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IMPORTÂNCIA DA GEOMETRIAIMPORTÂNCIA DA GEOMETRIA A geometria é de extrema importância no
cotidiano das pessoas, pois desenvolve o raciocínio visual e, sem essa habilidade, elas dificilmente conseguiriam resolver as diferentes situações de vida que forem geometrizadas resolvendo ainda questões de outras áreas de conhecimento humano. A Geometria torna a leitura interpretativa do mundo mais completa, a comunicação das idéias se ampliam e a visão de Matemática torna-se fácil de se entender.
NESSA PONTE, PODEMOS VER UMA
CONTRIBUIÇÃO DA GEOMETRIA PARA
A SOCIEDADE ATUAL.
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O QUE É PARALELISMO?O QUE É PARALELISMO? Em geometria, Paralelismo é
uma noção que indica se dois objetos (retas ou planos) estão na mesma direção. Assim, duas retas são paralelas (símbolo: //) se, e somente se, são coincidentes (iguais) ou são coplanares e não têm nenhum ponto em comum, logo, dadas duas retas coplanares distintas e uma transversal, se existem pares de ângulos congruentes (ou ângulos correspondentes), então essas duas retas são paralelas.
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ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS RETAS ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS RETAS PARALELAS CORTADAS POR UMA PARALELAS CORTADAS POR UMA
TRANSVERSALTRANSVERSAL Consideremos as retas r e s traçadas em um mesmo plano, sem pontos
comuns, essas retas são consideradas paralelas; uma outra reta t, que corta as paralelas considerada transversal ou secante, que é o nome dado à reta que cruza as retas paralelas.
Essas retas determinam oito ângulos que possuem propriedades específicas em congruência e suplemento.
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TRANSVERSALTRANSVERSAL
TRANSVERSAL PERPENDICULAR ÀS RETAS
TRANSVERSAL NÃO-PERPENDICULAR ÀS RETAS
Quando a transversal for perpendicular às duas semi-retas paralelas retas todos os ângulos serão retos (de 90°).
Quando a transversal não for perpendicular às retas paralelas, haverá quatro ângulos agudos iguais e quatro ângulos obtusos iguais.
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Ângulos alternos internos: c e e d e f.
Ângulos alternos externos: b e h a e g.
Ângulos colaterais internos: c e f d e e.
Ângulos colaterais externos: b e g a e h.
Ângulos correspondentes: d e f a e e c e g d e h.
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TIPOS DE ÂNGULOSTIPOS DE ÂNGULOS POSIÇÃO
Ângulos colaterais internos: estão do mesmo lado da transversal, entre as paralelas, a soma dos ângulos é 180º(suplementares).
Ângulos colaterais externos: estão do mesmo lado da transversal, fora das retas paralelas, a soma dos ângulos é 180º (suplementares).
Ângulos alternos internos: estão em lados diferentes da transversal, entre as paralelas e não apresentam o mesmo vértice, os ângulos são iguais (congruentes).
Ângulos alternos externos: estão em lados diferentes da transversal, fora das paralelas e não apresentam o mesmo vértice (congruentes).
Ângulos correspondentes: apresentam a mesma medida, com demarcação estabelecida a um mesmo lado da transversal (congruentes).
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TEOREMA DAS RETAS PARALELASTEOREMA DAS RETAS PARALELAS
" Se duas retas coplanares e distintas
r e s, e uma transversal t,
determinam um par de ângulos alternos
congruentes, então r é paralela a s.”
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SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO
Soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180º
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Segmentos proporcionais e os
triângulos semelhantes na Antiguidade
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HISTÓRIAHISTÓRIA
Tales de Mileto, matemático e filósofo grego do século VI a.C., certa vez, apresentou-se ao Rei do Egito, oferecendo-se para calcular a altura da pirâmide de Quéops, sem escalar o monumento.
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O RACIOCÍNIO DE TALES NAS O RACIOCÍNIO DE TALES NAS PIRÂMIDESPIRÂMIDES
Nas proximidades da pirâmide, fincou uma estaca de madeira no solo.
estaca
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RACIOCÍNIO MATEMÁTICO RACIOCÍNIO MATEMÁTICO DE TALES NA PIRÂMIDEDE TALES NA PIRÂMIDE
Alturada pirâmide
(h)
Alturada
estaca(2 m)
115 mbase
250 msombra
5 msombra
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RACIOCÍNIO MATEMÁTICO RACIOCÍNIO MATEMÁTICO DE TALES NA PIRÂMIDEDE TALES NA PIRÂMIDE
Alturada pirâmide
(h)
Alturada
estaca(2 m)
115 mbase
250 msombra
5 msombra
mh
h
h
1465
365
2
5
250115
2
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SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOSSEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
* Os três ângulosângulos internos são ordenadamente congruentescongruentes.
Dois triângulos são semelhantessemelhantes, se e somente se:
* Os lados homólogoslados homólogos (mesma posição) são proporcionaisproporcionais.A
B C
A’
B’ C’a a’
b’bcc’
kc
c
b
b
a
aCBAABC
''''''~
k = razão de semelhança
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SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOSSEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
TEOREMA FUNDAMENTAL
A B
C
D E
Se uma reta é paralela a um dos lados de um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois lados em pontos distintos, então o triângulo determinado por ela é semelhante ao primeiro:
CDECAB ~
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CASOS DE CONGRUÊNCIA
1- LAL dois lados iguais e o ângulo entre eles congruentes.
2- ALA dois ângulos iguais e o lado entre eles congruentes.
3- LLL lados homólogos iguais.
* Os casos AAL e ALL só são válidos se o triângulo for retângulo.
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CONSEQUÊNCIA DA SEMELHANÇA DE CONSEQUÊNCIA DA SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOSTRIÂNGULOS
BASE MÉDIA
x
A
B C
M N
B
b
2
BCMN
2
bBx
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TEOREMA DE TALES
Dados: um feixe de retas paralelas e retas transversais, a
razão entre as medidas dos segmentos quaisquer de uma das
transversais é igual à razão entre as medidas dos segmentos correspondentes de outra.
A
B
A’
B’
C
D
C’
D’
''
''
DC
BA
CD
AB
As medidas dos segmentos correspondentes nas transversais
são diretamente proporcionais.
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TEOREMA DA BISSETRIZ INTERNA
Uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em
segmentos proporcionais aos lados adjacentes:
A
B C
c b
Dx y
y
b
x
c
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A
B C
c b
Dx y
r s
Ângulos alternos internos
Ângulos correspondentes
r//s E
Demonstração:
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y
b
x
c
A
B C
c b
Dx y
r
E
Logo o triângulo ACE é
isósceles AC = AE = b b
Pelo Teorema de Tales temos:
s
r//s
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A
BC
D
CD
AC
BD
AB
TEOREMA DA BISSETRIZ EXTERNA
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A
BC
D
Dica para a demonstração:
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...pelo Teorema de Tales:
A
BC
D
CD
AC
BD
AB
c b
x
y
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OO
TRIÂNGULOTRIÂNGULO
RETÂNGULRETÂNGULOO
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RELAÇÕES MÉTRICAS E TRIGONOMÉTRICAS NO
TRIÂNGULO RETÂNGULO
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Significado:
Trigonometria
Tri trêsgono ângulosmetria medição
É o ramo da matemática que estuda a relação entre as medidas dos lados e dos ângulos de
um triângulo retângulo.
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Aplicação:
É empregada na navegação, na aviação, na topografia, etc.
É indispensável à engenharia e à física.
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Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos.
Letra Lado Triângulo Vértice = Ângulo Medida
a Hipotenusa
A = Ângulo reto A=90°
b Cateto B = Ângulo agudo B<90°
c Cateto C = Ângulo agudo C<90°
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HIPOTENUSA E CATETOS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Catetos: são os dois lados que formam o ângulo reto.Hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo reto.
hipotenusa
cateto
cateto catetocateto
hipotenusa
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RELAÇÕES OU RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO
TRIÂNGULO RETÂNGULOtg x = Cat.Oposto
Cat. Adjacente
sen x = Cat.Oposto Hipotenusa
cos x = Cateto Adjacente Hipotenusa
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Tabela de razões trigonométricas:(ângulos notáveis 30º, 45º e 60º)
30º 45º 60º
Sen
Cos
Tg
2
1
2
2
2
3
2
3
2
22
1
1 3
30º 45º 60º
Sen
Cos
Tg 2
3
3
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OUTROS SEGMENTOS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO
a: é a hipotenusa.b e c: são os catetos.h: é altura do triângulo em relação à hipotenusa.m: é a projeção do cateto b sobre a hipotenusa.n: é a projeção do cateto c sobre a hipotenusa.
a
mn
hbc
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A altura h divide o triângulo ABC em dois triângulos retângulos, ABH e ACH.
A
B H C
h
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Os triângulos ABC, ABH e ACH são semelhantes. Veja:
h
(I) + = 90º
A
B H C
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(II) + + 90º = 180º + = 90º
Comparando (I) e (II), tem-se: + = + = .
Portanto, = .
(I) + = 90º
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(III) + + 90º = 180º + = 90º
Comparando (I) e (III), tem-se: + = + = .
Portanto, = .
(I) + = 90º
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CONCLUSÃO
Como = e = , os triângulos ABC, ABH
e ACH são semelhantes pelo caso (AA). h
A
B H C
A
B CB H H C
A A
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1ª RELAÇÃO MÉTRICA
nmh
h
m
n
h
2
h
b
m
A
H C
hc
n
A
HB
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2ª RELAÇÃO MÉTRICA
amb
b
m
a
b
2
h
b
m
A
H C
bc
A
B Ca
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3ª RELAÇÃO MÉTRICA
c
h n
hc
n
A
HB
a
b c
bc
A
B Ca
anc
a
c
c
n
2
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4ª RELAÇÃO MÉTRICA
c
h n
hc
n
A
HB
a
b c
bc
A
B Ca
cbhaa
b
c
h
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TEOREMA DE PITÁGORAS(5ª RELAÇÃO MÉTRICA)
a
mn
hbc
2ª relação: b² = m . a3ª relação: c² = n . a
Observe que a = m + n
anc
amb2
2
222
22
22
22
acb
aacb
nmacb
anamcb
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TEOREMA DE PITÁGORAS
A
B Ca
bc
Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
a² = b² + c²
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1ª e 4ª RELAÇÃO MÉTRICA SOB OUTRAS PERSPECTIVAS
Ba = m + n
CH
n
bh
A
m
c
A
m
c
HB
h
CH
n
bh
n
h
h
mtg
nmh .2
A área do triângulo ABC pode ser calculada por:
2
.
2
. cbha
cbha ..
A
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RESUMO
a
mn
hbc
Relações métricas:
1ª) h² = m . n
2ª) b² = m . a
3ª) c² = n . a
4ª) a . h = b . c
Teorema de Pitágoras
5ª) a² = b² + c²
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Pitágoras deu nome a um importante teorema sobre o triângulo retângulo, que inaugurou um novo conceito de
demonstração matemática. O Teorema de Pitágoras é
provavelmente o mais célebre dos teoremas da Matemática, estabelece
uma relação simples entre o comprimento dos lados de um
triângulo retângulo.
TEOREMA DE PITÁGORASTEOREMA DE PITÁGORAS
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A figura ao lado mostra o significado geométrico do Teorema de Pitágoras. A área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.
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Triângulo Retângulo
A área do quadrado maior é a soma das áreas dos quadrados
menores
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Triângulo Retângulo
A área do quadrado
é dada por a2
b c
b
c
b + c
Efetuando a soma das áreas temos:
22 )(2
.4 cb
cba
222 22 cbcbbca 222 cba
a
a
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Triângulo Retângulo
b2
c2
Conclusão:
a2 = b2 + c2
Isto é, a área do quadrado maior é a soma das áreas
dos quadrados menores
a2
aa
c
b
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Triângulo Retângulo
l
l
2l
22
222
.2 ld
lld
2ld
2
l
2
l
l lh
22
2
2h
ll
€
⇒ l2 −l2
4= h2
22
4
3h
l
2
3lh
Diagonal do quadrado e altura do triângulo equilátero