IL TENSORE DEGLI SFORZI E IL TENSORE DELLE โฆ...Note le componenti degli sforzi ๐ , ๐ e ๐...
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Ingegneria Meccanica, Chimica e dei Materiali
Fondamenti di Costruzioni Meccaniche AA.2019/2020
Lezioni del Prof. Filippo Bertolino 1
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IL TENSORE DEGLI SFORZI E
IL TENSORE DELLE DEFORMAZIONI
Riassumiamo brevemente le formule per il calcolo degli sforzi che abbiamo visto nelle
ultime lezioni:
a) Trazione/compressione semplice: ๐๐ฅ(๐ฅ) =๐(๐ฅ)
๐ด(๐ฅ);
b) Flessione semplice: ๐๐ฅ(๐ฅ, ๐ฆ) =๐๐ง(๐ฅ) ๐ฆ
๐ผ๐ง๐ง(๐ฅ);
c) Taglio: ๐๐ฅ๐ฆ(๐ฅ, ๐ฆ) =๐๐ฆ(๐ฅ) ๐๐ง(๐ฆ)
๐(๐ฆ) ๐ผ๐ง๐ง(๐ฅ);
d) Torsione nelle sezioni circolari: ๐๐ฅ๐ก(๐ฅ, ๐) =๐๐ฅ(๐ฅ)๐
๐ผ๐ฅ๐ฅ(๐ฅ)=
๐๐ฅ(๐ฅ)๐
๐ผ๐(๐ฅ)
o una loro combinazione (vedi la pressoflessione e la flessione deviata).
Il Principio di De Saint Venant afferma quanto segue:
In una trave prismatica e rettilinea caricata solo sulle facce trasversali
di estremitร , lo stato di sforzo nei punti lontani dalle basi dipende solo
dalla risultante dei carichi e non dalla loro reale distribuzione.
In base a questo principio, per il calcolo degli sforzi nella zona centrale della trave
(lontano dai punti di applicazione dei carichi e lontano dai vincoli) รจ possibile utilizzare
le formule che abbiamo visto nelle lezioni precedenti.
๐ ? ๐ ?
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Ma la realtร รจ ben piรน complicata: difficilmente le travi sono caricate solo sulle basi
e raramente hanno una forma cosรฌ semplice. Eโ sufficiente esaminare una semplice
mensola:
In questo caso, la trave non รจ sottoposta solo ad uno stato di sforzo ๐๐ฅ monoassiale in
direzione del suo asse, ma il materiale sotto il carico distribuito sopporta anche uno
sforzo ๐๐ฆ verticale. Inoltre, allโincastro, la sezione non รจ libera di contrarsi per
โlโeffetto Poissonโ quindi sarร sottoposta ad uno stato complesso di sforzi.
Esaminiamo per esempio il seguente complessivo in cui lโalbero รจ a sezione variabile:
๐๐ฅ ๐๐ฆ
๐ฆ
๐ฅ ๐๐ฅ๐ฆ
๐ง
๐ฆ
๐๐ง ๐๐ง
๐๐ฆ
๐๐ฆ
๐๐ฅ > 0
๐๐ฅ < 0
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oppure il seguente albero di trasmissione:
Sono evidenti le numerose variazioni di sezioni, i raccordi, le cave per linguetta, etc.
La teoria dellโelasticitร applicata in modo rigoroso, dimostra che nei punti di rapida
variazione di geometria (per esempio intorno ai fori o nelle immediate vicinanze dei
raccordi di piccolo raggio) lo stato di sforzo raggiunge valori non previsti dalle
precedenti formule semplificate. E lโanalisi sperimentale delle tensioni ha confermato
queste previsioni.
Concentrazione degli sforzi causati da una rapida variazione della sezione trasversale
Concentrazione degli sforzi intorno ai bordi di un foro praticato in una piastra sottoposta a trazione
semplice e in una trave sottoposta a torsione in presenza di un intaglio.
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Per semplificare il progetto delle strutture reali, sono state eseguite numerose analisi
teoriche, numeriche e sperimentali che hanno condotto alla formulazione dei
coefficienti di intensificazione degli sforzi ๐พ๐ก cosรฌ definiti:
๐พ๐ก =๐๐๐๐ฅ
๐๐๐๐ oppure ๐พ๐ก =
๐๐๐๐ฅ
๐๐๐๐
In base alla geometria del componente e della distribuzione dei carichi, sono disponibili
centinaia di tabelle che contengono il valore dei ๐พ๐ก; noto lo sforzo nominale, รจ possibile
risalire allo sforzo massimo che sollecita il particolare della struttura in esame:
๐๐๐๐ฅ = ๐พ๐ก ๐๐๐๐ oppure ๐๐๐๐ฅ = ๐พ๐ก ๐๐๐๐
Eโ quindi indispensabile saper calcolare gli sforzi nominali con le formule che abbiamo
esaminato nelle lezioni precedenti.
Si consideri il solido rappresentato in figura, sottoposto ad un sistema di forze
equilibrate:
Possiamo immaginare di sezionare lโintero solido con tre piani ortogonali passanti per
un generico punto P.
๏ฟฝโ๏ฟฝ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ
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Dividendo le forze infinitesime ๐๐น ๐ per lโarea infinitesima ๐๐ด๐ su cui agiscono, si
ottengono gli sforzi:
๐๐ฅ๐ฅ =๐๐น๐ฅ๐ฅ
๐๐ด๐ฅ ; ๐๐ฅ๐ฆ =
๐๐น๐ฅ๐ฆ
๐๐ด๐ฅ ; ๐๐ฅ๐ง =
๐๐น๐ฅ๐ง
๐๐ด๐ฅ
๐๐ฆ๐ฅ =๐๐น๐ฆ๐ฅ
๐๐ด๐ฆ ; ๐๐ฆ๐ฆ =
๐๐น๐ฆ๐ฆ
๐๐ด๐ฆ ; ๐๐ฆ๐ง =
๐๐น๐ฆ๐ง
๐๐ด๐ฆ
๐๐ง๐ฅ =๐๐น๐ง๐ฅ
๐๐ด๐ง ; ๐๐ง๐ฆ =
๐๐น๐ง๐ฆ
๐๐ด๐ง ; ๐๐ง๐ง =
๐๐น๐ง๐ง
๐๐ด๐ง
Il precedente tipo di rappresentazione grafica รจ poco utilizzato, ma si preferisce
assemblare i tre piani a formare un cubo, che rappresenta i tre piani ortogonali passanti
per il punto P. Gli sforzi vengono assemblati in una tabella che prende il nome di
tensore degli sforzi:
[๐] = [
๐๐ฅ ๐๐ฆ๐ฅ ๐๐ง๐ฅ๐๐ฅ๐ฆ ๐๐ฆ ๐๐ง๐ฆ๐๐ฅ๐ง ๐๐ฆ๐ง ๐๐ง
]
Quando sono orientati come
rappresentato nella figura, gli
sforzi sono considerati positivi.
๐๐น ๐ฆ = {
๐๐น๐ฆ๐ฅ๐๐น๐ฆ๐ฆ๐๐น๐ฆ๐ง
}
๐๐ด๐ฆ
๐
๐ฅ
๐ฆ
๐ง
๐ ๐ฅ
๐ฆ
๐ง
๐๐ด๐ง
๐๐น ๐ง = {
๐๐น๐ง๐ฅ๐๐น๐ง๐ฆ๐๐น๐ง๐ง
} ๐ฆ
๐ง
๐ฅ
๐๐น ๐ฅ = {
๐๐น๐ฅ๐ฅ๐๐น๐ฅ๐ฆ๐๐น๐ฅ๐ง
}
๐
๐๐ด๐ฅ
๐๐ฆ
๐๐ฆ
๐๐ฅ ๐๐ฅ
๐๐ง
๐๐ง
๐๐ฅ๐ฆ
๐๐ฆ๐ฅ
๐๐ฅ๐ง
๐๐ฆ๐ง
๐๐ง๐ฅ
๐๐ง๐ฆ
๐ฅ
๐ง
๐ฆ
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Il cubo appena rappresentato ricorda lo schema utilizzato quando si รจ parlato della
convenzione dei segni per il calcolo delle azioni interne:
In questo caso i momenti non sono piรน presenti perchรฉ lo schema rappresenta lโintorno
di un punto e non la sezione dellโintera trave. Quindi per la terza legge di Newton sulla
faccia destra e sinistra del cubo gli sforzi normali e di taglio hanno modulo uguale ma
verso opposto: sono gli sforzi che agiscono sui lati contrapposti della stessa sezione di
taglio: lo stessa ragionamento รจ valido nelle altre due direzioni.
Guardando lโimmagine a destra, osserviamo che
per lโequilibrio alla rotazione intorno allโasse ๐ง
deve risultare ๐๐ฅ๐ฆ = ๐๐ฆ๐ฅ; due relazioni simili si
possono scrivere per gli altri due piani coordinati,
cioรจ: ๐๐ฆ๐ง = ๐๐ง๐ฆ e ๐๐ง๐ฅ = ๐๐ฅ๐ง; ne discende che il
tensore degli sforzi รจ simmetrico, quindi solo 6
dei suoi coefficienti sono sufficienti a definirlo.
[๐] = [
๐๐ฅ ๐๐ฅ๐ฆ ๐๐ฅ๐ง๐๐ฅ๐ฆ ๐๐ฆ ๐๐ฆ๐ง๐๐ฅ๐ง ๐๐ฆ๐ง ๐๐ง
]
Se lo stato di sforzo รจ piano (il che significa che ๐๐ง = ๐๐ฅ๐ง = ๐๐ฆ๐ง = 0) il tensore
diventa:
๐๐ฅ ๐๐ฅ
๐๐ฆ
๐๐ฆ
๐๐ฅ๐ฆ
๐๐ฅ๐ฆ
๐๐ฆ๐ฅ
๐๐ฆ๐ฅ
๐ก๐๐๐ฃ๐ ๐ก๐๐๐ฃ๐
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[๐] = [๐๐ฅ ๐๐ฅ๐ฆ๐๐ฅ๐ฆ ๐๐ฆ
]
e per definirlo sono sufficienti solo tre informazioni: ๐๐ฅ, ๐๐ฆ e ๐๐ฅ๐ฆ.
Come detto diverse volte nel corso delle passate lezioni, la densitร di energia elastica
si calcola con la formula seguente:
ฮจ =1
2[๐][๐]
dove [๐] indica il tensore degli sforzi e [๐] il tensore delle deformazioni:
[๐] =
[ ๐๐ฅ
๐พ๐ฆ๐ฅ
2
๐พ๐ง๐ฅ2
๐พ๐ฅ๐ฆ
2๐๐ฆ
๐พ๐ง๐ฆ
2๐พ๐ฅ๐ง2
๐พ๐ฆ๐ง
2๐๐ง ]
Ricordo che tra il campo degli spostamenti ๐ข, ๐ฃ, ๐ค e il campo delle deformazioni
intercorrono le seguenti relazioni:
๐๐ฅ =๐๐ข
๐๐ฅ ; ๐พ๐ฅ๐ฆ =
๐๐ข
๐๐ฆ+๐๐ฃ
๐๐ฅ ; ๐พ๐ฅ๐ง =
๐๐ข
๐๐ง+๐๐ค
๐๐ฅ
๐พ๐ฆ๐ฅ =๐๐ฃ
๐๐ฅ+๐๐ข
๐๐ฆ ; ๐๐ฆ =
๐๐ฃ
๐๐ฆ ; ๐พ๐ฆ๐ง =
๐๐ฃ
๐๐ง+๐๐ค
๐๐ฆ
๐พ๐ง๐ฅ =๐๐ค
๐๐ฅ+๐๐ข
๐๐ง ; ๐พ๐ง๐ฆ =
๐๐ค
๐๐ฆ+๐๐ฃ
๐๐ง ; ๐๐ง =
๐๐ค
๐๐ง
Se il materiale ha un comportamento lineare elastico ed รจ isotropo, allora รจ valida la
legge di Hooke:
{
๐๐ฅ =
1
๐ธ[๐๐ฅ โ ๐(๐๐ฆ + ๐๐ง)]
๐๐ฆ =1
๐ธ[๐๐ฆ โ ๐(๐๐ง + ๐๐ฅ)]
๐๐ง =1
๐ธ[๐๐ง โ ๐(๐๐ฅ + ๐๐ฆ)]
;
{
๐พ๐ฅ๐ฆ =
๐๐ฅ๐ฆ
๐บ
๐พ๐ฆ๐ง =๐๐ฆ๐ง
๐บ
๐พ๐ง๐ฅ =๐๐ง๐ฅ
๐บ
quindi noto un tensore รจ possibile calcolare lโaltro.
Il prodotto tra tensori non si esegue come quello tra matrici: la densitร di energia
elastica รจ una quantitร scalare, mentre se [๐] ed [๐] fossero matrici, il loro prodotto
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darebbe origine ad una matrice 3 ร 3. Il prodotto tra tensori si esegue nel modo
seguente:
ฮจ =1
2โโ๐๐๐๐๐๐
3
๐=1
3
๐=1
sommando i prodotti dei coefficienti posti nelle stesse posizioni. Quindi:
ฮจ =1
2[๐๐ฅ๐๐ฅ +
1
2๐๐ฅ๐ฆ๐พ๐ฅ๐ฆ +
1
2๐๐ฅ๐ง๐พ๐ฅ๐ง +
1
2๐๐ฆ๐ฅ๐พ๐ฆ๐ฅ + ๐๐ฆ๐๐ฆ +
1
2๐๐ฆ๐ง๐พ๐ฆ๐ง
+1
2๐๐ง๐ฅ๐พ๐ง๐ฅ +
1
2๐๐ง๐ฆ๐พ๐ง๐ฆ + ๐๐ง๐๐ง]
Poichรฉ i due tensori sono simmetrici, il prodotto si semplifica e diventa:
ฮจ =1
2[๐๐ฅ๐๐ฅ + ๐๐ฆ๐๐ฆ + ๐๐ง๐๐ง + ๐๐ฅ๐ฆ๐พ๐ฅ๐ฆ + ๐๐ฆ๐ง๐พ๐ฆ๐ง + ๐๐ง๐ฅ๐พ๐ง๐ฅ]
In alternativa, รจ possibile esprimere i tensori in forma vettoriale:
{๐} =
{
๐๐ฅ๐๐ฆ๐๐ง๐๐ฅ๐ฆ๐๐ฆ๐ง๐๐ง๐ฅ}
; {๐} =
{
๐๐ฅ๐๐ฆ๐๐ง๐พ๐ฅ๐ฆ
๐พ๐ฆ๐ง
๐พ๐ง๐ฅ}
facendo attenzione che la successione dei coefficienti sia coerente.
Quindi la densitร di energia elastica si puรฒ ottenere tramite un semplice prodotto
scalare:
ฮจ =1
2{๐}๐{๐}
dove {๐}๐ indica la trasposta del vettore {๐}.
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CALCOLO DEGLI SFORZI SU GIACITURE RUOTATE RISPETTO AL
SISTEMA DI RIFERIMENTO ORIGINALE: CERCHI DI MOHR
Per il momento limiteremo lโanalisi al caso piano. Dato il seguente stato di sforzo:
lโobiettivo รจ il calcolo degli sforzi che agiscono su
un qualsiasi piano inclinato individuato dalla sua
normale ๏ฟฝโ๏ฟฝ .
Il versore ๏ฟฝโ๏ฟฝ e il versore ๐ก sono i seguenti:
๏ฟฝโ๏ฟฝ = {๐๐๐ (๐ผ)
๐ ๐๐(๐ผ)} = {
๐๐} ; ๐ก = {
๐๐๐ (90ยฐ + ๐ผ)
๐ ๐๐(90ยฐ + ๐ผ)} = {
โ๐ ๐๐(๐ผ)
๐๐๐ (๐ผ)} = {
โ๐๐}
Si scrivono le equazioni di equilibrio delle forze che agiscono in direzione ๐ฅ ed ๐ฆ.
Indichiamo con ๐ด๐ la superficie inclinata di normale ๏ฟฝโ๏ฟฝ . Di conseguenza:
๐ด๐ฅ = ๐ด๐๐๐๐ (๐ผ) ; ๐ด๐ฆ = ๐ด๐๐ ๐๐(๐ผ)
Le forze che agiscono sulle facce di normale ๐ฅ ed ๐ฆ valgono:
{
๐๐น๐ฅ = ๐๐ฅ๐ด๐ฅ = ๐๐ฅ๐ด๐๐๐๐ (๐ผ)
๐๐น๐ฅ๐ฆ = ๐๐ฅ๐ฆ๐ด๐ฅ = ๐๐ฅ๐ฆ๐ด๐๐๐๐ (๐ผ)
๐๐น๐ฆ = ๐๐ฆ๐ด๐ฆ = ๐๐ฆ๐ด๐๐ ๐๐(๐ผ)
๐๐น๐ฆ๐ฅ = ๐๐ฆ๐ฅ๐ด๐ฆ = ๐๐ฆ๐ฅ๐ด๐๐ ๐๐(๐ผ)
Si proiettano queste forze in direzione ๏ฟฝโ๏ฟฝ e ๐ก e si scrivono le equazioni di equilibrio:
๐๐ฅ ๐๐ฅ
๐๐ฆ
๐๐ฆ
๐๐ฅ๐ฆ
๐๐ฅ๐ฆ
๐๐ฆ๐ฅ
๐๐ฆ๐ฅ
๐๐๐ฅ ๐๐ฅ
๐ก
๐๐ฆ
๐๐๐ฆ
๐๐ฅ๐ฆ
๏ฟฝโ๏ฟฝ
๐๐ฆ๐ฅ
๐ผ
๐ผ
๐๐น๐
๐๐น๐ฅ
๐๐น๐ฆ
๐๐น๐๐ก
๐๐น๐ฅ๐ฆ
๐๐น๐ฆ๐ฅ
๐ผ ๐ผ
๐ผ
๐ผ ๐ผ
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In direzione ๏ฟฝโ๏ฟฝ :
๐๐น๐ฅ ๐๐๐ (๐ผ) + ๐๐น๐ฅ๐ฆ๐ ๐๐(๐ผ) + ๐๐น๐ฆ๐ ๐๐(๐ผ) + ๐๐น๐ฆ๐ฅ๐๐๐ (๐ผ) = ๐๐๐ด๐
In direzione ๐ก :
๐๐น๐ฅ๐ฆ๐๐๐ (๐ผ)โ๐๐น๐ฅ ๐ ๐๐(๐ผ) + ๐๐น๐ฆ๐๐๐ (๐ผ) โ ๐๐น๐ฆ๐ฅ๐ ๐๐(๐ผ) = ๐๐๐ก๐ด๐
da cui:
{๐๐ฅ๐ด๐ ๐๐๐
2(๐ผ) + ๐๐ฅ๐ฆ๐ด๐๐ ๐๐(๐ผ)๐๐๐ (๐ผ) + ๐๐ฆ๐ด๐๐ ๐๐2(๐ผ) + ๐๐ฆ๐ฅ๐ด๐๐ ๐๐(๐ผ)๐๐๐ (๐ผ) = ๐๐๐ด๐
๐๐ฅ๐ฆ๐ด๐๐๐๐ 2(๐ผ) โ ๐๐ฅ๐ด๐ ๐ ๐๐(๐ผ)๐๐๐ (๐ผ) + ๐๐ฆ๐ด๐๐ ๐๐(๐ผ)๐๐๐ (๐ผ) โ ๐๐ฆ๐ฅ๐ด๐๐ ๐๐
2(๐ผ) = ๐๐๐ก๐ด๐
Dividendo tutto per ๐ด๐, semplificando e ricordando che ๐๐ฅ๐ฆ = ๐๐ฆ๐ฅ si ottiene:
{๐๐ฅ ๐๐๐
2(๐ผ) + 2๐๐ฅ๐ฆ๐ ๐๐(๐ผ)๐๐๐ (๐ผ) + ๐๐ฆ๐ ๐๐2(๐ผ) = ๐๐
๐๐ฅ๐ฆ[๐๐๐ 2(๐ผ) โ ๐ ๐๐2(๐ผ)] + (๐๐ฆโ๐๐ฅ)๐ ๐๐(๐ผ)๐๐๐ (๐ผ) = ๐๐๐ก
Note le componenti degli sforzi ๐๐ฅ, ๐๐ฆ e ๐๐ฅ๐ฆ in direzione degli assi coordinati ๐ฅ, ๐ฆ รจ
possibile conoscere gli sforzi che agiscono su una qualsiasi giacitura.
La spiegazione di questo risultato si puรฒ ottenere anche attraverso il calcolo matriciale.
Le forze che agiscono in direzione orizzontale e verticale:
[๐๐ฅ ๐๐ฆ๐ฅ๐๐ฅ๐ฆ ๐๐ฆ
] {๐ด๐ฅ๐ด๐ฆ} = ๐ด๐ [
๐๐ฅ ๐๐ฆ๐ฅ๐๐ฅ๐ฆ ๐๐ฆ
] {๐๐๐ (๐ผ)
๐ ๐๐(๐ผ)} = ๐ด๐ {
๐๐ฅ๐๐๐ (๐ผ) + ๐๐ฆ๐ฅ๐ ๐๐(๐ผ)
๐๐ฅ๐ฆ๐๐๐ (๐ผ) + ๐๐ฆ๐ ๐๐(๐ผ)}
devono essere equilibrate dalle forze {๐น๐๐ฅ๐น๐๐ฆ
} che agiscono sulla superficie di normale ๏ฟฝโ๏ฟฝ .
La proiezione di {๐น๐๐ฅ๐น๐๐ฆ
} in direzione ๏ฟฝโ๏ฟฝ fornisce il modulo della forza normale ad ๐ด๐:
๐น๐ = {๐}๐ {๐น๐๐ฅ๐น๐๐ฆ
} = ๐ด๐{๐๐๐ (๐ผ) ๐ ๐๐(๐ผ)} {๐๐ฅ๐๐๐ (๐ผ) + ๐๐ฆ๐ฅ๐ ๐๐(๐ผ)
๐๐ฅ๐ฆ๐๐๐ (๐ผ) + ๐๐ฆ๐ ๐๐(๐ผ)}
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la proiezione di {๐น๐๐ฅ๐น๐๐ฆ
} in direzione ๐ก fornisce il modulo della forza tangente ad ๐ด๐:
๐น๐๐ก = {๐ก}๐ {๐น๐๐ฅ๐น๐๐ฆ
} = ๐ด๐{โ๐ ๐๐(๐ผ) ๐๐๐ (๐ผ)} {๐๐ฅ๐๐๐ (๐ผ) + ๐๐ฆ๐ฅ๐ ๐๐(๐ผ)
๐๐ฅ๐ฆ๐๐๐ (๐ผ) + ๐๐ฆ๐ ๐๐(๐ผ)}
In sintesi si puรฒ scrivere:
{๐น๐๐น๐๐ก} = ๐ด๐ [
๐๐๐ (๐ผ) ๐ ๐๐(๐ผ)
โ๐ ๐๐(๐ผ) ๐๐๐ (๐ผ)] [๐๐ฅ ๐๐ฆ๐ฅ๐๐ฅ๐ฆ ๐๐ฆ
] {๐๐๐ (๐ผ)
๐ ๐๐(๐ผ)}
dividendo tutta lโespressione per lโarea ๐ด๐ e sviluppando si ottiene:
{๐๐ = ๐๐ฅ๐๐๐
2(๐ผ) + 2๐๐ฅ๐ฆ๐ ๐๐(๐ผ)๐๐๐ (๐ผ) + ๐๐ฆ๐ ๐๐2(๐ผ)
๐๐๐ก = ๐๐ฅ๐ฆ[๐๐๐ 2(๐ผ) โ ๐ ๐๐2(๐ผ)] + (๐๐ฆ โ๐๐ฅ)๐ ๐๐(๐ผ)๐๐๐ (๐ผ)
Poichรฉ ๐๐๐ (๐ผ + 90ยฐ) = โ๐ ๐๐(๐ผ) e ๐ ๐๐(๐ผ + 90ยฐ) = ๐๐๐ (๐ผ)
gli sforzi normali che agiscono su una superficie ruotata di ๐ผ + 90ยฐ valgono:
๐๐ฅ ๐ ๐๐2(๐ผ) โ 2๐๐ฅ๐ฆ๐ ๐๐(๐ผ)๐๐๐ (๐ผ) + ๐๐ฆ๐๐๐
2(๐ผ) = ๐๐ก
Sommando questa equazione con quella che esprime lo sforzo ๐๐ si ottiene:
๐๐ฅ + ๐๐ฆ = ๐๐ + ๐๐ก
Si dice che la somma degli sforzi normali calcolati rispetto ad assi ortogonali รจ
โinvarianteโ, nel senso che รจ costante indipendentemente dallโangolo ๐ผ.
๐๐
๐๐ฅ
๐๐ฆ
๐๐๐ก
๐๐ฅ๐ฆ
๐๐ฆ๐ฅ
๐ผ
๐๐ก
๐๐ฅ
๐๐ฆ
๐๐ก๐
๐๐ฅ๐ฆ
๐๐ฆ๐ฅ
๐ฝ
๐๐ฅ + ๐๐ฆ = ๐๐ + ๐๐ก = ๐๐๐ ๐ก
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Il ragionamento precedente si puรฒ estendere al caso tridimensionale. Si indichi con
๏ฟฝโ๏ฟฝ il versore normale alla superficie ๐ด๐ sulla quale si desiderano calcolare gli sforzi:
๏ฟฝโ๏ฟฝ = {๐๐๐}
dove l, m, n indicano i coseni direttori del versore rispetto al sistema di riferimento
cartesiano;
gli sforzi ๐๐ฅ, ๐๐ฅ๐ฆ e ๐๐ฅ๐ง agiscono su una superficie di area ๐ด๐ฅ = ๐ด๐๐;
gli sforzi ๐๐ฆ๐ฅ, ๐๐ฆ e ๐๐ฆ๐ง agiscono su una superficie di area ๐ด๐ฆ = ๐ด๐๐;
gli sforzi ๐๐ง๐ฅ, ๐๐ง๐ฆ e ๐๐ง agiscono su una superficie di area ๐ด๐ง = ๐ด๐๐.
Per lโequilibrio delle forze nelle tre direzioni x, y, z devono essere soddisfatte le
seguenti equazioni:
{
๐น๐๐ฅ๐น๐๐ฆ๐น๐๐ง
} = ๐ด๐ [
๐๐ฅ ๐๐ฆ๐ฅ ๐๐ง๐ฅ๐๐ฅ๐ฆ ๐๐ฆ ๐๐ง๐ฆ๐๐ฅ๐ง ๐๐ฆ๐ง ๐๐ง
] {๐๐๐}
Il modulo della proiezione di questo vettore in direzione della normale ๏ฟฝโ๏ฟฝ vale:
๐น๐ = {๐}๐ {
๐น๐๐ฅ๐น๐๐ฆ๐น๐๐ง
} = ๐ด๐{๐ ๐ ๐} [
๐๐ฅ ๐๐ฆ๐ฅ ๐๐ง๐ฅ๐๐ฅ๐ฆ ๐๐ฆ ๐๐ง๐ฆ๐๐ฅ๐ง ๐๐ฆ๐ง ๐๐ง
] {๐๐๐}
Dividendo per lโarea ๐ด๐ si ottiene lo sforzo normale ๐๐.
Con una procedura simile, si possono ottenere gli sforzi tangenziali.
๐ฅ
๐ฆ
๐ง
๏ฟฝโ๏ฟฝ
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Esiste una rappresentazione grafica che, noti gli sforzi ๐๐ฅ, ๐๐ฆ, ๐๐ฅ๐ฆ, consente di
stimare rapidamente i valori degli sforzi ๐๐, ๐๐ก, ๐๐๐ก calcolati rispetto ad un sistema di
riferimento ruotato di un angolo ๐. Per eseguire questa rappresentazione grafica nel
cosรฌ detto โpiano di Mohrโ, รจ necessario ricordare le seguenti formule trigonometriche:
๐๐๐ 2(๐ผ) =1+๐๐๐ (2๐ผ)
2 ; ๐ ๐๐2(๐ผ) =
1โ๐๐๐ (2๐ผ)
2 ; ๐ ๐๐(๐ผ)๐๐๐ (๐ผ) =
๐ ๐๐(2๐ผ)
2
Sostituendo queste espressioni nelle equazioni precedenti si ottiene.
{
๐๐ = ๐๐ฅ
1 + ๐๐๐ (2๐ผ)
2+ ๐๐ฆ
1 โ ๐๐๐ (2๐ผ)
2+ ๐๐ฅ๐ฆ๐ ๐๐(2๐ผ)
๐๐๐ก = ๐๐ฅ๐ฆ [1 + ๐๐๐ (2๐ผ)
2โ1 โ ๐๐๐ (2๐ผ)
2] + (๐๐ฆโ๐๐ฅ)
๐ ๐๐(2๐ผ)
2
Riordinando si ottiene:
{๐๐ =
๐๐ฅ + ๐๐ฆ2
+ ๐๐ฅ โ ๐๐ฆ2
๐๐๐ (2๐ผ) + ๐๐ฅ๐ฆ๐ ๐๐(2๐ผ)
๐๐๐ก = ๐๐ฅ๐ฆ ๐๐๐ (2๐ผ) +๐๐ฆโ๐๐ฅ2
๐ ๐๐(2๐ผ)
Questo sistema non รจ altro che lโequazione parametrica di una circonferenza (di
parametro 2๐ผ) il cui centro si trova sullโasse delle ascisse alla coordinata ๐๐ฅ+๐๐ฆ
2 .
๐๐ฅ , ๐๐ฆ
๐๐ฅ๐ฆ
๐ถ =๐๐ฅ + ๐๐ฆ
2
2๐ผ
(๐๐ ,๐๐๐ก)
(๐๐ก ,โ๐๐๐ก)
๐(๐๐ฅ ,โ๐๐ฅ๐ฆ)
๐(๐๐ฆ ,๐๐ฅ๐ฆ)
๐ต
๐ด
2๐ฝ ๐ธ(๐1 ,0)
๐น(๐2 ,0)
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Dallโesame della figura precedente osserviamo che la distanza CB รจ pari a |๐๐ฅโ ๐๐ฆ|
2, che
la distanza PB vale |๐๐ฅ๐ฆ| e che il raggio della circonferenza vale:
๐ = ๐ถ๐ต โ ๐๐๐ (2๐ฝ) + ๐๐ต โ ๐ ๐๐(2๐ฝ)
Ovvero: ๐ =|๐๐ฅโ ๐๐ฆ|
2โ ๐๐๐ (2๐ฝ) + |๐๐ฅ๐ฆ| โ ๐ ๐๐(2๐ฝ) = โ(
๐๐ฅโ ๐๐ฆ
2)2+ ๐๐ฅ๐ฆ
2
Gli sforzi normali possono assumere i seguenti valori estremi:
๐1 = ๐ถ + ๐ ; ๐2 = ๐ถ โ ๐
che vengono comunemente chiamati โsforzi principaliโ. Ciรฒ capita nei due punti in cui
lo sforzo di taglio ๐๐ฅ๐ฆ si annulla.
Osservando le equazioni precedenti vediamo che lo sforzo di taglio ๐๐ฅ๐ฆ si annulla
quando:
๐ก๐๐๐(2๐ฝ) =2๐๐ฅ๐ฆ๐๐ฅ โ ๐๐ฆ
ovvero quando
๐ฝ =1
2๐๐๐๐ก๐๐๐ (
2๐๐ฅ๐ฆ๐๐ฅ โ ๐๐ฆ
)
Dโaltra parte se si cerca il punto di stazionarietร della funzione:
๐๐ =๐๐ฅ + ๐๐ฆ
2+ ๐๐ฅ โ ๐๐ฆ
2๐๐๐ (2๐ผ) + ๐๐ฅ๐ฆ๐ ๐๐(2๐ผ)
si ottiene:
๐(๐๐)
๐๐ผ= โ
๐๐ฅ โ๐๐ฆ2
2๐ ๐๐(2๐ผ) + 2๐๐ฅ๐ฆ๐๐๐ (2๐ผ) = 0
da cui si ricava che i punti di stazionarietร si hanno quando lโangolo assume il valore:
๐ก๐๐๐(2๐ผ) =2๐๐ฅ๐ฆ
๐๐ฅ โ๐๐ฆ
In conclusione gli sforzi principali si manifestano in corrispondenza dello stesso angolo
che annulla lo sforzo di taglio.
Calcolati gli sforzi che agiscono in un punto della struttura rispetto ad un sistema di
riferimento ๐ฅ โ ๐ฆ, si procede con il disegno del cerchio di Mohr. Per una corretta
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interpretazione degli angoli (positivi se antiorari), sul piano di Mohr รจ necessario
individuare due punti, P e Q, rappresentativi degli sforzi che agiscono sulle superfici
di normale ๐ฅ e ๐ฆ: ๐(๐๐ฅ, โ๐๐ฅ๐ฆ) e ๐(๐๐ฆ , ๐๐ฅ๐ฆ); allo sforzo ๐๐ฆ si associa lo sforzo di taglio
calcolato, positivo se orario. I casi che si possono presentare sono i seguenti:
๐๐ฅ < ๐๐ฆ e ๐๐ฅ๐ฆ > 0:
๐ก๐๐๐(2๐ฝ) =2๐๐ฅ๐ฆ๐๐ฅ โ ๐๐ฆ
< 0
๐๐ฅ > ๐๐ฆ e ๐๐ฅ๐ฆ < 0:
๐ก๐๐๐(2๐ฝ) =2๐๐ฅ๐ฆ๐๐ฅ โ ๐๐ฆ
< 0
๐๐ฅ < ๐๐ฆ e ๐๐ฅ๐ฆ < 0:
๐ก๐๐๐(2๐ฝ) =2๐๐ฅ๐ฆ๐๐ฅ โ ๐๐ฆ
> 0
๐๐ฅ > ๐๐ฆ e ๐๐ฅ๐ฆ > 0:
๐ก๐๐๐(2๐ฝ) =2๐๐ฅ๐ฆ๐๐ฅ โ ๐๐ฆ
> 0
๐๐ฅ , ๐๐ฆ
๐๐ฅ๐ฆ
๐ถ =๐๐ฅ + ๐๐ฆ
2
๐(๐๐ฅ ,โ๐๐ฅ๐ฆ)
๐(๐๐ฆ ,๐๐ฅ๐ฆ)
2๐ฝ ๐๐ฅ , ๐๐ฆ
๐๐ฅ๐ฆ
๐ถ =๐๐ฅ + ๐๐ฆ
2
๐(๐๐ฆ ,๐๐ฅ๐ฆ)
๐(๐๐ฅ ,โ๐๐ฅ๐ฆ)
2๐ฝ
๐๐ฅ , ๐๐ฆ
๐๐ฅ๐ฆ
๐ถ =๐๐ฅ + ๐๐ฆ
2
๐(๐๐ฅ ,โ๐๐ฅ๐ฆ)
๐(๐๐ฆ ,๐๐ฅ๐ฆ)
2๐ฝ
๐๐ฅ , ๐๐ฆ
๐๐ฅ๐ฆ
๐ถ =๐๐ฅ + ๐๐ฆ
2
๐(๐๐ฆ ,๐๐ฅ๐ฆ)
๐(๐๐ฅ , โ๐๐ฅ๐ฆ)
2๐ฝ
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ESEMPI
Stato di sforzo monoassiale.
Nei punti A e B i momenti sono nulli e il
taglio รจ massimo quindi:
{
๐๐ฅ(๐ฅ, ๐ฆ) =
๐๐ง(๐ฅ) ๐ฆ
๐ผ๐ง๐ง(๐ฅ)= 0
๐๐ฅ๐ฆ(๐ฅ, ๐ฆ) =๐๐ฆ(๐ฅ) ๐๐ง(๐ฆ)
๐(๐ฆ) ๐ผ๐ง๐ง(๐ฅ)โ 0
Diagramma dellโazione di taglio
Diagramma del momento flettente ๐๐ง
In mezzeria il taglio รจ nullo e il momento
รจ massimo:
{
๐๐ฅ(๐ฅ, ๐ฆ) =
๐๐ง(๐ฅ) ๐ฆ
๐ผ๐ง๐ง(๐ฅ)โ 0
๐๐ฅ๐ฆ(๐ฅ, ๐ฆ) =๐๐ฆ(๐ฅ) ๐๐ง(๐ฆ)
๐(๐ฆ) ๐ผ๐ง๐ง(๐ฅ)= 0
B L
q
y
x A
๐๐ฆ
x
x
๐๐ง
A
C
D
E
B
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Stato di taglio puro:
{๐๐ฅ๐ฆ < 0
๐๐ฅ = ๐๐ฆ = 0
Ipotizziamo ๐๐ฅ = ๐๐ฆ + ๐
๐ผ = lim๐โ0
[1
2๐๐๐๐ก๐๐๐ (
2๐๐ฅ๐ฆ๐๐ฅ โ ๐๐ฆ
)] = โ45ยฐ
๐ถ =๐๐ฅ + ๐๐ฆ2
= 0
๐ = โ(๐๐ฅ โ ๐๐ฆ
2)2
+ ๐๐ฅ๐ฆ2 = ๐๐ฅ๐ฆ
{๐1 = ๐ถ + ๐ = 0 + ๐๐ฅ๐ฆ = ๐๐ฅ๐ฆ
๐2 = ๐ถ โ ๐ = 0 โ๐๐ฅ2= โ๐๐ฅ๐ฆ
๐๐ฅ , ๐๐ฆ
๐๐ฅ๐ฆ
๐ถ = 0
๐(๐๐ฅ, โ๐๐ฅ๐ฆ)
๐(๐๐ฆ ,๐๐ฅ๐ฆ)
90ยฐ
๐2 ๐1
A
๐๐ฅ๐ฆ
๐๐ฅ๐ฆ
๐๐ฆ๐ฅ
๐๐ฆ๐ฅ
Q
P
๐1
๐1
๐2
๐2
โ45ยฐ
Q
P
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Stato di taglio puro:
{๐๐ฅ๐ฆ > 0
๐๐ฅ = ๐๐ฆ = 0
Ipotizziamo ๐๐ฆ = ๐๐ฅ + ๐
๐ผ = lim๐โ0
[1
2๐๐๐๐ก๐๐๐ (
2๐๐ฅ๐ฆ๐๐ฅ โ ๐๐ฆ
)] = โ45ยฐ
๐ถ =๐๐ฅ + ๐๐ฆ2
= 0
๐ = โ(๐๐ฅ โ ๐๐ฆ
2)2
+ ๐๐ฅ๐ฆ2 = ๐๐ฅ๐ฆ
{๐1 = ๐ถ + ๐ = 0 + ๐๐ฅ๐ฆ = ๐๐ฅ๐ฆ
๐2 = ๐ถ โ ๐ = 0 โ๐๐ฅ2= โ๐๐ฅ๐ฆ
๐๐ฅ , ๐๐ฆ
๐๐ฅ๐ฆ
๐ถ = 0
๐(๐๐ฆ ,๐๐ฅ๐ฆ)
๐(๐๐ฅ ,โ๐๐ฅ๐ฆ)
90ยฐ ๐2
๐1
B
๐๐ฅ๐ฆ
๐๐ฅ๐ฆ
๐๐ฆ๐ฅ
๐๐ฆ๐ฅ
Q
P
๐1
๐1
๐2
๐2
โ45ยฐ
P
Q
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Stato di sforzo monoassiale:
{๐๐ฅ > 0๐๐ฆ = ๐๐ฅ๐ฆ = 0
๐ผ =1
2๐๐๐๐ก๐๐๐(
2๐๐ฅ๐ฆ๐๐ฅ โ ๐๐ฆ
) = 0
๐ถ =๐๐ฅ + ๐๐ฆ2
=๐๐ฅ2
๐ = โ(๐๐ฅ โ ๐๐ฆ
2)2
+ ๐๐ฅ๐ฆ2 =
๐๐ฅ2
{๐1 = ๐ถ + ๐ =
๐๐ฅ2+๐๐ฅ2= ๐๐ฅ
๐2 = ๐ถ โ ๐ =๐๐ฅ2โ๐๐ฅ2= 0
๐๐ฅ ๐๐ฅ
C
C
๐๐ฅ , ๐๐ฆ
๐๐ฅ๐ฆ
๐ถ =๐๐ฅ2
๐(0,0) ๐(๐1 ,0)
๐๐ฅ , ๐๐ฆ
๐๐ฅ๐ฆ
๐ถ = โ๐๐ฅ2
๐(๐2 , 0) ๐(0,0)
D
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{
๐๐ฅ๐ฆ > 0
๐๐ฅ > 0๐๐ฆ = 0
๐ผ =1
2๐๐๐๐ก๐๐๐ (
2๐๐ฅ๐ฆ๐๐ฅ
) > 0
๐ถ =๐๐ฅ + ๐๐ฆ2
=๐๐ฅ2
๐ = โ(๐๐ฅ2)2
+ ๐๐ฅ๐ฆ2 > ๐ถ
{๐1 = ๐ถ + ๐ > 0๐2 = ๐ถ โ ๐ < 0
๐๐ฅ ๐๐ฅ
๐๐ฅ๐ฆ
๐๐ฅ๐ฆ
๐๐ฆ๐ฅ
๐๐ฆ๐ฅ
๐๐ฅ , ๐๐ฆ
๐๐ฅ๐ฆ
๐ถ =๐๐ฅ2
๐(๐๐ฅ , โ๐๐ฅ๐ฆ)
๐(0, ๐๐ฅ๐ฆ)
2๐ผ
๐1
๐2
๐1
๐1
๐2
๐2
๐ผ
E
Q
P
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{
๐๐ฅ๐ฆ = 0
๐๐ฅ > 0๐๐ฆ > 0
๐ผ =1
2๐๐๐๐ก๐๐๐ (
2๐๐ฅ๐ฆ๐๐ฅ โ ๐๐ฆ
) = 0
๐ถ =๐๐ฅ + ๐๐ฆ2
๐ = โ(๐๐ฅ โ ๐๐ฆ
2)2
+ ๐๐ฅ๐ฆ2 =
|๐๐ฅ โ ๐๐ฆ|
2
{
๐1 = ๐ถ + ๐ =
๐๐ฅ + ๐๐ฆ
2+|๐๐ฅ โ ๐๐ฆ|
2= ๐๐๐ฅ(๐๐ฅ, ๐๐ฆ)
๐2 = ๐ถ โ ๐ =๐๐ฅ + ๐๐ฆ
2โ|๐๐ฅ โ ๐๐ฆ|
2= ๐๐๐(๐๐ฅ, ๐๐ฆ)
Se ๐๐ฅ = ๐๐ฆ > 0 il cerchio di Mohr degli sforzi collassa in un punto: tutte le
direzioni, sono principali.
๐๐ฅ , ๐๐ฆ
๐๐ฅ๐ฆ
๐ถ =๐๐ฅ + ๐๐ฆ2
๐1
๐2
๐๐ฅ ๐๐ฅ
๐๐ฆ
๐๐ฆ
๐๐ฅ , ๐๐ฆ
๐๐ฅ๐ฆ
๐ถ = ๐๐ฅ = ๐๐ฆ
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Calcoliamo il tensore delle deformazioni nel caso di stato di sforzo mono assiale; il
tensore degli sforzi in questo caso รจ il seguente:
[๐] = [๐๐ฅ 0 00 0 00 0 0
]
Usando la legge di Hooke:
{
๐๐ฅ =
1
๐ธ[๐๐ฅ โ ๐(๐๐ฆ + ๐๐ง)]
๐๐ฆ =1
๐ธ[๐๐ฆ โ ๐(๐๐ง + ๐๐ฅ)]
๐๐ง =1
๐ธ[๐๐ง โ ๐(๐๐ฅ + ๐๐ฆ)]
;
{
๐พ๐ฅ๐ฆ =
๐๐ฅ๐ฆ
๐บ
๐พ๐ฆ๐ง =๐๐ฆ๐ง
๐บ
๐พ๐ง๐ฅ =๐๐ง๐ฅ
๐บ
calcoliamo le deformazioni:
{
๐๐ฅ =
๐๐ฅ
๐ธ
๐๐ฆ = โ๐
๐ธ๐๐ฅ
๐๐ง = โ๐
๐ธ๐๐ฅ
; {
๐พ๐ฅ๐ฆ = 0
๐พ๐ฆ๐ง = 0
๐พ๐ง๐ฅ = 0
da cui:
[๐] =
[ ๐๐ฅ
๐พ๐ฅ๐ฆ
2
๐พ๐ฅ๐ง2
๐พ๐ฆ๐ฅ
2๐๐ฆ
๐พ๐ฆ๐ง
2๐พ๐ง๐ฅ2
๐พ๐ง๐ฆ
2๐๐ง ]
=๐๐ฅ
๐ธ[1 0 00 โ๐ 00 0 โ๐
] = [
๐1 0 00 ๐2 00 0 ๐3
]
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Eโ possibile disegnare il cerchio di Mohr delle deformazioni, seguendo la stessa
procedura utilizzata per disegnare il cerchio di Mohr degli sforzi; bisogna perรฒ
ricordate che sullโasse delle ordinate si riportano la metร degli scorrimenti ๐พ๐ฅ๐ฆ:
Osserviamo che esiste un angolo in corrispondenza del quale le deformazioni assiali
๐๐ si annullano:
๐๐ =๐๐ฅ + ๐๐ฆ
2+ ๐๐ฅ โ ๐๐ฆ
2๐๐๐ (2๐) +
๐พ๐ฅ๐ฆ
2๐ ๐๐(2๐) = 0
Poichรฉ in questo esempio ๐พ๐ฅ๐ฆ = 0 e ๐๐ฆ = โ๐๐๐ฅ sostituendo si ottiene:
๐๐ฅ โ ๐๐๐ฅ2
+ ๐๐ฅ + ๐๐๐ฅ
2๐๐๐ (2๐) = 0
da cui:
๐๐๐ (2๐) = โ(1 โ ๐)
(1 + ๐)
Se ๐ = 0.3 si ottiene: ๐ โ 61.29ยฐ. Se si sottopone un provino a trazione semplice e
sulla sua superficie si incolla un estensimetro ruotato di 61.29ยฐ, non si registrerร alcun
segnale, come se il provino fosse scarico !!
๐๐ฅ , ๐๐ฆ
๐พ๐ฅ๐ฆ2
๐ถ =๐๐ฅ + ๐๐ฆ2
๐1
๐2
2๐
๐น ๐น ๐ โ 61ยฐ