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Il dipolo elettrico
Dipolo elettrico
Interazioni del dipolo elettrico
Sviluppo in serie di multipoli
Esempi
Dipolo elettrico
Due cariche puntiformi +q e q distanti a
2 1cosr r a
P lontano a/r
Dipolo elettrico
Lontano dal dipolo
2
0
( )4
rp e
V rr
Va a zero piu` rapidamente del
potenziale di una carica puntiforme
(+q, -q tendono a neutralizzarsi)
2
04
rp e
Er
3
1
r
Campo elettrico del dipolo
2
04
rp e
Er
3
0
1
4
p r
r
3
0
13( )
4r r
p p e er
3
0
1
4
i ip x
r
costanti
3
04
i ip x
r
3 2
6
0
3
4
i i ip r x x r r
r
ie
re
r
re
r
r
re
r
3 2
6
0
3 ( )1
4
rr p r p r e
r
Campo elettrico del dipolo
P
y
z
e
r
Er
Erp
Giace nel piano individuato da ed r
p e
Decresce con la distanza come 3
r
Nel piano mediano ( 0)rp e E p
Lungo lasse del dipolo E p
Negli altri casi mai parallelo a p
Campo elettrico del dipolo
P
y
z
e
r
Er
Erp
cos sinr
p p e p e
3( ) 2 cos sinrr r
p e e p p pe e
cosr
p e p
Campo elettrico del dipolo
cos sinr
p p e p e
3( ) 2 cos sinrr r
p e e p p pe e
cosr
p e p
0, asse del dipolo: campo radiale, // dipolo
y
z
er
p
3
0
1( 0) (2 )
4r
E p er
Campo elettrico del dipolo
cos sinr
p p e p e
3( ) 2 cos sinrr r
p e e p p pe e
cosr
p e p
3,
2 2
campo perpendicolare alla direzione
radiale, // dipolo
y
z
e
r
p
3
0
1( )
2 4z
E per
Linee di forza ed
equipotenziali
Dipolo elettrico in un campo
elettrostatico
Energia potenziale del dipolo
( ) ( ) [ ( )] ( ) ( )U r qV r a qV r q V r a V r
r
r a
-q
+q
Ea
( )qa V rp E
( )U r p E
Dipolo elettrico in un campo
elettrostatico
ForzaE
p
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F F r F r a qE r qE r a q E r a E r q a E qa p
i i k k iF p E p E F p E
Anche da:
F U p E p E 0E
Ep
p E pE
F p E
Dipolo elettrico in un campo
elettrostatico
ForzaE
p
i i k k iF p E p E F p E
Anche da:
F U p E p E 0E
Ep
p E pE
F p E
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F F r F r a qE r qE r a q E r a E r q a E qa p
Dipolo elettrico in un campo
elettrostatico uniforme
F p E =0
La forza e` nulla:
Momento della forza:
( )q q
M r F r a F
qF qE
M p E Il momento fa ruotare il dipolo per
allinearlo al campo elettrostatico.
Minimo dellenergia di interazione.
Dipolo elettrico in un campo
elettrostatico uniforme
M p E pE
( ) sin z y y z z x
p E pe E e E e pE e
sindU
M pEd
dW Md dU ( cos )U pE
Interazione tra due dipoli
Consideriamo il primo dipolo nel campo del
secondo, o viceversa: il problema e` simmetrico.
Energia di interazione
12 1 2 1 2 230
13( )
4r r
U p E p p e e pr
12 1 2 1 2 2130
13( )( )
4r r
U p p p e p e Ur
3 4 r F r
Espansione in multipoli
O
P
ri
r-ri
r
d
r >> d ( ) ( ) ( )i i
f r r f r r f r
2
1 1 1 1
| |
r
i i
i
er r
r r r r r r
2
re
r
Espansione in multipoli
2 2
0 0
1 1 1( )
4 4
ri
r
i i
i
i i
i i
ee
V r q rr
q q
r r r
r
2
0
1( )
4
rp eQ
V rr r
K0 = Q = monopolo
K1 = dipolo
K2 = quadrupolo
i
i
i i
i
Q q
p q r
Termine di dipolo
Se la carica totale e` nulla (Q=0) il momento
di dipolo non dipende dalla scelta dellorigine
delle coordinate entro la distribuzione di
carica (esercizio: dimostrarlo)
Generalizzazione a distribuzioni continue di
carica. Ad esempio:
3' ( ') 'p x x d x
H2O e` un dipolo
105o
Lato positivo
H H
O
Lato negativo
M p E
12 1 2 1 2 2130
13( )( )
4r r
U p p p e p e Ur
p1 p2
forza attrattiva
p1 p2
forza repulsiva1 2
2
0
3
4r
p pF e
forza repulsiva forza attrattiva
Esempio
Acqua
meV9 30 2
211 2
3 10 3
0
9 10 (6.2 10 )2.77 10 17.3
4 (5 10 )e
p pU J
r
Cm306.2 10p m105 10r
meV34.6e
U meV (300 K)26B
k T
N11~ 10F
Esercizio
Data la distribuzione di cariche:
Q1 1 nC in P1=(1,1,2) cm
Q2 5 nC in P2=(2,2,2) cm
Q3 -4 nC in P3=(1,3,2) cm
Q4 -2 nC in P4=(3,3,3) cm
calcolare il potenziale elettrostatico nel punto P=(3,4,0) m
nellapprossimazione di dipolo, e confrontarlo con il valore
esatto.
Termine di quadrupolo
Esercizio: calcolarlo
3
1 mm
x
r r
3 2
3 6 3
3 ( ) 31
n n m
nm m nmm
n m n
x x xr r x
x r r r
r r r r
2 2| |
nm n ma a a a
2
2 2 2
2
( )( ) cosn m
n m r
x x a ra a a e a
r r r
2
( )1
( ) ( )( )
2m n
nm n m
f r af r
a ax
f r a f rx
1
( ( ) , )i
f r a rr
suggerimenti
Termini di monopolo, dipolo e
quadrupolo