino di astronomia
63
Soluzione Le eclissi di Sole si verificano quando la Luna si interpone fra il Sole e la
Terra oscurando una fascia sulla superficie del nostro pianeta con il suo cono
drsquoombra pertanto la Luna rivolge a noi in questrsquooccasione la sua faccia non
illuminata dal Sole e pertanto egrave nuova Conosciamo inoltre il periodo in cui si ripetono
le fasi lunari egrave il mese sinodico la cui durata egrave pari a 295306 giorni Lrsquointervallo
considerato (un anno in cui il 2007 non egrave bisestile) egrave pari a 365 giorni Siccome
365295306=1236 ossia 12 mesi lunari e 11 giorni se ne deduce che lrsquoetagrave della Luna
al 29 marzo 2007 era di 11 giorni quindi essa era in una fase intermedia tra primo
quarto e Luna piena
bull LA GRAVITArsquo
14 Lrsquoalieno Bzzapp ha appena comprato una navicella in grado di creare nuovi pianeti
nel suo girovagare un giorno incappa nel nostro Sistema Solare decide cosigrave di creare
con la sua astronave qualche nuovo pianeta Lrsquoamico Zorzzp gli dagrave prima una regola
dicendogli che questi pianeti devono trovarsi in una fascia compresa fra 2 UA e 7
UA in piugrave il loro periodo di rivoluzione devrsquoessere pari a un numero intero di anni
Qual egrave il numero massimo di pianeti che Bzzapp potragrave creare con la sua navicella
conformemente alla regola di Zorzzp
Soluzione Per la risoluzione del problema egrave necessaria la Terza legge di Keplero
considerando che ci troviamo nel nostro Sistema Solare e che quindi la costante di
proporzionalitagrave fra cubo del semiasse maggiore e quadrato del periodo di rivoluzione
per un generico corpo orbitante attorno al Sole quando esprimiamo il semiasse in
UA e il periodo in anni risulta pari a 1
1198791 = radic11988613 = 283 119910
1198792 = radic11988623 = 1852 119910
Come possiamo vedere i periodi ldquopossibilirdquo sono
34567891011121314151617 e 18 anni Bzzapp potragrave creare ben 16 pianeti
15 Disponendo come dati noti dei soli periodi di rivoluzione dei pianeti si indichi la
lunghezza minima che deve avere un foglio di carta per poter rappresentare in scala
il Sistema Solare fino a Nettuno nellrsquoipotesi di voler rappresentare Mercurio a una
distanza dal Sole di 1 cm
Soluzione Mercurio ha un periodo di rivoluzione pari a 0241 anni mentre Nettuno
16488 anni quindi per la Terza legge di Keplero 119886119872 = radic11987911987223= 0387119880119860 119890 119886119873 =
radic11987911987323= 30069 119880119860
Con una semplice proporzione ricaviamo la lunghezza del foglio di carta
119886119872 119886119873 = 1 119909 rarr 119909 =30069
0387119888119898 asymp 777 119888119898
Bignamino di astronomia
64
16 A quale distanza dalla superficie della Terra per unrsquoastronave che viaggia verso la
Luna si annulla la risultante delle forze gravitazionali che agiscono su di essa (il
rapporto massa della Terra massa della Luna egrave pari a 8125)
Soluzione La distanza Terra-Luna egrave pari a d=384400 km Quando lrsquoastronave si trova
fra il nostro pianeta e il suo satellite le due forze di natura gravitazionale che
agiscono su di essa sono la forza di attrazione della Terra e quella della Luna agenti
nella stessa direzione ma aventi verso opposto Chiamando x la distanza che separa
la navicella dal centro della Terra possiamo esprimere in funzione di x la distanza che
separa la navicella dalla Luna essendo essa pari a d-x Eguagliamo le due forze di
attrazione gravitazionale per trovare x 119866119872119879119898
1199092=
119866119872119871119898
(119889 minus 119909)2
Operando le dovute semplificazioni (G e la massa dellrsquoastronave) e dividendo
119909
119889 minus 119909= radic
119872119879
119872119871= radic8125 = 901
119909 =901119889
1001= 090 lowast 384400119896119898 = 346013119896119898
Il problema viene considerato parzialmente corretto se ci si ferma a questo punto
percheacute esso chiede la distanza dalla superficie terrestre mentre x egrave misurata dal
centro della Terra pertanto la soluzione corretta egrave D=x-R=(346013-
6378)km=339635km
17 Osservando la stella Canopo con un telescopio potentissimo lrsquoastronomo Qwzzz ha
scoperto due pianeti orbitanti attorno a essa le cui orbite sono esattamente
perpendicolari alla nostra linea di vista La distanza massima del primo pianeta da
Canopo egrave uguale a 47 volte la sua distanza minima e il suo periodo di rivoluzione egrave
pari a 27 anni Il secondo pianeta avente eccentricitagrave pari a 0324 al periapside egrave 3
volte piugrave lontano rispetto al primo (quando questrsquoultimo si trova nella corrispondente
posizione) Quanto vale lrsquoeccentricitagrave del primo pianeta e il periodo di rivoluzione del
secondo
Soluzione Chiamiamo 1 il primo pianeta e 2 il secondo
11988911988611198891199011
= 47 =1198861(1 + 1198901)
1198861(1 minus 1198901)rarr1 + 11989011 minus 1198901
= 47 rarr 1198901 = 0649
1198891199012
1198891199011=1198862(1 minus 1198902)
1198861(1 minus 1198901)= 3 rarr
11988621198861=(1 minus 1198901)1198891199012
1198891199011(1 minus 1198902)= 3 (
1 minus 0649
1 minus 0324) = 1558
Per la Terza legge di Keplero
11987922 = (
11988621198861)3
11987912 rarr 1198792 = 27 119910radic15583 = 524 119910
Bignamino di astronomia
65
bull TERZA LEGGE DI KEPLERO 1 Calcolare il semiasse maggiore dellrsquoorbita di Giove in kilometri sapendo che il suo periodo
di rivoluzione egrave 119879119866 = 37411 ∙ 106 119904
Soluzione
119879119866(119886119899119899119894) =119879119866(119904119890119888119900119899119889119894)
(119904119890119888119900119899119889119894 119894119899 119906119899 119886119899119899119900)=
37411 ∙ 106 119904
3600 ∙ 24 ∙ 365 ∙119904
119886119899119899119900
= 11863 119886119899119899119894
Impostando la terza legge di Keplero e imponendo che 119870 =1 1198861198991198991199002
1 1198801198603
1198792
1198863= 119870 =gt 119886119866(119880 119860 ) = radic[119879119866(119886119899119899119894)]2
3= radic(11863 119886119899119899119894)2
3= 52 119880 119860 =
= 77792 ∙ 106 119896119898
2 Calcolare il periodo di rivoluzione di Marte in giorni sapendo che il suo semiasse maggiore
misura 119886119872 = 2279 ∙ 109 119898
Soluzione
119886119872(119880 119860 ) =119886119872(119898)
1496 ∙ 109 ∙119898119880 119860
=2279 ∙ 109 119898
1496 ∙ 109 ∙119898119880 119860
= 152 119880 119860
Impostando la terza legge di Keplero e imponendo che 119870 =1 1198861198991198991199002
1 1198801198603
1198792
1198863= 119870 =gt 119879119872(119886119899119899119894) = radic[119886119872(119880 119860 )]3 = radic(152 119880 119860 )3 = 187 119886119899119899119894 = 684 119892119894119900119903119899119894
3 Approssimando lrsquoorbita di Venere a una circonferenza calcolare la velocitagrave media v del
pianeta intorno al Sole sapendo che il suo periodo di rivoluzione egrave 119879119881 = 1941 ∙ 106 119904
Soluzione
119879119881(119886119899119899119894) =119879119881(119904119890119888119900119899119889119894)
(119904119890119888119900119899119889119894 119894119899 119906119899 119886119899119899119900)=
1941 ∙ 106 119904
3600 ∙ 24 ∙ 365 ∙119904
119886119899119899119900
= 061 119886119899119899119894
Impostando la terza legge di Keplero e imponendo che 119870 =1 1198861198991198991199002
1 1198801198603
1198792
1198863= 119870 =gt 119886119881(119880 119860 ) = radic[119879119881(119886119899119899119894)]2
3= radic(061 119886119899119899119894)2
3= 072 119880 119860 = 1076 ∙ 106 119896119898
119907 =2120587119886119881119879119881
=2120587 ∙ 1076 ∙ 106 119896119898
1941 ∙ 106 119904= 3483
119896119898
119904
Bignamino di astronomia
66
Risoluzione del sistema per il calcolo delle velocitagrave su orbite non circolari
119907119886119889119886 = 1199071199011198891199011
2119898119907119886
2 minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
1198891198861
2119898119907119886
2 minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
11988911988612119898119907119901
21198891199012
1198891198862
minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886121199071199012119889119901
2
1198891198862
minus1
21199071199012 =
119866119872
119889119886minus119866119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
1198891198861
21199071199012 (1198891199012
1198891198862minus 1) = 119866119872(
1
119889119886minus1
119889119901)
119907119886 =
119907119901119889119901
1198891198861
21199071199012 (1198891199012 minus 119889119886
2
1198891198862
) = 119866119872(119889119901 minus 119889119886
119889119886119889119901)
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886
1199071199012 = 2119866119872 (
119889119901 minus 119889119886
119889119886119889119901)(
1198891198862
1198891199012 minus 119889119886
2)
Bignamino di astronomia
67
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886
1199071199012 = 2119866119872 (
119889119901 minus 119889119886
119889119886119889119901) [
1198891198862
(119889119901 + 119889119886)(119889119901 minus 119889119886)]
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886
119959119953 = radic120784119918119924119941119938
119941119953(119941119953 + 119941119938)
Sostituendo la formula appena trovata nella prima equazione si ottiene
119959119938 = radic120784119918119924119941119953
119941119938(119941119953 + 119941119938)
Possiamo scrivere le due velocitagrave anche in funzione (cioegrave in dipendenza) del semiasse maggiore e
dellrsquoeccentricitagrave dellrsquoorbita Se chiamiamo il semiasse maggiore dellrsquoorbita ellittica a valgono le
seguenti relazioni
119889119886 = 119886(1 + 119890) 119889119901 = 119886(1 minus 119890)
Quindi
119907119901 = radic2119866119872119886(1 + 119890)
119886(1 minus 119890)[119886(1 minus 119890) + 119886(1 + 119890)]= radic2119866119872
1 + 119890
(1 minus 119890)[119886(1 minus 119890 + 1 + 119890)]
= radic2119866119872
2119886(1 + 119890
1 minus 119890) = radic
119918119924
119938(120783 + 119942
120783 minus 119942)
Sostituendo anche nel caso di 119881119886
119907119886 = radic119918119924
119938(120783 minus 119942
120783 + 119942)
Si ricorda inoltre che
119938 =119941119938 + 119941119953
120784 119942 =
119941119938 minus 119941119953
119941119938 + 119941119953
Bignamino di astronomia
68
ESERCIZIO
Un pianeta sta cadendo sulla sua stella seguendo una traiettoria rettilinea se si conosce
lrsquoaltezza di caduta h si determini il tempo di caduta t
Per risolvere questo problema si potrebbe erroneamente pensare di applicare le leggi del moto
rettilineo uniformemente accelerato (come nel caso di una penna che cade dalla scrivania)
Consideriamo perograve un corpo (di massa m) che si trova a una certa altezza dal suolo la sua forza peso
equivale alla forza di attrazione gravitazionale tra il corpo e il pianeta (di raggio R e massa M) su cui
si trova
119898119892 =119898119872119866
(119877 + ℎ)2 119888119894119900egrave 119892 =
119866119872
(119877 + ℎ)2
Come possiamo vedere lrsquoaccelerazione di gravitagrave g non si mantiene costante al variare dellrsquoaltezza
ma varia noi la assumiamo costante al suolo e pari a circa 981 ms^2 solo percheacute in quel caso Δhasymp0
Quindi non possiamo applicare le leggi del moto rettilineo uniformemente accelerato a questo
problema Come risolverlo allora
Allrsquoinizio di questi appunti abbiamo evidenziato che lrsquoeccentricitagrave di unrsquoellisse indica quanto lrsquoellisse
egrave ldquoschiacciatardquo se dunque lrsquoeccentricitagrave tende a 1 la traiettoria tende a un segmento
Quindi possiamo assumere che il pianeta cada seguendo unrsquoorbita ellittica con eccentricitagrave prossima
a 1 e dunque semiasse maggiore a pari a h2 (vedi figura)
Se conosciamo la massa M della stella possiamo applicare la III legge di Keplero generalizzata
1198792
1198863=41205872
119866119872 rarr 119879 = radic
41205872
1198661198721198863 rarr 119879 = radic
41205872
119866119872(ℎ
2)3
rarr 119879 = radic1205872
2119866119872ℎ3
Naturalmente questo egrave il periodo completo dellrsquoorbita Il periodo di caduta egrave la metagrave
119905 =119879
2
a a
h
Bignamino di astronomia
69
Problemi 1 Coordinate celesti e tempo
Ci troviamo in un luogo di latitudine 120593 = 42deg 30prime15primeprime 119873 e longitudine 120582 = 15deg 28prime18primeprime119864
Osserviamo una stella di ascensione retta 5h 32 min 3 sec e declinazione -00deg 15rsquo 20rdquo che
passa al meridiano alle 2030 del 14012020 A quale altezza culminava Quale era la sua
distanza zenitale In quale data dallo stesso luogo e allo stesso orario si egrave potuto vederla
sorgere ad est
Soluzione
Lrsquoaltezza massima di una stella (quando culmina) egrave data dalla relazione
ℎ = 90deg minus 120593 + 120575
Quindi
ℎ = 90deg minus 42deg30prime15 minus 0deg 15 20= 47deg 14 25
La distanza zenitale egrave invece data da 119911 = 90deg minus 120593 = 90deg minus 47deg 14prime25primeprime = 42deg 45prime35primeprime
Un dato importante per poter rispondere alla terza richiesta egrave sapere che le stelle
ldquoanticipanordquo il loro sorgere di 3 119898119894119899 56 119904119890119888119892119894119900119903119899119900
Quindi per sapere quanti giorni prima la stella sorgeva ad est (m)
119898 =120572
Δ119905=
(5ℎ32min3sec)
3119898119894119899 56sec119892119894119900119903119899119900= 84 119892119894119900119903119899119894
84 giorni prima del 14012020 era il 21102019
2 Coordinate e tempo
Il tempo siderale di un luogo (120593 = 28deg 30prime45primeprime119878 120582 = 90deg 23prime50primeprime119882 ) egrave di 9h 3min 45sec
Quale egrave il tempo siderale di GW
Soluzione Il primo passaggio da fare egrave trasformare la longitudine del luogo da gradi in ore
Quindi
15deg 1ℎ = 90deg 23prime50primeprime 120582
120582 = 90deg 23prime50primeprime ∙1ℎ
15deg = 6ℎ 1min3533119904119890119888
Il tempo siderale del luogo egrave legato a quello di GW dalla seguente relazione
119879119904 = 119879119866119908 + 120582
Quindi 119879119866119908 = 119879119904 minus 120582 = 9ℎ3min 45119904119890119888 minus (minus 6ℎ1min 3533sec ) = 9ℎ3min 45119904119890119888 +
6ℎ1min 3533sec = 15ℎ 5min 20119904119890119888
Bignamino di astronomia
70
PROBLEMI E QUESITI SULLA MISURA DEL TEMPO
Problema 1 In un dato luogo a che ora di tempo siderale culmina il Sole medio in un dato giorno
sapendo che sedici giorni prima esso culminava alle 15h 12m 48s di tempo siderale
Se ci troviamo a Belo Horizonte (longitudine λ=43deg56rsquo16rdquo W) al mezzogiorno vero e lrsquoequazione del
tempo per quel giorno egrave pari a ET=-8m7s che ora segna lrsquoorologio dellrsquoosservatore
Soluzione problema 1 La prima richiesta del problema si risolve tenendo conto che giorno solare
medio e giorno siderale hanno diversa durata infatti il giorno siderale egrave piugrave corto del giorno solare
medio di circa 3m56s Pertanto se in un dato giorno il punto gamma e il Sole medio hanno raggiunto
la culminazione nel medesimo istante il giorno successivo il Sole medio culmineragrave 3m56s dopo il
punto gamma Quindi il Sole accumuleragrave un ritardo pari a 163m56s=1h2m56s che andragrave sommato
allrsquoora siderale data dal problema TS=15h 12m 48s + 1h 2m 56s= 16h 15m 44s
Se a Belo Horizonte egrave mezzogiorno vero vuol dire che sono le 12h di tempo solare vero Lrsquoequazione
del tempo egrave la differenza fra tempo solare medio e tempo solare vero quindi
TSM-TSV=ET TSM=TSV+ET=12h ndash 8m 7s= 11h 51m 53s lrsquoorologio dellrsquoosservatore egrave perograve in
accordo col tempo del meridiano centrale del fuso di Belo Horizonte che ha longitudine 3h W
mentre Belo Horizonte ha longitudine 2h 55m 45s W essa egrave quindi piugrave avanti di 3h-2h 55m 45s=4m
15s lrsquoorologio segneragrave quindi le ore 11h 51m 53s ndash 4m 15s= 11h 47m 38s
Problema 2 A Bergamo (λ= 9deg 40rsquo 12rdquo E) i raggi del Sole in un dato momento si proiettano
esattamente sulla linea della meridiana di Cittagrave Alta In quel dato giorno lrsquoequazione del tempo egrave
+5m 12s se il tempo siderale a mezzanotte di quel giorno a Greenwich risultava pari a 3h 21m 20s
qual egrave il tempo siderale a Greenwich nellrsquoistante del problema
Soluzione problema 2 La longitudine di Bergamo espressa in ore minuti e secondi egrave 38m 41s E Se
il disco luminoso si proietta sulla linea meridiana egrave mezzogiorno vero quindi il tempo solare medio
saragrave pari a TSM= TSV + ET= 12h + 5m 12s= 12h 5m 12s Greenwich si trova 38m 41s a ovest di
Bergamo quindi egrave anche 38m 41s indietro a Greenwich sono quindi le 12h 5m 12s ndash 38m 41s= 11h
26m 31s Sono passate quindi 11h 26m 31s dalla mezzanotte per convertire questo tempo medio
in tempo siderale moltiplichiamo per il fattore di conversione 3662536525
ΔTS (Greenwich)= (3662536525)(114419444 h)= 114732394h = 11h 28m 24s Quindi a
Greenwich sono le 3h 21m 20s + 11h 28m 24s= 14h 49m 44s di tempo siderale
Quesito Si valuti argomentando opportunamente come varia lrsquoEquazione del Tempo nel corso
dellrsquoanno solare se in un piano cartesiano in ascissa indichiamo lrsquoET e in ordinata la declinazione del
Sole che curva si ottiene
Risposta Lrsquoequazione del tempo si annulla quattro volte lrsquoanno a metagrave aprile a metagrave giugno verso
Natale e ai primi di settembre il sole medio e il sole vero culminano contemporaneamente (1) Da
Natale a metagrave aprile il sole medio anticipa il sole vero (2) da metagrave aprile a metagrave giugno il sole vero
anticipa il sole medio da metagrave giugno a inizio settembre come (1) e da inizio settembre a Natale
come (2) Oltre a ldquooscillare in orizzontalerdquo in un anno il sole ldquooscilla in verticalerdquo nel senso che
Bignamino di astronomia
71
assume declinazioni da 23deg27rsquo a -23deg27rsquo La curva che si ottiene egrave quindi una sorta di ldquo8rdquo chiamata
analemma essa egrave anche la curva che egrave formata dalle posizioni in cielo del sole vero registrate a
mezzogiorno medio locale ogni giorno dellrsquoanno
Figura 1 Analemma decET
Figura 2 Analemma visualizzato nel cielo di Atene
Problema 3 Una stella di ascensione retta AR=11h 12m 13s culmina in un dato luogo della Terra alle
ore 13h 04m 02s di tempo medio Considerando che a Greenwich culmina una stella con ascensione
retta 8h 11m 58s dire che orario segna lrsquoorologio dellrsquoosservatore in quel dato luogo della Terra
Soluzione Il tempo siderale in un dato luogo egrave uguale allrsquoascensione retta delle stelle che si trovano
a culminare al meridiano superiore Quindi in questo luogo della Terra il tempo siderale egrave pari a 11h
12m 13s a Greenwich il tempo siderale egrave pari a 8h 11m 58s Notiamo come il luogo dove si trova
lrsquoosservatore ha longitudine est infatti egrave piugrave avanti di Greenwich di circa 3 ore quindi egrave piugrave a Est di
Greenwich La differenza fra lrsquoora siderale dellrsquoosservatore e quella a Greenwich dagrave la longitudine
del luogo (differenza fra longitudine del luogo e longitudine di Greenwich che egrave 0 percheacute il suo
meridiano egrave origine delle longitudini)
λ= TSrsquo-TS(GW)= 11h 12m 13s ndash 8h 11m 58s= 3h 0m 15s E Questo luogo segue il meridiano che ha
longitudine 3h E quindi egrave in anticipo rispetto a esso di appena 15s pertanto il suo orologio segneragrave
le ore 13h 04m 02s ndash 15s= 13h 03m 47s
Bignamino di astronomia
72
bull STELLE E MAGNITUDINI SISTEMI STELLARI ESTESI
1 Pochi giorni fa si egrave registrato un nuovo oggetto che si comporta apparentemente
come una binaria a eclisse Tuttavia il periodo non egrave stabile la magnitudine
dellrsquooggetto egrave in genere pari a 2432 ma ogni 7-11 secondi sale a 2452 per 02-03
secondi Dopo unrsquoaccurata analisi del problema si egrave capito che lrsquooggetto splendente egrave
costituito dagli occhi di un gruppo di gatti assolutamente neri seduti su un piccolo
corpo del sistema solare nero e con gli sguardi rivolti verso il sole Uno dei gatti batte
ogni tanto le palpebre Quanti gatti ci sono
Soluzione Sia N il numero di occhi la cui determinazione egrave richiesta dal problema
Quando il gatto nero del problema chiude gli occhi il numero di occhi che
contribuisce alla magnitudine complessiva scende di due unitagrave (N-2) Se
consideriamo che gli occhi dei gatti sono tutti gli stessi ciascuno di essi ci invia un
flusso pari a F Avendo entrambe le magnitudini corrispondenti alla situazione ldquotutti
gli N occhi apertirdquo (2432) e ldquoN-2 occhi apertirdquo (2452) possiamo scrivere la formula
di Pogson tenendo conto dei flussi complessivi
119898119898119894119899 minus119898119898119886119909 = minus25119897119900119892 [119865 lowast (119873 minus 2)
119865 lowast 119873]
119873 minus 2
119873= 10
119898119898119886119909minus11989811989811989411989925 = 10minus008 = 0832 rarr 119873 =
2
0168asymp 12 119900119888119888ℎ119894 ossia 6 119892119886119905119905119894
2 La galassia di Andromeda ha una magnitudine apparente integrata mv = 440 e appare in cielo come unrsquoellisse i cui semiassi hanno dimensioni angolari di circa 190 arcmin e 60 arcmin Sapendo che la sua distanza egrave di circa 254 milioni di anni luce calcolare la magnitudine assoluta e la magnitudine apparente superficiale media della galassia (Gara Interregionale Categoria Senior 2018)
Soluzione La distanza della galassia di Andromeda in pc egrave 119889(119901119888) =254 10^63262= 77810^3 119901119888 La magnitudine assoluta egrave data dalla relazione 119872119907 = 119898119907 + 5 minus 5 log 119889(119901119888) = -201 Per calcolare la magnitudine apparente superficiale dobbiamo calcolare lrsquoarea apparente della galassia A = π a b = 120587 190 ∙ 60 = 358 ∙ 103 1198861199031198881198981198941198992 cong 129 ∙ 106 119886119903119888119904119890119888^2 La magnitudine apparente superficiale (msup) si ottiene dalla relazione 119898119904119906119901 = 119898119907 +25 log 119860 cong 158119898119886119892119886119903119888119898119894119899^2 cong 247119898119886119892119886119903119888119904119890119888^2 3 Si consideri una stella variabile ldquopulsanterdquo la cui magnitudine assoluta varia
nellrsquointervallo M1= 325 e M2= 226 con una temperatura effettiva che al massimo di luminositagrave egrave T2= 5500 K e al minimo di luminositagrave egrave T1 = 5000 K Calcolare quanto varia il raggio della stella tra il minimo e il massimo di luminositagrave Esprimere il
Bignamino di astronomia
73
risultato come rapporto tra raggio massimo e raggio minimo e come differenza tra i due raggi in km (Gara Interregionale Categoria Senior 2017)
Soluzione La luminositagrave di una stella egrave definita dalla relazione 119871=4 120587 119877^2 120590 119879^4 Per ricavare il rapporto tra i raggi al massimo e minimo di luminositagrave utilizziamo la formula di Pogson 1198722minus 1198721= minus 25log(11987121198711)=minus 25log[4120587(1198772)^2 120590 (1198792)^4][4120587(1198771)^2 120590 (1198791)^4]= -
25log[(11987721198771)^2 (11987921198791)^4] e quindi 0396 = log[(11987721198771)^2 (11987921198791)^4] =119897119900119892 [(11987721198771)^2 1464] da cui 0396=2log(11987721198771)+log1464 ovvero 0115= 119897119900119892 (11987721198771) e infine (119929120784119929120783)=120783120785120782 Per ottenere la differenza in km calcoliamo il raggio della stella al massimo di luminositagrave confrontando i suoi dati con una stella di caratteristiche note il Sole Avremo quindi 1198722minus 119872s=minus 25log[(1198772119877s)^2 (1198792119879s)^4] e quindi 103 = 2 log R2 ndash 2 log Rs + 4 log 09519
da cui si ricava 1198772=2513 ∙ 10^3 119896119898cong361 119877s e 1198771=1933 ∙ 10^3 119896119898cong278 119877s la variazione del raggio in km vale quindi ΔR = 580 ∙ 103 km
4 La supergigante rossa Betelgeuse ha una magnitudine apparente m1=+042 e
una parallasse π1=0005rdquo mentre la supergigante blu Rigel ha una magnitudine
apparente m2=+013 e una parallasse π2=0004rdquo Quale delle due stelle egrave
intrinsecamente piugrave luminosa Qual egrave la piugrave lontana (Gara interregionale Categoria Senior 2015) Soluzione Affincheacute si possa determinare quale delle due stelle sia piugrave luminosa intrinsecamente egrave necessario ricorrere al calcolo delle magnitudini assolute delle due stelle possiamo calcolare la magnitudine assoluta di una stella conoscendo la magnitudine apparente della stessa e la sua parallasse tramite la relazione
119872 = 119898 + 5 + 5119897119900119892120587 119900119907119890 119897119886 119901119886119903119886119897119897119886119904119904119890 egrave 119890119904119901119903119890119904119904119886 119894119899 119886119903119888119900119904119890119888119900119899119889119894 Nel caso nostro
1198721 = 1198981 + 5 + 51198971199001198921205871 = +042 + 5 + 51198971199001198920005 = minus608 (119861119890119905119890119897119892119890119906119904119890)
1198722 = 1198982 + 5 + 51198971199001198921205872 = +013 + 5 + 51198971199001198920004 = minus687 (119877119894119892119890119897)
Essendo la magnitudine assoluta di Rigel minore di quella di Betelgeuse allora Rigel egrave intrinsecamente piugrave luminosa di Betelgeuse Possiamo giagrave da questo risultato comprendere quale stella sia piugrave distante delle due infatti Rigel egrave sia apparentemente sia assolutamente piugrave luminosa di Betelgeuse quindi egrave necessario che essa sia piugrave distante di Betelgeuse affincheacute ciograve si verifichi A riprova di ciograve la parallasse di Rigel egrave minore di quella di Betelgeuse essendo essa piugrave lontana La distanza di Rigel in parsec egrave 1π2=250 pc mentre quella di Betelgeuse egrave 1π1=200 pc
da cui d2gtd1
Bignamino di astronomia
74
bull COSMOLOGIA ELEMENTARE
5 Un team di scienziati osserva una nuova galassia e ne analizza lo spettro la riga H-alfa
dellrsquoidrogeno che ha in laboratorio una lunghezza drsquoonda pari a 656281 Aring ha nello spettro della galassia una lunghezza drsquoonda di 656933 Aring Si determini la distanza della galassia Soluzione per prima cosa calcoliamo il redshift della galassia
119911 =∆120582
120582=120582119900119904119904 minus 120582119897119886119887
120582119897119886119887=656933 minus 656281
656281= 9935 lowast 10minus4
Applichiamo la legge di Hubble-Lemaitre
119888119911 = 1198670119889 rarr 119889 =119888119911
1198670= 299792458
119896119898
119904lowast 9935 lowast
10minus4
719= 414 119872119901119888
6 Osservando lrsquoesplosione di una supernova in una lontana galassia due scienziati notano che la riga H-beta dellrsquoidrogeno osservata nello spettro ha esattamente la stessa lunghezza drsquoonda della riga H-alfa osservata in laboratorio Tuttavia i due scienziati usano valori diversi per la costante di Hubble Usando valori che differiscono di ΔH=H2-H1=14 kmsMpc ottengono valori diversi per la magnitudine assoluta della supernova al massimo M1=-1902 e M2=-1864 Trovare quanto valgono per ciascuno dei due scienziati il redshift e la distanza della galassia (XXIII International Astronomy Olympiad ndash Colombo Sri Lanka Theoretical Round Group β Exercise 1) Soluzione Il redshift misurato dai due scienziati egrave lo stesso per entrambi esso infatti dipende dalle lunghezze drsquoonda osservate che secondo quanto affermato nella traccia sono le stesse per entrambi gli scienziati La lunghezza drsquoonda della riga H-alfa egrave pari a 6563 Aring mentre la lunghezza drsquoonda della riga H-beta egrave pari a 4861 Aring Il redshift per definizione egrave dunque pari a
119911 =120582119867minus119886119897119891119886minus120582119867minus119887119890119905119886
120582119867minus119887119890119905119886= 035
Conoscendo la relazione nota come ldquomodulo di distanzardquo (relazione fra mag Apparente e mag Assoluta) possiamo scrivere
1198721 = 1198981 + 5 minus 51198971199001198921198891 1198722 = 1198982 + 5 minus 51198971199001198921198892
Ma le due magnitudini apparenti dellrsquooggetto debbono necessariamente coincidere dal momento che esse sono dati puramente osservativi (non derivano cioegrave da elaborazioni di dati precedenti) possiamo quindi sottrarre membro a membro le due relazioni precedenti semplificando le due magnitudini apparenti
1198721 minus1198722 = 5119897119900119892 (11988921198891) rarr
11988921198891= 10
1198721minus11987225 = 0839
Possiamo scrivere il seguente sistema
1198892 = 08391198891H2 minus H1 = 14
119888119911
1198672= 0839
119888119911
1198671H2 minus H1 = 14
1198672 = 11911986711198672 minus 1198671 = 14
1198671 =
7368119896119898119904
119872119901119888
1198672 =8768
119896119898119904
119872119901119888
Bignamino di astronomia
75
Da cui finalmente d1=czH1=2997924580357668=13684 Mpc dz=czH2=2997924580538768=11967 Mpc
bull MISCELLANEA
1 Una galassia egrave composta da stelle tutte simili al nostro Sole Essa mostra uno
spostamento verso il rosso della riga Hα (λ=656281 Aring) di ampiezza pari a Δλ= 15 Aring
Essa risulta inclinata rispetto alla perpendicolare alla linea di vista di un angolo di 30deg
e si sa che il suo raggio egrave pari a 37000 anni luce Nel cielo appare come un oggetto di
magnitudine superficiale msup= 2478 magarcsec2
Quanto vale la massa della galassia
Soluzione Ci viene fornita dalla traccia la magnitudine superficiale della galassia vista
dalla Terra essa indica la magnitudine di una ldquoporzionerdquo della galassia di superficie
pari a 1 arcsec2 Di conseguenza la magnitudine complessiva della galassia devrsquoessere
legata alla sua superficie angolare allora dobbiamo conoscere le dimensioni angolari
della galassia abbiamo le dimensioni angolari quindi dobbiamo ricavare la distanza
della galassia
Calcoliamo per prima cosa il redshift z
119911 =∆120582
120582=
15
656281= 229 ∙ 10minus4
Con la legge di Hubble-Lemaitre ricaviamo la distanza
119888119911 = 1198670119889 119889 =119888119911
119867119900=300 ∙ 105 ∙ 229 ∙ 10minus4
719119872119901119888 = 0954 119872119901119888
= 311 ∙ 106119886119899119899119894 119897119906119888119890
Adesso possiamo determinare le dimensioni apparenti della galassia percheacute ne
conosciamo la distanza nel cielo essa ci appare come unrsquoellisse il cui semiasse
maggiore vale
119886 = arctan (119877
119889) = arctan (
37000
311 ∙ 106) = 0682deg = 24538 119886119903119888119904119890119888
Essendo il coseno di 30deg uguale a radic3
2 il semiasse minore varragrave
119887 = arctan(119877radic3
2119889) = arctan (
37000 ∙ 173
2 ∙ 311 ∙ 106) = 0590deg = 21226 119886119903119888119904119890119888
Calcoliamo la superficie di questa ellisse
119878 = 120587119886119887 = 120587 ∙ 24538 ∙ 21226 arcsec2 = 163 ∙ 107 arcsec2
Bignamino di astronomia
76
A questo punto ricaviamo la magnitudine integrata apparente
m=msup-25log(119878) 119898 = 2478 minus 25 log(163 ∙ 107) = 675
Abbiamo la distanza troviamo la magnitudine assoluta
M=m+5-5logd=675+5-5log(0954 106)=-1815
A questo punto troviamo il numero di ldquosolirdquo contenuti nella galassia grazie alla
relazione che ci permette di ricavare la magnitudine integrata di un oggetto (nel caso
sia composto da componenti uguali)
119872 = minus25 log(119873 lowast 10minus04119872119904) 119873 = 10minus04(119872minus119872119878) = 10minus04(minus1815minus483)
= 156 ∙ 109119904119905119890119897119897119890 119888119900119898119890 119894119897 119904119900119897119890
Possiamo finalmente trovare la massa della galassia
119872119892 = 156 ∙ 109 ∙ 199 ∙ 1030119896119892 = 310 ∙ 1039119896119892
2 Una stella di raggio R=705000 km presenta un picco drsquoemissione alla lunghezza
drsquoonda di 542 nm Se essa egrave costituita interamente da idrogeno si determini quanti
atomi di idrogeno hanno reagito in un secondo nel nucleo della stella nella reazione
di fusione termonucleare che produce elio
Soluzione Dobbiamo innanzitutto determinare la luminositagrave della stella che dipende
dal quadrato del raggio e dalla quarta potenza della temperatura disponiamo del
raggio ma dobbiamo ricavare la temperatura notiamo come il problema fornisca la
lunghezza drsquoonda del picco drsquoemissione che egrave inversamente proporzionale alla
temperatura efficace secondo la Legge di Wien
120582 ∙ 119879119890119891119891 = 2898 119898119898 119870 119879119890119891119891 =2898 119898119898 119870
542 ∙10minus6119898119898= 5347 119870
Adesso possiamo determinare la luminositagrave della stella (Legge di Stefan-Boltzmann)
119871 = 41205871198772120590(119879119890119891119891)4= 4120587 (705 ∙ 108)2 567 ∙ 10minus8 (5347)4 119882 = 289 ∙ 1026119882
Questa egrave lrsquoenergia che la stella irradia in un secondo ma da dove deriva Nel nucleo
quattro protoni si fondono per formare un nucleo di elio il nucleo di elio che si forma
perograve non ha la stessa massa dei quattro protoni bensigrave ha una massa lievemente
minore La massa mancante (il difetto di massa) si egrave trasformata in energia secondo
la famosa relazione di Einstein
119864 = 1198981198882
Se E=L m saragrave uguale al difetto di massa complessivo per unitagrave di tempo
119898 =119871
1198882=289 ∙ 1026119882
9 ∙ 10161198982
1199042 = 321 ∙
109119896119892
119904
Essendo la massa di un nucleo di elio-4 pari a 6645 10-27kg mentre la massa del
protone pari a 167310-27kg si ha che la massa di 4 protoni egrave 669210-27kg e quindi
il difetto di massa per ogni reazione egrave Δm= 004710-27 kg Dividendo questo valore
Bignamino di astronomia
77
per quello trovato sopra otteniamo il numero di reazioni che avvengono in un
secondo nel nucleo della stella
119873 =119898
∆119898=
321 ∙ 109
0047 ∙ 10minus27119903119890119886119911 = 683 ∙ 1037119903119890119886119911
A ogni reazione corrispondono quattro atomi di idrogeno quindi per trovare la
soluzione ci basta moltiplicare questo valore per 4
119873119905119900119905 = 4119873 = 273 ∙ 1038119886119905119900119898119894()
3 Che dimensioni dovrebbe avere una sfera metallica perfettamente riflettente per
essere visibile come un astro da Terra ad occhio nudo quando essa si trova in
opposizione al Sole (Questa sfera egrave posta in orbita circolare attorno alla Terra con
un periodo T=2766 ore)
Soluzione Innanzitutto ci serve conoscere il raggio orbitale della sfera perciograve
applichiamo la Terza Legge di Keplero generalizzata
1198792
1198863=41205872
119866119872 119886 = radic
1198661198721198792
41205872
3
= radic667 ∙ 10minus11 ∙ 597 ∙ 1024 ∙ 992 ∙ 107
4(314)23
= 10005119896119898
Sia Fs il flusso solare esso investe la sfera e la quantitagrave di energia intercettata in un
secondo (Lint) egrave direttamente proporzionale alla sezione della sfera
119871119894119899119905 = 119865119904 ∙ 1205871198772
La luce viene interamente riflessa quindi
119871119903119894119891 = 119871119894119899119905 = 119865119904 ∙ 1205871198772
Questa luminositagrave viene riflessa in tutte le direzioni quindi tutti i punti che si trovano
alla medesima distanza dalla sfera riceveranno lo stesso flusso pari a
119865 =119865119904 ∙ 120587119877
2
41205871198892=119865119904 ∙ 119877
2
41198892
In particolare per una localitagrave posta sulla Terra
119865 =119865119904 ∙ 119877
2
4(119886 minus 119877119879)2=
119865119904 ∙ 1198772
4(107 minus 6378 ∙ 106)2= 1906 ∙ 10minus14119865119904 119877
2
Applichiamo la formula di Pogson comparando la sfera col Sole e tenendo presente
che la magnitudine della sfera devrsquoessere uguale a 6 (lrsquooggetto egrave appena visibile ad
occhio nudo)
119898minus119898119904 = minus25 log (119865
119865119904) rarr 6 + 2674 = minus25 log(1906 ∙ 10minus141198772)
1906 ∙ 10minus141198772 = 10minus131 rarr 119877 = radic10minus131
1906 ∙ 10minus14119898 = 204 119898
Pertanto la sfera deve avere un diametro di 408 metri
Bignamino di astronomia
78
[NB Nello svolgimento del problema si egrave usato lo stesso valore del flusso solare per la Terra e per la
sfera in realtagrave ciograve egrave unrsquoapprossimazione percheacute le distanze Terra-Sole e Sole-sfera sono diverse
Essendo perograve il semiasse dellrsquoorbita della sfera trascurabile rispetto al semiasse della Terra allora i due
flussi sono assai simili]
4 Egrave stato osservato un quasar doppio che si trova a grandissima distanza dalla Terra La
particolaritagrave di questo quasar egrave il moto di allontanamento delle due componenti Q1
e Q2 In particolare Q1 si allontana da Q2 spostandosi come riportato in figura dal
punto A al punto B con velocitagrave relativistica ldquovrdquo pari al 75 della velocitagrave della luce
Calcolare lrsquointervallo di tempo Δt impiegato dal componente Q1 a raggiungere il
punto B e il corrispondente intervallo di tempo Δtrsquo misurato dagli astronomi sulla
Terra (che giace sullo stesso piano della figura) Sulla base del risultato ottenuto di
fronte a quale sconvolgente conclusione si sono trovati gli astronomi prima di
riuscire a spiegare correttamente il fenomeno (Dalla Finale Nazionale 2015
Categoria Junior)
Soluzione Il tratto AB egrave lrsquoipotenusa del triangolo rettangolo ABArsquo (vedi figura) quindi
esso vale (Teorema di Pitagora)
119860119861 = radic119860119860prime2 + 119860prime1198612 = radic9 + 16 = 5119886 119897
Esso viene quindi percorso nel tempo ∆119905 =119860119861
119907=
5119886119897
075119888= 667 119886119899119899119894 Notiamo come non ci
sia bisogno di conoscere il valore della velocitagrave della luce percheacute le distanze sono espresse
in anni luce
Adesso analizziamo il fenomeno come viene visto dalla Terra Quando Q1 si trova in A la luce
da esso emessa impiega per giungere in Arsquo un tempo pari a 4119886119897
119888= 4 119886119899119899119894 Nel frattempo
Q1 si sposta e per arrivare in B impiega 667 anni La luce che emette in B non deve piugrave
attraversare una distanza di 4 al quindi i due segnali luminosi arrivano a una ldquodistanzardquo
temporale ∆119905prime = (667 minus 4)119886119899119899119894 = 267 119886119899119899119894
Il risultato sconvolgente egrave che siccome agli astronomi da Terra egrave sembrato che Q1 si
spostasse lungo ArsquoB la sua velocitagrave misurata da Terra risulta pari a
119907 =119860prime119861
267119886119899119899119894=
3119886 119897
267119886119899119899119894= 1125119888
Bignamino di astronomia
79
Apparentemente il quasar si egrave spostato con una velocitagrave superiore a quella della luce Non egrave
infatti raro osservare dei moti superluminali (cioegrave con velocitagrave superiore a quella della luce)
in oggetti che si muovono con velocitagrave relativistiche questa velocitagrave egrave tuttavia sempre
apparente
5 Se una stella presenta un redshift z pari a 555 10-5 quale saragrave il verso e il valore della
sua velocitagrave radiale
Soluzione il redshift egrave positivo quindi la stella si allontana da noi La velocitagrave radiale
della stella egrave data da
119907 = 119888119911 = 3 ∙ 105 ∙ 555 ∙ 105 = 167119896119898
119904
6 La lunghezza drsquoonda λrsquo di una delle righe piugrave evidenti della luce emessa dalle galassie
di una costellazione egrave 1020 volte piugrave grande della corrispondente lunghezza drsquoonda
λ di riferimento Calcolare la velocitagrave con cui lrsquoammasso si sta allontanando dalla Terra
e stimare la sua distanza
Soluzione il redshift egrave119911 =∆120582
120582=
(1020minus1)120582
120582= 0020
Pertanto 119907 = 0020119888 = 6000119896119898
119904 119890 (119897119890119892119892119890 119889119894 119867119906119887119887119897119890 minus 119871119890119898119886119894119905119903119890)
119889 =119907
119867= 6000719=834 Mpc
7 In una galassia tutti gli ammassi globulari hanno un diametro pari a 50 anni luce
Nelle fotografie si misura il diametro angolare di tre di questi ammassi I diametri
risultano pari a 8rsquo9rsquo10rsquo Calcolare la distanza dei tre ammassi
Soluzione le dimensioni reali di un oggetto visto sotto un angolo α alla distanza d
sono date da
119863 = 2119889 tan (120572
2)
Da cui
1198891 =119863
2 tan(12057212)=
50
2 tan(01333
2)=21486 anni luce
1198892 =119863
2 tan (12057222)= 19099 119886119899119899119894 119897119906119888119890
Bignamino di astronomia
80
1198893 =119863
2 tan (12057232)= 17189 119886119899119899119894 119897119906119888119890
8 Se si dispone di un telescopio di 30 cm di diametro e lunghezza focale di 2 m quali
ingrandimenti saranno forniti da tre oculari di focale 25mm 10 mm e 5mm Se gli
oculari hanno un campo apparente di 55deg quale saragrave lrsquoangolo di campo al telescopio
Calcolare pure la pupilla drsquouscita
Soluzione Calcoliamo lrsquoingrandimento
1198681 =119865
119891=2000119898119898
25119898119898= 80119909
1198682 =2000
10= 200119909
1198683 =2000
5= 400119909
Il campo del telescopio saragrave
1198651199001198811 =119865119900119881119900119888119894
=55deg
80= 069deg
1198651199001198812 =55deg
200= 028deg
1198651199001198813 =55deg
400= 014deg
La pupilla drsquouscita
1199011 =300
80= 375119898119898 1199012 =
300
200= 15119898119898 1199013 =
300
400= 075119898119898
9 Calcolare lrsquoapertura minima di un telescopio per poter riconoscere un granulo solare
ampio 700km
Soluzione Lrsquoestensione angolare di questo granulo egrave data da
120572 = 2 arctan (119863
2119889) = 2 arctan (
700
2 ∙ 1496 ∙ 106) = 097
Quindi per la formula di Dawes 119863(119898119898) =120
120572=124cm
10 Per realizzare una fotografia a vasto campo egrave stato necessario un tempo di posa di 13
minuti a f3 con sensibilitagrave 800 ISO Determinare il tempo necessario per ottenere la
stessa foto usando una sensibilitagrave di 1000 ISO ed unrsquoapertura relativa di f45
Trascurare le perdite di sensibilitagrave dovute al difetto di reciprocitagrave delle pellicole
Bignamino di astronomia
81
Soluzione il tempo di posa richiesto si ricava dalla formula
1198792 =11989122 1198781
11989112 1198782
1198791 119879 119905119890119898119901119900 119878 119904119890119899119904119894119887119894119897119894119905agrave 119891 119889119894119886119891119903119886119898119898119886 (119886119901119890119903119905119906119903119886 119903119890119897119886119905119894119907119886)
1198792 =452 800
32 1000 13 = 234 119898119894119899
11 Determinare il tempo di posa massimo per ottenere stelle puntiformi senza
inseguimento siderale con un obiettivo di 50 mm (di focale F) puntato su una zona di
cielo avente declinazione media 45deg Il formato utilizzato egrave il 24x36mm
Soluzione La formula che permette di ottenere stelle puntiformi egrave
119879119898119886119909 =600
119865119888119900119904120575= 17119904119890119888119900119899119889119894
12 Un radiotelescopio ha apertura di 75 m determinare il limite di diffrazione
raggiungibile alla frequenza di osservazione di 410 MHz
Soluzione La lunghezza drsquoonda egrave data da
119888 = 120582120584 120582 =119888
120584= 732 119888119898
Il limite di diffrazione si ricava dalla formula di Rayleigh
120599 =122120582
119863= 122
732
7500= 00119 119903119886119889 = 068deg = 41prime
13 Un radiotelescopio ha un diametro di 25m calcolare il limite di diffrazione alla
lunghezza drsquoonda di osservazione di 21 cm
Soluzione Per la formula di Rayleigh
120599 =122120582
119863= 122
21
2500= 001119903119886119889 = 059deg = 352prime
14 Un telescopio riflettore ha diametro 15 m calcolare il suo potere risolutivo massimo
alla lunghezza drsquoonda dellrsquoidrogeno ionizzato Hα=6563nm
Soluzione Ancora una volta
120599 =122120582
119863= 122 lowast 6563
10minus9
15= 53 10minus7119903119886119889 = 011
Bignamino di astronomia
82
15 Consideriamo due stelle la prima (S1) ha magnitudine apparente m1=11 e si trova a
una distanza L1 dalla Terra la seconda S2 ha luminositagrave intrinseca identica a S1 ma
si trova a una distanza tripla rispetto a S1 Che magnitudine apparente ha la stella S2
Se abbiamo a disposizione uno specchio di diametro D1 con cui si riesce a vedere a
malapena S1 quanto deve essere il diametro del secondo telescopio D2 che permetta
di vedere a malapena la stella S2
Soluzione Siccome la luminositagrave intrinseca egrave la stessa ma la distanza della seconda
stella egrave tripla il flusso della seconda stella egrave uguale a un nono del flusso della prima
Quindi applicando la formula di Pogson
1198981 minus1198982 = minus25 log (11986512) = minus25 log 9 = minus239
1198982 = 11 + 239 = 1339
Infine poicheacute per osservare S2 dobbiamo essere in grado di rivelare il flusso che egrave 9
volte minore e che lrsquoarea di uno specchio aumenta con il quadrato del raggio il raggio
dello specchio D2 devrsquoessere 3 volte piugrave grande di quello di D1
16 Calcolare la magnitudine limite visuale limite raggiungibile con un telescopio di
diametro D=25cm
Soluzione Applicando la formula per trovare la magnitudine limite (con il diametro
espresso in cm) troviamo
119898 = 68 + 5119897119900119892119863 = 68 + 511989711990011989225 = 138
17 Calcolare lrsquoapertura necessaria per poter osservare stelle fino a una magnitudine
limite visuale di +16 con un telescopio
Soluzione Applicando la formula precedente
119898 = 68 + 5119897119900119892119863 119863 = 10119898minus685 = 10184 = 692 119888119898
Bignamino di astronomia
83
18 In un sistema stellare una stella ruota attorno ad unrsquoaltra su unrsquoorbita circolare con
velocitagrave 45 kms il suo periodo di rivoluzione egrave 300 giorni Determinare il raggio
dellorbita e la massa della stella centrale
Soluzione la velocitagrave orbitale egrave data da
119907 =2120587119877
119879 119889119886 119888119906119894 119877 =
119907119879
2120587=45000 ∙ 2592 ∙ 107
62831= 1856 ∙ 1011119898
Dalla Terza legge di Keplero
119872 =412058721198773
1198661198792= 5632 ∙ 1030119896119892
Bignamino di astronomia
84
La SFERA e la TRIGONOMETRIA SFERICA
Premessa
Nella geometria piana i concetti base sono il punto e la retta
Su una sfera i punti sono definiti nel senso usuale Le rette sono definite come cerchi massimi Data una sfera si definisce circonferenza massima ogni circonferenza che si ottiene intersecando la superficie sferica con un piano passante per il centro della sfera Lequatore celeste egrave un circolo massimo mentre i paralleli di declinazione non lo sono Lorizzonte astronomico egrave un circolo massimo mentre non lo sono gli almucantarat o paralleli di altezza
Elementi della sfera
Superficie sferica
Si chiama superficie sferica la figura
generata da una semicirconferenza
in una rotazione completa attorno
al suo diametro Possiamo anche
definirla come luogo geometrico La
superficie sferica egrave il luogo
geometrico dei punti dello spazio
che hanno distanza dal centro pari al
raggio
Sfera
Si chiama sfera la figura generata da un semicerchio di
una rotazione completa attorno al suo diametro
Definita come luogo geometrico egrave il luogo dei punti dello
spazio la cui distanza dal centro egrave minore o uguale al
raggio
Zona sferica
Si chiama zona sferica la parte di
superficie sferica compresa fra due
piani paralleli α e β che intersecano
la sfera Le circonferenze sezioni si
chiamano basi della zona Lrsquoaltezza egrave
la distanza tra i due centri delle
circonferenze sezioni
Bignamino di astronomia
85
Spicchio sferico Lo spicchio sferico egrave il solido delimitato da due piani meridiani passanti per
uno stesso diametro e dalla porzione di superficie sferica (fuso sferico) a
essi corrispondente
Presi due punti distinti su una sfera per essi passa
una ed una sola circonferenza massima
Dati due punti A e B distinti su una sfera esiste una ed una sola circonferenza
massima che li contiene i due punti individuano su questa circonferenza due archi il minore di essi si
chiama distanza sferica rappresenta una geodetica (La geodetica egrave la linea che realizza su una data
superficie il minimo percorso fra due punti assegnati)
Corda
Si chiama corda un segmento i cui estremi appartengono
alla superficie sferica
Si chiama diametro una corda passante per il centro
della superficie sferica e della sfera
Segmento sferico a due basi
Definiamo segmento sferico a due basi la parte di sfera
compresa fra due piani paralleli α e β secanti la sfera
stessa
Calotta Sferica
Definiamo calotta sferica ognuna
delle due parti in cui una superficie
sferica viene divisa da un piano
secante 120572 La calotta egrave la porzione di
superficie sferica ottenuta per
sezione con il piano α
Segmento sferico ad una base
Il segmento sferico ad una base egrave ognuna delle
due parti in cui una sfera viene divisa da un piano
secante α il segmento egrave la porzione di sfera
compresa tra il piano e la calotta
Fuso sferico
La parte di superficie sferica limitata da due
circonferenze massime di sezione dei
semipiani α e β con la superficie sferica
Bignamino di astronomia
86
Nella geometria sferica la circonferenza massima gioca lo stesso ruolo della retta
nella geometria piana
La lunghezza di questo arco egrave proporzionale al raggio della sfera e
allrsquoangolo al centro AOB Se AOB egrave espresso in radianti
AB = OA x AOcircB
Triangolo sferico
Si definisce triangolo sferico la superficie sulla sfera limitata da tre
archi di circolo massimo passanti per tre punti detti vertici tali punti
non devono appartenere allo stesso circolo massimo e gli archi non
devono avere alcun punto dintersezione al di fuori dei vertici
Lati del triangolo sferico
Sono le lunghezze degli archi AB BC CA che limitano la superficie
Tali lati sono minori o uguali a 180
Angoli del triangolo sferico
Sono gli angoli formati dai tre archi di circolo massimo La somma
degli angoli (interni) egrave maggiore di 2 angoli retti e minore di 6 angoli
retti
180deg lt α+β+γ lt 540deg
Pertanto la somma degli angoli egrave 180deg solo quando il triangolo egrave
degenere ovvero quando i vertici del triangolo sono situati sullo
stesso circolo massimo
La differenza fra la somma dei tre angoli di un triangolo sferico e lrsquoangolo piatto si dice eccesso sferico
ε= α+β+γ minus 180deg
Bignamino di astronomia
87
Nel triangolo sferico sussistono relazioni fra le funzioni trigonometriche dei lati e degli angoli tali relazioni
sono date dai teoremi di Eulero (teorema del coseno ( ) per i triangoli sferici e teoremi dei seni( )) da
cui derivano due gruppi fondamentali di relazioni che prendono il nome di primo e secondo gruppo di Gauss
di cui ci occuperemo nella trattazione del triangolo di posizione astronomico Lrsquoapplicazione dei triangoli
sferici assume particolare importanza in astronomia in quanto come abbiamo visto nei sistemi di riferimento
sulla sfera celeste si misurano solo distanze angolari
Per un lato
cos (119886) = cos (119887)cos (119888) + sin (119887)sin (119888)cos (119860)
sin (119886)
sin (119860)=sin (119887)
sin (119861)=sin (119888)
sin (119862)
Oppure
sin(119886) ∶ sin(119860) = sin(119887) sin(119861) = sin(119888) sin(119862)
Bignamino di astronomia
88
Triangolo di posizione astronomico
Vertici del triangolo
Il triangolo astronomico o di posizione ha i vertici nellastro
nello zenit e nel polo celeste nord il terzo vertice potrebbe
essere anche laltro polo ma per convenzione egrave preferibile
usare quello nord in quanto semplifica le regole algebriche
per il calcolo delle lunghezze dei lati
Lati del triangolo
I lati del triangolo hanno lunghezze comprese fra 0 e 180
definite come segue
bull Distanza polare p = 9 - 120575
la distanza che lastro ha dal polo di riferimento (polo celeste nord per convenzione)
Considerando la declinazione 120575 positiva se a Nord e negativa se Sud la distanza polare egrave p lt 90 nel
primo caso e p gt 90 nel secondo
bull Colatitudine c = 9 - 120593
coincide con la colatitudine ossia il complemento della latitudine Si ricorda che lelevazione
dellasse polare egrave esattamente pari alla latitudine del luogo La precedente convenzione per la
declinazione puograve essere adottata anche per la latitudine per cui si ha c lt 90 per latitudini nord e c gt
90 per quelle sud
bull Distanza zenitale z = 90 - h
Coincide con la distanza zenitale z ossia la distanza che lastro ha dallo zenit Tale distanza egrave il
complemento dellaltezza h (z = 90-h) Se lastro egrave nellemisfero visibile si ha h gt 0 e z lt 90 per astri
nellemisfero invisibile si ha h lt 0 e z gt 90
I tre angoli sono
1) Angolo vertice nello Zenith compreso tra meridiano e cerchio verticale la sua ampiezza dovrebbe corrispondere allazimuth ma in questo caso poichegrave lampiezza degli angoli nei triangoli sferici egrave sempre inferiore a 180deg prende nome di Angolo azimutale Z
2) Angolo vertice nel Polo Celeste compreso tra meridiano e cerchio orario la sua ampiezza corrisponderebbe allangolo orario ma in questo caso poicheacute lampiezza degli angoli nei triangoli sferici egrave sempre inferiore a 180deg prende nome di Angolo al Polo P
3) Angolo con vertice nellrsquooggetto A
Bignamino di astronomia
89
Attraverso le seguenti relazioni note come primo e secondo gruppo di Gauss
119904119894119899 ℎ = 119904119894119899 120593 119904119894119899 120575 + 119888119900119904 120593 119888119900119904 120575 119888119900119904 119867
119888119900119904 ℎ 119888119900119904 119860 = 119888119900119904 120593 119904119894119899 120575 + 119904119894119899 120593 119888119900119904 120575 119888119900119904 119867119888119900119904 ℎ 119904119894119899 119860 = 119888119900119904 120575 119904119894119899 119867
Primo Gruppo di Gauss
119878119894119899 120575 = 119878119894119899 120593 119878119894119899 ℎ minus 119862119900119904 120593 119862119900119904 ℎ 119862119900119904 119860119862119900119904120575 119888119900119904119867 = 119904119890119899ℎ 119888119900119904120601 + 119888119900119904ℎ 119904119890119899120601 119888119900119904119860
119862119900119904ℎ 119904119890119899119867 = 119888119900119904ℎ 119904119890119899119860
Secondo gruppo di Gauss
Ersquo possibile risolvere il triangolo astronomico
Notiamo che nel triangolo di posizione sono contemporaneamente presenti per loggetto celeste osservato le sue coordinate altazimutali (azimuth o angolo zenitale e altezza o distanza zenitale) e quelle equatoriali orarie (angolo orario o angolo al polo e declinazione o distanza polare) Queste formule ci consentono il passaggio da coordinate altazimutali ad equatoriali orarie e viceversa
Queste ci consentono il passaggio da un sistema altazimutale ad equatoriale
119904119894119899 120575 = 119904119894119899 120593 119888119900119904 119911 minus 119888119900119904 120593 119904119894119899 119911 119888119900119904 119860
119888119900119904 120575 119888119900119904 119867 = 119888119900119904 120593 119888119900119904 119911 + 119904119894119899 120593 119904119894119899 119911 119888119900119904 119860119888119900119904 120575 119904119894119899 119867 = 119904119894119899 119911 119904119894119899 119860
Bignamino di astronomia
90
Le parti della sfera
Riportiamo in una tabella le caratteristiche delle parti in cui rimane divisa una superficie sferica e una sfera
di raggio R quando vengono sezionate con opportuni piani indicando anche le formule per il calcolo delle
corrispondenti superfici e volumi
FONTE ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Bignamino di astronomia
91
ALCUNE ESERCITAZIONI DI TRIGONOMETRIA SFERICA
1) Calcolo dellrsquoaltezza di un oggetto alla culminazione superiore ed inferiore Giagrave conosciamo le formule che ci permettono di determinare lrsquoaltezza di un astro sullrsquoorizzonte nel caso di culminazione superiore ed inferiore per semplicitagrave le riportiamo qui di seguito
Culminazione superiore la stella culmina a sud dello zenit
la stella culmina a nord dello zenit
ALTEZZA h= 90 - ϕ + δ h= 90 + ϕ - δ
Proviamo attraverso le formule contenute nella parte teorica di trigonometria sferica a verificare queste relazioni Consideriamo la prima equazione del primo gruppo ( Primo Gruppo di Gauss)
sin h = sin φ sin δ + cos φ cosδ cos H
Se la stella culmina vuol dire che essa passa al meridiano (o superiore o inferiore a seconda della culminazione) CULMINAZIONE SUPERIORE Quando la Stella passa al meridiano superiore lrsquoangolo orario H egrave = 0 il cos0deg =1 per cui si ha
sin h = sin φ sin δ + cos φ cosδ
questa equazione si risolve facilmente se si applicano le formule di sottrazione del coseno cos (α - β) = cosαcosβ + senαsenβ
La nostra equazione puograve essere scritta sen h = cos(ϕ - δ) ndashlrsquo α della formula di sottrazione egrave la latitudine e la β la declinazione)- ma il sen h=cos(90 ndashh) ed allora cos (90-h) = cos( ϕ - δ) questa egrave una equazione elementare in coseno che ha per soluzioni
90-h= plusmn (ϕ - δ)
90-h= + ( ϕ - δ) h= 90 - ϕ + δ 90-h= - ( ϕ - δ) h= 90 + ϕ - δ
(Le relazioni sono due percheacute ognuna vale per un emisfero)
CULMINAZIONE INFERIORE Anche qui sappiamo che h= ϕ + δ- 90
sin h = sin φ sin δ + cos φ cosδ cos H
Alla culminazione inferiore lrsquoangolo orario egrave 12ℎ quindi 180deg il cos 180deg = -1
sin h = sin φ sin δ - cos φ cosδ Non possiamo applicare come prima a formula di addizione del coseno e quindi la riscriviamo
sin h= - (- sin φ sin δ + cos φ cosδ )
Bignamino di astronomia
92
ricordando che cos ( α + β) = cosαcosβ ndash senαsenβ ed essendo sinh= cos(90-h) possiamo scrivere cos (90-h) = - cos( ϕ + δ) essendo cosα= - cos(180 ndashα)
cos (90-h) = cos( 180 ndash ϕ - δ)
90-h = 180 ndash ϕ - δ h= ϕ + δ- 90 NB Essendo il coseno di due angoli dello stesso valore assoluto ma di segno opposto uguale come fatto sopra anche la soluzione col segno negativo va presa quindi si ottengono anche qui due formule che come sopra si riferiscono ciascuna a un emisfero
2) Calcolare lrsquoespressione che consente di determinare il sorgere e il tramontare di un astro Successivamente determinare la differenza delle ore di luce ai solstizi a Reggio Calabria ndash Latitudine φ=38deg6rsquo Nord
Per rispondere alla prima domanda dobbiamo determinare lrsquoangolo orario applichiamo il
( ) Primo Gruppo di Gauss
sin h= sin φ sin δ + cos φ cos H cos δ
isoliamo il cosH si trova cosH= 119904119894119899ℎminus119904119894119899120593119904119894119899120575
cos120593 cos120575 e scriviamo ancora cosH =
sinℎ
cos120593 cos120575 -
sin120593 sin120575
cos120593 cos120575 ed ancora cosH =
sin h
cos φ cos δ ndash tanφ tanδ (essendo tanα=senαcosα)
Al momento del sorgere dellrsquoastro h= 0 quindi cosH = - tanφ tanδ (sen0=0) Se egrave nota lrsquoascensione retta possiamo calcolare il tempo siderale 119931119956 = H +120630 con
H=arccos(θsin h
cos φ cos δ ndash tanφ tanδ ) Se conosciamo il valore del tempo siderale in una
determinata ora di un determinato giorno possiamo anche trovare lrsquoistante di tempo che segna il nostro orologio per il sorgere del Sole (per questi calcoli si vedano i problemi precedenti sul tempo) c = H+α Una volta trovata lrsquoespressione dellrsquoangolo orario la seconda domanda si risolve facilmente
tenendo conto che lrsquoangolo orario adesso egrave 119867
2
cos 119867
2 = - tan φ tan δ
Il Sole ai solstizi ha una declinazione δ=+23deg27rsquo (21 giugno solstizio drsquoestate) e δ=-23deg27rsquo (21 dicembre solstizio drsquoinverno)
si trova che cos 119867
2 = -0784 0433 = -034 perciograve H=2arccos(-034)=219deg46rsquo=14 ore 39
minuti (digrave piugrave lungo dellrsquoanno)
mentre il 21 dicembre cos 119867
2 = (-0784) (-0433) = 034 dal quale si ricava che
H=arccos(034)=140deg15rsquo = 9 ore 21 minuti (digrave piugrave corto dellrsquoanno) la differenza di ore egrave ∆H=14h 39m-9h 21m = 5 ore 18 minuti tra inverno ed estate
Bignamino di astronomia
93
3) In un certo giorno in cui egrave in vigore lrsquoora legale in una cittagrave posta alla longitudine di 120582
= 10deg 52rsquo 59rdquo E e latitudine = 44deg 38rsquo 45rdquo N il Sole ha una declinazione = 10deg 59rsquo 04rdquoConsiderando trascurabile la declinazione del Sole durante lrsquoarco della giornata
Calcolare
1 lrsquoaltezza massima raggiunta dal Sole in quella localitagrave e lrsquoora del transito in meridiano 2 lrsquoora in cui in tale giorno il sole sorge e tramonta in quella Cittagrave e lrsquoarco diurno 3 lrsquoazimut del sole nei momenti in cui sorge e tramonta
Il sole raggiunge la massima altezza hC sullrsquoorizzonte (culmina) quando transita per il
meridiano locale dellrsquoosservatore Nel caso specifico avremo hC = 90deg - ( - ) = 90deg -
+ = 90deg - 44deg64583333 + 10deg98444444 = 56deg33861111
Lrsquoaltezza massima del Sole nel momento in cui transita al meridiano egrave hC = 56deg33861111 = 56deg 20rsquo 19rdquo
Indichiamo adesso con 120582 la longitudine espressa in ore e con T la differenza in ore del
meridiano locale rispetto a GMT Nel nostro caso essendo in vigore lrsquoora legale saragrave T = 2h Le 12h locali corrispondono dunque aUT = 12h ndash 120582
per cui lrsquoora locale del transito in meridiano del sole saragrave (scrivendo la longitudine in notazione decimale)
TC = 12h ndash 120582+ T = 12ℎ minus 10deg 8830555556
15deg+ 2ℎ = 2h ndash 0h725537036 + 2h = 13h27446296
il Sole culmina alle ore locali TC = 13h 16m 28s1
I due eventi del sorgere e tramontare si verificano quando il sole interseca lrsquoorizzonte celeste dellrsquoosservatore e quindi la sua altezza h egrave nulla In questo caso egrave possibile determinare i tempi (gli angoli orari HS e HT) e le direzioni (gli azimut AS e AT) delle due posizioni del sole sullrsquoorizzonte e lrsquoarco diurno
T = HT - HS che ci dagrave la durata della permanenza del sole
Applichiamo le formule del primo gruppo di Gauss al triangolo sferico precedentemente definito rispetto al lato ldquozenit ndash solerdquo ed allrsquoangolo al vertice con lo zenit
sin h = sin sin + cos cos cos H (I)
cos h sin A = - cos sin H (II)
cos h cos A = cos sin - sin cos cos H
Bignamino di astronomia
94
Quando il sole sorge eo tramonta si ha h = 0 e quindi sin h = 0 Dalla (I) segue dunque
cos H = - tg tg Dai dati del problema si ha = 44deg 38rsquo 45rdquo N = 44deg64583333
= 10deg 59rsquo 04rdquo1 = 10deg98444444 segue cos H = - tg (44deg64583333) tg (10deg98444444) = - 0191713689
H = arccos (- 0191713689) = 101deg0528101 = plusmn 6h736854006
Lrsquoangolo orario H egrave negativo al sorgere percheacute deve arrivare in meridiano e positivo al tramonto percheacute ha superato il meridiano Saragrave dunque HS = - 6h736854006 HT = 6h736854006
il sole sorgeragrave dunque alle ore TS = TC + HS = 13h27446296 - 6h736854006 = 6h537608954 = 6h 32m 15s4
Lo stesso giorno il sole tramonteragrave alle ore TT = TC + HT = 13h27446296 6h736854006 = 20h01131697 = 20h 00m 40s7
Lrsquointervallo temporale durante il quale il sole resteragrave sopra lrsquoorizzonte saragrave
T = HT - HS = 6h736854006 + 6h736854006 = 13h47370802 = 13h 28m 25s4
Per ricavare lrsquoazimut del sole nei momenti in cui sorge e tramonta utilizziamo la (III) delle
formule di Gauss cos h sin A = - cos sin H
Nel momento in cui il sole sorge e tramonta si ha h = 0 e quindi cos h = 1 per cui si ha rispetto al punto Nord
sin AS = - cos sin HS = - cos (10deg98444444 ) sin (-6h736854006 x 15) = 0963469686
AS = arcsin (0963469686) = 74deg46556891 = 74deg 27rsquo 56rdquo1
sin AT = - cos sin HT = - cos (10deg98444444 ) sin (6h736854006 x 15) = -0963469686
AT = arcsin (-0963469686) = - 74deg46556891 = (360deg - 74deg46556891) = 285deg5344311 = 285deg 32rsquo 4rdquo
DISTANZA TRA DUE STELLE
Regolo ha coordinate H= 27m 4 s e declinazione 11deg 52rsquo 5rdquo Denebola ha coordinate H= 22h 46m 36s e
declinazione 14deg 27rsquo 33rdquo Si determini la loro distanza angolare
Per calcolare la loro distanza consideriamo il triangolo sferico BPA dalla figura si evince che
PB= 90-1205751 PA= 90-1205752 lrsquoangolo al polo P= 1198672 - 1198671
Applichiamo il teorema del coseno o di Eulero
Bignamino di astronomia
95
cosAB= cosPB cosPA + seno senPA cosP
Sostituendo
Cos120572 = cos( 90-1205751)cos(90-1205752 ) + sen(90-1205751)sen(90-1205752)cosP
Cos120572= sen1205751sen1205752 + cos1205751cos 1205752cos (1198672 minus 1198671)
E svolgendo I calcoli
Cos α= sen118681 sen 144592 + cos 118681 cos 144592 cos251167=0904
α=24deg58
Bignamino di astronomia
96
Bibliografia
Vittorio Castellani Astrofisica Stellare ndash Zanichelli Editore
Ferdinando Flora Astronomia Nautica ndash Editore Hoepli
Pietro Giannone Elementi di Astronomia ndash Edizione Pitagora
Angeletti Giannone Esercizi e complementi di astronomia ndash Edizioni Nuova Cultura
Margherita Hack Corso di Astronomia ndash Editore Hoepli
Halliday-Resnick Fondamenti di fisica ndash Zanichelli Editore
Giuliano Romano Introduzione allrsquoastronomia ndash Editore Muzzio
Leonido Rosino Lezioni di Astronomia ndash Edizione Cedam
Francesco Saverio Delli Santi Introduzione allrsquoastronomia ndash Zanichelli Editore
Cino Tacchini Il Cielo ndash UTET Editore
Francesco Zagari Astronomia sferica e teorica ndash Zanichelli Editore
Wikipedia sito web
Vialatteanet sito web
Treccani sito web
Superfici e volumi problemi di massimo e minimo Istituto Italiano Edizioni Atlas
- Copertina Bignamino definitiva
- Bignamino di astronomia
-
- INDICE Bignamino definitivo
- Bignamino
-
Bignamino di astronomia
2
Introduzione
MISURA DEGLI ANGOLI GRADO RADIANTE ORA
Lrsquoampiezza di un arco o del corrispondete angolo al centro si puograve misurare in uno dei seguenti sistemi
bull Il s i s tema sessages imale ha come unitagrave di misura il grado
Il grado
Il grado definito come la 360-esima parte dellangolo giro I suoi sottomultipli sono primi e i secondi
bull 1 grado egrave diviso in 60 primi 1deg= 60 bull 1 primo egrave diviso in 60 secondi 1 = 60 bull Quindi un grado equivale a 3600rsquorsquo
Il s i s tema c ircolare ha come unitagrave di misura il radiante
Radiante Il radiante ( 120646) egrave lampiezza dellangolo al centro di una circonferenza che con i suoi lati
intercetta un arco uguale al raggio
In astronomia egrave necessario molto spesso convertire la misura in gradi di un arco in misura di ora o
viceversa
Lrsquoampiezza di un angolo giro misurato in gradi 360deg in ore egrave 24ℎ 1ℎ = 360
24 = 15deg 1119898= 15rsquo
1119904=15rsquorsquo
Dunque il rapporto tra la misura dellarco e la misura del
raggio egrave un numero reale α che rimane costante α=119871
119877
120572119903119886119889 =120572deg120587
180 120572deg =120572119903119886119889
180deg
120587
Lrsquoampiezza di un radiante egrave
in gradi 120588deg= 57deg 17rsquo 44rsquorsquo~ 57deg3
in primi 120588rsquo~3438rsquo
in secondi 120588rsquorsquo ~206265rsquorsquo
(numero magico)
Bignamino di astronomia
3
DISTANZE DEI CORPI CELESTI
La distanza dei corpi celesti viene determinata attraverso la misura di un angolo detto parallasse
Lrsquoangolo di parallasse egrave lrsquoangolo sotto cui viene visto un oggetto se osservato da due posizioni
diverse
LE DIMENSIONI APPARENTI DI UN OGGETTO
Le dimensioni apparenti di un oggetto dipendono dalla sua distanza In astronomia il diametro
angolare (o dimensione angolare) di un oggetto egrave la misura del suo diametro rispetto alla distanza
dallosservatore Si calcola con la seguente formula
120572 = 2 119886119903119888119905119886119899119892 119863
2119889
(D diametro reale e d distanza dallrsquoosservatore)
Generalmente il diametro apparente dei corpi celesti egrave inferiore ad un grado
Misurato il diametro apparente in secondi drsquoarco si puograve calcolare il diametro reale con la seguente
formula
119863 = 119889120572
206265
Si parla di parallasse geocentrica quando la
distanza tra le due osservazioni egrave uguale al raggio
terrestre mentre di parallasse annua quando la
distanza tra i due osservatori egrave uguale al semiasse
maggiore dellorbita della Terra attorno al Sole
(ovvero lUnitagrave Astronomica) p langolo di parallasse e d la distanza dellosservatore dalloggetto-
La relazione tra la distanza e la parallasse egrave data
dalla semplice formula d = r sen p
Spesso viene usato il parsec come unitagrave di misura delle
distanze stellari Una stella si trova alla distanza di 1
parsec quando la sua parallasse annua egrave di un secondo
darco d =1
119901primeprime
Bignamino di astronomia
4
SISTEMI DI RIFERIMENTO ASTRONOMICI
Gli elementi che definiscono i sistemi di coordinate astronomiche sono
1) Una direzione fondamentale
2) Un piano perpendicolare alla direzione fondamentale
3) Lrsquoorigine
4) Il verso di percorrenza
5) Lrsquounitagrave di misura
Noi qui sintetizziamo tre dei cinque sistemi di riferimento astronomici
il sistema altazimutale il sistema orario il sistema equatoriale
Sistema altazimutale
Nel sistema altazimutale o orizzontale la direzione
fondamentale egrave data dalla verticale il piano
perpendicolare egrave dato dallrsquoorizzonte astronomico la
verticale alla superficie terrestre passante per
losservatore individua lo zenit e il nadir Le
coordinate in questo sistema sono lrsquoAzimut (A) e
Altezza (h)
Lazimut del punto T egrave langolo formato dal piano del
cerchio verticale passante per T e il meridiano
astronomico Si misura in gradi e frazioni di grado
partendo dal punto cardinale sud nel senso delle
lancette dellorologio Esso corrisponde nel disegno
allangolo SOB dove O egrave losservatore e B egrave
lintersezione dellorizzonte con il cerchio verticale
passante per T
Altezza (h) egrave lordinata sferica di un punto sulla sfera
celeste e cioegrave la sua distanza angolare dallorizzonte
misurata lungo il cerchio verticale passante per quel
punto Si esprime in gradi e frazioni di grado con
valore positivo verso lo zenit e negativo verso il nadir
Nel nostro disegno laltezza del punto T corrisponde
allangolo TOB dove O egrave losservatore e B egrave
lintersezione dellorizzonte con il cerchio verticale
passante per T Larco complementare dellaltezza si
chiama distanza zenitale e nel nostro disegno egrave
rappresentata dallangolo ZOT dove Z egrave lo zenit
dellosservatore La distanza zenitale si indica
generalmente con z Nel sistema azimutale entrambe
le coordinate (azimut e altezza) delle stelle variano
sensibilmente con il passare del tempo a causa del
moto di rotazione della Terra
Bignamino di astronomia
5
Sistema orario
Sistema equatoriale
Questo sistema di coordinate astronomiche ha come
direzione e piano fondamentali rispettivamente lasse
del mondo e il piano dellequatore Le coordinate
sferiche di questo sistema sono Angolo orario (H) e
la Declinazione (120575)
Lrsquoangolo orario egrave la distanza angolare tra il cerchio
orario che passa per il punto e il meridiano
astronomico Si misura in ore e frazioni di ora lungo
lequatore celeste partendo dal meridiano
astronomico in senso orario per un osservatore
boreale
La declinazione rappresenta la distanza angolare tra
un punto della sfera celeste e lequatore celeste
misurata lungo il cerchio orario che passa per tale
punto Si misura in gradi e frazioni di grado con segno
positivo verso il polo nord celeste e negativo verso il
polo sud Lrsquoorigine del sistema egrave il punto M detto
mezzocielo In questo sistema nel corso del giorno le stelle variano il loro angolo orario mentre rimane costante la loro declinazione
L0
Questo sistema di coordinate astronomiche ha come direzione e
piano fondamentali rispettivamente lasse del mondo e il piano
dellequatore Le coordinate sferiche di questo sistema sono
Ascensione retta ( ) Declinazione ( )Lorigine egrave il punto gamma
()
Lascensione retta si misura di solito in ore minuti e secondi lungo
lequatore celeste partendo dal punto gamma e con senso di
percorrenza antiorario
Declinazione rappresenta la distanza angolare tra un punto della
sfera celeste e lequatore misurata lungo il cerchio orario che passa
per tale punto Si misura in gradi e frazioni di grado con segno positivo
verso il polo nord celeste e negativo verso il polo sud
Bignamino di astronomia
6
RELAZIONI TRA I SISTEMI DI RIFERIMENTO
Latitudine del luogo
120593 = ℎ119901119900119897119900119873119900119903119889 = 90deg minus 119911119875119900119897119900119873119900119903119889
La latitudine geografica 120593 di una localitagrave sulla superficie della Terra egrave
lrsquoaltezza del polo celeste sul suo orizzonte Orizzonte e Zenit sono
separati da un angolo retto La latitudine geografica del luogo si
ottiene sottraendo da 90deg lrsquoaltezza del polo stesso
Formule inverse
119911119875119900119897119900119873119900119903119889 = 90deg minus 120593
Stelle circumpolari
120575 ge 90deg minus 120593
Vista da un qualsiasi luogo della superficie terrestre (quando
siamo allrsquoEquatore la situazione di complica) una parte della
volta celeste non tramonta mai e rimane sempre al di sopra
dellrsquoorizzonte Tale parte di cielo egrave detta ldquocircumpolarerdquo Essa
contiene le stelle che hanno declinazione 120575 maggiore o uguale
a un valore limite che si ottiene sottraendo da 90deg il valore della
latitudine geografica 120593 del luogo
Se la declinazione egrave compresa tra
minus(90deg minus 120593) lt 120575 lt +(90deg minus 120593)
le stelle sono occidue sorgono e tramontano sullrsquoorizzonte dellrsquoosservatore
Se
120575 lt minus(90deg minus 120593) 120575 lt minus90deg + 120593
Le stelle sono anticircumpolari (cioegrave quelle che non sorgono mai e stanno sempre al di sotto
dellrsquoorizzonte)
Bignamino di astronomia
7
Culminazione
Una stella culmina quando raggiunge la sua massima altezza cioegrave egrave sul meridiano
La declinazione 120575 la distanza zenitale z sono legate in modo semplice alla latitudine 120593
dellrsquoosservatore
Al momento della culminazione superiore (massima altezza della stella sullrsquoorizzonte) si ha
119911 = 120593 ndash 120575
Al momento della culminazione inferiore si ha
119911 = 120593 + 120575 ndash 180deg
Altezza (culminazione superioreinferiore)
Una stella culmina superiormente quando raggiunge la sua massima
altezza vista un determinato luogo (ad una determinata latitudine 120593)
ℎ1 = 90deg plusmn (120593 minus 120575)
Bignamino di astronomia
8
Poicheacute lrsquoaltezza deve esere h le 90deg distinguiamo i due casi
1) Se 120575 lt 120593 h=90deg- 120593 + 120575 (va preso il segno meno)
2) Se 120575 gt 120593 h=90deg+ 120593 - 120575 (va preso il segno piugrave)
Analogamente in culminazione inferiore
ℎ2 = minus90deg + 120593 + 120575
Poicheacute se 120575 lt 120593
ℎ2 = 120575 - ( 90 ndash 120593)
ℎ2 = 120575 - 90 + 120593
ℎ2 = - 90 + 120575 + 120593
Se 120575 gt 120593
ℎ2 = 120575 + ( 120593 - 90 )
ℎ2 = - 90 + 120575 + 120593
La formula per il calcolo della culminazione inferiore egrave sempre la stessa
Formule inverse della h=90deg+ 120593 - 120575
120593 = 90deg minus ℎ + 120575
120575 = 120593 + ℎ minus 90deg
Bignamino di astronomia
9
Latitudine del luogo (culminazione superiore ed inferiore)
120593 =ℎ1 + ℎ2
2
Questa formula egrave valida per tutte le stelle ma la si usa spesso per
conoscere la latitudine di un luogo osservando una stella
circumpolare La latitudine infatti non egrave altro che una ldquomediardquo
tra le due altezze (culminazione superiore ed inferiore)
Formule inverse
ℎ1 = 2120593 minus ℎ2
ℎ2 = 2120593 minus ℎ1
Per una stella circumpolare la minima altezza egrave ℎ119898119894119899= δ + ϕ - 90deg
Distanza zenitale
119911 = 90deg minus ℎ
La distanza zenitale indica quanto dista la stella dallo zenit che si trova
sulla verticale dellrsquoosservatore Per trovarla basta sottrarre a 90deg (la
verticale e lrsquoorizzonte sono separati da un angolo retto) lrsquoaltezza della
stella h
Formule inverse
ℎ = 90deg minus 119911
Bignamino di astronomia
10
Ascensione retta
Tra lrsquoascensione retta 120630il suo angolo orario H ed il tempo siderale relativi ad un dato osservatore
vale la relazione
119879119904 = 120572 + 119867
Nota
Quando il punto 120574 passa al meridiano 119879119904 = 0 (Il tempo siderale egrave definito come lrsquoangolo orario del
punto 120574 ) quando la stella passa al meridiano H= 0 e
119879119904 = 120572
Il tempo siderale coincide con lrsquoascensione retta delle stelle che passano al meridiano
Per conoscere lrsquoascensione retta di una stella 120572 bisogna calcolare
la differenza tra il tempo siderale del luogo 119879119904 di osservazione e
lrsquoangolo orario 119867 della stella stessa
120572 = 119879119904 minus119867
Lrsquoangolo orario si trova dalla 119867 = 119879119904 minus 120572
il punto nord ha H di 12 h e declinazione 90 - latitudine da noi H 0 e declinazione 90+ latitudine altro emisfero
per il punto sud i due predetti valori si invertono per lrsquoangolo orario e quelli della declinazione diventano
opposti
Bignamino di astronomia
11
MISURA DEL TEMPO
La misura del tempo viene effettuata dal movimento di rotazione diurna della volta celeste
(rotazione della Terra) e dal movimento annuo del Sole (rivoluzione della Terra attorno al Sole)
La rotazione della Terra attorno al suo asse egrave quasi costante quindi lrsquoangolo di rotazione rispetto ad
un qualsiasi riferimento iniziale consente di misurare il tempo Come riferimento iniziale si prende
lrsquoistante del passaggio del punto al meridiano del luogo La durata del giorno dipende da questo
punto scelto
In Astronomia i punti adottati sono Il punto γ il
centro del disco apparente del Sole (Sole vero) il
Sole medio (un Sole ideale che parte dal punto γ
assieme al Sole vero percorre lrsquoequatore celeste
con velocitagrave angolare costante in modo da
ritornare allrsquoequinozio di primavere assieme al
Sole vero)
Le tre unitagrave di tempo definite da questi punti si
chiamano giorno siderale giorno solare vero
giorno solare medio Il tempo da esse misurato egrave
tempo siderale tempo solare vero tempo solare medio
Nota Non sono tempi diversi ma solo diverse unitagrave di misurare il tempo
Giorno siderale ndash tempo siderale
Si definisce giorno siderale lrsquointervallo di tempo compreso tra
due successivi passaggi del punto γ allo stesso meridiano del
luogo
Si definisce tempo siderale lrsquointervallo di tempo compreso tra il
passaggio al meridiano del punto di primavera ad unrsquoaltra
posizione qualsiasi
119905119904 = H + 120572
(Tempo siderale = angolo orario Sole + ascensione retta Sole
medio)
Bignamino di astronomia
12
Giorno solare vero-Tempo solare vero
Il giorno solare vero egrave lrsquointervallo di tempo compreso tra due passaggi superiori o inferiori del centro
del Sole
Il tempo solare vero egrave lrsquointervallo di tempo compreso tra il passaggio inferiore
del Sole ad un altro punto
Al meridiano il 119879119904119900119897119890 119907119890119903119900 = 119867119878119900119897119890 119907119890119903119900 +12ℎ
Giorno solare medio - Tempo solare medio
Il giorno solare medio egrave lrsquointervallo compreso tra due passaggi superiori o inferiori del Sole medio
Il tempo solare medio egrave lrsquointervallo di tempo compreso tra il passaggio inferiore del Sole medio ad
un altro punto
119879119904119900119897119890 119898119890119889119894119900 = 119867119878119900119897119890 119898119890119889119894119900 +12ℎ
Equazione del Tempo
Si definisce equazione del tempo la differenza tra il tempo medio ed il tempo solare vero allo stesso
istante
E= 119879119904119900119897119890 119898119890119889119894119900 - 119879119904119900119897119890 119907119890119903119900
E= 119867119878119900119897119890 119898119890119889119894119900 - 119867119878119900119897119890 119907119890119903119900
E= 120572119878119900119897119890 119898119890119889119894119900 - 120572119878119900119897119890 119907119890119903119900
Il tempo solare medio ad un dato istante egrave dato
dal Tempo solare vero piugrave lrsquoequazione del
tempo
119879119904119900119897119890 119898119890119889119894119900= 119879119904119900119897119890 119907119890119903119900 + E
Bignamino di astronomia
13
Relazione tra tempo solare e tempo siderale
Consideriamo la posizione del sole a 24 ore di distanza
1199051119904=1198671199041 + 1205721198781
1199052119904=1198671199042 + 1205721198782
Calcolando la differenza tra le due espressioni si ha
1199052119904- 1199051119904 = (1198671199042 minus 1198671199041 ) + (1205721198782 -1205721198781)
(1198671199042 minus 1198671199041 ) = 24
Mentre la differenza in ascensione retta (1205721198782 -1205721198781) dagrave lo spostamento angolare diurno del sole
medio sullrsquoequatore che in gradi egrave 24
36525
Pe cui
1199052119904- 1199051119904 = 24h + 24
36525
1199052119904- 1199051119904 = 24 (1+ 1
36525)
1199052119904- 1199051119904 = 24 36625
36525
Un giorno solare medio= 36625
36525 giorni siderali
Un giorno siderale= 36525
36625 giorni solari veri
Il rapporto K = 36625
36525 K=1002738 serve per convertire gli intervalli di tempo solare medio in
intervalli di tempo siderali
∆119879119904= K ∆119879119898
Il rapporto Krsquo = 36525
36625 Krsquo = 0997270 serve per convertire gli intervalli di tempo siderali in intervalli
ti tempo solare medio
∆119879119898= Krsquo ∆119879119904
24 ore di tempo medio corrispondono a 24h 03m 5655s di tempo siderale viceversa un giorno
siderale egrave 23h 56m 04s di tempo solare medio
Se s egrave il tempo siderale ad un certo istante ad un dato meridiano mentre alla mezzanotte
precedente sullo stesso meridiano il tempo siderale era S dalla mezzanotte sono passati (s-S) ore
minuti secondi di tempo siderale che corrispondono a (s-S) Krsquo di tempo solare medio Poicheacute a
mezzanotte il tempo solare medio egrave 0ℎ 119879119898 = (s-S) Krsquo rappresenta il tempo solare medio allrsquoistante
del tempo siderale s
Bignamino di astronomia
14
Se al meridiano di quel luogo alla mezzanotte di una certa data il tempo siderale era S allrsquoistante
di tempo medio solare saragrave
s= S + 119879119898 119870
NOTA
Ersquo sempre necessario conoscere il tempo siderale S alla mezzanotte del meridiano dato Per questo
sono stati costruiti annuari che forniscono il tempo siderale 1198780 alla mezzanotte del meridiano
fondamentale di GW
Il tempo siderale S alla mezzanotte ad una data longitudine 120582 egrave dato da
119878 = 1198780 minus120582 ℎ
24ℎ (3119898 56119904 55)
Ora locale e longitudine
Si definisce tempo locale medio il tempo regolato sul meridiano del luogo
Nella vita quotidiana egrave scomodo utilizzare questo
tempo per cui il primo luglio 1919 sono stati introdotti
i fusi orari In base a questa suddivisione il tempo
medio egrave determinato solo per 24 meridiani geografici
principali separati da 15deg gradi (unrsquoora) I fusi orari sono
numerati da 0 a 23 ed il meridiano passante per GW
costituisce lrsquoorigine (fuso = 0)
Il tempo medio locale egrave dato da
119905119897 = 119905119891 ndashΔ120582
dove Δ120582 = 120582119891 - 120582119874
Nota
1) La differenza tra le ore locali (siderali o solari) di due meridiani misurate allo stesso istante
egrave sempre uguale alle differenze di longitudini
2) Poicheacute i confini dei fusi orari distano circa 7deg5 dal meridiano centrale la differenza 119905119897 - 119905119891
puograve essere leggermente maggiore o minore di plusmn 30119898
Bignamino di astronomia
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Tempo Universale
Il tempo solare medio del meridiano di GW si chiama Tempo Universale (TU)
Per quanto precedentemente detto il tempo medio locale egrave uguale al tempo universale piugrave la
longitudine del luogo espressa in ore e considerata positiva ad est di GW
119905119897 = TU +120582
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16
MOTO APPARENTE DEI PIANETI
I pianeti si muovono in vicinanza dellrsquoeclittica ma il loro movimento visto dalla Terra egrave piugrave
complicato di quello del Sole e della Luna Il Sole e la Luna riferendo il loro moto rispetto alle stelle
fisse si muovono di moto diretto cioegrave antiorario per i pianeti si osserva che in generale si muovono
di moto diretto ma ce certi tratti variabili da pianeta a pianeta si muovono di moto retrogrado Il
pianeta dopo avere raggiunto una posizione di stazionarietagrave
inverte il moto Questo egrave molto piugrave evidente per i pianeti
interni Mercurio e Venere che oscillano avanti e indietro
rispetto alla posizione del Sole venendosi a trovare ora da
una parte ora dallrsquoaltra rispetto ad esso Quando il pianeta egrave
in congiunzione superiore egrave invisibile perchegrave nasce e
tramonta con il Sole ma essendo in questo momento piugrave
veloce del Sole dopo qualche tempo puograve essere visto dopo
il tramonto ad occidente (si trova a sinistra del Sole)
Lrsquoelongazione orientale cresce nei giorni seguenti e
contemporaneamente decresce la sua velocitagrave angolare e
quando raggiunge la stessa velocitagrave angolare del Sole per
qualche istante si muove mantenendo la stessa distanza il
pianeta raggiungere la massima elongazione orientale Per venere questo valore egrave circa 46deg per
Mercurio egrave variabile dai 18deg ai 28deg Da questo momento il pianeta comincia il suo avvicinamento al
Sole ritornando con moto retrogrado in congiunzione con esso ma questa volta in congiunzione
inferiore Ritorna invisibile (potrebbe esserci un transito) Continuando nel suo moto retrogrado
appare visibile ad occidente (a destra del Sole) ed egrave visibile prima del sorgere del Sole (elongazione
occidentale) Questo ci dice che i pianeti inferiori non possono mai trovarsi in quadratura o
opposizione
I pianeti esterni invece possono assumere qualsiasi distanza dal Sole da 0deg a 180deg e quindi possono
trovarsi nelle due precedenti configurazioni Raggiunta
lrsquoelongazione massima di 180deg i pianeti si trova dalla parte
opposta a quella del Sole la velocitagrave retrograda egrave massima e
raggiungono anche il massimo della luminositagrave Oggi noi
sappiamo che tutto questo egrave dovuto egrave il risultato della
composizione del moto della Terra e di quello dei pianeti
attorno al Sole semplificando osserviamo un oggetto in
movimento essendo noi stessi in movimento Le velocitagrave dei
pianeti variano piugrave sono vicini al Sole piugrave velocemente si
muovono I due pianeti essendo piugrave vicini al Sole sorpassano
la Terra durante il loro moto mentre egrave la Terra a sorpassare i
pianeti esterni quando sono vicini allrsquoopposizione e quindi
essi sembrano muoversi allindietro
Ed allora se indichiamo con T Il nostro anno siderale con P il periodo sidereo del Pianeta e con S il
periodo siderale (il tempo intercorso tra due congiunzioni o due opposizioni successive) la
composizione delle velocitagrave ci consente di calcolare la velocitagrave relativa del pianeta rispetto alla
Terra
Bignamino di astronomia
17
Per i pianeti interni (la Terra si muove piugrave lentamente)
2120587
119878 = 2120587
119875 - 2120587
119879
120783
119930 = 120783
119927 - 120783
119931
Per i pianeti esterni (la Terra si muove piugrave velocemente)
2120587
119878 = 2120587
119879 - 2120587
119875
120783
119930 = 120783
119931 - 120783
119927
Il movimento di tutti i pianeti attraverso le stelle fisse segue apparentemente la stessa direzione di
quello della Luna (e del Sole) - con una strana variante talvolta il loro moto apparente cambia
temporaneamente verso (moto retrogrado) Questo egrave molto piugrave evidente per Mercurio e Venere
che oscillano avanti e indietro rispetto alla posizione del Sole Durante il moto del Sole attraverso le
stelle - lungo le costellazioni dello zodiaco - questi pianeti
talvolta si muovono nello stesso verso e quindi il loro
movimento si somma a quello del Sole ma altre volte il loro
moto apparente si oppone a quello del Sole facendo sigrave che
sembri che si muovano allindietro (moto retrogrado)Gli
altri tre pianeti visibili ad occhio nudo si possono trovare in
qualunque posizione lungo leclittica - anche a mezzanotte in
posizione direttamente opposta a quella del Sole e quando
questo avviene raggiungono il massimo della luminositagrave
Marte sembra muoversi piugrave rapidamente Giove un po meno
e Saturno egrave il piugrave lento Comunque tutti mostrano questa
enigmatica stranezza vicino al punto in cui il loro percorso
apparente nel cielo egrave esattamente in posizione opposta al Sole
(opposizione) il loro movimento tra le stelle
temporaneamente si inverte Oggi noi comprendiamo molto
bene tutto questo (vedi fig1) I pianeti sono oggetti sferici
come la Terra - Venere Mercurio e Marte sono piugrave piccoli Giove e Saturno molto piugrave grandi Anche
la Terra egrave un pianeta e ne esistono anche altri (troppo deboli per essere visti senza un telescopio)
tutti che orbitano attorno al Sole sul piano o vicino al piano delleclittica La loro velocitagrave tuttavia
varia - piugrave sono vicini al Sole e piugrave rapidamente si muovono (vedi la sezione ldquoterza legge di Keplerordquo)
Quindi quando i tre pianeti esterni sono vicini allopposizione la Terra che orbita piugrave vicina al Sole
li sorpassa e quindi essi sembrano muoversi allindietro Il moto retrogrado dei due pianeti interni
ha una causa simile Essendo piugrave vicini al Sole sono essi che sorpassano la Terra durante il loro moto
Bignamino di astronomia
18
Sommario di quanto egrave noto oggi sui pianeti
Viene qui riportato un breve sommario dei componenti del sistema solare In genere vengono distinte quattro classi di oggetti
1 I pianeti maggiori in ordine di distanza dal Sole - Mercurio Venere Terra Marte Giove Saturno Urano e Nettuno Tutti tranne i due piugrave interni hanno dei satelliti e tutti e quattro i piugrave esterni hanno degli anelli composti da piccoli ciottoli di materia in orbita attorno al pianeta
2 Asteroidi o pianetini in maggioranza - anche se non tutti - posti tra Marte e Giove Il loro diametro arriva fino a 500 Km
3 La fascia di Kuiper di oggetti ghiacciati oltre lorbita di Nettuno di cui il piugrave noto (anche se ora si egrave scoperto che egrave solo il secondo come dimensioni) egrave Plutone scoperto nel 1930 e delle dimensioni della nostra Luna La fascia ha preso il nome dellastronomo belga Gerard Kuiper si estende probabilmente a una distanza doppia di quella di Nettuno e si stima che consista di circa 100000 oggetti (finora ne sono stati identificati circa 1000) molti dei quali con un diametro di soli 100 Km o meno
4 Comete tradizionalmente divise in non ricorrenti (il nome ufficiale egrave comete a lungo periodo) e comete periodiche Le comete non ricorrenti si pensa che provengano dalla nube di Oort un enorme agglomerato quasi sferico di oggetti ghiacciati agli estremi limiti del sistema solare Essi sono debolmente legati al Sole e di tanto in tanto lattrazione gravitazionale di qualche stella lontana probabilmente cambia un poco il moto di alcuni di
essi lanciandoli in direzione del Sole In tal caso diventano visibili come comete quando la luce del Sole fa evaporare una parte della loro superficie generando la chioma e la coda della cometa Le comete periodiche una volta erano considerate come oggetti che avevano iniziato come oggetti non ricorrenti ma poi erano state deviate e catturate dallattrazione gravitazionale dei pianeti piugrave grandi Oggi si ritiene che provengano dalla fascia di Kuiper come classe di oggetti noti come Centauri
Bignamino di astronomia
19
LE LEGGI DEL MOTO DEI PIANETI
Prerequisito Lrsquoellisse
Luogo geometrico dei punti del piano per i quali si
mantiene costante la somma delle distanze da due
punti fissi detti fuochi
Detta in parole piugrave semplici lellisse non egrave altro che
una circonferenza ldquoschiacciata Un elemento
fondamentale che ci permette di capire di quanto
questa viene compressa egrave leccentricitagrave e
Leccentricitagrave egrave definita come il rapporto tra la
semidistanza focale e il semiasse maggiore
119890 =119888
119886
Formule inverse
119888 = 119886119890
119886 =119888
119890
Infatti nellellisse possiamo individuare
bull Semiasse maggiore (a)
bull Semiasse minore (b)
bull Semidistanza focale (c)
Indicheremo quindi con 2a il semiasse maggiore (AB) con 2b il semiasse minore (CD) e con 2c la
distanza focale (F1F2)
ATTENZIONE lrsquoeccentricitagrave dellellisse egrave SEMPRE compresa tra 0 e 1 (0ltelt1) Se
questa fosse uguale a 0 i due fuochi andrebbero a coincidere con lorigine e lellisse
diventerebbe una circonferenza Se fosse uguale a 1 diventerebbe una parabola se
fosse egt1 diventerebbe una iperbole
Dalla figura si nota che la somma delle distanze dai due punti fissi detti fuochi egrave costante ed egrave pari
alla lunghezza dellasse maggiore (2a) Quindi si puograve anche applicare il teorema di Pitagora
1198862 = 1198872 + 1198882
Formule inverse
1198872 = 1198862 minus 1198882
1198882 = 1198862 minus 1198872
Bignamino di astronomia
20
LEGGI DI KEPLERO
PRIMA LEGGE
Enunciato i pianeti descrivono intorno al Sole orbite
ellittiche in cui questo occupa uno dei fuochi
Si puograve quindi notare che la distanza di un pianeta
attorno al Sole non si mantiene costante bensigrave ci
saragrave un punto in cui questo saragrave piugrave vicino al Sole
(perielio) e uno in cui saragrave piugrave lontano (afelio)
Possiamo quindi calcolare le due distanze
119889119886 = 119886(1 + 119890)
119889119901 = 119886(1 minus 119890)
Formule inverse
119886 =119889119886
1 + 119890
119886 =119889119901
1 minus 119890
119890 =119889119886
119886minus 1
119890 = 1 minus119889119901
119886
Inoltre si nota anche che dalla somma delle due distanze otteniamo lasse maggiore dellorbita
2119886 = 119889119886 + 119889119901
E il semiasse egrave quindi dato da
119886 =119889119886 + 119889119901
2
Bignamino di astronomia
21
Formule inverse
119889119886 = 2119886 minus 119889119901
119889119901 = 2119886 minus 119889119886
La distanza focale egrave data dalla differenza delle due distanze
2119888 = 119889119886 minus 119889119901
119888 =119889119886 minus 119889119901
2
Formule inverse
119889119886 = 2119888 + 119889119901
119889119901 = 119889119886 minus 2119888
Quindi leccentricitagrave dellrsquoorbita puograve essere anche scritta come
119890 =119889119886minus119889119901
119889119886+119889119901=
2119888
2119886 =
119888
119886
SECONDA LEGGE
Enunciato il raggio vettore che congiunge il Sole al pianeta spazza aree
uguali in tempi uguali
Dalla seconda legge comprendiamo che la velocitagrave del pianeta intorno
al Sole non egrave costante al perielio viaggeragrave piugrave velocemente che
allafelio Quindi si puograve affermare che le velocitagrave sono inversamente
proporzionali alle distanze
119881119886
119881119901=119889119901
119889119886
Formule inverse
119881119886 =119889119901 119881119901
119889119886
Bignamino di astronomia
22
119881119901 =119881119886 119889119886
119889119901
119889119886 =119881119901 119889119901
119881119886
119889119901 =119881119886 119889119886
119881119901
TERZA LEGGE
Enunciato i cubi dei semiassi maggiori sono
proporzionali ai quadrati dei periodi di
rivoluzione
1198863
1198792= 119896
Dalla terza legge si nota che esiste una relazione tra periodo di rivoluzione e lontananza dal corpo
centrale Sono infatti legati tra loro dal valore di una costante che egrave stata indicata con k
Per i corpi orbitanti intorno ad una massa comune (come ad esempi o per i corpi del Sistema solare)
questa legge puograve essere anche scritta come
1198861199053
1198791199052 =
1198861198983
1198791198982
=1198861199043
1198791199042 = ⋯
PER I CORPI DEL SISTEMA SOLARE se si inserisce in formula il valore del semiasse maggiore in unitagrave
astronomiche (UA) e il periodo di rivoluzione in anni il valore di questa costante egrave uguale a 1 Infatti
ricavandola per la Terra
(1 119880119860)3
(1 119886119899119899119900)2= 1
E se k=1 per la Terra vale per tutti gli altri corpi orbitanti intorno al Sole
Bignamino di astronomia
23
NEWTON E LA GRAVITAZIONE UNIVERSALE
Con le leggi di Keplero siamo ancora in quella parte di fisica che descriviamo come cinematica
descriviamo perfettamente i moti dei pianeti ma non risaliamo alle cause Newton avanzograve lrsquoipotesi
che sia i gravi in caduta libera che i pianeti vengono deviati dalla condizione di moto rettilineo
uniforme dallrsquoesistenza di una forza centrale Nel 1684 Newton ldquopoggiandosi sulle spalle dei
gigantirdquo (Keplero ed il nostro Galilei) dimostrograve che la forza che fa ldquofluttuarerdquo i pianeti attorno al Sole
dipende dallrsquoinverso del quadrato della distanza da esso
Integrando il suo secondo principio della dinamica con la terza legge di Keplero perviene a
119865119892=41205872 119898
1198701199032
Questa forza deve dipendere anche dalla massa M del Sole ed allora
119865119892=41205872 119898119872
1198721198701199032
Dove K egrave la costante della terza legge di Keplero Ponendo la quantitagrave 41205872
119872119870 = G ( notare che contiene
la costante K e la massa del Sole) otteniamo la nota formula
119865119892=119866 119898119872
1199032
Newton dedusse che questa legge egrave valida non solo per i corpi del sistema solare ma in tutto
lrsquoUniverso egrave la Legge di Gravitazione Universale Nel 1798 Cavendish ideograve la bilancia a torsione e
trovograve il valore per la costante G = 667times10⁻sup1sup1 N msup2kgsup2
Bignamino di astronomia
24
Terza legge di Keplero generalizzata
Approssimando lrsquoorbita di un corpo a circolare e considerando trascurabile la massa del corpo
orbitante la condizione di equilibrio per la quale esso orbita egrave data da
119865119888 = 119865119892
119865119900119903119911119886 119888119890119899119905119903119894119891119906119892119886 = 119865119900119903119911119886 119892119903119886119907119894119905119886119911119894119900119899119886119897119890
La forza centrifuga egrave espressa come
119865119888 = 119898 119886119888
E quella gravitazionale (dalla legge di gravitazione universale di Newton) come
119865119892 =119866119872119898
1198862
Sostituendo in formula
119898119886119888 =119866119872119898
1198892
Notiamo che semplificando m otteniamo un modo per esprimere lrsquoaccelerazione
119886119888 =119866119872
1198892
Lrsquoaccelerazione egrave espressa come
119886119888 =1199072
119886=412058721198862
1198792119886=41205872119886
1198792
Sostituendo in formula
41205872119886
1198792=119866119872
1198862
Da cui
1198863
1198792=119866119872
41205872
Formule inverse
119886 = radic119866119872 1198792
41205872
3
119879 = radic412058721198863
119866119872
Bignamino di astronomia
25
119872 =412058721198863
119866 1198792
Nota nel caso in cui la massa del corpo orbitante non fosse trascurabile la terza legge di Keplero
generalizzata diventerebbe
1198893
1198792=119866 (119872 +119898)
41205872
Nel Sistema solare la somma delle due masse si considera uguale alla sola massa del
Sole data la relativa piccola massa dei pianeti
NOTA I corpi lasciati cadere verso il basso quando la resistenza dellrsquoaria egrave trascurabile cadono con la
stessa accelerazione g detta accelerazione di gravitagrave Sulla superficie terrestre lrsquoaccelerazione di
gravitagrave egrave g = 98 ms2 In realtagrave il valore di g cambia da punto a punto percheacute dipende fra lrsquoaltro
dallrsquoaltezza del punto sul livello del mare e dalla sua latitudine Ora che conosciamo la legge di
gravitazione universale possiamo dire che i corpi cadono per effetto della forza di gravitazione che
si esercita tra il corpo e la Terra Allora
119892 =119866119872
1198892
Se il corpo si trova sulla Terra o prossimo alla superficie sostituendo a questa formula i valori relativi
alla massa della Terra e al suo raggio troviamo per lrsquoaccelerazione il valore noto di 98 ms2
Un altro fattore che influisce sul valore di g egrave la rotazione terrestre in quanto ogni corpo su di
essa egrave soggetto ad una forza centripeta per cui
119892rsquo = 119892 minus 1205962 119877119879
ldquoRationem vero harum
Gravitatis proprietatum
ex phaelignomenis nondum
potui deducere amp
hypotheses non fingordquo
ldquoIn veritagrave non sono riuscito a dedurre la causa di
queste proprietagrave della gravitagrave dai fenomeni e non
avanzo ipotesirdquo
Isaac Newton Philosophiae Naturalis Principia
Mathematica liber tertius
Bignamino di astronomia
26
ALCUNE CONSIDERAZIONI SULLE ORBITE
La Legge della Gravitazione Universale ci insegna che la forza drsquoattrazione gravitazionale egrave
inversamente proporzionale al quadrato della distanza delle due masse che si attraggono ovvero
119865 prop1
1198892 a causa di questa caratteristica dellrsquointerazione gravitazionale si puograve dimostrare che le
orbite descritte dai corpi celesti attorno a un oggetto ldquoattrattorerdquo seguono particolari curve le
coniche
Le coniche sono curve che si ottengono dallrsquointersezione di un piano con un cono a due falde Si
ottengono cosigrave circonferenza ellisse iperbole e parabola
Ciograve che distingue lrsquouna dallrsquoaltra queste curve egrave un parametro lrsquoeccentricitagrave
Circonferenza il piano egrave perpendicolare
allrsquoasse (tratteggiato)
Ellisse il piano egrave obliquo
Parabola il piano egrave parallelo a una delle
generatrici (le due rette incidenti in V in
figura)
Iperbole il piano egrave parallelo allrsquoasse del cono
CIRCONFERENZA e=0
ELLISSE 0ltelt1 (piugrave questo valore si avvicina ad 1 piugrave
lrsquoellisse egrave schiacciata)
PARABOLA e=1
IPERBOLE egt1 (quanto piugrave maggiore di uno egrave
questo valore tanto piugrave lrsquoiperbole egrave ldquoapertardquo)
Bignamino di astronomia
27
VELOCITAgrave ORBITALE ORBITA CIRCOLARE
Affincheacute il corpo rimanga in orbita egrave necessario che in ogni punto dellrsquoorbita la forza centripeta sia
uguale alla forza di attrazione gravitazionale
FC = FG
mv2
R=mMG
R2
mv2
R=mMG
R2
v2 =MG
R
119855 = radic119820119814
119825
A questa velocitagrave si dagrave il nome di prima velocitagrave cosmica
VELOCITAgrave SU ORBITE NON CIRCOLARI
Il problema si risolve con lrsquoapplicazione del principio di conservazione dellrsquoenergia meccanica che
altro non egrave che la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale
119922120783 + 119932120783 = 119922120784 + 119932120784
E poicheacute le velocitagrave orbitali variano al variare dalla distanza alla prima equazione egrave necessario
associare la seconda legge di Keplero
Per cui il problema egrave risolto dalla soluzione del sistema
119922120783 + 119932120783 = 119922120784 + 119932120784119959119938 119941119938 = 119959119953119941119953
Nel caso della forza gravitazionale lrsquoenergia potenziale egrave 119880 = minus119898119872119866
119877
Lrsquoenergia cinetica egrave K= 1
21198981199072
Bignamino di astronomia
28
Il sistema diventa
119907119886119889119886 = 1199071199011198891199011
2119898119907119886
2 minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
Le soluzioni sono 119959119938 = radic120784119918119924119941119953
119941119938(119941119953+119941119938) 119959119953 = radic120784119918119924
119941119938
119941119953(119941119953minus119941119938)
Ricordando che 119889119886 = 119886(1 + 119890) 119889119901 = 119886(1 minus 119890) 119938 =119941119938+119941119953
120784 119942 =
119941119938minus119941119953
119941119938+119941119953
le due velocitagrave possono anche essere espresse in funzione del semiasse maggiore e
dellrsquoeccentricitagrave dellrsquoorbita
Quindi
119907119901 = radic119918119924
119938(120783+119942
120783minus119942)
119907119886 = radic119918119924
119938(120783minus119942
120783+119942)
ALCUNE CONSIDERAZIONI DINAMICHE SULLE ORBITE
Allrsquoinizio di questi appunti abbiamo evidenziato come gli oggetti orbitanti seguano delle traiettorie
che sono curve coniche e abbiamo individuato questrsquoultime catalogandole anche a seconda
dellrsquoeccentricitagrave in seguito abbiamo enunciato il principio di conservazione dellrsquoenergia meccanica
119922+119932 = 119940119952119956119957119938119951119957119942
Possiamo procedere nella classificazione delle orbite a seconda del valore assunto da questa
costante (lrsquoenergia meccanica) In particolare
bull Se questa costante egrave negativa allora lrsquooggetto segue unrsquoorbita chiusa (circonferenza
ellisse)
bull Se essa egrave nulla allora il corpo si muove su unrsquoorbita parabolica (a distanza infinita la sua
velocitagrave egrave nulla)
bull Se essa egrave positiva allora la traiettoria egrave iperbolica (e il corpo giunge a distanza infinita con
velocitagrave ndash chiamata ldquovelocitagrave drsquoeccesso iperbolicordquo ndash non nulla)
Bignamino di astronomia
29
VELOCITAgrave DI FUGA ndash RAGGIO DI SCHWARZSCHILD
119959 = radic120784119918119924
119929
A questa velocitagrave si dagrave il nome di seconda velocitagrave cosmica o velocitagrave di fuga
Immaginiamo ora di poter comprimere un corpo celeste di massa M (quindi via via il raggio R
diminuisce) la velocitagrave di fuga di un altro corpo dalla sua superficie aumenteragrave al diminuire del
raggio Quando il raggio raggiungeragrave un valore ldquocriticordquo la velocitagrave di fuga eguaglieragrave quella della
luce e neanche la luce potragrave allontanarsi indefinitamente dal corpo esso egrave diventato un buco nero
Al raggio ldquocriticordquo associato a ogni massa M si dagrave il nome di Raggio di Schwarzschild in onore del
matematico astronomo e astrofisico tedesco Karl Schwarzschild (1873-1916) il raggio si ricava cosigrave
119888 = radic2119866119872
119877119904 rarr 1198882 =
2119866119872
119877119904 rarr 119929119956 =
120784119918119924
119940120784
Dove c egrave la velocitagrave della luce (c=299792458 ms)
Bignamino di astronomia
30
ECLISSI LUNA-SOLE
Eclisse di Luna
Una eclisse di Luna si verifica quando la Terra si interpone tra il nostro satellite ed il Sole cioegrave
quando la Luna entra nel cono drsquoombra della Terra che egrave rivolto dalla parte opposta al Sole e per
tanto lrsquoeclisse piograve avvenire solo quando la Luna egrave in opposizione cioegrave quando egrave piena Poicheacute la
Luna si sposta da ovest verso est essa
entra nel cono drsquoombra della Terra dalla
parte sinistra Se lrsquoorbita della Luna
attorno alla Terra giacesse sullo stesso
piano dellrsquoorbita della Terra attorno al
Sole ad ogni plenilunio avremmo una
eclisse totale di Luna Queste due orbite
sono inclinate di 5deg9rsquo e si incontrano i
due punti che definiscono i nodi Percheacute
si abbia una eclisse Sole e Luna non solo
devono essere allrsquoopposizione ma
devono essere vicinissimi ai nodi In media la distanza angolare del Sole dal nodo deve essere minore
di 9deg9 per unrsquoeclisse parziale e non piugrave di 4deg6 per unrsquoeclisse totale
Calcolo lunghezza cono drsquoombra della Terra
I triangoli VAS e VBT sono simili (vedi figura)
VS VT= AS BT
Ma
VS= VT+ TS
sostituendo si trova che
VT =119879119878∙119861119879
119860119878minus119861119879
Siccome sappiamo che il raggio del Sole egrave circa 10925 raggi terrestri abbiamo
Bignamino di astronomia
31
VT= 119878119879∙119861119879
10925119861119879minus119861119879
VT= 119878119879
10925minus1
La lunghezza del cono drsquoombra si puograve calcolare dividendo la distanza media Terra-Sole per 10925
Si puograve calcolare anche il semidiametro apparente visto dalla Terra dellrsquoombra che la Terra proietta
sul piano dove si trova la Luna
Poicheacute il raggio angolare della Luna egrave di 15rsquo5 percheacute una eclisse di Luna possa avere luogo egrave
necessario che la distanza tra i centri dellrsquoombra terrestre e della Luna sia inferiore a
41rsquo+15rsquo5 = 56rsquo5
Con questo dato si puograve calcolare quanto egrave spostato il centro dellrsquoorbita terrestre dal nodo lunare
Dalla proporzione
119861119879 119877119867 = 119881119879119867119881
119877119867 =119881119867 ∙ 119861119879
119881119879
Dato che
119881119867 = 119881119879 minus 119879119867
119877119867 =119861119879 (119881119879 minus 119879119867)
119881119879=
=119861119879
119881119879(1 minus
119879119867
119881119879) =
Dalla formula precedente
119881119879 =119878119879
10825
Sostituendo
Bignamino di astronomia
32
119877119867 =119861119879 ∙ 10825
119878119879(1 minus 119879119867) =
= 119877119879119864119877119877119860119863119879119878
10825 (1 minus 119863119879119871)
Si trova che questo valore egrave di 10deg6 Quindi unrsquoeclisse lunare si puograve verificare (anche di breve
durata) solo nel caso in cui lrsquoorbita terrestre egrave spostata meno di 10deg6 gradi dal nodo lunare (ad est
o ad ovest)
La Terra si muove lungo lrsquoeclittica di circa 59rsquo al giorno Per percorrere questa distanza impiega 108
giorni e la distanza doppia in 216 giorni poicheacute una rivoluzione sinodica si compie in 295 giorni
Una Luna piena puograve verificarsi ad una distanza superiore ai 10deg6 gradi ad ovest e la successiva Luna
piena ad una distanza superiore ad est e quindi nel corso di questa rivoluzione non si verificheranno
eclissi Si puograve verificare che in un anno non ci siano eclissi o al massimo tre quando la prima cade
poco dopo il primo gennaio la seconda sei mesi dopo (in prossimitagrave di giugno) e la terza a fine
dicembre (dodici mesi sinodici dopo la prima 354 giorni)
Bignamino di astronomia
33
Eclisse di Sole
Uneclissi di Sole si verifica quando la Luna attorno alla sua congiunzione si trova allineata tra la
Terra e il Sole molto vicino ad uno dei nodi o esattamente in esso Bencheacute di dimensioni
estremamente diverse si trovano a distanze tali da mostrare lo stesso diametro apparente Il che
consente alla Luna di coprire il disco del Sole
Percheacute ci sia una eclisse di Sole egrave necessario che
al momento del novilunio il Sole sia distante
dal nodo inferiore in media 15deg5 Questo
valore egrave piugrave alto di quello calcolato per lrsquoeclisse
di Luna e quindi si capisce percheacute le eclissi di
Sole sono piugrave frequenti Il cono drsquoombra
massimo della Luna ha un valore che non
supera i 270km sulla superficie della Terra mentre la lunghezza del cono drsquoombra egrave circa 374000
per cui il vertice di questo cono non sempre raggiunge la Terra in questo caso si hanno eclissi
anulari In localitagrave differenti della Terra lrsquoeclisse di Sole si verifica in tempi diversi Il moto della Luna
attorno alla Terra e la rotazione della Terra attorno al proprio asse fanno sigrave che lrsquoombra lunare si
sposti da ovest verso est formando una striscia drsquoombra lunga un migliaio di km e larga da 200 a 270
km Poicheacute la Luna si sposta da ovest verso est lrsquoeclisse inizia dal bordo ovest del Sole
Condizione percheacute si possa verificare unrsquoeclissi di Sole
Percheacute si verifichi unrsquoeclisse di Sole egrave necessario che nel periodo della Luna nuova questa si trovi in
prossimitagrave di uno dei nodi della sua orbita cioegrave in vicinanza dellrsquoeclittica
Indichiamo con S T L i centri del Sole della Terra della Luna che giacciono tutti su di un piano
perpendicolare al piano dellrsquoeclittica Il verificarsi dellrsquoeclisse dipende dalla latitudine geocentrica
della Luna (nella figura lrsquoangolo LTS (vertice in T) = 120573 )
Dalla figura
Bignamino di astronomia
34
120573 = LTLrsquo+ LrsquoTSrsquo + STSrsquo
Dalla figura si evince che
LTLrsquo egrave il raggio angolare della Luna= 120572119871
STSrsquo egrave il raggio angolare del Sole = 120572119878
120573 = 120572119871 + LrsquoTSrsquo + 120572119878
Lrsquo TSrsquo =
Consideriamo lrsquoangolo TLrsquoO esterno al triangolo TLrsquoSrsquo
TLrsquoO= LrsquoTSrsquo + TSrsquoLrsquo
TLrsquoO= LrsquoTSrsquo + TSrsquoO
LrsquoTSrsquo = TLrsquoO - TSrsquoO
TLrsquoO = 119901119871 = 57prime2primeprime (parallasse orizzontale della Luna)
TSrsquoO= 119901119878 = 8primeprime 8 (parallasse orizzontale del Sole)
120573 = 120572119871 + 120572119878 + 119901119871 - 119901119878
120573 = 15rsquo5 +16rsquo3 +57rsquo2 ndash 8rsquorsquo8
120573 = 88rsquo46
Percheacute si verifichi una eclisse anche di breve durata egrave necessario che la latitudine geocentrica della
Luna sia inferiore a 88rsquorsquo46
La parallasse orizzontale equatoriale della Luna egrave lrsquoangolo sotto il quale dal centro della Luna egrave
visibile il raggio equatoriale della Terra La parallasse orizzontale equatoriale del Sole egrave lrsquoangolo
sotto il quale dal centro del Sole egrave visibile il raggio equatoriale della Terra
Bignamino di astronomia
35
La distanza angolare del centro della Luna rispetto al
nodo (longitudine) si puograve calcolare con la
sinΔ120582 = tan120573
tan 119894
Δ120582 = 16deg5
Il Sole muovendosi alla velocitagrave di 59rsquo al giorno percorre 33deg gradi di eclittica in 34 giorni Essendo
il periodo sinodico di 295 giorni egrave evidente che nel corso di questo periodo si ha una Luna nuova
(ed anche due) Questo assicura che nel corso di un anno si verificano almeno due eclissi di Sole in
vicinanza dei nodi Se la prima si verifica ai primi di gennaio la seconda si ha alla Luna nuova
successiva la terza e la quarta poco meno di sei mesi dopo e la quinta 354 giorni dopo la prima
Bignamino di astronomia
36
Numero totale di eclissi per anno
Il Ciclo di Saros
In base a quanto fin qui detto il numero massimo di eclissi che si possono verificare in un anno egrave 7
bull 2 Luna + 5 Sole
bull 3 Luna + 4 Sole
e viceversa Questa combinazione egrave piuttosto rara lrsquoevento piugrave frequente egrave 2 Luna + 2 Sole Il
numero minimo costituito da due eclissi entrambe di Sole
Fin dallrsquoantichitagrave era noto che le eclissi si succedevano pressocheacute nello stesso ordine in un periodo
di circa 18 anni e 113 giorni La spiegazione egrave alquanto semplice
Le fasi lunari si succedono ogni 2953 giorni (mese sindico) mente il ritorno allo stesso nodo della
Luna avviene ogni 2721 giorni I nodi
hanno un moto di retrogradazione in un
giorno percorre un angolo pari a
3rsquo10rsquorsquo64 e completa il giro in 18anni e
113 giorni Il Sole si sposta di moto
diretto in media di 59rsquo8rsquorsquo33 al giorno
rispetto al nodo Il moto del Sole egrave di
62rsquo19rsquorsquo e quindi lrsquointervallo di tempo fra
due passaggi consecutivi del centro del
Sole per lo stesso nodo egrave di 34662 giorni
(anno draconico) Il saros egrave lrsquointervallo di tempo percheacute questi tre periodi tornino nella stessa
successione La natura si diverte
Succede che
bull 223 lunazioni (223 mesi sinodici) corrispondono a giorni 658519 (223 x 2953)
bull 242 mesi draconici corrispondono a giorni 658502
bull questi giorni corrispondono a 18 anni e circa 11 giorni
Poi succede che se dividiamo questi 658519 per lrsquoanno draconico troviamo circa 19
Questi tre periodi ritornano nella stessa successione dopo circa 6585 giorni che rappresenta il
ciclo di Saros Le condizioni in cui si producono le eclissi non saranno mai le stesse poicheacute essendo
223 mesi sinodici piugrave corti di 004 mesi draconici dopo 18 anni la Luna non si troveragrave esattamente
allo stesso posto rispetto al nodo Il ciclo di Saros contiene 6585 giorni interi piugrave circa 13 di giorni
questo comporta che le zone di visibilitagrave delle eclissi sulla superficie terreste in 18 anni si spostano
di circa 120deg verso Ovest
Bignamino di astronomia
37
ANGOLO SOLIDO
Si definisce angolo solido la porzione di sfera intercettata dalle
semirette che lo individuano
120570 =119860
1198772=41205871198772
1198772= 4120587
120570 = 4120587
Langolo solido totale di una sfera egrave pari a 4π Lunitagrave di misura
egrave sr (steradiante) ed egrave un numero puro
Per avere la misura in gradi quadrati si deve
119898119900119897119905119894119901119897119894119888119886119903119890 4120587 bull (180deg
120587)2
119900 1198891198941199071198941198891198901199031198904120587
1205872
4π sr= 41253deg -gt 1deg=3046 bull 10minus4119904119905119890119903119886119889
STRUMENTI OTTICI
CAMPO DELLO STRUMENTO
Il campo di uno strumento egrave definito dallangolo solido sotto il quale loculare viene visto dal centro
dellobiettivo Il campo corretto dalle aberrazioni ottiche di norma egrave 1
2deg
APERTURA ASSOLUTA
Lapertura assoluta dipende dal diametro D dello strumento La quantitagrave di luce raccolta egrave
proporzionale allarea dellobiettivo cong 1198632
APERTURA RELATIVA
Si definisce apertura relativa il rapporto
119863
119891=119886119901119890119903119905119906119903119886 119886119904119904119900119897119906119905119886 (119889119894119886119898119890119905119903119900)
119891119900119888119886119897119890 119889119890119897119897prime119900119887119894119890119905119905119894119907119900
Bignamino di astronomia
38
RAPPORTO FOCALE
Linverso dellrsquoapertura relativa 119891
119863 definisce il rapporto focale
Lenergia raccolta dallobiettivo egrave distribuita sullarea dellimmagine la cui grandezza sul piano focale
egrave data da
119889 = 119891 bull 119905119886119899120572
Con α=diametro angolare dellrsquooggetto
119889 = 119891120572
Se α egrave espresso in radianti
POTERE RISOLUTIVO
Il potere risolutivo egrave la minima distanza angolare tra due sorgenti di luce che possono essere viste
separate (ldquorisolte in termine tecnico) secondo un criterio detto di Rayleigh
Due sorgenti puntiformi (di uguale luminositagrave) risultano risolte quando la loro distanza angolare
120579 =122 bull 120582
119863=119897119906119899119892ℎ119890119911119911119886 119889prime119900119899119889119886
119889119894119886119898119890119905119903119900
Si ottiene un risultato in radianti
In secondi darco invece
120579 =25 bull 105 bull 120582
119863
Con λ=lunghezza donda della luce=5500Aring (regione di massima sensibilitagrave dellocchio)
Il potere risolutivo dellocchio assumendo la pupilla con un diametro di 3 mm egrave uguale a
120579 =122120582
119863= 122 bull
5500 bull 10minus9119898
3 bull 10minus3119898= 224 bull 10minus4119903119886119889 = 46
Il fattore di conversione da radianti a secondi egrave il NUMERO MAGICO 1 rad = 206265rdquo
Nella determinazione del potere risolutivo interviene lrsquoapertura dello strumento e non
lrsquoingrandimento
Bignamino di astronomia
39
INGRANDIMENTO
Lingrandimento dello strumento egrave dato dal rapporto tra la focale dellobiettivo f e la pupilla
delloculare f
119892 =119891
119891prime
ABERRAZIONE DELLA LUCE
Quando i raggi di una stella arrivano sulla Terra la loro direzione di provenienza
appare leggermente deviata a causa della velocitagrave orbitale del pianeta v I vettori
delle velocitagrave (della luce e del pianeta) si combinano per dare un vettore risultante di
poco inclinato dalla direzione di provenienza dei raggi
119886 = arctan119907
119888
RIFRAZIONE
Il fenomeno della rifrazione ha origine dal cambiamento di
velocitagrave delle onde luminose quando passano da un mezzo
trasparente allrsquoaltro Esiste una proporzione tra le due diverse
velocitagrave e i seni degli angoli 120579119894119899119888119894119889119890119899119911119886 e 120579119903119894119891119903119886119911119894119900119899119890 che i raggi
formano con la linea normale alla superficie nel punto colpito dal
raggio Se consideriamo gli indici di rifrazione 1198991 e 1198992 dei materiali
la proporzione egrave inversa
119904119894119899120579119894119899119888119894119889119890119899119911119886119904119894119899120579119903119894119891119903119886119911119894119900119899119890
=11989921198991=11990711199072
Bignamino di astronomia
40
RIFRAZIONE ATMOSFERICA
Allrsquoentrata nellrsquoatmosfera terrestre i raggi luminosi provenienti da un corpo celeste che si trova a
distanza zenitale z vengono rifratti (deviati verso il basso) di un angolo r Quindi i corpi celesti si
osservano in una posizione leggermente piugrave alta del reale In particolare possiamo vedere oggetti
che si trovano anche sotto lrsquoorizzonte geometrico del luogo (es Il sole al tramonto) La formula
stabilisce che lrsquoangolo di rifrazione egrave proporzionale alla tangente della distanza zenitale
Questa formula vale fino ad angoli 119963 asymp 120789120782deg
Oltre questo valore fino allrsquoorizzonte la rifrazione aumenta fino a raggiungere il valore massimo di
35rsquo
119903 = 582 tan (119911)
Bignamino di astronomia
41
RIASSUMENDOhellip
CENNI TEORICI SUI TELESCOPI
Il telescopio egrave uno strumento che raccoglie la luce o altre radiazioni elettromagnetiche
provenienti da un oggetto lontano la concentra in un punto (detto fuoco) e ne produce
unimmagine ingrandita Possiamo paragonare un telescopio a un ldquogrande occhiordquo che
sopperisce al fatto che la nostra pupilla di dimensioni ridotte riesce a raccogliere un
quantitativo insufficiente di luce emessa da un oggetto lontano Un telescopio egrave
caratterizzato dalle seguenti componenti e grandezze
bull OBIETTIVO egrave la parte del telescopio rivolta verso lrsquooggetto da osservare Il suo
diametro D prende il nome di APERTURA Telescopi con una grande apertura sono
capaci di raccogliere piugrave luce e di fornire unrsquoimmagine a piugrave alta risoluzione
Lrsquoobiettivo fa convergere i raggi luminosi in un punto il fuoco la cui distanza
dallrsquoobiettivo egrave chiamata LUNGHEZZA FOCALE
bull OCULARE la parte del telescopio (nel caso di telescopi ottici) che raccoglie la luce
proveniente dallrsquoobiettivo e che la trasmette poi allrsquoocchio Anche per lrsquooculare egrave
possibile definire una LUNGHEZZA FOCALE
Ingrandimento
Lrsquoingrandimento di un telescopio egrave dato dal rapporto fra la lunghezza focale dellrsquoobiettivo e
la lunghezza focale dellrsquooculare
119894 = 119891119900119887119891119900119888 Rapporto focale
Rapporto esistente tra la lunghezza focale dellrsquoobiettivo e lrsquoapertura stessa del telescopio
119865 =119891119900119887
119863 negli strumenti egrave specificato da una F seguita da un numero (es F4 F45 F6hellip)
Campo visivo
Esso egrave dato dal rapporto fra il campo visivo apparente dellrsquooculare (lrsquoampiezza angolare
dellrsquoimmagine fornita dallrsquooculare soltanto) e il numero di ingrandimenti
119865119900119881 =119865119900119881119900119888119894
Pupilla drsquouscita
Essa egrave il diametro del fascio luminoso che esce dallrsquooculare
119901 =119863
119894
Potere risolutivo
Esso egrave lrsquoangolo minimo che deve separare due oggetti affincheacute lo strumento li possa
distinguere egrave dato dal criterio di Rayleigh
120599(119903119886119889) =122120582
119863 120599deg =
699120582
119863 120582 119897119906119899119892ℎ119890119911119911119886 119889prime119900119899119889119886 119889119890119897119897119886 119897119906119888119890 119900119904119904119890119903119907119886119905119886
Bignamino di astronomia
42
Magnitudine limite
Egrave la magnitudine visuale massima che puograve essere osservata con uno strumento di apertura
D (in cm)
119898119897119894119898 = 68 + 5119897119900119892119863
Ingrandimento minimo utile
egrave lrsquoingrandimento che fornisce una pupilla drsquouscita pari al diametro della pupilla umana (6-7
mm)
119894119898119894119899 = 119863(119898119898)7
Formula di Dawes
Ci consente di trovare lrsquoapertura di un telescopio che gli consenta di distinguere un oggetto
che si vede sotto un angolo α
119863(119898119898) =120
120572
Dimensioni dellrsquoimmagine sul piano focale
Lrsquoimmagine che si forma sul piano focale di un telescopio con lunghezza focale dellrsquoobiettivo
f relativa a un oggetto di dimensione angolare α egrave
119897 = 2119891 tan (1205722)
Bignamino di astronomia
43
ELEMENTI DI ASTROFISICA
Tutte le informazioni che riceviamo dalle stelle ci provengono dalla ldquolucerdquo che emettono1 Egrave solo
attraverso lrsquoanalisi e la ldquodecodificazionerdquo dei messaggi contenuti in questa radiazione
elettromagnetica che egrave la luce che noi possiamo ottenere informazioni sulle proprietagrave fisiche e
chimiche delle stelle e delle galassie
La radiazione elettromagnetica
Una radiazione elettromagnetica egrave dal punto di vista dellrsquoelettromagnetismo classico un fenomeno
ondulatorio dovuto alla contemporanea propagazione di perturbazioni periodiche di un campo
elettrico e di un campo magnetico oscillanti su piani tra di loro ortogonali Le stelle emettono
tipicamente radiazione di ldquocorpo nerordquo e come tale irradiano energia in tutte le lunghezze drsquoonda
secondo una distribuzione che viene chiamata spettro della radiazione elettromagnetica
I parametri che permettono di distinguere tra loro le varie radiazioni elettromagnetiche sono
1) In realtagrave un altro ldquocanalerdquo di trasmissione delle informazioni per la comprensione dei fenomeni celesti si egrave aperto
grazie ai risultati positivi ottenuti dagli interferometri per onde gravitazionali LIGO e VIRGO in particolare gli
interferometri menzionati il 17 agosto 2017 hanno rilevato un segnale di onda gravitazionale (rilevazione
annunciata poi ufficialmente il 16 ottobre dello stesso anno) mentre altri telescopi in orbita e a terra sono riusciti
a individuare per la prima volta la sua controparte elettromagnetica lrsquoevento che ha generato il segnale egrave stato
la collisione di due stelle di neutroni (che ha portato a unrsquoesplosione nota col termine di kilonova ) nella galassia
NGC 4993 esso ha segnato la nascita della cosiddetta ldquoastronomia multi-messaggero per il fatto che egrave stato
possibile confrontare due ldquolinguaggirdquo diversi permettendo cosigrave di ampliare le frontiere della conoscenza di
questi fenomeni ldquoestremirdquo
Bignamino di astronomia
44
Parametri di unrsquoonda
Come tutti i fenomeni ondulatori la radiazione elettromagnetica egrave caratterizzata da questi
parametri
Lunghezza drsquoonda 120640
la lunghezza drsquoonda tra due creste o tra
due ventri Si misura in metri eo con i
suoi sottomultipli
Periodo T
lrsquointervallo di tempo misurato in
secondi in cui avviene unrsquooscillazione
completa ovvero lintervallo di tempo
impiegato dallonda per ritornare nella
medesima posizione (per esempio il
tempo intercorso tra due creste o tra
due ventri successivi
Frequenza 120650 egrave il numero di creste che si susseguono nello stesso posto nellrsquounitagrave di
tempo egrave lrsquoinverso del periodo
120592 =1
119879
Frequenza che si misura in Hertz (Hz) pari ad unrsquooscillazione al secondo
119867119911 = 1119904minus1
Ampiezza A rappresenta la variazione massima dellrsquoonda Lrsquoampiezza di unrsquoonda
periodica egrave lrsquoaltezza di una sua cresta
Intensitagrave di unrsquoonda egrave proporzionale al quadrato dellrsquoampiezza
Potenza ogni onda porta con seacute unrsquoenergia e quindi una potenza Tale potenza decresce
con il quadrato della distanza dalla sorgente
La lunghezza drsquoonda λ e la frequenza ν di una radiazione elettromagnetica sono grandezze legate
tra loro dalla relazione
120582 ∙ 120592 = 119888
(c ndashla velocitagrave della luce- nel vuoto ha un valore di 299 792 458 ms) Questa formula ci dice che le
due grandezze sono inversamente proporzionali
Bignamino di astronomia
45
La radiazione elettromagnetica puograve essere interpretata come un insieme di ldquopacchettirdquo di energia a
cui si dagrave il nome di fotoni grazie a questi ldquopacchetti energeticirdquo la luce puograve interagire con la materia
a livello microscopico per esempio puograve eccitare un elettrone in un atomo cedendo a esso la sua
energia Continuando il paragone possiamo immaginare che piugrave la radiazione egrave intensa piugrave i
pacchetti sono numerosi piugrave la radiazione cresce di frequenza piugrave essi sono ldquocapientirdquo
Questrsquoultima caratteristica egrave descritta dalla Legge di Planck che lega lrsquoenergia del fotone alla sua
frequenza
119864 = ℎ ∙ 120584
(dove h egrave la costante di Planck)
119864 = ℎ119888
120582
EQUIVALENZA MASSA- ENERGIA Tra lrsquoenergia e la massa esiste una fondamentale relazione
scoperta dal fisico Albert Einstein espressa dallrsquoequazione
119864 = 1198981198882
dove c egrave la velocitagrave della luce (pari a 3 middot 108 ms) Lequazione di Einstein implica che energia e massa
sono equivalenti la massa puograve essere trasformata in energia e lenergia puograve essere trasformata in
massa Ciograve comporta il principio di conservazione della massa-energia non vi egrave conservazione della
massa o dellenergia considerate separatamente ma vi egrave conservazione dellinsieme delle due a una
diminuzione della massa pari a m deve corrispondere un aumento dellenergia pari a m middot c2
Poicheacute il prodotto m middot c2 egrave un numero molto grande la trasformazione di una massa anche molto
piccola di materia determina la produzione di una quantitagrave enorme di energia come avviene per
esempio nelle reazioni di fissione e di fusione nucleari (queste ultime avvengono nel nucleo delle
stelle si veda per una maggiore comprensione il problema 2 della sezione Miscellanea)
Bignamino di astronomia
46
Grandezze fotometriche
Flusso luminoso Quantitagrave di energia luminosa emessa da una determinata sorgente nellunitagrave di tempo Lo indichiamo con la lettera Φ Lunitagrave di misura nel SI egrave il lumen (lm) 1 watt = 683 lumen
Illuminamento Rapporto tra il flusso luminoso ricevuto da una superficie e larea della superficie stessa ( E=
120593
119878 )
Lunitagrave di misura nel SI egrave il lux (lx) ovvero il lumen al metro quadrato (lm1198982)
Nota Dalla definizione di illuminamento si ricavano due importanti corollari di natura geometrica che risultano molto utili per comprendere la distribuzione della luce nello spazio
1) Per una sorgente puntiforme la diminuzione del livello di illuminamento su di una superficie varia in relazione al quadrato della distanza dalla fonte raddoppiando la distanza dalla fonte il livello di illuminamento sulla superficie diviene quindi frac14
2) Il livello drsquoilluminamento su di una superficie egrave massimo quando i raggi luminosi giungono perpendicolari ad essa e diminuisce proporzionalmente al loro angolo drsquoincidenza secondo la relazione E = 119864119899 cosi 119864119899egrave 119897
prime illuminamento normale i lrsquoangolo drsquoincidenza tra raggi luminosi e la normale alla superficie
Immagine dal web (fonte VOLTIMUM)
Bignamino di astronomia
47
Intensitagrave luminosa Flusso luminoso emesso allinterno dellangolo solido unitario in una direzione data
119868 = 119864 =120593
120596
ed egrave una grandezza vettoriale Lunitagrave di misura nel SI egrave la candela (cd)
Luminanza La luminanza egrave il rapporto tra lrsquointensitagrave luminosa di una sorgente nella direzione di un osservatore e la superficie emittente apparente cosigrave come viene vista dallrsquoosservatore stesso
119871 = 119868
119878 119888119900119904120572
120572 egrave 119897prime119886119899119892119900119897119900 compreso tra la direzione di osservazione e lrsquoasse perpendicolare alla superficie emittente La luminanza si esprime in cd1198982
Bignamino di astronomia
48
Parametri fisici delle stelle
Le grandezze fondamentali che permettono di caratterizzare le stelle sono
la distanza (d)
lo spettro della radiazione em emessa
la luminositagrave totale o bolometrica (L)
la temperatura superficiale (T)
il raggio (R)
la massa (M)
Le stelle possono essere approssimate a corpi neri in quanto le uniche onde elettromagnetiche che
non vengono assorbite dalla loro superficie sono quelle aventi una lunghezza donda di dimensione
pari o maggiore del diametro della stella stessa Per studiare le proprietagrave dellrsquoemissione continua
delle stelle egrave utile introdurre il concetto di corpo nero
Corpo nero
Il corpo nero egrave un corpo che assorbe tutta la radiazione che gli cade sopra Appare perfettamente nero percheacute assorbe il 100 della radiazione che incide su di esso e non ne riflette nessuna Il corpo nero egrave un oggetto teorico nessun materiale assorbe tutta la radiazione incidente Il corpo nero ha uno spettro di emissione caratteristico che dipende solo da un parametro la temperatura Lo studio della radiazione emessa dal corpo nero ha portato alla formulazione delle seguenti leggi
bull La legge (di spostamento) di Wien la frequenza massima 120584119898119886119909 di uno spettro di corpo nero a temperatura T cresce linearmente con T
120584119898119886119909 prop T il che comporta una proporzionalitagrave inversa fra la temperatura assoluta e la lunghezza drsquoonda
120582119898119886119909 119879 = 119887
b = 29 10minus3 m∙K
Per cui si ha
120582119898119886119909 T = 29 10minus3 m∙K
Bignamino di astronomia
49
bull Legge di Stefan-Boltzmann lenergia erogata per unitagrave di
superficie e per unitagrave di tempo egrave proporzionale alla quarta
potenza della temperatura T
119868 = 1205901198794
Applicazioni in astrofisica
Stefan-Boltzmann per una stella che approssimiamo ad una sfera di raggio R e superficie S= 41205871198772
la legge di Stefan-Boltzmann diventa
L= 41205871198772 120590T4
Poicheacute le stelle non sono dei corpi neri perfetti la temperatura egrave la temperatura efficace quella che
la superficie della stella avrebbe se si comportasse da corpo nero
Flusso e Luminositagrave
120593= 119871
41205871198892
Il flusso di energia egrave dato dal rapporto fra la lrsquoenergia emessa
dalla stella nellrsquounitagrave di tempo e la superficie della sfera di
raggio pari alla distanza d dalla stella Quindi si vede che il flusso
misurato sulla superficie terrestre dipende dalla luminositagrave
della stella e dalla sua distanza
Bignamino di astronomia
50
I LOGARITMI
Il termine logaritmo egrave composto da due parole greche logos = ragione e arithmos = numero
ldquoNumero di ragionirdquo questa definizione appare naturale pensando alla ragione delle progressioni
aritmetiche e geometriche che sono alla base della costruzione di Nepero
La storia di come nasce questo procedimento di
calcolo egrave molto interessante qui ci piace
evidenziare che la motivazione alla base della
scoperta dei logaritmi ed anche il motivo del loro
successo fu la ricerca di efficienti strumenti di
calcolo in grado di alleggerire il pesante fardello
di cui erano gravati gli astronomi del tempo i
quali per poter predire il corso dei pianeti si
dovevano confrontare con grandi difficoltagrave di
calcolo Basta pensare al calcolo dellrsquoorbita del
pianeta Marte del povero Keplero Quando Nepero pubblicograve il suo lavoro sui logaritmi gli
astronomi dissero che aveva regalato loro metagrave della vita I logaritmi rendono infatti possibile
trasformare prodotti in somme quozienti in differenze elevamenti a potenza in prodotti e
calcoli di radici in quozienti le operazioni vengono molto semplificate
Che cosa egrave un logaritmo
Generalmente si risponde che egrave una operazione inversa
Partiamo da una operazione conosciuta lrsquoestrazione di radice quadrata di un numero
radic25 = 5
La radice quadrata di 25 egrave quel numero che elevato a due restituisce 25 cioegrave il numero 5 infatti 52 =
25 Concludiamo dicendo che la radice egrave lrsquooperazione inversa dellrsquoelevamento a potenza
Il concetto di logaritmo egrave abbastanza simile a quello della radice quadrata solo che non ci riporta al
numero di partenza ma al suo esponente
Introduciamo la scrittura
log5 25 = 2
questa la scriviamo
52 =25
Definiamo logaritmo di un numero b (argomento del logaritmo) quel numero a cui bisogna elevare
la base per ottenere il numero b In notazione matematica
log119886 119887 = x
119886119909 = b
Anche il logaritmo egrave lrsquooperazione inversa dellrsquoelevamento a potenza
Bignamino di astronomia
51
log2 8 = x
la domanda egrave ldquoqual egrave lrsquoesponente che devo dare alla base (2) per ottener il numero (8)rdquo
Scriviamo applicando la definizione
2119909 = 8
e siccome
8 = 23
Allora
2119909 = 23
e perciograve
x=3
(se le basi sono uguali lrsquouguaglianza saragrave verificata se saranno uguali anche gli esponenti)
Egrave abbastanza evidente che i logaritmi e le potenze rappresentano due modalitagrave di scrittura diversa ma
rappresentano la stessa cosa
Osservazione importante la base dei logaritmi ed il numero devono essere numeri reali
positivi in piugrave la base deve anche essere diversa da 1
bgt 0
0 lt a lt1
agt 1
Quindi per esempio non esistono log2(minus5) log1 12 119890119888119888
Bignamino di astronomia
52
Proprietagrave dei logaritmi
Il logaritmo del prodotto di 2 o piugrave numeri positivi corrisponde alla somma dei logaritmi dei
singoli fattori
(Nota 119886119909 ∙ 119886119910 = 119886119909+119910)
Il logaritmo del quoziente di 2 numeri positivi egrave eguale alla differenza tra il logaritmo del
dividendo e il logaritmo del divisore
(Nota 119886119909119886119910 = 119886119909minus119910)
Il logaritmo della potenza a esponente reale di un numero positivo egrave uguale al prodotto
dellesponente per il logaritmo del numero
Una estensione di questa ultima proprietagrave egrave
log119886 radic119887119898119899
= log119886 119887119898
119899
(che possiamo scrivere come 119898
119899log119886 119887)
A volte per calcolare un logaritmo puograve risultare utile effettuare un cambiamento di base
Il loga b la cui base egrave a puograve essere scritto utilizzando unrsquoaltra base per esempio il numero c
Ricorda inoltre che
log119886 1 = 0 (119894119899119891119886119905119905119894 1198860 = 1) 119890 log119886119886 = 1 (119894119899119891119886119905119905119894 1198861 = 119886)
Bignamino di astronomia
53
Se la base di un logaritmo egrave il Numero di Nepero (chiamato meno frequentemente anche Numero
di Eulero e indicato con e = 2718281828459hellip) allora il logaritmo prende il nome di logaritmo
naturale e si indica con ln
Quindi se vediamo 1198971198995 niente paura Si tratta di log119890 5
Se la base di un logaritmo egrave 10 il logaritmo prende il nome di logaritmo decimale e la base
generalmente si omette questo tipo di logaritmo egrave il piugrave usato in astrofisica
Quindi se vediamo 1198971199001198927 ciograve vuol dire log10 7
I logaritmi sono utilizzati nella vita di tutti i giorni ad esempio il gommista quando misura la
pressione di una gomma utilizza uno strumento con una scala non lineare ma logaritmica le scale
sulla macchina fotografica sono logaritmiche i nostri organi di senso sono logaritmici Questo ci
permette di percepire un intervallo di informazioni molto piugrave esteso di quello che avremmo se i nostri
sensi fossero lineari Pogson quando capigrave che il nostro occhio percepisce una differenza di una
magnitudine ( per le magnitudini consulta le pagine successive del Bignamino) tra due stelle quando
il rapporto tra le loro luminositagrave egrave uguale a 25 e che questo conserva la classificazione di Ipparco
formulograve la sua formula in funzione del logaritmo del rapporto delle loro luminositagrave
Niente paura
Oggi avete le calcolatrici e non si
devono utilizzare le famigerate tavole
logaritmiche che si utilizzavano un
tempo per calcolare un logaritmo
Bisogna solo stare attenti ad utilizzare
CORRETTAMENTE la calcolatrice
Nepero
Bignamino di astronomia
54
Magnitudine delle stelle
Quando si guarda il cielo si vede subito che le stelle ci appaiono piugrave o meno brillanti (o luminose) ovvero sembrano avere diversa intensitagrave luminosa Gli astronomi descrivono la luminositagrave stellare osservata in termini di magnitudine apparente m Nel II secolo aC Ipparco di Nicea utilizzando lrsquounico strumento a sua disposizione (lrsquoocchio umano) introdusse una classificazione delle stelle in 6 classi di luminositagrave che chiamograve MAGNITUDINI La scala scelta dai Ipparco prevedeva che le stelle piugrave luminose venissero collocate nella prima classe quelle un porsquo meno luminose nella seconda e giugrave giugrave fino a quelle appena visibili a occhio nudo collocate nella sesta classe Con lrsquoosservazione del cielo attraverso gli strumenti si pose il problema di estendere la scala delle grandezze anche alle stelle non visibili ad occhio nudo Un grossissimo contributo venne dallo studio della fisiologia dellrsquoocchio strumento sul quale erano state fatte le prime classificazioni La risposta dellrsquoocchio umano agli stimoli luminosi non egrave di tipo lineare la reazione alla luce de reagisce alla sensazione della luce in modo logaritmico Pogson egrave riuscito a dare una formulazione matematica alla scala delle magnitudini individuata da Ipparco Pogson ipotizzograve che il rapporto fra le intensitagrave luminose di una stella di prima e di sesta grandezza era pari a 100 Se I1 e lrsquointensitagrave luminosa di una stella di magnitudine m1 ed I2 lrsquointensitagrave di una stella di
magnitudine m2 se m1 - m2 = -5 ed il rapporto I1
I2= 100
m1 - m2= K log I1
I2
-5=K2 K= -25
m1 - m2= -25 log I1
I2
Lrsquoequazione di Pogson spiega il percheacute la magnitudine decresce quando lrsquointensitagrave luminosa cresce Quando si parla di intensitagrave luminosa di una stella in realtagrave ci si riferisce al flusso di energia 120593 che
abbiamo visto essere legato alla luminositagrave dalla 120593= 119871
41205871198892
Se nella formula di Pogson m1 - m2= -25 log I1
I2 sostituiamo alle intensitagrave luminose il flusso si
ottiene (a paritagrave di luminositagrave)
m1 - m2= -5 log d2
d1
La magnitudine apparente di una stella dipende dalla distanza
Bignamino di astronomia
55
E se la stella apparentemente piugrave debole fosse in realtagrave piugrave brillante ma piugrave lontana Per rispondere a questa domanda egrave stata introdotta la scala delle magnitudini assolute indipendente dalla distanza Per costruire questa scala egrave stata presa una distanza di riferimento pari a 10pc Quale saragrave la magnitudine di una stella di cui si conosce la distanza e la magnitudine apparente se viene posta alla distanza di 10pc
M- m= -5 log 119889
1119900119901119888
M-m = 5-5logd Questa ultima viene anche indicata come modulo di distanza Questa scala consente di poter confrontare la luminositagrave intrinseca delle stelle M =magnitudine assoluta (stella alla distanza di 10pc) m =magnitudine apparente d = distanza della stella in pc
Se vogliamo calcolare la magnitudine complessiva di due o piugrave sorgenti luminose egrave errato ritenere
di poter sommare le magnitudini Infatti possiamo sommare i flussi ma le magnitudini dipendono
da essi in relazione logaritmica La relazione che ci permette di determinare la cosiddetta
magnitudine integrata (ossia la magnitudine complessiva ldquototalerdquo) di n oggetti di magnitudine
m1m2hellipmn egrave la seguente
119898119894119899119905 = minus25log (10minus041198981 + 10minus041198982 +⋯+ 10minus04119898119899)
Magnitudine apparente di alcuni oggetti celesti da sinistra verso destra
Sole Luna piena Venere Sirio Vega Magnitudine limite dellrsquoocchio
Magnitudine limite di un telescopio magnitudine limite dellrsquoHubble
Bignamino di astronomia
56
Se invece vogliamo calcolare la magnitudine superficiale di un oggetto esteso di superficie angolare
S (misurata in arcmin2 o arcsec2) ossia la magnitudine di un quadratino di superficie di lato uguale
a 1 arcsec2 o 1 arcmin2 allora applichiamo la seguente formula
119898119878119906119901 = 119898119894119899119905 + 25 log(119878)
Se S egrave misurata in arcmin2 la msup egrave espressa in magarcmin2 Se S egrave misurata in arcsec2 msup egrave
espressa in magarcsec2
Bignamino di astronomia
57
Redshift (spostamento verso il rosso)
Su grandi scale le galassie si stanno allontanando con velocitagrave proporzionale alla distanza tutte le
galassie si stanno allontanando tra di loro tra loro Lo stesso spazio-tempo si sta espandendo e sta
portando le galassie con seacute
NOTA Il redshift cosmologico non egrave dovuto allrsquoeffetto Doppler non egrave dovuto ai moti relativi delle
galassie Le cause e le grandezze fisiche coinvolte sono completamente diverse
Il redshift cosmologico egrave lo spostamento relativo in
frequenza di unonda elettromagnetica dovuto
allespansione delluniverso Si spiega ipotizzando che le
lunghezze donda varino allo stesso modo delle distanze per
effetto dellespansione delluniverso La lunghezza donda egrave
proporzionale al fattore di scala delluniverso
La cosmologia moderna nasce con la legge di Hubble
v=Hd
che lega in modo proporzionale la velocitagrave v di allontanamento delle galassie alla loro distanza d (H egrave la costante di Hubble) le galassie piugrave distanti si allontanano piugrave velocemente Questa legge deriva da osservazioni che mostravano che tutte le righe spettrali delle galassie sono spostate verso il rosso (redshift) e che tale effetto egrave proporzionale alla luminositagrave apparente delle galassie legata alla loro distanza Il redshift misura quindi la velocitagrave di allontanamento di una galassia ed egrave definito come segue
119911 =120582119900119887119904 minus 120582119905119890119900119903
120582119905119890119900119903
La legge di Hubble ci dice che la velocitagrave di allontanamento delle galassie egrave proporzionale alla loro
distanza
119907 = 119867119889
H egrave la costante di Hubble il cui valore attualmente stimato egrave attorno a H= 2176 ∙ 10minus18 Hz
(6715 kmMpc s) d egrave la distanza della galassia
Maggiore egrave la distanza della galassia tanto maggiore saragrave il redshift
z=119867119889
119888
Bignamino di astronomia
58
Per z≪ 1 vale lrsquoapprossimazione del redshift come effetto Doppler (zasymp119907
119888 ) e quindi z egrave
direttamente proporzionale alla velocitagrave di allontanamento delle galassie
bull Redshift relativistico
bull Redshift gravitazionale
La relativitagrave generale prevede che la luce che si muove attraverso campi gravitazionali molto
intensi sperimenteragrave uno spostamento verso il rosso o verso il blu
Il redshift gravitazionale (chiamato anche spostamento di Einstein) egrave dovuto dal fatto che un
fotone quando emerge da un campo gravitazione perde energia e quindi presenta uno
spostamento verso il rosso che dipende dallrsquointensitagrave del campo gravitazionale misurata nel
punto in cui si trova il fotone
z= 119866119872
1199031198882
Questa 119904119890 119903 ≫ 119903119904
119903119904 = 2119866119872
1198882
(raggio di Schwarzschild)
(M massa della stella r raggio della stella)
La formula generale egrave
z= 1
radic1minus119903119904 -1
Bignamino di astronomia
59
PROBLEMI ED ESERCIZI
bull SISTEMI DI RIFERIMENTO E COORDINATE ASTRONOMICHE
1 Quando la stella Rigel (δ= -8deg 13rsquo) passa al meridiano di Roma (φ=41deg55rsquo) a quale
altezza si trova
Soluzione Quando la stella Rigel passa al meridiano di Roma essa raggiunge la
posizione di culminazione superiore in corrispondenza del punto cardinale Sud
Dunque la sua altezza sullrsquoorizzonte egrave pari allrsquoaltezza dellrsquoEquatore celeste alla
latitudine di Roma (90deg-φ) sommata alla declinazione dellrsquoastro Dunque
hRigel=90deg-φ+δ=90deg-41deg55rsquo-8deg13rsquo=39deg52rsquo
2 A quale latitudine comincia a essere visibile la stella Canopo (δ=-52deg40rsquo) appena
allrsquoorizzonte
Soluzione Affincheacute la stella Canopo sia appena visibile allrsquoorizzonte per un
osservatore posto alla latitudine φ egrave necessario che lrsquoEquatore celeste abbia
unrsquoaltezza sullrsquoorizzonte pari al valore assoluto della sua declinazione Quindi egrave
necessario che 90deg-φ=|δ| e cioegrave φ=90deg-|δ|=90deg-52deg40rsquo=37deg20rsquo [In realtagrave bisogna tenere conto dellrsquoeffetto della rifrazione atmosferica che ldquoalza le stellerdquo o
equivalentemente ldquoabbassa lrsquoorizzonterdquo di un angolo di 35rsquo Quindi in realtagrave Canopo si puograve
osservare anche a una latitudine leggermente piugrave settentrionale pari a 37deg20rsquo+0deg35rsquo=37deg55rsquo
circa]
3 Quale curva descrive lrsquoombra di uno stilo verticale posto al polo nord il 21 giugno
Qual egrave il rapporto fra la lunghezza l dellrsquoombra e lrsquoaltezza h dello stilo
Soluzione Il 21 giugno il Sole ha declinazione massima pari al valore dellrsquoobliquitagrave
dellrsquoeclittica quindi circa 23deg27rsquo Dal momento che al polo nord lrsquoorizzonte coincide
con lrsquoEquatore celeste e i paralleli celesti si trovano quindi su piani paralleli
allrsquoorizzonte la rotazione diurna non contribuiragrave a far tramontare il Sole che
descriveragrave una circonferenza nel cielo pertanto la curva descritta dallo stilo verticale
egrave una circonferenza Il rapporto lh egrave il reciproco della tangente dellrsquoaltezza del sole
pari a 23deg27rsquo 119897
ℎ=
1
11990511988611989923deg27prime=23
4 (PROBLEMA GARA INTERNAZIONALE 2002) I Cinesi nel 1100 aC avevano trovato
che lrsquoaltezza del Sole a mezzodigrave era 79deg7rsquo nel solstizio estivo e 31deg19rsquo in quello
Bignamino di astronomia
60
invernale A quale latitudine hanno fatto lrsquoosservazione e qual era allora lrsquoobliquitagrave
dellrsquoEclittica
Soluzione La media aritmetica dei valori delle due culminazioni del sole a mezzodigrave al
solstizio estivo ed invernale egrave pari allrsquoaltezza dellrsquoEquatore celeste Quindi
90deg minus 120593 =ℎ119890119904119905119886119905119890 + ℎ119894119899119907119890119903119899119900
2rarr 120593 = 90deg minus
ℎ119890119904119905119886119905119890 + ℎ1198941198991199071198901199031198991199002
= 34deg47prime
Lrsquoobliquitagrave dellrsquoeclittica egrave la differenza fra lrsquoaltezza massima del sole e lrsquoaltezza
dellrsquoEquatore celeste
휀 = ℎ119890119904119905119886119905119890 minus (90deg minus 120593) = 79deg7prime minus 90deg + 34deg47prime = 23deg54prime
[In generale lrsquoobliquitagrave dellrsquoeclittica varia da 21deg55rsquo a 24deg20rsquo con un periodo di circa 40000
anni]
bull I MOTI DELLA TERRA E LA MISURA DEL TEMPO
5 In quale istante di tempo siderale la stella Castore (α=7h 33m 31s δ=+31deg55rsquo35rdquo ) egrave
alla culminazione inferiore
Soluzione Alla culminazione inferiore la stella Castore ha un angolo orario pari a 12h
Il tempo siderale ossia lrsquoangolo orario del punto gamma egrave uguale alla somma di
angolo orario e ascensione retta di una generica stella in questo caso
TS=α+H=7h 33m 31s + 12h= 19h 33m 31s
6 Se in un dato giorno una stella passa al meridiano inferiore alle 21 a quale ora
(allrsquoincirca) vi passeragrave un mese dopo
Soluzione Lrsquoora a cui si riferisce il problema egrave per esempio quella indicata da un
normale orologio quindi egrave un tempo solare medio e non siderale Siccome nel corso
di un mese la stella non cambia la sua posizione rispetto al punto gamma se il
problema avesse chiesto lrsquoora siderale della successiva culminazione inferiore la
risposta sarebbe stata comunque ldquoalle 21rdquo siccome perograve il problema si riferisce a un
tempo solare medio dobbiamo tenere conto della differenza tra giorno solare e
giorno siderale questrsquoultimo egrave piugrave corto del primo di un valore pari a circa 4 minuti
(piugrave esattamente 3min 56s) Siccome un mese contiene mediamente 30 giorni la
stella anticiperagrave la sua culminazione di circa 4min30=120min=2h e quindi culmineragrave
allrsquoincirca alle 19
7 Una cittagrave A egrave posta alla longitudine 43deg12rsquo E di GW (Greenwich) Quando in A lrsquoorologio
segna le 20h35m siderali in unrsquoaltra cittagrave B lrsquoorologio segna le 23h12m siderali Qual
egrave la longitudine di B
Soluzione La differenza dei due tempi siderali che lrsquoorologio segna in A e in B egrave uguale
alla differenza delle longitudini dei due luoghi Quindi
Bignamino di astronomia
61
∆120582 = 120549119879119878 rarr 120582119861 minus 120582119860 = 119879119878119861 minus 119879119878119860 rarr 120582119861 = 119879119878119861 minus 119879119878119860 + 120582119860(119890119904119901119903119890119904119904119886 119894119899 119900119903119890)
= 23ℎ12119898 minus 20ℎ35119898 + 2ℎ53119898 = 5ℎ30119898
= (119905119903119886119904119891119900119903119898119900 119894119899 119892119903119886119889119894) = 82deg30prime
8 Quanto tempo egrave necessario affincheacute il punto gamma passi da un segno zodiacale a un
altro
Soluzione Il punto gamma non egrave fisso nel cielo bensigrave per via di uno dei moti millenari
della Terra il moto di precessione esso si sposta di circa 50rdquo allrsquoanno lungo lrsquoEclittica
Dal momento che i segni zodiacali sono dodici in media ognuno di essi occupa un
settore lungo lrsquoEclittica pari a 36012=30deg=108000rdquo Ne discende che il tempo
necessario affincheacute il punto gamma copra questa distanza angolare risulta pari a
t=(108000rdquo50rdquo)anni=2160 anni circa
9 La Terra impiega circa 23 ore e 56 minuti a compiere una rotazione completa attorno
al proprio asse Con quale velocitagrave tangenziale si muove un punto allrsquoequatore per
effetto del moto di rotazione della Terra Quanto vale lrsquoaccelerazione centripeta che
agisce su questo punto Quale forza centripeta agisce su un corpo di massa 13 kg
allrsquoequatore
Soluzione Il problema incentrato sul moto di rotazione terrestre (il moto dei punti
della Terra attorno allrsquoasse terrestre) egrave un semplice esercizio di cinematica
Conoscendo il periodo e la lunghezza della circonferenza equatoriale (poicheacute egrave noto
che il raggio della Terra ha un valore di 6378 km) egrave possibile determinare la velocitagrave
di rotazione allrsquoequatore il moto egrave circolare uniforme
119907 =2120587119877
119879=2120587120591 ∙ 6378119896119898
2393ℎ= 1674
119896119898
ℎ
Lrsquoaccelerazione centripeta vale
119886 =1199072
119877=(1674 divide 36)2
6378000= 339 ∙ 10minus3
119898
1199042
Per la seconda legge della dinamica la forza centripeta su un corpo di massa m allora
vale
119865 = 119898119886 = 13 ∙ 339 ∙ 10minus3 = 441 ∙ 10minus3119873
bull IL CIELO VISTO DALLA TERRA E LA LUNA
10 Due stelle equatoriali hanno parallassi 0rdquo022 e 0rdquo034 esse hanno AR 12h13m e
13h12m rispettivamente Quantrsquoegrave in parsec la loro reciproca distanza
Soluzione Lrsquoangolo fra la direzione con cui si proietta in cielo la prima stella e la
direzione della seconda stella egrave pari alla differenza delle ascensioni rette le stelle
sono infatti equatoriali cioegrave hanno declinazione nulla ΔAR=13h12m-
Bignamino di astronomia
62
12h13m=(trasformando in gradi)=14deg75 La loro distanza dallrsquoosservatore egrave in
parsec pari al reciproco della parallasse
d1=(1P1)=10022=455pc d2=(1P2)=10034=294pc
Il problema chiede in sostanza di calcolare un lato di un triangolo con vertici
nellrsquoosservatore e nelle due stelle (in particolare il lato con estremi nelle due stelle)
noti lrsquoangolo opposto a tale lato e gli altri due lati possiamo quindi usare il Teorema
di Carnot (o teorema del coseno)
119909 = radic11988912 + 1198892
2 minus 211988911198892 cos(∆119860119877) = 186 119901119888
11 Sapendo che il periodo siderale di rotazione del Sole allrsquoEquatore egrave di 25 giorni
trovare il periodo di rivoluzione sinodica cioegrave quello che appare visto dalla Terra
Soluzione Prendiamo un punto sullrsquoEquatore del Sole esso si muove con un periodo
siderale (cioegrave riferito a una stella lontana) pari come indicato dalla traccia a 25
giorni Il problema egrave del tutto analogo al calcolo del tempo sinodico di un pianeta
interno visto dalla Terra noti i periodi di entrambi i corpi 1
119878=
1
119879119904119900119897119890minus
1
119879119905119890119903119903119886rarr 119878 =
119879119905119890119903119903119886119879119904119900119897119890119879119905119890119903119903119886 minus 119879119904119900119897119890
=36525 ∙ 25
36525 minus 25119889 =
913125
34025119889 = 2684119889
12 A quale distanza da uno schermo deve essere posta una sfera di raggio R affincheacute
illuminata dal Sole non generi ombra ma solo penombra (il diametro apparente del
Sole sia 32rsquo)
Soluzione Concettualmente il problema egrave equivalente alla situazione di unrsquoeclisse
lrsquordquoosservatorerdquo egrave lo schermo mentre fra esso e il Sole si frappone un ostacolo Esso
intercettando i raggi solari genera dietro di seacute un cono drsquoombra e molto piugrave ampio
di questo una zona di penombra Il cono si restringe dalla parte opposta del Sole
rispetto alla sfera Se il vertice del cono si trova sullo schermo allora nessun punto
dello schermo si troveragrave in ombra percheacute il cono non interseca lo schermo In questa
configurazione lrsquoangolo sotto cui viene vista la sfera dallo schermo egrave di 32rsquo ovvero
053deg da cui si ha 119877
119889= tan (0532) e cioegrave d=[1 tan(0265)]R=2148 R circa la sfera
devrsquoessere posta a una distanza dallo schermo maggiore di 2148 volte circa il suo
raggio
13 Il 29 marzo 2006 si egrave verificata unrsquoeclisse totale di Sole visibile dallrsquoAfrica
settentrionale e dal Mediterraneo orientale Quale fase aveva la luna il 29 marzo 2007
cioegrave esattamente un anno dopo
Bignamino di astronomia
63
Soluzione Le eclissi di Sole si verificano quando la Luna si interpone fra il Sole e la
Terra oscurando una fascia sulla superficie del nostro pianeta con il suo cono
drsquoombra pertanto la Luna rivolge a noi in questrsquooccasione la sua faccia non
illuminata dal Sole e pertanto egrave nuova Conosciamo inoltre il periodo in cui si ripetono
le fasi lunari egrave il mese sinodico la cui durata egrave pari a 295306 giorni Lrsquointervallo
considerato (un anno in cui il 2007 non egrave bisestile) egrave pari a 365 giorni Siccome
365295306=1236 ossia 12 mesi lunari e 11 giorni se ne deduce che lrsquoetagrave della Luna
al 29 marzo 2007 era di 11 giorni quindi essa era in una fase intermedia tra primo
quarto e Luna piena
bull LA GRAVITArsquo
14 Lrsquoalieno Bzzapp ha appena comprato una navicella in grado di creare nuovi pianeti
nel suo girovagare un giorno incappa nel nostro Sistema Solare decide cosigrave di creare
con la sua astronave qualche nuovo pianeta Lrsquoamico Zorzzp gli dagrave prima una regola
dicendogli che questi pianeti devono trovarsi in una fascia compresa fra 2 UA e 7
UA in piugrave il loro periodo di rivoluzione devrsquoessere pari a un numero intero di anni
Qual egrave il numero massimo di pianeti che Bzzapp potragrave creare con la sua navicella
conformemente alla regola di Zorzzp
Soluzione Per la risoluzione del problema egrave necessaria la Terza legge di Keplero
considerando che ci troviamo nel nostro Sistema Solare e che quindi la costante di
proporzionalitagrave fra cubo del semiasse maggiore e quadrato del periodo di rivoluzione
per un generico corpo orbitante attorno al Sole quando esprimiamo il semiasse in
UA e il periodo in anni risulta pari a 1
1198791 = radic11988613 = 283 119910
1198792 = radic11988623 = 1852 119910
Come possiamo vedere i periodi ldquopossibilirdquo sono
34567891011121314151617 e 18 anni Bzzapp potragrave creare ben 16 pianeti
15 Disponendo come dati noti dei soli periodi di rivoluzione dei pianeti si indichi la
lunghezza minima che deve avere un foglio di carta per poter rappresentare in scala
il Sistema Solare fino a Nettuno nellrsquoipotesi di voler rappresentare Mercurio a una
distanza dal Sole di 1 cm
Soluzione Mercurio ha un periodo di rivoluzione pari a 0241 anni mentre Nettuno
16488 anni quindi per la Terza legge di Keplero 119886119872 = radic11987911987223= 0387119880119860 119890 119886119873 =
radic11987911987323= 30069 119880119860
Con una semplice proporzione ricaviamo la lunghezza del foglio di carta
119886119872 119886119873 = 1 119909 rarr 119909 =30069
0387119888119898 asymp 777 119888119898
Bignamino di astronomia
64
16 A quale distanza dalla superficie della Terra per unrsquoastronave che viaggia verso la
Luna si annulla la risultante delle forze gravitazionali che agiscono su di essa (il
rapporto massa della Terra massa della Luna egrave pari a 8125)
Soluzione La distanza Terra-Luna egrave pari a d=384400 km Quando lrsquoastronave si trova
fra il nostro pianeta e il suo satellite le due forze di natura gravitazionale che
agiscono su di essa sono la forza di attrazione della Terra e quella della Luna agenti
nella stessa direzione ma aventi verso opposto Chiamando x la distanza che separa
la navicella dal centro della Terra possiamo esprimere in funzione di x la distanza che
separa la navicella dalla Luna essendo essa pari a d-x Eguagliamo le due forze di
attrazione gravitazionale per trovare x 119866119872119879119898
1199092=
119866119872119871119898
(119889 minus 119909)2
Operando le dovute semplificazioni (G e la massa dellrsquoastronave) e dividendo
119909
119889 minus 119909= radic
119872119879
119872119871= radic8125 = 901
119909 =901119889
1001= 090 lowast 384400119896119898 = 346013119896119898
Il problema viene considerato parzialmente corretto se ci si ferma a questo punto
percheacute esso chiede la distanza dalla superficie terrestre mentre x egrave misurata dal
centro della Terra pertanto la soluzione corretta egrave D=x-R=(346013-
6378)km=339635km
17 Osservando la stella Canopo con un telescopio potentissimo lrsquoastronomo Qwzzz ha
scoperto due pianeti orbitanti attorno a essa le cui orbite sono esattamente
perpendicolari alla nostra linea di vista La distanza massima del primo pianeta da
Canopo egrave uguale a 47 volte la sua distanza minima e il suo periodo di rivoluzione egrave
pari a 27 anni Il secondo pianeta avente eccentricitagrave pari a 0324 al periapside egrave 3
volte piugrave lontano rispetto al primo (quando questrsquoultimo si trova nella corrispondente
posizione) Quanto vale lrsquoeccentricitagrave del primo pianeta e il periodo di rivoluzione del
secondo
Soluzione Chiamiamo 1 il primo pianeta e 2 il secondo
11988911988611198891199011
= 47 =1198861(1 + 1198901)
1198861(1 minus 1198901)rarr1 + 11989011 minus 1198901
= 47 rarr 1198901 = 0649
1198891199012
1198891199011=1198862(1 minus 1198902)
1198861(1 minus 1198901)= 3 rarr
11988621198861=(1 minus 1198901)1198891199012
1198891199011(1 minus 1198902)= 3 (
1 minus 0649
1 minus 0324) = 1558
Per la Terza legge di Keplero
11987922 = (
11988621198861)3
11987912 rarr 1198792 = 27 119910radic15583 = 524 119910
Bignamino di astronomia
65
bull TERZA LEGGE DI KEPLERO 1 Calcolare il semiasse maggiore dellrsquoorbita di Giove in kilometri sapendo che il suo periodo
di rivoluzione egrave 119879119866 = 37411 ∙ 106 119904
Soluzione
119879119866(119886119899119899119894) =119879119866(119904119890119888119900119899119889119894)
(119904119890119888119900119899119889119894 119894119899 119906119899 119886119899119899119900)=
37411 ∙ 106 119904
3600 ∙ 24 ∙ 365 ∙119904
119886119899119899119900
= 11863 119886119899119899119894
Impostando la terza legge di Keplero e imponendo che 119870 =1 1198861198991198991199002
1 1198801198603
1198792
1198863= 119870 =gt 119886119866(119880 119860 ) = radic[119879119866(119886119899119899119894)]2
3= radic(11863 119886119899119899119894)2
3= 52 119880 119860 =
= 77792 ∙ 106 119896119898
2 Calcolare il periodo di rivoluzione di Marte in giorni sapendo che il suo semiasse maggiore
misura 119886119872 = 2279 ∙ 109 119898
Soluzione
119886119872(119880 119860 ) =119886119872(119898)
1496 ∙ 109 ∙119898119880 119860
=2279 ∙ 109 119898
1496 ∙ 109 ∙119898119880 119860
= 152 119880 119860
Impostando la terza legge di Keplero e imponendo che 119870 =1 1198861198991198991199002
1 1198801198603
1198792
1198863= 119870 =gt 119879119872(119886119899119899119894) = radic[119886119872(119880 119860 )]3 = radic(152 119880 119860 )3 = 187 119886119899119899119894 = 684 119892119894119900119903119899119894
3 Approssimando lrsquoorbita di Venere a una circonferenza calcolare la velocitagrave media v del
pianeta intorno al Sole sapendo che il suo periodo di rivoluzione egrave 119879119881 = 1941 ∙ 106 119904
Soluzione
119879119881(119886119899119899119894) =119879119881(119904119890119888119900119899119889119894)
(119904119890119888119900119899119889119894 119894119899 119906119899 119886119899119899119900)=
1941 ∙ 106 119904
3600 ∙ 24 ∙ 365 ∙119904
119886119899119899119900
= 061 119886119899119899119894
Impostando la terza legge di Keplero e imponendo che 119870 =1 1198861198991198991199002
1 1198801198603
1198792
1198863= 119870 =gt 119886119881(119880 119860 ) = radic[119879119881(119886119899119899119894)]2
3= radic(061 119886119899119899119894)2
3= 072 119880 119860 = 1076 ∙ 106 119896119898
119907 =2120587119886119881119879119881
=2120587 ∙ 1076 ∙ 106 119896119898
1941 ∙ 106 119904= 3483
119896119898
119904
Bignamino di astronomia
66
Risoluzione del sistema per il calcolo delle velocitagrave su orbite non circolari
119907119886119889119886 = 1199071199011198891199011
2119898119907119886
2 minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
1198891198861
2119898119907119886
2 minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
11988911988612119898119907119901
21198891199012
1198891198862
minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886121199071199012119889119901
2
1198891198862
minus1
21199071199012 =
119866119872
119889119886minus119866119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
1198891198861
21199071199012 (1198891199012
1198891198862minus 1) = 119866119872(
1
119889119886minus1
119889119901)
119907119886 =
119907119901119889119901
1198891198861
21199071199012 (1198891199012 minus 119889119886
2
1198891198862
) = 119866119872(119889119901 minus 119889119886
119889119886119889119901)
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886
1199071199012 = 2119866119872 (
119889119901 minus 119889119886
119889119886119889119901)(
1198891198862
1198891199012 minus 119889119886
2)
Bignamino di astronomia
67
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886
1199071199012 = 2119866119872 (
119889119901 minus 119889119886
119889119886119889119901) [
1198891198862
(119889119901 + 119889119886)(119889119901 minus 119889119886)]
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886
119959119953 = radic120784119918119924119941119938
119941119953(119941119953 + 119941119938)
Sostituendo la formula appena trovata nella prima equazione si ottiene
119959119938 = radic120784119918119924119941119953
119941119938(119941119953 + 119941119938)
Possiamo scrivere le due velocitagrave anche in funzione (cioegrave in dipendenza) del semiasse maggiore e
dellrsquoeccentricitagrave dellrsquoorbita Se chiamiamo il semiasse maggiore dellrsquoorbita ellittica a valgono le
seguenti relazioni
119889119886 = 119886(1 + 119890) 119889119901 = 119886(1 minus 119890)
Quindi
119907119901 = radic2119866119872119886(1 + 119890)
119886(1 minus 119890)[119886(1 minus 119890) + 119886(1 + 119890)]= radic2119866119872
1 + 119890
(1 minus 119890)[119886(1 minus 119890 + 1 + 119890)]
= radic2119866119872
2119886(1 + 119890
1 minus 119890) = radic
119918119924
119938(120783 + 119942
120783 minus 119942)
Sostituendo anche nel caso di 119881119886
119907119886 = radic119918119924
119938(120783 minus 119942
120783 + 119942)
Si ricorda inoltre che
119938 =119941119938 + 119941119953
120784 119942 =
119941119938 minus 119941119953
119941119938 + 119941119953
Bignamino di astronomia
68
ESERCIZIO
Un pianeta sta cadendo sulla sua stella seguendo una traiettoria rettilinea se si conosce
lrsquoaltezza di caduta h si determini il tempo di caduta t
Per risolvere questo problema si potrebbe erroneamente pensare di applicare le leggi del moto
rettilineo uniformemente accelerato (come nel caso di una penna che cade dalla scrivania)
Consideriamo perograve un corpo (di massa m) che si trova a una certa altezza dal suolo la sua forza peso
equivale alla forza di attrazione gravitazionale tra il corpo e il pianeta (di raggio R e massa M) su cui
si trova
119898119892 =119898119872119866
(119877 + ℎ)2 119888119894119900egrave 119892 =
119866119872
(119877 + ℎ)2
Come possiamo vedere lrsquoaccelerazione di gravitagrave g non si mantiene costante al variare dellrsquoaltezza
ma varia noi la assumiamo costante al suolo e pari a circa 981 ms^2 solo percheacute in quel caso Δhasymp0
Quindi non possiamo applicare le leggi del moto rettilineo uniformemente accelerato a questo
problema Come risolverlo allora
Allrsquoinizio di questi appunti abbiamo evidenziato che lrsquoeccentricitagrave di unrsquoellisse indica quanto lrsquoellisse
egrave ldquoschiacciatardquo se dunque lrsquoeccentricitagrave tende a 1 la traiettoria tende a un segmento
Quindi possiamo assumere che il pianeta cada seguendo unrsquoorbita ellittica con eccentricitagrave prossima
a 1 e dunque semiasse maggiore a pari a h2 (vedi figura)
Se conosciamo la massa M della stella possiamo applicare la III legge di Keplero generalizzata
1198792
1198863=41205872
119866119872 rarr 119879 = radic
41205872
1198661198721198863 rarr 119879 = radic
41205872
119866119872(ℎ
2)3
rarr 119879 = radic1205872
2119866119872ℎ3
Naturalmente questo egrave il periodo completo dellrsquoorbita Il periodo di caduta egrave la metagrave
119905 =119879
2
a a
h
Bignamino di astronomia
69
Problemi 1 Coordinate celesti e tempo
Ci troviamo in un luogo di latitudine 120593 = 42deg 30prime15primeprime 119873 e longitudine 120582 = 15deg 28prime18primeprime119864
Osserviamo una stella di ascensione retta 5h 32 min 3 sec e declinazione -00deg 15rsquo 20rdquo che
passa al meridiano alle 2030 del 14012020 A quale altezza culminava Quale era la sua
distanza zenitale In quale data dallo stesso luogo e allo stesso orario si egrave potuto vederla
sorgere ad est
Soluzione
Lrsquoaltezza massima di una stella (quando culmina) egrave data dalla relazione
ℎ = 90deg minus 120593 + 120575
Quindi
ℎ = 90deg minus 42deg30prime15 minus 0deg 15 20= 47deg 14 25
La distanza zenitale egrave invece data da 119911 = 90deg minus 120593 = 90deg minus 47deg 14prime25primeprime = 42deg 45prime35primeprime
Un dato importante per poter rispondere alla terza richiesta egrave sapere che le stelle
ldquoanticipanordquo il loro sorgere di 3 119898119894119899 56 119904119890119888119892119894119900119903119899119900
Quindi per sapere quanti giorni prima la stella sorgeva ad est (m)
119898 =120572
Δ119905=
(5ℎ32min3sec)
3119898119894119899 56sec119892119894119900119903119899119900= 84 119892119894119900119903119899119894
84 giorni prima del 14012020 era il 21102019
2 Coordinate e tempo
Il tempo siderale di un luogo (120593 = 28deg 30prime45primeprime119878 120582 = 90deg 23prime50primeprime119882 ) egrave di 9h 3min 45sec
Quale egrave il tempo siderale di GW
Soluzione Il primo passaggio da fare egrave trasformare la longitudine del luogo da gradi in ore
Quindi
15deg 1ℎ = 90deg 23prime50primeprime 120582
120582 = 90deg 23prime50primeprime ∙1ℎ
15deg = 6ℎ 1min3533119904119890119888
Il tempo siderale del luogo egrave legato a quello di GW dalla seguente relazione
119879119904 = 119879119866119908 + 120582
Quindi 119879119866119908 = 119879119904 minus 120582 = 9ℎ3min 45119904119890119888 minus (minus 6ℎ1min 3533sec ) = 9ℎ3min 45119904119890119888 +
6ℎ1min 3533sec = 15ℎ 5min 20119904119890119888
Bignamino di astronomia
70
PROBLEMI E QUESITI SULLA MISURA DEL TEMPO
Problema 1 In un dato luogo a che ora di tempo siderale culmina il Sole medio in un dato giorno
sapendo che sedici giorni prima esso culminava alle 15h 12m 48s di tempo siderale
Se ci troviamo a Belo Horizonte (longitudine λ=43deg56rsquo16rdquo W) al mezzogiorno vero e lrsquoequazione del
tempo per quel giorno egrave pari a ET=-8m7s che ora segna lrsquoorologio dellrsquoosservatore
Soluzione problema 1 La prima richiesta del problema si risolve tenendo conto che giorno solare
medio e giorno siderale hanno diversa durata infatti il giorno siderale egrave piugrave corto del giorno solare
medio di circa 3m56s Pertanto se in un dato giorno il punto gamma e il Sole medio hanno raggiunto
la culminazione nel medesimo istante il giorno successivo il Sole medio culmineragrave 3m56s dopo il
punto gamma Quindi il Sole accumuleragrave un ritardo pari a 163m56s=1h2m56s che andragrave sommato
allrsquoora siderale data dal problema TS=15h 12m 48s + 1h 2m 56s= 16h 15m 44s
Se a Belo Horizonte egrave mezzogiorno vero vuol dire che sono le 12h di tempo solare vero Lrsquoequazione
del tempo egrave la differenza fra tempo solare medio e tempo solare vero quindi
TSM-TSV=ET TSM=TSV+ET=12h ndash 8m 7s= 11h 51m 53s lrsquoorologio dellrsquoosservatore egrave perograve in
accordo col tempo del meridiano centrale del fuso di Belo Horizonte che ha longitudine 3h W
mentre Belo Horizonte ha longitudine 2h 55m 45s W essa egrave quindi piugrave avanti di 3h-2h 55m 45s=4m
15s lrsquoorologio segneragrave quindi le ore 11h 51m 53s ndash 4m 15s= 11h 47m 38s
Problema 2 A Bergamo (λ= 9deg 40rsquo 12rdquo E) i raggi del Sole in un dato momento si proiettano
esattamente sulla linea della meridiana di Cittagrave Alta In quel dato giorno lrsquoequazione del tempo egrave
+5m 12s se il tempo siderale a mezzanotte di quel giorno a Greenwich risultava pari a 3h 21m 20s
qual egrave il tempo siderale a Greenwich nellrsquoistante del problema
Soluzione problema 2 La longitudine di Bergamo espressa in ore minuti e secondi egrave 38m 41s E Se
il disco luminoso si proietta sulla linea meridiana egrave mezzogiorno vero quindi il tempo solare medio
saragrave pari a TSM= TSV + ET= 12h + 5m 12s= 12h 5m 12s Greenwich si trova 38m 41s a ovest di
Bergamo quindi egrave anche 38m 41s indietro a Greenwich sono quindi le 12h 5m 12s ndash 38m 41s= 11h
26m 31s Sono passate quindi 11h 26m 31s dalla mezzanotte per convertire questo tempo medio
in tempo siderale moltiplichiamo per il fattore di conversione 3662536525
ΔTS (Greenwich)= (3662536525)(114419444 h)= 114732394h = 11h 28m 24s Quindi a
Greenwich sono le 3h 21m 20s + 11h 28m 24s= 14h 49m 44s di tempo siderale
Quesito Si valuti argomentando opportunamente come varia lrsquoEquazione del Tempo nel corso
dellrsquoanno solare se in un piano cartesiano in ascissa indichiamo lrsquoET e in ordinata la declinazione del
Sole che curva si ottiene
Risposta Lrsquoequazione del tempo si annulla quattro volte lrsquoanno a metagrave aprile a metagrave giugno verso
Natale e ai primi di settembre il sole medio e il sole vero culminano contemporaneamente (1) Da
Natale a metagrave aprile il sole medio anticipa il sole vero (2) da metagrave aprile a metagrave giugno il sole vero
anticipa il sole medio da metagrave giugno a inizio settembre come (1) e da inizio settembre a Natale
come (2) Oltre a ldquooscillare in orizzontalerdquo in un anno il sole ldquooscilla in verticalerdquo nel senso che
Bignamino di astronomia
71
assume declinazioni da 23deg27rsquo a -23deg27rsquo La curva che si ottiene egrave quindi una sorta di ldquo8rdquo chiamata
analemma essa egrave anche la curva che egrave formata dalle posizioni in cielo del sole vero registrate a
mezzogiorno medio locale ogni giorno dellrsquoanno
Figura 1 Analemma decET
Figura 2 Analemma visualizzato nel cielo di Atene
Problema 3 Una stella di ascensione retta AR=11h 12m 13s culmina in un dato luogo della Terra alle
ore 13h 04m 02s di tempo medio Considerando che a Greenwich culmina una stella con ascensione
retta 8h 11m 58s dire che orario segna lrsquoorologio dellrsquoosservatore in quel dato luogo della Terra
Soluzione Il tempo siderale in un dato luogo egrave uguale allrsquoascensione retta delle stelle che si trovano
a culminare al meridiano superiore Quindi in questo luogo della Terra il tempo siderale egrave pari a 11h
12m 13s a Greenwich il tempo siderale egrave pari a 8h 11m 58s Notiamo come il luogo dove si trova
lrsquoosservatore ha longitudine est infatti egrave piugrave avanti di Greenwich di circa 3 ore quindi egrave piugrave a Est di
Greenwich La differenza fra lrsquoora siderale dellrsquoosservatore e quella a Greenwich dagrave la longitudine
del luogo (differenza fra longitudine del luogo e longitudine di Greenwich che egrave 0 percheacute il suo
meridiano egrave origine delle longitudini)
λ= TSrsquo-TS(GW)= 11h 12m 13s ndash 8h 11m 58s= 3h 0m 15s E Questo luogo segue il meridiano che ha
longitudine 3h E quindi egrave in anticipo rispetto a esso di appena 15s pertanto il suo orologio segneragrave
le ore 13h 04m 02s ndash 15s= 13h 03m 47s
Bignamino di astronomia
72
bull STELLE E MAGNITUDINI SISTEMI STELLARI ESTESI
1 Pochi giorni fa si egrave registrato un nuovo oggetto che si comporta apparentemente
come una binaria a eclisse Tuttavia il periodo non egrave stabile la magnitudine
dellrsquooggetto egrave in genere pari a 2432 ma ogni 7-11 secondi sale a 2452 per 02-03
secondi Dopo unrsquoaccurata analisi del problema si egrave capito che lrsquooggetto splendente egrave
costituito dagli occhi di un gruppo di gatti assolutamente neri seduti su un piccolo
corpo del sistema solare nero e con gli sguardi rivolti verso il sole Uno dei gatti batte
ogni tanto le palpebre Quanti gatti ci sono
Soluzione Sia N il numero di occhi la cui determinazione egrave richiesta dal problema
Quando il gatto nero del problema chiude gli occhi il numero di occhi che
contribuisce alla magnitudine complessiva scende di due unitagrave (N-2) Se
consideriamo che gli occhi dei gatti sono tutti gli stessi ciascuno di essi ci invia un
flusso pari a F Avendo entrambe le magnitudini corrispondenti alla situazione ldquotutti
gli N occhi apertirdquo (2432) e ldquoN-2 occhi apertirdquo (2452) possiamo scrivere la formula
di Pogson tenendo conto dei flussi complessivi
119898119898119894119899 minus119898119898119886119909 = minus25119897119900119892 [119865 lowast (119873 minus 2)
119865 lowast 119873]
119873 minus 2
119873= 10
119898119898119886119909minus11989811989811989411989925 = 10minus008 = 0832 rarr 119873 =
2
0168asymp 12 119900119888119888ℎ119894 ossia 6 119892119886119905119905119894
2 La galassia di Andromeda ha una magnitudine apparente integrata mv = 440 e appare in cielo come unrsquoellisse i cui semiassi hanno dimensioni angolari di circa 190 arcmin e 60 arcmin Sapendo che la sua distanza egrave di circa 254 milioni di anni luce calcolare la magnitudine assoluta e la magnitudine apparente superficiale media della galassia (Gara Interregionale Categoria Senior 2018)
Soluzione La distanza della galassia di Andromeda in pc egrave 119889(119901119888) =254 10^63262= 77810^3 119901119888 La magnitudine assoluta egrave data dalla relazione 119872119907 = 119898119907 + 5 minus 5 log 119889(119901119888) = -201 Per calcolare la magnitudine apparente superficiale dobbiamo calcolare lrsquoarea apparente della galassia A = π a b = 120587 190 ∙ 60 = 358 ∙ 103 1198861199031198881198981198941198992 cong 129 ∙ 106 119886119903119888119904119890119888^2 La magnitudine apparente superficiale (msup) si ottiene dalla relazione 119898119904119906119901 = 119898119907 +25 log 119860 cong 158119898119886119892119886119903119888119898119894119899^2 cong 247119898119886119892119886119903119888119904119890119888^2 3 Si consideri una stella variabile ldquopulsanterdquo la cui magnitudine assoluta varia
nellrsquointervallo M1= 325 e M2= 226 con una temperatura effettiva che al massimo di luminositagrave egrave T2= 5500 K e al minimo di luminositagrave egrave T1 = 5000 K Calcolare quanto varia il raggio della stella tra il minimo e il massimo di luminositagrave Esprimere il
Bignamino di astronomia
73
risultato come rapporto tra raggio massimo e raggio minimo e come differenza tra i due raggi in km (Gara Interregionale Categoria Senior 2017)
Soluzione La luminositagrave di una stella egrave definita dalla relazione 119871=4 120587 119877^2 120590 119879^4 Per ricavare il rapporto tra i raggi al massimo e minimo di luminositagrave utilizziamo la formula di Pogson 1198722minus 1198721= minus 25log(11987121198711)=minus 25log[4120587(1198772)^2 120590 (1198792)^4][4120587(1198771)^2 120590 (1198791)^4]= -
25log[(11987721198771)^2 (11987921198791)^4] e quindi 0396 = log[(11987721198771)^2 (11987921198791)^4] =119897119900119892 [(11987721198771)^2 1464] da cui 0396=2log(11987721198771)+log1464 ovvero 0115= 119897119900119892 (11987721198771) e infine (119929120784119929120783)=120783120785120782 Per ottenere la differenza in km calcoliamo il raggio della stella al massimo di luminositagrave confrontando i suoi dati con una stella di caratteristiche note il Sole Avremo quindi 1198722minus 119872s=minus 25log[(1198772119877s)^2 (1198792119879s)^4] e quindi 103 = 2 log R2 ndash 2 log Rs + 4 log 09519
da cui si ricava 1198772=2513 ∙ 10^3 119896119898cong361 119877s e 1198771=1933 ∙ 10^3 119896119898cong278 119877s la variazione del raggio in km vale quindi ΔR = 580 ∙ 103 km
4 La supergigante rossa Betelgeuse ha una magnitudine apparente m1=+042 e
una parallasse π1=0005rdquo mentre la supergigante blu Rigel ha una magnitudine
apparente m2=+013 e una parallasse π2=0004rdquo Quale delle due stelle egrave
intrinsecamente piugrave luminosa Qual egrave la piugrave lontana (Gara interregionale Categoria Senior 2015) Soluzione Affincheacute si possa determinare quale delle due stelle sia piugrave luminosa intrinsecamente egrave necessario ricorrere al calcolo delle magnitudini assolute delle due stelle possiamo calcolare la magnitudine assoluta di una stella conoscendo la magnitudine apparente della stessa e la sua parallasse tramite la relazione
119872 = 119898 + 5 + 5119897119900119892120587 119900119907119890 119897119886 119901119886119903119886119897119897119886119904119904119890 egrave 119890119904119901119903119890119904119904119886 119894119899 119886119903119888119900119904119890119888119900119899119889119894 Nel caso nostro
1198721 = 1198981 + 5 + 51198971199001198921205871 = +042 + 5 + 51198971199001198920005 = minus608 (119861119890119905119890119897119892119890119906119904119890)
1198722 = 1198982 + 5 + 51198971199001198921205872 = +013 + 5 + 51198971199001198920004 = minus687 (119877119894119892119890119897)
Essendo la magnitudine assoluta di Rigel minore di quella di Betelgeuse allora Rigel egrave intrinsecamente piugrave luminosa di Betelgeuse Possiamo giagrave da questo risultato comprendere quale stella sia piugrave distante delle due infatti Rigel egrave sia apparentemente sia assolutamente piugrave luminosa di Betelgeuse quindi egrave necessario che essa sia piugrave distante di Betelgeuse affincheacute ciograve si verifichi A riprova di ciograve la parallasse di Rigel egrave minore di quella di Betelgeuse essendo essa piugrave lontana La distanza di Rigel in parsec egrave 1π2=250 pc mentre quella di Betelgeuse egrave 1π1=200 pc
da cui d2gtd1
Bignamino di astronomia
74
bull COSMOLOGIA ELEMENTARE
5 Un team di scienziati osserva una nuova galassia e ne analizza lo spettro la riga H-alfa
dellrsquoidrogeno che ha in laboratorio una lunghezza drsquoonda pari a 656281 Aring ha nello spettro della galassia una lunghezza drsquoonda di 656933 Aring Si determini la distanza della galassia Soluzione per prima cosa calcoliamo il redshift della galassia
119911 =∆120582
120582=120582119900119904119904 minus 120582119897119886119887
120582119897119886119887=656933 minus 656281
656281= 9935 lowast 10minus4
Applichiamo la legge di Hubble-Lemaitre
119888119911 = 1198670119889 rarr 119889 =119888119911
1198670= 299792458
119896119898
119904lowast 9935 lowast
10minus4
719= 414 119872119901119888
6 Osservando lrsquoesplosione di una supernova in una lontana galassia due scienziati notano che la riga H-beta dellrsquoidrogeno osservata nello spettro ha esattamente la stessa lunghezza drsquoonda della riga H-alfa osservata in laboratorio Tuttavia i due scienziati usano valori diversi per la costante di Hubble Usando valori che differiscono di ΔH=H2-H1=14 kmsMpc ottengono valori diversi per la magnitudine assoluta della supernova al massimo M1=-1902 e M2=-1864 Trovare quanto valgono per ciascuno dei due scienziati il redshift e la distanza della galassia (XXIII International Astronomy Olympiad ndash Colombo Sri Lanka Theoretical Round Group β Exercise 1) Soluzione Il redshift misurato dai due scienziati egrave lo stesso per entrambi esso infatti dipende dalle lunghezze drsquoonda osservate che secondo quanto affermato nella traccia sono le stesse per entrambi gli scienziati La lunghezza drsquoonda della riga H-alfa egrave pari a 6563 Aring mentre la lunghezza drsquoonda della riga H-beta egrave pari a 4861 Aring Il redshift per definizione egrave dunque pari a
119911 =120582119867minus119886119897119891119886minus120582119867minus119887119890119905119886
120582119867minus119887119890119905119886= 035
Conoscendo la relazione nota come ldquomodulo di distanzardquo (relazione fra mag Apparente e mag Assoluta) possiamo scrivere
1198721 = 1198981 + 5 minus 51198971199001198921198891 1198722 = 1198982 + 5 minus 51198971199001198921198892
Ma le due magnitudini apparenti dellrsquooggetto debbono necessariamente coincidere dal momento che esse sono dati puramente osservativi (non derivano cioegrave da elaborazioni di dati precedenti) possiamo quindi sottrarre membro a membro le due relazioni precedenti semplificando le due magnitudini apparenti
1198721 minus1198722 = 5119897119900119892 (11988921198891) rarr
11988921198891= 10
1198721minus11987225 = 0839
Possiamo scrivere il seguente sistema
1198892 = 08391198891H2 minus H1 = 14
119888119911
1198672= 0839
119888119911
1198671H2 minus H1 = 14
1198672 = 11911986711198672 minus 1198671 = 14
1198671 =
7368119896119898119904
119872119901119888
1198672 =8768
119896119898119904
119872119901119888
Bignamino di astronomia
75
Da cui finalmente d1=czH1=2997924580357668=13684 Mpc dz=czH2=2997924580538768=11967 Mpc
bull MISCELLANEA
1 Una galassia egrave composta da stelle tutte simili al nostro Sole Essa mostra uno
spostamento verso il rosso della riga Hα (λ=656281 Aring) di ampiezza pari a Δλ= 15 Aring
Essa risulta inclinata rispetto alla perpendicolare alla linea di vista di un angolo di 30deg
e si sa che il suo raggio egrave pari a 37000 anni luce Nel cielo appare come un oggetto di
magnitudine superficiale msup= 2478 magarcsec2
Quanto vale la massa della galassia
Soluzione Ci viene fornita dalla traccia la magnitudine superficiale della galassia vista
dalla Terra essa indica la magnitudine di una ldquoporzionerdquo della galassia di superficie
pari a 1 arcsec2 Di conseguenza la magnitudine complessiva della galassia devrsquoessere
legata alla sua superficie angolare allora dobbiamo conoscere le dimensioni angolari
della galassia abbiamo le dimensioni angolari quindi dobbiamo ricavare la distanza
della galassia
Calcoliamo per prima cosa il redshift z
119911 =∆120582
120582=
15
656281= 229 ∙ 10minus4
Con la legge di Hubble-Lemaitre ricaviamo la distanza
119888119911 = 1198670119889 119889 =119888119911
119867119900=300 ∙ 105 ∙ 229 ∙ 10minus4
719119872119901119888 = 0954 119872119901119888
= 311 ∙ 106119886119899119899119894 119897119906119888119890
Adesso possiamo determinare le dimensioni apparenti della galassia percheacute ne
conosciamo la distanza nel cielo essa ci appare come unrsquoellisse il cui semiasse
maggiore vale
119886 = arctan (119877
119889) = arctan (
37000
311 ∙ 106) = 0682deg = 24538 119886119903119888119904119890119888
Essendo il coseno di 30deg uguale a radic3
2 il semiasse minore varragrave
119887 = arctan(119877radic3
2119889) = arctan (
37000 ∙ 173
2 ∙ 311 ∙ 106) = 0590deg = 21226 119886119903119888119904119890119888
Calcoliamo la superficie di questa ellisse
119878 = 120587119886119887 = 120587 ∙ 24538 ∙ 21226 arcsec2 = 163 ∙ 107 arcsec2
Bignamino di astronomia
76
A questo punto ricaviamo la magnitudine integrata apparente
m=msup-25log(119878) 119898 = 2478 minus 25 log(163 ∙ 107) = 675
Abbiamo la distanza troviamo la magnitudine assoluta
M=m+5-5logd=675+5-5log(0954 106)=-1815
A questo punto troviamo il numero di ldquosolirdquo contenuti nella galassia grazie alla
relazione che ci permette di ricavare la magnitudine integrata di un oggetto (nel caso
sia composto da componenti uguali)
119872 = minus25 log(119873 lowast 10minus04119872119904) 119873 = 10minus04(119872minus119872119878) = 10minus04(minus1815minus483)
= 156 ∙ 109119904119905119890119897119897119890 119888119900119898119890 119894119897 119904119900119897119890
Possiamo finalmente trovare la massa della galassia
119872119892 = 156 ∙ 109 ∙ 199 ∙ 1030119896119892 = 310 ∙ 1039119896119892
2 Una stella di raggio R=705000 km presenta un picco drsquoemissione alla lunghezza
drsquoonda di 542 nm Se essa egrave costituita interamente da idrogeno si determini quanti
atomi di idrogeno hanno reagito in un secondo nel nucleo della stella nella reazione
di fusione termonucleare che produce elio
Soluzione Dobbiamo innanzitutto determinare la luminositagrave della stella che dipende
dal quadrato del raggio e dalla quarta potenza della temperatura disponiamo del
raggio ma dobbiamo ricavare la temperatura notiamo come il problema fornisca la
lunghezza drsquoonda del picco drsquoemissione che egrave inversamente proporzionale alla
temperatura efficace secondo la Legge di Wien
120582 ∙ 119879119890119891119891 = 2898 119898119898 119870 119879119890119891119891 =2898 119898119898 119870
542 ∙10minus6119898119898= 5347 119870
Adesso possiamo determinare la luminositagrave della stella (Legge di Stefan-Boltzmann)
119871 = 41205871198772120590(119879119890119891119891)4= 4120587 (705 ∙ 108)2 567 ∙ 10minus8 (5347)4 119882 = 289 ∙ 1026119882
Questa egrave lrsquoenergia che la stella irradia in un secondo ma da dove deriva Nel nucleo
quattro protoni si fondono per formare un nucleo di elio il nucleo di elio che si forma
perograve non ha la stessa massa dei quattro protoni bensigrave ha una massa lievemente
minore La massa mancante (il difetto di massa) si egrave trasformata in energia secondo
la famosa relazione di Einstein
119864 = 1198981198882
Se E=L m saragrave uguale al difetto di massa complessivo per unitagrave di tempo
119898 =119871
1198882=289 ∙ 1026119882
9 ∙ 10161198982
1199042 = 321 ∙
109119896119892
119904
Essendo la massa di un nucleo di elio-4 pari a 6645 10-27kg mentre la massa del
protone pari a 167310-27kg si ha che la massa di 4 protoni egrave 669210-27kg e quindi
il difetto di massa per ogni reazione egrave Δm= 004710-27 kg Dividendo questo valore
Bignamino di astronomia
77
per quello trovato sopra otteniamo il numero di reazioni che avvengono in un
secondo nel nucleo della stella
119873 =119898
∆119898=
321 ∙ 109
0047 ∙ 10minus27119903119890119886119911 = 683 ∙ 1037119903119890119886119911
A ogni reazione corrispondono quattro atomi di idrogeno quindi per trovare la
soluzione ci basta moltiplicare questo valore per 4
119873119905119900119905 = 4119873 = 273 ∙ 1038119886119905119900119898119894()
3 Che dimensioni dovrebbe avere una sfera metallica perfettamente riflettente per
essere visibile come un astro da Terra ad occhio nudo quando essa si trova in
opposizione al Sole (Questa sfera egrave posta in orbita circolare attorno alla Terra con
un periodo T=2766 ore)
Soluzione Innanzitutto ci serve conoscere il raggio orbitale della sfera perciograve
applichiamo la Terza Legge di Keplero generalizzata
1198792
1198863=41205872
119866119872 119886 = radic
1198661198721198792
41205872
3
= radic667 ∙ 10minus11 ∙ 597 ∙ 1024 ∙ 992 ∙ 107
4(314)23
= 10005119896119898
Sia Fs il flusso solare esso investe la sfera e la quantitagrave di energia intercettata in un
secondo (Lint) egrave direttamente proporzionale alla sezione della sfera
119871119894119899119905 = 119865119904 ∙ 1205871198772
La luce viene interamente riflessa quindi
119871119903119894119891 = 119871119894119899119905 = 119865119904 ∙ 1205871198772
Questa luminositagrave viene riflessa in tutte le direzioni quindi tutti i punti che si trovano
alla medesima distanza dalla sfera riceveranno lo stesso flusso pari a
119865 =119865119904 ∙ 120587119877
2
41205871198892=119865119904 ∙ 119877
2
41198892
In particolare per una localitagrave posta sulla Terra
119865 =119865119904 ∙ 119877
2
4(119886 minus 119877119879)2=
119865119904 ∙ 1198772
4(107 minus 6378 ∙ 106)2= 1906 ∙ 10minus14119865119904 119877
2
Applichiamo la formula di Pogson comparando la sfera col Sole e tenendo presente
che la magnitudine della sfera devrsquoessere uguale a 6 (lrsquooggetto egrave appena visibile ad
occhio nudo)
119898minus119898119904 = minus25 log (119865
119865119904) rarr 6 + 2674 = minus25 log(1906 ∙ 10minus141198772)
1906 ∙ 10minus141198772 = 10minus131 rarr 119877 = radic10minus131
1906 ∙ 10minus14119898 = 204 119898
Pertanto la sfera deve avere un diametro di 408 metri
Bignamino di astronomia
78
[NB Nello svolgimento del problema si egrave usato lo stesso valore del flusso solare per la Terra e per la
sfera in realtagrave ciograve egrave unrsquoapprossimazione percheacute le distanze Terra-Sole e Sole-sfera sono diverse
Essendo perograve il semiasse dellrsquoorbita della sfera trascurabile rispetto al semiasse della Terra allora i due
flussi sono assai simili]
4 Egrave stato osservato un quasar doppio che si trova a grandissima distanza dalla Terra La
particolaritagrave di questo quasar egrave il moto di allontanamento delle due componenti Q1
e Q2 In particolare Q1 si allontana da Q2 spostandosi come riportato in figura dal
punto A al punto B con velocitagrave relativistica ldquovrdquo pari al 75 della velocitagrave della luce
Calcolare lrsquointervallo di tempo Δt impiegato dal componente Q1 a raggiungere il
punto B e il corrispondente intervallo di tempo Δtrsquo misurato dagli astronomi sulla
Terra (che giace sullo stesso piano della figura) Sulla base del risultato ottenuto di
fronte a quale sconvolgente conclusione si sono trovati gli astronomi prima di
riuscire a spiegare correttamente il fenomeno (Dalla Finale Nazionale 2015
Categoria Junior)
Soluzione Il tratto AB egrave lrsquoipotenusa del triangolo rettangolo ABArsquo (vedi figura) quindi
esso vale (Teorema di Pitagora)
119860119861 = radic119860119860prime2 + 119860prime1198612 = radic9 + 16 = 5119886 119897
Esso viene quindi percorso nel tempo ∆119905 =119860119861
119907=
5119886119897
075119888= 667 119886119899119899119894 Notiamo come non ci
sia bisogno di conoscere il valore della velocitagrave della luce percheacute le distanze sono espresse
in anni luce
Adesso analizziamo il fenomeno come viene visto dalla Terra Quando Q1 si trova in A la luce
da esso emessa impiega per giungere in Arsquo un tempo pari a 4119886119897
119888= 4 119886119899119899119894 Nel frattempo
Q1 si sposta e per arrivare in B impiega 667 anni La luce che emette in B non deve piugrave
attraversare una distanza di 4 al quindi i due segnali luminosi arrivano a una ldquodistanzardquo
temporale ∆119905prime = (667 minus 4)119886119899119899119894 = 267 119886119899119899119894
Il risultato sconvolgente egrave che siccome agli astronomi da Terra egrave sembrato che Q1 si
spostasse lungo ArsquoB la sua velocitagrave misurata da Terra risulta pari a
119907 =119860prime119861
267119886119899119899119894=
3119886 119897
267119886119899119899119894= 1125119888
Bignamino di astronomia
79
Apparentemente il quasar si egrave spostato con una velocitagrave superiore a quella della luce Non egrave
infatti raro osservare dei moti superluminali (cioegrave con velocitagrave superiore a quella della luce)
in oggetti che si muovono con velocitagrave relativistiche questa velocitagrave egrave tuttavia sempre
apparente
5 Se una stella presenta un redshift z pari a 555 10-5 quale saragrave il verso e il valore della
sua velocitagrave radiale
Soluzione il redshift egrave positivo quindi la stella si allontana da noi La velocitagrave radiale
della stella egrave data da
119907 = 119888119911 = 3 ∙ 105 ∙ 555 ∙ 105 = 167119896119898
119904
6 La lunghezza drsquoonda λrsquo di una delle righe piugrave evidenti della luce emessa dalle galassie
di una costellazione egrave 1020 volte piugrave grande della corrispondente lunghezza drsquoonda
λ di riferimento Calcolare la velocitagrave con cui lrsquoammasso si sta allontanando dalla Terra
e stimare la sua distanza
Soluzione il redshift egrave119911 =∆120582
120582=
(1020minus1)120582
120582= 0020
Pertanto 119907 = 0020119888 = 6000119896119898
119904 119890 (119897119890119892119892119890 119889119894 119867119906119887119887119897119890 minus 119871119890119898119886119894119905119903119890)
119889 =119907
119867= 6000719=834 Mpc
7 In una galassia tutti gli ammassi globulari hanno un diametro pari a 50 anni luce
Nelle fotografie si misura il diametro angolare di tre di questi ammassi I diametri
risultano pari a 8rsquo9rsquo10rsquo Calcolare la distanza dei tre ammassi
Soluzione le dimensioni reali di un oggetto visto sotto un angolo α alla distanza d
sono date da
119863 = 2119889 tan (120572
2)
Da cui
1198891 =119863
2 tan(12057212)=
50
2 tan(01333
2)=21486 anni luce
1198892 =119863
2 tan (12057222)= 19099 119886119899119899119894 119897119906119888119890
Bignamino di astronomia
80
1198893 =119863
2 tan (12057232)= 17189 119886119899119899119894 119897119906119888119890
8 Se si dispone di un telescopio di 30 cm di diametro e lunghezza focale di 2 m quali
ingrandimenti saranno forniti da tre oculari di focale 25mm 10 mm e 5mm Se gli
oculari hanno un campo apparente di 55deg quale saragrave lrsquoangolo di campo al telescopio
Calcolare pure la pupilla drsquouscita
Soluzione Calcoliamo lrsquoingrandimento
1198681 =119865
119891=2000119898119898
25119898119898= 80119909
1198682 =2000
10= 200119909
1198683 =2000
5= 400119909
Il campo del telescopio saragrave
1198651199001198811 =119865119900119881119900119888119894
=55deg
80= 069deg
1198651199001198812 =55deg
200= 028deg
1198651199001198813 =55deg
400= 014deg
La pupilla drsquouscita
1199011 =300
80= 375119898119898 1199012 =
300
200= 15119898119898 1199013 =
300
400= 075119898119898
9 Calcolare lrsquoapertura minima di un telescopio per poter riconoscere un granulo solare
ampio 700km
Soluzione Lrsquoestensione angolare di questo granulo egrave data da
120572 = 2 arctan (119863
2119889) = 2 arctan (
700
2 ∙ 1496 ∙ 106) = 097
Quindi per la formula di Dawes 119863(119898119898) =120
120572=124cm
10 Per realizzare una fotografia a vasto campo egrave stato necessario un tempo di posa di 13
minuti a f3 con sensibilitagrave 800 ISO Determinare il tempo necessario per ottenere la
stessa foto usando una sensibilitagrave di 1000 ISO ed unrsquoapertura relativa di f45
Trascurare le perdite di sensibilitagrave dovute al difetto di reciprocitagrave delle pellicole
Bignamino di astronomia
81
Soluzione il tempo di posa richiesto si ricava dalla formula
1198792 =11989122 1198781
11989112 1198782
1198791 119879 119905119890119898119901119900 119878 119904119890119899119904119894119887119894119897119894119905agrave 119891 119889119894119886119891119903119886119898119898119886 (119886119901119890119903119905119906119903119886 119903119890119897119886119905119894119907119886)
1198792 =452 800
32 1000 13 = 234 119898119894119899
11 Determinare il tempo di posa massimo per ottenere stelle puntiformi senza
inseguimento siderale con un obiettivo di 50 mm (di focale F) puntato su una zona di
cielo avente declinazione media 45deg Il formato utilizzato egrave il 24x36mm
Soluzione La formula che permette di ottenere stelle puntiformi egrave
119879119898119886119909 =600
119865119888119900119904120575= 17119904119890119888119900119899119889119894
12 Un radiotelescopio ha apertura di 75 m determinare il limite di diffrazione
raggiungibile alla frequenza di osservazione di 410 MHz
Soluzione La lunghezza drsquoonda egrave data da
119888 = 120582120584 120582 =119888
120584= 732 119888119898
Il limite di diffrazione si ricava dalla formula di Rayleigh
120599 =122120582
119863= 122
732
7500= 00119 119903119886119889 = 068deg = 41prime
13 Un radiotelescopio ha un diametro di 25m calcolare il limite di diffrazione alla
lunghezza drsquoonda di osservazione di 21 cm
Soluzione Per la formula di Rayleigh
120599 =122120582
119863= 122
21
2500= 001119903119886119889 = 059deg = 352prime
14 Un telescopio riflettore ha diametro 15 m calcolare il suo potere risolutivo massimo
alla lunghezza drsquoonda dellrsquoidrogeno ionizzato Hα=6563nm
Soluzione Ancora una volta
120599 =122120582
119863= 122 lowast 6563
10minus9
15= 53 10minus7119903119886119889 = 011
Bignamino di astronomia
82
15 Consideriamo due stelle la prima (S1) ha magnitudine apparente m1=11 e si trova a
una distanza L1 dalla Terra la seconda S2 ha luminositagrave intrinseca identica a S1 ma
si trova a una distanza tripla rispetto a S1 Che magnitudine apparente ha la stella S2
Se abbiamo a disposizione uno specchio di diametro D1 con cui si riesce a vedere a
malapena S1 quanto deve essere il diametro del secondo telescopio D2 che permetta
di vedere a malapena la stella S2
Soluzione Siccome la luminositagrave intrinseca egrave la stessa ma la distanza della seconda
stella egrave tripla il flusso della seconda stella egrave uguale a un nono del flusso della prima
Quindi applicando la formula di Pogson
1198981 minus1198982 = minus25 log (11986512) = minus25 log 9 = minus239
1198982 = 11 + 239 = 1339
Infine poicheacute per osservare S2 dobbiamo essere in grado di rivelare il flusso che egrave 9
volte minore e che lrsquoarea di uno specchio aumenta con il quadrato del raggio il raggio
dello specchio D2 devrsquoessere 3 volte piugrave grande di quello di D1
16 Calcolare la magnitudine limite visuale limite raggiungibile con un telescopio di
diametro D=25cm
Soluzione Applicando la formula per trovare la magnitudine limite (con il diametro
espresso in cm) troviamo
119898 = 68 + 5119897119900119892119863 = 68 + 511989711990011989225 = 138
17 Calcolare lrsquoapertura necessaria per poter osservare stelle fino a una magnitudine
limite visuale di +16 con un telescopio
Soluzione Applicando la formula precedente
119898 = 68 + 5119897119900119892119863 119863 = 10119898minus685 = 10184 = 692 119888119898
Bignamino di astronomia
83
18 In un sistema stellare una stella ruota attorno ad unrsquoaltra su unrsquoorbita circolare con
velocitagrave 45 kms il suo periodo di rivoluzione egrave 300 giorni Determinare il raggio
dellorbita e la massa della stella centrale
Soluzione la velocitagrave orbitale egrave data da
119907 =2120587119877
119879 119889119886 119888119906119894 119877 =
119907119879
2120587=45000 ∙ 2592 ∙ 107
62831= 1856 ∙ 1011119898
Dalla Terza legge di Keplero
119872 =412058721198773
1198661198792= 5632 ∙ 1030119896119892
Bignamino di astronomia
84
La SFERA e la TRIGONOMETRIA SFERICA
Premessa
Nella geometria piana i concetti base sono il punto e la retta
Su una sfera i punti sono definiti nel senso usuale Le rette sono definite come cerchi massimi Data una sfera si definisce circonferenza massima ogni circonferenza che si ottiene intersecando la superficie sferica con un piano passante per il centro della sfera Lequatore celeste egrave un circolo massimo mentre i paralleli di declinazione non lo sono Lorizzonte astronomico egrave un circolo massimo mentre non lo sono gli almucantarat o paralleli di altezza
Elementi della sfera
Superficie sferica
Si chiama superficie sferica la figura
generata da una semicirconferenza
in una rotazione completa attorno
al suo diametro Possiamo anche
definirla come luogo geometrico La
superficie sferica egrave il luogo
geometrico dei punti dello spazio
che hanno distanza dal centro pari al
raggio
Sfera
Si chiama sfera la figura generata da un semicerchio di
una rotazione completa attorno al suo diametro
Definita come luogo geometrico egrave il luogo dei punti dello
spazio la cui distanza dal centro egrave minore o uguale al
raggio
Zona sferica
Si chiama zona sferica la parte di
superficie sferica compresa fra due
piani paralleli α e β che intersecano
la sfera Le circonferenze sezioni si
chiamano basi della zona Lrsquoaltezza egrave
la distanza tra i due centri delle
circonferenze sezioni
Bignamino di astronomia
85
Spicchio sferico Lo spicchio sferico egrave il solido delimitato da due piani meridiani passanti per
uno stesso diametro e dalla porzione di superficie sferica (fuso sferico) a
essi corrispondente
Presi due punti distinti su una sfera per essi passa
una ed una sola circonferenza massima
Dati due punti A e B distinti su una sfera esiste una ed una sola circonferenza
massima che li contiene i due punti individuano su questa circonferenza due archi il minore di essi si
chiama distanza sferica rappresenta una geodetica (La geodetica egrave la linea che realizza su una data
superficie il minimo percorso fra due punti assegnati)
Corda
Si chiama corda un segmento i cui estremi appartengono
alla superficie sferica
Si chiama diametro una corda passante per il centro
della superficie sferica e della sfera
Segmento sferico a due basi
Definiamo segmento sferico a due basi la parte di sfera
compresa fra due piani paralleli α e β secanti la sfera
stessa
Calotta Sferica
Definiamo calotta sferica ognuna
delle due parti in cui una superficie
sferica viene divisa da un piano
secante 120572 La calotta egrave la porzione di
superficie sferica ottenuta per
sezione con il piano α
Segmento sferico ad una base
Il segmento sferico ad una base egrave ognuna delle
due parti in cui una sfera viene divisa da un piano
secante α il segmento egrave la porzione di sfera
compresa tra il piano e la calotta
Fuso sferico
La parte di superficie sferica limitata da due
circonferenze massime di sezione dei
semipiani α e β con la superficie sferica
Bignamino di astronomia
86
Nella geometria sferica la circonferenza massima gioca lo stesso ruolo della retta
nella geometria piana
La lunghezza di questo arco egrave proporzionale al raggio della sfera e
allrsquoangolo al centro AOB Se AOB egrave espresso in radianti
AB = OA x AOcircB
Triangolo sferico
Si definisce triangolo sferico la superficie sulla sfera limitata da tre
archi di circolo massimo passanti per tre punti detti vertici tali punti
non devono appartenere allo stesso circolo massimo e gli archi non
devono avere alcun punto dintersezione al di fuori dei vertici
Lati del triangolo sferico
Sono le lunghezze degli archi AB BC CA che limitano la superficie
Tali lati sono minori o uguali a 180
Angoli del triangolo sferico
Sono gli angoli formati dai tre archi di circolo massimo La somma
degli angoli (interni) egrave maggiore di 2 angoli retti e minore di 6 angoli
retti
180deg lt α+β+γ lt 540deg
Pertanto la somma degli angoli egrave 180deg solo quando il triangolo egrave
degenere ovvero quando i vertici del triangolo sono situati sullo
stesso circolo massimo
La differenza fra la somma dei tre angoli di un triangolo sferico e lrsquoangolo piatto si dice eccesso sferico
ε= α+β+γ minus 180deg
Bignamino di astronomia
87
Nel triangolo sferico sussistono relazioni fra le funzioni trigonometriche dei lati e degli angoli tali relazioni
sono date dai teoremi di Eulero (teorema del coseno ( ) per i triangoli sferici e teoremi dei seni( )) da
cui derivano due gruppi fondamentali di relazioni che prendono il nome di primo e secondo gruppo di Gauss
di cui ci occuperemo nella trattazione del triangolo di posizione astronomico Lrsquoapplicazione dei triangoli
sferici assume particolare importanza in astronomia in quanto come abbiamo visto nei sistemi di riferimento
sulla sfera celeste si misurano solo distanze angolari
Per un lato
cos (119886) = cos (119887)cos (119888) + sin (119887)sin (119888)cos (119860)
sin (119886)
sin (119860)=sin (119887)
sin (119861)=sin (119888)
sin (119862)
Oppure
sin(119886) ∶ sin(119860) = sin(119887) sin(119861) = sin(119888) sin(119862)
Bignamino di astronomia
88
Triangolo di posizione astronomico
Vertici del triangolo
Il triangolo astronomico o di posizione ha i vertici nellastro
nello zenit e nel polo celeste nord il terzo vertice potrebbe
essere anche laltro polo ma per convenzione egrave preferibile
usare quello nord in quanto semplifica le regole algebriche
per il calcolo delle lunghezze dei lati
Lati del triangolo
I lati del triangolo hanno lunghezze comprese fra 0 e 180
definite come segue
bull Distanza polare p = 9 - 120575
la distanza che lastro ha dal polo di riferimento (polo celeste nord per convenzione)
Considerando la declinazione 120575 positiva se a Nord e negativa se Sud la distanza polare egrave p lt 90 nel
primo caso e p gt 90 nel secondo
bull Colatitudine c = 9 - 120593
coincide con la colatitudine ossia il complemento della latitudine Si ricorda che lelevazione
dellasse polare egrave esattamente pari alla latitudine del luogo La precedente convenzione per la
declinazione puograve essere adottata anche per la latitudine per cui si ha c lt 90 per latitudini nord e c gt
90 per quelle sud
bull Distanza zenitale z = 90 - h
Coincide con la distanza zenitale z ossia la distanza che lastro ha dallo zenit Tale distanza egrave il
complemento dellaltezza h (z = 90-h) Se lastro egrave nellemisfero visibile si ha h gt 0 e z lt 90 per astri
nellemisfero invisibile si ha h lt 0 e z gt 90
I tre angoli sono
1) Angolo vertice nello Zenith compreso tra meridiano e cerchio verticale la sua ampiezza dovrebbe corrispondere allazimuth ma in questo caso poichegrave lampiezza degli angoli nei triangoli sferici egrave sempre inferiore a 180deg prende nome di Angolo azimutale Z
2) Angolo vertice nel Polo Celeste compreso tra meridiano e cerchio orario la sua ampiezza corrisponderebbe allangolo orario ma in questo caso poicheacute lampiezza degli angoli nei triangoli sferici egrave sempre inferiore a 180deg prende nome di Angolo al Polo P
3) Angolo con vertice nellrsquooggetto A
Bignamino di astronomia
89
Attraverso le seguenti relazioni note come primo e secondo gruppo di Gauss
119904119894119899 ℎ = 119904119894119899 120593 119904119894119899 120575 + 119888119900119904 120593 119888119900119904 120575 119888119900119904 119867
119888119900119904 ℎ 119888119900119904 119860 = 119888119900119904 120593 119904119894119899 120575 + 119904119894119899 120593 119888119900119904 120575 119888119900119904 119867119888119900119904 ℎ 119904119894119899 119860 = 119888119900119904 120575 119904119894119899 119867
Primo Gruppo di Gauss
119878119894119899 120575 = 119878119894119899 120593 119878119894119899 ℎ minus 119862119900119904 120593 119862119900119904 ℎ 119862119900119904 119860119862119900119904120575 119888119900119904119867 = 119904119890119899ℎ 119888119900119904120601 + 119888119900119904ℎ 119904119890119899120601 119888119900119904119860
119862119900119904ℎ 119904119890119899119867 = 119888119900119904ℎ 119904119890119899119860
Secondo gruppo di Gauss
Ersquo possibile risolvere il triangolo astronomico
Notiamo che nel triangolo di posizione sono contemporaneamente presenti per loggetto celeste osservato le sue coordinate altazimutali (azimuth o angolo zenitale e altezza o distanza zenitale) e quelle equatoriali orarie (angolo orario o angolo al polo e declinazione o distanza polare) Queste formule ci consentono il passaggio da coordinate altazimutali ad equatoriali orarie e viceversa
Queste ci consentono il passaggio da un sistema altazimutale ad equatoriale
119904119894119899 120575 = 119904119894119899 120593 119888119900119904 119911 minus 119888119900119904 120593 119904119894119899 119911 119888119900119904 119860
119888119900119904 120575 119888119900119904 119867 = 119888119900119904 120593 119888119900119904 119911 + 119904119894119899 120593 119904119894119899 119911 119888119900119904 119860119888119900119904 120575 119904119894119899 119867 = 119904119894119899 119911 119904119894119899 119860
Bignamino di astronomia
90
Le parti della sfera
Riportiamo in una tabella le caratteristiche delle parti in cui rimane divisa una superficie sferica e una sfera
di raggio R quando vengono sezionate con opportuni piani indicando anche le formule per il calcolo delle
corrispondenti superfici e volumi
FONTE ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Bignamino di astronomia
91
ALCUNE ESERCITAZIONI DI TRIGONOMETRIA SFERICA
1) Calcolo dellrsquoaltezza di un oggetto alla culminazione superiore ed inferiore Giagrave conosciamo le formule che ci permettono di determinare lrsquoaltezza di un astro sullrsquoorizzonte nel caso di culminazione superiore ed inferiore per semplicitagrave le riportiamo qui di seguito
Culminazione superiore la stella culmina a sud dello zenit
la stella culmina a nord dello zenit
ALTEZZA h= 90 - ϕ + δ h= 90 + ϕ - δ
Proviamo attraverso le formule contenute nella parte teorica di trigonometria sferica a verificare queste relazioni Consideriamo la prima equazione del primo gruppo ( Primo Gruppo di Gauss)
sin h = sin φ sin δ + cos φ cosδ cos H
Se la stella culmina vuol dire che essa passa al meridiano (o superiore o inferiore a seconda della culminazione) CULMINAZIONE SUPERIORE Quando la Stella passa al meridiano superiore lrsquoangolo orario H egrave = 0 il cos0deg =1 per cui si ha
sin h = sin φ sin δ + cos φ cosδ
questa equazione si risolve facilmente se si applicano le formule di sottrazione del coseno cos (α - β) = cosαcosβ + senαsenβ
La nostra equazione puograve essere scritta sen h = cos(ϕ - δ) ndashlrsquo α della formula di sottrazione egrave la latitudine e la β la declinazione)- ma il sen h=cos(90 ndashh) ed allora cos (90-h) = cos( ϕ - δ) questa egrave una equazione elementare in coseno che ha per soluzioni
90-h= plusmn (ϕ - δ)
90-h= + ( ϕ - δ) h= 90 - ϕ + δ 90-h= - ( ϕ - δ) h= 90 + ϕ - δ
(Le relazioni sono due percheacute ognuna vale per un emisfero)
CULMINAZIONE INFERIORE Anche qui sappiamo che h= ϕ + δ- 90
sin h = sin φ sin δ + cos φ cosδ cos H
Alla culminazione inferiore lrsquoangolo orario egrave 12ℎ quindi 180deg il cos 180deg = -1
sin h = sin φ sin δ - cos φ cosδ Non possiamo applicare come prima a formula di addizione del coseno e quindi la riscriviamo
sin h= - (- sin φ sin δ + cos φ cosδ )
Bignamino di astronomia
92
ricordando che cos ( α + β) = cosαcosβ ndash senαsenβ ed essendo sinh= cos(90-h) possiamo scrivere cos (90-h) = - cos( ϕ + δ) essendo cosα= - cos(180 ndashα)
cos (90-h) = cos( 180 ndash ϕ - δ)
90-h = 180 ndash ϕ - δ h= ϕ + δ- 90 NB Essendo il coseno di due angoli dello stesso valore assoluto ma di segno opposto uguale come fatto sopra anche la soluzione col segno negativo va presa quindi si ottengono anche qui due formule che come sopra si riferiscono ciascuna a un emisfero
2) Calcolare lrsquoespressione che consente di determinare il sorgere e il tramontare di un astro Successivamente determinare la differenza delle ore di luce ai solstizi a Reggio Calabria ndash Latitudine φ=38deg6rsquo Nord
Per rispondere alla prima domanda dobbiamo determinare lrsquoangolo orario applichiamo il
( ) Primo Gruppo di Gauss
sin h= sin φ sin δ + cos φ cos H cos δ
isoliamo il cosH si trova cosH= 119904119894119899ℎminus119904119894119899120593119904119894119899120575
cos120593 cos120575 e scriviamo ancora cosH =
sinℎ
cos120593 cos120575 -
sin120593 sin120575
cos120593 cos120575 ed ancora cosH =
sin h
cos φ cos δ ndash tanφ tanδ (essendo tanα=senαcosα)
Al momento del sorgere dellrsquoastro h= 0 quindi cosH = - tanφ tanδ (sen0=0) Se egrave nota lrsquoascensione retta possiamo calcolare il tempo siderale 119931119956 = H +120630 con
H=arccos(θsin h
cos φ cos δ ndash tanφ tanδ ) Se conosciamo il valore del tempo siderale in una
determinata ora di un determinato giorno possiamo anche trovare lrsquoistante di tempo che segna il nostro orologio per il sorgere del Sole (per questi calcoli si vedano i problemi precedenti sul tempo) c = H+α Una volta trovata lrsquoespressione dellrsquoangolo orario la seconda domanda si risolve facilmente
tenendo conto che lrsquoangolo orario adesso egrave 119867
2
cos 119867
2 = - tan φ tan δ
Il Sole ai solstizi ha una declinazione δ=+23deg27rsquo (21 giugno solstizio drsquoestate) e δ=-23deg27rsquo (21 dicembre solstizio drsquoinverno)
si trova che cos 119867
2 = -0784 0433 = -034 perciograve H=2arccos(-034)=219deg46rsquo=14 ore 39
minuti (digrave piugrave lungo dellrsquoanno)
mentre il 21 dicembre cos 119867
2 = (-0784) (-0433) = 034 dal quale si ricava che
H=arccos(034)=140deg15rsquo = 9 ore 21 minuti (digrave piugrave corto dellrsquoanno) la differenza di ore egrave ∆H=14h 39m-9h 21m = 5 ore 18 minuti tra inverno ed estate
Bignamino di astronomia
93
3) In un certo giorno in cui egrave in vigore lrsquoora legale in una cittagrave posta alla longitudine di 120582
= 10deg 52rsquo 59rdquo E e latitudine = 44deg 38rsquo 45rdquo N il Sole ha una declinazione = 10deg 59rsquo 04rdquoConsiderando trascurabile la declinazione del Sole durante lrsquoarco della giornata
Calcolare
1 lrsquoaltezza massima raggiunta dal Sole in quella localitagrave e lrsquoora del transito in meridiano 2 lrsquoora in cui in tale giorno il sole sorge e tramonta in quella Cittagrave e lrsquoarco diurno 3 lrsquoazimut del sole nei momenti in cui sorge e tramonta
Il sole raggiunge la massima altezza hC sullrsquoorizzonte (culmina) quando transita per il
meridiano locale dellrsquoosservatore Nel caso specifico avremo hC = 90deg - ( - ) = 90deg -
+ = 90deg - 44deg64583333 + 10deg98444444 = 56deg33861111
Lrsquoaltezza massima del Sole nel momento in cui transita al meridiano egrave hC = 56deg33861111 = 56deg 20rsquo 19rdquo
Indichiamo adesso con 120582 la longitudine espressa in ore e con T la differenza in ore del
meridiano locale rispetto a GMT Nel nostro caso essendo in vigore lrsquoora legale saragrave T = 2h Le 12h locali corrispondono dunque aUT = 12h ndash 120582
per cui lrsquoora locale del transito in meridiano del sole saragrave (scrivendo la longitudine in notazione decimale)
TC = 12h ndash 120582+ T = 12ℎ minus 10deg 8830555556
15deg+ 2ℎ = 2h ndash 0h725537036 + 2h = 13h27446296
il Sole culmina alle ore locali TC = 13h 16m 28s1
I due eventi del sorgere e tramontare si verificano quando il sole interseca lrsquoorizzonte celeste dellrsquoosservatore e quindi la sua altezza h egrave nulla In questo caso egrave possibile determinare i tempi (gli angoli orari HS e HT) e le direzioni (gli azimut AS e AT) delle due posizioni del sole sullrsquoorizzonte e lrsquoarco diurno
T = HT - HS che ci dagrave la durata della permanenza del sole
Applichiamo le formule del primo gruppo di Gauss al triangolo sferico precedentemente definito rispetto al lato ldquozenit ndash solerdquo ed allrsquoangolo al vertice con lo zenit
sin h = sin sin + cos cos cos H (I)
cos h sin A = - cos sin H (II)
cos h cos A = cos sin - sin cos cos H
Bignamino di astronomia
94
Quando il sole sorge eo tramonta si ha h = 0 e quindi sin h = 0 Dalla (I) segue dunque
cos H = - tg tg Dai dati del problema si ha = 44deg 38rsquo 45rdquo N = 44deg64583333
= 10deg 59rsquo 04rdquo1 = 10deg98444444 segue cos H = - tg (44deg64583333) tg (10deg98444444) = - 0191713689
H = arccos (- 0191713689) = 101deg0528101 = plusmn 6h736854006
Lrsquoangolo orario H egrave negativo al sorgere percheacute deve arrivare in meridiano e positivo al tramonto percheacute ha superato il meridiano Saragrave dunque HS = - 6h736854006 HT = 6h736854006
il sole sorgeragrave dunque alle ore TS = TC + HS = 13h27446296 - 6h736854006 = 6h537608954 = 6h 32m 15s4
Lo stesso giorno il sole tramonteragrave alle ore TT = TC + HT = 13h27446296 6h736854006 = 20h01131697 = 20h 00m 40s7
Lrsquointervallo temporale durante il quale il sole resteragrave sopra lrsquoorizzonte saragrave
T = HT - HS = 6h736854006 + 6h736854006 = 13h47370802 = 13h 28m 25s4
Per ricavare lrsquoazimut del sole nei momenti in cui sorge e tramonta utilizziamo la (III) delle
formule di Gauss cos h sin A = - cos sin H
Nel momento in cui il sole sorge e tramonta si ha h = 0 e quindi cos h = 1 per cui si ha rispetto al punto Nord
sin AS = - cos sin HS = - cos (10deg98444444 ) sin (-6h736854006 x 15) = 0963469686
AS = arcsin (0963469686) = 74deg46556891 = 74deg 27rsquo 56rdquo1
sin AT = - cos sin HT = - cos (10deg98444444 ) sin (6h736854006 x 15) = -0963469686
AT = arcsin (-0963469686) = - 74deg46556891 = (360deg - 74deg46556891) = 285deg5344311 = 285deg 32rsquo 4rdquo
DISTANZA TRA DUE STELLE
Regolo ha coordinate H= 27m 4 s e declinazione 11deg 52rsquo 5rdquo Denebola ha coordinate H= 22h 46m 36s e
declinazione 14deg 27rsquo 33rdquo Si determini la loro distanza angolare
Per calcolare la loro distanza consideriamo il triangolo sferico BPA dalla figura si evince che
PB= 90-1205751 PA= 90-1205752 lrsquoangolo al polo P= 1198672 - 1198671
Applichiamo il teorema del coseno o di Eulero
Bignamino di astronomia
95
cosAB= cosPB cosPA + seno senPA cosP
Sostituendo
Cos120572 = cos( 90-1205751)cos(90-1205752 ) + sen(90-1205751)sen(90-1205752)cosP
Cos120572= sen1205751sen1205752 + cos1205751cos 1205752cos (1198672 minus 1198671)
E svolgendo I calcoli
Cos α= sen118681 sen 144592 + cos 118681 cos 144592 cos251167=0904
α=24deg58
Bignamino di astronomia
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Bibliografia
Vittorio Castellani Astrofisica Stellare ndash Zanichelli Editore
Ferdinando Flora Astronomia Nautica ndash Editore Hoepli
Pietro Giannone Elementi di Astronomia ndash Edizione Pitagora
Angeletti Giannone Esercizi e complementi di astronomia ndash Edizioni Nuova Cultura
Margherita Hack Corso di Astronomia ndash Editore Hoepli
Halliday-Resnick Fondamenti di fisica ndash Zanichelli Editore
Giuliano Romano Introduzione allrsquoastronomia ndash Editore Muzzio
Leonido Rosino Lezioni di Astronomia ndash Edizione Cedam
Francesco Saverio Delli Santi Introduzione allrsquoastronomia ndash Zanichelli Editore
Cino Tacchini Il Cielo ndash UTET Editore
Francesco Zagari Astronomia sferica e teorica ndash Zanichelli Editore
Wikipedia sito web
Vialatteanet sito web
Treccani sito web
Superfici e volumi problemi di massimo e minimo Istituto Italiano Edizioni Atlas
- Copertina Bignamino definitiva
- Bignamino di astronomia
-
- INDICE Bignamino definitivo
- Bignamino
-
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3
DISTANZE DEI CORPI CELESTI
La distanza dei corpi celesti viene determinata attraverso la misura di un angolo detto parallasse
Lrsquoangolo di parallasse egrave lrsquoangolo sotto cui viene visto un oggetto se osservato da due posizioni
diverse
LE DIMENSIONI APPARENTI DI UN OGGETTO
Le dimensioni apparenti di un oggetto dipendono dalla sua distanza In astronomia il diametro
angolare (o dimensione angolare) di un oggetto egrave la misura del suo diametro rispetto alla distanza
dallosservatore Si calcola con la seguente formula
120572 = 2 119886119903119888119905119886119899119892 119863
2119889
(D diametro reale e d distanza dallrsquoosservatore)
Generalmente il diametro apparente dei corpi celesti egrave inferiore ad un grado
Misurato il diametro apparente in secondi drsquoarco si puograve calcolare il diametro reale con la seguente
formula
119863 = 119889120572
206265
Si parla di parallasse geocentrica quando la
distanza tra le due osservazioni egrave uguale al raggio
terrestre mentre di parallasse annua quando la
distanza tra i due osservatori egrave uguale al semiasse
maggiore dellorbita della Terra attorno al Sole
(ovvero lUnitagrave Astronomica) p langolo di parallasse e d la distanza dellosservatore dalloggetto-
La relazione tra la distanza e la parallasse egrave data
dalla semplice formula d = r sen p
Spesso viene usato il parsec come unitagrave di misura delle
distanze stellari Una stella si trova alla distanza di 1
parsec quando la sua parallasse annua egrave di un secondo
darco d =1
119901primeprime
Bignamino di astronomia
4
SISTEMI DI RIFERIMENTO ASTRONOMICI
Gli elementi che definiscono i sistemi di coordinate astronomiche sono
1) Una direzione fondamentale
2) Un piano perpendicolare alla direzione fondamentale
3) Lrsquoorigine
4) Il verso di percorrenza
5) Lrsquounitagrave di misura
Noi qui sintetizziamo tre dei cinque sistemi di riferimento astronomici
il sistema altazimutale il sistema orario il sistema equatoriale
Sistema altazimutale
Nel sistema altazimutale o orizzontale la direzione
fondamentale egrave data dalla verticale il piano
perpendicolare egrave dato dallrsquoorizzonte astronomico la
verticale alla superficie terrestre passante per
losservatore individua lo zenit e il nadir Le
coordinate in questo sistema sono lrsquoAzimut (A) e
Altezza (h)
Lazimut del punto T egrave langolo formato dal piano del
cerchio verticale passante per T e il meridiano
astronomico Si misura in gradi e frazioni di grado
partendo dal punto cardinale sud nel senso delle
lancette dellorologio Esso corrisponde nel disegno
allangolo SOB dove O egrave losservatore e B egrave
lintersezione dellorizzonte con il cerchio verticale
passante per T
Altezza (h) egrave lordinata sferica di un punto sulla sfera
celeste e cioegrave la sua distanza angolare dallorizzonte
misurata lungo il cerchio verticale passante per quel
punto Si esprime in gradi e frazioni di grado con
valore positivo verso lo zenit e negativo verso il nadir
Nel nostro disegno laltezza del punto T corrisponde
allangolo TOB dove O egrave losservatore e B egrave
lintersezione dellorizzonte con il cerchio verticale
passante per T Larco complementare dellaltezza si
chiama distanza zenitale e nel nostro disegno egrave
rappresentata dallangolo ZOT dove Z egrave lo zenit
dellosservatore La distanza zenitale si indica
generalmente con z Nel sistema azimutale entrambe
le coordinate (azimut e altezza) delle stelle variano
sensibilmente con il passare del tempo a causa del
moto di rotazione della Terra
Bignamino di astronomia
5
Sistema orario
Sistema equatoriale
Questo sistema di coordinate astronomiche ha come
direzione e piano fondamentali rispettivamente lasse
del mondo e il piano dellequatore Le coordinate
sferiche di questo sistema sono Angolo orario (H) e
la Declinazione (120575)
Lrsquoangolo orario egrave la distanza angolare tra il cerchio
orario che passa per il punto e il meridiano
astronomico Si misura in ore e frazioni di ora lungo
lequatore celeste partendo dal meridiano
astronomico in senso orario per un osservatore
boreale
La declinazione rappresenta la distanza angolare tra
un punto della sfera celeste e lequatore celeste
misurata lungo il cerchio orario che passa per tale
punto Si misura in gradi e frazioni di grado con segno
positivo verso il polo nord celeste e negativo verso il
polo sud Lrsquoorigine del sistema egrave il punto M detto
mezzocielo In questo sistema nel corso del giorno le stelle variano il loro angolo orario mentre rimane costante la loro declinazione
L0
Questo sistema di coordinate astronomiche ha come direzione e
piano fondamentali rispettivamente lasse del mondo e il piano
dellequatore Le coordinate sferiche di questo sistema sono
Ascensione retta ( ) Declinazione ( )Lorigine egrave il punto gamma
()
Lascensione retta si misura di solito in ore minuti e secondi lungo
lequatore celeste partendo dal punto gamma e con senso di
percorrenza antiorario
Declinazione rappresenta la distanza angolare tra un punto della
sfera celeste e lequatore misurata lungo il cerchio orario che passa
per tale punto Si misura in gradi e frazioni di grado con segno positivo
verso il polo nord celeste e negativo verso il polo sud
Bignamino di astronomia
6
RELAZIONI TRA I SISTEMI DI RIFERIMENTO
Latitudine del luogo
120593 = ℎ119901119900119897119900119873119900119903119889 = 90deg minus 119911119875119900119897119900119873119900119903119889
La latitudine geografica 120593 di una localitagrave sulla superficie della Terra egrave
lrsquoaltezza del polo celeste sul suo orizzonte Orizzonte e Zenit sono
separati da un angolo retto La latitudine geografica del luogo si
ottiene sottraendo da 90deg lrsquoaltezza del polo stesso
Formule inverse
119911119875119900119897119900119873119900119903119889 = 90deg minus 120593
Stelle circumpolari
120575 ge 90deg minus 120593
Vista da un qualsiasi luogo della superficie terrestre (quando
siamo allrsquoEquatore la situazione di complica) una parte della
volta celeste non tramonta mai e rimane sempre al di sopra
dellrsquoorizzonte Tale parte di cielo egrave detta ldquocircumpolarerdquo Essa
contiene le stelle che hanno declinazione 120575 maggiore o uguale
a un valore limite che si ottiene sottraendo da 90deg il valore della
latitudine geografica 120593 del luogo
Se la declinazione egrave compresa tra
minus(90deg minus 120593) lt 120575 lt +(90deg minus 120593)
le stelle sono occidue sorgono e tramontano sullrsquoorizzonte dellrsquoosservatore
Se
120575 lt minus(90deg minus 120593) 120575 lt minus90deg + 120593
Le stelle sono anticircumpolari (cioegrave quelle che non sorgono mai e stanno sempre al di sotto
dellrsquoorizzonte)
Bignamino di astronomia
7
Culminazione
Una stella culmina quando raggiunge la sua massima altezza cioegrave egrave sul meridiano
La declinazione 120575 la distanza zenitale z sono legate in modo semplice alla latitudine 120593
dellrsquoosservatore
Al momento della culminazione superiore (massima altezza della stella sullrsquoorizzonte) si ha
119911 = 120593 ndash 120575
Al momento della culminazione inferiore si ha
119911 = 120593 + 120575 ndash 180deg
Altezza (culminazione superioreinferiore)
Una stella culmina superiormente quando raggiunge la sua massima
altezza vista un determinato luogo (ad una determinata latitudine 120593)
ℎ1 = 90deg plusmn (120593 minus 120575)
Bignamino di astronomia
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Poicheacute lrsquoaltezza deve esere h le 90deg distinguiamo i due casi
1) Se 120575 lt 120593 h=90deg- 120593 + 120575 (va preso il segno meno)
2) Se 120575 gt 120593 h=90deg+ 120593 - 120575 (va preso il segno piugrave)
Analogamente in culminazione inferiore
ℎ2 = minus90deg + 120593 + 120575
Poicheacute se 120575 lt 120593
ℎ2 = 120575 - ( 90 ndash 120593)
ℎ2 = 120575 - 90 + 120593
ℎ2 = - 90 + 120575 + 120593
Se 120575 gt 120593
ℎ2 = 120575 + ( 120593 - 90 )
ℎ2 = - 90 + 120575 + 120593
La formula per il calcolo della culminazione inferiore egrave sempre la stessa
Formule inverse della h=90deg+ 120593 - 120575
120593 = 90deg minus ℎ + 120575
120575 = 120593 + ℎ minus 90deg
Bignamino di astronomia
9
Latitudine del luogo (culminazione superiore ed inferiore)
120593 =ℎ1 + ℎ2
2
Questa formula egrave valida per tutte le stelle ma la si usa spesso per
conoscere la latitudine di un luogo osservando una stella
circumpolare La latitudine infatti non egrave altro che una ldquomediardquo
tra le due altezze (culminazione superiore ed inferiore)
Formule inverse
ℎ1 = 2120593 minus ℎ2
ℎ2 = 2120593 minus ℎ1
Per una stella circumpolare la minima altezza egrave ℎ119898119894119899= δ + ϕ - 90deg
Distanza zenitale
119911 = 90deg minus ℎ
La distanza zenitale indica quanto dista la stella dallo zenit che si trova
sulla verticale dellrsquoosservatore Per trovarla basta sottrarre a 90deg (la
verticale e lrsquoorizzonte sono separati da un angolo retto) lrsquoaltezza della
stella h
Formule inverse
ℎ = 90deg minus 119911
Bignamino di astronomia
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Ascensione retta
Tra lrsquoascensione retta 120630il suo angolo orario H ed il tempo siderale relativi ad un dato osservatore
vale la relazione
119879119904 = 120572 + 119867
Nota
Quando il punto 120574 passa al meridiano 119879119904 = 0 (Il tempo siderale egrave definito come lrsquoangolo orario del
punto 120574 ) quando la stella passa al meridiano H= 0 e
119879119904 = 120572
Il tempo siderale coincide con lrsquoascensione retta delle stelle che passano al meridiano
Per conoscere lrsquoascensione retta di una stella 120572 bisogna calcolare
la differenza tra il tempo siderale del luogo 119879119904 di osservazione e
lrsquoangolo orario 119867 della stella stessa
120572 = 119879119904 minus119867
Lrsquoangolo orario si trova dalla 119867 = 119879119904 minus 120572
il punto nord ha H di 12 h e declinazione 90 - latitudine da noi H 0 e declinazione 90+ latitudine altro emisfero
per il punto sud i due predetti valori si invertono per lrsquoangolo orario e quelli della declinazione diventano
opposti
Bignamino di astronomia
11
MISURA DEL TEMPO
La misura del tempo viene effettuata dal movimento di rotazione diurna della volta celeste
(rotazione della Terra) e dal movimento annuo del Sole (rivoluzione della Terra attorno al Sole)
La rotazione della Terra attorno al suo asse egrave quasi costante quindi lrsquoangolo di rotazione rispetto ad
un qualsiasi riferimento iniziale consente di misurare il tempo Come riferimento iniziale si prende
lrsquoistante del passaggio del punto al meridiano del luogo La durata del giorno dipende da questo
punto scelto
In Astronomia i punti adottati sono Il punto γ il
centro del disco apparente del Sole (Sole vero) il
Sole medio (un Sole ideale che parte dal punto γ
assieme al Sole vero percorre lrsquoequatore celeste
con velocitagrave angolare costante in modo da
ritornare allrsquoequinozio di primavere assieme al
Sole vero)
Le tre unitagrave di tempo definite da questi punti si
chiamano giorno siderale giorno solare vero
giorno solare medio Il tempo da esse misurato egrave
tempo siderale tempo solare vero tempo solare medio
Nota Non sono tempi diversi ma solo diverse unitagrave di misurare il tempo
Giorno siderale ndash tempo siderale
Si definisce giorno siderale lrsquointervallo di tempo compreso tra
due successivi passaggi del punto γ allo stesso meridiano del
luogo
Si definisce tempo siderale lrsquointervallo di tempo compreso tra il
passaggio al meridiano del punto di primavera ad unrsquoaltra
posizione qualsiasi
119905119904 = H + 120572
(Tempo siderale = angolo orario Sole + ascensione retta Sole
medio)
Bignamino di astronomia
12
Giorno solare vero-Tempo solare vero
Il giorno solare vero egrave lrsquointervallo di tempo compreso tra due passaggi superiori o inferiori del centro
del Sole
Il tempo solare vero egrave lrsquointervallo di tempo compreso tra il passaggio inferiore
del Sole ad un altro punto
Al meridiano il 119879119904119900119897119890 119907119890119903119900 = 119867119878119900119897119890 119907119890119903119900 +12ℎ
Giorno solare medio - Tempo solare medio
Il giorno solare medio egrave lrsquointervallo compreso tra due passaggi superiori o inferiori del Sole medio
Il tempo solare medio egrave lrsquointervallo di tempo compreso tra il passaggio inferiore del Sole medio ad
un altro punto
119879119904119900119897119890 119898119890119889119894119900 = 119867119878119900119897119890 119898119890119889119894119900 +12ℎ
Equazione del Tempo
Si definisce equazione del tempo la differenza tra il tempo medio ed il tempo solare vero allo stesso
istante
E= 119879119904119900119897119890 119898119890119889119894119900 - 119879119904119900119897119890 119907119890119903119900
E= 119867119878119900119897119890 119898119890119889119894119900 - 119867119878119900119897119890 119907119890119903119900
E= 120572119878119900119897119890 119898119890119889119894119900 - 120572119878119900119897119890 119907119890119903119900
Il tempo solare medio ad un dato istante egrave dato
dal Tempo solare vero piugrave lrsquoequazione del
tempo
119879119904119900119897119890 119898119890119889119894119900= 119879119904119900119897119890 119907119890119903119900 + E
Bignamino di astronomia
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Relazione tra tempo solare e tempo siderale
Consideriamo la posizione del sole a 24 ore di distanza
1199051119904=1198671199041 + 1205721198781
1199052119904=1198671199042 + 1205721198782
Calcolando la differenza tra le due espressioni si ha
1199052119904- 1199051119904 = (1198671199042 minus 1198671199041 ) + (1205721198782 -1205721198781)
(1198671199042 minus 1198671199041 ) = 24
Mentre la differenza in ascensione retta (1205721198782 -1205721198781) dagrave lo spostamento angolare diurno del sole
medio sullrsquoequatore che in gradi egrave 24
36525
Pe cui
1199052119904- 1199051119904 = 24h + 24
36525
1199052119904- 1199051119904 = 24 (1+ 1
36525)
1199052119904- 1199051119904 = 24 36625
36525
Un giorno solare medio= 36625
36525 giorni siderali
Un giorno siderale= 36525
36625 giorni solari veri
Il rapporto K = 36625
36525 K=1002738 serve per convertire gli intervalli di tempo solare medio in
intervalli di tempo siderali
∆119879119904= K ∆119879119898
Il rapporto Krsquo = 36525
36625 Krsquo = 0997270 serve per convertire gli intervalli di tempo siderali in intervalli
ti tempo solare medio
∆119879119898= Krsquo ∆119879119904
24 ore di tempo medio corrispondono a 24h 03m 5655s di tempo siderale viceversa un giorno
siderale egrave 23h 56m 04s di tempo solare medio
Se s egrave il tempo siderale ad un certo istante ad un dato meridiano mentre alla mezzanotte
precedente sullo stesso meridiano il tempo siderale era S dalla mezzanotte sono passati (s-S) ore
minuti secondi di tempo siderale che corrispondono a (s-S) Krsquo di tempo solare medio Poicheacute a
mezzanotte il tempo solare medio egrave 0ℎ 119879119898 = (s-S) Krsquo rappresenta il tempo solare medio allrsquoistante
del tempo siderale s
Bignamino di astronomia
14
Se al meridiano di quel luogo alla mezzanotte di una certa data il tempo siderale era S allrsquoistante
di tempo medio solare saragrave
s= S + 119879119898 119870
NOTA
Ersquo sempre necessario conoscere il tempo siderale S alla mezzanotte del meridiano dato Per questo
sono stati costruiti annuari che forniscono il tempo siderale 1198780 alla mezzanotte del meridiano
fondamentale di GW
Il tempo siderale S alla mezzanotte ad una data longitudine 120582 egrave dato da
119878 = 1198780 minus120582 ℎ
24ℎ (3119898 56119904 55)
Ora locale e longitudine
Si definisce tempo locale medio il tempo regolato sul meridiano del luogo
Nella vita quotidiana egrave scomodo utilizzare questo
tempo per cui il primo luglio 1919 sono stati introdotti
i fusi orari In base a questa suddivisione il tempo
medio egrave determinato solo per 24 meridiani geografici
principali separati da 15deg gradi (unrsquoora) I fusi orari sono
numerati da 0 a 23 ed il meridiano passante per GW
costituisce lrsquoorigine (fuso = 0)
Il tempo medio locale egrave dato da
119905119897 = 119905119891 ndashΔ120582
dove Δ120582 = 120582119891 - 120582119874
Nota
1) La differenza tra le ore locali (siderali o solari) di due meridiani misurate allo stesso istante
egrave sempre uguale alle differenze di longitudini
2) Poicheacute i confini dei fusi orari distano circa 7deg5 dal meridiano centrale la differenza 119905119897 - 119905119891
puograve essere leggermente maggiore o minore di plusmn 30119898
Bignamino di astronomia
15
Tempo Universale
Il tempo solare medio del meridiano di GW si chiama Tempo Universale (TU)
Per quanto precedentemente detto il tempo medio locale egrave uguale al tempo universale piugrave la
longitudine del luogo espressa in ore e considerata positiva ad est di GW
119905119897 = TU +120582
Bignamino di astronomia
16
MOTO APPARENTE DEI PIANETI
I pianeti si muovono in vicinanza dellrsquoeclittica ma il loro movimento visto dalla Terra egrave piugrave
complicato di quello del Sole e della Luna Il Sole e la Luna riferendo il loro moto rispetto alle stelle
fisse si muovono di moto diretto cioegrave antiorario per i pianeti si osserva che in generale si muovono
di moto diretto ma ce certi tratti variabili da pianeta a pianeta si muovono di moto retrogrado Il
pianeta dopo avere raggiunto una posizione di stazionarietagrave
inverte il moto Questo egrave molto piugrave evidente per i pianeti
interni Mercurio e Venere che oscillano avanti e indietro
rispetto alla posizione del Sole venendosi a trovare ora da
una parte ora dallrsquoaltra rispetto ad esso Quando il pianeta egrave
in congiunzione superiore egrave invisibile perchegrave nasce e
tramonta con il Sole ma essendo in questo momento piugrave
veloce del Sole dopo qualche tempo puograve essere visto dopo
il tramonto ad occidente (si trova a sinistra del Sole)
Lrsquoelongazione orientale cresce nei giorni seguenti e
contemporaneamente decresce la sua velocitagrave angolare e
quando raggiunge la stessa velocitagrave angolare del Sole per
qualche istante si muove mantenendo la stessa distanza il
pianeta raggiungere la massima elongazione orientale Per venere questo valore egrave circa 46deg per
Mercurio egrave variabile dai 18deg ai 28deg Da questo momento il pianeta comincia il suo avvicinamento al
Sole ritornando con moto retrogrado in congiunzione con esso ma questa volta in congiunzione
inferiore Ritorna invisibile (potrebbe esserci un transito) Continuando nel suo moto retrogrado
appare visibile ad occidente (a destra del Sole) ed egrave visibile prima del sorgere del Sole (elongazione
occidentale) Questo ci dice che i pianeti inferiori non possono mai trovarsi in quadratura o
opposizione
I pianeti esterni invece possono assumere qualsiasi distanza dal Sole da 0deg a 180deg e quindi possono
trovarsi nelle due precedenti configurazioni Raggiunta
lrsquoelongazione massima di 180deg i pianeti si trova dalla parte
opposta a quella del Sole la velocitagrave retrograda egrave massima e
raggiungono anche il massimo della luminositagrave Oggi noi
sappiamo che tutto questo egrave dovuto egrave il risultato della
composizione del moto della Terra e di quello dei pianeti
attorno al Sole semplificando osserviamo un oggetto in
movimento essendo noi stessi in movimento Le velocitagrave dei
pianeti variano piugrave sono vicini al Sole piugrave velocemente si
muovono I due pianeti essendo piugrave vicini al Sole sorpassano
la Terra durante il loro moto mentre egrave la Terra a sorpassare i
pianeti esterni quando sono vicini allrsquoopposizione e quindi
essi sembrano muoversi allindietro
Ed allora se indichiamo con T Il nostro anno siderale con P il periodo sidereo del Pianeta e con S il
periodo siderale (il tempo intercorso tra due congiunzioni o due opposizioni successive) la
composizione delle velocitagrave ci consente di calcolare la velocitagrave relativa del pianeta rispetto alla
Terra
Bignamino di astronomia
17
Per i pianeti interni (la Terra si muove piugrave lentamente)
2120587
119878 = 2120587
119875 - 2120587
119879
120783
119930 = 120783
119927 - 120783
119931
Per i pianeti esterni (la Terra si muove piugrave velocemente)
2120587
119878 = 2120587
119879 - 2120587
119875
120783
119930 = 120783
119931 - 120783
119927
Il movimento di tutti i pianeti attraverso le stelle fisse segue apparentemente la stessa direzione di
quello della Luna (e del Sole) - con una strana variante talvolta il loro moto apparente cambia
temporaneamente verso (moto retrogrado) Questo egrave molto piugrave evidente per Mercurio e Venere
che oscillano avanti e indietro rispetto alla posizione del Sole Durante il moto del Sole attraverso le
stelle - lungo le costellazioni dello zodiaco - questi pianeti
talvolta si muovono nello stesso verso e quindi il loro
movimento si somma a quello del Sole ma altre volte il loro
moto apparente si oppone a quello del Sole facendo sigrave che
sembri che si muovano allindietro (moto retrogrado)Gli
altri tre pianeti visibili ad occhio nudo si possono trovare in
qualunque posizione lungo leclittica - anche a mezzanotte in
posizione direttamente opposta a quella del Sole e quando
questo avviene raggiungono il massimo della luminositagrave
Marte sembra muoversi piugrave rapidamente Giove un po meno
e Saturno egrave il piugrave lento Comunque tutti mostrano questa
enigmatica stranezza vicino al punto in cui il loro percorso
apparente nel cielo egrave esattamente in posizione opposta al Sole
(opposizione) il loro movimento tra le stelle
temporaneamente si inverte Oggi noi comprendiamo molto
bene tutto questo (vedi fig1) I pianeti sono oggetti sferici
come la Terra - Venere Mercurio e Marte sono piugrave piccoli Giove e Saturno molto piugrave grandi Anche
la Terra egrave un pianeta e ne esistono anche altri (troppo deboli per essere visti senza un telescopio)
tutti che orbitano attorno al Sole sul piano o vicino al piano delleclittica La loro velocitagrave tuttavia
varia - piugrave sono vicini al Sole e piugrave rapidamente si muovono (vedi la sezione ldquoterza legge di Keplerordquo)
Quindi quando i tre pianeti esterni sono vicini allopposizione la Terra che orbita piugrave vicina al Sole
li sorpassa e quindi essi sembrano muoversi allindietro Il moto retrogrado dei due pianeti interni
ha una causa simile Essendo piugrave vicini al Sole sono essi che sorpassano la Terra durante il loro moto
Bignamino di astronomia
18
Sommario di quanto egrave noto oggi sui pianeti
Viene qui riportato un breve sommario dei componenti del sistema solare In genere vengono distinte quattro classi di oggetti
1 I pianeti maggiori in ordine di distanza dal Sole - Mercurio Venere Terra Marte Giove Saturno Urano e Nettuno Tutti tranne i due piugrave interni hanno dei satelliti e tutti e quattro i piugrave esterni hanno degli anelli composti da piccoli ciottoli di materia in orbita attorno al pianeta
2 Asteroidi o pianetini in maggioranza - anche se non tutti - posti tra Marte e Giove Il loro diametro arriva fino a 500 Km
3 La fascia di Kuiper di oggetti ghiacciati oltre lorbita di Nettuno di cui il piugrave noto (anche se ora si egrave scoperto che egrave solo il secondo come dimensioni) egrave Plutone scoperto nel 1930 e delle dimensioni della nostra Luna La fascia ha preso il nome dellastronomo belga Gerard Kuiper si estende probabilmente a una distanza doppia di quella di Nettuno e si stima che consista di circa 100000 oggetti (finora ne sono stati identificati circa 1000) molti dei quali con un diametro di soli 100 Km o meno
4 Comete tradizionalmente divise in non ricorrenti (il nome ufficiale egrave comete a lungo periodo) e comete periodiche Le comete non ricorrenti si pensa che provengano dalla nube di Oort un enorme agglomerato quasi sferico di oggetti ghiacciati agli estremi limiti del sistema solare Essi sono debolmente legati al Sole e di tanto in tanto lattrazione gravitazionale di qualche stella lontana probabilmente cambia un poco il moto di alcuni di
essi lanciandoli in direzione del Sole In tal caso diventano visibili come comete quando la luce del Sole fa evaporare una parte della loro superficie generando la chioma e la coda della cometa Le comete periodiche una volta erano considerate come oggetti che avevano iniziato come oggetti non ricorrenti ma poi erano state deviate e catturate dallattrazione gravitazionale dei pianeti piugrave grandi Oggi si ritiene che provengano dalla fascia di Kuiper come classe di oggetti noti come Centauri
Bignamino di astronomia
19
LE LEGGI DEL MOTO DEI PIANETI
Prerequisito Lrsquoellisse
Luogo geometrico dei punti del piano per i quali si
mantiene costante la somma delle distanze da due
punti fissi detti fuochi
Detta in parole piugrave semplici lellisse non egrave altro che
una circonferenza ldquoschiacciata Un elemento
fondamentale che ci permette di capire di quanto
questa viene compressa egrave leccentricitagrave e
Leccentricitagrave egrave definita come il rapporto tra la
semidistanza focale e il semiasse maggiore
119890 =119888
119886
Formule inverse
119888 = 119886119890
119886 =119888
119890
Infatti nellellisse possiamo individuare
bull Semiasse maggiore (a)
bull Semiasse minore (b)
bull Semidistanza focale (c)
Indicheremo quindi con 2a il semiasse maggiore (AB) con 2b il semiasse minore (CD) e con 2c la
distanza focale (F1F2)
ATTENZIONE lrsquoeccentricitagrave dellellisse egrave SEMPRE compresa tra 0 e 1 (0ltelt1) Se
questa fosse uguale a 0 i due fuochi andrebbero a coincidere con lorigine e lellisse
diventerebbe una circonferenza Se fosse uguale a 1 diventerebbe una parabola se
fosse egt1 diventerebbe una iperbole
Dalla figura si nota che la somma delle distanze dai due punti fissi detti fuochi egrave costante ed egrave pari
alla lunghezza dellasse maggiore (2a) Quindi si puograve anche applicare il teorema di Pitagora
1198862 = 1198872 + 1198882
Formule inverse
1198872 = 1198862 minus 1198882
1198882 = 1198862 minus 1198872
Bignamino di astronomia
20
LEGGI DI KEPLERO
PRIMA LEGGE
Enunciato i pianeti descrivono intorno al Sole orbite
ellittiche in cui questo occupa uno dei fuochi
Si puograve quindi notare che la distanza di un pianeta
attorno al Sole non si mantiene costante bensigrave ci
saragrave un punto in cui questo saragrave piugrave vicino al Sole
(perielio) e uno in cui saragrave piugrave lontano (afelio)
Possiamo quindi calcolare le due distanze
119889119886 = 119886(1 + 119890)
119889119901 = 119886(1 minus 119890)
Formule inverse
119886 =119889119886
1 + 119890
119886 =119889119901
1 minus 119890
119890 =119889119886
119886minus 1
119890 = 1 minus119889119901
119886
Inoltre si nota anche che dalla somma delle due distanze otteniamo lasse maggiore dellorbita
2119886 = 119889119886 + 119889119901
E il semiasse egrave quindi dato da
119886 =119889119886 + 119889119901
2
Bignamino di astronomia
21
Formule inverse
119889119886 = 2119886 minus 119889119901
119889119901 = 2119886 minus 119889119886
La distanza focale egrave data dalla differenza delle due distanze
2119888 = 119889119886 minus 119889119901
119888 =119889119886 minus 119889119901
2
Formule inverse
119889119886 = 2119888 + 119889119901
119889119901 = 119889119886 minus 2119888
Quindi leccentricitagrave dellrsquoorbita puograve essere anche scritta come
119890 =119889119886minus119889119901
119889119886+119889119901=
2119888
2119886 =
119888
119886
SECONDA LEGGE
Enunciato il raggio vettore che congiunge il Sole al pianeta spazza aree
uguali in tempi uguali
Dalla seconda legge comprendiamo che la velocitagrave del pianeta intorno
al Sole non egrave costante al perielio viaggeragrave piugrave velocemente che
allafelio Quindi si puograve affermare che le velocitagrave sono inversamente
proporzionali alle distanze
119881119886
119881119901=119889119901
119889119886
Formule inverse
119881119886 =119889119901 119881119901
119889119886
Bignamino di astronomia
22
119881119901 =119881119886 119889119886
119889119901
119889119886 =119881119901 119889119901
119881119886
119889119901 =119881119886 119889119886
119881119901
TERZA LEGGE
Enunciato i cubi dei semiassi maggiori sono
proporzionali ai quadrati dei periodi di
rivoluzione
1198863
1198792= 119896
Dalla terza legge si nota che esiste una relazione tra periodo di rivoluzione e lontananza dal corpo
centrale Sono infatti legati tra loro dal valore di una costante che egrave stata indicata con k
Per i corpi orbitanti intorno ad una massa comune (come ad esempi o per i corpi del Sistema solare)
questa legge puograve essere anche scritta come
1198861199053
1198791199052 =
1198861198983
1198791198982
=1198861199043
1198791199042 = ⋯
PER I CORPI DEL SISTEMA SOLARE se si inserisce in formula il valore del semiasse maggiore in unitagrave
astronomiche (UA) e il periodo di rivoluzione in anni il valore di questa costante egrave uguale a 1 Infatti
ricavandola per la Terra
(1 119880119860)3
(1 119886119899119899119900)2= 1
E se k=1 per la Terra vale per tutti gli altri corpi orbitanti intorno al Sole
Bignamino di astronomia
23
NEWTON E LA GRAVITAZIONE UNIVERSALE
Con le leggi di Keplero siamo ancora in quella parte di fisica che descriviamo come cinematica
descriviamo perfettamente i moti dei pianeti ma non risaliamo alle cause Newton avanzograve lrsquoipotesi
che sia i gravi in caduta libera che i pianeti vengono deviati dalla condizione di moto rettilineo
uniforme dallrsquoesistenza di una forza centrale Nel 1684 Newton ldquopoggiandosi sulle spalle dei
gigantirdquo (Keplero ed il nostro Galilei) dimostrograve che la forza che fa ldquofluttuarerdquo i pianeti attorno al Sole
dipende dallrsquoinverso del quadrato della distanza da esso
Integrando il suo secondo principio della dinamica con la terza legge di Keplero perviene a
119865119892=41205872 119898
1198701199032
Questa forza deve dipendere anche dalla massa M del Sole ed allora
119865119892=41205872 119898119872
1198721198701199032
Dove K egrave la costante della terza legge di Keplero Ponendo la quantitagrave 41205872
119872119870 = G ( notare che contiene
la costante K e la massa del Sole) otteniamo la nota formula
119865119892=119866 119898119872
1199032
Newton dedusse che questa legge egrave valida non solo per i corpi del sistema solare ma in tutto
lrsquoUniverso egrave la Legge di Gravitazione Universale Nel 1798 Cavendish ideograve la bilancia a torsione e
trovograve il valore per la costante G = 667times10⁻sup1sup1 N msup2kgsup2
Bignamino di astronomia
24
Terza legge di Keplero generalizzata
Approssimando lrsquoorbita di un corpo a circolare e considerando trascurabile la massa del corpo
orbitante la condizione di equilibrio per la quale esso orbita egrave data da
119865119888 = 119865119892
119865119900119903119911119886 119888119890119899119905119903119894119891119906119892119886 = 119865119900119903119911119886 119892119903119886119907119894119905119886119911119894119900119899119886119897119890
La forza centrifuga egrave espressa come
119865119888 = 119898 119886119888
E quella gravitazionale (dalla legge di gravitazione universale di Newton) come
119865119892 =119866119872119898
1198862
Sostituendo in formula
119898119886119888 =119866119872119898
1198892
Notiamo che semplificando m otteniamo un modo per esprimere lrsquoaccelerazione
119886119888 =119866119872
1198892
Lrsquoaccelerazione egrave espressa come
119886119888 =1199072
119886=412058721198862
1198792119886=41205872119886
1198792
Sostituendo in formula
41205872119886
1198792=119866119872
1198862
Da cui
1198863
1198792=119866119872
41205872
Formule inverse
119886 = radic119866119872 1198792
41205872
3
119879 = radic412058721198863
119866119872
Bignamino di astronomia
25
119872 =412058721198863
119866 1198792
Nota nel caso in cui la massa del corpo orbitante non fosse trascurabile la terza legge di Keplero
generalizzata diventerebbe
1198893
1198792=119866 (119872 +119898)
41205872
Nel Sistema solare la somma delle due masse si considera uguale alla sola massa del
Sole data la relativa piccola massa dei pianeti
NOTA I corpi lasciati cadere verso il basso quando la resistenza dellrsquoaria egrave trascurabile cadono con la
stessa accelerazione g detta accelerazione di gravitagrave Sulla superficie terrestre lrsquoaccelerazione di
gravitagrave egrave g = 98 ms2 In realtagrave il valore di g cambia da punto a punto percheacute dipende fra lrsquoaltro
dallrsquoaltezza del punto sul livello del mare e dalla sua latitudine Ora che conosciamo la legge di
gravitazione universale possiamo dire che i corpi cadono per effetto della forza di gravitazione che
si esercita tra il corpo e la Terra Allora
119892 =119866119872
1198892
Se il corpo si trova sulla Terra o prossimo alla superficie sostituendo a questa formula i valori relativi
alla massa della Terra e al suo raggio troviamo per lrsquoaccelerazione il valore noto di 98 ms2
Un altro fattore che influisce sul valore di g egrave la rotazione terrestre in quanto ogni corpo su di
essa egrave soggetto ad una forza centripeta per cui
119892rsquo = 119892 minus 1205962 119877119879
ldquoRationem vero harum
Gravitatis proprietatum
ex phaelignomenis nondum
potui deducere amp
hypotheses non fingordquo
ldquoIn veritagrave non sono riuscito a dedurre la causa di
queste proprietagrave della gravitagrave dai fenomeni e non
avanzo ipotesirdquo
Isaac Newton Philosophiae Naturalis Principia
Mathematica liber tertius
Bignamino di astronomia
26
ALCUNE CONSIDERAZIONI SULLE ORBITE
La Legge della Gravitazione Universale ci insegna che la forza drsquoattrazione gravitazionale egrave
inversamente proporzionale al quadrato della distanza delle due masse che si attraggono ovvero
119865 prop1
1198892 a causa di questa caratteristica dellrsquointerazione gravitazionale si puograve dimostrare che le
orbite descritte dai corpi celesti attorno a un oggetto ldquoattrattorerdquo seguono particolari curve le
coniche
Le coniche sono curve che si ottengono dallrsquointersezione di un piano con un cono a due falde Si
ottengono cosigrave circonferenza ellisse iperbole e parabola
Ciograve che distingue lrsquouna dallrsquoaltra queste curve egrave un parametro lrsquoeccentricitagrave
Circonferenza il piano egrave perpendicolare
allrsquoasse (tratteggiato)
Ellisse il piano egrave obliquo
Parabola il piano egrave parallelo a una delle
generatrici (le due rette incidenti in V in
figura)
Iperbole il piano egrave parallelo allrsquoasse del cono
CIRCONFERENZA e=0
ELLISSE 0ltelt1 (piugrave questo valore si avvicina ad 1 piugrave
lrsquoellisse egrave schiacciata)
PARABOLA e=1
IPERBOLE egt1 (quanto piugrave maggiore di uno egrave
questo valore tanto piugrave lrsquoiperbole egrave ldquoapertardquo)
Bignamino di astronomia
27
VELOCITAgrave ORBITALE ORBITA CIRCOLARE
Affincheacute il corpo rimanga in orbita egrave necessario che in ogni punto dellrsquoorbita la forza centripeta sia
uguale alla forza di attrazione gravitazionale
FC = FG
mv2
R=mMG
R2
mv2
R=mMG
R2
v2 =MG
R
119855 = radic119820119814
119825
A questa velocitagrave si dagrave il nome di prima velocitagrave cosmica
VELOCITAgrave SU ORBITE NON CIRCOLARI
Il problema si risolve con lrsquoapplicazione del principio di conservazione dellrsquoenergia meccanica che
altro non egrave che la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale
119922120783 + 119932120783 = 119922120784 + 119932120784
E poicheacute le velocitagrave orbitali variano al variare dalla distanza alla prima equazione egrave necessario
associare la seconda legge di Keplero
Per cui il problema egrave risolto dalla soluzione del sistema
119922120783 + 119932120783 = 119922120784 + 119932120784119959119938 119941119938 = 119959119953119941119953
Nel caso della forza gravitazionale lrsquoenergia potenziale egrave 119880 = minus119898119872119866
119877
Lrsquoenergia cinetica egrave K= 1
21198981199072
Bignamino di astronomia
28
Il sistema diventa
119907119886119889119886 = 1199071199011198891199011
2119898119907119886
2 minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
Le soluzioni sono 119959119938 = radic120784119918119924119941119953
119941119938(119941119953+119941119938) 119959119953 = radic120784119918119924
119941119938
119941119953(119941119953minus119941119938)
Ricordando che 119889119886 = 119886(1 + 119890) 119889119901 = 119886(1 minus 119890) 119938 =119941119938+119941119953
120784 119942 =
119941119938minus119941119953
119941119938+119941119953
le due velocitagrave possono anche essere espresse in funzione del semiasse maggiore e
dellrsquoeccentricitagrave dellrsquoorbita
Quindi
119907119901 = radic119918119924
119938(120783+119942
120783minus119942)
119907119886 = radic119918119924
119938(120783minus119942
120783+119942)
ALCUNE CONSIDERAZIONI DINAMICHE SULLE ORBITE
Allrsquoinizio di questi appunti abbiamo evidenziato come gli oggetti orbitanti seguano delle traiettorie
che sono curve coniche e abbiamo individuato questrsquoultime catalogandole anche a seconda
dellrsquoeccentricitagrave in seguito abbiamo enunciato il principio di conservazione dellrsquoenergia meccanica
119922+119932 = 119940119952119956119957119938119951119957119942
Possiamo procedere nella classificazione delle orbite a seconda del valore assunto da questa
costante (lrsquoenergia meccanica) In particolare
bull Se questa costante egrave negativa allora lrsquooggetto segue unrsquoorbita chiusa (circonferenza
ellisse)
bull Se essa egrave nulla allora il corpo si muove su unrsquoorbita parabolica (a distanza infinita la sua
velocitagrave egrave nulla)
bull Se essa egrave positiva allora la traiettoria egrave iperbolica (e il corpo giunge a distanza infinita con
velocitagrave ndash chiamata ldquovelocitagrave drsquoeccesso iperbolicordquo ndash non nulla)
Bignamino di astronomia
29
VELOCITAgrave DI FUGA ndash RAGGIO DI SCHWARZSCHILD
119959 = radic120784119918119924
119929
A questa velocitagrave si dagrave il nome di seconda velocitagrave cosmica o velocitagrave di fuga
Immaginiamo ora di poter comprimere un corpo celeste di massa M (quindi via via il raggio R
diminuisce) la velocitagrave di fuga di un altro corpo dalla sua superficie aumenteragrave al diminuire del
raggio Quando il raggio raggiungeragrave un valore ldquocriticordquo la velocitagrave di fuga eguaglieragrave quella della
luce e neanche la luce potragrave allontanarsi indefinitamente dal corpo esso egrave diventato un buco nero
Al raggio ldquocriticordquo associato a ogni massa M si dagrave il nome di Raggio di Schwarzschild in onore del
matematico astronomo e astrofisico tedesco Karl Schwarzschild (1873-1916) il raggio si ricava cosigrave
119888 = radic2119866119872
119877119904 rarr 1198882 =
2119866119872
119877119904 rarr 119929119956 =
120784119918119924
119940120784
Dove c egrave la velocitagrave della luce (c=299792458 ms)
Bignamino di astronomia
30
ECLISSI LUNA-SOLE
Eclisse di Luna
Una eclisse di Luna si verifica quando la Terra si interpone tra il nostro satellite ed il Sole cioegrave
quando la Luna entra nel cono drsquoombra della Terra che egrave rivolto dalla parte opposta al Sole e per
tanto lrsquoeclisse piograve avvenire solo quando la Luna egrave in opposizione cioegrave quando egrave piena Poicheacute la
Luna si sposta da ovest verso est essa
entra nel cono drsquoombra della Terra dalla
parte sinistra Se lrsquoorbita della Luna
attorno alla Terra giacesse sullo stesso
piano dellrsquoorbita della Terra attorno al
Sole ad ogni plenilunio avremmo una
eclisse totale di Luna Queste due orbite
sono inclinate di 5deg9rsquo e si incontrano i
due punti che definiscono i nodi Percheacute
si abbia una eclisse Sole e Luna non solo
devono essere allrsquoopposizione ma
devono essere vicinissimi ai nodi In media la distanza angolare del Sole dal nodo deve essere minore
di 9deg9 per unrsquoeclisse parziale e non piugrave di 4deg6 per unrsquoeclisse totale
Calcolo lunghezza cono drsquoombra della Terra
I triangoli VAS e VBT sono simili (vedi figura)
VS VT= AS BT
Ma
VS= VT+ TS
sostituendo si trova che
VT =119879119878∙119861119879
119860119878minus119861119879
Siccome sappiamo che il raggio del Sole egrave circa 10925 raggi terrestri abbiamo
Bignamino di astronomia
31
VT= 119878119879∙119861119879
10925119861119879minus119861119879
VT= 119878119879
10925minus1
La lunghezza del cono drsquoombra si puograve calcolare dividendo la distanza media Terra-Sole per 10925
Si puograve calcolare anche il semidiametro apparente visto dalla Terra dellrsquoombra che la Terra proietta
sul piano dove si trova la Luna
Poicheacute il raggio angolare della Luna egrave di 15rsquo5 percheacute una eclisse di Luna possa avere luogo egrave
necessario che la distanza tra i centri dellrsquoombra terrestre e della Luna sia inferiore a
41rsquo+15rsquo5 = 56rsquo5
Con questo dato si puograve calcolare quanto egrave spostato il centro dellrsquoorbita terrestre dal nodo lunare
Dalla proporzione
119861119879 119877119867 = 119881119879119867119881
119877119867 =119881119867 ∙ 119861119879
119881119879
Dato che
119881119867 = 119881119879 minus 119879119867
119877119867 =119861119879 (119881119879 minus 119879119867)
119881119879=
=119861119879
119881119879(1 minus
119879119867
119881119879) =
Dalla formula precedente
119881119879 =119878119879
10825
Sostituendo
Bignamino di astronomia
32
119877119867 =119861119879 ∙ 10825
119878119879(1 minus 119879119867) =
= 119877119879119864119877119877119860119863119879119878
10825 (1 minus 119863119879119871)
Si trova che questo valore egrave di 10deg6 Quindi unrsquoeclisse lunare si puograve verificare (anche di breve
durata) solo nel caso in cui lrsquoorbita terrestre egrave spostata meno di 10deg6 gradi dal nodo lunare (ad est
o ad ovest)
La Terra si muove lungo lrsquoeclittica di circa 59rsquo al giorno Per percorrere questa distanza impiega 108
giorni e la distanza doppia in 216 giorni poicheacute una rivoluzione sinodica si compie in 295 giorni
Una Luna piena puograve verificarsi ad una distanza superiore ai 10deg6 gradi ad ovest e la successiva Luna
piena ad una distanza superiore ad est e quindi nel corso di questa rivoluzione non si verificheranno
eclissi Si puograve verificare che in un anno non ci siano eclissi o al massimo tre quando la prima cade
poco dopo il primo gennaio la seconda sei mesi dopo (in prossimitagrave di giugno) e la terza a fine
dicembre (dodici mesi sinodici dopo la prima 354 giorni)
Bignamino di astronomia
33
Eclisse di Sole
Uneclissi di Sole si verifica quando la Luna attorno alla sua congiunzione si trova allineata tra la
Terra e il Sole molto vicino ad uno dei nodi o esattamente in esso Bencheacute di dimensioni
estremamente diverse si trovano a distanze tali da mostrare lo stesso diametro apparente Il che
consente alla Luna di coprire il disco del Sole
Percheacute ci sia una eclisse di Sole egrave necessario che
al momento del novilunio il Sole sia distante
dal nodo inferiore in media 15deg5 Questo
valore egrave piugrave alto di quello calcolato per lrsquoeclisse
di Luna e quindi si capisce percheacute le eclissi di
Sole sono piugrave frequenti Il cono drsquoombra
massimo della Luna ha un valore che non
supera i 270km sulla superficie della Terra mentre la lunghezza del cono drsquoombra egrave circa 374000
per cui il vertice di questo cono non sempre raggiunge la Terra in questo caso si hanno eclissi
anulari In localitagrave differenti della Terra lrsquoeclisse di Sole si verifica in tempi diversi Il moto della Luna
attorno alla Terra e la rotazione della Terra attorno al proprio asse fanno sigrave che lrsquoombra lunare si
sposti da ovest verso est formando una striscia drsquoombra lunga un migliaio di km e larga da 200 a 270
km Poicheacute la Luna si sposta da ovest verso est lrsquoeclisse inizia dal bordo ovest del Sole
Condizione percheacute si possa verificare unrsquoeclissi di Sole
Percheacute si verifichi unrsquoeclisse di Sole egrave necessario che nel periodo della Luna nuova questa si trovi in
prossimitagrave di uno dei nodi della sua orbita cioegrave in vicinanza dellrsquoeclittica
Indichiamo con S T L i centri del Sole della Terra della Luna che giacciono tutti su di un piano
perpendicolare al piano dellrsquoeclittica Il verificarsi dellrsquoeclisse dipende dalla latitudine geocentrica
della Luna (nella figura lrsquoangolo LTS (vertice in T) = 120573 )
Dalla figura
Bignamino di astronomia
34
120573 = LTLrsquo+ LrsquoTSrsquo + STSrsquo
Dalla figura si evince che
LTLrsquo egrave il raggio angolare della Luna= 120572119871
STSrsquo egrave il raggio angolare del Sole = 120572119878
120573 = 120572119871 + LrsquoTSrsquo + 120572119878
Lrsquo TSrsquo =
Consideriamo lrsquoangolo TLrsquoO esterno al triangolo TLrsquoSrsquo
TLrsquoO= LrsquoTSrsquo + TSrsquoLrsquo
TLrsquoO= LrsquoTSrsquo + TSrsquoO
LrsquoTSrsquo = TLrsquoO - TSrsquoO
TLrsquoO = 119901119871 = 57prime2primeprime (parallasse orizzontale della Luna)
TSrsquoO= 119901119878 = 8primeprime 8 (parallasse orizzontale del Sole)
120573 = 120572119871 + 120572119878 + 119901119871 - 119901119878
120573 = 15rsquo5 +16rsquo3 +57rsquo2 ndash 8rsquorsquo8
120573 = 88rsquo46
Percheacute si verifichi una eclisse anche di breve durata egrave necessario che la latitudine geocentrica della
Luna sia inferiore a 88rsquorsquo46
La parallasse orizzontale equatoriale della Luna egrave lrsquoangolo sotto il quale dal centro della Luna egrave
visibile il raggio equatoriale della Terra La parallasse orizzontale equatoriale del Sole egrave lrsquoangolo
sotto il quale dal centro del Sole egrave visibile il raggio equatoriale della Terra
Bignamino di astronomia
35
La distanza angolare del centro della Luna rispetto al
nodo (longitudine) si puograve calcolare con la
sinΔ120582 = tan120573
tan 119894
Δ120582 = 16deg5
Il Sole muovendosi alla velocitagrave di 59rsquo al giorno percorre 33deg gradi di eclittica in 34 giorni Essendo
il periodo sinodico di 295 giorni egrave evidente che nel corso di questo periodo si ha una Luna nuova
(ed anche due) Questo assicura che nel corso di un anno si verificano almeno due eclissi di Sole in
vicinanza dei nodi Se la prima si verifica ai primi di gennaio la seconda si ha alla Luna nuova
successiva la terza e la quarta poco meno di sei mesi dopo e la quinta 354 giorni dopo la prima
Bignamino di astronomia
36
Numero totale di eclissi per anno
Il Ciclo di Saros
In base a quanto fin qui detto il numero massimo di eclissi che si possono verificare in un anno egrave 7
bull 2 Luna + 5 Sole
bull 3 Luna + 4 Sole
e viceversa Questa combinazione egrave piuttosto rara lrsquoevento piugrave frequente egrave 2 Luna + 2 Sole Il
numero minimo costituito da due eclissi entrambe di Sole
Fin dallrsquoantichitagrave era noto che le eclissi si succedevano pressocheacute nello stesso ordine in un periodo
di circa 18 anni e 113 giorni La spiegazione egrave alquanto semplice
Le fasi lunari si succedono ogni 2953 giorni (mese sindico) mente il ritorno allo stesso nodo della
Luna avviene ogni 2721 giorni I nodi
hanno un moto di retrogradazione in un
giorno percorre un angolo pari a
3rsquo10rsquorsquo64 e completa il giro in 18anni e
113 giorni Il Sole si sposta di moto
diretto in media di 59rsquo8rsquorsquo33 al giorno
rispetto al nodo Il moto del Sole egrave di
62rsquo19rsquorsquo e quindi lrsquointervallo di tempo fra
due passaggi consecutivi del centro del
Sole per lo stesso nodo egrave di 34662 giorni
(anno draconico) Il saros egrave lrsquointervallo di tempo percheacute questi tre periodi tornino nella stessa
successione La natura si diverte
Succede che
bull 223 lunazioni (223 mesi sinodici) corrispondono a giorni 658519 (223 x 2953)
bull 242 mesi draconici corrispondono a giorni 658502
bull questi giorni corrispondono a 18 anni e circa 11 giorni
Poi succede che se dividiamo questi 658519 per lrsquoanno draconico troviamo circa 19
Questi tre periodi ritornano nella stessa successione dopo circa 6585 giorni che rappresenta il
ciclo di Saros Le condizioni in cui si producono le eclissi non saranno mai le stesse poicheacute essendo
223 mesi sinodici piugrave corti di 004 mesi draconici dopo 18 anni la Luna non si troveragrave esattamente
allo stesso posto rispetto al nodo Il ciclo di Saros contiene 6585 giorni interi piugrave circa 13 di giorni
questo comporta che le zone di visibilitagrave delle eclissi sulla superficie terreste in 18 anni si spostano
di circa 120deg verso Ovest
Bignamino di astronomia
37
ANGOLO SOLIDO
Si definisce angolo solido la porzione di sfera intercettata dalle
semirette che lo individuano
120570 =119860
1198772=41205871198772
1198772= 4120587
120570 = 4120587
Langolo solido totale di una sfera egrave pari a 4π Lunitagrave di misura
egrave sr (steradiante) ed egrave un numero puro
Per avere la misura in gradi quadrati si deve
119898119900119897119905119894119901119897119894119888119886119903119890 4120587 bull (180deg
120587)2
119900 1198891198941199071198941198891198901199031198904120587
1205872
4π sr= 41253deg -gt 1deg=3046 bull 10minus4119904119905119890119903119886119889
STRUMENTI OTTICI
CAMPO DELLO STRUMENTO
Il campo di uno strumento egrave definito dallangolo solido sotto il quale loculare viene visto dal centro
dellobiettivo Il campo corretto dalle aberrazioni ottiche di norma egrave 1
2deg
APERTURA ASSOLUTA
Lapertura assoluta dipende dal diametro D dello strumento La quantitagrave di luce raccolta egrave
proporzionale allarea dellobiettivo cong 1198632
APERTURA RELATIVA
Si definisce apertura relativa il rapporto
119863
119891=119886119901119890119903119905119906119903119886 119886119904119904119900119897119906119905119886 (119889119894119886119898119890119905119903119900)
119891119900119888119886119897119890 119889119890119897119897prime119900119887119894119890119905119905119894119907119900
Bignamino di astronomia
38
RAPPORTO FOCALE
Linverso dellrsquoapertura relativa 119891
119863 definisce il rapporto focale
Lenergia raccolta dallobiettivo egrave distribuita sullarea dellimmagine la cui grandezza sul piano focale
egrave data da
119889 = 119891 bull 119905119886119899120572
Con α=diametro angolare dellrsquooggetto
119889 = 119891120572
Se α egrave espresso in radianti
POTERE RISOLUTIVO
Il potere risolutivo egrave la minima distanza angolare tra due sorgenti di luce che possono essere viste
separate (ldquorisolte in termine tecnico) secondo un criterio detto di Rayleigh
Due sorgenti puntiformi (di uguale luminositagrave) risultano risolte quando la loro distanza angolare
120579 =122 bull 120582
119863=119897119906119899119892ℎ119890119911119911119886 119889prime119900119899119889119886
119889119894119886119898119890119905119903119900
Si ottiene un risultato in radianti
In secondi darco invece
120579 =25 bull 105 bull 120582
119863
Con λ=lunghezza donda della luce=5500Aring (regione di massima sensibilitagrave dellocchio)
Il potere risolutivo dellocchio assumendo la pupilla con un diametro di 3 mm egrave uguale a
120579 =122120582
119863= 122 bull
5500 bull 10minus9119898
3 bull 10minus3119898= 224 bull 10minus4119903119886119889 = 46
Il fattore di conversione da radianti a secondi egrave il NUMERO MAGICO 1 rad = 206265rdquo
Nella determinazione del potere risolutivo interviene lrsquoapertura dello strumento e non
lrsquoingrandimento
Bignamino di astronomia
39
INGRANDIMENTO
Lingrandimento dello strumento egrave dato dal rapporto tra la focale dellobiettivo f e la pupilla
delloculare f
119892 =119891
119891prime
ABERRAZIONE DELLA LUCE
Quando i raggi di una stella arrivano sulla Terra la loro direzione di provenienza
appare leggermente deviata a causa della velocitagrave orbitale del pianeta v I vettori
delle velocitagrave (della luce e del pianeta) si combinano per dare un vettore risultante di
poco inclinato dalla direzione di provenienza dei raggi
119886 = arctan119907
119888
RIFRAZIONE
Il fenomeno della rifrazione ha origine dal cambiamento di
velocitagrave delle onde luminose quando passano da un mezzo
trasparente allrsquoaltro Esiste una proporzione tra le due diverse
velocitagrave e i seni degli angoli 120579119894119899119888119894119889119890119899119911119886 e 120579119903119894119891119903119886119911119894119900119899119890 che i raggi
formano con la linea normale alla superficie nel punto colpito dal
raggio Se consideriamo gli indici di rifrazione 1198991 e 1198992 dei materiali
la proporzione egrave inversa
119904119894119899120579119894119899119888119894119889119890119899119911119886119904119894119899120579119903119894119891119903119886119911119894119900119899119890
=11989921198991=11990711199072
Bignamino di astronomia
40
RIFRAZIONE ATMOSFERICA
Allrsquoentrata nellrsquoatmosfera terrestre i raggi luminosi provenienti da un corpo celeste che si trova a
distanza zenitale z vengono rifratti (deviati verso il basso) di un angolo r Quindi i corpi celesti si
osservano in una posizione leggermente piugrave alta del reale In particolare possiamo vedere oggetti
che si trovano anche sotto lrsquoorizzonte geometrico del luogo (es Il sole al tramonto) La formula
stabilisce che lrsquoangolo di rifrazione egrave proporzionale alla tangente della distanza zenitale
Questa formula vale fino ad angoli 119963 asymp 120789120782deg
Oltre questo valore fino allrsquoorizzonte la rifrazione aumenta fino a raggiungere il valore massimo di
35rsquo
119903 = 582 tan (119911)
Bignamino di astronomia
41
RIASSUMENDOhellip
CENNI TEORICI SUI TELESCOPI
Il telescopio egrave uno strumento che raccoglie la luce o altre radiazioni elettromagnetiche
provenienti da un oggetto lontano la concentra in un punto (detto fuoco) e ne produce
unimmagine ingrandita Possiamo paragonare un telescopio a un ldquogrande occhiordquo che
sopperisce al fatto che la nostra pupilla di dimensioni ridotte riesce a raccogliere un
quantitativo insufficiente di luce emessa da un oggetto lontano Un telescopio egrave
caratterizzato dalle seguenti componenti e grandezze
bull OBIETTIVO egrave la parte del telescopio rivolta verso lrsquooggetto da osservare Il suo
diametro D prende il nome di APERTURA Telescopi con una grande apertura sono
capaci di raccogliere piugrave luce e di fornire unrsquoimmagine a piugrave alta risoluzione
Lrsquoobiettivo fa convergere i raggi luminosi in un punto il fuoco la cui distanza
dallrsquoobiettivo egrave chiamata LUNGHEZZA FOCALE
bull OCULARE la parte del telescopio (nel caso di telescopi ottici) che raccoglie la luce
proveniente dallrsquoobiettivo e che la trasmette poi allrsquoocchio Anche per lrsquooculare egrave
possibile definire una LUNGHEZZA FOCALE
Ingrandimento
Lrsquoingrandimento di un telescopio egrave dato dal rapporto fra la lunghezza focale dellrsquoobiettivo e
la lunghezza focale dellrsquooculare
119894 = 119891119900119887119891119900119888 Rapporto focale
Rapporto esistente tra la lunghezza focale dellrsquoobiettivo e lrsquoapertura stessa del telescopio
119865 =119891119900119887
119863 negli strumenti egrave specificato da una F seguita da un numero (es F4 F45 F6hellip)
Campo visivo
Esso egrave dato dal rapporto fra il campo visivo apparente dellrsquooculare (lrsquoampiezza angolare
dellrsquoimmagine fornita dallrsquooculare soltanto) e il numero di ingrandimenti
119865119900119881 =119865119900119881119900119888119894
Pupilla drsquouscita
Essa egrave il diametro del fascio luminoso che esce dallrsquooculare
119901 =119863
119894
Potere risolutivo
Esso egrave lrsquoangolo minimo che deve separare due oggetti affincheacute lo strumento li possa
distinguere egrave dato dal criterio di Rayleigh
120599(119903119886119889) =122120582
119863 120599deg =
699120582
119863 120582 119897119906119899119892ℎ119890119911119911119886 119889prime119900119899119889119886 119889119890119897119897119886 119897119906119888119890 119900119904119904119890119903119907119886119905119886
Bignamino di astronomia
42
Magnitudine limite
Egrave la magnitudine visuale massima che puograve essere osservata con uno strumento di apertura
D (in cm)
119898119897119894119898 = 68 + 5119897119900119892119863
Ingrandimento minimo utile
egrave lrsquoingrandimento che fornisce una pupilla drsquouscita pari al diametro della pupilla umana (6-7
mm)
119894119898119894119899 = 119863(119898119898)7
Formula di Dawes
Ci consente di trovare lrsquoapertura di un telescopio che gli consenta di distinguere un oggetto
che si vede sotto un angolo α
119863(119898119898) =120
120572
Dimensioni dellrsquoimmagine sul piano focale
Lrsquoimmagine che si forma sul piano focale di un telescopio con lunghezza focale dellrsquoobiettivo
f relativa a un oggetto di dimensione angolare α egrave
119897 = 2119891 tan (1205722)
Bignamino di astronomia
43
ELEMENTI DI ASTROFISICA
Tutte le informazioni che riceviamo dalle stelle ci provengono dalla ldquolucerdquo che emettono1 Egrave solo
attraverso lrsquoanalisi e la ldquodecodificazionerdquo dei messaggi contenuti in questa radiazione
elettromagnetica che egrave la luce che noi possiamo ottenere informazioni sulle proprietagrave fisiche e
chimiche delle stelle e delle galassie
La radiazione elettromagnetica
Una radiazione elettromagnetica egrave dal punto di vista dellrsquoelettromagnetismo classico un fenomeno
ondulatorio dovuto alla contemporanea propagazione di perturbazioni periodiche di un campo
elettrico e di un campo magnetico oscillanti su piani tra di loro ortogonali Le stelle emettono
tipicamente radiazione di ldquocorpo nerordquo e come tale irradiano energia in tutte le lunghezze drsquoonda
secondo una distribuzione che viene chiamata spettro della radiazione elettromagnetica
I parametri che permettono di distinguere tra loro le varie radiazioni elettromagnetiche sono
1) In realtagrave un altro ldquocanalerdquo di trasmissione delle informazioni per la comprensione dei fenomeni celesti si egrave aperto
grazie ai risultati positivi ottenuti dagli interferometri per onde gravitazionali LIGO e VIRGO in particolare gli
interferometri menzionati il 17 agosto 2017 hanno rilevato un segnale di onda gravitazionale (rilevazione
annunciata poi ufficialmente il 16 ottobre dello stesso anno) mentre altri telescopi in orbita e a terra sono riusciti
a individuare per la prima volta la sua controparte elettromagnetica lrsquoevento che ha generato il segnale egrave stato
la collisione di due stelle di neutroni (che ha portato a unrsquoesplosione nota col termine di kilonova ) nella galassia
NGC 4993 esso ha segnato la nascita della cosiddetta ldquoastronomia multi-messaggero per il fatto che egrave stato
possibile confrontare due ldquolinguaggirdquo diversi permettendo cosigrave di ampliare le frontiere della conoscenza di
questi fenomeni ldquoestremirdquo
Bignamino di astronomia
44
Parametri di unrsquoonda
Come tutti i fenomeni ondulatori la radiazione elettromagnetica egrave caratterizzata da questi
parametri
Lunghezza drsquoonda 120640
la lunghezza drsquoonda tra due creste o tra
due ventri Si misura in metri eo con i
suoi sottomultipli
Periodo T
lrsquointervallo di tempo misurato in
secondi in cui avviene unrsquooscillazione
completa ovvero lintervallo di tempo
impiegato dallonda per ritornare nella
medesima posizione (per esempio il
tempo intercorso tra due creste o tra
due ventri successivi
Frequenza 120650 egrave il numero di creste che si susseguono nello stesso posto nellrsquounitagrave di
tempo egrave lrsquoinverso del periodo
120592 =1
119879
Frequenza che si misura in Hertz (Hz) pari ad unrsquooscillazione al secondo
119867119911 = 1119904minus1
Ampiezza A rappresenta la variazione massima dellrsquoonda Lrsquoampiezza di unrsquoonda
periodica egrave lrsquoaltezza di una sua cresta
Intensitagrave di unrsquoonda egrave proporzionale al quadrato dellrsquoampiezza
Potenza ogni onda porta con seacute unrsquoenergia e quindi una potenza Tale potenza decresce
con il quadrato della distanza dalla sorgente
La lunghezza drsquoonda λ e la frequenza ν di una radiazione elettromagnetica sono grandezze legate
tra loro dalla relazione
120582 ∙ 120592 = 119888
(c ndashla velocitagrave della luce- nel vuoto ha un valore di 299 792 458 ms) Questa formula ci dice che le
due grandezze sono inversamente proporzionali
Bignamino di astronomia
45
La radiazione elettromagnetica puograve essere interpretata come un insieme di ldquopacchettirdquo di energia a
cui si dagrave il nome di fotoni grazie a questi ldquopacchetti energeticirdquo la luce puograve interagire con la materia
a livello microscopico per esempio puograve eccitare un elettrone in un atomo cedendo a esso la sua
energia Continuando il paragone possiamo immaginare che piugrave la radiazione egrave intensa piugrave i
pacchetti sono numerosi piugrave la radiazione cresce di frequenza piugrave essi sono ldquocapientirdquo
Questrsquoultima caratteristica egrave descritta dalla Legge di Planck che lega lrsquoenergia del fotone alla sua
frequenza
119864 = ℎ ∙ 120584
(dove h egrave la costante di Planck)
119864 = ℎ119888
120582
EQUIVALENZA MASSA- ENERGIA Tra lrsquoenergia e la massa esiste una fondamentale relazione
scoperta dal fisico Albert Einstein espressa dallrsquoequazione
119864 = 1198981198882
dove c egrave la velocitagrave della luce (pari a 3 middot 108 ms) Lequazione di Einstein implica che energia e massa
sono equivalenti la massa puograve essere trasformata in energia e lenergia puograve essere trasformata in
massa Ciograve comporta il principio di conservazione della massa-energia non vi egrave conservazione della
massa o dellenergia considerate separatamente ma vi egrave conservazione dellinsieme delle due a una
diminuzione della massa pari a m deve corrispondere un aumento dellenergia pari a m middot c2
Poicheacute il prodotto m middot c2 egrave un numero molto grande la trasformazione di una massa anche molto
piccola di materia determina la produzione di una quantitagrave enorme di energia come avviene per
esempio nelle reazioni di fissione e di fusione nucleari (queste ultime avvengono nel nucleo delle
stelle si veda per una maggiore comprensione il problema 2 della sezione Miscellanea)
Bignamino di astronomia
46
Grandezze fotometriche
Flusso luminoso Quantitagrave di energia luminosa emessa da una determinata sorgente nellunitagrave di tempo Lo indichiamo con la lettera Φ Lunitagrave di misura nel SI egrave il lumen (lm) 1 watt = 683 lumen
Illuminamento Rapporto tra il flusso luminoso ricevuto da una superficie e larea della superficie stessa ( E=
120593
119878 )
Lunitagrave di misura nel SI egrave il lux (lx) ovvero il lumen al metro quadrato (lm1198982)
Nota Dalla definizione di illuminamento si ricavano due importanti corollari di natura geometrica che risultano molto utili per comprendere la distribuzione della luce nello spazio
1) Per una sorgente puntiforme la diminuzione del livello di illuminamento su di una superficie varia in relazione al quadrato della distanza dalla fonte raddoppiando la distanza dalla fonte il livello di illuminamento sulla superficie diviene quindi frac14
2) Il livello drsquoilluminamento su di una superficie egrave massimo quando i raggi luminosi giungono perpendicolari ad essa e diminuisce proporzionalmente al loro angolo drsquoincidenza secondo la relazione E = 119864119899 cosi 119864119899egrave 119897
prime illuminamento normale i lrsquoangolo drsquoincidenza tra raggi luminosi e la normale alla superficie
Immagine dal web (fonte VOLTIMUM)
Bignamino di astronomia
47
Intensitagrave luminosa Flusso luminoso emesso allinterno dellangolo solido unitario in una direzione data
119868 = 119864 =120593
120596
ed egrave una grandezza vettoriale Lunitagrave di misura nel SI egrave la candela (cd)
Luminanza La luminanza egrave il rapporto tra lrsquointensitagrave luminosa di una sorgente nella direzione di un osservatore e la superficie emittente apparente cosigrave come viene vista dallrsquoosservatore stesso
119871 = 119868
119878 119888119900119904120572
120572 egrave 119897prime119886119899119892119900119897119900 compreso tra la direzione di osservazione e lrsquoasse perpendicolare alla superficie emittente La luminanza si esprime in cd1198982
Bignamino di astronomia
48
Parametri fisici delle stelle
Le grandezze fondamentali che permettono di caratterizzare le stelle sono
la distanza (d)
lo spettro della radiazione em emessa
la luminositagrave totale o bolometrica (L)
la temperatura superficiale (T)
il raggio (R)
la massa (M)
Le stelle possono essere approssimate a corpi neri in quanto le uniche onde elettromagnetiche che
non vengono assorbite dalla loro superficie sono quelle aventi una lunghezza donda di dimensione
pari o maggiore del diametro della stella stessa Per studiare le proprietagrave dellrsquoemissione continua
delle stelle egrave utile introdurre il concetto di corpo nero
Corpo nero
Il corpo nero egrave un corpo che assorbe tutta la radiazione che gli cade sopra Appare perfettamente nero percheacute assorbe il 100 della radiazione che incide su di esso e non ne riflette nessuna Il corpo nero egrave un oggetto teorico nessun materiale assorbe tutta la radiazione incidente Il corpo nero ha uno spettro di emissione caratteristico che dipende solo da un parametro la temperatura Lo studio della radiazione emessa dal corpo nero ha portato alla formulazione delle seguenti leggi
bull La legge (di spostamento) di Wien la frequenza massima 120584119898119886119909 di uno spettro di corpo nero a temperatura T cresce linearmente con T
120584119898119886119909 prop T il che comporta una proporzionalitagrave inversa fra la temperatura assoluta e la lunghezza drsquoonda
120582119898119886119909 119879 = 119887
b = 29 10minus3 m∙K
Per cui si ha
120582119898119886119909 T = 29 10minus3 m∙K
Bignamino di astronomia
49
bull Legge di Stefan-Boltzmann lenergia erogata per unitagrave di
superficie e per unitagrave di tempo egrave proporzionale alla quarta
potenza della temperatura T
119868 = 1205901198794
Applicazioni in astrofisica
Stefan-Boltzmann per una stella che approssimiamo ad una sfera di raggio R e superficie S= 41205871198772
la legge di Stefan-Boltzmann diventa
L= 41205871198772 120590T4
Poicheacute le stelle non sono dei corpi neri perfetti la temperatura egrave la temperatura efficace quella che
la superficie della stella avrebbe se si comportasse da corpo nero
Flusso e Luminositagrave
120593= 119871
41205871198892
Il flusso di energia egrave dato dal rapporto fra la lrsquoenergia emessa
dalla stella nellrsquounitagrave di tempo e la superficie della sfera di
raggio pari alla distanza d dalla stella Quindi si vede che il flusso
misurato sulla superficie terrestre dipende dalla luminositagrave
della stella e dalla sua distanza
Bignamino di astronomia
50
I LOGARITMI
Il termine logaritmo egrave composto da due parole greche logos = ragione e arithmos = numero
ldquoNumero di ragionirdquo questa definizione appare naturale pensando alla ragione delle progressioni
aritmetiche e geometriche che sono alla base della costruzione di Nepero
La storia di come nasce questo procedimento di
calcolo egrave molto interessante qui ci piace
evidenziare che la motivazione alla base della
scoperta dei logaritmi ed anche il motivo del loro
successo fu la ricerca di efficienti strumenti di
calcolo in grado di alleggerire il pesante fardello
di cui erano gravati gli astronomi del tempo i
quali per poter predire il corso dei pianeti si
dovevano confrontare con grandi difficoltagrave di
calcolo Basta pensare al calcolo dellrsquoorbita del
pianeta Marte del povero Keplero Quando Nepero pubblicograve il suo lavoro sui logaritmi gli
astronomi dissero che aveva regalato loro metagrave della vita I logaritmi rendono infatti possibile
trasformare prodotti in somme quozienti in differenze elevamenti a potenza in prodotti e
calcoli di radici in quozienti le operazioni vengono molto semplificate
Che cosa egrave un logaritmo
Generalmente si risponde che egrave una operazione inversa
Partiamo da una operazione conosciuta lrsquoestrazione di radice quadrata di un numero
radic25 = 5
La radice quadrata di 25 egrave quel numero che elevato a due restituisce 25 cioegrave il numero 5 infatti 52 =
25 Concludiamo dicendo che la radice egrave lrsquooperazione inversa dellrsquoelevamento a potenza
Il concetto di logaritmo egrave abbastanza simile a quello della radice quadrata solo che non ci riporta al
numero di partenza ma al suo esponente
Introduciamo la scrittura
log5 25 = 2
questa la scriviamo
52 =25
Definiamo logaritmo di un numero b (argomento del logaritmo) quel numero a cui bisogna elevare
la base per ottenere il numero b In notazione matematica
log119886 119887 = x
119886119909 = b
Anche il logaritmo egrave lrsquooperazione inversa dellrsquoelevamento a potenza
Bignamino di astronomia
51
log2 8 = x
la domanda egrave ldquoqual egrave lrsquoesponente che devo dare alla base (2) per ottener il numero (8)rdquo
Scriviamo applicando la definizione
2119909 = 8
e siccome
8 = 23
Allora
2119909 = 23
e perciograve
x=3
(se le basi sono uguali lrsquouguaglianza saragrave verificata se saranno uguali anche gli esponenti)
Egrave abbastanza evidente che i logaritmi e le potenze rappresentano due modalitagrave di scrittura diversa ma
rappresentano la stessa cosa
Osservazione importante la base dei logaritmi ed il numero devono essere numeri reali
positivi in piugrave la base deve anche essere diversa da 1
bgt 0
0 lt a lt1
agt 1
Quindi per esempio non esistono log2(minus5) log1 12 119890119888119888
Bignamino di astronomia
52
Proprietagrave dei logaritmi
Il logaritmo del prodotto di 2 o piugrave numeri positivi corrisponde alla somma dei logaritmi dei
singoli fattori
(Nota 119886119909 ∙ 119886119910 = 119886119909+119910)
Il logaritmo del quoziente di 2 numeri positivi egrave eguale alla differenza tra il logaritmo del
dividendo e il logaritmo del divisore
(Nota 119886119909119886119910 = 119886119909minus119910)
Il logaritmo della potenza a esponente reale di un numero positivo egrave uguale al prodotto
dellesponente per il logaritmo del numero
Una estensione di questa ultima proprietagrave egrave
log119886 radic119887119898119899
= log119886 119887119898
119899
(che possiamo scrivere come 119898
119899log119886 119887)
A volte per calcolare un logaritmo puograve risultare utile effettuare un cambiamento di base
Il loga b la cui base egrave a puograve essere scritto utilizzando unrsquoaltra base per esempio il numero c
Ricorda inoltre che
log119886 1 = 0 (119894119899119891119886119905119905119894 1198860 = 1) 119890 log119886119886 = 1 (119894119899119891119886119905119905119894 1198861 = 119886)
Bignamino di astronomia
53
Se la base di un logaritmo egrave il Numero di Nepero (chiamato meno frequentemente anche Numero
di Eulero e indicato con e = 2718281828459hellip) allora il logaritmo prende il nome di logaritmo
naturale e si indica con ln
Quindi se vediamo 1198971198995 niente paura Si tratta di log119890 5
Se la base di un logaritmo egrave 10 il logaritmo prende il nome di logaritmo decimale e la base
generalmente si omette questo tipo di logaritmo egrave il piugrave usato in astrofisica
Quindi se vediamo 1198971199001198927 ciograve vuol dire log10 7
I logaritmi sono utilizzati nella vita di tutti i giorni ad esempio il gommista quando misura la
pressione di una gomma utilizza uno strumento con una scala non lineare ma logaritmica le scale
sulla macchina fotografica sono logaritmiche i nostri organi di senso sono logaritmici Questo ci
permette di percepire un intervallo di informazioni molto piugrave esteso di quello che avremmo se i nostri
sensi fossero lineari Pogson quando capigrave che il nostro occhio percepisce una differenza di una
magnitudine ( per le magnitudini consulta le pagine successive del Bignamino) tra due stelle quando
il rapporto tra le loro luminositagrave egrave uguale a 25 e che questo conserva la classificazione di Ipparco
formulograve la sua formula in funzione del logaritmo del rapporto delle loro luminositagrave
Niente paura
Oggi avete le calcolatrici e non si
devono utilizzare le famigerate tavole
logaritmiche che si utilizzavano un
tempo per calcolare un logaritmo
Bisogna solo stare attenti ad utilizzare
CORRETTAMENTE la calcolatrice
Nepero
Bignamino di astronomia
54
Magnitudine delle stelle
Quando si guarda il cielo si vede subito che le stelle ci appaiono piugrave o meno brillanti (o luminose) ovvero sembrano avere diversa intensitagrave luminosa Gli astronomi descrivono la luminositagrave stellare osservata in termini di magnitudine apparente m Nel II secolo aC Ipparco di Nicea utilizzando lrsquounico strumento a sua disposizione (lrsquoocchio umano) introdusse una classificazione delle stelle in 6 classi di luminositagrave che chiamograve MAGNITUDINI La scala scelta dai Ipparco prevedeva che le stelle piugrave luminose venissero collocate nella prima classe quelle un porsquo meno luminose nella seconda e giugrave giugrave fino a quelle appena visibili a occhio nudo collocate nella sesta classe Con lrsquoosservazione del cielo attraverso gli strumenti si pose il problema di estendere la scala delle grandezze anche alle stelle non visibili ad occhio nudo Un grossissimo contributo venne dallo studio della fisiologia dellrsquoocchio strumento sul quale erano state fatte le prime classificazioni La risposta dellrsquoocchio umano agli stimoli luminosi non egrave di tipo lineare la reazione alla luce de reagisce alla sensazione della luce in modo logaritmico Pogson egrave riuscito a dare una formulazione matematica alla scala delle magnitudini individuata da Ipparco Pogson ipotizzograve che il rapporto fra le intensitagrave luminose di una stella di prima e di sesta grandezza era pari a 100 Se I1 e lrsquointensitagrave luminosa di una stella di magnitudine m1 ed I2 lrsquointensitagrave di una stella di
magnitudine m2 se m1 - m2 = -5 ed il rapporto I1
I2= 100
m1 - m2= K log I1
I2
-5=K2 K= -25
m1 - m2= -25 log I1
I2
Lrsquoequazione di Pogson spiega il percheacute la magnitudine decresce quando lrsquointensitagrave luminosa cresce Quando si parla di intensitagrave luminosa di una stella in realtagrave ci si riferisce al flusso di energia 120593 che
abbiamo visto essere legato alla luminositagrave dalla 120593= 119871
41205871198892
Se nella formula di Pogson m1 - m2= -25 log I1
I2 sostituiamo alle intensitagrave luminose il flusso si
ottiene (a paritagrave di luminositagrave)
m1 - m2= -5 log d2
d1
La magnitudine apparente di una stella dipende dalla distanza
Bignamino di astronomia
55
E se la stella apparentemente piugrave debole fosse in realtagrave piugrave brillante ma piugrave lontana Per rispondere a questa domanda egrave stata introdotta la scala delle magnitudini assolute indipendente dalla distanza Per costruire questa scala egrave stata presa una distanza di riferimento pari a 10pc Quale saragrave la magnitudine di una stella di cui si conosce la distanza e la magnitudine apparente se viene posta alla distanza di 10pc
M- m= -5 log 119889
1119900119901119888
M-m = 5-5logd Questa ultima viene anche indicata come modulo di distanza Questa scala consente di poter confrontare la luminositagrave intrinseca delle stelle M =magnitudine assoluta (stella alla distanza di 10pc) m =magnitudine apparente d = distanza della stella in pc
Se vogliamo calcolare la magnitudine complessiva di due o piugrave sorgenti luminose egrave errato ritenere
di poter sommare le magnitudini Infatti possiamo sommare i flussi ma le magnitudini dipendono
da essi in relazione logaritmica La relazione che ci permette di determinare la cosiddetta
magnitudine integrata (ossia la magnitudine complessiva ldquototalerdquo) di n oggetti di magnitudine
m1m2hellipmn egrave la seguente
119898119894119899119905 = minus25log (10minus041198981 + 10minus041198982 +⋯+ 10minus04119898119899)
Magnitudine apparente di alcuni oggetti celesti da sinistra verso destra
Sole Luna piena Venere Sirio Vega Magnitudine limite dellrsquoocchio
Magnitudine limite di un telescopio magnitudine limite dellrsquoHubble
Bignamino di astronomia
56
Se invece vogliamo calcolare la magnitudine superficiale di un oggetto esteso di superficie angolare
S (misurata in arcmin2 o arcsec2) ossia la magnitudine di un quadratino di superficie di lato uguale
a 1 arcsec2 o 1 arcmin2 allora applichiamo la seguente formula
119898119878119906119901 = 119898119894119899119905 + 25 log(119878)
Se S egrave misurata in arcmin2 la msup egrave espressa in magarcmin2 Se S egrave misurata in arcsec2 msup egrave
espressa in magarcsec2
Bignamino di astronomia
57
Redshift (spostamento verso il rosso)
Su grandi scale le galassie si stanno allontanando con velocitagrave proporzionale alla distanza tutte le
galassie si stanno allontanando tra di loro tra loro Lo stesso spazio-tempo si sta espandendo e sta
portando le galassie con seacute
NOTA Il redshift cosmologico non egrave dovuto allrsquoeffetto Doppler non egrave dovuto ai moti relativi delle
galassie Le cause e le grandezze fisiche coinvolte sono completamente diverse
Il redshift cosmologico egrave lo spostamento relativo in
frequenza di unonda elettromagnetica dovuto
allespansione delluniverso Si spiega ipotizzando che le
lunghezze donda varino allo stesso modo delle distanze per
effetto dellespansione delluniverso La lunghezza donda egrave
proporzionale al fattore di scala delluniverso
La cosmologia moderna nasce con la legge di Hubble
v=Hd
che lega in modo proporzionale la velocitagrave v di allontanamento delle galassie alla loro distanza d (H egrave la costante di Hubble) le galassie piugrave distanti si allontanano piugrave velocemente Questa legge deriva da osservazioni che mostravano che tutte le righe spettrali delle galassie sono spostate verso il rosso (redshift) e che tale effetto egrave proporzionale alla luminositagrave apparente delle galassie legata alla loro distanza Il redshift misura quindi la velocitagrave di allontanamento di una galassia ed egrave definito come segue
119911 =120582119900119887119904 minus 120582119905119890119900119903
120582119905119890119900119903
La legge di Hubble ci dice che la velocitagrave di allontanamento delle galassie egrave proporzionale alla loro
distanza
119907 = 119867119889
H egrave la costante di Hubble il cui valore attualmente stimato egrave attorno a H= 2176 ∙ 10minus18 Hz
(6715 kmMpc s) d egrave la distanza della galassia
Maggiore egrave la distanza della galassia tanto maggiore saragrave il redshift
z=119867119889
119888
Bignamino di astronomia
58
Per z≪ 1 vale lrsquoapprossimazione del redshift come effetto Doppler (zasymp119907
119888 ) e quindi z egrave
direttamente proporzionale alla velocitagrave di allontanamento delle galassie
bull Redshift relativistico
bull Redshift gravitazionale
La relativitagrave generale prevede che la luce che si muove attraverso campi gravitazionali molto
intensi sperimenteragrave uno spostamento verso il rosso o verso il blu
Il redshift gravitazionale (chiamato anche spostamento di Einstein) egrave dovuto dal fatto che un
fotone quando emerge da un campo gravitazione perde energia e quindi presenta uno
spostamento verso il rosso che dipende dallrsquointensitagrave del campo gravitazionale misurata nel
punto in cui si trova il fotone
z= 119866119872
1199031198882
Questa 119904119890 119903 ≫ 119903119904
119903119904 = 2119866119872
1198882
(raggio di Schwarzschild)
(M massa della stella r raggio della stella)
La formula generale egrave
z= 1
radic1minus119903119904 -1
Bignamino di astronomia
59
PROBLEMI ED ESERCIZI
bull SISTEMI DI RIFERIMENTO E COORDINATE ASTRONOMICHE
1 Quando la stella Rigel (δ= -8deg 13rsquo) passa al meridiano di Roma (φ=41deg55rsquo) a quale
altezza si trova
Soluzione Quando la stella Rigel passa al meridiano di Roma essa raggiunge la
posizione di culminazione superiore in corrispondenza del punto cardinale Sud
Dunque la sua altezza sullrsquoorizzonte egrave pari allrsquoaltezza dellrsquoEquatore celeste alla
latitudine di Roma (90deg-φ) sommata alla declinazione dellrsquoastro Dunque
hRigel=90deg-φ+δ=90deg-41deg55rsquo-8deg13rsquo=39deg52rsquo
2 A quale latitudine comincia a essere visibile la stella Canopo (δ=-52deg40rsquo) appena
allrsquoorizzonte
Soluzione Affincheacute la stella Canopo sia appena visibile allrsquoorizzonte per un
osservatore posto alla latitudine φ egrave necessario che lrsquoEquatore celeste abbia
unrsquoaltezza sullrsquoorizzonte pari al valore assoluto della sua declinazione Quindi egrave
necessario che 90deg-φ=|δ| e cioegrave φ=90deg-|δ|=90deg-52deg40rsquo=37deg20rsquo [In realtagrave bisogna tenere conto dellrsquoeffetto della rifrazione atmosferica che ldquoalza le stellerdquo o
equivalentemente ldquoabbassa lrsquoorizzonterdquo di un angolo di 35rsquo Quindi in realtagrave Canopo si puograve
osservare anche a una latitudine leggermente piugrave settentrionale pari a 37deg20rsquo+0deg35rsquo=37deg55rsquo
circa]
3 Quale curva descrive lrsquoombra di uno stilo verticale posto al polo nord il 21 giugno
Qual egrave il rapporto fra la lunghezza l dellrsquoombra e lrsquoaltezza h dello stilo
Soluzione Il 21 giugno il Sole ha declinazione massima pari al valore dellrsquoobliquitagrave
dellrsquoeclittica quindi circa 23deg27rsquo Dal momento che al polo nord lrsquoorizzonte coincide
con lrsquoEquatore celeste e i paralleli celesti si trovano quindi su piani paralleli
allrsquoorizzonte la rotazione diurna non contribuiragrave a far tramontare il Sole che
descriveragrave una circonferenza nel cielo pertanto la curva descritta dallo stilo verticale
egrave una circonferenza Il rapporto lh egrave il reciproco della tangente dellrsquoaltezza del sole
pari a 23deg27rsquo 119897
ℎ=
1
11990511988611989923deg27prime=23
4 (PROBLEMA GARA INTERNAZIONALE 2002) I Cinesi nel 1100 aC avevano trovato
che lrsquoaltezza del Sole a mezzodigrave era 79deg7rsquo nel solstizio estivo e 31deg19rsquo in quello
Bignamino di astronomia
60
invernale A quale latitudine hanno fatto lrsquoosservazione e qual era allora lrsquoobliquitagrave
dellrsquoEclittica
Soluzione La media aritmetica dei valori delle due culminazioni del sole a mezzodigrave al
solstizio estivo ed invernale egrave pari allrsquoaltezza dellrsquoEquatore celeste Quindi
90deg minus 120593 =ℎ119890119904119905119886119905119890 + ℎ119894119899119907119890119903119899119900
2rarr 120593 = 90deg minus
ℎ119890119904119905119886119905119890 + ℎ1198941198991199071198901199031198991199002
= 34deg47prime
Lrsquoobliquitagrave dellrsquoeclittica egrave la differenza fra lrsquoaltezza massima del sole e lrsquoaltezza
dellrsquoEquatore celeste
휀 = ℎ119890119904119905119886119905119890 minus (90deg minus 120593) = 79deg7prime minus 90deg + 34deg47prime = 23deg54prime
[In generale lrsquoobliquitagrave dellrsquoeclittica varia da 21deg55rsquo a 24deg20rsquo con un periodo di circa 40000
anni]
bull I MOTI DELLA TERRA E LA MISURA DEL TEMPO
5 In quale istante di tempo siderale la stella Castore (α=7h 33m 31s δ=+31deg55rsquo35rdquo ) egrave
alla culminazione inferiore
Soluzione Alla culminazione inferiore la stella Castore ha un angolo orario pari a 12h
Il tempo siderale ossia lrsquoangolo orario del punto gamma egrave uguale alla somma di
angolo orario e ascensione retta di una generica stella in questo caso
TS=α+H=7h 33m 31s + 12h= 19h 33m 31s
6 Se in un dato giorno una stella passa al meridiano inferiore alle 21 a quale ora
(allrsquoincirca) vi passeragrave un mese dopo
Soluzione Lrsquoora a cui si riferisce il problema egrave per esempio quella indicata da un
normale orologio quindi egrave un tempo solare medio e non siderale Siccome nel corso
di un mese la stella non cambia la sua posizione rispetto al punto gamma se il
problema avesse chiesto lrsquoora siderale della successiva culminazione inferiore la
risposta sarebbe stata comunque ldquoalle 21rdquo siccome perograve il problema si riferisce a un
tempo solare medio dobbiamo tenere conto della differenza tra giorno solare e
giorno siderale questrsquoultimo egrave piugrave corto del primo di un valore pari a circa 4 minuti
(piugrave esattamente 3min 56s) Siccome un mese contiene mediamente 30 giorni la
stella anticiperagrave la sua culminazione di circa 4min30=120min=2h e quindi culmineragrave
allrsquoincirca alle 19
7 Una cittagrave A egrave posta alla longitudine 43deg12rsquo E di GW (Greenwich) Quando in A lrsquoorologio
segna le 20h35m siderali in unrsquoaltra cittagrave B lrsquoorologio segna le 23h12m siderali Qual
egrave la longitudine di B
Soluzione La differenza dei due tempi siderali che lrsquoorologio segna in A e in B egrave uguale
alla differenza delle longitudini dei due luoghi Quindi
Bignamino di astronomia
61
∆120582 = 120549119879119878 rarr 120582119861 minus 120582119860 = 119879119878119861 minus 119879119878119860 rarr 120582119861 = 119879119878119861 minus 119879119878119860 + 120582119860(119890119904119901119903119890119904119904119886 119894119899 119900119903119890)
= 23ℎ12119898 minus 20ℎ35119898 + 2ℎ53119898 = 5ℎ30119898
= (119905119903119886119904119891119900119903119898119900 119894119899 119892119903119886119889119894) = 82deg30prime
8 Quanto tempo egrave necessario affincheacute il punto gamma passi da un segno zodiacale a un
altro
Soluzione Il punto gamma non egrave fisso nel cielo bensigrave per via di uno dei moti millenari
della Terra il moto di precessione esso si sposta di circa 50rdquo allrsquoanno lungo lrsquoEclittica
Dal momento che i segni zodiacali sono dodici in media ognuno di essi occupa un
settore lungo lrsquoEclittica pari a 36012=30deg=108000rdquo Ne discende che il tempo
necessario affincheacute il punto gamma copra questa distanza angolare risulta pari a
t=(108000rdquo50rdquo)anni=2160 anni circa
9 La Terra impiega circa 23 ore e 56 minuti a compiere una rotazione completa attorno
al proprio asse Con quale velocitagrave tangenziale si muove un punto allrsquoequatore per
effetto del moto di rotazione della Terra Quanto vale lrsquoaccelerazione centripeta che
agisce su questo punto Quale forza centripeta agisce su un corpo di massa 13 kg
allrsquoequatore
Soluzione Il problema incentrato sul moto di rotazione terrestre (il moto dei punti
della Terra attorno allrsquoasse terrestre) egrave un semplice esercizio di cinematica
Conoscendo il periodo e la lunghezza della circonferenza equatoriale (poicheacute egrave noto
che il raggio della Terra ha un valore di 6378 km) egrave possibile determinare la velocitagrave
di rotazione allrsquoequatore il moto egrave circolare uniforme
119907 =2120587119877
119879=2120587120591 ∙ 6378119896119898
2393ℎ= 1674
119896119898
ℎ
Lrsquoaccelerazione centripeta vale
119886 =1199072
119877=(1674 divide 36)2
6378000= 339 ∙ 10minus3
119898
1199042
Per la seconda legge della dinamica la forza centripeta su un corpo di massa m allora
vale
119865 = 119898119886 = 13 ∙ 339 ∙ 10minus3 = 441 ∙ 10minus3119873
bull IL CIELO VISTO DALLA TERRA E LA LUNA
10 Due stelle equatoriali hanno parallassi 0rdquo022 e 0rdquo034 esse hanno AR 12h13m e
13h12m rispettivamente Quantrsquoegrave in parsec la loro reciproca distanza
Soluzione Lrsquoangolo fra la direzione con cui si proietta in cielo la prima stella e la
direzione della seconda stella egrave pari alla differenza delle ascensioni rette le stelle
sono infatti equatoriali cioegrave hanno declinazione nulla ΔAR=13h12m-
Bignamino di astronomia
62
12h13m=(trasformando in gradi)=14deg75 La loro distanza dallrsquoosservatore egrave in
parsec pari al reciproco della parallasse
d1=(1P1)=10022=455pc d2=(1P2)=10034=294pc
Il problema chiede in sostanza di calcolare un lato di un triangolo con vertici
nellrsquoosservatore e nelle due stelle (in particolare il lato con estremi nelle due stelle)
noti lrsquoangolo opposto a tale lato e gli altri due lati possiamo quindi usare il Teorema
di Carnot (o teorema del coseno)
119909 = radic11988912 + 1198892
2 minus 211988911198892 cos(∆119860119877) = 186 119901119888
11 Sapendo che il periodo siderale di rotazione del Sole allrsquoEquatore egrave di 25 giorni
trovare il periodo di rivoluzione sinodica cioegrave quello che appare visto dalla Terra
Soluzione Prendiamo un punto sullrsquoEquatore del Sole esso si muove con un periodo
siderale (cioegrave riferito a una stella lontana) pari come indicato dalla traccia a 25
giorni Il problema egrave del tutto analogo al calcolo del tempo sinodico di un pianeta
interno visto dalla Terra noti i periodi di entrambi i corpi 1
119878=
1
119879119904119900119897119890minus
1
119879119905119890119903119903119886rarr 119878 =
119879119905119890119903119903119886119879119904119900119897119890119879119905119890119903119903119886 minus 119879119904119900119897119890
=36525 ∙ 25
36525 minus 25119889 =
913125
34025119889 = 2684119889
12 A quale distanza da uno schermo deve essere posta una sfera di raggio R affincheacute
illuminata dal Sole non generi ombra ma solo penombra (il diametro apparente del
Sole sia 32rsquo)
Soluzione Concettualmente il problema egrave equivalente alla situazione di unrsquoeclisse
lrsquordquoosservatorerdquo egrave lo schermo mentre fra esso e il Sole si frappone un ostacolo Esso
intercettando i raggi solari genera dietro di seacute un cono drsquoombra e molto piugrave ampio
di questo una zona di penombra Il cono si restringe dalla parte opposta del Sole
rispetto alla sfera Se il vertice del cono si trova sullo schermo allora nessun punto
dello schermo si troveragrave in ombra percheacute il cono non interseca lo schermo In questa
configurazione lrsquoangolo sotto cui viene vista la sfera dallo schermo egrave di 32rsquo ovvero
053deg da cui si ha 119877
119889= tan (0532) e cioegrave d=[1 tan(0265)]R=2148 R circa la sfera
devrsquoessere posta a una distanza dallo schermo maggiore di 2148 volte circa il suo
raggio
13 Il 29 marzo 2006 si egrave verificata unrsquoeclisse totale di Sole visibile dallrsquoAfrica
settentrionale e dal Mediterraneo orientale Quale fase aveva la luna il 29 marzo 2007
cioegrave esattamente un anno dopo
Bignamino di astronomia
63
Soluzione Le eclissi di Sole si verificano quando la Luna si interpone fra il Sole e la
Terra oscurando una fascia sulla superficie del nostro pianeta con il suo cono
drsquoombra pertanto la Luna rivolge a noi in questrsquooccasione la sua faccia non
illuminata dal Sole e pertanto egrave nuova Conosciamo inoltre il periodo in cui si ripetono
le fasi lunari egrave il mese sinodico la cui durata egrave pari a 295306 giorni Lrsquointervallo
considerato (un anno in cui il 2007 non egrave bisestile) egrave pari a 365 giorni Siccome
365295306=1236 ossia 12 mesi lunari e 11 giorni se ne deduce che lrsquoetagrave della Luna
al 29 marzo 2007 era di 11 giorni quindi essa era in una fase intermedia tra primo
quarto e Luna piena
bull LA GRAVITArsquo
14 Lrsquoalieno Bzzapp ha appena comprato una navicella in grado di creare nuovi pianeti
nel suo girovagare un giorno incappa nel nostro Sistema Solare decide cosigrave di creare
con la sua astronave qualche nuovo pianeta Lrsquoamico Zorzzp gli dagrave prima una regola
dicendogli che questi pianeti devono trovarsi in una fascia compresa fra 2 UA e 7
UA in piugrave il loro periodo di rivoluzione devrsquoessere pari a un numero intero di anni
Qual egrave il numero massimo di pianeti che Bzzapp potragrave creare con la sua navicella
conformemente alla regola di Zorzzp
Soluzione Per la risoluzione del problema egrave necessaria la Terza legge di Keplero
considerando che ci troviamo nel nostro Sistema Solare e che quindi la costante di
proporzionalitagrave fra cubo del semiasse maggiore e quadrato del periodo di rivoluzione
per un generico corpo orbitante attorno al Sole quando esprimiamo il semiasse in
UA e il periodo in anni risulta pari a 1
1198791 = radic11988613 = 283 119910
1198792 = radic11988623 = 1852 119910
Come possiamo vedere i periodi ldquopossibilirdquo sono
34567891011121314151617 e 18 anni Bzzapp potragrave creare ben 16 pianeti
15 Disponendo come dati noti dei soli periodi di rivoluzione dei pianeti si indichi la
lunghezza minima che deve avere un foglio di carta per poter rappresentare in scala
il Sistema Solare fino a Nettuno nellrsquoipotesi di voler rappresentare Mercurio a una
distanza dal Sole di 1 cm
Soluzione Mercurio ha un periodo di rivoluzione pari a 0241 anni mentre Nettuno
16488 anni quindi per la Terza legge di Keplero 119886119872 = radic11987911987223= 0387119880119860 119890 119886119873 =
radic11987911987323= 30069 119880119860
Con una semplice proporzione ricaviamo la lunghezza del foglio di carta
119886119872 119886119873 = 1 119909 rarr 119909 =30069
0387119888119898 asymp 777 119888119898
Bignamino di astronomia
64
16 A quale distanza dalla superficie della Terra per unrsquoastronave che viaggia verso la
Luna si annulla la risultante delle forze gravitazionali che agiscono su di essa (il
rapporto massa della Terra massa della Luna egrave pari a 8125)
Soluzione La distanza Terra-Luna egrave pari a d=384400 km Quando lrsquoastronave si trova
fra il nostro pianeta e il suo satellite le due forze di natura gravitazionale che
agiscono su di essa sono la forza di attrazione della Terra e quella della Luna agenti
nella stessa direzione ma aventi verso opposto Chiamando x la distanza che separa
la navicella dal centro della Terra possiamo esprimere in funzione di x la distanza che
separa la navicella dalla Luna essendo essa pari a d-x Eguagliamo le due forze di
attrazione gravitazionale per trovare x 119866119872119879119898
1199092=
119866119872119871119898
(119889 minus 119909)2
Operando le dovute semplificazioni (G e la massa dellrsquoastronave) e dividendo
119909
119889 minus 119909= radic
119872119879
119872119871= radic8125 = 901
119909 =901119889
1001= 090 lowast 384400119896119898 = 346013119896119898
Il problema viene considerato parzialmente corretto se ci si ferma a questo punto
percheacute esso chiede la distanza dalla superficie terrestre mentre x egrave misurata dal
centro della Terra pertanto la soluzione corretta egrave D=x-R=(346013-
6378)km=339635km
17 Osservando la stella Canopo con un telescopio potentissimo lrsquoastronomo Qwzzz ha
scoperto due pianeti orbitanti attorno a essa le cui orbite sono esattamente
perpendicolari alla nostra linea di vista La distanza massima del primo pianeta da
Canopo egrave uguale a 47 volte la sua distanza minima e il suo periodo di rivoluzione egrave
pari a 27 anni Il secondo pianeta avente eccentricitagrave pari a 0324 al periapside egrave 3
volte piugrave lontano rispetto al primo (quando questrsquoultimo si trova nella corrispondente
posizione) Quanto vale lrsquoeccentricitagrave del primo pianeta e il periodo di rivoluzione del
secondo
Soluzione Chiamiamo 1 il primo pianeta e 2 il secondo
11988911988611198891199011
= 47 =1198861(1 + 1198901)
1198861(1 minus 1198901)rarr1 + 11989011 minus 1198901
= 47 rarr 1198901 = 0649
1198891199012
1198891199011=1198862(1 minus 1198902)
1198861(1 minus 1198901)= 3 rarr
11988621198861=(1 minus 1198901)1198891199012
1198891199011(1 minus 1198902)= 3 (
1 minus 0649
1 minus 0324) = 1558
Per la Terza legge di Keplero
11987922 = (
11988621198861)3
11987912 rarr 1198792 = 27 119910radic15583 = 524 119910
Bignamino di astronomia
65
bull TERZA LEGGE DI KEPLERO 1 Calcolare il semiasse maggiore dellrsquoorbita di Giove in kilometri sapendo che il suo periodo
di rivoluzione egrave 119879119866 = 37411 ∙ 106 119904
Soluzione
119879119866(119886119899119899119894) =119879119866(119904119890119888119900119899119889119894)
(119904119890119888119900119899119889119894 119894119899 119906119899 119886119899119899119900)=
37411 ∙ 106 119904
3600 ∙ 24 ∙ 365 ∙119904
119886119899119899119900
= 11863 119886119899119899119894
Impostando la terza legge di Keplero e imponendo che 119870 =1 1198861198991198991199002
1 1198801198603
1198792
1198863= 119870 =gt 119886119866(119880 119860 ) = radic[119879119866(119886119899119899119894)]2
3= radic(11863 119886119899119899119894)2
3= 52 119880 119860 =
= 77792 ∙ 106 119896119898
2 Calcolare il periodo di rivoluzione di Marte in giorni sapendo che il suo semiasse maggiore
misura 119886119872 = 2279 ∙ 109 119898
Soluzione
119886119872(119880 119860 ) =119886119872(119898)
1496 ∙ 109 ∙119898119880 119860
=2279 ∙ 109 119898
1496 ∙ 109 ∙119898119880 119860
= 152 119880 119860
Impostando la terza legge di Keplero e imponendo che 119870 =1 1198861198991198991199002
1 1198801198603
1198792
1198863= 119870 =gt 119879119872(119886119899119899119894) = radic[119886119872(119880 119860 )]3 = radic(152 119880 119860 )3 = 187 119886119899119899119894 = 684 119892119894119900119903119899119894
3 Approssimando lrsquoorbita di Venere a una circonferenza calcolare la velocitagrave media v del
pianeta intorno al Sole sapendo che il suo periodo di rivoluzione egrave 119879119881 = 1941 ∙ 106 119904
Soluzione
119879119881(119886119899119899119894) =119879119881(119904119890119888119900119899119889119894)
(119904119890119888119900119899119889119894 119894119899 119906119899 119886119899119899119900)=
1941 ∙ 106 119904
3600 ∙ 24 ∙ 365 ∙119904
119886119899119899119900
= 061 119886119899119899119894
Impostando la terza legge di Keplero e imponendo che 119870 =1 1198861198991198991199002
1 1198801198603
1198792
1198863= 119870 =gt 119886119881(119880 119860 ) = radic[119879119881(119886119899119899119894)]2
3= radic(061 119886119899119899119894)2
3= 072 119880 119860 = 1076 ∙ 106 119896119898
119907 =2120587119886119881119879119881
=2120587 ∙ 1076 ∙ 106 119896119898
1941 ∙ 106 119904= 3483
119896119898
119904
Bignamino di astronomia
66
Risoluzione del sistema per il calcolo delle velocitagrave su orbite non circolari
119907119886119889119886 = 1199071199011198891199011
2119898119907119886
2 minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
1198891198861
2119898119907119886
2 minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
11988911988612119898119907119901
21198891199012
1198891198862
minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886121199071199012119889119901
2
1198891198862
minus1
21199071199012 =
119866119872
119889119886minus119866119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
1198891198861
21199071199012 (1198891199012
1198891198862minus 1) = 119866119872(
1
119889119886minus1
119889119901)
119907119886 =
119907119901119889119901
1198891198861
21199071199012 (1198891199012 minus 119889119886
2
1198891198862
) = 119866119872(119889119901 minus 119889119886
119889119886119889119901)
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886
1199071199012 = 2119866119872 (
119889119901 minus 119889119886
119889119886119889119901)(
1198891198862
1198891199012 minus 119889119886
2)
Bignamino di astronomia
67
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886
1199071199012 = 2119866119872 (
119889119901 minus 119889119886
119889119886119889119901) [
1198891198862
(119889119901 + 119889119886)(119889119901 minus 119889119886)]
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886
119959119953 = radic120784119918119924119941119938
119941119953(119941119953 + 119941119938)
Sostituendo la formula appena trovata nella prima equazione si ottiene
119959119938 = radic120784119918119924119941119953
119941119938(119941119953 + 119941119938)
Possiamo scrivere le due velocitagrave anche in funzione (cioegrave in dipendenza) del semiasse maggiore e
dellrsquoeccentricitagrave dellrsquoorbita Se chiamiamo il semiasse maggiore dellrsquoorbita ellittica a valgono le
seguenti relazioni
119889119886 = 119886(1 + 119890) 119889119901 = 119886(1 minus 119890)
Quindi
119907119901 = radic2119866119872119886(1 + 119890)
119886(1 minus 119890)[119886(1 minus 119890) + 119886(1 + 119890)]= radic2119866119872
1 + 119890
(1 minus 119890)[119886(1 minus 119890 + 1 + 119890)]
= radic2119866119872
2119886(1 + 119890
1 minus 119890) = radic
119918119924
119938(120783 + 119942
120783 minus 119942)
Sostituendo anche nel caso di 119881119886
119907119886 = radic119918119924
119938(120783 minus 119942
120783 + 119942)
Si ricorda inoltre che
119938 =119941119938 + 119941119953
120784 119942 =
119941119938 minus 119941119953
119941119938 + 119941119953
Bignamino di astronomia
68
ESERCIZIO
Un pianeta sta cadendo sulla sua stella seguendo una traiettoria rettilinea se si conosce
lrsquoaltezza di caduta h si determini il tempo di caduta t
Per risolvere questo problema si potrebbe erroneamente pensare di applicare le leggi del moto
rettilineo uniformemente accelerato (come nel caso di una penna che cade dalla scrivania)
Consideriamo perograve un corpo (di massa m) che si trova a una certa altezza dal suolo la sua forza peso
equivale alla forza di attrazione gravitazionale tra il corpo e il pianeta (di raggio R e massa M) su cui
si trova
119898119892 =119898119872119866
(119877 + ℎ)2 119888119894119900egrave 119892 =
119866119872
(119877 + ℎ)2
Come possiamo vedere lrsquoaccelerazione di gravitagrave g non si mantiene costante al variare dellrsquoaltezza
ma varia noi la assumiamo costante al suolo e pari a circa 981 ms^2 solo percheacute in quel caso Δhasymp0
Quindi non possiamo applicare le leggi del moto rettilineo uniformemente accelerato a questo
problema Come risolverlo allora
Allrsquoinizio di questi appunti abbiamo evidenziato che lrsquoeccentricitagrave di unrsquoellisse indica quanto lrsquoellisse
egrave ldquoschiacciatardquo se dunque lrsquoeccentricitagrave tende a 1 la traiettoria tende a un segmento
Quindi possiamo assumere che il pianeta cada seguendo unrsquoorbita ellittica con eccentricitagrave prossima
a 1 e dunque semiasse maggiore a pari a h2 (vedi figura)
Se conosciamo la massa M della stella possiamo applicare la III legge di Keplero generalizzata
1198792
1198863=41205872
119866119872 rarr 119879 = radic
41205872
1198661198721198863 rarr 119879 = radic
41205872
119866119872(ℎ
2)3
rarr 119879 = radic1205872
2119866119872ℎ3
Naturalmente questo egrave il periodo completo dellrsquoorbita Il periodo di caduta egrave la metagrave
119905 =119879
2
a a
h
Bignamino di astronomia
69
Problemi 1 Coordinate celesti e tempo
Ci troviamo in un luogo di latitudine 120593 = 42deg 30prime15primeprime 119873 e longitudine 120582 = 15deg 28prime18primeprime119864
Osserviamo una stella di ascensione retta 5h 32 min 3 sec e declinazione -00deg 15rsquo 20rdquo che
passa al meridiano alle 2030 del 14012020 A quale altezza culminava Quale era la sua
distanza zenitale In quale data dallo stesso luogo e allo stesso orario si egrave potuto vederla
sorgere ad est
Soluzione
Lrsquoaltezza massima di una stella (quando culmina) egrave data dalla relazione
ℎ = 90deg minus 120593 + 120575
Quindi
ℎ = 90deg minus 42deg30prime15 minus 0deg 15 20= 47deg 14 25
La distanza zenitale egrave invece data da 119911 = 90deg minus 120593 = 90deg minus 47deg 14prime25primeprime = 42deg 45prime35primeprime
Un dato importante per poter rispondere alla terza richiesta egrave sapere che le stelle
ldquoanticipanordquo il loro sorgere di 3 119898119894119899 56 119904119890119888119892119894119900119903119899119900
Quindi per sapere quanti giorni prima la stella sorgeva ad est (m)
119898 =120572
Δ119905=
(5ℎ32min3sec)
3119898119894119899 56sec119892119894119900119903119899119900= 84 119892119894119900119903119899119894
84 giorni prima del 14012020 era il 21102019
2 Coordinate e tempo
Il tempo siderale di un luogo (120593 = 28deg 30prime45primeprime119878 120582 = 90deg 23prime50primeprime119882 ) egrave di 9h 3min 45sec
Quale egrave il tempo siderale di GW
Soluzione Il primo passaggio da fare egrave trasformare la longitudine del luogo da gradi in ore
Quindi
15deg 1ℎ = 90deg 23prime50primeprime 120582
120582 = 90deg 23prime50primeprime ∙1ℎ
15deg = 6ℎ 1min3533119904119890119888
Il tempo siderale del luogo egrave legato a quello di GW dalla seguente relazione
119879119904 = 119879119866119908 + 120582
Quindi 119879119866119908 = 119879119904 minus 120582 = 9ℎ3min 45119904119890119888 minus (minus 6ℎ1min 3533sec ) = 9ℎ3min 45119904119890119888 +
6ℎ1min 3533sec = 15ℎ 5min 20119904119890119888
Bignamino di astronomia
70
PROBLEMI E QUESITI SULLA MISURA DEL TEMPO
Problema 1 In un dato luogo a che ora di tempo siderale culmina il Sole medio in un dato giorno
sapendo che sedici giorni prima esso culminava alle 15h 12m 48s di tempo siderale
Se ci troviamo a Belo Horizonte (longitudine λ=43deg56rsquo16rdquo W) al mezzogiorno vero e lrsquoequazione del
tempo per quel giorno egrave pari a ET=-8m7s che ora segna lrsquoorologio dellrsquoosservatore
Soluzione problema 1 La prima richiesta del problema si risolve tenendo conto che giorno solare
medio e giorno siderale hanno diversa durata infatti il giorno siderale egrave piugrave corto del giorno solare
medio di circa 3m56s Pertanto se in un dato giorno il punto gamma e il Sole medio hanno raggiunto
la culminazione nel medesimo istante il giorno successivo il Sole medio culmineragrave 3m56s dopo il
punto gamma Quindi il Sole accumuleragrave un ritardo pari a 163m56s=1h2m56s che andragrave sommato
allrsquoora siderale data dal problema TS=15h 12m 48s + 1h 2m 56s= 16h 15m 44s
Se a Belo Horizonte egrave mezzogiorno vero vuol dire che sono le 12h di tempo solare vero Lrsquoequazione
del tempo egrave la differenza fra tempo solare medio e tempo solare vero quindi
TSM-TSV=ET TSM=TSV+ET=12h ndash 8m 7s= 11h 51m 53s lrsquoorologio dellrsquoosservatore egrave perograve in
accordo col tempo del meridiano centrale del fuso di Belo Horizonte che ha longitudine 3h W
mentre Belo Horizonte ha longitudine 2h 55m 45s W essa egrave quindi piugrave avanti di 3h-2h 55m 45s=4m
15s lrsquoorologio segneragrave quindi le ore 11h 51m 53s ndash 4m 15s= 11h 47m 38s
Problema 2 A Bergamo (λ= 9deg 40rsquo 12rdquo E) i raggi del Sole in un dato momento si proiettano
esattamente sulla linea della meridiana di Cittagrave Alta In quel dato giorno lrsquoequazione del tempo egrave
+5m 12s se il tempo siderale a mezzanotte di quel giorno a Greenwich risultava pari a 3h 21m 20s
qual egrave il tempo siderale a Greenwich nellrsquoistante del problema
Soluzione problema 2 La longitudine di Bergamo espressa in ore minuti e secondi egrave 38m 41s E Se
il disco luminoso si proietta sulla linea meridiana egrave mezzogiorno vero quindi il tempo solare medio
saragrave pari a TSM= TSV + ET= 12h + 5m 12s= 12h 5m 12s Greenwich si trova 38m 41s a ovest di
Bergamo quindi egrave anche 38m 41s indietro a Greenwich sono quindi le 12h 5m 12s ndash 38m 41s= 11h
26m 31s Sono passate quindi 11h 26m 31s dalla mezzanotte per convertire questo tempo medio
in tempo siderale moltiplichiamo per il fattore di conversione 3662536525
ΔTS (Greenwich)= (3662536525)(114419444 h)= 114732394h = 11h 28m 24s Quindi a
Greenwich sono le 3h 21m 20s + 11h 28m 24s= 14h 49m 44s di tempo siderale
Quesito Si valuti argomentando opportunamente come varia lrsquoEquazione del Tempo nel corso
dellrsquoanno solare se in un piano cartesiano in ascissa indichiamo lrsquoET e in ordinata la declinazione del
Sole che curva si ottiene
Risposta Lrsquoequazione del tempo si annulla quattro volte lrsquoanno a metagrave aprile a metagrave giugno verso
Natale e ai primi di settembre il sole medio e il sole vero culminano contemporaneamente (1) Da
Natale a metagrave aprile il sole medio anticipa il sole vero (2) da metagrave aprile a metagrave giugno il sole vero
anticipa il sole medio da metagrave giugno a inizio settembre come (1) e da inizio settembre a Natale
come (2) Oltre a ldquooscillare in orizzontalerdquo in un anno il sole ldquooscilla in verticalerdquo nel senso che
Bignamino di astronomia
71
assume declinazioni da 23deg27rsquo a -23deg27rsquo La curva che si ottiene egrave quindi una sorta di ldquo8rdquo chiamata
analemma essa egrave anche la curva che egrave formata dalle posizioni in cielo del sole vero registrate a
mezzogiorno medio locale ogni giorno dellrsquoanno
Figura 1 Analemma decET
Figura 2 Analemma visualizzato nel cielo di Atene
Problema 3 Una stella di ascensione retta AR=11h 12m 13s culmina in un dato luogo della Terra alle
ore 13h 04m 02s di tempo medio Considerando che a Greenwich culmina una stella con ascensione
retta 8h 11m 58s dire che orario segna lrsquoorologio dellrsquoosservatore in quel dato luogo della Terra
Soluzione Il tempo siderale in un dato luogo egrave uguale allrsquoascensione retta delle stelle che si trovano
a culminare al meridiano superiore Quindi in questo luogo della Terra il tempo siderale egrave pari a 11h
12m 13s a Greenwich il tempo siderale egrave pari a 8h 11m 58s Notiamo come il luogo dove si trova
lrsquoosservatore ha longitudine est infatti egrave piugrave avanti di Greenwich di circa 3 ore quindi egrave piugrave a Est di
Greenwich La differenza fra lrsquoora siderale dellrsquoosservatore e quella a Greenwich dagrave la longitudine
del luogo (differenza fra longitudine del luogo e longitudine di Greenwich che egrave 0 percheacute il suo
meridiano egrave origine delle longitudini)
λ= TSrsquo-TS(GW)= 11h 12m 13s ndash 8h 11m 58s= 3h 0m 15s E Questo luogo segue il meridiano che ha
longitudine 3h E quindi egrave in anticipo rispetto a esso di appena 15s pertanto il suo orologio segneragrave
le ore 13h 04m 02s ndash 15s= 13h 03m 47s
Bignamino di astronomia
72
bull STELLE E MAGNITUDINI SISTEMI STELLARI ESTESI
1 Pochi giorni fa si egrave registrato un nuovo oggetto che si comporta apparentemente
come una binaria a eclisse Tuttavia il periodo non egrave stabile la magnitudine
dellrsquooggetto egrave in genere pari a 2432 ma ogni 7-11 secondi sale a 2452 per 02-03
secondi Dopo unrsquoaccurata analisi del problema si egrave capito che lrsquooggetto splendente egrave
costituito dagli occhi di un gruppo di gatti assolutamente neri seduti su un piccolo
corpo del sistema solare nero e con gli sguardi rivolti verso il sole Uno dei gatti batte
ogni tanto le palpebre Quanti gatti ci sono
Soluzione Sia N il numero di occhi la cui determinazione egrave richiesta dal problema
Quando il gatto nero del problema chiude gli occhi il numero di occhi che
contribuisce alla magnitudine complessiva scende di due unitagrave (N-2) Se
consideriamo che gli occhi dei gatti sono tutti gli stessi ciascuno di essi ci invia un
flusso pari a F Avendo entrambe le magnitudini corrispondenti alla situazione ldquotutti
gli N occhi apertirdquo (2432) e ldquoN-2 occhi apertirdquo (2452) possiamo scrivere la formula
di Pogson tenendo conto dei flussi complessivi
119898119898119894119899 minus119898119898119886119909 = minus25119897119900119892 [119865 lowast (119873 minus 2)
119865 lowast 119873]
119873 minus 2
119873= 10
119898119898119886119909minus11989811989811989411989925 = 10minus008 = 0832 rarr 119873 =
2
0168asymp 12 119900119888119888ℎ119894 ossia 6 119892119886119905119905119894
2 La galassia di Andromeda ha una magnitudine apparente integrata mv = 440 e appare in cielo come unrsquoellisse i cui semiassi hanno dimensioni angolari di circa 190 arcmin e 60 arcmin Sapendo che la sua distanza egrave di circa 254 milioni di anni luce calcolare la magnitudine assoluta e la magnitudine apparente superficiale media della galassia (Gara Interregionale Categoria Senior 2018)
Soluzione La distanza della galassia di Andromeda in pc egrave 119889(119901119888) =254 10^63262= 77810^3 119901119888 La magnitudine assoluta egrave data dalla relazione 119872119907 = 119898119907 + 5 minus 5 log 119889(119901119888) = -201 Per calcolare la magnitudine apparente superficiale dobbiamo calcolare lrsquoarea apparente della galassia A = π a b = 120587 190 ∙ 60 = 358 ∙ 103 1198861199031198881198981198941198992 cong 129 ∙ 106 119886119903119888119904119890119888^2 La magnitudine apparente superficiale (msup) si ottiene dalla relazione 119898119904119906119901 = 119898119907 +25 log 119860 cong 158119898119886119892119886119903119888119898119894119899^2 cong 247119898119886119892119886119903119888119904119890119888^2 3 Si consideri una stella variabile ldquopulsanterdquo la cui magnitudine assoluta varia
nellrsquointervallo M1= 325 e M2= 226 con una temperatura effettiva che al massimo di luminositagrave egrave T2= 5500 K e al minimo di luminositagrave egrave T1 = 5000 K Calcolare quanto varia il raggio della stella tra il minimo e il massimo di luminositagrave Esprimere il
Bignamino di astronomia
73
risultato come rapporto tra raggio massimo e raggio minimo e come differenza tra i due raggi in km (Gara Interregionale Categoria Senior 2017)
Soluzione La luminositagrave di una stella egrave definita dalla relazione 119871=4 120587 119877^2 120590 119879^4 Per ricavare il rapporto tra i raggi al massimo e minimo di luminositagrave utilizziamo la formula di Pogson 1198722minus 1198721= minus 25log(11987121198711)=minus 25log[4120587(1198772)^2 120590 (1198792)^4][4120587(1198771)^2 120590 (1198791)^4]= -
25log[(11987721198771)^2 (11987921198791)^4] e quindi 0396 = log[(11987721198771)^2 (11987921198791)^4] =119897119900119892 [(11987721198771)^2 1464] da cui 0396=2log(11987721198771)+log1464 ovvero 0115= 119897119900119892 (11987721198771) e infine (119929120784119929120783)=120783120785120782 Per ottenere la differenza in km calcoliamo il raggio della stella al massimo di luminositagrave confrontando i suoi dati con una stella di caratteristiche note il Sole Avremo quindi 1198722minus 119872s=minus 25log[(1198772119877s)^2 (1198792119879s)^4] e quindi 103 = 2 log R2 ndash 2 log Rs + 4 log 09519
da cui si ricava 1198772=2513 ∙ 10^3 119896119898cong361 119877s e 1198771=1933 ∙ 10^3 119896119898cong278 119877s la variazione del raggio in km vale quindi ΔR = 580 ∙ 103 km
4 La supergigante rossa Betelgeuse ha una magnitudine apparente m1=+042 e
una parallasse π1=0005rdquo mentre la supergigante blu Rigel ha una magnitudine
apparente m2=+013 e una parallasse π2=0004rdquo Quale delle due stelle egrave
intrinsecamente piugrave luminosa Qual egrave la piugrave lontana (Gara interregionale Categoria Senior 2015) Soluzione Affincheacute si possa determinare quale delle due stelle sia piugrave luminosa intrinsecamente egrave necessario ricorrere al calcolo delle magnitudini assolute delle due stelle possiamo calcolare la magnitudine assoluta di una stella conoscendo la magnitudine apparente della stessa e la sua parallasse tramite la relazione
119872 = 119898 + 5 + 5119897119900119892120587 119900119907119890 119897119886 119901119886119903119886119897119897119886119904119904119890 egrave 119890119904119901119903119890119904119904119886 119894119899 119886119903119888119900119904119890119888119900119899119889119894 Nel caso nostro
1198721 = 1198981 + 5 + 51198971199001198921205871 = +042 + 5 + 51198971199001198920005 = minus608 (119861119890119905119890119897119892119890119906119904119890)
1198722 = 1198982 + 5 + 51198971199001198921205872 = +013 + 5 + 51198971199001198920004 = minus687 (119877119894119892119890119897)
Essendo la magnitudine assoluta di Rigel minore di quella di Betelgeuse allora Rigel egrave intrinsecamente piugrave luminosa di Betelgeuse Possiamo giagrave da questo risultato comprendere quale stella sia piugrave distante delle due infatti Rigel egrave sia apparentemente sia assolutamente piugrave luminosa di Betelgeuse quindi egrave necessario che essa sia piugrave distante di Betelgeuse affincheacute ciograve si verifichi A riprova di ciograve la parallasse di Rigel egrave minore di quella di Betelgeuse essendo essa piugrave lontana La distanza di Rigel in parsec egrave 1π2=250 pc mentre quella di Betelgeuse egrave 1π1=200 pc
da cui d2gtd1
Bignamino di astronomia
74
bull COSMOLOGIA ELEMENTARE
5 Un team di scienziati osserva una nuova galassia e ne analizza lo spettro la riga H-alfa
dellrsquoidrogeno che ha in laboratorio una lunghezza drsquoonda pari a 656281 Aring ha nello spettro della galassia una lunghezza drsquoonda di 656933 Aring Si determini la distanza della galassia Soluzione per prima cosa calcoliamo il redshift della galassia
119911 =∆120582
120582=120582119900119904119904 minus 120582119897119886119887
120582119897119886119887=656933 minus 656281
656281= 9935 lowast 10minus4
Applichiamo la legge di Hubble-Lemaitre
119888119911 = 1198670119889 rarr 119889 =119888119911
1198670= 299792458
119896119898
119904lowast 9935 lowast
10minus4
719= 414 119872119901119888
6 Osservando lrsquoesplosione di una supernova in una lontana galassia due scienziati notano che la riga H-beta dellrsquoidrogeno osservata nello spettro ha esattamente la stessa lunghezza drsquoonda della riga H-alfa osservata in laboratorio Tuttavia i due scienziati usano valori diversi per la costante di Hubble Usando valori che differiscono di ΔH=H2-H1=14 kmsMpc ottengono valori diversi per la magnitudine assoluta della supernova al massimo M1=-1902 e M2=-1864 Trovare quanto valgono per ciascuno dei due scienziati il redshift e la distanza della galassia (XXIII International Astronomy Olympiad ndash Colombo Sri Lanka Theoretical Round Group β Exercise 1) Soluzione Il redshift misurato dai due scienziati egrave lo stesso per entrambi esso infatti dipende dalle lunghezze drsquoonda osservate che secondo quanto affermato nella traccia sono le stesse per entrambi gli scienziati La lunghezza drsquoonda della riga H-alfa egrave pari a 6563 Aring mentre la lunghezza drsquoonda della riga H-beta egrave pari a 4861 Aring Il redshift per definizione egrave dunque pari a
119911 =120582119867minus119886119897119891119886minus120582119867minus119887119890119905119886
120582119867minus119887119890119905119886= 035
Conoscendo la relazione nota come ldquomodulo di distanzardquo (relazione fra mag Apparente e mag Assoluta) possiamo scrivere
1198721 = 1198981 + 5 minus 51198971199001198921198891 1198722 = 1198982 + 5 minus 51198971199001198921198892
Ma le due magnitudini apparenti dellrsquooggetto debbono necessariamente coincidere dal momento che esse sono dati puramente osservativi (non derivano cioegrave da elaborazioni di dati precedenti) possiamo quindi sottrarre membro a membro le due relazioni precedenti semplificando le due magnitudini apparenti
1198721 minus1198722 = 5119897119900119892 (11988921198891) rarr
11988921198891= 10
1198721minus11987225 = 0839
Possiamo scrivere il seguente sistema
1198892 = 08391198891H2 minus H1 = 14
119888119911
1198672= 0839
119888119911
1198671H2 minus H1 = 14
1198672 = 11911986711198672 minus 1198671 = 14
1198671 =
7368119896119898119904
119872119901119888
1198672 =8768
119896119898119904
119872119901119888
Bignamino di astronomia
75
Da cui finalmente d1=czH1=2997924580357668=13684 Mpc dz=czH2=2997924580538768=11967 Mpc
bull MISCELLANEA
1 Una galassia egrave composta da stelle tutte simili al nostro Sole Essa mostra uno
spostamento verso il rosso della riga Hα (λ=656281 Aring) di ampiezza pari a Δλ= 15 Aring
Essa risulta inclinata rispetto alla perpendicolare alla linea di vista di un angolo di 30deg
e si sa che il suo raggio egrave pari a 37000 anni luce Nel cielo appare come un oggetto di
magnitudine superficiale msup= 2478 magarcsec2
Quanto vale la massa della galassia
Soluzione Ci viene fornita dalla traccia la magnitudine superficiale della galassia vista
dalla Terra essa indica la magnitudine di una ldquoporzionerdquo della galassia di superficie
pari a 1 arcsec2 Di conseguenza la magnitudine complessiva della galassia devrsquoessere
legata alla sua superficie angolare allora dobbiamo conoscere le dimensioni angolari
della galassia abbiamo le dimensioni angolari quindi dobbiamo ricavare la distanza
della galassia
Calcoliamo per prima cosa il redshift z
119911 =∆120582
120582=
15
656281= 229 ∙ 10minus4
Con la legge di Hubble-Lemaitre ricaviamo la distanza
119888119911 = 1198670119889 119889 =119888119911
119867119900=300 ∙ 105 ∙ 229 ∙ 10minus4
719119872119901119888 = 0954 119872119901119888
= 311 ∙ 106119886119899119899119894 119897119906119888119890
Adesso possiamo determinare le dimensioni apparenti della galassia percheacute ne
conosciamo la distanza nel cielo essa ci appare come unrsquoellisse il cui semiasse
maggiore vale
119886 = arctan (119877
119889) = arctan (
37000
311 ∙ 106) = 0682deg = 24538 119886119903119888119904119890119888
Essendo il coseno di 30deg uguale a radic3
2 il semiasse minore varragrave
119887 = arctan(119877radic3
2119889) = arctan (
37000 ∙ 173
2 ∙ 311 ∙ 106) = 0590deg = 21226 119886119903119888119904119890119888
Calcoliamo la superficie di questa ellisse
119878 = 120587119886119887 = 120587 ∙ 24538 ∙ 21226 arcsec2 = 163 ∙ 107 arcsec2
Bignamino di astronomia
76
A questo punto ricaviamo la magnitudine integrata apparente
m=msup-25log(119878) 119898 = 2478 minus 25 log(163 ∙ 107) = 675
Abbiamo la distanza troviamo la magnitudine assoluta
M=m+5-5logd=675+5-5log(0954 106)=-1815
A questo punto troviamo il numero di ldquosolirdquo contenuti nella galassia grazie alla
relazione che ci permette di ricavare la magnitudine integrata di un oggetto (nel caso
sia composto da componenti uguali)
119872 = minus25 log(119873 lowast 10minus04119872119904) 119873 = 10minus04(119872minus119872119878) = 10minus04(minus1815minus483)
= 156 ∙ 109119904119905119890119897119897119890 119888119900119898119890 119894119897 119904119900119897119890
Possiamo finalmente trovare la massa della galassia
119872119892 = 156 ∙ 109 ∙ 199 ∙ 1030119896119892 = 310 ∙ 1039119896119892
2 Una stella di raggio R=705000 km presenta un picco drsquoemissione alla lunghezza
drsquoonda di 542 nm Se essa egrave costituita interamente da idrogeno si determini quanti
atomi di idrogeno hanno reagito in un secondo nel nucleo della stella nella reazione
di fusione termonucleare che produce elio
Soluzione Dobbiamo innanzitutto determinare la luminositagrave della stella che dipende
dal quadrato del raggio e dalla quarta potenza della temperatura disponiamo del
raggio ma dobbiamo ricavare la temperatura notiamo come il problema fornisca la
lunghezza drsquoonda del picco drsquoemissione che egrave inversamente proporzionale alla
temperatura efficace secondo la Legge di Wien
120582 ∙ 119879119890119891119891 = 2898 119898119898 119870 119879119890119891119891 =2898 119898119898 119870
542 ∙10minus6119898119898= 5347 119870
Adesso possiamo determinare la luminositagrave della stella (Legge di Stefan-Boltzmann)
119871 = 41205871198772120590(119879119890119891119891)4= 4120587 (705 ∙ 108)2 567 ∙ 10minus8 (5347)4 119882 = 289 ∙ 1026119882
Questa egrave lrsquoenergia che la stella irradia in un secondo ma da dove deriva Nel nucleo
quattro protoni si fondono per formare un nucleo di elio il nucleo di elio che si forma
perograve non ha la stessa massa dei quattro protoni bensigrave ha una massa lievemente
minore La massa mancante (il difetto di massa) si egrave trasformata in energia secondo
la famosa relazione di Einstein
119864 = 1198981198882
Se E=L m saragrave uguale al difetto di massa complessivo per unitagrave di tempo
119898 =119871
1198882=289 ∙ 1026119882
9 ∙ 10161198982
1199042 = 321 ∙
109119896119892
119904
Essendo la massa di un nucleo di elio-4 pari a 6645 10-27kg mentre la massa del
protone pari a 167310-27kg si ha che la massa di 4 protoni egrave 669210-27kg e quindi
il difetto di massa per ogni reazione egrave Δm= 004710-27 kg Dividendo questo valore
Bignamino di astronomia
77
per quello trovato sopra otteniamo il numero di reazioni che avvengono in un
secondo nel nucleo della stella
119873 =119898
∆119898=
321 ∙ 109
0047 ∙ 10minus27119903119890119886119911 = 683 ∙ 1037119903119890119886119911
A ogni reazione corrispondono quattro atomi di idrogeno quindi per trovare la
soluzione ci basta moltiplicare questo valore per 4
119873119905119900119905 = 4119873 = 273 ∙ 1038119886119905119900119898119894()
3 Che dimensioni dovrebbe avere una sfera metallica perfettamente riflettente per
essere visibile come un astro da Terra ad occhio nudo quando essa si trova in
opposizione al Sole (Questa sfera egrave posta in orbita circolare attorno alla Terra con
un periodo T=2766 ore)
Soluzione Innanzitutto ci serve conoscere il raggio orbitale della sfera perciograve
applichiamo la Terza Legge di Keplero generalizzata
1198792
1198863=41205872
119866119872 119886 = radic
1198661198721198792
41205872
3
= radic667 ∙ 10minus11 ∙ 597 ∙ 1024 ∙ 992 ∙ 107
4(314)23
= 10005119896119898
Sia Fs il flusso solare esso investe la sfera e la quantitagrave di energia intercettata in un
secondo (Lint) egrave direttamente proporzionale alla sezione della sfera
119871119894119899119905 = 119865119904 ∙ 1205871198772
La luce viene interamente riflessa quindi
119871119903119894119891 = 119871119894119899119905 = 119865119904 ∙ 1205871198772
Questa luminositagrave viene riflessa in tutte le direzioni quindi tutti i punti che si trovano
alla medesima distanza dalla sfera riceveranno lo stesso flusso pari a
119865 =119865119904 ∙ 120587119877
2
41205871198892=119865119904 ∙ 119877
2
41198892
In particolare per una localitagrave posta sulla Terra
119865 =119865119904 ∙ 119877
2
4(119886 minus 119877119879)2=
119865119904 ∙ 1198772
4(107 minus 6378 ∙ 106)2= 1906 ∙ 10minus14119865119904 119877
2
Applichiamo la formula di Pogson comparando la sfera col Sole e tenendo presente
che la magnitudine della sfera devrsquoessere uguale a 6 (lrsquooggetto egrave appena visibile ad
occhio nudo)
119898minus119898119904 = minus25 log (119865
119865119904) rarr 6 + 2674 = minus25 log(1906 ∙ 10minus141198772)
1906 ∙ 10minus141198772 = 10minus131 rarr 119877 = radic10minus131
1906 ∙ 10minus14119898 = 204 119898
Pertanto la sfera deve avere un diametro di 408 metri
Bignamino di astronomia
78
[NB Nello svolgimento del problema si egrave usato lo stesso valore del flusso solare per la Terra e per la
sfera in realtagrave ciograve egrave unrsquoapprossimazione percheacute le distanze Terra-Sole e Sole-sfera sono diverse
Essendo perograve il semiasse dellrsquoorbita della sfera trascurabile rispetto al semiasse della Terra allora i due
flussi sono assai simili]
4 Egrave stato osservato un quasar doppio che si trova a grandissima distanza dalla Terra La
particolaritagrave di questo quasar egrave il moto di allontanamento delle due componenti Q1
e Q2 In particolare Q1 si allontana da Q2 spostandosi come riportato in figura dal
punto A al punto B con velocitagrave relativistica ldquovrdquo pari al 75 della velocitagrave della luce
Calcolare lrsquointervallo di tempo Δt impiegato dal componente Q1 a raggiungere il
punto B e il corrispondente intervallo di tempo Δtrsquo misurato dagli astronomi sulla
Terra (che giace sullo stesso piano della figura) Sulla base del risultato ottenuto di
fronte a quale sconvolgente conclusione si sono trovati gli astronomi prima di
riuscire a spiegare correttamente il fenomeno (Dalla Finale Nazionale 2015
Categoria Junior)
Soluzione Il tratto AB egrave lrsquoipotenusa del triangolo rettangolo ABArsquo (vedi figura) quindi
esso vale (Teorema di Pitagora)
119860119861 = radic119860119860prime2 + 119860prime1198612 = radic9 + 16 = 5119886 119897
Esso viene quindi percorso nel tempo ∆119905 =119860119861
119907=
5119886119897
075119888= 667 119886119899119899119894 Notiamo come non ci
sia bisogno di conoscere il valore della velocitagrave della luce percheacute le distanze sono espresse
in anni luce
Adesso analizziamo il fenomeno come viene visto dalla Terra Quando Q1 si trova in A la luce
da esso emessa impiega per giungere in Arsquo un tempo pari a 4119886119897
119888= 4 119886119899119899119894 Nel frattempo
Q1 si sposta e per arrivare in B impiega 667 anni La luce che emette in B non deve piugrave
attraversare una distanza di 4 al quindi i due segnali luminosi arrivano a una ldquodistanzardquo
temporale ∆119905prime = (667 minus 4)119886119899119899119894 = 267 119886119899119899119894
Il risultato sconvolgente egrave che siccome agli astronomi da Terra egrave sembrato che Q1 si
spostasse lungo ArsquoB la sua velocitagrave misurata da Terra risulta pari a
119907 =119860prime119861
267119886119899119899119894=
3119886 119897
267119886119899119899119894= 1125119888
Bignamino di astronomia
79
Apparentemente il quasar si egrave spostato con una velocitagrave superiore a quella della luce Non egrave
infatti raro osservare dei moti superluminali (cioegrave con velocitagrave superiore a quella della luce)
in oggetti che si muovono con velocitagrave relativistiche questa velocitagrave egrave tuttavia sempre
apparente
5 Se una stella presenta un redshift z pari a 555 10-5 quale saragrave il verso e il valore della
sua velocitagrave radiale
Soluzione il redshift egrave positivo quindi la stella si allontana da noi La velocitagrave radiale
della stella egrave data da
119907 = 119888119911 = 3 ∙ 105 ∙ 555 ∙ 105 = 167119896119898
119904
6 La lunghezza drsquoonda λrsquo di una delle righe piugrave evidenti della luce emessa dalle galassie
di una costellazione egrave 1020 volte piugrave grande della corrispondente lunghezza drsquoonda
λ di riferimento Calcolare la velocitagrave con cui lrsquoammasso si sta allontanando dalla Terra
e stimare la sua distanza
Soluzione il redshift egrave119911 =∆120582
120582=
(1020minus1)120582
120582= 0020
Pertanto 119907 = 0020119888 = 6000119896119898
119904 119890 (119897119890119892119892119890 119889119894 119867119906119887119887119897119890 minus 119871119890119898119886119894119905119903119890)
119889 =119907
119867= 6000719=834 Mpc
7 In una galassia tutti gli ammassi globulari hanno un diametro pari a 50 anni luce
Nelle fotografie si misura il diametro angolare di tre di questi ammassi I diametri
risultano pari a 8rsquo9rsquo10rsquo Calcolare la distanza dei tre ammassi
Soluzione le dimensioni reali di un oggetto visto sotto un angolo α alla distanza d
sono date da
119863 = 2119889 tan (120572
2)
Da cui
1198891 =119863
2 tan(12057212)=
50
2 tan(01333
2)=21486 anni luce
1198892 =119863
2 tan (12057222)= 19099 119886119899119899119894 119897119906119888119890
Bignamino di astronomia
80
1198893 =119863
2 tan (12057232)= 17189 119886119899119899119894 119897119906119888119890
8 Se si dispone di un telescopio di 30 cm di diametro e lunghezza focale di 2 m quali
ingrandimenti saranno forniti da tre oculari di focale 25mm 10 mm e 5mm Se gli
oculari hanno un campo apparente di 55deg quale saragrave lrsquoangolo di campo al telescopio
Calcolare pure la pupilla drsquouscita
Soluzione Calcoliamo lrsquoingrandimento
1198681 =119865
119891=2000119898119898
25119898119898= 80119909
1198682 =2000
10= 200119909
1198683 =2000
5= 400119909
Il campo del telescopio saragrave
1198651199001198811 =119865119900119881119900119888119894
=55deg
80= 069deg
1198651199001198812 =55deg
200= 028deg
1198651199001198813 =55deg
400= 014deg
La pupilla drsquouscita
1199011 =300
80= 375119898119898 1199012 =
300
200= 15119898119898 1199013 =
300
400= 075119898119898
9 Calcolare lrsquoapertura minima di un telescopio per poter riconoscere un granulo solare
ampio 700km
Soluzione Lrsquoestensione angolare di questo granulo egrave data da
120572 = 2 arctan (119863
2119889) = 2 arctan (
700
2 ∙ 1496 ∙ 106) = 097
Quindi per la formula di Dawes 119863(119898119898) =120
120572=124cm
10 Per realizzare una fotografia a vasto campo egrave stato necessario un tempo di posa di 13
minuti a f3 con sensibilitagrave 800 ISO Determinare il tempo necessario per ottenere la
stessa foto usando una sensibilitagrave di 1000 ISO ed unrsquoapertura relativa di f45
Trascurare le perdite di sensibilitagrave dovute al difetto di reciprocitagrave delle pellicole
Bignamino di astronomia
81
Soluzione il tempo di posa richiesto si ricava dalla formula
1198792 =11989122 1198781
11989112 1198782
1198791 119879 119905119890119898119901119900 119878 119904119890119899119904119894119887119894119897119894119905agrave 119891 119889119894119886119891119903119886119898119898119886 (119886119901119890119903119905119906119903119886 119903119890119897119886119905119894119907119886)
1198792 =452 800
32 1000 13 = 234 119898119894119899
11 Determinare il tempo di posa massimo per ottenere stelle puntiformi senza
inseguimento siderale con un obiettivo di 50 mm (di focale F) puntato su una zona di
cielo avente declinazione media 45deg Il formato utilizzato egrave il 24x36mm
Soluzione La formula che permette di ottenere stelle puntiformi egrave
119879119898119886119909 =600
119865119888119900119904120575= 17119904119890119888119900119899119889119894
12 Un radiotelescopio ha apertura di 75 m determinare il limite di diffrazione
raggiungibile alla frequenza di osservazione di 410 MHz
Soluzione La lunghezza drsquoonda egrave data da
119888 = 120582120584 120582 =119888
120584= 732 119888119898
Il limite di diffrazione si ricava dalla formula di Rayleigh
120599 =122120582
119863= 122
732
7500= 00119 119903119886119889 = 068deg = 41prime
13 Un radiotelescopio ha un diametro di 25m calcolare il limite di diffrazione alla
lunghezza drsquoonda di osservazione di 21 cm
Soluzione Per la formula di Rayleigh
120599 =122120582
119863= 122
21
2500= 001119903119886119889 = 059deg = 352prime
14 Un telescopio riflettore ha diametro 15 m calcolare il suo potere risolutivo massimo
alla lunghezza drsquoonda dellrsquoidrogeno ionizzato Hα=6563nm
Soluzione Ancora una volta
120599 =122120582
119863= 122 lowast 6563
10minus9
15= 53 10minus7119903119886119889 = 011
Bignamino di astronomia
82
15 Consideriamo due stelle la prima (S1) ha magnitudine apparente m1=11 e si trova a
una distanza L1 dalla Terra la seconda S2 ha luminositagrave intrinseca identica a S1 ma
si trova a una distanza tripla rispetto a S1 Che magnitudine apparente ha la stella S2
Se abbiamo a disposizione uno specchio di diametro D1 con cui si riesce a vedere a
malapena S1 quanto deve essere il diametro del secondo telescopio D2 che permetta
di vedere a malapena la stella S2
Soluzione Siccome la luminositagrave intrinseca egrave la stessa ma la distanza della seconda
stella egrave tripla il flusso della seconda stella egrave uguale a un nono del flusso della prima
Quindi applicando la formula di Pogson
1198981 minus1198982 = minus25 log (11986512) = minus25 log 9 = minus239
1198982 = 11 + 239 = 1339
Infine poicheacute per osservare S2 dobbiamo essere in grado di rivelare il flusso che egrave 9
volte minore e che lrsquoarea di uno specchio aumenta con il quadrato del raggio il raggio
dello specchio D2 devrsquoessere 3 volte piugrave grande di quello di D1
16 Calcolare la magnitudine limite visuale limite raggiungibile con un telescopio di
diametro D=25cm
Soluzione Applicando la formula per trovare la magnitudine limite (con il diametro
espresso in cm) troviamo
119898 = 68 + 5119897119900119892119863 = 68 + 511989711990011989225 = 138
17 Calcolare lrsquoapertura necessaria per poter osservare stelle fino a una magnitudine
limite visuale di +16 con un telescopio
Soluzione Applicando la formula precedente
119898 = 68 + 5119897119900119892119863 119863 = 10119898minus685 = 10184 = 692 119888119898
Bignamino di astronomia
83
18 In un sistema stellare una stella ruota attorno ad unrsquoaltra su unrsquoorbita circolare con
velocitagrave 45 kms il suo periodo di rivoluzione egrave 300 giorni Determinare il raggio
dellorbita e la massa della stella centrale
Soluzione la velocitagrave orbitale egrave data da
119907 =2120587119877
119879 119889119886 119888119906119894 119877 =
119907119879
2120587=45000 ∙ 2592 ∙ 107
62831= 1856 ∙ 1011119898
Dalla Terza legge di Keplero
119872 =412058721198773
1198661198792= 5632 ∙ 1030119896119892
Bignamino di astronomia
84
La SFERA e la TRIGONOMETRIA SFERICA
Premessa
Nella geometria piana i concetti base sono il punto e la retta
Su una sfera i punti sono definiti nel senso usuale Le rette sono definite come cerchi massimi Data una sfera si definisce circonferenza massima ogni circonferenza che si ottiene intersecando la superficie sferica con un piano passante per il centro della sfera Lequatore celeste egrave un circolo massimo mentre i paralleli di declinazione non lo sono Lorizzonte astronomico egrave un circolo massimo mentre non lo sono gli almucantarat o paralleli di altezza
Elementi della sfera
Superficie sferica
Si chiama superficie sferica la figura
generata da una semicirconferenza
in una rotazione completa attorno
al suo diametro Possiamo anche
definirla come luogo geometrico La
superficie sferica egrave il luogo
geometrico dei punti dello spazio
che hanno distanza dal centro pari al
raggio
Sfera
Si chiama sfera la figura generata da un semicerchio di
una rotazione completa attorno al suo diametro
Definita come luogo geometrico egrave il luogo dei punti dello
spazio la cui distanza dal centro egrave minore o uguale al
raggio
Zona sferica
Si chiama zona sferica la parte di
superficie sferica compresa fra due
piani paralleli α e β che intersecano
la sfera Le circonferenze sezioni si
chiamano basi della zona Lrsquoaltezza egrave
la distanza tra i due centri delle
circonferenze sezioni
Bignamino di astronomia
85
Spicchio sferico Lo spicchio sferico egrave il solido delimitato da due piani meridiani passanti per
uno stesso diametro e dalla porzione di superficie sferica (fuso sferico) a
essi corrispondente
Presi due punti distinti su una sfera per essi passa
una ed una sola circonferenza massima
Dati due punti A e B distinti su una sfera esiste una ed una sola circonferenza
massima che li contiene i due punti individuano su questa circonferenza due archi il minore di essi si
chiama distanza sferica rappresenta una geodetica (La geodetica egrave la linea che realizza su una data
superficie il minimo percorso fra due punti assegnati)
Corda
Si chiama corda un segmento i cui estremi appartengono
alla superficie sferica
Si chiama diametro una corda passante per il centro
della superficie sferica e della sfera
Segmento sferico a due basi
Definiamo segmento sferico a due basi la parte di sfera
compresa fra due piani paralleli α e β secanti la sfera
stessa
Calotta Sferica
Definiamo calotta sferica ognuna
delle due parti in cui una superficie
sferica viene divisa da un piano
secante 120572 La calotta egrave la porzione di
superficie sferica ottenuta per
sezione con il piano α
Segmento sferico ad una base
Il segmento sferico ad una base egrave ognuna delle
due parti in cui una sfera viene divisa da un piano
secante α il segmento egrave la porzione di sfera
compresa tra il piano e la calotta
Fuso sferico
La parte di superficie sferica limitata da due
circonferenze massime di sezione dei
semipiani α e β con la superficie sferica
Bignamino di astronomia
86
Nella geometria sferica la circonferenza massima gioca lo stesso ruolo della retta
nella geometria piana
La lunghezza di questo arco egrave proporzionale al raggio della sfera e
allrsquoangolo al centro AOB Se AOB egrave espresso in radianti
AB = OA x AOcircB
Triangolo sferico
Si definisce triangolo sferico la superficie sulla sfera limitata da tre
archi di circolo massimo passanti per tre punti detti vertici tali punti
non devono appartenere allo stesso circolo massimo e gli archi non
devono avere alcun punto dintersezione al di fuori dei vertici
Lati del triangolo sferico
Sono le lunghezze degli archi AB BC CA che limitano la superficie
Tali lati sono minori o uguali a 180
Angoli del triangolo sferico
Sono gli angoli formati dai tre archi di circolo massimo La somma
degli angoli (interni) egrave maggiore di 2 angoli retti e minore di 6 angoli
retti
180deg lt α+β+γ lt 540deg
Pertanto la somma degli angoli egrave 180deg solo quando il triangolo egrave
degenere ovvero quando i vertici del triangolo sono situati sullo
stesso circolo massimo
La differenza fra la somma dei tre angoli di un triangolo sferico e lrsquoangolo piatto si dice eccesso sferico
ε= α+β+γ minus 180deg
Bignamino di astronomia
87
Nel triangolo sferico sussistono relazioni fra le funzioni trigonometriche dei lati e degli angoli tali relazioni
sono date dai teoremi di Eulero (teorema del coseno ( ) per i triangoli sferici e teoremi dei seni( )) da
cui derivano due gruppi fondamentali di relazioni che prendono il nome di primo e secondo gruppo di Gauss
di cui ci occuperemo nella trattazione del triangolo di posizione astronomico Lrsquoapplicazione dei triangoli
sferici assume particolare importanza in astronomia in quanto come abbiamo visto nei sistemi di riferimento
sulla sfera celeste si misurano solo distanze angolari
Per un lato
cos (119886) = cos (119887)cos (119888) + sin (119887)sin (119888)cos (119860)
sin (119886)
sin (119860)=sin (119887)
sin (119861)=sin (119888)
sin (119862)
Oppure
sin(119886) ∶ sin(119860) = sin(119887) sin(119861) = sin(119888) sin(119862)
Bignamino di astronomia
88
Triangolo di posizione astronomico
Vertici del triangolo
Il triangolo astronomico o di posizione ha i vertici nellastro
nello zenit e nel polo celeste nord il terzo vertice potrebbe
essere anche laltro polo ma per convenzione egrave preferibile
usare quello nord in quanto semplifica le regole algebriche
per il calcolo delle lunghezze dei lati
Lati del triangolo
I lati del triangolo hanno lunghezze comprese fra 0 e 180
definite come segue
bull Distanza polare p = 9 - 120575
la distanza che lastro ha dal polo di riferimento (polo celeste nord per convenzione)
Considerando la declinazione 120575 positiva se a Nord e negativa se Sud la distanza polare egrave p lt 90 nel
primo caso e p gt 90 nel secondo
bull Colatitudine c = 9 - 120593
coincide con la colatitudine ossia il complemento della latitudine Si ricorda che lelevazione
dellasse polare egrave esattamente pari alla latitudine del luogo La precedente convenzione per la
declinazione puograve essere adottata anche per la latitudine per cui si ha c lt 90 per latitudini nord e c gt
90 per quelle sud
bull Distanza zenitale z = 90 - h
Coincide con la distanza zenitale z ossia la distanza che lastro ha dallo zenit Tale distanza egrave il
complemento dellaltezza h (z = 90-h) Se lastro egrave nellemisfero visibile si ha h gt 0 e z lt 90 per astri
nellemisfero invisibile si ha h lt 0 e z gt 90
I tre angoli sono
1) Angolo vertice nello Zenith compreso tra meridiano e cerchio verticale la sua ampiezza dovrebbe corrispondere allazimuth ma in questo caso poichegrave lampiezza degli angoli nei triangoli sferici egrave sempre inferiore a 180deg prende nome di Angolo azimutale Z
2) Angolo vertice nel Polo Celeste compreso tra meridiano e cerchio orario la sua ampiezza corrisponderebbe allangolo orario ma in questo caso poicheacute lampiezza degli angoli nei triangoli sferici egrave sempre inferiore a 180deg prende nome di Angolo al Polo P
3) Angolo con vertice nellrsquooggetto A
Bignamino di astronomia
89
Attraverso le seguenti relazioni note come primo e secondo gruppo di Gauss
119904119894119899 ℎ = 119904119894119899 120593 119904119894119899 120575 + 119888119900119904 120593 119888119900119904 120575 119888119900119904 119867
119888119900119904 ℎ 119888119900119904 119860 = 119888119900119904 120593 119904119894119899 120575 + 119904119894119899 120593 119888119900119904 120575 119888119900119904 119867119888119900119904 ℎ 119904119894119899 119860 = 119888119900119904 120575 119904119894119899 119867
Primo Gruppo di Gauss
119878119894119899 120575 = 119878119894119899 120593 119878119894119899 ℎ minus 119862119900119904 120593 119862119900119904 ℎ 119862119900119904 119860119862119900119904120575 119888119900119904119867 = 119904119890119899ℎ 119888119900119904120601 + 119888119900119904ℎ 119904119890119899120601 119888119900119904119860
119862119900119904ℎ 119904119890119899119867 = 119888119900119904ℎ 119904119890119899119860
Secondo gruppo di Gauss
Ersquo possibile risolvere il triangolo astronomico
Notiamo che nel triangolo di posizione sono contemporaneamente presenti per loggetto celeste osservato le sue coordinate altazimutali (azimuth o angolo zenitale e altezza o distanza zenitale) e quelle equatoriali orarie (angolo orario o angolo al polo e declinazione o distanza polare) Queste formule ci consentono il passaggio da coordinate altazimutali ad equatoriali orarie e viceversa
Queste ci consentono il passaggio da un sistema altazimutale ad equatoriale
119904119894119899 120575 = 119904119894119899 120593 119888119900119904 119911 minus 119888119900119904 120593 119904119894119899 119911 119888119900119904 119860
119888119900119904 120575 119888119900119904 119867 = 119888119900119904 120593 119888119900119904 119911 + 119904119894119899 120593 119904119894119899 119911 119888119900119904 119860119888119900119904 120575 119904119894119899 119867 = 119904119894119899 119911 119904119894119899 119860
Bignamino di astronomia
90
Le parti della sfera
Riportiamo in una tabella le caratteristiche delle parti in cui rimane divisa una superficie sferica e una sfera
di raggio R quando vengono sezionate con opportuni piani indicando anche le formule per il calcolo delle
corrispondenti superfici e volumi
FONTE ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Bignamino di astronomia
91
ALCUNE ESERCITAZIONI DI TRIGONOMETRIA SFERICA
1) Calcolo dellrsquoaltezza di un oggetto alla culminazione superiore ed inferiore Giagrave conosciamo le formule che ci permettono di determinare lrsquoaltezza di un astro sullrsquoorizzonte nel caso di culminazione superiore ed inferiore per semplicitagrave le riportiamo qui di seguito
Culminazione superiore la stella culmina a sud dello zenit
la stella culmina a nord dello zenit
ALTEZZA h= 90 - ϕ + δ h= 90 + ϕ - δ
Proviamo attraverso le formule contenute nella parte teorica di trigonometria sferica a verificare queste relazioni Consideriamo la prima equazione del primo gruppo ( Primo Gruppo di Gauss)
sin h = sin φ sin δ + cos φ cosδ cos H
Se la stella culmina vuol dire che essa passa al meridiano (o superiore o inferiore a seconda della culminazione) CULMINAZIONE SUPERIORE Quando la Stella passa al meridiano superiore lrsquoangolo orario H egrave = 0 il cos0deg =1 per cui si ha
sin h = sin φ sin δ + cos φ cosδ
questa equazione si risolve facilmente se si applicano le formule di sottrazione del coseno cos (α - β) = cosαcosβ + senαsenβ
La nostra equazione puograve essere scritta sen h = cos(ϕ - δ) ndashlrsquo α della formula di sottrazione egrave la latitudine e la β la declinazione)- ma il sen h=cos(90 ndashh) ed allora cos (90-h) = cos( ϕ - δ) questa egrave una equazione elementare in coseno che ha per soluzioni
90-h= plusmn (ϕ - δ)
90-h= + ( ϕ - δ) h= 90 - ϕ + δ 90-h= - ( ϕ - δ) h= 90 + ϕ - δ
(Le relazioni sono due percheacute ognuna vale per un emisfero)
CULMINAZIONE INFERIORE Anche qui sappiamo che h= ϕ + δ- 90
sin h = sin φ sin δ + cos φ cosδ cos H
Alla culminazione inferiore lrsquoangolo orario egrave 12ℎ quindi 180deg il cos 180deg = -1
sin h = sin φ sin δ - cos φ cosδ Non possiamo applicare come prima a formula di addizione del coseno e quindi la riscriviamo
sin h= - (- sin φ sin δ + cos φ cosδ )
Bignamino di astronomia
92
ricordando che cos ( α + β) = cosαcosβ ndash senαsenβ ed essendo sinh= cos(90-h) possiamo scrivere cos (90-h) = - cos( ϕ + δ) essendo cosα= - cos(180 ndashα)
cos (90-h) = cos( 180 ndash ϕ - δ)
90-h = 180 ndash ϕ - δ h= ϕ + δ- 90 NB Essendo il coseno di due angoli dello stesso valore assoluto ma di segno opposto uguale come fatto sopra anche la soluzione col segno negativo va presa quindi si ottengono anche qui due formule che come sopra si riferiscono ciascuna a un emisfero
2) Calcolare lrsquoespressione che consente di determinare il sorgere e il tramontare di un astro Successivamente determinare la differenza delle ore di luce ai solstizi a Reggio Calabria ndash Latitudine φ=38deg6rsquo Nord
Per rispondere alla prima domanda dobbiamo determinare lrsquoangolo orario applichiamo il
( ) Primo Gruppo di Gauss
sin h= sin φ sin δ + cos φ cos H cos δ
isoliamo il cosH si trova cosH= 119904119894119899ℎminus119904119894119899120593119904119894119899120575
cos120593 cos120575 e scriviamo ancora cosH =
sinℎ
cos120593 cos120575 -
sin120593 sin120575
cos120593 cos120575 ed ancora cosH =
sin h
cos φ cos δ ndash tanφ tanδ (essendo tanα=senαcosα)
Al momento del sorgere dellrsquoastro h= 0 quindi cosH = - tanφ tanδ (sen0=0) Se egrave nota lrsquoascensione retta possiamo calcolare il tempo siderale 119931119956 = H +120630 con
H=arccos(θsin h
cos φ cos δ ndash tanφ tanδ ) Se conosciamo il valore del tempo siderale in una
determinata ora di un determinato giorno possiamo anche trovare lrsquoistante di tempo che segna il nostro orologio per il sorgere del Sole (per questi calcoli si vedano i problemi precedenti sul tempo) c = H+α Una volta trovata lrsquoespressione dellrsquoangolo orario la seconda domanda si risolve facilmente
tenendo conto che lrsquoangolo orario adesso egrave 119867
2
cos 119867
2 = - tan φ tan δ
Il Sole ai solstizi ha una declinazione δ=+23deg27rsquo (21 giugno solstizio drsquoestate) e δ=-23deg27rsquo (21 dicembre solstizio drsquoinverno)
si trova che cos 119867
2 = -0784 0433 = -034 perciograve H=2arccos(-034)=219deg46rsquo=14 ore 39
minuti (digrave piugrave lungo dellrsquoanno)
mentre il 21 dicembre cos 119867
2 = (-0784) (-0433) = 034 dal quale si ricava che
H=arccos(034)=140deg15rsquo = 9 ore 21 minuti (digrave piugrave corto dellrsquoanno) la differenza di ore egrave ∆H=14h 39m-9h 21m = 5 ore 18 minuti tra inverno ed estate
Bignamino di astronomia
93
3) In un certo giorno in cui egrave in vigore lrsquoora legale in una cittagrave posta alla longitudine di 120582
= 10deg 52rsquo 59rdquo E e latitudine = 44deg 38rsquo 45rdquo N il Sole ha una declinazione = 10deg 59rsquo 04rdquoConsiderando trascurabile la declinazione del Sole durante lrsquoarco della giornata
Calcolare
1 lrsquoaltezza massima raggiunta dal Sole in quella localitagrave e lrsquoora del transito in meridiano 2 lrsquoora in cui in tale giorno il sole sorge e tramonta in quella Cittagrave e lrsquoarco diurno 3 lrsquoazimut del sole nei momenti in cui sorge e tramonta
Il sole raggiunge la massima altezza hC sullrsquoorizzonte (culmina) quando transita per il
meridiano locale dellrsquoosservatore Nel caso specifico avremo hC = 90deg - ( - ) = 90deg -
+ = 90deg - 44deg64583333 + 10deg98444444 = 56deg33861111
Lrsquoaltezza massima del Sole nel momento in cui transita al meridiano egrave hC = 56deg33861111 = 56deg 20rsquo 19rdquo
Indichiamo adesso con 120582 la longitudine espressa in ore e con T la differenza in ore del
meridiano locale rispetto a GMT Nel nostro caso essendo in vigore lrsquoora legale saragrave T = 2h Le 12h locali corrispondono dunque aUT = 12h ndash 120582
per cui lrsquoora locale del transito in meridiano del sole saragrave (scrivendo la longitudine in notazione decimale)
TC = 12h ndash 120582+ T = 12ℎ minus 10deg 8830555556
15deg+ 2ℎ = 2h ndash 0h725537036 + 2h = 13h27446296
il Sole culmina alle ore locali TC = 13h 16m 28s1
I due eventi del sorgere e tramontare si verificano quando il sole interseca lrsquoorizzonte celeste dellrsquoosservatore e quindi la sua altezza h egrave nulla In questo caso egrave possibile determinare i tempi (gli angoli orari HS e HT) e le direzioni (gli azimut AS e AT) delle due posizioni del sole sullrsquoorizzonte e lrsquoarco diurno
T = HT - HS che ci dagrave la durata della permanenza del sole
Applichiamo le formule del primo gruppo di Gauss al triangolo sferico precedentemente definito rispetto al lato ldquozenit ndash solerdquo ed allrsquoangolo al vertice con lo zenit
sin h = sin sin + cos cos cos H (I)
cos h sin A = - cos sin H (II)
cos h cos A = cos sin - sin cos cos H
Bignamino di astronomia
94
Quando il sole sorge eo tramonta si ha h = 0 e quindi sin h = 0 Dalla (I) segue dunque
cos H = - tg tg Dai dati del problema si ha = 44deg 38rsquo 45rdquo N = 44deg64583333
= 10deg 59rsquo 04rdquo1 = 10deg98444444 segue cos H = - tg (44deg64583333) tg (10deg98444444) = - 0191713689
H = arccos (- 0191713689) = 101deg0528101 = plusmn 6h736854006
Lrsquoangolo orario H egrave negativo al sorgere percheacute deve arrivare in meridiano e positivo al tramonto percheacute ha superato il meridiano Saragrave dunque HS = - 6h736854006 HT = 6h736854006
il sole sorgeragrave dunque alle ore TS = TC + HS = 13h27446296 - 6h736854006 = 6h537608954 = 6h 32m 15s4
Lo stesso giorno il sole tramonteragrave alle ore TT = TC + HT = 13h27446296 6h736854006 = 20h01131697 = 20h 00m 40s7
Lrsquointervallo temporale durante il quale il sole resteragrave sopra lrsquoorizzonte saragrave
T = HT - HS = 6h736854006 + 6h736854006 = 13h47370802 = 13h 28m 25s4
Per ricavare lrsquoazimut del sole nei momenti in cui sorge e tramonta utilizziamo la (III) delle
formule di Gauss cos h sin A = - cos sin H
Nel momento in cui il sole sorge e tramonta si ha h = 0 e quindi cos h = 1 per cui si ha rispetto al punto Nord
sin AS = - cos sin HS = - cos (10deg98444444 ) sin (-6h736854006 x 15) = 0963469686
AS = arcsin (0963469686) = 74deg46556891 = 74deg 27rsquo 56rdquo1
sin AT = - cos sin HT = - cos (10deg98444444 ) sin (6h736854006 x 15) = -0963469686
AT = arcsin (-0963469686) = - 74deg46556891 = (360deg - 74deg46556891) = 285deg5344311 = 285deg 32rsquo 4rdquo
DISTANZA TRA DUE STELLE
Regolo ha coordinate H= 27m 4 s e declinazione 11deg 52rsquo 5rdquo Denebola ha coordinate H= 22h 46m 36s e
declinazione 14deg 27rsquo 33rdquo Si determini la loro distanza angolare
Per calcolare la loro distanza consideriamo il triangolo sferico BPA dalla figura si evince che
PB= 90-1205751 PA= 90-1205752 lrsquoangolo al polo P= 1198672 - 1198671
Applichiamo il teorema del coseno o di Eulero
Bignamino di astronomia
95
cosAB= cosPB cosPA + seno senPA cosP
Sostituendo
Cos120572 = cos( 90-1205751)cos(90-1205752 ) + sen(90-1205751)sen(90-1205752)cosP
Cos120572= sen1205751sen1205752 + cos1205751cos 1205752cos (1198672 minus 1198671)
E svolgendo I calcoli
Cos α= sen118681 sen 144592 + cos 118681 cos 144592 cos251167=0904
α=24deg58
Bignamino di astronomia
96
Bibliografia
Vittorio Castellani Astrofisica Stellare ndash Zanichelli Editore
Ferdinando Flora Astronomia Nautica ndash Editore Hoepli
Pietro Giannone Elementi di Astronomia ndash Edizione Pitagora
Angeletti Giannone Esercizi e complementi di astronomia ndash Edizioni Nuova Cultura
Margherita Hack Corso di Astronomia ndash Editore Hoepli
Halliday-Resnick Fondamenti di fisica ndash Zanichelli Editore
Giuliano Romano Introduzione allrsquoastronomia ndash Editore Muzzio
Leonido Rosino Lezioni di Astronomia ndash Edizione Cedam
Francesco Saverio Delli Santi Introduzione allrsquoastronomia ndash Zanichelli Editore
Cino Tacchini Il Cielo ndash UTET Editore
Francesco Zagari Astronomia sferica e teorica ndash Zanichelli Editore
Wikipedia sito web
Vialatteanet sito web
Treccani sito web
Superfici e volumi problemi di massimo e minimo Istituto Italiano Edizioni Atlas
- Copertina Bignamino definitiva
- Bignamino di astronomia
-
- INDICE Bignamino definitivo
- Bignamino
-
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4
SISTEMI DI RIFERIMENTO ASTRONOMICI
Gli elementi che definiscono i sistemi di coordinate astronomiche sono
1) Una direzione fondamentale
2) Un piano perpendicolare alla direzione fondamentale
3) Lrsquoorigine
4) Il verso di percorrenza
5) Lrsquounitagrave di misura
Noi qui sintetizziamo tre dei cinque sistemi di riferimento astronomici
il sistema altazimutale il sistema orario il sistema equatoriale
Sistema altazimutale
Nel sistema altazimutale o orizzontale la direzione
fondamentale egrave data dalla verticale il piano
perpendicolare egrave dato dallrsquoorizzonte astronomico la
verticale alla superficie terrestre passante per
losservatore individua lo zenit e il nadir Le
coordinate in questo sistema sono lrsquoAzimut (A) e
Altezza (h)
Lazimut del punto T egrave langolo formato dal piano del
cerchio verticale passante per T e il meridiano
astronomico Si misura in gradi e frazioni di grado
partendo dal punto cardinale sud nel senso delle
lancette dellorologio Esso corrisponde nel disegno
allangolo SOB dove O egrave losservatore e B egrave
lintersezione dellorizzonte con il cerchio verticale
passante per T
Altezza (h) egrave lordinata sferica di un punto sulla sfera
celeste e cioegrave la sua distanza angolare dallorizzonte
misurata lungo il cerchio verticale passante per quel
punto Si esprime in gradi e frazioni di grado con
valore positivo verso lo zenit e negativo verso il nadir
Nel nostro disegno laltezza del punto T corrisponde
allangolo TOB dove O egrave losservatore e B egrave
lintersezione dellorizzonte con il cerchio verticale
passante per T Larco complementare dellaltezza si
chiama distanza zenitale e nel nostro disegno egrave
rappresentata dallangolo ZOT dove Z egrave lo zenit
dellosservatore La distanza zenitale si indica
generalmente con z Nel sistema azimutale entrambe
le coordinate (azimut e altezza) delle stelle variano
sensibilmente con il passare del tempo a causa del
moto di rotazione della Terra
Bignamino di astronomia
5
Sistema orario
Sistema equatoriale
Questo sistema di coordinate astronomiche ha come
direzione e piano fondamentali rispettivamente lasse
del mondo e il piano dellequatore Le coordinate
sferiche di questo sistema sono Angolo orario (H) e
la Declinazione (120575)
Lrsquoangolo orario egrave la distanza angolare tra il cerchio
orario che passa per il punto e il meridiano
astronomico Si misura in ore e frazioni di ora lungo
lequatore celeste partendo dal meridiano
astronomico in senso orario per un osservatore
boreale
La declinazione rappresenta la distanza angolare tra
un punto della sfera celeste e lequatore celeste
misurata lungo il cerchio orario che passa per tale
punto Si misura in gradi e frazioni di grado con segno
positivo verso il polo nord celeste e negativo verso il
polo sud Lrsquoorigine del sistema egrave il punto M detto
mezzocielo In questo sistema nel corso del giorno le stelle variano il loro angolo orario mentre rimane costante la loro declinazione
L0
Questo sistema di coordinate astronomiche ha come direzione e
piano fondamentali rispettivamente lasse del mondo e il piano
dellequatore Le coordinate sferiche di questo sistema sono
Ascensione retta ( ) Declinazione ( )Lorigine egrave il punto gamma
()
Lascensione retta si misura di solito in ore minuti e secondi lungo
lequatore celeste partendo dal punto gamma e con senso di
percorrenza antiorario
Declinazione rappresenta la distanza angolare tra un punto della
sfera celeste e lequatore misurata lungo il cerchio orario che passa
per tale punto Si misura in gradi e frazioni di grado con segno positivo
verso il polo nord celeste e negativo verso il polo sud
Bignamino di astronomia
6
RELAZIONI TRA I SISTEMI DI RIFERIMENTO
Latitudine del luogo
120593 = ℎ119901119900119897119900119873119900119903119889 = 90deg minus 119911119875119900119897119900119873119900119903119889
La latitudine geografica 120593 di una localitagrave sulla superficie della Terra egrave
lrsquoaltezza del polo celeste sul suo orizzonte Orizzonte e Zenit sono
separati da un angolo retto La latitudine geografica del luogo si
ottiene sottraendo da 90deg lrsquoaltezza del polo stesso
Formule inverse
119911119875119900119897119900119873119900119903119889 = 90deg minus 120593
Stelle circumpolari
120575 ge 90deg minus 120593
Vista da un qualsiasi luogo della superficie terrestre (quando
siamo allrsquoEquatore la situazione di complica) una parte della
volta celeste non tramonta mai e rimane sempre al di sopra
dellrsquoorizzonte Tale parte di cielo egrave detta ldquocircumpolarerdquo Essa
contiene le stelle che hanno declinazione 120575 maggiore o uguale
a un valore limite che si ottiene sottraendo da 90deg il valore della
latitudine geografica 120593 del luogo
Se la declinazione egrave compresa tra
minus(90deg minus 120593) lt 120575 lt +(90deg minus 120593)
le stelle sono occidue sorgono e tramontano sullrsquoorizzonte dellrsquoosservatore
Se
120575 lt minus(90deg minus 120593) 120575 lt minus90deg + 120593
Le stelle sono anticircumpolari (cioegrave quelle che non sorgono mai e stanno sempre al di sotto
dellrsquoorizzonte)
Bignamino di astronomia
7
Culminazione
Una stella culmina quando raggiunge la sua massima altezza cioegrave egrave sul meridiano
La declinazione 120575 la distanza zenitale z sono legate in modo semplice alla latitudine 120593
dellrsquoosservatore
Al momento della culminazione superiore (massima altezza della stella sullrsquoorizzonte) si ha
119911 = 120593 ndash 120575
Al momento della culminazione inferiore si ha
119911 = 120593 + 120575 ndash 180deg
Altezza (culminazione superioreinferiore)
Una stella culmina superiormente quando raggiunge la sua massima
altezza vista un determinato luogo (ad una determinata latitudine 120593)
ℎ1 = 90deg plusmn (120593 minus 120575)
Bignamino di astronomia
8
Poicheacute lrsquoaltezza deve esere h le 90deg distinguiamo i due casi
1) Se 120575 lt 120593 h=90deg- 120593 + 120575 (va preso il segno meno)
2) Se 120575 gt 120593 h=90deg+ 120593 - 120575 (va preso il segno piugrave)
Analogamente in culminazione inferiore
ℎ2 = minus90deg + 120593 + 120575
Poicheacute se 120575 lt 120593
ℎ2 = 120575 - ( 90 ndash 120593)
ℎ2 = 120575 - 90 + 120593
ℎ2 = - 90 + 120575 + 120593
Se 120575 gt 120593
ℎ2 = 120575 + ( 120593 - 90 )
ℎ2 = - 90 + 120575 + 120593
La formula per il calcolo della culminazione inferiore egrave sempre la stessa
Formule inverse della h=90deg+ 120593 - 120575
120593 = 90deg minus ℎ + 120575
120575 = 120593 + ℎ minus 90deg
Bignamino di astronomia
9
Latitudine del luogo (culminazione superiore ed inferiore)
120593 =ℎ1 + ℎ2
2
Questa formula egrave valida per tutte le stelle ma la si usa spesso per
conoscere la latitudine di un luogo osservando una stella
circumpolare La latitudine infatti non egrave altro che una ldquomediardquo
tra le due altezze (culminazione superiore ed inferiore)
Formule inverse
ℎ1 = 2120593 minus ℎ2
ℎ2 = 2120593 minus ℎ1
Per una stella circumpolare la minima altezza egrave ℎ119898119894119899= δ + ϕ - 90deg
Distanza zenitale
119911 = 90deg minus ℎ
La distanza zenitale indica quanto dista la stella dallo zenit che si trova
sulla verticale dellrsquoosservatore Per trovarla basta sottrarre a 90deg (la
verticale e lrsquoorizzonte sono separati da un angolo retto) lrsquoaltezza della
stella h
Formule inverse
ℎ = 90deg minus 119911
Bignamino di astronomia
10
Ascensione retta
Tra lrsquoascensione retta 120630il suo angolo orario H ed il tempo siderale relativi ad un dato osservatore
vale la relazione
119879119904 = 120572 + 119867
Nota
Quando il punto 120574 passa al meridiano 119879119904 = 0 (Il tempo siderale egrave definito come lrsquoangolo orario del
punto 120574 ) quando la stella passa al meridiano H= 0 e
119879119904 = 120572
Il tempo siderale coincide con lrsquoascensione retta delle stelle che passano al meridiano
Per conoscere lrsquoascensione retta di una stella 120572 bisogna calcolare
la differenza tra il tempo siderale del luogo 119879119904 di osservazione e
lrsquoangolo orario 119867 della stella stessa
120572 = 119879119904 minus119867
Lrsquoangolo orario si trova dalla 119867 = 119879119904 minus 120572
il punto nord ha H di 12 h e declinazione 90 - latitudine da noi H 0 e declinazione 90+ latitudine altro emisfero
per il punto sud i due predetti valori si invertono per lrsquoangolo orario e quelli della declinazione diventano
opposti
Bignamino di astronomia
11
MISURA DEL TEMPO
La misura del tempo viene effettuata dal movimento di rotazione diurna della volta celeste
(rotazione della Terra) e dal movimento annuo del Sole (rivoluzione della Terra attorno al Sole)
La rotazione della Terra attorno al suo asse egrave quasi costante quindi lrsquoangolo di rotazione rispetto ad
un qualsiasi riferimento iniziale consente di misurare il tempo Come riferimento iniziale si prende
lrsquoistante del passaggio del punto al meridiano del luogo La durata del giorno dipende da questo
punto scelto
In Astronomia i punti adottati sono Il punto γ il
centro del disco apparente del Sole (Sole vero) il
Sole medio (un Sole ideale che parte dal punto γ
assieme al Sole vero percorre lrsquoequatore celeste
con velocitagrave angolare costante in modo da
ritornare allrsquoequinozio di primavere assieme al
Sole vero)
Le tre unitagrave di tempo definite da questi punti si
chiamano giorno siderale giorno solare vero
giorno solare medio Il tempo da esse misurato egrave
tempo siderale tempo solare vero tempo solare medio
Nota Non sono tempi diversi ma solo diverse unitagrave di misurare il tempo
Giorno siderale ndash tempo siderale
Si definisce giorno siderale lrsquointervallo di tempo compreso tra
due successivi passaggi del punto γ allo stesso meridiano del
luogo
Si definisce tempo siderale lrsquointervallo di tempo compreso tra il
passaggio al meridiano del punto di primavera ad unrsquoaltra
posizione qualsiasi
119905119904 = H + 120572
(Tempo siderale = angolo orario Sole + ascensione retta Sole
medio)
Bignamino di astronomia
12
Giorno solare vero-Tempo solare vero
Il giorno solare vero egrave lrsquointervallo di tempo compreso tra due passaggi superiori o inferiori del centro
del Sole
Il tempo solare vero egrave lrsquointervallo di tempo compreso tra il passaggio inferiore
del Sole ad un altro punto
Al meridiano il 119879119904119900119897119890 119907119890119903119900 = 119867119878119900119897119890 119907119890119903119900 +12ℎ
Giorno solare medio - Tempo solare medio
Il giorno solare medio egrave lrsquointervallo compreso tra due passaggi superiori o inferiori del Sole medio
Il tempo solare medio egrave lrsquointervallo di tempo compreso tra il passaggio inferiore del Sole medio ad
un altro punto
119879119904119900119897119890 119898119890119889119894119900 = 119867119878119900119897119890 119898119890119889119894119900 +12ℎ
Equazione del Tempo
Si definisce equazione del tempo la differenza tra il tempo medio ed il tempo solare vero allo stesso
istante
E= 119879119904119900119897119890 119898119890119889119894119900 - 119879119904119900119897119890 119907119890119903119900
E= 119867119878119900119897119890 119898119890119889119894119900 - 119867119878119900119897119890 119907119890119903119900
E= 120572119878119900119897119890 119898119890119889119894119900 - 120572119878119900119897119890 119907119890119903119900
Il tempo solare medio ad un dato istante egrave dato
dal Tempo solare vero piugrave lrsquoequazione del
tempo
119879119904119900119897119890 119898119890119889119894119900= 119879119904119900119897119890 119907119890119903119900 + E
Bignamino di astronomia
13
Relazione tra tempo solare e tempo siderale
Consideriamo la posizione del sole a 24 ore di distanza
1199051119904=1198671199041 + 1205721198781
1199052119904=1198671199042 + 1205721198782
Calcolando la differenza tra le due espressioni si ha
1199052119904- 1199051119904 = (1198671199042 minus 1198671199041 ) + (1205721198782 -1205721198781)
(1198671199042 minus 1198671199041 ) = 24
Mentre la differenza in ascensione retta (1205721198782 -1205721198781) dagrave lo spostamento angolare diurno del sole
medio sullrsquoequatore che in gradi egrave 24
36525
Pe cui
1199052119904- 1199051119904 = 24h + 24
36525
1199052119904- 1199051119904 = 24 (1+ 1
36525)
1199052119904- 1199051119904 = 24 36625
36525
Un giorno solare medio= 36625
36525 giorni siderali
Un giorno siderale= 36525
36625 giorni solari veri
Il rapporto K = 36625
36525 K=1002738 serve per convertire gli intervalli di tempo solare medio in
intervalli di tempo siderali
∆119879119904= K ∆119879119898
Il rapporto Krsquo = 36525
36625 Krsquo = 0997270 serve per convertire gli intervalli di tempo siderali in intervalli
ti tempo solare medio
∆119879119898= Krsquo ∆119879119904
24 ore di tempo medio corrispondono a 24h 03m 5655s di tempo siderale viceversa un giorno
siderale egrave 23h 56m 04s di tempo solare medio
Se s egrave il tempo siderale ad un certo istante ad un dato meridiano mentre alla mezzanotte
precedente sullo stesso meridiano il tempo siderale era S dalla mezzanotte sono passati (s-S) ore
minuti secondi di tempo siderale che corrispondono a (s-S) Krsquo di tempo solare medio Poicheacute a
mezzanotte il tempo solare medio egrave 0ℎ 119879119898 = (s-S) Krsquo rappresenta il tempo solare medio allrsquoistante
del tempo siderale s
Bignamino di astronomia
14
Se al meridiano di quel luogo alla mezzanotte di una certa data il tempo siderale era S allrsquoistante
di tempo medio solare saragrave
s= S + 119879119898 119870
NOTA
Ersquo sempre necessario conoscere il tempo siderale S alla mezzanotte del meridiano dato Per questo
sono stati costruiti annuari che forniscono il tempo siderale 1198780 alla mezzanotte del meridiano
fondamentale di GW
Il tempo siderale S alla mezzanotte ad una data longitudine 120582 egrave dato da
119878 = 1198780 minus120582 ℎ
24ℎ (3119898 56119904 55)
Ora locale e longitudine
Si definisce tempo locale medio il tempo regolato sul meridiano del luogo
Nella vita quotidiana egrave scomodo utilizzare questo
tempo per cui il primo luglio 1919 sono stati introdotti
i fusi orari In base a questa suddivisione il tempo
medio egrave determinato solo per 24 meridiani geografici
principali separati da 15deg gradi (unrsquoora) I fusi orari sono
numerati da 0 a 23 ed il meridiano passante per GW
costituisce lrsquoorigine (fuso = 0)
Il tempo medio locale egrave dato da
119905119897 = 119905119891 ndashΔ120582
dove Δ120582 = 120582119891 - 120582119874
Nota
1) La differenza tra le ore locali (siderali o solari) di due meridiani misurate allo stesso istante
egrave sempre uguale alle differenze di longitudini
2) Poicheacute i confini dei fusi orari distano circa 7deg5 dal meridiano centrale la differenza 119905119897 - 119905119891
puograve essere leggermente maggiore o minore di plusmn 30119898
Bignamino di astronomia
15
Tempo Universale
Il tempo solare medio del meridiano di GW si chiama Tempo Universale (TU)
Per quanto precedentemente detto il tempo medio locale egrave uguale al tempo universale piugrave la
longitudine del luogo espressa in ore e considerata positiva ad est di GW
119905119897 = TU +120582
Bignamino di astronomia
16
MOTO APPARENTE DEI PIANETI
I pianeti si muovono in vicinanza dellrsquoeclittica ma il loro movimento visto dalla Terra egrave piugrave
complicato di quello del Sole e della Luna Il Sole e la Luna riferendo il loro moto rispetto alle stelle
fisse si muovono di moto diretto cioegrave antiorario per i pianeti si osserva che in generale si muovono
di moto diretto ma ce certi tratti variabili da pianeta a pianeta si muovono di moto retrogrado Il
pianeta dopo avere raggiunto una posizione di stazionarietagrave
inverte il moto Questo egrave molto piugrave evidente per i pianeti
interni Mercurio e Venere che oscillano avanti e indietro
rispetto alla posizione del Sole venendosi a trovare ora da
una parte ora dallrsquoaltra rispetto ad esso Quando il pianeta egrave
in congiunzione superiore egrave invisibile perchegrave nasce e
tramonta con il Sole ma essendo in questo momento piugrave
veloce del Sole dopo qualche tempo puograve essere visto dopo
il tramonto ad occidente (si trova a sinistra del Sole)
Lrsquoelongazione orientale cresce nei giorni seguenti e
contemporaneamente decresce la sua velocitagrave angolare e
quando raggiunge la stessa velocitagrave angolare del Sole per
qualche istante si muove mantenendo la stessa distanza il
pianeta raggiungere la massima elongazione orientale Per venere questo valore egrave circa 46deg per
Mercurio egrave variabile dai 18deg ai 28deg Da questo momento il pianeta comincia il suo avvicinamento al
Sole ritornando con moto retrogrado in congiunzione con esso ma questa volta in congiunzione
inferiore Ritorna invisibile (potrebbe esserci un transito) Continuando nel suo moto retrogrado
appare visibile ad occidente (a destra del Sole) ed egrave visibile prima del sorgere del Sole (elongazione
occidentale) Questo ci dice che i pianeti inferiori non possono mai trovarsi in quadratura o
opposizione
I pianeti esterni invece possono assumere qualsiasi distanza dal Sole da 0deg a 180deg e quindi possono
trovarsi nelle due precedenti configurazioni Raggiunta
lrsquoelongazione massima di 180deg i pianeti si trova dalla parte
opposta a quella del Sole la velocitagrave retrograda egrave massima e
raggiungono anche il massimo della luminositagrave Oggi noi
sappiamo che tutto questo egrave dovuto egrave il risultato della
composizione del moto della Terra e di quello dei pianeti
attorno al Sole semplificando osserviamo un oggetto in
movimento essendo noi stessi in movimento Le velocitagrave dei
pianeti variano piugrave sono vicini al Sole piugrave velocemente si
muovono I due pianeti essendo piugrave vicini al Sole sorpassano
la Terra durante il loro moto mentre egrave la Terra a sorpassare i
pianeti esterni quando sono vicini allrsquoopposizione e quindi
essi sembrano muoversi allindietro
Ed allora se indichiamo con T Il nostro anno siderale con P il periodo sidereo del Pianeta e con S il
periodo siderale (il tempo intercorso tra due congiunzioni o due opposizioni successive) la
composizione delle velocitagrave ci consente di calcolare la velocitagrave relativa del pianeta rispetto alla
Terra
Bignamino di astronomia
17
Per i pianeti interni (la Terra si muove piugrave lentamente)
2120587
119878 = 2120587
119875 - 2120587
119879
120783
119930 = 120783
119927 - 120783
119931
Per i pianeti esterni (la Terra si muove piugrave velocemente)
2120587
119878 = 2120587
119879 - 2120587
119875
120783
119930 = 120783
119931 - 120783
119927
Il movimento di tutti i pianeti attraverso le stelle fisse segue apparentemente la stessa direzione di
quello della Luna (e del Sole) - con una strana variante talvolta il loro moto apparente cambia
temporaneamente verso (moto retrogrado) Questo egrave molto piugrave evidente per Mercurio e Venere
che oscillano avanti e indietro rispetto alla posizione del Sole Durante il moto del Sole attraverso le
stelle - lungo le costellazioni dello zodiaco - questi pianeti
talvolta si muovono nello stesso verso e quindi il loro
movimento si somma a quello del Sole ma altre volte il loro
moto apparente si oppone a quello del Sole facendo sigrave che
sembri che si muovano allindietro (moto retrogrado)Gli
altri tre pianeti visibili ad occhio nudo si possono trovare in
qualunque posizione lungo leclittica - anche a mezzanotte in
posizione direttamente opposta a quella del Sole e quando
questo avviene raggiungono il massimo della luminositagrave
Marte sembra muoversi piugrave rapidamente Giove un po meno
e Saturno egrave il piugrave lento Comunque tutti mostrano questa
enigmatica stranezza vicino al punto in cui il loro percorso
apparente nel cielo egrave esattamente in posizione opposta al Sole
(opposizione) il loro movimento tra le stelle
temporaneamente si inverte Oggi noi comprendiamo molto
bene tutto questo (vedi fig1) I pianeti sono oggetti sferici
come la Terra - Venere Mercurio e Marte sono piugrave piccoli Giove e Saturno molto piugrave grandi Anche
la Terra egrave un pianeta e ne esistono anche altri (troppo deboli per essere visti senza un telescopio)
tutti che orbitano attorno al Sole sul piano o vicino al piano delleclittica La loro velocitagrave tuttavia
varia - piugrave sono vicini al Sole e piugrave rapidamente si muovono (vedi la sezione ldquoterza legge di Keplerordquo)
Quindi quando i tre pianeti esterni sono vicini allopposizione la Terra che orbita piugrave vicina al Sole
li sorpassa e quindi essi sembrano muoversi allindietro Il moto retrogrado dei due pianeti interni
ha una causa simile Essendo piugrave vicini al Sole sono essi che sorpassano la Terra durante il loro moto
Bignamino di astronomia
18
Sommario di quanto egrave noto oggi sui pianeti
Viene qui riportato un breve sommario dei componenti del sistema solare In genere vengono distinte quattro classi di oggetti
1 I pianeti maggiori in ordine di distanza dal Sole - Mercurio Venere Terra Marte Giove Saturno Urano e Nettuno Tutti tranne i due piugrave interni hanno dei satelliti e tutti e quattro i piugrave esterni hanno degli anelli composti da piccoli ciottoli di materia in orbita attorno al pianeta
2 Asteroidi o pianetini in maggioranza - anche se non tutti - posti tra Marte e Giove Il loro diametro arriva fino a 500 Km
3 La fascia di Kuiper di oggetti ghiacciati oltre lorbita di Nettuno di cui il piugrave noto (anche se ora si egrave scoperto che egrave solo il secondo come dimensioni) egrave Plutone scoperto nel 1930 e delle dimensioni della nostra Luna La fascia ha preso il nome dellastronomo belga Gerard Kuiper si estende probabilmente a una distanza doppia di quella di Nettuno e si stima che consista di circa 100000 oggetti (finora ne sono stati identificati circa 1000) molti dei quali con un diametro di soli 100 Km o meno
4 Comete tradizionalmente divise in non ricorrenti (il nome ufficiale egrave comete a lungo periodo) e comete periodiche Le comete non ricorrenti si pensa che provengano dalla nube di Oort un enorme agglomerato quasi sferico di oggetti ghiacciati agli estremi limiti del sistema solare Essi sono debolmente legati al Sole e di tanto in tanto lattrazione gravitazionale di qualche stella lontana probabilmente cambia un poco il moto di alcuni di
essi lanciandoli in direzione del Sole In tal caso diventano visibili come comete quando la luce del Sole fa evaporare una parte della loro superficie generando la chioma e la coda della cometa Le comete periodiche una volta erano considerate come oggetti che avevano iniziato come oggetti non ricorrenti ma poi erano state deviate e catturate dallattrazione gravitazionale dei pianeti piugrave grandi Oggi si ritiene che provengano dalla fascia di Kuiper come classe di oggetti noti come Centauri
Bignamino di astronomia
19
LE LEGGI DEL MOTO DEI PIANETI
Prerequisito Lrsquoellisse
Luogo geometrico dei punti del piano per i quali si
mantiene costante la somma delle distanze da due
punti fissi detti fuochi
Detta in parole piugrave semplici lellisse non egrave altro che
una circonferenza ldquoschiacciata Un elemento
fondamentale che ci permette di capire di quanto
questa viene compressa egrave leccentricitagrave e
Leccentricitagrave egrave definita come il rapporto tra la
semidistanza focale e il semiasse maggiore
119890 =119888
119886
Formule inverse
119888 = 119886119890
119886 =119888
119890
Infatti nellellisse possiamo individuare
bull Semiasse maggiore (a)
bull Semiasse minore (b)
bull Semidistanza focale (c)
Indicheremo quindi con 2a il semiasse maggiore (AB) con 2b il semiasse minore (CD) e con 2c la
distanza focale (F1F2)
ATTENZIONE lrsquoeccentricitagrave dellellisse egrave SEMPRE compresa tra 0 e 1 (0ltelt1) Se
questa fosse uguale a 0 i due fuochi andrebbero a coincidere con lorigine e lellisse
diventerebbe una circonferenza Se fosse uguale a 1 diventerebbe una parabola se
fosse egt1 diventerebbe una iperbole
Dalla figura si nota che la somma delle distanze dai due punti fissi detti fuochi egrave costante ed egrave pari
alla lunghezza dellasse maggiore (2a) Quindi si puograve anche applicare il teorema di Pitagora
1198862 = 1198872 + 1198882
Formule inverse
1198872 = 1198862 minus 1198882
1198882 = 1198862 minus 1198872
Bignamino di astronomia
20
LEGGI DI KEPLERO
PRIMA LEGGE
Enunciato i pianeti descrivono intorno al Sole orbite
ellittiche in cui questo occupa uno dei fuochi
Si puograve quindi notare che la distanza di un pianeta
attorno al Sole non si mantiene costante bensigrave ci
saragrave un punto in cui questo saragrave piugrave vicino al Sole
(perielio) e uno in cui saragrave piugrave lontano (afelio)
Possiamo quindi calcolare le due distanze
119889119886 = 119886(1 + 119890)
119889119901 = 119886(1 minus 119890)
Formule inverse
119886 =119889119886
1 + 119890
119886 =119889119901
1 minus 119890
119890 =119889119886
119886minus 1
119890 = 1 minus119889119901
119886
Inoltre si nota anche che dalla somma delle due distanze otteniamo lasse maggiore dellorbita
2119886 = 119889119886 + 119889119901
E il semiasse egrave quindi dato da
119886 =119889119886 + 119889119901
2
Bignamino di astronomia
21
Formule inverse
119889119886 = 2119886 minus 119889119901
119889119901 = 2119886 minus 119889119886
La distanza focale egrave data dalla differenza delle due distanze
2119888 = 119889119886 minus 119889119901
119888 =119889119886 minus 119889119901
2
Formule inverse
119889119886 = 2119888 + 119889119901
119889119901 = 119889119886 minus 2119888
Quindi leccentricitagrave dellrsquoorbita puograve essere anche scritta come
119890 =119889119886minus119889119901
119889119886+119889119901=
2119888
2119886 =
119888
119886
SECONDA LEGGE
Enunciato il raggio vettore che congiunge il Sole al pianeta spazza aree
uguali in tempi uguali
Dalla seconda legge comprendiamo che la velocitagrave del pianeta intorno
al Sole non egrave costante al perielio viaggeragrave piugrave velocemente che
allafelio Quindi si puograve affermare che le velocitagrave sono inversamente
proporzionali alle distanze
119881119886
119881119901=119889119901
119889119886
Formule inverse
119881119886 =119889119901 119881119901
119889119886
Bignamino di astronomia
22
119881119901 =119881119886 119889119886
119889119901
119889119886 =119881119901 119889119901
119881119886
119889119901 =119881119886 119889119886
119881119901
TERZA LEGGE
Enunciato i cubi dei semiassi maggiori sono
proporzionali ai quadrati dei periodi di
rivoluzione
1198863
1198792= 119896
Dalla terza legge si nota che esiste una relazione tra periodo di rivoluzione e lontananza dal corpo
centrale Sono infatti legati tra loro dal valore di una costante che egrave stata indicata con k
Per i corpi orbitanti intorno ad una massa comune (come ad esempi o per i corpi del Sistema solare)
questa legge puograve essere anche scritta come
1198861199053
1198791199052 =
1198861198983
1198791198982
=1198861199043
1198791199042 = ⋯
PER I CORPI DEL SISTEMA SOLARE se si inserisce in formula il valore del semiasse maggiore in unitagrave
astronomiche (UA) e il periodo di rivoluzione in anni il valore di questa costante egrave uguale a 1 Infatti
ricavandola per la Terra
(1 119880119860)3
(1 119886119899119899119900)2= 1
E se k=1 per la Terra vale per tutti gli altri corpi orbitanti intorno al Sole
Bignamino di astronomia
23
NEWTON E LA GRAVITAZIONE UNIVERSALE
Con le leggi di Keplero siamo ancora in quella parte di fisica che descriviamo come cinematica
descriviamo perfettamente i moti dei pianeti ma non risaliamo alle cause Newton avanzograve lrsquoipotesi
che sia i gravi in caduta libera che i pianeti vengono deviati dalla condizione di moto rettilineo
uniforme dallrsquoesistenza di una forza centrale Nel 1684 Newton ldquopoggiandosi sulle spalle dei
gigantirdquo (Keplero ed il nostro Galilei) dimostrograve che la forza che fa ldquofluttuarerdquo i pianeti attorno al Sole
dipende dallrsquoinverso del quadrato della distanza da esso
Integrando il suo secondo principio della dinamica con la terza legge di Keplero perviene a
119865119892=41205872 119898
1198701199032
Questa forza deve dipendere anche dalla massa M del Sole ed allora
119865119892=41205872 119898119872
1198721198701199032
Dove K egrave la costante della terza legge di Keplero Ponendo la quantitagrave 41205872
119872119870 = G ( notare che contiene
la costante K e la massa del Sole) otteniamo la nota formula
119865119892=119866 119898119872
1199032
Newton dedusse che questa legge egrave valida non solo per i corpi del sistema solare ma in tutto
lrsquoUniverso egrave la Legge di Gravitazione Universale Nel 1798 Cavendish ideograve la bilancia a torsione e
trovograve il valore per la costante G = 667times10⁻sup1sup1 N msup2kgsup2
Bignamino di astronomia
24
Terza legge di Keplero generalizzata
Approssimando lrsquoorbita di un corpo a circolare e considerando trascurabile la massa del corpo
orbitante la condizione di equilibrio per la quale esso orbita egrave data da
119865119888 = 119865119892
119865119900119903119911119886 119888119890119899119905119903119894119891119906119892119886 = 119865119900119903119911119886 119892119903119886119907119894119905119886119911119894119900119899119886119897119890
La forza centrifuga egrave espressa come
119865119888 = 119898 119886119888
E quella gravitazionale (dalla legge di gravitazione universale di Newton) come
119865119892 =119866119872119898
1198862
Sostituendo in formula
119898119886119888 =119866119872119898
1198892
Notiamo che semplificando m otteniamo un modo per esprimere lrsquoaccelerazione
119886119888 =119866119872
1198892
Lrsquoaccelerazione egrave espressa come
119886119888 =1199072
119886=412058721198862
1198792119886=41205872119886
1198792
Sostituendo in formula
41205872119886
1198792=119866119872
1198862
Da cui
1198863
1198792=119866119872
41205872
Formule inverse
119886 = radic119866119872 1198792
41205872
3
119879 = radic412058721198863
119866119872
Bignamino di astronomia
25
119872 =412058721198863
119866 1198792
Nota nel caso in cui la massa del corpo orbitante non fosse trascurabile la terza legge di Keplero
generalizzata diventerebbe
1198893
1198792=119866 (119872 +119898)
41205872
Nel Sistema solare la somma delle due masse si considera uguale alla sola massa del
Sole data la relativa piccola massa dei pianeti
NOTA I corpi lasciati cadere verso il basso quando la resistenza dellrsquoaria egrave trascurabile cadono con la
stessa accelerazione g detta accelerazione di gravitagrave Sulla superficie terrestre lrsquoaccelerazione di
gravitagrave egrave g = 98 ms2 In realtagrave il valore di g cambia da punto a punto percheacute dipende fra lrsquoaltro
dallrsquoaltezza del punto sul livello del mare e dalla sua latitudine Ora che conosciamo la legge di
gravitazione universale possiamo dire che i corpi cadono per effetto della forza di gravitazione che
si esercita tra il corpo e la Terra Allora
119892 =119866119872
1198892
Se il corpo si trova sulla Terra o prossimo alla superficie sostituendo a questa formula i valori relativi
alla massa della Terra e al suo raggio troviamo per lrsquoaccelerazione il valore noto di 98 ms2
Un altro fattore che influisce sul valore di g egrave la rotazione terrestre in quanto ogni corpo su di
essa egrave soggetto ad una forza centripeta per cui
119892rsquo = 119892 minus 1205962 119877119879
ldquoRationem vero harum
Gravitatis proprietatum
ex phaelignomenis nondum
potui deducere amp
hypotheses non fingordquo
ldquoIn veritagrave non sono riuscito a dedurre la causa di
queste proprietagrave della gravitagrave dai fenomeni e non
avanzo ipotesirdquo
Isaac Newton Philosophiae Naturalis Principia
Mathematica liber tertius
Bignamino di astronomia
26
ALCUNE CONSIDERAZIONI SULLE ORBITE
La Legge della Gravitazione Universale ci insegna che la forza drsquoattrazione gravitazionale egrave
inversamente proporzionale al quadrato della distanza delle due masse che si attraggono ovvero
119865 prop1
1198892 a causa di questa caratteristica dellrsquointerazione gravitazionale si puograve dimostrare che le
orbite descritte dai corpi celesti attorno a un oggetto ldquoattrattorerdquo seguono particolari curve le
coniche
Le coniche sono curve che si ottengono dallrsquointersezione di un piano con un cono a due falde Si
ottengono cosigrave circonferenza ellisse iperbole e parabola
Ciograve che distingue lrsquouna dallrsquoaltra queste curve egrave un parametro lrsquoeccentricitagrave
Circonferenza il piano egrave perpendicolare
allrsquoasse (tratteggiato)
Ellisse il piano egrave obliquo
Parabola il piano egrave parallelo a una delle
generatrici (le due rette incidenti in V in
figura)
Iperbole il piano egrave parallelo allrsquoasse del cono
CIRCONFERENZA e=0
ELLISSE 0ltelt1 (piugrave questo valore si avvicina ad 1 piugrave
lrsquoellisse egrave schiacciata)
PARABOLA e=1
IPERBOLE egt1 (quanto piugrave maggiore di uno egrave
questo valore tanto piugrave lrsquoiperbole egrave ldquoapertardquo)
Bignamino di astronomia
27
VELOCITAgrave ORBITALE ORBITA CIRCOLARE
Affincheacute il corpo rimanga in orbita egrave necessario che in ogni punto dellrsquoorbita la forza centripeta sia
uguale alla forza di attrazione gravitazionale
FC = FG
mv2
R=mMG
R2
mv2
R=mMG
R2
v2 =MG
R
119855 = radic119820119814
119825
A questa velocitagrave si dagrave il nome di prima velocitagrave cosmica
VELOCITAgrave SU ORBITE NON CIRCOLARI
Il problema si risolve con lrsquoapplicazione del principio di conservazione dellrsquoenergia meccanica che
altro non egrave che la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale
119922120783 + 119932120783 = 119922120784 + 119932120784
E poicheacute le velocitagrave orbitali variano al variare dalla distanza alla prima equazione egrave necessario
associare la seconda legge di Keplero
Per cui il problema egrave risolto dalla soluzione del sistema
119922120783 + 119932120783 = 119922120784 + 119932120784119959119938 119941119938 = 119959119953119941119953
Nel caso della forza gravitazionale lrsquoenergia potenziale egrave 119880 = minus119898119872119866
119877
Lrsquoenergia cinetica egrave K= 1
21198981199072
Bignamino di astronomia
28
Il sistema diventa
119907119886119889119886 = 1199071199011198891199011
2119898119907119886
2 minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
Le soluzioni sono 119959119938 = radic120784119918119924119941119953
119941119938(119941119953+119941119938) 119959119953 = radic120784119918119924
119941119938
119941119953(119941119953minus119941119938)
Ricordando che 119889119886 = 119886(1 + 119890) 119889119901 = 119886(1 minus 119890) 119938 =119941119938+119941119953
120784 119942 =
119941119938minus119941119953
119941119938+119941119953
le due velocitagrave possono anche essere espresse in funzione del semiasse maggiore e
dellrsquoeccentricitagrave dellrsquoorbita
Quindi
119907119901 = radic119918119924
119938(120783+119942
120783minus119942)
119907119886 = radic119918119924
119938(120783minus119942
120783+119942)
ALCUNE CONSIDERAZIONI DINAMICHE SULLE ORBITE
Allrsquoinizio di questi appunti abbiamo evidenziato come gli oggetti orbitanti seguano delle traiettorie
che sono curve coniche e abbiamo individuato questrsquoultime catalogandole anche a seconda
dellrsquoeccentricitagrave in seguito abbiamo enunciato il principio di conservazione dellrsquoenergia meccanica
119922+119932 = 119940119952119956119957119938119951119957119942
Possiamo procedere nella classificazione delle orbite a seconda del valore assunto da questa
costante (lrsquoenergia meccanica) In particolare
bull Se questa costante egrave negativa allora lrsquooggetto segue unrsquoorbita chiusa (circonferenza
ellisse)
bull Se essa egrave nulla allora il corpo si muove su unrsquoorbita parabolica (a distanza infinita la sua
velocitagrave egrave nulla)
bull Se essa egrave positiva allora la traiettoria egrave iperbolica (e il corpo giunge a distanza infinita con
velocitagrave ndash chiamata ldquovelocitagrave drsquoeccesso iperbolicordquo ndash non nulla)
Bignamino di astronomia
29
VELOCITAgrave DI FUGA ndash RAGGIO DI SCHWARZSCHILD
119959 = radic120784119918119924
119929
A questa velocitagrave si dagrave il nome di seconda velocitagrave cosmica o velocitagrave di fuga
Immaginiamo ora di poter comprimere un corpo celeste di massa M (quindi via via il raggio R
diminuisce) la velocitagrave di fuga di un altro corpo dalla sua superficie aumenteragrave al diminuire del
raggio Quando il raggio raggiungeragrave un valore ldquocriticordquo la velocitagrave di fuga eguaglieragrave quella della
luce e neanche la luce potragrave allontanarsi indefinitamente dal corpo esso egrave diventato un buco nero
Al raggio ldquocriticordquo associato a ogni massa M si dagrave il nome di Raggio di Schwarzschild in onore del
matematico astronomo e astrofisico tedesco Karl Schwarzschild (1873-1916) il raggio si ricava cosigrave
119888 = radic2119866119872
119877119904 rarr 1198882 =
2119866119872
119877119904 rarr 119929119956 =
120784119918119924
119940120784
Dove c egrave la velocitagrave della luce (c=299792458 ms)
Bignamino di astronomia
30
ECLISSI LUNA-SOLE
Eclisse di Luna
Una eclisse di Luna si verifica quando la Terra si interpone tra il nostro satellite ed il Sole cioegrave
quando la Luna entra nel cono drsquoombra della Terra che egrave rivolto dalla parte opposta al Sole e per
tanto lrsquoeclisse piograve avvenire solo quando la Luna egrave in opposizione cioegrave quando egrave piena Poicheacute la
Luna si sposta da ovest verso est essa
entra nel cono drsquoombra della Terra dalla
parte sinistra Se lrsquoorbita della Luna
attorno alla Terra giacesse sullo stesso
piano dellrsquoorbita della Terra attorno al
Sole ad ogni plenilunio avremmo una
eclisse totale di Luna Queste due orbite
sono inclinate di 5deg9rsquo e si incontrano i
due punti che definiscono i nodi Percheacute
si abbia una eclisse Sole e Luna non solo
devono essere allrsquoopposizione ma
devono essere vicinissimi ai nodi In media la distanza angolare del Sole dal nodo deve essere minore
di 9deg9 per unrsquoeclisse parziale e non piugrave di 4deg6 per unrsquoeclisse totale
Calcolo lunghezza cono drsquoombra della Terra
I triangoli VAS e VBT sono simili (vedi figura)
VS VT= AS BT
Ma
VS= VT+ TS
sostituendo si trova che
VT =119879119878∙119861119879
119860119878minus119861119879
Siccome sappiamo che il raggio del Sole egrave circa 10925 raggi terrestri abbiamo
Bignamino di astronomia
31
VT= 119878119879∙119861119879
10925119861119879minus119861119879
VT= 119878119879
10925minus1
La lunghezza del cono drsquoombra si puograve calcolare dividendo la distanza media Terra-Sole per 10925
Si puograve calcolare anche il semidiametro apparente visto dalla Terra dellrsquoombra che la Terra proietta
sul piano dove si trova la Luna
Poicheacute il raggio angolare della Luna egrave di 15rsquo5 percheacute una eclisse di Luna possa avere luogo egrave
necessario che la distanza tra i centri dellrsquoombra terrestre e della Luna sia inferiore a
41rsquo+15rsquo5 = 56rsquo5
Con questo dato si puograve calcolare quanto egrave spostato il centro dellrsquoorbita terrestre dal nodo lunare
Dalla proporzione
119861119879 119877119867 = 119881119879119867119881
119877119867 =119881119867 ∙ 119861119879
119881119879
Dato che
119881119867 = 119881119879 minus 119879119867
119877119867 =119861119879 (119881119879 minus 119879119867)
119881119879=
=119861119879
119881119879(1 minus
119879119867
119881119879) =
Dalla formula precedente
119881119879 =119878119879
10825
Sostituendo
Bignamino di astronomia
32
119877119867 =119861119879 ∙ 10825
119878119879(1 minus 119879119867) =
= 119877119879119864119877119877119860119863119879119878
10825 (1 minus 119863119879119871)
Si trova che questo valore egrave di 10deg6 Quindi unrsquoeclisse lunare si puograve verificare (anche di breve
durata) solo nel caso in cui lrsquoorbita terrestre egrave spostata meno di 10deg6 gradi dal nodo lunare (ad est
o ad ovest)
La Terra si muove lungo lrsquoeclittica di circa 59rsquo al giorno Per percorrere questa distanza impiega 108
giorni e la distanza doppia in 216 giorni poicheacute una rivoluzione sinodica si compie in 295 giorni
Una Luna piena puograve verificarsi ad una distanza superiore ai 10deg6 gradi ad ovest e la successiva Luna
piena ad una distanza superiore ad est e quindi nel corso di questa rivoluzione non si verificheranno
eclissi Si puograve verificare che in un anno non ci siano eclissi o al massimo tre quando la prima cade
poco dopo il primo gennaio la seconda sei mesi dopo (in prossimitagrave di giugno) e la terza a fine
dicembre (dodici mesi sinodici dopo la prima 354 giorni)
Bignamino di astronomia
33
Eclisse di Sole
Uneclissi di Sole si verifica quando la Luna attorno alla sua congiunzione si trova allineata tra la
Terra e il Sole molto vicino ad uno dei nodi o esattamente in esso Bencheacute di dimensioni
estremamente diverse si trovano a distanze tali da mostrare lo stesso diametro apparente Il che
consente alla Luna di coprire il disco del Sole
Percheacute ci sia una eclisse di Sole egrave necessario che
al momento del novilunio il Sole sia distante
dal nodo inferiore in media 15deg5 Questo
valore egrave piugrave alto di quello calcolato per lrsquoeclisse
di Luna e quindi si capisce percheacute le eclissi di
Sole sono piugrave frequenti Il cono drsquoombra
massimo della Luna ha un valore che non
supera i 270km sulla superficie della Terra mentre la lunghezza del cono drsquoombra egrave circa 374000
per cui il vertice di questo cono non sempre raggiunge la Terra in questo caso si hanno eclissi
anulari In localitagrave differenti della Terra lrsquoeclisse di Sole si verifica in tempi diversi Il moto della Luna
attorno alla Terra e la rotazione della Terra attorno al proprio asse fanno sigrave che lrsquoombra lunare si
sposti da ovest verso est formando una striscia drsquoombra lunga un migliaio di km e larga da 200 a 270
km Poicheacute la Luna si sposta da ovest verso est lrsquoeclisse inizia dal bordo ovest del Sole
Condizione percheacute si possa verificare unrsquoeclissi di Sole
Percheacute si verifichi unrsquoeclisse di Sole egrave necessario che nel periodo della Luna nuova questa si trovi in
prossimitagrave di uno dei nodi della sua orbita cioegrave in vicinanza dellrsquoeclittica
Indichiamo con S T L i centri del Sole della Terra della Luna che giacciono tutti su di un piano
perpendicolare al piano dellrsquoeclittica Il verificarsi dellrsquoeclisse dipende dalla latitudine geocentrica
della Luna (nella figura lrsquoangolo LTS (vertice in T) = 120573 )
Dalla figura
Bignamino di astronomia
34
120573 = LTLrsquo+ LrsquoTSrsquo + STSrsquo
Dalla figura si evince che
LTLrsquo egrave il raggio angolare della Luna= 120572119871
STSrsquo egrave il raggio angolare del Sole = 120572119878
120573 = 120572119871 + LrsquoTSrsquo + 120572119878
Lrsquo TSrsquo =
Consideriamo lrsquoangolo TLrsquoO esterno al triangolo TLrsquoSrsquo
TLrsquoO= LrsquoTSrsquo + TSrsquoLrsquo
TLrsquoO= LrsquoTSrsquo + TSrsquoO
LrsquoTSrsquo = TLrsquoO - TSrsquoO
TLrsquoO = 119901119871 = 57prime2primeprime (parallasse orizzontale della Luna)
TSrsquoO= 119901119878 = 8primeprime 8 (parallasse orizzontale del Sole)
120573 = 120572119871 + 120572119878 + 119901119871 - 119901119878
120573 = 15rsquo5 +16rsquo3 +57rsquo2 ndash 8rsquorsquo8
120573 = 88rsquo46
Percheacute si verifichi una eclisse anche di breve durata egrave necessario che la latitudine geocentrica della
Luna sia inferiore a 88rsquorsquo46
La parallasse orizzontale equatoriale della Luna egrave lrsquoangolo sotto il quale dal centro della Luna egrave
visibile il raggio equatoriale della Terra La parallasse orizzontale equatoriale del Sole egrave lrsquoangolo
sotto il quale dal centro del Sole egrave visibile il raggio equatoriale della Terra
Bignamino di astronomia
35
La distanza angolare del centro della Luna rispetto al
nodo (longitudine) si puograve calcolare con la
sinΔ120582 = tan120573
tan 119894
Δ120582 = 16deg5
Il Sole muovendosi alla velocitagrave di 59rsquo al giorno percorre 33deg gradi di eclittica in 34 giorni Essendo
il periodo sinodico di 295 giorni egrave evidente che nel corso di questo periodo si ha una Luna nuova
(ed anche due) Questo assicura che nel corso di un anno si verificano almeno due eclissi di Sole in
vicinanza dei nodi Se la prima si verifica ai primi di gennaio la seconda si ha alla Luna nuova
successiva la terza e la quarta poco meno di sei mesi dopo e la quinta 354 giorni dopo la prima
Bignamino di astronomia
36
Numero totale di eclissi per anno
Il Ciclo di Saros
In base a quanto fin qui detto il numero massimo di eclissi che si possono verificare in un anno egrave 7
bull 2 Luna + 5 Sole
bull 3 Luna + 4 Sole
e viceversa Questa combinazione egrave piuttosto rara lrsquoevento piugrave frequente egrave 2 Luna + 2 Sole Il
numero minimo costituito da due eclissi entrambe di Sole
Fin dallrsquoantichitagrave era noto che le eclissi si succedevano pressocheacute nello stesso ordine in un periodo
di circa 18 anni e 113 giorni La spiegazione egrave alquanto semplice
Le fasi lunari si succedono ogni 2953 giorni (mese sindico) mente il ritorno allo stesso nodo della
Luna avviene ogni 2721 giorni I nodi
hanno un moto di retrogradazione in un
giorno percorre un angolo pari a
3rsquo10rsquorsquo64 e completa il giro in 18anni e
113 giorni Il Sole si sposta di moto
diretto in media di 59rsquo8rsquorsquo33 al giorno
rispetto al nodo Il moto del Sole egrave di
62rsquo19rsquorsquo e quindi lrsquointervallo di tempo fra
due passaggi consecutivi del centro del
Sole per lo stesso nodo egrave di 34662 giorni
(anno draconico) Il saros egrave lrsquointervallo di tempo percheacute questi tre periodi tornino nella stessa
successione La natura si diverte
Succede che
bull 223 lunazioni (223 mesi sinodici) corrispondono a giorni 658519 (223 x 2953)
bull 242 mesi draconici corrispondono a giorni 658502
bull questi giorni corrispondono a 18 anni e circa 11 giorni
Poi succede che se dividiamo questi 658519 per lrsquoanno draconico troviamo circa 19
Questi tre periodi ritornano nella stessa successione dopo circa 6585 giorni che rappresenta il
ciclo di Saros Le condizioni in cui si producono le eclissi non saranno mai le stesse poicheacute essendo
223 mesi sinodici piugrave corti di 004 mesi draconici dopo 18 anni la Luna non si troveragrave esattamente
allo stesso posto rispetto al nodo Il ciclo di Saros contiene 6585 giorni interi piugrave circa 13 di giorni
questo comporta che le zone di visibilitagrave delle eclissi sulla superficie terreste in 18 anni si spostano
di circa 120deg verso Ovest
Bignamino di astronomia
37
ANGOLO SOLIDO
Si definisce angolo solido la porzione di sfera intercettata dalle
semirette che lo individuano
120570 =119860
1198772=41205871198772
1198772= 4120587
120570 = 4120587
Langolo solido totale di una sfera egrave pari a 4π Lunitagrave di misura
egrave sr (steradiante) ed egrave un numero puro
Per avere la misura in gradi quadrati si deve
119898119900119897119905119894119901119897119894119888119886119903119890 4120587 bull (180deg
120587)2
119900 1198891198941199071198941198891198901199031198904120587
1205872
4π sr= 41253deg -gt 1deg=3046 bull 10minus4119904119905119890119903119886119889
STRUMENTI OTTICI
CAMPO DELLO STRUMENTO
Il campo di uno strumento egrave definito dallangolo solido sotto il quale loculare viene visto dal centro
dellobiettivo Il campo corretto dalle aberrazioni ottiche di norma egrave 1
2deg
APERTURA ASSOLUTA
Lapertura assoluta dipende dal diametro D dello strumento La quantitagrave di luce raccolta egrave
proporzionale allarea dellobiettivo cong 1198632
APERTURA RELATIVA
Si definisce apertura relativa il rapporto
119863
119891=119886119901119890119903119905119906119903119886 119886119904119904119900119897119906119905119886 (119889119894119886119898119890119905119903119900)
119891119900119888119886119897119890 119889119890119897119897prime119900119887119894119890119905119905119894119907119900
Bignamino di astronomia
38
RAPPORTO FOCALE
Linverso dellrsquoapertura relativa 119891
119863 definisce il rapporto focale
Lenergia raccolta dallobiettivo egrave distribuita sullarea dellimmagine la cui grandezza sul piano focale
egrave data da
119889 = 119891 bull 119905119886119899120572
Con α=diametro angolare dellrsquooggetto
119889 = 119891120572
Se α egrave espresso in radianti
POTERE RISOLUTIVO
Il potere risolutivo egrave la minima distanza angolare tra due sorgenti di luce che possono essere viste
separate (ldquorisolte in termine tecnico) secondo un criterio detto di Rayleigh
Due sorgenti puntiformi (di uguale luminositagrave) risultano risolte quando la loro distanza angolare
120579 =122 bull 120582
119863=119897119906119899119892ℎ119890119911119911119886 119889prime119900119899119889119886
119889119894119886119898119890119905119903119900
Si ottiene un risultato in radianti
In secondi darco invece
120579 =25 bull 105 bull 120582
119863
Con λ=lunghezza donda della luce=5500Aring (regione di massima sensibilitagrave dellocchio)
Il potere risolutivo dellocchio assumendo la pupilla con un diametro di 3 mm egrave uguale a
120579 =122120582
119863= 122 bull
5500 bull 10minus9119898
3 bull 10minus3119898= 224 bull 10minus4119903119886119889 = 46
Il fattore di conversione da radianti a secondi egrave il NUMERO MAGICO 1 rad = 206265rdquo
Nella determinazione del potere risolutivo interviene lrsquoapertura dello strumento e non
lrsquoingrandimento
Bignamino di astronomia
39
INGRANDIMENTO
Lingrandimento dello strumento egrave dato dal rapporto tra la focale dellobiettivo f e la pupilla
delloculare f
119892 =119891
119891prime
ABERRAZIONE DELLA LUCE
Quando i raggi di una stella arrivano sulla Terra la loro direzione di provenienza
appare leggermente deviata a causa della velocitagrave orbitale del pianeta v I vettori
delle velocitagrave (della luce e del pianeta) si combinano per dare un vettore risultante di
poco inclinato dalla direzione di provenienza dei raggi
119886 = arctan119907
119888
RIFRAZIONE
Il fenomeno della rifrazione ha origine dal cambiamento di
velocitagrave delle onde luminose quando passano da un mezzo
trasparente allrsquoaltro Esiste una proporzione tra le due diverse
velocitagrave e i seni degli angoli 120579119894119899119888119894119889119890119899119911119886 e 120579119903119894119891119903119886119911119894119900119899119890 che i raggi
formano con la linea normale alla superficie nel punto colpito dal
raggio Se consideriamo gli indici di rifrazione 1198991 e 1198992 dei materiali
la proporzione egrave inversa
119904119894119899120579119894119899119888119894119889119890119899119911119886119904119894119899120579119903119894119891119903119886119911119894119900119899119890
=11989921198991=11990711199072
Bignamino di astronomia
40
RIFRAZIONE ATMOSFERICA
Allrsquoentrata nellrsquoatmosfera terrestre i raggi luminosi provenienti da un corpo celeste che si trova a
distanza zenitale z vengono rifratti (deviati verso il basso) di un angolo r Quindi i corpi celesti si
osservano in una posizione leggermente piugrave alta del reale In particolare possiamo vedere oggetti
che si trovano anche sotto lrsquoorizzonte geometrico del luogo (es Il sole al tramonto) La formula
stabilisce che lrsquoangolo di rifrazione egrave proporzionale alla tangente della distanza zenitale
Questa formula vale fino ad angoli 119963 asymp 120789120782deg
Oltre questo valore fino allrsquoorizzonte la rifrazione aumenta fino a raggiungere il valore massimo di
35rsquo
119903 = 582 tan (119911)
Bignamino di astronomia
41
RIASSUMENDOhellip
CENNI TEORICI SUI TELESCOPI
Il telescopio egrave uno strumento che raccoglie la luce o altre radiazioni elettromagnetiche
provenienti da un oggetto lontano la concentra in un punto (detto fuoco) e ne produce
unimmagine ingrandita Possiamo paragonare un telescopio a un ldquogrande occhiordquo che
sopperisce al fatto che la nostra pupilla di dimensioni ridotte riesce a raccogliere un
quantitativo insufficiente di luce emessa da un oggetto lontano Un telescopio egrave
caratterizzato dalle seguenti componenti e grandezze
bull OBIETTIVO egrave la parte del telescopio rivolta verso lrsquooggetto da osservare Il suo
diametro D prende il nome di APERTURA Telescopi con una grande apertura sono
capaci di raccogliere piugrave luce e di fornire unrsquoimmagine a piugrave alta risoluzione
Lrsquoobiettivo fa convergere i raggi luminosi in un punto il fuoco la cui distanza
dallrsquoobiettivo egrave chiamata LUNGHEZZA FOCALE
bull OCULARE la parte del telescopio (nel caso di telescopi ottici) che raccoglie la luce
proveniente dallrsquoobiettivo e che la trasmette poi allrsquoocchio Anche per lrsquooculare egrave
possibile definire una LUNGHEZZA FOCALE
Ingrandimento
Lrsquoingrandimento di un telescopio egrave dato dal rapporto fra la lunghezza focale dellrsquoobiettivo e
la lunghezza focale dellrsquooculare
119894 = 119891119900119887119891119900119888 Rapporto focale
Rapporto esistente tra la lunghezza focale dellrsquoobiettivo e lrsquoapertura stessa del telescopio
119865 =119891119900119887
119863 negli strumenti egrave specificato da una F seguita da un numero (es F4 F45 F6hellip)
Campo visivo
Esso egrave dato dal rapporto fra il campo visivo apparente dellrsquooculare (lrsquoampiezza angolare
dellrsquoimmagine fornita dallrsquooculare soltanto) e il numero di ingrandimenti
119865119900119881 =119865119900119881119900119888119894
Pupilla drsquouscita
Essa egrave il diametro del fascio luminoso che esce dallrsquooculare
119901 =119863
119894
Potere risolutivo
Esso egrave lrsquoangolo minimo che deve separare due oggetti affincheacute lo strumento li possa
distinguere egrave dato dal criterio di Rayleigh
120599(119903119886119889) =122120582
119863 120599deg =
699120582
119863 120582 119897119906119899119892ℎ119890119911119911119886 119889prime119900119899119889119886 119889119890119897119897119886 119897119906119888119890 119900119904119904119890119903119907119886119905119886
Bignamino di astronomia
42
Magnitudine limite
Egrave la magnitudine visuale massima che puograve essere osservata con uno strumento di apertura
D (in cm)
119898119897119894119898 = 68 + 5119897119900119892119863
Ingrandimento minimo utile
egrave lrsquoingrandimento che fornisce una pupilla drsquouscita pari al diametro della pupilla umana (6-7
mm)
119894119898119894119899 = 119863(119898119898)7
Formula di Dawes
Ci consente di trovare lrsquoapertura di un telescopio che gli consenta di distinguere un oggetto
che si vede sotto un angolo α
119863(119898119898) =120
120572
Dimensioni dellrsquoimmagine sul piano focale
Lrsquoimmagine che si forma sul piano focale di un telescopio con lunghezza focale dellrsquoobiettivo
f relativa a un oggetto di dimensione angolare α egrave
119897 = 2119891 tan (1205722)
Bignamino di astronomia
43
ELEMENTI DI ASTROFISICA
Tutte le informazioni che riceviamo dalle stelle ci provengono dalla ldquolucerdquo che emettono1 Egrave solo
attraverso lrsquoanalisi e la ldquodecodificazionerdquo dei messaggi contenuti in questa radiazione
elettromagnetica che egrave la luce che noi possiamo ottenere informazioni sulle proprietagrave fisiche e
chimiche delle stelle e delle galassie
La radiazione elettromagnetica
Una radiazione elettromagnetica egrave dal punto di vista dellrsquoelettromagnetismo classico un fenomeno
ondulatorio dovuto alla contemporanea propagazione di perturbazioni periodiche di un campo
elettrico e di un campo magnetico oscillanti su piani tra di loro ortogonali Le stelle emettono
tipicamente radiazione di ldquocorpo nerordquo e come tale irradiano energia in tutte le lunghezze drsquoonda
secondo una distribuzione che viene chiamata spettro della radiazione elettromagnetica
I parametri che permettono di distinguere tra loro le varie radiazioni elettromagnetiche sono
1) In realtagrave un altro ldquocanalerdquo di trasmissione delle informazioni per la comprensione dei fenomeni celesti si egrave aperto
grazie ai risultati positivi ottenuti dagli interferometri per onde gravitazionali LIGO e VIRGO in particolare gli
interferometri menzionati il 17 agosto 2017 hanno rilevato un segnale di onda gravitazionale (rilevazione
annunciata poi ufficialmente il 16 ottobre dello stesso anno) mentre altri telescopi in orbita e a terra sono riusciti
a individuare per la prima volta la sua controparte elettromagnetica lrsquoevento che ha generato il segnale egrave stato
la collisione di due stelle di neutroni (che ha portato a unrsquoesplosione nota col termine di kilonova ) nella galassia
NGC 4993 esso ha segnato la nascita della cosiddetta ldquoastronomia multi-messaggero per il fatto che egrave stato
possibile confrontare due ldquolinguaggirdquo diversi permettendo cosigrave di ampliare le frontiere della conoscenza di
questi fenomeni ldquoestremirdquo
Bignamino di astronomia
44
Parametri di unrsquoonda
Come tutti i fenomeni ondulatori la radiazione elettromagnetica egrave caratterizzata da questi
parametri
Lunghezza drsquoonda 120640
la lunghezza drsquoonda tra due creste o tra
due ventri Si misura in metri eo con i
suoi sottomultipli
Periodo T
lrsquointervallo di tempo misurato in
secondi in cui avviene unrsquooscillazione
completa ovvero lintervallo di tempo
impiegato dallonda per ritornare nella
medesima posizione (per esempio il
tempo intercorso tra due creste o tra
due ventri successivi
Frequenza 120650 egrave il numero di creste che si susseguono nello stesso posto nellrsquounitagrave di
tempo egrave lrsquoinverso del periodo
120592 =1
119879
Frequenza che si misura in Hertz (Hz) pari ad unrsquooscillazione al secondo
119867119911 = 1119904minus1
Ampiezza A rappresenta la variazione massima dellrsquoonda Lrsquoampiezza di unrsquoonda
periodica egrave lrsquoaltezza di una sua cresta
Intensitagrave di unrsquoonda egrave proporzionale al quadrato dellrsquoampiezza
Potenza ogni onda porta con seacute unrsquoenergia e quindi una potenza Tale potenza decresce
con il quadrato della distanza dalla sorgente
La lunghezza drsquoonda λ e la frequenza ν di una radiazione elettromagnetica sono grandezze legate
tra loro dalla relazione
120582 ∙ 120592 = 119888
(c ndashla velocitagrave della luce- nel vuoto ha un valore di 299 792 458 ms) Questa formula ci dice che le
due grandezze sono inversamente proporzionali
Bignamino di astronomia
45
La radiazione elettromagnetica puograve essere interpretata come un insieme di ldquopacchettirdquo di energia a
cui si dagrave il nome di fotoni grazie a questi ldquopacchetti energeticirdquo la luce puograve interagire con la materia
a livello microscopico per esempio puograve eccitare un elettrone in un atomo cedendo a esso la sua
energia Continuando il paragone possiamo immaginare che piugrave la radiazione egrave intensa piugrave i
pacchetti sono numerosi piugrave la radiazione cresce di frequenza piugrave essi sono ldquocapientirdquo
Questrsquoultima caratteristica egrave descritta dalla Legge di Planck che lega lrsquoenergia del fotone alla sua
frequenza
119864 = ℎ ∙ 120584
(dove h egrave la costante di Planck)
119864 = ℎ119888
120582
EQUIVALENZA MASSA- ENERGIA Tra lrsquoenergia e la massa esiste una fondamentale relazione
scoperta dal fisico Albert Einstein espressa dallrsquoequazione
119864 = 1198981198882
dove c egrave la velocitagrave della luce (pari a 3 middot 108 ms) Lequazione di Einstein implica che energia e massa
sono equivalenti la massa puograve essere trasformata in energia e lenergia puograve essere trasformata in
massa Ciograve comporta il principio di conservazione della massa-energia non vi egrave conservazione della
massa o dellenergia considerate separatamente ma vi egrave conservazione dellinsieme delle due a una
diminuzione della massa pari a m deve corrispondere un aumento dellenergia pari a m middot c2
Poicheacute il prodotto m middot c2 egrave un numero molto grande la trasformazione di una massa anche molto
piccola di materia determina la produzione di una quantitagrave enorme di energia come avviene per
esempio nelle reazioni di fissione e di fusione nucleari (queste ultime avvengono nel nucleo delle
stelle si veda per una maggiore comprensione il problema 2 della sezione Miscellanea)
Bignamino di astronomia
46
Grandezze fotometriche
Flusso luminoso Quantitagrave di energia luminosa emessa da una determinata sorgente nellunitagrave di tempo Lo indichiamo con la lettera Φ Lunitagrave di misura nel SI egrave il lumen (lm) 1 watt = 683 lumen
Illuminamento Rapporto tra il flusso luminoso ricevuto da una superficie e larea della superficie stessa ( E=
120593
119878 )
Lunitagrave di misura nel SI egrave il lux (lx) ovvero il lumen al metro quadrato (lm1198982)
Nota Dalla definizione di illuminamento si ricavano due importanti corollari di natura geometrica che risultano molto utili per comprendere la distribuzione della luce nello spazio
1) Per una sorgente puntiforme la diminuzione del livello di illuminamento su di una superficie varia in relazione al quadrato della distanza dalla fonte raddoppiando la distanza dalla fonte il livello di illuminamento sulla superficie diviene quindi frac14
2) Il livello drsquoilluminamento su di una superficie egrave massimo quando i raggi luminosi giungono perpendicolari ad essa e diminuisce proporzionalmente al loro angolo drsquoincidenza secondo la relazione E = 119864119899 cosi 119864119899egrave 119897
prime illuminamento normale i lrsquoangolo drsquoincidenza tra raggi luminosi e la normale alla superficie
Immagine dal web (fonte VOLTIMUM)
Bignamino di astronomia
47
Intensitagrave luminosa Flusso luminoso emesso allinterno dellangolo solido unitario in una direzione data
119868 = 119864 =120593
120596
ed egrave una grandezza vettoriale Lunitagrave di misura nel SI egrave la candela (cd)
Luminanza La luminanza egrave il rapporto tra lrsquointensitagrave luminosa di una sorgente nella direzione di un osservatore e la superficie emittente apparente cosigrave come viene vista dallrsquoosservatore stesso
119871 = 119868
119878 119888119900119904120572
120572 egrave 119897prime119886119899119892119900119897119900 compreso tra la direzione di osservazione e lrsquoasse perpendicolare alla superficie emittente La luminanza si esprime in cd1198982
Bignamino di astronomia
48
Parametri fisici delle stelle
Le grandezze fondamentali che permettono di caratterizzare le stelle sono
la distanza (d)
lo spettro della radiazione em emessa
la luminositagrave totale o bolometrica (L)
la temperatura superficiale (T)
il raggio (R)
la massa (M)
Le stelle possono essere approssimate a corpi neri in quanto le uniche onde elettromagnetiche che
non vengono assorbite dalla loro superficie sono quelle aventi una lunghezza donda di dimensione
pari o maggiore del diametro della stella stessa Per studiare le proprietagrave dellrsquoemissione continua
delle stelle egrave utile introdurre il concetto di corpo nero
Corpo nero
Il corpo nero egrave un corpo che assorbe tutta la radiazione che gli cade sopra Appare perfettamente nero percheacute assorbe il 100 della radiazione che incide su di esso e non ne riflette nessuna Il corpo nero egrave un oggetto teorico nessun materiale assorbe tutta la radiazione incidente Il corpo nero ha uno spettro di emissione caratteristico che dipende solo da un parametro la temperatura Lo studio della radiazione emessa dal corpo nero ha portato alla formulazione delle seguenti leggi
bull La legge (di spostamento) di Wien la frequenza massima 120584119898119886119909 di uno spettro di corpo nero a temperatura T cresce linearmente con T
120584119898119886119909 prop T il che comporta una proporzionalitagrave inversa fra la temperatura assoluta e la lunghezza drsquoonda
120582119898119886119909 119879 = 119887
b = 29 10minus3 m∙K
Per cui si ha
120582119898119886119909 T = 29 10minus3 m∙K
Bignamino di astronomia
49
bull Legge di Stefan-Boltzmann lenergia erogata per unitagrave di
superficie e per unitagrave di tempo egrave proporzionale alla quarta
potenza della temperatura T
119868 = 1205901198794
Applicazioni in astrofisica
Stefan-Boltzmann per una stella che approssimiamo ad una sfera di raggio R e superficie S= 41205871198772
la legge di Stefan-Boltzmann diventa
L= 41205871198772 120590T4
Poicheacute le stelle non sono dei corpi neri perfetti la temperatura egrave la temperatura efficace quella che
la superficie della stella avrebbe se si comportasse da corpo nero
Flusso e Luminositagrave
120593= 119871
41205871198892
Il flusso di energia egrave dato dal rapporto fra la lrsquoenergia emessa
dalla stella nellrsquounitagrave di tempo e la superficie della sfera di
raggio pari alla distanza d dalla stella Quindi si vede che il flusso
misurato sulla superficie terrestre dipende dalla luminositagrave
della stella e dalla sua distanza
Bignamino di astronomia
50
I LOGARITMI
Il termine logaritmo egrave composto da due parole greche logos = ragione e arithmos = numero
ldquoNumero di ragionirdquo questa definizione appare naturale pensando alla ragione delle progressioni
aritmetiche e geometriche che sono alla base della costruzione di Nepero
La storia di come nasce questo procedimento di
calcolo egrave molto interessante qui ci piace
evidenziare che la motivazione alla base della
scoperta dei logaritmi ed anche il motivo del loro
successo fu la ricerca di efficienti strumenti di
calcolo in grado di alleggerire il pesante fardello
di cui erano gravati gli astronomi del tempo i
quali per poter predire il corso dei pianeti si
dovevano confrontare con grandi difficoltagrave di
calcolo Basta pensare al calcolo dellrsquoorbita del
pianeta Marte del povero Keplero Quando Nepero pubblicograve il suo lavoro sui logaritmi gli
astronomi dissero che aveva regalato loro metagrave della vita I logaritmi rendono infatti possibile
trasformare prodotti in somme quozienti in differenze elevamenti a potenza in prodotti e
calcoli di radici in quozienti le operazioni vengono molto semplificate
Che cosa egrave un logaritmo
Generalmente si risponde che egrave una operazione inversa
Partiamo da una operazione conosciuta lrsquoestrazione di radice quadrata di un numero
radic25 = 5
La radice quadrata di 25 egrave quel numero che elevato a due restituisce 25 cioegrave il numero 5 infatti 52 =
25 Concludiamo dicendo che la radice egrave lrsquooperazione inversa dellrsquoelevamento a potenza
Il concetto di logaritmo egrave abbastanza simile a quello della radice quadrata solo che non ci riporta al
numero di partenza ma al suo esponente
Introduciamo la scrittura
log5 25 = 2
questa la scriviamo
52 =25
Definiamo logaritmo di un numero b (argomento del logaritmo) quel numero a cui bisogna elevare
la base per ottenere il numero b In notazione matematica
log119886 119887 = x
119886119909 = b
Anche il logaritmo egrave lrsquooperazione inversa dellrsquoelevamento a potenza
Bignamino di astronomia
51
log2 8 = x
la domanda egrave ldquoqual egrave lrsquoesponente che devo dare alla base (2) per ottener il numero (8)rdquo
Scriviamo applicando la definizione
2119909 = 8
e siccome
8 = 23
Allora
2119909 = 23
e perciograve
x=3
(se le basi sono uguali lrsquouguaglianza saragrave verificata se saranno uguali anche gli esponenti)
Egrave abbastanza evidente che i logaritmi e le potenze rappresentano due modalitagrave di scrittura diversa ma
rappresentano la stessa cosa
Osservazione importante la base dei logaritmi ed il numero devono essere numeri reali
positivi in piugrave la base deve anche essere diversa da 1
bgt 0
0 lt a lt1
agt 1
Quindi per esempio non esistono log2(minus5) log1 12 119890119888119888
Bignamino di astronomia
52
Proprietagrave dei logaritmi
Il logaritmo del prodotto di 2 o piugrave numeri positivi corrisponde alla somma dei logaritmi dei
singoli fattori
(Nota 119886119909 ∙ 119886119910 = 119886119909+119910)
Il logaritmo del quoziente di 2 numeri positivi egrave eguale alla differenza tra il logaritmo del
dividendo e il logaritmo del divisore
(Nota 119886119909119886119910 = 119886119909minus119910)
Il logaritmo della potenza a esponente reale di un numero positivo egrave uguale al prodotto
dellesponente per il logaritmo del numero
Una estensione di questa ultima proprietagrave egrave
log119886 radic119887119898119899
= log119886 119887119898
119899
(che possiamo scrivere come 119898
119899log119886 119887)
A volte per calcolare un logaritmo puograve risultare utile effettuare un cambiamento di base
Il loga b la cui base egrave a puograve essere scritto utilizzando unrsquoaltra base per esempio il numero c
Ricorda inoltre che
log119886 1 = 0 (119894119899119891119886119905119905119894 1198860 = 1) 119890 log119886119886 = 1 (119894119899119891119886119905119905119894 1198861 = 119886)
Bignamino di astronomia
53
Se la base di un logaritmo egrave il Numero di Nepero (chiamato meno frequentemente anche Numero
di Eulero e indicato con e = 2718281828459hellip) allora il logaritmo prende il nome di logaritmo
naturale e si indica con ln
Quindi se vediamo 1198971198995 niente paura Si tratta di log119890 5
Se la base di un logaritmo egrave 10 il logaritmo prende il nome di logaritmo decimale e la base
generalmente si omette questo tipo di logaritmo egrave il piugrave usato in astrofisica
Quindi se vediamo 1198971199001198927 ciograve vuol dire log10 7
I logaritmi sono utilizzati nella vita di tutti i giorni ad esempio il gommista quando misura la
pressione di una gomma utilizza uno strumento con una scala non lineare ma logaritmica le scale
sulla macchina fotografica sono logaritmiche i nostri organi di senso sono logaritmici Questo ci
permette di percepire un intervallo di informazioni molto piugrave esteso di quello che avremmo se i nostri
sensi fossero lineari Pogson quando capigrave che il nostro occhio percepisce una differenza di una
magnitudine ( per le magnitudini consulta le pagine successive del Bignamino) tra due stelle quando
il rapporto tra le loro luminositagrave egrave uguale a 25 e che questo conserva la classificazione di Ipparco
formulograve la sua formula in funzione del logaritmo del rapporto delle loro luminositagrave
Niente paura
Oggi avete le calcolatrici e non si
devono utilizzare le famigerate tavole
logaritmiche che si utilizzavano un
tempo per calcolare un logaritmo
Bisogna solo stare attenti ad utilizzare
CORRETTAMENTE la calcolatrice
Nepero
Bignamino di astronomia
54
Magnitudine delle stelle
Quando si guarda il cielo si vede subito che le stelle ci appaiono piugrave o meno brillanti (o luminose) ovvero sembrano avere diversa intensitagrave luminosa Gli astronomi descrivono la luminositagrave stellare osservata in termini di magnitudine apparente m Nel II secolo aC Ipparco di Nicea utilizzando lrsquounico strumento a sua disposizione (lrsquoocchio umano) introdusse una classificazione delle stelle in 6 classi di luminositagrave che chiamograve MAGNITUDINI La scala scelta dai Ipparco prevedeva che le stelle piugrave luminose venissero collocate nella prima classe quelle un porsquo meno luminose nella seconda e giugrave giugrave fino a quelle appena visibili a occhio nudo collocate nella sesta classe Con lrsquoosservazione del cielo attraverso gli strumenti si pose il problema di estendere la scala delle grandezze anche alle stelle non visibili ad occhio nudo Un grossissimo contributo venne dallo studio della fisiologia dellrsquoocchio strumento sul quale erano state fatte le prime classificazioni La risposta dellrsquoocchio umano agli stimoli luminosi non egrave di tipo lineare la reazione alla luce de reagisce alla sensazione della luce in modo logaritmico Pogson egrave riuscito a dare una formulazione matematica alla scala delle magnitudini individuata da Ipparco Pogson ipotizzograve che il rapporto fra le intensitagrave luminose di una stella di prima e di sesta grandezza era pari a 100 Se I1 e lrsquointensitagrave luminosa di una stella di magnitudine m1 ed I2 lrsquointensitagrave di una stella di
magnitudine m2 se m1 - m2 = -5 ed il rapporto I1
I2= 100
m1 - m2= K log I1
I2
-5=K2 K= -25
m1 - m2= -25 log I1
I2
Lrsquoequazione di Pogson spiega il percheacute la magnitudine decresce quando lrsquointensitagrave luminosa cresce Quando si parla di intensitagrave luminosa di una stella in realtagrave ci si riferisce al flusso di energia 120593 che
abbiamo visto essere legato alla luminositagrave dalla 120593= 119871
41205871198892
Se nella formula di Pogson m1 - m2= -25 log I1
I2 sostituiamo alle intensitagrave luminose il flusso si
ottiene (a paritagrave di luminositagrave)
m1 - m2= -5 log d2
d1
La magnitudine apparente di una stella dipende dalla distanza
Bignamino di astronomia
55
E se la stella apparentemente piugrave debole fosse in realtagrave piugrave brillante ma piugrave lontana Per rispondere a questa domanda egrave stata introdotta la scala delle magnitudini assolute indipendente dalla distanza Per costruire questa scala egrave stata presa una distanza di riferimento pari a 10pc Quale saragrave la magnitudine di una stella di cui si conosce la distanza e la magnitudine apparente se viene posta alla distanza di 10pc
M- m= -5 log 119889
1119900119901119888
M-m = 5-5logd Questa ultima viene anche indicata come modulo di distanza Questa scala consente di poter confrontare la luminositagrave intrinseca delle stelle M =magnitudine assoluta (stella alla distanza di 10pc) m =magnitudine apparente d = distanza della stella in pc
Se vogliamo calcolare la magnitudine complessiva di due o piugrave sorgenti luminose egrave errato ritenere
di poter sommare le magnitudini Infatti possiamo sommare i flussi ma le magnitudini dipendono
da essi in relazione logaritmica La relazione che ci permette di determinare la cosiddetta
magnitudine integrata (ossia la magnitudine complessiva ldquototalerdquo) di n oggetti di magnitudine
m1m2hellipmn egrave la seguente
119898119894119899119905 = minus25log (10minus041198981 + 10minus041198982 +⋯+ 10minus04119898119899)
Magnitudine apparente di alcuni oggetti celesti da sinistra verso destra
Sole Luna piena Venere Sirio Vega Magnitudine limite dellrsquoocchio
Magnitudine limite di un telescopio magnitudine limite dellrsquoHubble
Bignamino di astronomia
56
Se invece vogliamo calcolare la magnitudine superficiale di un oggetto esteso di superficie angolare
S (misurata in arcmin2 o arcsec2) ossia la magnitudine di un quadratino di superficie di lato uguale
a 1 arcsec2 o 1 arcmin2 allora applichiamo la seguente formula
119898119878119906119901 = 119898119894119899119905 + 25 log(119878)
Se S egrave misurata in arcmin2 la msup egrave espressa in magarcmin2 Se S egrave misurata in arcsec2 msup egrave
espressa in magarcsec2
Bignamino di astronomia
57
Redshift (spostamento verso il rosso)
Su grandi scale le galassie si stanno allontanando con velocitagrave proporzionale alla distanza tutte le
galassie si stanno allontanando tra di loro tra loro Lo stesso spazio-tempo si sta espandendo e sta
portando le galassie con seacute
NOTA Il redshift cosmologico non egrave dovuto allrsquoeffetto Doppler non egrave dovuto ai moti relativi delle
galassie Le cause e le grandezze fisiche coinvolte sono completamente diverse
Il redshift cosmologico egrave lo spostamento relativo in
frequenza di unonda elettromagnetica dovuto
allespansione delluniverso Si spiega ipotizzando che le
lunghezze donda varino allo stesso modo delle distanze per
effetto dellespansione delluniverso La lunghezza donda egrave
proporzionale al fattore di scala delluniverso
La cosmologia moderna nasce con la legge di Hubble
v=Hd
che lega in modo proporzionale la velocitagrave v di allontanamento delle galassie alla loro distanza d (H egrave la costante di Hubble) le galassie piugrave distanti si allontanano piugrave velocemente Questa legge deriva da osservazioni che mostravano che tutte le righe spettrali delle galassie sono spostate verso il rosso (redshift) e che tale effetto egrave proporzionale alla luminositagrave apparente delle galassie legata alla loro distanza Il redshift misura quindi la velocitagrave di allontanamento di una galassia ed egrave definito come segue
119911 =120582119900119887119904 minus 120582119905119890119900119903
120582119905119890119900119903
La legge di Hubble ci dice che la velocitagrave di allontanamento delle galassie egrave proporzionale alla loro
distanza
119907 = 119867119889
H egrave la costante di Hubble il cui valore attualmente stimato egrave attorno a H= 2176 ∙ 10minus18 Hz
(6715 kmMpc s) d egrave la distanza della galassia
Maggiore egrave la distanza della galassia tanto maggiore saragrave il redshift
z=119867119889
119888
Bignamino di astronomia
58
Per z≪ 1 vale lrsquoapprossimazione del redshift come effetto Doppler (zasymp119907
119888 ) e quindi z egrave
direttamente proporzionale alla velocitagrave di allontanamento delle galassie
bull Redshift relativistico
bull Redshift gravitazionale
La relativitagrave generale prevede che la luce che si muove attraverso campi gravitazionali molto
intensi sperimenteragrave uno spostamento verso il rosso o verso il blu
Il redshift gravitazionale (chiamato anche spostamento di Einstein) egrave dovuto dal fatto che un
fotone quando emerge da un campo gravitazione perde energia e quindi presenta uno
spostamento verso il rosso che dipende dallrsquointensitagrave del campo gravitazionale misurata nel
punto in cui si trova il fotone
z= 119866119872
1199031198882
Questa 119904119890 119903 ≫ 119903119904
119903119904 = 2119866119872
1198882
(raggio di Schwarzschild)
(M massa della stella r raggio della stella)
La formula generale egrave
z= 1
radic1minus119903119904 -1
Bignamino di astronomia
59
PROBLEMI ED ESERCIZI
bull SISTEMI DI RIFERIMENTO E COORDINATE ASTRONOMICHE
1 Quando la stella Rigel (δ= -8deg 13rsquo) passa al meridiano di Roma (φ=41deg55rsquo) a quale
altezza si trova
Soluzione Quando la stella Rigel passa al meridiano di Roma essa raggiunge la
posizione di culminazione superiore in corrispondenza del punto cardinale Sud
Dunque la sua altezza sullrsquoorizzonte egrave pari allrsquoaltezza dellrsquoEquatore celeste alla
latitudine di Roma (90deg-φ) sommata alla declinazione dellrsquoastro Dunque
hRigel=90deg-φ+δ=90deg-41deg55rsquo-8deg13rsquo=39deg52rsquo
2 A quale latitudine comincia a essere visibile la stella Canopo (δ=-52deg40rsquo) appena
allrsquoorizzonte
Soluzione Affincheacute la stella Canopo sia appena visibile allrsquoorizzonte per un
osservatore posto alla latitudine φ egrave necessario che lrsquoEquatore celeste abbia
unrsquoaltezza sullrsquoorizzonte pari al valore assoluto della sua declinazione Quindi egrave
necessario che 90deg-φ=|δ| e cioegrave φ=90deg-|δ|=90deg-52deg40rsquo=37deg20rsquo [In realtagrave bisogna tenere conto dellrsquoeffetto della rifrazione atmosferica che ldquoalza le stellerdquo o
equivalentemente ldquoabbassa lrsquoorizzonterdquo di un angolo di 35rsquo Quindi in realtagrave Canopo si puograve
osservare anche a una latitudine leggermente piugrave settentrionale pari a 37deg20rsquo+0deg35rsquo=37deg55rsquo
circa]
3 Quale curva descrive lrsquoombra di uno stilo verticale posto al polo nord il 21 giugno
Qual egrave il rapporto fra la lunghezza l dellrsquoombra e lrsquoaltezza h dello stilo
Soluzione Il 21 giugno il Sole ha declinazione massima pari al valore dellrsquoobliquitagrave
dellrsquoeclittica quindi circa 23deg27rsquo Dal momento che al polo nord lrsquoorizzonte coincide
con lrsquoEquatore celeste e i paralleli celesti si trovano quindi su piani paralleli
allrsquoorizzonte la rotazione diurna non contribuiragrave a far tramontare il Sole che
descriveragrave una circonferenza nel cielo pertanto la curva descritta dallo stilo verticale
egrave una circonferenza Il rapporto lh egrave il reciproco della tangente dellrsquoaltezza del sole
pari a 23deg27rsquo 119897
ℎ=
1
11990511988611989923deg27prime=23
4 (PROBLEMA GARA INTERNAZIONALE 2002) I Cinesi nel 1100 aC avevano trovato
che lrsquoaltezza del Sole a mezzodigrave era 79deg7rsquo nel solstizio estivo e 31deg19rsquo in quello
Bignamino di astronomia
60
invernale A quale latitudine hanno fatto lrsquoosservazione e qual era allora lrsquoobliquitagrave
dellrsquoEclittica
Soluzione La media aritmetica dei valori delle due culminazioni del sole a mezzodigrave al
solstizio estivo ed invernale egrave pari allrsquoaltezza dellrsquoEquatore celeste Quindi
90deg minus 120593 =ℎ119890119904119905119886119905119890 + ℎ119894119899119907119890119903119899119900
2rarr 120593 = 90deg minus
ℎ119890119904119905119886119905119890 + ℎ1198941198991199071198901199031198991199002
= 34deg47prime
Lrsquoobliquitagrave dellrsquoeclittica egrave la differenza fra lrsquoaltezza massima del sole e lrsquoaltezza
dellrsquoEquatore celeste
휀 = ℎ119890119904119905119886119905119890 minus (90deg minus 120593) = 79deg7prime minus 90deg + 34deg47prime = 23deg54prime
[In generale lrsquoobliquitagrave dellrsquoeclittica varia da 21deg55rsquo a 24deg20rsquo con un periodo di circa 40000
anni]
bull I MOTI DELLA TERRA E LA MISURA DEL TEMPO
5 In quale istante di tempo siderale la stella Castore (α=7h 33m 31s δ=+31deg55rsquo35rdquo ) egrave
alla culminazione inferiore
Soluzione Alla culminazione inferiore la stella Castore ha un angolo orario pari a 12h
Il tempo siderale ossia lrsquoangolo orario del punto gamma egrave uguale alla somma di
angolo orario e ascensione retta di una generica stella in questo caso
TS=α+H=7h 33m 31s + 12h= 19h 33m 31s
6 Se in un dato giorno una stella passa al meridiano inferiore alle 21 a quale ora
(allrsquoincirca) vi passeragrave un mese dopo
Soluzione Lrsquoora a cui si riferisce il problema egrave per esempio quella indicata da un
normale orologio quindi egrave un tempo solare medio e non siderale Siccome nel corso
di un mese la stella non cambia la sua posizione rispetto al punto gamma se il
problema avesse chiesto lrsquoora siderale della successiva culminazione inferiore la
risposta sarebbe stata comunque ldquoalle 21rdquo siccome perograve il problema si riferisce a un
tempo solare medio dobbiamo tenere conto della differenza tra giorno solare e
giorno siderale questrsquoultimo egrave piugrave corto del primo di un valore pari a circa 4 minuti
(piugrave esattamente 3min 56s) Siccome un mese contiene mediamente 30 giorni la
stella anticiperagrave la sua culminazione di circa 4min30=120min=2h e quindi culmineragrave
allrsquoincirca alle 19
7 Una cittagrave A egrave posta alla longitudine 43deg12rsquo E di GW (Greenwich) Quando in A lrsquoorologio
segna le 20h35m siderali in unrsquoaltra cittagrave B lrsquoorologio segna le 23h12m siderali Qual
egrave la longitudine di B
Soluzione La differenza dei due tempi siderali che lrsquoorologio segna in A e in B egrave uguale
alla differenza delle longitudini dei due luoghi Quindi
Bignamino di astronomia
61
∆120582 = 120549119879119878 rarr 120582119861 minus 120582119860 = 119879119878119861 minus 119879119878119860 rarr 120582119861 = 119879119878119861 minus 119879119878119860 + 120582119860(119890119904119901119903119890119904119904119886 119894119899 119900119903119890)
= 23ℎ12119898 minus 20ℎ35119898 + 2ℎ53119898 = 5ℎ30119898
= (119905119903119886119904119891119900119903119898119900 119894119899 119892119903119886119889119894) = 82deg30prime
8 Quanto tempo egrave necessario affincheacute il punto gamma passi da un segno zodiacale a un
altro
Soluzione Il punto gamma non egrave fisso nel cielo bensigrave per via di uno dei moti millenari
della Terra il moto di precessione esso si sposta di circa 50rdquo allrsquoanno lungo lrsquoEclittica
Dal momento che i segni zodiacali sono dodici in media ognuno di essi occupa un
settore lungo lrsquoEclittica pari a 36012=30deg=108000rdquo Ne discende che il tempo
necessario affincheacute il punto gamma copra questa distanza angolare risulta pari a
t=(108000rdquo50rdquo)anni=2160 anni circa
9 La Terra impiega circa 23 ore e 56 minuti a compiere una rotazione completa attorno
al proprio asse Con quale velocitagrave tangenziale si muove un punto allrsquoequatore per
effetto del moto di rotazione della Terra Quanto vale lrsquoaccelerazione centripeta che
agisce su questo punto Quale forza centripeta agisce su un corpo di massa 13 kg
allrsquoequatore
Soluzione Il problema incentrato sul moto di rotazione terrestre (il moto dei punti
della Terra attorno allrsquoasse terrestre) egrave un semplice esercizio di cinematica
Conoscendo il periodo e la lunghezza della circonferenza equatoriale (poicheacute egrave noto
che il raggio della Terra ha un valore di 6378 km) egrave possibile determinare la velocitagrave
di rotazione allrsquoequatore il moto egrave circolare uniforme
119907 =2120587119877
119879=2120587120591 ∙ 6378119896119898
2393ℎ= 1674
119896119898
ℎ
Lrsquoaccelerazione centripeta vale
119886 =1199072
119877=(1674 divide 36)2
6378000= 339 ∙ 10minus3
119898
1199042
Per la seconda legge della dinamica la forza centripeta su un corpo di massa m allora
vale
119865 = 119898119886 = 13 ∙ 339 ∙ 10minus3 = 441 ∙ 10minus3119873
bull IL CIELO VISTO DALLA TERRA E LA LUNA
10 Due stelle equatoriali hanno parallassi 0rdquo022 e 0rdquo034 esse hanno AR 12h13m e
13h12m rispettivamente Quantrsquoegrave in parsec la loro reciproca distanza
Soluzione Lrsquoangolo fra la direzione con cui si proietta in cielo la prima stella e la
direzione della seconda stella egrave pari alla differenza delle ascensioni rette le stelle
sono infatti equatoriali cioegrave hanno declinazione nulla ΔAR=13h12m-
Bignamino di astronomia
62
12h13m=(trasformando in gradi)=14deg75 La loro distanza dallrsquoosservatore egrave in
parsec pari al reciproco della parallasse
d1=(1P1)=10022=455pc d2=(1P2)=10034=294pc
Il problema chiede in sostanza di calcolare un lato di un triangolo con vertici
nellrsquoosservatore e nelle due stelle (in particolare il lato con estremi nelle due stelle)
noti lrsquoangolo opposto a tale lato e gli altri due lati possiamo quindi usare il Teorema
di Carnot (o teorema del coseno)
119909 = radic11988912 + 1198892
2 minus 211988911198892 cos(∆119860119877) = 186 119901119888
11 Sapendo che il periodo siderale di rotazione del Sole allrsquoEquatore egrave di 25 giorni
trovare il periodo di rivoluzione sinodica cioegrave quello che appare visto dalla Terra
Soluzione Prendiamo un punto sullrsquoEquatore del Sole esso si muove con un periodo
siderale (cioegrave riferito a una stella lontana) pari come indicato dalla traccia a 25
giorni Il problema egrave del tutto analogo al calcolo del tempo sinodico di un pianeta
interno visto dalla Terra noti i periodi di entrambi i corpi 1
119878=
1
119879119904119900119897119890minus
1
119879119905119890119903119903119886rarr 119878 =
119879119905119890119903119903119886119879119904119900119897119890119879119905119890119903119903119886 minus 119879119904119900119897119890
=36525 ∙ 25
36525 minus 25119889 =
913125
34025119889 = 2684119889
12 A quale distanza da uno schermo deve essere posta una sfera di raggio R affincheacute
illuminata dal Sole non generi ombra ma solo penombra (il diametro apparente del
Sole sia 32rsquo)
Soluzione Concettualmente il problema egrave equivalente alla situazione di unrsquoeclisse
lrsquordquoosservatorerdquo egrave lo schermo mentre fra esso e il Sole si frappone un ostacolo Esso
intercettando i raggi solari genera dietro di seacute un cono drsquoombra e molto piugrave ampio
di questo una zona di penombra Il cono si restringe dalla parte opposta del Sole
rispetto alla sfera Se il vertice del cono si trova sullo schermo allora nessun punto
dello schermo si troveragrave in ombra percheacute il cono non interseca lo schermo In questa
configurazione lrsquoangolo sotto cui viene vista la sfera dallo schermo egrave di 32rsquo ovvero
053deg da cui si ha 119877
119889= tan (0532) e cioegrave d=[1 tan(0265)]R=2148 R circa la sfera
devrsquoessere posta a una distanza dallo schermo maggiore di 2148 volte circa il suo
raggio
13 Il 29 marzo 2006 si egrave verificata unrsquoeclisse totale di Sole visibile dallrsquoAfrica
settentrionale e dal Mediterraneo orientale Quale fase aveva la luna il 29 marzo 2007
cioegrave esattamente un anno dopo
Bignamino di astronomia
63
Soluzione Le eclissi di Sole si verificano quando la Luna si interpone fra il Sole e la
Terra oscurando una fascia sulla superficie del nostro pianeta con il suo cono
drsquoombra pertanto la Luna rivolge a noi in questrsquooccasione la sua faccia non
illuminata dal Sole e pertanto egrave nuova Conosciamo inoltre il periodo in cui si ripetono
le fasi lunari egrave il mese sinodico la cui durata egrave pari a 295306 giorni Lrsquointervallo
considerato (un anno in cui il 2007 non egrave bisestile) egrave pari a 365 giorni Siccome
365295306=1236 ossia 12 mesi lunari e 11 giorni se ne deduce che lrsquoetagrave della Luna
al 29 marzo 2007 era di 11 giorni quindi essa era in una fase intermedia tra primo
quarto e Luna piena
bull LA GRAVITArsquo
14 Lrsquoalieno Bzzapp ha appena comprato una navicella in grado di creare nuovi pianeti
nel suo girovagare un giorno incappa nel nostro Sistema Solare decide cosigrave di creare
con la sua astronave qualche nuovo pianeta Lrsquoamico Zorzzp gli dagrave prima una regola
dicendogli che questi pianeti devono trovarsi in una fascia compresa fra 2 UA e 7
UA in piugrave il loro periodo di rivoluzione devrsquoessere pari a un numero intero di anni
Qual egrave il numero massimo di pianeti che Bzzapp potragrave creare con la sua navicella
conformemente alla regola di Zorzzp
Soluzione Per la risoluzione del problema egrave necessaria la Terza legge di Keplero
considerando che ci troviamo nel nostro Sistema Solare e che quindi la costante di
proporzionalitagrave fra cubo del semiasse maggiore e quadrato del periodo di rivoluzione
per un generico corpo orbitante attorno al Sole quando esprimiamo il semiasse in
UA e il periodo in anni risulta pari a 1
1198791 = radic11988613 = 283 119910
1198792 = radic11988623 = 1852 119910
Come possiamo vedere i periodi ldquopossibilirdquo sono
34567891011121314151617 e 18 anni Bzzapp potragrave creare ben 16 pianeti
15 Disponendo come dati noti dei soli periodi di rivoluzione dei pianeti si indichi la
lunghezza minima che deve avere un foglio di carta per poter rappresentare in scala
il Sistema Solare fino a Nettuno nellrsquoipotesi di voler rappresentare Mercurio a una
distanza dal Sole di 1 cm
Soluzione Mercurio ha un periodo di rivoluzione pari a 0241 anni mentre Nettuno
16488 anni quindi per la Terza legge di Keplero 119886119872 = radic11987911987223= 0387119880119860 119890 119886119873 =
radic11987911987323= 30069 119880119860
Con una semplice proporzione ricaviamo la lunghezza del foglio di carta
119886119872 119886119873 = 1 119909 rarr 119909 =30069
0387119888119898 asymp 777 119888119898
Bignamino di astronomia
64
16 A quale distanza dalla superficie della Terra per unrsquoastronave che viaggia verso la
Luna si annulla la risultante delle forze gravitazionali che agiscono su di essa (il
rapporto massa della Terra massa della Luna egrave pari a 8125)
Soluzione La distanza Terra-Luna egrave pari a d=384400 km Quando lrsquoastronave si trova
fra il nostro pianeta e il suo satellite le due forze di natura gravitazionale che
agiscono su di essa sono la forza di attrazione della Terra e quella della Luna agenti
nella stessa direzione ma aventi verso opposto Chiamando x la distanza che separa
la navicella dal centro della Terra possiamo esprimere in funzione di x la distanza che
separa la navicella dalla Luna essendo essa pari a d-x Eguagliamo le due forze di
attrazione gravitazionale per trovare x 119866119872119879119898
1199092=
119866119872119871119898
(119889 minus 119909)2
Operando le dovute semplificazioni (G e la massa dellrsquoastronave) e dividendo
119909
119889 minus 119909= radic
119872119879
119872119871= radic8125 = 901
119909 =901119889
1001= 090 lowast 384400119896119898 = 346013119896119898
Il problema viene considerato parzialmente corretto se ci si ferma a questo punto
percheacute esso chiede la distanza dalla superficie terrestre mentre x egrave misurata dal
centro della Terra pertanto la soluzione corretta egrave D=x-R=(346013-
6378)km=339635km
17 Osservando la stella Canopo con un telescopio potentissimo lrsquoastronomo Qwzzz ha
scoperto due pianeti orbitanti attorno a essa le cui orbite sono esattamente
perpendicolari alla nostra linea di vista La distanza massima del primo pianeta da
Canopo egrave uguale a 47 volte la sua distanza minima e il suo periodo di rivoluzione egrave
pari a 27 anni Il secondo pianeta avente eccentricitagrave pari a 0324 al periapside egrave 3
volte piugrave lontano rispetto al primo (quando questrsquoultimo si trova nella corrispondente
posizione) Quanto vale lrsquoeccentricitagrave del primo pianeta e il periodo di rivoluzione del
secondo
Soluzione Chiamiamo 1 il primo pianeta e 2 il secondo
11988911988611198891199011
= 47 =1198861(1 + 1198901)
1198861(1 minus 1198901)rarr1 + 11989011 minus 1198901
= 47 rarr 1198901 = 0649
1198891199012
1198891199011=1198862(1 minus 1198902)
1198861(1 minus 1198901)= 3 rarr
11988621198861=(1 minus 1198901)1198891199012
1198891199011(1 minus 1198902)= 3 (
1 minus 0649
1 minus 0324) = 1558
Per la Terza legge di Keplero
11987922 = (
11988621198861)3
11987912 rarr 1198792 = 27 119910radic15583 = 524 119910
Bignamino di astronomia
65
bull TERZA LEGGE DI KEPLERO 1 Calcolare il semiasse maggiore dellrsquoorbita di Giove in kilometri sapendo che il suo periodo
di rivoluzione egrave 119879119866 = 37411 ∙ 106 119904
Soluzione
119879119866(119886119899119899119894) =119879119866(119904119890119888119900119899119889119894)
(119904119890119888119900119899119889119894 119894119899 119906119899 119886119899119899119900)=
37411 ∙ 106 119904
3600 ∙ 24 ∙ 365 ∙119904
119886119899119899119900
= 11863 119886119899119899119894
Impostando la terza legge di Keplero e imponendo che 119870 =1 1198861198991198991199002
1 1198801198603
1198792
1198863= 119870 =gt 119886119866(119880 119860 ) = radic[119879119866(119886119899119899119894)]2
3= radic(11863 119886119899119899119894)2
3= 52 119880 119860 =
= 77792 ∙ 106 119896119898
2 Calcolare il periodo di rivoluzione di Marte in giorni sapendo che il suo semiasse maggiore
misura 119886119872 = 2279 ∙ 109 119898
Soluzione
119886119872(119880 119860 ) =119886119872(119898)
1496 ∙ 109 ∙119898119880 119860
=2279 ∙ 109 119898
1496 ∙ 109 ∙119898119880 119860
= 152 119880 119860
Impostando la terza legge di Keplero e imponendo che 119870 =1 1198861198991198991199002
1 1198801198603
1198792
1198863= 119870 =gt 119879119872(119886119899119899119894) = radic[119886119872(119880 119860 )]3 = radic(152 119880 119860 )3 = 187 119886119899119899119894 = 684 119892119894119900119903119899119894
3 Approssimando lrsquoorbita di Venere a una circonferenza calcolare la velocitagrave media v del
pianeta intorno al Sole sapendo che il suo periodo di rivoluzione egrave 119879119881 = 1941 ∙ 106 119904
Soluzione
119879119881(119886119899119899119894) =119879119881(119904119890119888119900119899119889119894)
(119904119890119888119900119899119889119894 119894119899 119906119899 119886119899119899119900)=
1941 ∙ 106 119904
3600 ∙ 24 ∙ 365 ∙119904
119886119899119899119900
= 061 119886119899119899119894
Impostando la terza legge di Keplero e imponendo che 119870 =1 1198861198991198991199002
1 1198801198603
1198792
1198863= 119870 =gt 119886119881(119880 119860 ) = radic[119879119881(119886119899119899119894)]2
3= radic(061 119886119899119899119894)2
3= 072 119880 119860 = 1076 ∙ 106 119896119898
119907 =2120587119886119881119879119881
=2120587 ∙ 1076 ∙ 106 119896119898
1941 ∙ 106 119904= 3483
119896119898
119904
Bignamino di astronomia
66
Risoluzione del sistema per il calcolo delle velocitagrave su orbite non circolari
119907119886119889119886 = 1199071199011198891199011
2119898119907119886
2 minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
1198891198861
2119898119907119886
2 minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
11988911988612119898119907119901
21198891199012
1198891198862
minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886121199071199012119889119901
2
1198891198862
minus1
21199071199012 =
119866119872
119889119886minus119866119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
1198891198861
21199071199012 (1198891199012
1198891198862minus 1) = 119866119872(
1
119889119886minus1
119889119901)
119907119886 =
119907119901119889119901
1198891198861
21199071199012 (1198891199012 minus 119889119886
2
1198891198862
) = 119866119872(119889119901 minus 119889119886
119889119886119889119901)
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886
1199071199012 = 2119866119872 (
119889119901 minus 119889119886
119889119886119889119901)(
1198891198862
1198891199012 minus 119889119886
2)
Bignamino di astronomia
67
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886
1199071199012 = 2119866119872 (
119889119901 minus 119889119886
119889119886119889119901) [
1198891198862
(119889119901 + 119889119886)(119889119901 minus 119889119886)]
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886
119959119953 = radic120784119918119924119941119938
119941119953(119941119953 + 119941119938)
Sostituendo la formula appena trovata nella prima equazione si ottiene
119959119938 = radic120784119918119924119941119953
119941119938(119941119953 + 119941119938)
Possiamo scrivere le due velocitagrave anche in funzione (cioegrave in dipendenza) del semiasse maggiore e
dellrsquoeccentricitagrave dellrsquoorbita Se chiamiamo il semiasse maggiore dellrsquoorbita ellittica a valgono le
seguenti relazioni
119889119886 = 119886(1 + 119890) 119889119901 = 119886(1 minus 119890)
Quindi
119907119901 = radic2119866119872119886(1 + 119890)
119886(1 minus 119890)[119886(1 minus 119890) + 119886(1 + 119890)]= radic2119866119872
1 + 119890
(1 minus 119890)[119886(1 minus 119890 + 1 + 119890)]
= radic2119866119872
2119886(1 + 119890
1 minus 119890) = radic
119918119924
119938(120783 + 119942
120783 minus 119942)
Sostituendo anche nel caso di 119881119886
119907119886 = radic119918119924
119938(120783 minus 119942
120783 + 119942)
Si ricorda inoltre che
119938 =119941119938 + 119941119953
120784 119942 =
119941119938 minus 119941119953
119941119938 + 119941119953
Bignamino di astronomia
68
ESERCIZIO
Un pianeta sta cadendo sulla sua stella seguendo una traiettoria rettilinea se si conosce
lrsquoaltezza di caduta h si determini il tempo di caduta t
Per risolvere questo problema si potrebbe erroneamente pensare di applicare le leggi del moto
rettilineo uniformemente accelerato (come nel caso di una penna che cade dalla scrivania)
Consideriamo perograve un corpo (di massa m) che si trova a una certa altezza dal suolo la sua forza peso
equivale alla forza di attrazione gravitazionale tra il corpo e il pianeta (di raggio R e massa M) su cui
si trova
119898119892 =119898119872119866
(119877 + ℎ)2 119888119894119900egrave 119892 =
119866119872
(119877 + ℎ)2
Come possiamo vedere lrsquoaccelerazione di gravitagrave g non si mantiene costante al variare dellrsquoaltezza
ma varia noi la assumiamo costante al suolo e pari a circa 981 ms^2 solo percheacute in quel caso Δhasymp0
Quindi non possiamo applicare le leggi del moto rettilineo uniformemente accelerato a questo
problema Come risolverlo allora
Allrsquoinizio di questi appunti abbiamo evidenziato che lrsquoeccentricitagrave di unrsquoellisse indica quanto lrsquoellisse
egrave ldquoschiacciatardquo se dunque lrsquoeccentricitagrave tende a 1 la traiettoria tende a un segmento
Quindi possiamo assumere che il pianeta cada seguendo unrsquoorbita ellittica con eccentricitagrave prossima
a 1 e dunque semiasse maggiore a pari a h2 (vedi figura)
Se conosciamo la massa M della stella possiamo applicare la III legge di Keplero generalizzata
1198792
1198863=41205872
119866119872 rarr 119879 = radic
41205872
1198661198721198863 rarr 119879 = radic
41205872
119866119872(ℎ
2)3
rarr 119879 = radic1205872
2119866119872ℎ3
Naturalmente questo egrave il periodo completo dellrsquoorbita Il periodo di caduta egrave la metagrave
119905 =119879
2
a a
h
Bignamino di astronomia
69
Problemi 1 Coordinate celesti e tempo
Ci troviamo in un luogo di latitudine 120593 = 42deg 30prime15primeprime 119873 e longitudine 120582 = 15deg 28prime18primeprime119864
Osserviamo una stella di ascensione retta 5h 32 min 3 sec e declinazione -00deg 15rsquo 20rdquo che
passa al meridiano alle 2030 del 14012020 A quale altezza culminava Quale era la sua
distanza zenitale In quale data dallo stesso luogo e allo stesso orario si egrave potuto vederla
sorgere ad est
Soluzione
Lrsquoaltezza massima di una stella (quando culmina) egrave data dalla relazione
ℎ = 90deg minus 120593 + 120575
Quindi
ℎ = 90deg minus 42deg30prime15 minus 0deg 15 20= 47deg 14 25
La distanza zenitale egrave invece data da 119911 = 90deg minus 120593 = 90deg minus 47deg 14prime25primeprime = 42deg 45prime35primeprime
Un dato importante per poter rispondere alla terza richiesta egrave sapere che le stelle
ldquoanticipanordquo il loro sorgere di 3 119898119894119899 56 119904119890119888119892119894119900119903119899119900
Quindi per sapere quanti giorni prima la stella sorgeva ad est (m)
119898 =120572
Δ119905=
(5ℎ32min3sec)
3119898119894119899 56sec119892119894119900119903119899119900= 84 119892119894119900119903119899119894
84 giorni prima del 14012020 era il 21102019
2 Coordinate e tempo
Il tempo siderale di un luogo (120593 = 28deg 30prime45primeprime119878 120582 = 90deg 23prime50primeprime119882 ) egrave di 9h 3min 45sec
Quale egrave il tempo siderale di GW
Soluzione Il primo passaggio da fare egrave trasformare la longitudine del luogo da gradi in ore
Quindi
15deg 1ℎ = 90deg 23prime50primeprime 120582
120582 = 90deg 23prime50primeprime ∙1ℎ
15deg = 6ℎ 1min3533119904119890119888
Il tempo siderale del luogo egrave legato a quello di GW dalla seguente relazione
119879119904 = 119879119866119908 + 120582
Quindi 119879119866119908 = 119879119904 minus 120582 = 9ℎ3min 45119904119890119888 minus (minus 6ℎ1min 3533sec ) = 9ℎ3min 45119904119890119888 +
6ℎ1min 3533sec = 15ℎ 5min 20119904119890119888
Bignamino di astronomia
70
PROBLEMI E QUESITI SULLA MISURA DEL TEMPO
Problema 1 In un dato luogo a che ora di tempo siderale culmina il Sole medio in un dato giorno
sapendo che sedici giorni prima esso culminava alle 15h 12m 48s di tempo siderale
Se ci troviamo a Belo Horizonte (longitudine λ=43deg56rsquo16rdquo W) al mezzogiorno vero e lrsquoequazione del
tempo per quel giorno egrave pari a ET=-8m7s che ora segna lrsquoorologio dellrsquoosservatore
Soluzione problema 1 La prima richiesta del problema si risolve tenendo conto che giorno solare
medio e giorno siderale hanno diversa durata infatti il giorno siderale egrave piugrave corto del giorno solare
medio di circa 3m56s Pertanto se in un dato giorno il punto gamma e il Sole medio hanno raggiunto
la culminazione nel medesimo istante il giorno successivo il Sole medio culmineragrave 3m56s dopo il
punto gamma Quindi il Sole accumuleragrave un ritardo pari a 163m56s=1h2m56s che andragrave sommato
allrsquoora siderale data dal problema TS=15h 12m 48s + 1h 2m 56s= 16h 15m 44s
Se a Belo Horizonte egrave mezzogiorno vero vuol dire che sono le 12h di tempo solare vero Lrsquoequazione
del tempo egrave la differenza fra tempo solare medio e tempo solare vero quindi
TSM-TSV=ET TSM=TSV+ET=12h ndash 8m 7s= 11h 51m 53s lrsquoorologio dellrsquoosservatore egrave perograve in
accordo col tempo del meridiano centrale del fuso di Belo Horizonte che ha longitudine 3h W
mentre Belo Horizonte ha longitudine 2h 55m 45s W essa egrave quindi piugrave avanti di 3h-2h 55m 45s=4m
15s lrsquoorologio segneragrave quindi le ore 11h 51m 53s ndash 4m 15s= 11h 47m 38s
Problema 2 A Bergamo (λ= 9deg 40rsquo 12rdquo E) i raggi del Sole in un dato momento si proiettano
esattamente sulla linea della meridiana di Cittagrave Alta In quel dato giorno lrsquoequazione del tempo egrave
+5m 12s se il tempo siderale a mezzanotte di quel giorno a Greenwich risultava pari a 3h 21m 20s
qual egrave il tempo siderale a Greenwich nellrsquoistante del problema
Soluzione problema 2 La longitudine di Bergamo espressa in ore minuti e secondi egrave 38m 41s E Se
il disco luminoso si proietta sulla linea meridiana egrave mezzogiorno vero quindi il tempo solare medio
saragrave pari a TSM= TSV + ET= 12h + 5m 12s= 12h 5m 12s Greenwich si trova 38m 41s a ovest di
Bergamo quindi egrave anche 38m 41s indietro a Greenwich sono quindi le 12h 5m 12s ndash 38m 41s= 11h
26m 31s Sono passate quindi 11h 26m 31s dalla mezzanotte per convertire questo tempo medio
in tempo siderale moltiplichiamo per il fattore di conversione 3662536525
ΔTS (Greenwich)= (3662536525)(114419444 h)= 114732394h = 11h 28m 24s Quindi a
Greenwich sono le 3h 21m 20s + 11h 28m 24s= 14h 49m 44s di tempo siderale
Quesito Si valuti argomentando opportunamente come varia lrsquoEquazione del Tempo nel corso
dellrsquoanno solare se in un piano cartesiano in ascissa indichiamo lrsquoET e in ordinata la declinazione del
Sole che curva si ottiene
Risposta Lrsquoequazione del tempo si annulla quattro volte lrsquoanno a metagrave aprile a metagrave giugno verso
Natale e ai primi di settembre il sole medio e il sole vero culminano contemporaneamente (1) Da
Natale a metagrave aprile il sole medio anticipa il sole vero (2) da metagrave aprile a metagrave giugno il sole vero
anticipa il sole medio da metagrave giugno a inizio settembre come (1) e da inizio settembre a Natale
come (2) Oltre a ldquooscillare in orizzontalerdquo in un anno il sole ldquooscilla in verticalerdquo nel senso che
Bignamino di astronomia
71
assume declinazioni da 23deg27rsquo a -23deg27rsquo La curva che si ottiene egrave quindi una sorta di ldquo8rdquo chiamata
analemma essa egrave anche la curva che egrave formata dalle posizioni in cielo del sole vero registrate a
mezzogiorno medio locale ogni giorno dellrsquoanno
Figura 1 Analemma decET
Figura 2 Analemma visualizzato nel cielo di Atene
Problema 3 Una stella di ascensione retta AR=11h 12m 13s culmina in un dato luogo della Terra alle
ore 13h 04m 02s di tempo medio Considerando che a Greenwich culmina una stella con ascensione
retta 8h 11m 58s dire che orario segna lrsquoorologio dellrsquoosservatore in quel dato luogo della Terra
Soluzione Il tempo siderale in un dato luogo egrave uguale allrsquoascensione retta delle stelle che si trovano
a culminare al meridiano superiore Quindi in questo luogo della Terra il tempo siderale egrave pari a 11h
12m 13s a Greenwich il tempo siderale egrave pari a 8h 11m 58s Notiamo come il luogo dove si trova
lrsquoosservatore ha longitudine est infatti egrave piugrave avanti di Greenwich di circa 3 ore quindi egrave piugrave a Est di
Greenwich La differenza fra lrsquoora siderale dellrsquoosservatore e quella a Greenwich dagrave la longitudine
del luogo (differenza fra longitudine del luogo e longitudine di Greenwich che egrave 0 percheacute il suo
meridiano egrave origine delle longitudini)
λ= TSrsquo-TS(GW)= 11h 12m 13s ndash 8h 11m 58s= 3h 0m 15s E Questo luogo segue il meridiano che ha
longitudine 3h E quindi egrave in anticipo rispetto a esso di appena 15s pertanto il suo orologio segneragrave
le ore 13h 04m 02s ndash 15s= 13h 03m 47s
Bignamino di astronomia
72
bull STELLE E MAGNITUDINI SISTEMI STELLARI ESTESI
1 Pochi giorni fa si egrave registrato un nuovo oggetto che si comporta apparentemente
come una binaria a eclisse Tuttavia il periodo non egrave stabile la magnitudine
dellrsquooggetto egrave in genere pari a 2432 ma ogni 7-11 secondi sale a 2452 per 02-03
secondi Dopo unrsquoaccurata analisi del problema si egrave capito che lrsquooggetto splendente egrave
costituito dagli occhi di un gruppo di gatti assolutamente neri seduti su un piccolo
corpo del sistema solare nero e con gli sguardi rivolti verso il sole Uno dei gatti batte
ogni tanto le palpebre Quanti gatti ci sono
Soluzione Sia N il numero di occhi la cui determinazione egrave richiesta dal problema
Quando il gatto nero del problema chiude gli occhi il numero di occhi che
contribuisce alla magnitudine complessiva scende di due unitagrave (N-2) Se
consideriamo che gli occhi dei gatti sono tutti gli stessi ciascuno di essi ci invia un
flusso pari a F Avendo entrambe le magnitudini corrispondenti alla situazione ldquotutti
gli N occhi apertirdquo (2432) e ldquoN-2 occhi apertirdquo (2452) possiamo scrivere la formula
di Pogson tenendo conto dei flussi complessivi
119898119898119894119899 minus119898119898119886119909 = minus25119897119900119892 [119865 lowast (119873 minus 2)
119865 lowast 119873]
119873 minus 2
119873= 10
119898119898119886119909minus11989811989811989411989925 = 10minus008 = 0832 rarr 119873 =
2
0168asymp 12 119900119888119888ℎ119894 ossia 6 119892119886119905119905119894
2 La galassia di Andromeda ha una magnitudine apparente integrata mv = 440 e appare in cielo come unrsquoellisse i cui semiassi hanno dimensioni angolari di circa 190 arcmin e 60 arcmin Sapendo che la sua distanza egrave di circa 254 milioni di anni luce calcolare la magnitudine assoluta e la magnitudine apparente superficiale media della galassia (Gara Interregionale Categoria Senior 2018)
Soluzione La distanza della galassia di Andromeda in pc egrave 119889(119901119888) =254 10^63262= 77810^3 119901119888 La magnitudine assoluta egrave data dalla relazione 119872119907 = 119898119907 + 5 minus 5 log 119889(119901119888) = -201 Per calcolare la magnitudine apparente superficiale dobbiamo calcolare lrsquoarea apparente della galassia A = π a b = 120587 190 ∙ 60 = 358 ∙ 103 1198861199031198881198981198941198992 cong 129 ∙ 106 119886119903119888119904119890119888^2 La magnitudine apparente superficiale (msup) si ottiene dalla relazione 119898119904119906119901 = 119898119907 +25 log 119860 cong 158119898119886119892119886119903119888119898119894119899^2 cong 247119898119886119892119886119903119888119904119890119888^2 3 Si consideri una stella variabile ldquopulsanterdquo la cui magnitudine assoluta varia
nellrsquointervallo M1= 325 e M2= 226 con una temperatura effettiva che al massimo di luminositagrave egrave T2= 5500 K e al minimo di luminositagrave egrave T1 = 5000 K Calcolare quanto varia il raggio della stella tra il minimo e il massimo di luminositagrave Esprimere il
Bignamino di astronomia
73
risultato come rapporto tra raggio massimo e raggio minimo e come differenza tra i due raggi in km (Gara Interregionale Categoria Senior 2017)
Soluzione La luminositagrave di una stella egrave definita dalla relazione 119871=4 120587 119877^2 120590 119879^4 Per ricavare il rapporto tra i raggi al massimo e minimo di luminositagrave utilizziamo la formula di Pogson 1198722minus 1198721= minus 25log(11987121198711)=minus 25log[4120587(1198772)^2 120590 (1198792)^4][4120587(1198771)^2 120590 (1198791)^4]= -
25log[(11987721198771)^2 (11987921198791)^4] e quindi 0396 = log[(11987721198771)^2 (11987921198791)^4] =119897119900119892 [(11987721198771)^2 1464] da cui 0396=2log(11987721198771)+log1464 ovvero 0115= 119897119900119892 (11987721198771) e infine (119929120784119929120783)=120783120785120782 Per ottenere la differenza in km calcoliamo il raggio della stella al massimo di luminositagrave confrontando i suoi dati con una stella di caratteristiche note il Sole Avremo quindi 1198722minus 119872s=minus 25log[(1198772119877s)^2 (1198792119879s)^4] e quindi 103 = 2 log R2 ndash 2 log Rs + 4 log 09519
da cui si ricava 1198772=2513 ∙ 10^3 119896119898cong361 119877s e 1198771=1933 ∙ 10^3 119896119898cong278 119877s la variazione del raggio in km vale quindi ΔR = 580 ∙ 103 km
4 La supergigante rossa Betelgeuse ha una magnitudine apparente m1=+042 e
una parallasse π1=0005rdquo mentre la supergigante blu Rigel ha una magnitudine
apparente m2=+013 e una parallasse π2=0004rdquo Quale delle due stelle egrave
intrinsecamente piugrave luminosa Qual egrave la piugrave lontana (Gara interregionale Categoria Senior 2015) Soluzione Affincheacute si possa determinare quale delle due stelle sia piugrave luminosa intrinsecamente egrave necessario ricorrere al calcolo delle magnitudini assolute delle due stelle possiamo calcolare la magnitudine assoluta di una stella conoscendo la magnitudine apparente della stessa e la sua parallasse tramite la relazione
119872 = 119898 + 5 + 5119897119900119892120587 119900119907119890 119897119886 119901119886119903119886119897119897119886119904119904119890 egrave 119890119904119901119903119890119904119904119886 119894119899 119886119903119888119900119904119890119888119900119899119889119894 Nel caso nostro
1198721 = 1198981 + 5 + 51198971199001198921205871 = +042 + 5 + 51198971199001198920005 = minus608 (119861119890119905119890119897119892119890119906119904119890)
1198722 = 1198982 + 5 + 51198971199001198921205872 = +013 + 5 + 51198971199001198920004 = minus687 (119877119894119892119890119897)
Essendo la magnitudine assoluta di Rigel minore di quella di Betelgeuse allora Rigel egrave intrinsecamente piugrave luminosa di Betelgeuse Possiamo giagrave da questo risultato comprendere quale stella sia piugrave distante delle due infatti Rigel egrave sia apparentemente sia assolutamente piugrave luminosa di Betelgeuse quindi egrave necessario che essa sia piugrave distante di Betelgeuse affincheacute ciograve si verifichi A riprova di ciograve la parallasse di Rigel egrave minore di quella di Betelgeuse essendo essa piugrave lontana La distanza di Rigel in parsec egrave 1π2=250 pc mentre quella di Betelgeuse egrave 1π1=200 pc
da cui d2gtd1
Bignamino di astronomia
74
bull COSMOLOGIA ELEMENTARE
5 Un team di scienziati osserva una nuova galassia e ne analizza lo spettro la riga H-alfa
dellrsquoidrogeno che ha in laboratorio una lunghezza drsquoonda pari a 656281 Aring ha nello spettro della galassia una lunghezza drsquoonda di 656933 Aring Si determini la distanza della galassia Soluzione per prima cosa calcoliamo il redshift della galassia
119911 =∆120582
120582=120582119900119904119904 minus 120582119897119886119887
120582119897119886119887=656933 minus 656281
656281= 9935 lowast 10minus4
Applichiamo la legge di Hubble-Lemaitre
119888119911 = 1198670119889 rarr 119889 =119888119911
1198670= 299792458
119896119898
119904lowast 9935 lowast
10minus4
719= 414 119872119901119888
6 Osservando lrsquoesplosione di una supernova in una lontana galassia due scienziati notano che la riga H-beta dellrsquoidrogeno osservata nello spettro ha esattamente la stessa lunghezza drsquoonda della riga H-alfa osservata in laboratorio Tuttavia i due scienziati usano valori diversi per la costante di Hubble Usando valori che differiscono di ΔH=H2-H1=14 kmsMpc ottengono valori diversi per la magnitudine assoluta della supernova al massimo M1=-1902 e M2=-1864 Trovare quanto valgono per ciascuno dei due scienziati il redshift e la distanza della galassia (XXIII International Astronomy Olympiad ndash Colombo Sri Lanka Theoretical Round Group β Exercise 1) Soluzione Il redshift misurato dai due scienziati egrave lo stesso per entrambi esso infatti dipende dalle lunghezze drsquoonda osservate che secondo quanto affermato nella traccia sono le stesse per entrambi gli scienziati La lunghezza drsquoonda della riga H-alfa egrave pari a 6563 Aring mentre la lunghezza drsquoonda della riga H-beta egrave pari a 4861 Aring Il redshift per definizione egrave dunque pari a
119911 =120582119867minus119886119897119891119886minus120582119867minus119887119890119905119886
120582119867minus119887119890119905119886= 035
Conoscendo la relazione nota come ldquomodulo di distanzardquo (relazione fra mag Apparente e mag Assoluta) possiamo scrivere
1198721 = 1198981 + 5 minus 51198971199001198921198891 1198722 = 1198982 + 5 minus 51198971199001198921198892
Ma le due magnitudini apparenti dellrsquooggetto debbono necessariamente coincidere dal momento che esse sono dati puramente osservativi (non derivano cioegrave da elaborazioni di dati precedenti) possiamo quindi sottrarre membro a membro le due relazioni precedenti semplificando le due magnitudini apparenti
1198721 minus1198722 = 5119897119900119892 (11988921198891) rarr
11988921198891= 10
1198721minus11987225 = 0839
Possiamo scrivere il seguente sistema
1198892 = 08391198891H2 minus H1 = 14
119888119911
1198672= 0839
119888119911
1198671H2 minus H1 = 14
1198672 = 11911986711198672 minus 1198671 = 14
1198671 =
7368119896119898119904
119872119901119888
1198672 =8768
119896119898119904
119872119901119888
Bignamino di astronomia
75
Da cui finalmente d1=czH1=2997924580357668=13684 Mpc dz=czH2=2997924580538768=11967 Mpc
bull MISCELLANEA
1 Una galassia egrave composta da stelle tutte simili al nostro Sole Essa mostra uno
spostamento verso il rosso della riga Hα (λ=656281 Aring) di ampiezza pari a Δλ= 15 Aring
Essa risulta inclinata rispetto alla perpendicolare alla linea di vista di un angolo di 30deg
e si sa che il suo raggio egrave pari a 37000 anni luce Nel cielo appare come un oggetto di
magnitudine superficiale msup= 2478 magarcsec2
Quanto vale la massa della galassia
Soluzione Ci viene fornita dalla traccia la magnitudine superficiale della galassia vista
dalla Terra essa indica la magnitudine di una ldquoporzionerdquo della galassia di superficie
pari a 1 arcsec2 Di conseguenza la magnitudine complessiva della galassia devrsquoessere
legata alla sua superficie angolare allora dobbiamo conoscere le dimensioni angolari
della galassia abbiamo le dimensioni angolari quindi dobbiamo ricavare la distanza
della galassia
Calcoliamo per prima cosa il redshift z
119911 =∆120582
120582=
15
656281= 229 ∙ 10minus4
Con la legge di Hubble-Lemaitre ricaviamo la distanza
119888119911 = 1198670119889 119889 =119888119911
119867119900=300 ∙ 105 ∙ 229 ∙ 10minus4
719119872119901119888 = 0954 119872119901119888
= 311 ∙ 106119886119899119899119894 119897119906119888119890
Adesso possiamo determinare le dimensioni apparenti della galassia percheacute ne
conosciamo la distanza nel cielo essa ci appare come unrsquoellisse il cui semiasse
maggiore vale
119886 = arctan (119877
119889) = arctan (
37000
311 ∙ 106) = 0682deg = 24538 119886119903119888119904119890119888
Essendo il coseno di 30deg uguale a radic3
2 il semiasse minore varragrave
119887 = arctan(119877radic3
2119889) = arctan (
37000 ∙ 173
2 ∙ 311 ∙ 106) = 0590deg = 21226 119886119903119888119904119890119888
Calcoliamo la superficie di questa ellisse
119878 = 120587119886119887 = 120587 ∙ 24538 ∙ 21226 arcsec2 = 163 ∙ 107 arcsec2
Bignamino di astronomia
76
A questo punto ricaviamo la magnitudine integrata apparente
m=msup-25log(119878) 119898 = 2478 minus 25 log(163 ∙ 107) = 675
Abbiamo la distanza troviamo la magnitudine assoluta
M=m+5-5logd=675+5-5log(0954 106)=-1815
A questo punto troviamo il numero di ldquosolirdquo contenuti nella galassia grazie alla
relazione che ci permette di ricavare la magnitudine integrata di un oggetto (nel caso
sia composto da componenti uguali)
119872 = minus25 log(119873 lowast 10minus04119872119904) 119873 = 10minus04(119872minus119872119878) = 10minus04(minus1815minus483)
= 156 ∙ 109119904119905119890119897119897119890 119888119900119898119890 119894119897 119904119900119897119890
Possiamo finalmente trovare la massa della galassia
119872119892 = 156 ∙ 109 ∙ 199 ∙ 1030119896119892 = 310 ∙ 1039119896119892
2 Una stella di raggio R=705000 km presenta un picco drsquoemissione alla lunghezza
drsquoonda di 542 nm Se essa egrave costituita interamente da idrogeno si determini quanti
atomi di idrogeno hanno reagito in un secondo nel nucleo della stella nella reazione
di fusione termonucleare che produce elio
Soluzione Dobbiamo innanzitutto determinare la luminositagrave della stella che dipende
dal quadrato del raggio e dalla quarta potenza della temperatura disponiamo del
raggio ma dobbiamo ricavare la temperatura notiamo come il problema fornisca la
lunghezza drsquoonda del picco drsquoemissione che egrave inversamente proporzionale alla
temperatura efficace secondo la Legge di Wien
120582 ∙ 119879119890119891119891 = 2898 119898119898 119870 119879119890119891119891 =2898 119898119898 119870
542 ∙10minus6119898119898= 5347 119870
Adesso possiamo determinare la luminositagrave della stella (Legge di Stefan-Boltzmann)
119871 = 41205871198772120590(119879119890119891119891)4= 4120587 (705 ∙ 108)2 567 ∙ 10minus8 (5347)4 119882 = 289 ∙ 1026119882
Questa egrave lrsquoenergia che la stella irradia in un secondo ma da dove deriva Nel nucleo
quattro protoni si fondono per formare un nucleo di elio il nucleo di elio che si forma
perograve non ha la stessa massa dei quattro protoni bensigrave ha una massa lievemente
minore La massa mancante (il difetto di massa) si egrave trasformata in energia secondo
la famosa relazione di Einstein
119864 = 1198981198882
Se E=L m saragrave uguale al difetto di massa complessivo per unitagrave di tempo
119898 =119871
1198882=289 ∙ 1026119882
9 ∙ 10161198982
1199042 = 321 ∙
109119896119892
119904
Essendo la massa di un nucleo di elio-4 pari a 6645 10-27kg mentre la massa del
protone pari a 167310-27kg si ha che la massa di 4 protoni egrave 669210-27kg e quindi
il difetto di massa per ogni reazione egrave Δm= 004710-27 kg Dividendo questo valore
Bignamino di astronomia
77
per quello trovato sopra otteniamo il numero di reazioni che avvengono in un
secondo nel nucleo della stella
119873 =119898
∆119898=
321 ∙ 109
0047 ∙ 10minus27119903119890119886119911 = 683 ∙ 1037119903119890119886119911
A ogni reazione corrispondono quattro atomi di idrogeno quindi per trovare la
soluzione ci basta moltiplicare questo valore per 4
119873119905119900119905 = 4119873 = 273 ∙ 1038119886119905119900119898119894()
3 Che dimensioni dovrebbe avere una sfera metallica perfettamente riflettente per
essere visibile come un astro da Terra ad occhio nudo quando essa si trova in
opposizione al Sole (Questa sfera egrave posta in orbita circolare attorno alla Terra con
un periodo T=2766 ore)
Soluzione Innanzitutto ci serve conoscere il raggio orbitale della sfera perciograve
applichiamo la Terza Legge di Keplero generalizzata
1198792
1198863=41205872
119866119872 119886 = radic
1198661198721198792
41205872
3
= radic667 ∙ 10minus11 ∙ 597 ∙ 1024 ∙ 992 ∙ 107
4(314)23
= 10005119896119898
Sia Fs il flusso solare esso investe la sfera e la quantitagrave di energia intercettata in un
secondo (Lint) egrave direttamente proporzionale alla sezione della sfera
119871119894119899119905 = 119865119904 ∙ 1205871198772
La luce viene interamente riflessa quindi
119871119903119894119891 = 119871119894119899119905 = 119865119904 ∙ 1205871198772
Questa luminositagrave viene riflessa in tutte le direzioni quindi tutti i punti che si trovano
alla medesima distanza dalla sfera riceveranno lo stesso flusso pari a
119865 =119865119904 ∙ 120587119877
2
41205871198892=119865119904 ∙ 119877
2
41198892
In particolare per una localitagrave posta sulla Terra
119865 =119865119904 ∙ 119877
2
4(119886 minus 119877119879)2=
119865119904 ∙ 1198772
4(107 minus 6378 ∙ 106)2= 1906 ∙ 10minus14119865119904 119877
2
Applichiamo la formula di Pogson comparando la sfera col Sole e tenendo presente
che la magnitudine della sfera devrsquoessere uguale a 6 (lrsquooggetto egrave appena visibile ad
occhio nudo)
119898minus119898119904 = minus25 log (119865
119865119904) rarr 6 + 2674 = minus25 log(1906 ∙ 10minus141198772)
1906 ∙ 10minus141198772 = 10minus131 rarr 119877 = radic10minus131
1906 ∙ 10minus14119898 = 204 119898
Pertanto la sfera deve avere un diametro di 408 metri
Bignamino di astronomia
78
[NB Nello svolgimento del problema si egrave usato lo stesso valore del flusso solare per la Terra e per la
sfera in realtagrave ciograve egrave unrsquoapprossimazione percheacute le distanze Terra-Sole e Sole-sfera sono diverse
Essendo perograve il semiasse dellrsquoorbita della sfera trascurabile rispetto al semiasse della Terra allora i due
flussi sono assai simili]
4 Egrave stato osservato un quasar doppio che si trova a grandissima distanza dalla Terra La
particolaritagrave di questo quasar egrave il moto di allontanamento delle due componenti Q1
e Q2 In particolare Q1 si allontana da Q2 spostandosi come riportato in figura dal
punto A al punto B con velocitagrave relativistica ldquovrdquo pari al 75 della velocitagrave della luce
Calcolare lrsquointervallo di tempo Δt impiegato dal componente Q1 a raggiungere il
punto B e il corrispondente intervallo di tempo Δtrsquo misurato dagli astronomi sulla
Terra (che giace sullo stesso piano della figura) Sulla base del risultato ottenuto di
fronte a quale sconvolgente conclusione si sono trovati gli astronomi prima di
riuscire a spiegare correttamente il fenomeno (Dalla Finale Nazionale 2015
Categoria Junior)
Soluzione Il tratto AB egrave lrsquoipotenusa del triangolo rettangolo ABArsquo (vedi figura) quindi
esso vale (Teorema di Pitagora)
119860119861 = radic119860119860prime2 + 119860prime1198612 = radic9 + 16 = 5119886 119897
Esso viene quindi percorso nel tempo ∆119905 =119860119861
119907=
5119886119897
075119888= 667 119886119899119899119894 Notiamo come non ci
sia bisogno di conoscere il valore della velocitagrave della luce percheacute le distanze sono espresse
in anni luce
Adesso analizziamo il fenomeno come viene visto dalla Terra Quando Q1 si trova in A la luce
da esso emessa impiega per giungere in Arsquo un tempo pari a 4119886119897
119888= 4 119886119899119899119894 Nel frattempo
Q1 si sposta e per arrivare in B impiega 667 anni La luce che emette in B non deve piugrave
attraversare una distanza di 4 al quindi i due segnali luminosi arrivano a una ldquodistanzardquo
temporale ∆119905prime = (667 minus 4)119886119899119899119894 = 267 119886119899119899119894
Il risultato sconvolgente egrave che siccome agli astronomi da Terra egrave sembrato che Q1 si
spostasse lungo ArsquoB la sua velocitagrave misurata da Terra risulta pari a
119907 =119860prime119861
267119886119899119899119894=
3119886 119897
267119886119899119899119894= 1125119888
Bignamino di astronomia
79
Apparentemente il quasar si egrave spostato con una velocitagrave superiore a quella della luce Non egrave
infatti raro osservare dei moti superluminali (cioegrave con velocitagrave superiore a quella della luce)
in oggetti che si muovono con velocitagrave relativistiche questa velocitagrave egrave tuttavia sempre
apparente
5 Se una stella presenta un redshift z pari a 555 10-5 quale saragrave il verso e il valore della
sua velocitagrave radiale
Soluzione il redshift egrave positivo quindi la stella si allontana da noi La velocitagrave radiale
della stella egrave data da
119907 = 119888119911 = 3 ∙ 105 ∙ 555 ∙ 105 = 167119896119898
119904
6 La lunghezza drsquoonda λrsquo di una delle righe piugrave evidenti della luce emessa dalle galassie
di una costellazione egrave 1020 volte piugrave grande della corrispondente lunghezza drsquoonda
λ di riferimento Calcolare la velocitagrave con cui lrsquoammasso si sta allontanando dalla Terra
e stimare la sua distanza
Soluzione il redshift egrave119911 =∆120582
120582=
(1020minus1)120582
120582= 0020
Pertanto 119907 = 0020119888 = 6000119896119898
119904 119890 (119897119890119892119892119890 119889119894 119867119906119887119887119897119890 minus 119871119890119898119886119894119905119903119890)
119889 =119907
119867= 6000719=834 Mpc
7 In una galassia tutti gli ammassi globulari hanno un diametro pari a 50 anni luce
Nelle fotografie si misura il diametro angolare di tre di questi ammassi I diametri
risultano pari a 8rsquo9rsquo10rsquo Calcolare la distanza dei tre ammassi
Soluzione le dimensioni reali di un oggetto visto sotto un angolo α alla distanza d
sono date da
119863 = 2119889 tan (120572
2)
Da cui
1198891 =119863
2 tan(12057212)=
50
2 tan(01333
2)=21486 anni luce
1198892 =119863
2 tan (12057222)= 19099 119886119899119899119894 119897119906119888119890
Bignamino di astronomia
80
1198893 =119863
2 tan (12057232)= 17189 119886119899119899119894 119897119906119888119890
8 Se si dispone di un telescopio di 30 cm di diametro e lunghezza focale di 2 m quali
ingrandimenti saranno forniti da tre oculari di focale 25mm 10 mm e 5mm Se gli
oculari hanno un campo apparente di 55deg quale saragrave lrsquoangolo di campo al telescopio
Calcolare pure la pupilla drsquouscita
Soluzione Calcoliamo lrsquoingrandimento
1198681 =119865
119891=2000119898119898
25119898119898= 80119909
1198682 =2000
10= 200119909
1198683 =2000
5= 400119909
Il campo del telescopio saragrave
1198651199001198811 =119865119900119881119900119888119894
=55deg
80= 069deg
1198651199001198812 =55deg
200= 028deg
1198651199001198813 =55deg
400= 014deg
La pupilla drsquouscita
1199011 =300
80= 375119898119898 1199012 =
300
200= 15119898119898 1199013 =
300
400= 075119898119898
9 Calcolare lrsquoapertura minima di un telescopio per poter riconoscere un granulo solare
ampio 700km
Soluzione Lrsquoestensione angolare di questo granulo egrave data da
120572 = 2 arctan (119863
2119889) = 2 arctan (
700
2 ∙ 1496 ∙ 106) = 097
Quindi per la formula di Dawes 119863(119898119898) =120
120572=124cm
10 Per realizzare una fotografia a vasto campo egrave stato necessario un tempo di posa di 13
minuti a f3 con sensibilitagrave 800 ISO Determinare il tempo necessario per ottenere la
stessa foto usando una sensibilitagrave di 1000 ISO ed unrsquoapertura relativa di f45
Trascurare le perdite di sensibilitagrave dovute al difetto di reciprocitagrave delle pellicole
Bignamino di astronomia
81
Soluzione il tempo di posa richiesto si ricava dalla formula
1198792 =11989122 1198781
11989112 1198782
1198791 119879 119905119890119898119901119900 119878 119904119890119899119904119894119887119894119897119894119905agrave 119891 119889119894119886119891119903119886119898119898119886 (119886119901119890119903119905119906119903119886 119903119890119897119886119905119894119907119886)
1198792 =452 800
32 1000 13 = 234 119898119894119899
11 Determinare il tempo di posa massimo per ottenere stelle puntiformi senza
inseguimento siderale con un obiettivo di 50 mm (di focale F) puntato su una zona di
cielo avente declinazione media 45deg Il formato utilizzato egrave il 24x36mm
Soluzione La formula che permette di ottenere stelle puntiformi egrave
119879119898119886119909 =600
119865119888119900119904120575= 17119904119890119888119900119899119889119894
12 Un radiotelescopio ha apertura di 75 m determinare il limite di diffrazione
raggiungibile alla frequenza di osservazione di 410 MHz
Soluzione La lunghezza drsquoonda egrave data da
119888 = 120582120584 120582 =119888
120584= 732 119888119898
Il limite di diffrazione si ricava dalla formula di Rayleigh
120599 =122120582
119863= 122
732
7500= 00119 119903119886119889 = 068deg = 41prime
13 Un radiotelescopio ha un diametro di 25m calcolare il limite di diffrazione alla
lunghezza drsquoonda di osservazione di 21 cm
Soluzione Per la formula di Rayleigh
120599 =122120582
119863= 122
21
2500= 001119903119886119889 = 059deg = 352prime
14 Un telescopio riflettore ha diametro 15 m calcolare il suo potere risolutivo massimo
alla lunghezza drsquoonda dellrsquoidrogeno ionizzato Hα=6563nm
Soluzione Ancora una volta
120599 =122120582
119863= 122 lowast 6563
10minus9
15= 53 10minus7119903119886119889 = 011
Bignamino di astronomia
82
15 Consideriamo due stelle la prima (S1) ha magnitudine apparente m1=11 e si trova a
una distanza L1 dalla Terra la seconda S2 ha luminositagrave intrinseca identica a S1 ma
si trova a una distanza tripla rispetto a S1 Che magnitudine apparente ha la stella S2
Se abbiamo a disposizione uno specchio di diametro D1 con cui si riesce a vedere a
malapena S1 quanto deve essere il diametro del secondo telescopio D2 che permetta
di vedere a malapena la stella S2
Soluzione Siccome la luminositagrave intrinseca egrave la stessa ma la distanza della seconda
stella egrave tripla il flusso della seconda stella egrave uguale a un nono del flusso della prima
Quindi applicando la formula di Pogson
1198981 minus1198982 = minus25 log (11986512) = minus25 log 9 = minus239
1198982 = 11 + 239 = 1339
Infine poicheacute per osservare S2 dobbiamo essere in grado di rivelare il flusso che egrave 9
volte minore e che lrsquoarea di uno specchio aumenta con il quadrato del raggio il raggio
dello specchio D2 devrsquoessere 3 volte piugrave grande di quello di D1
16 Calcolare la magnitudine limite visuale limite raggiungibile con un telescopio di
diametro D=25cm
Soluzione Applicando la formula per trovare la magnitudine limite (con il diametro
espresso in cm) troviamo
119898 = 68 + 5119897119900119892119863 = 68 + 511989711990011989225 = 138
17 Calcolare lrsquoapertura necessaria per poter osservare stelle fino a una magnitudine
limite visuale di +16 con un telescopio
Soluzione Applicando la formula precedente
119898 = 68 + 5119897119900119892119863 119863 = 10119898minus685 = 10184 = 692 119888119898
Bignamino di astronomia
83
18 In un sistema stellare una stella ruota attorno ad unrsquoaltra su unrsquoorbita circolare con
velocitagrave 45 kms il suo periodo di rivoluzione egrave 300 giorni Determinare il raggio
dellorbita e la massa della stella centrale
Soluzione la velocitagrave orbitale egrave data da
119907 =2120587119877
119879 119889119886 119888119906119894 119877 =
119907119879
2120587=45000 ∙ 2592 ∙ 107
62831= 1856 ∙ 1011119898
Dalla Terza legge di Keplero
119872 =412058721198773
1198661198792= 5632 ∙ 1030119896119892
Bignamino di astronomia
84
La SFERA e la TRIGONOMETRIA SFERICA
Premessa
Nella geometria piana i concetti base sono il punto e la retta
Su una sfera i punti sono definiti nel senso usuale Le rette sono definite come cerchi massimi Data una sfera si definisce circonferenza massima ogni circonferenza che si ottiene intersecando la superficie sferica con un piano passante per il centro della sfera Lequatore celeste egrave un circolo massimo mentre i paralleli di declinazione non lo sono Lorizzonte astronomico egrave un circolo massimo mentre non lo sono gli almucantarat o paralleli di altezza
Elementi della sfera
Superficie sferica
Si chiama superficie sferica la figura
generata da una semicirconferenza
in una rotazione completa attorno
al suo diametro Possiamo anche
definirla come luogo geometrico La
superficie sferica egrave il luogo
geometrico dei punti dello spazio
che hanno distanza dal centro pari al
raggio
Sfera
Si chiama sfera la figura generata da un semicerchio di
una rotazione completa attorno al suo diametro
Definita come luogo geometrico egrave il luogo dei punti dello
spazio la cui distanza dal centro egrave minore o uguale al
raggio
Zona sferica
Si chiama zona sferica la parte di
superficie sferica compresa fra due
piani paralleli α e β che intersecano
la sfera Le circonferenze sezioni si
chiamano basi della zona Lrsquoaltezza egrave
la distanza tra i due centri delle
circonferenze sezioni
Bignamino di astronomia
85
Spicchio sferico Lo spicchio sferico egrave il solido delimitato da due piani meridiani passanti per
uno stesso diametro e dalla porzione di superficie sferica (fuso sferico) a
essi corrispondente
Presi due punti distinti su una sfera per essi passa
una ed una sola circonferenza massima
Dati due punti A e B distinti su una sfera esiste una ed una sola circonferenza
massima che li contiene i due punti individuano su questa circonferenza due archi il minore di essi si
chiama distanza sferica rappresenta una geodetica (La geodetica egrave la linea che realizza su una data
superficie il minimo percorso fra due punti assegnati)
Corda
Si chiama corda un segmento i cui estremi appartengono
alla superficie sferica
Si chiama diametro una corda passante per il centro
della superficie sferica e della sfera
Segmento sferico a due basi
Definiamo segmento sferico a due basi la parte di sfera
compresa fra due piani paralleli α e β secanti la sfera
stessa
Calotta Sferica
Definiamo calotta sferica ognuna
delle due parti in cui una superficie
sferica viene divisa da un piano
secante 120572 La calotta egrave la porzione di
superficie sferica ottenuta per
sezione con il piano α
Segmento sferico ad una base
Il segmento sferico ad una base egrave ognuna delle
due parti in cui una sfera viene divisa da un piano
secante α il segmento egrave la porzione di sfera
compresa tra il piano e la calotta
Fuso sferico
La parte di superficie sferica limitata da due
circonferenze massime di sezione dei
semipiani α e β con la superficie sferica
Bignamino di astronomia
86
Nella geometria sferica la circonferenza massima gioca lo stesso ruolo della retta
nella geometria piana
La lunghezza di questo arco egrave proporzionale al raggio della sfera e
allrsquoangolo al centro AOB Se AOB egrave espresso in radianti
AB = OA x AOcircB
Triangolo sferico
Si definisce triangolo sferico la superficie sulla sfera limitata da tre
archi di circolo massimo passanti per tre punti detti vertici tali punti
non devono appartenere allo stesso circolo massimo e gli archi non
devono avere alcun punto dintersezione al di fuori dei vertici
Lati del triangolo sferico
Sono le lunghezze degli archi AB BC CA che limitano la superficie
Tali lati sono minori o uguali a 180
Angoli del triangolo sferico
Sono gli angoli formati dai tre archi di circolo massimo La somma
degli angoli (interni) egrave maggiore di 2 angoli retti e minore di 6 angoli
retti
180deg lt α+β+γ lt 540deg
Pertanto la somma degli angoli egrave 180deg solo quando il triangolo egrave
degenere ovvero quando i vertici del triangolo sono situati sullo
stesso circolo massimo
La differenza fra la somma dei tre angoli di un triangolo sferico e lrsquoangolo piatto si dice eccesso sferico
ε= α+β+γ minus 180deg
Bignamino di astronomia
87
Nel triangolo sferico sussistono relazioni fra le funzioni trigonometriche dei lati e degli angoli tali relazioni
sono date dai teoremi di Eulero (teorema del coseno ( ) per i triangoli sferici e teoremi dei seni( )) da
cui derivano due gruppi fondamentali di relazioni che prendono il nome di primo e secondo gruppo di Gauss
di cui ci occuperemo nella trattazione del triangolo di posizione astronomico Lrsquoapplicazione dei triangoli
sferici assume particolare importanza in astronomia in quanto come abbiamo visto nei sistemi di riferimento
sulla sfera celeste si misurano solo distanze angolari
Per un lato
cos (119886) = cos (119887)cos (119888) + sin (119887)sin (119888)cos (119860)
sin (119886)
sin (119860)=sin (119887)
sin (119861)=sin (119888)
sin (119862)
Oppure
sin(119886) ∶ sin(119860) = sin(119887) sin(119861) = sin(119888) sin(119862)
Bignamino di astronomia
88
Triangolo di posizione astronomico
Vertici del triangolo
Il triangolo astronomico o di posizione ha i vertici nellastro
nello zenit e nel polo celeste nord il terzo vertice potrebbe
essere anche laltro polo ma per convenzione egrave preferibile
usare quello nord in quanto semplifica le regole algebriche
per il calcolo delle lunghezze dei lati
Lati del triangolo
I lati del triangolo hanno lunghezze comprese fra 0 e 180
definite come segue
bull Distanza polare p = 9 - 120575
la distanza che lastro ha dal polo di riferimento (polo celeste nord per convenzione)
Considerando la declinazione 120575 positiva se a Nord e negativa se Sud la distanza polare egrave p lt 90 nel
primo caso e p gt 90 nel secondo
bull Colatitudine c = 9 - 120593
coincide con la colatitudine ossia il complemento della latitudine Si ricorda che lelevazione
dellasse polare egrave esattamente pari alla latitudine del luogo La precedente convenzione per la
declinazione puograve essere adottata anche per la latitudine per cui si ha c lt 90 per latitudini nord e c gt
90 per quelle sud
bull Distanza zenitale z = 90 - h
Coincide con la distanza zenitale z ossia la distanza che lastro ha dallo zenit Tale distanza egrave il
complemento dellaltezza h (z = 90-h) Se lastro egrave nellemisfero visibile si ha h gt 0 e z lt 90 per astri
nellemisfero invisibile si ha h lt 0 e z gt 90
I tre angoli sono
1) Angolo vertice nello Zenith compreso tra meridiano e cerchio verticale la sua ampiezza dovrebbe corrispondere allazimuth ma in questo caso poichegrave lampiezza degli angoli nei triangoli sferici egrave sempre inferiore a 180deg prende nome di Angolo azimutale Z
2) Angolo vertice nel Polo Celeste compreso tra meridiano e cerchio orario la sua ampiezza corrisponderebbe allangolo orario ma in questo caso poicheacute lampiezza degli angoli nei triangoli sferici egrave sempre inferiore a 180deg prende nome di Angolo al Polo P
3) Angolo con vertice nellrsquooggetto A
Bignamino di astronomia
89
Attraverso le seguenti relazioni note come primo e secondo gruppo di Gauss
119904119894119899 ℎ = 119904119894119899 120593 119904119894119899 120575 + 119888119900119904 120593 119888119900119904 120575 119888119900119904 119867
119888119900119904 ℎ 119888119900119904 119860 = 119888119900119904 120593 119904119894119899 120575 + 119904119894119899 120593 119888119900119904 120575 119888119900119904 119867119888119900119904 ℎ 119904119894119899 119860 = 119888119900119904 120575 119904119894119899 119867
Primo Gruppo di Gauss
119878119894119899 120575 = 119878119894119899 120593 119878119894119899 ℎ minus 119862119900119904 120593 119862119900119904 ℎ 119862119900119904 119860119862119900119904120575 119888119900119904119867 = 119904119890119899ℎ 119888119900119904120601 + 119888119900119904ℎ 119904119890119899120601 119888119900119904119860
119862119900119904ℎ 119904119890119899119867 = 119888119900119904ℎ 119904119890119899119860
Secondo gruppo di Gauss
Ersquo possibile risolvere il triangolo astronomico
Notiamo che nel triangolo di posizione sono contemporaneamente presenti per loggetto celeste osservato le sue coordinate altazimutali (azimuth o angolo zenitale e altezza o distanza zenitale) e quelle equatoriali orarie (angolo orario o angolo al polo e declinazione o distanza polare) Queste formule ci consentono il passaggio da coordinate altazimutali ad equatoriali orarie e viceversa
Queste ci consentono il passaggio da un sistema altazimutale ad equatoriale
119904119894119899 120575 = 119904119894119899 120593 119888119900119904 119911 minus 119888119900119904 120593 119904119894119899 119911 119888119900119904 119860
119888119900119904 120575 119888119900119904 119867 = 119888119900119904 120593 119888119900119904 119911 + 119904119894119899 120593 119904119894119899 119911 119888119900119904 119860119888119900119904 120575 119904119894119899 119867 = 119904119894119899 119911 119904119894119899 119860
Bignamino di astronomia
90
Le parti della sfera
Riportiamo in una tabella le caratteristiche delle parti in cui rimane divisa una superficie sferica e una sfera
di raggio R quando vengono sezionate con opportuni piani indicando anche le formule per il calcolo delle
corrispondenti superfici e volumi
FONTE ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Bignamino di astronomia
91
ALCUNE ESERCITAZIONI DI TRIGONOMETRIA SFERICA
1) Calcolo dellrsquoaltezza di un oggetto alla culminazione superiore ed inferiore Giagrave conosciamo le formule che ci permettono di determinare lrsquoaltezza di un astro sullrsquoorizzonte nel caso di culminazione superiore ed inferiore per semplicitagrave le riportiamo qui di seguito
Culminazione superiore la stella culmina a sud dello zenit
la stella culmina a nord dello zenit
ALTEZZA h= 90 - ϕ + δ h= 90 + ϕ - δ
Proviamo attraverso le formule contenute nella parte teorica di trigonometria sferica a verificare queste relazioni Consideriamo la prima equazione del primo gruppo ( Primo Gruppo di Gauss)
sin h = sin φ sin δ + cos φ cosδ cos H
Se la stella culmina vuol dire che essa passa al meridiano (o superiore o inferiore a seconda della culminazione) CULMINAZIONE SUPERIORE Quando la Stella passa al meridiano superiore lrsquoangolo orario H egrave = 0 il cos0deg =1 per cui si ha
sin h = sin φ sin δ + cos φ cosδ
questa equazione si risolve facilmente se si applicano le formule di sottrazione del coseno cos (α - β) = cosαcosβ + senαsenβ
La nostra equazione puograve essere scritta sen h = cos(ϕ - δ) ndashlrsquo α della formula di sottrazione egrave la latitudine e la β la declinazione)- ma il sen h=cos(90 ndashh) ed allora cos (90-h) = cos( ϕ - δ) questa egrave una equazione elementare in coseno che ha per soluzioni
90-h= plusmn (ϕ - δ)
90-h= + ( ϕ - δ) h= 90 - ϕ + δ 90-h= - ( ϕ - δ) h= 90 + ϕ - δ
(Le relazioni sono due percheacute ognuna vale per un emisfero)
CULMINAZIONE INFERIORE Anche qui sappiamo che h= ϕ + δ- 90
sin h = sin φ sin δ + cos φ cosδ cos H
Alla culminazione inferiore lrsquoangolo orario egrave 12ℎ quindi 180deg il cos 180deg = -1
sin h = sin φ sin δ - cos φ cosδ Non possiamo applicare come prima a formula di addizione del coseno e quindi la riscriviamo
sin h= - (- sin φ sin δ + cos φ cosδ )
Bignamino di astronomia
92
ricordando che cos ( α + β) = cosαcosβ ndash senαsenβ ed essendo sinh= cos(90-h) possiamo scrivere cos (90-h) = - cos( ϕ + δ) essendo cosα= - cos(180 ndashα)
cos (90-h) = cos( 180 ndash ϕ - δ)
90-h = 180 ndash ϕ - δ h= ϕ + δ- 90 NB Essendo il coseno di due angoli dello stesso valore assoluto ma di segno opposto uguale come fatto sopra anche la soluzione col segno negativo va presa quindi si ottengono anche qui due formule che come sopra si riferiscono ciascuna a un emisfero
2) Calcolare lrsquoespressione che consente di determinare il sorgere e il tramontare di un astro Successivamente determinare la differenza delle ore di luce ai solstizi a Reggio Calabria ndash Latitudine φ=38deg6rsquo Nord
Per rispondere alla prima domanda dobbiamo determinare lrsquoangolo orario applichiamo il
( ) Primo Gruppo di Gauss
sin h= sin φ sin δ + cos φ cos H cos δ
isoliamo il cosH si trova cosH= 119904119894119899ℎminus119904119894119899120593119904119894119899120575
cos120593 cos120575 e scriviamo ancora cosH =
sinℎ
cos120593 cos120575 -
sin120593 sin120575
cos120593 cos120575 ed ancora cosH =
sin h
cos φ cos δ ndash tanφ tanδ (essendo tanα=senαcosα)
Al momento del sorgere dellrsquoastro h= 0 quindi cosH = - tanφ tanδ (sen0=0) Se egrave nota lrsquoascensione retta possiamo calcolare il tempo siderale 119931119956 = H +120630 con
H=arccos(θsin h
cos φ cos δ ndash tanφ tanδ ) Se conosciamo il valore del tempo siderale in una
determinata ora di un determinato giorno possiamo anche trovare lrsquoistante di tempo che segna il nostro orologio per il sorgere del Sole (per questi calcoli si vedano i problemi precedenti sul tempo) c = H+α Una volta trovata lrsquoespressione dellrsquoangolo orario la seconda domanda si risolve facilmente
tenendo conto che lrsquoangolo orario adesso egrave 119867
2
cos 119867
2 = - tan φ tan δ
Il Sole ai solstizi ha una declinazione δ=+23deg27rsquo (21 giugno solstizio drsquoestate) e δ=-23deg27rsquo (21 dicembre solstizio drsquoinverno)
si trova che cos 119867
2 = -0784 0433 = -034 perciograve H=2arccos(-034)=219deg46rsquo=14 ore 39
minuti (digrave piugrave lungo dellrsquoanno)
mentre il 21 dicembre cos 119867
2 = (-0784) (-0433) = 034 dal quale si ricava che
H=arccos(034)=140deg15rsquo = 9 ore 21 minuti (digrave piugrave corto dellrsquoanno) la differenza di ore egrave ∆H=14h 39m-9h 21m = 5 ore 18 minuti tra inverno ed estate
Bignamino di astronomia
93
3) In un certo giorno in cui egrave in vigore lrsquoora legale in una cittagrave posta alla longitudine di 120582
= 10deg 52rsquo 59rdquo E e latitudine = 44deg 38rsquo 45rdquo N il Sole ha una declinazione = 10deg 59rsquo 04rdquoConsiderando trascurabile la declinazione del Sole durante lrsquoarco della giornata
Calcolare
1 lrsquoaltezza massima raggiunta dal Sole in quella localitagrave e lrsquoora del transito in meridiano 2 lrsquoora in cui in tale giorno il sole sorge e tramonta in quella Cittagrave e lrsquoarco diurno 3 lrsquoazimut del sole nei momenti in cui sorge e tramonta
Il sole raggiunge la massima altezza hC sullrsquoorizzonte (culmina) quando transita per il
meridiano locale dellrsquoosservatore Nel caso specifico avremo hC = 90deg - ( - ) = 90deg -
+ = 90deg - 44deg64583333 + 10deg98444444 = 56deg33861111
Lrsquoaltezza massima del Sole nel momento in cui transita al meridiano egrave hC = 56deg33861111 = 56deg 20rsquo 19rdquo
Indichiamo adesso con 120582 la longitudine espressa in ore e con T la differenza in ore del
meridiano locale rispetto a GMT Nel nostro caso essendo in vigore lrsquoora legale saragrave T = 2h Le 12h locali corrispondono dunque aUT = 12h ndash 120582
per cui lrsquoora locale del transito in meridiano del sole saragrave (scrivendo la longitudine in notazione decimale)
TC = 12h ndash 120582+ T = 12ℎ minus 10deg 8830555556
15deg+ 2ℎ = 2h ndash 0h725537036 + 2h = 13h27446296
il Sole culmina alle ore locali TC = 13h 16m 28s1
I due eventi del sorgere e tramontare si verificano quando il sole interseca lrsquoorizzonte celeste dellrsquoosservatore e quindi la sua altezza h egrave nulla In questo caso egrave possibile determinare i tempi (gli angoli orari HS e HT) e le direzioni (gli azimut AS e AT) delle due posizioni del sole sullrsquoorizzonte e lrsquoarco diurno
T = HT - HS che ci dagrave la durata della permanenza del sole
Applichiamo le formule del primo gruppo di Gauss al triangolo sferico precedentemente definito rispetto al lato ldquozenit ndash solerdquo ed allrsquoangolo al vertice con lo zenit
sin h = sin sin + cos cos cos H (I)
cos h sin A = - cos sin H (II)
cos h cos A = cos sin - sin cos cos H
Bignamino di astronomia
94
Quando il sole sorge eo tramonta si ha h = 0 e quindi sin h = 0 Dalla (I) segue dunque
cos H = - tg tg Dai dati del problema si ha = 44deg 38rsquo 45rdquo N = 44deg64583333
= 10deg 59rsquo 04rdquo1 = 10deg98444444 segue cos H = - tg (44deg64583333) tg (10deg98444444) = - 0191713689
H = arccos (- 0191713689) = 101deg0528101 = plusmn 6h736854006
Lrsquoangolo orario H egrave negativo al sorgere percheacute deve arrivare in meridiano e positivo al tramonto percheacute ha superato il meridiano Saragrave dunque HS = - 6h736854006 HT = 6h736854006
il sole sorgeragrave dunque alle ore TS = TC + HS = 13h27446296 - 6h736854006 = 6h537608954 = 6h 32m 15s4
Lo stesso giorno il sole tramonteragrave alle ore TT = TC + HT = 13h27446296 6h736854006 = 20h01131697 = 20h 00m 40s7
Lrsquointervallo temporale durante il quale il sole resteragrave sopra lrsquoorizzonte saragrave
T = HT - HS = 6h736854006 + 6h736854006 = 13h47370802 = 13h 28m 25s4
Per ricavare lrsquoazimut del sole nei momenti in cui sorge e tramonta utilizziamo la (III) delle
formule di Gauss cos h sin A = - cos sin H
Nel momento in cui il sole sorge e tramonta si ha h = 0 e quindi cos h = 1 per cui si ha rispetto al punto Nord
sin AS = - cos sin HS = - cos (10deg98444444 ) sin (-6h736854006 x 15) = 0963469686
AS = arcsin (0963469686) = 74deg46556891 = 74deg 27rsquo 56rdquo1
sin AT = - cos sin HT = - cos (10deg98444444 ) sin (6h736854006 x 15) = -0963469686
AT = arcsin (-0963469686) = - 74deg46556891 = (360deg - 74deg46556891) = 285deg5344311 = 285deg 32rsquo 4rdquo
DISTANZA TRA DUE STELLE
Regolo ha coordinate H= 27m 4 s e declinazione 11deg 52rsquo 5rdquo Denebola ha coordinate H= 22h 46m 36s e
declinazione 14deg 27rsquo 33rdquo Si determini la loro distanza angolare
Per calcolare la loro distanza consideriamo il triangolo sferico BPA dalla figura si evince che
PB= 90-1205751 PA= 90-1205752 lrsquoangolo al polo P= 1198672 - 1198671
Applichiamo il teorema del coseno o di Eulero
Bignamino di astronomia
95
cosAB= cosPB cosPA + seno senPA cosP
Sostituendo
Cos120572 = cos( 90-1205751)cos(90-1205752 ) + sen(90-1205751)sen(90-1205752)cosP
Cos120572= sen1205751sen1205752 + cos1205751cos 1205752cos (1198672 minus 1198671)
E svolgendo I calcoli
Cos α= sen118681 sen 144592 + cos 118681 cos 144592 cos251167=0904
α=24deg58
Bignamino di astronomia
96
Bibliografia
Vittorio Castellani Astrofisica Stellare ndash Zanichelli Editore
Ferdinando Flora Astronomia Nautica ndash Editore Hoepli
Pietro Giannone Elementi di Astronomia ndash Edizione Pitagora
Angeletti Giannone Esercizi e complementi di astronomia ndash Edizioni Nuova Cultura
Margherita Hack Corso di Astronomia ndash Editore Hoepli
Halliday-Resnick Fondamenti di fisica ndash Zanichelli Editore
Giuliano Romano Introduzione allrsquoastronomia ndash Editore Muzzio
Leonido Rosino Lezioni di Astronomia ndash Edizione Cedam
Francesco Saverio Delli Santi Introduzione allrsquoastronomia ndash Zanichelli Editore
Cino Tacchini Il Cielo ndash UTET Editore
Francesco Zagari Astronomia sferica e teorica ndash Zanichelli Editore
Wikipedia sito web
Vialatteanet sito web
Treccani sito web
Superfici e volumi problemi di massimo e minimo Istituto Italiano Edizioni Atlas
- Copertina Bignamino definitiva
- Bignamino di astronomia
-
- INDICE Bignamino definitivo
- Bignamino
-
Bignamino di astronomia
5
Sistema orario
Sistema equatoriale
Questo sistema di coordinate astronomiche ha come
direzione e piano fondamentali rispettivamente lasse
del mondo e il piano dellequatore Le coordinate
sferiche di questo sistema sono Angolo orario (H) e
la Declinazione (120575)
Lrsquoangolo orario egrave la distanza angolare tra il cerchio
orario che passa per il punto e il meridiano
astronomico Si misura in ore e frazioni di ora lungo
lequatore celeste partendo dal meridiano
astronomico in senso orario per un osservatore
boreale
La declinazione rappresenta la distanza angolare tra
un punto della sfera celeste e lequatore celeste
misurata lungo il cerchio orario che passa per tale
punto Si misura in gradi e frazioni di grado con segno
positivo verso il polo nord celeste e negativo verso il
polo sud Lrsquoorigine del sistema egrave il punto M detto
mezzocielo In questo sistema nel corso del giorno le stelle variano il loro angolo orario mentre rimane costante la loro declinazione
L0
Questo sistema di coordinate astronomiche ha come direzione e
piano fondamentali rispettivamente lasse del mondo e il piano
dellequatore Le coordinate sferiche di questo sistema sono
Ascensione retta ( ) Declinazione ( )Lorigine egrave il punto gamma
()
Lascensione retta si misura di solito in ore minuti e secondi lungo
lequatore celeste partendo dal punto gamma e con senso di
percorrenza antiorario
Declinazione rappresenta la distanza angolare tra un punto della
sfera celeste e lequatore misurata lungo il cerchio orario che passa
per tale punto Si misura in gradi e frazioni di grado con segno positivo
verso il polo nord celeste e negativo verso il polo sud
Bignamino di astronomia
6
RELAZIONI TRA I SISTEMI DI RIFERIMENTO
Latitudine del luogo
120593 = ℎ119901119900119897119900119873119900119903119889 = 90deg minus 119911119875119900119897119900119873119900119903119889
La latitudine geografica 120593 di una localitagrave sulla superficie della Terra egrave
lrsquoaltezza del polo celeste sul suo orizzonte Orizzonte e Zenit sono
separati da un angolo retto La latitudine geografica del luogo si
ottiene sottraendo da 90deg lrsquoaltezza del polo stesso
Formule inverse
119911119875119900119897119900119873119900119903119889 = 90deg minus 120593
Stelle circumpolari
120575 ge 90deg minus 120593
Vista da un qualsiasi luogo della superficie terrestre (quando
siamo allrsquoEquatore la situazione di complica) una parte della
volta celeste non tramonta mai e rimane sempre al di sopra
dellrsquoorizzonte Tale parte di cielo egrave detta ldquocircumpolarerdquo Essa
contiene le stelle che hanno declinazione 120575 maggiore o uguale
a un valore limite che si ottiene sottraendo da 90deg il valore della
latitudine geografica 120593 del luogo
Se la declinazione egrave compresa tra
minus(90deg minus 120593) lt 120575 lt +(90deg minus 120593)
le stelle sono occidue sorgono e tramontano sullrsquoorizzonte dellrsquoosservatore
Se
120575 lt minus(90deg minus 120593) 120575 lt minus90deg + 120593
Le stelle sono anticircumpolari (cioegrave quelle che non sorgono mai e stanno sempre al di sotto
dellrsquoorizzonte)
Bignamino di astronomia
7
Culminazione
Una stella culmina quando raggiunge la sua massima altezza cioegrave egrave sul meridiano
La declinazione 120575 la distanza zenitale z sono legate in modo semplice alla latitudine 120593
dellrsquoosservatore
Al momento della culminazione superiore (massima altezza della stella sullrsquoorizzonte) si ha
119911 = 120593 ndash 120575
Al momento della culminazione inferiore si ha
119911 = 120593 + 120575 ndash 180deg
Altezza (culminazione superioreinferiore)
Una stella culmina superiormente quando raggiunge la sua massima
altezza vista un determinato luogo (ad una determinata latitudine 120593)
ℎ1 = 90deg plusmn (120593 minus 120575)
Bignamino di astronomia
8
Poicheacute lrsquoaltezza deve esere h le 90deg distinguiamo i due casi
1) Se 120575 lt 120593 h=90deg- 120593 + 120575 (va preso il segno meno)
2) Se 120575 gt 120593 h=90deg+ 120593 - 120575 (va preso il segno piugrave)
Analogamente in culminazione inferiore
ℎ2 = minus90deg + 120593 + 120575
Poicheacute se 120575 lt 120593
ℎ2 = 120575 - ( 90 ndash 120593)
ℎ2 = 120575 - 90 + 120593
ℎ2 = - 90 + 120575 + 120593
Se 120575 gt 120593
ℎ2 = 120575 + ( 120593 - 90 )
ℎ2 = - 90 + 120575 + 120593
La formula per il calcolo della culminazione inferiore egrave sempre la stessa
Formule inverse della h=90deg+ 120593 - 120575
120593 = 90deg minus ℎ + 120575
120575 = 120593 + ℎ minus 90deg
Bignamino di astronomia
9
Latitudine del luogo (culminazione superiore ed inferiore)
120593 =ℎ1 + ℎ2
2
Questa formula egrave valida per tutte le stelle ma la si usa spesso per
conoscere la latitudine di un luogo osservando una stella
circumpolare La latitudine infatti non egrave altro che una ldquomediardquo
tra le due altezze (culminazione superiore ed inferiore)
Formule inverse
ℎ1 = 2120593 minus ℎ2
ℎ2 = 2120593 minus ℎ1
Per una stella circumpolare la minima altezza egrave ℎ119898119894119899= δ + ϕ - 90deg
Distanza zenitale
119911 = 90deg minus ℎ
La distanza zenitale indica quanto dista la stella dallo zenit che si trova
sulla verticale dellrsquoosservatore Per trovarla basta sottrarre a 90deg (la
verticale e lrsquoorizzonte sono separati da un angolo retto) lrsquoaltezza della
stella h
Formule inverse
ℎ = 90deg minus 119911
Bignamino di astronomia
10
Ascensione retta
Tra lrsquoascensione retta 120630il suo angolo orario H ed il tempo siderale relativi ad un dato osservatore
vale la relazione
119879119904 = 120572 + 119867
Nota
Quando il punto 120574 passa al meridiano 119879119904 = 0 (Il tempo siderale egrave definito come lrsquoangolo orario del
punto 120574 ) quando la stella passa al meridiano H= 0 e
119879119904 = 120572
Il tempo siderale coincide con lrsquoascensione retta delle stelle che passano al meridiano
Per conoscere lrsquoascensione retta di una stella 120572 bisogna calcolare
la differenza tra il tempo siderale del luogo 119879119904 di osservazione e
lrsquoangolo orario 119867 della stella stessa
120572 = 119879119904 minus119867
Lrsquoangolo orario si trova dalla 119867 = 119879119904 minus 120572
il punto nord ha H di 12 h e declinazione 90 - latitudine da noi H 0 e declinazione 90+ latitudine altro emisfero
per il punto sud i due predetti valori si invertono per lrsquoangolo orario e quelli della declinazione diventano
opposti
Bignamino di astronomia
11
MISURA DEL TEMPO
La misura del tempo viene effettuata dal movimento di rotazione diurna della volta celeste
(rotazione della Terra) e dal movimento annuo del Sole (rivoluzione della Terra attorno al Sole)
La rotazione della Terra attorno al suo asse egrave quasi costante quindi lrsquoangolo di rotazione rispetto ad
un qualsiasi riferimento iniziale consente di misurare il tempo Come riferimento iniziale si prende
lrsquoistante del passaggio del punto al meridiano del luogo La durata del giorno dipende da questo
punto scelto
In Astronomia i punti adottati sono Il punto γ il
centro del disco apparente del Sole (Sole vero) il
Sole medio (un Sole ideale che parte dal punto γ
assieme al Sole vero percorre lrsquoequatore celeste
con velocitagrave angolare costante in modo da
ritornare allrsquoequinozio di primavere assieme al
Sole vero)
Le tre unitagrave di tempo definite da questi punti si
chiamano giorno siderale giorno solare vero
giorno solare medio Il tempo da esse misurato egrave
tempo siderale tempo solare vero tempo solare medio
Nota Non sono tempi diversi ma solo diverse unitagrave di misurare il tempo
Giorno siderale ndash tempo siderale
Si definisce giorno siderale lrsquointervallo di tempo compreso tra
due successivi passaggi del punto γ allo stesso meridiano del
luogo
Si definisce tempo siderale lrsquointervallo di tempo compreso tra il
passaggio al meridiano del punto di primavera ad unrsquoaltra
posizione qualsiasi
119905119904 = H + 120572
(Tempo siderale = angolo orario Sole + ascensione retta Sole
medio)
Bignamino di astronomia
12
Giorno solare vero-Tempo solare vero
Il giorno solare vero egrave lrsquointervallo di tempo compreso tra due passaggi superiori o inferiori del centro
del Sole
Il tempo solare vero egrave lrsquointervallo di tempo compreso tra il passaggio inferiore
del Sole ad un altro punto
Al meridiano il 119879119904119900119897119890 119907119890119903119900 = 119867119878119900119897119890 119907119890119903119900 +12ℎ
Giorno solare medio - Tempo solare medio
Il giorno solare medio egrave lrsquointervallo compreso tra due passaggi superiori o inferiori del Sole medio
Il tempo solare medio egrave lrsquointervallo di tempo compreso tra il passaggio inferiore del Sole medio ad
un altro punto
119879119904119900119897119890 119898119890119889119894119900 = 119867119878119900119897119890 119898119890119889119894119900 +12ℎ
Equazione del Tempo
Si definisce equazione del tempo la differenza tra il tempo medio ed il tempo solare vero allo stesso
istante
E= 119879119904119900119897119890 119898119890119889119894119900 - 119879119904119900119897119890 119907119890119903119900
E= 119867119878119900119897119890 119898119890119889119894119900 - 119867119878119900119897119890 119907119890119903119900
E= 120572119878119900119897119890 119898119890119889119894119900 - 120572119878119900119897119890 119907119890119903119900
Il tempo solare medio ad un dato istante egrave dato
dal Tempo solare vero piugrave lrsquoequazione del
tempo
119879119904119900119897119890 119898119890119889119894119900= 119879119904119900119897119890 119907119890119903119900 + E
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Relazione tra tempo solare e tempo siderale
Consideriamo la posizione del sole a 24 ore di distanza
1199051119904=1198671199041 + 1205721198781
1199052119904=1198671199042 + 1205721198782
Calcolando la differenza tra le due espressioni si ha
1199052119904- 1199051119904 = (1198671199042 minus 1198671199041 ) + (1205721198782 -1205721198781)
(1198671199042 minus 1198671199041 ) = 24
Mentre la differenza in ascensione retta (1205721198782 -1205721198781) dagrave lo spostamento angolare diurno del sole
medio sullrsquoequatore che in gradi egrave 24
36525
Pe cui
1199052119904- 1199051119904 = 24h + 24
36525
1199052119904- 1199051119904 = 24 (1+ 1
36525)
1199052119904- 1199051119904 = 24 36625
36525
Un giorno solare medio= 36625
36525 giorni siderali
Un giorno siderale= 36525
36625 giorni solari veri
Il rapporto K = 36625
36525 K=1002738 serve per convertire gli intervalli di tempo solare medio in
intervalli di tempo siderali
∆119879119904= K ∆119879119898
Il rapporto Krsquo = 36525
36625 Krsquo = 0997270 serve per convertire gli intervalli di tempo siderali in intervalli
ti tempo solare medio
∆119879119898= Krsquo ∆119879119904
24 ore di tempo medio corrispondono a 24h 03m 5655s di tempo siderale viceversa un giorno
siderale egrave 23h 56m 04s di tempo solare medio
Se s egrave il tempo siderale ad un certo istante ad un dato meridiano mentre alla mezzanotte
precedente sullo stesso meridiano il tempo siderale era S dalla mezzanotte sono passati (s-S) ore
minuti secondi di tempo siderale che corrispondono a (s-S) Krsquo di tempo solare medio Poicheacute a
mezzanotte il tempo solare medio egrave 0ℎ 119879119898 = (s-S) Krsquo rappresenta il tempo solare medio allrsquoistante
del tempo siderale s
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Se al meridiano di quel luogo alla mezzanotte di una certa data il tempo siderale era S allrsquoistante
di tempo medio solare saragrave
s= S + 119879119898 119870
NOTA
Ersquo sempre necessario conoscere il tempo siderale S alla mezzanotte del meridiano dato Per questo
sono stati costruiti annuari che forniscono il tempo siderale 1198780 alla mezzanotte del meridiano
fondamentale di GW
Il tempo siderale S alla mezzanotte ad una data longitudine 120582 egrave dato da
119878 = 1198780 minus120582 ℎ
24ℎ (3119898 56119904 55)
Ora locale e longitudine
Si definisce tempo locale medio il tempo regolato sul meridiano del luogo
Nella vita quotidiana egrave scomodo utilizzare questo
tempo per cui il primo luglio 1919 sono stati introdotti
i fusi orari In base a questa suddivisione il tempo
medio egrave determinato solo per 24 meridiani geografici
principali separati da 15deg gradi (unrsquoora) I fusi orari sono
numerati da 0 a 23 ed il meridiano passante per GW
costituisce lrsquoorigine (fuso = 0)
Il tempo medio locale egrave dato da
119905119897 = 119905119891 ndashΔ120582
dove Δ120582 = 120582119891 - 120582119874
Nota
1) La differenza tra le ore locali (siderali o solari) di due meridiani misurate allo stesso istante
egrave sempre uguale alle differenze di longitudini
2) Poicheacute i confini dei fusi orari distano circa 7deg5 dal meridiano centrale la differenza 119905119897 - 119905119891
puograve essere leggermente maggiore o minore di plusmn 30119898
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Tempo Universale
Il tempo solare medio del meridiano di GW si chiama Tempo Universale (TU)
Per quanto precedentemente detto il tempo medio locale egrave uguale al tempo universale piugrave la
longitudine del luogo espressa in ore e considerata positiva ad est di GW
119905119897 = TU +120582
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MOTO APPARENTE DEI PIANETI
I pianeti si muovono in vicinanza dellrsquoeclittica ma il loro movimento visto dalla Terra egrave piugrave
complicato di quello del Sole e della Luna Il Sole e la Luna riferendo il loro moto rispetto alle stelle
fisse si muovono di moto diretto cioegrave antiorario per i pianeti si osserva che in generale si muovono
di moto diretto ma ce certi tratti variabili da pianeta a pianeta si muovono di moto retrogrado Il
pianeta dopo avere raggiunto una posizione di stazionarietagrave
inverte il moto Questo egrave molto piugrave evidente per i pianeti
interni Mercurio e Venere che oscillano avanti e indietro
rispetto alla posizione del Sole venendosi a trovare ora da
una parte ora dallrsquoaltra rispetto ad esso Quando il pianeta egrave
in congiunzione superiore egrave invisibile perchegrave nasce e
tramonta con il Sole ma essendo in questo momento piugrave
veloce del Sole dopo qualche tempo puograve essere visto dopo
il tramonto ad occidente (si trova a sinistra del Sole)
Lrsquoelongazione orientale cresce nei giorni seguenti e
contemporaneamente decresce la sua velocitagrave angolare e
quando raggiunge la stessa velocitagrave angolare del Sole per
qualche istante si muove mantenendo la stessa distanza il
pianeta raggiungere la massima elongazione orientale Per venere questo valore egrave circa 46deg per
Mercurio egrave variabile dai 18deg ai 28deg Da questo momento il pianeta comincia il suo avvicinamento al
Sole ritornando con moto retrogrado in congiunzione con esso ma questa volta in congiunzione
inferiore Ritorna invisibile (potrebbe esserci un transito) Continuando nel suo moto retrogrado
appare visibile ad occidente (a destra del Sole) ed egrave visibile prima del sorgere del Sole (elongazione
occidentale) Questo ci dice che i pianeti inferiori non possono mai trovarsi in quadratura o
opposizione
I pianeti esterni invece possono assumere qualsiasi distanza dal Sole da 0deg a 180deg e quindi possono
trovarsi nelle due precedenti configurazioni Raggiunta
lrsquoelongazione massima di 180deg i pianeti si trova dalla parte
opposta a quella del Sole la velocitagrave retrograda egrave massima e
raggiungono anche il massimo della luminositagrave Oggi noi
sappiamo che tutto questo egrave dovuto egrave il risultato della
composizione del moto della Terra e di quello dei pianeti
attorno al Sole semplificando osserviamo un oggetto in
movimento essendo noi stessi in movimento Le velocitagrave dei
pianeti variano piugrave sono vicini al Sole piugrave velocemente si
muovono I due pianeti essendo piugrave vicini al Sole sorpassano
la Terra durante il loro moto mentre egrave la Terra a sorpassare i
pianeti esterni quando sono vicini allrsquoopposizione e quindi
essi sembrano muoversi allindietro
Ed allora se indichiamo con T Il nostro anno siderale con P il periodo sidereo del Pianeta e con S il
periodo siderale (il tempo intercorso tra due congiunzioni o due opposizioni successive) la
composizione delle velocitagrave ci consente di calcolare la velocitagrave relativa del pianeta rispetto alla
Terra
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Per i pianeti interni (la Terra si muove piugrave lentamente)
2120587
119878 = 2120587
119875 - 2120587
119879
120783
119930 = 120783
119927 - 120783
119931
Per i pianeti esterni (la Terra si muove piugrave velocemente)
2120587
119878 = 2120587
119879 - 2120587
119875
120783
119930 = 120783
119931 - 120783
119927
Il movimento di tutti i pianeti attraverso le stelle fisse segue apparentemente la stessa direzione di
quello della Luna (e del Sole) - con una strana variante talvolta il loro moto apparente cambia
temporaneamente verso (moto retrogrado) Questo egrave molto piugrave evidente per Mercurio e Venere
che oscillano avanti e indietro rispetto alla posizione del Sole Durante il moto del Sole attraverso le
stelle - lungo le costellazioni dello zodiaco - questi pianeti
talvolta si muovono nello stesso verso e quindi il loro
movimento si somma a quello del Sole ma altre volte il loro
moto apparente si oppone a quello del Sole facendo sigrave che
sembri che si muovano allindietro (moto retrogrado)Gli
altri tre pianeti visibili ad occhio nudo si possono trovare in
qualunque posizione lungo leclittica - anche a mezzanotte in
posizione direttamente opposta a quella del Sole e quando
questo avviene raggiungono il massimo della luminositagrave
Marte sembra muoversi piugrave rapidamente Giove un po meno
e Saturno egrave il piugrave lento Comunque tutti mostrano questa
enigmatica stranezza vicino al punto in cui il loro percorso
apparente nel cielo egrave esattamente in posizione opposta al Sole
(opposizione) il loro movimento tra le stelle
temporaneamente si inverte Oggi noi comprendiamo molto
bene tutto questo (vedi fig1) I pianeti sono oggetti sferici
come la Terra - Venere Mercurio e Marte sono piugrave piccoli Giove e Saturno molto piugrave grandi Anche
la Terra egrave un pianeta e ne esistono anche altri (troppo deboli per essere visti senza un telescopio)
tutti che orbitano attorno al Sole sul piano o vicino al piano delleclittica La loro velocitagrave tuttavia
varia - piugrave sono vicini al Sole e piugrave rapidamente si muovono (vedi la sezione ldquoterza legge di Keplerordquo)
Quindi quando i tre pianeti esterni sono vicini allopposizione la Terra che orbita piugrave vicina al Sole
li sorpassa e quindi essi sembrano muoversi allindietro Il moto retrogrado dei due pianeti interni
ha una causa simile Essendo piugrave vicini al Sole sono essi che sorpassano la Terra durante il loro moto
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Sommario di quanto egrave noto oggi sui pianeti
Viene qui riportato un breve sommario dei componenti del sistema solare In genere vengono distinte quattro classi di oggetti
1 I pianeti maggiori in ordine di distanza dal Sole - Mercurio Venere Terra Marte Giove Saturno Urano e Nettuno Tutti tranne i due piugrave interni hanno dei satelliti e tutti e quattro i piugrave esterni hanno degli anelli composti da piccoli ciottoli di materia in orbita attorno al pianeta
2 Asteroidi o pianetini in maggioranza - anche se non tutti - posti tra Marte e Giove Il loro diametro arriva fino a 500 Km
3 La fascia di Kuiper di oggetti ghiacciati oltre lorbita di Nettuno di cui il piugrave noto (anche se ora si egrave scoperto che egrave solo il secondo come dimensioni) egrave Plutone scoperto nel 1930 e delle dimensioni della nostra Luna La fascia ha preso il nome dellastronomo belga Gerard Kuiper si estende probabilmente a una distanza doppia di quella di Nettuno e si stima che consista di circa 100000 oggetti (finora ne sono stati identificati circa 1000) molti dei quali con un diametro di soli 100 Km o meno
4 Comete tradizionalmente divise in non ricorrenti (il nome ufficiale egrave comete a lungo periodo) e comete periodiche Le comete non ricorrenti si pensa che provengano dalla nube di Oort un enorme agglomerato quasi sferico di oggetti ghiacciati agli estremi limiti del sistema solare Essi sono debolmente legati al Sole e di tanto in tanto lattrazione gravitazionale di qualche stella lontana probabilmente cambia un poco il moto di alcuni di
essi lanciandoli in direzione del Sole In tal caso diventano visibili come comete quando la luce del Sole fa evaporare una parte della loro superficie generando la chioma e la coda della cometa Le comete periodiche una volta erano considerate come oggetti che avevano iniziato come oggetti non ricorrenti ma poi erano state deviate e catturate dallattrazione gravitazionale dei pianeti piugrave grandi Oggi si ritiene che provengano dalla fascia di Kuiper come classe di oggetti noti come Centauri
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LE LEGGI DEL MOTO DEI PIANETI
Prerequisito Lrsquoellisse
Luogo geometrico dei punti del piano per i quali si
mantiene costante la somma delle distanze da due
punti fissi detti fuochi
Detta in parole piugrave semplici lellisse non egrave altro che
una circonferenza ldquoschiacciata Un elemento
fondamentale che ci permette di capire di quanto
questa viene compressa egrave leccentricitagrave e
Leccentricitagrave egrave definita come il rapporto tra la
semidistanza focale e il semiasse maggiore
119890 =119888
119886
Formule inverse
119888 = 119886119890
119886 =119888
119890
Infatti nellellisse possiamo individuare
bull Semiasse maggiore (a)
bull Semiasse minore (b)
bull Semidistanza focale (c)
Indicheremo quindi con 2a il semiasse maggiore (AB) con 2b il semiasse minore (CD) e con 2c la
distanza focale (F1F2)
ATTENZIONE lrsquoeccentricitagrave dellellisse egrave SEMPRE compresa tra 0 e 1 (0ltelt1) Se
questa fosse uguale a 0 i due fuochi andrebbero a coincidere con lorigine e lellisse
diventerebbe una circonferenza Se fosse uguale a 1 diventerebbe una parabola se
fosse egt1 diventerebbe una iperbole
Dalla figura si nota che la somma delle distanze dai due punti fissi detti fuochi egrave costante ed egrave pari
alla lunghezza dellasse maggiore (2a) Quindi si puograve anche applicare il teorema di Pitagora
1198862 = 1198872 + 1198882
Formule inverse
1198872 = 1198862 minus 1198882
1198882 = 1198862 minus 1198872
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LEGGI DI KEPLERO
PRIMA LEGGE
Enunciato i pianeti descrivono intorno al Sole orbite
ellittiche in cui questo occupa uno dei fuochi
Si puograve quindi notare che la distanza di un pianeta
attorno al Sole non si mantiene costante bensigrave ci
saragrave un punto in cui questo saragrave piugrave vicino al Sole
(perielio) e uno in cui saragrave piugrave lontano (afelio)
Possiamo quindi calcolare le due distanze
119889119886 = 119886(1 + 119890)
119889119901 = 119886(1 minus 119890)
Formule inverse
119886 =119889119886
1 + 119890
119886 =119889119901
1 minus 119890
119890 =119889119886
119886minus 1
119890 = 1 minus119889119901
119886
Inoltre si nota anche che dalla somma delle due distanze otteniamo lasse maggiore dellorbita
2119886 = 119889119886 + 119889119901
E il semiasse egrave quindi dato da
119886 =119889119886 + 119889119901
2
Bignamino di astronomia
21
Formule inverse
119889119886 = 2119886 minus 119889119901
119889119901 = 2119886 minus 119889119886
La distanza focale egrave data dalla differenza delle due distanze
2119888 = 119889119886 minus 119889119901
119888 =119889119886 minus 119889119901
2
Formule inverse
119889119886 = 2119888 + 119889119901
119889119901 = 119889119886 minus 2119888
Quindi leccentricitagrave dellrsquoorbita puograve essere anche scritta come
119890 =119889119886minus119889119901
119889119886+119889119901=
2119888
2119886 =
119888
119886
SECONDA LEGGE
Enunciato il raggio vettore che congiunge il Sole al pianeta spazza aree
uguali in tempi uguali
Dalla seconda legge comprendiamo che la velocitagrave del pianeta intorno
al Sole non egrave costante al perielio viaggeragrave piugrave velocemente che
allafelio Quindi si puograve affermare che le velocitagrave sono inversamente
proporzionali alle distanze
119881119886
119881119901=119889119901
119889119886
Formule inverse
119881119886 =119889119901 119881119901
119889119886
Bignamino di astronomia
22
119881119901 =119881119886 119889119886
119889119901
119889119886 =119881119901 119889119901
119881119886
119889119901 =119881119886 119889119886
119881119901
TERZA LEGGE
Enunciato i cubi dei semiassi maggiori sono
proporzionali ai quadrati dei periodi di
rivoluzione
1198863
1198792= 119896
Dalla terza legge si nota che esiste una relazione tra periodo di rivoluzione e lontananza dal corpo
centrale Sono infatti legati tra loro dal valore di una costante che egrave stata indicata con k
Per i corpi orbitanti intorno ad una massa comune (come ad esempi o per i corpi del Sistema solare)
questa legge puograve essere anche scritta come
1198861199053
1198791199052 =
1198861198983
1198791198982
=1198861199043
1198791199042 = ⋯
PER I CORPI DEL SISTEMA SOLARE se si inserisce in formula il valore del semiasse maggiore in unitagrave
astronomiche (UA) e il periodo di rivoluzione in anni il valore di questa costante egrave uguale a 1 Infatti
ricavandola per la Terra
(1 119880119860)3
(1 119886119899119899119900)2= 1
E se k=1 per la Terra vale per tutti gli altri corpi orbitanti intorno al Sole
Bignamino di astronomia
23
NEWTON E LA GRAVITAZIONE UNIVERSALE
Con le leggi di Keplero siamo ancora in quella parte di fisica che descriviamo come cinematica
descriviamo perfettamente i moti dei pianeti ma non risaliamo alle cause Newton avanzograve lrsquoipotesi
che sia i gravi in caduta libera che i pianeti vengono deviati dalla condizione di moto rettilineo
uniforme dallrsquoesistenza di una forza centrale Nel 1684 Newton ldquopoggiandosi sulle spalle dei
gigantirdquo (Keplero ed il nostro Galilei) dimostrograve che la forza che fa ldquofluttuarerdquo i pianeti attorno al Sole
dipende dallrsquoinverso del quadrato della distanza da esso
Integrando il suo secondo principio della dinamica con la terza legge di Keplero perviene a
119865119892=41205872 119898
1198701199032
Questa forza deve dipendere anche dalla massa M del Sole ed allora
119865119892=41205872 119898119872
1198721198701199032
Dove K egrave la costante della terza legge di Keplero Ponendo la quantitagrave 41205872
119872119870 = G ( notare che contiene
la costante K e la massa del Sole) otteniamo la nota formula
119865119892=119866 119898119872
1199032
Newton dedusse che questa legge egrave valida non solo per i corpi del sistema solare ma in tutto
lrsquoUniverso egrave la Legge di Gravitazione Universale Nel 1798 Cavendish ideograve la bilancia a torsione e
trovograve il valore per la costante G = 667times10⁻sup1sup1 N msup2kgsup2
Bignamino di astronomia
24
Terza legge di Keplero generalizzata
Approssimando lrsquoorbita di un corpo a circolare e considerando trascurabile la massa del corpo
orbitante la condizione di equilibrio per la quale esso orbita egrave data da
119865119888 = 119865119892
119865119900119903119911119886 119888119890119899119905119903119894119891119906119892119886 = 119865119900119903119911119886 119892119903119886119907119894119905119886119911119894119900119899119886119897119890
La forza centrifuga egrave espressa come
119865119888 = 119898 119886119888
E quella gravitazionale (dalla legge di gravitazione universale di Newton) come
119865119892 =119866119872119898
1198862
Sostituendo in formula
119898119886119888 =119866119872119898
1198892
Notiamo che semplificando m otteniamo un modo per esprimere lrsquoaccelerazione
119886119888 =119866119872
1198892
Lrsquoaccelerazione egrave espressa come
119886119888 =1199072
119886=412058721198862
1198792119886=41205872119886
1198792
Sostituendo in formula
41205872119886
1198792=119866119872
1198862
Da cui
1198863
1198792=119866119872
41205872
Formule inverse
119886 = radic119866119872 1198792
41205872
3
119879 = radic412058721198863
119866119872
Bignamino di astronomia
25
119872 =412058721198863
119866 1198792
Nota nel caso in cui la massa del corpo orbitante non fosse trascurabile la terza legge di Keplero
generalizzata diventerebbe
1198893
1198792=119866 (119872 +119898)
41205872
Nel Sistema solare la somma delle due masse si considera uguale alla sola massa del
Sole data la relativa piccola massa dei pianeti
NOTA I corpi lasciati cadere verso il basso quando la resistenza dellrsquoaria egrave trascurabile cadono con la
stessa accelerazione g detta accelerazione di gravitagrave Sulla superficie terrestre lrsquoaccelerazione di
gravitagrave egrave g = 98 ms2 In realtagrave il valore di g cambia da punto a punto percheacute dipende fra lrsquoaltro
dallrsquoaltezza del punto sul livello del mare e dalla sua latitudine Ora che conosciamo la legge di
gravitazione universale possiamo dire che i corpi cadono per effetto della forza di gravitazione che
si esercita tra il corpo e la Terra Allora
119892 =119866119872
1198892
Se il corpo si trova sulla Terra o prossimo alla superficie sostituendo a questa formula i valori relativi
alla massa della Terra e al suo raggio troviamo per lrsquoaccelerazione il valore noto di 98 ms2
Un altro fattore che influisce sul valore di g egrave la rotazione terrestre in quanto ogni corpo su di
essa egrave soggetto ad una forza centripeta per cui
119892rsquo = 119892 minus 1205962 119877119879
ldquoRationem vero harum
Gravitatis proprietatum
ex phaelignomenis nondum
potui deducere amp
hypotheses non fingordquo
ldquoIn veritagrave non sono riuscito a dedurre la causa di
queste proprietagrave della gravitagrave dai fenomeni e non
avanzo ipotesirdquo
Isaac Newton Philosophiae Naturalis Principia
Mathematica liber tertius
Bignamino di astronomia
26
ALCUNE CONSIDERAZIONI SULLE ORBITE
La Legge della Gravitazione Universale ci insegna che la forza drsquoattrazione gravitazionale egrave
inversamente proporzionale al quadrato della distanza delle due masse che si attraggono ovvero
119865 prop1
1198892 a causa di questa caratteristica dellrsquointerazione gravitazionale si puograve dimostrare che le
orbite descritte dai corpi celesti attorno a un oggetto ldquoattrattorerdquo seguono particolari curve le
coniche
Le coniche sono curve che si ottengono dallrsquointersezione di un piano con un cono a due falde Si
ottengono cosigrave circonferenza ellisse iperbole e parabola
Ciograve che distingue lrsquouna dallrsquoaltra queste curve egrave un parametro lrsquoeccentricitagrave
Circonferenza il piano egrave perpendicolare
allrsquoasse (tratteggiato)
Ellisse il piano egrave obliquo
Parabola il piano egrave parallelo a una delle
generatrici (le due rette incidenti in V in
figura)
Iperbole il piano egrave parallelo allrsquoasse del cono
CIRCONFERENZA e=0
ELLISSE 0ltelt1 (piugrave questo valore si avvicina ad 1 piugrave
lrsquoellisse egrave schiacciata)
PARABOLA e=1
IPERBOLE egt1 (quanto piugrave maggiore di uno egrave
questo valore tanto piugrave lrsquoiperbole egrave ldquoapertardquo)
Bignamino di astronomia
27
VELOCITAgrave ORBITALE ORBITA CIRCOLARE
Affincheacute il corpo rimanga in orbita egrave necessario che in ogni punto dellrsquoorbita la forza centripeta sia
uguale alla forza di attrazione gravitazionale
FC = FG
mv2
R=mMG
R2
mv2
R=mMG
R2
v2 =MG
R
119855 = radic119820119814
119825
A questa velocitagrave si dagrave il nome di prima velocitagrave cosmica
VELOCITAgrave SU ORBITE NON CIRCOLARI
Il problema si risolve con lrsquoapplicazione del principio di conservazione dellrsquoenergia meccanica che
altro non egrave che la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale
119922120783 + 119932120783 = 119922120784 + 119932120784
E poicheacute le velocitagrave orbitali variano al variare dalla distanza alla prima equazione egrave necessario
associare la seconda legge di Keplero
Per cui il problema egrave risolto dalla soluzione del sistema
119922120783 + 119932120783 = 119922120784 + 119932120784119959119938 119941119938 = 119959119953119941119953
Nel caso della forza gravitazionale lrsquoenergia potenziale egrave 119880 = minus119898119872119866
119877
Lrsquoenergia cinetica egrave K= 1
21198981199072
Bignamino di astronomia
28
Il sistema diventa
119907119886119889119886 = 1199071199011198891199011
2119898119907119886
2 minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
Le soluzioni sono 119959119938 = radic120784119918119924119941119953
119941119938(119941119953+119941119938) 119959119953 = radic120784119918119924
119941119938
119941119953(119941119953minus119941119938)
Ricordando che 119889119886 = 119886(1 + 119890) 119889119901 = 119886(1 minus 119890) 119938 =119941119938+119941119953
120784 119942 =
119941119938minus119941119953
119941119938+119941119953
le due velocitagrave possono anche essere espresse in funzione del semiasse maggiore e
dellrsquoeccentricitagrave dellrsquoorbita
Quindi
119907119901 = radic119918119924
119938(120783+119942
120783minus119942)
119907119886 = radic119918119924
119938(120783minus119942
120783+119942)
ALCUNE CONSIDERAZIONI DINAMICHE SULLE ORBITE
Allrsquoinizio di questi appunti abbiamo evidenziato come gli oggetti orbitanti seguano delle traiettorie
che sono curve coniche e abbiamo individuato questrsquoultime catalogandole anche a seconda
dellrsquoeccentricitagrave in seguito abbiamo enunciato il principio di conservazione dellrsquoenergia meccanica
119922+119932 = 119940119952119956119957119938119951119957119942
Possiamo procedere nella classificazione delle orbite a seconda del valore assunto da questa
costante (lrsquoenergia meccanica) In particolare
bull Se questa costante egrave negativa allora lrsquooggetto segue unrsquoorbita chiusa (circonferenza
ellisse)
bull Se essa egrave nulla allora il corpo si muove su unrsquoorbita parabolica (a distanza infinita la sua
velocitagrave egrave nulla)
bull Se essa egrave positiva allora la traiettoria egrave iperbolica (e il corpo giunge a distanza infinita con
velocitagrave ndash chiamata ldquovelocitagrave drsquoeccesso iperbolicordquo ndash non nulla)
Bignamino di astronomia
29
VELOCITAgrave DI FUGA ndash RAGGIO DI SCHWARZSCHILD
119959 = radic120784119918119924
119929
A questa velocitagrave si dagrave il nome di seconda velocitagrave cosmica o velocitagrave di fuga
Immaginiamo ora di poter comprimere un corpo celeste di massa M (quindi via via il raggio R
diminuisce) la velocitagrave di fuga di un altro corpo dalla sua superficie aumenteragrave al diminuire del
raggio Quando il raggio raggiungeragrave un valore ldquocriticordquo la velocitagrave di fuga eguaglieragrave quella della
luce e neanche la luce potragrave allontanarsi indefinitamente dal corpo esso egrave diventato un buco nero
Al raggio ldquocriticordquo associato a ogni massa M si dagrave il nome di Raggio di Schwarzschild in onore del
matematico astronomo e astrofisico tedesco Karl Schwarzschild (1873-1916) il raggio si ricava cosigrave
119888 = radic2119866119872
119877119904 rarr 1198882 =
2119866119872
119877119904 rarr 119929119956 =
120784119918119924
119940120784
Dove c egrave la velocitagrave della luce (c=299792458 ms)
Bignamino di astronomia
30
ECLISSI LUNA-SOLE
Eclisse di Luna
Una eclisse di Luna si verifica quando la Terra si interpone tra il nostro satellite ed il Sole cioegrave
quando la Luna entra nel cono drsquoombra della Terra che egrave rivolto dalla parte opposta al Sole e per
tanto lrsquoeclisse piograve avvenire solo quando la Luna egrave in opposizione cioegrave quando egrave piena Poicheacute la
Luna si sposta da ovest verso est essa
entra nel cono drsquoombra della Terra dalla
parte sinistra Se lrsquoorbita della Luna
attorno alla Terra giacesse sullo stesso
piano dellrsquoorbita della Terra attorno al
Sole ad ogni plenilunio avremmo una
eclisse totale di Luna Queste due orbite
sono inclinate di 5deg9rsquo e si incontrano i
due punti che definiscono i nodi Percheacute
si abbia una eclisse Sole e Luna non solo
devono essere allrsquoopposizione ma
devono essere vicinissimi ai nodi In media la distanza angolare del Sole dal nodo deve essere minore
di 9deg9 per unrsquoeclisse parziale e non piugrave di 4deg6 per unrsquoeclisse totale
Calcolo lunghezza cono drsquoombra della Terra
I triangoli VAS e VBT sono simili (vedi figura)
VS VT= AS BT
Ma
VS= VT+ TS
sostituendo si trova che
VT =119879119878∙119861119879
119860119878minus119861119879
Siccome sappiamo che il raggio del Sole egrave circa 10925 raggi terrestri abbiamo
Bignamino di astronomia
31
VT= 119878119879∙119861119879
10925119861119879minus119861119879
VT= 119878119879
10925minus1
La lunghezza del cono drsquoombra si puograve calcolare dividendo la distanza media Terra-Sole per 10925
Si puograve calcolare anche il semidiametro apparente visto dalla Terra dellrsquoombra che la Terra proietta
sul piano dove si trova la Luna
Poicheacute il raggio angolare della Luna egrave di 15rsquo5 percheacute una eclisse di Luna possa avere luogo egrave
necessario che la distanza tra i centri dellrsquoombra terrestre e della Luna sia inferiore a
41rsquo+15rsquo5 = 56rsquo5
Con questo dato si puograve calcolare quanto egrave spostato il centro dellrsquoorbita terrestre dal nodo lunare
Dalla proporzione
119861119879 119877119867 = 119881119879119867119881
119877119867 =119881119867 ∙ 119861119879
119881119879
Dato che
119881119867 = 119881119879 minus 119879119867
119877119867 =119861119879 (119881119879 minus 119879119867)
119881119879=
=119861119879
119881119879(1 minus
119879119867
119881119879) =
Dalla formula precedente
119881119879 =119878119879
10825
Sostituendo
Bignamino di astronomia
32
119877119867 =119861119879 ∙ 10825
119878119879(1 minus 119879119867) =
= 119877119879119864119877119877119860119863119879119878
10825 (1 minus 119863119879119871)
Si trova che questo valore egrave di 10deg6 Quindi unrsquoeclisse lunare si puograve verificare (anche di breve
durata) solo nel caso in cui lrsquoorbita terrestre egrave spostata meno di 10deg6 gradi dal nodo lunare (ad est
o ad ovest)
La Terra si muove lungo lrsquoeclittica di circa 59rsquo al giorno Per percorrere questa distanza impiega 108
giorni e la distanza doppia in 216 giorni poicheacute una rivoluzione sinodica si compie in 295 giorni
Una Luna piena puograve verificarsi ad una distanza superiore ai 10deg6 gradi ad ovest e la successiva Luna
piena ad una distanza superiore ad est e quindi nel corso di questa rivoluzione non si verificheranno
eclissi Si puograve verificare che in un anno non ci siano eclissi o al massimo tre quando la prima cade
poco dopo il primo gennaio la seconda sei mesi dopo (in prossimitagrave di giugno) e la terza a fine
dicembre (dodici mesi sinodici dopo la prima 354 giorni)
Bignamino di astronomia
33
Eclisse di Sole
Uneclissi di Sole si verifica quando la Luna attorno alla sua congiunzione si trova allineata tra la
Terra e il Sole molto vicino ad uno dei nodi o esattamente in esso Bencheacute di dimensioni
estremamente diverse si trovano a distanze tali da mostrare lo stesso diametro apparente Il che
consente alla Luna di coprire il disco del Sole
Percheacute ci sia una eclisse di Sole egrave necessario che
al momento del novilunio il Sole sia distante
dal nodo inferiore in media 15deg5 Questo
valore egrave piugrave alto di quello calcolato per lrsquoeclisse
di Luna e quindi si capisce percheacute le eclissi di
Sole sono piugrave frequenti Il cono drsquoombra
massimo della Luna ha un valore che non
supera i 270km sulla superficie della Terra mentre la lunghezza del cono drsquoombra egrave circa 374000
per cui il vertice di questo cono non sempre raggiunge la Terra in questo caso si hanno eclissi
anulari In localitagrave differenti della Terra lrsquoeclisse di Sole si verifica in tempi diversi Il moto della Luna
attorno alla Terra e la rotazione della Terra attorno al proprio asse fanno sigrave che lrsquoombra lunare si
sposti da ovest verso est formando una striscia drsquoombra lunga un migliaio di km e larga da 200 a 270
km Poicheacute la Luna si sposta da ovest verso est lrsquoeclisse inizia dal bordo ovest del Sole
Condizione percheacute si possa verificare unrsquoeclissi di Sole
Percheacute si verifichi unrsquoeclisse di Sole egrave necessario che nel periodo della Luna nuova questa si trovi in
prossimitagrave di uno dei nodi della sua orbita cioegrave in vicinanza dellrsquoeclittica
Indichiamo con S T L i centri del Sole della Terra della Luna che giacciono tutti su di un piano
perpendicolare al piano dellrsquoeclittica Il verificarsi dellrsquoeclisse dipende dalla latitudine geocentrica
della Luna (nella figura lrsquoangolo LTS (vertice in T) = 120573 )
Dalla figura
Bignamino di astronomia
34
120573 = LTLrsquo+ LrsquoTSrsquo + STSrsquo
Dalla figura si evince che
LTLrsquo egrave il raggio angolare della Luna= 120572119871
STSrsquo egrave il raggio angolare del Sole = 120572119878
120573 = 120572119871 + LrsquoTSrsquo + 120572119878
Lrsquo TSrsquo =
Consideriamo lrsquoangolo TLrsquoO esterno al triangolo TLrsquoSrsquo
TLrsquoO= LrsquoTSrsquo + TSrsquoLrsquo
TLrsquoO= LrsquoTSrsquo + TSrsquoO
LrsquoTSrsquo = TLrsquoO - TSrsquoO
TLrsquoO = 119901119871 = 57prime2primeprime (parallasse orizzontale della Luna)
TSrsquoO= 119901119878 = 8primeprime 8 (parallasse orizzontale del Sole)
120573 = 120572119871 + 120572119878 + 119901119871 - 119901119878
120573 = 15rsquo5 +16rsquo3 +57rsquo2 ndash 8rsquorsquo8
120573 = 88rsquo46
Percheacute si verifichi una eclisse anche di breve durata egrave necessario che la latitudine geocentrica della
Luna sia inferiore a 88rsquorsquo46
La parallasse orizzontale equatoriale della Luna egrave lrsquoangolo sotto il quale dal centro della Luna egrave
visibile il raggio equatoriale della Terra La parallasse orizzontale equatoriale del Sole egrave lrsquoangolo
sotto il quale dal centro del Sole egrave visibile il raggio equatoriale della Terra
Bignamino di astronomia
35
La distanza angolare del centro della Luna rispetto al
nodo (longitudine) si puograve calcolare con la
sinΔ120582 = tan120573
tan 119894
Δ120582 = 16deg5
Il Sole muovendosi alla velocitagrave di 59rsquo al giorno percorre 33deg gradi di eclittica in 34 giorni Essendo
il periodo sinodico di 295 giorni egrave evidente che nel corso di questo periodo si ha una Luna nuova
(ed anche due) Questo assicura che nel corso di un anno si verificano almeno due eclissi di Sole in
vicinanza dei nodi Se la prima si verifica ai primi di gennaio la seconda si ha alla Luna nuova
successiva la terza e la quarta poco meno di sei mesi dopo e la quinta 354 giorni dopo la prima
Bignamino di astronomia
36
Numero totale di eclissi per anno
Il Ciclo di Saros
In base a quanto fin qui detto il numero massimo di eclissi che si possono verificare in un anno egrave 7
bull 2 Luna + 5 Sole
bull 3 Luna + 4 Sole
e viceversa Questa combinazione egrave piuttosto rara lrsquoevento piugrave frequente egrave 2 Luna + 2 Sole Il
numero minimo costituito da due eclissi entrambe di Sole
Fin dallrsquoantichitagrave era noto che le eclissi si succedevano pressocheacute nello stesso ordine in un periodo
di circa 18 anni e 113 giorni La spiegazione egrave alquanto semplice
Le fasi lunari si succedono ogni 2953 giorni (mese sindico) mente il ritorno allo stesso nodo della
Luna avviene ogni 2721 giorni I nodi
hanno un moto di retrogradazione in un
giorno percorre un angolo pari a
3rsquo10rsquorsquo64 e completa il giro in 18anni e
113 giorni Il Sole si sposta di moto
diretto in media di 59rsquo8rsquorsquo33 al giorno
rispetto al nodo Il moto del Sole egrave di
62rsquo19rsquorsquo e quindi lrsquointervallo di tempo fra
due passaggi consecutivi del centro del
Sole per lo stesso nodo egrave di 34662 giorni
(anno draconico) Il saros egrave lrsquointervallo di tempo percheacute questi tre periodi tornino nella stessa
successione La natura si diverte
Succede che
bull 223 lunazioni (223 mesi sinodici) corrispondono a giorni 658519 (223 x 2953)
bull 242 mesi draconici corrispondono a giorni 658502
bull questi giorni corrispondono a 18 anni e circa 11 giorni
Poi succede che se dividiamo questi 658519 per lrsquoanno draconico troviamo circa 19
Questi tre periodi ritornano nella stessa successione dopo circa 6585 giorni che rappresenta il
ciclo di Saros Le condizioni in cui si producono le eclissi non saranno mai le stesse poicheacute essendo
223 mesi sinodici piugrave corti di 004 mesi draconici dopo 18 anni la Luna non si troveragrave esattamente
allo stesso posto rispetto al nodo Il ciclo di Saros contiene 6585 giorni interi piugrave circa 13 di giorni
questo comporta che le zone di visibilitagrave delle eclissi sulla superficie terreste in 18 anni si spostano
di circa 120deg verso Ovest
Bignamino di astronomia
37
ANGOLO SOLIDO
Si definisce angolo solido la porzione di sfera intercettata dalle
semirette che lo individuano
120570 =119860
1198772=41205871198772
1198772= 4120587
120570 = 4120587
Langolo solido totale di una sfera egrave pari a 4π Lunitagrave di misura
egrave sr (steradiante) ed egrave un numero puro
Per avere la misura in gradi quadrati si deve
119898119900119897119905119894119901119897119894119888119886119903119890 4120587 bull (180deg
120587)2
119900 1198891198941199071198941198891198901199031198904120587
1205872
4π sr= 41253deg -gt 1deg=3046 bull 10minus4119904119905119890119903119886119889
STRUMENTI OTTICI
CAMPO DELLO STRUMENTO
Il campo di uno strumento egrave definito dallangolo solido sotto il quale loculare viene visto dal centro
dellobiettivo Il campo corretto dalle aberrazioni ottiche di norma egrave 1
2deg
APERTURA ASSOLUTA
Lapertura assoluta dipende dal diametro D dello strumento La quantitagrave di luce raccolta egrave
proporzionale allarea dellobiettivo cong 1198632
APERTURA RELATIVA
Si definisce apertura relativa il rapporto
119863
119891=119886119901119890119903119905119906119903119886 119886119904119904119900119897119906119905119886 (119889119894119886119898119890119905119903119900)
119891119900119888119886119897119890 119889119890119897119897prime119900119887119894119890119905119905119894119907119900
Bignamino di astronomia
38
RAPPORTO FOCALE
Linverso dellrsquoapertura relativa 119891
119863 definisce il rapporto focale
Lenergia raccolta dallobiettivo egrave distribuita sullarea dellimmagine la cui grandezza sul piano focale
egrave data da
119889 = 119891 bull 119905119886119899120572
Con α=diametro angolare dellrsquooggetto
119889 = 119891120572
Se α egrave espresso in radianti
POTERE RISOLUTIVO
Il potere risolutivo egrave la minima distanza angolare tra due sorgenti di luce che possono essere viste
separate (ldquorisolte in termine tecnico) secondo un criterio detto di Rayleigh
Due sorgenti puntiformi (di uguale luminositagrave) risultano risolte quando la loro distanza angolare
120579 =122 bull 120582
119863=119897119906119899119892ℎ119890119911119911119886 119889prime119900119899119889119886
119889119894119886119898119890119905119903119900
Si ottiene un risultato in radianti
In secondi darco invece
120579 =25 bull 105 bull 120582
119863
Con λ=lunghezza donda della luce=5500Aring (regione di massima sensibilitagrave dellocchio)
Il potere risolutivo dellocchio assumendo la pupilla con un diametro di 3 mm egrave uguale a
120579 =122120582
119863= 122 bull
5500 bull 10minus9119898
3 bull 10minus3119898= 224 bull 10minus4119903119886119889 = 46
Il fattore di conversione da radianti a secondi egrave il NUMERO MAGICO 1 rad = 206265rdquo
Nella determinazione del potere risolutivo interviene lrsquoapertura dello strumento e non
lrsquoingrandimento
Bignamino di astronomia
39
INGRANDIMENTO
Lingrandimento dello strumento egrave dato dal rapporto tra la focale dellobiettivo f e la pupilla
delloculare f
119892 =119891
119891prime
ABERRAZIONE DELLA LUCE
Quando i raggi di una stella arrivano sulla Terra la loro direzione di provenienza
appare leggermente deviata a causa della velocitagrave orbitale del pianeta v I vettori
delle velocitagrave (della luce e del pianeta) si combinano per dare un vettore risultante di
poco inclinato dalla direzione di provenienza dei raggi
119886 = arctan119907
119888
RIFRAZIONE
Il fenomeno della rifrazione ha origine dal cambiamento di
velocitagrave delle onde luminose quando passano da un mezzo
trasparente allrsquoaltro Esiste una proporzione tra le due diverse
velocitagrave e i seni degli angoli 120579119894119899119888119894119889119890119899119911119886 e 120579119903119894119891119903119886119911119894119900119899119890 che i raggi
formano con la linea normale alla superficie nel punto colpito dal
raggio Se consideriamo gli indici di rifrazione 1198991 e 1198992 dei materiali
la proporzione egrave inversa
119904119894119899120579119894119899119888119894119889119890119899119911119886119904119894119899120579119903119894119891119903119886119911119894119900119899119890
=11989921198991=11990711199072
Bignamino di astronomia
40
RIFRAZIONE ATMOSFERICA
Allrsquoentrata nellrsquoatmosfera terrestre i raggi luminosi provenienti da un corpo celeste che si trova a
distanza zenitale z vengono rifratti (deviati verso il basso) di un angolo r Quindi i corpi celesti si
osservano in una posizione leggermente piugrave alta del reale In particolare possiamo vedere oggetti
che si trovano anche sotto lrsquoorizzonte geometrico del luogo (es Il sole al tramonto) La formula
stabilisce che lrsquoangolo di rifrazione egrave proporzionale alla tangente della distanza zenitale
Questa formula vale fino ad angoli 119963 asymp 120789120782deg
Oltre questo valore fino allrsquoorizzonte la rifrazione aumenta fino a raggiungere il valore massimo di
35rsquo
119903 = 582 tan (119911)
Bignamino di astronomia
41
RIASSUMENDOhellip
CENNI TEORICI SUI TELESCOPI
Il telescopio egrave uno strumento che raccoglie la luce o altre radiazioni elettromagnetiche
provenienti da un oggetto lontano la concentra in un punto (detto fuoco) e ne produce
unimmagine ingrandita Possiamo paragonare un telescopio a un ldquogrande occhiordquo che
sopperisce al fatto che la nostra pupilla di dimensioni ridotte riesce a raccogliere un
quantitativo insufficiente di luce emessa da un oggetto lontano Un telescopio egrave
caratterizzato dalle seguenti componenti e grandezze
bull OBIETTIVO egrave la parte del telescopio rivolta verso lrsquooggetto da osservare Il suo
diametro D prende il nome di APERTURA Telescopi con una grande apertura sono
capaci di raccogliere piugrave luce e di fornire unrsquoimmagine a piugrave alta risoluzione
Lrsquoobiettivo fa convergere i raggi luminosi in un punto il fuoco la cui distanza
dallrsquoobiettivo egrave chiamata LUNGHEZZA FOCALE
bull OCULARE la parte del telescopio (nel caso di telescopi ottici) che raccoglie la luce
proveniente dallrsquoobiettivo e che la trasmette poi allrsquoocchio Anche per lrsquooculare egrave
possibile definire una LUNGHEZZA FOCALE
Ingrandimento
Lrsquoingrandimento di un telescopio egrave dato dal rapporto fra la lunghezza focale dellrsquoobiettivo e
la lunghezza focale dellrsquooculare
119894 = 119891119900119887119891119900119888 Rapporto focale
Rapporto esistente tra la lunghezza focale dellrsquoobiettivo e lrsquoapertura stessa del telescopio
119865 =119891119900119887
119863 negli strumenti egrave specificato da una F seguita da un numero (es F4 F45 F6hellip)
Campo visivo
Esso egrave dato dal rapporto fra il campo visivo apparente dellrsquooculare (lrsquoampiezza angolare
dellrsquoimmagine fornita dallrsquooculare soltanto) e il numero di ingrandimenti
119865119900119881 =119865119900119881119900119888119894
Pupilla drsquouscita
Essa egrave il diametro del fascio luminoso che esce dallrsquooculare
119901 =119863
119894
Potere risolutivo
Esso egrave lrsquoangolo minimo che deve separare due oggetti affincheacute lo strumento li possa
distinguere egrave dato dal criterio di Rayleigh
120599(119903119886119889) =122120582
119863 120599deg =
699120582
119863 120582 119897119906119899119892ℎ119890119911119911119886 119889prime119900119899119889119886 119889119890119897119897119886 119897119906119888119890 119900119904119904119890119903119907119886119905119886
Bignamino di astronomia
42
Magnitudine limite
Egrave la magnitudine visuale massima che puograve essere osservata con uno strumento di apertura
D (in cm)
119898119897119894119898 = 68 + 5119897119900119892119863
Ingrandimento minimo utile
egrave lrsquoingrandimento che fornisce una pupilla drsquouscita pari al diametro della pupilla umana (6-7
mm)
119894119898119894119899 = 119863(119898119898)7
Formula di Dawes
Ci consente di trovare lrsquoapertura di un telescopio che gli consenta di distinguere un oggetto
che si vede sotto un angolo α
119863(119898119898) =120
120572
Dimensioni dellrsquoimmagine sul piano focale
Lrsquoimmagine che si forma sul piano focale di un telescopio con lunghezza focale dellrsquoobiettivo
f relativa a un oggetto di dimensione angolare α egrave
119897 = 2119891 tan (1205722)
Bignamino di astronomia
43
ELEMENTI DI ASTROFISICA
Tutte le informazioni che riceviamo dalle stelle ci provengono dalla ldquolucerdquo che emettono1 Egrave solo
attraverso lrsquoanalisi e la ldquodecodificazionerdquo dei messaggi contenuti in questa radiazione
elettromagnetica che egrave la luce che noi possiamo ottenere informazioni sulle proprietagrave fisiche e
chimiche delle stelle e delle galassie
La radiazione elettromagnetica
Una radiazione elettromagnetica egrave dal punto di vista dellrsquoelettromagnetismo classico un fenomeno
ondulatorio dovuto alla contemporanea propagazione di perturbazioni periodiche di un campo
elettrico e di un campo magnetico oscillanti su piani tra di loro ortogonali Le stelle emettono
tipicamente radiazione di ldquocorpo nerordquo e come tale irradiano energia in tutte le lunghezze drsquoonda
secondo una distribuzione che viene chiamata spettro della radiazione elettromagnetica
I parametri che permettono di distinguere tra loro le varie radiazioni elettromagnetiche sono
1) In realtagrave un altro ldquocanalerdquo di trasmissione delle informazioni per la comprensione dei fenomeni celesti si egrave aperto
grazie ai risultati positivi ottenuti dagli interferometri per onde gravitazionali LIGO e VIRGO in particolare gli
interferometri menzionati il 17 agosto 2017 hanno rilevato un segnale di onda gravitazionale (rilevazione
annunciata poi ufficialmente il 16 ottobre dello stesso anno) mentre altri telescopi in orbita e a terra sono riusciti
a individuare per la prima volta la sua controparte elettromagnetica lrsquoevento che ha generato il segnale egrave stato
la collisione di due stelle di neutroni (che ha portato a unrsquoesplosione nota col termine di kilonova ) nella galassia
NGC 4993 esso ha segnato la nascita della cosiddetta ldquoastronomia multi-messaggero per il fatto che egrave stato
possibile confrontare due ldquolinguaggirdquo diversi permettendo cosigrave di ampliare le frontiere della conoscenza di
questi fenomeni ldquoestremirdquo
Bignamino di astronomia
44
Parametri di unrsquoonda
Come tutti i fenomeni ondulatori la radiazione elettromagnetica egrave caratterizzata da questi
parametri
Lunghezza drsquoonda 120640
la lunghezza drsquoonda tra due creste o tra
due ventri Si misura in metri eo con i
suoi sottomultipli
Periodo T
lrsquointervallo di tempo misurato in
secondi in cui avviene unrsquooscillazione
completa ovvero lintervallo di tempo
impiegato dallonda per ritornare nella
medesima posizione (per esempio il
tempo intercorso tra due creste o tra
due ventri successivi
Frequenza 120650 egrave il numero di creste che si susseguono nello stesso posto nellrsquounitagrave di
tempo egrave lrsquoinverso del periodo
120592 =1
119879
Frequenza che si misura in Hertz (Hz) pari ad unrsquooscillazione al secondo
119867119911 = 1119904minus1
Ampiezza A rappresenta la variazione massima dellrsquoonda Lrsquoampiezza di unrsquoonda
periodica egrave lrsquoaltezza di una sua cresta
Intensitagrave di unrsquoonda egrave proporzionale al quadrato dellrsquoampiezza
Potenza ogni onda porta con seacute unrsquoenergia e quindi una potenza Tale potenza decresce
con il quadrato della distanza dalla sorgente
La lunghezza drsquoonda λ e la frequenza ν di una radiazione elettromagnetica sono grandezze legate
tra loro dalla relazione
120582 ∙ 120592 = 119888
(c ndashla velocitagrave della luce- nel vuoto ha un valore di 299 792 458 ms) Questa formula ci dice che le
due grandezze sono inversamente proporzionali
Bignamino di astronomia
45
La radiazione elettromagnetica puograve essere interpretata come un insieme di ldquopacchettirdquo di energia a
cui si dagrave il nome di fotoni grazie a questi ldquopacchetti energeticirdquo la luce puograve interagire con la materia
a livello microscopico per esempio puograve eccitare un elettrone in un atomo cedendo a esso la sua
energia Continuando il paragone possiamo immaginare che piugrave la radiazione egrave intensa piugrave i
pacchetti sono numerosi piugrave la radiazione cresce di frequenza piugrave essi sono ldquocapientirdquo
Questrsquoultima caratteristica egrave descritta dalla Legge di Planck che lega lrsquoenergia del fotone alla sua
frequenza
119864 = ℎ ∙ 120584
(dove h egrave la costante di Planck)
119864 = ℎ119888
120582
EQUIVALENZA MASSA- ENERGIA Tra lrsquoenergia e la massa esiste una fondamentale relazione
scoperta dal fisico Albert Einstein espressa dallrsquoequazione
119864 = 1198981198882
dove c egrave la velocitagrave della luce (pari a 3 middot 108 ms) Lequazione di Einstein implica che energia e massa
sono equivalenti la massa puograve essere trasformata in energia e lenergia puograve essere trasformata in
massa Ciograve comporta il principio di conservazione della massa-energia non vi egrave conservazione della
massa o dellenergia considerate separatamente ma vi egrave conservazione dellinsieme delle due a una
diminuzione della massa pari a m deve corrispondere un aumento dellenergia pari a m middot c2
Poicheacute il prodotto m middot c2 egrave un numero molto grande la trasformazione di una massa anche molto
piccola di materia determina la produzione di una quantitagrave enorme di energia come avviene per
esempio nelle reazioni di fissione e di fusione nucleari (queste ultime avvengono nel nucleo delle
stelle si veda per una maggiore comprensione il problema 2 della sezione Miscellanea)
Bignamino di astronomia
46
Grandezze fotometriche
Flusso luminoso Quantitagrave di energia luminosa emessa da una determinata sorgente nellunitagrave di tempo Lo indichiamo con la lettera Φ Lunitagrave di misura nel SI egrave il lumen (lm) 1 watt = 683 lumen
Illuminamento Rapporto tra il flusso luminoso ricevuto da una superficie e larea della superficie stessa ( E=
120593
119878 )
Lunitagrave di misura nel SI egrave il lux (lx) ovvero il lumen al metro quadrato (lm1198982)
Nota Dalla definizione di illuminamento si ricavano due importanti corollari di natura geometrica che risultano molto utili per comprendere la distribuzione della luce nello spazio
1) Per una sorgente puntiforme la diminuzione del livello di illuminamento su di una superficie varia in relazione al quadrato della distanza dalla fonte raddoppiando la distanza dalla fonte il livello di illuminamento sulla superficie diviene quindi frac14
2) Il livello drsquoilluminamento su di una superficie egrave massimo quando i raggi luminosi giungono perpendicolari ad essa e diminuisce proporzionalmente al loro angolo drsquoincidenza secondo la relazione E = 119864119899 cosi 119864119899egrave 119897
prime illuminamento normale i lrsquoangolo drsquoincidenza tra raggi luminosi e la normale alla superficie
Immagine dal web (fonte VOLTIMUM)
Bignamino di astronomia
47
Intensitagrave luminosa Flusso luminoso emesso allinterno dellangolo solido unitario in una direzione data
119868 = 119864 =120593
120596
ed egrave una grandezza vettoriale Lunitagrave di misura nel SI egrave la candela (cd)
Luminanza La luminanza egrave il rapporto tra lrsquointensitagrave luminosa di una sorgente nella direzione di un osservatore e la superficie emittente apparente cosigrave come viene vista dallrsquoosservatore stesso
119871 = 119868
119878 119888119900119904120572
120572 egrave 119897prime119886119899119892119900119897119900 compreso tra la direzione di osservazione e lrsquoasse perpendicolare alla superficie emittente La luminanza si esprime in cd1198982
Bignamino di astronomia
48
Parametri fisici delle stelle
Le grandezze fondamentali che permettono di caratterizzare le stelle sono
la distanza (d)
lo spettro della radiazione em emessa
la luminositagrave totale o bolometrica (L)
la temperatura superficiale (T)
il raggio (R)
la massa (M)
Le stelle possono essere approssimate a corpi neri in quanto le uniche onde elettromagnetiche che
non vengono assorbite dalla loro superficie sono quelle aventi una lunghezza donda di dimensione
pari o maggiore del diametro della stella stessa Per studiare le proprietagrave dellrsquoemissione continua
delle stelle egrave utile introdurre il concetto di corpo nero
Corpo nero
Il corpo nero egrave un corpo che assorbe tutta la radiazione che gli cade sopra Appare perfettamente nero percheacute assorbe il 100 della radiazione che incide su di esso e non ne riflette nessuna Il corpo nero egrave un oggetto teorico nessun materiale assorbe tutta la radiazione incidente Il corpo nero ha uno spettro di emissione caratteristico che dipende solo da un parametro la temperatura Lo studio della radiazione emessa dal corpo nero ha portato alla formulazione delle seguenti leggi
bull La legge (di spostamento) di Wien la frequenza massima 120584119898119886119909 di uno spettro di corpo nero a temperatura T cresce linearmente con T
120584119898119886119909 prop T il che comporta una proporzionalitagrave inversa fra la temperatura assoluta e la lunghezza drsquoonda
120582119898119886119909 119879 = 119887
b = 29 10minus3 m∙K
Per cui si ha
120582119898119886119909 T = 29 10minus3 m∙K
Bignamino di astronomia
49
bull Legge di Stefan-Boltzmann lenergia erogata per unitagrave di
superficie e per unitagrave di tempo egrave proporzionale alla quarta
potenza della temperatura T
119868 = 1205901198794
Applicazioni in astrofisica
Stefan-Boltzmann per una stella che approssimiamo ad una sfera di raggio R e superficie S= 41205871198772
la legge di Stefan-Boltzmann diventa
L= 41205871198772 120590T4
Poicheacute le stelle non sono dei corpi neri perfetti la temperatura egrave la temperatura efficace quella che
la superficie della stella avrebbe se si comportasse da corpo nero
Flusso e Luminositagrave
120593= 119871
41205871198892
Il flusso di energia egrave dato dal rapporto fra la lrsquoenergia emessa
dalla stella nellrsquounitagrave di tempo e la superficie della sfera di
raggio pari alla distanza d dalla stella Quindi si vede che il flusso
misurato sulla superficie terrestre dipende dalla luminositagrave
della stella e dalla sua distanza
Bignamino di astronomia
50
I LOGARITMI
Il termine logaritmo egrave composto da due parole greche logos = ragione e arithmos = numero
ldquoNumero di ragionirdquo questa definizione appare naturale pensando alla ragione delle progressioni
aritmetiche e geometriche che sono alla base della costruzione di Nepero
La storia di come nasce questo procedimento di
calcolo egrave molto interessante qui ci piace
evidenziare che la motivazione alla base della
scoperta dei logaritmi ed anche il motivo del loro
successo fu la ricerca di efficienti strumenti di
calcolo in grado di alleggerire il pesante fardello
di cui erano gravati gli astronomi del tempo i
quali per poter predire il corso dei pianeti si
dovevano confrontare con grandi difficoltagrave di
calcolo Basta pensare al calcolo dellrsquoorbita del
pianeta Marte del povero Keplero Quando Nepero pubblicograve il suo lavoro sui logaritmi gli
astronomi dissero che aveva regalato loro metagrave della vita I logaritmi rendono infatti possibile
trasformare prodotti in somme quozienti in differenze elevamenti a potenza in prodotti e
calcoli di radici in quozienti le operazioni vengono molto semplificate
Che cosa egrave un logaritmo
Generalmente si risponde che egrave una operazione inversa
Partiamo da una operazione conosciuta lrsquoestrazione di radice quadrata di un numero
radic25 = 5
La radice quadrata di 25 egrave quel numero che elevato a due restituisce 25 cioegrave il numero 5 infatti 52 =
25 Concludiamo dicendo che la radice egrave lrsquooperazione inversa dellrsquoelevamento a potenza
Il concetto di logaritmo egrave abbastanza simile a quello della radice quadrata solo che non ci riporta al
numero di partenza ma al suo esponente
Introduciamo la scrittura
log5 25 = 2
questa la scriviamo
52 =25
Definiamo logaritmo di un numero b (argomento del logaritmo) quel numero a cui bisogna elevare
la base per ottenere il numero b In notazione matematica
log119886 119887 = x
119886119909 = b
Anche il logaritmo egrave lrsquooperazione inversa dellrsquoelevamento a potenza
Bignamino di astronomia
51
log2 8 = x
la domanda egrave ldquoqual egrave lrsquoesponente che devo dare alla base (2) per ottener il numero (8)rdquo
Scriviamo applicando la definizione
2119909 = 8
e siccome
8 = 23
Allora
2119909 = 23
e perciograve
x=3
(se le basi sono uguali lrsquouguaglianza saragrave verificata se saranno uguali anche gli esponenti)
Egrave abbastanza evidente che i logaritmi e le potenze rappresentano due modalitagrave di scrittura diversa ma
rappresentano la stessa cosa
Osservazione importante la base dei logaritmi ed il numero devono essere numeri reali
positivi in piugrave la base deve anche essere diversa da 1
bgt 0
0 lt a lt1
agt 1
Quindi per esempio non esistono log2(minus5) log1 12 119890119888119888
Bignamino di astronomia
52
Proprietagrave dei logaritmi
Il logaritmo del prodotto di 2 o piugrave numeri positivi corrisponde alla somma dei logaritmi dei
singoli fattori
(Nota 119886119909 ∙ 119886119910 = 119886119909+119910)
Il logaritmo del quoziente di 2 numeri positivi egrave eguale alla differenza tra il logaritmo del
dividendo e il logaritmo del divisore
(Nota 119886119909119886119910 = 119886119909minus119910)
Il logaritmo della potenza a esponente reale di un numero positivo egrave uguale al prodotto
dellesponente per il logaritmo del numero
Una estensione di questa ultima proprietagrave egrave
log119886 radic119887119898119899
= log119886 119887119898
119899
(che possiamo scrivere come 119898
119899log119886 119887)
A volte per calcolare un logaritmo puograve risultare utile effettuare un cambiamento di base
Il loga b la cui base egrave a puograve essere scritto utilizzando unrsquoaltra base per esempio il numero c
Ricorda inoltre che
log119886 1 = 0 (119894119899119891119886119905119905119894 1198860 = 1) 119890 log119886119886 = 1 (119894119899119891119886119905119905119894 1198861 = 119886)
Bignamino di astronomia
53
Se la base di un logaritmo egrave il Numero di Nepero (chiamato meno frequentemente anche Numero
di Eulero e indicato con e = 2718281828459hellip) allora il logaritmo prende il nome di logaritmo
naturale e si indica con ln
Quindi se vediamo 1198971198995 niente paura Si tratta di log119890 5
Se la base di un logaritmo egrave 10 il logaritmo prende il nome di logaritmo decimale e la base
generalmente si omette questo tipo di logaritmo egrave il piugrave usato in astrofisica
Quindi se vediamo 1198971199001198927 ciograve vuol dire log10 7
I logaritmi sono utilizzati nella vita di tutti i giorni ad esempio il gommista quando misura la
pressione di una gomma utilizza uno strumento con una scala non lineare ma logaritmica le scale
sulla macchina fotografica sono logaritmiche i nostri organi di senso sono logaritmici Questo ci
permette di percepire un intervallo di informazioni molto piugrave esteso di quello che avremmo se i nostri
sensi fossero lineari Pogson quando capigrave che il nostro occhio percepisce una differenza di una
magnitudine ( per le magnitudini consulta le pagine successive del Bignamino) tra due stelle quando
il rapporto tra le loro luminositagrave egrave uguale a 25 e che questo conserva la classificazione di Ipparco
formulograve la sua formula in funzione del logaritmo del rapporto delle loro luminositagrave
Niente paura
Oggi avete le calcolatrici e non si
devono utilizzare le famigerate tavole
logaritmiche che si utilizzavano un
tempo per calcolare un logaritmo
Bisogna solo stare attenti ad utilizzare
CORRETTAMENTE la calcolatrice
Nepero
Bignamino di astronomia
54
Magnitudine delle stelle
Quando si guarda il cielo si vede subito che le stelle ci appaiono piugrave o meno brillanti (o luminose) ovvero sembrano avere diversa intensitagrave luminosa Gli astronomi descrivono la luminositagrave stellare osservata in termini di magnitudine apparente m Nel II secolo aC Ipparco di Nicea utilizzando lrsquounico strumento a sua disposizione (lrsquoocchio umano) introdusse una classificazione delle stelle in 6 classi di luminositagrave che chiamograve MAGNITUDINI La scala scelta dai Ipparco prevedeva che le stelle piugrave luminose venissero collocate nella prima classe quelle un porsquo meno luminose nella seconda e giugrave giugrave fino a quelle appena visibili a occhio nudo collocate nella sesta classe Con lrsquoosservazione del cielo attraverso gli strumenti si pose il problema di estendere la scala delle grandezze anche alle stelle non visibili ad occhio nudo Un grossissimo contributo venne dallo studio della fisiologia dellrsquoocchio strumento sul quale erano state fatte le prime classificazioni La risposta dellrsquoocchio umano agli stimoli luminosi non egrave di tipo lineare la reazione alla luce de reagisce alla sensazione della luce in modo logaritmico Pogson egrave riuscito a dare una formulazione matematica alla scala delle magnitudini individuata da Ipparco Pogson ipotizzograve che il rapporto fra le intensitagrave luminose di una stella di prima e di sesta grandezza era pari a 100 Se I1 e lrsquointensitagrave luminosa di una stella di magnitudine m1 ed I2 lrsquointensitagrave di una stella di
magnitudine m2 se m1 - m2 = -5 ed il rapporto I1
I2= 100
m1 - m2= K log I1
I2
-5=K2 K= -25
m1 - m2= -25 log I1
I2
Lrsquoequazione di Pogson spiega il percheacute la magnitudine decresce quando lrsquointensitagrave luminosa cresce Quando si parla di intensitagrave luminosa di una stella in realtagrave ci si riferisce al flusso di energia 120593 che
abbiamo visto essere legato alla luminositagrave dalla 120593= 119871
41205871198892
Se nella formula di Pogson m1 - m2= -25 log I1
I2 sostituiamo alle intensitagrave luminose il flusso si
ottiene (a paritagrave di luminositagrave)
m1 - m2= -5 log d2
d1
La magnitudine apparente di una stella dipende dalla distanza
Bignamino di astronomia
55
E se la stella apparentemente piugrave debole fosse in realtagrave piugrave brillante ma piugrave lontana Per rispondere a questa domanda egrave stata introdotta la scala delle magnitudini assolute indipendente dalla distanza Per costruire questa scala egrave stata presa una distanza di riferimento pari a 10pc Quale saragrave la magnitudine di una stella di cui si conosce la distanza e la magnitudine apparente se viene posta alla distanza di 10pc
M- m= -5 log 119889
1119900119901119888
M-m = 5-5logd Questa ultima viene anche indicata come modulo di distanza Questa scala consente di poter confrontare la luminositagrave intrinseca delle stelle M =magnitudine assoluta (stella alla distanza di 10pc) m =magnitudine apparente d = distanza della stella in pc
Se vogliamo calcolare la magnitudine complessiva di due o piugrave sorgenti luminose egrave errato ritenere
di poter sommare le magnitudini Infatti possiamo sommare i flussi ma le magnitudini dipendono
da essi in relazione logaritmica La relazione che ci permette di determinare la cosiddetta
magnitudine integrata (ossia la magnitudine complessiva ldquototalerdquo) di n oggetti di magnitudine
m1m2hellipmn egrave la seguente
119898119894119899119905 = minus25log (10minus041198981 + 10minus041198982 +⋯+ 10minus04119898119899)
Magnitudine apparente di alcuni oggetti celesti da sinistra verso destra
Sole Luna piena Venere Sirio Vega Magnitudine limite dellrsquoocchio
Magnitudine limite di un telescopio magnitudine limite dellrsquoHubble
Bignamino di astronomia
56
Se invece vogliamo calcolare la magnitudine superficiale di un oggetto esteso di superficie angolare
S (misurata in arcmin2 o arcsec2) ossia la magnitudine di un quadratino di superficie di lato uguale
a 1 arcsec2 o 1 arcmin2 allora applichiamo la seguente formula
119898119878119906119901 = 119898119894119899119905 + 25 log(119878)
Se S egrave misurata in arcmin2 la msup egrave espressa in magarcmin2 Se S egrave misurata in arcsec2 msup egrave
espressa in magarcsec2
Bignamino di astronomia
57
Redshift (spostamento verso il rosso)
Su grandi scale le galassie si stanno allontanando con velocitagrave proporzionale alla distanza tutte le
galassie si stanno allontanando tra di loro tra loro Lo stesso spazio-tempo si sta espandendo e sta
portando le galassie con seacute
NOTA Il redshift cosmologico non egrave dovuto allrsquoeffetto Doppler non egrave dovuto ai moti relativi delle
galassie Le cause e le grandezze fisiche coinvolte sono completamente diverse
Il redshift cosmologico egrave lo spostamento relativo in
frequenza di unonda elettromagnetica dovuto
allespansione delluniverso Si spiega ipotizzando che le
lunghezze donda varino allo stesso modo delle distanze per
effetto dellespansione delluniverso La lunghezza donda egrave
proporzionale al fattore di scala delluniverso
La cosmologia moderna nasce con la legge di Hubble
v=Hd
che lega in modo proporzionale la velocitagrave v di allontanamento delle galassie alla loro distanza d (H egrave la costante di Hubble) le galassie piugrave distanti si allontanano piugrave velocemente Questa legge deriva da osservazioni che mostravano che tutte le righe spettrali delle galassie sono spostate verso il rosso (redshift) e che tale effetto egrave proporzionale alla luminositagrave apparente delle galassie legata alla loro distanza Il redshift misura quindi la velocitagrave di allontanamento di una galassia ed egrave definito come segue
119911 =120582119900119887119904 minus 120582119905119890119900119903
120582119905119890119900119903
La legge di Hubble ci dice che la velocitagrave di allontanamento delle galassie egrave proporzionale alla loro
distanza
119907 = 119867119889
H egrave la costante di Hubble il cui valore attualmente stimato egrave attorno a H= 2176 ∙ 10minus18 Hz
(6715 kmMpc s) d egrave la distanza della galassia
Maggiore egrave la distanza della galassia tanto maggiore saragrave il redshift
z=119867119889
119888
Bignamino di astronomia
58
Per z≪ 1 vale lrsquoapprossimazione del redshift come effetto Doppler (zasymp119907
119888 ) e quindi z egrave
direttamente proporzionale alla velocitagrave di allontanamento delle galassie
bull Redshift relativistico
bull Redshift gravitazionale
La relativitagrave generale prevede che la luce che si muove attraverso campi gravitazionali molto
intensi sperimenteragrave uno spostamento verso il rosso o verso il blu
Il redshift gravitazionale (chiamato anche spostamento di Einstein) egrave dovuto dal fatto che un
fotone quando emerge da un campo gravitazione perde energia e quindi presenta uno
spostamento verso il rosso che dipende dallrsquointensitagrave del campo gravitazionale misurata nel
punto in cui si trova il fotone
z= 119866119872
1199031198882
Questa 119904119890 119903 ≫ 119903119904
119903119904 = 2119866119872
1198882
(raggio di Schwarzschild)
(M massa della stella r raggio della stella)
La formula generale egrave
z= 1
radic1minus119903119904 -1
Bignamino di astronomia
59
PROBLEMI ED ESERCIZI
bull SISTEMI DI RIFERIMENTO E COORDINATE ASTRONOMICHE
1 Quando la stella Rigel (δ= -8deg 13rsquo) passa al meridiano di Roma (φ=41deg55rsquo) a quale
altezza si trova
Soluzione Quando la stella Rigel passa al meridiano di Roma essa raggiunge la
posizione di culminazione superiore in corrispondenza del punto cardinale Sud
Dunque la sua altezza sullrsquoorizzonte egrave pari allrsquoaltezza dellrsquoEquatore celeste alla
latitudine di Roma (90deg-φ) sommata alla declinazione dellrsquoastro Dunque
hRigel=90deg-φ+δ=90deg-41deg55rsquo-8deg13rsquo=39deg52rsquo
2 A quale latitudine comincia a essere visibile la stella Canopo (δ=-52deg40rsquo) appena
allrsquoorizzonte
Soluzione Affincheacute la stella Canopo sia appena visibile allrsquoorizzonte per un
osservatore posto alla latitudine φ egrave necessario che lrsquoEquatore celeste abbia
unrsquoaltezza sullrsquoorizzonte pari al valore assoluto della sua declinazione Quindi egrave
necessario che 90deg-φ=|δ| e cioegrave φ=90deg-|δ|=90deg-52deg40rsquo=37deg20rsquo [In realtagrave bisogna tenere conto dellrsquoeffetto della rifrazione atmosferica che ldquoalza le stellerdquo o
equivalentemente ldquoabbassa lrsquoorizzonterdquo di un angolo di 35rsquo Quindi in realtagrave Canopo si puograve
osservare anche a una latitudine leggermente piugrave settentrionale pari a 37deg20rsquo+0deg35rsquo=37deg55rsquo
circa]
3 Quale curva descrive lrsquoombra di uno stilo verticale posto al polo nord il 21 giugno
Qual egrave il rapporto fra la lunghezza l dellrsquoombra e lrsquoaltezza h dello stilo
Soluzione Il 21 giugno il Sole ha declinazione massima pari al valore dellrsquoobliquitagrave
dellrsquoeclittica quindi circa 23deg27rsquo Dal momento che al polo nord lrsquoorizzonte coincide
con lrsquoEquatore celeste e i paralleli celesti si trovano quindi su piani paralleli
allrsquoorizzonte la rotazione diurna non contribuiragrave a far tramontare il Sole che
descriveragrave una circonferenza nel cielo pertanto la curva descritta dallo stilo verticale
egrave una circonferenza Il rapporto lh egrave il reciproco della tangente dellrsquoaltezza del sole
pari a 23deg27rsquo 119897
ℎ=
1
11990511988611989923deg27prime=23
4 (PROBLEMA GARA INTERNAZIONALE 2002) I Cinesi nel 1100 aC avevano trovato
che lrsquoaltezza del Sole a mezzodigrave era 79deg7rsquo nel solstizio estivo e 31deg19rsquo in quello
Bignamino di astronomia
60
invernale A quale latitudine hanno fatto lrsquoosservazione e qual era allora lrsquoobliquitagrave
dellrsquoEclittica
Soluzione La media aritmetica dei valori delle due culminazioni del sole a mezzodigrave al
solstizio estivo ed invernale egrave pari allrsquoaltezza dellrsquoEquatore celeste Quindi
90deg minus 120593 =ℎ119890119904119905119886119905119890 + ℎ119894119899119907119890119903119899119900
2rarr 120593 = 90deg minus
ℎ119890119904119905119886119905119890 + ℎ1198941198991199071198901199031198991199002
= 34deg47prime
Lrsquoobliquitagrave dellrsquoeclittica egrave la differenza fra lrsquoaltezza massima del sole e lrsquoaltezza
dellrsquoEquatore celeste
휀 = ℎ119890119904119905119886119905119890 minus (90deg minus 120593) = 79deg7prime minus 90deg + 34deg47prime = 23deg54prime
[In generale lrsquoobliquitagrave dellrsquoeclittica varia da 21deg55rsquo a 24deg20rsquo con un periodo di circa 40000
anni]
bull I MOTI DELLA TERRA E LA MISURA DEL TEMPO
5 In quale istante di tempo siderale la stella Castore (α=7h 33m 31s δ=+31deg55rsquo35rdquo ) egrave
alla culminazione inferiore
Soluzione Alla culminazione inferiore la stella Castore ha un angolo orario pari a 12h
Il tempo siderale ossia lrsquoangolo orario del punto gamma egrave uguale alla somma di
angolo orario e ascensione retta di una generica stella in questo caso
TS=α+H=7h 33m 31s + 12h= 19h 33m 31s
6 Se in un dato giorno una stella passa al meridiano inferiore alle 21 a quale ora
(allrsquoincirca) vi passeragrave un mese dopo
Soluzione Lrsquoora a cui si riferisce il problema egrave per esempio quella indicata da un
normale orologio quindi egrave un tempo solare medio e non siderale Siccome nel corso
di un mese la stella non cambia la sua posizione rispetto al punto gamma se il
problema avesse chiesto lrsquoora siderale della successiva culminazione inferiore la
risposta sarebbe stata comunque ldquoalle 21rdquo siccome perograve il problema si riferisce a un
tempo solare medio dobbiamo tenere conto della differenza tra giorno solare e
giorno siderale questrsquoultimo egrave piugrave corto del primo di un valore pari a circa 4 minuti
(piugrave esattamente 3min 56s) Siccome un mese contiene mediamente 30 giorni la
stella anticiperagrave la sua culminazione di circa 4min30=120min=2h e quindi culmineragrave
allrsquoincirca alle 19
7 Una cittagrave A egrave posta alla longitudine 43deg12rsquo E di GW (Greenwich) Quando in A lrsquoorologio
segna le 20h35m siderali in unrsquoaltra cittagrave B lrsquoorologio segna le 23h12m siderali Qual
egrave la longitudine di B
Soluzione La differenza dei due tempi siderali che lrsquoorologio segna in A e in B egrave uguale
alla differenza delle longitudini dei due luoghi Quindi
Bignamino di astronomia
61
∆120582 = 120549119879119878 rarr 120582119861 minus 120582119860 = 119879119878119861 minus 119879119878119860 rarr 120582119861 = 119879119878119861 minus 119879119878119860 + 120582119860(119890119904119901119903119890119904119904119886 119894119899 119900119903119890)
= 23ℎ12119898 minus 20ℎ35119898 + 2ℎ53119898 = 5ℎ30119898
= (119905119903119886119904119891119900119903119898119900 119894119899 119892119903119886119889119894) = 82deg30prime
8 Quanto tempo egrave necessario affincheacute il punto gamma passi da un segno zodiacale a un
altro
Soluzione Il punto gamma non egrave fisso nel cielo bensigrave per via di uno dei moti millenari
della Terra il moto di precessione esso si sposta di circa 50rdquo allrsquoanno lungo lrsquoEclittica
Dal momento che i segni zodiacali sono dodici in media ognuno di essi occupa un
settore lungo lrsquoEclittica pari a 36012=30deg=108000rdquo Ne discende che il tempo
necessario affincheacute il punto gamma copra questa distanza angolare risulta pari a
t=(108000rdquo50rdquo)anni=2160 anni circa
9 La Terra impiega circa 23 ore e 56 minuti a compiere una rotazione completa attorno
al proprio asse Con quale velocitagrave tangenziale si muove un punto allrsquoequatore per
effetto del moto di rotazione della Terra Quanto vale lrsquoaccelerazione centripeta che
agisce su questo punto Quale forza centripeta agisce su un corpo di massa 13 kg
allrsquoequatore
Soluzione Il problema incentrato sul moto di rotazione terrestre (il moto dei punti
della Terra attorno allrsquoasse terrestre) egrave un semplice esercizio di cinematica
Conoscendo il periodo e la lunghezza della circonferenza equatoriale (poicheacute egrave noto
che il raggio della Terra ha un valore di 6378 km) egrave possibile determinare la velocitagrave
di rotazione allrsquoequatore il moto egrave circolare uniforme
119907 =2120587119877
119879=2120587120591 ∙ 6378119896119898
2393ℎ= 1674
119896119898
ℎ
Lrsquoaccelerazione centripeta vale
119886 =1199072
119877=(1674 divide 36)2
6378000= 339 ∙ 10minus3
119898
1199042
Per la seconda legge della dinamica la forza centripeta su un corpo di massa m allora
vale
119865 = 119898119886 = 13 ∙ 339 ∙ 10minus3 = 441 ∙ 10minus3119873
bull IL CIELO VISTO DALLA TERRA E LA LUNA
10 Due stelle equatoriali hanno parallassi 0rdquo022 e 0rdquo034 esse hanno AR 12h13m e
13h12m rispettivamente Quantrsquoegrave in parsec la loro reciproca distanza
Soluzione Lrsquoangolo fra la direzione con cui si proietta in cielo la prima stella e la
direzione della seconda stella egrave pari alla differenza delle ascensioni rette le stelle
sono infatti equatoriali cioegrave hanno declinazione nulla ΔAR=13h12m-
Bignamino di astronomia
62
12h13m=(trasformando in gradi)=14deg75 La loro distanza dallrsquoosservatore egrave in
parsec pari al reciproco della parallasse
d1=(1P1)=10022=455pc d2=(1P2)=10034=294pc
Il problema chiede in sostanza di calcolare un lato di un triangolo con vertici
nellrsquoosservatore e nelle due stelle (in particolare il lato con estremi nelle due stelle)
noti lrsquoangolo opposto a tale lato e gli altri due lati possiamo quindi usare il Teorema
di Carnot (o teorema del coseno)
119909 = radic11988912 + 1198892
2 minus 211988911198892 cos(∆119860119877) = 186 119901119888
11 Sapendo che il periodo siderale di rotazione del Sole allrsquoEquatore egrave di 25 giorni
trovare il periodo di rivoluzione sinodica cioegrave quello che appare visto dalla Terra
Soluzione Prendiamo un punto sullrsquoEquatore del Sole esso si muove con un periodo
siderale (cioegrave riferito a una stella lontana) pari come indicato dalla traccia a 25
giorni Il problema egrave del tutto analogo al calcolo del tempo sinodico di un pianeta
interno visto dalla Terra noti i periodi di entrambi i corpi 1
119878=
1
119879119904119900119897119890minus
1
119879119905119890119903119903119886rarr 119878 =
119879119905119890119903119903119886119879119904119900119897119890119879119905119890119903119903119886 minus 119879119904119900119897119890
=36525 ∙ 25
36525 minus 25119889 =
913125
34025119889 = 2684119889
12 A quale distanza da uno schermo deve essere posta una sfera di raggio R affincheacute
illuminata dal Sole non generi ombra ma solo penombra (il diametro apparente del
Sole sia 32rsquo)
Soluzione Concettualmente il problema egrave equivalente alla situazione di unrsquoeclisse
lrsquordquoosservatorerdquo egrave lo schermo mentre fra esso e il Sole si frappone un ostacolo Esso
intercettando i raggi solari genera dietro di seacute un cono drsquoombra e molto piugrave ampio
di questo una zona di penombra Il cono si restringe dalla parte opposta del Sole
rispetto alla sfera Se il vertice del cono si trova sullo schermo allora nessun punto
dello schermo si troveragrave in ombra percheacute il cono non interseca lo schermo In questa
configurazione lrsquoangolo sotto cui viene vista la sfera dallo schermo egrave di 32rsquo ovvero
053deg da cui si ha 119877
119889= tan (0532) e cioegrave d=[1 tan(0265)]R=2148 R circa la sfera
devrsquoessere posta a una distanza dallo schermo maggiore di 2148 volte circa il suo
raggio
13 Il 29 marzo 2006 si egrave verificata unrsquoeclisse totale di Sole visibile dallrsquoAfrica
settentrionale e dal Mediterraneo orientale Quale fase aveva la luna il 29 marzo 2007
cioegrave esattamente un anno dopo
Bignamino di astronomia
63
Soluzione Le eclissi di Sole si verificano quando la Luna si interpone fra il Sole e la
Terra oscurando una fascia sulla superficie del nostro pianeta con il suo cono
drsquoombra pertanto la Luna rivolge a noi in questrsquooccasione la sua faccia non
illuminata dal Sole e pertanto egrave nuova Conosciamo inoltre il periodo in cui si ripetono
le fasi lunari egrave il mese sinodico la cui durata egrave pari a 295306 giorni Lrsquointervallo
considerato (un anno in cui il 2007 non egrave bisestile) egrave pari a 365 giorni Siccome
365295306=1236 ossia 12 mesi lunari e 11 giorni se ne deduce che lrsquoetagrave della Luna
al 29 marzo 2007 era di 11 giorni quindi essa era in una fase intermedia tra primo
quarto e Luna piena
bull LA GRAVITArsquo
14 Lrsquoalieno Bzzapp ha appena comprato una navicella in grado di creare nuovi pianeti
nel suo girovagare un giorno incappa nel nostro Sistema Solare decide cosigrave di creare
con la sua astronave qualche nuovo pianeta Lrsquoamico Zorzzp gli dagrave prima una regola
dicendogli che questi pianeti devono trovarsi in una fascia compresa fra 2 UA e 7
UA in piugrave il loro periodo di rivoluzione devrsquoessere pari a un numero intero di anni
Qual egrave il numero massimo di pianeti che Bzzapp potragrave creare con la sua navicella
conformemente alla regola di Zorzzp
Soluzione Per la risoluzione del problema egrave necessaria la Terza legge di Keplero
considerando che ci troviamo nel nostro Sistema Solare e che quindi la costante di
proporzionalitagrave fra cubo del semiasse maggiore e quadrato del periodo di rivoluzione
per un generico corpo orbitante attorno al Sole quando esprimiamo il semiasse in
UA e il periodo in anni risulta pari a 1
1198791 = radic11988613 = 283 119910
1198792 = radic11988623 = 1852 119910
Come possiamo vedere i periodi ldquopossibilirdquo sono
34567891011121314151617 e 18 anni Bzzapp potragrave creare ben 16 pianeti
15 Disponendo come dati noti dei soli periodi di rivoluzione dei pianeti si indichi la
lunghezza minima che deve avere un foglio di carta per poter rappresentare in scala
il Sistema Solare fino a Nettuno nellrsquoipotesi di voler rappresentare Mercurio a una
distanza dal Sole di 1 cm
Soluzione Mercurio ha un periodo di rivoluzione pari a 0241 anni mentre Nettuno
16488 anni quindi per la Terza legge di Keplero 119886119872 = radic11987911987223= 0387119880119860 119890 119886119873 =
radic11987911987323= 30069 119880119860
Con una semplice proporzione ricaviamo la lunghezza del foglio di carta
119886119872 119886119873 = 1 119909 rarr 119909 =30069
0387119888119898 asymp 777 119888119898
Bignamino di astronomia
64
16 A quale distanza dalla superficie della Terra per unrsquoastronave che viaggia verso la
Luna si annulla la risultante delle forze gravitazionali che agiscono su di essa (il
rapporto massa della Terra massa della Luna egrave pari a 8125)
Soluzione La distanza Terra-Luna egrave pari a d=384400 km Quando lrsquoastronave si trova
fra il nostro pianeta e il suo satellite le due forze di natura gravitazionale che
agiscono su di essa sono la forza di attrazione della Terra e quella della Luna agenti
nella stessa direzione ma aventi verso opposto Chiamando x la distanza che separa
la navicella dal centro della Terra possiamo esprimere in funzione di x la distanza che
separa la navicella dalla Luna essendo essa pari a d-x Eguagliamo le due forze di
attrazione gravitazionale per trovare x 119866119872119879119898
1199092=
119866119872119871119898
(119889 minus 119909)2
Operando le dovute semplificazioni (G e la massa dellrsquoastronave) e dividendo
119909
119889 minus 119909= radic
119872119879
119872119871= radic8125 = 901
119909 =901119889
1001= 090 lowast 384400119896119898 = 346013119896119898
Il problema viene considerato parzialmente corretto se ci si ferma a questo punto
percheacute esso chiede la distanza dalla superficie terrestre mentre x egrave misurata dal
centro della Terra pertanto la soluzione corretta egrave D=x-R=(346013-
6378)km=339635km
17 Osservando la stella Canopo con un telescopio potentissimo lrsquoastronomo Qwzzz ha
scoperto due pianeti orbitanti attorno a essa le cui orbite sono esattamente
perpendicolari alla nostra linea di vista La distanza massima del primo pianeta da
Canopo egrave uguale a 47 volte la sua distanza minima e il suo periodo di rivoluzione egrave
pari a 27 anni Il secondo pianeta avente eccentricitagrave pari a 0324 al periapside egrave 3
volte piugrave lontano rispetto al primo (quando questrsquoultimo si trova nella corrispondente
posizione) Quanto vale lrsquoeccentricitagrave del primo pianeta e il periodo di rivoluzione del
secondo
Soluzione Chiamiamo 1 il primo pianeta e 2 il secondo
11988911988611198891199011
= 47 =1198861(1 + 1198901)
1198861(1 minus 1198901)rarr1 + 11989011 minus 1198901
= 47 rarr 1198901 = 0649
1198891199012
1198891199011=1198862(1 minus 1198902)
1198861(1 minus 1198901)= 3 rarr
11988621198861=(1 minus 1198901)1198891199012
1198891199011(1 minus 1198902)= 3 (
1 minus 0649
1 minus 0324) = 1558
Per la Terza legge di Keplero
11987922 = (
11988621198861)3
11987912 rarr 1198792 = 27 119910radic15583 = 524 119910
Bignamino di astronomia
65
bull TERZA LEGGE DI KEPLERO 1 Calcolare il semiasse maggiore dellrsquoorbita di Giove in kilometri sapendo che il suo periodo
di rivoluzione egrave 119879119866 = 37411 ∙ 106 119904
Soluzione
119879119866(119886119899119899119894) =119879119866(119904119890119888119900119899119889119894)
(119904119890119888119900119899119889119894 119894119899 119906119899 119886119899119899119900)=
37411 ∙ 106 119904
3600 ∙ 24 ∙ 365 ∙119904
119886119899119899119900
= 11863 119886119899119899119894
Impostando la terza legge di Keplero e imponendo che 119870 =1 1198861198991198991199002
1 1198801198603
1198792
1198863= 119870 =gt 119886119866(119880 119860 ) = radic[119879119866(119886119899119899119894)]2
3= radic(11863 119886119899119899119894)2
3= 52 119880 119860 =
= 77792 ∙ 106 119896119898
2 Calcolare il periodo di rivoluzione di Marte in giorni sapendo che il suo semiasse maggiore
misura 119886119872 = 2279 ∙ 109 119898
Soluzione
119886119872(119880 119860 ) =119886119872(119898)
1496 ∙ 109 ∙119898119880 119860
=2279 ∙ 109 119898
1496 ∙ 109 ∙119898119880 119860
= 152 119880 119860
Impostando la terza legge di Keplero e imponendo che 119870 =1 1198861198991198991199002
1 1198801198603
1198792
1198863= 119870 =gt 119879119872(119886119899119899119894) = radic[119886119872(119880 119860 )]3 = radic(152 119880 119860 )3 = 187 119886119899119899119894 = 684 119892119894119900119903119899119894
3 Approssimando lrsquoorbita di Venere a una circonferenza calcolare la velocitagrave media v del
pianeta intorno al Sole sapendo che il suo periodo di rivoluzione egrave 119879119881 = 1941 ∙ 106 119904
Soluzione
119879119881(119886119899119899119894) =119879119881(119904119890119888119900119899119889119894)
(119904119890119888119900119899119889119894 119894119899 119906119899 119886119899119899119900)=
1941 ∙ 106 119904
3600 ∙ 24 ∙ 365 ∙119904
119886119899119899119900
= 061 119886119899119899119894
Impostando la terza legge di Keplero e imponendo che 119870 =1 1198861198991198991199002
1 1198801198603
1198792
1198863= 119870 =gt 119886119881(119880 119860 ) = radic[119879119881(119886119899119899119894)]2
3= radic(061 119886119899119899119894)2
3= 072 119880 119860 = 1076 ∙ 106 119896119898
119907 =2120587119886119881119879119881
=2120587 ∙ 1076 ∙ 106 119896119898
1941 ∙ 106 119904= 3483
119896119898
119904
Bignamino di astronomia
66
Risoluzione del sistema per il calcolo delle velocitagrave su orbite non circolari
119907119886119889119886 = 1199071199011198891199011
2119898119907119886
2 minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
1198891198861
2119898119907119886
2 minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
11988911988612119898119907119901
21198891199012
1198891198862
minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886121199071199012119889119901
2
1198891198862
minus1
21199071199012 =
119866119872
119889119886minus119866119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
1198891198861
21199071199012 (1198891199012
1198891198862minus 1) = 119866119872(
1
119889119886minus1
119889119901)
119907119886 =
119907119901119889119901
1198891198861
21199071199012 (1198891199012 minus 119889119886
2
1198891198862
) = 119866119872(119889119901 minus 119889119886
119889119886119889119901)
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886
1199071199012 = 2119866119872 (
119889119901 minus 119889119886
119889119886119889119901)(
1198891198862
1198891199012 minus 119889119886
2)
Bignamino di astronomia
67
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886
1199071199012 = 2119866119872 (
119889119901 minus 119889119886
119889119886119889119901) [
1198891198862
(119889119901 + 119889119886)(119889119901 minus 119889119886)]
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886
119959119953 = radic120784119918119924119941119938
119941119953(119941119953 + 119941119938)
Sostituendo la formula appena trovata nella prima equazione si ottiene
119959119938 = radic120784119918119924119941119953
119941119938(119941119953 + 119941119938)
Possiamo scrivere le due velocitagrave anche in funzione (cioegrave in dipendenza) del semiasse maggiore e
dellrsquoeccentricitagrave dellrsquoorbita Se chiamiamo il semiasse maggiore dellrsquoorbita ellittica a valgono le
seguenti relazioni
119889119886 = 119886(1 + 119890) 119889119901 = 119886(1 minus 119890)
Quindi
119907119901 = radic2119866119872119886(1 + 119890)
119886(1 minus 119890)[119886(1 minus 119890) + 119886(1 + 119890)]= radic2119866119872
1 + 119890
(1 minus 119890)[119886(1 minus 119890 + 1 + 119890)]
= radic2119866119872
2119886(1 + 119890
1 minus 119890) = radic
119918119924
119938(120783 + 119942
120783 minus 119942)
Sostituendo anche nel caso di 119881119886
119907119886 = radic119918119924
119938(120783 minus 119942
120783 + 119942)
Si ricorda inoltre che
119938 =119941119938 + 119941119953
120784 119942 =
119941119938 minus 119941119953
119941119938 + 119941119953
Bignamino di astronomia
68
ESERCIZIO
Un pianeta sta cadendo sulla sua stella seguendo una traiettoria rettilinea se si conosce
lrsquoaltezza di caduta h si determini il tempo di caduta t
Per risolvere questo problema si potrebbe erroneamente pensare di applicare le leggi del moto
rettilineo uniformemente accelerato (come nel caso di una penna che cade dalla scrivania)
Consideriamo perograve un corpo (di massa m) che si trova a una certa altezza dal suolo la sua forza peso
equivale alla forza di attrazione gravitazionale tra il corpo e il pianeta (di raggio R e massa M) su cui
si trova
119898119892 =119898119872119866
(119877 + ℎ)2 119888119894119900egrave 119892 =
119866119872
(119877 + ℎ)2
Come possiamo vedere lrsquoaccelerazione di gravitagrave g non si mantiene costante al variare dellrsquoaltezza
ma varia noi la assumiamo costante al suolo e pari a circa 981 ms^2 solo percheacute in quel caso Δhasymp0
Quindi non possiamo applicare le leggi del moto rettilineo uniformemente accelerato a questo
problema Come risolverlo allora
Allrsquoinizio di questi appunti abbiamo evidenziato che lrsquoeccentricitagrave di unrsquoellisse indica quanto lrsquoellisse
egrave ldquoschiacciatardquo se dunque lrsquoeccentricitagrave tende a 1 la traiettoria tende a un segmento
Quindi possiamo assumere che il pianeta cada seguendo unrsquoorbita ellittica con eccentricitagrave prossima
a 1 e dunque semiasse maggiore a pari a h2 (vedi figura)
Se conosciamo la massa M della stella possiamo applicare la III legge di Keplero generalizzata
1198792
1198863=41205872
119866119872 rarr 119879 = radic
41205872
1198661198721198863 rarr 119879 = radic
41205872
119866119872(ℎ
2)3
rarr 119879 = radic1205872
2119866119872ℎ3
Naturalmente questo egrave il periodo completo dellrsquoorbita Il periodo di caduta egrave la metagrave
119905 =119879
2
a a
h
Bignamino di astronomia
69
Problemi 1 Coordinate celesti e tempo
Ci troviamo in un luogo di latitudine 120593 = 42deg 30prime15primeprime 119873 e longitudine 120582 = 15deg 28prime18primeprime119864
Osserviamo una stella di ascensione retta 5h 32 min 3 sec e declinazione -00deg 15rsquo 20rdquo che
passa al meridiano alle 2030 del 14012020 A quale altezza culminava Quale era la sua
distanza zenitale In quale data dallo stesso luogo e allo stesso orario si egrave potuto vederla
sorgere ad est
Soluzione
Lrsquoaltezza massima di una stella (quando culmina) egrave data dalla relazione
ℎ = 90deg minus 120593 + 120575
Quindi
ℎ = 90deg minus 42deg30prime15 minus 0deg 15 20= 47deg 14 25
La distanza zenitale egrave invece data da 119911 = 90deg minus 120593 = 90deg minus 47deg 14prime25primeprime = 42deg 45prime35primeprime
Un dato importante per poter rispondere alla terza richiesta egrave sapere che le stelle
ldquoanticipanordquo il loro sorgere di 3 119898119894119899 56 119904119890119888119892119894119900119903119899119900
Quindi per sapere quanti giorni prima la stella sorgeva ad est (m)
119898 =120572
Δ119905=
(5ℎ32min3sec)
3119898119894119899 56sec119892119894119900119903119899119900= 84 119892119894119900119903119899119894
84 giorni prima del 14012020 era il 21102019
2 Coordinate e tempo
Il tempo siderale di un luogo (120593 = 28deg 30prime45primeprime119878 120582 = 90deg 23prime50primeprime119882 ) egrave di 9h 3min 45sec
Quale egrave il tempo siderale di GW
Soluzione Il primo passaggio da fare egrave trasformare la longitudine del luogo da gradi in ore
Quindi
15deg 1ℎ = 90deg 23prime50primeprime 120582
120582 = 90deg 23prime50primeprime ∙1ℎ
15deg = 6ℎ 1min3533119904119890119888
Il tempo siderale del luogo egrave legato a quello di GW dalla seguente relazione
119879119904 = 119879119866119908 + 120582
Quindi 119879119866119908 = 119879119904 minus 120582 = 9ℎ3min 45119904119890119888 minus (minus 6ℎ1min 3533sec ) = 9ℎ3min 45119904119890119888 +
6ℎ1min 3533sec = 15ℎ 5min 20119904119890119888
Bignamino di astronomia
70
PROBLEMI E QUESITI SULLA MISURA DEL TEMPO
Problema 1 In un dato luogo a che ora di tempo siderale culmina il Sole medio in un dato giorno
sapendo che sedici giorni prima esso culminava alle 15h 12m 48s di tempo siderale
Se ci troviamo a Belo Horizonte (longitudine λ=43deg56rsquo16rdquo W) al mezzogiorno vero e lrsquoequazione del
tempo per quel giorno egrave pari a ET=-8m7s che ora segna lrsquoorologio dellrsquoosservatore
Soluzione problema 1 La prima richiesta del problema si risolve tenendo conto che giorno solare
medio e giorno siderale hanno diversa durata infatti il giorno siderale egrave piugrave corto del giorno solare
medio di circa 3m56s Pertanto se in un dato giorno il punto gamma e il Sole medio hanno raggiunto
la culminazione nel medesimo istante il giorno successivo il Sole medio culmineragrave 3m56s dopo il
punto gamma Quindi il Sole accumuleragrave un ritardo pari a 163m56s=1h2m56s che andragrave sommato
allrsquoora siderale data dal problema TS=15h 12m 48s + 1h 2m 56s= 16h 15m 44s
Se a Belo Horizonte egrave mezzogiorno vero vuol dire che sono le 12h di tempo solare vero Lrsquoequazione
del tempo egrave la differenza fra tempo solare medio e tempo solare vero quindi
TSM-TSV=ET TSM=TSV+ET=12h ndash 8m 7s= 11h 51m 53s lrsquoorologio dellrsquoosservatore egrave perograve in
accordo col tempo del meridiano centrale del fuso di Belo Horizonte che ha longitudine 3h W
mentre Belo Horizonte ha longitudine 2h 55m 45s W essa egrave quindi piugrave avanti di 3h-2h 55m 45s=4m
15s lrsquoorologio segneragrave quindi le ore 11h 51m 53s ndash 4m 15s= 11h 47m 38s
Problema 2 A Bergamo (λ= 9deg 40rsquo 12rdquo E) i raggi del Sole in un dato momento si proiettano
esattamente sulla linea della meridiana di Cittagrave Alta In quel dato giorno lrsquoequazione del tempo egrave
+5m 12s se il tempo siderale a mezzanotte di quel giorno a Greenwich risultava pari a 3h 21m 20s
qual egrave il tempo siderale a Greenwich nellrsquoistante del problema
Soluzione problema 2 La longitudine di Bergamo espressa in ore minuti e secondi egrave 38m 41s E Se
il disco luminoso si proietta sulla linea meridiana egrave mezzogiorno vero quindi il tempo solare medio
saragrave pari a TSM= TSV + ET= 12h + 5m 12s= 12h 5m 12s Greenwich si trova 38m 41s a ovest di
Bergamo quindi egrave anche 38m 41s indietro a Greenwich sono quindi le 12h 5m 12s ndash 38m 41s= 11h
26m 31s Sono passate quindi 11h 26m 31s dalla mezzanotte per convertire questo tempo medio
in tempo siderale moltiplichiamo per il fattore di conversione 3662536525
ΔTS (Greenwich)= (3662536525)(114419444 h)= 114732394h = 11h 28m 24s Quindi a
Greenwich sono le 3h 21m 20s + 11h 28m 24s= 14h 49m 44s di tempo siderale
Quesito Si valuti argomentando opportunamente come varia lrsquoEquazione del Tempo nel corso
dellrsquoanno solare se in un piano cartesiano in ascissa indichiamo lrsquoET e in ordinata la declinazione del
Sole che curva si ottiene
Risposta Lrsquoequazione del tempo si annulla quattro volte lrsquoanno a metagrave aprile a metagrave giugno verso
Natale e ai primi di settembre il sole medio e il sole vero culminano contemporaneamente (1) Da
Natale a metagrave aprile il sole medio anticipa il sole vero (2) da metagrave aprile a metagrave giugno il sole vero
anticipa il sole medio da metagrave giugno a inizio settembre come (1) e da inizio settembre a Natale
come (2) Oltre a ldquooscillare in orizzontalerdquo in un anno il sole ldquooscilla in verticalerdquo nel senso che
Bignamino di astronomia
71
assume declinazioni da 23deg27rsquo a -23deg27rsquo La curva che si ottiene egrave quindi una sorta di ldquo8rdquo chiamata
analemma essa egrave anche la curva che egrave formata dalle posizioni in cielo del sole vero registrate a
mezzogiorno medio locale ogni giorno dellrsquoanno
Figura 1 Analemma decET
Figura 2 Analemma visualizzato nel cielo di Atene
Problema 3 Una stella di ascensione retta AR=11h 12m 13s culmina in un dato luogo della Terra alle
ore 13h 04m 02s di tempo medio Considerando che a Greenwich culmina una stella con ascensione
retta 8h 11m 58s dire che orario segna lrsquoorologio dellrsquoosservatore in quel dato luogo della Terra
Soluzione Il tempo siderale in un dato luogo egrave uguale allrsquoascensione retta delle stelle che si trovano
a culminare al meridiano superiore Quindi in questo luogo della Terra il tempo siderale egrave pari a 11h
12m 13s a Greenwich il tempo siderale egrave pari a 8h 11m 58s Notiamo come il luogo dove si trova
lrsquoosservatore ha longitudine est infatti egrave piugrave avanti di Greenwich di circa 3 ore quindi egrave piugrave a Est di
Greenwich La differenza fra lrsquoora siderale dellrsquoosservatore e quella a Greenwich dagrave la longitudine
del luogo (differenza fra longitudine del luogo e longitudine di Greenwich che egrave 0 percheacute il suo
meridiano egrave origine delle longitudini)
λ= TSrsquo-TS(GW)= 11h 12m 13s ndash 8h 11m 58s= 3h 0m 15s E Questo luogo segue il meridiano che ha
longitudine 3h E quindi egrave in anticipo rispetto a esso di appena 15s pertanto il suo orologio segneragrave
le ore 13h 04m 02s ndash 15s= 13h 03m 47s
Bignamino di astronomia
72
bull STELLE E MAGNITUDINI SISTEMI STELLARI ESTESI
1 Pochi giorni fa si egrave registrato un nuovo oggetto che si comporta apparentemente
come una binaria a eclisse Tuttavia il periodo non egrave stabile la magnitudine
dellrsquooggetto egrave in genere pari a 2432 ma ogni 7-11 secondi sale a 2452 per 02-03
secondi Dopo unrsquoaccurata analisi del problema si egrave capito che lrsquooggetto splendente egrave
costituito dagli occhi di un gruppo di gatti assolutamente neri seduti su un piccolo
corpo del sistema solare nero e con gli sguardi rivolti verso il sole Uno dei gatti batte
ogni tanto le palpebre Quanti gatti ci sono
Soluzione Sia N il numero di occhi la cui determinazione egrave richiesta dal problema
Quando il gatto nero del problema chiude gli occhi il numero di occhi che
contribuisce alla magnitudine complessiva scende di due unitagrave (N-2) Se
consideriamo che gli occhi dei gatti sono tutti gli stessi ciascuno di essi ci invia un
flusso pari a F Avendo entrambe le magnitudini corrispondenti alla situazione ldquotutti
gli N occhi apertirdquo (2432) e ldquoN-2 occhi apertirdquo (2452) possiamo scrivere la formula
di Pogson tenendo conto dei flussi complessivi
119898119898119894119899 minus119898119898119886119909 = minus25119897119900119892 [119865 lowast (119873 minus 2)
119865 lowast 119873]
119873 minus 2
119873= 10
119898119898119886119909minus11989811989811989411989925 = 10minus008 = 0832 rarr 119873 =
2
0168asymp 12 119900119888119888ℎ119894 ossia 6 119892119886119905119905119894
2 La galassia di Andromeda ha una magnitudine apparente integrata mv = 440 e appare in cielo come unrsquoellisse i cui semiassi hanno dimensioni angolari di circa 190 arcmin e 60 arcmin Sapendo che la sua distanza egrave di circa 254 milioni di anni luce calcolare la magnitudine assoluta e la magnitudine apparente superficiale media della galassia (Gara Interregionale Categoria Senior 2018)
Soluzione La distanza della galassia di Andromeda in pc egrave 119889(119901119888) =254 10^63262= 77810^3 119901119888 La magnitudine assoluta egrave data dalla relazione 119872119907 = 119898119907 + 5 minus 5 log 119889(119901119888) = -201 Per calcolare la magnitudine apparente superficiale dobbiamo calcolare lrsquoarea apparente della galassia A = π a b = 120587 190 ∙ 60 = 358 ∙ 103 1198861199031198881198981198941198992 cong 129 ∙ 106 119886119903119888119904119890119888^2 La magnitudine apparente superficiale (msup) si ottiene dalla relazione 119898119904119906119901 = 119898119907 +25 log 119860 cong 158119898119886119892119886119903119888119898119894119899^2 cong 247119898119886119892119886119903119888119904119890119888^2 3 Si consideri una stella variabile ldquopulsanterdquo la cui magnitudine assoluta varia
nellrsquointervallo M1= 325 e M2= 226 con una temperatura effettiva che al massimo di luminositagrave egrave T2= 5500 K e al minimo di luminositagrave egrave T1 = 5000 K Calcolare quanto varia il raggio della stella tra il minimo e il massimo di luminositagrave Esprimere il
Bignamino di astronomia
73
risultato come rapporto tra raggio massimo e raggio minimo e come differenza tra i due raggi in km (Gara Interregionale Categoria Senior 2017)
Soluzione La luminositagrave di una stella egrave definita dalla relazione 119871=4 120587 119877^2 120590 119879^4 Per ricavare il rapporto tra i raggi al massimo e minimo di luminositagrave utilizziamo la formula di Pogson 1198722minus 1198721= minus 25log(11987121198711)=minus 25log[4120587(1198772)^2 120590 (1198792)^4][4120587(1198771)^2 120590 (1198791)^4]= -
25log[(11987721198771)^2 (11987921198791)^4] e quindi 0396 = log[(11987721198771)^2 (11987921198791)^4] =119897119900119892 [(11987721198771)^2 1464] da cui 0396=2log(11987721198771)+log1464 ovvero 0115= 119897119900119892 (11987721198771) e infine (119929120784119929120783)=120783120785120782 Per ottenere la differenza in km calcoliamo il raggio della stella al massimo di luminositagrave confrontando i suoi dati con una stella di caratteristiche note il Sole Avremo quindi 1198722minus 119872s=minus 25log[(1198772119877s)^2 (1198792119879s)^4] e quindi 103 = 2 log R2 ndash 2 log Rs + 4 log 09519
da cui si ricava 1198772=2513 ∙ 10^3 119896119898cong361 119877s e 1198771=1933 ∙ 10^3 119896119898cong278 119877s la variazione del raggio in km vale quindi ΔR = 580 ∙ 103 km
4 La supergigante rossa Betelgeuse ha una magnitudine apparente m1=+042 e
una parallasse π1=0005rdquo mentre la supergigante blu Rigel ha una magnitudine
apparente m2=+013 e una parallasse π2=0004rdquo Quale delle due stelle egrave
intrinsecamente piugrave luminosa Qual egrave la piugrave lontana (Gara interregionale Categoria Senior 2015) Soluzione Affincheacute si possa determinare quale delle due stelle sia piugrave luminosa intrinsecamente egrave necessario ricorrere al calcolo delle magnitudini assolute delle due stelle possiamo calcolare la magnitudine assoluta di una stella conoscendo la magnitudine apparente della stessa e la sua parallasse tramite la relazione
119872 = 119898 + 5 + 5119897119900119892120587 119900119907119890 119897119886 119901119886119903119886119897119897119886119904119904119890 egrave 119890119904119901119903119890119904119904119886 119894119899 119886119903119888119900119904119890119888119900119899119889119894 Nel caso nostro
1198721 = 1198981 + 5 + 51198971199001198921205871 = +042 + 5 + 51198971199001198920005 = minus608 (119861119890119905119890119897119892119890119906119904119890)
1198722 = 1198982 + 5 + 51198971199001198921205872 = +013 + 5 + 51198971199001198920004 = minus687 (119877119894119892119890119897)
Essendo la magnitudine assoluta di Rigel minore di quella di Betelgeuse allora Rigel egrave intrinsecamente piugrave luminosa di Betelgeuse Possiamo giagrave da questo risultato comprendere quale stella sia piugrave distante delle due infatti Rigel egrave sia apparentemente sia assolutamente piugrave luminosa di Betelgeuse quindi egrave necessario che essa sia piugrave distante di Betelgeuse affincheacute ciograve si verifichi A riprova di ciograve la parallasse di Rigel egrave minore di quella di Betelgeuse essendo essa piugrave lontana La distanza di Rigel in parsec egrave 1π2=250 pc mentre quella di Betelgeuse egrave 1π1=200 pc
da cui d2gtd1
Bignamino di astronomia
74
bull COSMOLOGIA ELEMENTARE
5 Un team di scienziati osserva una nuova galassia e ne analizza lo spettro la riga H-alfa
dellrsquoidrogeno che ha in laboratorio una lunghezza drsquoonda pari a 656281 Aring ha nello spettro della galassia una lunghezza drsquoonda di 656933 Aring Si determini la distanza della galassia Soluzione per prima cosa calcoliamo il redshift della galassia
119911 =∆120582
120582=120582119900119904119904 minus 120582119897119886119887
120582119897119886119887=656933 minus 656281
656281= 9935 lowast 10minus4
Applichiamo la legge di Hubble-Lemaitre
119888119911 = 1198670119889 rarr 119889 =119888119911
1198670= 299792458
119896119898
119904lowast 9935 lowast
10minus4
719= 414 119872119901119888
6 Osservando lrsquoesplosione di una supernova in una lontana galassia due scienziati notano che la riga H-beta dellrsquoidrogeno osservata nello spettro ha esattamente la stessa lunghezza drsquoonda della riga H-alfa osservata in laboratorio Tuttavia i due scienziati usano valori diversi per la costante di Hubble Usando valori che differiscono di ΔH=H2-H1=14 kmsMpc ottengono valori diversi per la magnitudine assoluta della supernova al massimo M1=-1902 e M2=-1864 Trovare quanto valgono per ciascuno dei due scienziati il redshift e la distanza della galassia (XXIII International Astronomy Olympiad ndash Colombo Sri Lanka Theoretical Round Group β Exercise 1) Soluzione Il redshift misurato dai due scienziati egrave lo stesso per entrambi esso infatti dipende dalle lunghezze drsquoonda osservate che secondo quanto affermato nella traccia sono le stesse per entrambi gli scienziati La lunghezza drsquoonda della riga H-alfa egrave pari a 6563 Aring mentre la lunghezza drsquoonda della riga H-beta egrave pari a 4861 Aring Il redshift per definizione egrave dunque pari a
119911 =120582119867minus119886119897119891119886minus120582119867minus119887119890119905119886
120582119867minus119887119890119905119886= 035
Conoscendo la relazione nota come ldquomodulo di distanzardquo (relazione fra mag Apparente e mag Assoluta) possiamo scrivere
1198721 = 1198981 + 5 minus 51198971199001198921198891 1198722 = 1198982 + 5 minus 51198971199001198921198892
Ma le due magnitudini apparenti dellrsquooggetto debbono necessariamente coincidere dal momento che esse sono dati puramente osservativi (non derivano cioegrave da elaborazioni di dati precedenti) possiamo quindi sottrarre membro a membro le due relazioni precedenti semplificando le due magnitudini apparenti
1198721 minus1198722 = 5119897119900119892 (11988921198891) rarr
11988921198891= 10
1198721minus11987225 = 0839
Possiamo scrivere il seguente sistema
1198892 = 08391198891H2 minus H1 = 14
119888119911
1198672= 0839
119888119911
1198671H2 minus H1 = 14
1198672 = 11911986711198672 minus 1198671 = 14
1198671 =
7368119896119898119904
119872119901119888
1198672 =8768
119896119898119904
119872119901119888
Bignamino di astronomia
75
Da cui finalmente d1=czH1=2997924580357668=13684 Mpc dz=czH2=2997924580538768=11967 Mpc
bull MISCELLANEA
1 Una galassia egrave composta da stelle tutte simili al nostro Sole Essa mostra uno
spostamento verso il rosso della riga Hα (λ=656281 Aring) di ampiezza pari a Δλ= 15 Aring
Essa risulta inclinata rispetto alla perpendicolare alla linea di vista di un angolo di 30deg
e si sa che il suo raggio egrave pari a 37000 anni luce Nel cielo appare come un oggetto di
magnitudine superficiale msup= 2478 magarcsec2
Quanto vale la massa della galassia
Soluzione Ci viene fornita dalla traccia la magnitudine superficiale della galassia vista
dalla Terra essa indica la magnitudine di una ldquoporzionerdquo della galassia di superficie
pari a 1 arcsec2 Di conseguenza la magnitudine complessiva della galassia devrsquoessere
legata alla sua superficie angolare allora dobbiamo conoscere le dimensioni angolari
della galassia abbiamo le dimensioni angolari quindi dobbiamo ricavare la distanza
della galassia
Calcoliamo per prima cosa il redshift z
119911 =∆120582
120582=
15
656281= 229 ∙ 10minus4
Con la legge di Hubble-Lemaitre ricaviamo la distanza
119888119911 = 1198670119889 119889 =119888119911
119867119900=300 ∙ 105 ∙ 229 ∙ 10minus4
719119872119901119888 = 0954 119872119901119888
= 311 ∙ 106119886119899119899119894 119897119906119888119890
Adesso possiamo determinare le dimensioni apparenti della galassia percheacute ne
conosciamo la distanza nel cielo essa ci appare come unrsquoellisse il cui semiasse
maggiore vale
119886 = arctan (119877
119889) = arctan (
37000
311 ∙ 106) = 0682deg = 24538 119886119903119888119904119890119888
Essendo il coseno di 30deg uguale a radic3
2 il semiasse minore varragrave
119887 = arctan(119877radic3
2119889) = arctan (
37000 ∙ 173
2 ∙ 311 ∙ 106) = 0590deg = 21226 119886119903119888119904119890119888
Calcoliamo la superficie di questa ellisse
119878 = 120587119886119887 = 120587 ∙ 24538 ∙ 21226 arcsec2 = 163 ∙ 107 arcsec2
Bignamino di astronomia
76
A questo punto ricaviamo la magnitudine integrata apparente
m=msup-25log(119878) 119898 = 2478 minus 25 log(163 ∙ 107) = 675
Abbiamo la distanza troviamo la magnitudine assoluta
M=m+5-5logd=675+5-5log(0954 106)=-1815
A questo punto troviamo il numero di ldquosolirdquo contenuti nella galassia grazie alla
relazione che ci permette di ricavare la magnitudine integrata di un oggetto (nel caso
sia composto da componenti uguali)
119872 = minus25 log(119873 lowast 10minus04119872119904) 119873 = 10minus04(119872minus119872119878) = 10minus04(minus1815minus483)
= 156 ∙ 109119904119905119890119897119897119890 119888119900119898119890 119894119897 119904119900119897119890
Possiamo finalmente trovare la massa della galassia
119872119892 = 156 ∙ 109 ∙ 199 ∙ 1030119896119892 = 310 ∙ 1039119896119892
2 Una stella di raggio R=705000 km presenta un picco drsquoemissione alla lunghezza
drsquoonda di 542 nm Se essa egrave costituita interamente da idrogeno si determini quanti
atomi di idrogeno hanno reagito in un secondo nel nucleo della stella nella reazione
di fusione termonucleare che produce elio
Soluzione Dobbiamo innanzitutto determinare la luminositagrave della stella che dipende
dal quadrato del raggio e dalla quarta potenza della temperatura disponiamo del
raggio ma dobbiamo ricavare la temperatura notiamo come il problema fornisca la
lunghezza drsquoonda del picco drsquoemissione che egrave inversamente proporzionale alla
temperatura efficace secondo la Legge di Wien
120582 ∙ 119879119890119891119891 = 2898 119898119898 119870 119879119890119891119891 =2898 119898119898 119870
542 ∙10minus6119898119898= 5347 119870
Adesso possiamo determinare la luminositagrave della stella (Legge di Stefan-Boltzmann)
119871 = 41205871198772120590(119879119890119891119891)4= 4120587 (705 ∙ 108)2 567 ∙ 10minus8 (5347)4 119882 = 289 ∙ 1026119882
Questa egrave lrsquoenergia che la stella irradia in un secondo ma da dove deriva Nel nucleo
quattro protoni si fondono per formare un nucleo di elio il nucleo di elio che si forma
perograve non ha la stessa massa dei quattro protoni bensigrave ha una massa lievemente
minore La massa mancante (il difetto di massa) si egrave trasformata in energia secondo
la famosa relazione di Einstein
119864 = 1198981198882
Se E=L m saragrave uguale al difetto di massa complessivo per unitagrave di tempo
119898 =119871
1198882=289 ∙ 1026119882
9 ∙ 10161198982
1199042 = 321 ∙
109119896119892
119904
Essendo la massa di un nucleo di elio-4 pari a 6645 10-27kg mentre la massa del
protone pari a 167310-27kg si ha che la massa di 4 protoni egrave 669210-27kg e quindi
il difetto di massa per ogni reazione egrave Δm= 004710-27 kg Dividendo questo valore
Bignamino di astronomia
77
per quello trovato sopra otteniamo il numero di reazioni che avvengono in un
secondo nel nucleo della stella
119873 =119898
∆119898=
321 ∙ 109
0047 ∙ 10minus27119903119890119886119911 = 683 ∙ 1037119903119890119886119911
A ogni reazione corrispondono quattro atomi di idrogeno quindi per trovare la
soluzione ci basta moltiplicare questo valore per 4
119873119905119900119905 = 4119873 = 273 ∙ 1038119886119905119900119898119894()
3 Che dimensioni dovrebbe avere una sfera metallica perfettamente riflettente per
essere visibile come un astro da Terra ad occhio nudo quando essa si trova in
opposizione al Sole (Questa sfera egrave posta in orbita circolare attorno alla Terra con
un periodo T=2766 ore)
Soluzione Innanzitutto ci serve conoscere il raggio orbitale della sfera perciograve
applichiamo la Terza Legge di Keplero generalizzata
1198792
1198863=41205872
119866119872 119886 = radic
1198661198721198792
41205872
3
= radic667 ∙ 10minus11 ∙ 597 ∙ 1024 ∙ 992 ∙ 107
4(314)23
= 10005119896119898
Sia Fs il flusso solare esso investe la sfera e la quantitagrave di energia intercettata in un
secondo (Lint) egrave direttamente proporzionale alla sezione della sfera
119871119894119899119905 = 119865119904 ∙ 1205871198772
La luce viene interamente riflessa quindi
119871119903119894119891 = 119871119894119899119905 = 119865119904 ∙ 1205871198772
Questa luminositagrave viene riflessa in tutte le direzioni quindi tutti i punti che si trovano
alla medesima distanza dalla sfera riceveranno lo stesso flusso pari a
119865 =119865119904 ∙ 120587119877
2
41205871198892=119865119904 ∙ 119877
2
41198892
In particolare per una localitagrave posta sulla Terra
119865 =119865119904 ∙ 119877
2
4(119886 minus 119877119879)2=
119865119904 ∙ 1198772
4(107 minus 6378 ∙ 106)2= 1906 ∙ 10minus14119865119904 119877
2
Applichiamo la formula di Pogson comparando la sfera col Sole e tenendo presente
che la magnitudine della sfera devrsquoessere uguale a 6 (lrsquooggetto egrave appena visibile ad
occhio nudo)
119898minus119898119904 = minus25 log (119865
119865119904) rarr 6 + 2674 = minus25 log(1906 ∙ 10minus141198772)
1906 ∙ 10minus141198772 = 10minus131 rarr 119877 = radic10minus131
1906 ∙ 10minus14119898 = 204 119898
Pertanto la sfera deve avere un diametro di 408 metri
Bignamino di astronomia
78
[NB Nello svolgimento del problema si egrave usato lo stesso valore del flusso solare per la Terra e per la
sfera in realtagrave ciograve egrave unrsquoapprossimazione percheacute le distanze Terra-Sole e Sole-sfera sono diverse
Essendo perograve il semiasse dellrsquoorbita della sfera trascurabile rispetto al semiasse della Terra allora i due
flussi sono assai simili]
4 Egrave stato osservato un quasar doppio che si trova a grandissima distanza dalla Terra La
particolaritagrave di questo quasar egrave il moto di allontanamento delle due componenti Q1
e Q2 In particolare Q1 si allontana da Q2 spostandosi come riportato in figura dal
punto A al punto B con velocitagrave relativistica ldquovrdquo pari al 75 della velocitagrave della luce
Calcolare lrsquointervallo di tempo Δt impiegato dal componente Q1 a raggiungere il
punto B e il corrispondente intervallo di tempo Δtrsquo misurato dagli astronomi sulla
Terra (che giace sullo stesso piano della figura) Sulla base del risultato ottenuto di
fronte a quale sconvolgente conclusione si sono trovati gli astronomi prima di
riuscire a spiegare correttamente il fenomeno (Dalla Finale Nazionale 2015
Categoria Junior)
Soluzione Il tratto AB egrave lrsquoipotenusa del triangolo rettangolo ABArsquo (vedi figura) quindi
esso vale (Teorema di Pitagora)
119860119861 = radic119860119860prime2 + 119860prime1198612 = radic9 + 16 = 5119886 119897
Esso viene quindi percorso nel tempo ∆119905 =119860119861
119907=
5119886119897
075119888= 667 119886119899119899119894 Notiamo come non ci
sia bisogno di conoscere il valore della velocitagrave della luce percheacute le distanze sono espresse
in anni luce
Adesso analizziamo il fenomeno come viene visto dalla Terra Quando Q1 si trova in A la luce
da esso emessa impiega per giungere in Arsquo un tempo pari a 4119886119897
119888= 4 119886119899119899119894 Nel frattempo
Q1 si sposta e per arrivare in B impiega 667 anni La luce che emette in B non deve piugrave
attraversare una distanza di 4 al quindi i due segnali luminosi arrivano a una ldquodistanzardquo
temporale ∆119905prime = (667 minus 4)119886119899119899119894 = 267 119886119899119899119894
Il risultato sconvolgente egrave che siccome agli astronomi da Terra egrave sembrato che Q1 si
spostasse lungo ArsquoB la sua velocitagrave misurata da Terra risulta pari a
119907 =119860prime119861
267119886119899119899119894=
3119886 119897
267119886119899119899119894= 1125119888
Bignamino di astronomia
79
Apparentemente il quasar si egrave spostato con una velocitagrave superiore a quella della luce Non egrave
infatti raro osservare dei moti superluminali (cioegrave con velocitagrave superiore a quella della luce)
in oggetti che si muovono con velocitagrave relativistiche questa velocitagrave egrave tuttavia sempre
apparente
5 Se una stella presenta un redshift z pari a 555 10-5 quale saragrave il verso e il valore della
sua velocitagrave radiale
Soluzione il redshift egrave positivo quindi la stella si allontana da noi La velocitagrave radiale
della stella egrave data da
119907 = 119888119911 = 3 ∙ 105 ∙ 555 ∙ 105 = 167119896119898
119904
6 La lunghezza drsquoonda λrsquo di una delle righe piugrave evidenti della luce emessa dalle galassie
di una costellazione egrave 1020 volte piugrave grande della corrispondente lunghezza drsquoonda
λ di riferimento Calcolare la velocitagrave con cui lrsquoammasso si sta allontanando dalla Terra
e stimare la sua distanza
Soluzione il redshift egrave119911 =∆120582
120582=
(1020minus1)120582
120582= 0020
Pertanto 119907 = 0020119888 = 6000119896119898
119904 119890 (119897119890119892119892119890 119889119894 119867119906119887119887119897119890 minus 119871119890119898119886119894119905119903119890)
119889 =119907
119867= 6000719=834 Mpc
7 In una galassia tutti gli ammassi globulari hanno un diametro pari a 50 anni luce
Nelle fotografie si misura il diametro angolare di tre di questi ammassi I diametri
risultano pari a 8rsquo9rsquo10rsquo Calcolare la distanza dei tre ammassi
Soluzione le dimensioni reali di un oggetto visto sotto un angolo α alla distanza d
sono date da
119863 = 2119889 tan (120572
2)
Da cui
1198891 =119863
2 tan(12057212)=
50
2 tan(01333
2)=21486 anni luce
1198892 =119863
2 tan (12057222)= 19099 119886119899119899119894 119897119906119888119890
Bignamino di astronomia
80
1198893 =119863
2 tan (12057232)= 17189 119886119899119899119894 119897119906119888119890
8 Se si dispone di un telescopio di 30 cm di diametro e lunghezza focale di 2 m quali
ingrandimenti saranno forniti da tre oculari di focale 25mm 10 mm e 5mm Se gli
oculari hanno un campo apparente di 55deg quale saragrave lrsquoangolo di campo al telescopio
Calcolare pure la pupilla drsquouscita
Soluzione Calcoliamo lrsquoingrandimento
1198681 =119865
119891=2000119898119898
25119898119898= 80119909
1198682 =2000
10= 200119909
1198683 =2000
5= 400119909
Il campo del telescopio saragrave
1198651199001198811 =119865119900119881119900119888119894
=55deg
80= 069deg
1198651199001198812 =55deg
200= 028deg
1198651199001198813 =55deg
400= 014deg
La pupilla drsquouscita
1199011 =300
80= 375119898119898 1199012 =
300
200= 15119898119898 1199013 =
300
400= 075119898119898
9 Calcolare lrsquoapertura minima di un telescopio per poter riconoscere un granulo solare
ampio 700km
Soluzione Lrsquoestensione angolare di questo granulo egrave data da
120572 = 2 arctan (119863
2119889) = 2 arctan (
700
2 ∙ 1496 ∙ 106) = 097
Quindi per la formula di Dawes 119863(119898119898) =120
120572=124cm
10 Per realizzare una fotografia a vasto campo egrave stato necessario un tempo di posa di 13
minuti a f3 con sensibilitagrave 800 ISO Determinare il tempo necessario per ottenere la
stessa foto usando una sensibilitagrave di 1000 ISO ed unrsquoapertura relativa di f45
Trascurare le perdite di sensibilitagrave dovute al difetto di reciprocitagrave delle pellicole
Bignamino di astronomia
81
Soluzione il tempo di posa richiesto si ricava dalla formula
1198792 =11989122 1198781
11989112 1198782
1198791 119879 119905119890119898119901119900 119878 119904119890119899119904119894119887119894119897119894119905agrave 119891 119889119894119886119891119903119886119898119898119886 (119886119901119890119903119905119906119903119886 119903119890119897119886119905119894119907119886)
1198792 =452 800
32 1000 13 = 234 119898119894119899
11 Determinare il tempo di posa massimo per ottenere stelle puntiformi senza
inseguimento siderale con un obiettivo di 50 mm (di focale F) puntato su una zona di
cielo avente declinazione media 45deg Il formato utilizzato egrave il 24x36mm
Soluzione La formula che permette di ottenere stelle puntiformi egrave
119879119898119886119909 =600
119865119888119900119904120575= 17119904119890119888119900119899119889119894
12 Un radiotelescopio ha apertura di 75 m determinare il limite di diffrazione
raggiungibile alla frequenza di osservazione di 410 MHz
Soluzione La lunghezza drsquoonda egrave data da
119888 = 120582120584 120582 =119888
120584= 732 119888119898
Il limite di diffrazione si ricava dalla formula di Rayleigh
120599 =122120582
119863= 122
732
7500= 00119 119903119886119889 = 068deg = 41prime
13 Un radiotelescopio ha un diametro di 25m calcolare il limite di diffrazione alla
lunghezza drsquoonda di osservazione di 21 cm
Soluzione Per la formula di Rayleigh
120599 =122120582
119863= 122
21
2500= 001119903119886119889 = 059deg = 352prime
14 Un telescopio riflettore ha diametro 15 m calcolare il suo potere risolutivo massimo
alla lunghezza drsquoonda dellrsquoidrogeno ionizzato Hα=6563nm
Soluzione Ancora una volta
120599 =122120582
119863= 122 lowast 6563
10minus9
15= 53 10minus7119903119886119889 = 011
Bignamino di astronomia
82
15 Consideriamo due stelle la prima (S1) ha magnitudine apparente m1=11 e si trova a
una distanza L1 dalla Terra la seconda S2 ha luminositagrave intrinseca identica a S1 ma
si trova a una distanza tripla rispetto a S1 Che magnitudine apparente ha la stella S2
Se abbiamo a disposizione uno specchio di diametro D1 con cui si riesce a vedere a
malapena S1 quanto deve essere il diametro del secondo telescopio D2 che permetta
di vedere a malapena la stella S2
Soluzione Siccome la luminositagrave intrinseca egrave la stessa ma la distanza della seconda
stella egrave tripla il flusso della seconda stella egrave uguale a un nono del flusso della prima
Quindi applicando la formula di Pogson
1198981 minus1198982 = minus25 log (11986512) = minus25 log 9 = minus239
1198982 = 11 + 239 = 1339
Infine poicheacute per osservare S2 dobbiamo essere in grado di rivelare il flusso che egrave 9
volte minore e che lrsquoarea di uno specchio aumenta con il quadrato del raggio il raggio
dello specchio D2 devrsquoessere 3 volte piugrave grande di quello di D1
16 Calcolare la magnitudine limite visuale limite raggiungibile con un telescopio di
diametro D=25cm
Soluzione Applicando la formula per trovare la magnitudine limite (con il diametro
espresso in cm) troviamo
119898 = 68 + 5119897119900119892119863 = 68 + 511989711990011989225 = 138
17 Calcolare lrsquoapertura necessaria per poter osservare stelle fino a una magnitudine
limite visuale di +16 con un telescopio
Soluzione Applicando la formula precedente
119898 = 68 + 5119897119900119892119863 119863 = 10119898minus685 = 10184 = 692 119888119898
Bignamino di astronomia
83
18 In un sistema stellare una stella ruota attorno ad unrsquoaltra su unrsquoorbita circolare con
velocitagrave 45 kms il suo periodo di rivoluzione egrave 300 giorni Determinare il raggio
dellorbita e la massa della stella centrale
Soluzione la velocitagrave orbitale egrave data da
119907 =2120587119877
119879 119889119886 119888119906119894 119877 =
119907119879
2120587=45000 ∙ 2592 ∙ 107
62831= 1856 ∙ 1011119898
Dalla Terza legge di Keplero
119872 =412058721198773
1198661198792= 5632 ∙ 1030119896119892
Bignamino di astronomia
84
La SFERA e la TRIGONOMETRIA SFERICA
Premessa
Nella geometria piana i concetti base sono il punto e la retta
Su una sfera i punti sono definiti nel senso usuale Le rette sono definite come cerchi massimi Data una sfera si definisce circonferenza massima ogni circonferenza che si ottiene intersecando la superficie sferica con un piano passante per il centro della sfera Lequatore celeste egrave un circolo massimo mentre i paralleli di declinazione non lo sono Lorizzonte astronomico egrave un circolo massimo mentre non lo sono gli almucantarat o paralleli di altezza
Elementi della sfera
Superficie sferica
Si chiama superficie sferica la figura
generata da una semicirconferenza
in una rotazione completa attorno
al suo diametro Possiamo anche
definirla come luogo geometrico La
superficie sferica egrave il luogo
geometrico dei punti dello spazio
che hanno distanza dal centro pari al
raggio
Sfera
Si chiama sfera la figura generata da un semicerchio di
una rotazione completa attorno al suo diametro
Definita come luogo geometrico egrave il luogo dei punti dello
spazio la cui distanza dal centro egrave minore o uguale al
raggio
Zona sferica
Si chiama zona sferica la parte di
superficie sferica compresa fra due
piani paralleli α e β che intersecano
la sfera Le circonferenze sezioni si
chiamano basi della zona Lrsquoaltezza egrave
la distanza tra i due centri delle
circonferenze sezioni
Bignamino di astronomia
85
Spicchio sferico Lo spicchio sferico egrave il solido delimitato da due piani meridiani passanti per
uno stesso diametro e dalla porzione di superficie sferica (fuso sferico) a
essi corrispondente
Presi due punti distinti su una sfera per essi passa
una ed una sola circonferenza massima
Dati due punti A e B distinti su una sfera esiste una ed una sola circonferenza
massima che li contiene i due punti individuano su questa circonferenza due archi il minore di essi si
chiama distanza sferica rappresenta una geodetica (La geodetica egrave la linea che realizza su una data
superficie il minimo percorso fra due punti assegnati)
Corda
Si chiama corda un segmento i cui estremi appartengono
alla superficie sferica
Si chiama diametro una corda passante per il centro
della superficie sferica e della sfera
Segmento sferico a due basi
Definiamo segmento sferico a due basi la parte di sfera
compresa fra due piani paralleli α e β secanti la sfera
stessa
Calotta Sferica
Definiamo calotta sferica ognuna
delle due parti in cui una superficie
sferica viene divisa da un piano
secante 120572 La calotta egrave la porzione di
superficie sferica ottenuta per
sezione con il piano α
Segmento sferico ad una base
Il segmento sferico ad una base egrave ognuna delle
due parti in cui una sfera viene divisa da un piano
secante α il segmento egrave la porzione di sfera
compresa tra il piano e la calotta
Fuso sferico
La parte di superficie sferica limitata da due
circonferenze massime di sezione dei
semipiani α e β con la superficie sferica
Bignamino di astronomia
86
Nella geometria sferica la circonferenza massima gioca lo stesso ruolo della retta
nella geometria piana
La lunghezza di questo arco egrave proporzionale al raggio della sfera e
allrsquoangolo al centro AOB Se AOB egrave espresso in radianti
AB = OA x AOcircB
Triangolo sferico
Si definisce triangolo sferico la superficie sulla sfera limitata da tre
archi di circolo massimo passanti per tre punti detti vertici tali punti
non devono appartenere allo stesso circolo massimo e gli archi non
devono avere alcun punto dintersezione al di fuori dei vertici
Lati del triangolo sferico
Sono le lunghezze degli archi AB BC CA che limitano la superficie
Tali lati sono minori o uguali a 180
Angoli del triangolo sferico
Sono gli angoli formati dai tre archi di circolo massimo La somma
degli angoli (interni) egrave maggiore di 2 angoli retti e minore di 6 angoli
retti
180deg lt α+β+γ lt 540deg
Pertanto la somma degli angoli egrave 180deg solo quando il triangolo egrave
degenere ovvero quando i vertici del triangolo sono situati sullo
stesso circolo massimo
La differenza fra la somma dei tre angoli di un triangolo sferico e lrsquoangolo piatto si dice eccesso sferico
ε= α+β+γ minus 180deg
Bignamino di astronomia
87
Nel triangolo sferico sussistono relazioni fra le funzioni trigonometriche dei lati e degli angoli tali relazioni
sono date dai teoremi di Eulero (teorema del coseno ( ) per i triangoli sferici e teoremi dei seni( )) da
cui derivano due gruppi fondamentali di relazioni che prendono il nome di primo e secondo gruppo di Gauss
di cui ci occuperemo nella trattazione del triangolo di posizione astronomico Lrsquoapplicazione dei triangoli
sferici assume particolare importanza in astronomia in quanto come abbiamo visto nei sistemi di riferimento
sulla sfera celeste si misurano solo distanze angolari
Per un lato
cos (119886) = cos (119887)cos (119888) + sin (119887)sin (119888)cos (119860)
sin (119886)
sin (119860)=sin (119887)
sin (119861)=sin (119888)
sin (119862)
Oppure
sin(119886) ∶ sin(119860) = sin(119887) sin(119861) = sin(119888) sin(119862)
Bignamino di astronomia
88
Triangolo di posizione astronomico
Vertici del triangolo
Il triangolo astronomico o di posizione ha i vertici nellastro
nello zenit e nel polo celeste nord il terzo vertice potrebbe
essere anche laltro polo ma per convenzione egrave preferibile
usare quello nord in quanto semplifica le regole algebriche
per il calcolo delle lunghezze dei lati
Lati del triangolo
I lati del triangolo hanno lunghezze comprese fra 0 e 180
definite come segue
bull Distanza polare p = 9 - 120575
la distanza che lastro ha dal polo di riferimento (polo celeste nord per convenzione)
Considerando la declinazione 120575 positiva se a Nord e negativa se Sud la distanza polare egrave p lt 90 nel
primo caso e p gt 90 nel secondo
bull Colatitudine c = 9 - 120593
coincide con la colatitudine ossia il complemento della latitudine Si ricorda che lelevazione
dellasse polare egrave esattamente pari alla latitudine del luogo La precedente convenzione per la
declinazione puograve essere adottata anche per la latitudine per cui si ha c lt 90 per latitudini nord e c gt
90 per quelle sud
bull Distanza zenitale z = 90 - h
Coincide con la distanza zenitale z ossia la distanza che lastro ha dallo zenit Tale distanza egrave il
complemento dellaltezza h (z = 90-h) Se lastro egrave nellemisfero visibile si ha h gt 0 e z lt 90 per astri
nellemisfero invisibile si ha h lt 0 e z gt 90
I tre angoli sono
1) Angolo vertice nello Zenith compreso tra meridiano e cerchio verticale la sua ampiezza dovrebbe corrispondere allazimuth ma in questo caso poichegrave lampiezza degli angoli nei triangoli sferici egrave sempre inferiore a 180deg prende nome di Angolo azimutale Z
2) Angolo vertice nel Polo Celeste compreso tra meridiano e cerchio orario la sua ampiezza corrisponderebbe allangolo orario ma in questo caso poicheacute lampiezza degli angoli nei triangoli sferici egrave sempre inferiore a 180deg prende nome di Angolo al Polo P
3) Angolo con vertice nellrsquooggetto A
Bignamino di astronomia
89
Attraverso le seguenti relazioni note come primo e secondo gruppo di Gauss
119904119894119899 ℎ = 119904119894119899 120593 119904119894119899 120575 + 119888119900119904 120593 119888119900119904 120575 119888119900119904 119867
119888119900119904 ℎ 119888119900119904 119860 = 119888119900119904 120593 119904119894119899 120575 + 119904119894119899 120593 119888119900119904 120575 119888119900119904 119867119888119900119904 ℎ 119904119894119899 119860 = 119888119900119904 120575 119904119894119899 119867
Primo Gruppo di Gauss
119878119894119899 120575 = 119878119894119899 120593 119878119894119899 ℎ minus 119862119900119904 120593 119862119900119904 ℎ 119862119900119904 119860119862119900119904120575 119888119900119904119867 = 119904119890119899ℎ 119888119900119904120601 + 119888119900119904ℎ 119904119890119899120601 119888119900119904119860
119862119900119904ℎ 119904119890119899119867 = 119888119900119904ℎ 119904119890119899119860
Secondo gruppo di Gauss
Ersquo possibile risolvere il triangolo astronomico
Notiamo che nel triangolo di posizione sono contemporaneamente presenti per loggetto celeste osservato le sue coordinate altazimutali (azimuth o angolo zenitale e altezza o distanza zenitale) e quelle equatoriali orarie (angolo orario o angolo al polo e declinazione o distanza polare) Queste formule ci consentono il passaggio da coordinate altazimutali ad equatoriali orarie e viceversa
Queste ci consentono il passaggio da un sistema altazimutale ad equatoriale
119904119894119899 120575 = 119904119894119899 120593 119888119900119904 119911 minus 119888119900119904 120593 119904119894119899 119911 119888119900119904 119860
119888119900119904 120575 119888119900119904 119867 = 119888119900119904 120593 119888119900119904 119911 + 119904119894119899 120593 119904119894119899 119911 119888119900119904 119860119888119900119904 120575 119904119894119899 119867 = 119904119894119899 119911 119904119894119899 119860
Bignamino di astronomia
90
Le parti della sfera
Riportiamo in una tabella le caratteristiche delle parti in cui rimane divisa una superficie sferica e una sfera
di raggio R quando vengono sezionate con opportuni piani indicando anche le formule per il calcolo delle
corrispondenti superfici e volumi
FONTE ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Bignamino di astronomia
91
ALCUNE ESERCITAZIONI DI TRIGONOMETRIA SFERICA
1) Calcolo dellrsquoaltezza di un oggetto alla culminazione superiore ed inferiore Giagrave conosciamo le formule che ci permettono di determinare lrsquoaltezza di un astro sullrsquoorizzonte nel caso di culminazione superiore ed inferiore per semplicitagrave le riportiamo qui di seguito
Culminazione superiore la stella culmina a sud dello zenit
la stella culmina a nord dello zenit
ALTEZZA h= 90 - ϕ + δ h= 90 + ϕ - δ
Proviamo attraverso le formule contenute nella parte teorica di trigonometria sferica a verificare queste relazioni Consideriamo la prima equazione del primo gruppo ( Primo Gruppo di Gauss)
sin h = sin φ sin δ + cos φ cosδ cos H
Se la stella culmina vuol dire che essa passa al meridiano (o superiore o inferiore a seconda della culminazione) CULMINAZIONE SUPERIORE Quando la Stella passa al meridiano superiore lrsquoangolo orario H egrave = 0 il cos0deg =1 per cui si ha
sin h = sin φ sin δ + cos φ cosδ
questa equazione si risolve facilmente se si applicano le formule di sottrazione del coseno cos (α - β) = cosαcosβ + senαsenβ
La nostra equazione puograve essere scritta sen h = cos(ϕ - δ) ndashlrsquo α della formula di sottrazione egrave la latitudine e la β la declinazione)- ma il sen h=cos(90 ndashh) ed allora cos (90-h) = cos( ϕ - δ) questa egrave una equazione elementare in coseno che ha per soluzioni
90-h= plusmn (ϕ - δ)
90-h= + ( ϕ - δ) h= 90 - ϕ + δ 90-h= - ( ϕ - δ) h= 90 + ϕ - δ
(Le relazioni sono due percheacute ognuna vale per un emisfero)
CULMINAZIONE INFERIORE Anche qui sappiamo che h= ϕ + δ- 90
sin h = sin φ sin δ + cos φ cosδ cos H
Alla culminazione inferiore lrsquoangolo orario egrave 12ℎ quindi 180deg il cos 180deg = -1
sin h = sin φ sin δ - cos φ cosδ Non possiamo applicare come prima a formula di addizione del coseno e quindi la riscriviamo
sin h= - (- sin φ sin δ + cos φ cosδ )
Bignamino di astronomia
92
ricordando che cos ( α + β) = cosαcosβ ndash senαsenβ ed essendo sinh= cos(90-h) possiamo scrivere cos (90-h) = - cos( ϕ + δ) essendo cosα= - cos(180 ndashα)
cos (90-h) = cos( 180 ndash ϕ - δ)
90-h = 180 ndash ϕ - δ h= ϕ + δ- 90 NB Essendo il coseno di due angoli dello stesso valore assoluto ma di segno opposto uguale come fatto sopra anche la soluzione col segno negativo va presa quindi si ottengono anche qui due formule che come sopra si riferiscono ciascuna a un emisfero
2) Calcolare lrsquoespressione che consente di determinare il sorgere e il tramontare di un astro Successivamente determinare la differenza delle ore di luce ai solstizi a Reggio Calabria ndash Latitudine φ=38deg6rsquo Nord
Per rispondere alla prima domanda dobbiamo determinare lrsquoangolo orario applichiamo il
( ) Primo Gruppo di Gauss
sin h= sin φ sin δ + cos φ cos H cos δ
isoliamo il cosH si trova cosH= 119904119894119899ℎminus119904119894119899120593119904119894119899120575
cos120593 cos120575 e scriviamo ancora cosH =
sinℎ
cos120593 cos120575 -
sin120593 sin120575
cos120593 cos120575 ed ancora cosH =
sin h
cos φ cos δ ndash tanφ tanδ (essendo tanα=senαcosα)
Al momento del sorgere dellrsquoastro h= 0 quindi cosH = - tanφ tanδ (sen0=0) Se egrave nota lrsquoascensione retta possiamo calcolare il tempo siderale 119931119956 = H +120630 con
H=arccos(θsin h
cos φ cos δ ndash tanφ tanδ ) Se conosciamo il valore del tempo siderale in una
determinata ora di un determinato giorno possiamo anche trovare lrsquoistante di tempo che segna il nostro orologio per il sorgere del Sole (per questi calcoli si vedano i problemi precedenti sul tempo) c = H+α Una volta trovata lrsquoespressione dellrsquoangolo orario la seconda domanda si risolve facilmente
tenendo conto che lrsquoangolo orario adesso egrave 119867
2
cos 119867
2 = - tan φ tan δ
Il Sole ai solstizi ha una declinazione δ=+23deg27rsquo (21 giugno solstizio drsquoestate) e δ=-23deg27rsquo (21 dicembre solstizio drsquoinverno)
si trova che cos 119867
2 = -0784 0433 = -034 perciograve H=2arccos(-034)=219deg46rsquo=14 ore 39
minuti (digrave piugrave lungo dellrsquoanno)
mentre il 21 dicembre cos 119867
2 = (-0784) (-0433) = 034 dal quale si ricava che
H=arccos(034)=140deg15rsquo = 9 ore 21 minuti (digrave piugrave corto dellrsquoanno) la differenza di ore egrave ∆H=14h 39m-9h 21m = 5 ore 18 minuti tra inverno ed estate
Bignamino di astronomia
93
3) In un certo giorno in cui egrave in vigore lrsquoora legale in una cittagrave posta alla longitudine di 120582
= 10deg 52rsquo 59rdquo E e latitudine = 44deg 38rsquo 45rdquo N il Sole ha una declinazione = 10deg 59rsquo 04rdquoConsiderando trascurabile la declinazione del Sole durante lrsquoarco della giornata
Calcolare
1 lrsquoaltezza massima raggiunta dal Sole in quella localitagrave e lrsquoora del transito in meridiano 2 lrsquoora in cui in tale giorno il sole sorge e tramonta in quella Cittagrave e lrsquoarco diurno 3 lrsquoazimut del sole nei momenti in cui sorge e tramonta
Il sole raggiunge la massima altezza hC sullrsquoorizzonte (culmina) quando transita per il
meridiano locale dellrsquoosservatore Nel caso specifico avremo hC = 90deg - ( - ) = 90deg -
+ = 90deg - 44deg64583333 + 10deg98444444 = 56deg33861111
Lrsquoaltezza massima del Sole nel momento in cui transita al meridiano egrave hC = 56deg33861111 = 56deg 20rsquo 19rdquo
Indichiamo adesso con 120582 la longitudine espressa in ore e con T la differenza in ore del
meridiano locale rispetto a GMT Nel nostro caso essendo in vigore lrsquoora legale saragrave T = 2h Le 12h locali corrispondono dunque aUT = 12h ndash 120582
per cui lrsquoora locale del transito in meridiano del sole saragrave (scrivendo la longitudine in notazione decimale)
TC = 12h ndash 120582+ T = 12ℎ minus 10deg 8830555556
15deg+ 2ℎ = 2h ndash 0h725537036 + 2h = 13h27446296
il Sole culmina alle ore locali TC = 13h 16m 28s1
I due eventi del sorgere e tramontare si verificano quando il sole interseca lrsquoorizzonte celeste dellrsquoosservatore e quindi la sua altezza h egrave nulla In questo caso egrave possibile determinare i tempi (gli angoli orari HS e HT) e le direzioni (gli azimut AS e AT) delle due posizioni del sole sullrsquoorizzonte e lrsquoarco diurno
T = HT - HS che ci dagrave la durata della permanenza del sole
Applichiamo le formule del primo gruppo di Gauss al triangolo sferico precedentemente definito rispetto al lato ldquozenit ndash solerdquo ed allrsquoangolo al vertice con lo zenit
sin h = sin sin + cos cos cos H (I)
cos h sin A = - cos sin H (II)
cos h cos A = cos sin - sin cos cos H
Bignamino di astronomia
94
Quando il sole sorge eo tramonta si ha h = 0 e quindi sin h = 0 Dalla (I) segue dunque
cos H = - tg tg Dai dati del problema si ha = 44deg 38rsquo 45rdquo N = 44deg64583333
= 10deg 59rsquo 04rdquo1 = 10deg98444444 segue cos H = - tg (44deg64583333) tg (10deg98444444) = - 0191713689
H = arccos (- 0191713689) = 101deg0528101 = plusmn 6h736854006
Lrsquoangolo orario H egrave negativo al sorgere percheacute deve arrivare in meridiano e positivo al tramonto percheacute ha superato il meridiano Saragrave dunque HS = - 6h736854006 HT = 6h736854006
il sole sorgeragrave dunque alle ore TS = TC + HS = 13h27446296 - 6h736854006 = 6h537608954 = 6h 32m 15s4
Lo stesso giorno il sole tramonteragrave alle ore TT = TC + HT = 13h27446296 6h736854006 = 20h01131697 = 20h 00m 40s7
Lrsquointervallo temporale durante il quale il sole resteragrave sopra lrsquoorizzonte saragrave
T = HT - HS = 6h736854006 + 6h736854006 = 13h47370802 = 13h 28m 25s4
Per ricavare lrsquoazimut del sole nei momenti in cui sorge e tramonta utilizziamo la (III) delle
formule di Gauss cos h sin A = - cos sin H
Nel momento in cui il sole sorge e tramonta si ha h = 0 e quindi cos h = 1 per cui si ha rispetto al punto Nord
sin AS = - cos sin HS = - cos (10deg98444444 ) sin (-6h736854006 x 15) = 0963469686
AS = arcsin (0963469686) = 74deg46556891 = 74deg 27rsquo 56rdquo1
sin AT = - cos sin HT = - cos (10deg98444444 ) sin (6h736854006 x 15) = -0963469686
AT = arcsin (-0963469686) = - 74deg46556891 = (360deg - 74deg46556891) = 285deg5344311 = 285deg 32rsquo 4rdquo
DISTANZA TRA DUE STELLE
Regolo ha coordinate H= 27m 4 s e declinazione 11deg 52rsquo 5rdquo Denebola ha coordinate H= 22h 46m 36s e
declinazione 14deg 27rsquo 33rdquo Si determini la loro distanza angolare
Per calcolare la loro distanza consideriamo il triangolo sferico BPA dalla figura si evince che
PB= 90-1205751 PA= 90-1205752 lrsquoangolo al polo P= 1198672 - 1198671
Applichiamo il teorema del coseno o di Eulero
Bignamino di astronomia
95
cosAB= cosPB cosPA + seno senPA cosP
Sostituendo
Cos120572 = cos( 90-1205751)cos(90-1205752 ) + sen(90-1205751)sen(90-1205752)cosP
Cos120572= sen1205751sen1205752 + cos1205751cos 1205752cos (1198672 minus 1198671)
E svolgendo I calcoli
Cos α= sen118681 sen 144592 + cos 118681 cos 144592 cos251167=0904
α=24deg58
Bignamino di astronomia
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Bibliografia
Vittorio Castellani Astrofisica Stellare ndash Zanichelli Editore
Ferdinando Flora Astronomia Nautica ndash Editore Hoepli
Pietro Giannone Elementi di Astronomia ndash Edizione Pitagora
Angeletti Giannone Esercizi e complementi di astronomia ndash Edizioni Nuova Cultura
Margherita Hack Corso di Astronomia ndash Editore Hoepli
Halliday-Resnick Fondamenti di fisica ndash Zanichelli Editore
Giuliano Romano Introduzione allrsquoastronomia ndash Editore Muzzio
Leonido Rosino Lezioni di Astronomia ndash Edizione Cedam
Francesco Saverio Delli Santi Introduzione allrsquoastronomia ndash Zanichelli Editore
Cino Tacchini Il Cielo ndash UTET Editore
Francesco Zagari Astronomia sferica e teorica ndash Zanichelli Editore
Wikipedia sito web
Vialatteanet sito web
Treccani sito web
Superfici e volumi problemi di massimo e minimo Istituto Italiano Edizioni Atlas
- Copertina Bignamino definitiva
- Bignamino di astronomia
-
- INDICE Bignamino definitivo
- Bignamino
-
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RELAZIONI TRA I SISTEMI DI RIFERIMENTO
Latitudine del luogo
120593 = ℎ119901119900119897119900119873119900119903119889 = 90deg minus 119911119875119900119897119900119873119900119903119889
La latitudine geografica 120593 di una localitagrave sulla superficie della Terra egrave
lrsquoaltezza del polo celeste sul suo orizzonte Orizzonte e Zenit sono
separati da un angolo retto La latitudine geografica del luogo si
ottiene sottraendo da 90deg lrsquoaltezza del polo stesso
Formule inverse
119911119875119900119897119900119873119900119903119889 = 90deg minus 120593
Stelle circumpolari
120575 ge 90deg minus 120593
Vista da un qualsiasi luogo della superficie terrestre (quando
siamo allrsquoEquatore la situazione di complica) una parte della
volta celeste non tramonta mai e rimane sempre al di sopra
dellrsquoorizzonte Tale parte di cielo egrave detta ldquocircumpolarerdquo Essa
contiene le stelle che hanno declinazione 120575 maggiore o uguale
a un valore limite che si ottiene sottraendo da 90deg il valore della
latitudine geografica 120593 del luogo
Se la declinazione egrave compresa tra
minus(90deg minus 120593) lt 120575 lt +(90deg minus 120593)
le stelle sono occidue sorgono e tramontano sullrsquoorizzonte dellrsquoosservatore
Se
120575 lt minus(90deg minus 120593) 120575 lt minus90deg + 120593
Le stelle sono anticircumpolari (cioegrave quelle che non sorgono mai e stanno sempre al di sotto
dellrsquoorizzonte)
Bignamino di astronomia
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Culminazione
Una stella culmina quando raggiunge la sua massima altezza cioegrave egrave sul meridiano
La declinazione 120575 la distanza zenitale z sono legate in modo semplice alla latitudine 120593
dellrsquoosservatore
Al momento della culminazione superiore (massima altezza della stella sullrsquoorizzonte) si ha
119911 = 120593 ndash 120575
Al momento della culminazione inferiore si ha
119911 = 120593 + 120575 ndash 180deg
Altezza (culminazione superioreinferiore)
Una stella culmina superiormente quando raggiunge la sua massima
altezza vista un determinato luogo (ad una determinata latitudine 120593)
ℎ1 = 90deg plusmn (120593 minus 120575)
Bignamino di astronomia
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Poicheacute lrsquoaltezza deve esere h le 90deg distinguiamo i due casi
1) Se 120575 lt 120593 h=90deg- 120593 + 120575 (va preso il segno meno)
2) Se 120575 gt 120593 h=90deg+ 120593 - 120575 (va preso il segno piugrave)
Analogamente in culminazione inferiore
ℎ2 = minus90deg + 120593 + 120575
Poicheacute se 120575 lt 120593
ℎ2 = 120575 - ( 90 ndash 120593)
ℎ2 = 120575 - 90 + 120593
ℎ2 = - 90 + 120575 + 120593
Se 120575 gt 120593
ℎ2 = 120575 + ( 120593 - 90 )
ℎ2 = - 90 + 120575 + 120593
La formula per il calcolo della culminazione inferiore egrave sempre la stessa
Formule inverse della h=90deg+ 120593 - 120575
120593 = 90deg minus ℎ + 120575
120575 = 120593 + ℎ minus 90deg
Bignamino di astronomia
9
Latitudine del luogo (culminazione superiore ed inferiore)
120593 =ℎ1 + ℎ2
2
Questa formula egrave valida per tutte le stelle ma la si usa spesso per
conoscere la latitudine di un luogo osservando una stella
circumpolare La latitudine infatti non egrave altro che una ldquomediardquo
tra le due altezze (culminazione superiore ed inferiore)
Formule inverse
ℎ1 = 2120593 minus ℎ2
ℎ2 = 2120593 minus ℎ1
Per una stella circumpolare la minima altezza egrave ℎ119898119894119899= δ + ϕ - 90deg
Distanza zenitale
119911 = 90deg minus ℎ
La distanza zenitale indica quanto dista la stella dallo zenit che si trova
sulla verticale dellrsquoosservatore Per trovarla basta sottrarre a 90deg (la
verticale e lrsquoorizzonte sono separati da un angolo retto) lrsquoaltezza della
stella h
Formule inverse
ℎ = 90deg minus 119911
Bignamino di astronomia
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Ascensione retta
Tra lrsquoascensione retta 120630il suo angolo orario H ed il tempo siderale relativi ad un dato osservatore
vale la relazione
119879119904 = 120572 + 119867
Nota
Quando il punto 120574 passa al meridiano 119879119904 = 0 (Il tempo siderale egrave definito come lrsquoangolo orario del
punto 120574 ) quando la stella passa al meridiano H= 0 e
119879119904 = 120572
Il tempo siderale coincide con lrsquoascensione retta delle stelle che passano al meridiano
Per conoscere lrsquoascensione retta di una stella 120572 bisogna calcolare
la differenza tra il tempo siderale del luogo 119879119904 di osservazione e
lrsquoangolo orario 119867 della stella stessa
120572 = 119879119904 minus119867
Lrsquoangolo orario si trova dalla 119867 = 119879119904 minus 120572
il punto nord ha H di 12 h e declinazione 90 - latitudine da noi H 0 e declinazione 90+ latitudine altro emisfero
per il punto sud i due predetti valori si invertono per lrsquoangolo orario e quelli della declinazione diventano
opposti
Bignamino di astronomia
11
MISURA DEL TEMPO
La misura del tempo viene effettuata dal movimento di rotazione diurna della volta celeste
(rotazione della Terra) e dal movimento annuo del Sole (rivoluzione della Terra attorno al Sole)
La rotazione della Terra attorno al suo asse egrave quasi costante quindi lrsquoangolo di rotazione rispetto ad
un qualsiasi riferimento iniziale consente di misurare il tempo Come riferimento iniziale si prende
lrsquoistante del passaggio del punto al meridiano del luogo La durata del giorno dipende da questo
punto scelto
In Astronomia i punti adottati sono Il punto γ il
centro del disco apparente del Sole (Sole vero) il
Sole medio (un Sole ideale che parte dal punto γ
assieme al Sole vero percorre lrsquoequatore celeste
con velocitagrave angolare costante in modo da
ritornare allrsquoequinozio di primavere assieme al
Sole vero)
Le tre unitagrave di tempo definite da questi punti si
chiamano giorno siderale giorno solare vero
giorno solare medio Il tempo da esse misurato egrave
tempo siderale tempo solare vero tempo solare medio
Nota Non sono tempi diversi ma solo diverse unitagrave di misurare il tempo
Giorno siderale ndash tempo siderale
Si definisce giorno siderale lrsquointervallo di tempo compreso tra
due successivi passaggi del punto γ allo stesso meridiano del
luogo
Si definisce tempo siderale lrsquointervallo di tempo compreso tra il
passaggio al meridiano del punto di primavera ad unrsquoaltra
posizione qualsiasi
119905119904 = H + 120572
(Tempo siderale = angolo orario Sole + ascensione retta Sole
medio)
Bignamino di astronomia
12
Giorno solare vero-Tempo solare vero
Il giorno solare vero egrave lrsquointervallo di tempo compreso tra due passaggi superiori o inferiori del centro
del Sole
Il tempo solare vero egrave lrsquointervallo di tempo compreso tra il passaggio inferiore
del Sole ad un altro punto
Al meridiano il 119879119904119900119897119890 119907119890119903119900 = 119867119878119900119897119890 119907119890119903119900 +12ℎ
Giorno solare medio - Tempo solare medio
Il giorno solare medio egrave lrsquointervallo compreso tra due passaggi superiori o inferiori del Sole medio
Il tempo solare medio egrave lrsquointervallo di tempo compreso tra il passaggio inferiore del Sole medio ad
un altro punto
119879119904119900119897119890 119898119890119889119894119900 = 119867119878119900119897119890 119898119890119889119894119900 +12ℎ
Equazione del Tempo
Si definisce equazione del tempo la differenza tra il tempo medio ed il tempo solare vero allo stesso
istante
E= 119879119904119900119897119890 119898119890119889119894119900 - 119879119904119900119897119890 119907119890119903119900
E= 119867119878119900119897119890 119898119890119889119894119900 - 119867119878119900119897119890 119907119890119903119900
E= 120572119878119900119897119890 119898119890119889119894119900 - 120572119878119900119897119890 119907119890119903119900
Il tempo solare medio ad un dato istante egrave dato
dal Tempo solare vero piugrave lrsquoequazione del
tempo
119879119904119900119897119890 119898119890119889119894119900= 119879119904119900119897119890 119907119890119903119900 + E
Bignamino di astronomia
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Relazione tra tempo solare e tempo siderale
Consideriamo la posizione del sole a 24 ore di distanza
1199051119904=1198671199041 + 1205721198781
1199052119904=1198671199042 + 1205721198782
Calcolando la differenza tra le due espressioni si ha
1199052119904- 1199051119904 = (1198671199042 minus 1198671199041 ) + (1205721198782 -1205721198781)
(1198671199042 minus 1198671199041 ) = 24
Mentre la differenza in ascensione retta (1205721198782 -1205721198781) dagrave lo spostamento angolare diurno del sole
medio sullrsquoequatore che in gradi egrave 24
36525
Pe cui
1199052119904- 1199051119904 = 24h + 24
36525
1199052119904- 1199051119904 = 24 (1+ 1
36525)
1199052119904- 1199051119904 = 24 36625
36525
Un giorno solare medio= 36625
36525 giorni siderali
Un giorno siderale= 36525
36625 giorni solari veri
Il rapporto K = 36625
36525 K=1002738 serve per convertire gli intervalli di tempo solare medio in
intervalli di tempo siderali
∆119879119904= K ∆119879119898
Il rapporto Krsquo = 36525
36625 Krsquo = 0997270 serve per convertire gli intervalli di tempo siderali in intervalli
ti tempo solare medio
∆119879119898= Krsquo ∆119879119904
24 ore di tempo medio corrispondono a 24h 03m 5655s di tempo siderale viceversa un giorno
siderale egrave 23h 56m 04s di tempo solare medio
Se s egrave il tempo siderale ad un certo istante ad un dato meridiano mentre alla mezzanotte
precedente sullo stesso meridiano il tempo siderale era S dalla mezzanotte sono passati (s-S) ore
minuti secondi di tempo siderale che corrispondono a (s-S) Krsquo di tempo solare medio Poicheacute a
mezzanotte il tempo solare medio egrave 0ℎ 119879119898 = (s-S) Krsquo rappresenta il tempo solare medio allrsquoistante
del tempo siderale s
Bignamino di astronomia
14
Se al meridiano di quel luogo alla mezzanotte di una certa data il tempo siderale era S allrsquoistante
di tempo medio solare saragrave
s= S + 119879119898 119870
NOTA
Ersquo sempre necessario conoscere il tempo siderale S alla mezzanotte del meridiano dato Per questo
sono stati costruiti annuari che forniscono il tempo siderale 1198780 alla mezzanotte del meridiano
fondamentale di GW
Il tempo siderale S alla mezzanotte ad una data longitudine 120582 egrave dato da
119878 = 1198780 minus120582 ℎ
24ℎ (3119898 56119904 55)
Ora locale e longitudine
Si definisce tempo locale medio il tempo regolato sul meridiano del luogo
Nella vita quotidiana egrave scomodo utilizzare questo
tempo per cui il primo luglio 1919 sono stati introdotti
i fusi orari In base a questa suddivisione il tempo
medio egrave determinato solo per 24 meridiani geografici
principali separati da 15deg gradi (unrsquoora) I fusi orari sono
numerati da 0 a 23 ed il meridiano passante per GW
costituisce lrsquoorigine (fuso = 0)
Il tempo medio locale egrave dato da
119905119897 = 119905119891 ndashΔ120582
dove Δ120582 = 120582119891 - 120582119874
Nota
1) La differenza tra le ore locali (siderali o solari) di due meridiani misurate allo stesso istante
egrave sempre uguale alle differenze di longitudini
2) Poicheacute i confini dei fusi orari distano circa 7deg5 dal meridiano centrale la differenza 119905119897 - 119905119891
puograve essere leggermente maggiore o minore di plusmn 30119898
Bignamino di astronomia
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Tempo Universale
Il tempo solare medio del meridiano di GW si chiama Tempo Universale (TU)
Per quanto precedentemente detto il tempo medio locale egrave uguale al tempo universale piugrave la
longitudine del luogo espressa in ore e considerata positiva ad est di GW
119905119897 = TU +120582
Bignamino di astronomia
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MOTO APPARENTE DEI PIANETI
I pianeti si muovono in vicinanza dellrsquoeclittica ma il loro movimento visto dalla Terra egrave piugrave
complicato di quello del Sole e della Luna Il Sole e la Luna riferendo il loro moto rispetto alle stelle
fisse si muovono di moto diretto cioegrave antiorario per i pianeti si osserva che in generale si muovono
di moto diretto ma ce certi tratti variabili da pianeta a pianeta si muovono di moto retrogrado Il
pianeta dopo avere raggiunto una posizione di stazionarietagrave
inverte il moto Questo egrave molto piugrave evidente per i pianeti
interni Mercurio e Venere che oscillano avanti e indietro
rispetto alla posizione del Sole venendosi a trovare ora da
una parte ora dallrsquoaltra rispetto ad esso Quando il pianeta egrave
in congiunzione superiore egrave invisibile perchegrave nasce e
tramonta con il Sole ma essendo in questo momento piugrave
veloce del Sole dopo qualche tempo puograve essere visto dopo
il tramonto ad occidente (si trova a sinistra del Sole)
Lrsquoelongazione orientale cresce nei giorni seguenti e
contemporaneamente decresce la sua velocitagrave angolare e
quando raggiunge la stessa velocitagrave angolare del Sole per
qualche istante si muove mantenendo la stessa distanza il
pianeta raggiungere la massima elongazione orientale Per venere questo valore egrave circa 46deg per
Mercurio egrave variabile dai 18deg ai 28deg Da questo momento il pianeta comincia il suo avvicinamento al
Sole ritornando con moto retrogrado in congiunzione con esso ma questa volta in congiunzione
inferiore Ritorna invisibile (potrebbe esserci un transito) Continuando nel suo moto retrogrado
appare visibile ad occidente (a destra del Sole) ed egrave visibile prima del sorgere del Sole (elongazione
occidentale) Questo ci dice che i pianeti inferiori non possono mai trovarsi in quadratura o
opposizione
I pianeti esterni invece possono assumere qualsiasi distanza dal Sole da 0deg a 180deg e quindi possono
trovarsi nelle due precedenti configurazioni Raggiunta
lrsquoelongazione massima di 180deg i pianeti si trova dalla parte
opposta a quella del Sole la velocitagrave retrograda egrave massima e
raggiungono anche il massimo della luminositagrave Oggi noi
sappiamo che tutto questo egrave dovuto egrave il risultato della
composizione del moto della Terra e di quello dei pianeti
attorno al Sole semplificando osserviamo un oggetto in
movimento essendo noi stessi in movimento Le velocitagrave dei
pianeti variano piugrave sono vicini al Sole piugrave velocemente si
muovono I due pianeti essendo piugrave vicini al Sole sorpassano
la Terra durante il loro moto mentre egrave la Terra a sorpassare i
pianeti esterni quando sono vicini allrsquoopposizione e quindi
essi sembrano muoversi allindietro
Ed allora se indichiamo con T Il nostro anno siderale con P il periodo sidereo del Pianeta e con S il
periodo siderale (il tempo intercorso tra due congiunzioni o due opposizioni successive) la
composizione delle velocitagrave ci consente di calcolare la velocitagrave relativa del pianeta rispetto alla
Terra
Bignamino di astronomia
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Per i pianeti interni (la Terra si muove piugrave lentamente)
2120587
119878 = 2120587
119875 - 2120587
119879
120783
119930 = 120783
119927 - 120783
119931
Per i pianeti esterni (la Terra si muove piugrave velocemente)
2120587
119878 = 2120587
119879 - 2120587
119875
120783
119930 = 120783
119931 - 120783
119927
Il movimento di tutti i pianeti attraverso le stelle fisse segue apparentemente la stessa direzione di
quello della Luna (e del Sole) - con una strana variante talvolta il loro moto apparente cambia
temporaneamente verso (moto retrogrado) Questo egrave molto piugrave evidente per Mercurio e Venere
che oscillano avanti e indietro rispetto alla posizione del Sole Durante il moto del Sole attraverso le
stelle - lungo le costellazioni dello zodiaco - questi pianeti
talvolta si muovono nello stesso verso e quindi il loro
movimento si somma a quello del Sole ma altre volte il loro
moto apparente si oppone a quello del Sole facendo sigrave che
sembri che si muovano allindietro (moto retrogrado)Gli
altri tre pianeti visibili ad occhio nudo si possono trovare in
qualunque posizione lungo leclittica - anche a mezzanotte in
posizione direttamente opposta a quella del Sole e quando
questo avviene raggiungono il massimo della luminositagrave
Marte sembra muoversi piugrave rapidamente Giove un po meno
e Saturno egrave il piugrave lento Comunque tutti mostrano questa
enigmatica stranezza vicino al punto in cui il loro percorso
apparente nel cielo egrave esattamente in posizione opposta al Sole
(opposizione) il loro movimento tra le stelle
temporaneamente si inverte Oggi noi comprendiamo molto
bene tutto questo (vedi fig1) I pianeti sono oggetti sferici
come la Terra - Venere Mercurio e Marte sono piugrave piccoli Giove e Saturno molto piugrave grandi Anche
la Terra egrave un pianeta e ne esistono anche altri (troppo deboli per essere visti senza un telescopio)
tutti che orbitano attorno al Sole sul piano o vicino al piano delleclittica La loro velocitagrave tuttavia
varia - piugrave sono vicini al Sole e piugrave rapidamente si muovono (vedi la sezione ldquoterza legge di Keplerordquo)
Quindi quando i tre pianeti esterni sono vicini allopposizione la Terra che orbita piugrave vicina al Sole
li sorpassa e quindi essi sembrano muoversi allindietro Il moto retrogrado dei due pianeti interni
ha una causa simile Essendo piugrave vicini al Sole sono essi che sorpassano la Terra durante il loro moto
Bignamino di astronomia
18
Sommario di quanto egrave noto oggi sui pianeti
Viene qui riportato un breve sommario dei componenti del sistema solare In genere vengono distinte quattro classi di oggetti
1 I pianeti maggiori in ordine di distanza dal Sole - Mercurio Venere Terra Marte Giove Saturno Urano e Nettuno Tutti tranne i due piugrave interni hanno dei satelliti e tutti e quattro i piugrave esterni hanno degli anelli composti da piccoli ciottoli di materia in orbita attorno al pianeta
2 Asteroidi o pianetini in maggioranza - anche se non tutti - posti tra Marte e Giove Il loro diametro arriva fino a 500 Km
3 La fascia di Kuiper di oggetti ghiacciati oltre lorbita di Nettuno di cui il piugrave noto (anche se ora si egrave scoperto che egrave solo il secondo come dimensioni) egrave Plutone scoperto nel 1930 e delle dimensioni della nostra Luna La fascia ha preso il nome dellastronomo belga Gerard Kuiper si estende probabilmente a una distanza doppia di quella di Nettuno e si stima che consista di circa 100000 oggetti (finora ne sono stati identificati circa 1000) molti dei quali con un diametro di soli 100 Km o meno
4 Comete tradizionalmente divise in non ricorrenti (il nome ufficiale egrave comete a lungo periodo) e comete periodiche Le comete non ricorrenti si pensa che provengano dalla nube di Oort un enorme agglomerato quasi sferico di oggetti ghiacciati agli estremi limiti del sistema solare Essi sono debolmente legati al Sole e di tanto in tanto lattrazione gravitazionale di qualche stella lontana probabilmente cambia un poco il moto di alcuni di
essi lanciandoli in direzione del Sole In tal caso diventano visibili come comete quando la luce del Sole fa evaporare una parte della loro superficie generando la chioma e la coda della cometa Le comete periodiche una volta erano considerate come oggetti che avevano iniziato come oggetti non ricorrenti ma poi erano state deviate e catturate dallattrazione gravitazionale dei pianeti piugrave grandi Oggi si ritiene che provengano dalla fascia di Kuiper come classe di oggetti noti come Centauri
Bignamino di astronomia
19
LE LEGGI DEL MOTO DEI PIANETI
Prerequisito Lrsquoellisse
Luogo geometrico dei punti del piano per i quali si
mantiene costante la somma delle distanze da due
punti fissi detti fuochi
Detta in parole piugrave semplici lellisse non egrave altro che
una circonferenza ldquoschiacciata Un elemento
fondamentale che ci permette di capire di quanto
questa viene compressa egrave leccentricitagrave e
Leccentricitagrave egrave definita come il rapporto tra la
semidistanza focale e il semiasse maggiore
119890 =119888
119886
Formule inverse
119888 = 119886119890
119886 =119888
119890
Infatti nellellisse possiamo individuare
bull Semiasse maggiore (a)
bull Semiasse minore (b)
bull Semidistanza focale (c)
Indicheremo quindi con 2a il semiasse maggiore (AB) con 2b il semiasse minore (CD) e con 2c la
distanza focale (F1F2)
ATTENZIONE lrsquoeccentricitagrave dellellisse egrave SEMPRE compresa tra 0 e 1 (0ltelt1) Se
questa fosse uguale a 0 i due fuochi andrebbero a coincidere con lorigine e lellisse
diventerebbe una circonferenza Se fosse uguale a 1 diventerebbe una parabola se
fosse egt1 diventerebbe una iperbole
Dalla figura si nota che la somma delle distanze dai due punti fissi detti fuochi egrave costante ed egrave pari
alla lunghezza dellasse maggiore (2a) Quindi si puograve anche applicare il teorema di Pitagora
1198862 = 1198872 + 1198882
Formule inverse
1198872 = 1198862 minus 1198882
1198882 = 1198862 minus 1198872
Bignamino di astronomia
20
LEGGI DI KEPLERO
PRIMA LEGGE
Enunciato i pianeti descrivono intorno al Sole orbite
ellittiche in cui questo occupa uno dei fuochi
Si puograve quindi notare che la distanza di un pianeta
attorno al Sole non si mantiene costante bensigrave ci
saragrave un punto in cui questo saragrave piugrave vicino al Sole
(perielio) e uno in cui saragrave piugrave lontano (afelio)
Possiamo quindi calcolare le due distanze
119889119886 = 119886(1 + 119890)
119889119901 = 119886(1 minus 119890)
Formule inverse
119886 =119889119886
1 + 119890
119886 =119889119901
1 minus 119890
119890 =119889119886
119886minus 1
119890 = 1 minus119889119901
119886
Inoltre si nota anche che dalla somma delle due distanze otteniamo lasse maggiore dellorbita
2119886 = 119889119886 + 119889119901
E il semiasse egrave quindi dato da
119886 =119889119886 + 119889119901
2
Bignamino di astronomia
21
Formule inverse
119889119886 = 2119886 minus 119889119901
119889119901 = 2119886 minus 119889119886
La distanza focale egrave data dalla differenza delle due distanze
2119888 = 119889119886 minus 119889119901
119888 =119889119886 minus 119889119901
2
Formule inverse
119889119886 = 2119888 + 119889119901
119889119901 = 119889119886 minus 2119888
Quindi leccentricitagrave dellrsquoorbita puograve essere anche scritta come
119890 =119889119886minus119889119901
119889119886+119889119901=
2119888
2119886 =
119888
119886
SECONDA LEGGE
Enunciato il raggio vettore che congiunge il Sole al pianeta spazza aree
uguali in tempi uguali
Dalla seconda legge comprendiamo che la velocitagrave del pianeta intorno
al Sole non egrave costante al perielio viaggeragrave piugrave velocemente che
allafelio Quindi si puograve affermare che le velocitagrave sono inversamente
proporzionali alle distanze
119881119886
119881119901=119889119901
119889119886
Formule inverse
119881119886 =119889119901 119881119901
119889119886
Bignamino di astronomia
22
119881119901 =119881119886 119889119886
119889119901
119889119886 =119881119901 119889119901
119881119886
119889119901 =119881119886 119889119886
119881119901
TERZA LEGGE
Enunciato i cubi dei semiassi maggiori sono
proporzionali ai quadrati dei periodi di
rivoluzione
1198863
1198792= 119896
Dalla terza legge si nota che esiste una relazione tra periodo di rivoluzione e lontananza dal corpo
centrale Sono infatti legati tra loro dal valore di una costante che egrave stata indicata con k
Per i corpi orbitanti intorno ad una massa comune (come ad esempi o per i corpi del Sistema solare)
questa legge puograve essere anche scritta come
1198861199053
1198791199052 =
1198861198983
1198791198982
=1198861199043
1198791199042 = ⋯
PER I CORPI DEL SISTEMA SOLARE se si inserisce in formula il valore del semiasse maggiore in unitagrave
astronomiche (UA) e il periodo di rivoluzione in anni il valore di questa costante egrave uguale a 1 Infatti
ricavandola per la Terra
(1 119880119860)3
(1 119886119899119899119900)2= 1
E se k=1 per la Terra vale per tutti gli altri corpi orbitanti intorno al Sole
Bignamino di astronomia
23
NEWTON E LA GRAVITAZIONE UNIVERSALE
Con le leggi di Keplero siamo ancora in quella parte di fisica che descriviamo come cinematica
descriviamo perfettamente i moti dei pianeti ma non risaliamo alle cause Newton avanzograve lrsquoipotesi
che sia i gravi in caduta libera che i pianeti vengono deviati dalla condizione di moto rettilineo
uniforme dallrsquoesistenza di una forza centrale Nel 1684 Newton ldquopoggiandosi sulle spalle dei
gigantirdquo (Keplero ed il nostro Galilei) dimostrograve che la forza che fa ldquofluttuarerdquo i pianeti attorno al Sole
dipende dallrsquoinverso del quadrato della distanza da esso
Integrando il suo secondo principio della dinamica con la terza legge di Keplero perviene a
119865119892=41205872 119898
1198701199032
Questa forza deve dipendere anche dalla massa M del Sole ed allora
119865119892=41205872 119898119872
1198721198701199032
Dove K egrave la costante della terza legge di Keplero Ponendo la quantitagrave 41205872
119872119870 = G ( notare che contiene
la costante K e la massa del Sole) otteniamo la nota formula
119865119892=119866 119898119872
1199032
Newton dedusse che questa legge egrave valida non solo per i corpi del sistema solare ma in tutto
lrsquoUniverso egrave la Legge di Gravitazione Universale Nel 1798 Cavendish ideograve la bilancia a torsione e
trovograve il valore per la costante G = 667times10⁻sup1sup1 N msup2kgsup2
Bignamino di astronomia
24
Terza legge di Keplero generalizzata
Approssimando lrsquoorbita di un corpo a circolare e considerando trascurabile la massa del corpo
orbitante la condizione di equilibrio per la quale esso orbita egrave data da
119865119888 = 119865119892
119865119900119903119911119886 119888119890119899119905119903119894119891119906119892119886 = 119865119900119903119911119886 119892119903119886119907119894119905119886119911119894119900119899119886119897119890
La forza centrifuga egrave espressa come
119865119888 = 119898 119886119888
E quella gravitazionale (dalla legge di gravitazione universale di Newton) come
119865119892 =119866119872119898
1198862
Sostituendo in formula
119898119886119888 =119866119872119898
1198892
Notiamo che semplificando m otteniamo un modo per esprimere lrsquoaccelerazione
119886119888 =119866119872
1198892
Lrsquoaccelerazione egrave espressa come
119886119888 =1199072
119886=412058721198862
1198792119886=41205872119886
1198792
Sostituendo in formula
41205872119886
1198792=119866119872
1198862
Da cui
1198863
1198792=119866119872
41205872
Formule inverse
119886 = radic119866119872 1198792
41205872
3
119879 = radic412058721198863
119866119872
Bignamino di astronomia
25
119872 =412058721198863
119866 1198792
Nota nel caso in cui la massa del corpo orbitante non fosse trascurabile la terza legge di Keplero
generalizzata diventerebbe
1198893
1198792=119866 (119872 +119898)
41205872
Nel Sistema solare la somma delle due masse si considera uguale alla sola massa del
Sole data la relativa piccola massa dei pianeti
NOTA I corpi lasciati cadere verso il basso quando la resistenza dellrsquoaria egrave trascurabile cadono con la
stessa accelerazione g detta accelerazione di gravitagrave Sulla superficie terrestre lrsquoaccelerazione di
gravitagrave egrave g = 98 ms2 In realtagrave il valore di g cambia da punto a punto percheacute dipende fra lrsquoaltro
dallrsquoaltezza del punto sul livello del mare e dalla sua latitudine Ora che conosciamo la legge di
gravitazione universale possiamo dire che i corpi cadono per effetto della forza di gravitazione che
si esercita tra il corpo e la Terra Allora
119892 =119866119872
1198892
Se il corpo si trova sulla Terra o prossimo alla superficie sostituendo a questa formula i valori relativi
alla massa della Terra e al suo raggio troviamo per lrsquoaccelerazione il valore noto di 98 ms2
Un altro fattore che influisce sul valore di g egrave la rotazione terrestre in quanto ogni corpo su di
essa egrave soggetto ad una forza centripeta per cui
119892rsquo = 119892 minus 1205962 119877119879
ldquoRationem vero harum
Gravitatis proprietatum
ex phaelignomenis nondum
potui deducere amp
hypotheses non fingordquo
ldquoIn veritagrave non sono riuscito a dedurre la causa di
queste proprietagrave della gravitagrave dai fenomeni e non
avanzo ipotesirdquo
Isaac Newton Philosophiae Naturalis Principia
Mathematica liber tertius
Bignamino di astronomia
26
ALCUNE CONSIDERAZIONI SULLE ORBITE
La Legge della Gravitazione Universale ci insegna che la forza drsquoattrazione gravitazionale egrave
inversamente proporzionale al quadrato della distanza delle due masse che si attraggono ovvero
119865 prop1
1198892 a causa di questa caratteristica dellrsquointerazione gravitazionale si puograve dimostrare che le
orbite descritte dai corpi celesti attorno a un oggetto ldquoattrattorerdquo seguono particolari curve le
coniche
Le coniche sono curve che si ottengono dallrsquointersezione di un piano con un cono a due falde Si
ottengono cosigrave circonferenza ellisse iperbole e parabola
Ciograve che distingue lrsquouna dallrsquoaltra queste curve egrave un parametro lrsquoeccentricitagrave
Circonferenza il piano egrave perpendicolare
allrsquoasse (tratteggiato)
Ellisse il piano egrave obliquo
Parabola il piano egrave parallelo a una delle
generatrici (le due rette incidenti in V in
figura)
Iperbole il piano egrave parallelo allrsquoasse del cono
CIRCONFERENZA e=0
ELLISSE 0ltelt1 (piugrave questo valore si avvicina ad 1 piugrave
lrsquoellisse egrave schiacciata)
PARABOLA e=1
IPERBOLE egt1 (quanto piugrave maggiore di uno egrave
questo valore tanto piugrave lrsquoiperbole egrave ldquoapertardquo)
Bignamino di astronomia
27
VELOCITAgrave ORBITALE ORBITA CIRCOLARE
Affincheacute il corpo rimanga in orbita egrave necessario che in ogni punto dellrsquoorbita la forza centripeta sia
uguale alla forza di attrazione gravitazionale
FC = FG
mv2
R=mMG
R2
mv2
R=mMG
R2
v2 =MG
R
119855 = radic119820119814
119825
A questa velocitagrave si dagrave il nome di prima velocitagrave cosmica
VELOCITAgrave SU ORBITE NON CIRCOLARI
Il problema si risolve con lrsquoapplicazione del principio di conservazione dellrsquoenergia meccanica che
altro non egrave che la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale
119922120783 + 119932120783 = 119922120784 + 119932120784
E poicheacute le velocitagrave orbitali variano al variare dalla distanza alla prima equazione egrave necessario
associare la seconda legge di Keplero
Per cui il problema egrave risolto dalla soluzione del sistema
119922120783 + 119932120783 = 119922120784 + 119932120784119959119938 119941119938 = 119959119953119941119953
Nel caso della forza gravitazionale lrsquoenergia potenziale egrave 119880 = minus119898119872119866
119877
Lrsquoenergia cinetica egrave K= 1
21198981199072
Bignamino di astronomia
28
Il sistema diventa
119907119886119889119886 = 1199071199011198891199011
2119898119907119886
2 minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
Le soluzioni sono 119959119938 = radic120784119918119924119941119953
119941119938(119941119953+119941119938) 119959119953 = radic120784119918119924
119941119938
119941119953(119941119953minus119941119938)
Ricordando che 119889119886 = 119886(1 + 119890) 119889119901 = 119886(1 minus 119890) 119938 =119941119938+119941119953
120784 119942 =
119941119938minus119941119953
119941119938+119941119953
le due velocitagrave possono anche essere espresse in funzione del semiasse maggiore e
dellrsquoeccentricitagrave dellrsquoorbita
Quindi
119907119901 = radic119918119924
119938(120783+119942
120783minus119942)
119907119886 = radic119918119924
119938(120783minus119942
120783+119942)
ALCUNE CONSIDERAZIONI DINAMICHE SULLE ORBITE
Allrsquoinizio di questi appunti abbiamo evidenziato come gli oggetti orbitanti seguano delle traiettorie
che sono curve coniche e abbiamo individuato questrsquoultime catalogandole anche a seconda
dellrsquoeccentricitagrave in seguito abbiamo enunciato il principio di conservazione dellrsquoenergia meccanica
119922+119932 = 119940119952119956119957119938119951119957119942
Possiamo procedere nella classificazione delle orbite a seconda del valore assunto da questa
costante (lrsquoenergia meccanica) In particolare
bull Se questa costante egrave negativa allora lrsquooggetto segue unrsquoorbita chiusa (circonferenza
ellisse)
bull Se essa egrave nulla allora il corpo si muove su unrsquoorbita parabolica (a distanza infinita la sua
velocitagrave egrave nulla)
bull Se essa egrave positiva allora la traiettoria egrave iperbolica (e il corpo giunge a distanza infinita con
velocitagrave ndash chiamata ldquovelocitagrave drsquoeccesso iperbolicordquo ndash non nulla)
Bignamino di astronomia
29
VELOCITAgrave DI FUGA ndash RAGGIO DI SCHWARZSCHILD
119959 = radic120784119918119924
119929
A questa velocitagrave si dagrave il nome di seconda velocitagrave cosmica o velocitagrave di fuga
Immaginiamo ora di poter comprimere un corpo celeste di massa M (quindi via via il raggio R
diminuisce) la velocitagrave di fuga di un altro corpo dalla sua superficie aumenteragrave al diminuire del
raggio Quando il raggio raggiungeragrave un valore ldquocriticordquo la velocitagrave di fuga eguaglieragrave quella della
luce e neanche la luce potragrave allontanarsi indefinitamente dal corpo esso egrave diventato un buco nero
Al raggio ldquocriticordquo associato a ogni massa M si dagrave il nome di Raggio di Schwarzschild in onore del
matematico astronomo e astrofisico tedesco Karl Schwarzschild (1873-1916) il raggio si ricava cosigrave
119888 = radic2119866119872
119877119904 rarr 1198882 =
2119866119872
119877119904 rarr 119929119956 =
120784119918119924
119940120784
Dove c egrave la velocitagrave della luce (c=299792458 ms)
Bignamino di astronomia
30
ECLISSI LUNA-SOLE
Eclisse di Luna
Una eclisse di Luna si verifica quando la Terra si interpone tra il nostro satellite ed il Sole cioegrave
quando la Luna entra nel cono drsquoombra della Terra che egrave rivolto dalla parte opposta al Sole e per
tanto lrsquoeclisse piograve avvenire solo quando la Luna egrave in opposizione cioegrave quando egrave piena Poicheacute la
Luna si sposta da ovest verso est essa
entra nel cono drsquoombra della Terra dalla
parte sinistra Se lrsquoorbita della Luna
attorno alla Terra giacesse sullo stesso
piano dellrsquoorbita della Terra attorno al
Sole ad ogni plenilunio avremmo una
eclisse totale di Luna Queste due orbite
sono inclinate di 5deg9rsquo e si incontrano i
due punti che definiscono i nodi Percheacute
si abbia una eclisse Sole e Luna non solo
devono essere allrsquoopposizione ma
devono essere vicinissimi ai nodi In media la distanza angolare del Sole dal nodo deve essere minore
di 9deg9 per unrsquoeclisse parziale e non piugrave di 4deg6 per unrsquoeclisse totale
Calcolo lunghezza cono drsquoombra della Terra
I triangoli VAS e VBT sono simili (vedi figura)
VS VT= AS BT
Ma
VS= VT+ TS
sostituendo si trova che
VT =119879119878∙119861119879
119860119878minus119861119879
Siccome sappiamo che il raggio del Sole egrave circa 10925 raggi terrestri abbiamo
Bignamino di astronomia
31
VT= 119878119879∙119861119879
10925119861119879minus119861119879
VT= 119878119879
10925minus1
La lunghezza del cono drsquoombra si puograve calcolare dividendo la distanza media Terra-Sole per 10925
Si puograve calcolare anche il semidiametro apparente visto dalla Terra dellrsquoombra che la Terra proietta
sul piano dove si trova la Luna
Poicheacute il raggio angolare della Luna egrave di 15rsquo5 percheacute una eclisse di Luna possa avere luogo egrave
necessario che la distanza tra i centri dellrsquoombra terrestre e della Luna sia inferiore a
41rsquo+15rsquo5 = 56rsquo5
Con questo dato si puograve calcolare quanto egrave spostato il centro dellrsquoorbita terrestre dal nodo lunare
Dalla proporzione
119861119879 119877119867 = 119881119879119867119881
119877119867 =119881119867 ∙ 119861119879
119881119879
Dato che
119881119867 = 119881119879 minus 119879119867
119877119867 =119861119879 (119881119879 minus 119879119867)
119881119879=
=119861119879
119881119879(1 minus
119879119867
119881119879) =
Dalla formula precedente
119881119879 =119878119879
10825
Sostituendo
Bignamino di astronomia
32
119877119867 =119861119879 ∙ 10825
119878119879(1 minus 119879119867) =
= 119877119879119864119877119877119860119863119879119878
10825 (1 minus 119863119879119871)
Si trova che questo valore egrave di 10deg6 Quindi unrsquoeclisse lunare si puograve verificare (anche di breve
durata) solo nel caso in cui lrsquoorbita terrestre egrave spostata meno di 10deg6 gradi dal nodo lunare (ad est
o ad ovest)
La Terra si muove lungo lrsquoeclittica di circa 59rsquo al giorno Per percorrere questa distanza impiega 108
giorni e la distanza doppia in 216 giorni poicheacute una rivoluzione sinodica si compie in 295 giorni
Una Luna piena puograve verificarsi ad una distanza superiore ai 10deg6 gradi ad ovest e la successiva Luna
piena ad una distanza superiore ad est e quindi nel corso di questa rivoluzione non si verificheranno
eclissi Si puograve verificare che in un anno non ci siano eclissi o al massimo tre quando la prima cade
poco dopo il primo gennaio la seconda sei mesi dopo (in prossimitagrave di giugno) e la terza a fine
dicembre (dodici mesi sinodici dopo la prima 354 giorni)
Bignamino di astronomia
33
Eclisse di Sole
Uneclissi di Sole si verifica quando la Luna attorno alla sua congiunzione si trova allineata tra la
Terra e il Sole molto vicino ad uno dei nodi o esattamente in esso Bencheacute di dimensioni
estremamente diverse si trovano a distanze tali da mostrare lo stesso diametro apparente Il che
consente alla Luna di coprire il disco del Sole
Percheacute ci sia una eclisse di Sole egrave necessario che
al momento del novilunio il Sole sia distante
dal nodo inferiore in media 15deg5 Questo
valore egrave piugrave alto di quello calcolato per lrsquoeclisse
di Luna e quindi si capisce percheacute le eclissi di
Sole sono piugrave frequenti Il cono drsquoombra
massimo della Luna ha un valore che non
supera i 270km sulla superficie della Terra mentre la lunghezza del cono drsquoombra egrave circa 374000
per cui il vertice di questo cono non sempre raggiunge la Terra in questo caso si hanno eclissi
anulari In localitagrave differenti della Terra lrsquoeclisse di Sole si verifica in tempi diversi Il moto della Luna
attorno alla Terra e la rotazione della Terra attorno al proprio asse fanno sigrave che lrsquoombra lunare si
sposti da ovest verso est formando una striscia drsquoombra lunga un migliaio di km e larga da 200 a 270
km Poicheacute la Luna si sposta da ovest verso est lrsquoeclisse inizia dal bordo ovest del Sole
Condizione percheacute si possa verificare unrsquoeclissi di Sole
Percheacute si verifichi unrsquoeclisse di Sole egrave necessario che nel periodo della Luna nuova questa si trovi in
prossimitagrave di uno dei nodi della sua orbita cioegrave in vicinanza dellrsquoeclittica
Indichiamo con S T L i centri del Sole della Terra della Luna che giacciono tutti su di un piano
perpendicolare al piano dellrsquoeclittica Il verificarsi dellrsquoeclisse dipende dalla latitudine geocentrica
della Luna (nella figura lrsquoangolo LTS (vertice in T) = 120573 )
Dalla figura
Bignamino di astronomia
34
120573 = LTLrsquo+ LrsquoTSrsquo + STSrsquo
Dalla figura si evince che
LTLrsquo egrave il raggio angolare della Luna= 120572119871
STSrsquo egrave il raggio angolare del Sole = 120572119878
120573 = 120572119871 + LrsquoTSrsquo + 120572119878
Lrsquo TSrsquo =
Consideriamo lrsquoangolo TLrsquoO esterno al triangolo TLrsquoSrsquo
TLrsquoO= LrsquoTSrsquo + TSrsquoLrsquo
TLrsquoO= LrsquoTSrsquo + TSrsquoO
LrsquoTSrsquo = TLrsquoO - TSrsquoO
TLrsquoO = 119901119871 = 57prime2primeprime (parallasse orizzontale della Luna)
TSrsquoO= 119901119878 = 8primeprime 8 (parallasse orizzontale del Sole)
120573 = 120572119871 + 120572119878 + 119901119871 - 119901119878
120573 = 15rsquo5 +16rsquo3 +57rsquo2 ndash 8rsquorsquo8
120573 = 88rsquo46
Percheacute si verifichi una eclisse anche di breve durata egrave necessario che la latitudine geocentrica della
Luna sia inferiore a 88rsquorsquo46
La parallasse orizzontale equatoriale della Luna egrave lrsquoangolo sotto il quale dal centro della Luna egrave
visibile il raggio equatoriale della Terra La parallasse orizzontale equatoriale del Sole egrave lrsquoangolo
sotto il quale dal centro del Sole egrave visibile il raggio equatoriale della Terra
Bignamino di astronomia
35
La distanza angolare del centro della Luna rispetto al
nodo (longitudine) si puograve calcolare con la
sinΔ120582 = tan120573
tan 119894
Δ120582 = 16deg5
Il Sole muovendosi alla velocitagrave di 59rsquo al giorno percorre 33deg gradi di eclittica in 34 giorni Essendo
il periodo sinodico di 295 giorni egrave evidente che nel corso di questo periodo si ha una Luna nuova
(ed anche due) Questo assicura che nel corso di un anno si verificano almeno due eclissi di Sole in
vicinanza dei nodi Se la prima si verifica ai primi di gennaio la seconda si ha alla Luna nuova
successiva la terza e la quarta poco meno di sei mesi dopo e la quinta 354 giorni dopo la prima
Bignamino di astronomia
36
Numero totale di eclissi per anno
Il Ciclo di Saros
In base a quanto fin qui detto il numero massimo di eclissi che si possono verificare in un anno egrave 7
bull 2 Luna + 5 Sole
bull 3 Luna + 4 Sole
e viceversa Questa combinazione egrave piuttosto rara lrsquoevento piugrave frequente egrave 2 Luna + 2 Sole Il
numero minimo costituito da due eclissi entrambe di Sole
Fin dallrsquoantichitagrave era noto che le eclissi si succedevano pressocheacute nello stesso ordine in un periodo
di circa 18 anni e 113 giorni La spiegazione egrave alquanto semplice
Le fasi lunari si succedono ogni 2953 giorni (mese sindico) mente il ritorno allo stesso nodo della
Luna avviene ogni 2721 giorni I nodi
hanno un moto di retrogradazione in un
giorno percorre un angolo pari a
3rsquo10rsquorsquo64 e completa il giro in 18anni e
113 giorni Il Sole si sposta di moto
diretto in media di 59rsquo8rsquorsquo33 al giorno
rispetto al nodo Il moto del Sole egrave di
62rsquo19rsquorsquo e quindi lrsquointervallo di tempo fra
due passaggi consecutivi del centro del
Sole per lo stesso nodo egrave di 34662 giorni
(anno draconico) Il saros egrave lrsquointervallo di tempo percheacute questi tre periodi tornino nella stessa
successione La natura si diverte
Succede che
bull 223 lunazioni (223 mesi sinodici) corrispondono a giorni 658519 (223 x 2953)
bull 242 mesi draconici corrispondono a giorni 658502
bull questi giorni corrispondono a 18 anni e circa 11 giorni
Poi succede che se dividiamo questi 658519 per lrsquoanno draconico troviamo circa 19
Questi tre periodi ritornano nella stessa successione dopo circa 6585 giorni che rappresenta il
ciclo di Saros Le condizioni in cui si producono le eclissi non saranno mai le stesse poicheacute essendo
223 mesi sinodici piugrave corti di 004 mesi draconici dopo 18 anni la Luna non si troveragrave esattamente
allo stesso posto rispetto al nodo Il ciclo di Saros contiene 6585 giorni interi piugrave circa 13 di giorni
questo comporta che le zone di visibilitagrave delle eclissi sulla superficie terreste in 18 anni si spostano
di circa 120deg verso Ovest
Bignamino di astronomia
37
ANGOLO SOLIDO
Si definisce angolo solido la porzione di sfera intercettata dalle
semirette che lo individuano
120570 =119860
1198772=41205871198772
1198772= 4120587
120570 = 4120587
Langolo solido totale di una sfera egrave pari a 4π Lunitagrave di misura
egrave sr (steradiante) ed egrave un numero puro
Per avere la misura in gradi quadrati si deve
119898119900119897119905119894119901119897119894119888119886119903119890 4120587 bull (180deg
120587)2
119900 1198891198941199071198941198891198901199031198904120587
1205872
4π sr= 41253deg -gt 1deg=3046 bull 10minus4119904119905119890119903119886119889
STRUMENTI OTTICI
CAMPO DELLO STRUMENTO
Il campo di uno strumento egrave definito dallangolo solido sotto il quale loculare viene visto dal centro
dellobiettivo Il campo corretto dalle aberrazioni ottiche di norma egrave 1
2deg
APERTURA ASSOLUTA
Lapertura assoluta dipende dal diametro D dello strumento La quantitagrave di luce raccolta egrave
proporzionale allarea dellobiettivo cong 1198632
APERTURA RELATIVA
Si definisce apertura relativa il rapporto
119863
119891=119886119901119890119903119905119906119903119886 119886119904119904119900119897119906119905119886 (119889119894119886119898119890119905119903119900)
119891119900119888119886119897119890 119889119890119897119897prime119900119887119894119890119905119905119894119907119900
Bignamino di astronomia
38
RAPPORTO FOCALE
Linverso dellrsquoapertura relativa 119891
119863 definisce il rapporto focale
Lenergia raccolta dallobiettivo egrave distribuita sullarea dellimmagine la cui grandezza sul piano focale
egrave data da
119889 = 119891 bull 119905119886119899120572
Con α=diametro angolare dellrsquooggetto
119889 = 119891120572
Se α egrave espresso in radianti
POTERE RISOLUTIVO
Il potere risolutivo egrave la minima distanza angolare tra due sorgenti di luce che possono essere viste
separate (ldquorisolte in termine tecnico) secondo un criterio detto di Rayleigh
Due sorgenti puntiformi (di uguale luminositagrave) risultano risolte quando la loro distanza angolare
120579 =122 bull 120582
119863=119897119906119899119892ℎ119890119911119911119886 119889prime119900119899119889119886
119889119894119886119898119890119905119903119900
Si ottiene un risultato in radianti
In secondi darco invece
120579 =25 bull 105 bull 120582
119863
Con λ=lunghezza donda della luce=5500Aring (regione di massima sensibilitagrave dellocchio)
Il potere risolutivo dellocchio assumendo la pupilla con un diametro di 3 mm egrave uguale a
120579 =122120582
119863= 122 bull
5500 bull 10minus9119898
3 bull 10minus3119898= 224 bull 10minus4119903119886119889 = 46
Il fattore di conversione da radianti a secondi egrave il NUMERO MAGICO 1 rad = 206265rdquo
Nella determinazione del potere risolutivo interviene lrsquoapertura dello strumento e non
lrsquoingrandimento
Bignamino di astronomia
39
INGRANDIMENTO
Lingrandimento dello strumento egrave dato dal rapporto tra la focale dellobiettivo f e la pupilla
delloculare f
119892 =119891
119891prime
ABERRAZIONE DELLA LUCE
Quando i raggi di una stella arrivano sulla Terra la loro direzione di provenienza
appare leggermente deviata a causa della velocitagrave orbitale del pianeta v I vettori
delle velocitagrave (della luce e del pianeta) si combinano per dare un vettore risultante di
poco inclinato dalla direzione di provenienza dei raggi
119886 = arctan119907
119888
RIFRAZIONE
Il fenomeno della rifrazione ha origine dal cambiamento di
velocitagrave delle onde luminose quando passano da un mezzo
trasparente allrsquoaltro Esiste una proporzione tra le due diverse
velocitagrave e i seni degli angoli 120579119894119899119888119894119889119890119899119911119886 e 120579119903119894119891119903119886119911119894119900119899119890 che i raggi
formano con la linea normale alla superficie nel punto colpito dal
raggio Se consideriamo gli indici di rifrazione 1198991 e 1198992 dei materiali
la proporzione egrave inversa
119904119894119899120579119894119899119888119894119889119890119899119911119886119904119894119899120579119903119894119891119903119886119911119894119900119899119890
=11989921198991=11990711199072
Bignamino di astronomia
40
RIFRAZIONE ATMOSFERICA
Allrsquoentrata nellrsquoatmosfera terrestre i raggi luminosi provenienti da un corpo celeste che si trova a
distanza zenitale z vengono rifratti (deviati verso il basso) di un angolo r Quindi i corpi celesti si
osservano in una posizione leggermente piugrave alta del reale In particolare possiamo vedere oggetti
che si trovano anche sotto lrsquoorizzonte geometrico del luogo (es Il sole al tramonto) La formula
stabilisce che lrsquoangolo di rifrazione egrave proporzionale alla tangente della distanza zenitale
Questa formula vale fino ad angoli 119963 asymp 120789120782deg
Oltre questo valore fino allrsquoorizzonte la rifrazione aumenta fino a raggiungere il valore massimo di
35rsquo
119903 = 582 tan (119911)
Bignamino di astronomia
41
RIASSUMENDOhellip
CENNI TEORICI SUI TELESCOPI
Il telescopio egrave uno strumento che raccoglie la luce o altre radiazioni elettromagnetiche
provenienti da un oggetto lontano la concentra in un punto (detto fuoco) e ne produce
unimmagine ingrandita Possiamo paragonare un telescopio a un ldquogrande occhiordquo che
sopperisce al fatto che la nostra pupilla di dimensioni ridotte riesce a raccogliere un
quantitativo insufficiente di luce emessa da un oggetto lontano Un telescopio egrave
caratterizzato dalle seguenti componenti e grandezze
bull OBIETTIVO egrave la parte del telescopio rivolta verso lrsquooggetto da osservare Il suo
diametro D prende il nome di APERTURA Telescopi con una grande apertura sono
capaci di raccogliere piugrave luce e di fornire unrsquoimmagine a piugrave alta risoluzione
Lrsquoobiettivo fa convergere i raggi luminosi in un punto il fuoco la cui distanza
dallrsquoobiettivo egrave chiamata LUNGHEZZA FOCALE
bull OCULARE la parte del telescopio (nel caso di telescopi ottici) che raccoglie la luce
proveniente dallrsquoobiettivo e che la trasmette poi allrsquoocchio Anche per lrsquooculare egrave
possibile definire una LUNGHEZZA FOCALE
Ingrandimento
Lrsquoingrandimento di un telescopio egrave dato dal rapporto fra la lunghezza focale dellrsquoobiettivo e
la lunghezza focale dellrsquooculare
119894 = 119891119900119887119891119900119888 Rapporto focale
Rapporto esistente tra la lunghezza focale dellrsquoobiettivo e lrsquoapertura stessa del telescopio
119865 =119891119900119887
119863 negli strumenti egrave specificato da una F seguita da un numero (es F4 F45 F6hellip)
Campo visivo
Esso egrave dato dal rapporto fra il campo visivo apparente dellrsquooculare (lrsquoampiezza angolare
dellrsquoimmagine fornita dallrsquooculare soltanto) e il numero di ingrandimenti
119865119900119881 =119865119900119881119900119888119894
Pupilla drsquouscita
Essa egrave il diametro del fascio luminoso che esce dallrsquooculare
119901 =119863
119894
Potere risolutivo
Esso egrave lrsquoangolo minimo che deve separare due oggetti affincheacute lo strumento li possa
distinguere egrave dato dal criterio di Rayleigh
120599(119903119886119889) =122120582
119863 120599deg =
699120582
119863 120582 119897119906119899119892ℎ119890119911119911119886 119889prime119900119899119889119886 119889119890119897119897119886 119897119906119888119890 119900119904119904119890119903119907119886119905119886
Bignamino di astronomia
42
Magnitudine limite
Egrave la magnitudine visuale massima che puograve essere osservata con uno strumento di apertura
D (in cm)
119898119897119894119898 = 68 + 5119897119900119892119863
Ingrandimento minimo utile
egrave lrsquoingrandimento che fornisce una pupilla drsquouscita pari al diametro della pupilla umana (6-7
mm)
119894119898119894119899 = 119863(119898119898)7
Formula di Dawes
Ci consente di trovare lrsquoapertura di un telescopio che gli consenta di distinguere un oggetto
che si vede sotto un angolo α
119863(119898119898) =120
120572
Dimensioni dellrsquoimmagine sul piano focale
Lrsquoimmagine che si forma sul piano focale di un telescopio con lunghezza focale dellrsquoobiettivo
f relativa a un oggetto di dimensione angolare α egrave
119897 = 2119891 tan (1205722)
Bignamino di astronomia
43
ELEMENTI DI ASTROFISICA
Tutte le informazioni che riceviamo dalle stelle ci provengono dalla ldquolucerdquo che emettono1 Egrave solo
attraverso lrsquoanalisi e la ldquodecodificazionerdquo dei messaggi contenuti in questa radiazione
elettromagnetica che egrave la luce che noi possiamo ottenere informazioni sulle proprietagrave fisiche e
chimiche delle stelle e delle galassie
La radiazione elettromagnetica
Una radiazione elettromagnetica egrave dal punto di vista dellrsquoelettromagnetismo classico un fenomeno
ondulatorio dovuto alla contemporanea propagazione di perturbazioni periodiche di un campo
elettrico e di un campo magnetico oscillanti su piani tra di loro ortogonali Le stelle emettono
tipicamente radiazione di ldquocorpo nerordquo e come tale irradiano energia in tutte le lunghezze drsquoonda
secondo una distribuzione che viene chiamata spettro della radiazione elettromagnetica
I parametri che permettono di distinguere tra loro le varie radiazioni elettromagnetiche sono
1) In realtagrave un altro ldquocanalerdquo di trasmissione delle informazioni per la comprensione dei fenomeni celesti si egrave aperto
grazie ai risultati positivi ottenuti dagli interferometri per onde gravitazionali LIGO e VIRGO in particolare gli
interferometri menzionati il 17 agosto 2017 hanno rilevato un segnale di onda gravitazionale (rilevazione
annunciata poi ufficialmente il 16 ottobre dello stesso anno) mentre altri telescopi in orbita e a terra sono riusciti
a individuare per la prima volta la sua controparte elettromagnetica lrsquoevento che ha generato il segnale egrave stato
la collisione di due stelle di neutroni (che ha portato a unrsquoesplosione nota col termine di kilonova ) nella galassia
NGC 4993 esso ha segnato la nascita della cosiddetta ldquoastronomia multi-messaggero per il fatto che egrave stato
possibile confrontare due ldquolinguaggirdquo diversi permettendo cosigrave di ampliare le frontiere della conoscenza di
questi fenomeni ldquoestremirdquo
Bignamino di astronomia
44
Parametri di unrsquoonda
Come tutti i fenomeni ondulatori la radiazione elettromagnetica egrave caratterizzata da questi
parametri
Lunghezza drsquoonda 120640
la lunghezza drsquoonda tra due creste o tra
due ventri Si misura in metri eo con i
suoi sottomultipli
Periodo T
lrsquointervallo di tempo misurato in
secondi in cui avviene unrsquooscillazione
completa ovvero lintervallo di tempo
impiegato dallonda per ritornare nella
medesima posizione (per esempio il
tempo intercorso tra due creste o tra
due ventri successivi
Frequenza 120650 egrave il numero di creste che si susseguono nello stesso posto nellrsquounitagrave di
tempo egrave lrsquoinverso del periodo
120592 =1
119879
Frequenza che si misura in Hertz (Hz) pari ad unrsquooscillazione al secondo
119867119911 = 1119904minus1
Ampiezza A rappresenta la variazione massima dellrsquoonda Lrsquoampiezza di unrsquoonda
periodica egrave lrsquoaltezza di una sua cresta
Intensitagrave di unrsquoonda egrave proporzionale al quadrato dellrsquoampiezza
Potenza ogni onda porta con seacute unrsquoenergia e quindi una potenza Tale potenza decresce
con il quadrato della distanza dalla sorgente
La lunghezza drsquoonda λ e la frequenza ν di una radiazione elettromagnetica sono grandezze legate
tra loro dalla relazione
120582 ∙ 120592 = 119888
(c ndashla velocitagrave della luce- nel vuoto ha un valore di 299 792 458 ms) Questa formula ci dice che le
due grandezze sono inversamente proporzionali
Bignamino di astronomia
45
La radiazione elettromagnetica puograve essere interpretata come un insieme di ldquopacchettirdquo di energia a
cui si dagrave il nome di fotoni grazie a questi ldquopacchetti energeticirdquo la luce puograve interagire con la materia
a livello microscopico per esempio puograve eccitare un elettrone in un atomo cedendo a esso la sua
energia Continuando il paragone possiamo immaginare che piugrave la radiazione egrave intensa piugrave i
pacchetti sono numerosi piugrave la radiazione cresce di frequenza piugrave essi sono ldquocapientirdquo
Questrsquoultima caratteristica egrave descritta dalla Legge di Planck che lega lrsquoenergia del fotone alla sua
frequenza
119864 = ℎ ∙ 120584
(dove h egrave la costante di Planck)
119864 = ℎ119888
120582
EQUIVALENZA MASSA- ENERGIA Tra lrsquoenergia e la massa esiste una fondamentale relazione
scoperta dal fisico Albert Einstein espressa dallrsquoequazione
119864 = 1198981198882
dove c egrave la velocitagrave della luce (pari a 3 middot 108 ms) Lequazione di Einstein implica che energia e massa
sono equivalenti la massa puograve essere trasformata in energia e lenergia puograve essere trasformata in
massa Ciograve comporta il principio di conservazione della massa-energia non vi egrave conservazione della
massa o dellenergia considerate separatamente ma vi egrave conservazione dellinsieme delle due a una
diminuzione della massa pari a m deve corrispondere un aumento dellenergia pari a m middot c2
Poicheacute il prodotto m middot c2 egrave un numero molto grande la trasformazione di una massa anche molto
piccola di materia determina la produzione di una quantitagrave enorme di energia come avviene per
esempio nelle reazioni di fissione e di fusione nucleari (queste ultime avvengono nel nucleo delle
stelle si veda per una maggiore comprensione il problema 2 della sezione Miscellanea)
Bignamino di astronomia
46
Grandezze fotometriche
Flusso luminoso Quantitagrave di energia luminosa emessa da una determinata sorgente nellunitagrave di tempo Lo indichiamo con la lettera Φ Lunitagrave di misura nel SI egrave il lumen (lm) 1 watt = 683 lumen
Illuminamento Rapporto tra il flusso luminoso ricevuto da una superficie e larea della superficie stessa ( E=
120593
119878 )
Lunitagrave di misura nel SI egrave il lux (lx) ovvero il lumen al metro quadrato (lm1198982)
Nota Dalla definizione di illuminamento si ricavano due importanti corollari di natura geometrica che risultano molto utili per comprendere la distribuzione della luce nello spazio
1) Per una sorgente puntiforme la diminuzione del livello di illuminamento su di una superficie varia in relazione al quadrato della distanza dalla fonte raddoppiando la distanza dalla fonte il livello di illuminamento sulla superficie diviene quindi frac14
2) Il livello drsquoilluminamento su di una superficie egrave massimo quando i raggi luminosi giungono perpendicolari ad essa e diminuisce proporzionalmente al loro angolo drsquoincidenza secondo la relazione E = 119864119899 cosi 119864119899egrave 119897
prime illuminamento normale i lrsquoangolo drsquoincidenza tra raggi luminosi e la normale alla superficie
Immagine dal web (fonte VOLTIMUM)
Bignamino di astronomia
47
Intensitagrave luminosa Flusso luminoso emesso allinterno dellangolo solido unitario in una direzione data
119868 = 119864 =120593
120596
ed egrave una grandezza vettoriale Lunitagrave di misura nel SI egrave la candela (cd)
Luminanza La luminanza egrave il rapporto tra lrsquointensitagrave luminosa di una sorgente nella direzione di un osservatore e la superficie emittente apparente cosigrave come viene vista dallrsquoosservatore stesso
119871 = 119868
119878 119888119900119904120572
120572 egrave 119897prime119886119899119892119900119897119900 compreso tra la direzione di osservazione e lrsquoasse perpendicolare alla superficie emittente La luminanza si esprime in cd1198982
Bignamino di astronomia
48
Parametri fisici delle stelle
Le grandezze fondamentali che permettono di caratterizzare le stelle sono
la distanza (d)
lo spettro della radiazione em emessa
la luminositagrave totale o bolometrica (L)
la temperatura superficiale (T)
il raggio (R)
la massa (M)
Le stelle possono essere approssimate a corpi neri in quanto le uniche onde elettromagnetiche che
non vengono assorbite dalla loro superficie sono quelle aventi una lunghezza donda di dimensione
pari o maggiore del diametro della stella stessa Per studiare le proprietagrave dellrsquoemissione continua
delle stelle egrave utile introdurre il concetto di corpo nero
Corpo nero
Il corpo nero egrave un corpo che assorbe tutta la radiazione che gli cade sopra Appare perfettamente nero percheacute assorbe il 100 della radiazione che incide su di esso e non ne riflette nessuna Il corpo nero egrave un oggetto teorico nessun materiale assorbe tutta la radiazione incidente Il corpo nero ha uno spettro di emissione caratteristico che dipende solo da un parametro la temperatura Lo studio della radiazione emessa dal corpo nero ha portato alla formulazione delle seguenti leggi
bull La legge (di spostamento) di Wien la frequenza massima 120584119898119886119909 di uno spettro di corpo nero a temperatura T cresce linearmente con T
120584119898119886119909 prop T il che comporta una proporzionalitagrave inversa fra la temperatura assoluta e la lunghezza drsquoonda
120582119898119886119909 119879 = 119887
b = 29 10minus3 m∙K
Per cui si ha
120582119898119886119909 T = 29 10minus3 m∙K
Bignamino di astronomia
49
bull Legge di Stefan-Boltzmann lenergia erogata per unitagrave di
superficie e per unitagrave di tempo egrave proporzionale alla quarta
potenza della temperatura T
119868 = 1205901198794
Applicazioni in astrofisica
Stefan-Boltzmann per una stella che approssimiamo ad una sfera di raggio R e superficie S= 41205871198772
la legge di Stefan-Boltzmann diventa
L= 41205871198772 120590T4
Poicheacute le stelle non sono dei corpi neri perfetti la temperatura egrave la temperatura efficace quella che
la superficie della stella avrebbe se si comportasse da corpo nero
Flusso e Luminositagrave
120593= 119871
41205871198892
Il flusso di energia egrave dato dal rapporto fra la lrsquoenergia emessa
dalla stella nellrsquounitagrave di tempo e la superficie della sfera di
raggio pari alla distanza d dalla stella Quindi si vede che il flusso
misurato sulla superficie terrestre dipende dalla luminositagrave
della stella e dalla sua distanza
Bignamino di astronomia
50
I LOGARITMI
Il termine logaritmo egrave composto da due parole greche logos = ragione e arithmos = numero
ldquoNumero di ragionirdquo questa definizione appare naturale pensando alla ragione delle progressioni
aritmetiche e geometriche che sono alla base della costruzione di Nepero
La storia di come nasce questo procedimento di
calcolo egrave molto interessante qui ci piace
evidenziare che la motivazione alla base della
scoperta dei logaritmi ed anche il motivo del loro
successo fu la ricerca di efficienti strumenti di
calcolo in grado di alleggerire il pesante fardello
di cui erano gravati gli astronomi del tempo i
quali per poter predire il corso dei pianeti si
dovevano confrontare con grandi difficoltagrave di
calcolo Basta pensare al calcolo dellrsquoorbita del
pianeta Marte del povero Keplero Quando Nepero pubblicograve il suo lavoro sui logaritmi gli
astronomi dissero che aveva regalato loro metagrave della vita I logaritmi rendono infatti possibile
trasformare prodotti in somme quozienti in differenze elevamenti a potenza in prodotti e
calcoli di radici in quozienti le operazioni vengono molto semplificate
Che cosa egrave un logaritmo
Generalmente si risponde che egrave una operazione inversa
Partiamo da una operazione conosciuta lrsquoestrazione di radice quadrata di un numero
radic25 = 5
La radice quadrata di 25 egrave quel numero che elevato a due restituisce 25 cioegrave il numero 5 infatti 52 =
25 Concludiamo dicendo che la radice egrave lrsquooperazione inversa dellrsquoelevamento a potenza
Il concetto di logaritmo egrave abbastanza simile a quello della radice quadrata solo che non ci riporta al
numero di partenza ma al suo esponente
Introduciamo la scrittura
log5 25 = 2
questa la scriviamo
52 =25
Definiamo logaritmo di un numero b (argomento del logaritmo) quel numero a cui bisogna elevare
la base per ottenere il numero b In notazione matematica
log119886 119887 = x
119886119909 = b
Anche il logaritmo egrave lrsquooperazione inversa dellrsquoelevamento a potenza
Bignamino di astronomia
51
log2 8 = x
la domanda egrave ldquoqual egrave lrsquoesponente che devo dare alla base (2) per ottener il numero (8)rdquo
Scriviamo applicando la definizione
2119909 = 8
e siccome
8 = 23
Allora
2119909 = 23
e perciograve
x=3
(se le basi sono uguali lrsquouguaglianza saragrave verificata se saranno uguali anche gli esponenti)
Egrave abbastanza evidente che i logaritmi e le potenze rappresentano due modalitagrave di scrittura diversa ma
rappresentano la stessa cosa
Osservazione importante la base dei logaritmi ed il numero devono essere numeri reali
positivi in piugrave la base deve anche essere diversa da 1
bgt 0
0 lt a lt1
agt 1
Quindi per esempio non esistono log2(minus5) log1 12 119890119888119888
Bignamino di astronomia
52
Proprietagrave dei logaritmi
Il logaritmo del prodotto di 2 o piugrave numeri positivi corrisponde alla somma dei logaritmi dei
singoli fattori
(Nota 119886119909 ∙ 119886119910 = 119886119909+119910)
Il logaritmo del quoziente di 2 numeri positivi egrave eguale alla differenza tra il logaritmo del
dividendo e il logaritmo del divisore
(Nota 119886119909119886119910 = 119886119909minus119910)
Il logaritmo della potenza a esponente reale di un numero positivo egrave uguale al prodotto
dellesponente per il logaritmo del numero
Una estensione di questa ultima proprietagrave egrave
log119886 radic119887119898119899
= log119886 119887119898
119899
(che possiamo scrivere come 119898
119899log119886 119887)
A volte per calcolare un logaritmo puograve risultare utile effettuare un cambiamento di base
Il loga b la cui base egrave a puograve essere scritto utilizzando unrsquoaltra base per esempio il numero c
Ricorda inoltre che
log119886 1 = 0 (119894119899119891119886119905119905119894 1198860 = 1) 119890 log119886119886 = 1 (119894119899119891119886119905119905119894 1198861 = 119886)
Bignamino di astronomia
53
Se la base di un logaritmo egrave il Numero di Nepero (chiamato meno frequentemente anche Numero
di Eulero e indicato con e = 2718281828459hellip) allora il logaritmo prende il nome di logaritmo
naturale e si indica con ln
Quindi se vediamo 1198971198995 niente paura Si tratta di log119890 5
Se la base di un logaritmo egrave 10 il logaritmo prende il nome di logaritmo decimale e la base
generalmente si omette questo tipo di logaritmo egrave il piugrave usato in astrofisica
Quindi se vediamo 1198971199001198927 ciograve vuol dire log10 7
I logaritmi sono utilizzati nella vita di tutti i giorni ad esempio il gommista quando misura la
pressione di una gomma utilizza uno strumento con una scala non lineare ma logaritmica le scale
sulla macchina fotografica sono logaritmiche i nostri organi di senso sono logaritmici Questo ci
permette di percepire un intervallo di informazioni molto piugrave esteso di quello che avremmo se i nostri
sensi fossero lineari Pogson quando capigrave che il nostro occhio percepisce una differenza di una
magnitudine ( per le magnitudini consulta le pagine successive del Bignamino) tra due stelle quando
il rapporto tra le loro luminositagrave egrave uguale a 25 e che questo conserva la classificazione di Ipparco
formulograve la sua formula in funzione del logaritmo del rapporto delle loro luminositagrave
Niente paura
Oggi avete le calcolatrici e non si
devono utilizzare le famigerate tavole
logaritmiche che si utilizzavano un
tempo per calcolare un logaritmo
Bisogna solo stare attenti ad utilizzare
CORRETTAMENTE la calcolatrice
Nepero
Bignamino di astronomia
54
Magnitudine delle stelle
Quando si guarda il cielo si vede subito che le stelle ci appaiono piugrave o meno brillanti (o luminose) ovvero sembrano avere diversa intensitagrave luminosa Gli astronomi descrivono la luminositagrave stellare osservata in termini di magnitudine apparente m Nel II secolo aC Ipparco di Nicea utilizzando lrsquounico strumento a sua disposizione (lrsquoocchio umano) introdusse una classificazione delle stelle in 6 classi di luminositagrave che chiamograve MAGNITUDINI La scala scelta dai Ipparco prevedeva che le stelle piugrave luminose venissero collocate nella prima classe quelle un porsquo meno luminose nella seconda e giugrave giugrave fino a quelle appena visibili a occhio nudo collocate nella sesta classe Con lrsquoosservazione del cielo attraverso gli strumenti si pose il problema di estendere la scala delle grandezze anche alle stelle non visibili ad occhio nudo Un grossissimo contributo venne dallo studio della fisiologia dellrsquoocchio strumento sul quale erano state fatte le prime classificazioni La risposta dellrsquoocchio umano agli stimoli luminosi non egrave di tipo lineare la reazione alla luce de reagisce alla sensazione della luce in modo logaritmico Pogson egrave riuscito a dare una formulazione matematica alla scala delle magnitudini individuata da Ipparco Pogson ipotizzograve che il rapporto fra le intensitagrave luminose di una stella di prima e di sesta grandezza era pari a 100 Se I1 e lrsquointensitagrave luminosa di una stella di magnitudine m1 ed I2 lrsquointensitagrave di una stella di
magnitudine m2 se m1 - m2 = -5 ed il rapporto I1
I2= 100
m1 - m2= K log I1
I2
-5=K2 K= -25
m1 - m2= -25 log I1
I2
Lrsquoequazione di Pogson spiega il percheacute la magnitudine decresce quando lrsquointensitagrave luminosa cresce Quando si parla di intensitagrave luminosa di una stella in realtagrave ci si riferisce al flusso di energia 120593 che
abbiamo visto essere legato alla luminositagrave dalla 120593= 119871
41205871198892
Se nella formula di Pogson m1 - m2= -25 log I1
I2 sostituiamo alle intensitagrave luminose il flusso si
ottiene (a paritagrave di luminositagrave)
m1 - m2= -5 log d2
d1
La magnitudine apparente di una stella dipende dalla distanza
Bignamino di astronomia
55
E se la stella apparentemente piugrave debole fosse in realtagrave piugrave brillante ma piugrave lontana Per rispondere a questa domanda egrave stata introdotta la scala delle magnitudini assolute indipendente dalla distanza Per costruire questa scala egrave stata presa una distanza di riferimento pari a 10pc Quale saragrave la magnitudine di una stella di cui si conosce la distanza e la magnitudine apparente se viene posta alla distanza di 10pc
M- m= -5 log 119889
1119900119901119888
M-m = 5-5logd Questa ultima viene anche indicata come modulo di distanza Questa scala consente di poter confrontare la luminositagrave intrinseca delle stelle M =magnitudine assoluta (stella alla distanza di 10pc) m =magnitudine apparente d = distanza della stella in pc
Se vogliamo calcolare la magnitudine complessiva di due o piugrave sorgenti luminose egrave errato ritenere
di poter sommare le magnitudini Infatti possiamo sommare i flussi ma le magnitudini dipendono
da essi in relazione logaritmica La relazione che ci permette di determinare la cosiddetta
magnitudine integrata (ossia la magnitudine complessiva ldquototalerdquo) di n oggetti di magnitudine
m1m2hellipmn egrave la seguente
119898119894119899119905 = minus25log (10minus041198981 + 10minus041198982 +⋯+ 10minus04119898119899)
Magnitudine apparente di alcuni oggetti celesti da sinistra verso destra
Sole Luna piena Venere Sirio Vega Magnitudine limite dellrsquoocchio
Magnitudine limite di un telescopio magnitudine limite dellrsquoHubble
Bignamino di astronomia
56
Se invece vogliamo calcolare la magnitudine superficiale di un oggetto esteso di superficie angolare
S (misurata in arcmin2 o arcsec2) ossia la magnitudine di un quadratino di superficie di lato uguale
a 1 arcsec2 o 1 arcmin2 allora applichiamo la seguente formula
119898119878119906119901 = 119898119894119899119905 + 25 log(119878)
Se S egrave misurata in arcmin2 la msup egrave espressa in magarcmin2 Se S egrave misurata in arcsec2 msup egrave
espressa in magarcsec2
Bignamino di astronomia
57
Redshift (spostamento verso il rosso)
Su grandi scale le galassie si stanno allontanando con velocitagrave proporzionale alla distanza tutte le
galassie si stanno allontanando tra di loro tra loro Lo stesso spazio-tempo si sta espandendo e sta
portando le galassie con seacute
NOTA Il redshift cosmologico non egrave dovuto allrsquoeffetto Doppler non egrave dovuto ai moti relativi delle
galassie Le cause e le grandezze fisiche coinvolte sono completamente diverse
Il redshift cosmologico egrave lo spostamento relativo in
frequenza di unonda elettromagnetica dovuto
allespansione delluniverso Si spiega ipotizzando che le
lunghezze donda varino allo stesso modo delle distanze per
effetto dellespansione delluniverso La lunghezza donda egrave
proporzionale al fattore di scala delluniverso
La cosmologia moderna nasce con la legge di Hubble
v=Hd
che lega in modo proporzionale la velocitagrave v di allontanamento delle galassie alla loro distanza d (H egrave la costante di Hubble) le galassie piugrave distanti si allontanano piugrave velocemente Questa legge deriva da osservazioni che mostravano che tutte le righe spettrali delle galassie sono spostate verso il rosso (redshift) e che tale effetto egrave proporzionale alla luminositagrave apparente delle galassie legata alla loro distanza Il redshift misura quindi la velocitagrave di allontanamento di una galassia ed egrave definito come segue
119911 =120582119900119887119904 minus 120582119905119890119900119903
120582119905119890119900119903
La legge di Hubble ci dice che la velocitagrave di allontanamento delle galassie egrave proporzionale alla loro
distanza
119907 = 119867119889
H egrave la costante di Hubble il cui valore attualmente stimato egrave attorno a H= 2176 ∙ 10minus18 Hz
(6715 kmMpc s) d egrave la distanza della galassia
Maggiore egrave la distanza della galassia tanto maggiore saragrave il redshift
z=119867119889
119888
Bignamino di astronomia
58
Per z≪ 1 vale lrsquoapprossimazione del redshift come effetto Doppler (zasymp119907
119888 ) e quindi z egrave
direttamente proporzionale alla velocitagrave di allontanamento delle galassie
bull Redshift relativistico
bull Redshift gravitazionale
La relativitagrave generale prevede che la luce che si muove attraverso campi gravitazionali molto
intensi sperimenteragrave uno spostamento verso il rosso o verso il blu
Il redshift gravitazionale (chiamato anche spostamento di Einstein) egrave dovuto dal fatto che un
fotone quando emerge da un campo gravitazione perde energia e quindi presenta uno
spostamento verso il rosso che dipende dallrsquointensitagrave del campo gravitazionale misurata nel
punto in cui si trova il fotone
z= 119866119872
1199031198882
Questa 119904119890 119903 ≫ 119903119904
119903119904 = 2119866119872
1198882
(raggio di Schwarzschild)
(M massa della stella r raggio della stella)
La formula generale egrave
z= 1
radic1minus119903119904 -1
Bignamino di astronomia
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PROBLEMI ED ESERCIZI
bull SISTEMI DI RIFERIMENTO E COORDINATE ASTRONOMICHE
1 Quando la stella Rigel (δ= -8deg 13rsquo) passa al meridiano di Roma (φ=41deg55rsquo) a quale
altezza si trova
Soluzione Quando la stella Rigel passa al meridiano di Roma essa raggiunge la
posizione di culminazione superiore in corrispondenza del punto cardinale Sud
Dunque la sua altezza sullrsquoorizzonte egrave pari allrsquoaltezza dellrsquoEquatore celeste alla
latitudine di Roma (90deg-φ) sommata alla declinazione dellrsquoastro Dunque
hRigel=90deg-φ+δ=90deg-41deg55rsquo-8deg13rsquo=39deg52rsquo
2 A quale latitudine comincia a essere visibile la stella Canopo (δ=-52deg40rsquo) appena
allrsquoorizzonte
Soluzione Affincheacute la stella Canopo sia appena visibile allrsquoorizzonte per un
osservatore posto alla latitudine φ egrave necessario che lrsquoEquatore celeste abbia
unrsquoaltezza sullrsquoorizzonte pari al valore assoluto della sua declinazione Quindi egrave
necessario che 90deg-φ=|δ| e cioegrave φ=90deg-|δ|=90deg-52deg40rsquo=37deg20rsquo [In realtagrave bisogna tenere conto dellrsquoeffetto della rifrazione atmosferica che ldquoalza le stellerdquo o
equivalentemente ldquoabbassa lrsquoorizzonterdquo di un angolo di 35rsquo Quindi in realtagrave Canopo si puograve
osservare anche a una latitudine leggermente piugrave settentrionale pari a 37deg20rsquo+0deg35rsquo=37deg55rsquo
circa]
3 Quale curva descrive lrsquoombra di uno stilo verticale posto al polo nord il 21 giugno
Qual egrave il rapporto fra la lunghezza l dellrsquoombra e lrsquoaltezza h dello stilo
Soluzione Il 21 giugno il Sole ha declinazione massima pari al valore dellrsquoobliquitagrave
dellrsquoeclittica quindi circa 23deg27rsquo Dal momento che al polo nord lrsquoorizzonte coincide
con lrsquoEquatore celeste e i paralleli celesti si trovano quindi su piani paralleli
allrsquoorizzonte la rotazione diurna non contribuiragrave a far tramontare il Sole che
descriveragrave una circonferenza nel cielo pertanto la curva descritta dallo stilo verticale
egrave una circonferenza Il rapporto lh egrave il reciproco della tangente dellrsquoaltezza del sole
pari a 23deg27rsquo 119897
ℎ=
1
11990511988611989923deg27prime=23
4 (PROBLEMA GARA INTERNAZIONALE 2002) I Cinesi nel 1100 aC avevano trovato
che lrsquoaltezza del Sole a mezzodigrave era 79deg7rsquo nel solstizio estivo e 31deg19rsquo in quello
Bignamino di astronomia
60
invernale A quale latitudine hanno fatto lrsquoosservazione e qual era allora lrsquoobliquitagrave
dellrsquoEclittica
Soluzione La media aritmetica dei valori delle due culminazioni del sole a mezzodigrave al
solstizio estivo ed invernale egrave pari allrsquoaltezza dellrsquoEquatore celeste Quindi
90deg minus 120593 =ℎ119890119904119905119886119905119890 + ℎ119894119899119907119890119903119899119900
2rarr 120593 = 90deg minus
ℎ119890119904119905119886119905119890 + ℎ1198941198991199071198901199031198991199002
= 34deg47prime
Lrsquoobliquitagrave dellrsquoeclittica egrave la differenza fra lrsquoaltezza massima del sole e lrsquoaltezza
dellrsquoEquatore celeste
휀 = ℎ119890119904119905119886119905119890 minus (90deg minus 120593) = 79deg7prime minus 90deg + 34deg47prime = 23deg54prime
[In generale lrsquoobliquitagrave dellrsquoeclittica varia da 21deg55rsquo a 24deg20rsquo con un periodo di circa 40000
anni]
bull I MOTI DELLA TERRA E LA MISURA DEL TEMPO
5 In quale istante di tempo siderale la stella Castore (α=7h 33m 31s δ=+31deg55rsquo35rdquo ) egrave
alla culminazione inferiore
Soluzione Alla culminazione inferiore la stella Castore ha un angolo orario pari a 12h
Il tempo siderale ossia lrsquoangolo orario del punto gamma egrave uguale alla somma di
angolo orario e ascensione retta di una generica stella in questo caso
TS=α+H=7h 33m 31s + 12h= 19h 33m 31s
6 Se in un dato giorno una stella passa al meridiano inferiore alle 21 a quale ora
(allrsquoincirca) vi passeragrave un mese dopo
Soluzione Lrsquoora a cui si riferisce il problema egrave per esempio quella indicata da un
normale orologio quindi egrave un tempo solare medio e non siderale Siccome nel corso
di un mese la stella non cambia la sua posizione rispetto al punto gamma se il
problema avesse chiesto lrsquoora siderale della successiva culminazione inferiore la
risposta sarebbe stata comunque ldquoalle 21rdquo siccome perograve il problema si riferisce a un
tempo solare medio dobbiamo tenere conto della differenza tra giorno solare e
giorno siderale questrsquoultimo egrave piugrave corto del primo di un valore pari a circa 4 minuti
(piugrave esattamente 3min 56s) Siccome un mese contiene mediamente 30 giorni la
stella anticiperagrave la sua culminazione di circa 4min30=120min=2h e quindi culmineragrave
allrsquoincirca alle 19
7 Una cittagrave A egrave posta alla longitudine 43deg12rsquo E di GW (Greenwich) Quando in A lrsquoorologio
segna le 20h35m siderali in unrsquoaltra cittagrave B lrsquoorologio segna le 23h12m siderali Qual
egrave la longitudine di B
Soluzione La differenza dei due tempi siderali che lrsquoorologio segna in A e in B egrave uguale
alla differenza delle longitudini dei due luoghi Quindi
Bignamino di astronomia
61
∆120582 = 120549119879119878 rarr 120582119861 minus 120582119860 = 119879119878119861 minus 119879119878119860 rarr 120582119861 = 119879119878119861 minus 119879119878119860 + 120582119860(119890119904119901119903119890119904119904119886 119894119899 119900119903119890)
= 23ℎ12119898 minus 20ℎ35119898 + 2ℎ53119898 = 5ℎ30119898
= (119905119903119886119904119891119900119903119898119900 119894119899 119892119903119886119889119894) = 82deg30prime
8 Quanto tempo egrave necessario affincheacute il punto gamma passi da un segno zodiacale a un
altro
Soluzione Il punto gamma non egrave fisso nel cielo bensigrave per via di uno dei moti millenari
della Terra il moto di precessione esso si sposta di circa 50rdquo allrsquoanno lungo lrsquoEclittica
Dal momento che i segni zodiacali sono dodici in media ognuno di essi occupa un
settore lungo lrsquoEclittica pari a 36012=30deg=108000rdquo Ne discende che il tempo
necessario affincheacute il punto gamma copra questa distanza angolare risulta pari a
t=(108000rdquo50rdquo)anni=2160 anni circa
9 La Terra impiega circa 23 ore e 56 minuti a compiere una rotazione completa attorno
al proprio asse Con quale velocitagrave tangenziale si muove un punto allrsquoequatore per
effetto del moto di rotazione della Terra Quanto vale lrsquoaccelerazione centripeta che
agisce su questo punto Quale forza centripeta agisce su un corpo di massa 13 kg
allrsquoequatore
Soluzione Il problema incentrato sul moto di rotazione terrestre (il moto dei punti
della Terra attorno allrsquoasse terrestre) egrave un semplice esercizio di cinematica
Conoscendo il periodo e la lunghezza della circonferenza equatoriale (poicheacute egrave noto
che il raggio della Terra ha un valore di 6378 km) egrave possibile determinare la velocitagrave
di rotazione allrsquoequatore il moto egrave circolare uniforme
119907 =2120587119877
119879=2120587120591 ∙ 6378119896119898
2393ℎ= 1674
119896119898
ℎ
Lrsquoaccelerazione centripeta vale
119886 =1199072
119877=(1674 divide 36)2
6378000= 339 ∙ 10minus3
119898
1199042
Per la seconda legge della dinamica la forza centripeta su un corpo di massa m allora
vale
119865 = 119898119886 = 13 ∙ 339 ∙ 10minus3 = 441 ∙ 10minus3119873
bull IL CIELO VISTO DALLA TERRA E LA LUNA
10 Due stelle equatoriali hanno parallassi 0rdquo022 e 0rdquo034 esse hanno AR 12h13m e
13h12m rispettivamente Quantrsquoegrave in parsec la loro reciproca distanza
Soluzione Lrsquoangolo fra la direzione con cui si proietta in cielo la prima stella e la
direzione della seconda stella egrave pari alla differenza delle ascensioni rette le stelle
sono infatti equatoriali cioegrave hanno declinazione nulla ΔAR=13h12m-
Bignamino di astronomia
62
12h13m=(trasformando in gradi)=14deg75 La loro distanza dallrsquoosservatore egrave in
parsec pari al reciproco della parallasse
d1=(1P1)=10022=455pc d2=(1P2)=10034=294pc
Il problema chiede in sostanza di calcolare un lato di un triangolo con vertici
nellrsquoosservatore e nelle due stelle (in particolare il lato con estremi nelle due stelle)
noti lrsquoangolo opposto a tale lato e gli altri due lati possiamo quindi usare il Teorema
di Carnot (o teorema del coseno)
119909 = radic11988912 + 1198892
2 minus 211988911198892 cos(∆119860119877) = 186 119901119888
11 Sapendo che il periodo siderale di rotazione del Sole allrsquoEquatore egrave di 25 giorni
trovare il periodo di rivoluzione sinodica cioegrave quello che appare visto dalla Terra
Soluzione Prendiamo un punto sullrsquoEquatore del Sole esso si muove con un periodo
siderale (cioegrave riferito a una stella lontana) pari come indicato dalla traccia a 25
giorni Il problema egrave del tutto analogo al calcolo del tempo sinodico di un pianeta
interno visto dalla Terra noti i periodi di entrambi i corpi 1
119878=
1
119879119904119900119897119890minus
1
119879119905119890119903119903119886rarr 119878 =
119879119905119890119903119903119886119879119904119900119897119890119879119905119890119903119903119886 minus 119879119904119900119897119890
=36525 ∙ 25
36525 minus 25119889 =
913125
34025119889 = 2684119889
12 A quale distanza da uno schermo deve essere posta una sfera di raggio R affincheacute
illuminata dal Sole non generi ombra ma solo penombra (il diametro apparente del
Sole sia 32rsquo)
Soluzione Concettualmente il problema egrave equivalente alla situazione di unrsquoeclisse
lrsquordquoosservatorerdquo egrave lo schermo mentre fra esso e il Sole si frappone un ostacolo Esso
intercettando i raggi solari genera dietro di seacute un cono drsquoombra e molto piugrave ampio
di questo una zona di penombra Il cono si restringe dalla parte opposta del Sole
rispetto alla sfera Se il vertice del cono si trova sullo schermo allora nessun punto
dello schermo si troveragrave in ombra percheacute il cono non interseca lo schermo In questa
configurazione lrsquoangolo sotto cui viene vista la sfera dallo schermo egrave di 32rsquo ovvero
053deg da cui si ha 119877
119889= tan (0532) e cioegrave d=[1 tan(0265)]R=2148 R circa la sfera
devrsquoessere posta a una distanza dallo schermo maggiore di 2148 volte circa il suo
raggio
13 Il 29 marzo 2006 si egrave verificata unrsquoeclisse totale di Sole visibile dallrsquoAfrica
settentrionale e dal Mediterraneo orientale Quale fase aveva la luna il 29 marzo 2007
cioegrave esattamente un anno dopo
Bignamino di astronomia
63
Soluzione Le eclissi di Sole si verificano quando la Luna si interpone fra il Sole e la
Terra oscurando una fascia sulla superficie del nostro pianeta con il suo cono
drsquoombra pertanto la Luna rivolge a noi in questrsquooccasione la sua faccia non
illuminata dal Sole e pertanto egrave nuova Conosciamo inoltre il periodo in cui si ripetono
le fasi lunari egrave il mese sinodico la cui durata egrave pari a 295306 giorni Lrsquointervallo
considerato (un anno in cui il 2007 non egrave bisestile) egrave pari a 365 giorni Siccome
365295306=1236 ossia 12 mesi lunari e 11 giorni se ne deduce che lrsquoetagrave della Luna
al 29 marzo 2007 era di 11 giorni quindi essa era in una fase intermedia tra primo
quarto e Luna piena
bull LA GRAVITArsquo
14 Lrsquoalieno Bzzapp ha appena comprato una navicella in grado di creare nuovi pianeti
nel suo girovagare un giorno incappa nel nostro Sistema Solare decide cosigrave di creare
con la sua astronave qualche nuovo pianeta Lrsquoamico Zorzzp gli dagrave prima una regola
dicendogli che questi pianeti devono trovarsi in una fascia compresa fra 2 UA e 7
UA in piugrave il loro periodo di rivoluzione devrsquoessere pari a un numero intero di anni
Qual egrave il numero massimo di pianeti che Bzzapp potragrave creare con la sua navicella
conformemente alla regola di Zorzzp
Soluzione Per la risoluzione del problema egrave necessaria la Terza legge di Keplero
considerando che ci troviamo nel nostro Sistema Solare e che quindi la costante di
proporzionalitagrave fra cubo del semiasse maggiore e quadrato del periodo di rivoluzione
per un generico corpo orbitante attorno al Sole quando esprimiamo il semiasse in
UA e il periodo in anni risulta pari a 1
1198791 = radic11988613 = 283 119910
1198792 = radic11988623 = 1852 119910
Come possiamo vedere i periodi ldquopossibilirdquo sono
34567891011121314151617 e 18 anni Bzzapp potragrave creare ben 16 pianeti
15 Disponendo come dati noti dei soli periodi di rivoluzione dei pianeti si indichi la
lunghezza minima che deve avere un foglio di carta per poter rappresentare in scala
il Sistema Solare fino a Nettuno nellrsquoipotesi di voler rappresentare Mercurio a una
distanza dal Sole di 1 cm
Soluzione Mercurio ha un periodo di rivoluzione pari a 0241 anni mentre Nettuno
16488 anni quindi per la Terza legge di Keplero 119886119872 = radic11987911987223= 0387119880119860 119890 119886119873 =
radic11987911987323= 30069 119880119860
Con una semplice proporzione ricaviamo la lunghezza del foglio di carta
119886119872 119886119873 = 1 119909 rarr 119909 =30069
0387119888119898 asymp 777 119888119898
Bignamino di astronomia
64
16 A quale distanza dalla superficie della Terra per unrsquoastronave che viaggia verso la
Luna si annulla la risultante delle forze gravitazionali che agiscono su di essa (il
rapporto massa della Terra massa della Luna egrave pari a 8125)
Soluzione La distanza Terra-Luna egrave pari a d=384400 km Quando lrsquoastronave si trova
fra il nostro pianeta e il suo satellite le due forze di natura gravitazionale che
agiscono su di essa sono la forza di attrazione della Terra e quella della Luna agenti
nella stessa direzione ma aventi verso opposto Chiamando x la distanza che separa
la navicella dal centro della Terra possiamo esprimere in funzione di x la distanza che
separa la navicella dalla Luna essendo essa pari a d-x Eguagliamo le due forze di
attrazione gravitazionale per trovare x 119866119872119879119898
1199092=
119866119872119871119898
(119889 minus 119909)2
Operando le dovute semplificazioni (G e la massa dellrsquoastronave) e dividendo
119909
119889 minus 119909= radic
119872119879
119872119871= radic8125 = 901
119909 =901119889
1001= 090 lowast 384400119896119898 = 346013119896119898
Il problema viene considerato parzialmente corretto se ci si ferma a questo punto
percheacute esso chiede la distanza dalla superficie terrestre mentre x egrave misurata dal
centro della Terra pertanto la soluzione corretta egrave D=x-R=(346013-
6378)km=339635km
17 Osservando la stella Canopo con un telescopio potentissimo lrsquoastronomo Qwzzz ha
scoperto due pianeti orbitanti attorno a essa le cui orbite sono esattamente
perpendicolari alla nostra linea di vista La distanza massima del primo pianeta da
Canopo egrave uguale a 47 volte la sua distanza minima e il suo periodo di rivoluzione egrave
pari a 27 anni Il secondo pianeta avente eccentricitagrave pari a 0324 al periapside egrave 3
volte piugrave lontano rispetto al primo (quando questrsquoultimo si trova nella corrispondente
posizione) Quanto vale lrsquoeccentricitagrave del primo pianeta e il periodo di rivoluzione del
secondo
Soluzione Chiamiamo 1 il primo pianeta e 2 il secondo
11988911988611198891199011
= 47 =1198861(1 + 1198901)
1198861(1 minus 1198901)rarr1 + 11989011 minus 1198901
= 47 rarr 1198901 = 0649
1198891199012
1198891199011=1198862(1 minus 1198902)
1198861(1 minus 1198901)= 3 rarr
11988621198861=(1 minus 1198901)1198891199012
1198891199011(1 minus 1198902)= 3 (
1 minus 0649
1 minus 0324) = 1558
Per la Terza legge di Keplero
11987922 = (
11988621198861)3
11987912 rarr 1198792 = 27 119910radic15583 = 524 119910
Bignamino di astronomia
65
bull TERZA LEGGE DI KEPLERO 1 Calcolare il semiasse maggiore dellrsquoorbita di Giove in kilometri sapendo che il suo periodo
di rivoluzione egrave 119879119866 = 37411 ∙ 106 119904
Soluzione
119879119866(119886119899119899119894) =119879119866(119904119890119888119900119899119889119894)
(119904119890119888119900119899119889119894 119894119899 119906119899 119886119899119899119900)=
37411 ∙ 106 119904
3600 ∙ 24 ∙ 365 ∙119904
119886119899119899119900
= 11863 119886119899119899119894
Impostando la terza legge di Keplero e imponendo che 119870 =1 1198861198991198991199002
1 1198801198603
1198792
1198863= 119870 =gt 119886119866(119880 119860 ) = radic[119879119866(119886119899119899119894)]2
3= radic(11863 119886119899119899119894)2
3= 52 119880 119860 =
= 77792 ∙ 106 119896119898
2 Calcolare il periodo di rivoluzione di Marte in giorni sapendo che il suo semiasse maggiore
misura 119886119872 = 2279 ∙ 109 119898
Soluzione
119886119872(119880 119860 ) =119886119872(119898)
1496 ∙ 109 ∙119898119880 119860
=2279 ∙ 109 119898
1496 ∙ 109 ∙119898119880 119860
= 152 119880 119860
Impostando la terza legge di Keplero e imponendo che 119870 =1 1198861198991198991199002
1 1198801198603
1198792
1198863= 119870 =gt 119879119872(119886119899119899119894) = radic[119886119872(119880 119860 )]3 = radic(152 119880 119860 )3 = 187 119886119899119899119894 = 684 119892119894119900119903119899119894
3 Approssimando lrsquoorbita di Venere a una circonferenza calcolare la velocitagrave media v del
pianeta intorno al Sole sapendo che il suo periodo di rivoluzione egrave 119879119881 = 1941 ∙ 106 119904
Soluzione
119879119881(119886119899119899119894) =119879119881(119904119890119888119900119899119889119894)
(119904119890119888119900119899119889119894 119894119899 119906119899 119886119899119899119900)=
1941 ∙ 106 119904
3600 ∙ 24 ∙ 365 ∙119904
119886119899119899119900
= 061 119886119899119899119894
Impostando la terza legge di Keplero e imponendo che 119870 =1 1198861198991198991199002
1 1198801198603
1198792
1198863= 119870 =gt 119886119881(119880 119860 ) = radic[119879119881(119886119899119899119894)]2
3= radic(061 119886119899119899119894)2
3= 072 119880 119860 = 1076 ∙ 106 119896119898
119907 =2120587119886119881119879119881
=2120587 ∙ 1076 ∙ 106 119896119898
1941 ∙ 106 119904= 3483
119896119898
119904
Bignamino di astronomia
66
Risoluzione del sistema per il calcolo delle velocitagrave su orbite non circolari
119907119886119889119886 = 1199071199011198891199011
2119898119907119886
2 minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
1198891198861
2119898119907119886
2 minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
11988911988612119898119907119901
21198891199012
1198891198862
minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886121199071199012119889119901
2
1198891198862
minus1
21199071199012 =
119866119872
119889119886minus119866119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
1198891198861
21199071199012 (1198891199012
1198891198862minus 1) = 119866119872(
1
119889119886minus1
119889119901)
119907119886 =
119907119901119889119901
1198891198861
21199071199012 (1198891199012 minus 119889119886
2
1198891198862
) = 119866119872(119889119901 minus 119889119886
119889119886119889119901)
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886
1199071199012 = 2119866119872 (
119889119901 minus 119889119886
119889119886119889119901)(
1198891198862
1198891199012 minus 119889119886
2)
Bignamino di astronomia
67
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886
1199071199012 = 2119866119872 (
119889119901 minus 119889119886
119889119886119889119901) [
1198891198862
(119889119901 + 119889119886)(119889119901 minus 119889119886)]
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886
119959119953 = radic120784119918119924119941119938
119941119953(119941119953 + 119941119938)
Sostituendo la formula appena trovata nella prima equazione si ottiene
119959119938 = radic120784119918119924119941119953
119941119938(119941119953 + 119941119938)
Possiamo scrivere le due velocitagrave anche in funzione (cioegrave in dipendenza) del semiasse maggiore e
dellrsquoeccentricitagrave dellrsquoorbita Se chiamiamo il semiasse maggiore dellrsquoorbita ellittica a valgono le
seguenti relazioni
119889119886 = 119886(1 + 119890) 119889119901 = 119886(1 minus 119890)
Quindi
119907119901 = radic2119866119872119886(1 + 119890)
119886(1 minus 119890)[119886(1 minus 119890) + 119886(1 + 119890)]= radic2119866119872
1 + 119890
(1 minus 119890)[119886(1 minus 119890 + 1 + 119890)]
= radic2119866119872
2119886(1 + 119890
1 minus 119890) = radic
119918119924
119938(120783 + 119942
120783 minus 119942)
Sostituendo anche nel caso di 119881119886
119907119886 = radic119918119924
119938(120783 minus 119942
120783 + 119942)
Si ricorda inoltre che
119938 =119941119938 + 119941119953
120784 119942 =
119941119938 minus 119941119953
119941119938 + 119941119953
Bignamino di astronomia
68
ESERCIZIO
Un pianeta sta cadendo sulla sua stella seguendo una traiettoria rettilinea se si conosce
lrsquoaltezza di caduta h si determini il tempo di caduta t
Per risolvere questo problema si potrebbe erroneamente pensare di applicare le leggi del moto
rettilineo uniformemente accelerato (come nel caso di una penna che cade dalla scrivania)
Consideriamo perograve un corpo (di massa m) che si trova a una certa altezza dal suolo la sua forza peso
equivale alla forza di attrazione gravitazionale tra il corpo e il pianeta (di raggio R e massa M) su cui
si trova
119898119892 =119898119872119866
(119877 + ℎ)2 119888119894119900egrave 119892 =
119866119872
(119877 + ℎ)2
Come possiamo vedere lrsquoaccelerazione di gravitagrave g non si mantiene costante al variare dellrsquoaltezza
ma varia noi la assumiamo costante al suolo e pari a circa 981 ms^2 solo percheacute in quel caso Δhasymp0
Quindi non possiamo applicare le leggi del moto rettilineo uniformemente accelerato a questo
problema Come risolverlo allora
Allrsquoinizio di questi appunti abbiamo evidenziato che lrsquoeccentricitagrave di unrsquoellisse indica quanto lrsquoellisse
egrave ldquoschiacciatardquo se dunque lrsquoeccentricitagrave tende a 1 la traiettoria tende a un segmento
Quindi possiamo assumere che il pianeta cada seguendo unrsquoorbita ellittica con eccentricitagrave prossima
a 1 e dunque semiasse maggiore a pari a h2 (vedi figura)
Se conosciamo la massa M della stella possiamo applicare la III legge di Keplero generalizzata
1198792
1198863=41205872
119866119872 rarr 119879 = radic
41205872
1198661198721198863 rarr 119879 = radic
41205872
119866119872(ℎ
2)3
rarr 119879 = radic1205872
2119866119872ℎ3
Naturalmente questo egrave il periodo completo dellrsquoorbita Il periodo di caduta egrave la metagrave
119905 =119879
2
a a
h
Bignamino di astronomia
69
Problemi 1 Coordinate celesti e tempo
Ci troviamo in un luogo di latitudine 120593 = 42deg 30prime15primeprime 119873 e longitudine 120582 = 15deg 28prime18primeprime119864
Osserviamo una stella di ascensione retta 5h 32 min 3 sec e declinazione -00deg 15rsquo 20rdquo che
passa al meridiano alle 2030 del 14012020 A quale altezza culminava Quale era la sua
distanza zenitale In quale data dallo stesso luogo e allo stesso orario si egrave potuto vederla
sorgere ad est
Soluzione
Lrsquoaltezza massima di una stella (quando culmina) egrave data dalla relazione
ℎ = 90deg minus 120593 + 120575
Quindi
ℎ = 90deg minus 42deg30prime15 minus 0deg 15 20= 47deg 14 25
La distanza zenitale egrave invece data da 119911 = 90deg minus 120593 = 90deg minus 47deg 14prime25primeprime = 42deg 45prime35primeprime
Un dato importante per poter rispondere alla terza richiesta egrave sapere che le stelle
ldquoanticipanordquo il loro sorgere di 3 119898119894119899 56 119904119890119888119892119894119900119903119899119900
Quindi per sapere quanti giorni prima la stella sorgeva ad est (m)
119898 =120572
Δ119905=
(5ℎ32min3sec)
3119898119894119899 56sec119892119894119900119903119899119900= 84 119892119894119900119903119899119894
84 giorni prima del 14012020 era il 21102019
2 Coordinate e tempo
Il tempo siderale di un luogo (120593 = 28deg 30prime45primeprime119878 120582 = 90deg 23prime50primeprime119882 ) egrave di 9h 3min 45sec
Quale egrave il tempo siderale di GW
Soluzione Il primo passaggio da fare egrave trasformare la longitudine del luogo da gradi in ore
Quindi
15deg 1ℎ = 90deg 23prime50primeprime 120582
120582 = 90deg 23prime50primeprime ∙1ℎ
15deg = 6ℎ 1min3533119904119890119888
Il tempo siderale del luogo egrave legato a quello di GW dalla seguente relazione
119879119904 = 119879119866119908 + 120582
Quindi 119879119866119908 = 119879119904 minus 120582 = 9ℎ3min 45119904119890119888 minus (minus 6ℎ1min 3533sec ) = 9ℎ3min 45119904119890119888 +
6ℎ1min 3533sec = 15ℎ 5min 20119904119890119888
Bignamino di astronomia
70
PROBLEMI E QUESITI SULLA MISURA DEL TEMPO
Problema 1 In un dato luogo a che ora di tempo siderale culmina il Sole medio in un dato giorno
sapendo che sedici giorni prima esso culminava alle 15h 12m 48s di tempo siderale
Se ci troviamo a Belo Horizonte (longitudine λ=43deg56rsquo16rdquo W) al mezzogiorno vero e lrsquoequazione del
tempo per quel giorno egrave pari a ET=-8m7s che ora segna lrsquoorologio dellrsquoosservatore
Soluzione problema 1 La prima richiesta del problema si risolve tenendo conto che giorno solare
medio e giorno siderale hanno diversa durata infatti il giorno siderale egrave piugrave corto del giorno solare
medio di circa 3m56s Pertanto se in un dato giorno il punto gamma e il Sole medio hanno raggiunto
la culminazione nel medesimo istante il giorno successivo il Sole medio culmineragrave 3m56s dopo il
punto gamma Quindi il Sole accumuleragrave un ritardo pari a 163m56s=1h2m56s che andragrave sommato
allrsquoora siderale data dal problema TS=15h 12m 48s + 1h 2m 56s= 16h 15m 44s
Se a Belo Horizonte egrave mezzogiorno vero vuol dire che sono le 12h di tempo solare vero Lrsquoequazione
del tempo egrave la differenza fra tempo solare medio e tempo solare vero quindi
TSM-TSV=ET TSM=TSV+ET=12h ndash 8m 7s= 11h 51m 53s lrsquoorologio dellrsquoosservatore egrave perograve in
accordo col tempo del meridiano centrale del fuso di Belo Horizonte che ha longitudine 3h W
mentre Belo Horizonte ha longitudine 2h 55m 45s W essa egrave quindi piugrave avanti di 3h-2h 55m 45s=4m
15s lrsquoorologio segneragrave quindi le ore 11h 51m 53s ndash 4m 15s= 11h 47m 38s
Problema 2 A Bergamo (λ= 9deg 40rsquo 12rdquo E) i raggi del Sole in un dato momento si proiettano
esattamente sulla linea della meridiana di Cittagrave Alta In quel dato giorno lrsquoequazione del tempo egrave
+5m 12s se il tempo siderale a mezzanotte di quel giorno a Greenwich risultava pari a 3h 21m 20s
qual egrave il tempo siderale a Greenwich nellrsquoistante del problema
Soluzione problema 2 La longitudine di Bergamo espressa in ore minuti e secondi egrave 38m 41s E Se
il disco luminoso si proietta sulla linea meridiana egrave mezzogiorno vero quindi il tempo solare medio
saragrave pari a TSM= TSV + ET= 12h + 5m 12s= 12h 5m 12s Greenwich si trova 38m 41s a ovest di
Bergamo quindi egrave anche 38m 41s indietro a Greenwich sono quindi le 12h 5m 12s ndash 38m 41s= 11h
26m 31s Sono passate quindi 11h 26m 31s dalla mezzanotte per convertire questo tempo medio
in tempo siderale moltiplichiamo per il fattore di conversione 3662536525
ΔTS (Greenwich)= (3662536525)(114419444 h)= 114732394h = 11h 28m 24s Quindi a
Greenwich sono le 3h 21m 20s + 11h 28m 24s= 14h 49m 44s di tempo siderale
Quesito Si valuti argomentando opportunamente come varia lrsquoEquazione del Tempo nel corso
dellrsquoanno solare se in un piano cartesiano in ascissa indichiamo lrsquoET e in ordinata la declinazione del
Sole che curva si ottiene
Risposta Lrsquoequazione del tempo si annulla quattro volte lrsquoanno a metagrave aprile a metagrave giugno verso
Natale e ai primi di settembre il sole medio e il sole vero culminano contemporaneamente (1) Da
Natale a metagrave aprile il sole medio anticipa il sole vero (2) da metagrave aprile a metagrave giugno il sole vero
anticipa il sole medio da metagrave giugno a inizio settembre come (1) e da inizio settembre a Natale
come (2) Oltre a ldquooscillare in orizzontalerdquo in un anno il sole ldquooscilla in verticalerdquo nel senso che
Bignamino di astronomia
71
assume declinazioni da 23deg27rsquo a -23deg27rsquo La curva che si ottiene egrave quindi una sorta di ldquo8rdquo chiamata
analemma essa egrave anche la curva che egrave formata dalle posizioni in cielo del sole vero registrate a
mezzogiorno medio locale ogni giorno dellrsquoanno
Figura 1 Analemma decET
Figura 2 Analemma visualizzato nel cielo di Atene
Problema 3 Una stella di ascensione retta AR=11h 12m 13s culmina in un dato luogo della Terra alle
ore 13h 04m 02s di tempo medio Considerando che a Greenwich culmina una stella con ascensione
retta 8h 11m 58s dire che orario segna lrsquoorologio dellrsquoosservatore in quel dato luogo della Terra
Soluzione Il tempo siderale in un dato luogo egrave uguale allrsquoascensione retta delle stelle che si trovano
a culminare al meridiano superiore Quindi in questo luogo della Terra il tempo siderale egrave pari a 11h
12m 13s a Greenwich il tempo siderale egrave pari a 8h 11m 58s Notiamo come il luogo dove si trova
lrsquoosservatore ha longitudine est infatti egrave piugrave avanti di Greenwich di circa 3 ore quindi egrave piugrave a Est di
Greenwich La differenza fra lrsquoora siderale dellrsquoosservatore e quella a Greenwich dagrave la longitudine
del luogo (differenza fra longitudine del luogo e longitudine di Greenwich che egrave 0 percheacute il suo
meridiano egrave origine delle longitudini)
λ= TSrsquo-TS(GW)= 11h 12m 13s ndash 8h 11m 58s= 3h 0m 15s E Questo luogo segue il meridiano che ha
longitudine 3h E quindi egrave in anticipo rispetto a esso di appena 15s pertanto il suo orologio segneragrave
le ore 13h 04m 02s ndash 15s= 13h 03m 47s
Bignamino di astronomia
72
bull STELLE E MAGNITUDINI SISTEMI STELLARI ESTESI
1 Pochi giorni fa si egrave registrato un nuovo oggetto che si comporta apparentemente
come una binaria a eclisse Tuttavia il periodo non egrave stabile la magnitudine
dellrsquooggetto egrave in genere pari a 2432 ma ogni 7-11 secondi sale a 2452 per 02-03
secondi Dopo unrsquoaccurata analisi del problema si egrave capito che lrsquooggetto splendente egrave
costituito dagli occhi di un gruppo di gatti assolutamente neri seduti su un piccolo
corpo del sistema solare nero e con gli sguardi rivolti verso il sole Uno dei gatti batte
ogni tanto le palpebre Quanti gatti ci sono
Soluzione Sia N il numero di occhi la cui determinazione egrave richiesta dal problema
Quando il gatto nero del problema chiude gli occhi il numero di occhi che
contribuisce alla magnitudine complessiva scende di due unitagrave (N-2) Se
consideriamo che gli occhi dei gatti sono tutti gli stessi ciascuno di essi ci invia un
flusso pari a F Avendo entrambe le magnitudini corrispondenti alla situazione ldquotutti
gli N occhi apertirdquo (2432) e ldquoN-2 occhi apertirdquo (2452) possiamo scrivere la formula
di Pogson tenendo conto dei flussi complessivi
119898119898119894119899 minus119898119898119886119909 = minus25119897119900119892 [119865 lowast (119873 minus 2)
119865 lowast 119873]
119873 minus 2
119873= 10
119898119898119886119909minus11989811989811989411989925 = 10minus008 = 0832 rarr 119873 =
2
0168asymp 12 119900119888119888ℎ119894 ossia 6 119892119886119905119905119894
2 La galassia di Andromeda ha una magnitudine apparente integrata mv = 440 e appare in cielo come unrsquoellisse i cui semiassi hanno dimensioni angolari di circa 190 arcmin e 60 arcmin Sapendo che la sua distanza egrave di circa 254 milioni di anni luce calcolare la magnitudine assoluta e la magnitudine apparente superficiale media della galassia (Gara Interregionale Categoria Senior 2018)
Soluzione La distanza della galassia di Andromeda in pc egrave 119889(119901119888) =254 10^63262= 77810^3 119901119888 La magnitudine assoluta egrave data dalla relazione 119872119907 = 119898119907 + 5 minus 5 log 119889(119901119888) = -201 Per calcolare la magnitudine apparente superficiale dobbiamo calcolare lrsquoarea apparente della galassia A = π a b = 120587 190 ∙ 60 = 358 ∙ 103 1198861199031198881198981198941198992 cong 129 ∙ 106 119886119903119888119904119890119888^2 La magnitudine apparente superficiale (msup) si ottiene dalla relazione 119898119904119906119901 = 119898119907 +25 log 119860 cong 158119898119886119892119886119903119888119898119894119899^2 cong 247119898119886119892119886119903119888119904119890119888^2 3 Si consideri una stella variabile ldquopulsanterdquo la cui magnitudine assoluta varia
nellrsquointervallo M1= 325 e M2= 226 con una temperatura effettiva che al massimo di luminositagrave egrave T2= 5500 K e al minimo di luminositagrave egrave T1 = 5000 K Calcolare quanto varia il raggio della stella tra il minimo e il massimo di luminositagrave Esprimere il
Bignamino di astronomia
73
risultato come rapporto tra raggio massimo e raggio minimo e come differenza tra i due raggi in km (Gara Interregionale Categoria Senior 2017)
Soluzione La luminositagrave di una stella egrave definita dalla relazione 119871=4 120587 119877^2 120590 119879^4 Per ricavare il rapporto tra i raggi al massimo e minimo di luminositagrave utilizziamo la formula di Pogson 1198722minus 1198721= minus 25log(11987121198711)=minus 25log[4120587(1198772)^2 120590 (1198792)^4][4120587(1198771)^2 120590 (1198791)^4]= -
25log[(11987721198771)^2 (11987921198791)^4] e quindi 0396 = log[(11987721198771)^2 (11987921198791)^4] =119897119900119892 [(11987721198771)^2 1464] da cui 0396=2log(11987721198771)+log1464 ovvero 0115= 119897119900119892 (11987721198771) e infine (119929120784119929120783)=120783120785120782 Per ottenere la differenza in km calcoliamo il raggio della stella al massimo di luminositagrave confrontando i suoi dati con una stella di caratteristiche note il Sole Avremo quindi 1198722minus 119872s=minus 25log[(1198772119877s)^2 (1198792119879s)^4] e quindi 103 = 2 log R2 ndash 2 log Rs + 4 log 09519
da cui si ricava 1198772=2513 ∙ 10^3 119896119898cong361 119877s e 1198771=1933 ∙ 10^3 119896119898cong278 119877s la variazione del raggio in km vale quindi ΔR = 580 ∙ 103 km
4 La supergigante rossa Betelgeuse ha una magnitudine apparente m1=+042 e
una parallasse π1=0005rdquo mentre la supergigante blu Rigel ha una magnitudine
apparente m2=+013 e una parallasse π2=0004rdquo Quale delle due stelle egrave
intrinsecamente piugrave luminosa Qual egrave la piugrave lontana (Gara interregionale Categoria Senior 2015) Soluzione Affincheacute si possa determinare quale delle due stelle sia piugrave luminosa intrinsecamente egrave necessario ricorrere al calcolo delle magnitudini assolute delle due stelle possiamo calcolare la magnitudine assoluta di una stella conoscendo la magnitudine apparente della stessa e la sua parallasse tramite la relazione
119872 = 119898 + 5 + 5119897119900119892120587 119900119907119890 119897119886 119901119886119903119886119897119897119886119904119904119890 egrave 119890119904119901119903119890119904119904119886 119894119899 119886119903119888119900119904119890119888119900119899119889119894 Nel caso nostro
1198721 = 1198981 + 5 + 51198971199001198921205871 = +042 + 5 + 51198971199001198920005 = minus608 (119861119890119905119890119897119892119890119906119904119890)
1198722 = 1198982 + 5 + 51198971199001198921205872 = +013 + 5 + 51198971199001198920004 = minus687 (119877119894119892119890119897)
Essendo la magnitudine assoluta di Rigel minore di quella di Betelgeuse allora Rigel egrave intrinsecamente piugrave luminosa di Betelgeuse Possiamo giagrave da questo risultato comprendere quale stella sia piugrave distante delle due infatti Rigel egrave sia apparentemente sia assolutamente piugrave luminosa di Betelgeuse quindi egrave necessario che essa sia piugrave distante di Betelgeuse affincheacute ciograve si verifichi A riprova di ciograve la parallasse di Rigel egrave minore di quella di Betelgeuse essendo essa piugrave lontana La distanza di Rigel in parsec egrave 1π2=250 pc mentre quella di Betelgeuse egrave 1π1=200 pc
da cui d2gtd1
Bignamino di astronomia
74
bull COSMOLOGIA ELEMENTARE
5 Un team di scienziati osserva una nuova galassia e ne analizza lo spettro la riga H-alfa
dellrsquoidrogeno che ha in laboratorio una lunghezza drsquoonda pari a 656281 Aring ha nello spettro della galassia una lunghezza drsquoonda di 656933 Aring Si determini la distanza della galassia Soluzione per prima cosa calcoliamo il redshift della galassia
119911 =∆120582
120582=120582119900119904119904 minus 120582119897119886119887
120582119897119886119887=656933 minus 656281
656281= 9935 lowast 10minus4
Applichiamo la legge di Hubble-Lemaitre
119888119911 = 1198670119889 rarr 119889 =119888119911
1198670= 299792458
119896119898
119904lowast 9935 lowast
10minus4
719= 414 119872119901119888
6 Osservando lrsquoesplosione di una supernova in una lontana galassia due scienziati notano che la riga H-beta dellrsquoidrogeno osservata nello spettro ha esattamente la stessa lunghezza drsquoonda della riga H-alfa osservata in laboratorio Tuttavia i due scienziati usano valori diversi per la costante di Hubble Usando valori che differiscono di ΔH=H2-H1=14 kmsMpc ottengono valori diversi per la magnitudine assoluta della supernova al massimo M1=-1902 e M2=-1864 Trovare quanto valgono per ciascuno dei due scienziati il redshift e la distanza della galassia (XXIII International Astronomy Olympiad ndash Colombo Sri Lanka Theoretical Round Group β Exercise 1) Soluzione Il redshift misurato dai due scienziati egrave lo stesso per entrambi esso infatti dipende dalle lunghezze drsquoonda osservate che secondo quanto affermato nella traccia sono le stesse per entrambi gli scienziati La lunghezza drsquoonda della riga H-alfa egrave pari a 6563 Aring mentre la lunghezza drsquoonda della riga H-beta egrave pari a 4861 Aring Il redshift per definizione egrave dunque pari a
119911 =120582119867minus119886119897119891119886minus120582119867minus119887119890119905119886
120582119867minus119887119890119905119886= 035
Conoscendo la relazione nota come ldquomodulo di distanzardquo (relazione fra mag Apparente e mag Assoluta) possiamo scrivere
1198721 = 1198981 + 5 minus 51198971199001198921198891 1198722 = 1198982 + 5 minus 51198971199001198921198892
Ma le due magnitudini apparenti dellrsquooggetto debbono necessariamente coincidere dal momento che esse sono dati puramente osservativi (non derivano cioegrave da elaborazioni di dati precedenti) possiamo quindi sottrarre membro a membro le due relazioni precedenti semplificando le due magnitudini apparenti
1198721 minus1198722 = 5119897119900119892 (11988921198891) rarr
11988921198891= 10
1198721minus11987225 = 0839
Possiamo scrivere il seguente sistema
1198892 = 08391198891H2 minus H1 = 14
119888119911
1198672= 0839
119888119911
1198671H2 minus H1 = 14
1198672 = 11911986711198672 minus 1198671 = 14
1198671 =
7368119896119898119904
119872119901119888
1198672 =8768
119896119898119904
119872119901119888
Bignamino di astronomia
75
Da cui finalmente d1=czH1=2997924580357668=13684 Mpc dz=czH2=2997924580538768=11967 Mpc
bull MISCELLANEA
1 Una galassia egrave composta da stelle tutte simili al nostro Sole Essa mostra uno
spostamento verso il rosso della riga Hα (λ=656281 Aring) di ampiezza pari a Δλ= 15 Aring
Essa risulta inclinata rispetto alla perpendicolare alla linea di vista di un angolo di 30deg
e si sa che il suo raggio egrave pari a 37000 anni luce Nel cielo appare come un oggetto di
magnitudine superficiale msup= 2478 magarcsec2
Quanto vale la massa della galassia
Soluzione Ci viene fornita dalla traccia la magnitudine superficiale della galassia vista
dalla Terra essa indica la magnitudine di una ldquoporzionerdquo della galassia di superficie
pari a 1 arcsec2 Di conseguenza la magnitudine complessiva della galassia devrsquoessere
legata alla sua superficie angolare allora dobbiamo conoscere le dimensioni angolari
della galassia abbiamo le dimensioni angolari quindi dobbiamo ricavare la distanza
della galassia
Calcoliamo per prima cosa il redshift z
119911 =∆120582
120582=
15
656281= 229 ∙ 10minus4
Con la legge di Hubble-Lemaitre ricaviamo la distanza
119888119911 = 1198670119889 119889 =119888119911
119867119900=300 ∙ 105 ∙ 229 ∙ 10minus4
719119872119901119888 = 0954 119872119901119888
= 311 ∙ 106119886119899119899119894 119897119906119888119890
Adesso possiamo determinare le dimensioni apparenti della galassia percheacute ne
conosciamo la distanza nel cielo essa ci appare come unrsquoellisse il cui semiasse
maggiore vale
119886 = arctan (119877
119889) = arctan (
37000
311 ∙ 106) = 0682deg = 24538 119886119903119888119904119890119888
Essendo il coseno di 30deg uguale a radic3
2 il semiasse minore varragrave
119887 = arctan(119877radic3
2119889) = arctan (
37000 ∙ 173
2 ∙ 311 ∙ 106) = 0590deg = 21226 119886119903119888119904119890119888
Calcoliamo la superficie di questa ellisse
119878 = 120587119886119887 = 120587 ∙ 24538 ∙ 21226 arcsec2 = 163 ∙ 107 arcsec2
Bignamino di astronomia
76
A questo punto ricaviamo la magnitudine integrata apparente
m=msup-25log(119878) 119898 = 2478 minus 25 log(163 ∙ 107) = 675
Abbiamo la distanza troviamo la magnitudine assoluta
M=m+5-5logd=675+5-5log(0954 106)=-1815
A questo punto troviamo il numero di ldquosolirdquo contenuti nella galassia grazie alla
relazione che ci permette di ricavare la magnitudine integrata di un oggetto (nel caso
sia composto da componenti uguali)
119872 = minus25 log(119873 lowast 10minus04119872119904) 119873 = 10minus04(119872minus119872119878) = 10minus04(minus1815minus483)
= 156 ∙ 109119904119905119890119897119897119890 119888119900119898119890 119894119897 119904119900119897119890
Possiamo finalmente trovare la massa della galassia
119872119892 = 156 ∙ 109 ∙ 199 ∙ 1030119896119892 = 310 ∙ 1039119896119892
2 Una stella di raggio R=705000 km presenta un picco drsquoemissione alla lunghezza
drsquoonda di 542 nm Se essa egrave costituita interamente da idrogeno si determini quanti
atomi di idrogeno hanno reagito in un secondo nel nucleo della stella nella reazione
di fusione termonucleare che produce elio
Soluzione Dobbiamo innanzitutto determinare la luminositagrave della stella che dipende
dal quadrato del raggio e dalla quarta potenza della temperatura disponiamo del
raggio ma dobbiamo ricavare la temperatura notiamo come il problema fornisca la
lunghezza drsquoonda del picco drsquoemissione che egrave inversamente proporzionale alla
temperatura efficace secondo la Legge di Wien
120582 ∙ 119879119890119891119891 = 2898 119898119898 119870 119879119890119891119891 =2898 119898119898 119870
542 ∙10minus6119898119898= 5347 119870
Adesso possiamo determinare la luminositagrave della stella (Legge di Stefan-Boltzmann)
119871 = 41205871198772120590(119879119890119891119891)4= 4120587 (705 ∙ 108)2 567 ∙ 10minus8 (5347)4 119882 = 289 ∙ 1026119882
Questa egrave lrsquoenergia che la stella irradia in un secondo ma da dove deriva Nel nucleo
quattro protoni si fondono per formare un nucleo di elio il nucleo di elio che si forma
perograve non ha la stessa massa dei quattro protoni bensigrave ha una massa lievemente
minore La massa mancante (il difetto di massa) si egrave trasformata in energia secondo
la famosa relazione di Einstein
119864 = 1198981198882
Se E=L m saragrave uguale al difetto di massa complessivo per unitagrave di tempo
119898 =119871
1198882=289 ∙ 1026119882
9 ∙ 10161198982
1199042 = 321 ∙
109119896119892
119904
Essendo la massa di un nucleo di elio-4 pari a 6645 10-27kg mentre la massa del
protone pari a 167310-27kg si ha che la massa di 4 protoni egrave 669210-27kg e quindi
il difetto di massa per ogni reazione egrave Δm= 004710-27 kg Dividendo questo valore
Bignamino di astronomia
77
per quello trovato sopra otteniamo il numero di reazioni che avvengono in un
secondo nel nucleo della stella
119873 =119898
∆119898=
321 ∙ 109
0047 ∙ 10minus27119903119890119886119911 = 683 ∙ 1037119903119890119886119911
A ogni reazione corrispondono quattro atomi di idrogeno quindi per trovare la
soluzione ci basta moltiplicare questo valore per 4
119873119905119900119905 = 4119873 = 273 ∙ 1038119886119905119900119898119894()
3 Che dimensioni dovrebbe avere una sfera metallica perfettamente riflettente per
essere visibile come un astro da Terra ad occhio nudo quando essa si trova in
opposizione al Sole (Questa sfera egrave posta in orbita circolare attorno alla Terra con
un periodo T=2766 ore)
Soluzione Innanzitutto ci serve conoscere il raggio orbitale della sfera perciograve
applichiamo la Terza Legge di Keplero generalizzata
1198792
1198863=41205872
119866119872 119886 = radic
1198661198721198792
41205872
3
= radic667 ∙ 10minus11 ∙ 597 ∙ 1024 ∙ 992 ∙ 107
4(314)23
= 10005119896119898
Sia Fs il flusso solare esso investe la sfera e la quantitagrave di energia intercettata in un
secondo (Lint) egrave direttamente proporzionale alla sezione della sfera
119871119894119899119905 = 119865119904 ∙ 1205871198772
La luce viene interamente riflessa quindi
119871119903119894119891 = 119871119894119899119905 = 119865119904 ∙ 1205871198772
Questa luminositagrave viene riflessa in tutte le direzioni quindi tutti i punti che si trovano
alla medesima distanza dalla sfera riceveranno lo stesso flusso pari a
119865 =119865119904 ∙ 120587119877
2
41205871198892=119865119904 ∙ 119877
2
41198892
In particolare per una localitagrave posta sulla Terra
119865 =119865119904 ∙ 119877
2
4(119886 minus 119877119879)2=
119865119904 ∙ 1198772
4(107 minus 6378 ∙ 106)2= 1906 ∙ 10minus14119865119904 119877
2
Applichiamo la formula di Pogson comparando la sfera col Sole e tenendo presente
che la magnitudine della sfera devrsquoessere uguale a 6 (lrsquooggetto egrave appena visibile ad
occhio nudo)
119898minus119898119904 = minus25 log (119865
119865119904) rarr 6 + 2674 = minus25 log(1906 ∙ 10minus141198772)
1906 ∙ 10minus141198772 = 10minus131 rarr 119877 = radic10minus131
1906 ∙ 10minus14119898 = 204 119898
Pertanto la sfera deve avere un diametro di 408 metri
Bignamino di astronomia
78
[NB Nello svolgimento del problema si egrave usato lo stesso valore del flusso solare per la Terra e per la
sfera in realtagrave ciograve egrave unrsquoapprossimazione percheacute le distanze Terra-Sole e Sole-sfera sono diverse
Essendo perograve il semiasse dellrsquoorbita della sfera trascurabile rispetto al semiasse della Terra allora i due
flussi sono assai simili]
4 Egrave stato osservato un quasar doppio che si trova a grandissima distanza dalla Terra La
particolaritagrave di questo quasar egrave il moto di allontanamento delle due componenti Q1
e Q2 In particolare Q1 si allontana da Q2 spostandosi come riportato in figura dal
punto A al punto B con velocitagrave relativistica ldquovrdquo pari al 75 della velocitagrave della luce
Calcolare lrsquointervallo di tempo Δt impiegato dal componente Q1 a raggiungere il
punto B e il corrispondente intervallo di tempo Δtrsquo misurato dagli astronomi sulla
Terra (che giace sullo stesso piano della figura) Sulla base del risultato ottenuto di
fronte a quale sconvolgente conclusione si sono trovati gli astronomi prima di
riuscire a spiegare correttamente il fenomeno (Dalla Finale Nazionale 2015
Categoria Junior)
Soluzione Il tratto AB egrave lrsquoipotenusa del triangolo rettangolo ABArsquo (vedi figura) quindi
esso vale (Teorema di Pitagora)
119860119861 = radic119860119860prime2 + 119860prime1198612 = radic9 + 16 = 5119886 119897
Esso viene quindi percorso nel tempo ∆119905 =119860119861
119907=
5119886119897
075119888= 667 119886119899119899119894 Notiamo come non ci
sia bisogno di conoscere il valore della velocitagrave della luce percheacute le distanze sono espresse
in anni luce
Adesso analizziamo il fenomeno come viene visto dalla Terra Quando Q1 si trova in A la luce
da esso emessa impiega per giungere in Arsquo un tempo pari a 4119886119897
119888= 4 119886119899119899119894 Nel frattempo
Q1 si sposta e per arrivare in B impiega 667 anni La luce che emette in B non deve piugrave
attraversare una distanza di 4 al quindi i due segnali luminosi arrivano a una ldquodistanzardquo
temporale ∆119905prime = (667 minus 4)119886119899119899119894 = 267 119886119899119899119894
Il risultato sconvolgente egrave che siccome agli astronomi da Terra egrave sembrato che Q1 si
spostasse lungo ArsquoB la sua velocitagrave misurata da Terra risulta pari a
119907 =119860prime119861
267119886119899119899119894=
3119886 119897
267119886119899119899119894= 1125119888
Bignamino di astronomia
79
Apparentemente il quasar si egrave spostato con una velocitagrave superiore a quella della luce Non egrave
infatti raro osservare dei moti superluminali (cioegrave con velocitagrave superiore a quella della luce)
in oggetti che si muovono con velocitagrave relativistiche questa velocitagrave egrave tuttavia sempre
apparente
5 Se una stella presenta un redshift z pari a 555 10-5 quale saragrave il verso e il valore della
sua velocitagrave radiale
Soluzione il redshift egrave positivo quindi la stella si allontana da noi La velocitagrave radiale
della stella egrave data da
119907 = 119888119911 = 3 ∙ 105 ∙ 555 ∙ 105 = 167119896119898
119904
6 La lunghezza drsquoonda λrsquo di una delle righe piugrave evidenti della luce emessa dalle galassie
di una costellazione egrave 1020 volte piugrave grande della corrispondente lunghezza drsquoonda
λ di riferimento Calcolare la velocitagrave con cui lrsquoammasso si sta allontanando dalla Terra
e stimare la sua distanza
Soluzione il redshift egrave119911 =∆120582
120582=
(1020minus1)120582
120582= 0020
Pertanto 119907 = 0020119888 = 6000119896119898
119904 119890 (119897119890119892119892119890 119889119894 119867119906119887119887119897119890 minus 119871119890119898119886119894119905119903119890)
119889 =119907
119867= 6000719=834 Mpc
7 In una galassia tutti gli ammassi globulari hanno un diametro pari a 50 anni luce
Nelle fotografie si misura il diametro angolare di tre di questi ammassi I diametri
risultano pari a 8rsquo9rsquo10rsquo Calcolare la distanza dei tre ammassi
Soluzione le dimensioni reali di un oggetto visto sotto un angolo α alla distanza d
sono date da
119863 = 2119889 tan (120572
2)
Da cui
1198891 =119863
2 tan(12057212)=
50
2 tan(01333
2)=21486 anni luce
1198892 =119863
2 tan (12057222)= 19099 119886119899119899119894 119897119906119888119890
Bignamino di astronomia
80
1198893 =119863
2 tan (12057232)= 17189 119886119899119899119894 119897119906119888119890
8 Se si dispone di un telescopio di 30 cm di diametro e lunghezza focale di 2 m quali
ingrandimenti saranno forniti da tre oculari di focale 25mm 10 mm e 5mm Se gli
oculari hanno un campo apparente di 55deg quale saragrave lrsquoangolo di campo al telescopio
Calcolare pure la pupilla drsquouscita
Soluzione Calcoliamo lrsquoingrandimento
1198681 =119865
119891=2000119898119898
25119898119898= 80119909
1198682 =2000
10= 200119909
1198683 =2000
5= 400119909
Il campo del telescopio saragrave
1198651199001198811 =119865119900119881119900119888119894
=55deg
80= 069deg
1198651199001198812 =55deg
200= 028deg
1198651199001198813 =55deg
400= 014deg
La pupilla drsquouscita
1199011 =300
80= 375119898119898 1199012 =
300
200= 15119898119898 1199013 =
300
400= 075119898119898
9 Calcolare lrsquoapertura minima di un telescopio per poter riconoscere un granulo solare
ampio 700km
Soluzione Lrsquoestensione angolare di questo granulo egrave data da
120572 = 2 arctan (119863
2119889) = 2 arctan (
700
2 ∙ 1496 ∙ 106) = 097
Quindi per la formula di Dawes 119863(119898119898) =120
120572=124cm
10 Per realizzare una fotografia a vasto campo egrave stato necessario un tempo di posa di 13
minuti a f3 con sensibilitagrave 800 ISO Determinare il tempo necessario per ottenere la
stessa foto usando una sensibilitagrave di 1000 ISO ed unrsquoapertura relativa di f45
Trascurare le perdite di sensibilitagrave dovute al difetto di reciprocitagrave delle pellicole
Bignamino di astronomia
81
Soluzione il tempo di posa richiesto si ricava dalla formula
1198792 =11989122 1198781
11989112 1198782
1198791 119879 119905119890119898119901119900 119878 119904119890119899119904119894119887119894119897119894119905agrave 119891 119889119894119886119891119903119886119898119898119886 (119886119901119890119903119905119906119903119886 119903119890119897119886119905119894119907119886)
1198792 =452 800
32 1000 13 = 234 119898119894119899
11 Determinare il tempo di posa massimo per ottenere stelle puntiformi senza
inseguimento siderale con un obiettivo di 50 mm (di focale F) puntato su una zona di
cielo avente declinazione media 45deg Il formato utilizzato egrave il 24x36mm
Soluzione La formula che permette di ottenere stelle puntiformi egrave
119879119898119886119909 =600
119865119888119900119904120575= 17119904119890119888119900119899119889119894
12 Un radiotelescopio ha apertura di 75 m determinare il limite di diffrazione
raggiungibile alla frequenza di osservazione di 410 MHz
Soluzione La lunghezza drsquoonda egrave data da
119888 = 120582120584 120582 =119888
120584= 732 119888119898
Il limite di diffrazione si ricava dalla formula di Rayleigh
120599 =122120582
119863= 122
732
7500= 00119 119903119886119889 = 068deg = 41prime
13 Un radiotelescopio ha un diametro di 25m calcolare il limite di diffrazione alla
lunghezza drsquoonda di osservazione di 21 cm
Soluzione Per la formula di Rayleigh
120599 =122120582
119863= 122
21
2500= 001119903119886119889 = 059deg = 352prime
14 Un telescopio riflettore ha diametro 15 m calcolare il suo potere risolutivo massimo
alla lunghezza drsquoonda dellrsquoidrogeno ionizzato Hα=6563nm
Soluzione Ancora una volta
120599 =122120582
119863= 122 lowast 6563
10minus9
15= 53 10minus7119903119886119889 = 011
Bignamino di astronomia
82
15 Consideriamo due stelle la prima (S1) ha magnitudine apparente m1=11 e si trova a
una distanza L1 dalla Terra la seconda S2 ha luminositagrave intrinseca identica a S1 ma
si trova a una distanza tripla rispetto a S1 Che magnitudine apparente ha la stella S2
Se abbiamo a disposizione uno specchio di diametro D1 con cui si riesce a vedere a
malapena S1 quanto deve essere il diametro del secondo telescopio D2 che permetta
di vedere a malapena la stella S2
Soluzione Siccome la luminositagrave intrinseca egrave la stessa ma la distanza della seconda
stella egrave tripla il flusso della seconda stella egrave uguale a un nono del flusso della prima
Quindi applicando la formula di Pogson
1198981 minus1198982 = minus25 log (11986512) = minus25 log 9 = minus239
1198982 = 11 + 239 = 1339
Infine poicheacute per osservare S2 dobbiamo essere in grado di rivelare il flusso che egrave 9
volte minore e che lrsquoarea di uno specchio aumenta con il quadrato del raggio il raggio
dello specchio D2 devrsquoessere 3 volte piugrave grande di quello di D1
16 Calcolare la magnitudine limite visuale limite raggiungibile con un telescopio di
diametro D=25cm
Soluzione Applicando la formula per trovare la magnitudine limite (con il diametro
espresso in cm) troviamo
119898 = 68 + 5119897119900119892119863 = 68 + 511989711990011989225 = 138
17 Calcolare lrsquoapertura necessaria per poter osservare stelle fino a una magnitudine
limite visuale di +16 con un telescopio
Soluzione Applicando la formula precedente
119898 = 68 + 5119897119900119892119863 119863 = 10119898minus685 = 10184 = 692 119888119898
Bignamino di astronomia
83
18 In un sistema stellare una stella ruota attorno ad unrsquoaltra su unrsquoorbita circolare con
velocitagrave 45 kms il suo periodo di rivoluzione egrave 300 giorni Determinare il raggio
dellorbita e la massa della stella centrale
Soluzione la velocitagrave orbitale egrave data da
119907 =2120587119877
119879 119889119886 119888119906119894 119877 =
119907119879
2120587=45000 ∙ 2592 ∙ 107
62831= 1856 ∙ 1011119898
Dalla Terza legge di Keplero
119872 =412058721198773
1198661198792= 5632 ∙ 1030119896119892
Bignamino di astronomia
84
La SFERA e la TRIGONOMETRIA SFERICA
Premessa
Nella geometria piana i concetti base sono il punto e la retta
Su una sfera i punti sono definiti nel senso usuale Le rette sono definite come cerchi massimi Data una sfera si definisce circonferenza massima ogni circonferenza che si ottiene intersecando la superficie sferica con un piano passante per il centro della sfera Lequatore celeste egrave un circolo massimo mentre i paralleli di declinazione non lo sono Lorizzonte astronomico egrave un circolo massimo mentre non lo sono gli almucantarat o paralleli di altezza
Elementi della sfera
Superficie sferica
Si chiama superficie sferica la figura
generata da una semicirconferenza
in una rotazione completa attorno
al suo diametro Possiamo anche
definirla come luogo geometrico La
superficie sferica egrave il luogo
geometrico dei punti dello spazio
che hanno distanza dal centro pari al
raggio
Sfera
Si chiama sfera la figura generata da un semicerchio di
una rotazione completa attorno al suo diametro
Definita come luogo geometrico egrave il luogo dei punti dello
spazio la cui distanza dal centro egrave minore o uguale al
raggio
Zona sferica
Si chiama zona sferica la parte di
superficie sferica compresa fra due
piani paralleli α e β che intersecano
la sfera Le circonferenze sezioni si
chiamano basi della zona Lrsquoaltezza egrave
la distanza tra i due centri delle
circonferenze sezioni
Bignamino di astronomia
85
Spicchio sferico Lo spicchio sferico egrave il solido delimitato da due piani meridiani passanti per
uno stesso diametro e dalla porzione di superficie sferica (fuso sferico) a
essi corrispondente
Presi due punti distinti su una sfera per essi passa
una ed una sola circonferenza massima
Dati due punti A e B distinti su una sfera esiste una ed una sola circonferenza
massima che li contiene i due punti individuano su questa circonferenza due archi il minore di essi si
chiama distanza sferica rappresenta una geodetica (La geodetica egrave la linea che realizza su una data
superficie il minimo percorso fra due punti assegnati)
Corda
Si chiama corda un segmento i cui estremi appartengono
alla superficie sferica
Si chiama diametro una corda passante per il centro
della superficie sferica e della sfera
Segmento sferico a due basi
Definiamo segmento sferico a due basi la parte di sfera
compresa fra due piani paralleli α e β secanti la sfera
stessa
Calotta Sferica
Definiamo calotta sferica ognuna
delle due parti in cui una superficie
sferica viene divisa da un piano
secante 120572 La calotta egrave la porzione di
superficie sferica ottenuta per
sezione con il piano α
Segmento sferico ad una base
Il segmento sferico ad una base egrave ognuna delle
due parti in cui una sfera viene divisa da un piano
secante α il segmento egrave la porzione di sfera
compresa tra il piano e la calotta
Fuso sferico
La parte di superficie sferica limitata da due
circonferenze massime di sezione dei
semipiani α e β con la superficie sferica
Bignamino di astronomia
86
Nella geometria sferica la circonferenza massima gioca lo stesso ruolo della retta
nella geometria piana
La lunghezza di questo arco egrave proporzionale al raggio della sfera e
allrsquoangolo al centro AOB Se AOB egrave espresso in radianti
AB = OA x AOcircB
Triangolo sferico
Si definisce triangolo sferico la superficie sulla sfera limitata da tre
archi di circolo massimo passanti per tre punti detti vertici tali punti
non devono appartenere allo stesso circolo massimo e gli archi non
devono avere alcun punto dintersezione al di fuori dei vertici
Lati del triangolo sferico
Sono le lunghezze degli archi AB BC CA che limitano la superficie
Tali lati sono minori o uguali a 180
Angoli del triangolo sferico
Sono gli angoli formati dai tre archi di circolo massimo La somma
degli angoli (interni) egrave maggiore di 2 angoli retti e minore di 6 angoli
retti
180deg lt α+β+γ lt 540deg
Pertanto la somma degli angoli egrave 180deg solo quando il triangolo egrave
degenere ovvero quando i vertici del triangolo sono situati sullo
stesso circolo massimo
La differenza fra la somma dei tre angoli di un triangolo sferico e lrsquoangolo piatto si dice eccesso sferico
ε= α+β+γ minus 180deg
Bignamino di astronomia
87
Nel triangolo sferico sussistono relazioni fra le funzioni trigonometriche dei lati e degli angoli tali relazioni
sono date dai teoremi di Eulero (teorema del coseno ( ) per i triangoli sferici e teoremi dei seni( )) da
cui derivano due gruppi fondamentali di relazioni che prendono il nome di primo e secondo gruppo di Gauss
di cui ci occuperemo nella trattazione del triangolo di posizione astronomico Lrsquoapplicazione dei triangoli
sferici assume particolare importanza in astronomia in quanto come abbiamo visto nei sistemi di riferimento
sulla sfera celeste si misurano solo distanze angolari
Per un lato
cos (119886) = cos (119887)cos (119888) + sin (119887)sin (119888)cos (119860)
sin (119886)
sin (119860)=sin (119887)
sin (119861)=sin (119888)
sin (119862)
Oppure
sin(119886) ∶ sin(119860) = sin(119887) sin(119861) = sin(119888) sin(119862)
Bignamino di astronomia
88
Triangolo di posizione astronomico
Vertici del triangolo
Il triangolo astronomico o di posizione ha i vertici nellastro
nello zenit e nel polo celeste nord il terzo vertice potrebbe
essere anche laltro polo ma per convenzione egrave preferibile
usare quello nord in quanto semplifica le regole algebriche
per il calcolo delle lunghezze dei lati
Lati del triangolo
I lati del triangolo hanno lunghezze comprese fra 0 e 180
definite come segue
bull Distanza polare p = 9 - 120575
la distanza che lastro ha dal polo di riferimento (polo celeste nord per convenzione)
Considerando la declinazione 120575 positiva se a Nord e negativa se Sud la distanza polare egrave p lt 90 nel
primo caso e p gt 90 nel secondo
bull Colatitudine c = 9 - 120593
coincide con la colatitudine ossia il complemento della latitudine Si ricorda che lelevazione
dellasse polare egrave esattamente pari alla latitudine del luogo La precedente convenzione per la
declinazione puograve essere adottata anche per la latitudine per cui si ha c lt 90 per latitudini nord e c gt
90 per quelle sud
bull Distanza zenitale z = 90 - h
Coincide con la distanza zenitale z ossia la distanza che lastro ha dallo zenit Tale distanza egrave il
complemento dellaltezza h (z = 90-h) Se lastro egrave nellemisfero visibile si ha h gt 0 e z lt 90 per astri
nellemisfero invisibile si ha h lt 0 e z gt 90
I tre angoli sono
1) Angolo vertice nello Zenith compreso tra meridiano e cerchio verticale la sua ampiezza dovrebbe corrispondere allazimuth ma in questo caso poichegrave lampiezza degli angoli nei triangoli sferici egrave sempre inferiore a 180deg prende nome di Angolo azimutale Z
2) Angolo vertice nel Polo Celeste compreso tra meridiano e cerchio orario la sua ampiezza corrisponderebbe allangolo orario ma in questo caso poicheacute lampiezza degli angoli nei triangoli sferici egrave sempre inferiore a 180deg prende nome di Angolo al Polo P
3) Angolo con vertice nellrsquooggetto A
Bignamino di astronomia
89
Attraverso le seguenti relazioni note come primo e secondo gruppo di Gauss
119904119894119899 ℎ = 119904119894119899 120593 119904119894119899 120575 + 119888119900119904 120593 119888119900119904 120575 119888119900119904 119867
119888119900119904 ℎ 119888119900119904 119860 = 119888119900119904 120593 119904119894119899 120575 + 119904119894119899 120593 119888119900119904 120575 119888119900119904 119867119888119900119904 ℎ 119904119894119899 119860 = 119888119900119904 120575 119904119894119899 119867
Primo Gruppo di Gauss
119878119894119899 120575 = 119878119894119899 120593 119878119894119899 ℎ minus 119862119900119904 120593 119862119900119904 ℎ 119862119900119904 119860119862119900119904120575 119888119900119904119867 = 119904119890119899ℎ 119888119900119904120601 + 119888119900119904ℎ 119904119890119899120601 119888119900119904119860
119862119900119904ℎ 119904119890119899119867 = 119888119900119904ℎ 119904119890119899119860
Secondo gruppo di Gauss
Ersquo possibile risolvere il triangolo astronomico
Notiamo che nel triangolo di posizione sono contemporaneamente presenti per loggetto celeste osservato le sue coordinate altazimutali (azimuth o angolo zenitale e altezza o distanza zenitale) e quelle equatoriali orarie (angolo orario o angolo al polo e declinazione o distanza polare) Queste formule ci consentono il passaggio da coordinate altazimutali ad equatoriali orarie e viceversa
Queste ci consentono il passaggio da un sistema altazimutale ad equatoriale
119904119894119899 120575 = 119904119894119899 120593 119888119900119904 119911 minus 119888119900119904 120593 119904119894119899 119911 119888119900119904 119860
119888119900119904 120575 119888119900119904 119867 = 119888119900119904 120593 119888119900119904 119911 + 119904119894119899 120593 119904119894119899 119911 119888119900119904 119860119888119900119904 120575 119904119894119899 119867 = 119904119894119899 119911 119904119894119899 119860
Bignamino di astronomia
90
Le parti della sfera
Riportiamo in una tabella le caratteristiche delle parti in cui rimane divisa una superficie sferica e una sfera
di raggio R quando vengono sezionate con opportuni piani indicando anche le formule per il calcolo delle
corrispondenti superfici e volumi
FONTE ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Bignamino di astronomia
91
ALCUNE ESERCITAZIONI DI TRIGONOMETRIA SFERICA
1) Calcolo dellrsquoaltezza di un oggetto alla culminazione superiore ed inferiore Giagrave conosciamo le formule che ci permettono di determinare lrsquoaltezza di un astro sullrsquoorizzonte nel caso di culminazione superiore ed inferiore per semplicitagrave le riportiamo qui di seguito
Culminazione superiore la stella culmina a sud dello zenit
la stella culmina a nord dello zenit
ALTEZZA h= 90 - ϕ + δ h= 90 + ϕ - δ
Proviamo attraverso le formule contenute nella parte teorica di trigonometria sferica a verificare queste relazioni Consideriamo la prima equazione del primo gruppo ( Primo Gruppo di Gauss)
sin h = sin φ sin δ + cos φ cosδ cos H
Se la stella culmina vuol dire che essa passa al meridiano (o superiore o inferiore a seconda della culminazione) CULMINAZIONE SUPERIORE Quando la Stella passa al meridiano superiore lrsquoangolo orario H egrave = 0 il cos0deg =1 per cui si ha
sin h = sin φ sin δ + cos φ cosδ
questa equazione si risolve facilmente se si applicano le formule di sottrazione del coseno cos (α - β) = cosαcosβ + senαsenβ
La nostra equazione puograve essere scritta sen h = cos(ϕ - δ) ndashlrsquo α della formula di sottrazione egrave la latitudine e la β la declinazione)- ma il sen h=cos(90 ndashh) ed allora cos (90-h) = cos( ϕ - δ) questa egrave una equazione elementare in coseno che ha per soluzioni
90-h= plusmn (ϕ - δ)
90-h= + ( ϕ - δ) h= 90 - ϕ + δ 90-h= - ( ϕ - δ) h= 90 + ϕ - δ
(Le relazioni sono due percheacute ognuna vale per un emisfero)
CULMINAZIONE INFERIORE Anche qui sappiamo che h= ϕ + δ- 90
sin h = sin φ sin δ + cos φ cosδ cos H
Alla culminazione inferiore lrsquoangolo orario egrave 12ℎ quindi 180deg il cos 180deg = -1
sin h = sin φ sin δ - cos φ cosδ Non possiamo applicare come prima a formula di addizione del coseno e quindi la riscriviamo
sin h= - (- sin φ sin δ + cos φ cosδ )
Bignamino di astronomia
92
ricordando che cos ( α + β) = cosαcosβ ndash senαsenβ ed essendo sinh= cos(90-h) possiamo scrivere cos (90-h) = - cos( ϕ + δ) essendo cosα= - cos(180 ndashα)
cos (90-h) = cos( 180 ndash ϕ - δ)
90-h = 180 ndash ϕ - δ h= ϕ + δ- 90 NB Essendo il coseno di due angoli dello stesso valore assoluto ma di segno opposto uguale come fatto sopra anche la soluzione col segno negativo va presa quindi si ottengono anche qui due formule che come sopra si riferiscono ciascuna a un emisfero
2) Calcolare lrsquoespressione che consente di determinare il sorgere e il tramontare di un astro Successivamente determinare la differenza delle ore di luce ai solstizi a Reggio Calabria ndash Latitudine φ=38deg6rsquo Nord
Per rispondere alla prima domanda dobbiamo determinare lrsquoangolo orario applichiamo il
( ) Primo Gruppo di Gauss
sin h= sin φ sin δ + cos φ cos H cos δ
isoliamo il cosH si trova cosH= 119904119894119899ℎminus119904119894119899120593119904119894119899120575
cos120593 cos120575 e scriviamo ancora cosH =
sinℎ
cos120593 cos120575 -
sin120593 sin120575
cos120593 cos120575 ed ancora cosH =
sin h
cos φ cos δ ndash tanφ tanδ (essendo tanα=senαcosα)
Al momento del sorgere dellrsquoastro h= 0 quindi cosH = - tanφ tanδ (sen0=0) Se egrave nota lrsquoascensione retta possiamo calcolare il tempo siderale 119931119956 = H +120630 con
H=arccos(θsin h
cos φ cos δ ndash tanφ tanδ ) Se conosciamo il valore del tempo siderale in una
determinata ora di un determinato giorno possiamo anche trovare lrsquoistante di tempo che segna il nostro orologio per il sorgere del Sole (per questi calcoli si vedano i problemi precedenti sul tempo) c = H+α Una volta trovata lrsquoespressione dellrsquoangolo orario la seconda domanda si risolve facilmente
tenendo conto che lrsquoangolo orario adesso egrave 119867
2
cos 119867
2 = - tan φ tan δ
Il Sole ai solstizi ha una declinazione δ=+23deg27rsquo (21 giugno solstizio drsquoestate) e δ=-23deg27rsquo (21 dicembre solstizio drsquoinverno)
si trova che cos 119867
2 = -0784 0433 = -034 perciograve H=2arccos(-034)=219deg46rsquo=14 ore 39
minuti (digrave piugrave lungo dellrsquoanno)
mentre il 21 dicembre cos 119867
2 = (-0784) (-0433) = 034 dal quale si ricava che
H=arccos(034)=140deg15rsquo = 9 ore 21 minuti (digrave piugrave corto dellrsquoanno) la differenza di ore egrave ∆H=14h 39m-9h 21m = 5 ore 18 minuti tra inverno ed estate
Bignamino di astronomia
93
3) In un certo giorno in cui egrave in vigore lrsquoora legale in una cittagrave posta alla longitudine di 120582
= 10deg 52rsquo 59rdquo E e latitudine = 44deg 38rsquo 45rdquo N il Sole ha una declinazione = 10deg 59rsquo 04rdquoConsiderando trascurabile la declinazione del Sole durante lrsquoarco della giornata
Calcolare
1 lrsquoaltezza massima raggiunta dal Sole in quella localitagrave e lrsquoora del transito in meridiano 2 lrsquoora in cui in tale giorno il sole sorge e tramonta in quella Cittagrave e lrsquoarco diurno 3 lrsquoazimut del sole nei momenti in cui sorge e tramonta
Il sole raggiunge la massima altezza hC sullrsquoorizzonte (culmina) quando transita per il
meridiano locale dellrsquoosservatore Nel caso specifico avremo hC = 90deg - ( - ) = 90deg -
+ = 90deg - 44deg64583333 + 10deg98444444 = 56deg33861111
Lrsquoaltezza massima del Sole nel momento in cui transita al meridiano egrave hC = 56deg33861111 = 56deg 20rsquo 19rdquo
Indichiamo adesso con 120582 la longitudine espressa in ore e con T la differenza in ore del
meridiano locale rispetto a GMT Nel nostro caso essendo in vigore lrsquoora legale saragrave T = 2h Le 12h locali corrispondono dunque aUT = 12h ndash 120582
per cui lrsquoora locale del transito in meridiano del sole saragrave (scrivendo la longitudine in notazione decimale)
TC = 12h ndash 120582+ T = 12ℎ minus 10deg 8830555556
15deg+ 2ℎ = 2h ndash 0h725537036 + 2h = 13h27446296
il Sole culmina alle ore locali TC = 13h 16m 28s1
I due eventi del sorgere e tramontare si verificano quando il sole interseca lrsquoorizzonte celeste dellrsquoosservatore e quindi la sua altezza h egrave nulla In questo caso egrave possibile determinare i tempi (gli angoli orari HS e HT) e le direzioni (gli azimut AS e AT) delle due posizioni del sole sullrsquoorizzonte e lrsquoarco diurno
T = HT - HS che ci dagrave la durata della permanenza del sole
Applichiamo le formule del primo gruppo di Gauss al triangolo sferico precedentemente definito rispetto al lato ldquozenit ndash solerdquo ed allrsquoangolo al vertice con lo zenit
sin h = sin sin + cos cos cos H (I)
cos h sin A = - cos sin H (II)
cos h cos A = cos sin - sin cos cos H
Bignamino di astronomia
94
Quando il sole sorge eo tramonta si ha h = 0 e quindi sin h = 0 Dalla (I) segue dunque
cos H = - tg tg Dai dati del problema si ha = 44deg 38rsquo 45rdquo N = 44deg64583333
= 10deg 59rsquo 04rdquo1 = 10deg98444444 segue cos H = - tg (44deg64583333) tg (10deg98444444) = - 0191713689
H = arccos (- 0191713689) = 101deg0528101 = plusmn 6h736854006
Lrsquoangolo orario H egrave negativo al sorgere percheacute deve arrivare in meridiano e positivo al tramonto percheacute ha superato il meridiano Saragrave dunque HS = - 6h736854006 HT = 6h736854006
il sole sorgeragrave dunque alle ore TS = TC + HS = 13h27446296 - 6h736854006 = 6h537608954 = 6h 32m 15s4
Lo stesso giorno il sole tramonteragrave alle ore TT = TC + HT = 13h27446296 6h736854006 = 20h01131697 = 20h 00m 40s7
Lrsquointervallo temporale durante il quale il sole resteragrave sopra lrsquoorizzonte saragrave
T = HT - HS = 6h736854006 + 6h736854006 = 13h47370802 = 13h 28m 25s4
Per ricavare lrsquoazimut del sole nei momenti in cui sorge e tramonta utilizziamo la (III) delle
formule di Gauss cos h sin A = - cos sin H
Nel momento in cui il sole sorge e tramonta si ha h = 0 e quindi cos h = 1 per cui si ha rispetto al punto Nord
sin AS = - cos sin HS = - cos (10deg98444444 ) sin (-6h736854006 x 15) = 0963469686
AS = arcsin (0963469686) = 74deg46556891 = 74deg 27rsquo 56rdquo1
sin AT = - cos sin HT = - cos (10deg98444444 ) sin (6h736854006 x 15) = -0963469686
AT = arcsin (-0963469686) = - 74deg46556891 = (360deg - 74deg46556891) = 285deg5344311 = 285deg 32rsquo 4rdquo
DISTANZA TRA DUE STELLE
Regolo ha coordinate H= 27m 4 s e declinazione 11deg 52rsquo 5rdquo Denebola ha coordinate H= 22h 46m 36s e
declinazione 14deg 27rsquo 33rdquo Si determini la loro distanza angolare
Per calcolare la loro distanza consideriamo il triangolo sferico BPA dalla figura si evince che
PB= 90-1205751 PA= 90-1205752 lrsquoangolo al polo P= 1198672 - 1198671
Applichiamo il teorema del coseno o di Eulero
Bignamino di astronomia
95
cosAB= cosPB cosPA + seno senPA cosP
Sostituendo
Cos120572 = cos( 90-1205751)cos(90-1205752 ) + sen(90-1205751)sen(90-1205752)cosP
Cos120572= sen1205751sen1205752 + cos1205751cos 1205752cos (1198672 minus 1198671)
E svolgendo I calcoli
Cos α= sen118681 sen 144592 + cos 118681 cos 144592 cos251167=0904
α=24deg58
Bignamino di astronomia
96
Bibliografia
Vittorio Castellani Astrofisica Stellare ndash Zanichelli Editore
Ferdinando Flora Astronomia Nautica ndash Editore Hoepli
Pietro Giannone Elementi di Astronomia ndash Edizione Pitagora
Angeletti Giannone Esercizi e complementi di astronomia ndash Edizioni Nuova Cultura
Margherita Hack Corso di Astronomia ndash Editore Hoepli
Halliday-Resnick Fondamenti di fisica ndash Zanichelli Editore
Giuliano Romano Introduzione allrsquoastronomia ndash Editore Muzzio
Leonido Rosino Lezioni di Astronomia ndash Edizione Cedam
Francesco Saverio Delli Santi Introduzione allrsquoastronomia ndash Zanichelli Editore
Cino Tacchini Il Cielo ndash UTET Editore
Francesco Zagari Astronomia sferica e teorica ndash Zanichelli Editore
Wikipedia sito web
Vialatteanet sito web
Treccani sito web
Superfici e volumi problemi di massimo e minimo Istituto Italiano Edizioni Atlas
- Copertina Bignamino definitiva
- Bignamino di astronomia
-
- INDICE Bignamino definitivo
- Bignamino
-
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7
Culminazione
Una stella culmina quando raggiunge la sua massima altezza cioegrave egrave sul meridiano
La declinazione 120575 la distanza zenitale z sono legate in modo semplice alla latitudine 120593
dellrsquoosservatore
Al momento della culminazione superiore (massima altezza della stella sullrsquoorizzonte) si ha
119911 = 120593 ndash 120575
Al momento della culminazione inferiore si ha
119911 = 120593 + 120575 ndash 180deg
Altezza (culminazione superioreinferiore)
Una stella culmina superiormente quando raggiunge la sua massima
altezza vista un determinato luogo (ad una determinata latitudine 120593)
ℎ1 = 90deg plusmn (120593 minus 120575)
Bignamino di astronomia
8
Poicheacute lrsquoaltezza deve esere h le 90deg distinguiamo i due casi
1) Se 120575 lt 120593 h=90deg- 120593 + 120575 (va preso il segno meno)
2) Se 120575 gt 120593 h=90deg+ 120593 - 120575 (va preso il segno piugrave)
Analogamente in culminazione inferiore
ℎ2 = minus90deg + 120593 + 120575
Poicheacute se 120575 lt 120593
ℎ2 = 120575 - ( 90 ndash 120593)
ℎ2 = 120575 - 90 + 120593
ℎ2 = - 90 + 120575 + 120593
Se 120575 gt 120593
ℎ2 = 120575 + ( 120593 - 90 )
ℎ2 = - 90 + 120575 + 120593
La formula per il calcolo della culminazione inferiore egrave sempre la stessa
Formule inverse della h=90deg+ 120593 - 120575
120593 = 90deg minus ℎ + 120575
120575 = 120593 + ℎ minus 90deg
Bignamino di astronomia
9
Latitudine del luogo (culminazione superiore ed inferiore)
120593 =ℎ1 + ℎ2
2
Questa formula egrave valida per tutte le stelle ma la si usa spesso per
conoscere la latitudine di un luogo osservando una stella
circumpolare La latitudine infatti non egrave altro che una ldquomediardquo
tra le due altezze (culminazione superiore ed inferiore)
Formule inverse
ℎ1 = 2120593 minus ℎ2
ℎ2 = 2120593 minus ℎ1
Per una stella circumpolare la minima altezza egrave ℎ119898119894119899= δ + ϕ - 90deg
Distanza zenitale
119911 = 90deg minus ℎ
La distanza zenitale indica quanto dista la stella dallo zenit che si trova
sulla verticale dellrsquoosservatore Per trovarla basta sottrarre a 90deg (la
verticale e lrsquoorizzonte sono separati da un angolo retto) lrsquoaltezza della
stella h
Formule inverse
ℎ = 90deg minus 119911
Bignamino di astronomia
10
Ascensione retta
Tra lrsquoascensione retta 120630il suo angolo orario H ed il tempo siderale relativi ad un dato osservatore
vale la relazione
119879119904 = 120572 + 119867
Nota
Quando il punto 120574 passa al meridiano 119879119904 = 0 (Il tempo siderale egrave definito come lrsquoangolo orario del
punto 120574 ) quando la stella passa al meridiano H= 0 e
119879119904 = 120572
Il tempo siderale coincide con lrsquoascensione retta delle stelle che passano al meridiano
Per conoscere lrsquoascensione retta di una stella 120572 bisogna calcolare
la differenza tra il tempo siderale del luogo 119879119904 di osservazione e
lrsquoangolo orario 119867 della stella stessa
120572 = 119879119904 minus119867
Lrsquoangolo orario si trova dalla 119867 = 119879119904 minus 120572
il punto nord ha H di 12 h e declinazione 90 - latitudine da noi H 0 e declinazione 90+ latitudine altro emisfero
per il punto sud i due predetti valori si invertono per lrsquoangolo orario e quelli della declinazione diventano
opposti
Bignamino di astronomia
11
MISURA DEL TEMPO
La misura del tempo viene effettuata dal movimento di rotazione diurna della volta celeste
(rotazione della Terra) e dal movimento annuo del Sole (rivoluzione della Terra attorno al Sole)
La rotazione della Terra attorno al suo asse egrave quasi costante quindi lrsquoangolo di rotazione rispetto ad
un qualsiasi riferimento iniziale consente di misurare il tempo Come riferimento iniziale si prende
lrsquoistante del passaggio del punto al meridiano del luogo La durata del giorno dipende da questo
punto scelto
In Astronomia i punti adottati sono Il punto γ il
centro del disco apparente del Sole (Sole vero) il
Sole medio (un Sole ideale che parte dal punto γ
assieme al Sole vero percorre lrsquoequatore celeste
con velocitagrave angolare costante in modo da
ritornare allrsquoequinozio di primavere assieme al
Sole vero)
Le tre unitagrave di tempo definite da questi punti si
chiamano giorno siderale giorno solare vero
giorno solare medio Il tempo da esse misurato egrave
tempo siderale tempo solare vero tempo solare medio
Nota Non sono tempi diversi ma solo diverse unitagrave di misurare il tempo
Giorno siderale ndash tempo siderale
Si definisce giorno siderale lrsquointervallo di tempo compreso tra
due successivi passaggi del punto γ allo stesso meridiano del
luogo
Si definisce tempo siderale lrsquointervallo di tempo compreso tra il
passaggio al meridiano del punto di primavera ad unrsquoaltra
posizione qualsiasi
119905119904 = H + 120572
(Tempo siderale = angolo orario Sole + ascensione retta Sole
medio)
Bignamino di astronomia
12
Giorno solare vero-Tempo solare vero
Il giorno solare vero egrave lrsquointervallo di tempo compreso tra due passaggi superiori o inferiori del centro
del Sole
Il tempo solare vero egrave lrsquointervallo di tempo compreso tra il passaggio inferiore
del Sole ad un altro punto
Al meridiano il 119879119904119900119897119890 119907119890119903119900 = 119867119878119900119897119890 119907119890119903119900 +12ℎ
Giorno solare medio - Tempo solare medio
Il giorno solare medio egrave lrsquointervallo compreso tra due passaggi superiori o inferiori del Sole medio
Il tempo solare medio egrave lrsquointervallo di tempo compreso tra il passaggio inferiore del Sole medio ad
un altro punto
119879119904119900119897119890 119898119890119889119894119900 = 119867119878119900119897119890 119898119890119889119894119900 +12ℎ
Equazione del Tempo
Si definisce equazione del tempo la differenza tra il tempo medio ed il tempo solare vero allo stesso
istante
E= 119879119904119900119897119890 119898119890119889119894119900 - 119879119904119900119897119890 119907119890119903119900
E= 119867119878119900119897119890 119898119890119889119894119900 - 119867119878119900119897119890 119907119890119903119900
E= 120572119878119900119897119890 119898119890119889119894119900 - 120572119878119900119897119890 119907119890119903119900
Il tempo solare medio ad un dato istante egrave dato
dal Tempo solare vero piugrave lrsquoequazione del
tempo
119879119904119900119897119890 119898119890119889119894119900= 119879119904119900119897119890 119907119890119903119900 + E
Bignamino di astronomia
13
Relazione tra tempo solare e tempo siderale
Consideriamo la posizione del sole a 24 ore di distanza
1199051119904=1198671199041 + 1205721198781
1199052119904=1198671199042 + 1205721198782
Calcolando la differenza tra le due espressioni si ha
1199052119904- 1199051119904 = (1198671199042 minus 1198671199041 ) + (1205721198782 -1205721198781)
(1198671199042 minus 1198671199041 ) = 24
Mentre la differenza in ascensione retta (1205721198782 -1205721198781) dagrave lo spostamento angolare diurno del sole
medio sullrsquoequatore che in gradi egrave 24
36525
Pe cui
1199052119904- 1199051119904 = 24h + 24
36525
1199052119904- 1199051119904 = 24 (1+ 1
36525)
1199052119904- 1199051119904 = 24 36625
36525
Un giorno solare medio= 36625
36525 giorni siderali
Un giorno siderale= 36525
36625 giorni solari veri
Il rapporto K = 36625
36525 K=1002738 serve per convertire gli intervalli di tempo solare medio in
intervalli di tempo siderali
∆119879119904= K ∆119879119898
Il rapporto Krsquo = 36525
36625 Krsquo = 0997270 serve per convertire gli intervalli di tempo siderali in intervalli
ti tempo solare medio
∆119879119898= Krsquo ∆119879119904
24 ore di tempo medio corrispondono a 24h 03m 5655s di tempo siderale viceversa un giorno
siderale egrave 23h 56m 04s di tempo solare medio
Se s egrave il tempo siderale ad un certo istante ad un dato meridiano mentre alla mezzanotte
precedente sullo stesso meridiano il tempo siderale era S dalla mezzanotte sono passati (s-S) ore
minuti secondi di tempo siderale che corrispondono a (s-S) Krsquo di tempo solare medio Poicheacute a
mezzanotte il tempo solare medio egrave 0ℎ 119879119898 = (s-S) Krsquo rappresenta il tempo solare medio allrsquoistante
del tempo siderale s
Bignamino di astronomia
14
Se al meridiano di quel luogo alla mezzanotte di una certa data il tempo siderale era S allrsquoistante
di tempo medio solare saragrave
s= S + 119879119898 119870
NOTA
Ersquo sempre necessario conoscere il tempo siderale S alla mezzanotte del meridiano dato Per questo
sono stati costruiti annuari che forniscono il tempo siderale 1198780 alla mezzanotte del meridiano
fondamentale di GW
Il tempo siderale S alla mezzanotte ad una data longitudine 120582 egrave dato da
119878 = 1198780 minus120582 ℎ
24ℎ (3119898 56119904 55)
Ora locale e longitudine
Si definisce tempo locale medio il tempo regolato sul meridiano del luogo
Nella vita quotidiana egrave scomodo utilizzare questo
tempo per cui il primo luglio 1919 sono stati introdotti
i fusi orari In base a questa suddivisione il tempo
medio egrave determinato solo per 24 meridiani geografici
principali separati da 15deg gradi (unrsquoora) I fusi orari sono
numerati da 0 a 23 ed il meridiano passante per GW
costituisce lrsquoorigine (fuso = 0)
Il tempo medio locale egrave dato da
119905119897 = 119905119891 ndashΔ120582
dove Δ120582 = 120582119891 - 120582119874
Nota
1) La differenza tra le ore locali (siderali o solari) di due meridiani misurate allo stesso istante
egrave sempre uguale alle differenze di longitudini
2) Poicheacute i confini dei fusi orari distano circa 7deg5 dal meridiano centrale la differenza 119905119897 - 119905119891
puograve essere leggermente maggiore o minore di plusmn 30119898
Bignamino di astronomia
15
Tempo Universale
Il tempo solare medio del meridiano di GW si chiama Tempo Universale (TU)
Per quanto precedentemente detto il tempo medio locale egrave uguale al tempo universale piugrave la
longitudine del luogo espressa in ore e considerata positiva ad est di GW
119905119897 = TU +120582
Bignamino di astronomia
16
MOTO APPARENTE DEI PIANETI
I pianeti si muovono in vicinanza dellrsquoeclittica ma il loro movimento visto dalla Terra egrave piugrave
complicato di quello del Sole e della Luna Il Sole e la Luna riferendo il loro moto rispetto alle stelle
fisse si muovono di moto diretto cioegrave antiorario per i pianeti si osserva che in generale si muovono
di moto diretto ma ce certi tratti variabili da pianeta a pianeta si muovono di moto retrogrado Il
pianeta dopo avere raggiunto una posizione di stazionarietagrave
inverte il moto Questo egrave molto piugrave evidente per i pianeti
interni Mercurio e Venere che oscillano avanti e indietro
rispetto alla posizione del Sole venendosi a trovare ora da
una parte ora dallrsquoaltra rispetto ad esso Quando il pianeta egrave
in congiunzione superiore egrave invisibile perchegrave nasce e
tramonta con il Sole ma essendo in questo momento piugrave
veloce del Sole dopo qualche tempo puograve essere visto dopo
il tramonto ad occidente (si trova a sinistra del Sole)
Lrsquoelongazione orientale cresce nei giorni seguenti e
contemporaneamente decresce la sua velocitagrave angolare e
quando raggiunge la stessa velocitagrave angolare del Sole per
qualche istante si muove mantenendo la stessa distanza il
pianeta raggiungere la massima elongazione orientale Per venere questo valore egrave circa 46deg per
Mercurio egrave variabile dai 18deg ai 28deg Da questo momento il pianeta comincia il suo avvicinamento al
Sole ritornando con moto retrogrado in congiunzione con esso ma questa volta in congiunzione
inferiore Ritorna invisibile (potrebbe esserci un transito) Continuando nel suo moto retrogrado
appare visibile ad occidente (a destra del Sole) ed egrave visibile prima del sorgere del Sole (elongazione
occidentale) Questo ci dice che i pianeti inferiori non possono mai trovarsi in quadratura o
opposizione
I pianeti esterni invece possono assumere qualsiasi distanza dal Sole da 0deg a 180deg e quindi possono
trovarsi nelle due precedenti configurazioni Raggiunta
lrsquoelongazione massima di 180deg i pianeti si trova dalla parte
opposta a quella del Sole la velocitagrave retrograda egrave massima e
raggiungono anche il massimo della luminositagrave Oggi noi
sappiamo che tutto questo egrave dovuto egrave il risultato della
composizione del moto della Terra e di quello dei pianeti
attorno al Sole semplificando osserviamo un oggetto in
movimento essendo noi stessi in movimento Le velocitagrave dei
pianeti variano piugrave sono vicini al Sole piugrave velocemente si
muovono I due pianeti essendo piugrave vicini al Sole sorpassano
la Terra durante il loro moto mentre egrave la Terra a sorpassare i
pianeti esterni quando sono vicini allrsquoopposizione e quindi
essi sembrano muoversi allindietro
Ed allora se indichiamo con T Il nostro anno siderale con P il periodo sidereo del Pianeta e con S il
periodo siderale (il tempo intercorso tra due congiunzioni o due opposizioni successive) la
composizione delle velocitagrave ci consente di calcolare la velocitagrave relativa del pianeta rispetto alla
Terra
Bignamino di astronomia
17
Per i pianeti interni (la Terra si muove piugrave lentamente)
2120587
119878 = 2120587
119875 - 2120587
119879
120783
119930 = 120783
119927 - 120783
119931
Per i pianeti esterni (la Terra si muove piugrave velocemente)
2120587
119878 = 2120587
119879 - 2120587
119875
120783
119930 = 120783
119931 - 120783
119927
Il movimento di tutti i pianeti attraverso le stelle fisse segue apparentemente la stessa direzione di
quello della Luna (e del Sole) - con una strana variante talvolta il loro moto apparente cambia
temporaneamente verso (moto retrogrado) Questo egrave molto piugrave evidente per Mercurio e Venere
che oscillano avanti e indietro rispetto alla posizione del Sole Durante il moto del Sole attraverso le
stelle - lungo le costellazioni dello zodiaco - questi pianeti
talvolta si muovono nello stesso verso e quindi il loro
movimento si somma a quello del Sole ma altre volte il loro
moto apparente si oppone a quello del Sole facendo sigrave che
sembri che si muovano allindietro (moto retrogrado)Gli
altri tre pianeti visibili ad occhio nudo si possono trovare in
qualunque posizione lungo leclittica - anche a mezzanotte in
posizione direttamente opposta a quella del Sole e quando
questo avviene raggiungono il massimo della luminositagrave
Marte sembra muoversi piugrave rapidamente Giove un po meno
e Saturno egrave il piugrave lento Comunque tutti mostrano questa
enigmatica stranezza vicino al punto in cui il loro percorso
apparente nel cielo egrave esattamente in posizione opposta al Sole
(opposizione) il loro movimento tra le stelle
temporaneamente si inverte Oggi noi comprendiamo molto
bene tutto questo (vedi fig1) I pianeti sono oggetti sferici
come la Terra - Venere Mercurio e Marte sono piugrave piccoli Giove e Saturno molto piugrave grandi Anche
la Terra egrave un pianeta e ne esistono anche altri (troppo deboli per essere visti senza un telescopio)
tutti che orbitano attorno al Sole sul piano o vicino al piano delleclittica La loro velocitagrave tuttavia
varia - piugrave sono vicini al Sole e piugrave rapidamente si muovono (vedi la sezione ldquoterza legge di Keplerordquo)
Quindi quando i tre pianeti esterni sono vicini allopposizione la Terra che orbita piugrave vicina al Sole
li sorpassa e quindi essi sembrano muoversi allindietro Il moto retrogrado dei due pianeti interni
ha una causa simile Essendo piugrave vicini al Sole sono essi che sorpassano la Terra durante il loro moto
Bignamino di astronomia
18
Sommario di quanto egrave noto oggi sui pianeti
Viene qui riportato un breve sommario dei componenti del sistema solare In genere vengono distinte quattro classi di oggetti
1 I pianeti maggiori in ordine di distanza dal Sole - Mercurio Venere Terra Marte Giove Saturno Urano e Nettuno Tutti tranne i due piugrave interni hanno dei satelliti e tutti e quattro i piugrave esterni hanno degli anelli composti da piccoli ciottoli di materia in orbita attorno al pianeta
2 Asteroidi o pianetini in maggioranza - anche se non tutti - posti tra Marte e Giove Il loro diametro arriva fino a 500 Km
3 La fascia di Kuiper di oggetti ghiacciati oltre lorbita di Nettuno di cui il piugrave noto (anche se ora si egrave scoperto che egrave solo il secondo come dimensioni) egrave Plutone scoperto nel 1930 e delle dimensioni della nostra Luna La fascia ha preso il nome dellastronomo belga Gerard Kuiper si estende probabilmente a una distanza doppia di quella di Nettuno e si stima che consista di circa 100000 oggetti (finora ne sono stati identificati circa 1000) molti dei quali con un diametro di soli 100 Km o meno
4 Comete tradizionalmente divise in non ricorrenti (il nome ufficiale egrave comete a lungo periodo) e comete periodiche Le comete non ricorrenti si pensa che provengano dalla nube di Oort un enorme agglomerato quasi sferico di oggetti ghiacciati agli estremi limiti del sistema solare Essi sono debolmente legati al Sole e di tanto in tanto lattrazione gravitazionale di qualche stella lontana probabilmente cambia un poco il moto di alcuni di
essi lanciandoli in direzione del Sole In tal caso diventano visibili come comete quando la luce del Sole fa evaporare una parte della loro superficie generando la chioma e la coda della cometa Le comete periodiche una volta erano considerate come oggetti che avevano iniziato come oggetti non ricorrenti ma poi erano state deviate e catturate dallattrazione gravitazionale dei pianeti piugrave grandi Oggi si ritiene che provengano dalla fascia di Kuiper come classe di oggetti noti come Centauri
Bignamino di astronomia
19
LE LEGGI DEL MOTO DEI PIANETI
Prerequisito Lrsquoellisse
Luogo geometrico dei punti del piano per i quali si
mantiene costante la somma delle distanze da due
punti fissi detti fuochi
Detta in parole piugrave semplici lellisse non egrave altro che
una circonferenza ldquoschiacciata Un elemento
fondamentale che ci permette di capire di quanto
questa viene compressa egrave leccentricitagrave e
Leccentricitagrave egrave definita come il rapporto tra la
semidistanza focale e il semiasse maggiore
119890 =119888
119886
Formule inverse
119888 = 119886119890
119886 =119888
119890
Infatti nellellisse possiamo individuare
bull Semiasse maggiore (a)
bull Semiasse minore (b)
bull Semidistanza focale (c)
Indicheremo quindi con 2a il semiasse maggiore (AB) con 2b il semiasse minore (CD) e con 2c la
distanza focale (F1F2)
ATTENZIONE lrsquoeccentricitagrave dellellisse egrave SEMPRE compresa tra 0 e 1 (0ltelt1) Se
questa fosse uguale a 0 i due fuochi andrebbero a coincidere con lorigine e lellisse
diventerebbe una circonferenza Se fosse uguale a 1 diventerebbe una parabola se
fosse egt1 diventerebbe una iperbole
Dalla figura si nota che la somma delle distanze dai due punti fissi detti fuochi egrave costante ed egrave pari
alla lunghezza dellasse maggiore (2a) Quindi si puograve anche applicare il teorema di Pitagora
1198862 = 1198872 + 1198882
Formule inverse
1198872 = 1198862 minus 1198882
1198882 = 1198862 minus 1198872
Bignamino di astronomia
20
LEGGI DI KEPLERO
PRIMA LEGGE
Enunciato i pianeti descrivono intorno al Sole orbite
ellittiche in cui questo occupa uno dei fuochi
Si puograve quindi notare che la distanza di un pianeta
attorno al Sole non si mantiene costante bensigrave ci
saragrave un punto in cui questo saragrave piugrave vicino al Sole
(perielio) e uno in cui saragrave piugrave lontano (afelio)
Possiamo quindi calcolare le due distanze
119889119886 = 119886(1 + 119890)
119889119901 = 119886(1 minus 119890)
Formule inverse
119886 =119889119886
1 + 119890
119886 =119889119901
1 minus 119890
119890 =119889119886
119886minus 1
119890 = 1 minus119889119901
119886
Inoltre si nota anche che dalla somma delle due distanze otteniamo lasse maggiore dellorbita
2119886 = 119889119886 + 119889119901
E il semiasse egrave quindi dato da
119886 =119889119886 + 119889119901
2
Bignamino di astronomia
21
Formule inverse
119889119886 = 2119886 minus 119889119901
119889119901 = 2119886 minus 119889119886
La distanza focale egrave data dalla differenza delle due distanze
2119888 = 119889119886 minus 119889119901
119888 =119889119886 minus 119889119901
2
Formule inverse
119889119886 = 2119888 + 119889119901
119889119901 = 119889119886 minus 2119888
Quindi leccentricitagrave dellrsquoorbita puograve essere anche scritta come
119890 =119889119886minus119889119901
119889119886+119889119901=
2119888
2119886 =
119888
119886
SECONDA LEGGE
Enunciato il raggio vettore che congiunge il Sole al pianeta spazza aree
uguali in tempi uguali
Dalla seconda legge comprendiamo che la velocitagrave del pianeta intorno
al Sole non egrave costante al perielio viaggeragrave piugrave velocemente che
allafelio Quindi si puograve affermare che le velocitagrave sono inversamente
proporzionali alle distanze
119881119886
119881119901=119889119901
119889119886
Formule inverse
119881119886 =119889119901 119881119901
119889119886
Bignamino di astronomia
22
119881119901 =119881119886 119889119886
119889119901
119889119886 =119881119901 119889119901
119881119886
119889119901 =119881119886 119889119886
119881119901
TERZA LEGGE
Enunciato i cubi dei semiassi maggiori sono
proporzionali ai quadrati dei periodi di
rivoluzione
1198863
1198792= 119896
Dalla terza legge si nota che esiste una relazione tra periodo di rivoluzione e lontananza dal corpo
centrale Sono infatti legati tra loro dal valore di una costante che egrave stata indicata con k
Per i corpi orbitanti intorno ad una massa comune (come ad esempi o per i corpi del Sistema solare)
questa legge puograve essere anche scritta come
1198861199053
1198791199052 =
1198861198983
1198791198982
=1198861199043
1198791199042 = ⋯
PER I CORPI DEL SISTEMA SOLARE se si inserisce in formula il valore del semiasse maggiore in unitagrave
astronomiche (UA) e il periodo di rivoluzione in anni il valore di questa costante egrave uguale a 1 Infatti
ricavandola per la Terra
(1 119880119860)3
(1 119886119899119899119900)2= 1
E se k=1 per la Terra vale per tutti gli altri corpi orbitanti intorno al Sole
Bignamino di astronomia
23
NEWTON E LA GRAVITAZIONE UNIVERSALE
Con le leggi di Keplero siamo ancora in quella parte di fisica che descriviamo come cinematica
descriviamo perfettamente i moti dei pianeti ma non risaliamo alle cause Newton avanzograve lrsquoipotesi
che sia i gravi in caduta libera che i pianeti vengono deviati dalla condizione di moto rettilineo
uniforme dallrsquoesistenza di una forza centrale Nel 1684 Newton ldquopoggiandosi sulle spalle dei
gigantirdquo (Keplero ed il nostro Galilei) dimostrograve che la forza che fa ldquofluttuarerdquo i pianeti attorno al Sole
dipende dallrsquoinverso del quadrato della distanza da esso
Integrando il suo secondo principio della dinamica con la terza legge di Keplero perviene a
119865119892=41205872 119898
1198701199032
Questa forza deve dipendere anche dalla massa M del Sole ed allora
119865119892=41205872 119898119872
1198721198701199032
Dove K egrave la costante della terza legge di Keplero Ponendo la quantitagrave 41205872
119872119870 = G ( notare che contiene
la costante K e la massa del Sole) otteniamo la nota formula
119865119892=119866 119898119872
1199032
Newton dedusse che questa legge egrave valida non solo per i corpi del sistema solare ma in tutto
lrsquoUniverso egrave la Legge di Gravitazione Universale Nel 1798 Cavendish ideograve la bilancia a torsione e
trovograve il valore per la costante G = 667times10⁻sup1sup1 N msup2kgsup2
Bignamino di astronomia
24
Terza legge di Keplero generalizzata
Approssimando lrsquoorbita di un corpo a circolare e considerando trascurabile la massa del corpo
orbitante la condizione di equilibrio per la quale esso orbita egrave data da
119865119888 = 119865119892
119865119900119903119911119886 119888119890119899119905119903119894119891119906119892119886 = 119865119900119903119911119886 119892119903119886119907119894119905119886119911119894119900119899119886119897119890
La forza centrifuga egrave espressa come
119865119888 = 119898 119886119888
E quella gravitazionale (dalla legge di gravitazione universale di Newton) come
119865119892 =119866119872119898
1198862
Sostituendo in formula
119898119886119888 =119866119872119898
1198892
Notiamo che semplificando m otteniamo un modo per esprimere lrsquoaccelerazione
119886119888 =119866119872
1198892
Lrsquoaccelerazione egrave espressa come
119886119888 =1199072
119886=412058721198862
1198792119886=41205872119886
1198792
Sostituendo in formula
41205872119886
1198792=119866119872
1198862
Da cui
1198863
1198792=119866119872
41205872
Formule inverse
119886 = radic119866119872 1198792
41205872
3
119879 = radic412058721198863
119866119872
Bignamino di astronomia
25
119872 =412058721198863
119866 1198792
Nota nel caso in cui la massa del corpo orbitante non fosse trascurabile la terza legge di Keplero
generalizzata diventerebbe
1198893
1198792=119866 (119872 +119898)
41205872
Nel Sistema solare la somma delle due masse si considera uguale alla sola massa del
Sole data la relativa piccola massa dei pianeti
NOTA I corpi lasciati cadere verso il basso quando la resistenza dellrsquoaria egrave trascurabile cadono con la
stessa accelerazione g detta accelerazione di gravitagrave Sulla superficie terrestre lrsquoaccelerazione di
gravitagrave egrave g = 98 ms2 In realtagrave il valore di g cambia da punto a punto percheacute dipende fra lrsquoaltro
dallrsquoaltezza del punto sul livello del mare e dalla sua latitudine Ora che conosciamo la legge di
gravitazione universale possiamo dire che i corpi cadono per effetto della forza di gravitazione che
si esercita tra il corpo e la Terra Allora
119892 =119866119872
1198892
Se il corpo si trova sulla Terra o prossimo alla superficie sostituendo a questa formula i valori relativi
alla massa della Terra e al suo raggio troviamo per lrsquoaccelerazione il valore noto di 98 ms2
Un altro fattore che influisce sul valore di g egrave la rotazione terrestre in quanto ogni corpo su di
essa egrave soggetto ad una forza centripeta per cui
119892rsquo = 119892 minus 1205962 119877119879
ldquoRationem vero harum
Gravitatis proprietatum
ex phaelignomenis nondum
potui deducere amp
hypotheses non fingordquo
ldquoIn veritagrave non sono riuscito a dedurre la causa di
queste proprietagrave della gravitagrave dai fenomeni e non
avanzo ipotesirdquo
Isaac Newton Philosophiae Naturalis Principia
Mathematica liber tertius
Bignamino di astronomia
26
ALCUNE CONSIDERAZIONI SULLE ORBITE
La Legge della Gravitazione Universale ci insegna che la forza drsquoattrazione gravitazionale egrave
inversamente proporzionale al quadrato della distanza delle due masse che si attraggono ovvero
119865 prop1
1198892 a causa di questa caratteristica dellrsquointerazione gravitazionale si puograve dimostrare che le
orbite descritte dai corpi celesti attorno a un oggetto ldquoattrattorerdquo seguono particolari curve le
coniche
Le coniche sono curve che si ottengono dallrsquointersezione di un piano con un cono a due falde Si
ottengono cosigrave circonferenza ellisse iperbole e parabola
Ciograve che distingue lrsquouna dallrsquoaltra queste curve egrave un parametro lrsquoeccentricitagrave
Circonferenza il piano egrave perpendicolare
allrsquoasse (tratteggiato)
Ellisse il piano egrave obliquo
Parabola il piano egrave parallelo a una delle
generatrici (le due rette incidenti in V in
figura)
Iperbole il piano egrave parallelo allrsquoasse del cono
CIRCONFERENZA e=0
ELLISSE 0ltelt1 (piugrave questo valore si avvicina ad 1 piugrave
lrsquoellisse egrave schiacciata)
PARABOLA e=1
IPERBOLE egt1 (quanto piugrave maggiore di uno egrave
questo valore tanto piugrave lrsquoiperbole egrave ldquoapertardquo)
Bignamino di astronomia
27
VELOCITAgrave ORBITALE ORBITA CIRCOLARE
Affincheacute il corpo rimanga in orbita egrave necessario che in ogni punto dellrsquoorbita la forza centripeta sia
uguale alla forza di attrazione gravitazionale
FC = FG
mv2
R=mMG
R2
mv2
R=mMG
R2
v2 =MG
R
119855 = radic119820119814
119825
A questa velocitagrave si dagrave il nome di prima velocitagrave cosmica
VELOCITAgrave SU ORBITE NON CIRCOLARI
Il problema si risolve con lrsquoapplicazione del principio di conservazione dellrsquoenergia meccanica che
altro non egrave che la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale
119922120783 + 119932120783 = 119922120784 + 119932120784
E poicheacute le velocitagrave orbitali variano al variare dalla distanza alla prima equazione egrave necessario
associare la seconda legge di Keplero
Per cui il problema egrave risolto dalla soluzione del sistema
119922120783 + 119932120783 = 119922120784 + 119932120784119959119938 119941119938 = 119959119953119941119953
Nel caso della forza gravitazionale lrsquoenergia potenziale egrave 119880 = minus119898119872119866
119877
Lrsquoenergia cinetica egrave K= 1
21198981199072
Bignamino di astronomia
28
Il sistema diventa
119907119886119889119886 = 1199071199011198891199011
2119898119907119886
2 minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
Le soluzioni sono 119959119938 = radic120784119918119924119941119953
119941119938(119941119953+119941119938) 119959119953 = radic120784119918119924
119941119938
119941119953(119941119953minus119941119938)
Ricordando che 119889119886 = 119886(1 + 119890) 119889119901 = 119886(1 minus 119890) 119938 =119941119938+119941119953
120784 119942 =
119941119938minus119941119953
119941119938+119941119953
le due velocitagrave possono anche essere espresse in funzione del semiasse maggiore e
dellrsquoeccentricitagrave dellrsquoorbita
Quindi
119907119901 = radic119918119924
119938(120783+119942
120783minus119942)
119907119886 = radic119918119924
119938(120783minus119942
120783+119942)
ALCUNE CONSIDERAZIONI DINAMICHE SULLE ORBITE
Allrsquoinizio di questi appunti abbiamo evidenziato come gli oggetti orbitanti seguano delle traiettorie
che sono curve coniche e abbiamo individuato questrsquoultime catalogandole anche a seconda
dellrsquoeccentricitagrave in seguito abbiamo enunciato il principio di conservazione dellrsquoenergia meccanica
119922+119932 = 119940119952119956119957119938119951119957119942
Possiamo procedere nella classificazione delle orbite a seconda del valore assunto da questa
costante (lrsquoenergia meccanica) In particolare
bull Se questa costante egrave negativa allora lrsquooggetto segue unrsquoorbita chiusa (circonferenza
ellisse)
bull Se essa egrave nulla allora il corpo si muove su unrsquoorbita parabolica (a distanza infinita la sua
velocitagrave egrave nulla)
bull Se essa egrave positiva allora la traiettoria egrave iperbolica (e il corpo giunge a distanza infinita con
velocitagrave ndash chiamata ldquovelocitagrave drsquoeccesso iperbolicordquo ndash non nulla)
Bignamino di astronomia
29
VELOCITAgrave DI FUGA ndash RAGGIO DI SCHWARZSCHILD
119959 = radic120784119918119924
119929
A questa velocitagrave si dagrave il nome di seconda velocitagrave cosmica o velocitagrave di fuga
Immaginiamo ora di poter comprimere un corpo celeste di massa M (quindi via via il raggio R
diminuisce) la velocitagrave di fuga di un altro corpo dalla sua superficie aumenteragrave al diminuire del
raggio Quando il raggio raggiungeragrave un valore ldquocriticordquo la velocitagrave di fuga eguaglieragrave quella della
luce e neanche la luce potragrave allontanarsi indefinitamente dal corpo esso egrave diventato un buco nero
Al raggio ldquocriticordquo associato a ogni massa M si dagrave il nome di Raggio di Schwarzschild in onore del
matematico astronomo e astrofisico tedesco Karl Schwarzschild (1873-1916) il raggio si ricava cosigrave
119888 = radic2119866119872
119877119904 rarr 1198882 =
2119866119872
119877119904 rarr 119929119956 =
120784119918119924
119940120784
Dove c egrave la velocitagrave della luce (c=299792458 ms)
Bignamino di astronomia
30
ECLISSI LUNA-SOLE
Eclisse di Luna
Una eclisse di Luna si verifica quando la Terra si interpone tra il nostro satellite ed il Sole cioegrave
quando la Luna entra nel cono drsquoombra della Terra che egrave rivolto dalla parte opposta al Sole e per
tanto lrsquoeclisse piograve avvenire solo quando la Luna egrave in opposizione cioegrave quando egrave piena Poicheacute la
Luna si sposta da ovest verso est essa
entra nel cono drsquoombra della Terra dalla
parte sinistra Se lrsquoorbita della Luna
attorno alla Terra giacesse sullo stesso
piano dellrsquoorbita della Terra attorno al
Sole ad ogni plenilunio avremmo una
eclisse totale di Luna Queste due orbite
sono inclinate di 5deg9rsquo e si incontrano i
due punti che definiscono i nodi Percheacute
si abbia una eclisse Sole e Luna non solo
devono essere allrsquoopposizione ma
devono essere vicinissimi ai nodi In media la distanza angolare del Sole dal nodo deve essere minore
di 9deg9 per unrsquoeclisse parziale e non piugrave di 4deg6 per unrsquoeclisse totale
Calcolo lunghezza cono drsquoombra della Terra
I triangoli VAS e VBT sono simili (vedi figura)
VS VT= AS BT
Ma
VS= VT+ TS
sostituendo si trova che
VT =119879119878∙119861119879
119860119878minus119861119879
Siccome sappiamo che il raggio del Sole egrave circa 10925 raggi terrestri abbiamo
Bignamino di astronomia
31
VT= 119878119879∙119861119879
10925119861119879minus119861119879
VT= 119878119879
10925minus1
La lunghezza del cono drsquoombra si puograve calcolare dividendo la distanza media Terra-Sole per 10925
Si puograve calcolare anche il semidiametro apparente visto dalla Terra dellrsquoombra che la Terra proietta
sul piano dove si trova la Luna
Poicheacute il raggio angolare della Luna egrave di 15rsquo5 percheacute una eclisse di Luna possa avere luogo egrave
necessario che la distanza tra i centri dellrsquoombra terrestre e della Luna sia inferiore a
41rsquo+15rsquo5 = 56rsquo5
Con questo dato si puograve calcolare quanto egrave spostato il centro dellrsquoorbita terrestre dal nodo lunare
Dalla proporzione
119861119879 119877119867 = 119881119879119867119881
119877119867 =119881119867 ∙ 119861119879
119881119879
Dato che
119881119867 = 119881119879 minus 119879119867
119877119867 =119861119879 (119881119879 minus 119879119867)
119881119879=
=119861119879
119881119879(1 minus
119879119867
119881119879) =
Dalla formula precedente
119881119879 =119878119879
10825
Sostituendo
Bignamino di astronomia
32
119877119867 =119861119879 ∙ 10825
119878119879(1 minus 119879119867) =
= 119877119879119864119877119877119860119863119879119878
10825 (1 minus 119863119879119871)
Si trova che questo valore egrave di 10deg6 Quindi unrsquoeclisse lunare si puograve verificare (anche di breve
durata) solo nel caso in cui lrsquoorbita terrestre egrave spostata meno di 10deg6 gradi dal nodo lunare (ad est
o ad ovest)
La Terra si muove lungo lrsquoeclittica di circa 59rsquo al giorno Per percorrere questa distanza impiega 108
giorni e la distanza doppia in 216 giorni poicheacute una rivoluzione sinodica si compie in 295 giorni
Una Luna piena puograve verificarsi ad una distanza superiore ai 10deg6 gradi ad ovest e la successiva Luna
piena ad una distanza superiore ad est e quindi nel corso di questa rivoluzione non si verificheranno
eclissi Si puograve verificare che in un anno non ci siano eclissi o al massimo tre quando la prima cade
poco dopo il primo gennaio la seconda sei mesi dopo (in prossimitagrave di giugno) e la terza a fine
dicembre (dodici mesi sinodici dopo la prima 354 giorni)
Bignamino di astronomia
33
Eclisse di Sole
Uneclissi di Sole si verifica quando la Luna attorno alla sua congiunzione si trova allineata tra la
Terra e il Sole molto vicino ad uno dei nodi o esattamente in esso Bencheacute di dimensioni
estremamente diverse si trovano a distanze tali da mostrare lo stesso diametro apparente Il che
consente alla Luna di coprire il disco del Sole
Percheacute ci sia una eclisse di Sole egrave necessario che
al momento del novilunio il Sole sia distante
dal nodo inferiore in media 15deg5 Questo
valore egrave piugrave alto di quello calcolato per lrsquoeclisse
di Luna e quindi si capisce percheacute le eclissi di
Sole sono piugrave frequenti Il cono drsquoombra
massimo della Luna ha un valore che non
supera i 270km sulla superficie della Terra mentre la lunghezza del cono drsquoombra egrave circa 374000
per cui il vertice di questo cono non sempre raggiunge la Terra in questo caso si hanno eclissi
anulari In localitagrave differenti della Terra lrsquoeclisse di Sole si verifica in tempi diversi Il moto della Luna
attorno alla Terra e la rotazione della Terra attorno al proprio asse fanno sigrave che lrsquoombra lunare si
sposti da ovest verso est formando una striscia drsquoombra lunga un migliaio di km e larga da 200 a 270
km Poicheacute la Luna si sposta da ovest verso est lrsquoeclisse inizia dal bordo ovest del Sole
Condizione percheacute si possa verificare unrsquoeclissi di Sole
Percheacute si verifichi unrsquoeclisse di Sole egrave necessario che nel periodo della Luna nuova questa si trovi in
prossimitagrave di uno dei nodi della sua orbita cioegrave in vicinanza dellrsquoeclittica
Indichiamo con S T L i centri del Sole della Terra della Luna che giacciono tutti su di un piano
perpendicolare al piano dellrsquoeclittica Il verificarsi dellrsquoeclisse dipende dalla latitudine geocentrica
della Luna (nella figura lrsquoangolo LTS (vertice in T) = 120573 )
Dalla figura
Bignamino di astronomia
34
120573 = LTLrsquo+ LrsquoTSrsquo + STSrsquo
Dalla figura si evince che
LTLrsquo egrave il raggio angolare della Luna= 120572119871
STSrsquo egrave il raggio angolare del Sole = 120572119878
120573 = 120572119871 + LrsquoTSrsquo + 120572119878
Lrsquo TSrsquo =
Consideriamo lrsquoangolo TLrsquoO esterno al triangolo TLrsquoSrsquo
TLrsquoO= LrsquoTSrsquo + TSrsquoLrsquo
TLrsquoO= LrsquoTSrsquo + TSrsquoO
LrsquoTSrsquo = TLrsquoO - TSrsquoO
TLrsquoO = 119901119871 = 57prime2primeprime (parallasse orizzontale della Luna)
TSrsquoO= 119901119878 = 8primeprime 8 (parallasse orizzontale del Sole)
120573 = 120572119871 + 120572119878 + 119901119871 - 119901119878
120573 = 15rsquo5 +16rsquo3 +57rsquo2 ndash 8rsquorsquo8
120573 = 88rsquo46
Percheacute si verifichi una eclisse anche di breve durata egrave necessario che la latitudine geocentrica della
Luna sia inferiore a 88rsquorsquo46
La parallasse orizzontale equatoriale della Luna egrave lrsquoangolo sotto il quale dal centro della Luna egrave
visibile il raggio equatoriale della Terra La parallasse orizzontale equatoriale del Sole egrave lrsquoangolo
sotto il quale dal centro del Sole egrave visibile il raggio equatoriale della Terra
Bignamino di astronomia
35
La distanza angolare del centro della Luna rispetto al
nodo (longitudine) si puograve calcolare con la
sinΔ120582 = tan120573
tan 119894
Δ120582 = 16deg5
Il Sole muovendosi alla velocitagrave di 59rsquo al giorno percorre 33deg gradi di eclittica in 34 giorni Essendo
il periodo sinodico di 295 giorni egrave evidente che nel corso di questo periodo si ha una Luna nuova
(ed anche due) Questo assicura che nel corso di un anno si verificano almeno due eclissi di Sole in
vicinanza dei nodi Se la prima si verifica ai primi di gennaio la seconda si ha alla Luna nuova
successiva la terza e la quarta poco meno di sei mesi dopo e la quinta 354 giorni dopo la prima
Bignamino di astronomia
36
Numero totale di eclissi per anno
Il Ciclo di Saros
In base a quanto fin qui detto il numero massimo di eclissi che si possono verificare in un anno egrave 7
bull 2 Luna + 5 Sole
bull 3 Luna + 4 Sole
e viceversa Questa combinazione egrave piuttosto rara lrsquoevento piugrave frequente egrave 2 Luna + 2 Sole Il
numero minimo costituito da due eclissi entrambe di Sole
Fin dallrsquoantichitagrave era noto che le eclissi si succedevano pressocheacute nello stesso ordine in un periodo
di circa 18 anni e 113 giorni La spiegazione egrave alquanto semplice
Le fasi lunari si succedono ogni 2953 giorni (mese sindico) mente il ritorno allo stesso nodo della
Luna avviene ogni 2721 giorni I nodi
hanno un moto di retrogradazione in un
giorno percorre un angolo pari a
3rsquo10rsquorsquo64 e completa il giro in 18anni e
113 giorni Il Sole si sposta di moto
diretto in media di 59rsquo8rsquorsquo33 al giorno
rispetto al nodo Il moto del Sole egrave di
62rsquo19rsquorsquo e quindi lrsquointervallo di tempo fra
due passaggi consecutivi del centro del
Sole per lo stesso nodo egrave di 34662 giorni
(anno draconico) Il saros egrave lrsquointervallo di tempo percheacute questi tre periodi tornino nella stessa
successione La natura si diverte
Succede che
bull 223 lunazioni (223 mesi sinodici) corrispondono a giorni 658519 (223 x 2953)
bull 242 mesi draconici corrispondono a giorni 658502
bull questi giorni corrispondono a 18 anni e circa 11 giorni
Poi succede che se dividiamo questi 658519 per lrsquoanno draconico troviamo circa 19
Questi tre periodi ritornano nella stessa successione dopo circa 6585 giorni che rappresenta il
ciclo di Saros Le condizioni in cui si producono le eclissi non saranno mai le stesse poicheacute essendo
223 mesi sinodici piugrave corti di 004 mesi draconici dopo 18 anni la Luna non si troveragrave esattamente
allo stesso posto rispetto al nodo Il ciclo di Saros contiene 6585 giorni interi piugrave circa 13 di giorni
questo comporta che le zone di visibilitagrave delle eclissi sulla superficie terreste in 18 anni si spostano
di circa 120deg verso Ovest
Bignamino di astronomia
37
ANGOLO SOLIDO
Si definisce angolo solido la porzione di sfera intercettata dalle
semirette che lo individuano
120570 =119860
1198772=41205871198772
1198772= 4120587
120570 = 4120587
Langolo solido totale di una sfera egrave pari a 4π Lunitagrave di misura
egrave sr (steradiante) ed egrave un numero puro
Per avere la misura in gradi quadrati si deve
119898119900119897119905119894119901119897119894119888119886119903119890 4120587 bull (180deg
120587)2
119900 1198891198941199071198941198891198901199031198904120587
1205872
4π sr= 41253deg -gt 1deg=3046 bull 10minus4119904119905119890119903119886119889
STRUMENTI OTTICI
CAMPO DELLO STRUMENTO
Il campo di uno strumento egrave definito dallangolo solido sotto il quale loculare viene visto dal centro
dellobiettivo Il campo corretto dalle aberrazioni ottiche di norma egrave 1
2deg
APERTURA ASSOLUTA
Lapertura assoluta dipende dal diametro D dello strumento La quantitagrave di luce raccolta egrave
proporzionale allarea dellobiettivo cong 1198632
APERTURA RELATIVA
Si definisce apertura relativa il rapporto
119863
119891=119886119901119890119903119905119906119903119886 119886119904119904119900119897119906119905119886 (119889119894119886119898119890119905119903119900)
119891119900119888119886119897119890 119889119890119897119897prime119900119887119894119890119905119905119894119907119900
Bignamino di astronomia
38
RAPPORTO FOCALE
Linverso dellrsquoapertura relativa 119891
119863 definisce il rapporto focale
Lenergia raccolta dallobiettivo egrave distribuita sullarea dellimmagine la cui grandezza sul piano focale
egrave data da
119889 = 119891 bull 119905119886119899120572
Con α=diametro angolare dellrsquooggetto
119889 = 119891120572
Se α egrave espresso in radianti
POTERE RISOLUTIVO
Il potere risolutivo egrave la minima distanza angolare tra due sorgenti di luce che possono essere viste
separate (ldquorisolte in termine tecnico) secondo un criterio detto di Rayleigh
Due sorgenti puntiformi (di uguale luminositagrave) risultano risolte quando la loro distanza angolare
120579 =122 bull 120582
119863=119897119906119899119892ℎ119890119911119911119886 119889prime119900119899119889119886
119889119894119886119898119890119905119903119900
Si ottiene un risultato in radianti
In secondi darco invece
120579 =25 bull 105 bull 120582
119863
Con λ=lunghezza donda della luce=5500Aring (regione di massima sensibilitagrave dellocchio)
Il potere risolutivo dellocchio assumendo la pupilla con un diametro di 3 mm egrave uguale a
120579 =122120582
119863= 122 bull
5500 bull 10minus9119898
3 bull 10minus3119898= 224 bull 10minus4119903119886119889 = 46
Il fattore di conversione da radianti a secondi egrave il NUMERO MAGICO 1 rad = 206265rdquo
Nella determinazione del potere risolutivo interviene lrsquoapertura dello strumento e non
lrsquoingrandimento
Bignamino di astronomia
39
INGRANDIMENTO
Lingrandimento dello strumento egrave dato dal rapporto tra la focale dellobiettivo f e la pupilla
delloculare f
119892 =119891
119891prime
ABERRAZIONE DELLA LUCE
Quando i raggi di una stella arrivano sulla Terra la loro direzione di provenienza
appare leggermente deviata a causa della velocitagrave orbitale del pianeta v I vettori
delle velocitagrave (della luce e del pianeta) si combinano per dare un vettore risultante di
poco inclinato dalla direzione di provenienza dei raggi
119886 = arctan119907
119888
RIFRAZIONE
Il fenomeno della rifrazione ha origine dal cambiamento di
velocitagrave delle onde luminose quando passano da un mezzo
trasparente allrsquoaltro Esiste una proporzione tra le due diverse
velocitagrave e i seni degli angoli 120579119894119899119888119894119889119890119899119911119886 e 120579119903119894119891119903119886119911119894119900119899119890 che i raggi
formano con la linea normale alla superficie nel punto colpito dal
raggio Se consideriamo gli indici di rifrazione 1198991 e 1198992 dei materiali
la proporzione egrave inversa
119904119894119899120579119894119899119888119894119889119890119899119911119886119904119894119899120579119903119894119891119903119886119911119894119900119899119890
=11989921198991=11990711199072
Bignamino di astronomia
40
RIFRAZIONE ATMOSFERICA
Allrsquoentrata nellrsquoatmosfera terrestre i raggi luminosi provenienti da un corpo celeste che si trova a
distanza zenitale z vengono rifratti (deviati verso il basso) di un angolo r Quindi i corpi celesti si
osservano in una posizione leggermente piugrave alta del reale In particolare possiamo vedere oggetti
che si trovano anche sotto lrsquoorizzonte geometrico del luogo (es Il sole al tramonto) La formula
stabilisce che lrsquoangolo di rifrazione egrave proporzionale alla tangente della distanza zenitale
Questa formula vale fino ad angoli 119963 asymp 120789120782deg
Oltre questo valore fino allrsquoorizzonte la rifrazione aumenta fino a raggiungere il valore massimo di
35rsquo
119903 = 582 tan (119911)
Bignamino di astronomia
41
RIASSUMENDOhellip
CENNI TEORICI SUI TELESCOPI
Il telescopio egrave uno strumento che raccoglie la luce o altre radiazioni elettromagnetiche
provenienti da un oggetto lontano la concentra in un punto (detto fuoco) e ne produce
unimmagine ingrandita Possiamo paragonare un telescopio a un ldquogrande occhiordquo che
sopperisce al fatto che la nostra pupilla di dimensioni ridotte riesce a raccogliere un
quantitativo insufficiente di luce emessa da un oggetto lontano Un telescopio egrave
caratterizzato dalle seguenti componenti e grandezze
bull OBIETTIVO egrave la parte del telescopio rivolta verso lrsquooggetto da osservare Il suo
diametro D prende il nome di APERTURA Telescopi con una grande apertura sono
capaci di raccogliere piugrave luce e di fornire unrsquoimmagine a piugrave alta risoluzione
Lrsquoobiettivo fa convergere i raggi luminosi in un punto il fuoco la cui distanza
dallrsquoobiettivo egrave chiamata LUNGHEZZA FOCALE
bull OCULARE la parte del telescopio (nel caso di telescopi ottici) che raccoglie la luce
proveniente dallrsquoobiettivo e che la trasmette poi allrsquoocchio Anche per lrsquooculare egrave
possibile definire una LUNGHEZZA FOCALE
Ingrandimento
Lrsquoingrandimento di un telescopio egrave dato dal rapporto fra la lunghezza focale dellrsquoobiettivo e
la lunghezza focale dellrsquooculare
119894 = 119891119900119887119891119900119888 Rapporto focale
Rapporto esistente tra la lunghezza focale dellrsquoobiettivo e lrsquoapertura stessa del telescopio
119865 =119891119900119887
119863 negli strumenti egrave specificato da una F seguita da un numero (es F4 F45 F6hellip)
Campo visivo
Esso egrave dato dal rapporto fra il campo visivo apparente dellrsquooculare (lrsquoampiezza angolare
dellrsquoimmagine fornita dallrsquooculare soltanto) e il numero di ingrandimenti
119865119900119881 =119865119900119881119900119888119894
Pupilla drsquouscita
Essa egrave il diametro del fascio luminoso che esce dallrsquooculare
119901 =119863
119894
Potere risolutivo
Esso egrave lrsquoangolo minimo che deve separare due oggetti affincheacute lo strumento li possa
distinguere egrave dato dal criterio di Rayleigh
120599(119903119886119889) =122120582
119863 120599deg =
699120582
119863 120582 119897119906119899119892ℎ119890119911119911119886 119889prime119900119899119889119886 119889119890119897119897119886 119897119906119888119890 119900119904119904119890119903119907119886119905119886
Bignamino di astronomia
42
Magnitudine limite
Egrave la magnitudine visuale massima che puograve essere osservata con uno strumento di apertura
D (in cm)
119898119897119894119898 = 68 + 5119897119900119892119863
Ingrandimento minimo utile
egrave lrsquoingrandimento che fornisce una pupilla drsquouscita pari al diametro della pupilla umana (6-7
mm)
119894119898119894119899 = 119863(119898119898)7
Formula di Dawes
Ci consente di trovare lrsquoapertura di un telescopio che gli consenta di distinguere un oggetto
che si vede sotto un angolo α
119863(119898119898) =120
120572
Dimensioni dellrsquoimmagine sul piano focale
Lrsquoimmagine che si forma sul piano focale di un telescopio con lunghezza focale dellrsquoobiettivo
f relativa a un oggetto di dimensione angolare α egrave
119897 = 2119891 tan (1205722)
Bignamino di astronomia
43
ELEMENTI DI ASTROFISICA
Tutte le informazioni che riceviamo dalle stelle ci provengono dalla ldquolucerdquo che emettono1 Egrave solo
attraverso lrsquoanalisi e la ldquodecodificazionerdquo dei messaggi contenuti in questa radiazione
elettromagnetica che egrave la luce che noi possiamo ottenere informazioni sulle proprietagrave fisiche e
chimiche delle stelle e delle galassie
La radiazione elettromagnetica
Una radiazione elettromagnetica egrave dal punto di vista dellrsquoelettromagnetismo classico un fenomeno
ondulatorio dovuto alla contemporanea propagazione di perturbazioni periodiche di un campo
elettrico e di un campo magnetico oscillanti su piani tra di loro ortogonali Le stelle emettono
tipicamente radiazione di ldquocorpo nerordquo e come tale irradiano energia in tutte le lunghezze drsquoonda
secondo una distribuzione che viene chiamata spettro della radiazione elettromagnetica
I parametri che permettono di distinguere tra loro le varie radiazioni elettromagnetiche sono
1) In realtagrave un altro ldquocanalerdquo di trasmissione delle informazioni per la comprensione dei fenomeni celesti si egrave aperto
grazie ai risultati positivi ottenuti dagli interferometri per onde gravitazionali LIGO e VIRGO in particolare gli
interferometri menzionati il 17 agosto 2017 hanno rilevato un segnale di onda gravitazionale (rilevazione
annunciata poi ufficialmente il 16 ottobre dello stesso anno) mentre altri telescopi in orbita e a terra sono riusciti
a individuare per la prima volta la sua controparte elettromagnetica lrsquoevento che ha generato il segnale egrave stato
la collisione di due stelle di neutroni (che ha portato a unrsquoesplosione nota col termine di kilonova ) nella galassia
NGC 4993 esso ha segnato la nascita della cosiddetta ldquoastronomia multi-messaggero per il fatto che egrave stato
possibile confrontare due ldquolinguaggirdquo diversi permettendo cosigrave di ampliare le frontiere della conoscenza di
questi fenomeni ldquoestremirdquo
Bignamino di astronomia
44
Parametri di unrsquoonda
Come tutti i fenomeni ondulatori la radiazione elettromagnetica egrave caratterizzata da questi
parametri
Lunghezza drsquoonda 120640
la lunghezza drsquoonda tra due creste o tra
due ventri Si misura in metri eo con i
suoi sottomultipli
Periodo T
lrsquointervallo di tempo misurato in
secondi in cui avviene unrsquooscillazione
completa ovvero lintervallo di tempo
impiegato dallonda per ritornare nella
medesima posizione (per esempio il
tempo intercorso tra due creste o tra
due ventri successivi
Frequenza 120650 egrave il numero di creste che si susseguono nello stesso posto nellrsquounitagrave di
tempo egrave lrsquoinverso del periodo
120592 =1
119879
Frequenza che si misura in Hertz (Hz) pari ad unrsquooscillazione al secondo
119867119911 = 1119904minus1
Ampiezza A rappresenta la variazione massima dellrsquoonda Lrsquoampiezza di unrsquoonda
periodica egrave lrsquoaltezza di una sua cresta
Intensitagrave di unrsquoonda egrave proporzionale al quadrato dellrsquoampiezza
Potenza ogni onda porta con seacute unrsquoenergia e quindi una potenza Tale potenza decresce
con il quadrato della distanza dalla sorgente
La lunghezza drsquoonda λ e la frequenza ν di una radiazione elettromagnetica sono grandezze legate
tra loro dalla relazione
120582 ∙ 120592 = 119888
(c ndashla velocitagrave della luce- nel vuoto ha un valore di 299 792 458 ms) Questa formula ci dice che le
due grandezze sono inversamente proporzionali
Bignamino di astronomia
45
La radiazione elettromagnetica puograve essere interpretata come un insieme di ldquopacchettirdquo di energia a
cui si dagrave il nome di fotoni grazie a questi ldquopacchetti energeticirdquo la luce puograve interagire con la materia
a livello microscopico per esempio puograve eccitare un elettrone in un atomo cedendo a esso la sua
energia Continuando il paragone possiamo immaginare che piugrave la radiazione egrave intensa piugrave i
pacchetti sono numerosi piugrave la radiazione cresce di frequenza piugrave essi sono ldquocapientirdquo
Questrsquoultima caratteristica egrave descritta dalla Legge di Planck che lega lrsquoenergia del fotone alla sua
frequenza
119864 = ℎ ∙ 120584
(dove h egrave la costante di Planck)
119864 = ℎ119888
120582
EQUIVALENZA MASSA- ENERGIA Tra lrsquoenergia e la massa esiste una fondamentale relazione
scoperta dal fisico Albert Einstein espressa dallrsquoequazione
119864 = 1198981198882
dove c egrave la velocitagrave della luce (pari a 3 middot 108 ms) Lequazione di Einstein implica che energia e massa
sono equivalenti la massa puograve essere trasformata in energia e lenergia puograve essere trasformata in
massa Ciograve comporta il principio di conservazione della massa-energia non vi egrave conservazione della
massa o dellenergia considerate separatamente ma vi egrave conservazione dellinsieme delle due a una
diminuzione della massa pari a m deve corrispondere un aumento dellenergia pari a m middot c2
Poicheacute il prodotto m middot c2 egrave un numero molto grande la trasformazione di una massa anche molto
piccola di materia determina la produzione di una quantitagrave enorme di energia come avviene per
esempio nelle reazioni di fissione e di fusione nucleari (queste ultime avvengono nel nucleo delle
stelle si veda per una maggiore comprensione il problema 2 della sezione Miscellanea)
Bignamino di astronomia
46
Grandezze fotometriche
Flusso luminoso Quantitagrave di energia luminosa emessa da una determinata sorgente nellunitagrave di tempo Lo indichiamo con la lettera Φ Lunitagrave di misura nel SI egrave il lumen (lm) 1 watt = 683 lumen
Illuminamento Rapporto tra il flusso luminoso ricevuto da una superficie e larea della superficie stessa ( E=
120593
119878 )
Lunitagrave di misura nel SI egrave il lux (lx) ovvero il lumen al metro quadrato (lm1198982)
Nota Dalla definizione di illuminamento si ricavano due importanti corollari di natura geometrica che risultano molto utili per comprendere la distribuzione della luce nello spazio
1) Per una sorgente puntiforme la diminuzione del livello di illuminamento su di una superficie varia in relazione al quadrato della distanza dalla fonte raddoppiando la distanza dalla fonte il livello di illuminamento sulla superficie diviene quindi frac14
2) Il livello drsquoilluminamento su di una superficie egrave massimo quando i raggi luminosi giungono perpendicolari ad essa e diminuisce proporzionalmente al loro angolo drsquoincidenza secondo la relazione E = 119864119899 cosi 119864119899egrave 119897
prime illuminamento normale i lrsquoangolo drsquoincidenza tra raggi luminosi e la normale alla superficie
Immagine dal web (fonte VOLTIMUM)
Bignamino di astronomia
47
Intensitagrave luminosa Flusso luminoso emesso allinterno dellangolo solido unitario in una direzione data
119868 = 119864 =120593
120596
ed egrave una grandezza vettoriale Lunitagrave di misura nel SI egrave la candela (cd)
Luminanza La luminanza egrave il rapporto tra lrsquointensitagrave luminosa di una sorgente nella direzione di un osservatore e la superficie emittente apparente cosigrave come viene vista dallrsquoosservatore stesso
119871 = 119868
119878 119888119900119904120572
120572 egrave 119897prime119886119899119892119900119897119900 compreso tra la direzione di osservazione e lrsquoasse perpendicolare alla superficie emittente La luminanza si esprime in cd1198982
Bignamino di astronomia
48
Parametri fisici delle stelle
Le grandezze fondamentali che permettono di caratterizzare le stelle sono
la distanza (d)
lo spettro della radiazione em emessa
la luminositagrave totale o bolometrica (L)
la temperatura superficiale (T)
il raggio (R)
la massa (M)
Le stelle possono essere approssimate a corpi neri in quanto le uniche onde elettromagnetiche che
non vengono assorbite dalla loro superficie sono quelle aventi una lunghezza donda di dimensione
pari o maggiore del diametro della stella stessa Per studiare le proprietagrave dellrsquoemissione continua
delle stelle egrave utile introdurre il concetto di corpo nero
Corpo nero
Il corpo nero egrave un corpo che assorbe tutta la radiazione che gli cade sopra Appare perfettamente nero percheacute assorbe il 100 della radiazione che incide su di esso e non ne riflette nessuna Il corpo nero egrave un oggetto teorico nessun materiale assorbe tutta la radiazione incidente Il corpo nero ha uno spettro di emissione caratteristico che dipende solo da un parametro la temperatura Lo studio della radiazione emessa dal corpo nero ha portato alla formulazione delle seguenti leggi
bull La legge (di spostamento) di Wien la frequenza massima 120584119898119886119909 di uno spettro di corpo nero a temperatura T cresce linearmente con T
120584119898119886119909 prop T il che comporta una proporzionalitagrave inversa fra la temperatura assoluta e la lunghezza drsquoonda
120582119898119886119909 119879 = 119887
b = 29 10minus3 m∙K
Per cui si ha
120582119898119886119909 T = 29 10minus3 m∙K
Bignamino di astronomia
49
bull Legge di Stefan-Boltzmann lenergia erogata per unitagrave di
superficie e per unitagrave di tempo egrave proporzionale alla quarta
potenza della temperatura T
119868 = 1205901198794
Applicazioni in astrofisica
Stefan-Boltzmann per una stella che approssimiamo ad una sfera di raggio R e superficie S= 41205871198772
la legge di Stefan-Boltzmann diventa
L= 41205871198772 120590T4
Poicheacute le stelle non sono dei corpi neri perfetti la temperatura egrave la temperatura efficace quella che
la superficie della stella avrebbe se si comportasse da corpo nero
Flusso e Luminositagrave
120593= 119871
41205871198892
Il flusso di energia egrave dato dal rapporto fra la lrsquoenergia emessa
dalla stella nellrsquounitagrave di tempo e la superficie della sfera di
raggio pari alla distanza d dalla stella Quindi si vede che il flusso
misurato sulla superficie terrestre dipende dalla luminositagrave
della stella e dalla sua distanza
Bignamino di astronomia
50
I LOGARITMI
Il termine logaritmo egrave composto da due parole greche logos = ragione e arithmos = numero
ldquoNumero di ragionirdquo questa definizione appare naturale pensando alla ragione delle progressioni
aritmetiche e geometriche che sono alla base della costruzione di Nepero
La storia di come nasce questo procedimento di
calcolo egrave molto interessante qui ci piace
evidenziare che la motivazione alla base della
scoperta dei logaritmi ed anche il motivo del loro
successo fu la ricerca di efficienti strumenti di
calcolo in grado di alleggerire il pesante fardello
di cui erano gravati gli astronomi del tempo i
quali per poter predire il corso dei pianeti si
dovevano confrontare con grandi difficoltagrave di
calcolo Basta pensare al calcolo dellrsquoorbita del
pianeta Marte del povero Keplero Quando Nepero pubblicograve il suo lavoro sui logaritmi gli
astronomi dissero che aveva regalato loro metagrave della vita I logaritmi rendono infatti possibile
trasformare prodotti in somme quozienti in differenze elevamenti a potenza in prodotti e
calcoli di radici in quozienti le operazioni vengono molto semplificate
Che cosa egrave un logaritmo
Generalmente si risponde che egrave una operazione inversa
Partiamo da una operazione conosciuta lrsquoestrazione di radice quadrata di un numero
radic25 = 5
La radice quadrata di 25 egrave quel numero che elevato a due restituisce 25 cioegrave il numero 5 infatti 52 =
25 Concludiamo dicendo che la radice egrave lrsquooperazione inversa dellrsquoelevamento a potenza
Il concetto di logaritmo egrave abbastanza simile a quello della radice quadrata solo che non ci riporta al
numero di partenza ma al suo esponente
Introduciamo la scrittura
log5 25 = 2
questa la scriviamo
52 =25
Definiamo logaritmo di un numero b (argomento del logaritmo) quel numero a cui bisogna elevare
la base per ottenere il numero b In notazione matematica
log119886 119887 = x
119886119909 = b
Anche il logaritmo egrave lrsquooperazione inversa dellrsquoelevamento a potenza
Bignamino di astronomia
51
log2 8 = x
la domanda egrave ldquoqual egrave lrsquoesponente che devo dare alla base (2) per ottener il numero (8)rdquo
Scriviamo applicando la definizione
2119909 = 8
e siccome
8 = 23
Allora
2119909 = 23
e perciograve
x=3
(se le basi sono uguali lrsquouguaglianza saragrave verificata se saranno uguali anche gli esponenti)
Egrave abbastanza evidente che i logaritmi e le potenze rappresentano due modalitagrave di scrittura diversa ma
rappresentano la stessa cosa
Osservazione importante la base dei logaritmi ed il numero devono essere numeri reali
positivi in piugrave la base deve anche essere diversa da 1
bgt 0
0 lt a lt1
agt 1
Quindi per esempio non esistono log2(minus5) log1 12 119890119888119888
Bignamino di astronomia
52
Proprietagrave dei logaritmi
Il logaritmo del prodotto di 2 o piugrave numeri positivi corrisponde alla somma dei logaritmi dei
singoli fattori
(Nota 119886119909 ∙ 119886119910 = 119886119909+119910)
Il logaritmo del quoziente di 2 numeri positivi egrave eguale alla differenza tra il logaritmo del
dividendo e il logaritmo del divisore
(Nota 119886119909119886119910 = 119886119909minus119910)
Il logaritmo della potenza a esponente reale di un numero positivo egrave uguale al prodotto
dellesponente per il logaritmo del numero
Una estensione di questa ultima proprietagrave egrave
log119886 radic119887119898119899
= log119886 119887119898
119899
(che possiamo scrivere come 119898
119899log119886 119887)
A volte per calcolare un logaritmo puograve risultare utile effettuare un cambiamento di base
Il loga b la cui base egrave a puograve essere scritto utilizzando unrsquoaltra base per esempio il numero c
Ricorda inoltre che
log119886 1 = 0 (119894119899119891119886119905119905119894 1198860 = 1) 119890 log119886119886 = 1 (119894119899119891119886119905119905119894 1198861 = 119886)
Bignamino di astronomia
53
Se la base di un logaritmo egrave il Numero di Nepero (chiamato meno frequentemente anche Numero
di Eulero e indicato con e = 2718281828459hellip) allora il logaritmo prende il nome di logaritmo
naturale e si indica con ln
Quindi se vediamo 1198971198995 niente paura Si tratta di log119890 5
Se la base di un logaritmo egrave 10 il logaritmo prende il nome di logaritmo decimale e la base
generalmente si omette questo tipo di logaritmo egrave il piugrave usato in astrofisica
Quindi se vediamo 1198971199001198927 ciograve vuol dire log10 7
I logaritmi sono utilizzati nella vita di tutti i giorni ad esempio il gommista quando misura la
pressione di una gomma utilizza uno strumento con una scala non lineare ma logaritmica le scale
sulla macchina fotografica sono logaritmiche i nostri organi di senso sono logaritmici Questo ci
permette di percepire un intervallo di informazioni molto piugrave esteso di quello che avremmo se i nostri
sensi fossero lineari Pogson quando capigrave che il nostro occhio percepisce una differenza di una
magnitudine ( per le magnitudini consulta le pagine successive del Bignamino) tra due stelle quando
il rapporto tra le loro luminositagrave egrave uguale a 25 e che questo conserva la classificazione di Ipparco
formulograve la sua formula in funzione del logaritmo del rapporto delle loro luminositagrave
Niente paura
Oggi avete le calcolatrici e non si
devono utilizzare le famigerate tavole
logaritmiche che si utilizzavano un
tempo per calcolare un logaritmo
Bisogna solo stare attenti ad utilizzare
CORRETTAMENTE la calcolatrice
Nepero
Bignamino di astronomia
54
Magnitudine delle stelle
Quando si guarda il cielo si vede subito che le stelle ci appaiono piugrave o meno brillanti (o luminose) ovvero sembrano avere diversa intensitagrave luminosa Gli astronomi descrivono la luminositagrave stellare osservata in termini di magnitudine apparente m Nel II secolo aC Ipparco di Nicea utilizzando lrsquounico strumento a sua disposizione (lrsquoocchio umano) introdusse una classificazione delle stelle in 6 classi di luminositagrave che chiamograve MAGNITUDINI La scala scelta dai Ipparco prevedeva che le stelle piugrave luminose venissero collocate nella prima classe quelle un porsquo meno luminose nella seconda e giugrave giugrave fino a quelle appena visibili a occhio nudo collocate nella sesta classe Con lrsquoosservazione del cielo attraverso gli strumenti si pose il problema di estendere la scala delle grandezze anche alle stelle non visibili ad occhio nudo Un grossissimo contributo venne dallo studio della fisiologia dellrsquoocchio strumento sul quale erano state fatte le prime classificazioni La risposta dellrsquoocchio umano agli stimoli luminosi non egrave di tipo lineare la reazione alla luce de reagisce alla sensazione della luce in modo logaritmico Pogson egrave riuscito a dare una formulazione matematica alla scala delle magnitudini individuata da Ipparco Pogson ipotizzograve che il rapporto fra le intensitagrave luminose di una stella di prima e di sesta grandezza era pari a 100 Se I1 e lrsquointensitagrave luminosa di una stella di magnitudine m1 ed I2 lrsquointensitagrave di una stella di
magnitudine m2 se m1 - m2 = -5 ed il rapporto I1
I2= 100
m1 - m2= K log I1
I2
-5=K2 K= -25
m1 - m2= -25 log I1
I2
Lrsquoequazione di Pogson spiega il percheacute la magnitudine decresce quando lrsquointensitagrave luminosa cresce Quando si parla di intensitagrave luminosa di una stella in realtagrave ci si riferisce al flusso di energia 120593 che
abbiamo visto essere legato alla luminositagrave dalla 120593= 119871
41205871198892
Se nella formula di Pogson m1 - m2= -25 log I1
I2 sostituiamo alle intensitagrave luminose il flusso si
ottiene (a paritagrave di luminositagrave)
m1 - m2= -5 log d2
d1
La magnitudine apparente di una stella dipende dalla distanza
Bignamino di astronomia
55
E se la stella apparentemente piugrave debole fosse in realtagrave piugrave brillante ma piugrave lontana Per rispondere a questa domanda egrave stata introdotta la scala delle magnitudini assolute indipendente dalla distanza Per costruire questa scala egrave stata presa una distanza di riferimento pari a 10pc Quale saragrave la magnitudine di una stella di cui si conosce la distanza e la magnitudine apparente se viene posta alla distanza di 10pc
M- m= -5 log 119889
1119900119901119888
M-m = 5-5logd Questa ultima viene anche indicata come modulo di distanza Questa scala consente di poter confrontare la luminositagrave intrinseca delle stelle M =magnitudine assoluta (stella alla distanza di 10pc) m =magnitudine apparente d = distanza della stella in pc
Se vogliamo calcolare la magnitudine complessiva di due o piugrave sorgenti luminose egrave errato ritenere
di poter sommare le magnitudini Infatti possiamo sommare i flussi ma le magnitudini dipendono
da essi in relazione logaritmica La relazione che ci permette di determinare la cosiddetta
magnitudine integrata (ossia la magnitudine complessiva ldquototalerdquo) di n oggetti di magnitudine
m1m2hellipmn egrave la seguente
119898119894119899119905 = minus25log (10minus041198981 + 10minus041198982 +⋯+ 10minus04119898119899)
Magnitudine apparente di alcuni oggetti celesti da sinistra verso destra
Sole Luna piena Venere Sirio Vega Magnitudine limite dellrsquoocchio
Magnitudine limite di un telescopio magnitudine limite dellrsquoHubble
Bignamino di astronomia
56
Se invece vogliamo calcolare la magnitudine superficiale di un oggetto esteso di superficie angolare
S (misurata in arcmin2 o arcsec2) ossia la magnitudine di un quadratino di superficie di lato uguale
a 1 arcsec2 o 1 arcmin2 allora applichiamo la seguente formula
119898119878119906119901 = 119898119894119899119905 + 25 log(119878)
Se S egrave misurata in arcmin2 la msup egrave espressa in magarcmin2 Se S egrave misurata in arcsec2 msup egrave
espressa in magarcsec2
Bignamino di astronomia
57
Redshift (spostamento verso il rosso)
Su grandi scale le galassie si stanno allontanando con velocitagrave proporzionale alla distanza tutte le
galassie si stanno allontanando tra di loro tra loro Lo stesso spazio-tempo si sta espandendo e sta
portando le galassie con seacute
NOTA Il redshift cosmologico non egrave dovuto allrsquoeffetto Doppler non egrave dovuto ai moti relativi delle
galassie Le cause e le grandezze fisiche coinvolte sono completamente diverse
Il redshift cosmologico egrave lo spostamento relativo in
frequenza di unonda elettromagnetica dovuto
allespansione delluniverso Si spiega ipotizzando che le
lunghezze donda varino allo stesso modo delle distanze per
effetto dellespansione delluniverso La lunghezza donda egrave
proporzionale al fattore di scala delluniverso
La cosmologia moderna nasce con la legge di Hubble
v=Hd
che lega in modo proporzionale la velocitagrave v di allontanamento delle galassie alla loro distanza d (H egrave la costante di Hubble) le galassie piugrave distanti si allontanano piugrave velocemente Questa legge deriva da osservazioni che mostravano che tutte le righe spettrali delle galassie sono spostate verso il rosso (redshift) e che tale effetto egrave proporzionale alla luminositagrave apparente delle galassie legata alla loro distanza Il redshift misura quindi la velocitagrave di allontanamento di una galassia ed egrave definito come segue
119911 =120582119900119887119904 minus 120582119905119890119900119903
120582119905119890119900119903
La legge di Hubble ci dice che la velocitagrave di allontanamento delle galassie egrave proporzionale alla loro
distanza
119907 = 119867119889
H egrave la costante di Hubble il cui valore attualmente stimato egrave attorno a H= 2176 ∙ 10minus18 Hz
(6715 kmMpc s) d egrave la distanza della galassia
Maggiore egrave la distanza della galassia tanto maggiore saragrave il redshift
z=119867119889
119888
Bignamino di astronomia
58
Per z≪ 1 vale lrsquoapprossimazione del redshift come effetto Doppler (zasymp119907
119888 ) e quindi z egrave
direttamente proporzionale alla velocitagrave di allontanamento delle galassie
bull Redshift relativistico
bull Redshift gravitazionale
La relativitagrave generale prevede che la luce che si muove attraverso campi gravitazionali molto
intensi sperimenteragrave uno spostamento verso il rosso o verso il blu
Il redshift gravitazionale (chiamato anche spostamento di Einstein) egrave dovuto dal fatto che un
fotone quando emerge da un campo gravitazione perde energia e quindi presenta uno
spostamento verso il rosso che dipende dallrsquointensitagrave del campo gravitazionale misurata nel
punto in cui si trova il fotone
z= 119866119872
1199031198882
Questa 119904119890 119903 ≫ 119903119904
119903119904 = 2119866119872
1198882
(raggio di Schwarzschild)
(M massa della stella r raggio della stella)
La formula generale egrave
z= 1
radic1minus119903119904 -1
Bignamino di astronomia
59
PROBLEMI ED ESERCIZI
bull SISTEMI DI RIFERIMENTO E COORDINATE ASTRONOMICHE
1 Quando la stella Rigel (δ= -8deg 13rsquo) passa al meridiano di Roma (φ=41deg55rsquo) a quale
altezza si trova
Soluzione Quando la stella Rigel passa al meridiano di Roma essa raggiunge la
posizione di culminazione superiore in corrispondenza del punto cardinale Sud
Dunque la sua altezza sullrsquoorizzonte egrave pari allrsquoaltezza dellrsquoEquatore celeste alla
latitudine di Roma (90deg-φ) sommata alla declinazione dellrsquoastro Dunque
hRigel=90deg-φ+δ=90deg-41deg55rsquo-8deg13rsquo=39deg52rsquo
2 A quale latitudine comincia a essere visibile la stella Canopo (δ=-52deg40rsquo) appena
allrsquoorizzonte
Soluzione Affincheacute la stella Canopo sia appena visibile allrsquoorizzonte per un
osservatore posto alla latitudine φ egrave necessario che lrsquoEquatore celeste abbia
unrsquoaltezza sullrsquoorizzonte pari al valore assoluto della sua declinazione Quindi egrave
necessario che 90deg-φ=|δ| e cioegrave φ=90deg-|δ|=90deg-52deg40rsquo=37deg20rsquo [In realtagrave bisogna tenere conto dellrsquoeffetto della rifrazione atmosferica che ldquoalza le stellerdquo o
equivalentemente ldquoabbassa lrsquoorizzonterdquo di un angolo di 35rsquo Quindi in realtagrave Canopo si puograve
osservare anche a una latitudine leggermente piugrave settentrionale pari a 37deg20rsquo+0deg35rsquo=37deg55rsquo
circa]
3 Quale curva descrive lrsquoombra di uno stilo verticale posto al polo nord il 21 giugno
Qual egrave il rapporto fra la lunghezza l dellrsquoombra e lrsquoaltezza h dello stilo
Soluzione Il 21 giugno il Sole ha declinazione massima pari al valore dellrsquoobliquitagrave
dellrsquoeclittica quindi circa 23deg27rsquo Dal momento che al polo nord lrsquoorizzonte coincide
con lrsquoEquatore celeste e i paralleli celesti si trovano quindi su piani paralleli
allrsquoorizzonte la rotazione diurna non contribuiragrave a far tramontare il Sole che
descriveragrave una circonferenza nel cielo pertanto la curva descritta dallo stilo verticale
egrave una circonferenza Il rapporto lh egrave il reciproco della tangente dellrsquoaltezza del sole
pari a 23deg27rsquo 119897
ℎ=
1
11990511988611989923deg27prime=23
4 (PROBLEMA GARA INTERNAZIONALE 2002) I Cinesi nel 1100 aC avevano trovato
che lrsquoaltezza del Sole a mezzodigrave era 79deg7rsquo nel solstizio estivo e 31deg19rsquo in quello
Bignamino di astronomia
60
invernale A quale latitudine hanno fatto lrsquoosservazione e qual era allora lrsquoobliquitagrave
dellrsquoEclittica
Soluzione La media aritmetica dei valori delle due culminazioni del sole a mezzodigrave al
solstizio estivo ed invernale egrave pari allrsquoaltezza dellrsquoEquatore celeste Quindi
90deg minus 120593 =ℎ119890119904119905119886119905119890 + ℎ119894119899119907119890119903119899119900
2rarr 120593 = 90deg minus
ℎ119890119904119905119886119905119890 + ℎ1198941198991199071198901199031198991199002
= 34deg47prime
Lrsquoobliquitagrave dellrsquoeclittica egrave la differenza fra lrsquoaltezza massima del sole e lrsquoaltezza
dellrsquoEquatore celeste
휀 = ℎ119890119904119905119886119905119890 minus (90deg minus 120593) = 79deg7prime minus 90deg + 34deg47prime = 23deg54prime
[In generale lrsquoobliquitagrave dellrsquoeclittica varia da 21deg55rsquo a 24deg20rsquo con un periodo di circa 40000
anni]
bull I MOTI DELLA TERRA E LA MISURA DEL TEMPO
5 In quale istante di tempo siderale la stella Castore (α=7h 33m 31s δ=+31deg55rsquo35rdquo ) egrave
alla culminazione inferiore
Soluzione Alla culminazione inferiore la stella Castore ha un angolo orario pari a 12h
Il tempo siderale ossia lrsquoangolo orario del punto gamma egrave uguale alla somma di
angolo orario e ascensione retta di una generica stella in questo caso
TS=α+H=7h 33m 31s + 12h= 19h 33m 31s
6 Se in un dato giorno una stella passa al meridiano inferiore alle 21 a quale ora
(allrsquoincirca) vi passeragrave un mese dopo
Soluzione Lrsquoora a cui si riferisce il problema egrave per esempio quella indicata da un
normale orologio quindi egrave un tempo solare medio e non siderale Siccome nel corso
di un mese la stella non cambia la sua posizione rispetto al punto gamma se il
problema avesse chiesto lrsquoora siderale della successiva culminazione inferiore la
risposta sarebbe stata comunque ldquoalle 21rdquo siccome perograve il problema si riferisce a un
tempo solare medio dobbiamo tenere conto della differenza tra giorno solare e
giorno siderale questrsquoultimo egrave piugrave corto del primo di un valore pari a circa 4 minuti
(piugrave esattamente 3min 56s) Siccome un mese contiene mediamente 30 giorni la
stella anticiperagrave la sua culminazione di circa 4min30=120min=2h e quindi culmineragrave
allrsquoincirca alle 19
7 Una cittagrave A egrave posta alla longitudine 43deg12rsquo E di GW (Greenwich) Quando in A lrsquoorologio
segna le 20h35m siderali in unrsquoaltra cittagrave B lrsquoorologio segna le 23h12m siderali Qual
egrave la longitudine di B
Soluzione La differenza dei due tempi siderali che lrsquoorologio segna in A e in B egrave uguale
alla differenza delle longitudini dei due luoghi Quindi
Bignamino di astronomia
61
∆120582 = 120549119879119878 rarr 120582119861 minus 120582119860 = 119879119878119861 minus 119879119878119860 rarr 120582119861 = 119879119878119861 minus 119879119878119860 + 120582119860(119890119904119901119903119890119904119904119886 119894119899 119900119903119890)
= 23ℎ12119898 minus 20ℎ35119898 + 2ℎ53119898 = 5ℎ30119898
= (119905119903119886119904119891119900119903119898119900 119894119899 119892119903119886119889119894) = 82deg30prime
8 Quanto tempo egrave necessario affincheacute il punto gamma passi da un segno zodiacale a un
altro
Soluzione Il punto gamma non egrave fisso nel cielo bensigrave per via di uno dei moti millenari
della Terra il moto di precessione esso si sposta di circa 50rdquo allrsquoanno lungo lrsquoEclittica
Dal momento che i segni zodiacali sono dodici in media ognuno di essi occupa un
settore lungo lrsquoEclittica pari a 36012=30deg=108000rdquo Ne discende che il tempo
necessario affincheacute il punto gamma copra questa distanza angolare risulta pari a
t=(108000rdquo50rdquo)anni=2160 anni circa
9 La Terra impiega circa 23 ore e 56 minuti a compiere una rotazione completa attorno
al proprio asse Con quale velocitagrave tangenziale si muove un punto allrsquoequatore per
effetto del moto di rotazione della Terra Quanto vale lrsquoaccelerazione centripeta che
agisce su questo punto Quale forza centripeta agisce su un corpo di massa 13 kg
allrsquoequatore
Soluzione Il problema incentrato sul moto di rotazione terrestre (il moto dei punti
della Terra attorno allrsquoasse terrestre) egrave un semplice esercizio di cinematica
Conoscendo il periodo e la lunghezza della circonferenza equatoriale (poicheacute egrave noto
che il raggio della Terra ha un valore di 6378 km) egrave possibile determinare la velocitagrave
di rotazione allrsquoequatore il moto egrave circolare uniforme
119907 =2120587119877
119879=2120587120591 ∙ 6378119896119898
2393ℎ= 1674
119896119898
ℎ
Lrsquoaccelerazione centripeta vale
119886 =1199072
119877=(1674 divide 36)2
6378000= 339 ∙ 10minus3
119898
1199042
Per la seconda legge della dinamica la forza centripeta su un corpo di massa m allora
vale
119865 = 119898119886 = 13 ∙ 339 ∙ 10minus3 = 441 ∙ 10minus3119873
bull IL CIELO VISTO DALLA TERRA E LA LUNA
10 Due stelle equatoriali hanno parallassi 0rdquo022 e 0rdquo034 esse hanno AR 12h13m e
13h12m rispettivamente Quantrsquoegrave in parsec la loro reciproca distanza
Soluzione Lrsquoangolo fra la direzione con cui si proietta in cielo la prima stella e la
direzione della seconda stella egrave pari alla differenza delle ascensioni rette le stelle
sono infatti equatoriali cioegrave hanno declinazione nulla ΔAR=13h12m-
Bignamino di astronomia
62
12h13m=(trasformando in gradi)=14deg75 La loro distanza dallrsquoosservatore egrave in
parsec pari al reciproco della parallasse
d1=(1P1)=10022=455pc d2=(1P2)=10034=294pc
Il problema chiede in sostanza di calcolare un lato di un triangolo con vertici
nellrsquoosservatore e nelle due stelle (in particolare il lato con estremi nelle due stelle)
noti lrsquoangolo opposto a tale lato e gli altri due lati possiamo quindi usare il Teorema
di Carnot (o teorema del coseno)
119909 = radic11988912 + 1198892
2 minus 211988911198892 cos(∆119860119877) = 186 119901119888
11 Sapendo che il periodo siderale di rotazione del Sole allrsquoEquatore egrave di 25 giorni
trovare il periodo di rivoluzione sinodica cioegrave quello che appare visto dalla Terra
Soluzione Prendiamo un punto sullrsquoEquatore del Sole esso si muove con un periodo
siderale (cioegrave riferito a una stella lontana) pari come indicato dalla traccia a 25
giorni Il problema egrave del tutto analogo al calcolo del tempo sinodico di un pianeta
interno visto dalla Terra noti i periodi di entrambi i corpi 1
119878=
1
119879119904119900119897119890minus
1
119879119905119890119903119903119886rarr 119878 =
119879119905119890119903119903119886119879119904119900119897119890119879119905119890119903119903119886 minus 119879119904119900119897119890
=36525 ∙ 25
36525 minus 25119889 =
913125
34025119889 = 2684119889
12 A quale distanza da uno schermo deve essere posta una sfera di raggio R affincheacute
illuminata dal Sole non generi ombra ma solo penombra (il diametro apparente del
Sole sia 32rsquo)
Soluzione Concettualmente il problema egrave equivalente alla situazione di unrsquoeclisse
lrsquordquoosservatorerdquo egrave lo schermo mentre fra esso e il Sole si frappone un ostacolo Esso
intercettando i raggi solari genera dietro di seacute un cono drsquoombra e molto piugrave ampio
di questo una zona di penombra Il cono si restringe dalla parte opposta del Sole
rispetto alla sfera Se il vertice del cono si trova sullo schermo allora nessun punto
dello schermo si troveragrave in ombra percheacute il cono non interseca lo schermo In questa
configurazione lrsquoangolo sotto cui viene vista la sfera dallo schermo egrave di 32rsquo ovvero
053deg da cui si ha 119877
119889= tan (0532) e cioegrave d=[1 tan(0265)]R=2148 R circa la sfera
devrsquoessere posta a una distanza dallo schermo maggiore di 2148 volte circa il suo
raggio
13 Il 29 marzo 2006 si egrave verificata unrsquoeclisse totale di Sole visibile dallrsquoAfrica
settentrionale e dal Mediterraneo orientale Quale fase aveva la luna il 29 marzo 2007
cioegrave esattamente un anno dopo
Bignamino di astronomia
63
Soluzione Le eclissi di Sole si verificano quando la Luna si interpone fra il Sole e la
Terra oscurando una fascia sulla superficie del nostro pianeta con il suo cono
drsquoombra pertanto la Luna rivolge a noi in questrsquooccasione la sua faccia non
illuminata dal Sole e pertanto egrave nuova Conosciamo inoltre il periodo in cui si ripetono
le fasi lunari egrave il mese sinodico la cui durata egrave pari a 295306 giorni Lrsquointervallo
considerato (un anno in cui il 2007 non egrave bisestile) egrave pari a 365 giorni Siccome
365295306=1236 ossia 12 mesi lunari e 11 giorni se ne deduce che lrsquoetagrave della Luna
al 29 marzo 2007 era di 11 giorni quindi essa era in una fase intermedia tra primo
quarto e Luna piena
bull LA GRAVITArsquo
14 Lrsquoalieno Bzzapp ha appena comprato una navicella in grado di creare nuovi pianeti
nel suo girovagare un giorno incappa nel nostro Sistema Solare decide cosigrave di creare
con la sua astronave qualche nuovo pianeta Lrsquoamico Zorzzp gli dagrave prima una regola
dicendogli che questi pianeti devono trovarsi in una fascia compresa fra 2 UA e 7
UA in piugrave il loro periodo di rivoluzione devrsquoessere pari a un numero intero di anni
Qual egrave il numero massimo di pianeti che Bzzapp potragrave creare con la sua navicella
conformemente alla regola di Zorzzp
Soluzione Per la risoluzione del problema egrave necessaria la Terza legge di Keplero
considerando che ci troviamo nel nostro Sistema Solare e che quindi la costante di
proporzionalitagrave fra cubo del semiasse maggiore e quadrato del periodo di rivoluzione
per un generico corpo orbitante attorno al Sole quando esprimiamo il semiasse in
UA e il periodo in anni risulta pari a 1
1198791 = radic11988613 = 283 119910
1198792 = radic11988623 = 1852 119910
Come possiamo vedere i periodi ldquopossibilirdquo sono
34567891011121314151617 e 18 anni Bzzapp potragrave creare ben 16 pianeti
15 Disponendo come dati noti dei soli periodi di rivoluzione dei pianeti si indichi la
lunghezza minima che deve avere un foglio di carta per poter rappresentare in scala
il Sistema Solare fino a Nettuno nellrsquoipotesi di voler rappresentare Mercurio a una
distanza dal Sole di 1 cm
Soluzione Mercurio ha un periodo di rivoluzione pari a 0241 anni mentre Nettuno
16488 anni quindi per la Terza legge di Keplero 119886119872 = radic11987911987223= 0387119880119860 119890 119886119873 =
radic11987911987323= 30069 119880119860
Con una semplice proporzione ricaviamo la lunghezza del foglio di carta
119886119872 119886119873 = 1 119909 rarr 119909 =30069
0387119888119898 asymp 777 119888119898
Bignamino di astronomia
64
16 A quale distanza dalla superficie della Terra per unrsquoastronave che viaggia verso la
Luna si annulla la risultante delle forze gravitazionali che agiscono su di essa (il
rapporto massa della Terra massa della Luna egrave pari a 8125)
Soluzione La distanza Terra-Luna egrave pari a d=384400 km Quando lrsquoastronave si trova
fra il nostro pianeta e il suo satellite le due forze di natura gravitazionale che
agiscono su di essa sono la forza di attrazione della Terra e quella della Luna agenti
nella stessa direzione ma aventi verso opposto Chiamando x la distanza che separa
la navicella dal centro della Terra possiamo esprimere in funzione di x la distanza che
separa la navicella dalla Luna essendo essa pari a d-x Eguagliamo le due forze di
attrazione gravitazionale per trovare x 119866119872119879119898
1199092=
119866119872119871119898
(119889 minus 119909)2
Operando le dovute semplificazioni (G e la massa dellrsquoastronave) e dividendo
119909
119889 minus 119909= radic
119872119879
119872119871= radic8125 = 901
119909 =901119889
1001= 090 lowast 384400119896119898 = 346013119896119898
Il problema viene considerato parzialmente corretto se ci si ferma a questo punto
percheacute esso chiede la distanza dalla superficie terrestre mentre x egrave misurata dal
centro della Terra pertanto la soluzione corretta egrave D=x-R=(346013-
6378)km=339635km
17 Osservando la stella Canopo con un telescopio potentissimo lrsquoastronomo Qwzzz ha
scoperto due pianeti orbitanti attorno a essa le cui orbite sono esattamente
perpendicolari alla nostra linea di vista La distanza massima del primo pianeta da
Canopo egrave uguale a 47 volte la sua distanza minima e il suo periodo di rivoluzione egrave
pari a 27 anni Il secondo pianeta avente eccentricitagrave pari a 0324 al periapside egrave 3
volte piugrave lontano rispetto al primo (quando questrsquoultimo si trova nella corrispondente
posizione) Quanto vale lrsquoeccentricitagrave del primo pianeta e il periodo di rivoluzione del
secondo
Soluzione Chiamiamo 1 il primo pianeta e 2 il secondo
11988911988611198891199011
= 47 =1198861(1 + 1198901)
1198861(1 minus 1198901)rarr1 + 11989011 minus 1198901
= 47 rarr 1198901 = 0649
1198891199012
1198891199011=1198862(1 minus 1198902)
1198861(1 minus 1198901)= 3 rarr
11988621198861=(1 minus 1198901)1198891199012
1198891199011(1 minus 1198902)= 3 (
1 minus 0649
1 minus 0324) = 1558
Per la Terza legge di Keplero
11987922 = (
11988621198861)3
11987912 rarr 1198792 = 27 119910radic15583 = 524 119910
Bignamino di astronomia
65
bull TERZA LEGGE DI KEPLERO 1 Calcolare il semiasse maggiore dellrsquoorbita di Giove in kilometri sapendo che il suo periodo
di rivoluzione egrave 119879119866 = 37411 ∙ 106 119904
Soluzione
119879119866(119886119899119899119894) =119879119866(119904119890119888119900119899119889119894)
(119904119890119888119900119899119889119894 119894119899 119906119899 119886119899119899119900)=
37411 ∙ 106 119904
3600 ∙ 24 ∙ 365 ∙119904
119886119899119899119900
= 11863 119886119899119899119894
Impostando la terza legge di Keplero e imponendo che 119870 =1 1198861198991198991199002
1 1198801198603
1198792
1198863= 119870 =gt 119886119866(119880 119860 ) = radic[119879119866(119886119899119899119894)]2
3= radic(11863 119886119899119899119894)2
3= 52 119880 119860 =
= 77792 ∙ 106 119896119898
2 Calcolare il periodo di rivoluzione di Marte in giorni sapendo che il suo semiasse maggiore
misura 119886119872 = 2279 ∙ 109 119898
Soluzione
119886119872(119880 119860 ) =119886119872(119898)
1496 ∙ 109 ∙119898119880 119860
=2279 ∙ 109 119898
1496 ∙ 109 ∙119898119880 119860
= 152 119880 119860
Impostando la terza legge di Keplero e imponendo che 119870 =1 1198861198991198991199002
1 1198801198603
1198792
1198863= 119870 =gt 119879119872(119886119899119899119894) = radic[119886119872(119880 119860 )]3 = radic(152 119880 119860 )3 = 187 119886119899119899119894 = 684 119892119894119900119903119899119894
3 Approssimando lrsquoorbita di Venere a una circonferenza calcolare la velocitagrave media v del
pianeta intorno al Sole sapendo che il suo periodo di rivoluzione egrave 119879119881 = 1941 ∙ 106 119904
Soluzione
119879119881(119886119899119899119894) =119879119881(119904119890119888119900119899119889119894)
(119904119890119888119900119899119889119894 119894119899 119906119899 119886119899119899119900)=
1941 ∙ 106 119904
3600 ∙ 24 ∙ 365 ∙119904
119886119899119899119900
= 061 119886119899119899119894
Impostando la terza legge di Keplero e imponendo che 119870 =1 1198861198991198991199002
1 1198801198603
1198792
1198863= 119870 =gt 119886119881(119880 119860 ) = radic[119879119881(119886119899119899119894)]2
3= radic(061 119886119899119899119894)2
3= 072 119880 119860 = 1076 ∙ 106 119896119898
119907 =2120587119886119881119879119881
=2120587 ∙ 1076 ∙ 106 119896119898
1941 ∙ 106 119904= 3483
119896119898
119904
Bignamino di astronomia
66
Risoluzione del sistema per il calcolo delle velocitagrave su orbite non circolari
119907119886119889119886 = 1199071199011198891199011
2119898119907119886
2 minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
1198891198861
2119898119907119886
2 minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
11988911988612119898119907119901
21198891199012
1198891198862
minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886121199071199012119889119901
2
1198891198862
minus1
21199071199012 =
119866119872
119889119886minus119866119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
1198891198861
21199071199012 (1198891199012
1198891198862minus 1) = 119866119872(
1
119889119886minus1
119889119901)
119907119886 =
119907119901119889119901
1198891198861
21199071199012 (1198891199012 minus 119889119886
2
1198891198862
) = 119866119872(119889119901 minus 119889119886
119889119886119889119901)
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886
1199071199012 = 2119866119872 (
119889119901 minus 119889119886
119889119886119889119901)(
1198891198862
1198891199012 minus 119889119886
2)
Bignamino di astronomia
67
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886
1199071199012 = 2119866119872 (
119889119901 minus 119889119886
119889119886119889119901) [
1198891198862
(119889119901 + 119889119886)(119889119901 minus 119889119886)]
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886
119959119953 = radic120784119918119924119941119938
119941119953(119941119953 + 119941119938)
Sostituendo la formula appena trovata nella prima equazione si ottiene
119959119938 = radic120784119918119924119941119953
119941119938(119941119953 + 119941119938)
Possiamo scrivere le due velocitagrave anche in funzione (cioegrave in dipendenza) del semiasse maggiore e
dellrsquoeccentricitagrave dellrsquoorbita Se chiamiamo il semiasse maggiore dellrsquoorbita ellittica a valgono le
seguenti relazioni
119889119886 = 119886(1 + 119890) 119889119901 = 119886(1 minus 119890)
Quindi
119907119901 = radic2119866119872119886(1 + 119890)
119886(1 minus 119890)[119886(1 minus 119890) + 119886(1 + 119890)]= radic2119866119872
1 + 119890
(1 minus 119890)[119886(1 minus 119890 + 1 + 119890)]
= radic2119866119872
2119886(1 + 119890
1 minus 119890) = radic
119918119924
119938(120783 + 119942
120783 minus 119942)
Sostituendo anche nel caso di 119881119886
119907119886 = radic119918119924
119938(120783 minus 119942
120783 + 119942)
Si ricorda inoltre che
119938 =119941119938 + 119941119953
120784 119942 =
119941119938 minus 119941119953
119941119938 + 119941119953
Bignamino di astronomia
68
ESERCIZIO
Un pianeta sta cadendo sulla sua stella seguendo una traiettoria rettilinea se si conosce
lrsquoaltezza di caduta h si determini il tempo di caduta t
Per risolvere questo problema si potrebbe erroneamente pensare di applicare le leggi del moto
rettilineo uniformemente accelerato (come nel caso di una penna che cade dalla scrivania)
Consideriamo perograve un corpo (di massa m) che si trova a una certa altezza dal suolo la sua forza peso
equivale alla forza di attrazione gravitazionale tra il corpo e il pianeta (di raggio R e massa M) su cui
si trova
119898119892 =119898119872119866
(119877 + ℎ)2 119888119894119900egrave 119892 =
119866119872
(119877 + ℎ)2
Come possiamo vedere lrsquoaccelerazione di gravitagrave g non si mantiene costante al variare dellrsquoaltezza
ma varia noi la assumiamo costante al suolo e pari a circa 981 ms^2 solo percheacute in quel caso Δhasymp0
Quindi non possiamo applicare le leggi del moto rettilineo uniformemente accelerato a questo
problema Come risolverlo allora
Allrsquoinizio di questi appunti abbiamo evidenziato che lrsquoeccentricitagrave di unrsquoellisse indica quanto lrsquoellisse
egrave ldquoschiacciatardquo se dunque lrsquoeccentricitagrave tende a 1 la traiettoria tende a un segmento
Quindi possiamo assumere che il pianeta cada seguendo unrsquoorbita ellittica con eccentricitagrave prossima
a 1 e dunque semiasse maggiore a pari a h2 (vedi figura)
Se conosciamo la massa M della stella possiamo applicare la III legge di Keplero generalizzata
1198792
1198863=41205872
119866119872 rarr 119879 = radic
41205872
1198661198721198863 rarr 119879 = radic
41205872
119866119872(ℎ
2)3
rarr 119879 = radic1205872
2119866119872ℎ3
Naturalmente questo egrave il periodo completo dellrsquoorbita Il periodo di caduta egrave la metagrave
119905 =119879
2
a a
h
Bignamino di astronomia
69
Problemi 1 Coordinate celesti e tempo
Ci troviamo in un luogo di latitudine 120593 = 42deg 30prime15primeprime 119873 e longitudine 120582 = 15deg 28prime18primeprime119864
Osserviamo una stella di ascensione retta 5h 32 min 3 sec e declinazione -00deg 15rsquo 20rdquo che
passa al meridiano alle 2030 del 14012020 A quale altezza culminava Quale era la sua
distanza zenitale In quale data dallo stesso luogo e allo stesso orario si egrave potuto vederla
sorgere ad est
Soluzione
Lrsquoaltezza massima di una stella (quando culmina) egrave data dalla relazione
ℎ = 90deg minus 120593 + 120575
Quindi
ℎ = 90deg minus 42deg30prime15 minus 0deg 15 20= 47deg 14 25
La distanza zenitale egrave invece data da 119911 = 90deg minus 120593 = 90deg minus 47deg 14prime25primeprime = 42deg 45prime35primeprime
Un dato importante per poter rispondere alla terza richiesta egrave sapere che le stelle
ldquoanticipanordquo il loro sorgere di 3 119898119894119899 56 119904119890119888119892119894119900119903119899119900
Quindi per sapere quanti giorni prima la stella sorgeva ad est (m)
119898 =120572
Δ119905=
(5ℎ32min3sec)
3119898119894119899 56sec119892119894119900119903119899119900= 84 119892119894119900119903119899119894
84 giorni prima del 14012020 era il 21102019
2 Coordinate e tempo
Il tempo siderale di un luogo (120593 = 28deg 30prime45primeprime119878 120582 = 90deg 23prime50primeprime119882 ) egrave di 9h 3min 45sec
Quale egrave il tempo siderale di GW
Soluzione Il primo passaggio da fare egrave trasformare la longitudine del luogo da gradi in ore
Quindi
15deg 1ℎ = 90deg 23prime50primeprime 120582
120582 = 90deg 23prime50primeprime ∙1ℎ
15deg = 6ℎ 1min3533119904119890119888
Il tempo siderale del luogo egrave legato a quello di GW dalla seguente relazione
119879119904 = 119879119866119908 + 120582
Quindi 119879119866119908 = 119879119904 minus 120582 = 9ℎ3min 45119904119890119888 minus (minus 6ℎ1min 3533sec ) = 9ℎ3min 45119904119890119888 +
6ℎ1min 3533sec = 15ℎ 5min 20119904119890119888
Bignamino di astronomia
70
PROBLEMI E QUESITI SULLA MISURA DEL TEMPO
Problema 1 In un dato luogo a che ora di tempo siderale culmina il Sole medio in un dato giorno
sapendo che sedici giorni prima esso culminava alle 15h 12m 48s di tempo siderale
Se ci troviamo a Belo Horizonte (longitudine λ=43deg56rsquo16rdquo W) al mezzogiorno vero e lrsquoequazione del
tempo per quel giorno egrave pari a ET=-8m7s che ora segna lrsquoorologio dellrsquoosservatore
Soluzione problema 1 La prima richiesta del problema si risolve tenendo conto che giorno solare
medio e giorno siderale hanno diversa durata infatti il giorno siderale egrave piugrave corto del giorno solare
medio di circa 3m56s Pertanto se in un dato giorno il punto gamma e il Sole medio hanno raggiunto
la culminazione nel medesimo istante il giorno successivo il Sole medio culmineragrave 3m56s dopo il
punto gamma Quindi il Sole accumuleragrave un ritardo pari a 163m56s=1h2m56s che andragrave sommato
allrsquoora siderale data dal problema TS=15h 12m 48s + 1h 2m 56s= 16h 15m 44s
Se a Belo Horizonte egrave mezzogiorno vero vuol dire che sono le 12h di tempo solare vero Lrsquoequazione
del tempo egrave la differenza fra tempo solare medio e tempo solare vero quindi
TSM-TSV=ET TSM=TSV+ET=12h ndash 8m 7s= 11h 51m 53s lrsquoorologio dellrsquoosservatore egrave perograve in
accordo col tempo del meridiano centrale del fuso di Belo Horizonte che ha longitudine 3h W
mentre Belo Horizonte ha longitudine 2h 55m 45s W essa egrave quindi piugrave avanti di 3h-2h 55m 45s=4m
15s lrsquoorologio segneragrave quindi le ore 11h 51m 53s ndash 4m 15s= 11h 47m 38s
Problema 2 A Bergamo (λ= 9deg 40rsquo 12rdquo E) i raggi del Sole in un dato momento si proiettano
esattamente sulla linea della meridiana di Cittagrave Alta In quel dato giorno lrsquoequazione del tempo egrave
+5m 12s se il tempo siderale a mezzanotte di quel giorno a Greenwich risultava pari a 3h 21m 20s
qual egrave il tempo siderale a Greenwich nellrsquoistante del problema
Soluzione problema 2 La longitudine di Bergamo espressa in ore minuti e secondi egrave 38m 41s E Se
il disco luminoso si proietta sulla linea meridiana egrave mezzogiorno vero quindi il tempo solare medio
saragrave pari a TSM= TSV + ET= 12h + 5m 12s= 12h 5m 12s Greenwich si trova 38m 41s a ovest di
Bergamo quindi egrave anche 38m 41s indietro a Greenwich sono quindi le 12h 5m 12s ndash 38m 41s= 11h
26m 31s Sono passate quindi 11h 26m 31s dalla mezzanotte per convertire questo tempo medio
in tempo siderale moltiplichiamo per il fattore di conversione 3662536525
ΔTS (Greenwich)= (3662536525)(114419444 h)= 114732394h = 11h 28m 24s Quindi a
Greenwich sono le 3h 21m 20s + 11h 28m 24s= 14h 49m 44s di tempo siderale
Quesito Si valuti argomentando opportunamente come varia lrsquoEquazione del Tempo nel corso
dellrsquoanno solare se in un piano cartesiano in ascissa indichiamo lrsquoET e in ordinata la declinazione del
Sole che curva si ottiene
Risposta Lrsquoequazione del tempo si annulla quattro volte lrsquoanno a metagrave aprile a metagrave giugno verso
Natale e ai primi di settembre il sole medio e il sole vero culminano contemporaneamente (1) Da
Natale a metagrave aprile il sole medio anticipa il sole vero (2) da metagrave aprile a metagrave giugno il sole vero
anticipa il sole medio da metagrave giugno a inizio settembre come (1) e da inizio settembre a Natale
come (2) Oltre a ldquooscillare in orizzontalerdquo in un anno il sole ldquooscilla in verticalerdquo nel senso che
Bignamino di astronomia
71
assume declinazioni da 23deg27rsquo a -23deg27rsquo La curva che si ottiene egrave quindi una sorta di ldquo8rdquo chiamata
analemma essa egrave anche la curva che egrave formata dalle posizioni in cielo del sole vero registrate a
mezzogiorno medio locale ogni giorno dellrsquoanno
Figura 1 Analemma decET
Figura 2 Analemma visualizzato nel cielo di Atene
Problema 3 Una stella di ascensione retta AR=11h 12m 13s culmina in un dato luogo della Terra alle
ore 13h 04m 02s di tempo medio Considerando che a Greenwich culmina una stella con ascensione
retta 8h 11m 58s dire che orario segna lrsquoorologio dellrsquoosservatore in quel dato luogo della Terra
Soluzione Il tempo siderale in un dato luogo egrave uguale allrsquoascensione retta delle stelle che si trovano
a culminare al meridiano superiore Quindi in questo luogo della Terra il tempo siderale egrave pari a 11h
12m 13s a Greenwich il tempo siderale egrave pari a 8h 11m 58s Notiamo come il luogo dove si trova
lrsquoosservatore ha longitudine est infatti egrave piugrave avanti di Greenwich di circa 3 ore quindi egrave piugrave a Est di
Greenwich La differenza fra lrsquoora siderale dellrsquoosservatore e quella a Greenwich dagrave la longitudine
del luogo (differenza fra longitudine del luogo e longitudine di Greenwich che egrave 0 percheacute il suo
meridiano egrave origine delle longitudini)
λ= TSrsquo-TS(GW)= 11h 12m 13s ndash 8h 11m 58s= 3h 0m 15s E Questo luogo segue il meridiano che ha
longitudine 3h E quindi egrave in anticipo rispetto a esso di appena 15s pertanto il suo orologio segneragrave
le ore 13h 04m 02s ndash 15s= 13h 03m 47s
Bignamino di astronomia
72
bull STELLE E MAGNITUDINI SISTEMI STELLARI ESTESI
1 Pochi giorni fa si egrave registrato un nuovo oggetto che si comporta apparentemente
come una binaria a eclisse Tuttavia il periodo non egrave stabile la magnitudine
dellrsquooggetto egrave in genere pari a 2432 ma ogni 7-11 secondi sale a 2452 per 02-03
secondi Dopo unrsquoaccurata analisi del problema si egrave capito che lrsquooggetto splendente egrave
costituito dagli occhi di un gruppo di gatti assolutamente neri seduti su un piccolo
corpo del sistema solare nero e con gli sguardi rivolti verso il sole Uno dei gatti batte
ogni tanto le palpebre Quanti gatti ci sono
Soluzione Sia N il numero di occhi la cui determinazione egrave richiesta dal problema
Quando il gatto nero del problema chiude gli occhi il numero di occhi che
contribuisce alla magnitudine complessiva scende di due unitagrave (N-2) Se
consideriamo che gli occhi dei gatti sono tutti gli stessi ciascuno di essi ci invia un
flusso pari a F Avendo entrambe le magnitudini corrispondenti alla situazione ldquotutti
gli N occhi apertirdquo (2432) e ldquoN-2 occhi apertirdquo (2452) possiamo scrivere la formula
di Pogson tenendo conto dei flussi complessivi
119898119898119894119899 minus119898119898119886119909 = minus25119897119900119892 [119865 lowast (119873 minus 2)
119865 lowast 119873]
119873 minus 2
119873= 10
119898119898119886119909minus11989811989811989411989925 = 10minus008 = 0832 rarr 119873 =
2
0168asymp 12 119900119888119888ℎ119894 ossia 6 119892119886119905119905119894
2 La galassia di Andromeda ha una magnitudine apparente integrata mv = 440 e appare in cielo come unrsquoellisse i cui semiassi hanno dimensioni angolari di circa 190 arcmin e 60 arcmin Sapendo che la sua distanza egrave di circa 254 milioni di anni luce calcolare la magnitudine assoluta e la magnitudine apparente superficiale media della galassia (Gara Interregionale Categoria Senior 2018)
Soluzione La distanza della galassia di Andromeda in pc egrave 119889(119901119888) =254 10^63262= 77810^3 119901119888 La magnitudine assoluta egrave data dalla relazione 119872119907 = 119898119907 + 5 minus 5 log 119889(119901119888) = -201 Per calcolare la magnitudine apparente superficiale dobbiamo calcolare lrsquoarea apparente della galassia A = π a b = 120587 190 ∙ 60 = 358 ∙ 103 1198861199031198881198981198941198992 cong 129 ∙ 106 119886119903119888119904119890119888^2 La magnitudine apparente superficiale (msup) si ottiene dalla relazione 119898119904119906119901 = 119898119907 +25 log 119860 cong 158119898119886119892119886119903119888119898119894119899^2 cong 247119898119886119892119886119903119888119904119890119888^2 3 Si consideri una stella variabile ldquopulsanterdquo la cui magnitudine assoluta varia
nellrsquointervallo M1= 325 e M2= 226 con una temperatura effettiva che al massimo di luminositagrave egrave T2= 5500 K e al minimo di luminositagrave egrave T1 = 5000 K Calcolare quanto varia il raggio della stella tra il minimo e il massimo di luminositagrave Esprimere il
Bignamino di astronomia
73
risultato come rapporto tra raggio massimo e raggio minimo e come differenza tra i due raggi in km (Gara Interregionale Categoria Senior 2017)
Soluzione La luminositagrave di una stella egrave definita dalla relazione 119871=4 120587 119877^2 120590 119879^4 Per ricavare il rapporto tra i raggi al massimo e minimo di luminositagrave utilizziamo la formula di Pogson 1198722minus 1198721= minus 25log(11987121198711)=minus 25log[4120587(1198772)^2 120590 (1198792)^4][4120587(1198771)^2 120590 (1198791)^4]= -
25log[(11987721198771)^2 (11987921198791)^4] e quindi 0396 = log[(11987721198771)^2 (11987921198791)^4] =119897119900119892 [(11987721198771)^2 1464] da cui 0396=2log(11987721198771)+log1464 ovvero 0115= 119897119900119892 (11987721198771) e infine (119929120784119929120783)=120783120785120782 Per ottenere la differenza in km calcoliamo il raggio della stella al massimo di luminositagrave confrontando i suoi dati con una stella di caratteristiche note il Sole Avremo quindi 1198722minus 119872s=minus 25log[(1198772119877s)^2 (1198792119879s)^4] e quindi 103 = 2 log R2 ndash 2 log Rs + 4 log 09519
da cui si ricava 1198772=2513 ∙ 10^3 119896119898cong361 119877s e 1198771=1933 ∙ 10^3 119896119898cong278 119877s la variazione del raggio in km vale quindi ΔR = 580 ∙ 103 km
4 La supergigante rossa Betelgeuse ha una magnitudine apparente m1=+042 e
una parallasse π1=0005rdquo mentre la supergigante blu Rigel ha una magnitudine
apparente m2=+013 e una parallasse π2=0004rdquo Quale delle due stelle egrave
intrinsecamente piugrave luminosa Qual egrave la piugrave lontana (Gara interregionale Categoria Senior 2015) Soluzione Affincheacute si possa determinare quale delle due stelle sia piugrave luminosa intrinsecamente egrave necessario ricorrere al calcolo delle magnitudini assolute delle due stelle possiamo calcolare la magnitudine assoluta di una stella conoscendo la magnitudine apparente della stessa e la sua parallasse tramite la relazione
119872 = 119898 + 5 + 5119897119900119892120587 119900119907119890 119897119886 119901119886119903119886119897119897119886119904119904119890 egrave 119890119904119901119903119890119904119904119886 119894119899 119886119903119888119900119904119890119888119900119899119889119894 Nel caso nostro
1198721 = 1198981 + 5 + 51198971199001198921205871 = +042 + 5 + 51198971199001198920005 = minus608 (119861119890119905119890119897119892119890119906119904119890)
1198722 = 1198982 + 5 + 51198971199001198921205872 = +013 + 5 + 51198971199001198920004 = minus687 (119877119894119892119890119897)
Essendo la magnitudine assoluta di Rigel minore di quella di Betelgeuse allora Rigel egrave intrinsecamente piugrave luminosa di Betelgeuse Possiamo giagrave da questo risultato comprendere quale stella sia piugrave distante delle due infatti Rigel egrave sia apparentemente sia assolutamente piugrave luminosa di Betelgeuse quindi egrave necessario che essa sia piugrave distante di Betelgeuse affincheacute ciograve si verifichi A riprova di ciograve la parallasse di Rigel egrave minore di quella di Betelgeuse essendo essa piugrave lontana La distanza di Rigel in parsec egrave 1π2=250 pc mentre quella di Betelgeuse egrave 1π1=200 pc
da cui d2gtd1
Bignamino di astronomia
74
bull COSMOLOGIA ELEMENTARE
5 Un team di scienziati osserva una nuova galassia e ne analizza lo spettro la riga H-alfa
dellrsquoidrogeno che ha in laboratorio una lunghezza drsquoonda pari a 656281 Aring ha nello spettro della galassia una lunghezza drsquoonda di 656933 Aring Si determini la distanza della galassia Soluzione per prima cosa calcoliamo il redshift della galassia
119911 =∆120582
120582=120582119900119904119904 minus 120582119897119886119887
120582119897119886119887=656933 minus 656281
656281= 9935 lowast 10minus4
Applichiamo la legge di Hubble-Lemaitre
119888119911 = 1198670119889 rarr 119889 =119888119911
1198670= 299792458
119896119898
119904lowast 9935 lowast
10minus4
719= 414 119872119901119888
6 Osservando lrsquoesplosione di una supernova in una lontana galassia due scienziati notano che la riga H-beta dellrsquoidrogeno osservata nello spettro ha esattamente la stessa lunghezza drsquoonda della riga H-alfa osservata in laboratorio Tuttavia i due scienziati usano valori diversi per la costante di Hubble Usando valori che differiscono di ΔH=H2-H1=14 kmsMpc ottengono valori diversi per la magnitudine assoluta della supernova al massimo M1=-1902 e M2=-1864 Trovare quanto valgono per ciascuno dei due scienziati il redshift e la distanza della galassia (XXIII International Astronomy Olympiad ndash Colombo Sri Lanka Theoretical Round Group β Exercise 1) Soluzione Il redshift misurato dai due scienziati egrave lo stesso per entrambi esso infatti dipende dalle lunghezze drsquoonda osservate che secondo quanto affermato nella traccia sono le stesse per entrambi gli scienziati La lunghezza drsquoonda della riga H-alfa egrave pari a 6563 Aring mentre la lunghezza drsquoonda della riga H-beta egrave pari a 4861 Aring Il redshift per definizione egrave dunque pari a
119911 =120582119867minus119886119897119891119886minus120582119867minus119887119890119905119886
120582119867minus119887119890119905119886= 035
Conoscendo la relazione nota come ldquomodulo di distanzardquo (relazione fra mag Apparente e mag Assoluta) possiamo scrivere
1198721 = 1198981 + 5 minus 51198971199001198921198891 1198722 = 1198982 + 5 minus 51198971199001198921198892
Ma le due magnitudini apparenti dellrsquooggetto debbono necessariamente coincidere dal momento che esse sono dati puramente osservativi (non derivano cioegrave da elaborazioni di dati precedenti) possiamo quindi sottrarre membro a membro le due relazioni precedenti semplificando le due magnitudini apparenti
1198721 minus1198722 = 5119897119900119892 (11988921198891) rarr
11988921198891= 10
1198721minus11987225 = 0839
Possiamo scrivere il seguente sistema
1198892 = 08391198891H2 minus H1 = 14
119888119911
1198672= 0839
119888119911
1198671H2 minus H1 = 14
1198672 = 11911986711198672 minus 1198671 = 14
1198671 =
7368119896119898119904
119872119901119888
1198672 =8768
119896119898119904
119872119901119888
Bignamino di astronomia
75
Da cui finalmente d1=czH1=2997924580357668=13684 Mpc dz=czH2=2997924580538768=11967 Mpc
bull MISCELLANEA
1 Una galassia egrave composta da stelle tutte simili al nostro Sole Essa mostra uno
spostamento verso il rosso della riga Hα (λ=656281 Aring) di ampiezza pari a Δλ= 15 Aring
Essa risulta inclinata rispetto alla perpendicolare alla linea di vista di un angolo di 30deg
e si sa che il suo raggio egrave pari a 37000 anni luce Nel cielo appare come un oggetto di
magnitudine superficiale msup= 2478 magarcsec2
Quanto vale la massa della galassia
Soluzione Ci viene fornita dalla traccia la magnitudine superficiale della galassia vista
dalla Terra essa indica la magnitudine di una ldquoporzionerdquo della galassia di superficie
pari a 1 arcsec2 Di conseguenza la magnitudine complessiva della galassia devrsquoessere
legata alla sua superficie angolare allora dobbiamo conoscere le dimensioni angolari
della galassia abbiamo le dimensioni angolari quindi dobbiamo ricavare la distanza
della galassia
Calcoliamo per prima cosa il redshift z
119911 =∆120582
120582=
15
656281= 229 ∙ 10minus4
Con la legge di Hubble-Lemaitre ricaviamo la distanza
119888119911 = 1198670119889 119889 =119888119911
119867119900=300 ∙ 105 ∙ 229 ∙ 10minus4
719119872119901119888 = 0954 119872119901119888
= 311 ∙ 106119886119899119899119894 119897119906119888119890
Adesso possiamo determinare le dimensioni apparenti della galassia percheacute ne
conosciamo la distanza nel cielo essa ci appare come unrsquoellisse il cui semiasse
maggiore vale
119886 = arctan (119877
119889) = arctan (
37000
311 ∙ 106) = 0682deg = 24538 119886119903119888119904119890119888
Essendo il coseno di 30deg uguale a radic3
2 il semiasse minore varragrave
119887 = arctan(119877radic3
2119889) = arctan (
37000 ∙ 173
2 ∙ 311 ∙ 106) = 0590deg = 21226 119886119903119888119904119890119888
Calcoliamo la superficie di questa ellisse
119878 = 120587119886119887 = 120587 ∙ 24538 ∙ 21226 arcsec2 = 163 ∙ 107 arcsec2
Bignamino di astronomia
76
A questo punto ricaviamo la magnitudine integrata apparente
m=msup-25log(119878) 119898 = 2478 minus 25 log(163 ∙ 107) = 675
Abbiamo la distanza troviamo la magnitudine assoluta
M=m+5-5logd=675+5-5log(0954 106)=-1815
A questo punto troviamo il numero di ldquosolirdquo contenuti nella galassia grazie alla
relazione che ci permette di ricavare la magnitudine integrata di un oggetto (nel caso
sia composto da componenti uguali)
119872 = minus25 log(119873 lowast 10minus04119872119904) 119873 = 10minus04(119872minus119872119878) = 10minus04(minus1815minus483)
= 156 ∙ 109119904119905119890119897119897119890 119888119900119898119890 119894119897 119904119900119897119890
Possiamo finalmente trovare la massa della galassia
119872119892 = 156 ∙ 109 ∙ 199 ∙ 1030119896119892 = 310 ∙ 1039119896119892
2 Una stella di raggio R=705000 km presenta un picco drsquoemissione alla lunghezza
drsquoonda di 542 nm Se essa egrave costituita interamente da idrogeno si determini quanti
atomi di idrogeno hanno reagito in un secondo nel nucleo della stella nella reazione
di fusione termonucleare che produce elio
Soluzione Dobbiamo innanzitutto determinare la luminositagrave della stella che dipende
dal quadrato del raggio e dalla quarta potenza della temperatura disponiamo del
raggio ma dobbiamo ricavare la temperatura notiamo come il problema fornisca la
lunghezza drsquoonda del picco drsquoemissione che egrave inversamente proporzionale alla
temperatura efficace secondo la Legge di Wien
120582 ∙ 119879119890119891119891 = 2898 119898119898 119870 119879119890119891119891 =2898 119898119898 119870
542 ∙10minus6119898119898= 5347 119870
Adesso possiamo determinare la luminositagrave della stella (Legge di Stefan-Boltzmann)
119871 = 41205871198772120590(119879119890119891119891)4= 4120587 (705 ∙ 108)2 567 ∙ 10minus8 (5347)4 119882 = 289 ∙ 1026119882
Questa egrave lrsquoenergia che la stella irradia in un secondo ma da dove deriva Nel nucleo
quattro protoni si fondono per formare un nucleo di elio il nucleo di elio che si forma
perograve non ha la stessa massa dei quattro protoni bensigrave ha una massa lievemente
minore La massa mancante (il difetto di massa) si egrave trasformata in energia secondo
la famosa relazione di Einstein
119864 = 1198981198882
Se E=L m saragrave uguale al difetto di massa complessivo per unitagrave di tempo
119898 =119871
1198882=289 ∙ 1026119882
9 ∙ 10161198982
1199042 = 321 ∙
109119896119892
119904
Essendo la massa di un nucleo di elio-4 pari a 6645 10-27kg mentre la massa del
protone pari a 167310-27kg si ha che la massa di 4 protoni egrave 669210-27kg e quindi
il difetto di massa per ogni reazione egrave Δm= 004710-27 kg Dividendo questo valore
Bignamino di astronomia
77
per quello trovato sopra otteniamo il numero di reazioni che avvengono in un
secondo nel nucleo della stella
119873 =119898
∆119898=
321 ∙ 109
0047 ∙ 10minus27119903119890119886119911 = 683 ∙ 1037119903119890119886119911
A ogni reazione corrispondono quattro atomi di idrogeno quindi per trovare la
soluzione ci basta moltiplicare questo valore per 4
119873119905119900119905 = 4119873 = 273 ∙ 1038119886119905119900119898119894()
3 Che dimensioni dovrebbe avere una sfera metallica perfettamente riflettente per
essere visibile come un astro da Terra ad occhio nudo quando essa si trova in
opposizione al Sole (Questa sfera egrave posta in orbita circolare attorno alla Terra con
un periodo T=2766 ore)
Soluzione Innanzitutto ci serve conoscere il raggio orbitale della sfera perciograve
applichiamo la Terza Legge di Keplero generalizzata
1198792
1198863=41205872
119866119872 119886 = radic
1198661198721198792
41205872
3
= radic667 ∙ 10minus11 ∙ 597 ∙ 1024 ∙ 992 ∙ 107
4(314)23
= 10005119896119898
Sia Fs il flusso solare esso investe la sfera e la quantitagrave di energia intercettata in un
secondo (Lint) egrave direttamente proporzionale alla sezione della sfera
119871119894119899119905 = 119865119904 ∙ 1205871198772
La luce viene interamente riflessa quindi
119871119903119894119891 = 119871119894119899119905 = 119865119904 ∙ 1205871198772
Questa luminositagrave viene riflessa in tutte le direzioni quindi tutti i punti che si trovano
alla medesima distanza dalla sfera riceveranno lo stesso flusso pari a
119865 =119865119904 ∙ 120587119877
2
41205871198892=119865119904 ∙ 119877
2
41198892
In particolare per una localitagrave posta sulla Terra
119865 =119865119904 ∙ 119877
2
4(119886 minus 119877119879)2=
119865119904 ∙ 1198772
4(107 minus 6378 ∙ 106)2= 1906 ∙ 10minus14119865119904 119877
2
Applichiamo la formula di Pogson comparando la sfera col Sole e tenendo presente
che la magnitudine della sfera devrsquoessere uguale a 6 (lrsquooggetto egrave appena visibile ad
occhio nudo)
119898minus119898119904 = minus25 log (119865
119865119904) rarr 6 + 2674 = minus25 log(1906 ∙ 10minus141198772)
1906 ∙ 10minus141198772 = 10minus131 rarr 119877 = radic10minus131
1906 ∙ 10minus14119898 = 204 119898
Pertanto la sfera deve avere un diametro di 408 metri
Bignamino di astronomia
78
[NB Nello svolgimento del problema si egrave usato lo stesso valore del flusso solare per la Terra e per la
sfera in realtagrave ciograve egrave unrsquoapprossimazione percheacute le distanze Terra-Sole e Sole-sfera sono diverse
Essendo perograve il semiasse dellrsquoorbita della sfera trascurabile rispetto al semiasse della Terra allora i due
flussi sono assai simili]
4 Egrave stato osservato un quasar doppio che si trova a grandissima distanza dalla Terra La
particolaritagrave di questo quasar egrave il moto di allontanamento delle due componenti Q1
e Q2 In particolare Q1 si allontana da Q2 spostandosi come riportato in figura dal
punto A al punto B con velocitagrave relativistica ldquovrdquo pari al 75 della velocitagrave della luce
Calcolare lrsquointervallo di tempo Δt impiegato dal componente Q1 a raggiungere il
punto B e il corrispondente intervallo di tempo Δtrsquo misurato dagli astronomi sulla
Terra (che giace sullo stesso piano della figura) Sulla base del risultato ottenuto di
fronte a quale sconvolgente conclusione si sono trovati gli astronomi prima di
riuscire a spiegare correttamente il fenomeno (Dalla Finale Nazionale 2015
Categoria Junior)
Soluzione Il tratto AB egrave lrsquoipotenusa del triangolo rettangolo ABArsquo (vedi figura) quindi
esso vale (Teorema di Pitagora)
119860119861 = radic119860119860prime2 + 119860prime1198612 = radic9 + 16 = 5119886 119897
Esso viene quindi percorso nel tempo ∆119905 =119860119861
119907=
5119886119897
075119888= 667 119886119899119899119894 Notiamo come non ci
sia bisogno di conoscere il valore della velocitagrave della luce percheacute le distanze sono espresse
in anni luce
Adesso analizziamo il fenomeno come viene visto dalla Terra Quando Q1 si trova in A la luce
da esso emessa impiega per giungere in Arsquo un tempo pari a 4119886119897
119888= 4 119886119899119899119894 Nel frattempo
Q1 si sposta e per arrivare in B impiega 667 anni La luce che emette in B non deve piugrave
attraversare una distanza di 4 al quindi i due segnali luminosi arrivano a una ldquodistanzardquo
temporale ∆119905prime = (667 minus 4)119886119899119899119894 = 267 119886119899119899119894
Il risultato sconvolgente egrave che siccome agli astronomi da Terra egrave sembrato che Q1 si
spostasse lungo ArsquoB la sua velocitagrave misurata da Terra risulta pari a
119907 =119860prime119861
267119886119899119899119894=
3119886 119897
267119886119899119899119894= 1125119888
Bignamino di astronomia
79
Apparentemente il quasar si egrave spostato con una velocitagrave superiore a quella della luce Non egrave
infatti raro osservare dei moti superluminali (cioegrave con velocitagrave superiore a quella della luce)
in oggetti che si muovono con velocitagrave relativistiche questa velocitagrave egrave tuttavia sempre
apparente
5 Se una stella presenta un redshift z pari a 555 10-5 quale saragrave il verso e il valore della
sua velocitagrave radiale
Soluzione il redshift egrave positivo quindi la stella si allontana da noi La velocitagrave radiale
della stella egrave data da
119907 = 119888119911 = 3 ∙ 105 ∙ 555 ∙ 105 = 167119896119898
119904
6 La lunghezza drsquoonda λrsquo di una delle righe piugrave evidenti della luce emessa dalle galassie
di una costellazione egrave 1020 volte piugrave grande della corrispondente lunghezza drsquoonda
λ di riferimento Calcolare la velocitagrave con cui lrsquoammasso si sta allontanando dalla Terra
e stimare la sua distanza
Soluzione il redshift egrave119911 =∆120582
120582=
(1020minus1)120582
120582= 0020
Pertanto 119907 = 0020119888 = 6000119896119898
119904 119890 (119897119890119892119892119890 119889119894 119867119906119887119887119897119890 minus 119871119890119898119886119894119905119903119890)
119889 =119907
119867= 6000719=834 Mpc
7 In una galassia tutti gli ammassi globulari hanno un diametro pari a 50 anni luce
Nelle fotografie si misura il diametro angolare di tre di questi ammassi I diametri
risultano pari a 8rsquo9rsquo10rsquo Calcolare la distanza dei tre ammassi
Soluzione le dimensioni reali di un oggetto visto sotto un angolo α alla distanza d
sono date da
119863 = 2119889 tan (120572
2)
Da cui
1198891 =119863
2 tan(12057212)=
50
2 tan(01333
2)=21486 anni luce
1198892 =119863
2 tan (12057222)= 19099 119886119899119899119894 119897119906119888119890
Bignamino di astronomia
80
1198893 =119863
2 tan (12057232)= 17189 119886119899119899119894 119897119906119888119890
8 Se si dispone di un telescopio di 30 cm di diametro e lunghezza focale di 2 m quali
ingrandimenti saranno forniti da tre oculari di focale 25mm 10 mm e 5mm Se gli
oculari hanno un campo apparente di 55deg quale saragrave lrsquoangolo di campo al telescopio
Calcolare pure la pupilla drsquouscita
Soluzione Calcoliamo lrsquoingrandimento
1198681 =119865
119891=2000119898119898
25119898119898= 80119909
1198682 =2000
10= 200119909
1198683 =2000
5= 400119909
Il campo del telescopio saragrave
1198651199001198811 =119865119900119881119900119888119894
=55deg
80= 069deg
1198651199001198812 =55deg
200= 028deg
1198651199001198813 =55deg
400= 014deg
La pupilla drsquouscita
1199011 =300
80= 375119898119898 1199012 =
300
200= 15119898119898 1199013 =
300
400= 075119898119898
9 Calcolare lrsquoapertura minima di un telescopio per poter riconoscere un granulo solare
ampio 700km
Soluzione Lrsquoestensione angolare di questo granulo egrave data da
120572 = 2 arctan (119863
2119889) = 2 arctan (
700
2 ∙ 1496 ∙ 106) = 097
Quindi per la formula di Dawes 119863(119898119898) =120
120572=124cm
10 Per realizzare una fotografia a vasto campo egrave stato necessario un tempo di posa di 13
minuti a f3 con sensibilitagrave 800 ISO Determinare il tempo necessario per ottenere la
stessa foto usando una sensibilitagrave di 1000 ISO ed unrsquoapertura relativa di f45
Trascurare le perdite di sensibilitagrave dovute al difetto di reciprocitagrave delle pellicole
Bignamino di astronomia
81
Soluzione il tempo di posa richiesto si ricava dalla formula
1198792 =11989122 1198781
11989112 1198782
1198791 119879 119905119890119898119901119900 119878 119904119890119899119904119894119887119894119897119894119905agrave 119891 119889119894119886119891119903119886119898119898119886 (119886119901119890119903119905119906119903119886 119903119890119897119886119905119894119907119886)
1198792 =452 800
32 1000 13 = 234 119898119894119899
11 Determinare il tempo di posa massimo per ottenere stelle puntiformi senza
inseguimento siderale con un obiettivo di 50 mm (di focale F) puntato su una zona di
cielo avente declinazione media 45deg Il formato utilizzato egrave il 24x36mm
Soluzione La formula che permette di ottenere stelle puntiformi egrave
119879119898119886119909 =600
119865119888119900119904120575= 17119904119890119888119900119899119889119894
12 Un radiotelescopio ha apertura di 75 m determinare il limite di diffrazione
raggiungibile alla frequenza di osservazione di 410 MHz
Soluzione La lunghezza drsquoonda egrave data da
119888 = 120582120584 120582 =119888
120584= 732 119888119898
Il limite di diffrazione si ricava dalla formula di Rayleigh
120599 =122120582
119863= 122
732
7500= 00119 119903119886119889 = 068deg = 41prime
13 Un radiotelescopio ha un diametro di 25m calcolare il limite di diffrazione alla
lunghezza drsquoonda di osservazione di 21 cm
Soluzione Per la formula di Rayleigh
120599 =122120582
119863= 122
21
2500= 001119903119886119889 = 059deg = 352prime
14 Un telescopio riflettore ha diametro 15 m calcolare il suo potere risolutivo massimo
alla lunghezza drsquoonda dellrsquoidrogeno ionizzato Hα=6563nm
Soluzione Ancora una volta
120599 =122120582
119863= 122 lowast 6563
10minus9
15= 53 10minus7119903119886119889 = 011
Bignamino di astronomia
82
15 Consideriamo due stelle la prima (S1) ha magnitudine apparente m1=11 e si trova a
una distanza L1 dalla Terra la seconda S2 ha luminositagrave intrinseca identica a S1 ma
si trova a una distanza tripla rispetto a S1 Che magnitudine apparente ha la stella S2
Se abbiamo a disposizione uno specchio di diametro D1 con cui si riesce a vedere a
malapena S1 quanto deve essere il diametro del secondo telescopio D2 che permetta
di vedere a malapena la stella S2
Soluzione Siccome la luminositagrave intrinseca egrave la stessa ma la distanza della seconda
stella egrave tripla il flusso della seconda stella egrave uguale a un nono del flusso della prima
Quindi applicando la formula di Pogson
1198981 minus1198982 = minus25 log (11986512) = minus25 log 9 = minus239
1198982 = 11 + 239 = 1339
Infine poicheacute per osservare S2 dobbiamo essere in grado di rivelare il flusso che egrave 9
volte minore e che lrsquoarea di uno specchio aumenta con il quadrato del raggio il raggio
dello specchio D2 devrsquoessere 3 volte piugrave grande di quello di D1
16 Calcolare la magnitudine limite visuale limite raggiungibile con un telescopio di
diametro D=25cm
Soluzione Applicando la formula per trovare la magnitudine limite (con il diametro
espresso in cm) troviamo
119898 = 68 + 5119897119900119892119863 = 68 + 511989711990011989225 = 138
17 Calcolare lrsquoapertura necessaria per poter osservare stelle fino a una magnitudine
limite visuale di +16 con un telescopio
Soluzione Applicando la formula precedente
119898 = 68 + 5119897119900119892119863 119863 = 10119898minus685 = 10184 = 692 119888119898
Bignamino di astronomia
83
18 In un sistema stellare una stella ruota attorno ad unrsquoaltra su unrsquoorbita circolare con
velocitagrave 45 kms il suo periodo di rivoluzione egrave 300 giorni Determinare il raggio
dellorbita e la massa della stella centrale
Soluzione la velocitagrave orbitale egrave data da
119907 =2120587119877
119879 119889119886 119888119906119894 119877 =
119907119879
2120587=45000 ∙ 2592 ∙ 107
62831= 1856 ∙ 1011119898
Dalla Terza legge di Keplero
119872 =412058721198773
1198661198792= 5632 ∙ 1030119896119892
Bignamino di astronomia
84
La SFERA e la TRIGONOMETRIA SFERICA
Premessa
Nella geometria piana i concetti base sono il punto e la retta
Su una sfera i punti sono definiti nel senso usuale Le rette sono definite come cerchi massimi Data una sfera si definisce circonferenza massima ogni circonferenza che si ottiene intersecando la superficie sferica con un piano passante per il centro della sfera Lequatore celeste egrave un circolo massimo mentre i paralleli di declinazione non lo sono Lorizzonte astronomico egrave un circolo massimo mentre non lo sono gli almucantarat o paralleli di altezza
Elementi della sfera
Superficie sferica
Si chiama superficie sferica la figura
generata da una semicirconferenza
in una rotazione completa attorno
al suo diametro Possiamo anche
definirla come luogo geometrico La
superficie sferica egrave il luogo
geometrico dei punti dello spazio
che hanno distanza dal centro pari al
raggio
Sfera
Si chiama sfera la figura generata da un semicerchio di
una rotazione completa attorno al suo diametro
Definita come luogo geometrico egrave il luogo dei punti dello
spazio la cui distanza dal centro egrave minore o uguale al
raggio
Zona sferica
Si chiama zona sferica la parte di
superficie sferica compresa fra due
piani paralleli α e β che intersecano
la sfera Le circonferenze sezioni si
chiamano basi della zona Lrsquoaltezza egrave
la distanza tra i due centri delle
circonferenze sezioni
Bignamino di astronomia
85
Spicchio sferico Lo spicchio sferico egrave il solido delimitato da due piani meridiani passanti per
uno stesso diametro e dalla porzione di superficie sferica (fuso sferico) a
essi corrispondente
Presi due punti distinti su una sfera per essi passa
una ed una sola circonferenza massima
Dati due punti A e B distinti su una sfera esiste una ed una sola circonferenza
massima che li contiene i due punti individuano su questa circonferenza due archi il minore di essi si
chiama distanza sferica rappresenta una geodetica (La geodetica egrave la linea che realizza su una data
superficie il minimo percorso fra due punti assegnati)
Corda
Si chiama corda un segmento i cui estremi appartengono
alla superficie sferica
Si chiama diametro una corda passante per il centro
della superficie sferica e della sfera
Segmento sferico a due basi
Definiamo segmento sferico a due basi la parte di sfera
compresa fra due piani paralleli α e β secanti la sfera
stessa
Calotta Sferica
Definiamo calotta sferica ognuna
delle due parti in cui una superficie
sferica viene divisa da un piano
secante 120572 La calotta egrave la porzione di
superficie sferica ottenuta per
sezione con il piano α
Segmento sferico ad una base
Il segmento sferico ad una base egrave ognuna delle
due parti in cui una sfera viene divisa da un piano
secante α il segmento egrave la porzione di sfera
compresa tra il piano e la calotta
Fuso sferico
La parte di superficie sferica limitata da due
circonferenze massime di sezione dei
semipiani α e β con la superficie sferica
Bignamino di astronomia
86
Nella geometria sferica la circonferenza massima gioca lo stesso ruolo della retta
nella geometria piana
La lunghezza di questo arco egrave proporzionale al raggio della sfera e
allrsquoangolo al centro AOB Se AOB egrave espresso in radianti
AB = OA x AOcircB
Triangolo sferico
Si definisce triangolo sferico la superficie sulla sfera limitata da tre
archi di circolo massimo passanti per tre punti detti vertici tali punti
non devono appartenere allo stesso circolo massimo e gli archi non
devono avere alcun punto dintersezione al di fuori dei vertici
Lati del triangolo sferico
Sono le lunghezze degli archi AB BC CA che limitano la superficie
Tali lati sono minori o uguali a 180
Angoli del triangolo sferico
Sono gli angoli formati dai tre archi di circolo massimo La somma
degli angoli (interni) egrave maggiore di 2 angoli retti e minore di 6 angoli
retti
180deg lt α+β+γ lt 540deg
Pertanto la somma degli angoli egrave 180deg solo quando il triangolo egrave
degenere ovvero quando i vertici del triangolo sono situati sullo
stesso circolo massimo
La differenza fra la somma dei tre angoli di un triangolo sferico e lrsquoangolo piatto si dice eccesso sferico
ε= α+β+γ minus 180deg
Bignamino di astronomia
87
Nel triangolo sferico sussistono relazioni fra le funzioni trigonometriche dei lati e degli angoli tali relazioni
sono date dai teoremi di Eulero (teorema del coseno ( ) per i triangoli sferici e teoremi dei seni( )) da
cui derivano due gruppi fondamentali di relazioni che prendono il nome di primo e secondo gruppo di Gauss
di cui ci occuperemo nella trattazione del triangolo di posizione astronomico Lrsquoapplicazione dei triangoli
sferici assume particolare importanza in astronomia in quanto come abbiamo visto nei sistemi di riferimento
sulla sfera celeste si misurano solo distanze angolari
Per un lato
cos (119886) = cos (119887)cos (119888) + sin (119887)sin (119888)cos (119860)
sin (119886)
sin (119860)=sin (119887)
sin (119861)=sin (119888)
sin (119862)
Oppure
sin(119886) ∶ sin(119860) = sin(119887) sin(119861) = sin(119888) sin(119862)
Bignamino di astronomia
88
Triangolo di posizione astronomico
Vertici del triangolo
Il triangolo astronomico o di posizione ha i vertici nellastro
nello zenit e nel polo celeste nord il terzo vertice potrebbe
essere anche laltro polo ma per convenzione egrave preferibile
usare quello nord in quanto semplifica le regole algebriche
per il calcolo delle lunghezze dei lati
Lati del triangolo
I lati del triangolo hanno lunghezze comprese fra 0 e 180
definite come segue
bull Distanza polare p = 9 - 120575
la distanza che lastro ha dal polo di riferimento (polo celeste nord per convenzione)
Considerando la declinazione 120575 positiva se a Nord e negativa se Sud la distanza polare egrave p lt 90 nel
primo caso e p gt 90 nel secondo
bull Colatitudine c = 9 - 120593
coincide con la colatitudine ossia il complemento della latitudine Si ricorda che lelevazione
dellasse polare egrave esattamente pari alla latitudine del luogo La precedente convenzione per la
declinazione puograve essere adottata anche per la latitudine per cui si ha c lt 90 per latitudini nord e c gt
90 per quelle sud
bull Distanza zenitale z = 90 - h
Coincide con la distanza zenitale z ossia la distanza che lastro ha dallo zenit Tale distanza egrave il
complemento dellaltezza h (z = 90-h) Se lastro egrave nellemisfero visibile si ha h gt 0 e z lt 90 per astri
nellemisfero invisibile si ha h lt 0 e z gt 90
I tre angoli sono
1) Angolo vertice nello Zenith compreso tra meridiano e cerchio verticale la sua ampiezza dovrebbe corrispondere allazimuth ma in questo caso poichegrave lampiezza degli angoli nei triangoli sferici egrave sempre inferiore a 180deg prende nome di Angolo azimutale Z
2) Angolo vertice nel Polo Celeste compreso tra meridiano e cerchio orario la sua ampiezza corrisponderebbe allangolo orario ma in questo caso poicheacute lampiezza degli angoli nei triangoli sferici egrave sempre inferiore a 180deg prende nome di Angolo al Polo P
3) Angolo con vertice nellrsquooggetto A
Bignamino di astronomia
89
Attraverso le seguenti relazioni note come primo e secondo gruppo di Gauss
119904119894119899 ℎ = 119904119894119899 120593 119904119894119899 120575 + 119888119900119904 120593 119888119900119904 120575 119888119900119904 119867
119888119900119904 ℎ 119888119900119904 119860 = 119888119900119904 120593 119904119894119899 120575 + 119904119894119899 120593 119888119900119904 120575 119888119900119904 119867119888119900119904 ℎ 119904119894119899 119860 = 119888119900119904 120575 119904119894119899 119867
Primo Gruppo di Gauss
119878119894119899 120575 = 119878119894119899 120593 119878119894119899 ℎ minus 119862119900119904 120593 119862119900119904 ℎ 119862119900119904 119860119862119900119904120575 119888119900119904119867 = 119904119890119899ℎ 119888119900119904120601 + 119888119900119904ℎ 119904119890119899120601 119888119900119904119860
119862119900119904ℎ 119904119890119899119867 = 119888119900119904ℎ 119904119890119899119860
Secondo gruppo di Gauss
Ersquo possibile risolvere il triangolo astronomico
Notiamo che nel triangolo di posizione sono contemporaneamente presenti per loggetto celeste osservato le sue coordinate altazimutali (azimuth o angolo zenitale e altezza o distanza zenitale) e quelle equatoriali orarie (angolo orario o angolo al polo e declinazione o distanza polare) Queste formule ci consentono il passaggio da coordinate altazimutali ad equatoriali orarie e viceversa
Queste ci consentono il passaggio da un sistema altazimutale ad equatoriale
119904119894119899 120575 = 119904119894119899 120593 119888119900119904 119911 minus 119888119900119904 120593 119904119894119899 119911 119888119900119904 119860
119888119900119904 120575 119888119900119904 119867 = 119888119900119904 120593 119888119900119904 119911 + 119904119894119899 120593 119904119894119899 119911 119888119900119904 119860119888119900119904 120575 119904119894119899 119867 = 119904119894119899 119911 119904119894119899 119860
Bignamino di astronomia
90
Le parti della sfera
Riportiamo in una tabella le caratteristiche delle parti in cui rimane divisa una superficie sferica e una sfera
di raggio R quando vengono sezionate con opportuni piani indicando anche le formule per il calcolo delle
corrispondenti superfici e volumi
FONTE ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Bignamino di astronomia
91
ALCUNE ESERCITAZIONI DI TRIGONOMETRIA SFERICA
1) Calcolo dellrsquoaltezza di un oggetto alla culminazione superiore ed inferiore Giagrave conosciamo le formule che ci permettono di determinare lrsquoaltezza di un astro sullrsquoorizzonte nel caso di culminazione superiore ed inferiore per semplicitagrave le riportiamo qui di seguito
Culminazione superiore la stella culmina a sud dello zenit
la stella culmina a nord dello zenit
ALTEZZA h= 90 - ϕ + δ h= 90 + ϕ - δ
Proviamo attraverso le formule contenute nella parte teorica di trigonometria sferica a verificare queste relazioni Consideriamo la prima equazione del primo gruppo ( Primo Gruppo di Gauss)
sin h = sin φ sin δ + cos φ cosδ cos H
Se la stella culmina vuol dire che essa passa al meridiano (o superiore o inferiore a seconda della culminazione) CULMINAZIONE SUPERIORE Quando la Stella passa al meridiano superiore lrsquoangolo orario H egrave = 0 il cos0deg =1 per cui si ha
sin h = sin φ sin δ + cos φ cosδ
questa equazione si risolve facilmente se si applicano le formule di sottrazione del coseno cos (α - β) = cosαcosβ + senαsenβ
La nostra equazione puograve essere scritta sen h = cos(ϕ - δ) ndashlrsquo α della formula di sottrazione egrave la latitudine e la β la declinazione)- ma il sen h=cos(90 ndashh) ed allora cos (90-h) = cos( ϕ - δ) questa egrave una equazione elementare in coseno che ha per soluzioni
90-h= plusmn (ϕ - δ)
90-h= + ( ϕ - δ) h= 90 - ϕ + δ 90-h= - ( ϕ - δ) h= 90 + ϕ - δ
(Le relazioni sono due percheacute ognuna vale per un emisfero)
CULMINAZIONE INFERIORE Anche qui sappiamo che h= ϕ + δ- 90
sin h = sin φ sin δ + cos φ cosδ cos H
Alla culminazione inferiore lrsquoangolo orario egrave 12ℎ quindi 180deg il cos 180deg = -1
sin h = sin φ sin δ - cos φ cosδ Non possiamo applicare come prima a formula di addizione del coseno e quindi la riscriviamo
sin h= - (- sin φ sin δ + cos φ cosδ )
Bignamino di astronomia
92
ricordando che cos ( α + β) = cosαcosβ ndash senαsenβ ed essendo sinh= cos(90-h) possiamo scrivere cos (90-h) = - cos( ϕ + δ) essendo cosα= - cos(180 ndashα)
cos (90-h) = cos( 180 ndash ϕ - δ)
90-h = 180 ndash ϕ - δ h= ϕ + δ- 90 NB Essendo il coseno di due angoli dello stesso valore assoluto ma di segno opposto uguale come fatto sopra anche la soluzione col segno negativo va presa quindi si ottengono anche qui due formule che come sopra si riferiscono ciascuna a un emisfero
2) Calcolare lrsquoespressione che consente di determinare il sorgere e il tramontare di un astro Successivamente determinare la differenza delle ore di luce ai solstizi a Reggio Calabria ndash Latitudine φ=38deg6rsquo Nord
Per rispondere alla prima domanda dobbiamo determinare lrsquoangolo orario applichiamo il
( ) Primo Gruppo di Gauss
sin h= sin φ sin δ + cos φ cos H cos δ
isoliamo il cosH si trova cosH= 119904119894119899ℎminus119904119894119899120593119904119894119899120575
cos120593 cos120575 e scriviamo ancora cosH =
sinℎ
cos120593 cos120575 -
sin120593 sin120575
cos120593 cos120575 ed ancora cosH =
sin h
cos φ cos δ ndash tanφ tanδ (essendo tanα=senαcosα)
Al momento del sorgere dellrsquoastro h= 0 quindi cosH = - tanφ tanδ (sen0=0) Se egrave nota lrsquoascensione retta possiamo calcolare il tempo siderale 119931119956 = H +120630 con
H=arccos(θsin h
cos φ cos δ ndash tanφ tanδ ) Se conosciamo il valore del tempo siderale in una
determinata ora di un determinato giorno possiamo anche trovare lrsquoistante di tempo che segna il nostro orologio per il sorgere del Sole (per questi calcoli si vedano i problemi precedenti sul tempo) c = H+α Una volta trovata lrsquoespressione dellrsquoangolo orario la seconda domanda si risolve facilmente
tenendo conto che lrsquoangolo orario adesso egrave 119867
2
cos 119867
2 = - tan φ tan δ
Il Sole ai solstizi ha una declinazione δ=+23deg27rsquo (21 giugno solstizio drsquoestate) e δ=-23deg27rsquo (21 dicembre solstizio drsquoinverno)
si trova che cos 119867
2 = -0784 0433 = -034 perciograve H=2arccos(-034)=219deg46rsquo=14 ore 39
minuti (digrave piugrave lungo dellrsquoanno)
mentre il 21 dicembre cos 119867
2 = (-0784) (-0433) = 034 dal quale si ricava che
H=arccos(034)=140deg15rsquo = 9 ore 21 minuti (digrave piugrave corto dellrsquoanno) la differenza di ore egrave ∆H=14h 39m-9h 21m = 5 ore 18 minuti tra inverno ed estate
Bignamino di astronomia
93
3) In un certo giorno in cui egrave in vigore lrsquoora legale in una cittagrave posta alla longitudine di 120582
= 10deg 52rsquo 59rdquo E e latitudine = 44deg 38rsquo 45rdquo N il Sole ha una declinazione = 10deg 59rsquo 04rdquoConsiderando trascurabile la declinazione del Sole durante lrsquoarco della giornata
Calcolare
1 lrsquoaltezza massima raggiunta dal Sole in quella localitagrave e lrsquoora del transito in meridiano 2 lrsquoora in cui in tale giorno il sole sorge e tramonta in quella Cittagrave e lrsquoarco diurno 3 lrsquoazimut del sole nei momenti in cui sorge e tramonta
Il sole raggiunge la massima altezza hC sullrsquoorizzonte (culmina) quando transita per il
meridiano locale dellrsquoosservatore Nel caso specifico avremo hC = 90deg - ( - ) = 90deg -
+ = 90deg - 44deg64583333 + 10deg98444444 = 56deg33861111
Lrsquoaltezza massima del Sole nel momento in cui transita al meridiano egrave hC = 56deg33861111 = 56deg 20rsquo 19rdquo
Indichiamo adesso con 120582 la longitudine espressa in ore e con T la differenza in ore del
meridiano locale rispetto a GMT Nel nostro caso essendo in vigore lrsquoora legale saragrave T = 2h Le 12h locali corrispondono dunque aUT = 12h ndash 120582
per cui lrsquoora locale del transito in meridiano del sole saragrave (scrivendo la longitudine in notazione decimale)
TC = 12h ndash 120582+ T = 12ℎ minus 10deg 8830555556
15deg+ 2ℎ = 2h ndash 0h725537036 + 2h = 13h27446296
il Sole culmina alle ore locali TC = 13h 16m 28s1
I due eventi del sorgere e tramontare si verificano quando il sole interseca lrsquoorizzonte celeste dellrsquoosservatore e quindi la sua altezza h egrave nulla In questo caso egrave possibile determinare i tempi (gli angoli orari HS e HT) e le direzioni (gli azimut AS e AT) delle due posizioni del sole sullrsquoorizzonte e lrsquoarco diurno
T = HT - HS che ci dagrave la durata della permanenza del sole
Applichiamo le formule del primo gruppo di Gauss al triangolo sferico precedentemente definito rispetto al lato ldquozenit ndash solerdquo ed allrsquoangolo al vertice con lo zenit
sin h = sin sin + cos cos cos H (I)
cos h sin A = - cos sin H (II)
cos h cos A = cos sin - sin cos cos H
Bignamino di astronomia
94
Quando il sole sorge eo tramonta si ha h = 0 e quindi sin h = 0 Dalla (I) segue dunque
cos H = - tg tg Dai dati del problema si ha = 44deg 38rsquo 45rdquo N = 44deg64583333
= 10deg 59rsquo 04rdquo1 = 10deg98444444 segue cos H = - tg (44deg64583333) tg (10deg98444444) = - 0191713689
H = arccos (- 0191713689) = 101deg0528101 = plusmn 6h736854006
Lrsquoangolo orario H egrave negativo al sorgere percheacute deve arrivare in meridiano e positivo al tramonto percheacute ha superato il meridiano Saragrave dunque HS = - 6h736854006 HT = 6h736854006
il sole sorgeragrave dunque alle ore TS = TC + HS = 13h27446296 - 6h736854006 = 6h537608954 = 6h 32m 15s4
Lo stesso giorno il sole tramonteragrave alle ore TT = TC + HT = 13h27446296 6h736854006 = 20h01131697 = 20h 00m 40s7
Lrsquointervallo temporale durante il quale il sole resteragrave sopra lrsquoorizzonte saragrave
T = HT - HS = 6h736854006 + 6h736854006 = 13h47370802 = 13h 28m 25s4
Per ricavare lrsquoazimut del sole nei momenti in cui sorge e tramonta utilizziamo la (III) delle
formule di Gauss cos h sin A = - cos sin H
Nel momento in cui il sole sorge e tramonta si ha h = 0 e quindi cos h = 1 per cui si ha rispetto al punto Nord
sin AS = - cos sin HS = - cos (10deg98444444 ) sin (-6h736854006 x 15) = 0963469686
AS = arcsin (0963469686) = 74deg46556891 = 74deg 27rsquo 56rdquo1
sin AT = - cos sin HT = - cos (10deg98444444 ) sin (6h736854006 x 15) = -0963469686
AT = arcsin (-0963469686) = - 74deg46556891 = (360deg - 74deg46556891) = 285deg5344311 = 285deg 32rsquo 4rdquo
DISTANZA TRA DUE STELLE
Regolo ha coordinate H= 27m 4 s e declinazione 11deg 52rsquo 5rdquo Denebola ha coordinate H= 22h 46m 36s e
declinazione 14deg 27rsquo 33rdquo Si determini la loro distanza angolare
Per calcolare la loro distanza consideriamo il triangolo sferico BPA dalla figura si evince che
PB= 90-1205751 PA= 90-1205752 lrsquoangolo al polo P= 1198672 - 1198671
Applichiamo il teorema del coseno o di Eulero
Bignamino di astronomia
95
cosAB= cosPB cosPA + seno senPA cosP
Sostituendo
Cos120572 = cos( 90-1205751)cos(90-1205752 ) + sen(90-1205751)sen(90-1205752)cosP
Cos120572= sen1205751sen1205752 + cos1205751cos 1205752cos (1198672 minus 1198671)
E svolgendo I calcoli
Cos α= sen118681 sen 144592 + cos 118681 cos 144592 cos251167=0904
α=24deg58
Bignamino di astronomia
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Bibliografia
Vittorio Castellani Astrofisica Stellare ndash Zanichelli Editore
Ferdinando Flora Astronomia Nautica ndash Editore Hoepli
Pietro Giannone Elementi di Astronomia ndash Edizione Pitagora
Angeletti Giannone Esercizi e complementi di astronomia ndash Edizioni Nuova Cultura
Margherita Hack Corso di Astronomia ndash Editore Hoepli
Halliday-Resnick Fondamenti di fisica ndash Zanichelli Editore
Giuliano Romano Introduzione allrsquoastronomia ndash Editore Muzzio
Leonido Rosino Lezioni di Astronomia ndash Edizione Cedam
Francesco Saverio Delli Santi Introduzione allrsquoastronomia ndash Zanichelli Editore
Cino Tacchini Il Cielo ndash UTET Editore
Francesco Zagari Astronomia sferica e teorica ndash Zanichelli Editore
Wikipedia sito web
Vialatteanet sito web
Treccani sito web
Superfici e volumi problemi di massimo e minimo Istituto Italiano Edizioni Atlas
- Copertina Bignamino definitiva
- Bignamino di astronomia
-
- INDICE Bignamino definitivo
- Bignamino
-
Bignamino di astronomia
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Poicheacute lrsquoaltezza deve esere h le 90deg distinguiamo i due casi
1) Se 120575 lt 120593 h=90deg- 120593 + 120575 (va preso il segno meno)
2) Se 120575 gt 120593 h=90deg+ 120593 - 120575 (va preso il segno piugrave)
Analogamente in culminazione inferiore
ℎ2 = minus90deg + 120593 + 120575
Poicheacute se 120575 lt 120593
ℎ2 = 120575 - ( 90 ndash 120593)
ℎ2 = 120575 - 90 + 120593
ℎ2 = - 90 + 120575 + 120593
Se 120575 gt 120593
ℎ2 = 120575 + ( 120593 - 90 )
ℎ2 = - 90 + 120575 + 120593
La formula per il calcolo della culminazione inferiore egrave sempre la stessa
Formule inverse della h=90deg+ 120593 - 120575
120593 = 90deg minus ℎ + 120575
120575 = 120593 + ℎ minus 90deg
Bignamino di astronomia
9
Latitudine del luogo (culminazione superiore ed inferiore)
120593 =ℎ1 + ℎ2
2
Questa formula egrave valida per tutte le stelle ma la si usa spesso per
conoscere la latitudine di un luogo osservando una stella
circumpolare La latitudine infatti non egrave altro che una ldquomediardquo
tra le due altezze (culminazione superiore ed inferiore)
Formule inverse
ℎ1 = 2120593 minus ℎ2
ℎ2 = 2120593 minus ℎ1
Per una stella circumpolare la minima altezza egrave ℎ119898119894119899= δ + ϕ - 90deg
Distanza zenitale
119911 = 90deg minus ℎ
La distanza zenitale indica quanto dista la stella dallo zenit che si trova
sulla verticale dellrsquoosservatore Per trovarla basta sottrarre a 90deg (la
verticale e lrsquoorizzonte sono separati da un angolo retto) lrsquoaltezza della
stella h
Formule inverse
ℎ = 90deg minus 119911
Bignamino di astronomia
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Ascensione retta
Tra lrsquoascensione retta 120630il suo angolo orario H ed il tempo siderale relativi ad un dato osservatore
vale la relazione
119879119904 = 120572 + 119867
Nota
Quando il punto 120574 passa al meridiano 119879119904 = 0 (Il tempo siderale egrave definito come lrsquoangolo orario del
punto 120574 ) quando la stella passa al meridiano H= 0 e
119879119904 = 120572
Il tempo siderale coincide con lrsquoascensione retta delle stelle che passano al meridiano
Per conoscere lrsquoascensione retta di una stella 120572 bisogna calcolare
la differenza tra il tempo siderale del luogo 119879119904 di osservazione e
lrsquoangolo orario 119867 della stella stessa
120572 = 119879119904 minus119867
Lrsquoangolo orario si trova dalla 119867 = 119879119904 minus 120572
il punto nord ha H di 12 h e declinazione 90 - latitudine da noi H 0 e declinazione 90+ latitudine altro emisfero
per il punto sud i due predetti valori si invertono per lrsquoangolo orario e quelli della declinazione diventano
opposti
Bignamino di astronomia
11
MISURA DEL TEMPO
La misura del tempo viene effettuata dal movimento di rotazione diurna della volta celeste
(rotazione della Terra) e dal movimento annuo del Sole (rivoluzione della Terra attorno al Sole)
La rotazione della Terra attorno al suo asse egrave quasi costante quindi lrsquoangolo di rotazione rispetto ad
un qualsiasi riferimento iniziale consente di misurare il tempo Come riferimento iniziale si prende
lrsquoistante del passaggio del punto al meridiano del luogo La durata del giorno dipende da questo
punto scelto
In Astronomia i punti adottati sono Il punto γ il
centro del disco apparente del Sole (Sole vero) il
Sole medio (un Sole ideale che parte dal punto γ
assieme al Sole vero percorre lrsquoequatore celeste
con velocitagrave angolare costante in modo da
ritornare allrsquoequinozio di primavere assieme al
Sole vero)
Le tre unitagrave di tempo definite da questi punti si
chiamano giorno siderale giorno solare vero
giorno solare medio Il tempo da esse misurato egrave
tempo siderale tempo solare vero tempo solare medio
Nota Non sono tempi diversi ma solo diverse unitagrave di misurare il tempo
Giorno siderale ndash tempo siderale
Si definisce giorno siderale lrsquointervallo di tempo compreso tra
due successivi passaggi del punto γ allo stesso meridiano del
luogo
Si definisce tempo siderale lrsquointervallo di tempo compreso tra il
passaggio al meridiano del punto di primavera ad unrsquoaltra
posizione qualsiasi
119905119904 = H + 120572
(Tempo siderale = angolo orario Sole + ascensione retta Sole
medio)
Bignamino di astronomia
12
Giorno solare vero-Tempo solare vero
Il giorno solare vero egrave lrsquointervallo di tempo compreso tra due passaggi superiori o inferiori del centro
del Sole
Il tempo solare vero egrave lrsquointervallo di tempo compreso tra il passaggio inferiore
del Sole ad un altro punto
Al meridiano il 119879119904119900119897119890 119907119890119903119900 = 119867119878119900119897119890 119907119890119903119900 +12ℎ
Giorno solare medio - Tempo solare medio
Il giorno solare medio egrave lrsquointervallo compreso tra due passaggi superiori o inferiori del Sole medio
Il tempo solare medio egrave lrsquointervallo di tempo compreso tra il passaggio inferiore del Sole medio ad
un altro punto
119879119904119900119897119890 119898119890119889119894119900 = 119867119878119900119897119890 119898119890119889119894119900 +12ℎ
Equazione del Tempo
Si definisce equazione del tempo la differenza tra il tempo medio ed il tempo solare vero allo stesso
istante
E= 119879119904119900119897119890 119898119890119889119894119900 - 119879119904119900119897119890 119907119890119903119900
E= 119867119878119900119897119890 119898119890119889119894119900 - 119867119878119900119897119890 119907119890119903119900
E= 120572119878119900119897119890 119898119890119889119894119900 - 120572119878119900119897119890 119907119890119903119900
Il tempo solare medio ad un dato istante egrave dato
dal Tempo solare vero piugrave lrsquoequazione del
tempo
119879119904119900119897119890 119898119890119889119894119900= 119879119904119900119897119890 119907119890119903119900 + E
Bignamino di astronomia
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Relazione tra tempo solare e tempo siderale
Consideriamo la posizione del sole a 24 ore di distanza
1199051119904=1198671199041 + 1205721198781
1199052119904=1198671199042 + 1205721198782
Calcolando la differenza tra le due espressioni si ha
1199052119904- 1199051119904 = (1198671199042 minus 1198671199041 ) + (1205721198782 -1205721198781)
(1198671199042 minus 1198671199041 ) = 24
Mentre la differenza in ascensione retta (1205721198782 -1205721198781) dagrave lo spostamento angolare diurno del sole
medio sullrsquoequatore che in gradi egrave 24
36525
Pe cui
1199052119904- 1199051119904 = 24h + 24
36525
1199052119904- 1199051119904 = 24 (1+ 1
36525)
1199052119904- 1199051119904 = 24 36625
36525
Un giorno solare medio= 36625
36525 giorni siderali
Un giorno siderale= 36525
36625 giorni solari veri
Il rapporto K = 36625
36525 K=1002738 serve per convertire gli intervalli di tempo solare medio in
intervalli di tempo siderali
∆119879119904= K ∆119879119898
Il rapporto Krsquo = 36525
36625 Krsquo = 0997270 serve per convertire gli intervalli di tempo siderali in intervalli
ti tempo solare medio
∆119879119898= Krsquo ∆119879119904
24 ore di tempo medio corrispondono a 24h 03m 5655s di tempo siderale viceversa un giorno
siderale egrave 23h 56m 04s di tempo solare medio
Se s egrave il tempo siderale ad un certo istante ad un dato meridiano mentre alla mezzanotte
precedente sullo stesso meridiano il tempo siderale era S dalla mezzanotte sono passati (s-S) ore
minuti secondi di tempo siderale che corrispondono a (s-S) Krsquo di tempo solare medio Poicheacute a
mezzanotte il tempo solare medio egrave 0ℎ 119879119898 = (s-S) Krsquo rappresenta il tempo solare medio allrsquoistante
del tempo siderale s
Bignamino di astronomia
14
Se al meridiano di quel luogo alla mezzanotte di una certa data il tempo siderale era S allrsquoistante
di tempo medio solare saragrave
s= S + 119879119898 119870
NOTA
Ersquo sempre necessario conoscere il tempo siderale S alla mezzanotte del meridiano dato Per questo
sono stati costruiti annuari che forniscono il tempo siderale 1198780 alla mezzanotte del meridiano
fondamentale di GW
Il tempo siderale S alla mezzanotte ad una data longitudine 120582 egrave dato da
119878 = 1198780 minus120582 ℎ
24ℎ (3119898 56119904 55)
Ora locale e longitudine
Si definisce tempo locale medio il tempo regolato sul meridiano del luogo
Nella vita quotidiana egrave scomodo utilizzare questo
tempo per cui il primo luglio 1919 sono stati introdotti
i fusi orari In base a questa suddivisione il tempo
medio egrave determinato solo per 24 meridiani geografici
principali separati da 15deg gradi (unrsquoora) I fusi orari sono
numerati da 0 a 23 ed il meridiano passante per GW
costituisce lrsquoorigine (fuso = 0)
Il tempo medio locale egrave dato da
119905119897 = 119905119891 ndashΔ120582
dove Δ120582 = 120582119891 - 120582119874
Nota
1) La differenza tra le ore locali (siderali o solari) di due meridiani misurate allo stesso istante
egrave sempre uguale alle differenze di longitudini
2) Poicheacute i confini dei fusi orari distano circa 7deg5 dal meridiano centrale la differenza 119905119897 - 119905119891
puograve essere leggermente maggiore o minore di plusmn 30119898
Bignamino di astronomia
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Tempo Universale
Il tempo solare medio del meridiano di GW si chiama Tempo Universale (TU)
Per quanto precedentemente detto il tempo medio locale egrave uguale al tempo universale piugrave la
longitudine del luogo espressa in ore e considerata positiva ad est di GW
119905119897 = TU +120582
Bignamino di astronomia
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MOTO APPARENTE DEI PIANETI
I pianeti si muovono in vicinanza dellrsquoeclittica ma il loro movimento visto dalla Terra egrave piugrave
complicato di quello del Sole e della Luna Il Sole e la Luna riferendo il loro moto rispetto alle stelle
fisse si muovono di moto diretto cioegrave antiorario per i pianeti si osserva che in generale si muovono
di moto diretto ma ce certi tratti variabili da pianeta a pianeta si muovono di moto retrogrado Il
pianeta dopo avere raggiunto una posizione di stazionarietagrave
inverte il moto Questo egrave molto piugrave evidente per i pianeti
interni Mercurio e Venere che oscillano avanti e indietro
rispetto alla posizione del Sole venendosi a trovare ora da
una parte ora dallrsquoaltra rispetto ad esso Quando il pianeta egrave
in congiunzione superiore egrave invisibile perchegrave nasce e
tramonta con il Sole ma essendo in questo momento piugrave
veloce del Sole dopo qualche tempo puograve essere visto dopo
il tramonto ad occidente (si trova a sinistra del Sole)
Lrsquoelongazione orientale cresce nei giorni seguenti e
contemporaneamente decresce la sua velocitagrave angolare e
quando raggiunge la stessa velocitagrave angolare del Sole per
qualche istante si muove mantenendo la stessa distanza il
pianeta raggiungere la massima elongazione orientale Per venere questo valore egrave circa 46deg per
Mercurio egrave variabile dai 18deg ai 28deg Da questo momento il pianeta comincia il suo avvicinamento al
Sole ritornando con moto retrogrado in congiunzione con esso ma questa volta in congiunzione
inferiore Ritorna invisibile (potrebbe esserci un transito) Continuando nel suo moto retrogrado
appare visibile ad occidente (a destra del Sole) ed egrave visibile prima del sorgere del Sole (elongazione
occidentale) Questo ci dice che i pianeti inferiori non possono mai trovarsi in quadratura o
opposizione
I pianeti esterni invece possono assumere qualsiasi distanza dal Sole da 0deg a 180deg e quindi possono
trovarsi nelle due precedenti configurazioni Raggiunta
lrsquoelongazione massima di 180deg i pianeti si trova dalla parte
opposta a quella del Sole la velocitagrave retrograda egrave massima e
raggiungono anche il massimo della luminositagrave Oggi noi
sappiamo che tutto questo egrave dovuto egrave il risultato della
composizione del moto della Terra e di quello dei pianeti
attorno al Sole semplificando osserviamo un oggetto in
movimento essendo noi stessi in movimento Le velocitagrave dei
pianeti variano piugrave sono vicini al Sole piugrave velocemente si
muovono I due pianeti essendo piugrave vicini al Sole sorpassano
la Terra durante il loro moto mentre egrave la Terra a sorpassare i
pianeti esterni quando sono vicini allrsquoopposizione e quindi
essi sembrano muoversi allindietro
Ed allora se indichiamo con T Il nostro anno siderale con P il periodo sidereo del Pianeta e con S il
periodo siderale (il tempo intercorso tra due congiunzioni o due opposizioni successive) la
composizione delle velocitagrave ci consente di calcolare la velocitagrave relativa del pianeta rispetto alla
Terra
Bignamino di astronomia
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Per i pianeti interni (la Terra si muove piugrave lentamente)
2120587
119878 = 2120587
119875 - 2120587
119879
120783
119930 = 120783
119927 - 120783
119931
Per i pianeti esterni (la Terra si muove piugrave velocemente)
2120587
119878 = 2120587
119879 - 2120587
119875
120783
119930 = 120783
119931 - 120783
119927
Il movimento di tutti i pianeti attraverso le stelle fisse segue apparentemente la stessa direzione di
quello della Luna (e del Sole) - con una strana variante talvolta il loro moto apparente cambia
temporaneamente verso (moto retrogrado) Questo egrave molto piugrave evidente per Mercurio e Venere
che oscillano avanti e indietro rispetto alla posizione del Sole Durante il moto del Sole attraverso le
stelle - lungo le costellazioni dello zodiaco - questi pianeti
talvolta si muovono nello stesso verso e quindi il loro
movimento si somma a quello del Sole ma altre volte il loro
moto apparente si oppone a quello del Sole facendo sigrave che
sembri che si muovano allindietro (moto retrogrado)Gli
altri tre pianeti visibili ad occhio nudo si possono trovare in
qualunque posizione lungo leclittica - anche a mezzanotte in
posizione direttamente opposta a quella del Sole e quando
questo avviene raggiungono il massimo della luminositagrave
Marte sembra muoversi piugrave rapidamente Giove un po meno
e Saturno egrave il piugrave lento Comunque tutti mostrano questa
enigmatica stranezza vicino al punto in cui il loro percorso
apparente nel cielo egrave esattamente in posizione opposta al Sole
(opposizione) il loro movimento tra le stelle
temporaneamente si inverte Oggi noi comprendiamo molto
bene tutto questo (vedi fig1) I pianeti sono oggetti sferici
come la Terra - Venere Mercurio e Marte sono piugrave piccoli Giove e Saturno molto piugrave grandi Anche
la Terra egrave un pianeta e ne esistono anche altri (troppo deboli per essere visti senza un telescopio)
tutti che orbitano attorno al Sole sul piano o vicino al piano delleclittica La loro velocitagrave tuttavia
varia - piugrave sono vicini al Sole e piugrave rapidamente si muovono (vedi la sezione ldquoterza legge di Keplerordquo)
Quindi quando i tre pianeti esterni sono vicini allopposizione la Terra che orbita piugrave vicina al Sole
li sorpassa e quindi essi sembrano muoversi allindietro Il moto retrogrado dei due pianeti interni
ha una causa simile Essendo piugrave vicini al Sole sono essi che sorpassano la Terra durante il loro moto
Bignamino di astronomia
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Sommario di quanto egrave noto oggi sui pianeti
Viene qui riportato un breve sommario dei componenti del sistema solare In genere vengono distinte quattro classi di oggetti
1 I pianeti maggiori in ordine di distanza dal Sole - Mercurio Venere Terra Marte Giove Saturno Urano e Nettuno Tutti tranne i due piugrave interni hanno dei satelliti e tutti e quattro i piugrave esterni hanno degli anelli composti da piccoli ciottoli di materia in orbita attorno al pianeta
2 Asteroidi o pianetini in maggioranza - anche se non tutti - posti tra Marte e Giove Il loro diametro arriva fino a 500 Km
3 La fascia di Kuiper di oggetti ghiacciati oltre lorbita di Nettuno di cui il piugrave noto (anche se ora si egrave scoperto che egrave solo il secondo come dimensioni) egrave Plutone scoperto nel 1930 e delle dimensioni della nostra Luna La fascia ha preso il nome dellastronomo belga Gerard Kuiper si estende probabilmente a una distanza doppia di quella di Nettuno e si stima che consista di circa 100000 oggetti (finora ne sono stati identificati circa 1000) molti dei quali con un diametro di soli 100 Km o meno
4 Comete tradizionalmente divise in non ricorrenti (il nome ufficiale egrave comete a lungo periodo) e comete periodiche Le comete non ricorrenti si pensa che provengano dalla nube di Oort un enorme agglomerato quasi sferico di oggetti ghiacciati agli estremi limiti del sistema solare Essi sono debolmente legati al Sole e di tanto in tanto lattrazione gravitazionale di qualche stella lontana probabilmente cambia un poco il moto di alcuni di
essi lanciandoli in direzione del Sole In tal caso diventano visibili come comete quando la luce del Sole fa evaporare una parte della loro superficie generando la chioma e la coda della cometa Le comete periodiche una volta erano considerate come oggetti che avevano iniziato come oggetti non ricorrenti ma poi erano state deviate e catturate dallattrazione gravitazionale dei pianeti piugrave grandi Oggi si ritiene che provengano dalla fascia di Kuiper come classe di oggetti noti come Centauri
Bignamino di astronomia
19
LE LEGGI DEL MOTO DEI PIANETI
Prerequisito Lrsquoellisse
Luogo geometrico dei punti del piano per i quali si
mantiene costante la somma delle distanze da due
punti fissi detti fuochi
Detta in parole piugrave semplici lellisse non egrave altro che
una circonferenza ldquoschiacciata Un elemento
fondamentale che ci permette di capire di quanto
questa viene compressa egrave leccentricitagrave e
Leccentricitagrave egrave definita come il rapporto tra la
semidistanza focale e il semiasse maggiore
119890 =119888
119886
Formule inverse
119888 = 119886119890
119886 =119888
119890
Infatti nellellisse possiamo individuare
bull Semiasse maggiore (a)
bull Semiasse minore (b)
bull Semidistanza focale (c)
Indicheremo quindi con 2a il semiasse maggiore (AB) con 2b il semiasse minore (CD) e con 2c la
distanza focale (F1F2)
ATTENZIONE lrsquoeccentricitagrave dellellisse egrave SEMPRE compresa tra 0 e 1 (0ltelt1) Se
questa fosse uguale a 0 i due fuochi andrebbero a coincidere con lorigine e lellisse
diventerebbe una circonferenza Se fosse uguale a 1 diventerebbe una parabola se
fosse egt1 diventerebbe una iperbole
Dalla figura si nota che la somma delle distanze dai due punti fissi detti fuochi egrave costante ed egrave pari
alla lunghezza dellasse maggiore (2a) Quindi si puograve anche applicare il teorema di Pitagora
1198862 = 1198872 + 1198882
Formule inverse
1198872 = 1198862 minus 1198882
1198882 = 1198862 minus 1198872
Bignamino di astronomia
20
LEGGI DI KEPLERO
PRIMA LEGGE
Enunciato i pianeti descrivono intorno al Sole orbite
ellittiche in cui questo occupa uno dei fuochi
Si puograve quindi notare che la distanza di un pianeta
attorno al Sole non si mantiene costante bensigrave ci
saragrave un punto in cui questo saragrave piugrave vicino al Sole
(perielio) e uno in cui saragrave piugrave lontano (afelio)
Possiamo quindi calcolare le due distanze
119889119886 = 119886(1 + 119890)
119889119901 = 119886(1 minus 119890)
Formule inverse
119886 =119889119886
1 + 119890
119886 =119889119901
1 minus 119890
119890 =119889119886
119886minus 1
119890 = 1 minus119889119901
119886
Inoltre si nota anche che dalla somma delle due distanze otteniamo lasse maggiore dellorbita
2119886 = 119889119886 + 119889119901
E il semiasse egrave quindi dato da
119886 =119889119886 + 119889119901
2
Bignamino di astronomia
21
Formule inverse
119889119886 = 2119886 minus 119889119901
119889119901 = 2119886 minus 119889119886
La distanza focale egrave data dalla differenza delle due distanze
2119888 = 119889119886 minus 119889119901
119888 =119889119886 minus 119889119901
2
Formule inverse
119889119886 = 2119888 + 119889119901
119889119901 = 119889119886 minus 2119888
Quindi leccentricitagrave dellrsquoorbita puograve essere anche scritta come
119890 =119889119886minus119889119901
119889119886+119889119901=
2119888
2119886 =
119888
119886
SECONDA LEGGE
Enunciato il raggio vettore che congiunge il Sole al pianeta spazza aree
uguali in tempi uguali
Dalla seconda legge comprendiamo che la velocitagrave del pianeta intorno
al Sole non egrave costante al perielio viaggeragrave piugrave velocemente che
allafelio Quindi si puograve affermare che le velocitagrave sono inversamente
proporzionali alle distanze
119881119886
119881119901=119889119901
119889119886
Formule inverse
119881119886 =119889119901 119881119901
119889119886
Bignamino di astronomia
22
119881119901 =119881119886 119889119886
119889119901
119889119886 =119881119901 119889119901
119881119886
119889119901 =119881119886 119889119886
119881119901
TERZA LEGGE
Enunciato i cubi dei semiassi maggiori sono
proporzionali ai quadrati dei periodi di
rivoluzione
1198863
1198792= 119896
Dalla terza legge si nota che esiste una relazione tra periodo di rivoluzione e lontananza dal corpo
centrale Sono infatti legati tra loro dal valore di una costante che egrave stata indicata con k
Per i corpi orbitanti intorno ad una massa comune (come ad esempi o per i corpi del Sistema solare)
questa legge puograve essere anche scritta come
1198861199053
1198791199052 =
1198861198983
1198791198982
=1198861199043
1198791199042 = ⋯
PER I CORPI DEL SISTEMA SOLARE se si inserisce in formula il valore del semiasse maggiore in unitagrave
astronomiche (UA) e il periodo di rivoluzione in anni il valore di questa costante egrave uguale a 1 Infatti
ricavandola per la Terra
(1 119880119860)3
(1 119886119899119899119900)2= 1
E se k=1 per la Terra vale per tutti gli altri corpi orbitanti intorno al Sole
Bignamino di astronomia
23
NEWTON E LA GRAVITAZIONE UNIVERSALE
Con le leggi di Keplero siamo ancora in quella parte di fisica che descriviamo come cinematica
descriviamo perfettamente i moti dei pianeti ma non risaliamo alle cause Newton avanzograve lrsquoipotesi
che sia i gravi in caduta libera che i pianeti vengono deviati dalla condizione di moto rettilineo
uniforme dallrsquoesistenza di una forza centrale Nel 1684 Newton ldquopoggiandosi sulle spalle dei
gigantirdquo (Keplero ed il nostro Galilei) dimostrograve che la forza che fa ldquofluttuarerdquo i pianeti attorno al Sole
dipende dallrsquoinverso del quadrato della distanza da esso
Integrando il suo secondo principio della dinamica con la terza legge di Keplero perviene a
119865119892=41205872 119898
1198701199032
Questa forza deve dipendere anche dalla massa M del Sole ed allora
119865119892=41205872 119898119872
1198721198701199032
Dove K egrave la costante della terza legge di Keplero Ponendo la quantitagrave 41205872
119872119870 = G ( notare che contiene
la costante K e la massa del Sole) otteniamo la nota formula
119865119892=119866 119898119872
1199032
Newton dedusse che questa legge egrave valida non solo per i corpi del sistema solare ma in tutto
lrsquoUniverso egrave la Legge di Gravitazione Universale Nel 1798 Cavendish ideograve la bilancia a torsione e
trovograve il valore per la costante G = 667times10⁻sup1sup1 N msup2kgsup2
Bignamino di astronomia
24
Terza legge di Keplero generalizzata
Approssimando lrsquoorbita di un corpo a circolare e considerando trascurabile la massa del corpo
orbitante la condizione di equilibrio per la quale esso orbita egrave data da
119865119888 = 119865119892
119865119900119903119911119886 119888119890119899119905119903119894119891119906119892119886 = 119865119900119903119911119886 119892119903119886119907119894119905119886119911119894119900119899119886119897119890
La forza centrifuga egrave espressa come
119865119888 = 119898 119886119888
E quella gravitazionale (dalla legge di gravitazione universale di Newton) come
119865119892 =119866119872119898
1198862
Sostituendo in formula
119898119886119888 =119866119872119898
1198892
Notiamo che semplificando m otteniamo un modo per esprimere lrsquoaccelerazione
119886119888 =119866119872
1198892
Lrsquoaccelerazione egrave espressa come
119886119888 =1199072
119886=412058721198862
1198792119886=41205872119886
1198792
Sostituendo in formula
41205872119886
1198792=119866119872
1198862
Da cui
1198863
1198792=119866119872
41205872
Formule inverse
119886 = radic119866119872 1198792
41205872
3
119879 = radic412058721198863
119866119872
Bignamino di astronomia
25
119872 =412058721198863
119866 1198792
Nota nel caso in cui la massa del corpo orbitante non fosse trascurabile la terza legge di Keplero
generalizzata diventerebbe
1198893
1198792=119866 (119872 +119898)
41205872
Nel Sistema solare la somma delle due masse si considera uguale alla sola massa del
Sole data la relativa piccola massa dei pianeti
NOTA I corpi lasciati cadere verso il basso quando la resistenza dellrsquoaria egrave trascurabile cadono con la
stessa accelerazione g detta accelerazione di gravitagrave Sulla superficie terrestre lrsquoaccelerazione di
gravitagrave egrave g = 98 ms2 In realtagrave il valore di g cambia da punto a punto percheacute dipende fra lrsquoaltro
dallrsquoaltezza del punto sul livello del mare e dalla sua latitudine Ora che conosciamo la legge di
gravitazione universale possiamo dire che i corpi cadono per effetto della forza di gravitazione che
si esercita tra il corpo e la Terra Allora
119892 =119866119872
1198892
Se il corpo si trova sulla Terra o prossimo alla superficie sostituendo a questa formula i valori relativi
alla massa della Terra e al suo raggio troviamo per lrsquoaccelerazione il valore noto di 98 ms2
Un altro fattore che influisce sul valore di g egrave la rotazione terrestre in quanto ogni corpo su di
essa egrave soggetto ad una forza centripeta per cui
119892rsquo = 119892 minus 1205962 119877119879
ldquoRationem vero harum
Gravitatis proprietatum
ex phaelignomenis nondum
potui deducere amp
hypotheses non fingordquo
ldquoIn veritagrave non sono riuscito a dedurre la causa di
queste proprietagrave della gravitagrave dai fenomeni e non
avanzo ipotesirdquo
Isaac Newton Philosophiae Naturalis Principia
Mathematica liber tertius
Bignamino di astronomia
26
ALCUNE CONSIDERAZIONI SULLE ORBITE
La Legge della Gravitazione Universale ci insegna che la forza drsquoattrazione gravitazionale egrave
inversamente proporzionale al quadrato della distanza delle due masse che si attraggono ovvero
119865 prop1
1198892 a causa di questa caratteristica dellrsquointerazione gravitazionale si puograve dimostrare che le
orbite descritte dai corpi celesti attorno a un oggetto ldquoattrattorerdquo seguono particolari curve le
coniche
Le coniche sono curve che si ottengono dallrsquointersezione di un piano con un cono a due falde Si
ottengono cosigrave circonferenza ellisse iperbole e parabola
Ciograve che distingue lrsquouna dallrsquoaltra queste curve egrave un parametro lrsquoeccentricitagrave
Circonferenza il piano egrave perpendicolare
allrsquoasse (tratteggiato)
Ellisse il piano egrave obliquo
Parabola il piano egrave parallelo a una delle
generatrici (le due rette incidenti in V in
figura)
Iperbole il piano egrave parallelo allrsquoasse del cono
CIRCONFERENZA e=0
ELLISSE 0ltelt1 (piugrave questo valore si avvicina ad 1 piugrave
lrsquoellisse egrave schiacciata)
PARABOLA e=1
IPERBOLE egt1 (quanto piugrave maggiore di uno egrave
questo valore tanto piugrave lrsquoiperbole egrave ldquoapertardquo)
Bignamino di astronomia
27
VELOCITAgrave ORBITALE ORBITA CIRCOLARE
Affincheacute il corpo rimanga in orbita egrave necessario che in ogni punto dellrsquoorbita la forza centripeta sia
uguale alla forza di attrazione gravitazionale
FC = FG
mv2
R=mMG
R2
mv2
R=mMG
R2
v2 =MG
R
119855 = radic119820119814
119825
A questa velocitagrave si dagrave il nome di prima velocitagrave cosmica
VELOCITAgrave SU ORBITE NON CIRCOLARI
Il problema si risolve con lrsquoapplicazione del principio di conservazione dellrsquoenergia meccanica che
altro non egrave che la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale
119922120783 + 119932120783 = 119922120784 + 119932120784
E poicheacute le velocitagrave orbitali variano al variare dalla distanza alla prima equazione egrave necessario
associare la seconda legge di Keplero
Per cui il problema egrave risolto dalla soluzione del sistema
119922120783 + 119932120783 = 119922120784 + 119932120784119959119938 119941119938 = 119959119953119941119953
Nel caso della forza gravitazionale lrsquoenergia potenziale egrave 119880 = minus119898119872119866
119877
Lrsquoenergia cinetica egrave K= 1
21198981199072
Bignamino di astronomia
28
Il sistema diventa
119907119886119889119886 = 1199071199011198891199011
2119898119907119886
2 minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
Le soluzioni sono 119959119938 = radic120784119918119924119941119953
119941119938(119941119953+119941119938) 119959119953 = radic120784119918119924
119941119938
119941119953(119941119953minus119941119938)
Ricordando che 119889119886 = 119886(1 + 119890) 119889119901 = 119886(1 minus 119890) 119938 =119941119938+119941119953
120784 119942 =
119941119938minus119941119953
119941119938+119941119953
le due velocitagrave possono anche essere espresse in funzione del semiasse maggiore e
dellrsquoeccentricitagrave dellrsquoorbita
Quindi
119907119901 = radic119918119924
119938(120783+119942
120783minus119942)
119907119886 = radic119918119924
119938(120783minus119942
120783+119942)
ALCUNE CONSIDERAZIONI DINAMICHE SULLE ORBITE
Allrsquoinizio di questi appunti abbiamo evidenziato come gli oggetti orbitanti seguano delle traiettorie
che sono curve coniche e abbiamo individuato questrsquoultime catalogandole anche a seconda
dellrsquoeccentricitagrave in seguito abbiamo enunciato il principio di conservazione dellrsquoenergia meccanica
119922+119932 = 119940119952119956119957119938119951119957119942
Possiamo procedere nella classificazione delle orbite a seconda del valore assunto da questa
costante (lrsquoenergia meccanica) In particolare
bull Se questa costante egrave negativa allora lrsquooggetto segue unrsquoorbita chiusa (circonferenza
ellisse)
bull Se essa egrave nulla allora il corpo si muove su unrsquoorbita parabolica (a distanza infinita la sua
velocitagrave egrave nulla)
bull Se essa egrave positiva allora la traiettoria egrave iperbolica (e il corpo giunge a distanza infinita con
velocitagrave ndash chiamata ldquovelocitagrave drsquoeccesso iperbolicordquo ndash non nulla)
Bignamino di astronomia
29
VELOCITAgrave DI FUGA ndash RAGGIO DI SCHWARZSCHILD
119959 = radic120784119918119924
119929
A questa velocitagrave si dagrave il nome di seconda velocitagrave cosmica o velocitagrave di fuga
Immaginiamo ora di poter comprimere un corpo celeste di massa M (quindi via via il raggio R
diminuisce) la velocitagrave di fuga di un altro corpo dalla sua superficie aumenteragrave al diminuire del
raggio Quando il raggio raggiungeragrave un valore ldquocriticordquo la velocitagrave di fuga eguaglieragrave quella della
luce e neanche la luce potragrave allontanarsi indefinitamente dal corpo esso egrave diventato un buco nero
Al raggio ldquocriticordquo associato a ogni massa M si dagrave il nome di Raggio di Schwarzschild in onore del
matematico astronomo e astrofisico tedesco Karl Schwarzschild (1873-1916) il raggio si ricava cosigrave
119888 = radic2119866119872
119877119904 rarr 1198882 =
2119866119872
119877119904 rarr 119929119956 =
120784119918119924
119940120784
Dove c egrave la velocitagrave della luce (c=299792458 ms)
Bignamino di astronomia
30
ECLISSI LUNA-SOLE
Eclisse di Luna
Una eclisse di Luna si verifica quando la Terra si interpone tra il nostro satellite ed il Sole cioegrave
quando la Luna entra nel cono drsquoombra della Terra che egrave rivolto dalla parte opposta al Sole e per
tanto lrsquoeclisse piograve avvenire solo quando la Luna egrave in opposizione cioegrave quando egrave piena Poicheacute la
Luna si sposta da ovest verso est essa
entra nel cono drsquoombra della Terra dalla
parte sinistra Se lrsquoorbita della Luna
attorno alla Terra giacesse sullo stesso
piano dellrsquoorbita della Terra attorno al
Sole ad ogni plenilunio avremmo una
eclisse totale di Luna Queste due orbite
sono inclinate di 5deg9rsquo e si incontrano i
due punti che definiscono i nodi Percheacute
si abbia una eclisse Sole e Luna non solo
devono essere allrsquoopposizione ma
devono essere vicinissimi ai nodi In media la distanza angolare del Sole dal nodo deve essere minore
di 9deg9 per unrsquoeclisse parziale e non piugrave di 4deg6 per unrsquoeclisse totale
Calcolo lunghezza cono drsquoombra della Terra
I triangoli VAS e VBT sono simili (vedi figura)
VS VT= AS BT
Ma
VS= VT+ TS
sostituendo si trova che
VT =119879119878∙119861119879
119860119878minus119861119879
Siccome sappiamo che il raggio del Sole egrave circa 10925 raggi terrestri abbiamo
Bignamino di astronomia
31
VT= 119878119879∙119861119879
10925119861119879minus119861119879
VT= 119878119879
10925minus1
La lunghezza del cono drsquoombra si puograve calcolare dividendo la distanza media Terra-Sole per 10925
Si puograve calcolare anche il semidiametro apparente visto dalla Terra dellrsquoombra che la Terra proietta
sul piano dove si trova la Luna
Poicheacute il raggio angolare della Luna egrave di 15rsquo5 percheacute una eclisse di Luna possa avere luogo egrave
necessario che la distanza tra i centri dellrsquoombra terrestre e della Luna sia inferiore a
41rsquo+15rsquo5 = 56rsquo5
Con questo dato si puograve calcolare quanto egrave spostato il centro dellrsquoorbita terrestre dal nodo lunare
Dalla proporzione
119861119879 119877119867 = 119881119879119867119881
119877119867 =119881119867 ∙ 119861119879
119881119879
Dato che
119881119867 = 119881119879 minus 119879119867
119877119867 =119861119879 (119881119879 minus 119879119867)
119881119879=
=119861119879
119881119879(1 minus
119879119867
119881119879) =
Dalla formula precedente
119881119879 =119878119879
10825
Sostituendo
Bignamino di astronomia
32
119877119867 =119861119879 ∙ 10825
119878119879(1 minus 119879119867) =
= 119877119879119864119877119877119860119863119879119878
10825 (1 minus 119863119879119871)
Si trova che questo valore egrave di 10deg6 Quindi unrsquoeclisse lunare si puograve verificare (anche di breve
durata) solo nel caso in cui lrsquoorbita terrestre egrave spostata meno di 10deg6 gradi dal nodo lunare (ad est
o ad ovest)
La Terra si muove lungo lrsquoeclittica di circa 59rsquo al giorno Per percorrere questa distanza impiega 108
giorni e la distanza doppia in 216 giorni poicheacute una rivoluzione sinodica si compie in 295 giorni
Una Luna piena puograve verificarsi ad una distanza superiore ai 10deg6 gradi ad ovest e la successiva Luna
piena ad una distanza superiore ad est e quindi nel corso di questa rivoluzione non si verificheranno
eclissi Si puograve verificare che in un anno non ci siano eclissi o al massimo tre quando la prima cade
poco dopo il primo gennaio la seconda sei mesi dopo (in prossimitagrave di giugno) e la terza a fine
dicembre (dodici mesi sinodici dopo la prima 354 giorni)
Bignamino di astronomia
33
Eclisse di Sole
Uneclissi di Sole si verifica quando la Luna attorno alla sua congiunzione si trova allineata tra la
Terra e il Sole molto vicino ad uno dei nodi o esattamente in esso Bencheacute di dimensioni
estremamente diverse si trovano a distanze tali da mostrare lo stesso diametro apparente Il che
consente alla Luna di coprire il disco del Sole
Percheacute ci sia una eclisse di Sole egrave necessario che
al momento del novilunio il Sole sia distante
dal nodo inferiore in media 15deg5 Questo
valore egrave piugrave alto di quello calcolato per lrsquoeclisse
di Luna e quindi si capisce percheacute le eclissi di
Sole sono piugrave frequenti Il cono drsquoombra
massimo della Luna ha un valore che non
supera i 270km sulla superficie della Terra mentre la lunghezza del cono drsquoombra egrave circa 374000
per cui il vertice di questo cono non sempre raggiunge la Terra in questo caso si hanno eclissi
anulari In localitagrave differenti della Terra lrsquoeclisse di Sole si verifica in tempi diversi Il moto della Luna
attorno alla Terra e la rotazione della Terra attorno al proprio asse fanno sigrave che lrsquoombra lunare si
sposti da ovest verso est formando una striscia drsquoombra lunga un migliaio di km e larga da 200 a 270
km Poicheacute la Luna si sposta da ovest verso est lrsquoeclisse inizia dal bordo ovest del Sole
Condizione percheacute si possa verificare unrsquoeclissi di Sole
Percheacute si verifichi unrsquoeclisse di Sole egrave necessario che nel periodo della Luna nuova questa si trovi in
prossimitagrave di uno dei nodi della sua orbita cioegrave in vicinanza dellrsquoeclittica
Indichiamo con S T L i centri del Sole della Terra della Luna che giacciono tutti su di un piano
perpendicolare al piano dellrsquoeclittica Il verificarsi dellrsquoeclisse dipende dalla latitudine geocentrica
della Luna (nella figura lrsquoangolo LTS (vertice in T) = 120573 )
Dalla figura
Bignamino di astronomia
34
120573 = LTLrsquo+ LrsquoTSrsquo + STSrsquo
Dalla figura si evince che
LTLrsquo egrave il raggio angolare della Luna= 120572119871
STSrsquo egrave il raggio angolare del Sole = 120572119878
120573 = 120572119871 + LrsquoTSrsquo + 120572119878
Lrsquo TSrsquo =
Consideriamo lrsquoangolo TLrsquoO esterno al triangolo TLrsquoSrsquo
TLrsquoO= LrsquoTSrsquo + TSrsquoLrsquo
TLrsquoO= LrsquoTSrsquo + TSrsquoO
LrsquoTSrsquo = TLrsquoO - TSrsquoO
TLrsquoO = 119901119871 = 57prime2primeprime (parallasse orizzontale della Luna)
TSrsquoO= 119901119878 = 8primeprime 8 (parallasse orizzontale del Sole)
120573 = 120572119871 + 120572119878 + 119901119871 - 119901119878
120573 = 15rsquo5 +16rsquo3 +57rsquo2 ndash 8rsquorsquo8
120573 = 88rsquo46
Percheacute si verifichi una eclisse anche di breve durata egrave necessario che la latitudine geocentrica della
Luna sia inferiore a 88rsquorsquo46
La parallasse orizzontale equatoriale della Luna egrave lrsquoangolo sotto il quale dal centro della Luna egrave
visibile il raggio equatoriale della Terra La parallasse orizzontale equatoriale del Sole egrave lrsquoangolo
sotto il quale dal centro del Sole egrave visibile il raggio equatoriale della Terra
Bignamino di astronomia
35
La distanza angolare del centro della Luna rispetto al
nodo (longitudine) si puograve calcolare con la
sinΔ120582 = tan120573
tan 119894
Δ120582 = 16deg5
Il Sole muovendosi alla velocitagrave di 59rsquo al giorno percorre 33deg gradi di eclittica in 34 giorni Essendo
il periodo sinodico di 295 giorni egrave evidente che nel corso di questo periodo si ha una Luna nuova
(ed anche due) Questo assicura che nel corso di un anno si verificano almeno due eclissi di Sole in
vicinanza dei nodi Se la prima si verifica ai primi di gennaio la seconda si ha alla Luna nuova
successiva la terza e la quarta poco meno di sei mesi dopo e la quinta 354 giorni dopo la prima
Bignamino di astronomia
36
Numero totale di eclissi per anno
Il Ciclo di Saros
In base a quanto fin qui detto il numero massimo di eclissi che si possono verificare in un anno egrave 7
bull 2 Luna + 5 Sole
bull 3 Luna + 4 Sole
e viceversa Questa combinazione egrave piuttosto rara lrsquoevento piugrave frequente egrave 2 Luna + 2 Sole Il
numero minimo costituito da due eclissi entrambe di Sole
Fin dallrsquoantichitagrave era noto che le eclissi si succedevano pressocheacute nello stesso ordine in un periodo
di circa 18 anni e 113 giorni La spiegazione egrave alquanto semplice
Le fasi lunari si succedono ogni 2953 giorni (mese sindico) mente il ritorno allo stesso nodo della
Luna avviene ogni 2721 giorni I nodi
hanno un moto di retrogradazione in un
giorno percorre un angolo pari a
3rsquo10rsquorsquo64 e completa il giro in 18anni e
113 giorni Il Sole si sposta di moto
diretto in media di 59rsquo8rsquorsquo33 al giorno
rispetto al nodo Il moto del Sole egrave di
62rsquo19rsquorsquo e quindi lrsquointervallo di tempo fra
due passaggi consecutivi del centro del
Sole per lo stesso nodo egrave di 34662 giorni
(anno draconico) Il saros egrave lrsquointervallo di tempo percheacute questi tre periodi tornino nella stessa
successione La natura si diverte
Succede che
bull 223 lunazioni (223 mesi sinodici) corrispondono a giorni 658519 (223 x 2953)
bull 242 mesi draconici corrispondono a giorni 658502
bull questi giorni corrispondono a 18 anni e circa 11 giorni
Poi succede che se dividiamo questi 658519 per lrsquoanno draconico troviamo circa 19
Questi tre periodi ritornano nella stessa successione dopo circa 6585 giorni che rappresenta il
ciclo di Saros Le condizioni in cui si producono le eclissi non saranno mai le stesse poicheacute essendo
223 mesi sinodici piugrave corti di 004 mesi draconici dopo 18 anni la Luna non si troveragrave esattamente
allo stesso posto rispetto al nodo Il ciclo di Saros contiene 6585 giorni interi piugrave circa 13 di giorni
questo comporta che le zone di visibilitagrave delle eclissi sulla superficie terreste in 18 anni si spostano
di circa 120deg verso Ovest
Bignamino di astronomia
37
ANGOLO SOLIDO
Si definisce angolo solido la porzione di sfera intercettata dalle
semirette che lo individuano
120570 =119860
1198772=41205871198772
1198772= 4120587
120570 = 4120587
Langolo solido totale di una sfera egrave pari a 4π Lunitagrave di misura
egrave sr (steradiante) ed egrave un numero puro
Per avere la misura in gradi quadrati si deve
119898119900119897119905119894119901119897119894119888119886119903119890 4120587 bull (180deg
120587)2
119900 1198891198941199071198941198891198901199031198904120587
1205872
4π sr= 41253deg -gt 1deg=3046 bull 10minus4119904119905119890119903119886119889
STRUMENTI OTTICI
CAMPO DELLO STRUMENTO
Il campo di uno strumento egrave definito dallangolo solido sotto il quale loculare viene visto dal centro
dellobiettivo Il campo corretto dalle aberrazioni ottiche di norma egrave 1
2deg
APERTURA ASSOLUTA
Lapertura assoluta dipende dal diametro D dello strumento La quantitagrave di luce raccolta egrave
proporzionale allarea dellobiettivo cong 1198632
APERTURA RELATIVA
Si definisce apertura relativa il rapporto
119863
119891=119886119901119890119903119905119906119903119886 119886119904119904119900119897119906119905119886 (119889119894119886119898119890119905119903119900)
119891119900119888119886119897119890 119889119890119897119897prime119900119887119894119890119905119905119894119907119900
Bignamino di astronomia
38
RAPPORTO FOCALE
Linverso dellrsquoapertura relativa 119891
119863 definisce il rapporto focale
Lenergia raccolta dallobiettivo egrave distribuita sullarea dellimmagine la cui grandezza sul piano focale
egrave data da
119889 = 119891 bull 119905119886119899120572
Con α=diametro angolare dellrsquooggetto
119889 = 119891120572
Se α egrave espresso in radianti
POTERE RISOLUTIVO
Il potere risolutivo egrave la minima distanza angolare tra due sorgenti di luce che possono essere viste
separate (ldquorisolte in termine tecnico) secondo un criterio detto di Rayleigh
Due sorgenti puntiformi (di uguale luminositagrave) risultano risolte quando la loro distanza angolare
120579 =122 bull 120582
119863=119897119906119899119892ℎ119890119911119911119886 119889prime119900119899119889119886
119889119894119886119898119890119905119903119900
Si ottiene un risultato in radianti
In secondi darco invece
120579 =25 bull 105 bull 120582
119863
Con λ=lunghezza donda della luce=5500Aring (regione di massima sensibilitagrave dellocchio)
Il potere risolutivo dellocchio assumendo la pupilla con un diametro di 3 mm egrave uguale a
120579 =122120582
119863= 122 bull
5500 bull 10minus9119898
3 bull 10minus3119898= 224 bull 10minus4119903119886119889 = 46
Il fattore di conversione da radianti a secondi egrave il NUMERO MAGICO 1 rad = 206265rdquo
Nella determinazione del potere risolutivo interviene lrsquoapertura dello strumento e non
lrsquoingrandimento
Bignamino di astronomia
39
INGRANDIMENTO
Lingrandimento dello strumento egrave dato dal rapporto tra la focale dellobiettivo f e la pupilla
delloculare f
119892 =119891
119891prime
ABERRAZIONE DELLA LUCE
Quando i raggi di una stella arrivano sulla Terra la loro direzione di provenienza
appare leggermente deviata a causa della velocitagrave orbitale del pianeta v I vettori
delle velocitagrave (della luce e del pianeta) si combinano per dare un vettore risultante di
poco inclinato dalla direzione di provenienza dei raggi
119886 = arctan119907
119888
RIFRAZIONE
Il fenomeno della rifrazione ha origine dal cambiamento di
velocitagrave delle onde luminose quando passano da un mezzo
trasparente allrsquoaltro Esiste una proporzione tra le due diverse
velocitagrave e i seni degli angoli 120579119894119899119888119894119889119890119899119911119886 e 120579119903119894119891119903119886119911119894119900119899119890 che i raggi
formano con la linea normale alla superficie nel punto colpito dal
raggio Se consideriamo gli indici di rifrazione 1198991 e 1198992 dei materiali
la proporzione egrave inversa
119904119894119899120579119894119899119888119894119889119890119899119911119886119904119894119899120579119903119894119891119903119886119911119894119900119899119890
=11989921198991=11990711199072
Bignamino di astronomia
40
RIFRAZIONE ATMOSFERICA
Allrsquoentrata nellrsquoatmosfera terrestre i raggi luminosi provenienti da un corpo celeste che si trova a
distanza zenitale z vengono rifratti (deviati verso il basso) di un angolo r Quindi i corpi celesti si
osservano in una posizione leggermente piugrave alta del reale In particolare possiamo vedere oggetti
che si trovano anche sotto lrsquoorizzonte geometrico del luogo (es Il sole al tramonto) La formula
stabilisce che lrsquoangolo di rifrazione egrave proporzionale alla tangente della distanza zenitale
Questa formula vale fino ad angoli 119963 asymp 120789120782deg
Oltre questo valore fino allrsquoorizzonte la rifrazione aumenta fino a raggiungere il valore massimo di
35rsquo
119903 = 582 tan (119911)
Bignamino di astronomia
41
RIASSUMENDOhellip
CENNI TEORICI SUI TELESCOPI
Il telescopio egrave uno strumento che raccoglie la luce o altre radiazioni elettromagnetiche
provenienti da un oggetto lontano la concentra in un punto (detto fuoco) e ne produce
unimmagine ingrandita Possiamo paragonare un telescopio a un ldquogrande occhiordquo che
sopperisce al fatto che la nostra pupilla di dimensioni ridotte riesce a raccogliere un
quantitativo insufficiente di luce emessa da un oggetto lontano Un telescopio egrave
caratterizzato dalle seguenti componenti e grandezze
bull OBIETTIVO egrave la parte del telescopio rivolta verso lrsquooggetto da osservare Il suo
diametro D prende il nome di APERTURA Telescopi con una grande apertura sono
capaci di raccogliere piugrave luce e di fornire unrsquoimmagine a piugrave alta risoluzione
Lrsquoobiettivo fa convergere i raggi luminosi in un punto il fuoco la cui distanza
dallrsquoobiettivo egrave chiamata LUNGHEZZA FOCALE
bull OCULARE la parte del telescopio (nel caso di telescopi ottici) che raccoglie la luce
proveniente dallrsquoobiettivo e che la trasmette poi allrsquoocchio Anche per lrsquooculare egrave
possibile definire una LUNGHEZZA FOCALE
Ingrandimento
Lrsquoingrandimento di un telescopio egrave dato dal rapporto fra la lunghezza focale dellrsquoobiettivo e
la lunghezza focale dellrsquooculare
119894 = 119891119900119887119891119900119888 Rapporto focale
Rapporto esistente tra la lunghezza focale dellrsquoobiettivo e lrsquoapertura stessa del telescopio
119865 =119891119900119887
119863 negli strumenti egrave specificato da una F seguita da un numero (es F4 F45 F6hellip)
Campo visivo
Esso egrave dato dal rapporto fra il campo visivo apparente dellrsquooculare (lrsquoampiezza angolare
dellrsquoimmagine fornita dallrsquooculare soltanto) e il numero di ingrandimenti
119865119900119881 =119865119900119881119900119888119894
Pupilla drsquouscita
Essa egrave il diametro del fascio luminoso che esce dallrsquooculare
119901 =119863
119894
Potere risolutivo
Esso egrave lrsquoangolo minimo che deve separare due oggetti affincheacute lo strumento li possa
distinguere egrave dato dal criterio di Rayleigh
120599(119903119886119889) =122120582
119863 120599deg =
699120582
119863 120582 119897119906119899119892ℎ119890119911119911119886 119889prime119900119899119889119886 119889119890119897119897119886 119897119906119888119890 119900119904119904119890119903119907119886119905119886
Bignamino di astronomia
42
Magnitudine limite
Egrave la magnitudine visuale massima che puograve essere osservata con uno strumento di apertura
D (in cm)
119898119897119894119898 = 68 + 5119897119900119892119863
Ingrandimento minimo utile
egrave lrsquoingrandimento che fornisce una pupilla drsquouscita pari al diametro della pupilla umana (6-7
mm)
119894119898119894119899 = 119863(119898119898)7
Formula di Dawes
Ci consente di trovare lrsquoapertura di un telescopio che gli consenta di distinguere un oggetto
che si vede sotto un angolo α
119863(119898119898) =120
120572
Dimensioni dellrsquoimmagine sul piano focale
Lrsquoimmagine che si forma sul piano focale di un telescopio con lunghezza focale dellrsquoobiettivo
f relativa a un oggetto di dimensione angolare α egrave
119897 = 2119891 tan (1205722)
Bignamino di astronomia
43
ELEMENTI DI ASTROFISICA
Tutte le informazioni che riceviamo dalle stelle ci provengono dalla ldquolucerdquo che emettono1 Egrave solo
attraverso lrsquoanalisi e la ldquodecodificazionerdquo dei messaggi contenuti in questa radiazione
elettromagnetica che egrave la luce che noi possiamo ottenere informazioni sulle proprietagrave fisiche e
chimiche delle stelle e delle galassie
La radiazione elettromagnetica
Una radiazione elettromagnetica egrave dal punto di vista dellrsquoelettromagnetismo classico un fenomeno
ondulatorio dovuto alla contemporanea propagazione di perturbazioni periodiche di un campo
elettrico e di un campo magnetico oscillanti su piani tra di loro ortogonali Le stelle emettono
tipicamente radiazione di ldquocorpo nerordquo e come tale irradiano energia in tutte le lunghezze drsquoonda
secondo una distribuzione che viene chiamata spettro della radiazione elettromagnetica
I parametri che permettono di distinguere tra loro le varie radiazioni elettromagnetiche sono
1) In realtagrave un altro ldquocanalerdquo di trasmissione delle informazioni per la comprensione dei fenomeni celesti si egrave aperto
grazie ai risultati positivi ottenuti dagli interferometri per onde gravitazionali LIGO e VIRGO in particolare gli
interferometri menzionati il 17 agosto 2017 hanno rilevato un segnale di onda gravitazionale (rilevazione
annunciata poi ufficialmente il 16 ottobre dello stesso anno) mentre altri telescopi in orbita e a terra sono riusciti
a individuare per la prima volta la sua controparte elettromagnetica lrsquoevento che ha generato il segnale egrave stato
la collisione di due stelle di neutroni (che ha portato a unrsquoesplosione nota col termine di kilonova ) nella galassia
NGC 4993 esso ha segnato la nascita della cosiddetta ldquoastronomia multi-messaggero per il fatto che egrave stato
possibile confrontare due ldquolinguaggirdquo diversi permettendo cosigrave di ampliare le frontiere della conoscenza di
questi fenomeni ldquoestremirdquo
Bignamino di astronomia
44
Parametri di unrsquoonda
Come tutti i fenomeni ondulatori la radiazione elettromagnetica egrave caratterizzata da questi
parametri
Lunghezza drsquoonda 120640
la lunghezza drsquoonda tra due creste o tra
due ventri Si misura in metri eo con i
suoi sottomultipli
Periodo T
lrsquointervallo di tempo misurato in
secondi in cui avviene unrsquooscillazione
completa ovvero lintervallo di tempo
impiegato dallonda per ritornare nella
medesima posizione (per esempio il
tempo intercorso tra due creste o tra
due ventri successivi
Frequenza 120650 egrave il numero di creste che si susseguono nello stesso posto nellrsquounitagrave di
tempo egrave lrsquoinverso del periodo
120592 =1
119879
Frequenza che si misura in Hertz (Hz) pari ad unrsquooscillazione al secondo
119867119911 = 1119904minus1
Ampiezza A rappresenta la variazione massima dellrsquoonda Lrsquoampiezza di unrsquoonda
periodica egrave lrsquoaltezza di una sua cresta
Intensitagrave di unrsquoonda egrave proporzionale al quadrato dellrsquoampiezza
Potenza ogni onda porta con seacute unrsquoenergia e quindi una potenza Tale potenza decresce
con il quadrato della distanza dalla sorgente
La lunghezza drsquoonda λ e la frequenza ν di una radiazione elettromagnetica sono grandezze legate
tra loro dalla relazione
120582 ∙ 120592 = 119888
(c ndashla velocitagrave della luce- nel vuoto ha un valore di 299 792 458 ms) Questa formula ci dice che le
due grandezze sono inversamente proporzionali
Bignamino di astronomia
45
La radiazione elettromagnetica puograve essere interpretata come un insieme di ldquopacchettirdquo di energia a
cui si dagrave il nome di fotoni grazie a questi ldquopacchetti energeticirdquo la luce puograve interagire con la materia
a livello microscopico per esempio puograve eccitare un elettrone in un atomo cedendo a esso la sua
energia Continuando il paragone possiamo immaginare che piugrave la radiazione egrave intensa piugrave i
pacchetti sono numerosi piugrave la radiazione cresce di frequenza piugrave essi sono ldquocapientirdquo
Questrsquoultima caratteristica egrave descritta dalla Legge di Planck che lega lrsquoenergia del fotone alla sua
frequenza
119864 = ℎ ∙ 120584
(dove h egrave la costante di Planck)
119864 = ℎ119888
120582
EQUIVALENZA MASSA- ENERGIA Tra lrsquoenergia e la massa esiste una fondamentale relazione
scoperta dal fisico Albert Einstein espressa dallrsquoequazione
119864 = 1198981198882
dove c egrave la velocitagrave della luce (pari a 3 middot 108 ms) Lequazione di Einstein implica che energia e massa
sono equivalenti la massa puograve essere trasformata in energia e lenergia puograve essere trasformata in
massa Ciograve comporta il principio di conservazione della massa-energia non vi egrave conservazione della
massa o dellenergia considerate separatamente ma vi egrave conservazione dellinsieme delle due a una
diminuzione della massa pari a m deve corrispondere un aumento dellenergia pari a m middot c2
Poicheacute il prodotto m middot c2 egrave un numero molto grande la trasformazione di una massa anche molto
piccola di materia determina la produzione di una quantitagrave enorme di energia come avviene per
esempio nelle reazioni di fissione e di fusione nucleari (queste ultime avvengono nel nucleo delle
stelle si veda per una maggiore comprensione il problema 2 della sezione Miscellanea)
Bignamino di astronomia
46
Grandezze fotometriche
Flusso luminoso Quantitagrave di energia luminosa emessa da una determinata sorgente nellunitagrave di tempo Lo indichiamo con la lettera Φ Lunitagrave di misura nel SI egrave il lumen (lm) 1 watt = 683 lumen
Illuminamento Rapporto tra il flusso luminoso ricevuto da una superficie e larea della superficie stessa ( E=
120593
119878 )
Lunitagrave di misura nel SI egrave il lux (lx) ovvero il lumen al metro quadrato (lm1198982)
Nota Dalla definizione di illuminamento si ricavano due importanti corollari di natura geometrica che risultano molto utili per comprendere la distribuzione della luce nello spazio
1) Per una sorgente puntiforme la diminuzione del livello di illuminamento su di una superficie varia in relazione al quadrato della distanza dalla fonte raddoppiando la distanza dalla fonte il livello di illuminamento sulla superficie diviene quindi frac14
2) Il livello drsquoilluminamento su di una superficie egrave massimo quando i raggi luminosi giungono perpendicolari ad essa e diminuisce proporzionalmente al loro angolo drsquoincidenza secondo la relazione E = 119864119899 cosi 119864119899egrave 119897
prime illuminamento normale i lrsquoangolo drsquoincidenza tra raggi luminosi e la normale alla superficie
Immagine dal web (fonte VOLTIMUM)
Bignamino di astronomia
47
Intensitagrave luminosa Flusso luminoso emesso allinterno dellangolo solido unitario in una direzione data
119868 = 119864 =120593
120596
ed egrave una grandezza vettoriale Lunitagrave di misura nel SI egrave la candela (cd)
Luminanza La luminanza egrave il rapporto tra lrsquointensitagrave luminosa di una sorgente nella direzione di un osservatore e la superficie emittente apparente cosigrave come viene vista dallrsquoosservatore stesso
119871 = 119868
119878 119888119900119904120572
120572 egrave 119897prime119886119899119892119900119897119900 compreso tra la direzione di osservazione e lrsquoasse perpendicolare alla superficie emittente La luminanza si esprime in cd1198982
Bignamino di astronomia
48
Parametri fisici delle stelle
Le grandezze fondamentali che permettono di caratterizzare le stelle sono
la distanza (d)
lo spettro della radiazione em emessa
la luminositagrave totale o bolometrica (L)
la temperatura superficiale (T)
il raggio (R)
la massa (M)
Le stelle possono essere approssimate a corpi neri in quanto le uniche onde elettromagnetiche che
non vengono assorbite dalla loro superficie sono quelle aventi una lunghezza donda di dimensione
pari o maggiore del diametro della stella stessa Per studiare le proprietagrave dellrsquoemissione continua
delle stelle egrave utile introdurre il concetto di corpo nero
Corpo nero
Il corpo nero egrave un corpo che assorbe tutta la radiazione che gli cade sopra Appare perfettamente nero percheacute assorbe il 100 della radiazione che incide su di esso e non ne riflette nessuna Il corpo nero egrave un oggetto teorico nessun materiale assorbe tutta la radiazione incidente Il corpo nero ha uno spettro di emissione caratteristico che dipende solo da un parametro la temperatura Lo studio della radiazione emessa dal corpo nero ha portato alla formulazione delle seguenti leggi
bull La legge (di spostamento) di Wien la frequenza massima 120584119898119886119909 di uno spettro di corpo nero a temperatura T cresce linearmente con T
120584119898119886119909 prop T il che comporta una proporzionalitagrave inversa fra la temperatura assoluta e la lunghezza drsquoonda
120582119898119886119909 119879 = 119887
b = 29 10minus3 m∙K
Per cui si ha
120582119898119886119909 T = 29 10minus3 m∙K
Bignamino di astronomia
49
bull Legge di Stefan-Boltzmann lenergia erogata per unitagrave di
superficie e per unitagrave di tempo egrave proporzionale alla quarta
potenza della temperatura T
119868 = 1205901198794
Applicazioni in astrofisica
Stefan-Boltzmann per una stella che approssimiamo ad una sfera di raggio R e superficie S= 41205871198772
la legge di Stefan-Boltzmann diventa
L= 41205871198772 120590T4
Poicheacute le stelle non sono dei corpi neri perfetti la temperatura egrave la temperatura efficace quella che
la superficie della stella avrebbe se si comportasse da corpo nero
Flusso e Luminositagrave
120593= 119871
41205871198892
Il flusso di energia egrave dato dal rapporto fra la lrsquoenergia emessa
dalla stella nellrsquounitagrave di tempo e la superficie della sfera di
raggio pari alla distanza d dalla stella Quindi si vede che il flusso
misurato sulla superficie terrestre dipende dalla luminositagrave
della stella e dalla sua distanza
Bignamino di astronomia
50
I LOGARITMI
Il termine logaritmo egrave composto da due parole greche logos = ragione e arithmos = numero
ldquoNumero di ragionirdquo questa definizione appare naturale pensando alla ragione delle progressioni
aritmetiche e geometriche che sono alla base della costruzione di Nepero
La storia di come nasce questo procedimento di
calcolo egrave molto interessante qui ci piace
evidenziare che la motivazione alla base della
scoperta dei logaritmi ed anche il motivo del loro
successo fu la ricerca di efficienti strumenti di
calcolo in grado di alleggerire il pesante fardello
di cui erano gravati gli astronomi del tempo i
quali per poter predire il corso dei pianeti si
dovevano confrontare con grandi difficoltagrave di
calcolo Basta pensare al calcolo dellrsquoorbita del
pianeta Marte del povero Keplero Quando Nepero pubblicograve il suo lavoro sui logaritmi gli
astronomi dissero che aveva regalato loro metagrave della vita I logaritmi rendono infatti possibile
trasformare prodotti in somme quozienti in differenze elevamenti a potenza in prodotti e
calcoli di radici in quozienti le operazioni vengono molto semplificate
Che cosa egrave un logaritmo
Generalmente si risponde che egrave una operazione inversa
Partiamo da una operazione conosciuta lrsquoestrazione di radice quadrata di un numero
radic25 = 5
La radice quadrata di 25 egrave quel numero che elevato a due restituisce 25 cioegrave il numero 5 infatti 52 =
25 Concludiamo dicendo che la radice egrave lrsquooperazione inversa dellrsquoelevamento a potenza
Il concetto di logaritmo egrave abbastanza simile a quello della radice quadrata solo che non ci riporta al
numero di partenza ma al suo esponente
Introduciamo la scrittura
log5 25 = 2
questa la scriviamo
52 =25
Definiamo logaritmo di un numero b (argomento del logaritmo) quel numero a cui bisogna elevare
la base per ottenere il numero b In notazione matematica
log119886 119887 = x
119886119909 = b
Anche il logaritmo egrave lrsquooperazione inversa dellrsquoelevamento a potenza
Bignamino di astronomia
51
log2 8 = x
la domanda egrave ldquoqual egrave lrsquoesponente che devo dare alla base (2) per ottener il numero (8)rdquo
Scriviamo applicando la definizione
2119909 = 8
e siccome
8 = 23
Allora
2119909 = 23
e perciograve
x=3
(se le basi sono uguali lrsquouguaglianza saragrave verificata se saranno uguali anche gli esponenti)
Egrave abbastanza evidente che i logaritmi e le potenze rappresentano due modalitagrave di scrittura diversa ma
rappresentano la stessa cosa
Osservazione importante la base dei logaritmi ed il numero devono essere numeri reali
positivi in piugrave la base deve anche essere diversa da 1
bgt 0
0 lt a lt1
agt 1
Quindi per esempio non esistono log2(minus5) log1 12 119890119888119888
Bignamino di astronomia
52
Proprietagrave dei logaritmi
Il logaritmo del prodotto di 2 o piugrave numeri positivi corrisponde alla somma dei logaritmi dei
singoli fattori
(Nota 119886119909 ∙ 119886119910 = 119886119909+119910)
Il logaritmo del quoziente di 2 numeri positivi egrave eguale alla differenza tra il logaritmo del
dividendo e il logaritmo del divisore
(Nota 119886119909119886119910 = 119886119909minus119910)
Il logaritmo della potenza a esponente reale di un numero positivo egrave uguale al prodotto
dellesponente per il logaritmo del numero
Una estensione di questa ultima proprietagrave egrave
log119886 radic119887119898119899
= log119886 119887119898
119899
(che possiamo scrivere come 119898
119899log119886 119887)
A volte per calcolare un logaritmo puograve risultare utile effettuare un cambiamento di base
Il loga b la cui base egrave a puograve essere scritto utilizzando unrsquoaltra base per esempio il numero c
Ricorda inoltre che
log119886 1 = 0 (119894119899119891119886119905119905119894 1198860 = 1) 119890 log119886119886 = 1 (119894119899119891119886119905119905119894 1198861 = 119886)
Bignamino di astronomia
53
Se la base di un logaritmo egrave il Numero di Nepero (chiamato meno frequentemente anche Numero
di Eulero e indicato con e = 2718281828459hellip) allora il logaritmo prende il nome di logaritmo
naturale e si indica con ln
Quindi se vediamo 1198971198995 niente paura Si tratta di log119890 5
Se la base di un logaritmo egrave 10 il logaritmo prende il nome di logaritmo decimale e la base
generalmente si omette questo tipo di logaritmo egrave il piugrave usato in astrofisica
Quindi se vediamo 1198971199001198927 ciograve vuol dire log10 7
I logaritmi sono utilizzati nella vita di tutti i giorni ad esempio il gommista quando misura la
pressione di una gomma utilizza uno strumento con una scala non lineare ma logaritmica le scale
sulla macchina fotografica sono logaritmiche i nostri organi di senso sono logaritmici Questo ci
permette di percepire un intervallo di informazioni molto piugrave esteso di quello che avremmo se i nostri
sensi fossero lineari Pogson quando capigrave che il nostro occhio percepisce una differenza di una
magnitudine ( per le magnitudini consulta le pagine successive del Bignamino) tra due stelle quando
il rapporto tra le loro luminositagrave egrave uguale a 25 e che questo conserva la classificazione di Ipparco
formulograve la sua formula in funzione del logaritmo del rapporto delle loro luminositagrave
Niente paura
Oggi avete le calcolatrici e non si
devono utilizzare le famigerate tavole
logaritmiche che si utilizzavano un
tempo per calcolare un logaritmo
Bisogna solo stare attenti ad utilizzare
CORRETTAMENTE la calcolatrice
Nepero
Bignamino di astronomia
54
Magnitudine delle stelle
Quando si guarda il cielo si vede subito che le stelle ci appaiono piugrave o meno brillanti (o luminose) ovvero sembrano avere diversa intensitagrave luminosa Gli astronomi descrivono la luminositagrave stellare osservata in termini di magnitudine apparente m Nel II secolo aC Ipparco di Nicea utilizzando lrsquounico strumento a sua disposizione (lrsquoocchio umano) introdusse una classificazione delle stelle in 6 classi di luminositagrave che chiamograve MAGNITUDINI La scala scelta dai Ipparco prevedeva che le stelle piugrave luminose venissero collocate nella prima classe quelle un porsquo meno luminose nella seconda e giugrave giugrave fino a quelle appena visibili a occhio nudo collocate nella sesta classe Con lrsquoosservazione del cielo attraverso gli strumenti si pose il problema di estendere la scala delle grandezze anche alle stelle non visibili ad occhio nudo Un grossissimo contributo venne dallo studio della fisiologia dellrsquoocchio strumento sul quale erano state fatte le prime classificazioni La risposta dellrsquoocchio umano agli stimoli luminosi non egrave di tipo lineare la reazione alla luce de reagisce alla sensazione della luce in modo logaritmico Pogson egrave riuscito a dare una formulazione matematica alla scala delle magnitudini individuata da Ipparco Pogson ipotizzograve che il rapporto fra le intensitagrave luminose di una stella di prima e di sesta grandezza era pari a 100 Se I1 e lrsquointensitagrave luminosa di una stella di magnitudine m1 ed I2 lrsquointensitagrave di una stella di
magnitudine m2 se m1 - m2 = -5 ed il rapporto I1
I2= 100
m1 - m2= K log I1
I2
-5=K2 K= -25
m1 - m2= -25 log I1
I2
Lrsquoequazione di Pogson spiega il percheacute la magnitudine decresce quando lrsquointensitagrave luminosa cresce Quando si parla di intensitagrave luminosa di una stella in realtagrave ci si riferisce al flusso di energia 120593 che
abbiamo visto essere legato alla luminositagrave dalla 120593= 119871
41205871198892
Se nella formula di Pogson m1 - m2= -25 log I1
I2 sostituiamo alle intensitagrave luminose il flusso si
ottiene (a paritagrave di luminositagrave)
m1 - m2= -5 log d2
d1
La magnitudine apparente di una stella dipende dalla distanza
Bignamino di astronomia
55
E se la stella apparentemente piugrave debole fosse in realtagrave piugrave brillante ma piugrave lontana Per rispondere a questa domanda egrave stata introdotta la scala delle magnitudini assolute indipendente dalla distanza Per costruire questa scala egrave stata presa una distanza di riferimento pari a 10pc Quale saragrave la magnitudine di una stella di cui si conosce la distanza e la magnitudine apparente se viene posta alla distanza di 10pc
M- m= -5 log 119889
1119900119901119888
M-m = 5-5logd Questa ultima viene anche indicata come modulo di distanza Questa scala consente di poter confrontare la luminositagrave intrinseca delle stelle M =magnitudine assoluta (stella alla distanza di 10pc) m =magnitudine apparente d = distanza della stella in pc
Se vogliamo calcolare la magnitudine complessiva di due o piugrave sorgenti luminose egrave errato ritenere
di poter sommare le magnitudini Infatti possiamo sommare i flussi ma le magnitudini dipendono
da essi in relazione logaritmica La relazione che ci permette di determinare la cosiddetta
magnitudine integrata (ossia la magnitudine complessiva ldquototalerdquo) di n oggetti di magnitudine
m1m2hellipmn egrave la seguente
119898119894119899119905 = minus25log (10minus041198981 + 10minus041198982 +⋯+ 10minus04119898119899)
Magnitudine apparente di alcuni oggetti celesti da sinistra verso destra
Sole Luna piena Venere Sirio Vega Magnitudine limite dellrsquoocchio
Magnitudine limite di un telescopio magnitudine limite dellrsquoHubble
Bignamino di astronomia
56
Se invece vogliamo calcolare la magnitudine superficiale di un oggetto esteso di superficie angolare
S (misurata in arcmin2 o arcsec2) ossia la magnitudine di un quadratino di superficie di lato uguale
a 1 arcsec2 o 1 arcmin2 allora applichiamo la seguente formula
119898119878119906119901 = 119898119894119899119905 + 25 log(119878)
Se S egrave misurata in arcmin2 la msup egrave espressa in magarcmin2 Se S egrave misurata in arcsec2 msup egrave
espressa in magarcsec2
Bignamino di astronomia
57
Redshift (spostamento verso il rosso)
Su grandi scale le galassie si stanno allontanando con velocitagrave proporzionale alla distanza tutte le
galassie si stanno allontanando tra di loro tra loro Lo stesso spazio-tempo si sta espandendo e sta
portando le galassie con seacute
NOTA Il redshift cosmologico non egrave dovuto allrsquoeffetto Doppler non egrave dovuto ai moti relativi delle
galassie Le cause e le grandezze fisiche coinvolte sono completamente diverse
Il redshift cosmologico egrave lo spostamento relativo in
frequenza di unonda elettromagnetica dovuto
allespansione delluniverso Si spiega ipotizzando che le
lunghezze donda varino allo stesso modo delle distanze per
effetto dellespansione delluniverso La lunghezza donda egrave
proporzionale al fattore di scala delluniverso
La cosmologia moderna nasce con la legge di Hubble
v=Hd
che lega in modo proporzionale la velocitagrave v di allontanamento delle galassie alla loro distanza d (H egrave la costante di Hubble) le galassie piugrave distanti si allontanano piugrave velocemente Questa legge deriva da osservazioni che mostravano che tutte le righe spettrali delle galassie sono spostate verso il rosso (redshift) e che tale effetto egrave proporzionale alla luminositagrave apparente delle galassie legata alla loro distanza Il redshift misura quindi la velocitagrave di allontanamento di una galassia ed egrave definito come segue
119911 =120582119900119887119904 minus 120582119905119890119900119903
120582119905119890119900119903
La legge di Hubble ci dice che la velocitagrave di allontanamento delle galassie egrave proporzionale alla loro
distanza
119907 = 119867119889
H egrave la costante di Hubble il cui valore attualmente stimato egrave attorno a H= 2176 ∙ 10minus18 Hz
(6715 kmMpc s) d egrave la distanza della galassia
Maggiore egrave la distanza della galassia tanto maggiore saragrave il redshift
z=119867119889
119888
Bignamino di astronomia
58
Per z≪ 1 vale lrsquoapprossimazione del redshift come effetto Doppler (zasymp119907
119888 ) e quindi z egrave
direttamente proporzionale alla velocitagrave di allontanamento delle galassie
bull Redshift relativistico
bull Redshift gravitazionale
La relativitagrave generale prevede che la luce che si muove attraverso campi gravitazionali molto
intensi sperimenteragrave uno spostamento verso il rosso o verso il blu
Il redshift gravitazionale (chiamato anche spostamento di Einstein) egrave dovuto dal fatto che un
fotone quando emerge da un campo gravitazione perde energia e quindi presenta uno
spostamento verso il rosso che dipende dallrsquointensitagrave del campo gravitazionale misurata nel
punto in cui si trova il fotone
z= 119866119872
1199031198882
Questa 119904119890 119903 ≫ 119903119904
119903119904 = 2119866119872
1198882
(raggio di Schwarzschild)
(M massa della stella r raggio della stella)
La formula generale egrave
z= 1
radic1minus119903119904 -1
Bignamino di astronomia
59
PROBLEMI ED ESERCIZI
bull SISTEMI DI RIFERIMENTO E COORDINATE ASTRONOMICHE
1 Quando la stella Rigel (δ= -8deg 13rsquo) passa al meridiano di Roma (φ=41deg55rsquo) a quale
altezza si trova
Soluzione Quando la stella Rigel passa al meridiano di Roma essa raggiunge la
posizione di culminazione superiore in corrispondenza del punto cardinale Sud
Dunque la sua altezza sullrsquoorizzonte egrave pari allrsquoaltezza dellrsquoEquatore celeste alla
latitudine di Roma (90deg-φ) sommata alla declinazione dellrsquoastro Dunque
hRigel=90deg-φ+δ=90deg-41deg55rsquo-8deg13rsquo=39deg52rsquo
2 A quale latitudine comincia a essere visibile la stella Canopo (δ=-52deg40rsquo) appena
allrsquoorizzonte
Soluzione Affincheacute la stella Canopo sia appena visibile allrsquoorizzonte per un
osservatore posto alla latitudine φ egrave necessario che lrsquoEquatore celeste abbia
unrsquoaltezza sullrsquoorizzonte pari al valore assoluto della sua declinazione Quindi egrave
necessario che 90deg-φ=|δ| e cioegrave φ=90deg-|δ|=90deg-52deg40rsquo=37deg20rsquo [In realtagrave bisogna tenere conto dellrsquoeffetto della rifrazione atmosferica che ldquoalza le stellerdquo o
equivalentemente ldquoabbassa lrsquoorizzonterdquo di un angolo di 35rsquo Quindi in realtagrave Canopo si puograve
osservare anche a una latitudine leggermente piugrave settentrionale pari a 37deg20rsquo+0deg35rsquo=37deg55rsquo
circa]
3 Quale curva descrive lrsquoombra di uno stilo verticale posto al polo nord il 21 giugno
Qual egrave il rapporto fra la lunghezza l dellrsquoombra e lrsquoaltezza h dello stilo
Soluzione Il 21 giugno il Sole ha declinazione massima pari al valore dellrsquoobliquitagrave
dellrsquoeclittica quindi circa 23deg27rsquo Dal momento che al polo nord lrsquoorizzonte coincide
con lrsquoEquatore celeste e i paralleli celesti si trovano quindi su piani paralleli
allrsquoorizzonte la rotazione diurna non contribuiragrave a far tramontare il Sole che
descriveragrave una circonferenza nel cielo pertanto la curva descritta dallo stilo verticale
egrave una circonferenza Il rapporto lh egrave il reciproco della tangente dellrsquoaltezza del sole
pari a 23deg27rsquo 119897
ℎ=
1
11990511988611989923deg27prime=23
4 (PROBLEMA GARA INTERNAZIONALE 2002) I Cinesi nel 1100 aC avevano trovato
che lrsquoaltezza del Sole a mezzodigrave era 79deg7rsquo nel solstizio estivo e 31deg19rsquo in quello
Bignamino di astronomia
60
invernale A quale latitudine hanno fatto lrsquoosservazione e qual era allora lrsquoobliquitagrave
dellrsquoEclittica
Soluzione La media aritmetica dei valori delle due culminazioni del sole a mezzodigrave al
solstizio estivo ed invernale egrave pari allrsquoaltezza dellrsquoEquatore celeste Quindi
90deg minus 120593 =ℎ119890119904119905119886119905119890 + ℎ119894119899119907119890119903119899119900
2rarr 120593 = 90deg minus
ℎ119890119904119905119886119905119890 + ℎ1198941198991199071198901199031198991199002
= 34deg47prime
Lrsquoobliquitagrave dellrsquoeclittica egrave la differenza fra lrsquoaltezza massima del sole e lrsquoaltezza
dellrsquoEquatore celeste
휀 = ℎ119890119904119905119886119905119890 minus (90deg minus 120593) = 79deg7prime minus 90deg + 34deg47prime = 23deg54prime
[In generale lrsquoobliquitagrave dellrsquoeclittica varia da 21deg55rsquo a 24deg20rsquo con un periodo di circa 40000
anni]
bull I MOTI DELLA TERRA E LA MISURA DEL TEMPO
5 In quale istante di tempo siderale la stella Castore (α=7h 33m 31s δ=+31deg55rsquo35rdquo ) egrave
alla culminazione inferiore
Soluzione Alla culminazione inferiore la stella Castore ha un angolo orario pari a 12h
Il tempo siderale ossia lrsquoangolo orario del punto gamma egrave uguale alla somma di
angolo orario e ascensione retta di una generica stella in questo caso
TS=α+H=7h 33m 31s + 12h= 19h 33m 31s
6 Se in un dato giorno una stella passa al meridiano inferiore alle 21 a quale ora
(allrsquoincirca) vi passeragrave un mese dopo
Soluzione Lrsquoora a cui si riferisce il problema egrave per esempio quella indicata da un
normale orologio quindi egrave un tempo solare medio e non siderale Siccome nel corso
di un mese la stella non cambia la sua posizione rispetto al punto gamma se il
problema avesse chiesto lrsquoora siderale della successiva culminazione inferiore la
risposta sarebbe stata comunque ldquoalle 21rdquo siccome perograve il problema si riferisce a un
tempo solare medio dobbiamo tenere conto della differenza tra giorno solare e
giorno siderale questrsquoultimo egrave piugrave corto del primo di un valore pari a circa 4 minuti
(piugrave esattamente 3min 56s) Siccome un mese contiene mediamente 30 giorni la
stella anticiperagrave la sua culminazione di circa 4min30=120min=2h e quindi culmineragrave
allrsquoincirca alle 19
7 Una cittagrave A egrave posta alla longitudine 43deg12rsquo E di GW (Greenwich) Quando in A lrsquoorologio
segna le 20h35m siderali in unrsquoaltra cittagrave B lrsquoorologio segna le 23h12m siderali Qual
egrave la longitudine di B
Soluzione La differenza dei due tempi siderali che lrsquoorologio segna in A e in B egrave uguale
alla differenza delle longitudini dei due luoghi Quindi
Bignamino di astronomia
61
∆120582 = 120549119879119878 rarr 120582119861 minus 120582119860 = 119879119878119861 minus 119879119878119860 rarr 120582119861 = 119879119878119861 minus 119879119878119860 + 120582119860(119890119904119901119903119890119904119904119886 119894119899 119900119903119890)
= 23ℎ12119898 minus 20ℎ35119898 + 2ℎ53119898 = 5ℎ30119898
= (119905119903119886119904119891119900119903119898119900 119894119899 119892119903119886119889119894) = 82deg30prime
8 Quanto tempo egrave necessario affincheacute il punto gamma passi da un segno zodiacale a un
altro
Soluzione Il punto gamma non egrave fisso nel cielo bensigrave per via di uno dei moti millenari
della Terra il moto di precessione esso si sposta di circa 50rdquo allrsquoanno lungo lrsquoEclittica
Dal momento che i segni zodiacali sono dodici in media ognuno di essi occupa un
settore lungo lrsquoEclittica pari a 36012=30deg=108000rdquo Ne discende che il tempo
necessario affincheacute il punto gamma copra questa distanza angolare risulta pari a
t=(108000rdquo50rdquo)anni=2160 anni circa
9 La Terra impiega circa 23 ore e 56 minuti a compiere una rotazione completa attorno
al proprio asse Con quale velocitagrave tangenziale si muove un punto allrsquoequatore per
effetto del moto di rotazione della Terra Quanto vale lrsquoaccelerazione centripeta che
agisce su questo punto Quale forza centripeta agisce su un corpo di massa 13 kg
allrsquoequatore
Soluzione Il problema incentrato sul moto di rotazione terrestre (il moto dei punti
della Terra attorno allrsquoasse terrestre) egrave un semplice esercizio di cinematica
Conoscendo il periodo e la lunghezza della circonferenza equatoriale (poicheacute egrave noto
che il raggio della Terra ha un valore di 6378 km) egrave possibile determinare la velocitagrave
di rotazione allrsquoequatore il moto egrave circolare uniforme
119907 =2120587119877
119879=2120587120591 ∙ 6378119896119898
2393ℎ= 1674
119896119898
ℎ
Lrsquoaccelerazione centripeta vale
119886 =1199072
119877=(1674 divide 36)2
6378000= 339 ∙ 10minus3
119898
1199042
Per la seconda legge della dinamica la forza centripeta su un corpo di massa m allora
vale
119865 = 119898119886 = 13 ∙ 339 ∙ 10minus3 = 441 ∙ 10minus3119873
bull IL CIELO VISTO DALLA TERRA E LA LUNA
10 Due stelle equatoriali hanno parallassi 0rdquo022 e 0rdquo034 esse hanno AR 12h13m e
13h12m rispettivamente Quantrsquoegrave in parsec la loro reciproca distanza
Soluzione Lrsquoangolo fra la direzione con cui si proietta in cielo la prima stella e la
direzione della seconda stella egrave pari alla differenza delle ascensioni rette le stelle
sono infatti equatoriali cioegrave hanno declinazione nulla ΔAR=13h12m-
Bignamino di astronomia
62
12h13m=(trasformando in gradi)=14deg75 La loro distanza dallrsquoosservatore egrave in
parsec pari al reciproco della parallasse
d1=(1P1)=10022=455pc d2=(1P2)=10034=294pc
Il problema chiede in sostanza di calcolare un lato di un triangolo con vertici
nellrsquoosservatore e nelle due stelle (in particolare il lato con estremi nelle due stelle)
noti lrsquoangolo opposto a tale lato e gli altri due lati possiamo quindi usare il Teorema
di Carnot (o teorema del coseno)
119909 = radic11988912 + 1198892
2 minus 211988911198892 cos(∆119860119877) = 186 119901119888
11 Sapendo che il periodo siderale di rotazione del Sole allrsquoEquatore egrave di 25 giorni
trovare il periodo di rivoluzione sinodica cioegrave quello che appare visto dalla Terra
Soluzione Prendiamo un punto sullrsquoEquatore del Sole esso si muove con un periodo
siderale (cioegrave riferito a una stella lontana) pari come indicato dalla traccia a 25
giorni Il problema egrave del tutto analogo al calcolo del tempo sinodico di un pianeta
interno visto dalla Terra noti i periodi di entrambi i corpi 1
119878=
1
119879119904119900119897119890minus
1
119879119905119890119903119903119886rarr 119878 =
119879119905119890119903119903119886119879119904119900119897119890119879119905119890119903119903119886 minus 119879119904119900119897119890
=36525 ∙ 25
36525 minus 25119889 =
913125
34025119889 = 2684119889
12 A quale distanza da uno schermo deve essere posta una sfera di raggio R affincheacute
illuminata dal Sole non generi ombra ma solo penombra (il diametro apparente del
Sole sia 32rsquo)
Soluzione Concettualmente il problema egrave equivalente alla situazione di unrsquoeclisse
lrsquordquoosservatorerdquo egrave lo schermo mentre fra esso e il Sole si frappone un ostacolo Esso
intercettando i raggi solari genera dietro di seacute un cono drsquoombra e molto piugrave ampio
di questo una zona di penombra Il cono si restringe dalla parte opposta del Sole
rispetto alla sfera Se il vertice del cono si trova sullo schermo allora nessun punto
dello schermo si troveragrave in ombra percheacute il cono non interseca lo schermo In questa
configurazione lrsquoangolo sotto cui viene vista la sfera dallo schermo egrave di 32rsquo ovvero
053deg da cui si ha 119877
119889= tan (0532) e cioegrave d=[1 tan(0265)]R=2148 R circa la sfera
devrsquoessere posta a una distanza dallo schermo maggiore di 2148 volte circa il suo
raggio
13 Il 29 marzo 2006 si egrave verificata unrsquoeclisse totale di Sole visibile dallrsquoAfrica
settentrionale e dal Mediterraneo orientale Quale fase aveva la luna il 29 marzo 2007
cioegrave esattamente un anno dopo
Bignamino di astronomia
63
Soluzione Le eclissi di Sole si verificano quando la Luna si interpone fra il Sole e la
Terra oscurando una fascia sulla superficie del nostro pianeta con il suo cono
drsquoombra pertanto la Luna rivolge a noi in questrsquooccasione la sua faccia non
illuminata dal Sole e pertanto egrave nuova Conosciamo inoltre il periodo in cui si ripetono
le fasi lunari egrave il mese sinodico la cui durata egrave pari a 295306 giorni Lrsquointervallo
considerato (un anno in cui il 2007 non egrave bisestile) egrave pari a 365 giorni Siccome
365295306=1236 ossia 12 mesi lunari e 11 giorni se ne deduce che lrsquoetagrave della Luna
al 29 marzo 2007 era di 11 giorni quindi essa era in una fase intermedia tra primo
quarto e Luna piena
bull LA GRAVITArsquo
14 Lrsquoalieno Bzzapp ha appena comprato una navicella in grado di creare nuovi pianeti
nel suo girovagare un giorno incappa nel nostro Sistema Solare decide cosigrave di creare
con la sua astronave qualche nuovo pianeta Lrsquoamico Zorzzp gli dagrave prima una regola
dicendogli che questi pianeti devono trovarsi in una fascia compresa fra 2 UA e 7
UA in piugrave il loro periodo di rivoluzione devrsquoessere pari a un numero intero di anni
Qual egrave il numero massimo di pianeti che Bzzapp potragrave creare con la sua navicella
conformemente alla regola di Zorzzp
Soluzione Per la risoluzione del problema egrave necessaria la Terza legge di Keplero
considerando che ci troviamo nel nostro Sistema Solare e che quindi la costante di
proporzionalitagrave fra cubo del semiasse maggiore e quadrato del periodo di rivoluzione
per un generico corpo orbitante attorno al Sole quando esprimiamo il semiasse in
UA e il periodo in anni risulta pari a 1
1198791 = radic11988613 = 283 119910
1198792 = radic11988623 = 1852 119910
Come possiamo vedere i periodi ldquopossibilirdquo sono
34567891011121314151617 e 18 anni Bzzapp potragrave creare ben 16 pianeti
15 Disponendo come dati noti dei soli periodi di rivoluzione dei pianeti si indichi la
lunghezza minima che deve avere un foglio di carta per poter rappresentare in scala
il Sistema Solare fino a Nettuno nellrsquoipotesi di voler rappresentare Mercurio a una
distanza dal Sole di 1 cm
Soluzione Mercurio ha un periodo di rivoluzione pari a 0241 anni mentre Nettuno
16488 anni quindi per la Terza legge di Keplero 119886119872 = radic11987911987223= 0387119880119860 119890 119886119873 =
radic11987911987323= 30069 119880119860
Con una semplice proporzione ricaviamo la lunghezza del foglio di carta
119886119872 119886119873 = 1 119909 rarr 119909 =30069
0387119888119898 asymp 777 119888119898
Bignamino di astronomia
64
16 A quale distanza dalla superficie della Terra per unrsquoastronave che viaggia verso la
Luna si annulla la risultante delle forze gravitazionali che agiscono su di essa (il
rapporto massa della Terra massa della Luna egrave pari a 8125)
Soluzione La distanza Terra-Luna egrave pari a d=384400 km Quando lrsquoastronave si trova
fra il nostro pianeta e il suo satellite le due forze di natura gravitazionale che
agiscono su di essa sono la forza di attrazione della Terra e quella della Luna agenti
nella stessa direzione ma aventi verso opposto Chiamando x la distanza che separa
la navicella dal centro della Terra possiamo esprimere in funzione di x la distanza che
separa la navicella dalla Luna essendo essa pari a d-x Eguagliamo le due forze di
attrazione gravitazionale per trovare x 119866119872119879119898
1199092=
119866119872119871119898
(119889 minus 119909)2
Operando le dovute semplificazioni (G e la massa dellrsquoastronave) e dividendo
119909
119889 minus 119909= radic
119872119879
119872119871= radic8125 = 901
119909 =901119889
1001= 090 lowast 384400119896119898 = 346013119896119898
Il problema viene considerato parzialmente corretto se ci si ferma a questo punto
percheacute esso chiede la distanza dalla superficie terrestre mentre x egrave misurata dal
centro della Terra pertanto la soluzione corretta egrave D=x-R=(346013-
6378)km=339635km
17 Osservando la stella Canopo con un telescopio potentissimo lrsquoastronomo Qwzzz ha
scoperto due pianeti orbitanti attorno a essa le cui orbite sono esattamente
perpendicolari alla nostra linea di vista La distanza massima del primo pianeta da
Canopo egrave uguale a 47 volte la sua distanza minima e il suo periodo di rivoluzione egrave
pari a 27 anni Il secondo pianeta avente eccentricitagrave pari a 0324 al periapside egrave 3
volte piugrave lontano rispetto al primo (quando questrsquoultimo si trova nella corrispondente
posizione) Quanto vale lrsquoeccentricitagrave del primo pianeta e il periodo di rivoluzione del
secondo
Soluzione Chiamiamo 1 il primo pianeta e 2 il secondo
11988911988611198891199011
= 47 =1198861(1 + 1198901)
1198861(1 minus 1198901)rarr1 + 11989011 minus 1198901
= 47 rarr 1198901 = 0649
1198891199012
1198891199011=1198862(1 minus 1198902)
1198861(1 minus 1198901)= 3 rarr
11988621198861=(1 minus 1198901)1198891199012
1198891199011(1 minus 1198902)= 3 (
1 minus 0649
1 minus 0324) = 1558
Per la Terza legge di Keplero
11987922 = (
11988621198861)3
11987912 rarr 1198792 = 27 119910radic15583 = 524 119910
Bignamino di astronomia
65
bull TERZA LEGGE DI KEPLERO 1 Calcolare il semiasse maggiore dellrsquoorbita di Giove in kilometri sapendo che il suo periodo
di rivoluzione egrave 119879119866 = 37411 ∙ 106 119904
Soluzione
119879119866(119886119899119899119894) =119879119866(119904119890119888119900119899119889119894)
(119904119890119888119900119899119889119894 119894119899 119906119899 119886119899119899119900)=
37411 ∙ 106 119904
3600 ∙ 24 ∙ 365 ∙119904
119886119899119899119900
= 11863 119886119899119899119894
Impostando la terza legge di Keplero e imponendo che 119870 =1 1198861198991198991199002
1 1198801198603
1198792
1198863= 119870 =gt 119886119866(119880 119860 ) = radic[119879119866(119886119899119899119894)]2
3= radic(11863 119886119899119899119894)2
3= 52 119880 119860 =
= 77792 ∙ 106 119896119898
2 Calcolare il periodo di rivoluzione di Marte in giorni sapendo che il suo semiasse maggiore
misura 119886119872 = 2279 ∙ 109 119898
Soluzione
119886119872(119880 119860 ) =119886119872(119898)
1496 ∙ 109 ∙119898119880 119860
=2279 ∙ 109 119898
1496 ∙ 109 ∙119898119880 119860
= 152 119880 119860
Impostando la terza legge di Keplero e imponendo che 119870 =1 1198861198991198991199002
1 1198801198603
1198792
1198863= 119870 =gt 119879119872(119886119899119899119894) = radic[119886119872(119880 119860 )]3 = radic(152 119880 119860 )3 = 187 119886119899119899119894 = 684 119892119894119900119903119899119894
3 Approssimando lrsquoorbita di Venere a una circonferenza calcolare la velocitagrave media v del
pianeta intorno al Sole sapendo che il suo periodo di rivoluzione egrave 119879119881 = 1941 ∙ 106 119904
Soluzione
119879119881(119886119899119899119894) =119879119881(119904119890119888119900119899119889119894)
(119904119890119888119900119899119889119894 119894119899 119906119899 119886119899119899119900)=
1941 ∙ 106 119904
3600 ∙ 24 ∙ 365 ∙119904
119886119899119899119900
= 061 119886119899119899119894
Impostando la terza legge di Keplero e imponendo che 119870 =1 1198861198991198991199002
1 1198801198603
1198792
1198863= 119870 =gt 119886119881(119880 119860 ) = radic[119879119881(119886119899119899119894)]2
3= radic(061 119886119899119899119894)2
3= 072 119880 119860 = 1076 ∙ 106 119896119898
119907 =2120587119886119881119879119881
=2120587 ∙ 1076 ∙ 106 119896119898
1941 ∙ 106 119904= 3483
119896119898
119904
Bignamino di astronomia
66
Risoluzione del sistema per il calcolo delle velocitagrave su orbite non circolari
119907119886119889119886 = 1199071199011198891199011
2119898119907119886
2 minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
1198891198861
2119898119907119886
2 minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
11988911988612119898119907119901
21198891199012
1198891198862
minus119866119898119872
119889119886=1
2119898119907119901
2 minus119866119898119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886121199071199012119889119901
2
1198891198862
minus1
21199071199012 =
119866119872
119889119886minus119866119872
119889119901
119907119886 =
119907119901119889119901
1198891198861
21199071199012 (1198891199012
1198891198862minus 1) = 119866119872(
1
119889119886minus1
119889119901)
119907119886 =
119907119901119889119901
1198891198861
21199071199012 (1198891199012 minus 119889119886
2
1198891198862
) = 119866119872(119889119901 minus 119889119886
119889119886119889119901)
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886
1199071199012 = 2119866119872 (
119889119901 minus 119889119886
119889119886119889119901)(
1198891198862
1198891199012 minus 119889119886
2)
Bignamino di astronomia
67
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886
1199071199012 = 2119866119872 (
119889119901 minus 119889119886
119889119886119889119901) [
1198891198862
(119889119901 + 119889119886)(119889119901 minus 119889119886)]
119907119886 =
119907119901119889119901
119889119886
119959119953 = radic120784119918119924119941119938
119941119953(119941119953 + 119941119938)
Sostituendo la formula appena trovata nella prima equazione si ottiene
119959119938 = radic120784119918119924119941119953
119941119938(119941119953 + 119941119938)
Possiamo scrivere le due velocitagrave anche in funzione (cioegrave in dipendenza) del semiasse maggiore e
dellrsquoeccentricitagrave dellrsquoorbita Se chiamiamo il semiasse maggiore dellrsquoorbita ellittica a valgono le
seguenti relazioni
119889119886 = 119886(1 + 119890) 119889119901 = 119886(1 minus 119890)
Quindi
119907119901 = radic2119866119872119886(1 + 119890)
119886(1 minus 119890)[119886(1 minus 119890) + 119886(1 + 119890)]= radic2119866119872
1 + 119890
(1 minus 119890)[119886(1 minus 119890 + 1 + 119890)]
= radic2119866119872
2119886(1 + 119890
1 minus 119890) = radic
119918119924
119938(120783 + 119942
120783 minus 119942)
Sostituendo anche nel caso di 119881119886
119907119886 = radic119918119924
119938(120783 minus 119942
120783 + 119942)
Si ricorda inoltre che
119938 =119941119938 + 119941119953
120784 119942 =
119941119938 minus 119941119953
119941119938 + 119941119953
Bignamino di astronomia
68
ESERCIZIO
Un pianeta sta cadendo sulla sua stella seguendo una traiettoria rettilinea se si conosce
lrsquoaltezza di caduta h si determini il tempo di caduta t
Per risolvere questo problema si potrebbe erroneamente pensare di applicare le leggi del moto
rettilineo uniformemente accelerato (come nel caso di una penna che cade dalla scrivania)
Consideriamo perograve un corpo (di massa m) che si trova a una certa altezza dal suolo la sua forza peso
equivale alla forza di attrazione gravitazionale tra il corpo e il pianeta (di raggio R e massa M) su cui
si trova
119898119892 =119898119872119866
(119877 + ℎ)2 119888119894119900egrave 119892 =
119866119872
(119877 + ℎ)2
Come possiamo vedere lrsquoaccelerazione di gravitagrave g non si mantiene costante al variare dellrsquoaltezza
ma varia noi la assumiamo costante al suolo e pari a circa 981 ms^2 solo percheacute in quel caso Δhasymp0
Quindi non possiamo applicare le leggi del moto rettilineo uniformemente accelerato a questo
problema Come risolverlo allora
Allrsquoinizio di questi appunti abbiamo evidenziato che lrsquoeccentricitagrave di unrsquoellisse indica quanto lrsquoellisse
egrave ldquoschiacciatardquo se dunque lrsquoeccentricitagrave tende a 1 la traiettoria tende a un segmento
Quindi possiamo assumere che il pianeta cada seguendo unrsquoorbita ellittica con eccentricitagrave prossima
a 1 e dunque semiasse maggiore a pari a h2 (vedi figura)
Se conosciamo la massa M della stella possiamo applicare la III legge di Keplero generalizzata
1198792
1198863=41205872
119866119872 rarr 119879 = radic
41205872
1198661198721198863 rarr 119879 = radic
41205872
119866119872(ℎ
2)3
rarr 119879 = radic1205872
2119866119872ℎ3
Naturalmente questo egrave il periodo completo dellrsquoorbita Il periodo di caduta egrave la metagrave
119905 =119879
2
a a
h
Bignamino di astronomia
69
Problemi 1 Coordinate celesti e tempo
Ci troviamo in un luogo di latitudine 120593 = 42deg 30prime15primeprime 119873 e longitudine 120582 = 15deg 28prime18primeprime119864
Osserviamo una stella di ascensione retta 5h 32 min 3 sec e declinazione -00deg 15rsquo 20rdquo che
passa al meridiano alle 2030 del 14012020 A quale altezza culminava Quale era la sua
distanza zenitale In quale data dallo stesso luogo e allo stesso orario si egrave potuto vederla
sorgere ad est
Soluzione
Lrsquoaltezza massima di una stella (quando culmina) egrave data dalla relazione
ℎ = 90deg minus 120593 + 120575
Quindi
ℎ = 90deg minus 42deg30prime15 minus 0deg 15 20= 47deg 14 25
La distanza zenitale egrave invece data da 119911 = 90deg minus 120593 = 90deg minus 47deg 14prime25primeprime = 42deg 45prime35primeprime
Un dato importante per poter rispondere alla terza richiesta egrave sapere che le stelle
ldquoanticipanordquo il loro sorgere di 3 119898119894119899 56 119904119890119888119892119894119900119903119899119900
Quindi per sapere quanti giorni prima la stella sorgeva ad est (m)
119898 =120572
Δ119905=
(5ℎ32min3sec)
3119898119894119899 56sec119892119894119900119903119899119900= 84 119892119894119900119903119899119894
84 giorni prima del 14012020 era il 21102019
2 Coordinate e tempo
Il tempo siderale di un luogo (120593 = 28deg 30prime45primeprime119878 120582 = 90deg 23prime50primeprime119882 ) egrave di 9h 3min 45sec
Quale egrave il tempo siderale di GW
Soluzione Il primo passaggio da fare egrave trasformare la longitudine del luogo da gradi in ore
Quindi
15deg 1ℎ = 90deg 23prime50primeprime 120582
120582 = 90deg 23prime50primeprime ∙1ℎ
15deg = 6ℎ 1min3533119904119890119888
Il tempo siderale del luogo egrave legato a quello di GW dalla seguente relazione
119879119904 = 119879119866119908 + 120582
Quindi 119879119866119908 = 119879119904 minus 120582 = 9ℎ3min 45119904119890119888 minus (minus 6ℎ1min 3533sec ) = 9ℎ3min 45119904119890119888 +
6ℎ1min 3533sec = 15ℎ 5min 20119904119890119888
Bignamino di astronomia
70
PROBLEMI E QUESITI SULLA MISURA DEL TEMPO
Problema 1 In un dato luogo a che ora di tempo siderale culmina il Sole medio in un dato giorno
sapendo che sedici giorni prima esso culminava alle 15h 12m 48s di tempo siderale
Se ci troviamo a Belo Horizonte (longitudine λ=43deg56rsquo16rdquo W) al mezzogiorno vero e lrsquoequazione del
tempo per quel giorno egrave pari a ET=-8m7s che ora segna lrsquoorologio dellrsquoosservatore
Soluzione problema 1 La prima richiesta del problema si risolve tenendo conto che giorno solare
medio e giorno siderale hanno diversa durata infatti il giorno siderale egrave piugrave corto del giorno solare
medio di circa 3m56s Pertanto se in un dato giorno il punto gamma e il Sole medio hanno raggiunto
la culminazione nel medesimo istante il giorno successivo il Sole medio culmineragrave 3m56s dopo il
punto gamma Quindi il Sole accumuleragrave un ritardo pari a 163m56s=1h2m56s che andragrave sommato
allrsquoora siderale data dal problema TS=15h 12m 48s + 1h 2m 56s= 16h 15m 44s
Se a Belo Horizonte egrave mezzogiorno vero vuol dire che sono le 12h di tempo solare vero Lrsquoequazione
del tempo egrave la differenza fra tempo solare medio e tempo solare vero quindi
TSM-TSV=ET TSM=TSV+ET=12h ndash 8m 7s= 11h 51m 53s lrsquoorologio dellrsquoosservatore egrave perograve in
accordo col tempo del meridiano centrale del fuso di Belo Horizonte che ha longitudine 3h W
mentre Belo Horizonte ha longitudine 2h 55m 45s W essa egrave quindi piugrave avanti di 3h-2h 55m 45s=4m
15s lrsquoorologio segneragrave quindi le ore 11h 51m 53s ndash 4m 15s= 11h 47m 38s
Problema 2 A Bergamo (λ= 9deg 40rsquo 12rdquo E) i raggi del Sole in un dato momento si proiettano
esattamente sulla linea della meridiana di Cittagrave Alta In quel dato giorno lrsquoequazione del tempo egrave
+5m 12s se il tempo siderale a mezzanotte di quel giorno a Greenwich risultava pari a 3h 21m 20s
qual egrave il tempo siderale a Greenwich nellrsquoistante del problema
Soluzione problema 2 La longitudine di Bergamo espressa in ore minuti e secondi egrave 38m 41s E Se
il disco luminoso si proietta sulla linea meridiana egrave mezzogiorno vero quindi il tempo solare medio
saragrave pari a TSM= TSV + ET= 12h + 5m 12s= 12h 5m 12s Greenwich si trova 38m 41s a ovest di
Bergamo quindi egrave anche 38m 41s indietro a Greenwich sono quindi le 12h 5m 12s ndash 38m 41s= 11h
26m 31s Sono passate quindi 11h 26m 31s dalla mezzanotte per convertire questo tempo medio
in tempo siderale moltiplichiamo per il fattore di conversione 3662536525
ΔTS (Greenwich)= (3662536525)(114419444 h)= 114732394h = 11h 28m 24s Quindi a
Greenwich sono le 3h 21m 20s + 11h 28m 24s= 14h 49m 44s di tempo siderale
Quesito Si valuti argomentando opportunamente come varia lrsquoEquazione del Tempo nel corso
dellrsquoanno solare se in un piano cartesiano in ascissa indichiamo lrsquoET e in ordinata la declinazione del
Sole che curva si ottiene
Risposta Lrsquoequazione del tempo si annulla quattro volte lrsquoanno a metagrave aprile a metagrave giugno verso
Natale e ai primi di settembre il sole medio e il sole vero culminano contemporaneamente (1) Da
Natale a metagrave aprile il sole medio anticipa il sole vero (2) da metagrave aprile a metagrave giugno il sole vero
anticipa il sole medio da metagrave giugno a inizio settembre come (1) e da inizio settembre a Natale
come (2) Oltre a ldquooscillare in orizzontalerdquo in un anno il sole ldquooscilla in verticalerdquo nel senso che
Bignamino di astronomia
71
assume declinazioni da 23deg27rsquo a -23deg27rsquo La curva che si ottiene egrave quindi una sorta di ldquo8rdquo chiamata
analemma essa egrave anche la curva che egrave formata dalle posizioni in cielo del sole vero registrate a
mezzogiorno medio locale ogni giorno dellrsquoanno
Figura 1 Analemma decET
Figura 2 Analemma visualizzato nel cielo di Atene
Problema 3 Una stella di ascensione retta AR=11h 12m 13s culmina in un dato luogo della Terra alle
ore 13h 04m 02s di tempo medio Considerando che a Greenwich culmina una stella con ascensione
retta 8h 11m 58s dire che orario segna lrsquoorologio dellrsquoosservatore in quel dato luogo della Terra
Soluzione Il tempo siderale in un dato luogo egrave uguale allrsquoascensione retta delle stelle che si trovano
a culminare al meridiano superiore Quindi in questo luogo della Terra il tempo siderale egrave pari a 11h
12m 13s a Greenwich il tempo siderale egrave pari a 8h 11m 58s Notiamo come il luogo dove si trova
lrsquoosservatore ha longitudine est infatti egrave piugrave avanti di Greenwich di circa 3 ore quindi egrave piugrave a Est di
Greenwich La differenza fra lrsquoora siderale dellrsquoosservatore e quella a Greenwich dagrave la longitudine
del luogo (differenza fra longitudine del luogo e longitudine di Greenwich che egrave 0 percheacute il suo
meridiano egrave origine delle longitudini)
λ= TSrsquo-TS(GW)= 11h 12m 13s ndash 8h 11m 58s= 3h 0m 15s E Questo luogo segue il meridiano che ha
longitudine 3h E quindi egrave in anticipo rispetto a esso di appena 15s pertanto il suo orologio segneragrave
le ore 13h 04m 02s ndash 15s= 13h 03m 47s
Bignamino di astronomia
72
bull STELLE E MAGNITUDINI SISTEMI STELLARI ESTESI
1 Pochi giorni fa si egrave registrato un nuovo oggetto che si comporta apparentemente
come una binaria a eclisse Tuttavia il periodo non egrave stabile la magnitudine
dellrsquooggetto egrave in genere pari a 2432 ma ogni 7-11 secondi sale a 2452 per 02-03
secondi Dopo unrsquoaccurata analisi del problema si egrave capito che lrsquooggetto splendente egrave
costituito dagli occhi di un gruppo di gatti assolutamente neri seduti su un piccolo
corpo del sistema solare nero e con gli sguardi rivolti verso il sole Uno dei gatti batte
ogni tanto le palpebre Quanti gatti ci sono
Soluzione Sia N il numero di occhi la cui determinazione egrave richiesta dal problema
Quando il gatto nero del problema chiude gli occhi il numero di occhi che
contribuisce alla magnitudine complessiva scende di due unitagrave (N-2) Se
consideriamo che gli occhi dei gatti sono tutti gli stessi ciascuno di essi ci invia un
flusso pari a F Avendo entrambe le magnitudini corrispondenti alla situazione ldquotutti
gli N occhi apertirdquo (2432) e ldquoN-2 occhi apertirdquo (2452) possiamo scrivere la formula
di Pogson tenendo conto dei flussi complessivi
119898119898119894119899 minus119898119898119886119909 = minus25119897119900119892 [119865 lowast (119873 minus 2)
119865 lowast 119873]
119873 minus 2
119873= 10
119898119898119886119909minus11989811989811989411989925 = 10minus008 = 0832 rarr 119873 =
2
0168asymp 12 119900119888119888ℎ119894 ossia 6 119892119886119905119905119894
2 La galassia di Andromeda ha una magnitudine apparente integrata mv = 440 e appare in cielo come unrsquoellisse i cui semiassi hanno dimensioni angolari di circa 190 arcmin e 60 arcmin Sapendo che la sua distanza egrave di circa 254 milioni di anni luce calcolare la magnitudine assoluta e la magnitudine apparente superficiale media della galassia (Gara Interregionale Categoria Senior 2018)
Soluzione La distanza della galassia di Andromeda in pc egrave 119889(119901119888) =254 10^63262= 77810^3 119901119888 La magnitudine assoluta egrave data dalla relazione 119872119907 = 119898119907 + 5 minus 5 log 119889(119901119888) = -201 Per calcolare la magnitudine apparente superficiale dobbiamo calcolare lrsquoarea apparente della galassia A = π a b = 120587 190 ∙ 60 = 358 ∙ 103 1198861199031198881198981198941198992 cong 129 ∙ 106 119886119903119888119904119890119888^2 La magnitudine apparente superficiale (msup) si ottiene dalla relazione 119898119904119906119901 = 119898119907 +25 log 119860 cong 158119898119886119892119886119903119888119898119894119899^2 cong 247119898119886119892119886119903119888119904119890119888^2 3 Si consideri una stella variabile ldquopulsanterdquo la cui magnitudine assoluta varia
nellrsquointervallo M1= 325 e M2= 226 con una temperatura effettiva che al massimo di luminositagrave egrave T2= 5500 K e al minimo di luminositagrave egrave T1 = 5000 K Calcolare quanto varia il raggio della stella tra il minimo e il massimo di luminositagrave Esprimere il
Bignamino di astronomia
73
risultato come rapporto tra raggio massimo e raggio minimo e come differenza tra i due raggi in km (Gara Interregionale Categoria Senior 2017)
Soluzione La luminositagrave di una stella egrave definita dalla relazione 119871=4 120587 119877^2 120590 119879^4 Per ricavare il rapporto tra i raggi al massimo e minimo di luminositagrave utilizziamo la formula di Pogson 1198722minus 1198721= minus 25log(11987121198711)=minus 25log[4120587(1198772)^2 120590 (1198792)^4][4120587(1198771)^2 120590 (1198791)^4]= -
25log[(11987721198771)^2 (11987921198791)^4] e quindi 0396 = log[(11987721198771)^2 (11987921198791)^4] =119897119900119892 [(11987721198771)^2 1464] da cui 0396=2log(11987721198771)+log1464 ovvero 0115= 119897119900119892 (11987721198771) e infine (119929120784119929120783)=120783120785120782 Per ottenere la differenza in km calcoliamo il raggio della stella al massimo di luminositagrave confrontando i suoi dati con una stella di caratteristiche note il Sole Avremo quindi 1198722minus 119872s=minus 25log[(1198772119877s)^2 (1198792119879s)^4] e quindi 103 = 2 log R2 ndash 2 log Rs + 4 log 09519
da cui si ricava 1198772=2513 ∙ 10^3 119896119898cong361 119877s e 1198771=1933 ∙ 10^3 119896119898cong278 119877s la variazione del raggio in km vale quindi ΔR = 580 ∙ 103 km
4 La supergigante rossa Betelgeuse ha una magnitudine apparente m1=+042 e
una parallasse π1=0005rdquo mentre la supergigante blu Rigel ha una magnitudine
apparente m2=+013 e una parallasse π2=0004rdquo Quale delle due stelle egrave
intrinsecamente piugrave luminosa Qual egrave la piugrave lontana (Gara interregionale Categoria Senior 2015) Soluzione Affincheacute si possa determinare quale delle due stelle sia piugrave luminosa intrinsecamente egrave necessario ricorrere al calcolo delle magnitudini assolute delle due stelle possiamo calcolare la magnitudine assoluta di una stella conoscendo la magnitudine apparente della stessa e la sua parallasse tramite la relazione
119872 = 119898 + 5 + 5119897119900119892120587 119900119907119890 119897119886 119901119886119903119886119897119897119886119904119904119890 egrave 119890119904119901119903119890119904119904119886 119894119899 119886119903119888119900119904119890119888119900119899119889119894 Nel caso nostro
1198721 = 1198981 + 5 + 51198971199001198921205871 = +042 + 5 + 51198971199001198920005 = minus608 (119861119890119905119890119897119892119890119906119904119890)
1198722 = 1198982 + 5 + 51198971199001198921205872 = +013 + 5 + 51198971199001198920004 = minus687 (119877119894119892119890119897)
Essendo la magnitudine assoluta di Rigel minore di quella di Betelgeuse allora Rigel egrave intrinsecamente piugrave luminosa di Betelgeuse Possiamo giagrave da questo risultato comprendere quale stella sia piugrave distante delle due infatti Rigel egrave sia apparentemente sia assolutamente piugrave luminosa di Betelgeuse quindi egrave necessario che essa sia piugrave distante di Betelgeuse affincheacute ciograve si verifichi A riprova di ciograve la parallasse di Rigel egrave minore di quella di Betelgeuse essendo essa piugrave lontana La distanza di Rigel in parsec egrave 1π2=250 pc mentre quella di Betelgeuse egrave 1π1=200 pc
da cui d2gtd1
Bignamino di astronomia
74
bull COSMOLOGIA ELEMENTARE
5 Un team di scienziati osserva una nuova galassia e ne analizza lo spettro la riga H-alfa
dellrsquoidrogeno che ha in laboratorio una lunghezza drsquoonda pari a 656281 Aring ha nello spettro della galassia una lunghezza drsquoonda di 656933 Aring Si determini la distanza della galassia Soluzione per prima cosa calcoliamo il redshift della galassia
119911 =∆120582
120582=120582119900119904119904 minus 120582119897119886119887
120582119897119886119887=656933 minus 656281
656281= 9935 lowast 10minus4
Applichiamo la legge di Hubble-Lemaitre
119888119911 = 1198670119889 rarr 119889 =119888119911
1198670= 299792458
119896119898
119904lowast 9935 lowast
10minus4
719= 414 119872119901119888
6 Osservando lrsquoesplosione di una supernova in una lontana galassia due scienziati notano che la riga H-beta dellrsquoidrogeno osservata nello spettro ha esattamente la stessa lunghezza drsquoonda della riga H-alfa osservata in laboratorio Tuttavia i due scienziati usano valori diversi per la costante di Hubble Usando valori che differiscono di ΔH=H2-H1=14 kmsMpc ottengono valori diversi per la magnitudine assoluta della supernova al massimo M1=-1902 e M2=-1864 Trovare quanto valgono per ciascuno dei due scienziati il redshift e la distanza della galassia (XXIII International Astronomy Olympiad ndash Colombo Sri Lanka Theoretical Round Group β Exercise 1) Soluzione Il redshift misurato dai due scienziati egrave lo stesso per entrambi esso infatti dipende dalle lunghezze drsquoonda osservate che secondo quanto affermato nella traccia sono le stesse per entrambi gli scienziati La lunghezza drsquoonda della riga H-alfa egrave pari a 6563 Aring mentre la lunghezza drsquoonda della riga H-beta egrave pari a 4861 Aring Il redshift per definizione egrave dunque pari a
119911 =120582119867minus119886119897119891119886minus120582119867minus119887119890119905119886
120582119867minus119887119890119905119886= 035
Conoscendo la relazione nota come ldquomodulo di distanzardquo (relazione fra mag Apparente e mag Assoluta) possiamo scrivere
1198721 = 1198981 + 5 minus 51198971199001198921198891 1198722 = 1198982 + 5 minus 51198971199001198921198892
Ma le due magnitudini apparenti dellrsquooggetto debbono necessariamente coincidere dal momento che esse sono dati puramente osservativi (non derivano cioegrave da elaborazioni di dati precedenti) possiamo quindi sottrarre membro a membro le due relazioni precedenti semplificando le due magnitudini apparenti
1198721 minus1198722 = 5119897119900119892 (11988921198891) rarr
11988921198891= 10
1198721minus11987225 = 0839
Possiamo scrivere il seguente sistema
1198892 = 08391198891H2 minus H1 = 14
119888119911
1198672= 0839
119888119911
1198671H2 minus H1 = 14
1198672 = 11911986711198672 minus 1198671 = 14
1198671 =
7368119896119898119904
119872119901119888
1198672 =8768
119896119898119904
119872119901119888
Bignamino di astronomia
75
Da cui finalmente d1=czH1=2997924580357668=13684 Mpc dz=czH2=2997924580538768=11967 Mpc
bull MISCELLANEA
1 Una galassia egrave composta da stelle tutte simili al nostro Sole Essa mostra uno
spostamento verso il rosso della riga Hα (λ=656281 Aring) di ampiezza pari a Δλ= 15 Aring
Essa risulta inclinata rispetto alla perpendicolare alla linea di vista di un angolo di 30deg
e si sa che il suo raggio egrave pari a 37000 anni luce Nel cielo appare come un oggetto di
magnitudine superficiale msup= 2478 magarcsec2
Quanto vale la massa della galassia
Soluzione Ci viene fornita dalla traccia la magnitudine superficiale della galassia vista
dalla Terra essa indica la magnitudine di una ldquoporzionerdquo della galassia di superficie
pari a 1 arcsec2 Di conseguenza la magnitudine complessiva della galassia devrsquoessere
legata alla sua superficie angolare allora dobbiamo conoscere le dimensioni angolari
della galassia abbiamo le dimensioni angolari quindi dobbiamo ricavare la distanza
della galassia
Calcoliamo per prima cosa il redshift z
119911 =∆120582
120582=
15
656281= 229 ∙ 10minus4
Con la legge di Hubble-Lemaitre ricaviamo la distanza
119888119911 = 1198670119889 119889 =119888119911
119867119900=300 ∙ 105 ∙ 229 ∙ 10minus4
719119872119901119888 = 0954 119872119901119888
= 311 ∙ 106119886119899119899119894 119897119906119888119890
Adesso possiamo determinare le dimensioni apparenti della galassia percheacute ne
conosciamo la distanza nel cielo essa ci appare come unrsquoellisse il cui semiasse
maggiore vale
119886 = arctan (119877
119889) = arctan (
37000
311 ∙ 106) = 0682deg = 24538 119886119903119888119904119890119888
Essendo il coseno di 30deg uguale a radic3
2 il semiasse minore varragrave
119887 = arctan(119877radic3
2119889) = arctan (
37000 ∙ 173
2 ∙ 311 ∙ 106) = 0590deg = 21226 119886119903119888119904119890119888
Calcoliamo la superficie di questa ellisse
119878 = 120587119886119887 = 120587 ∙ 24538 ∙ 21226 arcsec2 = 163 ∙ 107 arcsec2
Bignamino di astronomia
76
A questo punto ricaviamo la magnitudine integrata apparente
m=msup-25log(119878) 119898 = 2478 minus 25 log(163 ∙ 107) = 675
Abbiamo la distanza troviamo la magnitudine assoluta
M=m+5-5logd=675+5-5log(0954 106)=-1815
A questo punto troviamo il numero di ldquosolirdquo contenuti nella galassia grazie alla
relazione che ci permette di ricavare la magnitudine integrata di un oggetto (nel caso
sia composto da componenti uguali)
119872 = minus25 log(119873 lowast 10minus04119872119904) 119873 = 10minus04(119872minus119872119878) = 10minus04(minus1815minus483)
= 156 ∙ 109119904119905119890119897119897119890 119888119900119898119890 119894119897 119904119900119897119890
Possiamo finalmente trovare la massa della galassia
119872119892 = 156 ∙ 109 ∙ 199 ∙ 1030119896119892 = 310 ∙ 1039119896119892
2 Una stella di raggio R=705000 km presenta un picco drsquoemissione alla lunghezza
drsquoonda di 542 nm Se essa egrave costituita interamente da idrogeno si determini quanti
atomi di idrogeno hanno reagito in un secondo nel nucleo della stella nella reazione
di fusione termonucleare che produce elio
Soluzione Dobbiamo innanzitutto determinare la luminositagrave della stella che dipende
dal quadrato del raggio e dalla quarta potenza della temperatura disponiamo del
raggio ma dobbiamo ricavare la temperatura notiamo come il problema fornisca la
lunghezza drsquoonda del picco drsquoemissione che egrave inversamente proporzionale alla
temperatura efficace secondo la Legge di Wien
120582 ∙ 119879119890119891119891 = 2898 119898119898 119870 119879119890119891119891 =2898 119898119898 119870
542 ∙10minus6119898119898= 5347 119870
Adesso possiamo determinare la luminositagrave della stella (Legge di Stefan-Boltzmann)
119871 = 41205871198772120590(119879119890119891119891)4= 4120587 (705 ∙ 108)2 567 ∙ 10minus8 (5347)4 119882 = 289 ∙ 1026119882
Questa egrave lrsquoenergia che la stella irradia in un secondo ma da dove deriva Nel nucleo
quattro protoni si fondono per formare un nucleo di elio il nucleo di elio che si forma
perograve non ha la stessa massa dei quattro protoni bensigrave ha una massa lievemente
minore La massa mancante (il difetto di massa) si egrave trasformata in energia secondo
la famosa relazione di Einstein
119864 = 1198981198882
Se E=L m saragrave uguale al difetto di massa complessivo per unitagrave di tempo
119898 =119871
1198882=289 ∙ 1026119882
9 ∙ 10161198982
1199042 = 321 ∙
109119896119892
119904
Essendo la massa di un nucleo di elio-4 pari a 6645 10-27kg mentre la massa del
protone pari a 167310-27kg si ha che la massa di 4 protoni egrave 669210-27kg e quindi
il difetto di massa per ogni reazione egrave Δm= 004710-27 kg Dividendo questo valore
Bignamino di astronomia
77
per quello trovato sopra otteniamo il numero di reazioni che avvengono in un
secondo nel nucleo della stella
119873 =119898
∆119898=
321 ∙ 109
0047 ∙ 10minus27119903119890119886119911 = 683 ∙ 1037119903119890119886119911
A ogni reazione corrispondono quattro atomi di idrogeno quindi per trovare la
soluzione ci basta moltiplicare questo valore per 4
119873119905119900119905 = 4119873 = 273 ∙ 1038119886119905119900119898119894()
3 Che dimensioni dovrebbe avere una sfera metallica perfettamente riflettente per
essere visibile come un astro da Terra ad occhio nudo quando essa si trova in
opposizione al Sole (Questa sfera egrave posta in orbita circolare attorno alla Terra con
un periodo T=2766 ore)
Soluzione Innanzitutto ci serve conoscere il raggio orbitale della sfera perciograve
applichiamo la Terza Legge di Keplero generalizzata
1198792
1198863=41205872
119866119872 119886 = radic
1198661198721198792
41205872
3
= radic667 ∙ 10minus11 ∙ 597 ∙ 1024 ∙ 992 ∙ 107
4(314)23
= 10005119896119898
Sia Fs il flusso solare esso investe la sfera e la quantitagrave di energia intercettata in un
secondo (Lint) egrave direttamente proporzionale alla sezione della sfera
119871119894119899119905 = 119865119904 ∙ 1205871198772
La luce viene interamente riflessa quindi
119871119903119894119891 = 119871119894119899119905 = 119865119904 ∙ 1205871198772
Questa luminositagrave viene riflessa in tutte le direzioni quindi tutti i punti che si trovano
alla medesima distanza dalla sfera riceveranno lo stesso flusso pari a
119865 =119865119904 ∙ 120587119877
2
41205871198892=119865119904 ∙ 119877
2
41198892
In particolare per una localitagrave posta sulla Terra
119865 =119865119904 ∙ 119877
2
4(119886 minus 119877119879)2=
119865119904 ∙ 1198772
4(107 minus 6378 ∙ 106)2= 1906 ∙ 10minus14119865119904 119877
2
Applichiamo la formula di Pogson comparando la sfera col Sole e tenendo presente
che la magnitudine della sfera devrsquoessere uguale a 6 (lrsquooggetto egrave appena visibile ad
occhio nudo)
119898minus119898119904 = minus25 log (119865
119865119904) rarr 6 + 2674 = minus25 log(1906 ∙ 10minus141198772)
1906 ∙ 10minus141198772 = 10minus131 rarr 119877 = radic10minus131
1906 ∙ 10minus14119898 = 204 119898
Pertanto la sfera deve avere un diametro di 408 metri
Bignamino di astronomia
78
[NB Nello svolgimento del problema si egrave usato lo stesso valore del flusso solare per la Terra e per la
sfera in realtagrave ciograve egrave unrsquoapprossimazione percheacute le distanze Terra-Sole e Sole-sfera sono diverse
Essendo perograve il semiasse dellrsquoorbita della sfera trascurabile rispetto al semiasse della Terra allora i due
flussi sono assai simili]
4 Egrave stato osservato un quasar doppio che si trova a grandissima distanza dalla Terra La
particolaritagrave di questo quasar egrave il moto di allontanamento delle due componenti Q1
e Q2 In particolare Q1 si allontana da Q2 spostandosi come riportato in figura dal
punto A al punto B con velocitagrave relativistica ldquovrdquo pari al 75 della velocitagrave della luce
Calcolare lrsquointervallo di tempo Δt impiegato dal componente Q1 a raggiungere il
punto B e il corrispondente intervallo di tempo Δtrsquo misurato dagli astronomi sulla
Terra (che giace sullo stesso piano della figura) Sulla base del risultato ottenuto di
fronte a quale sconvolgente conclusione si sono trovati gli astronomi prima di
riuscire a spiegare correttamente il fenomeno (Dalla Finale Nazionale 2015
Categoria Junior)
Soluzione Il tratto AB egrave lrsquoipotenusa del triangolo rettangolo ABArsquo (vedi figura) quindi
esso vale (Teorema di Pitagora)
119860119861 = radic119860119860prime2 + 119860prime1198612 = radic9 + 16 = 5119886 119897
Esso viene quindi percorso nel tempo ∆119905 =119860119861
119907=
5119886119897
075119888= 667 119886119899119899119894 Notiamo come non ci
sia bisogno di conoscere il valore della velocitagrave della luce percheacute le distanze sono espresse
in anni luce
Adesso analizziamo il fenomeno come viene visto dalla Terra Quando Q1 si trova in A la luce
da esso emessa impiega per giungere in Arsquo un tempo pari a 4119886119897
119888= 4 119886119899119899119894 Nel frattempo
Q1 si sposta e per arrivare in B impiega 667 anni La luce che emette in B non deve piugrave
attraversare una distanza di 4 al quindi i due segnali luminosi arrivano a una ldquodistanzardquo
temporale ∆119905prime = (667 minus 4)119886119899119899119894 = 267 119886119899119899119894
Il risultato sconvolgente egrave che siccome agli astronomi da Terra egrave sembrato che Q1 si
spostasse lungo ArsquoB la sua velocitagrave misurata da Terra risulta pari a
119907 =119860prime119861
267119886119899119899119894=
3119886 119897
267119886119899119899119894= 1125119888
Bignamino di astronomia
79
Apparentemente il quasar si egrave spostato con una velocitagrave superiore a quella della luce Non egrave
infatti raro osservare dei moti superluminali (cioegrave con velocitagrave superiore a quella della luce)
in oggetti che si muovono con velocitagrave relativistiche questa velocitagrave egrave tuttavia sempre
apparente
5 Se una stella presenta un redshift z pari a 555 10-5 quale saragrave il verso e il valore della
sua velocitagrave radiale
Soluzione il redshift egrave positivo quindi la stella si allontana da noi La velocitagrave radiale
della stella egrave data da
119907 = 119888119911 = 3 ∙ 105 ∙ 555 ∙ 105 = 167119896119898
119904
6 La lunghezza drsquoonda λrsquo di una delle righe piugrave evidenti della luce emessa dalle galassie
di una costellazione egrave 1020 volte piugrave grande della corrispondente lunghezza drsquoonda
λ di riferimento Calcolare la velocitagrave con cui lrsquoammasso si sta allontanando dalla Terra
e stimare la sua distanza
Soluzione il redshift egrave119911 =∆120582
120582=
(1020minus1)120582
120582= 0020
Pertanto 119907 = 0020119888 = 6000119896119898
119904 119890 (119897119890119892119892119890 119889119894 119867119906119887119887119897119890 minus 119871119890119898119886119894119905119903119890)
119889 =119907
119867= 6000719=834 Mpc
7 In una galassia tutti gli ammassi globulari hanno un diametro pari a 50 anni luce
Nelle fotografie si misura il diametro angolare di tre di questi ammassi I diametri
risultano pari a 8rsquo9rsquo10rsquo Calcolare la distanza dei tre ammassi
Soluzione le dimensioni reali di un oggetto visto sotto un angolo α alla distanza d
sono date da
119863 = 2119889 tan (120572
2)
Da cui
1198891 =119863
2 tan(12057212)=
50
2 tan(01333
2)=21486 anni luce
1198892 =119863
2 tan (12057222)= 19099 119886119899119899119894 119897119906119888119890
Bignamino di astronomia
80
1198893 =119863
2 tan (12057232)= 17189 119886119899119899119894 119897119906119888119890
8 Se si dispone di un telescopio di 30 cm di diametro e lunghezza focale di 2 m quali
ingrandimenti saranno forniti da tre oculari di focale 25mm 10 mm e 5mm Se gli
oculari hanno un campo apparente di 55deg quale saragrave lrsquoangolo di campo al telescopio
Calcolare pure la pupilla drsquouscita
Soluzione Calcoliamo lrsquoingrandimento
1198681 =119865
119891=2000119898119898
25119898119898= 80119909
1198682 =2000
10= 200119909
1198683 =2000
5= 400119909
Il campo del telescopio saragrave
1198651199001198811 =119865119900119881119900119888119894
=55deg
80= 069deg
1198651199001198812 =55deg
200= 028deg
1198651199001198813 =55deg
400= 014deg
La pupilla drsquouscita
1199011 =300
80= 375119898119898 1199012 =
300
200= 15119898119898 1199013 =
300
400= 075119898119898
9 Calcolare lrsquoapertura minima di un telescopio per poter riconoscere un granulo solare
ampio 700km
Soluzione Lrsquoestensione angolare di questo granulo egrave data da
120572 = 2 arctan (119863
2119889) = 2 arctan (
700
2 ∙ 1496 ∙ 106) = 097
Quindi per la formula di Dawes 119863(119898119898) =120
120572=124cm
10 Per realizzare una fotografia a vasto campo egrave stato necessario un tempo di posa di 13
minuti a f3 con sensibilitagrave 800 ISO Determinare il tempo necessario per ottenere la
stessa foto usando una sensibilitagrave di 1000 ISO ed unrsquoapertura relativa di f45
Trascurare le perdite di sensibilitagrave dovute al difetto di reciprocitagrave delle pellicole
Bignamino di astronomia
81
Soluzione il tempo di posa richiesto si ricava dalla formula
1198792 =11989122 1198781
11989112 1198782
1198791 119879 119905119890119898119901119900 119878 119904119890119899119904119894119887119894119897119894119905agrave 119891 119889119894119886119891119903119886119898119898119886 (119886119901119890119903119905119906119903119886 119903119890119897119886119905119894119907119886)
1198792 =452 800
32 1000 13 = 234 119898119894119899
11 Determinare il tempo di posa massimo per ottenere stelle puntiformi senza
inseguimento siderale con un obiettivo di 50 mm (di focale F) puntato su una zona di
cielo avente declinazione media 45deg Il formato utilizzato egrave il 24x36mm
Soluzione La formula che permette di ottenere stelle puntiformi egrave
119879119898119886119909 =600
119865119888119900119904120575= 17119904119890119888119900119899119889119894
12 Un radiotelescopio ha apertura di 75 m determinare il limite di diffrazione
raggiungibile alla frequenza di osservazione di 410 MHz
Soluzione La lunghezza drsquoonda egrave data da
119888 = 120582120584 120582 =119888
120584= 732 119888119898
Il limite di diffrazione si ricava dalla formula di Rayleigh
120599 =122120582
119863= 122
732
7500= 00119 119903119886119889 = 068deg = 41prime
13 Un radiotelescopio ha un diametro di 25m calcolare il limite di diffrazione alla
lunghezza drsquoonda di osservazione di 21 cm
Soluzione Per la formula di Rayleigh
120599 =122120582
119863= 122
21
2500= 001119903119886119889 = 059deg = 352prime
14 Un telescopio riflettore ha diametro 15 m calcolare il suo potere risolutivo massimo
alla lunghezza drsquoonda dellrsquoidrogeno ionizzato Hα=6563nm
Soluzione Ancora una volta
120599 =122120582
119863= 122 lowast 6563
10minus9
15= 53 10minus7119903119886119889 = 011
Bignamino di astronomia
82
15 Consideriamo due stelle la prima (S1) ha magnitudine apparente m1=11 e si trova a
una distanza L1 dalla Terra la seconda S2 ha luminositagrave intrinseca identica a S1 ma
si trova a una distanza tripla rispetto a S1 Che magnitudine apparente ha la stella S2
Se abbiamo a disposizione uno specchio di diametro D1 con cui si riesce a vedere a
malapena S1 quanto deve essere il diametro del secondo telescopio D2 che permetta
di vedere a malapena la stella S2
Soluzione Siccome la luminositagrave intrinseca egrave la stessa ma la distanza della seconda
stella egrave tripla il flusso della seconda stella egrave uguale a un nono del flusso della prima
Quindi applicando la formula di Pogson
1198981 minus1198982 = minus25 log (11986512) = minus25 log 9 = minus239
1198982 = 11 + 239 = 1339
Infine poicheacute per osservare S2 dobbiamo essere in grado di rivelare il flusso che egrave 9
volte minore e che lrsquoarea di uno specchio aumenta con il quadrato del raggio il raggio
dello specchio D2 devrsquoessere 3 volte piugrave grande di quello di D1
16 Calcolare la magnitudine limite visuale limite raggiungibile con un telescopio di
diametro D=25cm
Soluzione Applicando la formula per trovare la magnitudine limite (con il diametro
espresso in cm) troviamo
119898 = 68 + 5119897119900119892119863 = 68 + 511989711990011989225 = 138
17 Calcolare lrsquoapertura necessaria per poter osservare stelle fino a una magnitudine
limite visuale di +16 con un telescopio
Soluzione Applicando la formula precedente
119898 = 68 + 5119897119900119892119863 119863 = 10119898minus685 = 10184 = 692 119888119898
Bignamino di astronomia
83
18 In un sistema stellare una stella ruota attorno ad unrsquoaltra su unrsquoorbita circolare con
velocitagrave 45 kms il suo periodo di rivoluzione egrave 300 giorni Determinare il raggio
dellorbita e la massa della stella centrale
Soluzione la velocitagrave orbitale egrave data da
119907 =2120587119877
119879 119889119886 119888119906119894 119877 =
119907119879
2120587=45000 ∙ 2592 ∙ 107
62831= 1856 ∙ 1011119898
Dalla Terza legge di Keplero
119872 =412058721198773
1198661198792= 5632 ∙ 1030119896119892
Bignamino di astronomia
84
La SFERA e la TRIGONOMETRIA SFERICA
Premessa
Nella geometria piana i concetti base sono il punto e la retta
Su una sfera i punti sono definiti nel senso usuale Le rette sono definite come cerchi massimi Data una sfera si definisce circonferenza massima ogni circonferenza che si ottiene intersecando la superficie sferica con un piano passante per il centro della sfera Lequatore celeste egrave un circolo massimo mentre i paralleli di declinazione non lo sono Lorizzonte astronomico egrave un circolo massimo mentre non lo sono gli almucantarat o paralleli di altezza
Elementi della sfera
Superficie sferica
Si chiama superficie sferica la figura
generata da una semicirconferenza
in una rotazione completa attorno
al suo diametro Possiamo anche
definirla come luogo geometrico La
superficie sferica egrave il luogo
geometrico dei punti dello spazio
che hanno distanza dal centro pari al
raggio
Sfera
Si chiama sfera la figura generata da un semicerchio di
una rotazione completa attorno al suo diametro
Definita come luogo geometrico egrave il luogo dei punti dello
spazio la cui distanza dal centro egrave minore o uguale al
raggio
Zona sferica
Si chiama zona sferica la parte di
superficie sferica compresa fra due
piani paralleli α e β che intersecano
la sfera Le circonferenze sezioni si
chiamano basi della zona Lrsquoaltezza egrave
la distanza tra i due centri delle
circonferenze sezioni
Bignamino di astronomia
85
Spicchio sferico Lo spicchio sferico egrave il solido delimitato da due piani meridiani passanti per
uno stesso diametro e dalla porzione di superficie sferica (fuso sferico) a
essi corrispondente
Presi due punti distinti su una sfera per essi passa
una ed una sola circonferenza massima
Dati due punti A e B distinti su una sfera esiste una ed una sola circonferenza
massima che li contiene i due punti individuano su questa circonferenza due archi il minore di essi si
chiama distanza sferica rappresenta una geodetica (La geodetica egrave la linea che realizza su una data
superficie il minimo percorso fra due punti assegnati)
Corda
Si chiama corda un segmento i cui estremi appartengono
alla superficie sferica
Si chiama diametro una corda passante per il centro
della superficie sferica e della sfera
Segmento sferico a due basi
Definiamo segmento sferico a due basi la parte di sfera
compresa fra due piani paralleli α e β secanti la sfera
stessa
Calotta Sferica
Definiamo calotta sferica ognuna
delle due parti in cui una superficie
sferica viene divisa da un piano
secante 120572 La calotta egrave la porzione di
superficie sferica ottenuta per
sezione con il piano α
Segmento sferico ad una base
Il segmento sferico ad una base egrave ognuna delle
due parti in cui una sfera viene divisa da un piano
secante α il segmento egrave la porzione di sfera
compresa tra il piano e la calotta
Fuso sferico
La parte di superficie sferica limitata da due
circonferenze massime di sezione dei
semipiani α e β con la superficie sferica
Bignamino di astronomia
86
Nella geometria sferica la circonferenza massima gioca lo stesso ruolo della retta
nella geometria piana
La lunghezza di questo arco egrave proporzionale al raggio della sfera e
allrsquoangolo al centro AOB Se AOB egrave espresso in radianti
AB = OA x AOcircB
Triangolo sferico
Si definisce triangolo sferico la superficie sulla sfera limitata da tre
archi di circolo massimo passanti per tre punti detti vertici tali punti
non devono appartenere allo stesso circolo massimo e gli archi non
devono avere alcun punto dintersezione al di fuori dei vertici
Lati del triangolo sferico
Sono le lunghezze degli archi AB BC CA che limitano la superficie
Tali lati sono minori o uguali a 180
Angoli del triangolo sferico
Sono gli angoli formati dai tre archi di circolo massimo La somma
degli angoli (interni) egrave maggiore di 2 angoli retti e minore di 6 angoli
retti
180deg lt α+β+γ lt 540deg
Pertanto la somma degli angoli egrave 180deg solo quando il triangolo egrave
degenere ovvero quando i vertici del triangolo sono situati sullo
stesso circolo massimo
La differenza fra la somma dei tre angoli di un triangolo sferico e lrsquoangolo piatto si dice eccesso sferico
ε= α+β+γ minus 180deg
Bignamino di astronomia
87
Nel triangolo sferico sussistono relazioni fra le funzioni trigonometriche dei lati e degli angoli tali relazioni
sono date dai teoremi di Eulero (teorema del coseno ( ) per i triangoli sferici e teoremi dei seni( )) da
cui derivano due gruppi fondamentali di relazioni che prendono il nome di primo e secondo gruppo di Gauss
di cui ci occuperemo nella trattazione del triangolo di posizione astronomico Lrsquoapplicazione dei triangoli
sferici assume particolare importanza in astronomia in quanto come abbiamo visto nei sistemi di riferimento
sulla sfera celeste si misurano solo distanze angolari
Per un lato
cos (119886) = cos (119887)cos (119888) + sin (119887)sin (119888)cos (119860)
sin (119886)
sin (119860)=sin (119887)
sin (119861)=sin (119888)
sin (119862)
Oppure
sin(119886) ∶ sin(119860) = sin(119887) sin(119861) = sin(119888) sin(119862)
Bignamino di astronomia
88
Triangolo di posizione astronomico
Vertici del triangolo
Il triangolo astronomico o di posizione ha i vertici nellastro
nello zenit e nel polo celeste nord il terzo vertice potrebbe
essere anche laltro polo ma per convenzione egrave preferibile
usare quello nord in quanto semplifica le regole algebriche
per il calcolo delle lunghezze dei lati
Lati del triangolo
I lati del triangolo hanno lunghezze comprese fra 0 e 180
definite come segue
bull Distanza polare p = 9 - 120575
la distanza che lastro ha dal polo di riferimento (polo celeste nord per convenzione)
Considerando la declinazione 120575 positiva se a Nord e negativa se Sud la distanza polare egrave p lt 90 nel
primo caso e p gt 90 nel secondo
bull Colatitudine c = 9 - 120593
coincide con la colatitudine ossia il complemento della latitudine Si ricorda che lelevazione
dellasse polare egrave esattamente pari alla latitudine del luogo La precedente convenzione per la
declinazione puograve essere adottata anche per la latitudine per cui si ha c lt 90 per latitudini nord e c gt
90 per quelle sud
bull Distanza zenitale z = 90 - h
Coincide con la distanza zenitale z ossia la distanza che lastro ha dallo zenit Tale distanza egrave il
complemento dellaltezza h (z = 90-h) Se lastro egrave nellemisfero visibile si ha h gt 0 e z lt 90 per astri
nellemisfero invisibile si ha h lt 0 e z gt 90
I tre angoli sono
1) Angolo vertice nello Zenith compreso tra meridiano e cerchio verticale la sua ampiezza dovrebbe corrispondere allazimuth ma in questo caso poichegrave lampiezza degli angoli nei triangoli sferici egrave sempre inferiore a 180deg prende nome di Angolo azimutale Z
2) Angolo vertice nel Polo Celeste compreso tra meridiano e cerchio orario la sua ampiezza corrisponderebbe allangolo orario ma in questo caso poicheacute lampiezza degli angoli nei triangoli sferici egrave sempre inferiore a 180deg prende nome di Angolo al Polo P
3) Angolo con vertice nellrsquooggetto A
Bignamino di astronomia
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Attraverso le seguenti relazioni note come primo e secondo gruppo di Gauss
119904119894119899 ℎ = 119904119894119899 120593 119904119894119899 120575 + 119888119900119904 120593 119888119900119904 120575 119888119900119904 119867
119888119900119904 ℎ 119888119900119904 119860 = 119888119900119904 120593 119904119894119899 120575 + 119904119894119899 120593 119888119900119904 120575 119888119900119904 119867119888119900119904 ℎ 119904119894119899 119860 = 119888119900119904 120575 119904119894119899 119867
Primo Gruppo di Gauss
119878119894119899 120575 = 119878119894119899 120593 119878119894119899 ℎ minus 119862119900119904 120593 119862119900119904 ℎ 119862119900119904 119860119862119900119904120575 119888119900119904119867 = 119904119890119899ℎ 119888119900119904120601 + 119888119900119904ℎ 119904119890119899120601 119888119900119904119860
119862119900119904ℎ 119904119890119899119867 = 119888119900119904ℎ 119904119890119899119860
Secondo gruppo di Gauss
Ersquo possibile risolvere il triangolo astronomico
Notiamo che nel triangolo di posizione sono contemporaneamente presenti per loggetto celeste osservato le sue coordinate altazimutali (azimuth o angolo zenitale e altezza o distanza zenitale) e quelle equatoriali orarie (angolo orario o angolo al polo e declinazione o distanza polare) Queste formule ci consentono il passaggio da coordinate altazimutali ad equatoriali orarie e viceversa
Queste ci consentono il passaggio da un sistema altazimutale ad equatoriale
119904119894119899 120575 = 119904119894119899 120593 119888119900119904 119911 minus 119888119900119904 120593 119904119894119899 119911 119888119900119904 119860
119888119900119904 120575 119888119900119904 119867 = 119888119900119904 120593 119888119900119904 119911 + 119904119894119899 120593 119904119894119899 119911 119888119900119904 119860119888119900119904 120575 119904119894119899 119867 = 119904119894119899 119911 119904119894119899 119860
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Le parti della sfera
Riportiamo in una tabella le caratteristiche delle parti in cui rimane divisa una superficie sferica e una sfera
di raggio R quando vengono sezionate con opportuni piani indicando anche le formule per il calcolo delle
corrispondenti superfici e volumi
FONTE ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Bignamino di astronomia
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ALCUNE ESERCITAZIONI DI TRIGONOMETRIA SFERICA
1) Calcolo dellrsquoaltezza di un oggetto alla culminazione superiore ed inferiore Giagrave conosciamo le formule che ci permettono di determinare lrsquoaltezza di un astro sullrsquoorizzonte nel caso di culminazione superiore ed inferiore per semplicitagrave le riportiamo qui di seguito
Culminazione superiore la stella culmina a sud dello zenit
la stella culmina a nord dello zenit
ALTEZZA h= 90 - ϕ + δ h= 90 + ϕ - δ
Proviamo attraverso le formule contenute nella parte teorica di trigonometria sferica a verificare queste relazioni Consideriamo la prima equazione del primo gruppo ( Primo Gruppo di Gauss)
sin h = sin φ sin δ + cos φ cosδ cos H
Se la stella culmina vuol dire che essa passa al meridiano (o superiore o inferiore a seconda della culminazione) CULMINAZIONE SUPERIORE Quando la Stella passa al meridiano superiore lrsquoangolo orario H egrave = 0 il cos0deg =1 per cui si ha
sin h = sin φ sin δ + cos φ cosδ
questa equazione si risolve facilmente se si applicano le formule di sottrazione del coseno cos (α - β) = cosαcosβ + senαsenβ
La nostra equazione puograve essere scritta sen h = cos(ϕ - δ) ndashlrsquo α della formula di sottrazione egrave la latitudine e la β la declinazione)- ma il sen h=cos(90 ndashh) ed allora cos (90-h) = cos( ϕ - δ) questa egrave una equazione elementare in coseno che ha per soluzioni
90-h= plusmn (ϕ - δ)
90-h= + ( ϕ - δ) h= 90 - ϕ + δ 90-h= - ( ϕ - δ) h= 90 + ϕ - δ
(Le relazioni sono due percheacute ognuna vale per un emisfero)
CULMINAZIONE INFERIORE Anche qui sappiamo che h= ϕ + δ- 90
sin h = sin φ sin δ + cos φ cosδ cos H
Alla culminazione inferiore lrsquoangolo orario egrave 12ℎ quindi 180deg il cos 180deg = -1
sin h = sin φ sin δ - cos φ cosδ Non possiamo applicare come prima a formula di addizione del coseno e quindi la riscriviamo
sin h= - (- sin φ sin δ + cos φ cosδ )
Bignamino di astronomia
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ricordando che cos ( α + β) = cosαcosβ ndash senαsenβ ed essendo sinh= cos(90-h) possiamo scrivere cos (90-h) = - cos( ϕ + δ) essendo cosα= - cos(180 ndashα)
cos (90-h) = cos( 180 ndash ϕ - δ)
90-h = 180 ndash ϕ - δ h= ϕ + δ- 90 NB Essendo il coseno di due angoli dello stesso valore assoluto ma di segno opposto uguale come fatto sopra anche la soluzione col segno negativo va presa quindi si ottengono anche qui due formule che come sopra si riferiscono ciascuna a un emisfero
2) Calcolare lrsquoespressione che consente di determinare il sorgere e il tramontare di un astro Successivamente determinare la differenza delle ore di luce ai solstizi a Reggio Calabria ndash Latitudine φ=38deg6rsquo Nord
Per rispondere alla prima domanda dobbiamo determinare lrsquoangolo orario applichiamo il
( ) Primo Gruppo di Gauss
sin h= sin φ sin δ + cos φ cos H cos δ
isoliamo il cosH si trova cosH= 119904119894119899ℎminus119904119894119899120593119904119894119899120575
cos120593 cos120575 e scriviamo ancora cosH =
sinℎ
cos120593 cos120575 -
sin120593 sin120575
cos120593 cos120575 ed ancora cosH =
sin h
cos φ cos δ ndash tanφ tanδ (essendo tanα=senαcosα)
Al momento del sorgere dellrsquoastro h= 0 quindi cosH = - tanφ tanδ (sen0=0) Se egrave nota lrsquoascensione retta possiamo calcolare il tempo siderale 119931119956 = H +120630 con
H=arccos(θsin h
cos φ cos δ ndash tanφ tanδ ) Se conosciamo il valore del tempo siderale in una
determinata ora di un determinato giorno possiamo anche trovare lrsquoistante di tempo che segna il nostro orologio per il sorgere del Sole (per questi calcoli si vedano i problemi precedenti sul tempo) c = H+α Una volta trovata lrsquoespressione dellrsquoangolo orario la seconda domanda si risolve facilmente
tenendo conto che lrsquoangolo orario adesso egrave 119867
2
cos 119867
2 = - tan φ tan δ
Il Sole ai solstizi ha una declinazione δ=+23deg27rsquo (21 giugno solstizio drsquoestate) e δ=-23deg27rsquo (21 dicembre solstizio drsquoinverno)
si trova che cos 119867
2 = -0784 0433 = -034 perciograve H=2arccos(-034)=219deg46rsquo=14 ore 39
minuti (digrave piugrave lungo dellrsquoanno)
mentre il 21 dicembre cos 119867
2 = (-0784) (-0433) = 034 dal quale si ricava che
H=arccos(034)=140deg15rsquo = 9 ore 21 minuti (digrave piugrave corto dellrsquoanno) la differenza di ore egrave ∆H=14h 39m-9h 21m = 5 ore 18 minuti tra inverno ed estate
Bignamino di astronomia
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3) In un certo giorno in cui egrave in vigore lrsquoora legale in una cittagrave posta alla longitudine di 120582
= 10deg 52rsquo 59rdquo E e latitudine = 44deg 38rsquo 45rdquo N il Sole ha una declinazione = 10deg 59rsquo 04rdquoConsiderando trascurabile la declinazione del Sole durante lrsquoarco della giornata
Calcolare
1 lrsquoaltezza massima raggiunta dal Sole in quella localitagrave e lrsquoora del transito in meridiano 2 lrsquoora in cui in tale giorno il sole sorge e tramonta in quella Cittagrave e lrsquoarco diurno 3 lrsquoazimut del sole nei momenti in cui sorge e tramonta
Il sole raggiunge la massima altezza hC sullrsquoorizzonte (culmina) quando transita per il
meridiano locale dellrsquoosservatore Nel caso specifico avremo hC = 90deg - ( - ) = 90deg -
+ = 90deg - 44deg64583333 + 10deg98444444 = 56deg33861111
Lrsquoaltezza massima del Sole nel momento in cui transita al meridiano egrave hC = 56deg33861111 = 56deg 20rsquo 19rdquo
Indichiamo adesso con 120582 la longitudine espressa in ore e con T la differenza in ore del
meridiano locale rispetto a GMT Nel nostro caso essendo in vigore lrsquoora legale saragrave T = 2h Le 12h locali corrispondono dunque aUT = 12h ndash 120582
per cui lrsquoora locale del transito in meridiano del sole saragrave (scrivendo la longitudine in notazione decimale)
TC = 12h ndash 120582+ T = 12ℎ minus 10deg 8830555556
15deg+ 2ℎ = 2h ndash 0h725537036 + 2h = 13h27446296
il Sole culmina alle ore locali TC = 13h 16m 28s1
I due eventi del sorgere e tramontare si verificano quando il sole interseca lrsquoorizzonte celeste dellrsquoosservatore e quindi la sua altezza h egrave nulla In questo caso egrave possibile determinare i tempi (gli angoli orari HS e HT) e le direzioni (gli azimut AS e AT) delle due posizioni del sole sullrsquoorizzonte e lrsquoarco diurno
T = HT - HS che ci dagrave la durata della permanenza del sole
Applichiamo le formule del primo gruppo di Gauss al triangolo sferico precedentemente definito rispetto al lato ldquozenit ndash solerdquo ed allrsquoangolo al vertice con lo zenit
sin h = sin sin + cos cos cos H (I)
cos h sin A = - cos sin H (II)
cos h cos A = cos sin - sin cos cos H
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Quando il sole sorge eo tramonta si ha h = 0 e quindi sin h = 0 Dalla (I) segue dunque
cos H = - tg tg Dai dati del problema si ha = 44deg 38rsquo 45rdquo N = 44deg64583333
= 10deg 59rsquo 04rdquo1 = 10deg98444444 segue cos H = - tg (44deg64583333) tg (10deg98444444) = - 0191713689
H = arccos (- 0191713689) = 101deg0528101 = plusmn 6h736854006
Lrsquoangolo orario H egrave negativo al sorgere percheacute deve arrivare in meridiano e positivo al tramonto percheacute ha superato il meridiano Saragrave dunque HS = - 6h736854006 HT = 6h736854006
il sole sorgeragrave dunque alle ore TS = TC + HS = 13h27446296 - 6h736854006 = 6h537608954 = 6h 32m 15s4
Lo stesso giorno il sole tramonteragrave alle ore TT = TC + HT = 13h27446296 6h736854006 = 20h01131697 = 20h 00m 40s7
Lrsquointervallo temporale durante il quale il sole resteragrave sopra lrsquoorizzonte saragrave
T = HT - HS = 6h736854006 + 6h736854006 = 13h47370802 = 13h 28m 25s4
Per ricavare lrsquoazimut del sole nei momenti in cui sorge e tramonta utilizziamo la (III) delle
formule di Gauss cos h sin A = - cos sin H
Nel momento in cui il sole sorge e tramonta si ha h = 0 e quindi cos h = 1 per cui si ha rispetto al punto Nord
sin AS = - cos sin HS = - cos (10deg98444444 ) sin (-6h736854006 x 15) = 0963469686
AS = arcsin (0963469686) = 74deg46556891 = 74deg 27rsquo 56rdquo1
sin AT = - cos sin HT = - cos (10deg98444444 ) sin (6h736854006 x 15) = -0963469686
AT = arcsin (-0963469686) = - 74deg46556891 = (360deg - 74deg46556891) = 285deg5344311 = 285deg 32rsquo 4rdquo
DISTANZA TRA DUE STELLE
Regolo ha coordinate H= 27m 4 s e declinazione 11deg 52rsquo 5rdquo Denebola ha coordinate H= 22h 46m 36s e
declinazione 14deg 27rsquo 33rdquo Si determini la loro distanza angolare
Per calcolare la loro distanza consideriamo il triangolo sferico BPA dalla figura si evince che
PB= 90-1205751 PA= 90-1205752 lrsquoangolo al polo P= 1198672 - 1198671
Applichiamo il teorema del coseno o di Eulero
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cosAB= cosPB cosPA + seno senPA cosP
Sostituendo
Cos120572 = cos( 90-1205751)cos(90-1205752 ) + sen(90-1205751)sen(90-1205752)cosP
Cos120572= sen1205751sen1205752 + cos1205751cos 1205752cos (1198672 minus 1198671)
E svolgendo I calcoli
Cos α= sen118681 sen 144592 + cos 118681 cos 144592 cos251167=0904
α=24deg58
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Bibliografia
Vittorio Castellani Astrofisica Stellare ndash Zanichelli Editore
Ferdinando Flora Astronomia Nautica ndash Editore Hoepli
Pietro Giannone Elementi di Astronomia ndash Edizione Pitagora
Angeletti Giannone Esercizi e complementi di astronomia ndash Edizioni Nuova Cultura
Margherita Hack Corso di Astronomia ndash Editore Hoepli
Halliday-Resnick Fondamenti di fisica ndash Zanichelli Editore
Giuliano Romano Introduzione allrsquoastronomia ndash Editore Muzzio
Leonido Rosino Lezioni di Astronomia ndash Edizione Cedam
Francesco Saverio Delli Santi Introduzione allrsquoastronomia ndash Zanichelli Editore
Cino Tacchini Il Cielo ndash UTET Editore
Francesco Zagari Astronomia sferica e teorica ndash Zanichelli Editore
Wikipedia sito web
Vialatteanet sito web
Treccani sito web
Superfici e volumi problemi di massimo e minimo Istituto Italiano Edizioni Atlas
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