А. К. ЗВОНКИН

Р И С У Н К И

ИЗДАТЕЛЬСТВОМОСКОВСКОГО ЦЕНТРАНЕПРЕРЫВНОГОМАТЕМАТИЧЕСКОГООБРАЗОВАНИЯ

ИЗДАТЕЛЬСТВОМОСКОВСКОГОИНСТИТУТАОТКРЫТОГООБРАЗОВАНИЯ

МОСКВА — 2 0 0 6

УДК 372.3/.4:51(072) � Книги издательства МЦНМО можно при-обрести в магазине <Математическаякнига>

� 119002,Москва, Бол. Власьевскийпер., 11(проезд до ст. метро <Смоленская> или<Кропоткинская>)

� (495)- � biblio@mccme.ru241-72-85 http://biblio.mccme.ru/

ББК 74.102З42

Звонкин А. К.З42 Малыши и математика. Домашний кружок для до-

школьников / Рис. М. Ю. Панова. — М.: МЦНМО,МИОО, 2006. — 240 с.: ил.

ISBN 5-94057-224-3.Автор этой книги — профессиональный математик — рассказывает

о своём опыте занятий математикой с дошкольниками. Жанр книгисмешанный: дневниковые записи перемежаются рассуждениями о мате-матике или о психологии, наблюдения за детьми и за их реакцией на про-исходящее служат источником для новых задач, а те в свою очередьпозволяют углубить и развить как бы намеченные пунктиром идеи.

Книга будет интересна родителям дошкольников (а также их бабуш-кам и дедушкам), воспитателям детских садов, учителям начальныхклассов, и вообще всем тем, кого интересует процесс развития детскогоинтеллекта.

УДК 372.3/.4:51(072)ББК 74.102

Александр Калманович Звонкин.Малыши и математика.Домашний кружок для дошкольников.

Руководитель издательского проекта В. О. Бугаенко.Редактор Н. Б. Бугаенко.Художественный редактор П. М. Юрьев.

Издательство Московского центра непрерывного математического образования.119002, Москва, Бол. Власьевский пер., 11.

Издательство Московского института открытого образования.125167, Москва, Авиационный пер., 6.

Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП <Типография ,,Наука“>.119099, Москва, Шубинский пер., 6.

ISBN 5-94057-224-3 © А. К. Звонкин, 2006.© МЦНМО, 2006.© МИОО, 2006.

Оглавление

Несколько предварительных замечаний 5

Родительский дневник . . . . . . . . 5Зачем вестикружок?Зачемнужендневник? 6Нужно ли редактировать дневники? . . 8Размышления неофита о дошкольнойматематике . . . . . . . . . . . . 9

Когда она начинается? (9). Считаемпо-японски (9). Детсадовская геоме-трия (10).

Мнения . . . . . . . . . . . . . . 11Краткая история наших занятий . . . 12Благодарности . . . . . . . . . . . 15Два предупреждения . . . . . . . . 16

ГЛАВА 1.Первое занятие и мысли вокруг . . . 17

Как это происходило . . . . . . . . 17Феномены Пиаже: реальность или обманызрения? . . . . . . . . . . . . . 25

О пользе чтения книг по психологии . 30Как относиться к теориям . . . . . . 33

ГЛАВА 2.Кружок с мальчиками — первый год 35

Занятие 21. Лист Мёбиуса . . . . . . 35Занятие 22. Что больше, целое или часть? 36Занятие 23. Ханойская башня . . . . 39Занятие 24. Немножко топологии . . . 42Занятие 25. Мальчик в лифте . . . . 43Занятие 26. Пересекающиеся классы . 45Занятие 27. Четырёхугольники на мозаике 46Занятие 28. Начинаем теорию вероятно-стей . . . . . . . . . . . . . . . 48

Занятие 29. Полный провал . . . . . 49Занятие 30. Переливание воды . . . . 51Занятие 31. Снова теория вероятностей 54Занятие 32. Дипломы . . . . . . . . 55Несколько дополнительных задач . . . 56Как рисовать куб? . . . . . . . . . 59

ГЛАВА 3.Дети и C25: история одной задачи . . 61

Комбинаторная задача . . . . . . . . 61Эквивалентные задачи . . . . . . . . 63Обозначить... . . . . . . . . . . . . 65Доказательства . . . . . . . . . . . 67Физика и логика . . . . . . . . . . 69

ГЛАВА 4.Кружок с мальчиками — второй год 72

Занятие 33. Подобие . . . . . . . . 72Занятие 34. Без событий . . . . . . . 74Занятие 35. Почти что подсчёт вероятно-стей . . . . . . . . . . . . . . . 75

Занятие 36. Игра с тремя костями . . 76Занятие 37. Сколько прямоугольников? 78Занятие 38. Всё валится из рук . . . 80Занятие 39. После спада — подъём . . 81Небольшой экскурс в прошлое . . . . 82Язык программирования Малыш . . . 85Занятие 40. Появляются блоки Дьенеша 89Занятие 41. То же: блоки Дьенеша и робот 91Занятие 42. Снежинки . . . . . . . 92Занятие 43. О некоторых свойствах сло-жения . . . . . . . . . . . . . . 93

Занятие 44. Магический квадрат . . . 97Занятие 45. Обобщённые цепочки . . 98Занятие 46. Изоморфизм задач . . . . 99Занятие 47. Конец истории про C2

5 . . 100Занятие 48. Истинные и ложные утверж-дения . . . . . . . . . . . . . . 102

Немного программирования — с однимДимой . . . . . . . . . . . . . . 103

Занятие 49. Повод поразмыслить о знаках 105Занятие 50. Двойной юбилей . . . . . 108Занятие 51. Какая дорожка длиннее? . 108Занятие 52. Разгадка шифра . . . . . 110Занятие 53. Генеалогическое древо . . 111Занятие 54. Конец учебного года . . . 113

ГЛАВА 5.Простое и сложное: об обозначениях,процессе абстрагирования, математикеи языке . . . . . . . . . . . . . . 115

Значки для слов . . . . . . . . . . 115<Упрощённые> обозначения . . . . . 116В одном человеке сосуществуют разныеинтеллекты . . . . . . . . . . . . 118

Учить математике так же, как мы учимдетей говорить . . . . . . . . . . 122

ГЛАВА 6.Кружок с мальчиками — третий год 124

Занятие 55. Логические задачи . . . . 124Занятие 56. Директор строительства . . 126Занятие 57. Кто бутее, Гобр или Ступ? 127Занятие 58. План комнаты . . . . . . 130Долгая пауза . . . . . . . . . . . . 132Занятие 59. Что видит другой . . . . 136Занятие 60. Рефлексия . . . . . . . 138Занятие 61. Как сложитьневидимые числа? 140Занятие 62. Какая комната больше? . . 142Занятие 63. Разум против случайности 144Занятие 64. Снова сражаемся с шансами 146Занятие 65. Гомеоморфизм . . . . . . 148Занятие 66. Топология . . . . . . . 150Занятие 67. Четыре краски . . . . . 151О том, о сём: шутки, разговоры, задачи 152

Болтаем (153). Снова оматематике (155).

Оглавление — 4 — Оглавление

ГЛАВА 7.Кружок с мальчиками — последниеполгода . . . . . . . . . . . . . . 160Занятие 68. Подвохи календаря . . . 160Занятие 69. Много устных задач . . . 162Занятие 70. Снова о программах . . . 163Занятие 71. Школьные задачи... ну, почти 166Занятие 72. Подпрограммы . . . . . 168Занятие 73. Нечётные числа и квадраты 170Занятие 74. Геометрия чисел . . . . . 172Занятие 75. Об индейцах майя . . . . 173Занятие 76. Всё когда-нибудь кончается 175

ГЛАВА 8.В школе и дома . . . . . . . . . . 177Беседы о математике и грустные рассуж-дения о школе . . . . . . . . . . 177

О первоклассниках . . . . . . . . . 190

ГЛАВА 9.Кружок с девочками — первый год 194Введение . . . . . . . . . . . . . 194

Ответы на часто задаваемые вопросы(194). Характеры (195). Женя рисует(длинное отступление) (195). Возвра-щаясь к математике (199).

Занятие 1. Снова феномены Пиаже . 200Занятие 2. Принцы и принцессы . . 204Занятие 3. Сколько разниц? . . . . 206Занятие 4. Построение по чертежу . . 208Занятие 5. Перестановки . . . . . . 210Занятие 6. Порядок утренних дел . . 212Занятие 7. Игра побеждает науку . . 213Занятие 8. Между двумя зеркалами . 215Занятие 9. Во дворе . . . . . . . . 216Занятие 10. Расположение двухцветныхкубиков . . . . . . . . . . . . . 219

Занятие 11. Пятёрки . . . . . . . . 220

ГЛАВА 10.Кружок с девочками — второй год 221

Занятие 12. Что-то не так с теорией ве-роятностей . . . . . . . . . . . . 221

Занятие 13. Опять о пересекающихсяклассах . . . . . . . . . . . . . 222

Занятие 14. Ханойская башня . . . . 224Занятие 15. Башни равной высоты . . 225Занятие 16. Поворот на 90◦ . . . . . 226Занятие 17. Снежинки . . . . . . . 227Занятие 18. Грани, вершины и рёбра куба 227Занятие 19. Волк, коза и капуста . . . 230Занятие 20. Цепочка с одной разницей 233

Эпилог . . . . . . . . . . . . . . 238

Несколькопредваритель-ных замечанийРодительский дневник

Среди многочисленных окололите-ратурных жанров существует и такой:родительский дневник. Дети растут,с ними много всякого происходит,а родители всё это аккуратно заносятв тетрадочку. Потом, через много лет,эти тетрадочки оказываются просто-та-ки захватывающим чтением. Особеннодля самих родителей. Ещё бы — ведьэто про своих собственных детей, даещё в таком умилительном возрасте.И, опосредованно, о своей молодости.Часто ли вам, уважаемый читатель,

приходилось разглядывать фотографиималеньких детей — не своих, а чужих?Приходят гости, вытаскивают стопкуфотографий, и начинается... Вы ужена втором десятке с трудом подавляетезевоту, а они готовы длить это дейст-во до бесконечности. Всё, что касаетсяи х детей или внуков, кажется имнеотразимоинтересным; а вас преследу-ет только одна мысль: ну до чего жевсе младенцы похожи друг на друга!Вот и я сейчас, как говорится, <пред-

ставляя эту книгу на суд читателя>,испытываю весьма смешанные чувства.Я хотел бы, но никак не могу войтив положение стороннего и объективно-го наблюдателя. Алла Ярхо, моя жена,вообще говоря, является очень строгими придирчивым критиком. Но каждыйраз, беря в руки этот текст, она егов очередной раз перечитывает — и неможет оторваться. Вся столь привыч-

ная нам ирония куда-то отступает и вы-тесняется совсем другими эмоциями.Эта книжка — про наших детей.

У нас их двое— сынДима и дочьЖеня.Об их детских годах здесь и расска-зывается; ну, и, разумеется, об ихдрузьях тоже — ведь не жили же онив колбе. Хотя невозможно отрицать,что мы были гораздо более внима-тельными и наблюдательными, когдадело касалось именно наших детей,а не чужих.Перед автором возникает суровый

вопрос: что интересного найдёт длясебя в этой книге посторонний чита-тель? Почему она должна быть ин-тересна не только нашей семье, нои чужим людям?По идее ответ таков: эта книга —

не <просто дневник>, а дневник ма-тематического кружка. Когда Димеисполнилось 3 года и 10 месяцев,я собрал четверых ребят примернотого же возраста, что и он, или чутьпостарше, его приятелей по двору,и начал вести с ними математиче-ский кружок. Вот об этом довольнонеобычном опыте здесь и рассказано.Если угодно, эту книжку можно вос-принимать и как своего рода задач-ник по математике для дошкольни-ков. С той особенностью, что, кромесамих задач, здесь рассказывается ещёи о том, как дети на эти задачи реаги-ровали, что понимали, что нет, какиеу нас с ними возникали трудностии недоразумения.Пожалуй, если бы какой-нибудь

автор написал сборник задач по самойобыкновенной геометрии или алгебре,но при этом ещё превратил бы каждуюзадачу в живую историю о том, как они его ученики с этой задачей <сража-лись> — что ж, такая книга вполнемогла бы меня как читателя заинте-ресовать. С малышами же это всё не-сравненно интереснее. Весь процессразвития мышления, все движенияинтеллекта здесь гораздо виднее, го-раздо ярче. Начиная кружок, я не могпредвидеть, до чего это дело окажется

Зачем вести кружок? Зачем нужен дневник? — 6 — Несколько предварительных замечаний

увлекательным, попросту захватыва-ющим. В результате так вышло, чтов течение многих лет мой круг чтенияв большой степени складывался изкниг по педагогике и психологии —это сначала, а потом пошло дальше,вширь: лингвистика, психиатрия, по-ведение животных, генетика поведе-ния... Я открыл для себя новый мир,я стал богаче и надеюсь, что умнее,и всё это благодаря моим детям. Хотя,казалось бы, ещё Грибоедов заметил:<Но чтоб иметь детей, кому ума не-доставало?>.А дошкольная математика в её чи-

сто математическом аспекте, междупрочим, намного проще школьной —она доступна любому читателю, а неодним лишь специалистам. Это оченьсильно расширяет потенциальную ау-диторию книги.В общем, главное сделано: я сам се-

бя сумел убедить, что книжка эта инте-ресна не мне одному. Теперь я могус чистой совестью рекомендовать еёчитателю. (Призна́юсь однако без лу-кавства, что многие друзья, читавшиепервую, ещё рукописную версию днев-ника, уже давно призывали меня из-дать его в видекниги.Множествоксеро-копий разошлось сначала по Москве,а потом и по всему миру. Этот интересне угасает уже в течение двадцати лет,и это для меня ещё один аргументв пользу данного предприятия.)

Зачем вести кружок?Зачем нужен дневник?

Кружок, как и любая другая формасистематических занятий, — это способсамодисциплины. В принципе, каза-лось бы, можно заниматься с детьмии без кружка. Задавать время от време-ни какие-то вопросы, задачи, что-тообсуждать. Но в реальной жизни такне получается, и весь проект оченьскоро превращается в утопию. Вчерабыло некогда, сегодня нет настроенияили устал... И вообще — почему непре-

менно сейчас, сию минуту? Успеется,время ещё есть. Как-нибудь на днях...И в итоге ничего не происходит.Еслиже вы знаете, что завтра в один-

надцать утра к вам приведут четверыхмалышей, и вам нужно будет их раз-влекать хотя бы полчаса, вот тогдаситуация в корне меняется. Хотите вытого или не хотите, но вам придётсясесть в укромный уголок и начатьчто-то придумывать. Не получаетсяпридумать самому — значит лезть в ка-кие-нибудь книжки за идеями. А ко-гда настойчиво над чем-то думаешь,рано или поздно в голову приходятсовсем новые идеи, которые вообщене появились бы, если бы не давле-ние обстоятельств.Или, допустим, вы породили новую

идею, но она может потребовать <ма-териальной подготовки>: нужно что-товы́резать, нарисовать, склеить... Чтобыподвигнуть себя на такой <труд радисемьи>, нужно иметь более жёсткиеи более конкретные стимулы, чем про-сто залетевшая в голову мысль о воз-можной забавной задаче.Дети, между прочим, тоже больше

любят, когда их деятельность сопряже-на с неким ритуалом. Если взрослыеначнут ни с того ни с сего отвлекатьдетей от игры и приставать к нимс какими-то задачами, это вызоветскорее лёгкое раздражение и желаниепоскорей отделаться от этой неумест-ной навязчивости. И совсем другоедело — раз в неделю в определённоевремя собираться всем вместе, чтобызаниматься чем-то серьёзным.Таков вкратце ответ на первый во-

прос: зачем вести кружок?Что касается дневника, то никакого

дневника я поначалу не вёл, да и во-обще особо серьёзного значения своимзанятиям не придавал. Читатель уви-дит, что дневник начинается только с21-го занятия. Первые <20 недель> —это вовсе не пять месяцев, как можнобыло бы подумать, а все десять: заэто время были и летние каникулы,и разные другие пропуски. И вообще

Несколько предварительных замечаний — 7 — Зачем вести кружок? Зачем нужен дневник?

не надо думать, что если мы решилизаниматься регулярно раз в неделю,то так уж всегда прямо и следовалипринятому решению.А дальше произошло вот что. При-

мерно через полгода после началазанятий несколько моих друзей по-просили меня рассказать, чем и какмы занимаемся. Я радостно открылрот... — но вместо потока задач и идей,который должен был бы из меня из-литься, вдруг возникла неловкая пау-за. Оказалось, что я всё забыл! Ну, несовсем всё, конечно, но близко к то-му. Что я прекрасно помнил — такэто то общее чувство энтузиазма и на-полненности детской энергетикой, ко-торое постоянно сопровождало меняна наших занятиях. А вот его кон-кретное наполнение фактами где-тозаблудилось среди извилин. Что-топодобное рассказывают об инвалидах,потерявших ногу: чувство, что ногаздесь, сохранилось, а самой ноги нет.Такого подвоха от собственной па-

мяти я не ожидал; я был смущён и рас-строен. После этого разговора, записаввкратце то, что ещё хоть как-то удер-жалось в голове, я решил впредьвести нечто вроде конспекта. Пустьу меня будет хотя бы список задач,а на их основе вспомнится и осталь-ное. Интересно, что я уже тогда, в тотмомент подумал про <остальное>; ви-димо, я уже интуитивно чувствовалнедостаточность самой идеи <списказадач>.Очень скоро я совершил своё пер-

вое <теоретическое открытие> в обла-сти педагогики. Я обнаружил (понял,почувствовал?), что записывать самипо себе задачи дело не очень осмы-сленное. То, что по-настоящему инте-ресно, — это вовсе не условия задачи не их решения, а тот процесс, тотпуть, который ведёт от одного к дру-гому. Вы легко можете себе пред-ставить, что математические задачи,которые можно давать дошкольнику,сами по себе достаточно тривиальны(нетривиальным является только

процесс их придумывания). С другойстороны, путь от задачи к решениювполне может занять несколько лет.Да-да, несколько лет, не удивляйтесь:вы ещё увидите тому массу примеров.В течение всего этого времени интел-лект ребёнка вовсе не спит. Он бурлит,он кипит, он <носится, как угорелый>вокруг всего, что попадает в поле еговнимания, в том числе и вокруг моихзадач. Наш диалог на эту тему —это-то и есть самое интересное!Таким вот образом мало-помалу

мой <список задач> стал обрастатьвсё бо́льшим и бо́льшим количествомкомментариев, историй, анекдотов,стал включать порой темы не толькоматематические, там появились ка-кие-то общие рассуждения и <тео-рии>, и так постепенно образовалсяэтот дневник.А потом наступил следующий этап:

между кружком и дневником возни-кла обратная связь. Когда записы-ваешь то, что видел и о чём думал,сами собой возникают новые мысли,возможные повороты сюжета, рожда-ются новые задачи и темы занятий.Осмысление становится глубже. Даженаблюдательность — и та заостряется,что ли. Порой вспоминаешь что-топроизошедшее на кружке, на что в су-матохе не обратил внимания, а потомбы и вообще забыл, если бы вовремяне записал. Вот такой в конечномитоге получился симбиоз, когда ужеодно трудно себе представить без дру-гого.И, наконец, последний штрих. Про-

шло время, дети выросли — и про-чли мой дневник. Оказалось, что онимногое хорошо помнят, и их воспри-ятие событий далеко не всегда со-впадает с моим (а иногда и являетсяв точности ему противоположным).По моей просьбе они добавили к тек-сту свои комментарии. Так появилосьнекое дополнительное измерение, де-лающее весь проект более диалогич-ным; как выразился один знакомый,возникает стереоскопический эффект.

Нужно ли редактировать дневники? — 8 — Несколько предварительных замечаний

Нужно ли редактировать дневники?

Я считаю, что безусловно да, нужно.Старинные авторы говорили: <Эти

листы никогда тиснению преданы небудут>. То есть, мол, никогда не будутнапечатаны. Чаще всего лукавили: рас-считывали на то, что взволнованныеи благодарные потомки найдут их труд,придут в восторг от их искренностии откровенности (ведьписано-то толькодля себя!) — и опубликуют, и наступитвечная слава. Поймать такого авторабывает проще простого. Он постояннопоясняет сам себе то, что, казалось бы,и без того прекрасно знает. В такихремарках нуждается читатель, но ни-как не сам автор.Если же дневник и в самом деле пи-

шется для себя, а потом читается кем-тодругим, могут возникнуть чудовищныеискажения. Представьте себе, скажем,такуюситуацию.Естьчеловек, которогоя очень сильно уважаю; так сильно,что это граничит где-то даже с прекло-нением. Однако я всё же не слепой,и для меня не являются секретом не-которые его маленькие, а то и не такиеуж маленькие недостатки и смешныечерты характера. В дневнике <для себя>я могу вдоволь поиронизировать, по-издеваться над этим человеком; могудаже при случае излить своё раздра-жение. При этом мне вовсе не нужнонапоминать самому себе про моё к не-му истинное отношение. (<Но вы неподумайте, я его вообще-то оченьуважаю...> — Кто <вы>?) Если этоттекст потом попадёт к постороннемучитателю, картина окажется весьмадалёкой от реальности: о моём уваже-нии читатель ничего не узнает, оста-нутся одни насмешки, одна язвитель-ность.Или возьмём другой пример, более

кнамблизкий.Вотяпишуздесь одетях.Вроде бы так, да не совсем. На самомделе я пишу всего лишь об одномаспекте их жизни — об их взаимоот-ношениях с математикой. А ребёнок

к этому ну никак не сводится; по суще-ству я описываю в среднем полчаса издвух недель его жизни. У него естьи другие интересы, и другие проблемы,и другие таланты. Читая эту книгу,даже я сам склонен об этом забывать,а уж что говорить о читателе, которыйэтих детей никогда в глаза не видел!(Я ещё вернуськ этой темена стр. 195—199, но в отношении одной лишь Же-ни.) И это ещё не говоря о том, чтовсе эти дети уже давно выросли и имсейчас по 25—30 лет. Скоро уже ихсобственные дети будут читать о сво-их папах и мамах: <Когда папа былмаленький...> То, что когда-то ещёмогло хоть как-то претендовать на до-кументальность, с течением временивсё более и более приобретает чертыхудожественного вымысла; это будтонаписано о каких-то других людях.Немогу сказать, что этот мой дневник

был таким уж однозначно интимнымдокументом. Это скорее техническийдокумент. Я его и в самом деле писалдля себя, но никогда не имел в видудержать его в секрете и охотно пока-зывал всем, кто им интересовался. Нои этот технический характер тоже со-здаёт свои проблемы. Ну, не буду жея в самом деле сам себе объяснять, чтотакое ханойская башня или задача проволка, козу и капусту! И ещё — в ори-гинале имелись повторения, непонят-ные места, записи, нуждавшиеся в рас-шифровке... (Впрочем, некоторые по-вторения я оставил; особенно те, гдеиз одних и тех же посылок делаютсясовершенно разные выводы. Так оно<аутентичнее>.)Одним словом, есть масса сообра-

жений, иногда этических, иногда тех-нических, по которым мой материалнуждался в самом серьёзном редак-тировании. Вот почему я всегда укло-нялся от многочисленных предложе-ний опубликовать свой дневник <таккак есть>.Ну, а почему же я его тогда так

долго не редактировал? Зачем тянулстолько лет?

Несколько предварительных замечаний — 9 — Размышления неофита о дошкольной математике

Ну, чего тут объяснять? Жизнь естьжизнь. То одно, то другое (как гово-рил один персонаж Стругацких, объ-ясняя, почему он не стал писателем).И вообще, пора уже перестать ходить

вокруг да около и перейти к делу.

Размышления неофитао дошкольной математике

Когда она начинается? Такие сцен-ки каждый из вас наблюдал не раз.Мама прячется заштору, потом с улыб-кой выглядывает и говорит: <Ку-ку!>.Исновапрячется.Асовсем ещёкрошеч-ный малыш при каждом её появлениихлопает в ладоши и радостно визжит.Оба совершенно счастливы. Обоим,конечно же, и в голову не приходит,что они занимаются математикой.Я написал эту фразу не для того,

чтобы шокировать читателя или подце-пить его на удочку притянутого за ушипарадокса. Я это всерьёз. Если почи-тать труды психологов, можно узнать,что в возрасте до полутора лет основ-ная интеллектуальная задача, котораястоит перед ребёнком, заключаетсяв том, чтобы открыть закон постоянстваобъектов. То есть, что вещи не исче-зают, когда мы перестаём их видеть,а остаются существовать там же, гдебыли, — существовать без нас. Ока-зывается, такой важный объект, какмама, исчезнув за портьерой, всё жепродолжает быть где-то здесь, и вско-ре появляется из-за той же портьеры.Ребёнок растёт, и его осмысление

мира растёт вместе с ним. Вот микро-скопического размера девочка играетв захватывающую игру: она подбираетпо одному разбросанные на полу ку-бики и даёт их папе, каждый раз приэтом торжественно возглашая: <На!>.Папа берёт кубик — и она заливистохохочет. Она совсем недавно усвоиласлово <на> и использует его при каждойвозможности. Неожиданно её не совсемещё ловкие ручки захватывают сразудва кубика. Несколько мгновений она

размышляет о том, как поступить; по-том — эврика! — протягивает кубикипапе и восклицает: <На-на!>. Так и хо-чется тут перефразировать Пушкина:следовать за мыслями малого челове-ка есть наука самая занимательная.К двум годам очень многое уже

усвоено. Вот мальчик двух с неболь-шим лет будит утром отца:—Папа, папа, ты спишь?—Да не́т, не сплю, — отвечает папа,

протирая глаза.—Я на кухне, чай пью.Сын крайне удивлён: это противо-

речит всем ранее выученным урокам.На всякий случай он всё же бежитна кухню проверить. Возвращаетсяон оттуда триумфатором:—Нет, ты не на кухне! Ты во́т, во́т

ты где!В следующий раз его тем же спосо-

бом провести не удастся. Хочется всёже отметить вот этот момент самосто-ятельного исследования, когда он навсякий случай сбегал на кухню по-смотреть. Мы все без всяких объясне-ний чувствуем, что это очень важноедетское качество, и что хорошо былобы подольше его сохранить.

Считаем по-японски. Пройдёт ещёнемного времени, и ребёнка начнутуже совершенно сознательно <обучатьматематике>. На практике это обычноозначает, что его будут учить считать.Спору нет, умение считать — вещьважная и полезная. Но нам, взро-слым, бывает очень трудно понять,что́ это умение означает в реальности.Давайте встанем на место ребёнка

и попробуем сами научиться арифме-тике... но только по-японски! Итак,вот вам первые десять чисел: и́ти, ни,сан, си, го, ро́ку, си́ти, ха́ти, ку, дзю.Первое задание — выучить эту после-довательность наизусть. Вы увидите,что это не так-то просто. Когда это нако-нец удастся, можете приступать ко вто-рому заданию: попробуйте научитьсясчитать также и в обратном порядке,от дзю до ити. Если и это уже удаётся,давайте начнём вычислять. Сколько бу-дет к року прибавить сан? А от сити

Размышления неофита о дошкольной математике — 10 — Несколько предварительных замечаний

отнять го? А хати поделить на си?А теперь давайте решим задачу. Мамакупила на базаре ку яблок и дала пони яблок каждому из си детей; сколь-ко яблок у неё осталось? Очень трудное,но обязательное условие — не пере-водить на русский, даже в уме. Посленедолгого периода тренировок такойпереводможетвозникатьвмозгунепро-извольно, против нашей воли, а тои вообще незаметно для нас самих.Тот интеллектуальный подвиг, кото-

рый совершают дети в начальной шко-ле, я оценил позднее, оказавшись воФранции. Прожив здесь уже более де-сяти лет, я всё ещё испытываю проб-лемы с французскими числительными.Всё потому, что французы считаютне так, как мы, в интервале от 70 до 99.После шестидесяти девяти у них идётшестьдесят-десять (т. е. 70), шестьде-сят-одиннадцать (71), шестьдесят-две-надцать (72) и т. д.; наконец, в концедесятка — шестьдесят-девятнадцать(79); после этого вдруг возникает четы-ре-двадцать (80), четыре-двадцать-один(81), четыре-двадцать-два (82), . . .. . . , четыре-двадцать-девять (89), —и снова, как ранее, четыре-двадцать-десять (90), четыре-двадцать-одиннад-цать (91), четыре-двадцать-двенадцать(92), . . . , четыре-двадцать-девятнад-цать (99); после этого, наконец, сто.Когда мне очень быстро говорят теле-фонный номер, или называют годырождения и смерти какого-нибудь зна-менитого человека, ухватить со слуханужное число удаётся не всегда. Хо-рошо ещё, что мне не приходится всёэто складывать-вычитать.(Отсюда, кстати, и происходит этот

часто упоминаемый в педагогическойлитературе смешной ответ француз-ского младшеклассника: на вопрос<Сколько будет двадцать умножитьна четыре?> он ответил: <Будет четы-ре-двадцать, потому что умножениекоммутативно>.)Новот вынаконецнаучились беглому

счёту в пределах дзю. Сколько времениу вас на это ушло? Неделя? Месяц?

Теперь вы отдаёте себе отчёт в том, чтопроблема здесь не в одной только меха-нической памяти: если бы дело былотолько в ней, то вся работа заняла быполчаса. Но если не в памяти, то в чёмже?Можете ли вы вычленить из вашегоопыта содержательные, чисто матема-тические трудности, которые присут-ствуют в счёте, но остаются где-тоза кадром — невидимые, незаметные?Не так-то легко, не правда ли?И, может быть, это к лучшему. Иначе

энтузиасты раннего обучения тут жебросились бы изо всех сил объяснятьмалышу то, чего он пока ещё понятьне может, желая поскорее втащить егоза шиворот на следующую ступенькулестницы.А ведь он мог бы сам...Детсадовская геометрия. Вторая те-

ма, традиционно фигурирующая в до-школьной математике — это геометрия.Считается, что детям нужно сообщитьнекоторый (довольно скромный) наборсведений, касающихся геометрическихфигур: что такое треугольник, квадрат,круг, угол, прямая, отрезок, а такженаучить их простейшим приёмам из-мерения. Но давайте вдумаемся: еслиребёнок легко отличает вилку от ложки,почему же ему трудно отличить квад-рат от треугольника?Да ему и не труднововсе! В чём он действительно испы-тывает трудность, так это в уяснениилогических взаимоотношений междупонятиями, а также тех действий, ко-торые можно с фигурами совершать.

Рис. 1. Слева нарисован квадрат. А справа?Дети часто думают, что нет: повёрнутый ква-драт теряет статус квадрата и превращаетсяпросто в четырёхугольник.

Несколько предварительных замечаний — 11 — Мнения

Многиепервоклассники,например, счи-тают, что если нарисовать квадрат косо,то он перестанет быть квадратом и ста-нет просто четырёхугольником (рис. 1).А вопрос о том, чего вообще больше —квадратов или четырёхугольников, тре-бует уже вовсе недюжинной логики.Если взглянуть на дело с этой точки

зрения, то треугольники с квадратамитотчас же теряют право первородства:задачи про вилки и ложки ничуть неменее математичны, если в них есть надчем подумать. Скажем то же самоенесколько иначе. Школьная математи-ка занимается <числами и фигурами>,и это правильно. Но малышу об этихобъектах мы можем сообщить оченьмало содержательного. Из этого моглобы следовать, что никакого математи-ческого развития в раннем возрастевообще не происходит. Могло бы, ноне следует. Материала хоть отбавляй,нужно только правильно (и осторожно)подойти к делу.Итак, правильный подход: каков он?

Наэтот счёт скольколюдей, столькомне-ний. Приведу некоторые из них (в слег-ка утрированном виде, но только лишьдля того, чтобы яснее выразить мысль).

Мнения

1. <В современную эпоху неизмеримовырослитребованиякматематическойподготовке выпускников детского са-да>. — Ох, до чего же скулы сводитот этих <возросших требований>. Бе-жать, бежать от них подальше!2. <А вы знаете, что это, вообще-то,

очень опасно—чрезмерно загружатьмозгребёнка сложными вещами. Интегралытам, и прочее>. — Господи! Да кто жевам говорил об интегралах-то?3. <Вы представляете, у него малые

дети изучают теорию вероятностей!Взрослые люди, с высшимобразованием,ничего в этом понять не могут, а ма-лыши прекрасно разбираются. Я всегдаговорил, что возможностинашегомозгаещё не изведаны, и особенно — в ран-

нем детстве>. — Дорогой энтузиаст,вы ошибаетесь: никакую теорию веро-ятностей мы не изучаем, хотя и наблю-даемнекоторыевероятностныеявления.(Впрочем, тем же занимается и че-ловек, гадающий на автобусной оста-новке, какой автобус придёт первым.)Ни за какие границы самых обычныхвозможностей человеческого мозга мыне выходим, а неизведанные возмож-ности лучше оставим фантастам.4. <В раннем возрасте у детей обычно

бывает превосходная память и способ-ность к восприятию нового. К тому жев этом возрасте дети склонны во всёмслушаться взрослых. Поэтому в этотпериод нужно вложить им в голову какможно больше информации. Позже, ко-гда их взгляд на мир станет более кри-тичным и они уже не захотят зани-матьсятем, в чём не видят смысла, имнужно давать больше времени на раз-мышления, а также делать их учёбуболеемотивированной>.—Этуточкузре-нияявычиталводнойинтернетской ста-тье.Авторконцепции—профессор, спе-циалист понейрофизиологии.Посколь-ку я не называю его имени, я позволюсебе сказать без околичностей, что я обэтом думаю: этот б р е д с и в о й к о-б ы лы не заслуживает комментария.5. <Не понимаю, зачем забивать де-

тям голову такой ерундой! Пусть у ре-бёнка будет нормальное детство>. —Уважаемый оппонент, вы подняли неодин, а сразу два вопроса: насчётерунды и насчёт нормального детства.Что касается ерунды, то тут я споритьне буду; это, в конце концов, делоиндивидуального вкуса. Я занималсяс детьми тем, что люблю сам, и именноэтот аспект наших занятий кажетсямне очень важным.Когда появились мои статьи в жур-

нале, я неожиданно для себя самогооказался в совершенноне свойственноймнеролидавателя советов.Разныепапыи мамы писали мне письма. Наиболеечётко обрисовала ситуацию одна мама:<Я с детства терпеть не могла матема-тику. Но я знаю, что это очень важно

Краткая история наших занятий — 12 — Несколько предварительных замечаний

для умственного развития ребёнка.Посоветуйте мне, как мне заниматьсяматематикой с моим сыном>.К счастью,на этот раз я знал, что ответить. Я на-писал примерно следующее: ни в коемслучае не занимайтесь с сыном матема-тикой, если вы её не любите. Занимай-тесь только тем, что вам самой доставля-ет удовольствие; только в этом случаеваши занятия станут радостью для васобоих. Это может быть что угодно. На-пример, если вы любите печь пироги,пеките их вместе с сыном... Вот толькобоюсь, не обиделась ли на меня этамама, не сочла ли, что я считаю, будтоматематика — это не её ума дело.А вот насчёт <нормального дет-

ства> — тут я буду спорить. Представь-те себе такую сценку. Мы сидим наберегу реки и наблюдаем за одиночнойосой, котораяроет норку в плотномпри-брежном песке. Она закончит работу,потом принесёт туда достаточное коли-чество еды для своего потомства, на-пример, парализованных ею пауков,отложит в них своё яичко и закопает.Известный биолог, специалист по пове-дению животных Николас Тинбергенпоказал, что оса ориентируется наместности по окружающим предметам.Можно положить, скажем, детскийсандалик с одной стороны от гнезда,ракушку с другой, а когда оса улетит,передвинуть их на метр в сторону. Че-рез пару минут оса возвращается и —точно по предсказанию Тинбергена —садится не около гнезда, а в метре отнего, между сандаликом и ракушкой.Опыт вызывает большой энтузиазм нетолько у наших детей, но и у тех, ктослучайно оказался рядом с нами напляже. (Интересная деталь, междупро-чим: ни у кого из них не появилосьни малейшего побуждения эту осуприхлопнуть.) Вот я вас и спраши-ваю: входит ли это занятие в вашепредставление о нормальном детстве?Ведь именно за эти опыты Тинбергенв своё время получил Нобелевскуюпремию по биологии. Так что и на этутему тоже можно было бы в роман-

тическом захлёбе написать бог знаетчто — про вундеркиндов, ставящихнобелевские эксперименты.Если я чему-то и учил детей, так

это тому, чтобывоспринимать окружаю-щий мир с интересом. На всю жизньзапомнил я одну фразу, сказанную мнекак-томоимдругом, замечательнымма-тематиком и педагогомАндреем Леоно-вичем Тоомом.Привожу её здесь не каккомплиментсамомусебе, а какпрекрас-ную формулировку того идеала, к кото-ромуследует стремиться.Андрей сказал:

Ты их учишь не математике,а образу жизни.

Краткая история наших занятий

По случайным обстоятельствам в ка-ких-то записях сохранилась дата наше-го самого первого занятия: 23 марта1980 года. Занятия с мальчиками, хотьи не очень регулярно,продолжалисьче-тыре года. За это время подрослаЖеня,и начался второй кружок— с ней и с еёподружками. Он продолжался два года.Было ещё несколько разрозненныхпопыток вести кружки с другими деть-ми, но все они быстро заканчивались;ведь надо всё же учитывать, что всёэто делалось помимо основной работы(которую я предпочёл бы называтьслужбой). Несколько раз я даже высту-пал в странной роли проезжего мэтра,дающего мастер-класс.Однако в некоторый момент я ре-

шился пойти в школу! Сначала это былкружок в первом классе, где училсяДима; потом было ещё несколько затейподобного рода, и даже — совершенноотчаянный шаг, как головой в омут —в рамках одного педагогического экс-перимента я целый месяц проработалрядовым учителем первого класса в од-ной измосковскихшкол.До этого я былуверенным в себе интеллектуалом,всегда готовым критиковать школуи учителей и давать им мудрые советы.Этот жестокий, но чрезвычайно по-

Несколько предварительных замечаний — 13 — Краткая история наших занятий

лезный эксперимент над самим собойзаставил меня многое изменить в сво-их воззрениях.Тут я, однако, хронологически за-

бежал вперёд.Важным этапом истории явилось то,

что друг нашей семьи, известный пси-холингвист Ревекка Марковна Фрум-кина, чейдомашнийсеминаряснекото-рого времени стал посещать, прочитавдневник, привела меня в редакциюжурнала <Знание—Сила>, где вскорепоявились две мои статьи о кружке(№ 8 за 1985 год и № 2 за 1986 год).Была потом и третья, но она как-то<не прозвучала>. А эти две неожиданностали весьма популярными. Замеча-тельный детский поэт и педагог ВадимАлександрович Левин даже сказал мнекак-то, что мои статьи — это, мол,классика педагогической литературы.Дальнейшая их судьба такова: черезнекоторое время они были переведе-ны на английский язык в журналеThe Journal of Mathematical Behavior;потом появились в Интернете, кажется,на четырёх разных сайтах; потом былиперепечатаны в газете <Дошкольное об-разование> (май и июль 2000 года), наэтот раз с комментариямиВ. А. Левина;потом вошли в его же книгу <Урокидля родителей> (М.: Фолио, 2001);наконец, совсем недавно, в 2005 году,издательский дом <Первое сентября>выпустил брошюру под названием<Домашняяшколадля дошкольников>,содержащую тот же текст, но, к сожа-лению, без фамилии Левина. (То жесамое печальное явление имеет местои в некоторых интернетских публи-кациях. Таким образом, в частности,некоторые комплименты — чтобы несказать дифирамбы — Левина в мойадрес оказываются приписанными мнесамому. С этим трудно что-нибудь по-делать: например, о выходе брошюрыв <Первом сентября> ни меня, ниЛевина даже не известили.)А между тем начиналась перестрой-

ка. Наш близкий друг Степан Пачиковорганизовал в Москве детский ком-

пьютерный клуб; компьютеры купили подарил клубу Гарри Каспаров. В товремя (1986 год) это было едва ли неединственное место в Союзе, гдешколь-ники могли заниматься на компью-терах. Естественно, что мне поручилитам занятия с самыми маленькими.Далее были летние компьютерные ла-геря в Переславле-Залесском и зим-ний лагерь в Звенигороде. Был ещёодин компьютерный клуб <Зодиак>.Всего уже и не перечислишь. Я былнарасхват и везде естественным обра-зом воспринимался как специалист помалышам. Меня втянуло в орбиту такназываемого <Временного научногоколлективаШкола-1>, который долженбыл готовить реформу всей школьнойсистемы; формальным его руководи-телем был академик Велихов, факти-ческим лидером — Алексей Семёнов.Из деятельности того времени хочу от-дельно отметить написанный намиучебник <Алгоритмика> для 5—7 клас-сов (авторы А. К. Звонкин, А. Г. Ку-лаков, С. К. Ландо, А. Л. Семёнов,А. Х. Шень; после нескольких проме-жуточных ротапринтных версий книж-ка была издана в издательстве <Дрофа>в 1996 году; впоследствии несколькораз переиздавалась). Кое-какие темы,впервые появившиеся на кружке, былив слегка усложнённом виде использо-ваны в этом учебнике. Очень забавномне было потом узнать, что этот курсиспользовался также для обучениямладшекурсников в одном американ-ском университете.

∗ ∗ ∗

Здесь, однако, жизнь разворачиваетперед нами ещё один сюжет, связанныйс кружком лишь косвенно. В 1989 годуя сменил место работы. До этого в те-чение 13 лет я проработал во <Все-союзном научно-исследовательскоми проектно-конструкторском институтекомплексной автоматизации нефтянойи газовой промышленности>.Знающимлюдям не обязательно раскрывать

Краткая история наших занятий — 14 — Несколько предварительных замечаний

смысл этого <недавнего ретро>: третье-разрядныйприкладной институт, с вах-тёрами и поездками в колхоз; сердеч-ные и доброжелательные отношенияс товарищами по работе — соседямипо судьбе; при этом невыносимо скуч-ная и бессмысленная работа (сейчасте же самые люди делают нечто вполнеосмысленное и полезное, но уже нев этом институте). Службу свою я нена-видел, но никаких шансов найти дру-гую не было. И вот я вдруг оказалсяв <Научном совете по комплекснойпроблеме ,,Кибернетика“ Академии на-ук СССР>, в команде, занимающейсяподготовкой и внедрением курсов ин-форматики в школьное образование,а также, под предлогом информатики,всевозможными иными педагогиче-скими новациями. Получилось у нас,наверное, <как всегда>, но в тот периодвсе мы были полны энтузиазма и увле-чены своей работой, порой до полногоистощения физических сил. Если по-смотреть на это дело не с точки зрениябольшой истории, а с точки зрениямоей собственной биографии, то со-вершенно очевидно одно: не было быкружка — не было бы и моей новойработы.Помимо этого я, как и прежде, про-

должал заниматься математикой. Какбы это объяснить попонятнее? Быланаучная работа в области педагогики,но была и научная работа в областисамой математики. Но и в этой дея-тельности я так же резко и карди-нально сменил специализацию. Толк-нуло меня к этому среди всего прочегои то, что в уже упоминавшемся детскомкомпьютерном лагере в Переславле-Залесском я нашёл двух коллег, ув-лечённых той же, новой для всех нас,темой: Сергея Ландо и Георгия Ша-бата. Мы начали работать вместе —и продолжаем до сих пор: наша со-вместная с С. Ландо монография вы-шла в издательстве Springer-Verlagсовсем недавно, в 2004 году.В 1990 году я впервые поехал во

Францию.Думаю, что впрежнеминсти-

туте меня бы туда просто не отпустили;но в Совете по кибернетике обстановкабыла совсем иная. В тот период я ещёочень плохо знал специалистов в моейновой области математики. Эта поездкапомогла мне сориентироваться: оказа-лось, что самые близкие мне по инте-ресам люди работают в Бордо. Я тудасъездил; потом ещё раз; потом меняпригласили на год; и в конце концовполучилось так, что я там и остался.Вот так всё странно обернулось: тотфакт, что я сегодня профессор уни-верситета в Бордо, в очень большойстепени связан с тем, что когда-томного лет назад я стал вести матема-тический кружок для малышей.(Раз уж я ударился в мемуаристику,

позволю себе рассказать тут ещё однуисторию. Мне для этого придётся не-множко похвастаться, но без этогои истории не выйдет. Я, значит, былприглашённым профессором в городеБордо, сроком на год. И вот мне пору-чили прочесть четыре лекции о <теориисложности> на курсах повышения ква-лификации учителей. Проблема былав том, что аудиторию составляли учи-теля математики, физики, биологии,истории и литературы! Что можно сде-лать в такой смешанной компании?В предыдущие годы слушатели ре-гулярно жаловались, мол, зачем имвставили в программу эту дурацкуютему? Никто этот курс брать не хотел.Как тут быть?.. Эврика! Я сообразил,что можно использовать несколько сю-жетовизупоминавшегосявышеучебни-каалгоритмики.Онидостаточнопросты,чтобы быть понятными всем, но приэтом даже и для учителей математикибудут новыми; при желании их можнотакже развивать и усложнять. Успехбыл сногсшибательный. Мне передали,что слушатели <очарованы> и толькоспрашивают, почему всего четыре лек-ции. Договорились, что я прочту ещёдве. Было очень лестно, но это толькополдела. Вторые полдела состоят в том,что этот эпизод оказал несомненноевлияние на выбор комиссии, которая

Несколько предварительных замечаний — 15 — Благодарности

решала, кого из пары десятков канди-датов принять на постоянную долж-ность профессора.)

Благодарности

Читатели у меня умные; они и самидогадываются, с чего я начну этот раз-дел. Я начну его с благодарности детям.Когда я был молодой, мои родители ча-сто приставали ко мне с нравоучения-ми: <Вот будут у тебя свои дети —тогда поймёшь>. Я злился: ну что япойму, что я пойму? Подумаешь, дети!Вон у всех вокруг есть дети — и чтос того? Не такая уж это большая ред-кость. Я тогда не мог представить себе,до какой степени меняется всё мировоз-зрение, всё мироощущение человека,когда у него появляются дети. Готов по-верить, что существуют люди с лучшимвоображением, чем у меня, и они спо-собныэтопонять даженеимея собствен-ных детей; наверное, для них соответ-ствующий переворот в сознании проте-каетменее бурно.Новмоей<персональ-ной вселенной>Большойвзрывпроизо-шёлименно таким образом—благодарядетям. Вот за это им и спасибо.Я глубоко благодарен в с е м де-

тям-участникам нашего кружка. Труд-но передать, сколь многому я у них на-учился. Но им я хочу сказать ещё однувещь. Я честно и изо всех сил старалсяделить своё внимание поровну междувсеми, но боюсь, что это не всегдаполучалось. Очень хочется надеяться,что никто не остался на меня в обиде.Ну, а если какие-то упрёки в мой ад-рес у них в душе сохранились, я могуим сказать только одно: <Вот будуту вас свои дети — тогда поймёте>.Я благодарен моей жене Алле Ярхо.

Во-первых, за то, что у нас появилисьдети — она в этом деле была активнойучастницей. Во-вторых, идея организо-ватькружокпринадлежитименноей.Во-обще, наш кружок был почти в той жестепени её, что и мой, это будет вполнеочевидно из дальнейшего. Я благода-

рен ей за моральную поддержку тогда,а также и за моральное давление во всепоследующие годы — чтобы я наконецвзялся и довёл этот дневник до конца.И, разумеется, в процессе его подготов-ки она была и корректором, и стили-стическим редактором, и советчиком,и просто заинтересованным читателем.Ревекка Марковна Фрумкина <вы-

вела меня в свет>: благодаря ей нашесугубо семейное предприятие получилоширокую известность. Рита Марковна(так зовут её друзья) является крёст-ной матерью множества интересныхпроектов. Перед вами один из них.Хочу добавить, что обсуждения с нейпозволили мне <причесать> многие измоих мыслей.Алексей Львович Семёнов был моим

формальным начальником в Совете покибернетике, но по существуон был дляменя ориентиром во многих вопросах,да и просто <старшимтоварищем> (хотьон и моложе меня). Его убеждённостьв том, что эта работа представляет болееширокий интерес, частично переда-лась и мне.Александр Ханевич Шень поначалу

был одним из заинтересованных чи-тателей моих рукописных тетрадок иуговаривал меня поскорее всё этоопубликовать. Со временем, однако,не выдержав темпов моей работы,он организовал группу школьникови студентов, которые подготовили накомпьютере первую версию книги.Особенно хочется отметить в этой связиогромную работу, которую проделалВладимир Луговкин. После этого мнеуже некуда было деваться — пришлосьвсерьёз заняться редактированием.И снова незаменимый Саша установилна мой французский компьютер руси-фицированную версию LATEX’а. БезСаши Шеня эта работа затянулась бы,наверное, ещё на годы.Список тех, кому я благодарен, не

только не окончен, но даже ещё посуществу и не начат. Но если я будупродолжать в том же стиле, то читательвсё равно пропустит эту часть, не читая.

Предупреждения — 16 — Несколько предварительных замечаний

Поэтому скажу коротко: я глубокопризнателен всем тем, с кем я когда-либо <долго ли, коротко ли> обсуж-дал эту работу, тем, кто своей заин-тересованностью укрепляли мой дух.Дорогие друзья: спасибо вам!

∗ ∗ ∗

В Москве, в Большом Власьевскомпереулке (недалеко от Арбата), распо-ложеноодно совершеннозамечательноеи уже успевшее прогреметь на весь миручреждение: <Московскийцентрнепре-рывногоматематического образования>(МЦНМО). Слово <непрерывный>здесь означает — рассчитанный на всевозрасты. В состав центра входит Не-зависимый Московский университети аспирантура при нём, но здесь жеорганизуются всевозможные математи-ческие олимпиады и другие внеклас-сные занятия дляшкольников старшихи средних классов. Чем не идея — рас-ширить спектр возрастов, охватив такжеи дошкольников?Ясчастливи горд тем,что моя книга выходит в издательствеМЦНМО. К тому же в таких местахнеизбежно встречаешь старых друзей.Один из них, Вадим Олегович Бугаен-ко, хоть это и не входит в его прямыеобязанности, организовал работу поподготовке этой книги к печати. Он су-мел собрать вокруг себя превосходнуюкоманду. Я благодарен всем, но в пер-вуюочередьМихаилуПанову, который,в частности, сделал заново все рисун-ки. (Специалисты оценят его виртуоз-ное умение творить художественныеиллюстрации с помощью программыMETAPOST, задуманной изначальнолишь как инструмент для созданияграфических изображений в научныхстатьях.)

С работой центра можно ознакомить-ся на сайте http://www.mccme.ru/Может быть, именно там вы эту кни-

гу и читаете. На этом же сайте можноузнать, где и как её можно купить.

Два предупреждения

Я должен сделать два важных за-явления.Первое: не все приведённые в этой

книге задачи придуманы мной. Я ис-пользовал самые разнообразные ис-точники — от статей по психологии досборников по популярной математикеили просто рассказов друзей. Иногдая сохранял условия, часто же менялих как мне вздумается, порой до пол-ной неузнаваемости, и иногда прямона ходу, на самом занятии. Многие измоих источников давно забыты; другиепотерялись в переездах, и я сейчас немогу назвать точную ссылку. Наверня-ка есть и задачи, про которые я ужеи сам давно забыл, что это не я являюсьих автором.Чтобы отдать этот долг чело-вечеству, я разрешаю всем желающимбезвозмездно пользоваться всем здесьизложенным и обязуюсь ни на когоне подавать в суд за плагиат. Я будутолько рад (и даже горд), если приду-манные мной сюжеты войдут в фондпедагогического фольклора.И второе предупреждение: представ-

ленные здесь рассказы не имеют сте-нографической точности. Они былизаписаны по памяти; к тому же невсегда возможно разобрать, что говорятнесколько детей одновременно. Я уве-рен, что многое пропустил мимо ушейи что по крайней мере кое-что понялпревратно. Впрочем, думаю, что всёэто и так очевидно.

1Первое занятиеи мысливокругКак это происходило

В приведённом здесь рассказе ис-пользованы материалы моей статьи<Малыши и математика, непохожаяна математику> (журнал <Знание—Сила>, № 8 за 1985 год).Участников нашего кружка четверо:

мой сын Дима и трое его друзей —Женя,Петя иАндрюша.Дима—самыймладший, ему 3 года и 10 месяцев;самый старший—Андрюша, ему скородолжно исполниться пять.Мы рассаживаемся вокруг журналь-

ного столика. Я, конечно, волнуюсь:как я тут с ними со всеми управлюсь?Для начала говорю детям, что мыбудем заниматься математикой, и дляподдержания авторитета добавляю, чтоматематика — это самая интереснаяв мире наука. Тут же получаю вопрос:—А что такое наука?Приходится объяснять:—Наука — это когда много думают.—А я думал, что фокусы будут, —

несколько разочарованно произноситАндрюша. Его дома предупредили,что дядя Саша будет с ними сегоднязаниматься, и будут фокусы.—Фокусы тоже будут, — говорю я

и, сворачивая вступление, перехожук делу.Вот первая задача. Я кладу на стол

8 пуговиц. Не дожидаясь моих указа-ний, мальчики вместе кидаются ихсчитать. Видимо, несмотря на юныйвозраст, некоторое представление о том,

что такое математика, у них уже есть:математика — это когда считают. Ко-гда шум утих, я могу сформулироватьсобственно задачу:—А теперь положите на стол

столько же монет.Теперь на столе оказывается ещё

8 монет. Мы кладём монеты и пу-говицы в два одинаковых ряда, другнапротив друга.—Чего больше, монет или пуго-

виц? — спрашиваю я.Дети смотрят на меня несколько

недоумённо; им не сразу удаётся сфор-мулировать ответ:—Никого не больше.— Значит, поровну, — говорю я. —

А теперь смотрите, что я сделаю.И я раздвигаю ряд монет так, чтобы

он стал длиннее.—А теперь чего больше?—Монет, монет больше! — хором

кричат ребята.Я предлагаю Пете сосчитать пугови-

цы. Хоть мы их уже считали четырераза, Петя ничуть не удивляется моемузаданию и подсчитывает количествопуговиц в пятый раз:—Восемь.Предлагаю Диме сосчитать монеты.

Дима считает и говорит:— Тоже восемь.— Т о ж е восемь? — подчёркиваю

я голосом. — Значит, их поровну?—Нет, монет больше! — решитель-

но заявляют мальчики.По правде говоря, я заранее знал,

что ответ будет именно таким. Эта за-дача — только одна из бесчисленныхсерий задач, которые давал в своихэкспериментах детям-испытуемымвеликий швейцарский психолог ЖанПиаже (о <феноменах Пиаже> немногорассказывается в следующем разделе).В своих опытах он установил: малень-кие дети не понимают того, что намс вами кажется самоочевидным — еслинесколько предметов как-нибудь пере-ставить или переместить, то их количе-ство от этого не изменится. Итак, я зналзаранее, что скажут дети. Знал, но

Как это происходило — 18 — 1. Первое занятие и мысли вокруг

почему-то не приготовил никакой ра-зумной реакции. А как поступили бывы, читатель?Что бы вы сказали детям?К сожалению, самый распростра-

нённый приём, которым пользуютсяв такой ситуации почти все взрослые,состоит в том, чтобы начать детям изовсех сил что-то втолковывать. <Ну какже так! — с наигранным удивлениемговорит взрослый.—Откуда же их мог-ло стать больше? Ведь мы же никакихновых монет не добавляли! Ведь мыих только раздвинули — и всё. Ведьраньше же их было поровну — вы жесами говорили! Значит, их никак немогло стать больше. К о н е ч н о ж е(выделяем голосом), монет и пуговицосталось поровну!>Старания напрасны — такая педа-

гогика никуда не ведёт. Точнее, ведётв тупик. Во-первых, не надейтесь, чтовашалогикав чём-нибудь убедит ребён-ка.Логические структурыонусвоит ещёпозже, чем закон сохранения количест-ва предметов.Пока этого не произойдёт,логические рассуждения не покажут-ся ему убедительными. Убедительнойявляется только интонация вашего го-лоса. А она покажет ребёнку лишь то,что он опять оказался не на высотеи что-то сделал не так. Дети сдаютсяне сразу, их здравый смысл не так-толегко сломить. Но если насесть какследует, можно добиться того, что ониперестанут опираться на собственныйум и наблюдательность, а будут пы-таться угадать, чего желает от них взро-слый. Взрослые вообще предъявляютдетям множество необъяснимых тре-бований: почему-то нельзя рисовать настене; почему-то надо идти ложитьсяспать, когда игра в самом разгаре;почему-то нельзя спрашивать: <А ко-гда этот дядя уйдёт?>. Вот и сейчаспроисходит что-то аналогичное: хотяя прекрасно вижу, что монет больше,чем пуговиц, но почему-то полагаетсяотвечать, что их поровну. Отношениек математике как к некоему ритуалу,в котором нужно произносить опре-делённые заклинания в определённом

порядке, зарождается в школе и пре-красно доживает до университета, гдеего можно встретить даже у студен-тов-математиков.Так что же всё-таки делать? Вообще

не задавать подобных вопросов, что ли,если уж нельзя прокомментироватьответ?Напротив, задавать вопросы как раз

нужно. Очень полезно также обменять-ся мнениями: <А ты, Женя, как дума-ешь?Аты,Петя?Апочему?Анасколькомонет стало больше?> Можно даженаравне с остальнымивысказатьи своюточку зрения, но очень осторожно и не-навязчиво, снабдив всяческимиоговор-ками типа <мне кажется> и <можетбыть>. Иными словами, весь свой ав-торитет взрослого нужно употребить нена то, чтобызакрепитьза этимавторите-том абсолютную власть единственноправильного суждения, а на то, чтобыубедить ребёнка в важности и ценно-сти его собственных поисков и усилий.Но ещё интереснее натолкнуть его напротиворечия в его собственной точкезрения.—А сколько монет надо забрать,

чтобы снова стало поровну?—Две монеты надо забрать.Забираем две монеты; считаем: пу-

говиц восемь, а монет шесть.—А теперь чего больше?—Теперь поровну.Очень хорошо.Я сновараздвигаюмо-

неты пошире и задаю тот же вопрос.Теперь уже оказывается, что шестьмонет — это больше, чем восемь пу-говиц.—А почему их стало больше?—Потому что вы их раздвинули.Мы опять отбираем две монеты; по-

том ещё раз. Наконец, картинка стано-вится такой, как показано на рис. 2.В этот момент вдруг завязывается

яростный спор. Одни мальчикипо-прежнему считают, что монет боль-ше, другие вдруг <увидели>, что боль-ше пуговиц. Пожалуй, самое времяпрерваться и перейти к другой задаче;пусть дальше думают сами.

1. Первое занятие и мысли вокруг — 19 — Как это происходило

Я был среди тех, кто говорил, что монет всёравно больше. В первый раз я просто согла-сился со всеми остальными, а потом простоговорил не думая. Все предыдущие разы такбыло правильно (т. е. папа с этим соглашал-ся), поэтому у меня не было причины менятьмнение и в последний раз. — Дима.

Все эти мысли и идеи пришли комне далеко не сразу, так что в своёмрассказе я забежал вперёд — и в бу-дущие свои размышления, и в будущиезанятия. Эта задача ещё многократновозникала у нас в разных обличьях.Было у нас, например, две армии, ко-торые никак не могли победить другдруга, потому что у них было поровнусолдат. Тогда одна из них раздвинулась,солдат у неё стало больше, и она началапобеждать. Увидев это, вторая армияраздвинулась ещё шире и т. д. (Закон-чить историю можно в соответствиис собственной фантазией.) Ещё былБуратино, которого Лиса Алиса и КотБазилио пытались обмануть, раздви-гая пять золотых монет и утверждая,что их стало больше. Я научился неждать лёгких побед. Всё равно раньшечем через два—три года дети не усвоятзакон сохранения количества предме-тов, как бы вы их ни учили. Да самоеглавное, это вовсе и не нужно! Я уве-рен: от этих скороспелых знанийпользыровно столько же, сколько от прежде-временных родов. Всему своё время,и не следует опережать события, в томчисле и в области воспитания интелле-кта. (Признаю, что эта точка зрениявысказана здесь в несколько демаго-гической форме. Но аргументы в еёпользу — а их немало — будут обильнорассыпаны по дальнейшему тексту.)Однако, повторяю, все эти мысли былипотом. А тогда, на первом занятии,какое-то интуитивное озарение удер-

Рис. 2. В верхнем ряду лежат 8 пуговиц, в нижнем — 2 монеты. Чего больше, монет или пуговиц?

жало меня от <объяснений>, и я про-сто перешёл к следующей задаче.На столе шесть спичек. Складываю

из них различные фигурки и прошуребят по очереди сосчитать, сколькоздесь спичек. Каждый раз их оказы-вается шесть штук... Нет, я слишкомувлёкся схоластическими рассужде-ниями и стал писать как-то по-кан-целярски. Давайте вернёмся в живуюдетскую аудиторию, давайте увидим,как это происходит в жизни.Каждый новый результат подсчёта

встречаетсянастоящимвзрывомвостор-га и хохота. Вот уже Андрюша и Женякричат, что всегда получится шесть.Вот ужеДима довольно невежливо рвёту меня из рук спички, чтобы самомусложить какую-то вычурную фигурку,а Петя, напротив, очень вежливо спра-шивает, не могу ли я ему дать ещёспичек. Ещё чуть-чуть — и их весельеперерастёт в неуправляемое детскоебуйство. Надо их как-то удержать,и внимательно выслушать Андрюшус Женей (<Почему вы думаете, чтовсегда будет шесть?>), и к тому же неупускать новые повороты мысли: ведьтут как раз Дима сложил трёхмернуюфигурку — колодец (рис. 3). Я при-влекаю к ней всеобщее внимание. Наэтот раз даже Андрюша с Женей ужене так твёрдо уверены, что снова по-лучится шесть. Считать спички оченьтрудно — колодец всё время развали-вается. Мы его восстанавливаем, счи-таем снова, он опять разваливается...Наконец у Димы получается семь!Все в лёгком недоумении, но особенносильного удивления никто не проявля-ет: семь так семь, хоть и немного стран-новато. Ну что ж, я, наверное, повторя-юсь — ну так и повторюсь, не суть

Как это происходило — 20 — 1. Первое занятие и мысли вокруг

Рис. 3. <Колодец> из шести спичек.

важно: моя педагогическая задача со-стоит не в том, чтобы сообщать детямокончательно установленные истины,а в том, чтобы разбудить их любо-знательность. Самый замечательныйрезультат, на который я хотел бы рас-считывать, о котором, можно сказать,мечтаю — это чтобы кто-нибудь измальчиков через несколько дней (илимесяцев) вдруг по собственной ини-циативе сам сложил спички колодцеми пересчитал их — просто потому чтостало интересно, потому что захотелосьузнать, как же обстоят дела на самомделе. Ведь это было бы маленькое само-стоятельное исследование! Ну, а еслиэтого не случится, то, будем надеяться,произойдёт в другой раз, с другойзадачей. (В будущем я имел немалоподтверждений, что так оно и бывалонеоднократно.) Так или иначе, я огра-ничиваюсь лишь замечаниями типа<как интересно!> и <замечательно!> —в надежде, что эта ситуация покрепчезастрянет у них в памяти.

Рис. 4. Сколько на этом рисунке квадратов?Сколько прямоугольников? Сколько четырёх-угольников? Даже взрослые часто ошибаютсяв ответах на эти вопросы.

Детскаяпамять—это совершеннопо-разительная вещь.Не могу удержаться,чтобы не вставить здесь одну историюиз более позднего времени.Одно из занятий: перед нами на

столе три фигурки из картона (рис. 4).Мы детально и обстоятельно обсуж-даем их свойства. Прежде всего, увсех фигурок — по четыре угла. Зна-чит, каждую из них мы можем назватьчетырёхугольником. Итого: у нас тричетырёхугольника. При этом два из нихотличаются тем, что у них все углыпрямые. За это их называют прямо-угольниками. Один из двух прямо-угольников особый: у него все стороныодинакового размера. Его называютквадратом. У квадрата как бы три име-ни: его можно назвать и квадратом,и прямоугольником, и четырёхуголь-ником — и всё будет правильно. Мояинформация встречается не без сопро-тивления. Дети упорно стремятся мы-слить в понятиях непересекающихсяклассов. А характер их объясненийвнушает подозрение в том, что они ещёне о сознали по-настоящему великийзакон <целое больше своей части>. Де-сять минут назад они спорили о том, яв-ляются липапыи дедушкимужчинами,а мужчины — людьми. А сейчас ониникак не соглашаются называть квад-рат прямоугольником:ужилиодно, илидругое. Я провожу настоящую агит-кампанию за равноправие квадратасреди всех прямоугольников. Посте-пенно моя пропаганда начинает дей-ствовать. Мы ещё раз подводим итог:— Сколько у нас квадратов?—Один.—А прямоугольников?—Два.—А четырёхугольников?—Три.Казалось бы, всё хорошо. И я за-

даю последний вопрос — я его ужеупоминал во введении:—А чего вообще на свете больше —

квадратов или четырёхугольников?—Квадратов! — дружно и без тени

сомнения отвечают дети.

1. Первое занятие и мысли вокруг — 21 — Как это происходило

—Потому что их легче вырезать, —объясняет Дима.—Потому что их много в домах, на

крыше, на трубе, — объясняет Женя.Такова завязка этой истории. А раз-

вязка произошла через полтора года,без всякойподготовкии дажебез всяко-го внешнего повода. Летом на прогулкев лесу Дима неожиданно сказал мне:—Папа, помнишь, ты давал нам

задачу про квадраты и четырёхуголь-ники — чего больше. Так мне кажется,мы тогда тебе неправильно ответили.На самом деле больше четырёхуголь-ников.И дальше довольно толково объяс-

нил, почему. С тех пор я и исповедуюпринцип: вопросы важнее ответов....Психологи проводили и продолжа-

ют проводить множество эксперимен-тов, пытаясь научить детей некоторымпервоначальным математическим за-кономерностям. Например, делают так.Сначала группу ребят проверяют, по-нимают ли они такую простую вещь:если кусок пластилина помять, раска-тать и вообще придать ему другую фор-му, то количество пластилина от этогоне изменится. Тех, кто этого не понима-ет, делят на две части. Одну оставляют<свободной> — это так называемаяконтрольная группа. А другую начина-ют обучать закону сохранения количе-ства вещества: показывают, объясняют,взвешивают, сравнивают. Недели черездве опять проверяют участников обеихгрупп, смотрят, кто чему научился.Чаще всего в результате оказывается,что прогресс в обеих группах весьманезначительныйипри этом совершенноодинаковый. Обычно психологи недо-

Рис. 5. Спичек и пуговиц поровну.

умевают: почему же дети, которых такстарательно обучали, так ничему и ненаучились. Я, читая отчёты об этихэкспериментах, заинтересовался проти-воположным явлением: почему дети,которых ничему не учили (контрольнаягруппа), тоже чуть-чуть продвину-лись вперёд. Моя гипотеза после не-скольких лет занятий с малышамитакова: это происходит потому, чтоим тоже задавали вопросы.Однако вернёмся на наше занятие.

Следующая задача — ещё одна вари-ация всё на ту же тему закона сохране-ния количества предметов. Те самыешесть спичек, которые ещё осталисьна столе после предыдущей задачи,раскладываются в рядок. Я прошук каждой спичке приложить пугови-цу (рис. 5).Стандартный вопрос:—Чего больше — спичек или пу-

говиц?—Поровну.— Значит, пуговиц столько же,

сколько спичек, — резюмирую я.Забираю все пуговицы в кулак и про-

шу сказать, сколько у меня в кулакеспрятано пуговиц. Характерно, что ни-ктонеделаетнималейшейпопыткипод-считать спички.Даи зачем, собственно?Ведь спрашивают про пуговицы— зна-чит, и считать нужно пуговицы. Димакак человек со мной на самой корот-кой ноге пытается разжать мой кулак,другие удивлённо спрашивают:—Как же мы можем их сосчитать?Я смеюсь:— Сосчитать, конечно, нельзя —

пуговицы спрятаны. Но попробуйтекак-нибудь угадать.

Как это происходило — 22 — 1. Первое занятие и мысли вокруг

Тогда на меня обрушивается настоя-щий шквал отгадок, чаще всего ни начём не основанных. Каждый кричитчто-то своё; при этом один лишь Женякричит правильный ответ. Я пытаюсьего выслушать, спросить, почему, но онретируется. Жене вообще часто мешаетробость. Пока все кричат хором, пере-бивая друг друга, он, пожалуй, чащедругих кричит правильный ответ. Ностоит всех утихомирить и обратитьсялично к нему, как он смущается и ухо-дит в себя. С Андрюшей — другаяпроблема. Он мальчик очень целе-устремлённый, и на наших занятияхему явно не хватает мотивации. Когдая в следующий раз предложил ту жезадачу в другой аранжировке — ужебыли не пуговицы со спичками, а сол-даты с ружьями, потом они ушли,а ружья остались, и теперь разведчикунужно узнать, сколько было солдат —вот тогда он первымдогадался, что мож-но сосчитать ружья. И ещё он любитигры, в которых кто-то должен выйтипобедителем. Но у меня не всегдахватает фантазии представить задачув подходящей форме. Тем более что дляостальных детей этот аспект безразли-чен. ЗатоДима вообщене любит решатьчужие задачи, а любит придумыватьсвои. С трудом я подобрал к нему клю-чик—стал говоритьпримернотак: <При-думай задачу, в которой было бы...> —и дальше излагаю своё условие. К то-му же его решения часто отличаютсякакой-то странной вычурностью (осо-бенно это будет видно в следующей

Рис. 6. Вместо того, чтобы искать, какойпредмет здесь лишний, нужно по очереди са-мим <назначать> лишнего и потом объяснять,почему он лишний.

задаче); его довольно трудно ввестив колею здравого смысла. И с Петей,конечно, свои сложности... Как же мнепоспеть-то—одномуна всех?Божемой,у меня всего четыреученика, а я не могуобеспечить им индивидуальный под-ход!Чтожеможет сделать учитель, уко-торого сорок человек в классе? Учи́телячасто любят сравнивать с дирижёром.Я сам себе кажусь похожим скорее нажонглёра, у которого вот-вот всё рассы-пется по арене. Так и сейчас: пока япытаюсь беседовать с Женей — что дапочему — Дима уже вытащил карточ-ки для следующего задания (<четвёр-тый — лишний>) и спрашивает:—Папа, а это что, следующаязадача?Остальные двое уже рвут у него

карточки из рук и безжалостно мнутих при этом, не щадя вечернего ро-дительского труда. Женя уже тожекосится в их сторону и слушает менявполуха. Я разжимаю кулак, мы бег-ло проверяем, сколько пуговиц, и пе-реходим к следующей задаче.Правила игры <четвёртый — лиш-

ний> общеизвестны. Детям дают че-тырекарточки, на которыхизображены,например, заяц, ёжик, белка и чемодан.Нужно сказать, какой из этих рисун-ков лишний. Забавно наблюдать, какдети почти всегда дают правильныйответ, хотя далеко не всегда могут егообъяснить.—Лишний — чемодан.—Почему?—Потому что он не заяц, не ёжик

и не белка.

Рис. 7. Здесь изображены два множества по трипредмета в каждом: одно состоит из трёх красныхпредметов,другое—из трёх квадратов.Красныйквадрат является для них <общим>; математикиговорят— <лежит в пересечении>этихмножеств.

1. Первое занятие и мысли вокруг — 23 — Как это происходило

—Ах, вот как! А по-моему, лиш-ний заяц. Потому что он не ёжик, небелка и не чемодан!Мальчики смотрят на меня в недо-

умении и заявляют настойчиво:—Нет, лишний чемодан!Я пытаюсь узнать, нельзя ли все три

нелишних предмета — зайца, ёжикаи белку—назвать одним общим словом.Наконец, Петя, который по словарно-му запасу опережает остальных, пер-вый находит нужное слово — <жи-вотные>. И в дальнейшем он частовыручал нас в подобных ситуациях.(Акак-торазменяпригласилипрове-

сти занятие в группе незнакомых де-тей, тоже лет четырёх—пяти. Я выло-жил на стол свои любимые карточкис зайцем, ёжиком, белкой и чемоданоми спросил, кто здесь лишний. Детисмотрели на меня с выражением пол-ной затравленности и ужаса во взоре.Наконец один из них набрался храбро-сти и выдавил: <Поровну...> Ага, поняля, с ними уже до меня как следует<позанимались>.)Между прочим, я даю также и задачи

с неоднозначным ответом. Например:воробей, пчела, улитка и самолёт.Можно лишним считать самолёт (не-живой), а можно улитку (не летает).На рис. 6 показан пример, когда каж-дый из предметов может быть объявленлишним, так что суть задачи меняется.В таких задачах я сам по очереди наз-начал лишних, а мальчики должныбыли давать объяснения. Так я пыталсявнушитьим этуважнуюдляматематикиидею, что нужны не только и даже нестолько правильные ответы, сколькоправильные объяснения; или, на болеенаучном языке, не только правильныеутверждения, но и их доказательства.Схема <четвёртый — лишний> и её

разновидности очень удобны для того,чтобыучить детейугадывать закономер-ности (эта грань математического мыш-ления полностью игнорируется школь-нойпедагогикой).Иногда удобнее братьвосемь картинок, которые должны раз-делиться по выделенным признакам

на две равные группы; именно такойсхемой пользовался М. М. Бонгардв своей классической книге <Проб-лемы узнавания>. К сожалению, и чи-татель с этим легко согласится, во-семь картинок — это вдвое больше, чемчетыре. А где их взять-то? За редкимиисключениями, картинки для нашегокружка рисовала Алла; я сам рисоватьсовсем не умею, а она в своё времяокончила художественную спецшколу.И уж совсем трудные логические за-

дачи получаются с пересекающимисяклассами. Например, пять картинокнужно разбить на две равные группы,по три картинки в каждой; при этомодна из картинок общая— она принад-лежит обеим группам. Вот, например:мяч, автомобильная шина, резиновыесапоги, пальто, шапка. Здесь три пред-мета из резины (мяч, шина, сапоги)и три предмета одежды (сапоги, пальто,шапка); общий элемент — сапоги. От-дельный вопрос: как чисто физическиподелить пять картинок на две группыпо три — не рвать же одну карточкупополам. Мы пользовались стандарт-ным приёмом: двумя верёвочнымикру-гами, в пересечении которых помещалиобщий предмет (на рис. 7 показан ещёодин пример аналогичной ситуации).ДляДимыэтот класс задачявнопред-

ставлял собой проблему (или это самДима представлял собой проблему?).

Рис. 8. Мозаика. Вертикальный ряд фишекпосередине представляет собой <зеркало>, илиось симметрии. Фигурку слева строит препо-даватель; симметричную ей фигурку справадолжен построить ученик.

Как это происходило — 24 — 1. Первое занятие и мысли вокруг

—Это хоть и дядя, но похож натётю, — говорил он про старика с боро-дой-лопатой и помещал его в обществоженщин. Про автомобильную шинуон долго доказывал нам всем, что этотоже одежда, так как её можно носитьна поясе. Когда же с ним никто несогласился, он сказал:—Всё равно это одежда, потому что

её надевают на автомобиль.Кто-нибудь скажет: вот, ребёнок уме-

ет мыслить творчески, нестандартно.Насчёт <нестандартно> согласен, но воттворчески... Человек по-настоящемутворческий умеет предложить неожи-данное, нестандартное решение и приэтом остаться в рамках задачи. Сло-жить шесть спичек колодцем — тутя согласен, это решение творческое.Счесть же бородатого старика тётейили автомобильную шину одеждой —нет. Очень часто у Димы присутствуетпервый компонент — нестандартность,а вот остаться в рамках задачи илихотя бы вблизи от них он пока не умеет.Надо как-то суметь, не подавив одно,развить другое. А как?Наша следующая (и последняя на

этот раз) задача—изобласти геометрии.Я извлекаю цветную детскую мозаику,купленную когда-то в магазине <Лейп-циг> (увы, всего в одном экземпляре:в момент покупкимы ещёне помышля-ли о кружке). Мозаика представляетсобой прямоугольное поле с отверстия-ми. В них вставляются одинаковые поформе фишечки пяти разных цветов(рис. 8). Цвет фишек очень яркий, на-сыщенный, приятный для глаз. Нашазадача — про симметрию. Сначала явыкладываю ось — одноцветную вер-тикальную линию, проходящую посе-редине поля. Я называю эту линию<зеркалом>; в это зеркало сейчас будутсмотреться разные фигурки. Я строюс одной стороны от оси разнообразныенебольшие фигурки, а мальчики долж-ны построить симметричные им фигур-ки с другой стороны. Я варьирую всё,что можно: цвет, размер, расположениефигур. На следующих занятиях будет

меняться также и расположение оси:сначала она станет горизонтальной,потом пойдёт по диагонали. С помощьюнастоящего зеркаламыпроверяемнаширешения: оказывается ли за зеркаломто же самое, что мы видим в зеркале?Мальчики справляются с задачей на

удивление легко, почти не допускаютошибок. Не могу понять, почему этатема (осевая симметрия) вызывает труд-ности в шестом классе! Мы впослед-ствии посвятили ей много занятий.Симметрия в самом деле очень богатаятема, и к тому же красивая. Мы рас-сматриваликартинки с симметричнымиузорами из книг по популярной мате-матике. Мы рисовали симметричныефигуры разноцветными фломастераминаклетчатойбумаге; делалисимметрич-ные кляксы, складывая лист бумагипополам; вырезалиновогодниеснежин-ки; находили ошибки в симметричныхрисунках, в которых были специальносделаны кое-где нарушения, отклоне-ния от точной симметрии; среди восьмикарточек находили четыре симметрич-ные и четыре несимметричные фигуры;у одной фигуры находили все возмож-ные оси симметрии, и т. д. Другие видыизометрий — центральная симметрия,поворот, параллельный перенос — ока-зываются для детей несколько болеесложными, а вот осевая симметриябуквально идёт <на ура>.А мозаика вскоре стала моим люби-

мейшим инструментом. Это не игра,а настоящий клад всевозможных задачпо геометрии, комбинаторике, логике,угадыванию закономерностей. А од-нажды она мне преподала незабывае-мый урок на тему о том, <что́ для детейважнее>. Дело было так. Мальчикис удовольствием ходили на занятия,а иногда даже бывало так, что в ответ намои слова <урок окончен> просили по-заниматься ещё. Я гордился собой —пока вдруг не заметил, что их просьбыпродолжить занятие следуют толькотогда, когда мы занимаемся с мозаикой.Я решил проверить свою догадку.Следующее занятие было без мозаики.

1. Первое занятие и мысли вокруг — 25 — Феномены Пиаже

Так оно и есть: говорю <урок окон-чен> — дети спокойно встают и рас-ходятся. Меня охватили глубочайшиесомнения. Мозаика в самом деле оченькрасива, нет ничего удивительного втом, что ребятам нравится с нею играть.А моя математика, думал я, здесь нипри чём; я протаскиваю её как обузу,как никомуне нужныйдовесок, как на-грузку к интересной игрушке! На сле-дующий раз я решил устроить реша-ющий эксперимент. Мы опять зани-маемся с мозаикой; опять мальчикине хотят заканчивать занятие; и тогдая говорю:—Нет, давайте мы урок всё-таки

закончим, а с мозаикой я вам разре-шаю поиграть просто так.В ответ следует единодушный вопль

возмущения,иПетя резюмируетобщуюточку зрения в решительных словах:—Э, не-ет! Мы хотим задачку!!Вот так я понял, где лежит истина.

Детям нужно полноценное интеллек-туально-эстетическое удовольствие.Если одна из половин отсутствует, пол-ноценность теряется, а с ней и ощуще-ние праздника. Новогодняя ёлка безигрушек имеет в глазах детей так жемало притягательности, как игрушкибез ёлки. Толькокогдаони соединяютсявместе, наступает праздник. Я надеюсь,что в будущем, через годы, когда моиребята будут заниматься более аб-страктной, <умственной> математикой,они будут получать от этого большеудовольствия, чем их сверстники. Ведьвозникающие у них в уме абстрактныеобразы и понятия будут где-то на днесознания эмоционально сливатьсяс <ёлкой>, окрашиваться воспомина-ниями о разноцветных задачах ихдетства.Вот и сейчас — мы уже прошли два

круга, т. е. каждый из ребят решил подве задачи на симметрию, пора бы ужекончать, номальчикинеунимаются, хо-тят ещё. Мне кажется, что они уже ус-тали. И я нахожу неожиданный выход:—Давайте теперь в ы будете мне

задавать задачи, а я буду их решать.

Дети в восторге! С новым пылом онистроят фигурки, а я — им симметрич-ные. Работаю старательно. Вдруг в голо-ву приходит ещё одна идея: я начинаюнарочно делать ошибки. Петя первыйэто замечает; счастью детей нет конца.К ним как будто пришло второе дыха-ние. Теперь они с горящими глазами,не отрываясь, следят за моей рукой,встречая каждую новую ошибку воин-ственными дикарскими кличами.Но пора и в самом деле закругляться.

Я отодвигаю мозаику, благодарю всехи объявляю занятие оконченным.—А когда же фокусы будут? —

вдруг вспоминает Андрюша.—Ну как же, Андрюша! Ведь ты сам

и показывал фокусы! Пуговиц былоне видно, они были спрятаны у меняв кулаке, а ты сумел их сосчитать.Сумел, правда, не он, а Женя, но

Андрюша, видимо, об этом позабыл,потому что выглядит вполне удовле-творённым. Мы встаём. Я смотрю начасы: неужели прошло всего 25 минут?Сейчас дети разойдутся, а я останусьприводить в порядок свои мысли, при-думыватьновые задачи, новыеподходы,приёмы. И ещё — клеить, вырезать,раскрашивать. Одним словом, готовитьто, что в педагогике зовётся скучнымсловом <дидактический материал>.Ведь до следующего занятия — всегоодна неделя.

Феномены Пиаже:реальность или обман зрения?

В этой книге я многократно возвра-щаюсь к так называемым феноменамПиаже. Поэтому, думаю, надо сказатьо них несколько вводных слов.ВеликийшвейцарскийпсихологЖан

Пиаже (Jean Piaget) — безусловно од-на из наиболее монументальных фигурв психологии XX века. За свою дол-гую жизнь (1896—1980) он написалоколо 50 книг и около 500 статей(точное их количество вряд ли зналдаже он сам). В 1976 году отмечался

Феномены Пиаже — 26 — 1. Первое занятие и мысли вокруг

весьма своеобразный юбилей: восьми-десятилетие со дня рождения Пиажеи семидесятилетие его научной дея-тельности. Именно так! Свою первуюстатью он опубликовал в возрасте11 лет: он наблюдал в парке воробья-альбиноса и описал его в каком-тожурнале.В школьные годы Пиаже увлекается

<малакологией> — наукой о моллю-сках — и вскоре становится общепри-знанным специалистом в этой области.Заочно, <по совокупности работ>, емупредлагают весьма престижную долж-ность смотрителя коллекции моллюс-ков в Женевском музее Натуральнойистории. Мальчику приходится при-знаться, что он всего лишь школьник.К 20 годам он уже малаколог с ми-ровым именем.В этот момент он резко меняет напра-

вление своих занятий и переключаетсяна детскую психологию. И уже к 30 го-дам становится признанным классикомдетской психологии и автором пяти все-мирно известных монографий. Дальшенаступает весьма своеобразный этап.Эти пять монографий надолго заслони-ли дальнейшую деятельность Пиаже.При слове <Пиаже> у специалистоввозникал своего рода автоматическийрефлекс: <А-а, Пиаже, как же, какже, знаем! Знаменитые пять книг...>.А между тем он продолжал двигатьсявперёд, и притом с неменьшимнапороми всё с той же легендарной продук-тивностью. Впрочем, и миру вскорестановится не до детской психологии.Фашизм, война, потом послевоенноевосстановление... А в тихой нейтраль-ной Швейцарии Пиаже продолжаетсвою работу. Где-то, по-видимому,в 50-е годы происходит осознание ре-ального масштаба его вклада в науку.Некоторое количество трудов Пиаже

переведено на русский язык. Напри-мер, имеется сборник: Жан Пиаже<Избранные психологические труды>(М.: Просвещение, 1969). В нём мож-но найти и абсолютно нечитаемую те-оретическую работу <Психология ин-

теллекта>, и книгу, от которой труднооторваться: <Генезис числа у ребёнка>.Вообще, чтобы получить общее пред-ставление о его теории, лучше всего,по-моему, читать книгу Джона Флей-велла <Генетическая психология ЖанаПиаже> (М.: Просвещение, 1967).Характерно, что сам Пиаже считал

себя не психологом, а эпистемологом,т. е. специалистом по теории познания.Эта наука призвана ответить на вопрос,какимобразоммыможемвообщечто-тознать. Если в поисках ответа мы хотимне просто переливать друг в друга пу-стые слова, а заниматься конкретнымиисследованиями, то у нас есть два пути:либо изучать историю познания — ка-ким образом люди постепенно познава-ли мир; либо изучать, каким образомэто происходит у маленьких детей.Пиаже пошёл по второму пути.Из всех многочисленных грандиоз-

ных конструкций, теоретических по-строений и экспериментальных иссле-дований Пиаже наиболее широкую из-вестность приобрели так называемыефеномены Пиаже*. Я уже упоминалих выше. Маленький ребёнок не пони-мает, что если переложить несколькопредметов (камешков, кубиков, ...) ина-че, то их число при этом не изменится.Тем самым и само понятие числа оста-ётся для него недоступным, хотя он,быть может, и умеет <считать до ста>.Потом ребёнок подрастает, и вместе сэтим приходит осознание вышеуказан-ного закона сохранения. Но всё равноприходится ждать ещё года полтора—два, пока он не осознаёт аналогичныйзакон для непрерывных количеств: ес-ли раскатать шарик пластилина в кол-баску, то количество пластилина оста-нется темже; если перелить воду из ста-кана в миску, то количество воды тожене изменится. А также и многочислен-

* Вот (неполный) список других сюжетов,которые он изучал: логика, время, движениеи скорость, пространство, геометрия, случайность,восприятие, рассуждения подростков, вообра-жение, речь, нравственные суждения ребёнка,причинность, классификация и многое другое.

1. Первое занятие и мысли вокруг — 27 — Феномены Пиаже

ные <смежные> закономерности —типа того, что если есть два одинаковыхколичества, и от одного из них забралибольше, а от другого меньше, то там,где забрали больше, осталось меньше.Во всё это трудно поверить, настоль-ко указанные принципы кажутся намсамоочевидными.В этом замечательном открытии са-

мым поразительным мне представля-ется то, что для него не нужны были никосмические ракеты, ни синхрофазо-троны, ни лазеры. Оно в буквальномсмысле <вертелось у всех под ногами>.Не обязательно было дожидатьсяXX века: Платону и Евклиду оно былотак же доступно, как и нам. Но — непришлов голову.Потребовалсяинтереск познавательной функции человека,правильная постановка вопроса, не-дюжинная наблюдательность, ну и, ра-зумеется, обширный эксперимент. Ин-тересно, однако, что феномены Пиажевстретили также и мощнейшее сопро-тивление учёного сообщества. До сихпор, по прошествии многих десятиле-тий, вы встретите людей, которые приих упоминании только рукой махнут:мол, глупости всё это. Ведь мы же за-даём ребёнку вопрос посредством слов,не так ли?Мы спрашиваем, где больше,где меньше, где поровну. А кто и когдаобъяснял ему смысл этих слов, их,если угодно, семантику? Просто он ихне так понимает, как мы, вот и всё.Лучше всего эту идею выразил одинмой знакомый математический логик:—Ведь ты же не дал им определения

слова <больше>. Вот они и понимаютего по-своему. Они считают, что <боль-ше> — это значит, что ряд длиннее.Что тут можно возразить? В самом

деле, определения не давал. А что жея должен был сказать? Что существуетбиекция между одним множествоми собственным подмножеством другогомножества? Никаких вопросов это неснимает: откуда же знать, что если та-кая биекция нашлась один раз, то най-дётсяи в другойраз?Видимо,надо былодоказать такую лемму... Я спорю, но

сам чувствую, что вяло. Вот, мол,в опытах вместе с детьми взвешиваликуски пластилина до и после раска-тывания в колбаску... Ну и что, чтовзвешивали! Ребёнок же не знает,как устроены весы и что означают ихпоказания.Этот спор можно вести до бесконеч-

ности: выхода из заколдованного кругане существует. Как бы мы ни общалисьс ребёнком, в какой бы форме ни ста-вили ему вопрос, всегда будет суще-ствовать некое промежуточное звено,некоторый <носитель сигналов>, будьто слова, весы или арифметическийподсчёт. И всегда можно свалить всювину на то, что этот <интерфейс>, этот<протокол обмена> недостаточно фор-мализован: мы толкуем его одним обра-зом, а ребёнок другим. Можно, правда,спросить у наших оппонентов, почемув семь лет ребёнок уже правильно от-вечает на все вопросы, хотя никакихопределений ему по-прежнему никтоне давал. Но в серьёзном научном споретакой приём — <а как вы тогда объяс-ните, что...?> — недопустим. Критикне обязан что-либо доказывать илиобъяснять — эта обязанность целикомвозлагается на автора теории. Разуме-ется, в той мере, в какой в психологиивообще возможны доказательства.Не вдаваясь в философские глубины

этого спора, хочу сообщить моё соб-ственное мнение на этот счёт. Послемногих лет работы с детьми никакиедоказательства мне больше не нужны.Я знаю, что Пиаже прав. Я наблюдалего феномены столько раз и в такихразных обстоятельствах, порой спрово-цированных мною, порой совершенноспонтанных, что убеждать меня большене надо. Помню, например, как собра-лись гости и не хватило одного стула.Дима — тогда трёхлетний — стал пред-лагать разные способы, как их можнобыло бы пересадить. И каждый разоказывалось, что снова не хватаетодного стула. Достаточно было видетьего озадаченную физиономию, чтобыпризнать: дело тут вовсе не в семан-

Феномены Пиаже — 28 — 1. Первое занятие и мысли вокруг

тике слова <больше>. (Но я бы, разу-меется, не обратил на это внимания,если бы Пиаже не подсказал.)Психологи потратили немало сил

и изобретательности, пытаясь научитьдетей законам сохранения (или, с точ-ки зрения наших оппонентов, объяс-нить им точный смысл задаваемыхвопросов). Результат, как правило, былнулевой. (Об одном — весьма отно-сительном — успехе я расскажу чутьниже.) Но больше всего мне понра-вилась вот какая история. Из большойгруппы испытуемых всё же удалосьвыделить некоторое количество детей,которые, судя по всему, <всё поняли>.По крайней мере, на все вопросы эк-заменаторов они отвечали правильно:<Пластилина осталось столько же, по-тому что мы к нему ничего не прибави-ли и не убавили. Мы только изменилиегоформу, ивсё>.Итогдаисследователисделали ещё один шаг. Они попыта-лись детей разучить. Ответит ребёнокправильно, взвесят они вместе совзрослым пластилиновую колбаску —ан нет: она стала легче! Это зловред-ный экспериментатор незаметно дляребёнка отщипнул от неё кусочек.И вот оказалось, что те дети, которыелегко научились, так же легко и раз-учились. Они стали отвечать, что, мол,пластилина стало меньше, потому чтомы раскатали шарик в колбаску. А воттех детей, которые знали закон со-хранения ещё до эксперимента, зналисами по себе, разучить почему-то неудавалось. В тех же обстоятельствахони говорили:—Наверно кусочек упал на пол,

а мы не заметили.Ну, хорошо: если так трудно, а то

и вовсе невозможно научить ребёнкапонятию числа, то чего я, собственно,добиваюсь? В чём цель и смысл моихзанятий? Я уже говорил об этом, и будуповторять не раз: смысл занятий —в самих занятиях. В том, чтобы былоинтересно. В том, что ставить передсобой вопросы и искать на них ответы.В общем, это такой образ жизни.

∗ ∗ ∗Чтобы закончить этот раздел, рас-

скажу ещё пару историй. Первая изних относится к моему собственномудетству. Не знаю, сколькомне было лет;видимо, что-то около пяти. Мы жилив Витебске. Во дворе нашего дома жилодин старик, который любил время отвремени поговорить с детьми. Я был<умненькиймальчик>, и про меня былоизвестно, что я умею считать. Вот од-нажды он и предложил мне умножить3 на 5. Я уже знал, что умножить —это значит сложить с собой нужное ко-личество раз. И я пустился в это опас-ное и полное приключений плавание.Сначала 3+3; это будет 6, и это покалегко. Идём дальше: 6+3=9; это лишьнезначительно сложнее, но главное —не сама операция; главное — это незабывать, сколько раз я уже сделалсложение. Теперь начинается самыйтрудный момент: 9+3. Это, во-первых,переход через десяток, а во-вторых иснова — как бы не упустить, сколькораз я уже сложил... И уже почти прихо-дя в отчаяние, на последнем пределесвоих умственных возможностей, ясложил 12 и 3 и сказал:—Пятнадцать.—Правильно! — ответил старик. —

А как ты считал?Я объяснил.— Зачем же так сложно? — удивил-

ся он. — Можно было просто сложить5+5+5.Я был совершенно сражён и одно-

временно сбит с толку. Сложить 5++5+5 — это проще простого: 5+5==10 (тривиально), и 10+5=15 (тожетривиально). И, что самое удивитель-ное, в результате в самом деле получа-ется 15. Но почему!!?Эта событие надолго запало мне в па-

мять. Я искал объяснения — и не на-ходил. В школе я узнал, что в шестомклассе начнётся алгебра, и там будутформулы. Детям редко приходит в го-лову мысль, что можно заглянутьв учебник за будущие классы. И я тер-

1. Первое занятие и мысли вокруг — 29 — Феномены Пиаже

пеливо ждал шестого класса, надеясь,что тогда-то и придёт долгожданноепросветление. В шестом классе я на-писал формулу ab=ba, долго и тупосмотрел на неё, но никакого просветле-ния так и не произошло. В девятомклассе я попал в знаменитый Колмого-ровский физико-математический ин-тернат при Московском университете.Программа там была продвинутой; мыдовольно быстро перешли к изучениюгрупп, полей и колец. <Господи, какойже я был глупый, — решил я. —Ведь это же просто-напросто аксиома,и называется она коммутативностью.А аксиомы не доказывают>.Время шло, и я ещё слегка поумнел.

Я понял, что аксиома-то она аксиома,но ввели её не потому, что кто-то такраспорядился, не по чьему-либо капри-зу, а потому что это свойство реальновыполняется при умножении нату-ральных чисел.(Заметим здесь в скобках, что, на-

пример, возведение в степень — т. е.<повторяющееся умножение> — вовсене коммутативно. Умножьте 5 само насебя 3 раза, а потом умножьте 3 самона себя 5 раз, и результаты получатсясовершенно различные. А вот для <по-вторяющегося сложения> почему-тополучается одно и то же.)И уж не помню сейчас, когда и по-

чему я осознал, что речь идёт простоо том, чтобы по-разному сосчитать однои тожемножествопредметов.Мы берём<сколько-то> камешков и выкладываемих в три ряда по пять штук; а это то жесамое, что выложить их в пять рядов потри штуки — смотря что считать рядом(рис. 9). Так значит, всё дело в том, чтоесли одни и те же предметы считатьв разном порядке, то результат долженполучиться один и тот же! И, значит,не так-то уж это свойство и очевидно,если его осознание потребовало столь-ких лет и стольких умственных усилий.И в заключение — ещё одна сценка.

Точнее, подслушанный диалог. Участ-ников двое — муж и жена; оба пенси-онеры, обоим около 80 лет. Поэтому

речь и движения персонажей проис-ходят в замедленном темпе. Жена со-бирается готовить на ужин яичницу.Неожиданное препятствие: сковородка,в которой она обычно это делает, ос-талась непомытой после обеда.—Митя, большая сковородка гряз-

ная.Муж — с оттенком раздражения, так

как его оторвали от его занятий:— Сделай в маленькой.— Так я боюсь, что мало будет...Муж — слегка поразмыслив над

этим обстоятельством и пожимая пле-чами:—Тогда помой большую.А как же закон сохранения коли-

чества вещества?!Очень легко себе представить иные

обстоятельства. Тем же самым двумстаричкам даётся формальный <тест наинтеллект>. Вопрос: если разбитые яйцаперелить из одной сковородки в дру-гую, то содержимого станет (а) больше;(б) меньше; (в) останется столько же;(г) результат операции зависит от раз-мера сковородок. Я нисколько не сом-неваюсь, что в этом случае ответ был быправильным. И это наводит на разныевопросы, которые я даже затрудняюсьотчётливо сформулировать. Вопросы,во-первых, о соотношении между фор-мально выученным и реально усвоен-ным.И, во-вторых, о том, в какойстепе-нимывнашемповседневномповедении

Рис. 9. Здесь 3 горизонтальных ряда по 5 круж-ков в каждом, т. е. всего 5 ·3. Но можно такжеи сказать, что здесь 5 вертикальных рядов по3 кружка в каждом, т. е. всего 3 ·5. Если веритьв то, что как ни считай, получишь одно и то же,то следует заключить, что 5 ·3=3 ·5.

О пользе чтения книг по психологии — 30 — 1. Первое занятие и мысли вокруг

руководствуемся <правильными рас-суждениями>, и в какой — некой наг-лядной<видимостью>, тем, что <кажетсяглазу>. (Видите, как много здесь ка-вычек (а также и скобок)? Это всё от-того, что не получается у меня выра-зить свою мысль <коротко и ясно>.)

О пользе чтения книг по психологии

Математиков не всегда легко убе-дить в том, что книги по психологиипредставляют хоть какой-нибудь ин-терес. Их там смущает всё: и терми-нология, и уровень доказательности,и самипостановки задач. Я помнюодиндиалог, оборвавшийся в самом начале.Я стал рассказывать молодому студентуоб одной серии экспериментов.—Вот, например, — сказал я —

такой вопрос: способен ли двухмесяч-ный младенец обучаться?В ответ мой собеседник только

хмыкнул.—Ачто, разве это не очевидно?Спро-

сили бы у меня, я бы им сразу сказал.Что тут можно возразить? Ну конеч-

но же может, это и в самом деле всемочевидно. Аналогичным образом отреа-гировал одинмой знакомыйфранцузнаизвестие о том, за что была присуж-дена очередная Нобелевская премияпо экономике. Её получатель доказал,что экономическое поведение людей неявляется рациональным, логичным.—Мог бы спросить у моей кон-

сьержки, — пожал плечами француз.Я чувствовал, что мой студент не-

прав, но возражение сумел придуматьтолько много позже. Давайте зададимсебе вопрос из другой области: оди-наковы ли законы физики в разныемоменты времени и в разных точкахпространства?Ответ, пожалуй, стольжеочевиден, как и в предыдущем случае.Любой философ скажет вам, что да,одинаковы, ибо иначе их просто не сле-дует считать законами физики. И он,конечно, прав. Ну, а что скажет не фи-лософ, а физик?

Положение физика более сложно: онобязаниметьделоне с общимисловами,а с конкретными законами — скажем,с какими-нибудь там уравнениямиМаксвелла. Расплывчатую фразу проразные моменты времени и разные точ-кипространства тоже следуетконкрети-зировать, объяснив, что и как меняетсяпри переходе от одной системы коор-динат к другой. Доведите эту идею доконца — и вы откроете сначала преоб-разования Лоренца, а потом и теориюотносительности Эйнштейна. А ведь этотолько первый шаг: уравнения Макс-велла описывают электромагнитныевзаимодействия, а существуют и иные:слабые, сильные, гравитационные.Ужев течение нескольких веков, начинаяс Галилея, физики пытаются придатьконкретную форму <очевидному> фи-лософскому принципу об одинаковостизаконов в пространстве и во времени,и путь ещё далеко не закончен. Где-тона горизонте маячит <единая теорияполя>.Итак, корень проблемы в том, чтобы

задавать вопросы не в общефилософ-ских терминах, а говоритьо конкретныхнаблюдаемых и проверяемых в опытеявлениях. Конечно, до формул и урав-нений психологии далеко. Тем не ме-нее — давайте вместо вопроса о том,<может ли ребёнок обучаться>, спросимо чём-нибудь более конкретном. Ну,например, так: может ли он в возрастедвух месяцев запомнить последова-тельность из четырёх битов? Скажем,такую: 0011? По сравнению с исход-ным глобальным вопросом звучит не-сколько убого, но ведь даже и на такойпримитивный вопрос дать экспери-ментальный ответ не так уж просто.Первая трудность: каким образом мы

можем узнать, что ребёнок в самомделе усвоил переданную ему инфор-мацию <0011>? Это пока ещё не оченьсложно. В рамках доступных ему дейст-вий можно, скажем, проверить, можетли он повернуть голову два раза влевои затем два раза вправо для того, чтобыдобиться какой-нибудь цели.

1. Первое занятие и мысли вокруг — 31 — О пользе чтения книг по психологии

Вторая трудность, на этот раз гораздоболее существенная: какую цель можноему предложить, и как сделать так,чтобы он захотел её добиться? Чемможно его заинтересовать? В опытахнад животными поступают просто:их, извините, морят голодом. Доводятвес подопытного животного до 80%нормального, и тогда в поисках пищионо демонстрирует чудеса интеллекта.С детьми, слава Богу, так никто непоступает. А тогда что?В психологии часто так случается,

что главное открытие совершается нена дороге от вопроса к ответу, а где-тосбоку. Так и здесь: именно ответ напоследний вопрос открывает нам гла-за на какие-то новые истины. Иссле-дователи испробовали множество раз-ных <привлекательностей>: яркие по-гремушки, музыкальные перезвоны,порою целые фейерверки. Оказалось,что вполне достаточно обыкновеннойлампочки. Единственным же настоя-щим стимулом для ребёнка являетсясама возможность обучаться!Дело происходит примерно так.

Малыш случайно обнаруживает, чтокогда он поворачивает голову влево,загорается лампочка. Несколько раз он<подтверждает>своёнаблюдение;потомуспокаивается, и лишь время от време-ни, через сравнительно долгие проме-жутки, проверяет, всё ли в порядке.В какой-то момент вдруг оказывается,что нет, не всё в порядке: лампочкабольше не загорается. Он начинает ак-тивно искать причину — до тех пор,пока не обнаруживает, что чтобы её за-жечь, нужно повернуть голову один разнаправо и один раз налево. Насту-пает очередная серия подтвержденийи очередной период успокоения. И сно-ва вдруг выясняется, что лампочка нереагирует на <приказ>. Опять следуетактивный поиск — и очередное ре-шение. И так далее, вплоть до 0011.(Описание этого эксперимента заим-ствовано из книги Т. Бауэра <Психи-ческое развитие младенца>, М.: Про-гресс, 1985.)

Вот ведь оно, оказывается, как обсто-ит дело. Главным стимулом для учёбыявляется не награда, не <обобщённаяконфета> после урока, а сама учёба,сама возможность узнавать новое. Отнас требуется только не растоптать, неподавить эту устремлённость к новомузнанию, а также, наверное, создать ре-бёнку достаточно разнообразную среду,чтобы егоинтереск окружающемумируне ослабевал. И здесь психология тожеможет дать нам в руки совершенно не-ожиданные ключи. Цитирую из книгиВ. С. Ротенберга и В. В. Аршавского<Поисковая активность и адаптация>(М.: Наука, 1984):<Американские учёные Джонс,

Нейшн и Массад исследовали четырегруппы испытуемых. На начальномэтапе исследования первая группа по-лучала задачи, ни с одной из которыхне могла справиться (0% успеха). Вто-рая группа получала задачи, каждуюиз которых удавалось решить (100%успеха); испытуемые третьей группысправлялись с каждой второй из предъ-явленных задач (50% успеха). Послеэтого испытуемым всех трёх группи четвёртой контрольной предъявлялисерию принципиально нерешаемыхзадач, т. е. пытались выработать у нихобученнуюбеспомощность.Назаверша-ющем этапе исследования всем испы-туемым предлагались средние по труд-ности, но решаемые задачи и выясня-лась эффективность предшествующейсерии. Оказалось, что иммунизацияк обученной беспомощности создава-лась только у испытуемых третьейгруппы. Именно они лучше всего ре-шали задачи на завершающем этапе.Первая, вторая и контрольная груп-пы существенно между собой не раз-личались. Наиболее интересно в этихрезультатах то, что и стопроцентныйуспех и стопроцентная неудача в оди-наковой степени не повышали устой-чивость испытуемых к последующейнеудаче>.Очень сходные результаты получа-

ются в опытах и над детьми, и над

О пользе чтения книг по психологии — 32 — 1. Первое занятие и мысли вокруг

щенками, и над крысятами. Наводитна размышления, не правда ли? Досих пор расстраиваюсь, что мне таки не удалось рассказать обо всём этомстуденту.Мы хотим, чтобы наши дети выро-

сли умными и развитыми, не так ли?Что мы должны для этого делать?В книге Ури Бронфенбреннера <Два

мира детства. Дети в США и СССР>(М.: Прогресс, 1976) автор рассказы-вает об одном проекте, получившемвпоследствии название <тридцатилет-нийэксперимент>.Речь внёмшлао том,чтобы <вывести в люди> умственноотсталых детей, содержащихся в спе-циальном приюте, добиться того, что-бы они могли жить самостоятельно.Эксперимент состоял из многих этапов,но наиболее трогательным, если недушераздирающим, был самый первыйиз них. Каждого ребёнка прикрепилик своего рода подставной суррогатной<маме>; такими мамами служили ум-ственно отсталые женщины, содержа-щиеся в том же приюте. Через два го-да специальные измерения показали,что уровень интеллекта у детей выросв среднем на 20—30 пунктов; в то жевремя уровень интеллекта у детей кон-трольной группы снизился. На менясильнейшее впечатление произвёл тотфакт, что эти мамы явно не могли вестисо своими детьми какие бы то ни былоразвивающие занятия. Никаких мате-матических кружков, никаких голово-ломок, никаких интеллектуальных игр.Всё, что онимогли—этообнимать детей,целовать, пеленать и вообще всяческиснимитетёшкаться.Ивот, оказывается,что по крайней мере в определённомвозрасте эмоциональное тепло, роди-тельская ласка гораздо важнее для раз-вития ребёнка, и в том числе — особоэто подчёркиваю — для развития егоинтеллекта, чем любые другие формыдеятельности и обучения. Родители,не забывайте об этом!Не следует превращать эту книгу

в психологическое попурри (к тому жене очень квалифицированное).Но я всё

же вернусь ещёраз кфеноменамПиажеи перескажу один опыт, который —единственный — привёл к частичномууспехуикусвоениюзакона сохранения.Речь идёт о <познавательных конфлик-тах> Яна Смедслунда (они описаны,в частности, в упоминавшейся вышекниге Джона Флейвелла). Цитирую:<Если, например, данный испытуе-

мый был склонен полагать, что удлине-ние шарика увеличивает количествопластилина, а убавлениекусочкаумень-шает его количество, экспериментаторпроизводил сразу и ту, и другую опера-цию [...] Подобная процедура была вы-брана для того, чтобы заставить испы-туемого приостановиться, заставитьего колебатьсямеждувзаимноконфлик-тующими стратегиями [выделеномной — А. З.]; автор ожидал, что в ре-зультате ребёнок будет медленно скло-няться к более простой и последо-вательной схеме убавления-прибавле-ния [...]>.Весьма характерно, что в этих опытах

ребёнку ничего не объясняли и ничегоне проверяли на весах. <Научить> уда-лось четырёхдетейиз тринадцати, и <ра-зучить> их обратно потом не удалось.Я знаю за собой такое свойство —

делать далеко идущие выводы при не-достаточных основаниях; а также и по-рой противоречить самому себе (совсемнедавно твердил, что нет у нас такойцели—научить ребёнка законам сохра-нения, и вдруг вроде бы пытаюсь объ-яснить, как этоможно было бы сделать).Неважно! Я хочу возвести в принцип,в основу моей педагогики вот эти сло-ва: заставить приостановиться, за-ставить колебаться между взаимноконфликтующими стратегиями. Этотподход я противопоставляю другому,который исходит из того, что интел-лект — это умение быстро решать го-ловоломки. Рискуя уже в который развпасть в возвышенный тон, я бы ска-зал: наша цель — воспитание такойпороды людей, которую можно былобы назвать человек задумывающийся.Конкретные примеры будут дальше.

1. Первое занятие и мысли вокруг — 33 — Как относиться к теориям

Как относиться к теориям

Передо мной увлекательнейшаякнижка со скучным названием <Мате-матическое моделирование в экологии:историко-методологический анализ>.Авторов пятеро: В. Н. Тутубалин,Ю. М. Барабашева, А. А. Григорян,Г. Н. Девяткова, Е. Г. Угер; лидеромкомандынесомненно являетсяВалерийНиколаевич Тутубалин, известный ма-тематик, а также и известный критикприменений математики в других на-уках. Вроде бы тема не имеет отноше-ния к тому, что мы здесь обсуждаем. Ноименно в этой книге я впервые нашёлчёткую формулировку того, что долгои безуспешно пытался высказать сам—того, как следует относиться к теорети-ческим построениям. По отношениюк психологии это, мне кажется, ещёболее верно (и важно), чем по отно-шению к экологии.Среди прочего в книге рассматри-

ваются классические уравнения Лот-ки—Вольтерра. Исходная идея доста-точно проста. Имеются, скажем, лисыикролики, причёмлисыпоедаюткроли-ков. Последних становится всё меньше,и у лис возникает дефицит еды. Теперьуменьшается численность лис; жизньу кроликов становится менее опасной,и теперь ужеих численность возрастает.У лис изобилье еды, и их количествоначинает расти; число кроликов опятьпадает, и всё начинается сначала. Этамодель довольно легко переводится наязык дифференциальных уравнений.Удача: уравнения решаются в явномвиде (редкий в этой теории случай),и получаются аккуратные циклы нафазовой плоскости и аккуратные ко-лебания, если рассматривать обе чи-сленности как функцию времени.Теория готова; теперь надо её про-

верять экспериментально. Натурныеэксперименты, т. е. измерения числен-ностей видов (не обязательно лиси кро-ликов, но любых двух видов, один изкоторых поедает другой, например,

щук и карасей) в живой природе, пря-мо скажем, ни к чему разумному неприводят. Это и понятно: слишкоммно-го вмешивается посторонних факторов.Попытки как-то выделить и учестьвлияние этих факторов оказываютсяслишком сложными и в итоге неубеди-тельными. Есть ещё возможность про-ведения лабораторного эксперимента,где всефакторы строго контролируются,да и виды выбираются такие — вродедрожжей — с которыми гораздо легчеиметь дело, чем со зверями. Но дажеи в этом случае статистическая обработ-ка данныхпроведенане оченьквалифи-цированно (это 30-е годы, математи-ческая статистика только создавалась),и придти к определённым выводамтрудно. В районе Гудзонова заливадаже было обнаружили колебания чис-ленности зайцев и рысей. Но вот беда:циклы на фазовой плоскости крути-лись в другую сторону — как если быхищниками были зайцы, а жертва-ми — рыси. Статья на эту тему сарка-стически называлась <Едят ли зайцырысей?>.Одним словом, подтвердить теорию

на опыте не удаётся. Каков же вывод?Выбросить её в корзину? Некоторыефилософы—критики науки—считаютименно так. Но авторы книги — не фи-лософы, а работающие учёные, и ониприходят к совершенно противополож-ным выводам. Ничего подобного, гово-рят они. В процессе попыток подтвер-дить (опровергнуть, уточнить, развить,видоизменить) теорию Лотки—Воль-терра специалисты произвели множе-ство весьма полезныхизмерений и при-обрели совершенно бесценный опыт.Он, быть может, и не выражается в видепростых уравнений; но всё же сегодняэкологи знают гораздо больше, чемв 20-х годах прошлого века. Без этогоисходного толчка они просто не зналибы, с какогоконцаприниматьсяза дело,что и зачем измерять. Они так до сих пори оставались бы на уровне общих дек-лараций типа <всё в природе взаимо-связано>.

Как относиться к теориям — 34 — 1. Первое занятие и мысли вокруг

Следует только иметь в виду, чтокаждый автор концепции вкладываетв своё детище так много души, чтопотом уже верит в неё как в Священ-ное Писание. Хорошо мне, дилетанту:я могу жонглировать разными, в томчисле и противоречащими друг другутеориями, могу сам изобретать новыена пустом месте (или почти) и назавтраотрекаться от них. Среди психологи-ческих теорий есть такие, которым ястопроцентно доверяю: примером яв-ляются феномены Пиаже. Есть такие,в которые я не верю ни на грош; к нимотносится, в частности, распространён-ная в нашей стране <теория поэтап-ного формирования умственных дей-ствий>, а также то, как тот же Пиажеобъяснял освоение ребёнком родногоязыка (читайте на эту тему превос-ходную книжку: Steven Pinker <TheLanguage Instinct: How the Mind Cre-ates Language>). Но если относитьсяк теориям без прозелитизма, то инте-ресны они все, так как все дают пищудля ума — и материал для задач!Авторы книги об экологии рассказы-

вают нам такую историю-притчу. Не-большая группа путешествует по бере-гам и островам Белого моря. Знающиелюди сказали, что на некотором острове

имеется пресноводное озеро, в которомокунь прекрасно клюёт на макароны.А может, мы как раз на этом острове?Как же пройти к озеру? Идти напроломпо карельской тайге, перемежаемой го-рами и болотами—небольшое удоволь-ствие. Идея (<теория>)! Вода из озерадолжна куда-то деваться; наверное, изнего выпадает ручей; а вдоль ручья мо-жет идти тропа.Идём вдоль берегаморя;и в самом деле, вскоре обнаруживаетсяручей, а вдоль него — тропа. Всё пре-красно! Поднимаемся по тропе вдольручья. Вскоре, однако, ручей исчезаетвовсе, тропа вместе с ним, <и лезем мыкуда-то на высокую гору, с которойничего, кроме леса, не видно. Некото-рое время бродим без цели и смысла,вдруг каким-то образом попадаем натропу, которая и выводит к озеру>.И окуни там в самом деле великолеп-ные! Мораль: теория нужна не длятого, чтобы правильно отражать ре-альность, а для того, чтобы начатьчто-тоделать—адальше видно будет.(Хотя, как отмечают авторы в другомместе, правильная теория всё же луч-ше, чем неправильная.)Так что пора и мне <начать что-то

делать> и от болтовни на общие темывернуться к нашему кружку.

2Кружокс мальчиками—первый годКак я уже упоминал неоднократно, я

начал вести кружок в марте 1980 года,но записывать содержание занятий сталтолько с февраля 1981 года. Первые20 занятий <для вечности> утеряны, тутуж ничего не поделаешь; собственнодневник начинается с 21-го занятия.

Важное пояснение.Ккаждомуиз за-нятий предпослан заголовок; но его неследует воспринимать слишком серьёз-но. На занятии обычно бывалонесколь-ко разных задач, а заголовок отражаетлишь одну из них, чаще всего основан-нуюна новой идее или примечательнуюпо какой-то иной причине. Иногда,впрочем, он связан вообще не с зада-чей, а с каким-то происшествием илиновым поворотом событий.

Занятие 21. Лист Мёбиуса

4 февраля1981 года (среда). 1030—1100 (30 мин.).Дима, Петя, Женя, Андрюша.

Задание1.Наих глазах разрезал листна 4 полоски, из которых мы склеили(с моей помощью) 4 листа Мёбиуса.

Для читателя-нематематика должен пояснить,что такое лист Мёбиуса. Если взять узкую длин-ную полоску бумаги и склеить её концами <обыч-ным способом>, то получится цилиндр: он показанна рис. 10 слева. Если же предварительно пере-вернуть один из концов на 180◦, получитсяфигура, показанная на том же рисунке справа.Она и называется листом Мёбиуса. У цилиндраесть две поверхности — внешняя и внутренняя;их можно, например, покрасить в два разныхцвета. А вот у листа Мёбиуса только одна поверх-ность. Попробуйте закрасить каким-нибудь цве-том его внутреннюю сторону — и вы незаметноперейдёте на внешнюю.

Себе склеиваю обычный цилиндр(для сравнения). Два муравья сорев-нуются — у кого домик интереснее(или кто сумеет то-то и то-то).На одном из листов (Димином) пока-

зываю, как муравей полз по одной сто-роне, апопалнадругую.Надругом (Же-нином) показываю, как муравей ползпо краю и оказался на другом краю.[Надо было более медленнои спокой-

но датьим убедиться (каждомуна своёмлисте), что есть всего одна сторона и все-го один край.]Разрезаю по средней линии цилиндр,

затем лист Мёбиуса. Оба раза прошуугадать, что получится. Потом получен-ную штуку снова разрезаю по среднейлинии, опять прошу угадать.[Во второй раз вместо средней линии

можно резать на расстоянии 1/3 шири-ны от края: в этом случае зацеплениелучше видно.]Показываю шарик, как он склеен

из двух половинок; объясняю, что крайисчезает. Потом показываю, как издвух резиновых трубок склеивается тор(у него тоже нет края). Рассказываю,что будет, если склеить два листа Мёби-уса по краю (края не будет, но можноперейти с внешней стороны на вну-треннюю). Впечатления не производит.Рассказываю про молоко, которое быловнутри, а стало снаружи.—Ну и что? Просто пролилось.[Надо было сказать, что при этом оно

нигде не переливалось через край, таккак никакого края вообще нет.]

Задание 2. Сколько стоит билет в ме-тро, в автобусе, в троллейбусе, в трам-вае?* Какие автоматы стоят в метро?(Принимают только пятаки и пропус-кают внутрь. Билетов в метро не бы-вает.) Какие автоматы бывают в авто-бусе? (Пять копеек в любом наборе —билет.)Теперь нам с вами надо сложить пять

копеек самыми разными наборами.

* Боюсь, что читатели уже забыли, сколькостоили билеты в ту эпоху: автобус и метро —5 копеек, троллейбус — 4 копейки, трамвай —3 копейки.

Что больше, целое или часть? — 36 — 2. Кружок с мальчиками — первый год

(Монеты выкладываются на стол от-дельными кучками. Чтобы одинучастник мог выложить 5 копеек все-ми возможными способами, ему по-требуется

1×5 коп.+2×3 коп.++4×2 коп.+11×1 коп.)

Задание было выполнено менее ус-пешно, чем я ожидал (долго не понима-ли, что требуется; ошибались в счёте;повторялиужеимеющиесякомбинации;зацикливалисьна определённой группемонет; не могли найти нужную монету,так как искали в одной и той же кучке:<А мне всё единички попадаются!>).

По-моему, я видел, что Жене <всё единичкипопадаются> из-за того, что онищет не в той кучке.Я не знал, говорить ему или нет, и эта мысльотвлекала столько внимания, что я не замечал,что сам не могу найти нужную монету по той жепричине. — Дима.

[Надо было начать с трамвая, потомперейти к троллейбусу и уже потомк автобусу. Ещё лучше—начать с теле-фонного автомата (2 копейки).]

Занятие 22.Что больше, целое или часть?

14февраля1981года(суббота).1035—1120 (45мин.).Дима, Женя, Петя, Андрюша.

Задание 1.В о п р о с Д и м е:—Чего больше—зайцев или зверей?—Зверей.

A

B

C

D

A

B

C

D

A

B

D

C

Рис. 10. Два способа склеить концы бумажной полоски. Слева — обычный цилиндр, справа —лист Мёбиуса.

—Почему?—Потому что кроме зайцев (выделе-

но мной) бывают ещё попугаи, волки,кошки, собаки и т. д.(Обсуждение того, что попугаи — не

звери.) Я даю своё объяснение:—Ведь зайцы — это тоже звери.В о п р о с А н д р юш е:—Чего больше — гусей или птиц?Андрюшаобъясняет, чтобольшептиц,

таккакониводятсяповсюду—вИндии,в Грузии и даже на Северном полюсе.Таким образом, заимствована внешняясхема Диминого ответа (что разныхптиц очень много), но пропущен цен-тральный момент: <кроме>. Я:—Но ведь гусей тоже очень много

(рассказываю,где водятся гуси).Можетбыть всё-таки гусей больше, чем птиц?Андрюша не знает.В о п р о с Ж е н е:—Чегобольше—мужчинилилюдей?Женя считает, что больше людей, но

объяснить не может. Правильно объ-ясняет Дима:—Потому что мужчины — это тоже

люди. Это двойные люди.(Обсуждение, являются ли дедушки

и папы мужчинами.)В о п р о с П е т е:—Чегобольше—мухилинасекомых?—Мух.—Почему?—Потому что они повсюду летают.—А насекомые не повсюду?—Нет.

2. Кружок с мальчиками — первый год — 37 — Недостающая фигурка

—А мухи — это тоже насекомыеили нет?—Насекомые.(Снова обсуждение того, что не все

насекомые умеют летать.) Таким обра-зом, правильно отвечал только Дима.Но, как показало четвёртое задание,и он понятие включения классов ещёдо конца не освоил.

Задание 2. Продолжение вопросов(в третий раз) про мальчиков и девочекв очкахибез очков—ещёчетыре вопро-са, по одному на каждого из ребят.

В этой задаче детям предлагаются карточки,на которых нарисованы мальчики и девочки, при-чём некоторые из них в очках, другие без очков.Требуется ответить, правильны или нет утверж-дения типа <все дети в очках — мальчики>, <име-ется девочка без очков>, и т. п. Любой из этихвопросов (которыхможносочинитьнемало)можнозадавать про любую карточку, так что эта задачавесьма изобильна, ею можно заниматься долго.

Петя заметил, что у него и у Жениоказались одинаковые картинки, Е и Г.Алла подсказывает, что и утверждалосьодно и тоже: <нет ни одной девочки безочков> и <все девочки — в очках> —это эквивалентные утверждения. Анд-рюша справлялся с заданием слабеедругих и всё время объяснял что-то промальчиков, хотя его вопрос был о де-вочках. Причина в том, что он не былна тех занятиях, когда это задание былопервые два раза.Самостоятельно (т. е. без моей помо-

щи) справился с заданием один Дима.Но у него и вопрос был легче: про всехдетей, а не про мальчиков или девочек.

Рис. 11. Какой фигурки не хватает?

Снова немного пообсуждали проб-лему пустого множества.[Это вот о чём: спрашивается, верно

ли для данной картинки, что <все дево-чки — в очках>, а девочек на ней вовсенет. Ребята, совершенно естественно,отвечают, что, мол, нет, неверно.—Ах, вот как? — говорю я. — То-

гда покажите мне девочку без очков.—Но здесь вообще нет девочек!—Вот я и говорю, что все, которые

есть — в очках.—Но их нет никаких!—А я и не говорю, что есть...И дальше в том же духе.]Смешнаясценкавначале:когдаятоль-

ко вынул карточки, все, перебивая другдруга, закричали, показывая на них:—Вlue! Yellow! Brown! Grey!Я, воспользовавшись моментом,

спросил:— Is it a boy or a girl?— It’s a boy. (Андрюша шутит.)—No, Andrew, that’s not true. It’s

a girl*.Задание 3. Все дети получают по

карточке вроде той, что показана нарис. 11 (все карточки разные). Нужнодогадаться, какой фигурки не хватает.Первым догадывается Андрюша.

Я спрашиваю, как он догадался, онобъясняет. Услышав это, все остальные

* Все наши мальчики занимались англий-ским языком. Уроки английского им давалаАлла, и порой мы использовали одни и те жекартинки.

Рис. 12. Дорисовать недостающие фигурки.В каждой строке и в каждом столбце все фигуркидолжны быть разными (и все три типа должныприсутствовать).

Многоугольники — 38 — 2. Кружок с мальчиками — первый год

тоже решают задачу, но Дима решаетнеправильно (кажется, Женя решилсам, без подсказки). Я указываюДимеошибку:—Смотри, здесь в каждом ряду есть

все три фигурки, а в тех, которые тынарисовал, квадратиков два, а тре-угольника вообще нет.Мы ещё раз обсуждаем общий прин-

циппостроенияузора. Димаисправляетошибку.Теперь каждый получает ещё по од-

ной такой же карточке, но пропущенафигурка не в правом нижнем углу,а в более трудном месте (например, вцентре). В третий раз каждый получаеткарточку, на которой нарисованы толь-ко 4 фигурки из 9, а оставшиеся 5 надодорисовать самостоятельно (рис. 12).С обоими заданиями все четверо спра-вились безукоризненно.

Задание 4. Кладу перед детьмивырезанный из ватмана треугольник,спрашиваю, как называется эта фигур-ка и почему. Потом последовательнопредъявляю четырёхугольник (не-правильной формы), прямоугольник,квадрат, пятиугольник.Дети называют.—А как отличить прямоугольник?Дима:—У него все углы прямые.(Мы с Димой отдельно читали <Гео-

метрию для малышей>*, и он ужезнает про прямые углы.)—А можно его назвать четырёх-

угольником?—Нет.—Почему же? Посчитайте, сколько

у него углов.—Четыре.—Ну вот, значит, он тоже четырёх-

угольник. У него два имени: четырёх-угольник и прямоугольник. Прямо-

* В. Г. Житомирский, Л. Н. Шеврин <Геоме-трия длямалышей> (М.:Педагогика, 1975).К томуже жанру можно отнести книги Л. Л. Сикорук<Физика для малышей> (М.: Педагогика, 1983)и Е. П. Левитан <Малышам о звёздах и планетах>(М.: Педагогика, 1986). Мне больше всех по-нравилась <Физика> Сикорука. Все три книгипревосходно иллюстрированы. Не знаю, пере-издавались ли они с тех пор.

угольник — это четырёхугольник, ноособенный, с прямым углом.Затем то же повторяется с квадратом.—А можно его назвать прямоуголь-

ником?—Нет.—Почему?Дима:—Потому что он не такой длин-

ненький.Следует аналогичное обсуждение: я

объясняю, что квадрат можно называтьтремя именами, и всё будет правильно.—А скажите теперь, чего больше:

квадратов или прямоугольников?Все:—Квадратов!—Почему?Дима:—Потому что их легче вырезать.Я отступаю.[В этом месте надо было положить

все фигурки на стол и попросить по-считать, сколько квадратов, сколькопрямоугольников и сколько четырех-угольников.]Следующей фигуркой даю невыпу-

клый восьмиугольник (рис. 13).Только один Женя правильно под-

считывает количество углов, остальныене учитывают вмятин. Объясняю, чтонадо учитывать. Дима:—А разве это углы? Это же дырки...

уго́льные.Раздаювсемпоодномучетырёхуголь-

нику неправильной формы (потом ещёпо одному, и т. д.); четырёхугольники

??

Рис. 13. Восьмиугольник или нет?

2. Кружок с мальчиками — первый год — 39 — Транзитивность

все одинаковые. Серия заданий: нужнопровестикарандашомлиниюи,разрезавпо ней, получить из четырёхугольника:(а) два треугольника;(б) два четырёхугольника;(в) четырёхугольник и треугольник;(г) пятиугольник и треугольник.Безукоризненно выполнил все четы-

ре пункта только Андрюша. Остальныеиногда ошибались, иногда смотрелирешения друг у друга.Для пункта (б) Дима выдал неожи-

данноерешение: вырезал четырёхуголь-ник внутри, а снаружи тоже осталсячетырёхугольник, хотя и с дыркой(рис. 14).Я чуть было по инерции не заявил,

что решение неправильное, но вовремяостановился, поняв, что такую ориги-нальную идею надо не губить, а, наобо-рот, поддержать.Вдохновлённый,Димапошёл по проторённой дорожке и ре-шил точно так же пункт (в), вырезавтреугольник внутри четырёхугольника,после чего безуспешно пытался решитьтем же методом задачу (г), и в резуль-тате так её и не сделал.В конце занятия возник небольшой

сумбури путаница, мальчикичуть былоне подрались из-за ножниц (их быловсего две пары), да и времени прошлоуже много, так что я занятие прекратил,так и не обсудив до конца со всемивместе пункты (в) и (г).Андрюша захотел все свои бумажки

взять с собой, а с его лёгкой руки и всеостальные тоже захотели.

Рис. 14. Что это? Четырёхугольник?

Занятие 23. Ханойская башня

28февраля1981года(суббота).1040—1115 (35мин.).Дима, Женя, Петя, Андрюша.

Задание 1. Устные вопросы натранзитивность.А н д рюш е:—Один мальчик любит мороженое

больше, чем орехи, а орехи больше, чемапельсины. Что он любит больше —мороженое или апельсины?—Мороженое.—Почему?—Потому что он раньше начал есть

мороженое.—Емучто,раньшеразрешили,что ли?—Да.Д и м е:—У дедушки денег больше, чем

у папы, а у папы больше, чем у мамы.У кого больше денег — у дедушки илиу мамы?—У дедушки.—Почему?—Я знаю, что дедушка больше за-

рабатывает, чем мама.—Откуда ты это знаешь?—Ну просто знаю, и всё.—Но ты это знаешь из задачи или

из жизни?—Из жизни.Ж е н е:— Сосна выше ёлки, а ёлка выше

берёзы. Что выше — сосна или берёза?—Сосна.—Почему?Не помню, что ответил Женя, но

тут встрял Дима и сказал:—Потому что сосна самая большая,

а берёза самая маленькая. А ёлка са-мая средняя.Все обсуждают, так ли это в жизни,

показывают жестами.(Вспомнил, что сказал Женя:— Сосна раньше начала расти, чем

берёза.Может быть, мой вопрос <почему?>

они воспринимают как требование объ-яснить, <почему такпроизошло, что...?>.Отодвигая в сторону логику, из которой

Пересекающиеся множества — 40 — 2. Кружок с мальчиками — первый год

следует, что сосна выше берёзы, объ-яснить, почему так получилось, что онавыше.)П е т е:—Вкастрюлепомещается больше во-

ды, чем в чайнике, а в чайнике больше,чем в кувшине. Где помещается боль-ше — в кастрюле или в кувшине?—В кастрюле.—Почему?Опять вмешиваетсяДима, ионивмес-

те с Петей всё правильно объясняют.[Надо попробовать неправдоподоб-

ные условия: например, <Женя* боль-ше Димы, а Дима больше папы. Ктобольше — папа или Женя?>]

Задание 2. Снова, как и в прошлыйраз, на столе квадрат, прямоугольники четырёхугольник. Вспоминаем их на-звания, прошу посчитать, сколько настоле квадратов (один), прямоугольни-ков (два), четырёхугольников (три).Напоследний вопрос правильно отвечаетодин Петя. Наконец, итоговый вопрос:—Чего больше — квадратов или че-

тырёхугольников?Тот же результат:—Квадратов (потому что их много

в домах, на крыше, на трубе и т. п.).Я ничего не объясняю, только спра-

шиваю, являются ли квадраты четы-рёхугольниками. Ответ:—Да.Задание 3. Из <математического на-

борапервоклассника>выбрано16пред-метов (число, кратное четырём — ко-

* Здесь имеется в виду Женя — младшаясестрёнка Димы; ей в этот момент чуть большегода.

A B C

Рис. 15. Ханойская башня в начальной позиции.

личеству участников): 2 синих кру-жочка, 2 жёлтых квадрата, 3 красныхквадрата, 4 красных треугольника,5 зелёных треугольников. На стол кла-дётся кру́гом верёвка, связанная кон-цами. Я даю каждому по очереди поодной фигурке — нужно класть крас-ные внутри верёвки, не красные —снаружи.Верёвка убирается, но кладётся дру-

гая,точнотакаяже.Теперьнужновнутрькласть треугольники, а наружу — нетреугольники. Снова все справляются(Андрюша делает одну ошибку).Наконец, на столе обе верёвки, но

пока я кладу их непересекающимися.Требуется выполнить оба задания од-новременно. После первого проходая подсовываюДиме (впервые)красныйтреугольник. Он, не задумываясь, кла-дёт его в красные.Я обращаю вниманиевсех на конфликт между условиями,говорю, что это задача для всех.[Опять спешка!Надобылодождаться

конца и потом обсудить, всё ли верно.]Андрюша:—А это нарочно так придумано?—Конечно, нарочно. До сих пор

была только подготовка, а настоящаязадача началась сейчас. Нужно что-топридумать, изобрести, чтобы этот тре-угольник лежал и тут, и тут.Дима пытается положить треуголь-

ник в виде мостика на обе верёвки. Я:—А может быть, передвинуть как-

нибудь верёвки?Андрюша первый догадывается, что

нужно положить верёвки одну на дру-гую. (Кажется, Дима тоже догадался,но не успел сказать.)

2. Кружок с мальчиками — первый год — 41 — Ханойская башня

Теперь задача решена и легко доде-лывается до конца (каждый по одномуразу получает красный треугольник,так как их всего 4). На чёрном фонестола белые верёвки и разноцветныефигурки выглядят очень красиво. Я об-ращаю внимание ребят на этот факт.Андрюша:—Это была моя идея!Дима:—Нет, моя!Я ещё пытался что-то сказать о том,

что красныетреугольникипринадлежатсразу двум классам, но без эффекта.

Задание 4. Ханойская башня. Каж-дый получает экземпляр игры, я объ-ясняю правила.

Эта игра — настоящая жемчужина програм-мистской литературы; в неё можно играть с пяти-летними, но и пятикурсникам-информатикамтоже найдётся над чем подумать. В начальнойпозиции несколько кружков разных размеровуложены друг на друга, образуя башню. Башнястоит на одном из трёх полей (рис. 15).

Цель игры — переставить башню на другоеполе, соблюдая следующие правила:

(а) кружки переставляются только с поля наполе; при этом они кладутся друг на друга, такчто получаются маленькие башни; нельзя от-кладывать кружок куда-то в сторону;

(б) при каждом ходе передвигается толькоодин кружок — несколько кружков одновре-менно переносить нельзя; в частности, запре-щено брать по кружку в каждую руку;

(в)можнобратькружоклишьсвершиныкакой-нибудь башни и класть его только на вершину дру-гойбашни;инымисловами,нельзябратькружокизсерединыбашни, и нельзя вставлять его в серединудругой башни (чтобы сделать это правило более яв-ным, кружки часто изготовляют с отверстиями вцентре, и каждую башню надевают на стержень);

(г) наконец — и это очень важно — запре-щено класть больший кружок на меньший.

Одна из промежуточных позиций в игре по-казана на рис. 16.

Игру изобрёл в конце XIX века французскийматематик Эдуард Люка. Он же украсил её такойромантической легендой.

A B C

Рис. 16. Башня в одной из промежуточных позиций. В конце игры она должна полностьюпереместиться на одно из соседних полей — либо на B, либо на C.

Где-то в непроходимых джунглях недалеко отХаноя есть монастырь Брамы. В начале времён,когда Брама создавал мир, он воздвиг в этоммонастыре три высоких алмазных стержняи на один из них возложил 64 диска, сделанныхиз чистого золота. Он приказал монахам пере-нести эту башню на другой стержень (с соблю-дением всех правил, разумеется). С того временимонахи работают день и ночь. Когда они закон-чат свой труд, наступит конец времён.

Отдельная задача для более старших детей —оценить хотя бы приблизительно, когда наступитэтот самый <конец времён>.

[У к а з а н и е: чтобы переставить башнюиз n дисков, требуется 2n−1 операций. Пусть,например, одна операция занимает одну секунду.Сколько времени потребуется для перестановкивсей башни при n=64?]

Оказалось, что в процессе работыочень труднопроследить за всеми;маль-чики постоянно нарушали правила.Д и м а уже два раза играл в эту игру,

поэтому справляется первый и правилне нарушает. Под конец, когда все былив тупике, они, затаив дыхание, следилиза его быстрыми и уверенными дви-жениями.П е т я никак не мог осознать прави-

ла и нарушал их до самого конца, хотяему помогали и я, и Дима, и Наташа*.На Диму он злился за подсказки.Ж е н я правила осознал, но действо-

валкрайненеуверенно.Почти всё времяпросидел со снятыми двумя верхнимифишками, не зная, что делать дальше.

* Наташа — мама Жени; упоминаемая нижеЛюда — мама Андрюши. Родители почти всегдаприсутствовали на занятиях — ведь занятия дли-лись недолго, а детей надо было потом забиратьи уводить домой. С одной стороны, меня это до-вольно сильно сковывало: я никогда не чувство-вал себя на кружке полновластным хозяином си-туации и не мог дать волю эмоциям; с другой —служило к росту моей <славы>: родители ранееи не подозревали, что математикой можно зани-маться так интересно и разнообразно.

Транзитивность с невозможными условиями — 42 — 2. Кружок с мальчиками — первый год

Наташа, Дима и я ему помогали. НаДиму он злился, говоря, что у него неполучаетсяиз-за того, чтоДимамешает.Дима над ним издевался, говорил, чтоон нарочно помогал Пете, чтобы Петязакончил раньше Жени и Андрюши,что все уже погуляют, а Женя всё ещёбудет сидеть и т. п. Пришлось сделатьему довольно резкое замечание.А н д р юша, за которым я недогля-

дел, переставил свою башню очень бы-стро, быстрее, чем смог бы я сам. Я по-просил его повторить, но он, поняв, что,видимо, сделал что-то не так, категори-чески отказался, сказав, что он решилзадачу первым, и что второй раз онповторять не будет. Я сказал:—Я думаю, Андрюша, что ты на-

рушал правила.—Когда?! — нагло заявил Андрюша,

понимая, что я не смогу его уличить,так как ничего не видел.Но тут его выдала Люда. Андрюша

очень расстроился. Люда его утешала,стала показывать, как играть по прави-лам,новитогевсёсделаласама.Послето-го, как закончилПетя,Андрюшасказал:—А Пете очень много подсказыва-

ли, — явно забыв, что сам вообще несправился с задачей. Он тоже пыталсяиздеваться над Женей.Мой недостаток — я реагирую на та-

коеповедениетак, какбудтооноисходитот взрослых, а не от маленьких детей.Принцип <ругать поступок, а не ребён-ка> теоретически мне знаком, но прак-тика сильно отстаёт. Самое главное,что у меня самого портится настроение,и это отражается на общей атмосферегораздо сильнее, чем детские глупости.

Занятие 24. Немножко топологии

7 марта 1981 года (суббота). 1035—1110 (35 мин.).Дима, Петя, Женя.

Задание 1. Вопросы на транзитив-ность с невозможными условиями.Д им е:—Жили были девочка Женя, маль-

чик Дима и папа. Женя была больше

Димы (<Ой!>), а Дима— больше папы.Как ты думаешь, кто больше: Женяили папа?(Смех.) Отвечает правильно:—Женябольше, ведь она самая боль-

шая. Она ведь больше Димы, а Димасам больше папы.Ж е н е:—Однажды червяк, велосипед и са-

молёт стали соревноваться, кто из нихумеет быстрее бегать. Оказалось, чточервяк бегает быстрее, чем велосипед,а велосипед быстрее, чем самолёт. Какты думаешь, кто быстрее: червяк илисамолёт?Женя отвечает правильно, но долго

не решается что-нибудь сказать (кача-етсявзад-вперёд, падаетнадиван, хихи-кает). Я его тороплю, Наташа тожевмешивается, но это не помогает. Ока-зывается, его смущало то, что самолётне бегает, а летает.П е т е:—Жилинасвете тримальчика:Дима,

Петя и Андрюша. Дима был старшеПети, а Петя старше Андрюши. Ктостарше: Дима или Андрюша?Петя отвечает и объясняет пра-

вильно.[З а м е ч а н и е. С некоторой натяж-

кой можно считать, что такие вопросыпредставляют собой пример познава-тельного конфликта по Яну Смедслун-ду. То есть, нужно выбрать одно из двухпротивоположных объяснений. Еслимуравей тяжелее собаки, а собака тяже-лее слона, то вывод о том, кто тяжелеевсех, можно сделать: (а) на основе жи-тейских соображений (очевидно, чтослон тяжелее, таккакон очень большой,а муравей маленький); (б) на основетранзитивности, т. е. исходя из усло-вий задачи. Может быть, потому юмори стимулирует развитие интеллекта, чтосоздаёт нечто вроде познавательногоконфликта. Впрочем, натяжка здесь до-вольно велика: ведь дети сразу понима-ют, что нужно говорить <всё наоборот>.]

Задание 2. Топологические законо-мерности (на основе классификации8 карточек на 4 и 4).

2. Кружок с мальчиками — первый год — 43 — Ханойская башня

Я напоминаю игру <четвёртый —лишний>. Объясняю, что сейчас будетне один лишний, а надо разделить кар-точки на две равные кучки (заодноспрашиваю, сколько будет 8 поделитьна 2).Наборытакие (противопоставления):(1) выпуклые — невыпуклые (это

не топологическое, а геометрическоесвойство), все фигуры гомеоморфныокружности;(2) одна фигурка — две фигурки;(3) всегда две фигурки, но 4 раза од-

на внутри другой, а 4 раза — снаружи;(4) 8 топологических окружностей,

четыре из них с торчащими <усами>;(5) 8 окружностей, из четырёх тор-

чат по 2 уса, из остальных четырёх —по 3 уса;(6) на каждой карточке — две по-

хожие по форме фигурки, одна вну-три другой, соединённые мостиками;мостиков либо два, либо три.Большие трудности вызвали зада-

чи 3 и 6, задача 5 оказалась среднейтрудности, остальные решались мгно-венно.Проблема другого рода: как только

карточки появлялись на столе, маль-чишки норовили сразу, ещё толком ни-чего не разглядев, утащить побольшекарточек себе. То и дело возникаликон-фликты, карточкимялись, я раздражал-ся, и, главное, ничего толком нельзябыло разглядеть. В конце концов при-шлось навести строгий порядок и вооб-ще запретить трогать карточки, пока неуказано решение и я его не одобрю.Лёгкие задачи (1, 2 и 4) решал, как

правило, Петя. Они с Димой были наи-более активны, ноПетя ориентировалсябыстрее. Жене уже ничего не достава-лось. Дима изобретал множество <объ-яснений>, но часто довольно вычур-ных, и не всегда помнил об условияхзадачи (например, вместо разбиения4+4 предлагал 2+6).Задачи 5 и 6, более трудные, после

всеобщего тупика решил Женя. Надосказать, что и задачи на <четвёртый —лишний> он решал тоже очень хорошо.

Мне большого труда стоило набратьсятерпения его выслушать (как тольковнимание обращено непосредственнок нему, он замолкает) и оградить егокарточки от Димы и Пети.Задачу6Димарешилиначе, чембыло

мной задумано: разделил все фигурына прямолинейные и криволинейные.Мне пришлось согласиться.После этогоон протестовал против дальнейшихпопыток решить задачу другим спосо-бом, так что у нас даже состоялся не-приятный разговор о том, что кружокне для него одного, а для всех.В задаче 3 мне пришлось самому под-

сказать решение. Я сказал, что все ихзакономерности, которые они предла-гали (особенно Дима), очень сложные,а я могу объяснить всё очень просто,сказав всего два слова. Одно слово ска-жет, что положить в одну кучку, а дру-гое — что в другую. И потом сказалэти слова: <внутри> и <снаружи>.

Задание 3. Ханойская башня (вто-рой раз).Дима закончил первым. Женя (при

моих примерно пяти подсказках) спра-вился вторым и очень этому радовался,прыгал на месте и дрыгал ногами. Петяснова делал всё подряд по подсказкамДимы (у него эта игра почему-то неидёт), только первые ходов 5—6 и по-следние два хода сделал сам.

Я пытался ему не дать, чтобы потом гово-рить, что всё сделал за него. — Дима.

Кроме перечисленных трёх заданийпланировалось ещё одно — на множе-ство и его подмножества, но не хватиловремени. Может, это и к лучшему, ато было бы сегодня слишком многозадач на карточках.

Занятие 25. Мальчик в лифте

14 марта 1981 года (суббота). 1040—1100 (20 мин.).Дима, Петя, Женя, Андрюша.

Занятие длилось 20 минут, так какЖеня опоздал, а я торопился — мненадо было уйти не позже 1100.

Комбинаторика — 44 — 2. Кружок с мальчиками — первый год

Задание1.Одномумаленькомумаль-чику, который жил на 16 этаже, мамаразрешала самому ездить на лифте. Ноездил он как-то странно: когда ехалвниз, то доезжал с 16 до 1 этажа, а когдаехал вверх, то доезжал почему-то толь-ко до 8 этажа, а дальше шёл пешком.Чем вы можете это объяснить?—Это у него привычка такая бы-

ла, — сказал Андрюша.—Это он тренировался.И так далее.—А когда он немножко подрос, то

стал ездить до 10 этажа, а уже дальшешёл пешком.—Наверное, он стал более лени-

вый, — сказал Дима.—Но ведь в задаче не сказано, что

он был ленивый или не ленивый, и хо-тел он тренироваться или нет. Сказанотолько, что он был маленький.—Ну и что?Андрюша резюмирует:—Просто у него такая привычка

была, и всё.Я оставляю эту задачу на дом.[Я надеялся, что им, исходя из их

жизненного опыта, будет легко ре-шить эту задачу, но не тут-то было.]

Задание 2. На блюдце — фишки4 цветов, по 13 штук каждого цвета(одна большая и 12 маленьких). Я на-чинаю рассказ:—Жили были четыре армии — крас-

ная, синяя, зелёная и жёлтая. Вотэто — их полководцы (больши́е фиш-ки), а остальные — солдаты. Давайтепостроим армии!Мы строим каждую армию в ряд

вслед за полководцем. Ряды получи-лись неодинаковые по длине. Спонтан-но, без моей инициативы, возникаетдискуссия о том, где солдат больше.Андрюшанаходитсянаинтереснойпро-межуточной стадии: первоначально онсказал, что больше солдат в более длин-ном ряду (опираясь только на длину),но потом, когда я раздвинул короткийряд и сделал его более длинным, онпродолжал утверждать, что там, гдебыло больше, там и осталось больше.

Я, по свойственному мне отсутствиюгибкости, не дал дискуссии развернуть-ся, а пошёл дальше излагать задачу.Я продолжаю:—И вот эти армии всё время воева-

ли друг с другом, и в конце концов имэто надоело, и они решили заключитьмир и в честь этого устроить великийпир. Они расставили столы (я раскла-дываю квадратики из ватмана), и закаждый стол село четыре воина, по од-номукаждогоцвета.Но толькосадитьсяони должныбыли так, чтобы за каждымстолом они сидели по-другому — такоебыло правило: только тогда мир бу-дет прочным и они не будут большевоевать.Я сам рассаживаю полководцев, по-

том все сразу хватают себе фишки и на-чинают расставлять (хотя я задумалработу по очереди). После этого поисксовпадений происходит довольно сум-бурно. Первым находит совпадающиерасположения Петя. Когда обнаружи-вается совпадение, они тут же одну израсстановок меняют, не задумываясьо том, что может снова получитьсясовпадение с каким-то другим столи-ком. Иногда (не без помощи Наташи)происходит путаница в постановке за-дачи — а именно, отождествление рас-становок, полученных друг из другаповоротом.[З а м е ч а н и е: всего возможны

4!=24 расстановки, но это для детейслишком много. Я выбрал 12 фишекисключительно из тех соображений,что ребят будет либо трое, либо четве-ро, а фишек должно хватить на всехпоровну.]Д о п о л н е н и е. Во вторник Алла

предложила Диме доехать в лифте до16 этажа. Он не достал до кнопки,после чего сам вспомнил задачу и по-нял решение. То же с Андрюшей: емуи подсказка не потребовалась, так какон и без того живёт на 14 этаже.

На занятии мне не приходило в головупредставить себе, как мальчик входит в лифт,протягивает руку к кнопке и т. д. Тем более яне пытался представить себя на месте мальчи-ка. — Дима.

2. Кружок с мальчиками — первый год — 45 — Подмножества

Занятие 26.Пересекающиеся классы

21 марта 1981 года (суббота). 1035—1100 (25 мин.)Дима, Петя, Женя.

Задание 1. Классификация с пере-сечением.(1) Я предлагаю ребятам набор из

5 карточек (бабочка, ворона, самолёт,поезд, корабль) и прошу отобрать теиз предметов, которые умеют летать.Затем мы собираем карточки обратнов кучу, и я прошу отобрать средстватранспорта (то, на чём люди путеше-ствуют). Возникает спор о самолёте.Дима считает, что его надо оставитьс летающими предметами (чтобы раз-биение было на непересекающиесяклассы), Петя тащит к средствам тран-спорта. Женя подводит итог спору:—Он общий!Я хвалю Женю за найденное им

удачное слово и спрашиваю (без вся-кой надежды на успех), на какуюзадачу это похоже. Неожиданно Димаправильно отвечает:—На красные треугольники.Я приятно удивлён, хвалю Диму

и достаю верёвочки.Женя пытается по-ложить карточку с самолётом на двеверёвки (как когда-то пытался Дима),но Дима и Петя заявляют:—Не так! — и делают всё как надо.

Последующие наборы ребята раскла-дывают в верёвки сами, не дожидаясь,чтобы я объявлял классы, хотя я самдумал, что это потребуется.(2) Набор: яйцо, рыба, гриб, ёлка,

цветы. Справляются сразу:—Вот это всё едят, а вот это всё

растёт.Петя сразу кладёт гриб в сере-

динку.(3) Набор: голубь, сорока, страус,

жираф, ящерица. Произошёл казус:я по ошибке положил вместо картинкистрауса картинку журавля, да к томуже, оговорившись, назвал его аистом.Приходится картинку перевернутьрубашкой вверх и считать страусом.

Я публично признаюсь в ошибке. Алла,пользуясь случаем, рассказывает проптицу по имени коростель-дергач, ко-торая водится у нас и тоже не умеетлетать, но проходит пешком сотникилометров на зимовку.[Вообще-то определять классы через

отрицание (<н е умеет летать>) не сле-дует, но набор картинок ограничивает.В дальнейшем надо будет картинкизаказывать Алле.](4) Набор: маленькая девочка, две

маленькие девочки, маленький маль-чик, мужчина, старик. Задача вызы-вает неожиданные трудности: Димасразу кладёт в середину старика сословами:— Это хоть и дядя, но похож на

тётю.(На картинке изображён лысый ста-

рик с огромной бородой.) В итоге послемногих проб задачу решает Петя.

Задание 2. Ребята получают карточ-ки, на которых нарисованы некоторыемножества предметов (цветок, каран-даш, буква <А> и т. п., а также и понесколько предметов на одной кар-точке). Карточки кладутся на большойлист серой бумаги. Требуется показатьстрелками отношение <это моя часть>(т. е. подмножество). Среди карточекприсутствует также и пустое множе-ство.Главная трудность — дети безжало-

стно относятся к чистым, аккуратными красивым карточкам и всё норовятначать рисовать свою толстенную фло-мастерную стрелку прямо с карточки.Несколько карточек, несмотря на всемеры предосторожности и многократ-ные предупреждения, оказались из-мазанными.Дима первым догадался провести

стрелку от одного из множеств к пус-тому, но никак не мог догадаться про-вести такие же стрелки от остальныхмножеств.Вообще, хотя ребята с заданием

вполне справились, у меня почему-тоосталось ощущение, что они не оченьпонимали, что делали.

Классификация с пересечением — 46 — 2. Кружок с мальчиками — первый год

Занятие 27.Четырёхугольники на мозаике

4 апреля 1981 года (суббота). 1035—1110 (35 мин.).Дима, Женя, Петя, Андрюша.

По-моему, Андрюше наши занятияизрядно поднадоели. Ему нужно сорев-новаться и побеждать, а у нас для это-го оченьмало возможностей. Заставлятьего глупо, но просто взять и больше егоне приглашать тоже нельзя. Вопросв том, как сделать это тактично. Однанадежда—чтоЛюдапонимает этипроб-лемы лучше многих других*. По край-ней мере, сегодня Андрюша в большоймере испортил нам занятие.

Задание1.Перед занятиемдетиоченьрасшумелись, и, чтобы их успокоить,я предложил им досчитать до десятии обратно очень тихим шёпотом. Но до-пустил ошибку, сказав, что самымболь-шиммолодцомбудет тот, кто будет гово-рить тише всех. В результате послеокончания счёта вместо ожидаемой ти-шины и сосредоточенности возникласклока о том, кто говорил тише.

Задание 2. Оно снова было на клас-сификацию с пересечением. Посколь-ку ребята уже были с ним знакомы, ясразу положил на стол два пересека-ющихся верёвочных кольца и началпреамбулу:—Помните,мыужерешалисвамиза-

дачи про общие элементы: с краснымитреугольничками,потом с карточками...Но закончить мне не удалось: Ан-

дрюша, не дослушав, заявил:—А, нет, я не хочу делать то, что

уже было, мне неинтересно.Я ответил:—Если неинтересно, можешь не

делать, просто посиди посмотри.Тут Петя заявил:—Мне тоже неинтересно.(Аведь всегонеделюназад он говорил

Кате**, что математика ему нравится

* Люда, Андрюшина мама — преподавательмузыки.** Катя — мама Пети.

больше рисования и больше англий-ского. И аргумент привёл неожидан-ный: потому что на рисовании и на анг-лийском мы играем, а на математикезанимаемся серьёзным делом. У любвикак у пташки крылья...) Не придумавничего иного, я и ему сказал то же,что Андрюше. Немного подумав,и Дима — моя надежда и опора —сказал:—Мне вообще-то тоже неинтерес-

но, но я всё-таки буду решать.Я не стал дожидаться мнения Жени

и сказал:—Ну, хорошо, для Димы и Жени

вот набор карточек..., — но тут Андрю-ша увидел, что картинки на карточкахсовсем другие, т. е. и задание не то,что было, и закричал:—А-а! Тогда я буду, буду!—и попы-

тался сразу схватить себе все карточки,а следом за ним и Петя закричал:—Я тоже буду!Но настроение у меня уже испор-

тилось, я был раздражён, тем более,что Андрюша не давал другим кар-точки, дрался с Женей и беспрерывноглупо и не к месту шутил, отвлекаявсех от работы.Мы успели рассмотреть три набора

карточек (из подготовленных одинна-дцати!):(1) мяч, автомобильная шина, ре-

зиновые сапоги, пальто, шапка (трипредмета из резины, три предмета

Рис. 17. Правда ли, что у этой фигурки всегодва угла?

2. Кружок с мальчиками — первый год — 47 — Задачи на мозаике

одежды; общий элемент — резиновыесапоги);(2) мяч, автомобильная шина, рези-

новые сапоги, погремушка, клоун (трипредмета из резины, три игрушки;общий элемент — мяч);(3) мяч, автомобильная шина, рези-

новые сапоги, руль, кузов (три пред-мета из резины, три части автомобиля;общий элемент — шина).В целом ребята решали задачи хуже,

чем в первый раз. У Димы всё тот жедефект: он не умеет оставаться в рам-ках задачи, и его повышенная креатив-ность лишена дисциплины. Так, в дан-ном случае он упорно настаивал на том,что шина — это тоже <одежда>, так какеё можно надеть на пояс. Мы его долгопереубеждали, после чего он заявил:—Всё равно это одежда, потому что

её одевают на автомобиль.Первую задачу ребята не сделали,

и мне пришлось показать её решениесамому. В остальных двух задачахокончательный расклад карточек при-надлежал Диме, но Женя и Петя обараза ещё раньше говорили правильноерешение устно.

Задание 3. Задачи на мозаике.Д и м е: сложить треугольник

(справился);А н д р ю ш е: сложить квадрат

(справился);Ж е н е: сложить прямоугольник

(справился);

Рис. 18. Несколько неожиданный <четырёх-угольник>.

П е т е (говорю, что это задание —самое трудное): сложить четырёхуголь-ник, но не прямоугольник. Петя скла-дывает шестиугольник; предлагаю со-считать углы; Дима сразу заявляет, чтоуглов — два, и показывает их (те, чтовыделены на рис. 17).Женя кричит:—Неправильно!—начинаетсампра-

вильно считать углы, но Дима, понявсвою ошибку и поняв, какие углы сле-дует считать, отталкивает Женю и самдосчитывает до шести.Диме переходит то же задание, что

было Пете, он снова выдаёт нечто весь-ма неожиданное (рис. 18). Он говорит:— Это четырёхугольник, потому что

унегочетыре угла,—ипоказывает углы(на рис. 18 выделены). Я его хвалю,говорю, что решение очень интересное,но что всё же нам нужна замкнутаяфигура.А н д р ю ш е — то же задание; он

строит неправильной формы шести-угольник.Ж е н е — то же задание; Женя, на-

конец, находит правильное решениеи строит параллелограмм с углом 45◦

(рис. 19).На этом занятие кончается, но Петя

не хочет уходить и требует, чтобы я вы-полнил его задание: он построит фигур-ку, а я должен построить такую же,повёрнутую на 90◦. Я выполняю его за-дание, и он уходит удовлетворённый.

Рис. 19. Параллелограмм с углом 45◦.

И опять пересечения — 48 — 2. Кружок с мальчиками — первый год

Занятие 28.Начинаем теорию вероятностей

11апреля1981года(суббота).1040—1115 (35мин.).Дима, Женя, Андрюша.

Задание 1. Продолжение класси-фикации с пересечением. Я сновакладу две верёвочки и говорю:—Смотрите, какие вам Алла новые

картинки нарисовала, — с некоторымнажимом на слово <новые>.Не я один сменил тон: Андрюша, ви-

димо, обработанныйдомаЛюдой,наэтотраз гораздо более мягко спрашивает:—А почему мы всё время одинако-

вые задачи решаем?Я ему безжалостно отвечаю:—А ты что — в прошлый раз все

задачи легко решил?Андрюша закусывает губу и молчит,

на меня не смотрит. Я добавляю:—Мы так делаем просто для того,

чтобы научиться хорошо решать такиезадачи.Я договариваюсь с ребятами, что на

этот раз будет строгий порядок и всебудут решать задачи по очереди. Покаодин свою задачу не доделает, осталь-ные ему не мешают. Мне бы с самогоначала усвоить кондовый школьныйпринцип: прежде всего — дисциплина!Всё шло бы гораздо глаже.(1) З а д а н и е Д и м е: карандаш,

ручка, пишущая машинка, швейнаямашинка, пылесос (3 инструмента дляписьма, 3 домашних машины; общийэлемент — пишущая машинка). Димаговорит:— Это то, чем пишут, — но в пе-

ресечение почему-то кладёт швейнуюмашинку. Я спрашиваю:—Разве этим пишут?—Да.—А что это?—Швейная машинка. А-а! Ею не

пишут, а строчат!ТутЖеня исправляет Диму, но Дима

из чувства противоречия делает что-тоуж совсем несусветное. После долгогообсуждения мы совместно восстанавли-

ваем правильное решение. Ребята ни-какнемогут сформулировать,что обще-го у <домашнихмашин>.Яимпомогаю,и мы обсуждаем, что можно было быещё положить в этот класс (мясорубку,стиральнуюмашину, холодильник, . . .)и во второй (мел, кисточку, . . . ).(2) З а д а н и е А н д р ю ш е: пе-

сочные часы, ручные часы, будильник,кольцо, бусы (3 часов, 3 предмета, кото-рые человекнадевает; общий элемент—ручные часы). Андрюша правильноназывает классы:— Это часы, а это надевают, — но

в пересечение почему-то кладёт бу-дильник.Мы обсуждаем его решение, я спра-

шиваю, надевают ли будильник. Женяснова вносит правильное исправле-ние. Тут вмешивается Дима, начинаетвсё перекладывать и примерно с тре-тьей или четвёртой попытки приходитк правильному решению. На этот разЖеня из чувства противоречия заявля-ет, что эторешение(его собственное!)—неправильное, и опять всё перепуты-вает. Я восстанавливаю правильноерешение, объясняю его. Неожиданновмешивается Алла, которая придумаладругое решение — <часы> и <круглыепредметы> (в пересечении — будиль-ник). Вообще демонстрация того факта,что возможны разные решения— делополезное, но в данном случае именнотакое разбиение (на <часы> и <круглыепредметы>) было предусмотрено в сле-дующей задаче, так что эта вылазкаАллы фактически явилась подсказкой.(3) З а д а н и е Ж е н е: песочные

часы, ручныечасы, будильник, тарелка,барабан (3 часов, 3 <круглых пред-мета>; общий элемент — будильник).Женя сразу назвал правильныеклассы,но никак не решался положить карточ-ки среди верёвок. А когда положил, тов середине оказались песочные часы.Он, однако, объяснил, что они круглые,если смотреть сверху. Мне пришлосьсогласиться, и я убедил Женю, что бу-дильник надо тоже положить в пересе-чение. После этого мы ещё обсудили,

2. Кружок с мальчиками — первый год — 49 — Ученики разбежались

что было бы, если бы ручные часытоже были круглыми (множество часовбыло бы подмножеством множествакруглых предметов).

Задание 2. Подступы к теории ве-роятностей. В непрозрачную сумку-мешок я кладу два жёлтых и два чёр-ных кубика. Говорю, что это тёмныйчулан, в котором лежит пара жёлтыхи пара чёрных ботинок. Чтобы пойтив гости, надо достать обязательно пару(нельзя надеть разноцветные ботинки).Но из-за того, что чулан тёмный, при-ходится доставать ботинки наугад, одинза другим.Ребята по очереди тащат кубики из

мешка и запоминают, сколько куби-ков пришлось вытащить до полученияпары. [Лучше было бы раздавать пла-шечки с цифрами из математическогонабора первоклассника.]Мы обсуждаем, при каком количест-

ве вытащенных кубиков получить од-ноцветную пару (а) нельзя; (б) можно,но не обязательно; (в) обязательнополучится пара.Затем то же самое задание повторяет-

ся с шестью кубиками (тремя парами).Во время моих объяснений Андрюшавсё время отвлекался и явно скучал;Люда (впервые за всё время) делалаему замечания — видимо, с целью<подготовки к школе>.После кружкапроизошласледующая

сценка. Женя (маленькая) носила ку-бики ко мне в кабинет и ставила на пол,а я переставлял их себе на стол. В тотмомент, когда на столе было 6 куби-ков, а на полу — 3, Дима сказал:—А-а, там осталось всего трикубика!Оказывается, он во время кружка

умудрился сосчитать, что кубиков все-го 12 (я столько заготовил на всякийслучай), а сейчас устно решил задачу

12−(6+3)=3.

Характерно, что я с ним арифмети-кой совершенно не занимаюсь, толькоиногда отвечаю на его вопросы. Онпостигает её самостоятельно. Черезмесяц ему будет 5 лет.

Занятие 29. Полный провал

18 апреля 1981 года (суббота). 1030—1045 (15мин.)Дима, Петя, Женя, Андрюша.

Классификация с пересечением —окончание. Использованы наборы:(1) окно, стакан, очки, кольцо, ре-

мень (три стеклянных предмета, трипредмета, надеваемых человеком; об-щийэлемент—очки) [ср. с вопросом4];(2) рояль, скрипка, барабан, та-

релка, будильник (три музыкальныхинструмента, три круглых предмета;общий элемент — барабан) [ср. с во-просами 3 и 5];(3) рояль, скрипка, барабан, диван,

шкаф (три музыкальных инструмента,три предмета мебели; общий элемент —рояль);(4) окно, стакан, очки, чашка, круж-

ка (три предмета из стекла, три предмета, из которых пьют; общий элемент —стакан);(5) будильник, тарелка, барабан,

ложка, чайник (три круглых предмета,три вида посуды; общий элемент —тарелка).Все задачи дети решили правильно.

В пятой задаче они предложили дру-гой вариант решения: поскольку чай-ник тоже круглый (если смотреть нанего сверху), то в пересечении будутдва предмета: тарелка и чайник.После того, как с классификацией

было покончено, я совсем было собрал-ся перейти к следующему заданию.В этот момент Андрюша спросил:— А когда математика кончится?Я ответил, что она уже кончилась для

тех, кому неинтересно, и что он можетидти играть, если хочет, поскольку яникого не заставляю, и т. д. Но сказаля всё это не очень внятно и, честноговоря, несколько упавшим голосом.Наступило минутное замешательство,в течение которого я доставал мешоки цветные кубики, и тут Андрюшарешился и сказал:—Нет, я всё-таки пойду поиг-

раю, — и убежал в детскую комнату,

Ученики разбежались — 50 — 2. Кружок с мальчиками — первый год

где в это время были Женечка, Саняи Андрюшина двоюродная сестра, тожеСаня, трёх лет (так ему всё это надо-ело, что он предпочёл общество трёхмаленьких девочек). Следом за ним, нислова не говоря, убежал Петя. Послеэтого Женя неуверенно пробормотал:—Я вообще-то уже всё решил, —

и тоже убежал. Только Дима хотел за-ниматься ещё (отчасти это может бытьсвязано с нашей беседой с ним в пре-дыдущий день о его поведении на ан-глийском и о том, как важно самомухотеть заниматься). Он даже чуть незаплакал, когда я сказал:—Потом.Чуть не плакал я не от того, что теперь

не будет урока, а от жалости к папе (он былтакой грустный!) и от того, что я его утешал,а он не обращал внимания. — Дима.

Но нам уже было не до него: мырешали <педагогические проблемы>.Причёмпроблемыэти касалисьне толь-ко детей, но и меня самого. Алла пре-красно знала, сколько души я вклады-ваю в эти занятия, и ей потребовалосьнемало такта, чтобы как-то меня уте-шить. Я же сам не знал, в какую край-ность броситься: то ли забросить всёк чёртовойматери, то ли... что?Никакойдругой идеи в голову, увы, не приходи-ло. В неудобном положении оказаласьтакжеиЛюда: с одной стороны, ей хоте-лось как-то защитить Андрюшу от на-шего гнева, с другой—инас не обидеть.В итоге, после многочисленных об-

щих и сепаратных обсуждений былиприняты следующие решения:1) А н д р ю ш у б о л ь ш е н е

п р и г л аш а т ь*. Назавтра я погово-рил с Людой в том плане, что не вижусмысла заставлять его делать то, что емуне нравится, что он ещё в школе успеетнатерпеться, а покапусть последниеме-сяцы подышит спокойно, и что в концеконцов он пропустит 3—4 занятия, так

* Образ Андрюши, который предстаёт из этихзаметок, совершенно не соответствует действитель-ности.Всё из-за того, что пропущеныпервые20 за-нятий, на которых он был таким же полноценными активным участником, как и остальные.

чтопотеряневелика.Посуществу, в этихсловах нет никакого лицемерия. Ровнотак оно всё и есть: и то, что не следуетзаставлять, и то, что ещё вшколе натер-пится. К тому же он в сентябре ужеидёт в школу, а наш кружок— для до-школьников*. Жаль только, что всё этопришлось говорить не д о всей этойистории, а после, и это придавало нор-мальным словам нежелательный отте-нок. К тому же и моё состояние духане совсем предрасполагало к перегово-рам: всем было видно, что я обижен.2) Р е б я т н и в к о е м с л у ч а е

н е р у г а т ь.3) С д е л а т ь п е р е р ы в. Отчасти

в надежде на то, что они сами спросят,когда же будет математика (раньше та-коеиногдабывало—дажесАндрюшей).Я некоторое время упирался, говорил:—Пока сами не попросят, зани-

маться не буду.Трудно придумать что-нибудь более

глупое. Ребёнок живёт данным момен-том, а не думает о том, что <должно про-изойти в субботу в 11 часов>. Если жев субботу ничего не произойдёт, он ско-рее всего просто ничего не заметит.Перерыв продлился три недели.4) С д е л а т ь с л е д у ю щ е е з а-

н я т и е р е з к о н е п о х о ж и м н ав с е п р е д ы д у щ и е (совет РитыМарковны**).

Мне бы как раз больше понравилось, еслибы оно было такое же, как всегда. Я не помню,скучал ли я по кружку, но если скучал, топо тому, что было раньше, а не по чему-тоновому. По крайней мере, я был неприятноудивлён, когда мы сели не на обычном месте,а в коридоре. — Дима.

Глядяиз сегодняшнего далека, можнотолько удивляться, до чего же гипер-трофированной была моя реакция.Я оказался в роли революционера,мечтавшего осчастливить человечество.А человечество, вместо того, чтобы

* Через год пошли в школу Петя и Женя,но мы всё же продолжали заниматься, пока ещёчерез год в школу не отправился Дима.** Имеется в виду Р. М. Фрумкина. Мы часто

советовались с ней по самым разным поводам,и этот случай был одним из них.

2. Кружок с мальчиками — первый год — 51 — Переливание воды

с распростёртыми объятиями броситьсямне навстречу, продолжало предавать-ся своим порокам. И вот я уже готоврубить головы...

Занятие 30. Переливание воды

9 мая 1981 года (суббота). 1010—1040 (30 мин.)Дима, Петя, Женя.

Опыты с переливанием воды (сохра-нение количества вещества). Занима-лись в коридоре — с одной стороны,чтобы не испортить ковёр, но такжеи для создания <новизны обстановки>.О б о р у д о в а н и е. Две кастрюли:

в одной вода, подкрашенная заваркойчая, в другой вода, подкрашенная чер-нилами; две кружечки для наливания;две пустых молочных бутылки; дваузких стакана; один широкий стакан;четыре фужера. Я договариваюсь с ре-бятами, чтобы они постарались ничегоне разбить.

Вопрос первый. Я наливаю в бутыл-кипоровну синейижёлтой воды; ребятаубеждаются, что поровну; после этого яразливаю жёлтую воду в два фужераи спрашиваю, какой теперь воды боль-ше: жёлтой или синей? Вопреки всеммоим ожиданиям Дима неожиданнодаёт правильный ответ (<снова поров-ну>), и даже правильно всё объясняет:—Потому что та же самая вода, её

только перелили. Ничего не добавля-ли и не убавляли.Я пытаюсь не сдаваться: разливаю

жёлтую воду по трём, потом по четырёмфужерам (у Пиаже были такие испы-туемые, которыеменяли своюточку зре-ния, когда количество сосудов увели-чивалось). Но Дима стоит на своём:воды столько же. Я с надеждой обра-щаюсь к Пете:—А ты, Петя, как думаешь?Но Петя, увы, думает так же, и Же-

ня тоже.Яобескураженисмущён.Во-первых,

вся моя программа построения позна-вательного конфликта по Смедслундууже не нужна, так как дети и без меня

всё освоили. Во-вторых, занятие, накоторое возлагалось столько надежд,находится под угрозой: не прошло ещёи пяти минут от начала, а я уже едва лине исчерпал всё, что задумал. С трепе-том в душе я приступаю к следующемувопросу: если и сейчас ответят пра-вильно, то это снова провал занятия,и что мне тогда делать?

Вопрос второй. Я наливаю в широ-кий стакан немного жидкости и пред-лагаюналить в узкий стакан столькоже.Петя наливает воду до того же уровня(рис. 20).У меня немного отлегло от сердца.

Я спрашиваю, что будет, если водуиз широкого стакана перелить в дру-гой узкий стакан (пустой). Станет еёбольше или меньше? Ответ:— Столько же.— Значит, в двух узких стаканах

будет поровну?—Да.Япереливаюводу.Ребята очень удив-

ляются, что в одном из стаканов ока-залось больше, но довольно быстродогадываются, что дело в ширинестакана. Следует длинное обсуждениетого, как влияет ширина и высота наколичество жидкости.После этого мы ещё некоторое время

занимаемся разными переливаниями.Дети понимают, что если нужно на-лить одинаковое количество жидкостив разные сосуды, то нужно сначаланалить в одинаковые сосуды, а потом изодного из них воду перелить. Кроме

Рис. 20. Дети думают, что в этих стаканаходинаковое количество воды.

Переливание воды — 52 — 2. Кружок с мальчиками — первый год

Рис. 21. А вот здесь воды и в самом делепоровну — это случайно так получилось.

того, переливание в одинаковые сосу-ды используется для проверки того,где воды больше.Некоторую путаницу вносит то, что

когда мы наливаем (правильно) поров-ну в узкийстаканифужер,уровниводыоказываются одинаковыми, несмотряна разницу в ширине (рис. 21).Потом, когда мы наливаем поровну

воды в бутылку и в фужер и дляпроверки хотим перелить воду либоиз бутылки в такой же фужер, либоиз фужера в такую же бутылку, Женяпредлагает сравнитьуровень воды, при-подняв дно бутылки на высоту дна фу-жера (рис. 22). При этом он правильнообъясняет свои действия тем, чтошири-на у фужера и у бутылки одинаковая.

Рис. 22. Чтобы проверить, одинаковое ли ко-личество воды в бутылке и в фужере, припод-нимем бутылку так, чтобы её дно оказалосьна одном уровне с дном фужера.

Это наталкивает меня на следующийимпровизированный вопрос. Я ставлюузкий стакан на перевёрнутую вверхдном кружку (рис. 23). При этом дностакана и дно фужера оказываютсяна одной высоте. Я прошу налить водыпоровну в стакан и в фужер. НаливаетЖеня — и допускает ту же ошибку,что иПетя вначале.Но стоило мне толь-ко снять стакан с кружки, и он сразудогадывается, что допустил ошибку,и исправляет её.

Последний вопрос не связан с сохра-нением количества вещества, но связанс бутылками и водой.Каждый из ребят получает листок с

изображением двух бутылок. Одна изних стоит вертикально, а другая на-клонена. В вертикальной — уровеньводы обозначен (рис. 24), нужно на-рисовать уровень воды в наклонён-ной бутылке.Петя сразу сделал правильный ри-

сунок. Женя подсмотрел у Пети и тожесделал правильный рисунок (в данномслучае тот факт, что он подсмотрел, неимеет большого значения; раз он нари-совал правильно, значит, согласноПиа-же, у него уже сформировалась соответ-ствующая структура). Дима рисует не-правильно — уровень параллелен дну.

Рис. 23. Опять та же ошибка: воды здесьякобы поровну. Впрочем, на этот раз онабыстро исправлена.

2. Кружок с мальчиками — первый год — 53 — Переливание воды

Я пытался не представить себе воду в бутылке,а угадать ответ. При этом, по-моему, мне былотрудно сопоставить горизонтальный рисуноки вертикальную бутылку. — Дима.

Мы наливаем в бутылку воду и, на-клоняя бутылку, показываем ему уро-вень. Дима делает попытку исправитьрисунок, но на этот раз изображаетуровень вертикальным, а потом дажекривым (рис. 25).(Помню, не так давно я вычерпывал

воду из ванночки ковшиком, и Димаспрашивал, почему так получается, чтоя всё время черпаю с одного края ван-ночки, но яма на этом месте не образу-ется, а вода всё равно остаётся ровной.)

Если бы меня спросили, получится ли так яма,я бы, наверное, ответил, что нет. Но я не понимал,зачем ещё можно вычерпывать воду, если незатем, чтобы получилась яма. А уж если самПапа копает, то всё должно получиться. Папея верил больше, чем своему опыту. — Дима.

Я ничего не объясняю, и занятие наэтом кончается. Напоследок рассказы-ваю историю про Крошку Ру, которыйочень не любил рыбийжир, а мамеКен-ге надо было обязательно его уговорить,потомучтодокторвелел выпивать в деньпо стакану(при этомяпоказална узкийстакан). И тогда мамаКенга стала пере-ливать рыбий жир из узкого стаканав широкий. Крошка Ру д у м а л, чтопосле переливаниярыбьегожира стано-вится меньше (его ведь теперь полста-кана, и уровень ниже) и соглашалсяего выпить. Вот так и вылечился.

Рис. 25. Попытки нарисовать уровень воды в наклонённой бутылке.

Рис. 24. Нарисовать уровень воды в на-клонённой бутылке.

По моим, пока незначительным, наб-людениям дети-интраверты проявляютбольшесклонностиклогическомумыш-лению, а экстраверты имеют бо́льшиеуспехи в геометрии.К интравертамя от-ношу Диму и Женю, а к экстравертам,соответственно, Петю и Андрюшу (хо-тя никаких тестов на эту тему я непроводил, это всё — внешние впечат-ления).Характерно, что Дима до сих пор

часто проливает жидкости из сосудов(чай из чашки, воду из банки для ри-сования и т. п.), так как недостаточноследит за их горизонтальностью. Мы нанего сердимся за неуклюжесть и не-внимательность, а причина, возможно,в математике.

Снова вероятность — 54 — 2. Кружок с мальчиками — первый год

Занятие 31.Снова теория вероятностей

16 мая 1981 года (суббота). 1035—1100 (25 мин.).Дима, Петя, Женя.

Теориявероятностей—продолжение.Задание 1. Я:—Дима и Женя, наверное, сразу

вспомнят игру, в которую мы играли,а Пети тогда не было, поэтому я рас-скажу всё c начала.Ярассказываюпро человека, ищуще-

го пару ботинок, и про тёмный чулан.Кладу в мешок четыре пары кубиков—два жёлтых, два красных, два синихи два чёрных. Мы по очереди вытаски-ваем кубики до тех пор, пока не обра-зуется одноцветная пара. Каждыйберётсебе плашечку с цифрой, показыва-ющей, сколько ботинок ему для этогопришлось вытащить.Я тоже участвую в игре. При этом

мне достались четыре кубика всех че-тырёх цветов. Я обсуждаю с ребятамитот факт, что какой бы кубик ни ока-зался пятым, всё равно обязательнобудет готовая пара.Петя продемонстрировал, что такое

везение: единственный раз за оба за-нятия вытащил сразу два одноцвет-ных кубика.

Задание 2. Та же история про трёх-ногого человека. Мы кладём в мешоктри жёлтых, три красных и три синихботинка; цель та же — вытащить всле-пую полный комплект обуви, три одно-цветных ботинка. (Наташа пытаетсямне <помогать> и подсказывает, что

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Рис. 26. Градусник, измеряющий надежду вытащить три одноцветных кубика.

это не ботинки, а варежки и шапка, ноя настаиваю на своём варианте.)Когда тащу я, у меня снова оказы-

вается максимальный вариант: 6 ку-биков, причём трижды по два цвета.Я снова пользуюсь возможностью и об-суждаю с ребятами тот факт, что какойбы кубик я сейчас ни вытащил (седь-мым по счёту), у меня обязательнообразуется полный комплект.

Задание 3. После того, как каждыйвытащил кубики по одному разу, я уби-раю мешок и раскладываю все кубикина столе.Последовательно для трёх, четырёх,

пяти и шести кубиков мы показываем,как м о ж е т п о л у ч и т ь с я комп-лект и как м ож е т н е п о л у ч и т ь-с я комплект.Потом я предлагаю сделать то же са-

мое для семи кубиков. После несколь-ких проб дети заявляют, что при семивытаскиваниях хотя бы один комплектполучится обязательно. Я дополняюих опыт чем-то вроде доказательства.

Задание 4. Параллельно с обсужде-нием п. 3 я вытаскиваю сначала синююбумажку — на неё мы кладём плашеч-ки с цифрами 0, 1, 2 (<невозможно по-лучить комплект>). Затем появляетсязелёная бумажка, и на неё мы кладёмцифры 3, 4, 5, 6 (<возможно, но необязательно> получается комплект).Наконец, цифры 7, 8, 9 (<обязательно>получается комплект) мы кладём накрасную бумажку. (Интересно отме-тить, что упомянутые синестезии не-возможности с синим цветом, обяза-тельности с красным, а возможности

2. Кружок с мальчиками — первый год — 55 — Дипломы

с зелёным мы с Аллой предложили не-зависимо друг от друга, что говоритв пользу того, что они выбраны в ка-ком-то смысле правильно. Что-то вроде<холодно>, <тепло>, <горячо>.)

Задание 5. Я рассказываю о том, чтоградусник измеряет температуру (<теп-ло или холодно>), а я придумал другой,сказочный градусник, который измеря-ет <надежду на успех>. Показываю ри-сунки, на которых нарисованы: градус-ник с нулевой высотой столбажидкости(<невозможно>), с максимальнойвысо-той (<обязательно>), а также три гра-дусника, показывающие ту или инуюстепеньнадежды.Мыобсуждаем,какойиз этих градусниковпоказывает большенадежды, а какой меньше. А теперьпосмотрим, что покажет наш градус-ник в задаче про трёхногого человека.Ядостаюлист (перфокарту), накоторомнарисованы 9 градусников, и под каж-дым — цифра (от 1 до 9) и предлагаюна каждом градуснике показать каран-дашом уровень надежды на то, что мывытащили три одноцветных ботинка.Однако мы сДимой должны были ехатькзубномуврачу,ияужеспешил,поэтомудля цифр 1, 2 (вероятность равна нулю)и7, 8, 9 (вероятностьравнаединице)по-казалвсё сам(истолбжидкостифломас-тером тожерисовал сам), а ребятамоста-вил только цифры 3, 4, 5, 6. Они совер-шенно правильнопоказали уровень на-дежды повышающимся от цифры к ци-фре, и мы этот факт обсудили (рис. 26).[Надо было ещё показать настоящий

градусник и объяснить его устройство,так как нет уверенности, что они хо-рошо знают, как с ним обращаться.]На этом занятие закончилось, я вско-

чил, и мы с Аллой побежали одеватьДимку.

Занятие 32. Дипломы

23 мая 1981 года (суббота). 1040—1115 (35 мин.).Дима, Петя, Женя.

Заключительное занятие. Я говорюребятам, что сегодня у нас последнее

занятие в этом учебном году, и то зада-ние, которое они сегодня получат, онидолжны постараться сделать очень ак-куратно.

Задание 1. На отдельном листе бу-маги я напоминаю ребятам обозначе-ние операции сложения (+), а такжезнак равенства (=). Мы записываемнесколько примеров на сложение.

Задание 2. Задание, аналогичноетому, что даётся в болгарском букваре.Каждыйполучает листокплотной бума-ги (в уголке написаныфамилияи имя).Листок разграфлён отрезками прямыхлиний на множество клеточек непра-вильнойформы(немногимболее20кле-ток). Внутри каждой клетки написаназадача на сложение, например, 3+2=(все примеры даны в пределах 7, т. е.7—наибольшаяизполучающихсясумм).Ребята должны выполнить все эти сло-жения и карандашом записать ответ.Я проверяю результаты, исправляю

ошибки (мы их стираем, и сложениевыполняется заново), показываю про-пущенные клеточки.Дима пишет цифры 3 и 4 зеркаль-

ным образом: , .Приходится написать на листе бу-

маги крупно все цифры и положитьперед ним на стол.Первым справился Петя, не сделав

ни одной ошибки (хотя и пропустивпару клеточек). Вторым кончил Ди-ма, сделав одну ошибку, которую самобнаружил. Неожиданные трудностиу него вызвал пример 0+2, он долгоколебался и думал, не получится лив результате 0. Женя работал медлен-нее других, но тоже допустил всегоодну ошибку. Примеры 2+5 и 3+4вызвали у него затруднение; я принёсему счётные палочки, и он справился.Мальчики, уже закончившие, мешалиему, отвлекая и подсказывая.В процессе работы Виталий* нас

всех фотографировал.Задание 3. Следующее задание —

найти все клеточки с суммой 7 и закра-

* Виталий — папа Пети.

Дополнительные задачи — 56 — 2. Кружок с мальчиками — первый год

сить их красным фломастером. Я ещёраз призываю всех к аккуратности;советую сначала поставить в нужныхклеточках красные точечки, потом мывместе проверяем (каждый потерял понескольку клеточек, я их показываю),затем начинается закрашивание. Полу-чаетсябольшаякрасиваякраснаяпятёр-ка. Но, даже закончив работу, ребятазамечают это только после моего вопро-са, когда я карточку показал издали.Дима очень удивился, как это так по-лучилось.

Дипломы. Я демонстрирую мальчи-кам свой диплом об окончании универ-ситета, объясняю, что такое диплом,что он означает, что на нём пишется.Показываю вкладыш, в котором стоятоценки. Я объясняю также, что такое<оценка за год>. После этого начинает-ся торжественное вручение дипломов.Диплом сделан на типографском блан-ке <Диплома наставника молодёжи>.Мы обрезали поля (в том числе лозунг<Пролетарии всех стран, соединяй-тесь!>), на место серпа и молота накле-или картинку, нарисованную разно-цветнымифломастерами(трипересека-ющихся множества и ещё изогнутыйлист бумаги, на которомнарисован графс цветными стрелками), слово <Дип-лом> оставили, а слова <наставникамолодёжи> заклеили словами <мате-матического кружка>. Далее следовалтакой текст:

Этот диплом дан Диме Звонкинуза то, что он целый годзанимался математикойи стал очень умным.

23 мая 1981 г.

(У остальных текст, естественно,такой же.)Я объясняю, что та пятёрка, которую

они нарисовали, — это их пятёрка загод, и что этот листок является вкла-дышем в их диплом. Дима спраши-вает:—А почему мы все получили

пятёрки?

Я отвечаю:—Потому что все очень хорошо

занимались весь год. А кроме того, ясчитаю, что вы её сегодня вполне за-работали: ведь если бы вы сосчиталичто-нибудь неправильно и закрасилибы совсем не те клеточки, то и пятёркиу вас не получилось бы.Последнее соображение вызывает

оживлённое обсуждение: они толькосейчас поняли, что результат зависел отих правильной работы. Потом все поочереди читают, что написано у нихв дипломе. Кажется, они всерьёз по-верили, что стали умными.Я всех поздравляю с окончанием за-

нятия и учебного года. Катя фотогра-фирует каждого с дипломом в руках.После этого они долго сидят и хва-стаются друг перед другом:—А у меня пятёрка!—А у меня тоже пятёрка!—А у меня тоже пятёрка!—А я умный!—А я тоже умный!—А у меня пятёрка!И т. д., пока Дима не заявляет:—Нам нечем хвастаться, потому

что у нас всех одно и то же.

Несколько дополнительных задач

В этом разделе я очень бегло и безвсяких комментариев даю список за-дач из первых двадцати занятий, ко-торые удалось вспомнить (и которыене упоминаются в других местах).

О п р е д е л е н и е к о л и ч е с т в ап р е д м е т о в б е з с ч ё т а.

1. Делается лесенка из кубиков(рис. 27). На каждую ступеньку кла-дётся цифра (по очереди). После этогодля последних столбиков проверяется,соответствует ли количество кубиковв них лежащей сверху цифре.

2. Делается ещё один столбик изкубиков. Для определения количествакубиков в нём его прикладывают к ле-сенке.

2. Кружок с мальчиками — первый год — 57 — Дополнительные задачи

3. Один мальчик берёт два раза потри кубика, а другой — три разапо два. У кого больше? Обсуждаетсявопрос, почему одинаково.

4. Аналогично № 1: кладётся рядиз кубиков, на нём сверху цифры.Количество кубиков в других рядахопределяется прикладыванием.

5. Отправление писем, когда нехватает конвертов (попытаться разло-жить их по другим конвертам).

К о м б и н а т о р и к а.1. Разложить треугольник, кружок

и квадрат в разных последовательно-стях.

2. То же, но с тремя цветами.3. То же с четырьмя предметами

(два квадрата и два кружка).

К л а с с иф и к а ц и я.1. Дана таблица 4×4. Слева на-

рисованы фигуры, которые помечаютеё строки: квадрат, круг, треугольники полукруг. Сверху изображены цвета,помечающие столбцы: красный, синий,жёлтый, зелёный. Требуется каждыйпредмет (например, синий квадрат)положить в нужную клеточку.

К в а н т о р о бщ н о с т и.1. На столе лежат несколько фигу-

рок. Верно ли, что:а) все треугольники — красные?

Рис. 27. Лесенка из кубиков.

б) все синие фигуры — кружочки?в) все фигурки — без дырочек?

П о р я д о к.1. В трубочку закатываются три

шарика: красный, синий и жёлтый.В каком порядке они будут выкаты-ваться обратно?

2. Частичный порядок: в каком по-рядке мы надеваем разные предметыодежды и обуви (они нарисованы накарточках)? Ответить на вопросы:а) что можно надеть раньше шубы?б) что обязательно нужно надеть

раньше шубы?в) какие предметы одежды можно

надеть последними?г) какие можно снять первыми?д) что можно снять только после

шубы?е) что можно снять и до, и после

шубы?ж)что нужно обязательно снять до

шубы?3. Я еду на работу сначала на ав-

тобусе, потом на троллейбусе, потомна метро, потом на трамвае. В какомпорядке я еду обратно?

С и м м е т р и я.1. Проводится прямая линия на ли-

сте бумаги и объявляется <зеркалом>.Преподаватель проводит с одной сто-роны от неё произвольную загогулину.Требуется нарисовать ей симметрич-ную. Результат можно проверить с по-мощью реального зеркала. Потом мож-но показать детям рисунки бабочек,цветов, и т. п., спросить, где у них<зеркало>.

2. Усложнение предыдущего: заго-гулина лежит в стороне от линии, или,наоборот, пересекает её. Её можнотакже делать многоцветной.

3. То же задание можно повторитьна мозаике.

П о в о р о т.1. Преподаватель рисует фигурку.

Ученик должен нарисовать такую жефигурку, но не <стоящую>, а <лежа-

Дополнительные задачи — 58 — 2. Кружок с мальчиками — первый год

Рис. 28. Фигуры, повёрнутые на 90◦.

Рис. 30. Нарисовать всё то, что <отличает> одну фигурку от другой.

щую> (см. примеры на рис. 28). Пред-варительно можно повертеть карточкис фигурками.

2. То же самое задание на мозаике;то же, но с поворотом не по, а противчасовой стрелки.

Р а з н о е.1. Продолжить последовательность

(<узор>), рис. 29.2. Даны пары фигурок (рис. 30).

Длякаждойпарынарисовать <разницу>между ними, т. е. то, что присутствуеттолько на одной фигурке, но не на двух.

Рис. 31. <Пляшущие человечки>. Добавитьнедостающего.

Рис. 29. Последовательность фигурок рисуетсяслева направо. Нужно угадать закономерностьи продолжить.

3. На мозаике построена фигура изкрасных и жёлтых фишек. Построитьдругую фигуру, заменив красные фиш-ки жёлтыми, а жёлтые — красными.

4. Дана фигура. Построить такуюже вверх ногами.

5. Диагональ делит прямоугольники параллелограмм на два равных тре-угольника (бумажный параллелограммразрезается по диагонали, после чегоодин треугольник накладывается надругой).

6. Задание, аналогичное № 22-3(см. стр. 37), но все фигурки к томуже ещё раскрашены в три цвета.

7. У треугольника три угла. Одинугол отрезали. Сколько осталось? (От-вет: четыре. Ведь если у треугольникаотрезать угол, он превратится в че-тырёхугольник.)

8. У последнего <пляшущего чело-вечка> (рис. 31) указать цвет юбочкии положение рук. Юбочки можно сде-лать разноцветными изначально, аможно попросить ребят их раскраситьпотом (с условием, чтобы в каждойстроке и в каждом столбце все цветабыли разными).

9. Дан рисунок с разноцветнымифигурками — типа того, что показан

2. Кружок с мальчиками — первый год — 59 — Как рисовать куб?

на рис. 32. К нему задаются вопросы:сколько здесь нарисовано:а) кругов?б) красных (синих, жёлтых, зелё-

ных) фигур?в) многоугольников?г) невыпуклых фигур?д) четырёхугольников?е) прямоугольников?ж)красных (и т. д.) многоугольни-

ков?з) фигур (всего)?

Как рисовать куб?

Это — слегка затерявшаяся история:она записана на отдельном листкеи без даты.Однажды Дима сообщил мне:—А я знаю, как рисовать куб. Мне

показали.—Ну, как же?В ответ он нарисовал стандартную

картинку, изображающую куб в <ак-сонометрической проекции> (рис. 33слева). А я где-то читал, что детскимрисункам более свойственна обрат-ная перспектива (как в иконописи),и потому стал приставать с вопро-сами:—А вот это что?—Это верхняя сторона.—А нижняя где?—Её не видно.

Рис. 33. Слева: так рисуют куб взрослые. Справа: рисунок, более свойственный ребёнку (кубв <обратной перспективе>).

Рис. 32. Разноцветные фигурки.

—А почему верхнюю видно, а ниж-нюю не видно?—Да-а... действительно...Дима задумался. Потом сам добавил:—И вот этот бок тоже видно, а вот

этот нет.После этого он взял кубик, взял

фломастер, уселся на пол, обложилсялистами бумаги и стал разбираться.Трудился он никак не менее часа.Потом пришёл ко мне:—Вот, папа, я всё понял.И показал то, что изображено на

рис. 33 справа, т. е. куб в обратной

Как рисовать куб? — 60 — 2. Кружок с мальчиками — первый год

перспективе, пояснив при этом, гдеу него верхняя сторона, где нижняя,где правая и где левая. Я сказал ему:—Молодец!Следует признать, что в этой исто-

рии присутствует оттенок догматизмас моей стороны. Уж если я решил, чтоне следует искусственно перетаскиватьребёнка на более высокий уровеньразвития, то буду даже стаскивать егообратно вниз, если это вместо меняпосмел сделать кто-то другой. Не сле-дует чрезмерно преувеличивать важ-ность ни того, ни другого. Но вот чтоя безусловно ставлю себе в заслугу,так это час самостоятельной Диминойработы — целый час исследования во-

проса о том, как же мы на самом делевидим куб и как его следует рисовать.Хочу всё же добавить, что академик

Б. В. Раушенбах в своих монографиях<Пространственные построения в жи-вописи> (М.: Наука, 1980) и <Систе-мы перспективы в изобразительномискусстве. Общая теория перспективы>(М.: Наука, 1986) показывает, что насамом деле существует много разныхсистем перспективы, и каждая из нихимеет свои достоинства и свои недостат-ки. Обратная перспектива не лучшеи не хуже классической ренессансной.Она больше подходит для изображенияблизких к нам предметов, а ренессанс-ная — удалённых.

3Дети и C25:история однойзадачиВ этой главе использованы материа-

лы моей статьи <Дети и C25> в журнале<Знание—Сила>, № 2 за 1986 год.Читатель уже мог заметить, что в на-

ших занятиях, скажем, теорией вероят-ностей, нет ни определений, ниформул,ни теорем — ни даже арифметическихподсчётов. Термин <теория вероятно-стей>используетсяпросто за неимениемлучшего. Ну, а что же тогда есть, есливсе эти стандартные математическиеингредиенты отсутствуют?Чтобы ответить на этот вопрос, нуж-

но задать другой: а откуда вообщевозникла теория вероятностей? Где еёисточник? Ясно: как и многие другиенауки, как даже сама арифметика,теория вероятностей возникла из на-блюдений над определёнными явлени-ями реального мира, а именно, надслучайными, непредсказуемыми явле-ниями. Так во́т, как раз такие наблю-дения, предшествующие науке, вполнеможно проводить вместе с детьми. Нелюбые, конечно, лишь самые простые.Да дети и сами, без нас, этим занима-ются — например, тогда, когда играютв игры с использованием игральнойкости (кубика с написанными на нёмочками от 1 до 6). В наших силах,однако, чуть-чуть выпятить, самую ма-лость подчеркнуть вероятностную при-роду их наблюдений, а также познако-мить их с тем, что вероятностный миртоже несёт в себе значительное мно-гообразие. Можно, например, вместокубика предложить детям кособокий

многогранник, чтобы они увидели,как игра становится <несправедливой>:одни цифры выпадают чаще, чем дру-гие. Или можно придумать игру, в ко-торой требуется считать сумму очковна двух костях. Здесь тоже дети раноили поздно заметят, что, скажем, сумма7 выпадает гораздо чаще, чем сумма 2.В такого рода деятельности мы не огра-ничены ничем, кроме собственной фан-тазии и реальных возможностей реаль-ных детей. Если дети поняли что-то,если какое-то зерно запало в разум —очень хорошо. Если нет — неважно;тогда, значит, мы <просто играли>.Попробую сформулировать ещё раз.

Нас интересует не наука сама по себекак готовый продукт деятельностипрошлых поколений, а те предвари-тельные, предшествующие ей наблю-дения, которые когда-то послужилитолчком к её появлению.В этой главе я хочу рассмотреть бо-

лее подробно один пример. В главе 1рассказывалось об одном занятии;в этой главе речь пойдёт об одной за-даче. Всего одна задача — а сколькоона даёт поводов для размышлений!

Комбинаторная задача

Задача эта относится к области ком-бинаторики. Когда-то такую наукупроходили в школе, в девятом классе(имеется в виду школа-десятилетка).Потом сочли очень трудной (вспомни-те хотя бы такое пу́гало, как б и-н о м Н ь ю т о н а!) и из программыисключили. А все трудности старше-классников состояли попросту в том,что им приходилось сразу начинатьс формул, не пощупав ничего руками.В данном случае выражение <пощу-пать руками> надо понимать букваль-но. Ведь в комбинаторике речь идёто подсчёте количества тех или иныхкомбинаций предметов. Только самихпредметов-то и нет — их надо вообра-зить, и комбинации тоже. Вот если быначать с комбинирования реальных

Комбинаторная задача — 62 — 3. Дети и C25: история одной задачи

Рис. 34. Одинаковы ли эти бусы?

кубиков, фишек... Но кто же станетэтим заниматься в девятом классе!Мы рассаживаемся вокруг мозаики.

Задание такое: надопостроить <бусы>—цепочку из пяти фишек, в которой двефишки должны быть красными, а ос-тавшиеся три— синими. Это, разумеет-ся, можно сделать разными способами.Так вот, наша задача как раз и состоитв том, чтобы перебрать все способы ипри этом избежать повторений. По нау-ке эти последовательности называютсясочетаниямииз пяти элементовпо два;их количество в отечественной лите-ратуре обозначается C25 , в англоязыч-

ной —

�

52

�

и равно оно5 ·42

=10.

Ничего этого, конечно, дети не знаюти на наших занятиях не узна́ют. Онипросто строят бусы — по очереди, одинза другим. Каждый результат прове-ряется всеми вместе — действительноли он новый или совпадает с каким-нибудь из построенных ранее. Поройи спорим. Например, на рис. 34 изо-бражено одно решение или два разных?На самом деле спорить тут не о чем:мы можем д о г о в о р и т ь с я, чтоэти решения разные, а можем — чтоодинаковые. Получатся две разныезадачи, и обе вполне интересны. Ноболее лёгкая из них та, в которой этибусы считаются разными, и я предла-гаю так и считать.

Рис. 35. Эти бусы изображенына бумаге; в каж-дой цепочке нужно закрасить две бусинки,но так, чтобы все бусы получились разными.

В конце концов мы доходим до 10 ре-шений.Главный вопрос комбинаторики —

сколько всего имеется решений. Номальчики ещё очень далеки от него.Они вообще пока не видят разницымежду <это невозможно> и <у меняне получается>, и выражают твёрдуюуверенность в том, что уж я-то могупостроить и одиннадцатое решение,и двенадцатое, и вообще сколько за-хочу. Приходится взяться за дело мнесамому. Ребята перебирали свои реше-ния как попало, без всякой системы.Зато я демонстрирую образец система-тичности: перебираю решения в стро-го определённом порядке. Сначаластавлю одну красную фишку на пер-вое место, а вторую — поочерёдно навторое, третье, четвёртое, пятое места.Когда эта серия исчерпана, ставлю пер-вую фишку на вторую позицию и т. д.Вы думаете, это производит впечатле-ние? Ни малейшего. Единственное, чтоони поняли — это то, что у меня тоженичего не вышло. (Как бы ещё неподорвать свой авторитет...) Отличитьодно решение от другого они уже мо-гут, а вот отличить порядок от беспо-рядка им пока не по силам. Надо от-ложить эту задачу эдак на полгодика.(А пока, может быть, приучать их акку-ратно складывать все игрушки на своиместа. Любопытно, связан ли порядокв игрушках с порядком в мыслях?)

3. Дети и C25: история одной задачи — 63 — Эквивалентные задачи

Эквивалентные задачи

Прошло полгода, а может и больше,и задача появляется снова. Разумеется,я меняю её физическое оформление.Каждый получает листок, на которомнарисованы сцепленные друг с другомкружочки, по пять штук в каждомряду (рис. 35).Такихрядов заготовленоштукпопят-

надцать — на случай неизбежных оши-бок и повторений. Задача состоит в том,чтобы в каждой цепочке два кружочказакрасить, а остальные три оставитьпустыми. Чемпионом будет тот, ктонайдёт больше всего решений. И ещёодна деталь, на первый взгляд пустяч-ная. Я даю всем ребятам фломастерыразных цветов, а в дальнейших обсуж-дениях этот факт старательно игнори-рую: каждый раз два кружка можнозакрашивать любым цветом. Дети невсегда понимают, какая деталь являет-ся важной, а какая не имеет отношенияк делу, и я пытаюсь, как могу, подчерк-нуть чисто комбинаторную природузадачи. Помнится, в другой группе явместо кружков рисовал то пять квад-ратов, то пять треугольников и т. п.Несколько минут самостоятельной

работы (показывающей,междупрочим,что задача на бумаге труднее задачина мозаике — и это несмотря даже напрошедшие полгода), затем шумныйобмен мнениями и результатами. Те-перь у всех по 10 решений.—А вы помните, у нас уже была

один раз очень похожая задача?

Рис. 36. Найти все пути из левого нижнего угла в правый верхний.

Ведь вот как легко промахнуться,подставив свою точку зрения вместоребячьей! Что значит похожая? Мнекак-то казалось само собой разумею-щимся, что похожая задача — это та,в которой тоже фигурировали сочета-ния из пяти предметов по два. А детирешили, что похожая — это когда онитоже что-то рисовали фломастерами.Не люблю подсказывать, но на этот разприходится. Мальчики с радостью хва-таются за мозаику, строят бусы на нейи даже сами догадываются сверитьрешения на мозаике и на листочках.Кто-то вспоминает, что в прошлый разтожеполучилось 10решений. Это, нако-нец-то, повод для первого сомнения:—А что, и правда больше нельзя

построить?Я загадочно улыбаюсь и перехожу

к другому заданию...Кажется, я набрёл на золотую жилу.

Или лучшесказать—нановогоПротея.Эта задача допускает необычайное оби-лие непохожих друг на друга физиче-ских обличий; поэтому к ней можновозвращаться множество раз. Вот, на-пример, как выглядит очередной вари-ант. В порядке очереди каждый изучастников получает листок клетчатойбумаги, на котором нарисован прямо-угольник размером 3×4 клетки. (Се-кундный спор о том, квадрат это илинет, после чего можно формулироватьусловие задачи.) Итак, требуется нари-совать все возможные дороги из левогонижнего угла в правый верхний, нопри одном условии: из каждой клеткиможно передвигаться только направо

Эквивалентные задачи — 64 — 3. Дети и C25: история одной задачи

ВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВ

ВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВ

ППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППП ППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППП

ППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППП

П П В П В

Рис. 37. Шаг вправо обозначается буквой П,шаг вверх — буквой В.

или вверх (рис. 36). Если вам, уважа-емый читатель, не совсем ясно, как свя-зана эта задача с предыдущей, потерпи-те немного — сейчас всё разъяснится.Работа кипит — чувствуется возрос-

шая квалификация моих <математи-ков>: и ошибок меньше, и все 10 реше-ний найдены довольно быстро. (А межтеммытогои глядинаткнёмсянановыйподводныйкамень: мальчикиуженачи-наютпривыкатьк тому, что во всехком-бинаторныхзадачахответом служитчи-сло 10. Не в этот раз, но в другой кто-тоиз них так и сказал: <Задача про 10>.Надо срочно принимать меры — т. е.давать задачи с другим количествомрешений.) Я, наконец, задаю главныйвопрос: чтобы пройти из угла в уголлисточка, сколько шагов надо сделатьнаправо и сколько вверх? Увы, осечка.Я считаю шагом переход из клеткив соседнюю, а ребята — любой прямо-линейный отрезок. Надо договоритьсяо том, как правильно понимать слово<шаг>. Договариваемся. Ну теперь-тоуж ответ очевиден? Опять нет! Я в не-доумении. После занятия обдумываюпричину. А ведь и в самом деле, вопросказался мне простым только по недо-мыслию. Ведь именно на этом свойст-ве — что количество шагов по горизон-тали и по вертикали одинаково длявсех путей — основано координатноепредставление векторов, т. е. тот факт,что при сложении векторов их коорди-наты тоже складываются. Отчётливо

помню, как когда-то меня, уже доста-точно взрослого, поразило это свойствовекторов. На его основе можно сделатьхорошую серию задач и с её помощьюдаже дать намёк на отрицательныечисла, если допускать шаги назад, ноподсчитывать их со знаком минус.(Кажется, эта идея так и осталасьнереализованной.)Ну а пока, на занятии, мы старатель-

но подсчитываем шаги: оказывается,каждая дорожка содержит ровно тришага направо и ровно два шага вверх.Поэтому на следующем занятии мырешаем <новую задачу>: пишем после-довательности букв ВВППП, ВПВПП,ВППВП и т. д. — в каждой три бук-вы П и две буквы В. По замыслу каж-дая буква П означает шаг направо,а буква В — шаг вверх (рис. 37).Надо было видеть то волнение, ко-

торое охватило ребят, когда я показалим эту связь! Они немедленно потре-бовали разрезать листок, на которомнаписаны наши пятибуквенные слова,и, отталкивая друг друга, стали прикла-дывать каждое слово к соответствую-щей дорожке. Я остаюсь стороннимнаблюдателем, однако пытаюсь невзна-чай подкинуть ещё одну мысль.—Может быть, мы заодно ещё ка-

кие-нибудь решения найдём, — гово-рю я. — Одиннадцатое, двенадцатое...Один лишь Женя откликается на

мои слова:—Нет, — говорит он. — Ведь здесь

десять и там тоже.—Но, может быть, они разные?Здесь

одни десять решений, а там другие?К этому моменту, однако, все бумаж-

ки уже разложены, и наши надежды неоправдались: обе группы по 10 реше-

П П В П В

Рис. 38. Вместо буквы П рисуем белый кру-жок, вместо буквы В — закрашенный.

3. Дети и C25: история одной задачи — 65 — Обозначить...

ний в точности соответствуют однадругой, или, как говорят математики,находятся во взаимно однозначном со-ответствии. Как тем не менее важнохотя бы на мгновение усомниться в ре-зультате, чтобы потом ощутить его какрезультат!Сейчас, на волне энтузиазма, мож-

но продвинуться чуточку дальше.—А скажите, ребята, можно было

обозначить шаги направо и вверх дру-гими буквами? Не П и В, а другими?—Конечно! Какими хочешь можно.—Ну, какими, например?—Например, А и Б, — говорит Петя.—Или, например, твёрдый знак

и мягкий знак, — это Дима.—Или, например, — говорю я, —

шаг направо обозначить плюсом, а шагвверх — запятой.—О-о-о! — хохочут мальчики.—Или,—продолжаюябесстрастным

тоном, — шаг направо обозначать бе-лым кружком, а шаг вверх — закра-шенным.—Как это?—А вот так.Яберу ту дорожку, чтонарис. 37, беру

соответствующее ей слово ППВПВ —и рисую рядом <бусы>, показанные нарис. 38.И в наступившей паузе — паузе пе-

ред взрывом — ещё успеваю соединитьсвои кружочки линиями, придав имокончательное сходство со второй за-дачей. Узнали! Тут ошибиться нельзя:озарение сопровождается радостнымвоплем и чуть ли не плясками. На столевсё смешивается, и продолжать дальшестановится решительно невозможно.Пора кончать занятие. Теперь можноотступитьпримернонамесяц,отвлечься,

Рис. 39. Два шарика нужно положить в пять коробок разными способами. Главная трудностьтеперь в том, что нужно п о м н и т ь все уже использованные ранее варианты: ведь физическиони на столе больше не присутствуют.

позаниматься другими задачами. Пустьидея уляжется, пустит корни. К томуже однотипные задачи могут надоесть.

Обозначить...

Мы приближаемся к финишу. Настоле пять коробок из-под спичек и двашарика: нужно класть эти два шарикав две коробки, оставляя остальные трикоробки пустыми (рис. 39). И чтобне повторяться.Работа начинается вполне бойко,

но уже на четвёртом или пятом шагевозникает ожесточённый спор, былоуже такое решение или нет. Мальчи-ки обращаются ко мне как к арбитру,но я делаю вид, что тоже не помню.Разумеется, с моей стороныэто <домаш-няя заготовка>: вполне можно былонабрать достаточное количество коро-бочек и шариков, разложить коробоч-ки по пять в ряд, и получилась бы в точ-ности та же задача, что и раньше.А сейчас каждое решение приходитсясравнивать с теми, которые <были дасплыли>. Как же быть?Между прочим, далеко не каждый

ребёнок сообразит, что делать в такойситуации. Нужно о б о з н а ч и т ьодним значком пустую коробку, дру-гим — коробку с шариком, и всенайденные решения записывать. Ноза этим скромным словечком <обо-значить> прячется грандиозная идея,родившаяся и выросшая вместе с че-ловеческой цивилизацией. Достаточновспомнить во многом ещё загадочнуюисториювозникновенияписьма, эволю-цию пиктограмм в иероглифы, иеро-глифов — в алфавитное письмо и т. д.

Обозначить... — 66 — 3. Дети и C25: история одной задачи

Рис. 40. Первая, вторая и четвёртая коробкипусты, в третьей и пятой лежит по шарику.

Сколько существует на свете математи-ка, она всегда занималасьизобретениеми усовершенствованием систем обозна-чений — сначала для чисел, потом дляарифметических операций, для пере-менных, и далее — для всё болееи более абстрактных сущностей. Ужев XX веке учение о знаковых системахосознало себя в качестве самостоятель-ной науки — семиотики.К более серьёзному разговору об ис-

пользовании знаков мы ещё вернёмсяв главе 5 (стр. 115). Пока же скажулишь то, что на нашем кружке я всег-да старался не только решать отдельныезадачи, но и формулировать, хотя быдля себя самого, какие-то более общиецели. Знакомство с семиотической иде-ей — одна из таких <сверхзадач>. Мыне раз обсуждали то, что числа обозна-чаются цифрами, звуки речи — буква-ми, а, скажем, музыкальные звуки —нотами. Вспоминали и другие системызнаков, например, дорожные знаки.Так что эта идея для моих кружковцевуже не совсем новая. Вот мальчикии предлагают р и с о в а т ь решения.Поначалу они и в самом деле пытаютсяделать что-то вроде реалистических ри-сунков; очевидно, они находятся покана пиктографическом уровне. Но этотрудно, и довольно скоро мы переходимна иероглифический уровень: рисункистановятся более абстрактными — те-перь пустая коробка обозначается квад-ратом, а заполненная — квадратомс кружком внутри. Я предлагаю в по-следнем случаерисоватьпростокружок.Очередное препятствие: дети не умеютрисовать аккуратно, и нарисованныйими круг не всегда легко отличить отквадрата. Я делаю ещё одно предложе-ние: рисовать круг с крестом. Теперь,

после всех этих эволюций, одно из ре-шений выглядит так, как на рис. 40.—А почему крестом?—А какая разница, как обозна-

чать, — отвечаю я. Это я пытаюсь рав-нодушным пожиманием плеч ещё разнамекнуть на ту идею, про которуюспециалист по семиотике сказал бычто-нибудь вроде: <Относительная са-мостоятельность знака по отношениюк означаемому и его (в известных пре-делах) произвольность>.Между прочим, получившаяся зада-

ча в одном отношении сложнее преды-дущих: теперь каждое новое решениенужно сравнивать не с другими реше-ниями, а с их условными обозначе-ниями. На этот раз мальчики находятвсего 9 решений, и после несколькихбезуспешных попыток приходят к вы-воду, что больше решений нет.И вот, наконец, наступает минута

моего триумфа, та, которую я так долгождал и так упорно готовил. Петя вдругвосклицает, тычапальцемвлист бумаги:—Ой, смотрите! Пэ, вэ, пэ, вэ, пэ!Димавскакивает очень взволнованно:—Да, да, папа, я уже давно хотел

тебе это сказать!— Значит, должно быть ещё одно

решение, — подхватывает Женя.—А давайте, — предлагает Дима, —

принесём решение т о й задачии найдём, чего не хватает.У детей всегда — сказано—сделано:

он уже бежит в кабинет, чтобы искатьтам нужные решения. Ходить, однако,далеко не приходится. Подобно извест-ному роялю в кустах, конверт с реше-ниями всех предыдущих задач ока-зался здесь же, на столе.

Мне было очень обидно, что <ходить далеконе пришлось>. Во-первых, я зря пробе́гал в дру-гую комнату за решением, а главное, я понял,что никакого открытия не было, а папа всёзаранее подготовил. — Дима.

Мы обсудили, какой из вариантов —с буквами, с дорожкамиили с бусами—удобнее для нас, и выбрали бусы. Вовремя работы случился небольшойкон-фуз. Когда мы раскладывали полоски

3. Дети и C25: история одной задачи — 67 — Доказательства

с <бусами>, одна из них случайно пере-вернулась на 180◦. В результате одноиз прежних решенийпропало, а другое,ему симметричное, оказалось повторён-ным дважды. Мы едва не запутались.

Я хотел сказать, что она перевернулась, ноне стал, так как думал, что, может быть, этовсё равно. — Дима.

Почему-то все ребята как один былиубеждены, что недостающий вариантобязательно окажется последним. Темне менее тот факт, что он вышел ужечетвёртым, нисколько их не обескура-жил. Они положили шарики в соответ-ствии с этим новым вариантом, продик-товали мне рисунок десятой строчки,а потом разложили остальные бусы —каждые к своему рисунку. А я закон-чил задание с чувством абсолютноготриумфатора.То, что произошло сегодня, кажется

мне крайне важным. Мы не просто ре-шили задачу. Мы решили её путём све-де́ния к другой, изоморфной ей и ужеранее решённой задаче. Это — важней-шая общематематическая идея, и развене чудо, что нашёлся такойматериал, накотором эту идею удалось продемон-стрировать шестилеткам? Да к тому жетак, что они сами до неё додумались!

Доказательства

События на нашем кружке меняютсяс головокружительной быстротой. Неуспели мы разобраться с одной великойидеей, как тут же на подходе другая.Как-то сам собой возникает вопрос:почему каждый раз получается ровно10 решений? Их в самом деле большене существует, или мы просто не суме-ли их найти? Как д о к а з а т ь, чтоих всего десять?Итак, доказательство. Центральное

понятие для всей математики, я бы да-же сказал — ф о р м о о б р а з ующ е е,выделяющее математику из всех дру-гих наук. Представление о том, что яв-ляется доказательством и что не явля-ется, эволюционировалонапротяжении

веков и обрело современный вид лишьприблизительно на рубеже XIX—XXвеков.Математикампрошлых эпох,даже самым великим, казались вполнеубедительными такие рассуждения, ко-торые сейчас с негодованием отвергнетлюбой школьный учитель. Если вду-маться, мы имеем дело с очень стран-ным явлением. Почему какие-то абс-трактныеипорой совершенно<потусто-ронние> рассуждения делают для насто или иное утверждение более убеди-тельным? Один очень умный старше-классник задал учителю такой вопрос:— То, что в равнобедренном треуголь-

нике углы при основании равны, со-вершенно очевидно—можно убедитьсяна примерах. Тем не менее нам этотфакт доказывают. С другой стороны, то,что электрическое напряжение равносиле тока, умноженной на сопротивле-ние, нисколько не очевидно. Однакоэтот факт нам почему-то не доказыва-ют, а только иллюстрируют опытами.Почему?Такой вопрос — редкость. Большин-

ство школьников воспринимают дока-зательства как некий принятый в ма-тематике ритуал. В математике такполагается, и всё тут. Как тут не вспом-нить один исторический анекдот, отно-сящийся, кажется, к XVIII веку. Одинчеловек, бравший уроки математики,будто бы сказал своему учителю:—Кчему все эти туманныерассужде-

ния! Ведь вы же дворянин, и я тоже.Дайте мне честное слово, что теоремаверна — мне этого вполне достаточно.Но не то же ли самое происходит

с нами, когда мы читаем, скажем, учеб-ник истории? Никаких доказательств,одни лишь <формулировки теорем>:было так, было там, было тогда. Точка.И вот оказывается, что <честное словодворянина> — в данном случае автораучебника—вполне достаточно для того,чтобы всему поверить. На самом делекаждодневная работа математика нетак уж сильно отличается от работыисторика. Это иллюзия — полагать, чтоматематик находит доказательство и на

Доказательства — 68 — 3. Дети и C25: история одной задачи

этомуспокаивается, ибо вподавляющембольшинстве случаев он производит насвет ложные доказательства. Но он ви-дит, что тем же методом можно дока-зать, скажем, и иное, заведомо ложноеутверждение— и он продолжает поиск,ищет ошибки, ищет противоречия,ищет другие пути к цели. Он о с в а-и в а е т н о в у ю о б л а с т ь. И успо-каивается только тогда, когда все части,все детали картины приходят в согла-сие друг с другом. Примерно такой жегармонии деталей, их согласованностидруг с другом ищет и историк, да и лю-бой исследователь. А потом в учебни-ке нам покажут только кратчайшийпуть из A в B. Стоит ученику сбитьсяс этого пути, <свернуть направо наодин светофор раньше>, и он попадаетв совершенно незнакомый район и ужене знает, как оттуда выпутаться. В товремя как специалист хорошо знаетне только кратчайший путь, но и всеокрестности — недаром же он их изла-зил вдоль и поперёк.Однако дискуссия на эту тему увела

бы нас слишком далеко. Поэтому вер-нёмся к детям. Материала, на которомможно знакомить детей с идеей до-казательства, не так уж много, но онвсё же существует. Например, задачитипа <четвёртый — лишний> с неод-нозначными ответами. В них важно нетолько дать ответ, но и правильно егообъяснить. Решали мы также и задачитакого типа: доказать, что мывидим гла-зами, а слышим ушами, но не наоборот(доказательство:если закрыть глаза, мыперестаём видеть, а если закрыть уши,перестаём слышать); доказать, что об-лака ближе к земле, чем солнце (дока-зательство: облака заслоняют солнце);доказать, что мы думаем головой, а неживотом. Я сам так и не сумел при-думать убедительного решения этойзадачи*; на кружке же я предложил

* Видимо, такого решения и не существует.Сравнительно недавно я узнал, что древние егип-тяне, приготавливаямумии, аккуратно сохранялидля будущей жизни все органы человека, и толькоодин мозг выбрасывали за явной ненадобностью.

вот какое: если человеку отрубить голо-ву, онперестаёт думать.Мне возражали,но никто не сказал, что то же доказа-тельство проходит и для живота.Ну а что могло бы послужить дока-

зательством в нашей комбинаторнойзадаче? Ясно, что это должен бытьу п о р я д о ч е н ны й перебор возмож-ностей, т. е. такой перебор, при кото-ром мы были бы абсолютно уверены,что ничего не пропустили. Год назадмальчики эту идею не восприняли.Может быть, сейчас они уже созрели?Вернёмся к тому обсуждению, рас-

сказ о котором мы прервали на полу-слове. Итак, как же убедиться, что,кроме найденных десяти решений,других нет? Дима:—Нужно много лет пробовать, и ес-

ли ничего не найдёшь, значит, и нет.Я возражаю:—А вдруг всё-таки есть?Женя пессимистично заявляет:—Я больше ничего найти не смогу.Петя спрашивает у меня, действи-

тельно ли я сам не знаю, сколько будетрешений, или я-то знаю точно, а спра-шиваю только для разговора. При-знаю́сь, что сам я знаю точно. Тогдамальчики вообще перестают понимать,чегомне ещёнадо.ВыручилменяДима.Он произнёс какую-то фразу... Откро-венно говоря, я не очень уловил егомысль, и не очень вдумывался, так какдумал в этот момент о своём. Но вофразе, которую он сказал, фигуриро-вали слова <самая левая коробочка>.Я за них ухватился и поспешил интер-претировать всю фразу в нужном мненаправлении. Итак: возьмём первыйшарик и положим в первую, самуюлевую коробочку. Куда теперь можноположить второй шарик? Это ясно:в одну из оставшихся, т. е. во вторую,в третью, в четвёртую и в пятую. Итогополучаем 4 решения. Исчерпав все терешения, когда первый шарик лежитв первой коробочке, положим его вовторую. И опять для второго шарикаостаётся 4 пустых места: мы можемего положить в любую из четырёх

3. Дети и C25: история одной задачи — 69 — Физика и логика

коробочек, оставшихся пустыми. Те-перь кладём первый шарик в третьюкоробочку и т. д. Одним словом, мыполучаем 5 раз по 4 решения, то есть...20 решений! Вот так раз! Мальчикив полном ошеломлении, а я как можноскорее сворачиваю все дела и закан-чиваю занятие.Ну, уж на этот-то раз я бил без

промаха. Теперь наверняка все будутдумать и разбираться, почему для пра-вильного ответа число 20 ещё следуетразделить пополам.

[Эх, чёрт побери! Обидно. Этот не-выносимо честный Дима (нынешний)заставляет меня признаться, что я тутслегкаприврал.Выдалжелаемое за дей-ствительное. Я потом ужасно огорчал-ся, что не сообразилпоступить на круж-ке именно так, как написано выше.В реальности вместо этого я объяснилдетям, почему будет именно 10 реше-ний, а вовсе не 20, и почему, положивпервый шарик во вторую коробку, ужене нужно класть второй шарик в пер-вую. Жаль, красивая история пропала.После этого был ещё долгий спор

с Димой. Я сам его не запомнил и вдневник не записал, но вот что потомвставил туда он сам:

Поначалу папин систематический переборменя не убедил. То ли в конце занятия, то лиуже после, я стал спрашивать:

— А вдруг ты всё-таки забыл один способ?— Ну, например, какой?— Какой-нибудь.— Например, в какой коробочке может ле-

жать первый шарик?— Не знаю; в какой-нибудь.— Ну, пусть, скажем, во второй.— Пусть во второй.— Но ведь тогда второй шарик может ока-

заться либо в 3-й, либо в 4-й, либо в 5-й ко-робочке, а мы все эти способы уже перебрали.

И тут я почувствовал (хотя, наверное, непризнался бы в этом), что, действительно, для11-го способа не осталось ни одной лазейки:куда бы мы ни положили первый шарик, все-гда получится, что мы все такие способы ужеперебрали. — Дима.

Такчто, может, яи зрярасстраивался.И без того понять мои рассуждениябыло трудно, а тут бы я нагромоздилодну трудность на другую.]

Физика и логика

Хочурассказатьоб однойбеседе сДи-мой. Ему 5 лет и 9 месяцев. Задним чи-слом немножко странно, что с такимв общем-то маленькиммальчикоммож-но вести разговоры на такие серьёзныетемы. Однако же вот — есть дневник...(С некоторых пор я стал записыватьне только то, что происходило на круж-ке, но и какие-то смежные истории.)Началось всё с несколько неожидан-

ной и посторонней для нас темы: есть лиБог? Я обычно уклонялся от прямогоответа (которого я, впрочем, и не знаю),думал — вот вырастет и сам решит длясебя этот вопрос. Стратегия не оченьуспешная, так как общался он не сомной одним. Вот и сейчас — он ужеот кого-то узнал, что <Бога нет, потомучто его никто не видел>. Я, как всегда,увёл разговор в свою сторону. Я сказал,что если дело обстоит таким вот именнообразом, то он никак не сможет меняубедить в том, что существует м е ч т а(её ведь никто не видел, не правда ли?).Дима сделал несколько подходов.—А у тебя какая есть мечта?Я ответил, что никакой мечты у ме-

ня нет.—Ну, а что ты больше всего на свете

хочешь?Я отвечал, что ничего не хочу.—Но ты ведь хочешь, чтобы я вы-

рос умным?Это уже было явное моральное давле-

ние, но я устоял: сказал, что вообщеничего не хочу, и всё тут.На некоторое время он задумался;

потом задал тот вопрос, из-за которогоя, собственно, эту историю здесь и рас-сказываю: он спросил у меня, каквообще можно других людей в чём-тоубедить.—Есть разные способы, — ответил

я. — В математике, например, при-думывают д о к а з а т е л ь с т в а.—Как это? — спросил Дима.Я напомнил ему нашу совсем ещё

свежую историю про 10 решений и про

Физика и логика — 70 — 3. Дети и C25: история одной задачи

то, как мы старались сделать наш пе-ребор с и с т е м а т и ч е с к и м, чтобыбыть твёрдо уверенными, что мы ни-чего не пропустили.—А в физике, — сказал я, — де-

лают опыты.—А-а, понятно.(К тому времени мы уже читали

книгу Л. Л. Сикорука <Физика длямалышей> и производили некоторыеиз описанных в ней опытов.)—Вот, например, такой вопрос: ка-

кие предметы падают быстрее — лёгкиеили тяжёлые?—Конечно, тяжёлыепадают быстрее.—Ты та́к думаешь. А другой чело-

век может сказать, что все предметыпадают одинаково быстро.—Ну-у, нет!—А почему нет?—Ну, ведь если мы возьмём камень

илист бумаги, токамень упадёт быстрее.—Вот видишь: чтобы убедить этого

другого человека, что он неправ, ты сде-лаешь опыт, верно? Возьмёшь каменьи лист бумаги и посмотришь, что упа-дёт быстрее.—Да.—А теперь давай сделаем другой

опыт.Идею этого опыта мне подсказал

кто-то из друзей. Сначала мы берём дваодинаковых листа бумаги, и они, разу-меется, падают одинаково медленно.После этого я комкаю один из листови скатываю его в плотный комок.Я хочу спросить, какой из двух ли-стов теперь упадёт быстрее, но Димаменя опережает.—А теперь вот этот (он показывает

на комок) стал тяжелее.—Почему!?!—Потому что он упадёт быстрее.Вот, оказывается, как обстоит дело.

Для того, чтобы физический опыт могвас в чём-то убедить, нужно сначала,чтобы ваша логика развилась до такогоуровня, когда вы осозна́ете недопусти-мость логических кругов. Без логикиникакие выводы из наблюдений сде-лать невозможно. Что же из них пер-

вично, а что вторично? Понятия неимею! Видимо, они вырастают вместев каком-то симбиозе...Я, однако, не унимаюсь. Мы продол-

жаем бросать в паре всё, что попадаетсяпод руку: пуговицу и большой тяжё-лый лист ватмана; пуговицу и гирю;пластмассовый пустотелый кубик и де-ревянный кубик того же размера, и т. п.Дима обескуражен результатами. По-пытался было предположить, что пуго-вица тяжелее листа ватмана, но быстроотказался от этой идеи перед лицомеё очевидной нелепости.— Значит, бывает по-разному. Ино-

гда лёгкие вещи падают быстрее, а ино-гда тяжёлые.Он уже почти готов удовлетвориться

такой квазитеорией. И вдруг — эврика:—А-а, понимаю, папа! Это ему воз-

дух мешает падать.—Кому?—Лист большой, и ему воздух меша-

ет падать, не пускает его. А пуговицамаленькая, ей воздух меньше мешает.—Правильно! А если бы воздуха

не было, что бы тогда было?—Тогда бы все падали одинаково.—Молодец. А когда я лист бумаги

скомкал в комочек, что произошло?Дима подбирает слова, чтобы сфор-

мулировать ответ. Я не выдерживаюи отвечаю за него:—Воздух ему перестаёт мешать.—Нет, — поправляет меня Дима, —

не перестаёт, а начинает меньше ме-шать.Читатель уже знает, что один из моих

ведущих принципов — это никогда не<внедрять> в ребёнка свою точку зре-ния, даже намёком. Но в иерархиипринципов есть ещё один, более важ-ный: никогда не следовать безогляднони одному принципу. Может быть, сей-час — удобный момент проявить гиб-кость? С явным намёком на <единст-венно правильный ответ> я указываюещё раз на скомканный лист бумагии говорю:—И что, разве он действительно

становится при этом тяжелее?

3. Дети и C25: история одной задачи — 71 — Физика и логика

Дима смеётся вместе со мной: мол,ну надо же было сморозить такуюглупость! Он отвечает:—Ну конечно же нет! Может быть,

только совсем немножечко тяжелее.Вечером, записывая эту беседув днев-

ник, я обдумываю её ещё раз. Я неожи-данно осознаю одно обстоятельство, ко-торое раньше от меня ускользало. То,что мыпроизвели, не является в точномсмысле слова физическим эксперимен-том. Эксперимент — это вопрос, за-данный природе, c н е и з в е с т н ы мз а р а н е е о т в е т о м. А в нашемслучае Дима знал все ответы заранее.Не обязательно было реально бросатьгирю с пуговицей — собственный опытжизни ребёнка в окружающем егофизическом мире оказывался вполнедостаточным, чтобы правильно пред-сказать результат этого опыта. Можносказать, что ни один из опытов не сооб-щил ему ничего нового— если говоритьтолько о фактах. Новым было лишь со-поставление и упорядочение известныхфактов. По существу, мы произвелито же самое доказательство путём пе-ребора логических возможностей, ко-торое раньше проделали с шарикамив коробочках. Данная ситуация проли-вает некоторый дополнительный светна то, почему в обучении так полезнывопросы. С помощью вопросов мы по-могаемребёнку сопоставить те элементыего жизненного опыта, которые до это-го существовали как бы отдельно —лежали в кладовке памяти на разныхполках и никак друг с другом не со-прикасались.

∗ ∗ ∗Летом мы снимали дачу в Подмо-

сковье, и к нам в гости приехал Петя.Мальчикивспоминали, как онинедавноходили в зоопарк, и как им показывалиобезьян.Явмешалсявихразговориска-зал, что это не им показывали обезьян,а их показывали обезьянам. Такая

инсинуация с моей стороны не моглане вызвать решительный протест, ноони не сразу нашли, что ей противо-поставить.—Мы на них смотрели.Такой аргумент разбить легче лёг-

кого:—Ну и подумаешь, смотрели! Они

тоже на вас смотрели.Второй аргумент был гораздо серь-

ёзнее:—Мы можем ходить где хотим, а

обезьяны не могут. Они в клетке сидят.Но я и на это нашёл, что возразить.—Нет, вы хо́дите не где хотите.

Например, вам нельзя ходить внутриклетки. А обезьянам нельзя снаружи.Просто есть решётка, и обезьяны ходятгде хотят с одной стороны решётки,а вы — с другой.Такмыещёспорилинекоторое время,

и вдруг Дима воскликнул радостно,как бы поймав меня на подвохе:—Ой, папка! Ведь это же мы опять

математикой занимаемся!Интересная эволюция... На самом

первом занятии кружка дети бросилисьнаперегонки считать разложенные настоле пуговицы. Тогда они именно такпредставляли себе математику — этокогда считают. Теперьматематика сталадля них чем-то вроде логической игрыв стиле Льюиса Кэрролла.

∗ ∗ ∗Немного жаль, что я лишил следу-

ющую главу некоторых из её наибо-лее лакомых кусочков. Но, во-первых,хотелось показать материал в новомразрезе: читателю трудно было бы са-мостоятельно уследить за развитиемсюжета, прыгая от раздела к разделу.И, во-вторых, то, что я рассказываюв начале этой главы, относится к н е-з а п и с а н н о м у периоду, т. е. во-обще осталось бы за кадром. Будемнадеяться, что кое-что интересное дляследующей главы ещё осталось.